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Se advierte a los alumnos que estas transparencias no incluyen demostraciones


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• MEDIR es determinar el valor de una magnitud al compararla con un patrón que se denomina unidad de medida. • Desde Galileo la Física se basa en experimentos, formulando leyes y teorías que rigen e interpretan los fenómenos estudiados • Hasta finales del XIX no se desarrollaron la Termo y EM por falta de aparatos para realizar experimentos • La física moderna (inicio s. XIX) se desarrolló gracias al descubrimiento de fenómenos físicos no explicables con la teoría clásica → mecánica cuántica y teoría de la relatividad • Medida + unidades. La velocidad de un coche es 200…. • El sistema de unidades aceptado: Sistema Internacional (S.I.): • Apartir de la Revolución francesa se creó el sistema métrico decimal • A mediados del s. XIX comenzó a extenderse por Europa • No es hasta 1960 cuando los físicos adoptaron el S.I. • La metrología: parte fundamental de la Física. Definición de las unidades con mayor precisión. • Destacar contribuciones de físicos como Webber y Gauss (campo magnético), Giorgi • En 1954 se introducen: amperio (A), el kelvin (K) y la candela (cd) • No es hasta el año 1970 cuando se completa con el mol


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• En España no es hasta el año 1989 cuando aparece en el BOE el sistema métrico de decimal de 7 unidades básicas, denominado Sistema Internacional: • Compuesto por la siguientes unidades básicas Longitud: Metro (m) Masa: Kilogramo (kg) Tiempo: Segundo (s) Corriente eléctrica: Amperio (A) Temperatura: Kelvin (K) Cantidad de una sustancia: mol (mol) Intensidad lumínica: candela (cd)


Dpto. FĂ­sica Aplicada Prefijos

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Unidades derivadas

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Unidades que no son del SI pero que son aceptadas dentro de ĂŠl


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• Conclusión: ninguna magnitud física puede ser medida con completa certeza. Podemos reducir la incertidumbre pero nunca eliminarla por completo. • No siempre incertidumbres muy pequeñas son necesarias

 INSTRUMENTOS   ESCALAS   DATOS   ⇒ RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS CRONÓMETRO S    INDICADORES  ERRORES EN LOS DATOS ⇒ ERRORES EN LOS RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS

• No se pretenden desarrollos matemáticos rigurosos, que se escapan del cometido de esta asignatura, pero si poner las bases de la teoría de errores para poder manejarse en cualquier laboratorio.


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• Desafortunadamente debido a fallos humanos, imperfecciones de los instrumentos, el resultado de toda medida debe tiene un cierto grado de incertidumbre. • Toda medida debe contener: UNIDAD+NÚMERO+ERROR • ERROR científicamente es inevitable y afecta a toda medida. • Diferenciar de fallo o “metedura de pata” • Ejemplo: ¿Cuánto mide este lápiz? • Errores evitables • Errores intrínsecos

cm

• El carpintero utiliza un metro de carpintero de madera: 35 cm • Técnico utiliza la cinta métrica: 35.5 cm • Un físico con un calibre: 35.56 • …. El aparato más preciso es el interferómetro y tiene una precisión de 10-7 m. • Incluso podríamos tener problemas de definición de longitud, variación con T, humedad, etc.


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TIPOS DE ERRORES • Errores sistemáticos: ctes. a lo largo de una serie de medidas •Mismo origen y magnitud para las mismas condiciones •Su efecto es incrementar o disminuir la medida siempre la misma cantidad •Origen: fallo en la calibración (cero del instrumento). Suposición errónea, uso de un parámetro o cantidad inadecuada. Fenómenos naturales inadvertidos. Errores de lectura: paralaje. •Solución: Recalibración, Escalas y unidades adecuadas. Mejora de las condiciones de medida. Utilización de métodos alternativos. Cambio del instrumento de medida. No hay principios generales para tratarlos. Es la experiencia la que puede hacer una adecuada valoración, detectarlos y eliminarlos o corregirlos. • Ejemplos:

Balanza sin calibrar NASA millas en vez de km (sonda Marte) Ctes. Universales inexactas Péndulo método estático y dinámico Dilatación, rozamiento, …. Paralaje empleo del espejo Escala mal graduada


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TIPOS DE ERRORES Errores aleatorios: siempre presentes en cualquier experimento. Se producen por un gran número de variaciones impredecibles y desconocidas en la realización repetida del experimento en condiciones aparentemente idénticas. Varían de una medida a otra y que lo mismo puede ser positivo que negativo. • Origen: • Fluctuaciones aleatorias del proceso a nivel microscópico • Sensibilidad instrumental. • Al desconocer su causa es imposible determinarlos de forma exacta (estimaciones). • Responden a distribuciones probabilísticas • Pueden ser tratados mediante métodos estadísticos • Solución: Repetición de medidas. Sentido común. El análisis de los errores aleatorios es lo que constituye la teoría de errores. La repetición de las medidas es el arma para luchar contra los errores aleatorios pero no contra los sistemáticos. Ejemplos: • Estimación de las pequeñas divisiones de la escala de lectura por el observador • Fluctuaciones de la temperatura • Fluctuaciones de voltaje • Vibraciones mecánicas • Errores al disparar y parar un cronómetro


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Diseñar y realizar bien un experimento significa: • planificar un experimento cuya precisión es apropiada a su propósito (esto exige un estado de conocimiento y consecuente reflexión previos y puede significar replantearse en sucesivas etapas la modelización del experimento). • asegurarse de eliminar los errores sistemáticos en métodos e instrumentos, (el dispositivo experimental debe estudiarse minuciosamente). • estimar la precisión del resultado final (la estimación previa a la realización es imprescindible para ahorrar mucho trabajo inútil). • registrar las medidas y los cálculos con fidelidad, claridad y concisión (resulta tan indeseable la información incompleta como la que es superflua)


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¿Por qué es importante estimar el error? Las observaciones experimentales siempre vienen afectadas de imprecisiones. • Prevención de catástrofes (errores sistemáticos). • Algunas observaciones se usan para computar un resultado, debemos conocer cómo las imprecisiones de las observaciones individuales contribuyen a la imprecisión total del resultado. Mulliken (gota de aceite) en su día obtuvo una carga para el electrón de (1.591±0.002) ×10-19 C siendo el valor actual de (1.602189±0.000005) ×10-19 C. Esto hizo que hasta 1930 otras constantes que utilizan e tuvieran un error del 0.5%. Interconexión en la Ciencia. Importancia de obtener estimaciones exactas y precisas de las constantes físicas. • En algunos casos los científicos realizan hipótesis y modelos que sólo pueden ser refutados o contrastados con la realización de experiencias diseñadas al respecto. En estos casos es fundamental conocer si el resultado de la medida junto con su error aparece dentro de lo que se estimó como valor esperado para dicho modelo. • Determinación de la densidad: oro o aleación.


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¿Por qué es importante estimar el error? Determinación de la densidad de dos piezas que se suponen oro: • Experto A: medida rápida 15 g/cm3 y valor verdadero entre 13.5 y 16.5 g/cm3. • Experto B: 13.9±0.2 g/cm3. • Si la densidad del oro es 15.5 g/cm3 y la de una aleación que lo imita es 13.8 g/cm3. ¿Qué conclusiones podemos sacar? • La del B es la más precisa • La primera medida no puede identificar el material • Con incertidumbres grandes es difícil obtener resultados • El experto B debe justificar un error tan pequeño • La última y más importante es que sin el error no podemos obtener una conclusión vállida • No pretendemos que elaboreis o verifiqueis nuevas teorías, pero si que verifiqueis teorías ya existentes: Hooke, Newton, etc. • A menudo los estudiantes piensan que repetir ya verificadas en multitud de ocasiones y de modo más preciso es un sin sentido pero fundamental en la iniciación experimental y juega un papel fundamental a la hora de diseñar un experimento y emplear las herramientas de análisis


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Exactitud vs. Precisión (accuracy vs. precision) La EXACTITUD de un experimento es una medida de cuanto de cerca está un valor medido del valor verdadero. Si el valor verdadero no se conoce es difícil determinar la exactitud de la medida. Exactitud → error sistemático pequeño La PRECISIÓN de un experimento determina cómo de exactamente se ha obtenido el resultado sin entrar en si el valor se parece al verdadero. Una medida más precisa no tiene porque ser más exacta. Gran precisión → errores aleatorios pequeños

Medida exacta pero imprecisa

Precisa pero inexacta

Precisa y exacta La precisión de un experimento se indica mediante el número de cifras significativas del error. El buen experimento es el que produce una estimación exacta y precisa de la cantidad medida.


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¿CÓMO ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE? Sabiendo que hay errores hay que estimarlos. mm

V

Hay incertidumbres más difíciles que estimar que las relacionadas con las escalas.


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REPRESENTACIÓN NUMÉRICA DEL RESULTADO EXPERIMENTAL Una vez medida una magnitud x y estimado su error, ∆x: x=(x0±∆x) [unidades] La altura de persona es 1.81 y el error es 2 cm, se expresa: 1.81±0.02 m La mejor estimación es 1.81 y la verdadera altura estará entre x0-∆x=1.81-0.02=1.79 m y x0-∆x=1.81+0.02=1.83 m

∆x es siempre definido positivo, cuando menor es ∆x más precisa es la medida. Ojo, si ∆x es mayor que x algo falla. Carece de sentido.


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MEDIDAS DIRECTAS • Es la que se obtiene directamente del aparato de medida • Involucran directamente la lectura de una escala o pantalla digital • Las fuentes de error son la lectura y la interpolación de la escala • En experimentos de óptica p.e. es más complicado definir las magnitudes aunque se emplee un banco óptico. • AL ESTIMAR UN ERROR NO DEBEMOS LIMITARNOS A LAS ESCALAS SINO QUE HAY OTRAS FUENTES DE INCERTIDUMBRE MÁS DIFÍCILES DE ESTIMAR.

