Issuu on Google+


GH. ENESCU

teoria sistemelor logice METALOGICA

---

------

. _,U \

91111'4! IrlCA

BUCUREŞTI,

1976

---------

ŞI ENCICLOPEDiCĂ


Prefaţă

Lucrarea de faţă are la bază cursul de teoria sistemelor logice pe care îl predau la Universitatea din Bucureşti începînd cu anul universitar 1963-1964. Ea cuprinde treapta a doua a l ogi cii moderne (metalogica) - adică acel fond de i dei şi metode care constituie esenţialul în revoluţi a care s-a pro dus începînd cu prima jumătate a s ec o lului XIX în l ogi că şi fundamentele matematicii. Studiul ei presupune că cititorul a parcurs deja# fie şi în m od sumar# un curs de logi c ă matematică# dar există şi părţi care pot fi citite o a recum se p ar at . Marx# Engels şi Lenin au acordat o mare atenţie proble mati ci i logici i, filosofi a l ogi cii fiind o parte constitutivă es enţi al ă a marxismului. Mai mult, Marx a fost primul gînditor care a fol o sit silogismul ca model în studiul unor relaţi i eco nomice el ementare . Ev oluţi a sp ectaculară a logicii oferă azi posibilităţi mult mai l argi de utili z a re a p roc esel or şi stru cturi lor logice pentru studierea fenomene­ lor soci ale . Sistemele sociale şi contradicţiile lor pot fi studiate utilizînd ca modele sistemele logice şi antinomiile lor. în acest fel noţiunea de aplicaţie a logicii capătă un conţinut mai profund decît cel obişnuit p înă nu de mult . Şi în acest sens lucrare a noas tr ă depăşeş te interes ul un or c e rc uri îng u s t e . Cartea se adresează în primul rînd s tudenţilo r. dar ea va fi de fol o s şi cercetătorilor care se ocupă de fundamentarea logică a ştiinţelor# fi los ofil or c ar e studi a ză e v ol uţia cunoaş­ terii şti inţifi c e, precum şi tutur o r celor care abordează pro bl emel e de semiotică, indiferent de do meniu - încep în d cu cele teoretic-abstracte şi terminînd cu cele p r a ctic­ politice . AUTORUL ­

Teoria sistemelor logice

5


Teorie şi metateorie

1.

NOŢIUNEA DE TEORIE

o ştiinţă modernă se descompune, de regulă, într-un an­ samblu de teorii. Exemplare sînt în acest sens matematica, logica, fizica . O teorie este o clasă de propoziţii (judecăţi) organizată după anu'J1'lite criterii lo gic e gnoseologice şi uneori chiar pragma­ tice. Dispunerea teoriilor poate să fie de la abstract la con­ cret sau de la teorie la metateorie. O teorie mai concretă apare din una mai abstractă prin introducerea unor con­ cepte şi propoziţii noi cu caracter restrictiv. O metateorie apare p r in studiul teoriei date. în una şi aceeaşi ştiinţă putem găsi ambele feluri de ordi ni. Aceasta face ca ştiinţa să capete un grad de complexitate greu de redat într-o definiţie. Prima supozi ţie pe care o facem în legătură cu o teorie este că ea se referă la un sistem de obiecte. Ce este acest sistem de obiecte ne vom rezuma a o spune într-un mod foarte general (în modul în care procedează matemati­ cienii) căci, cel pu ţ in deocamdată, nu ne interesează na­ tu ra specială a sistemului Această noţiune va fi totuşi suficient de largă. Un sistem este dat atunci cînd dispunem de: 1) o mulţime A de entităţi (nespecificate în particular) 2) o mulţime finită de entităţi specificate, 3) o mulţime de operaţii, 4) o mulţinle de însuşiri sau de relaţii Uneori se produce o unificare a unor astfel de mulţimi, lucru despre care vom vorbi mai tîrziu. De exemplu, însuşirile şi relaţiile pot fi unite sub denumirea de udeterminări". Ca exemplu de sistem de obiecte putem c onsidera sis­ temul matematic format din a) numere naturale, b) nu­ mărul O, c) operaţiile succesor, adunare, înmulţire, d) re­ laţiile <, -. Pe scurt S {N, {O}, {', + , X }, { =, < } }. ,

·

,

.

I

.

=

Teoria sistemelor l ogice

7


Fie T o teorie si 5 un sistem de obiecte. Vom studia două relaţii <T, S): �) orice T porneşte de la un S (altf el spus, există un S de la care teoria T porneşte şi care o precede în timp), b) orice T este despre un S (existent sau presupus). Putem numi prinla relaţie "genetică" , pe a doua .,cogniti­ vă". D acă Sk este sistemul în prima relaţie şi 51 sistemul în a doua relaţie atunci se impune să observăm că St nu este în mod necesar identic cu Sk deşi ele se pot intersecta şi în genere trebuie să existe cel puţin raporturi de continui­ tate între ele. O teorie socială despre s o c i et atea socialistă porneşte de Ia un sistelU actual, dar e a este despre un sistenl viitor. (Cazul în care T studiază sistetne în devenire este unul sp ecial în acest sens) . Pe de altă p arte p rio ritat e a sist emului nu înseamnă independenţă absolută faţă de T. Teoria despre o soc ietate viitoare porneşte de la sistemul actual, dar ea însăşi devine o condiţie d e ev ol uţie a acestuia spre si st emul pe care-l descrie cu anticipaţie. A doua relaţie, < T este despre 5 >, este mult mai intere­ santă pentru noi şi o vom aborda din punct de vedere for­ ,

mal.

Această relaţie "despre" este-în sens strict ireflexivă, adi c ă nu are loc pentru nici o teorie că : T este despre T. în terminologia mai specială aceasta înseamnă că teoria nu este autologică. Relaţia este apoi asimetrică, cu alte cuvinte reciproca : S este despre T este totdeauna falsă. în fine, relaţia este intranzitivă, căci l)resupunînd că ar exista un S' # 5 astfel că T este despre S şi 5 este despre 5' expresia "T este despre 5/' este totdeauna falsă. Orice teorie T este dată într-un limbaj L. Conţinutul (informaţionaI, cognitiv) al teoriei nu depinde îns ă de un limbaj anume. Orice teorie poate să fie exp ri mată în n limbaje. Acestea pot fi porţiuni din limbaje naturale sau limbaje artificiale. Evident, noi vonl înţelege printr-o teorie T dată, fixată, teoria împreună cu limbajul în care a fost fixată. Cu aIte cuvinte, nu putem "exemplifica" teoria fără a o da într-un limbaj anume.

Teoria sistemelor logice

8


2. TEORIE

ŞI METATEORIE

Afirmînd că teoria este despre un sistem de obiecte noi n-am propus nimic cu privire la natura entităţilor siste­ mului . Teoria însăşi poate fi un astfel de sistem de obiecte (entităţi), în acest c az ansamblul judecăţilor despre teorie va purta numele de metateorie (MT). Avem relaţi a MT este despre T. MT poate să fie o rganizat ă logic într-un grad care ne de­ termină s-o considerăm te orie. Acum înţelegem cele spuse mai sus despre ştiinţă şi anume faptu l că ea poate fi format ă din teorii de acelaşi ordin : TI' T2' Tn şi teorii de ordine diferite: T\ T2, ... ym O teorie Ta este de un ordin superior unei teori i Tb dacă •

Ta

este despre Tb

în acest fet Tk ar putea fi identică cu MTI sau cu MT2 sau chiar cu M(TI U T2 U ... U Tn), adică este meta­ teoria despre ansamblul teoriilor de acelaşi ordin reunite . Am decl arat luai Sus că relaţia T despre S este ireflexivă. Dacă S este, să zicem, un sistem de obiecte fizice (nu enti­ tăţi mentale) a c eastă idee este clară. Dacă Însă avem relaţia mai specială MT despre T atunci se poate întîmpl a ca c el puţin une le pro p oz iţii din MT să fie despre MT, prin urmare în genere, unele propo­ ziţii din T să fie despre T. Ac est a este cazul logicii, al filozofiei, al matematicii în parte şi chiar al altor discipline . "Orice propoziţie sau este adevărată sau nu este adevăra­ tă" este, evident, pro poz iţie care se referă şi la sine (este deci reflexivă, autologică). Cu toate acestea c azul în care o teorie să se aibă, în sens strict, pe sine ca sis tem de obiecte este exclus. P ropriet atea de ireflexivitate (neautologie) rămîne valabilă pentru teoria luată ca întreg . Observaţiile de mai sus dovedesc din nou că relaţia T des pre S" nu presupune în toate cazur il e că 5 este independent total de T. (Prioritatea cronologică nu este şi una logică strict). Considerînd acum relaţia generalizată "T despre 5" pu­ tem spune că ea nu este tranzitivă: Dacă TI este despre T2 şi T2 este despre Ta nu decurge că TI este despre T3• Pentru a delimita caz ul sp e ci al al relaţiei de cel general vom remarca în plus că: n

Teorie şi metateorie

9


- dacă teoria are ca obiect un sistem ne-teoretic ea va f i de nivelul cel mai scăzut posibil, în acest caz o VOlTI llUlTIi infrateorie (IT), orice T are în mod potenţial o MT, - nu orice T este o MT (exemplu IT nu este astfel), - relaţiile dintre MT şi T sînt în general mult mai strînse decît relaţiile între IT şi S, - neavînd p roprietat ea de tranzitivitate relaţia "despre" nu este o relaţie de ordine, ea este totuşi o relaţie de ierar­ hie (asemăn ătoa r e cu relaţia "x succede imediat lui y"). După cum or i c ăre i teorii T îi corespunde (cel p uţi n) un limbaj LI toti astfel metateoriei îi corespund e lnetalim­ bajul ML. I era rhi a limbajelor urmează ierarhia teo riil or Noţiunea de "teori e aşa cum am delimitat-o mai sus este destul de greu de detaşat de metateorie, în pr a cti c ă ceea ce numim" teorie este cel mai adesea un "complex teore­ tico-metateoretic", adic ă expunerea unei teorii presupune, de regul ă un minimum de consideraţii metateoretice. Studiul metateoretic se efectuează cu mij loac e de scrip tive formal-logice, matelnatice, lingvistic e filozofice şi el vi­ zează următoarele aspecte: a) conţinutul teoriei (obiectul, conceptele fundal11entale), b) forma (logică) a teoriei, c) l imbajul teoriei (studiul semiotic), d) metodele pe care le i mplică teoria, e) fundamentele fi lo zofi ce ale teoriei. Acest capitol constituie o introducere intuitivă în meta­ teorie. Unele laturi ale teoriei se pretează la un studiu exact, cu mijloace matematice, altele sînt mai puţin abor­ dabile în acest sens. Studiul semiotic al teoriei este fără îndoială, cel p uţi n în momentul de faţă, cel mai apt de a fi efectuat cu mijloace exacte. Este util să trecem în revistă unele demersuri co g niti ve în ra­ port cu rolul pe care limbajul îl joacă în evoluţia cunoaşterii. '

.

"

"

,

,

,

3.

DEMERSURI COGNITIVE iN RAPORT

CU LIMBAJUL

Urmărind istoria c unoaşterii şi în speţă istoria logicii şi se const ată trei moduri fundamentale de raport cu rolul pe care-l joacă limbajul: a) modul (demersul) conceptual, b) nlodul semiotic, c) modul formal (formalizat).

matematicii a bor dar e în

'Teoria sistemelor logice

10


a) Modul conceptual constă în a gîndi "abstracţii" nerapor­ tate la elelnente de limbajl la expresiile care le fixează, fără suportul lor lingvistic. Spunînd Horn" ne referim Ia obiectul OM şi transmitem ideea de om fără a ne gîndi la expresia "om" . Acesta este modul aproape general al ştiinţei clasice şi al comunicării obişnuite. Astfel propozi­ ţiile: "omul este animal raţional", triunghiul echilateral este triunghiul cu toate laturile egale" sînt în modul concep­ tual. Matematicianul clasic este preocupat de numere şi uită adesea de cifrele corespunzătoare. Numerele nu sînt nici obiecte, nici expresii (cifre) ele sînt entităţi abstracte care încep să capete cu timpul (se înţelege în modul nostru de a vedea lucrurile) un fel de existenţă de sine stătătoare. Termenul de "obiect abstract" care circulă destul de mult în ultima vreme reflectă tocmai acest mod de a vedea. în aceeaşi situaţie se află termenul de "obiect ideal". Cate­ goriile: idei, concepte, noţiuni, abstracţii ş.a. ţin de de­ mersul conceptual. Filozofia a fost multă vreme preocu­ pată de natura acestor categorii.. chiar azi nu există un acord unanim în această privinţă. Conceptele, spune A. Church, "au natură neIingvistică", "noi putem recunoaşte ca posibilă existenţa conceptelor care nu sînt concepte ale nici unei existenţe reale" ş.a. Logica tradiţională era prin excelenţă conceptuală, ea avea de a face cu noţiun i, judecăţi, raţionamente, teorii. întreaga filozofie clasică este impregnată de viziunea con­ ceptuală, este o filozofie conceptuală. Ea este plină de ,Jiinţe abstracte" care plutesc Între limbaj şi realitate. n

b ) Modul semiotic. încă în matematica clasică şi se pare, chiar în Organonul lui Aristotel a început să-şi facă loc un nou mod de exprimare în care elementele lingvistice sînt măcar parţial invocate. (La Aristotel se pare că este vorba, de "nume" şi "propoziţii" nu de noţiuni şi judecăţi). Distincţia între definiţiile reale şi cele nominale este o distincţie între conceptual şi semiotic (se înţelege într-o problemă specială). Astfel, definiţiile de mai sus pot fi reluate în sens nominal (semiotic): "Numim «om » animalul raţional". uNumim «triunghi echilateral » triunghiul cu toate laturile egale" . Teorie şi metateorie


Se observă că aci este ilnplicată relaţia de den�tmire (desem­ nare) - relaţie fundamentală în semiotică - de exemplu, între numele "om" şi entitatea (fiinţa) animal raţional. Paralel cu categoriile: noţiune� judecată, raţionaluent, au început să-şi facă loc în logica tradiţională (începînd cu evul mediu) categoriile lingvistice de "termen" (nume), "propoziţie", "discurs (logic)" ş. a. Aşa după cum aIn mai arătat şi în alte lucrări, filozofia este la un moment dat expresia concentrată a stării metodologice a logicii şi ştiinţelor speciale. Evul mediu a avut două filozofii care pretindeau că au de-a face direct cu abstracţia realismul şi conceptualismul, dar apare şi o filozofie de nuanţă semi­ otică - nominalismul. Era firesc Ca odată cu dezvoltarea demersului semiotic să se accentueze corespunzător dezvol­ tarea filozofiilor lingvistice. Ceea ce se numeşte azi "filozo­ fia analitică" (Sprachphilosophie), semantica filozofică, neonominalismul ş.a. nu reprezintă decît expresii exage­ rate ale evoluţiei metodologiei în direcţia senliotică. (Orice metodologie nouă aduce ca pe un parazit o nouă exagerare filozofică) . -

c) Modul formal (formalizat). Desprins dintr-o anunlită latu­ ră a abordării semiotice (studiul "pur sintactic") s-a consti­ tuit demersul formalizării, al construirii de "sistenle formale" în care se reţine doar ,,forma limbajului", făcînd ..,abstracţie totală de conţinut. în10cul "semnelor" şi "regulilor de ope­ rare cu semnele", În locul "expresiilor" şi "limbajului" avem acunl de-a face cu "obiecte formale", ,Jormule" � "sisteme fonnale" şi reguli de operare mecanică cu acestea. între modul "semiotic - sintactic" şi "modul formal" diferenţa fiind practic nulă noi le vom contopi în cele m ai multe cazuri într-o singură expunere, atrăgînd atenţia asupra unui unghi sau altuia de vedere ori de cîte ori vom considera util. O anumită deosebire apare atunci cînd, pornind de la sintaxa (logică) a unui lilnbaj, noi construim pe baza relaţiilor de corespondenţă univocă un sistem de ':gbiecte formale cu o structură care nu mai este aceea a ���i:npaiului dat si deci, în acest sens, sistemul forn1al nu ;�eprţ·.aihtă sinta�a vreunui limbaj. El poate însă deveni sintaxa unui limbaj nou, necunoscut, dacă este pus în corespondenţă cu un sistem de obiecte astfel că obiectele for­ male devin simboluri sau expresii. Teoria sistemelor lo gice

12


Putem acum rezuma astfel cele trei moduri de a vedea cunoaştere a : "abstracţie fără semn" (modul conceptual) , "abstracţie cu semn" (modul semiotic) , "selTInul fără abstracţie, luat ca obiect artificial" (modul formalizat ori sintactic) . în ultimul caz nu VOlTI nlai utiliza ideea de "semn" decît dacă ne pl asăm în planul sintaxei, ci ideea de " obi ect formal ". Privind actun modul de a expune acest c apitol putem spune că el este conceptual (cu prepon derenţă) . 4. STRUCTURA TEORIILOR

Cel puţin provizoriu vom presupune că termenii int rodu şi

fără explicaţie în cont extul următor sînt înţeleşi din uti­ lizarea anterioară (v. " noţiune ", " j udec ată ", " r aţi on a ­ ment", " deducţi e " ş.a.). Am definit deja teoria ca pe o , . cl asă de judecăţi organizată după anumite criterii logi­

c�':. în linii l1lari o teorie presupu ne următoarea structură logic�� : a) "noţiu ni fundamentale ("primitive"), b) principii ( judecăţi funda:mentale), c) judecăţi derivate (s au de importan ţă secundară). Noţiunea de "structură lo gi că " poate fi descrisă în mod corespunzător în termeni semiotici sau formali. " Se Jnţelege că gradul de uorganizare logică " (altfel spus .. C;o"�ziul1e", "solidaritate logică " ) al unei teorii este mai m�re "sau mai mic în rap ort cu alte teorii. O c on cepţie filo­ zofic ă, estetică Sau culturală� (cel puţ i n în momeutul de faţă) pres upune un grad relativ mic de coezi une (organi­ zar�� solid aritate) logică, dimpotrivă o teorie matema­ ti�� sau logică este î n cel mai înalt grad de organizare . Cu' aproximaţie putem ierarhiza teoriile după gradul de coeziune logică astfel: 1. Logi ca şi matematica 2. Fizica 3. Chimia şi bi olo gi a 4. Teorii sociale, estetice, etice 5. Geografie, medicină 6. Fi lozofi e, istorie 7. Teorii ale culturii. Teorie şi melateorie

13


Principalele instrumente de organizare logică sînt definiţiile, clasificările şi deducţiile. Sistemul clasificărilor ierarhice joacă un rol ordonator prin excelenţă important în disci­ plinele în care deducţia e mai puţin utilizată. Definiţiile corelează conceptele (respectiv termenii), clasifi­ cările sistematizează şi ordonează conceptele, iar deducţia formează reţele (sisteme) de concepte. Teoriile cu cel mai înalt grad de organizare logică vor fi numite "teorii formalizate" (nu trebuie confundate cu "sistemele formale" şi se înţelege nici cu limbajul cores­ punzător formalizat) . Astfel sînt multe teorii logice şi matematice. Scopul teoriilor în genere constă în: a sistematiza cunoştinţele, a depăşi contradicţiile, a explica noţiunile" a susţine procesul de verificare, a uşura legătura cu practica (ex. o teorie foarte bine organizată permite programarea cunoştinţelor pentru maşi­ nile de calcul), - a uşura procesul de transmitere a informaţiei (în şcoală, în biblioteci) ş.a. Rolul teoriilor este deci imens. De aci interesul pentru studierea lor. Detaşîndu-ne puţin de aspectele concrete ale teoriilor pu­ tem să le reducem Ia un unghi de vedere foarte convenabil studiului cu mijloace exacte. Ce sînt teoriile decît nişte entităţi" clase de entităţi, operaţii, proprietăţi, relaţii? Concepte sau judecăţi, clase de concepte sau judecăţi, operaţii cu concepte sau judecăţi" proprietăţi ale conceptelor, claselor de concepte sau operaţiilor, relaţii între concepte şi între clase de concepte. (Analog pentru alte entităţi legate de limbajul teoriei.) Iată un punct de vedere care convine foarte bine nu numai studiului logic, ci şi studiului algebric, mulţi­ misto Considerînd teoria ,,în mişcare" (în constituire) constatăm că operaţiile, procesele care au loc aci sînt bine determinate, pot fi bine prescrise (prin ansamble finite de reguli) şi deci ,.efectiv realizabile" (în sensul strict de npractic realiza­ bile" sau "În principiu realizabile", avînd în vedere Carac­ terul finit al proceselor. Astfel de procese satisfac, de regulă, cerinţele "constructiviste" (intuiţioniste) (v. Brouwer, Hey­ ting, Markov) sau ,Jinitiste" (Hilbert). Prin aceasta nu Teoria sistemelor logice

14


înţelegem că orice problemă pusă În teorie poate fi rezol­ vată în acest spirit. în cele mai multe cazuri procesele teoretice au "caracter de lnasă" (sînt formulate pentru lnalte elemente şi pentru o clasă de problenle). Scopul unui "proces teoretic" este de a da răspuns la o problemă (luată în sens general sau singular) - răspunsul fiind uda". nu" sau "acesta este rezultatul" (Este această propoziţie teoremă? "Da" ... Nu". Care este valoarea acestei funcţii? "Aceasta"). Problema se numeşte .,definită" dacă la ea se poate da un răspuns din cele de mai sus. (A se observa după exemple că există două tipuri de întrebări). Toate aceste noţiuni vor fi reluate pe larg în capitolul "Metodele 10gicii"� acum ne vom limita (urmînd exemplul lui Curry) la unele informaţii generale şi intuitive. Ca exem­ plu de uproces efectiv" avem în logi că procesul de normali­ zare (booleană) a unei funcţii. proces definit prin ansamblul respectiv de normalizare. Noţiunea de .,clasă" va fi utilizată în sens intuitiv ca fiind formată din elemente care satisfac o proprietate. Clasa este definită de proprietate dacă pentru fiecare element putem spune are sau nu proprietatea respectivă. Curry llU111eşte astfel de clase .,conceptuale". în logică şi mate­ matică joacă un rol deosebit .. clasele inductive" - adică acele clase conceptuale care pot fi definite de la simplu la complex (se dau .,elemente prime" apoi reguli de formare a unor "elemente derivate"). Pentru studiul algebric al teoriilor noţiunile de ..operaţie" �i "re]aţie" vom vedea că joacă un rol fundamental. Revenind la relaţia dintre teorie şi sisteme de obiecte este necesar să nu confundăm elementele, mulţimile de ele­ mente, proprietăţile. operaţiile şi relaţiile ,.în S" cu cele ,,in T". (Vom atrage atenţia asupra distincţiei ori de cîte ori se impune.) Pentru expunerea intuitivă vom trece cu destulă uşurinţă de la modul conceptual (care are de-a face cu abstracţia obiectului şi dă impresia că ne referim tot timpul la obiecte fără a invoca limbajul) la modul sintactic sau la cel semantic. Dacă teoria este expusă .,conceptual" (în termeni de .,con­ cepte") este totuşi util să fim atenţi la dezvoltarea cu con­ secvenţă a acestui punct de vedere pentru a nu da impresia de eclectism. ..

Teorie şi metateorie

15


Fie de ex. aritmetica lui Peano . Ea e ste construită pe 'baza a trei concepte (nu ternleni) (nzero", "număr natural'� şi "succesor") şi cinci axiome ("principii" în s ens de jude­ căţi). în continuare vom avea de a face cu o peraţii ("ad u­ nare", ,,înmulţire" etc.) şi relaţii ( mai mic"" "mai mare". "egal , "identic"). Dacă dimpotrivă trecem în planul semiotic vom avea nu concepte, ci termeni, nu judecăţi" ci propoziţii şi operaţii (respectiv relaţii) cu astfel de enti­ tăţi. Diferenţa este evidentă: zero. de exemplu. este nu­ mărul cardinal al clasei vide, dar termenul "zero" nu are această propri etate . în modul conceptual descriem sau reproducem ceva despre un sistem de obiecte, în modul semiotic .,formăm" şi "transformăm", "reprezentăm" şi "interpretăm" ori "modeIăm". o

"

5.

TEORIA SISTEMELOR LOGICE

Deşi, aşa cum am arătat, o teorie are multe laturi din care poate fi studiată, ceea ce interesează În primul rînd. este nforma ei logică", toate celelalte aspecte sînt studiate , de logică numai în măsura în care au legătură cu construcţia logică a teoriei. Cea mai evoluată formă logică este nsiste­ mul deductiv" (în sp eţă axioma tic) Sistemele deductive sînt "pur logice" ( = sisteme ale logicii) şi lIaplic�te". ;' Metateoria care studiază clasa teoriilor deductive, în special sistemele logico-matematice va fi numită teol,ia sistemelor logice sau metalogica. Componentele metateoriei pot fi numite respectiv IImetaconcepte", .,metajudecăţi", "metaraţionamente" sau în_ limbaj semiotic nmetatermeni", nmetapropoziţii" resp., .,discursuri metateoretice". Dacă propoziţiile (judecăţile}1 sînt adevărate ele pot fi numite umetateot'eme". Propozi­ ţia: Vx(Fx V Fx) este universal adevărată" este o metapropoziţie, respectiv o metateoremă. Termenii "teorie", "sistem deductiv" sînt la rîndul lor termeni metateoretici. Există un demers de la simplu la complex (în fiecare din cele trei planuri conceptual.. semiotic, form al) acest. demers urmează, pe de altă parte, structura sistemului. .

