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QUINTO AÑO

TEMA: SEGMENTOS GEOMETRÍA Es una parte de la matemática que tiene por objeto el estudio de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas.

División A.

Geometría Plana o Planimetría Que se ocupa de todas aquellas figuras cuyos puntos consecutivos se hallan en un mismo plano. Ejemplo:, el ángulo, los triángulos, al circunferencia, etc.

B.

Geometría del Espacio o Estereometría Que se ocupa del estudio de todas aquellas figuras cuyos puntos consecutivos, no se hallan en un mismo plano. Ejemplo: el prisma, el cono, la esfera, etc.

Figuras Planas:

Figuras Sólidas:

Línea Recta

Geometria

18


QUINTO AÑO

Concepto matemático no definible. Se considera como un conjunto de puntos ubicados en una misma dirección; ilimitada en ambos sentidos.

: se lee, recta AB : se lee, recta L

SEGMENTO Porción de línea recta limitada por dos puntos llamados extremos del segmento.

: se lee, segmento AB Medida del Segmento Número de veces de una unidad de longitud.

m

ó AB: se leen, medida del segmento AB

Ejemplo:

AB = 8 Punto Medio de un Segmento Punto del segmento que equidista de los extremos.

Si “M” es punto medio del , entonces AM = MB = a. Operaciones de Longitudes de Segmentos

2

Geometría


QUINTO AÑO

Para el gráfico Suma: AB +BC + CD = AD Resta: AB = AD – BD Multiplicación: AC = 5CD División:

AB =

BD 2

SATÉLITE AMBIENTAL

El satélite Nimbus rodea la Tierra en una órbita que pasa por los polos norte y sur varias veces al día, fotografiando la superficie a su paso. Como la Tierra gira, cada paso produce una nueva serie de imágenes y puede reflejar el planeta entero todos los días. La información gráfica sobre la atmósfera terrestre y los océanos se transmite a la superficie, donde se utiliza para controlar los cambios en el medio ambiente.

PROBLEMAS PARA LA CLASE Geometria

3


QUINTO AÑO

1.

P, Q, R, y S son puntos consecutivos de una recta, tal que PR = 16, QS = 18 y PS = 25. Calcular “QR”.

5.

colineales

BD =

3.

Rpta. 6.

A, B, C, y D, son puntos colineales y consecutivos tal que: AB + CD = 40 y AD = 6BC Calcular: “AD”

AB BC

Rpta.

Rpta. 7.

Se tienen los puntos A, B,

4.

Sean los puntos A, B, C, y D colineales y consecutivos tal que “C” es punto medio de y BD – AB = 12 Calcular: “BC” Rpta.

4

3AE Y AC+BD+CE = 5

Calcular: “AE”

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, y C, de modo que: 4 AC + BC = BC 3 Calcular:

consecutivos,

40

Se tienen los puntos colineales y consecutivos. A, B, C, y D; tales que: AB = 2CD y 3AC–BC=20, calcular “AD” Rpta.

y

tales que:

Rpta. 2.

A, B, C, D, y E son puntos

C,

y

D

colineales

consecutivos tal que: AB = 8 y AB – BD = AC . CD Calcular: “CD” Rpta.

Geometría

y


QUINTO AÑO

8.

Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, O, M, y B; de modo que AO = OB. Calcular el valor de la siguiente expresión:

E =

12.

AM − MB OM

Rpta. 9.

Rpta.

Se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C, y D tal que “B” es punto medio de y AD = 5BC Si: CD = 12; calcular: “AB”

13.

Rpta. 10.

En una recta se ubican los puntos A, B, y C; tal que M es el punto medio de Calcular AM, si AB + AC = 12.

Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, y C; tales que AC = 6 y 2 2 AC . AB = 2(AB –BC ) Calcular: “AB” Rpta.

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que: 4CD = 3AB y 4AD + 3BC = 70 Calcular: “AC” Rpta.

14.

Rpta. 11.

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D tal que: AC + BD = 5(AB + CD) AD Calcular: “ ” BC

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E, y F; tal que AB = DE; BC = EF y AD + CF = 148 Calcular: “BE” Rpta.

15.

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, y E; tal que: AB = 3BE ; AC = 80 Calcular BD, si BC + 3DE = 20 Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA Geometria

5


QUINTO AÑO

1.

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que: AC = BD; CE = DF; AB+EF = 96 Calcular: “CD” A) D)

9 6

6

B) E)

4 2.

2 4

C)

AC + BD + CE + DF = 50 A) 4,5 D) 10,5 4. 6

8

AB AC = CD BD Calcular “CD”; si AB = 2

AB BC CD DE = = = 3 5 7 8 Calcular: “BC”

3.

6

B) 12 E) 28

C) 18

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E, y F de modo que: 3AF = 7BE = 10CD

En una recta se toman

C, y D; de manera que.

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, y E; tal que: AD+BE = 70;

A) 6 D) 10

C) 12,5

los puntos consecutivos A, B,

8

4

B) 9,5 E) 7,5

5.

A)

B)

C)

1 D)

2 E)

3

4

5 En una recta se ubican

los puntos consecutivos A, B, O y C de modo que: “O” sea punto medio de

. Calcular:

AO2 – BO2

Geometría


QUINTO AÑO

A)

B)

AC2 – AB2 C)

2AB . AC D)

AB . AC

6.

2

− AB 2 2

A) 5 D) 20

1 AB . AC 2

E)

 AC  

Siendo “E” y “F” puntos medios de y , calcular EF, si AC + BD = 20

  

8.

