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SECRETARÍA  DE  EDUCACIÓN  JALISCO   COORDINACIÓN  DE  EDUCACIÓN  BÁSICA   DIRECCIÓN  GENERAL  DE  EDUCACIÓN  PRIMARIA   DIRECCIÓN  GENERAL  DE  PROGRAMAS  ESTRATÉGICOS   DIRECCIÓN  DE  PROGRAMAS  DE  ACOMPAÑAMIENTO  PEDAGÓGICO          

CUARTA  OLIMPIADA  ESTATAL  DE  MATEMÁTICAS   EN  EDUCACIÓN  PRIMARIA  Y  SECUNDARIA                          

   

CUADERNILLO  DE  ENTRENAMIENTO   NIVEL  PRIMARIA                      

Guadalajara,  Jalisco;  febrero  de  2013  


Cuadernillo de Entrenamiento Nivel Primaria

 

4ª OEMEPS 2013

 

ÍNDICE       PRESENTACIÓN     JUSTIFICACIÓN     INSTRUCTIVO  DE  PROCEDIMIENTOS  PARA  LA  APLICACIÓN                                                                               Y  EVALUACIÓN  DE  LOS  EXÁMENES     PROBLEMARIO     SOLUCIONES     FUENTES  DE  CONSULTA        

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Pág.   3     5     6     7     17     45  


Cuadernillo de Entrenamiento Nivel Primaria

 

4ª OEMEPS 2013

 

PRESENTACIÓN     La  Secretaría  de  Educación  Jalisco  a  través  de  la  Coordinación  de  Educación  Básica,  con  el   propósito  de  fortalecer  el  desarrollo  de  las  competencias  matemáticas  en  los  alumnos  de   educación   primaria   y   secundaria   por   medio   de   un   concurso   que   implique   el   razonamiento   y  la  creatividad  en  la  resolución  de  problemas,  convoca  a  la  Cuarta  Olimpiada  Estatal  de   Matemáticas  en  Educación  Primaria  y  Secundaria  2013  (4ª  OEMEPS).      

La  4ª  OEMEPS  es  un  concurso  en  el  que  los  alumnos  de  cuarto,  quinto  y  sexto  grados  de   primaria  y  de  los  tres  grados  de  secundaria  asesorados  por  sus  profesores  resolverán,  en   un   lapso   de   tiempo   suficiente,   problemas   que   implican   razonamiento   y   creatividad,   a   la   vez  que  muestran  su  nivel  de  desarrollo  en  las  competencias  de  resolución  de  problemas   de   manera   autónoma,   comunicación   de   información   matemática,   validación   de   procedimientos   y   resultados,   y   manejo   de   técnicas   con   eficiencia,   consideradas   en   los   Programas  de  Estudio  de  Matemáticas  (2011c).  Los  principios  pedagógicos  que  sustentan   el  Plan  de  Estudios  de  Educación  Básica  de  la  SEP  (2011b)  además  señalan:    

Centrar   la   atención   en   los   estudiantes   y   en   sus   procesos   de   aprendizaje.   El   centro   y   el   referente   fundamental  del  aprendizaje  es  el  estudiante,  porque  desde  etapas  tempranas  se  requiere  generar   su  disposición  y  capacidad  de  continuar  aprendiendo  a  lo  largo  de  su  vida,  desarrollar  habilidades   superiores   del   pensamiento   para   solucionar   problemas,   pensar   críticamente,   comprender   y   explicar   situaciones   desde   diversas   áreas   del   saber,   manejar   información,   innovar   y   crear   en   distintos  órdenes  de  la  vida  (pág.  26).    

Por   otro   lado,   la   definición   que   la   SEP   (2011b)   plantea   con   respecto   al   concepto   Competencias  para  la  vida,  considera:    

Competencias   para   el   manejo   de   la   información.   Su   desarrollo   requiere:   identificar   lo   que   se   necesita   saber;   aprender   a   buscar;   identificar,   evaluar,   seleccionar,   organizar   y   sistematizar   información;  apropiarse  de  la  información  de  manera  crítica,  utilizar  y  compartir  información  con   sentido  ético  (pág.  38).    

Los   alumnos   participantes   escribirán   sus   procedimientos   de   solución   y   los   profesores   evaluadores  asignarán  puntos  según  el  avance  logrado  en  sus  respuestas.  Esta  jornada  de   trabajo   intenso   necesariamente   dejará   aprendizajes   de   gran   valor   en   los   alumnos   y   desarrollará  competencias  profesionales  en  los  docentes,  tales  como:  Organizar  y  animar   situaciones   de   aprendizaje.   Se   relacionan   con:   el   conocer,   a   través   de   una   disciplina   determinada,   los   contenidos   que   hay   que   enseñar   y   su   traducción   en   objetivos   de   aprendizaje;  trabajar  a  partir  de  las  representaciones  de  los  alumnos;  trabajar  a  partir  de   los   errores   y   los   obstáculos   en   el   aprendizaje;   construir   y   planificar   dispositivos   y   secuencias   didácticas   e   implicar   a   los   alumnos   en   actividades   de   investigación,   en   proyectos  de  conocimiento  (Perrenoud,  2007).    

Para   esta   4a   OEMEPS   se   podrán   incorporar   como   Fase   Piloto   a   la   Etapa   de   Escuela   exclusivamente,   alumnos   de   tercer   grado   primaria,   sumándose   a   los   trabajos   de   preparación  de  las  seis  categorías  establecidas  por  la  Convocatoria  del  evento  para  el  ciclo   escolar  2012-­‐2013,  desarrollando  como  parte  del  periodo  de  preparación,  las  actividades   relacionadas   con   la   resolución   de   problemas   que   se   plantean   en   este   Cuadernillo   de   3    


Cuadernillo de Entrenamiento Nivel Primaria

 

4ª OEMEPS 2013

 

Entrenamiento.   Los   alumnos   de   cuarto,   quinto   y   sexto   de   primaria,   y   los   tres   grados   de   secundaria,   podrán   participar   en   la   categoría   y   en   las   etapas   que   les   correspondan   de   acuerdo  con  las  bases  de  la  Olimpiada.    

Pensando  en  apoyar  a  los  profesores  en  la  preparación  de  los  estudiantes  que  participarán   en   los   distintos   momentos   de   la   Olimpiada,   se   ha   elaborado   este   Cuadernillo   de   Entrenamiento,   en   el   que   se   proponen   problemas   similares   a   los   que   los   alumnos   enfrentarán   en   cada   una   de   las   etapas   del   concurso   y   como   parte   de   los   temas   de   Fortalecimiento   de   Competencias   para   Mejorar   el   Desempeño   en   Secundaria1   propuestos   por  la  Secretaría  de  Educación  Pública  (SEP)  en  el  marco  de  la  Estrategia  Integral  para  la   Mejora   del   Logro   Educativo   (EIMLE).   Es   importante   que   el   maestro   dedique   un   tiempo   exclusivo  para  el  trabajo  con  los  alumnos  en  la  resolución  de  problemas.   Se  recomienda   destinar  al  menos  una  hora  a  la  semana.  La  metodología  de  trabajo  sugerida  es  la  misma   que   se   propone   en   los   programas   oficiales   correspondientes   a   la   asignatura   de   Matemáticas  para  la  Educación  Básica  (SEP,  2011c).      

En   un   ambiente   de   confianza   creado   por   el   maestro,   los   alumnos   deberán   abordar   los   problemas  con  las  herramientas  personales  de  que  disponen  e  intentar  encontrar,  sin  el   uso   de   la   calculadora,   en   cada   caso   al   menos   una   solución,   para   confrontar   posteriormente   con   el   resto   de   sus   compañeros   los   resultados   a   los   que   se   lleguen,   justificando   y   argumentando   paso   a   paso   cada   una   de   las   respuestas   dadas   a   los   cuestionamientos   que   se   les   plantean.   Con   la   finalidad   de   favorecer   la   consistencia   y   claridad   en   la   argumentación   que   hagan   los   alumnos,   es   importante   que   el   profesor   les   solicite   escribir   todas   las   ideas   que   se   les   ocurran   durante   el   proceso   de   resolución,   independientemente  de  si  los  llevaron  o  no  a  la  solución  final.    

El   profesor   previamente   deberá   resolver   los   problemas   que   propondrá   en   la   sesión   de   trabajo  o  revisar  las  soluciones  que  se  proponen  y  presentar  al  menos  una  solución  en  el   caso  de  que  los  alumnos  no  logren  encontrar  alguna.  Además,  es  necesario  que  durante  la   confrontación   de   soluciones,   organice   los   diferentes   resultados   a   los   que   arriben   sus   estudiantes   y   aproveche   el   momento   para   hacer   las   precisiones   convenientes   en   cuanto   a   conceptos,   definiciones   o   el   repaso   de   los   algoritmos   que   hayan   sido   necesarios   en   la   resolución  o  que  presentaron  alguna  dificultad  para  los  estudiantes.      

Algunos  de  los  problemas  incluidos  en  este  Cuadernillo  formaron  parte  de  los  exámenes   aplicados   en   la   edición   anterior   de   la   OEMEPS,   mismos   que   fueron   tomados   principalmente   de   Calendarios   Matemáticos,   de   Exámenes   y   Problemarios   de   la   Asociación   Nacional   de   Profesores   de   Matemáticas   (ANPM)   o   de   otras   Olimpiadas   de   Matemáticas.   Los   criterios   de   evaluación   presentados   son   una   propuesta   para   dar   idea   de   cómo  puede  dividirse  el  proceso  de  solución,  otorgando  puntos  a  cada  avance  parcial.                                                                                                                               1

  Línea   de   acción   de   la   Estrategia   Integral   para   la   Mejora   del   Logro   Educativo   (EIMLE),   que   tiene   como   objetivo   que   los   estudiantes   que   ingresan   a   la   secundaria   cuenten   con   una   herramienta   que   les   permita   consolidar   estrategias   básicas   para   la   comprensión   de   nuevos   aprendizajes   de   matemáticas   a   través   de   poner  en  juego  sus  conocimientos,  relacionar  la  información  que  se  le  proporciona,  desarrollar  estrategias   de  resolución  y  evaluar  sus  procedimientos.  (SEP,  2012)  

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JUSTIFICACIÓN     La   Cuarta   Olimpiada   Estatal   de   Matemáticas   en   Educación   Primaria   y   Secundaria   es   una   iniciativa   de   la   Secretaría   de   Educación   Jalisco   que   busca   promover   el   desarrollo   de   las   competencias   matemáticas   y   favorecer   el   gusto   e   interés   por   las   matemáticas   en   los   alumnos   de   Educación   Básica   de   la   entidad,   para   elevar   el   rendimiento   escolar,   considerando   los   resultados   de   la   Evaluación   Nacional   del   Logro   Académico   en   Centros   Escolares   (ENLACE)   y   el   Informe   del   Programa   Internacional   para   la   Evaluación   de   Estudiantes  (PISA).     La   4ª   OEMEPS   tiene   como   propósito   desarrollar   competencias   para   entender   y   resolver   problemas   a   partir   de   la   aplicación   del   conocimiento   en   alumnos   de   tercer   grado   (Fase   experimental),   cuarto,   quinto   y   sexto   grados   de   primaria   y   primero,   segundo   y   tercer   grados  de  secundaria,  a  través  de  exámenes  que  son  aplicados  en  cada  una  de  sus  Etapas:   de  Escuela,  de  Zona  Escolar,  de  Sector  Educativo  (Nivel  Primaria)  y  Estatal,  con  el  apoyo  de   problemarios  elaborados  por  especialistas  en  matemáticas.     La  evaluación,  a  diferencia  de  otras  acciones  emprendidas  para  este  fin,  toma  en  cuenta  el   avance  logrado  y  el  grado  de  desarrollo  de  las  competencias  matemáticas  mostradas  en   los  procedimientos  de  solución.       La  finalidad  del  uso  de  este  Cuadernillo  no  es  seleccionar  a  los  alumnos  más  competentes,   esa   función   le   corresponde   al   examen   de   la   Etapa   de   Escuela,   y   su   aplicación  será   gradual   con   respecto   a   la   dificultad   de   los   problemas   que   se   apliquen,   previa   selección   de   los   mismos.   El   objetivo   es   compartir   con   los   docentes   el   tipo   de   problemas   utilizados   como   parte   de   la   preparación   o   entrenamiento   de   los   alumnos,   recopilados   de   los   exámenes   de   otras   olimpiadas   y   que,   aunados   a   los   aportes   a   partir   de   búsquedas   en   Internet,   permitirán  crear  un  banco  de  problemas.  El  Cuadernillo  está  enfocado  a  la  preparación  o   entrenamiento  de  los  alumnos  que  participarán  en  la  4ª  OEMEPS.          

