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Ricardo Alejos Cálculo Tensorial

Tarea 05 Ejercicio 1

Solución

Enunciado

El tensor se puede escribir ̂ ̂ y podemos obtener sus valores propios con la expresión:

Sea el tensor que proyecta los vectores sobre el eje . Considerando el significado geométrico de la acción de este tensor, halle sus valores propios y sus vectores propios.

(

)( ⃗)

)( ⃗)

[

⃗⃗

Así entonces: ( [

(

][

]

]

)

[ ] Sujeto a: |

| |

| (

Solución Todo vector sobre el eje es transformado al vector cero, y entonces su valor propio correspondiente será .

La ecuación anterior tiene dos respuestas posibles, que son los valores propios del tensor en cuestión:

Note además que todo vector sobre el eje será proyectado sobre sí mismo al aplicarle el tensor , como estos vectores son transformados en sí mismos, el valor propio correspondiente es .

Dado que cada raíz es única, ambas tienen multiplicidad algebraica de 1.

Ambos valores propios tienen una multiplicidad geométrica y algebraica de 1.

Para (

Ejercicio 2

)( ⃗) [ (

Enunciado

)( ⃗)

( ) )

[ ] ]

[ ]

Vuelva a encontrar los valores propios y vectores propios del tensor del problema anterior, pero ahora utilice el método que recurre a la ecuación de valores propios: (

)

̂

Por lo tanto, el valor propio aplica para todos los vectores cuya dirección sea la del vector unitario ̂

⃗⃗

1


Ricardo Alejos Cálculo Tensorial Una vez realizados los cálculos, correspondientes, podemos escribir el tensor en su representación matricial:

(vectores sobre el eje ) y así se comprueba que la multiplicidad geométrica es 1 para este valor propio. Ahora, para (

)( ⃗) [ ( [

( )

[

[ ] [

]

)

] ]

De modo que la ecuación para los valores propios es:

]

| ⃗

̂

| |

Así bien, de forma similar al primer valor propio, también tiene multiplicidad geométrica unitaria, ya que es aplicable a todos los vectores en la dirección ̂ (vectores sobre el eje ).

|

Así entonces encontramos que los valores propios son y . Ambos con multiplicidad algebraica unitaria. Siendo

Ejercicio 3

(

Enunciado Sea el tensor que refleja los vectores respecto a la recta . Encuentre los valores y vectores propios del tensor , utilizando, como en el problema anterior, la ecuación de valores propios.

)( ⃗)

[

[

][

]

]

[ ] Para (

)( ⃗) [

( ) ( )

[ ⃗

[ ] ]

] ̂

̂

Por lo tanto, los vectores propios correspondientes al valor propio son todos los que tienen ambas componentes iguales. Por lo tanto el valor propio tiene multiplicidad geométrica unitaria (todos los vectores propios están sobre una línea recta)

Solución Encontremos primero las componentes del tensor . Dichas componentes se pueden encontrar con la expresión

Para ̂

( ̂) (

2

)( ⃗)

[ ]


Ricardo Alejos Cálculo Tensorial [

(

) (

[

Tras manipular la expresión anterior de forma algebraica, primero expandiéndola y después factorizando con los factores comunes ( ) se llega a la expresión que comprueba la veracidad de lo escrito en el enunciado.

]

) ]

̂

̂

Así entonces, los vectores propios correspondientes a son aquellos que tienen componentes semejantes, sólo invertidas por el signo. Al igual que el valor propio anterior, tiene multiplicidad geométrica unitaria.

Ejercicio 5 Enunciado Demuestre que el coeficiente anterior puede escribirse como [ ( )

Ejercicio 4

del problema

(

)]

Enunciado

Solución

Demuestre que la ecuación característica para un tensor cualquiera (en el espacio tridimensional) puede escribirse como

Primero calculemos cada término de la expresión indicada en el enunciado. ( ) ( )

(

)

Donde ( ) |

||

Elevar un tensor al cuadrado equivale a multiplicarlo por sí mismo una vez, de modo que: ||

|

[ ] Así entonces, la traza de un tensor al cuadrado es:

Solución La ecuación característica es: |

(

)

(

)

|

(

|

|

(

Al utilizar los resultados anteriores, obtenemos:

)

[ ( )

Dónde: (

)( (

) ) (

)

)

3

(

)]


Ricardo Alejos Cálculo Tensorial

Ejercicio 6

Ejercicio 8

Enunciado

Enunciado

Si es la matriz de cambio de base cartesiana, demuestre que .

Obtenga la misma fórmula solicitada en el problema anterior, pero ahora partiendo de , y tratando de “despejar” las componentes no primadas.

Solución Solución

Primero transponemos los índices de , y para no alterar el resultado, también transponemos el resultado (recordemos que ( ) ): (

)

[

][

]

[ [

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación dada en el enunciado por obtenemos:

]

Por lo tanto,

]

Ejercicio 9

Ejercicio 7

Enunciado

Enunciado

Similarmente, obtenga a partir de la relación una fórmula que dé las coordenadas de las componentes del tensor de la base antigua ( ) en términos de las componentes de la base nueva ( ).

Siguiendo un proceso análogo al que nos llevó en clase a la fórmula de transformación de componentes de un vector , obtenga la fórmula correspondiente que nos da las componentes del vector de la base antigua ( ) en términos de las componentes de la base nueva ( ).

Solución Si multiplicamos ambos lados de la igualdad dada en el enunciado por obtenemos:

Solución ⃗ ̂ (

̂ ̂ )

Renombrando los índices ( ), obtenemos finalmente:

4


Ricardo Alejos C谩lculo Tensorial

Ejercicio 10 Enunciado Escriba la f贸rmula de transformaci贸n para las componentes de un tensor de rango.

Soluci贸n

5


Tarea 5