En una misma recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C, y D; si:

AB CD + = 1 ; AB = a; CD = AC BD

b Calcular: “BC”

A)

a +b 2

C) (2a–b) E)

a +b 3

D)

ab

 2b − a     2 

7.

Se tiene los puntos colineales: A, B, C, y D.

Geometria

9.

C) 15

Se tiene los puntos colineales A, B, C, y D, dispuestos de modo que: AD = 10; CD = AB + BC. BC 2 = CD 5 Calcular “BD” A) 3 D) 9

B)

B) 10 E) 30

B) 5 E) 8

C) 7

Se tiene los puntos colineales A, B, C, D, y E; situados de tal forma que AC + BD + CE = 45;

AE 3 = BD 2

Calcular “AE” A) 21

B) 23

C) 25

7


QUINTO Aテ前

D) 27

10.

E) 29

D) 4

E) 6

En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, y E de manera que: AB = BC; CD = 2DE Calcular: AD; si: AB + AE = 6 A) 1

B) 2

C) 3

CLAVES

8

1.

E

6.

D

2.

D

7.

B

3.

D

8.

C

4.

B

9.

D

5.

C

10.

D

Geometrテュa


QUINTO AÑO

TEMA: ÁNGULOS ÁNGULO Definición Reunión de dos rayos con un mismo origen. Dicho origen se llama vértice y los rayos denominados lados.

. m ∢ A0B = α .

CLASES DE ÁNGULOS Según su Medida 1.

Ángulos Convexos ∢ Agudo

∢ Recto

∢ Obtuso

. 0 < α < 90º .

. α = 90º .

. 90º < α < 180º .

2.

Geometria

Ángulos No Convexos

9


QUINTO AÑO

. 180º < α < 360º .

Según su característica 1.

Ángulos Adyacentes

2.

Ángulos Consecutivos

3.

Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios, si sus medidas suman 90º.

. α + β = 90º . También:

10

Geometría


QUINTO AÑO

4.

Cα : Complemento de α

. Cα = 90 – α .

C : Complemento de

. C = 90 –

.

Ángulos Suplementarios Dos ángulos son suplementarios, si su medidas suman 180º.

. α + β = 180º .

5.

También: Sα : Complemento de α

. Sα = 180 – α .

S : Complemento de

. S = 90 –

.

Ángulos Opuestos por el vértice

Bisectriz Es el rayo que parte del vértice y biseca al ángulo Geometria

11


QUINTO AÑO

.

: Bisectriz del ∢A0B .

Propiedad:

. m ∢ x 0 y = 90º . Demuéstralo:

12

Geometría


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcular el complemento de la medida de un ángulo si dicho ángulo es igual al suplemento de 160.

5. El complemento de la medida de un ángulo es igual al quíntuplo de la medida del ángulo. Calcular dicha medida. Rpta.

Rpta. 2. Calcular el suplemento del complemento de 70

6. Calcular la medida de un ángulo sabiendo que ésta es igual a un octavo de su suplemento.

Rpta.

3. El suplemento del complemento de la medida de un ángulo es igual a 100. calcular dicha medida

Rpta.

7. La diferencia entre el suplemento y el complemento de α es igual a 6α. Calcular α. Rpta.

Rpta. 8. 4. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es igual a 40. calcular la medida del ángulo mayor.

: recta; m∢A0D = 160º m∢BOD

=

170º,

calcular:

m∢B0C

Rpta. Rpta. Geometria

13


QUINTO AÑO

9.

:

bisectriz

del

∢B0D;

m∢A0B = 20º; m∢AOD = 80º;

11. m∢AOC = 100º; m∢BOD = 90º. Calcular: m∢X0Y

calcular: m∢A0C.

Rpta.

Rpta.

12. m∢C0D 10.

:

bisectriz

del

∢A0D;

m∢A0B = 20º; m∢BOD = 60º;

14

=

28;

calcular

m∢A0B, si: (m∢A0B)(m∢A0C) =

calcular: m∢BOC.

(m∢A0C) (m∢COD)

Rpta.

Rpta.

Geometría


QUINTO AÑO

13. Se tienen los ángulos consecutivos A0B, BOC, y COD, m∢A0B + m∢C0D = 70º. Calcular:

m∢X0Y;

,

bisectriz del ∢A0C y bisectriz de m∢B0D. Rpta.

14. Se tienen

5 ángulos cuyas

medidas suman y forman una progresión aritmética.. si la medida del menor ángulo es

“TE

igual a la raíz cuadrada de la medida del mayor. Cuanto mide el menor ángulo. Rpta. 15. Se tienen dos ángulos adyacentes cuyas medidas se diferencian en 40. calcular la medida del ángulo formado por el lado común y la bisectriz del ángulo formado por la bisectriz de los ángulos dados Rpta.

SORPRENDERÁ TENER LA OPORTUNIDAD

DE AYUDAR A UN SEMEJANTE CON SÓLO ESCUCHAR LO QUE TIENE PARA DECIRTE, AUNQUE NO ESTÉS DE ACUERDO. SABER ESCUCHAR ES UNA DE LAS MANERAS MÁS GRATIFICANTES DE SER GENEROSO”

MÓNICA BUONFIGLIO

Geometria

15


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

En la figura, calcular “θ”

60º D)

90º E)

45º

140º

3.

120º

Calcular el suplemento de “θ”

A)

B)

C)

10º D)

20º E)

35º

30º

25º

2.

