ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ
ΝΙΚΟΛΑΣΤΡΑΚΑΣ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ
Aπαγορεύεταιημερικήήολικήαναδημοσίευσητουκειμένουκαιτωνσχεδίωντου βιβλίουχωρίςτηγραπτήάδειατουσυγγραφέακαιτουεκδότη. ΦιλολογικήΕπιμέλεια:ΠάνοςΧαρίτος Σχεδίασηεξωφύλλου:ΘοδωρήςΚονταξής Σελιδοποίηση:ΣοφίαΜουσέτη ISBN:978-618-5289-79-9 ΕΚΔΟΣΕΙΣΡΟΠΗ Κωνσταντινουπόλεως64,Θεσσαλονίκη,Τ.Κ.54641,Tηλ.2310835550 info@ropipublications.com|www.ropipublications.com
ΕπιλεγμένεςΑσκήσειςΠανεπιστημιακήςΦυσικής-Μηχανική Copyright@2022Αυτότοέργοχορηγείταιεμπιστευτικάκαιμεκάθεεπιφύλαξη τωνδικαιωμάτωντουδημιουργού
...αφιερώνεται σταπαιδιάμου
9 11 13 37 47 69 79 87 97 111 117 Περιεχόμενα Περιεχόμενα Πρόλογος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 KINHMATIKH ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΥΝΑΜΙΚΗ - ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΜΑΖΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ - ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ 127 9
Τοβιβλίοπουκρατάτεσταχέριασαςαπευθύνεταικυρίωςστουςσπουδαστές/ σπουδάστριεςτωνθετικών,πολυτεχνικώνκαιτεχνολογικώνσχολώνπουθέλουν νακατανοήσουνβαθύτεραταβασικάστοιχείατηςΜηχανικής,ωςπρώτουεπιστημονικούκλάδουτηςΦυσικής.Αφορμήγιατησυγγραφήτουστάθηκεηπροσωπική μουεμπειρίααπότηνπολυετήδιδασκαλίατουσυγκεκριμένουμαθήματοςσεπρωτοετείςφοιτητέςτουΕθνικούΜετσόβιουΠολυτεχνείου(Ε.Μ.Π).
Οιμαθητές/μαθήτριεςτηςΓ’ΛυκείουπουεπιτυγχάνουνναπεράσουνσεμίαπανεπιστημιακήσχολήόπουδιδάσκεταιωςβασικόμάθημαηΦυσική,θασυναντήσουνορισμένεςδυσκολίεςστηνεπαφήτουςμετηνμαθηματικήκαιπιοφορμαλιστικήπαρουσίασηκαιχρήσηγνωστών–σεμεγάλοβαθμό–εννοιών.Δίχωςνα θέλωναεπεκταθώστοπολύσοβαρόαυτόθέμα,προσωπικάθεωρώότιθαπρέπει νααλλάξειοτρόποςδιδασκαλίαςτηςΦυσικήςστοΛύκειο,συμπεριλαμβανομένης τηςύληςαλλάκαιτουτρόπουπουγίνεταιηπροετοιμασίαγιατιςεξετάσεις.
Ηπαραπάνωδιαπίστωση,μετάαπόπείρα39ετώνστηδιδασκαλίατηςΦυσικής σταπρώταπανεπιστημιακάεξάμηνατουΕ.Μ.Π.,μεκαθοδήγησεστοντρόποσυγγραφήςτουπαρόντοςβιβλίουτοοποίοξεκινάμεμίαπαρουσίασητωνβασικών μαθηματικώνεννοιώνπουαπαιτούνταιγιατηνβαθύτερηκαιπληρέστερηκατανόησητηςΜηχανικής.ΑκολουθούνυποδειγματικάλυμένεςασκήσειςπουαναφέρονταισταβασικάθέματατηςΜηχανικής,αναλύοντας(ευελπιστώ)κάθε“δύσκολο” σημείο.
