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InfoMagazine

Dic.2011


Evolución de la mecatrónica

La Mecatrónica ha evolucionado en la medida que se han podido integrar los avances logrados por sus diversos componentes. A pesar de que no se puede hablar de fechas exactas, el crecimiento de la mecatrónica ha sido evidente. Históricamente el proceso se divide en tres etapas básicas que son: • Primera etapa: Finales de 1978 – comienzo de 1980. Fue el periodo en el cual se introdujo el término en el medio industrial, y se buscó su aceptación. En esta etapa, cada una de las ingenierías que ahora abarca la mecatrónica se desarrollaba independientemente. • Segunda etapa: Década de 1980. Inicia la integración sinérgica de los componentes actuales (mecánica, electrónica, informática), se consolida la interdisciplinariedad de la nueva ciencia y se acuña el término a partir de la experiencia inicial en Japón. • Tercera etapa: Finales de la década de 1980 – Década 1990. Dicho periodo puede considerarse como el que inicia la era de la mecatrónica, y se basa en el desarrollo de la inteligencia computacional y los sistemas de información. Una característica importante de esta última etapa es la miniaturización de los componentes en forma de micro procesadores y microsensores, integrados en sistemas micro electromecánicos o en micro mecatrónica. Actualmente la era digital dirige el rumbo de la mecatrónica, aplicada al desarrollo de software y hardware para computadores, de máquinas y sistemas inteligentes, y de automatizaciones industriales.


Historia de la mecatrónica

Aunque no existe una fecha exacta a la que se pueda adjudicar el nacimiento de la mecatrónica, expertos y conocedores del tema aseguran, que esta ingeniería nació en la década de 1980, sin embargo, el libro Informática i “un enfoque constructivista”, afirma que el concepto ‘mecatrónica’, fue desarrollado hace 15 años, por una firma japonesa fabricante de robots, y aunque en un principio hacía referencia solamente a la integración de la mecánica y la electrónica en un producto, paulatinamente se fue consolidando como una especialidad de ingeniería, en la que además de las dos áreas mencionadas, también se incorporaron elementos importantes como los sistemas informáticos, microelectrónica, inteligencia artificial y Teoría de control. Para el Ingeniero Luis Llano, director del programa de mecatrónica de la Universidad Militar Nueva Granada, la mecatrónica nace para suplir tres necesidades latentes; la primera, encaminada a automatizar la maquinaría y lograr así procesos productivos ágiles y confiables; la segunda crear productos inteligentes, que respondan a las necesidades del mundo moderno; y la tercera, por cierto muy importante, armonizar entre los componentes mecánicos y electrónicos de las máquinas, ya que en muchas ocasiones, era casi imposible lograr que tanto mecánica como electrónica manejaran los mismos términos y procesos para hacer o reparar equipos. Según Llano, en el pasado, cada vez que un problema afectaba cualquier tipo de maquinaria con componentes mecánicos y electrónicos, había que recurrir por separado a profesionales especialistas en cada una de las áreas, y era muy difícil ponerlos de acuerdo sobre la solución del inconveniente, ya que cada profesional manejaba terminología y conceptos diferentes. En este punto, la mecatrónica empezó a ser de gran utilidad, ya que integró de manera armoniosa los conceptos que cada ciencia manejaba por separado, para lograr de esta forma, convertirse en una ingeniería capaz de aportar lo mejor de cada área.


Transformada Z Definición La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral La transformada Z bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define:

Donde n es un entero y z es en general, un número complejo de la forma: z = Aejω Donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como:

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es casual. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge "hacia afuera". Un ejemplo interesante de la Transformada Z unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de probabilidad.


Transformada Z inversa La Transformada Z inversa se define:

Donde

es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de

convergencia (ROC). El contorno,

, debe contener todos los polos de

.

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

La Transformada Z con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier es un caso especial de la Transformada Z, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad. Definición Básica de la Transformada-Z La transformada-z de una secuencia es definida por: X(z)=∑ n=−∞ ∞ x[n]z −n Algunas veces esta ecuación es conocida como la transformada-z bilateral. En veces la transformada-z es definida por : X(z)=∑ n=0 ∞ x[n]z −n la cual es conocida como la transformada-z unilateral. Hay una relación cercana entre la transformada-z y la transformada de Fourier de una señal discreta, la cual es definida como: X(e iω )=∑ n=−∞ ∞ x[n]e −(iωn)


Note que cuando z −n es remplazada con e −(iωn) la transformada-z se convierte en la transformada de Fourier. Cuando la transformada de Fourier existe, z=e iω , la cual debe de tener la magnitud unitaria para z . Región de convergencia (ROC) La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada Z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la Transformada Z de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada Z converge. Ya que la transformada Z es una serie de potencia, converge cuando x[n]z − n es absolutamente sumable.

Propiedades de la Región de Convergencia: La región de convergencia tiene propiedades que dependen de las características de la señal, x[n]. 

La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para toda la z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.

Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞. Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde x[z]. Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo más cercano en x[z]. Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que está restringida en su interior y exterior por un polo.