 

 

 

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INSTRUCTIVO  DE  PROCEDIMIENTOS  PARA  LA  APLICACIÓN  Y  EVALUACIÓN   DE  LOS  EXÁMENES  EN  LAS  ETAPAS  DE  ESCUELA  Y  DE  ZONA  ESCOLAR   a)

b)

c)

d) e) f)

g) h)

  Los  exámenes  que  se  aplicarán  en  cada  una  de  las  etapas  serán  suministrados  por  el   Comité   Organizador   del   evento,   así   como   una   propuesta   de   soluciones   y   criterios   de   evaluación.  Los  exámenes  constarán  de  cinco  problemas  y  se  podrán  resolver  por  los   alumnos  en  hasta  cuatro  horas.   Cada  problema  tendrá  un  valor  de  siete  puntos,  distribuidos  de  la  siguiente  manera:   uno   o   dos   puntos   por   el   resultado   correcto   del   problema   y  de   cinco   a   seis   puntos   más   por  los  procedimientos  de  solución  utilizados;  en  total,  siete  puntos  por  problema.  Los   puntos   se   asignarán   de   acuerdo   con   los   resultados   parciales,   el   avance   logrado   y   el   grado   de   desarrollo   de   las   competencias   matemáticas   mostradas   en   sus   procedimientos  de  solución  y  tomando  como  base  los  criterios  de  evaluación  de  cada   uno  de  los  problemas  de  los  exámenes,  mismos  que  serán  revisados  y  acordados  antes   de  la  aplicación.     Los   problemas   de   los   exámenes   pueden   tener   más   de   una   forma   de   resolverse,   las   soluciones  que  se  adjuntan  a  ellos  son  sólo  una  propuesta,  al  igual  que  sus  criterios  de   evaluación.   En   caso   de   que   sean   resueltos  por   los   alumnos  de   una   manera   distinta,   se   deberán  proponer  nuevos  criterios  de  evaluación.   Se   utilizará   un   código   de   registro   como   identificador   del   examen   de   cada   alumno,   asignado  en  el  momento  de  la  inscripción  en  la  etapa  correspondiente;  por  lo  tanto,   los  evaluadores  no  conocerán  la  identidad  del  alumno  durante  el  ejercicio.   Los   problemas   del   examen   deberán   ser   evaluados   por   un   jurado   integrado   por   al   menos  cinco  profesores  destacados  en  la  asignatura.   Cada   uno   de   los   miembros   del   jurado   evaluará   un   máximo   de   dos   problemas   y   cada   problema  deberá  ser  evaluado  por  al  menos  dos  jueces.  Por  ejemplo,  si  se  dispone  del   mínimo  de  jueces  (cinco)  y  los  llamamos  A,  B,  C,  D  y  E,  los  cinco  problemas  del  examen   pueden   ser   evaluados   así:   juez   A:   problemas   1   y   2;   juez   B:   problemas   2   y   3;   juez   C:   problemas  3  y  4;  juez  D:  problemas  4  y  5  y  juez  E:  problemas  5  y  1.     Los   alumnos   concursantes   podrán   utilizar   lápiz,   borrador,   sacapuntas,   juego   de   geometría   y   hojas   blancas,   pero   no   calculadora   u   otros   aparatos   electrónicos,   al   resolver  el  examen.   Los  dibujos  de  los  problemas  pueden  no  estar  a  escala,  por  lo  que  se  deben  considerar   los   datos   que   se   proporcionan   en   cada   caso.   Las   soluciones   no   deberán   basarse   en   las   medidas  que  el  alumno  tome  sobre  la  figura,  sino  en  los  datos  del  problema.            

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PROBLEMARIO     Problema  1   La  clase  de  español  duró  50  minutos  y  empezó  a  las  12:40  horas.  Exactamente  a  la  mitad   de  la  clase  nos  visitó  en  el  salón  el  Director  de  la  escuela.  ¿A  qué  hora  fue  eso?     Problema  2   Daniel  y  Laura  viven  en  un  edificio  de  25  pisos.  Laura  vive  14  pisos  arriba  de  Daniel.  Un  día   Daniel   salió   de   donde   vive   y   se   fue   por   la   escalera   para   visitar   a   Laura.   A   la   mitad   del   camino  iba  en  el  11°    piso.  ¿En  qué  piso  vive  Laura?     Problema  3   En  la  tienda  de  la  escuela  se  venden  lonches  durante  el  recreo,  antes  de  iniciar  la  venta   había  54  de  jamón,  65  de  pierna  y  48  de  panela.  Al  final  sobraron  7  lonches  de  jamón,  19   de  pierna  y  11  de  panela,  ¿cuántos  lonches  se  vendieron  en  total  durante  el  recreo?     Problema  4   Tenemos  dos  cadenas  con  165  eslabones  cada  una  y  otra  con  igual  número  de  eslabones   que  las  dos  primeras  juntas.  ¿Cuántos  eslabones  hay  en  total?     Problema  5   Quiero  escribir  en  el  pizarrón  una  palabra  de  5  letras,  una  de  6  letras,  una  de  7  letras  y  así   sucesivamente.  ¿Cuántas  letras  escribiré  para  formar  las  primeras  9  palabras?     Problema  6   Miguel   tiene   13   años   de   edad,   Juan   4   años   menos   que   Miguel   y   su   abuelo   tiene   2   años   más  que  9  veces  la  edad  de  Juan.  ¿Cuántos  años  tiene  el  abuelo?     Problema  7   La   maestra   Evangelina   quiere   repartir   9   dulces   a   cada   uno   de   sus   37   alumnos,   si   tiene   una   bolsa  con  550  dulces,  ¿cuántos  dulces  le  faltan  o  le  sobran  después  del  reparto?     Problema  8   Se  quiere  cercar  un  terreno  con  la  forma  que  se  muestra  en  la  siguiente  figura.  Si  se  sabe   que   todos   los   ángulos   son   de   90°   y   que   las   medidas   indicadas   están   en   metros,   ¿cuál   será   la  longitud  total  de  la  cerca?    

 

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Problema  9   Un  tren  de  mercancías  mide  63  metros  de  largo,  un  segundo  tren  mide  3  metros  menos   que  el  doble  del  primero.  ¿Cuántos  metros  miden  entre  los  dos?     Problema  10   En   una   bodega   había   128   cajas   de   galletas.   Se   han   vendido   36.   Las   cajas   que   quedan   en   la   bodega  pesan  8  kilogramos  cada  una.  ¿Cuántos  kilogramos  de  galletas  hay  en  existencia?     Problema  11   En  una  carrera,  la  niña  que  ganó  el  primer  lugar  corre  195  metros  por  minuto  y  el  niño  que   ganó  el  segundo  lugar  corre  176  metros  por  minuto.  ¿Cuántos  metros  les  separan  después   de  5  minutos  de  empezar  la  carrera?     Problema  12   Una   fotocopiadora   hace   22   copias   cada   minuto.   ¿Cuánto   costarán   todas   las   copias   que   puede  hacer  durante  tres  horas  de  fotocopiado  continuo  si  cada  copia  cuesta  dos  pesos?     Problema  13   Un  tinaco  lleno  contiene  560  litros  de  agua.  ¿Cuántos  segundos  tardarán  en  llenarlo  dos   llaves  que  descargan  dos  litros  y  tres  litros  de  agua  por  segundo  respectivamente?     Problema  14   Los   profesores   han   repartido   24   crayolas   a   cada   uno   de   los   42   alumnos   de   mi   escuela   y   aún  les  sobran  87  crayolas.  ¿Cuántas  crayolas  tenían  al  inicio  para  repartir?     Problema  15   En  una  canasta  había  88  huevos  y  al  caérsele  la  canasta  al  tendero  se  le  rompió  la  cuarta   parte  del  total  de  los  huevos.  ¿Cuántos  huevos  quedaron  sin  romper  para  su  venta?     Problema  16   Un  señor  contrata  a  cinco  obreros  por  cinco  días  de  trabajo.  ¿Cuánto  dinero  necesita  para   pagar   a   los  obreros  si  les  da  veinte  pesos  por  hora  a  cada  uno  y  cada  día  trabajan  ocho   horas?     Problema  17   A  Karina  le  gustan  mucho  los  cuentos.  Ella  lee  tres  cuentos  cada  martes  y  cada  jueves.  Los   sábados   lee   cuatro   cuentos   y   cada   uno   de   los   demás   días   de   la   semana   lee   sólo   dos   cuentos.  ¿Cuántos  cuentos  lee  en  una  semana?     Problema  18   En  una  encuesta  se  encontró  que  a  32  de  cada  100  alumnos  de  una  escuela  les  gusta  jugar   beisbol.  En  la  escuela  tienen  350  alumnos.  Calcula  a  cuántos  alumnos  de  esa  escuela  les   gusta  jugar  beisbol.     8    


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Problema  19   Carlos   y   Fernando   van   a   jugar   una   carrera   de   100   metros.   Con   sus   piernas   tan   largas,   Carlos  avanza  con  cada  paso  2  metros.  Fernando,  por  su  parte,  inventó  un  aparato  que  le   permite  avanzar   4   metros   con   un   solo   paso.   Si   los   dos   empiezan   al   mismo   tiempo   y   dan   el   mismo  número  de  pasos,  ¿con  cuántos  metros  de  ventaja  debe  empezar  Carlos  para  que   lleguen  juntos  a  la  meta?     Problema  20   En  el  dibujo  se  muestran  los  únicos  rectángulos  de  lados  enteros  que  tienen  área  igual  a  4   cm.   El   área   de   un   rectángulo   se   obtiene   de   multiplicar   uno   de   los   lados   verticales   por   uno   de  los  lados  horizontales.  Haz  una  lista  de  todas  las  posibles  medidas  de  los  rectángulos  de   lados  enteros  que  tengan  área  igual  a  48  cm2  

    Problema  21   En  la  siguiente  figura,  el  perímetro  de  cada  cuadrado  es  igual  a  la  suma  de  dos  de  los  lados   del  cuadrado  de  su  izquierda.  Si  el  lado  del  cuadrado  más  pequeño  es  de  4  m,  ¿cuánto  es   la  suma  de  todos  los  perímetros?  

  Problema  22   La  moneda  del  lejano  reino  de  Zulandia  es  el  Zu,  la  del  remoto  país  de  Zolatlán  es  el  Zo  y  la   moneda  del  gran  imperio  de  Zalanda  es  el  Za.  Un  Zu  es  igual  a  la  mitad  de  un  Zo.  Tres  Za  es   igual  a  la  mitad  de  un  Zu.  ¿A  cuántos  Za  equivale  un  Zo?     Problema  23   El   cuerpo   de   un   gusano   está   formado   por   6   círculos.   ¿De   cuántas   formas   diferentes   se   puede   colorear   si   3   de   los   círculos   deben   ser   blancos   y   3   deben   ser   grises?   La   figura   muestra  el  ejemplo  de  una  de  las  posibilidades,  encuentra  todas.  

 

 

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Problema  24   Iván   compró   este   año   escolar   tres   cajas   de   crayones   y   tenía   dos   crayones   que   le   sobraron   del   año   pasado.   Karla   compró   una   sola   caja   porque   tenía   12   crayones   que   le   sobraron   del   año   pasado.   Si   Iván   y   Karla   tienen   la   misma   cantidad   de   crayones.   ¿Cuántos   crayones   vienen  en  cada  caja?    

                                                                      Problema  25   Noventa  y  seis  chocolates  deben  repartirse  en  grupos  que  tengan  la  misma  cantidad,  sin   que  sobren  chocolates.  ¿De  cuántas  formas  diferentes  puede  hacerse  esto  si  cada  grupo   debe  tener  más  de  5  pero  menos  de  20  chocolates?     Problema  26   La  figura  mostrada  está  formada  por  4  cuadrados.  El  perímetro  del  cuadrado  I  es  16  m  y  el   área  del  cuadrado  II  es  36  m2.  Calcula  el  área  de  la  figura  formada.                 Problema  27   El  viejo  reloj  del  abuelo  se  retrasa  8  segundos  por  hora,  si  lo  puso  a  la  hora  exacta  a  las   9:00  de  la  noche  al  irse  a  dormir.  ¿Cuál  será  la  hora  correcta  al  despertarse  por  la  mañana   si  el  reloj  marcó  las  6:30  horas?     Problema  28   Cinco  pasteles  de  chocolate  cuestan  tanto  como  dos  de  manzana.  Un  pastel  de  manzana   cuesta   tanto   como   tres   donas.   ¿Cuántas   donas   cuestan   lo   mismo   que   diez   pasteles   de   chocolate?     Problema  29   En  una  alcancía  de  cochinito  sólo  hay  monedas  de  50  centavos  y  de  un  peso.  El  número  de   monedas   de   50   centavos   es   el   doble   del   número   de   monedas   de   un   peso.   Si   se   gastan   doce   monedas   de   cada   tipo,   ahora   la   cantidad   de   monedas   de   un   peso   es   la   tercera   parte   de   la   cantidad   de   monedas   de   50   centavos.   ¿Cuánto   dinero   había   inicialmente   en   la   alcancía?         10    


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Problema  30   Jorge   tiene   5   dulces   de   caramelo   de   distintos   colores:   Amarillo,   Verde,   Rojo,   Morado   y   Blanco;  y  tiene  también  4  chiclosos  de  diferentes  sabores:  Cajeta,  Fresa,  Limón    y    Naranja.   Quiere   llevar   a   la   escuela   2   dulces   y   3   chiclosos.   ¿De   cuántas   maneras   puede   hacer   su   selección?     Problema  31   Con  tres  piezas  de  madera:  una  cuadrada  de  1200  mm  de  perímetro  y  dos  rectangulares,   se   armó   un   cuadrado   como   se   muestra   en   la   figura.   El   perímetro   del   cuadrado   formado   con   las   tres   piezas   es   de   2012   mm.   ¿Cuál   es   la   pieza   que   tiene   mayor   área   de   los   dos   rectángulos?  