• Equipos Digitales: • El número de cifras significativas coincide con el número de cifras mostradas en la pantalla. Un voltímetro que indica 81 V, la incertidumbre será ±1 V. • Los manuales indican las incertidumbres dependiendo de los rangos de medida. • Falsa sensación de precisión, dos personal obtendrían resultados diferentes. • La dispersión de los datos es una buena medida de la incertidumbre de la medida y el promedio está más próximo al valor verdadero que una única medida. A partir de ahora haremos el tratamiento de errores suponiendo que las medidas están libres de errores sistemáticos. Sólo tendremos en cuenta los errores debidos a la precisión de los instrumentos de medida y los aleatorios o estadísticos.


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Error cometido al realizar una sola medida de la magnitud x: El error (absoluto) viene dado por el error de precisión (o simplemente precisión) del aparato, ∆x = ep. • Aparato analógico: la precisión es la mitad de la división más pequeña que puede medir el aparato. El error de precisión de una regla dividida en mm es ep = 0.5 mm. • Aparato digital: ep = mínima magnitud que es capaz de medir el aparato. Multímetro digital medimos la ddp y obtenemos 234 V se tomará ep= 1 V. Si el número es 234.7 V, ep=0.1 V, etc. Error cometido al realizar n medidas de una magnitud x: Regla general: una única medida es poco fiable. Al medir varias veces obtenemos una serie de valores diferentes x1, x2, …, xn, cada uno afectado por la precisión ep. ¿Cuál es el valor más fiable? ¿Con cuál nos quedamos? ¿Cuántas medidas es preciso realizar? La mejor aproximación al valor verdadero de x viene dado por la media aritmética, n

∑ xi

x = i =1 = n

x1 + x2 + ... + xn n


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¿Qué error se comete al tomar el valor medio como el mejor valor? ¿Cuántas medidas realizo? Procedimiento

Comenzamos por tres medidas. Se calcula su valor medio, se halla la dispersión total o diferencia entre los valores extremos (D =xmaxD xmin), y se calcula el porcentaje de dispersión d = × 100 (%) . x Casos según el valor de d: Si 0% < d < 2%, no se hacen más medidas. Si 2% < d < 6%, se realizan 3 medidas más. Si 6% < d < 15%, al menos son necesarias 15 medidas totales. Si d >15% al menos serían necesarias 50 medidas. Prof. Estimar el error cometido al aproximar el valor verdadero por el valor medio → dispersión de los datos en torno al valor medio. Definimos la desviación respecto al valor medio como la diferencia xi − x Definimos la dispersión por el valor medio de los cuadrados de las desviaciones:

s2 =

1 (xi − x )2 ∑ n i


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que se denomina varianza del conjunto de datos o desviación cuadrática media de los mismos. Al valor s se le denomina desviación típica o desviación estándar. Cuando el número n de datos es pequeño, suele definirse la desviación típica reemplazando n por n-1 en el denominador. Por tanto, definimos la desviación estándar de x1, x2, …, xn, como 1/ 2

1 2  n  ( ) σ= − = x x  ∑ i 1 n − n −1 i  

s

La diferencia entre ambas es insignificante. Si uno repite 6 veces una medida la diferencia entre √n=2.45 y √n-1=2.24, esta diferencia disminuye conforme n aumenta. En el laboratorio emplearemos la segunda definición que da lugar a errores más grandes siempre debe clarificarse cual de las definiciones se utiliza para que los lectores sean capaces de verificar los cálculos Si realizamos un gran número de medidas, definimos la desviación estándar de la media como 1/ 2

1  σ m =    n −1

s

σm =

σ n


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La desviación estándar como incertidumbre Si medimos la misma cantidad n veces, siempre con el mismo método y si las fuentes de error son pequeñas y aleatorias, entonces expresamos el resultado de una medida como:

x = x ± máx(e p ,σ m ) [unidades] Como veremos más adelante, la probabilidad de que el resultado correcto (valor verdadero) este dentro del rango ±σ es del 68% Ejercicio: Se han realizado una serie de medidas de la longitud de una barra con una regla graduada en mm. L/mm

L/mm

L/mm

15.0

14.0

13.5

15.5

15.5

15.5

13.5

15.0

14.0

14.0

14.0

15.5

13.0

14.0

14.0

Determina la mejor aproximación al valor verdadero de L con su error


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La mejor aproximación al valor verdadero es la media aritmética 15

∑ Li

L = i =1 = 14.4 mm 15

Antes de calcular el error es conveniente conocer la precisión de la medida ∆L=ep=0.5 mm. Para obtener una estimación del error i

Li ± 0.5 mm

Li − L

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Σ

15.0 15.5 13.5 14.0 13.0 14.0 15.5 15.0 14.0 14.0 13.5 15.5 14.0 15.5 14.0 216

0.6 1.1 -0.9 -0.4 -1.4 -0.4 1.1 0.6 -0.4 -0.4 -0.9 1.1 -0.4 1.1 -0.4

( Li − L) 2 0.36 1.21 0.81 0.16 1.96 0.16 1.21 0.36 0.16 0.16 0.81 1.21 0.16 0.21 0.16 10.1

s=

1 (xi − x )2 = 0.82 mm ∑ n i 1/ 2

1  σ m =    n −1

s = 0.22 mm

∆L = máx(e p ,σ m ) = máx(0.5, 0.22) = 0.5 mm L = 14.4±0.5 mm


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Cifras significativas: Redondeo El emplear muchas cifras en el error es innecesario ya que es sólo una estimación. No confundir cifras significativas con decimales. El nº de cifras significativas de una medida se utiliza para indicar el grado de incertidumbre. Criterios: 1.El valor de una medida y su error deben expresarse en las mismas unidades 2.En el error sólo debe emplearse una cifra significativa con la excepción de que si esta cifra es 1, se añade otra más. Redondeo: a) Si la primera cifra es mayor que 5, la cifra de orden de magnitud anterior aumenta en 1 unidad. 0.8642 s → 0.9 s. b) Si la primera cifra que se suprimera es menor que 5, la última cifra conservada no varía 215.32 m → 200 m. c) Si la primera que se suprime es 5 pueden darse dos casos: 35.234 m → 40 m 350 N → 300 N Estas reglas de redondeo se aplican al error y posteriormente al valor de la medida. • El valor de la medida debe tener la misma precisión que su error. Al redondear hay que despreciar todas las cifras cuyo orden de magnitud sea inferior al del error. Error 0.7 kg y el valor de la medida 25.7845 kg, el resultado final debe expresarse como: 25.8±0.7 kg


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Ejercicios:

• Escribir adecuadamente los siguientes resultados: L = 0.4672±0.00482 m

190.8±25.7 m

M = 23478±28 kg

0.000426±0.000072 kg

t = -46.2±4.6 ºC

3.267·103±42 ºC

Q = -3.21·10-19±2.67·10-19 C

• La lectura de dos masas en una balanza digital tienen varias cifras significativas. Redondea el resultado y da su error con las cifras significativas adecuadas. Si el porcentaje de error es: 1) M = 261.65±0.1%

2) 1029.72±1%


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MEDIDAS INDIRECTAS. PROPAGACIÓN DE ERRORES • Hay magnitudes no medibles directamente con el aparato de medida, sino que se determinan de modo indirecto a partir de otras magnitudes. Se dide que la medida es indirecta. • El error de la medida indirecta es función de los errores de las medidas directas (errores primarios). • Los diferentes errores primarios contribuyen de forma diferente al error final. Es posible minimizar el error de la medida indirecta si se reducen los errores primarios que más contribuyen al error final. • El procedimiento para calcular este error se conoce como propagación de errores. • Sea q una magnitud que se evalúa de modo indirecto a partir de las magnitudes A, B, C, D y E, q = f(A, B, C, D y E). f función infinitamente derivable. dq =

∂f ∂f ∂f dA + dB + dC + ... ∂A ∂B ∂C 2

2

(∆q ) =  ∂f  (∆A)2 +  ∂f  (∆B )2 + ...  ∂A   ∂B  • Esto es cierto únicamente si los errores de A, B, C, … son independientes y aleatorios


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1. Expresar en forma de error fraccional y porcentaje de error la velocidad de un scooter: a) v = 55±2 m/s b) u = -20±2 m/s c) Si la energía cinética es Ec=4.58 J ± 2% reescribe el error y su magnitud en función del error absoluto 2. Reescribe correctamente los siguientes resultados: a) x = 3.323±1.4 mm b) t = 1234567±54321 s c) λ = 5.33×10-7±3.21×10-9 m d) r = 0.000000538±0.00000003 mm 3. Calcula el error relativo de las cuatro medidas del apartado anterior, ordena las medidas según su precisión (de mayor a menor) 4. Escribe los errores dados a continuación en la forma estándar y reescribe el resultado redondeado adecuadamente: a) x = 543.2 m ± 4% b) v = -65.9 m/s ± 8% c) λ = 671×10-9 m ± 4% 5. Queremos medir el diámetro de una moneda y disponemos para ello de una regla graduada en mm y de un calibre con precisión de 0.05 mm. Si el diámetro de la moneda es del orden de 2 cm, que instrumento debo utilizar si la precisión debe ser mejor del 1%.


