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Projet Krack  Dimensionnement de la structure :   

Cahier des charges :   

‐ Les palettes utilisées seront : neuves, sans défaut, sans aucune utilisation précédente au  projet KRACK, ignifugées, traitées contre insectes.  ‐ L’installation durera 4 mois et sera à usage unique.  ‐ Les calculs suivant ne sont valables que pour un positionnement correct des palettes les  unes sur les autres. Tout mauvais positionnement, amenant à un déplacement des points  d’application des forces, peut entrainer  la création de moments résiduels pouvant provoquer  le  basculement d’une partie de la structure, ou son effondrement. 

Présentation de la structure : 

      Palettes Europe.     


Caractéristiques :     ‐ Désignation Palette en bois EUR EPAL à quatre entrées.   ‐ Essences de bois pin, peuplier.   ‐ Dimensions 800 x 1200 mm   ‐ Epaisseur plateaux 22 mm   ‐ Epaisseur totale 166 mm   ‐ Dimension dés extérieurs 145 x 100 x 100 mm   ‐ Dimension dés intérieurs 145 x 145 x 100 mm   ‐ Poids entre 22,5 et 27 Kg  ‐ Charge dynamique admissible   Pmax=1400kg => charge statique admissible >> Pmax 

Résistance au poids de la palette inférieure :                                                               

Hypothèses de calcul : ‐  poids uniformément réparti sur toute  la surface de la palette.  ‐ coefficient de sécurité k=1 ,5    ‐ coefficient de charge permanente: 1,35  1 palette = 27 kg  (on prend le poids maximum pour sur dimensionner)  Calcul du poids propre d’une colonne   

P = 18x27x1,35 = 656 kg   

La dernière palette est donc soumise à un poids de 656 kg.   

Charge dynamique admissible 1400 kg   Calcul de la charge maximale de personne admissible par une colonne de palette.   

AN:  

additionnelle

– 

additionnelle

– 

,

Nombre de personnes admissible sur une colonne de palette, pour un poids  moyen de 80kg.   

 

6,2

Le nombre maximal de personne admissible simultanément sur une  colonne de palette est de 6 personnes. 


Calcul de l’influence du vent sur la structure :   

Hypothèses de calcul :      ‐ Coefficient de frottement bois/bois :      f = 0,3      ‐ vent parfaitement horizontal.      ‐ coefficient de sécurité k=2   

Calcul de la vitesse limite de vent pour une tenue de la structure : Calcul de la  vitesse de vent limite assurant la tenue de la structure :    On assimile un bloc de neuf palettes à un mur   La force exercée par le vent est une force de traînée d’expression :   

 

² x  

Calcul du coefficient de traînée Cx :  Pour une plaque disposée perpendiculairement à un écoulement laminaire la valeur  du coefficient Cx  donnée par les abaques est :     

x , x ,

0,9        =>       Cx = 1 

Masse volumique de l’air :    ρ= 1,293 kg/m

3

Tenue d’une palette face au vent :   

Surface en contact avec le vent :  S1= 0,166 x 0,145 x 3 ≈ 8.10‐2 m² 

Prenons la palette supérieure de la structure, c’est elle qui sera soumise à la force de  vent maximale. L’influence du sol sur la vitesse de vent est négligée.  Calcul de la vitesse de vent nécessaire au à la mise en mouvement d’une palette :   

D’après la loi de coulomb il y a glissement lorsque :         Nf  Poids de la palette : P= m.g = 27 x 10 = 270 N  D’où    T ≥ 270 x 0,3      T ≥ 81 N  Il faut que la force exercée par le vent soit de 81N pour la décrocher de la structure.  De même une personne désirant faire glisser la palette supérieure devrait exercer  cette même force ce qui correspond à environ 8kg de poussée d’où la nécessité de clouer les  palettes supérieure afin d’éviter ce cas de figure. 


Il suffit donc de clouer les 5 premières palettes (palettes du garde corps) afin de rendre  solidaire une colonne.   

Calcul de la vitesse de vent correspondant à une telle force :    Condition de non glissement :  Fx ≤ 81 N           avec Fx effort de traînée exercé par le vent  D’où la limite de vitesse de vent avant décrochage :  2. k. . . x

A.N :      

2x , x ,

x

30 /

x

V ≤ 108 km/h  La vitesse de vent nécessaire à la mise en mouvement d’une palette en considérant  un coefficient de sécurité de 2 sur l’effort est de 108km/h.  D’après les règles NV65 (DTU P06‐002) on obtient pour Bordeaux considérée comme  région 2 et pour un site normal et sans effet de masque une pression du vent q = 60 daN/m²  à 10m du sol or après calcul on trouve q = 58 daN/m² il y a bien correspondance.   

