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ETNOMATEMÁTICA Etnomatemática de Pueblos Originarios Peruanos. El quipu

Martha R. VILLAVICENCIO UBILLÚS Especialista DESP

Noviembre, 2007

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Índice

PRESENTACIÓN

Página

UNIDAD 1: Etnomatemática de pueblos originarios peruanos. El quipu Presentación ¿Qué aprenderemos en esta Unidad? ¿Cómo aprenderemos?

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1. Concepto de Etnomatemática 2. Elementos de la Etnomatemática de pueblos originarios Peruanos. El quipu 2.1. El quipu preincaico 2.2. El quipu incaico 2.3. Quipus modernos

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Una vista panorámica Autoevaluación ¡A la práctica! Clave de respuestas Para aprender más…

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Presentación Esta primera Unidad es parte del texto autoinstructivo que permite a los docentes estudiantes a partir de un concepto de etnomatemática de perspectiva amplia acceder al conocimiento crítico y reflexivo de las etnomatemáticas de diferentes grupos socioculturales, en particular de las de poblaciones originarias andinas y amazónicas. Se orienta a capacitar a los docentes estudiantes para diseñar proyectos autogestionados, que mediante una acción tutorial eficiente y eficaz con enfoque intercultural y perspectiva investigadora, permitan a los alumnos a su cargo conocer la etnomatemática de su comunidad, estimulando en ellos el desarrollo de las capacidades de resolución de problemas, razonamiento y demostración, comunicación, representaciones y conexiones matemáticas. Asimismo, posibilita a los docentes estudiantes desarrollar su labor pedagógica de modo que integren la etnomatemática propia en los contenidos de aprendizaje del área de Matemática, en el marco del proceso de diversificación curricular. En concordancia con los objetivos del Programa, en las diferentes unidades del texto autoinstructivo, se vincula al docente con su práctica de modo que en el marco de la categoría conceptual de etnomatemática asumida conjuntamente, y a partir de un sustento teórico basado en los avances de la Didáctica de la Matemática, y con un enfoque intercultural, pueda mejorar su desempeño, y por ende el nivel de los aprendizajes de los estudiantes que están bajo su responsabilidad. Dado el compromiso de los docentes estudiantes del Programa de Postgrado en Didáctica de Matemática en Educación Básica Regular, estamos seguros que tomarán las previsiones del caso organizando su tiempo con antelación para realizar sistemáticamente las actividades que se proponen, a fin de que puedan lograr los aprendizajes previstos en el curso de “Etnomatemática”. En esta oportunidad, invitamos a ustedes a estudiar la primera unidad, que consta de una sesión de aprendizaje. Les deseamos mucho éxito, pues el desarrollo profesional de los docentes redundará en beneficio de los alumnos de Educación Básica Regular, de la educación peruana y por ende del desarrollo de nuestro país!

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UNIDAD I

Etnomatemรกtica de pueblos originarios peruanos. El quipu

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Etnomatemática de pueblos originarios peruanos. El quipu

PREPARACIÓN DEL APRENDIZAJE

¿Qué entiende por Etnomatemática? ¿Hay diversidad de etnomatemáticas?, explique su respuesta

¿Conoce la etnomatemática de la comunidad de los estudiantes con quienes trabaja? Describa lo que conoce al respecto.

¿Qué conoce respecto a la etnomatemática de pueblos originarios peruanos? Explique su respuesta

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- RECUERDA Y REFLEXIONA:

Desde 1985 la etnomatemática ha adquirido importancia en el mundo académico, particularmente en países como el nuestro que se caracterizan por su realidad pluricultural. Evidencia de ello es la existencia del ISGEm (Grupo Internacional de Estudio de Etnomatemática), integrado por investigadores de diversos países. Asimismo, la Etnomatemática es enseñada y practicada en algunos ambientes académicos; por ejemplo en la Universidad de Granada, en la que se realizó el Primer Congreso Internacional de Etnomatemática, tiene dos cursos en el Doctorado de Didáctica de Matemática denominados: "Modelos para Investigación en Etnomatemática. Formación de Profesores y Currículo". En Perú, si bien a inicios de la década de los 80 no hemos utilizado el término ertnomatemática; sin embargo cabe mencionar la investigación: “Numeración, algoritmos y aplicación de relaciones numéricas en comunidades rurales de Puno” 1 , estudio sobre la etnomatemática de 17 comunidades altiplánicas, 10 quechuas y 7 aimaras, que constituyó un importante referente e insumo para implementar la propuesta pedagógica de matemática en el marco del Proyecto Experimental de Educación Bilingüe-Puno. Por otro lado, si aceptamos como premisa que todo grupo sociocultural identificable tiene sus propias prácticas matemáticas, en particular los pueblos originarios, a fin de partir de bases sólidas que aseguren el éxito en el aprendizaje de matemática de los estudiantes y el reforzamiento de su autoestima, es necesario que todo docente de matemática conozca la etnomatemática de la matriz cultural de la comunidad a la que pertenecen los educandos con quienes trabaja. De allí la importancia de la etnomatemática en el currículo del área de matemática de EBR.

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Villavicencio, Martha y otros. Numeración, algoritmos y relaciones numéricas en comunidades rurales de Puno. Documento impreso y publicado por el Ministerio de Educación INIDE DDE-Puno. Lima-Puno, diciembre 1983.

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¿QUÉ APRENDEREMOS EN ESTA UNIDAD?

En la Unidad 1 de este curso analizaremos dos propuestas dominantes sobre el concepto de etnomatemática: la de los ASCHER y la de Ubiratan D’AMBROSIO. Luego del análisis de estas propuestas, asumiremos el concepto de etnomatemática que nos facilitará el desarrollo de una educación matemática con enfoque intercultural.

Posteriormente, utilizando el concepto de etnomatemática que hemos asumido iniciaremos el estudio de algunos elementos de la etnomatemática de pueblos originarios peruanos, empezando con el estudio del quipu, una de las producciones etnomatemáticas más importantes cuyos vestigios se remontan a la época preincaica.

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¿CÓMO APRENDEREMOS?

Desde el inicio del proceso de aprendizaje, a través de la lectura del contenido que se presenta, y de otras actividades que se propone para que realice el docente estudiante, el curso se vinculará con el contexto en que realiza su labor. Se orientará su trabajo a la reflexión permanente sobre su práctica, de modo que ello incida positivamente en el mejoramiento de su desempeño, y por lo tanto en el logro de aprendizajes de los alumnos de EBR a quienes atiende. Se estima que el tiempo necesario para esta sesión de aprendizaje es aproximadamente 32 horas. En este período de tiempo el docente estudiante realizará su autoevaluación y las actividades propuestas en la sección “A la práctica”.Asimismo, a fin de profundizar sus conocimientos, se recomienda consultar la bibliografía indicada e ingresar a los enlaces señalados de la red. Los recursos necesarios son: Cuaderno de autoaprendizaje y/o libro de texto de Matemática utilizado por los estudiantes de uno de los grados a cargo del docente.

