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Cuaderno de

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Matemรกtica


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Operaciones con números naturales

¿Qué sé? La Feria Internacional del Libro de Buenos Aires es la más concurrida en el mundo de habla hispana; la visitan más de un millón de personas. La Feria del Libro Infantil y Juvenil es una de las pocas del mundo dedicadas íntegramente a la difusión del libro entre niños y jóvenes. Todos los años es visitada por muchas escuelas. En 2014 las entradas de la Feria Internacional tenían estos valores: Lunes a jueves: $25. Viernes, sábados, domingos y feriados: $40. l Buscá los datos que necesites y resolvé.

Juan fue con su familia (los menores de 12 años no pagan), abonó con dos billetes de $100 y le dieron de vuelto dos billetes de $20. ¿Cuántas entradas pagó? ¿Qué días de la semana pudo haber ido?

Sumas y restas. Redondeos

2. Resolvé mentalmente sabiendo que a) 548 + 284 =

568 + 294 = 862

b) 1.568 + 3.294 =

3. Calculá mentalmente y mostrá cómo hiciste. a) 597 + 150 + 3 + 250 = b) 16 + 28 + 34 + 2 = c) 65 + 190 + 35 + 10 = 20

. c) 294 + 568 =

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1. Manuel llevaba 2 billetes de $50 y uno de $20. Gastó $37 en la librería y cuando llegó a su casa se dio cuenta de que había perdido plata, porque en la billetera solo le quedaban 3 monedas de $1 y un billete de $20. ¿Cuánto dinero perdió? Escribí todos los cálculos que hagas para averiguarlo.


4. Rodeá el resultado que te parezca más aproximado para cada cuenta. Luego verificá con la calculadora. Por ejemplo, 998 – 603 es a) 897 + 969 = 1.500 1.800 1.200 aproximadamente 1.000 – 600 = 400. b) 1.992 + 1.487 = 2.300 2.500 3.500 c) 2.799 – 1.301 = d) 1.356 – 852 =

1.500

1.400

1.600

400

500

600

5. Respondé redondeando los precios, sin hacer la cuenta exacta. Pensá en billetes de $10 y de $100. $499 ión idnac u q i e L do A toro e cu

$290 $82 $580

$249

$390

a) Luciana tiene $600 y quiere comprar el cinturón, la cartera y la mochila que se ven en la vidriera. ¿Le alcanza justo? ¿Le falta o le sobra dinero?

b) Javier piensa: “Quinientos y pico las botas, y cuatrocientos y pico la campera, son novecientos y pico, con $1.000 me alcanza”. ¿Es así?

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c) Daniel tiene $450 y va a llevar el par de zapatos. ¿Le alcanza también para el cinturón?

6. Sin hacer el cálculo exacto, colocá una X en el resultado que creas más aproximado. Después chequeá con la calculadora. Entre 8.000 y 8.500

Entre 9.000 y 9.500

Más de 10.000

5.519 + 2.980 8.679 + 1.900 12.980 – 3.890 25.120 – 17.010 21


Multiplicaciones y divisiones 7. a) Completá los datos que faltan en la factura que le dieron a Lucy.

Cantidad

Librería los estudiantes

10 4 8

Artículo

Precio unitario

Total

Biromes Gomas de lápiz Marcadores Lápices negros

$5 $2 $10

$6 $24 $

b) Escribí los cálculos que realizaste para averiguar: · El precio total de las biromes. · El precio de cada lápiz negro. 8. El complejo teatral Carlitos Chaplin tiene varias salas. Calculá la cantidad total de butacas de cada una. Sala

Filas

Butacas en cada fila

Los tres chiflados

10

30

El gordo y el flaco

20

25

Pepino

15

15

Total de butacas

Averiguá cuántas baldosas tiene el patio, sin contarlas una por una.

Encuentro el procedimiento más corto. Se puede dividir el patio en dos sectores rectangulares, contar las filas y las columnas de cada uno, multiplicar y luego sumar. · Mostrá dos maneras de hacerlo.

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Estrategias en acción


9. Mary cosió 7 hileras de 4 lentejuelas en el disfraz de la murga y le falta colocar 3 hileras más. Señalá, sin hacer cuentas, cuáles de estos cálculos muestran la cantidad de lentejuelas que habrá una vez que haya puesto todas.

7 × 4 + 3

4 × 10

(7 × 4) + (3 × 4)

(7 + 3) × 4

10. En la fábrica de pastas los capeletis se venden en cajas, todas con la misma cantidad. Hacé las cuentas que precises y completá la tabla. Cajas

2

Capeletis

40

5

7

4

20

200

11. ¿Cuántas combinaciones de postres se pueden hacer utilizando una sola opción de cada cosa? En hoja aparte armá un diagrama de este tipo para averiguarlo. Masa

Relleno

Cobertura

Panqueque Barquillo

Manzana Dulce de leche Frutos rojos Miel con frutas secas

Caramelo Chocolate Crema

Hay

Dulce Panq. Frutos Miel

combinaciones posibles.

l En © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

vez de usar el diagrama, Rocío lo averiguó con un cálculo. ¿Cuál será?

