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con Matemática Enlace es un conjunto de materiales didácticos articulados por la convicción de que sólo encontrándole sentido a los conocimientos

6

con Matemática

Unidad 1

logramos el aprendizaje.

Sistema

Las áreas académicas se enlazan entre sí y –a la vez– con la red del

de numeración p.10

conocimiento universal y con la realidad cotidiana. Son esas conexiones las que otorgan significado a los conceptos. Enlace presenta algunas

Operaciones

de ellas, pero faltan muchas por descubrir. Ese es el reto.

combinadas p.38

Desde Santillana agradecemos a las escuelas que participaron en

Pensamiento crítico

las pruebas de las páginas piloto. Los aportes hechos por los y las

Desarrollo del

con Lengua y Literatura con Matemática con Ciencias de la Naturaleza y Tecnología con Ciencias Sociales

con Matemática

docentes, tras vivir la experiencia de Enlace con sus estudiantes, fueron clave para desarrollar estos bienes pedagógicos.

pensamiento y toma de decisiones p.67

SOLUCIÓN

de problemas mediante ecuaciones p.92

6 Libro digital (estudiante)

6 Idea para la acción

Libro digital

PAPEL

(estudiante)

reciclado p.113

Actividades DE REPASO p.156

Resolución de problemas

6 Libro digital (estudiante)

Conteo p.176

Libro digital (estudiante)

6 Libro digital CD Alumno

(estudiante)

INCLUYE LIBRO DIGITAL INTERACTIVO

Enlace con…

DEPORTES p.193


Matemática

6

El libro Enlace con Matemática 6 es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro.

En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Edición general adjunta Inés Silva de Legórburu

Coordinación de arte Mireya Silveira M.

Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R.

Diseño de unidad gráfica Rosi Milgrom

Edición general Clodovaldo Hernández

Coordinación de unidad gráfica Alan Ramos Figueroa

Textos • Lisbeth Villaparedes Profesora, mención Matemática, egresada de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador - Instituto Pedagógico de Caracas

Diseño de cubierta Rosi Milgrom

• Nathalia García M. Licenciada en Educación, mención Matemática y Licenciada en Matemática, Universidad Central de Venezuela

Diseño y diagramación general María Elena Becerra M. Documentación gráfica Amayra Velón Lisbeth Cabezas

• Daniel G. Hernández N. Licenciado en Educación, mención Matemática, Universidad Central de Venezuela

Ilustraciones Evelyn Torres Walther Sorg Andrés Hernández

Edición ejecutiva Nathalia García M.

Infografías Walther Sorg

Edición de apoyo Evelyn Perozo de Carpio Daniel G. Hernández N.

Fotografías Fondo Documental Santillana Erich Sánchez

Corrección de estilo Mariví Coello Dina Selvaggi Esther Ledezma María José Gallucci

Retoque y montaje digital Evelyn Torres Anthonny Rojas

Lectura especializada Durly Padilla Agradecimientos: A los familiares que dieron su autorización para que los niños y las niñas participaran como imagen de este libro.

Imagen de la portada: Enlace 6 cconsidera las telecomunicaciones como una área de la tecnología orientada a mejorar la calidad de vida. El celular de Matemática representa uno de los avances tecnológicos, con el cual se transmite a distancia la palabra y toda clase de sonidos.

Enlace con Matemática 6 © 2010 by Editorial Santillana, S.A. Editado por Editorial Santillana, S.A. Primera edición: 2010 Segunda edición: 2012 Reimpresión: 2013 Nº de ejemplares: 4 300 Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: 235 3033 / 235 4730 / 235 5878 www.santillana.com.ve

ISBN: 978-980-15-0304-0 Depósito legal: lf63320103701062 Impreso en Venezuela por: Artes Gráficas Rey, C.A. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titulares delCopyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción totalo parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos lareprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ellamediante alquiler o préstamo público.


SOLO PรGINAS SELECCIONADAS PARA MUESTRA

con Matemรกtica

6

Im

En ori de tod


Así pensamos este libro para ti Inicio de unidad Intercambio de ideas y opiniones. Actividades, juegos y preguntas grupales para iniciar cada unidad de forma interactiva. Las imágenes y los textos plantean retos interesantes para resolver con tu creatividad, tus experiencias y la expresión de tus ideas.

Competencias. Descripción de los conocimientos, las habilidades, las actitudes y los valores que desarrollarás al finalizar cada unidad.

Idea para la acción. Actividad grupal para investigar, producir materiales, experimentar, escribir o realizar actividades culturales, en tus proyectos de aprendizaje.

En esta unidad encontraremos. Esquema gráfico para que aprecies de un vistazo los temas de la unidad y las relaciones entre ellos.

Actividades. Propuestas y ejercicios para afianzar tus conocimientos, enlazarte con otras áreas y trabajar en equipo.

Desarrollo de los temas Texto de activación. Situaciones problemáticas para resolver, poner en práctica tus habilidades mentales e introducirte en cada tema.

Contenido. Tema con información actualizada, presentada en textos, esquemas y atractivos recursos gráficos.

Información complementaria. Datos, juegos, reflexiones y enlaces con otras áreas o recursos de Internet para complementar la información de cada tema. Íconos. Imágenes que enlazan los contenidos y las actividades con los recursos del libro digital.

2

Pensamiento crítico. Actividades que te ayudarán a desarrollar tu capacidad de reflexionar y ofrecer juicios de valor sobre lo visto en el tema.

Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y novedosa, que ofrecen información a través de imágenes y textos, para aprender de manera dinámica.

© Editorial Santillana, S.A.

Desarrollo de los temas


Cierre de unidad Actividades de repaso de unidad. Ejercicios y problemas relacionados con los contenidos vistos en la unidad.

Enlace con… Muestra la relación entre las diversas áreas de las ciencias para destacar sus avances tecnológicos y su utilidad en la vida cotidiana. Idea para la acción. Desarrollo de la actividad planteada al inicio de cada unidad, con detalle de materiales a utilizar, procedimientos, resultados, conclusiones, datos y reflexiones sobre su utilidad en tu entorno.

Resolución de problemas. Nuevas estrategias para resolver problemas, con las cuales podrás desarrollar el pensamiento lógico-matemático.

Páginas de evaluación

Actividades de evaluación. Sección ubicada al final de las unidades tres, seis y nueve, que te permite poner a prueba tus conocimientos, aplicarlos a situaciones prácticas, compartir opiniones y valores en grupo, y analizar cómo va el desarrollo de tus competencias y habilidades.

Libro digital CD con una versión animada del libro y diversos recursos interactivos.

Proyecto

Matemática

Contenidos Glosario

Recursos

U2

100%

Íconos. Símbolos interactivos para acceder a los recursos digitales.

Operaciones combinadas Operaciones combinadas con signos de agrupación

cajera por la cuenta que tenía que pagar. La señora llevaba

Los signos de agrupación indican las operaciones que hay que resolver primero. Siempre comenzamos por los paréntesis, que son los signos que están más adentro en la operación.

3 paquetes de harina que costaban Bs. 2,5 cada uno; 1 paquete de café de Bs. 2; 5 latas de atún de Bs. 18,5 cada una; y una mantequilla de Bs. 1,75. La cajera le decía que debía pagar Bs. 103,75. Sin embargo, a la señora le daba Bs. 270,

Para resolver una operación combinada con signos de agrupación, realizamos los siguientes pasos: 1. Resolvemos las operaciones combinadas que se encuentran dentro de los paréntesis, si los hay, siguiendo las reglas de las operaciones combinadas sin signos de agrupación. 2. Resolvemos las operaciones combinadas que se encuentran dentro

¿quién estará equivocada?

combinadas sin signos de agrupación.

Operaciones combinadas Las operaciones combinadas son expresiones en las que usamos la adición, la sustracción, la multiplicación y la división para resolverlas. Para resolver una operación combinada es necesario identificar si

→ 639 3 100 1 639

la operación posee o no signos de agrupación, como paréntesis  ,

→ 63 900 1 639

Libro digital

siguiendo las reglas de las operaciones combinadas sin signos de agrupación. Por ejemplo, resolvamos la siguiente operación combinada con signos

639 3 101 5 64 539 Ejercicios

Para resolver una operación combinada donde no existen signos de

a) 521 3 101

agrupación, como 23,63254 4321188 239243 242,2116,131,

b) 362 3 101

procedemos de la siguiente forma.

c ) 987 3 101

1. Resolvemos las multiplicaciones y divisiones, si las hay, de izquierda

d) 874 3 101

combinadas sin signos de agrupación. 4. Resolvemos las operaciones combinadas restantes, si las hay,

corchetes   o llaves   .

Operaciones combinadas sin signos de agrupación

→ 64 539

(estudiante)

de las llaves, si las hay, siguiendo las reglas de las operaciones

Cálculo mental 639 3 101

de agrupación: 23,6 1 2 532 1 18 3 2 3 6 2 10,1 2 22,2  2 1 1,1 3 10 1. Resolvemos las operaciones dentro del paréntesis. 23,6 1 2 532 1 18 3 2 3 6 2 10,1 2 22,2  2 1 1,1 3 10 5 23,6 1 2 532 1 18 3  12

Tecnomundo

a derecha. 23,6 3 254 432 1 188  2 3 9 2 43 242,2 1 16,1 3 1 5

6 004 595,2

1

5

6 004 595,2

1

94

3 9 2 43 242,2 1 16,1 846

2 43 242,2 1 16,1

izquierda a derecha. 5 5 5 5

6 004 595,2

1

846

2 43 242,2 1 16,1

6 005 535,2

2 43 242,2 1 16,1 5 962 293 5 962 309,1

1 16,1

© Editorial Santillana, S.A.

2. Resolvemos las adiciones y las sustracciones, si las hay, de © Editorial Santillana, S.A.

© Editorial Santillana, S.A.

de los corchetes, si los hay, siguiendo las reglas de las operaciones 3. Resolvemos las operaciones combinadas que se encuentran dentro

Para multiplicar por 101.

Botones de acción. Guías para ejecutar todas las funciones del libro digital.

Glosario

Esta mañana en el supermercado una señora discutía con la

6

6

38

En los supermercados utilizan las cajas registradoras electrónicas para calcular el total de una compra. Estas máquinas poseen un lector de código de barras para identificar el producto a facturar y un lector de tarjeta mecánica para las operaciones con tarjetas de crédito o débito.

5 23,6 1 2 532 1 18 3

2 10,1 2 22,2  2 1 1,1 3 10 1,9

2 22,2  2 1 1,1 3 10

2. Resolvemos las operaciones dentro del corchete. 23,6 1 2 532 1 5 23,6 1 

34,2

2 566,2

5 23,6 1

2

11,1

1 1,1 3 10

2

11,1

1 1,1 3 10

2 555,1

1 1,1 3 10

3. Resolvemos las operaciones restantes. 23,6 1 5 5

2 555,1 2 578,7

1

11

1

11

2 589,70

Cuando resolvemos todas las operaciones dentro de un signo de agrupación, el signo de agrupación correspondiente desaparece. 39

38 - 39

Multimedia. Recursos interactivos con actividades complementarias. Enlace con... Información adicional para reforzar los contenidos presentados en el libro.

Links interactivos: Direcciones electrónicas para hacer click y consultar en Internet online (la actualización de estos links no depende del libro digital).

3


Tabla de contenidos Competencias e indicadores.......................................... 6

1 Sistemas

de numeración . ............................ 10

Unidad

4 Ecuaciones

de primer grado ............................ 8 6

Sistemas de numeración........................... 1 2

Números naturales y decimales ............... 1 6

Redondeo y aproximación de números naturales y decimales................. 20

Solución de problemas mediante ecuaciones.................................. 9 2

Números negativos .................................. 24

Actividades de repaso................... 28 Resolución de problemas.............. 30 Idea para la acción....................... 3 1

Unidad

2 Operaciones con

números naturales y decimales. ................................... 32

Propiedades de operaciones con números naturales y decimales............................... 34

Operaciones combinadas......................... 38

Potenciación.............................................. 42

Raíz cuadrada y raíz cúbica . .................... 46

Actividades de repaso................... 50 Resolución de problemas.............. 52 Idea para la acción....................... 53

Unidad

3 Divisibilidad, m.c.m.,

m.c.d. y fracciones ....................... 54

Criterios de divisibilidad y mínimo común múltiplo.......................... 56

Máximo común divisor ............................. 60

Orden en las fracciones . .......................... 64

Adición y sustracción con fracciones . ....... 68

Multiplicación con fracciones . .................. 72

Fracción inversa y división con fracciones.............................. 76

Actividades de repaso................... 80 Resolución de problemas.............. 82 Idea para la acción....................... 83

Actividades de evaluación Unidades 1, 2 y 3 ......................................................... 84

4

Unidad

Ecuaciones................................................. 88

Actividades de repaso.................... 96 Resolución de problemas............... 98 Idea para la acción........................ 99

5 Proporcionalidad............................100

Proporcionalidad y regla de tres................. 102

Porcentaje e interés simple......................... 106

Actividades de repaso.................... .1 10 Resolución de problemas............... 1. 12 Idea para la acción..........................1 13

Unidad

6 Geometría....................................... 114 Polígonos.................................................. 116

Mediatrices y bisectrices de un triángulo.......................................... 120 Medianas y alturas de un triángulo.......................................... 124

Cuerpos geométricos................................ 128

Congruencia y simetría............................. 132

Actividades de repaso................... 136 Resolución de problemas.............. 138 Idea para la acción....................... 139

Actividades de evaluación Unidades 4, 5 y 6 ................................................................ 140

© Editorial Santillana, S.A.

Unidad


Unidad

7 Longitud, área y volumen............

142

Longitud de la circunferencia y área del círculo ....................................... 144

Unidad

1

Una dramatización un poco extraña .................... 31

Unidad

2

Menú saludable .................... 53

Unidad

3

Aprendiendo a cocinar ........ 83

Unidad

4

Debatiendo problemas ........ 99

Medidas de volumen ............................... 170

Unidad

5

Papel reciclado ..................... 113

Actividades de repaso ................... 174 Resolución de problemas .............. 176 Idea para la acción ....................... 177

Unidad

6

Comunidad en miniatura

Área de polígonos y de figuras planas compuestas .................. 148 Volumen de un paralelepípedo ................. 152

Actividades de repaso ................... 156 Resolución de problemas .............. 158 Idea para la acción ....................... 159 Unidad

Idea para la acción

8 Medición ........................................

160

Unidades de tiempo ................................. 162 Medidas de superficie .............................. 166

Unidad

9 Estadística y probabilidad ...........

178

...................... 139

Unidad

7

Juego de mesa

Probabilidad ............................................. 188

Unidad

8

Actividades de repaso ................... 192 Resolución de problemas .............. 194 Idea para la acción ....................... 195

Fichero de animales en extinción .......................... 177

Unidad

9

Investigación estadística .......................... 195

Organización y análisis de datos ............... 180 Gráficos..................................................... 184

Actividades de evaluación

................... 159

© Editorial Santillana, S.A.