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DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

1. CONCEPTO DE ETNOMATEMÁTICA

Pongámonos de acuerdo sobre lo que entendemos por t áti

Etnomatemática es una categoría conceptual que surgió en el marco del discurso sobre las relaciones entre matemática, educación, cultura y política. El concepto de etnomatemática propuesto y utilizado por Ubiratan D’AMBROSIO tiene una perspectiva amplia. Para D’AMBROSIO son particularmente importantes las relaciones entre Matemática y Sociedad. Sus ideas básicas que condujeron al programa de etnomatemática fueron expuestas en su ponencia “¿Por qué enseñar Matemáticas?”, en Karlsruhe, en 1976, en el Tercer Congreso Internacional de Educación Matemática, a través de la cual hizo una crítica con un enfoque sociocultural de la Matemática Occidental. En ese momento aún no se le había ocurrido el nombre de etnomatemática. Fue posteriormente cuando comenzó a usar la palabra etnomatemática. Esta le pareció adecuada después de conocer importantes trabajos de etnomusicología, de etnobotánica, de etnohistoria,. de etnosiquiatría y de etnometodología. Estas "etnodisciplinas" tienen mucho relación con el trabajo hecho por los antropólogos e innegablemente su trabajo inicial sobre etnomatemátlca estuvo muy cerca de la Antropología y Etnografía. El nombre fue explícitamente usado, en el más amplio sentido que le atribuye actualmente en el Quinto Congreso Internacional de Educación Matemática, en Adelaida, Australia, en 1984. El término etnomatemática fue acuñado por Ubiratan D'Ambrosio en 1985.

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Al respecto, D’Ambrosio dice “Es importante reconocer en la etnomatemática un programa de investigación que se desarrolla conjuntamente con una práctica escolar”2 Y utiliza como punto de partida su etimología: etno es hoy aceptado como algo muy amplio, referente al contexto cultural, y por tanto incluye consideraciones como lenguaje, jerga, códigos de comportamiento, mitos y símbolos; matema es una raíz difícil, que se puede traducir como explicar, conocer, entender; y tica, que sin duda viene de techne que es la misma raíz de arte y de técnica. …podríamos decir que “etnomatemática es el arte o técnica de explicar, conocer, entender en los diversos contextos culturales…entre esas variadas técnicas, habilidades y prácticas se encuentran aquellas que utilizan procesos de conteo, de medida, de clasificación, de orden y de inferencia…”3 D'AMBROSIO, fundador y teórico del programa de etnomatemática, señala que la creencia en la universalidad de las matemáticas puede limitar la consideración y reconocimiento de diferentes modos de pensamiento, modos radicalmente diferentes de contar, ordenar, clasificar, medir, inferir, estimar y modelar. Esto es, una vez que nosotros abandonamos nociones de universalidad general, la cual a menudo oculta particularidades eurocéntricas, podemos adquirir una sabiduría antropológica: Diferentes culturas pueden producir matemáticas diferentes y las matemáticas de una cultura puede cambiar en el tiempo, reflejando cambios en la cultura. En su sentido más amplio el prefijo "etno" puede referirse a cualquier grupo, ya sean sociedades nacionales, comunidades obreras, de tradiciones religiosas, clases profesionales, entre otros. Las prácticas matemáticas incluyen sistemas simbólicos, los diseños espaciales, técnicas de construcción práctica, métodos de cálculo, mediciones en tiempo y espacio, formas específicas de razonamiento e inferencia, y otras actividades cognoscitivas y materiales que pueden traducirse a representaciones de la matemática formal. De aquí, en consecuencia, diferentes grupos culturales -ingenieros industriales, niños, campesinos, científicos en computación, por ejemplo tienen distintos modos de razonar, de medir, de codificar, de clasificar, entre otros. Consecuentemente cada grupo tiene su propia Etnomatemática, incluyendo los matemáticos académicos.

D’AMBROSIO utiliza el término etnomatemática para describir las prácticas matemáticas de grupos culturales identificables.

D'AMBROSIO considera que “la matemática, como forma de conocimiento, está subordinada a la conducta general del ser humano. De allí que la matemática

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D’AMBROSIO Ubiratan. Etnomatemática. Editorial Atica. Sao Paolo, Brasil, 1990; p.5 D’AMBROSIO Ubiratan..Ibidem.p. 6

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resulta de la acumulación de respuestas de los individuos y las comunidades a las exigencias para sobrevivir y trascender .Esta acumulación de respuestas se estructura en cultura. En este proceso, las acciones individuales son el resultado de diferentes comportamientos: sensorial, intuitivo, instintivo, emocional y racional. Y los individuos interactúan a través de la comunicación, entendida en el amplio sentido. De este modo un cuerpo de conocimiento es generado, es intelectualmente y socialmente organizado, y es difundido. Yo intento entender el conocimiento, y en consecuencia las matemáticas, como el resultado de todas esas categorías" (1996). D'AMBROSIO señaló en el Octavo Congreso Internacional de Educación Matemática, realizado en Sevilla en 1 996, que

“un cuerpo de conocimientos resulta de un complejo de necesidades e intereses, de experiencias y memorias, de símbolos y representaciones. El proceso intangible del pensamiento imaginativo que subyace en la adquisición del conocimiento distingue la especie humana de otras criaturas vivientes. La pregunta de hombres y mujeres acerca de sí mismos y del otro, acerca de la naturaleza y el cosmos, les da su especial dignidad y el sentimiento de verdad. Los esfuerzos para presentar imágenes de verdad en formas que deleitan la mente y los sentidos del espectador da significado a la humanidad. Distorsiones en la presentación de estas imágenes conducen al rídiculo, a la arrogancia y arrogación de hegemonía. La Matemática Occidental no escapa de estas consideraciones. De esta manera, la Etnomatemática es también un programa en la Historia y Filosofia de la Matemática Occidental. ...La falta de reconocimiento del proceso de la dinámica cultural ha conducido a visiones distorsionadas de la historia. El punto decisivo fue, indudablemente, la expansión del Oeste a fines del siglo XV, que abrió las puertas a la empresa colonial”.

Para los esposos ASCHER:

La etnomatemática es "el estudio de las ideas matemáticas de los pueblos no letrados" 4

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POWELL, Arthur y FRANKENSTEIN, Marilyn. Ethnomathematics. State University of New York Press; p.26.

