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Las matemáticas,

una herramienta para la gestión óptima una herramienta para la gestión óptima

i “Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptima” es un libro de obligada consulta, toda vez que esta área del conocimiento, a lo largo de la historia ha dado respuestas al desarrollo de la humanidad y hacer la vida más práctica, se relaciona con la mayoría, por no decir con todas, las demás ciencias. El presente libro está divido en cuatro capítulos, a través de los cuales el lector hace un recorrido didáctico que va desde los conceptos básicos de las matemáticas hasta la incursión en el complejo mundo de la geometría, incluyendo el Sistema Internacional de unidades (SI), al final del cual y con la ayuda de los ejercicios, dominará fórmulas y teorías fundamentales para su formación académica y, de paso, comprobará que no es cierto el mito de su dificultad.


GALINDO GALINDO, Mary Lucía Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptima / Mary Lucía Galindo Galindo. -- Bogotá : Corporación Universitaria Minuto de Dios. UNIMINUTO. Instituto de Educación Virtual y a Distancia, 2009. 64 p. CDD 511.3 ISBN: 978-958-8165-59-2 1. Teoría de conjuntos. 2. Fracciones 3. Sistema Internacional (SI) de unidades 4. Geometría

Rector General Padre Camilo Bernal Hadad, cjm

Las matemáticas una herramienta para la gestión óptima

Asesor de Rectoría General Leonidas López Herrán

ISBN: 978-958-8165-59-2

Vicerrectora General Académica Marelen Castillo Torres Secretaria General Lynda L. Guarín Gutiérrez Director Instituto de Educación Virtual y a Distancia Daniel Rocha Jiménez Director Académico Padre Pablo Velazquez Abreu, cjm. Autor Mary Lucía Galindo Galindo Revisión académica Germán Zambrano Correción de estilo Aurora Fandiño Editor Rocío del Pilar Montoya Chacón Diseño Fernando Alba Guerrero Iván Gómez S. Ilustraciones Fernando Alba Guerrero

UNIMINUTO Corporación Universitaria Minuto de Dios Instituto de Educación Virtual y a Distancia Calle 81 C #72 B -05 Bogotá, D.C. Teléfono: (57-1) 2525030 – 2528849 Fax: (57-1) 2237031 Celular: 320 313 1732 Línea nacional gratuita: 01 8000 93 66 70 virtualydistancia@uniminuto.edu http://virtual.uniminuto.edu Impreso: Javegraf

Bogotá, D.C. octubre 2009 Primera edición Primera reimpresión de la primera edición autorizada para el CONVENIO DE ASOCIACIÓN CONFORMADO POR FEDEPALMA, UNIMINUTO, UNAD, FUNDEWILCHES, CORDEAGROPAZ, SENA REGIONAL SANTANDER Y OTROS COMO ALIADOS ESTRATÉGICOS.

© Reservados todos los derechos a Corporación Universitaria Minuto de Dios. UNIMINUTO. La reproducción parcial o total de esta obra, en cualquier medio, incluido eletrónico, solamente puede realizarse con permiso expreso del editor y cuando las copias no son usadas para fines comerciales. Los textos son responsabilidad de los autores y no comprometen la opinión de UNIMINUTO.


Tabla de contenido

Tabla de contenido Lista de figuras....................................................................................................................... 5 Lista de tablas........................................................................................................................ 6 Lista de símbolos.................................................................................................................... 7 Nota aclaratoria...................................................................................................................... 8 Introducción............................................................................................................................ 9 Capítulo 1

CONJUNTOS NUMÉRICOS

11

Números reales y sus operaciones...................................................................................... 11 Números naturales........................................................................................................ 11 Números enteros........................................................................................................... 13 Números racionales....................................................................................................... 15 Números irracionales.................................................................................................... 16 Relaciones de desigualdad en los números reales............................................................. 18 Propiedades de los números reales..................................................................................... 21 Sistema decimal.................................................................................................................... 23 Redondeo de decimales................................................................................................ 25

Capítulo 2

FRACCIONES, RAZONES Y PROPORCIONES

27

Fracciones, razones y proporciones..................................................................................... 27 Tipos de fracciones....................................................................................................... 28 Simplificación de fracciones......................................................................................... 29 Fracciones equivalentes................................................................................................ 31 Comparación de fracciones.......................................................................................... 32 Operaciones con fracciones.......................................................................................... 33

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Tabla de contenido

De decimales a fracciones........................................................................................... 36 Razones y proporciones........................................................................................................ 37 Razones.......................................................................................................................... 37 Proporciones.................................................................................................................. 39 Porcentajes............................................................................................................................ 42 Uso de porcentajes....................................................................................................... 42 Capítulo 3

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Capítulo 4

GEOMETRÍA

45 49

Ángulos.................................................................................................................................. 49 Triángulos.............................................................................................................................. 51 Figuras planas....................................................................................................................... 56 Figuras tridimensionales....................................................................................................... 58 Glosario................................................................................................................................. 62 Bibliografía............................................................................................................................ 63

4


Lista de figuras

Lista de figuras Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura

1. Conjunto de números reales................................................................................ 17 2. Recta real.............................................................................................................. 17 3. Semirrectas............................................................................................................ 50 4. Ángulo entre dos semirrectas.............................................................................. 50 5. Ángulos cóncavos y convexos.............................................................................. 51 6. Ángulo de una circunferencia.............................................................................. 51 7. Triángulos.............................................................................................................. 51 8. Triángulo rectángulo............................................................................................. 52 9. Triángulos oblicuángulos...................................................................................... 53 10. Gráfica explicativa del ejemplo 38................................................................... 54 10a. Gráfica explicativa del ejercicio....................................................................... 54 10b. Triángulos rectángulos...................................................................................... 54 10c. Triángulos rectángulos...................................................................................... 55 11. Graficación del ejercicio..................................................................................... 55 12. Triángulo oblicuángulo....................................................................................... 56 13. Círculo y circunferencia...................................................................................... 56 14. Principales triángulos y cuadriláteros............................................................... 57 15. Polígonos regulares............................................................................................. 57 16. Elipse................................................................................................................... 58 17. Prismas y cilindros............................................................................................. 58 18. Pirámides y conos.............................................................................................. 58 19 Esfera................................................................................................................... 59 20. Medidas de la caja............................................................................................. 59 21. Graficación del ejemplo..................................................................................... 60 22. Esquema de la pieza de oro............................................................................ 60

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Lista de tablas

Lista de tablas Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla

6

1. Nominación de fracciones...................................................................................... 27 2. Criterios de divisibilidad........................................................................................ 30 3. Unidades fundamentales del SI............................................................................. 45 4. Unidades derivadas del SI..................................................................................... 45 5. Prefijos de múltiplos y submúltiplos del SI......................................................... 46 6. Unidades aceptadas que no pertenecen al SI...................................................... 48 7. Clasificación de los ángulos según su medida ................................................... 50 8. Clasificación de los triángulos según sus lados.................................................... 51 9. Clasificación de los triángulos según sus ángulos............................................... 51 10. Valor de las funciones trigonométricas para los ángulos notables ................ 53 11. Clasificación de los polígonos por el número de lados.................................... 57 12. Áreas cuadriláteros............................................................................................... 58


Lista de símbolos

Lista de símbolos ! / . & 3 {} 2 $ 1 # 6 ! g , ; /

j + T

Diferente Idéntico o exactamente igual Casi igual a Entonces Infinito Llaves que indican conjunto Mayor Mayor o igual que Menor Menor o igual que Para todo Pertenece No pertenece Sí y sólo sí Tal que (tales que) Y O Unión Ángulo Triángulo

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Nota aclaratoria

Nota aclaratoria Uso de coma (,) para separar miles y punto (.) para separar decimales La autora Mary Lucia Galindo determinó como un valor agregado al libro “Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptima”, el uso de la coma (,) como separador de los miles en las expresiones numéricas y el uso del punto (.) como separador de los decimales, aunque en nuestro quehacer colombiano es una postura que sólo se encuentra en las contrataciones gubernamentales (Instituto Nacional de Salud, 2006.) Este fue un cambio realizado y aceptado por la Real Academia de la Lengua Española (Real Academia de la Lengua Española, 2009.) y retomado en este libro. Por ello, es importante que el lector tenga en cuenta esta información al mirar los ejercicios resueltos y al dar respuesta a los ejercicios y problemas propuestos. Para una mayor claridad del tema en la figura se ilustra el uso de estos dos signos en los números. Punto Decimal 0.47667 1,345,342.89 Punto Decimal Coma de miles

Mg. Martín Germán Zambrano Castro Licenciado en educación. Especialidad física y matemática Instituto Nacional de Salud. (5 de Diciembre de 2006). Términos de referencia convocatoria pública No 045 - 2006. Bogotá, Cundinamarca, Colombia: Instituto Nacional de Salud. Real Academia de la Lengua Española. (s.f.). Diccionario de la Real Academia Española. Recuperado el 30 de Julio de 2009, de http:// buscon.rae.es/dpdI/

8


Introducción

Introducción Al estudiante

E

ste texto base para el módulo “Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptima” fue escrito con el objetivo de contribuir en el aprendizaje de las matemáticas en la formación académica que adelanta actualmente. El texto se encuentra estructurado en cuatro capítulos, cada uno de los cuales contiene diversas ejemplificaciones que buscan la comprensión de los temas que aquí se tratan. El primer capítulo pretende que el estudiante tenga las herramientas necesarias para que pueda identificar y desarrollar los conjuntos numéricos del sistema decimal de numeración, así como las relaciones de proporcionalidad. El segundo capítulo se refiere a los conceptos y el uso de fracciones, razones y porcentajes. El tercer capítulo brinda los elementos para definir las unidades pertenecientes al Sistema Internacional de medidas (SI), facilitándole la conversión de las unidades regionales a dicho sistema. El último capítulo introduce al estudiante al mundo de la geometría, para que reconozca conceptos y formulaciones geométricas que facilitan la medición de las estructuras sólidas. Se recomienda al estudiante leer la teoría y las explicaciones antes de intentar resolver los ejercicios planteados, porque la lectura de un texto matemático difiere considerablemente de otros, como las novelas, los periódicos, las revistas o de cualquier otro tipo de lectura. Por eso es frecuente que se deba leer el texto más de una vez antes de afianzar su comprensión. Es de gran importancia la atención que se ponga a los ejemplos, así como al proceso de desarrollo de los mismos; para ello es necesario que el estudiante repase las operaciones realizadas, a medida que se avanza en la lectura de los temas planteados a lo largo del texto.

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10


CAPÍTULO

1

Conjuntos numéricos

i Para alcanzar un conocimiento amplio y profundo de este primer capítulo es necesario dominar la organización matemática de los conjuntos numéricos, sus operaciones, sus propiedades y la asociación de los mismos con los entornos cotidianos, es decir, no sólo matemáticos. La importancia del estudio de los números, junto con sus operaciones y propiedades, se centra en que es un medio que permite favorecer y estimular el desarrollo de las habilidades y capacidades lógicas e intelectuales. No sólo para adquirir habilidad mental y destreza en los cálculos numéricos, sino para mejorar la capacidad de razonamiento en diversas situaciones problemáticas; esto se alcanza cuando se transfieren los contenidos aprendidos, en los contextos de la vida cotidiana. Pero ¿cuáles son esos entornos cotidianos? Por ejemplo, cuando se desea parcelar un terreno con exactitud, para realizar diversos sembradíos, o cuando se requiere mezclar adecuadamente las proporciones de un fertilizante, o calcular cuánta agua se puede almacenar en un tanque, o establecer el número de trabajadores necesarios para realizar una labor específica en un determinado tiempo, entre otros. Son estos contextos los que exigen el uso de los conjuntos numéricos que contiene este texto de estudio.

Números reales y sus operaciones

T

odos aquellos números que concibe la mente, desde el más grande hasta el más pequeño, forman parte de una gran familia de números, denominados números reales. Pero esta gran familia está conformada por pequeños grupos, los cuales se congregan en razón de las primeras asociaciones numéricas que se dieron entre los números.

Números naturales Antes de que se establecieran las primeras representaciones gráficas de lo que hoy se conoce

como números, el ser humano concibió su uso para facilitar la cuantificación de sus rebaños, utensilios, cultivos, etc., utilizando para ello palos de arcilla, apilando piedras, realizando hendiduras en diversas superficies o haciendo dibujos sobre las rocas, de manera que le permitiera establecer cuántos y cuáles objetos o animales eran de su propiedad. Es decir, en la antigüedad, el hombre tenía la noción de contar, para lo cual empleaba elementos de su entorno con el fin de representar cantidades determinadas, diseñando, por llamarlo así, su primer sistema de numeración, no como hoy en día lo concibe nuestra cultura, sino valiéndose de las herramientas que encontraba en su me-

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Conjuntos numéricos

dio. Estas diversas representaciones paulatinamente fueron formalizándose y simplificándose hasta llegar a los números que se conocen en la actualidad. Los primeros números que surgen con base en estas cuantificaciones son los números naturales, los cuales inician con el número cero (0), que será el que señala que no hay elementos, ni animales, ni cosas qué contar. Al enumerar objetos, personas y animales,entre otros, se tiene la tendencia de iniciar con el número uno (1), pero no se debe olvidar que el cero (0) hace parte de las posibles respuestas, puesto que cuando se carece de algo o no se halla ese elemento, generalmente se emplean términos como “ninguno”, “no hay” o “no existe”.

