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Profesor Leonard Rangel

Hoja de ejercicios Nº 1

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN El instrumento matemático básico para medir la razón de cambio de una función es su derivada. Una derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicho punto de una función. La recta tangente es aquella que toca a la función en un solo punto del entorno. Por ejemplo, en la siguiente grafica la recta g(x)=3x-2 es tangente a la función cúbica f(x)=x³ en el punto (1,1). La derivada de una función en un punto representa la razón de cambio

instantánea

de

esa

función para ese valor de la variable independiente. En problemas demográficos y económicos, en lugar de llamarla derivada se utiliza el término tasa o valor marginal. En problemas de física, química, biología, etc., se suele hablar de velocidad y de rapidez.

Mientras

que

la

expresión razón de cambio es utilizada en todas las disciplinas. Para familiarizarnos con ello es necesario el recordar su relación con el concepto de límite y del algoritmo de “derivada por definición”. Supongamos que el malvado profesor de matemáticas nos da la función f(x)=x³ y nos piden calcular la ecuación de la recta tangente en el punto (1,1). En primer lugar, para calcular la ecuación de la recta necesitamos su pendiente. Como hemos explicado, la pendiente de la recta tangente a un punto de una función se le llama derivada, por tanto hemos de derivar la función. ¿Cómo derivar dicha función? Lo más sencillo es aplicar la regla de la derivada de una potencia, pero puesto que no tenemos por qué saber aplicar esta regla, lo haremos mediante la definición de derivada.

f '( x) = lim h →0

f (h + x) − f ( x ) h


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Hoja de ejercicios Nº 1

Ahora puesto que nuestra función es f(x)=x³ aumentaremos a x en h obteniendo

f(x+h)=(x+h)³ para luego sustituir en la definición antes planteada:

( x + h)3 − x 3 f '( x) = lim h →0 h

Operando el producto notable de la función a la cual se le está sacando el límite

x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − x 3 q( x) = h Simplificamos:

x/ 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h3 − x/ 3 q ( x) = h Sacamos de factor común en el numerador a h

h(3 x 2 + 3 xh + h 2 ) q ( x) = h Ahora simplificamos la h, puesto que es un factor tanto en el numerador como en el denominador:

h (3 x 2 + 3 xh + h 2 ) q ( x) = h Finalmente eliminamos la h del denominador, luego volvemos a q(x) a la expresión original y al evaluar tenemos

f '( x ) = lim q ( x ) = 3 x 2 h→0


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Hoja de ejercicios Nº 1

Con este método podemos calcular cualquier derivada, pero puesto que es un método largo para los más flojos, hay una regla para cada tipo de derivada, las cuales están demostradas a partir de la definición de límite y las que iremos trabajando a lo largo del curso. Bien, como recodarán piden la pendiente de la recta tangente en el punto (1,1), vemos que f’(1)=3 . Esto quiere decir que la pendiente de nuestra recta es m=3. Ahora sólo nos falta un cálculo (sencillo para aquellos que les gusta aprender). ¿Cómo hallar la ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto por donde pasa? La forma más sencilla es utilizar la ecuación de la recta punto pendiente aprendida en noveno grado de educación básica:

y − y1 = m( x − x1 ) Siendo (1,1) un punto por donde pasa la recta (en nuestro caso, el punto de tangencia). Sustituyendo los valores que tenemos en la ecuación de la recta tenemos

y − 1 = 3( x − 1) y − 1 = 3x − 3 y = 3x − 3 + 1 y = 3x − 2

Y ya hemos calculado la ecuación de la recta tangente a la función f(x)=x³ en el punto (1,1) .Si aún dudas de este resultado puedes chequear en la imagen que encabeza este escrito. Para cada tipo de función, existe una regla para derivarla. Esto hace muy cómodo el proceso de derivar, ya que en lugar de tener que aplicar la definición podemos resolverlas aplicando la regla adecuada a cada una. Por supuesto, estas reglas se demuestran a partir de la definición y progresivamente iremos aprendiéndolas en clase.


Profesor Leonard Rangel

Hoja de ejercicios Nº 1

Según las estrategias estudiadas calcula las siguientes derivadas:

(i)

x x6 f ( x) = 1 − + 3 6

(iii)

p=

(v)

(vii)

1 3 − 2 +2 3y y

g (t ) =

t 3 − 4t 2 − 3 6

r (t ) = 3 t −

(ii)

z ( x) = 4 x 2 − 6 x + 1

(iv)

y = 3x

(vi)

y=4 x−

(viii)

1 t

3

u=

5

− 4x

6

−2

3

− 10

3 + 3 2 x2

3 5 − +33 3 2 2 x 3 x

(ix)

y = (5 x 4 − 4 x5 )(3 x 2 + 2 x3 )

(x)

f ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)

(xi)

d = w ( w4 − 1)(t 6 − 2)

(xii)

r ( s ) = ( s + 1)( s − 1)

(xiii)

g ( x) = 2 x ( x 2 − x + 5)

(xiv)

2 u ( x) = ( x − 3)( − 1) x

(xv)

v=

(xvi)

z=

(xviii)

b( k ) =

(xvii) (ixx) (xxi) (xxiii)

3 x −9 x+3 y= x −3 2 x3 + 1 g ( x) = x −1 1 f ( x) = ( x − 1)( x − 3)

u (q) =

1− q 1+ 2 q

(xx) (xxii) (xxiv)

ÉXITO !!!

n n−8

k k +1 t 3 − 2t j (t ) = 2 t + t +1 x2 + 1 f ( x) = 2 − ( x − 1)( x 2 − 1) x −1

m(b) =

2

1− 3 b 1+ 33 b

Guia de Derivadas  

Guia para los estudiantes de calculo diferencial

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