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Si bien los ASCHER reconocen que las ideas matemáticas existen en todas las culturas, señalan que esto no implica que, en las diferentes culturas las ideas matemáticas sean las mismas. El énfasis en ciertas ideas matemáticas, la forma cómo son expresadas, y sus contextos particulares es lo que varía de cultura a cultura. Ellos señalan que las diferencias, no obstante, no son la capacidad de pensar abstractamente o lógicamente. Tales diferencias radican en los objetos del pensamiento, en las premisas culturales y en las situaciones que originan tales procesos de pensamiento. El proyecto de los ASCHER tiene raíces antropológicas y matemáticas, y también consecuencias ideológicas. Ellos se proponen desafiar las nociones históricas y antropológicas acerca de las ideas matemáticas, que incluyen declaraciones perjudiciales en la literatura matemática concerniente al valor de las ideas de pueblos ágrafos no occidentales. Ellos señalan que la mayoría de los informes acerca de los pueblos ágrafos usualmente: (1) Están en los primeros capítulos en textos de historia de las matemáticas, y (2) Están teórica y realmente tachados. Según ellos, generalmente se piensa que los pueblos ágrafos son primitivos o que siempre están en el inicio del camino evolutivo de la humanidad, y como tales sus ideas son colocadas al inicio de las discusiones de matemáticas. En oposición a esto, Marcia y Robert ASCHER han demostrado que ciertas nociones de pueblos ágrafos son análogas y tan complejas como aquellas de las modernas matemáticas occidentales; ellos han ampliado la historia de las matemáticas imbuyéndola de una perspectiva multicultural, global. Desde una perspectiva que facilita la operativización de una educación matemática con enfoque intercultural, en adelante asumimos el siguiente concepto de etnomatemática.

Entendemos por etnomatemática el estudio de los conocimientos producidos o asimilados por un grupo sociocultural, vigentes en su propio contexto, que supone fundamentalmente los procesos de contar, medir, organizar el espacio y el tiempo, diseñar, estimar y explicar.

En nuestra concepción de etnomatemática de un grupo sociocultural, ésta es dinámica, es decir cambia a través del tiempo. En este sentido la etnomatemática de una comunidad identificable tiene su historia. De allí que se pueda hacer referencia por

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ejemplo a la etnomatemática Inca, que incluye los conocimientos matemáticos vigentes en la sociedad Inca durante el período del Imperio del Tahuantinsuyo; a la etnomatemática Maya, con su interesante y admirable sistema de numeración posicional vigesimal, etc., que indudablemente difieren de la etnomatemática de cada uno de los grupos socioculturales identificables en el siglo actual cuyas matrices culturales son originarias (quechuas, aimaras, quichuas, etc.).

º ¿Y qué entendemos por Matemática?

La Matemática, ciencia universal, puede ser entendida como un constructo humano cuyas raíces se remontan a la Antigua Grecia y que actualmente está constituida por un conjunto organizado de modelos y procedimientos de análisis, de cálculos, medida y estimación, acerca de relaciones necesarias entre diversos aspectos de la realidad.

2. Elementos de la etnomatemática de pueblos originarios peruanos. Basándonos en lo que establece el Convenio 169 de la OIT, nominamos pueblo indígena u originario a quienes: a) son descendientes de los pueblos que habitaban el país en la época de la Conquista; b) conservan, parcial o totalmente, sus propias instituciones y prácticas socioeconómicas, políticas y culturales; y c) se autoidentifican como pertenecientes a pueblos o culturas indígenas o precoloniales.

Conocemos por la historia que la desestructuración del Imperio de los Incas empezó con la conquista de los españoles y que con la desaparición de los sabios de entonces, entre ellos los quipucamayos, también desapareció gran parte de la sabiduría acumulada. Sin

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embargo los pueblos originarios, descendientes de los pobladores de las tierras del Imperio, mediante la tradición oral, han ido transmitiendo y/o desarrollando de generación en generación parte de la etnomatemática de sus ancestros de la época del Incanato. Las etnomatemáticas de las diferentes sociedades originarias identificables hoy en el Perú, Bolivia y Ecuador no son ya necesariamente las mismas que las de sus antecesores del siglo XVI; sin embargo las etnomatemáticas de tales pueblos originarios aún en el siglo actual tienen raíces culturales propias que es necesario conocer, rescatar, desarrollar y potenciar a través de la educación matemática. Dada la peculiaridad de las características de los pueblos peruanos cuya matriz cultural es originaria, priorizaremos el estudio de sus etnomatemáticas. En esta Unidad abordaremos el estudio del quipu, y posteriormente la yupana y otros elementos de las etnomatemáticas de nuestros pueblos originarios.

El quipu

¿Cuál es el origen del quipu?

Andrés Altieri nos dice que las cuerdas de nudos, como sucedáneos de la escritura y como instrumentos mnemónicos, han sido utilizadas en “una vasta área que va desde Asia a América, pasando por las islas del Pacífico. En América se ha notado la presencia de estas cuerdas anudadas, entre los Araucanos (Chile), Araucos (Brasil), Pueblos y Nahuas (México), entre los Puruhuas (Ecuador) antes de entrar en contacto con los Incas y en la Columbia Británica 5 . Según el mismo Altieri, el quipu usado en el Perú fue sin duda alguna originario de la zona costeña peruana, dado que todos los quipus antigüos existentes han sido hallados en esta región del litoral. Los conquistadores incas que llegaron a conocer las culturas que florecían en la costa, transportaron en época tardía, no antes de las últimas dinastías cusqueñas, este sistema de anotación a la sierra y lo incorporaron a su cultura difundiéndolo por todo el Tahuantinsuyo, desde el Ecuador hasta Argentina y Chile, y

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MACKEY, Carol, PEREYRA, Hugo, y otros. Quipu y yupana. Colección de escritos. Publicación de CONCYTEC. Lima, Perú, mayo 1990; p.77.

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desde los llanos hasta los Andes.

El vocablo “quipu” significa “nudo” en quechua. Este nombre pasó luego a ser utilizado para denominar el sistema de cuerdas empleado para registrar, ya sea con sus caracteres conocidos (nudos), o sin ellos, o sea “en blanco”.

¿Qué clases de quipus se pueden distinguir?

Radicati di Primeglio 6 nos hace notar que si bien hace 70 años cuando recién se inició en el estudio de los quipus, pensaba que era suficiente conocer uno o leer las descripciones de los ejemplares más comunes para poder saber cómo es el resto; sin embargo luego tomó consciencia de que esto no es así, y que existen diferencias entre ellos. De allí que propuso un esbozo de tipificación basándose en los criterios siguientes:

a) Según el material. A través de las pruebas arqueológicas se puede constatar que los quipus que se conocen son de algodón o de lana de auquénidos, sobre todo de llamas y alpacas. Sin embargo, habría dos quipus que tienen dos cuerdas de cáñamo, uno del Museo Amano de Lima, y otro del Museo de Rimini en Italia. Asimismo en las cuerdas de algunos quipus se advierte la presencia de cabellos que aparecen retorcidos con la lana y algodón.

b) Según la manufactura. Desde 1923, Leland Locke y posteriormente otros analistas del quipu pensaron que había una diferencia regional en la técnica de confección de los quipus pues se dieron cuenta que algunos ejemplares tienen cuerdas flexibles, de buen retorcido y con nudos muy bien hechos en comparación con otros que presentan el tejido más suelto y los nudos más flojos. Los del primer tipo son procedentes de Ica, y los groseros o toscos son de Cajamarquilla. Sin embargo, ambas clases de quipus se han encontrado en diferentes

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MACKEY, Carol, PEREYRA, Hugo, y otros. Op. cit.; p.89.

