Issuu on Google+

BAB II PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN

P

ada bab ini akan dibahas metode-metode numerik yang berdasarkan tujuan utamanya digunakan untuk mencari akar-akar dari suatu persamaan matematik atau yang lebih dikenal dengan istilah roots finding. Menentukan akar-akar dari suatu persamaan pada dasarnya adalah pekerjaan yang mudah, dengan catatan apabila persamaan tersebut berbentuk persamaan linier ataupun persamaan kuadrat. Jika persamaan tersebut adalah persamaan nonlinier yang mana didalamnya terdapat kombinasi suku-suku trigonometri, logaritma, ataupun eksponensial, tentunya permasalahan tidak lagi dapat dikatakan mudah untuk diselesaikan. Dalam ilmu sains dan teknik, permasalahan terkait pencarian akar-akar suatu persamaan sangatlah sering dijumpai, oleh karena itu metode numerik untuk mencari akar-akar suatu persamaan terlihat sangatlah penting untuk dipelajari. Motivasi Akar-akar dari suatu persamaan dapat didefinisikan sebagai titik-titik perpotongan kurva persamaan tersebut terhadap sumbu-sumbu variabel bebasnya. Sebagai contoh, apabila suatu nilai x sembarang memberikan nilai suatu persamaan atau fungsi f ( x )=0 , maka x tersebut merupakan akar dari fungsi

f (x ).

Dalam beberapa kasus, persamaan biasanya

memiliki lebih dari satu akar persamaan seperti pada kasus persamaan kuadrat yang secara umum dituliskan dalam bentuk, f ( x )=a x 2 +bx +c (2.1) Akar-akar pada persamaan (2.1) dapat ditentukan secara analitik dengan rumusan berikut, x 1,2=

−b ± √ b 2−4ac (2.2) 2a

sayangnya, rumusan (2.2) hanya dapat digunakan untuk persamaan kuadrat. Untuk persamaan dengan pangkat yang lebih dari dua, rumusan tersebut tentunya tidak berlaku. Contoh dari persamaan-persamaan yang dimaksud yaitu, f ( x )=x 3 + x 2−3x−3 f ( x )=x 5 +2x 4 +3x 3+ 4x 2−3x−1 selain itu, apabila terdapat persamaan atau fungsi dengan bentuk sebagai berikut,


f ( x )=ln ( x 2 ) +sin

(√

1 ln â Ą ( cos ( x ) )

)

apakah anda mampu secara analitik menemukan akar-akar dari fungsi diatas? Jelas sekali bahwa permasalahan seperti ini sangat sulit untuk diselesaikan secara analitik. Jikalaupun anda penasaran ingin menyelesaikan permasalahan tersebut secara analitik, maka anda harus menggunakan ekspansi deret Taylor. Apakah ada langkah lain yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan mudah? Tentunya ada, dan pastinya hanya dengan metode numerik. Berdasarkan definisinya, untuk mendapatkan akar-akar dari suatu persamaan pada dasarnya dapat dilakukan dengan cara menggambarkan kurva persamaan tersebut, lalu menemukan setiap titik yang memotong sumbu-sumbu variabel bebasnya. Titik-titik potong inilah yang merupakan akar-akar dari persamaan tersebut seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1. Akar Persamaan dari fungsi f(x)

Dalam metode numerik, terdapat beberapa pola pikir yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar dari suatu persamaan. Tidak perduli seperti apa bentuk persamaan tersebut, pola pikir ini selalu dapat diterapkan. Dua buah metode numerik yang cukup sering digunakan dalam hal pencarian akar-akar suatu persamaan adalah metode Bisection dan Newton-Raphson. 1. Metode Bisection