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6. Un estudiante trata de determinar la aceleración de la gravedad midiendo el tiempo t que una piedra tarda en caer desde una altura h del suelo. Despúes de una serie de medidas obtiene t = 1.6±0.1 s la altura es h=12.6±0.1 m Calcular g con su error relativo y absoluto. 7. La teoría de la relatividad espacial establece que la masa de una partícula no es constante sino que es una función de la velocidad de la partícula, según la relación: m0 m= 2 v 1−   c Donde m0 es la masa en reposo, v la velocidad de la partícula y c la velocidad de la luz. Con el objeto de medir la relación carga/masa del electrón en reposo, los electrones viajan a una velocidad apreciable. Entonces, en realidad lo que se mide es esa relación cuando el e- tiene velocidad v. Si e/m es la relación carga masa medida cuando los e- viajan a 3·107 m/s, encontrar el factor por el que se debe multiplicar este valor para obtener e/m0. ¿Qué error relativo se comete si se omite ese factor? 8. Se ha medido la distancia de la Tierra al Sol y de Marte al Sol: dTS=(1.5±0.4)·108 km dMS=(1.5±0.4)·108 km ¿Qué medida es más precisa? Justifícalo


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9. Una barra rectangular de masa M tiene dimensiones a, b, c. El momento de inercia I alrededor de un eje perpendicular a la cara ab y que pasa por su centro es I=

1 M (a 2 + b 2 ) 12

Realizamos las siguientes medidas: • M = 135.0±0.1 g • a = 80±1 mm • b = 10±1 mm • c = 20.00±0.01 mm Calcular la densidad y el momento de inercia de la barra con su error. 10. El calor específico molar de un sólido a bajas temperaturas está dado por Cv = a·T+ b·T3. Si a = 1.35±0.05 mJ·mol-1·K-2 y b = 0.021±0.001 mJ·mol-1·K-4 y T = 5.0±0.5 K. Calcular el valor de Cv a esa temperatura con su error. 11. Se han realizado 5 medidas de cada una de las resistencias R1 y R2: R1 = 9.5, 9.8, 10.2, 9.9, 10.1 Ω; R2 = 15.5, 15.2, 14.8, 15.2, 15.0 Ω. La precisión de cada medida es 0.1 Ω. Calcular el mejor valor de R1 y R2 y su error. Si las colocamos en paralelo ¿cuál será la resistencia equivalente?


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REPRESENTACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES TABLAS Siempre que tengamos parejas de puntos de las mismas variables deben escribirse en forma de tablas. Cuando queramos comparar dos o más listas de números, estos deben disponerse en columnas en paralelo. Un error grave y bastante frecuente en el trabajo del laboratorio es olvidarse de los datos originales obtenidos directamente del experimento por no anotarlos inmediatamente, por lo que se recomienda que al tomar los datos estos se dispongan ya en forma tabulada. Cada tabla debe estar numerada correlativamente y debe tener un pie de tabla o leyenda explicativa que indique a que se refieren los datos Convenio: los números que aparecen en la tabla sean adimensionales. Por tanto, es necesario que en la cabecera de la tabla se exprese la magnitud dividida por su unidad. Por ejemplo, T/K. Si los valores numéricos dados en la tabla son muy grandes o muy pequeños, se utilizarán los prefijos y sufijos científicos correspondientes o mediante multiplicación por las potencias de 10 adecuadas. Así, expresaremos 1.23·106 Pa como 1.23 y en la cabecera P/MPa, o en vez de coeficientes de dilatación lineal de 0.0000123 K-1 se expresará 1.23 en la celda correspondiente y α·105/K-1 en la cabecera de dicha columna.


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TABLAS (continuación)

Recomendaciones: En las tablas se representan tanto los datos directos de las medidas del laboratorio como de los pasos intermedios relevantes y los resultados finales. Las medidas de una misma magnitud se escribirán preferiblemente sobre una misma columna vertical. En la cabecera de cada columna se indicará el nombre de la magnitud dividido por su unidad. Al escribir la unidad en la cabecera no es necesario repetirlas luego en cada celda. Es conveniente elegir las unidades (o las potencias de 10 adecuadas) para que los números queden expresados en el rango entre 0.1 y 1000. Los errores en la estimación de cada magnitud se pueden poner en la cabecera de la columna correspondiente, si son comunes a todas las medidas de la misma magnitud. En caso contrario, debe incluirse una columna adicional indicando el error en cada una de las medidas. V ± 0.1/V 21.2 29.5 39.3 55.3 59.4

I/A 19.9 29.8 40.1 50.3 59.9

∆I/A 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3


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GRÁFICAS La forma más útil de presentar resultados experimentales es el empleo de gráficas que relacionan dos o más variables. La gráfica permite interpretar la relación entre dos variables o su comportamiento de una manera más sencilla que una tabla Su uso es fundamental cuando queremos comparar los resulta-dos experimentales con las predicciones teóricas de un modelo Pueden realizarse con la ayuda de un ordenador, pero es más formativo dibujarlas en papel milimetrado (#) a) VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE

En TODO estudio experimental de causa y efecto lo fundamental es variar una condición (causa) y observar los correspondientes valores de otra magnitud (efecto), que está (o se sospecha) relacionado con el primero. Convenio para todas las gráficas en física: la variable independiente (cantidad que controla el investigador y que varía de modo regular) se representa en el eje horizontal (eje X), y la variable dependiente (la cantidad cuyo valor se determina mediante la medida) se representa en el eje vertical (eje Y). La causa se representa en el eje X y el efecto en el eje Y. Así la relación entre la causa y el efecto es más fácil de interpretar.


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GRÁFICAS (continuación) b) ELECCIÓN DE LA ESCALA

Las escalas se eligen de forma que los puntos queden lo más espaciados posible (ocupando el mayor área posible) Las escalas vertical y horizontal pueden ser diferentes si es necesario. En algunos casos no es necesario que la intersección de los dos ejes coincida con el punto (0, 0). Los ejes deben dividirse en intervalos regulares, no para cada punto. Debe elegirse una escala cómoda, usando factores que faciliten el cálculo. Así, se utilizarán intervalos de 1, 2, 5, 10, … Los valores escogidos deben ser fácilmente subdivididos. Si los valores a representar son muy grandes o muy pequeños, se debe emplear un factor multiplicador que permita usar un máximo de dos o tres dígitos para indicar el valor de la división principal. En ese caso el factor multiplicador debe aparecer a la derecha de las unidades empleadas.


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GRÁFICAS (continuación) c) ETIQUETAS

Después de decidir que variable se representa en cada uno de los ejes, debe escribirse el nombre de las cantidades que se están representando junto con sus unidades. Se empleará la notación abreviada estándar, esto es, m en lugar de metros. Los valores mostrados en la gráfica deben ser adimensionales dividiendo la magnitud por su unidad. Si queremos mostrar la variación de la velocidad respecto al tiempo debemos escribir, t/s en el eje X y v/m·s-1 en el eje Y. Las divisiones principales realizadas con anterioridad deben tener un número asignado. El título puede aparecer sobre la gráfica (cabecera) o dentro de la gráfica una vez que todos los puntos experimentales han sido representados de tal manera que el título no interfiera. Toda gráfica debe incluir un pie de figura, donde se van enumeran correlativamente y se describe con pocas palabras y de forma explícita lo que se muestra en ella y las escalas empleadas. Tanto tablas como gráficas deben ser autoexplicativas, debe ser posible entenderla sin necesidad de leer el resto del texto.


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GRÁFICAS (continuación) d) CURVAS Y PUNTOS EXPERIMENTALES

Los puntos experimentales deben ser claramente visibles y suficientemente grandes para distinguirse de las curvas de trazo continuo

Si se dibuja más de una curva o conjunto de puntos experimentales procedentes de diferentes sustancias o condiciones en la misma gráfica, éstas deben distinguirse mediante el uso de símbolos (●, ○, ▲, ■, □, etc) o colores diferentes para los puntos de las distintas curvas. Si la gráfica comienza a complicarse es mejor dibujar las gráficas por separado. En ocasiones algunos puntos experimentales parecen no tener relación con el resto de los datos. Estos puntos no deben ser sobrepesados y si el tiempo lo permite deben ser explicados o reevaluados con objeto de que sean consistentes con el resto de los medidas. Toda gráfica con datos experimentales debe incluir una indicación de la incertidumbre de la medida, se deben representar también los errores. Esto se realiza por medio de las barras de error. Esto consiste en trazar segmentos horizontales y/o verticales centrados en los puntos experimentales y cuya longitud sea igual a ∆x (a lo largo del eje X), y ∆y a lo largo del eje Y.


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GRÁFICAS (continuación)

Las líneas, rectas o curvas, que mejor se ajustan al conjunto de puntos experimentales, han de ser continuas y finas, nunca quebradas ya que generalmente las magnitudes físicas y sus derivadas varían de forma continua, además pudieran confundirse con puntos experimentales. El trazado de la curva que mejor se ajusta a la distribución de puntos experimentales se realiza de forma que pase por el mayor número posible de éstos y deje aprox. a la derecha el mismo número de puntos que a la izquierda. El significado de las desviaciones con respecto a una curva teórica puede depender del error estimado, y por eso es tan importante dibujar las barras de error. e) ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LA GRÁFICA

La ventajas de la representación gráfica es la simplicidad con que se obtiene información de forma directa observando por ejemplo su forma, tendencia e intercepciones con los ejes. La forma de una gráfica determina inmediatamente si la variable dependiente aumenta o disminuye con un incremento de la variable independiente, pudiéndose medir en muchos casos la tasa de ese cambio.


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GRÁFICAS (continuación)

Si los puntos se sitúan en línea recta, se puede decir que existe una relación lineal entre las dos variables. Si las variables son directamente proporcionales se aproximarán a cero de modo simultáneo y la línea pasará por el origen, en este caso el punto (0, 0) será relevante.


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GRÁFICAS (continuación)

Normas generales ● Los puntos experimentales deben ser expresados mediante símbolos claramente visibles, nunca puntos pequeños. ● Las gráficas deben dibujarse en papel milimetrado y han de ocupar media página o como mucho una completa. Las proporciones de la gráfica deben ser razonables y de acuerdo con lo que se pretende mostrar. ● Las divisiones de las escalas en los ejes deben estar separadas 1, 2, 5, 10, …unidades y nunca (3, 7, 13, …). ● La escala de cada eje debe llevar una leyenda que indique la magnitud representada y su unidad, tal y como ya hemos indicado con anterioridad. ● El (0, 0) no debe indicarse a menos que sea un punto relevante de la gráfica. ● La curva y los puntos experimentales deben cubrir el área de la gráfica y no sólo una parte de ésta, lo mejor es elegir las divisiones de cada eje de modo que la pendiente de la curva (en el caso de ser una línea recta) forme aproximadamente 45º con la horizontal. ● Si los puntos resultan alineados y la teoría dice que la relación entre las variables es lineal, entonces debe trazarse una recta de regresión lineal obtenida mediante el ajuste por el método de mínimos cuadrados. ● Finalmente, la gráfica debe incluir en su cabecera un título, breve y claro que indique lo que representa y un pie, donde las gráficas se numeran correlativamente y que incluye la explicación de la misma, tal y como hemos indicado anteriormente.


