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Matemรกtica

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Santillana

Matemรกtica

Santillana

Santillana


Por un cambio

Matemática 5 – Santillana– te acompaña paso a paso en tu estudio para que aprendas más y mejor. Mirá con atención ‘‘las paradas’’ que encontrarás en el recorrido de los capítulos.

de actitud

Respetamos la diversidad

En algunos temas hay ventanitas que te invitan a pensar sobre lo que podés hacer para ‘‘aprender a vivir con otros’’.

Temas en imágenes

i

En varios capítulos hay una doble página en la que los contenidos están expresados, fundamentalmente, a través de imágenes. Técnica

1

Al final del libro, en la sección Taller de técnicas, vas a encontrar un conjunto de estrategias que te ayudarán a ‘‘aprender a estudiar’’. En los capítulos está indicado cuándo consultarlas.

Momentos de evaluación

En cada capítulo encontrarás tres etapas para ir evaluando tu trabajo:

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

A ver qué sé…

Te preparás para lo que vas a empezar a estudiar.

Parada especial

A ver cómo voy…

Parás y revisás lo que aprendiste hasta el momento.

Para entender En cada capítulo hay una doble página con todo lo que necesites saber para hacer las actividades. Está todo muy fácil, como si te lo contaras a vos.

A ver qué aprendí…

Repasás y organizás tus ideas.

Santillana


Los miles y los millones. Cómo es nuestro sistema de numeración. Multiplicaciones y divisiones por 10, 100, 1.000, … El sistema de numeración egipcio.

1

Los números que usamos

Completá el crucinúmero. Después escribí las referencias que faltan; tenés varias posibilidades, usá tu imaginación.

A ver qué sé…

A

B

C

1

1 E

D

No me acuerdo de todo, pero si pienso seguro que me sale.

F

1

2

G

H

2

0

I

2

0

0

0

9

J

9

Horizontales A. Quince mil quince. E. Menor número que se puede formar con un nueve y un uno.

A. B.

F.

C.

G. Veinte mil ciento nueve.

D. Anterior a sesenta mil.

I.

H.

J. Mil menos cien.

6 6

Verticales

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Referencias


Miles y miles 1. Mirá los puntos que sacó Julián jugando en la compu. Sus amigos obtuvieron es

tos otros: Lorena  444.444 puntos Alfredo  400.400 puntos  404.000 puntos Sofi Cuatrocientos mil puntos:

400.000 puntos

¿Cómo pensás que se leen?

¡Pasaste al próximo nivel!

2. Tené en cuenta los puntajes que se indican en la actividad anterior y completá la tabla. Posición

Nombre

Puntos

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

1.° 2.° 3.° 4.°

¿Cuánto le falta a cada chico para igualar al que está en la primera posición? No vale hacer cuentas.

7 7


Miles y millones 3. Trabajo con otros. En el juego El navegante hay que comprar un barco que vale $ 5.378.000. Lean en voz alta el precio del buque. ¿Cómo lo pagarían usando la menor cantidad de esos billetes?

Si no tuvieran billetes de $ 1.000, ¿cómo lo pagarían?

4. Dar en la tecla. Usá solo las teclas que se muestran abajo hasta que en la pantalla

5. La máquina transforma el número rojo en el azul haciendo solo una suma o una resta. Descubrí cuál es y escribila arriba de cada flecha.

8 8

4.500.080

4.503.090

7.621.000

6.521.000

1.000.000

100.000

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

se vea el número 2.301.004. Escribí cómo lo hiciste.


6. Daniel trabaja como cajero en un banco. Cuando finalizó el día, el tesorero le pidió que acomodara el dinero que tenía en la caja en paquetes de hasta $ 100.000. Había reunido $ 2.305.946. ¿Cuántos paquetes armó, si puso la mayor cantidad posible de dinero en cada uno?

En el paquete de menos dinero había solamente billetes de $ 100 y de $ 10, y monedas de $ 1. Escribí con un cálculo qué contenía.