Sekarang kalian akan mempelajari teori mencari akar-akar persamaan dengan metode Bisection. Metode Bisection merupakan salah satu metode tertutup (bracketing) untuk menentukan solusi akar dari suatu persamaan; baik persamaan linear (khususnya orde tinggi) maupun persamaan non-linear. Metode ini dikatakan sebagai metode tertutup (bracketing) karena dibutuhkan dua nilai estimasi awal yang mengapit (bracket) solusi akar persamaan. Setiap metode tertutup memiliki cara yang berbeda untuk mendapatkan nilai akar persamaan tersebut. Secara Kalkulus, jika f (x ) bernilai real dan kontinyu pada selang interval akan berlaku hubungan

x1

sampai

x2

dan

f (x 1)

dan

f (x 2 )

berlainan tanda,


f ( x 1) f ( x 2 ) < 0(2.3)

maka, di antara selang interval

x1

sampai

x2

terdapat sebuah akar persamaan yang

real. Prinsip dari metode Bisection adalah dengan membagi interval awal menjadi setengah dari interval baru (subinterval). Jika nilai f (x ) berubah tanda pada selang interval yang baru, maka nilai

f (x )

pada titik tengah interval tersebut dievaluasi. Letak akar

persamaan berada pada setengah interval yang lainnya. Perhatikan gambar 2.1. f ( x 1) < 0 f ( x 2 ) >0 f ( x 1) f ( x2 ) dan , karena dan berlainan tanda, maka berlaku pertidaksamaan (2.3). Interval baru (subinterval) berada pada atau

x3

sampai

x2

. Karena

f ( x 1) < 0

dan

f ( x 3 ) <0

x1

sampai

x3

meyebabkan tidak

berlakunya pertidaksamaan (2.3) yang berarti akar persamaan tidak terletak pada selang x1 x3 x3 x2 interval sampai , melainkan berada pada selang interval sampai . Pengulangan ini dilakukan terus menerus sampai interval semakin sempit dan ditemukannya akar persamaan.

Gambar. 2.2

Namun, metode tertutup ini memiliki kelemahan untuk persamaan yang hanya memiliki solusi tunggal akar persamaan. Ketika dua nilai estimasi awal tidak mengapit akar persamaan, maka akar persamaan tidak akan ditemukan. Coba bayangkan jika x1 x3 estimasi awal dilakukan pada dan ! Terdapat permasalahan lain ketika persamaan memiliki banyak akar persamaan, perhatikan gambar 2.2. Ketika perbedaan dua nilai estimasi awal terlalu besar (memiliki interval yang panjang), seolah-olah tidak


terdapat akar persamaan dalam selang interval pertidaksamaan (2.3);

x1

sampai

x2

karena tidak memenuhi

f ( x 1) f ( x 2 ) > 0 . Seharusnya berdasarkan grafik

jelas terdapat dua akar persamaan dalam selang interval di atas sama akan terjadi dalam selang interval

x4

x1

sampai

sampai x3

x2

f (x ) , terlihat . Kasus seperti

.

Gambar 2.3

Algoritma Metode Bisection Prosedur yang dilakukan untuk menyelesaikan persamaan dengan metode bisection adalah: 1. Menghitung fungsi pada interval yang sarna dari x sampai diperoleh perubahan tanda untuk fungsi

f ( x ) dan f ( x n+1 ) yaitu

f ( x )∗ f ( x n+1 ) < 0

2. Melakukan estimasi pertama terhadap akar x, yang dihitung dengan formula

xt=

x n + x n +1 2.4 2

3. Membuat evaluasi untuk menentukan sub interval (Gambar 2.2) tempat akar persamaan

berada dengan kriteria: f ( x )∗ f ( x n+1 ) < 0 • Jika . akar persamaan berada pada sub interval pertama. Jadi x n +1=x t • Jika

hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4.

f ( x )∗ f ( x n+1 ) > 0 . akar persamaan berada pada sub interval kedua. Jadi

x n =x t

hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4.


• Jika 4.

f ( x )∗ f ( x n+1 ) =0

. akar persamaan adalah

xt

hitungan selesai.

