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1

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO CÁLCULO DIFERENCIAL TALLER 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

INTRODUCCIÓN El curso de cálculo diferencial exige como prerrequisito el conocimiento del álgebra básica, por lo cual en este taller se hace un rápido repaso de los conceptos más útiles del álgebra elemental. OBJETIVOS 1. Que el estudiante recuerde los conceptos básicos de álgebra y los pueda emplear en el cálculo diferencial. 2. Afianzar los conceptos algebraicos para aquellos estudiantes que tienen ciertas dificultades en el manejo de estos temas. METODOLOGÍA La metodología a emplear es la de trabajo cooperativo, es decir, se divide el curso en grupos de estudiantes, quienes deben resolver los ejercicios. Cada miembro del grupo hace aportes dependiendo de sus capacidades y grado de comprensión de los temas, y aprende y/o profundiza con los aportes de sus compañeros. Cuando se requiere el profesor coopera a cada grupo de trabajo o a todos, con aclaraciones, aportes, sugerencias, correcciones etc. LOGROS Un estudiante alcanzara sus logros si: 1. Realiza operaciones en . 2. Reconoce los números reales y sus propiedades. 3. Resuelve ejercicios de potenciación y radicación. 3. Dados dos o más polinomios realiza operaciones con ellos y simplifica los resultados. 4. Dado un polinomio realiza su factorización. 5. Identifica los productos notables y los resuelve con facilidad. 6. Dada una ecuación lineal o cuadrática la resuelve en forma correcta. 7. Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos variables. 8. Resuelve problemas con ecuaciones lineales y cuadráticas. 9. Resuelve ejercicios con fracciones algebraicas.


2 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ( ) El conjunto de los números reales está constituido por los conjuntos: Números naturales: Números enteros: Números racionales: Números irracionales: A continuación se muestra, en un diagrama de Venn su composición:

Aquí podemos observar las siguientes características entre los reales y sus subconjuntos:

El conjunto de los números Reales tiene dos operaciones: Suma y producto. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix)

Si a , b  entonces a+b  Si a , b  entonces a+b=b+a Si a, b, c  R entonces (a+b)+c=a+(b+c) Existe un elemento 0  tal que a+0=0+a=a para todo a  Para cada elemento a  , hay un elemento -a  tal que; a+(-a)=(-a)+a=0. Si a , b  entonces ab  . Si a , b  entonces ab=ba Si a, b, c  entonces (ab)c=a(bc) Existe un elemento 1  tal que a1=1a=a para todo a  1 Para cada elemento a  , a  0 hay un elemento  a 1  a 1 1 a( a )=( a )a=1.

tal que;


3 Si a, b, c 

x)

entonces: a(b+c)=ab+ac y (a+b)c=ac+bc

Nota: El símbolo  se lee “Pertenece a…” Existe un subconjunto no vació de llamado el conjunto de los números reales positivos que satisfacen las siguientes propiedades: Si a y b  entonces a +b  Si a y b  entonces ab  Si a  entonces se satisface una sola de las siguientes propiedades: a , a = 0 , - a a (Propiedad de tricotomía)

i) ii) iii)

De igual manera existe un subconjunto no vació de números reales negativos, que se define así: ={-a / a 

llamado el conjunto de los }.

POTENCIACIÓN Definición Sea a un número real, entonces el producto de a por sí mismo n veces se escribe: a.a.a.a……..a = an donde a es la base y n es el exponente. PROPIEDADES 1. 2. 3.

( 5. (

) )

6. * + 7. 8. 9. Si 10. Si

y n es par, entonces y n es impar, entonces


4 EJERCICIOS 1. Simplifique las expresiones usando las propiedades de potenciación. ) ( ) ( ) (

) ) )

)

) (

) (

)

) (

)

) (

)

)

) ) (

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(

)

) (

) ( )(

) (

)

)

) ( ) ) ( ) )

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)

) (

)

) )

) ( )

) (

) ( ) ) ( )

RADICACIÓN Definición. Sea n un entero positivo mayor que 1 y a un número real. Se define la raíz enésima de a como n a donde a se llama el radicando, n es el índice del radical y es el símbolo de radicación. Se presentan los siguientes casos: n

a =0 2. Si a > 0 entonces a es el número real positivo, b, tal que b n  a 3. Si a < 0 y n es impar, entonces n a es el número real negativo, b, tal que b n  a 4. Si a < 0 y n es par, entonces n a no es un número real. 1. Si a = 0 entonces

n

Observaciones La expresión

2

La expresión

3

La expresión

4

a se llama raíz cuadrada de a, también se escribe a se llama raíz cúbica de a a se llama raíz cuarta de a

a


5 PROPIEDADES DE RADICACIÓN 1. √

si n es impar

2. √

si n es par

3. √ √

4. √ √ √ 5. √

√ √

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Un radical se encuentra simplificado si: 1. La cantidad subradical No tiene factores con potencias mayores que el valor del índice. Ejemplo: El radical 12 x 2 y 5 No está simplificado, hay factores que se deben extraer del radical, así: 12 x 2 y 5  4(3) x 2 y 2 y 2 y  4 3 x 2 y 2 y 2 y  2 xy 2 3 y (Aplicando propiedades)

