Page 1

UNIVERZITET U PRIXTINI FAKULTET TEHNIQKIH NAUKA KOSOVSKA MITROVICA

MATEMATIKA zbirka zadataka za prijemni ispit

Dragana Radosav evi Nadica Mihajlovi


Dragana Radosav evi Nadica Mihajlovi Recenzent: dr Diana Dolianin eki Korice: Jovana Milosav evi Tehniqka obrada: Dragana Radosav evi Mirjana Radosav evi


PREDGOVOR U ovoj zbirci se nalaze zadaci iz oblasti elementarne matematike koje su obuhvaene programom prijemnog ispita na tehniqkim i prirodno-matematiqkim fakultetima. U prvom delu zbirke je dat pregled teorije, koja je neposredno vezana za zadatke. Drugi deo je sastav en od zadataka prilagoenih pripremi za prijemni ispit. Zadaci su grupisani u komplete kakvi se polau na prijemnom ispitu na Fakultetu tehniqkih nauka u Kosovskoj Mitrovici. U posledem delu zbirke nalaze se rexea svih zadataka. Ova zbirka je prvenstveno nameena kandidatima koji se pripremaju za polagae prijemnog ispita na Fakultetu tehniqkih nauka u Kosovskoj Mitrovici, ali mogu da je koriste i kandidati koji se spremaju za polagae prijemnog ispita na tehniqkim, prirodno - matematiqkim i ostalim fakultetima na kojima se u okviru prijemnog ispita polae matematika. Zahva ujemo se recenzentu, prof. dr Diani Dolianin eki na korisnim sugestijama pri izradi zbirke. U Kosovskoj Mitrovici, aprila 2018.

Autori


MALI VODIQ IZ TEORIJE MATEMATIKE Oznake brojnih skupova

- skup prirodnih brojeva (N = N âˆŞ {0}) Z - skup celih brojeva Q - skup racionalnih brojeva I - skup iracionalnih brojeva R - skup realnih brojeva (R - skup pozitivnih realnih brojeva R C - skup kompleksnih brojeva 0

N

+

+ 0

= R+ âˆŞ {0}

)

Malo o brojevima

Broj a je delilac broja c ako postoji takav broj b tako da je c = a ¡ b. Najmai zajedniqki sadralac dva i vixe brojeva je najmai broj u kome se sadre dati brojevi. Najvei zajedniqki delilac dva i vixe brojeva je najvei broj koji se sadri u svim datim brojevima. Broj je prost ako se moe podeliti samo sa 1 i sa samim sobom, u suprotnom broj je sloen. Broj se naziva savrxenim ako je jednak proizvodu svojih delilaca. Broj se naziva deficijentnim ako je suma egovih delilaca maa od ega. Broj se naziva obilnim ako je suma egovih delilaca vea od ega. Dva broja su prijate ska ako je svaki od ih jednak zbiru delilaca onog drugog. 4


De ivost brojeva

De ee nulom nije definisano, tj. nula ne moe biti delilac. Svaki broj je de iv brojem 1. Broj je de iv sa 2 samo ako mu je posleda cifra parna. Broj je de iv sa 3 samo ako mu je zbir cifara de iv brojem 3. Broj je de iv sa 4 samo ako su mu dve poslede cifre de ive brojem 4. Broj je de iv sa 5 samo ako mu je posleda cifra 0 ili 5. Broj je de iv sa 6 samo ako je de iv brojevima 2 i 3. Broj je de iv sa 8 samo ako su mu tri poslede cifre de ive brojem 8. Broj je de iv sa 9 samo ako mu je zbir cifara de iv brojem 9. Broj je de iv sa 10 samo ako mu je posleda cifra 0. Broj je de iv sa 11 ako je razlika izmeu zbira cifra na neparnim mestima i zbira cifara na parnim mestima de iva sa 11. Broj je de iv sa 12 samo ako je de iv brojevima 3 i 2. Broj je de iv sa 15 samo ako je de iv brojevima 3 i 5. Broj je de iv sa 18 samo ako je de iv brojevima 2 i 9. Broj je de iv sa 20 samo ako su mu dve poslede cifre de ive brojem 20. Apsolutna vrednost realnog broja

Neka su x, y, a i b realni brojevi. Tada je: |x| =

p

   x  2 x = max {−x, x} =   −x 

gde je: max {x, y} = 21 (x + y + |x − y|);

min {x, y} =

5

za x ≼ 0 inaqe .

1 (x + y − |x − y|) 2


Osnovne osobine: • |x| = x ; • − |x| ≥ x ≥ |x| ; 2

2

• ||x| − |y|| ≤ |x − y|

• |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a • |x| ≤ |y| ⇔ x 2 ≤ y 2 • |−x| = |x|

;

Stepen realnog broja x

;

• |x y| = |x| |y|

x |x| •

= |y| y

;

;

;

;

; • |x − y| ≤ |x| + |y| . • |x + y| ≤ |x| + |y|

Stepen realnog broja m

(x ∈ R, m ∈ N)

definixe se sa:

x 0 = 1; x 1 = x; x m = a · x m−1 ; (x , 0)

. Osnovne osobine (∀x , 0, y , 0): 1 • x = ; x • x ·x =x ; • x :x =x ; • (x ) = xa ; 1 • x = ; x   x x • = ; y y

  −n   x y n • = y x

−1

m

n

m

m+n

n

• (x · y)n = x n · y n

m−n

m n

m·n

−n

n

n

;

• 1n = 1

;

• 0n = 0

;

n

• 00

n

;

nije definisano

Koren realnog broja

Neka je x, y ∈ R i n, m ∈ N. Aritmetiqki n-ti koren broja x je jedinstveno pozitivno rexee jednaqine t = x. Oznaqava se sa x ili √x. Naime:    x ako je n neparan broj  √ ∀x ∈ R ⇒ x =   |x| ako je n paran broj  6 +

1 n

n

n

n

n


Osnovne osobine: √ • x=x ; √ • x=x ; √ • x=x ; •

3

1 3

n

1 n

√n

xm = x

m n

1 n



= x

1 1 • √n = 1 m x xn 

m

√n

;

m

√ m = nx

;

√ √ x · ny = nx · y √n r x x • √n = n y y p√ p√ √ 1 • nm x = x mn = n m x = m n x

1 2

;

1 m = √n  m = x − n x

; √ • 0 = 0; •

;

;

√n 1=1 n

Algebarski izrazi

Rastav ae polinoma (binoma) • (x + y) = x + 2x y + y ; • (x − y) = x − 2x y + y ;

;

2

2

2

• x 2 − y 2 = (x + y) (x − y)

2

2

2

• x 3 − y 3 = (x − y) x 2 + xy + y 2

; −y ;

;  − xy + y ; 

• (x + y)3 = x 3 + 3x 2 y + 3x y 2 + y 3

• x 3 + y 3 = (x + y) x 2

• (x − y)3 = x 3 − 3x 2 y + 3x y 2

• x 4 + y 4 = (x − y) (x + y) x 2 + y 2

• x4 + x2 + 1 = x2 + x + 1



3

x2 − x + 1



;

; • (x − y − z) = x + y + z − 2xy − 2xz − 2yz; √ √  √ √  x+ y ; • x−y= x− y √ √  √ √ √  • x−y= x− y x + xy + y ; √ √  √ √ √  • x+y= x+ y x − xy + y ;    p p • x + y = x − 2xy + y x + 2x y + y ; • (x + y + z)2 = x 2 + y 2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz 2

4

4

2

2

3

3

3

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

2

2

2

2

2

2

   p p • x 2n + y 2n = x n − 2x n y n + y n x n + 2x n y n + y n

;

• x 2n − y 2n = (x − y) x 2n−1 + x 2n−2 y + · · · + x y 2n−2 + y 2n−1

7



;

2



;


• x 2n+1 + y 2n+1 = (x + y) x 2n − x 2n−1 y + x 2n−2 y 2 − · · · − x y 2n−1 + y 2n • x 2n+1 − y 2n+1 = (x + y) x 2n + x 2n−1 y + x 2n−2 y 2 + · · · + x y 2n−1 + y 2n

Racionalizacija √

√ y x y x x • √ =√ ·√ = y y y y pn p y n−1 x n y n−1 x x • √n = √n · pn = y y y y n−1 √ √ √ √ x− y x− y 1 1 • √ √ =√ √ ·√ √ = x−y x+ y x+ y x− y √ √ √ √ x+ y x+ y 1 1 • √ √ =√ √ ·√ √ = x−y x− y x− y x+ y p p √3 √3 √ √ x2 − 3 x y + 3 y2 x 2 − 3 xy + 3 y 2 1 1 • √3 p = √ = √3 √ ·√ x+y x + 3y x + 3 y 3 x 2 − √3 x y + 3 y 2 p p √3 √3 √ √ x2 + 3 x y + 3 y2 x 2 + 3 xy + 3 y 2 1 1 • √3 p = √ = √3 √ ·√ x−y x − 3y x − 3 y 3 x 2 + √3 x y + 3 y 2

;  ; 

;

;

; ;

; ;

Kvadratna jednaqina

Kvadratna jednaqina je ax + bx + c = 0, a , 0, a, b, c â&#x2C6;&#x2C6; R. Diskriminanta kvadratne jednaqine je: D = b â&#x2C6;&#x2019; 4ac. U zavisnosti od znaka diskriminante mogui su sledei â&#x2C6;&#x161; sluqajevi: â&#x2C6;&#x2019;b ± b â&#x2C6;&#x2019; 4ac D > 0 â&#x2021;&#x2019; rexea su realna i razliqita, x = 2a â&#x2C6;&#x2019;b D = 0 â&#x2021;&#x2019; rexea su realna i jednaka, x = 2a â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;b 4ac â&#x2C6;&#x2019; b D < 0 â&#x2021;&#x2019; rexea su konjugovanoâ&#x2C6;&#x2019;kompleksna, x = ±i 2a 2a b Vijetove formule za kvadratnu jednaqinu: x + x = â&#x2C6;&#x2019; a ; x · x = ac ; Faktorizacija kvadratne jednaqine: ax + bx + c = a (x â&#x2C6;&#x2019; x ) (x â&#x2C6;&#x2019; x ); Kanoniqki oblik kvadratne funkcije: ax + bx + c = a (x â&#x2C6;&#x2019; α) + β; b D gde je taqka (α, β) teme kvadratne funkcije i vai α=â&#x2C6;&#x2019; , β=â&#x2C6;&#x2019; ; 2a 4a   odnosno ax + bx + c = a x + 2ab + 4ac4aâ&#x2C6;&#x2019; b ; 2

2

2

1/2

1/2

2

1/2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

8

2

2


Nejednaqine

Nejednaqina se dobija kada se "izmeu" dva izraza stavi neki od znakova ureea <, â&#x2030;¤, >, â&#x2030;Ľ; rexavaju se prelazei na ekvivalentne nejednaqine, dopustivim transformacijama, kao xto su: 1) ako se obema stranama nejednaqine doda isti broj (ili indentiqki jednaki izrazi) dobijamo ekvivalentnu nejednaqinu 2) ako se nejednaqina pomnoi istim brojem (ili izrazom qiji je znak konstantan) nejednaqina ne mea znak ako je taj broj pozitivan, a mea znak ako je taj broj negativan. 3) nejednaqina se ne mea ako se naki izraz zameni emu indentiqkim izrazom Ako se u nejednaqini jav a koren, tada se mogu koristiti sledee ekvivalencije: p p

f (x) â&#x2030;¤ g (x) â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; 0 â&#x2030;¤ f (x) â&#x2030;¤ (g (x))2 , g (x) â&#x2030;¤ 0

f (x) â&#x2030;Ľ g (x) â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; ( f (x) â&#x2030;Ľ 0, g (x) â&#x2030;¤ 0)

f (x) â&#x2030;Ľ (g (x))2 , g (x) â&#x2030;Ľ 0

Ă&#x153;

Logaritmi

Logaritam broja x za osnovu a je jedinstveno rexee jednaqine x = a . Oznaqava se sa log x = t. Uslovi egzistencije logaritma su x > 0, a > 0 i a , 1. Ako je a = 10, to je dekadni logaritam log x = log x . Ako je a = e (e â&#x2030;&#x2C6; 2, 718281828459045235360287471352 ¡ ¡ ¡ ), to je prirodni logaritam log x = ln x . Osnovne osobine: 1 â&#x20AC;˘ a = x; â&#x20AC;˘ log 1 = 0; ; â&#x20AC;˘ log x = log a log x â&#x20AC;˘ log a = x ; â&#x20AC;˘ log 0 = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;; â&#x20AC;˘ log x = ; log a t

a

10

e

loga x

a

a

x

a

x

b

a

a

b

;

â&#x20AC;˘ loga a = 1

â&#x20AC;˘ loga x n = n loga x

9

;

â&#x20AC;˘ logan x =

1 loga x n

;


â&#x20AC;˘ logaq x p = â&#x20AC;˘ loga

â&#x2C6;&#x161;n

x=

; x;

p loga x q

â&#x20AC;˘ loga (x ¡ y) = loga x + loga y

1 loga n

â&#x20AC;˘ loga

x = loga x â&#x2C6;&#x2019; loga y y

;

;

Kompleksni brojevi

Skup kompleksnih brojeva, u oznaci C, je skup ureenih parova (x, y) , x â&#x2C6;&#x2C6; R, y â&#x2C6;&#x2C6; R, u kome su definisane operacije sabirae (+) i mnoee (¡) na sledei naqin: (x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ); (x , y ) ¡ (x , y ) = (x x â&#x2C6;&#x2019; y y , x y + x y ). U skupu C je 0 = (0, 0) kompleksna nula, 1 = (1, 0) kompleksna jedinica, a i = (0, 1) imaginarna jedinica.   Algebarski oblik kompleksnog broja je: z = x + iy, x, y â&#x2C6;&#x2C6; R, â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 = i â&#x2021;&#x201D; i = â&#x2C6;&#x2019;1 pri qemu je: x = Re (z) realni deo kompleksnog broja z, y = Im (z) imaginarni deo kompleksnog broja z i vai zĚ&#x201E; = x â&#x2C6;&#x2019; iy; Re (z) = z +2 zĚ&#x201E; ; Im (z) = z â&#x2C6;&#x2019;2 zĚ&#x201E; 1

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1 2

1 2

1 2

2 1

2

   i;        â&#x2C6;&#x2019;1; n i =   â&#x2C6;&#x2019;i;       1; 

n = 4k + 1 n = 4k + 2 n = 4k + 3 n = 4k

Za dva kompleksna broja z = x + iy i w = u + iv vai: z = w â&#x2021;&#x201D; x = u â&#x2C6;§ y = v; a rezultati raqunskih operacija nad ima su: â&#x20AC;˘ (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i (y + v); â&#x20AC;˘ (x + iy) â&#x2C6;&#x2019; (u + iv) = (x â&#x2C6;&#x2019; u) + i (y â&#x2C6;&#x2019; v); â&#x20AC;˘ (x + iy) ¡ (u + iv) = (xu â&#x2C6;&#x2019; yv) + i (xv + uy); (x + iy) (xu + yv) + i (â&#x2C6;&#x2019;xv + uy) â&#x20AC;˘ = ; (u + iv) u +v Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je: z = r (cos θ + i sin θ) , r â&#x2030;Ľ 0, θ â&#x2C6;&#x2C6; R,; Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je z = re , r â&#x2030;Ľ 0, θ â&#x2C6;&#x2C6; R x = r cos θ; y = r sin θ ; 10 2

2

iθ


pri qemupje:

moduo kompleksnog broja z; y θ = Arg (z) = arctg argument kompleksnog broja z. x Za dva kompleksna broja z = r (cos θ + i sin θ) i z = r (cos θ + i sin θ ) vai: â&#x20AC;˘ zz = rr (cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ )) = rr e ; z r r â&#x20AC;˘ = (cos (θ â&#x2C6;&#x2019; θ ) + i sin (θ â&#x2C6;&#x2019; θ )) = e ; z r r Moavrove formule: â&#x20AC;˘ (cos θ + i sin θ) = (cos nθ + i sin nθ) = e ; â&#x20AC;˘ z = r (cos nθ + i sin nθ);   â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; θ + 2kĎ&#x20AC; θ + 2kĎ&#x20AC; + i sin ; k = 0, 1, 2, ..., n â&#x2C6;&#x2019; 1. â&#x20AC;˘ z = r cos n n

r = |z| =

x2 + y2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

i(θ+θ 1 )

i(θâ&#x2C6;&#x2019;θ 1 )

1

1

n

n

1

inθ

n

n

n

Nizovi

Aritmetiqki niz: Niz: a , a + d, a + 2d, ..., a + nd, ... naziva se aritmetiqki niz (ili aritmetiqka progresija). Najvanija osobina aritmetiqkog niza je da se svaka dva uzastopna qlana razlikuju za d, tj. vai a = a + d. Svaki qlan niza se moe izraziti pomou prvog qlana a i razlike niza d, tj. vai formula za opxti qlan niza: a = a + (n â&#x2C6;&#x2019; 1)d, i formula za razliku: d = a â&#x2C6;&#x2019; a = ... = a â&#x2C6;&#x2019; a Suma (zbir) prvih n qlanova aritmetiqkog niza, S = a + a + ... + a je: 1

1

1

1

n

nâ&#x2C6;&#x2019;1

1

n

n

nâ&#x2C6;&#x2019;1

1

2

1

n

Sn =

n Ă&#x2022; i=1

Aritmetiqka sredina:

ai =

1

2

n

n n (a1 + an ) = (2a1 + (n â&#x2C6;&#x2019; 1) d) 2 2 n

1Ă&#x2022; a1 + a2 + ... + an a= ai = n i=1 n

Geometrijski niz: Niz: b , b q, b q , ... b q , ... naziva se geometrijski niz (ili geometrijska progresija). Najvanija osobina geometrijskog niza je da je koliqnik svaka dva uzastopna 11 1

1

1

2

1

n


qlana jednak q, tj. vai: bb = q, odnosno b = b q. Svaki qlan niza se moe izraziti pomou prvog qlana b i koliqnika niza q, tj. vai formula za opxti qlan niza: b = b q . Suma (zbir) prvih n qlanova geometrijskog niza, S = b + b + ... + b je: n

n

nâ&#x2C6;&#x2019;1

nâ&#x2C6;&#x2019;1

1

1

n

nâ&#x2C6;&#x2019;1

n

Sn =

2

n

bi

i=1

odnosno Sn = b1

n Ã&#x2022;

1

1 â&#x2C6;&#x2019; qn ; q<1 1â&#x2C6;&#x2019;q

Sn = b1

qn â&#x2C6;&#x2019; 1 ; q>1 qâ&#x2C6;&#x2019;1

Sn = nb1 ; q = 1

.

Geometrijska sredina: b=

pn

b1 · b2 · ... · bn

Kombinatorika

Faktorijel:     1; n! =   n · (n â&#x2C6;&#x2019; 1)!; 

n! = n (n â&#x2C6;&#x2019; 1) (n â&#x2C6;&#x2019; 2) · ... · 3 · 2 · 1

n=0 nâ&#x2030;¥1

Binomni koeficijent:   0;      n © ª â&#x20AC;¢ ­ ® = 1;   n (n â&#x2C6;&#x2019; 1) · ... · (n â&#x2C6;&#x2019; k + 1) « k ¬    ;  k!

k>n k =0â&#x2C6;¨k =n n, k â&#x2C6;&#x2C6; N

(ostali sluqajevi)

n! © n ª © n ª â&#x20AC;¢ ­ ®=­ ; ®= k! (n â&#x2C6;&#x2019; k)! k n â&#x2C6;&#x2019; k « ¬ « ¬

© n ª nâ&#x2C6;&#x2019;k ; â&#x20AC;¢ ­ ®= k +1 k + 1 « ¬

© n ª © n ª © n+1 ª â&#x20AC;¢ ­ ®+­ ®=­ ®; k â&#x2C6;&#x2019; 1 k k « ¬ « ¬ « ¬

© n ª © n ª â&#x20AC;¢ ­ ® = ­ ® = 1; « 0 ¬ « n ¬

12

© n ª ­ ® = n; « 1 ¬


Binomna formula: n Ã&#x2022; © n ª © n ª © n ª nâ&#x2C6;&#x2019;k k © n ª n © n ª nâ&#x2C6;&#x2019;1 (a + b) = ­ ® a b = ­ ® a + ­ ® a b + · · · + ­ ® anâ&#x2C6;&#x2019;k bk + · · · + ­ ® bn k=0 « k ¬ « n ¬ « k ¬ « 1 ¬ « 0 ¬ n

(a â&#x2C6;&#x2019; b) = n

n Ã&#x2022;

© n ª © n ª © n ª © n ª © n ª (â&#x2C6;&#x2019;1) k ­ ® anâ&#x2C6;&#x2019;k bk = ­ ® an â&#x2C6;&#x2019;­ ® anâ&#x2C6;&#x2019;1 b+· · ·+(â&#x2C6;&#x2019;1) k ­ ® anâ&#x2C6;&#x2019;k bk +· · ·+(â&#x2C6;&#x2019;1)n ­ ® bn k=0 « n ¬ « k ¬ « 1 ¬ « 0 ¬ « k ¬

Permutacije Permutacije bez ponav aa n-toqlanog skupa P = n! n! = Permutacije sa ponav aem P pri qemu se i-ti element k !k ! · · · k ! skupa pojav uje k puta (i = 1, 2, ..., r); i vai k + k + k + ... + k = n n

n

i

k1,k 2,...,kr

1

2

1

r

2

3

r

Varijacije Varijacije k -te klase bez ponav aa n-toqlanog skupa V = n (n â&#x2C6;&#x2019; 1) (n â&#x2C6;&#x2019; 2) · · · (n â&#x2C6;&#x2019; k + 1) Varijacije k -te klase sa ponav aem elemenata n-toqlanog skupa V = n n k

n k

Kombinacije Kombinacije k -te klase bez ponav aa n-toqlanog skupa

© n ª Ckn = ­ ® ; « k ¬

Varijacije k -te klase sa ponav aem elemenata n-toqlanog skupa Trigonometrija

k

(k â&#x2030;¤ n)

© n+k â&#x2C6;&#x2019;1 ª Ckn = ­ ® k « ¬

a naspramna kateta naspramna kateta ; â&#x20AC;¢ tgx = = hipotenuza b nalegla kateta ; b nalegla kateta b nalegla kateta ; â&#x20AC;¢ cos x = = ; â&#x20AC;¢ ctgx = = c hipotenuza a naspramna kateta Osnovne jednakosti i veze izmeu trigonometrijskih funkcija: Ï&#x20AC;  Ï&#x20AC;  â&#x20AC;¢ sin x + cos x = 1; â&#x20AC;¢ tgx · tg â&#x2C6;&#x2019; x · tg + x = tg (3x); 3 3 sin x 1 cos x 1 â&#x20AC;¢ tgx = = ; â&#x20AC;¢ ctgx = = ; cos x ctgx sin x tgx 13 â&#x20AC;¢ sin x =

2

a = c

2


â&#x20AC;¢ sin (â&#x2C6;&#x2019;x) = â&#x2C6;&#x2019; sin x â&#x20AC;¢ tg (â&#x2C6;&#x2019;x) = â&#x2C6;&#x2019;tgx

