Page 1

MOTTO: „Matematicianul este îmblânzitorul ce a domesticit infinitul.” LUCIAN BLAGA

MATE. CLUB

Burlică Denisa, cl. a VIII-a A

MATE.CLUB

1


A fi sau a nu fi... zero! Profesor, Gabriela Sascău „În istoria culturii, descoperirea lui zero va rămâne pentru totdeauna una dintre cele mai mari realizări ale rasei umane.” (Tobias Danzig) S-a spus că niciun alt număr nu a reușit să producă atâtea catastrofe precum zero. În mod ironic, o cifră pe care obișnuim să o privim câteodată cu malițiozitate, și-a râs de marile civilizații ale lumii, știința l-a renegat, după care a încercat să-l îmbrăţişeze, multă vreme fără să cunoască prin ce metodă. În zilele prezentului, aventura cifrei zero pare că a ajuns la final însă până aici a fost o cale lungă şi sinuoasă, pe care va invităm să o descoperiţi. Povestea lui zero începe din timpuri străvechi. Rădăcinile sale au apărut înainte ca oamenii să înveţe să scrie şi să citească. La origine, numerele au fost inventate din motive foarte practice: nevoia de a număra oile, măsurarea şi delimitarea pământului deţinut de cineva, sau socotirea trecerii timpului. Dar pentru aşa ceva nu era nevoie de zero (nimeni nu vrea să ţină evidenţa celor zero oi pe care le are), iar oamenii s-au descurcat foarte bine şi fără el. Asta până când a apărut necesitatea de a scrie numere ceva mai mari. Atunci, cam prin anul 300 î.Hr., babilonienii au inventat un simbol care semnifica un loc gol pe abac (instrument alcătuit dintr-un cadru cu vergele pe care se pot deplasa bile colorate şi care este folosit la efectuarea unor calcule aritmetice), introducând astfel folosirea claselor şi ordinelor în numeraţie. Nu contează că babilonienii aveau un sistem de numeraţie în baza 60, foloseau cuie în loc de cifre, iar zero era reprezentat prin două cuie oblice... Începutul a fost făcut!

Valoarea unui număr este dată de locul pe care îl ocupă în şirul numerelor naturale. Dar 0 nu a avut iniţial niciun loc în acest şir, pentru că nu era decât un simbol care semnifica nimicul. Tocmai de aceea, grecii şi romanii l-au respins din motive filozofice, căci nu puteau concepe existenţa neantului. Chiar şi din calendarele lor lipsea anul 0: anul 1 î.Hr. era urmat de anul 1 d.Hr. Doar indienii nu s-au temut de infinit sau de vid, şi, mai mult decât atât, au îmbrăţişat aceste concepte. Matematicienii indieni au fost cei care au transformat simbolul zero într-un număr cu puteri depline. Nelimitate, chiar... Un text indian care datează din anul 476 î.Hr. evidenţiază influenţa pe care grecii, egiptenii şi babilonienii au avut-o asupra matematicii indiene. Transformarea a început undeva în secolul V î.Hr., când indienii au trecut de la un sistem de numeraţie asemănător cu cel grecesc la unul de tip babilonian, care prezenta mai multe avantaje. Diferenţa consta în faptul că cel indian era în baza 10, spre deosebire de cel babilonian, în baza 60. Mai departe, cifrele pe care noi le folosim în prezent sunt derivate din cele indiene, deci mai corect ar fi să le numim cifre indiene, în loc de arabe. O

MATE.CLUB

2


referire care ajuta la înţelegerea evoluţiei cifrelor hinduse este făcută de un episcop sirian, care, în anul 662, descrie modul în care indienii îşi făceau calculele, utilizând 9 cifre, în loc de 10. Se bănuieşte că, în acel moment, zero încă nu-şi găsise locul în şirul numeric, deşi în secolul IX apăruse deja un simbol pentru zero. Chiar dacă nu au fost fanatici ai geometriei plane, pe care grecii au adorat-o, matematicienii indieni puteau să se folosească de noi tertipuri pentru a efectua operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire, fără ajutorul unui abac. Aşa au apărut matematicienii numiţi “decimalişti”, care concurau direct cu “abaciştii”, cei care se foloseau de abac pentru a socoti. Pentru greci, care evaluau ecuaţiile din punct de vedere geometric, operaţia "2 – 3 = –1", era un număr negativ, altfel spus, un număr fără noimă. Însă indienii au îmbrăţişat şi numerele negative. În gândirea acestora, dacă "2 – 3 = –1", unde –1 este un număr negativ, dar totuşi un număr, atunci dacă "2 – 2 = 0", zero este tot un număr. Acum, pentru că, în sfârşit, îi fusese recunoscută calitatea de număr, trebuia aşezat undeva în şirul numeric. Logica a fost următoarea: de vreme ce "2 – 2 = 0", "2 – 1 = 1" şi "2 – 3 = –1", zero nu putea fi aşezat în altă parte decât între 1 şi –1. Un şir numeric în absenţa lui zero nu mai putea exista. Deşi am putea răsufla uşuraţi acum, văzând că năbădăiosul zero şi-a găsit în sfârşit locul, lucrurile nu s-au aşezat imediat în matca lor, deoarece acceptarea lui zero ca număr avea să aducă mai multe necazuri matematicienilor. Acest număr se comporta ca niciun altul, sfidând legile operaţiilor matematice. De exemplu, dacă adunăm un număr cu el însuşi, acesta se modifică (3 + 3 = 6). Dar zero plus zero dă tot zero. La înmulţire şi împărţire, lucrurile stau şi mai rău. Operaţia de înmulţire înseamnă multiplicare, deci rezultatul ei ar trebui să fie mai mare sau egal cu numerele înmulţite (2 × 4 = 8). Dar acest lucru nu se întâmplă la înmulţirea unui număr cu 0, rezultatul fiind tot 0. Însă fenomenul cel mai fascinant are loc la împărţirea cu 0. Mult timp, matematicienii au încercat din răsputeri să dea sens acestei operaţii. Ei au gândit că, din moment ce împărţirea este operaţia inversă înmulţirii, pot face următorul raţionament: am fost de acord că orice număr înmulţit cu 0 dă 0. Deci 2 × 0 = 0. Acum, dacă împărţim egalitatea prin 0, trebuie să obţinem (2 × 0) : 0 = 0 : 0. Dar cum în partea stângă am împărţit la acelaşi număr cu care înmulţisem pe 2 iniţial, rezultatul ar trebui să fie 2. Deci 2 = 0 : 0. Dar dacă repetăm procedeul pornind de la 5 × 0 = 0, obţinem 5 = 0 : 0. Vasăzică, 2 = 5... ceea ce este evident incorect, chiar şi pentru un simplu numărător de oi. Prin urmare, împărţirea la 0 nu prea are sens. Pentru a evidenţia acest lucru, unii matematicieni cu simţul umorului au pornit de la ipoteza că totuşi are sens să împărţim la 0 şi au ajuns la concluzii absurde, dar foarte amuzante, cum ar fi:  1 + 1 = 42,  J. Edgar Hoover a fost extraterestru sau, mai grav,  Winston Churchill a fost un morcov! Oricât de distractive ar fi aceste concluzii, trebuie să admitem că împărţirea la 0 nu este posibilă, acordându-i lui 0 respectul cuvenit pentru puterile sale neobişnuite. ―De-a lungul întregii sale istorii, în ciuda respingerii și exilului, zero i-a înfrânt întotdeauna pe cei care i s-au opus. Omenirea nu a reușit niciodată să îl oblige pe zero să se integreze în filozofiile ei. În schimb, zero a modelat viziunea omenirii asupra universului – și asupra lui Dumnezeu.‖ (Charles Seife) Bibliografie: Charles Seife – Zero: biografia unei idei periculoase

MATE.CLUB

3


Criterii de divizibilitate Profesor, Gabriela Sascău n

n

1. Criteriul de divizibilitate cu 2 şi 5 , n* Un număr m = a k a k 1...a1a 0 se divide cu 2n respectiv cu 5n, k  n, dacă şi numai dacă numărul format din ultimele n cifre ale lui m, este divizibil cu 2n respectiv cu 5n. Demonstraţie Numărul m se scrie în baza 10 sub forma: m = ak  10k + ak-1  10k-1 + ….+ an  10n + a n 1a n 2 ...a1a 0 . Deoarece 2n / 10k (5n / 10k) pentru orice k  n, rezultă că 2n / m (5n / m) dacă şi numai dacă 2n / a n 1a n 2 ...a1a 0 (5n / a n 1a n 2 ...a1a 0 ). 2. Criteriul de divizibilitate cu 7, 11, 13 Un număr natural se divide cu 7 ( sau 11, sau 13) dacă şi numai dacă diferenţa dintre cele două numere naturale obţinute prin „tăierea” numărului dat în două astfel încât la dreapta să rămână un număr de 3 cifre, este divizibilă cu 7 (sau 11, sau 13). Demonstraţie Fie m = a n a n 1...a 2a1a 0 , n , n  2 şi p = a n a n 1...a 3 , q = a 2a1a 0 . Atunci m = 103  p + q = (71113 – 1)p + q = 71113p + q – p. Rezultă că 7 / m dacă şi numai dacă 7/ (q – p). Exemplu Să arătăm că numărul 83564 se divide cu 13. 564 – 83 = 481; 481  13. 3. Criteriul de divizibilitate cu 11 Un număr natural se divide cu 11 dacă şi numai dacă diferenţa dintre suma cifrelor de rang par şi suma cifrelor de rang impar din numărul dat, se divide cu 11. Demonstraţie Fie m = a n a n 1...a 2a1a 0 = an  10n + an-1  10n-1 + ….+ a1  10 + a0 şi p = (a0 + a2 + ... ) – (a1 + a3 …). Dacă r = 2k, atunci 10r = 102k = 9  111…1 + 1 = 9  M11 + 1. 2k cifre

Dacă r = 2k + 1, atunci 10r = 102k+1 = 100…01 – 1 = 9090…9091  11 – 1 = M11 – 1. 2k+2 cifre

2k cifre

Rezultă că m = p + M11 şi deci 11 / m dacă şi numai dacă 11 / p. Exemplu Fie numărul 72424. p = 4 + 4 + 7 – (2 + 2) = 11 4. Criteriul de divizibilitate cu 3, 7 şi 19 Un număr natural se divide cu 3 (sau 7, sau 19) dacă şi numai dacă suma dintre numărul format din ultimele două cifre mărit de 4 ori şi numărul format din celelalte cifre, este divizibilă cu 3 (sau 7, sau 19). Obs. Dacă este necesar se repetă procedeul până când se obţine un rezultat a cărui divizibilitate cu 3 sau 7 sau 19 este evidentă.

MATE.CLUB

4


Demonstraţie Fie m = a n a n 1...a 2a1a 0 , n N, n  2 şi p = a n a n 1...a 2 , q = a1a 0 . Atunci 4m = 4102  p + 4q = (3719 + 1)p + 4q = 3719p + p + 4q. Rezultă că 19 / m dacă şi numai dacă 19/ (p + 4q). Exemplu Fie numărul 1110987. 11109 + 4  87 = 11457; 114 + 4  57 = 342; 3 + 4  42 = 171 iar 171  19. 5. Criteriul de divizibilitate cu 19 Un număr natural se divide cu 19 dacă şi numai dacă suma dintre dublul cifrei unităţilor şi numărul format din celelalte cifre, este divizibilă cu 19. Demonstraţie Fie m = a n a n 1...a 2a1a 0 , n , n  1 şi p = a n a n 1...a1 . 21m = 210p + 21a0 = (11  19 + 1)p + (19 + 2) a0 = M19 + p + 2a0. Cum (21, 19) = 1, avem că 19 / m dacă şi numai dacă 19 / p + 2a0. Exemplu Fie numărul 1110987 111098 + 2  7 = 111112 11111 + 2  2 = 11115 1111 + 2  5 = 1121 112 + 2  1 = 114 11 + 2  4 = 19 iar 19  19 6. Criteriul de divizibilitate cu 27 şi 37 Un număr natural se divide cu 27, respectiv 37 dacă şi numai dacă suma numerelor naturale obţinute prin „tăierea” numărului în grupe de câte 3 cifre, începând de la dreapta, se divide cu 27, respectiv cu 37. Demonstraţie Fie m = a n a n 1...a 2a1a 0 . Atunci m = a 2a1a 0 + a 5a 4a 3  103 + …..+ a n a n 1a n 2  10n-2. Cum 103 = 27  37 + 1, avem m = M37 + a 2a1a 0 + a 5a 4a 3 + …+ a n a n 1a n 2 . Deci 37 / m dacă şi numai dacă 37 / a 2a1a 0 + a 5a 4a 3 + …+ a n a n 1a n 2 . Exemplu Fie numărul 5392158. 158 + 392 + 5 = 555 iar 37 / 555 7. Criteriul general de divizibilitate Un număr natural m = a n a n 1...a 2a1a 0 se divide cu 10p  q, n, p, q  *, dacă şi numai dacă înlăturând ultima cifră, înmulţind numărul obţinut cu q şi scăzând (adunând) la noul număr de p ori cifra suprimată, se obţine un număr divizibil cu 10p  q. Demonstraţie Efectuând operaţiile indicate se obţine numărul m1 = (10n-1 an + 10n-2  an-1 + … + a1)  q  p a0 . Atunci 10m1 - qm =  (10p  q) a0. Rezultă că 10p  q / m dacă şi numai dacă 10p  q / m1. Exemplu Să se verifice dacă numărul 232716 se divide cu 43. 43 = 10  4 + 3, deci p = 4 şi q = 3 m1 = 3  23271 – 4  6 = 69789 m2 = 3  6978 – 4  9 = 20898 m3 = 3  2089 – 4  8 = 6235 m4 = 3  623 – 4  5 = 1849 m5 = 3  184 – 4  9 = 516 m6 = 3  51 – 4  6 = 129; 129  43.