2. La expresión NO es una sucesión de radicales uno dentro del otro. Ejemplo: El radical

3xy No está simplificado, aplicando la propiedad 3, tenemos:

3xy  8 3xy

3. El índice del radical no es simplificable. Ejemplo: El radical 6 16 x 4 y 4 No se encuentra simplificado, aplicando propiedades, tenemos: 4 6

Entonces: 6

4

2

2

2

2

16 x 4 y 4  (6 16 )(6 x 4 )(6 y 4 )  (6 2 4 )( x 6 )( y 6 )  (2 3 )( x 3 )( y 3 )  (2 xy ) 3  3 (2 xy ) 2  3 4 x 2 y 2

16 x 4 y 4 = 3 4 x 2 y 2


6 OPERACIONES CON RADICALES Radicales semejantes. Dos radicales son semejantes si tienen el mismo y el mismo radicando. Suma de radicales. Sólo es posible sumar radicales semejantes. Ejemplos:

3 x  4 x  11 x =  4 x 2 50  7 18  6 8  2 52.2  7 32.2  6 2 2.2  2.5 2  7.3 2  6.2 2  10 2  21 2  12 2  2 Producto de radicales. Para multiplicar radicales se usa la propiedad

n

a n b n c  n abc

Ejemplo:

(3 2 x 2 )(3 4 x )(3 x )  3 8x 4  2 x(3 x ) División de radicales. Para dividir radicales es usa la propiedad

n

a na  b nb

Ejemplo.

4n

3n 3

4n 4 1 4   3 2 n 3 3n 3n EJERCICIOS

1. Simplifique los radicales.

a)

3

2x

b)

4

2

c)

5

34

d)

4

32

e)

3

24

f)

5 4


7 2. Realice las operaciones.

a) 3 x  2 x  5 x

b) 4 10  5 10  10

d ) 3 75  4 50  4 8  7 20 g ) ( 3a )( 2a )( 3b )

e)

7 9

h) ( 4 2t )(4 3t )(4 4t )

1 1 8  18  4 32 2 3 3 3 f ) ( 5 )( 6 )(3 2 ) c)

i)

5x x

POLINOMIOS Polinomios de variable Real (x). Un polinomio de grado n y variable real ( x ) es una expresión algebraica de la forma: p( x)  an xn  an1 x n1  an2 x n2  .....  a2 x 2  a1x  a0 donde los coeficientes de la variable x son números reales y los exponentes son enteros positivos. Se llama término independiente a aquel término que no contiene la variable.

Cada uno de los sumandos de un polinomio se llama término del polinomio, de acuerdo al número de términos los polinomios pueden tomar distintos nombres, así: Monomio: Es un polinomio de un solo término: 3xy 3 Binomio: Es un polinomio de dos términos: 2n  5mn Trinomio: Es un polinomio de tres términos: 3ab2  b2  5a3b Los polinomios de más de tres términos no tienen un nombre particular. OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma de polinomios. Términos semejantes. Dos términos son semejantes si la variable contiene el mismo exponente, por ejemplo los términos 2x3 y 5x3 son semejantes, este concepto se puede extender a términos que tienen más de una variable, como por ejemplo: 4rt 4 y 2rt 4 son términos semejantes. Si dos términos son semejantes, entonces se pueden sumar aplicando la Propiedad Distributiva (Recolectiva) de los números reales, así:

2 x3  5 x3  (2  5) x3  7 x3 4 xy 2  (2 xy 2 )  4 xy 2  2 xy 2  (4  2) xy 2  2 xy 2 Resumiendo: Para sumar términos semejantes basta con sumar los coeficientes y multiplicar por la(s) misma(s) variable(s) con su(s) exponente(s). De tal manera que podemos generalizar esta operación cuando se suman más de dos términos:


8

3x4  4 x4  5x4  14 x4  16 x4 La suma de dos o más polinomios consiste en construir un nuevo polinomio sumando los términos semejantes y agregando aquellos que no lo son, incluyendo los términos independientes. Ejemplo, Sumar los polinomios:

(3x3  2 x  1)  (4 x4  5x  7)  (8x3  7 x 4  5x  12) Reunimos los términos semejantes aplicando las propiedades conmutativa y asociativa:

(3x3  8x3 )  (4 x4  7 x4 )  (2 x  5 x  5 x)  (1  7  12) Al sumar obtenemos:

5x3  3x4  12 x  18 Nota: Recordemos que la resta de dos números reales consiste en sumar un real con el opuesto de otro. Esta definición se puede aplicar a la resta de polinomios, considerando que el opuesto de un polinomio será aquel que tiene todos sus términos con signos cambiados, así: Realizar la siguiente resta: (5x3  3x2  x  2)  (3x3  4 x  6) Convertimos la resta en una suma cambiando todos los signos del sustraendo (el polinomio de la derecha)

(5x3  3x2  x  2)  (3x3 )  4 x  6 Ahora aplicamos la propiedad asociativa suprimiendo todos los paréntesis:

5 x3  3x 2  x  2  3x3  4 x  6 Finalmente sumamos, para obtener: 2 x 3  3x 2  3x  4

Veamos una resta cuyo resultado es cero al aplicar la propiedad del opuesto (inverso aditivo):