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regiones de la costa peruana, siendo en todas partes en mayor cantidad los del tipo Ica. Al respecto, la hipótesis es que los de tipo Ica habrían sido confeccionados por los quipucamayos, oficiales públicos cuyo instrumento de trabajo era precisamente el quipu, mientras que los de tipo Cajamarquilla habrían sido producidos por gente común y corriente para uso personal.

c) Quipus palimpsestos Son quipus con cuerdas desanudadas y con un segundo anudamiento. El desanudamiento ocurre normalmente en cuerdas aisladas, colgantes y subsidiarias; pero a veces, en toda una sección del quipu.

d) Quipus singulares por el tamaño Pueden ser: - de tamaño normal, cuyas cuerdas tienen en su mayoría, como promedio unos 45 a 60cm de largo, - “gigantes”, cuyas cuerdas miden casi todas más de un metro de longitud, - “en miniatura”, que son muy pequeños, y cuyas cuerdas tienen una longitud de 4 o 5 cm como mínimo y 13 o 14 cm como máximo. Los quipus de tamaño normal son los más numerosos, en cambio existen muy pocos ejemplares de los “gigantes” y los “en miniatura” .

e) Quipus con la cuerda transversal en aro Son aquellos quipus que tienen la cuerda transversal unida en sus extremos formando una especie de figura circular. Algunos de estos quipus tienen lo que se podría denominar un “quipu apéndice”, o sea un ejemplar también con transversal en aro pero algo más pequeño, el cual depende del quipu principal.

f) Quipus con canutos o cartuchos Son ejemplares cuyo aspecto cromático es más pronunciado. Presentan además de los colores normales de sus cuerdas, que son iguales a las de los quipus comunes, unos forros de hilos multicolores que las recubren parcialmente y que, no obstante ser muy parecidos a canutos, se ha preferido denominar cartuchos. Los cartuchos que aparecen invariablemente en la parte superior de las cuerdas,

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tienen distinta extensión según se trate de quipus de tamaño normal o “en miniatura”. Son de color único o bien de varios colores simples o combinados distribuidos en fajas horizontales o pisos superpuestos.

g) Según la época en que el quipu fue confeccionado Se puede identificar: -

quipu preincaico quipu incaico quipu moderno

2.1. El quipu preincaico

¿Cuáles son las características del quipu preincaico?

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La información publicada por William Conklin y Radicati di Primeglio respecto a los quipus preincaico (700d.C.), nos permite identificar en ellos las características siguientes. Cada quipu es una confección textil única. Son de algodón retorcido a la izquierda. Consta de una cuerda principal. Tiene cuerdas colgantes atadas a la cuerda principal. En las cuerdas colgantes hay nudos, que son principalmente de dos tipos: simples y compuestos. Las cuerdas colgantes pueden tener cuerdas suplementarias, con o sin nudos, atadas a ellas. Las cuerdas colgantes están parcialmente envueltas con hilos de colores. Por ello también se dice que son quipus de canutos.

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Figura 1. Este bello y pequeño ejemplar de quipu tiene un elaborado diseño de entorchado en sus cuerdas colgantes

a) Al enrrollarlos tienen la forma de una espiral. Cuando está enrollado, cada quipu cabe en la palma de la mano y podría ser fácilmente portado como un libro.

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Figura 2.El

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mismo quipu de la figura 1 envuelto para ser guardado

La ubicaci贸n del quipu preincaico en el tiempo se pudo realizar por asociaci贸n de un conjunto de fragmentos encontrados en una tumba con la cer谩mica y la momia huari que en ella estaban. Ejemplares de quipus preincaicos fueron descubiertos por Yoshitaro Amano en 1968, en un sitio llamado Pampa Blanca, cercano a la

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hacienda Huayuri en la Pampa de Nasca. En estos ejemplares se observa que los extremos superiores de las cuerdas colgantes están cubiertos de hilos multicolores, solamente tienen nudos simples, y el torzal de las cuerdas es hacia la izquierda. El American Museum of Natural History ha recibido varios quipus de canutos sin indicación de procedencia (ver figura 1). En estos quipus parece que la información se registra casi exclusivamente en el entorchado cromático y en los colores de las cuerdas. Tienen muy pocos nudos y no existen en ellos nudos compuestos ni cuerdas resumen. Según Conklin, el recubrimiento cromático de urdimbres es una técnica configurativa, inventada en el Horizonte Temprano, que está claramente asociado con el arte y la religión de la cultura Chavín, y que se remonta aproximadamente al año 1000 a.C. El estudio de los quipus de canuto muestra evidencias de que ellos tuvieron un largo periodo de desarrollo en la época preincaica y que el quipu no fue un invento inca. Refiriéndose a los quipus preincaicos conocidos hasta mayo de 1990, Radicati de Primeglio cree que todos ellos son mágicos y representan la fase inicial y primitiva de la evolución del quipu. Para ello se basa en el hecho que los nudos de dichos quipus son siempre, salvo raras excepciones, del mismo tipo (simples o compuestos; pero nunca flamencos) y no se sujetan a las reglas de funcionamiento propias del “quipu de posición” que expresa una numeración decimal y es empleado para registrar valores estadísticos y contables.

¿Qué caracteriza al quipu incaico?

2.2. El quipu incaico La investigadora Marcia ASCHER al referirse a los quipus dice que constituyen “un inusual sistema de registro lógico-numérico que tuvo una función muy importante en la red de comunicación del imperio incaico. Existen alrededor de 550 quipus, la mayor

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parte de los cuales se conservan en museos de diversas partes del mundo”7 . La figura 3 es la representación esquemática de un quipu.