En la figura, calcular la m∢P0Q

A)

16

B)

A)

B)

C)

100º D)

120º E)

140º

160º

150º

C)

Geometría


QUINTO AÑO

SC (50 º ) − SS (139º ) CCC (89º ) 4.

Si: m∢A0C + m∢BOD =

A) 1 D) 4

140. Calcular “x”

7.

B) 2 E) 5

C) 3

Calcular la m∢P0Q; si la m∢A0C = 60º y m∢B0D = 80º. C: Complemento

5.

A)

B)

C)

40º D)

20º E)

50º

60º

30º

S: Suplemento C: Complemento Calcular: SC(40º) A) 100º D) 150º

6.

B) 80º E) 110º

C) 130º

A) 65º D) 75º

B) 70º E) 90º

C) 68º

S: Suplemento: C: Complemento

Geometria

17


QUINTO AÑO

8.

Si.

es bisectriz del

∢A0C y m∢A0B - m∢B0C = 40.

9.

En la figura mostrada calcular θ, si: m∢BON = 22º;

Calcular “x”

es bisectriz del ∢A0X y es bisectriz del ∢A0X.

A)

B)

C)

10º D)

15º E)

20º

25º

40º 10.

A)

B)

C)

54º D)

56º E)

55º

53º

52º Se tienen los ángulos

consecutivos ∢A0B, ∢B0C y ∢COD, tal que: m∢A0C – m∢BOD = 10º m∢MON = 100º Siendo y

y

bisectrices

de los ángulos ∢A0B y ∢COD respectivamente. Calcular: m∢A0C A) 105º

18

B) 104º

C) 103º

Geometría


QUINTO Aテ前

D)

E)

102ツコ

101ツコ

CLAVES

Geometria

1.

E

6.

A

2.

B

7.

B

3.

D

8.

C

4.

C

9.

B

5.

C

10.

A

19


QUINTO AÑO

TEMA: ÁNGULOS ENTRE PARALELAS ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Ángulos Correspondientes Un interno y el otro externo, a un mismo lado.

.α=θ.

Ángulos Alternos Internos Ambos internos uno en cada lado.

.α=θ.

Ángulos Conjugados Internos Ambos internos y en un mismo lado

. α + θ = 180 .

Propiedades:

20

Geometría


QUINTO AÑO

1. .x=α+θ.

2. . x = 90 .

3. .α+θ=a+b+c.

4. . α + β + + θ + φ = 180º .

Geometria

21


QUINTO AÑO

5. . α + β + γ + φ + θ = 180º . n . n = Nº de Segmentos

6.

Ángulos Paralelos .α=θ.

. α + θ = 180 .

22

Geometría


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

//

. Calcular “x”

4.

//

, calcular “y”

5.

//

Rpta.

Geometria

//

. Calcular “x”

//

. Calcular “x”

Rpta.

Rpta.

3.

, calcular “x”

Rpta.

Rpta.

2.

//

, calcular “x”

6.

Rpta.

23


QUINTO AÑO

7.

//

. Calcular “x”

10.

//

, calcular “x”

11.

//

Rpta.

24

En gráfico, si: // , además: φ - θ = 75; calcular: “x”

Rpta.

Rpta.

9.

;

Rpta.

Rpta.

8.

En la figura // α+β=220º. Calcular “x”

, calcular “x”

12.

En el gráfico Calcular “θ”

//

Rpta.

Geometría

.


QUINTO AÑO

13.

En el gráfico, calcular “x”

Rpta. 15.

Rpta.

14.

En el calcular θ.

gráfico

//

,

En la figura // y se tienen “n” ángulos de medidas θ. Calcular “θ” Rpta.

“EL

MAYOR PELIGRO EN LA VIDA ES NO

ARRIESGAR NADA. Y EL HOMBRE Y LA MUJER QUE NO ARRIESGAN, NO HACEN NADA, NO TIENEN NADA Y NO SON NADA”

BACH

Geometria

25


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

Si:

A) 10º D) 40º

//

; calcular “θ”

B) 20º E) 50º

A) 15º D) 30º

C) 30º

4. 2.

//

A) 7º D) 10º

3.

26

; calcular “x”

B) 8º E) 11º

C) 9º

Calcular “x”; α - θ = 20

5.

B) 20º E) 35º

C) 25º

Calcular el ángulo “x”, siendo:

//

A) 60º D) 37º

B) 53º E) 30º

.

C) 45º

En la figura: calcular “x”.

//

Geometría

,


QUINTO AÑO

A) 20º D) 35º A) 110º D) 150º 6.

B) 130º E) 155º

En la figura: calcular “α”

C) 140º

8.

B) 25º E) 40º

Del gráfico, hallar “x”, si //

//

7.

Geometria

B) 85º E) 45º //

C) 75º

.

,

A) 60º D) 37º A) 95º D) 65º

C) 30º

9.

B) 53º E) 30º Si:

//

C) 45º

y α + β = 66º.

Calcular el valor de “y”

; calcular “x”

27


QUINTO AÑO

A)

B)

C)

133º D)

114º E)

166º

111º

100º

10.

En la figura mostrada //

; AM = MB y AN = NC.

Calcular el valor de “x”

A)

B)

C)

95º D)

85º E)

75º

65º

45º

CLAVES

28

1.

C

6.

B

2.

C

7.

C

3.

E

8.

B

4.

C

9.

B

5.

D

10.

D

Geometría


QUINTO AÑO

TEMA: TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS Definición Reunión de tres segmentos formados al unir tres puntos no colineales. P = punto interior Q = punto exterior

Notación ∆ABC → se lee: triángulo ABC Elementos Vértices: Lados:

A, B, y C. ,

y

.

