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D E V O R P AP


Sommario Indice delle immagini……………………………………………………………………………………………….………..4 Introduzione…………………………………………………………………………………………………………..….……...6 Condizioni iniziali……………………………………………………………………………………………………….………6 Riferimenti…………………………………………………………………………………………………..…………………….8 Equazioni modulazione AM..………………………………………………………………………………………………...…8 Equazioni modulazione FM………………………………………………………………………………………………..….10 Valore di soglia……………………………………………………………………………………………………………………..12

Il rapporto segnale rumore nella modulazione di ampiezza………………………………………………14 Stadio di demodulazione AM ed espressione generica della portante modulata………….……….14 Transcaratteristiche dei blocchi filtro e amplificatore……………….…………………………………….…….18 Determinazione della modulazione fase-ampiezza…………………………………………………………….…24 Spettro del rumore e confronto con lo spettro di Rice…………………………………………………….……..32 Frequenze di battimento……………………………………………………………………………………………………….34 Rapporto segnale-rumore di uscita……………………………………………………………………………………….34

Il rapporto segnale-rumore nella modulazione di frequenza………………………………………….…36 Stadio di demodulazione FM ed espressione generica della portante modulata…………….…….36 Precisazione sulla fase……………………………………………………………………………………………….…….…..38 L’ effettiva incidenza del disturbo: confronto di diagrammi vettoriali……………………….….………42 Conformazione della potenza e della ampiezza di rumore………………………………….…..….…..…...44 Rapporto segnale-rumore di uscita……………………………………………………………………………….…..…46

Confronto tra i sistemi AM e FM e definizione del valore di soglia………………………….……....48 Bibliografia……………………………………………………………………………………………………….…………….54

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Index Index of pictures.……….…………………………………………………………………………………………….……..….5 Introduction……………………………………………………………………………………….…………………….………..7 Initial conditions.……………………………………………………………………………….………….……………………7 References……………………………………………………………………………………………..…………….…….……..9 AM equations…………………....……………………………………………………………………………………………………9 FM equations..…………………………………………………………………………………………………………………...…11 Threshold value..…………………………………………………………………………………………………………………..13

The signal-to-noise ratio in amplitude modulation…………..………………………..…………….………15 AM demodulation stadium and generic equation of the modulated carrier……..……………….….15 Characteristics of the filter and amplifier blocks……………………….……………………………..……..……19 Phase-Amplitude modulation……………………………………………………………………………..………….……25 Noise spectrum and comparison with the Rice spectrum…………………………………………….……….33 Beat frequencies………….…………………………………………………………………………………………………...…35 Output signal-to-noise ratio……………………………………………………………………………………………..…35

Signal-to-noise ratio in frequency modulation………………………………………………………………..37 FM demodulation stadium and equation of a generic modulated carrier…………..……………….37 Focussing about the phase……………………………………………………………………………………….39 The real consequences of the noise: comparison between vector diagrams….…………..….……43 Shape of the noise and amplitude powers…………………………………………….…………….…..…….…..45 Output signal-to-noise ratio…………………………………………………………………………………………….…47

Comparison between AM and FM systems and definition of the threshold value….……….49 Bibliography.……………………………………………………………………………………………………….………..55

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Indice delle figure MODULAZIONE AM Figura 1: stadio di demodulazione del ricevitore supereterodina AM. ....................................................................................................................14 Figura 2: rappresentazione grafica di un segnale AM con modulante sinusoidale. ..............................................................................................16 Figura 3: caratteristica ideale dellâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a FI................................................................................................................................................18 Figura 4: caratteristica ideale del filtro LP. ................................................................................................................................................................18 Figura 5: spettro del rumore. ......................................................................................................................................................................................22 Figura 6: rappresentazione vettoriale di portante, rumore e risultante. .................................................................................................................24 Figura 7: spettro della potenza di rumore in uscita dallâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a FI. ............................................................................................................30 Figura 8: spettro della potenza di rumore in BF. .......................................................................................................................................................30 Figura 9: spettro del rumore in BF (con potenza di rumore in ingresso << della potenza di segnale in ingresso) e spettro della potenza di rumore di S. O. Rice......................................................................................................................................................................................................32 Figura 10: battimento tra le funzioni cos(3x) e cos(x), aventi frequenza una il triplo dell' altra. ..........................................................................34 MODULAZIONE FM Figura 11: stadio di demodulazione del ricevitore supereterodina FM....................................................................................................................36 Figura 12: rappresentazione vettoriale della risultante portante+rumore (sinistra) e di alcune tra le possibili oscillazioni della portante modulata dal segnale modulante (destra). Si noti la grande differenza tra il pendolare dei vettori nei due grafici, considerando anche che il rumore non è in scala con la portante. ....................................................................................................................................................................42 Figura 13: spettro della potenza e spettro della ampiezza del rumore in bassa frequenza. ..................................................................................44 ILLUSTRAZIONE DEL VALORE DI SOGLIA Figura 14: relazione tra il rapporto S/N di ingresso in AM (in ascissa) e il rapporto S/N in uscita per entrambe le modulazioni (in ordinata). 52

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Index of pictures AM Picture 1: demodulation stadium of the superheterodyne AM receiver ................................................................................................................15 Picture 2: the graph of an AM signal with sinusoidal modulating signal .................................................................................................................17 Picture 3: ideal characteristic of the IF amplifier.......................................................................................................................................................19 Picture 4: ideal characteristic of the LP filter .............................................................................................................................................................23 Picture 5: noise spectrum ...........................................................................................................................................................................................22 Picture 6: vector of carrier, noise and resulting vector ............................................................................................................................................25 Picture 7: spectrum of the noise power at the output of the IF amplifier ..............................................................................................................31 Picture 8: spectrum of the noise power at LF ............................................................................................................................................................31 Picture 9: noise spectrum at LF (with a noise input power << of the signal input power) and noise power spectrum developed by S. O. Rice .......................................................................................................................................................................................................................33 Picture 8: the beat between the functions cos(3x) and cos(x), having one a frequency that is three times higher than the other ..................35 FM Picture 11: demodulation stadium of the FM superheterodyne receiver...............................................................................................................37 Picture 9: vector representations of the noise+carrier wave (on the left) and some of the possible oscillations of the carrier modulated by the modulating signal (on the right). We must put on evidence the great difference between the swinging of the vectors, if we also consider that the noise is represented using a scale smaller than the carrierâ&#x20AC;&#x2122;s scale ...........................................................................................43 Picture 13: noise power and noise amplitude at LF ..................................................................................................................................................45 TRESHOLD VALUE Picture 14: the relationship between the AM input SNR (on the abscissa) and the output SNR of both modulations (on the ordinate axis) .53

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Introduzione La modulazione FM introduce significativi miglioramenti che sono al di sopra di quelli della modulazione AM per quanto riguarda la presenza di rumore in uscita. A proposito di questo aspetto si dimostrerĂ in quali condizioni e quanto la modulazione di frequenza sia migliore di quella di ampiezza. Si definirĂ  anche il valore di soglia - influenzato dai rapporti S/N e dallâ&#x20AC;&#x2122; indice di modulazione di frequenza - per il quale è valida la precedente affermazione. §

Condizioni iniziali Per la corretta trattazione dellâ&#x20AC;&#x2122;argomento si ricordi la definizione di rapporto segnale-rumore: â&#x20AC;&#x153;il rapporto segnale-rumore (S/N) è il rapporto tra la potenza del segnale (in assenza di rumore) e il rumore (in assenza di segnale, cioè in presenza di portante non modulata)â&#x20AC;?. Si ipotizzi quindi un rumore di tipo termico con densitĂ di potenza đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x203A; e una portante di potenza đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;? . Si consideri inoltre che đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x203A; e đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;? siano di uguale valore allâ&#x20AC;&#x2122;ingresso dello stadio di demodulazione del ricevitore AM (rivelatore dâ&#x20AC;&#x2122;inviluppo) e FM (discriminatore). §