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EJEMPLOS DE GRÁFICAS NO DESEABLES

•La gráfica es demasiado pequeña, debe ocupar al menos media página. •El título es muy pobre, nos da la misma información que los ejes •Representamos t frente a v y no v frente a t (v. título) •Las etiquetas de los ejes deben informar de la magnitud y unidades (v/m·s-1) •El punto (0,0) no es relevante. Los puntos deben ocupar el mayor área posible. Los datos de v varían desde 100 a 130 m·s-1 •Los datos deben ajustarse a una línea (?)


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Velocidad, v/m路s-1

Figura 1. Variaci贸n de la velocidad frente al tiempo de un coche acelerando

Tiempo, t/s


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GRÁFICAS NO DESEABLES (continuación)

•La gráfica es demasiado pequeña •El título es ridículo •Los ejes deben tener etiquetas con nombre y unidades •Nunca se deben utilizar líneas para unir los puntos experimentales, para eso están los ajustes •Los grids se ponen en ambos ejes o en ninguno •Quizá a Bill Gates le gusten las gráficas con fondo gris pero el procedimiento científico normal dice que debe ser blanco •Falta la ecuación que ajusta a los puntos experimentales


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Figure 3.

Posici贸n, x/cm

Posici贸n de una bola en movimiento

Tiempo, t/s


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GRÁFICAS NO DESEABLES (continuación)

No se aprecian las divisiones o marcas

Título muy pobre

x/cm

Línea dibujada a mano, usar regla

La pendiente se calcula a partir de puntos separados x=(4.0 cm/s) t + (0.3 cm) La ecuación debe utilizar los símbolos dados en los ejes

No se aprecian las divisiones o marcas

t/s

Escala inadecuada


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Errores medidas indirectas

Se obtiene el error absoluto de un conjunto de medidas como

ε i = xi − X = xi − x La medida que nos mide la dispersión de los datos entorno al valor medio viene dada por la varianza: s2 =

1 (xi − x )2 ∑ n i

A partir de aquí obteníamos la desviación estándar 1/ 2

1 (xi − x )2 =  n  σ= ∑ n −1 i  n −1

s

Para un número grande de medidas podemos obtener la desviación estándar de la media, que nos da el error en la media de un número de medidas. El conjunto de los valores medios dará lugar a una distribución de las medias. Por tanto, σ es la desviación estándar de la distribución de un único conjunto de medidas y σm es la distribución estándar de la distribución de las medias de varios conjuntos de medidas, es deseable que cada conjunto tenga el mismo número de medidas. 1/ 2

1  σ m =    n −1

s

σm =

σ n


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Relación entre σ y σm

Consideremos un conjunto de medidas. El error en una de esas medidas es ε i = xi − X Donde X es el valor verdadero de la magnitud, que por supuesto es desconocida. El error en la media es 1 1 1  E = x − X =  ∑ xi  − X = ∑ ( xi − X ) = ∑ ε i n n n 

Elevando al cuadrado obtenemos 1 1 E 2 = 2 ∑ ε i2 + 2 ∑ ∑ ε iε j n n i j ≠i Esto es para un conjunto de n medidas. Pero si realizamos un gran número de conjunto de medidas, cada conjunto consistente en n medidas. Cada uno tendrá su propio ε1, ε1, …, εn y el correspondiente E. Si ahora sumamos los valores de E2 para todos los conjuntos y dividimos por el número de conjuntos, es decir, calculamos el valor medio sobre todos los conjuntos, el promedio de ∑ ε i2 es nε 2 . El promedio en el doble sumatorio es cero ya que los errores εi y εj son independientes, y el promedio de cada uno es cero. Entonces, tenemos: 1 E2 = ε 2 n Y por definición

σ m2 = E 2 y σ 2 = ε 2 ⇒ σ m =

σ

n


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Relación entre σ y σm

Se podría llegar al mismo resultado. Repetimos n medidas varias veces y calculamos el promedio: x=

x1 + x2 + ... + xn n

La incertidumbre o la desviación estándar de la media será función de las desviaciones estándar de cada conjunto de medidas

σ m = f (σ1,σ 2 ,...,σ n ) Mediante la propagación de errores tenemos: 2

2

 ∂x   ∂x   ∂x  σ m =  σ1  +  σ 2  + ... +  σ n   ∂ x1   ∂ x2   ∂ xn 

2

Como las x1, x2 ,..., xn son medidas de la misma magnitud x, sus errores serán todos iguales

σ1 = σ 2 = ... = σ n = σ Además, ∂x ∂x ∂x 1 = = ... = = ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn n

Finalmente 2

2

2

σ2 σ 1  1  1  σ m =  σ1  +  σ 2  + ... +  σ n  = n 2 = n n  n  n  n


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Retomemos las medidas indirectas. Propagación de errores.

Hemos determinado x, y, … con una incertidumbre ∆x, ∆y, …y queremos calcular las incertidumbres de una cantidad q que depende de las anteriores. Calcular q es sencillo, pero como afectan las incertidumbres de ∆x, ∆y, … al error ∆q. q = x + y; ∆q = ∆x + ∆y q = x − y; ∆q = ∆x + ∆y q = x· y;

q = x / y;

∆q ∆x ∆y = + q x y ∆q ∆x ∆y = + q x y

Se puede comprobar que estos resultados son los mismos que los obtenidos mediante el método de las derivadas parciales. La regla de las derivadas parciales es siempre válida pero hay formas alternativas (productos, divisiones o potencias): 1) Se toman neperianos q = f(A, B, …) → lnq =ln f(A, B, …) 2) Se derivan ambos miembros 3) Se identifican diferenciales con los errores de las variables.


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Si una magnitud física Z se relaciona con otras, A, B y C mediante la ecuación Z = ABn/C Determinar su error si las medidas directas vienen afectadas por errores ∆A, ∆B y ∆C.


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ANÁLISIS DE LA DEPENDENCIA ENTRE VARIABLES. AJUSTE POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Las leyes de la Física establecen relaciones entre variables En un experimento se modifica una variable (controlada por el investigador: tiempo, temperatura, …) y se observa el comportamiento de otra tratando de comprobar la relación que establece la ley física entre ambas Hasta ahora hemos tratado con datos cuando se realizan n medidas en condiciones idénticas Los experimentos más interesantes tienen lugar cuando medimos valores diferentes de dos variables tratando de investigar la relación matemática existente entre ambas Los experimentos más interesantes están relacionados con aquellos en los que la relación es lineal: Dadas dos variables físicas cualesquiera x e y la relación es de la forma y = a·x + b Donde a y b son constantes. Si las dos variables tienen una relación de este tipo, entonces al representar y frente a x debe ser una línea recta siendo a la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen, valor de corte de la recta con el eje de ordenadas Ejemplos: v = v0+g·t, F = k·x, V = I·R, ΣF = m·a, …


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Una ley será válida si al realizar las medidas experimentales de una de las variables o magnitudes en función de la otra comprueba que siguen la relación predicha por la ley Por ejemplo, deberíamos medir la velocidad de un móvil vi en distintos instantes ti para luego comprobar si la relación lineal es cierta. Si se verifica esta relación podremos determinar tanto v0 como g a partir de los datos experimentales Hay varios métodos que permiten comprobar las relaciones de proporcionalidad entre dos variables y el valor de los coeficientes de proporcionalidad. Seguiremos dos: i)

Método gráfico. Permite comprobar in situ el resultado sin necesidad de cálculos laboriosos

ii) Método de mínimos cuadrados


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i) Método gráfico (laboratorio o comprobación) Si una cantidad y es linealmente proporcional a otra x, al representar una frente a la otra se obtiene una línea recta. Al representar los puntos experimentales obtendremos una serie de puntos que determinan una recta. Trazando la recta que más se aproxima a los puntos experimentales podemos obtener un valor numérico aproximado de a y b Tiempo t/s

Velocidad v/m·s

0.940 1.58

13.21 17.23

1.96

23.99

2.66 2.91

26.74 35.57

3.76

38.43

-1

Dependencia de la velocidad frente al tiempo

v2-v1=26 ms-1

40 y = 3.98 + 9.5069x R= 0.97045

30

20

10

0

a≡g=

t2-t1=2.75 s 0

1

2

t/s

3

4

v2 − v1 t2 − t1


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i) Método gráfico (continuación)

Es importante darse cuenta que las unidades de a y b se obtienen a partir de las unidades de x e y. Los puntos experimentales se distribuyen siguiendo una línea recta como predice la ley física: v = v0+g·t Esta ecuación se corresponde con la de una recta donde x→t y → v(t) Y por tanto, a→g b → v0 El método gráfico se obtiene sin mas que determinar la pendiente y el punto de intersección con el eje y: a = g ≈ 9.4 m·s-2 y b ≈ 4 m·s-1

¿Es posible determinar errores de a y b? Si, aunque es un método en general muy impreciso


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i) Método gráfico (continuación)

Dependencia de la velocidad frente al tiempo 40 y = 3.98 + 9.5069x R= 0.97045

30

20

10

0

b ± ∆b

0

1

2

3

t/s Al calcular a y b cuidado con las unidades de x e y.