Manzana

Caram. Choco. Crema

Barq.

12. Se esperan 420 personas para un evento. Ya colocaron 24 filas de 12 sillas cada una, ¿cuántas filas como esas hay que agregar? Mostrá todos los cálculos que hacés para averiguarlo y no olvides escribir la respuesta.

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Dividendo, divisor, cociente y resto 13. La escuela N.° 16 tiene que trasladar a 306 personas, entre alumnos y docentes, para un festival. En cada micro entran 36 pasajeros. Los chicos de 5.° están averiguando cuántos micros hacen falta. Para mí son 8 micros, mirá la cuenta.

No, son más, mirá la calcu.

306 18

Para mí son 9 micros.

36 8

8.5

Lucas

Agus

Gaby

a) ¿Qué significa el resto en la cuenta de Lucas: micros o personas? b) ¿Quiénes tienen razón? ¿Por qué?

14. Usá la calculadora para completar estas divisiones. a) 456

b) 57

l Compará

/

39

9 / 6

con tus compañeros. ¿Escribieron lo mismo en todos los casos?

Repaso hasta acá l Resolvé.

a) Al dividir un número por 34 se obtiene 48 como cociente y 21 como resto. Escribí la cuenta incluyendo el dividendo. /

b) Tachá la opción incorrecta. 4 / 9

24

Dividendo 36, resto 0. Dividendo 41, resto 5. Dividendo 37, resto 1. Dividendo 38, resto 2.

l Además de las que quedaron, exis-

te otra posibilidad, ¿cuál es?

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0/

c)

48

1.895


Propiedades de la multiplicación y la división 15. Para calcular mentalmente 5 × 32, los chicos usaron distintas estrategias.

Luana

Pienso 32 como 4 × 8, después hago: 5 × 4 = 20 y 20 × 8 = 160. Para mí es más fácil.

Yo pienso 32 como 30 + 2 y hago 5 × 30 = 150 y 5 × 2 = 10, y después sumo 150 + 10 = 160.

Diego

Usá los dos métodos para resolver estos cálculos y escribí cómo los pensaste. a) 18 × 7 =

b) 15 × 6 =

16. a) En la actividad anterior Diego usó la propiedad distributiva (distribuyó el 5). Ahora tiene que calcular 8 × 99 y pensó hacer 8 × 100 y luego restar 8. Está usando otra vez esa propiedad, distribuyendo el 8. ¿Podés completar su cálculo? 8 × 99 = 8 × (100 –

)=

b) Resolvé aplicando la propiedad distributiva, como hace Diego. 45 × 9 = 36 × 101 =

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17. a) A la calculadora de Fer no le funciona la tecla del 9; entonces, para resolver 5.058 : 9, hizo 5.058 : 3 : 3. ¿Está bien? ¿Por qué usó esos números?

b) ¿Cómo harías estas divisiones si en tu calculadora no funcionara la tecla del 6? 1.248 : 16 =

1.792 : 56 =

18. Rodeá las maneras correctas de resolver 640 : 8. 640 : 8 = (640 : 4) + (640 : 4) 640 : 8 = 640 : 4 : 2

640 : 8 = (600 : 8) + (40 : 8)

640 : 8 = 640 : 2 : 4

640 : 8 = (640 : 6) + (640 : 2) 25


Distintas formas de multiplicar y dividir 19. a) Completá las multiplicaciones de María y Morena. ¿Les dio lo mismo? María

×

+

56 32

1.680

56 ×

112

56 ×

Morena 56 × 32 1 12 + 168

2× 30 ×

b) ¿Cómo aparece en la cuenta de Morena el 1.680 que escribió María? c) Galo hizo la cuenta así. ¿Está bien? (2 × 6) + (2 × 50) + (30 × 6) + (30 × 50) = 20. Observá cómo resolvió Flor la multiplicación. Completá junto a cada resultado parcial los cálculos que fue haciendo. Después resolvé la otra como lo hizo ella.

98 x 64 32 4×8 + 360 480 5.400 6.272

76 × 35

21. Resolvé con algunos de los procedimientos que figuran en las actividades anteriores. Luego comprobá los resultados con la calculadora. a) 78 × 56

26

b) 134 × 47

c) 856 × 19

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22. El maestro planteó: Fabián trabaja en una distribuidora de golosinas. Arma bolsas de 36 turrones para vender a los quioscos. ¿Cuántas bolsas podrá llenar con 4.550 turrones? Observá las cuentas que hicieron estos chicos para resolver el problema.