MATE.CLUB

5


APLICAŢII 1. Arătaţi că numărul abc este divizibil prin 8 dacă şi numai dacă 4a + 2b + c este divizibil cu 8. Generalizare: un număr natural este divizibil cu 8 dacă şi numai dacă suma dintre cifra unităţilor, dublul cifrei zecilor şi cifra sutelor mărită de 4 ori, este divizibilă cu 8. Soluţie: abc = 100a + 10b + c = 8(12a + b) + (4a + 2b + c). Deci 8/ abc dacă şi numai dacă 8/ 4a + 2b + c. a n a n 1...a 2a1a 0 = an  10n + an-1  10n-1 + ….+ 100 a2 + 10 a1 + a0 = an  10n + an-1  10n-1 + ….+ a3  103 + 96 a2 + 8 a1 + (a0 + 2a1 + 4a2). Deoarece 8 / an  10n + an-1  10n-1 + ….+ a3  103 + 96 a2 + 8 a1, rezultă că 8 / a n a n 1...a 2a1a 0 dacă şi numai dacă 8 / a0 + 2a1 + 4a2. 2. Arătaţi că 37 / abcxzy dacă şi numai dacă 37 / bcxzya . Soluţie: Fie A = abcxzy = a  105 + b  104 + c 103 + x 102 + y 10 + z şi B = bcxzya = b  105 + c 104 + x 103 + y 102 + z 10 + a. Observăm că B = 10A – 999999a. Folosind criteriul de divizibilitate cu 37 obţinem că 999999  37, iar (37, 10) = 1, deci 37 / A dacă şi numai dacă 37 / B. 3. Arătaţi că numărul abb se divide cu 7 dacă suma cifrelor numărului este 7. Soluţie: Numărul abb 7 dacă şi numai dacă 4 bb + a 7. Cum 4 bb +a = 44b +a = 44b +7–2b = 7(6b+1) 7. 4. Să se determine numerele naturale formate din patru cifre impare diferite, care sunt divizibile cu 21. Soluţie: Fie n = abcd , a, b, c, d 1, 3, 5, 7, 9, a  b  c  d. Cum 3 / n implică 3 / (a + b + c + d)  (a,b,c,d)  (1, 3, 5, 9), (3, 5, 7, 9), …... Avem astfel 4! + 4! = 48 de numere n cu proprietatea 3 / n. Dintre acestea, folosind criteriul de divizibilitate cu 7, găsim pe cele divizibile cu 7. De exemplu 5397 (397 – 5 = 392  7). 5. Să se arate că numărul n = a 000...0 bb...b 000...0a , a  0, k, p , nu poate fi prim. k+2 cifre 2p cifre k cifre

Soluţie: Numărul n are 2(k + p + 1) cifre, iar diferenţa dintre suma cifrelor de rang par şi suma cifrelor de rang impar este 0, deci 11 / n şi n  11. 6. Fie numărul A = abb....bba de n + 2 cifre şi numărul B = abbabb....abb de 3n cifre, n*. Arătaţi că, dacă 2 / n, atunci 11 / A şi 11 / B. Soluţie: Dacă n = 2k avem A = a(102k+1 +1) + b 111...10 . Cum 11/(102k+1 +1) şi 11/ 111...10 rezultă că 11/A. 2k+1 cifre

2k+1 cifre

Avem B = abb ( 106k – 3 +106k – 6+ …+103+1). Cum 11/( 106k – 3 +106k – 6+ …+103+1) rezultă că 11 / B. 7. Fie numărul n = 1234567891011.…..9899. Stabiliţi dacă n se divide cu 11. Soluţie: Numărul n are 91 + 902 = 189 cifre. Suma cifrelor de rang impar este S1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 9(0 + 1 + 2 +….+ 9) = 430 iar suma cifrelor de rang par este S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 101 + 10  2 + …. + 10 9 = 470. Cum S2 – S1 = 40, numărul n nu se divide cu 11.

MATE.CLUB

6


Iluzii optice Profesor, Silvia Popescu Iluzia este percepția falsă a unui obiect, care, spre deosebire de halucinație, are loc în prezența obiectului. Totuși, percepțiile eronate sunt considerate iluzii numai dacă sunt valabile pentru un numar foarte mare de indivizi. Iluziile comune tuturor indivizilor cu o stare psihofiziologică normala sunt determinate de însăși legile formării percepțiilor. În cele ce urmează, ne vom apleca asupra iluziilor optice. 1. Ce număr vezi? Cei care văd bine culorile, pot observa 3 culori de bază: roșu, verde și albastru. În acest fel pot vedea numarul 74 . Cei care suferă de daltonism (confundă roșul cu verde), văd în acest caz numărul 21.

2. Poți să-ți găsești pata oarbă, dacă ridici în fața ta, cu brațele întinse, această pagină. Închide, sau acoperă ochiul stâng, iar cu ochiul drept uită-te la cercul verde din stânga. Apropie foaia încet spre tine, până când cercul roșu dispare. În acel moment ai ajuns în acel loc al retinei, de unde pornește nervul optic – pata oarbă. 3. Pentru a obține lumina albă, e suficient să amestecăm 3 culori: roșu, verde și albastru . Acestea sunt culorile de bază. Culoarea albă este o combinație de culori. Culorile galben, mov și purpuriu se obțin din combinația a câte 2 culori de bazăacestea sunt culori secundare.

ILUZII DE LUNGIME Cea mai faimoasă și studiată iluzie de lungime este, probabil, iluzia Muller-Lyer, creată de psihiatrul german Franz Muller-Lyer în 1889. Care dintre segmentele orizontale AB si CD pare mai lung ? Deși sistemul vizual indică segmentul AB ca fiind mai lung, în realitate, segmentele sunt egale ca lungime dacă le masurăm. La realizarea iluziei contribuie liniile oblice. O explicație a iluziei Muller-Lyer este că trecerea de la percepția tridimensională la cea bidimensională se face incorect. Din cauza liniilor oblice îndreptate către exterior, aparatul optic uman interpretează segmentul AB ca fiind mai depărtat de ochi fața de segmentul CD, care, din cauza liniilor spre interior, pare mai apropiat. Ochiul uman nu poate aprecia dimensiunea unui obiect făra a ține cont de distanță; de aceea, deși două obiecte au ca rezultat proiecții egale pe retină, tindem să considerăm obiectul care pare mai indepărtat mai mare.

MATE.CLUB

7


O altă iluzie cunoscută este iluzia Ponzo, denumită după psihologul italian Mario Ponzo. Ca și în iluzia Muller-Lyer, cele două linii orizontale apar inegale în lungime, deși în realitate sunt egale. Explicația acestei iluzii este legată de percepția adâncimii. Pentru ochiul uman, liniile oblice creează senzația de adâncime, ceea ce duce la aprecieri diferitema distanțelor până la cele două segmente (segmentul de sus pare mai îndepărtat). Cu toate acestea, imaginile formate pe retină de cele două segmente sunt egale. O altă iluzie interesantă de lungime este iluzia orizontal-vertical, ce constă în faptul că oamenii percep o linie verticală mai lungă decât una orizontală de aceeași lungime. Un exemplu elocvent este Gateway Arch din St. Louis, Missouri. Înălțimea ei pare mai mare decât lungimea, deși ambele măsoară 192 m. ILUZII DE FORMĂ În figura alăturată este reprezentată iluzia Zollner: un pătrat apare a fi trapezoidal din cauza fundalului pe care este suprapus. Din nou, intervine senzația de adâncime, creată de liniile oblicelatura de sus a pătratului pare mai îndepărtată, și deci mai mare.

Un exemplu la scara mare de iluzie de lungime a fost construit de greci acum 2500 de ani. Este vorba despre Parthenon, un templu grec faimos care pare a fi construit cu unghiuri perfect drepte. Dar aceasta este o iluzie, întrucât Parthenonul nu prezintă nici un unghi perfect drept. Pentru a compensa efectele negative ale perspectivei liniare care ar fi dus la imaginea unui templu strâmb și încovoiat, arhitecții Parthenonului au construit coloanele ușor către interior. Pe lângă aceasta, ei au construit baza și alte elemente orizontale, mai înalte în centru față de margini, iar coloanele au fost "umflate" puțin în jurul mijlocului. ILUZII DE MĂRIME În cadrul percepției false a distanței, intervin nu numai greșeli de interpretare a lungimii și a formei, dar și a mărimii în spațiu. Pilonii din prima imagine sunt egali, ca și cercurile centrale din cea de-a doua.

Fotografia alăturată, denumită "camera Ames", este o fotografie neretușată. Fata din dreapta fotografiei pare uriașă în comparație cu femeia din stânga, deși ambele au aceeași înalțime în realitate. Iluzia rezultă din faptul că cele două par a fi la aceeași distanță de aparatul de fotografiat, când, de fapt, persoana "mai mică" este mult mai îndepărtată decât persoana "mai mare".

MATE.CLUB

8


Camera în sine este astfel construită încât induce ochiul în eroare in privința distanțelor. Colțul din stânga este mult mai îndepărtat de ochi decât colțul din dreapta. De asemenea, jumătatea din partea dreaptă a camerei este ridicată astfel încât picioarele ambelor femei să apară la aceeași înălțime în câmpul vizual. Iluzia de mărime survine deoarece, în mod normal, dacă două persoane se află la distanțe diferite de ochi, picioarele persoanei mai depărtate apar mai sus în câmpul vizual. Această cameră neobișnuită a fost creată de oftalmologul american Adelbert Ames, prin anii 1940. ILUZII DE CONTUR În ilustrațiile alăturate, apare o așa numită iluzie de contur. Ochiul uman percepe, în figura din stânga, un triunghi alb determinat de cele trei cerculețe și de triunghiul întrerupt. Dar, dacă figura este privită cu atenție, se observă că fiecare latură a triunghiului alb este spațiu gol. Similar, în figura din dreapta, este percepută o linie ondulată, deși aceasta nu există în realitate. Explicația acestor iluzii ar fi că triunghiul alb și linia ondulată reprezintă cea mai simplă interpretare a figurilor. Conform psihologiei întemeiate de Gestalt, ochiul uman tinde să vadă un întreg organizat, mai degrabă decat mai multe părți individuale. Altă explicație vine din cercetări asupra vederii și a creierului. Descoperirile recente indică faptul că un creier de maimuță conține celule care "umplu" golurile din conturul unui obiect, dând naștere unui contur iluzoriu. Aceste celule permit animalelor să obțină imagini complete din informații incomplete.

Iluzii întemeiate pe relația obiect-fundal. FIGURI IMPOSIBILE O altă formă de iluzie optică survine la perceperea unui obiect care, deși pare rațional, este imposibil de construit. Cele două figuri de mai jos nu pot exista în realitate. Explicația acestei iluzii se bazează pe faptul că ochiul uman nu percepe un obiect în întregime, ci numai pe bucăți. De aceea, dacă priviți un capăt al tridentului, obiectul în sine pare rațional, ceea ce este valabil și pentru celălalt capăt. Imposibilitatea construirii obiectului survine numai atunci când încercați să uniți cele două capete. FIGURI AMBIGUE (cu dublă interpretare) Unele desene și forme pot fi percepute în mai multe moduri. Ele se numesc figuri ambigue și nu sunt iluzii propriu-zise deoarece nu se produce nici o percepție falsă. Figurile ambigue lasă loc la două sau mai multe interpretări, toate corecte. Explicația lor constă în dificultatea observării simultane a celor doua imagini, deoarece sistemul vizual uman preferă să ia fiecare interpretare în parte.

MATE.CLUB

9


Principiul lui Dirichlet (principiul cutiei) Profesor, Ana Marcela Popa Dirichlet a fost primul matematician care a observat că unele demonstraţii date pentru cazuri particulare ale teoremei lui Fermat, de către mari matematicieni, erau greşite deoarece se bazau pe ipoteza că în inele de extensiune a lui Z, descompunerea unui număr ca produs de factori ireductibili este unică, ipoteză care este falsă pentru unele dintre aceste inele. Această observaţie a avut implicaţii profunde în dezvoltarea teoriei numerelor. Pornind de la faptul că la multe concursuri şi olimpiade sunt propuse spre rezolvare probleme ale căror soluţii se pot obţine mai uşor dacă se foloseşte principiul cutiei lui Dirichlet, am considerat că este interesant să prezint câteva probleme (de divizibilitate, de teoria mulţimilor şi de geometrie) în care se aplică principiul lui Dirichlet. Lui îi datorăm „Principiul lui Dirichlet” sau principiul cutiei sau al sertarelor care afirmă: “În n cutii se plasează m obiecte. Dacă numărul cutiilor este mai mic decât numărul obiectelor ( n m ), atunci există o cutie în care se găsesc cel puţin două obiecte.“ Demonstraţie: Vom folosi metoda reducerii la absurd. Presupunem că au fost plasate în cutii toate obiectele şi în fiecare cutie se găseste cel mult un obiect. Atunci numărul total de obiecte plasate în cele n cutii este cel mult n, ceea ce contrazice ipoteza care spune că numărul total de obiecte este m n . În concluzie, există o cutie în care se găsesc cel puţin două obiecte. O altă denumire a acestui principiu este: principiul iepurilor şi cuştilor. Principiul poate fi aplicat şi într-o formă mai generală: În n cutii se plasează m obiecte. Dacă m = nk + r, cu r  0 atunci există o cutie în care se găsesc cel puţin k + 1 obiecte. Dificultatea aplicării acestui principiu constă în alegerea „cutiilor” şi a „obiectelor”, lucru care fi evidenţiat prin următoarele exemple. Un alt aspect care poate fi remarcat este faptul că, deşi nu reprezintă o metodă vitală în rezolvarea problemelor având posibilitatea „ocolirii” ei prin metoda reducerii la absurd, aplicarea acestui principiu simplifică şi scurtează de cele mai multe ori soluţia, imprimându-i claritate şi concizie. Probleme rezolvate Problema 1. Demonstraţi că din oricare 4 numere naturale diferite putem alege două astfel încât suma cifrelor diferenţei lor să fie multiplu de 3. Soluţie. Restul împărţirii unui număr natural la 3 este unul din numerele 0, 1 sau 2 şi cum avem 4 numere, atunci conform principiului cutiei lui Dirichlet există două numere naturale, care dau acelaşi rest la împărţirea cu 3. Diferenţa acestor două numere va fi divizibilă cu 3, deci suma cifrelor diferenţei va fi multiplu de 3, conform criteriului de divizibilitate cu 3. Problema 2. Într-o urnă sunt 12 bile albe, 26 bile roşii şi 36 bile verzi. a) Calculaţi probabilitatea ca, extrăgând la întâmplare o bilă din urnă, aceasta să fie roşie. b) Determinaţi cel mai mic număr de bile care trebuie extrase, fără a vedea culoarea acestora, pentru a fi siguri că am scos cel puţin 10 bile de aceeaşi culoare. Soluţie. a) Evident cu ajutorul formulei. b) Cea mai nefavorabilă situaţie este atunci când extragem 9 bile albe, 9 bile roşii şi 9 bile verzi, în total 27 bile extrase, atunci a 28-a bilă va fi răspunsul cerut. Problema 3. Să se demonstreze că pentru orice număr natural n≥1, există un număr natural format din cifrele 0 şi 5, divizibil prin n.