    Problema  32   El  número  2012  es  divisible  por  4  y  la  suma  de  sus  cifras  es  igual  a  5.  ¿Cuántos  números  de   cuatro  cifras  son  divisibles  por  4  y  la  suma  de  sus  cifras  es  5?       Problema  33   En  una  competencia  de  barcos  de  vela  hay  86  tripulantes  en  todos  los  barcos.  Los  barcos   de   una   sola   vela   tienen   tripulaciones   de   cinco   personas   y   los   de   dos   velas   de   siete   personas.  Indica  todas  las  posibles  combinaciones  de  barcos  que  puede  haber.     Problema  34   Los  cubos  y  cilindros  que  hay  en  la  balanza  pesan  en  total  500  gramos.  ¿Cuánto  pesa  un   cubo?                     Problema  35   En  un  juego  se  establecen  las  siguientes  reglas:  el  primer  jugador  gana  $  3.00,  cualquier   otro   jugador   gana   lo   que   ganó   el   anterior   jugador   más   $   5.00,   ¿cuánto   gana   el   décimo   jugador?     11    


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Problema  36   La  elaboración  de  un  juguete  típico  en  el  taller  de  Santa  Claus  requiere  de  una  hora  para   ensamblarlo,   35   minutos   para   decorarlo   y   cinco   minutos   para   empacarlo.   Si   Santa   Claus   dispone   de   300   ayudantes   para   realizar   el   trabajo,   ¿cómo   debe   distribuirlos   en   los   departamentos  de  ensamblaje,  decoración  y  empaquetado  de  manera  que  no  se  atrase  el   trabajo  en  ninguno  de  los  departamentos?     Problema  37   Si  el  cuadrado   mayor   (en   el   que   está   dibujada   la   estrella   de   ocho   puntas)   tiene   un   área   de   24  cm2,  ¿cuánto  mide  el  área  de  la  parte  sombreada?  

    Problema  38   La  mamá  de  Jaime  usa  café  regular  y  una  mezcla  que  contiene  la  mitad  de  moka  y  la  mitad   de  café  regular.  Si  ella  pone  cuatro  cucharadas  de  la  mezcla  con  moka  y  tres  cucharadas   de  café  regular  en  la  cafetera,  ¿cuál  es  la  fracción  de  café  regular  en  la  cafetera?     Problema  39   Cuando   un   trozo   de   papel   de   forma   cuadrada   se   dobla   verticalmente   por   la   mitad,   se   forma  un  rectángulo  de  39  cm.  de  perímetro.  ¿Cuál  es  el  área  del  cuadrado  original?     Problema  40   ¿Cuál   posición   de   las   manecillas   del   reloj   determina   el   menor   ángulo,   a   las   8:20,   a   las   12:20  o  a  las  13:30  horas?  Explica  por  qué.     Problema  41   En   la   siguiente   multiplicación,   las   letras   representan   dígitos   diferentes.   Encuentra   el   número  ABCDE.  Nota:  un  dígito  es  un  número  de  una  sola  cifra.  

  Problema  42   Una  serie   de   siete   libros   fue   publicada   durante   un   periodo   de   manera   que   se   publicará   un   libro  de  la  serie  cada  9  años.  Cuando  el  séptimo  libro  se  publicó,  la  suma  de  todos  los  años   de  publicación  era  13,601.  ¿En  cuál  año  se  publicó  el  primer  libro?      

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Problema  43   Encuentra  un  número  de  cuatro  dígitos  que  cumpla  las  siguientes  condiciones:  todos  los   dígitos   son   diferentes,   el   dígito   de   los   millares   es   el   triple   del   dígito   de   las   decenas,   el   número  es  impar  y  la  suma  de  los  dígitos  es  27.     Problema  44   Hugo   dobla   una   hoja   de   papel   cinco   veces.   Luego   hace   un   agujero   en   el   papel   doblado   como  se  muestra  en  la  figura,  y  desdobla  el  papel.  ¿Cuántos  agujeros  aparecen  en  el  papel   desdoblado?           Problema  45   Un   bombero   que   está   apagando   el   fuego,   está   parado   en   el   peldaño   de   la   mitad   de   la   escalera.  Sube  tres  peldaños,  pero  el  fuego  hace  que  baje  cinco  peldaños.  Vuelve  a  subir   siete   peldaños   para   extinguir   el   fuego   y   finalmente   sube   seis   peldaños   para   alcanzar   el   último  peldaño  de  la  escalera.  ¿Cuántos  peldaños  en  total  tiene  la  escalera?     Problema  46   El   diseño   muestra   dos   cuadrados   de   papel   sobrepuestos,   uno   de   lado   5   cm.   y   otro   de   lado   6   cm.   ¿Cuál   es   el   perímetro  de  la  figura  completa  formada?  (La  que  marca  la   línea  gruesa  del  contorno  del  diseño).         Problema  47   En  una  tienda  venden  tres  artículos  de  $  30.00  cada  uno  y   dos   artículos   de   $   40.00   cada   uno.   Encuentra   todas   las   cantidades  diferentes  de  dinero  que  puede  ganar  la  tienda   con  la  venta  de  uno,  varios  o  todos  los  artículos.     Problema  48   Tenemos   tres   cajas   y   tres   objetos;   una   moneda,   una   lápiz   y   un   cepillo   de   dientes.   Cada   caja  contiene  un  objeto  y  se  sabe  que:   • El  cepillo  de  dientes  está  a  la  derecha  de  la  caja  roja   • La  caja  verde  está  a  la  izquierda  de  la  caja  azul   • La  caja  roja  está  a  la  derecha  del  lápiz   • La  moneda  está  a  la  izquierda  del  cepillo  de  dientes   • ¿En  qué  caja  está  el  lápiz?           13    


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Problema  49   ¿Cuánto  vale  el  volumen  de  la  caja?                 Problema  50   Cristina  le  dice  a  su  amiga  que  hoy  cumple  19  años.  Pero  la  amiga  sabe  que  Cristina  le  está   quitando   a   su   edad   un   año   menos   que   la   cuarta   parte   de   su   verdadera   edad.   ¿Cuántos   años  cumple  hoy  realmente  Cristina?       Problema  51   Observa  las  balanzas  en  equilibrio.  ¿Cuánto  pesa  la  bola  negra?  Explica  cómo  obtienes  la   respuesta.  Nota:  las  bolas  pequeñas  grises  son  parte  de  las  pesas  y  no  tienen  peso  propio.    

  Problema  52   El  señor  Ye   y   la   señora   Zeta   quieren   nombrar   a   su   bebé   de   manera   que   las   iniciales   de   sus   dos   nombres   estén   en   orden   alfabético   y   que   no   tengan   letras   repetidas.   ¿De   cuántas   maneras  se  puede  hacer  esto?  Supongamos  que  no  hay  nombres  que  empiecen  con  ñ,  por   tanto,  se  consideran  26  letras.       Problema  53   Cuatro  amigos  están  de  vacaciones,  por  lo  que  decidieron  dar  un  paseo  en  “La  pista”,  un   circuito  para  bicicletas  que  mide  4000  metros  de  largo.  Si  Daniela  avanza  500  metros  en   un  minuto  y  Octavio  400  en  el  mismo  tiempo  y,  además,  Daniela  decide  darle  a  Octavio   una   ventaja   de   300   metros,   ¿quién   de   los   dos   llegará   primero   y   por   cuántos   metros   le   ganará  a  su  contrincante?     Problema  54   Lucas   recibe   de   parte   de   su   abuelo   cuatro   carritos   de   juguete   que   lo   hacen   brincar   de   contento   porque   le   fascinan   los   autos,   Octavio   y   Pamela   proponen   jugar   carreras.   Para   hacer   más   interesante   el   juego,   Daniela   dibuja   una   pista   de   tres   metros   y   entre   todos   deciden  las  reglas  del  juego:   • Cada  quien  impulsará  su  carrito  dos  veces;  la  primera  desde  la  marca  de  salida  y  la   segunda  será  a  partir  de  la  posición  a  la  que  llegó  con  el  primer  impulso.     • El  carrito  que  salga  de  la  pista  o  se  volteé,  se  elimina.   14    


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En  el  primer  impulso,  el  carrito  de  Daniela  recorrió      de  la  pista,  el  de  Pamela      de  la   !"

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pista,   el   de   Lucas       de   la   pista   y   el   de   Octavio   quedó   a       de   la   meta.   Desde   la   posición   en   ! ! que  quedaron,  les  dieron  el  segundo  impulso  y  cada  carrito  avanzó  un  poco  más:  el  carrito   ! ! de  Daniela,    del  total  de  la  pista;  el  de  Pamela,        del  total  de  la  pista;  el  de  Lucas  quedó  a   !

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a       de   la   meta   y   el   de   Octavio   avanzó   a       del   total   de   la   pista.   ¿En   qué   lugar   quedó   cada   !" ! carrito  después  del  segundo  impulso?     Problema  55   Octavio   espera   impaciente   la   llegada   de   sus   tres   amigos.   Su   mamá   va   a   hornear   galletas   y   quiere   que   le   ayuden.   Cuando   llegan,   van   directamente   a   la   cocina,   donde   la   mamá   de   Octavio  les  indica  que  la  primera  actividad  es  leer  la  receta  con  atención  para  saber  cuáles   son  los  ingredientes  y  la  cantidad  indicada  para  cocinar  las  galletas.     Galletas  de  nuez  con  chocolate   Ingredientes  para  preparar  80  galletas:   • 4  yemas  de  huevo   • 1  lata  de  leche  condensada   • 200  gms.  de  nuez  finamente  picada   • 1  cucharada  de  vainilla   • 400  gms.  de  mantequilla   ! • 3      tazas  de  harina  cernida   •

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       taza  de  azúcar  glas   ! !

       de  taza  de  chocolate  para  repostería   !   Modo  de  preparación:   1.  Bata  la  mantequilla  hasta  que  esté  a  punto  de  crema   2.  Añada  la  leche,  la  nuez,  la  vainilla,  las  yemas  y  la  harina   ! 3.  Extienda  la  pasta  hasta  que  quede  de        cm  de  grosor  y  corte  las  galletas  a  su  gusto   ! 4.  Colóquelas  en  una  charola  y  hornee  a  200°  durante  20  minutos   5. ��Deje  enfriar  y  decórelas  con  azúcar  glas  y  chocolate  derretido     Cuando  terminan  de  leer,  inmediatamente  quieren  empezar  a  preparar  las  galletas,  pero   les   gustaría   hornear   20   para   cada   uno,   y   20   para   la   mamá   de   Octavio.   Sin   embargo,   las   cantidades  que  aparecen  en  la  receta  son  para  80  galletas  y  de  acuerdo  con  sus  cálculos   ellos  tendrían  que  hacer  más  de  80.  Así  que  deciden  aumentar  la  cantidad  de  cada  uno  de   los  ingredientes  de  la  receta.     ¿Qué  harías  para  calcular  las  cantidades  necesarias  de  cada  ingrediente  para  preparar  100   galletas?         •

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Problema  56   Los   muchachos   miran   las   figuras   caprichosas   que   se   forman   en   el   piso   con   los   mosaicos   que  lo  recubren.    

  Daniela  llama   a   sus   amigos   para   decirles   que   le   gustaría   saber   el   perímetro   y   el   área   de   la   figura  que  se  forma  con  las  líneas  de  dos  mosaicos:  un  segmento  de  recta  y  dos  arcos.       Todos  ponen  atención  a  la  figura  que  Daniela  señala  y  deciden  apoyarla.     Cada   uno   de   los   mosaicos   que   están   observando   mide   20   cm.   de   lado   y   tiene   marcado   un   arco.   En   el   dibujo   de   arriba   se   muestra   la   figura   que   señala   Daniela,   los   arcos   se   trazan   apoyándose  en  el  vértice  C  y  en  el  vértice  A.     ¿Cómo  calcularías  el  área  y  el  perímetro  de  la  figura  sombreada?        

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SOLUCIONES     NOTA  IMPORTANTE:   Los   problemas   pueden   tener   más   de   una   forma   de   resolverse,   las   soluciones   que   se   presentan  son  sólo  una  propuesta,  al  igual  que  sus  criterios  de  evaluación.  En  caso  de  que   sean   resueltos   por   los   alumnos   de   una   manera   distinta,   se   deberán   proponer   nuevos   criterios  de  evaluación.     Problema  1   La  clase  de  español  duró  50  minutos,  el  director  nos  visitó  a  la  mitad  del  tiempo,  esto  es,  a   los  25  minutos  después  de  haber  iniciado,  50  entre  2  es  igual  a  25  minutos.     Como   la   clase   de   español   empezó   a   las   12:40   horas,   sumamos   25   minutos   a   la   hora   de   inicio,  por  lo  que  la  hora  en  que  nos  visitó  el  director  eran  las  13:05  horas.     Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  dividir  50  entre  dos  igual  a  25  minutos;  3  puntos  por   sumar  los  25  minutos  de  la  hora  de  inicio  de  la  clase  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.     Problema  2   Daniel   tiene   que   subir   14   pisos   para   visitar   a   Laura,   a   la   mitad   del   camino   lleva   subidos   siete  pisos  de  los  catorce  que  tiene  que  subir,  14  entre  2  =  7,  y  en  ese  momento  está  en  el   piso   once,   por   lo   que   después   de   subir   siete   más,   llegará     al   piso   18,   es   decir,   11   +   7   =   18,   que  es  el  piso  en  el  que  vive  Laura.  Si  restamos  11  menos  7  que  lleva,  11  –  7  =  4,  sabemos   que  Daniel  parte  del  cuatro  piso  y  sube  14,  por  lo  que  4  +  14  =  18,  llegará  al  piso  18,  donde   vive  Laura.     Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  hacer  14  entre  2  igual  a  los  7  pisos  que  lleva;  3  puntos   por  sumar  piso  11  +  los  7  que  lleva  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.  De  igual  manera,  3   puntos  por  hacer  14  entre  2  igual  a  7  pisos;  2  puntos  por  hacer  piso  11  menos  7  igual  al  4°   piso  donde  vive  Daniel  y  2  puntos  por  sumar  4  +  14  igual  al  18°  piso.         Problema  3   Solución  1   Podemos   obtener   el   total   de   lonches   que   había   al   principio,   sin   tomar   en   cuenta   la   variedad:  54  +  65  +  48  =  167  lonches     Cantidad  de  lonches  que  sobraron:  7  +  19  +  11=  37  lonches     Cantidad  de  lonches  que  se  vendieron  durante  el  recreo:  167  –  37  =  130  lonches     Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  obtener  el  total  de  lonches;  2  puntos  por  el  total  de   lonches  que  sobraron  y  2  puntos  por  calcular  correctamente  la  diferencia.       17    


