Page 1

De la Grecia clásica hasta la invención del sistema decimal Grupo historia de las matemáticas 23 de febrero de 2011 Resumen En este capítulo realizaremos un breve recorrido por la Grecia clásica, prestando especial atención a los problemas geométricos relacionados con el número π, hasta llegar al inicio de la invención del sistema decimal. Iniciaremos nuestra andadura con el padre de la matemática, Tales de Mileto, nos adentraremos en las cuadraturas de las lúnulas de Hipócrates y la cuadratriz de Hipias, que iniciaron el estudio del problema de la cuadratura del círculo, hasta llegar a los maravillosos cálculos que el gran Arquímedes realizó sobre el número π en su manuscrito Sobre la medida del círculo

Contenidos 1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Los inicios de la matemática. Tales de Mileto y Pitágoras de Samos . . 3. El problema de la cuadratura. La cuadratura del círculo . . . . . . . . 3.1. Cuadraturas de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Hipócrates de Quíos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. El metodo de exhaución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 7

7 10 13

4. Arquímedes y la medida del círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5. Referencias bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


1.

Introducción

La Historia de la Grecia antigua ha producido desde siempre una profunda fascinación en los historiadores, filósofos y científicos. Es en esta época y en este lugar donde se produce un cambio en el pensamiento, cuyas circunstancias todavía no son totalmente entendidas, que provoca el nacimiento de la filosofía y la ciencia. Para poder comprender la magnitud del cambio en el pensamiento que iniciaron estos valeroso hombres armados solo con su ingenio, necesitamos situarnos en la época que vivieron. Podemos dividir la Historia de la Grecia antigua en diferentes periodos. La Edad de Bronce (2000 - 1100 a.C). Se conoce como la prehistoria de Grecia y a su vez se puede dividir en dos etapas, La época minoica o cretense (2000-1300 a.C), llamada así porque uno de sus reyes más importantes fue el rey Minos, y la época micénica o continental (1600-1100 a.C). La Civilización que se desarrolló durante la época minoica fue de las más poderosas del momento debido a la gran riqueza de sus reyes. Se situó en Creta y basada en una poderosa flota mantuvieron un Fig. 1: Ciudades Griegas en la época fructífero comercio con Egipto y Siria. Desde Arcaica Creta Se extendieron a las islas circundantes y posteriormente a la Grecia continental. Poco después del 2000 a.C se produjo una invasión por pare de ciertas tribus de origen indoeuropeo, de entre las que la más importante era la de los Aqueos que invadieron Creta sobre el 1400 aC. Los Aqueos asimilaron una gran parte de la cultura minoica, aunque poco a poco desarrollaron un arte propio. Los Aqueos fueron un pueblo Guerrero, participó en la guerra de Troya, construyeron ciudades amuralladas, como Micenas. A esta época pertenece el gran rey Agamenón y la expedición troyana relatada posteriormente por Homero. La Edad de Hierro (1100 - 800 a.C). La Edad de Bronce acaba con la invasión Doria, que marca el final de la civilización micénica y el comienzo de la edad de hierro. Este es el comienzo de una época oscura donde desaparece la escritura hasta que en el siglo VIII aC los griegos adoptan la escritura alfabética fenicia. La Época Arcaica (VIII - VI a.C). Esta época se caracteriza por una recuperación de la cultura griega y fundamentalmente por la aparición de las primeras “polis”, ciuades estado griegas. Las polis tenían una estructura similar, formada por la acrópolis, el ágora y la muralla. La acrópolis era una fortaleza o ciudad fortificada que se solía construir en la parte superior de la ciudad y que servía como lugar de reunión y protección en caso de conflicto bélico. El ágora o plaza pública era el centro neurálgico de la polis, donde se reunían los ciudadanos, aquí se concentraba la actividad comercial,