º Figura 3. Representación esquemática de un quipu Teniendo como referencia los estudios realizados sobre el quipu incaico por investigadores como ALTIERI, Marcia ASCHER, entre otros, podemos caracterizar el quipu incaico del siguiente modo. El quipu incaico es una reunión de cuerdas de diversos colores con nudos Está constituido por una cuerda principal o transversal que es más gruesa, cuya extensión varía desde algunos centímetros hasta tres metros más o menos. De la cuerda principal penden otras cuerdas, que se denominan cuerdas colgantes. Estas cuerdas son más finas y su longitud varía entre 20 y 50 cm. El número de estas cuerdas colgantes puede variar hasta algunas centenas. Generalmente todas están en una misma dirección, aunque existen ejemplares cuyas cuerdas colgantes están dispuestas en direcciones opuestas, es decir, unas hacia abajo y otras hacia arriba. Las cuerdas superiores serían resúmenes de los totales que se hallan en las cuerdas inferiores. Las cuerdas colgantes están repartidas por toda la extensión del quipu, unidas estrechamente entre sí, separadas por pequeñas distancias o formando grupos distanciados o cercanos unos de otros. En el caso del quipu N° 35 de la obra de Leland

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MACKEY, Carol, PEREYRA, Hugo, y otros. Op. cit.; p.110.

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Locke, The Ancient Quipu, publicada en 1923, los grupos de cuerdas colgantes se hallan unidas mediante conchas marinas. Las cuerdas colgantes son de diversos colores. Se dice que son simples si son de un solo color; y compuestas, cuando son de dos colores. a) El quipu consta de cuerdas subsidiarias, que son pequeñas cuerdas que penden de las cuerdas colgantes. Pueden variar de valor, de color y de longitud en comparación con las colgantes. Se hallan a diversas distancias de la cuerda transversal. También se da casos de cuerdas pendientes de subsidiarias, que vienen a ser subsidiarias de subsidiarias, y subsidiarias de ellas, y así sucesivamente. Las cuerdas subsidiarias no pasan de 50 cm de longitud. Un quipu puede tener tan pocas cuerdas como 3 o tantas como 2000, y ellas pueden ser de uno de todos los tipos descritos. b) El quipu tiene nudos que se confeccionan con las mismas cuerdas colgantes y subsidiarias. Los nudos están ubicados a diversas distancias de la cuerda transversal. En los mejores ejemplares conservados, los nudos se hallan más o menos al mismo nivel, cruzando todo el quipu. Se distinguen cuatro clase de nudos: a. Nudos simples. b. Nudos dobles, c. Nudos compuestos, y d. Nudos “a medio hacer”

Figura 4. Los tipos de nudos (tomado de Locke, 1923:13) 8 El nudo compuesto representa generalmente de 2 hasta 9 unidades; sin embargo hay excepciones como el quipu que se encuentra en el Museo Etnográfico de

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PEREYRA, Hugo. Descripción de los quipus del Museo de sitio de Pachacamac; p.14

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Munich e ilustrado por Nordenskiöld, que tiene nudos compuestos de hasta 15 unidades. El nudo “a medio hacer” es simplemente un lazo que se halla ubicado al final de las cuerdas colgantes o subsidiarias. Todos los nudos, a excepción del nudo “a medio hacer”, tienen significado numérico en los quipus estadísticos. Sin embargo excepcionalmente, un nudo “a medio hacer” puede encerrar nudos aparentemente de carácter numérico, como es el caso del quipu Nº 1 del Museo de Florencia.

Valor de los nudos: a. Un nudo en la parte inferior de la cuerda, representa “1”. b. Un nudo indica “10” si se halla ubicado más arriba. c. Representa “100” si está ubicado aún más arriba. d. Indica “1000” si está colocado en la parte superior de la cuerda. e. Los nudos compuestos indican la repetición de la unidad de cada tipo. Los nudos se encuentran colocados en posiciones determinadas a lo largo de las colgantes, de modo que los números de mayor orden están más cerca de la cuerda principal. Cuando los nudos de una cuerda representan un número, este es un número natural en el sistema de numeración posicional en base 10. En caso de nudos de una cuerda que representen varios números, también ellos son en el sistema posicional de base 10. En este caso, leyendo desde el extremo libre de la cuerda, cada nudo compuesto (o en ocho) ocupa la posición de las unidades de un nuevo número. El cero se representa en el quipu mediante la ausencia de nudos. La figura XX en la siguiente página es un esquema con ejemplos de números representados por nudos; y en la figura YY está respresentado un quipu que tiene dos números en una cuerda.

c) El quipu está confeccionado con lana o algodón retorcido, blanco o amarillo

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natural y después teñido.

Figura 5. Esquema de números representados por nudos

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Figura 6. Esquema de números múltiples representados por números en la misma cuerda

¿Quiénes confeccionaban los quipus? Al respecto hay dos hipótesis, una según la cual solamente los quipucamayos tenían a su cargo la confección y cuidado de los quipus; y otra, que plantea que además de los quipucamayos, también había gente del pueblo que los confeccionaba.

Figura 7 Quipucamayo, que se presenta en Nuevas Coronicas y Buen Gobierno, de Guaman Poma de Ayala, siglo XVI.

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Los quipucamayos eran personas importantes debido a que procesaban y hacían accesible valiosa información. Se encargaban del resguardo de los quipus principales y de los resúmenes generales; y según los cronistas, también de los quipus cronohistóricos. Estos quipus estaban destinados a recordar la historia de las genealogías, hechos, acontecimientos, etc. Según Altieri, los quipucamayos cronohistóricos tenían una preparación especial, que se transmitía de padres a hijos. Los iniciados recibían una esmerada educación que se refería al desciframiento de los quipus ya existentes, a la confección de otros nuevos y a la retención por la memoria, de los hechos y genealogías cuyas convenciones se hallaban en el quipu.

¿Para qué se utilizaron los quipus? Si bien se han planteado hipótesis de que el quipu es una forma de escritura; sin embar_ go a la fecha esto no ha sido demostrado. Más bien han ganado espacio las referentes a interpretaciones de convención ideográfica o las de un valor exclusivamente numérico. Al respecto Marcia ASCHER afirma que “los incas se caracterizaron por ser metódicos, altamente organizados y por hacer uso intensivo de datos…El Inca y sus altos funcionarios recibían muchos mensajes y enviaban muchas instrucciones diariamente…Los mensajes tenían que ser claros, compactos, y el objeto donde estuvieran registrados debía ser fácil de portar” 9 En lo que se refiere a la interpretación ideográfica, Imbelloni sugiere la hipótesis de que al lado del quipu estadístico, existen otros para señalar en forma convencional, hechos más complejos. Respecto a la interpretación exclusivamente numérica, algunos cronistas como Molina el Almagrista, el padre Lozano, nos dicen que el sistema de nudos fue solamente un registro de cifras. En base a esta hipótesis han trabajado Locke y Nordenskiöld, en el siglo pasado. Sin duda alguna, los pastores de Bolivia, Perú y Ecuador, registran sus rebaños en simples cuerdas anudadas, cuyo carácter es estrictamente numérico; pero siempre se trata de cuentas de un solo elemento de dos, referentes a reducidos rebaños cuya cantidad no es muy grande. De estos a los complicados registros de los más tupidos quipus de Ica, hay una distancia enorme. Sin embargo también existen quipus de

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MACKEY, Carol, PEREYRA, Hugo, y otros. Op. cit.; p.110.