En el lenguaje matemático es habitual designar los conjuntos numéricos con las letras del alfabeto en mayúscula y encerrar entre corchetes { } los elementos que los conforman. Para el caso de los números naturales, este conjunto se identifica con la letra N , y los elementos que lo conforman se representan así:

N ="0,1, 2, 3,..., Una característica importante de los números naturales es que estos son un conjunto, en el que los elementos que lo componen (es decir, los números) aumentan en cantidades de una unidad y no hay un límite para el valor más grande, entonces decimos que este conjunto tiende a ser infinito, característica que se representa por medio de un símbolo que tiene la forma del número ocho acostado ^3h.

N ="0,1, 2, 3,..., 3,

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¿Por qué se llaman números naturales? Se llaman así porque fueron los primeros números utilizados por el hombre en la antigüedad, y se construyeron a partir del proceso de contar de manera natural.

Los problemas y las actividades diarias de las primeras culturas relacionadas con los procesos de contar, dieron origen a una serie de operaciones matemáticas como la adición o suma, la sustracción o resta, la multiplicación y la división, las cuales hoy se conocen como las cuatro (4) reglas de la aritmética. Al realizar cualquiera de estas operaciones con los números naturales, el resultado obtenido ha de pertenecer a la gran familia de los números reales, pero a su vez puede pertenecer o no al conjunto de los naturales. La razón de esto es que cuando se suman o se multiplican dos o más números naturales, se obtiene como resultado otro número natural; esto significa en lenguaje matemático que estas dos operaciones (suma y multiplicación) son operaciones cerradas* de este conjunto numérico. (*Se dice que es una operación cerrada porque al realizar la operación matemática entre dos o más números que pertenecen a un conjunto dado, el resultado también pertenece a este conjunto.) Utilizando el lenguaje simbólico, lo anterior se puede expresar de la siguiente manera:

a + b ! N 6 a, b ! N Esta representación se lee: el resultado de la suma ^+h de dos números cualquiera a y b per-


tenece ^!h a los números naturales ^ N h , para todo ^6h a y b que pertenecen ^!h a los naturales ^ N h.

a # b ! N 6 a, b ! N El resultado de la multiplicación ^#h de dos números cualquiera a y b pertenece ^!h a los números naturales ^ N h, para todo ^6h a y b que pertenecen ^!h a los naturales ^ N h. Ejemplo 1

10 # 50 = 500 10 + 50 = 60 10 # 2 = 20 0 + 2 = 2 50 # 2 = 100 Los números entre los cuales se realizan las operaciones algebraicas de suma y multiplicación (0, 2, 10 y 50), así como los resultados de dichas operaciones (2, 20, 60, 100 y 500), pertenecen al conjunto de números naturales. Sin embargo, cuando se restan o se dividen dos números naturales no siempre se obtiene como resultado un número natural, como se demuestra a continuación. Ejemplo 2

30 - 20 = 10 10 - 20 = - 10 30 3 10 0.5 20 = 20 = Si bien los números entre los cuales se realizan las operaciones algebraicas de resta y división (10, 20 y 30) hacen parte del conjunto de los números naturales, tan sólo los resultados de la primera y tercera operación (10 y 3) hacen parte de los naturales, mientras que los resultados de la segunda y cuarta (-10 y 0.5) no hacen parte de este conjunto.

En la resta de dos valores que pertenezcan al conjunto de números naturales, el resultado de esta operación también será parte de los naturales sólo en los casos en los que a un número mayor se le reste un número menor. Utilizando el lenguaje simbólico, lo anterior se puede expresar de la siguiente manera:

a - b ! N 6 a, b ! N + a 2 b El resultado de restarle ^-h a un valor a un valor b, pertenece ^!h a los números naturales ^ N h para todo ^6h a y b que pertenecen ^!h a los naturales ^ N h, sí y sólo sí ^+h el valor a es mayor ^2h que el valor b. No obstante, aún quedan resultados de operaciones algebraicas entre números naturales (resta y división) que no hacen parte de éstos; entonces, es necesario definir otros conjuntos numéricos que permiten asignar los resultados obtenidos a un grupo.

Números enteros El conjunto de números enteros, identificado con la letra F , es aquel que agrupa a los números naturales y sus valores opuestos (negativos). Utilizando el lenguaje simbólico, lo anterior se puede expresar de la siguiente manera:

F = N j "- 1,- 2,- 3,- 4,- 5, f, Es decir, el conjunto de los números enteros ^ Z hes igual al conjunto de los números naturales ^ N h unido ^jh al conjunto de los valores negativos de los números naturales (-1, -2, -3, -4, -5,…). Donde, el conjunto de números enteros estaría dado por los siguientes elementos:

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Conjuntos numéricos

Como se puede apreciar, este conjunto de números tiene valores positivos, negativos y el valor cero, los cuales permiten subdividir el conjunto de los números enteros en enteros positivos, que están representados por la letra Z acompañada del signo positivo Z+ en enteros negativos, que se representan por la letra Z acompañada del signo negativo Z- , y el elemento cero.

F = "- 5,- 4,- 3,- 2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, f, Enteros negativos Enteros positivos cero +

Z

Z

Lo anterior se puede representar de la siguiente manera:

Z = Z- j "0 , j Z+

Es decir, el conjunto de los enteros ^ Z h es igual al conjunto de los números enteros negativos ^ Z-h unido ^jh al conjunto cuyo elemento es el número cero (0) y a su vez, unido ^jh al conjunto de enteros positivos ^ Z+h. Entonces, de acuerdo con la descripción inicial del conjunto de los enteros, se evidencia que la unión de los enteros positivos con el valor cero (0) conforma los números naturales.

N = "0 , j Z+ A su vez, el conjunto de los enteros está conformado por la unión de los números naturales y los enteros negativos.

Z = Z- j N Siguiendo con las operaciones aritméticas, ya se puede asignar al conjunto de los enteros todos los posibles resultados que se obtienen de

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restar dos o más números naturales. Pero aún no se resuelve completamente el problema, ¿Qué pasa con la división? ¿El resultado de dividir dos números enteros será siempre otro número entero? ¿Qué condición se debe dar para que esto ocurra? Ejemplo 3

50 - 10 = 40 30 + 50 = 80

10 + 50 = 60 30 - 50 = - 20

Los números entre los cuales se realizan las operaciones algebraicas de suma y resta hacen parte del conjunto de los naturales y por ende de los enteros (10, 30 y 50) y los resultados de estas operaciones algebraicas hacen parte del conjunto de los enteros (-20, 40, 60 y 80). Sin embargo, al dividir números enteros no siempre se obtiene un número que pertenezca a este mismo conjunto, como se demuestra a continuación. Ejemplo 4

- 1 = - 0.5 4

- 20 = - 2 10

20 2 10 =

10 0.5 20 =

Si bien los números entre los cuales se realizan las operaciones algebraicas de división (-20, -1, 4, 10 y 20) hacen parte del conjunto de los números enteros, tan sólo los resultados de la segunda y la tercera operación (-2 y 2) hacen parte de los enteros, mientras que los resultados de la primera y la cuarta (-0.25 y 0.5) no.


Para solucionar este problema, es necesario ampliar el campo del conjunto numérico, introduciendo así los números racionales.

Números racionales El conjunto de los números enteros y los fraccionarios se denomina conjunto de números racionales, este nuevo conjunto se representa con la letra Q y está definido de la siguiente manera:

Q = $ a a, b ! Z, ! 0 . b El conjunto de los números racionales ^Qh es igual al conjunto de los números de la forma a a sobre b ` j , tal que ^ ; h a y b pertenecen ^!h a b los números enteros ^ Z h y el valor de b es diferente ^!h de cero^0h.

¿Racional? El término racional hace referencia a“ración”, parte de un todo o un pedazo de algo.

A partir de lo anterior, se puede concluir que: 1.

2.

Todo número entero es un número racional, dado que puede ser representado como una fracción cuyo denominador es 1. Si el numerador es múltiplo* del denominador, siempre se obtiene un número entero como resultado.

* Un número “a” es múltiplo de un número “b” cuando existe otro número que multiplicado por b nos da como resultado el número a, es decir, c x b = a. Estos números racionales se pueden expresar de manera racional exacta o periódica en los siguientes casos: •

Cuando se expresa un número de manera racional exacta, se hace referencia a que su resultado genera un número con cifras decimales finitas (es decir, con un número determinado de dígitos).

Cuando se expresa un número de manera periódica, se hace referencia a que su resultado genera un número con cifras decimales que se repiten de manera indefinida. Estas cualidades del resultado se pueden representar de las siguientes formas: a. Se ponen tres puntos suspensivos después de escribir dos o tres veces la cifra que se repite periódicamente, donde los puntos suspensivos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás se terminarían de escribir. b. Se coloca el símbolo 7 ó - sobre la cifra que se repite indefinidamente.

A pesar de haber ampliado el conjunto numérico, aún se encuentran operaciones aritméticas en las que su resultado no puede ser incluido en los conjuntos ya definidos.

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Conjuntos numéricos

Ejemplo 5 1 = 0.25 4

El resultado (0.25) es un número racional exacto, dado que posee tan solo dos (2) cifras decimales (cantidad de números después del punto).

11 = 0.24444f 45

El resultado es un número racional periódico, dado que el segundo decimal (es decir 4) se repite de manera indefinida. Por tanto el resultado puede ser ! representado como , 0.24, 0.24 ó 0.244…

1, 405 = 1.405 100

El resultado (1.405) es un número racional exacto, dado que posee tan sólo tres (3) cifras decimales.

2 = 0.6666f 3

El resultado es un número racional periódico, dado que el decimal (es decir 6) se repite de manera indefinida. Por tanto, el resultado puede ser repre! sentado como , 0.6, 0.6 ó 0.66…

95 = 4.3181818f 22

El resultado es un número racional periódico, dado que el segundo y tercer decimal (es decir 18) se repite de manera indefinida. Por tanto, el resultado ! puede ser representado como , 4.318, 4.318, ó 4.31818f

Números irracionales Los números irracionales (representados con la letra I ) son aquellos números que no se pueden expresar mediante la fracción o el cociente de dos enteros ni como una expresión decimal exacta o periódica. La principal característica de este grupo numérico, es que posee un número infinito de cifras decimales que no siguen un periodo definido. Dentro de este grupo se encuentra el número de la constante matemática designada por la letra “e”, el número expresado por la letra griega “pi” ^r h el resultado de las raíces que no son exactas, entre otros. Sin embargo, dada la característica de poseer un número infinito de cifras decimales, para su representación se emplean, al igual que en los racionales periódicos, los tres puntos suspensivos después de presentar varias de las cifras decimales que lo componen.

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Ejemplo 6

r = 3.1415926536...

e = 2.718281829...

2 = 1.4142135623...

5 = 2.236067977...

Cabe anotar que también pertenece a este conjunto numérico el resultado de realizar operaciones aritméticas entre números irracionales y racionales. Ejemplo 7

10 # 2= 14.142135623f 10 # r = 31.415926536f En ambos casos se está multiplicando un número racional (10) por un número irracional ^ 2 , r h y el resultado de estas operaciones hace parte de los números irracionales.


Figura 1. Conjunto de números reales. (Adaptado por el autor, 2008)

∞-

-3

-2

-1

0

1

2

∞+

3

Figura 2. Recta real. (Autor, 2008)

Una vez se han definido los diversos grupos de conjuntos numéricos, existe un gran conjunto que los agrupa, denominado números reales, que se designa habitualmente con la letra R . En la figura 1 se muestra tal agrupación.

tiene su origen en el número cero (0), extendiéndose hacia la izquierda para los números negativos hasta un número infinito ^3-h, y hacia la derecha para los números positivos hasta un número infinito ^3+h , como se observa en la figura 2.

Existe una representación geométrica de este conjunto numérico, denominada recta real, que

En el siguiente ejemplo se puede observar cómo, al tomar algunos números, estos pertenecen a los diferentes conjuntos numéricos.

Ejemplo 8 Marcar con una X los conjuntos a los cuales pertenecen los valores dados.

Valores

N

Z

Z+

25

X

X

X

Z-

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Q X

I

R X

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Conjuntos numéricos

Valores

N

X

-27 0

Z

X

Z+

Z-

Q

X

X

X

X

X

X

X

X

0.101001000 0.101001000...

I

X

5 = 1.! 6 3

X

31 = 0.939393f 33 93 = 2.! 81 31

X X

X

27 . 5.19615f

R

X

X

X

X

X

Relaciones de desigualdad en los números reales En diferentes situaciones del diario vivir surgen interrogantes que relacionan de manera implícita los números reales con las desigualdades, es en aquellos casos donde se tiene inquietud sobre sí un valor, una persona o un objeto es más grande o más pequeño respecto de un valor dado. Estas relaciones de desigualdad se dan cuando: 1. Un valor es más grande que otro. 2. Un valor es más grande o igual que otro.

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3. Un valor es más pequeño que otro. 4. Un valor es más pequeño o igual que otro. 5. Un valor se encuentra entre dos valores dados, incluyendo o no los valores dados. Ejemplo 9 Al medir la estatura (en metros) de varias personas, se obtuvieron los siguientes resultados:


Pedro

1.78

Sergio

1.75

Eduardo

1.86

Alberto

1.78

Laura

1.62

Beatriz

1.60

Cecilia

1.62

María

1.58

Responder los siguientes cuestionamientos:

so, y es aquí donde resulta de gran utilidad emplear el lenguaje matemático para representar las relaciones de desigualdad, así:

a. ¿Quiénes miden más de 1.78? Eduardo. 1.

x 2 a :

Un valor x mayor que a.

2.

x $ a :

Un valor x mayor o igual que a.

¿Quiénes miden menos de 1.62? Beatriz y María.

3.

x 1 a :

Un valor x menor que b.

d. ¿Quiénes miden 1.62 o menos? Laura, Cecilia, Beatriz y María.

4.

x $ a :

Un valor x menor o igual que b.