;

â&#x20AC;¢ ctg (â&#x2C6;&#x2019;x) = â&#x2C6;&#x2019;ctgx â&#x20AC;¢ cos (â&#x2C6;&#x2019;x) = cos x â&#x20AC;¢ 1 + tg 2 x =

;

;

â&#x20AC;¢ 1 + ctg 2 x =

;

â&#x20AC;¢ sin (x + 2kÏ&#x20AC;) = sin x

;

1 cos2 x

1 sin2 x

;

â&#x20AC;¢ cos (x + 2kÏ&#x20AC;) = cos x â&#x20AC;¢ tg (x + kÏ&#x20AC;) = â&#x2C6;&#x2019;tgx

;

;

â&#x20AC;¢ ctg (x + kÏ&#x20AC;) = â&#x2C6;&#x2019;ctgx 1 tgx = p p ± 1 + tg 2 x ± 1 + ctg 2 x

;

1 ctgx = p p ± 1 + tg 2 x ± 1 + ctg 2 x â&#x2C6;&#x161; ± 1 â&#x2C6;&#x2019; cos2 x 1 sin x = = â&#x20AC;¢ tgx = â&#x2C6;&#x161; 2 cos x ctgx ± 1 â&#x2C6;&#x2019; sin x â&#x2C6;&#x161; cos x ± 1 â&#x2C6;&#x2019; sin2 x 1 = â&#x2C6;&#x161; â&#x20AC;¢ ctgx = = sin x ± 1 â&#x2C6;&#x2019; cos2 x tgx

;

â&#x2C6;&#x161; â&#x20AC;¢ sin x = ± 1 â&#x2C6;&#x2019; cos2 x = â&#x2C6;&#x161; â&#x20AC;¢ cos x = ± 1 â&#x2C6;&#x2019; sin2 x =

; ;

;

;

Trigonometrijske funkcije osnovnih uglova: Ï&#x20AC; Ï&#x20AC; Ï&#x20AC; 0â&#x2014;¦

sin x

0

cos x

1

tgx

0

ctgx

â&#x2C6;&#x17E;

30â&#x2014;¦ =

45â&#x2014;¦ = 4 â&#x2C6;&#x161; 2 â&#x2C6;&#x161;2 2 2

6

1 â&#x2C6;&#x161;2 3 â&#x2C6;&#x161;2 3 3 â&#x2C6;&#x161; 3

1 1

60â&#x2014;¦ = 3 â&#x2C6;&#x161; 3 2 1 2 â&#x2C6;&#x161; 3 â&#x2C6;&#x161; 3 3

90â&#x2014;¦ =

Ï&#x20AC; 2

1 0 â&#x2C6;&#x17E; 0

Svoee trigonometrijskih funkcija ma kog ugla na osnovni ugao: Ï&#x20AC; Ï&#x20AC; 3Ï&#x20AC; 3Ï&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019;α

2

â&#x2C6;&#x2019;α

2

+α

Ï&#x20AC;â&#x2C6;&#x2019;α

Ï&#x20AC;+α

2

â&#x2C6;&#x2019;α

2

+α

2kÏ&#x20AC; + α

sin x

â&#x2C6;&#x2019; sin α

cos α

cos α

sin α

â&#x2C6;&#x2019; sin α

â&#x2C6;&#x2019; cos α

â&#x2C6;&#x2019; cos α

sin α

cos x

cos α

sin α

â&#x2C6;&#x2019; sin α

â&#x2C6;&#x2019; cos α

â&#x2C6;&#x2019; cos α

â&#x2C6;&#x2019; sin α

sin α

cos α

tgx

â&#x2C6;&#x2019;tgα

ctgα

â&#x2C6;&#x2019;ctgα

â&#x2C6;&#x2019;tgα

tgα

ctgα

â&#x2C6;&#x2019;ctgα

tgα

ctgx

â&#x2C6;&#x2019;ctgα

tgα

â&#x2C6;&#x2019;tgα

â&#x2C6;&#x2019;ctgα

ctgα

tgα

â&#x2C6;&#x2019;tgα

ctgα

14


Adicione formule: • sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y • tg (x ± y) =

;

tgx ± tgy 1 ∓ tgxtgy

;

• cos (x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y • ctg (x ± y) =

ctgxctgy ∓ 1 ctgx ± ctgy

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla: • sin (2x) = 2 sin x cos x ; • cos (2x) = cos x − sin x; 2tgx ctg x − 1 • tg (2x) = ; • ctg (2x) = ; 1 − tg x 2ctgx 2

2

2

2

Trigonometrijske funkcije polovine ugla: ;

• ctg

;

• sin (x) =

1 − cosx =± • sin 2 2 r x 1 + cosx • cos =± 2 2 r x 1 − cosx • tg =± 2 1 + cosx x

r

x 2

r

1 + cosx 1 − cosx

2tg 2x

1 + tg 2 2x

;

;

; ; 1 + tg Transformacije zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod: x±y x∓y sin (x ± y) • sin x ± sin y = 2 sin cos ; • tgx ± tgy = ; 2 2 cos x cos y • cos x + cos y = 2 cos

x+y x−y cos 2 2

• cos (x) =

;

1 − tg 2 2x

• ctgx + ctgy =

2x 2

sin (x + y) sin x sin y

;

sin (y − x) • ctgx − ctgy = ; ; sin x sin y Transformacije proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir: 1 • sin x sin y = − (cos (x + y) − cos (x − y)); 2 1 • sin x cos y = (sin (x + y) + sin (x − y)); 2 1 • cos x sin y = (sin (x + y) − sin (x − y)); 2 1 • cos x cos y = − (cos (x + y) + cos (x − y)); 2 • cos x − cos y = −2 sin

x+y x−y sin 2 2

15

;

;


Inverzne trigonometrijske funkcije: • arcsinx =

x π − arccosx = arcctgx √ 2 1 − x2

• arccosx =

π x − arcsinx = arctgx √ 2 1 − x2

;

;

; π x • arcctgx = − arctgx = arccos √ ; 2 1+x • sin (arcsinx) = x ; x ; • tg (arcsinx) = √ 1−x √ • sin (arccosx) = 1 − x ; √ 1−x ; • tg (arccosx) = x x • sin (arctgx) = √ ; 1+x

• ctg (arcsinx) =

1 • sin (arcctgx) = √ 1 + x2

• ctg (arctgx) =

• arctgx =

x π − arcctgx = arcsin √ 2 1 + x2

2

2

x

−x

;

;

1 x

;

1 • cos (arctgx) = √ 1 + x2

;

• ctg (arcctgx) = x

• thx =

e x − e−x e x + e−x

e x + e−x • chx = x e − e−x

;

; ;

Analitiqka geometrija

Rastojae dve taqke q Rastojae d taqaka A (x , y ) i B (x , y ) je: d = (x − x ) + (y − y ) 1

;

x • ctg (arccosx) = √ 1 − x2 x • cos (arcctgx) = √ 1 + x2

Hiperboliqne funkcije: e −e • shx = ; 2 e +e • chx = ; 2 −x

1 − x2 x

2

• cos (arcsinx) = 1 − x 2

x

• cos (arccosx) = x

;

1 x √

;

2

2

• tg (arcctgx) =

• tg (arctgx) = x

1

2

2

2

16

1

2

2

1

2

;

; ;


Podela dui u datoj razmeri Koordinate x i y taqke M koja deli du AB ( A (x , y ) i B (x , y )) u razmeri mx + nx my + ny AM : M B = m : n, odreene su formulama: x = ; y= ; m+n m+n Koordinate x i y taqke S koja je sredina dui AB ( A (x , y ) i B (x , y )) je: 1

2

1

2

2

1

x=

x2 + x1 2

y=

2

1

1

2

1

2

y2 + y1 2

Povrxina trougla Povrxina trougla 4ABC sa temenima A (x , y ), B (x , y ) i C (x , y ) je: 1

1

1 P = (x1 (y2 â&#x2C6;&#x2019; y3 ) + x2 (y3 â&#x2C6;&#x2019; y1 ) + x3 (y1 â&#x2C6;&#x2019; y2 )) 2

2

2

3

3

Uslov kolinearnosti tri taqke: Tri taqke A (x , y ), B (x , y ) i C (x , y ) lee na istoj pravoj akko vai: 1

1

2

2

3

3

x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 y2 â&#x2C6;&#x2019; y1 = x3 â&#x2C6;&#x2019; x1 y3 â&#x2C6;&#x2019; y1

Jednaqina prave Opxti oblik jednaqine prave: Ax + By + C = 0. Eksplicitni oblik jednaqine prave y = k x + n; gde je k = tgÎą koeficijent pravca prave, a n odseqak na Oy osi. Segmentni oblik jednaqine prave: mx + ny = 1 gde je m odseqak prave na x osi, a b odseqak na y osi. Normalni oblik jednaqine prave: x cos Ď&#x2022; + y sin Ď&#x2022; â&#x2C6;&#x2019; p = 0 gde je Ď&#x2022; ugao koji normala zaklapa sa osom Ox, a p rastojae prave od koordinatnog poqetka Jednaqina prave kroz dve taqke A (x , y ) i B (x , y ) je: yy â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; yy = xx â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; xx Rastojae taqke A (x , y ) od prave Ax + By + C = 0 raquna se po formuli 1

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

d=

| Ax1 + By1 + C| â&#x2C6;&#x161; A2 + B2

Neka su date prave p) y = k x + n i q) y = k x + n â&#x20AC;˘ Prave p i q su paralelne akko je: k = k . 1 â&#x20AC;˘ Prave p i q su ortogonalne (normalne) akko je k = â&#x2C6;&#x2019; . k k â&#x2C6;&#x2019;k â&#x20AC;˘ Ugao izmeu pravih p i q (Ď&#x2022;) se raquna kao tgĎ&#x2022; = . 1+k k 17 1

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1 2

1


Krunica Jednaqina krunice sa centrom u taqki C(p, q) i polupreqnikom r je: (x − p)2 + (y − q)2 = r 2

Ako taqka M (x , y ) pripada krunici (x − p) tangente krunice u taqki M 0

0

2

0

+ (y − q)2 = r 2

, onda je jednaqina

0

(x0 − p) (x − p) + (y0 − q) (y − q) = r 2

Uslov dodira prave (tangente) y = k x + n i krunice (x − p) + (y − q)

2

2

r

2



= r2

je:



k + 1 = (k p − q + n)2 2

Elipsa Jednaqina elipse: ax + by = 1. Linearni ekscentritet elipse je: e = √a − b . Ako taqka M (x , y ) pripada elipsi ax + by = 1, onda je jednaqina tangente elipse u taqki M 2

2

2

2

2

0

0

0

2

2

2

2

2

0

x0 x y0 y + 2 =1 a2 b

Uslov dodira prave (tangente) y = k x + n i elipse ax

2 2

+

y2 =1 b2

je:

a2 k 2 + b2 = n2

Hiperbola Jednaqina hiperbole: ax − by = 1. Linearni ekscentritet hiperbole je: e = √a + b . Ako taqka M (x , y ) pripada hiperboli ax − by = 1, onda je jednaqina tangente hiperbole u taqki M 2

2

2

2

2

0

0

0

2

2 2

2

2

0

x0 x y0 y − 2 =1 a2 b

Uslov dodira prave (tangente) y = k x + n i hiperbole ax a2 k 2 − b2 = n2

Parabola Jednaqina parabole: y

2

= 2px

.

18

2 2

y2 =1 b2

je:


Linearni ekscentritet parabole je: e = 1. Ako taqka M (x , y ) pripada paraboli y = 2px, onda je yy = p (x + x ) jednaqina tangente parabole u taqki M . Uslov dodira prave (tangente) y = k x + n i parabole y = 2px je: p = 2kn. 0

0

2

0

0

0

0

2

Planimetrija i stereometrija

Dva ugla su komplementna ako je ihov zbir 90 . Dva ugla su sumplementna ako je ihov zbir 180 . Unakrsni uglovi su meusobno jednaki ili suplementni. Uglovi sa paralelnim kracima su meusobno jednaki ili suplementni. Uglovi sa normalnim kracima su meusobno jednaki ili suplementni. â&#x2014;Ś

â&#x2014;Ś

Trougao stranice trougla Îą, β, Îł â&#x2C6;&#x2019; uglovi naspramni stranicama a, b, c redom; r, R â&#x2C6;&#x2019; polupreqnici upisanog i opisanog kruga; Visina trougla je prava koja spaja teme trougla i normalna je na susednu stranicu. Taqka u kojoj se seku visine trougla naziva se ortocentar trougla. Ortocentar moe da bude i van trougla. Simetrala ugla je prava koja polovi ugao na dva jednaka dela. Preseqna taqka simetrala uglova trougla naziva se centar upisane krunice. Upisana krunica dodiruje sve tri stranice trougla. Simetrala stranice je prava koja polovi stranicu trougla i normalna je na tu stranicu. Preseqna taqka simetrala stranica trougla naziva se centar opisane krunice. Opisana krunica sadri sva tri temena trougla. Sredixa linija trougla je du koja spaja sredixta stranica trougla. 19 a, b, c â&#x2C6;&#x2019;


Teixna du trougla je du koja spaja teme trougla i sredixte naspramne stranice. Taqka u kojoj se seku teixne linije trougla naziva se teixte trougla. Rastojae od temena do teixta dva puta je due od rastojaa od teixta do sredixta naspramne stranice. Zbir uglova trougla: Îą + β + Îł = 180 ; Îą + β + Îł = 360 . Îą + Îą = β + β = Îł + Îł = 180 . Poluobim trougla: s = 21 (a + b + c). Obim trougla: O = a + b + c = 2s. Povrxina trougla: â&#x2014;Ś

1

P=

.

1

1

1

1

1

â&#x2014;Ś

â&#x2014;Ś

abc aha bhb chc ab sin Îł ac sin β ab sin Îł p = = = = = = s (s â&#x2C6;&#x2019; a) (s â&#x2C6;&#x2019; b) (s â&#x2C6;&#x2019; c) = r s = 2 2 2 2 2 2 4R

Podudarnost trouglova Dva trougla su podudarna akko postoji izometrija koja jedan trougao preslikava u drugi. SUS - Dva trougla su podudarna akko su dve stranice jednog trougla podudarne sa odgovarajuim stranicama drugog trougla, a uglovi zahvaeni tim stranicama su jednaki meu sobom. USU - Dva trougla su podudarna ako imaju jednaku po jednu stranicu i oba ugla nalegla na tu stranicu. SSS - Dva trougla su podudarna akko su im jednake sve tri stranice SSU - Dva trougla su podudarna akko imaju podudarne po dve stranice i jednake uglove naspram jedne od ih, a uglovi naspram druge stranice u oba trougla moraju biti iste vrste. Sinusna teorema a2 b2

Kosinusna teorema = b + c â&#x2C6;&#x2019; 2bc cos Îą; = a + c â&#x2C6;&#x2019; 2ac cos β; 2

2

2

2

a b c = = = 2R sin ι sin β sin γ

c2 = a2 + b2 â&#x2C6;&#x2019; 2ab cos Îł

20

;


Pravougli trougao katete c = AB hipotenuza a = BC, b = AC

α + β = 90◦ ;

; Polupreqnik opisanog kruga: R = 2c ; Povrxina: P = ab2 = ch2 Pitagorina teorema: a + b = c ; h = pq; p + q = c; γ = 90◦

c

2

2

2

2

Jednakokraki trougao kraci (stranice) a = AB osnovica b = AC = BC

2α + β = 180◦ ;

uglovi na osnovici; Obim: O = a + 2b; Visina koja odgovararosnovici: a h = b · sin α; h = b − ; 2 Povrxina: P = ah2 = bh2 = ab · 2sin α α

a

2

2

a

a

b

Jednakostraniqni trougao a = b = c

stranice

α = β = γ = 60◦

Obim: O = 3a;√ Visina: h = a 2 3 ; √ Povrxina: P = a 4 3 Polupreqnik √ upisane krunice 2

r=

1 a 3 h= 3 6

R=

2 a 3 h= 3 3

Polupreqnik √ opisane krunice:

21


Qetvorougao stranice qetvorougla d , d â&#x2C6;&#x2019; dijagonale qetvorougla α, β, γ, δ â&#x2C6;&#x2019; uglovi qetvorougla; α + β + γ + δ = 360 ; a + b + c + d = d + d + 4m ; m - du odreena sredixim taqkama dijagonala; a, b, c, d â&#x2C6;&#x2019; 1

2

â&#x2014;¦

2

2

2

2

2 1

2 2

2

Poluobim qetvorougla: p = 12 (a + b + c + d). Obim qetvorougla: O = a + b + c + d = 2pp. Povrxina qetvorougla: P = d d 2sin α = (p â&#x2C6;&#x2019; a) (p â&#x2C6;&#x2019; b) (p â&#x2C6;&#x2019; c) (p â&#x2C6;&#x2019; d). 1 2

Paralelogram - romboid a = AB = CD â&#x2C6;§ AB||CD b = BC = AD â&#x2C6;§ BC|| AD

dijagonale paralelograma se polove α = β, γ = δ; α + β = 180 Obim O = 2a + 2b; Povrxina P = ah = bh ; â&#x2014;¦

a

b

Kvadrat a=b=c=d â&#x2C6;&#x161; d=a 2 α = β = γ = δ = 90â&#x2014;¦

;

Obim O = 4a; Povrxina P = a = d2 ; Polupreqnik upisane krunice: 2

ru =

a 2

ro =

d 2

2

Polupreqnik opisane krunice:

22


Pravougaonik a = AB = CD ∧ BC = AD √ d = a2 + b2 α = β = γ = δ = 90◦

;

Obim O = 2a + 2b; Povrxina P = ab; Polupreqnik opisane krunice: ro =

d 2

Romb ;

a = AB = BC = CD = DA d1 ⊥d2  2  2 d2 d1 2 + a = 2 2 O = 4a d1 d2 P = ah = = a2 sin α 2

Obim ; Povrxina ; Polupreqnik upisane krunice: ru =

Trapez

h 2

Sreda linija trapeza: m = a +2 b Obim O = a + b + c + d; Povrxina P = a +2 b h = mh; a−b+c+d s= ; 2 Visina: p h=

;

2 s (s − a + b) (s − c) (s − d) a−b

Jednakokraki trapez BC = AD ∧ AB||CD  2  2 a−b a+b 2 2 2 h + =c h + = d2 2 2 a+b P= h 2

Povrxina: 23

;

;

;


Pravougli trapez ;

2 a + b h2 + = c2 2 h2 + b2 = d 2 a+b h P= 2 

Povrxina:

;

;

Deltoid a = AB = ADb ∧ b = BC = CD d1 ⊥d2

;

Obim O = 2a + 2b; Povrxina P = d 2d ; 1 2

Mnogougao • Zbir unutraxih uglova n-tougla S = (n − 2) · 180 • Zbir spo axih uglova n-tougla S = 360 (n − 2) S = · 180 • Unutraxi ugao pravilnog n-tougla α = n n 360 • Centralni ugao pravilnog n-tougla β = n 360 • Spo axi ugao pravilnog n-tougla β = n • Broj dijagonala iz jednog temena n-tougla d = n − 3 n (n − 3) • Ukupan broj dijagonala D = 2 n·a·r • Povrxina pravilnog n-tougla stranice a je: P = 2 • Obim pravilnog n-tougla stranice a je: O = n · a ◦

n

0 n

n

n

n

24


Krug i egovi delovi - polupreqnik kruga Obim kruga O = 2rĎ&#x20AC;; Povrxina kruga P = r Ď&#x20AC;; Ugao nad preqnikom kruga je prav ugao. Centralni ugao je dva puta vei od emu odgovarajueg periferijskog ugla.

r

2

Ď&#x20AC;¡ι Duina luka l = r ¡180 Povrxina krunog iseqka r ¡Ď&#x20AC;¡ι l ¡r P = = ; 360 2 2

is

Îą a = 2r sin r2

r2 â&#x2C6;&#x2019;

h=râ&#x2C6;&#x2019;

a2 a Îą = tg 4 2 4

Povrxina krunog prstena  P=Ď&#x20AC; r â&#x2C6;&#x2019;R ; Obim krunog prstena O = 2Ď&#x20AC; (r + R); Povrxina iseqka krunog prstena Ď&#x20AC;Îą l +l (r â&#x2C6;&#x2019; R); P= r â&#x2C6;&#x2019;R = 360 2 2

2

2

2

1

2

Prizma Prizma je poliedar koji se sastoji iz dva n-tougla (mnogougla) u dvema paralelnim ravnima i n-paralelograma. Prava prizma je prizma qije su ivice normalne na bazu, a strane su joj pravougaonici. Pravilna prizma je prava prizma qija je baza pravilni mnogougao. Paralelopiped je prizma qija je baza paralelogram. 25


- baza (osnova) je mnogougao; S - strana je paralelogram; Ivice boqne stranice su paralelne i jednake; M - omotaq je sastav en od strana; H - visina; d - dijagonala osnove; D - dijagonala prizme Povrxina prizme P = 2B + M ; Zapremina prizme V = BH; B

Pravilna trostrana prizma √ a2 3 P = 2B + M = + 3aH 2

√ a2 3 V = BH = H 4

; Pravilna qetvorostrana prizma P = 2B + M = 2a + 4aH ; Pravilna xestostrana prizma √ P = 2B + M = 3a 3 + 6aH ; 2

V = BH = a2 H

;

;

√ 3a2 3 V = BH = H 2

2

Kocka

B = a2

;

M = 4a2

;

P = 2B + M = 6a2 V = BH = a3 √ d=a 2 √ D=a 3

; ;

26

;

;

;


Kvadar (pravougli paralelopiped) ;

B = ab

;

M = 2ac + 2bc (c = H)

;

P = 2B + M = 2 (ab + bc + ac)

;

V = BH = abc √ d = a2 + b2 √ D = a2 + b2 + c2

;

;

Piramida Piramida je poliedar koji ima n + 1 stranu od kojih je jedna (osnovica) n-tougao (mnogougao) i n trouglova. Pravilna piramida je piramida qija je baza pravilni mnogougao. B - baza (osnova) je mnogougao; s - strana je trougao; h - visina boqne strane (apotema); M - omotaq je sastav en od strana; H - visina; r - polupreqnik sfere upisane u piramidu; R - polupreqnik sfere opisane oko piramide; Povrxina piramide P = B + M ; Zapremina piramide V = BH3 ; Pravilna trostrana piramida √ a2 3 B= 4 ah (c = H) M=3 2 √ a2 3 ah P= B+M = +3 2 √4 1 a2 3H V = BH = 3 12

; ;

;

s 2 = H 2 + R2 = h 2 + h2 = r√2 + H 2 ; a 3 r= 6√ a 3 R= 3

; ;

; 27

 a 2 2

;


