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從月曆 學數學 序

目錄

學曆之旅........4

第1章 中西曆的對照—— 徐光啟、利瑪竇對話錄........12 1.1

復活節是在哪一天?........19

1.2

利瑪竇的生日不見了........25

1.3

陰曆月和中氣掛鉤........32

第2章 各曆的發展—— 小徐、小利對話錄(之一)........ 40 2.1

徐光啟改了曆........46

2.2

必也正名乎........56

2.3

曆的變奏........69

第3章 眾曆的共通—— 小徐、小利對話錄(之二)........78 3.1

異中求同........83


3.2

通曆通樂........95

3.3

曆就是行事以時........105

第4章 天之曆數在爾躬—— 小徐、小利對話錄(之三)........120 4.1

漢武帝改曆很政治........125

4.2

武則天建立了新朝代?........134

4.3

武則天說謊?........139

第5章 曆的數學—— 小徐、小利對話錄(之四)........ 148 5.1

愈逼愈近........152

5.2

餘數定理........169

5.3

簡單的數學.複雜的數學........184

● 附錄A 《中國年曆簡譜》內容說明........198 ● 附錄B

萬年曆的製作........200

● 附錄C

2001年24中節氣與閏月........203


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從月曆 學數學

序(第一版)

學曆之旅 曹亮吉

2000 年 2 月,大學入學考試中心學科能力測驗數學科有這麼一 個題目:

今年(公元 2000 年是閏年)的 1 月 1 日是星期六。試問下一個 1 月 1 日也是星期六,發生在公元哪一年?

見到這個題目,我想是個送分題,想上大學還不會?但是這次 考試的統計資料,讓我大吃一驚:答對率只有 18 %,平均 5 個考生 只有 1 個會。 2000 年 2 月 29 日早上醒來,一看手錶,日期居然是 3 月 1 日。錶 的設計者是怎麼想的? 1996 年 2 月 29 日,我的錶的確是 2 月 29 日。 可見設計者的確考慮到閏年;如果他認為每 4 年要閏一次,沒有例 外,那麼 2000 年我的錶就會閏的。事實是錶沒閏,設計者一定知道 千禧年閏不閏是個問題,但他還是弄錯了。 顯然大多數人對曆的 ABC 還是不太清楚,更不用說去欣賞曆之 有趣的文化背景。由此,想起了我的學曆之旅……


序 學曆之旅

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踏進曆的世界 1979 年初,為了教微積分,我閱讀華羅庚(1910-1985)的《數 學分析導引》,想找些教材。想不到其中與微積分不直接相關的連分 數,倒吸引了我。書中說明了連分數的簡單理論,並舉陽曆、陰 曆、陰陽合曆中的幾個複雜的常數為例,用了簡單的分數來代替。 我向同事朱建正教授提起了曆的數學,他介紹了高平子(18881970)所著的《學曆散論》,說可向中央研究院數學所索取。就這 樣,我從曆的 ABC ,進入了曆的數學,也進入了曆的文化史。 那一年開始,我為《科學月刊》雜誌再度寫〈益智益囊集〉專 欄,介紹通識的數學。該年的 6 、 7 兩月,各有一篇曆的文章〈一年 有幾日〉,與〈魚也要,熊掌也要〉。第一篇文章介紹了曆的 ABC , 以及一點點 DEF ,第二篇則介紹如何用連分數的觀點看曆的設計, 提出製曆者要在簡單與精確之間做適當選擇的窘境。主要的參考資 料就是《學曆散論》、華羅庚的《數學分析導引》,還有《大英百科 全書》中關於曆法的部分。


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從月曆 學數學

1985 年 10 月 15 日下午 4 點半,在台大正門口羅斯福路地下道入 口處,遇到了中央研究院計算中心的謝清俊教授。他說他們正想做 中西曆對照的程式,而已有的資料僅能準確到月份,希望能做到日 日對照。他正想找我,問我有無妙方。我答應他兩個星期後,到中 央研究院計算中心,給一個不公開的演講,談曆法的入門,供他們 參考;不公開,因為我自己也才是一個入門漢而已。 我利用這兩個星期,找來一些與曆法有關的文章或書,拚命惡 補一番。包括許倬雲(1930- )的〈殷曆譜氣朔新證舉例〉(含於 《求古編》中)、朱文鑫(1883-1938)的《曆法通志》、陳垣(18801 9 7 1 ) 的 《 二 十 史 朔 閏 表 》 與 《 中 西 回 史 日 曆 》, 以 及 董 作 賓 (1895-1963)的《中國年曆總譜》。當然這些文章或書,我不可能全 看,看過的也有很多不懂的地方,不過到底讓我寫成了演講的內容 大綱:甲、曆法的原罪;乙、曆法的演變;丙、陽曆的結構;丁、 回曆的結構;戊、陰陽合曆的結構;己、中國農曆的演變;庚、中 國農曆的置閏原則;辛、中國農曆其他注意事項;壬、中西日曆對 照。


序 學曆之旅

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最開頭一節的原罪指的是,回歸年 365.2422 日,朔望月 29.5306 日,兩者相除一年有 12.368 ……月,都不是簡單的整數;為了處理 不簡單的小數,曆才變得有點複雜。最後第二節談的是干支紀日、 改曆頻繁的原因、還有平朔、定朔、平氣、定氣等。最後一節中西 日曆對照介紹儒略紀日,及對照時應注意的事項。 10 月 28 日到中研院演講,過程順利,會中以及會後也有不少討 論。離開中研院,我獨自到對面的胡適公園,看到了董作賓的墳 墓,心中一震,因為那幾天在台大總圖書館,讀了他的巨著《中國 年曆總譜》,實在獲益良多。後來在藝文出版社,買到他的《中國年 曆簡譜》,到現在都還時而翻之,其樂無窮。