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naturaleza intermedia, en los que ya se ha pasado de la cuenta de las cifras de objetos homogéneos a una cuenta complicada y los grupos de cuerdas se hallan reunidos a una cuerda transversal; del mismo modo tenemos allí bien definido el papel del rótulo o

rúbrica. Estructura lógica y modelo informacional del quipu incaico Según la interpretación de Marcia ASCHER, “la disposición espacial de las cuerdas coloreadas constituye la estructura lógica del arreglo, y los conglomerados de nudos vienen a ser los datos registrados” 10 . Luego de examinar quipus en diferentes etapas de elaboración ella está segura de afirmar que “la planificación del arreglo de cuerdas coloreadas precedían por completo a la colocación de nudos en las cuerdas”.Y establece un símil con lo que ocurre con los datos en computación, una vez definido el formato los números pueden ser cantidades o etiquetas codificadas. Asimismo, ASCHER reconoce el ingenio de los quipucamayos, que al usar cuerdas y colores estructuraron formatos que hicieron que el quipu sea un artefacto de registro flexible y universal. Asimismo, afirma que si bien es posible conocer algo de la estructura del quipu, lo que sí es difícil es decodificar totalmente cualquier quipu pues para ello es necesario compartir con el quipucamayo sus modelos informacionales y su conocimiento cultural.

Dos quipus con características numéricas excepcionales El investigador Hugo Pereyra basándose en la investigación realizada por los ASCHER en su libro Code of the Quipu-Databook, profundiza el estudio de los quipus AS120 y AS143.Estos quipus tienen la particularidad de poseer cuerdas totalizadoras (llamadas también cuerdas resumen o sumatorias) en las que se registra la suma de los números correspondientes a un grupo de colgantes. Entre las conclusiones de Pereyra sobre estos dos quipus se tienen 11 : a) Según lo señalan los ASCHER, no existen indicios de que los incas hayan tenido representación alguna para las fracciones o los decimales. A pesar de ello, según dichos autores, se debe concluir que los incas tuvieron la capacidad de realizar operaciones donde intervienen este tipo de números. Esto podría haber sido hecho con la ayuda de algún ábaco como la yupana. b) La proporcionalidad casi perfecta que existe entre los números de cualquier par de filas sugiere la representación mediante una recta y conduce a la idea de que los números del quipu se refieren a medidas angulares. c) Siguiendo esta idea, resulta que los ángulos correspondientes a los dos quipus

10

MACKEY, Carol, PEREYRA, Hugo, y otros. Op. cit.; p.110.

11

PEREYRA, Hugo. Acerca de dos quipus con características numéricas excepcionales. Artículo publicado en el Bulletin de l’Instituto Français d’Etudes Andines; Tomo 25, Nº 2; pp.187-202.

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mencionados muestran una concordancia que difícilmente puede deberse al azar. Este hecho constituye una evidencia de que los dos quipus contienen información sobre el

mismo asunto.

2.3. Quipus modernos Se considera como quipus modernos aquellos que han sido confeccionados y usados después del año 1840. Max Uhle encontró dos quipus modernos, uno en la isla del Tticaca de Challa, sobre el cual publicó unas notas en 1985; y el otro, en la hacienda de Cutusuma, en la costa sudoriental del lago Titicaca. La persona originaria que dio el quipu de Cutusuma a Max Uhle había sido alcalde (cierta clase de funcionario entre los nativos) el año 1984.Como alcalde había tenido bajo su responsabilidad el sostenimiento en orden del ganado de la hacienda, y a fin de año estaba obligado a entregar esta cuenta a la persona originaria que lo reemplazaba en el puesto de alcalde que entre otras cosas se entendía con el ganado y los pastores de la hacienda. La información que presentamos a continuación sobre el quipu de Cutusuma se ha extraído del artículo “Un kipu moderno procedente de Cutusuma, Bolivia”, escrito por el propio Max Uhle 12 . El quipu de Cutusuma no está coloreado (ver figura 8).

Figura8. Quipu de Cutusuma

12

Mackey, Carol; Pereyra Hugo, y otros. Op. Cit.; pp.127-133

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Consiste en hilos blancos y en cada uno de estos se encuentran atados hilos de diferente grosor y nudos, de diferentes tamaños. Estos cordones son de dos, o de cuatro a seis hilos y algunos formados por torceduras de dos hilos paralelos de los de la segunda especie. Los nudos en las cuerdas de diferente espesor son de tamaños diferentes, pudiéndose distinguir tres tipos de nudos. El sistema de lectura o de interpretación del quipu de Cutusuma es el siguiente:

a. Cada división de las cuerdas representa una especie diferente de animales : borregas ordinarias, carneros, ovejas y ganado de leche. b. “El número de las hembras está indicado siempre en el borde del quipu y el de los machos en el centro” (según el alcalde informante). c. Las tres clases de nudos, según su tamaño representan respectivamente: centenas, decenas y unidades. Teniendo en cuenta estos datos, Max Uhle lee e interpreta el quipu del modo que se indica a continuación. El alcalde de Cutusuma entregó al final del año 1894 a su sucesor: 387 borregas 121 + 99 corderos. Estos son los corderos de la segunda y la tercera parición del año, habiendo sido reunidos como es de costumbre los borregos de la primera parición a los carneros del mismo año. 86 +60 + 170 corderos de leche (de la tercera parición de ovejas del año). Max Uhle comenta que la representación de los objetos contados mediante los colores de los hilos, como se usaban en los tiempos antigüos, se encuentran todavía en muchos lugares, como en el lado oriental del lago Titicaca, donde el amarillo representa la quinua y así por el estilo. En el caso de los objetos en los kipus antigüos no coloreados estaban dispuestos de acuerdo con sus valores, y esto mismo se aplica en los modernos. Para Max Uhle, la prueba más concluyente de que los quipus de Challa y de Cutusuma son los descendientes directos de los antigüos se encuentra en una peculiaridad significativa común a ambos. Para ello se sustenta en Garcilaso quien nos dice que hubo,