Flor

Daniel 4.550 36 3.600 100

- 4.550 1.800 - 2.750 1.800 - 950 720 - 230 180 - 50 36 14

- 950 360 10 - 590 360 10 - 230 180 5 - 50 36 1 14

36 50 50 20 5

a) ¿De dónde surge el 3.600 en la cuenta de Daniel?

b) ¿Qué cuenta les falta hacer para saber cuántas bolsas se podrán llenar? ¿Cuántas son?

1

c) ¿Sobrarán turrones? ¿Cuántos? d) Rodeá dónde está en la cuenta de Flor el 100 que escribió Daniel. 23. Franco y Julián hicieron la misma división; sin embargo, la cuenta de Franco es más corta. ¿Podés explicar cómo la hizo? Franco

Julián - 8.379

25 300 - 879 30 7 5 0 5 - 1 29 3 3 5 125 4/

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7.500

l Resolvé

5.9 4 0

8.379 25 87 300 + 30 + 5 = 335 129 /4

con el procedimiento que quieras. 15

9. 7 3 2

23

7. 0 8 5

27

35


Problemas con las cuatro operaciones Pago efectivo:

24. Mariela va a comprar la notebook y debe elegir la forma de pago. ¿Cuánto más que el precio en efectivo le costará si elige el plan de 12 cuotas? ¿Y si paga en 15 cuotas?

$5.699 12 cuotas de

$ 515

15 cuotas de $418

25. El club donde juega el equipo de hockey infantil “Las leoncitas” decidió comprar para cada una de sus 18 jugadoras: una camiseta, una pollera, un par de medias y un par de zapatillas. Pagaron la compra con tarjeta de crédito en 3 cuotas iguales.

$150 $550 $56

$120

a) Mirá los precios. ¿Cuáles de los cálculos muestran el valor de cada cuota? 18 × (120 + 150 + 56 + 550)

18 × (550 + 150 + 120 + 56) : 3

(700 × 18) : 3 + (176 × 18) : 3

876 × 6

26. Lucio maneja un taxi. El viernes recaudó $785; el sábado, $1.380, y el domingo, el doble que el viernes. Si destinó la tercera parte de la recaudación de los tres días para festejar el cumpleaños de su hija, ¿cuánto dinero guardó para la fiesta? Hacé las cuentas que necesites y luego escribilas todas en un solo cálculo.

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b) ¿Cuánto deberán pagar en cada cuota?


27. Para festejar el día del niño en la escuela N.° 20, una familia donó 12 cajas chicas y 10 cajas grandes de alfajores.

10

ALFAJORES

15 ALFAJORES

a) Para averiguar cuántos alfajores habían donado, Don Raúl hizo este cálculo. ¿Podrías acortarlo? Mostrá cómo. 12 × 10 + 15 × 10 = b) ¿Alcanzan para darle un alfajor a cada uno de los chicos, si en la escuela hay 380 alumnos?

c) ¿Sobran o faltan alfajores? ¿Cuántos?

28. Sofía compró un televisor que se vende a $12.468. Por pagar con tarjeta Risa, le hicieron un descuento de $960 sobre el precio de venta. Además, pagará en 12 cuotas fijas. Escribí un solo cálculo para mostrar cuál será el valor de cada cuota.

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29. Doña Luisa debe consumir esta medicación durante 30 días. Cada día tomará 3 comprimidos. ¿Cuántos frascos como este necesita para hacer el tratamiento completo? Cuando lo termine, ¿le sobrarán comprimidos? ¿Cuántos?

14

comprimidos

Entre todos l Revisá tu pacto

¿Encontraste un espacio en tu casa donde realizar las tareas con tranquilidad? Recordá que a veces conviene resolver las actividades en un borrador o en lápiz y después pasarlas en limpio. También revisá tus trabajos prácticos antes de entregarlos. 29


Sacadudas Suma y resta ¿Qué propiedades uso? Sumar 8 + 7 da lo mismo que 7 + 8. También, para hacer 19 + 70 + 30, puedo agrupar el 70 con el 30 para que me dé un número redondo: 19 + 100 = 119.

Al sumar puedo usar las propiedades conmutativa y asociativa para facilitar los cálculos. Conmutativa: se puede cambiar el orden de los sumandos. Asociativa: los sumandos se pueden agrupar de forma conveniente. (18 + 37) + 13 = 55 + 13 = 68 18 + 37 + 13 18 + (37 + 13) = 18 + 50 = 68

Lo que está entre paréntesis se hace primero.

