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Descomposición factorial

1. factor común 2. trinomio cuadrado perfecto 3. diferencia de cuadrado perfecto 4. trinomio de la forma x2 +bx +c 5. trinomio de la forma ax2 +bx +c 6. cubo perfecto de binomios 7. suma o diferencia de cubos perfectos 8. casos especiales

OBJETIVOS: c.1 reconocer el factor común en una serie de términos y algebraicas simplificándolas.

factorizar

expresiones

c.2 reconocer los casos especiales de factorización siguiendo las reglas propias de cada caso para su solución. c.3 resolver ejercicios que impliquen casos especiales de factorización. c.4. ejercitar en la solución de ejercicios en los que se encuentren más de un caso de factorización. Caso 1 - Factor común Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común. EJEMPLO: 1. Factorar. 6xy3 – 9nx2 y3 + 12nx3 y3 – 3n2x4 y3 6xy3 – 9nx2y3 +12nx3y3 – 3n2x4y3 = 3xy3 (2 – 3nx + 4nx2 – n2x3) . Factorar o descomponer en dos factores: 1.

a 2 + ab

2. 24a2 xy2 – 3 6 x 2 y4

4.

b + b2

5.

7.

x2 + x..

8.

10. 3a3 – a2

3.

a 6 – 3a 4 +8a 3 – 4 a 2

a 3 + a2 +a

6.

25 x7 – 10x5 +15x3 – 5x2

4x 2 – 8 x+ 2

9.

x 1 5 – x 1 2 – 2x9 – 3x6

11. 15y3 +20y2 -5y

12. 9a 2 -12ab-15a 3 b2-24ab3


13. x3 – 4x4

14. a 3 – a2 x+ax2

15. 16x3 y2 – 8x2y – 24 x4y2 –40x2 y3.

16. 5m2 +15m3

17. 2a2 x+2ax2 – 3 a x

18. 12m2 n+24m3 n2

36m4 n3

+

48m5 n4 19.

20. x3 + x 5 – x7

a b – bc.

21. 100a2b3 c – 150ab2 c 2 +50ab3 c 3 – 200abc2

22. x2 y + x 2 z

23. 14x2y2 – 28x 3 – 56x4

25. 2a2 x + 6ax2

26. 34ax2

+

51a2 y

24. x 5 – x 4 +x 3 – x 2 +x

– 27. a2 – 2 a 3 +3a 4 – 4a 5 +6 a 6

68ay2 28. 8m2 – 12mn

29. 96 – 48mn 2 +144n3

30. 3a2 b+6ab-5a3 b 2 + 8 a 2 bx. +4ab2 m

31. 9a 3 x2 – 18ax3

32. a 2 b2 c 2 – a2 c 2 x2 + 33. a20 – a16 – a12 – a8 + a4 – a2 a2c 2 y2

34. 15c3 d 2

+ 35. x – x2 + x3 – x 4

60c2 d 3 37. 35m2

36. 55m2 n3 x

+

110m2 n3 x2

220m 2 y3 n3

38. abc +abc2

39. 93a3 x2 y – 62a 2 x3 y2 – 124a2 x

7 0 m3

Caso 2 - Factor por agrupación de términos En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común EJEMPLOS 1. Descomponer a(x + 1) - x - 1. Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo - se tiene:


a(x + 1) – x –1 = a(x + 1) – (x + 1) = a(x + 1) – 1(x + 1) = (x + 1)(a – 1 1). R. 2. Factorar 2x(x + y + z) – x – y – z. Tendremos: 2x(x + y + z) – x – y – z =2x(x + y + z) – (x+ y +z) = (x + y + z)(2x – 1)., R. EJERCICIOS: 1. a(x+1)+b(x+1).

2. . x( a+1) – a – 1.

3. a 3 (a – b+1) – b 2 (a – b+1)

4. x(a+1) – 3(a+1).

5. . a2 +1 –b( a 2 +1)

6. 4m(a2 + x – 1)+3n(x – 1+ a2).

