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MAP2110 - Modelagem e Matemática 15 de abril de 2010

Lista de Exercícios 1 com demonstrações 1. Seja A ∈ M3×2 (R) dada por   1 a    A = 3 9    4 12 onde a ∈ R: (a) Encontre X ∈ M2×3 (R) tal que XA = I ∈ M2×2 ; (b) Faça a = 17 e calcule X; (c) A matriz X encontrada é a inversa de A? Explique.   (a) Podemos escrever a matrix X como xx14 xx25 "xx36 # e noh T i 1 tar que as equações podem ser escritas como A0 A0T x = 00 , x =

Demonstração.

1

(x1 , . . . , x6 ), o que é equivalente a AT X T = I. Este último sistema está na forma em que podemos escalonar, o original não! Aí obtemos uma resposta geral, com duas variáveis livres (x3 , x6 ): # " 3 a+(12−4a)x3 x3 3−a 3a−9 (1) X = 1 1−(12−4a)x6 x6 a−3 9−3a (b) Se a = 17 temos X=

" −3 14 1 14

17−56x3 42 1+56x6 42

x3 x6

# (2)

(c) Pode-se argumentar de diversas formas para justificar que X não é a matrix inversa de A. As duas mais comuns são: XA , AX e X não está únicamente determinada. Você consegue pensar em outro argumento?  1


2. Dadas as matrizes A, B ∈ M4×4 (R).:    1 2 4 6   8 10 11 9   A =   7 5 3 12 16 15 13 14

 1 1 B =  0 0

0 0 1 0 1 0 0 114

 1 0  1  1

(a) Mostre que existe X ∈ M4×4 (R) tal que AX = B; (b) Calcule X23 . Demonstração. (a) Para mostrar que o sistema AX = B tem solução, basta escalonar a matrix A e notar que o resultado tem exatamente 4 pivôs. A mera existência de X é independente de B. (b) O sistema AX = B representa 4 sistemas, um para cada coluna de B. Basta resolver o sistema Ay = B3 , B3 é a terceira coluna de B. Obtemos X43 = y4 = −13, X33 = y3 = 57, X23 = y2 = −115 (e só por completude, x13 = y1 = 80).  3. Se A e B são matrizes particionadas em submatrizes, " # " # B11 B12 A11 A12 B= , A= A21 A22 B21 B22 então podemos escrever # " A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B22 AB = , A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22 desde que as dimensões das submatrizes sejam compatíveis com as operações indicadas. Generalize o método e calcule AB onde      2 1 4   −1 2 1 5   −3 5 2     . 0 −3 4 2 B =  A =    −1 5 7    1 5 6 1 0 3 −3 h ) i 1 2×4 Demonstração. Para generalizar o método, escrevo A = (A (A2 )1×4 e B = [ (B1 )4×1 (B2 )4×1 (B3 )4×1 ]. Assim, notando que os produtos indicados abaixo estão definidos,   " #  −1 23 −10    A1 B1 A1 B2 A1 B3 AB = =  37 −13 8  .   A2 B1 A2 B2 A2 B3 29 23 41  2


4. Mostre que o produto de um número qualquer de matrizes inversíveis é inversível e, se A1 , . . . , Ak são matrizes n×n inversíveis então (A1 · · · Ak )−1 = −1 −1 −1 A−1 k Ak−1 · · · A2 A1 . Demonstração. Vamos argumentar por indução em K. Se k = 2 temos I I z}|{ z}|{ −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 (A1 A2 )−1 = A−1 2 A1 , pois A2 A1 A1 A2 = A2 A2 = I = A1 A1 = A1 A2 A2 A1 . Esta é a base da indução. Para demonstrar o passo da indução, suponha que o resultado vale de n = 2 −1 −1 até k − 1, ou seja, (A1 · · · An )−1 = A−1 n · · · A2 A1 para n = 2, . . . , k − 1 , e vejamos que isto implica a validade do resultado para k. Escrevendo Bi = Ai para i = 1, . . . , k − 2 e Bk−1 = Ak−1 Ak , temos −1 −1 −1 −1 −1 (B1 · · · Bk−1 )−1 = B−1 k−1 · · · B2 B1 = (Ak−1 Ak ) Ak−2 · · · A1 . O resultado segue da base da indução aplicado em Ak−1 Ak .  5. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que, para qualquer n ∈ N, se An+1 = 0 então (I − A)−1 = I + A + · · · + An . (Sugestão: Multiplique por I − A.) Demonstração. Note que (I − A)(I + A + · · · + An ) = I + A + · · · + An − A − · · · − An − An+1 = I − An+1 . Note que o produto não depende da ordem e que a última igualdade deve ser demonstrada por indução (faça isso). Como An+1 = 0, temos que (I −A)(I +A+· · ·+An ) = (I +A+· · ·+An )(I −A) = I.  6. Seja Jn a matriz quadrada dada por (Jn )i j = 1 para todo par (i, j). Mostre 1 que se n > 1 então (I − Jn )−1 = I − n−1 Jn . (Sugestão: Calcule Jn2 .) Demonstração. Utilizando o método estabelecido no exercício 3 e denotando Jn = [ an | ... | an ], onde an é um vetor n × 1 com 1 em todas as entradas, podemos observar que (Jn2 )i j

n X = (JnT )ik (Jn )k j = aTn an . k=1

Agora basta mostrar por indução que aTn an = n. Está claro que aT1 a1 = 1. Suponha que o resultado vale para n = 1, . . . , k − 1, vamos mostrar que isto implica que o resultado vale para n = k também. Ora, aTk ak = aTk−1 ak−1 + 1 = (k − 1) + 1 = k termina a demonstração. 1 1 1 1 Temos que (I − n−1 Jn )(I − Jn ) = I − Jn − n−1 Jn + n−1 Jn2 = I − n−1 (nJn − Jn2 ) = I. Verifique que o produto acima é comutativo. 

3


Lista 1 - Modelagem e Matemática