Unidades 7, 8 y 9 ........................................................ 196

5


Competencias e indicadores ¿Competencias? Sí, pero no se trata de una carrera o de un juego. En educación, las competencias son conocimientos, actitudes y habilidades que se unen a los saberes que ya tenemos, para desempeñarnos mejor en nuestra vida. ¿Y los indicadores? Son aspectos de nuestro comportamiento que nos permiten verificar cómo se están desarrollando nuestras capacidades o competencias. Por ejemplo, para comprobar si tenemos la competencia de comprender y manejar operaciones como la adición, podemos usar el siguiente indicador: calcular mentalmente el costo total de una compra en una tienda o en la cantina del colegio. Las competencias y los indicadores están en el Programa Oficial de Matemática de 6º grado de Educación Primaria, y aparecen en la siguiente tabla donde se indican las páginas donde hay contenidos relacionados con cada indicador. COMPETENCIA

INDICADORES

Reconoce y usa el sistema de numeración decimal como un sistema de numeración posicional y lo diferencia de un sistema de numeración no posicional.

Reconoce el sistema de numeración decimal como un sistema de numeración posicional de base diez.

12-15, 28-29, 84-85

Diferencia un sistema de numeración posicional de uno no posicional.

12-15, 28-29, 84-85

Expresa ejemplos de sistemas de numeración posicionales y no posicionales.

12-15, 28-29, 84-85

Escribe números naturales en los sistemas posicionales de bases 2 y 5.

12-15, 28-29, 84-85

Compara y ordena números escritos en el sistema de numeración decimal.

20-23, 28-29, 84-85

Redondea números escritos en el sistema de numeración decimal.

20-23, 28-29, 84-85

Aproxima números decimales.

20-23, 28-29, 84-85

Compara y ordena fracciones de diferentes denominadores, usando fracciones equivalentes o el mínimo común múltiplo de los denominadores.

64-67, 80-81, 84-85

Inicia el estudio de los números negativos como una necesidad de ampliar los números naturales. Utiliza las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación con números naturales, decimales o fracciones, al seleccionar strategias de cálculo y aplicar las propiedades de la adición, de la multiplicación y de las igualdades.

6

106-111, 140-141

Lee, escribe y usa los números negativos en situaciones cotidianas.

24-29, 84-85

Compara y ordena números naturales y negativos.

24-29, 84-85

Utiliza las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro de la adición y la multiplicación, y la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición, para facilitar la realización de las operaciones con números escritos en el sistema de numeración decimal. Lee, escribe e interpreta los elementos de una potencia.

34 - 37, 52 -53

42-45

Utiliza la potenciación para expresar un número en forma polinómica, descomponer un número en factores primos y simplificar la escritura de números terminados en cero.

42-45, 52-55

Compara y ordena potencias.

42-45, 52-55

© Editorial Santillana, S.A.

Establece relaciones entre porcentajes, fracciones decimales, expresiones decimales y representaciones gráficas de fracciones.

Pág.


Reconoce, describe y construye figuras planas y cuerpos geométricos, usando los instrumentos de dibujo y materiales disponibles en su entorno.

© Editorial Santillana, S.A.

Calcula longitudes, áreas y volúmenes de figuras planas y cuerpos geométricos, y establece relaciones entre las unidades de medida.

Utiliza los criterios de divisivilidad por 2, 3 y 5 para descomponer números en factores primos.

56-59, 80-81

Determina el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o tres números naturales.

56-63, 80-81

Realiza operaciones combinadas de adición y sustracción de fracciones con diferente denominador, usando el mínimo común múltiplo de los denominadores.

72-75, 80-81

Selecciona el orden de realización de las operaciones en ejercicios combinados de adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones y expresa los resultados en forma de fracción irreducible.

72-81

Identifica los miembros, los términos, la incógnita y la solución de una ecuación.

88-91, 96-97

Traduce ecuaciones en forma oral y, recíprocamente, traduce en ecuaciones situaciones referidas a relaciones entre números naturales.

88-91, 96-97

Resuelve, por tanteo y despejando la incógnita, ecuaciones sencillas en las cuales intervienen números naturales y cuyas soluciones son números naturales.

92-97

Calcula porcentajes mentalmente y por escrito.

106-111

Diferencia prismas, pirámides y cuerpos redondos.

128-131, 136-137

Elabora plantillas para construir objetos con forma de prismas, pirámides y cuerpos redondos.

128-131, 136-137

Dibuja cuerpos geométricos, utilizando una cierta perspectiva.

128-131, 136-137

Traza mediatrices, medianas y alturas a los lados de un triángulo.

120-127, 136-137

Traza bisectrices de los ángulos internos de un triángulo.

120-123, 136-137

Determina los puntos de corte de mediatrices, medianas, alturas y bisectrices de un triángulo y expresa sus relaciones con los lados o vértices del triángulo.

120-127, 136-137

Traza la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita a un triángulo.

120-127, 136-137

Traza la circunferencia inscrita a un polígono regular.

120-127, 136-137

Construye polígonos congruentes, usando congruencia de segmentos y ángulos.

116-119, 132-137

Traza ejes de simetría en figuras geométricas planas.

132-137

Traza figuras simétricas respecto a un eje de simetría

132-137

Usa la fórmula para calcular la longitud de una circunferencia.

144-147, 156-157

Identifica, lee y escribe los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.

166-169, 174-175

Establece equivalencias entre las medidas de superficie.

166-169, 174-175

Elige la unidad adecuada según la superficie a medir.

166-169, 174-175

Calcula el área de círculos.

148-151, 156-157

Calcula y estima el área de figuras planas mediante la descomposición en otras figuras.

148-151, 156-157

Determina el lado de un cuadrado si conoce su área, cuando ésta es un cuadrado perfecto.

148-151, 156-157

Reconoce el cubo de lado un centímetro como la unidad de medida de volumen equivalente a un centímetro cúbico, y el cubo de lado un metro como la unidad de medida de volumen equivalente a un metro cúbico.

170-175

Identifica los submúltiplos de un metro cúbico.

170-175

7


Analiza y toma decisiones sobre situaciones sociales, sanitarias y ambientales al elaborar e interpretar tablas y gráficos, y determinar medidas de tendencia central.

Resuelve problemas cualitativos y cuantitativos del contexto escolar, familiar y social, utilizando diversos tipos de razonamiento, seleccionando entre diversas estrategias de solución y aplicando los contenidos referidos a números, operaciones, medidas, geometría, estadística y probabilidad.

Establece equivalencias entre el metro cúbico y sus submúltiplos.

170-175

Calcula el volumen de cubos y parelelepípedos.

152-157

Determina el lado de un cubo si conoce su volumen, cuando éste es el cubo de un número natural.

152-157

Usa tablas de frecuencia para recolectar, organizar y analizar datos sobre objetos, fenómenos y situaciones escolares, familiares y sociales.

180-183, 192-193

Elabora gráficos, usando tablas de frecuencia, y selecciona entre diagramas de barras, de líneas, de sectores circulares o histogramas, el más adecuado.

184-187, 192-193

Interpreta tablas y gráficos con datos referidos a situaciones ambientales, sociales, sanitarias, deportivas, económicas, etc.

180-183, 192-193

Calcula e interpreta la media aritmética y la mediana de un conjunto de datos no agrupados, o agrupados en tablas de frecuencias.

180-183, 192-193

Reconoce sucesos seguros, imposibles, probables, muy probables o poco probables.

188-193

Determina la probabilidad de un suceso.

188-193

Resuelve problemas que requieren el uso del valor posicional de números escritos en el sistema de numeración decimal.

28-29, 84-85

Resuelve problemas acerca de magnitudes que requieran el uso de números negativos.

27-29, 84-85

Resuelve y elabora problemas en los cuales se utilicen las operaciones aritméticas con números escritos en el sistema de numeración decimal.

50-51, 80-81, 84-85

Resuelve problemas en los cuales se utilice el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales.

50-51, 80-81, 84-85

Resuelve y elabora problemas en los cuales se utilice la adición, sustracción, multiplicación y división de fracciones. Lee e interpreta los enunciados de los problemas. Identifica la información de que dispone y de lo que se quiere encontrar. Selecciona y simboliza las operaciones.

30, 50-52, 80-82, 84-85, 98, 112, 138, 140-141, 158, 176, 194, 196 - 197

Selecciona las estrategias de cálculo más adecuadas: algoritmo, cálculo mental, tanteo y estimaciones. Expresa en forma oral y escrita los resultados obtenidos.

8

Resuelve problemas en donde se usen ecuaciones sencillas, en las cuales intervienen números naturales y cuyas soluciones son números naturales.

98-99, 140-141

Resuelve problemas en donde se usen reglas de tres o tablas de proporcionalidad.

110-111, 140-141

Resuelve problemas de porcentajes y de interés simple en situaciones cotidianas y comerciales.

110-111, 140-141

Resuelve y elabora problemas donde se usen datos relacionados con mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un triángulo.

136-137, 140-141

© Editorial Santillana, S.A.

Interpreta en función del contexto, considerando la razonabilidad de los resultados y revisando el proceso en caso necesario.


Resuelve problemas sobre trazado de cuadriláteros donde se usen las relaciones entre lados, ángulos y diagonales. Resuelve problemas de adiciones y sustracciones con unidades del sistema sexagesimal de tiempo.

Reconoce la utilidad del aprendizaje de la matemática.

© Editorial Santillana, S.A.

Reconoce el trabajo individual y en equipo como fuente de avance personal y social.

136-137, 140-141

162-165, 176-177, 196-197

Resuelve y elabora problemas en los cuales se use el área de un círculo.

156-157, 196-197

Resuelve problemas en los cuales se use el volumen de cubos y paralelepípedos.

156-157, 196-197

Elabora y resuelve problemas sencillos de conteo.

192-193, 196-197

Reconoce la necesidad de usar números diferentes a los números naturales.

24-27

Reconoce la importancia del dominio de las operaciones matemáticas como herramienta que facilita la solución de problemas cotidianos y escolares.

Todas

Aprecia las interrelaciones que se dan entre la matemática y el mundo real.

Todas

Reconoce el papel de los números en el entorno familiar, escolar, social y cultural.

Todas

Disfruta la comparación del valor de una estimación con el cálculo exacto de los resultados de una operación.

Todas

Aprecia la simetría en el mundo del arte, en la naturaleza y en la construcción.

132-135

Muestra interés en el uso de los gráficos para realizar razonamientos y comunicar información.

184-187

Utiliza el lenguaje matemático para expresar situaciones de la vida diaria.

Todas

Reconoce la importancia de las mediciones en la vida diaria.

Todas

Reconoce el sistema métrico decimal como elemento que permite la comunicación entre personas de diferentes países.

Todas

Reconoce la utilidad de las técnicas estadísticas para interpretar y tomar decisiones sobre situaciones ambientales y sociales.

180-187

Se interesa por los elementos geométricos para comprender el espacio y sus formas.

Todas

Reconoce sus potencialidades en el trabajo individual y grupal.

Todas

Reconoce la necesidad de actuar con honestidad y respeto en intercambios.

Todas

Manifiesta seguridad y decisión en situaciones problemáticas.

Todas

Manifiesta creatividad en la búsqueda de soluciones en diferentes situaciones.

Todas

Se interesa por la precisión en la comunicación de sus ideas.

Todas

Reconoce la importancia de aceptar las normas de participación en diferentes actividades.

Todas

Aprecia la calidad en sus trabajos y su presentación en forma ordenada y clara.

Todas

Reconoce la necesidad de planificar el tiempo.

Todas

Muestra interés en la toma de decisiones que involucren su entorno familiar, escolar o comunitario, basadas en el análisis de informaciones referidas a situaciones sociales y ambientales.

Todas

Reconoce sus potencialidades al realizar trabajos en equipo.

Todas

Reconoce la importancia de la comunicación y el razonamiento al participar en trabajos de equipo.

Todas

9


U1

Sistemas de numeración ¿Sabes para qué existen los números?

Mami, ¿qué hora es?

Mira el reloj, son las diez.

Doctor, ¿soy más alto que la vara?

No, eres del tamaño de la vara más todos los dedos de mi mano.

Todo muy confuso > ¿Qué pasaría si no existieran los números? > ¿Podríamos decir a qué tipo de número se refiere cada situación? > ¿Cuándo fue la última vez que fuiste al médico y midieron tu estatura?, ¿recuerdas cuánto medías? > ¿Has visto alguna vez un reloj con números romanos?, ¿sabes cómo se lee la hora en números romanos? > ¿Has visto en algún ascensor que los números del sótano tienen un signo menos (2)? Por ejemplo 23. 10

© Editorial Santillana, S.A.

> ¿Cómo haríamos esas expresiones más simples?


Competencias

NIVEL POR ENCIMA DEL NIVEL SUPERIOR

NIVEL SUPERIOR

Usaremos el sistema de numeración decimal, lo reconoceremos como un sistema posicional y lo diferenciaremos de uno no posicional.

NIVEL NORMAL

NIVEL INFERIOR

NIVEL POR DEBAJO DEL NIVEL INFERIOR

Idea para la acción Una dramatización un poco extraña

En esta unidad encontraremos Sistemas de numeración pueden ser

posicionales

no posicionales

como

como el

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quinario

binario

decimal

romano

se utiliza en números

naturales

decimales

negativos

En la mayor parte de las conversaciones cotidianas, utilizamos cifras numéricas: para decir la hora, para numerar cantidades de personas u objetos, para hablar acerca de la estatura, el peso, los números telefónicos, las edades, entre otros casos. Al final de esta unidad, realizaremos una dramatización de una situación cotidiana en la cual se requiere la utilización de números. Pero lo haremos imaginándonos que los números no existen. 11


U1

Sistemas de numeración Ayer estaba con mi mamá en la plaza esperando que viniera mi papá a buscarnos para ir a pasear. Cuando le pregunté a mi mamá la hora en la que llegaría mi papá, me respondió que a las 5 de la tarde. Miré hacia el reloj de la iglesia y vi que la aguja pequeña estaba en la letra V y no pude saber cuánto tiempo faltaba para la llegada de papá. ¿Qué significa la letra V en ese reloj? ¿Qué sistema de numeración es ese?

Los sistemas de numeración Son conjuntos de símbolos que utilizamos para representar cantidades según ciertas reglas. Los sistemas de numeración se clasifican en: • Posicionales. Son sistemas en los que las cifras que forman el número varían según la posición en la que se encuentren. • No posicionales. Son los sistemas en los que las cifras que forman el número tienen un valor propio, sin importar la posición en la que se encuentren.

