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Gu´ıas y Pr´ acticas para ingresar a la educaci´ on supuerior costarricense Elaborado por Randall Garc´ıa Murillo Primera Edici´on, 2015 San Jos´e, Costa Rica Este libro es recomendado para cualquier persona que desee hacer el examen de la UCR y el TEC pero en especial a personas que ya tienen su titulo de Bachiller en Educaci´on Media.


Primera Edici´ on. Impresi´ on Centro Cultural Atenea Ltda, 2015.

500.3 M977-i1

Garc´ıa Murillo, Randall Gu´ıas y Pr´ acticas para ingresar a la educaci´on supuerior costarricense / Randall Garc´ıa Murillo. – 1a. ed. – San Jos´e, Costa Rica: Centro Cultural Atenea Ltda, 2015. p.

c Centro Cultural Atenea Ltda Correo electr´ onico: randallgarciacr@gmail.com Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducci´ on no autorizada por cualquier medio, mec´ anico o el´ectronico del contenido total o parcial de esta publicaci´ on. Impreso en Costa Rica.


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´Indice general 1. Proceso de Admisi´ on Universitaria

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2. L´ ogica Proposicional

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Bibliograf´ıa

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Cap´ıtulo 1

Proceso de Admisi´ on Universitaria 

Introducci´ on



¿Com´ o escoger la profesi´ on que queremos estudiar?



La educaci´ on a distancia como opci´ on de estudio



El examen de admisi´ on de la UCR y TEC



La Universidad de Costa Rica y sus carreras



La Universidad Nacional de Costa Rica y sus carreras



El Instituto Tecnol´ ogico de Costa Rica y sus carreras



Recomendaciones para cumplir la funci´ on estudiantil universitaria


8 hola

”encabezado izquierdo”


Cap´ıtulo 2

L´ ogica Proposicional 

Fundamentos de la l´ ogica



Conectivas l´ ogicas



Leyes de l´ ogica



Inferencias l´ ogicas



Cuantificadores


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Gu´ıas y Pr´acticas para ingresar a la educaci´on supuerior costarricense

Fundamentos de la l´ ogica La l´ ogica matem´ atica es la disciplina que estudia m´etodos de an´alisis y razonamiento; utilizando el lenguaje de las matem´ aticas como un lenguaje anal´ıtico. La l´ogica matem´atica nos ayuda a establecer criterios de verdad, equivalencias l´ ogicas tales como el silogismo, hacer demostraciones de teoremas que participan en el an´alisis de argumentos planteados. Entre algunos conceptos que se manejaran en toda la teor´ıa del razonamiento matem´atico est´an:



Definiciones: Caracter´ısticas que describen a los objetos matem´aticos. Ejemplo:





n es divisible por 3 si existe un k ∈ Z tal que n = 3k, esta es una definici´on.

Axioma: Afirmaci´ on o verdad cuya validez se asume sin demostraci´on. Teorema: Verdad cuya validez debe ser demostrada por medio de dos o m´as axiomas, definiciones o teoremas a su vez. Ejemplo:

Si n es par, entonces n2 es par.

Dem.

⇒n

=

con k ∈ Z

2k

⇒n

2

=

(2k)

⇒n

2

=

4k 2

⇒ n2

=

2(2k 2 )

2

=

2u

⇒n

2

con u ∈ Z, u = 2k 2

∴ n2 es par.



Corolario: Consecuencia de un teorema.



Conjetura: Es una afirmaci´ on que no se puede saber su verdad o falsedad. Ejemplo:

Todo n´ umero par mayor o igual a 4 se puede escribir con una suma de dos n´ umeros primos.

4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 7 + 5, . . . Esta conjetura se le llama Conjetura de Goldbach. 

Paradojas: Enunciados contradictorios a s´ı mismos, no pueden ser falsos ni verdaderos.



Demostraci´ on (Dem.): Ensayo estructurado en donde se verifica en que un enunciado es verdadero.


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Conectivas l´ ogicas Antes de catalogar las diferentes conectivas de la l´ogica proposicional es importante saber que una proposici´ on es un enunciado con caracter´ıstica que puede ser catalogado como verdadera o falsa. Las denotaciones m´ as comunes de las proposiciones es P, Q, R, S, . . . que representan el o los enunciados a evaluar. Ejemplo: P : 5 es n´ umero par ≡ F ; pues 5 6= 2k con k ∈ Z Q : 8 es n´ umero par ≡ V ; pues 8 = 2k con k ∈ Z .

Tipos de proposiciones 



Simples o at´ omicas: Son aquellas proposiciones formadas solo por una proposici´on. Compuestas o moleculares: Son aquellas proposiciones formadas por dos o m´as proposiciones relacionadas con una conectiva l´ ogica.