Longitud de sus lados: a, b, y c m∢ internos:

α, β y φ

m∢ externos: θ1 . θ2 y θ3 Perímetro:

2p = a + b + c

Semiperímetro: p =

Geometria

a +b +c 2

29


QUINTO AÑO

Clasificación I.

II.

Por la Medida de sus Lados Equilátero

Isósceles

Escaleno

3 lados ≡

2 lados ≡

3 lado ≠

Por la Medida de sus Ángulos

Acutángulo

Obtusángulo

Es aquel que tiene

Es aquel que tiene

sus

un ángulo interno

3

ángulos

internos agudos. (0 < αn < 90)

obtuso. (90 < α < 180) Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo interno recto a y b : catetos c: hipotenusa

PROPIEDADES BÁSICAS

30

Geometría


QUINTO AÑO

Existencia del Triángulo 1. . b-c <a <b + c .

2. . aº + bº + cº = 180º .

3. . xº + yº + zº = 360º .

4. x º =bº +cº

. y º = a º +cº . z º = a º +bº

5.

A mayor ángulo se opone . Si: α > β > φ ⇔ a > b > c .

Geometria

31


QUINTO AÑO

mayor lado y viceversa

Propiedades Particulares 6.

. aº + bº = xº + yº .

7.

. aº + bº = xº + yº .

8.

. xº = aº + bº + cº .

9.

32

. aº + bº = xº + yº .

Geometría


QUINTO AÑO

10.

Si: AB = BC → El triángulo ABC es equilátero

11. . x = 180º – (αº + βº) .

12.

. x = 90º - αº .

13.

Si.

Geometria

33


QUINTO AÑO

Teorema de Arquímedes

. AD + CD < AB + BC .

Demuéstralo:

“EL SILENCIO ES ELEMENTO EN EL CUAL SE FORMAN LAS MÁS GRANDES COSAS Y DEBE SER

EL

PRINCIPIO

Y

EL

FIN

DE

TODA

REALIZACIÓN”

JORGE ADOUM

34

Geometría


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

En

un

triángulo

ABC;

4.

AB = 9 – x; BC = 2x – 12;

Si: α + θ = 40º; AB = BF; m∢EBC = 90º. Calcular “x”

además: m∢A > m∢C, calcular “x”. Si se sabe que es un número entero. Rpta. Rpta. 2.

Si

los

lados

de

un

triángulo miden: 12; (x+4); (x+5). Calcular

5.

el menor

valor entero de “x”, para que dicho triángulo exista. Rpta.

Dos lados de un triángulo escaleno miden 5 y 7. Calcular la suma de los valores enteros impares que puede tomar la medida del tercer lado. Rpta.

3.

De la figura: BC = EC.

6.

En la figura, AB = BD y

Calcular “x”

AD = DC, si: m∢BAC = 69º, calcular “x”.

Rpta.

Rpta.

Geometria

35


QUINTO AÑO

7.

En el gráfico: BC = 9; BE = 4; calcular FC

Rpta. Rpta. 8.

De la figura AB = BD.

11.

En la figura, calcular “x”

Calcular m∢C.

Rpta. Rpta. 9.

SI AB = AD = DC; calcular “x”

12.

En la figura, calcular “x”.

Rpta. Rpta. 10.

36

Calcular “a+b+c+d+e+”

13.

En la figura. calcular “α”

Geometría


QUINTO AÑO

El triángulo ABC es: Rpta. 15.

Rpta.

14.

En la figura el triángulo ABC es escaleno. ¿Cuántos triángulos existen, si la medida del lado es entero?

Según el gráfico

Rpta.

EL HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES SÓLO CARNE. PERO AL VERDADERA MIRADA ES LA QUE VE AL AMIGO. FUNDE TU CUERPO ENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LA VISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN....

DYALAY–AL–DIN–RUMI

Geometria

37


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

De la figura, calcular “x”

D)

E)

125º

140º

3.

De la figura AB = BE; BD = DC; el triángulo ABD es:

A)

B)

C)

15º D)

20º E)

30º

35º

32º

2.

Calcular “θ + β”

4.

A)

B)

Isósceles C)

Equilátero D)

Acutángulo E)

Rectángulo Obtusángulo

De la figura: ED = DC; m∢BED = m∢BDE. Si: AE = 7; calcular “BD”

38

A)

B)

C)

120º

110º

130º Geometría


QUINTO AÑO

A)

B)

C)

10,5 D)

7 E)

9

7,5

14

5.

De la figura: AB = AE; AF = FE; FD = DC; EC = FC

A)

3 B) x = 2θ

Calcular: m∢BAC.

x = 2θ

C)

Si: m∢FDC=40º

E)

5

7 D) x = 3θ

7

4 x=θ

x = 2θ 7.

Si θ - β = 110º. Calcular: α.

6.

A)

B)

C)

45º D)

75º E)

65º

55º

85º Del

determina

gráfico la

A) 30º D) 12º

adjunto relación

B) 8º E) 15º

C) 10º

correcta (PQ= PR). 8.

Geometria

Calcular x, si AB = BC y TC = TD

39


QUINTO AÑO

16º D) 19º 10. A) 10º D) 30º

9.

B) 15º E) 40º

Si

17º E) 36º

18º

Del gráfico, calcular: x.

AB = BC y m∢ABC = 40.

C) 20º

Calcular x, si: α - θ = 18

A)

B)

A) 45 D) 55

C)

B) 75 E) 85

C) 65

CLAVES

40

1.