El sistema de numeración decimal Es un sistema posicional en el que utilizamos 10 dígitos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9. Debido a esto, decimos que el sistema decimal es de base

Zoom En el sistema de numeración decimal, en el número 555 cada dígito 5 representa un valor distinto: 555

Los dígitos de cada número tienen dos valores: uno propio y otro de acuerdo con el lugar que ocupan dentro del número.

El sistema de numeración romano El sistema de numeración romano es un sistema no posicional. En este

El 5 en esta posición representa 5 decenas, o sea, 50 unidades. El 5 en esta posición representa 5 centenas, es decir, 500 unidades.

sistema se utilizan letras, cada una con un valor: I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1 000

Estas letras mantienen siempre el mismo valor, independientemente de la posición que ocupen, siempre y cuando no se repitan más de tres veces.

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El 5 en esta posición representa 5 unidades.

12

diez. Por ejemplo, el número 555 también se escribe como 55510.


Reglas del sistema de numeración romano Para expresar números romanos en números naturales, o viceversa, existen reglas que tenemos que considerar. Las principales reglas son: Regla de la adición. Una letra a la derecha de otra de mayor valor significa que debemos hallar la suma del valor que le corresponde a cada letra.

Regla de la sustracción. Una letra a la izquierda de otra de mayor valor significa que debemos hallar la diferencia del valor de cada letra.

Regla de la repetición. Las letras I, X, C y M las podemos repetir un máximo de 3 veces seguidas. Las letras V, L y D no podemos repetirlas.

Regla de la multiplicación. Una barra sobre una o varias letras significa que debemos multiplicar su valor correspondiente por 1 000.

Conversión de números romanos a números naturales Para saber a qué cantidad corresponde un número romano, usamos las reglas del sistema de numeración romano. Por ejemplo, para conocer la cantidad que representa el número DLIX, hacemos lo siguiente: los 1. Determinamos 

2. Si a la izquierda de

3. Aplicamos la regla

4. Como el número

valores de las letras.

una letra hay otra

de la adición al resto

romano tiene una

D 5 500; L 5 50;

de menor valor,

de las letras.

barra, aplicamos

I 5 1 y X 5 10

aplicamos la regla

DLIX 5 500 1 50 1 9

la regla de la

de la sustracción.

5 559

multiplicación.

IX 5 10 2 1 5 9

DLIX 5 559 3 1 000 5 559 000

Conversión de números naturales a números romanos Para convertir una cantidad en números romanos, utilizamos las reglas del sistema de numeración romano. Observemos los pasos para expresar 248 en números romanos:

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1. Descomponemos  el

2. Buscamos las letras que representan

número natural en una

cada valor y aplicamos la regla

suma de números.

correspondiente.

248 5 200 1 40 1 8

200 5 CC (regla de la repetición)

3. Sustituimos  las letras en el lugar correspondiente: 248 5 C CX LV I I I

40 5 XL (regla de la sustracción) 8 5 VIII (regla de la adición) Finalmente, 248 expresado en números romanos es CCXLVIII. 13


U1

Otros sistemas de numeración Entre los sistemas posicionales también tenemos los siguientes: • Sistema de numeración binario. Es un sistema posicional de base dos, es decir, que sólo usa dos dígitos: 0 y 1. El número 10010101111012 es un número expresado en el sistema binario. •S  istema de numeración quinario. Es un sistema posicional de base cinco, es decir, que usa cinco dígitos: 0; 1; 2; 3 y 4. El número 301245 es un número expresado en el sistema quinario.

Conversión de un número del sistema decimal al binario o al quinario Para convertir un número del sistema decimal al sistema binario o quinario, como el 9, realizamos los siguientes pasos: 2. Escribimos el último cociente y todos

1. Colocamos el número que se va a transformar como dividendo, el 2 o el 5

los restos, leyéndolo de derecha a

como divisor, y dividimos hasta que el

izquierda y de abajo hacia arriba.

cociente sea menor que el divisor. Binario

Binario

Quinario

9 2 1 4 2 0 2 2 0 1

9 5 4 1

9 5 10012

9 5 145

Quinario

9 2 1 4 2 0 2 2 0 1

9 5 4 1

Conversión de un número del sistema binario o quinario al sistema decimal Para convertir un número binario o quinario al sistema decimal, calculamos tantas potencias de 2 o de 5 1. Calculamos las potencias del 2, según la cantidad de

la cifra correspondiente en el

cifras que tiene el número a

número a transformar.

transformar, y las escribimos

22 5 4

en orden decreciente.

43154

2 54 2

14

2. Multiplicamos cada resultado por

2 52 1

2 51 0

21 5 2

2 3 1 5 2

3. S umamos los productos obtenidos. 4121056

20 5 1 13050

1102 5 610

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como cifras tiene el número. Por ejemplo, para expresar 1102 en el sistema decimal, lo hacemos así:


Actividades para realizar en el cuaderno 1. Identifico el sistema en el que está escrito cada número. Luego, indico si es un sistema posicional o no posicional. a) 100011110

b) 2 314

c ) 42305

d) DXXXV

e) 1111112

f) M

2. Expreso las siguientes cantidades en números romanos. a) 3 120

b) 33

c ) 499

d) 210

e) 124

3. Convierto los números romanos al sistema decimal. a) MDLXXXII

b) CCCIV

c ) CXIX

d) LVI

e) LXIV

f) MMM

4. Convierto los números al sistema binario. a) 34

b) 150

c ) 16

d) 55

e) 430

f) 221

5. Convierto los siguientes números al sistema de numeración quinario. a) 729

b) 1 530

c ) 219

d) 56

e) 115

f) 400

6. Convierto los números al sistema de numeración decimal. a) 11000112

b) 4325

c ) 10010012

d) 1111112

e) 1115

f) 2105

7. Escribo el número correspondiente en el crucigrama y descubro el año en que la Universidad Central de Venezuela fue declarada Patrimonio Cultural de la Humanidad. a) 40 781 en el sistema quinario.

a)

b) 551 en el sistema binario.

b)

c) 104340015 en el sistema decimal. d) 11111100112 en el sistema decimal.

c) d)

Pensamiento crítico Respondo a partir de la imagen. En los algoritmos se utilizan las palabras Sí o No para saber

Ida a la escuela

¿Se levantó?

No

Levantarse

programa. Estas palabras están relacionadas con

Sí ¿Se cepilló los dientes?

No

Cepillarse los die nte s

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Sí ¿Se desayunó?

No

Desayunarse

No

Ves tirse

Sí ¿Se vistió?

el sistema binario, que se otorga el número 1 a la palabra Sí y el 0 a la palabra No. a) ¿Qué representa el número 11100 en el algoritmo? b) Un estudiante que haya completado los primeros cuatro pasos pero que aún no se haya ido a la escuela,

Sí ¿Se fue a la escuela ?

si determinada acción fue ejecutada y así continuar con el

No

Irse a la escuela

¿qué número representa? 15


U1

Números naturales y decimales En la clase de Ciencias estábamos estudiando los planetas y la profesora nos dijo que la Tierra tiene una superficie de quinientos diez millardos ciento un millones de metros cuadrados. Intenté escribirlo en mi cuaderno y no supe cómo hacerlo. ¿Cómo se escribe un número tan grande?

Valor posicional de números naturales y decimales El valor posicional de un dígito en un número natural o decimal es el valor que toma una cifra de acuerdo con la posición que ocupa en un número. En el sistema de numeración decimal utilizamos diez dígitos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9. Estos dígitos toman un valor diferente dependiendo del lugar que ocupen en el número. Por ejemplo, el dígito 1 en el número Orden Clase

510 101 000 000 tiene tres valores diferentes: Billones C

D

U

Millardos

35 143 53014015 13 5 70 1 8 5 78 Ejercicios a) 15 1 89 b) 25 1 73 c ) 88 1 22 d) 59 1 14 16

Unidades

Decimales d

D

U

C

D

U

C

D

U

C

D

U

5

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1 centena de millón5 100 000 000 unidades

c

m

1 unidad de millón 5 1 000 000 unidades

Esta tabla se denomina “cartel de valores” y podemos utilizarla para leer números. Para ello, leemos cada tres dígitos de las clases de izquierda a derecha y los nombramos con su correspondiente clase. Por ejemplo, leamos el número representado en la tabla: Billones C

Millardos

Millones

Miles

Unidades

Decimales

D

U

C

D

U

C

D

U

C

D

U

C

D

U

d

c

4

5

2

2

1

1

0

9

0

0

1

3

2

7

1

6

m

Este número se lee: cuarenta y cinco billones, doscientos veintiún millardos, ciento nueve millones, un mil trescientos veintisiete unidades con dieciséis centésimas.

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Para sumar dos números de dos cifras.

Miles

C

1 decena de millardo 5 10 000 000 000 unidades

Cálculo mental

Millones


Descomposición de números naturales y decimales en forma aditiva Sabías que… Cuando se inventaron los números decimales, tuvieron que pasar dos siglos para que las personas se adaptaran a su uso. La idea de los números decimales fue publicada por primera vez por el físico e ingeniero belga Simón Stevin (1548-1630).

Los números naturales y decimales se pueden descomponer en forma aditiva, es decir, en forma de sumandos. Para descomponer un número natural o decimal en forma aditiva, escribimos el valor posicional de cada cifra. La descomposición aditiva del número 110 232 420,34 es:

110232420,34

1 centena de millón 5 100 000 000 1 decena de millón 5 10 000 000 2 centenas de mil

5 200 000

3 decenas de mil

5 30 000

2 unidades de mil

5 2 000

4 centenas

5 400

2 decenas

5 20

3 décimas

5 0,3

4 centésimas

5 0,04

Finalmente, el número queda descompuesto en forma aditiva como: 100 000 000110 000 0001200 000130 00012 000140012010,310,04

Observemos que para descomponer un número no tomamos en cuenta aquellos dígitos que son cero (0). Para componer el número nuevamente sumamos todos los valores posicionales de sus cifras. Podemos completar con ceros las cifras decimales de los números a sumar, de modo que todos tengan igual cantidad de cifras decimales. La expresión 30 1 1 1 0,7 1 0,05 compone al número 31,75. Para

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hacer la composición, sumamos todos los términos de la expresión.

1

3 0, 1, 0, 0, 3 1,

0 0 7 0 7

0 0 0 5 5 17


U1

Descomposición de números naturales en forma polinómica Los números naturales y decimales se pueden descomponer en forma polinómica, es decir, en sumandos formados por el producto de dos números. Para descomponer un número natural, como 126 430, en forma polinómica hacemos lo siguiente: 1. Descomponemos el número en forma aditiva. 126 430 5 100 000 1 20 000 1 6 000 1 400 1 30 2. Convertimos cada sumando en una multiplicación de un número por la unidad seguida de ceros de acuerdo con la posición del número. 126 430 5 1 3 100 000 1 2 3 10 000 1 6 3 1 000 1 4 3 100 1 3 3 10 Podemos aplicar este método en una situación práctica: en un abasto tienen una balanza para pesar las verduras, pero sólo tiene pesas de 1 000 g, 100 g, 10 g y 1 g. Si una señora quiere llevarse 3 252 g de apio, ¿cuántas pesas de cada tipo se necesitan para pesar esa cantidad de apio? Para saber cuántas pesas se necesitan, descomponemos el número en forma polinómica: 3 252 5 3 000 1 200 1 50 1 2 5 3 3 1 000 1 2 3 100 1 5 3 10 1 2 3 1 Los números resaltados equivalen a la cantidad de cada tipo de pesas que se necesitan. Por lo tanto, se necesitan 3 pesas de 1 000 g, 2 pesas de 100 g, 5 de 10 g y 2 de 1 g.

Actividades para realizar en el cuaderno 1. Escribo cómo se leen los siguientes números. a) 111 234 567 980

f ) 12 345 001

b) 345 783 562 120 005

g) 10 000 000 000 000

c ) 240 000 000 034,15

h) 3 235 986,43

d) 15 450 053,124

i ) 90 999 999 999,122

e) 1 235 347 057 000,2

j ) 12 274 460 023

18

a) 123 709 430

f ) 98 345 678 333

b) 15 346,34

g) 13 000

c) 10 005 234 450

h) 2 000 001,3

d) 3 456 878,109

i ) 187 888

e) 437,12

j ) 4 444 444 444,444

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2. Descompongo en forma aditiva los números que me dan a continuación.


3. Decompongo en forma polinómica los siguientes números. a) 23 475 867

f ) 450 048 383 222

b) 111 574 835

g) 10 000 000

c ) 7 895 664 222 000

h) 380 827 048

d) 257 012

i ) 8 920 003

e) 12 002 456

j ) 820 938

4. Utilizo los números 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y respondo. a) ¿Cuál es el mayor número decimal que podemos formar del orden de los millones sin repetir ningún dígito? b) ¿Cuál es el menor número natural que podemos formar del orden de los millones sin repetir ningún dígito? 5. Resuelvo los problemas. a) Lorena tiene un trozo de tela de 10,08 m. Ella desea cortarla en partes de 84 cm, pero sólo dispone de varas para medirla. Los tamaños de las varas que tiene son de 10 mm y 100 mm. ¿En cuántas partes queda dividida la tela? ¿Cuántas veces tiene que usar cada vara para medir los trozos de tela? b) José está comprando cierta cantidad de papas y para saber el peso utiliza una balanza y 2 pesas de 1 000 g, 3 pesas de 100 g y 4 pesas de 1 g. ¿Cuántos kilogramos de papa está comprando José?

Pensamiento crítico Leo el planteamiento y respondo.

Debido al movimiento de traslación de la Tierra, la distancia entre ésta y el Sol varía en el transcurso de un año. Los primeros días de enero, la Tierra se encuentra más cerca del Sol y se dice que pasa por el perihelio. A principios de julio, la Tierra se ubica más lejos del Sol y se dice que está en afelio.

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La distancia Tierra-Sol en el perihelio es de 142 700 000 000 m y en el afelio es de 151 800 000 000 m. a) ¿Qué diferencia hay entre las distancias que separan la Tierra del Sol en el perihelio y en el afelio? b) ¿A qué clase corresponden las distancias de cada periodo?

19


U1

Redondeo y aproximación de números naturales y decimales Ayer estaba revisando en Internet el orden en que habían quedado los 15 países que participaron en los IX Juegos Suramericanos 2010, celebrados en Medellín, y me alegré mucho al saber que Venezuela había quedado en tercer lugar, con 89 medallas de oro. ¿Qué posición ocuparon Colombia y Brasil, si cada uno tuvo 144 y 133 medallas de oro, respectivamente?

Comparación y orden de los números decimales Los números decimales se ordenan usando las relaciones “menor que” (,), “mayor que” (.) o “igual a” (5). Para comparar y ordenar dos o

más números decimales, por ejemplo, los números 27,3; 25,4 y 25,7; de menor a mayor, realizamos los siguientes pasos: 1. C  omparamos las partes enteras de los

25 5 25 , 27

tres números y los ordenamos según el criterio establecido. 2. C  omparamos las partes decimales de los

25,4 , 25,7

números que tienen la misma parte entera y los ordenamos, según el criterio establecido. Finalmente, 25,4 , 25,7 , 27,3.

