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Misael Hernández; Ricardo Alejos Fundamentos de Sistemas de Comunicación

Tarea 01 Conversión de señales analógicas en digitales específicos a los que se hace referencia en el enunciado:

Ejercicio 1 Enunciado

(niveles de (bits (taza de cuantificación) necesarios para envío de bits representarlos) en )

1. Calcule cuántos bits se requieren para representar , , , , , niveles de cuantificación. 2. Si la frecuencia de muestreo , calcule la tasa de bit ( ) de un sistema con y otro con niveles de cuantificación. 3. ¿Qué conviene hacer, en general, cuando la cantidad de bits que se obtiene con la fórmula no es un entero?

Parte 3 Se tiene que hacer un redondeo hacia arriba como se indicó en la respuesta de la parte 1. Esto porque no existen las fracciones de bit.

Solución

Ejercicio 2

Parte 1 Para una señal con niveles de cuantificación en bits se sigue la siguiente regla: (

Enunciado Calcule cuántos niveles de cuantificación se tienen si tenemos , , , o bits para representar los niveles.

)

( ) la función de redondeo hacia Siendo arriba de un número con decimales . De modo que para los casos expuestos en el enunciado del ejercicio tendremos: niveles cuantificación

de

Solución Si con bits se logran representar niveles de cuantificación, entonces para cada uno de los casos mencionados en el enunciado del ejercicio se necesitan:

bits necesarios para representarlos

bits a disposición

Parte 2 Una frecuencia de muestreo nos indica cuántas muestras se están tomando por segundo de la señal en cuestión. Si cada muestra está codificada con bits, entonces la taza de bits por segundo a la que debe transmitirse es . Para los casos 1

nuestra

niveles cuantificación representables

de


Misael Hernández; Ricardo Alejos Fundamentos de Sistemas de Comunicación

Ejercicio 3 Enunciado Calcule cuál sería el SNR si en un disco compacto se utilizaran , , , , , o bits por muestra.

Ejercicio 5

Solución

Enunciado

El SNR (Signal-Noise Ratio) es una medida del ruido en una señal. En el caso del ruido inducido por conversión de análogo a digital (donde el intervalo de cuantificación de las muestras es el mismo para todos los niveles) el SNR para bits por muestra es: (

En un disco compacto se pueden almacenar minutos de música. Calcule la capacidad del disco en bits.

Solución El disco compacto estándar tiene 2 canales de audio (es estéreo); cada canal está codificado en 16 bits a una frecuencia de muestreo es de 44.1 kHz y puede almacenar hasta 45 minutos (es decir, 4500 segundos); lo anterior definido por los estándares mundialmente definidos para los CD. Por lo tanto, la capacidad total del disco compacto es:

)

De modo que para cada caso expuesto en el enunciado del ejercicio: (bits por muestra)

(Relación Señal a Ruido en decibeles)

Ejercicio 4

Ejercicio 6

Enunciado

Enunciado Utilizando el código de Octave que se muestra al final del tutorial acerca de la conversión de señales analógicas en digitales, reproduzca las figuras 1 a 4. Cambie el valor de a , , , , y observe cómo cambia la resta de las señales PAM con y sin cuantificación. Cambie la amplitud de la señal a 5, 10, 20 y observe el efecto sobre la resta de PAM con y sin cuantificación.

Calcule la tasa de bit requerida para producir audio en tiempo real utilizando un disco compacto. Calcule la tasa de bit si se utilizaran , , bits por muestra.

Solución La frecuencia típica de muestreo utilizado en un disco compacto es . Y tal como hicimos en la parte 2 del ejercicio 1, recordando que la taza de bits es , la taza de bits que le corresponde a cada relación de bits por muestra del enunciado son: (bits por muestra)

Solución

(Taza de transmisión en bits por segundo) 2


Misael Hernández; Ricardo Alejos Fundamentos de Sistemas de Comunicación Parte 1 Gráfica para dos niveles de cuantificación.

Parte 2 Gráficas para 16 niveles de cuantificación.

