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CAPĂ?TULO

1 Los nĂşmeros reales

1

1.5 Intervalos 1.5.1 Tipos de intervalos Supongamos que tenemos dos nĂşmeros reales a & b, tales que a < b. Se definen cuatro tipos de intervalos: 1. Abierto  .a; b/ D



 x 2 R a < x < b D x 2 R x > a

&

x<b .









a

b

x

En esta representaciĂłn del intervalo .a; b/ las circunferencias expresan que â&#x20AC;&#x153;x" no toma ni el valor de â&#x20AC;&#x153;a" ni el valor de â&#x20AC;&#x153;b". 2. Cerrado  Ĺ&#x2019;a; bÂ? D



 x 2 R a  x  b D x 2 R x  a

&

xb .









a

b

x 1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1


2

CĂĄlculo Diferencial e Integral I El cĂ­rculo en a indica que â&#x20AC;&#x153;x" puede tomar el valor de â&#x20AC;&#x153;a". Lo mismo ocurre para â&#x20AC;&#x153;b". 3. Semiabierto o semicerrado

   Ĺ&#x2019;a; b/ D x 2 R a  x < b D x 2 R x  a

&

x<b .









a

 .a; bÂ? D



b

 x 2 R a < x  b D x 2 R x > a

&

xb .





 

a

El centro de un intervalo es su punto medio:

b

aCb . 2

4. Infinitos:  .a; C1/ D



x 2 R x > a .

a

 Ĺ&#x2019;a; C1/ D



x 2 R x  a .

a

 . 1; a/ D



x 2 R x < a .

a

 . 1; aÂ? D



x 2 R x  a . 



a

2


1.5 Intervalos

3

Ejemplo 1.5.1 Algunos intervalos son: H 1. . 2; 3/ D



x2 R

2<x<3 . 







2

2. Ĺ&#x2019; 3; 2Â? D



x2 R

3

3x2 . 







3

3. .1; 5Â? D



x 2 R x > 1

&

2

x5 . 







1

  

3 4. 0; D x 2 R x  0 2

5

 .

3 x< 2

&







0



3 2

 Ejemplo 1.5.2 Algunos intervalos infinitos son: H 1.



4 1; 3



D



4 x 2 R x < 3

 . 



4 3

2.



5 ; C1 2



D



x 2 R x 

5 2



.





5 2

3


4

CĂĄlculo Diferencial e Integral I 3. . 1; 0Â? D



x 2 R x  0 . 



0

4. .0:1; C1/ D



x 2 R x > 0:1 . 



0:1



1.5.2 Operaciones con intervalos Debido a que los intervalos son conjuntos (de nĂşmeros) podemos realizar con ellos las operaciones que se efectĂşan con cualquier par de conjuntos. Mencionaremos tres: uniĂłn [, intersecciĂłn \ y diferencia . Si I1 e I2 son dos intervalos cualesquiera, entonces: 1. UniĂłn de I1 e I2 I1 [ I2 D 2. IntersecciĂłn de I1 e I2



x 2 R x 2 I1 o bien x 2 I2 :

I1 \ I2 D



x 2 R x 2 I1 & x 2 I2 :

I1



x 2 R x 2 I1 & x â&#x20AC;Ś I2 :

3. Diferencia de I1 e I2 I2 D

Ejemplo 1.5.3 Si se toman los intervalos I1 D . 5; 4/, I2 D Ĺ&#x2019; 3; 8Â?, I3 D . 1; 2/, I4 D Ĺ&#x2019; 1; C1/ e I5 D .4; 7Â?, entonces: H 1. I1 [ I2 D . 5; 4/ [ Ĺ&#x2019; 3; 8Â? D . 5; 8Â?. ! 







!