7. La película Los terrestres fue todo un éxito en Marte; hasta el domingo la habían visto 780.000 marcianos y durante los cuatro días siguientes concurrieron otros 5.000 en cada jornada. Completá con el total de espectadores que la habían disfrutado al finalizar cada día. Domingo

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

780.0000

8. Completá el cuadro y leé todos los números en voz alta. Número

Siguiente

13.509.899 91.000.010 40.789.999

00 00.0 37.0

00 00.0 35.0

00 00.0 33.5

00 00.0 31.5

00.0

00

9. Indicá los números que van en los puntos rojos de esta recta.

31.0

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Anterior

9 9


Temas en imágenes

i

Sistema de numeración egipcio La civilización egipcia fue muy evolucionada en muchos aspectos, por ejemplo, en Matemática. La necesitaban para administrar, demarcar tierras y edificar gigantescas construcciones que aún hoy podemos ver.

Traba para el ganado 10

Cuerda enroscada 100

Planta de loto 1.000

Dedo 10.000

Renacuajo 100.000

Dios sujetando el cielo 1.000.000

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Palo 1

12 12


6.006 Los símbolos se podían escribir hasta nueve veces cada uno.

Mirá las imágenes y respondé estas preguntas referidas al sistema egipcio de numeración.

128

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Siempre se sumaban los valores fijos.

¡Qué poca imaginación! Traen el mismo regalo y la misma cantidad, ambos escribieron 18.

¿Necesitaban los egipcios un símbolo para representar el 0? ¿Puede ocurrir que para escribir un número más grande que otro se usen menos símbolos? ¿Es cierto que cambia el valor de cada símbolo según la posición que ocupa dentro del número? Ahora que ya respondiste todo, escribí algo que te parezca importante acerca de estos números.

Yo opino:

Para escribir un número, los símbolos se podían colocar en distinto orden, como se ve en los papiros, pero solían escribirse de mayor a menor, de izquierda a derecha.

13 13


Para entender

Sistemas de numeración

Sistema de numeración decimal

¿Cómo leo estos números?

¿Y este otro?

10.000  Diez mil 100.000  Cien mil 1.000.000  Un millón 10.000.000  Diez millones 24.320.105 Veinticuatro millones trescientos veinte mil ciento cinco.

¿Cómo es nuestro sistema de numeración? Es decimal porque se agrupa de a diez.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Además, es posicional, porque el valor de cada cifra o símbolo depende de su posición en el número.

24.320.105 Vale 20.000.000. Vale 20.000.

¿Cómo puedo descomponer un número? Tengo en cuenta cómo se forman nuestros números, es decir que agrupo de a diez y considero el valor de cada cifra. Algunas descomposiciones de 24.320.105: 24.000.000 + 320.000 + 105 20.000.000 + 4.000.000 + 300.000 + 20.000 + 100 + 5 2 × 10.000.000 + 4 × 1.000.000 + 3 × 100.000 + 2 × 10.000 + 100 + 5

16 16

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Para escribir los números se usan diez símbolos.

10 veces 10 es 100; 10 veces 100 es 1.000; 10 veces 1.000 es 10.000; etcétera.


Otros sistemas de numeración

¿Todos los sistemas son posicionales? No, hay algunos que no lo son, como el sistema egipcio que vi en las páginas 14 y 15. Por eso, los símbolos para escribir un número se pueden disponer en distinto orden, como muestra este ejemplo:

21.300

Multiplicación y división por 10, 100, 1.000, …

¿Por qué agrego un cero cuando multiplico por 10? Como en nuestro sistema de numeración se agrupa de a 10, al multiplicar por 10 las unidades se transforman en decenas, las decenas en centenas y así sucesivamente.

45 237 57.824 309.761

× × × ×

10 10 10 10

= 450 = 2.370 = 578.240 = 3.097.610

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

¿Y cuando multiplico por 100 o por 1.000? Multiplicar por 100 equivale a multiplicar dos veces por 10, por eso agrego dos ceros. Si es por mil, equivale a multiplicar tres veces por 10, por eso agrego tres ceros.