Pravilna qetvorostrana piramida B=a ; ah ; M=4 2 P = B + M = a + 2ah ; 1 a H V = BH = ; 3 3 2

s2

a

2

Pravilna xestostrana piramida â&#x2C6;&#x161; a2 3 B=6 4 ah M=6 2

;

h2 = r 2 + H 2 ; a r= 2 â&#x2C6;&#x161; d a 2 R= = 2 2

;

h2

+

 a 2 2

â&#x2C6;&#x161; a2 3 1 = BH V= 2 3  a 2 2 2 2 2 s =H +R =h + 2 â&#x2C6;&#x161; a 3 r=h= 2 R=a

;

P= B+M =3

=

+

;

a

2

R2

=

H2

;

a

â&#x2C6;&#x161; 2 2

3

+ 3ah

;

;

;

;

;

Zarub ena piramida Zarub ena piramida je poliedar koji ima n + 2 strane od kojih su dve homotetiqni n-touglovi (osnovice) u odnosu na neku taqku S , a sve ostale strane su trapezi qije se paralelne stranice poklapaju sa odgovarajuim stranicama n-touglova. B , B - baze (osnove); s - strana je trapez; M - omotaq je sastav en od strana; H - visina; Povrxina piramide P = B + B + M ; Zapremina piramide  â&#x2C6;&#x161; H V= B + B B +B ; 3 1

2

1

1

28

1 2

2

2


Kupa Kupa je deo prostora ograniqen krunom konusnom povrxi i krugom. B - baza (osnova) je krug; r - polupreqnik osnove; s - izvodnica; M - omotaq kupe; H - visina; B = r π; M = rπs; Povrxina kupe P = B + M = r π + rπs; Zapremina piramide V = BH3 = 13 r πH; 2

2

2

s2 = r 2 + H 2

Zarub ena kupa Zarub ena kupa je deo prostora ograniqen krunom konusnom povrxi i dva kruga koji su homotetiqni u odnosu na vrh konusa. B , B - osnove; r , r - polupreqnici osnova; s - izvodnica zarub ene kupe; M - omotaq kupe; H - visina; B = r π; B = r π; M = sπ (r + r ); Povrxina kupe P = B + B +√M = r π + r π + sπ (r + r );  Zapremina kupe V = H3 B + B B + B = πH3 r + r r + r ; Va ak Va ak je deo prostora ograniqen krunom cilindriqnom povrxi i dvema podudarnim krunim povrxima. 1

1

2

2

2 1 2 2

1 2

1

1

2 1

2

1

1 2

2 2

1

2 1

2

29

2

2

1 2

2 2


- baza (osnova) je krug; r - polupreqnik osnove; M - omotaq kupe (pravougaonik); H - visina; B = r π; M = 2rπH ; Povrxina va ka P = 2B + M = 2rπ + (r + H); Zapremina va ka V = BH = r πH B

2

2

Lopta Sfera je skup taqaka prostora koje su jednako uda ene od date taqke koju nazivamo centar sfere. Lopta je deo prostora ograniqen sferom. - poluipreqnik lopte; Povrxina lopte P = 4R π; Zapremina lopte V = 4R3 π ; Povrxina kalote P = 2Rπh; Povrxina odseqka P = P + r π; Zapremina odseqka V = 31 h π (3R − h); Povrxina iseqka P = r Rπ + 2Rπh; Zapremina iseqka V = 23 R π h; R

2

3

k

o

2

k

2

o

i

i

2

Mere za duinu (odnos dve uzastopne duinske mere je 10) 1m = 0.001km = 0.01hm = 0.1dam = 1m = 10dm = 100cm = 1000mm

Mere za povrxinu (odnos dve uzastopne povrxinske mere je 100)

1m2 = 10−6 km2 = 10−4 hm2 = 10−2 dam2 = 1m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2

Mere za zapreminu (odnos dve uzastopne zapreminske mere je 1000)

1m3 = 10−9 km3 = 10−6 hm3 = 10−3 dam3 = 1m3 = 103 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3

30


SI

prefiksi - nastavci veih i maih mera u odnosu na osnovnu jedinicu 10n 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10â&#x2C6;&#x2019;1 10â&#x2C6;&#x2019;2 10â&#x2C6;&#x2019;3 10â&#x2C6;&#x2019;6 10â&#x2C6;&#x2019;9 10â&#x2C6;&#x2019;12 10â&#x2C6;&#x2019;15 10â&#x2C6;&#x2019;18 10â&#x2C6;&#x2019;21 10â&#x2C6;&#x2019;24

Prefiks Simbol Decimalni ekvivalent jota Y 1 000 000 000 000 000 000 000 000 zeta Z 1 000 000 000 000 000 000 000 eksa E 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1 000 000 000 000 000 tera T 1 000 000 000 000 giga G 1 000 000 000 mega M 1 000 000 kilo k 1 000 hekto h 100 deka da 10 deci centi mili mikro nano piko femto ato zepto jokto

1 d

0, 1

c

0, 01

m

0, 001

Âľ

0, 000 001

n

0, 000 000 001

p

0, 000 000 000 001

f

0, 000 000 000 000 001

a

0, 000 000 000 000 000 001

z

0, 000 000 000 000 000 000 001

y

0, 000 000 000 000 000 000 000 001

31


TESTOVI IZ MATEMATIKE

Od pet ponuenih rexea u svakom zadatku samo jedno je taqno.

TEST 1

1. Vrednost izraza â&#x2122;¦ 25   â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 1+ 7



1 1 â&#x2C6;&#x161; + â&#x2C6;&#x161; 1+ 7 1â&#x2C6;&#x2019; 7

2

 â&#x2C6;&#x2019;2

1 + â&#x2C6;&#x161; 1â&#x2C6;&#x2019; 7 

 â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2122;¦ 20 3

3

x2 + y2 x2 â&#x2C6;&#x2019; y2

3. Vrednost izraza â&#x2122;¦ 2

1 + â&#x2C6;&#x161; 1+ 7 

â&#x2122;¦ 17

2. Ako je |x| , |y|, izraz xx ++ yy â&#x2122;¦ 1 â&#x2122;¦

 â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x161; ! 40 1+i 3 1â&#x2C6;&#x2019;i

 2y xy : x2 â&#x2C6;&#x2019; y2 + â&#x2C6;&#x2019; 2 x + y x â&#x2C6;&#x2019; y2 xâ&#x2C6;&#x2019;y x+y xy â&#x2122;¦ x+y â&#x2122;¦

4. Jednaqina |x + 2| = 2 (3 â&#x2C6;&#x2019; x) â&#x2122;¦ nema rexea â&#x2122;¦ ima samo 1 rexee

7 51

identiqki je jednak: â&#x2122;¦

x2 â&#x2C6;&#x2019; x y + y2 xâ&#x2C6;&#x2019;y

je:  â&#x2C6;&#x161;  â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;219 1 + i 3  â&#x2C6;&#x161;  20 â&#x2122;¦ 2 1â&#x2C6;&#x2019; 3

â&#x2122;¦ 220

jednaka je:

ima taqno 2 rexea â&#x2122;¦ ima â&#x2C6;&#x17E; rexea â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;219 3

â&#x2122;¦

ima taqno 4 rexea

5. Skup svih vrednosti realnog parametra m za koje rexea jednaqine x +2 (m + 1) x+ 1 1 + > 8 je: m = 0 zadovo avaju uslov x x 2

2 1

 1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; , 0 â&#x2C6;ª (0, 2) 2   1 â&#x2122;¦ ,2 2 

2 2

 1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;ª [2, â&#x2C6;&#x17E;) 2   1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; ,4 4 

32

â&#x2122;¦ R


6. Skup svih rexea nejednaqine 2x x− 5x+ 9+ 15 ≤ 1 je: 2

2

♦ (−3, 2]

♦ [2, 3]

♦ (−∞, −2] ∪ (3, +∞)

♦ R

♦ (−∞, 2) ∪ (3, +∞)

7. Data je jednaqina √16x − 48x + 36 = 4x + 11 . Taqan je iskaz: ♦ Jednaqina ima beskonaqno ♦ Jednaqina ima samo jedno mnogo rexea pozitivno rexee ♦ Jednaqina ima taqno dva ♦ Jednaqina ima samo jedno rexea negativno rexee ♦ Jednaqina nema rexea 2

8. Rexee jednaqine 2

x+1 2

= 0, 5

je u intervalu:

1−4x 7

♦ (−4, 0)

♦ (4, 8)

♦ (0, 4)

♦ (8, 12)

9. Skup rexea nejednaqine log

 1 2

 x+1 log3 ≥0 x−1

♦ [2, ∞)

♦ (1, 2]

♦ [−1, 1]

♦ (1, +∞)

♦ (12, 16)

je:  ♦

1 ,2 2



10. Vrednost proizvoda cos π7 cos 4π7 cos 5π7 jednaka je: 1 4 √ 2 ♦ 8 ♦

1 8 √ 2 ♦ 16 ♦

1 8

11. Broj rexea jednaqine 1 − sin 2x = cos x − sin x koja pripada segmentu [0, 2π] jednak je: ♦ 1

♦ 3

♦ 2

♦ 4

♦ 5

33


12. Ako je prava y = k x +n zajedniqka tangenta kruga x + y 10, tada je k + n jednako: 2

2

=4

i elipse 2x +5y 2

2

=

2

♦ 71

♦ 6

♦ 14

♦ 4

♦ 5

13. Rastojae taqke M (1, 1) od centra kruga x √ ♦ 2 2 √ ♦ 2

2

2

+ y 2 − 4x − 4y + 4 = 0

♦ 2

je:

♦ 0

♦ 1

14. Ako taqka M (x, y) pripada pravoj 2x + y − 6 = 0 i ako je jednako uda ena od taqaka A (3, 5) i B (2, 6) tada je proizvod x y = ♦ 4

♦ 5

♦ 19

♦ 4

♦ 6

15. Komad legure srebra i bakra tei 2 kg. Masa srebra u leguri iznosi 14 72 % mase bakra. Kolika je masa srebra (u gramima) u tom komadu legure? ♦ 125 ♦ 142

6 7

♦ 222

2 9

♦ 285

5 7

♦ 250

16. Ako je f (x) = x +x 1 onda je f ( f ( f (x))) jednako: 2x + 3 4x + 2 x−2 ♦ x+1 ♦

x 3x + 1 3x ♦ 5x + 2 ♦

17. Stranica romba je a = 9, a zbir dijagonala d + d 1

♦ 72

♦ 63

♦ 64

♦ 108

2

= 24

5x + 4 x

. Povrxina romba je: ♦ 81

34


18. Osnova prave piramide je kvadrat qija je stranica duine 4, a boqne strane su joj jednakostraniqni truglovi. Zapremina te piramide je: √ ♦ 9 3 ♦

16 ♦ 3 √ ♦ 8 3

32 3

√ 32 2 ♦ 3

19. U jednakostraniqan trougao qija je stranica a = 6√3cm upisan je krug. Ako ova figura rotira oko visine trougla, odnos zapremina rotacionih tela, dobijenih rotacijom trougla i kruga jeste: ♦ 4:3

♦ 4:π

♦ π:2

♦ 9:4

♦ 42 : 32

20. U aritmetiqkom nizu, sa razliqitim qlanovima, prvi, peti i jedanaesti qlan obrazuju geometrijski niz. Ako je prvi qlan 24, odrediti deseti qlan aritmetiqkog niza: ♦ 48

♦ 51

♦ 50

♦ 54

♦ 72

TEST 2

1. Vrednost izraza (32)

−2

♦ 3, 5 ♦ 0, 5

2. Za a ∈ R\ {2, 0.2} izraz ♦ 1 ♦

a+2 a−2

  −11   −1 1 1 1 + + (0, 5 : 1, 25)−1 √ + √ 2 1+ 5 1− 5 ♦ 0 5 ♦ 2 

8 1− 2 a −4

   1 1 a2 + 4 1− : − 4a a 2

♦ a+1 2 ♦ a+2

35

2 5

je jednak: ♦

a−2 a+2

jednaka je:


3. Roba je u toku godine poskupela tri puta, svaki put po 20%. ena cena na kraju godine vea je od cene na poqetku godine za: â&#x2122;¦ 68, 6%

â&#x2122;¦ 78%

â&#x2122;¦ 78, 2%

â&#x2122;¦ 72, 8%

4. Ako je i imaginarna jedinica i z = i â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ |z| = 5 3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ |z| = 8 3

8i +2 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ |z| = 5 5 â&#x2C6;&#x161; 2 5 â&#x2122;¦ |z| = 3 101

â&#x2122;¦ 60%

, tada je moduo kompleksnog broja z: â&#x2C6;&#x161; 8 5 â&#x2122;¦ |z| = 5

5. Zbir prva tri qlana rastue geometrijske progresije je 105. Ako je drugi qlan te progresije jednak 20, onda je en prvi qlan jednak broju: â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2122;¦ 15

â&#x2122;¦ 8

6. Trei qlan aritmetiqkog niza je 10, a deveti 19. Zbir prvih 20 qlanova je: â&#x2122;¦ 520

â&#x2122;¦ 440

â&#x2122;¦ 425

â&#x2122;¦ 320

â&#x2122;¦ 400

7. Prava koja sadri taqku M (4, 2) i normalna je na pravu 5x + 9y â&#x2C6;&#x2019; 12 = 0 ima jednaqinu: â&#x2122;¦ 9x â&#x2C6;&#x2019; 5y â&#x2C6;&#x2019; 26 = 0

â&#x2122;¦ 3x + y â&#x2C6;&#x2019; 14 = 0

â&#x2122;¦ 2x â&#x2C6;&#x2019; 5y + 2 = 0

â&#x2122;¦ 2x â&#x2C6;&#x2019; 3y â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0

â&#x2122;¦ x â&#x2C6;&#x2019; 2y = 0

8. Taqka simetriqna taqki M (1, 3) u odnosu na pravu koja je odreena taqkama P (8, 2) i Q (â&#x2C6;&#x2019;4, â&#x2C6;&#x2019;7) je: â&#x2122;¦ M1 (7, â&#x2C6;&#x2019;4)

â&#x2122;¦ M1 (5, â&#x2C6;&#x2019;4)

â&#x2122;¦ M1 (7, â&#x2C6;&#x2019;5)

â&#x2122;¦ M1 (2, â&#x2C6;&#x2019;2)

36

â&#x2122;¦ M1 (4, â&#x2C6;&#x2019;3)


9. Zbir kvadrata svih rexea jednaqine |x + 4| − |x − 3| = x je: ♦ 41

♦ 99

♦ 50

♦ 38

10. Zbir kvadrata rexea jednaqine 3 ♦ 12

♦ 20

♦ 16

♦ 32

♦ 21

x 2 −2x−10

=

1 9

je: ♦ 36

11. Ako je log 7 = a i log 2 = b onda je log 72 jednako: 3

a+b a−b 1−a ♦ a−b

12. Vrednost izraza ♦

1 2

♦ −

7

7

2a + b a 2 + 3ab ♦ a   1 log 1 log2 log 1 8 9 2 2

♦ 2ab − 3

je:

♦ 1 3

1 3

♦ −

♦ −2 1 2

13. Pravilna qetvorostrana piramida ima visinu H = 15cm, a povrxina enog dijagonalnog preseka je P = 120cm . Zapremina ove piramide je: 2

♦ 340cm3

♦ 640cm3

♦ 425cm3

♦ 720cm3

14. Zbir rexea jednaqine 9

x

− 10 · 3 x + 9 = 0

♦ −1

♦ 0

♦ 1

♦ 2

♦ 920cm3

je: ♦ 3

37


15. U jednakokrakom trapezu duina krae osnovice i duina kraka su jednake 5cm, a duina visine trapeza je 4cm . Povrxina pomenutog trapeza je: â&#x2122;¦ 14cm2

â&#x2122;¦ 32cm2

â&#x2122;¦ 28cm2

â&#x2122;¦ 36cm2

â&#x2122;¦ 42cm2

16. Visina i izvodnica kupe odnose se kao 4 : 5, a ena zapremina je jednaka 96Ï&#x20AC;cm . Povrxina te kupe je: 3

â&#x2122;¦ 84Ï&#x20AC;cm2 â&#x2C6;&#x161;3 â&#x2122;¦ 32 2Ï&#x20AC;cm2

â&#x2122;¦ 90Ï&#x20AC;cm2 â&#x2122;¦ 96Ï&#x20AC;cm2

â&#x2122;¦ 126Ï&#x20AC;cm2

17. Ako je tgα = 43 , onda je 42sinsinααâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3coscosαα jednako: 3 4 1 â&#x2122;¦ 2

5 7 4 â&#x2122;¦ 5

18. Broj rexea jednaqine

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

Ï&#x20AC; 1 = sin x â&#x2C6;&#x2019; 3 2 

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 6

u intervalu [â&#x2C6;&#x2019;2Ï&#x20AC;, 2Ï&#x20AC;] je: â&#x2122;¦ 1

19. De eem polinoma P (x) = x + ax + b sa (x + 1) dobija se ostatak -1, a de eem polinoma P (x) sa (x â&#x2C6;&#x2019; 1) dobija se ostatak 3. Tada je P (â&#x2C6;&#x2019;2) jednako: 2

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 2

20. Duina osnovice jednakokrakog trougla je 30cm, a visine koja odgovara osnovici 20cm. Duina visine koja odgovara kraku je: â&#x2122;¦ 26cm

â&#x2122;¦ 24cm

â&#x2122;¦ 25cm

â&#x2122;¦ 20cm

38

â&#x2122;¦ 15cm


TEST 3

1. Rexee jednaqine 3 + 7 + 11 + ... + n = 210 je: ♦ 37

♦ 43

♦ 39

♦ 35

♦ 44

2. Vrednost izraza A = cos 72 + cos 54 + cos 36 + cos 18 je: 2

♦ 1 3 ♦ 4

2

2

2

♦ 2

♦ 2

√ ♦ 2 3

3. Rexee jednaqine log 16 + log 63 = log 36

5x

4 5 4 ♦ 15

+ 792



je:

♦ 1

4. Brojevi log 2, log (2 − 1) i log (2 ako x ima vrednost: x

3 5

♦ x

+ 3)

1 2

3 10

su uzastopni qlanovi aritmetiqkog niza

♦ 1

♦ log 3

♦ 2

♦ log2 2 − log2 3

♦ log2 5

5. Ako je data geometrijska progresija sa q = 3 i S qlana a :

7

= 2186

. Tada je vrednost

7

♦ 1458

♦ 726

♦ 486

♦ 1043

39

♦ 523


α , y = cos α · tan β i z = sin α tada vrednost izraza A = x − y + z 6. Ako je x = cos cos β iznosi: 2

♦ 0 1 ♦ 2

7. Vrednost izraza 2

−1

· A−2 (B − A)

√ ♦ 4 − 15 √ ♦ 4 + 15

3

5

za x = 1 + √3 je: √ 5 3−3 ♦ 2

je:

8 9 ♦ 0, 75

♦ 1, 125

√ −4 + 2 1 ♦ √ 2

i B = √5 −3√3 je:

3

1   −4 ! − 2 3 4 3 : + 9 4 2

♦ 1

1 ♦ 2 ♦ 7

√ ♦ 2 3

3 A= √ √ 5+ 3

− 2 · x2 + x + 5

♦ 3

10. Vrednost izraza

za

♦ 1

8. Vrednost izraza 0, 5 · x

9. Vrednost izraza

♦ 1

♦ −1 √ 3 ♦ 2

4

− 41

+



1

 − 34 !    4 1 −3 · 4−0,25 − 2 · 2 2 3

2− 2

3 √ 2 2

je: √ ♦ 2 2

7 16

♦ 2

11. Oblast definisanosti funkcije y = log

2

x 2 − 2x

♦ (−∞, +∞)

♦ (−∞, 0] ∪ [2, +∞)

♦ (0, 2)

♦ (−∞, 0) ∪ (2, +∞)



je: ♦ [0, 2]

12. Broj rexea jednaqine cos x − sin x = 0 na intervalu (0, 2π) je: 4

4

♦ 1

♦ 0

♦ ∞

♦ 3

♦ 4

40

2

2


13. Jednaqina 4

x

=2

x+1 x

â&#x2122;Ś x1 = 1, x2 = 2 â&#x2122;Ś x1 = 1, x2 = â&#x2C6;&#x2019;2

ima za rexea: â&#x2122;Ś nema rexea â&#x2122;Ś sve brojeve sem 0

â&#x2122;Ś x1 = 1, x2 = â&#x2C6;&#x2019;

1 2

14. Zapremina pravilne qetvorostrane zarub ene piramide qije su povrxine osnova 50cm i 8cm i povrxina dijagonalnog preseka 28cm iznosi: 2

â&#x2122;Ś

232 3 cm 3

2

2

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;Ś 96 2cm3 â&#x2C6;&#x161; 200 2 3 â&#x2122;Ś cm 3

â&#x2122;Ś 52cm3 â&#x2122;Ś 104cm3

15. Iz taqke A (6, 4) spuxtene su normale na prave 3x + y + 8 = 0 i x + 2y = â&#x2C6;&#x2019;6 Povrxina trougla qija su temena A i podnoja normala iznosi: â&#x2122;Ś 30

â&#x2122;Ś 28

â&#x2122;Ś 20

â&#x2122;Ś 32

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;Ś 21 3

16. Prava jednakoiviqna kruna kupa preseqena je jednom ravni paralelno sa ravni osnove tako da se povrxine omotaqa zarub ene kupe i preostalog dela odnose kao 3 : 1. Odnos povrxina omotaqa zarub ene kupe i enih osnova je: â&#x2122;Ś 3:1

â&#x2122;Ś 5:3

â&#x2122;Ś 3:2

â&#x2122;Ś 6:5

â&#x2122;Ś 3:3

17. Osnovica trougla je 15cm, visina koja odgovara osnovici je 18cm. Odseqak izmeu stranica trougla prave povuqene paralelno osnovici na rastojau od 6cm je: â&#x2122;Ś 9

â&#x2122;Ś 11

â&#x2122;Ś 10

â&#x2122;Ś 12

â&#x2122;Ś 13

41


18. Stari Grci su povrxinu kruga izraqunavali kao povrxinu kvadrata stranice 0,875 od preqnika kruga (R). To znaqi da su oni za π koristili priblinu vrednost: ♦ 0, 765625

♦ 5, 22

♦ 3, 0625

♦ 3, 140

♦ 0, 875R

19. Taqka A (2, 1) je centar krunice koja na x osi odseca tetivu duine 2√3. Jednaqina te krunice glasi: ♦ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4

√ ♦ x 2 + 4x + y 2 − 2y = 2 3 − 5

♦ x 2 + 4x + y 2 − 2y = 25 √ 2 3 ♦ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 2

♦ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 12

20. Data je funkcija f (x) = ax + bx + c. Koliki su koeficijenti a, b, c ako funkcija ima vrednost 0 u taqki 3, ekstremnu vrednost za x = 1 i f (2) = −3? 2

♦ a = 1, b = −2, c = −3

♦ a = −1, b = −2, c = −3

♦ a = 1, b = 2, c = −3

♦ a = −1, b = 2, c = 3

♦ a = 1, b = −2, c = 3

TEST 4

1. Ako je i imaginarna jedinica onda koliqnik ii ♦ 0

♦ 1

♦ −i

♦ −1

2. Vrednost izraza

"