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además, ciertos hilos atados a las cuerdas principales, que no tenían otra finalidad que la de indicar ciertos números excepcionales que perturbaban el total final de las cuerdas principales. En el quipu procedente de Challa dos cuerdas separadas atadas a las principales indican el número de ovejas consumidas en la cocina del propietario de la hacienda en una, y en la otra el número de corderos comidos por el mismo pastor. Max Uhle se aventura en notar que la analogía entre los quipus antigüos existentes y la descripción de Garcilaso de los mismos presenta aún una similitud más estrecha que la que hay entre tales quipus y los modernos. Gracilazo hace mención de los nudos que también estaban dispuestos en las cuerdas de modo que los nudos de la misma clase o iguales denominaciones corresponden en su altura con cada uno de los otros de las diferentes cuerdas, tales como una buena contabilidad coloca las cifras unas debajo de otras para hacer el total en la actualidad. Esta característica ha desaparecido en los quipus modernos. No encontramos en estos ningún paralelismo intencional de clases semejantes de nudos en las cuerdas diferentes. En los quipus modernos el valor de las diferentes clases de nudos se muestra por sus tamaños diferentes, mientras que en los kipus antigüos está indicado por las diversas alturas de su posición en las cuerdas. Aún cuando hemos arribado a una comprensión satisfactoria del número tal como se encuentra en los quipus, no hemos llegado a la completa comprensión de éstos. Por otra parte, había muchos quipus legibles para cualquiera a causa de que sus colores indican la clase de objetos a los cuales se refieren. Sabemos que en el imperio de los Incas una clase de hombres instruídos sabían, con la ayuda de los colores, la interpretación de los kipus. Muchos de los quipus antigüos en los museos son de colores. Debe admitirse que podemos comprender su contenido si poseemos un amplio conocimiento de las reglas relacionadas con el significado de los colores La identificación de estas reglas es el desafío de la investigación arqueológica peruana en el futuro. Max Uhle plantea dos vías para descubrir los valores del color. Una mediante el cuidadoso estudio de las obras antigüas que tratan de la civilización de los Incas; como por ejemplo, entre otros cita a Garcilaso, quien dice que el blanco representa la plata, el amarillo el oro y el rojo los guerreros. La otra vía es a través del estudio más cuidadoso de los quipus actualmente en uso en las comunidades indígenas.

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El quipu de Nieves Yucra Huatta Nieves Yucra Huata es un nativo de Taquile (isla del lago Titicaca, a 36 kms. de Puno), que asistió al Seminario Internacional de Quipus y Quipucamayocs, auspiciado por el CONCYTEC en octubre de 1988, y que en ese entonces tenía 85 años de edad. Carol Mackey expuso acerca del quipu de Nieves en el seminario mencionado, y publicó el artículo “Nieves Yucra Huatta y la continuidad en la tradición del uso del quipu” en el que dice refiriéndose a Nieves, que “es uno de los representantes de la última generación que usa quipu, arte que actualmente se extingue entre los que saben leer y escribir” 13 . Yucra aprendió la técnica del quipu cuando era niño, y desde entonces los ha usado durante gran parte de su vida para registrar información estadística acerca de la cantidad de animales que posee y los productos que cosecha; sin embargo, perdió los quipu que tenía a causa de un incendio que destruyó su casa. Luego, decidió hacer un quipu nuevo en el que no registra datos estadísticos , sino otras categorías de información que Yucra consideraba que debían conservarse. Carol Mackey en el artículo mencionado describe el quipu de Yucra. Este quipu funciona como almanaque. Contiene una pequeña cuenta con información estadística, datos sobre el calendario, sobre puestos polìticos que se ocuparon en la isla, obligaciones recíprocas, datos metereológicos y otros sucesos útiles para la vida diaria. Otra diferencia es que Yucra ha registrado estos datos en dos quipus y no en uno. El primero es un quipu largo, de más de un metro y medio de longitud, confeccionado de soga de fibra vegetal (ver lámina 1). El otro quipu es una réplica exacta del anterior, hecho de lana de oveja y de aproximadamente 65 cm de longitud. En este pequeño quipu (ver lámina 2), Yucra registra los datos que luego transfiere al primer quipu.

¿Qué registró Yucra en las cuerdas colgantes? Para entender esto, se asigna un ordinal a cada una de las cuerdas colgantes, de izquierda a derecha, como se representa en la figura siguiente.

13

Mackey, Carol; Pereyra Hugo, y otros. Op. Cit.; pp.157-164.

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Figura 9. Quipu de Nieves Yucra Huatta Cuerda colgante Nº 1: Está vacía. Sirve como marcador del comienzo del quipu. Cuerda colgante Nº 2: Lleva dos nudos compuestos. Representan a las autoridades que controlan a los seis suyos de la isla Taquile: el alcalde y los ayudantes de campo. Cuerda colgante Nº 3: Tiene 7 nudos simples que representan los días de la semana, de lunes a domingo. Cuerda colgante Nº 4: Tiene tres pedazos de madera amarrados a la colgante, que representan las normas más importantes de la vida de una persona. Estas normas son “no robar” (ama suwa), “no ser ocioso” (ama qella), y “no mentir” (ama llulla).Los dos primeros pedazos de madera llevan una figura humana tallada, mientras que el último no está tallado (ver lámina 3). Cuerda colgante Nº 5: Los diez nudos simples de esta colgante representan el calendario de festividades de Taquile. Están representadas en el quipu con nudos simples; pero las que Yucra considera ,más importantes, llevan una pequeña borla de color. Cuerda colgante Nº 6: Dos cuerdas separadas que se complementan una con otra están identificadas con este número (colgante 6: A y B).Estas cuerdas registran información agrícola y climática sobre los seis suyos de la isla. Las dos cuerdas están divididas en tres partes.El color intermedio que es verde, representa la actividad agrícola que se

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llevó a cabo en los seis suyos de Taquile. Si los seis suyos están sembrados o no se representan mediante la presencia o ausencia de un nudo. El color final es azul y representa la cantidad de lluvia que cae en la isla. Cuerda colgante Nº 7: Representa la cantidad de ovejas que posee Yucra.Los números están representados por lazos y nudos simples. Los nudos simples representan las ovejas vivas y 3 lazos muestran que las ovejas fueron muertas. Cuerda colgante Nº 8: Es de forma redonda porque está atada en ambos extremos a la cuerda transversal. Se usa junto con la colgante Nº3, que representa los días de la semana. Los nudos representan el intercambio recíproco de trabajo, por ejemplo labores de la chacra (ayni kunapack) así como préstamos. Estos nudos se desatan cuando termina la obligación. Los nudos están en grupos de 1 a 10, cada grupo está separado por una hebra de algodón de color. Si se trata de un préstamo los nudos pueden interpretarse numéricamente y pueden denotar unidades, decenas, centenas. Para representar el valor numérico de estas usaba una hebra de color. Cuerda colgante Nº 9: Los cuatro nudos de esta cuerda representan los cuatro suyos del Imperio. Cuerda colgante Nº 10: Esta colgante tiene nudos simples que representan los doce meses del año., de enero a diciembre. Cuerda colgante Nº 11: Registra los cargos oficiales que ocuparon las autoridades de Taquile. Yucra registra tres: Primer Teniente Gobernador, el Agente Municipal, y el juez. Respecto al quipu de Yucra se observa que existen diferencias en su contenido en comparación con otros quipus modernos; sin embargo es posible señalar algunas semejanzas.