MATE.CLUB

10


Soluţie. Considerăm numerele a1 = 50, a2 = 5050, …, an = pe care le repartizăm în cutii numerotate cu numerele 0, 1, … , n-1 (care reprezintă resturile împărţirii la n). Dacă în cutia 0 este un obiect (adică un număr), atunci problema este rezolvată. În caz contrar, n obiecte sunt plasate în n-1 cutii, şi conform principiului lui Dirichlet, există două obiecte plasate în aceeaşi cutie. Deci, există două numere care dau acelaşi rest la împărţirea prin n. Diferenţa lor va fi divizibilă prin n, iar diferenţa lor este un număr format tot din cifrele 0 şi 5. Problema 4. Demonstraţi că printre oricare n numere naturale nenule, cel mult egale cu 2n – 2, există două numere care au suma impară. Soluţie. Construim mulţimile: {1,2}, {3,4}, …, {2n-1, 2n-2}. Vom avea în total n-1 mulţimi. Alegând n numere, conform principiului lui Dirichlet, există două numere care aparţin aceleiaşi mulţimi, iar suma lor este impară. Problema 5. Într-o şcoală sunt 1100 de elevi. Să se arate că există o zi în care cel puţin 4 elevi îşi sărbătoresc ziua de naştere. Soluţie. Un an bisect are 366 zile şi 1100 = 366 ∙ 3 + 2, deci conform principiului lui Dirichlet există o zi în care s-au născut cel puţin 3 + 1 = 4 elevi. Cu atât mai mult dacă anul nu este bisect. Problema 6. În 500 cutii se află mere. Se ştie că în fiecare cutie se află cel mult 240 mere. Să se demonstreze că există cel puţin 3 cutii ce conţin acelaşi număr de mere. Soluţie. Presupunem că în primele 240 cutii se află un număr diferit de mere (1,2,...,240) şi în următoarele 240 de cutii la fel (adică se examinează cazul extremal; despre aceasta metodă mai detaliat a se vedea tema "Principiul extremal"). Astfel au rămas 500 - 2·240 = 20 cutii, în care trebuie să plasăm mere de la 1 la 240. Unele probleme (în special ce ţin de geometrie) se rezolvă, utilizând principiul lui Dirichlet în următoarele enunţuri: a) dacă pe un segment de lungime l sunt situate câteva segmente cu suma lungimilor mai mare ca l, atunci cel puţin două segmente au un punct comun ; b) dacă în interiorul unei figuri de arie S sunt plasate figuri cu suma ariilor mai mare decât S, atunci există cel puţin două dintre aceste figuri care au un punct comun; c) dacă figurile F1,F2,…,Fn cu ariile S1,S2,…,Sn respectiv sunt incluse în figura F cu arie S şi S1+S2 +…+Sn > kS, atunci k+1 din figurile F1,F2…,Fn au un punct comun. Problema 7. Într-un dreptunghi cu lăţimea de 9 cm şi lungimea de 11 cm desenăm 100 de puncte. Demonstraţi că există 2 puncte a căror distanţă este mai mică sau egală cu 2 . Soluţie. În dreptunghiul dat vom desena pătrate cu latura de 1 cm, în total 99 de pătrăţele. Cum în dreptunghiul dat sunt desenate 100 de puncte, rezultă că există 2 care aparţin aceluiaşi pătrat. Cum într-un pătrat cu latura de 1cm, diagonala este egală cu 2 , rezultă cerinţa problemei. Problema 8. Să se arate că printre oricare 5 puncte situate în interiorul unui triunghi echilateral de latură l există cel puţin două puncte situate la o distanţă mai mică sau egală cu l/2. Soluţie. Împărţim triunghiul dat în 4 triunghiuri echilaterale congruente prin trasarea liniilor mijlocii. Laturile acestor triunghiuri având lungimea l/2, putem deduce că două puncte situate în interiorul aceluiaşi triunghi nu se pot afla la o distanţă mai mare de l/2 unul faţă de celălalt. Conform principiului cutiei (deoarece avem 4 triunghiuri şi 5 puncte), două puncte se vor găsi în interiorul aceluiaşi triunghi, deci distanţa dintre ele va fi mai mică sau egală cu l/2. Problema 9. Într-un dreptunghi cu dimensiunile 3 cm şi 4 cm sunt plasate 6 puncte. Să se arate că printre aceste puncte există cel puţin două cu distanţa dintre ele cel mult egală cu 5 cm.

MATE.CLUB

11


Soluţie. Împărţim dreptunghiul iniţial în 6 dreptunghiuri mici congruente cu dimensiunile 1cm şi 2cm, ale căror diagonale au lungimile egale cu 5 cm şi considerăm unul din cele 6 puncte situat pe una din dreptele care au împărţit dreptunghiul. Distanţa dintre oricare două puncte situate în acelaşi dreptunghi mic este cel mult egală cu 5 cm . Dacă într-unul din cele 6 dreptunghiuri mici în care se află punctul respectiv se mai află încă un punct, atunci problema este rezolvată. În caz contrar, mai rămân 4 dreptunghiuri mici în care sunt distribuite 5 puncte, şi conform principiului cutiei, va exista sigur un dreptunghi mic în care sunt plasate două puncte. Cele două puncte se află la o distanţă mai mică sau egală cu 5 cm. Problema 10. Fiind date 6 puncte situate în interiorul unui cerc de rază 1, să se arate că există 2 puncte la o distanţă cel mult egală cu 1. Soluţie. Trasăm 6 raze, astfel încât să împărţim cercul în 6 sectoare egale şi unul din cele 6 puncte să fie situat pe una din raze. Distanţa dintre două puncte situate în acelaşi sector este cel mult egală cu 1. Dacă într-unul dintre cele două sectoare în care se află punctul respectiv se mai află încă un punct, atunci problema este rezolvată. În caz contrar, mai rămân 4 sectoare în care sunt dispuse 5 puncte şi conform principiului lui Dirichlet, va exista cel puţin un sector în care sunt situate două puncte. Cele două puncte din acelaşi sector se află la o distanţă cel mult egală cu 1.

Probleme propuse

1. Să se arate că printre oricare 101 numere naturale de cinci cifre există două care au ultimele două cifre aceleaşi. 2. Să se arate că printre oricare 15 numere naturale există cel puţin 3 care dau acelaşi rest la împărţirea la 7. 3. Într-o scoală sunt 25 de clase de elevi. Stiind că în fiecare clasă sunt cel puţin 30 de elevi dar nu mai mult de 35, să se arate că cel puţin 5 clase au acelaşi număr de elevi. 4. La un concurs participă 75 de elevi de clasa a V-a, 60 de elevi de clasa a VI-a, 40 de elevi de clasa a VII-a si 25 de elevi de clasa a VIII-a. Să se determine cel mai mic număr de elevi care trebuie ales pentru a fi siguri că printre ei sunt 10 de aceeaşi clasă. 5. În campionatul de fotbal al unei şcoli sunt înscrise 20 de echipe. Campionatul se încheie în momentul în care fiecare echipă a jucat exact o dată cu fiecare din celelalte 19 echipe, nefiind necesar ca într-o etapă să joace toate echipele (spre exemplu, poate exista o etapă în care să se joace un singur meci). Să se arate că după orice etapă există două echipe care au acelaşi număr de meciuri jucate până în momentul respectiv. 6. Să se arate că oricum am alege 12 numere dintre numerele de la 1 la 30, există două a căror diferenţă este mai mare ca 10 şi mai mică decât 20. 7. Într-o sală sunt 6 calculatoare încât oricare două sunt legate între ele, fie wireless, fie prin cablu, dar în nici un caz în amândouă modurile. Să se arate că există 3 calculatoare legate între ele în acelaşi mod. 8. În cele 6 bazine ale unui complex de înot se află la un moment dat 25 de elevi din clasele V-VIII. Să se arate că există un bazin în care se află 2 elevi de aceeaşi clasă. 9. Să se arate că oricum am alege 201 numere dintre numerele de la 1 la 300 există două care se împart exact unul la celălalt, iar rezultatul împărţirii este o putere a lui 3. 10. Într-o sală sunt 2009 persoane. Să se arate că printre ei se vor găsi doi cu acelaşi număr de cunoscuţi (se presupune că dacă persoana A este cunoscut al lui B, atunci si B este cunoscut al lui A; nimeni nu este considerat fiind cunoscut al lui însuşi).

MATE.CLUB

12


MATEMATICIENI CELEBRI Pitagora (580 î.Hr.-495 î.Hr)

Pitagora a fost un filozof și matematician grec, originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realități teoria numerelor și a armoniei. A fost și conducătorul partidului aristocratic din Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au păstrat. Tradiția îi atribuie descoperirea teoremei geometrice și a tablei de înmulțire, care îi poartă numele. Ideile și descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiați. Pitagora a fost un mare educator și învățător al spiritului grecesc și se spune că a fost și un atlet puternic, așa cum stătea bine atunci poeților, filosofilor (de exemplu, Platon însuși) și comandanților militari. Pitagora era ionian, originar din insula Samos, dar a emigrat la Crotone, în Italia de sud, unde a întemeiat școala ce-i poartă numele, cea dintâi școală italică a Greciei antice.

Şcoala lui Pythagoras Pitagora pare să nu fi scris nimic. Doctrina filosofică a pitagorismului ne este totuși destul de bine cunoscută din lucrările lui Aristotel și Sextus Empiricus, precum și din lucrări ale pitagoricienilor de mai tîrziu. Totuși, nu se poate stabili cu precizie ce aparține lui Pitagora și ce au adăugat pitagoricienii ulteriori. Celebrele texte "pitagoriciene" Versurile de aur ale lui Pitagora și Legile morale și politice ale lui Pitagora, existente și în traduceri românești, aparțin unei epoci ulterioare. Ideea filosofică principală a pitagorismului este că numerele reprezintă esența lucrurilor, iar universul este un sistem ordonat și armonios de numere și raporturi numerice. De mare importanţă este mai ales faptul că Pitagora este descoperitorul ideii de ştiinţă. El a cultivat ştiinţa pură. Iată cum îl descrie Gomperz: "Un talent extraordinar în domeniul matematicilor, întemeietorul acusticii, deschizător de drumuri în astronomie... savant, teolog şi reformator moral, a unit în personalitatea sa o bogăţie de talente foarte diferite şi în parte contradictorii". În special, în domeniul matematicii şi al geometriei, Pitagora s-a dovedit a fi un spirit genial. El a formulat pentru prima oară teoria despre proporţii şi a descoperit principiul ce-i poartă numele. De asemenea Pitagora s-a ocupat intensiv cu probleme de astronomie. În această privinţă avem mărturia elevului lui Aristotel, Eudemos. Pitagora a mai studiat legătura matematicii cu muzica. Concluzia la care ajunge Pitagora este că numărul şi măsura sunt principiile ce guvernează lumea. Pitagora merge aşa de departe, încât afirmă că esenţa tuturor lucrurilor o constituie raporturile matematice şi că, de aceea, numărul ar fi principiul originar al tuturor lucrurilor. Totul îşi are

MATE.CLUB

13


originea în numere şi totul constă numai din raporturi numerice. Desigur, nu trebuie să ne închipuim că Pitagora ar fi ajuns la conceptul abstract al numărului. Acesta reprezintă principiile aritmetice - ca de altfel toţi filozofii antesocratici - într-un mod geometric şi de aceea numărul a rămas o mărime intuitivă. Aşa se face că, atunci când Pitagora considera numărul ca fiind esenţa unui lucru, el se gândea la forma spaţială geometrică a acestuia. Totuşi esenţialul este că, uneori pitagoreii fac abstracţie cu totul de structura senzorială a lucrurilor şi le gândesc pe acestea ca fiind date odată cu relaţiile spaţiale, în aşa fel ca, faţă de forma acestora, materia nu mai are nici o importanţă. Aşa se face că punctul este identic cu unu, linia este indicată prin doi, suprafaţa prin trei, iar celelalte corpuri prin patru. Focul este egal cu tetraedru, apa cu icosaedru, aerul cu octaedru, pamântul cu cubul, iar eterul cu dodecaedrul. Lazăr Bogdan, cl. a VIII-a B Hrab Beniamin, cl. a VIII-a B

EUCLID (ca. 325 î. Hr - 265 î. Hr)

Euclid din Alexandria, originar din Damasc, a fost un matematician grec care a trăit şi predat în Alexandria în Egipt în timpul domniei lui Ptolemeu I (323 î. Hr – 283 î. Hr). Despre viaţa lui Euclid nu s-au păstrat nici un fel de date, de aceea se spune că viaţa lui se confundă cu opera. Dar nici aceasta nu s-a păstrat în întregime. În afară de Stihia în traducere românească Elementele, o colecţie de 13 cărţi de mai mici dimensiuni, tradusă în peste 300 de limbi şi în care pune bazele geometriei plane şi spaţiale şi ale aritmeticii, au mai rămas câteva cărţi dintre care se amintesc:  Datele, lucrare ce cuprinde teoreme şi probleme care completează Elementele şi  Optica, privită ca o geometrie a "razei vizuale". A iniţiat tradiţia de a indica sfârşitul unei demonstraţii prin expresia latină: Quod erat demonstrandum, abreviat Q.E.D., în traducere: ceea ce era de demonstrat. ”Elementele” reprezintă cartea după care s-a învăţat geometrie secole de-a rândul. Nu e deloc o exagerare să spunem că, după Biblie, Elementele lui Euclid a fost cartea care a influenţat în cel mai înalt grad devenirea culturală a omenirii. Într-o anecdotă, scrisă după 800 de ani de la moartea sa, se povesteşte că Ptolomeu l-ar fi rugat pe Euclid să-i arate o cale mai uşoară ca să înţeleagă geometria, iar Euclid ar fi răspuns: „În geometrie nu există drumuri speciale pentru regi”. Flutur Lucian, cl.a VIII-a B ARHIMEDE (287 î.Hr.-212 î.Hr)

Arhimede a fost un mare savant grec, principalele lui interese fiind matematica, fizica, astronomia şi ingineria. Fiu al astronomului Fidas, el s-a născut în Siracuza, Sicilia, în anul 287 î. Hr. Totuşi, data naşterii este aproximativă, find bazată pe raţionamentul unui savant bizantin, John Tzetzes. A existat şi o biografie a lui Arhimede scrisă de un prieten de-al său, însă aceasta s-a

MATE.CLUB

14


pierdut, astfel neştiindu-se unele lucruri despre el, cum ar fi dacă a fost vreodată căsătorit sau dacă a avut copii. Arhimede a studiat în Alexandria, Egipt, unde i-a cunoscut pe marii matematicieni Conon din Samos, Dositheos din Pelusion şi Eratostene. A murit în anul 212 î.Hr, în timpul celui de-al Doilea Război Punic, când oraşul Siracuza a fost capturat de romanii conduşi de Generalul Marcus Claudius Marcellus. Se spune că Arhimede studia o diagramă matematică atunci când un soldat a venit la el să îl ducă în faţa Generalului, însă acesta a refuzat, spunând că trebuie mai întâi să îşi termine treaba. Soldatul s-a înfuriat şi l-a ucis pe Arhimede, ale cărui ultime cuvinte ar fi fost: „Nu-mi deranja cercurile", făcând referire la diagrama sa.