9

2ab  2ab  2ab  (2ab)  0 Producto de polinomios. El producto de dos o más términos se realiza utilizando la propiedad de potenciación de números reales:

a m a n  a m n El coeficiente del producto resulta de multiplicar los coeficientes de los factores. Ejemplos:

3x 2 (2 x3 )  6 x 23  6 x5

,

 y 6 (3 y 4 )(3 y 5 )  9 y15

4 x 2 (3x 7 )( x 4 )  12 x13

,

4k 6 (3k 5 )(k 2 )  12k 13 1

2 x 2 y 3 (3x 4 y )( x 2 y 4 )  6 x8 y 8 , 3

1

3 1  2

n 4 (n 2 )  n 4

5

 n4

2

1 2  3

2 x 3 (4 x 3 )  8 x 3 

1

2

 8 x

1

3 p 2 (2 p 3 )  6 p 6

,

Generalización del producto Es posible aplicar de producto de términos para multiplicar polinomios de cualquier cantidad de términos, usando la generalización de la propiedad distributiva de números reales: (a+b)(x-y)=ax-ay+bx-by. Aquí hemos multiplicado cada uno de los términos del primer factor por los términos del segundo factor.

Ejemplos: ( x 2  x)(2 x 3  1)  2 x 5  x 2  2 x 4  x (2r  r 2 )(3r  4r 4 )  6r 2  8r 5  3r 3  4r 6 1 2

1 3

5 2

5 6

(a  a)(a  a )  a  a  a  a 2

3

4 3

Productos especiales (Productos notables) Existen algunos productos, que por su continuo uso en álgebra y en cálculo, conviene memorizar. Estos productos son: 1. Binomio al cuadrado.

(a  b)2  (a  b)(a  b)  a 2  ab  ab  b2  a 2  2ab  b2 (a  b)2  (a  b)(a  b)  a 2  ab  ab  b2  a 2  2ab  b2


10

(a  b) 2  a 2  2ab  b 2 (a  b) 2  a 2  2ab  b 2

2. Suma por diferencia de dos cantidades.

(a  b)(a  b)  a 2  ab  ab  b2  a 2  b2

(a  b)(a  b)  a 2  b2

3. Binomio al cubo:

(a  b)3  (a  b)(a  b)(a  b)  (a  b) 2 (a  b)  (a 2  2ab  b 2 )(a  b)  a3  a 2b  2a 2b  2ab 2  ab 2  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3 (a  b)3  (a  b)(a  b)(a  b)  (a  b) 2 (a  b)  (a 2  2ab  b 2 )(a  b)  a3  a 2b  2a 2b  2ab2  ab2  b3  a3  3a 2b  3ab 2  b3

(a  b)3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3 (a  b)3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3 4. Binomio de la forma ( x  y)n Al desarrollarlo obtenemos el polinomio:


11 xn  an1 xn1 y  an2 xn2 y 2  an3 x n3 y3  ........  a1 xy n1  y n . Obsérvese que el primer

termino corresponde a x n y el ultimo corresponde a y n , los demás términos están escritos de manera que el exponente de x disminuye en tanto que el exponente de y aumenta. Los coeficientes se pueden obtener a través del triángulo de pascal:

NOTA: El triángulo de Pascal se construye por filas, así: La primera fila se forma con un solo elemento: el 1 La segunda fila con un par de unos colocados a lado y lado del uno inicial La tercera se forma sumando los dos unos de la fila anterior colocando dicha suma entre los dos anteriores y agregando un uno al comienzo de la fila y otro al final Las filas siguientes se obtienen también sumandos los números de la fila anterior con la misma disposición y agregando un uno al comienzo y otro al final Ejemplo: Desarrollar el binomio ( x  3)5 El primer término corresponde a variable x con exponente 5, es decir, x 5 y el último término será 35. Como el grado de este polinomio es 5 debemos usar el cuarto renglón del triángulo de Pascal para los coeficientes. De esta forma obtenemos:

( x  3)5  x5  5 x 4 (3)  10 x3 (32 )  10 x 2 (33 )  5 x(34 )  35  x5  15 x 4  90 x3  270 x 2  405 x  243 5. Binomio ( x  a)( x  b)

( x  a)( x  b)  x2  bx  ax  ab  x 2  (a  b) x  ab

( x  a)( x  b)  x 2  (a  b) x  ab


12 EJERCICIOS 1. Realice los productos de polinomios que aparecen indicados a continuación:

a) ( x  2)( x  3)

b) (2 x  1)( x  4) 1 e) ( x  2)(3x  2) 2

d ) ( x 3  1)( x  5) 3 (2 x  7)(3x  1) 4 j ) (k  r )(3k  4r  v)

g)

c) (n  3m)(m  3n) f ) (2t 3  1)(t  3)

h) (3a  2)(2a  2)

i ) (4 p  r )(3q  3)

k ) (3h  2 j )(h 2  j )

l ) (4  3x)( x 2  1)

2. Realice mentalmente los siguientes productos y escriba el resultado a) (n  m)(n  m) d ) ( x  7)( x  5) g ) (r  t )(r  t )

b) ( x  3) 2 e) ( y  2)( y  1) h) (2 x  2)(2 x  2)

c) ( x  2 y ) 3 f ) (2r  4)(2r  4) i) (5 p  1)(5 p  1)