7. 2(x – 1)+y( x – 1) 10. m(a – b)+(a – b)n

8. 3x( x – 2) – 2y( x 9. x(2a+b+c)-2a- b-c – 2) 11. 1 – x+2a(1 – x) 12. (x+y)(n+1) – 3(n+1)

13.2x(n – 1) – 3y(n – 1)

14.4x(m – n)+n – m

15.(x+1)(x – 2)+3y(x – 2)

16.a(n + 2)+n+2

17.– m – n+x( m+n)

18.(a+3)(a+1) – 4(a+1)

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Descomponer 4x2 + 25y2 - 20xy. Ordenando el trinomio, t EJEMPLOS Tenemos: 4x2 – 20xy + 25y2 = (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)2. R. 2x

5y

raíces

Descomponer 1 – 16a x2 +64a 2 x4. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado. EJERCICIOS:


Factorar o descomponer en dos factores: 2. 1+14x2y+49x4 y2

3.

5. a 2+2ab+b 2

6. 1+a10 – 2x5

7. 49m6 – 70am3n2+25a2n4

8. x2 – 2 x+1

9. y4+1+2 y2.

10. 121 + 198x6 + 81x12

11.

13. a2 – 24am2x2 +

14. a 2 +2a(a+b)+(a+b) 2

15. 9 – 6x + x2

16. 16 + 40x2 + 25x4

17. 16 – 104x2 +169x4

18. 1+ 49a2 – 14a

19. 400x10 + 40x5 + 1

20. 36+12m2+m4

21. 1 – 2a 3 + a 6

22. a6 – 2a3b3 + b6

23.

1.

a 2 – 2ab+b2

4. 16x6 – 2x3y2+

1 16

y4

1 9

n2 +2mn+9m2

1 25

+

25 36

x4 –

1 3

x2

12. a2 – 10a + 25

144m4 x4

25.

1+

2 3

b +

1 9

b2

1 4

a2 – ab + b2

26. 4 – 4(1 – a) + (1 – a)2

28. 4m2 – 4 m( n – m) +( n – m) 2

24. a8 + 18a4 + 81 27. 100x10 – 60a 4x5 y6 + 9a 8 y12 29. ( m – n) 2 + 6( m – n) + 9

30. (a+x) 2 – 2( a+x) ( x+y) +. ( x+ y) 2 31. ( m+n)2 – 2(a – m)( m+ n)+(a – m) 2 Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo. EJEMPLOS: 1. Factorar 49x2y6z10 – a12 49x2 y 8z10 – a 12 =(7xy3z5 + a6)(7xy3 z 5 – a 6 ). R. 7xy3z5

a6

raíces

2. Factorar a2n – 9b4


a2n – 9b4m = (an + 3b2m) ( a n – 3b2m) . R. an

3b2m

raíces

Factorar o descomponer en dos factores: 1. x2 – y2

2. 1 – y2

3. a10 – 49b 12

4. a2 – 1

5. 25x2 y4 – 121

6. a2 – 4

7. 25 – 36x4

8. 100m2 n4 – 169y6

9. 9 – b2

10. 1 – 49a 2b2.

11. 196x2 y4 – 225z 12 12. 256a12 – 289b4 m10.

13. 4x2 – 81y4.

14. a2b 8 – c 2

15. 100 – x 2 y6.

16. 1 – 4m 2

17. . a – 25

18. a2m4n6 – 144

19. 1 – 9a 2b4c6d8

20. . m6 – (m2 – 1)2

21. 4a2 – 9

22. 16 – n2

23. 16a10 – (2a 2 +3)2

24. (x – y) 2 – (c+d) 2

25. (2a+b – c)2 – (a+b) 2 26. 100–(xy+z) 2 27. x2 – (y – x)2 29. (x – y+z) 2 – (y – z+2x) 2

28. 4(x+a)2 – 49y2

30. (2x+1) 2 – (x+4)2

Caso 6 - Trinomio de la forma x2 + bx + c Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente: El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado. El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable. El tercer término es independiente (no contiene la variable). 