II

"

Teoria sistemelor logice

16,


de obiecte. Studiem, de e'xemplu, anumite proprietăţi ale conceptelo r, operaţii cu conceptele, relaţii între concepte. Operăm clasificări şi reluăm studiul pentru fiecare clasă în parte. Răspundem astfel la diferite întrebări, ca de exenlplu : a) Ce este un termen? b) Ce proprietăţi (generale) are ter­ menul? c) Ce operaţii putem face cu un termen? Care sînt relaţiile principale dintre termeni? între altele, o atenţie specială va fi acordată relaţiei de definibilitate. Clasificăm apoi termenii şi reluăm seria de întrebări (ex. în legătură, cu "termenii singulari", "negativi" etc.). Formulăm de-·· finiţii şi metateoreme ca răspuns la întrebările puse. Dăm .. dacă e cazul, demonstraţii. Trecem apoi la entităţi teoretice mai complexe cum sînt propoziţiile (j ud e căţile) în legătură cu care punem între­ bări asemănătoare. Fundamentală este aci relaţia de in­ ferenţă. Uneori este important să studiem "mulţimi de entit�ţi", în cazul nostru "mulţimi de propoziţii (judecăţi� formule)". Deja de la acest nivel vom pune în evidenţă multe dintre conceptele care se referă la "sistemul teoretic (luat ca un întreg complex). Astfel sînt proprietăţile de­ consistenţă (necontradicţie), completitudine, independenţă, decidabilitate, categoricitate, dualitate. Mulţimile pot fi extinse sau restrînse. Teoria ca întreg are proprietăţi "matematice" (ea poate fi o structură algebrică, de ordine sau topologică). Comparînd teoriile unele cu altele. descoperim o bogăţie de relaţii dintre care doar amintim subordonarea (incluziunea), ierarhia� homomorfisnlul, izomorfismul, interpretarea (reintel pre­ tarea) . reprezentarea, echivalenţa, traductibilitatea. O te o rie poate fi "mai bogată", "mai săracă", ,,foarte săracă" în raport cu alta. Ţinînd seama de cele trei nloduri de formulare a teoriei constatăm un fenomen foarte interesant de despicare a conceptelor care se referă la entităţi, operaţii, proprie­ tăţi sau relaţii în concepte simetrice. În mod spec ial ne­ vom ocupa de simetria conceptelor sintac tice cu cele seman­ tice. Exemplificăm unele proprietăţi formulate în cele trei planuri: a) O teorie este necontradictorie (în sens conceptual ) dacă în ea nu se poate deduce o judecată împreun ă cu negaţi a ei. '�

"

leorie si metateorie

"


b) o teorie este l1econtradictorie (în sens semantic) dacă nici o propoziţie nu este adevărată împreună cu negaţia ei în această teorie. c) O teorie este necontradictorie (în sens sintactic) dacă nici o formulă propoziţională nu poate fi derivată în teorie împreună cu negaţia ei. Termenul de udedllcţie" în sens conceptual presupune că o judecată se deduce din altele (o informaţie este scoasă din altele) în timp ce nderivarea sintactică" este o pură operaţie mecanică de trecere de la unele secvenţe de obiec­ te formale la altele (prin scriere şi ştergere de figuri grafice). în ultinl:l vreme terminologia conceptuală este subordonată studiului semantic al teoriei şi, cel puţin în logică, ea este utilizată din ce în ce mai puţin ca un mod de exprimare independent. în alte ştiinţe (fizica, chimia, biologi a ş.a.) demersul conceptual este dominant şi studiul semiotic a pătruns prea puţin. Studiul relaţiilor teoriei cu sistemul de obiecte se face nu nUlllai din punct de vedere semantic ci şi filozofic. în cazul nostru VOln obţine o serie de ,}premise filozofice" nece­ Sare înţelegerii definiţiei aplicaţiei şi delimitării teoriei de alte teorii în planul cunoaşterii. Teorii de referinţă. Pent'ru studiulluetalogic noi vom folosi o serie de teorii de referinţă: a) teoria predicatelor (cu teoria subordonată a funcţiilor de adevăr), b) teoria mul­ ţimilor, c) sistemele de tipul PrinciPia lVI athematica} d) sistemele modale. Deja aceste exemple confruntate cu ex:punerile din tratate ne arată că unei teorii pot să-i co­ respundă mai multe moduri de organizare deductivă (în speţă axiomatice). într-adevăr, aşa cum unei teorii îi pot corespunde mai multe limbaje, ea poate fi organizată axio­ matic în diferite feluri, astfel că una şi aceeaşi }}cantitate de informaţie" este structurată în mod lugic diferit. Ca urmare vom fi nevoiţi să considerăm riu doar "teorii de referinţă", ci şi "sisteme deductive" concrete şi "limbaje de referinţă". Schimbarea organizării deductive nu afectea­ ză neapărat limbajul. ci, ca să spunem aşa} doar relaţiile logice dintre termeni şi propoziţii. Pentru sistemele de referinţă vom trimite la cartea lui Hilbert şi Ackermalln "Bazele logicii teoretice" (logica predicatelor), pentru teoria mulţimilor vom avea în vedere 'Teoria sistemelor logice

18


sistemul Zermelo-Fraenkel (vezi Fraenkel şi Bar-HileIl Bazele teoriei mulţimilor), în ce priveşte celelalte sisteme vom indica la locul potrivit ce anume sisteme şi limbaje de referinţă utilizăm. Teoria sistemelor logice va cuprinde următoarele capitole: 1. Teorie şi metateorie (parcurs deja). 2. Metodele logicii moderne. 3. Antinomiile logico-matematice. 4. Semiotica logică. (a) Sintaxa logică (b) Semantica logică S. Filozofia logicii. Pentru continuitate vom presupune că cititorul a făcut deja cunoştinţă cu lucrările noastre Logica simbolică (1971), Logică şi adevăr (1967) aceasta este deja un fel de prolegomene la teoria sistemelor logice şi, în fine, cu lucrarea Filozoj1,·e şi logică (1973) în care sînt puse o serie de probleme care aici se dezvoltă pe larg. -

Teorie şi metateorie

19


Metodele logicii moderne

1.

TEORIE ŞI METODĂ

Evoluţia rapidă a logicii în ultimul secol se explică printr-o extraordinară îmbogăţire a arsenalului ei metod ologi e . Metodele sînt nmijloacele de producţie" ale ştiinţei şi, la fel ca în producţia materială, progresul depinde de evoluţia acestor mij loace. Cele mailuulte dintre metodele logicii moderne îşi au sorgin­ tea în matematică; ceea ce multă vreme a păr ut a fi "specific matematic" s-a dovedit a conţine un potenţial de generali­ zare mult peste limitele matematicii (în sensul ei clasic). O teorie este un Hansamblu de propoziţii", este un nsis­ tem informaţional". Scopul principal este de a mări canti­ tatea de informaţie (putem adăuga "esenţială"), dar acest scop este defalcat în numeroase scopuri particulare, secun­ dare care constituie pentru ştiinţă tot atîtea probleme şi care cer metode adecvate de rezolvare. în sensul cel mai larg, o metodă este un ansamblu de reguli care prescriu modul de desfăşurare al unor operaţii în ve­ derea rezolvării unei probleme (a unei clase de probleme). Clasificînd propoziţiile în două: n teoretice" şi "normati­ ve" (altfel spus "descriptive" şi "prescriptive") se constată că fiecărei propoziţii teoretice îi putem pune în corespon­ denţă o propoziţie norulativă (regulă), propoziţia care constituie puntea de legătură jntre teorie şi acţiune (prac­ tică sau intelectuală). Vom avea deci schemele:

{

TEORIE - METODĂ -. ACŢIUl'iE

Propoziţie teoretică � regulă telectuală) . Teoria sistemelor logice

->

- Practică - Intelectuală

operaţie (practică sau in­ 20


Să luăm un exemplu banal: ,,2 + 3 5", aceasta este propoziţie teoretică. "Dacă aduni doi cu trei vei obţine cinci" (sau "Adună doi cu trei şi vei obţine cinci !") - este o propoziţie-regulă. Orice operaţie care execută această regulă va însemna realizarea regulei (de ex. strîngînd doi lei de la o persoană şi trei de la altă persoană se face totalul conform cu regula). În înţelesul cel mai abstract al cuvîntului "acţiune" (în sens conştient) înseamnă realizarea regulei şi deci rezolvarea p'roblemei. (în cazul de mai sus problema era: "cîţi lei am dacă primesc de la o persoană doi şi de la o alta trei?"). Nu pentru orice problemă dispunem de un ansamblu de reguli suficiente şi necesare pentru soluţionarea probl e­ niei. Metodele vo r fi în a cest caz "efective" sau "neefective". Orice luetodă neefectivă va mai fi nUlnită euristică. Metoda �uristică ne arată: "cam pe unde se află soluţi a şi cere itn număr de căutări mai mult sau mai puţin normate, ipaj mult sau mai puţin întîmplătoare. Desfăşurarea ope­ r �ţiilor are în acest caz un caracter parţial aleatoriu. Dim­ pţ>frivă, metodele efective duc, după un număr finit de op eraţii în mod univoc la soluţionarea problemei (adică ele ne dan -unicul Sau unica clasă de rezultate posibile). în un�le cazuri problema este formulată destul de complex şi c:ere cQncursul 'mai 111ultor metode. În general vorbind, î'ntr':'o ştiinţă avem o întrepătrundere de metode mai mult �au mai puţin independente unele de altele. p�scriind metodele, vom diferenţia între a descrie o metodă particulară sau o clasă de metode. În cele ce urmează ne 'y,<?m opri, se înţelege, asupra claselor de metode, deoarece s,arcina de a descrie metodele concrete ţine de expunerea fiecărei teorii în parte. Clasele de metode de care ne vom ocupa sînt: metoda limbajelor simbolice, metoda axioma­ t,ică, în primul rînd, metodele algoritmice, metoda siste­ ill'e1or formaleJ metodele lnatelnatice, metoda modelelor semantice. Dependenţa reciprocă (mai mare sau mai mică) Între aceste clase de metode este evidentă. Pe alocuri nu n,e vom mulţumi cu descrierea metodelor, ci vom urmări şi firul istoric al evoluţiei lor acesta fiind instructiv pentru a înţelege esenţa metodei. =

o

"

}

M.etodele logicii moderne

21


2. METODA LIMBAJELOR SIMBOLI CE

La prima vedere specificul limbajelor simbolice ar consta din utilizarea de semne R�tate (ideografice) , ca litera ori, altele penhu a reprezeiifa concepte sau judecăţi. Fără îndoială că introducerea de prescurtări este esenţială pentru evoluţia (în direcţia eficienţei) limbajului ştiinţei. Una e să spui ,,2 + 2 = 4" şi alta " doi plus doi fac patru". Este evident un caz particular al "principiului economiei de gîndire" (se înţelege nu în sensul machist al cuvîntului). Limbajul cifrelor este mult mai economic decît limbajul cuvintelor naturale. Avantajul liulbajelor cu semne pre­ scurtate nu se reduce Însă nici pe departe la eCOl101nia de limbaj, o mulţime de alte calităţi sînt atrase după sine între care o mai rapidă intuire a structurii informaţiei, o mai rapidă operare cu semnele. Mai mult. s-ar putea spune că introducerea unui 1jmba�lI1P_oU� q.3nsemnat o condiţi.e-€-s� a evoluţiei mat.�mati�ii, tizicH,� chimiei ş.a. Un calcul integ - raI e-s"fe--de-- neconceput fără un limbaj adecvat, iar naivitatea că limbajul simbolic ne-ar dispensa de gîndire (cînd el o face posibilă, eficientă şi economică) trebuie respinsă din capul locului ca fiind doar expresia unei incapacităţi proprii de a opera cu simbolismul. Aşadar, conciziunea (economia de gîndire), preciziun(�a, facilitarea sau posibilizarea operaţiilor şi coerenţa logică cu toate avantajele psihologice care decurg de aci - iată cîteva din proprietăţile limbajului standardizat. Dar ace�:ta nu se reduce la ideea de "semn" iar acesta nu trebuie redus doar la prescurtări. Un limbaj cifric, de ex... presupune şi o "gramatică specială", un ansamblu de reguli de operare cu semnele. Astfel în sistemul zecimal ( = cu zece cifre) distingelTI o serie de "semne de bază" (O, 1, .. . 9) şi expre­ siile derivate (construite din acestea) cu ajutorul regulilor. Procesul constructiv (= mersul de la simplu la complex) este o trăsătură importantă a limbajului. Limbajul cifrelor a evoluat odată cu conţinutul aritmeticii (dezvoltarea con­ ceptelor). Acest limbaj este probabil prima şi cea Ulai răspîndită formă de limbaj artificial ("standardizat") , el însă nu este un limbaj simbolic în înţelesul exact al cuvîn­ tului. Nici una din trăsăturile sale (economicitatea, sisteula­ ticitatea, precizia etc.) nu constituie trăsături suficielLte pentru un limbaj simbolic. Abia prin introducerea de Teoria sistemelor logice

22


"semne variabile" s-a trecut la limbajul simbolic în sen:ml strict al cuvîntului. Eliberate de semnificaţiile consta�.te (determinate) ��mnele yariabile sînt raportate la nsist�m� de semnificaţii" şi adesea la mai multe sisteme" or chiar la un număr in< le­ finit de sisteme. (Astfel e cazul limbajelor cu un număr indefinit de interpretări) Cînd vorbim de limbajele simbolice trebuie, evid{'nt, să pornim de la cea mai Înaltă t re apt ă a acestora "..1imhajele formalizate" în care pe lîngă o listă de simboluri "de diferite tipuri' avem şi o formulare explicită a tuturor regulilor de operare cu aceste simboluri. Una dintre cele mai originale reguli este r�gula. 4e substi­ ţitţie � semnelor variabile. Deoarece în capitolul ""Semiotica logică" vom stu dia în special limbajele fonnalizate ne limităm aici la o descriere generală suficientă pentru a evidenţia aspectul metodologie al chestiunii. Analizînd un limbaj simbolic vom distinge între "simboluri (!.�.,._ h�ză" (ori usemne de bază", "primitive", ;jillţiale" sau cu alte nume) şi "expresii" care fie că vor coincide cu unele simboluri de bază, fie că vor fi "derivate" din acestea după reguli precise numite "reguli de formare" . ��ţllniţicaţia (denotaful) silnbolurilor şi expresiilor va fi a�igl.lTată prin reguli sţmanti.c�.' S�nsul va fi fixa t p�in clţEnţţii. Aceasta presupune că sistemul de concepte de bază care este re dat în simbolism este cel puţin intuitiv clar. l!.!LJiţnbaj simbolic se bazează în ultimi instanţă . în ce priveşte conţinutul pe un limbaj natural (ex. limba română) şi este în fapt un fel" de preltirtgrie specială a acestuia. Dacă vocabularul limbajelor simbolice a evoluat de la . semne -"prescurtate cu 'semnifica:tie'" constci. iti: ă la." semne ' - 'ce 'nu rris"ea:mnă Y.�E�abile (cu diferite semnificaţii" ceea plurivocitate), evoluţia limbajului în raport cu regulile (" gramatica") poate fi rezumată la do�ă. �ţflpe : a) regulile sînt utilizate, daţ nu f9.rnlulate explicit, adică utilizăm cu o anumită JJregularitate" sÎ1nbolurile şi expresii­ le, avem "deprinderi" de a le utiliza, fără a invoca regulile; b). regu1i1e sînt. formulate Ş.Î _utilţz.aţe,ţxp�i(2it. în ce priveşte tabelele de, setnne (simboluri), "alfabetul", cum se mai sptÎne�'" le' putem�211Viza sub raportul se?Unifi<?�ţiilol". îţI uţ"mătoa.:rele .clase: .

'

-

,

Metodele logicii moderne

23


a) semne pentru obiecte sau stări de fapt ; b) seirip'e�iiep:fill 'îgsţ1�i�1 s::ţţr ' r �l aţii ; c) semne pentr!l 9P�!a ţii ; d) semne"" a'tixiHare (ajută la fixarea înţelesului expresiilor) . în raport cu modul de a lua semnificaţii, avem apoi o diviziune în semne constante şi semne variabile. Orice con­ strucţie de limbaj simbolic pre supune-o că ne esteintuitiv clar L�._�e ,enHfli,ţ( raportăm, semnele, �'!i'??! Je rap � !Hff!1, şi în general �!pl le_�.�or_d��Jp:J�!P.:E_�j. �i�1?Ql.�?:��_ţl. j)resu­ pune o concepţie clară asupra conţinutului, o anal!z�. j)re­ ciş.�,_�, GQncept�lQr, bineînţeles, i!t Umiţţl�.1i!!ţQ�j!!lurnaTl1t;;tJ-,_ Am sp �J2..fu!.�rea�bi1elor este pasul hotă­ rîtor în dezvoltarea lj mbaJefQr_si.mbQl�ce . Matematica a luat-o înainte în această privinţă. în antichitate Diophant W1xoguce ljtere pentru reprezentarea- ' .. ,necunoseutelor",­ Mult mai tîrziu Viete va utiliza literele Şl pentru ' reprezen­ tarea "datelor", ""'IiT Descarte's"foloseşte literele simultan penfrii" ' semnifi c aţii aritmetice s a u geometrice. Deşi, în totalitate, matematica a luat-o înainte logicii în gţţJ.iz�rea ,JiJ�relor" totuşi nici t<?gica n-a rămas indiferentă .f::t.t� ,<ţe acest procedeu . încă Aristotel se foloseste de eJ e în Organan rfnpi-esupuner'e a că''--iiii s-a intervenit ulterior in textul său ; această rezervă, se înţelege, trebuie s-o facem în . multe privinţe cînd e vorba de lucrări foarte vechi).. Astfel găsim scris -r6 A {)1tO:PXE: LT <{J B sau E\I-r<{J B {)1tO:PXE: � A (adică "A aparţine lui B" şi respectiv " B aparţine lui A ", exprimări converse) . ytili�îJ)_d liter:ele gu în,�ţ�p1nă neaR�.nl.j: că �:t:isto_t�l . �ve,a ideea . de "variabilă" ; poate fi doar o prescurtare' pe . ..'care· -o uti1Tzeaza- In-"mod spontan fără a o teoretiza. Apoi ştim din matematică faptul că liţ�rele p�t !Luţ.n��Cl: ţ�,_. i� !!!.!�<;Jii jcu r0Juri) diferite, ca in formula " ax + b = c" unde a, b, c, ţin loc de date (cunoscute) � iar x de necunoscută. în alte cazuri, ca în fornlula J)a x = y' a e presupusă constantă, iar x şi y sînt variabile. Evident" rolurile lor sînt distribuite (definite) aci numai formal (,.sintactic"). dar distincţia există. în cazul silogismelor ideea de "cunoscut" sau "necunoscut"· (relativ la termeni) nU10acă nici un rol:-dTiiipoti-lvă:"!:.�eile: Pioolema istorică în legă­ de constantă si variăbffă ' ::':: ' '-aâ: ' -tură-cu"Otextu}"'Iilr-'Xristot ei este : avem aci de-a face cu o variabilă sau cu o supoziţie de constantă ? Cînd spu��m " termenul B" aceasta pare mai degrabă a numi într-un. __

· ...

I�

"Teori a sistemelor l ogice

24


Jel oare care un termen (pentru că nu ne interesează " numele

adevărat") decît că utilizăm o variabilă (care poate lua pe rînd diferite semnificaţii) . Totuşi, texte de genul acestuia : ..,de exemplu.. să punem în locul lui B animal şi în locul lui A om" (v. Organon) II) par a ne sugera că e vorba de ideea de " substituţie") or substituţia e legată de variabilă. :Evoluţia simbolismului în logică " :Rţesl!I!.ţţ!!� _il_��YQlta�a " _qz.i­ '!:1p'-gr notaţii pentru ter!�l�!l!_� P!oP.():�i.ţii,1__ legijtut:L_PX9P ţionale ş . a . Evul mediu a realizat unele mici progrese în acest sens (a se vedea simbolurile A, E, I� O) . Lui R. Lullus ( 1 232 - 1 3 16) i se atribuie azi un merit deosebit în dezvol-ta rea _��,�p<?g�"ll1 ul.�_�_ I9_g!,c.. nu " în sen�ţ1I " �nt.I.q "d��ţ}::,i-t_gg9r simboluri (care s-ar fi încetăţenit), ci în sensul dezv9ltării iAţ#��e�""��,.�?�!?}����" a l<?! <ie ) � s��:p}iţ]a �QI!ipl��; idee care I-a influenţat după cîte se pare pe Leibniz. Lullus credea că toate propoziţiile noastre se pot obţine prin com­ lJinarea unor concepte fundamentale, concepte pe care Lullus le notează prin litere .9_ a?emenea J lconlbinator��ă" l)resupune o ,,formalizare" riguroasă a limbajului (adică formularea exacfă a regulilor de opera'-ie cu �-semnele) . în aceeaşi direcţie acţionează Descartes şi Hobbes cînd pUTI accentul pe ideea de regulă de calcul. (Deşi deosebite, ideile de "limbaj simbolic" şi de "calcul" se dezvoltă în cea nlai strîrţsă l egătură) . �.�Je _nlai rodnice t�n.taţiy�_ (înainte de sec . XIX) de a intro­ duce simbolismul în logică vor fi făcute de Leibniz . Extinderea simbolismului matematic a supra-logicii (con­ form cu ideea lui de a face logica aptă să fie unită cu mate­ lnatica înt r- o "ştii nţă universală") este pri�_a ţ<!.!��" , în care el în cea rcă să dezvolte simb olismul logi c . Leibniz se'-oc upă î�J�!Jg�p�r �e �1�gXsţi�� "şi' "ili" -;:cesI--seiis -se- poate spnne că Timitele domeniului său vor influenţa dezvoltarea simbolismului . Apoi, _cţ�§i _ Leibniz ap�le�z_ă uneori l� �?��� _�e- .�]fţţI!�l!!!ţ, el se va menţine în principal pe pOZ1ţnle comprehensivismului.-- Rezulf3.' " âe- ---acr că---"c-onţlnutul era destiir--desarac- " peiitru a-i pernute o inovaţie de anver­ gură. Meritele sale în dezvoltarea sinlboIismuIlli în logică pot fl -(jIstribuife astfel : , a) s�J:J:!ţarea ul�ei concepţii generale despre simbolism�1 1ogic; de a introduce linlbaj u] - aritriH�tiC- - (CiIdcŢ în b)g tentativa .

..

..

l o i,':� ;

-

--

- -

- - -

Metodele logicii mod erne

-

"

..

-

-"- --� """" " " -- "

-

-

25


c) for�ularea unui simbolism literal C,algebric") pentru .. logică ; d) intr:-2d.ucerea unor mij)oace auxiliare de reprezentare l?,ent!.!!j �<:l��.�ţ� şi oper'aţii (linii, cercuri) . Leibniz a preluat <ţe l<! p�s<;a!tes ideea unei Mathes'lS un"iversalis . Aceasta-nu este o teorie ci un fel de metodă � -dealHel idealul de descoperire în epocă este metoda de a dobîndi cunoştinţe (nu atît cunoştinţele) o metodă lipl­ . l ogicii cu claritatea şi precizia �:r.ţ.� i��� tig9 !rp.J? <;�E�,,"��_ ��j�!.�ţ. _l??:�.t ��a�ic . ��t e m atica .şi l o gica treb �i_�.� ..�PE?P!�t e (spr e folosul reciproc), lucru, care nu se putea obţhie 'aecît prin promovarea cu consecvenţă a " delTIOnstraţiei logice", dar pentru aceasta însăşi logica trebuia să-şi schimbe înfăţişarea, folosind un linlbaj de tip matenlatic. Astfel se naşte ideea unui SilTIbolism universal ("characteristica universalis") . \, Orice caracteristică, scrie Leibniz, constă în fonnarea unei_ E�.if����ţ.��rŞlţţ1 . tr�cerea de la o 'reprE���p'-(a!e la aJJ:g" [29 ; 95 ]. Trecerea se reduce în cazul calculului la IIj uxtapunere" (Beifiigung) , " Prin juxtapunere apare o for­ mulă" [29 ; 95 ]. Avem apoi trecerea . de la o fonnuIă la alta care se reduce l a )Jsubstituţie" şi "substituţie reci­ procă" (= echipolenţă) . Leibniz trece în revistă diferite feluri de limbaj e : "verbal ", ,:aiitmetic", "literal ". (Textele sale se încadrea"ză-- -î!i'-rstâ'iia semiolidC dripă'--'cum se poate observa .) ., Character", scrie el, trebuie să fie A sau B sau un alt selnn [29 ; 1 13 ] . Acesta este elementul 1ilnbaj ului. O primă tentativă este de a extinde deopotrivă cifrele şi literele la logică. Distingînd ţ!!tre conc�pte . "Si}!�p!��' şi ., compuse", Leibniz propune desemnarea conceptelor sinI­ ple cti-'ajutorul ' niimeielo�ţ p�I!t���'§T��9n�ţjt.��"r ��: 7/f.f�p!.�t!us, � _Pol!�l��relor p�.l!:trg . con�"ţ.p..t�L�,._.<; Q}EEg�e. "Fiecărei expr� sii . trebuie să-i fie asociat un număr caracteristic" . . . [:t.9 ; 180]. (Această asociere de numere va fi fructificată în secolul XX de către Godel prin procedeul aritmetizării . ) Notînd animal c u u n nunlăr a (să zicem 2), raţional c u un număr c (să zicem 3)" iar om cu b, vom obţine : b = ac (adică b = 6 = 2 3) ţ_�ţE.ţ��. �ă ajJ..oi . ţ ep ţţ?ţ!1ţ�rţ .p�p'-tr:y jll:cţ.e <,::�ţile 4.,--_ �' 1, O . ,. o.'

,

" .

_ " '0

,

o

-

__

__

.

..

..

.

.

..

Judecata A va fi repre�entată prin Teoria sistemelor logice

!-. = y a

sau (ceea ce 26


ya (n orice b este a" ) . se obţine prin transformare ) prin b se divide la subiectului numărul că înseamnă ceasta A este egal subiectuhil nuniaiill' că ori tului" predica llumărul " 'Cii " 'pro cÎusul ----ali1tre-- -nunlărul predicatului şi un anumit alt număr . Pentru a evita dificultăţile legate de expresiile negative" Leibniz introduce numerele negative. Acest simbolism n-a fost izbtitif 'şi"' "în alte fragmente se observă �trăd�nia lui L�ib_ni�_ d_� ?:_ �p'eE§: !!-,!!.!E:a.i_ (sa� .�proape " numai ) cu litere. Reţine atenţia fragmentul construit cu aj utorul '--ecliivâlenţei ( 00) şi operaţiei de specificare ( ffi ) . Semnele + şi - vor fi utilizate de el î n legătură cu înţele­ sul comprehensiv pe care-l dă judecăţii categorice (npredi­ catum inest subiecto") . De asemenea, permanenta grijă pentru formularea explicită a regulilor va însemna un progres în perfecţionarea limbajului simbolic . Lambţrt. (1728-1777) va continua efq_rţurile în " direcţia -iiifioducerii simbolisnlului logic. El a schiţat uri sÎmbolism lI alg� �ri?:iii<�I�gJ�în--car�e-un . !�t i�1p'O !ţa�f]r��e�=��!1!i:' ". dere a ideIi de operaţie prin utilizarea semnelor +" - X " + cu semmucaţli-ănalâag"e- --{celor din aritmetică) : combi­ nare, separare, determinare şi abstractizare. Combinarea -separarea, respectiv determinarea-abstractizarea formează cupluri de operaţii inverse . C0!.1c�pţia sa " asupra logiciJ este de asemenea C9.!!!Q!,E;h:�!!.� �ivist!._- el utilizează principiul că u"g___�9,n��pt (cx) este egal cu conceptul " gener ţ c , (:lI?P?p ţaţL,"{y) P1.t:I._s g if.�:r;�nţa sp'eci(is,�_" U»�, _�s���"ţ�.r: :că : =

"

_

ti

"

..

=

cx(y + a)

=

____

___

ocy + cx!5.

