Page 1

Лекция Системы счисления. СОДЕРЖАНИЕ: 1. 2. 3. 4.

5.

Понятие «Системы счисления» Виды систем счисления Непозиционные системы счисления Позиционные системы счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Понятие «Системы счисления» относится к числовому виду информации. Система счисления — знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных не зависит. Самая распространенная непозиционная система счисления - Римская. В качестве цифр здесь используются заглавные буквы латинского алфавита

I V X С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем Риме. В ней имеются узловые числа: один, пять и т. д. Остальные числа получались путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других Например, четыре записывается как IV, т. е. пять минус один, восемь — VIII (пять плюс три), сорок—XL (пятьдесят минус десять), девяносто шесть—XCVI (сто минус десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.

Римские цифры 1 100

I C

5 500

V D

10 1000

X M

50 2000

L Z

Позиционные системы счисления Системы счисления Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная

Основание 10 2 8 16

Алфавит цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел называют основанием системы счисления

Десятичная система счисления. Сегодня мы настолько сроднились с 10-ной системой счисления, в которой десять цифр. Так что не представляем себе иных способов счета. Но до наших дней сохранились следы счета шестидесятками. Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Окружность делится на 360, то есть 6*60 градусов, градус - на 60 минут, а минуту - на шестьдесят секунд. в сутках 24 часа, а в году 365 дней. Таким образом,


● ● ●

время (часы и минуты) мы считаем в 60-ной системе, сутки - в 24-ной, недели в 7-ной,

Десятичная система счисления в свернутом и развернутом виде А 10 = 555 – десятичное число в свернутой форме записи В развернутой форме записи: 555 10 = 5∙10 2 + 5∙ 10 1 + 5∙ 10 0 Для записи десятичных дробей: 555,55 10 = 5∙10 2 + 5∙ 10 1 + 5∙ 10 0 + 5∙ 10 -1 + 5∙ 10 -2

Двоичная система счисления А 2 = 101,01 – двоичное число в свернутой форме записи В развернутой форме записи: 101,01 2 = 1∙2 2 + 0∙ 2 1 + 1∙ 2 0 + 0∙ 2 -1 + 1∙ 2 -2 На первый взгляд кажется, что раз в байте 8 битов, то и информации он может хранить в 8 раз больше, но это не так. Дело в том, что в байте важно не только, включен бит или выключен, но и то в каком месте стоят включенные биты.

Двоичная система счисления. С помощью одного байта можно выразить 256 различных единиц информации (от 0 до 255). Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. 0000 0000 = 0 0000 0001 = 1 0000 0010 = 2 0000 0011 = 3 0000 0100 = 4 0000 0101 = 5 ----------------1111 1100 =252 1111 1101 = 253 1111 1110 = 254 1111 1111 = 255

Восьмеричная система счисления в свернутом и развернутом виде А 8 = 673,2 – восьмеричное число в свернутой форме записи В развернутой форме записи: 673,2 8 = 6∙8 2 + 7∙ 8 1 + 3∙ 8 0 + 2∙ 8 -1

шестнадцатеричная система счисления в свернутом и развернутом виде А 16 = 8А,F – шестнадцатеричное число в свернутой форме записи В развернутой форме записи: 8А,F 16 = 8∙16 1 + A∙ 16 0 + F∙ 16 -1 = Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения (А = 10, F = 15), то запись примет вид: 8А,F 16 =8∙16 1 + 10∙ 16 0 + 15∙ 16 -1

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную. Для этого необходимо записать число в развернутом виде и произвести подсчеты. 10,11 2 = 1∙2 1 + 0∙ 2 0 + 1∙ 2 -1 + 1∙ 2 -2 =1 ∙ 2 + 0 ∙1+ 1 ∙1/2 + 1 ∙1/4 = 2,75 10 67,5 8 = 6∙8 1 + 7∙ 8 0 + 5∙ 8 -1 = 6 ∙8 + 7 ∙ 1+ 5 ∙1/8 = 55,625 10 А 16 = 19F 16 =1∙16 2 + 9∙ 16 1 + F∙ 16 0 = 1∙256 + 9 ∙16 + 15 ∙1 = 415 10 Официальное рождение двоичной арифметики связанно с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.


Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления? Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Для программистов удобнее работать с более компактной записью. Такими системами и являются 8-аяи 16-ая Пример перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

010

000

000

2 0 0 Восьмеричная – триады

001- двоичная 0100 1

0000

0001

4 0 1 Шестнадцатеричная - тетрады

Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5.

Что такое система счисления? Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных, в чем их преимущества? Привести примеры позиционных и непозиционных систем счисления. Что такое основание системы счисления? Какая система счисления появилась самой первой?

Перевод целых чисел из любой системы счисления в 2, 8, 16-ую системы счисления

Возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую


Перевод чисел из 10-ой системы счисления в двоичную Целая часть десятичного числа

Делитель (основание системы)

Остаток

46 23 11 5 2 1

2 2 2 2 2 2

0 1 1 1 0 1

4610 → 1011102 Перевод чисел из 10-ой системы счисления в восьмеричную Целая часть десятичного числа

Делитель (основание системы)

Остаток

46 5

8 8

6 5

4610 → 568 Перевод чисел из 10-ой системы счисления в шестнадцатеричную Целая часть десятичного числа

Делитель (основание системы)

Остаток

46 5

16 16

14 2

4610 → 2Е16


Перевод чисел из 2-ой системы счисления в восьмеричную Направо и налево от точки откладываем триады - группы по три цифры, после чего записываем их в соответствующем 8-ном виде. Неполные триады дополняются нулями. Пример:

1011102 = 101 1102 = 568 5

6

1011102 → 568 Перевод чисел из 2-ой системы счисления в десятичную 54 3210

1011102 =1*25 +0*24 +1*23 +1*22 +1*21 +0*20 = 32 + 8 + 4 + 2 = 4610 1011102 → 4610 Перевод чисел из 8-ой системы счисления в двоичную

568 = 101 1102 = 1011102 5

6

568 → 1011102 Перевод чисел из 2-ой системы счисления в шестнадцатеричную Направо и налево от точки откладываем тетрады - группы по четыре цифры, после чего записываем их в соответствующем 16-ном виде. Неполные тетрады дополняются нулями. Пример:

1011102 = 0010 11102 = 2Е16 2

Е

1011102 → 2Е16 Перевод чисел из 8-ой системы счисления в десятичную 1 0

5 68 = 5*81 + 6*80 = 40 + 6 = 4610 568 → 4610 Перевод чисел из 8-ой системы счисления в шестнадцатеричную

568 = 101 1102 = 0010 11102 = 2Е16 5

6

2

Е

568→ 2Е16 Перевод чисел из 16-ой системы счисления в двоичную

2Е16 = 0010 11102 = 1011102 2

Е

2Е16 → 1011102 Перевод чисел из 8-ой системы счисления в двоичную

568 = 101 1102 = 1011102 5

6

568 → 1011102 Перевод чисел из 16-ой системы счисления в десятичную


1 0

2 Е16 = 2*161 + Е*160 = 32 + 14 = 4610 2Е16→ 4610 Перевод дробных чисел из 10-ой системы в двоичную Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму: Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления; Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления; В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления; Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага. Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число. Перевод целой части дает по описанному алгоритму;

Целая часть десятичного числа

Делитель (основание системы)

Остаток

206 103 51 25 12 6 3 1

2 2 2 2 2 2 2 2

0 1 1 1 0 0 1 1

20610=110011102 Перевод дробной части осуществляется по следующему алгоритму: умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа: Пример: Дробная часть десятичного числа Множитель (основание СС) Целая часть произведения 0,116 2 0 0,232 2 0 0,464 2 0 0,928 2 1 0,856 2 1 0,612 2 1 0,224 2 0 дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа

0,11610=0001112 Получим: 206,11610= 11001110,0001112 Арифметические действия в двоичной системе счисления Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия. При этом используются следующие таблицы: Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия.


При этом используются следующие таблицы: Сложение Вычитание 0+0=0 0-0=0 1+0=1 1-0=1 0+1=1 1-1=0 1+1=10 10-1=1 Примеры: 1101 1010 + 1001 111 10110 0011

111 110 111 + 111 101010 *

101 -110111 101 1011 - 111 101 - 101 101 0

Умножение 0∗0=0 0∗1=0 1∗0=0 1∗1=1

11-03-02 Системы счисления  
Advertisement