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Solución  2   Calculamos  por  separado  las  ventas  de  cada  tipo  de  lonches:   De  jamón,  había  54,  sobraron  7,  por  lo  que  se  vendieron  54  –  7  =  47   De  pierna,  había  65,  sobraron  19,  por  lo  que  se  vendieron  65  –  19  =  46   De  panela,  había  48,  sobraron  11,  por  lo  que  se  vendieron  37,  48  –  11  =  37     Ahora  sumamos  el  total  de  lonches  vendidos  de  cada  tipo:  47  +  46  +  37  =  130     Por  lo  que  se  vendieron  130  lonches  en  total  durante  el  recreo.     Criterio  de  evaluación:  2  puntos  por  el  total  de  lonches  de  cada  tipo  vendidos,  de  jamón,   de   pierna   y   de   panela,   lo   que   da   6   puntos   y   1   punto   por   la   suma   correcta   de   los   tres   totales.     Solución  3   Podemos   calcular   la   cantidad   de   lonches   que   se   vendieron   de   cada   tipo   por   medio   de   una   tabla:   Lonche  de   Al  principio   Sobraron   Se  vendieron   Jamón   54   7   47   Pierna   65   19   46   Panela   48   11   37   Total   167   37   130     Criterio  de  evaluación:  Igual  al  de  la  solución  2.     Problema  4   Si  tenemos  dos  cadenas  con  165  eslabones  cada  una,  suman  165  +  165  =  330  eslabones,   tenemos  otra  con  igual  número  de  eslabones  que  las  dos  primeras  =  330  eslabones.     El  total  de  eslabones  de  las  tres  cadenas  es  de  330  +  330  =  660  eslabones.     Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  la  suma  del  número  de  eslabones  de  las  dos  primeras   cadenas;  2  puntos  por  decir  el  número  de  eslabones  de  la  tercera  cadena  y  2  puntos  por   hacer  correctamente  la  suma  del  número  de  eslabones  de  las  tres  cadenas.     Problema  5   Si  se  escribe  la  primera  palabra  de  5  letras,  la  segunda  es  de  6,  la  tercera  de  7,  la  cuarta  de   8,   la   quinta   de   9,   la   sexta   de   10,   la   séptima   de   11,   la   octava   de   12   y   la   novena   de   13;   entonces  la  suma  de  5+6+7+8+9+10+11+12+13  es  igual  a  81,  por  lo  tanto  el  resultado  es   81  letras.     Criterio   de   evaluación:   1   punto   por   decir   que  la   cuarta   palabra   tiene   8   letras;   1   punto   que   la   quinta   tiene   9   letras;   1   punto   que   la   sexta   10   letras;   1   punto   que   la   séptima   11   letras;   1   18    


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punto   que   la   octava   12   letras   y   1   punto   que   la   novena   13   letras;   con   lo   que   llevamos   6   puntos,  y  1  punto  por  la  suma  correcta.       Problema  6   Si  Miguel  tiene  13  años  y  Juan  cuatro  menos,  entonces  Juan  tiene  9  años,  este  resultado  lo   multiplicamos  por  nueve  y  obtenemos  81,  que  son  las  9  veces  de  la  edad  de  Juan  y  a  81  le   sumamos  dos  años  más,  para  obtener  los  83  años  que  tiene  el  abuelo.     Criterio   de   evaluación:   3   puntos   por   restar   13   –   4   igual   a   9   años   de   Juan;   2   puntos   por   multiplicar  9  por  9  igual  a  81  años  y  2  puntos  por  sumarle  dos  años  para  llegar  a  la  edad   del  abuelo.     Problema  7   Se  multiplican  los  9  dulces  que  recibirá  cada  alumno  por  37  que  son  el  total  de  alumnos,   de  lo  que  resulta  333,  que  son  los  dulces  que  se  repartirán;  esta  cantidad  se  resta  al  total   de  dulces  en  la  bolsa  que  son  550,  el  resultado  es  217,  por  tanto  sobran  217  dulces.     Criterio   de   evaluación:   3   puntos   por   multiplicar   9   por   37   igual   a   333   dulces   a   repartir;   3   puntos  por  restar  333  del  total  de  dulces  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.       Problema  8   Con  la  suma  de  las  medidas  horizontales  que  nos  proporcionan:  5  +  5  +  4  =  14,  obtenemos   la   medida   del   frente   del   terreno,   que   es   de   14   metros;   sumando   las   medidas   verticales   que   conocemos:   2   +   4   +   4   =   10,   obtenemos   la   medida   lateral   del   terreno,   que   es   de   10   metros;  la  suma  de  todos  los  lados  es:  4  +  2  +  5  +  4  +  5  +  4  +  14  +  10  =  48  metros.       También  se  podría  sumar:  14  +  10  +  14  +  10  =  48  metros.  

  Criterio   de   evaluación:   3   puntos   por   encontrar   la   medida   de   14   metros;   3   puntos   por   encontrar  la  medida  de  10  metros  y  1  punto  por  la  suma  correcta  de  todas  las  medidas.     Problema  9   Se   sabe   que   la   medida   del   primer   tren   es   de   63   metros.   El   segundo   mide   el   doble   del   primero  menos  3  metros,  2  veces  63  son  2  x  63  =  126  metros.     A  ese  resultado  se  restan  los  3  metros  menos  del  doble  del  primero,  126  –  3  =  123  metros.     A  esta  cantidad  123  metros,  se  le  suma  la  medida  del  primero,  123  +  63  =  186  metros.   19    


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La  medida  de  los  2  trenes  es  de  186  metros.     Criterio   de   evaluación:   2   puntos   por   multiplicar   2   x   63   igual   a   126   metros;   3   puntos   por   restarle   tres   metros   y   llegar   a   los   123   metros   que   mide   el   segundo   tren   y   2   puntos   por   hacer  la  suma  correcta  de  la  medida  de  los  dos  trenes.       Problema  10   Tenemos   como   referencia   inicial   128   cajas   de   galletas,   les   restamos   las   36   que   ya   se   vendieron,  128  –  36  =  92  cajas  de  galletas,  que  son  las  que  hay  en  existencia.     Sabemos  que  cada  caja  pesa  8  kg.,  entonces  obtenemos  el  peso  multiplicando  las  92  cajas   de  galletas  por  los  8  kg.  que  pesa  cada  una,  92  x  8  =  736  kg.     El  peso  total  de  las  galletas  es  de  736  kg.     Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  restar  128  –  36  igual  a  92  cajas  de  existencia;  3  puntos   por  multiplicar  por  los  8  kg  de  cada  caja  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.         Problema  11   La   niña   que   ganó   la   carrera   corre   195   metros   en   un   minuto,   después   de   5   minutos   de   empezar  la  carrera  lleva  recorridos  195  x  5  =  975  metros.  El  niño  que  quedó  en  segundo   lugar  corre  176  metros  en  un  minuto,  después  de  5  minutos  de  empezar  la  carrera  lleva   recorridos  176  x  5  =  880  metros.     Después   de   5   minutos   de   iniciar   la   carrera   la   niña   que   ganó   lleva   95   metros   de   ventaja,   porque  975  –  880  =  95  metros.     Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  multiplicar  195  por  5  igual  a  975  metros;  3  puntos  por   multiplicar   176   por   5   igual   a   880   metros   y   1   punto   por   la   resta   correcta   de   las   dos   distancias.     Problema  12   Se  puede  calcular  cuántas  copias  sacará  en  una  hora  multiplicando  22  copias  por  minuto   por  60  minutos  que  tiene  una  hora,  22  x  60  =  1320  copias  por  hora.    

Luego  se  multiplican  las  1320  copias  de  una  hora  por  las  tres  horas,  1320  x  3  =  3960  copias   en  tres  horas.    

Para  calcular  el  costo  de  las  3960  copias,  las  multiplicamos  por  los  dos  pesos  que  vale  cada   una.  3960  x  2  =  7920  pesos.    

El  costo  total  de  las  fotocopias  es  de  $  7,920.00     Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  obtener  el  número  de  copias  en  una  hora;  2  puntos   por  el  número  de  copias  en  tres  horas  y  2  puntos  por  el  costo  total  de  las  copias.   20    


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Problema  13   Si  sumamos  lo  que  aportan  las  dos  llaves,  resulta  que  descargan  cinco  litros  por  segundo.   Tenemos  que  el  tinaco  tiene  una  capacidad  de  560  litros,  entonces  podemos  dividir  560   entre  5,  lo  que  nos  da  112,  por  lo  tanto,  tarda  112  segundos  en  llenarse  el  tinaco.    

Criterio   de   evaluación:   3   puntos   por   sumar   las   descargas   de   las   dos   llaves;   3   puntos   por   dividir  los  560  litros  entre  la  descarga  conjunta  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.    

Problema  14   Tenemos   que   se   han   repartido   24   crayolas   a   cada   uno   de   los   42   alumnos,   entonces   multiplicamos  42  por  24  y  resulta  que  en  total  se  repartieron  1008  crayolas,  más  87  que   sobraron,  entonces,  el  total  con  que  se  inició  la  repartición  fue  1095  crayolas.    

Criterio   de   evaluación:   3   puntos   por   multiplicar   24   por   42   y   obtener   el   total   de   crayolas   repartido;  3  puntos  por  sumar  las  87  que  sobraron  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.       Problema  15   Si  se  rompió  la  cuarta  parte  de  los  huevos,  se  divide  88  entre  4,  de  lo  que  resulta  22,  ahora     sabemos   que   se   rompieron   22   huevos,   a   los   88   que   teníamos   le   restamos   estos   22   y   quedan  66  huevos  para  la  venta.    

Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  dividir  el  total  de  huevos  entre  cuatro;  3  puntos  por   restar  este  resultado  del  total  de  huevos  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.     Problema  16   Si   multiplicamos   los   20   pesos   que   reciben   los   obreros   por   hora   por   las   8   horas   que   trabajan  al  día,  tenemos  que  cobran  160  pesos  diarios  cada  uno,  esto  lo  multiplicamos  por   los  5  obreros  y  resulta  que  se  pagan  800  diarios,  que  multiplicados  por  los  5  días  que  los   contrató,  entonces  se  necesitan  4,000  pesos  en  total.    

Criterio   de   evaluación:   2   puntos   por   multiplicar   20   pesos   por   8   horas;   2   puntos   por   multiplicar   160   pesos   por   5   obreros;   2   puntos   por   multiplicar   por   5   días   de   trabajo   y   1   punto  por  el  resultado  correcto.         Problema  17   Podemos  hacer  una  tabla  con  los  días  de  la  semana  y  los  cuentos  que  se  leen  cada  día:   Lunes   Martes   Miércoles   Jueves   Viernes   Sábado   Domingo   Total   2   3   2   3   2   4   2   18    

Se  hace  la  suma  de  los  cuentos  de  todos  los  días  de  la  semana.    

En  total,  Karina  lee  18  cuentos  en  una  semana.    

Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  enumerar  los  siete  días  de  la  semana  con  la  cantidad   de  cuentos  leídos,  3  puntos  por  realizar  la  suma,  1  punto  por  el  resultado  correcto.     21    


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Problema  18   De   los   350   alumnos,   son   32   alumnos   que   les   gusta   jugar   beisbol   por   los   primeros   100   alumnos   de   la   escuela,   más   32   alumnos   por   el   segundo   ciento,   más   32   alumnos   del   tercer   ciento,  más  16  alumnos  por  los  50  restantes.  En  total,  32  +  32  +  32  +  16  =   112  alumnos   que  les  gusta  el  beisbol.     Criterio   de   evaluación:   1   punto   por   encontrar   cada   una   de   las   cuatro   cantidades   parciales,                               2  puntos  por  hacer  la  suma,  1  punto  por  el  resultado.     Problema  19   Carlos,  al  dar  pasos  de  2  metros,  necesita  50  pasos  para  alcanzar  100  metros.  Fernando,  al   dar  pasos  de  4  metros,  necesita  25  pasos  para  alcanzar  100  metros.     Como   Carlos   avanza   la   mitad   de   Fernando,   entonces   debe   empezar   a   la   mitad   de   la   carrera,  es  decir,  debe  empezar  con  50  metros  de  ventaja  para  llegar  juntos  a  la  meta.     Criterio  de  evaluación:  3  puntos  por  calcular  los  pasos  de  Carlos,  3  puntos  por  calcular  los   pasos  de  Fernando,  1  punto  por  el  resultado.     Problema  20   Como   el   área   se   calcula   con   la   multiplicación   de   los   lados   del   rectángulo   y   tenemos   un   área  de  48  cm2,  buscamos  números  enteros  que  multiplicados  den  48.     Estos  números  son:     48  cm  x  1  cm       24  cm  x  2  cm   16  cm  x  3  cm   12  cm  x  4  cm      8  cm  x  6  cm     Criterio  de  evaluación:  1  punto  por  cada  uno  de  los  primeros  tres  casos  correctos  que  se   propongan,  2  puntos  por  el  cuarto  caso  y  dos  puntos  por  el  quinto  caso.     Problema  21   El  perímetro  del  cuadrado  pequeño  es  4  m  +  4  m  +  4  m  +  4  m  =  16  m.  Por  lo  que  en  el   cuadrado  de  su  izquierda,  dos  de  sus  lados  miden  16  m.  y  su  perímetro  32  m.    