12 345 12 345

× 100 = 1.200 × 100 = 34.500 × 1.000 = 12.000 × 1.000 = 345.000

¿Y cuando divido? En divisiones como estas quito ceros.

58.000 58.000 58.000 391.000 391.000 391.000

: 10 = 5.800 : 100 = 580 : 1.000 = 58 : 10 = 39.100 : 100 = 3.910 : 1.000 = 391

17


A ver qué aprendí… Repaso 1. De los números que figuran rodeá el once mi-

5. Se borraron algunas cifras de estos números. ¿Podés escribirlas?

llones cien mil once y escribí con letras cómo se leen los demás.

785.7

11.101.011

42.

11.110.101

9 > 785.789 37.800 < 42.108.000

6.401.001 > 6.401. 11.100.011

11.111.011

6. ¿Cuál es el número más grande que podés 2. Rodeá los cálculos con los que se obtiene el

escribir, que sea mayor que ocho millones quinientos mil y menor que nueve millones? ¿Y el más chico?

número 435.215.

7.

Para jugar de a dos. Uno inventa un número que esté entre noventa millones y noventa millones novecientos noventa mil, lo escribe en un papel sin que el otro lo vea, y lo dice en voz alta. El compañero lo escribe y luego comparan. Si el que escuchó lo hizo bien, se anota 1 punto. Si el que lo dijo en voz alta lo hizo mal, se resta 1 punto. Luego cambian los roles. Pueden jugar 10 rondas.

8.

Dar en la tecla. Tenés que poner un número de 4 cifras menor que 2.500 en la calcu y empezar a restar 100 todas las veces que puedas. Si lográs que aparezca el 0 en el visor, ganás 1 punto. ¿Cómo te podés asegurar el punto antes de empezar?

43 × 10.000 + 5 × 1.000 + 5 + 10 + 2 × 100 4 × 100.000 + 3 × 100.000 + 5.215 4 × 100.000 + 35 × 1.000 + 2 × 100 + 1 × 10 + 5 Proponé otra forma de escribir ese número usando multiplicaciones por 10, 100, 1.000, etcétera.

3.

Dar en la tecla. Proponé un cálculo para pasar del 8.880.888 al 8.000.808, y otro para convertir el primer número en 9.999.999. Después comprobalo con la calcu.

4. Leé las pistas y respondé. La cantidad de habitantes de la ciudad A es el mayor número de 7 cifras distintas; la ciudad B tiene un millón diez mil cien habitantes menos que A. ¿Cuántos habitantes tiene cada una de las ciudades? Escribí los números e indicá cómo se leen.

18

9. Calculá mentalmente y completá. 2.300 ×

= 2.300.000 × 100 = 98.654.000

450.000 :

= 4.500 : 10 = 3.967.450

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

435 × 1.000 + 2 × 100 + 10 + 5


Rectas paralelas, perpendiculares y secantes. Circunferencia y círculo. Ángulos. Los lados y los ángulos de los triángulos.

5

Mirá el plano de Plantópolis y respondé. ias

on

Dia

g.

de

Av. de los Claveles

g

Dia

los

Na

Avenida de los Jazmines

rdo

s

¿Qué calles o avenidas delimitan la casa de gobierno?

Casa de Gobierno

Calle de las Azaleas

las

Av. de las Prímulas

e .d

g Be

Calle de las Rosas

Calle de las Amapolas

¿Cómo son entre sí la diagonal de las Begonias y la Av. de las Prímulas?

¿Se cortarán la diagonal de los Nardos y la avenida de los Jazmines?

¿Cómo es la avenida de los Claveles respecto de la avenida de las Prímulas?

¿Y la avenida de los Claveles con respecto a la calle de las Amapolas?

62 62

Tati ¿Qué le responderías a Tati? Explicá tu respuesta.

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

A ver qué sé…

Construcciones


Paralelas y perpendiculares 1. Observá estas obras del pintor argentino Xul Solar (1887-1963). Este artista fue muy amigo del escritor Jorge Luis Borges e ilustró varios de sus libros. Su verdadero nombre era Oscar Agustín Alejandro Schulz Solari.