Orden de los números en la recta numérica En la recta numérica podemos ordenar tanto números naturales como

Cuando utilizamos los signos “mayor que” (.) y “menor que” (,) colocamos los números mayores del lado de la abertura del signo, y los menores en la parte cerrada. Por ejemplo, 5 . 2 o 2 , 5. 20

Un número es mayor que otro si está a su derecha en la recta numérica.

Un número es menor que otro si está a su izquierda en la recta numérica.

Comparemos los números 2; 3,5 y 1,6 utilizando la recta numérica: 0

1

1,6

2

3

3,5

4

Como 1,6 está a la derecha de 2 y, a su vez, 2 está a la derecha de 3,5; entonces podemos decir que 1,6 , 2 , 3,5.

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Recuerda

números decimales. Para ello, aplicamos los siguientes criterios:


Números decimales equivalentes Cálculo mental

Dos números decimales son equivalentes, si tienen la misma parte

Para multiplicar números de tres cifras por 11.

entera y si la parte decimal tiene los mismos dígitos.

635 3 11

1.  Comparamos las partes enteras

→ 6

5

→ 6 6 1 3 3 3 1 5 5 → 6 9 8 5 635 3 11 5 6 985 Ejercicios a) 362 3 11 b) 405 3 11

Veamos si los números 235 450,730 y 235 450,73 son equivalentes. 235 450,730 y 235 450,73

de los números; si son iguales, seguimos adelante con el paso 2.

235 450 5 235 450

2. Comparamos los dígitos decimales antes de los ceros que pueda haber; si son iguales, entonces los números

235 450,730 y 235 450,73 73 5 73

son equivalentes.

c ) 533 3 11

Finalmente, los números 235 450,730 y 235 450,73 son equivalentes.

d) 721 3 11

Redondeo de números naturales y decimales Redondear un número natural o decimal es llevarlo al número natural más cercano terminado en cero. Si queremos redondear el número natural 3 456 231 a las unidades de mil, seguimos estos pasos: 1.  Ubicamos los números que se encuentran a

3 456 231 Unidad de mil

partir del orden señalado,

Números a partir del orden señalado

incluyéndolo. 2.  Redondeamos esos números al natural más cercano en la © Editorial Santillana, S.A.

rápido ¿Si redondeamos 12 850,633 a la centena obtenemos un número mayor que si lo redondeamos a la unidad de mil?

recta numérica, cuyas cifras sean ceros, excepto la del

6 000

6 231

7 000

6 231 está más cerca de 6 000.

orden señalado. Entonces, 3 456 231 redondeado la unidad de mil es 3 456 000. De la misma forma, redondeamos los números decimales. Por ejemplo, el número 27,18 redondeado a las decenas es 30. 21


U1

Aproximación de números decimales Existen números que tienen muchos decimales y es mejor aproximarlos para operar con ellos con mayor facilidad.

Aproximar un número decimal es llevarlo a la décima, centésima, milésima, u otra unidad más cercana. Para aproximar el número 21 378,189 a las décimas, realizamos los pasos: 1. Ubicamos los números decimales que se encuentran

21 378,189 Décimas

a partir del orden señalado,

Números a partir del orden señalado

incluyéndolo. 2. Redondeamos esos números al natural más cercano en la recta numérica, cuyas cifras sean ceros, excepto la del

100

189

200

189 está más cerca de 200

orden señalado. Por lo tanto, 21 378,200 es la aproximación a la décima más cercana de 21 378,189.

Actividades para realizar en el cuaderno 1. Ordeno los números de mayor a menor. a) 235,4; 230; 233,5; 235,8; 236,2; 236,3; 233,9 b) 10; 11; 11,15; 11,26; 10,37; 10,5; 12 c) 12 450,32; 12 450,35; 12 450,27; 12 451,10; 12 451 d) 2,7; 3,5; 3,7; 2,5; 3,9; 2,2 e) 6 320,3; 6 320,6; 6 322; 6 322,5; 6 321; 6 321,73 a) 10,2; 10,5; 10; 11,6; 9,7; 11,5; 9,3

c ) 6,1; 6; 9; 9,6; 6,7; 9,3; 8,2; 7

b) 1,35; 1,43; 1,29; 1,88; 2; 1

d) 25,6; 25,7; 25, 26, 26,8; 26,3; 25,2

3. Indico si los pares de números son equivalentes.

22

a) 24678,178 y 24678,178000

c ) 40001,678 y 40000,678

e) 19,320 y 19,32

b) 32111,500 y 32111,5

d) 647,34 y 647,304

f ) 39,834 y 39,804

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2. Represento los números en la recta numérica y los ordeno de menor a mayor.


4. Suprimo ceros para obtener decimales equivalentes a los decimales dados. a) 45 239,400

c ) 10,250

e) 15 000,100

b) 3 129,030

d) 32,880

f ) 30 592 019,280

5. Agrego ceros para obtener decimales equivalentes a los decimales dados. a) 42 390,87

c ) 122 430,50

e) 93 402 242,409

b) 340,567

d) 24 300 309,1

f ) 1,120

6. Redondeo los siguientes números al orden indicado. a) 98 097,25 (decena)

d) 405 234 (centena)

b) 129 038,3 (unidad de mil)

e) 10,234 (unidad)

c ) 357 223 234 (centena de millón)

f ) 35 406,146 (decena de mil)

7. Aproximo al orden señalado los números indicados: a) 32 235,345 (décima)

g) 3,305 30 (milésima)

b) 16,356 (centésima)

h) 3,305 30 (décima)

c ) 360 456,109 32 (milésima)

i ) 32 235,345 (centésima)

d) 1,304 4 (centésima)

j ) 16,356 (décima)

e) 56 257 354,345 (décima)

k) 360 456,109 32 (centésima)

f ) 56 257 354,345 (centésima)

l ) 1,304 4 (milésima)

Pensamiento crítico Leo el planteamiento y respondo. El león y el leopardo son grandes felinos que se encuentran en África. Ambos dependen de su velocidad para cazar su alimento. El león corre a una velocidad de 70 000 m/h, mientras que el leopardo lo hace a 180 km/h. Aunque sólo dure unos segundos, el leopardo alcanza una velocidad superior a la de un carro © Editorial Santillana, S.A.

cuando se va de paseo. a) ¿Cuál de los dos felinos corre más rápido?, ¿por qué? b) Si la máxima velocidad registrada por un ser humano es de 48 000 m/h, ¿un leopardo puede alcanzar a un ser humano en su carrera?

23


U1

Números negativos Los números negativos son todos los números menores que el cero (0). Estos números se expresan con el signo menos () a su izquierda. Los números negativos aparecen en muchas situaciones de nuestra vida diaria. Por ejemplo, las temperaturas bajo cero, los metros bajo el nivel del mar y las pérdidas de dinero son los usos más comunes.

Para leer un número negativo pronunciamos primero el signo “menos” y luego el número. Por ejemplo, para leer el número 10, leemos: menos diez. Para escribir el número “menos veinticinco”, escribimos: 25.

2 00

0m

Ubicación de números negativos en la recta numérica Para representar un conjunto de números negativos en la recta numérica los colocamos a la izquierda del cero, de derecha a izquierda, comenzando por el número 1. Así, queda la recta numérica con los números negativos del lado izquierdo y los positivos del lado derecho.

2 ¡Qué calooor! Seguro que la temperatura anda por los 30° C

0

1

2

Si queremos ubicar un número en la recta numérica contamos las unidades que hagan falta hasta llegar al número. Por ejemplo, para el número 9, contamos 9 casillas a la izquierda del cero partiendo desde cero.

9

5 4 3 2 1

0

1

2

3

HACIA LAS FOSAS MARIANAS 11 012 m

24

100 m

4

5

© Editorial Santillana, S.A.

40 m

1


Orden de los números negativos y naturales

00

Para ordenar un conjunto de números que contenga, tanto números negativos como naturales, seguimos los siguientes criterios:

35

Brrrrr...! ¡Qué frío! La temperatura debe estar en 10° C

Todos los números negativos son menores que el cero.

Ejemplo

8 < 0

Todos los números negativos son menores que cualquier número positivo.

Ejemplo

10 < 3

Entre dos números negativos, el menor es el mayor en la escala de números positivos.

Ejemplo

5 < 4, ya que 5 > 4

m

Para ordenar en forma creciente los siguientes números: 0; 7; 10; 2; 6; 1. Para ello hacemos lo siguiente:

1 Ordenamos los números negativos, ya que todos ellos son menores que el cero y que los positivos.

¡Qué clima tan fresco se siente aquí! No debe pasar de 15° C

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 7 1 2 Ubicamos el cero. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 7 1 0 3 Ordenamos los números positivos.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

10 7 1 0

5

6 2

6

© Editorial Santillana, S.A.

0m

-40 m

25


U1

Orden de los números negativos y naturales en la recta numérica Podemos utilizar la recta numérica para ordenar un conjunto de números negativos y naturales. Por ejemplo, para ordenar los números 10; 22; 21; 5; 28; 3 y 0, hacemos lo siguiente: 1. Ubicamos los números en la recta numérica. 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2. Observamos qué número se encuentra más a la izquierda en la recta numérica. En este caso es el número 28. Este número es el menor de este conjunto de números. 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3. Observamos qué número se encuentra más a la derecha en la recta numérica. En este caso es el número 10. Este número es el mayor de este conjunto. 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Como todos los números en la recta numérica están en orden creciente de izquierda a derecha, podemos ordenar los números usando el símbolo “menor que” (<). Entonces, tenemos: 28 , 22 , 21 , 0 , 3 , 5 , 10 De la misma forma podemos, ordenarlos en forma decreciente, si los observamos de derecha a izquierda en la recta numérica. 10 . 5 . 3 . 0 . 21 . 22 . 28

Actividades para realizar en el cuaderno 1. Escribo la forma en que se lee cada número. a) 23

c ) 212 246 894 245

e) 2725,25

b) 2234 576

d) 2546

f ) 22 467 345 765,6

2. Escribo en números las cantidades mencionadas en cada caso. a) Gasté treinta y cinco mil ochocientos bolívares con doce céntimos. c ) La ciudad está a diez metros bajo el nivel del mar. d) Perdí cincuenta y dos bolívares. 3. Represento los números en una recta numérica.

26

a) 210, 3 y 28

c ) 23, 22 y 21

e) 26, 212 y 210

b) 25, 0 y 29

d) 21, 7 y 22

f ) 216, 218 y 212

© Editorial Santillana, S.A.

b) La temperatura está a doce grados bajo cero.


4. Comparo los pares de números. Para ello, utilizo los signos “mayor que” (.) o “menor que” (,). a) 23 y 2 b) 0 y 27

c ) 21 y 25

e) 221 376 y 256 315

d) 2450 y 300

f ) 0 y 2122

5. Ordeno los números en una recta numérica. a) 23; 29; 4; 0; 5; 21; 26 y -12

c ) 13; 45; 234; 216; 213; 240

b) 18; 35; 240; 213; 0; 224, 31

d) 2145; 2157; 2245; 243; 267; 257

6. Ordeno las cantidades en forma creciente. Para ello, utilizo la recta numérica. a) 21; 0; 23; 29; 5; 26 y 10

c ) 28; 25; 8; 5 y 0

b) 212; 27; 3; 24; 6 y 210

d) 213; 12; 10; 6; 23; 21 y 4

7. Resuelvo los problemas. a) La temperatura que registra un alpinista a nivel del suelo, antes de comenzar a escalar una montaña, es de 19 grados centígrados. Al llegar al pico, hace un nuevo registro y comprueba que ha bajado 26 grados centígrados. Luego, desciende unos metros y la temperatura sube 2 grados centígrados. ¿Qué temperatura está registrando el alpinista en su última medición? b) Milagros trabajó durante toda la semana y se ganó Bs. 325. El día en que cobró tuvo que pagar Bs. 150 en unos alimentos, Bs. 110 en la luz de su casa y le dio Bs. 25 a su hijo. Al día siguiente, canceló Bs. 75 del perfume que compró a crédito. Luego, llegó la vecina con los productos del catálogo que había pedido y le dijo que tenía que cancelar Bs. 90. ¿Cuánto dinero le quedó a Milagros? ¿Cómo representamos el déficit económico de Milagros?

Pensamiento crítico Respondo lo que se pide. El transcurso de los años se cuenta a partir de la época en que nació Jesús de Nazaret, también conocido como Jesucristo. El año en que vivimos actualmente representa la cantidad de años que han pasado desde que él nació. Los años antes del © Editorial Santillana, S.A.

nacimiento de Jesús se representan con las letras a.C. (antes de Cristo), y los años siguientes a su nacimiento con las letras d.C. (después de Cristo). a) ¿Cuántos años han pasado desde que nació Jesús de Nazaret? b) ¿Cómo representamos el año ciento cincuenta antes de Cristo? 27


U1

Actividades de repaso

1. Expreso las cantidades en números romanos. a) 354

d) 127

b) 4 326

e) 9 8

c ) 1 590

f ) 498

2. Convierto los números romanos al

7. Uno mediante una línea cada lectura con el número correspondiente. Doscientos cincuenta millardos trescientos a ochenta y tres millones quinientos mil unidades

325 820 315 000 000

sistema decimal. a) MCCCLXXIV

d) DCCXLVII

b) DLV

e) X  XXVIII

c ) DCXXIII

f ) MMDLIX

Trescientos veinticinco millones ochocientos veinte mil trescientas quince unidades

b

Doscientos cincuenta millones trescientos ochenta y tres mil quinientas unidades

c

Trescientos veinticinco billones ochocientos veinte millardos trescientos quince millones

d

250 383 500

3. Convierto los números al sistema de a) 1 374

d) 8 312

b) 415

e) 9 0

c ) 200

f ) 688

4. Convierto los números al sistema de numeración decimal. a) 100011112

d) 324005

b) 1 42315

e) 1 10105

c ) 100011012

f ) 10101012

5. Descompongo en forma aditiva los números. a) 20 245 121

e) 390 204 110 001

b) 359 018 000

f ) 2 000 000

c ) 1 903

g) 25 303 918

d) 3 765 068

h) 890 036 764

6. Descompongo en forma polinómica estos números. a) 43 920 348

d) 404 958 492

b) 10 000 025

e) 459

c ) 19 492

f ) 20 938 040

28

250 383 500 000

250 383 500 000 000

Doscientos cincuenta billones trescientos e ochenta y tres millardos quinientos millones

325 820 315

8. Represento los números en la recta numérica y los ordeno en forma decreciente. a) 2,5; 2,7; 3,4; 3,9; 4; 2,1; 5; 3; 2 b) 16,4; 17; 12; 15,1; 15,4; 16,3; 18 c ) 7 5; 73,1; 72,9; 73,8; 73,15; 72,4 d) 23; 24,5; 22; 0; 3; 2,8; 2,6; 21 e) 26; 28; 0; 22; 3,6; 2,9; 3,5

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numeración binario y quinario.


