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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Dept. Formación General y Ciencias Básicas MATEMÁTICAS III Prof.: David Coronado

e)

f)

Práctica 1 Matrices - Determinantes - Sistemas de ecuaciones

g)

1. Calcular AB si a) A =



2 3 −1 2



b) A =



1 −1 1 1



yB=



4 1 0 6



yB=



−1 0 2 3

h)



i)



 −4 5 1 c) A = y  0 4 2  3 −1 1  5 6 4  B= 0 1 2     1 4 −2 0 1 d) A = yB= 3 0 4 2 3  e ) A = 1 4 0 2 y 3 −6  2 4   B=  1 0  −2 3   1    4  3 2 1 −2  f) A = yB =  0  −6 4 0 3 2

j)

k)

3. Calcule los siguientes determinantes. a)

b)

c)

2. Hallar, si existe, la inversa de la matriz dada. a) A =



3 2 2 1



b) A =



0 1 1 0



 1 6 2 5  A =  −2 3 7 12 −4   −2 −1 4 0 5  A =  −1 19 −7 3   1 1 1 1 1 2 −1 2  A= 1 −1 2 1 1 3 3 2   2 3 A= −1 4   −1 2 A= 2 −4   −1 2 0 A =  4 1 −3  2 5 −3   2 0 4 A =  −1 3 1  0 1 2

d)

−2 3 1

4 6 5

0 2 1

−1 0 6 0 2 4 1 2 −3

−1 1 0

2 1 4

1 5 6

2 0 0 1

0 1 0 2

3 4 1 3

1 2 5 0

0 0 7

2 −1 4

e) 0 −1 5

2 3 0

a b c

4. Sabiendo que

d e f

g h i

 1 1 1 c) A =  0 2 3  5 5 1   3 2 1 2  d) A =  0 2 0 0 −1

1

−2 1 3 4

= −6. Calcular:


2

a)

b)

c)

d e f g h i d e f

9. Demuestre que para todo real θ la matriz dada es invertible y encuentre su inversa

 sen θ cos θ 0  cos θ − sen θ 0  . 0 0 1

3a 3b 3c

−d −e −f

4g 4h 4i

a + g b + h c + i

d e f

g h i

−3c

f

i − 4f

c

f

= 8. Calcular: i

−3a −3b d e g − 4d h − 4e

a b

5. Sabiendo que

d e

g h

g h i

a )

d e f

a b c

−3a −3b −3c

2e 2f

b )

2d

5g 5h 5i

2a − 3d 2b − 3e 2c − 3f

g h i c )

d e f d)

10. Demuestre (en una línea) que la matriz A no es invertible para

7. Muestre que la matriz propia inversa.

a) A = b) B =

 

i 2 1 −i

c)

3 4 −2 −3



1−i 0 0 1+i



 1 i 0 0 1  c ) C =  −i 0 1+i 1−i

11. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

b)

d)



es su

8. Encuentre la inversa de √ las siguientes matrices. Recuerde que i = −1 por lo tanto, i2 = 1, i3 = −i, i4 = 1. 

 1 0 0 A =  −2 0 0  4 6 1

a)

6. Demuestre que si A, B y C son matrices invertibles. Entonces ABC es invertible. ¾Cuál es su inversa? 

e) f)

  x 3x  x   x 3x  2x   x 3x  4x  2x 4x  3x 2x   4x 3x  2x

+y +8z = 3 +6z = 3 +y +9z = 3 +y

+8z = 3 +6z = 3 +2y +16z = 6 +y

+8z = 3 +6z = 3 +y +14z = 3 −y = 3 +5y = 7 +6y −7z = 0 −y +3z = 1 −y +z −w = −7 +y −5z +6w = 8 −y +z =9

12. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones, primero escriba el sistema en forma matricial Ax = b. Segundo, encuentre A−1 . nalmente, multiplique A−1 por b para obtener el vector solución. a)



x −3y = 4 2x +5y = 7

 =3  x +2y 2x +y −z = −1 b)  3x +y +z = 7

Ejecicios de matrices y sistemas de ecuaciones  

Operaciones entre matrices y resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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