Proyecto Fachada Delta, Xul Solar, 1954. Vuel Villa, Xul Solar, 1936.

¿Encontrás trazos perpendiculares en estas obras? ¿Y paralelos? ¿Y secantes? Ahora te toca a vos. Animate a componer en la carpeta o en una hoja de dibujo tu propia creación, que muestre líneas paralelas, perpendiculares y secantes. Utilizá la escuadra.

Técnica

3

¿Cómo usás la escuadra para trazar perpendiculares?

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

2. Prepará la escuadra y los lápices negro, azul y rojo, y seguí

estos pasos: 1.º Trazá con azul una recta perpendicular a R que pase por p. 2.º Marcá un punto que no esté sobre R ni en la recta azul, y llamalo m. 3.º Trazá con rojo una recta perpendicular a la recta azul que pase por m. 4.º Con negro trazá una recta que pase por p y por m. Llamala T.

R

p

¿Cómo son las rectas T y R ¿Cómo son entre sí las rectas R y la roja? ¿Cómo te das cuenta?

63 63


Ángulos 6. Marcá un arquito azul en los ángulos rectos que descubras en la senda, uno verde en los agudos y uno rojo en los obtusos. Ayudate con la escuadra. Técnica

3

¿Cómo usás la escuadra para clasificar ángulos?

7. Medí cada ángulo y escribí su amplitud.

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Técnica

5

¿Cómo usás el transportador?

8. Dibujá en tu carpeta un ángulo de 35º, otro de 110º y por último uno de 75º. Debajo de cada uno escribí qué clase de ángulo es.

Ponete a prueba contestando estas preguntas. Una hormiga avanza manteniéndose siempre a 1 metro de la boca del hormiguero. ¿Qué figura forma su recorrido cuando vuelve a pasar por donde empezó? ¿En cuánto tiempo la aguja que marca las horas de un reloj recorre un ángulo recto? ¿Cuánto tarda la aguja que marca los minutos en girar un ángulo de 90º?

A ver cómo voy…

65 65


Triángulos 9. Utilizá la regla y el compás para construir en tu carpeta dos triángulos que tengan

Técnica

un lado de 5 cm y otro de 4 cm, y que sean distintos. Después compará tus dibujos con los de tus compañeros. ¿En qué se diferencian?

4

Si trazás el lado de 5 cm, ¿cómo encontrás un punto que esté a 4 cm de un vértice y a 6 cm del otro?

Ahora dibujá un triángulo con los mismos datos que los del punto anterior y con el tercer lado de 6 cm. ¿Qué opinás? ¿Podrías dibujar otros diferentes, o sea, que tengan otra forma, o el que hiciste es el único posible?

10. Darío va a armar una maqueta de su barrio, que tiene una plaza triangular con la forma que muestra el dibujo. Él quiere que haya 7 cm entre los puntos rojos. ¿Podés dibujar un triángulo con esos datos? Usá la regla y el transportador.

7 cm

20º

Por un cambio

Discutan en grupos si el que hicieron es el único triángulo posible o si se pueden construir otros diferentes con esos datos. de actitud

Respetamos la diversidad ¿Sabías que los senderos de los parques y las plazas deben tener los bordes de material para que las personas con discapacidad visual puedan guiarse? Además, deben estar libres de ramas y arbustos, para que nadie se lastime. Por otra parte, los bancos de las plazas no deben colocarse sobre los senderos, sino en un espacio contiguo. Eliminar los obstáculos que puedan afectar a todas las personas, en especial a las de movilidad o comunicación reducidas, no solo contribuye a disminuir accidentes, también nos permite usar más y mejor el espacio urbano, y favorece el aumento de la inclusión social de todos.

66 66

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

50º


Para entender

Las construcciones

Rectas

¿Cómo puedo dibujar dos rectas en una hoja? Paralelas

Secantes

Perpendiculares

No se cortan.

Se cortan en un punto.

Se cortan formando 4 ángulos iguales.