III Seminario sobre Historia de las Matemáticas cultural y en general pública de la ciudad. Por último las polis solían tener una muralla defensiva que abarcaba más terreno que la acrópolis y que se iba construyendo conforme la ciudad crecía. Las polis constituían centros independientes unas de otras. Ha esta época pertenecen los primeros filósofos y matemáticos, Tales que fundó la escuela de Mileto a la que pertenecieron los filósofos Anaxímenes, Anaximandro y posteriormente Heráclito. A esta época también pertenece Pitágoras y su escuela. Esta época acaba con el inicio de las guerras médicas, cuando los persas invaden Grecia. En particular hacia el año 494 a.C los persas invaden y saquean Mileto lo que acaba con su preeminencia política, cultural y económica, que ahora se traslada a Atenas. La época Clásica (V - VI a.C). La victoria de Grecia en las guerras médicas produce un fortalecimiento político y militar de Grecia. En esta época se vive un apogeo de las Polis griegas, representadas en su máxima expresión por Atenas. Estamos en el siglo de Pericles cuando Atenas se consagra como potencia política, militar, cultural y económica. Ha esta época pertenecen los dramaturgos teatrales Eurípides, Sófocles y Esquilo, así como los filósofos Platón y Aristóteles. Esta nueva hegemonía de Atenas sobre el resto de Polis griegas despertó el recelo de Esparta que con ayuda de Persia se enfrentó y derrotó a la primera e las llamadas guerras del Peloponeso. Aquí comenzó una nueva época en la que Esparta dominaba el territorio griego de forma más dura y opresiva que Atenas. La época Helenística o Alejandrina (336 - 146 aC) El inicio de esta época está marcado por el nombramiento de Alejandro Magno como nuevo rey. Con Alejandro el territorio griego se extiende por Asia, se conquista el imperio Persa y se establecen nuevos comercios y relaciones. Surgen nuevas unidades políticas mayores que las Polis. A la muerte de Alejandro Magno el poder pasa a los diádocos. El fin de esta época esta marcado por la invasión de los romanos. Grecia se convierte en provincia de Roma

2.

Los inicios de la matemática. Tales de Mileto y Pitágoras de Samos

En la época Arcaica, durante los siglos VI y V a.C. fue cuando la ciudad de Mileto vivió su máximo esplendor. Situada en la costa oeste de Asia Menor mantuvo un prospero comercia con Egipto y Siria a través del mar y con babilonia a través de tierra. Esto propicio un continuo contacto con estas culturas. Tales (611-545 a.C.) vivió en esta época de esplendor de la ciudad. Es considerado como el primer filósofo y matemático, aunque también fue comerciante y legislador. Circulan varias anécdotas sobre su vida, como la que dice que predijo, gracias a sus conocimientos astronómicos, una excelente cosecha de aceituna lo que le llevó a alquilar todos los molinos para producir aceite con anticipación. Esto le reportó grandes

4

CPR de Lorca


Los inicios de la matemática. Tales de Mileto y Pitágoras de Samos beneficios económicos al hacerse con el monopolio de la producción de aceite y poder poner los precios más elevados. También se dice de él que predijo el eclipse solar que se produjo hacia el año 585 a.C. Realmente los datos que conocemos sobre su vida son a través de referencias de escritores bastante posteriores, por lo tanto hay que se prudentes en la afirmación de la exactitud de los mismos. Tales viajó a Egipto en su juventud, donde permaneció durante un largo período que coincide con el reinado del faraón Amasis. Allí aprendió geometría de los sacerdotes egipcios. Proclo nos cuenta sobre él en su comentario a los elementos de Euclides. “Primero fue a Egipto y de ahí introdujo sus conocimientos (sobre geometría) en Grecia. Descubrió muchas proposiciones por si mismo y enseñó a sus sucesores en los principios básicos de muchas otras, sus métodos de resolución eran en algunos casos generales (es decir, más teóricos o científicos) y en otros empíricos (basados en la observación)”

Fig. 2: Tales de Mileto

Es decir, con Tales se produce un cambio en la forma de hacer matemáticas. Para las civilizaciones anteriores, incluidas la Egipcia, las matemáticas tenían una finalidad práctica, sin embargo con Tales cambia esta concepción. Tales se planteará cuestiones más generales desligadas de cualquier utilidad práctica. Esto marca el inicio de la matemática como ciencia, pero además, como veremos más adelante, Tales marcará también los inicios de la filosofía. Se le atribuyen cinco teoremas geométricos.