4


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ii) Método de mínimos cuadrados

Válido para cualquier tipo de función Caso más sencillo: ajustar el conjunto de puntos a una línea recta de ecuación y = a·x + b El método de los mínimos cuadrados da como mejor estimación de los parámetros a (pendiente de la recta) y b (ordenada en el origen) aquellos que minimizan la suma de los cuadrados de las diferencias entre los puntos experimentales y los de la recta. 40 y = 3.98 + 9.5069x R= 0.97045

∆Yi = a·xi+b - yi

30

20

10

0

0

1

2

t/s

3

4


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ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):

Sean (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) un conjunto de puntos obtenidos experimentalmente. Si no se dice lo contrario todos con el mismo peso estadístico. En caso contrario, cada punto debe ser pesado con la frecuencia correspondiente El método de mínimos cuadrados trata de obtener la ecuación de la recta y=a·x+b que mejor se ajusta a los datos experimentales. Para cada uno de los valores x1, x2, …, xn se obtienen los valores del ajuste Y1=a·x1+b, Y2=a·x2+b, …, Yn=a·xn+b. Se define la desviación ∆Yi como la diferencia entre el valor experimental yi y el correspondiente valor del ajuste Yi: ∆Y1 = Y1 − y1 = a· x1 + b − y1 ∆Y2 = Y2 − y2 = a· x2 + b − y2 M

∆Yn = Yn − yn = a· xn + b − yn El criterio de mínimos cuadrados consiste en imponer la condición de que

n

∑ (∆Yi )2

sea mínimo.

i =1

Este método nos determina los valores de a y b que hacen que la cantidad n n 2 R = ∑ (∆Yi ) = ∑ (a· xi + b − yi )2 i =1

sea mínima.

i =1


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ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):

Este criterio podría parecer arbitrario: podría hacerse mínima la suma n

∑ (∆X i )2

o bien la distancia del punto a la recta

i =1

La razón de ser queda clara cuando se elige como variable independiente x aquella magnitud que se puede controlar mejor y que se puede medir con mayor precisión o menor error relativo. Así, su contribución al error absoluto de los coeficientes de la recta será despreciable frente a la contribución de la variable y. Condición de mínimo exige que ∂R/∂a=0 y ∂R/∂b=0: n ∂R = 2·∑ (a· xi + b − yi )· xi = 0 ∂a i =1 n ∂R = 2·∑ (a· xi + b − yi ) = 0 ∂b i =1

Los valores de a y b que hacen mínimo R dan lugar a: a·∑ xi + b·n = ∑ yi

  a·∑ xi2 + b·∑ xi = ∑ xi · yi 

Resolviendo este sistema obtenemos los valores de la pendiente y de la ordenada en el origen:


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ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):

n ∑ yi ∑ xi · yi ∑ xi = ∑ yi ·∑ xi − n·∑ xi · yi a= ∑ xi n (∑ xi )2 − n·∑ xi2 ∑ xi2 ∑ xi ∑ xi ∑ yi xi2 ∑ xi · yi ∑ xi ·∑ xi · yi − ∑ yi ·∑ xi2 ∑ = = y − a· x b= 2 2 x n ∑ i (∑ xi ) − n·∑ xi ∑ xi2 ∑ xi

Donde x=

1 1 x ; y = yi ∑ ∑ i n n

El coeficiente de correlación, r, entre x e y es una medida de lo bien que se aproximan los puntos experimentales a la recta ajustada y viene dado por r=

∑ ( xi − x)( yi − y ) ∑ ( xi − x)2 ·∑ ( yi − y)2

r = 1 correlación perfecta, r = 0.7 los puntos se alejan de una recta


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ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):

Como xi e yi son medidas experimentales poseen una cierta incertidumbre asociada, bien al proceso de medida, bien a la precisión de los instrumentos. Esto hace que los coeficientes a y b obtenidos mediante el ajuste por mínimos cuadrados tengan cierta incertidumbre. Recordemos que la condición de mínimo presupone que los errores de xi son despreciables frente a los de yi. Para que esta suposición sea válida se debe elegir como variable independiente aquella que se puede variar con mayor control y medir con menor error relativo. Mediante propagación de errores: n

n ∂a ∂a ·∆x j + ∑ ·∆y j ∆a = ∑ y ∂ x ∂ j j j =1 j =1 n

n ∂b ∂b ∆b = ∑ ·∆x j + ∑ ·∆y j j =1 ∂x j j =1 ∂y j

Teniendo en cuenta la suposición inicial ∆xi = 0 n xi − n· xi ∂a ∑ ∑ xi − n·xi ·∆y = ⇒ ∆ = a ∑ j 2 2 ∂y j (∑ xi )2 − n·∑ xi2 j =1 (∑ xi ) − n·∑ xi 2 n x · x − x j ·∑ xi − ∑ xi2 ∂b j ∑ i ∑ xi = ⇒ ∆b = ∑ ·∆y j 2 2 2 2 ∂y j (∑ xi ) − n·∑ xi j =1 (∑ xi ) − n·∑ xi


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ii) Método de mínimos cuadrados (continuación):

Aparte de este error existe un error intrínseco al método de ajuste por mínimos cuadrados y que se debe a que la recta no pasa por los puntos experimentales:

∑ (y j − a·xi − b )2 ∆a =

j

(n − 2)∑ ( x j − x) 2 j

∑ (y j − a·xi − b )2 ∆b =

j

n·( n − 2)

Recta que pasa por el origen:

y = a·x

a=

∑ xi · yi i

∑ i

xi2

∆a ≈

1 n −1

∑ ( yi − a·xi )2 i

∑ xi2 i


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Ejemplo:

En la siguiente tabla se muestra la longitud de un muelle en función de la masa que cuelga de él. Obtener la constante del muelle y su longitud inicial de acuerdo con la ley de Hooke. Suponer la masa del muelle despreciable.

M/g L/cm 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100

22.1 24.0 25.7 28.4 30.1 31.7 34.3 36.1 37.7 39.9

Alargamiento de un muelle frente a la masa suspendida 40

35

30

25

20

0

20

40

60

m/g

80

100

120


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xi/g

yi /cm

xi · yi/g·cm

xi2/g2

10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100

22.1 24.0 25.7 28.4 30.1 31.7 34.3 36.1 37.7 39.9

221 480 771 1136 1505 1902 2401 2888 3393 3990

100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 8100 10000

∑ xi = 550 ∑ y x = 55.0

i

= 310

∑ xi · yi = 18687 ∑ xi2 = 38500

y = 31.0

yi ·∑ xi − n·∑ xi · yi 310·550 − 10·18687 ∑ a= = = 2 2 2 550 − 10·38500 (∑ xi ) − n·∑ xi = 0.1984 cm / g = 1.984 m / kg b = y − a· x = 31 − 0.1984·55 = 20.09 cm


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Alargamiento de un muelle frente a la masa suspendida 40 y = 20.09 + 0.1984· x 35

30

25

20

0

20

40

60

80

100

120

m/g

Teniendo en cuenta las expresiones de los errores de a y b, obtenemos: ∆a = 0.00303 cm/g y ∆b = 0.18 cm Teniendo en cuenta la ley de Hooke: F = P = m· g = k ·(l − l0 ) y comparando con la ecuación de la recta y = a·x + b, se obtiene

a = g / k = 4.94 ± 0.07 N / m b = l0 = 0.2009 ± 0.0018 m


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Linealización de ecuaciones Hemos aplicado el método de los mínimos cuadrados cuando la relación entre dos variables es lineal. Existen múltiples casos en los que las leyes físicas están descritas por una relación no lineal entre variables Es posible generalizar este método para aplicarlo en el caso de funciones no lineales. Es posible realizar un cambio de variables que transforme la relación inicial en una relación lineal en las nuevas variables. Por ejemplo, la teoría indica que la relación entre el espacio recorrido por un móvil y el tiempo en caída libre es:

1 s (t ) = g ·t 2 2 En este caso es posible linealizar dicha ecuación para que tenga la forma y = a·x + n. Realizando los cambios de variable: t2 → x, s → y

la ecuación resultante es:

1 y = g ·x 2


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Linealización de ecuaciones (continuación):

Sin embargo hay otros ejemplos un poco más complicados: •

La variación de la resistencia, R, de un termistor con la temperatura sigue una dependencia exponencial: R = A·e B / T

La variación del calor específico, cp, de un sólido a baja temperatura: c p = a·T + b·T 3

La expansión adiabática de un gas verifica: P·V γ = cte

El periodo de un péndulo de longitud l: T = 2π l / g


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Se estudian las oscilaciones elásticas de un muelle helicoidal, de constante elástica k y masa m0. Se quiere determinar cómo depende el período de oscilación T de la masa m0. El estudio teórico predice un valor del período de:

T = 2π

M+

m0 3

k

siendo M una masa externa unida a un extremo del resorte, mientras que el otro extremo está unido a un punto fijo. Deseamos obtener la constante elástica k y la masa de este. El experimento se realiza midiendo los períodos T de oscilación del resorte en función de los distintos valores de M. Se han obtenido los siguientes datos experimentales: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T/s 1.074 1.288 1.460 1.625 1.768 1.905 2.028 2.145 2.258 2.365

M/kg 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55

Masa sobre el resorte frente al periodo 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0

0.1

0.2

0.3

M/kg

0.4

0.5

0.6


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Si desarrollamos la expresión del período y la comparamos con la ecuación de la recta tenemos:  y → T 2; x → M 2 m  4π   T2 = M + 0  ⇒  4π 2 4π 2 m0 k  3  ; b= a =  k k Cuadrado del periodo frente a la masa el resorte delsobre periodo 6

5

4

3

2

1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

M/kg

Ajuste del cuadrado del periodo frente a la masa sobre el resorte 6 y = m1 + m2 * M0 Value Error m1 0.17171 0.005159 m2 9.8548 0.014519 Chisq 0.00034784 NA

5

R

4

2

0.99998

NA

3

2 2

y = 0.17171 + 9.8548x R = 0.99998 1 0

0.1

0.2

0.3

M/kg

0.4

0.5

0.6


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Un recipiente contiene un determinado gas (supuesto ideal). Se comprime adiabáticamente midiendo la presión y el volumen del mismo. Las lecturas son: V/cm3

n

P/mbar

1

1000

150.0

2

1200

131.6

3

1400

118.2

4

1600

107.0

5

1800

98.6

6

2000

91.4

Calcular el coeficiente adiabático del gas (con su error) teniendo en cuenta que PVγ = Cte. Adjuntar tabla y representación gráfica adecuada.


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La resistencia eléctrica de un termistor varía con la temperatura como R = A exp( B / T ) Donde T es la temperatura absoluta y A y B son las constantes características del termistor. Las lecturas son: n

t/ºC

1

10

205.0

2

25

100.0

3

45

41.1

4

55

27.7

5

70

15.7

6

80

11.0

R/kΩ

Obtener las constantes A y B necesarias para calibrar el termistor y poderlo emplear como termómetro.