5.

x 2 a / x 2 b : Un valor x mayor que a, pero a la vez menor que b.

6.

x 2 a / x # b : Un valor x mayor que a, pero a la vez menor o igual que b.

7.

x $ a / x 1 b :

Un valor x mayor o igual que a, pero a la vez menor que b.

h. ¿Quiénes miden 1.62 o más? Eduardo, Alberto, Pedro, Sergio, Laura y Cecilia.

8.

x $ a / x # b :

i.

¿Quiénes miden más de 1.62, pero a la vez menos de 1.78? Sergio.

j.

¿Quiénes miden 1.62 o más, pero a la vez 1.78 o menos? Alberto, Pedro, Sergio, Laura y Cecilia.

En el entorno matemático, con frecuencia se emplean las últimas letras (en minúscula) del alfabeto (x, y, z) para designar los valores desconocidos o las incógnitas (denominadas variables).

b. ¿Quiénes miden 1.78 o más? Eduardo, Alberto, Pedro. c.

e. ¿Quiénes miden menos de 1.78? Sergio, Laura. Cecilia, Beatriz y María. f.

¿Quiénes miden 1.78 o menos? Alberto, Pedro, Sergio, Laura, Cecilia, Beatriz y María.

g. ¿Quiénes miden más de 1.62? Eduardo, Alberto, Pedro y Sergio.

Sin embargo, utilizar palabras para definir estas desigualdades podría resultar un poco dispendio-

Un valor x mayor o igual que a, pero a la vez menor o igual que b.

No obstante, también podemos hacer uso de la notación de intervalos así como de la recta real para definir estas relaciones de desigualdad.

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19


Conjuntos numéricos

7.

Notación de intervalos Se refiere al uso de paréntesis para incluir o excluir un conjunto de valores dentro de un grupo, se usan paréntesis cuadrados [ ] para indicar que se incluyen valores, y paréntesis redondos ( ) para indicar que se excluyen.

Representando lo anterior en notación: 1.

x ! ^a, 3+h 0 x g^3-, a @. Un valor x mayor

que a.

Es decir, un valor de x que pertenezca ^!h al intervalo, desde un valor cercano a a (es decir, sin incluir el valor (a) hasta infinito positivo, o ^0h un valor x que no pertenezca ^gh al intervalo desde infinito negativo hasta un valor a (incluyéndolo). 2.

3.

x ! 6 a, 3+h 0 x g ^3-, ah. Un valor x ma-

yor o igual que a.

x ! ^3-, bh 0 x g 6 b, 3+h. Un valor x me-

lor x mayor o igual que a, pero a la vez menor que b. 8.

4.

5.

x ! ^3 , b@ 0 x g ^b, 3 h. Un valor x me-

Ahora, representando gráficamente los anteriores intervalos en la recta real por medio de una línea punteada que muestra los valores de x: 1.

cercano al valor a, pero sin incluirlo). -

¿Qué significan esos punticos que están rellenos o no? Al graficar los intervalos en la recta real, resulta de gran utilidad emplear señales que representen cuando se incluyen valores (círculo relleno) o cuando se excluyen (círculo sin rellenar).

2.

x ! 6 a, 3+h . Un valor x mayor o igual que a

(incluyendo el valor de a). -

x ! ^a, bh 0 x g ^3 , a @ , 6 b, 3 h. Un valor

3 a

x mayor que a, pero a la vez menor que b.

x mayor que a, pero a la vez menor o igual que b.

+

3

+

x ! ^a, b @ 0 x g ^3-, a @ j ^b, 3+h . Un valor

+

3 a

nor o igual que b.

Es decir, un valor de x que pertenezca ^!h al intervalo, desde un valor cercano a a hasta un valor cercano a b. 6.

x ! ^a, 3+h. Un valor x mayor que a (muy 3

+

-

x ! 6 a, b@ 0 x g ^3-, ah j ^b, 3+h. Un va-

lor x mayor e igual que a, pero a la vez menor o igual que b.

nor que b. -

x ! 6 a, bh 0 x g ^3-, ah j 6 b, 3+h.Un va-

3.

x ! ^3-, bh. Un valor x menor que b. -

+

3

3 b

4.

x ! ^3-, b@. Un valor x menor o igual que b. -

+

3

3 b

20


5.

x ! ^a, bh. Un valor x mayor que a, pero a la vez menor que b. -

+

3

3 a

6.

b

x ! ^a, b @. Un valor x mayor que a, pero a la

vez menor o igual que b. -

3 a

b

x ! 6 a, bh. Un valor x mayor e igual que a,

pero a la vez menor que b. -

+

3

3 a

8.

Desigualdad:

x 2 - 32 / x # 40

Intervalo:

x ! ^- 32, 40@

-

+

3

3 -32

40

+

3

7.

b. Un valor x mayor que -32, pero a la vez menor o igual que 40.

b

x ! 6 a, b@. Un valor x mayor o igual que a, pero a la vez menor o igual que b. -

Propiedades de los números reales Una vez identificados los conjuntos numéricos que forman parte de los reales, así como las relaciones de desigualdad que de ellos se pueden presentar, establecer las propiedades de estos números: 1. Si a, b, ! R & a + b ! R (cerradura en la suma).

+

3

3 a

b

Ejemplo 10 Representar como una desigualdad, en términos de intervalo y en la recta real, los siguientes enunciados: a. Un valor x mayor o igual que 17. Desigualdad:

x $ 17

Intervalo:

x ! 617, 3 h

-

4. Si a, b, c, ! R & ^a # bh # c = a # ^b # ch (asociatividad en la multiplicación).

6. Si a, b ! R & a # b = b # a (conmutatividad en la multiplicación).

+

3 17

3. Si a, b, c, ! R & ^a + bh + c = a + ^b + ch (asociatividad en la suma).

5. Si a, b ! R & a + b = b + a (conmutatividad en la suma).

+

3

2. Si a, b, ! R & a # b ! R (cerradura en la multiplicación).

7. Si a ! R & a + 0 = 0 + a = a suma – módulo suma).

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(neutro

21


Conjuntos numéricos

8. Si a ! R & a # 1 = 1 # a = a (neutro multiplicación – módulo multiplicación).

12. Si a, b, c ! R / a 2 b & a + c 2 b + c (monoticidad en la suma).

9. Si a ! R & a + ^- ah =- a + a = 0 (inverso aditivo).

13. Si a, b, c ! R / a 2 b & a # c 2 b # c 6 c 2 0 0 a # c 1

a, b, c ! R / a 2 b & a # c 2 b # c 6 c 2 0 0 a # c 1 b # c 6 c 1 0

10. Si a ! R & a # ` j = ` j # a = ` j = 1 a a a (inverso multiplicativo).

1

1

a

11. Si a, b, c ! R & c # ^a + bh = ^c # ah + ^c # bh (distribución de la multiplicación en la suma).

(monoticidad en la multiplicación). 14. Si a, b, ! R / a 2 b & b 1 a (simetría). 15. Si a, b, c ! R a 2 b / b 2 c & a 2 b 2 c / a 2 c (transitividad).

Ejemplo 11 a. Establecer qué propiedad justifica los siguientes enunciados: Enunciado

4+ 9 = 9 +4 3 10 10 3 - 100 # a 9 # 17k = a- 100 # 9 k # 17 10 10 - 45 # _3 + 0.89i = _- 45 # 3i + _- 45 # 0.89i

14 # - 35 =- 35 # 14 3 3 4 + 9 + 17 = 4 + 9 + 17 k a 3 10 k 3 a 10 - 45 # _3 + 5 i = _3 + 5 i # - 45

22

Propiedad

Conmutativa para la suma

Asociativa para la multiplicación

Distribución de la multiplicación en la suma

Conmutativa para la multiplicación

Asociativa para la suma

Conmutativa para la multiplicación


b. Señalar si el enunciado es verdadero (V) o falso (F). En caso de ser falso, establecer la

respuesta correcta y enunciar la propiedad correspondiente.

Enunciado

Respuesta correcta

32 # x Simetría

x $ 32 & 32 $ x

F

45 1 100 & 45 # _- 35i 1 100 # _- 35i

F

- 15 1 32 & - 15 # 25 1 32 # 25

V

Monoticidad

45 $ x / 57 2 x & 45 $ x / x 2 57 & 45 $ x 2 57

V

Transitividad

- x 1 32 & - x # - 1 1 32 # - 1 & x 1 - 32

F

c.

45 # _- 35i 2 100 # _- 35i

Monoticidad

- x # - 1 2 32 # - 1 & x 2 - 32 Monoticidad

Dados los valores de: m = 5 n = -7 p = 3 q = -2 , calcule el resultado de las expresiones enunciadas:

^m + n + qh p = ^5 + ^- 7h + ^- 2hh # 3 = ^5 - 7 - 2h # 3 = - 4 # 3 = - 12 ^- qh^- m - nh = ^- 2^- 2hh # ^- 5 - ^- 7hh = 2 # ^- 5 + 7h = 2 # 2 = 4

Sistema decimal El sistema de numeración que emplea la mayoría de las culturas es un sistema posicional, dado que el orden en que son escritos los símbolos que representan las cantidades y los signos que los acompañan conllevan a que se hable de valores diferentes; por ejemplo, 100 es diferente de 001 y a su vez de -100.

La base de un sistema de numeración posicional corresponde al total de símbolos propios de dicho sistema. En un sistema de numeración decimal, cuya base es diez, se presenta un total de 10 elementos conformado por las cifras: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9), que conjugados entre sí conforman el conjunto numérico.

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23


Conjuntos numéricos

Se inicia contando desde cero (0) unidades e incrementando una unidad cada vez, hasta llegar a nueve (9). Pero surge el interrogante: ¿este es el límite?, la respuesta es no, dado que si se quiere seguir contando lo que debe hacerse es añadir una nueva columna a la izquierda del número e iniciar nuevamente la cuenta con los símbolos que se dispone. Cada una de estas columnas, donde se ubican los conjuntos de diez (10) unidades, recibe un nombre de acuerdo con la posición que ocupan dichas unidades (de derecha a izquierda), de la siguiente manera: •

Primera columna: Unidades

Segunda columna: Decenas

Tercera columna: Centenas

Cuarta columna:

Unidades de millar (miles)

Quinta columna:

Decenas de millar (decenas de miles)

Sexta columna:

Centenas de millar (cientos de miles)

una de éstas también recibe el nombre según la posición que ocupan (de izquierda a derecha) de la siguiente manera: •

Primera columna:

Unidades

Segunda columna:

Décimos

Tercera columna:

Centésimos

Cuarta columna:

Milésimos

Quinta columna:

Diezmilésimos

Sexta columna:

Cienmilésimos

Como se puede evidenciar de las anteriores nomenclaturas, estos valores posicionales se agrupan en conjuntos de tres, donde los decimales se separan con punto (.) y los miles con coma (,). Ejemplo 12 Ordenar el número 54,827,325.21 de acuerdo con las condiciones establecidas anteriormente. Millón

Miles

C D U C D U 5

4

8

2

7

C D U 3

2

Décimos

Centésimos

2

1

5

Séptima columna: Unidades de millón Es decir, el valor corresponde a:

• •

Octava columna:

Decenas de millón

Novena columna: Centenas de millón

Pero, ¿qué sucede con los números que son más pequeños que la unidad? El procedimiento es similar al anterior. Para este caso, lo que hacemos es agregar columnas hacia la derecha (que reciben el nombre de decimales), donde cada

24

54 millones = 5 decenas de millón + 4 unidades de millón 827 mil = 8 centenas de miles + 2 centenas de miles + 7 unidades de miles 325 = 3 centenas + 2 decenas + 5 unidades 21 centésimos.


Ordenar el número 107,545.8 de acuerdo con las condiciones establecidas. C 1

Miles D 0

U 7

C

D

U

Décimos

5

4

5

8

Es decir, el valor corresponde a:

1. Si el dígito es menor que cinco (5), se escribe la expresión resultante de dos decimales sin alterar el segundo valor. 2. Si el dígito es mayor que cinco (5), se escribe la expresión resultante de dos decimales, incrementándole una unidad al segundo decimal.

107 mil = 1 centenas de miles + 0 centenas de miles + 7 unidades de miles

Ejemplo 13

545.8

Reducir el número de decimales de los siguientes valores:

= 5 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 8 décimos

Redondeo de decimales Muchas veces se tienen valores con muchas cifras decimales y resulta necesario hacerlos más pequeños, para facilitar tanto su interpretación como las operaciones aritméticas con estos números. El método más empleado para esta reducción de decimales, que para este caso se denomina redondeo, se aplica al valor decimal situado en la siguiente posición (a la derecha) del valor que se quiere transformar; es decir, si se tiene un número de 3 decimales y se quiere redondear a 2, se aplicarán las reglas de redondeo al tercer decimal de la siguiente manera:

a. 32.578. Dado que el último valor es mayor que cinco (5), el valor redondeado a dos decimales es igual a 32.58. b. 32.574. Dado que el último valor es menor que cinco (5), el valor redondeado a dos decimales es igual a 32.57. c.

32.598. Dado que el último valor es mayor que cinco (5), el valor redondeado a dos decimales es igual a 32.60.

d. 32.004. Dado que el último valor es menor que cinco (5), el valor redondeado a dos decimales es igual a 32.00.

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25


26


CAPÍTULO

Fracciones, razones y proporciones

2

i Las matemáticas son de uso cotidiano, por ello, y sin percatarse, en muchas ocasiones se emplean las fracciones, las razones y las proporciones, sin conocer el contexto matemático y la operatividad de las mismas. De allí que en ese capítulo, el lector entenderá el significado, cómo se resuelven y cuál es la aplicabilidad de estas formas de dividir la unidad.