Un círculo está bisecado por su diámetro. Los ángulos de la base de cualquier triángulo isósceles son iguales. Si dos lineas rectas se cortan, los ángulos opuestos verticales son iguales Si dos triángulos tienen dos ángulos y uno de sus lados iguales, los triángulos son congruentes Fue el primero en inscribir en una circunferencia un ángulo recto, es decir, Tales sabía que en un semicirculo el ángulo inscrito es un ángulo recto. Como podemos ver estos resultados tienen un sabor más general que la simple utilidad práctica. Algunos de estos resultados los usó para poder resolver otros problemas como calcular la altura de una pirámide o la distancia de un barco a la costa. Pero, ¿Cómo demostró Tales estos teoremas? No podemos decir que desarrollará un sistema como el generado por Euclides con axiomas, definiciones y a partir de estos

CPR de Lorca

5


III Seminario sobre Historia de las Matemáticas dedujera las demostraciones. Tales disponía de muy pocas herramientas matemáticas y sus demostraciones serían una mezcla de deducción, observación e incluso generalización de hechos comprobados de manera práctica. Además, Tales inició el pensamiento filosófico. Antes de él la concepción del universo era mitológica y basada en los dioses. Sin embargo, Tales se planteará preguntas que intentará resolver usando la razón, apartando las respuestas basadas en la mitología o en la religión, es el cambio del mito al logos. Iniciará una búsqueda de la sustancia básica origen de todas las cosas, que para él será el agua, de lo que todo viene y a lo que todo vuelve. Quizás llegara a plantearse el agua como sustancia básica influenciado por su estancia en Egipto donde pudo observar las continuas crecidas del Nilo y las consecuencias que estas tenían sobre la tierra cuando el agua volvía a su cauce y las zonas inundadas volvían a ser productivas. Con Tales se crea la escuela de Mileto a la que también pertenecen Anaximandro y Anaxímenes. Si Tales introdujo la geometría en Grecia y lo podemos considerar como el inicio del pensamiento matemático y filosófico debemos a Pitágoras el llevar a la matemática hasta el nivel de una ciencia. Pitágoras nació en Samos, una pequeña isla cercana a la costa oeste de Asia Menor, cerca de Mileto. No se tiene certeza plena de su fecha de nacimiento, aunque se piensa que podría ser aproximadamente por el año 570 a.C. Parece que pudo aprender matemáticas de Tales y que cuando este era ya anciano le aconsejó que viajara a Egipto para completar sus conocimientos de geometría. Además de Egipto, Pitágoras visitó Creta, Babilonia (donde aprendió astronomía), e incluso se cree que pudo llegar hasta la India donde se empaparía de las teorías místico religiosas como la reencarnación y la transmigración de las almas. Cuando volvió a Samos encontró una ciudad gobernada por el tirano Polycrates y en poder de los persas, lo que le llevó a emigrar al sur de Italia, exactamente a Crótona donde fundó su escuela. En Crótona enseñó matemáticas y eligió entre sus alumnos a los más capacitados para formar parte de su escuela. Esta escuela pitagórica tuvo tintes de secta donde el líder era Pitágoras y todos sus discípulos se referían a él como el autor de todos los descubrimientos. Por tanto no podemos separar lo que fue descubierto por él y lo que fue descubierto por sus discípulos. Pitágoras fue quien por primera vez intentó expresar en términos matemáticos el universo, colocando el número como la base de su sistema filosófico, podemos decir que fue el iniciador de la matemática como una teoría. Eudemo nos dice sobre él Pitágoras transformó la Geometría en una Ciencia liberal, viendo sus principios de una forma puramente abstracta e investigando sus teoremas desde un punto de vista inmaterial e intelectual A los Pitagóricos debemos que sistematizará el estudio geométrico de los problemas que se planteaba, usando por primera vez definiciones y transformando la Geometría en un saber científico separado de los demás. El estudio del número π, en esta primera época, esta basado casi por completo, en desarrollos geométricos, por lo tanto nos fijaremos en las teorías geométricas usadas