1 1+ 2

2004

+ i 2005 2003 − i 2002

ima vrednost: ♦ i

 −1   # −2   1 1 : 1+ . 1+ 3 4

♦ 5

♦ 1

♦ 0, 2

♦ 0, 5

je: ♦ 3

42


3. Ako je Aa = Bb = Cc = k tada je 4A4a −− 3B3b ++ cC jednako: (a) 2k (c) 2k3 (d) −2k (b) k 4. Ako je a > b > 0 i a

2

, tada je aa −+ bb jednako:

+ b2 = 6ab

√ ♦ − 2 √ ♦ 2

5. Ako je log

1 ♦ √ 2

6

♦ 1

;

;

;

x + log x 2 b = 1 b > 0 b , 1 x , 1

b2

(e) 2k

1 b ♦ b

tada x ima vrednost:

♦ b2

1 b2

b

6. Ako je cos x : cos 2x : cos 4x = 1 : 2 : y, tada je y jednako: √ ♦ 4−3 3

♦ 4

♦ 8

√ ♦ 5+3 3

√ ♦ 5−3 3

7. Broj realnih rexea sistema jednaqina 2 4 jednak je:

x y

♦ 0

♦ 2

♦ 1

♦ 3

8. Proizvod rexea jednaqine px

♦ 1

♦ 100

♦ 2

9. Razlika cos

2

x+y x−y − sin2 2 2

♦ 4

√ log x

♦ 10

= 32 ∧ log (x − y)2 − 2log2 = 0

= 10

je: ♦

1 100

jednaka je:

♦ sin (x − y)

♦ sin x cos y

♦ sin (x + y)

♦ sin x sin y

43

♦ cos x cos y


10. Rexee jednaqine x

2

â&#x2C6;&#x2019; 6x + 5 â&#x2030;¥ 0

je: â&#x2122;¦ (1, 5)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 1]

â&#x2122;¦ [5, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ [1, 5]

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 1] â&#x2C6;ª [5, +â&#x2C6;&#x17E;)

11. Pravougli trougao sa jednom katetom duine 5 i hipotenuzom duine 13 rotira se oko krae katete. Zapremina tako nastalog tela je: â&#x2122;¦ 24Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 240Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 100Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 624Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦

325 Ï&#x20AC; 3

12. Jednaqina prave koja je paralelna sa pravom 2x â&#x2C6;&#x2019; y +3 = 0 i prolazi kroz taqku A (1, 4) je: â&#x2122;¦ 2x + y + 3 = 0

â&#x2122;¦ x + 2y â&#x2C6;&#x2019; 9 = 0

â&#x2122;¦ 2x â&#x2C6;&#x2019; y + 2 = 0

â&#x2122;¦ 2x â&#x2C6;&#x2019; y + 3 = 0

â&#x2122;¦ x + 2y + 3 = 0

13. Data je funkcija f (x) = 2x â&#x2C6;&#x2019; x , tada je f ( f ( f (1 â&#x2C6;&#x2019; x))) jednako: 2

â&#x2122;¦ 1 â&#x2C6;&#x2019; x8

â&#x2122;¦ 2x 4 â&#x2C6;&#x2019; x 8

â&#x2122;¦ 2x â&#x2C6;&#x2019; x 16

â&#x2122;¦ 1 â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; x)8

14. Jednaqina x + x + ax + b = 0; (a, b) â&#x2C6;&#x2C6; R ima rexea Proizvod svih rexea date jednaqine je: 3

2

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 2x 3 â&#x2C6;&#x2019; x 8



â&#x2C6;&#x161;  1â&#x2C6;&#x2019; 2

i



â&#x2C6;&#x161;  1+ 2

â&#x2122;¦ 0

15. Stranica romba qija je povrxina 80cm , a odnos dijagonala 4 : 5, iznosi: 2

â&#x2122;¦ â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161;

84 cm

â&#x2122;¦

82 cm

â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161;

81 cm 80 cm

44

â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161;

72 cm

.


16. Izraqunati zbir prvih 10 qlanova aritmetiqkog niza, ako je diferencija (razlika) d = 3, a xesti qlan je a = 16. 6

♦ 28

♦ 145

♦ 190

♦ 160

♦ 92

17. Zbir svih celobrojnih vrednosti x takvih da vai |5 − |x|| = 5 − |x| je: ♦ 12

♦ 5

♦ 10

♦ 2

♦ 0

18. U jednakokraki trougao 4ABC (AB = AC = 3, BC = 2) upisan je u krug koji dodiruje krake AB i AC redom u taqkama D i E . Duina dui DE jednaka je: 13 10 6 ♦ 5

135 100 7 ♦ 5

19. Broj rexea jednaqine 9

|3x−1|

= 38x−2

♦ 0

♦ 2

♦ 1

♦ 3

4 3

je: ♦ 4

20. Zbir svih neparnih prirodnih brojeva maih od 1000 je: ♦ paran broj ♦ 0 ♦ 249500 ♦ neparan broj ♦ 5000

TEST 5

1. Vrednost izraza ♦

3+1

♦ 3i

 √

2 3−1

3

15

+√ −√ 3−2 3−3 ♦ 1 1 ♦ 2

45

  −1 √ 3+5

je: √ 3 ♦ 3


2. Ako je a ∈ R\ {−1, 0, 1}, vrednost izraza



 a+1 1 a3 + 1 : − 4 a−1 a −a a − a3

1+a 1 + a + a2 a2 + a − 1 ♦ 2 a +a+1

♦ 1

je:

1 − a − a2   a3 − a2 a3 − 1

♦ i

♦ 1

♦ 22006

♦ −1

♦ 1−i

1 − a − a2 1 + a + a2

3. Vrednost izraza



1−i 1+i

 2006

je:

4. Skup svih vrednosti realnog parametra m za koje je jedno rexee jednaqine m = 0 kvadrat drugog je: 4x − 15x + 2 2

3

♦ {−3, 5}

♦ {−5, 3}

♦ [−5, 3]

♦ {−5}

♦ {3}

5. Skup rexea nejednaqine xx −−2xx −−63 ≥ 1 je: 2

2

♦ (−1, +∞)

♦ (−1, 3)

♦ [3, +∞)

♦ (−∞, −1] ∪ (3, +∞)

6. Ako je a + b + c = 0 ♦ 0

1 1 1

+ +

a b c

∧ abc , 0

tada je ♦

r

♦ (−1, 3) ∪ (3, +∞)

1 1 2 + 2+ 2 = 2 a b c

1 1 1 + + a b c

♦ |abc|

♦ abc

7. Broj rexea jednaqine √3x + 13 − √x − 1 = 2√x + 3 je: ♦ 0

♦ 2

♦ 1

♦ 3

8. Zbir kvadrata rexea jednaqine 55 4 19 ♦ 3

  x+1   x 2 +2x−11   9 5 9 5 = 3 25 3

35 2 ♦ 17 ♦

46

bar 4 je: 65 4


9. Skup rexea nejednaqine log

 0,5

 1 + 2x log2 >0 1+x

je: 1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; ,0 2 

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;1)

â&#x2122;¦ (0, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;ª (2, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;ª (1, +â&#x2C6;&#x17E;)



10. Vrednost proizvoda sin 20 sin 40 sin 80 jednaka je: â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ â&#x2122;¦

1 2

â&#x2014;¦

â&#x2014;¦

1 4 1â&#x2C6;&#x161; 3 â&#x2122;¦ 8

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

1 â&#x2C6;&#x161; 3 2

11. Broj rexea jednaqine

cos2

1 1 x â&#x2C6;&#x2019; sin 2x = 2 2

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 2Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 3

 1 â&#x2C6;&#x161; 5â&#x2C6;&#x2019;1 4

koja pripada segmentu â&#x2122;¦ vei od 3

h Ï&#x20AC; Ï&#x20AC;i â&#x2C6;&#x2019; , 2 2

je:

12. Jednaqina krunice koja sadri taqke A (3, â&#x2C6;&#x2019;8) i B (â&#x2C6;&#x2019;7, 2), a centar joj pripada pravoj 4x + y + 16 = 0 je: â&#x2122;¦ x2 + y2 = 4

â&#x2122;¦ x 2 + (y + 4)2 = 5

â&#x2122;¦ (x + 3)2 + (y + 4)2 = 52

â&#x2122;¦ (x + 3)2 + y 2 = 5

â&#x2122;¦ (x + 4)2 + (y + 3)2 = 56

13. Zbir svih vrednosti realnog parametra k za koje prava y = k x + 1 dodiruje parabolu y = x â&#x2C6;&#x2019; 2x + 2 je: 2

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;5

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;4

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 5

14. Jednaqina prave koja prolazi kroz taqku P (1, 2) i normalna je na pravu 2x + 3y + 4 = 0 je: â&#x2122;¦ 3x â&#x2C6;&#x2019; 2y + 1 = 0 â&#x2122;¦ 3x + 2y â&#x2C6;&#x2019; 7 = 0

8 2 â&#x2122;¦ y=â&#x2C6;&#x2019; x+ 3 3

47

â&#x2122;¦ 2x â&#x2C6;&#x2019; 3y + 4 = 0 â&#x2122;¦ y = 2x


15. Ruda sdri 40% primesa. Metal dobijen iz ove rude sadri 4% primesa. Iz 24 tone ove rude dobija se metala (u tonama): â&#x2122;¦ 12

â&#x2122;¦ 14

â&#x2122;¦ 13

â&#x2122;¦ 15

â&#x2122;¦ 15, 5

16. Ako je f (x) = 2xx â&#x2C6;&#x2019;+21 , (x , 2) tada je f ( f (x)) jednako: 1 x x â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x2019;5x 3

â&#x2122;¦

x+2 xâ&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ x

17. Jednakokraki trougao 4ABC ima osnovicu AB = 24cm i krake AC = BC = 13cm. U trouglu 4ABC duina visine koja odgovara osnovici je (izraena u cm): â&#x2122;¦ 6

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ 7

18. Osnova trostrane piramide je trougao stranica 6, 8 i 10. Sve boqne ivice su 13. Zapremina te piramide je: â&#x2122;¦ 96

â&#x2122;¦ 100

â&#x2122;¦ 90

â&#x2122;¦ 95

â&#x2122;¦ 92

19. Razvijeni omotaq kupe je kruni iseqak povrxine M = 27Ï&#x20AC; sa centralnim uglom α = 120 . Zapremina te kupe je: â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 6Ï&#x20AC; â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 9 2Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 10Ï&#x20AC; â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 18 2Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 9Ï&#x20AC;

20. Prvi, trei i sedmi qlan aritmetiqke progresije qine prva tri qlana geometrijske progresije. Qetvrti qlan geometrijske progresije je u aritmetiqkoj progresiji: â&#x2122;¦ deseti qlan â&#x2122;¦ qetrnaeseti qlan â&#x2122;¦ sedamnaeseti qlan â&#x2122;¦ jedanaeseti qlan â&#x2122;¦ petnaeseti qlan 48


TEST 6 1. Vrednost izraza

1

 5   0, 5 : 1, 25 + 7 : 1 4 − 3 · 3    5 7 11         1 1   1, 5 + : 18   4 3  

1 2 ♦ 2

♦ 3

2. Kada se pojednostavi izraz: bija se:

"

(x + 1)2 x 2 − x + 1 2 x3 + 1

♦ x3 + 1

♦ (x + 1)4

♦ −1

i 2 ♦ 4

1 − i 2006 1+i

 2007

 2008 2009

,

3 4

3

♦ 1

3. Vrednost izraza

je jednaka:

i 2 = −1

2 #2 "

4



♦ i

(x − 1)2 x 2 + x + 1 2 x3 − 1

♦ x3 − 1

2 #2

do-

4

iznosi: ♦

1 4

♦ −i

4. U geometrijskoj progresiji koliqnik je 2, a zbir prvih 7 qlanova jednak je 635. Tada sedmi qlan iznosi: ♦ 310

♦ 355

♦ 325

♦ 315

♦ 320

5. Realno rexee jednaqine: √2x + 14 − √x − 7 = √x + 5 pripada intervalu: ♦ [5, 8]

♦ [0, 2]

♦ [1, 7]

♦ [10, +∞)

49

♦ [16, 20]


6. Zbir rexea jednaqine: |x − 2| + |2x − 3| = x + 1 je jednak: ♦ 1

♦ 3

♦ 2

♦ 4

♦ 5

7. Realno rexee jednaqine log (x + 12) · log 2 = 1 je: 4

x

♦ 4

♦ 2

♦ 3

♦ 1

♦ −4

8. Proizvod svih realnih rexea jednaqine ♦ −64

♦ 48

♦ 8

♦ −384 2

≥ 1 − 3x

je:

 1 ♦ 0, 2   3 1 , ♦ 16 3





10. Oblast definisanosti funkcije f (x) =  1 ♦ (−∞, −3) ∪ , +∞ 3 ♦ (−∞, −3) ∪ (2, +∞) 

je:

♦ 24576

9. Skup svih rexea nejednaqine √1 − 4x  3 ♦ 0, 16   1 1 ♦ − , 2 2

 x 2 − 64 (2 x − 64) =0 √ −x 2 + 20x − 64



1 1 , 3 2



1 , +∞ 3

r 3

log3

3x − 1 x+3

♦ (−∞, −3) ∪ [2, +∞)   1 ♦ (−∞, −3) ∪ , +∞ 3



je: ♦



11. Zbir svih rexea jednaqine: sin 2x = cos 3x, koja pripadaju intervalu (0, π)je: π 2 5π ♦ 2

3π 4 3π ♦ 2 ♦

50

5π 4


12. Prava q seqe pravu y â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0 u taqki A (4, 6) pod pravim uglom. Ako prava q seqe x osu u taqki B (x , 0), onda je x jednako: 1

1

â&#x2122;¦ 14

â&#x2122;¦ 10

â&#x2122;¦ 12

â&#x2122;¦ 8

â&#x2122;¦ 7

13. Zbir svih vrednosti realnog parametra m za koji je prava 2x+y+m = 0 tangenta krunice (x â&#x2C6;&#x2019; 1) + (y â&#x2C6;&#x2019; 1) = 4 je: 2

2

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;5

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;7

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;6

14. Skup rexea jednaqine log

â&#x2122;¦ 2

 x+1 â&#x2030;¥0 log3 xâ&#x2C6;&#x2019;1

 1 2

â&#x2122;¦ (1, 2)

â&#x2122;¦ [2, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ [â&#x2C6;&#x2019;1, 1]

â&#x2122;¦ (1, +â&#x2C6;&#x17E;)

15. Jednaqina (5m â&#x2C6;&#x2019; x) â&#x2C6;&#x2019; (4m + x) 2

â&#x2122;¦ m<

1 3

2

je:

= 9m2 + 6x + 7

â&#x2122;¦ m<â&#x2C6;&#x2019;

1 3

â&#x2122;¦ m > â&#x2C6;&#x2019;3

 â&#x2122;¦

1 ,2 2



ima negativno rexee ako je: â&#x2122;¦ m>â&#x2C6;&#x2019;

1 3

â&#x2122;¦ m<0

16. Ako se osnovica pravougaonika povea za 10% i egova povrxina ostane ista, tada je visina pravougaonika smaena za: â&#x2122;¦ 9% â&#x2122;¦ 10%

â&#x2122;¦ 11% 1 â&#x2122;¦ 11 % 9

â&#x2122;¦ 9

1 % 11

17. Ako se polupreqnik lopte povea za 1cm, ena povrxina se povea za 8Ï&#x20AC;cm2. Pri tome se zapremina lopte povea za: â&#x2122;¦ 4Ï&#x20AC;cm3 â&#x2122;¦

4 Ï&#x20AC;cm3 3

1 Ï&#x20AC;cm3 3 â&#x2122;¦ 13Ï&#x20AC;cm3 â&#x2122;¦

51

â&#x2122;¦

13 Ï&#x20AC;cm3 3


18. Neka kiga ima cenu od 64 dinara. Posle poskup ea od 20% doxlo je do pojevtiea od 20%. Nova cena kige, u dinarima, je: ♦ 61, 44

♦ 65, 66

♦ 65

♦ 66

♦ 64

19. Krunica polupreqnika r upisana je u kvadrat qija je stranica duine 1,a krunica polupreqnika r opisana je oko istog kvadrata. Zbir r +r je jednak: 1

2 1

2

♦ 1 3 ♦ 4

♦ 2 2 ♦ 3

2 2

5

20. Zbir povrxina svih kvadrata u koordinatnoj ravni qija su temena taqke O(0, 0) i P(1, 3) iznosi: ♦ 40

♦ 20

♦ 25

♦ 15

♦ 10

TEST 7

1. Vrednost izraza 2

0,5

− 20 − 20,5 − 20

♦ 0

 −1

√ ♦ − 2

♦ 2 √ ♦ 2

♦ 1

je jednaka:

2. Vrednost izraza: 2a a+ −7a1+ 3 − a 1+−a2a+ 1 − a −3 1 , za a = − 13 je: 2

3

3 2 12 ♦ − 7

♦ −

2

12 7 3 ♦ 4 ♦

♦ −

52

3 4


3. Skup svih rexea nejednaqine: (x(x +− 1)1) (x(x +− 2)2) ≥ 1 je: ♦ (−∞, +∞)

♦ [0, 1]

♦ [0, +∞)

♦ [0, 1) ∪ (2, +∞)

4. Jednaqina x − x −7 3 = 3 − x −7 3 : ♦ ima bezbroj celobrojnih rexea ♦ nema rexea ♦ ima jedno celebrojno rexee

♦ (−∞, 0] ∪ (2, +∞)

ima dva jednaka celobrojna rexea ♦ ima dva jednaka necelobrojna rexea ♦

5. Proizvod rexea jednaqine: √x − 1 = x − 3 je: ♦ 10

♦ 7

♦ 2

♦ −1

6. log

0,01 10

♦ 5

jednak je: 1 2 ♦ −2

♦ 1

♦ −

♦ 2

1 2

7. Jednaqina log (1 − x) = log (x − 3) ♦ Nema rexea ♦ Ima beskonaqno mnogo rexea ♦ x = 3 je jedinstveno rexee

je jedinstveno rexee ♦ Zadovo ena je za x = 2

8. Jednaqina 9 − 4 · 3 ♦ Nema rexea ♦ Ima jedno rexee ♦ Ima dva rexea

2

√ 2 x−1

2

√ 2 x−1

+3=0

♦ x=1

: Ima tri rexea ♦ Ima qetiri rexea 53


9. Vrednost izraza: (1(1 ++ i)i)

2008

â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; i)2009

2006

2007

+ (1 â&#x2C6;&#x2019; i)

â&#x2122;¦ i

â&#x2122;¦ 1â&#x2C6;&#x2019;i

â&#x2122;¦ 1+i

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;i

,

i 2 = â&#x2C6;&#x2019;1



iznosi: â&#x2122;¦ 2i

10. Duina osnovice jednakokrakog trougla je 6cm, a kraka 12cm. Polupreqnik opisanog kruga oko trougla iznosi (u cm): 7â&#x2C6;&#x161; 15 5 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 4 13 â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 3 15

â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 6 13

8â&#x2C6;&#x161; 15 5

11. Lopta je upisana u kocku. Odnos povrxina lopte i kocke je: 2Ï&#x20AC; 3 Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 6

â&#x2122;¦

4Ï&#x20AC; 3 Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 12 â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

8Ï&#x20AC; 3

12. Osnovica jednakokrakog trougla je 30km, a oj odgovarajua visina 20km. Visina koja odgovara kraku tog trougla je: â&#x2122;¦ 24km â&#x2122;¦ 25km

â&#x2122;¦ 13km â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 15 3km

â&#x2122;¦ 18km

13. U geometrijskom nizu zbir prvog i petog qlana je 51, a zbir drugog i xestog qlana je 102. Ako je zbir prvih n qlanova 3069, onda je n jednako: â&#x2122;¦ 8

â&#x2122;¦ 10

â&#x2122;¦ 9

â&#x2122;¦ 11

â&#x2122;¦ 12

14. Zbir prvog i sedmog qlana aritmetiqke progresije jednak je 7. Zbir treeg i petog qlana te progresije je: â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 7

â&#x2122;¦ 9

54


15. Zbir rexea jednaqine â&#x2C6;&#x161;3 sin x + cos x = â&#x2C6;&#x161;3 koja pripadaju intervalu (0, 2Ï&#x20AC;) je: â&#x2122;¦

Ï&#x20AC; 3 2Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 3

Ï&#x20AC; 2

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦ 0

Ï&#x20AC; 6

16. Skup rexea nejednaqine cos 2x > cos x u intervalu [0, 2Ï&#x20AC;) je:    2Ï&#x20AC; 4Ï&#x20AC; â&#x2C6;ª , 2Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 0, 3 3   Ï&#x20AC; 5Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ , 3 3

  Ï&#x20AC; 5Ï&#x20AC; â&#x2C6;ª , 2Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 0, 3 3   2Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 0, 3







â&#x2122;¦

2Ï&#x20AC; 4Ï&#x20AC; , 3 3



17. Najvixe jedna od pravih: p ) y = â&#x2C6;&#x2019;x + 7; p ) y = â&#x2C6;&#x2019;x + 4; p ) y = x + 6; p ) y = x + 4 je tangenta kruga x â&#x2C6;&#x2019; 2x + y â&#x2C6;&#x2019; 2y = 6. Koja? â&#x2122;¦ p â&#x2122;¦ p â&#x2122;¦ Nijedna 1

2

2

3

4

2

1

3

â&#x2122;¦ p2

â&#x2122;¦ p4

18. U koordinatnoj ravni xOy jednaqinom 2x = 1 â&#x2C6;&#x2019; y odreena je: â&#x2122;¦ prava â&#x2122;¦ krunica â&#x2122;¦ hiperbola â&#x2122;¦ parabola â&#x2122;¦ elipsa 2

2

19. Ako se broj 110 umai za 10% dobie se broj: â&#x2122;¦ 99

â&#x2122;¦ 101

â&#x2122;¦ 100

â&#x2122;¦ 11

â&#x2122;¦ 90

20. Broj rexea jednaqine: cos 2x = sin x, u intervalu [0, 2Ï&#x20AC;] je: â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 4

55


TEST 8

1. Ako je x + y = 1, x , 1, y , 1, tada je y x− 1 − x y− 1 − 2x (yy −+x)3 = 3

♦ −

x2

♦ 0

2 +x+1

♦ 1

√ 6 2 ♦ √ 5 √ ♦ 6 2

(1 − i)6 z = 1001 i +2

2 +x+1

3 5

√ 8 5 ♦ 5

1 ♦ √ 2

4. Rastojae taqke M (−1, 2) od centra kruga x ♦

x2

, onda je modul kompleksnog broja

√ ♦ 4 5

3. Jednaqina √2x + 14 − √x − 7 = √x + 5 ♦ ima dva realna pozitivna rexea ♦ ima dva realna rexea od kojih je samo jedno pozitivno √

2 2

♦ −1

2. Ako je i imaginarna jedinica i z, |z| jednak:

3

ima samo jedno realno rexee ♦ ima qetiri realna pozitivna rexea ♦ nema realnih rexea ♦