En cambio, al restar, si cambio el orden o agrupo de distintas formas, se altera el resultado. (43 – 13) – 7 no es igual que 43 – (13 – 7) 30 – 7 43 – 6 23 37

Multiplicación ¿Qué propiedades uso para multiplicar?

Distributiva: para hallar 9 × 14 puedo pensar 14 como 10 + 4 y hacer 9 × (10 + 4) = 9 × 10 + 9 × 4 = = 90 + 36 = 126

También puedo pensar 9 como 10 – 1 y hacer 9 × 14 = (10 – 1) × 14 = 14 × 10 – 14 × 1 = 140 – 14 = 126

30

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Puedo usar estas propiedades: Conmutativa: 7 × 8 = 8 × 7 = 56 ← Producto Factores Asociativa: para calcular 4 × 6 × 5 puedo agrupar de distintas maneras. 4 × (6 × 5) = (4 × 5) × 6 = (4 × 6) × 5 4 × 30 = 20 × 6 = 24 × 5 ← Todos dan 120. ←

Puedo cambiar el orden de los factores, agruparlos como quiera y distribuir un factor para calcular más rápido.


División Hay que recordar qué nombre recibe cada número de una división.

¿Qué tengo que saber sobre la división entera? 756 23 Divisor Dividendo Resto 20 Cociente / 32 El resto siempre es menor que el divisor. Cuando el resto es 0, la división es exacta. Si no es 0, como en el ejemplo, la división es inexacta. ¿Cómo puedo comprobar si una división entera está bien hecha? Hago la “prueba de la división”:

Multiplico el divisor por el cociente y a eso le sumo el resto. Me tiene que dar el dividendo.

Divisor × Cociente + Resto = Dividendo 78 9 9×8+6= 6/ 8 72 + 6 = 78

Está bien, porque es igual al dividendo.

Cálculos con varias operaciones ¿En qué orden hago los cálculos?

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Primero, las multiplicaciones y las divisiones; después, las sumas y las restas.

8 + 5 × 6 = 4 × 7 – 56 : 8 + 2 × 9 = 8 + 30 = 38 28 – 7 + 18 = 39

Redondeo Para tener una idea de cuánto darán.

¿Para qué sirve redondear en los cálculos? Es casi 300.

187 + 312

Da cerca de 500.

Es casi 200.

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¿Qué aprendí? 1. Calculá mentalmente. Podés descomponer, agrupar y cambiar el orden de los sumandos como te convenga. a) 95 + 370 + 215 + 130 b) 1.300 + 1.250 + 140 + 250 c) 790 + 1.500 + 710 + 2.100

c) 369 + 388 = d) 359 + 2.368 =

3. Dos hermanos, Andrés y Fabián, preparan un asado para la familia. Cada uno fue comprando lo necesario y luego compartirán los gastos. Mirá lo que llevó cada uno: Fabián

Postre

Bebidas

96 – (47 – 8)

tiraron unos y solo permanecieron aproximadamente 13.000 hasta el final. b) El sábado se vendieron 1.973 entradas y el domingo, unas , con lo que la función tuvo alrededor de 3.000 espectadores durante el fin de semana. 7. En una panadería se preparan panes saborizados. En una fuente para el horno se pueden colocar 15 filas de 25 panes cada una. ¿Cuántos panes pueden hornear por fuente?

Ensalad

Carbón

b) 96 – 47 – 8

(13 + 27) + 35

a: $85.

: $30.

: $150.

: $95.

¿Quién le debe a quién para terminar gastando lo mismo? ¿Cuánto dinero le debe? 4. Para su cumpleaños, a Bárbara le regalaron la campera y el buzo que se ven en la ilustración. Como ya tenía, decidió cambiarlos por el pantalón, el suéter y la pollera.

8. Karina va a preparar 360 empanadas para un evento. Calculá cuántos paquetes debe comprar según la marca que use, si todas las tapas serán de la misma marca.

12 1 8

La ju jeñ

a

Porte

24 ñitas

El tucu

mano

$280

9. En el quiosco de Gustavo hay 16 cajas con 24 bombones en cada una. Gustavo quiere preparar bolsitas de 4 bombones. ¿Cuántas bolsitas puede armar? ¿Sobrarán bombones?

¿Le alcanza justo, debe pagar una diferencia o le sobra dinero?

10. Héctor, el artesano, tiene un alhajero de 5 filas para mostrar los anillos. En cada fila entran 12. Ya hizo 48 anillos, ¿cuántos más debe fabricar para completar el alhajero? ¿Cómo lo escribís con un solo cálculo?