5

3

4

8

2. I1 \ I2 D . 5; 4/ \ Ĺ&#x2019; 3; 8Â? D Ĺ&#x2019; 3; 4/. $

$

"#

"#

$

5

4

"#

3

4

8


1.5 Intervalos 3. I1

I2 D . 5; 4/

5 Œ 3; 8 D . 5; 3/. '

'

%&

%&

%&

%&

5

3

4

8

4. I3 \ I4 D . 1; 2/ \ Π1; C1/ D Π1; 2/. )*

(

(

)*

1

2

5. I2 [ I3 D Œ 3; 8 [ . 1; 2/ D . 1; 8. +

+

,-

+

3

2

8

6. I3 \ I5 D . 1; 2/ \ .4; 7 D ¿ D el conjunto vacío. /0 .

/0

2

7. I1 [ I5 D . 5; 4/ [ .4; 7 D . 5; 7

4

7

f 4 g. 23

23

23

23

1

23

5

1

4

7

8. I1 \ I5 D . 5; 4/ \ .4; 7 D ¿. 56

4

56

56

56

56

5

4

4

7

9. I5 [ I2 D .4; 7 [ Œ 3; 8 D Œ 3; 8. 7 89

7

7

7

7

3

4

7

8

10. I3 [ I4 D . 1; 2/ [ Π1; C1/ D . 1; C1/ D R . :

;<

1

2

5


6

Cálculo Diferencial e Integral I 

Comentario. En las operaciones con intervalos se debe tener presente lo siguiente: Si I es un intervalo cualquiera, entonces: 1. I [ ¿ D I . 2. I \ ¿ D ¿. 3. I [ R D R. 4. I \ R D I . Si A y B son intervalos (conjuntos) cualesquiera, entonces: 1. A [ B D B si A  B (es decir, si A es un subconjunto de B). 2. A \ B D A si A  B. Ejercicios 1.5.1 Soluciones en la página 8 Escribir las siguientes desigualdades con notación de intervalo y representarlas geométricamente: p p 1. 4  x < 3. 5. x  3. 9. 5  x. 2. x > 12. 3. x < 0. 4.  < x  8.

3 6. x  . 4 2 7. < x < 1. 3 p 8. x < 2.

10.

1  x  5.

11. x  23. 12. 0  x.

Escribir los siguiente intervalos como una desigualdad y representarlos geométricamente:   15 13. Œ 9; C1/. 16. . 2; 16. 19. 1; . 4 14. Œ 10; 1/. 17. . 1; 32/.       5 1 4 9 15. ; C1 . 18. ; 15 . 20. ; . 7 3 3 2 Expresar como una desigualdad y con notación de intervalo los siguientes segmentos de la recta numérica: 21. ?@

A

?@

1 =>

=>

13

22. 6

23.

A

22


1.5 Intervalos

7 27. C

B

6

MN L

L

MN

5

5

24. FG

DE

FG

28.

DE

16

3 2 OP

OP

9 4

25. I

J

J H

0

8 3

26. K

K

1

Dados los intervalos I1 D . 7; 4, I2 D Œ 2; 6/, I3 D . 1; 1, I4 D .0; C1/, I5 D . 4; 2/ e I6 D Œ2; 8, determinar: 29. I1 [ I2 .

36. I4 \ I5 .

43. I3 [ I4 .

30. I1 [ I6 .

37. I4 \ I6 .

44. R

I1 .

31. I1 \ I2 .

38. I1 [ I5 .

45. I4

I6 .

32. I2 \ I6 .

39. R

I3 .

33. I1

I2 .

40. R

I4 .

46. .I5 \ I6 / [ I4 .

34. I2

I5 .

41. R

I2 .

47. .I1 \ I5 / [ I6 .

35. I3 \ I4 .

42. I1 \ I6 .

48. I3 \ . R

I5 /.

7


8

Cรกlculo Diferencial e Integral I

Ejercicios 1.5.1 Intervalos, pรกgina 6 1. ล’ 4; 3/.

8.

Q

RS

Q

RS



1;

p  2 . ab

ab

4

3

2. . 12; C1/.

p

9.

h p

2

 5; C1 .

TU

c

TU

c

12

p

3. . 1; 0/.

5

10. ล’ 1; 5ย. VW

d

e

VW

d

e

0

4. .; 8ย.

1

5

11. . 1; 23ย.

XY Z

XY

Z

f

f



5.

8

h p

 3; C1 .

23

12. ล’0; C1/. g

[

g

[

p

6.



0

3

13.

 3 1; . 4



x

9x .

h

h

9 \

\

3 4

14. 7.



 2 ;1 . 3



x

10  x <

i

jk

i

jk

10 ]^

_`

]^

_`

2 3

8

1 .