Señal analógica

Señal analógica 1 Amplitud

Amplitud

1

0

-1

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Señal muestreada Sample&Hold

-1

1

0

0

0.2

0.4 0.6 t [seg] Señal cuantificada

0.8

Amplitud

Amplitud

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Diferencia entre las dos anteriores

1

0

0.2

0.8

1

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Diferencia entre las dos anteriores

1

0.4 0.6 t [seg] Señal cuantificada

0

-1

1

0.1 Amplitud

0.5 Amplitud

0.4 0.6 0.8 t [seg] Señal muestreada Sample&Hold

1

0

0

-0.5

0.2

0

-1

1

0.5

-0.5

0

1 Amplitud

Amplitud

1

-1

0

0

0.2

0.4 0.6 t [seg]

0.8

0

-0.1

1

3

0

0.2

0.4 0.6 t [seg]

0.8

1


Misael Hernández; Ricardo Alejos Fundamentos de Sistemas de Comunicación Parte 3 Gráficas para 32 niveles de cuantificación.

Parte 4 Gráficas para 128 niveles de cuantificación.

Señal analógica

Señal analógica 1 Amplitud

Amplitud

1

0

-1

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Señal muestreada Sample&Hold

-1

1

0

0

0.2

0.4 0.6 t [seg] Señal cuantificada

0.8

Amplitud

Amplitud

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Diferencia entre las dos anteriores

1

0

0.2

1

0

0.2

0.4 0.6 t [seg] Señal cuantificada

0.8

0

-1

1

0.4 0.6 0.8 t [seg] Diferencia entre las dos anteriores

1

0.01 Amplitud

0.05 Amplitud

0.4 0.6 0.8 t [seg] Señal muestreada Sample&Hold

1

0

0

-0.05

0.2

0

-1

1

1

-1

0

1 Amplitud

Amplitud

1

-1

0

0

0.2

0.4 0.6 t [seg]

0.8

0

-0.01

1

4

0

0.2

0.4 0.6 t [seg]

0.8

1


Misael Hernández; Ricardo Alejos Fundamentos de Sistemas de Comunicación Parte 6 Gráficas para 128 niveles de cuantificación y una amplitud de 5.

Parte 5 Gráficas para 256 niveles de cuantificación.

Señal analógica Señal analógica 5 Amplitud

Amplitud

1

0

-1

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Señal muestreada Sample&Hold

1

0

-5

0

0.4 0.6 0.8 t [seg] Señal muestreada Sample&Hold

1

0

0.2

0.8

1

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Diferencia entre las dos anteriores

1

5 Amplitud

Amplitud

1

0.2

0

-1

0

0.2

0.4 0.6 t [seg] Señal cuantificada

0.8

1

0

-5

5 Amplitud

Amplitud

1

0

-1

0

0.2

-3

5

x 10

0.4 0.6 0.8 t [seg] Diferencia entre las dos anteriores

1

0

-5

0.05 Amplitud

Amplitud

0.4 0.6 t [seg] Señal cuantificada

0

-5

0

0.2

0.4 0.6 t [seg]

0.8

1

0

-0.05

Observe cómo es que la diferencia entre la señal cuantificada y la señal muestreada se va haciendo cada vez más pequeña conforme aumentamos el número de niveles de cuantificación.

5

0

0.2

0.4 0.6 t [seg]

0.8

1


Misael Hernández; Ricardo Alejos Fundamentos de Sistemas de Comunicación Parte 7 Gráficas para 128 niveles de cuantificación y una amplitud de 10.

Parte 8 Gráficas para 128 niveles de cuantificación y una amplitud de 20.