Πρόλογος
ρίωςβιβλίο(τοβιβλίο“θεωρίας”,όπουυπάρχουνεξαιρετικάσυγγράμματα)πριντο δεύτεροβήμαπουείναιτοβιβλίοασκήσεων,όπωςαυτόπουκρατάτεσταχέρια σας.Θεωρώπωςένααπότασημαντικότεραεκπαιδευτικάλάθηγιαέναν/μίαφοιτητή/φοιτήτριαείναιναεπικεντρώσειτημελέτητουσελυμένεςασκήσειςανατρέχονταςσπασμωδικάστοκυρίωςβιβλίοτουμαθήματος.Μίατέτοιαπρακτική,οδηγείσ’ένανεντελώςαποσπασματικότρόπο(μη)κατανόησηςκαιστηναντίληψηότι κάθε(ξεχωριστή)άσκησηέχειτονδικότηςτρόποαντιμετώπισης. Οιενότητεςτουβιβλίουείναιεκπαιδευτικάδομημένεςώστενακαλύπτουντις γνωσιακέςανάγκεςφοιτητώντωνΠολυτεχνικώνΣχολώναλλάκαιτωνΣχολώνΘετικώνΕπιστημών,σεπροπτυχιακόεπίπεδο.Ελπίζωπωςταπροβλήματαπουπροτείνονταικαιηεκτενήςανάπτυξητωνλύσεώντους,θακαταστήσουντοβιβλίο χρήσιμοεργαλείογιακάθεφοιτητήπουκαλείταινααντιμετωπίσειθέματαΜηχα11
Στοσημείοαυτόθαήθελανατονίσωότιτοδιάβασμαξεκινάπάντοτεαπότοκυ-
ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ
νικής.Φυσικά,είναιπαραπάνωαπόευπρόσδεκτηοποιαδήποτεπαρατήρησηπου θαβοηθήσειναγίνειακόμαπιοκατανοητήηπαρούσαπαρουσίαση.
ΚλείνονταςθαήθελαναευχαριστήσωόλουςτουσυναδέλφουςτουΤομέαΦυσικήςτηςΣχολήςΕφαρμοσμένωνΜαθηματικώνκαιΦυσικώνΕπιστημώντουΕ.Μ.Π., καιιδιαίτερααυτούςτουΕργαστηρίουΘεωρητικήςκαιΥπολογιστικήςΦυσικής, γιατηνσυνεργασίαμαςστοεκπαιδευτικόεπίπεδοόλααυτάταχρόνια.Επίσης,ευχαριστώόλουςτουφοιτητέςπουπαρακολούθησανταμαθήματάμου(καιιδιαίτερααυτούςπουμεαποκαλούνακόμα δάσκαλο αντίκαθηγητή)διότιμέσααπότις ερωτήσειςκαιπαρατηρήσειςτουςμεβοήθησαννακάνωτιςπαραδόσειςμουπιο “ελκυστικές”. ΝικόλαςΤράκας(ntrac@central.ntua.gr) Νοέμβριος2022
12
Κεφάλαιο1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Τοδιάνυσμαορίζεταιαπότηνκατεύθυνσήτου(διεύθυνσηκαιφορά)καιτομέτρο του.Συμβολισμός: A ή ⃗ A. Ηαναπαράστασηενόςδιανύσματος A γίνεταιμέσωτωνσυνιστωσώντου: A = (Ax, Ay) σε2-διαστάσειςκαι A = (Ax, Ay, Az) σε3-διαστάσεις: Προσοχή:οισυνιστώσεςέχουνπρόσημοπουεύκολαγίνεταικατανοητόαπότην σχέσητηςφοράςτουδιανύσματοςκαιτηςθετικήςκατεύθυνσηςτουαντίστοιχου άξονα. Τοαντίθετοτουδιανύσματος A ορίζεταιως A = ( Ax, Ay, Az). 13
14
=
C = (Cx, Cy, Cz) = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz) Κανόναςπαραλληλογράμμου.Απότηνπαραλληλίατωνπλευρώντουπαραλληλογράμμου,τοάθροισμαδύοδιανυσμάτωνπεριγράφεταιεπίσηςαπότηνδιαγώνιο τουπαραλληλογράμμουπουσχηματίζουνταδύοδιανύσματα: Προσεταιριστικήιδιότηταγιατηνάθροισηδιανυσμάτων: A + (B + C) = (A + B) + C
ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ Τομέτροτουδιανύσματοςορίζεταιως A