Utilizînd l' analogiile dintre logică şi aritmetică (respectiv dintre operăfiile-coiespuiii atoaie-Y-eT\'-a aj unge" Şî- Ia expresii c�re n-au semnificaţie logic�� (Aceasta n-ar fi în sine un-­ impediment dacă la sfîrşit aceste combinaţii ar putea fi eliminat e obţinîndu-se doar semnificaţii adecvate, ceea ce l a el n-a fost cazul) . Holland " şi Castillon ' vor merge pe aceeaşi linie a analogiei ii e al (� �9-E���JF�) <?i�_<:�"_�i �.i!_���!i ce . D ealtfel, sursa dei� voltănl sinlboHsmului va fi multă vreme explorarea acestei analogii, ceea ce este valabil pentru Boole,)v.,!"_q�Kg�ţ! şi pentru întreaga perioadă denumită a "a lgehrei logice". George B oole şţ Aug��ţ�s cţ� �()"�g?:!��.!!-,ll:,"SQ!!tr.iQ}:1:! t î tLm-gslu 1 cel mai hotărîtor la introduce,��� , s.���?ol���.��uJ" în , l<!g��ă __

..

Metodele logicii mod erne

\

27


şi aceasta se explică pe baza tezei acceptate de noi că 9:�ţ:-. y.9.Jţ':�T�_�_)i�p aigb:!i ţil1� g.� ") ă.!g�.�� .tţgg�h��ţli ._ qe y�cţ�r e m.�.-..P.Jiy.�§.t�_. �Qnţinl1.t1,1l (obiectele, proprietăţile, opera­ ţiile etc.) . Un conţinut nou cerea o metodă de exprimare nouă. Astfel, de M()rJ�an intro duce ideea de relaţie şi dez­ voltă silogistica -întt:'u�plan mult mai" larg- 'de'Cît " C-el " "tia­ diţloriăl-Târ'-':ş'ool� dezvoltă �.� ţeţnuJ d� .ş,�!TIJ;1Îficaţii j!!�!l,!� zînd ideile � lIC1asă" (operaţ1i cu clasele), de "propoziţii __

tZn ��;:���i�r��'l���â.?a1i�5f:{��·�m�!t17�1��'c a��-J��!�'�. şi două constante : 1 C, totul") şi O ("nimicul") . El foloseşt e . simbolurile x, y, z, . . . pentru obiecte şi operaţiile + (disjuncţia claselor) , - (exceptarea), juxtapunerea (xy) şi relaţia (identitatea claselor) . Legile iau fornlă algebrică, . iar �a1culul _.��ţ�.. aş�n}ă.p..(Jt o r -��I din algţ bră. ' . Ex. x2 - x2 O O x(l - x) (Aceasta este legea necontradicţiei . ) SC�Qp.!!L,�2-1s..111g,t!J.i este _

__

=

cu

= X.

X

.

.

.

=

=

de � . găsi ecuaţiile car� exprimă )�gi.J<.?gi�.e. Prin interpre­ tarea diferită a aceluiaşi sistem de simboluri Boole a des�h�§_§.LS.<:l.��,a .,sp'ţ� .9:���J!9-.r..�.�. ,.p'!�ţ.q.<i.�i )!?:9.d.: eJ�� 9 r în l ogic ă. Rezolvînd efectiv o serie de probleme acest limbaj a con­ stituit primul succes decisiv al metodei simbolice în logică. După Boole (şi într-o anumită măsură cu el) începe "specia­ lizarea" pe teorii l ogice a limbajului simbolic (logica cla­ selor, logica predicatelor ş.a. ) . U n §iţ!!QQ}iş,JIL coer.e1!L.gg>?Y.QJţă_p�!!.ţp:t.Jg gj�� . P-roP9.zitiil or Hugh Mc. ColI ( 1 837 - 1 909) , un altul bazat p e ideea de "ecuaţie" (logică) este dat de P. S. Poreţki . încetul cu încetul se constată o <i��az.Ug si!!lJ)QL�tile din aritmetică, se introduc forme noi de simboluri (specifice .. . 1 0 g-i cii) În America Ch. Peirce (1835 - 1882) va dezvolta u n simbo­ lism în care infeivln�şi cuantorii (II, �) . Un moment esenţial în dezvoltarea simbolismului logic e c n u t n o · cient (dimpotrivă, din acest punct de vedere, opera sa a fost un eşec), ci în construirea unui si11JP..9..t.i.ş,,!!? . XM2i!ic;. lqgic # ��!.� §ţ. ,<J.,�.taş�8;.�.�L(J��i}:]1bai!JLQp'i.ş:guiotQi.;rLmgţ�!!.ati�.ă

.

..

_

'. . . ' . . _..

. , . . .... ..

,'-0'

-

. ....._,� '"

_

. .. _�

. .

__

�.�_._-� _".- - -" .... _,.••��.�- - . _ -

�� � ����;= �� �� ;��ui��±ţlh�ui!:�l�i; l�:j,%����} "ft�fi� TeoiÎa sistemelor logice

28


şi în dezv olţ���� ?�_�i._S2_l?-_�I1ii desp re �G�st _ si 1.�_p qlţş�IE _<2�!.e ( . în ce � E!!� ţ>az��� ��.�i_�_!i<:li� îl1 speţ ă s emanti�ii logice) __

priveşte slmbohsmul sau ca atar e el ailll nteşte de unele încer cări de simbolizare prin linii ale lui Leibniz. E l ad opt ă ca simboluri d e bază asertarea f--- Ll� negarea asertării I-r- I!!. şi r elaţ i a î m p l i c a t i v ă __

_ __

T�

C , dacă B a t u n c i A "� adică i n v e r s i mpl icaţi a) .

Argumentele vor fi n ot at e prin - A - BI . . . El utilizează apoi sistematic c ua n t ori i (logica sa fiind în �

esenţă- o

,,logică funcţională"

sau �)ogica predicatelor" ) .

Universalitatea e s t e exprimată astfel --,.&- j (a) (Notăm că expresiile de t i p f u n cţi o n a l fuseseră dej a introduse de către Boole) . Pentru asertarea universalităţii (ex . pentru x = x ) e l s cr ie :

h!!r-- a

=

al

� a2 = I.

iar n eg aţ i a ei va fi :

Faptul c ă nu p entru orice valoare nu a r e loc (deci există valori pentru care are l oc funcţia) se scrie :

h--&-T-

a2 =

1.

Pentru exprimarea e xt ensiunii (a do me niului de valori) adoptă senlnul I (" spiritus lenis") şi scrie, de ex . , x' (x 2 3) . În acest fel. în l o c ul universalităţii � aZ - a = a (a - 1)" se poate scrie : " C;I(S 2 - e:) = oc(oc(oc - 1 ) ) " =

JJ

=

Notăm c ă --c:= p o at e însemna " s ubs u ma rea conceptelor ( I deea de subsumare a conce ptelo r fusese introd usă de catre Schrbder : a € b "a e s t e subsumat lui b " . ) P r opoziţia asertată " d ac ă 3 2 > 2 atunci 3 > 2 " poate fi

scri să : 32 > 2 I L3 > 2 Apoi " dacă

r-r-c 2 > 3

2+3

=

5 atunci nu are loc 2 > 3" va fi scri�ă

2 +3=5

Metodele l o gicii moderne

29


Propoziţia

3 > 2 nu e m.- 3 > 2

" daca 2 + 3

. . L2 + 3

în

nu

=

5

a devărat" va fi :

a t u nc. i

nu

este

adev ărat

5

21 nu este a devărat, a t u nci 2 3 este adevăra t " va fi : fine

.. L J2

h-rT- 2 3

=

" dacă 1 2

= =

=

=

că.

32

32 21

Pentru c a z u l în ca r e avem mai mulţi antecedenţi ca în " d a c ă 4 > 2 şi 3 > 2 atunci nu este adevăp 'l­ că 1 < 2 nu e a devărat" vom scrie :

propoziţia

1 <2 lTŢŢT 3 > 2

I

L

4> 2

Propoziţia c u a n t i fi c at ă " pentru ] " se s c r i e :

atunci a4

ha" a4 . - La z

ori ce a

=

= - '"

Propoziţia

dacă

a2

=

1

'

1

1

" Nu-i a devărat

e x i st e n ţ i a l ă :

pentru

orice

1 ", a d i că "există 1 a t u n c i nu a re loc a4 dacă a 3 astfel că a 3 = 1 şi a4 = 1 se va scrie :

a

r-n&rr a.J L a3

=

=

=

=

a

]

I

Nu insistăm asupra altor aspecte ale simbolismului lui Freg� este cl ar din cel e de m ai sus că nu este c om o d şi nici e c o nomi c pentru operaţiile logice. Re pe t ăm c ă pr i ma încercare de a c�m�ţIţ1i& un . si!llb qlism s p ec ifi c l ogiciCn a fost înc u nunată de succes� d::tr cladfif t �ci�ăai�tiH;P![�� IJţc!ţ�o ��a

�fu�dăO���}��ti f-l -

Remarcabil este apoi faptul că Frege dezvolt ă simbohsmul în direcţia cup ri nde rii aritmeticii în logică. Acţiunea S-a soldat cu un eşec, totuşi e a a Însemnat o încercare de a i nflue nţ a aritmetica din direcţia logicii (curent invers celui de pînă atunci, cînd influenţa era de la a rit meti că la logi că) . Un ll101nent decisiv î n crearea actualului J Î 111 b aj simbolic ...

"

în logică l-a constituit opera lui Giuseppe Pe.ano . J\1eritul Teoria sistemelor logice

30


lui Peano constă în formularea unui simbolism� adecvat comod, simplu. Multe din semnele introduse de Peano au intrat azi în limbajul curent al logicii. Simbolismul lui Peano era destinat construirii riguroase a aritmeticii (fără a pretinde la reducţia de tip logicist ) . Analizînd mai în detaliu diferitele compartimente ale logicii Whitehead şi Russell au dat în PrinciPia lJ!Jathematica ţ-?,!� a .,_��f�f�_ sll!lE2}ism�lui logico:..1!!.��E!.�ţjS. Modifi­ carile care vor urma nu vor fi decît unele precizări de deta1iu eventual preferinţe pentru alte semne de bază în unele cazuri sau completări. Şi totuşi o surpriză a mai produs logicianul polonez J an Lukasiewicz . Aceasta a constat în esenţă în introducerea unui anumit mod de a scrie expresiile propoziţionale : 1) folosirea de litere pentru operatorii propoziţionali, 2) scrierea operatorilor în faţa variabilelor (N p A P q, K P q C P q etc.). Acest tip de limbaj influenţează într-o anumită măsură şi regulile de calcul . Eventuale dezvoltări se fac în cele două direcţii amintite. în ,flazeZe {qgj.E.ii. teoretice D �_mTh��!. §i.. jy..!...�ckerma@. scriu despre importanţa introducerii "limbajului formule:-�ea ces-a reuşIfsa.se obţi�ă �11 mat�matică aatonta Imba]ului formulelor trebuie sa fIe obţInut cu ajutorul său şi în logica teoretică, anume : tratarea exactă a obiectului său" [20 ; 1 7 ] . De o deosebită importanţă pentru construirea linlbaj ului simbolic este analiza conceptelor logice de bază ca "illdivid", .,prop rietate", ncl asă", "relaţie", "operaţie" ş.a. Această analiză ţine, pe de o parte, de semantica logică, pe tV altă parte, de filozofia logicii . Capacitatea de a simboliza este ceea ce, în mic, în algebra elementară, este capacitatea de a pune în ecuaţie : dacă ne este clar conţinutul problemei atunci punerea în ecuaţie este uşoară.

şi

..

.L��JEl�ică

3. M ETO D E L E ALG O R I T M I C E

Calcul, calculabilitate, metodă de calcul. l!lJ�oqţl�er.� 9: . !�1.etq- . dei siIlţbolice în logică a îţ1�emnat nu numai cTţştere a efi: . �ie!11�j în direcţia preciziei şi conciziuniiJ cît mai ales în. direcţi � _!ez ���r.i.� .E::9!:�����! . Pe această bază s-au dez_ � , Metodele logicii mo derne

31


voltat calcul e adecvate. încă pentru Leibniz "calculul" era scopul.J2!i!1�iP�lJn !efor��,2���ii �' 'El chiar visa la o vrelne cînd 9rice problemă va putea fi rezolvată prin c�!�� (utopie, se înţelege) . Intuitiv vorbind Stlculul este un �roqe§., diş.<,;x�t care constă !dintr-un număr finit de operatii. menite să dea la sfîrşit Tăspuns îă��pr-obremâ -·pl.isă: " ,. . Notiunea de " calcul " ne este bine cunoscută din mate ­ mati�a,'- piocese1eQe calcul fac parte---Ci'ln eiîsIenţa lioas1:ră obişnuită : calculăm. în şcoală, la servici, la piaţăJ în gos­ podărie. în logică ne-am întîlnit cu ideea de calcul cînd am efecttiaf-�'�-c'ăICiil matriceal", "calcul de forme normale" , .. , calcul axiomăIi<?,'- '(acesta are un "sens'-rnar-specfă1r "Diîerite teortl' Ioglce..··.. s·e- numesc " cal cul" (ex. " calculul propozi ­ ţll1or"�--::-CaŢculul . Et:.��lţ�.?-.t��·�rnf. Există şi alte cazuri în lo-glcă- în "care" c'a:l culăm fără a numi astfel procesul. deoarece legătura cu ideile noastre obişnuite despre calcul este mai puţin evidentă . Re�<!!y_�!.��_p�rţ.ll_s.?-lcJ11 _� p.�oQlemelo r este oarecum "perfectă" ; de aci înţelegem dorinţa lui Leibniz şi chiar tendinţa noastră obişnuită de a rezolva problema după lllodelul H calculatoriu" . Vorbim astfel de ncalcule politice"J "calcule de interes" ş . a. Este firesc ca odată ce anI stabilit cel mai sigur mod de a proceda să încercăm a ne orienta după acest mod şi să gradăm celelalte acţiuni în raport cu modul optim de comportament . Ştim astăzi că a cest mod rămîne un deziderat în anumite sfereJ dar oricum tendinţa noastră de "optimizare" a activităţii, de apropiere de cea mai sigură procedură rămîne firească, aceasta pentru că nu ştim dinainte unde e posibil şi unde nu o astfel de procedură . Un proces calculatoriu se desfăşoară în conformitate cu o procedura:=��'ca]Siil,.� nJJ�ţoqă de calcul, altfel spus, con­ form Ciî--un -�_nsa!E.�lt(·�<J �_ _,P!�Ş�Iipţ.ii (de reguli) , conform , . cu un uinstructaf ' . Definită î n sens strict inetoda de calcul se" ';a�nurnl--Ş1-:�·algoritm". La rîndul său noţiunea de "pro­ bl emă" primeşte-O � "-no-uă prec�zare în raport. . ��,_._�oţiunea d.e -'procedeu de rezolvare. Observăm deci l�gă:tura într,e noţiunile .�prohlema'''�--·,Aactivitate) de rezolvare ", "solu­ tren (r'e zulbit; ' răspuns) şi "metodă ae' "iez oTia re . forll!..8. pr_�1>le�ei _poaţ�_jij.1:].ie!qg�.ţiv.ă . s'a:u"·nll.' - Să exemplificăm prin calcularea unei forme normale conjunctive, de exemplu, p entru formula p� (q r) . Problema care se pune este ,

.. "

...

..

"

=

Teoria sistemelor logice

32


de a-i găsi forma normală conj unctivă. În acest scop dis­ punem de a) o descriere precisă a formei normale (deci a clasei de rezultate), b) reguli de aducere la forma nor­ lnală. Aceste r�uli R constituie " algoritmul de normali ­ zare" şi constau ·dli1 trei clase corespuii:iăto·are celor- tiei condiţii pe care trebuie -s-ă-le îi1depEiieâsc:rc)"foriri.ă iiormală : ': R;··. (reguli de elinlinare a operatorilor nebooleeni)., . R 2 (reguli ··de coborîre a negaţiei numai pe variabile), R3 (reguli de formare a conj uncţiei llornlale) . Procesul de norn1alizare poate fi uşor progran1at . (1) Dacă nu e îndeplinită condiţia primă aplică regulile Rl ! Eliminăm � , prin regulile corespunzătoare şi obţinem : p y ( (q y r) & (1' Y q) ) (2) Dacă nu e îndeplinită condiţia a doua aplică regulile R 2 1 Eliminăm dubla negaţie : P v ( (q y r) & (r v q)) (3) Dacă nu e îndeplinită condiţia a treia aplică regulile Ra ! Prin distributivitate obţinem rezultatul dorit : (p Vq Y r) & (p y r y q) Problema de mai sus este de tipul "care" (în matematică spunem adesea "cît") "care este f.n. c. a formulei date ? " C,cît fac 2 X 3 ? ") . Există şi un alt tip de probleme (aşa după cum a arătat Kleene) anume acelea c are pun între­ bări asupra proprietăţilor anumitor date, ex. " cum este propoziţia X ? " sau " entitatea Y are proprietatea P ? ". " Este propoziţia (< 12 X 5 = 60 » adevărată ? " . Răspunsul la această întrebare se poate da prin uda" sau " nu" ori prin aserţiunea care atribuie sau respinge respectiva prAo­ prietate : "propoziţia « 12 X 5 60 )} este adevărată" . In cazul în care aveITI mai mult de două răspunsuri posibile dihotomia "da sau nu" devine insuficientă. (Ex . , , Este X student, asistent sau muncitor la uzină ? " . ) Între primul tip d e problemă ("care ? ") şi a l doilea tip ( " CtUTI ?") există fără îndoială o legătură şi ele, deşi deosebite, nu sînt totuşi atît de îndepărtate cum ar putea să apară la prima vedere. în definitiv a doua problemă poate fi uşor transformată în problemă de prÎ1uul tip : care este valoarea logică a propoziţiei , , 1 2 X 5 60" ? O deqsebire eş�g.t��� s �QQ ate_ i.�s�_)��_�e probleme pornind de la metodele de rezolvare . Este 0 - problemă reziJ17iăJ)ilă prin cutare meţodt! . � t1:�'- �n�)._ Este o probiemă- "rez·olvaJ5f1ă -

.

=

=

=

_ _

Metodele logicii moderne

33


algoritmic ? " ŞtimJ de exemplu, că o ecuaţie de gr a dul II este astfel rezolvabilă (este nca1cu1abi1ă") în timp ce pro­ blema : " va învinge j ucătorul X sau j ucătorul Y la partida de şah de azi ? " poate s ă nu fie astfel rez o lvabilă. Q, P!c:>l? l�1!lă presupune anumite . J! date" şi anumite " ne­ cunoscute" . A , gă�i _-,.� ��ţi�_Q�!iI�I��:�J2.� J)_��"a ".datelo r ) ' înseamnă " a rezolva problema" . eJ"C1îeStlune"oâeoseriif-cte-iIilp'Ortantă este apoi a c eea a " core19-ţ!�i: J <!i!.lt�e 1,�t�J�" .probleIIl,ei şi._răşpunsul ,.căJJtat : smt datele suficiente pentru a putea da răspun s la problem ă ? Sigur, ne putem întreba şi invers : pentru un anumit tiP .cf:!!. ră�p!!.1!�.". este . n� ce s a.r. " daA,'l1{ :. f'lţJqU ? ·(S-e--poafe�·rezolva probletna şi fără datele cutare şi cut ar e sînt acestea redun­ dante ?) Dacă Q�tet�. _�ţ:qL_JA"�_cg_tpp!�t.e: ' atunci pr o b a bi l că nu ne putem a2.t�ta la o soluţie "exactă" (sau la o soluţie) a I?�_�pl�.:ţn�i � Peiitf'U: astfer-de'-'p"TooIeme lJE_ există meto��' de calcul . Se presupune deci că datele problemei sînt suficiente' '(" complete") . Există şi _�lt� _.RIQP}::i.�tăţL pe care trebuie să le sati sfa c ă "sistemul de date" : necontradictia (c o mp atibilitatea) datelor ' şCev�ntuaj ;"ndependenţ� d a te l o r (ceea ce corespunde cu "caracterul lor nec esa r " sau " non­ redundant" ) . Se vede că ne-am îngăduit să transferăm aci unele prop rie tăţi ale siStemefor" �xiomatice . ·'- După toate probabilităţile "di'n'- �: date· confra-dictofliT" "s'-ar obţine so l uţi i la întîmplare� iar datele "necesare" (independente) ne - ar putea aj uta să dăm un răspuns negativ la unele p robleme .,nealgorihnizabile". (Ex. " d acă X nu cunoaşte mtitările , de tipul cutare el va fi bătut la şah de Y " . ) Se mai ob se rv ă apoi că � x is.ţ! pF-0 b!�..!p� . "c,�r:.� _sJţl( .vţeJ.P.:Ro ­ ��l�.� � şi .altele . J ��tetPl� 0 t.:.�" . în cazul primel or rezultatul nu reproduce ceva existent ci "prevede" ceea ce se va p roduce . în matematică noţiunea de " rezol y��<} este leg ată cel mai adesea ��".<? ���gîl!!�piez�nt�ii�âo·-c(?-t�19r p r 9 0[eI!!eC a nume în f o r m ă , , funcţională" . rn c azul acesta terminologia de mai sus suferă modificări adecvate . Astfel, a rezolva pr o ­ blema în acest caz revine la "a găsi valoarea funcţiei" . Ex. în loc s ă punem întrebarea " 1 2 X 5 = ? " vom scrie ,, 12 X 5 = x" şi vom căuta care este valoarea pentru care funcţia (propoziţionaIă) J J 12 X 5 = x " este adevărată. Funcţia se va numi " calculal?�lă" <ţacă avem o metodă de ..

,-- .- .

-,

.

.

..

,

-

. .

__

Teoria sistemelor l ogice

-

34


��kul ,pr,i n care să gasIm respectiva valoare (în supoziţia că există o astfel de valoare) :--Ifeoare-ce" -o" enormă masă de probleme şi clase de probleme pot fi rezolvate calcula­ toriu (prin " algoritmi") înţelegem de aci interesul pentru dezvoltarea a cestui capitol al teoriei rezolvării, anume teoria metodelor de calcul . Se' !nţe'Iege' că logi c a'îiu"p'o:ite fi indiferentă studiului meto­ delor de rezolvare, în speţă metodelor de calcul şi aceasta, în două sensuri : 1) ca obiect de studiu, 2) ca mij loace, pentru rezolvarea problemelor specifice ei . Teoria algorit­ milor, teoria funcţiilor recursive, teoria maşinilor de calcul ş. a. concură sub diferite aspecte la studierea noţiunii de "calcul " . Vom conveni în continuare să înţelegem prin " metodă de " c �l,cut�, � c �!aşi 111<;.�� � a .şi . l?:!Il _,,� aţgc�F�"t.�" . Intuitiv vorbind, un algo ritm este un 'ansamblu finit de reguli care aplicate ăSui:"r� tinor date "ne' duc'- -după- 'uit ��,măr ..finit' de ' operalll " (efectuate conform "cu regulile) la un rezultat care' constituie soluţia problemei p�se . Noţiunea ' de algoritm mai poate fi pre c izat ă iridiCîndu-se proprietăţile generale ale algoritmului : 1) caracterul discret : procesul de cal cul se descompune într-;-un , şir de operaţii distincte ; 2) caracterul determinat : rezultatele obţinute în fiecare nloment al acţitil1ii "ălgoritmului sînt univoc determinate în raport cu datele anterioare ; 3) caracterul formal : în aplicarea algoritmului este esenţială numai corel aţia' fo rmală dintre date şi nu II conţinutul" lor ; 4) caracterul 0.e ,rr}J!:.§4 : datele iniţiale constituie o sub­ TIlulţime a unei nlulţimi potenţial infinite, numărul de probleme rezolvabile fiind potenţial infinit ; 5) caracterul finit : numărul de l I operaţii" elementare (de "paşi ") care duc fa soluţie este finit ; 6) caracterul definit : datele.. natura rezultatului şi for­ mularea regulilor " sîfît precise . 7) c�racterul mecanic : fiecare pas în calcul este sugerat i mediat de dalele"'�âsupra cărora acţionăm şi acţiunea constă numai din operaţii de tip mecanic (scriere, eventual, ştergere de simboluri) . Vom spune că o problemă este algoritmic rezolvabiIă d acă şi numai dacă exista: tiri a]gorib:n care s ă u'e 'pei:ffiita -rezol­ varea el. . ,

"----",

-

Metodele l ogicii moderne

35


Greutatea cercetării cade în acest caz pe existenţa al gori t mului� nu pe rezolvarea efectivă . Invers, dacă am rezolvat "algoritmic" o serie de p robleme concrete rămîne încă de­ fo rmul at procesul de rezolvare în gene re Se observă că ideea de "rezolvare efectivă a unor problenle concrete" nu este necesară pentru definirea algoritmului în genere . Într-adevăr este p osibil ca numărul de "paşi" pe care-i avem de parcurs, deşi finit, să fie atît de mare încît practic să fie inlposibilă aplicarea algorit mului l a un moment dat . în cazul algoritmilor nu " rezolvarea efectivă concretă" contează ci "rezolvarea potenţială" (abstracţie făcînd de limitele noastre fizice) . Dealtfel, introducerea maşinilor de calcul măresc enornl p osibil ităţile noastre de re z ol v are practică. Pentru maşinile de calcul algoritlnii sînt aplicaţi prin intermediul operaţiilor de "programare" . în principiu orice prob l e lnă rezolvabilă algoritmic este progralnabilă l a o maşină . Am discutat d ej a despre legătura diP-�E� "" funct��" " �L ��K<2!itlI]. i . ��a..!?.t�_ "!�.K�"1:].�� � ""�"�t � e ��1ŢiH" i . P e baza acestei legături constit.1:lim " a ş g:- gu_tpjJ� -'1"cl�"slf a funcţiilor ""cal culioi1� r.. Problema dacă o clasă de funcţli esfe -ca[cU:I"aoI1ă" să"u-nu"-este fundamentală pentru acea clasă de funcţii. în logică o astfel de problemă se mai nume şte şi "problema deciziei". Datorită faptului că funcţiile logice pot fi puse în anun1Îte corel aţii univoce cu funcţii aritmetice, se poate spune că se produce o anu111ită unificare a func­ ţi ilor calculabile ca ,,funcţii aritmetice" luate Într-un sens gene ral i z a t Se ştie că clasa funcţiilor de adevăr este cal­ culabilă în timp ce clasa funcţiilor propoziţionale nu este astfel . Acestea sînt însă probleme pe care le v om trata separat . Legătura între nprobleme", , ,funcţii aritmetice" şi ,, funcţii l ogice" este esenţială pentru formularea meto­ delor de cal cul În logică [v. 2S ; 236] . Revenind acum la calculul logic şi m a t e m ati c se observă că ��gll}iJ."�__<i�"" c?-!�tll_�t�ţlund�}1!�J.lţ9-te (sau pot fi fun da­ m ent ate ) 199k_LlL....Qg.d.rnl_ metat.eoriei . Astfel regulile d e calcul matriceal sînt fornlulate im edi a t pe baza definiţiilor (matriceale) sau fundamentate pe baza acestor definiţii . Este interesant d e urmărit " decizia" c u ajutorul form:��or normale. PŢ ocesul constă aci din. "două et�p"e : a) algoritnlul " de aducere la fornla normală, ţ>} �)BQr"�ţtp_1!l_"Q.�._ţ"��1j"p;Q"�ştere ­

.