Fracciones, razones y proporciones

D

e los conjuntos que se originan a partir de las operaciones aritméticas entre números naturales, se pudo establecer que los números racionales corresponden a aquellos que se representan como una fracción, es decir de la forma:

a b

a

En la fracción el valor de b (llamado denomib nador) representa el número de partes iguales en las que se divide a (llamado numerador). Toda fracción se puede nombrar de acuerdo con denominador que posea, según lo establecido en la tabla 1.

b ! Z, b ! 0

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27


Fracciones, razones y proporciones

Tabla 1. Nominación de fracciones Nombre

Denominador

Nombre

Denominador

Medios

2

Octavos

8

Tercios

3

Novenos

9

Cuartos

4

Décimos

10

Quintos

5

Centésimos

100

Sextos

6

Milésimos

1,000

Séptimos

7

Sufijo avos(*)

> 10

(*) En los casos en que el denominador sea mayor que diez (10), se adiciona la expresión “avos” al finalizar el nombre del número. Fuente: adaptación del autor, 2008.

Ejemplo 14 Escribir con palabras el valor de los siguientes fraccionarios: 15 2

quince medios

10 3

diez tercios

1 4

un cuarto

8 5

ocho quintos

e.

7 6

siete sextos

f.

9 8

nueve octavos

20 9

veinte novenos

a.

b.

c.

d.

g.

28

h.

6 10

seis décimos

i.

5 14

cinco catorceavos

j.

12 30

doce treintavos

k.

2 100

dos centésimos

l.

3 1000

tres milésimos

Tipos de fracciones De acuerdo con la relación que existe entre el numerador y el denominador de una fracción, éstas se pueden clasificar de la siguiente manera:


1. Fracción propia: cuando el numerador es menor que el denominador.

Expresión Número mixto

2. Fracción impropia: cuando el numerador es mayor o igual que el denominador.

a ; a $ b, b ! 0 b Un caso particular de las fracciones impropias son los números mixtos. Estos corresponden a la suma de un número natural más una fracción propia. Con el siguiente ejemplo se comprende más claramente: Ejemplo 15 a. Si se tiene 15 + 43 , donde a 15 (número natural) se le suma el 3 número mixto corres4 pondiente es 15 3 pero, ¿cómo se lee? Este 4

tipo de expresiones se lee como quince enteros tres cuartos.

séptimos.

Sin embargo, las fracciones impropias se pueden llevar a términos de números mixtos y viceversa: 1. Fracciones impropias a números mixtos: se divide el numerador entre el denominador, donde el cociente es el entero del número mixto y el residuo es el numerador del fraccionario que lo acompaña, dejando la expresión con el mismo denominador. 2. Números mixtos a fracciones impropias: se multiplica el denominador por el número entero y se le suma el valor del numerador; este resultado será el numerador de la fracción impropia. En cuanto al denominador, se deja el mismo del número mixto. Ejemplo 16

b. Responder si las siguientes expresiones son números mixtos; en caso que así sea, escribir el número correspondiente y, en caso contrario, argumentar el porqué no hace parte de este conjunto. Expresión Número mixto

16 47 dieciséis enteros, cuatro

16 + 4 7

a ; a 1 b, b ! 0 b

Argumento

Argumento

Transformar las fracciones impropias a números mixtos o viceversa: a. 16 4 =

3

b. 30

La fracción propia no se está sumando al número natural.

10 - 2 5

No

8+7 3

No

El fraccionario no es una fracción propia.

- 15 + 7 9

No

El valor que se suma a la fracción propia no es un número natural.

c.

^16 # 7h + 4

7

116 = 7

^30 # 11h + 6 116 6 = = 7 11 11

59 & 59 7 3 S

;7 8 S

& 59 = 8 3 7 7

RESIDUO COCIENTE

32 & 32 d. 5 2 S

; 5 32 2 & = 65 6 5 S

RESIDUO COCIENTE

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Fracciones, razones y proporciones

Simplificación de fracciones Para simplificar fracciones, es decir, transformarlas en números más pequeños o fracciones equivalentes, se deben tener en cuenta, en primer lugar, ciertos criterios de divisibilidad que existen para los números y que se detallan en la tabla 2. Tabla 2. Criterios de divisibilidad Divisible entre

Criterio

2

Si el último dígito es número par, es decir 2, 4, 6, 8,…

3

Si la suma de sus dígitos es múltiplo de tres (3), es decir 3, 6, 9, 12, 15…

5

Si el último dígito es cinco (5) o cero (0).

6

Si la

el último dígito es par y a vez la suma de sus dígitos es múltiplo de tres (3).

9

Si la suma de sus dígitos es divisible entre nueve (9).

10

Si el último dígito es cero (0).

En segundo lugar, se deben considerar estos criterios para identificar el número (más grande posible), que permita dividirlos y que sea común para ambos, es decir, el Máximo Común Divisor (M.C.D.). Ahora sí se puede establecer que la simplificación de fracciones consiste en dividir tanto el numerador como el denominador entre el factor común que existe entre estos ( es decir, eliminarlo de ambas expresiones).

30

¿Cómo encontrar el M.C.D.? Si se tienen dos o más números, cada uno de éstos se debe descomponer en factores hasta llegar a un valor que sea divisible únicamente entre uno (1) o entre sí mismo (números primos). 30 15 5 1

2 3 5

45 15 5 1

3 3 5

Entonces, se tiene que:

60 30 15 5 1

2 2 3 5

35 = 2 x 3 x 5 45 = 3 x 3 x 5 60 = 2 x 2 x 3 x 5

De los resultados, se seleccionan los números que están repetidos igual número de veces y se multiplican entre sí. En el ejemplo, se repiten el tres (3) y el cinco (5) en 30, 45 y 60. Entonces, el valor resultante de la multiplicación de éstos es el M.C.D. Ejemplo 17 Simplificar la expresión

49,500 35, 325

En primer lugar, es necesario encontrar los números cuyos numeradores como denominadores sean divisibles. 49,500

2

35,325

3

24,750

2

11,775

3

12,375

3

3,925

5

4,125

3

785

5

1,375

5

157

157

275

5

1

55

5

11

11

1


Ahora se procede a descomponer en factores estos números:

Valor

49,500 35,325

Divisible entre 2

3

5

6

9

10

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Para obtener una expresión de este tipo, basta con multiplicar (fracciones amplificadas) o dividir (simplificación de fracciones) tanto el numerador como el denominador por un mismo valor, distinto de cero. Ejemplo 18 8 , 12 , 16 , 20 son todas a. Las fracciones 4 21 28 35 equivalentes a la expresión 4 , dado que 7

Se puede observar que ambas expresiones tienen en común la multiplicación 3 x 3 x 5 x 5, siendo, por lo tanto, 225 el factor común entre ambas. En seguida, se procede a dividir cada uno de los valores entre 225.

49,500 49,500 225 = 220 35,325 = 35,325 157 225

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo valor, es decir, cuando al multiplicarlas en cruz los valores obtenidos son idénticos.

a c+ b=d

a#d = b#c

Existen dos maneras de obtener fracciones equivalentes: la primera corresponde a la simplificación (tema desarrollado anteriormente), y la segunda, a la construcción de fracciones amplificadas (es decir, multiplicar tanto el numerador como el denominador por un valor mayor que cero). Para obtener una expresión de este tipo, basta con multiplicar (fracciones amplificadas) o dividir (simplificación de fracciones) tanto el numerador como el denominador por un mismo valor, distinto de cero.

cada una de éstas se obtiene multiplicando la fracción original por 2, 3, 4 y 5 respectivamente. 4#2 8 7 # 2 = 14

4 # 3 12 7 # 3 = 21

4 # 4 16 7 # 4 = 28

4 # 5 20 = 35 7#5

b. Cuando se tiene una incógnita en el numerador, se recurre a la definición de las fracciones equivalentes, que expresan que la multiplicación en cruz de sus componentes debe ser igual: 56 x & 20 56 x 140 & 1, 120 x 140 # = # = # 140 = 20

Si se dividen ambos lados de la expresión (es decir, simplificamos los términos) entre el valor que acompaña la incógnita, se obtiene el valor buscado:

1, 120 x # 140 & 8 x = 140 = 140 Finalmente, la expresión equivalente está dada por:

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56 8 140 = 20

31


Fracciones, razones y proporciones

c.

En el caso de que se tenga la incógnita en el denominador, se realiza el mismo procedimiento:

permitan realizar dicha comparación. Se tiene entonces que: 1.

Cuando dos o más fracciones poseen el mismo denominador, será mayor aquella que tenga un numerador más grande y, por ende, será menor la que tenga el valor más pequeño.

2.

Cuando dos o más fracciones tienen denominador diferente, es necesario amplificar las fracciones de manera que estas expresiones tengan un denominador común (Mínimo Común Múltiplo, M.C.M.), para así poder hacer la respectiva comparación.

108 6 & x 108 162 6 & x 108 972 # # # = = 162 = x & x # 108 = 972 & x = 9 & 108 = 6 108 108 162 9

¿Cómo encontrar el M.C.M.? Si se tienen dos o más números, se descomponen en factores cada uno de éstos (es decir, los números que multiplicados entre sí dan como resultado el número deseado). De los resultados, se seleccionan todos los factores que componen cada uno de los números, así como el máximo número de veces que aparecen y se multiplican entre sí. El valor resultante es el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.).

Ejemplo 19 a.

Al descomponer en factores los números 15, 30 y 90, se tiene que:

- 3 , 12 , - 8 , 36 18 18 18 18

15 = 3 x 5 30 = 2 x 3 x 5 90 = 2 x 3 x 3 x 5 El número 2 se encuentra una vez, el 3 se repite dos veces y el 5,una vez.La multiplicación de estos valores (2 x 3 x 3 x 5 = 90) da como resultado el M.C.M.

Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones que tienen igual denominador:

36 2 12 2 - 3 2 - 8 18 18 18 18 b.

Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones que tienen diferente denominador:

- 6 , 17 , 8 , - 2 9 25 6 15

Comparación de fracciones En algunas ocasiones se tiene necesidad de establecer cuáles fracciones son mayores o menores que otras (compararlas entre sí); para esto, es necesario buscar en ellas elementos, y en algunas ocasiones transformarlos, de manera que

32

Al descomponer en factores los denominadores, se tiene que: 9 25 6 15

= 3#3 = 5 # 5 & MCD 2 3 3 5 5 & MCD 450 = # # # # = = 2#3 = 3#5


Ahora, se deben hallar las fracciones que sean equivalentes, de manera que el valor del denominador sea 450:

- 6 = - 6 # 50 9 9 # 50

17 17 # 18 25 = 25 # 18

- 6 = - 300 9 450

17 306 25 = 450

8 8 # 75 6 = 6 # 75

- 2 = - 2 # 30 15 15 # 30

8 600 6 = 450

- 2 = - 60 15 450

De los anteriores resultados podemos establecer que:

- 300 1 - 60 1 306 1 600 & 450 450 450 450 - 6 1 - 12 1 17 1 8 9 6 15 25

Operaciones con fracciones Cuando se suman dos o más fraccionarios entre sí, es posible que resulten fracciones que presenten igual o diferente denominador. Esta característica conlleva a que el procedimiento de la operación algebraica (suma) se realice de manera diferente.

1.

a b a+b c+c= c Ejemplo 20 Realizar las siguientes operaciones:

- 24 + 10 - 6 = - 24 + 10 - 6 = - 20 3 3 3 3 3

a.

- 24 - 10 - 5 = - 24 - 10 - 5 = - 39 & 6 6 6 6 6 13 Simplificado = 2

b.

12 4 3 12 + 4 - 3 13 = 8 8 +8-8= 8

2.

Fracciones con diferente denominador: para realizar la suma de estos fraccionarios es necesario transformarlos en fracciones equivalentes, es decir, fracciones con el mismo denominador, para así poder sumar los numeradores de estas nuevas expresiones de manera directa, dejando el mismo denomi-

Posición del signo en fraccionarios negativos Cuando se tienen fracciones con signo negativo, éstas son equivalentes entre sí al encontrarse el signo negativo bien sea en la mitad, en el denominador o en el numerador. - 5 =- 5 = 5 10 10 - 10

Fracciones con igual denominador: la suma de los fraccionarios se realiza sumando los numeradores y dejando el mismo denominador, después se procede a simplificar la expresión:

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33


Fracciones, razones y proporciones

nador; finalmente se procede a simplificar la expresión. Ejemplo 21

- 7 + 3 + 5 - 10 = - 42 + 6 + 20 - 30 4 8 24 24 24 24 12 6 Ahora sí se procede a hacer la operación algebraica:

Realizar las siguientes operaciones: - 42 + 6 + 20 - 30 = - 42 + 6 + 20 - 30 = - 46 24 24 24 24 24 24

- 7 + 3 + 5 + 10 4 8 12 6 Al descomponer en factores los denominadores, se tiene que:

4 = 2#2 6 = 2#3

a.

12 = 2 # 2 # 3 8 = 2#2#2

En esta descomposición, el número 2 se repite un máximo de tres veces y el número 3 se repite un máximo de una vez, entonces el MCD corresponde a:

MCD = 2 # 2 # 2 # 3 & MCD = 24 Ahora, se deben hallar las fracciones que sean equivalentes, de manera que el valor del denominador sea 24:

-7 = -7 # 6 4 4#6

3 3#2 12 = 12 # 2

- 7 = - 42 4 24

3 6 12 = 24

5 5#4 6 = 6#4

- 10 = - 10 # 3 8 8#3

5 20 6 = 24

- 10 = - 30 8 24

Reescribiendo la suma de fraccionarios, ésta quedaría de la siguiente manera:

34

& Simplificando

23 =- 12

- 20 + 4 = 60 + 8 = - 60 + 8 = - 52 6 9 18 18 18 18 & Simplificando = - 26 9

b.