√A2 x + A2 y + A2 z καισυμβολίζεταιμε |A| ήαπλά A. Μοναδιαίοδιάνυσμαστηδιεύθυνσητουδιανύσματος A είναιτοδιάνυσμαπαράλληλομετο A καιμεμέτρομονάδα.Συνήθωςσυμβολίζεταιμεένα“καπελάκι”: ˆ A. Άθροισηδιανυσμάτων:Αν A = (Ax, Ay), B = (Bx, By) και C = A + B,τότε: C = (Cx, Cy) = (Ax + Bx, Ay + By) σεδύοδιαστάσειςκαιαντίστοιχασε3διαστάσεις:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΒΟΗΘΗΜΑ 15 Αφαίρεσηδιανυσμάτων: A B = A + ( B) Γινόμενοβαθμωτούεπίδιάνυσμα C = kA: C = (Cx, Cy, Cz) = (kAx, kAy, kAz) Μοναδιαίοδιάνυσμαστηνδιεύθυνσητουδιανύσματος A: ˆ A = 1 A A = A A καιτομέτροτουείναιπράγματιμονάδα: ˆ A = ( Ax A , Ay A , Az A ) = √ A2 x A2 + A2 y A2 + A2 z A2 = 1 Τοεσωτερικόγινόμενο c δύοδιανυσμάτωνείναιβαθμωτό,συμβολίζεταιμε c = A · B καιορίζεταιως: c = AB cos(A, B) = AB cos ϕ με ϕ τηνγωνίαανάμεσασταδυοδιανύσματα. Προβολήτουδιανύσματος A στηνδιεύθυνσηπουορίζεταιαπότομοναδιαίοδιάνυσμα ˆ ϵ: προβολή = A · ˆ ϵ = A cos(A, ˆ ϵ) = A cos ϕ Αν ˆ i και ˆ j είναιταμοναδιαίαδιανύσματαστουςάξονες x, y τουεπιπέδου,τότε A = (Ax, Ay) = Ax ˆ i + Ay ˆ j
ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ Οισυνιστώσεςτου A στους2άξονεςείναι: Ax = A · ˆ i = A cos ϕ, Ay = A · ˆ j = A cos ( π 2 ϕ) = A sin ϕ Στις3-διαστάσεις,προτιμάταιναχρησιμοποιούνταιοιγωνίες θ και ϕ (βλ.σχ.),αντί τωντριώνγωνιώνπουσχηματίζειτοδιάνυσμαμετουςτρειςάξονες:
Az = A cos θ, Ax = A sin θ cos ϕ, Ay = A sin θ sin ϕ Τοεσωτερικόγινόμενομπορείναεκφραστείκαιμέσωτωνσυνιστωσώντωνδύο διανυσμάτων: A · B = Ax Bx + AyBy + AzBz Ηαπόδειξηγιατις2-διαστάσεις: A · B = Ax Bx + AyBy = A cos aB cos b + A sin aB sin b = = AB (cos a cos b + sin a sin b) = AB cos(b a) = AB cos ϕ
16
Φυσικόμέγεθοςπουορίζεταιωςεσωτερικόγινόμενοείναιτοέργο W δύναμης F πουμετακινείτοσημείοεφαρμογήςτηςκατάδιάστημαπουορίζεταιαπότο s (θεωρώνταςότιηδύναμηδιατηρείτηνκατεύθυνσήτης): W = F · s = Fs cos ϕ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΒΟΗΘΗΜΑ 17
C
C = A × B.Τοδιάνυσμα C είναικάθετοστοεπίπεδοπουορίζεταιαπό ταδύοδιανύσματα A και B ενώηφοράτουδίνεταιαπότοκανόνατης(δεξιό-
A
C = AB sin
όπουηγωνία
Οισυνιστώσεςτου C (με A = (Ax, Ay, Az) και B = (Bx, By, Bz))είναι: Cx = AyBz AzBy, Cy = Ax Bz + AzBx, Cz = AxBy AyBx Εισάγονταςτηνέννοιατηςορίζουσας,μπορούμεναγράψουμετοεξωτερικόγινόμενομεέναπιοευκολομνημόνευτοτρόπο.Κατ’αρχάςαςορίσουμετηνορίζουσα 2×2: a11 a12 a21 a22 = a11a22 a21a12 καιηορίζουσα3×3: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a23 a32 a33 a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 = = a11 (a22a33 a32a23) a12 (a21a33 a31a23) + a13 (a21a32 a31a22)
Τοεξωτερικόγινόμενο
δύοδιανυσμάτωνείναι(ελεύθερο)διάνυσμακαισυμβολίζεταιμε
στροφης)βίδαςπεριστρέφονταςτοπρώτοδιάνυσμα(
)προςτοδεύτερο(B)με τημικρότερηγωνία.Τομέτροτουείναι
ϕ
ϕ είναιπροσανατολισμένηκαικατευθύνεταιαπότοπρώτοδιάνυσματουεξωτερικούγινομένου προςτοδεύτερο.