D

6.

E

2.

C

7.

A

Geometría


QUINTO AÑO

3.

D

8.

E

4.

B

9.

C

5.

C

10.

E

TEMA: TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES

ALTURA Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

Ortocentro (H) Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. H: Ortocentro.

Geometria

41


QUINTO AÑO

PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO

ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.

MEDIANA Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

Baricentro (G) Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. G: Baricentro

 TEOREMA     BG = 2GM

AG = 2GN CG = 2GS

42

Geometría


QUINTO AÑO

PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO. DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A 2. EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR. ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD REGIÓN TRIANGULAR.

DE LA

BISECTRIZ Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida.

Incentro (I) Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita

PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO. EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO. EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.

Excentro (E) Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita Geometria

43


QUINTO AÑO

E: Encentro relativo de PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS. LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL

TRIÁNGULO.

MEDIATRIZ Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular.

: Mediatriz de Circuncentro (O) Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo. C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita

44

Geometría


QUINTO AÑO

PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO. EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.

Propiedad: Si: “0” es circuncentro

Geometria

45


QUINTO AÑO

. x = 2α .

CEVIANA Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.

Cevacentro (C) Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.

PARA RECORDAR: TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.

46

Geometría


QUINTO AÑO

OBSERVACIONES: - PARA UBICAR UN PUNTO

NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR DOS

LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE.

-

EN

TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS

CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS.

-

EN

TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL

ORTOCENTRO,

BARICENTRO,

INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN.

-

EN

TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO,

INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.

Geometria

47


QUINTO AÑO

PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES 1. Ángulo

formado

por

dos

bisectrices interiores.

2. Ángulo

formado

por

. x = 90 +

a . 2

. x = 90 −

a . 2

dos

bisectrices exteriores.

3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior. . x =

4.

48

a . 2

. x = 45 −

a . 2 Geometría


QUINTO Aテ前

5.

. x =

a +b . 2

. x =

a +b . 2

6.

7.

Geometria

. x =

ホア竏槻イ . 2

49


QUINTO Aテ前

50

Geometrテュa


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

En un triángulo ABC se trazan

las

bisectrices

interiores de los ángulos A y B que se intersectan en P, si la:

Rpta.

m∢APB=2m∢C Hallar m∢C

4.

En

un

triángulo

ABC,

calcular la medida del menor ángulo

Rpta.

que

forman

las

bisectrices exteriores de A 2.

y C si se cumple que:

En un triángulo PQR las

m∢A + 2m∢B + m∢C = 236º

bisectrices exteriores de P y R se intersectan en el

Rpta.

punto A, tal que m∢Q = 2m∢PAR. Calcular la m∢Q Rpta.

5.

Se tiene un triángulo MNP tal que las bisectrices exteriores de M y P se intersectan en E. Calcular la m∢N,

3.

Si y son bisectrices de los ángulos BAC y BHC respectivamente, calcular “x”

Geometria

si

2m∢N + m∢MEP = 117º. Rpta.

51


QUINTO AÑO

6.

En un triángulo ABC la mediana

y la bisectriz se

intersectan

perpendicularmente. Calcular:

E =

AB BC AB + + BM AB CH

Rpta.

Rpta. 7.

Calcular “x”:

10.

Si

es bisectriz del

∢ABC

es bisectriz del

m∢ACE m∢BAC

y =

50;

calcular

la

m∢BDC.

Rpta.

8.

Calcular “x”

Rpta.

11. Rpta.

9.

52

Calcular “x”

En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior , en la prolongación de se toma un punto “H” y luego se traza perpendicular a .

Geometría


QUINTO AÑO

Calcular m∢DHG, si m∢A – m∢C = 40º.

14.

Rpta.

12.

En un triángulo ABC las bisectrices exteriores de B y C se intersecan en un punto E, tal

Rpta.

que BE = BC. Si la m∢ABC = 80 Calcular m∢A

Rpta. 13.

En un triángulo ABC las bisectrices interiores A y C se intersecan en I. Por I se traza una paralela a que interseca en P a y Q en . Calcular PQ, si AP+ QC = 8 3.

15.

En la figura // , AM = 4 y NC =7. Calcular: MN

En un triángulo ABC la bisectriz interior de A y la bisectriz exterior de C forman un ángulo que mide 36, si la: m∢A - m∢C = 20º Calcular m∢A0B Rpta.

Geometria

Rpta.

53


QUINTO AÑO

TENEMOS LA VIRTUD, QUE A VECES ES DEFECTO, DE LA GENEROSIDAD EN EL MOMENTO DEL TRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DE QUE AQUEL QUE HA SIDO PROVISIONALMENTE,

INTERPRETA

GENEROSIDAD

COMO

APROVECHARÁ

LA

LA

DEBILIDAD ,

SITUACIÓN

Y

PARA

INVERTIRLA.

PABLO MACERA

54

Geometría


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior , tal que m∢BDA = 72º y m∢BDC = 35º. Calcular la m∢BAD. A) 56º D) 71º

2.

“x”

B) 63º E) 77º

C) 70º

Si: m + n = 80º; calcular

A) 20º D) 45º 4. 80º

B) 55º E) 70º

C) 65º

En la figura, m∢BAC = y

m∢BCA = 40º. Calcular la m∢DEC.

A) 20º D) 45º

3.

B) 30º E) 60º

Calcular “x”; si

Geometria

C) 40º

//

.

A)

B)

C)

105º D)

115º E)

100º

95º

85º

55


QUINTO AÑO

5.

bisectriz interior . Calcular AD, si AB = 6 y BC = 10.