Conform dorinţei sale, mormântul îi este împodobit cu o pictură ce reprezintă un cilindru circumscris unei sfere. Acest mormânt a fost descoperit de Cicero, chestor roman, în anul 76 î.Hr.

Contribuţiile lui Arhimede în domeniul matematicii Arhimede a adus multe contribuţii în matematica teoretică. Este considerat de unii chiar cel mai bun matematician din toată perioada antichităţii. De exemplu, el a folosit calculul infinitezimal într-un mod similar folosirii integralelor - deşi acestea nu erau cunoscute pe atunci - pentru a aproxima valoarea lui π, rezultatul fiind un număr cuprins între 3,1408 şi 3.1429. A avut dreptate, valoarea lui π fiind 3,1415... Cea mai cunoscută lucrare a sa este „Măsurarea cercului”, ea conţinând trei teoreme, însă fiind doar începutul unei munci lungi şi anevoioase. Un alt tratat important este “Cuadratura parabolei”, scris de Arhimede în secolul III î.Hr. sub forma unei scrisori adresate prietenului său, Dositheus, cuprinzând douăzeci şi patru de teoreme despre parabole. O altă carte interesantă şi chiar îndrăzneaţă este “Calculul firelor de nisip”. Arhimede doreşte să calculeze câte fire de nisip încap în Universul cunoscut până atunci. Pentru a face asta, Arhimede a fost nevoit să estimeze dimensiunea Universului, bazându-se pe modelele existente în acea perioadă, aceasta nefiind însă singura problemă. El trebuia de asemenea să găsească o metodă de a lucra cu numere extrem de mari. Reuşeşte în cele din urmă să enunţe un număr egal cu 1 urmat de

MATE.CLUB

15


800 de milioane de zerouri, un număr mult mai mare decât firele de nisip ce ar încăpea în univers, pe care le-a estimat la 1051. O altă lucrare de care Arhimede era foarte mândru este „Despre sferă şi cilindru”, motiv pentru care a cerut ca în mormântul lui să fie desenate cele două figuri geometrice. Arhimede demonstrează că raportul dintre aria unei sfere şi cea a cilindrului circumscris este egală cu raportul dintre volumele celor două corpuri (şi anume exact 2/3). Contribuţia lui Arhimede în fizică Arhimede a scris lucrări importante şi în domeniul fizicii, cum ar fi „Despre echilibrul planelor”, o lucrare compusă din două părţi în care se explică legile pârghiei, care nu erau formulate concret până atunci. De asemenea, este calculat şi centrul de greutate al unor figuri geometrice precum paralelogramul, triunghiul sau pârghia. În prefaţa cărţii „Despre spirale”, Arhimede spune că „s-au scurs mulţi ani de la moartea lui Conon”. Conon din Samos, un astronom grec, a murit în anul 220 î.Hr., ceea ce sugerează că unele lucrări au fost scrise când Arhimede avea o vârstă înaintată. Cea mai importantă lucrare este totuşi „Despre corpurile plutitoare”, formată din două volume. Aici este formulat Principiul Hidrostaticii care spune că un corp scufundat într-un fluid este împins de către fluid, de jos în sus, cu o forţă egală cu greutatea volumului de fluid dezlocuit de către corp. Conform lui Vitruvius, un scriitor roman, povestea spune că regelui Hieron II din Siracuza i s-a făcut o nouă coroană, iar acesta vroia să ştie dacă este făcută din aur pur sau dacă era amestecată cu argint. Unicul mod de a măsura densitatea coroanei, pe atunci, era topirea şi modelarea sa într-un obiect cu formă regulată, însă regele nu era de acord cu distrugerea ei. Măcinat de această dilemă, Arhimede găseşte o soluţie atunci când vrea să facă o baie, iar o parte din apa se varsă din cadă atunci când se scufundă în ea. Fericit că are un răspuns, Arhimede iese dezbrăcat pe străzile Siracuzei strigând „Evrika!”, ceea ce înseamnă „Am găsit!”. Reuşind să calculeze densitatea coroanei, el îşi dă seama că aceasta nu este făcută din aur pur, iar hoţul primeşte o pedeapsă pe măsură. Poveste adevărată sau nu, important este că Principiul lui Arhimede este de un real folos şi în ziua de azi, având aplicabilitate în numeroase domenii. Contribuţiile lui Arhimede în domeniul tehnologiei Nu numai că Arhimede a fost un foarte bun fizician şi matematician, dar a fost şi un mare inventator. Multe dispozitive au fost inventate de el în scopul apărării oraşului Siracuza, cum ar fi catapultele care puteau fi ajustate în aşa fel încât proiectilele erau aruncate la o distanţă variabilă. Gheara lui Arhimede este o altă armă folosită împotriva navelor romane, în timpul asediului Siracuzei (214-212 î.Hr). Aceasta era formată dintr-un braţ asemănător cu cel al macaralei, de care erau suspendate cârlige cu care puteau fi înşfăcate vasele din apropiere şi zdruncinate puternic sau chiar scufundate.

Şurubul lui Arhimede este un mecanism spiralat al cărui scop este transferarea apei la un nivel mai înalt. Un scriitor grec ne spune că Arhimede a inventat acest dispozitiv când regele care domnea atunci, Hieron II, i-a cerut să construiască o navă uriaşă. Este vorba despre cea mai mare navă construită până atunci, Siracuzia. Această navă era capabilă să transporte 600 de oameni, plus un templu dedicat zeiţei Afrodita. Unele scrieri sugerează că această invenţie nu era tocmai originală,

MATE.CLUB

16


un mecanism asemănător folosindu-se cu 300 de ani înaintea lui Arhimede pentru irigarea Grădinilor Suspendate din Babilon.

Acestea sunt numai câteva dintre cele mai importante invenţii ale lui Arhimede, imaginaţia bogată şi mintea sa genială ajutându-l să creeze numeroase alte dispozitive necesare în acele vremuri. Am putut vedea o parte din contribuţiile aduse de Arhimede în dezvoltarea ştiinţei, el rămânând pentru totdeauna un savant formidabil, a cărui ingeniozitate nu poate fi trecută cu vederea, şi un exemplu demn de urmat. Citatul faimos al lui Arhimede este: „Daţi-mi un punct de sprijin şi voi urni Pământul din loc.‖ Deleanu Cristian Constantin, cl. a V-a B Leonte Nicoleta, cl. a VIII-a B

thales din milet (625 î.Hr. - 547 î.Hr)

Thales din Milet a fost un filozof grec presocratic care a contribuit la dezvoltarea matematicii, astronomiei, filozofiei. Este considerat părintele ştiinţelor. Herodot, primul autor care-l menţionează pe Thales, afirmă că strămosii lui Thales erau fenicieni, dar Diogenes Laertios afirmă că cei mai mulţi scriitori îl prezintă ca aparţinând unei familii nobile milesciene (Milet – un oraş de pe coasta de vest a Anatoliei, azi provincia Aydin din Turcia). Numele tatălui său era Examyes, nume obişnuit pentru un cetăţean milescian, iar mama purta numele grecesc de Cleobulina. Nu se cunoaşte exact anul de naştere a lui Thales, dar din diferite surse putem constata că este vorba de anii 630-620 î. Hr. Thales a murit la o vârstă înaintată în timpul unor manifestări sportive din cauza unor călduri excesive, între anii 547-546 î. Hr. Pe mormântul său este o inscripţie care spune: „Aici, într-un mormânt strâmt zace marele Thales; totuşi renumita sa înţelepciune a ajuns la ceruri”. Întotdeauna au existat dubii asupra ceea ce a scris sau a demonstrat Thales, deoarece nu s-a păstrat nici una din scrierile sale; dar o listă surprinzător de lungă de scriitori care l-au cunoscut sau au accesat lucrările sale, ne mărturiseşte despre importante rezultate din diferite sfere ale cunoaşterii. Se consideră de asemenea că lucrările lui Thales au fost disponibile lui Aristotel şi Plato, precum şi multor filozofi şi comentatori ce l-au urmat: Heraclitus, Anaxaroras, Hippo din Samos, Hippias din Elis. Aristotel l-a identificat pe Thales ca fiind primul care a studiat principiile de bază, problema originii substanţei şi materiei, deci şi fondatorul şcolii de filozofie. Thales era interesat de orice, studiind aproape toate ramurile cunoaşterii: filozofie, istorie, matematică, inginerie, geografie, politică. Era nominalizat în toate listele tradiţionale ale celor „Şapte Înţelepţi‖, inclusiv în cea a lui Platon. Avea o reputaţie de priceput om politic, iar istoria relatată de Herodot despre deturnarea cursului râului Halys atestă reputaţia sa de inginer.

MATE.CLUB

17


Şi-a pus întrebări despre natura universului şi a dat răspunsuri care nu luau în consideraţie zeii şi demonii. Renunţarea la mitologie a fost un pas crucial în gândirea stiinţifică şi a condus la o explozie intelectuală care a durat sute de ani. Este considerat fondatorul Şcolii Milesciene a cosmologistilor. În unele momente s-a implicat şi în politică, prezicând o recoltă bogată de măsline şi punând monopol pe presele de ulei de măsline. Thales a fost primul filozof grec care a introdus noţiunea de element material primar al tuturor lucrurilor şi fenomenelor cosmice şi pe care l-a identificat ca fiind apa. Importanţa apei în viaţă şi în natură a fost principalul motiv care l-a condus pe Thales la această concluzie. Apa, aerul, focul, sau orice alt principiu a fost pentru filozofii presocratici rădăcina vieţii şi a sufletul; puterea naturii vii. Thales căuta motivaţia mişcării acestei substanţe, presupunând existenţa unui suflet mişcător. Apa, considera Thales, este o formă a „începutului” şi „începutul însuşi”. Thales a călătorit foarte mult, fiind implicat în politică si comerţ. În timpul călătoriilor a adunat o mulţime de cunoştinţe pe care le-a împărtăşit lumii greceşti. Herodot povesteşte cum că Thales, folosindu-se de cunostinţele dobândite de la babiloneni, a prezis eclipsa de soare din 28 mai 585 î. Hr. Doar că prezicerea a fost făcută cu precizie de un an şi se pare că folosea şi alte metode, despre care nu se cunoaşte nimic. Diogenius Laertius, în cartea sa „Vieţile şi opiniile marilor filozofi” ne spune că Thales a fost primul care a determinat cursa soarelui de la un solstiţiu la celălat şi a declarat că mărimea soarelui este de 720 ori mai mică decât cercul solar. Cunoscut că studiază stelele, se glumea despre Thales cum că uitându-se la ele ar fi căzut într-o fântână. Cu toate astea studiul stelelor a fost de mare folos fenicienilor pe care Thales i-a învăţat să navigheze conform mişcării stelelor din „Carul Mic”. Un aport impunător Thales a adus în domeniul matematicii. Familiarizându-se cu geometria din Egipt, Thales o aduce şi o dezvoltă în Grecia. Teoremele geometrice elaborate de el au constituit temelia matematicii greceşti. Cinci teoreme importante din geometria Euclidiană sunt atribuite lui Thales, şi dovada o constituie aplicaţiile practice de calculare a distanţei dintre vasele de pe mare şi de aflare a înălţimii piramidelor.

Metoda de calcul a înălţimii unei piramide este următoarea: se măsura lungimea umbrei de la marginea piramidei la ora când umbra omului era egală cu înălţimea lui. De exemplu baza piramidei lui Keops măsura 232 m, iar umbra măsurată de la marginea piramidei, la ora când umbra omului era egală cu înălţimea lui, era de 30 m. În triunghiul ABC, vom presupune că: A AB este înălţimea piramidei, BM este jumătate din latura bazei piramidei, adică 116 m, MC este lungimea umbrei piramidei, D DE este înălţimea omului, egală cu EC – umbra omului. DE EC Atunci . Cum DE = EC , rezultă că AB = BC .  B M E C AB BC Calculăm BC = BM + MC = 116 m + 30 m = 146 m. Deci AB = BC = 146 m. Rusu Alexandru Daniel, cl a V-a B Fusa Oana Manuela, cl. a VIII-a B

MATE.CLUB

18


PROBLEME, PROBLEME...! PĂTRATE MAGICE Primul pătrat magic a fost descoperit gravat pe carapacea unei broaste ţestoase cu peste 5.000 de ani în urmă, în China. Se povesteşte că un tânăr pe nume Wu încerca să modifice cursul Fluviului Galben, pentru a stăvili inundaţiile care distrugeau adesea câmpiile fertile. În timp ce acesta şi oamenii săi munceau, o broască ţestoasă uriaşă s-a ivit din apele fluviului. Pentru ei era un semn bun, deoarece în acele vremuri oamenii credeau că zeii sălăşluiesc înăuntrul carapacelor broaştelor ţestoase. Atunci cand Wu a descoperit ciudatele înscrisuri de pe carapace, el i-a chemat pe toţi înţelepţii să le studieze. Aşa a apărut I Ching, feng shui, astrologia şi numerologia chineză. 1. Aranjaţi numerele 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 în pătratul magic din dreapta, astfel ca suma numerelor pe fiecare verticală, orizontală şi diagonală să fie aceeaşi. Donisan Maria, cl. a V-a B 2. Aranjaţi numerele 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 în pătrăţelele pătratului magic din dreapta, astfel încât suma în fiecare rând şi coloană să fie egală cu 18. Alexandrescu Paul George, cl. a V-a B 3. Dacă pătratele de mai jos sunt magice (suma numerelor pe fiecare linie, coloană şi diagonală este aceeaşi), găsiţi numerele care lipsesc. 11

15

19 24

10

21

13 12

18

M A

T

E

E

T

A

M

A

M E

T

T

E

M A

22

23

37

35

25 11

33

27 29 21 31 Flutur Lucian, cl. a VIII-a B

4. Înlocuiţi literele cu cifre alese la întâmplare şi verificaţi dacă pătratul alăturat este magic. Lazăr Bogdan, cl. a VIII-a B

18 8 16 11 12 6

5. Completaţi pătratele cu numere de la 6 la 21, astfel încât suma „magică” să fie 54. Arusoaiei Eduard Luca, cl. a V-a B

20

1

6. Completaţi pătratul din dreapta cu numere prime diferite, astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie, fiecare coloană şi fiecare diagonală să fie 111. Rusu Bogdan Petru, cl. a VIII-a B

MATE.CLUB

19


GĂSEŞTE NUMĂRUL!