18
Οπότε,μπορούμεναγράψουμε: A × B = ˆ i ˆ j ˆ k Ax Ay Az Bx By Bz = = ˆ i (AyBz AzBy) ˆ j (AxBz AzBx) + ˆ k (AxBy AyBx) Φυσικόμέγεθοςπουορίζεταιωςεξωτερικόγινόμενοείναιηροπή M δύναμης F ωςπροςσημείο: M = s × F όπου s είναιτοδιάνυσμααπότοσημείο A έωςτο σημείοεφαρμογήςτηςδύναμης. Μιαεπίπεδηεπιφάνειαπεριγράφεταιαπόδιάνυσμακάθετοστηνεπιφάνειαμεμέ-
E ενόςπαραλληλογράμμου,
a
b,είναιτομέτροτου a × b: |a × b| = ab sin ϕ = aυ
ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ
τροίσομετοεμβαδόντηςεπιφάνειας.Τοεμβαδόν
πουκαθορίζεταιαπόταδιανύσματα
και
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΒΟΗΘΗΜΑ 19 Ιδιότητεςτουεσωτερικούκαιεξωτερικούγινομένου: A · A = A2 = (A2 x + A2 y + A2 z ) = A2 ⇒ A = √A · A A · B = B · A A · B = 0 αντα A και B είναικάθετα (A + B)2 = A2 + B2 + 2A B A × B = 0 αντα A και B έχουνίδιαδιεύθυνση A × B = B × A Τοτριπλόγινόμενοείναιβαθμωτόκαιορίζεταιως k = C·(A×B).Ηπαρένθεσηδεν είναιαναγκαία,μιαςκαιανγίνειπρώτατοεσωτερικόγινόμενο,ηεπόμενηπράξη δενέχεινόημα.Τοτριπλόγινόμενογράφεταιεύκολαμετηνχρήσητηςορίζουσας: C · (A × B) = Cx Cy Cz Ax Ay Az Bx By Bz = = Cx (AyBz AzBy) Cy (Ax Bz AzBx) + Cz (Ax By AyBx)
σματος (A × B),οπότεστηντελευταίασχέσηεφαρμόσαμετονκανόνατουεσωτερικούγινομένουτοδιανύσματος
Οόγκοςπαραλληλεπιπέδουεκφράζεταιμετοτριπλόγινόμενοτωντριώνδιανυσμάτωνπουορίζουντοπαραλληλεπίπεδο, a, b και c.Οόγκοςδίνεταιαπότογινόμενοτουεμβαδούτηςβάσηςεπίτούψοςτουπαραλληλεπιπέδου.Έχουμεήδηδει ότιτοεμβαδόντουπαραλληλογράμμου-βάσηςδίνεταιαπότομέτροτουεξωτερικούγινομένου a × b.Οπότε,τοεσωτερικόγινόμενο:
Προσέξτεότιοιτρειςπαρενθέσειςαντιστοιχούνστιςτρειςσυνιστώσεςτουδιανύ-
C μετοδιάνυσμα (A × B).
x → x+ 0 και x → x0 νασυμπίπτουν. Έναςάλλοςσυμβολισμόςτηςπαραγώγου,πολύχρήσιμοςστηνΦυσική,είναιο ακόλουθος: f ′(x0) = lim ∆x→0
∆ f ∆x ≡ df dx x0 όπουτο ∆x είναιστηνγειτονιάτου x0.Απότοσχήμαβλέπουμεότι: tan θ = f (x) f (x0) x x0 = ∆ f ∆x Στοόριο x → x0,τοτμήμα AB γίνεταιεφαπτομενικόστηνκαμπύλητηςσυνάρτησηςστοσημείο x0.Οπότε,ηεφαπτομένητηςγωνίας θ,στοόριοαυτό,θαείναιίση μετηνπαράγωγοτηςσυνάρτησηςστοσυγκεκριμένοσημείο: tan θ = f (x) f (x0) x x0 ⇒ tan θ0 = df dx x0
20
Ηπαράγωγοςμιαςσυνάρτησης f (x) στοσημείο x0 συμβολίζεταιμε f ′(
)
x0
ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ c · (a × b) = |a × b||c| cos θ = |a × b| υ δίνειτονόγκοτουπαραλληλεπιπέδου. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
x
|
ή f ′(x0),καιορίζεταιωςτοόριο: f ′(x0) = lim x→x0 f (x) f (x0) x x0 Αυστηράμαθηματικάθαπρέπειτοόριο