9. Suprimo o agrego ceros para obtener

12. Escribo en números las expresiones.

decimales equivalentes.

a) Bajé ocho kilogramos de peso.

a) 18,402 0

c ) 17,29

b) Perdí cincuenta bolívares.

b) 35,240

d) 16,478 912

10. Redondeo los números al orden indicado.

a) 243 621 (unidades de mil)

b) 132 (decena)

c ) 34 052,12 (centena)

d) 5 482 049 241 (decena de millón)

e) 8  5 295,56 (decena de mil)

11. Aproximo los números al orden indicado.

c ) En el pico había una temperatura de cuatro grados centígrados bajo cero.

13. Comparo los pares de números. a) 2123 y 2250

d) 25304 y 225304

b) 0 y 212

e) 216 y 3

c ) 215 y 221

f) 2  35 y 35

 esuelvo el problema. 14. R

La señora Fátima vende ocumo en su abasto y para medir el peso utiliza una

a) 145,30 (unidades)

balanza y 4 pesas de 1 000 g, 2 pesas de

b) 25 965 032,350 2 (décimas)

100 g y 6 pesas de 1 g. Si está pesando

c) 3  9,502 294 (milésimas)

una bolsa con ocumos y utilizó la mitad

d) 30,337 8 (centésimas)

de cada tipo de pesas, ¿cuántos kilogramos

e) 1 ,394 (décimas)

de la verdura hay en la bolsa que pesa la señora Fátima?

Enlace conn... omía Eco

Una Bolsa de Valores es una organización privada que brinda las facilidades necesarias para que sus miembros realicen negociaciones de compra y venta

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de acciones de sociedades o compañías anónimas, entre otras. Todas estas transacciones se efectúan con grandes cantidades de dinero expresadas con números naturales de cualquier orden. Las caídas económicas o deudas son expresadas con números negativos. 29


R e s oient l uoción d e pr o bl e mas lógico Pensam 1

Margot, Alba y Elsa tienen como profesiones maestra, secretaria y cajera, pero no necesariamente en ese orden. Sabemos que Margot es la esposa del hermano de Elsa y es mayor que la cajera. La maestra es hija única y es la menor de las tres. ¿Cuál es la profesión de Alba? Podemos resolver este problema usando el pensamiento lógico. En este caso,

Profesiones Nombres

Maestra

Secretaria

Cajera

Maestra

Secretaria

Cajera

Margot

elaboramos una tabla de doble entrada. Luego,

Alba

leemos las frases del problema y comenzamos

Elsa

a eliminar opciones. • “Margot es la esposa del hermano de Elsa y es mayor que la cajera”, entonces Margot no puede ser cajera. • “La maestra es hija única”, entonces Elsa no es maestra, porque ella tiene un hermano. • “La maestra (...) es la menor de las tres”. Como Margot es mayor que la cajera

Profesiones Nombres

Margot

Alba Elsa

Profesiones

✗ Maestra

Secretaria

Cajera

✗ ✗

Maestra

Secretaria

Cajera

Margot

concluimos que Elsa es cajera.

Alba

Finalmente, Alba es maestra.

Elsa

✗ ✗

✗ ✗

y la maestra es la menor de todas, entonces Margot no puede ser maestra. Por lo tanto, Margot es secretaria, porque es la

Nombres

Margot Alba Elsa

única opción disponible y marcamos un símbolo Además, como Margot es secretaria, entonces Alba y Elsa no pueden ser secretarias, de donde

2

Profesiones Nombres

Luis, Miguel y José tienen como profesiones abogado, ingeniero y arquitecto. No sabemos cuál de ellas corresponde a cada uno. Sabemos que la esposa de José es venezolana, el abogado es vecino del arquitecto, el arquitecto se casará pronto y Luis, al salir de su casa para cenar en la del abogado, se va en su carro. ¿Cómo se llama el ingeniero?

30

© Editorial Santillana, S.A.

de verificación (✔) en el lugar correspondiente.


Una dramatización un poco extraña Qué necesitamos • Ropa • Pelucas • Maquillaje

Cómo lo hacemos 1. Ordenamos las siguientes situaciones para formar una historia. Partieron el día 25 de agosto a las 6:00 a.m. rumbo a Ciudad Bolívar. Su primera parada fue a las 10:00 a.m. para ir al baño y luego se detuvieron a las 12:30 p.m. para almorzar.

El día antes de volver a Caracas, Miguel le dio su • Papel número telefónico (0212) 600001 a su nueva amiga Julia, con la que compartió todas su vacaciones. El viaje continuó y Un rato más tarde, cerca de las 6:00 p.m. llegaron Miguel adormecido escuchó a su destino, donde pasaron a su madre llamándole la unas excelentes vacaciones atención a su hermanito Juan, visitando ríos como el Orinoco por haber arrojado una botella y quebradas cercanas. por la ventana. • Lápiz

Entraron en un restaurante y el papá de Miguel compró 2 pollos horneados con 5 hallaquitas y 2  de jugo. Todo le costó Bs. 130 000.

Miguel realizó un viaje al sur de Venezuela durante sus vacaciones. Hizo todo el recorrido junto a su mamá y su papá, su hermana Sofía y su hermano Juan.

2. Escribimos un guión con el diálogo de los personajes de esta historia, de forma tal que los números utilizados en él sean sustituidos por frases. Para ello, pensamos que los números no existen.

Utilizamos la dramatización

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Nos reunimos en grupos y elegimos el mejor guión. Luego, hacemos una dramatización con el guión seleccionado y se la presentamos al resto del salón.

Pensar, hacer y reflexionar… a) ¿Cómo fueron mis vacaciones este año? b) ¿Fue sencillo elaborar un guión sustituyendo los números por frases? c) ¿Cómo sería nuestra vida si los números no existieran? 31


U3

Divisibilidad, m.c.m., m.c.d. y fracciones ¿Cómo podemos contar las partes de un postre o de un partido de fútbol?

Sara, vamos a seguir esta receta para preparar Oye, una pizza para los dos. pero tu mamá no está. ¿No será peligroso que cocinemos solos?

¡No seas aburrida! No va a pasar nada malo.

RITA MARGA as PIZZA n 6 perso a 4 ra Pa asa: ra la m ntes pa Ingredie agua tibia de ½ taza dita de azúcar ura ra 1 cucha rada de levad a 1 ½ cuch das de aceite ra 3 cucha dita de sal ra 1 cucha na de hari 2 tazas : la pizza tes para gredien Otros in das de aceite do lla ralla ra ada 3 cucha queso mozzare albahaca pic e e d d s g olida hoja 400 e m d ta s n a rad imie ita de p erita 3 cucha charad p 1/8 de cu de tomate tipo lo ¾ de ki dita de azúcar ra co 1 cucha dita de sal gano se ra 1 cucha aradita de oré ch cu e ¼d

Bueno, está bien, déjame ver la receta….

Cocinando con fracciones

Manuel, esta receta es para cuatro personas, o sea, que tendremos que dividir todos los ingredientes entre dos, para que salga una pizza pequeña.

> ¿Cómo fue la actuación de Manuel? ¿Qué opinas de que no haya prestado atención a la clase? > ¿Será conveniente cocinar en casa sin ayuda de nuestros familiares? > ¿Cómo se podría dividir entre dos las cantidades de los ingredientes que están en fracciones? > Al preparar esta pizza, además de dividir, ¿qué otra operación realizamos sin darnos cuenta? 54

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> ¿Cómo fue la actuación de Sara en esta historia?


Competencias

Manuel, ¿cómo hacemos para calcularle la mitad a los ingredientes que están en fracciones?

¡No sé! Yo no le presté atención a la maestra cuando lo explicó. Vamos a hacerlo al ojo. Eso no debe importar mucho.

Utilizaremos las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con fracciones. Para ello, usaremos los distintos métodos de cálculo. No debimos hacerlo al ojo.

¡No! ¡Lo que no debimos hacer fue cocinar sólos, sin adultos!

En esta unidad encontraremos

Idea para la acción

Fracciones

Aprendiendo a cocinar

Orden

Operaciones aritméticas

son

1

2

3

4

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se halla mínimo común múltiplo (m.c.m.)

máximo común divisor (m.c.d.)

se usan

criterios de divisibilidad

,, ., 5

Es importante que aprendamos a cocinar con la ayuda de personas mayores. Eso nos puede ayudar a ser personas más independientes en el futuro. Al final de esta unidad, aprenderemos a elaborar una sabrosa comida para compartir con los compañeros y las compañeras de clases. 55


U3

Criterios de divisibilidad y mínimo común múltiplo

Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten determinar si un número es divisible entre otro. Existen diversos criterios de divisibilidad. Algunos de ellos son: Criterio de divisibilidad entre 2 Un número es divisible entre 2 cuando su última cifra es cero o un número par.

Ejemplo

Criterio de divisibilidad entre 3

Los números 50; 26 y 8 son divisibles entre dos.

Un número es divisible entre 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Pero el número 25 no es divisible entre dos, porque termina en 5, que es impar. Ejemplo

El número 483 es divisible entre 3 porque el resultado de la suma 4 + 8 + 3 es 15, que es múltiplo de 3.

Criterio de divisibilidad entre 5 Un número es divisible entre 5 cuando su última cifra es cero o cinco. Los números 1 000; 80; 25; 15 y 35 son divisibles entre 5.

Criterio de divisibilidad entre 6

Pero 52 no lo es, ya que su última cifra no termina en 0 o en 5.

Un número es divisible entre 6 cuando es divisible entre 2 y entre 3 también. Ejemplo

Criterio de divisibilidad entre 9 Un número es divisible entre 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplo

El número 42 es divisible entre 2 porque termina en número par, y también es divisible entre 3 porque 4 + 2 = 6. Por lo tanto, 42 es divisible entre 6.

El número 189 es divisible entre 9 porque el resultado de la suma 1 + 8 + 9, es 18, que es múltiplo de 9. Criterio de divisibilidad entre 10 Un número es divisible entre 10 cuando su última cifra es cero.

Ejemplo

Los números 20; 150 y 8 000 son divisibles entre 10, ya que terminan en cero. Pero el número 26 no es divisible entre 10, pues no termina en cero.

56

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Ejemplo


Números primos Los números primos son los que tienen sólo dos divisores, que son el 1 y el mismo número. Ejemplo El número 13 es un número primo, pues sólo es divisible entre 1 y entre 13, es decir, su división es exacta sólo cuando dividimos entre El número 25 no es un 1 y entre 13. número primo, porque se puede dividir de forma exacta entre 1, entre 5 y entre 25, es decir, tiene más de dos divisores. Los números que no son primos se llaman números compuestos.

Descomposición de números en factores primos

© Editorial Santillana, S.A.

Tengo que recoger todo este desorden de pelotas y distribuirlas equitativamente entre las cajas. ¿Cuál será la mejor forma?

Para descomponer un número en sus factores primos, utilizamos los criterios de divisibilidad y verificamos si es divisible por los números primos de menor a mayor. Observemos la descomposición en factores primos del número 2 520

2 520

2

1 260

2

630

2

315

3

105

3

35

5

7

7

23

32

1 2 520 = 23 x 32 x 5 x 7

57


U3

Mínimo común múltiplo Cálculo mental Para multiplicar por 15. 56 3 15

→ 56 3 (153 2) 2 → 28 3 30 → 840

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero, de dichos números. Para hallar el m.c.m. entre 10 y 8, hacemos lo siguiente: 1. D  escomponemos en

10 5 2 2 1

8 2 4 2 2 2 1

10 5 5 3 2

8 5 23

10 5 5 3 2

8 5 23

factores primos cada número.

56 3 15 5 840 Ejercicios a) 88 3 15 b) 94 3 15 c ) 42 3 15 d) 38 3 15

2. Seleccionamos, de cada factor, el que tenga

m.c.m. (10 y 8) 5 5 3 23

mayor exponente. 3. Multiplicamos los

m.c.m. (10 y 8) 5 5 3 23 5 5 3 8 5 40

factores seleccionados.

Finalmente, el mínimo común múltiplo de 10 y 8 es 40.

Actividades para realizar en el cuaderno 1. Indico los números entre los cuales son divisibles los siguientes números. a) 30

d) 26

g) 55

b) 15

e) 100

h) 66

c ) 80

f ) 25

i ) 18

a) 25

d) 40

g) 31

b) 19

e) 27

h) 7

c ) 31

f ) 101

i ) 57

3. Descompongo los números en sus factores primos. a) 46

d) 49

g) 35

b) 100

e) 85

h) 96

f ) 2 730

i ) 158

c ) 1 250 58

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2. Indico cuáles de los siguientes números son primos y cuáles son compuestos.


4. Hallo el mínimo común múltiplo entre los números. a) 16 y 24

d) 15; 5 y 40

g) 10; 100 y 1 000

b) 35 y 40

e) 29; 10 y 14

h) 30 y 18

c ) 12 y 24

f ) 8; 32 y 60

i ) 5 y 20

5. Resuelvo los problemas. a) Julián y Martha practican en un parque para una carrera de 15 km. Julián le da una vuelta al parque en 15 minutos y Martha en 20 minutos. Si parten los dos al mismo tiempo desde la entrada del parque, ¿al cabo de cuánto tiempo se encontrarán nuevamente? b) Los abuelos paternos de Raúl lo visitan cada 7 días y los abuelos maternos cada 10. Si hoy fueron a casa de Raúl todos sus abuelos, ¿cuántos días deberán transcurrir para que, nuevamente, vayan todos a visitarlo el mismo día? c) En el trabajo de Luisa hay tres empleados: Miguel, Luis y César. Si Miguel cobra cada 7 días, Luis cada 15 días y César cada 30 días, y hoy cobraron todos a la vez, ¿cuántos días deberán transcurrir para que cobren todos, nuevamente, el mismo día?

Pensamiento crítico Leo la información y resuelvo. Cuando vamos al médico y tenemos alguna enfermedad, generalmente nos prescriben varios medicamentos que deben ser tomados en diferentes horarios. Si el médico nos manda tres medicamentos, © Editorial Santillana, S.A.

uno que debe tomarse cada 12 horas, otro cada 8 horas y el tercero cada 24 horas: a) ¿Cómo puedo saber qué día y a qué hora coincidirán los tres medicamentos? b) Si comencé los tres medicamentos un lunes a las 8:00 am, ¿qué día y a qué hora coincidirá nuevamente la toma de los tres medicamentos?