$250

$600

$415

$312

32

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Andrés Carne: $39. 0. Pan: $30

a) 13 + (27 + 35)

6. Completá con un “número redondo” para que el cálculo dé lo que se indica. a) Habían ingresado 19.889 personas al recital, pero el sonido era tan malo, que se re-

2. Leé el cartelito y resolvé mentalmente. 369 + 378 = 647 a) 269 + 378 = b) 1.369 + 278 =

5. Completá con = o ≠ (distinto).


11. En la marroquinería hay tres modelos de paraguas: largo, mediano y corto. Cada modelo viene en uno de estos colores: negro, violeta, azul, rojo, marrón o gris. Además, cada color tiene dos diseños: liso y con lunares blancos. ¿Cuántos modelos diferentes de paraguas hay para elegir? 12. Susi fue a comprar ropa a un negocio mayorista. Llevará 45 buzos iguales por $3.780. a) ¿Cuánto pagará por cada uno? b) Las remeras de manga larga están a $52. ¿Para cuántas le alcanza, si dispone de $800 más? ¿Cuánto dinero le sobra? 13. Mostrá 5 posibilidades de completar la cuenta. Después compará con tus compañeros. 9 8

16. Para calcular mentalmente 2.436 : 6, Sol descompone el dividendo en 2.400 + 36 y divide por separado. ¿Está bien? ¿Cuánto da la cuenta? 17. Señalá el error en cada cuenta y hacelas correctamente. a) 9.832 36 4 27

b) 3.414 52 86 64

18. Para resolver 280 : 14, Maru pensó hacer 280 : 10 + 4. En cambio, Pablo lo pensó así: 140 : 14 + 140 : 14. ¿Están bien los dos procedimientos? ¿Cuánto da el cociente? 19. En un bar compraron 4 cajas con sobres de azúcar y 3 con sobres de edulcorante. Cada caja de azúcar tiene 150 sobres y las de edulcorante traen 120. Escribí un solo cálculo para resolver cada pregunta.

14. Resolvé aplicando la propiedad distributiva. a) 345 × 99

b) 16 × 21

c) 23 × 999

15. Usá que 28 × 15 = 420 para calcular mentalmente 29 × 15 y 15 × 27. Después explicá cómo hiciste.

a) ¿Cuántos sobres de endulzantes (azúcar y edulcorante) compraron? b) En el bar hay 15 mesas. Si colocaron en cada una 12 sobres de cada clase de endulzante, ¿cuántos sobres usaron para todas las mesas?

Me pongo a prueba © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

l Señalá todos los cálculos que se pueden usar para indicar cuántos lunares hay en la bandera. 10 × 6 – 3

10 × 6 – 6

10 × 6 – 6 × 3

10 × 3 + 4 × 3

6×4+3×6

(10 + 4) × 3

l ¿Cuál es el número que multiplicado por 93 da 1.953?

l a) Sin hacer la división, comprobá si la cuenta que hizo Manu está bien.

17.384 73 10 238

b) Si el dividendo fuese otro, ¿el resto podría ser 75? 33


3

Divisibilidad

¿Qué sé? Con aluminio reciclado se pueden producir: latas de conservas, tapas de envases, papel de aluminio, etcétera. Para reciclarlas, las latas se limpian y se compactan. El aluminio se funde y se moldea en lingotes de 25 kg. Estos se funden de nuevo y se pasan por rodillos para formar láminas finas. l Se estima que 67 latas permiten producir 1 kg de aluminio.

a) Rodeá la cantidad de latas que se estima que se usarán para producir 5 kg de aluminio.

135 450 335 670 b) Tachá el número intruso. La lista debe mostrar cuántas latas se usan para producir cantidades enteras de kilogramos de aluminio.

134

402

604

1.340

Múltiplos y divisores. Reglas de divisibilidad 1. Encontrá cinco ejemplos en cada caso.

b) Números divisibles por 3. ➜ c) Divisores de 20. ➜ d) Múltiplos de 10 mayores que 258. ➜ e) Múltiplos de 9 mayores que 90. ➜ 2. Mirá la lista de números en la que hay que tachar el intruso en el ¿Qué sé? de esta página y completá.

El número 34

es divisor de todos los números de la lista, excepto del intruso.

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a) Múltiplos de 2. ➜


3. Un juego de mesa tiene casillas numeradas desde 1 hasta 110. A Tomi le toca saltar de 7 en 7 a partir del 49. ¿Pisará la casilla 84? ¿Y la 105? ¿Qué significa eso?

4. Escribí cuatro números de tres cifras desde los que se llegue a 0 al restarles 8 todas las veces posibles, como sucede con 101 × 8 = 808.

5. a) Una maestra entregó 6 clips a cada uno de sus alumnos y no le sobró ninguno. ¿Pudo haber repartido 174 clips? En ese caso, ¿cuántos serían en el curso?

b) ¿Cuántas chinches necesitaría para darle 9 a cada uno, si fuesen los que indicaste? En el c) puede haber más de una respuesta.

c) Usá los datos de los ítems anteriores para completar. 174 es

de 6.