Διαφορικόμιαςσυνάρτησης.Γράφοντας: ∆ f = ∆ f ∆x ∆x πηγαίνονταςστοόριο ∆x → 0,τοκλάσμαγίνεταιηπαράγωγοςτηςσυνάρτησης. Τοαπειροστόπια ∆x τοσυμβολίζουμεμε dx καιτο,επίσηςαπειροστό, ∆ f με df , καιγράφουμε: df = (df dx ) dx Τα dx και df είναιτοδιαφορικότου x καιτοδιαφορικότηςσυνάρτησης f αντίστοιχα. Κανόνεςπαραγώγησης: d( f (x) + g(x)) dx = df (x) dx + dg(x) dx , d(cf (x)) dx = c df (x) dx d dx( f (x)g(x)) = df (x) dx g(x) + f (x) dg(x) dx d dx ( f (x) g(x) ) = 1 g2(x) (df (x) dx g(x) f (x) dg(x) dx ) Παράγωγοςσύνθετηςσυνάρτησης(κανόναςτηςαλυσίδας): y = f (u), u = g(x), ⇒ df dx = df du du dx Παράγωγοςαντίστροφηςσυνάρτησης: y = f (x) ⇒ x = f 1(y) τότε: df 1 dy = 1 df dx Εφαρμογή.Ανέχουμετιςσυναρτήσεις x = g(t), y = f (t),οπότεμπορούμεναγράψουμε y = f (t) = f (g 1(x)),τότε: dy dx = df dt dg 1 dx =
df dt dg dt
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΒΟΗΘΗΜΑ 21
η είναιηταχύτητατουκινητού: ds dt = d( t) dt =
22
πουείναιηγνωστήσχέσηγιατηνταχύτηταστηνευθύγραμμηομαλάμεταβαλλόμενηκίνηση.Ηεπιτάχυνσηορίζεταιωςηχρονικήπαράγωγοςτηςταχύτητας. Οπότε: d2 s dt2 = d( 0 + at) dt = a Ηπαράγωγοςενόςδιανύσματος(ουσιαστικάμιαδιανυσματικήςσυνάρτησης)είναιτοδιάνυσμαμεσυνιστώσεςτηνπαράγωγοτηςαντίστοιχηςσυνιστώσας.Αν,η διανυσματικήσυνάρτηση A(t) δίνεταιαπότην: A(t) = (A1(t), A2(t), A3(t)) = A1(t) ˆ i + A2(t) ˆ j + A3(t) ˆ k τότε dA(t) dt = (dA1(t) dt , dA2(t) dt , dA3(t) dt ) = dA1(t) dt ˆ i + dA2(t) dt ˆ j + dA3(t) dt ˆ k
ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ Βασικέςπαράγωγοι: f (x) = xa df dx = axa 1 = sin x = cos x = cos x = sin x = ex = ex = ln x = 1 x Παράγωγοιανώτερηςτάξης.Ηδεύτερηπαράγωγοςμιαςσυνάρτησης f (x) είναιη παράγωγοςτης(πρώτης)παραγώγουκαισυμβολίζεταιμε: f ′′(x) ή d dx df (x) dx = d2 f (x) dx2 καιόμοιαγιατιςανώτερεςπαραγώγους. Παραδείγματααπότηνκινηματική Γνωρίζουμεότιτοδιάστημα s πουκαλύπτειένακινητόσεχρόνο t πουκινείται σεευθύγραμμηομαλήκίνηση,δίνεταιαπότησχέση s = t,όπου σταθερά.Ορίζονταςτηνταχύτηταωςτηνχρονικήπαράγωγοτουδιαστήματος,έπεταιάμεσαότι
Γιατηνευθύγραμμηομαλάμεταβαλλόμενηκίνησηηαντίστοιχησχέσηείναι s = 0t + 1 2 at2 με 0 και a σταθερές.Παραγωγίζονταςωςπροςτονχρόνοθαπάρουμετηνταχύτητατουκινητού: ds dt = d( 0t + 1 2 at2) dt = 0 + at