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno


de los factores (paréntesis), son dos números, uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos de el coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos de el tercer término del trinomio, el signo del segundo término de cada factor será el producto de los signos del segundo y tercer término (ley de los signos) EJEMPLOS 1. Factorizar x2 + 2x - 15. Tenemos:

x2 + 2x - 15 = (x + ) (x - )

En el primer binomio se pone + porque + 2x tiene signo +. En el segundo binomio se pone - porque multiplicando el signo de + 2x por el signo de - 15 se tiene que + por - da -. Ahora, como en los binomios tenemos signos distintos buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15. Estos números son 5 y 3. El mayor 5, se escribe en el primer binomio, y tendremos: x2+2x – 15=(x + 5)(x – 3). R. 2. Factorar x2 – 5x – 14. Tenemos:

x2 – 5x – 14 = (x – ) (x + )

En el primer binomio se pone – porque – 5x tiene signo – . En el segundo binomio se pone + porque multiplicando el signo de - 5x por el signo de 14 se tiene que – por – da +. Ahora como en los binomios tenemos signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 14. Estos números son 7 y 2. El mayor 7, se escribe en el primer binomio y se tendrá: x2 – 5x – 14=(x – 7)(x + 2). R.

EJERCICIOS 1. x2 +7x+10.

2. y2 – 4y+3

3. a2 –2a –35

4. . x2 – 5x+6

5. x2 + 3x – 10.

6. 12 – 8n+n2

7. x2 +14x+13

8. a2 +33 – 14a.


9. a2 +7a – 18.

10. x2 +l0x+21

11. x2 +15x+56

12. . m2 +13m – 30

13. x2+ x – 2

14. . a2 +4a +3

15. m2 – 12m+11

16. c2 – 13c – 14

17. . m2 +5m – 14

18. . y2 – 9y+20.

19. x2 – 7x – 30

20. n2 +6n –16

21. x2 – 15x+54.

22. x2 – 6 – x.

23. 20+a2 – 21a

24. . a2+7a – 60

25. x2 – 9x+8

26. y2 +y – 30

27. x2 – 17x – 60

28. c2 +5c – 24

29. 28+a2 – 11a

30. x2+8x – 180

31. . x2 – 3x+2

32. . n2 – 6n – 40

33. m2 – 20m – 300.

34. . x2 –5x – 36

35. a2 +7a+6.

36. x2 +x – 132

Caso 7 - Trinomio de la forma ax2+bx +c A continuación, factorizaremos trinomios de la forma ax2 + bx + c, donde a  1. Se ilustrarán dos métodos para factorizar este tipo de trinomio cuando sea posible. El primer método hace uso de la factorización por agrupación. El segundo método, de tanteos, comprende al probar varias combinaciones antes de encontrar la combinación correcta.

Método 1: Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bc +c, a  1, por agrupación: 1. Determine dos números cuyo producto sea ac, y cuya suma sea b. 2. Reexprese el término bx empleando los números determinados en el paso 1. 3. Factorice por agrupación. Ejemplo Factorice 2x2 – 5x – 12 Solución a = 2, b = -5, c = -12. Hay que hallar dos números cuyo producto sea ac = (2)(-12) = -24, y cuya suma sea b, -5. Los dos números son –8 y 3. Nótese que (-8)(3) = -24 y –8 + 3 = -5. En seguida reexprese el término bx, -5x, empleando –8 y 3. 2x2 – 5x – 12 = 2x2 – 8x + 3x – 12 = (2x2 – 8x) + (3x – 12) = 2x(x – 4) + 3(x – 4) = (2x + 3)(x – 4)


Nótese que en este ejemplo se expresó –5x como –8x + 3x. La misma respuesta puede obtenerse si se escribe –5x como 3x – 8x. Por tanto, no importa qué factor se exprese primero al factorizar por agrupación.