Ce număr lipseşte? 1. 18

8

32

2 ?

8

? 11 10

50 72

98

9

4

13 ? Colban Iulia Elena, cl. a V-a B

?

2.

324

256

3

108

65536

12 36

16

?

2

4

Boghean Alexandra Simona, cl. a V-a B 3.

?

1

40

8

50

4

?

26

13

14 Boghiu Laurenţiu Dorian, cl. a V-a B

4.

5. 9 ?

? 26 40 10 17 24

3 4 2 5 2 13 3

4 2

Deleanu Cristian, cl. a V-a B

3

7 11 14 5 7 8

Mihailov Andrei, cl. a V-a B

6.

7. 1

5

7

35

6

9

11 17

2

4

6

48

5

8

12 20

3

3

5

45

3

4

5

4

2

4

?

?

13 18 31

Rusu Bogdan Petru, cl. a VIII-a B 8.

0 1

6

Tiperciuc Stelian, cl. a VIII-a B

2 –2 6

? 22 – 10

Flutur Lucian, cl. a VIII-a B

MATE.CLUB

20


PROBLEME DE NUMĂRARE

1. Fie numărul 1234567891011121314…201020112012. Să se suprime 170 de cifre astfel încât numărul rămas să fie cel mai mare posibil. Profesor, Gabriela Sascău Soluţie. Pentru ca numărul rămas să fie cel mai mare trebuie să aibă primele cifre 9. Astfel eliminăm: - primele 8 cifre - cifrele: 101112.....17181, adică 9 · 2 +1 = 19 cifre - cifrele: 202122....27282, adică 9 · 2 +1 = 19 cifre........ - cifrele: 808182.....87888 - cifrele 0, 1, 2, 3, ...., 8 de la 90, 91, 92, 93,...... 98 și o cifră de 0 de la 100. 170 – 8 = 162 = 19 · 8 + 10 Numărul căutat este 99.....910101102103.......20112012 20 ori 2. Se consideră numărul N = 123456789101112.......207208209 . a) Din câte cifre este format numărul N? b) Care este cifra de pe locul 105? Dar cea de pe locul 208? c) De câte ori se foloseşte cifra 0 în scrierea numărului N – 101102103.....207208209 ? Profesor, Gabriela Sascău Soluţie. a) Numărul N este format din 19 + 2(99 – 9) + 3(209 – 99) = 519 cifre. b) 105 – 9 = 96 = 2  48 = 2 (57 – 9). Cifra de pe locul 105 este 7. 209 – 9 = 200; 200 – 2(99 – 9) = 20 = 3  6 + 2 = 3(105 – 99) + 2. Deci cifra de pe locul 209 este 0. c) N – 101102103.....207208209 = 123456789101112.....100000....0 . Numărul va avea 338 zerouri. de 3  109 ori 3. Se scriu toate numerele naturale de la 5 la 800. Câte cifre de 7 se folosesc în această situaţie? Profesor, Ana-Marcela Popa Soluţie. Stabilirea unui model logic de numărare este esenţial pentru a fi siguri că nu omitem nici o cifră de 7. Firul călăuzitor în această numărare este dat de apariţia cifrei 7 pe poziţia unităţilor şi/sau pe poziţia zecilor şi/sau pe poziţia sutelor. Pentru anumite numere cifra 7 apare atât pe poziţia zecilor, cât şi pe poziţia unităţilor (de exemplu 77) sau chiar pe toate poziţiile (de exemplu 777). Vom număra apariţiile cifrei 7 pe o anumită poziţie, indiferent de prezenţa sau absenţa cifrei 7 pe celelalte poziţii. I) Pe poziţia unităţilor cifra 7 apare în scrierea numerelor: (0)7, 17, 27, 37, ..., 97, 107, ..., 757, 767, 777, 787, 797 Numerele evidenţiate în această enumerare sunt numere naturale consecutive. Iată aceste numere: 0, 1, 2, 3, ..., 9, 10, 11, ..., 75, 76, 77, 78, 79 Aceste sunt numere naturale consecutive: 79-0+1=80 numere. Pentru fiecare termen al enumerarii de mai sus, cifra 7 apare pe poziţia unităţilor. Deducem că apar 80 de cifre de 7 pe această poziţie. II) Pe poziţia zecilor cifra 7 se foloseşte pentru scrierea numerelor: (0)70, 71, 72, ..., 77, 78, 79 (sunt 79-70+1=10 numere) 170, 171, 172, ..., 177, 178, 179 (179-170+1=10 numere)

MATE.CLUB

21


270, 271, 272, ..., 277, 278, 279 (279-270+1=10 numere) ...................................... 670, 671, 672, ..., 677, 678, 679 (679-670+1=10 numere) 770, 771, 772, ..., 777, 778, 779 (779-770+1=10 numere) Numerele evidenţiate, citite pe verticală de sus în jos, sunt numere naturale consecutive care ne arată că avem 7-0+1=8 rânduri a câte 10 numere fiecare, adică 80 de numere pentru care se foloseşte cifra 7 pe poziţia zecilor; în acest caz rezultă încă 80 de cifre de 7 care se utilizează. III) Pe poziţia sutelor cifra 7 se va utiliza pentru a scrie următoarele numere: 700, 701, 702, 703, ...,796, 797, 798, 799. Sunt 799-700+1=100 de numere pentru care se foloseşte cifra 7 pe poziţia sutelor; din această situaţie rezultă încă 100 de cifre de 7 utilizate. În concluzie, se vor folosi 80+80+100=260 de cifre de 7 pentru a scrie toate numerele naturale de la 5 la 800. 4. Să se afle de câte ori se foloseşte cifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale cuprinse între 1 şi 12000. Profesor, Ana-Marcela Popa Soluţie. I) Pe poziţia unităţilor cifra 5 apare în scrierea numerelor: (0)5, 15, 25, 35, ..., 95, 105, ..., 11975, 11985, 11995 Numerele evidenţiate sunt numere naturale consecutive cu ajutorul cărora putem calcula câte numere naturale avem mai sus. Sunt 1199-0+1=1200 de numere naturale, prin urmare, pe poziţia unităţilor cifra 5 apare de 1200 de ori. II)Pe poziţia zecilor cifra 5 apare în scrierea numerelor: (0)50, 51, 52, 53, ..., 57, 58, 59 (sunt 10 numere) 150, 151, 152, ..., 157, 158, 159 (sunt 10 numere) 250, 251, 252, ..., 257, 258, 259 (sunt 10 numere) ..................................... 11850, 11851, 11852, ..., 11858, 11859 (10 numere) 11950, 11951, 11952, ..., 11958, 11959 (10 numere) Numerele evidenţiate, citite pe verticală, sunt numere naturale consecutive cu ajutorul cărora putem afla rapid numărul de rânduri scrise. În acest caz avem 119-0+1=120 de rânduri a câte 10 numere fiecare, adică 120∙10=1200 de numere care au cifra zecilor 5. Prin urmare, pe poziţia zecilor cifra 5 apare de 1200 de ori. III) Pe poziţia sutelor cifra 5 apare în scrierea numerelor: (0)500, 501, ..., 598, 599 (sunt 599-500+1=100 de numere) 1500, 1501, ..., 1598, 1599 (1599-1500+1=100 de numere) 2500, 2501, ..., 2598, 2599 (2599-2500+1=100 de numere) ...................................... 10500, 10501, ..., 10598, 10599 (100 de numere) 11500, 11501, 11502, ..., 11598, 11599 (100 de numere) Numărul de rânduri se poate calcula uşor ţinând cont de faptul că numerele evidenţiate pe verticală sunt numere naturale consecutive. Sunt 11-0+1=12 rânduri a câte 100 de numere adică 1200 de numere; cifra 5 apare pe această poziţie de 1200 de ori. IV) Pe poziţia unităţilor de mii cifra 5 apare astfel: 5000, 5001, 5002, 5003, ..., 5996, 5997, 5998, 5999 Aceasta enumerare are 5999-5000+1=1000 de numere (mai putem calcula 999-0+1=1000). Aşadar, pe poziţia unităţilor de mii cifra 5 apare de 1000 de ori. V) Pe poziţia zecilor de mii cifra 5 apare pentru prima dată în scrierea numărului 50000, număr mai mare decât 12000 (cel mai mare număr pe care îl scriem), prin urmare, pe această poziţie cifra 5 nu apare. Pentru a scrie toate numerele naturale de la 1 la 12000 se vor folosi 1200+1200+1200+1000=4600 de cifre de 5.

MATE.CLUB

22


5. Aflaţi de câte ori se foloseşte cifra 9 pentru a scrie numerele naturale de la 850 la 4537. Profesor, Ana-Marcela Popa Soluţie. I) Pe poziţia unităţilor cifra 9 apare în cazul următoarelor numere: 859, 869, 879, 889, ..., 4499, 4509, 4519, 4529. Numerele evidenţiate sunt numere naturale consecutive. Sunt 452-85+1=368 de numere, ceea ce înseamnă că pe poziţia unităţilor se vor folosi 368 cifre de 9. II) Pe poziţia zecilor cifra 9 se utilizează pentru a scrie numerele: 890, 891, 892, ..., 897, 898, 899 (sunt 10 numere) 990, 991, 992, ..., 997, 998, 999 (sunt 10 numere) .................................. 4390, 4391, ..., 4397, 4398, 4399 (sunt 10 numere) 4490, 4491, ..., 4497, 4498, 4499 (sunt 10 numere) Numerele evidenţiate pe verticală sunt numere naturale consecutive cu ajutorul cărora se pot număra rândurile de mai sus.nbSunt 44-8+1=37 de rânduri, adică 37∙10=370 de numere; pe poziţia zecilor cifra 9 se foloseşte de 370 de ori. III) Pe poziţia sutelor vom obţine: (0)900, 901, 902, ..., 997, 998, 999 (sunt 100 de numere) 1900, 1901, ..., 1997, 1998, 1999 (sunt 100 de numere) 2900, 2901, ..., 2997, 2998, 2999 (sunt 100 de numere) 3900, 3901, ..., 3997, 3998, 3999 (sunt 100 de numere) Sunt 4 rânduri a câte 100 de numere fiecare, prin urmare, pe poziţia sutelor cifra 9 se foloseşte de 400 de ori. IV) Pe poziţia unităţilor de mii cifra 9 nu se foloseşte. În concluzie, se folosesc 368+370+400=1138 de cifre de 9. GEOMETRIE CU FOARFECA 1. Împărțiți poligonul din imagine în două poligoane identice ca formă și având aceeași arie, cu alte cuvinte, două poligoane care pot fi suprapuse.

2. Folosind cele patru bucăţele din imagine, alcătuiţi o literă. Care este aceasta? 3. Secţionaţi suprafaţa ilustrată în figura alăturată în patru părţi egale (de aceeaşi formă şi aceeaşi arie).