Factorización de polinomios. En matemáticas básicas es fundamental realizar el proceso de convertir ciertos polinomios en productos. Este procedimiento se llama factorización. Los casos de factorización que se estudian comúnmente son aquellos que conducen a los productos notables tratados con anterioridad. Nota: Un polinomio está completamente factorizado si no contiene factores que se puedan factorizar. A continuación estudiamos los casos de factorización más comunes. 1. Factor común. En este caso existe un factor (factor común) que se repite en cada uno de los términos del polinomio dado. Ejemplo, en el polinomio p3  2 p 2  5 p existe un factor común que es p, para factorizarlo expresamos el polinomio como un producto utilizando la propiedad recolectiva de los números reales, así:

p3  2 p 2  5 p  p( p 2  2 p  5) Otros ejemplos: 4

1

3

1

3

2

3x 5  2 x 5  5x 5  x 5 (3x 5  2  5x 5 )


13

4k 4  12k 3  36k 2  4k 2 (k 2  3k  9) a 2b2  3a 2b  6a 2b3  7a 2b 4  a 2b(b  3  6b 2  7b3 ) Para comprobar que la factorización es correcta basta con multiplicar aplicando la propiedad distributiva Factorización del menos uno Existe un factor común muy importante, este factor es el menos uno (- 1 ) que es muy usado en algunos procedimientos de cálculo. Entonces a este procedimiento lo llamaremos factorización del menos uno Ejemplo: Dada la expresión a – b , podemos en ella factorizar el menos uno, para obtener: a – b = - 1( b – a ) = -( b – a )

x2 1 1 x x 2  1 ( x  1)( x  1)  Si factorizamos el numerador obtenemos: como se puede observar 1 x 1 x no es posible simplificar, pero si factorizamos el menos uno en el factor (x – 1) del numerador tenemos: Otro ejemplo: Simplificar la expresión

(

)

2. Trinomio cuadrado perfecto. Se llama así al trinomio que al factorizarse se convierte en un binomio al cuadrado. Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado). Los dos términos del binomio al cuadrado son los valores correspondientes a los cuadrados perfectos, es decir, si el trinomio es: entonces el binomio es ( )

p 2  2 pq  q 2

( p  q) 2


14

( x  w)2 Veamos otros ejemplos:

n2  2mn  m2 es un trinomio cuadrado perfecto porque tiene dos cuadrados perfectos: n 2 y m 2 el otro término: 2mn es el doble producto de n y m De tal manera que su factorización es: n2  2mn  m2  (n  m)2 Factorizar el trinomio: 4k 2  12ky  9 y 2

4k 2  12ky  9 y 2  (2k )2  2(2k )(3 y)  (3 y) 2  (2k  3 y) 2 3. Diferencia de cuadrados. Es la factorización cuyo resultado es el producto notable suma por diferencia de dos cantidades

a 2  b2  (a  b)(a  b) Ejemplos:

4t 2  1  (2t )2  12  (2t  1)(2t  1)

n2  m2  (n  m)(n  m) 4. Suma y diferencia de cubos.

a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) Ejemplos:

p3  q3  ( p  q)( p 2  pq  q 2 ) c3  d 3  (c  d )(c 2  cd  d 2 )

h2  1  (h  1)(h  1)


15 5. Factirización de una suma o diferencia de potencias Para n impar (

)(

)

(

)(

)

Ejemplos: ( (

)( )(

( (

)( )(

) ) ) )

Para n par Se convierte la expresión en diferencia de cuadrados o atmbién en suma de cubos o diferencia de cubos, según el caso. Ejemplos: ( (

)( )

(

) )

(

(

)( )(

)(

) )

6. Factorización por agrupación. En algunos casos es necesario agrupar dos o más términos para factorizar. Veamos:

a3  a 2  a  1  a 2 (a  1)  (a  1)  (a  1)(a 2  1)  (a  1)(a  1)(a  1)  (a  1)2 (a  1) Ejemplos:

s 4  s3  s  1

Agrupamos el polinomio como dos binomios, así: (s 4  s3 )  (s  1) Ahora factorizamos el primer binomio (factor común): s3 (s  1)  ( s  1) Tenemos de nuevo un factor común y se obtiene: (s  1)( s3  1) Aunque ya existe una factorización, aún no es completa, observemos que el segundo binomio es factorizable (diferencia de cubos):


16

(s  1)(s  1)(s 2  s  1) por lo tanto, finalmente el resultado es: s 4  s3  s  1  s 3 ( s  1)  ( s  1)  ( s  1)( s 3  1)  ( s  1)( s  1)( s 2  s  1)  ( s  1) 2 ( s 2  s  1) 6. Trinomio de la forma x2  mx  n Esta factorización conduce al producto notable de la forma ( x  a)( x  b) donde m  a  b y n  ab .Es decir, que para factorizar este trinomio debemos encontrar dos números cuyo producto sea n y su suma m. Ejemplos:

x 2  6 x  8  ( x  4)( x  2)

,

x 2  2 x  48  ( x  8)( x  6)

r 2  13r  30  (r  10)(r  3) 7. Caso particular: Trinomio de la forma kx2  mx  n

(k  1)