6

CPR de Lorca


El problema de la cuadratura. La cuadratura del círculo para comprender la naturaleza de este número. En particular nos interesan los desarrollos geométricos introducidos en la Grécia clásica por parte de la escuela Pitagórica. Los principales resultados que podemos atribuir a los pitagóricos, en geometría, son los siguientes: Demostraron que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos Demostraron el “Teorema de Pitágoras”, que ya era conocido por los sacerdotes Egipcios, aunque ellos no lo demostraron Descubrieron las cantidades inconmensurables, ahora conocidos como números irracionales, lo que produjo la primera crisis de la matemática, ya que la filosofía de Pitágoras colocaba al número como medio para explicar el Universo Se atribuye a Pitágoras el descubrimiento de lo que él llamó las figuras cósmicas, los cinco sólidos regulares. Iniciaron la teoría de la aplicación de las áreas. Esta teoría, de vital importancia en la geometría Griega, consistía en el estudio del siguiente problema. Dadas dos figuras, construir una tercera figura semejante a una e igual a la otra. (Euclides VI, 25) Con la teoría de la aplicación de las áreas los pitagóricos iniciaron el Álgebra Geométrica, usando procesos geométricos equivalentes a los de suma, resta, multiplicación, división, extracción de raíces cuadradas para resolver ecuaciones del tipo x2 ± px ± q = 0 con soluciones reales. Esta teoría comprende el Libro II y gran parte del I de los Elementos de Euclides. Pero lo que nos interesa a nosotros, es un caso particular de la teoría de la aplicación de las áreas, el problema de las áreas equivalentes, es decir, transformar una figura dada en otra diferente con la misma área. En el caso de los Griegos tuvo una gran repercusión el obtener, dada una figura, un cuadrado de la misma área, conocido como problemas de cuadratura.

3.

El problema de la cuadratura. La cuadratura del círculo

3.1 Cuadraturas de polígonos La geometría Griega se desarrolla fundamentalmente a través de tres problemas, la cuadratura del circulo, la trisección de un ángulo y el problema de la duplicación del cubo. Sólo el primero de estos tres problemas tiene una relación directa con el estudio del número π y por ello dedicaremos nuestra atención a este. No realizaremos un estudio detallado de los avances realizados por los griegos en él, sino que daremos unas

CPR de Lorca

7


III Seminario sobre Historia de las Matemáticas pinceladas que nos permitan entender mejor los trabajos realizados posteriormente por los matemáticos griegos para intentar penetrar en los entresijos del número π. Ya hemos hablado del problema de la cuadratura que consistía en obtener un cuadrado de igual área que la de otra figura dada. Pero el problema tenía ciertas restricciones que lo hicieron especialmente interesante. Para resolver el problema los griegos se propusieron usar solamente una regla (sin numerar) y un compás, es decir sólo usaban rectas y círculos como herramientas básicas de construcción, las dos figuras más perfectas y uniformes en una y dos dimensiones. Hay que recordar que para los griegos resolver el problema consistía en poder construir dicho cuadrado. Los pitagóricos conocían ciertas cuadraturas que detallamos a continuación: La cuadratura de un rectángulo. Suponemos que tenemos un rectángulo con vértices en los puntos A, B, C y D. Primero construimos el cuadrado. Con la regla prolongamos el lado AD hacia la derecha y marcamos el punto E, de forma que la distancia de D a E sea la misma que la de D a C. Dibujamos el punto medio del segmento AE y lo denotamos por la letra O. Ahora con centro en O trazamos el semicirculo de radio OE. Prolongamos el lado CD, de manera que cortará a la semicircunferencia en el punto H. Ya sólo nos queda trazar el cuadrado de Fig. 3: Construcción del cuadrado vértices H, D, F y G. con la misma área que el Hemos construido el cuadrado, usando corectángulo mo herramientas una regla (sin numerar) y un compás. Nos queda ahora comprobar que, efectivamente, el cuadrado construido tiene la misma área que el rectángulo de partida. Llamamos a, b y c a las longitudes de los segmentos OH, OD y DH respectivamente. El teorema de Pitágoras nos dice que a2 − b2 = c2 . Por otro lado del dibujo queda claro que DE = CD = a − b y AD = a + b Una nueva inspección al dibujo nos dice que: Area(ABCD) = AD × CD = (a + b)(a − b) = a2 − b2 = c2 = Area(HDF G) La cuadratura de un triángulo. Partimos de un triángulo de vértices A, B y C. Dibujamos la perpendicular a AB que pasa por C. Denotamos por H el punto de corte de esta perpendicular con la base del triángulo AB.

