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Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsmathematik 1 und Statistik 1, SS 2008

Prof.Dr. GiselaMaercker

Reading Week – Lösungen

LI.2.

x '( p) −1,3 ⋅ 3000 ⋅ p −2,3 ⋅ p ⋅p= = −1,3 = const. , x( p ) 3000 ⋅ p −2,3 d.h. bei 1%iger Preissteigerung(-senkung) erfolgt ein Nachfragerückgang(-anstieg) um (ca.) 1,3 %, und zwar (wg. ε x , p = −1,3 = const. ) unabhängig von der Stelle p, also gleichermaßen für alle p. i) a) ε x , p =

b) p = 5 ⇒ x( p) = 3000 ⋅ 5−1,3 = 370, 22 p um 1 % erhöhen, dann neuer Preis p = 5,05 ⇒ x( p) = 3000 ⋅ 5, 05−1,3 = 365, 46 . x(5, 05) − x(5) 365, 46 − 370, 22 Also prozentuale Änderung von x( p) : = = −0, 013 = −1,3 %, 370, 22 x(5) also Nachfragerückgang um 1,3 %.

f '( x) 7 ⋅10 ⋅ x 6 ⋅ x ⋅x = = 7 = const. f ( x) 10 ⋅ x 7 f '( x) 3(8 x + 2) − (3 x − 4)8 38 x = ⋅x = ⋅x = f ( x) (8 x + 2)(3x − 4)  3x − 4  (8 x + 2) 2 ⋅    8x + 2 

ii) a) ε f , x = b) ε f , x

c) ε f , x

f '( x) 2e−5 x + 2 xe−5 x (−5) 2 xe −5 x (1 − 5 x) = ⋅x = ⋅x = = 1 − 5x f ( x) 2 xe −5 x 2 xe−5 x

iii) 1) a) i) ε x , p (5) = −1, 25 bedeutet, dass die Nachfrage x sich (näherungsweise) um 1,25% verringert, wenn der Preis p sich - von 5 GE/ME ausgehend – um 1% erhöht. ii) ε x , p (9) lässt sich nicht bilden, da x(9) = 0 . Es ist lim− ε x , p ( p) = −∞ . p →9

iii) p = 600 liegt nicht im Definitionsbereich von x( p ) . b) ε x , p ( p ) = +6% −3% = −2 ⇒ p = 6 GE/ME c) ε x , p ( p ) = −4% +4% = −1 ⇒ p = 4,5 GE/ME ⇒ x = 9 ME 1 ⇒ (Interpretationen analog zu 1)i)) ln p − ln 800 i) ε x , p (5) = −0,1970 , ii) ε x , p (9) = −0, 2228 iii) ε x , p (600) = −3, 4761 .

2) a) x( p) = −100 ( ln p − ln 800 ) ⇒ ε x , p =

b) ε x , p = −2 ⇒ p = 800e −0,5 ≈ 485, 22 GE/ME c) ε x , p = −1 ⇒ p = 800e−1 GE/ME ⇒ x = 100 ME .


Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsmathematik 1 und Statistik 1, SS 2008

Prof.Dr. GiselaMaercker

LII. 2. Finde Nullstelle von f ( x) = x 3 − 17 mit dem bereits vorgegebenen Startwert x1 = 2,5 . Mit der Iterationsvorschrift f ( xk ) x 3 − 17 xk +1 = xk − = xk − k 2 f '( xk ) 3xk folgt: x2 = 2,57333333 x3 = 2,57128323 . Die auf 8 Nachkommastellen exakte Lösung ist x = 2,57128159 .

3. Die Iterationsvorschrift ist hier: xk +1 = xk −

e xk + xk . e xk + 1

Für den Startwert (z.B.) x1 = 0 lauten die nächsten iterierten Werte: x2 = −0,50000 x3 = −0,56631 x4 = −0,56714 = x5 = ...


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