ταιηπαραπάνωσχέσηπολύ“θεωρητική”,μιαςκαιέχειάπειρουςόρους,αλλάγια τηνπερίπτωσηπουθέλουμεναπεριγράψουμετηνσυνάρτησηστηνγειτονιάτου σημείου x0,δηλαδήόταντο x x0 είναιμικρό,καταλαβαίνουμεότιόσοπροχωράμεστουςόρουςτουπαραπάνωαθροίσματοςαυτοίοιόροιγίνονταιόλοκαιποιο μικροίλόγωτηςδύναμηςπουανεβαίνειστονόρο (x x0).Οπότε,μπορούμενα προσεγγίσουμετηνσυνάρτησηστηνπεριοχήτουσημείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΒΟΗΘΗΜΑ 23 Παράδειγμα.Ανηταχύτητα (t) ενόςσώματος,ωςσυνάρτησητουχρόνου t,δίνεται απότηνσχέση: (t) = (c1t2 , c2t, c3) με c1, c2, c3 σταθερέςμεκατάλληλεςμονάδες,τότεηεπιτάχυνση a τουσώματος θαείναι: a(t) = (2c1t, c2, 0) ΑΝΑΠΤΥΓΜΑTAYLOR Ανγνωρίζουμετηντιμήτηςσυνάρτησης f (x) στοσημείο x0 καθώςκαιτιςπαραγώγουςόλωντωντάξεων(δεύτερηπαράγωγος,τρίτηπαράγωγος,κλπ)στοίδιο σημείο x0,τότεησυνάρτηση f (x) δίνεταιαπότησχέση: f (x) = f (x0) + 1 1! df dx x0 (x x0) + 1 2! d2 f dx2 x0 (x x0)2+ + 1 3! d3 f dx3 x0 (x x0)3 + ... ΑυτήσυνήθωςονομάζεταιανάπτυγμαTaylorτηςσυνάρτησης.Μπορείναφαίνε-
x0 κρατώνταςορισμένο αριθμόόρωνμόνο.Τοπόσουςόρουςκρατάμεεξαρτάταιαπότηνακρίβειαπουζητάμεστηνπροσέγγισήμας. Αναπτύξειςγνωστώνσυναρτήσεωνγύρωαπότοσημείο x0 = 0: ex = 1 + x + x2 2 + x3 3! + x4 4! + ... sin x = x x3 3! + x5 5! + cos x = 1 x2 2! + x4 4! + ... ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + ... (1 + x)a = 1 + ax + a(a 1) 2 x 2 + a(a 1)(a 2) 3! x 3 + ...
24 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ Απότιςαναπτύξειςαυτέςκαταλαβαίνουμεγιατίγιαπολύμικρέςγωνίεςησυνάρ-
όπουτα ... είναιτηςτάξηςτου 10 5.Γιατονίδιολόγο: √1 ± x = (1 ± x)1/2 ∼ 1 ± 1 2 x, 1 1 ± x = (1 ± x) 1 ∼ 1 ∓ x Άλλοέναενδιαφέρονπαράδειγμαείναιτοακόλουθο.Αναπτύσσουμετηνσυνάρτηση eix,όπου i είναιηφανταστικήμονάδαγιατηνοποίαισχύει i2 = 1, i3 = i2i = i, i4 = i2i2 = 1,.... Χρησιμοποιώνταςτηνανάπτυξητου ex,γύρωαπότο0,θαπάρουμε e ix = 1 +
x2 2 ix3 3! + x4 4! + ... = = (1 x2 2 + x4 4! + ...) + i (x x3 3! + ...
ανάπτυξη,γύρωαπότο0,του cos x,ενώτοφανταστικόστηνανάπτυξητου sin x
Οπότεγράφουμε e ix = cos x + i sin x Εύκολαμπορείναδειχθείότιισχύει e ix = cos x i sin x Μιαπολύχρήσιμηεφαρμογήαυτήςτηςσχέσηςείναιουπολογισμόςτριγωνομετρικώναριθμώναθροίσματοςκαιδιαφοράςγωνιών: e i(a±b) = e ia e ±ib = (cos a + i sin a)(cos b ± i sin b) = = (cos a cos b ∓ sin a sin b) + i (sin a cos b ± sin b cos a) όπουκαιπάλιξεχωρίσαμεπραγματικόκαιφανταστικόμέρος.Αλλά e i(a±b) = cos(a ± b) + i sin(a ± b) Εξισώνονταςπραγματικόκαιφανταστικόμέροςπαίρνουμε: cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b, sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a
τηση sin x προσεγγίζεταιαπότο x (προσοχή:το x σεακτίνια,όχιμοίρες).Επίσης γιαναβρεθείένααρκετάακριβέςαποτέλεσματου 1, 0033 δενχρειάζεταιναγίνει πλήρωςηπράξη!!Χρησιμοποιώνταςτηντελευταίασχέσηθαέχουμε: 1, 0033 = (1 + 0, 003)3 = 1 + 3(0, 003) + ... = 1, 009 + ...