Menghitung perkiraan akar baru dengan formula xt=

x n + x n +1 2.5 2

5. Jika perkiraan akar baru cukup kecil atau sesuai dengan target awal dalam batasan yang

dapat diterima. Hitungan dianggap selesai dengan x, adalah akar persamaan. Jika perkiraan belum kecil. hitungan diulang dari langkah ke-3 sampai diperoleh hasil yang sesuai dengan target awal. Cukup dimengerti bukan? Namun, sepertinya jika teori tidak dilengkapi dengan praktik tidaklah lengkap. Oleh karena itu, kalian harus mencoba contoh soal berikut ini. Studi Kasus Penerjun Payung Kecepatan seorang penerjun payung diberikan dengan fungsi sebagai berikut: c

−( ) t gm v= (1−e m ) c

dimana

g=9,8 m/s

2

. Untuk penerjun payung dengan koefisien hambatan udara

c=15 kg /s , hitung massa Gunakan estimasi

m

v=35 m/s

saat kecepatan

dan waktu

t=9 s .

ε s=0.1

Penyelesaian: Langkah awal yang akan dilakukan berdasarkan kasus diatas adalah sebagai berikut: 1. Menginisialisasi variabel berdasarkan kasus: g=9.8 ; c=15 ; v =35 ; t=9 ; 2.

Membuat persamaan dengan memasukkan masing-masing variabel: v=

(

c

−( ) t gm 1−e m c

)

35=

(

15

−( ) ×9 9.8 m 1−e m 15

Gunakan ruas kanan menjadi sama dengan nol: 9.8 −135/ m f ( x )= m ( 1−e )−35=0 15

)


Dengan menggunakan metode bisection dapat dilakukan dengan prosedur perhitungan berikut: 1.

x 1=1

Menghitung fungsi pada interval awal, misal

dan

x 2=100

sehingga

diperoleh: •

f ( x 1) =

9.8 ( 1 ) ( 1−e−135/( 1) )−35=−34.3467 15

f ( x 2 )=

9.8 (100) ( 1−e−135 /(100) ) −35=13.3963 15

• Karena fungsi

f (x )

kontinu, berarti perubahan tanda antara

pada fungsi tersebut akan memotong sumbu 2.

5.

x2

paling tidak 1 kali.

f ( x 3 )=

9.8 −135/(50.5) (50.5) ( 1−e )−35=−4.2841 15

Menentukan sub interval berikutnya dengan memilih salah satu titik awal yang berbeda tanda dengan f (x 3) . Jadi, f (x 4 ) adalah sub interval antara f ( x 2 ) dan

4.

dan

Menghitung estimasi sub interval pertama, yaitu: x 1 + x 2 1+ 100 x = = =50.5 3 • 2 2 •

3.

x

x1

f (x 3) (Gambar 4.2).

Menghitung fungsi pada interval

x3

dan

x2

, yaitu:

x 2+ x 3 100+50.5 = =75.25 2 2

x4 =

f ( x 4 )=

9.8 (75.25) ( 1−e−135/(75.25) ) −35=5.9879 15

Perhitungan diulangi dari point 3 dengan sub interval yang semakin rapat.

Langkah 1 sampai 5 disebut 1 iterasi. Prosedur perhitungan yang telah dilakukan dengan f ( x 4 )=5.9879 hasil disebut iterasi pertama. Dari prosedur ini terlihat bahwa nilai f ( x 4 ) belum kecil atau belum mendekati nol. Nilai seperti ini dalam perhitungan

dengan metode setengah interval dianggap belum merepresentasikan akar persamaan, sehingga perlu dilakukan perhitungan lebih lanjut. Hasil perhitungan yang diperoleh pada prosedur tersebut diperlihatkan pada Tabel 2.1.


Apabila kita gunakan script MATLAB berikut,

F = inline('(9.8*m)/15 *(1-exp(-((15*9)/m)))-35','m'); x1 = 1 x2 = 100 s = 0.1/100; while F(x1)*F(x2)<0 xt=(x1+x2)/2; if abs(F(xt))<=s fprintf('akar-akar persamaan non linier adalah = %g\n', xt) break else if F(xt)*F(x2) < 0 x1 = xt; else x2 = xt; end end end

Setelah script diatas kalian running, maka akan didapatkan hasil: >> akarakar persamaan non linier adalah

= 59.8417

Apakah hasil kalian sesuai dengan hasil script diatas? Ya, tentu saja.

