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Função Afim Definição: Uma função f: IR → IR (f de IR em IR) chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x є IR.

Exemplos: 1) f(x) = 2x + 1 (a = 2, b = 1) 2) f(x) = -x + 4 (a = -1, b = 4) 1 1 3) f(x) = x + 5 (a = , b = 5) 3 3 4) f(x) = 4x (a = 4, b = 0)

Valor de uma função afim Na função afim f(x) = 5x + 1, podemos determinar: f(1) = 5 • 1 +1 = 5 + 1 = 6. Logo, f(1) = 6. f(-3)=5(-3) + 1 = -15 + 1 = -14. Logo, f(-3) = -14.

Casos particulares importantes da função afim 1ª) Função linear f: IR

→ IR definida por f(x) = ax para todo x є IR. Nesse caso, b = 0.

Exemplos: • f(x) = -2x (a= -2, b = 0) 1 1 • f(x) = x (a = , b = 0) 5 5 • f(x) = 3 x (a = 3 , b = 0) 2ª) Função constante f: IR

→ IR definida por f(x) = b para todo x є IR. Nesse caso, a = 0.

Exemplos: • f(x) = 3 • f(x) = -2 • f(x) = 2 3 • f(x) = 4 3ª) Função identidade f: IR

→ IR definida por f(x) = x para todo x є IR. Nesse caso, a = 1 e b = 0. •

f(x) = x

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4ª) Translação f: IR

→ IR definida por f(x) = x + b para todo x є IR. Nesse caso, a = 1 e b ≠ 0.

Exemplos: • f(x) = x + 2 • f(x) = x - 3 1 • f(x) = x + 2 3 • f(x) = x 5

Determinação de uma função afim conhecendo-se seus valores em dois pontos distintos Uma função f(x) = ax + b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois valores f(x1) e f(x2) para quaisquer x1 e x2 reais, com x1 ≠ x2 . Ou seja, com esses dados determinamos os valores de a e de b. Por exemplo, escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que: f(1) = 5 e f(-3) = -7 • se f(1) = 5 , então para x = 1 tem-se: f(x) = ax + b

f(1) = 5 x=1 a=? b=?

f(1) = a · 1 + b 5=a+b

Ou seja, a + b = 5. •

se f(-3) = -7 , então para x = -3 tem-se:

f(x) = ax + b

f(-3) = -7 x = -3 a=? b=?

f(-3) = a · (-3) + b -7 = -3a + b

Ou seja, -3a + b = -7. Determinamos os valores de a e b resolvendo os sistema de equações: a+b=5 -3a + b = -7

- a – b = - 5 (multiplica-se a equação por -1.) -3a + b = -7 -4a = -12

− 12 a=3 −4 Como a + b = 5 e a = 3, então: a+b=5 3+b=5 b=5–3 b=2 Logo a função afim f(x) = ax + b tal que f(1) = 5 e f(-3) = -7 é dada por f(x) = 3x + 2.

a=

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Traçado de gráficos de funções afins Construindo gráficos de algumas funções afins no plano cartesiano.

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Função Identidade (a = 1 e b = 0)

Translação (a = 1 e b ≠ 0)

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Função constante (a = 0)

Função afim crescente e decrescente 1º Caso: a > 0. Vamos construir, o gráfico da função f(x) = 2x -1.

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2º Caso: a < 0. Vamos construir, o gráfico da função f(x) = -3x -1.

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Exercícios Propostos 1) Classifique as funções abaixo em afim, linear, identidade, constante e translação: a. f(x) = 5x + 2 1 h. f(x) = x b. f(x) = -x + 3 7 c. f(x) = 7 x 1 i. f(x) = + d. f(x) = x 2 3 e. f(x) = 3x j. f(x) = 2 – 3x f. f(x) = x + 5 g. f(x) = -3 2) Dada a função f(x) = -2x + 3, determine: a. f(1) b. f(0) 1 c. f   3 5 3) Dada a função afim f(x) = 1 - x, calcule. 2 a. f(0) b. f(-1)

 1 d. f  −   2

4) Determine o que se pede. a. Sabendo que f(x+1) = 2x, calcule f(4). 1 b. Dada a função f(5x -1) = x - , calcule f(0). 5 5) Sendo f(x) = 3x – 4 e g(x) = 2x + 1, determine os valores reais de x para que se tenha f(x) < g(x). 6) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores reais de x para que: a. f(x) = 1 1 c. f(x) = b. f(x) = 0 3 d. f(x) = 0,75 7) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a. Escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças; b. Calcule o custo de 100 peças; c. Escreva a taxa de crescimento da função. 8) Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 560,00. Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$ 50,00, expresse a lei da função que fornece o novo saldo, que é dado em função do número x de notas retiradas. 9) Determine o valor da função afim f(x) = -3x + 4 para: a. x = 1 d. x = 1,5 e. x = k +1 1 b. x = f. x = a + b 3 c. x = 0

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10) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que: a. f(-1) = 7 e f(2) = 1 b. f(2) = -2 e f(1) = 1 11)

1 Dada a função f(x) = ax + b e sabendo que f(3) = 5 e f(-2) = -5, calcule f   . 2

12)

Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22.

13) Construa, num sistema ortogonal, o gráfico das seguintes funções, dizendo em cada caso se a função é crescente ou decrescente: a. f(x) = x + 2 b. f(x) = - x + 2 c. f(x) = 1 + 2x 14) Faça o gráfico das funções f(x) = x, g(x) = x + 1 e h(x) = x – 2. 15) Construa o gráfico das funções: a. f(x) = x e g(x) = -x 16) Escreva a função f(x) = ax + b cujo gráfico, num sistema cartesiano ortogonal, é dado por: a.

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Função afim  
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