Calcular “θ”

A) 2 D) 8 8.

B) 4 E) 10

En un triángulo ABC: I es incentro,

6.

B)

C)

10º D)

12º E)

15º

18º

20º

En un triángulo ABC por E excentro relativo a , se traza una paralela a que interseca a en M y a en N. Calcular MN, si AM = 9 y NC = 6.

7.

B) 1,5 E) 3

En

un

triángulo

si

la

m∢AIC

C) 2

A) 24º D) 45º 9.

B) 36º E) 30º

C) 54º

Por el vértice “B” de un triángulo ABC, cuyo perímetro es 16, se trazan paralelas a las bisectrices interiores de A y C las que intersecan a AC en P y Q. Calcular PQ. A) 8 D) 18

B) 16 E) 32

C) 24

ABC,

m∢A = 2m∢C. Se traza la

56

=

3m∢B. calcular la m∢B.

A)

A) 1 D) 2,5

C) 6

Geometría


QUINTO Aテ前

10.

En un triテ。ngulo dos de sus lados suman 28. calcular el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado

Geometria

A) 12 D) 15

B) 13 E) 16

C) 14

57


QUINTO Aテ前

CLAVES

58

1.

D

6.

E

2.

C

7.

B

3.

B

8.

B

4.

A

9.

B

5.

E

10.

C

Geometrテュa


QUINTO AÑO

TEMA: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente.

∆ABC = ∆PQR

OBSERVACIÓN: EN

UN PROBLEMA DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON

CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO.

CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS 1.

Caso (L.A.L.)

Geometria

59


QUINTO AÑO

2.

Caso (A.L.A.)

3.

CASO (L.L.L.)

4.

Caso (L.L.A.)

α : Opuesto al mayor lado

PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1. De la Bisectriz Todo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo.

60

Geometría


QUINTO Aテ前

.

PA = PB . 0A = 0B

2. De la Mediatriz Todo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.

. PA = PB .

3. De la Base Media de un Triテ。ngulo El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triテ。ngulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado. Si:

Si: M y N son puntos medios

//

. BN = NC . 4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa

Geometria

. MN =

AC . 2

61


QUINTO AÑO

La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.

. BM =

AC . 2

CÓMO DEMOSTRAR CUALQUIER COSA

Bertrand Russell estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa, todo. Un filósofo escéptico le preguntó: - ¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa? Russell contestó afirmativamente y dio la divertida "prueba" que sigue: - Si suponemos que 2 + 2 = 5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2 = 3. Invirtiendo los términos, tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado, nos da 2 = 1. De modo, que como el Papa y yo somos dos personas, y 2 = 1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego, yo soy el Papa.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

62

Geometría


QUINTO AÑO

1.

Del gráfico, calcular AB, si PQ=4

Rpta.

Rpta. 2.

5.

En

un

triángulo

ABC:

AB+BC=14 y “M” es punto

En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior y luego se traza la mediatriz que interseca a la prolongación de en

medio de

. Si se traza

perpendicular a la bisectriz exterior de B, calcular MH Rpta.

“E”. Si la m∢A = 40º; calcular la m∢EBC. Rpta.

6.

En

Calcular PQ.

triángulo

rectángulo ABC (recto en B), AB

3.

un =

4

y

AC = 10. si la bisectriz interior del ángulo A y la mediatriz

de

se

intersecan en el punto “P”, calcular la distancia de P a . Rpta. 4.

Rpta.

Calcular AC, si BD = 10

Geometria

63


QUINTO AÑO

7.

Si en un triángulo ABC en se ubica el punto “D”, de modo que la mediatriz de interseca a BD en su

perpendiculares bisectrices.

estas

Calcular

la

medida el segmento que une los

punto medio. Si la m∢A=60 y AB=12. Calcular DC.

pies

de

las

perpendiculares. Rpta.

Rpta.

8.

a

Dos lados de un triángulo miden 2 y 10. calcular la medida de la mediana referente al tercer lado, si toma un valor entero

11.

Calcular “x”

Rpta.

9.

En

un

triángulo

ABC

(recto en B) m∢C=36º, en se ubica el punto “Q” tal que m∢ABQ = 18º. calcular BQ si AC = 2. Rpta. 10.

Se tiene un triángulo cuyo perímetro es 36. se trazan

dos

bisectrices

exteriores y desde el tercer vértice

64

se

trazan

Rpta.

12.

En un triángulo rectángulo ABC, m∢B=90º, la mediatriz relativa a la hipotenusa interseca a e P y a la prolongación de en Q. Si la m∢APB=70º. Calcular la m∢AQP. Rpta. Geometría


QUINTO AÑO

13.

En un triángulo rectángulo ABC, la mediatriz de la hipotenusa interseca a en “N”. Si NC = 2 BN, calcular la

Rpta.

m∢C. 15. Rpta. 14.

En el gráfico es mediana y BC = 12. Calcular BM.

En la figura AB = 7, AC = 15 y “M” es punto medio de . Calcular PM.

Rpta

PESA MUCHO MÁS EL ODIO QUE EL AMOR DE LOS HOMBRES, YA QUE TODO AQUEL QUE SE DEJA LLEVAR POR EL ODIO TRABAJA PARA SÍ, MIENTRAS QUE EL QUE SE GUÍA POR EL AMOR ACTÚA PARA EL PRÓXIMO; NADIE LLEGA A EXALTARSE HASTA EL PUNTO DE SERVIR A LOS DEMÁS POR ENCIMA DE SÍ MISMO.