.

.

t-,c�-il�Ae"�����!�}�i��f:·�;���:-i �;:!� j"�� �oîii�iîn�9"�a�� " a ) Teoria sistemelor logice

36


priveşte n"l odul de prezentare a algorihni1or nu este absolut necesar să ia o formă literală sau verbală, putem îmbina aceste forme cu forme gr afice (v. diagramele lui Euler, Venn ş . a . ) . g <? !, c - a (axiolnele) _t!:�1?!Ii e să decidem dacă o fOţ"l11 iiIă" es"t�".J?au riu ţ�.9I�m�,,_. Delnonstrarea unei teoreme nu are însă nici pe departe caracterul 1necanic pe care îl presupune un algo­ ritm. Fiind dată propoziţia trebuie să aflăm dacă ea are sau nu premise î n cadrul sistemului . Or , se poate ca dem on­ straţia să fie foarte lungă şi compli cată. În genere, ea nu ne este sugerată i mediat . Adesea trebuie să trecem în revistă un nunlăr destul de m are de propoziţii pentru a putea găsi premisel e (în caz că ele există) . O prescurtare �-P'!Q���t�:!!!Lse poate obţine pe baza J lintuiţie["': ��?}��-��_? a încercat să " l1la şi �iz�ze" demonstraţiil� Jormulel�r )ogice . _ Cercetările lui au dat unele speranţe dar este pren"l atur să formulăm aprecieri general e. Paragraful tumător ne va releva alte virtuţi ale metodei a xi omatice.

��:�lfc � j{ �;� e���"c�fJ�1-1�-��iii�?�k'����6iz ��cÎit�+�! "

__

4. M ETO DA AX I O M AT I CĂ

În linii generale se poate spune că m et od a axiomatică a ��ut.��,�ţ�u p'�;_tpa.:_�?:ţ� .i!l" ",91'ga,n9��!., } �i _�ri�.t§i�� : "" Se ştie că Aristotel orga nizînd logic silogistica a avut în vedere existenţa unor "principii", ,,��g':lli" şL !�:�i!�ogislne p�rr,�cfe/1 (fig. 1) , p e baza cărora putem selecţiona toate modurile silogismului . Un p as înainte în aplical�ea metodei" aXloiiîa­ tiCe îCface" 'E udid' î'ii Elein'e nfete . Se poate spune că pînă în sec . XIX această-carteă--raillii:S model de construcţie axio­ matică . În direcţia acestei metode au acţionat de asemenea Descartes, Pascal tsi Leibniz ("nleto'da " (reduc-tivă'-'r: �Rotari­ toare-ail -Jo-s;f'co-lîs rti'cţ1{îeT�l Pe�}J:9"_ (în aritmetică), Hilbert (ge01netrţeJ� _f��K� " ş�_Rtlss_�IJ " (logică) . Astăzi ştim ca"gÎn:=­ direa logico-matematică acţionează la trei nivel e esenţial g�osebite : a) conceptuaC b) semiotic, c)"" "fo"r�ali:?�_t.. Gîn­ direa conceptuală se desfăşoară în termeni de "abstracţii" (concepte, noţiuni, j udecăţi), gîndirea semiotică (lingvis­ tică) are în vedere "semne" (simboluri, cuvinte), expresii __

__

__

Metodele logicii moderne

37


(propoziţii, termeni), iar cea formalizată (în sens strict) operează cu ,. obiecte formale", "formule" etc . Ca urmare, metoda axiomatică poate fi asociată cu unul sau altul din ��l,� ,ţ�,�i ��b:.ele . Vom avea' în conseelnţ( ' respectiv ': "teorii ! zate ' � .. L t<' l i mq i � i2 , �L , x �� E!� �?" � � ._� ,�rp.9:,ţ . , , L,_�iş_tţQ1e JgrmaI'e axiomatizate" . Ar trebui să descriem deci lnetoda axio­ ffiăfiCă-mdependent de aceste trei nivele, lucru destul de dificil şi probabil din această cauză nepracticat . Vom lua ca punct de reper sistemul semiotic. Metoda axiomatică constă din< : ar -posfuTirea-"CIe' semneprlme (în planurile conceptual şi formal, respectiv concepte prime, obiecte formale prime), b) postularea de reguli de formare a expresiilor din sem­ nele prime, c) postularea de propoziţii prime numite "axiome", d) postularea de reguli de derivare a unor noi propoziţii ("teoreme") din axiome . Rezultatul aplicării tnetodei indicate este un sistem de propoziţii (axiome şr' i'eo'ieme) numit .. ,�?,i?ţ�.m ,�ţ:i<:>,matic". în cele d e nlai sus am expus "principiile de construcţie" ale sistemelor axiomatice, o a doua clasă de principii o constituie , ,�riteri�le , de a.:ccepţa.r,e" a , ���ţ���!2!...§-�!9�ţQatic�.t este o probfeină 'p'r'agmatică în sensul foarte general, mai precIs:' o problemă de eficienţă. Trebuie deci s.�_, qj�tingenl : a) met6a:,Cae- 'consfrucţîe ă ' sistemelor axiomatice (descrisă mai sus), b) sistemul axiomatic , c) sistenlul axiomatic ca metodă de rezolvare a anulllitor probleme (deci, destinat unei anumite eficienţe) . Nucleul constituirii sistemului axiomatic constă din deri­ '( ceea'-'ce' -este în esenţă 'u:n varea'-feoremelordin 'axionie . , ,

I JP'iocesToiic )'l--� ,

-

,

'

""

-

.'

în continuare ne vom limita la a aminti unele criterii de acceptare a sistemelor axiomatice . În funcţie de ' iiecesităţi p rete:nE!le pot' sa fie maxiinăIe'''sau minimale . UnsiSterri axiomatic esteaccepta:tdacă' satisface cel puţin j p.rQp :r; ţ.t�te � , _cţ� �9P-� i.şt,e.,:t)J�.: D acă sistemul ar fi contra­ dictoriu, din contradicţie se p ot deduce atît j udecăţi ade­ vărate cît şi j udecăţi false şi prin urmare menirea (prima şi cea mai importantă menire a) sistemului de a deosebi i !!! � ţ � �t ţ " E�()P�� ii � a.d �y r� e <:ţ.� , � ro :e�_z ţ �. ,,��.��; ,'- ' n �âr fi atinsă. Aceasta este ' cu atît mai important cu CIt există cazuri în care nu ne putem bizui pe "algoritnli mecanici". __ .

__

Teori a sistemelor logice

_,_•.

38


ex. în logica predicatelor problenla deciziei nu este rezol­ vabilă algoritmic. Co�p!�,ţ itu4inea asociată consistenţei (necontradicţiei) mă­ reşte capaCitâtei '"de " aeCizie" =pînă " lâ limitele maxime ale teoriei - totalitatea propoziţiilor (formulelor) adevărate. e fe ���ţ:�1e (�:�10�����ă �r��t:rJtnt[1t1��' ��a��Icfi�cf:� i �' ' ea este teoremă sau negaţia ei . Deosebirea dintre completiftidinea sistemului şi decidabi­ litate constă în faptul că prima impune condiţii ca pentru orice p să fi e delTIOnstrat p sau să fie demonstrat non-p. Această condiţie poate fi satisfăcută şi în cazul unui sistem contradictoriu. Fie P mulţimea propoziţiilor şi T mulţimea teoremelor : dacă P T sistemul este complet dar el nu este consistent şi nici decidabil. . Independenţa sistemului n:�re§te eJ����12ţa .î� a!ţ.E: direcţţ� : a) minimizarea grupului de axiome, b) deschiderea posi­ bilităţii de a construi alte sisteme pornind de la sistemul dat. Fie S {A 1> A n}. Dacă fiecare axiomă Ai este inde­ pendentă de celelalte noi putem efectua următoarele ope­ raţii : a) înlocuind o axiomă Ak ( 1 :::; k :::; n ) cu A l' A l indepen­ dentă În raport cu S, obţinem un nou sistem ; b) anexînd o axiohlă A n '- 1 independentă obţinem un nou sistem ; c) renunţînd la o axiomă din S, fie A m, obţi nem un nou sistem . Fie noul sistem S ' . Dacă aveUl cazul a) atunci S =1- S', dacă avem cazul b) atunci Se S' (şi S =1- S'), iar dacă avem cazul c) atunci S' e S (S' =1- S) . Anumite raporturi obţinem şi în ce priveşte " domeniul" (sistemul de obiecte al) teoriei, respectiv se va obţine un domeniu deosebit, un dome­ niu mai special (căci axioma A n +! aduce propoziţii care sînt valabile pe u n subdomeniu al lui S sau un domeniu mai general . Ideile de mai sus pot fi urmărite, de exenlplu, în raport cu geometria (euc1idi ană şi neeuc1idiană) sau în legătură cu sistemul logicii predicatelor [v. 20 ] . î n raport c u una ş i aceeaşi teorie putem construi mai multe sisteme axiomatice, diferenţa dintre ele fiind de simplitate, eleganţă sau c01TIoditate. =

__

=

Metodele logicii moderne

39


5. M ETO DA F O R M ALlZĂRI I

în sensul vechi, precizat de Kant, "ţ.ormal " î nsemna ceea ��. jj����_c)usiv de ţ��:I.1!ă. Logica era formaTă · ·p"eiitru-·c·a: se ocupa nUlnai cu [or11tele. In raport cu hmbajul această tOrma-era terEu2.i--·ilrî confinut deşi foarte abstract . Or, dej a operaţiile a-ritmetice(chiar cu cifre 1) arată- că ele pot fi înfăptuite fără a lua în seamă selnnificaţia cifrelor, pr in simplă manipulare a configuraţiilor cifrice . Şi mai evidentă este această procedură . în algebră unde nu :::t.Y�!1! _.§ e:�. _ J?S� " .-SU s�:t.??:!!gic�ţii ... �<?�lSţ�!lt�.: Introducerea simbolismului şi calculului în logică a dat posibilitatea utili_�.�!i L.şL�g. _�cesţ. j._<?�e.!!i..l! .?: �e:t:.�tinor pur_ fornl<!l e (cu configuraţii) . Se produce o " elilninare totală" a abstracţiei şi se operează cu suportul .Jizic" al limbajului după reguli aplicate mec anic . Aceasta se bazează pe relaţii foarte strînse (de corespondenţă) Între forma configuraţiilor şi a mulţimilor de configuraţii, pe de o parte, şi sistemul abstrac­ ţiilor, pe de altă parte astfel încît rezultatele ob ţinute pe o cale pot fi imediat "traduse" în termenii celeilalte . Esenţialul constă în a avea un sistem n�i.t. .ge QO�lfig�r�lti (desene) şi un ansamblu precis de reguli de operare cu ele. Configuraţiile vor fi numite-.-2i " obiecte formale". Fie·coiiIiguraţiife-··de1·orma geometrică :

.

__

__

,

D.

O,

O,

A

. Vom da reguli de formare a "co�ţ>!!I�JiJ!Q.��� _<;.Q!1Jigg!:..alli.: "

(1) Dacă A este o configuraţie geometrică atunci A este " " " configuraţia (ex. OI Dl O) . - --_._-----_. ..

(2) Dacă A şi B sînt configuraţii atunci

(

configuraţii ex.

6'

D O, Do ' ( D O ) (6) ) O

� şi

A B sînt

Dacă nu ne interesează toate configuraţiile atunci dăm reguli de selection r�de "transformare" şi de nseparare") . ProceslliăeIOrma lzare nu se petrece întîmplător (cum se afirmă uneori) , f<?.E_���i�?-E��..._��e _Jp�" ,�� .1>��� . !.l_�iJ.imbaj PE���_}o �!!1�l� sau, în genere, .şţgnQg,rdizat . Pentru a îndepărta asocierea configuraţiilor cu conţinutul (semantic) este de preferat (cel puţin în vederea asimilării ideii de formalizare) ca semnele să fie înlocuite cu configuraţii l! eoQiş.DJiJ. ţ�� În cazlilde--mâl-sus-nor" am·""ivu{ 'li1" minte

î

Teoria sistemelor l o g i c e

.

40


a lgebra Boole {A, &J V }. Diţ���nJ�_ apare J�.L<?tt�a 05iecteIOrelementar� obiecte care diferă de simbolurile di-baiă c"unoscute şi unae,-·de - as-emenea, fOi-m_a-"comblna:" tiiI6r de-�obiecte·-eIementăreeste diferită. - ". " - -- " --- -Deşi "��i1�!:ihil esfe-· tiri- " ii!�s���" "iQ rmal;.�afJ� �q��gţ�: L. g"� f�j9:���" d�_.1��!�� aJj��Je este �Q�J ă _.!112L..9-1� �l!_�� de "sistem axiomatic" . Totuşi uneori îll loc de sistem formal se spune ,,'c alcul" ( formalism) ca de exemplu în expri­ mările "calculul propoziţiilor" ş . a . Dej a Hilbert îp:. "._Ii.'!:.zEf}_1�o.?!!:etriei a arătat că p-u_....Qre­ zip.t ă pi"c;1 Q ".J�p...9"�ţa}!ţ"� "_�9.<gţinu_tul ""��Q��_�illQ!._, J?J1"nct " , ,, 9:!��ptă",�lan " ş. a . Acesta a fost u � _p as .��r_�"J9":t:.f9.�li=­ " " " �ar�.Jp.- ����_4"�_Jl_��LţnjEl.�E� !.Qla.;��_���!?E .ţ!g�ţi.� i " , totuşi mij locul utilizat aci de Hilbert nu e cel mai Qotrivit căci " ��i���gţăi:eă � c"onţI.tii!ti!ui noi nu ne putem detaşa-Ode " " " infuitiv'" "âl iespectlve1 oi-- cuvinte. Simpla idee că " nu im­ poita- ·c·o nţiilutul'Y, ·,·;trebuie """s�i " uităm de conţinut" ş.a. nu sînt suficiente pentru a ne i nocula ideea de formalizare. Era nevoie de introducerea unui sistem special de configu­ raţii străine de orice asociaţie cu coriţin:uful�·în-p-art"e" acest luciu a fost făcut de" Petitio' îii "aritm-e"tica. "Aritmetizarea -,

- -

-

.

__

_

__

matematicii" ca şi pretinsa ,,logicizare" a aritmeticii au dus la forme atît de comPlicate încît pe anumite porţiuni pur şi simplu legătura cu conţinutul devenea imposibilă.

Nu e vorba de "a renunta" la conţinut, ci uneori este

,,=-4A�_� j!!l2.o �Ab�L ��_r��ţ}tti!!!! ��ililiţ!iifuI ._511ti!iţiy " co:

r_ţş12.����"ţor unei Jor�lţJ e. Formalizarea devine deci un fenomen necesar şi nu doar util. Ce est e deci formalizarea ca metodă ? Este _()P�E�.r��.-Su forma materială a limbajului formalizat ( = sistelTIatizat dguros) ; · abstracţie - făcÎ1:ia -a-e-conţînufUl-acestuia. Avantaj ele sînt evidente : 1}"- operăţ1ife fizice (mecanice) sînt mai simple decît opera­ ţiile cu expresii (deci cu "sensuri " ), 2) elinlină1TI posibilitatea oricărei ambiguităţi odată cu eliminarea abstracţiel, 3) putem transfera operaţiile oricărui dispozitiv fizic a­ decvat, 4) datorită posibilităţilor de interpretare diferită a obiec­ telor formale şi formulelor rezolvăm probleme nu pentru un singur domeniu ci pentru un număr n de domenii, adică _

Meto dele logicii moderne

41


pentru orice "teorie" care poate fi asociată cu sistemul format 5) soluţia unor probleme pozitive sau negative (v. para­ doxele) poate fi sÎ1nplificată şi găsită mai repede. Uneori un sistem formal se mai numeste "formalism" (a se deosebi de filozofia formalistă) . Vom deosebi în conformitate cu cele de mai sus urmă­ toarele etap���_, eV�,luţiei_!9.r.maliz!rii : a) operarea cu limbaiul const.ant (intuitiv) fără a-i lua în Sg,!l,si4�_��t!�_, G..Q,!lţinutul (ex. se poate calcuia cu ' semncle cifr i ce fără a ne sinchi si de faptul că ele exprimă numere, acest lucru se observă cînd adoptăm, sisteme cţe , nU,me r aţie cu o bază diferită de zece şi în care cifrele, deşi prin regulile de traducere putem să determinăm la ce se referă, totuşi în mod imediat nu ne sugerează numerele ş i sîntem nevoiţi să ne ţinem ' strîns de regulile de combinare, înmulţire, adunare etc . specifice, luate strict în raport cu cifrele ; cifrele ţin loc de numere) ; b) �erarea cu limbaj ul constant astfel că cel puţin o parterun'cliviiile- S'il1[([esc1iTse'reinterpretării (tiu '''a u ne­ apărat semnifiCaţi a ' pe care ' ne-o' suge'rează imed ia t) acest procedeu a fost adoptat de Hilbert da r el s-a aplicat şi în legătură cu aritmetica sau limbaj ul logicii ; c) o per,are,� cu u l:l S!�t,e.:r:r?: . ��, s onf�Ktţ!:aJiL g�]J. �_��,uiaL c el_ p�ţip: _ ,pr(?yizoriu, "nu-i dezvăluim raportţ1rile cu 1}n, ��?J_e_:t:n 4�", se!l1X!Îfi,12,aJi,ţ cu�()s�ute . Cazul c) constituie formalizarea în sens s t rict în cazurile a) , b), c) noi am clasificat formalizarea după l!! 0Sl�L�!!: ,..�.§lr e ��, � i s tanţ ăm 9-,� . se_mnific_aJi�, putem a,cum s-o c1asificăm după ,metodele cu care o asociem şi, aci avem , , trei cazuri : d ) metodele algoritmice ca metode fOF.m�le ; e) nletoda axiomatică formalizată ; f) s i stemul sintactic redus la configuraţii şi reguli.1 e de formare. CoiiSi'd'erînd algebra {A , , &, V } definită prin reguli de formare noi avem un sistem formal în s e ns ul f) . Acest sistem poate primi diferite interpretări. Pe de altă parte, sistemul. în ulti mul sens, este condiţia nlinimă pentru a putea -tnfroduce algoritmii sauaxiomahca : Oaafă-ce --anl a:efeiiiiiii:if 'prin 'indicarea - obiecteloi--elimentare şi a regu­ lilor de formare cu ce sistem de obiecte formale avem de '

. .

"

,

,

..

__

.

..

___

.

-

- ,-

..

- -

-

-

-

-

-

-

-

Teoria sistemelor logice

42


a fa ��, J����� ! r:t ro du,c � , � e�? deţ e ţ5?,r�:lle �e �e�e�ţ ie (�lg�-:. ntmu, aXIOmatlca ) . SistemuÎ fonnar-poate conţine, aşa cum a arătat Hilbert ş1combi"ilaţll care ' -liiateseparat să nu aib ă inter2retare, eseriţi i:i1--esfe�--c-a - - el e - -sa poătă -ri""'-elimiuăfe -şI' ca'- -r ezultafele rezolvării unei probleme să poată să fie interpretate în sistemul de semnificaţii iniţiale. în capitolele următoare se va vedea că un rol central îl j oacă noţiunea de sistem formal în sensul de ,.sistem axio­ matic formalizat". 6. M ETO D ELE MATE MATI CE

Term�:Q.uL de__ _l!!.�ţ�]:gaticli are pentru omul de rînd două sensuri , principale : 1) _şţit�ţ*-_ (! _ ��ptit�J# şi 2) şt i nţă a , �aJcţ1luJui . La acestea s.E ecialistul adaugă altele şi în-primul rînd sensul 3 ) de ştiinţăa"'structurilor. Căutînd să păstrăm utilizarea cea mai răspîndită a -Termenului vom înţelege prin matematică, în sens strict, ştiinţa care studiază rapor­

i

turile cantitati v e şi toate structurile ,care , p_qşedc!t, 1"!"'or;f�f.ţ:� , can, titaUve. - - ,, 'Vom împărţi metodele matematice utilizate în logică în : 1. Metode pur cantitative, obişnuite (destul de puţin uti­ lizate) şi metode geometrice ; 2. Metoda teoriei mulţimilor ;

3. Metoda . ,structurilor matematice" ;

4. Met oda aritmetizării (v. şi diagonalele lui Cantor) ; 5 . Metoda recursivă. 6. 1 . Prima clasă de metode

�:;';!.�Jti�l��� - �!itf�!m�!u�nf�U�ţ'ifi�r"�Je·��i�i}�-s��

de a lua în consideraţie cardinalitatea modelelor (v. teorema lui Lawenheim) . Repre�ep.ţările g�Q_�eţri�� _ Şţ îp: ,ge_n��� metodele grafice sînt dej a de mult utilizate în ţ()gic_�. în general calculul numeric este sporadic utilizat . Se prea poate ca în viitor el să se extindă prin corelarea unor con­ cepte logice cu concepte aritmetice (sugerînd, de ex., c ă în loc de " universal adevărat" putem spune ,, 1000/0 ade­ vărat " ceea ce aduce un aspect nou în discuţie) . Metodele logicii moderne

43


6. 2. Metoda teoriei m ulţimilo r

Cea lnai larg r�şp îl1 ditffi. . )n� t 0clă . rp. ?: t_e g!aJi c.� __ţ!1..?_cl�..!:!lA îşi găseşte o ?-l?}5caţie _efici� gtă_ şţ .J!1: _ J9.g!�ffi.. Sensurile în care azi teoria mulţimilor se aplică în logică sînt cel puţin următoarele : a ) ..9:.2Ji�a.!"_��.J 2� ţ.1!. . c9 r� � � r �.� �tţ_s.al ,:?�lek ! 9.gi5� e (propoziţii, predicate, relaţii) .în set1:su! s:A _!10Ljnt�!.2��tăm aceste cal�ute_ . l?�_. _mullţ�L.. b) t ratarea şj�t�!r.l.� l<?t: . Jo.gi�e ca mulţimi -de e:lltităţi (ex. "mulţimi de obiecte formal e şi de formul e ' ;) : ' cf ·sittdier��.. _ _Rrg�l�"!!�lo�_.!!!.��ţ�oreJice (semantice, sintacti ce) prin metoda nlulţimiloL De ex. oricărei fUllcţii '�-(xTI- se"'- asoC1ază o mulţime CflM definită de această funcţie, orice formulă este o nlulţime de configuraţii nlai simple, între mulţimile de simboluri şi mulţimile de obiecte se stabil esc relaţii de corespon­ denţă etc. __

_

__

A) Simbolismul de bază este următorul : 1. a, b, . c, . . . x, y, z, . . . elemente, . 2. A, B, C, . . ; mulţimi 3. E apartenenţa ; a E A ("a aparţine lui A " ) 4. C - incluziune nestrictă·; A C B (" A este itic1us în BlJ) 5.. - identitat e a ; A = B ( A este identic cu B�') =

'

C) � complementarea ; A (sau .·.C A ) . (" non-A " ) 7. n - intersecţia ; A n B ("A intersectat cu B ", " înter. secţie de A cu B l J) . . 8. U - reuniunea ; . A U B (" A reunit cu B", nreuniune de A cu B") . Pentru definiţii putem folosi anumite simboluri logice (operatori logici) : 1 , )\, V, 3 ş.a. Precizăm c ă o mulţime poate să fie definită printr-o proprietate P sau prin înre­ gistrarea elementelor ei (dacă e posibilă) : J

6. - (sau notat cu

DeJ. 1 . A = AXP(X) sau prin indicarea elementelor A = { Xl' X2> Xn} or dacă enumerarea nli e completă

în principiu : A = { xv X 2 ,

• J

X�p } Dej. 2. CA == A:= )\xx � A (unde , , � " : D ej. 3. A C B == 'v'x(x E A -+ x E B) •

De aci rezultă că ; (A = ÂXP(x)) -- 'v'x(x Teoria sistemelor logice

E

AXP (X) �

x

> J

nu

aparţine")

E A) 44


Dej. 4. A B == Vx(x E A <=> X E B) . Obs . Semnele == şi <=> d e S e nll1e a z ă respectiv echivalenţa logică (prin definiţie sau în general) şi echivalenţa (între expresii propoziţionale) . Dej. 5 . A n B =. AX(X E A & x E B) De!. 6. A U B =. AX(X E A V x E B) ExemPle din logică. Fie P mulţimea formulelor din CP (calculul propoziţii lor) şi T m u l ţ i ln ea teoremelor di n P. Fie Pv P 2' . . . Pn, . . formulele, atunci : P {Pv P 2' . . . , Pn, . } P = AX Expresie (P) (Noţiunea de "expresie " se presupune �efinită prin regulile de formare) . , Putem nota p e scurt predicatul " expresie" astfel "Ex." Următoarele propoziţii vor fi exemplificări . \;-- VP (Ex(P) == x E P) f"--,- <l}J V q » E P deoarece }- Ex( <p y q ») . f-" (P "'-' » � P deoarece f- Ex « <1> "'-' ») }- Te P == VP(P E T...-. P E P) (Orice teoremă este o formulă din P) f- P = T U C T � T U C T == AP (P E T V P � T) . Fie apoi FN mulţimea fo rmelo r normale şi FNC, F-ND fţspectiv forme normale conj unctive şi disjunctive . � FN = FNC U FND Există o intersecţie 1 între FNe şi FND astfel' :că I ,--:- (FNC n FND) Exemple : " P " E (FNCn FND) ',";p &" q" E (FNCn FND) 'Tautologiile ( T), contradicţiile (C) şi funcţiile realizabile ( R) f o rm eaz ă o reuniune astfel că : f- P = T U C U R Toate propoziţiile de mai sus aparţin ML P { metalogica p��po ziţi}l ��L �.� 1}�ă " c_u aj utQru) " t_e o.ţi ţ.r�rgţ11ţrmi1or:- ._-.J?) qbservaţii speciale relative la noţiunile de bază. 1 ) l!Q1t:u���4ţ"'_. .!�J�m.��ţ�J aş a cum a m introdus-o mai s,us coinci de cu " elementul individual" . în matematica modernă se extinde "aceaSta-noţiune-şTIa elementecompuse :" perechi, tri p.J��9r�dr.!!Qk L ���". n�J�.pJ�. Vom nota '-astfel ���.l!!..e ţite C:�_<!J,"� "�!�� "''--:__�L> (un de n � 2) . Un astfel de =

.