4. Secţionaţi suprafaţa ilustrată în figura alăturată în cinci părţi egale (de aceeaşi formă şi aceeaşi arie). Terpez Kevin Alex, cl. a VIII-a B

MATE.CLUB

23


MATEMATICA DIN POVEȘTI „ …Însă, cum au pornit boii, vulpea a şi început cu picioarele a împinge peştele din car jos. Ţăranul mâna, carul scârţâia, şi peştele din car cădea...‖ (Ion Creangă – „Ursul păcălit de vulpe”) Se spune că, dacă vulpea ar mai fi dat jos încă un peşte, atunci ar fi furat jumătate din peştii ţăranului iar dacă ar fi luat cu 5 peşti mai puţin, atunci în car rămâneau de două ori mai mulţi peşti decât cei aruncaţi pe drum. Câţi peşti a furat vulpea cea vicleană din car? Cornea Paula, cl. a V-a B „A fost odată un împărat. El avea trei feciori. Când fu la ceasul morții, își chemă feciorii și le zise: – Feții mei, sunt cu sufletul la gură, precum mă vedeți; un lucru numai vă cei:.....‖ (Petre Ispirescu – „Poveste ţărănească”) – Vă las prin testament 21 de butoaie de aceiaşi capacitate, dintre care 7 sunt pline cu vin, 7 sunt pe jumătate, iar 7 sunt goale. Să împărţiţi această avere între voi, astfel încât fiecare să primească aceeaşi cantitate de vin şi acelaşi număr de butoaie (7), fără să folosiţi vreo metodă de măsurare. Sascău Iulia Bianca, cl. a IV-a D „….Cică era odată o babă şi un moşneag; moşneagul de-o sută de ani şi baba de nouăzeci; şi amândoi bătrânii aceştia erau albi ca iarna şi posomorâţi ca vremea cea rea, din pricină că n-aveau copii…‖. (Ion Creangă – „Povestea porcului”) Basmul nu ne spune, dar se zice că cei doi ar fi avut un copil pe când vârsta babei era un sfert din vârsta de acum a moşneagului şi că ar fi murit când vârsta moşneagului era o treime din dublul vârstei de acum a babei. Cât a trăit acel copil? Cosic Eduard, cl. a V-a B „– Ba mai pune-ţi pofta-n cui!... Mai bine să ne întrecem din trântă. — Din trântă? Doar de ţi-e greu de viaţă. Mă! tot am auzit din bătrâni că dracii nu-s proşti; d-apoi, cum văd eu, tu numai nu dai în gropi, de prost ce eşti. Ascultă! Eu am un unchi bătrân de 999 de ani şi 52 de săptămâni; şi de-l vei putea trânti pe dânsul, atunci să te încerci şi cu mine, dar cred că ţi-a da pe nas…‖. (Ion Creangă – „Dănilă Prepeleac”) Ce vârstă are Dănilă Prepeleac dacă două cincimi din vârsta unchiului întrece cu 130 de ani trei pătrimi din vârsta lui Dănilă? Şotropa Sebastian, cl. a V-a B

MATE.CLUB

24


„Pe drum se întâlneşte c-o trăsură c-un boier şi cu nişte cucoane. Boierul se uită cu băgare de seamă la cucoş, vede în clonţu-i o punguţă şi zice vezeteului: — Măi! ia dă-te jos şi vezi ce are cucoşul cela în plisc. Vezeteul se dă iute jos din capra trăsurei, şi c-un feliu de meşteşug, prinde cucoşul şi luându-i punguţa din clonţ o dă boieriului. Boieriul o ia, fără păsare o pune în buzunar şi porneşte cu trăsura înainte…‖. (Ion Creangă – „Punguţa cu doi bani”) Dacă boierul ar fi pus banii din punguţă la bancă, ce sumă ar fi avut după doi ani, ştiind că banca îi oferă o dobândă de 15% pe an? Mihailov Andrei, cl. a V-a B ,,Doi oameni mergeau împreună pe un drum. Unul avea în traistă trei pâini şi celălalt două pâini. După o vreme, au poposit la umbră, lângă o fântână şi au început să-şi mănânce pâinile.‖ (Ion Creangă – „Cinci pâni”) Fiecare pâine este taiată în 6 bucăţi egale. Fiecare om mănâncă câte 4 bucăţi. Câte pâini le-au mai rămas, ştiind că au dat jumătate de pâine unui drumeţ ce poposea şi el la umbră şi o bucată câinelui acestuia? Colban Iulia, cl. a V-a B ,,Era odată o babă, care avea trei feciori nalţi ca nişte brazi şi tari de virtute, dar slabi de minte.... După nuntă, bărbaţii din nou se duc la treaba lor şi nurorile rămân iar cu soacra acasă. Baba iarăşi le dă de lucru cu măsură...‖ (Ion Creangă – „Soacra cu trei nurori”)

Pentru fiecare treabă din casă soacra le dădea nurorilor 15 minute şi 20 secunde. Câte treburi au fost făcute de cele 3 nurori, ştiind că nu au lucrat împreună şi au terminat toate treburile în 2 ore şi 4 minute? Colban Iulia, cl. a V-a B ,, — Vai, vai, nepoţelule! Cu poznele tale o s-ajungi o haimana. Faci azi una, mâine alta, până când vei da de Achiuță, căci, dragul meu, ulciorul nu merge de multe ori la apă.‖ („Păcală și isprăvile lui”) Păcală trebuie să umple un butoi cu capacitatea de 350 litri. Drumul de la butoi până la izvor este de 125m, iar Păcală va căra apa în două găleţi, una de 10 litri şi cealaltă de 12 litri. Câţi km a străbătut Păcală până a umplut butoiul?

Arusoaiei Eduard Luca, cl. a V-a B

MATE.CLUB

25


„Erau odată într-un sat doi fraţi şi amândoi erau însuraţi. Cel mai mare era harnic, grijuliv şi chiabur, pentru ca unde pune el mâna, punea şi Dumnezeu mila, dar n-avea copii. Iara cel mai mic era sărac. De multe ori fugea el de noroc şi norocul de dânsul, căci era leneş, nechitit la minte şi nechibzuit la trebi, ş-apoi mai avea şi o mulţime de copii!‖ (Ion Creangă –„Dănilă Prepeleac”) Câţi copii avea leneşul Dănilă Prepeleac, ştiind că jumătate din numărul copiilor este cu 3 mai mare decât un sfert din numărul de copii? Donisan Maria, cl. a V-a B „Cum nu vii tu, Ţepeş Doamne, ca punând mâna pe ei, Să-i împarţi în două cete: în smintiţi şi în mişei, Şi în două temniţi large cu de-a sila să-i aduni, Să dai foc la puşcărie şi la casa de nebuni!‖ (Mihai Eminescu – „Scrisoarea a III-a”) Câţi sminţi şi câţi mişei erau ştiind că, în total erau cu 24 mai puţini decât cel mai mare număr de 3 cifre impare diferite şi că mişeii erau cu 7 mai puţini decât o treime din numărul total? Donisan Maria, cl. a V-a B „Era odată o capră cu trei iezi. Iedul cel mare şi cel mijlociu dau prin băţ de obraznici şi neascultători ce erau, iară cel mic era harnic şi cuminte.‖ (Ion Creangă – „Capra cu trei iezi”) Iedul cel mare spune că iedul mijlociu minte. Iedul mijlociu spune că iedul mic minte. Iedul mic spune că iedul mare şi cel mijlociu mint. Cine minte? Alexandrescu Paul George, cl. a V-a B

„Cică era odată într-un sat un om grozav de leneş; de leneş ce era nici îmbucătura din gură nu şi-o mesteca. Şi satul, văzând că acest om nu se dă la muncă nici în ruptul capului, hotărî să-l spânzure pentru a nu mai da pildă de lenevire şi altora.‖ (Ion Creangă – „Povestea unui om leneş”) Ducându-l la spânzurătoare, primarul satului s-a gândit să-i mai dea o şansă leneşului, dacă poate să răspundă la întrebarea: Cât pământ se află într-o groapă cubică cu muchia de 6 metri, care a fost săpată cu un hârleţ care are lama sub formă de pătrat cu latura de 0,2m? Terpez Kevin Alex, cl. a VIII-a B

MATE.CLUB

26


JOCURI MATEMATICE Drumul cunoaşterii Elementele jocului: 1 tablă de joc, 4 pioni de culori diferite (mov, galben, verde şi albastru), fişe cu întrebări Numărul jucătorilor: 2 - 4 Obiective educative: învăţarea unor lucruri noi, dezvoltarea spiritului competitiv şi socializarea. Scopul jocului: deplasarea pionului din căsuţa „‟START„‟ la căsuţa „‟AI CÂŞTIGAT‟‟, răspunzând corect la întrebări. Regulile jocului: Fiecare jucător îşi alege un pion. Înainte de începerea jocului, jucătorii îşi iau câte o foaie pe care vor scrie răspunsurile, apoi se alege o persoana care adresează întrebările jucătorilor şi verifică răspunsurile. Jucătorii vor răspunde la întrebări începând cu prima, în ordinea de pe foaie. Fiecare are la dispoziţie 2 minute, după care trebuie să arate răspunsurile. În cazul în care se răspunde greşit, pionul rămâne pe loc. În cazul în care se răspunde corect, pionul înaintează câte o căsuţă. După modelul întrebărilor puteţi formula mai multe astfel de fişe pentru a fi un joc interesant în permanenţă. Câştigător: primul jucător care ajunge la căsuţa „‟AI CÂŞTIGAT‟‟. Întrebări: 1. Care este cel mai mare număr par din două cifre? 2. Care este cel mai mic pătrat perfect format din trei cifre diferite? 3. Cum se numeşte unghiul care are măsura mai mare decât 900? 4. Ce valoare are sinus din 30°? 5. Cât este aria unui pătrat cu latura de 8cm? 6. Câţi litri de apă încap într-un bazin cubic cu muchia de 20m? 7. Care este diferenţa de timp în minute între un an bisect şi unul care nu este bisect? 8. Care este mai mare dintre numerele 3,(6) şi 3,6521? 9. Care este probabilitatea ca o persoană să se fi născut în luna februarie? 10.O jumătate de pâine costă cu 0,5 lei mai mult decât un sfert. Cât costă o pâine? Tablă de joc:

AI CÂŞTIGAT

1

2

START

3

4 Fusa Oana, cl. a VIII-a B Leonte Nicoleta, cl. a VIII-a B

MATE.CLUB

27


Zarurile buclucaşe Elementele jocului: 2 zaruri Numărul jucătorilor: > 2 Obiective educative:  dezvoltarea abilităţii de calcul mental rapid  dezvoltarea spiritului competitiv Regulile jocului:  Prima rundă: Fiecare jucător aruncă o singură dată cu zarurile. Jucătorul care a răspuns corect primul, câştigă 1 punct. Se califică pentru a doua rundă jucătorii ce au obţinut cel puţin un punct.  A doua rundă: Fiecare jucător aruncă o singură dată cu zarurile. Jucătorul care a răspuns corect primul, câştigă 1 punct. Se califică pentru a treia rundă primii doi jucători (cu punctajul cel mai mare).  A treia rundă: Fiecare din cei doi jucători finalişti are dreptul la trei aruncări de zaruri. Câştigător: jucătorul care a trecut de primele două runde, iar la cea de-a treia rundă a obţinut punctajul cel mai apropiat de 20. Prima rundă - Calcule fulger:  Aruncă două zaruri.  Calculează suma lor, din care scazi diferența acestora. Concurentul care spune primul răspunsul corect câștigă. Ex.: În cazul în care sunt aruncate numerele 3 și 7: 3+7=10; 7 – 3 = 4; 10 – 4 = 6. Prin urmare, 6 este răspunsul corect. A doua rundă - Pătratele:  Aruncă două zaruri.  Ridică numerele la pătrat, apoi calculează diferența acestora. Concurentul care spune primul răspunsul corect câștigă. Ex.: În cazul în care sunt aruncate numerele 3 și 5: 9 este pătratul lui 3; 25 este pătratul lui 5; 25 – 5 = 20. Prin urmare, 20 este răspunsul corect. A treia rundă - Riscă și vei câștiga:  Fiecare jucător are doar trei aruncări.  Obiectivul este să te apropii cât mai mult de numărul 20, însumând numerele de pe feţele zarurilor din toate aruncările pe care le va efectua.  Dacă îți place prima aruncare te poţi opri. Dacă crezi că vei ajunge mai aproape de 20 aruncă din nou. Dacă nu eşti mulţumit de suma obţinută din primele două aruncări, o poţi îmbunătăţi aruncând a treia oară. Jucătorul care are suma cea mai aproape de 20, câștigă.

Terpez Kevin Alex, cl. a VIII-a B Rusu Bogdan Petru, cl. a VIII-a B

MATE.CLUB

28


VRAJA CIFRELOR Profesor, Gabriela Sascău

Ghiceşte cifra Scrieţi pe foaie un număr, astfel ca suma cifrelor sale se împarte prin 9. Propuneţi cuiva să înmulţească numărul cu orice număr. În rezultat propuneţi să se excludă orice cifră, în afară de 0, şi cifrele rămase să fie permutate în orice ordine. După declararea rezultatului operaţiilor indicate mai sus, puteţi spune ce cifră a fost exclusă. Soluţie Cifra exclusă este cel mai mic număr natural, care trebuie adunat la suma cifrelor rămase, pentru a obţine un număr ce se împarte prin 9. Dacă suma cifrelor numărului declarat deja se împarte prin 9, atunci a fost exclusă cifra 9. Care este cifra? Cereţi cuiva să scrie un număr care poate fi oricât de mare. Rugaţi apoi ca din aceleaşi cifre ale numărului respectiv să se compună un alt număr. Cereţi să scadă numărul mai mic (din cele două scrise) din cel mai mare, iar în diferenţa obţinută să excludă orice cifră diferită de 0. Să calculeze apoi suma cifrelor rămase şi să spună rezultatul. După rezultat puteţi să spuneţi ce cifră a fost tăiată. Soluţie Cifra tăiată este aceea care trebuie să fie adăugată la numărul declarat pentru a obţine numărul cel mai apropiat ce se împarte prin 9. Dacă numărul declarat deja se împarte prin 9, atunci a fost tăiată cifra 9. Scamatorul Scamatorul mi-a cerut să scriu pe o hârtie un număr din câte cifre vreau. Am scris la întâmplare: 807249. Scamatorul l-a privit, a notat ceva pe o hârtie şi, fără să mi-o arate, a băgat-o în buzunar. Apoi imi zise: – Mai scrie sub el un număr tot din 6 cifre. Am scris din nou la întâmplare: 357 162. – Acum, rosti el, dă-mi voie să adaug şi eu un număr. Şi notă: 642 837. După aceea continuă: – Adună-le pe toate trei. Am făcut adunarea, obţinând 1 807 248. Calm scamatorul scoase din buzunar hârtiuţa pe care era notat exact 1 807 248. Cum a procedat scamatorul? Soluţie Scamatorul a scris pe hârtie numărul meu la care a adăugat 1 în faţă iar din ultima cifră a scăzut 1. Diferenţa dintre numărul scris de el şi numărul meu este 999999. Deci, orice număr aş fi scris eu a doua oară, scamatorul scrie diferenţa dintre 999999 şi numărul meu, adică 999999 – 357162=642837 Câti ani ai? – Scrie cifra care reprezintă ziua ta de naştere şi înmulţeşte-o cu 20. Dacă ai terminat, spune-mi care este cifra ta preferată. – Să zicem 3.