EPICLETO

Geometria

65


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

En un triángulo ABC la medida del ángulo exterior en el

3.

vértice A es el triple de la

En la figura AB = 12 y AM = 7, calcular PQ

medida del ángulo C, además la mediatriz en

P.

interseca a Calcular

BP,

si

BC – AB = 9. A) 3 D) 4 2.

B) 6 E) 5 Él

A) 4 D) 5

C) 9 4.

triángulo

ABC

Si

la

suma

de

,

A) 3 D) 6

las

distancias de P a los lados congruentes. A) 5 D) 10

66

B) 6 E) 15

C) 8

un

la

triángulo

mediatriz

interseca a PC.

trazada desde C mide 10. si P es

calcular

En

C) 6

ABC,

m∢A=105º, m∢C=25º y AB = 9.

es

isósceles, AB=BC y la altura

un punto cualquiera del lado

B) 2 E) 3

5.

B) 4 E) 7

de

en P, calcular

C) 5

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se sabe que AC=10 y

Geometría


QUINTO AÑO

m∢C=26,5º. calcular medida de la altura BH. A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

A)

la

C) 5

B)

3 D)

E)

3 2

4

8.

6

En

un

C) 6

triángulo

ABC,

AB=6 y AC=9. Por B se traza 6.

A) 75º D) 45º 7.

perpendicular

En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior del ángulo agudo mayor a la mediatriz de la hipotenusa se intersecan en un punto sobre el cateto mayor. Calcular la medida de uno de los ángulos agudos. B) 60º E) 37º

C) 53º

medida del ángulo exterior en A es el triple de la mediatriz de en

C. La

interseca a Q

tal

que:

QC = 3 2 , calcular AB.

Geometria

la

. Si N

es el punto medio de

,

calcular PN.

9.

En un triángulo ABC, la

medida del ángulo

bisectriz interior

a

A)

B)

C)

2,5 D)

1 E)

3,5

2

1,5

En un triángulo ABC se traza la mediana tal que la m∢ABM=50º y m∢MBC=65º. Si AB=18, calcular BM. A) 6 D) 12

B) 8 E)

C) 9

6 3

67


QUINTO Aテ前

10.

Si AE = EF, DE = 4 y es bisectriz calcular AC.

del

A) 4 D)

竏「ACB,

8 2

B) 6 E) 12

C) 8

CLAVES

68

1.

C

6.

B

2.

D

7.

D

3.

D

8.

E

4.

D

9.

C

5.

B

10.

C

Geometrテュa


QUINTO AÑO

TEMA: POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS POLÍGONO Definición Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos o coplanares, tal que el extremo del primero coincide con el extremo del último; ningún par de segmentos, se intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos consecutivos nos sean colineales.

Elementos Vértices Lados

: :

A, B, C, D,... , , , ,...

m ∢ internos

:

α, β, φ,...

m ∢ externos Diagonales Diagonales medias

: : :

x, y, z,... , , , ,

,... ,...

Polígono Convexo Es cuando tienen todos sus ángulos internos convexos, es decir, mayores que cero y menores que 180º.

Geometria

69


QUINTO AÑO

Clasificación de los Polígonos Convexos 1. Polígono Equiángulo Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes

2. Polígono Equilátero Cuando tienen todos su lados congruentes

3. Polígono Regular Cuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados congruentes

Polígonos No Convexos Cuando tienen uno más ángulos internos no convexos es decir mayores que 180º y menores que 360º.

Denominación de los Polígonos

70

Geometría


QUINTO AÑO

Triángulo.............................................................3 lados Cuadrilátero.......................................................4 lados Pentágono............................................................5 lados Hexágono............................................................6 lados Heptágono...........................................................7 lados Octógono.............................................................8 lados Nonágono o eneágono.......................................9 lados Decágono...........................................................10 lados Endecágono o Undecágono.............................11 lados Dodecágono.......................................................12 lados Pentadecágono.................................................15 lados Icoságono.........................................................20 lados Enégono................................................................n lados Propiedad para todo Polígono Convexo Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que: 1. Suma de las medidas de sus ángulos internos: . Sm∢i = 180 (n – 2) . 2. Suma de las medidas de sus ángulos externos: . Sm∢i = 360 . 3. Diagonales trazadas desde un solo vértice: . Di = (n – 3) . 4. Número total de diagonales: . DT =

n ( n − 3) . 2

5. Número total de diagonales medias: . Dm =

n (n − 1 ) . 2

6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos

Geometria

71


QUINTO AÑO

. Dv = vn −

(v + 1)(v + 2) 2

.

En Polígonos Regulares y Equiángulos 7. Medida de un ángulo interno: . i =

180( n − 2) . n

8. Medida de un ángulo exterior: . e =

360 . n

CUADRILÁTERO Definición Es un polígono de 4 lados.

. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 . Clasificación General

Clasificación de los Cuadriláteros Convexos 1. Trapezoide 69

72

Geometría


QUINTO Aテ前

Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos

2. Trapecios Tienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados lados no paralelos

Propiedad del Trapecio - Mediana de un trapecio

. x = -

a +b . 2

Segmento que une los puntos medios de las diagonales

Geometria

73


QUINTO AÑO

. x =

b −a . 2

3. Paralelogramos Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.

Propiedades Generales 1.

2.

74

. x =

θ +φ . 2

. x =

θ −φ . 2

Geometría


QUINTO AÑO

3. // PQ = RS

4.

5.

En trapecios isósceles

6.

En triángulos

7.