17 5 68 5 68 - 5 63 6 + 24 = 24 - 24 = 24 = 24 & Simplificando = 21 8

Ley de los signos Cuando se multiplican dos expresiones con signos iguales, el resultado es un valor positivo; pero si tienen signos contrarios, el resultado es un valor negativo. (+) por (+) es (+) (-) por (-) es (+) (-) por (+) es (-) (+) por (-) es (-)

Al multiplicar dos o más fraccionarios, el procedimiento es mucho más sencillo, dado que se multiplican los numeradores entre si al igual que


los denominadores y finalmente se simplifica la expresión.

a b a#b c # d = c#d

Este procedimiento es equivalente a invertir la fracción que divide (es decir, intercambiar, en el divisor, el numerador con el denominador) y realizar la multiplicación de manera directa:

a c a d a#d b ' d = b # c = b#c

Ejemplo 22 Realizar las siguientes operaciones: a.

- 10 # - 4 = - 10 # ^- 4h = 40 7 6 6#7 42

Producto de extremos y de medios Cuando se tiene representada la división como una fracción de fracciones, es decir el denominador y el numerador son fraccionarios, resulta de gran utilidad la llamada ley de la oreja, que consiste en multiplicar los extremos (cuyo producto será el numerador del resultado) y los medios de la fracción (cuyo producto será el denominador del resultado), así

& Simplificando = 20 21 b.

13 - 10 13 # ^- 10h - 130 9 # 20 = 9 # 20 = 180 & Simplificando = - 13 18

c.

- 12 # - 3 # - 6 = - 12 # ^- 3h # ^- 6h = - 216 4 200 5 10 5 # 10 # 4 & Simplificando = - 27 25

Al dividir fraccionarios, el procedimiento es similar al anterior, salvo que la multiplicación ahora se realiza en cruz. Entonces, para encontrar el numerador del resultado (que es un fraccionario), se multiplica el numerador de la expresión que se va a dividir (dividendo) por el denominador de la expresión que divide (divisor); de igual manera, para encontrar el denominador del resultado (que es un fraccionario), se multiplica el denominador de la expresión que se va a dividir (dividendo) por el numerador de la expresión que divide (divisor):

a c a b ' d = b#c b # S S DIVIDENDO DIVISOR

Ejemplo 23 Realice las siguientes operaciones: a.

10 4 - 10 # 7 - 70 6 ' 7 = 6 # 4 = 24 & Simplificando

b.

35 =- 12

- 13 ' 9 = - 13 # 20 = - 13 # 20 = - 260 9 9 9 9#9 20 81

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35


Fracciones, razones y proporciones

c.

14

5 = 14 # 9 = 126 & Simplificando = 42 5#3 15 5 3 9

De decimales a fracciones Como se explicó en el conjunto de números racionales, al realizar la operación de división del numerador por el denominador se obtiene un número con cifras decimales que pueden ser finitas o infinitas. A continuación se puede observar cómo se realiza la transformación de estas cifras decimales a fracciones: Transformación de un número con cifras decimales finitas a fraccionario: escribir en el numerador el valor sin decimales (es decir, sin la coma que separa los decimales) y en el denominador escribir la unidad, es decir el número 1, acompañado de tantos ceros como decimales presenta el número, luego se procede a simplificar. Ejemplo 24 Transformar a fracciones los siguientes números: a. 0.05 como el valor tiene dos (2) decimales, el denominador será 1 acompañado de dos (2) ceros:

0.05 = 5 100 b. 0.0805 como el valor tiene cuatro (4) decimales, el denominador será 1 acompañado de cuatro (4) ceros.

0.0805 = 805 & Simplificando = 161 200 1, 000

36

c.

2.08 como el valor tiene dos (2) decimales, el denominador será 1 acompañado de dos (2) ceros.

2.08 = 208 & Simplificando = 52 100 25 1. Transformación de un número con cifras decimales infinitas que se repiten periódicamente a fraccionario: escribir en el numerador el resultado de restarle al número sin decimales el valor del número que queda una vez se ha eliminado la cifra que se repite (por ejemplo, si el valor es 1, 34r , la cifra sin decimales corresponde a 134, y la cifra sin decimales y sin el valor que se repite es 13; por tanto, el numerador corresponde al resultado de 134 - 13). Para hallar el denominador, se debe escribir el número nueve (9) tantas veces como dígitos se encuentren en el valor periódico (es decir, la cantidad de dígitos que tiene la cifra que se repite de manera indefinida) acompañado de tantos ceros (0) como dígitos se encuentren entre el signo decimal y el valor que se repite (por ejemplo, si el valor es 104.32784, la cifra que se repite, es decir 784, tiene tres dígitos por tanto se debe escribir tres veces el número nueve; pero este número, es decir el 999, va a ir acompañado de dos ceros, dado que entre el punto que separa los decimales y la cifra periódica hay dos dígitos; por tanto, la cifra del denominador es 99900). Ejemplo 25 Transformar a fracciones los siguientes números:

4.753r 4,753 es el valor sin cifras decimales.


3

es el valor que se repite.

475

es el valor sin cifras decimales y sin el valor que se repite.

Entonces, en el numerador se debe escribir 4,278 que es el resultado de 4,753 – 475. El número que se repite tiene una (1) cifra; por lo tanto, en el denominador se debe escribir una sola vez el número 9. Entre el punto (que representa el inicio de las cifras decimales) y la cifra que se repite (es decir en número 3), hay dos valores; por lo tanto, se debe escribir esta misma cantidad de ceros (es decir, dos veces el cero) después del número 9 que va en el denominador. Entonces, en el denominador se debe escribir el valor 900, como se indica a continuación:

4.753r =

^4, 753 - 475h

900

4, 278 = 900

& Simplificando = 713 150 a.

7.0065 70,065 es el valor sin cifras decimales. 65

es el valor que se repite.

700

es el valor sin cifras decimales y sin el valor que se repite.

Entonces, en el numerador se debe escribir 69,365, que es el resultado de 70,065 – 700.

El número que se repite tiene dos (2) cifras; por lo tanto, en el denominador se debe escribir dos veces el número 9. Como entre el punto (que representa el inicio de las cifras decimales) y la cifra que se repite (es decir en número 65), hay dos valores, se debe colocar esa misma cantidad de ceros (es decir, dos veces el cero) después del número 99 que va en el denominador. Entonces, en el denominador se debe escribir el valor 9.900.

7.0065 =

^70, 065 - 700h

9, 900

69, 365 = 9, 900

& Simplificando = 13, 873 1, 980

Razones y proporciones Razones En matemáticas, razón es una comparación de dos cantidades semejantes y se obtiene dividiendo el primer número de la comparación entre el segundo. Por ejemplo, si en una ciudad cualquiera hay 1,000 mujeres y 500 hombres, y comparamos la cantidad de mujeres con respecto a la cantidad de hombres como , podemos decir que por cada hombre hay dos mujeres o que 1,000 mujeres son dos veces más que 500 hombres. De esta manera, la fracción es una razón que puede ser escrita de diversas maneras: 1. 1,000 a 500 (empleando la palabra “a”)

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37


Fracciones, razones y proporciones

800 & 16 650 13

2. 1,000 : 500 ( empleando dos puntos “:”) 3.

1, 000 500

(como una fracción que es equivalente a una división)

800 a 650 & 16 a 13 800 : 650 & 16 : 13

Ejemplo 26

Relación mujeres a trabajadores:

En un banco laboran 800 personas en total, de las cuales 650 son mujeres y el resto hombres. Responder los siguientes interrogantes:

650 & 13 800 16 650 a 800 & 13 a 16 650 : 800 & 13 : 16

a. ¿Cuál es la relación que existe entre la cantidad de hombres y la cantidad de mujeres que laboran en esa empresa?

Por cada dieciséis (16) empleados, trece (13) son mujeres.

Relación hombres a mujeres: c. 150 & 3 650 13

¿Cuál es la relación que existe entre la cantidad de trabajadores y la cantidad de hombres que laboran en esa empresa?

150 a 650 & 3 a 13 150 : 650 & 3 : 13

Relación trabajadores a hombres:

Relación mujeres a hombres: 650 & 13 3 150

800 a 150 & 16 a 3 800 : 150 & 16 : 3

650 a 150 &13 a 3 650 : 150 & 13 : 3

Relación hombres a trabajadores:

Por cada tres (3) hombres, trece (13) son mujeres.

150 & 3 800 16

b. ¿Cuál es la relación que existe entre la cantidad de trabajadores y la cantidad de mujeres que laboran en esa empresa? Relación trabajadores a mujeres:

38

800 & 16 3 150

150 a 800 & 3 a 16 150 : 800 & 3 : 16 Por cada dieciséis (16) empleados, tres (3) son hombres.


En general, resulta conveniente expresar estas razones de manera irreducible (simplificadas), dado que hace que la interpretación sea más comprensible. Las razones se usan tanto para comparar cantidades que emplean las mismas unidades, como para aquellas que se expresan en unidades distintas; sin embargo, cuando esto sucede se debe tener la precaución de escribir las unidades de referencia. Ejemplo 27 a.

En un pueblo de Cundinamarca hay un total de 800 automóviles, y de acuerdo con el censo poblacional allí habitan 5.600 familias. ¿Cuál es la relación entre la cantidad de automóviles y la cantidad de familias? Relación familias a automóviles: 5, 600 Familias 7 Familias & 800 Automóviles 1 Auto

b.

Si una persona compra dos kilogramos de arroz por $700, ¿cuál es la relación que existe entre el costo ($) y la cantidad de arroz (kilogramos)?: $700 & $350 & $350 por kilo Kilo 2 Kilos

c.

Un cultivador siembra 200 kilos de semilla en su finca, que tiene una extensión de 5 hectáreas, ¿cuál es la relación que existe entre la cantidad de semilla (kilogramos) y la extensión del terreno (hectáreas)? 200 Kilos de semilla 40 Kilos de semilla & Hectárea 5 Hectáreas & 40 Kilos de semilla por Hectárea

Importante: las unidades Los denominadores y numeradores de las razones que componen una proporción deben tener las mismas unidades entre sí (pero no necesariamente entre numeradores y denominadores). a b

7 Familias a 1 Auto 7 Familias : 1 Auto Relación automóviles a familias: 800 Automóviles 1 Auto & 5,600 Familias 7 Familias 1 Auto a 7 Familias 1 Auto : 7 Familias

En el pueblo hay un (1) automóvil por cada siete (7) familias.

=

c d

En la proporción anterior, a y c deben tener las mismas unidades, b y d deben tener las mismas unidades.

Proporciones Las parejas de razones que son iguales o equivalentes reciben el nombre de proporciones. Las proporciones están con formadas por cuatro términos: a c /a : b c : d = b=d

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6

a#d = b#c

39


Fracciones, razones y proporciones

Esta es una proporción directa, dado que al aumentar el tiempo podrá aumentarse la cantidad de tractomulas pintadas.

Donde a y d son los extremos, b y c son los medios. En toda proporción el producto de los extremos debe ser igual al producto de los medios. Según el comportamiento que tienen los valores que componen cada razón (es decir, si uno aumenta o disminuye a medida que se incrementa el otro), existen dos tipos de proporciones: 1. Directas: si al aumentar uno de los valores, aumenta el otro; o si al disminuir uno de los valores, disminuye el otro. Por ejemplo, al incrementar la cantidad de almuerzos vendidos por un restaurante, se incrementan los ingresos percibidos de dicho establecimiento.

Esta es una proporción directa, dado que al aumentar la cantidad de máquinas, podrá aumentarse la cantidad de tractomulas pintadas. b. Un grupo de 4 carpinteros fabrica 40 sillas en 7 días. •

2. Inversas: si al aumentar uno de los valores, disminuye el otro. Por ejemplo, al aumentar la velocidad de un automóvil, disminuye el tiempo que se tarda en recorrer una distancia. Ejemplo 28

¿Cuántos días se requerirán para realizar la misma labor (pintar las 5 tractomulas) empleando 4 máquinas? Esta es una proporción inversa, dado que al aumentar la cantidad de máquinas disminuye el tiempo que se requiere para pintarlas.

40

¿Cuántas tractomulas se podrán pintar, empleando las mismas dos máquinas en 60 días?

¿Cuántas sillas fabricarían el mismo grupo de carpinteros en 15 días? Esta es una proporción directa, dado que al aumentar el tiempo, los 4 carpinteros podrán fabricar más sillas.

Establecer si los siguientes enunciados y las preguntas que de ellos se generan corresponden a proporciones directas o a proporciones inversas. a. Para pintar 5 tractomulas, se requieren 30 días empleando 2 máquinas para esa labor.

¿Cuántas tractomulas podrán pintarse en el mismo periodo de tiempo (30 días) si se incrementan las máquinas a 4?

¿Cuántos días tardarán 10 carpinteros en fabricar la misma cantidad de sillas? Esta es una proporción inversa, dado que al aumentar el número de carpinteros, el tiempo empleado para esta labor disminuye.

¿Cuántas sillas fabricarían en el mismo tiempo un grupo de 10 carpinteros? Esta es una proporción directa, dado que al aumentar el número de carpinteros se podrán fabricar más sillas.