8

CPR de Lorca


El problema de la cuadratura. La cuadratura del círculo Dibujamos el punto medio del segmento CH y lo denotamos por M. Ahora construimos el rectángulo ABDE con DB = EA = MH.

Fig. 4: Cuadratura del triángulo Es fácil demostrar que el triángulo de partida y el rectángulo construido tienen la misma área 1 CH Area(ABC) = AB × CH = AB × 2 2 = AB × MH = AB × DB = Area(EABD) Como sabemos cuadrar un rectángulo, sólo nos quedaría realizar el proceso de cuadrar el rectángulo resultante. La cuadratura de un polígono. Los pitagóricos emprendieron una vez cuadrados el rectángulo y el triángulo la construcción de la cuadratura de un polígono. Vamos a ver, a modo de ejemplo, como cuadraron un polígono de 5 lados.

Fig. 5: Cuadratura de un polígono Supongamos que tenemos el polígono ABCDE, lo triangulamos de manera que tenemos tres triángulos de áreas S1 , S2 y S3 . Podemos cuadrar cada uno de estos triángulos, obteniendo tres cuadrados de lados a1 , a2 y a3 respectivamente.Empezamos

CPR de Lorca

9


III Seminario sobre Historia de las Matemáticas construyendo un triángulo rectángulo de catetos a1 y a2 e hipotenusa un valor d1 . Construimos a continuación otro triángulo rectángulo con catetos d1 y a3 e hipotenusa d2 . El cuadrado de lado d2 será el que estamos buscando para cuadrar el polígono. Esto lo podemos comprobar fácilmente de la siguiente forma. d22 = d21 + a23 = a21 + a22 + a23 = S1 + S2 + S3 Es evidente que esta forma de proceder la podemos adaptar a un polígono con un número de lados mayor que tres, con lo que queda completado el procedimiento para cuadrar polígonos. Los pitagóricos por tanto establecieron la forma de cuadrar cualquier tipo de polígono irregular, pero se plantearon llegar mas lejos y se preguntaron que ocurría con las figuras que tenían una frontera curva. ¿Son cuadrables estas figuras? Por supuesto la figura más emblemática para los griegos era el círculo y de aquí que empezaran a preguntarse si el círculo era cuadrable. El primer matemático del que se tiene constancia de haberse preocupado por el tema es Anaxágoras (aprox. 500 - 428 a.C.), filósofo perteneciente a la escuela de Mileto. Plutarco escribe al respecto “Mientras estaba en prisión (Anaxágoras) escribió la cuadratura del círculo”, aunque probablemente Anaxagoras conociera la regla egipcia para cuadrar el círculo y por lo tanto sólo dibujara en la tierra un cuadrado con área próxima a la del circulo. Después de Anaxagoras, Hipócrates de Quíos realizó un gran avance en el tema al intentar cuadrar las llamadas lunas o lúnulas de Hipócrates.

3.2 Hipócrates de Quíos Hipócrates fue comerciante al igual que Tales, nació en la isla de Quíos situada junto a las costas de la que hoy es Turquía. Parece ser que la desgracia le hizo perder sus pertenencias, ya fuera por el robo a cargo de los piratas o por los oficiales de aduanas corruptos. Quizás influyera en esto su carácter un tanto débil, no en vano Aristóteles dice de él: “Es bien conocido que personas, estúpidas en un aspecto, no lo son sin embargo en otros, no hay nada extraño en esto: así Hipócrates, aunque experto en Geometría, parece haber sido débil y estúpido en otros aspectos; y él perdió, como se dice, a través de su simplicidad, una gran suma de dinero a causa del fraude de los inspectores de aduanas” Estas palabras, son duras en cuanto a la personalidad de Hipócrates, aunque sin embargo, también se puede desprender de ellas el respeto que inspiraba en el gran Aristóteles el trabajo geométrico del matemático. Lo cierto es que Hipócrates, después de haber perdido sus bienes, tuvo que ir a Atenas con la intención de recuperarlos mediante litigio. Una vez en Atenas mantuvo contacto con algún grupo de pitagóricos, de los que aprendió geometría. Se le permitió enseñarla para conseguir dinero, lo que