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Introduction Frequency modulation introduces significant improvements that go well beyond the performances of amplitude modulation about the presence of output noise. As concerning this issue, we are going to demonstrate in what conditions and how frequency modulation is better than amplitude modulation. We are also going to define the threshold value; affected by the signal-to-noise ratios (SNRs) and by the frequency modulation index; according to which the previous statement is true. §

Initial conditions In order to have a correct treatment of the topic we must remember the SNR relationship: “the signal-to-noise ratio is the quotient between the power of the signal (when the noise is absent) and the noise power of the signal (without signal, thus in presence of unmodulated carrier)”. Therefore, we may suppose a thermal noise with Sn power density and a carrier with Pp power. We also consider that Sn and Pp have the same value at the input of the demodulation stadium of the AM and FM receivers (respectively the envelope detector and the discriminator). §

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Riferimenti Nella modulazione AM la potenza del segnale allâ&#x20AC;&#x2122; ingresso dello stadio di demodulazione vale đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; =

đ?&#x2018;˝đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018;

Equazione 1

đ?&#x;?

e la potenza del segnale in bassa frequenza đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; = đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;

Equazione 2

Considerando che il rumore è termico e perciò con spettro piatto, la sua potenza nella banda AM allâ&#x20AC;&#x2122; uscita dellâ&#x20AC;&#x2122; amplificatore a FI è cosĂŹ espressa: đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2018;

Equazione 3

Effettuando le dovute approssimazioni sullo spettro del rumore e utilizzando in questo modo il calcolo vettoriale, è possibile mettere in evidenza la variazione della portante dovuta alla componente di rumore: đ?&#x2018;¨ = đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;? +

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018;

đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;

Equazione 4

A tal punto, si hanno a disposizione le informazioni per determinare la potenza totale di rumore nella banda AM allâ&#x20AC;&#x2122; uscita del filtro LP: đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

Equazione 5

Ipotizzando infine che Ni â&#x2030;Ş Si il rapporto segnale rumore equivarrĂ a đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013;

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= đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

Equazione 6

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References In amplitude modulation the power of the input signal at the demodulation stadium results in đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; =

đ?&#x2018;˝đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018;

Equation 1

đ?&#x;?

And at low frequencies (LF) đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; = đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;

Equation 2

If we consider the noise as thermal and therefore with a flat spectrum, its power in the AM band at the output of the Intermediate Frequency (IF) amplifier may be written as follows: đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2018;

Equation 3

By applying the approximations on the noise spectrum in the proper way and therefore using the vector calculations, it is possible to highlight the variation of the carrier caused by the noise element: đ?&#x2018;¨ = đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;? +

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018;

đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;

Equation 4

We have now obtained the information needed to find out the overall noise power the AM band at the output of the Low Pass (LP) filter: đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

Equation 5

Then, assuming that Ni â&#x2030;Ş Si , the signal-to-noise ratio may be written in the following way: đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013;

= đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

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Equation 6

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Nella modulazione FM il segnale modulato è solamente influenzato dallâ&#x20AC;&#x2122; ampiezza portante e ha potenza đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; =

Equazione 7

đ?&#x;?

Privato della portante a FI il segnale avrĂ invece una potenza in uscita đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; = Dato che si suppone che in ingresso

Si

â&#x2C6;&#x2020;đ??&#x17D;đ?&#x;?

Equazione 8

đ?&#x;?

ha un valore elevato, lâ&#x20AC;&#x2122; influenza del rumore sulla fase della portante ha valore

Ni

đ??&#x2039;=

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ??Źđ??˘đ??§ đ?&#x203A;&#x161;đ??­

Equazione 9

đ??&#x20AC;đ??Š

e la portante cambia la sua espressione a causa della modulazione subita: đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2022; +

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;? đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;

Equazione 7

Ma visto che AA n â&#x2030;Ş 1 la banda della modulazione introdotta dal rumore sarĂ molto stretta rispetto a quella che è di solito la banda in cui è p

contenuta lâ&#x20AC;&#x2122; informazione. Facendo le opportune considerazioni sulle infinitesime componenti dello spettro del rumore si ottiene la potenza di rumore in BF: đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; =

đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x17D;

Equazione 8

Infine, confrontando le equazioni della modulazione FM con quelle della modulazione AM si ottiene il rapporto segnale rumore đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;­đ?&#x2018;´

10

= đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;¨đ?&#x2018;´

Equazione 9

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In frequency modulation the modulated signal is only affected by the carrierâ&#x20AC;&#x2122;s amplitude and has the following power: đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; =

Equation 7

đ?&#x;?

On the contrary, the signal deprived of the IF carrier has a power expressed by the equation đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; =

â&#x2C6;&#x2020;đ??&#x17D;đ?&#x;?

Equation 8

đ?&#x;?

We suppose that the incoming SNR is high. Consequently the influence of the noise on the phase of the carrier is đ??&#x2039;=

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ??Źđ??˘đ??§ đ?&#x203A;&#x161;đ??­

Equation 9

đ??&#x20AC;đ??Š

and due to the modulation that affected it, the carrier changes into: đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2022; +

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;? đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;

Equation 10

A

By then considering that A n â&#x2030;Ş 1, the modulation band introduced by the noise will be very narrow in comparison to the band in which p

the information is usually contained. By carrying out the proper considerations about the tiniest elements of the noise spectrum, the result is the LF noise power: đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; =

đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x17D;

Equation 11

Finally the comparison between the FM and AM equations results in the signal-to-noise ratio: đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;­đ?&#x2018;´

= đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;¨đ?&#x2018;´

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Equation 12

11


Per confrontare meglio i rapporti S/N nelle due modulazioni si considerano le equazioni 12 e 6, ottenendo đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;­đ?&#x2018;´

=đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013;

đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;

đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;¨đ?&#x2018;´

Equazione 13 đ?&#x2018;&#x161;2

Eâ&#x20AC;&#x2122; a tal punto che si può notare come la modulazione FM sia migliore di quella AM grazie al coefficiente 3 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;2 . Anche nel caso in cui đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;

è al valore massimo, cioè 1, lâ&#x20AC;&#x2122; aumentare del valore di mf comporta comunque la superiorit{ della modulazione FM. Ma lâ&#x20AC;&#x2122; indice di modulazione di frequenza (e perciò la banda di trasmissione) non può essere aumentato indefinitamente per migliorare il rapporto S/N: infatti si ricorda che đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2018;­đ?&#x2018;´

= đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2018;Š

Equazione 14

eliminerebbe la condizione supposta: il valore del rapporto S/N in ingresso molto alto. đ?&#x2018;&#x2020;

1

Sostanzialmente per evitare lâ&#x20AC;&#x2122; effetto della soglia deve essere đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; > 13đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ e (stabilito đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; = 1) e đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; > 3. đ?&#x2018;&#x2013;

Nel grafico (figura 14) è rappresentato il valore di soglia per đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 4, al di sotto del quale đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ decade rapidamente. Tale fenomeno è meno đ?&#x2018;˘

evidente per đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 1.

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In order to have a better comparison between the snrs of the two modulations we may take the equations nr. 12 and nr.6 into account and notice that: đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ??Śđ?&#x;?

đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;­đ?&#x2018;´

=đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013;

đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;

đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;¨đ?&#x2018;´

Equation 13

Due the đ?&#x;&#x2018; đ??Śđ??&#x;đ?&#x;? coefficient, we can now see how the FM is better than the AM. Even if đ??Śđ??&#x161; reaches its maximum value (đ??Śđ??&#x161; = đ?&#x;?), the đ??&#x161; growth of đ??Śđ??&#x; however means that the frequency modulation is better suited than the amplitude modulation. But the frequency modulation index (and therefore the transmission band) cannot be increased indefinitely to make the SNR better. In fact, we can remember that: đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2018;­đ?&#x2018;´

= đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2018;Š

Equation 14

the supposed condition (the high input SNR) will be excluded. Then, to avoid the threshold effect we need NS i > 13đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ and (by setting ma = 1) mf > 13. i

The graph (picture nr.14) represents the threshold value concerning đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 4, beneath this one, the value đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ quickly decreases. This đ?&#x2018;˘

phenomenon is less evident if đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 1.

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Il rapporto segnale-rumore nella modulazione di ampiezza Osservando lo stadio di demodulazione del ricevitore supereterodina AM

DOWN CONVERTER

AMPLIFICATORE A FREQUENZA INTERMEDIA

RIVELATORE DI INVILUPPO A DIODO

FILTRO LP

BF

Figura 1: stadio di demodulazione del ricevitore supereterodina AM.

si evidenzia che in ingresso al rivelatore dâ&#x20AC;&#x2122;inviluppo il segnale avr{ la seguente espressione: đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? [1 + đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; cos(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą)] cos(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą) con đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ 1 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; 2đ?&#x153;&#x2039;

frequenza segnale modulante;

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?

ampiezza della portante;

đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? 2đ?&#x153;&#x2039;

14

indice di modulazione di ampiezza;

frequenza della portante a frequenza intermedia.

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The signal-to-noise ratio in amplitude modulation. By observing the demodulation phase of the superheterodyne AM receiver

INTERMEDIATE FREQUENCY AMPLIFIER

DOWN CONVERTER

DIODE-BASED ENVELOPE DETECTOR

LP FILTER

LF

Picture 1: demodulation stadium of the superheterodyne AM receiver.

we highlight that at the input of the envelope detector the signal is: đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? [1 + đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; cos(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą)] cos(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą)

with đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ 1 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161;

amplitude modulation index;

2đ?&#x153;&#x2039;

modulating signalâ&#x20AC;&#x2122;s frequency;

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?

carrierâ&#x20AC;&#x2122;s amplitude;

đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? 2đ?&#x153;&#x2039;

carrierâ&#x20AC;&#x2122;s frequency.

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15


15

10

5

2

4

6

8

5

10

15

Figura 2: rappresentazione grafica di un segnale AM con modulante sinusoidale.

16

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10


15

10

5

2

4

6

8

10

5

10

15

Picture 2: the graph of an AM signal with sinusoidal modulating signal.

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17


Dato che la frequenza modulante massima è fm , la larghezza di banda del segnale AM sarĂ 2fm . Allora lâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a frequenza intermedia (FI) dovrĂ  avere una banda passante minima di 2fm centrata su fp e una caratteristica che si suppone ideale (cioè di forma rettangolare).

Figura 3: caratteristica ideale dellâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a FI

Il segnale attraversa poi un filtro passa-basso (LP) con larghezza di banda fm . Si assume sempre come caratteristica quella ideale.

Figura 4: caratteristica ideale del filtro LP.

La tensione in uscita dal rivelatore dâ&#x20AC;&#x2122;inviluppo è data dalla seguente espressione: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą

con 18

a costante di proporzionalitĂ del rivelatore.

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If we consider that the maximum modulating frequency is fm , the bandwidth of the AM signal is 2fm . Thus, the IF amplifier must have a minimum passing band of 2fm centred on fp and a characteristic that is supposed as ideal (with a rectangular shape).

Picture 3: ideal characteristic of the IF amplifier.

Then the signal passes through a LP filter with fm bandwidth. The assumed characteristic is always ideal.

Picture 4: ideal characteristic of the LP filter.

The voltage at the output of the envelope detector results in: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą

with

a proportionality constant of the envelope detector.

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19


La potenza Su di tale segnale (da adesso in poi la potenza sarĂ sempre misurata su una resistenza da 1â&#x201E;Ś) è: đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;

2

1 đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2021; 2

cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x17D;

2

0

= đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2

1 đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2021; 0

đ?&#x2018;&#x2021;

1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą + 2

0

1 đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2021;

1 + cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2 0 1 cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2

đ?&#x2018;&#x2021; 1 â&#x2C6;&#x2019; 0 + 0 = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 2 2

mentre la potenza Si del segnale in ingresso al rivelatore vale: đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; =

đ?&#x2018;˝đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x2018;š

đ?&#x2018;˝đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?

=

đ?&#x;?

đ?&#x2018;š

=

đ?&#x2018;˝đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?

Equazione 1

Eâ&#x20AC;&#x2122; cosĂŹ possibile definire Su per sostituzione: đ?&#x;?

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; = đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2018;˝đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; = đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;

Equazione 2

Si considera adesso il rumore in sovrapposizione allo spettro della portante di frequenza fp e non ancora modulata. Si suppone che il rumore sia di tipo termico e perciò della categoria shot (con densitĂ di potenza indipendente dalla frequenza). Allâ&#x20AC;&#x2122;uscita dellâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a FI - data la caratteristica ideale di questâ&#x20AC;&#x2122;ultimo - si avrĂ  una potenza di rumore totale Ni contenuta nella banda AM (fp â&#x2C6;&#x2019; fm < đ?&#x2018;&#x201C; < fp + fm ) đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160; =

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2018;+đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2021; = đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2018; + đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2018; + đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2018;

Equazione 3

con p densitĂ di potenza del rumore indipendente da f. Questo rumore agisce in modo del tutto casuale sulla portante, provocandone variazioni di fase e di ampiezza. I cambiamenti di ampiezza in ingresso al rivelatore di inviluppo sono ovviamente considerati come un segnale e causano rumore in bassa frequenza (il cosiddetto â&#x20AC;&#x153;fruscioâ&#x20AC;?). 20

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The Su power of this signal (from this moment the power will always be measured on a 1 â&#x201E;Ś resistor) is expressed as follows: đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;

2

1 đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2021; 0

= đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2

đ?&#x2018;&#x2021;

1 đ?&#x2018;&#x2021;

0

1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą + 2

đ?&#x2018;&#x2021; 0

1 đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2021;

1 + cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2 0 1 cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2021;

cos2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2

đ?&#x2018;&#x2021; 1 â&#x2C6;&#x2019; 0 + 0 = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 2 2

while the Si power of the signal at the input of the envelope detector may be written in the following way: đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; =

đ?&#x2018;˝đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x2018;š

đ?&#x2018;˝đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?

=

đ?&#x;?

đ?&#x2018;š

=

đ?&#x2018;˝đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?

Equation 1

Then it is possible to define Su with the alternate method: đ?&#x;?

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; = đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2018;˝đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; = đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;

Equation 2

We now consider the noise put on top of the unmodulated carrier spectrum with fp frequency. We suppose that the noise is a thermal noise and thus of the shot category (with a power density that does not depend on frequency). Due to the ideal characteristic of the FI amplifier, we will have a total noise power Ni . This is contained in the AM band (fp â&#x2C6;&#x2019; fm < đ?&#x2018;&#x201C; < fp + fm ) đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160; =

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2018;+đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2021; = đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2018; + đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2018; + đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2018;

Equation 3

with p power density of the noise, independent from f. This noise casually affects the carrier, causing phase and amplitude changes. The amplitude variations at the input of the envelope detector are obviously considered as a signal and cause a low frequency noise (known as â&#x20AC;&#x153;ground noiseâ&#x20AC;?).

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Tenendo conto che il rumore Ni ha spettro uniforme su tutta la banda AM, lo si può suddividere in piccolissimi intervalli di ascissa df e ampiezza p, la cui superficie sarà perciò pdf.

Figura 5: spettro del rumore.