MATE.CLUB

29


– Acum adună la produsul obţinut numărul 33 (produsul dintre cifra preferată şi 11) şi înmulţeşte rezultatul cu 5. La numărul obţinut, adună numărul ce reprezintă luna în care te-ai născut. Acum ai o sumă pe care te rog să o înmulţeşti din nou cu 20, iar la produs adună iarăşi 33. Rezultatul îl înmulţeşti din nou cu 5 şi, în sfârşit, adaugă numărul format din ultimele 2 cifre ale anului naşterii. Eşti gata? Ai calculat bine? Acum verifică dacă numărul obţinut oferă vreun indiciu asupra datei tale de naştere. – Nu oferă nici un indiciu. – Atunci spune-mi acel număr. – 297 752. – E clar, te-ai născut la 28 octombrie 1987. – Exact. Cum ai aflat? Într-adevăr, cum a făcut această scamatorie? Cum a dedus data naşterii? Soluţie A scăzut din numărul obţinut, produsul dintre cifra preferată şi 5.555. Ghiceşte rezultatul Scrieţi pe un bilet un număr oarecare mai mic însă de 51. Îndoiţi biletul şi daţi-l cuiva, nu mai înainte însă de a face şi a reţine diferenţa dintre 99 şi numărul scris pe hârtie. De exemplu, presupunând că aţi ales numărul 34, această diferentă este 65. O dată efectuată această operaţie, rugaţi-l pe interlocutor cutor să-şi aleagă orice număr între 50 şi 100, fără a vi-l comunica însă. Cereţi apoi să adauge la numărul ales diferenţa memorată de dumneavostră (în cazul de mai sus, 65). După aceea, rugaţi-l să elimine prima cifră a rezultatului obţinut şi să o adune la numărul care i-a rămas. În sfârşit, cereţi-i să scadă noul rezultat din numărul pe care l-a ales la început. În urma acestei operaţii se obţine numărul pe care l-aţi scris iniţial pe hârtia împăturită. De pildă, să presupunem că interlocutorul dumneavostră a ales numărul 83. Adăugând la el 65, obţine 148. Ştergând pe 1 (prima cifră a rezultatului) şi adăugându-l la 48 se obţine numărul 49. Scăzând pe 49 din 83, rămâne 34, adică tocmai numărul scris pe hârtie. Numărul 22 Scrieţi pe o hârtie un număr format din două cifre, împăturiţi hârtia şi puneţi-o pe masă. După aceea, rugaţi trei persoane să ia fiecare câte o bucată de hârtie şi să noteze pe ea câte o cifră, fără a comunica celorlalţi numărul scris. Cele trei hârtii vor fi îmnânate apoi unei a patra persoane, care va fi rugată să alcătuiască din cifrele scrise de cei trei, toate cele şase combinaţii posibile din câte două cifre. De exemplu, presupunând că cifrele scrise de cele trei persoane au fost 5, 8 şi 3, combinaţiile acestor cifre, luate câte două, vor fi: 58, 53, 83, 85, 35, 38. Apoi rugaţi pe cineva să adune toate aceste şase numere. De asemenea, rugaţi să se facă şi suma celor trei cifre scrise pe bucăţile de hârtie. În sfârşit, ca ultimă operaţie, cereţi să se efectueze împărţirea sumelor obţinute. Cu aceasta totul e gata. Spre uimirea celor de faţă, rezultatul împărţirii va fi acelaşi cu numărul de două cifre pe care l-aţi scris la început pe hârtia împăturită! Soluţie Cum se explică că aţi ştiut de la început rezultatul? Foarte simplu. Numărul scris de dumneavoastră pe bucata de hârtie a fost 22. Oricare ar fi cifrele alese de cele trei persoane, suma celor şase numere, de câte două cifre, obţinute prin combinarea lor împărţită la suma celor trei cifre va da totdeauna ca rezultat numărul 22.

MATE.CLUB

30


CURIOZITATI MATEMATICE Profesor, Silvia Popescu Operaţii magice 1x1=1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321 4 x 4 = 16 34 x 34 = 1156 334 x 334 = 111556 3334 x 3334 = 11115556 33334 x 33334 = 1111155556 7 x 7 = 49 67 x 67 = 4489 667 x 667 = 444889 6667 x 6667 = 44448889 66667 x 66667 = 4444488889 666667 x 666667 = 444444888889 6666667 x 6666667 = 44444448888889 9 x 9 = 81 99 x 99 = 9 801 999 x 999 = 998 001 9 999 x 9 999 = 99 980 001 99 999 x 99 999 = 9 999 800 001 1 x 9 + 2 = 11 21 x 9 + 33 = 222 321 x 9 + 444 = 3 333 4 321 x 9 + 5 555 = 44 444 54 321 x 9 + 66 666 = 555 555 654 321 x 9 + 777 777 = 6 666 666 7 654 321 x 9 + 8 888 888 = 77 777 777 87 654 321 x 9 + 99 999 999 = 888 888 888 1x8+1=9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321

MATE.CLUB

31


Cuburi curioase 1 001 la puterea a 3 = 1 003 003 001 2 002 la puterea a 3 = 8 024 024 008 3 003 la puterea a 3 = 27 081 081 027 4 004 la puterea a 3 = 64 192 192 064 5 005 la puterea a 3 = 125 375 375 125 6 006 la puterea a 3 = 216 648 648 216 7 007 la puterea a 3 = 344 030 029 343 8 008 la puterea a 3 = 513 537 536 512 9 009 la puterea a 3 = 731 189 187 729 Sume magice 1 + 2 + 3 + ..... + 10 = 55 1 + 2 + 3 + ..... + 100 = 5 050 1 + 2 + 3 + ..... + 1000 = 500 500 ................................ 1 + 2 + 3 + ..... + 10k = 500...500...0 k-1

Puteri consecutive formate din aceleaşi cifre 29 700 157 la puterea 2 = 882 099 325 824 649 29 700 158 la puterea 2 = 882 099 385 224 964 Indienii folosesc regula lui 9 (dacă numerele naturale se adună, se scad, se înmulţesc sau se împart fără rest, rezultatul este congruent modulo 9 cu numărul obţinut prin adunarea, scăderea, înmulţirea sau împărţirea resturilor împărţirii la 9 a numerelor date) pentru verificarea corectitudinii operaţiilor aritmetice. Dacă iei orice număr, îl înmulţeşti cu 9 şi îi aduni cifrele până rămâi cu o singură cifră obţii 9. 20 x 9 = 180; 1 + 8 + 0 = 9 857 x 9 = 7713; 7 + 7 + 1 + 3 = 18; 1 + 8 = 9. Un număr este PERFECT dacă suma S a divizorilor săi (exceptând numărul însuşi) este egală cu numărul dat N.  Dacă S > N, atunci numărul este SUPRAPERFECT  Dacă S < N, atunci numărul este IMPERFECT Exemple de numere perfecte: 6 = 1+2+3 28 = 1+2+4+7+14 496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248 Exemple de numere supraperfecte: 12 < 1+2+3+4+6 18 < 1+2+3+6+9 20 < 1+2+4 +5+10

Exemple de numere imperfecte: 14 >1+2+7 16 > 1+2+4+8 22 > 1+2+11

Numerele prietene (amiabile) sunt numerele care au proprietatea că fiecare este egal cu suma divizorilor celuilalt. Lui Pitagora i se atribuie găsirea primei perechi de numere prietene: 220 şi 284. 220 = 1+2+4+71+ 142 284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110

MATE.CLUB

32


REBUS MATEMATIC Completaţi pe orizontală cu denumirile corecte, conform definiţiilor date, obţinând pe verticala AB, denumirea unei ramuri a matematicii. A 1. Mulţimea fără nici un element. 2. Ce este b pentru a dacă a/b? 3. Mulţimi ce au aceleaşi elemente. 4. Operaţie între mulţimi. 5. Relaţie între două numere naturale. 6. Număr ce are doar doi divizori. 7. Numărul elementelor unei mulţimi. B Rusu Alexandru Daniel, cl. a V-a B Completaţi pe orizontală cu denumirile corecte, conform definiţiilor date, obţinând pe verticala AB,numele unui matematician german. A 1. Metoda lui Euclid pentru a determina c.m.m.d.c. 2. Fracţie ce are numitorul mai mic decât numărătorul 3. Fracţie ce nu se mai poate simplifica 4. Numărul care nu este prim 5. Operaţie matematică

B

Arusoaiei Eduard Luca, cl. a V-a B Completaţi pe orizontală cu denumirile corecte, conform definiţiilor date, obţinând pe verticala AB, numele unui matematician grec. A 1. Instrument geometric pentru măsurarea unghiurilor. 2. Măsură pentru o suprafaţă. 3. Latură a unui triunghi dreptunghic. 4. Segmentul ce uneşte centrul cercului cu un punct de pe cerc. 5. Figura geometrică formată din două semidrepte ce au aceeaşi origine. 6. Latura opusă unghiului drept din triunghiul dreptunghic. 7. Suma lungimilor laturilor unui poligon convex. 8. Triunghi cu toate laturile congruente.

B

MATE.CLUB

Fusa Oana Manuela, cl. a VIII-a B

33


Completaţi pe orizontală cu denumirile corecte, conform definiţiilor date, obţinând pe verticala AB, numele unui instrument geometric. A 1. Savant grec, născut în Siracusa (n.cca. 287 î.Hr. – d.cca. 212 î.Hr.). 2. Matematician grec ce a pus bazele aritmeticii şi ale geometriei plane şi spaţiale. 3. Filozof grec (n.cca. 635 î. Hr. – d.cca. 543 î. Hr.), considerat părintele ştiinţelor. 4. Matematician elveţian (n. 15 aprilie 1707 – d. 18 septembrie 1783). 5. Matematician din Grecia antică, ce a creat un algoritm de descoperire a numerelor prime.

B

Tiperciuc Stelian, cl. a VIII-a B

Completaţi pe orizontală cu denumirile corecte, conform definiţiilor date, obţinând pe verticală numele unor figuri geometrice. 1.Triunghi cu toate unghiurile ascuțite 2.Triunghi cu toate laturile de lungimi diferite 3. Perpendiculara ridicată pe segment prin mijlocul lui 4.Triunghi cu un unghi obtuz 5.Perpendiculara din vârful triunghiului pe latura opusă 6.Triunghiul cu un unghi drept 7.Triunghiul care are toate laturile congruente 8. Intersecţia lor este centrul cercului înscris unui triunghi 9. Elemente ale unui triunghi 10. Unghiul adiacent şi suplementar cu un unghi al unui triunghi 11.Triunghi cu două unghiuri congruente

Terpez Kevin Alex, cl. a VIII-a B

5 7 4 2

3 1 8

9

1. Unul dintre cei mai mari matematicieni al tuturor timpurilor 2. Drepte care nu se intersectează niciodată 3. Raportul a două numere întregi 4. Piramida cu baza patrulater 5. Operaţie matematică 6. Unghiul cu măsura de 900 7. Patrulaterul cu diagonalele perpendiculare 8. Rombul cu un unghi drept 9. Segmentul ce uneşte centrul cercului cu un punct de pe cerc

6 Lazăr Bogdan, cl. a VIII-a B

MATE.CLUB

34


ANECDOTE MATEMATICE Un ardelean şi un matematician călătoresc cu trenul. La un moment dat trec pe lângă o stână. Ardeleanul: "1,2,3,4,5... 425 de oi." Se uită şi matematicianul, scoate un pix şi o foaie de hârtie, calculează... nimic. După o oră mai trec pe lângă o stână. Ardeleanul: "1,2,3,4,5,6... 281 de oi." Matematicianul scoate laptop-ul, calculează, utilizează toate programele complexe de calcule... Nimic. După încă câteva ore trec pe lângă altă stână. Ardeleanul: "1,2,3,4,5... 892 de oi." Matematicianul scoate telefonul mobil, sună un prieten matematician, se conectează la internet, caută, trimite mai multe mail-uri şi... nimic. – Domnule, nu vă supăraţi, dar eu sunt matematician, membru al Academiei, cu diplome multe, comunicări ştiinţifice internaţionale etc. şi nu am putut număra oile. Cum faceţi? – No, d-apăi simplu, domnul meu... numeri picioarele şi împarţi rezultatul la patru! – Ce îi spune o carte de matematică, unei alte cărţi de matematică? – Am o mulţime de probleme! În armată, soldaţii sunt scoşi la program administrativ în grădina unităţii. Caporalul, cu un aer satisfăcut, zice: – Toată lumea ia câte o lopată şi trece la săpat! Dar, înainte de asta este vreunul printre voi care se pricepe la algebră? – Eu, să trăiţi ... Sunt student la matematică, dom` caporal. – Bravo, măi. Atunci aruncă lopata aia, că nu-i de tine! Soldatul, uşurat, aruncă lopata cu o mină veselă. Caporalul continuă: – …şi pune mâna pe hârleţ. Tu vei extrage rădăcinile! – De ce a fost lichidată culegerea de matematică? – Ştia prea multe. Ion se întâlneşte cu un matematician, un economist şi un contabil şi-i întreabă: – Cât fac unu şi cu unu? Matematicianul îi răspunde: – Exact doi. Economistul răspunde: – Poate doi. Contabilul se uită în stânga şi în dreapta şi spune în şoaptă: – Cât vrei să facă? Un prieten i-a spus într-o zi lui Grigore Moisil: – Matematica asta pe care o predici tu, m-am săturat de ea până-n gât. La care celebrul matematician îi răspunse: – Dar matematica se face de la gât în sus! Albert Einstein avea un şofer pe care îl lua la toate conferinţele şi discursurile lui, ca să nu îl lase să aştepte în maşină. După ani buni de participare la discursurile geniului, şoferul a învăţat pe dinafară tot ceea ce spunea Einstein, aşa că l-a rugat să îl lase şi pe el să ţină un discurs în locul lui. Acesta a fost de acord. La discurs, după ce termină tot de spus şi după aplauze, un domn îi puse o întrebare foarte dificilă. Şoferul, nepierzându-se cu firea, a răspuns fără să ezite, arătând spre Einstein: – Să ştiţi că această întrebare este atât de uşoară încât şi şoferul meu, care se află acolo, vă poate răspunde.

MATE.CLUB

35


.