En trapecios

Geometria

. x =

a +b . 2

. x =

b −a . 2

. y =

b +a . 2

75


QUINTO AÑO

8.

Segmento que une los puntos medios de las bases

Si: α + β = 90º 9.

:. x =

b −a . 2

En paralelogramos . x=b–a .

10.

En paralelogramos

a +d b +c a +b +c +d = = . 2 2 4 PROBLEMAS PARA LA CLASE . x =

76

Geometría


QUINTO AÑO

1.

Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo donde el cociente de su total de diagonales y su número de lados es “0” Rpta.

2.

5.

¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo si al quitarle un lado su total de diagonales disminuye en 7? Rpta.

6.

¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo número de diagonales es igual al triple de su número de vértices?

En un cuadrado ABCD, se construye interiormente el triángulo equilátero AED, calcular m∢AEB. Rpta.

Rpta. 3.

Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono regular si:

7.

Rpta.

Rpta.

¿Cuántos lados tiene aquel polígono regular, si la suma de las medidas de sus ángulos internos es 15/2 de la medida de un ángulo externo? Rpta.

Geometria

En un rombo ABCD, AB =

m∢A = 53º. ¿Cuánto mide la altura relativa a ?

9m∢ext=5DT.

4.

5;

8.

Calcular “x”, si

//

Rpta.

77


QUINTO AÑO

9.

En la figura calcular AD, si

//

Rpta. Rpta.

10.

Si ABCD es un romboide

13.

¿Cuánto mide el ángulo que forman las diagonales de

y AB=18. Calcular “x”

un trapecio isósceles, si una diagonal mide la suma de las medidas de las bases? Rpta.

Rpta. 11.

Si ABCD es un romboide.

14.

En la figura, calcular AC.

Calcular “x”

Rpta. 12.

78

Rpta.

En la figura, calcular AE. Geometría


QUINTO AÑO

15.

Calcular la distancia entre los puntos medios de y , si // .

Rpta.

SATÉLITE DE COMUNICACIONES SYNCOM

El satélite de comunicaciones Syncom 4 fue lanzado desde la lanzadera espacial Discovery. Los satélites de comunicaciones modernos reciben señales de la Tierra, las amplifican y las retransmiten, suministrando datos por redes de televisión, telefax, teléfono, radio y redes digitales por todo el mundo. El Syncom 4 sigue una órbita geoestacionaria (es decir, gira al mismo tiempo que la Tierra, manteniendo una posición aproximadamente constante sobre la superficie). Este tipo de órbita permite la comunicación ininterrumpida entre estaciones terrestres.

Geometria

79


QUINTO AÑO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

Si la medida del ángulo externo regular

de es

un “k”

es igual a 1/3 de la diferencia entre su perímetro y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos internos. Calcular dicho perímetro.

polígono veces

el

interior. Calcular “k” (k ∈ Z). A) 1 y 3 D) 2 y 3 2.

B) 1 y 2 E) 2 y 4

¿Cuántos

lados

C) 1 y 4

A) 70 D) 73

B) 71 E) 74

C) 72

tiene

aquel polígono equiángulo, si la suma de las medidas de 7

5.

En el gráfico, calcular “x”

ángulos internos es 1134? A) 20 D) 35

B) 25 E) 40

C) 30 A) 75º D) 60º

3.

¿Cuántas diagonales medias tiene? A) 100 D) 170

80

C) 90º

Es un polígono regular ABCDE.... la m∢ACE = 144.

4.

B) 72º E) 54º

B) 150 E) 190

C) 160

Si el número total de diagonales de un polígono regular

6.

En

un

trapecio

ABCD;

m∢A=m∢B=90; las bisectrices interiores de los ángulos C y D se intersecan en P. Calcular AB, si la distancia desde el punto P a es 4. A) 6 D) 12

B) 8 E) 16

C) 10

Geometría


QUINTO AÑO

7.

En un rombo ABCD, se traza ⊥

los puntos medios de .

, tal que AH = HD,

A) 2 D) 5

calcular m∢C. A) 30º D) 60º

8.

B) 45º E) 75º

C) 40º

10.

C) 4

En la figura el lado del cuadrado ABCD es 2, calcular PB.

En un trapecio ABCD se sabe que: mB = 2mD; BC = 4; AB = 5. calcular la medida de la base mayor . A) 6 D) 9

B) 7 E) 10

C) 8 A) 3 −1

9.

B) 3 E) 2 3

y

En un romboide ABCD se traza la bisectriz (M en ). Si AB = 6, calcular la medida del segmento que une

Geometria

C) 3 +1

B) 4 −2 3

D) 2 3 −2

E) 2− 2

81


QUINTO Aテ前

CLAVES

82

1.

A

6.

A

2.

A

7.

D

3.

A

8.

D

4.

A

9.

B

5.

A

10.

B

Geometrテュa


QUINTO AÑO

ÍNDICE PÁG.

SEGMENTOS.................................................................................................................. ..................................................................................................................................... 7

ÁNGULOS....................................................................................................................... ................................................................................................................................... 14

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS....................................................................................... ................................................................................................................................... 24

TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS.................................................................... ................................................................................................................................... 33

TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES...................................................... ................................................................................................................................... 45

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.................................................................................. ................................................................................................................................... 58

Geometria

83 80


QUINTO AÑO

POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS................................................................................... ................................................................................................................................... 67

80

84

Geometría

Geometría I  

Contiene los temas de segmentos, ángulos y triángulos

Geometría I  

Contiene los temas de segmentos, ángulos y triángulos

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