Ejemplo Factorice 12x2 – 19x + 5 Solución En este caso, a = 12, b = -19, c = 5. Deben encontrarse dos números cuyo producto sea ac = (12)(5) = 60, y cuya suma sea b = -19. Puesto que el producto de los números es positivo y su suma es negativa, los dos números deben ser ambos negativos ¿Por qué? Los dos números son –15 y -4. Nótese que (-15)(-4) = 60 y (-16) + (-4) = -19. 12x2 – 19x + 5 = 12x2 – 15x – 4x + 5 = (12x2 – 15x) – (4x – 5) = 3x(4x – 5) – (4x – 5) = (3x – 1)(4x – 5) EJEMPLOS. Factorar 20x2 + 7x - 6. Multiplicando el trinomio por 20, tendremos: (20x) 2 + 7(20x) - 120. Descomponiendo este trinomio, tenemos: (20x + 15) (20x - 8). Para cancelar la multiplicación por 20, tenemos que dividir por 20, pero como ninguno de los dos binomios es divisible por 20, descomponemos el 20 en 5 X 4 y dividiendo el factor (20x + 15) entre 5 y (20x - 8) entre 4 tendremos (20x + 15)(20x - 8) = (4x + 3)(5x - 2) 5X4 Luego

20x2 + 7x - 6 =( 4x + 3) (5x - 2) . R.

1. 2x2+3x – 2

2. 3x2 – 5 x – 2

3. 6x2 + 7x +2

4. 5x2 +13x– 6

5. 20y2 + y – 1

6. 8a2 – 14a –15

7. m – 6+15m2

8. 6x2_ 6– 5 x

9. 12x2 – x – 6.

10. 7x2 – 44x –35

11. 15a2 – 8a – 12

12. 9x2 + 37x+ 4

13. 16m+15m2 – 15

14. 2a2 +5a+2

15. 44n+20n2 – 15

16. 14m2 – 31m – 10

17. 4a2+15a+9

18. 12x2 – 7x – 12

19. 2x2 +29x+90

20. 3+11a+10a2

21. 12m2 – 13m – 35

22. 9a2 +10a + 1

23. 20a2 – 7a – 40

24. 4n2 +n – 33


25. 20n2 – 9n – 20

26. 21x2 + 11x – 2

27. 30x2 +13x – 10

28. 27ab – 9b2 – 20a2

Factorar 18a2 – 13x – 5. Multiplicando por 18: (18a)2 – 13 (18a) – 90. Factorando este trinomio: (18a – 18) (18a + 5). Dividiendo por 18, para lo cual, como el primer binomio 18a – 18 es divisible por 18 basta dividir este factor entre 18, tendremos:

18a  1818a  5  a  118a  5 18

luego 18 a 2  13 a  5  (a  1)(18 a  5)

Factorar: Caso 8 - Cubo perfecto de binomios Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones: 

Posee cuatro términos

El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).

El segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

El tercer término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término multiplicado por la raíz cúbica del primer término.

Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos. EJEMPLO: Hallar si 8x 6 + 54x 2 y6 - 27y9 - 36x 4 y 3 es el cubo de un binomio. Ordenando la expresión, se tiene: 80 - 36x4 y3 + 54x2 y6 - 27y9 . La raíz cúbica de 8x 6 es 2x2


La expresión tiene cuatro términos: La raíz cúbica de 27y9 es 3y3 . 3(2x2 )2 (3y3 ) =36x4 y3 , segundo término 3(2x2 ) (3y3 ) 2 =54x 2 y6, tercer término y como los términos son alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de