=

.

.

-

..

-

" Metodele l ogicii moderne

45


element va fi numit " n-uplu" sau "n-tuplu" . Ordinea ponentelor este presupusă astfel căJ de exelnplu,

com­

< Xl., X2 > i= < X2, Xl >

Un rol deosebit îl vor ocupa eleţI!�_gţ�.�_�rechi��I..�ţg���i 1�-9: det_eqginat. c;a P�. _II1ulţi�i 0:r.g..o�ate deţiniIţg�-le astfel : < xv x2 > = {xv { xv x2} } în logică o funcţie cu n argumente este definită pe o mul­ ţime de n-tuple. Fie ! (P v P2) şi mulţimea valorilor logice {v, j} atunci mulţimea cuplurilor pe care e definită funcţia j(pv P 2) va fi : { <v, V >., <v, j >, <f, V >., <j, ! > } �u:QJ_�:rlJ��tţ1t _��ci f�.!mate 4i!!__ �l�_:ţl1en��ingular.�_dispuse Într-o anumită ordine . Că.-urma:ie vom obţine mulţimi de "n-t uple" (ex. mulţimea căsătoriţilor din R.S.R. este o mulţime de cupluri). Opera­ ţia prin care se obţine o astfel de mulţime din mulţimi de elemente singulare se numeşte "produs direct" sau ."produs cartezian" şi se notează cu X . Dej. 7. A l X A a X . X An = Â< x1., Xa, Xn > & x" E A n) (Xl E Al & X2 E Aa & Dintre produsele carteziene cele mai interesante sînt · mul­ ţimile de perechi (cupluri) A X B., mulţimi puteri A " = =

A

X

A

x . . .

x

.

.

.

.

.

00

A, şi produsele carteziene infinite I l A • . i=l

Mulţimile exponenţiate pot fi şi ele infinite : Aco Mulţimea alegerilor de valori pentru f(PI" Pa) este un pro­ dus de forma A X A., adică A 2, unde A = {v, j}. Altfel scris : {v, j} X {v, j} . în cazul unei logici polivalente, de exemplu. logica lui Lukasiewicz. A = {O, 1, 1/2}. deci pentru j(P II P 2) vom avea {0. 1 , 1 /2} X {O., 1 , 1 /2} Cuplul ��3J_ va fi el��ent aJ����§.tEL.�<Lq}lS : < O., 1 /2 > E {0. 1 ., 1/2} X {O. !' 1 /2} sau < 0, 1 /2 > E A X A sau < O, 1 /2 > E A 2. 2) O altă general izaţţ_� n�ţiu�i ��. �e,l���t J� şi._��p�_<:!!� de "l!:':!!ti me" se obţine prin aceea că�����t�J:��._��_�<.?_�l­ slwate şi �ulţimil��_ în !.9:P..Qţ�.�_ alte mU1ţl�.!.. ex . "mulţimea claselor de elevi". Cuvintele sînt mwţlml de litere., expresiile sînt mulţimi de cuvinte (v. teoria algorit­ milor) . __

Teoria sistemelor logice

46


Vocabularul L P este o mulţime de silTIholuri elementare, fiecare formulă din LP este o mulţime de asemenea sim­ boluri, fiec a r e de m ons t raţie este o mulţinle de formule etc . 3) Pentru operarea cu elemente şi mulţimi vom fol o si Ul1�qţ"j -i��i�r de acr�Ll�lerii� nte -'illdI�Iaie' ; - ' 'ei --s'au--'��ffffiiT in9.jci�ţ�_, Mi. unde i E T ( T fiind finit sau infinit şi r e p re :­ zentînd lTIulţimea indicilor) . 4) Pe baza o per aţi il or dej a indicate putem introduce alte o p e r aţii pr i n definiţie (ex diferenţa, reziduaţ�a ş.a.) . A se vedea în a cest sens l ucr ar ea noastră Logica simbolică. 5) Unor mulţi�i fo rmat e prin anumite oper aţii li se pot l _,fu . l1oscute'. în c ontinu a re _�lic�,_ .9..p.�r.l!iil� Ex emple dacă A n B, A U B sînt mulţimi atunci (A n B) n (A U B), (A n B) x (A U B), (A n B ) U (A U B) , A n B, A U B vor fi d e asemenea mul ţimi 6) , Precizări impo rtant e se pot face în l e gătură cu opera' ţiile de--ş�- { - , n , U} Fiind dată o m ul ţi me A complementara ei X p oate fj înţeleasă în două feluri : a) complementara lui A într-o mulţime U sau b) cqmplementara lui A fără vreo limitare. Prima este c ompl ement a r a în sens relativ" a doua ,Jn sens absolut " . Dacă avem ca mai sus mulţimea teoremelor din L P, adică TLP atu n ci complementara TLP va cup ri nde numai for­ ·mulele din L P car e nu intră în T, dacă însă T va fi înţeles în sens absolut Vx( x � T � X E T) atunci în T va intra tot ce ar putea fi "element", adică chiar şi T astfel c,ă TE T. Astfel de formaţiuni ascund în ele peri co lul para­ doxelor. Vom prefer a deci să considerăm că A este com­ plementara lui A în U. Operaţiile n , U au fost limitate la do i membri, în realitate 'noi putem concepe intersecţii şi reuniuni cu un număr oarecare de membri n (n = O, 1, k) sau chiar infinite. Vom scrie : n n A n şi resp . n A i = A In A 2n -

.

,

.

_

'- - ---- "

- --

-. .

,--

- _ ..

. . --

.-- -.-

-

_, o

'

,

"

o

i=l O)

n

i=l . '

.

·

o

o ,

.

".A i(J A 2n · . . n A nn

Metodele logicii moderne

47


n

U

i=l CXl

U

i=l

Ai = AlU A2U

= A1 U A 2 U

·

·

. . .

·

U A n Ş1 resp .

U An U

.

.

.

Mulţimilor astfel obţinute le lJ utem aplica operaţiile irLÎţiale : 00

n

i=l

U

CXl

n

i=l

i=l

00

n

n

i=l

i=l

u, n n U, n, U i=l

etc.

P e de altă parte operaţiile n , U pot fi de asemenea limi­ tate la anumite mulţimi, ceea ce se va scri e n jOU şi resp. Uj"U (ex . ..,intersecţia în mulţimea numerelor") . Legile operaţiilor { -, n , U} sînt aceleaşi ca şi ale opera­ ţiilor corespunzătoare din logică { - , &, V}. 7) ��rie de--2.bs�rvaţii .se impun în. E�rt cu rel<:Jii� E, C, = . Relaţia E este ireflexivă {e st e totdeauna fals ca "a E a'l, asimetrică (este totdeauna fals că " dacă a E b atunci b E a") este anti-tranzitivă (nu este tot­ deauna fals că " dacă a E b şi b E C atunci a E e") . De aci decurge că mulţimea şi elementele sal� Qot fi uneori eleluente _ _aJe-__lţJie-i : _-�---iieia-- - mulţlmi-'--- - RelaţIa-- -c poate-fr-ne·sfilctă adică ea satisface condiţia dacă AC B atunci A B sau A =p B C,sau" - neex­ c1usiv) ori poate fi strictă, adică satisface condiţia : dacă A C B atunci A:;e B. Inc1uziunea strictă este ireflexivă (nu există A, A C A ) , asimetrică (nu există A ş i B astfel c ă A C B şi B C A ) şi tranzitivă (dac ă A C B ş i BC C atunci A C C) . Inc1uziunea nestrictă este reflexivă (A C A ), anti-simetrică (dacă A C B şi BC A atunci A = B) şi tranzitivă. î n cele de mai sus am presupus că cititorul cunoaşte pro­ prietăţile relaţiilor. Ele pot fi rezumaţe în_" _�Ţ:rţlăt_orqtt�l;>el p orniiiâ - - de Ia-- propri�_t�nţ � pozitive notate prescurtat, "fesp :-- --cli - "Ref: - SYni, - -Trans. J

=

2

3

4

Ref

Ne-Ref

A nti-Ref

Sym

Ne-Sym

A nti-Sym

lref A sym

Trans

Ne-Trans

A nti- Trans

Intrans.

Presupunînd că cititorul cunoaşte grupa 1, grupa 2 se for­ nlează prin simpl ă negaţie a proprietăţilor din grupa 1 , Teoria sistemelor logice

48


grupa 3 prin "negaţia parţială" a proprietăţilor din grupa 1 (adică p ropri e tăţi l e au lo c pentru unele cazuri, dar nu pentru toate) şi grupa 4 printr-o negare totală a proprietă­ ţilor din grupa 1 (nu există cazuri pentru care să aibă loc) . Relaţia = are proprietăţile relaţiei de e chival e nţ ă : Ref ( = ) şi Sym ( = ) şi Trans (=) .

C) Feluri de multimi în raport cu numărul de elemente. Vom considera următoarele -reluri---ae mulţImi : ' mulţim�a vid ă (0), Il}.!!!ţilI.1� singulară {a} mulţimi finite {al' . . . an} mtl1f[mi 'Eifinite {a v . . . an, . . . } mtîiţ1mrT'otale ("11) Del'c, 8:---0-rri1Itfime vidă poate fi definită prin c0 !1diţia_că pentru orice A, 0C A _. , sau·"prii1COndlţla"· :-pe nt ru ori c e x, x =f=. x sau prin condiţia 0 = ' OU (ceea c e p resupune o relativizare a termenului) . Dej. 9. 4: e_ste mulţime singulară _<ţ� c � e �işţ� ţ_ �şţi�l_ c ă x E A şi Vy (y E A � Y = x) Se poate defini şi astfel : o mulţime A e st e singulară dacă ea nu are ca sub mulţimi decît mulţimea 0 şi mul ţinl e a A însăşi . Dej. 10. O _ d�finiţie clasi c ă a mulţimii finite _se dă pr:hl interm edi ul numerelor naturale însă aceasta este într-un anumit" sen s nepr edi c ati v ă - (cupr i n de un fel de "cerc") . Dedekind (şi chiar Într-o formă mai puţin p re c i să Bolzano) a definit mulţime a finită în mod " ne gat iv" : � m ulţi me este finită dacă ea nu poate fi pusă î �_ c <?_��sFondenj:ă l?hlllέ �ocă cu _� parte str��ţă a ei . (Te rmenii de "biunivocitate" şi de "parte stri ct ă " vor fi expli c aţ i mai j os.) Tarski a dat altă definiţie : o mulţime A est e finjtă, ��<;ă orlce- mulţim e nevidă de submulţimi--ale lui A po s edă cel pUţiîi un' -efement-- miriimaT re lati v hi r elaţi a de ord�p...e j c) . (N oţiun e a de "minimal" va fi introdusa mai j os) . De/. 1 1 . O m'!1lţi!ll e e�te il1finit � (în sens Dedekind) dacă ea poate fi pusă în c or esp ond e nţ ă bi u nivo c ă cu o narte strictă a ei. Prin negaţie se poate obţine o definiţie pornind de la-- mulţimea finită în sensul lui Tarski . _

_

_

_

_

_

Metodele l ogicii m oderne

49


Def. 12. O mulţime CU este o mulţime totală (univers) dacă ea nu mai est e submulţime a vreunei mulţimi . Mulţi­ mea - Ullivers ( = clasă totală) a fost definită uneori prin condiţia : pentru orice_ A, A C 'tf . �c e_��ţ�_ E<!?-ţe_ d����_para.�oxe (a se vedea parasIo�l!l)�i Cantor) . Vonl înţelege deci prin o .!.1:!.1:!!tL . l!J�tqtală sau uni­ ver� o m_1.!�ţim� de eIlti_tăj:i sle u� _ang�it _ ttP_�U�fQlo <!e care nu mai putem urca prin generalizarea vreunei pro­ pf@11��:tille1-av-e-m--:Unlversul -TiialvTziTor'--;�-- " universul " proprietăţilor de i ndivizi ", "universul numerelor ş.a. Uneori putenl înţelege prin univers o mulţime OU în care considerănl alte mulţimi şi pe care n-o mai raportăm ca submulţilne la alte mulţimi (chiar dacă acest lucru este posibil) . în acest caz vom alege un " univers prin conven=

__

ţ.le " .

ExemPle din logică. Expresia "cea mai lungă formulă pro­ poziţională" desemnează mulţimea vidă ; se utilizează "conjuncţii vide", "disj uncţii vide " ş . a . Astfel se presupune că adevărul desemneaz ă o conj uncţie vidă, fals ul desem­ nează o disj uncţie vid�. Expresiile contradictor:{ aesemnează toate mulţimea vidă (ex. "p . f", "p� P") . Fornla normală conjunctivă perfectă pentru tautologii este vidă, iar Ln.d. p. pentru contradicţii este vidă . Mulţimea operatorilor propoziţionali unari este singulară (există u n singur astfel de operator -- negaţia) . Mulţimea aXi0111elor calculului propoziţiilor din Pr. Math. este finită, dar mulţimea axiomelor generate de o scheluă de axiome este i nfinită. Multimea simbolurilor de bază este finită, iar mulţimea exp �esiilor este infinită . În logică se utili­ zează universul indivizilor, universul proprietăţilor, univer­ sul lllulţimilor de indivizi) universul valorilor logice ş . a .

D) Mulţimi şi submulţimi

De/. 13. Dacă A C B atunci A se va numi "submulţime" sau "parte" a lui B. Dacă incluziunea este nestrictă atunci vor fi părţi : a) mulţime l vidă ( 0), b) orice mulţime de 'It elemente formată din elemente ale lui A şi c) însăşi A . Submulţimile a) şi c) se vor llumi "părţi improprii" (ne­ stricteL iar submulţimile b) se vor numi "părţi proprii" (st ri cte) .

Teoria sistemel or logice

50


Def. 14. Mulţimea potenţială a unei m ulţ i m i M - sim­ bolic P(M) s e va numi mulţimea tuturor submulţimilor (părţilor) în sens ne strict ale lui M. Fie V {v, /} mulţim e de valori logice, atunci defininl : P ( V) = { 0, {v}, {f}, {v, j} } Def. 15. Dacă A este o mulţime şi A l U A 2 U . . . U An este o reuniune care conţine toate elementele lui A, adică Vx (x E A <=> X E ( Al U A 2 U . . . U A ,I )) vom spune că reu­ niunea este o " acoperire" a lui A . Def. 1 6. Două nlulţimi A , B sînt disjuncte dacă şi numai dacă An B = 0. Dacă o acoperire satisface condiţia că oricare două mulţimi ale reuniunii sînt disj uncte, atunci ea este "diviziune " (sau "partiţie") a mulţimii A : Dacă definim în sens slab "realizabilitatea" unei funcţii ( = adevărată cel puţin în unele cazuri) atunci mulţimea F = { T, C, R} dej a anunţată are ca acoperire reuniunea TU C U R, căci F = TU C U R . Dacă definim în sens tare "realizabilitatea" ( = adevărat În şi numai în unele cazuri) atunci T U C U R va fi nu numai o acoperire, ci şi o partiţie, căci : Tn C = 0 T n R = 0, Cn R 0. în cazul definiţiei slabe însă Tn C 0, dar Tn R =fi 0. Def. 1 7. Dacă A C B (şi A f:: B) atunci trecerea de la A la B se va numi extindere a mulţimii A , iar trecerea de la B la A se va numi restrîngere a mulţimii B. Astfel trecerea de la mulţimea formulelor definite recursiv în logica propoziţiilor la mulţimea fornlulelor definite recursiv în logica predicatelor va fi- o extindere, iar trecerea ' inversă va fi o restrîngere. Def. 18. Două mulţimi A, B sînt echivalente ( echi­ potente = echipolente = egale) dacă şi numai dacă Între ele se poate stabili o corespondenţă biunivocă ( = fiecărui element din A îi corespunde un şi numai un element din B şi reciproc) . Def. 19. Totalitatea mulţimilor care se află în relaţie de echivalenţă formează o clasă de echivalenţe . Def. 20. Se numeşte număr cardinal (sau "putere" a unei mulţimi A clasa tuturor mulţimilor echivalente cu A . Dacă A este o mulţime vom nota numărul e i cardinal cu A *. Pornind de la această bază se poate introduce şirul nume­ relor naturale după cum urmează : '

=

=

=

=

Metodele logicii moderne

5-1


a) Numim zero _ clasa tuturor mulţimilor echivalente cu lnu1ji!l1-�� y-i d ă ( 0) b) �uID:i�� . unu c l as a tuturor mulţiInilor echivalente cu { 0} c) NUlnIm doi clasa tuturor- mu l ţimilor e-chivalente cu {0, J01} ş:�_��:sl=- __ _ _ Fie A - B expr e sie pentru două lnul ţimi echivalente şi E clasa de echivalente� atunci : AM(M"-' 0) Zero )\M(M'"'-' { 0}) Unu { 0} r e z ul t ă că P(0) E El' P( P(0) ) Deoarece P ( 0) { 0, P(0) } implică P(P(0) E E2 etc. Doi etc.) ; Mulţimea vidă nu este Unu, E2 (Aci El ln ulţi me potenţială pentru vre o altă mulţi me . Toate aceste probleme vor fi foarte imp ortante pentru studiul filozofiei logicii şi m at e mat i cii Există teoreme interesante care fac le�ătura între mulţimi ş i numere cardinale. Dăm două t e o r e 1u e delnollstrate de C a nto r şi car e vor j uca un anumit r-o l, în e xp u ne re a ulterioară. · Teorema 1 _ A * < P(A ) * Teorema 2 . A C B -- A * � B * . A�ll: . considerat pîn ă acum numai mulţimile fo r ma t e din elc J?lente singulare� să revenim Ia mulţimile produs : ar-

- -- -

__

--

- ------ - - - - --- - - -

----- ---------.

.

-

n .

- --

=

=

=

·

=

:=

=

=

.

·

k��

'Q!1� 2 1 . dus

Graf. S e numeşt e,_g!.�f. q

cartezian :

-G,C-AI -X--.:-r;-· X

..

X

An

�.

s]:�9m.�!t��� _�_�?1!ţ --.E�o.

.

'O�l: puţin provizoriu ne ·int e resează nu m ai·. . p:r;odus.e le c a rt e ziene ' cu doi factorC �dic� .A K JL� şL de� tE:�ful : . Ce A

x

B.

.

_

o;

: .."

­

.'

A � atunci - Ce A X A s.e va nu m i , , , graf în se11§_ .K9n-j g" . Unui graf îi putem asocia o reprezenfaie ­ grafică (geom�trică) . Fie {a, b, c} şi {d, e} două . mulţimi care fo nn e a z ă produsul . cartezian {a, b, c} X {d, e} Mulţimea-produs va av�a ca elemente elementele următoarei Dacă avem A

X

·

mulţimi :

{ (a, d) , ( a, e) , ( b, d) , ( b, e) , ( c, d) , ( c, e ) } . Submulţimea { (a, d), (a, e) } este un g ra f la fel sub mulţi­ mile { (a, d) }, { (b, d)� (b, e), ( c, e) }. Dacă nu ·se sp e c i fi că faptul că submulţimea e st e luată în sens strict (propriu) atunci graful poate fi vid sa 11 identic cu produsul cartezian .

respectiv.

T'e oria sistemelor logice

52


În logică functiile de adevăr constituie submultiuli ale produsului ca�rt�����@:��_�� �'ijdaca-'-ere- sîlii-�-două argumente) . Intr-adevăr : {{ v, f} X { v , f}} X { v, f} dă lliulţimea fornlată din : { ( vv ), ( v/) , (fv) , (ff) } X { v, f } apoi { ( (vv), v), ( (vv) , f), ((vf), v), ( (vf) , j), ( (fv ), v) ( (fv), f) , ( (ff), v) , ((ff), f) } Implicaţiaj d e exemplu, este dată de submulţil11ea : ( ((vv), v), ( (v/) , f) , ((fv), v), ((ff) , v ) } lv"qJiuni leg_a.i�e graf. i Eleluentele grafului sînt n-tuple, în speţă cuplUrI, acuca fiecare element este format din ,'mai mulţi termeni care sînt dispuşi într-o mulţime ordo­ nată : < xv ' . . X >' Vom vorbi astfel de "termen de rang k" n ::ţI unui n-tuplu şi vom avea primul termen al doilea ter­ lnel1, . . . al n-ălea t e r me n . Îl1 loc de ternlen" al n -tuplului s� poate spune .,proiecţi e" (respectiv "proiecţie de rang k " ) . Vom folosi uneori convenţii terminologice care apropie ţ�priInarea de cea folosită în logică. Ţinînd seama de le gă­ ,t ura Între relaţii şi graf putem chiar să transferăm unii terrneni din teoria relaţiilor în teQria grafur�lor. Astfel, în cazul cuplului putem numi prima proiecţie nanteceq.ent", iar a doua proiecţie "succedent" . , Mulţimea proiecţiilor (termenilor) de a c�l aşi rang formează proiecţia unu'l' graf de . i:lce! ' �ar:B,,: As tfel în cazul i mplioaţiei proiecţiile 'd-e ' rangul tiiiu' lprilua proiecţie a grafului) vo.r fi : Hvv) , (vf) , (fv) , (ff) } . iar proiecţia a doua va fi {v, f} . Dacă f(P, q) este o tauto­ Jqgie . :,lt,u :q.ci mulţinl�a proiecţiilor de r<;l.ng :unu va fi , ca şi în cazul implicaţiei formată din cele patru cupluri, a doua lJ':I;oi�cţie va fi { v}, în timp ce la contradicţii a doua pro­ i�cţie va fi {f}. Craf reciP roc. Dacă GCA X B atunci G-1C B X A se va il,um� graf reciproc cu condiţia ca ia Yb <a, b > E A ,X B implică < b, a > E B X A . ln legătură cu graful reciproc G-l avem proprietatea de involuţie : (G-l)-l = G . (A se observa ca In cazul implicaţiei graful reciproc nu corespunde cu iluplicaţia reciprocă.) ,;G2 ,_N..�tl�1!':i ,§.i r_elaţiJ...._ l Vom considera relaţiile binare de forma x R y , de ex. x = y , x > y, x e frate cu y ş.a. Pre__

n

,

,Metodele logi cii moderne

53 ,


supunem ca dej a cunoscute din logică elemente de teori a relaţiilor. O rel§le 12 resupune de regulă �ă ,g.�p}_nde _de_ ��tu�a ent�ţ�ţpor . .:e���.�._��_��.<?��Jţ.��ă, că ea este Într-un anumit fef caracteristică pentru aceste e nt ităţi (de ex. r el aţi il e : >, < au sens cu privire la entităţile care sînt numere) . Există îns ă şi o r el a ţie foarte slabă care nu implică vreo dependenţă de natura elementelor ­ aceasta este relaţia d e c01'espo,11:q,!!!1ţcţ. Putem, de exe mplu , să p u ne m în corespondenţă m ul ţi m e a literelor cu mulţi­ mea studenţil o r di ntr- o grup ă m ul ţi mea cifrelor cu mul­ _

__

=,

,

ţimea formulelor ş . a . Indiferent care a r f i relaţia x R y se p oate spune c ă ea ·sau este o rel aţi e de cor esp on denţ ă sau implică o relaţie de corespondenţă. Dacă ea este o rel aţi e mai tare decît 'corespondenţa noi p ut em fac e a b strac ţie de natura entită­ ţilor puse în relaţie şi re ţinem doar faptul c ă ele îşi cores ­ pund într-un a numit fel (o c o respondenţă de un fel oarecare . fiind totdeauna posibilă) . -Pe de altă parte, relaţia xRy poate fi rap ortat ă într-un an umit fel la mulţimi fiec ar e relaţi e det er mi nî nd o clasă (mul ţi me ) de n-tupl e, de ex. de cupluri : 1) xRy = R(x, y) := < x, y > e R 2) R = Â< x, y >R ( x, y) 3) R == { < x, y >l> < X; y >2' . . . < x, y >", . . } 4) X == ÂxR(x, y) 'S) Y == Ây R(x, y) Ap o i X, Y sînt s ubmulţi mi ale unor m ul ţimi A. r esp B : ,

-

.

e) Xc A, Ye

.

B.

Aceasta deoarece A, B sînt mulţimile în care re laţi a este p osi bi I ă , iar X, Y sînt m ulţimil e care " efectiv" co res pund r el aţiei R e l aţi a nX este fiul femeii y" are loc numai Într-o clasă de cupluri însă ea e posibilă pe toată m ulţimea oamenilor, pe de o part e, iar pe de altă p arte pe toată mulţÎ1nea f e m e il o r Vom distinge deci între mulţi mea şi mul ţi m ea reală". A X B va fi mul­ d e p o sibi l i t at e ţimea de po s i bi l it at e, i a r X X Y v a fi mulţimea reală. "

"

­

.

,

.

"

7) X

X

"

"

Ye A X B X X Y este

o submulţime a pr o dusul ui car­ tezian A X B : 8) X X Y C, Ce A X B. Oricăre i r el aţi i îi a so cie I1?- <ţ�ci un . g!:�f. Logic vorbind g��fţ1� esre-·exte!1:.� Jîi:neaj��afieţ; iar j'el:�lia eş,t e inten�iu.1J.ea gr a�Wui.

Prin urm ar e

,

=

.

Teoria sistemelor logice

54


Am arătat că ��_e_ rel�tţ� �st� sau i IP-P�!�� <!. �.�!�ţt�. �.!l!�.i .�1?§!!a c tă q�--E.c}!.��P.C!.1!.�en1.ă. Distincţia între " mulţimea efectivă (reală) " care este extensiun ea relaţiei şi "mulţimea posibilă" care este "cîm­ pul în care relaţia" poate determina o extensiune se reflectă în termi nologia matematică prin noţiunile de "tăietură 4-�gf�f_ �_u.Q� �_: ' (G(x) ), ,�t.�ieţE-E�_ �.e_ gfaf .- dppJ 'y" '.·_J�IiJ ) pe de o parte, i ar pe de altă parte, în domeniul de definiţie D şi codomeniul relaţiei (Dc) 9) G(x) = AY < x, y > E G Ori conform cu (5) (a se vedea mai sus) avenl : 10) G(x) Y Apoi : 1 1 ) G(y) == A X < x, y > E. G deci conf. cu (4) 1 2 ) G (y) = X şi X X Y. 13) G(y) X G (x) Se observă că G(x) este "totalitatea el ementelor y din B care, se află în relaţie cu X E A ", analog pentru G(y) . Dacă nu există elementele corespunzătoare tăietura va fi vidă. (G (x) 0 sau G(y) 0) (Ca şi clasele, relaţiile pot să fie la rîndul lor vide, adică determină o extensiune vidă) . Orice relaţie determină o corespondenţă (r) Între elemente din A şi elemente din B (despre natura corespondenţei nu discutăm încă, ea poate fi n 1, 1 - 1, 1 - n etc.) . Corespondenţa r fiind illdiferentă faţă d e natura elemen­ telor poate fi uşor extinsă de la G la A X B. Astfel relaţia.: " x este fiul femeii y" determină o corespondenţă de n 1 (căci orice individ are o singură mamă) . A mulţimea indivizilor umani, B mulţimea fenleiloL Extensiunea relaţiei "x este fiul femeii y" va cuprinde numai cuplurile care intră în asemenea relaţie, dacă facem abstracţie de natura corespondenţei (n - 1) atunci noi putem stabili arbitrar corespondenţa de n 1 astfel că ea să cuprindă toate elementele din A şi toate elementele din B. În acest caz, corespondenţa determinată de relaţie se desprinde, se detaşează de corespondenţa în genere . Relaţia de corespondenţă poate fi atunci studiată independent de alte relaţii concepute în sensul tare al cuvîntului . 1 4) VR 3rR � r (Pentru orice relaţie există o corespondenţă pe care ac ea relaţie o implică, inversa nu e dovedită.) . Două probleme interesează în mod deosebit în ce priveşte _

__

.