Tabel 2.1 Hasil Perhitungan dengan Metode Bisection

Soal Pemahaman:

Secara matematis persamaan penerjun payung:

Saat

t=∞

v ( t )=

, maka berdasarkan persamaan diatas:

−c

(

gm 1−e m c v ( t )=

gm c

t

)

3. Metode

NewtonRaphson Pada pembahasan metode

sebelumnya, metode bisection harus memiliki dua nilai estimasi awal. Namun, pada


metode Newton-Raphson hanya diperlukan satu nilai estimasi awal, karena metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode terbuka. Mungkin akan muncul pertanyaan, bagaimana cara menentukan akar persamaan hanya dengan satu estimasi awal? Inilah kelebihan dari metode terbuka, akar persamaan tidak harus diapit oleh dua nilai estimasi awal seperti pada metode tertutup. Pada metode terbuka terdapat rumusan yang akan membawa setiap langkah semakin dekat menemukan akar persamaan. Pencarian ini terlihat lebih mudah bukan? Metode Newton-Raphson dibangun dari informasi harga awal

xn

. Dari titik

{ x n , f ( x n )}

f (x n )

pada titik perkiraan

dibuat garis lurus yang menyinggung kurva

Secara skematik perhitungan kurva

f (x )

f (x) .

dengan metode Newton-Raphson

diperlihatkan pada gambar 2.3. Algoritma metode ini diperoleh dari perhitungan gradien garis singgung pada kurva dengan menggunakan uraian deret Taylor fungsi f (x n +1) disekitar

xn

. Pendekatan beda hingga turunan pertama pada fungsi

f (x n +1) adalah

f ( x n +1 )= f ( x n ) + f ' ( x n )( x n+1 â&#x2C6;&#x2019;x n ) ( 2.6)

Perpotongan fungsi pada persamaan (2.4) dengan sumbu x, yaitu ketika memberikan nilai x n +1=x n â&#x2C6;&#x2019;

f ( xn ) '

f ( xn)

(2.7)

Gambar 2.4

f ( x n )=0


Pendekatan lain yang lebih mudah untuk mendapatkan persamaan 2.7 adalah dengan meninjau ∆ y dy ' ≈ = f ( x) ∆ x dx Informasi dari gambar 2.3 memberikan nilai ∆ y f ( x 0 ) −0 = ∆x x 0− x1 x0

Kemiringan pada titik

sebesar

f ( x0) dy = f ' ( x 0 )= dx x x 0 −x 1

0

Sehingga diperoleh x 1 = x0 −

f ( x0) '

f ( x0)

Secara general, persamaan 2.7 dapat ditulis sebagai x i +1=x i−

f ( xi ) f ' ( xi )

Hal ini terus dilakukan secara berulang sampai didapatkan akar persamaan, yaitu ketika f ( xi ) f ( x i ) <0.0001 bernilai kurang dari treshold; .

Algoritma Metode Newton-Raphson Perhitungan akar-akar persamaan dengan Metode Newton-Raphson ditentukan melalui prosedur berikut 1. Menentukan f ' ( x) dan f (x ) . 2. Menentukan nilai

xn

3. Menghitung nilai

x n +1

pada sebarang titik. menggunakan persamaan (2.7).

4. Membuat estimasi pada nilai

x n +1

dengan kriteria:


• Jika nilai kecil atau mendekati nol maka

x n +1

adalah akar persamaansehingga

perhitungan dinyatakan selesai. • Jika nilainya belum kecil, perhitungan dilanjutkan pada penentuan nilai ́ mensubstitusikan ń ke f ' ( x) ,kemudian kembali ke langkah ke-3.

x́n

dengan

Sekarang coba kalian kerjakan contoh soal di bawah ini menggunakan metode newtonRaphson. Contoh-contoh soal tersebut sama dengan contoh-contoh soal yang kami buat pada pembahasan metode bisection, hal ini dimaksudkan agar kalian memahami perbedaan dua metode ini dalam menyelesaikan kasus yang sama. Studi Kasus Penerjun Payung

Hitung akar-akar persamaan seperti pada contoh kasus sebelumnya, yaitu: f ( x )=

9.8 m ( 1−e−135/ m )−35=0 15

Penyelesaian: Menyelesaikan akar-akar persamaan pada kasus ini menggunakan Metode NewtonRaphson akan dilakukan dengan prosedur perhitungan seperti berikut: 1. Menentukan turunan pertama dan fungsi •