Así  mismo,  en  el  cuadrado  de  su  izquierda  dos  de  sus  lados  miden  32  m.  y  su  perímetro  64   m.  Por  último,  en  el  cuadrado  de  su  izquierda  dos  de  sus  lados  miden  64  m.  y  su  perímetro   128  m.    

La  suma  de  todos  los  perímetros  es  16  m  +  32  m  +  64  m  +  128  m  =  240  metros.     Criterio  de  evaluación:  1  punto  por  encontrar  el  perímetro  de  cada  cuadrado,  2  puntos  por   la  suma  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.   22    


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Problema  22   Si  un  Zu  es  la  mitad  de  un  Zo,  entonces  Zu  +  Zu  =  Zo,  es  decir,  dos  Zu  es  igual  a  un  Zo.   Como  tres  Za  es  la  mitad  de  un  Zu,  entonces  Za  +  Za  +  Za  +  Za  +  Za  +  Za  =  Zu,  es  decir,  seis   Za  es  igual  a  un  Zu.      

Por  lo  tanto,  doce  Za  es  un  Zo.    

Criterio   de   evaluación:   3   puntos   por   encontrar   el   valor   de   un   Zo   en   términos   del   Zu,   3   puntos   por   encontrar   el   valor   de   un   Zu   en   términos   del   Za   y   1   punto   por   el   resultado   correcto.     Problema    23   Las  formas  diferentes  de  colorear  el  gusano  se  enlistan  a  continuación:   1   11    

2  

 

3  

 

4  

 

5  

 

6   7  

 

8  

 

9  

 

10    

13  

   

14   15   16  

 

 

12  

17  

       

18   19  

   

20    

 

En  total  son  20  formas  diferentes  de  colorear  el  gusano.    

Criterio  de  evaluación:  1  punto  por  los  primeros  4  casos,  1  punto  por  los  siguientes  4  casos   (llegar  a  8),  1  punto  por  los  siguientes  4  casos  (llegar  a  12),  1  punto  por  los  siguientes  3   casos  (llegar  a  15),  1  punto  por  los  siguientes  3  casos  (llegar  a  18),  1  punto  por  los  últimos   2  casos  y  1  punto  por  decir  el  número  total  de  formas  diferentes  posibles.   23    


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Problema  24   Como  todas  las  cajas  tienen  la  misma  cantidad  de  crayones,  podemos  eliminar  una  caja  de   Iván  con  una  caja  de  Karla,  y  además  eliminamos  dos  crayones  de  cada  uno.    

 

Así  quedan  2  cajas  igual  a  10  crayones.    

 

Por  lo  que  una  caja  tiene  la  mitad  de  crayones.  

 

Una  caja  contiene  5  crayones.    

Criterio   de   evaluación:   2   puntos   por   eliminar   una   caja   y   dos   crayones   de   cada   uno,   2   puntos  por  decir  que  dos  cajas  son  igual  a  diez  crayones,  2  puntos  por  dividir  entre  dos  las   cajas  y  los  crayones  restantes  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.       Problema  25   Encontramos  los  divisores  de  96:   96,  48,  32,  24,  16,  12,  8,  6,  4,  3,  2,  1    

Dividimos  entre  cada  uno  de  ellos  para  poder  repartir  los  chocolates,  tomado  en  cuenta   que  si  tiene  menos  de  5  o  más  de  20  chocolates,  no  se  acepta.    

Dan  valores  menores  que  cinco:   96/96  =  1  no     96/48  =  2  no     96/32  =  3  no   96/24  =  4  no      

Dan  valores  entre  5  y  20:   96/16  =  6  SÍ     96/12  =  8  SÍ     96/8  =  12  SÍ     96/6  =  16  SÍ        

Dan  valores  mayores  que  20:   96/4  =  24  no   96/3  =  32  no   96/2  =  48  no   96/1  =  96  no    

Se   pueden   repartir   de   4   maneras   diferentes   con   grupos   de   más   de   5   y   menos   de   20   chocolates.    

Criterio  de  evaluación:  2  puntos  por  encontrar  los  divisores  de  96,  1  punto  por  calcular  los   casos   en   que   da   menor   que   cinco,   1   punto   por   calcular   los   casos   en   que   da   mayor   que   veinte,  2  puntos  por  encontrar  los  casos  entre  5  y  20  chocolates  y  1  punto  por  el  resultado   correcto.   24    


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Problema  26   Si  el  perímetro  del  cuadrado  I  es  16  m.  cada  uno  de  sus   lados  mide  16  /  4  =  4  m.  y  su  área  es  4  x  4  =  16  m2.    

Como   el   área   del   cuadrado   II   es   36   m2,   entonces   cada   lado  mide  6  m.  porque  6  x  6  =  36.    

Conociendo   la   medida   de   los   lados   del   cuadrado   I   y   II,   podemos   conocer   la   medida   del   lado   del   cuadrado   III,   esto  es  4  +  6  =  10  m.  y  su  área  es  10  x  10  =  100  m2.    

Conociendo  la  medida  de  los  lados  del  cuadrado  II  y  III,  podemos  conocer  la  medida  del   cuadrado  IV,  esto  es  6  +  10  =  16  m.  y  su  área  es  16  x  16  =  256  cm2.    

El  área  total  de  la  figura  formada  es:   16  +  36  +  100  +  256  =  408  m2    

Criterio   de   evaluación:   1   punto,   por   el   área   del   cuadrado   I,   1   punto,   por   el   lado   del   cuadrado  II,    1  punto,  por  el  lado  del  cuadrado  III,  1  punto,  por  el  área  del  cuadrado  III,  1   punto,  por  el  lado  del  cuadrado  IV,  1  punto,  por  el  área  del  cuadrado  IV,  1  punto,  por  el   resultado  correcto.     Problema  27   De  las  9  de  la  noche  a  las  6:30  de  la  mañana  transcurrieron  9  horas  y  treinta  minutos.    

Como  se  retrasa  8  segundos  por  hora,  en  9  horas  se  retrasa  8  x  9  =  72  segundos,    más  4   segundos   por   la   media   hora   restante,   en   total   se   retrasa   72   +   4   =   76   segundos,   lo   que   equivale  a  1  minuto  y  16  segundos.    

Por  lo  que  si  al  despertarse  por  la  mañana  marcó  las  6:30  horas,  la  hora  correcta  era  las   6:31  con  16  segundos.    

Criterio  de  evaluación:  2  puntos,  por  calcular  el  tiempo  transcurrido  en  el  reloj,  1  punto,   por  calcular  los  72  segundos  en  9  horas,    1  punto,  por  los  4  segundos  de  la  media  hora,  1   punto,   por   calcular   las   76   segundos   de   retraso   total,   1   punto,   por   convertirlo   a   1   minuto   y   16  segundos,  1  punto,  por  calcular  la  hora  correcta.     Problema  28   Si   cinco   pasteles   de   chocolate   cuestan   tanto   como   dos   de   manzana,   entonces,   Diez   pasteles  de  chocolate  cuestan  tanto  como  cuatro  de  manzana.    

Como  un  pastel  de  manzana  cuesta  tanto  como  tres  donas,  entonces,  Cuatro  pasteles  de   manzana  cuestan  tanto  como  doce  donas.    

Por  lo  tanto,  diez  pasteles  de  chocolate  cuestan  lo  mismo  que  doce  donas.    

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Criterio  de  evaluación:  3  puntos,  por  calcular  que  diez  pasteles  de  chocolate  cuestan  tanto   como  cuatro  de  manzana,  3  puntos,  por  calcular  que    cuatro  de  manzana  cuesta  lo  mismo   que  doce  donas,  1  punto,  por  el  resultado  correcto.     Problema  29   Podemos  probar  el  número  de  monedas  con  la  ayuda  de  una  tabla.   Monedas  de  un  peso   Menos  12  monedas   Menos  12   Monedas  de   (mitad  de  las  de  50   gastadas  de  50   monedas  gastadas   50  centavos   centavos)   centavos   de  un  peso   40   20   28   8   42   21   30   9   44   22   32   10   46   23   34   11   48   24   36   12     Se  observa  que  cuando  se  tienen  48  monedas  de  50  centavos,  hay  24  monedas  de  un  peso   (la   mitad)   y   al   gastarse   12   monedas   de   cada   tipo,   quedan   el   triple   de   monedas   de   50   centavos,  36,  que  de  a  peso,  12.  Por  lo  que  la  cantidad  de  dinero  que  había  inicialmente   en   el   cochinito   era   de   24   pesos   por   48   monedas   de   50   centavos,   más   24   pesos   en   monedas  de  a  un  peso,  en  total  48  pesos.     Criterio  de  evaluación:  2  puntos,  por  construir  la  tabla,  2  puntos,  por  probar  con  algunas   cantidades,  2  puntos,  por  encontrar  el  número  de  monedas  que  había  en  el  cochinito,  y             1  punto,  por  el  resultado  correcto.     Problema  30   Llamemos  a  los  dulces  de  caramelo  por  sus  iniciales:   A  =  Amarillo,  V  =  verde,  R  =  Rojo,  M  =  Morado,  B  =  Blanco   Y  a  los  chiclosos:   C  =  Cajeta,  F  =  Fresa,  L  =  Limón,  N  =  Naranja     Si  escoge  2  dulces  podría  hacerlo  así:     1   A   V     2   A   R     3   A   M     4   A   B     5   V   R     6   V   M     7   V   B     8   R   M     9   R   B     10   M   B     De  diez  formas  diferentes   26    


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Si  escoge  tres  chiclosos  lo  podría  hacer  así:     1   C   F   L     2   C   F   N     3   C   L   N     4   F   L   N     De  cuatro  formas  diferentes     Si  escoge  2  dulces  y  3  chiclosos  podría  hacerlo  de  cuatro  maneras  por  cada  una  de  las  diez   formas  de  escoger  2  dulces,  es  decir,  de  40  formas  diferentes.     Criterio  de  evaluación:  3  puntos,  por  encontrar  las  diez  formas  de  escoger  dos  dulces,              2   puntos,   por   encontrar   las   cuatro   formas   de   escoger   tres   chiclosos,   1   punto,   por   relacionar   los  dos  resultados,  y  1  punto,  por  el  resultado  correcto.     Problema  31   La  pieza  cuadrada  tiene  1200  mm.,  de  perímetro,  por  lo  que  cada  uno  de  sus  lados  mide   1200  /  4  =  300  mm.     El  perímetro  del  cuadrado  formado  por  las  tres  piezas  tiene  un  perímetro  de  2012  mm.,   por  lo  que  cada  uno  de  sus  lados  mide  2012  /  4  =  503  mm.     Con  estas  medidas  podemos  calcular  las  medidas  de  los  lados  de  las  tres  piezas:   El   lado   del   cuadrado   formado   por   las   tres   piezas   que   mide   503   mm.,   está   formado   por   los   segmentos   ab   y   bc,  como  bc  mide  300  mm.,  entonces  ab  mide     503  –  300  =  203  mm.     De  la  misma  manera  procedemos  con  los  lados  cg  y  eg,   obteniendo:  cd  =  300  mm.,  dg  =  203,  ef  =  203  mm.,  fg   =  300  mm.,  como  se  muestra  en  la  figura.     El  área  del  rectángulo  II  es  203  x  503  =  102  109  mm2     El  área  del  rectángulo  III  es  de  300  x  203  =  60  900  mm2     Si  restamos  las  dos  áreas  obtenemos  cuál  es  la  mayor:   102  109  –  60  900  =  41  209  mm2,  por  lo  que  el  rectángulo  II  es  mayor  que  el  rectángulo  III.     Criterio   de   evaluación:   1   punto,   por   encontrar   la   medida   de   los   lados   del   cuadrado   I,                     1  punto,  por  encontrar  la  medida  de  los  lados  del  cuadrado  formado  por  las  tres  piezas,             1  punto,    por  encontrar  la  medida  de  los  segmentos  de  203  mm.,  1  punto,  por  calcular  la   medida  del  área  del  rectángulo  I,  1  punto,  por  encontrar  la  medida  del  rectángulo  II,      1   punto,  por  hacer  la  resta  de  las  dos  áreas,  1  punto,  por  el  resultado  correcto.   27    


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Problema  32   El  número  2012  es  divisible  por  4  y  la  suma  de  sus  cifras  es  igual  a  5.  ¿Cuántos  números  de   cuatro  cifras  es  divisible  por  4  y  la  suma  de  sus  cifras  es  5?     La  forma  de  sumar  5  con  cuatro  dígitos  es:   Suman  5   Se  pueden  formar:   5  +  0  +0  +  0   5000   4  +  1  +  0  +  0     1004,  1040,  1400,  4001,  4010,  4100   3  +  2  +  0  +  0   2003,  2030,  2300,  3002,  3020,  3200   1  +  1  +  3  +  0   1013,  1031,  1103,  1130,  1301,  1310,  3011,  3101,3110   1  +  2  +  2  +  0     1022,  1202,  1220,  2012,  2021,  2102,  2120,  2201,  2210   1  +  1  +  1  +  2   1112,  1121,  1211,  2111    

Y  de  ellos,  los  que  son  divisibles  entre  4  son:  5000,  1004,  1040,  1400,  4100,  2300,  3020,   3200,  1220,  2012,  2120,  1112    

Son  12  números  de  4  dígitos  que  sus  cifras  suman  5  y  son  múltiplos  de  4.    