曆法──文化活動中的數學 1996 年,我為遠哲科學教育基金會,寫通識教育系列的第一本 書《阿草的葫蘆》,內容是文化活動中的數學,其中有一章〈十九年 七閏〉,介紹的當然是曆,但內容添加了不少文化氣息,譬如陽曆月 份的命名、歷史事件之干支紀年、及與其相應西元紀年之間的換


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從月曆 學數學

算,還有生肖等。也借用曆法說明,數字可用以標量、標序,或做 為標籤之用。 翌年 3 月 12 日,應東吳大學之邀,為其雙溪文化講座「知識與 文化」演講「我的學曆散論」,內容包括本文到目前所寫的,更提到 許多與曆有關的歷史事件,如漢武帝的改曆、從改曆的觀點看武則 天的周朝,還有利瑪竇與中西曆的關係。利瑪竇(Matteo Ricci, 1552-1610)的老師克拉維爾斯(Christopher Clavius)參與西洋的改 曆(改成現制的陽曆),利瑪竇來華與徐光啟(1562-1633)訂交, 與他同譯克拉維爾斯評注的幾何《原本》(Elements)前六冊,成為 中文的《幾何原本》,並促成他參與明朝的改曆。 1999 年大家為電腦的千禧蟲而緊張,為追尋新世紀第一道曙光 而興奮。千禧年是新世紀的開始,還是舊世紀的結束?許多有關曆 的書就冒出來了,譯成中文的有《我的生日不見了》(A. Shimong, Tibaldo and the Hole in the Calendar)、《抓時間的人》(D. E. Duncan, Calendar),還未看到譯成中文的有 E. G. Richards 的 Mapping Time 、 J. E. Barnett 的 Time’s Pendulum ,以及 C. Blaise 的 Time Lord 等。


序 學曆之旅

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讀了這些書,我的曆功從 ABC 、 DEF 進步到 GHI 。另一方面, 2000 年 2 月發生了本文開頭談到的考試與手錶、那兩件不可思議的 事情之後,要寫一本多方位、有關曆的書,這種想法漸漸在腦海中 醞釀起來。

從利瑪竇與徐光啟的相遇開始 要怎麼安排這本書的內容呢?曆法是有點複雜的,而我鎖定的 讀者對象就是一般的大眾,所以我得循序漸進,而且通識有趣。有 一天散步經過大安公園,突然想到,應該從利瑪竇和徐光啟的會面 開始,這樣可簡單介紹中西曆的對照,以引起讀者的興趣。我立刻 去查他們第一次會面的年代,結果是 1600 年—真是上上籤! 1600 年正是西方改曆後第一次碰到的問題年,和 2000 年一樣有閏不閏的 問題,以及是否為世紀末或新世紀初的問題。於是我以日有所思、 夜有所夢的賴皮方法,寫下他們會面對談的私人版紀錄。本書的第 一篇很快的就定了稿。


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從月曆 學數學

往後要怎麼寫呢?最後決定把場景拉到 400 年後,新舊世紀交替 之際,還是借助兩個人的對談,廣泛探討曆法的各種層面,包括各 曆的發展、眾曆的共通、天之曆數在爾躬,以及曆的數學。對話的 好處是可以把腳步放慢,把許多重點逐步說明與澄清。對話的主角 是誰呢?我請兩位年輕人擔綱,一位在國內完成大學教育,然後飄 洋過海、沾點洋墨水,又回來在大學教書;另一位是小留學生出 身,洗過洋墨水澡之後,又回到出生地方來,想深入學習本地文 化。為了方便,姑且稱前者為小徐,後者為小利。 古代的數學家大都是研究天文曆算出身的,現代的數學家很少 涉及天文的研究,更是曆法的門外漢。我靠著因緣才得以學曆,然 後借著讀書、演講、寫文章—寫短文、寫書中的一章,到寫一本 書,把學曆的心得一再結構,一再擴大。這就是我的學曆之旅。不 過必須聲明,於曆我雖有心得,但到底只是以業餘的興趣待之,而 絕不是專家—與古代的數學家相比,是夠諷刺的。

—— 2001 年 6 月於台北


序 學曆之旅

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誌 謝

寫了這本書的對話部分之後,先拿給好友台大化學系牟中原教 授看看。他讀了一遍,提了一些問題,做了一些建議。他說,用對 話方式,讀來固然有趣,但浸淫細節太久,有時反而不容易有全體 的感覺。幾經思考,我決定寫導讀,內容分五部分,和五章的對話 一一對應起來。 讀者可先閱覽導讀,略知背景,再讀對話,以知細節;也可以 反過來,先讀完一段對話,再讀相應的導讀部分,以達統整之效。 在此特別要感謝牟教授的費心與建議。


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中西曆的對照──

徐光啟、利瑪竇對話錄

曆可分陽曆和陰曆,你猜中國的農曆是哪一種曆? 耶穌是哪一天復活的?為什麼每年的復活節不在同一天? 西元 1582 年為什麼少了 10 天?是誰可以直接下令跳過這幾天? 十六世紀到底是從 1500 年或 1501 年開始起算? 陽曆的閏年與農曆的閏月是如何安排的?


曹老師的生活數學教室2:從月曆學數學