Circunferencia y círculo

Un círculo está formado por una circunferencia junto con todos los puntos que encierra.

radio arco

centro

a erd cu

Circunferencia

radio

centro

Círculo

Ángulos

¿Cómo se clasifican los ángulos según su amplitud?

Ángulo recto. Mide 90º.

70 70

Ángulo agudo. Mide más de 0º y menos de 90º.

Ángulo obtuso. Mide más de 90º y menos de 180º.

Ángulo llano. Mide 180º.

Ángulo de un giro. Mide 360º.

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Una circunferencia está formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro llamado centro. Esa distancia es el radio. Cualquier segmento que une dos puntos de una circunferencia es una cuerda. Si una cuerda pasa por el centro, es un diámetro.

di ám et ro

¿Qué es una circunferencia? ¿Y un círculo?


Triángulos

¿Cómo se clasifican los triángulos? Según sus lados

Escaleno: los tres lados distintos.

Isósceles: dos lados iguales.

Equilátero: los tres lados iguales.

Según sus ángulos

Acutángulo: los tres ángulos agudos.

Rectángulo: tiene un ángulo recto.

Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.

¿Qué propiedad cumplen los lados de cualquier triángulo?

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

La longitud de cada lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.

3 cm

2 cm

6 cm Estos segmentos no pueden ser los lados de un triángulo, porque 6 no es menor que 2 + 3.

¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier triángulo? Siempre suman 180º. Si conozco dos ángulos, puedo saber cuánto mide el tercero sin usar el transportador.

? 35º

45º

El ángulo rojo mide 180º – 35º – 45º = 100º. 71


Taller de técnicas

t

Cuando hacemos Matemática es necesario interpretar bien lo que nos piden para poder armar un plan de trabajo. También es muy importante revisar lo que hicimos. En este taller te ofrecemos algunas técnicas que van a ayudarte con estas cuestiones y podrás resolver mejor los problemas. También hay técnicas que van a servirte para usar en forma correcta los instrumentos de geometría. Manejar todas estas técnicas con soltura te permitirá disfrutar mientras aprendés, y lograr mejores resultados.

Índice

Técnica 1: Interpreto enunciados .......................................................................... 131 Técnica 2: Armo un plan y chequeo los resultados ............................................... 132

Técnica 4: Uso el compás ...................................................................................... 136 Técnica 5: Uso el transportador ............................................................................ 138

130 130

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Técnica 3: Uso la escuadra .................................................................................... 134


Técnica

1

Interpreto enunciados Para resolver un problema de Matemática, lo primero que hay que hacer es comprender el enunciado. Te mostramos un ejemplo.

Esta es la máquina que se usará para pintar las líneas blancas del borde de una ruta. ¿Cuál es la menor cantidad de veces que habrá que cargar la máquina para pintar una línea de 106.540 m?

Pinta 10.000 m con la carga máxima.

Para interpretar lo que hay que hacer, podés seguir estos pasos: 1.º Leo el enunciado con atención; no dejo de observar si las imágenes aportan información. ¿Entiendo el significado de

Si no sé el de alguna, la busco en el diccionario.

todas las palabras?

Además, si no recuerdo algo, puedo fijarme en la carpeta o en el libro.

2.º Cuento el problema con mis propias palabras. Para eso, hacerme preguntas puede ayudarme.

Por ejemplo,

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

¿Qué se pide? ¿Hay que cargar la máquina muchas veces o pocas? ¿Por qué? Una forma de contar el problema con mis palabras podría ser:

Hay que pintar una línea blanca de 106.540 metros. Como la máquina llena pinta 10.000 metros, hay que cargarla varias veces y tiene que ser la menor cantidad de veces.

3.º Escribo las respuestas de las dos preguntas que siguen.

¿Qué hay que averiguar?

La menor cantidad de veces que hay que cargar la máquina.

¿Qué datos me dan?

Se pueden pintar hasta 10.000 metros con cada carga. Hay que pintar 106.540 metros.

131 131


Š Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

Para realizar la actividad 19 de la pĂĄgina 108.

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Recorridos Santillana Matemática 5