=

=

=

=

-

-

=

=

-

Metodele logicii moderne

55


relnţiile : proprietăţile şi operaţiile cu relaţii . Am indicat dej a proprietăţile (Ret Sym, Trans etc.) . în funcţie de aceste proprietăţi relaţiile pot fi clasificate în relaţii ' de preordine (în special de echivalenţă) , de ordine nestrictă (parţială) şi de ordine strictă. O relaţi e R este de ordine parţială dacă satisface proprie­ tăţile Ref (R), Nesym (R) şi Trans (R), ea este de ordine strictă dacă satisface proprietăţile lref (R), Asym (R) şi Trans (R) . _9 �?Jţi�_�.?ţ_�_�!��.._<E" d<?]2-�t ă ._g.�. �. 1�laţie .l(.J!acă oricare ar fI două elemente x, y puten1 spune dacă are loc xRy sau yRx sau ambele (dacă e cazul) . Altfel mulţimea este parţial ordonată. Dintre operaţiile asupra relaţiilor "con1p unerea" (produsul) relaţiilor şi conversiune a relaţiilor sînt printre cele mai interesante. Am stabilit mai sus următoarele raporturi : a) Orice relaţie determină un graf. acest graf este exten­ siunearera lel reste submuC�e ��nuiJ?!_od1!.�rtezi�n. nce relaţle implică o relaţie de corespondenţă. b c) Extensiunea relaţiei este "mulţimea efectivă" care este determinată de relaţie în calitate de intensiune ( pro­ prietate a mulţimii ) . d ) Extensiunea este subnlulţime a lnulţimii î n care relaţia este posibilă. (Această nlulţime posibilă este un produs cartezian .) Convenim să nUlnim această nlulţime posibilă universul relatiei ' ". e ) Extensiunea relaţiei este c a ş i universul divizată în două ("factorii produsului") - domeniu şi codomeniu . f) Vom numi domeniul şi codomeniul în raport cu exten­ siunea "domeniul extensional'l şi "codomeniu extensional ", iar în raport cu universul relaţiei vom spune " domeniul de definiţie" şi "codomeniu" (fără altă specificare) . g) Reuniunea domeniului şi codomeniului va fi numită "cîmpul relaţiei" (respectiv J l cÎmpul extensional") . h) Dacă A, B sînt respectiv domeniu şi codomeniu (în sens general), X şi Y vor fi respectiv G(y) şi G(x), unde · G este extensiunea lui R. D ată fiind legătura dintre R, G şi r unel e proprietăţi şi operaţii se transferă de la un con­ cept la altul (ex. "relaţie inversă", "graf reciproc", JI'cores­ pondenţă inversă" sau "relaţie compusă", "graf compus ", "corespondenţă compusă" sau "relaţie simetrică", "graf simetric", "corespondenţă simetrică" ş. a.) . =

n

Teoria sistemelor logice

56


Vom defini încă două noţiuni "imagine prin graf" şi "ima­ gine reciprocă prin graf" . DeJ. 22. Fie GC A X BJ Xc A J YC B. G < X > s ţ_:Y.�!!!:1:�j_ i !�����gLn_�_ p_�i �_gr �L�1�siL ar �J9��.9.!1..dilia : Ab(b E B) Vb 3x(x E X) < x, b > E G (în cuvinte aceasta înseamă n mulţinlea elementelor din B pentru care există elementul pereche în XI astfel că < x, b > E G" ) G- l < Y> se va numi imagine reciprocă. (Se defineşte analog de la A la Y. ) În mod asemănător se defineşte r<x> (imagine prin corespondenţă) şi r-1 < Y> (imagine reciprocă) . în vederea definirii operaţiei de COl::r1p Unere pentru graf şi corespondenţă amintim definiţia ei pentru relaţie : xR I Qz repr ezintă compunerea relaţiilor R şi Q dacă există y astfel că xRy şi yQz. Noţiunea poate fi uşor extinsă la graf şi corespondenţ ă dacă ţinem seama de relaţiile dej a stabilite mai sus între cele trei RJ GJ r. Defininl ac um noţiunile de " u nivocitate" şi "biunivoci­ tate" a relaţiilor. Def. 23. O..-!��ie---.B_�ste univoc_ă gi!:��.3i.1!!!.:gIai dacă ea

��.ţi§ţ��� '<:_�.!.lcţJJ�l� : (a) Vx (x E X -- 3y (y E Y & xRy) ) (condiţia de existenţă) ( b) V-x 'r/y 'r/z ( ( xRy & x Rz ) -- y z) (condiţia de univoci__

=

tate) Dacă la (a) şi (b) se adaugă condiţia : (c) 'r/x 'r/y Vz ((xRy & z Ry) -- x z) atunci relaţi a va fi n biunivocă" . O relaţie R care satisf a ce condiţia de univoci t at e se v a numi "funcţională" . D e/. 24. Funcţie. Se numeşte fun cţie o corespo n denţ ă func­ tională între două multimi A-Sî-BŞi--se-noteaz'ă--:---'-FA -) B [cIteşte nJ a'plTCă p � A în B sau "f duce de la -A la B") . în loc de ,Juncţie" se utHizează adesea t er­ ll1enul de " aplicaţie" sau chiar cel de "transfonnare" (aceasta în caz că nu se i ntroduc condiţii restrictive penfu�_<:ţ�i._J� ��!��.P.��<!��._.E:n tru aceşt i te nneni) . a f L 9L. ili �� U ���.[ este d erini t �§:L§lg�., ��� _�_� ! .. g K!'� !! Qn . _ ..9:!... oricărui a E A i se asociază cel mult un b, dar poate nici un'uZ. =

_.Q�ţ_<:���_�

Metodele logicii mod erne

___

__

_ _

57


Invers, dacă se elimină condiţia de non-viditate, funcţia se poate defini ca un graf funcţional : FC A X B Conceptele relative la R, C, r ca şi cel e relative la nlul­ ţimi în genere pot fi extinse în mod corespunzător asupra funcţiei (ex. ,,funcţie inversă", "imagine a funcţiei" , ,..func­ ţie compusă" ş.a.) . Fie graful unei funcţii f notat cu F X X Y (unde Xc A, Yc B) . Dacă a E A atunci f(a) E B. Elementul f(a) va fi numit "imagine a elementului a în B " iar elementul a se va numi npreimagine a elementului f(a) " . Evident f(a) este identic cu un element b, adică b = f(a ) . La fel f(x) este imagine a lui x în Y (deci f(x) E Y), iar f( x) pro­ x este preimagine a lui f(x) în X. Scrierea : y vine din cele de nlai sus . =

=

, Douii cuvinte importante : \..z,în'j· şi "!,pe'). începătorul este

adesea încurcat de utilizare"aacesto'r·-două cuvinte, tocmai de aceea este necesar să dăm unele explicaţii aj utătoare. Cuvîntul "înH arată că sînt antrenate în discuţie elemente dintr-o mulţime, dar nu obligatoriu toate, cuvîntul H ��_" ar ată c ă sln.ţ._ �"q.p.:şigţ r.�J�_LQ�ţ_ul��n�1�ill1l1ţimii _r espec­ " tive . (Se înţelege c ă ,Sn" nu exclude "pe" dar nici nu-l presupune în mod necesar.) În legătură cu funcţia tre�uie reţinu�_. înc�L următoarele noţiuni . Presupunem din nou că avem f : A 4 B sau şi mai restrîns f: X 4 Y în expresia y = f( x) care dă imaginea lui x în Y, f(x) desemnează "valoarea funcţiei'! pentru "argumentul x " . în acest fel, y este identic cu valoarea funcţiei pentru argumentul x. Litera "y " se va mai numi "variabilă· depen­ dentă" iar litera " x " variabilă independentă . . MuJţimea A (resp . X) va fi numită "domeniu de definiţie al f uncţiei f", mulţimea B (resp . Y) va fi numită ,·, dome.:. niul de valori al funcţiei f" (sau "codomeniu") . Elementele din A (resp. X) se vor numi "valori ale argu­ mentului", iar elementele din B (resp . Y) se vor numi "valori ale funcţiei ". O funcţie poate fi definită în A sau pe A, ea poaţ� #. �p.1i­ catle-în·B-sau·-i-ie "·B�··-D·acă·- llli" e····aefiilifă pe A atunci ea poate fi definită în A, dar pe X (XC A ), dacă nu e apli­ caţie pe B ea poate fi aplicaţie în B dar pe Y ( Y C B ) . Teoria sistemelor logice

58


F) TiPuri de juncţii. :fu���i l e l2..ot să difere dup ă natura (ex. funcţii ariTmetlc-e:"-fit-ncţl1-!ogice) şi <;lup� s��acteristicile aplicaţiei sau după metoda de d�t�!ţpig�f�" _l!_y.aJ oiii iiii�ţ i ţer�pj��niiji :"���\;aroaie-·- dată" a argumentului . Le vom r euni sub definiţia u rm ăt o are . Def. 25. ( 1 ) 0.. functi e este i1Ji!!.ctivă (,J aplică pe A în B") d acă la elelnente diferite din A avem imagini diferite în B :

elem"�"ntelgt }�A.lţ!!!l.E

a77i'�7("Cif#J(â-'r�---------_·" F Ie X : num ere naturale Pa re Y : n u mere naturale Impare y 2 x + 1 defineşte o funcţie pe X şi ia valori =

Y Dacă x =/:- x ' atunci f(x) i= f( x') . Ex . x = 2 şi x' 4 atunci f( x) S şi f(x') = 9. (2) O funcţie este surjectivă ("f apl ic ă A pe B") dacă şi numai dacă orice b e ste inlagine a cel puţin unui a, adică Vb 3a f(a) b Fie funcţi a " x este tatăl lui y" . Cum orice fiu y a r e un t at ă x, funcţia este surj ectivă . (3) Funcţia este bijectivă (sau "biunivocă' } dacă ea este simultan in] ectiyă ._şi surJectIvă. Mulţimile {O, 2, 4, 6, . . . } şi { 1 , 3, S, 7, . . . } " pot fi puse în corespondenţă biunivocă prin func ţia : y x + " 1 dacă x 1 O+ 1 O at unci y dacă x 3. 2 atunci y 2 + 1 Ea este inj ectivă căci x =/:- x'--+- f(x) =/:- f(x') şi este surj ec­ tivă deoarece 'v'y 3xy j(x) . (4) Fiind dată o funcţi e f : A .-, B este posibil să existe o funcţie f-1 : B .-, A, a ceast a va fi numit ă inversa lui f. Ea a re pr_�_��!�ţ�� " d�_) !ly_�� �.tţ� .: din

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

------- -----­

(1-1) -1

=

f.

Pentru funcţia de mai inversă x = y - 1 . Ea tivă : dacă y 1 atunci y dacă y 3 atunci y =

=

=

=

sus y x + I , avem ca funcţie este de asemenea o funcţie bi j ec­ =

1 3

- 1 - 1

= =

O 2.

(S) Funcţii de graf Kănig (F C A Metodele logicii moderne

X

A) . 59


( a ) f : A ,--, A este o f1:!:.n cţi� _i!Je.!!.t� . � dacă ea satisface con di ţi a : Va f(a) = a (b) f : A -) A este o fyn.clie . cE..!!�ţan.tă dacă şi nuulai da ca ea s ati sf ace conditia : Va f(a) = ao (und � ao este o valoare dată) (c) f : A ' -) A (unde A ' e A ) este o aplicaţie canonică d a c a şi num ai dacă ea este o r est rîn gere a fu ncţi ei identice f: A --} A . . ie dacă �_ numai dacă ea este de (d) O fun cţi e este 0p!!.':fE ţQŢ2:p.aLA n -) 4. (6) Q_fu!!E1i�.Jţ_ ��ţ,�","�qţl1P_ţ!E�L�. de f şi g, p e s curt, It f o g dacă şi numai dacă f: A --} B, g : B --} C ş i f o g = h : A -) C şi există b E B astfe l c ă b = f(a). c g(b) deci Va E A există c astfel că c g [f(a) ] (Aceasta este o n fullc ţi e de funcţii" .) (7) O funcţie este n-adică dacă si numai dacă e a are n va riabil e i i1.depen dent e n > 1 . Vom nota pe s c urt cu f (xv x2' " xn ) · D om e ni ul ei este un produs cartezian astfel că graful are fornla : X A II ) X B . FC (A l X A 2 X Funcţiile "calcu1abile1) (recursive) vor fi studiate într-un paragraf special . Notăm încă faptul că o func ţi e este nşir" dacă ea este definită pe mul ţi me a nu me r elor întregi şi pozitive (ne­ negative) . Ele p ot fi fini te sau infinite, depi nd e de mulţinlea de definiţie. Vom avea c ond iţia : an f(n) , unde n E N ( n u me re în t r e gi ne ne gat ive) =

..

=

=

.

.

=

.

G) Functiile în logică. Fiind dată o mulţime V de v al or i t logrce:-s � va numfTuncţie logică a func ţi e de forma : f : M -) V (unde M este un domeniu de enti t ăţi de o natură oarecare) .. k, . . . ) atunc i 1, 2, . V,ţ (n V s au M Dacă M ăr v e ad e d funcţie o fi va V --} vn : l' {v, j} . În acest caz f' este o restrîngere a lui f. Fie V Neg a ti a este un exemplu de funcţi e inj ectivă căci p =1= p ' ­ ea este de a se mene a surj e c tivă . Implicaţia -" Np =f:. Np', nu este inj ectivă, dar ea este surjectivă. Aserţiune a �p este o funcţi e i denti că deoarece Vp � P . p, t a ut o l ogi il e şi contradicţiile sînt fu ncţii constante CăC1 =

=

.

=

.

.

=

T(PI' P2'

. . .

Pn)

=

Teoria si"temelor logice

V

60


C (Pv P 2' . . . Pn) = j Orice funcţie de funcţii este conlpusă ( e x . (P & q) - r' ) .

!J.�1eri���Fi�-i1�z--· f�ţ1�!�T21�ţ;înTr.l a K�D.�{O,�{��l}��atf��unciQ_����b restrîngerea unei funcţli

la

f : vn � V f' : VI n � V I ) va genera o 1 funcţie canomcă L..--.:: . =

J

____ _____

H) Elemente speciale în mulţimi . În ved ere a studierii struc­ turilor matematice este important să cunoaştem unele elemente cu caracter special care pot să apară Într-o nlul� time. Aceste elemente vor fi : minimal si maxima.1 m i ni m şi maxim� - mlnorant -�şln-majo"Tant,-�mâ?ii[ne-·st1p-erloiiă -- si margmeIDferroară:--f!p'!���r"ii1lJvers � t n�_utru si invers . C� excepţia ultimelor doua, erementele formează aşa cum se vede perechi cu anumite însuşiri contrarii (unul faţă de altul) dar şi ultimele două sînt corelate . De/. 26. Fie o mulţinle A ordonată de o relaţie de ordine parţială ( � ) (a) a este nlinimal în A � Vx E A x � a - x a (b) a este maximal în A � V X E A x � a - x = a Considerînd mulţimea potenţială P(A) fără 0 (mulţimea vidă) lTIulţimile singulare vor fi minimale, iar mulţimea A este maximală. Fie A {v, /}, atunci P(A ) - 0 are ca elemente mini­ male {v } şi {J}. iar pe {v. f} ca element l11aximal . Dej. 27. Fie A din nou ordonată prin � (sensul acestui semn trebuie luat ca foarte general) . (a) a este nlinim � \Ix E A a � x (b) a este maxim � V x E A a � x în P(A) 0 este minim, A este maxim . Def. 28. Fie A ordonat şi Be A . (a) a este minorant de B � \lb a � b (şi a E A ) (b) a este m ajorant ele B � V b a � b (şi a E A ) l Fie R numere reale şi Be R astfel că B {O, . . . , 1 } Orice r E R astfel c ă r � O este minorant d e E, !j i orice r E R astfel că r � 1 este maj orant de B. De/. 29 . Fi e A ordonat şi Be A (a) dacă B este l11aj orat de unele elemente din A astfel =

=

=

1

(� este

o

prescurtare pentru "dacă şi numai dacă".

Metodele logicii moderne

61


că ele formează nlulţimea M, şi M conţine un element i i m atunci m este margine superioară a lui B (Sup B) (b) dacă B este minorat de unele elemente al e lui A astfel că ele formează mulţimea N, atunci dacă N conţine un elelnent maxim n, n este margine inferioară a lui B (lnf B) . Fie, de exemplu, A şi Be P(A), iar B este ordonat de e atunci reuni u nea elementelor lui B este margine superioară a lui B, iar intersecţia elementelor lui B este margine inferioară a lui B. De . 30. Fie A o mulţime cu i � n , U} atunci : (a) A va i element nu ăa ŞI numaI dacă au loc condi­ ţiile că pentru orice x E A, x � A, x U A x, xn A = A . (b) V va fi element universal dacă şi numai dacă au loc condiţiile că pentru orice x E A x x � V, ' x U V V, xn V in logică O (falsul) şi 1 (adevărul) j oacă rol de elemente respectiv nul şi universal în raport cu mulţimea { P, -+, &, V}, unde P expresii logice. Def. 31 . Fie * o operaţie (adică o aplicaţie de forma Am .-, A ) (a) e este elelnent neutru dacă e E A şi Vx (x E A) e * x x* e = x (b) x este el ement invers dacă .i E A şi Vx (x E A ) x * x e m n m

,

=

=

=

=

.

=

=

Exemple . O (zero) este element nul în {Z, + } caCI Vx (x + O = O + x x) Tot în {Z, + } fiecare element are un invers. în unele cazuri elementul îşi e propriul său invers . Astfel în sistemul de logică { P, +, O} (unde + este excluderea şi O este falsul) avem p + p O. În sistemul {P, 1 } avem (P = P) = 1 . Pe de altă parte, O şi 1 j oacă rol de elemente neutre în respectivele mulţimi. Din cele de mai sus este nec;esar să se reţină corelaţia care există prin definiţie între elementul neutru şi cel invers . =

=

=,

1) A xiomatizarea teoriei mulţimilor. Teoria mulţimilor a fosraXlomaHzataTn-ulfente feIun. Printre cele mai cunos­ cute sisteme sînt sistemul lui Zermelo şi Fraenkel (pre­ scurtat ZF), sistemul lui Bernays (N B) şi sistemul lui Quine (NF) . Sistemul devenit clasic în raport cu care se delimitează celelalte şi care cuprinde cele mai interesante şi cele mai llIU1t discutate axionle este sistemul elaborat Teoria sistemelor logice

62


d e Zermelo şi completat

de FraenkeI . Aceste axiome prezintă ' interes nu " illi"fuai--peiftruteoria mulţimilor ci în general pentru logică (în măsura îii care vil1e - în- -contact cu noţiunea de "clasă") şi pentru filozofia matematicii . Este comod să pres,upunem un singur tip de variabile : x, y, z, . . . (poziţia lor de element sau mu1ţinle se va determina în raport cu locul pe care-l ocupă în relaţia E) .

1 . A xioma extensional�. în forma sa cea mai ' simplă ace-astă aXlOmă spune că dacă două mulţimi au _;leeleaşi elemen!��ţE.n�L.�e sî�t--1.9:�!Itice. Relaţia de identitate ( = ) se defineşte astfel : a) x = y == Vw (x E W == Y E w ) Axioma de extensionalitate vizează identitatea mulţimilor : y] Vx Vy [ \iz (z E x = Z E y) - X (Indiferent care ar fi x şi y ele sînt mulţimi identice dacă orice element z care aparţine lui x aparţine şi lui y şi invers .) Aceasta este legată de definiţia identităţii a două mu1ţinli (a nu se confunda cu definiţia generală a identităţii care vizează orice obiect, nu neapărat mulţimi) : p) x = y == Vz (z E X == Z E Y) <? definiţie s impl ă a identităţii mulţimilor se dă prin inc1uuune : c) x = Y = xC Y & Y C x Legătura lui c) cu b) şi a) este uşor de stabilit. =

2. A xioma perechii. !iÎ1�<!.. �at � două mulţimi x, y, noi _ . _ _ puteEI fO !I? a � 2?-ulţlm ��are ���lem�1).te exact pe _ _ _ _ x Şl y. EXlstă şi formă mai tare (axioma mulţimilor finite) .

3. 4 x�011!:.�_separării (A ussonderungsaxiom) . Se mai I:U­ meşte şi axioma formării submulţimilor . Pentru Or1ce mulţime z_ · -exisfă-o'suomu1ţTrne-Y-căre-satisface exact predicatul F(x) definit pe Z. Fie F(x) care nu conţine pe y : a) 3y Vx [X E Y = (X E z & F(x) J Putem cuantifica şi pe z (Fraenkel) . b) Vz 3y Vx [X E Y == (x E z & F(x) ) ] Este axioma cea mai caracteristică sistemului lui Zermelo (Fraenke1) .

4. A xioma mulţimii potenţiale. Pentru orice m111ţi11l:�__ x - e:x:i.s ţă ?�l!1��.l��-"y_�§�i- � conţ_ine toate , ?����}ţlrn!��, l y'-i . �_: Metodele logicii moderne

63


5 . A xio11za mult'l'mii s umă sau 1'e1,f,niunii. Pentru Oflce lnnlţime x eXl stă o mulţi nle Y identică elementelor lui x.

cu

suma tut uror

6. A xioma alegeriz�. Pentru orice nl ul ţime x formată din lnulţimi care se exclud două cîte două există o m ulţim e y care conţine un singur element comun cu fiecare asemenea mulţime . 7. A xioma infinitului.

:Iz [0

E

Z

& V x (x

E

Z-

{ x}

E

z) ]

8. A xioma fundării (Fundierungsaxiom) . Orice mulţime x nevidă conţine un astfel de memb ru y cu care il-are nici

comunJ adică : 3xFx - 3y [Fy & Vz Z E Y & Fz] . şi naxioma limitării " deoarece este destinată să excludă mulţimile extraordinare şi să reţină numai mulţimile definite c o nform cu 1 - 7. Ea cereJ după cum arată Fraenk el , ca sistemul de axiome să fie atît de îngust pe cît e compatibil cu axiomele. Ea inlplică trei probleln e : 1 ) problema existenţei numerelor intangibileJ 2) problema m ulţimilor extraordinare şi 3) probl ema ipotezei continu­ ului. Axioma a r trebui să permită categoricitatea siste­ ln nl ui ( = toate modelele sale sînt izomorfe), cu alt cuvînt n l11onomorfismul" (Carllap) . Carnap a formulat-o ca axiomă a modelului minimal Miriamoff a atras atenţia asupra mulţilnilor paradoxale cu însuşirea : . . . E Sk I l E Sk E E S2 E S ( car e are un şir de membri infinit descrescător al menl­ bri lor mulţilnii s) . Un caz special, interesant.. este al mul­ ţimilor ci clice : SI' S2' SnJ astfel că : S2 E SI> S3 E S2J " ' , SI E snSistemul nu e ste categoric (monomorf) cum credea Carllap . un membru

Est e numită

.

.

.

.

=

9. A xioma înlocuirii (Ersetzungsa xiom) . Dacă X este o mulţiIne înlocuind fiecare element al lui x cu o mulţime obţinem o nouă ll1ulţime (biunivocă cu x) . Wang Rao o formulează astfel : " dacă domeniul unei corespondente biunivoce este o mulţime, atunci codomeniul este de ase­ " m e nea o m u lţ i me .

