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Interpolacion


APROXIMACIÓN DE FUNCIONES DISCRETAS FUNCIÓN DE INTERPOLACIÓN Será una función que pasará exactamente por los puntos que optendremos como datos, tal y como se representa en la siguiente gráfica:

P(x) P2 P4 P1 P3

a

b

Este tipo de funciones se utilizan en temas relacionados con el control, debido a que minimizo el error en un punto concreto (error mínimo puntual).


INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Queremos optener una función P(x) que pase por los puntos que tenemos. Pn(xi) = yi En un principio , nos centraremos en allar una función de primer grado: P1(x) P1(x) = a0 +a1x y0 = a0 +a1x0 y1 = a0 + a1x1 ⇒ a0 = ( y1- a0) / x1 a1 = ( y1-y0) / (x1-x0) P1(x) = (x-x1)y0/(x0-x1) – (x-x0)y1/(x1-x0) ⇒ P1(x) = L0y0 + L1y1 Polinomio de 1º de Lagrange Generalizando dicha función para un grado ‘n’ obtendríamos lo siguiente:

Sopa de Letras


n

Pn(x) = Σ Li(x) yi i=0 n

Li(x) = Π (x-xj) / (xi-xj) j=0 j≠i

⇓ POLINOMIO DE LAGRANGE

Sopa de Sopa Letrasde Letras


EJEMPLO 1: i xi F(xi) = yi

0 2 0.69315

1 2.5 0.91629

Realizando el cรกlculo para: RESULTADO = 0.8319324

2 3 1.09861

X = 2.3

EJEMPLO 2: i xi F(xi) = yi

0 0 1.00000

1 0.1 1.10517

Realizando el cรกlculo para: RESULTADO = 1.15025136

2 0.3 1.34986 X = 0.14

3 0.6 1.82212


Sopa de Letras

Resultado Semana Pasada


El intervalo [a,b] contiene todos los ordenados Xi ,además, la f(x) y todas sus derivadas hasta (n+1) son sus continuas. El error cometido al reemplazar f(x) por P(x) de grado n para cualquier valor X en [a,b]. |f(x) – Pn(x)| ≤ (x-x0)(x-x1)... (x-xn)f(n+1)(ξ)/(n+1)! Tomando ξ como el caso más desfavorable. ( ξ ∈ [a,b] ) Siguiendo con el EJEMPLO 1 ,el calculo del error se realizaría del siguiente modo: |lnx – P2(x)| = (x-2)(x-2.5)(x-3) f ’’’(ξ) / 3! X = 2.3 ⇒ |lnx – P2(x)| = (2.3-2)(2.3-2.5)(2.3-3) 2 / ξ3 3! = = 0.00175 Teniendo en cuenta que el peor caso es : x0= 2 ( x ∈ [a,b] )



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