Page 1

TARTALOMJEGYZÉK

1. Halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Halmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Üres halmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Részhalmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Komplementerhalmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Mûveletek halmazokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 A szorzathalmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Asszociativitás (csoportosíthatóság) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Kommutativitás (felcserélhetõség) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Disztributivitás (széttagolhatóság) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Zártság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Belsõ mûveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Számhalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Természetes számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Egész számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Racionális számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Valós számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Végtelen halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Számhalmazok számossága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2. Relációk, függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kételemû (binér) reláció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Binér relációk tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ekvivalenciarelációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Rendezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Leképezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kitérõ: leképezések az adatfeldolgozásban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 A függvény mint leképezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Függvények ábrázolása, megadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Leképezések összetétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Inverz függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Speciális függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3. A matematikai logika alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Állítások, logikai értékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


4

MATEMATIKA

Mûveletek állításokkal, logikai értékekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . További logikai mûveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A logikai függvény fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normálformák, teljes függvényrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A következtetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logikai áramkörök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logikai programozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kitekintés: nem kétértékû logikák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 71 75 76 79 85 86 89 92

4. A lineáris algebra alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Lineáris egyenletrendszerek 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Az elsõfokú kétismeretlenes egyenletrendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A másodrendû determináns tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Az elsõfokú háromismeretlenes egyenletrendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Determinánsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A determináns tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Mûveletek mátrixokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Lineáris egyenletrendszerek 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Mátrixok táblázatkezelõ programban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5. A kombinatorika alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Elvek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Összeszámlálási feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Sorrendek (permutációk) összeszámlálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Kiválasztások (kombinációk) száma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Kiválasztások és sorrendek (variációk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Binomiális tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Pascal-háromszög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Kombinatorikus algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6. A gráfelmélet alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Pontok és élek: gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Néhány további fogalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Gráfok és mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Utak, körök, párok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Kalandozás az éleken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Kalandozás a pontokon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Párosítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Fák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 A bináris fák alkalmazásairól . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177


TARTALOMJEGYZÉK

5

7. A statisztika alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A problémakörrõl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A tárgyról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Sokaságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Gyakoriság, eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Közepek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Szóródás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Statisztika számítógéppel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Táblázatkezelõ programok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Programozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8. Valószínûségszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Események . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Események formális leírása, mûveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 A valószínûség fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 A valószínûség tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Mintapéldák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Valószínûségi változók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Valószínûségi változók jellemzõi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Nevezetes eloszlások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Egyenletes eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Binomiális eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Geometriai eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Hipergeometriai eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Poisson-eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Normális eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Eloszlások számítógépen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Becslés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Hipotézisvizsgálatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Korreláció és regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Állapotmódszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Függelék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Statisztikai táblázatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Feladatok megoldásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 1. fejezet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 2. fejezet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 3. fejezet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 4. fejezet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 5. fejezet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 6. fejezet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 7. fejezet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 8. fejezet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Ajánlott irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275


Matematika nem matek szakosoknak  

tartalomjegyzék.

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you