Glissement d’un bloc de palettes :                            Calcul de l’effort nécessaire au glissement : 

Surface en contact avec   le vent :    S = 3 x 19 x S1 = 4,10 m² 

T ≥ 270 x 19 x 9 x0,3  =>   T ≥ 13851 N   

    

x 2x , x ,

53 /  

V ≤ 191 km/h  La vitesse de vent nécessaire au glissement d’un bloc solidaire de 9 palettes est de  191km/h avec un coefficient de sécurité de 2.     


Résistance au basculement d’une colonne de palette :    Colonne de 19 palettes        Vent    Fx  G      P      R    B   A  Écoulement réel Écoulement  O    simplifié  Hypothèses de calcul: 

Y

‐ écoulement laminaire  ‐ écoulement parfaitement horizontal    ‐ on néglige la viscosité du fluide et on prend comme modélisation un écoulement uniforme  et non pas selon un gradient, cette hypothèse permet de sur dimensionner la structure.    ‐ point d’application au niveau de la position moyenne.    ‐ on se place à la limite du basculement de la colonne, on considère que la résultante R ne  s’applique donc uniquement en A (point de contact autour duquel à lieu le basculement) cette force  R ne crée donc pas de moment en A.    ‐coefficient de sécurité k=2   

On applique le Principe fondamental de la statique sur l’ensemble de la colonne considérée comme  un ensemble indissociable rigide de dimension  1,2 x 0,8 x 3,15m.  Equation d’équilibre des moments au point A donne :   

A

A

0

x

En projection sur l’axe z cette relation donne:  1 ² . 19. . . 2

0

0

38. . . . . . .

A.N :  

. ,

. ,

.

. , .

. . ,

.

. ,

27 /  

V = 100 km/h  La vitesse limite de vent admissible pour éviter le basculement avec un coefficient de  sécurité de 2 est de 100 km/h. 

X


Calcul de la force nécessaire à appliquer par un homme pour faire  basculer la structure :   

Hypothèses de calcul:  ‐ Considérons le cas ou une personne pousse la structure ou s’appui dessus à une hauteur  approximative de 1,50m.   

On conserve l’équation obtenue précédemment en remplaçant la force exercée par la vent  Fx par une force F modélisant une personne en train de pousser horizontalement.    A

x

0

.

19.

. .

19.

. .

0

 

0,4     1,5 La force que doit exercer la personne afin de faire basculer une colonne est de 1368  N soit une force de poussée d’environ 140 kg.  19x27x10x

Calcul de la force nécessaire à appliquer par un homme pour faire  glisser une palette d’une colonne :   

Hypothèses du calcul :    ‐ on considère une hauteur de position de la palette d’environ 1,50m qui  correspond à une hauteur ou l’homme est le plus à l’aise pour tirer la palette.    Il est nécessaire donc de faire glisser la palette soumise à un poids de 11 palettes :  Effort normal sur la palette : Fnormal  = 11 x 27 x 10 = 2970 N  D’où effort tangentiel à appliquer pour faire bouger la palette :   

T>Nf   d’où   T > 0,35 x 2970 = 1039,5 N    

Effort nécessaire pour faire glisser la 11ème palette est de 1040 N.   

Hauteur réglementaire des gardes corps :  1 palette = 16,6cm  Nombre de palette nécessaire N :  N = 80/16,6 = 4,8   

La hauteur réglementaire d’un garde corps est actuellement de 80cm, le garde corps  devra donc être constitué de 5 palettes au minimum. 


Etude en flexion des  poutres de soutien au niveau des entrées :        

Y

q M 

A

G

X

0

X

B

L

Hypothèses :  ‐ On considère que la poutre est sollicitée en flexion simple  ‐ Poids des palettes situées au dessus considéré comme uniforme sur la longueur de la  poutre d’où une force linéique q représentative de ce poids ainsi que du poids propre de la  poutre.   

Etude statique de la poutre :   

Détermination des actions de réaction en A et B, la projection sur l’axe y des résultantes de  l’équation d’équilibre statique donne :  A

B

Projection de l’équation d’équilibre des moments selon l’axe z en A :   

L.

B

      =>               

A

B

.

Calcul du torseur de cohésion au point M:  X Є [0, L/2]  coh

X ‐ X‐

Avec Ty effort tranchant et Mfz moment de flexion.              On isole la partie entre 0 et x et on applique le principe fondamental de la statique :

 

coh M

RA M

Poids M  

coh M

x

x² x


coh M

x

x

  X Є [ L/2 , L]                 De manière analogue on retrouve le torseur de cohésion pour cette  partie de la poutre:   

coh M

x

L

x

x

x

              On peut donc à l’aide des torseurs de cohésion tracer le profil de  l’effort tranchant et du moment fléchissant :    Ty      L/2  L    x 0        ‐qL/2        Mfz        qL²/8          0  x   L/2  L


On remarque d’après les courbes que la valeur du moment fléchissant est maximale  pour x=L /2 et que l’effort tranchant est maximal au niveau des extrémités. 

x

max

ou 0

max

2 ²   8

2

On peut donc en déduire les contraintes maximales que doit supporter la poutre à  l’aide des formules suivantes :  max . 

xy max

zz max

xx max

On considère une poutre rectangulaire de dimension a x b x L avec une hauteur b inférieure  à 8 cm afin que l’on puisse glisser la poutre entre les planches de la palette.   

