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тГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧтГЧ ЁЭСЙЁЭР╕ЁЭР╢ЁЭСЗЁЭСВЁЭСЕЁЭР╕ЁЭСЖ By Samuel Maldonado


SECCIÓN 1.1 Y 1.2 Concepto: Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A hasta un punto B. Características:  

Magnitud (longitud o norma) Dirección (debe ser en radianes)

*Cuando un vector sale del origen se dice que está en “posición estándar”. Operaciones con vectores: a) SUMA: Cuando se suma un vector más otro, se suman solamente los componentes respectivos de cada vector, o sea las x’s con las y’s. Geométricamente la resultante va desde la cola del primer vector hasta la punta del último vector, sería así:

Figura #1: Suma de vectores b) RESTA: Es cuando se suma un vector positivo más un vector negativo. c) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR: En este caso el escalar (un número real) se distribuye y se multiplica por cada componente del vector. La siguiente tabla indica los resultados que se obtendrán dependiendo del escalar: Sea c un escalar, si ocurre: Magnitud Dirección c>0 Se agranda Igual c<0 Se agranda Opuesta 0 < |c| < 1 Se achiquita Igual u opuesta (depende del signo) Tabla #1: Característica de los resultados de una multiplicación por un escalar según el tamaño de éste Tipos de vectores:   

Vectores unitarios: Los que tienen magnitud 1. Vectores iguales: Cuando tienen la misma magnitud y dirección. Vectores paralelos: Los que son múltiplos escalares mutuos.


ď&#x201A;ˇ

Vectores ortogonales (perpendiculares): Cuando el ångulo entre ellos es 90°.

Operaciones para encontrar: Magnitud, ||ĹŤ|| : â&#x2C6;&#x161;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ)2 + (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ś)2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ś

DirecciĂłn (sĂłlo en radianes), đ?&#x153;&#x192;: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ ) Distancia entre dos vectores, d(Ä , ĹŤ): ||ĹŤ - Ä || Producto punto o escalar, đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2018; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018;: đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;˘1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;˘2 Ă ngulo entre dos vectores (en radianes o grados): đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019;1 (

â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;˘ ) â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018;|| ||đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018;|| ||đ?&#x2018;˘

ProyecciĂłn de un vector sobre otro: Significa que desde la punta del vector que se va a proyectar se traza una lĂ­nea hasta topar con el otro vector, pero dicha lĂ­nea debe hacer un ĂĄngulo recto con este Ăşltimo. A veces es necesario prolongar el vector sobre el que cae la proyecciĂłn. Al final, la proyecciĂłn va desde la cola del vector que se proyectĂł hasta donde topĂł la lĂ­nea que se hizo, en otras palabras, es la â&#x20AC;&#x153;sombraâ&#x20AC;? que hizo el primer vector sobre el que tiene el ĂĄngulo recto. Cabe mencionar que una proyecciĂłn puede NO quedar en la misma direcciĂłn que tiene el vector sobre el que se proyecta. A continuaciĂłn en la fĂłrmula se muestra cĂłmo encontrar la proyecciĂłn de đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2018; sobre đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018;:

â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;˘

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;˘â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018; = ( â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;˘â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018;) đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2018; đ?&#x2018;˘

Figura #2: Ejemplo proyecciĂłn de b sobre a ď&#x192;&#x2DC; Normalizar un vector es encontrar un vector unitario en la misma direcciĂłn que el 1 vector dado, se usa la fĂłrmula: Ä ||Ä || ď&#x192;&#x2DC; Una combinaciĂłn lineal es expresar un vector como una suma o resta de otros vectores. Producto cruz o producto vectorial ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

EstĂĄ definido solo en R3 El resultado es otro vector en R3 que es perpendicular tanto a u como a v.


Figura #3: TĂŠcnica para encontrar el producto cruz entre dos vectores

SECCIĂ&#x201C;N 1.3: Rectas y planos Tabla #2: Ecuaciones de una recta En R2

En R3

Forma general:

Forma general: đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;&#x2018;1 ď&#x192; ď&#x192; ď&#x192;  plano 1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;&#x2018;2 ď&#x192; ď&#x192; ď&#x192;  plano 2

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x201E; *Si c = 0, pasa por el origen *a y b forman el vector normal (perpendicular) Forma normal: â&#x192;&#x2014; =đ?&#x2019;? â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;?

Forma normal: đ?&#x2018;&#x203A;1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x203A; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;1 â&#x2C6;&#x2122; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x203A; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x203A; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;?2

*đ?&#x2019;? â&#x192;&#x2014; es el vector normal a la recta â&#x192;&#x2014; es un vector en pos. estĂĄndar correspondiente a *đ?&#x2019;&#x2122; cualquier punto de la recta â&#x192;&#x2014; es un vector en pos. estĂĄndar correspondiente a *đ?&#x2019;&#x2018; un punto conocido de la recta

Forma vectorial:

Forma vectorial:

â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; =đ?&#x2019;&#x2018; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2122; Forma paramĂŠtrica:

đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018; Forma paramĂŠtrica: đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?1 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;1 đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?2 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;?3 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;3 Ecuaciones simĂŠtricas:

đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x;?

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?3 = = đ?&#x2018;&#x2018;1 đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;&#x2018;3 *cuando una componente del vector direcciĂłn es cero, las ec. simĂŠtricas se dan asĂ­: đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 = ; đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;?3 đ?&#x2018;&#x2018;1 đ?&#x2018;&#x2018;2

Tabla #3: Ecuaciones de un plano Siempre es en R3 Forma general:


đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x161; + đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x2019;&#x2026; Forma normal: â&#x192;&#x2014; =đ?&#x2019;? â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;? Forma vectorial: â&#x192;&#x2014; =đ?&#x2019;&#x2018; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2013; â&#x192;&#x2014; + đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2014; â&#x192;&#x2014; đ?&#x2019;&#x2122; Forma paramĂŠtrica: đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x;? Distancia desde un punto F (fuera) hasta una recta l:

Figura #4: Ejemplo para encontrar la distancia desde un punto F hasta una recta l â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 1. Encontrar đ?&#x2018;&#x192;đ??š â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 2. Encontrar đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x192;đ??š â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ś â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 3. Encontrarđ?&#x2018;&#x192;đ??š đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x192;đ??š â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x192;đ??š â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 4. Calcular la magnitud del vector đ?&#x2018;&#x192;đ??š đ?&#x2018;&#x2018; Distancia desde un punto F (fuera) hasta un plano P:


Figura #5: Ejemplo para encontrar la distancia desde un punto F hasta un plano P 1. Encontrar â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ??š 2. Encontrar đ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014; (si no lo dan) 3. Encontrar â&#x20AC;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A;â&#x192;&#x2014; â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x192;đ??š â&#x20AC;&#x2013;


Proyecto Algebra Lineal