10

CPR de Lorca


El problema de la cuadratura. La cuadratura del círculo produjo que fuera expulsado de dicho grupo a causa, no de enseñar geometría, sino de atribuirse los descubrimientos a sí mismo, cuestión esta de la que los pitagóricos eran muy celosos. Hipócrates es sin lugar a duda uno de los grandes geómetras de la antigüedad, se le atribuye haber sido el primer matemático en escribir unos Elementos de geometría, hoy perdidos. Sus trabajos fundamentales fueron la cuadratura de ciertas lunas y la reducción del problema de la duplicación del cubo a encontrar dos medias proporcionales. Sobre su importancia en la matemática de su época podemos citar a Lucas N.H. Bunt [3, pag. 96] “Si comparamos la geometría de hipócrates con la de Tales, observamos que en 150 años se ha realizado un enorme progreso. Tales realizó un modesto comienzo: unos pocos teoremas, la demostración de los cuales (si es que la hizo) era de un tipo intuitivo. Hipócrates demostró conocimiento en muchas áreas de la geometría plana: congruencia, similaridad, áreas, el teorema de Pitágoras y otros relacionados, ángulos en círculos y todo tipo de construcciones. Puede que tuviera una vaga idea de conceptos como cociente y similaridad, de forma que sus demostraciones puede que no fueran impecables, pero sin embargo realizó un importante avance en el camino de la intuición a la deducción” Vamos a centrarnos en el problema que nos interesa, que no es otro que el de las cuadraturas de las lunas o lúnulas de Hipócrates. Una luna o lúnula es la región encerrada por dos arcos de dos circunferencias distintas. Hipócrates cuadró varios tipos distintos de estos objetos matemáticos, cuadraturas a las que seguramente llegó intentando resolver el problema más complejo de cuadrar un círculo.

C

E F

A

D

B

Fig. 6: Primera luna cuadrada por Hipócrates La primera luna que intentó cuadrar se puede ver en la figura Fig. 6. Suponemos que tenemos un círculo de diámetro AB, con centro en D. Inscribimos un cuadrado en dicho círculo con dos lados en AC y CB. Describimos el semicírculo AEC con

CPR de Lorca

11


III Seminario sobre Historia de las Matemáticas diámetro AC. El Teorema de Pitágoras nos dice que AB 2 = 2 · AC 2 y además, los círculos (y por tanto también los semicírculos) son uno a otro como los cuadrados de sus diámetros, por lo que: Área semicirculo AEC Área semicirculo ACB

=

AC 2 1 = AB 2 2

y por lo tanto el semicírculo AEC tiene la mitad del área del semicírculo ACB. Pero como el área del cuadrante AF CD es la mitad del semicírculo ACB tenemos que el área del semicírculo AEC es igual al área del cuadrante AF CD. Si ahora restamos

Área semicírculo AEC−Área región AF C = Área cuadrante AF CD−Área región AF C o lo que es lo mismo Área luna AF C = Área triángulo ACD. Pero como los triángulos se sabían cuadrar también se obtenía de aquí la cuadratura de esta luna. Hipócrates utiliza principalmente tres resultados geométricos en su desarrollo: El teorema de Pitágoras El ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto Las áreas de dos círculos, o semicírculos, son una a otra como los cuadrados de sus diámetros Las dos primeras eran conocidas por los geómetras griegos desde tiempos muy anteriores a Hipócrates, sin embargo la tercera es más sofisticada y hay dudas de que realmente tuviera una demostración rigurosa de la misma, aunque debía conocerla para realizar la cuadratura anterior. A continuación realizó la cuadratura de una luna más un semicírculo. Procedió de la siguiente manera: Consideró la mitad de un hexágono regular inscrito en un círculo y un semicírculo de radio igual al lado de dicho hexágono y por lo tanto también al radio del círculo en el que está inscrito, ver figura 7. Describió, entonces, semicírculos en cada uno de los lados del hexágono. Ahora como CD 2 = 4 · AB 2 = AB 2 + CE 2 + EF 2 + F D 2 , y los círculos son uno a otro como los cuadrados de sus diámetros tenemos que Semicírculo CEF D =4 · Semicírculo ALB = Semicírculo ALB + Semicírculo CGE+ + Semicírculo EHF + Semicírculo F KD y de aquí es fácil obtener que