            Or         

b

a      ²

8

3

12

On a donc comme contraintes maximales admissibles : 

xy max

xx max

3 4 3 4

. ²

 . ²


On peut également en déduire la valeur max de la flèche due au moment fléchissant: 

X Є [0, L/2]  z

2

x 2

x

.

²

zz. Χz                  Χz

²

2

x

. 4. .

x

x 2

x

zz

. 12. .

zz

.

x²dx

x3

² x x²

zz

6. .

24. .

zz

zz

x3 dx

x4

A

x

x

x

. 12. .

0

3

0

2

0

zz

x3

24. . 24. .

zz

zz

3

x4

24. .

zz

x

Flèche maximale en x=L/2   

4

. .

zz

 

Poutre V (L/2)

Θ(x) x 

               


Calculs numériques et vérifications :              Contraintes maximales admissibles en cisaillement transverse et en allongement :   

               Prenons le cas où la poutre est contrainte de manière maximale c'est‐à‐dire supportant le  poids de 8 palettes ainsi que l’équivalent de 5 personnes (corridor accessible au dessus des entrées) :                                  ‐ coefficient de charge fixe : 1,35                                  ‐ coefficient de charge d’exploitation : 1,5                  La poutre considérée est de section carré de coté a = b = 8 cm et on considère qu’il y a  deux poutre positionnées par palettes afin d’éviter le basculement de celles‐ci, la charge à laquelle  est soumise chacune des poutres est donc divisée par 2. 

            M= 7 x 27 x 1,35 + 5 x 80 x 1,5 = 855 kg     =>    q = 855/(1,2 x 2) = 356 N/m   

D’où les contraintes maximales : 

3 4

xy max

3.855.1,2 2.1,2.4.0,08²

. 3 4

xx max

²

50062

750938

. ²

5.10‐2 MPa   8 MPa 

0,75 MPa 

50 MPa 

           D’après les informations données par les normes pour les bois de type résineux la  contrainte de cisaillement maximale admissible est de 8 MPa avec 5.10‐2 MPa on est très loin  de cette limite. Le critère de résistance en flexion est donc respecté.              De même la résistance à la traction pour un bois résineux est comprise entre 50 et  150 MPa étant donné qu’on obtient une valeur de 0,75 MPa le critère de résistance à  l’allongement de la poutre est largement respecté. 

5 4 384. . zz

2

5.356.1,24. 12 384.1,4.109. 0,084

On vérifie que la poutre répond au critère limitant au niveau de la flèche si :  max

300

                  :

Or   2 x 300 x 10‐3

,

,

Le critère de flèche limite est donc respecté.                

é

 


Récapitulatif des règles de sécurité à respecter :   

         ‐ Nombre de personnes maximales présentent simultanément sur une colonne de  palette : 5 personnes.            ‐ Cette structure résiste bien au vent cependant il est nécessaire pour des questions de  sécurité de rendre solidaire les colonnes de la structure par un système de sangle par  exemple. Il est impératif pour cela de rendre l’accès aux fixations des sangles impossible  pour les visiteurs. Bien entendu la structure n’est pas faite pour résister à des forces de vent  de tempêtes.             ‐ Il est nécessaire qu’il y ait 5 palettes au minimum pour constituer le garde corps et  que ces palettes soit fixée entre elles à l’aide de vis (système démontable) ou de clous,  horizontalement et verticalement.            ‐ Eviter que les gens ne poussent la structure même si elle peut supporter des efforts  importants (en basculement et en glissement des palettes) + sangles            ‐ Nécessité de disposer des poutres au niveau des entrées de section 8 cm x 8 cm ces  poutres seront au nombre de 2 par palette afin d’éviter tout phénomène de basculement.            ‐ Interdire toute utilisation du feu à proximité de la structure (briquet, allumettes,  cigarettes,…)            ‐ Tous les calculs ont été effectués en charge statique il est donc strictement interdit  aux visiteurs de sauter ou de s’agiter sur la structure. Les calculs effectués devenant  obsolètes on ne sait pas comment la structure peut réagir. 


Projet krack/Note de calcul/ENSAM-Paris-Tech  

Note de calcul du projet Krack par l'AMJE - ENSAM_PARIS_TECH

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