Ejemplo 1 (Sin ROC) Sea

. Expandiendo

en

obtenemos

Siendo la suma

No hay ningún valor de Z que satisfaga esta condición. Ejemplo 2 (ROC causal)

ROC muestra en azul, el círculo es un punto gris y el círculo muestra del círculo. Sea

(donde u es la función escalón. Expandiendo

en

obtenemos

Siendo la suma:

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad sólo se conserva si

, lo cual puede


ser reescrito para definir

de modo

. Por lo tanto, la ROC es

. En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro. Ejemplo 3 (ROC anticausal)

ROC muestra en azul, el círculo unitario como un punto gris circular i el circulo exterior

muestra del círculo.

Sea Expandiendo

(donde u es la función escalón). entre

obtenemos

Siendo la suma

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la igualdad sólo se mantiene si

, de modo que podemos definir Z

como . Aquí, la ROC es centrado en el origen de radio 0,5.

, es decir, el interior de un círculo


Conclusión de los ejemplos Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada de es única si y sólo si se especifica cuál es la ROC. Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contiene polos. En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye , mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye

.

En los sistemas con múltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya. La ROC crea una región circular. Por ejemplo, tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC será , la cual no incluye ni el origen ni el infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un término causal

y otro anticausal

.

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el círculo unidad (p. ej. ) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque

contiene el círculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un determinar una única señal siguientes propiedades:  

ambiguo) podemos

en función de que queramos o no las

Estabilidad Causalidad

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen. De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo

que sea única.


Propiedades 

Linealidad. La Transformada Z de una combinación lineal de dos señales en el tiempo es la combinación lineal de sus transformadas en Z.

Desplazamiento temporal. Un desplazamiento de k hacia la derecha en el dominio del tiempo es una multiplicación por z−k en el dominio de Z.

Convolución. La Transformada Z de la convolución de dos señales en el tiempo es el producto de ambas en el dominio de Z.

Diferenciación.


Tabla con los pares mĂĄs habituales de la transformada Z SeĂąal, x(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

Transformada Z, X(z)

ROC


Relación con Laplace La Transformada Z bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada

Donde muestra,

es la señal continua muestreada, el período de muestreo, y con la sustitución

la n-ésima .

Del mismo modo, la Transformada Z unilateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo. Relación con Fourier La Transformada Z es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DTFT puede hallarse evaluando la TZ en o, lo que es lo mismo, evaluada en el círculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad. Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal basada en la ecuación de la media autorregresiva.

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por normalizando la ecuación LCCD puede ser escrita:

, si no es cero,


Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual entrada actual

se define en función de las salidas anteriores , y las entradas anteriores

, la

.

Función de transferencia Se calcula haciendo la Transformada Z de la ecuación:

y dividiendo

Ceros y polos Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos).Factorizando la función de transferencia:

Donde es el k-ésimo cero y es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo. En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador. Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio


del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

Salida del sistema Si por un sistema

pasa una señal

entonces la salida será

. Haciendo una descomposición en fracciones simples de y la Transformada Z inversa de cada una de ellas puede encontrarse entonces la salida

.

Otros ejemplos de Transformada Z Ejemplo 1 Halle X[Z] si X[n]= [n]. Solución Se define

por consiguiente,

o sea, X[Z] = 1·Z0 = 1. Ejemplo 2 Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos. Hallar X[Z]. Solución Acá,


Por consiguiente,

Sabiendo que

se tiene,

S铆 el periodo de muestreo T = 1, se tiene

Ejemplo 3 Sea

Halle X[Z]. Soluci贸n

por tanto,


Como es una serie geométrica, la expresión para X[Z] sólo es válida sí |1/3Z-1| < 1 Ó sea que |Z-1| < 3, y por tanto |Z| > 1/3. La anterior ecuación, define la región de convergencia de X[Z] en el plano complejo así:

Ejemplo 4 Dada X[Z] como,

Halle X[Z]. Solución

Si se hacen los siguientes cambios de variables:


n = -m en la primera sumatoria n = 2m en la segunda sumatoria n = 2m + 1 en la tercera sumatoria se tiene:

Se trata de tres series geométricas que convergen sí: |1/3Z| < 1 o sea |Z| < 3 |1/9Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/3 |1/4Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/2 El intervalo de convergencia de X[Z] será la intersección de los tres intervalos anteriores, o sea 1/2 < |Z| < 3.

por tanto:

Ejemplo 5 Si X[n] = U[n] , halle X[Z]. Solución Se sabe que:


por tanto,

Que es una serie geom茅trica que converge si |Z-1| < 1 o sea si |Z| > 1.

Ejemplo 6 Halle la transformada Z de

Siendo a una constante. Soluci贸n

Converge si |aZ-1| o sea si |Z| > a. Ejemplo 7 Si


y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X[t] cada T segundos. Halle X[Z]. Soluci贸n

Se sabe que

Por tanto,

Por el ejemplo 2, se sabe que la transformada de X[n]=l-antes

Por tanto, en este caso se tiene:


Edición: Rosario Pérez Teoría de Control II Universidad Fermín Toro Cabudare. Estado Lara Producción Infomagazine Diciembre de 2011

Transformada Z  

Teoría de Control 2

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