9 es un divisor de

.

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es un divisor de 174. es múltiplo de 29. 6. Se anotaron 195 personas para ir de excursión a una isla. Para llegar, hay que tomar una embarcación. Las disponibles son las cuatro que muestran los carteles. Lancha para 6 pasajeros

Lancha para 10 pasajeros

Lancha para 13 pasajeros

Lancha para 15 pasajeros

a) Si contratan solo una clase de lancha, ¿cuáles pueden elegir para que no haya asientos vacíos? Hacé los cálculos que precises y marcalas con una cruz.

b) ¿Cuántas lanchas deben contratar en cada caso?

35


7. El cuadrado tenía los números del 1 al 9, pero se borraron algunos. Ubicalos de manera que los números de tres cifras que se formen en cada fila, en cada columna y en cada diagonal sean divisibles por 3. Luego fijate si tus compañeros lo hicieron como vos o si hay otras formas.

9

1 6 3

8. La combinación para abrir el candado es un número de tres cifras diferentes, múltiplo de 4, pero no de 10. ¿Cuál es la cifra que falta poner para que se abra?

3 4 ? 9. Martina afirma que si un múltiplo de 5 no es divisible por 10, seguro que el número es impar. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

10. a) ¿Es verdad que si un número es menor que otro, tiene menos divisores? Buscá ejemplos.

b) ¿Es cierto que todos los números que terminan en 8 no son divisibles por 7?

c) ¿Se cumple siempre que cualquier múltiplo de 10 es divisible por 100?

d) ¿Es verdad que si un número es múltiplo de 3, entonces es divisible por 6?

Repaso hasta acá l Rodeá cuándo se puede asegurar que un número es divisible por 6.

a) Su última cifra es 6.

c) Es divisible por 2 y 3 a la vez.

b) Su última cifra es 2, 4, 6, 8 o 0.

d) La suma de sus dígitos es múltiplo de 6.

36

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Para el punto a) yo probé con 6 y 13.


Descomposición en factores 11. a) Escribí las seis multiplicaciones con dos factores que dan 72.

¡No te olvides del 1 y del mismo número!

b) Usá las multiplicaciones que escribiste para listar todos los divisores de 72.

12. Gaby cumple años y, para festejarlo junto a ella, sus compañeros de trabajo compraron 7 paquetes de una docena y media de facturas. Abrieron los paquetes y van a disponer todas las facturas en bandejas con igual cantidad, de modo que no quede ninguna factura suelta. Señalá las cantidades que puede haber en cada bandeja.

4

6

7

9

10

12

14

18

21

24

30

36

42

13. a) ¿Cómo podés obtener el resultado de 49 × 63 si solo tenés permitido usar las teclas 3 7 × = ? Anotá el cálculo que hayas hecho.

b) El resultado de la multiplicación es múltiplo de 49 y de 63, pero también de otros números. Encontrá cuatro de ellos observando los factores que escribiste y multiplicándolos de a dos o más.

Estrategias en acción

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Mirá las multiplicaciones que se escribieron en los cartelitos. Señalá las que dan un número que es a la vez divisible por 2, 3, 4, 5 y 7.

3 × 11 × 28

12 × 5 × 17

12 × 70

15 × 14 Seguí con los otros cartelitos…

Anticipo resultados. Sin averiguar el producto, se pueden descubrir otros factores “ocultos” y anticipar si está en ese cartelito o no. 3 × 11 × 28 4×7

Están el 2, el 3, el 4 y el 7, pero falta el 5, por eso se descarta.

2×2

37


Múltiplos y divisores comunes 14. Los chicos inventaron el juego de los aplausos, así: todos cuentan en voz alta de uno en uno (1, 2, 3, 4, ...) al mismo ritmo y empiezan juntos. Ana debe aplaudir cada vez que nombra un múltiplo de 3; Camilo, cuando dice un múltiplo de 4, y Olivia, en los múltiplos de 5. El primero que se equivoca, pierde. a) Escribí los primeros quince números en los que debe aplaudir cada uno.

Ana Camilo Olivia b) Escribí los primeros tres números en los que Ana y Camilo deberían aplaudir juntos. c) ¿Cuándo coinciden por primera vez Ana y Olivia, si no se equivocan? d) ¿Y Camilo con Olivia? e) ¿Cuándo deben aplaudir los tres juntos por primera vez? 15. Hoy se regaron las dos plantas. ¿Dentro de cuántos días habrá que regar las dos juntas? Y esta otra, cada 3 días.