Como se ve a través de los ejemplos anteriores, muchos problemas de la vida diaria emplean las proporciones, para encontrar nuevas equivalencias de una razón dada; sin embargo, el tener una relación directa o inversa en estas proporciones


resulta un factor fundamental para encontrar las equivalencias. El planteamiento de las proporciones varía de la siguiente manera, según la relación que exista: a c 1. Si la relación es directa b = d S S RELACIÓN 1 RELACIÓN 2 a#d = b#c S 2. Si la relación es inversaS RELACIÓN 1 RELACIÓN 2 Ejemplo 29 a. Cuando se prepara chocolate para tres personas, se emplean dos (2) pastillas por cada tres (3) pocillos de agua, leche o una combinación de ambos líquidos. Pero si llegan quince invitados a la casa, ¿cuántas pastillas se requieren para quince (15) pocillos de líquido? Tipo de proporción: directa, dado que al aumentar la cantidad de pocillos de líquido se incrementa la cantidad de pastillas de chocolate. Relación 1:

2 pastillas 3 agua

Relación 2:

? pastillas 15 agua

Proporción

2 pastillas ? pastillas = 3 agua 15 agua

Equivalencia entre estas razones: 2 ? & ? 2 # 15 & ? 10 = 2 = 3 = 15 La respuesta es que se requieren diez (10) pastillas para los 15 pocillos de líquido.

2 pastillas 10 pastillas = 3 agua 15 agua En el mercado mensual de un hogar se compran cinco (5) libras de café para un mes (30 días). ¿Para cuántos días alcanza una libra? Tipo de proporción: directa, dado que al disminuir la cantidad de libras de café, disminuyen los días para los cuales alcanza. Relación 1:

5 libras 30 días

Relación 2:

1 libras ? días

Proporción

5 libras 1 libra = 30 días ? días

Equivalencia entre estas razones 5 1 & ? 1 # 30 & ? 6 = 5 = 30 = ?

La respuesta es que una libras de café alcanzan para seis (6) días. 5 libras 1 libra = 30 días 6 días b. Ir a un pueblo vecino demora veinte (20) minutos cuando se viaja en un carro a 30 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad debe ir el vehículo si se quiere llegar en 10 minutos? Tipo de proporción: Inversa, dado que al aumentar la velocidad se disminuye el tiempo para recorrer el trayecto.

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41


Fracciones, razones y proporciones

Relación 1: 20 min # 30 km h Relación 2: 10 min # ? km h

2. Porcentajes a decimales: dividir el valor entre cien (100) y eliminar el signo %. Ejemplo 30

Proporción: 20 min # 30 km h = 10 min # ? km h

Convertir los siguientes números a porcentajes o viceversa.

Ordenándola, es equivalente a:

a.

20 min 10 min = ? km h 30 km h

b. 17% & 17% = 0.17 100% c.

Equivalencia entre estas razones 20 10 & ? 20 # 30 & ? 60 = 10 = ? = 30 La respuesta es que el vehículo debe ir a una velocidad de sesenta (60) kilómetros por hora.

Porcentajes Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción del número cien (100), salvo que a cambio de representarlo como una razón, se escribe el valor seguido del símbolo de porcentaje (%). Entonces, un porcentaje es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien (100): a a% 100 = De acuerdo con la información que se tenga, se pueden convertir cifras decimales a porcentajes o porcentajes a cifras decimales (y por ende a fraccionarios), como se indica a continuación: 1. Cifras decimales a porcentajes: multiplicar por cien (100) el valor que se tenga y al resultado ponerle el signo %.

42

5% & 5% = 0.05 100%

123% & 123% = 1.23 100%

d. 12.5 & 12.5 # 100% = 1,250% e.

0.758 & 0.758 # 100% = 75.8%

f.

5 & 5 1.25 & 1.25 100% 125% # = 4 4=

g.

15 & 15 7.5 & 7.5 100% 750% # = 2 2 =

Cuando se multiplica por el ciento por ciento (100%) o se divide entre el ciento por ciento (100%), se puede extraer el concepto que cero por ciento (0%) es nada (dado que corresponde a 0 partes de 100) y que ciento por ciento (100%) es todo (dado que corresponde a las 100 partes de 100), es decir que se podría usar como una escala básica de medición, siendo esta característica muy útil cuando se emplean los porcentajes.

Uso de porcentajes Los porcentajes pueden usarse de diferentes formas al realizar comparaciones, como se demuestra a continuación: 1. Comparar una parte de un total: Parte del total # 100% Total


Ejemplo 31

Total mujeres 25 # 100% & 50 # 100% = 25 Total hombres

En una empresa laboran 800 personas en total, de las cuales 650 son mujeres y el resto son hombres; esto equivale a decir que de cada 16 trabajadores 13 son mujeres y 3 son hombres. a.

Porcentajes superiores al 100% Cuando los porcentajes resultantes de un análisis son superiores al 100% (es decir, cuando el decimal es superior a uno (1) o bien cuando el numerador del fraccionario es mayor que el denominador), resulta de utilidad restarle el valor de uno (1) al fraccionario o al decimal antes de multiplicar por 100%, para así determinar cuánto más grande es un valor respecto al otro. Por ejemplo, si el salario del año anterior fue de $300 y el de éste es de $360, ¿Cuál es la relación porcentual entre estos?

¿Qué porcentaje de mujeres y de hombres labora en la empresa? Porcentaje mujeres: Total mujeres 13 # 100% & 16 # 100% = 81.25% Total empleados

El 81.25% de los empleados son mujeres, es decir que por cada 100 empleados, el 81.25 son mujeres. Porcentaje hombre:

Salario actual # 100% & a 360 - 1k # 100% = 20% 300 Salario anterior

Total hombres 3 # 100% & 16 # 100% = 18.75% Total empleados

El salario de este año es superior en 20% respecto al del año anterior o, bien, el salario del año anterior se incrementó en 20% para este año.

El 18.75% de los empleados son hombres. 2.

Comparar dos partes de un total: consiste en establecer la comparación entre dos componentes de un total. De la forma como ésta se plantee depende el análisis que pueda darse: Parte 1 del total # 100% Parte 2 del total

Ejemplo 32 a.

En un salón de clase hay 75 alumnos, de los cuales cincuenta (50) son hombres y el resto son mujeres. ¿Qué porcentaje de hombres hay respecto al de mujeres y viceversa? •

Mujeres respecto a hombres:

La cantidad de mujeres del salón representa el 50% del total de los hombres que allí se encuentra. •

Hombres respecto a mujeres: c

Total hombres - 1m # 100% Total mujeres

& ` 50 - 1j # 100% = 100% 25 La cantidad de hombres del salón es 100% mayor que la cantidad de mujeres que allí se encuentra. Hay tres casos diferentes para emplear porcentajes:

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43


Fracciones, razones y proporciones

1. Para encontrar el valor que corresponde a un porcentaje específico de un valor total dado. En este caso, se recurre a las proporciones.

$481, 500 ? & $481,500 # 6% 100% = 6% 100%

El salario se incrementaría en $28,890, es decir que para el próximo año el salario es el 100% del que tenemos actualmente ($481,500) más el 6% ($28,890) en el que se incrementará:

Valor total dado Valor a encontrar & = 100% % a calcular ? Valor a encontrar =

Valor total dado # % a calcular 100%

2. Para encontrar un total cuando se conoce una parte de éste, y el porcentaje que le corresponde. ? Valor a encontrar valor dado & = 100% % correspondiente al valor dado ? Valor a encontrar =

$481, 500 ? & ? $481, 500 # 106% & ? $510.390 = = 100% = 106% 100%

b. En una fábrica de camisas, el 35% de la producción anual (es decir, 700 camisas) son de manga larga. ¿Cuántas camisas en total se fabricaron durante el año?

valor dado # 100% % correspondiente al valor dado

? camisas 700 camisas & 100% = 35%

3. Para encontrar la relación porcentual de dos cantidades; es decir, qué porcentaje es un valor de otro. ? % es el menor del mayor = c

Menor valor dado m # 100% Mayor valor dado

? % es más grande el mayor que el menor = c

Responder los siguientes interrogantes: a. Si el salario mínimo es de $481,500 y se tiene proyectado incrementarlo en 6%, ¿de cuánto sería ese aumento y en cuánto quedaría el salario para el próximo año?

700 camisas # 100% 35%

? camisas = 2, 000 camisas

Mayor valor dado m # 100% Menor valor dado

Ejemplo 33

44

? camisas =

El total de camisas fabricadas durante el año fue 2,000 unidades. c.

La cuota de un préstamo bancario era de $550 el año pasado. Si este año quedó en $605, ¿en qué porcentaje se incrementó la cuota?

? % incremento de cuota = c $605 - 1m # 100% = 10% $550

La cuota se incrementó en 10% respecto a la del año anterior.


CAPÍTULO

3

Sistema Internacional de unidades (SI)

i El desarrollo de las actividades humanas en diversos ámbitos nacionales e internacionales, así como las unidades de medida que las cuantifican, ha conllevado a que exista un lenguaje que permita identificar los parámetros a los cuales se refieren los individuos, sin importar las diferencias lingüísticas que puedan darse.

A

unque en el mundo se han creado diversos sistemas de medición, poco a poco los países han ido adoptando el Sistema Internacional (SI) de unidades como lenguaje común en el ámbito global, poniendo así fin a décadas de confusión por los numerosos sistemas que existían en cada región del planeta.

De este grupo de unidades fundamentales se derivan otras que corresponden a la interrelación de las magnitudes enunciadas anteriormente, como las que se muestra en la tabla 4. Tabla 4. Unidades derivadas del SI Magnitud

En la tabla 3 se presentan algunas de las unidades fundamentales del SI. Tabla 3. Unidades fundamentales del SI Magnitud

Unidad

Símbolo

longitud

metro

m

masa

kilogramo

kg

tiempo

segundo

s

Fuente: adaptación del autor,2008

Nombre

Símbolo

superficie

metro cuadrado

m2

volumen

metro cúbico

m3

densidad

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

velocidad

metro por segundo

m/s

Fuente: adaptación del autor,2008.

Ejemplo 34 Establecer las unidades para los siguientes parámetros: a.

Distancia entre un lugar y otro: metros (m).

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45


Sistema Internacional de unidades (SI)

b. Cantidad de agua en un vaso: metros cúbicos (m3).

Ejemplo 35 Cambiar las siguientes unidades:

c.

Duración de un programa de televisión: segundos (s).

d. Rapidez de una persona cuando corre: metros por segundo (m/s).

a. 35,800 metros (m) a kilómetros (km). Como el factor de conversión es mil (1,000), esto significa que cada mil (1,000) metros es igual a un (1) kilómetro.

e. Peso de un automóvil: kilogramos (kg). Como puede verse en el ejemplo anterior, algunas veces es necesario reducir o ampliar estas unidades del SI (sobre todo cuando las unidades de referencia son muy grandes o muy pequeñas), para resolver estos casos existen diferentes múltiplos y submúltiplos que cumplen esa función. En la tabla 5 se especifican las más comunes. Tabla 5. Prefijos de múltiplos y submúltiplos del SI Prefijo

Múltiplos

Submúltiplos

Símbolo

Factor

mega

M

106 = 1.000.000

kilo

k

103 = 1.000

hecto

h

102 = 100

deca

da

101 = 10

deci

d

10-1 = 0.1

centi

c

10-2 = 0.01

mili

m

10-3 = 0.001

micro

n

10-6 = 0.000001

Fuente: adaptación del autor,2008

El factor de conversión propio de cada prefijo significa cuántas veces es mayor o menor la unidad formada, con relación a las magnitudes básicas de longitud y masa. El siguiente ejemplo aclara cómo hacer uso de estos prefijos:

46

? km 1 km = 35, 800 m 1, 000 m & ? km =

1 km # 35,800 m 1,000 m

& ? km = 35.8 km 35,800 km = 35.8 km b. 6 metros por segundo (m/s) a centímetros por segundo (cm/s). Como el factor de conversión es cien (100) pero con potencia negativa, esto significa que cada cien (100) centímetros es igual a un (1) metro. 100 cm s ? cm s cm = 100 cm ? ms 6 s = 1 ms s 6 ms 1 ms 100 cm # 6 m & ? cm s = 100 cm s # 6 m s s 1 sm s & ? cm s = m 1 s & ? cm s = 600 cm s & ? cm s = 600 cm s 6 m s = 600 cm s 6 m s = 600 cm s


c.

0.0017 metros (m) a milímetros (mm). Como el factor de conversión es mil (1,000), esto significa que cada mil (1,000) milímetros es igual a un (1) metro. ? mm 1, 000 mm = 0.0017 m 1m & ? mm =

1, 000 mm # 0.0017 m 1m

& ? mm = 1.7 mm Se debe tener especial cuidado cuando se convierten magnitudes que relacionan cantidades cúbicas o cuadradas, dado que ese es un indicativo para saber cuántas veces se tiene que multiplicar el factor de conversión entre sí. Ejemplo 36 Convertir las siguientes unidades: a. 3 metros cúbicos (m3) en decímetros cúbicos (dm3). El factor de conversión es diez (10) pero con potencia negativa, esto significa que cada diez (10) decímetros es igual a un (1) metro. Como la magnitud indicada está en metros cúbicos, los decímetros deben guardar la misma relación:

b. 0.85 kilogramos por metro cúbico (kg/m3) a kilogramos por decámetro cúbico (kg/ dam3): El factor de conversión es diez (10), es decir que cada diez (10) metros es igual a un (1) decámetro, y esto equivale a que un (1) metro es igual a 0,1 decámetros. ? dam3 1 dam3 1 dam3 # 1 m3 3 = 3 3 & ? dam = 1m 10 m 10 m3 & ? dam3 = 0.1 dam3 Debe tenerse en cuenta que como la magnitud está dada en metros cúbicos, los decámetros deben guardar la misma relación. 1 m # 1 m # 1 m = 1 m3 & 0.1 dam3 # 0.1 dam3 # 0.1 dam3 =1 m3 & 0.001 dam3 = 1 m3 Como el factor de conversión está dado porque cada 0.001 decámetros cúbicos es igual a un (1) metro cúbico, entonces: 0.85 kg 0.85 kg = 1 m3 0.001 dam3 ? kg 0.85 kg 0.85 kg # 1 dam3 3 = 3 & ? kg = 1 dam 0.001 dam 0.001 dam3 & ? kg = 850 kg3

3

1 m#1 m#1 m = 1 m & 10 dm # 10 dm # 10 dm = 1m3 & 1, 000 dm3 = 1 m3 Entonces el factor de conversión corresponde a que cada mil (1,000) decímetros cúbicos es igual a un (1) metro cúbico.