59


U3

Máximo común divisor En mi salón somos 32 estudiantes. Para una actividad en clases la maestra nos quería organizar en grupos de igual cantidad de integrantes. Ella nos preguntó ¿cuántos estudiantes debería haber en cada grupo para que todos tuvieran la misma cantidad de integrantes?

Divisores de un número El 1 es divisor de cualquier número.

Los divisores son números que dividen de forma exacta a otro número dado. El 5 es divisor de 35, porque al dividir 35 4 5, el resultado es un número entero (7) y el residuo de la división es cero. Todo número es divisor de sí mismo. El 23 es divisor de 23, ya que al dividir 23 4 23, el resultado es 1 y no queda residuo de la división. Para determinar los divisores de un número utilizamos los criterios de divisibilidad. Calculemos los divisores de 36: 1. Escribimos los divisores del número, que sean de una cifra, usando los criterios

Divisores de 36, que son de una cifra: 51;

2; 3; 4; 6; 96

de divisibilidad.

Glosario criterio. Regla o norma que se usa para clasificar o distinguir las cosas. divisibilidad. Propiedad de un número entero de poder dividirse por algún otro número entero y dar cociente cero. 60

Divisores encontrados: 51; 2; 3; 4; 6; 96

divisores, que se obtengan

2 3 18 5 36

de multiplicar los divisores

3 3 12 5 36

encontrados por otros

9 3 4 5 36

números que den como

Nuevos divisores de 36:

resultado el número dado. 3. Agregamos el último divisor, que es el mismo número original.

51; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 186

Divisores de 36: 51; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 366

© Editorial Santillana, S.A.

2. Buscamos los otros


Máximo común divisor Cálculo mental

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor

Para multiplicar por 19.

de los divisores que tienen en común dichos números.

12 3 19

Observemos por qué el m.c.d. entre 12 y 16 es 4.

12 3 19 5 12 3 (20 2 1) 5 12 3 20 2 12 3 1

Divisores de 12: 5 1; 2; 3; 4; 6; 126

5 240 2 12

Divisores de 16: 5 1; 2; 4; 8; 166

5 228

Los divisores comunes son: 1; 2 y 4. Como el mayor es el 4, entonces 4

Ejercicios

es el m.c.d. entre 12 y 16.

a) 26 3 19 b) 33 3 19 c ) 45 3 19

Observemos los pasos para calcular el m.c.d. entre 90, 36 y 42. 1. Descomponemos los números en sus factores primos. 90 45 15 5 1

d) 79 3 19

2 3 3 5

36 18 9 3 1

90 5 2 3 32 3 5

2 2 3 3

42 2 21 3 7 7 1

36 5 22 3 32

42 5 2 3 3 3 7

2. De los factores obtenidos seleccionamos los comunes con su menor exponente.

90 5 2 3 32 3 2

36 5 22 3 32

42 5 2 3 3 3 7

Los factores comunes son 2 y 3, el menor exponente del 2 es 1, al igual que el del 3. 3. Multiplicamos los factores que seleccionamos y el resultado es el m.c.d.

m.c.d. (90; 36 y 42) 5 2 3 3 5 6

Entonces, el m.c.d. de 90; 36 y 42 es 6.

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Si descomponemos dos números y no tienen factores comunes, el m.c.d. entre ellos es el 1. Calculemos el m.c.d. entre 25 y 13.

rápido El 7 es divisor común de 35 y 140, ¿será divisor del m.c.d. de estos dos números?, ¿por qué?

25 5 5 5 1

13 13 1

25 5 52

13 5 13

Como no tienen factores comunes, su m.c.d. es 1. 61


U3 Propiedad del m.c.m. y del m.c.d. ¡Qué bien! Esta propiedad me puede ayudar a saber si hice los cálculos correctamente.

La propiedad del m.c.m. y del m.c.d. nos indica que si multiplicamos el m.c.m. de dos números naturales con su m.c.d., obtendremos el mismo resultado que si multiplicamos los números. Si queremos comprobar que el m.c.m. entre 16 y 20 es 80, y que el m.c.d. entre 16 y 20 es 4, aplicamos la propiedad. 1. Multiplicamos el m.c.m. por el m.c.d. 80 3 4 5 320 2. Multiplicamos los números originales 16 3 20 5 320 Como los resultados son iguales, entonces, m.c.m. (16, 20) 5 80 y m.c.d. (16, 20) 5 4.

Actividades para realizar en el cuaderno 1. Determino los divisores de los números. a) 52

e) 50

i ) 49

b) 88

f ) 100

j ) 260

c ) 96

g) 26

k) 182

d) 45

h) 30

l ) 156

2. Calculo el máximo común divisor entre los números. a) 18 y 45

e) 150 y 325

i ) 36, 45 y 99

b) 50 y 46

f ) 343 y 49

j ) 320, 162 y 410

c ) 25 y 100

g) 160 y 95

k) 200, 1 000 y 100

d) 232 y 426

h) 28, 14 y 16

l ) 39, 13 y 65

3. Compruebo si el m.c.m y el m.c.d. hallados son correctos. d) m.c.m. (100; 500) 5 500

m.c.d. (10; 12) 5 2 m.c.d. (100; 500) 5 25 b) m.c.m. (15; 25) 5 75

e) m.c.m. (78; 40) 5 1 560

m.c.d. (15; 25) 5 5 m.c.d. (78; 40) 5 2 c ) m.c.m. (36; 54) 5 108

f ) m.c.m. (18; 9) 5 81

m.c.d. (36; 54) 5 18 m.c.d. (18; 9) 5 2 62

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a) m.c.m. (10; 12) 5 120


4. Encuentro el m.c.d. de los números que están en las tablas. Números

m.c.d.

Palabra asignada

Números

m.c.d.

Palabra asignada

49 y 630

acento

165 y 200

sílaba

150 y 45

agudas

30 y 240

las

28 y 34

llevan

370 y 10

que

77 y 121

palabras

410 y 328

última

5. Resuelvo los problemas. a) Gustavo es profesor de 6to grado y quiere repartirle a sus alumnos trozos de cartulina de igual tamaño. Cuenta con cuadros de cartulina que miden 130 cm, 40 cm y 80 cm. ¿De qué tamaño debe cortar Gustavo los trozos de cartulina para que queden todos del mismo tamaño sin que le sobre cartulina? ¿Cuántos trozos de cartulina puede obtener de ese tamaño? b) Teresa organiza una excursión a la Gran Sabana. Debe llevar a una familia de 12 personas y a otra de 20 personas. Si quiere armar grupos para una actividad y desea que todos los grupos sean de la misma cantidad de personas, y además que en cada grupo quede la mayor cantidad de personas posible, ¿cuántos integrantes debe tener cada grupo? ¿Cuántos grupos se obtienen?

Pensamiento crítico Leo el planteamiento y respondo. Si una escuela tiene cuatro secciones por grado y se inscriben 130 estudiantes, ¿habrá forma de que todas

© Editorial Santillana, S.A.

las secciones estén formadas por la misma cantidad de alumnos?, ¿por qué? ¿Qué relación matemática tiene que existir entre el número de alumnos y la cantidad de secciones, para que esto ocurra?

63


U3

Orden en las fracciones Mi mamá me pidió ir a la tienda para que le comprara 1 kg de café, 4

pero sólo tenían

1 2

kg. En ese momento no supe qué hacer,

¿debería llevar el paquete de 1 kg? ¿Le alcanzará a mi mamá 2

esa cantidad de café?

Comparación de fracciones Para comparar dos o más fracciones observamos sus numeradores y denominadores. Se pueden presentar los siguientes casos: • Orden en fracciones con igual denominador. • Orden en fracciones con igual numerador. • Orden de fracciones con distintos denominadores y numeradores. Luego, utilizamos las relaciones de orden “mayor que” (.), “menor que” (,) o “igual a” (5).

Orden de fracciones con igual denominador Entre dos fracciones que tienen igual denominador, la fracción mayor es la que tiene mayor numerador. Al comparar 2 y 4 , es mayor 4 , ya que 4 . 2. Gráficamente sería: 5 5 5

Recuerda

64

4 5

Orden de fracciones con igual numerador Entre dos fracciones con igual numerador, la fracción mayor es la que tiene menor denominador. Si comparamos 7 y 7 , es mayor 7 , porque 3 5 3 3 , 5. Veámoslo gráficamente. 7 3

7 5

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Para representar gráficamente una fracción impropia, es decir, cuyo numerador sea mayor que el denominador, tenemos que utilizar varias unidades. Luego, dividimos las unidades entre la cantidad de partes que indica el denominador y tomamos la cantidad de partes que indica el numerador.

2 5


Orden de fracciones con diferentes numeradores y denominadores Cálculo mental Para multiplicar por números compuestos de dos factores. 16 3 35 16 3 35 5 16 3 (5 3 7) 5 (16 3 5) 3 7 5 80 3 7 5 560 16 3 35 5 560 Ejercicios a) 25 3 6 b) 18 3 14 c ) 26 3 12

Para ordenar fracciones con distintos numeradores y denominadores hallamos fracciones equivalentes a las fracciones que deseamos comparar, pero que tengan igual denominador. Para hallar una fracción equivalente a otra multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción original por un mismo número. Si queremos comparar las fracciones 8 y 10 , lo hacemos siguiendo 6 9 estos pasos: 1. Hallamos el m.c.m. entre los denominadores realizando la descomposición en sus factores primos.

9 3 3 3 1

6 2 3 3 1

9 5 32

6 5 23 3

m.c.m. (9; 6) 5 32 3 2 5 9 3 2 5 18

d) 15 3 45

2. Multiplicamos el numerador y el

16 832 5 18 932

denominador de cada fracción por un número, de forma tal que

10 3 3 30 5 633 18

los denominadores obtenidos sean el m.c.m. 3. Comparamos las nuevas fracciones equivalentes a las fracciones originales.

16 18

, 30 , porque 16 , 30 18

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Por lo tanto, 89 , 10 . Podemos comprobarlo gráficamente. 6

8 9

10 6

10 Entonces, 89 , 6 .

65


U3

Una fracción comprendida entre dos fracciones Recuerda

Para encontrar una fracción que se ubique entre dos fracciones,

Amplificar una fracción significa multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número diferente de cero.

podemos tener: • Numeradores consecutivos y denominadores iguales. • Numeradores no consecutivos y denominadores iguales.

Numeradores consecutivos y denominadores iguales Para encontrar una fracción entre 38 y 48 , realizamos los siguientes pasos: 1. Amplificamos cada fracción por el mismo número.

333 9 5 833 24

433 12 5 833 24

2. Buscamos un número entre los numeradores de las

9 , 10 , 12

fracciones resultantes. 3. Escribimos una nueva fracción, cuyo

10 9 12 , , 24 24 24

numerador sea el número escogido y el denominador sea el mismo de ambas fracciones amplificadas.

3 4 5 , , 8 8 12

4. Simplificamos todas las fracciones.

Numeradores no consecutivos y denominadores iguales Para hallar una fracción comprendida entre otras dos fracciones de igual denominador, y cuyos numeradores no sean consecutivos, sólo tenemos que buscar un número comprendido entre los numeradores. Por ejemplo, una fracción entre 3 y 7 puede ser 5 ; 4 ó 6 . 11 11 11 11 11

66

1. Comparo las fracciones con igual denominador. c ) 8 y 15 e) 9 y 2 a) 3 y 2 7 7 2 2 5 5

g) 6 y 11 5 5

b) 6 y 3 12 12

h) 9 y 3 4 4

d) 12 y 10 4 4

f) 7 y 8 3 3

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Actividades para realizar en el cuaderno


2. Comparo las fracciones con igual numerador. b) 6 y 6 c) 8 y 8 d) 12 y 12 a) 3 y 3 10 12 9 7 3 4 4 5 3. Comparo las fracciones. b) 3 y 6 a) 10 y 3 10 12 4 8

c ) 12 y 8 9 7

4. Ordeno de mayor a menor las fracciones. a) 2 ; 7 ; 3 ; 12 ; 8 ; 16 y 5 10 10 10 10 10 10 10 b) 4 ; 3 ; 10 ; 12 ; 1 ; 8 y 15 3 3 3 3 3 3 3 c) 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 y 8 3 8 10 4 12 5 16

d) 25 y 12 3 4

e) 9 y 9 7 2 e) 3 y 9 7 2

f) 7 y 7 10 3 f) 5 y 7 10 3

d) 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 y 2 10 3 6 5 12 4 1 e) 2 ; 7 ; 3 ; 12 ; 8 ; 16 y 5 12 10 5 6 9 3 2 f ) 1 ; 7 ; 8 ; 12 ; 4 ; 3 y 6 4 6 5 12 3 10 15

5. Comparo las fracciones y las represento gráficamente. b) 9 y 7 c) 2 y 2 d) 8 y 8 e) 4 y 10 a) 1 y 3 5 5 9 7 3 5 6 5 3 3

f) 5 y 3 4 5

6. Encuentro una fracción comprendida entre cada par de fracciones dadas. c) 7 y 8 d) 6 y 7 e) 4 y 5 f ) 12 y 13 a) 10 y 11 b) 3 y 4 3 4 4 8 9 2 2 6 6 5 5 3 7. Resuelvo el siguiente problema. Mercedes desea ordenar los frascos de jugo que llevaron sus estudiantes para una merienda, desde el más grande hasta el más pequeño. Si los frascos tienen 2 ,, 1 ,, 1 ,, 6 , y 3 ,, ¿cómo debe ordenarlos Mercedes?

2

4

5

2

Pensamiento crítico Leo y respondo. La repostería, confitería o pastelería es el arte de preparar o decorar pasteles u otros postres, como bizcochos, tartas o tortas. En este arte, como en toda la gastronomía, se utilizan recetas con © Editorial Santillana, S.A.

cantidades expresadas en forma de fracciones. Por ejemplo, 1 2

kg de harina o 41 de taza de azúcar.

Si te encontraras haciendo un pastel y la receta dice 1 kg de 4

azúcar, pero cuando vas al supermercado te venden 1 kg de azúcar, ¿te alcanzará esta cantidad para hacer el pastel?, ¿por qué?

67


U3

Adición y sustracción con fracciones Mi mamá va todos los días al gimnasio. La última vez que la acompañé, mientras la esperaba, me puse a sacar cuentas y vi que, del total de personas de la sala donde estaba, la mitad hacía bicicleta, una tercera parte usaba pesas, las dos quintas partes ejercitaba las piernas y el resto estaba conversando. ¿Qué parte de las personas se ejercitaba y qué parte de las personas conversaba?

Simplificación de fracciones Cada vez que resolvamos operaciones con fracciones, debemos simplificar los resultados.

La simplificación de fracciones es un procedimiento que nos permite encontrar una fracción equivalente a la fracción original, pero con numerador y denominador menores. Para simplificar una fracción, basta con dividir el numerador y el denominador entre un mismo número que los divida a ambos. Los pasos para simplificar, por ejemplo, la fracción 72 son: 27 1. Buscamos el m.c.d. entre el numerador y el denominador. Para ello, los descomponemos en sus factores primos.