−135/ m 9.8 9.8 f ( x )= m− m .e −35 15 15

9.8 9.8 f ( x )= − e 15 15

(

)

−135/ m

'

2. Menentukan nilai

xn

135× 9.8 −135/ m e 15m

pada sebarang titik, misal:

x 1=1

f ( x 1) =

9.8 9.8 f ( x 1) = − e 15 15

(

f (x )

−135/(1)

9.8 9.8 (1)− (1). e 15 15

'

3. Menghitung nilai

−135 /(1)

x n +1

)−35=−34.3467

135 ×9.8 −135/(1) e =0.6533 15(1)

menggunakan Persamaan 2.7:


x n +1=x n −

x 2= x 1−

4. Nilai

f ( xn ) '

f ( xn) f ( x1) '

f ( x1)

(2.8)

=1−

x 2=53.5714

−34.3467 =53.5714 0.6533

sangat besar, sehingga perhitungan diulangi dari langkah ke-3

dengan mensubtitusikan

x 2=53.5714

pada fungsi yang ada pada langkah tersebut.

Langkah 1 sampai 4 disebut iterasi pertama. Jika perhitungan dilanjutkan, pada iterasi berikutnya akan diperoleh hasil perhitungan seperti pada Tabel 2.5 Apabila kita gunakan script MATLAB m=1; F_m= (9.8*m/15) * (1-exp(-135/m)) - 35; e = 0.1/100; while e< abs(F_m) F_m = (9.8*m/15) * (1-exp(-135/m)) - 35; g_m = (9.8/15)* (1-exp(-135/m)-(135/m)*exp(-135/m)); m1 = m -(F_m/g_m); m=m1; i=i+1; end fprintf('Akar persamaan non linier adalah = %10.8f\n',m1);

Setelah script diatas kalian running, maka akan didapatkan hasil: >> Akar persamaan non linier adalah = 59.84104475

Apakah hasil kalian sesuai dengan hasil script diatas? Ya, tentu saja.

Tabel 2.2 Hasil Perhitungan dengan Metode Newton-Raphson Soal Pemahaman:

Secara matematis persamaan penerjun payung:

Saat

t=∞

v ( t )=

, maka berdasarkan persamaan diatas:

Berapakah tepatnya nilai

t

yang menyebabkan nilai

−c

(

gm 1−e m c v ( t )=

t

)

Bagaimana materinya? Semakin

gm c

v ( t )=

gm c

??


menantang bukan? Ingatlah, sekarang kalian tidak hanya mampu menggunakan operasi sederhana pada MATLAB, namun kalian sudah bisa menganalisis sebuah kasus menggunakan program, membuat simulasi grafik, dan sekarang kalian mampu menyelesaikan persamaan rumit dalam waktu yang lebih singkat. Tapi, jangan puas dulu! Masih ada lagi satu hal yang perlu kalian kuasai. Manusia adalah makhluk pembelajar, belajar sepanjang hayat adalah tugas kita. Ilmu yang bermanfaat tidak akan luntur sampai akhir hidup apalagi jika diamalkan pada orang lain. Oleh karena itu, kalian tentu masih mau kan menerima amal ilmu dari kami? Tetaplah semangat para calon computer scientists!

LABORATORY EXERCISE 2 5 Points 1. Anggap anda meminjam uang sebesar Rp. 2.500.000 pada suatu bank dan anda sepakat untuk mengembalikanya dalam 6 kali cicilan, dimana tiap satu kali cicilan anda harus membayar sebesar Rp. 550.000. Rumusan ekonomi yang digunakan bank tersebut untuk menghitung berapa besar biaya yang harus anda bayarkan tiap satu kali cicilan adalah, A= P

i(i+1)n (i+1)nâ&#x2C6;&#x2019;1

dimana A adalah jumlah uang yang harus dibayarkan untuk tiap satu kali cicilan, P adalah jumlah uang yang dipinjam, n adalah jumlah cicilan, dan i adalah persentase bungga pinjaman (dalam desimal). Tentukan berapa nilai i (dalam persen) pada kasus tersebut. 5 Points 2. Sebuah tangki penampungan air berbetuk bola memiliki persamaan sebagai berikut


V =Ď&#x20AC; h 2

[3Râ&#x2C6;&#x2019;h] 3

3 dengan V =volume (m ) , h=ketinggian air ( m ) , dan

R= jariâ&#x2C6;&#x2019; jari tangki (m) .

