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Profesor Leonard Rangel

Hoja de ejercicios Nº 4

LÍMITES POR CAMBIO DE VARIABLE Las expresiones irracionales se reducen, en muchos casos a una forma racional introduciendo una nueva variable. Para ver cómo aplicar esta técnicas calculemos el siguiente límite:

lim x →1

x −1 x −1

El propósito de un cambio de variable es el tratar de evitar los radicales así que buscaremos una variable con un exponente que sea divisible entre el índice de la raíz para eliminarla. De esta manera proponemos hacer el cambio de X = W². Entonces, como X → 1, haremos el siguiente razonamiento: Sustituyendo a X por W² (recordemos que si W² = 1 entonces al despejar a W con ayuda de una raíz cuadrada tenemos que W = 1, es decir W → 1) Para hacer el cambio de variable reemplazamos todas las X de la función por W² y en lugar de X → 1, escribimos W → 1. Lo cual sería:

lim w→1

w2 − 1 w2 − 1

Y finalmente seguimos los procedimientos aprendidos en las sesiones del aula:

lim w→1

( w − 1) = 1 w2 − 1 w2 − 1 w − 1 ⇒ f ( x ) = = 2 = 2 2 w −1 w − 1 w − 1 ( w − 1)( w + 1) ( w + 1) 1 1 = w→1 ( w + 1) 2

⇒ lim

Lo cual es más práctico e inmediato que resolverlo por otras técnicas. Esta estrategia será usada en operaciones de cálculo diferencial e integral (temas que serán estudiados en unas cuantas semanas), para continuar con la práctica de la misma y lograr su dominio absoluto resolveremos ejercicios relativos a límites trigonométricos en los cuales requeriremos de esta estrategia … ahora veamos qué es eso de límites trigonométricos


Profesor Leonard Rangel

Hoja de ejercicios Nº 4

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada (utilizando el producto notable de la suma por la diferencia de un binomio) o aplicar las ya conocidas propiedades de los límites. Consideraremos a los siguientes límites “límites notables”. Los mismos nos ayudarán en la resolución de varios ejercicios:

(i) (iv)

sen n x lim n = 1 x→0 x 1 − cos x 1 lim = x→0 x2 2

(ii)

xn lim =1 x →0 sen n x

(iii)

(v)

lim cos x = 1

(vi)

x→0

lim senx = 0 x →0

lim x →0

1 − cos x =0 x

Además tomaremos en cuenta las fórmulas de adición y sustracción trigonométricas:

(i)

sen( x + y ) = senx·cos y + cos x·seny

(ii)

sen( x − y ) = senx·cos y − cos x·seny

(iii)

cos( x + y ) = cos x·cos y − senx·seny

(iv)

cos( x − y ) = cos x·cos y + senx·seny

tg ( x + y ) =

(v)

tgx + tgy 1 − tgx·tgy

(vi)

tg ( x − y ) =

tgx + tgy 1 + tgx·tgy

Para ver cómo usar estas y otras estrategias veamos un ejemplo (omitiré los comentarios)

senx senx − senx cos x − senx tgx − senx 0 senx − senx cos x cos x lim = ⇒ g ( x) = cos x 3 = = ⇒ 3 3 x→0 x 0 x x x3 cos x senx(1 − cos x) 1 + cos x senx(1 − cos 2 x) senx·sen 2 x g ( x) = · = = ⇒ x3 cos x 1 + cos x x3 cos x(1 + cos x) x3 cos x(1 + cos x) g ( x) =

sen3 x sen3 x 1 sen3 x 1 = · ⇒ lim( · ) 3 3 3 x → 0 x cos x(1 + cos x) x cos x(1 + cos x) x cos x(1 + cos x)


Profesor Leonard Rangel

Hoja de ejercicios Nº 4

Y finalmente aplicaremos la definición de límites de un producto y la identidad de

sen n x = 1 aprendidos en las sesiones del aula, esto sería: x→0 xn

lim

lim( x→0

sen3 x 1 sen3 x 1 1 1 = = 1· = · ) lim .lim 3 3 x → x → 0 0 x cos x(1 + cos x) x cos x(1 + cos x) 1·(1 + 1) 2

Ahora es tu turno, aplica cada una de las herramientas mencionadas para la resolución de los siguientes límites

(a) Aplica el cambio de variable para los siguientes límites

(i)

lim

x →64 3

(iii)

3

lim x →1

x −8 x −4

(ii)

x2 − 2 3 x + 1 ( x − 4)2

(iv)

lim

x −1 x −1

lim

x2 + 5 − 3 x2 − 2 x

3 x →1 4

x→2

(b) Resuelva los siguientes límites trigonométricos

sen( x − 1) ( x − 1)

(i)

lim

(iii)

x sen( ) 2 lim x→0 x

(v)

cos x lim π ctgx x→

x →1

lim

(iv)

lim

(vi)

sen( x − ) 6 lim π 3 x→ 6 cos x − 2

lim x→

π

3

2 cos 2 x − 5cos x + 2 2 cos 2 x + 3cos x − 2

(viii)

lim( − x)·tgx π 2 x→

x→2

tgx − senx x →0 x3

π

2

(vii)

sen( x − 2) (3 x − 6)

(ii)

π

2

Límites por cambio de variables, Límites trigonométricos  

Limites con cambio de variable y límites trigonométricos

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