ix
) όπουστηνδεύτερησειράξεχωρίσαμετουςπραγματικούςαπότουςφανταστικούς όρουςτηςανάπτυξης.Παρατηρήστεότιτοπραγματικότμήμααντιστοιχείστην
.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΒΟΗΘΗΜΑ 25 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισμένοολοκλήρωμα.Συνάρτηση f (x) στοδιάστημα a ≤ x ≤ b.Ορίζουμε: x0 = a, x1 = a +∆x, x2 = x1 +∆x,..., xk+1 = xk +∆x, xn 1 = xn 2 +∆x, xn = xn 1 +∆x = b Ορίζουμεεπίσηςτο: In = n ∑ k+1 f (ζk)∆x, xk 1 <ζk < xk Τοορισμένοολοκλήρωματης f (x) στοδιάστημα a ≤ x ≤ b ορίζεταιώςτοόριο του In όταντο n τείνειστοάπειρο: I = lim n→∞ In ≡ ∫ b a f (x)dx Εύκολαφαίνεταιότιτοολοκλήρωμααυτόπεριγράφειτοεμβαδόνανάμεσαστην γραφικήπαράστασητης f (x) καιτουάξονατων x,απότο x = a έωςτο x = b. Κάθε F(x) τέτοιαώστε F′(x) = f (x) λέγεταιαόριστοολοκλήρωματης f (x): ∫ f (x)dx = F(x) ⇔ F′(x) = f (x) Εύκολαφαίνεταιότιανοι F1(x) και F2(x) είναιαόρισταολοκληρώματατης f (x), τότε: F1(x) F2(x) = c όπου c σταθερά Μπορούμεναδούμετώραότι: ∫ b a f (x)dx = F(b) F(a)
26 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ Εφ’όσονηπαράγωγοςτης F(x) είναιη f (x),θαέχουμεγιατοδιαφορικότης F(x): dF(x) = (dF(x) dx ) dx = f (x)dx οπότε: ∫ b a f (x)dx = ∫ b a dF(x) Τίσημαίνειαυτό?Ανπάμεστοορισμότουολοκληρώματος,τοδεξίμέλοςτηςισότηταςείναιτοόριογια n →∞ τουαθροίσματος: n ∑ k=1 ∆F(x) = [F(x1) F(a)] + F(x2) F(x1)] + ... + [F(b) F(xn 1)] = = F(b) F(a) ανεξάρτητοαπότο n.Επομένως,πράγματι:
νικόδιάστημα dt,είναι: dx = (dx(t) dt ) dt = (t)dt Αθροίζονταςτα dx απότηνχρονικήστιγμή t1 όπουηθέσητουκινητούείναι x1 και αντίστοιχαγια t2 ηθέσηείναι x2,γράφουμε: ∫ x2 x1 dx = ∫ t2 t1 (t)dt ⇒ x2 x1 = ∫ t2 t1 (t)dt Ανγνωρίζουμετην (t) μπορούμενακάνουμετηνολοκλήρωση.Γιαπαράδειγμα, γιαομαλήκίνηση,οπότε (t) = 0 θαέχουμε: x2 x1 = ∫ t2 t1 (t)dt = ∫ t2 t1 0dt = 0 ∫ t2 t1 dt = 0(t2 t1) x2 = x1 + 0(t2 t1)
∫ b a f (x)dx = ∫ b a dF(x) = F(b) F(a) Παραδείγματααπότηνκινηματική Γιακίνησησεμιαδιεύθυνση, x,αν x(t) είναιηθέσητουκινητού,η(στιγμιαία) ταχύτητα (t) είναι: (t) = dx(t) dt Επομένως,τοστοιχειώδεςδιάστημα dx πουκάνειτοκινητόστοστοιχειώδεςχρο-
atdt = = 0(t2 t1) + 1 2 a(t2 t1)2 ⇒ x2 = x1 + 0(t2 t1) + 1 2 a(t2 t1)2 Τοολοκλήρωμαμιαδιανυσματικήςσυνάρτησηςείναιτοδιάνυσμαμεσυνιστώσες τοολοκλήρωματηςαντίστοιχηςσυνιστώσας.Ανκαιπάλιέχουμετην A(t): A(t) = (A1(t), A2(t), A3(t)) = A1(t) ˆ i + A2(t) ˆ j + A3(t) ˆ k τότε: ∫ A(t)dt = (∫ A1(t)dt, ∫ A2(t)dt, ∫ A3(t)dt) = = ∫ A1(t)dt ˆ i + ∫ A2(t)dt ˆ j + ∫ A3(t)dt ˆ k Παράδειγμα.Ανσ’ένασώμακινείταιμεεπιτάχυνση a(t),ωςσυνάρτησητουχρόνου,πουδίνεταιαπότησχέση: a(t) = (c1t, c2, c3t3)