2

+ y 2 − 2x + 4y + 3 = 0

2 √ ♦ 2 5

♦ 3

5. Zbir svih realnih rexea jednaqine |2x − 6| − x = 0 je: ♦ 8

♦ 7

♦ 5

♦ 6

♦ 10

56

je:


6. Jednaqinu prave koja prolazi kroz taqku M (2, â&#x2C6;&#x2019;2) i ortogonalna je na pravu p) {x = 7 + 3t; y = 6 â&#x2C6;&#x2019; 2t} (t â&#x2C6;&#x2C6; R) mogue je napisati u obliku: â&#x2122;¦ 3x â&#x2C6;&#x2019; 2y â&#x2C6;&#x2019; 10 = 0

â&#x2122;¦ 2x + 3y + 2 = 0

â&#x2122;¦ 3x + 2y â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0

â&#x2122;¦ 2x â&#x2C6;&#x2019; 3y â&#x2C6;&#x2019; 10 = 0

â&#x2122;¦ 3x + 2y + 10 = 0

7. Razlika aritmetiqkog niza (d) za koju vae jednakosti a + a â&#x2C6;&#x2019;6 jednaka je broju: 3

â&#x2122;¦ 6

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;4

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 2

8. Vrednost izraza log

 1 4

1 3 â&#x2122;¦ 2 â&#x2122;¦

= â&#x2C6;&#x2019;10

i a +a 2

5

=

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2

  1  log 1 81 log4 3 2 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

6

je:

1 2

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

1 3

â&#x2122;¦ 3

9. Skup svih rexea nejednaqine 2xx â&#x2C6;&#x2019;+2xx â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;133 â&#x2030;¥ 1 je: 2

2

â&#x2122;¦ [â&#x2C6;&#x2019;5, â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;ª [2, 3)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 2] â&#x2C6;ª (3, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;5] â&#x2C6;ª (3, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ [2, 3]

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;5] â&#x2C6;ª (â&#x2C6;&#x2019;1, 2] â&#x2C6;ª (3, +â&#x2C6;&#x17E;)

10. Prirodnih brojeva m, za koje kvadratna jednaqina mx + 5x + m â&#x2C6;&#x2019; 7 = 0 ima dva realna rexea x i x takva da je x x â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;1 ima: 2

1

2

1 2

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ 6

11. U prav va ak polupreqnika osnove 2 i visine 4 upisana je pravilna qetvorostrana prizma, tako da osnove prizme pripadaju osnovama va ka. Povrxina te prizme je: â&#x2C6;&#x161;  â&#x2122;¦ 16 + 2 

â&#x2122;¦ 30

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 16 2 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 16 3

57

â&#x2C6;&#x161;  â&#x2122;¦ 16 + 32 2 


12. Stranica romba je a = 5, a zbir dijagonala d + d 1

♦ 24

♦ 28

♦ 48

♦ 14

13. Vrednost izraza



3 x + 3−x 2

2

2

. Povrxina romba je

= 14

♦ 35

3 x − 3−x − 2 

2

♦ 0

♦ 3 x − 3−x

♦ 4

♦ 1

je: ♦ 2 (3 x − 3−x )

14. Skup svih realnih brojeva za koje vai jednaqina sin x + cos x + 1 = 0 je: ♦ nema rexea ♦ 2kπ , k ∈ Z ♦ (k + 1) π , k ∈ Z ♦ (1 + 2k) π , k ∈ Z ♦ π i 3π 2

15. Rexee jednaqine 2 · 3

x+1

− 4 · 3 x−2 = 450

♦ 3

♦ 4

♦ 9

♦ 81

je: ♦ 2

16. Skup svih realnih brojeva za koje vai jednaqina log (x + 1) = log (x + 3) je: 2

♦ {1, −2}

♦ (1, +∞)

♦ {1}

♦ (−1, +∞)

17. Vrednost izraza √ ♦ 2− 3 ♦ 1

s © ­ «

3 √ − 3 2

2

 3 −3 1 √ ª + − 3 ® 2 ¬ √ ♦ 2 3 s 3

4

♦ [−1, +∞)

je: ♦ 2−3

♦ −1

18. Cena jedne koxu e je 500 dinara. Posle poskup ea koxu e za 5% doxlo je do pojeftiea za 10%. Nova cena koxu e je: ♦ 525

♦ 450

♦ 500

♦ 472, 5

58

♦ 475, 5


α + cos α : 19. Ako je tgα = 12 tada je 2 sin sin α − 4 cos α ♦ 1

♦ −

1 2

♦ 1

1 2

3 2

20. Visina i izvodnica kupe odnose se kao 1 : 2, a ena zapremina je 1000πcm . Povrxina kupe je: 3

√ ♦ 200 3π √ ♦ 100 3π

♦ 100π  √  ♦ 100 3 + 3 π

 √  ♦ 100 3 + 2 3 π

TEST 9 1. Vrednost izraza



3, 65 + 0, 5 −

3 20

 12

♦ 8

♦ 1

♦ 4

♦ 2

2. Vrednost izraza

1 −1 © 1, 2 − 5 ª® ­ ® ­5 ® « 4 + 0, 75 ¬

je jednaka: ♦ 16

1+a 1+a ª © ª 1+ 1+ © 1 − 3a ® : ­1 − 3 1 − 3a ® ­1 + ® ® ­ 1+a ® ­ 1+a ® 1−3 1−3 « 1 − 3a ¬ « 1 − 3a ¬

♦ a

♦ 1

♦ −a

♦ 3

3. Ako je i imaginarna jedinica i

je: ♦ −3

2+i 2−i z= +3 3i − 4 5 

♦ 21004

♦ i21004

♦ −21004

♦ −i21004

59

 2009

tada je 1 −z i jednako: ♦ 21008


4. Zbir drugog i desetog qlana opadajue aritmetiqke progresje je 8, a proizvod tih qlanova 12. Zbir prvih 15 qlanova te progresije je: â&#x2122;¦ 52, 5

â&#x2122;¦ 45

â&#x2122;¦ 75

â&#x2122;¦ 90

â&#x2122;¦ 25

5. Vrednost izraza sin 20cos+25sin 70 je: â&#x2014;¦

â&#x2014;¦

â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161;

3

â&#x2C6;&#x161;

2 18 â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦

3 2

6. Broj rexea jednaqine je:

Ï&#x20AC;

 â&#x2C6;&#x161; 3Ï&#x20AC; cos â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019;sin + x = 2 cos 2x 4 4 



â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 4 2 4

4

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;4

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2122;¦ 4

8. Ako su x i x koreni jednaqine 4x â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3 2 â&#x2122;¦ 5

2

17 6 17 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; 2

2

â&#x2C6;&#x2019; 1| + log21 |x â&#x2C6;&#x2019; 1| = 0 4

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

2

â&#x2C6;&#x2019; 5 â&#x2C6;&#x2019; 8x = 0

1 2

1

8 5

2

x â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019;6 5

x 2 + x â&#x2C6;&#x2019; 12 = 7

2

â&#x2122;¦

5 8

â&#x2122;¦

17 6

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2122;¦ 3 â&#x2122;¦

 Ï&#x20AC; Ï&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019; , 2 2

17 2

60

je:

tada je x1 + x1 jednako:

â&#x2122;¦ 3

9. Proizvod svih rexea jednaqine â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

na intervalu â&#x2122;¦ 5

7. Zbir svih rexea jednaqine 2 log |x + 1| + log |x

1

8 5

â&#x2122;¦

je:


10. Skup svih rexea nejednaqine x + 1 > â&#x2C6;&#x161;5 â&#x2C6;&#x2019; x je: â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;4) â&#x2C6;ª (1, 5]

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;4, 1)

â&#x2122;¦ (1, 5]

â&#x2122;¦ (1, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;4) â&#x2C6;ª (1, +â&#x2C6;&#x17E;)

11. Razlika vee i mae osnovice jednakokrakog trapeza qiji je obim 32cm, a polupreqnik upisanog kruga 2cm iznosi (u cm): â&#x2C6;&#x161;

3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 8 3 â&#x2122;¦

12. Rexee jednaqine 2 1 â&#x2122;¦ 0, 3 â&#x2122;¦ (1, 3] 

â&#x2C6;&#x161;

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 6 6

6 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 3 2

â&#x2122;¦



log3 x

2 + 2log3 ( x ) = 2

pripada intervalu: â&#x2122;¦ (9, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ (3, 9]   1 ,1 â&#x2122;¦ 3

13. Taqke A (7, 1) i B (â&#x2C6;&#x2019;1, 3) su temena osnovice jednakokrakog trougla 4ABC, pri qemu teme C pripada pravoj x â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0. Proizvod koordinata taqke C je: â&#x2122;¦ 6

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;6

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;4

â&#x2122;¦ 7

14. Ugao izmeu izodnice i visine prave kupe je 60 . Ako je izvodnica za 1cm dua od visine, zapremina date kupe iznosi (u cm ): â&#x2014;¦

3

â&#x2122;¦ Ï&#x20AC; 4Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161;

3Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 2Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦

3Ï&#x20AC; 2

15. Ako se stranice jednakostraniqnog trougla prvo smae za 20%, a zatim stranice tako dobijenog trougla poveaju za 20%, onda je povrxina na ovaj naqin dobijenog trougla jednaka (u cm ): 2

â&#x2122;¦ 0, 82

â&#x2122;¦ 0, 962

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 1, 22

61

â&#x2122;¦ 0, 842


16. Ako je f (x) = 2x + 3 i g (x) = x

2

−4

onda je g ( f (x)) − 2 f (g (x)) jednako:

♦ 12x + 15

♦ 2x 2 − 10

♦ 12x − 5

♦ 6x + 15

17. Proizvod rexea jednaqine

2

x − x + 3

x2 − x − 5

♦ −1

♦ 2

♦ −2

♦ 4

♦ 3x + 5

je: ♦ −4

18. Rastojae preseqne taqke pravih: p ) 4x −3y = 0 i p ) y − x = 1 od koordinatnog poqetka je: 1

♦ 7

♦ −7

♦ 1

♦ 5

2

♦ −5

log 30 log 750 19. Ako je a = log − , tada broj log a pripada skupu 5 log 5 5

5

150

3

6

♦ (−∞, −1]

♦ (1, 2]

♦ (2, +∞)

♦ (−1, 0]

♦ (0, 1]

20. Broj onih rexea jednaqine sin x + sin 2x = 0 koji pripada intervalu [−π, π] je: ♦ 0

♦ 2

♦ 3

♦ 4

TEST 10

1. Izraz aa

3

− b3 2 − b2

a2 , b2

♦ a−b ♦

a2 + ab + b2 a−b



♦ 5

je jednak izrazu: ♦

a2 − +ab + b2 a+b

a2 + ab + b2 a+b

♦ a+b

62


2. Dat je broj A = log 9 · log 8, tada je A jednako: 3

2

2 3 â&#x2122;¦ 6

3 2 â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

1 3

3. Skup realnih rexea nejednaqine ||x + 1| â&#x2C6;&#x2019; |x â&#x2C6;&#x2019; 1|| < 1 je: 1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2, â&#x2C6;&#x2019; 3   1 â&#x2122;¦ ,1 3 

1 1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; , 2 2







â&#x2122;¦ (1, 2)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;2, â&#x2C6;&#x2019;1)

4. Polupreqnik krunice koja je zadata jednaqinom x 4 3 3 â&#x2122;¦ 2

2

1 7 + y 2 â&#x2C6;&#x2019; x + 4y + = 0 2 2

1 2 1 â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

5. Proizvod svih realnih rexea jednaqine (x + 1) â&#x2C6;&#x161;x 

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 5

2

je:

3 4

 +xâ&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;2 =0

je:

â&#x2122;¦ 6

6. Uglovi trougla su α = 45 i β = 30 , a egov obim iynosi 6 3 + â&#x2C6;&#x161;2 + â&#x2C6;&#x161;3 . Povrxina tog tougla je: â&#x2014;¦

  â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 1+2 â&#x2122;¦ 18

â&#x2014;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161;  2+ 3  â&#x2C6;&#x161;  â&#x2122;¦ 18 1 + 3

â&#x2122;¦





 â&#x2C6;&#x161;  â&#x2122;¦ 18 1 + 2

7. Cena jednog litra benzina se u odreenoj godini meala na sledei naqin: Najpre se cena poveala 15%, a zatim se smaila 15% i na kraju se opet smaila jox 15% u odnosu na prethodnu maloprodajnu cenu i sada iznosi 120 dinara za litar. Ukupno smaee cene u toj godini bilo je priblino: â&#x2122;¦ 24, 43

â&#x2122;¦ 34, 43

â&#x2122;¦ 18

â&#x2122;¦ 30

63

â&#x2122;¦ 14, 12


8. Prava q seqe pravu y + 3x = 2 u taqki A (â&#x2C6;&#x2019;1, 5) pod pravim uglom. Ako prava q seqe y osu u taqki B (0, y ) onda je y jednako: 1

11 3 16 â&#x2122;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3

1

16 3 5 â&#x2122;Ś 2

â&#x2122;Ś

â&#x2122;Ś

â&#x2122;Ś â&#x2C6;&#x2019;

5 2

2sinÎą â&#x2C6;&#x2019; cosÎą 9. Ako je tgÎą = 32 onda je 4sinÎą : â&#x2C6;&#x2019; 3cosÎą 1 2 3 â&#x2122;Ś 4

4 5 5 â&#x2122;Ś 7

â&#x2122;Ś

â&#x2122;Ś

â&#x2122;Ś

2 3

10. Automobilski toqak ima preqnik od 50cm. Ako se usled habaa gume polupreqnik smai za 0, 5cm onda se broj obrtaja toqka na putu duine 1km povea oko: â&#x2122;Ś 2%

â&#x2122;Ś 20%

â&#x2122;Ś 1%

â&#x2122;Ś 0, 5%

11. Rexee jednaqine log

3

 log5 x = 1

pripada intervalu:

â&#x2122;Ś (0, 50)

â&#x2122;Ś (100, 150)

â&#x2122;Ś (50, 100)

â&#x2122;Ś (150, 200)

12. Ako je 0

â&#x2014;Ś

1 4 1 â&#x2122;Ś 2 â&#x2122;Ś

< Îą < 90â&#x2014;Ś

â&#x2122;Ś 1, 5%

â&#x2122;Ś (200, 250)

i tgÎą = â&#x2C6;&#x161;15 onda je sinÎą jednako: 2 3â&#x2C6;&#x161; 15 â&#x2122;Ś 4 â&#x2122;Ś

â&#x2122;Ś

1 3

13. Razlika realnog i imaginarnog dela kompleksnog broja 13â&#x2C6;&#x2019;+2ii je: â&#x2122;Ś â&#x2C6;&#x2019;1 4 â&#x2122;Ś 5

â&#x2122;Ś 1

â&#x2122;Ś 0

â&#x2122;Ś 3

64


14. Ako je povrxina pravilnog tetraedra 36√3 onda je duina polupreqnika lopte koja je upisana u taj tetraedar jednaka: √ ♦ 3 3 √ ♦ 3 2

√ 6 ♦ 3

♦ 36 x

♦ 25x

♦ 64 x

♦ 72 x

♦ 48 x

√ 6 √ 6 ♦ 2

15. Vrednost izraza 3

2x 23x

je:

16. Romb ima oxtar ugao od 60 . Povrxina tog romba je √3. egova stranica ima duinu: ◦

♦ ♦

√ √

2

♦ 128

3

♦ 3

5

17. Ako je f (x − 1) = x +3x +2, onda je proizvod rexea jednaqine f (x) = 0 jednak: 2

♦ 3

♦ 5

♦ 64

♦ 6

♦ 8

18. Zbir rexea jednaqine |x − 3| + |2x − 5| = x je: ♦ 6

♦ 0

♦ 3

♦ −3

♦ −6

19. Ako je zbir kvadrata tri neparna uzastopna prirdna broja jednak 83, onda je proizvod tih brojeva: ♦ 95

♦ 110

♦ 100

♦ 105

65

♦ 115


20. Broj rexea jednaqine sin α = cosα koji pripada intervalu [0, 2π] je: ♦ 0

♦ 2

♦ 1

♦ 3

♦ 4

TEST 11 1. Ako je

 4−2 − 3−4 −1 −1 − 3−1 81− 14 A= 0, 5 + 3 0, 5 − 3−1

1 2 ♦ 2

onda je

♦ −2

♦ −

r

1 A

jednako: ♦

1 2

1 3

2. Izraz (x − y)1(x − z) + (y − z)1(y − x) + (z − x)1(z − y) ima vrednost: ♦ x − y − +z

♦ 2

♦ xyz

♦ (x − y) z − 1

3. Ako je

21 2 33 − · 8 3 14 A=  37 19 · 9 + 8 + 4, 375 : 12 9

♦ 0

, tada 21% od broja A iznosi:

♦ 2, 1

♦ 0, 05

♦ 0, 5

♦ 0, 59

♦ 1, 8

4. Broj rexea jednaqine |x| + |1 − x| = 10 u skupu realnih brojeva R iznosi: ♦ 0

♦ 2

♦ 1

♦ 4

5. Rexee jednaqine ♦ 1 1 ♦ 2

2 x − x −x 1 = 2 x + 2−x 3

♦ ∞

je:

♦ 3 1 ♦ 3

♦ 2

66


6. Proizvod brojeva x i y koji zadovo avaju sistem jednaqina 2 2 + 3 = 89 je:

x

· 3 y = 648 ∧

y

x

♦ 8

♦ 16

♦ 12

♦ 20

7. Vrednost izraza



1 log4 16

3

je:

♦ 4

♦ 2

♦ 8

♦ −8

8. Rexee jednaqine log

3

♦ 6

♦ 0

♦ 1 

♦ −2

 log3 (2x − 5) = 0

♦ 4

9. Kompleksan broj

♦ 32

je broj: ♦ 3

9 √  9 √ 1+i 3 + 3−i

;

♦ 29 (1 + i)

♦ 29 (1 − i)

♦ 29 (−1 + i)

♦ 29

10. Ako je α + β = 60 i ◦

√ 3 tgα = 2

√ 3 ♦ 2



jednak je: ♦ −29i

onda je tgβ: √ 3 ♦ √3 3 ♦ 5

3

i 2 = −1

√ 3 ♦ 4

11. Zbir rexea jednaqine log (tg (3x)) = 12 koja pripada intervalu [0, π] je: 3

3π 2 π ♦ 9 ♦

π 3 π ♦ 4 3 ♦ 2

♦ 4

67

π 9


12. Neka su a i b duine stranica datog pravougaonika. Ako se a povea za 20% i b povea za 40%, povrxina pravougaonika se povea za: â&#x2122;¦ 62%

â&#x2122;¦ 60%

â&#x2122;¦ 64%

â&#x2122;¦ 80%

â&#x2122;¦ 68%

13. Zbir svih celobrojnih rexea nejednaqine x x+â&#x2C6;&#x2019;x 2â&#x2C6;&#x2019; 6 â&#x2030;¥ x 2

â&#x2122;¦ 9

â&#x2122;¦ 12

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 1

2

xâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 6x + 5

je:

â&#x2122;¦ 7

14. Skup svih realnih brojeva x za koje vai (x â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x161;x â&#x2122;¦ (0, 1)

â&#x2122;¦ {â&#x2C6;&#x2019;1} â&#x2C6;ª [2, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;2)

â&#x2122;¦ (1, 2)

2

â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2030;¥ 0  â&#x2122;¦

je:

1 ,1 2



15. Jednaqina prave kroz taqku A (â&#x2C6;&#x2019;2, 1), ortogonalne na pravu koja prolazi kroz taqke B (â&#x2C6;&#x2019;1, â&#x2C6;&#x2019;1) i C (2, 1) glasi: â&#x2122;¦ 2y â&#x2C6;&#x2019; 3x + 8 = 0

â&#x2122;¦ 2y + 3x + 4 = 0

â&#x2122;¦ 2y + 3x + 1 = 0

â&#x2122;¦ y+2=0

â&#x2122;¦ 3x + 2y â&#x2C6;&#x2019; 5 = 0

16. Prava p sadri centar krunice k i taqku P van te krunice i seqe krunicu u taqkama A i B tako da je P A = 8cm i PB = 18cm. Ako je T taqka te krunice takva da je prava PT ena tangenta onda je duina dui PT (u cm) jednaka: â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 6 3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 8 2

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 9 2

â&#x2122;¦ 12

â&#x2122;¦ 10

17. Osnovica jednakokrakog trougla je 6cm, a krak 12cm. Polupreqnik opisanog kruga oko trougla iznosi (u cm): 7â&#x2C6;&#x161; 15 5 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 4 13

â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 3 15 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 6 13

68

â&#x2122;¦

8â&#x2C6;&#x161; 15 5


18. Zpremina pravilne xestostrane prizme u koju je upisana lopta polupreqnika duine R je: â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 2 3R3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 3 3R3

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 6 3R3 3â&#x2C6;&#x161; 3 â&#x2122;¦ 3R 2

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 4 3R3

19. Zbir prva tri qlana rastueg geometrijskog niza je 91. Ako tim qlanovima dodamo redom 25, 27 i 1 dobijamo tri broja koja obrazuju aritmetiqki niz. Sedmi qlan datog geometrijskog niza je: â&#x2122;¦ 567

â&#x2122;¦ 5103

â&#x2122;¦ 1701

â&#x2122;¦ 5706

20. Funkcije f i g zadate su sa jednako:

x g ( f (x)) = 2

3 2 7 â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 5063

i g (x) = log x . Tada je

5 8 3 â&#x2122;¦ 8

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

TEST 12

1. Vrednost izraza x 1 â&#x2C6;&#x2019; x

 â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019; (1 + x)â&#x2C6;&#x2019;1 + 1

 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1

+ (1 â&#x2C6;&#x2019; x)â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; x

x 1 + x â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ x

â&#x2122;¦ 1+x

â&#x2122;¦ x â&#x2C6;&#x2019;1

2. Sreivaem razlomka â&#x2122;¦ aâ&#x2C6;&#x2019;b

5 2

je: â&#x2122;¦ (1 + x)â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ (1 â&#x2C6;&#x2019; x)â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ 1

16

3 f (â&#x2C6;&#x2019;1)+ f â&#x2C6;&#x2019; 2

  (a + b)3 (a â&#x2C6;&#x2019; b)2 2b 1+  aâ&#x2C6;&#x2019;b a2 â&#x2C6;&#x2019; b2 (a + b)2 1 aâ&#x2C6;&#x2019;b â&#x2122;¦ a+b

â&#x2122;¦

69

dobija se: â&#x2122;¦

1 a+b






3. Imaginarni deo kompleksnog broja â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2



1â&#x2C6;&#x2019;i 1+i

3

je: â&#x2122;¦ 2

4. Rexee nejednaqine |x â&#x2C6;&#x2019; 2010| â&#x2030;¥ 2010 je: â&#x2122;¦ x â&#x2030;¥ 2010

â&#x2122;¦ x â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;2010, 2010]

â&#x2122;¦ x â&#x2030;¤ 2010

â&#x2122;¦ x â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 0] â&#x2C6;ª

[4020, +â&#x2C6;&#x17E;) â&#x2122;¦ xâ&#x2030;¥0

5. Celih brojeva koji pripadaju skupu rexea nejednaqine x â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 3

ima: â&#x2122;¦ bezbroj

6. Broj realnih rexea sistema jednaqina 2 4 jednak je:

x y

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 4

7. Ako je f (x) = x

2

+x+1

2

<x

;