Ogni infinitesima suddivisione viene approssimata con una sinusoide di ampiezza An , considerando che la potenza dissipata da una R di valore unitario deve equivalere a pdf:

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201C; =

22

đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2026;

đ??´đ?&#x2018;&#x203A; 2 = đ?&#x2018;&#x2026;

2

=

đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; 2

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If we take into account the Ni noise and its spectrum (homogeneously distributed in the AM band), we can divide it into tiny fractions with a df abscissa and a p amplitude, whose surface is pdf.

Picture 5: noise spectrum.

Each tiniest portion is approximated with a sinusoid of An amplitude, considering that the dissipated power must be pdf: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201C; =

đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2026;

đ??´đ?&#x2018;&#x203A; 2 = đ?&#x2018;&#x2026;

2

đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; = 2

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Grazie a tale approssimazione è possibile raffigurare la portante non modulata come un vettore. Sommandovi una componente qualsiasi di rumore provocante un cambio di ampiezza e di fase, si può infine definire il vettore risultante:

Figura 6: rappresentazione vettoriale di portante, rumore e risultante.

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Thanks to this approximation we can represent the unmodulated carrier as a vector. By adding a noise signal to it, we obtain a change in amplitude and phase. We can finally define the resulting vector:

Picture 6: vector of carrier, noise and resulting vector.

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đ??´đ??ś 2 = đ??´đ??ľ2 + đ??ľđ??ś 2 â&#x2020;&#x2019; đ??´2 (đ?&#x2018;Ą) = {[đ??´đ?&#x2018;? + đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ]2 + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; sin2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą } cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018; = = {đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; cos 2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; sin2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą } cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018; = = {đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; [cos2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + sin2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] + 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą } cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018;

cos 2 (đ?&#x2018;Ľ) + sin2 đ?&#x2018;Ľ = 1 â&#x2020;&#x2019; {đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; cos 2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + sin2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą

+ 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą } cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018; =

= [đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018;

đ??´ đ?&#x2018;Ą =

[đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018;

đ?&#x153;&#x2018; = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 [

26

đ??´đ?&#x2018;&#x203A; sin Ď&#x2030;t ] đ??´đ?&#x2018;? + đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą

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đ??´đ??ś 2 = đ??´đ??ľ2 + đ??ľđ??ś 2 â&#x2020;&#x2019; đ??´2 (đ?&#x2018;Ą) = {[đ??´đ?&#x2018;? + đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ]2 + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; sin2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą } cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018; = = {đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; cos 2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; sin2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą } cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018; = = {đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; [cos2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + sin2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] + 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą } cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018;

cos 2 (đ?&#x2018;Ľ) + sin2 đ?&#x2018;Ľ = 1 â&#x2020;&#x2019; {đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; cos 2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + sin2 đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą

+ 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą } cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018; =

= [đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018;

đ??´ đ?&#x2018;Ą =

[đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2018;

đ?&#x153;&#x2018; = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 [

đ??´đ?&#x2018;&#x203A; sin Ď&#x2030;t ] đ??´đ?&#x2018;? + đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą

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27


Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile continuare non considerando la fase, poichĂŠ il rivelatore di inviluppo tiene conto solo dellâ&#x20AC;&#x2122;ampiezza. Se in ingresso al suddetto rivelatore la potenza di rumore Ni è piĂš piccola rispetto alla potenza Si del segnale portante (cioè si ha un S/N alto), conseguentemente An è piĂš piccola rispetto ad Ap e

An

â&#x2030;Ş 1.

Ap

Allora, lâ&#x20AC;&#x2122;ampiezza portante modulata dal rumore può diventare: đ??´=

[đ??´2đ?&#x2018;? + đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] = đ?&#x2018;¨đ?&#x;?

đ?&#x2018;¨

đ?&#x2018;¨

đ?&#x;? + đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;?đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? = đ?&#x;? + đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x2018;

đ??´2đ?&#x2018;? [1 +

đ?&#x;?

đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; đ??´đ?&#x2018;&#x203A; + 2 cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] đ??´2đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;? đ?&#x2018;¨

â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;¨ = đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;? + đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;

Equazione 4

đ?&#x2019;&#x2018;

Si è cosÏ ottenuta una modulazione della portante con indice di modulazione

An Ap

di frequenza

Ď&#x2030; 2Ď&#x20AC;

(la frequenza del rumore). Il filtro che si

trova nel rivelatore contiene tale frequenza nella sua banda di lavoro. In bassa frequenza (BF) si avrĂ una componente di rumore đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x17D;đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cosâ Ą (đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą)

con

a costante di proporzionalitĂ del rivelatore.

La potenza sarĂ : đ?&#x2018;&#x17D;đ??´đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2026;

2

=

đ?&#x2018;&#x17D;2 đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; 2

đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201C; 2

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We can continue without considering the phase because the envelope detector only considers the amplitude. The input noise power Ni of this detector is smaller than the carrier power Si (thus the SNR is high), consequently An is smaller than Ap , that means

An Ap

â&#x2030;Ş 1.

Then, the modulated carrier amplitude becomes: đ??´=

[đ??´2đ?&#x2018;?

+

đ??´2đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;¨đ?&#x;?

+ 2đ??´đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] =

đ?&#x2018;¨

đ?&#x2019;&#x2018;

đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; đ??´đ?&#x2018;&#x203A; + 2 cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] đ??´2đ?&#x2018;? đ??´đ?&#x2018;?

đ?&#x;?

đ?&#x2018;¨

đ?&#x;? + đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;?đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? = đ?&#x;? + đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2018;

đ??´2đ?&#x2018;? [1 +

đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2018;¨

â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;¨ = đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;? + đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;

Equation 4

đ?&#x2019;&#x2018;

In this way we have obtained a carrier modulation using a modulation index

An Ap

at a

Ď&#x2030; 2Ď&#x20AC;

frequency (the frequency of the noise). The filter

in the detector allows this frequency in its band. At LF we will have a noise wave đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x17D;đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cosâ Ą (đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą)

Assuming

a as the proportionality constant of the envelope detector.

The power will be expressed like that: đ?&#x2018;&#x17D;đ??´đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2026;

2

đ?&#x2018;&#x17D;2 đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; = 2

đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201C; 2

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Tale potenza è quella che si può trovare sovrapposta a una frequenza f dello spettro AM, tale che fp â&#x2C6;&#x2019; fm < đ?&#x2018;&#x201C; < fp + fm . Dato che lo spettro AM è simmetrico rispetto alla portante fp e lâ&#x20AC;&#x2122; amplificatore a FI contiene le frequenze tra fp â&#x2C6;&#x2019; fm e fp + fm , anche la potenza sarĂ simmetrica. In uscita si avrĂ  allora - per una qualunque componente di rumore di frequenza f compresa tra fp â&#x2C6;&#x2019; fm e fp + fm - una potenza di rumore dNu đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ = 2đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201C;

Figura 7: spettro della potenza di rumore in uscita dallâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a FI.

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Figura 8: spettro della potenza di rumore in BF.

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This is the power that overlaps a f frequency of the AM spectrum, that is such as to range from fp â&#x2C6;&#x2019; fm to fp + fm . Since the AM spectrum is symmetric from the fp carrier and the IF amplifier contains the frequencies included between fp â&#x2C6;&#x2019; fm and fp + fm , the power will be symmetric as well. Thus, at the output we will have â&#x20AC;&#x201C; due any noise wave at a f frequency that ranges between fp â&#x2C6;&#x2019; fm and fp + fm â&#x20AC;&#x201C; a noise power dNu đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ = 2đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201C;

Picture 7: spectrum of the noise power at the output of the IF amplifier.

Picture 8: spectrum of the noise power at LF.