En este caso el coeficiente de x no es uno por lo cual se trata de un caso particular del trinomio x 2  mx  n El procedimiento para esta factorización consiste en multiplicar y dividir por k de tal manera que el coeficiente k se integre a la variable x y así se convierta en el trinomio x 2  mx  n del cual ya conocemos sus factorización. Ejemplo: (10k ) 2  31(10k )  140 (10k  35)(10k  4)   10 10 5(2k  7)(10k  4) 5(2k  7)2(5k  2)   (2k  7)(5k  2) 10 10

10k 2  31k  14 

8. Factorización completando el trinomio cuadrado perfecto (por adición y sustracción). Algunos polinomios permiten ser factorizados sumando y restando un mismo término, de manera que se completa un trinomio cuadrado perfecto, luego la expresión se convierte en una diferencia de cuadrados, la cual es fácil de factorizar. Ejemplo:

t 4  t 2  1 para completar un trinomio cuadrado perfecto debemos sumar y restar t 2 , así:

t 4  t 2  t 2  t 2  1 Sumando y conmutando, tenemos: t 4  2t 2  1  t 2


17

Ahora factorizamos (trinomio cuadrado perfecto): t 4  2t 2  1  t 2  (t 2  1)2  t 2 Finalmente, factorizamos la diferencia de cuadrados: (t 2  1  t )(t 2  1  t ) Conclusión:

t 4  t 2  1  (t 2  1  t )(t 2  1  t ) Otro ejemplo: La ecuación de una circunferencia con centro en (h , k) y radio r es: (

)

(

)

Dada la ecuación: complete un trinomio cuadrado perfecto para x y otro para y luego obtenga los binomios al cuadrado que representen la ecuación de la circunferencia de manera que se evidencie el centro y el radio Solución:

( ) (

)

(

)

Centro de la circunferencia: (

radio: √

)

EJERCICIOS Factorice los Polinomios:

a) x 2  3x  2

b) k 2  t 2

c) a 2  a  42

d ) ax  by  ay  bx

e) n 4  n 2  1

f ) m 4  m3  m  1

g) p2  2 p 1

h) 10t 2  31t  14

i) x 2  y 2

j ) 4c 2  25d 2

k ) a 2  12a  27

m) x 2 y 2  4v 2 w 2

n) 3a 2 b  6ab 3  12a 3b 2

p) x 2  2 x  8

q) n 2  8n  33

l ) a 2  6a  27 1 1 o) x 2  y 2 9 4 2 r) 4x  4x 1


18

Halle el centro y el radio de la circunferencia:

EXPRESIONES NO POLINÓMICAS Las expresiones no polinómicas son de la forma: ;

;

Las operaciones con estas expresiones se realizan de la misma forma como se hizo con los polinomios. Las propiedades de potenciación también se conservan.


19 EJERCICIOS Realice las operaciones: 1

1

1

1

1

3

a) x 3  2 x 2  4 x 2  6 x 3  5 x 3 2

2

1

1

1

1

e) 3 x ( x 2  x 3 )

1

1

h) 2a 2 (a  3a 2  1)

1

1 j ) 6 m 3  2 m  2  4 m 3  m  2 2 3 3 4 4 l) x2 (x 4  x  ) 4 3 5

i ) 2k 5 (k 10  k ) 1 3

1

f ) (r 2  s 2 )(r 2  s 2 )

g ) (n 2  n 1 )(n 1  n 2 ) 4

1

d ) 3 x  2  4 x 3  6 x  2  4 x  2  x

c) ( x 3  x)  ( x 2  3x 3  x 2 ) 1

1

b) (2 x 4  1)(3x 4  x 2  1)

1 2

1 2

k ) a  b  b  b  3a  4b  2a  a 3

3

1 3

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CON POTENCIAS FRACCIONARIAS Ejemplos: 3 4

1 4

5 4

1. Factorice la expresión 3a  6a  12a  9a

7 4

Observamos que hay un factor común

1 4

que es 3a de manera que la solución es: 1

2

4

6

1

1

3

3a 4 (a 4  2  4a 4  3a 4 )  3a 4 (a 2  2  4a  3a 2 ) 1

2

3

4

1

2. Factorice la expresión 4 x 5  3x 5  2 x 5  3x 5  2 x aquí el factor común es x 5 así que la factorización nos queda así: 1

1

2

3

4

x 5 (4  3x 5  2 x 5  3x 5  2 x 5 )

EJERCICIOS 1. Halle un factor común y escriba la expresión en forma de productos (factor izada) 2

1

8

5

1

a) x 3  x 3  3x 3  4 x 3 5

1

11

7

b) 3h 2  5h 2  3h 2 1

d ) 2 x 6  2 x 3  5x 6  4 x 6

1

3

e) 4 x 5  5 x 5

7

5

c)  3 p 4  2 p 4 2

1

f ) 7 x 9  3x 9


20 ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal en una variable real es una expresión de la forma ax  b  c PROPIEDADES 1. Si en una ecuación sumamos en ambos miembros el mismo número real entonces la ecuación resultante es equivalente a la anterior. Ejemplo: Dada la ecuación 3x  6  4 sumemos en ambos miembros el número 6 3x  6  6  4  6 para obtener: 3x  10 2. Si en una ecuación multiplicamos en ambos miembros el mismo número real distinto de cero, entonces la ecuación resultante es equivalente a la anterior. Ejemplo: 5 x  7 Multiplicando por 1 1 ( )(5 x)  ( )(7) 5 5