72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

72 5 23 3 32

68

2. Dividimos el numerador y el denominador entre el m.c.d.

8 72 4 9 5 3 27 4 9

Entonces, 72 5 8 . 27 3 La fracción simplificada encontrada se llama fracción irreducible, porque ya no puede ser simplificada por otro número.

© Editorial Santillana, S.A.

Ejercicios a) 8 80 b) 45 90 c) 36 144 d) 23 69

27 5 33

m.c.d (72; 27) 5 32 5 9

rápido Simplifica las fracciones.

27 3 9 3 3 3 1


Adición y sustracción de fracciones con igual denominador En un click

Para hallar la suma o la diferencia de dos o más fracciones con

En la siguiente página encontrarás varias actividades para practicar la adición con fracciones. http://aplicaciones.info/ decimales/fra03.htm

igual denominador, como 35 1 57 2 25 , sumamos o restamos los numeradores. La fracción resultante tiene como denominador el de las fracciones originales. 31722 3 7 2 8 10 2 2 1 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Entonces, 3 1 7 2 2 5 8 . 5 5 5 5

Adición y sustracción de fracciones con diferentes denominadores Para hallar la suma o la diferencia de dos o más fracciones con 4 diferente denominador, como 12 1 3 2 10 , lo hacemos así: 6 5

1. Hallamos el m.c.m. entre los denominadores.

6 2 3 3 1 6 5 2 3 3

5 5 1 555

10 2 5 5 1 10 5 2 3 5

m.c.d (6; 5; 10) 5 2 3 3 3 5 5 30 2. Convertimos cada fracción en otra equivalente, cuyo denominador sea el m.c.m.

60 12 12 3 5 5 5 30 6 635 3 18 336 5 5 5 30 536

© Editorial Santillana, S.A.

4 433 12 5 5 10 10 3 3 30 3. Resolvemos las operaciones 12 1 3 2 4 5 60 1 18 2 12 6 10 5 30 30 30 con las fracciones 78 2 12 66 5 5 equivalentes obtenidas. 30 30 4. Simplificamos el resultado.

11 66 5 5 30

4 Finalmente, 12 1 35 2 10 5 11 . 6 5

69


U3

Adición de una fracción con un natural Cálculo mental

Para hallar la suma de una fracción con un número natural podemos

Para multiplicar por números compuestos de tres o mas factores.

usar la expresión de un número mixto.

28 3 13

2 1 3 , así:

Para saber cuántos litros de naranjada podemos obtener al mezclar 2 litros de agua con 3 de litro de jugo de naranja, sumamos 4

5 (7 3 2 3 2) 3 13

21

5 7 3 (2 3 26) 5 7 3 52

4

43213 11 3 813 5 5 5 4 4 4 4

Por lo tanto, podemos preparar 11 de litro de naranjada. 4

5 364 28 3 13 5 364

Propiedades de la adición con fracciones

Ejercicios

En la adición con fracciones se cumplen estas propiedades:

a) 36 3 14 b) 24 3 12

Conmutativa Al cambiar el orden de los sumandos el

c ) 44 3 15

resultado no se altera. 3 10 5 1 5 7 21 50 1 5 35 35 71 5 35

d) 32 3 16

Asociativa

3 10 1 5 7 50 21 1 35 35 71 35

Al sumar tres o más términos podemos variar la forma de agruparlos y el resultado no cambia. 2 3 3 1 2 1 1 1 5 1 1 7 7 7 7 7 7

1

2

5 7

1

1

2 1 5 1 7 7

6 7

4 7

6 7

Toda fracción sumada con cero es igual a la misma fracción. 3 1 0 5 0 1 3 5 0 7 5

Actividades para realizar en el cuaderno 1. Simplifico las fracciones hasta encontrar una fracción irreducible. a) 225 100 70

b) 52 46

c ) 12 133

d) 90 40

e) 75 36

f ) 88 16

© Editorial Santillana, S.A.

Elemento neutro

5

2


2. Resuelvo las operaciones. d) 70 2 3 1 4 g) 8 1 3 2 1 j) 3 1 1 1 2 2 1 a) 5 1 8 1 10 4 4 18 18 18 25 5 10 2 4 4 b) 12 1 2 1 1 e) 3 1 43 1 2 h) 120 2 42 1 3 1 1 k) 3 1 1 2 1 1 2 7 7 7 12 12 12 9 6 6 3 5 10 12 9 25 10 3 2 4 20 4 5 4 25 3 3 c) 1 f) 1 1 i) l) 2 1 1 2 2 1 5 5 5 7 4 10 33 11 39 22 4 8 2 3. Efectúo las operaciones e indico el nombre de la propiedad que se utiliza en cada caso. Operación 3 2

8

8

Resultado

Propiedad

3

1 2 5 2 1 2

1 51 1 102 22 31 5 51 11102 2 31 2 7 8

7

10501 8

1 1 2 12 2 1 10 2 10 2 3 3 11 5 1 10 25 7 11 10 1 5 2 1 0 7 2 3

101 3 5 3 10 1 3

1 5

10501 5

1

4. Resuelvo el problema. Juan Carlos quiere preparar un color de pintura especial para la sala de su casa. Para ello, 1 2 10 agrega 3 , de pintura roja, 5 , de pintura verde, 15 , de pintura amarilla y 1 , de pintura blanca. Luego, extrajo 38 , de la nueva pintura, para una habitación. ¿Con cuántos litros de

pintura se quedó Juan Carlos para pintar la sala de su casa?

Pensamiento crítico Leo el planteamiento y respondo. © Editorial Santillana, S.A.

En una fábrica se elaboran 64 000 jugos diarios. Si en un día la embotelladora daña las 3 partes de la producción 8

diaria y a la empresa no le conviene perder la mitad de la producción, ¿será conveniente seguir con esta máquina? ¿cómo podemos saberlo?

71


U3

Multiplicación con fracciones En mi escuela están organizando un triatlón de 10 km. Un quinto del total de kilómetros se hará nadando, 2 partes se efectuarán 5

en bicicleta y el último tramo será corriendo. Mi amigo Henry quiere participar, pero cree que sólo podrá recorrer la mitad de cada tramo. ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer en bicicleta?

Multiplicación con fracciones Recuerda

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene

Para multiplicar una fracción por un número natural, escribimos un uno como denominador del número natural y luego multiplicamos las fracciones.

como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. Si queremos calcular cuántos kilómetros puede recorrer Henry en bicicleta, multiplicamos los 10 km del total por los 2 del tramo en bicicleta y por 1 , que representa la mitad. 5 2

Luego, resolvemos la operación 10 3 25 3 21 , así: 1. Multiplicamos los numeradores y el resultado lo escribimos en el numerador de la

10 3

20 10 3 2 3 1 2 1 3 5 5 5 2

10 3

10 3 2 3 1 20 2 1 3 5 5 13532 10 5 2

fracción resultante. 2. Multiplicamos los denominadores y el resultado lo escribimos en el denominador de la fracción resultante.

obtenida. Para ello, hallamos el m.c.d. entre el numerador

rápido a) ¿ Cuál es la mitad de un tercio? b) ¿ Cuál es un tercio de la mitad? 72

y el denominador.

20 2 10 2 5 5 1

10 2 5 5 1

20 5 22 3 5 10 5 2 3 5 m.c.d. (20, 10) 5 2 3 5 5 10 20 4 10 2 5 52 10 4 10 1 Finalmente, Henry sólo puede recorrer 2 km en bicicleta.

© Editorial Santillana, S.A.

3. Simplificamos la fracción


Propiedades de la multiplicación con fracciones Gente con… Disciplina La disciplina es la capacidad que tienen las personas de enfocar todo su esfuerzo para lograr un fin. Se necesita disciplina, por ejemplo, para destacarse en la práctica de deportes, aprender las operaciones y sus propiedades con números naturales o fracciones.

En la multiplicación de fracciones se cumplen las propiedades: Conmutativa El orden de los factores no altera el producto. 3 8 3 8 5 3 3 7 5 7 5 24 35

24 35

5

Asociativa El producto de tres o más fracciones no cambia si las agrupamos de distintas maneras. 2 3 3 4 2 4 3 3 5 3 3 5 7 7 3 5 3

1

2

6 35

1

3 24 105

2 4 5 3 5 3

2

12 21

24 105

5

Distributiva Para resolver una multiplicación en la que uno de los factores es una adición, multiplicamos cada sumando por el factor que está fuera del paréntesis. Luego, hallamos la suma de los productos. 1 9 3 12 5 4

1

La propiedad distributiva de la multiplicación se efectúa con respecto a la adición o a la sustracción.

2 5 151 3 94 2 1 151 3 22 5

9 20

1

2 5

5

9 20

1

8 20

© Editorial Santillana, S.A.

5

17 20

Al multiplicar cualquier fracción por uno (1), Elemento neutro siempre obtendremos como resultado la misma fracción. 3 3 3 5 31513 5 8 8 73


U3

Operaciones combinadas con fracciones Cálculo mental Para multiplicar por 0,5. 5 38 3 0,5 5 38 3 10 1 5 38 3 2 38 5 2 38 3 0,5 5 19 Ejercicios

Las operaciones combinadas son ejercicios matemáticos en los que están involucradas varias operaciones a la vez, como adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones. Observemos cómo podemos calcular el resultado de 1 3

7 3 2 1 2 3 25 . 5 7

1. Resolvemos las multiplicaciones.

a) 96 3 0,5 b) 44 3 0,5

2. Calculamos las adiciones

c ) 24 3 0,5

y sustracciones con los

d) 78 3 0,5

productos obtenidos.

3. Simplificamos los resultados usando el m.c.d. del numerador y del denominador.

132 1 2 2 5 3 5 335 3 15 5 237 2 7 14 5 3 5 7 3 25 7 25 175 2 14 7 1 2 2 3 1 3 5 1 5 175 25 3 7 15

112 56 28 14 7 1

5

2 3 35 1 14 3 3 525

5

70 1 42 112 5 525 525

525 175 35 7 1

2 2 2 2 7

112 5 24 3 7

3 5 5 7

525 5 3 3 52 3 7

m.c.d. (112; 525) 5 7 112 4 7 16 112 5 5 525 4 7 75 525 7 16 Finalmente, el resultado de 1 3 2 1 2 3 25 es 75 . 3 5 7

74

1. Calculo las multiplicaciones. d) 3 3 2 a) 2 3 3 7 16 5

g) 3 3 21 3 4 2 5 3

b) 12 3 1 8 9

e) 18 3 10 7

h) 6 3 2 3 2 6 3 3

c) 3 3 3 2 7

f ) 1 3 13 3 3 6 20 5

i ) 15 3 5 3 4 10 7

© Editorial Santillana, S.A.

Actividades para realizar en el cuaderno


2. Aplico la propiedad conmutativa de la multiplicación y calculo el producto. b) 25 3 3 c ) 40 3 10 d) 15 3 32 e) 8 3 6 a) 10 3 2 5 16 4 22 5 16 41 7 2 3

f) 4 3 3 7

3. Aplico la propiedad asociativa de la multiplicación y calculo el producto. b) 3 3 1 3 2 c ) 3 3 4 3 2 d) 6 3 1 3 7 3 3 a) 1 3 3 3 2 15 7 5 16 5 4 8 5 20 4 4. Aplico la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y calculo el producto. b) 4 1 5 3 3 c) 2 3 3 1 8 d) 1 1 5 3 3 a) 8 3 2 1 3 10 4 11 22 7 7 5 36 10 12 9

1

2

1

2

1

2

1

2

5. Calculo las operaciones combinadas. a) 1 3 2 1 8 3 6 4 3 9 5 b) 3 3 3 2 6 3 7 2 5

c) 2 3 3 1 1 3 1 2 3 5 3 4 d) 3 3 21 2 2 3 6 1 1 7 9

e) 8 3 1 1 6 3 4 2 3 2 5 f ) 10 3 4 2 2 3 7 1 8 7

7 9 1 2

6. Resuelvo los problemas. a) Yolanda está en el supermercado comprando frutas. El frutero colocó en una cesta 3 la mitad de los duraznos que tenía en un saco y Yolanda escogió las 10 partes de

lo que colocó el frutero en la cesta. ¿Qué parte de las frutas del saco escogió Yolanda? b) En un salón de clases 2 de los estudiantes son niños y 3 son niñas. De los niños 5

5

sólo la mitad tiene los útiles escolares completos, mientras que de las niñas sólo la tercera parte los tiene completos. ¿Qué parte, de todo el grupo, tiene los útiles escolares completos?

Pensamiento crítico Leo el planteamiento y respondo. En un salón hay 36 estudiantes y se quiere repartir jugo en © Editorial Santillana, S.A.

envases de 1 de litro para cada uno. 4

a)  ¿Cuántos litros de jugo se necesitan comprar para que todos tomen jugo? b) Si sólo las 3 partes del grupo tomarán jugo, ¿cuántos litros 4 se necesitan?

75


U3

Fracción inversa y división con fracciones

ILUSTRACIÓN DE UN JOVEN SIRVIENDO CUATRO VASOS DE JUGO, DE UN RECIPIENTE DE MEDIO LITRO.

En el cafetín de mi colegio venden productos muy variados. Tienen jugos de frutas de 1 de litro y de 1 de litro. Ayer compré un jugo de 2

4

los más grandes para compartirlo con cuatro de mis compañeros de clase. ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Fracción inversa Recuerda

Una fracción inversa es una fracción que tiene el numerador y el

La fracción inversa de un número natural tiene como numerador el uno y como denominador el número natural. Por ejemplo, la fracción inversa de 5 es 1 .

denominador invertidos con respecto a una fracción dada. Por ejemplo, la fracción inversa de 8 es 17 . 17

8

El producto de una fracción por su inversa siempre es igual a la unidad. Verifiquemos esto multiplicando la fracción 6 por su inversa: 15

6 15

5

6 3 15 3 15 5 15 3 6 5 90 51 6 90

División con fracciones usando la fracción inversa Para dividir una fracción entre otra multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda. Por ejemplo, en la división 10 4 3 , hacemos lo siguiente: 7 8 de la segunda fracción. 2. Multiplicamos la primera por la inversa obtenida. 3. Simplificamos los resultados. Entonces, 10 4 3 5 80 . 7 8 21 76

3 8

inversa

8 3

80 8 10 10 3 8 3 5 5 21 3 7 337 80 es irreducible 21

© Editorial Santillana, S.A.

1. Hallamos la inversa


División con fracciones sin utilizar la fracción inversa En un click Repasa lo que aprendiste de las operaciones con fracciones en la siguiente página. http://www.isftic.mepsyd. es/w3/recursos/primaria/ matematicas/fracciones/ menu.swf

Para dividir dos fracciones sin utilizar la fracción inversa, podemos hacerlo usando: • La multiplicación cruzada. • La “doble C”.