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La potenza totale di rumore in uscita si ottiene sommando in BF tutte le infinitesime potenze dNu : đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; =

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2021; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2021; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2018; = đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2018; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

Equazione 5

In bassa frequenza si avrĂ uno spettro piatto con ampiezza costante 2a2 p. Tale affermazione è valida solamente nel caso in cui Ni â&#x2030;Ş Si . Se non vi è questa situazione lo spettro di uscita non è piatto ma contiene componenti di rumore tra 0 e 2fm ; conclusione derivante dagli studi di S. O. Rice dei Bell Telephone Laboratories.

Figura 9: spettro del rumore in BF (con potenza di rumore in ingresso << della potenza di segnale in ingresso) e spettro della potenza di rumore di S. O. Rice.

Nello spettro di Rice, la parte B è dovuta al rumore che deriva dalle frequenze di battimento fra le componenti di rumore: queste si sommano tra loro nel sommarsi a loro volta con la componente portante ma, dato che ognuna ha una frequenza diversa dallâ&#x20AC;&#x2122;altra, possono sommarsi sfasate, dando luogo a dei battimenti. Il valore assoluto delle differenze tra le frequenze dei segnali che si sommano tra loro sono dette appunto frequenze di battimento. I battimenti possono perciò essere visti come una interferenza che si sviluppa nel tempo, modificando la quantitĂ e la velocitĂ  con cui una ampiezza può variare. 32

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The total output noise power at LF results from the sum of the tiniest dNu powers: đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; =

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2021; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2021; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2018; = đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2018; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

Equation 5

At low frequencies we will have a flat spectrum with a constant amplitude 2a2 p. This proposition is correct only if Ni â&#x2030;Ş Si . Any other situation causes changes in the noise amplitude between 0 and 2fm ; conclusion due to the research of S. O. Rice, a scientist of the Bell Telephone Laboratories .

Picture 9: noise spectrum at LF (with a noise input power << of the signal input power) and noise power spectrum developed by S. O. Rice.

By observing the Rice spectrum, the section B is caused by the noise generated by the beat frequencies of the noise waves: they are added one to the other while they are added to the carrier, but since the noise waves have different frequencies, they are out of phase and generate beats. The absolute value of the differences between the frequencies of the signals are called beat frequencies. Thus, the beats can be seen as an interference developed along the flow of time, changing the varying way and amount of the amplitude.

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Figura 10: battimento tra le funzioni cos(3x) e cos(x), aventi frequenza una il triplo dell' altra.

Se invece lâ&#x20AC;&#x2122; ipotesi Ni â&#x2030;Ş Si è verificata, il rumore che â&#x20AC;&#x153;batteâ&#x20AC;? contro il rumore è trascurabile e vale la componente di rumore che batte contro la portante. Perciò il rapporto S/N in uscita dal filtro LP vale (date le relazioni precedentemente stabilite): đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013;

=

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2018;ľ

đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2018;ş

= đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x160;

Equazione 6

Come si può facilmente desumere, il rapporto S/N di uscita è sempre piĂš vantaggioso allâ&#x20AC;&#x2122; avvicinarsi di ma al valore 1 (cioè per grandi indici di modulazione). Infatti per ma = 1 si otterrĂ un rapporto S/N di uscita uguale a quello in ingresso: ciò significa che il rumore non ha subito incrementi e il rapporto S/N non ha degrado. Si evidenzia infine che se si aumentano le bande di frequenza dellâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a FI e del filtro LP, si avr{ un aumento del rumore in uscita (basti pensare allâ&#x20AC;&#x2122;aumento delle componenti di rumore df negli spettri precedentemente illustrati). Occorre perciò limitarsi alla banda strettamente necessaria al passaggio dellâ&#x20AC;&#x2122;informazione. 34

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Picture 10: the beat between the functions cos(3x) and cos(x), having one a frequency that is three times higher than the other.

On the contrary, if the supposition Ni â&#x2030;Ş Si is verified, the noise that â&#x20AC;&#x153;beatsâ&#x20AC;? against the noise can be unconsidered and the noise wave that beats against the carrier is prevalent. Then, the SNR at the input of the LP filter is expressed (considering the previous relationships) as follows: đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013;

=

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2018;ľ

đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2018;ş

= đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x160;

Equation 6

Itâ&#x20AC;&#x2122;s easy to put on evidence that the higher is ma , the better is the output SNR (the maximum value of ma is 1). In fact if ma = 1, we obtain equal output and input SNRs: it means that the noise has not increased and the SNR has not decreased. We finally remember that increasing the bandwidth of the IF amplifier and of the LP filter, the result is a bigger output noise (you can think of the increase of the df noise components in the previous spectrums). It is necessary to consider the bandwidth used for the passage of the information as a limit.

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Il rapporto segnale-rumore nella modulazione di frequenza Si considera adesso il caso della modulazione di frequenza. Contrariamente alla modulazione di ampiezza, lâ&#x20AC;&#x2122;allargamento della banda di trasmissione migliora il rapporto S/N. Si suppone che lâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a FI e il filtro LP abbiano una curva di risposta ideale e rispettivamente banda passante pari a fm (dove fm è la frequenza del segnale modulante) e a 0 < đ??ľ < B FM . 2

FI

AMPLIFICATORE A FREQUENZA INTERMEDIA

LIMITATORE DI AMPIEZZA

DISCRIMINATORE

FILTRO LP

BF

Figura 11: stadio di demodulazione del ricevitore supereterodina FM.

Quando il segnale esce dallâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a FI, entra nel limitatore. Si avr{ in uscita il segnale privato delle ampiezze parassite. Successivamente il discriminatore fornisce un valore istantaneo - proporzionale alla deviazione di frequenza istantanea del segnale al suo ingresso - che attraversa infine il filtro LP. Se la modulazione avviene con la legge đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą

con

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C; Ď&#x2030;m 2Ď&#x20AC;

massima deviazione di frequenza istantanea; massima frequenza del segnale modulante.

allâ&#x20AC;&#x2122;uscita del limitatore (cioè allâ&#x20AC;&#x2122;ingresso del discriminatore) si ha il segnale cosĂŹ espresso: đ??´đ?&#x2018;? cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą 36

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The signal-to-noise ratio in frequency modulation Now, we consider the instance of the frequency modulation. In opposition to the AM modulation, the enlargement of the transmission band makes the SNR better. We suppose that the FI amplifier and the LP filter have an ideal transfer characteristic and an allowed band fm (the frequency of the modulating signal) and 0<đ??ľ<

IF

B FM 2

, respectively. INTERMEDIATE FREQUENCY AMPLIFIER

AMPLITUDE LIMITER

DISCRIMINATOR

LP FILTER

LF

Picture 11: demodulation stadium of the FM superheterodyne receiver.

When the signal comes out from the IF amplifier, it travels into the amplitude limiter. At the output the signal will be deprived of the parasitic amplitudes. Afterwards, the discriminator provides an instantaneous value â&#x20AC;&#x201C; proportional to the instantaneous frequency deviation of the signal at its input â&#x20AC;&#x201C; that finally passes through the LP filter. If the law of modulation is đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą

with

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; 2đ?&#x153;&#x2039;

maximum instantaneous frequency deviation; maximum frequency of the modulating signal.

At the output of the limiter (or at the input of the discriminator) the signal may be written like that: đ??´đ?&#x2018;? cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą

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37


đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; =

con

đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;?