Criterio   de   evaluación:   1   punto,   por   encontrar   las   maneras   en   que   los   dígitos   de   cuatro   cifras   pueden   sumar   cinco,   1   punto,   por   cada   siete   cantidades   de   cuatro   dígitos   que   sumen  cinco  encontradas,  1  punto,    por  el  resultado  correcto.     Problema  33   Podemos  auxiliarnos  de  una  tabla  y  probar  con  las  diferentes  combinaciones   Barcos  con  7   Número  de   Faltan  por   Barcos  de  5   Número  de   Faltan  por   tripulantes   tripulantes   repartir   tripulantes   tripulantes   repartir   1   7   79   15   75   4   2   14   72   14   70   2   3   21   65   13   65   0   4   28   58   11   55   3   5   35   51   10   50   1   6   42   44   8   40   4   7   49   37   7   35   2   8   56   30   6   30   0   9   63   23   5   20   3   10   70   16   3   15   1   11   77   9   1   5   2   12   84   2   0   0   2    

Las   únicas   dos   combinaciones   en   las   que   se   pueden   repartir   a   los   86   tripulantes   en   barcos   con  5  y  barcos  con  7  tripulantes  son:   3  barcos  con  7  tripulantes  y  13  barcos  con  5  tripulantes,  en  total  86  tripulantes.   8  barcos  con  7  tripulantes  y  6  barcos  con  5  tripulantes,  en  total  86  tripulantes.    

Criterio   de   evaluación:   3   puntos,   por   completar   la   tabla,   3   puntos,   por   señalar   las   combinaciones  posibles,  1  punto,  por  el  resultado  correcto.   28    


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Problema  34   Los  cubos  y  los  cilindros  pesan  en  total  500  gramos,  se  observa  que  hay  una  pesa  de  20   gramos,  que  sumados  al  peso  de  los  cubos  y  los  cilindros  da  un  peso  total  de  500  +  20  =   520  gramos,  la  balanza  está  en  equilibrio,  por  lo  que  la  mitad  del  peso  total  deberá  estar  a   cada  lado  de  la  balanza,  por  lo  que  en  cada  lado  de  la  balanza  hay  520  /  2  =  260  gramos.     En   el   lado   izquierdo   hay   3   cubos   y   1   cilindro,   en   el   lado   derecho   hay   2   cubos,   2   cilindros   y   una  pesa  de  20  gramos.     Podemos  eliminar  2  cubos  de  cada  lado  y  un  cilindro  de  cada  lado,  quedando  así:    

  Se  observa  que  del  lado  izquierdo  de  la  balanza  queda  un  cubo  que  pesa  lo  mismo  que  un   cilindro  más  los  20  gramos  que  están  a  la  derecha  de  la  balanza.     Por   lo   que   un   cubo   pesa   20   gramos   más   que   un   cilindro.   Podemos   proponer   el   peso   de   cada  cubo  y  del  cilindro  (con  20  gramos  menos  que  el  cubo):   Peso   Izquierda  de  la  balanza   Derecha  de  la  balanza     Cubo   Cilindro   3  cubos   Cilindro   Total   2  Cubos   2  Cilindros   Pesa   Total   40   20   120   20   140   80   40   20   140   50   30   150   30   180   100   60   20   180   60   40   180   40   220   120   80   20   220   70   50   210   50   260   140   100   20   260     Criterio   de   evaluación:   1   punto,   por   determinar   que   el   peso   total   es   de   520   gramos,                         1  punto,  por  repartir  el  peso,  260  gramos  en  cada  lado  de  la  balanza,  1  punto,  por  eliminar   los   cubos   y   cilindros   en   ambos   lados   de   la   balanza,   1   punto,   por   determinar   que   la   diferencia   de   peso   entre   un   cubo   y   un   cilindro   es   de   20   gramos,   2   puntos,   probar   con   diferentes  pesos  para  el  cubo  y  el  cilindro,  1  punto,  el  resultado  correcto.     Problema  35   Solución  1   Jugador   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   Ganancia   3   8   13   18   23   28   33   38   43   48     El  décimo  jugador  gana  $  48.00   29    


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Criterio  de  evaluación:  3  puntos  si  calcula  la  ganancia  con  hasta  3  jugadores,  3  puntos  si   hace  la  tabla  completa  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.         Solución  2   Observamos   que   cada   jugador   gana   $   5.00   más   que   el   anterior,   excepto   el   primero   que   gana  $  3.00,  la  diferencia  es  de  $  2.00,  si  multiplicamos  el  número  del  jugador  por  5  y  le   restamos   2,   que   es   la   diferencia,   obtenemos   su   ganancia.   Entonces,   el   jugador   número   10   gana  5  por  10  menos  2,  igual  a  $  48.     Criterio  de  evaluación:  2  puntos  si  observa  que  hay  que  multiplicar  por  cinco  el  número  de   jugadores   para   obtener   la   ganancia   acumulada,   2   puntos   si   indica   que   para   el   primer   jugador  hay  que  restar  dos,  2  puntos  por  calcular  la  ganancia  para  el  décimo  jugador  y  1   punto  por  el  resultado  correcto.         Problema  36   Santa   Claus   necesita   asignar   los   ayudantes   de   manera   proporcional   al   tiempo   que   se   emplea   en   cada   juguete.   Completar   cada   juguete   requiere   de   100   minutos:   60   de   ensamblaje,  35  de  decoración  y  5  de  empacado.       Por  lo  tanto,  el  departamento  de  ensamblaje  requiere  60%  de  los  ayudantes:  300(60%)  =   180.       El  departamento  de  decoración,  el  35%;  300(35%)  =  105     Y  el  departamento  de  empacado,  el  5%;  300(5%)  =  15     Se  deben  distribuir  180  ayudantes  al  ensamblaje,  105  a  la  decoración  y  15  al  empacado.     Criterio   de   evaluación:   1   punto   si   se   calcula   el   tiempo   total   requerido   por   un   juguete,   2   puntos   por   calcular   el   número   de   ayudantes   para   ensamblaje,   2   puntos   por   calcular   el   número   de   ayudantes   para   decoración   y   2   puntos   por   calcular   el   número   de   ayudantes   para  empacado.         Problema  37   Cada   cuadrito   tiene   un   área   de   1/16   de   los   24   cm2,   es   decir,   24/16   =   1.5   cm2   y   cada   triángulo  sombreado  tiene  un  área  entonces  de  1/32  de  los  24  cm2,  es  decir  24/32  =  0.75   cm2.           Son   ocho   triángulos   de   las   puntas   de   la   estrella   y   cuatro   más   que   forman   el   cuadrado   sombreado  del  centro.       En   total   los   12   triángulos   sombreados   determinan   12/32   o   reduciendo,   3/8   o   en   decimales,  0.375  cm2  de  los  24  cm2,  que  dan  un  área  sombrada  de  24(3/8)  =  72/8  =  9  cm2.       30    


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Criterio  de  evaluación:  2  puntos  por  decir  que  cada  cuadrito  es  1/16  o  que  cada  triángulo   es   1/32   del   área   total,   2   puntos   por   decir   que   el   área   sombreada   es   12/32   o   3/8   del   total,   2   puntos   por   calcular   el   área   que   corresponde   a   lo   sombreado   del   total   de   24   cm2   y   1   punto  por  el  resultado  correcto.         Problema  38   Dado  que  la  mezcla  con  moka  tiene  la  mitad  de  café  regular,  las  cuatro  cucharadas  de  la   mezcla  contienen  el  equivalente  a  2  cucharadas  de  café  regular.  Estas  dos  cucharadas  más   las  tres  cucharadas  de  café  regular  que  se  sirven  completan  cinco  cucharadas  totales  de   café  regular  en  la  cafetera.     Por  lo  tanto,  la  fracción  de  café  regular  es  5/7.     Criterio   de   evaluación:   3   puntos   por   decir   que   las   cuatro   cucharadas   de   la   mezcla   equivalen   a   dos   de   de   café   regular,   3   puntos   por   decir   que   son   cinco   de   las   siete   cucharadas   de   café   regular   y   1   punto   por   escribir   la   fracción   que   corresponde   al   resultado   correcto.         Problema  39   Al  doblar  el  cuadrado  por  el  eje  vertical  a  la  mitad,  se  forma  un  rectángulo  en  el  que  dos   de  sus  lados  son  los  lados  originales  del  cuadrado  y  los  otros  dos  miden  la  mitad  del  lado   del  cuadrado,  por  lo  que  el  perímetro  del  rectángulo  será  tres  veces  el  lado  del  cuadrado   original.     Como  se  indica  que  es  de  39  cm.,  quiere  decir  que  el  lado  del  cuadrado  es  39/3  =  13  cm.  y   por  lo  tanto  el  área  del  cuadrado  original  es  13(13)  =  169  cm2.     Criterio   de   evaluación:   2   puntos   por   decir   que   dos   lados   del   rectángulo   formado   miden   lo   mismo  y  dos  la  mitad  del  lado  del  cuadrado,  2  puntos  por  decir  que  el  perímetro  es  tres   veces   el   lado   del   cuadrado,   2   puntos   por   calcular   la   medida   del   lado   del   cuadrado   y   1   punto  por  calcular  el  área  del  cuadrado  y  decir  el  resultado  correcto.         Problema  40   La  manecilla  de  las  horas  se  mueve  30˚  cada  hora,  lo  que  equivale  a  5˚  cada  10  minutos.  La   manecilla  de  los  minutos  se  mueve  30˚  cada  5  minutos.     A  las  8:20  horas,  la  manecilla  de  las  horas  ha  pasado  10˚  del  8;  por  lo  tanto  el  ángulo  entre   las  dos  manecillas  es  4  (30˚)  +  10˚  =  120°  +  10°  =  130˚     A  las  12:20  horas,  el  ángulo  entre  las  dos  manecillas  es  4  (30˚)    –  10˚  =  120°  –  10°  =  110˚     A  las  1:30  horas,  el  ángulo  entre  las  manecillas  es  5  (30˚)  –  15˚  =  150°  –  15°  =  135°     Por  lo  tanto,  el  menor  ángulo  es  de  110°  y  corresponde  a  las  12:20  horas.   31    


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Criterio  de  evaluación:  1  punto  por  decir  la  equivalencia  en  grados  del  movimiento  de  la   manecilla  de  las  horas,  1  punto  por  decir  la  equivalencia  del  movimiento  de  la  manecilla   de  los  minutos,  2  puntos  por  calcular  los  tres  ángulos  diciendo  sólo  cuántas  veces  son  los   30°  (120°,  120°  y  150°),  2  puntos  más  si  se  calculan  los  tres  ángulos  sumando  o  restando   los  5°  por  cada  10  minutos  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.         Problema  41  

  Debido   a   que   al   multiplicar   la   primer   cifra   por   4,   entonces   A   debe   ser   un   número   par   y   no   puede  ser  mayor  a  2  porque  el  resultado  de  la  multiplicación  sería  de  6  cifras,  por  lo  que  A   =  2.    

Para  obtener  A  =  2  se  multiplica  4  X  E.  Entonces  E  puede  ser  3  u  8,  pero  como  ya  sabemos   el  valor  de  A,  al  multiplicar  en  el  otro  extremo  4  x  A  =  8,  4  x  2  =  8,  entonces  E  =  8.    

Para   obtener   el   valor   de   B   consideramos   que   al   multiplicar   4   X   B   no   podemos   tener   excedente  de  10  para  no  alterar  el  valor  de  E,  por  lo  que  puede  ser  1  o  2,  pero  2  es  el  valor   de  A,  así  que  B  =  1.    

El  valor  de  D  lo  obtenemos  de  multiplicar  4  x  D  y  donde  el  resultado  tiene  que  coincidir   con  B  =  1,  por  lo  que  4  X  7  =  28,  más  3  que  llevamos  =  31,  por  lo  que  D  =  7.   El  valor  de  C  se  obtiene  de  4  x  C  más  3  que  llevamos,  4  X  9  =  36  más  3  igual  a  39,    C  =  9.    

Así  que  21978  x  4  =  87912  y  el  número  ABCDE  es  21978.    

Criterio  de  evaluación:  2  puntos  si  encuentra  el  valor  de  A,  1  punto  por  encontrar  el  valor   de   E,   1   punto   por   hallar   el   valor   de   B,   1   punto   por   el   valor   de   D,   1   punto   por   el   valor   de   C,   en  cada  uno  de  los  casos  sólo  se  darán  los  puntos  si  prueba  los  valores  posibles  o  explica   cómo  los  encontró  y    1  punto  por  el  resultado  correcto.         Problema  42   Dado   que   la   publicación   ocurre   a   intervalos   regulares   de   9   años,   una   forma   de   aproximación  es  determinar  la  media  de  los  años,  para  lo  que  dividimos  13,601  entre  7,   obteniendo  el  año  de  1943.    

El   primer   año   de   publicación   será   tres   periodos   antes   de   este   valor,   es   decir   3   x   9   =   27   años,  o  sea,  27  años  antes  de  1943.    

Por  lo  que  el  año  en  que  se  publicó  el  primer  libro  es:  1943  –  27  =  1916    

Criterio  de  evaluación:  2  puntos  por  calcular  el  año  medio  de  las  publicaciones,  2  puntos   por   decir   el   número   de   años   que   hay   desde   la   primera   publicación   y   el   año   medio,   2   puntos  por  calcular  el  año  de  la  primera  publicación  y  1  punto  por  el  resultado  correcto.       32    


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Problema  43   El  dígito  de  las  decenas  sólo  puede  ser  1,  2  o  3,  ya  que  el  de  los  millares  debe  ser  el  triple,   es  decir,  3,  6  o  9.      