División con fracciones usando la multiplicación cruzada Consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. Por ejemplo, calculemos de esta forma 25 4 7 . 14 4

100 7 25 3 4 50 25 4 5 5 5 98 4 14 3 7 49 14

División con fracciones usando la “doble C” Consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. Para obtener el resultado, multiplicamos el numerador superior por el denominador inferior y el numerador central por el denominador central. Calculemos 12 4 4 por este método.

© Editorial Santillana, S.A.

5

9

12 4 5 12 4 5 4 9 5 9 5

108 12 3 9 27 5 5 20 534 5

El término “doble C” se debe a que, cuando se multiplica el

numerador superior por el denominador inferior, se forma una “C” grande. También, cuando se multiplica el numerador central por el denominador central se forma una “c” pequeña. 77


U3

Operaciones combinadas C谩lculo mental Para multiplicar por 0,25. 484 3 0,25 5 484 3 484 4 5 121

Observemos los pasos para resolver la operaci贸n: 16 5

1 4

3 4 32 1 34 3 21 1 10 2 12 4 10 3 4

1. Resolvemos las multiplicaciones y divisiones. 32 3 16 16 3 2 4 5 5 15 2 5 533

5

331 3 3 1 3 5 5 432 4 8 2

484 3 0,25 5 121 Ejercicios

48 12 12 3 4 10 4 5 5 30 3 3 3 10 4

a) 632 3 0,25 b) 548 3 0,25

2. Calculamos las adiciones y sustracciones con los productos

c ) 796 3 0,25

y cocientes obtenidos.

d) 364 3 0,25

16 3 12 10 1 3 3 4 1 3 1 2 4 5 10 3 4 2 2 4 5

32 3 48 3 1 1 2 15 10 30 8

5

32 3 8 1 3 3 15 1 3 3 12 2 48 3 4 120

5

256 1 45 1 36 2 192 120

5

145 337 2 192 5 120 120

2. Simplificamos los resultados usando el m.c.d. del numerador y del denominador. m.c.d. (145,120) 5 5

145 145 4 5 29 5 5 120 120 4 5 24

16 3 3 1 3 12 10 29 Finalmente, 5 4 2 1 4 3 2 1 10 2 3 4 4 5 24 .

1. Determino la fracci贸n inversa de las fracciones. c ) 25 e) 1 a) 2 42 9 5 b) 16 7 78

d) 3

f ) 10 25

g) 5 4

i) 6 7

h) 1 8

j ) 10 3

漏 Editorial Santillana, S.A.

Actividades para realizar en el cuaderno


2. Resuelvo las divisiones utilizando la fracción inversa. b) 30 4 4 c ) 10 4 25 d) 2 4 6 a) 3 4 1 5 15 6 7 4 8 19

e) 29 4 2 13

3. Resuelvo las divisiones a través de una multiplicación cruzada. b) 29 4 10 c ) 23 4 1 d) 4 4 12 e) 16 4 12 a) 6 4 12 14 15 42 87 16 40 5 32 4. Resuelvo las divisiones utilizando el método de la “doble C”. c) 2 4 10 e) 29 4 23 a) 12 4 4 8 7 6 54 65 b) 9 4 3 d) 15 4 2 f) 7 4 4 18 4 59 48 3 5. Resuelvo las operaciones combinadas. a) 1 4 4 1 2 3 2 2 2 1 7 3 1 3 5 10 3 4 6 b) 15 1 2 4 3 1 3 3 5 2 3 4 2 1 5 3 1 3 2 4 2 4 3 4

f) 1 4 1 3 9 f) 2 4 3 16 18

g) 5 4 8 h) 9 4 4

1 2 2 3

c) 1 1 2 2 1 3 3 2 4 4 1 1 4 3 5 2 7 4 21 5 d) 35 2 2 4 1 1 10 4 2 1 4 3 1 4 2 5 3 4 6 4

6. Resuelvo los problemas. a) Pablo prepara una mezcla de cemento para reparar su casa. Para hacerla utiliza 3 bolsas de 1 de kg de arena cada una, 2 bolsas 2

de 81 de kg de cemento cada una, y media bolsa de 24 de kg de

piedras. Si utilizó 32 de kg de la mezcla, ¿cuánto sobró de ésta?

b) José repartió la tercera parte de sus metras a 4 amigos hoy en el parque, ¿qué porción de las metras le dio a cada uno?

Pensamiento crítico Analizo y respondo. Supongamos que 2 partes de una región es una 5 © Editorial Santillana, S.A.

reserva forestal cubierta de bosque. Si esa región está dividida en 3 sectores, que a su vez están divididos en 5 parcelas, ¿qué porción del total de la región representa cada parcela?

79


Actividades de repaso

1. Completo la frase buscando la letra

4. Ordeno de menor a mayor las fracciones.

correspondiente a cada número de acuerdo con los criterios de divisibilidad. Bertha Sophie Felicita von Suttner fue la

primera mujer en la historia en recibir el 175

441

210

315

55

20

15

620

66

1 050

99

de la Paz. Recibió el reconocimiento en 1095 por su profunda labor en contra de la guerra. • Si es divisible entre 2, 3 y 5, coloco la E. • Si es divisible entre 3 y 5, coloco la N. • Si es divisible entre 2 y 3, coloco la B. • Si es divisible entre 2 y 5, coloco la O. • Si es divisible entre 7 y 5, coloco la P. • Si es divisible entre 7 y 3, coloco la R. • Si es divisible entre 7, 3 y 5, coloco la M. • Si es divisible entre 11 y 5, coloco la I. • Si es divisible entre 3 y 11, coloco la L. 2. Completo la tabla. Números

m.c.m.

m.c.d.

Producto de los números

Producto del m.c.m x el m.c.d.

77 y 55

5. Encuentro una fracción comprendida entre cada par de fracciones dadas. a) 2 y 3 3 3

c) 2 y 3 15 15

e) 7 y 8 5 5

b) 16 y 17 20 20

d) 4 y 5 8 8

f) 4 y 5 30 30

6. Simplifico las fracciones para encontrar una fracción irreducible. a) 25 55

c ) 21 63

e) 351 963

b) 16 80

d) 420 77

f ) 450 1 000

7. Resuelvo las operaciones.

40, 22 y 16 30, 82 y 50 66, 44 y 121

3. Comparo las fracciones utilizando los símbolos “mayor que” (.), “menor que” (,)

o “igual a” (5). Las represento gráficamente.

a) 3 y 7 5 5

c) 2 y 3 12 9

e) 9 y 9 70 25

b) 6 y 6 3 2

d) 42 y 16 42 16

f ) 16 y 8 15 15

80

a) 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 y 10 1 7 8 10 2 45 3 b) 3 ; 2 ; 15 ; 20 ; 8 ; 4 y 11 10 10 10 10 10 10 10 c) 43 ; 16 ; 41 ; 12 ; 16 ; 30 y 3 2 22 25 5 55 2 15 d) 3 ; 9 ; 16 ; 1 ; 10 ; 6 y 2 8 8 8 8 8 8 8 e) 38 ; 48 ; 4 ; 12 ; 1 ; 16 y 23 2 2 2 2 2 2 2

a) 1 1 10 1 1 3 3 3

g) 45 1 18 2 10 4 4 4

b) 35 2 12 1 2 10 10

h) 3 1 43 1 2 2 1 12 12 5

c) 5 3 8 4 4 d) 3 3 2 3 1 3 8

i) 16 1 12 1 8 3 9 15 j ) 19 4 2 40 3

e) 4 1 8 4 2 3 4 5

k) 52 1 1 2 3 4 2 3 5 6 3

f ) 4 4 3 10 9

l) 3 1 7 3 10 2 10 4 2 4 4 3

© Editorial Santillana, S.A.

U3


11. Resuelvo los problemas.

8. Efectúo las operaciones e indico el nombre

de la propiedad utilizada. Operación

1

25 1 1 5 3 13 2 1 4 4

1

25

3 5

2 4

5

12

trozos de igual tamaño, tres piezas

Resultado Propiedad

de tela que miden 10 m, 18 m y

5 5 1 3

21

1

1

13 4

1

3 5

26 m, pero que queden lo más grande

2

posible. ¿Qué tamaño deben tener los trozos de tela?, ¿cuántos trozos

12

31 8 10531 8 4 16

3

3

obtendría Pablo en total?

4

3 9 5 9 3 16

9. Determino la fracción inversa las fracciones. 3 e) 6 a) 1 b) 4 c ) 3 d) 5 5 5 16 10 10. Resuelvo las divisiones utilizando el método indicado en cada caso. a) 3 4 10 (fracción 7 5 inversa) b) 31 4 4 (“doble C”) 25 9

a) Pablo es sastre y quiere cortar, en

c ) 4 4 7 (multiplicación 8 cruzada) d) 4 4 3 (“doble C”) 18

b) Evelyn preparó un coctel de frutas para su cumpleaños. Para ello, agregó en una jarra 1 , de jugo de naranja, 2 1 , de jugo de piña, 2 , de jugo de 4 5 patilla, 3 , de jugo de melón y 7 , 5 8 de jugo de parchita. ¿Cuántos litros de coctel preparó Evelyn? Si en la fiesta se tomaron 2 , de la bebida, ¿cuánto coctel de frutas sobró?

Enlace con... Juegos

El billar es un juego que se practica impulsando una bola blanca con un taco de madera. Esta bola debe tocar a otras dos bolas de color rojo, a través

© Editorial Santillana, S.A.

de piques con las bandas laterales de la mesa de juego. Para lograr que la dirección de la bola blanca sea exacta, se usa un método llamado sistema de diamantes. Este sistema consiste en utilizar operaciones matemáticas para que la bola blanca pegue un número determinado de veces en las bandas. En la siguiente dirección podrás observar cuáles son estas operaciones: http://www.youtube.com/watch?v=UzarHHiR5fI&feature=player embedded# 81


R e s o l u ción d e pr o bl e mas Lógica 1

Si los latinoamericanos comen más piña que manzana y los venezolanos comen más piña que todos los demás latinoamericanos, no puede asegurarse que: a) Los venezolanos comen más piña que manzana. b) Los venezolanos comen más piña que los peruanos. c ) Los venezolanos comen menos manzana que todos los demás latinoamericanos. Para resolver este problema analizamos primero el planteamiento, con lógica, antes de ver las opciones. Como los latinoamericanos comen más piña que manzana y los venezolanos comen más piña que todos los latinoamericanos, entonces, se puede decir que los venezolanos comen también mucha más piña que manzana. De allí, queda descartada la opción a). Veamos la opción b). Evidentemente, si los venezolanos comen más piña que todos los latinoamericanos, quiere decir que comen más piña que cualquiera de las nacionalidades latinoamericanas, incluyendo los peruanos. Por lo tanto, la opción b) también se puede asegurar. Por último, la opción c) no se puede asegurar, puesto que en el planteamiento no se dice nada respecto a la cantidad de manzanas que comen los venezolanos.

Los lacos y las lacas son dos familias

Si todos los ejecutivos suelen viajar a

que conviven juntas. Los lacos mienten

París y sólo quienes poseen aviones

siempre y las lacas siempre dicen la

suelen viajar a París, es cierto que:

verdad. Un laco dijo: “Algunos lacas son

a) Todos los dueños de aviones

altos”. De esta afirmación se deduce que:

son ejecutivos.

a) Todos los lacos son bajos.

b) Todos los ejecutivos poseen aviones.

b) Ningún laca es alto.

c) Todos los que viajan a París o son

c) Algunos lacos no son altos. d) Ningún laca es bajo. 82

3

ejecutivos o poseen aviones. d) Todos los que viajan tienen aviones.

© Editorial Santillana, S.A.

2


Aprendiendo a cocinar Qué necesitamos • Computadora con conexión a Internet • Libros de cocina • Ingredientes para preparar la receta • Utensilios de cocina • Ayuda de una persona mayor

Cómo lo hacemos? 1. Consultamos en Internet, en libros de cocina o en recetarios, una receta de algún plato típico venezolano en la cual algunos de los ingredientes aparezcan en fracciones. La receta también debe incluir la cantidad de personas para las que se prepara. 2. Contamos la cantidad de personas que hay en el salón, entre compañeros, compañeras y el o la docente. 3. Dividimos la cantidad de personas contadas entre la cantidad de personas a las que va dirigida la receta. Ese número lo multiplicamos por cada cantidad de ingredientes de la receta, para que la comida alcance para todas las personas del salón. 4. Con la ayuda de una persona mayor, cocinamos la receta en casa.

Utilizamos nuestra comida Explicamos el origen del plato típico que preparamos y lo compartimos con todas las personas del grupo.

© Editorial Santillana, S.A.

Pensar, hacer y reflexionar… • ¿Tuve que utilizar las operaciones con fracciones para saber los ingredientes exactos del plato que quería preparar?, ¿cuáles operaciones usé? • ¿Qué me pareció el compartir que tuvimos en el salón de clases? • ¿Me gustaría repetir momentos como éste con mis compañeros y compañeras de clases? • ¿Creo que puedo ayudar en la cocina de mi casa?, ¿bajo qué condiciones? • ¿Fue sencillo cocinar este plato? • ¿Qué me pareció la experiencia? 83


con Matemática Enlace es un conjunto de materiales didácticos articulados por la convicción de que sólo encontrándole sentido a los conocimientos

6

con Matemática

Unidad 1

logramos el aprendizaje.

Sistema

Las áreas académicas se enlazan entre sí y –a la vez– con la red del

de numeración p.10

conocimiento universal y con la realidad cotidiana. Son esas conexiones las que otorgan significado a los conceptos. Enlace presenta algunas

Operaciones

de ellas, pero faltan muchas por descubrir. Ese es el reto.

combinadas p.38

Desde Santillana agradecemos a las escuelas que participaron en

Pensamiento crítico

las pruebas de las páginas piloto. Los aportes hechos por los y las

Desarrollo del

con Lengua y Literatura con Matemática con Ciencias de la Naturaleza y Tecnología con Ciencias Sociales

con Matemática

docentes, tras vivir la experiencia de Enlace con sus estudiantes, fueron clave para desarrollar estos bienes pedagógicos.

pensamiento y toma de decisiones p.67

SOLUCIÓN

de problemas mediante ecuaciones p.92

6 Libro digital (estudiante)

6 Idea para la acción

Libro digital

PAPEL

(estudiante)

reciclado p.113

Actividades DE REPASO p.156

Resolución de problemas

6 Libro digital (estudiante)

Conteo p.176

Libro digital (estudiante)

6 Libro digital CD Alumno

(estudiante)

INCLUYE LIBRO DIGITAL INTERACTIVO

Enlace con…

DEPORTES p.193


Enlace con Matemática 6