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TABELA: Derivadas, Integrais e Identidades Trigonom´ etricas

Derivadas

Sejam u e v fun¸c˜oes deriv´aveis de x e n constante. 1. y = un ⇒ y 0 = n un−1 u0 . 2. y = uv ⇒ y 0 = u0 v + v 0 u. 0 0u . 3. y = uv ⇒ y 0 = u v−v v2 4. y = au ⇒ y 0 = au (ln a) u0 , (a > 0, a 6= 1). 5. y = eu ⇒ y 0 = eu u0 . 0 6. y = loga u ⇒ y 0 = uu loga e. 7. y = ln u ⇒ y 0 = u1 u0 . 8. y = uv ⇒ y 0 = v uv−1 u0 + uv (ln u) v 0 . 9. y = sen u ⇒ y 0 = u0 cos u. 10. y = cos u ⇒ y 0 = −u0 sen u. 11. y = tg u ⇒ y 0 = u0 sec2 u. 12. y = cotg u ⇒ y 0 = −u0 cosec2 u. 13. y = sec u ⇒ y 0 = u0 sec u tg u. 14. y = cosec u ⇒ y 0 = −u0 cosec u cotg u. u0 15. y = arc sen u ⇒ y 0 = √1−u . 2 0 √−u . 1−u2 u0 y 0 = 1+u 2. −u0 ⇒ 1+u2 .

16. y = arc cos u ⇒ y 0 =

17. y = arc tg u ⇒ 18. y = arc cot g u 19. y = arc sec u, |u| > 1 0 ⇒ y 0 = |u|√uu2 −1 , |u| > 1.

20. y = arc cosec u, |u| > 1 −u0 ⇒ y 0 = |u|√ , |u| > 1. u2 −1

R 1. du = u + c. R n+1 2. un du = un+1 + c, n 6= −1. R du 3. R u = ln |u| + c. u 4. R au du = lna a + c, a > 0, a 6= 1. 5. R eu du = eu + c. 6. R sen u du = − cos u + c. 7. R cos u du = sen u + c. 8. R tg u du = ln |sec u| + c. 9. Rcotg u du = ln |sen u| + c. 10. R sec u du = ln |sec u + tg u| + c. 11. R cosec u du = ln |cosec u − cotg u| + c. 12. R sec u tg u du = sec u + c. 13. R cosec u cotg u du = −cosec u + c. 14. R sec2 u du = tg u + c. 15. R cosec2 u du = −cotg u + c. 16. u2du = a1 arc tg ua + c. +a2 ¯ ¯ R du ¯ ¯ 1 2 2 17. u2 −a2 = 2a ln ¯ u−a u+a ¯ + c, u > a . ¯ ¯ √ R ¯ ¯ = ln ¯u + u2 + a2 ¯ + c. 18. √udu 2 +a2 ¯ ¯ √ R ¯ ¯ 19. √udu = ln ¯u + u2 − a2 ¯ + c. 2 −a2 R = arc sen ua + c, u2 < a2 . 20. √adu 2 −u2 ¯ ¯ R √ du 21. = 1 arc sec ¯ u ¯ + c. u u2 −a2

• •

Identidades Trigonom´ etricas

1. sen2 x + cos2 x = 1. 2. 1 + tg2 x = sec2 x. 3. 1 + cotg2 x = cosec2 x. 2x 4. sen2 x = 1−cos . 2 1+cos 2x 2 . 5. cos x = 2 6. sen 2x = 2 sen x cos x. 7. 2 sen x cos y = sen (x − y) + sen (x + y). 8. 2 sen x sen y = cos (x − y) − cos (x + y). 9. 2 cos x cos y = cos (x ¡ − y)¢+ cos (x + y). 10. 1 ± sen x = 1 ± cos π2 − x .

Integrais

a

a

F´ ormulas de Recorrˆ encia

R n−1 cos au 1. senn au du = − sen ¡au an ¢R n−1 + n senn−2 au du. 2.

3. 4. 5.

6.

R

R R R

R

cosn au du =

tg n au du =

sen au cosn−1 au an ¡ ¢R + n−1 n

tg n−1 au a(n−1)

R

cosn−2 au du.

tg n−2 au du.

R n−1 au n−2 au du. cotg n au du = − cotg a(n−1) − cotg secn au du =

secn−2 au tg au a(n−1) ³ ´R + n−2 n−1 n−2

secn−2 au du.

au cotg au cosecn au du = − cosec a(n−1) ³ ´R + n−2 cosecn−2 au du. n−1


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