Comparación entre quipu moderno y quipu incaico Un análisis exhaustivo de los quipus incaicos y modernos permite mostrar la existencia de innumerables semejanzas entre ellos 14 . Así: a. El concepto de quipu es el mismo, ambos consisten en cuerdas, por lo general de colores diferentes, con nudos que registran el número del ítem específico que se contabiliza. La contabilidad puede alterarse en ambos mediante el uso de cuerdas subsidiarias y parecería que ambos utilizan

14

Mackey, Carol; Pereyra Hugo, y otros. Op. Cit.; pp.135-155

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categorías. b. La función parece ser la misma en la mayoría de quipus incaicos y modernos. La mayoría registran información estadística; la de los quipus incaicos fue usada por el estado Inca y la de los quipus modernos por la hacienda. Tanto el estado Inca como la hacienda estaban organizados en forma jerárquica, ya que cada uno estaba compuesto por funcionarios que presentaban sus informes a una persona de rango superior. Los cronistas españoles mencionan que los quipus se usaron para registrar otro tipo de información no estadística, tal como los datos astronómicos, literatura oral, castigos y delitos. Asimismo existen instancias en las que se usan los quipus modernos para registrar datos no personales, pero básicamente los quipus se usaron con fines estadísticos. Asimismo, es posible identificar diferencias entre los quipus incaicos y los quipus modernos, entre las que cabe señalar: a. Los quipus modernos algunas veces se asemejan a los quipus incaicos y otras consisten en cuerdas colgantes atadas juntas. b. La mayoría de las características de los quipus modernos desempeñan una función mnemotécnica. Dada la forma estandarizada de los quipus incaicos, se asume que el extremo doblado de la cuerda transversal marca el inicio del quipu. En el caso de los quipus modernos, el usuario moderno tiene que identificar la primera cuerda del quipu. Esto se lograba algunas veces cambiando la longitud de la cuerda, o usando un color diferente o un marcador. El quipucamayo moderno también realizó innovaciones al dar un valor numérico a los nudos. No sólo se usaron la posición y el tipo de nudo, al igual que en los quipus antiguos, sino que también se agregó una nueva característica cual es el grosor del nudo. Además de los nudos se usaron lazos que denotaban un valor numérico. Algunas veces los quipu incaicos tienen una totalizadora que suma los nudos del quipu o de un grupo de colgantes del quipu. Los quipu modernos no tienen este tipo de cuerdas, pero se encontró que algunos de ellos registran los totales, mientras que otros separan por ítems las categorías que contabilizan.

c. Parecería que existe una diferencia en cuanto al material con el que están hechos, ya que todos los quipus modernos que se han encontrado son de lana, y los incaicos de algodón. Sin embargo este no era el caso en tiempos del Inca, en ese entonces existían quipu de lana en la sierra y

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quipu de algodón en la costa. Actualmente nuestra muestra de quipu incaicos procede principalmente de la costa, pues los incaicos de la sierra se destruyeron o no se han conservado en el transcurso de los años.

Una vista panorámica

Etnomatemática es el estudio de los conocimientos producidos o asimilados por un grupo sociocultural, vigentes en su propio contexto, que supone fundamentalmente los procesos de contar, medir, organizar el espacio y el tiempo, diseñar, estimar y explicar

Instrumentos importantes de la etnomatemática de pueblos originarios peruanos

El quipu

La yupana

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Los quipus se pueden clasificar

Según la manufactura

Según el material

Palimpsestos

Singulares por el tamaño

Con la cuerda transversal en

aro

Con canutos o cartuchos

Según la época de confección

Autoevaluación En cada ítem, marca con un aspa la respuesta correcta. 1. Para los ASCHER la etnomatemática es: (A) La matemática de los pueblos que precedieron a la Antigua Grecia. (B) El estudio de los pueblos no letrados. (C) El estudio de las ideas matemáticas de los pueblos no letrados (D) El estudio de las prácticas matemáticas de grupos socioculturales identificables

2. D’AMBROSIO utiliza el término etnomatemática para: (A) Describir las ideas matemáticas de los pueblos no letrados (B) Describir solamente las ideas matemáticas de los pueblos del antigüo Egipto (C) Describir solamente las ideas matemáticas de los pueblos originarios latinoamericanos (D) Describir las prácticas matemáticas de grupos culturales identificables.

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3.Los quipus se pueden tipificar en preincaicos, incaicos y modernos, según: (A) La época en que fueron encontrados (B) La época en que fueron confeccionados (C) El número de cuerdas colgantes y subsidiarias (E) El número de colores y cantidad de canutos en cuerdas colgantes.

4.En los quipus incaicos estadísticos se utiliza: (A) El sistema de numeración decimal (B) El sistema de numeración decimal posicional (C) El sistema de numeración quinario (D) El sistema de numeración de los mayas 5. Según Radicati di Primeglio los quipus se pueden clasificar según: (A) El material; tengan cuerdas utilizadas después de haber sido desanudadas (palimpsestos) (B) La época en que fueron confeccionados; por el tamaño (C) La manufactura; cuerda transversal en aro; tengan canutos o cartuchos. (D) Los criterios señalados en (A), (B) y (C)

¡A LA PRÁCTICA! 1.¿El concepto de Etnomatemática propuesto por D’AMBROSIO comprende también el estudio de las prácticas matemáticas de pueblos iletrados? ¿Qué puede concluir de la propuesta conceptual de los ASCHER, en comparación con la de D’AMBROSIO?

2. Considerando el concepto de etnomatemática que hemos asumido, ¿está de acuerdo con la afirmación “La etnomatemática de un pueblo tiene su historia”? Justifique su respuesta.

3.¿Cuáles son los elementos más importantes de la etnomatemática de los pueblos originarios andinos? Describa brevemente el quipu preincaico.

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4. Establezca un paralelo entre el quipu incaico y el quipu moderno. 5. Establezca un paralelo entre el sistema de numeración indo-arábigo y el sistema de numeración utilizado en el Imperio Incaico. 6. ¿Considera importante: a) el estudio de elementos de la etnomatemática de la comunidad en que trabaja?¿por qué? b) el estudio de elementos de la etnomatemática de pueblos originarios peruanos? ¿por qué? c) el estudio de elementos de la etnomatemática de otras culturas extranjeras? ¿por qué?

CLAVE DE RESPUESTAS

AUTOEVALUACIÓN 1) 2) 3) 4) 5)

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C D B B D


Para aprender más...

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BUSCH,G.,CALERO,V. y MUENALA, H. 1992 El contador indígena (taptana). Quito, Ecuador. CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGIA (CONCYTEC). 1990 Quipu y Yupana. Lima, Perú. INTERNATIONAL STUDY GROUP ON ETHNOMATHEMATICS (ISGEM). 1986 Newsletter, Vol 1, N#2, marzo. U.S.A. 1988 Newsletter, Vol 4, N#1, octubre. U.S.A.

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etnomatemática