CERCUL DE MATEMATICĂ „MATE.CLUB”

TITLUL PROIECTULUI: . „MATE.CLUB‖ – Cerc de matematică UNITATEA DE ÎNVĂȚĂMÂNT ÎN CARE SE DERULEAZĂ PROIECTUL: Școala cu clasele I-VIII Nr. 3 „Mihai Eminescu”, Municipiul Rădăuți ANUL ȘCOLAR ÎN CARE S-A IMPLEMENTAT PROIECTUL: 2011 – 2012 COORDONATOR: Profesor, Gabriela Sascău GRUP ȚINTĂ: Elevi din clasele a V-a B și a VIII-a B de la Școala cu clasele I-VIII Nr. 3 „Mihai Eminescu” DIAGNOZĂ: „Pentru a aprecia pe deplin posibilităţile unui elev, trebuie să-l aducem în postura în care e activ fără a mai primi informaţie, trebuie să apelăm la spiritul său de iniţiativă, la capacitatea sa de a întreprinde.“ (R. Thom) Munca de zi cu zi la catedră, confruntarea cu nevoile elevilor de gimnaziu, dar mai ales dorința de a contribui la crearea unor contexte prin care acești viitori „matematicieni” să-și descopere competențele, m-au determinat să identific o modalitate eficientă de promovare a valorilor latente existente în elevii care și-au arătat încântarea la ideea că vor forma o echipă de „mici cercetători”. Etapa preliminară a fost rezervată analizei circumstanțelor în care se va desfășura proiectul, generic numit de ei „MATE.CLUB‖ nume ales ca o reacție antinomică față de colegii care nu urmăresc altceva decât distracția în altfel de „cluburi”. Entuziasmul copiilor s-a datorat, mai ales, ideii de a trece dincolo de granițele programei și de a descoperi frumusețea matematicii prin cumularea imaginației cu inteligența și cu materializarea celor mai generoase descoperiri. A doua etapă a consumat interesul părinților care, alături de copiii lor, vor trăi din plin bucuria reușitei prin efort propriu, dar, în mod deosebit, conturarea unui drum pe care aceștia îl vor urma în viață. Adeziunea lor a fost unanimă. În cea de-a treia etapă am încercat să stabilim împreună, coordonator și membri, un demers al activităților, cu toate subdiviziunile necesare realizării întregului. Activitățile au fost distribuite pe cele 9 luni, fiecare primind o denumire aleasă de elevi iar acțiunile au fost preluate de membrii cercului, nominal. Deasemenea, am stabilit și unitatea de timp necesară desfășurării fiecărei activități: documentarea, rezolvarea sarcinilor de lucru, analiza rezultatelor muncii în cadrul echipei, discuții cu profesorul coordonator și asamblarea detaliilor în structura activității. În felul acesta s-a conturat harta sau cadrul general pe care, ca într-un puzzle, se vor așeza, rând pe rând produsele obținute în urma activității individuale și colective a membrilor cercului „MATE.CLUB”. În final va avea loc evaluarea activității cercului și fiecare echipaj își va prezenta produsele muncii desfășurate de-a lungul acestei perioade și va constata progresele făcute. Multe dintre finalitățile lor vor fi puse la dispoziția colegilor, implicit, la promovarea ideilor novatoare în rândul acestora și la incitarea curiozității altora. Pentru a le spori interesul am selectat elevi din clasa a V-a și din clasa a VIII-a. Mi s-a părut interesantă alăturarea elevilor din cele două extremități ale ciclului gimnazial, și, după primele întâlniri mi s-a confirmat ipoteza, căci „cei mici” le transferă celor din anul terminal inocenţa şi entuziasmul copilăresc iar cei din clasa a VIII-a se simt propulsaţi de ideea că îi pot ajuta pe „prichindei” să descopere tainele matematicii. Unii lângă alții, influențându-se reciproc, au pornit la treabă.

MATE.CLUB

36


OBIECTIV GENERAL Proiectul constituie un context favorabil atât perfecționării profesorului de matematică care identifică modalități inedite de formare/dezvoltare a competențelor la elevi, cât și de implementare a competențelor achiziționate de elevi la orele de clasă/de perfecționare a deprinderilor de gândire logică, de valorificare superioară a deprinderilor dobândite anterior. OBIECTIVE SPECIFICE O. 1. Dirijarea formării și dezvoltării cunoașterii de la concret la abstract prin valorificarea achizițiilor anterioare. O.2. Dezvoltarea gândirii creatoare prin identificarea unor situații în care logica și imaginația coexistă – povești. O.3. Corelarea unor aspecte din realitate cu abstractul din matematică prin jocuri didactice. O.4. Incitarea interesului pentru matematică prin cunoașterea unor personalități din domeniu – modele demne de urmat. O.5. Descifrarea misterelor ascunse în spatele cifrelor prin crearea/dezlegarea unor rebusuri. O.6. Familiarizarea elevilor cu modalitățile de „disciplinare” a cifrelor a căror vrajă devine fascinantă pe măsura intrării în acest univers. O.7. Parcurgerea etapelor gândirii logice: de la concret la abstract și înapoi la concret prin crearea de probleme. O.8. Evaluarea competențelor dobândite și a produselor realizate prin concursul dintre două echipaje, pentru înțelegerea progresului realizat. O.9. Diseminarea produselor cercului în școală și în comunitate prin revista redactată de membrii cercului. O.10. Perfecționarea deprinderilor de muncă independentă. O.11. Dezvoltarea spiritului critic, inițiativa, independența. O.12. Cultivarea atenției, voinței și a pasiunii pentru matematică. INDICATORI Indicatori cantitativi: - 20 elevi implicaţi în organizarea şi desfăşurarea activităţilor propriu-zise ale proiectului; - 4 grupe de lucru; - 50 de elevi participanţi la activităţi în calitate de public; - 40 de profesori și învățători informați asupra activităților proiectului; - 50 părinți participanți la activitățile de diseminare; - 3 concursuri organizate; - 100 exemplare ale revistei matematice „MATE.CLUB” Indicatori calitativi: - informarea cadrelor didactice din școală asupra activităților cercului; - participarea crescută a elevilor la activităţile cercului; - participarea crescută a cadrelor didactice la activităţile cercului și la concursurile organizate; - participarea părinților elevilor implicați la concursurile organizate; - implicarea părinților și a agenților economici în premierea elevilor ce se remarcă; - promovarea revistei cercului în școală și comunitate; - participare la cel puțin un concurs de reviste școlare. AUTOEVALUAREA PROIECTULUI - anexe la proiect: fișe de autoevaluare, chestionare de satisfacție (elevi, părinți)

MATE.CLUB

37


DESCRIEREA ACTIVITĂȚILOR NR. CRT. 1.

2.

ACTIVITATEA

OBIECTIVE

RESURSE

„Trepte spre cunoaștere” – deschiderea activității cercului

Dirijarea formării și dezvoltării cunoașterii de la concret la abstract prin valorificarea achizițiilor anterioare

Resurse materiale: - plan de activități

„Matematica din poveste”

Dezvoltarea gândirii creatoare prin identificarea unor situații în care logica și imaginația coexistă – povești

Resurse materiale: - fișe; - cărți de povești; - calculator; - video-proiector

ORIZONTUL DE TIMP Octombrie 2011

Resurse financiare: - resurse proprii

Noiembrie 2011

Resurse financiare: - resurse proprii 3.

„Matematică distractivă”

Corelarea unor aspecte din realitate cu abstractul din matematică prin jocuri didactice

Resurse materiale: - fișe; - calculator; - video-proiector;

Resurse financiare: - resurse proprii

MATE.CLUB

Decembrie 2011

REZULTATE ANTICIPATE: - informarea elevilor; - aderarea lor la idee; - prezentarea scenariului propus; - aprobarea acestuia; - selectarea membrilor prin testare; - formarea echipajelor; - distribuirea responsabilităților: raportor, secretar, timer, redactorul revistei, consilier; - prezentarea activităților; - distribuirea sarcinilor de lucru pentru următoarea întâlnire - distribuirea bibliografiei pe grupe; - selectarea poveștilor în care se întâlnesc aspectele vizate: cifre, personaje, obstacole, conflicte; - prelucrarea informațiilor obținute prin documentare în subansamble; - crearea problemelor matematice; - evaluarea calității muncii desfășurate - matematica între realitate și magie; - parcurgerea etapelor unor jocuri matematice; - crearea unor jocuri matematice; - evaluarea calității muncii desfășurate


4.

Matematicieni celebri

Incitarea interesului pentru matematică prin cunoașterea unor personalități din domeniu – modele demne de urmat

Resurse materiale: - fișe; - calculator; - video-proiector

Ianuarie 2012

- prezentarea unor PP-uri cu matematicieni celebri; - discutarea elementelor inedite; - alegerea unui model; - motivarea acestei alegeri prin crearea unui produs apropiat celor ale modelului; - evaluarea calității muncii desfășurate

Februarie 2012

- dezlegarea unor rebusuri matematice; - familiarizarea cu tehnica realizării unor rebusuri matematice cu ajutorul softului Hot Potatoes; - realizarea unor produse personalizate; - concurs între grupe pentru evaluarea produselor

Martie 2012

- descoperirea unor elemente din șiruri de numere; - crearea de careuri magice și rezolvarea lor de către membrii celorlalte grupe; - crearea unor probleme de numărare de către fiecare grupă; - rezolvarea problemelor create de către o grupă, de reprezen-tanții celorlalte grupe; - evaluarea calității muncii desfășurate

Resurse financiare: - resurse proprii

5.

Rebus matematic

6.

„Vraja cifrelor”

MATE.CLUB

Descifrarea misterelor ascunse în spatele cifrelor prin crearea/dezlegarea unor rebusuri

Resurse materiale: - fișe; - calculator; - video-proiector; - flipchart; - diplome; - premii Resurse financiare: - resurse proprii - sponsorizări Familiarizarea elevilor cu Resurse materiale: modalitățile de - fișe; „disciplinare” a cifrelor a - calculator; căror vrajă devine - video-proiector; fascinantă pe măsura - flipchart intrării în acest univers. Resurse financiare: - resurse proprii


7.

„Probleme, probleme...!”

Parcurgerea etapelor gândirii logice: de la concret la abstract și înapoi la concret prin crearea de probleme.

Resurse materiale: - fișe; - calculator; - video-proiector; - diplome; - premii Resurse financiare: - resurse proprii; - sponsorizări

Aprilie 2012

- identificarea unor situații generatoare de probleme în realitatea înconjurătoare; - concentrarea acestor situații în probleme; - rezolvarea lor; - concurs între grupe; - evaluarea calității muncii desfășurate

8.

Redactarea revistei matematice „MATE.CLUB”

Diseminarea produselor cercului în școală și în comunitate prin revista redactată de membrii cercului.

Resurse materiale: - calculator; - CD-uri

Mai 2012

- distribuirea sarcinilor membrilor comisiei de redactare a revistei; - selectarea materialului; - redactarea revistei; - promovarea acesteia în școală și comunitate; - participare la concursuri de reviste școlare

Evaluarea competențelor dobândite și a produselor realizate prin concursul dintre două echipaje, pentru înțelegerea progresului realizat.

Resurse materiale: - fișe; - postere; - calculator; - video-proiector; - diplome şi premii Resurse financiare: - resurse proprii; - sponsorizări

Iunie 2012

- competiție între creatorii de probleme, de rebusuri, de jocuri matematice şi de careuri magice; - popularizarea câștigătorilor prin stația de radio amplificare a școlii, postere în colțul matematicianului; - premierea câștigătorilor

9.

Concurs „MATE.CLUB”

MATE.CLUB

Resurse financiare: - resurse proprii; - sponsorizări


IMAGINI DIN ACTIVITATEA CERCULUI DE MATEMATICĂ „MATE.CLUB”

MATE.CLUB

41


MATE.CLUB

42


PREMII OBTINUTE DE MEMBRII CERCULUI Concursul Naţional „Lumina Math”  Premiul I şi Exursie în Istanbul – Rusu Alexandru Daniel, cl. a V-a B  Premiul III – Deleanu Cristian Constantin, cl. a V-a B

Concursul Naţional „Euclid” Etapa I  Premiul II și Medalie bronz – Rusu Alexandru Daniel, cl. a V-a B  Mențiune – Cernăuţean Andrei Iulius , cl. a V-a B Etapa II  Premiul II și Medalie argint – Rusu Alexandru Daniel, cl. a V-a B Etapa III  Premiul I și Medalie aur – Rusu Alexandru Daniel, cl. a V-a B Olimpiada Naţională de Matematică, etapa judeţeană  Menţiune – Rusu Alexandru Daniel, cl. a V-a B Concursul Taberei Județene de Matematica în Bucovina – Cîmulung Moldovenesc  Premiul I – Rusu Alexandru Daniel, cl. a V-a B Concursului Naţional „±Poezie”, etapa judeţeană  Premiul III – Rusu Alexandru Daniel, cl. a V-a B  Menţiune – Donisan Maria, cl. a V-a B Concursul Internaţional de Matematică Aplicată „Canguru”  Calificaţi la proba de baraj – Rusu Alexandru Daniel, Deleanu Cristian Constantin, Boghiu Laurenţiu Dorian, Mihalescu Ilie, cl. a V-a B Concursul Interjudeţean de Matematică „Isteţii DArbore ”  Menţiune – Rusu Alexandru Daniel, cl. a V-a B  Menţiune – Donisan Maria, cl. a V-a B

MATE.CLUB

43


Anul I Nr. 1/2012 CUPRINS

1. A fi sau a nu fi... zero! ..........................................................................................................

2

2. Criterii de divizibilitate .........................................................................................................

4

3. Iluzii optice ...................................................................................................................

7

4. Principiul lui Dirichlet .....................................................................................................

10

5. MATEMATICIENI CELEBRI 5.1. Pitagora ............................................................................................................ .......

13

5.2. Euclid .............................................................................................................. .......

14

5.3. Arhimede ......................................................................................................... .......

14

5.4. Thales .............................................................................................................. .......

17

6. PROBLEME, PROBLEME...! 6.1. Pătrate magice .................................................................................................. .......

19

6.2. Găseşte numărul ...............................................................................................

20

6.3. Probleme de numărare .......................................................................................

21

6.4. Geometrie cu foarfeca .......................................................................................

23

7. MATEMATICA DIN POVEŞTI .....................................................................................

24

8. JOCURI MATEMATICE 8.1. Drumul cunoaşterii .............................................................................................

27

8.2. Zarurile buclucaşe ..............................................................................................

28

9. VRAJA CIFRELOR .......................................................................................................

29

10. CURIOZITĂŢI MATEMATICE ....................................................................................

31

11. REBUS MATEMATIC ..................................................................................................

33

12. ANECDOTE MATEMATICE ........................................................................................

35

13. PROIECTUL CERCULUI DE MATEMATICĂ „MATE.CLUB” ....................................

36

14. IMAGINI DIN ACTIVITATEA CERCULUI ..................................................................

41

15. PREMII OBŢINUTE DE MEMBRII CERCULUI ...........................................................

43

.

MATE.CLUB

44

Mate.club Editia I  

revista cercului de matematica mate.club http://culegerematematica.ro

Advertisement