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Programa del Diploma

Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas Para su uso durante el curso y en los exámenes Primeros exámenes: 2014

Publicado en marzo de 2012 © Organización del Bachillerato Internacional, 2012

5047


Índice Conocimientos previos

2

Unidades

3

Unidad 1: Álgebra

3

Unidad 2: Funciones y ecuaciones

4

Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría

4

Unidad 4: Vectores

5

Unidad 5: Estadística y probabilidad

5

Unidad 6: Análisis

6

Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas

1


Fórmulas

Conocimientos previos A= b × h

Área del paralelogramo Área del triángulo

Área del trapecio

= A

1 (b × h) 2

= A

1 ( a + b) h 2

Área del círculo

A = πr 2

Longitud de la circunferencia

C = 2πr

Volumen de la pirámide

= V

1 ( área de la base × altura ) 3

Volumen del ortoedro (prisma rectangular)

V =l × a × h

Volumen del cilindro

V = πr 2 h

Área lateral del cilindro

A= 2πrh

Volumen de la esfera

Volumen del cono

V=

4 3 πr 3

V=

1 2 πr h 3

Distancia entre dos puntos ( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 )

d=

Coordenadas del punto medio de un segmento de recta que tiene por extremos ( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 )

 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2  , ,   2 2   2

Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas

( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2

2


Unidades

Unidad 1: Álgebra 1.1

Término n-ésimo de una progresión aritmética

un = u1 + (n − 1)d

Suma de n términos de una progresión aritmética

S n=

Término n-ésimo de una progresión geométrica

un = u1r n −1

n n (2u1 + (n − 1)d )= (u1 + un ) 2 2

Suma de los n términos u1 (r n − 1) u1 (1 − r n ) , r ≠1 = S = n de una progresión r −1 1− r geométrica finita

1.2

Suma de una progresión geométrica infinita

S∞ =

Potencias y logaritmos

ax = b ⇔

Propiedades de los logaritmos

log c a + log c b = log c ab a log c a − log c b = log c b r log c a = r log c a

Cambio de base

1.3

u1 , r <1 1− r

log b a =

x = log a b

log c a log c b

Coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio

n n!   =  r  r ! (n − r )!

Teorema del binomio

 n  n (a + b) n = a n +   a n −1b + +   a n − r b r + + b n 1 r

Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas

3


Unidad 2: Funciones y ecuaciones 2.4

Eje de simetría del gráfico de una función cuadrática

f (x ) = ax 2 + bx + c ⇒ eje de simetría

2.6

Relaciones entre las funciones exponencial y logarítmica

a x = e x ln a log a a x= x= a loga x

2.7

Soluciones de una ecuación cuadrática o cuadrática

ax 2 + bx + c= 0 ⇒

Discriminante

∆= b 2 − 4ac

x=

x=−

b 2a

−b ± b 2 − 4ac , a≠0 2a

Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría 3.1

Longitud del arco

l =θr

Área del sector circular

1 A = θ r2 2

senθ cos θ

3.2

Identidad trigonométrica

3.3

Relación fundamental

sen 2θ + cos 2 θ = 1

Fórmulas del ángulo doble

sen 2θ = 2 sen θ cos θ

tanθ =

cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2sen 2θ 3.6

Teorema del coseno Teorema del seno Área del triángulo

Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ; cos C =

a 2 + b2 − c2 2ab

a b c = = senA senB senC A=

1 ab sen C 2

4


Unidad 4: Vectores 4.1

Módulo de un vector

4.2

Producto escalar

v12 + v2 2 + v32

v =

v⋅w = v w cos θ v ⋅ w= v1w1 + v2 w2 + v3 w3

Ángulo entre dos vectores

4.3

Ecuación vectorial de una recta

cos θ =

v⋅w v w

r = a + tb

Unidad 5: Estadística y probabilidad 5.2

Media de un conjunto de datos

n

x=

∑fx

i i

i =1 n

∑f i =1

5.5

5.6

5.7 5.8

5.9

i

Probabilidad de un suceso A

P( A) =

Sucesos complementarios

P( A) + P( A′) = 1

Sucesos compuestos

P( A ∪ B )= P( A) + P( B ) − P( A ∩ B )

Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes

P( A ∪ B )= P( A) + P( B )

Probabilidad condicionada

P(A ∩ B ) = P(A) P(B | A)

Sucesos independientes

P( A ∩ B ) = P( A) P( B )

Valor esperado de una variable aleatoria discreta X

E( X = ) µ=

Distribución binomial

n r n−r 0,1, , n X ~ B(n, p ) ⇒ P( X = r) =   p (1 − p ) , r = r

Media

E( X ) = np

Varianza

Var(= X ) np (1 − p )

Variable normal tipificada o estandarizada

z=

Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas

n( A) n(U )

∑ x P( X=

x)

x

x−µ

σ

5


Unidad 6: Análisis 6.1

6.2

y = f ( x) ⇒

Derivada de x n

f ( x) = xn ⇒

Derivada de sen x

f ( x ) = sen x ⇒ f ′( x ) = cos x

Derivada de cos x

f (x ) = cos x ⇒ f ′( x ) = −sen x

Derivada de tan x Derivada de e x Derivada de ln x Regla de la cadena Regla del producto Regla del cociente

6.4

dy  f ( x + h) − f ( x )  = f ′( x) = lim   → h 0 h dx  

Derivada de f ( x)

Integrales inmediatas

f ′( x) = nx n −1

f ( x ) = tan ( x ) ⇒

f ′( x) =

f ( x) = ex ⇒

f ′( x) = ex

f ( x) = ln x ⇒

1 f ′( x) = x

y = g (u ) , u =f ( x) ⇒

du dv v −u dy = dx 2 dx dx v

n dx ∫x=

dy dy du = × dx du dx

dy dv du =u + v dx dx dx

y =uv ⇒

u y= v

1 cos 2 x

x n +1 + C , n ≠ −1 n +1

1

∫ x dx =ln x + C ,

x>0

∫ sen x dx = − cos x + C

∫ cos x dx = sen x + C ∫e 6.5

6.6

x

d= x ex + C

Área bajo una curva entre x=ayx=b

A = ∫ y dx

Volumen de revolución alrededor del eje x desde x = a hasta x = b

V = ∫ πy 2 dx

Distancia total recorrida desde el instante t1 a t 2

Distancia =

Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas

b

a

b

a

t2

t1

v(t ) dt

6


Cuadernillo de fórmulas