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Probabilidad y funciones de distribución

Hasta ahora hemos hablado de errores aleatorios y hemos dicho que se les puede aplicar procedimientos estadísticos pero no hemos justificado el porque de las cosas. El diccionario de la Real Academia de la Lengua establece 3 acepciones a la palabra estadística: 1) Estudio de los datos cuantitativos de una población, de los recursos naturales e industriales, del tráfico o de cualquier otra manifestación de las sociedades humanas. 2) Conjunto de estos datos 3) Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. La 1), además del recuento, conlleva organizar, presentar, resumir y estudiar. A esto se denomina Estadística Descriptiva. Natalidad, IPC, tasa de paro, población activa, … De ello se encarga el INE. La 2) hace alusión a la recogida de datos de interés sin que intervenga un aparato matemático importante. Estadísticas de una empresa, de un jugador de baloncesto, … La 3) que es la que a nosotros nos interesa es la que se denomina Estadística Inferencial, es decir, que permite sacar consecuencias de una población a partir de una muestra de ella. La diferencia esencial con la estadística descriptiva es que el conjunto de datos disponibles es la totalidad de los mismos.


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Probabilidad y funciones de distribución

Al no disponer de la totalidad de la población los resultados siempre podrán tener errores que se cuantifican mediante las técnicas de Cálculo de Probabilidades. Entonces, ¿por qué utilizamos muestras? Comodidad, ahorro económico, imposibilidad práctica de acceder a la totalidad de una población. La inferencia estadística es una herramienta básica en todas las ciencias experimentales, sociales, etc. Como ejemplo, y muy reciente, podemos mencionar las encuestas de estimación de voto con su error u horquilla, los controles de calidad que se regulan mediante normas ISO. En la Física, la estadística es una herramienta fundamental como en casi todas las ciencias experimentales, ya que permite medir las diferencias entre los valores experimentales obtenidos y los valores esperados según el modelo teórico supuesto (método científico). Los métodos estadísticos se utilizan para controlar los errores de medida y estudiar si los modelos son compatibles con los valores experimentales observados. En otras ocasiones, los modelos físicos incluyen modelos estadísticos como la ley de distribución de velocidades en un gas, las estadísticas de FermiDirac, Bose-Einstein, o el principio de incertidumbre.


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Probabilidad y funciones de distribución

Nos centraremos por tanto en la Estadística Inferencial. •Para muchos la estadística moderna nace con las técnicas del cálculo de probabilidades, que permitió obtener conclusiones de una población a través de una pequeña muestra de la misma con una pequeña probabilidad de fallo. •En ciencias como la Física, Química, etc., aparecen lo que se denomina fenómenos pseudoaleatorios, es decir son deterministas, pero pequeñas variaciones en las condiciones iniciales o efectos de fluctuaciones (errores aleatorios) hace que sean tratados como fenómenos aleatorios. •El origen del cálculo de probabilidades está ligado al estudio de los juegos de azar (Pascal y Fermat, 1650): cartas, dados, ruleta, etc. Huygens publicó en 1657 un trabajo relativo al juego de los dados. •En 1812, Pierre Simon, marqués de Laplace publica la primera definición de probabilidad. •La definición se basa en el deseo de tener una medida cuantitativa sobre el grado de seguridad de que un acontecimiento se produzca o no. Esta idea puede cuantificarse asignando un número a la probabilidad. •Si n es el número de casos posible, y h el número de casos favorables al suceso A, definimos la probabilidad p de acertar como p ( A) =

h número de casos favorables = número de casos posibles n

Def. clásica Laplace


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•Dos estudiantes de Físicas intentan ponerse de acuerdo en como pasar una tarde. Acuerdan que tomarán su decisión lanzando una moneda. Si sale cara irán al cine, si sale cruz saldrán a tomar una caña y si la moneda cae de canto, estudiarán. •Que podemos aprender: la experiencia, nos dice que los estudiantes no tienen muchas ganas de estudiar. Sabemos intuitivamente que la moneda no caerá de canto, que lo hará sobre la cara o sobre la cruz. Si la moneda es legal, la posibilidad de que salga cara o cruz son las mismas. •La probabilidad se basa en cuestiones tales como : ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga de canto? ¿Probabilidad de que salga cara? ¿Y de que salga cruz? •Desde un punto de vista matemático, necesitamos asignar valores numéricos a cada una de las probabilidades involucradas. •Si llamamos p el valor numérico de la probabilidad de que al lanzar una moneda, salga cara. Puesto que es igualmente posible que al lanzar la moneda, salga cruz, la probabilidad de que salga cruz también debe tener asignado el valor p. •Como tenemos la certeza de que saldrá cara o cruz, 2p debe ser el valor asignado al suceso seguro, el que ocurrirá siempre que lancemos una moneda al aire. Eligiendo el valor 1 para el suceso seguro. Esto es 2p=1. Entonces la probabilidad de que la moneda muestre cara es : 1/2 ; la probabilidad de que muestre cruz es : 1/2; y la probabilidad de que salga cara o cruz es: ½+ ½ =1


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•Si lanzamos una moneda tenemos dos resultados posibles: cara o cruz. La probabilidad de que salga cara es p = ½. La probabilidad de que salga cruz es también ½ y por tanto ½ + ½ = 1 indica que es seguro que salga cara o cruz. •En el caso de un dado con 6 caras marcadas del 1 al 6, la probabilidad de que salga un 3 es 1/6 y la probabilidad de que salga un número par es 3/6 = ½. •Si lanzamos una moneda 200 veces y anotamos el número de veces que sale cara: NT

10

30

50

70

90

110

130

150

170

200

NC

6

16

27

37

48

57

68

77

86

101

Fa

6

16

27

37

48

57

68

77

86

101

Fr

0.60

0.533

0.540

0.528

0.530

0.518

0.523

0.513

0.506

0.505

•Las frecuencias absolutas proporcionan escasa información de cómo se comporta el suceso a medida que el número de medidas crece, es más se da la paradoja que la diferencia entre caras y cruces puede aumentar. Por ello se calculan las frecuencias relativas: cociente de la frecuencia absoluta del suceso (número de caras) y el número total de pruebas realizadas.


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•El este diagrama hemos dibujado las frecuencias para nuestro experimento y se puede comprobar que las frecuencias relativas del suceso CARA tienden a estabilizarse hacia un valor 0.5. •Esto quiere decir que la frecuencia del suceso cara toma valores más próximos a 0.5 de manera que las fluctuaciones u oscilaciones alrededor de este valor son cada vez más pequeñas, es decir, el polígono de frecuencias se suaviza conforme aumenta el número de tiradas.

Frecuencia relativa

0.62 0.6 0.58 0.56 0.54 0.52 0.5 0

50

100

150

200

250

Numero de sucesos

•Jacques Bernouilli demostró la ley de los grandes números que dice: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un valor a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente. •A este número, al que la frecuencia relativa se acerca cuanto mayor es el número de pruebas realizadas, se denomina probabilidad del suceso. •Problema, para conocer la probabilidad es preciso realizar un gran número de pruebas, de esta forma sólo podemos obtener un valor aproximado de la probabilidad


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•Por definición, p es un número comprendido entre 0 y 1. Si p = 0 el suceso es imposible. Si p = 1 es seguro ganar, ya que todos los resultados son favorables (h = n) •Si h son los casos favorables, n-h son los desfavorables y, por tanto, la probabilidad de no ganar es q=

n−h =1− p n

de donde p + q = 1. De modo que la suma sea la unidad. •A la definición de Laplace hay que añadir que los casos deben ser “igualmente probables” cometiendo el error de incluir en la definición lo que se quiere definir. •Surge la definición axiomática de la probabilidad, que establece la probabilidad de un suceso como el número al que tiende el cociente entre el número de veces que sucede (frecuencia) y el núemro de veces que se realiza el experimento. •Kolmogorov relacionó el concepto de frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de ensayos es muy grande. •Esta definición es la que aplicamos al tratar de representar los errores de medida mediante un modelo estadístico. Es de esto modo en el que se unen la estadística y la probabilidad, que a partir aquí se desarrollan de modo conjunto. •La estadística permite medir las diferencias entre los valores experimentales obtenidos y los valores esperados.


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•La definición de Kolmogorov relacionada con las frecuencias relativas y que enunción von Mies: Se llama probabilidad de un suceso al límite de la frecuencia relativa de éste, cuando el número de pruebas efectuadas tiende a infinito

cumple los siguientes axiomas: 1) La probabilidad de un suceso A, p(A), cualquiera es positiva o nula: p(A) ≥ 0 2) La probabilidad de un suceso cierto es igual a la unidad p(A) = 1 3) La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos: p(A∪B) = p(A) + p(B) 4) La probabilidad del suceso , contrario al suceso A, es p( ) A = 1 – p(A) A 5) La probabilidad del suceso imposible es cero 6) La probabilidad de un suceso es menor o igual a la unidad. La probabilidad de un suceso está comprendida entre 0 y 1 7) Si el espacio muestral de un experimento se puede descomponer en n posibles sucesos equiprobables e incompatibles entre sí, y de ellos h son favorables a la realización de un cierto suceso B, la probabilidad de éste es h/n; razón entre casos favorables al suceso B y el número de casos posibles


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8) La probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B independientes es el producto de las probabilidades de cada uno de ellos separadamente. Como las probabilidades son inferiores a la unidad, el producto es siempre inferior a cualquiera de los factores. 9) Si los sucesos A y B son compatibles, se verifica que la unión de A y B es p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)


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Ejercicios y problemas

1) Se considera un experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado. Calcular la probabilidad de obtener: • Número par • Número primo • Múltiplo de tras • Múltiplo de cinco 2) Se realiza un experimento aleatorio que consiste en lanzar dos monedas. Hallar las siguientes probabilidades: • Obtener dos caras • Obtener dos cruces • Obtener una cara y una cruz • Obtener al menos una cruz 3) Se realiza un experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de la baraja española. Halla las siguientes probabilidades: • Obtener un oro • Obtener un as • Obtener la sota de espadas 4) Lanzamos dos dados y anotamos su suma. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos: • Obtener una suma igual a 11 • Obtener suma igual a 8 • Obtener suma menor o igual a 4


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•Ejercicios y problemas 8) Hallar la probabilidad de que al lanzar 3 monedas se obtenga al menos una cara. 9) Un saco hay a bolas blancas y b bolas negras. Se saca una bola ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca? A continuación se saca otra sin devolver la anterior. Determinar la probabilidad de que sea también blanca. 10) En una urna hay a bolas blancas y b bolas negras (a≥2). Sacamos dos bolas simultáneamente. ¿Calcular la probabilidad de que las dos bolas sean blancas? 11) En el juego de la ruleta rusa se inserta una bala en un revólver con capacidad para seis. Se gira la cámara, se apunta a la cabeza y se dispara. ¿Cuál es la suerte de quedar vivo después de jugar una vez, dos veces, tres veces, muchas veces? 12) Tenemos 6 bolas en una bolsa, bolas blancas y negras, calcular la probabilidad de sacar 2 blancas y una negra (con reemplazamiento) para cada uno de los casos posibles (todas blancas, 5B y 1N, 4B y 2N, …) 13) Si realizamos una apuesta a la Lotería Primitiva (marcamos 6 de los 49 números), calcular la probabilidad de tener 6 aciertos. Y 5 aciertos.