12

CPR de Lorca


El problema de la cuadratura. La cuadratura del círculo

Trapecio CEF D = Suma de las tres lunas + Semicírculo ALB

H N G L

A

E M

B

C

F

K O

D

Fig. 7: Cuadratura de una luna mas un semicírculo realizada por Hipócrates Aquí se produce ahora un punto de controversia, ya que según ciertos autores Hipócrates podría haber realizado un razonamiento falso de la siguiente forma: quitando la figura rectilínea igual a las tres lunas (primera cuadratura realizada por Hipócrates) obtenemos una figura rectilínea igual al semicírculo, que por tanto estaría cuadrado. Otros autores, sin embargo no creen en la posibilidad de que Hipócrates hubiera podido realizar un razonamiento de este tipo. A este respecto podemos citar al gran estudioso de la matemática griega, sir thomas Heath “Es imposible que Hipócrates, uno de los más hábiles geómetras, pudiera haber cometido un error tan garrafal” Lo cierto es que estas cuadraturas realizadas por Hipócrates, junto a otras tres más que realizó distinguiendo cuando la frontera exterior de la luna era mayor, igual o menor que un semicírculo, sirvieron para que otros matemáticos pensaran que se podía estar cerca de la solución más general de la cuadratura del círculo y se plantearan resolver el problema.

3.3 El metodo de exhaución Entre los matemáticos que se aventuraron con el problema de la cuadratura del círculo espoleados por los resultados de Hipócrates cabe destacar a Antifón y Bryson, cuyos trabajos sirvieron como preámbulo para que Eudoxo creara su conocido método de exhaución con el que los griegos pudieron tratar con el concepto de límite y que en manos de Arquímedes alcanzará su máxima expresión. Antifón fue orador y estadista, conocido por haber tomado la retórica como profesión. En la enciclopedia Británica podemos leer sobre él:

CPR de Lorca

13


III Seminario sobre Historia de las Matemáticas “Fue un un escritor de discursos para los demás hombres para entregar en su defensa ante el tribunal, una función que es particularmente útil en el clima de acusaciones y contra acusaciones que prevaleció en Atenas al término de la Guerra del Peloponeso, entre Atenas y Esparta”

Fig. 8: Método de Antifón

El método de Antifón consistía en inscribir un polígono regular en un círculo, parece ser que en el método original utilizó un triángulo equilátero. Supongamos que el polígono regular inscrito es un cuadrado (el método funciona igual), sobre cada lado se inscribe un triángulo isósceles cuyo lado desigual coincide con el lado del polígono, de manera que obtenemos otro polígono regular, con el doble de lados e inscrito en el círculo. Volvemos a realizar la misma operación sobre cada lado del polígono resultante para obtener otro polígono regular con el doble de lados e inscrito en el círculo.

Antifón piensa que continuando con este proceso “llenará” toda el área del círculo, de forma que en algún momento dispondrá de un polígono inscrito cuyas caras, debido a su pequeñez, coincidirán con la circunferencia del círculo y como todos los polígonos se pueden cuadrar tendrá cuadrado el círculo. Este argumento es evidentemente falso, aunque supone un gran avance ya que introduce la idea de “rellenar” el área del círculo por medio de una sucesión de polígonos inscritos con un número creciente de lados, sobre la que Eudoxo creará su método de exhaución. Bryson, otro sofista, se acercó más al método de exhaución, añadiendo al método de Antifón el circunscribir polígonos, de forma que ahora el círculo quedaría entre un polígono inscrito y otro circunscrito, los dos con el mismo número de lados. Este método es conocido como el método de compresión. El punto clave de su razonamiento lo alcanza al afirmar que si inscribimos y circunscribimos polígonos con mayor número de lados la diferencia entre estos se haría tan pequeña como quisiéramos y si obtenemos el polígono intermedio en cada proceso, este se aproximaría al círculo tanto como deseáramos. El error de Bryson aparece cuando declara que en un momento dado dicho polígono intermedio coincidirá con la circunferencia. En estos dos intentos de cuadrar el círculo queda patente que los griegos manejaban la idea de límite, aunque no disponían de una fundamentación rigurosa de la misma. Será Eudoxo quién proporcione el fundamento teórico a estos procesos, evitando de una manera muy ingeniosa el paso al límite, cuestión esta a la que los matemáticos griegos tenían verdadero pánico. El método de exhaución se basa en en el siguiente enunciado: “Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una (magnitud) mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su