1 tenemos: 5

Simplificando:

x

7 5

En el siguiente ejemplo usamos las dos propiedades para resolver la ecuación: Resolver:

7 x  4  5 7 x  4  4  5  4 7 x  0  9 7 x  9 Multiplicando en ambos miembros por -1: (-1)(-7x)=(-9)(-1) 7x  9 1 1 ( )(7 x)  ( )(9) 7 7 9 x 7

OTROS EJEMPLOS 1. Resuelva la ecuación:


21 3x  1 2 x  3  Multiplicamos por 4 y por 6: 4 6 3x  1 2x  3 4( )  4( ) 4 6 2x  3 3 x  1  4( ) 6 2x  3 6(3 x  1)  6(4)( ) 6 6(3 x  1)  4(2 x  3) 18 x  6  8 x  12 10 x  12  6 10 x  18 18 9 x  10 5

2. Resuelva la ecuación: x4 1  Multiplicamos por x  2 y por 4 x2 4 x4 1 ( x  2)( )  ( x  2)( ) x2 4 x2 x4 4 x2 4( x  4)  4( ) 4 4( x  4)  x  2 4 x  16  x  2 3 x  16  2 3 x  18 18 x 6 3

3. Resuelva la ecuación

3x 6  1 x-2 x2

Obsérvese que la ecuación no esta definida para x = 2 Realizando la suma del miembro derecho tenemos:


22 3x  x-2 3x  x-2

x-26 x2 x4 Multiplicando en ambos miembros por x – 2 obtenemos 3x  x  4 x2

entonces 2 x  4 de manera que x = 2 lo cual no es posible ya que, como se dijo arriba la ecuación no esta definida para x = 2. Entonces la ecuación no tiene solución. ECUACIONES CON EXPONENTES FRACCIONARIOS 1 3

1. Resuelva la ecuación 2 x  x  0 , para resolver esta ecuación es necesario factorizar (factor común) así: 1 3

2 3

x (2  x )  0 ahora igualamos a cero cada uno de los factores: 1

2

x3  0

,

2  x 3  0 Entonces de la primera ecuación tenemos: x = 0 2

Resolviendo la otra ecuación obtenemos x 3  2 elevando a la

3 en ambos miembros 2

tenemos: 3

3 3  23  2 2 2  x   2 por lo tanto x  2  

Solución: x = 0 , x  2

3 2

3

1

Escribiendo de otra forma tenemos: 2 2  2(2 2 )  2 2 entonces la ecuación tiene dos soluciones: x=0 y x2 2 3

1

2. Resuelva la ecuación 4 x 4  x 2  0 En primer lugar amplificamos un exponente para que los denominadores coincidan, así: 3

2

4x 4  x 4  0


23 2 4

1 4

1 2

1 4

Encontrando un factor común tenemos: x (4 x  1)  0 es decir, x (4 x  1)  0 1 2

Ahora igualamos a cero cada factor: x  0

x=0

1 4

1 4

,

1 4

4 x  1  0 por lo tanto: 4

1 además, 4 x  1  x  4

4  1 1  x 4     4  

Entonces las soluciones de la ecuación son:

x=0

y x

x

1 1  4 256 4

1 256

Resuelva las ecuaciones: a) 3x  3  2 1 d ) 3c  c  6 2 4a  3 1 g)  a 3 2 3  5x 4  x j)  5 7 13  2 x 3 m)  4x 1 4

b)  2 x  23  3x  12 3 1 e) x  4   x  5 4 2 3r  4 2r  4 1 h)   3 2 2

c) 4a  8  3a  9 5 1 f )  3t   t  4 6 3 1 1 i) m  3  4 2 9x 3 l)  2 3x  1 3x  1 2x  9 x 0)  2 4 12

k ) 4(2 y  5)  3(5 y  2) n)

3 9  7 x  2 3x  1

Resuelva las ecuaciones: a) 3x  2  4

b)  4 x  3  5

c) 6a  1  2a  3

d)

1 x  12  0 2

4 1 2 p  2  6 g) 7z   h)  5m  8  7 3 3 3 1 1 2 3 i) y   4 j) a  5  k )  12  h  l )  6r  6  8 3 2 5 4 3 x  3 5x  1 m) 2 x  3  4  3 x n) x  5  0 o)   1 x 2 5 3 2x 1 4  x 3x 1 x  2 3x  2 2  x 1 2x p)  2 q)   r)   3 3 6 4 2 6 3 5 2 x 1 x  7 4x  7 s)  3x    11 4 6 9 e)  2n  4  13

f)


24 ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática es de la forma: ax 2  bx  c  0 La solución de una ecuación cuadrática se obtiene de dos maneras: 1. Por factorización. 2. Por fórmula cuadrática: x 

-b  b 2  4ac 2a

Ejemplos POR FACTORIZACIÓN a) Hallar las soluciones de la ecuación x 2 -3x  2  0 por factorización Factorizando: ( x-1)( x- 2)  0 de manera que x -1  0 ó Entonces: x  1 y

x2 0

x  2 son las soluciones de la ecuación.