= 32 log (x â&#x2C6;&#x2019; y)2 â&#x2C6;&#x2019; 2 log 2 = 0

â&#x2122;¦ 5

tada je f (x + 2) â&#x2C6;&#x2019; 2 f (x + 1) + f (x) za svako x jednako:

â&#x2122;¦ x

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 12

8. Ukupan broj rexea jednaqine sin x + sin 2x = 1 na intervalu (0, 2Ï&#x20AC;) jednak je: 2

â&#x2122;¦ 6

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ 3

2

â&#x2122;¦ 2

9. Zbir tri uzastopna qlana aritmetiqkog niza je 54. Ako je najvei od ih dva puta vei od najmaeg, tada je proizvod ta tri broja: â&#x2122;¦ 3000

â&#x2122;¦ 969

â&#x2122;¦ 8232

â&#x2122;¦ 5184

70

â&#x2122;¦ 4374


10. Ako je povrxina romba 24, a zbir egovih dijagonala 14, stranica romba je: â&#x2122;Ś 3

â&#x2122;Ś 7

â&#x2122;Ś 4

â&#x2122;Ś 6

â&#x2122;Ś 5

11. Ako se jedna stranica pravougaonika povea za 10%, a druga smai za 10%, povrxina pravougaonika: â&#x2122;Ś ostaje â&#x2122;Ś povea se za 10% â&#x2122;Ś povea se za1% nepromeena â&#x2122;Ś smai se za 10% â&#x2122;Ś smai se za 1% 12. Ako duine razliqitih ivica kvadra qine geometrijsku progresiju, zapremina kvadra iznosi V = 1000cm i povrxina mu je P = 700cm onda je ukupna duina svih ivica kvadra (izraena u cm): 3

2

â&#x2122;Ś 25

â&#x2122;Ś 35

â&#x2122;Ś 30

â&#x2122;Ś 70

â&#x2122;Ś 140

13. Vrednost izraza 2 log 25 â&#x2C6;&#x2019; log 125 â&#x2C6;&#x2019; log 5 je: â&#x2122;Ś 0

â&#x2122;Ś 2

â&#x2122;Ś 1

â&#x2122;Ś 4

â&#x2122;Ś 5

14. U kupi qiji je osni presek jednakostraniqni trougao upisana je lopta zapremine V = 323 Ď&#x20AC;. Zapremina kupe je: â&#x2122;Ś 20Ď&#x20AC;

â&#x2122;Ś 25Ď&#x20AC;

â&#x2122;Ś 24Ď&#x20AC;

â&#x2122;Ś 26Ď&#x20AC;

â&#x2122;Ś 30Ď&#x20AC;

15. Suxeem 40kg sveih x iva dobijeno je 5kg suvih. Ako suve x ive sadre 20% vode, koliko vode (u procentima) sadre svee x ive? â&#x2122;Ś 75%

â&#x2122;Ś 85%

â&#x2122;Ś 80%

â&#x2122;Ś 90%

71

â&#x2122;Ś 95%


16. Rexee nejednaqine 10x

2

+ 20x + 20 > 0

je:

♦ x ∈ (−∞, +∞)

♦ x ∈ [−10, 10]

♦ x ∈ (−10, 10)

nema rexea

17. Zapremina pravilnog tetraedra je cm): 2 ♦ √ 3 √ ♦ 3

18. Ako je f

♦ x∈

√ 6 3 cm 4

(−∞, 10) ∪ (10, +∞)

. Visina ovog tetraedra jednaka je (u

2 √ 2 ♦ 3

−1 (x

+ 1) =

3x + 6 1−x

r ♦

2 3

tada je f (1) jednako:

♦ 1

♦ −0, 5

♦ −1, 3

♦ −0, 25

♦ 0

19. Jednaqina

x + x

= a; (a ∈ R) ima qetiri razliqita realna rexea ako i samo ako a pripada skupu: 2

 1 ♦ 0, 2   1 ♦ 0, 2

 1 ♦ 0, 4   1 1 ♦ , 4 2



20. Vrednost izraza

1. Za

3 cos 50◦ −4 sin 140◦ cos 130◦

♦ cos 10◦

♦ 1

♦ − cos 10◦

√  −1 a = 2+ 3 

√ ♦ 1− 3 √ ♦ 3

i





je:

♦ −1

TEST 13

1 ♦ 0, 4



√  −1 b= 2− 3 

♦ −7

izraz (a + 1)

−1

♦ 1

+ (b + 1)−1

ima vrednost:

♦ 2

√ ♦ 1+ 3

72


2. Pojeftiee najpre za 10%, a zatim za 20% jednako je pojeftieu za: ♦ 28%

♦ 32%

♦ 30%

♦ 25%

♦ 24%

3. Ako je a realan broj i |a| , 2, tada je vrednost izraza 1 jednaka: (a − 1) + 3



a+1 1 − a2 + a3 + 8 a2 − 4



:

2

a−2 a+1 ♦ 1

a+1 a−2 ♦ a+1 ♦

a−2 a2 + 1

4. Zbir svih rexea jednaqine |2x − 1| + x = 2 je: ♦ 2 ♦ 0

♦ 1

♦ −2 3 ♦ 2

5. Kvadrat i jednakostraniqni trougao imaju jednake obime. Povrxina trougla √ je 9 3. Dijagonala kvadrata je: √ 2 3 ♦ 3 9 ♦ 4

√ 9 2 ♦ 2 √ ♦ 4 2

√ ♦ 2 2

6. Ortogonalna projekcija taqke T (1, 2) na pravu p) x + y + 1 = 0 je taqka: ♦ M (0, −1)

♦ S (−2, 1)

♦ N (2, −3)

♦ R (−1, 0)

7. Zbir kvadrata rexea jednaqine 2 ♦ 10

♦ 24

♦ 16

♦ 20

x 2 −2x−10

♦ Q (−2, −1)

=

1 4

je: ♦ 2

73


8. Ako je povrxina lopte 324π, ena zapremina je: ♦ 1024π

♦ 408π

♦ 2356π

♦ 1256π

9. Data je krunica x S (3, 4) jednaka je:

2

♦ 972π

. Duina ene tetive qije je sredixte u taqki

+ y 2 = 169

♦ 20

♦ 25

♦ 16

♦ 36

10. Proizvod svih rexea jednaqine 2

♦ 24

log2 x

♦ 1

♦ 1, 5

♦ 2

♦ −3

+ 0, 5log2 x = 2, 5

je: ♦ 0

11. Visina i izvodnica prave kupe odnose se kao 4 : 5, a ena zapremina jednaka je 96π cm . Povrxina te kupe iznosi: 3

♦ 86π cm2

♦ 126π cm2

♦ 96π cm2

♦ 72π cm2

♦ 144π cm2

12. Zbir svih realnih rexea jednaqine log (x + 2) + log |x + 1| − 6 = 0 iznosi: 2

♦ −2

♦ 0

♦ −1

♦ 1

2

2

♦ 2

1 je: 13. Vrednost izraza 4 cos 2000 − sin 1990 ◦

♦ −2 √ 3 ♦ 2

♦ −1

♦ 2

74

1 2


14. Ako je

3π π<α< 2 √ 2 2 ♦ 3 1 ♦ − 3

i

√ 2 2 cos α = − 3

, onda je sin 2α jednako:

√ 4 2 ♦ 9 1 ♦ 3

√ 4 3 ♦ 9

15. Peti qlan aritmetiqke progresije je a = 16, a jedanaesti a 17 qlanova te aritmetiqke progresije je:

11

5

♦ 376

♦ 486

♦ 576

♦ 371

. Zbir prvih

= 31

♦ 442

16. Ako je z = (2 −3i)−(1i + i) , tada je |z| (modul kompleksnog broja z): √ 3 ♦ 5 ♦ 1

√ ♦ 2 3 √ 3 ♦ 4

5

17. Broj rexea jednaqine sin 2x = sin x na segmentu [0, 3π] je: ♦ 7

♦ 3

♦ 6

♦ 8

18. Ako je f (x) = √ ♦ 5+ 5 √ ♦ 2 5

x+1

♦ 5

i g (x) = 4x − 1 onda je zbir ♦ 10

      5 5 f g +g f 4 4 ♦

√ ♦ 5− 5

jednak:

7 2

19. Ako je√paralelogram konstruisan nad vektorima a® = 5p® + 2q® i b® = p® − 3q® gde je π ® = 3 i ∠ ( p, ® q) ® = tada su duine dijagonala ovog paralelograma: ® = 2 2, | q| | p| 4 √ √ ♦ 14 i 24 ♦ 264 i 18 ♦ 8 i 164 √ √ ♦ 15 i 593 ♦ 36 i 534

75


20. Ugao izmeu pravih p) x â&#x2C6;&#x2019; 3y + 5 = 0 i q) 2x â&#x2C6;&#x2019; y â&#x2C6;&#x2019; 3 = 0 je: â&#x2122;¦ 30â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 45â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 60â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 90â&#x2014;¦

TEST 14

1. Vrednost izraza



   â&#x2C6;&#x2019; 12 3 2 3 6 + : : 13 + 7 3 5 7

1 3 â&#x2122;¦ 3

je:

â&#x2122;¦ 9

â&#x2122;¦

3 4     1 3 1 1 A= 1â&#x2C6;&#x2019; · â&#x2C6;&#x2019; + : 0, 4 2 2 2 3

â&#x2122;¦

1 9

â&#x2122;¦

1 150

â&#x2122;¦

2. 0, 5% od broja A ako je 1 250 2 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; 25

je:

1 150 1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; 15

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

3. Vrednost izraza



1â&#x2C6;&#x2019;i 1+i

 2007

,

i 2 = â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2i

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ i

4. Ako je

â&#x2122;¦ 15â&#x2014;¦

 xâ&#x2C6;&#x2019;2 f = x2 x+1  2 2â&#x2C6;&#x2019;x â&#x2122;¦ x+1  2 2+x â&#x2122;¦ x+1 



iznosi: â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;i

onda je f (â&#x2C6;&#x2019;x) jednako:  â&#x2122;¦  â&#x2122;¦

xâ&#x2C6;&#x2019;2 xâ&#x2C6;&#x2019;1

2

x+1 2â&#x2C6;&#x2019;x

2

 â&#x2122;¦

x+1 2+x

2

5. Za koje vrednosti realnog parametra λ jednaqina (λ â&#x2C6;&#x2019; 1) x â&#x2C6;&#x2019;2 (λ + 1) x +λâ&#x2C6;&#x2019;2 = 0 ima jednake korene: 2

1 2 â&#x2122;¦ λ=5 â&#x2122;¦ λ=

1 4 â&#x2122;¦ λ = â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2122;¦ λ=

76

â&#x2122;¦ λ=

1 5


6. Zbir svih rexea jednaqine sin x · cos x â&#x2C6;&#x2019; sin x · cos x = 14 na intervalu [0, Ï&#x20AC;] je: 3

â&#x2122;¦ 2Ï&#x20AC; 5Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 4

3

â&#x2122;¦ Ï&#x20AC; Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦

3Ï&#x20AC; 4

7. Povrxina pravouglog trougla qija je hipotenuza c = 12 i oxtar ugao α = 75 je:

â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 32

â&#x2122;¦ 21

â&#x2122;¦ 24

â&#x2122;¦ 18

â&#x2122;¦ 16

8. Proizvod svih rexea jednaqine |2x â&#x2C6;&#x2019; 3| â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 6 = 0 je: â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;9

â&#x2122;¦ 8

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;6

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;5

9. Zbir rexea jednaqine log 2 + log 4 â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 6

xâ&#x2C6;&#x2019;2

  + 9 = 1 + log 2 xâ&#x2C6;&#x2019;2 + 1

je:

â&#x2122;¦ 8

10. Zbir tri broja je 21, a zbir ihovih reciproqnih vrednosti je 127 . Ako ti brojevi obrazuju rastuu geometrijsku progresiju, onda je ihov proizvod: â&#x2122;¦ 126

â&#x2122;¦ 162

â&#x2122;¦ 216

â&#x2122;¦ 261

â&#x2122;¦ 226

11. Zbir svih rexea jednaqine: sin 3x = 4 sin x · cos 2x, koja pripadaju intervalu [0, Ï&#x20AC;] je: â&#x2122;¦ Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 2Ï&#x20AC;

2Ï&#x20AC; 3 11Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 6 â&#x2122;¦

77

â&#x2122;¦

7Ï&#x20AC; 6


12. U jednakostraniqnom trapezu duina krae osnovice i duina kraka su jednake i iznose 5cm, a duina visine trapeza je 4cm. Povrxina ovog trapeza je: â&#x2122;¦ 42cm2

â&#x2122;¦ 32cm2

â&#x2122;¦ 36cm2

â&#x2122;¦ 28cm2

â&#x2122;¦ 24cm2

13. Sve vrednosti x za koje je nejednaqina log1 x â&#x2C6;&#x2019; log 1x â&#x2C6;&#x2019; 2 < 1 taqna su: â&#x2122;¦ x < 1 ili x > 4 â&#x2122;¦ 0 â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ 1 ili x â&#x2030;¥ 4 â&#x2122;¦ x â&#x2030;¤ 1 ili x â&#x2030;¥ 4 â&#x2122;¦ 0 â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ 1 ili x > 4 â&#x2122;¦ 0 < x < 1 ili x > 4 2

14. Vrednost izraza



1+

log â&#x2C6;&#x161;5 81

2

  1 1  â&#x2C6;&#x2019;2 log 1 5 log25 16 5 · 5 +4 â&#x2C6;&#x2019;2 3

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;63

â&#x2122;¦ 63

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;7

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;4

je: â&#x2122;¦

25 8

15. Jednaqina prave koja prolazi kroz presek pravih 6x â&#x2C6;&#x2019; 2y â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0 i 4x â&#x2C6;&#x2019; y + 3 = 0, a normalna je na pravu 5x + 2y + 6 = 0 glasi: â&#x2122;¦ 2x â&#x2C6;&#x2019; 5y + 48 = 0

â&#x2122;¦ 5x + 2y + 48 = 0

â&#x2122;¦ 2x + 5y + 48 = 0

â&#x2122;¦ 2x + 5y â&#x2C6;&#x2019; 48 = 0

16. Zbir rexea jednaqine 5 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2

x 2 +x

= 25

â&#x2122;¦ 2x â&#x2C6;&#x2019; 5y â&#x2C6;&#x2019; 48 = 0

je: â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1 3 â&#x2122;¦ 2

17. Rastojae temena A kocke ABCDA1B1C1D1 ivice 1 od sredixta ene ivice B1C1 iznosi: 3 â&#x2122;¦ 2 â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161;

â&#x2C6;&#x161; 3 â&#x2122;¦ 2

3 2

78


18. Neka kiga je poskupela za 25%. Za koliko procenata treba da se snizi cena kige da bi se dobila poqetna cena: â&#x2122;¦ 30%

â&#x2122;¦ 24%

â&#x2122;¦ 25%

â&#x2122;¦ 20%

â&#x2122;¦ 15%

19. Dve paralelne tetive duina 18cm i 24cm sa iste strane centra kruga uda ene su meusobno 3cm. Obim kruga je: â&#x2122;¦ 30Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 32Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 25Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 16Ï&#x20AC;

â&#x2122;¦ 18Ï&#x20AC;

20. Taqka T je uda ena od svake taqke jednakostraniqnog trougla 5cm, a od svake egove stranice 4cm. Uda enost taqke T od ravni trougla iznosi: â&#x2122;¦ 3cm

â&#x2122;¦ 2cm â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 3cm

â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161;

13cm

â&#x2122;¦ 3, 5cm

TEST 15

5 7 1. Vrednost izraza 1003 + 1000 + je: 100000 â&#x2122;¦ 0, 357

â&#x2122;¦ 0, 35007

â&#x2122;¦ 0, 3507

â&#x2122;¦ 0, 03507

2. Vrednost izraza



i 2011 + i 2012 i 2013 â&#x2C6;&#x2019; i 2014

 2015

,

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ i

â&#x2122;¦ 0

i 2 = â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 2



je: â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;i

3. Ukupan broj realnih rexea jednaqine: â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 0, 00357

q (x + 1)2 x+1

= |x + 1|

je:

â&#x2122;¦ 4

79


4. Osnovice jednakokrakog trapeza su 15cm i 5cm, a kraci 13cm. egova visina (u cm) iznosi: ♦ 12

♦ 10

♦ 8

♦ 16

♦ 9

5. Ako su x i x koreni kvadratne jednaqine x −1 1 + x −1 2 = 1, tada je izraz x x + jednak: x x 1

1

2

2

1

2

♦ 2 2 ♦ 3

♦ 5 ♦ 3

6. Ako je

x+1 f (x) = x−1  2 x−1 ♦ x+1 

2

, (x , ±1), tada je x+1 ♦ x−1 x2 − 1 ♦ 2 x +1 

♦ 0

7. Ako je ♦ ♦

x − = tg 4 2

r

a b

,

   x−1 x+1 −f f x−1 x+1 

2

(a > 0, b > 0, a , b) a+b a−b 1 ♦ √ √ a− b r

b−a b+a √

8. Zbir svih realnih rexea jednaqine [0, 2π] iznosi: ♦ 2π

♦ 4π

♦ π

♦ 3π

jednako:

x − +1 ♦ − x+1 

♦ 1−

1 sin2 x + + 2

r

cos2 x +

b a

1 =2 2

na segmentu

♦ 25

9. Ako je log 2 = a, tada je log 20 jednako: 5

4+a a a+1 ♦ − 2a ♦

1 2

a − 11 2a 4−a ♦ a ♦ −

80

2

tada je sin x jednako:

√ b− a

1 3

♦ −

2a + 1 a


10. Polupreqnik lopte opisane oko pravilne qetvorostrane prizme qija je visina H = 2cm, a osnovna ivica a = 4cm je: â&#x2122;¦ 4cm

â&#x2122;¦ 2, 75cm

â&#x2122;¦ 2, 5cm

â&#x2122;¦ 3cm

â&#x2122;¦ 3, 5cm

11. Ako se cena artikla najpre povea za 30%, a onda smai za 20% konaqna cena artikla u odnosu na poqetnu cenu je: â&#x2122;¦ vea za 2% â&#x2122;¦ vea za 10% â&#x2122;¦ maa za 4% â&#x2122;¦ maa za 2% â&#x2122;¦ vea za 4% 12. Neka su duine stranica trougla 4, 5 i 7. Trougao je: â&#x2122;¦ pravougli â&#x2122;¦ tupougli â&#x2122;¦ oxtrougli â&#x2122;¦ ne postoji 13. Broj rexea jednaqine 4

cos 2x

+ 4cos

â&#x2122;¦ 6

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 8

2

x

=3

â&#x2122;¦

ne moe se odrediti

u intervalu [0, 2Ï&#x20AC;) je: â&#x2122;¦ 4

14. Jednaqina

â&#x2C6;&#x2019;x + 5x â&#x2C6;&#x2019; 4

= ax ima qetiri realna rexea ako i samo ako parametar a pripda intervalu: 2

â&#x2122;¦ (0, 1)

â&#x2122;¦ (0, 2)

â&#x2122;¦ (1, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ (0, +â&#x2C6;&#x17E;)

15. Skup rexea nejednaqine log

1 2

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;1, 0)

  3x 2 + 7x + 4 < log 1 x 2 + 2x + 7 2

   4 1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;ª â&#x2C6;&#x2019;1, 3 2     4 1 â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2C6;ª â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;ª , +â&#x2C6;&#x17E; 3 2 

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;)   1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3, 2 1 â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2C6;ª , +â&#x2C6;&#x17E; 2 

je:



81


16. Ukupan broj realnih rexea jednaqine: je: â&#x2122;Ś 4

â&#x2122;Ś 2

â&#x2122;Ś 3

â&#x2122;Ś 1



   1 1 x ¡ log 3 + log 2 = log 27 â&#x2C6;&#x2019; 3 1+ 2x

â&#x2122;Ś 0

17. Poveaem polupreqnika osnove va ka za 6 jedinica egova zapremina se povea za y kubnih jedinica. Poveaem visine va ka za 6 jedinica egova zapremina se takoe povea za y kubnih jedinica. Ako je poqetna visina va ka jednaka 2, tada je poqetni polupreqnik va ka jednak: â&#x2122;Ś 6

â&#x2122;Ś 2

â&#x2122;Ś 4

â&#x2122;Ś 7

â&#x2122;Ś Ď&#x20AC;

18. Ukupan broj realnih rexea jednaqine sin x â&#x2C6;&#x2019;cos x = cos 4x na segmentu [0, 2Ď&#x20AC;] je: 4

â&#x2122;Ś 3

â&#x2122;Ś 6

â&#x2122;Ś 4

â&#x2122;Ś 7

4

â&#x2122;Ś 0

19. Ako je drugi qlan aritmetiqke progresije a prvih deset qlanova progresije S jednak:

2

=8

, a peti a

5

, onda je zbir

= 23

10

â&#x2122;Ś 260

â&#x2122;Ś 250

â&#x2122;Ś 245

â&#x2122;Ś 265

â&#x2122;Ś 255

20. Prvi qlan geometrijske progresije je b = 5, a koliqnik q = 3. Koliko prvih qlanova treba sabrati da bi se dobio zbir 16400? 1

â&#x2122;Ś 10

â&#x2122;Ś 12

â&#x2122;Ś 8

â&#x2122;Ś 14

â&#x2122;Ś 11

82


TEST 16

1. Vrednost izraza 3 −8√5 − 2 +2√5 je: ♦

√ ♦ 2 5

5

♦ 10

2. Izraz

√ ♦ 3 5

♦ 1 a−1 + b−1

b−a a+b ♦ 1

 −1

: a−1 − b−1

 −1

(a, b , 0, a , b)

identiqki je jednak izrazu

♦ a2 b2 ♦

a−b a+b

x−3 4

a+b a−b

3. Ako je f (2x − 1) = x, onda je f ( f (x)) jednako: ♦ 2x − 1 ♦ (2x − 1)2

x+3 4 2 ♦ x

4. Skup rexea jednaqine | − x| = −x u skupu realnih brojeva je: ♦ ∅

♦ {0}

♦ (−∞, +∞)

♦ [0, +∞)

5. Zbir svih rexea jednaqine 3 · 16 ♦ 1 ♦ 2

x

+ 2 · 81 x = 5 · 36 x

♦ 0 1 ♦ 2

♦ (−∞, 0]

je: ♦

5 3

6. U pravouglom trouglu visina h = 2cm deli hipotenuzu na odseqke qije se duine razlikuju za 3cm. Povrxina tog trougla je (u cm ): 2

♦ 1

♦ 5

♦ 3

♦ 7

♦ 9

83


7. Koeficijent pravca simetrale dui qije su kraje taqke A (â&#x2C6;&#x2019;2, â&#x2C6;&#x2019;1) i B (2, 2) je: â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2122;¦