Teoria sistemelor l ogice

64


6.3. Metoda structuri lor

Teoria mulţimilor ne p ermite să i ntr o duc e m diferite struc­ turi. Str_t15:�.t1:!"�g� . sînt definite ca m':1.!j:l�!�._�are_"_ "�_�ti.ş!?-c anumite legLşi sînt date în mod axiomatic. Bourbaki cfasT:Hcă"--sfructuriIe 1ii -:�-aJgeb[i��'-i (deflmte---iclativ fa -anu� mite legi de compoziţie) , ude_ .o rdi ne . şi ntopo.Iogice". "

Structuri algebrice. :4- m văzut că operaţia este o aplicaţie de"-rorma A m-� A--:- -Vom nota în genere operaţiile cu *, o. Rezultatul operaţiei va fi scris o (a11 a2, am) unde al' a2, an E A . Exemple de operaţii : + X , &, V . Ope­ raţia ca aplicaţie va fi reprezentată astfel : ( a, b) -) a + b (al b) -) a & b •

J

(a, b) -) a * b (a, b) -) a o b Se a dmit operaţii vide, unare, binare etc. Ca şi în cazul relaţiilor vor prezenta un deosebit interes resp ectiv opera­ ţiil e binare. Cele mai importante proprietăţi pe care pot să le . aib.ă " o:Qe!.�ţii1e_ sînt : - . - " ( 1 ) a * b = b * a (conlutativitatea) (2) (a * b) * c = a * (b--* c) " (asociativitatea) ( 3) a * (b o c) = (a * b) o (a * c) (distributivitatea)" (4) a * (a o b) a (absorbţia) " (5) a * a = a (ide:ţnpote�ţa) Uneori <?P�E_�tiile se mai numesc şi ,J�gj._Q.�_�I.!!Q Q?;'!ţie". Operaţiile pot fi ullel� faţă de altele duale astfel ca (&, V ) , inverse, astfel c a (&, /) . în calitate de funcţii operaţiile se întîlnesc cu relaţiile funcţionale. Prima clasă de structuri va fi definită în raport cu opera­ ţiile - este vorba de clasa structurilor algebrice. -

=

Dej. 1 . Algebră. ( = structură algebrică, algebră universală� algebră abstractă) . Un cuplu {A , Oi E r} format dintr-o lnulţime A şi o mulţi nle de operaţii O (numărul poate fi finit sau infinit), se va numi algebră. Exemple de structuri al g�� �ţ"� e : din matem�ţi�_ă _ _I4�=-�},," ..L4�+}�-""- "din --logidi {A� &, -}, {A, &, V , - }, {A, C } (ultima fiind o mulţime de axiome şi operaţia de consecinţă Î1nediată) . Alt exemplu _

_

Metodele logicii moderne

65


{A , OF} este o algebră a formulelor - A = formule, OF =

opera ţii de formare. Printre s�ele " mai cunoscute structuri algebrice sînt : grup, iŢlel, corp , ideal, filtru, latice, algebră . 1.ogică. "Una " " din cele mai sinlple, dar foarte larg utilizate - este "structura de grup " (ori simplu grup) . O mu!ţim�_ nevidă " A se v�E-un:.i g!..��p dacă şi numai dacă " satisface urrnătoarele.s..g.!!iliJ:y_ : a * ( b * c) ( 1 ) \f(a, b, c ) (a * b) * c (2) \fa :l ! e(a * e = e * a = a) (3) \fa :l ! ci(a * ă ci * a = e) Ca exemplu de grup avem {Z, + } . Dacă u n gruE- satisface în plus comutativitatea (4) \I(a, b) (a *-7j--- " "-o"* a)"a-ttiiicleT" este--c-6mutativ ( abelian) " Uneori ideea de griip" --esfe " -"pYeceâată-- "ele ideile de " giupoid" (mulţime înzestrată cu o operaţie) şi "seluigrup " (mulţime Înzestrată cu o operaţie asociativă) . Semigru pul se mai numeşte şi monoid. De aseluenea o structură înrudită cu grupoizii dar mai larg ă este J J C a.t�K9!!�_�' . Un cuplu { C, o} este categorie dacă şi numai dacă satisface condiţiile : (1) "C este o clasă (adică o mulţime care nu mai este ele­ ment al unei lTIulţimi), (2) o este o operaţie care nu este neapărat definită peste tot, (3) dacă există compunerea (h o g) o f ătiiil Ci " e"xistă - 'h o o (g o f) şi reciproc, (4) dacă există h o g şi g o f atunci există şi h o (g o f) (5) h o (g o j) = (h o g) o f (asociativitate) (6) \lj (1 E C) există două elemente neutre cOlTIpozabile cu f, un element neutru la dreapta rJ.(f) şi unul la stînga �(f) . Clasa relaţiilor între mulţimile unei clase K este o catego­ rie. Vom avea drept exemple de clase .. Sl"�s� �E.�€!-ţigor", "clasa surj ecţiilor" ş . a . Se observă că pentru" orice relaţie R, <x (R) va fi relaţia "egal cu", la fel �(R) . =

=

=

Dej. 2. O altă structură importantă este inelul. O algebră {A� * � o} este inel dacă şi numai dacă : -( 1 ) fiecare din cele două operaţii ( *, o) este asociativă, (2) a * e (3) a * ă (4) a * b

=

= =

e * a

*a b*a

ci

,

=

=

Teoria sistemelor l ogice

a

e

66


(5) (a * b) o c = ( a o c) * (b o c) (distributivitate la stînga) .

(6) c o (a * b) (c o a) * (c o b) (distributivitate la dreapta) . Ca exemplu de i nel avem {Z� +, X } D ef. 3. C o.t:pu(. e �t� o a ţţ�.,"�ţr.ll: c"tu�ă. _!:r1?-,ţe�n_?-_ţ�_ă { A , *� o} care satisface axiomele : "( 1) a * e e '* a a (2) a * ă = ă * a = e ( 3) (a * b) * c = a * (b * c) (4) a * b = b * a (5) a o 1 I oa a (6) a-I o a a o a-l = 1 (7) (a o b) o c = a o (b o c) (8) (a * b) o c = (a o c ) * (b o c) (9) c o (a * b) = (c o a) * (c o b) Dacă are loc şi ( 1 0) a o b = b o a atunci corpul este comutativ şi se numeşte cîmp. Mulţimile de numere R (reale) , Q (raţionale) , e; (com­ plexe) fonnează corpuri. AxiOluele ( 1 ) - (4) determin ă un grup aditiv, axiomele (5) (7) determină un grup multiplicativ. Aplicarea acestor structuri algebre clasice în logică a fost descoperită de lVI . H. Stone care a observat că algebrele logice (Boole) dau n aştere la inele comutative care satisfac condiţiile : x x2 2x c::I O (adică x + x O) Ca exemple de grupuri în logic a bivalentă M . H. Stone a n al i z e az ă {A +} şi {A =} (unde operaţia + este negaţia l ui = ) . În prin1l11 caz elementul neutru va fi OI în al doilea 1 . Grupul {A, + } Grupul { A , } ( 1 ) (p + q) + r = p + ( 1 ) «(P = q) = r) = (p = = ( q == r) ) + (q + r ) (2) p + O = P (2) (p = 1) = P O (3) (p = p) = 1 (3) P + P ( 4) P + q = q + P ( 4 ) ( P = q) = ( q = p . ) Mai departe vom exemplifica ideea de , )nel logic" . Vom lua două exemple {A, +, &} şi {A , =1 \j' }. Ele satisfac condiţiile de grup (comutativ) ( 1 ) (4) şi în plus condiţiile de distributivitate : (5) P & (q + r) = (p & q) + (p & r) pentru { A + . &} ( analog se formulează distributivitatea la stînga) . =

.

=

=

=

=

-

=

=

J

J

=

=

-

J

Metodele logi cii moderne

67


. (P V q) = (P V r) pent ru {A, =, V } (6) P = (q = r) . (analog distributivitatea I a stînga) . Atît grupul logic cît şi inelul logic exemplificat sînt comu­ tative. Corpul logic aduce unele particul arităţi . Pentru {A , +, &} la condiţiil e de inel se adaugă : P & l = l &P = P P & O = O &p = O p &p p (idempotenţă) Pentru {A, = ) V } l a condiţiile de inel se adaugă : PV O =OVp =p PV 1 = l VP = 1 P V P = P (idempote nţă) . Porrund de l a ideile lui M. H. Stone, Gr. C. Moisil studiază şi aşa-numitele inele de caracteristică în logica lui Luka­ =

=

siewicz.

Se va numi "caracteristică de inel" cel mai nlic întreg p ozitiv n pentru c are n . e = O. (unde n este llUlllărul de termeni ai operaţiei cu termeni identici) . Logica iniţială a lui Lukasiewicz {O, 1, lJ2} determină în raport cu cele două operaţi i { + , =} s tru cturi algebrice. ( 1 ; p . 193) . Presupunem că cititorul cunoaşte această logică ( 1 = v, ° = f, 1/2 = problematicul) . Axiomele de grup (v. Stone) sînt satisfăcute. Axiomele (4) iau formele : p + p + p = O ; P + P + P = l. Apare în plus un al treilea grup cu o operaţie pe care C Oll­ venim s-o notăm cu -L şi care are ca a patra l e ge ; P .l P .1. P = 1 /2 . D ef. 4. Homomorfism. Izom'?!fjsm: Acestea sînt două relaţii importante în studiul structurilor algebri c e . Două al gebre abstracte {A, {Ocp e cIl}} şi {B, { O�E (P/}} sînt de acelaşi tip dacă <1>' = <Il şi 'Vep e (J) operaţiil e Oep şi O� au acelaşi număr de argumente [v. 40J . D e exemplu algebrele {A , & } şi {B, /} sînt de acelaşi tip. î nt r- ade văr, avem ac eleaşi clase de indici (cîte o singură operaţie) şi numărul de argu­ mente este acelaşi la operaţii : ( 1 ) NUlnim homomorfism (algebric) aplicaţia unei algebre abstracte A asupra unei algebre abstracte B dacă : (a) algebrele A şi B sînt de acelaşi tip, (b) aplic aţia conservă operaţiile, adică an) = Oep(h(al� . . . h(an) ) pen t ru once av . . . h (Ocp(a11 ' " an E A . •

Teoria sisteme lor logice

68


Altfel spus A şi B sînt homomorfe dacă şi numai dacă fie­ cărui el enl ent din A îi corespunde un şi numai un element din B, fiecărei operaţii din A o şi nu mai o o p e raţi e din B c u acelaşi număr de argumente. Considerînd cele două algebre logice de mai sus {A , &}J {B, /} se constată că ele sînt hOlllomorfe. Mai întîi am stabilit dej a că sînt de acelaşi tip . Mulţimea de elemente este aceeaşi (P , q, r, . . . ) astfel qJ . . . c ă : h (P) p, h(q) în ce priveşte operaţiile, aplicaţia este : h(p & q) P/q Conform cu aplicaţiile elementelor Însă h(P)Jh (q) . P!q h(P) Jh(q), de unde rezultă h(P & q) (2) Numim izomorfism (algebric) un homomorfism biunivoc. S e poate constata uşor că algebrele de mai sus {A , &} şi {AJ I} sînt şi izomorfe. Se introduc şi alţi termeni : endomorjism (= homomorfis­ mul lui A în A ), automorjism (= endomorfismul care este izomorfism) . monomorjismul ( = homomorfismul i njectiv) şi ePimorjismul ( homomorfism surj ectiv) . Structuri de ordine .lliL-§.; Latice. Vom trece în revistă unele informaţii pri­ vind o structură cu largi aplicaţii în logică, anume laticea. Termenul de ,,latice" în locul căreia alţii preferă termenul de structură (sau "reţea") a fost introdus de Garrett Birk­ hoţf (Latice Theory ( 1 940) ) . Fie un triplet {A: - I:-"ŢI'- un-de A-- este o mulţime ordonată de � . Fie ap-oi penfiu -oiice-a:-o�-A avem TIlargine inferioară şi respectiv margine superioară : inf (a, b) a J= 5sup (a, b) = a T b Relaţia de ordine se defineşte : a � b dacă şi numai dacă a Ţ-7i--o-(său b � a dacă şi numai dacă a -L. b = b) . Relaţia de ordine este laticiară (Rasiowa şi Sikorski) deoa­ rece există (şi numai dacă există) inf (a, b) şi sup (a b) . Mulţimea A se va numi latice întrucît satisface relaţia de ordine lifi ciaii1". Se '-maI -p-o'âle-defini laticea printr-un grup de axiome care determină operaţiile .1.. Ţ. Aceste axiome sînt 1) legile de asociativitate, 2) legile de comutativitate� 3) legile absorb­ ţi e i Ca�<;ţ�!jJŞţic pentru latice este princiPiul dualităţii (legile ). nu se schi m5 ă aacir · se- -·ftiI6ciiieşte '-l '"cu--Ţ- Şi- '�'--'- cu � Propoziţiile : =

=

=

=

=

=

.

=

_.

.-

-.

-'.

I

--

,

..

-.-

.-

-"

. __ o.

--_ . - . _ .

.

-

' - " - ' .'

.

�.---_ .• -.

,. .. • •• '0--

• •

.

"

Metodele logicii moderne

69


( 1 ) a � b dacă şi numai dacă b � a (2) a Ţ b = b dacă şi numai dacă a 1. b a s înt echivalente. La fel propoziţiile : (3) dacă a � b şi b � a atunci a = b (4) dacă a T b a 1. b atunci a = b sint echivalente . Legile de idempotenţ ă sînt de asemenea caracteristice pentru latice. =

=

Exemple de latice. {A� U, n }, {A, V , &} (A este luat într-un univers al) . tn p rimul ca z relaţia de ordine este C, în a l doilea -. Prima este o l a tice a lnulţimilor� a doua o latice logică. p V q şi i ni (P , q) = P & q. tn logică sup (P� q) D ac ă disj uncţi a şi c onj uncţi a au mai mult de doi melubri =

vom scrie SUP (PlI P 2' . n

11,

. .

p ,,) = B Pi şi inf(Pl, P 2' · · · . P ,.) = i=1

= TI Pi ' i=l Relaţiile de homOlnorfism, izomorfism'::şi celelalte se p ot în mod corespunzător extinde la latÎ ce . O latice este distri­ butivă dacă ea s atisface legile de distributivitate relativ la o p e r aţi i . Dacă laticea posedă un maxim şi un mini ln ea este comPle­ mentată . Tripletul { P(A L U, n } este o latice distributivă şi comple­ mentată, căci operaţiile U , n sînt di stributive una faţă de alta, iar p entr u orice a E P(A ) există a' astfel că an a' = 0 şi a U a ' = A . O latice care posedă numai margine superioară se num eşt e semilatice superioară, o lat ice care posedă numai margine inferioară se numeşte semilatic e infe ri o ară . D e]. 6. O l at i ce se numeşte algebră logică (sau algebră booleană) dacă şi numai dacă ea este distributivă şi cOlnple­ mentată. Laticea {A, &, V. - . -} este o algebră booleană� unde avem : relaţi a de ordine şi p e ntr u orice p e xi st ă p as tfe l că P &'p = O (fals ul) p v p = 1 (adevărul) . Teoria sistemelor logi ce

70


Def. 7. Filtre şi ideale . Definim două algebre cu aplicaţii

în logică. Şpu ne.ID că o !llulţţ!D:� . . A- �?ţe. �nc�i§!.. !.�l �ţty. la. _2...�e ��ie liE A . o 4�� �.şLnumai_ _da c ă pentru ori��_� J?�§/J. a:r..� 19�._��_ __

_

._

.

.

Fie A o latice, X o mulţime în A, .1 operaţie în A . ( 1) X s e numeşte filtru în A dacă şi numai dacă satisface condiţia 'Va, b E A a .l b E X <:> a E X şi b E X. (X este închisă relativ la .1 dacă şi numai dacă el co nţine elementele asup ra căruia se aplic ă .1) . Altfel spus : (a) da c ă a. b E X a tunci a .l b E X (b) dacă a � b şi a E X at unc i b E X. Cuplul {A . &} este un filtru l ogi c . (2) O mulţime Y ( Y C A ) nevidă este ideal dacă şi numai dacă Va, b E A a T b E Y <:> a E Y şi b E Y ( Y este închis relativ la operaţia T) . Ca şi mai ' sus idealul se poate defini p ri n c ondiţii l e : (a) dacă a. b E Y atunci a T b E Y. (b) d a că a � b şi b E Y atu n ei a E Y Cuplul { A . V } este un ideal logic . Se observă că �iul?Jlfl�Jiltr�şi i<ţeal sînt duale . Noţiu­ nile de filtru şi ideal sînt imediat transferabile asupra alge­ brelor _ logise (booleene) . Rasiowa şi Sikorski definesc în felul următor noţi unea de " algebră pseudo-booleană". O algebră abstractă cu trei op er aţii binare 1. .. T. => şi o operaţie un ară - , este .9-J g�J?!A_J2Şeud9-booleană atunci şi �ai _�un�� satisface condiEiIe : (1) este OTabce lmplicativă. (2) conţine elementul nul A . Nu trebuie s ă s e confunde => c u - . Primul semn denotă pseudocomplementara elementului a relativ la b (sau dup ă modulul b), adică elementul a => b or pe scurt c. cîn d au loc : ( 1 ) c este el ement maxim. (2 ) a J.. c � b. Dimpotrivă - este semnul implicaţiei . Se înţelege că ==> poate fi interpretat ca -, dar acesta este altceva. Din cele de mai sus rezultă că {A , V , &, -. -} este algebră pseudo-booleană cînd conţine elementul O (falsul ) . Orice algebră booleeană este o pes u do - alg eb ră b ool eană .

Structuri topologice. Fie U un univers de mulţimi. A, B 11 1 două "JŞperaţlj --:fe"-c-ăr"f')f�yqrii-'numr respectiv de ndeşchi.q�te: ' ş_i. d� ... JD:�h!d_�re" .

ao�_.-!!1.Ulţll!l·l,

_

Meto dele logicii moderne

71


Vom spune că U_ este un sp'aţiu ��Q912gic_dacă şi numai dacă pent ru Qfi<;..� AC_�_�.!i§ţ�,.-!2:!c U astfel că : ..

(a) D(A n B) = DA n DB (b) DA C A (c) DDA DA (d) D U -== U Simetric cu acesta se defineşte spaţiul pe care-l vom numi "de închidere". Vom spune că U este, .spaţiu topologic 5!e �nehidere dacă şi numai dacă pentru orice A există A 'C U astfel că ': (a') I(A U B) = IA U IB (h') A C IA (e') IIA = IA (d') 10 = 0. în continuare au l o c rel aţiile : =

DA IA

=

- I - A

-D - A lA (A C U) A U - D(U - A) D A C B implică DA C DB şi lA C lB Dacă generalizăm pînă la structuri fără interpretare spe­ cială noţiunile definite mai sus atunci putem să le aplicăm în logică după cum urmează : Fie T (tautologii)� C (contradicţii), N (necesar) şi P (p osi bil) . Vom redefini condiţia de bază astfel : dacă P -+ T atunci Nq -+ T. Cele două relaţii între D şi l vor fi în cazul nostru relaţii între N şi P : Np = - p - p Pp = - N - p Condiţiile spaţiului topologic vor fi în continuare : (a) N(P & q) = NP & Nq (b) Np -+ P (c) NNp = Np (d) NT = T în mod dual vom avea apoi condiţiile : ( a ') P (P V q) = Pp V Pq (b') P PP = Pp. (d') PC = C tn locul lui N putem considera operaţia de asertare 0 - ) : ( a) 1- (P & q) = 't-P & l- q (b ) I-P -+ P =

=

-

=

­

Teoria sistemelor l ogice

72


(c ) � �p �p T (d) � T Operaţia duală lui � este supoziţia (H) : (a ') H (P V q) = HP y Hq (b ' ) p� Hp (c') HHp HP (d') HC = C Exemplul relativ la N (necesar) ne-a fost sugerat de Rasiowa şi Sikorski, dar formularea ne aparţine. Celelalte exemple relativ la P (posibil) şi H sînt date de noi. Se poate discuta de asemenea despre extinderea spaţiului topologic la logica deontică, respectiv în legătură cu ope­ raţiile O (obligatoriu) şi P (permis) . Vom spune că A este mulţime deschisă dacă A = DA şi închisă dacă A = IA . Se disting apoi diferite tipuri de spaţii topologice : dens (pretutindeni), (pretutindeni) ne dens, compact, hausdor­ Han, regulat, normal ş . a. O !.�i�_i.��!.tantă Eentru22�iile topg!Qgice �est�." aceea de homeomorfism.: O aplicaţie biunivocă ep a spaţiului X pe Y se numeşte homeomorfă dacă satisface una sau alta din condiţiile (echivalente) : ( 1 ) ep (DA ) = D ep(A ) ( A C X) (2) cp-l(DB) = Dep-l (B) (BC Y) Structurile matematice fiind mulţimi se pot efectua cu ele toate operaţiile care în genere se efectuează cu mulţimi, rezultînd de aci proprietăţi interesante. Mc. Kinsey, A. Tar­ ski ş.a. au studiat aspectele topologice ale algebrelor Boole. Dacă la algebra Boole se adaugă o 0peraţie de deschidere D (şi respectiv duala ei) se obţine o algebră Boole topologică. Noi am exemplificat dej a spaţiul topologic în logică. Exem­ plul nostru, completat cu existenţa elementului - al devine o algebră Boole topologică, . adică : {A, &, -, -, N} şi resp. {A, y, -, -, P} Toate celel alte noţiuni legate de spaţiul topologic se vor extinde în mod corespunzător. =

=

=

6.4. M etoda a ritm etizării

Vorbind de metoda aritmetizării în logică noi ne vom referi mai de"grabă �l a EQ?J�aE.�� ..1����1��E-_l_��!ţ_��.�� (limMetodele logicii mo derne

73


bajul cifrelor) şi nUlllai într-o mică ll1ăsură Ia utilizarea numerelor şi a op er aţiil o r cu acestea. Problema are mai multe aspecte aşa că le vom considera pe rînd. ( 1 ) Semnificaţiile logice ca semnificaţii "aritmetice ". A dev enit o q.�Qlj�1�r� S�!�!1:t�. �� .. s� 4�§�}p.}!�ze_ ş�.�!!.iţLc;_Cl:.ţiile logic�_�=. . a�y�rul , falsu�ş a -=-_�g�ii�e . As tf e l în l o gi ca bivalentă adevărul se notează de regulă cu 1, iar falsul cu O ( există şi procedeul invers) . Procedînd astfel trebuie să avem în vedere că aceasta nu înSeanll1ă a introduce nUlnerele 1 şi O în l o gi c ă ci doar cifre'ie c_on��_�� n�.?-toar � {âl·� -i;e- de altă parte,·-aceasf�(· ·pr-Q-Ce-dur·ă !lU- -este� del Q�_ .. ax_b!tާ:!_ă_ ea fiind o alegere bazată R.�_ criţ�tii de efic_i.�:gJă. Indicăm doar cîteva- avantafe-: · 1) a c e as tă notaţie s ug e r e ază apli­ c area u n o r concepte matematice (desigur cu modificările necesare) p re CUlTI şi a unor procedee de calcul aritmetic (de asemenea în a numite l i mite) - s-a văzut dej a a c es t lucru din expunerea algebrei abs t r act e, un alt caz bine cunoscut este cel al minimizării (v. procedeu Quin e - Mc. Cluskey ş . a . ) , 2) putem formula mai concis unel e legi l o gi c e şi putem da definiţii asemănătoare cu cele din a ri t m eti că (foarte utile în dezvoltarea altui procedeu - cel al func­ ţii l o r recursive), 3) descoperim anumite simetrii altfel greu de sesizat sau chi ar i mp osibil . Dăln exemple p entru cazul 2) . Ope!aţiile l.ogice .ţrţbu�ţ ...l!citite� ' şi .eJe. . �%._,.,_.9'pgI2:ţiL�rit­ lnetice" - - respectiv - (scădere) , & (înmulţire) , V (adu­ nare) . P sînt legi de idempotenţă. p n = p şi np Putem introduce conj ullcţii şi disj uncţii cu n termeni sau cu i nfinit at e de termeni. .

.

__

_

=

n

TI Pi = Pl & P2 & . . . & p n ; TI P i = Pl & P2 & ' i= 1

.=1 n

n

t=]

i=l

� Pi = Pl VP2 V ' " VPn ; � P i = PI V P � V - ·

·

·

·

& Pn &

V P nY

·

·

·

·

·

·

Avem apoi definiţiile :

P = l -p P & q = min (P q) P Y q = max (P, q) I

Goodstein [14J a arătat că dacă llotănl j nvers semnifica­ ţiile - respectiv adevărul c u O Ş1 falsul cu 1 - obţin em 'Teoria sistemelor l ogice

74


noi posibilităţi de reprezentare " aritmetică" . Operaţiile vor fi definite astfel : p = l -p p V q = pq (înmulţire) p & q = (p + q) - pq p -+ q = ( 1 - p) q Corelaţiile dintre funcţii se păstrează şi în acest caz. într-adevăr, luînd ca operatori de bază negaţia şi disjuncţia obţinem pe ceilalţi prin simplu calcul aritmetic. î n ce priveşte cazul 3) vom reproduce un rezultat descope­ rit de noi în 1 9 64. Dacă vom inversa tabelul celor 1 6 funcţii de adevăr punînd în locul fiecărei valori inversa ei şi vom considera valorile functiilor ca cifre în sistenlul de numeratie binar atunci vom obt I ne o ordine a functiilor identice �u cea a şirului natural �stfel că numărul fn � cţ i ei va fi exact traducerea în sistemul zecimal a senll1ificatiei binare a funcţiei. Prima funcţie va fi (O O O O) ceea ce t radus dă O, a doua (O O O 1) ceea ce tradus dă t a treia (O O 1 O) ceea ce tradus dă 2 ş.a.m.d. Procedeul se poate generaliza la orice număr de variabile . Numărul de funcţii bivalente este egal cu nlulţimea numerelor naturale (începînd cu zero) . Se are în vedere că z ero poate fi scris la stînga fără a modifica semnificaţia. Se mai constată că suma a două funcţii opuse este egală cu numărul maxim (adică cu numărul tautologiei), iar diferenţa unei funcţii cu sine este egală cu contradicţia. Scăzînd din numărul tautologiei numărul unei alte funcţii obţinem numărul opus ei acesteia. Prin retraducere în sistemul binar putem găsi semnifica­ ţiile funcţiilor. Fiecare funcţie va avea în acest fel în mod firesc un număr natural şi numai unul . '

(2) Metoda aritmetizării godeIiene. Pornind de la formali­ zarea sistemelor de tipul "Principia Mathematica" Godel a descoperit un procedeu care nu mai porneşte de la analogii ci este un fel de cifru bazat pe faptul că elementele siste­ mului formal sînt bine ordonate. Principiile _ _�ritmeti��!.U_._�eliene sînt următ�arele : a) se distinge între semnele de bază ale sistemului şi sem­ nele compuse din acestea, Metodele logicii m od erne

75


b) fiecărui semn de bază i se ataşeaz ă în mod univoc o cifră după o anumită regulă c) fiecărui semn compus i se ataşează în mod univoc un număr Care se obţine printr-o procedură aritmeti că din semnele de bază, d) se indică eventual unele condiţii care preci zează limitele aplicării regulilor de aritmetizare . Noi vom da ca exemplu chiar sistemul de reguli introdus de Godel precizînd Însă că acesta nu este decît o simplă alegere, alţi autori după Godel au adoptat alte reguli de aritmetizare . în sistemul P" c o nstruit de Godel semnele de bază vor fi : O, f, , v, n, (,) La acestea se adaugă variabilele ca semne de asemenea elementare. R1) Fiecărui semn de bază i se asociază un număr impar de la 1 la 13 în ordinea dată, Ri!) Fiecărei varia bi l e x,. (unde n indică tipul variabilei in sensul lui Russell) i se asociază un număr prim p n (unde P > 1 3) , Ra) Fiecărei secvenţe de simboluri formată din semne ele­ mentare care au să zicem numerele nI' n2, n/c i se aso­ ciază nunlărul 211t 3n P;k (unde fiecare factor este un număr p rim luat Ia puterea indicată) , R4) Vom nota cu <I>(a) numărul godelian al expresiei a, iar cu R(av a2, an) O clasă sau o relaţie între semne elementare (ori serii finite de asemenea semne) . O aseme­ nea relaţie R va primi ca repreze ntare o relaţie R' ( xv x2, xn) între numere godeliene dacă şi numai dacă există astfel de semne de bază al. a2, an încît Xi = <I> (a i) (i 1, 2, . n) şi are loc R (av an) ' Acest mod de a aritlnetiza are ca efect posibilitatea de a reprezenta aritmetic conceptele metateoretice (cel puţin cele mai i mportante) ale sistemului dat. De exelnplu, "axio­ mă în P ", ,. variabilă în F" etc sînt concepte care pot lua o expresi e arit metică (Hilbert şi Bernays. Quine ş.a. au mo dificat regulile) . Notăm că R3 se aplică la fel cîn d n I ' 'n2 , nk sînt numere de secvenţe. .

