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Ana Sanjuรกn Paula Cisneros Alejandra Sanz

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Este trabajo es del número áureo. Con él vamos a investigar y aprender cosas como:

-Qué es, cómo se construye el rectángulo áureo y la relación que tiene con la sucesión de Fibonacci. Tanto como propiedades y curiosidades del número, etc. -Diseñar un archivo con Geogebra en el que se construya una espiral a partir de la sucesión de Fibonacci. -Calcular la longitud de dicha espiral y calcular su cociente. -Relacionar el número pi y el del oro. -Analizar los resultados y valorarlos. -Sacar conclusiones del trabajo.

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HERRAMIENTAS Y MATERIALES: -Internet: www.wikipedia.org www.elrincondelvago.com www.yahoo.com Videos de www.youtube.com

-El libro de matemรกticas. -Calculadora. -Geogebra

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-Qué es, cómo se construye el rectángulo áureo y la relación que tiene con la sucesión de Fibonacci. Tanto como propiedades y curiosidades del número, etc.

El Rectángulo áureo, también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Para construirlo a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices C del lado opuesto.

La relación que existe entre este rectángulo y la sucesión de Fibonacci es: Que para construir el siguiente rectángulo empezamos con un cuadrado le añadimos otro a su lado con la misma longitud de lado, esto nos da lugar a un rectángulo, que a su vez cogemos el lado mas largo y hacemos otro cuadrado, esto nos da un rectángulo mayor, que es el rectángulo áureo, su relación esta en que el primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores, este rectángulo son: 0+1=1;1+1=2;1+2=3. Que son las 3 primeras sumas de la sucesión.

Propiedades algebraicas •

Φ es el único número real positivo tal que:

La expresión anterior es fácil de comprobar:

Φ posee además las siguientes propiedades:

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Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera sucesión recurrente de potencias.

Longitud de la espiral

Como esta espiral esta hecha a partir de cuadrados, y trazando una cuarto de circunferencia debemos sacar la longitud primero de los arcos y después sumarlos, de la siguiente manera: (2 x 3,14 x 8): 4 = 12,56 cm (2 x 3,14 x 5): 4 = 7,85 cm (2 x 3,14 x 3): 4 = 4,71 cm (2 x 3,14 x 2): 4 = 3,14 cm (2 x 3,14 x 1): 4 = 1,57 cm (2 x 3,14 x 1): 4 = 1,57 cm Suma de todos los arcos: 1,57 x 2 + 3,14 + 4,71 + 7,85 + 12,56 = 31,4 cm Longitud de la espiral = 31,4 cm

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Cociente de esta longitud… 31,4 x (8 + 5) = 408,2 cm

Relación entre el número pi y el de oro. La división del número pi entre 2 da 1,57 lo que se aproxima bastante al número áureo, que es 1,618... Otra de las relaciones es que los dos son números infinitos e irracionales. Estos 2 números aparecen en la naturaleza y dan proporcionalidad a muchas cosas.

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Conclusiones del trabajo. Nuestras conclusiones obtenidas son, que el número de oro es un número importante en todo lo que nos rodea, ya que tanto en la naturaleza es utilizado para, por Ej.: las plantas y sus hojas, los conejos y las camadas, etc. Es un número con una proporción muy precisa, y hemos aprendido muchas cosas, investigando sobre él.

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Número áureo  

Sobre el numero áureo