14

CPR de Lorca


Arquímedes y la medida del círculo mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.” (Elementos de Euclides X.1) ver [5]. que Euclides demuestra usando el conocido como axioma de Arquímedes y que podemos encontrar en la definición 4 del libro V de los Elementos de Euclides. Esta definición dice : “Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra” Con estas herramientas Eudoxo demuestra varios teoremas enunciados anteriormente por Hipócrates y Demócrito y que aparecen en los Elementos de Euclides en las proposiciones XII.7, XII.10 y en la proposición XII.2 donde se encuentra una aplicación demostrativa de este método.

4.

Arquímedes y la medida del círculo

Terminaremos este recorrido por la geometría griega con el trabajo más importante de todos los realizados durante esta época en relación con el número π. En el manuscrito La medida del círculo, Arquímedes demuestra tres proposiciones Proposición 1 El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo, en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo. Proposición 2 El área del círculo es al cuadrado de su diámetro como 11 a 14 Proposición 3 El cociente entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro 1 10 es menor que 3 pero mayor que 3 7 71 En la proposición XII.2 de los Elementos de Euclides se introduce la constante π para todos los círculos, aunque no se considera como un número, sino que se establece como una proporción. Además, era conocido, que había también una proporción constante entre la longitud de la circunferencia y el diámetro de la misma. Será en la proposición 1 del tratado “La medida del círculo” de Arquímedes donde se demuestre por primera vez que estas dos constantes son las mismas. Se sabía que esto debía ser así, pero hasta entonces no se disponía de una demostración rigurosa Si llamamos a las constantes relacionadas con los círculos y circunferencias respectivamente por T y K, tenemos que se sabía Area Circulo = T · r 2 y Longitud Circunferencia = 2Kr y estas constantes no variaban al cambiar el tamaño de círculos y circunferencias. Ahora si aplicamos la proposición 1 de Arquímedes tenemos:

T · r2 =

CPR de Lorca

1 · r · 2 · K · r = K · r2 2

15


III Seminario sobre Historia de las Matemáticas es decir T = K. Los Griegos no representarán esta constante de la forma que la conocemos ahora, por π, deberemos esperar varios siglos para que un matemático inglés introduzca esta nomenclatura. Arquímedes demuestra la proposición 1 usando un argumento de doble reducción al absurdo y el método de exhaución. La proposición 3 produce uno de las aproximaciones más conocidas del número π, cuya importancia reside, no solamente en la acotación del número, sino en el método empleado para conseguirla y que será básicamente el que se utilice hasta el siglo XVI. El proceso consiste en inscribir y circunscribir polígonos regulares a la circunferencia, e ir doblando en cada paso el número de lados. Arquímedes llegó a un polígono de 96 lados para obtener su acotación, un resultado asombroso si pensamos en la nomenclatura empleada en esa época y en las dificultades para realizar cálculos numéricos.

5.

Referencias bibliográficas

[1] Allman, George Johnston. Greek geometry. From Tales to Euclid. Ed. Dublin University Press. 1889 [2] González Urbaneja, P.M. Arquímedes y los orígenes del cálculo integral. Ed. Nivola. 2008. [3] Bunt, Lucas N.H, Jones, Phillip S, y Bedient, Jack D. The historical roots of elementary mathematics. Ed. Dover 1976. [4] Coolidge, Julian Lowell. A history of geometrical methods. Ed. Phoenix Editions 2003. [5] Euclides. Elementos. Ed. Gredos 1991. [6] Heath, Sir Thomas. A history of Greek mathematics Vol I. Ed. Dover. 1981 [7] Heath, Sir Thomas. A history of Greek mathematics Vol II. Ed. Dover. 1981 [8] Hobson, E.W.. Squaring the circle. A history of the problem Ed. Cambridge University press. 1913

16

CPR de Lorca

grecia clásica  

historia de pi

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you