Gambar P.2.1

R=3 m

Jika

dan tangki diisikan dengan air sebanyak 30 m3, tentukan berapa

ketinggian air tersebut.

10 Points 2. Sebuah rangkaian listrik yang terdiri atas resistor R, induktor L, dan kapasitor C memenuhi Hukum ke-II Kirchhoff yaitu sebagai berikut, 2

L

d q dq q + R + =0 2 dt C dt


Gambar P.2.2

Pada saat

q=q 0=V 0 C

t=0 , muatan

, diperoleh solusi dari persamaan tersebut

yaitu,

q ( t )=q0 e

L=5

Jika

−Rt 2L

H,

cos

(√ ( ) ) 1 R 2 − t LC 2L

C=10

−4

F, dan

q /q0 =0,01

pada saat

t=0,05

detik, tentukan

nilai R yang memenuhi persamaan tersebut. 15 Points 3. Sistem pegas teredam terdiri atas massa m, pegas dbengan konstanta k dan peredam dengan konstanta peredam c. persamaan gerak Newton untuk sistem pegas adalah m

Jika pada t=0

d2 x dx +c + kx=0 2 dt dt

detik pegas disimpangkan sejauh

...

(i)

x= x 0

dengan kecepatan awal = 0

m/s, maka solusi persamaan (i) adalah x ( t ) =e−nt [ x 0 cos ( pt ) + x 0 sin ⁡ ( pt) ]

dengan

n= 9

k c2 − m 4m2 2

dan 7

k =1,25 ×10 g /s , c=1,4× 10 g / s berapakah nilai

p= dan

c 2m .

Jika

x 0=0,3 m

. . (ii)

6 diketahui m=1,2 ×10 g ,

, tentukan pada detik ke

x (t)=0 .

15 Points 2. Sebuah muatan

Q

cincin dengan jari-jari

terdistribusi seragam di sekitar konduktor yang berbentuk a . Muatan

q

terletak dengan jarak sejauh

x

dari titik

tengah cincin (Gambar P 2.4) . Besarnya gaya elektrostatik yang bekerja pada muatan terhadap cincin dinyatakan oleh persamaan berikut, F=

1 qQx 4π e 0 ( x 2 +a 2 )3/ 2


dimana q

â&#x2C6;&#x2019;12

e 0=8,85 Ă&#x2014;10

= Q

â&#x2C6;&#x2019;5

2

2

C /( N m ) . Tentukan besar jarak

= 2 Ă&#x2014;10 C

x

ketika F bernilai 1 N,

dan jari-jari cincin 0,9 m.

Gambar P.2.3

Petunjuk Pengerjaan: untuk setiap soal (No. 1 - No. 5) urutan langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut: 1. Selesaikan menggunakan metode Bisection (gunakan toleransi 0.0001) 2. Selesaikan menggunakan metode Newton-Rhapson (gunakan toleransi 0.0001) 3. Buat dan tampilkan hasil plot grafik persamaan dengan rician sebagai berikut: a. Nomor 1: Plot A (rupiah) terhadap i,untuk i = 0 - 100 % b. Nomor 2: Plot V (m3) terhadap h, untuk h = 0 - 3R m c. Nomor 3: Plot q (C) terhadap t, untuk t = 0 - 1s d. Nomor 4: Plot x (m) terhadap t, untuk t = 0 - 1s e. Nomor 5: Plot F (N) terhadap x, untuk x = 0 - 5a m 4. Tampilkan setiap hasil iterasi yang anda dapat pada langkah 1 dan 2 dengan format seperti

tabel 2.1 dan tabel 2.2 5. Analisis setajam mungkin kedua hasil yang anda dapat pada langkah 1 dan 2


Modul 3845 praktikum fiskom: chapter 2