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161;

indice di modulazione di frequenza;

2đ?&#x153;&#x2039;

frequenza della portante a FI;

đ??´đ?&#x2018;?

ampiezza della portante a FI;

Questo si ottiene poichĂŠ, nel caso speciale di modulante sinusoidale, la pulsazione istantanea Ď&#x2030;i è đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą

dove â&#x2C6;&#x2020;Ď&#x2030; â&#x2030;Ş Ď&#x2030;p , con â&#x2C6;&#x2020;Ď&#x2030; che dipende dallâ&#x20AC;&#x2122;ampiezza del segnale modulante e dalle sua variazioni al variare della frequenza corrisposta dal circuito. La fase è allora espressa con la formula: đ?&#x153;&#x2018; đ?&#x2018;Ą =

[đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą] =

{[đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą ] đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą} =

[đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą] + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D;

[cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą] = đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D;

1 sin đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161;

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C; 1 = = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; sin đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą = đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; sin đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161;

Lâ&#x20AC;&#x2122;ampiezza Ap del segnale di uscita fa sĂŹ che la potenza del segnale modulato - misurata su una resistenza di valore 1â&#x201E;Ś- sia indipendente dal segnale modulante: đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; =

đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x2018;š

=

đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?

Equazione 7

Allâ&#x20AC;&#x2122;uscita del discriminatore il segnale è privato della portante e ha valore direttamente proporzionale a â&#x2C6;&#x2020;Ď&#x2030;: đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D;cosâ Ą (đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą)

con b costante caratteristica del discriminatore (da ora posta b = 1). 38

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with

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;?

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161;

frequency modulation index;

2đ?&#x153;&#x2039;

frequency of the IF carrier;

đ??´đ?&#x2018;?

amplitude of the IF carrier;

It results from â&#x20AC;&#x201C; in the particular instance of sinusoidal modulating signal - the Ď&#x2030;i instantaneous pulsation đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą where â&#x2C6;&#x2020;Ď&#x2030; â&#x2030;Ş Ď&#x2030;p , with â&#x2C6;&#x2020;Ď&#x2030; depending on the amplitude of the modulating signal and its variations when the frequency provided by the circuit changes. Then, the phase results: đ?&#x153;&#x2018; đ?&#x2018;Ą =

[đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą] =

{[đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą ] đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą} =

[đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą] + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D;

[cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą] = đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D;

1 sin đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161;

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C; 1 = = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; sin đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą = đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; sin đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161;

The Ap amplitude of the output signal enables the independence of the power of the modulated signal from the power of the modulating signal. đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; =

đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x2018;š

=

đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?

Equation 7

At the output of the discriminator the signal is deprived of the carrier and its value is directly proportional to â&#x2C6;&#x2020;Ď&#x2030;: đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D;cosâ Ą (đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ą) with b typical constant of the discriminator (since now assumed as b = 1).

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39


Il segnale privo di portante avrĂ potenza đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ =

2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;

=

đ?&#x2018;&#x2026;

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D; 2

Equazione 8

2

Come nella modulazione di ampiezza, il rumore uscente dallâ&#x20AC;&#x2122;amplificatore a FI si suppone con spettro piatto e densit{ di potenza p B

B

uniformemente distribuita nella banda fp â&#x2C6;&#x2019; 2 e fp + 2 . Sempre come nel caso AM si eseguono le approssimazioni per ottenere il grafico vettoriale, nel quale si è verificata la modulazione causata in fase e ampiezza da una componente di rumore. Il discriminatore tiene conto solo della variazione di fase (dato che il limitatore elimina quella di ampiezza compresa tra le ampiezze parassite), che sarĂ : đ?&#x153;&#x2018; = tanâ&#x2C6;&#x2019;1 [

con

đ??´đ?&#x2018;&#x203A; sin Ď&#x2030;t ] đ??´đ?&#x2018;? + đ??´đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą

Ď&#x2030; differenza fra la pulsazione generica della componente di rumore e la pulsazione Ď&#x2030;p della portante.

Se in ingresso si ha un Si /Ni molto alto, allora vuole anche dire che An â&#x2030;Ş Ap . In tal caso la componente An diventa insignificante. Si ha che: đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; + đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022; â&#x2030;&#x2026; đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ??Źđ??˘đ??§ đ?&#x203A;&#x161;đ??­ đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018;

â&#x2020;&#x2019;đ??&#x2039;=

â&#x2030;&#x2026;đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ??Źđ??˘đ??§ đ?&#x203A;&#x161;đ??­ đ??&#x20AC;đ??Š

Equazione 9

đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2030;&#x2026; đ?&#x;&#x17D; â&#x2020;&#x2019; đ??­đ??&#x161;đ??§â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x2019;&#x2122;

La portante in ingresso al discriminatore che subisce la modulazione in fase da parte del rumore è espressa dalla seguente equazione: đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2022; +

40

đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;? đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;? đ??&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;

Equazione 10

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The signal deprived of the carrier will have the following power đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; =

â&#x2C6;&#x2020;đ??&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x2018;š

=

â&#x2C6;&#x2020;đ??&#x17D;đ?&#x;?

Equation 8

đ?&#x;?

The noise at the output of the IF amplifier â&#x20AC;&#x201C; as in the amplitude modulation â&#x20AC;&#x201C; is supposed with a flat spectrum and a p power density B

B

uniformly distributed in the band fp â&#x2C6;&#x2019; 2 < đ??ľ < fp + 2 . We make the correct approximations to develop the vector analysis as in AM modulation, in which the phase and the amplitude modulations caused by the noise were verified. The discriminator only takes into account the phase variation (because the limiter removes the amplitude changes caused by the parasistic amplitudes), that will be expressed as follows: đ?&#x153;&#x2018; = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 [

with

đ??´đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą ] đ??´đ?&#x2018;? + đ??´đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;  đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą

Ď&#x2030; resulting from the difference between the random pulsation of the noise and the Ď&#x2030;p pulsation of the carrier.

If the input SNR is very high, it means that An â&#x2030;Ş Ap and An become insignificant. The phase will becomes: đ??&#x20AC;đ??Š + đ??&#x20AC;đ??§ đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ?&#x203A;&#x161;đ??­ â&#x2030;&#x2026; đ??&#x20AC;đ??Š đ??&#x20AC;đ??§ đ??Źđ??˘đ??§ đ?&#x203A;&#x161;đ??­ đ??&#x20AC;đ??Š

â&#x2030;&#x2026;đ?&#x;&#x17D;

â&#x2020;&#x2019;đ?&#x203A;&#x2014;=

đ??&#x20AC;đ??§ đ??Źđ??˘đ??§ đ?&#x203A;&#x161;đ??­ đ??&#x20AC;đ??Š

Equation 9

đ??ą â&#x2030;&#x2026; đ?&#x;&#x17D; â&#x2020;&#x2019; đ??­đ??&#x161;đ??§â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ??ą = đ??ą

The unmodulated carrier at the input of the discriminator is expressed by the following equation: đ??&#x20AC;

đ??&#x20AC;đ??Š đ??&#x153;đ??¨đ??Ź đ?&#x203A;&#x161;đ??Š đ??­ + đ??&#x20AC;đ??§ đ??Źđ??˘đ??§ đ?&#x203A;&#x161;đ??­ đ??Š

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Equation 10

41


A

Poiché A n ≪ 1 si può dedurre che la modulazione introdotta dalla componente di rumore ha una banda molto stretta. Visto che nella p

pratica il segnale modulante ha una banda piuttosto larga, la deviazione di frequenza prodotta dal rumore ha effetto molto ridotto. Questo diminuisce sempre più al crescere della banda di trasmissione. Osservando i diagrammi vettoriali, è possibile comprendere tale concetto: sulla portante non modulata il rumore provocherà piccolissime oscillazioni della risultante. Inserendo un segnale modulante utile, al crescere della banda di trasmissione, il vettore risultante percorrerà oscillazioni di una quantità di radianti sempre maggiore, risultando maggiormente distinguibile dalla risultante portante+rumore.