16. Ramiro tiene varias figuritas. Si las apila de a 18, no le sobra ninguna, y si las apila de a 24, tampoco. ¿Cuál es la menor cantidad de figuritas que puede tener?

17. ¿Cuál es el menor número que da resto cero al dividirlo por 48 y por 72?

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Esta se riega una vez por semana.


18. Martina es fan de Vampirex y junta figuritas con sus personajes. Tiene 90 redondas y 54 ovaladas, y va a pegarlas en láminas, de manera que todas tengan la misma cantidad de redondas y también de ovaladas. Por ejemplo, podría pegar 45 redondas y 27 ovaladas en cada una, pero así armaría solamente 2 láminas. a) ¿Podría armar 3 láminas sin que le sobren figuritas? ¿Y 6? ¿Y 9?

b) ¿Cuál es la mayor cantidad de láminas que puede armar, sin que sobren figuritas?

c) ¿Cuántas redondas y cuántas ovaladas tendría cada una, en ese caso?

19. La animadora de una fiesta infantil repartió 231 tarjetas rojas y 273 verdes para un juego con todos los chicos. Cada uno recibió lo mismo. ¿Cuál es la mayor cantidad de chicos que puede haber en la fiesta? ¿Cuántas tarjetas rojas y cuántas verdes recibiría cada uno, en ese caso?

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20. ¿Cuál es la mayor cantidad de bandejitas iguales que se pueden armar con 100 canapés, 75 empanadas y 125 servilletas? ¿Qué contendrá cada una? Trabajá en tu carpeta. 21. Teo pensó uno de los números que figuran abajo y Juan, el 26. El mayor divisor que tienen en común es 13. ¿Qué número pensó Teo? ¿Cómo te das cuenta? 12 52 23 39 64

Entre todos l Revisá tu pacto

¿Compartís información con tus compañeros? ¿Escuchás a cada uno? Te ayuda a entender mejor las cosas y te muestra que todos podemos equivocarnos en algo. ¿Contás en tu casa todo lo que aprendés en la escuela? 39


Sacadudas Múltiplos y divisores ¿Cómo encuentro múltiplos de un número? Por ejemplo, para encontrar múltiplos de 7, lo multiplico por números naturales.

7 × 0 = 0 7 × 8 = 56

7 × 1 = 7 7 × 10 = 70

7 × 2 = 14 7 × 100 = 700

Múltiplos de 7 ➜ 0, 7, 14, 56, 70, 700, … (la lista no termina nunca).

Para saber si 78 es múltiplo de 6, hago la división entera y me fijo si el resto es 0.

¿Cómo sé si un número es múltiplo de otro o si es divisible por otro? 78 0

6 Como el resto es 0, 78 es múltiplo de 6 13 o es divisible por 6. Además, 6 es divisor de 78.

¿Cómo encuentro divisores de un número? 165 = 3 × 55 ➜ 3 y 55 son divisores de 165. Pero hay más divisores: 165 = 3 × 55 5 × 11 ➜ 5 y 11 también son divisores de 165. Y si juego con los factores, descubro otros: 3 × 5 = 15 y 3 × 11 = 33. Además, 165 = 1 × 165 ➜ 1 y 165 también son divisores de 165.

40

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Para hallar los divisores de 165, lo expreso mediante un producto y veo los factores o divisores.


Reglas de divisibilidad ¿Para qué sirven las reglas de divisibilidad?

Un número es divisible por…

cuando

2

es par, o sea, termina en 0, 2, 4, 6 u 8.

80

5

termina en 0 o en 5.

60

9.305

91.005

10

termina en 0.

20

640

4.390

100

termina en 00.

3

la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

123 (porque 1 + 2 + 3 = 6). 570 (porque 5 + 7 + 0 = 12).

9

la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

522 (porque 5 + 2 + 2 = 9). 828 (porque 8 + 2 + 8 = 18).

6

es múltiplo de 2 y de 3.

Para encontrar el menor múltiplo común entre 15 y 6, escribo los primeros múltiplos de cada número.

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Para saber si un número es divisible por otro sin tener que hacer una división o una multiplicación. Ejemplos 1.732

3.700

540

894

756

61.000

1.212

Múltiplos y divisores comunes ¿Cómo encuentro el menor múltiplo común de dos números? Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, ... Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ... Después, tomo el menor de todos los múltiplos comunes descartando el 0, es decir, 30.

Para encontrar el mayor divisor común entre 24 y 16, escribo los divisores de cada número.

¿Cómo encuentro el mayor divisor común de dos números? Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Divisores de 16: 1, 2, 4, 8, 16. Después, tomo el mayor de todos los divisores comunes, es decir, 8.

41


¿Qué aprendí? 1. Escribí todos los múltiplos de 13 mayores que 99 y menores que 200.