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

3 4

â&#x2122;¦

4 3

3 4

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

4 3

8. Krunica qiji se centar poklapa sa centrom kvadrata deli svaku od stranica tog kvadrata na tri jednaka dela. Odnos povrxina odgovarajueg kruga i kvadrata je: â&#x2122;¦ 15Ï&#x20AC; : 18

â&#x2122;¦ Ï&#x20AC;:6

â&#x2122;¦ 13Ï&#x20AC; : 36

â&#x2122;¦ Ï&#x20AC;:4

â&#x2122;¦ 2Ï&#x20AC; : 9

9. Unutraxi uglovi konveksnog petougla odnose se kao 3 : 4 : 5 : 7 : 8. Razlika najveeg i najmaeg od tih uglova je: â&#x2122;¦ 40â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 80â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 60â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 100â&#x2014;¦

10. Ako su α i β rexea jednaqine x

2

â&#x2122;¦ 120â&#x2014;¦

, onda je α α+ αβ+ β+ β jednako:

â&#x2C6;&#x2019; 2x + 5 = 0

1 22 1 â&#x2122;¦ 11

1 2 1 â&#x2122;¦ 22

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

2

2

3

â&#x2122;¦

3

1 2

11. Broj rexea jednaqine sin x + cos x + 1 = 0 na intervalu (0, 4Ï&#x20AC;) je: 2

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 4

12. Skup rexea nejednaqine 2 ln (1 â&#x2C6;&#x2019; x) â&#x2C6;&#x2019; ln (2x + 6) â&#x2030;¤ 0 je â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;3, 5]

â&#x2122;¦ [â&#x2C6;&#x2019;2, 1)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;3, 1)

â&#x2122;¦ [â&#x2C6;&#x2019;1, 1)

84

â&#x2122;¦ [â&#x2C6;&#x2019;1, 5]


13. Sredixte gore osnove kocke i sredixta ivica ene doe osnove su temena piramide. Ako je ivica kocke 2cm povrxina omotaqa piramide je (u cm ): 2

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 3 2 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 4 3

â&#x2122;¦ 6 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 4 2

â&#x2122;¦ 9

14. Brojevi a, b, c su uzastopni qlanovi rastueg aritmetiqkog niza, a brojevi a, b, c + 1 su uzastopni qlanovi geometrijskig niza. Ako je a + b + c = 18, onda je a + b + c jednako : 2

2

2

â&#x2122;¦ 109

â&#x2122;¦ 126

â&#x2122;¦ 116

â&#x2122;¦ 133

â&#x2122;¦ 140

15. Koliko elemenata ima skup A ako je A â&#x2C6;© {3, 5, 8, 11} = {5, 8}, A â&#x2C6;ª {4, 5, 11, 13} = {4, 5, 7, 8, 11, 13}, {8, 13} â&#x160;&#x201A; A i A â&#x160;&#x201A; {5, 7, 8, 9, 11, 13}: â&#x2122;¦ 6

â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 4

16. Vrednost izraza 25125· 5 pripada intervalu: 0,3

0,4

â&#x2C6;&#x2019; 13

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 0]

â&#x2122;¦ (1, 5]

â&#x2122;¦ (0, 1]

â&#x2122;¦ (5, 25]

â&#x2122;¦ (25, +â&#x2C6;&#x17E;)

17. Ako su x i y realni brojevi, takvi da je (2 + i) (x + iy) = 5 â&#x2C6;&#x2019; 5i tada je zbir x + y jednak â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 3

18. Vrednost izraza tg40 tg45 tg50 je: â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 0 â&#x2C6;&#x161; 3 â&#x2122;¦ 3

â&#x2014;¦

â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ 1 1 â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦

85

â&#x2C6;&#x161;

3


19. Oko kruga je opisan trapez qija sreda linija iznosi 8cm. Obim trapeza je (u cm): â&#x2122;¦ 32

â&#x2122;¦ 24

â&#x2122;¦ 36

â&#x2122;¦ 16

20. Broj rexea jednaqine h Ï&#x20AC;i 0, je: 2

â&#x2122;¦ 30

â&#x2C6;&#x161; Ï&#x20AC; Ï&#x20AC; 3 sin x cos + cos x sin = 5 5 2

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 3

koja pripadaju intervalu â&#x2122;¦ 2

TEST 17

1. Koji od ponuenih izraza je ekvivalentan izrazu:  a a2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019;a â&#x2122;¦ 2 a â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2122;¦

   aâ&#x2C6;&#x2019;1 a2 â&#x2C6;&#x2019; 2a â&#x2C6;&#x2019; 6 a (a â&#x2C6;&#x2019; 2) + 3 (a â&#x2C6;&#x2019; 2) : â&#x2C6;&#x2019; 2+ a+2 a+3 2â&#x2C6;&#x2019;a 3a (a â&#x2C6;&#x2019; 2) (a + 2) â&#x2C6;&#x2019;2a â&#x2122;¦ 2 a â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

3â&#x2C6;&#x2019;a (a â&#x2C6;&#x2019; 2) (a + 2)

2. ee nejednaqine |x + 1| > 2 |x â&#x2C6;&#x2019; 2| je: â&#x2122;¦ 2â&#x2030;¤x<5

â&#x2122;¦ x â&#x2C6;&#x2C6; [â&#x2C6;&#x2019;1, 5]

â&#x2122;¦ x â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;1, 5)

â&#x2122;¦ 1<x<5

â&#x2122;¦ x â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;1, 2) â&#x2C6;ª (2, 5)

3. Vrednosti parametra m â&#x2C6;&#x2C6; R za koje su rexea kvadratne jednaqine x m â&#x2C6;&#x2019; 3 = 0 oba iz skupa R i suprotnog znaka su: â&#x2122;¦ m<3

â&#x2122;¦ m<0

â&#x2122;¦ m>3

â&#x2122;¦ m=2

86

im=4

â&#x2122;¦ mâ&#x2030;¥0

2

+ 3mx +


4. Jednaqina (3k + 3) x +(2 â&#x2C6;&#x2019; 7k) x+3k â&#x2C6;&#x2019;2 = 0 ima samo jedno rexee po nepoznatoj x . Proizvod celobrojnog parametra k , za koji je ispuen uslov zadatka, k â&#x2C6;&#x2C6; R i rexea jednaqine x, (x â&#x2C6;&#x2C6; R) je: 2

â&#x2122;¦ 0 â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

1 2

4 3

â&#x2122;¦ 3·

19 ± 5 24

5. Vrednost nepoznate x koja zadovo ava jednaqinu 2 je: â&#x2122;¦

r 7

13 4 â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦

3 2

3 4

â&#x2122;¦

7 â&#x2C6;&#x2019; 3x + 6â&#x2C6;&#x2019;x

r

â&#x2122;¦

7

6 x + = 7 â&#x2C6;&#x2019; 3x 3x â&#x2C6;&#x2019; 7

1 2

6. Date su duine stranica kvadra a = 3cm, b = 4cm, c = 5cm. Povrxina kvadra, ukoliko se svaka od stranica produi za 25% e se promeniti za cm  2

â&#x2122;¦ 23, 50

â&#x2122;¦ 199, 75

â&#x2122;¦ 117, 50

â&#x2122;¦ 146, 9

â&#x2122;¦ 52, 87

7. U nekom aritmetiqkom nizu je prvi qlan 4, a osmi qlan 25. Suma treeg i petog qlana tog niza iznosi: â&#x2122;¦ 29

â&#x2122;¦ 36

â&#x2122;¦ 23

â&#x2122;¦ 26

â&#x2122;¦ 27

8. Jednaqina prave koja dodiruje krunicu (x â&#x2C6;&#x2019; 3) pravoj y = x + 2 data je sa:

2

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ y = xâ&#x2C6;&#x2019;2+ 3

ili

â&#x2C6;&#x161; y = xâ&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019; 3

â&#x2122;¦ (x â&#x2C6;&#x2019; 1)2 + (y â&#x2C6;&#x2019; 2)2 = 1 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ y = xâ&#x2C6;&#x2019;1+ 2 y = xâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2122;¦ y = xâ&#x2C6;&#x2019;4

ili

ili

y = xâ&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;7

â&#x2122;¦ (x â&#x2C6;&#x2019; 4)2 + (y â&#x2C6;&#x2019; 7)2 = 1

87

+ (y â&#x2C6;&#x2019; 2)2 = 1

i paralelna je


Ï&#x20AC;



â&#x2122;¦ 3

+α cos α 2  Ï&#x20AC; + ctgα +α sin 2 â&#x2122;¦ sin α â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ tgα + 2

9. Uproxtavaem izraza sinsin(Ï&#x20AC;(â&#x2C6;&#x2019;α) â&#x2C6;&#x2019; + α)

tg

se dobija:

10. Roba je na snieu od 20%. Koliko mora iznositi poskup ee u procentima da bi se vratila prvobitna cena robe? â&#x2122;¦ 20%

â&#x2122;¦ 30%

â&#x2122;¦ 25%

â&#x2122;¦ 50%

11. Rexee jednaqine 2 · 25

x

= 10 x + 10 · 4 x

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 15%

je: â&#x2122;¦

1 2

â&#x2122;¦

kÏ&#x20AC; (k â&#x2C6;&#x2C6; Z) 6

12. Rexee jednaqine sin x + cos x = 1 â&#x2C6;&#x2019; sin 2x je: 6

6

kÏ&#x20AC; (k â&#x2C6;&#x2C6; Z) 4 kÏ&#x20AC; kÏ&#x20AC; (k â&#x2C6;&#x2C6; Z) â&#x2122;¦ (k â&#x2C6;&#x2C6; Z) â&#x2122;¦ 3 2  Ï&#x20AC; Ï&#x20AC; â&#x2C6;&#x161;  Ï&#x20AC; Ï&#x20AC; â&#x2C6;&#x161; log 2 cos +sin +log 2 cos â&#x2C6;&#x2019;sin 8 8 8 8 3 â&#x2122;¦ kÏ&#x20AC; (k â&#x2C6;&#x2C6; Z)

â&#x2122;¦

13. Vrednost izraza â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161;

2

je:

â&#x2122;¦ 3 1 â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161;

3

14. Svetionik ima vrh C i podnoje D na nivou mora tako da je CD = 100m. Pomou reflektora je osvet en brod A i izmeren ugao â&#x2C6; DC A = 60 i brod B i izmeren ugao â&#x2C6; DCB = 45 . Ako je ugao â&#x2C6;  ACB = 60 , koliko je rastojae r izmeu brodova: â&#x2014;¦

â&#x2014;¦

â&#x2014;¦

â&#x2122;¦ r â&#x2030;&#x2C6; 200m

â&#x2122;¦ r â&#x2030;&#x2C6; 250m

â&#x2122;¦ r â&#x2030;&#x2C6; 141m

â&#x2122;¦ r â&#x2030;&#x2C6; 178m

88

â&#x2122;¦ r â&#x2030;&#x2C6; 100m


15. Jednakokraki trapez ima osnove a = 20 i b = 12. Ako centar opisane krunice lei na osnovi, onda je krak trapeza: â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;Ś 5 3

â&#x2122;Ś 8

â&#x2122;Ś 6

â&#x2122;Ś 9

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;Ś 4 5

16. U osnovi piramide je jednakostraniqni trougao qija je stranica 10cm. Dve boqne strane piramide su upravne na bazu, a trea je nagnuta pod uglom od 30 Zapremine piramide je: â&#x2014;Ś

â&#x2C6;&#x161;

3 â&#x2122;Ś 125 3

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;Ś 81 5 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;Ś 125 3

â&#x2122;Ś 100 â&#x2122;Ś 128

17. Rexee nejednaqine f (g (x)) < g ( f (x)), gde su f (x) = 2 i g (x) = 16 je: x

2 â&#x2122;Ś â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019; 3   2 2 â&#x2122;Ś â&#x2C6;&#x2019; , 3 3 



18. Mogue rexee jednaqine â&#x2122;Ś 1 1 â&#x2122;Ś â&#x2C6;&#x161; 6

2 â&#x2122;Ś â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 3

 2 â&#x2122;Ś 0, 3   2 â&#x2122;Ś â&#x2C6;&#x2019; ,0 3





â&#x2C6;&#x161;

â&#x2C6;&#x161;

x 6 + 3i = 3 5 â&#x2122;Ś

â&#x2C6;&#x161;

6

x



je: â&#x2122;Ś 2

â&#x2122;Ś 3

19. Zbir tri broja je 80. Ako podelimo prvi broj sa drugim dobije se koliqnik 3 i ostatak 3, a ako se trei broj podeli sa prvim opet se dobije koliqnik 3 i ostatak 3. Nijedan od brojeva nije jednak nuli. Razlika prvog i drugog broja sabrana sa treim brojem daje: â&#x2122;Ś 41

â&#x2122;Ś 66

â&#x2122;Ś 70

â&#x2122;Ś 53

â&#x2122;Ś 78

89


20. Zbir tri broja koji obrazuju rastuu geometrijsku progresiju je 252. Ako je 48 sredi qlan progresije, najmai qlan je: â&#x2122;¦ 12 â&#x2122;¦ 172

â&#x2122;¦ 4 1 â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 16

TEST 18 1. Izraz

  1 3x â&#x2C6;&#x2019; 6 2a + · x+ xâ&#x2C6;&#x2019;2 a2 â&#x2C6;&#x2019; 4x 2 2x 2 + 6x â&#x2C6;&#x2019; ax â&#x2C6;&#x2019; 3a

1 a + 2x 1 â&#x2122;¦ aâ&#x2C6;&#x2019;x â&#x2122;¦

identiqki je jednak izrazu:

1 a â&#x2C6;&#x2019; 2x 1 â&#x2122;¦ 2a + x â&#x2122;¦

2. Ako je i imaginarna jedinica vrednost izraza

â&#x2122;¦



i+2 1 â&#x2C6;&#x2019; 2i

 2015

1 a+x

je: â&#x2122;¦ 2â&#x2C6;&#x2019;2015i

â&#x2122;¦ i

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;i

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 22015i

3. Za koju vrednost broja k â&#x2030;¥ 1 povrxina trougla koji oiviquju prave y = x, y = k x i y = 6 iznosi 3? 3 2 4 â&#x2122;¦ 3 â&#x2122;¦

5 4 6 â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

7 6

4. Dva kruga polupreqnika 1 postav ena su tako da ivica jednog prolazi kroz centar drugog. Povrxina ihovog preseka iznosi: â&#x2C6;&#x161; 5â&#x2C6;&#x2019;1 Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 2 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ Ï&#x20AC;â&#x2C6;&#x2019; 2

â&#x2C6;&#x161; Ï&#x20AC; 3 â&#x2122;¦ 4 Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 3

90

â&#x2C6;&#x161; 2Ï&#x20AC; 3 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; 3 2


5. Zbir svih rexea kubne jednaqine y

3

+ ay 2 + by + c = 0

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;b

â&#x2122;¦ a+b+c

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;a â&#x2C6;&#x2019; b â&#x2C6;&#x2019; c

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;c

jednak je: â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;a

6. Na nekom poslu su radila tri radnika X, Y i Z i ostvarila zaradu od 5390 din. Koliki deo zarade e dobiti radnik Y ako je radnik X izostao sa posla 8 sati, radnik Y 12 sati, a radnik Z 5 sati? Poznato je da se jedan sat plaa 190 din. â&#x2122;¦ 1000 din â&#x2122;¦ 1200 din â&#x2122;¦ 1400 din â&#x2122;¦ 1100 din â&#x2122;¦ 1300 din 7. Vrednost izraza 54

â&#x2C6;&#x2019; 23

â&#x2C6;&#x161;3 · 4 · 810,75

je:

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 2, 33 1 â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦ 4

8. Ako je f (x) = log x + 3 log 8x, tada 4

2

  1 f (x) + f x

â&#x2122;¦ 24

â&#x2122;¦ 12

â&#x2122;¦ 18

â&#x2122;¦ 2 + log2 x

2 3

iznosi: â&#x2122;¦ 4 + 8 log4 x

9. Koliko razliqitih rexea ima jednaqina | sin x + cos x| = â&#x2C6;&#x161;2 u intervalu [0, 12Ï&#x20AC;]? â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 8

â&#x2122;¦ 6

â&#x2122;¦ 12

â&#x2122;¦ 24

10. Skup svih rexea nejednaqine x + 2 > â&#x2C6;&#x161;4 â&#x2C6;&#x2019; x je: â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;5)â&#x2C6;ª(â&#x2C6;&#x2019;2, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x2122;¦ [â&#x2C6;&#x2019;2, 4)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;2, 4)

â&#x2122;¦ (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;ª (4, +â&#x2C6;&#x17E;)

91

â&#x2122;¦ (0, 4]


11. Trougao sa stranicama 5cm, 4cm i 3cm rotira oko hipotenuze. Zapremina tako nastalog rotacionog tela (u cm ) je: 3

144 π 25 144 π ♦ 15

432 π 25 4324 π ♦ 15

432 π 5

12. U pravougli trougao sa katetama duina 6 i 8 upisan je kvadrat tako da mu se jedan vrh poklapa sa vrhom pravog ugla. Duina stranice kvadrata iznosi: 24 7 10 ♦ 3

18 5 17 ♦ 5

33 10

13. Koliko litara 60%-og alkohola treba pomexati sa 5 litara 82%-og alkohola da bi se dobila smesa jaqine 73.75%? ♦ 2

♦ 4

♦ 3

♦ 5

14. Ako je jednaka:

tg 2 x + tgx

♦ 1 ♦

3 2

=

ctg 2 x + ctgx

i

♦ 6

π x ∈ 0, 2

1 2 1 ♦ 2 ♦



♦ 5

♦ 2

♦ 3

2

 √ 2+1 √  3+1

15. Zbir kvadrata svih rexea jednaqine log ♦ 10

, onda je vrednost izraza cos x + cos x

2

√ 3 ♦ 2

  9 x−1 + 7 = 2 + log2 3 x−1 + 1

iznosi:

♦ 4

16. U procesu gaxea kreqa, kreqak izgubi 52% svoje mase. Koliko priblino treba uzeti kreqaka da bi se dobilo 1631 kilogram kreqa ♦ 3400

♦ 4800

♦ 2050

♦ 5200

92

♦ 2500


17. Za x > 0 i y > 0 (x , 0) vrednost izraza â&#x2C6;&#x161;4

â&#x2C6;&#x161;4

â&#x2C6;&#x161;  x â&#x2C6;&#x2019; 4y â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x161; x â&#x2C6;&#x161;4 â&#x2C6;&#x161;4 xâ&#x2C6;&#x2019; y â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x161; x â&#x2C6;&#x161;

y

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161;4

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; xâ&#x2C6;&#x2019; y xâ&#x2C6;&#x2019;y â&#x2C6;&#x161;4 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;4 x + 4y x3 + x · 4 y

â&#x2C6;&#x161; x â&#x2C6;&#x2019; 4y â&#x2C6;&#x161; y

â&#x2122;¦ 0

â&#x2C6;&#x161; x â&#x2C6;&#x2019; 4y

18. U bioskopu svaki red sedixta ima jednak broj stolica. Broj redova je jednak broju stolica u jednom redu. Kada bi se udvostruqio broj redova, a smaio broj stolica za 10 u svakom redu, onda bi se broj mesta za sedee u sali poveao za 300. Koliko redova ima u sali? â&#x2122;¦ 28

â&#x2122;¦ 36

â&#x2122;¦ 34

â&#x2122;¦ 42

â&#x2122;¦ 30

19. Izraqunati cos 24 + cos 48 â&#x2C6;&#x2019; cos 84 â&#x2C6;&#x2019; cos 12 â&#x2014;¦

â&#x2014;¦

1 â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x161; 5 3 â&#x2122;¦ 2

â&#x2014;¦

â&#x2122;¦

â&#x2014;¦

â&#x2C6;&#x161; 3 â&#x2122;¦ 4

1 2

â&#x2122;¦ 1

20. Stranice trougla 4ABC odnose se kao 9 : 10 : 17, a obim mu je 72cm. Povrxina tog trougla je (u cm ): 2

â&#x2122;¦ 196

â&#x2122;¦ 120

â&#x2122;¦ 188

â&#x2122;¦ 160

TEST 19

1. Ako je a = bc + x i d = 2b c 0

2d a â&#x2C6;&#x2019; x0 2d â&#x2122;¦ a + x0 â&#x2122;¦

2

+ c · x0

â&#x2122;¦ 144

onda je c jednako:

d a â&#x2C6;&#x2019; x0 2d â&#x2122;¦ a â&#x2122;¦

93

â&#x2122;¦ 2d â&#x2C6;&#x2019; a


â&#x2C6;&#x161; 2017 + i 2019 z=â&#x2C6;&#x161; 2017 + i 2017

2. Dat je kompleksan broj Tada je izraz z +2 zÌ&#x201E; jednak (i je imaginarna jedinica, a zÌ&#x201E; kougovano kompleksni broj broja z): â&#x2C6;&#x161;

2017 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; 2017 â&#x2122;¦

â&#x2C6;&#x161;

2018 2016 â&#x2122;¦ 2018

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

2017 2016

3. U krunicu polupreqnika 1, 25cm upisan je pravougli trougao povrxine 1, 25cm Zbir duina kateta trougla iznosi: â&#x2C6;&#x161; 3 5 â&#x2122;¦ 2 â&#x2C6;&#x161; 3 3 â&#x2122;¦ 2

â&#x2C6;&#x161; 5 2 â&#x2122;¦ 3 â&#x2C6;&#x161; 5 3 â&#x2122;¦ 3

â&#x2C6;&#x161; 5 2 â&#x2122;¦ 2

4. Izmeu brojeva 33 i 145 umetnuto je 6 brojeva tako da svih 8 brojeva qine aritmetiqki niz. Koliki je zbir svih qlanova tog niza? â&#x2122;¦ 803

â&#x2122;¦ 713

â&#x2122;¦ 712

â&#x2122;¦ 752

â&#x2122;¦ 799

5. Zbir svih rexea jednaqine log (tg (2x)) = 21 u intervalu [0, 2Ï&#x20AC;] je: 3

â&#x2122;¦ Ï&#x20AC; â&#x2122;¦

2Ï&#x20AC; 3

7Ï&#x20AC; 3 11Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 3 â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

7Ï&#x20AC; 6

6. Majstor i xegrt, radei zajedno, neki posao obave za 5 dana. Xegrt je sam radio na takvom poslu 10 dana. Nakon toga majstoru su trebala jox 4 dana da dovrxi posao. Koliko puta bre majstor obav a posao od xegrta? â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 4

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ 6

7. Broj rexea jednaqine log x = sin x je: â&#x2122;¦ 5

â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 7

94

2


8. Ako je f (x) = x

2

+1

i g (x) = 3x − 2 tada je f

♦ 3

♦ 0

♦ 1

♦ −1

:

 g −1 (4) − g −1 f (3)

♦ −3

9. U kocku ABCDA B C D upisana je qetvorostrana piramida ABCDA . Ako je povrxina upisane piramide 1dm onda je povrxina kocke (u dm ) jednaka: 1 1 1