Figura 12: rappresentazione vettoriale della risultante portante+rumore (sinistra) e di alcune tra le possibili oscillazioni della portante modulata dal segnale modulante (destra). Si noti la grande differenza tra il pendolare dei vettori nei due grafici, considerando anche che il rumore non è in scala con la portante.

In uscita dal discriminatore si avrà una componente di rumore in bassa frequenza b dφ b An = D sin ωt 2π dt 2π Ap

=

b An ω cos ωt 2π Ap

=

b An An 2πf cos ωt = bf cos⁡ (ωt) 2π Ap Ap

con b costante caratteristica del discriminatore. 42

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A

Since A n ≪ 1 we can deduce that the modulation introduced by the noise component has a very narrow band. By considering that in the p

reality the modulating signal has a quite wide band, the frequency deviation caused by the noise is very reduced. This deviation continue its decreasing while the transmission band increases. By observing the vector diagrams we can have a better comprehension of this conception: the noise will cause very tiny oscillations on the resulting vector by modifying the unmodulated carrier. If we generate a useful modulating signal, while the transmission band is increasing, the resulting vector covers an increasing number of radiants with its oscillations, becoming more distinguishable from the carrier+noise vector.

Picture 12: vector representations of the noise+carrier wave (on the left) and some of the possible oscillations of the carrier modulated by the modulating signal (on the right). We must put on evidence the great difference between the swinging of the vectors, if we also consider that the noise is represented using a scale smaller than the carrier’s scale.

At the output of the discriminator we will have a noise component at LF b dφ b An = D sin ωt 2π dt 2π Ap

=

b An ω cos ωt 2π Ap

=

b An An 2πf cos ωt = bf cos⁡ (ωt) 2π Ap Ap

with b as the typical constant of the discriminator.

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43


Questa ampiezza è evidentemente proporzionale alla frequenza đ?&#x2018;&#x201C;, che è la differenza tra la frequenza fp + f e fp . Il filtro LP porta in bassa frequenza le componenti di rumore comprese tra fp â&#x2C6;&#x2019; fm e fp + fm . Sempre ripensando alle due figure dei vettori e alla relazione sopra citata, si può considerare che le componenti di rumore con frequenza piĂš â&#x20AC;&#x153;lontanaâ&#x20AC;? da fp sono quelle che hanno maggiore influenza. In BF la potenza del rumore vale đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x201C; 2 đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; ( ) 2 đ??´2đ?&#x2018;?

Questa varia con il quadrato della frequenza, perciò il suo spettro sarĂ di tipo parabolico mentre quello delle ampiezze sarĂ  proporzionale alla frequenza. La potenza totale di rumore đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ è contenuta nella banda 0 < đ??ľ < fm del filtro LP. Supponendo un grande rapporto S/N in ingresso e trascurando il rumore che batte con il rumore, si ottiene:

Figura 13: spettro della potenza e spettro della ampiezza del rumore in bassa frequenza. đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; =

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D;

[đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; ] = đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x2018; [ đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2021;] = [ đ?&#x2019;&#x2021; ]đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x2018;¨đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x17D;

e ricordando la relazione che definisce Si : đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; = 44

đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?

â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; =

đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x17D;

Equazione 11

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This amplitude is clearly proportional to the đ?&#x2018;&#x201C; frequency, which is the difference between đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x201C; and đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;? . The LP filter allows the presence of the noise waves that range form đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; to đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; . By considering the two previous vector diagrams and the above mentioned relationships, we can notice that the noise components with the higher frequency distance from đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;? are the most important. At low frequencies the noise power becomes đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x201C; 2 đ??´2đ?&#x2018;&#x203A; ( ) 2 đ??´2đ?&#x2018;?

It changes according to the square of frequency. It means that the spectrum will follow a parabolic path while the amplitude spectrum will be in proportion with the frequency. The total noise power đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ is contained in the band 0 < đ??ľ < fm of the LP filter. By supposing a high input SNR and neglecting the noise that beats against the noise, it results that:

Picture 13: noise power and noise amplitude at LF.

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161;

đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ =

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161;

[đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ ] = 0

[ 0

2đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;? 2 2đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;? 1 3 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; 2 đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;? 3 đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201C;] = [ đ?&#x2018;&#x201C; ]0 = đ?&#x2018;&#x201C; đ??´2đ?&#x2018;? đ??´2đ?&#x2018;? 3 3 đ??´2đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;

If we remember the Si relationship (equation nr.7): đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; =

đ?&#x2018;¨đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?

â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; =

đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x17D;

Equation 11

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45


Il rapporto S/N in BF sarĂ espresso come đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ 3 đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C; 2 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; = =3 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ 2 đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161;3 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; 2đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;? è anche la potenza totale di rumore đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; in ingresso al rivelatore nella modulazione AM (da ricordare che è stata posta una eguale

potenza di portante e densitĂ di rumore đ?&#x2018;? per entrambe le modulazioni). Invece nella modulazione FM la potenza đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; equivale a pB e, dato che B è 2fB volte piĂš grande di 2fm , la relazione può essere cosĂŹ riscritta: m

Su Nu

= 3m2f FM

Si Ni

AM

B 2fm

â&#x2020;&#x2019;

Su Nu

= 3m2f FM

B Si 2fm Ni FM

La relazione che esiste tra i rapporti S/N (in uscita al demodulatore FM e in ingresso a quello AM) è quindi scritta nella forma Su N u FM

= 3m2f

Si N i AM

Equazione 12

Data lâ&#x20AC;&#x2122; ampiezza della portante e la densit{ di potenza p, aumentando lâ&#x20AC;&#x2122; indice di modulazione mf (allargando perciò la banda del segnale modulante) si ottiene un maggiore rapporto S/N di uscita. §

46

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The SNR at LF will be expressed as đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ 3 đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x201C; 2 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; = =3 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ 2 đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161;3 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; 2đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;? is also the total đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; power at the input of the AM detector (we obviously remember that đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x203A; and đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;? are the same for both

modulations. On the contrary, in the frequency modulation the đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; power is equal to đ?&#x2018;?đ??ľ and, as đ??ľ is 2đ?&#x2018;&#x201C;đ??ľ times bigger than 2đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; , the đ?&#x2018;&#x161; relationship can be rewritten as follows: đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘

= 3đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;2 đ??šđ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;

đ??´đ?&#x2018;&#x20AC;

đ??ľ 2đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161;

â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘

= 3đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;2 đ??šđ?&#x2018;&#x20AC;

đ??ľ đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; 2đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??šđ?&#x2018;&#x20AC;

Then, the existing link between the SNRs (at the output of the FM demodulator and at the input of the AM demodulator) can be written in the form đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ đ??šđ?&#x2018;&#x20AC;

= 3đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;2

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??´đ?&#x2018;&#x20AC;

Equation 12

By considering the carrier amplitude and the p power density, an increase of the mf modulation index (or an increase of the modulating signalâ&#x20AC;&#x2122;s band) we obtain a greater output SNR. §

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47


Confronto tra i sistemi AM e FM e definizione del valore di soglia. Come prima, è assunta per entrambi i sistemi la stessa potenza di portante e la stessa densitĂ di potenza di rumore đ?&#x2018;? allâ&#x20AC;&#x2122; uscita dellâ&#x20AC;&#x2122; amplificatore a FI. Dato che đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘

= đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 đ??´đ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;

allora đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;­đ?&#x2018;´

= đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2021;

đ?&#x2019;&#x201A;

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;ľđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2018;¨đ?&#x2018;´

Equazione 13 đ?&#x2018;&#x161;2

Si può notare come la modulazione FM apporti un notevole miglioramento del rapporto S/N, grazie al coefficiente 3 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;2 . Per grandi valori đ?&#x2018;&#x17D;

di đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; (cioè con đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2030;Ť 1 e ampia larghezza di banda del segnale modulante) si può incrementare notevolmente il rapporto portante/rumore in uscita dallo stadio di demodulazione FM. Per esempio con đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 5 si ha - nella peggiore delle ipotesi (cioè nel caso di đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; = 1) - un rapporto S/N in uscita 75 volte migliore rispetto al caso della modulazione di ampiezza. La banda di trasmissione FM non può però essere incrementata indefinitamente per migliorare il rapporto portante/rumore. Infatti essendo đ???đ??˘

đ??&#x2026;đ??&#x152;

= đ??Šđ??