0.85 kg

m3 =

850 kg

dam3

Adicional a las unidades del SI, existen otras que debido a su importancia y uso frecuente son aceptadas, como las que se indican en la tabla 6:

L a s m a te m átic as , una herramienta para la ge st i ón ópt ima

47


Sistema Internacional de unidades (SI)

Tabla 6. Unidades aceptadas que no pertenecen al SI Magnitud

Nombre

Símbolo

Valor en unidades del SI

masa

tonelada

t

1 t = 1.000 kg

volumen

litro

Lól

1 L = 1 dm3

minuto

min

1 min = 60 s

hora

h

1 h = 3.600 s

día

d

1 d = 24 h = 86.400 s

tiempo

Fuente: Autor, 2008.

Ejemplo 37 Convertir las siguientes unidades: a. 3,000 decímetros cúbicos (dm3) a litros (L).

48

1L 1 L # 3, 000 dm3 ?L 3 3 = 3 & ? dm = 3, 000 dm 1 dm 1 dm3 & ? L = 3,000 L 3, 000 dm3 = 3, 000 L

b. 850 kilogramos por decámetro cúbico (kg/ dam3) a toneladas por decámetro cúbico (t/ dam3). ?t 1t 1 t # 850 kg &? t= = 850 kg 1, 000 kg 1, 000 kg & ? t = 0.85 t

850 kg

dam3 =

0.85 t

dam3


CAPÍTULO

4

Geometría

i Todos los objetos ocupan un lugar en el espacio y están provistos de un tamaño, y es mediante los diversos conceptos geométricos que se pueden establecer sus características y a la vez resolver problemas que les son propios.

E

n la vida diaria, la geometría ayuda a resolver diferentes interrogantes, como los siguientes:

¿Cuántas cajas de determinado tamaño podemos apilar en un camión de carga?

¿Cuál es la inclinación que tiene determinado terreno?

¿Cuánta tela se necesita para confeccionar las cortinas de una casa?

¿Cuántas tejas se requieren para cubrir el techo de un lugar?

La distancia entre dos puntos dan origen a una recta: con la que se puede medir la altura, el largo o el ancho de un objeto. Pero ¿qué hace la diferencia entre estas tres características? La posición en el espacio de las rectas. Por ejemplo, la

distancia que hay entre el piso y el techo de una habitación refiere a la altura, y la distancia que hay de una pared a otra muestra indica el largo o el ancho de esa misma habitación, según el caso. Mediante los triángulos y los ángulos es que se pueden relacionar dos de éstas características (largo, ancho o alto), dando origen en algunos casos a nuevos parámetros.

Ángulos Antes de entrar a definir qué es un ángulo, es importante conocer los símbolos que se emplearán a partir de este punto. Cuando se unen dos puntos (A y B) por medio de una semirrecta se debe colocar una flecha sobre estas letras para indicar el punto de partida y el punto de llegada de cada una de las semirrectas (véase figura 3).

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49


Geometría

A

B

punto en común o vértice que es B y el espacio que se forma entre ellas es el ángulo, que se ret (véase figura 4). presenta como + ABC ó ABC

AB: Punto de partida A, punto de llegada B BA: Punto de partida B, punto de llegada A. Figura 3. Semirrectas. (Autor, 2008).

∠ ABC

A

Ahora sí, ¿qué es un ángulo? Es la porción que está comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen en común (denominado vértice), es decir, dos partes de una línea recta que se encuentran unidas entre sí por un mismo punto (véase figura 4). Gráficamente lo anterior se representa así, las dos semirrectas AB y BC , las cuales parten de un

B

C

Figura 4. Ángulo entre dos semirrectas. (Autor, 2008).

Sin embargo, al trazar estas dos semirrectas se forman dos ángulos (externo e interno), de los cuales el ángulo de menor abertura se denomina convexo y el de mayor abertura, cóncavo (véase figura 5).

Tabla 7. Clasificación de los ángulos según su medida Nombre

Ángulo en grados

Ángulo en radianes

Nulo

t = 0c ABC

t = 0 rad ABC

Agudo

t 1 90c 0c 1 ABC

t 1 r rad 0 rad 1 ABC 2

Recto

t = 90c ABC

t = r rad ABC 2

Obtuso

t 1 180c 90c 1 ABC

r rad 1 ABC t 1 r rad 2

Llano

t = 180c ABC

t = r rad ABC

Cóncavo

t 1 360c 180c 1 ABC

t 1 2r rad r rad 1 ABC

Completo

t = 360c ABC

t = 2r rad ABC

Fuente: Autor, 2008.

50


Ángulo convexo

A B

ángulo interno. Estos ángulos se designan habitualmente con letras griegas, como se muestra en la figura 7:

C

a = +CAB = At t b = +ABC = B c = +BCA = Ct

Ángulo cóncavo Figura 5. Ángulos cóncavos y convexos. (Autor, 2008).

La medida de un ángulo está determinada por la abertura que existe entre sus lados, la cual se expresa por lo general en grados. Cuando dividimos una circunferencia en 360 partes iguales, cada una de estas partes equivale a un grado (1º). Sin embargo, en el Sistema Internacional (SI) de unidades la unidad oficial son los radianes (rad). r rad 6 r 3.14159f = j 1 = `180 o

Partiendo de esta equivalencia, se puede concluir que una circunferencia (que tiene 360º) tiene 2r radianes, y media circunferencia r radianes (es decir, 180º), como se detalla en la figura 6.

∠ BAB = 360º = 2π rad

A

B

Figura 6. Ángulo de una circunferencia. (Autor, 2008).

A

A α

B

β

A

γ

C

β

α = ∠CAB = Aˆ β = ∠ABC = Bˆ

α

α γ

B

C

B

β

γ

C

γ = ∠BCA = Cˆ

Figura 7. Triángulos. (Autor, 2008).

Una propiedad que tienen los triángulos es que la suma interna de sus ángulos es igual a 180º, es decir que a + b + c = 180o . Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo con la longitud de los segmentos de recta que los componen, o de acuerdo con la magnitud de los ángulos internos (véanse tablas 8 y 9). Tabla 8. Clasificación de los triángulos según sus lados Nombre

Característica

Equiláteros

Todos sus lados son iguales.

Isósceles

Tiene dos lados iguales.

Escaleno

Todos sus lados son desiguales.

Fuente: Autor, 2008.

La tabla 7 presenta la clasificación de los ángulos según su medida:

Triángulos Un triángulo es la unión de tres segmentos de recta que se encuentran unidos de dos en dos por sus extremos, generando una figura de tres vértices, en cada uno de los cuales se forma un

Tabla 9. Clasificación de los triángulos según sus ángulos Nombre

Característica

Acutángulo

Sus tres ángulos son agudos; es decir, menores de 90º.

Rectángulo

Tiene un ángulo recto; es decir, igual a 90º.

Obtusángulo

Tiene un ángulo obtuso; es decir, mayor de 90º.

Fuente: Autor, 2008.

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51


Geometría

Existen funciones que permiten encontrar una relación entre un ángulo y los segmentos de recta (lados) que lo conforman, siempre y cuando corresponda a un triángulo rectángulo (es decir, que uno de los ángulos sea igual a 90°). A A, B y C: Vértices

α

α y β: Ángulos internos

β

90º

C

a, b y c: Magnitud de los lados

c

b

a

3) Pero si el punto de referencia es el vértice B y por ende el ángulo b , entonces el cateto adyacente corresponde a la magnitud B a C, es decir, a. Hipotenusa (H): es el lado opuesto al ángulo recto, es decir el lado c de la figura 8, y es lado más largo del triángulo rectángulo (une los puntos A y B).

B

Figura 8. Triángulo rectángulo. (Autor, 2008).

Las funciones trigonométricas cumplen con la labor de establecer esta relación, pero, antes de definirlas, se requiere identificar algunos parámetros del triángulo rectángulo de la figura 8. 1. Cateto opuesto (CO): al observar la figura desde los vértices que poseen ángulos diferentes de 90º (es decir, en el punto A ó B), el segmento de recta que se encuentra frente del ángulo se denomina con este nombre. Si el punto de referencia es el vértice A y por ende el ángulo a , entonces el cateto opuesto corresponde a la magnitud C a B, es decir, a. Pero si el punto de referencia es el vértice B y por ende el ángulo b , entonces el cateto opuesto corresponde a la magnitud A a C, es decir, b. 2. Cateto adyacente (CA): al observar la figura desde los vértices que poseen ángulos diferentes de 90º (es decir, en el punto A ó B), el lado del triángulo que se encuentra junto del ángulo pero que es diferente a la diagonal, se denomina con este nombre. Si el pun-

52

to de referencia es el vértice A y por ende el ángulo a, entonces el cateto adyacente corresponde a la magnitud A a C, es decir, b.

La siguiente ecuación (Teorema de Pitágoras) nos permite encontrar la medida de la hipotenusa:

c2 = a2 + b2 & c =

a2 + b2

Aclarado lo anterior, se tiene que las funciones trigonométricas son: tangente (tan), seno (sen) y coseno (cos), que permiten relacionar los ángulos y los lados del triángulo rectángulo, valiéndose de las ecuaciones que se muestran a continuación: sen i = CO & i = sen- 1 ` CO j H H

6 i = Ángulo

cos i = CA & i = cos- 1 ` CA j H H tan i = CO & i = tan- 1 ` CO j CA CA

La tabla 10 muestra los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos notables (más comunes):


Tabla 10. Valor de las funciones trigonométricas para los ángulos notables Ángulo

Función trigonométrica

Grados

Radianes

Seno

Coseno

Tangente

i = 0°

i = 0 rad

0

1

0

i = 30°

i = r rad 6

1 = 0.5 2

3 . 0.866 2

3 . 0.577 3

i = 45°

i = r rad 4 r i = rad 3

2 . 0.707 2 3 . 0.866 2

2 . 0.707 2

0

1

0

3

0

-1

0

i = 270°

i = r rad 2 i = r rad i = 3r 2

-1

0

-3

i = 360°

i = 2r rad

0

1

0

i = 60° i = 90° i = 180°

1 = 0.5 2

3 . 1.732

Fuente: Autor, 2008.

Pero cuando los triángulos no son rectángulos (denominados oblicuángulos, es decir, que carecen de ángulo recto, como se ve en la figura 9), como los acutángulos (todos sus ángulos son agudos) o obtusángulos (tienen un ángulo obtuso), se emplea el Teorema del seno o el Teorema del coseno, según la información que se tenga.

A

A

α

c β

B

b

c

γ

a

C

α

b β

B

γ

a

C

Figura 9. Triángulos oblicuángulos. (Autor, 2008).

Importante Para hallar el valor de las funciones trigonométricas de otros ángulos, así como el valor de las raíces que no son exactas, es necesario hacer uso de calculadoras que tengan estas funciones.

1.

Teorema del seno:

sen a sen b sen c a = b = c 2.

Teorema del coseno:

L a s m a te m átic as , una herramienta para la ge st i ón ópt ima

a2 = b2 + c2 - ^2bc # Cos ah b2 = a2 + c2 - ^2ac # Cos b h c2 = a2 + b2 - ^2ab # Cos c h

53


Geometría

Los siguientes ejemplos aclaran cómo se aplican las diversas ecuaciones en la vida diaria: Ejemplo 38 a. Si se tiene una carpa de 4 m de altura y 6 m de ancho y los vientos (cuerdas) que amarran la carpa tienen una inclinación de 30º del suelo (véase figura 10).

tángulo (véase figura 8), entonces hacemos uso del Teorema de Pitágoras. c2 = a2 + b2 & c = a2 + b2 c2 = 32 + 42 & c = 9 + 16 & c = 25 & c = 5 Entonces, 5 equivale a la longitud de los lados de la carpa. •

4m 30º X

30º 6m

X

¿A qué distancia se encuentra la esquina inferior de la carpa del lugar donde se amarra el viento (es decir la distancia X de la figura 10)? Los vientos de la carpa forman, al igual que en el caso anterior, dos triángulos rectángulos, pero en la base de cada uno se encuentra el interrogante, tal como se representa en la figura 10a.

Figura 10. Gráfica explicativa del ejemplo 38. (Autor, 2008).

¿Cuál es la longitud de los lados de la carpa? La carpa forma dos triángulos rectángulos unidos por la altura, y la base de cada uno de éstos mide 3 m (véase figura 10a).

4m 30º

3m + X

3m + X

30º

Figura 10b. Triángulos rectángulos. (Adaptado por el autor, 2008).

Con la información del ángulo (30º) y del cateto opuesto (4m), se recurre a la función tangente para encontrar la magnitud del cateto adyacente (3m + X):

4m

tan i = CO CA

3m

3m

Figura 10a. Gráfica explicativa del ejercicio. (Autor, 2008)

La longitud de los lados de la carpa es equivalente a la hipotenusa de un triángulo rec-

54

4 tan 30° = 4 & CA = CA tan 30° & CA .