8. Escribí un número que tenga 4 divisores, otro que tenga 3 y, por último, uno que tenga solo 2.

2. Completá con “múltiplo” o “divisor”.

9. a) Con todos los chicos que fueron al campamento se pueden formar equipos de 2, 4, 5, 8, 10 o 20, sin que “sobre” ninguno. ¿Cuántos chicos fueron, si son menos de 50? b) Uno de ellos acompañó al profe a comprar provisiones. ¿Cómo se pueden formar equipos de igual cantidad de integrantes con los que se quedaron, sin que “sobre” ninguno?

de 72.

b) 63 es

de 7.

c) 54 es

de 9.

d) 15 es

de 75.

3. Completá con un número en cada caso.

10. Sin hacer divisiones ni multiplicaciones, tachá los números intrusos.

a)

es divisor de 102.

Divisible por 3

6.039

408.054

278

b)

es divisor de 17.

Divisible por 6

459

2.175

50.004

Divisible por 10

208

50.890

20.460

c) 8 es divisor de

.

4. a) Sabiendo que 2.109 es divisible por 37, tachá las afirmaciones incorrectas. 2.109 es divisor de 37. 37 es divisor de 2.109. 2.109 es múltiplo de 37. 37 es múltiplo de 2.109. b) Buscá otro divisor de 2.109. 5. ¿Habrá algún múltiplo de 6 que termine en 1? Ayudate mirando las reglas de divisibilidad de la pág. 41. 6. De los números que escribiste en la actividad 1, rodeá los múltiplos de 3, sin hacer divisiones. 7. ¿Cuál es el menor número mayor que 1 que no es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 ni 7?

Anticipo resultados. Al no ser divisible por 2, se descartan los pares.

42

11. Luciana tiene 115 figuritas. ¿Puede agruparlas de a 10 sin que le quede ninguna suelta? ¿Y de a 5? ¿Y de a 3? ¿Y de a 2? Respondé sin hacer divisiones y explicá cómo lo sabés. 12. Agregá una cifra sobre cada rayita. Luego fijate si tus compañeros escribieron otras. Es múltiplo de 3 y de 5.

61.

3

Es divisible por 5, pero no por 10.

81

. 40

Es divisible por 10 y por 3.

75.

8

13. Matías tiene una colección de monedas antiguas. Si las apila de a 4, de a 5 o de a 6, le queda una suelta, y si las apila de a 8, le quedan 5 sueltas. ¿Cuántas monedas forman su colección, si son menos de 80? Pista Podés escribir los múltiplos de 8 menores que 80, sumar 5 a cada uno y fijarte cuál cumple los demás requisitos

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a) 12 es


14. a) Escribí cada multiplicación usando factores de una cifra. I) 42 × 21 II) 18 × 14 III) 72 × 15 IV) 8 × 45 b) Con solo mirar los factores que escribiste rodeá con rojo los productos que son divisibles por 10 y con azul los múltiplos de 9.

19. ¿Cuál es la mayor cantidad de sándwiches que se puede armar con 63 fetas de queso y 42 de jamón, si todos deben contener lo mismo? 20. El número que va en cada ladrillo es el menor múltiplo que tienen en común los dos que están debajo de él. Escribí los que faltan.

15. El número que pensé es el producto de 3 × 3 × 7. ¿Cuáles son sus seis divisores? 16. a) Escribí el número 90 como producto de factores de una sola cifra. b) Señalá con una cruz los divisores de 90. 2

3

4

5

6

7

8

9

8

4

5

6

c) Escribí cinco divisores de 90, de dos cifras. 17. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo por 9, por 12 o por 16, da resto 0? 18. En el buffet de la escuela preparan pollo al horno cada 5 días, tarta pascualina cada 6 días y canelones cada 8. Hoy ofrecieron esos tres platos. ¿Volverán a coincidir dentro de los próximos 3 meses? ¿Cómo lo sabés?

21. El profesor de Educación física repartió 126 pelotas grandes y 105 pelotitas de tenis entre sus alumnos. Cada uno recibió la misma cantidad de las grandes y también de las pequeñas. ¿Cuál es la mayor cantidad de alumnos que puede haber en el grupo? ¿Qué recibió cada uno, en ese caso? Mostrá tu razonamiento.

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Me pongo a prueba l Sin buscar el número que se escribió en el

42 × 10

cartel, completá el esquema con cinco de sus divisores.

l Lucho almuerza con sus abuelos cada 5 días y Lauti, su hermano, cada 3 días. Hoy, martes, coincidieron los dos, ¿cuándo vuelven a hacerlo? Completá el esquema con esos datos. Transcurren Día martes.

días. Día

Transcurren .

días. Día

.

43

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Cuaderno de matematica 5  

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