Señal analógica

Señal analógica 20 Amplitud

Amplitud

10

0

-10

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Señal muestreada Sample&Hold

-20

1

0

0

0.2

0.4 0.6 t [seg] Señal cuantificada

0.8

Amplitud

Amplitud

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Diferencia entre las dos anteriores

1

0

0.2

0.8

1

0

0.2

0.4 0.6 0.8 t [seg] Diferencia entre las dos anteriores

1

0.4 0.6 t [seg] Señal cuantificada

0

-20

1

0.2 Amplitud

0.1 Amplitud

0.4 0.6 0.8 t [seg] Señal muestreada Sample&Hold

20

0

0

-0.1

0.2

0

-20

1

10

-10

0

20 Amplitud

Amplitud

10

-10

0

0

0.2

0.4 0.6 t [seg]

0.8

0

-0.2

1

0

0.2

0.4 0.6 t [seg]

0.8

1

Note que la diferencia entre la señal muestreada y la señal cuantificada aumenta conforme aumenta la amplitud de la señal anal

6


Misael Hernández; Ricardo Alejos Fundamentos de Sistemas de Comunicación SNR=[0,0,0,0,0];

Ejercicio 7

% COMENZAR CICLO for j=1:5 % Señal parecida a la analógica Ts = 1/1000; t = 0:Ts:1; x = Av(j)*cos(2*pi*t*10); % Señal con muestreo 19 veces más lento tm = t(1:19:end); xm = Av(j)*cos(2*pi*tm*10); % Señal muestreada con Sample&Hold ts = 19; xs = zeros(1,length(t)); for i=1:length(t) if( rem(i,ts)==1 ) tmp = x(i); end xs(i) = tmp; end % Cuantificación M = Mv(j); int = (max(xs)-min(xs))/M; m = (min(xs)+int/2):int:(max(xs)int/2); xq = zeros(1,length(t)); for i=1:length(t) [tmp k] = min(abs(xs(i)-m)); xq(i) = m(k); end % Diferencia xd = xs - xq;

Enunciado Utilizando el código del ejemplo 1 del tutorial de conversión de señales analógicas en digitales, y una simulación con duración de un segundo, calcule el SNR en niveles para 4, 8, 10, 12 y 16 bits por muestra, utilizando Octave/Matlab. Compare en una tabla el valor obtenido en simulación con el valor teórico.

Solución bits muestra

por SNR (dB)

calculado SNR medido (dB)

Note que existe una ligera diferencia provocada por el método utilizado para aproximar la cantidad de potencia en el código (integración numérica por trapecios).

Anexos Programa utilizado para ejercicios 6 y 7

%GRÁFICAS figure('Units','characters','Position', [60 -10 75 75]); subplot(4,1,1); plot(t,x) title('Señal analógica') xlabel('t [seg]') ylabel('Amplitud') subplot(4,1,2); plot(t,xs) title('Señal muestreada Sample&Hold') xlabel('t [seg]') ylabel('Amplitud') subplot(4,1,3); plot(t,xq) title('Señal cuantificada') xlabel('t [seg]') ylabel('Amplitud') subplot(4,1,4); plot(t,xd)

El siguiente script está escrito en lenguaje MatLab/Octave. Para utilizarlo hay que pegarlo en un archivo con extensión “.m” y ejecutarlo. Es necesario inicializar las variables “Av” y “Mv” para obtener los diferentes casos pedidos en los ejercicios mencionados. % BORRAR SÍMBOLOS Y CERRAR TODO clear all; close all; % INICIALIZACIÓN DE VARIABLES % Amplitudes de la señal (5) Av=[1,1,1,1,1]; % Niveles de cuantificación (5) Mv=[16,256,1024,4096,65536]; % SNR práctico de cada caso (inicializar en ceros)

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Misael Hernández; Ricardo Alejos Fundamentos de Sistemas de Comunicación title('Diferencia entre las dos anteriores') xlabel('t [seg]') ylabel('Amplitud') %CÁLCULO DE SNR Px=trapz(t,x.^2); R=2*max(x); Pq=(R^2)/(12*M^2); SNR(j)=10*log10(Px/Pq); end %Expresión para imprimir el vector SNR SNR

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Tarea 1  

Sobre el proceso de conversión de señales analógicas a digitales. Contiene algunos ejercicios para calcular SNR, niveles de cuantificación y...

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