c1, c2, c3
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΒΟΗΘΗΜΑ 27
με
σταθερέςμεκατάλληλεςμονάδες,τότεημεταβολήτηςταχύτηταςτου
Στηνομαλάεπιταχυνόμενηκίνησημεαρχικήταχύτητα 0 καιεπιτάχυνση a,ηταχύτητα (t) δίνεταιαπότην: (t) = 0 + at καιθαέχουμε: x2 x1 = ∫ t2 t1 (t)dt = ∫ t2 t1 ( 0 + at)dt = ∫ t2 t1 0 dt + ∫ t2 t1 = 1 θαείναι: a(t) = d (t) dt ⇒ d (t) = a(t)dt ⇒ ∫ t=1 t=0 d (t) = ∫ t=1 t=0 a(t)dt ⇒ (t = 1) (t = 0) = (∫ 1 0 c1tdt, ∫ 1 0 c2dt, ∫ 1 0 c3t3dt) ⇒ ∆ = (c1 t2 2 |1 0 , c2t |1 0 , c3 t4 4 |1 0) = (c1 2 , c2, c3 4 ) ΠΟΛΙΚΕΣΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Στοεπίπεδο,μεένακαρτεσιανόορθογώνιοσύστημα (x, y),κάθεσημείο A τουεπιπέδουορίζεταιμονοσήμαντααπότιςσυντεταγμένεςτου A(x, y).Πώςμπορούμενα
σώματοςαπότηνχρονικήστιγμή t = 0 έως t
ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣΦΥΣΙΚΗΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΗ
ορίσουμεταμοναδιαίαδιανύσματαπουαντιστοιχούνσ’αυτότοσύστημασυντεταγμένων;Έναςγενικόςορισμόςείναιοακόλουθος:βρισκόμαστεστοσημείομας A καικρατώνταςτο y σταθερό, αυξάνουμε στοιχειωδώςτο x.Τομοναδιαίοδιάνυσμασ’αυτήντηνκατεύθυνσημαςδίνειτο ˆ i.Αντίστοιχα,κρατώνταςτο x σταθερό, αυξάνουμεστοιχειωδώςτο y καιτομοναδιαίοδιάνυσμασ’αυτήντηνκατεύθυνση είναιτο ˆ j. Αν r είναιτοδιάνυσμααπότηναρχήτωναξόνωνωςτοσημείο A,τοσυγκεκριμένοσημείομπορείναπροσδιορισθείεπίσηςκαιαπότο r (τομέτροτουδιανύσματος r)καιτηνγωνία θ πουσχηματίζειτοδιάνυσμα r μετονάξονατων x: A(r,θ).Σ’ αυτότοσύστημασυντεταγμένων,ποιαείναιταμοναδιαίαδιανύσματα;Ακολουθούμετηνδιαδικασίαπουαναφέραμεπαραπάνω:κρατώνταςτην θ σταθερή,αυξάνουμεστοιχειωδώςτο r.Τομοναδιαίοδιάνυσμασ’αυτήντηνκατεύθυνσηείναι
28
θ.Ηδιεύθυνσηαυτήείναιηεφαπτομένητουκύκλουπουσχηματίζεταιμεακτίνα
r.Επομένωςτομοναδιαίοδιάνυσμα ˆ θ θαείναικάθετοστηνδιεύθυνσητουδιανύσματος r. Στιςκαρτεσιανέςσυντεταγμένεςγράφουμε: r = x ˆ i + y ˆ j Στονέοσύστημα,τις πολικέςσυντεταγμένες,γράφουμε: r = r ˆ r Πράγματι,τοδιάνυσμα r δενέχεισυνιστώσαπαράλληλημετο ˆ θ. Γιαπαρακάτωχρήσηαςγράψουμετιςσυνιστώσεςτωνμοναδιαίων ˆ r και ˆ θ στο καρτεσιανόσύστημα.Το ˆ r σχηματίζειγωνία θ μετονάξονατων x.Επομένως: ˆ r = cos θ ˆ i + sin θ ˆ j Άμεσαφαίνεταιότιπράγματιτοπαραπάνωδιάνυσμαείναιμοναδιαίο.Το ˆ θ σχηματίζειγωνία (π/2 + θ) μετονθετικόάξονατων x ή (π/2 θ) μετοναρνητικόάξονα
το ˆ r.Στησυνέχεια,κρατώνταςτο r σταθερό,αυξάνουμεστοιχειωδώςτηνγωνία
τηνσταθερήτιμή