Propiedades de las proposiciones Toda proposici´ on debe de cumplir con los siguientes principios: 1. Identidad: Si una proposici´ on es verdadera es verdadera siempre. 2. No contradicci´ on: Ninguna proposici´ on se puede contradecir. 3. Tercer excluido: Es falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Ahora que ya sabemos lo que es una proposici´on, entraremos al tema de conectivas l´ogicas.

Tipos de conectivas l´ ogicas A continuaci´ on se le presentaran los tipos de conectivas l´ogicas que existen con su representaci´on en la tabla de verdad si una proposici´ on es verdadera o falsa con su valor con su conectiva. 

Negaci´ on (¬): Si P es una proposici´ on, la negaci´on de P es una nueva proposici´on ¬P , que se lee “no es cierto que P ” o “no P ”. P V F



¬P F V

Conjunci´ on (∧): Si P y Q son dos proposiciones, la conjunci´on de P y Q es la nueva proposici´on P ∧ Q, que se lee “P y Q”. P V V F F

Q V F V F

P ∧Q V F F F

Nota: Para que P ∧ Q sea verdadero; las proposiciones P como tambi´en Q deben de ser verdaderas.


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Disyunci´ on (∨): Si P y Q son dos proposiciones, la disyunci´on de P y Q es la nueva proposici´on P ∨ Q, que se lee “P ´ o Q”. P V V F F

Q V F V F

P ∨Q V V V F

Nota: Para qu´e P ∨ Q sea verdadero; almenos una o ambas proposiciones P y Q deben de ser verdaderas.



Disyunci´ on Exclusiva (Y): Si P y Q son dos proposiciones, la disyunci´on exclusiva de P y Q es la nueva proposici´ on P Y Q, que se lee “P ´ o Q, pero no ambos”. P V V F F

Q V F V F

P YQ F V V F

Nota: Para qu´e P Y Q sea verdadero; alguna de las proposiciones P y Q deben de ser verdaderas, pero no pueden ser ambas verdaderas.



Implicaci´ on (⇒): Si P y Q son dos proposiciones, la implicaci´on de P y Q es la nueva proposici´on P ⇒ Q, donde P se le llama antecedente y Q se le llama consecuente, que se lee “P implica a Q”, “si P entonces Q”, “Q si P ”, “P solo si Q”, “P es suficiente para Q” ´o “Q es necesario para P ”. P V V F F

Q V F V F

P ⇒Q V F V V

Nota: Para qu´e P ⇒ Q sea falso; el antecedente debe de ser verdadero y el consecuente debe de ser falso. Definiciones de la implicaci´ on: 1. La reciproca de P ⇒ Q es Q ⇒ P . 2. La cotrapositiva de P ⇒ Q es ¬Q ⇒ ¬P . 3. La implicaci´ on y disyunci´ on de P ⇒ Q es ¬P ∨ Q. 

Doble Implicaci´ on (⇔): Si P y Q son dos proposiciones, la doble implicaci´on de P y Q es la nueva proposici´ on P ⇔ Q, que se lee “P si solo si Q” ´ o “ P es necesario y suficiente para Q”, otra forma para representar la doble implicaci´ on es P ⇒ Q ∧ Q ⇒ P . P V V F F

Q V F V F

P ⇔Q V F F V


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Nota: Para qu´e P ⇔ Q sea verdadero es cuando ambas proposiciones sean del mismo valor de verdad. Ejemplo 1. Considere las proposiciones P : H´ector estudia; Q: Felipe estudia; R: H´ector juega f´ utbol; S: Felipe juega f´ utbol; T : H´ector invita a Felipe a jugar futbol. Simbolice las proposiciones: 1. H´ector o Felipe estudian, pero H´ector invita a Felipe a jugar futbol. 2. Si H´ector invita a Felipe a jugar futbol, entonces Felipe no estudia. 3. Si H´ector y Felipe juega f´ utbol, entonces ni H´ector ni Felipe estudian. 4. Felipe estudia si solo si no juega futbol. 5. Una condici´ on necesaria para que H´ector y Felipe estudien es que no jueguen futbol. 6. No es cierto que H´ector invita a Felipe a jugar futbol y H´ector estudia. Soluci´ on: 1. Simbolizemos cada proposicion con sus respectivas letras, obtenemos: P o Q, pero T . Como podemos ver P y Q se encuentar conectado con un ”´ o”, adem´as T de puede ver como la consecuencia del ”pero”. Por lo tanto se puede concluir que P ∨ Q ⇒ T . 2. Simbolizemos cada proposicion con sus respectivas letras, obtenemos: T , entonces no Q. Como podemos ver T y Q se encuentar conectado con un entonces, adem´as Q est´a negado. Por lo tanto se puede concluir que T ⇒ ¬Q. Utilizando la misma l´ ogica obtendremos: 3. R ∧ S ⇒ ¬P ∧ ¬Q. 4. Q ⇔ ¬S. 5. ¬(R ∧ S) ⇒ P ∧ Q. 6. ¬(T ∧ P ).