Equazione 14

il rumore in ingresso al discriminatore potrebbe divenire paragonabile alla potenza del segnale.

48

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A comparison between the AM and FM systems and definition of the threshold value. As before, assumed for both the systems the same carrier power and p power density of the noise at the output of the IF amplifier. Considering that đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘

= đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 đ??´đ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;

then m2

Su N u FM

= 3 m f2 a

Su

Equation 13

N u AM m2

We can notice how the FM involves a considerable improvement of the SNR using the 3 m f2 coefficient. Using a great mf (mf â&#x2030;Ť 1 and a high bandwidth of the modulating signal) we can widely increase the carrier-noise ratio at the output of the FM demodulation stadium. I.e., with mf = 5 we obtain â&#x20AC;&#x201C; in the worst of the instances (when ma = 1) â&#x20AC;&#x201C; an SNR 75 times higher than the AM SNR. In the FM transmission the modulating band cannot be indefinitely increased to make the carrier-noise ratio better. In fact Ni

FM

= pB

Equation 14

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49


Allora non vi sarebbe piĂš la condizione del grande rapporto S/N in ingresso e le precedenti relazioni verrebbero invalidate: tutto ciò avviene al di sotto di un valore del rapporto che viene detto â&#x20AC;&#x153;valore di sogliaâ&#x20AC;?, per il quale il miglioramento rispetto al rumore degrada rapidamente. Questo valore di pende da đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; che per valori molto grandi determina un rapporto S/N di ingresso pari a 20, ossia 13đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ. Il fenomeno della soglia influenza ogni sistema che fa uso di una larga banda di trasmissione per migliorare il proprio comportamento verso il rumore. Per godere di tale proprietĂ , devono essere rispettate alcune condizioni: ď&#x192;&#x2DC; per evitare lâ&#x20AC;&#x2122; effetto della soglia il rapporto đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; deve essere > 13đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ; đ?&#x2018;&#x2013;

ď&#x192;&#x2DC; dato che

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??šđ?&#x2018;&#x20AC;

è 3

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;2 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x17D;2

volte maggiore di

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??´đ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x2018;&#x161;2

đ?&#x2018;&#x161;

e 3 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;2 = 3 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C; , bisogna avere đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; > đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x17D;

1 3

(stabilito đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; = 1),

altrimenti non si avrĂ un rapporto S/N in modulazione di frequenza maggiore di quello in modulazione di ampiezza. A đ?&#x2018;&#x161; > 13 cioè đ?&#x2018;&#x161; > 0.6 corrisponde anche il passaggio alla trasmissione FM a banda larga. Perciò la trasmissione FM a banda stretta non produce miglioramenti sul rapporto S/N (che infatti migliora con lâ&#x20AC;&#x2122; allargarsi della banda del segnale modulante). Nella figura della prossima pagina sono rappresentati i risultati ottenuti sperimentalmente da M. G. Crosby: dato đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 4, quando đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; /đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??´đ?&#x2018;&#x20AC; < 15đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? il đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ /đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ đ??šđ?&#x2018;&#x20AC; deteriora rapidamente e si può ben notare lâ&#x20AC;&#x2122; effetto soglia. Quando đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; /đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??´đ?&#x2018;&#x20AC; < 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? la modulazione di ampiezza diviene migliore di quella di frequenza. Lâ&#x20AC;&#x2122; effetto soglia è invece presente a circa 2đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ per đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 1. I risultati pratici non raggiungono comunque quelli teorici: con đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 4 il miglioramento dovrebbe essere 48, ossia 16.8đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ, mentre quello sperimentale è circa 25, cioè 14đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ. Per đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 1 il miglioramento dovrebbe essere 3, ossia 4.8đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ, mentre quello sperimentale è circa 2, cioè 3dB.

50

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It means that the noise at the input of the discriminator might become comparable to the signalâ&#x20AC;&#x2122;s power. Thus the condition of the high input SNR would be cleared and with it the previous relationships: this happens under a certain value called â&#x20AC;&#x153;threshold valueâ&#x20AC;?, by which the improvement in comparison with the noise falls down very quickly. This value depends on đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; that determines an input SNR of 20, (13đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ) for its high values. The threshold phenomena affects each system which uses a large transmission band to make its behaviour about the noise better. To use this property, the following conditions must be respected: đ?&#x2018;&#x2020;

ď&#x192;&#x2DC; to avoid the effect of the threshold, the đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; must be > 13đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ; đ?&#x2018;&#x2013;

ď&#x192;&#x2DC; since

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??šđ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;2

is 3 đ?&#x2018;&#x161; 2 times higher than đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??´đ?&#x2018;&#x20AC;

đ?&#x2018;&#x161;2

đ?&#x2018;&#x161;

and 3 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;2 = 3 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C; , we need đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; > đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x17D;

1 3

(fixing đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; = 1), or the signal-

to-noise ratio in FM would not be better than the SNR in AM. đ?&#x2018;&#x161;>

1 3

or đ?&#x2018;&#x161; > 0.6 corresponds to the passage from the FM transmission to the wideband FM transmission.

Then, the narrow band FM transmission does not produce improvements of the SNR (in fact it improves the enlarging of the modulating signalâ&#x20AC;&#x2122;s band). The picture on the next page represents the results empirically obtained by M. G. Crosby: if đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 4, when đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; /đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??´đ?&#x2018;&#x20AC; < 15đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? we can notice a quick decrease of đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;˘ /đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘ đ??šđ?&#x2018;&#x20AC; and of the threshold value. When đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; / đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ??´đ?&#x2018;&#x20AC; < 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? amplitude modulation becomes better than frequency modulation. Assumed đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 1, the threshold value affects the system at about 2dB. The practical results never reach the theory values: with đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 4 the improvement should be 48 (16.8đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ), while the empirical value is 25, or 14đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ. Assumed đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C; = 1, the improvement should be 3, or 4.8đ?&#x2018;&#x2018;đ??ľ, while its empirical value is 2, or 3dB.

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Figura 11: relazione tra il rapporto S/N di ingresso in AM (in ascissa) e il rapporto S/N in uscita per entrambe le modulazioni (in ordinata).

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Picture 14: the relationship between the AM input SNR (on the abscissa) and the output SNR of both modulations (on the ordinate axis).

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Bibliografia Mischa Schwartz. Information transmission, modulation, and noise, 4th edition. McGraw-Hill international editions â&#x20AC;&#x201C; electrical engineering series.

Adriano Montanari, Armando Cupido. Radioelettronica e televisione. Edizioni CUPIDO.

D. Tomassini. Corso di telecomunicazioni, 2. Edizioni Minerva Italica.

2009, VenerdĂŹ 8 Maggio. 54

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Bibliography Mischa Schwartz. Information transmission, modulation, and noise, 4th edition. McGraw-Hill international editions â&#x20AC;&#x201C; electrical engineering series.

Adriano Montanari, Armando Cupido. Radioelettronica e televisione. Edizioni CUPIDO.

D. Tomassini. Corso di telecomunicazioni, 2. Edizioni Minerva Italica.

2009. Friday, the 8th of May.

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Samuele Soraggi - Rumore nella modulazione AM e FM  

Rumore nella modulazione AM e FM