b) Hallar las soluciones de la ecuación x 2  6 x  0 por factorización Factorizando: x( x  6)  0 de manera que x  0 ó Entonces: x  0 y

x  6

x  6 son las soluciones de la ecuación.

c) Hallar las soluciones de la ecuación x 2 - 4  0 por factorización Factorizando: ( x  2)( x-2)  0 de manera que x  2  0 ó Entonces: x  2 y

x2 0

x  2 son las soluciones de la ecuación.

d) Hallar las soluciones de la ecuación x 2  1  0 por factorización La ecuación no es factorizable, si intentamos despejando x tenemos:

x 2  -1 lo cual NO es posible, de manera que la ecuación no tiene solución. POR FÓRMULA CUADRÁTICA a) Hallar las soluciones de la ecuación x 2  3x  4  0 por fórmula cuadrática.

a  1, b  3,

c  4


25 35  x1  1  -3  3  4(1)(4) -3  9  16  3  25  3  5  2 x     2(1) 2 2 2  x   3  5  4 2  2  2

Entonces las soluciones son: x = 1

y x=-4

b) Hallar las soluciones de la ecuación x 2 - 3x  5  0 por fórmula cuadrática.

a  1, b  3, c  5   3  29 x  3  (3)  4(1)(5) -3  9  20  3  29  1 2 x    2(1) 2 2  x   3  29  2 2 2

Entonces las soluciones son: x =

 3  29 2

y x=

 3  29 2

c) Hallar las soluciones de la ecuación x 2  4 x  5  0 por fórmula cuadrática.

a  1, b  4, c  5 x

-4  4 2  4(1)(5) -3  16  20  3   4   2(1) 2 2

En este caso

 4 no existe en los reales, por lo tanto la ecuación no tiene solución.

NOTA: En general, si b2 – 4ac < 0 la ecuación no tien solución. si b2 – 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones. si b2 – 4ac = 0 la ecuación tiene única solución. EJERCICIOS

Resuelva las ecuaciones: )

)

)

)


26 )

)

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)

)

)

)

)

)

) ( (

)

)

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema simultáneo de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un arreglo de la forma:

ax  by  c  a1 x  b1 y  c1 En el que se deben hallar los valores de las variables x , y de manera simultanea, entonces resolver el sistema consiste en encontrar números reales x , y que satisfagan simultáneamente las dos ecuaciones Existen tres métodos para resolver estos sistemas: 1. Por eliminación. 2. Por sustitución. 3. Por igualación. A continuación explicaremos estos tres métodos a través de un ejemplo. Ejemplo: Resolver el sistema:

2 x  y  6  3x  y  1 METODO DE ELIMINACIÓN Resolveremos inicialmente por eliminación, que consiste eliminar una de las variables mediante una suma mimbro a miembro, puede ser necesario multiplicar una (o ambas) de las ecuaciones por algún número real distinto de cero, veamos:

2 x  y  6 En este caso es conveniente eliminar la variable y, así:  3x  y  1


27 2 x  y  6 sumando miembro a miembro se elimina y  3x  y  1 obteniendo: 5 x  5  x  1 Ahora basta con sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones:

2(1)  y  6  2  y  6  y  4 x  1 Por lo tanto la solución es:   y  4 METODO DE SUSTITUCION Resolvamos ahora el sistema por sustitución, que consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego sustituir esta expresión en la otra para hallar el correspondiente valor, luego se reemplaza el valor hallado en una de las ecuaciones para encontrar el valor faltante, veamos: 2 x  y  6 Despejemos y en la primera ecuacion:  3x  y  1 y  2 x  6 sustituyamos esta expresion en la otra ecuacion: 3 x  (2 x  6)  1 3 x  2 x  6  1 5 x  6  1 5x  5 x 1

Luego se reemplaza este valor para hallar el valor de y, así se obtiene el mismo resultado. METODO DE IGUALACIÓN Finalmente, vamos a emplear el método de igualación para resolver el sistema dado, este método consiste en despejar en ambas ecuaciones la misma variable y luego igualar las dos expresiones obtenidas, veamos:

2 x  y  6 Despejemos y en ambas ecuaciones, asi: y  2 x  6 , y  3x  1  3x  y  1 Ahora igualamos: 2 x  6  3x  1  2 x  3x  6  1  5 x  5 Por lo tanto x  1 De aquí se obtiene el valor de y se llega a la misma solución.