1

15.





5

x <x . 7

1


1.5 Intervalos

9 

26. Ĺ&#x2019; 1; C1/ D x 1  x : 

27. Ĺ&#x2019; 5; 5/ D x 5  x < 5 :    

9 9

28. 1; D x x< : 4 4

lm

lm

5 7

16.

2 < x  16 .



x

no

p

no

p

2

29. . 7; 6/.

I2 ~

16

}

{|

Â&#x20AC;

7

2

4 I1

17. . 1; 32/ D

Â&#x20AC;

I1 {|



x x < 32 .

S

6

I2

30. . 7; 8Â?. I6 Â&#x201E;

Â&#x2026;

I1

qr

 Â&#x201A;

Â&#x192;

qr

 Â&#x201A;

Â&#x2026;

32 7

18.





1 x < x < 15 . 3 uv

st

uv

2 4

I6

8

31. Ĺ&#x2019; 2; 4Â?. I2 Â&#x2030;

Â&#x160;Â&#x2039;

I1 Â&#x2020;Â&#x2021;

st

I1

S

Â&#x2C6;

Â&#x2030;

1 3

19.



7

15

15 x x  4

Â&#x2C6;

2

I1

T

I2

4

6

32. Ĺ&#x2019;2; 6/.

 .

I6 Â?

Â?

I2 Â?Â&#x17D;

Â&#x152;

Â?

2 w

Â?Â&#x17D;

2

I2

w

T

I6

6

8

15 4

33. . 7; 2/. 20.



 4 9 x . 3 2

x

Â&#x2014;Â&#x2DC;

Â&#x201C;

Â&#x2018;Â&#x2019;

Â&#x201D;Â&#x2022;

7 I1 y

I2 Â&#x2013;

I1 Â&#x2018;Â&#x2019;

I2

2

4

6

z

z x

4 3

9 2

34. Ĺ&#x2019;2; 6/. I5 Â&#x153;Â?

21. 22. 23. 24. 25.



. 13; C1/ D x 13 < x : 

.1; 22Â? D x 1 < x  22 : 

. 1; 6Â? D x x  6 :   

3 16; D x 16 < x < 2    

8 8

0; D x 0x : 3 3

Â&#x;Â

I2 Â&#x2122;

Â&#x161;Â&#x203A;

Â&#x161;Â&#x203A; Â&#x17E;

4

2

2 I2

6

I5

35. .0; 1Â?. 3 2



I4

:

¢£

I3 ÂĄ

¢£

ÂĄ

0 T 1 I3 I4

9


10

Cálculo Diferencial e Integral I I6

36. .0; 2/.

Ä Å

I1 ÁÂ

Ã

I5 Ä

¦§

Ã

¨©

I4 ¤¥

¤¥

7

0 T 2 I4 I5

4

2 T4 I1 I6

¨©

8

43. R . I4 ÇÈ

I3

37. Œ2; 8.

Æ

I6 ¬

0 S 1 I3 I4 ­

I4 ª«

¬

0

­

2

I4

T

8

I6

44. . 1; 7 [ .4; C1/. I1 ÊË

38. . 7; 4.

Î

É

I5 ±²

I1

R ³´

I1

ÌÍ

7

4 R

I1

° ®¯

®¯

°

7

4

I1

S

I5

2

45. .0; 2/ [ .8; C1/.

4

I6

Ó

39. .1; C1/.

Ö

I4 ÏÐ

ÏÐ ÑÒ

0 I4

ÔÕ

2 I6

8 I4

I6

I3 ·

46. .0; C1/.

µ¶

1

I3

R

I5

I6

ÝÞ

ÙÚ

Ü Û

×Ø

40. . 1; 0/.

8 I4

I4

47. . 4; 8.

¸

I4

2

×Ø

¹º

R

0

4

I5

0 ßà

åæ

áâ

I1 ç

ßà

7

41. . 1; 2/ [ Œ6; C1/.

R

¿À

»¼

¾

I2

2

6

2 4

8 ä

ã

I6

I2 ½

ä

4

48. . 1; 4. R

R

I5

R

é

ê

I3

I2

è

é

4

42. Œ2; 4.

10

1 2

I5

Intervalos  

Intervalos de números reales

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