Si   se   tomara   el   2   para   las   decenas,   el   dígito   de   los   millares   sería   6   y   tendríamos   una   suma   parcial   de   8,   lo   que   dejaría   una   suma   de   19   entre   los   dos   dígitos   faltantes,   lo   que   es   imposible   de   obtener   con   dos   dígitos,   por   lo   que   se   descarta   esta   opción   y   con   mayor   razón  la  del  dígito  1.      

Tenemos  entonces  que  el  dígito  de  las  decenas  es  3  y  el  de  los  millares  es  9,  cuya  suma  es   12  y  deja  15  unidades  para  repartir  entre  el  dígito  de  las  unidades  y  el  de  las  centenas.      

Las  opciones  para  las  unidades  y  las  centenas  son:   a) 9   y   6,   que   se   descarta   porque   el   9   ya   está   considerado   y   los   dígitos   deben   ser   diferentes.   b) 8  y  7,  que  es  la  otra  opción  se  acepta.    

Como   se   pide   que   el   número   sea   impar,   el   7   debe   corresponder   a   las   unidades   y   el   8   a   las   centenas.    

Resultando  el  número  9837.    

Criterio  de  evaluación:  2  puntos  por  encontrar  que  el  dígito  de  las  decenas  es  tres,  1  punto   por  encontrar  que  el  dígito  de  los  millares  es  nueve,  2  puntos  por  encontrar  que  el  dígito   de  las  unidades  es  siete,  1  punto  por  encontrar  que  el  dígito  de  las  centenas  es  ocho  y  1   punto  por  el  resultado  correcto.         Problema  44   Al  desdoblar  cada  sección  se  obtiene  el  doble  de  agujeros  que  la  vez  anterior,  así:   1,  2,  4,  8,  12,  16,  32,  habrá  32  agujeros.             Criterio  de  evaluación:  1  punto  por  empezar  la  serie,  2  puntos  por  llegar  al  16,  2  puntos   por  llegar  al  32,  1  punto  determinar  que  hay  un  hoyo  por  cada  cuadrito  y  1  punto  por  el   resultado  correcto.     Problema  45   El  bombero  está  parado  a  la  mitad,  sube  3  pero  baja  5,  sube  7  y  sube  6,  y  está  al   borde  de   la  escalera,  por  lo  que:  3  –  5  +  7  +  6  =  11  peldaños  en  cada  mitad,  11  +  11  =  22,  más  el   peldaño  en  el  que  está  parado  a  la  mitad  de  la  escalera,  por  lo  tanto  la  escalera  tiene  23   peldaños.  

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Criterio  de  evaluación:  1  punto  por  ubicar  al  bombero  en  la  mitad,  1  punto  por  llegar  al    -­‐2,   1  punto  por  llegar  al  5,  1  punto  por  llegar  al  11,  2  puntos  por  multiplicar  por  2  y  1  punto   por  el  resultado  correcto.     Problema  46   El  cuadrado  menor  tiene  dos  lados  completos  de  5  cm.,  un   lado  de  5  –  2  =  3  cm.  y  otro  lado  de  5  –  1  =  4cm.     El  cuadrado  mayor  tiene  dos  lados  completos  de  6  cm.,  un   lado  de  6  –  2  =  4  cm.  y  otro  lado  de  6  –  1  =  5  cm.     El  perímetro  del  contorno  de  la  figura  es  5  +  5  +  4  +  3  +  6  +  6   +  5  +  4  =  38  cm.     Criterio   de   evaluación:   1   punto   por   determinar   los   lados   iguales   del   cuadrado   menor,   1   punto   por   determinar   los   lados   iguales   del   cuadrado   mayor,   2   puntos   por   encontrar   la   medida  de  los  lados  restantes  del  cuadrado  menor,  2  puntos  por  encontrar  la  medida  de   los  lados  restantes  del  cuadrado  mayor  y  1  punto  por  encontrar  el  perímetro.     Problema  47   Se  puede  construir  una  tabla  para  encontrar  todas  las  diferentes  formas  en  que  se  pueden   vender  los  artículos:   Cantidad   A,  B,  C  a  $  30.00  c/u   D,  E  a  $  40.00  c/u   Total   1   1   -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐   30   1   -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐   1   40   2   2   -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐   60   2   -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐   2   80   2   1   1   70   3   3   -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐   90   3   2   1   100   3   1   2   110   4   3   1   130   4   2   2   140   5   3   2   170     Contemos  cuántas  cantidades  de  dinero  diferentes  se  pueden  obtener.     Se  obtienen  11  cantidades  de  dinero  diferentes.     Criterio  de  evaluación:  1  punto  por  encontrar  2  o  3  casos  aislados,  1  punto  por  encontrar  4   o  5  casos  aislados,  2  puntos  por  seguir  algún  tipo  de  orden  encontrando  hasta  8  casos,    1   puntos  por  encontrar   9  casos,  1  punto  por  encontrar  10  casos  y  1  punto  por  encontrar  los   11  casos.     34    


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Problema  48                     Criterio  de  evaluación:  2  puntos  por  encontrar  el  orden  correcto  de  las  cajas,  2  puntos  por   encontrar   el   orden   correcto   de   los   objetos,   2   puntos   por   justificar   su   procedimiento   y   1   punto  por  la  solución.     Problema  49   Necesitamos  obtener  las  tres  dimensiones  de  la  caja  armada:   Largo  =  6  –  2  =  4     Ancho  =  6  –  2  =  4   Alto  =  1   Volumen  =  Largo  x  Ancho  x  Alto  =  4  x  4  x  1  =  16  u3     Criterio   de   evaluación:   2   puntos   por   determinar   cada  una  de  las  medidas  de  la  caja:   largo,  ancho   y   alto,  y  1  punto  por  la  solución.     Problema  50   Sabemos  que  Cristina  tiene  más  edad  que  la  que  dice,  por  lo  que  podemos  proponer  una   edad  y  restarle  su  cuarta  parte  menos  uno.     La  edad  real  debe  ser  múltiplo  de  cuatro  porque  tenemos  que  calcular  su  cuarta  parte   Edad  real   Cuarta  parte   Cuarta  parte  menos  uno   Edad  que  diría  Cristina   20   5   4   16   24   6   5   19   28   7   6   22     La  edad  real  de  Cristina  es  24  años.     Criterio  de  evaluación:  2  puntos  por  determinar  que  debe  ser  múltiplo  de  4,  2  puntos  por   probar  algunos  casos,  2  puntos  por  encontrar  el  resultado  correcto  y  1  punto  por  probar   que  no  hay  más  casos.        

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Problema  51  

  Solución  1   En  la  primera  balanza,  se  observa  que  el  cubo  y  la  bola  negra  pesan  60  kg.     En  la  segunda  balanza  se  observa  que  el  cubo  pesa  más  de  50;  50  más  la  bola  negra.     Para  que  el  cubo  y  la  bola  negra  sumen  60,  el  cubo  tendrá  que  pesar  55  kg  y  la  bola  negra   5  kg,  ya  que  cualquier  otro  peso  de  la  bola  negra  desequilibraría  las  balanzas,  ejemplo  si  la   bola  negra  pesa  1  kg,  el  cubo  tendría  que  pesar  59  kg,  pero  en  la  segunda  balanza  la  bola   negra  ya  no  pesaría  1  kg,  tendría  que  pesar    9  kg.     Criterio  de  evaluación:  1  punto  por  determinar  que  el  cubo  y  la  bola  negra  pesan  60  kg,  1   punto  por  determinar  que  el  cubo  pesa  50  más  la  bola  negra,  2  puntos  por  encontrar  el   peso  del  cubo,  1  punto  por  el  resultado  y  2  puntos  por  la  explicación.     Solución  2   Llamemos  x  =  cubo,  y  =  bola  negra     Primera  balanza:  x  +  y  =  50  +  10     Segunda  balanza:  x  =  50  +  y     Sustituimos  el  valor  de  x  en  la  primera  ecuación:   (  50  +  y  )  +  y  =  60   2y  =  60  –  50     y  =  10/2   y  =  5,  la  bola  negra  pesa  5  kg.     Criterio   de   evaluación:   2   puntos   por   determinar   la   primera   ecuación,   2   puntos   por   determinar   la   segunda   ecuación,   2   puntos   por   el   proceso   de   solución   y   1   punto   por   el   resultado  correcto.     Problema  52   Solución  1   Consideremos  26  letras  del  alfabeto,  la  ñ  no:   A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z     Si  el  primer  nombre  comienza  con  A,  el  segundo  nombre,  podría  empezar  con  B,  C,  D,…  es   decir,  de  25  formas  diferentes,  hasta  llegar  a  la  Z.   36    


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Si  el  primer  nombre  comienza  con  B,  el  segundo  podría  empezar  con  cualquiera  de  las  24   letras  restantes.     Si  el  primer  nombre  comienza  con  C,  el  segundo  empezaría  con  cualquiera  de  las  23  letras   restantes.   Así:   Primer  nombre   El  segundo  de  tantas   Primer  nombre   El  segundo  de  tantas   empieza  con:   formas  diferentes  como:   empieza  con:   formas  diferentes  como:   A   25   N   12   B   24   O   11   C   23   P   10   D   22   Q   9   E   21   R   8   F   20   S   7   G   19   T   6   H   18   U   5   I   17   V   4   J   16   W   3   K   15   X   2   L   14   Y   1   M   13   Z   0   Sumemos  todas  las  posibilidades,  pueden  ponerle  a  su  hijo  de  325  maneras  diferentes  con   estas  condiciones.     Solución  2   Si  se  considera  como  parte  del  nombre  a  las  iniciales  de  los  apellidos,  Y  y  Z,  entonces  se   consideran     24   letras,   la   A   con   23   letras   restantes,   la   B   con   22   letras   restantes,   la   C   con   21   letras  restantes…  y  resultan  276  maneras  diferentes  con  estas  condiciones.     Criterio  de  evaluación:  1  punto  por  interpretar  el  enunciado  del  problema,  hace  ejemplos   válidos,   1   punto   por   esbozar   una   estrategia,   2   punto   si   la   estrategia   es   clara,   2   puntos   por   presentar  el  cálculo,  1  punto  por  el  resultado  correcto.     Problema  53   Solución  1   Daniela  avanza  500  metros  en  un  minuto,  por  lo  que  para  recorrer  los  4000  metros  de  la   pista   se   tarda   8   minutos,   4000   /   500   =   8   minutos.   Octavio   avanza     400   metros   en   un   minuto,  por  lo  que  para  recorrer  la  pista  requiere  de  10  minutos,  4000  /  400  =  10  minutos.     Pero  Daniela  le  da  una  ventaja  de  300  metros,  por  lo  que  a  esa  velocidad  Daniela  habrá   concluido  la  carrera  en  8  minutos  y  Octavio  habrá  recorrido  400  x  8  =  3200  metros,  más  la   ventaja  de  300  metros,  serán  3500  metros.     Daniela  será  quien  ganará  la  carrera  con  una  ventaja  de  500  metros.   37    


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Solución  2   Apoyados  en  una  recta:  

  Octavio   inicia   con   una   ventaja   de   300   metros,   Daniela   tarda   8   minutos   en   completar   el   recorrido  y  al  cruzar  la  meta  en  ese  momento  Octavio  lleva  recorridos  3500  metros,  por  lo   que  Daniela  habrá  ganado  con  una  ventaja  de  500  metros.     Solución  3   Apoyados  en  una  tabla:   Metros   Minutos   Daniela   Octavio   0   0   300   1   500   700   2   1000   1100   3   1500   1500   4   2000   1900   5   2500   2300   6   3000   2700   7   3500   3100   8   4000   3500     Se  observa  que  Daniela  cruza  la  meta  en  8  minutos  y  que  en  ese  momento  Octavio  lleva   recorridos  3500  metros  por  lo  que  Daniela  ganará  con  una  ventaja  de  500  metros.     Criterio  de  evaluación:  2  puntos  por  calcular  el  tiempo  de  Daniela,  2  puntos  por  calcular  el   tiempo  de  Octavio  considerando  la  ventaja,  2  puntos  por  calcular  la  distancia  recorrida  por   Octavio  en  el  momento  en  que  Daniela  cruza  la  meta,  1  punto  por  el  resultado  correcto.     Problema  54   Solución  1   Ubicar   en   una   recta   la   posición   en   que   queda   cada   uno   de   los   carritos   después   del   primer   impulso.  

 

 

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Se  pueden  trazar  individualmente  para  evitar  confusiones  al  dividir  las  rectas:  

  Para  el  segundo  impulso,  se  pueden  buscar  fracciones  equivalentes:     Carrito  de  Daniela:   ! Primer  impulso         !"

!

!

! !

!"

Segundo  impulso        que  se  pude  escribir  como           !

!

Avance  total      +        =           !" !" !"   Carrito  de  Pamela:   ! !" Primer  impulso        =           !

!

!" !!

Segundo  impulso        =        

! !" !" !"

!"

Avance  total        +        =           !" !" !"   Carrito  de  Lucas:   ! ! Primer  impulso        =           !

!"

!!

!!

Segundo  impulso  llegó  a        =         !" !" !" !

!"

El  segundo  impulso  fue  de    –        =           !" !" !"   Carrito  de  Octavio:   ! ! Primer  impulso        =           !

!

!" !

Segundo  impulso        =         !

! !

!" !"

!"

!"

!"

Avance  total      +      =          

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  El   carrito   de   Octavio   quedó   en   primer   lugar,   el   de   Lucas   en   segundo   lugar,   el   de   Daniela   y   Pamela  empataron  en  tercer  lugar.    