Construcci´ on de tablas de verdad Las tablas de verdad son herramientas que nos sirven para evaluar el valor de verdad de una proposici´on compuesta utilizando diferentes combinaciones posibles en las proposiciones, utilizaremos un ejemplo para construir la tabla de verdad en pasos. [¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)] ∧ (Q ⇒ ¬P )] ⇔ ¬P Paso 1. Identificar la cantidad de proposiciones simples que son parte de la proposici´on dada. En el ejemplo presentado: Se sabe que las proposiciones simples que son parte de la proposici´ on son P, Q y R; por lo tanto la cantidad de proposiciones simples son 3. Paso 2. Para averiguar las cantidad de combinaciones o filas que pondremos en la tabla de verdad lo evaluaremos con la formula 2n donde n ser´ a la cantidad de proposiciones simples. En el ejemplo presentado: a 8 filas.

Al existir 3 proposiciones simples; la cantidad de filas ser´a 23 que es igual


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Paso 3. Identificaremos las proposiciones simples (no las compuestas) que est´an negadas en la proposici´on. En el ejemplo presentado:

La u ´nica proposici´on simple que esta negada es ¬P .

Paso 4. Identificaremos las proposiciones compuestas que evaluaremos en la tabla de verdad, es importante que en esa identificaci´ on solamente utilizaremos las evaluaciones que poseen una sola conectiva l´ogica y tambi´en las negaci´ on de las proposiciones compuestas, a la conclusi´on de la evaluaci´on la podemos representar con el s´ımbolo (∗). En el ejemplo presentado:

Identificaremos las proposiciones al evaluar:

◦ Q∧R ◦ ¬(Q ∧ R) ◦ P ∧ ¬(Q ∧ R) ◦ ¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)] ◦ Q ⇒ ¬P ◦ [¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)] ∧ (Q ⇒ ¬P )] ◦ (∗) = [¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)] ∧ (Q ⇒ ¬P )] ⇔ ¬P Paso 5. La cantidad de columnas las obtendremos sumando la cantidad de proposiciones simples m´as la cantidad de proposiciones simples negadas m´ as la cantidad de proposiciones que evaluaremos, con eso podemos empezar a construir la tabla, es importante que dejemos una fila extra para los criterios. En el ejemplo presentado: Tenemos 3 proposiciones simple, 1 proposici´on simple negada y 7 proposiciones que evaluaremos, para un total de 11 columnas, construimos: P

Q

R

¬P

Q∧R

¬(Q ∧ R)

P ∧ ¬(Q ∧ R)

¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)]

Q ⇒ ¬P

[¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)] ∧ (Q ⇒ ¬P )]

(∗)

Paso 6. A las proposiciones simples les asignaremos los valores de verdadero y falso utilizando el siguiente algoritmo, en la primera fila pondremos todas las opciones verdaderas, de la segunda fila a la mitad de las filas pondremos en diagonal de derecha a izquierda las opciones de falso y el resto de campos en verdadero, de la mitad hasta la ante´ ultima fila pondremos en diagonal de derecha a izquierda la opci´on de verdadero y el resto los ponemos como falsos, en la u ´ltima fila ponemos todos los campos en falso. En el ejemplo presentado: Llenaremos los campos de las proposiciones simples, adem´as podemos negar las negaciones de las proposiciones simples, en este caso de P : P V V V F F F V F

Q V V F V F V F F

R V F V V V F F F

¬P F F F V V V F V

Q∧R

¬(Q ∧ R)

P ∧ ¬(Q ∧ R)

¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)]

Q ⇒ ¬P

[¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)] ∧ (Q ⇒ ¬P )]

(∗)


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Paso 7. Resolver las tabla de verdad evaluando cada criterio, recordar que la conclusi´on es la conectiva l´ogica final en la que se quiere evaluar, al finalizar la tabla de verdad se copia el resultado en un “Por lo tanto” (∴). En el ejemplo presentado: P V V V F F F V F

Q V V F V F V F F

R V F V V V F F F

¬P F F F V V V F V

Q∧R V F F V F F F F

Resolvemos:

¬(Q ∧ R) F V V F V V V V

P ∧ ¬(Q ∧ R) F V V F F F V F

¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)] V F F V V V F V

Q ⇒ ¬P F F V V V V V V

[¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)] ∧ (Q ⇒ ¬P )] F F F V V V F V

∴ [¬ [P ∧ ¬(Q ∧ R)] ∧ (Q ⇒ ¬P )] ⇔ ¬P es una tautolog´ıa.

Tipos de resultados de la tabla de verdad 

Tautolog´ıa (V0 ): Si una proposici´ on es verdadera en todos los valores de verdad de la proposici´on.



Falacia o cotadicci´ on (F0 ): Si una proposici´on es falsa en todos los valores de verdad de la proposici´ on.



Contingencia o eventualidad: La proposici´on ni es tautolog´ıa ni es falacia.

(∗) V V V V V V V V


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Bibliograf織覺a



Guia y practicas