28 EJERCICIOS Resuelva los sistemas de ecuaciones:

25 x  16 y  91  16 x  16 y  64

3x  2 y  13  3x  4 y  19

7 a  5b  11  3a  b  11

2 x  y  6  4 x  6 y  8

5 x  2 y  11  3x  7 y  18

x  y  3  2 x  y  15

3x  3 y  8  x  y  4

 x  2 y  16   x  y  10  x  2 y  5   x  3 y  20

3 x  5 y  43  y  x  7

 x  2 y  5  2 x  3 y  18 x  y  8  4 x  3 y  10

 y  4x   x  2 y  54

6 x  3 y  3   x  4 y  24

x  5  y  2 x  3 y  50

3 x  2 y  4  2 x  3 y  7

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Un estudiante de álgebra obtuvo calificaciones parciales de 75, 82, 71 y 84. ¿Qué calificación debe obtener para que su promedio se a 80? 2. Un gavilán se cruza en vuelo con lo que parece un centenar de palomas. Pero una de ellas lo saca de su error: - No somos cien -le dice-. Si sumamos las que somos, más tantas como las que somos, más la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las que somos, en es caso, contigo, gavilán, seríamos cien. ¿Cuántas palomas había en la bandada? 3. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? 4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo? 5. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. 6. En la primera prueba de un concurso queda eliminado el 70% de los participantes. En la segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron las dos pruebas fue 36 ¿cuántas personas se presentaron al concurso? 7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igual al cuádruplo del menor. 8. Un estudiante de álgebra tiene las siguientes notas parciales: 75, 82, 71 y 84. Qué calificación debe obtener en la quinta nota para que su promedio sea 80?


29 FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es una expresión de la forma:

3x  1 x2 1

2x  1 x 2 x 3

1 ,

,

2a a 1 3  4a

,

rs r 2 1

,

4n  4 2n n 1

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para simplificar una fracción algebraica simple se requiere que el numerador y el denominador se encuentren factorizados y luego se simplifica la expresión usando la propiedad: Ejemplos.

x2 1 1. Simplificar la fracción: 2 x  4x  3

x3  1 2. Simplificar la fracción: 2 x  5x  4

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Suma de fracciones algebraicas. Dadas dos o más fracciones algebraicas, si tienen el mismo denominador la suma de ellas se obtiene sumando los numeradores y luego simplificando. Ejemplo. Sumar Solución


30 (

)

Si las fracciones tienen distinto denominador, es necesario factorizar los denominadores y hallar el mínimo común múltiplo de ellos, esta expresión será el denominador común luego se divide el denominador común entre un denominador y el resultado se multiplica por el correspondiente numerador, enseguida se realizan las operaciones que quedaron indicadas en el numerador, se factoriza y finalmente, se simplifica si es posible. Ejemplo. Sumar ( (

)(

(

)

)

)(

(

)

)(

)

(

)(

)

PRODUCTO DE FRACCIONES ALGEBRAICAS El producto de dos o más fracciones algebraicas se realiza factorizando los numeradores y denominadores y luego se simplifican los factores comunes. Ejemplo. (

)(

(

)

)(

(

)

(

)(

)(

)

(

)

)(

)

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La división de dos o más fracciones algebraicas se realiza factorizando los numeradores y denominadores y luego se invierte el divisor y se realiza un producto. Ejemplo. (

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)(

)


31 EJERCICICOS 1. Simplifique las expresiones:

)

)

)

)

)

)

2. Simplifique las fracciones algebraicas dejando exponentes positivos:

a)

3nm 4 xy 2 b) m xy

c)

a 2bc3 ac

g)

34 35

i)

3  45  25 43  32  26

h)

54 53

20rs 2 5rs 2

d)

j)

e)

10 x 4 y 4 2 x3 y 4

76 73 142

k)

f)

23x5 z 3 2x2 z 4

2  44  53 23  43  56

3. Realice las sumas y simplifique el resultado:

x 1 a b 1 2x   b) 2  c) 2 x x b a x x3 1 1 2 3x  4 3   2  2 g) 2 x 1 x x x3 x

a) f) )

)

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4. Realice los productos: a) ( c) e)

2x 1 x3 )( 2 ) x 2x  x x 1 x2  2 x  1 . x  1 x2 1 2x x6 ( 2 )( ) x  x  42 10 x 2

b) d) f)

)

)

)

)

3a b 3 1   e) a b a 4t t 3 x2  4 2 4  h) i) x 1 x 2x

d)

45  30 x 2 bx  b . ax  a 15 x  15 x y 16 ( )( 2 ) 4 x  y2 3x  1 x  2 ( )( ) 2 x  4 3x 2  x

)


32 )

(

)

)(

)( )

)(

)(

)(

)( )

)(

)(

)(

)(

)

)

(

)(

)( )

)(

)(

)

) (

)( )

)(

)(

)

)(

)(

)(

)(

)

)

)(

)

)(

)

) ( )(

) )(

)(

)

)

)

)(

)(

)

)(

)(

)

5. Realice las divisiones y simplifique el resultado:

a a  a) a  b ( a  b) 2 2t  t t2 3h 3

e)

2

1 3  b) x5 x5 3w  2 f) 5 x 12 x

)

3a 2  b b3 c) 3 9a  3ab b g)

d)

2z  3 6z2  3z 5

) )

)

)

)

) ) )

)

h)

1 4r  1 r

) ) ) )

) )

) )

3k x3 6k 3 x2  9

) )


33 6. Realice las operaciones indicadas a continuación:

1 2  x x2 x

c)

e)

g)

x2  3x 3 x 2 4

(

f)

d)

5 3 x 2 4

1  1  x 1  x   1  x  1   1  x  1  x    1  x  1 1  x   

12 t  3)  (4  ) x5 x5

4

h) 3

4x 3 i) 2 2 x 1 4 3_

2 1

a 2


Taller 1 Expresiones Algebraicas