Page 1

Matemáticas.

8. Posiciones relativas de rectas y planos.

8. POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS. 1. Averigua la posición relativa de las rectas: r≡

x −1 y + 2 z − 3 = = 3 2 4

s≡

Sol:

x+2 y+3 z = = −1 2 4

r y s se cruzan.

2. Halla los valores de m y n para que las rectas siguientes sean paralelas: ⎧x = 5 + 4t ⎪ r ≡ ⎨y = 3 + t ⎪z = − t ⎩ s≡ Sol:

x y −1 z + 3 = = m 3 n

m = 12, n = –3.

3. Dadas la recta ⎧x = 2 + t ⎪ r ≡ ⎨y = − t ⎪z = t ⎩

y la recta s que está determinada por los puntos A(2,1,0) y B(1,0,–1), estudia su posición relativa y determina un punto C de r tal que CA y CB sean perpendiculares. Sol: r y s se cortan. C(1,1,–1).

4. Si sabemos que un cierto punto del espacio pertenece a dos planos, ¿cuáles son las posibles posiciones relativas de dichos planos?

5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1,–1,2) y es perpendicular al plano determinado por los puntos A(1,0,1), B(3,2,1) y C(2,–1,0). Exprésala como intersección de dos planos.

6. Consideremos la recta ⎧5 x − y + z = 0 r≡⎨ ⎩x − y − z + 4 = 0 y el plano α ≡ ax − 6 y + 4z = 5 . a) Calcula el valor de a para el que r es paralela a α. b) Calcula el valor de a para el que r es perpendicular a α.

1


Matemáticas.

Sol:

8. Posiciones relativas de rectas y planos.

a) a = 26. b) a = –2.

7. Estudia la posición relativa de la recta ⎧kx + y + z = k 2 r≡⎨ ⎩x + y + kz = k

y el plano π ≡ x + y + 2kz = 2 , según los diferentes valores del parámetro real k. Sol: Si k≠ 0 y k ≠ 1, r corta a π. Si k = 0, r y π son paralelos. Si k = 1, las dos ecuaciones de la recta se reducen a una y no tiene sentido el enunciado.

8. Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes coordenados y el plano α ≡ 6 x − 5 y + 3z − 3 = 0 Sol:

V=

1 20

9. Halla a y b para que las rectas siguientes sean paralelas: ⎧2x + ay − z = 1 r≡⎨ ⎩2x + 3 y + bz = 3 s ≡ 4 x = 2y + 6 = z Sol:

a = 1, b = –2.

10. Determina a para que las rectas ⎧ x − 2z = 1 ⎧x + y + z = 1 r≡⎨ s≡⎨ ⎩y − z = 2 ⎩ x − 2 y + 2z = a estén situadas en un mismo plano y halla la ecuación de dicho plano. Sol: a = –4. π ≡ x − 5 y + 3z + 9 = 0 .

11. Halla la ecuación de la recta r que define el haz de planos x + (m − 1) ⋅ y + m ⋅ z + 2 + m = 0

Calcula la ecuación de una recta s que pasa por el origen de coordenadas, es perpendicular a r y es paralela al plano x = 2. Sol:

⎧x = λ ⎪ r ≡ ⎨y = 2 + λ ⎪z = −3 − λ ⎩

12. Resuelve el sistema

⎧x = 0 ⎪ s ≡ ⎨y = μ ⎪z = μ ⎩

2


Matemáticas.

8. Posiciones relativas de rectas y planos.

⎧3 x − 4 y − z = 0 ⎪ ⎨2x + y + z = 0 ⎪7 x + 6 y + z = 0 ⎩

e interpreta geométricamente el resultado obtenido. Sol: Cada ecuación representa un plano. Los tres planos se cortan en el punto (0,0,0).

13. Dados los planos α ≡ 2x − ky − 4z = 2 β ≡ kx − y + z = −3 γ ≡ x+y+z =1 a) ¿Para qué valores de k determinan α y β una recta rk? b) Estudia la posición de cada una de las rectas rk respecto de γ. Sol: a) Para cualquier valor de k. b) Si k ≠0 y k ≠ –3, rk corta a γ. Si k = 0, rk es paralela a γ. Si k = –3, rk está contenida en γ.

14. Determina a y b para que los siguientes planos se corten en una recta: ⎧α ≡ 2x − y − 2z = 1 ⎪ ⎨β ≡ x − 2y − z = 2 ⎪γ ≡ ax − y + z = b ⎩

Sol:

a = –1, b = 1.

15. Determina las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A (1,–1,0) y corta a las rectas

r ≡ x = −y + 2 =

Sol:

z 2

s≡

x−2 y = = z − 1. 3 2

⎧x = 1 + λ ⎪ ⎨y = −1 + 4λ ⎪z = 7λ ⎩

16. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto A(1,1,1), es

paralela al plano π ≡ x − 2y − z = 0 y está contenida en al mismo plano que la recta s ≡ x −1=

Sol:

⎧x = λ ⎪ r ≡ ⎨y = 1 ⎪z = λ ⎩

y z = 2 3

3

Exercicios de posiciones relativas  

Rectas e planos

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you