1

1

2

2

√ ♦ 6−3 2 √ ♦ 3

♦ 1, 75 √ ♦ 2

10. Proizvod svih rexea jednaqine

2

x + x − 3

x2 − x − 5 = 1

♦ −4

♦ −1

♦ −2

♦ 2

√ ♦ 8−4 3

je: ♦ 4

11. Duine teixnih linija povuqenih iz vrhova oxtrih uglova pravouglog trougla iznose 4cm i 7cm Duina hipotenuze trougla je (u cm): √ ♦ 5 2 √ ♦ 2 13

♦ 10 √ ♦ 5 3

√ ♦ 2 15

12. Rexee nejednaqine 2 sin x + √3 sin x − 3 > 0 iz intervala [0, 2π) je interval: 2

π 5π ♦ , 6 6 π π ♦ , 3 2 



π 2π ♦ , 3 3 π π ♦ , 6 2 



2π ♦ 0, 3 



13. Date su tri krunice qiji centri lee na istoj pravoj. Sreda krunica polupreqnika R dodiruje spo a kraje krunice polupreqnika r (R > r).Poluobim krunice koja dodiruje sve tri krunice iznosi: ♦ R ♦ R+r

R+r R−r √ ♦ −R + R2 + 2Rr ♦

95

R2 + Rr ♦ R−r


14. Neka je 0 < a < 1. Tada je vrednost izraza â&#x2C6;&#x161;

1+a 1â&#x2C6;&#x2019;a +â&#x2C6;&#x161; · â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 1+aâ&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;a 1 â&#x2C6;&#x2019; a2 â&#x2C6;&#x2019; 1 + a â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ a2 + 1

â&#x2122;¦ aâ&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ a+1

15. Vrednost izraza

â&#x2C6;&#x161;3

â&#x2C6;&#x2019;56 + â&#x2C6;&#x161;3 7

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2 (25 â&#x2C6;&#x2019; 2x) â&#x2122;¦ 20 + 5x

â&#x2C6;&#x161;

1 â&#x2C6;&#x2019; a2 â&#x2C6;&#x2019; 1 a â&#x2122;¦

qp â&#x2C6;&#x161;  10 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161;4 p6 â&#x2C6;&#x161;4 3 3 5 5: 5 â&#x2C6;&#x2019; 7 + 64x 3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 50 â&#x2C6;&#x2019; 4 2x â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;20 â&#x2C6;&#x2019; 2x

1 a

je: â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2 (25 â&#x2C6;&#x2019; 2|x|)

16. Zlatar treba da pomexa srebro finoe 600â&#x20AC;° i srebro finoe 900â&#x20AC;° da bi dobio 600gr srebra finoe 850â&#x20AC;°. Koliko treba da uzme srebra finoe 600â&#x20AC;° (x gr.), a koliko srebra finoe 900â&#x20AC;° (y gr.)? â&#x2122;¦ x = 400gr, y = 250gr

â&#x2122;¦ x = 300gr, y = 200gr

â&#x2122;¦ x = 200gr, y = 400gr

â&#x2122;¦ x = 100gr, y = 500gr

â&#x2122;¦ x = 250gr, y = 250gr

17. Nejednakost x + 1 > â&#x2C6;&#x161;5 â&#x2C6;&#x2019; x je taqna akko je: â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;4 < x â&#x2030;¤ 1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1 < x â&#x2030;¤ 5

â&#x2122;¦ 1<xâ&#x2030;¤5

â&#x2122;¦ x < â&#x2C6;&#x2019;4

ili

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1 < x â&#x2030;¤ 1 x>4

18. Neka je duina vee osnovice trapeza 3cm a jedan egov unutraxi ugao 60 Povrxina tog jednakokrakog trapeza opisanog oko kruga je:

â&#x2014;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 2 3 â&#x2122;¦ 6

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 3 26 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 2+ 3

96

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 3+ 2


19. Rastojae prave zadate jednaqinom y + 3x + 5 = 0 od koordinatnog poqetka pravouglog koordinatnog sistema xOy je: â&#x2C6;&#x161; 5 â&#x2122;¦ 2 â&#x2C6;&#x161; 5 â&#x2122;¦ 3

3 â&#x2122;¦ 5 â&#x2C6;&#x161; 10 â&#x2122;¦ 3

â&#x2C6;&#x161; 10 â&#x2122;¦ 2

20. Kada se omotaq kupe razvije u ravni dobije se qetvrtina kruga polupreqnika â&#x2C6;&#x161; 4 5cm. Zapremina te kupe je (u cm ): 3

â&#x2C6;&#x161; 25 3 Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 3

100 Ï&#x20AC; â&#x2122;¦ 3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 25 3Ï&#x20AC;

25 â&#x2122;¦ Ï&#x20AC; 3 40 â&#x2122;¦ Ï&#x20AC; 27

TEST 20

1. Vrednost izraza

q  â&#x2C6;&#x2019;2 q 3 + 4, 2 : 0, 1 2 2  (â&#x2C6;&#x2019;2) + (â&#x2C6;&#x2019;1) ·  1 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 · 0, 2 1: 10 3

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;50

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;25

â&#x2122;¦ 25

je jednaka: â&#x2122;¦ 50

2. Data je funkcija M = log 11 â&#x2C6;&#x2019;+ xx .Treba formirati novu funkciju N na taj naqin xto e se x iz funkcije M zameivati sa 3x1 ++3xx . Posle rexavaa i pojednostav ea dobijene funkcije, funkcija N je jednaka: 3

2

â&#x2122;¦ M

â&#x2122;¦ 3M

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;M

â&#x2122;¦ M2

3. Zbir rexea jednaqine â&#x2C6;&#x161;x

2

â&#x2C6;&#x2019; 4x + 4 = 2x â&#x2C6;&#x2019; 1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ M3

je jednak: â&#x2122;¦ 1

97


4. Vrednost izraza ♦ −i ♦ 1

© ­ «

! 3 2017 √ 3−i ª ® 2 ¬ ♦ 22017   2017 1 ♦ 2

je jednaka:

5. Ako je f (x) = √x + p√x tada je ( f (4)) 3

−1

♦ 16

♦ 0, 625

♦ 0, 0625

♦ 0, 525

♦ i

( f (16))−1

jednako: ♦ 1

6. Zbir rexea jednaqine |x| + |2x + 1| = x + 3 je: ♦ −3

♦ −1

♦ 3

♦ 1

7. Zbir rexea jednaqine 2

x 2 −2x−10

=

♦ 0

♦ 4

♦ 2

♦ 6

♦ 0

1 4

je: ♦ 8

8. Data je jednaqina cos β + √3 sin β = 1. Koliko data jednaqina ima rexea na intervalu (0, π)? ♦ 0

♦ 2

♦ 1

♦ 3

♦ 4

9. Skup svih realnih rexea nejednaqine log

2

♦ (−2, 0)

♦ (−1, 1)

♦ (0, 2)

♦ (−5, −2)

98

 x2 + 1 < 1

je: ♦ (1, +∞)


10. Jednakostraniqni trougao stranice 2 rotira oko prave linije koja je normalna na osnovicu trougla i koja sadri jedno teme te osnovice trougla. Zapremina nastalog obrtnog tela je: â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 3 2Ï&#x20AC; â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 5 2Ï&#x20AC;

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 2 3Ï&#x20AC; â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 2 5Ï&#x20AC;

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 5 3Ï&#x20AC;

11. U koliko taqaka se seku prave p) 2x + 3y = 6, q) 4x â&#x2C6;&#x2019; 3y = 6, r) x = 2 i s) y = 23 : â&#x2122;¦ 1

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 2

â&#x2122;¦ 4

12. Ako je 16

tgx

â&#x2C6;&#x2019; 4tgx = 2

i 16

ctgx

â&#x2122;¦ 6

â&#x2C6;&#x2019; 4ctgx = α

â&#x2122;¦ 20

â&#x2122;¦ 220

â&#x2122;¦ 24

â&#x2122;¦ 224

13. Jedno rexee jednaqine 6x rexea te jednaqine je: â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2122;¦

5 6

3 2

3

onda je α jednako: â&#x2122;¦ 240

â&#x2C6;&#x2019; 7x 2 â&#x2C6;&#x2019; 16x + 12 = 0

je x

1

. Zbir preostala dva

=2

1 2 4 â&#x2122;¦ 9 â&#x2122;¦

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;

5 6

14. Na ravan stola postav ene su tri lopte razliqitih polupreqnika. One dodiruju sto u taqkama A , A i A i svake dve se meusobno dodiruju. Ako su stranice trougla 4A A A jednake redom A A = 4, A A = 6 i A A = 8, onda je proizvod duina polupreqnika te tri lopte jednak: 1

1 2 3

â&#x2122;¦ 20 â&#x2122;¦ 22

2

3

1 2

â&#x2122;¦ 24 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 24 2

99

2 3

1 3

â&#x2122;¦ 18


15. Kiga je poskupela za60%. Da bi se cena kige vratila na staro trebalo bi da pojeftini za: â&#x2122;¦ 60%

â&#x2122;¦ 70%

â&#x2122;¦ 40%

â&#x2122;¦ 45%

â&#x2122;¦ 37, 5%

16. Ako taqka A (x , y ) pripada pravoj 4y = 3x + 1 i ako je taqka A najblia taqki B(2, 2) tada je x + y jednako: 0

0

0

0

77 25 74 â&#x2122;¦ 25

99 25 88 â&#x2122;¦ 25

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

â&#x2122;¦

17. Zbir celih brojeva koji su rexea nejednaqine x â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2122;¦ 3

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ 6

18. Funkcija log

â&#x2C6;&#x2019;x 2 +6xâ&#x2C6;&#x2019;5



â&#x2122;¦ 2<x<4

â&#x2122;¦ 1<x<2

â&#x2122;¦ 4<x<5 + x â&#x2C6;&#x2019; 3|x + 1| = 0

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2122;¦ 0

â&#x2122;¦ â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2122;¦ 1

jednak je:

je definisana za:

â&#x2122;¦ x<1

2

â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2030;¤ 4

â&#x2122;¦ 9

log2 â&#x2C6;&#x2019;x 2 + 6x â&#x2C6;&#x2019; 7

19. Zbir svih rexea jednaqine x

2

97 25

â&#x2122;¦ x>5

je: â&#x2122;¦ 2

20. Duina dijagonale jednakokrakog trapeza je 12, a ugao izmeu dijagonale i osnovice trapeza je 30 . Povrxina tog trapeza je: â&#x2014;¦

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 18 3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 18 2

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 36 3 â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 36 2

100

â&#x2C6;&#x161; â&#x2122;¦ 27 2


REXE A TEST 1

1) 25; 2) 1; 3) ; 4) ima samo jedno rexee; 5) ; 6) [2, 3]; 7) Jednaqina ima taqno dva rexea; 8)√ (8, 12); 9) [2, ∞); 10) 18 ; 11) 5; 12) 14; 13) √2; 14) x 32 2 4; 15) 250; 16) ; 17) 63; 18) ; 19) 9 : 4; 20) 51; 3x + 1 3 −219

TEST 2

1) ; 2) ; 3) 99; 10) ; 11) 19) 0; 20) ; 5 2



√  1+i 3



√ 8 5 |z| = 5 5 1 − 640cm3 2

 1 − , 0 ∪ (0, 2) 2

; 4) ;5) ; 6) 425; 7) 9x − 5y − 26 = 0; 8) M (7, −5); 9) ; 12) ; 13) ; 14) 2; 15) 32cm ; 16) 96πcm ; 17) 75 ; 18) 4;

a−2 72, 8% a+2 2 + 3ab 20 a 24cm

1

2

2

TEST 3

1) 39; 2) 2; 3) 103 ; 4) log 5; 5) 1458; 6) 1; 7) 4 + √15; 8) 3; 9) 1, 125; 10) 167 ; 11) 1 (−∞, 0) ∪ (2, +∞); 12) 4; 13) x = 1, x = − ; 14) 104cm ; 15) 30; 16) 6 : 5; 17) 10; 18) 2 3, 0625; 19) (x − 2) + (y − 1) = 4; 20) a = 1, b = −2, c = −3; 2

1

2

3

2

2

TEST 4

1) i; 2) 5; 3) k ; 4) √2; 5) b; 6) 5 − 3√3; 7) 2; 8) 1; 9)√ cos x cos y; 10) (−∞, 1] ∪ [5, +∞); 11) 240π; 12) 2x − y + 2 = 0; 13) 1 − x ; 14) 3; 15) 82; 16) 145; 17) 0; 18) 34 ; 19) 1; 20) paran broj; 8

101


TEST 5

1) ; 2) ; 3) −1; 4) {−5, 3}; 5) (−1, 3) ∪ (3, +∞); 6) ; 7) 2; 8) 654 ; 9) ; 10) ; 11) 1; 12)√(x + 3) + (y + 4) = 52; 13) −4; 14) 3x − 2y + 1 = 0; 15) 15; 16) ; 17) ; 18) ; 19) 18 2π; 20) petnaeseti qlan;

1 − a − a2 1 + a + a2 1√ (0, +∞) 3 8 x 5 96 1 2

1 1 1

+ +

a b c

2

2

TEST 6

1) 2; 2) 1; 3) ; 4) 320; 5) [10, +∞); 6) 4; 7) 4; 8) 48; 9) ; 10) ; 11) 3π2 ; 12) 10; 13) −6; 14) [2, +∞); 15) m > − 31 ; 16) 9 111 %; 17) 133 πcm ; 18) 61, 44; 19) 3 ; 20) 25; 4 1 4



1 0, 2



1 (−∞, −3) ∪ , +∞ 3 



3

TEST 7

8) Ima 1) 0; 2) − 34 ; 3) [0, 1) ∪ (2, +∞); 4) nema rexea; 5) 5; 6) − 12 ; 7) Nema rexea;  dva rexea; 9) 2i; 10) 85 √15; 11) π6 ; 12) 24km; 13) 10; 14) 7; 15) 2π3 ; 16) 2π3 , 4π3 ; 17) p ; 18) elipsa; 19) 99; 20) 3; 4

TEST 8

√ 8 5 0 5 1 (−∞, −5] ∪ (−1, 2] ∪ (3, +∞) −2 − 2 (1 + 2k) π k ∈ Z 4 {1} −1

1) ; 2) ; 3) ima samo jedno realno rexee; 4) 2√5; 5) 8; 6) 3x − 2y − 10 = 0; 7) ; 8) ; 9) ; 10) 3 ; 11) 16 + 32√2 ; 12) 24; 13) 1; 14) , ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) 472, 5; 19) − 12 ; 20) 100 3 + 2√3 π;

TEST 9

1) 4; 2) a; 3) 2 ; 4) 45; 5) √2; 6) 1; 7) −4; 8) − 58 ; 9) − 172 ; 10) (1, 5]; 11) 8√3; 12) 1 , 1 ; 13) −4; 14) π ; 15) 0, 96 ; 16) 12x + 15; 17) 4; 18) 5; 19) (0, 1]; 20) 5; 3 1004

2

102


TEST 10

; 7) 24, 43; 8) 163 ; 9) 32 ; 10) ; 2) 6; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 2%; 11) (100, 150); 12) ; 13) ; 14) ; 15) 72 ; 16) √2; 17) 6; 18) 6; 19) 105; 20) 2; 1)

a2 + ab + b2 a+b

 1 1 − , √ 2 2 4 15 4 5 

3 6 4 √ 6 2

√  18 1 + 3  x

TEST 11

1) 2; 2) 0; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 12 ; 7) −8; 8) 4; 9) 2 (−1 + i); 10) 53 ; 11) 4 π3 ; 12) 68%; 13) 7; 14) ; 15) 2y + 3x + 4 = 0; 16) 12; 17) 58 √15; 18) 4√3R ; 19) 3 5103; 20) ; 8 1 0, 59 2 2 {−1} ∪ [2, +∞)

9

3

TEST 12

1) x; 2) a + b; 3) 1; 4) x ∈ (−∞, 0] ∪ [4020, +∞); 5) 0 ; 6) 2; 7) 2; 8) 6; 9) 5184 ; 10) 5; 11) √ smai  se za 1% ; 12) 35; 13) 0; 14) 24π ; 15) 90%; 16) x ∈ (−∞, +∞); 17) 3; 18) −0, 25; 19) 0, 14 ; 20) 1; TEST 13

√ 9 2 0 R (−1, 0) √ 2 4 2 442 1 9

; 7) 20; 8) 972π; 9) 24; 10) 1; 11) 1) 1; 2) 28%; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 96π cm ; 12) −2; 13) 2; 14) ; 15) ; 16) ; 17) 7; 18) 5 + √5; 19) 15 i √593; 20) 45 ; a+1 a−2

2

TEST 14

1) 3; 2) ; 3) i; 4) ; 5) λ = 15 ; 6) 3π4 ; 7) 18; 8) −9; 9) 6; 10) 216; 11) 2π; 12) 3 32cm ; 13) 0 < x < 1 ili x > 4; 14) −7; 15) 2x − 5y − 48 = 0; 16) −1; 17) ; 18) 20%; 2 19) 30π; 20) √13cm; 1 − 150



2−x x+1

2

2

103


TEST 15

1) 0, 03507; 2) i; 3) 1; 4) 12; 5) 3; 6) 0; 7) bb â&#x2C6;&#x2019;+ aa ; 8)4Ï&#x20AC;; 9) â&#x2C6;&#x2019; 2aa+ 1 ; 10) 3cm; 11) vea za 1 4%; 12) tupougli; 13) 4; 14) (0, 1); 15) (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2C6;ª , +â&#x2C6;&#x17E; ; 16) 1; 17) 6; 18) 6; 19) 255; 2 20) 8; TEST 16

1) 10; 2) aa â&#x2C6;&#x2019;+ bb ; 3) x +4 3 ; 4) (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 0]; 5) 12 ; 6) 5; 7) â&#x2C6;&#x2019; 43 ; 8) 15Ï&#x20AC; : 18; 9) 100 ; 10) 221 ; 11) 2; 12) [â&#x2C6;&#x2019;1, 1); 13) 6; 14) 116; 15) 4; 16) (5, 25]; 17) â&#x2C6;&#x2019;2; 18) 1; 19) 32; 20) 2; â&#x2014;¦

TEST 17

1) a â&#x2C6;&#x2019;aâ&#x2C6;&#x2019; 4 ; 2) 1 < x < 5; 3) m < 3; 4) 34 ; 5) 12 ; 6) 52, 87; 7) 26; 8) y = x â&#x2C6;&#x2019; 1 + â&#x2C6;&#x161;2 ili â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 1 kÏ&#x20AC; (k â&#x2C6;&#x2C6; Z); 13) ; 14) r â&#x2030;&#x2C6; 178m; 15) 4 5; 16) y = x â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; 2; 9) 3; 10) 25%; 11) 1; 12) 2 3 â&#x2C6;&#x161;   â&#x2C6;&#x161; 3 2 125 ; 17) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, ; 18) 6; 19) 70; 20) 12; 3 3 2

TEST 18

1)

; 2) ; 3) ; 4) ; 12) ; 13) 3; 14) 20) ; 1 â&#x2C6;&#x2019;i a + 2x 144 24 Ï&#x20AC; 15 7 144

6 5

â&#x2C6;&#x161; 2Ï&#x20AC; 3 â&#x2C6;&#x2019; 3 2  1 â&#x2C6;&#x161; 2+1 2

; 5) â&#x2C6;&#x2019;a; 6) 1100 din; 7)â&#x2C6;&#x161;3; 8)â&#x2C6;&#x161; 18;â&#x2C6;&#x161;9) 12; 10) (0, 4]; 11) ; 15) 5; 16) 3400; 17) y â&#x2C6;&#x161;xxâ&#x2C6;&#x2019; y ; 18) 30; 19) 12 ; 4

TEST 19

â&#x2C6;&#x161; 2d 2016 3 5 a+ x0  2018 2 2 Ï&#x20AC; 2Ï&#x20AC; R + Rr , 3 3 Râ&#x2C6;&#x2019;r â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 10 1<xâ&#x2030;¤5 2 3 2

1) 12)

4

; 2) ; 3) ; 4) 712; 5) 11Ï&#x20AC;3 ; 6) 5 ; 7) 3; 8) 1; 9) 6 â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x161;2; 10) 4; 11) 2â&#x2C6;&#x161;13; ; 13) ; 14) a1 ; 15) â&#x2C6;&#x2019;2 (25 â&#x2C6;&#x2019; 2x); 16) x = 100gr, y = 500gr ; 17) â&#x2C6;&#x161; 25 3 ; 18) ; 19) ; 20) 3 Ï&#x20AC;; 104


TEST 20

1) 25; 2) 3M ; 3) 0; 4) −i; 5) 0, 0625; 6) 0; 7) 2; 8) 1; 9) (−1, 1); 10) 2√3π√; 11) 1; 12) 240; 13) − 56 ; 14) 24; 15) 37, 5%; 16) 9925 ; 17) 9; 18) 2 < x < 4; 19) −1; 20) 36 3;

105


Literatura

[1] V. T. Bogoslavov, Zbirka rexenih zadataka iz matematike I , Zavod za u benike i nastavna sredstva, Beograd, 1985. [2] V. T. Bogoslavov, Zbirka rexenih zadataka iz matematike I I Zavod za u benike i nastavna sredstva, Beograd, 1985. [3] V. T. Bogoslavov, Zbirka rexenih zadataka iz matematike I I I , Zavod za u benike i nastavna sredstva, Beograd, 1985. [4] V. T. Bogoslavov, Zbirka rexenih zadataka iz matematike IV , Zavod za u benike i nastavna sredstva, Beograd, 1985. [5] . Ivanovi, S. Oganovi, MATEMATIKA 1 - Zbirka zadataka i testova za I razred gimnazija i tehniqkih xkola, Krug, Beograd, 1999. [6] . Ivanovi, S. Oganovi, MATEMATIKA 2 - Zbirka zadataka i testova za I I razred gimnazija i tehniqkih xkola, Krug, Beograd, 1997. [7] . Ivanovi, S. Oganovi, MATEMATIKA 3 - Zbirka zadataka i testova za I I I razred gimnazija i tehniqkih xkola, Krug, Beograd, 1997. [8] . Ivanovi, S. Oganovi, MATEMATIKA 4 - Zbirka zadataka i testova za IV razred gimnazija i tehniqkih xkola, Krug, Beograd, 1999 [9] S. Oganovi: Matematika 4+, Rexeni zadaci sa prijemnih ispita na univerzitetima u Srbiji 1995-2000, "Krug", Beograd 2001. [10] R. Despotovi, Odabrani zadaci iz matematike za 1. razred sredih xkola, Zmaj, Novi Sad, 2005 [11] R. Despotovi, Odabrani zadaci iz matematike za 2. razred sredih xkola, Zmaj, Novi Sad, 2005 [12] R. Despotovi, Odabrani zadaci iz matematike za 3. razred sredih xkola, Zmaj, Novi Sad, 2006 [13] R. Despotovi, Odabrani zadaci iz matematike za 4. razred sredih xkola, Zmaj, Novi Sad, 2006 106


[14] htt p : //www.ra jak.r s [15] htt p : //www. f mclass.ru

107

MATEMATIKA zbirka zadataka za prijemni ispit  

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu prijemnog ispita

MATEMATIKA zbirka zadataka za prijemni ispit  

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu prijemnog ispita

Advertisement