Solución  2   Se   puede   calcular   la   medida   en   metros   de   cada   impulso,   sabemos   que   la   pista   mide   3   metros.    

!

!"

!"

!"

Para  el  carrito  de  Daniela:  Recorrió      x  3  =        =  1.2  metros,  completemos  la  tabla   Recorrido  en  metros   Primer  impulso   Segundo  impulso   1.2   1.5   1.5   1.2   1.125   1.625   1.8   1  

Carrito   Daniela   Pamela   Lucas   Octavio  

Total  en  metros   2.7   2.7   2.75   2.8  

 

El   carrito   de   Octavio   quedó   en   primer   lugar,   el   de   Lucas   en   segundo   lugar,   el   de   Daniela   y   Pamela  empataron  en  tercer  lugar.     Solución  3   Sumando  fracciones:    

Carrito  de  Daniela: �� ! ! ! ! !    +        =        +        =          

!"  

!

!"

!"

!"

Carrito  de  Pamela:   ! ! !" !" !"      +        =        +        =           !  

!

!"

!"

!"

Carrito  de  Lucas:   !! ! !" ! !"    –        =        –        =           !" ! !" !" !"  

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Carrito  de  Octavio:   ! ! ! ! !"      +        =        +        =            

!

!

!"

!"

!"

El   carrito   de   Octavio   quedó   en   primer   lugar,   el   de   Lucas   en   segundo   lugar,   el   de   Daniela   y   Pamela  empataron  en  tercer  lugar.    

Criterio   de   evaluación:   Para   las   3   soluciones.   2   puntos   por   ubicar   o   calcular   el   primer   impulso,  2  puntos  por   ubicar  o   calcular  el   segundo  impulso,  2  puntos  por   ubicar  o  calcular   la  distancia  total  recorrida  por  cada  carrito,  1  punto  por  el  resultado  correcto.    

Problema  55   Solución  1   Se   puede   ir   aumentando   de   80   en   80   hasta   llegar   a   400   galletas   y   dividir   entre   4   para   obtener  las  cantidades  para  100  galletas:   Número  de  galletas   Ingredientes   80   160   240   320   400   100   Yemas  de  huevo   4   8   12   16   20   5   ! 1     Latas  de  leche   1   2   3   4   5   ! Nuez  picada  (gramos)   200   400   600   800   1000   250   ! 1     Vainilla  (cucharada)   1   2   3   4   5   Mantequilla  (gramos)  

400  

800  

1200  

Harina  (tazas)  

3    

7  

10    

Azúcar  glas  (tazas)  

   

!

1  

Chocolate  (tazas)  

   

!

   

!

   

! !

! !

1600  

2000  

14  

17    

1    

2  

2    

!

1  

1    

! !

! !

!

!

! !

!

!

500   !

4     !

!

   

!

!

!

!

   

!

!"

 

Solución  2   Se  puede  disminuir  de  mitad  en  mitad  hasta  llegar  a  encontrar  la  cantidad  necesaria  para   20  galletas  y  aumentarla  a  las  de  80  galletas  para  obtener  100.   Número  de  galletas   Ingredientes   80   40   20   100  (80  +  20)   Yemas  de  huevo   4   2   1   5   ! ! !         1     Latas  de  leche   1   ! ! ! Nuez  picada  (gramos)   200   100   50   250   ! ! !         1     Vainilla  (cucharada)   1   ! ! ! Mantequilla  (gramos)   400   200   100   500   !

!

!

3    

1    

   

4    

Azúcar  glas  (tazas)  

   

!

   

!

   

!

   

Chocolate  (tazas)  

   

!

   

!

   

!

   

!

!

!

! !

!

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!

Harina  (tazas)  

! !

!"

!

! ! !

!"


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Solución  3   Se   puede   dividir   cada   cantidad   entre   80   para   obtener   la   cantidad   necesaria   para   una   galleta,  (valor  unitario)  y  multiplicar  por  100  galletas.   Número  de  galletas   Ingredientes   80   1   100   Yemas  de  huevo   4   0.05   5   ! Latas  de  leche   1   0.0125   1.25  o  1     ! Nuez  picada  (gramos)   200   2.5   250   ! Vainilla  (cucharada)   1   0.0125   1.25  o  1     ! Mantequilla  (gramos)   400   5   500   !

Harina  (tazas)  

3      o  3.5  

Azúcar  glass  (tazas)  

       o  0.5  

Chocolate  (tazas)  

     o  0.25  

!

! !

! !

!

0.04375  

4.375  o  4    

0.00625  

0.625    o      

0.003125  

0.3125    o    

!

! !

!

!"

 

Criterio   de   evaluación:   2   puntos   por   calcular   hasta   2   ingredientes,   2   puntos   por   calcular   hasta  5  ingredientes,  2  puntos  por  calcular  hasta  7  ingredientes,  1  punto  por  calcular  los  8   ingredientes.    

Problema  56  

Solución  1   Calcular  el  área  de  la  figura  a  partir  del  cálculo   de   las   áreas   no   sombreadas,   obteniendo   el   área  del  círculo  completo  y  del  cuadrado:                        

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Área  del  cuadrado:  20  ×  20  =  400  cm2     Área  del  círculo:  π  ×  r2  =  1256.64  cm2     El   área   de   la   figura   sombreada   delimitado   por   el   arco   en   el   cuadrado   ADEF   es   igual   a   la   cuarta  parte  del  área  del  círculo  completo.  1256.64  cm2  ÷  4  =  314.16  cm2     El  área  de  la  figura  sombreada  delimitada  por  el  arco  trazado  en  cuadrado  ABCD  es  igual  al   área  del  cuadrado  menos  el  área  de  la  cuarta  parte  del  círculo  completo.     400  cm2  –  314.16  cm2=  85.84  cm2     El  área  de  toda  la  figura  sombreada  es  314.16  cm2  +  85.84  cm2  =  400  cm2  

 

Solución  2   Se   observa   que   el   área   sombreada   del   primer   mosaico   es   igual   a   la   formada   fuera   de   la   figura   sombreada   del   segundo   mosaico,   es   decir,   que   el   área   delimitada   por   los   vértices   DBA  es  igual  al  área  delimitada  por  los  vértices  DEF.     Como  estas  dos  figuras  tienen  la  misma  área,  entonces  se  puede  colocar  la  figura  DBA  en   el   lugar   que   ocupa   la   figura   DEF   y   con   ello   se   “completa”   un   cuadrado,   esto   es,   se   completa  el  área  de  un  mosaico,  por  lo  que  el  área   de  la  figura  sombreada  es  igual  al  área   de  un  mosaico  que  mide  20  x  20  =  400  cm2.     Solución  3   Trazar   dos   diagonales,   una   en   cada   mosaico   y   observar   que   los   “gajos”   que   se   forman   son   iguales,  con  lo  que  al  colocar  el  gajo  sombreado  en  el  lugar  que  ocupa  el  gajo  sin  sombrear   se  puede  completar  el  triángulo  BDF  y  calcular  su  área:  

  La  base  del  triángulo  BDF  mide  40  cm  y  su  altura  20  cm,  por  lo  que  su  área  mide:   40  x  20  ÷  2  =  400  cm2.     Por  lo  que  el  área  de  la  figura  sombreada  es  de  400  cm2.         43    


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Solución  para  el  perímetro:   Para   calcular   el   perímetro   de   la   figura   sombreada   se   obtiene   el   perímetro   de   la   circunferencia  completa.     Perímetro  de  la  circunferencia:  2r  ×  π  =  125.66  cm     Perímetro  de  la  cuarta  parte  de  la  circunferencia:  125.66  cm  ÷  4  =  31.42  cm     Perímetro   de   la   figura   sombreada   =   Longitud   del   segmento   BF   +   la   cuarta   parte   del   perímetro  la  circunferencia,  arco  BD  +  la  cuarta  parte  del  perímetro  de  la  circunferencia,   arco  DF:  40  cm  +  31.42  cm  +  31.42  cm  =  102.84  cm.     Criterio  de  evaluación:   Solución  1   1   punto   por   calcular   el   área   del   cuadrado   completo,   1   puntos   por   calcular   el   área   del   círculo   completo,   1  punto   por  determinar   que   el   área   sombreada   corresponde   a   la   cuarte   parte  del  círculo  completo,  2  puntos  determinar  que  el  área  sombrada  es  la  diferencia  con   el   área   del   cuadrado,   calcular   el   total   del   área   sombreada,   1   punto   por   el   cálculo   del   perímetro.     Solución  2   2   puntos   por   determinar   que   el   área   sombreada   del   primer   mosaico   es   igual   a   la   formada   fuera  de  la  figura  sombreada  del  segundo  mosaico.  2  puntos  por  colocar  la  figura  DBA  en   el  lugar  que  ocupa  la  figura  DEF  completar  un  cuadrado,  2  puntos  por  calcular  el  área  de  la   figura  sombreada,  1  punto  por  el  cálculo  del  perímetro.     Solución  3   2  puntos  por  trazar  las  diagonales,  2  puntos  por  señalar  que  los  “gajos”  que  se  forman  son   iguales.   2   completar   el   triángulo   BDF   y   calcular   su   área,   2   puntos   por   calcular   el   área   de   la   figura  sombreada,  1  punto  por  el  cálculo  del  perímetro.    

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FUENTES  DE  CONSULTA     Asociación  Nacional  de  Profesores  de  Matemáticas  (2001-­‐2012).  Olimpiada  Nacional   de   Matemáticas   para   Alumnos   de   Primaria   y   Secundaria   (ONMAS,   OMAP   y   ONMAPS).   México.       Perrenoud,   Phillippe   (2007).   Diez   Nuevas   Competencias   para   Enseñar:   Biblioteca   de   aula,  No.  196.  Graó,  Barcelona,  5a  edición.     Secretaría   de   Educación   Pública  (2011a).   Acuerdo   número   592   por   el   que   se   establece   la  articulación  de  la  Educación  Básica.  SEP,  México.     Secretaría   de   Educación   Pública   (2011b).   Plan   de   Estudios   2011,   Educación   Básica.   México,  págs.  38-­‐39.     Secretaría   de   Educación   Pública   (2011c).   Programas   de   Estudio   2011.   Guía   para   el   maestro.  Educación  Básica,  Primaria,  Sexto  Grado.  México.     Secretaría   de   Educación   Pública   (2011d).   Programas   de   Estudio   2011.   Guía   para   el   maestro.  Matemáticas,  Educación  Básica,  Secundaria.  México.     Secretaría   de   Educación   Pública   (2012b).   Lee,   piensa,   decide   y   aprende.   Matemáticas.   Tercera   fase.   Guía   del   alumno.  Estrategia   Integral   para   la   Mejora   del   Logro   Educativo.   México.     Secretaría  de  Educación  Pública  (2012a).  Lee,  piensa,  decide  y  aprende.  Matemáticas.   Tercera  fase.  Guía  del  maestro.  Estrategia  Integral  para  la  Mejora  del  Logro  Educativo.   México.     Sociedad   Matemática   Mexicana   (2003-­‐2012).   Canguro   Matemático   Mexicano,   Calendario   Matemático,   Calendario   Matemático   Infantil   y   Olimpiada   Matemática   Mexicana  (OMM).  México.            

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DIRECTORIO    

José  Antonio  Gloria  Morales     Secretario  de  Educación  Jalisco      

Pedro  Diaz  Arias   Coordinador  de  Educación  Básica    

Roberto  Hernández  Medina   Director  General  de  Educación  Primaria    

Gilberto  Tinajero  Díaz   Director  General  de  Programas  Estratégicos    

Miguel  Ángel  Casillas  Cerna   Director  de  Programas  de  Acompañamiento  Pedagógico     COMITÉ  ORGANIZADOR    

 

 

Coordinación  General  (Presidente)   Miguel  Ángel  Casillas  Cerna    

Comisión  Académica   Silvia  Esthela  Rivera  Alcalá   Luis  Alejandro  Rodríguez  Aceves   Luis  Miguel  Ramírez  Pulido   Evangelina  Avelar  Durán   Silvia  Esthela  Cruz  Cervantes   Juan  Carlos  Gómez  Castro   Giovani  Rigoberto  Rico  López   María  Teresa  Adriana  Fonseca  Cárdenas   Jesús  Rodríguez  Montero   Cristina  Eccius  Wellmann  

   

Manuel  Oregel  Ramos    

 

 

Comisión  Operativa   Víctor  Manuel  Rodríguez  Trejo   Santos  Arreguín  Rangel   Olga  Godínez  Guzmán   Liliana  Lizette  López  Razcón   Alma  Patricia  Casillas  Tovar   Gerardo  Rivera  Mayorga    

   

 

 

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Comisión  de  Logística   Luis  Javier  Estrada  González   María  Soledad  Castillo  Castillo   Elizabeth  Álvarez  Rodríguez   Gregorio  Cárdenas  Casillas   Cristóbal  Carrillo  Rivera   Alfonso  Martínez  Zepeda  

 

   

Comisión  de  Difusión   Evangelina  Arellano  Martínez   Brenda  del  Rocío  Pérez  Landa   Luz  Elena  Miramontes  Arreola   Víctor  Manuel  Villafuerte  Grajeda   Francisco  Sánchez  Bautista    

 

 

   

Colaboradores  Académicos   César  Octavio  Pérez  Carrizales     José  Javier  Gutiérrez  Pineda   Christa  Alejandra  Amezcua  Eccius   César  Andrés  Magaña  Martínez  Carlos   Alberto  Villalvazo  Jáuregui  Pedro   Javier  Bobadilla  Torres   Pablo  Alberto  Macías  Martínez     Julio  Rodríguez  Hernández    


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Problemario olimpiada de matematicas (1)