(2x2 - 3y3 ) o sea

8x 6 + 54x 2 y6 - 27y9 - 36x 4 y 3 = (2x2 - 3y3 )3

EJERCICIO 1. a 3 +3a 2 +3a+1

2. 8 – 36x+54x 2 +27x 3

3. 27 – 27x+9x – x3

4. 8-12a 2 + 6a4 – a6

5. m3+3m2n+3mn 2 +n 3

6. a6 +3a4 b3 +3a2 b6 +b9

7. 1+3a2 – 3a – a3

8. x9 – 9x 6 y 4 +27x 3 y8 – 27y12

9. 8 +12a2 +6a4 + a 6

10. 64x3 +240x2 y +300xy2 +125y3

11. 125x3 +1+75x2 +15x

12. 216 – 756a 2 + 88 2 a 4 – 34 3 a 6

13. 8a3 – 36a 2 b+54ab2 – 2 7 b 3

14. 125x12

+600x8y5

+960x4 y10

+512y15 15. 27m3 +108m2 n +144mn 2 +64n 3

16. 19. 3a12 +1 +3a6 +a18

17. m3 - 3 a m 2 n+3a2 mn 2 -a 3 n 3

18. x3 – 3x2 +3x – 1

19. – 1 – 12a 2b – 6a b – 8 a 3 b3

20. 1+18a2b3+108a4b6+216a6b9

21. 125a 3 +150a2b +60ab2 +8b 3

22. 64x9 – 125y 12 – 240x 6y4 +300x3 y8

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos REGLA 1. La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1º La suma de sus raíces cúbicas. 2º El cuadrado de la primera raíz menos el producto de las


dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2) REGLA 2. La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1º La diferencia de sus raíces cúbicas. 2º El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz a3- b3= (a-b)(a2+ab+b2) EJEMPLOS Factorar 27a3 + b6. La raíz cúbica de 27a3 es 3a; la de b6 es b2. Según la Regla 1 tendremos: 27a3 + b6=(3a+b2)[(3a)2 – 3a(b2) + (b2)2]=(3a+b2)(9a2 – 3 a b 2 + b 4 ) R. Factorar 8x3 - 125. La raíz cúbica de 8x3 es 2x; la de 125 es 5. Según la Regla 2 tendremos: 8x3 – 125=( 2x – 5)[ ( 2x) 2 +5( 2x) +5 2] =( 2x – 5) ( 4x 2 +10x+25)• R.

EJERCICIOS: Descomponer en 2 factores: 1. 1+a 3

2. 27a3 – b3

3. y3 – 1

4. 8x3 – 27y3

5. 1 – a3

6. 8x3 – 1

7. . 64 + a6

8. 1+ 343n3

9. x3 +y3.

10. 1 – 8x 3.

11. . a3 –125

12. 64a3 – 729

13. a3b3 –x 6

14. 512 + 27a9

15. . m3 – n3

16. x 3 – 27

17. 1 – 216m3

18. . 8a3 + 27b6

19. a3 + 27.

20. a3 – 1.

21. . y3 +1.

22. 8x3 + y3.

23. x6 – b9.

24. . x6 – 8y 12

25.

1+ 729x6

26.

27.

28. x3 y6 – 216y9

29. a3b3x3 + 1

30.

x9 + y9

27m3 + 64n9

Miscelánea

343x3 + 512y6


Factorice completamente estas expresiones: 2. 6z2t3 + 3zst4 – 12z2t3

3. y2 – 15y+50

4. 16x2 – 9

5. 6y2 – 4y

6. x2 – 25

7. x2+5x – 24

8. 2x2+12x+16

9. 10xy + 5xz

10. x2+3x – 4

11. z2+6z+8

12. 2x2+7x – 15

13. 3x2y – 9x3 y3

14. p2+4p+3

15. 4t2 – 9s2

16. x2+6x+9

17. 3x2 – 3

18. 8a3bc – 12ab3cd

19. 4y2 – 4

20. s2 – 6s+8

21. 6y2+13y+2

22. 4x2 – x – 3

23. 12s3+10s2 – 8s

24. 9z2+24z+16

26. 9x 7 1

4

27. 2x3+2x2 – 12x

28. x2 y2 – 4xy+4

29. 4 x  2 

30. 3s2 3s  9 s 2  2

31. x3y2 – 10x2y+25x

32. 3 x 2  x   6 x  2 

33. x 3  4 x   8  2 x 2 

34. x 2  1  x 2  x  2

35. x6 – 1

36. x3 – 1

37. x3y – xy+z2x2 – z2

38. x3+8

39. p 1  r   p1  r r

40. x4 – 16

41. 81x4 – y4

42. y8 – 1

43. t4 – 4

44. x4+x2 – 2

45. x4 – 5x2+4

46. x5 – 2x3+x

47. 4x3 – 6x2 – 4

48. 27+8x3

1. 6x +4

25. x

2

3

8

y  4x 3 y3 2

Productos y cocientes notables  

El siguiente documento contiene fórmulas , ejemplos y ejercicios propuestos sobre productos y cocientes notables para que el estudiante teng...

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