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•Si x es el resultado de un experimento, definiremos la probabilidad de que el valor verdadero sea x como la frecuencia del resultado x en un conjunto suficientemente amplio después de repetir el experimento muchas veces. •Una magnitud o variable se llama discreta si sólo puede tomar un número contable de valores, es decir, los posibles valores son números aislados. Ej.: número de turistas al año, número de ordenadores defectuosos en un lote de 100, etc. •Por lo general, se representan en forma de tablas de distribución de frecuencias. Se asigna a cada número que aparece su frecuencia absoluta (número de veces que se repite un dato). A partir de esta se puede obtener la frecuencia relativa, es decir, el cociente entre las frecuencias absolutas y el número total de datos. Además, se puede calcular el porcentaje correspondiente. •Supongamos que realizamos un total de n medidas de una cantidad o variable x, un experimento muestra que x1 aparece f1 veces, x2 se registra f2 veces, …, xi, fi veces. Entonces se tiene que para los valores de la variable discreta tenemos frecuencias absolutas fi, frecuencias relativas fri o porcentajes pi que verifican: f1+f2+…+fi = n; fr1+fr2+…+fri = 1; p1+p2+…+pi = 100

1 2 3 4

fi 2 3 2 3

Total 10

fri 0.2 0.3 0.2 0.3

pi 20 30 20 30

1

100

Fi 2 5 7 10


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NT

10

30

50

70

90

110

130

150

170

200

fi

6

16

27

37

48

57

68

77

86

101

fri

0.60

0.533

0.540

0.528

0.530

0.518

0.523

0.513

0.506

0.505

•Cuando se utilizan las frecuencias relativas se dice que la distribución de frecuencias está normalizada, es decir, pasar de la frecuencia absoluta a la relativa es equivalente a normalizar la distribución •En la tabla vemos que a medida que aumenta el número de medidas las fluctuaciones de la frecuencia relativa disminuyen. Ejercicio: número de monedas en nuestros bolsillos. xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fi 1 1 4 9 11 12 6 4 2 2 1

fri 1/53 1/53 4/53 9/53 11/53 12/53 6/53 4/53 2/53 2/53 1/53

p (1/53)×100 (1/53)×100 (4/53)×100 (9/53)×100 (11/53)×100 (12/53)×100 (6/53)×100 (4/53)×100 (2/53)×100 (2/53)×100 (1/53)×100


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•La representación gráfica de las variables discretas se realiza mediante los diagramas de barras. Se sitúa en el eje de abscisas los valores xi de la variable y en el eje de ordenadas, barras de longitud igual a la frecuencia. Podemos representar frecuencias relativas, absolutas, porcentajes o los correspondientes valores acumulados. Diagrama de barras de frecuencias absolutas 14

Frecuencias absolutas

12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

5

6

Nº de monedas

7

8

9

10


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•Las variables continuas o de rango continuo son las que pueden, a priori, tomar cualquier valor de un intervalo real. Ej.: Altura de un grupo de personas, densidad de un material, consumo de gasolina de coche, etc. En estos ejemplos, cada dato medido puede situarse entre dos valores determinados y en principio no sabemos cuantos datos hay en cada intervalo. •Las variables continuas se describen mediante intervalos, de manera que todo valor posible este dentro de un intervalo. La amplitud de estos intervalos depende de la frecuencia de aparición de los valores de la variable. En general es más cómodo emplear intervalos iguales. •El número de intervalos debe estar en relación con el número de datos disponibles. Así, si n es el número de datos disponibles se suele emplear el criterio de tomar k intervalos, siendo k≈√n. k debe ser entero, luego se toma el entero más próximo al valor obtenido. Así, si n = 50, √50 = 7.07 luego dividiremos en 7. •Una vez determinado el número de intervalos podemos obtener la amplitud (suponiendo que todos tengan la misma amplitud) amplitud =

R rango ,a= nº de intervalos k

•Al número de valores observado en un intervalo de amplitud k se denomina frecuencia absoluta de dicho intervalo. La amplitud del intervalo corresponde por tanto con la diferencia entre los extremos del intervalo. •El conjunto de todos los intervalos deben cubrir todo el rango continuo de valores de la variable x. •Como siempre que se agrupan datos tenemos pérdida de información.


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•Las variables continuas agrupadas en intervalos se representan mediante los histogramas. Para construir un histograma se representan los intervalos en el eje de abscisas y sobre cada uno se levanta un rectángulo de área proporcional a la frecuencia de dicho intervalo. Cuando los intervalos son de igual amplitud, las áreas serán proporcionales a las alturas. En estos casos, se suelen incluir los valores de las frecuencias (absolutas, relativas o porcentajes). •Los rectángulos deben estar yuxtapuestos para respetar la continuidad de la variable y la suma de las áreas de todos ellos debe ser igual bien al número total de observaciones (si representamos la frecuencia absoluta), bien a 1 (si representamos la frecuencia relativa). Si los intervalos tienen la misma amplitud, el criterio de igual área se puede sustituir por el de igual altura a igual frecuencia. Esto representa lo que se denomina distribución de frecuencias. •La altura por ejemplo es una variable continua aunque el aparato de medida tenga una determinada precisión. Eso no quiere decir que los alumnos crezcan de 0.1 en 0.1 cm.


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Distribución límite • Cuando el número de medidas aumenta, la amplitud del intervalo disminuye y el histograma comienza a tener un aspecto suavizado. La envolvente es claramente visible


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Distribución límite De la figura anterior dan lugar a los siguientes comentarios: a) Cuando tenemos pocas medidas cada una representa mediante una barra indicando su valor sobre el eje x. b) Representa los datos de a) en forma de histograma donde se agrupan los resultados mediante intervalos iguales c) Mismo histograma que b) pero aumentando el número de medidas, esto hace que la amplitud del intervalo se reduzca. d) Seguimos reduciendo la amplitud del intervalo e) Para un gran número de medidas y un intervalo cada vez menor el histograma se aproxima a una distribución continua. Esta figura ilustra una propiedad importante de la mayor parte de las medidas: cuando el número de medidas se aproxima a infinito, su distribución se aproxima a una curva continua denominada distribución límite. Como puede verse esta curva tiene forma de campana. Al representar las frecuencias relativas la función de distribución límite se convierte en la función de probabilidad de la medidas.


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2.87 2.44 3.49 3.83 3.97 4.69 3.35 1.89 3.90 3.55

4.69 3.03 3.00 4.96 3.10 1.84 2.23 3.64 1.96 4.39

3.15 3.61 4.43 2.69 2.04 2.62 3.96 2.41 4.03 4.70

5.33 3.19 3.19 5.03 3.92 1.93 2.74 2.83 3.03 2.64

3.70 1.41 3.87 1.04 2.43 2.87 3.44 0.920 4.22 2.88

Histograma que estudia la velocidad de un ordenador 14

12

Frecuencia

10

8

6

4

2

0 0.92

1.55

2.18

2.81

3.44

Rango

4.07

4.7

5.33

5.96


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Esta figura ilustra una propiedad importante de la mayor parte de las medidas: cuando el número de medidas se aproxima a infinito, su distribución se aproxima a una curva continua denominada distribución límite. Esta curva tiene forma de campana en el caso de sucesos aleatorios. Al representar las frecuencias relativas la función de distribución límite se convierte en la función de probabilidad de la medidas.


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Definida la función f(x), f(x)dx indica el número de las n lecturas que caen en el intervalo x a x+dx, o en otras palabras, f(x)dx es la probabilidad de que una medida tomada aleatoriamente de la distribución aparezca en el intervalo, x a x+dx. La importancia de esta definición es que nos da la probabilidad de que una medida de x este comprendida entre x y x+dx. Por definición se debe satisfacer la relación: +∞ f −∞

( x)·dx = 1

(cond. normalización)

De este modo, la fracción de medidas que caen entre los valores a y b, o en otras palabras, la probabilidad de que al hacer una medida el valor este entre a y b, es el área total bajo la gráfica entre x=a y x=b y se calcula como: b f a

( x)·dx = fracción de medidas comprendidas entre x=a y x=b. b Asimismo, la integral ∫ f ( x)·dx = P(a<x<b) nos indica la a probabilidad de que cualquier medida este comprendida entre x=a y x=b. La probabilidad de obtener una respuesta entre -∞ y ∞ debe ser 1.


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La condición de normalización no implica que los valores de x se tengan que extender entre ±∞. En un experimento real, las medidas estarán comprendidas en un intervalo finito. Por ejemplo, la altura de los alumnos de esta clase está comprendida entre x=1.50 m y x=1.95 m. Y la posibilidad de encontrar a alguien fuera de este intervalo es despreciable. Es decir, f(x) es esencialmente cero fuera de este intervalo. Esto hace que integrar entre 1.50 y 1.95 m o entre -∞ y +∞ sea lo mismo. En caso general y como se desconocen los límites se emplea por conveniencia la integración entre ±∞. Si realizamos un número elevado de medidas de un mismo suceso, los valores estarán próximos al valor real si la medida se lleva a cabo de modo preciso y dan lugar a una distribución límite con un pico estrecho. Si la precisión es baja, los valores se dispersan y la distribución será más ancha entorno al valor verdadero.