4 & CA . 6.9 0.577


No se debe olvidar que a la base de los triángulos (es decir al cateto adyacente encontrado), se le deben restar 3 metros, dado que la magnitud calculada corresponde a 3m+X.

igual a 180º), pero ahora los 4 metros corresponden al cateto adyacente. cos i = CA H

CA = 3 + X & X = CA - 3 & X . 6.932 - 3 X . 3.932 •

H cos 60° = 4 & H = H cos 60°

¿Cuál es la longitud de cada viento (cuerdas que amarran la carpa)?

&H= 4 &H=8 0.5

Para encontrar esta magnitud se parte de la misma explicación del punto anterior, pero con el fin de encontrar el valor de la hipotenusa (véase figura 10c).

b. Para llegar a la cima de una montaña desde un punto A, existen dos alternativas: la primera, caminar una distancia de 9 km hasta la base de la montaña para luego subir en línea recta una distancia X (bajo el supuesto que la montaña tiene una inclinación perfecta); la segunda, viajar en un teleférico (que cuenta con una inclinación de 30º) una distancia de 30 km (véase figura 11).

4m 30º

30º

Figura 10c. Triángulos rectángulos. (Adaptado por el autor, 2008).

Entonces, con la información del ángulo (30º) y del cateto opuesto (4m), se recurre a la función seno:

30

A

sen i = CO H

X

30º 90

Figura 11. Graficación del ejercicio. (Autor, 2008)

4 sen 30° = 4 & H = H sen 30° H= 4 &H=8 0.5 Alternativamente también se hubiera podido utilizar la función coseno, dado que el ángulo faltante es igual a 60º (teniendo en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triángulo es

¿Cuál es la distancia que se debe recorrer desde la base de la montaña hasta la cima (es decir, la distancia X del gráfico)? De acuerdo con las dimensiones que provee el ejercicio, se puede establecer que la figura corresponde a un triángulo oblicuángulo (véase figura 12).

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55


Geometría

Figuras planas 30

X

30º

9

Las figuras planas hacen referencia a las figuras geométricas de dos dimensiones, es decir, que tienen ancho y largo o ancho y alto o largo y alto; todo depende del lugar donde se haga la observación.

Figura 12. Triángulo oblicuángulo. (Adaptado por el autor, 2008)

Entonces, para encontrar el valor de X se debe hacer uso del Teorema del seno o del Teorema del coseno, dependiendo de la información que se tenga. De acuerdo con los parámetros establecidos en la figura 12, el ejercicio brinda la siguiente información:

Por ejemplo, si una persona está en el piso más alto de un edificio y mira hacia abajo, ve el largo y el ancho de las calles; pero si se ubica en la puerta de una casa para divisar la vivienda que se encuentra al frente puede identificar el ancho y el alto de la misma. Dentro de este grupo de figuras se encuentran la circunferencia, el círculo y el polígono, los cuales se definen a continuación (véase figura 13). Diámetro

c = 30°

a=9

b = 30

c=X Centro

Esta información permite identificar que la siguiente ecuación (del Teorema del coseno) es la única que contiene todas aquellas variables que relaciona el ejercicio: c = a + b - ^2ab # Cos c h 2

2

2

c2 = 92 + 302 - ^2 # 9 # 30 # Cos 30°h & c2 = 81 + 900 - ^540 # Cos 30°h c2 = 981 - c540 #

3 m & c2 . 981 467.6537 2

& c2 . 513.3463 c . 513.3463 & c . 22.657

56

r

Semicírculo

Sector circular

Segmento circular Radio

Semicircunferencia Figura 13. Círculo y circunferencia. (Autor, 2008).

i.

Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a igual distancia de otro punto interior llamado centro (es la línea cerrada y plana). La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se denomina radio (r), y el diámetro de una circunferencia es dos veces el radio (2 x r).

ii. Círculo: es la superficie plana que se encuentra delimitada por la circunferencia. iii. Polígono: es la unión de tres o más segmentos de recta que sólo se cortan en sus extremos (vértices). Una característica de


los polígonos es que en cada vértice sólo se encuentran los extremos de dos segmentos de recta. El número de lados que conforman los polígonos tienen directa relación con el nombre que los identifica, así como con la suma de sus ángulos internos (véanse tabla 5 y figura 14). Tabla 11. Clasificación de los polígonos por el número de lados Número de lados

Nombre

3

Triángulo

4

Cuadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octágono

9

Eneágono

10

Decágono

12

Dodecágono

h

r

L

b

b

Cuadrado

Rectángulo

Triángulo

b

Cuadrado

b Paralelogramo

D

Hexágono

En la circunferencia, se calcula con la fórmula P = 2 # r # r

En los polígonos, es igual a la suma de la longitud de todos sus lados.

L

d

h

Rombo

Pentágono

1. Perímetro: es la longitud del contorno de una figura.

Triángulo equilátero

B

r

Existen dos magnitudes relacionadas con las figuras planas: el perímetro (P) y el área (A).

L

Trapecio

L

Figura 15. Polígonos regulares. (Autor, 2008).

b

h

L

r

L

h

Cuando los polígonos tienen sus lados y sus ángulos internos iguales se llaman polígonos regulares. Una característica de estos polígonos es que pueden ser ubicados (inscritos) dentro de en una circunferencia (es decir, todos los vértices son puntos de ésta), como se muestra en la figura 15: L

Fuente: Autor, 2008.

L

te relación: 180º (n-2), donde n corresponde al número de lados del polígono.

2. Área: es la superficie comprendida dentro de una figura. •

En la circunferencia, se calcula con la fórmula A = r # r2

En la elipse (véase figura 16), que hace parte de los cuerpos geométricos redondos, el área se calcula con la fórmula A = r # a # b , donde a y b corresponden a los radios (menor y mayor).

Figura 14. Principales triángulos y cuadriláteros. (Autor, 2008).

Una propiedad de los polígonos es que la suma de los ángulos internos está dada por la siguien-

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57


Geometría

Figuras tridimensionales

a

b

Figura 16. Elipse.(Autor, 2008).

Para los polígonos, la tabla 12 muestra las ecuaciones para encontrar el área de la figura (los parámetros corresponden a los designados en la figura 5 y la figura 6).

Tabla 12. Áreas cuadriláteros.

Cuando se mencionan figuras tridimensionales se hace referencia a figuras o cuerpos geométricos que tienen ancho, largo y alto. Las figuras tridimensionales pueden ser redondas o planas. 1. Cilindros y prismas: cuerpos en los cuales dos de sus caras (bases) corresponden a figuras planas exactamente iguales que se encuentran paralelas (reciben el nombre de prismas cuando las caras son polígono, y cilindros cuando sus caras son circunferencias o elipses). Triángulo

Polígono de cuatro lados

h

h

Polígono

Ecuación del área

Cuadrado

A = l2

Rectángulo

A = b#h

Triángulo

A = b#h 2

Triángulo equilátero

A=

Paralelogramo

_B + b i # h A= 2

Rombo

A = D#d 2

Fuente: Autor, 2008.

Triángulo

A=

P 4r2 - l2 6 P = Perímetro 4

h

Polígono de cuatro lados

Circunferencia o elipse

Figura 17. Prismas y cilindros. (Autor, 2008).

2. Conos y pirámides: cuerpos en los cuales su base es una figura plana y el extremo paralelo a esta es un vértice común (reciben el nombre de pirámide cuando la base es un polígono, y el nombre de cono cuando la base es una circunferencia o elipse). Vértice

Vértice

A = b#h

Trapecio

Polígonos regulares

58

l2 3 2

Circunferencia o elipse

h

Polígono de cuatro lados

h

Circunferencia o elipse

Figura 18. Pirámides y conos. (Autor, 2008).

3. Esfera: cuerpo sólido de superficie curva, cuyos puntos se encuentran a la misma distancia del centro, como se detalla en la figura 19. (Esta distancia corresponde al radio de la esfera.)


r

En los siguientes ejemplos se pueden observar los casos donde se emplean los conceptos geométricos vistos hasta este punto. Ejemplo 39 a.

Figura 19. Esfera.(Autor, 2008).

La principal magnitud relacionada con estos cuerpos geométricos corresponde al espacio que ocupan, es decir el volumen (V ). 1.

2.

El volumen de los cilindros y prismas está dado por el producto del área de la base por la altura de la figura. El volumen de los conos y las pirámides está dado por el producto de la tercera parte del área de la base por la altura de la figura. V=

3.

Para enviar una encomienda empacada en una caja a la ciudad de Cartagena, una empresa de mensajería ofrece dos alternativas para el cobro del envío: la primera, es un cobro por peso ($500/kg), y la segunda, un cobro por volumen ($150,000/m3). La encomienda pesa (20 kg), por lo tanto, el valor que se pagaría es $10,000 ($500/kg x 20 kg). Pero ¿qué debe hacerse para averiguar si es más económico que cobren por volumen? Primero se procede a medir el tamaño de la caja, la cual tiene de base de 20 cm x 15 cm, y de altura, 1.3 m (véase figura 20).

Área de la base # Altura 3

1.3 m

El volumen de la esfera corresponde a: 3 r = 4#r#r 3

20 cm

15 cm

Figura 20. Medidas de la caja. (Adaptado por el autor, 2008).

Importante: nuevamente las unidades Para calcular el área y el volumen de cuerpos geométricos se debe tener especial precaución de emplear las mismas unidades en todos los parámetros (alto, ancho y largo).

Es decir, la caja es un prisma, y para hallar el volumen de esta figura se debe calcular primero el área de la base, y este resultado multiplicarlo por la altura de la caja, así: V = 0.2 m # 0.15 m # 1.3 m & V = 0.039 m3 1 4 44 2 4 44 3 S Altura Área de la Base

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Geometría

Una vez encontrado el volumen, se puede establecer que el valor que se cobraría por volumen sería de $5,850 ($150,000/ m3 x 0.039 m3). Entonces, se deduce que la mejor alternativa para pagar el envío de la encomienda es por volumen. b. Una persona necesita que le fabriquen una pieza de oro en forma de cruz; pero, como éste es un metal precioso muy costoso, necesita saber la cantidad exacta que requiere el trabajador que la va a elaborar. ¿Cómo se puede averiguar este dato si se tienen las siguientes medidas?

6 cm 2 cm 6 cm

6 cm 2 cm

Figura 22. Esquema de la pieza de oro. (Adaptado por el autor, 2008).

Entonces, el área de la figura corresponde a la suma de las áreas individuales, (las de los rectángulos y la del cuadrado). ARectángulo = 6 cm # 2 cm & ARectángulo = 12 cm2

Base 6 cm 2 cm

Base 3 cm

6 cm

6 cm 2 cm

Figura 21. Graficación del ejemplo. (Autor, 2008).

Al igual que el ejemplo anterior (a), la figura corresponde a una prisma, y para hallar su volumen debe calcularse primero el área de la base y este resultado multiplicarlo por la altura de la caja. Al observar con detenimiento la figura 22, se puede establecer que está compuesta por cuatro rectángulos de 6 cm de largo x 2 cm de ancho cada uno, y un cuadrado (en el centro) de 2 cm de lado.

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ACuadrado = 2 cm # 2 cm & ACuadrado = 4 cm2 AFigura = 4 cm2 + 12 cm2 + 12 cm2 + 12 cm2 + 12 cm2 S S S S S Cuadrado Rectángulo 1 Rectángulo 2 Rectángulo 3 Rectángulo 4 AFigura = 52 cm2

Ahora sí se puede encontrar el volumen de la figura: V = 52 cm2 # 3 cm = V = 156 cm3 S S Altura Área de la Base Sin embargo, hay materiales que se comercializan por peso mas no por volumen, como en


este caso, siendo necesario el uso de la densidad (relaciona peso con volumen) para encontrar el peso de 156 cm3 de oro. La densidad del oro es igual a 19.32 g/cm3, es decir que 19.32 gramos de oro ocupan un espacio de un (1) centímetro cúbico.

19.32 g 19.32 g # 156 cm3 ?g = 3 3 & ?g = cm 156 cm cm3 & ?g = 3, 013.92 g Finalmente, la cantidad de oro que se debe proporcionar (y por tanto el peso que ha de tener nuestra pieza) es de 3,013.92 gramos de oro.

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Glosario

Glosario Cantidad: número que resulta de una medida u operación. Constante: cantidad que tiene un valor fijo en un determinado proceso, cálculo, etc. Desigualdad: relación de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones. Ecuación: igualdad que contiene una o más incógnitas. Expresión algebraica: expresión analítica que solo contiene aquellas funciones calculables con las operaciones del álgebra, es decir, la suma, la multiplicación y sus inversas. Operación: conjunto de reglas que permiten, partiendo de una o varias cantidades o expresiones, llamadas datos, obtener otras cantidades o expresiones llamadas resultados. Parámetro: variable que, en una familia de elementos, sirve para identificar cada uno de ellos mediante su valor numérico. Razón: cociente de dos números o, en general, de dos cantidades comparables entre sí. Variable: magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto.

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Bibliografía Barnett, R. y Uribe, J. (1998). Álgebra y geometría 2. Colombia: McGraw-Hill. Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación. (2004). Metrología: Sistema Internacional de unidades. (5ª actualización). Bogotá, Colombia: Icontec. Ruiz, H. y Gil, P. (1994). Matemática básica. Bogotá, Colombia: Universidad Santo Tomás, Centro de Enseñanza Desescolarizada. Swokowsk, E. y Cole, J. (2006). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (11ª ed.). México: Thomson Editores.

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Educación de calidad al alcance de todos

Las matemáticas, una herramienta para la gestión óptima Primera edición Este libro se terminó de imprimir en marzo de 2010 en Javegraf.


Modulo las matematicas una herramienta para la gestion optima palma 11