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•La distribución límite f(x) para la medida de una cantidad x usando un aparato determinado describe como los resultados se distribuyen después de muchas, muchas medidas. •Si conocemos f(x) podríamos calcular el valor medio x que encontraríamos después de muchas medidas. •Sabemos que la media aritmética de un número de medidas es la suma de todos los valores xi, cada uno de ellos pesado por su frecuencia: x ⋅ f + x · f + ... + xn · f n x= 1 1 2 2 = ∑ xi · f ri n i •Si el número de medidas aumenta (variable continua) y dividimos el rango en pequeños intervalos de amplitud dx, el sumatorio se transforma en una integral +∞ x −∞

x=∫

f ( x) dx

De este modo calculamos el valor medio después de un número infinito de medidas. •La función de distribución límite representa de forma compacta toda la información que se obtiene de un experimento. Tanto la cantidad física que se ha medido como el aparato de medida (incluyendo al observador) están involucrados en la determinación de la posición y la forma de la curva.


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Funciones de distribución más empleadas en estadística son: 1.Normal o Gaussiana 2.Binomial 3.Poisson DISTRIBUCIÓN NORMAL •Diferentes tipos de medidas tienen diferentes distribuciones límite. •La distribución normal o gaussiana tiene forma de campana. •Es una función simétrica •La mayor parte de las medidas en el laboratorio dan lugar a curvas simétricas •Si una medida esta sujeta a errores aleatorios y los sistemáticos son despreciables, los valores medidos se distribuyen con una campana simétrica y centrada en el valor verdadero de x. •Si la medida tuviera error sistemático la distribución no estará centrada en el valor verdadero, sino que aparece desplazada. Los valores se ven afectados en una misma dirección y la función de distribución se desviará del valor verdadero. •Admitimos como valor verdadero de una magnitud continua aquel valor al que nos aproximamos cuando aumentamos el número de medidas. •La función matemática que describe una curva con forma de campana es la distribución normal o de Gauss.


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Tiene la forma: e− x

2 / 2σ 2

donde σ es un parámetro que da idea de la anchura de la función. Vale lo mismo para x que para –x. Gaussinana centrada en x=0. Para obtener una gaussiana centrada en x = x no tenemos más que reemplazar x por x − x e −( x − x )

2 / 2σ 2

Esta función tiene su máximo en x = x y es simétrica en torno a x=x Esta función debe estar normalizada: +∞ f −∞

( x)·dx = 1

Definimos la función: f ( x) = N ·e

−( x − x ) 2 / 2σ 2

El factor de normalización no modifica la forma de la curva ni desplaza el máximo de la función. Entonces +∞ f −∞

2 2 +∞ N ·e −( x − x ) / 2σ dx −∞

( x)·dx = ∫

Mediante el cambio de variable y = x − x +∞ − y 2 / 2σ 2 e dy −∞

= N∫


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Haciendo el cambio de variable y/σ=z tenemos +∞ − z 2 / 2 e dz −∞

= Nσ ∫

La solución de esta integral es +∞ − z 2 / 2 e dx −∞

= 2π

Por tanto, +∞ f −∞

( x)·dx = Nσ 2π = 1

Entonces N=

1 σ 2π

La función normal o gaussiana en su expresión más general se define por:

f ( x) = G ( x) =

1 e σ 2π

( x− µ )2 − 2σ 2

µ → x : la media poblacional y la muestral coinciden para n → ∞ σ : desviación típica


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Distribución normal o gaussiana. Cumple las siguientes propiedades: 1) Es una función continua en toda la recta real 2) Es simétrica respecto del parámetro µ 3) Nunca toma el valor 0, pero el eje x es su asíntota horizontal 4) Es creciente para x<µ y decreciente para x>µ 1 5) Presenta un máximo en el punto x=µ y vale σ 2π 6) Tiene dos puntos de inflexión x=µ+σ y x=µ−σ


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Es importante destacar que lo que antes definíamos ahora surge de modo natural, la anchura de la distribución está relacionada con los errores y el valor medio como valor verdadero coincide con la posición de la gaussiana. La probabilidad de obtener un valor x dado se puede obtener por tanto como b ∫ f ( x)·dx = P(a ≤ x ≤ b) a

que es la probabilidad de que una medida cualquiera de la magnitud x este en el rango a≤x≤b En el caso de la distribución normal o gaussiana la probabilidad de que el valor verdadero este en el intervalo µ±σ es µ +σ µ −σ

P(µ − σ ≤ x ≤ µ + σ ) = ∫

1 f ( x )·dx = σ 2π

+ ∞ −( x − µ )2 / 2σ 2 e dx −∞

Que no es otra cosa que el área comprendida entre µ−σ y µ+σ.

Ejemplo de cálculo de probabilidades Supongamos que al medir el periodo de un péndulo sólo tenemos errores aleatorios y, por tanto, sigue una distribución gaussiana con µ=1.78 s y σ=0.10 s.

¿Cuál será la probabilidad de que al realizar una medida su valor esté comprendido entre 1.68 s y 1.78 s?


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Para calcular esta integral en el caso de límites finitos se requieren métodos numéricos para evaluarla. Se recurre a lo que se denomina tipificación de la variable, que consiste en un cambio de variable de tal manera que la distribución queda centrada en cero y la desviación estándar es la unidad:

f ( x) = G ( x) = x−µ El cambio t = σ G(0,1)

1 e σ 2π

( x− µ )2 − 2σ 2

convierte a la distribución G(µ,σ) en otra

G (0,1) =

1 2π

z2 − e 2

De esta forma la distribución normal se convierte en la función de error que está debidamente tabulada

G ( z ) = erf ( z ) =

1 2π

z −∞

t2 − e 2


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A partir de la distribución de probabilidad

P ( a ≤ x ≤ b) =

b

a

f ( x; µ ,σ )dx =

1 0.1

1.78 −

2π ∫

1.68

( x−1.78)2

e

2·0.12

dx

A partir de la función de distribución tipificada o función de error tenemos: Cambio de variable:

P ( a ≤ x ≤ b) =

t=

x−µ

σ

a = 1.68 → ta = −1 ⇒  b = 1.78 → tb = 0

b

b

a

a

−∞

−∞

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx −∫ f ( x)dx =

G (b) − G (a) = erf (tb ) − erf (ta ) = 0.5 − (1 − 0.8431) = 0.3431 (34%)


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Ejercicios • Una empresa fabrica tubos de acero cuyos diámetros interiores siguen una distribución normal de media 5 cm y desviación típica 0.5 cm. ¿Qué porcentaje de tubos al medir con el calibre tienen diámetro superior a 6 cm? • La conductividad térmica del Cu a 0ºC es k = 385.0 W·m-1·K-1. Un gran número de medidas de k, libres de error sistemático, forman una gaussiana con error estándar σ = 15.0 W·m-1·K-1. ¿Cuál es la probabilidad de que una sola medida aparezca en los rangos 385.0 a 388.0, 400.0 a 403.0, 405.0 a 408.0, 370.0 a 400.0, 355.0 a 415.0 y 340.0 a 430.0 W·m-1·K-1? • La función de distribución de una variable aleatoria definida en el intervalo [1,4] es f(x)=ax+b. Sabiendo que p(x>3)=0.6, calcular: 1. a y b 2. P(x) 3. Valor medio de x


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Ejercicios •

La distribución límite en una medida hipotéticaestá dada por una función triangular (v. figura), donde el valor de f(0) es C. • ¿Cuál es la probabilidad de que una medida este fuera del rango x = -a y x= a? • ¿Cuál es la probabilidad de obtener una medida con x>0? • Obtener C a partir de la condición de normalización en función de a • Dibujar la función para el caso a = 1 y a =2

Un estudiante mide una cantidad y varias veces y calcula su valor medio y = 23 y una desviación estándar σy = 1. ¿Qué fracción de sus resultados esperaríamos encontrar entre a) 22 y 24? d) 21 y 23? b) 22.5 y 23.5? e) 24 y 25? c) 21 y 25?


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Justificación de la media como mejor estimación

La distribución límite f(x) obtenida después de un número infinito de medidas de una cantidad x. Si conociéramos f(x) podríamos calcular x y la desviación estándar σ después de infinitas medidas, y podríamos también obtener el verdadero valor X. Desafortunadamente la función límite no es conocida. En la práctica tenemos un número finito de valores medidos x1, x2, …, xN y nuestro problema es obtener la mejor estimación de X y σ a partir de los N valores medidos. Si las medidas siguen una distribución normal GX,σ(x) y si conociéramos los valores de los parámetros X y σ, podríamos calcular la probabilidad de obtener los valores x1, x2, …, xN. La probabilidad de obtener una medida próxima a x1 en un pequeño intervalo dx1 es −( x1 − X ) 2 / 2σ 2 1 Prob ( x ∈ [ x1, x1 + dx1 ]) = e dx1 σ 2π


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Justificación de la media como mejor estimación

No estamos interesados en el tamaño del intervalo y podemos abreviar la probabilidad como Prob ( x1 ) ∝

1

σ

e

−( x1 − X ) 2 / 2σ 2

Que no es mas que la probabilidad de obtener el valor x1. La probabilidad de obtener x2 es Prob ( x2 ) ∝

1

σ

e

−( x 2 − X ) 2 / 2σ 2

Y podemos escribir la probabilidad de xN como Prob ( xN ) ∝

1

σ

e

−( x N − X ) 2 / 2σ 2

Son las probabilidades de obtener cada una de las medidas x1, …, xN, calculadas en términos de la distribución límite GX,σ(x). La probabilidad de obtener el conjunto total de las N medidas es el producto de las probabilidades (sucesos independientes): Prob X,σ (x1, ..., xN ) = Prob ( x1 ) × Prob ( x2 ) × ... × Prob ( xN ) Prob X,σ (x1, ..., xN ) =

1

σ

N

e

−∑ ( xi − X ) 2 / 2σ 2

IFE Apuntes  

Apuntes Introducción a la Física Experimental Universidad de Cantabria Curso 2003-04

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