II

"'

=

' .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

"Teoria sistemelor l ogice

76


6.5. Metode cu caracter special

( 1 ) Metoda diagonalelor a lui Cantor. în vederea demon­ sJ!�.ri L��işJenţ�i }}<�.tIl�_r�lo � _ _ţr�!I:.��ţ_n_qe!1J� C�LtiI9�- a--- con� . sţţ"uit aş�-:n�mitul procedeu al diagonalelor. La rîndul s ău lVlostowski a pus în _eYl·cIeiiff posIbllifatea-- de a aplica acest luod de a_ r.aţiona în unele problep.:1e de lOKi�ă prin "raţio­ n ament u l di agon al " . Metoda di a go nale l o r constă în a const r ui un tabel infinit (neîncheiat) cu aj utorul a dou ă coordonate ca în e xemplul de mai j os. Folos im în aces t scop un exemplu dat de Kleene [25 J . Considerăm cazul funcţiilor aritmetice monadice (ex. 4a+ 1), pe care le pre supunem enumerate (nu obligatoriu pe toate) : fo Ca ), fl (a ), fz (a) . . . Se ar at ă în continuare că se p oate construi o funcţie lea) d e os ebită de fi ecare din acestea. în vederea reprezentării c onst rucţiei lui f(a) vom da valorile funcţiilor în m{)dul în care se vede în tabel ul de m ai jos. a

O

fo (a) ti ta) j� (a)

10 (0) !. (Oj f2 (O)

___

.

1

fo ( l )

2.

10 (2)

.

----- /. ( 1 ) ________. /1 (2), f2 ( l )

12 (2) .

. .

Săgeţile arată că ş irul de funcţii indicate mai sus reapare pe diagonalele tabelului (de unde şi denumi re a de "metoda diag onal el or " sau raţionament pe diagonală") . I<.evenind ac u m la f(a) noi putem def in i această funcţie ca : l( a) fa C a) + 1 unde fa ( a) va lua pe rîn d valorile dispuse p e diagon al ă . Deoarece fu ncţia I(a) diferă c u o unit at e de oricare din funcţiile enumerate /0 (a) , /1 (a) , f2(a) , ea nu se află prin­ tre aceste funcţii . Fie de exemplu /l(a) = a 2 , fl (a) = 4 a + 1 . Indi f er en t ce valori (0 , 1 , 2, . . . ) va lua /o(a) , f(a) #= fo (a) . într-ad ev ă r : O, i ar f(a) = O + 1 = 1 . 10 (0) La· fel în c e priveşte /l (a) = 4 a + L pent ru val oarea 1 y a av e a /1 ( 1) = 4 . 1 + 1 5� dar f(a) = 5 + 1 6. Dacă am presup u ne că f(a) ar figura printre funcţiile noas­ tre aceasta ar însemna că există un număr natural k astfel �ă f(a) = fk (a) are loc pentru orice număr natural . n

=

=

=

Metodele l ogicii moderne

=

77


Or, substituind a Jk în definiţia lui f(a) şi în ultima egali­ tate obţinem : f( k) = fk (k) = fk (k) + 1 Or, fk(k) = fk(k) + 1 e absurdă (încălcînd principiul iden­ tităţii) deci f(a) nu se poate afla printre funcţiile enumerate . Mostowski a arătat că acest raţionament se poate aplica la expunerea paradoxului lui Richard (cu care este înrudită teorema lui Godel) . Presupunem că dispunem de toate ex­ presiile dintr-un limb aj L care redau proprietăţi ale nume­ relor întregi. Vom nota aceste proprietăţi prin Richo , Richv . . " Richn, Dacă un număr n posedă proprietatea Richp vom scrie Ricllp (n) . Să dispunem aceste numere confornl cu procedeul diago­ nalelor : Richo (O) Richo (1) Richo (2) , . . . Richo (n) , . . . Rich1 (O) Rich1 (1) Rich1 (2) , . . . Rich1 (n), Richz (O) Richz (1) Richz (2), . . . Richz (n) , •

Richn (O) Richn (1) Richn (2) , . . . Richn (n),

Am arătat că dacă n posedă Richp atunci scriem Richp (n), iar dacă nu vom scrie non-Rickp (n) . Există oare în lista noastră numărul n cu proprietatea non-Richp (n) ? Dacă da, atunci el trebuie să existe ca număr q (întreg) Încît pentru orice n Richq (n) non-Richn (n) Dacă presupunem în continua re că n = q atunci obţinem contradicţia : Richq (q) = non-Richq (q) în continuare se poate coreI a cu conceptul de adevăr (v. Tarski) sau cu conceptul " demonstrabil" ( Godel) . non-Richp (n) = Richp (n) nu e demonstrabil . Altfel scris : n � Rich = Bew [Richp (n) ] (Aceste aspecte le vom urmări cu ocazia expune rii teoremei lui GOdel . ) =

(2) Meto da inducţiei matematice. Prin nmetoda inducţiei matematice" v0 l!J:. înţ�!�ge ansamblt�J de <;onc_epte, prin�iPii şi procedee de definiţie şi demoţlst:t;aJie . care . are la bază ideea esenţială a Jn�_��rii _de.Jg iJnplj� aţia. P (n) �-'? ('!L± J) Teoria sistemelor logice

78


,la propoziţia 'Vn P (rt) . Sensul exact al inducţie i matematice se va dezvălui însă în expunerea mai în detaliu car e urnlează . Importanţa acestei rr:ţţ7t,O.9.� pentru logic� .v.a reieşi. din exem­ plele J2�G.§:.r�"J�_J:om _Qa. Existînd a llu nlit e puncte de con­ tact cu ceea ce numim uinducţie amplificatoare" în logică i��4.!1cţia ţg.atematica nu trebuie însă să fie nici pe ' d epa rte confundată cu aceasta, a ' căi-eC scheiriă' este-"-următoarea : .

"

P(x1). P (x2) " P(x�) Vi P(xi) (unde i 1, 2, " . n, n + 1 , . . . ) În legătură cu i n duc ţia matematică vonl avea de explicat următoarele concepte de bază : - principiul inducţiei matematice (cu diferitele sale for­ mulări particulare) ; - demonstraţia prin inducţia mat ematică ; - definiţia . inductivă şi definiţia prin i nducţie ( = recursivă) . •

=

"

"

A) ,�:J!!�f1!..�'l!�_ ,�rl;.���fi!.�"_! a��,,!!atic . (a) Fo rmulare pentru numere na turale : Fie P o proprie­ tate pentru numere natur ale n ( = O, 1, 2, . . . ) : { P(O) & ( P (n) � P(n + I))}� 'in P(n) . Acest principiu se referă l a numere. Din l o gică ştim că \:Ix (x E p* = P( x) ), u nde p * este clasa corespunzătoare proprietăţii . Ca urmare putem da o formulare extensională (nu predicativă) principiului inducţiei : N (a ' ) { O E P* & n E P * � n + 1 E P* } � P * (unde N este mulţimea numerelor naturale) . Se poate da însă o formulare echivalentă pentru nlulţimi de numere : n

e

.

=

(b) Dacă P es t e o submulţime (în sens larg) a lui N (mul­ ţimea numerelor naturale) astfel că ea conţine un număr natural n numai atunci cînd ea conţine toţi predecesorii m < n, atunci P = N. Din formularea (a) se deduce propoziţia ,.bunei ordini" (echivalentă cu (a) ) : (c) Orice mulţime nevidă de numere natural e conţine cel mai mic ele me nt . Rezumăm că (a) = (a') = (b) = (c) . Legătura acestor prin­ cipii cu sistemul de axiome al lui Peano este evidentă. Acest Metodele logicii moderne

79


sistem de axiome este valabil pentru numere cardinale, dar, deoarece sistemul numerelor naturale este izomorf cu sistemul numerelor ordin ale axioma inducţiei poate fi uşor transferată asupra acestei mulţimi . (d) PrinciPiul inducţiei translinite. Cî n d vorbim de nunlere transJiiiite-est"e-" necesar- -să" dam--prioritate ideii de I/�umăr ordinal" (avînd în vedere rolul primordial al relaţiei de ordine în definirea numerelor transfinite şi a raporturilor dintre ele) . Evident că l uînd î,n consideraţie cel mai mic ordinal cu, trecerea de la cu la cu + 1 nu se mai poate face ca în cazul numerelor naturale (finite) . Numerele ordinale transfinite nu sînt succesor al unui număr ordinal ele vor fi numite " numere limită". Pentru formularea principiului inducţiei se defineşte conceptul de I/1imită a unei mulţimi de numere ordinale". Se numeşte limită a unei lTIul ţimi A de numere ordinale cel mai mic număr ordinal care este mai mare decît orice element a l lui A . Acum principiul inducţiei transfinite poate fi formulat astfel : Fie O o mulţime de numere ordinale şi a un număr ordinal oarecare, astfel că t o ţi predecesorii lui a aparţin lui O. ( 1) Presupunem P(O) (2) P(a) - P(a + 1) pentru orice a ( a + 1 E O) , (3) P("A) pentru orice a < "A (unde A este un număr limită din O) atunci (4) Va E O P(a) . (Principiul se poate aplica şi la SU blllul ­ ţimi ale lui O) . Principiul se extinde apoi la orice mulţimi bine ordonate : (e) Fie A o mulţime ordonată prin � , iar B o parte a acestGi mulţimi. Dacă x E B ori de cîte ori B conţine toţi predecesorii y ai lui x atunci B A. (în locul acestui principiu s e aplică în ultima vreme aşa­ zisa "l emă a lui Zorn") . (f) Formulări speciale. Există şi forme nlai speciale ale inducţiei matematice cum ar fi inducţia structurală şi inducţia inversă. (fI) Inducţia structurală. Atunci cînd obiectele unui sisteln sînt definite prin inducţie (recursiv) (ca de exemplu, ter­ menii sau formulele unui sistem formal) se aplică un prin­ cipiu analog cu (a) formulat astfel : =

Teoria sistemelor logice

, 80


dacă construcţiile iniţiale satisfac o proprietate P şi dacă există un proces de construcţie astfel că orice construcţie obţinută din cele iniţiale are proprietatea P� atunci orice construcţie are proprietatea P. O f9J�_�_Şp_��gl_� _�JE-5!l!�ti�L�gEE-t.ţ1!�I� _��t�jg_gu�ţ!�._ dup ă .,�unKin:ţ��.��ţsiei" (caz în care se dă definiţia expresiei ca o secvenţă care se amplifică după anumite reguli) . (f2) _ş� nUll��ţe ninducţie inversă" inducţia matem(itică în care în loc de. P(n) este _ necesar .şă presu.punem P(m) Vm � n. B) Demonstraţia prin inducţia. matematică. Considerăm prin­ ' cip i ul (2 a) " P(n) " va fi nuniită îii" geiie-re " propoziţie induc­ tivă", iar ��n" variabilă inductivă sau variabilă după care se efectuează inducţia. Demonstraţia are două momente principale (după care se conchide conform cu principiul inducţiei) : 1 ) baza inducţiei : se demonstrează P(O) 2) Pasul inductiv : se demonstrează 'P(n) - P(n + 1 ) . ( în formula " P(n) - P(n + 1 ) ", "P(n) " este presupunere inductivă. ) în [IJ Kleene dă un exemplu interesant de demonstraţie a unor propoziţii referitoare la compunerea fo nnulel o r cu ajutorul parantezelor. Tot în [IJ Kleene demonstrează prin inducţia matematică teorema deducţiei relativ la sistemul axiomatic al logicii . Fie porţiunea logicii propoziţiilor cu 10 postulate (Partea II, cap. IV ; 24) . Reproducem această demonstraţie ca fiind un model foarte interesant de apli­ care a inducţiei matematice în logică (Partea II� Cap . V ; 24) . Teorema deducţiei se formulează astfel : Dacă r� A r- B atunci r r- A -+ B. (Unde r este o nlulţime de premise poate şi vidă) . î n conformitate cu condiţia teoremei se presupune că există o secvenţă finită astfel că fiecare secvenţă este sau (a) o formulă din r sau (b) formula A sau (c) axiomă sau (d) concluzie conform cu regula modus ponens din două formule precedente� ultinla secvenţă este B. Concluzia teoremei asertează că există o secvenţă finită de formule astfel că : fiecare formulă este (a) o formulă din r sau (c) axiomă sau (d) concluzia conform cu modus ponens din două formule precedente şi ultinla formulă este A -+ B. Metodele logicii moderne

81


Teorema se demonstrează prin inducţie inversă după lungimea k a deducţiei, unde B va fi variabilă, iar r, A se presupun fixe pe parcursul inducţiei. Propoziţia inductivă P(k) sau per, A, k) este : pentru orice formul ă B dacă este dată demonstraţia lui B din r, A de lungime k, atunci se poate găsi demonstraţia A -. B din r. Baza de11wnstraţiei. Demonstraţia lui P (r, A, 1) (adică pentru k 1). Presupunem c ă e dată fornlula B şi deducţia lui B din r, A de lungime 1 . Are loc una din posibilităţile (a) - (c) . Le analiză111 pe rînd. Deoarece B e singura formulă (k = 1) este exclusă posibilitatea (d) . Cazul (a) . B este una din formulele r. Deducţia va avea forma : 1 . B (formulă din r) 2. B - (A - B) - se obţine din schema de axiOlne A ­ - (B- A). 3. A - B (modus ponens la 2, 1) . Cazul (b) . B este chiar A . Deducţia are forma : 1 . A - (A - A ) - din schema de ax io m e A - (B - A) . 2. {A -. (A - A) } - ([A - ((A --A ) - A) ] -. (A -. A ) ] ) Aceas ­ tă formulă se obţine din schema de axj ome ; (A - B) -. ((A - (B - C) ) - (A -> C) ) . prin substituţia lui B cu A .-. A şi a lui C cu A . 3. [A - ((A - A ) - A) ] - (A - A ) (din 1 şi 2 prin modus ponens . 4. A - ( (A - A ) - A) prin substituţia de B cu A - A în schema A -� (B - A ) . 5. A -. A (prin modus ponens din 3 şi 4) . 6 . Deoarece B este A, A - A este A -. B. Cazul (c) . B este axiomă. (Ca şi în cazul a , numai că B e axiomă) . =

.

Pasul �nductiv. Supoziţie : per, A, 1) pentru orice l � k, adică pentru orice 1 � k şi fiecare B, dacă este dată deducţi2 l ui B din r, A de lungime l, atunci poate fi găsită deducţia A - B din r. Demonstrăm P (r, A, k + 1) . Supoziţii : e dat B şi e dată deducţia lui B din r, A (de l ungime k + 1 ) . Teoria sistemelor l ogice

82


Considerănl cazurile (a) - (d) . Cazurile (a) - (c) exact ca în bază . Cazul (d) : B se deduce conform cu modus ponens din două forulule care-l pre c ed, ceea ce putem schematiza astfel : P şi P - B. Dacă eliminăm partea din formulă care urmează după P ceea ce rămîne va fi deducţia lui P din r, A , de lungime 1 � k. Luînd P în calitate de B obţinem prin presupunerea induc­ tivă deducţia A - P din r. Procedînd în acelaşi fel în con­ tinuare (adică aplicînd presupunerea inductivă la fragmen­ tul deductiv corespunzător) obţinem : A - (P- B) din r. Aceste două deducţii vor fi utilizate pentru construirea deducţiei final e . (Fie p şi q lungimea celor două deducţii) . deducţia A - P din r dată prin presupunere p . . A- B inductivă .

. . .{

P + q

A - (P- B)

{ deducţia A .-.. (P- B)

din r dată prin presupunere inducti v ă . p + q '+ 1 . (A .-.. P) - ( (A - ( P -+ B) ) -+ (A - B) confornl cu schema de axiome (A - B) - ((A - (B - C) ) - (A - C) P + q + 2. (A - (P- B)) - (A - B) se obţine prin regula modus ponens aplicată la p şi P + q + 1 P + q + 3. A - B, prin modus ponens din p + q şi P + q + + 2. Cu aceasta se încheie demonstraţia . Teorema cuprinde şi cazul cînd r este vid : dacă A r B atunci r A -+ B (logica propo ziţiilor) . C) Definiţiile pe baza _ i1'!...duE1ie�_I!,1}�'l!.�ti1!.!.L_?:f!cur_sive) . Ana­ li z a 'câte' urmeâ-ză- 'c a ' Şi t ermenii special i aparţin în esenţă lui S. C. K leene . Defi,!!jţia,. i?J..�!icti1l_!!.. C onst ru cţia succesivă a şirului natural pornind de la zero cu ajutorul operaţiei succesor (+ 1) poartă numele de "definiţie inductivă" (a şirului natural) . Definiţia are trei puncte (două directe şi unul indirect) : 1 . O este nu măr natural. 2. Dacă n este număr natural n + 1 este număr natur al . 3. Nici un altfel de număr natural în afară de cele formate în acord cu 1 şi 2 nu există. Metodele logici i moderne

83


(O desc ri ere completă a şi rul ui natural se dă prin adăuga­ rea a două axiome) . O astfel de definiţie este strîns legată de principiul induc­ ţiei matenlatice şi de demonstraţiil e pe baza acestui prin­ cipiu. Pornind de la cazul şirului natural se pot face gene­ ralizări pentru diferite clase de obiecte. Definiţiile inductive sînt clasificate de Kleene în două : fundamentale şi nefunda­ mentale (distincţiile sînt relative la context) . Astfel definiţia domeniului de obiecte (care este şi dome­ niul variabilei , respectiv va riabilelor) este fundamentală, în timp ce defi niţia e xp res i il o r (ex. " t e rmen ", ,.formulă" "formulă demonstrabilă") şi predicatelor relative la obiec­ tele respective va fi nefundamentală. La rîndul său definiţia nefundamentală conţine puncte directe şi punctul indirect. în fine, pu nct el e directe pot fi de bază şi puncte inductive. Fi ind dat un p redicat P(x) prin punctele directe se arată condiţiile în care predicatul este atribuit obiectelor, iar punctul indirect specifică faptul că în alte condiţii nu se mai atribui e (ori se atribuie altceva în genere) . în caz particular, se arată cînd predicatul ia sem nifi caţia " adevă­ rat" (se de fineşte adevărul predicatului) şi se precizează că în re s t (punctul indirect ) semnificaţia nu va fi adevăr (ci, să zicem, falsul) . Fie din nou predicatul P(x) (şi e ventual unele predicate definite anterior pe care el le presupune) . Prin punctele de bază se arată direct obiectele pentru care are loc (" este adevărat e t ), iar prin punctele inductive se arată că dacă predicatul P(x) (cu sau fără presupunerea existenţei unor predicate care-l preced şi de c a re ar fi legat) are loc pentru un anumit tip de obiecte (" este adevărat pentru astfel de o biecte") el are loc şi pentru anumite obiecte legate într-u n mod anume de primele . ..,Dacă punctele de bază l ips esc, atunci predi cat ul ia semni­ ficaţia fals· p e ntru toate argunlentele ; iar dacă lipsesc punc­ tele inductive, atunci definiţia e st e pur şi si mplu o d efiniţie explicită prin parc1lrgerea cazurilor" [24 ; 232 ] . Definiţia explicită constă în a da expresia pentru se m nifi caţi a gene­ rală a predicatului (funcţiei), iar definiţia p rin "parcurgerea cazurilor" constă în aplicarea regulii : Dacă l- A (O) şi l- A (x') atunci A (x) . Teoria sistemelor l ogice

84


Predicatele n-adice pot fi de aselnenea definite prin defi­ niţii fund amentale Generalizarea definiţiilor inductive permite şi generalizarea demonstraţiilor prin inducţie. Ca' exelnpl u� avem principiul pentru ideea de �Jormulă demonstrabilă" . Presupunem că fiecare axiomă posedă o însuşire P şi că de îndată ce premisele la care se aplică regulile de deducţie formală posedă însuşirea P, concluzia posedă însuşirea P� atunci orice formulă demonstrabi1ă posedă însuşirea P. Analo g pentru "termen corect" şi "formulă co rectă ,, î n acelaşi mod� scrie K1eene� definiţiile i nductive funda­ lnentale (cu condiţia că obiectele produse în diferite moduri sînt diferite) justifică « definiţiile prin inducţie » sau « defi­ niţiile recursive ) ale funcţiilor asupra domeniului stabilit prin definiţia inductivă" . î n ce priveşte definiţiile nefunda­ mentale lucrurile sînt mai complicate căci procedura recursi­ vă corespunzătoare lor (relativ la o clasă de obiecte), pro cedură " conform cu care apartenenţa unui obiect la cl asă poate fi stabi lită prin aplicaţi i diferite succesive ale punc­ telor directe poate să dea mai mult de o semnificaţi e a funcţiei pentru astfel de obiect e de exempl u, n cp (A) = O dacă A este axiomă ; cp (A ) cp (B) + 1 da că A este conse­ cinţă imediat ă din B şi <p(A ) <p (B) + <p(C) + 1. dacă A este consecinţă imediată din B şi C" acest sistem de reguli nu defineşte u ni voc funcţia cp, definită pe clasa for­ mulelor demonstrabile şi privind semnificaţi i naturale" .

".

­

,

=

=

-

[24 ; 233 J .

Definiţiile recursive. Ele se referă la funcţii sau predicate reprezentabile prin funcţii şi aU în general forma : (J) se dă valoarea funcţiei pentru valoarea (valorile) ini­ ţială a argumentului (respectiv argumentelor)� ex. cp(O) pentru O, (2) se dă apoi valoare a funcţi ei pentru valoarea imediat următo are a argumentului (argumentelor) � ex. f(x') pentru X' . (3) Prin 1 ş i 2 valoarea funcţiei a fost definită î n genere. Exemplificăm pentru numere naturale cu schemele : cp(O) q ) (y' = � X(y. cp (y) ) . Aceste scheme definesc funcţia cp(y) nprin inducţie după y " , =

'Metodele logicii moderne

85


unde q este un număr natural dat, iar X(y, z) , ° funcţie dată de două argumente (deci ° funcţie cu valoare cunos­ cută) . Se poate considera procesul şi ca demonstraţie pentru faptul că funcţia are în final valoarea indicată prin procesul induc­ tiv. Există definiţii în care funcţia depinde şi de alte variabile, , Xn (numite parametri) . De exemplu : X 2, a + O=a a + b' (a + b) ' este definiţia adunării ( a + b) unde inducţia se face după b, a este parametru, iar ' este funcţia succesor. în logică, definiţiile funcţiilor de adevăr sînt recursive . Astfel, odată stabilit domeniul de definiţie al variabilelor {O, I } (adică falsul şi adevărul) vom defini disj uncţia prin schenla : p V q = luax (P, q) . Predicatele pot fi introduse prin funcţii recursive sau di­ rect prin proceduri recursive, evident nu toate predicatele sînt recursive . Kleene arată în ce sens terţul exclus poate fi demonstrat recursiv (deci constructiv) pornind de la predi­ catele recursive . Pentru fiecare valoare a lui P(x) noi pu­ tem stabili o propoziţie care este sau adevărată sau falsă (lucrul precis determinat) . Nu la fel poate fi j ustificat terţul exclus pentru definiţia inductivă a predicatului - prin punctele directe atribuim "adevăr", iar prin cel indirect "fals" dar nu dispunem de procedură efectivă pentru a spune de fiecare dată dacă avem propoziţia adevărată sau falsă. Kle ene remarcă totuşi ° excepţie, anume cînd " ordinea în c are conform punctelor inductive apar elemen­ tele clasei coincide cu ordinea în care aceste elemente sînt generate prin definiţia fundamentală inductivă" [24; 233]. în acest fel, există cazuri în care definiţia inductivă = definiţie prin inducţie (recursivă), de ex., pentru "termeni", "formul e", ,, formule demonstrabile" (se înţelege depinde de sistemul de limbaj ) . Acest lucru este, de exemplu, valahn pentru teoria funcţiilor de adevăr. Corespunzător conceptului de definiţie prin recursie se introduce conceptul de " demonstraţie prin recursie". Un caz special de demonstraţie prin recursie este cel de "re­ cursie inversă". Există de asemenea " definiţie prin inducţia inversă". (Atît demonstraţia ,.inversă" cît şi definiţia "in•

=

Teoria sistemelor logice

86


versă" pot fi reduse la recursii simple cu aj utorul unor demonstraţii) . Demonstraţia prin recursie inversă este descrisă de Kleene în felul următor. î n demonstraţia recursivă a unei teoreme T(y ) se poate ca în cazul T (y' ) să avem dependenţă nu llunlai de cazul imediat precedent T(y) ) ci şi de alte cazuri precedente. ( 3) Metoda funcţiilor recursive. Vorbind despre inducţie ne-am întîlnit cu noţiunea de .,recursie". Noţiunea de recur­ sie poate fi studiată însă în continuare ca o noţiune specială ce generează o metodă aparte în matematică şi logică . Există o clasă specială de funcţii (şi predicate) care pot fi definite ,.prin inducţie" � adică recursiv. Această clasă se va numi "c1asa funcţiilor primitiv-recursive" . Dezvoltarea acestei metode aparţine în parte lui Gade1 . Noţiunea de "recursie" (în genere) se defineşte (în ultima vrelne) prin aceea de "calcul abilitate". O funcţie este cal­ culabilă dacă există un procedeu de calcul (algoritm) care va permite efectiv să aflăm valoarea funcţiei pentru valori date de argumente . Calculul se efectuează II treptat"� de la simplu la complex. El se descompune în "unităţi" (operaţii elementare) ; de ex. scrierea sau ştergerea de sim­ boluri . Un studiu mai aprofundat al calculului aritmetic arată că el se bazează pe un număr mic de date iniţiale (noţiuni şi operaţii ) . î n vederea dezvoltării ideilor vom distinge unnătoarel e nivele : 1) nivelul conce ptual (numere şi operaţii cu numere) � 2) nivelul fonnal (obiec t e el e mentare şi operaţii cu as emenea obiecte) , 3 ) nivelul metateoretic . Vom vorbi de numere şi operaţii cu nunlere sau relaţii îns ă efectiv ne vom ocupa de simbolurile care le reprezintă într-un sistem fornlal (cifre şi alte semne) luate ca " obiecte formale" etc . Astfel vom avea obiecte O (zero)� '(bară pentru succesor ) � O este obiect independent� iar ' este auxiliar . Vom produce şirul de obiecte. O� O'� O"� O'''.. . . . Care corespu nde şirului numerelor naturale . Metodele logicii moderne

87


(Fiecare obiect se produce din O prin iteraţia barei, aşa cum se vede.) Vom introduce un limbaj pentru descrierea obiectelor : "nume proprii (altfel spus, constante) : O, 1, 2, . . . . unde O desemnează pe O (deci utilizare autonimă) , 1 desemnează pe O' etc . Operaţia de aplicare a barei se va numi noperaţia succesor" şi se notează cu S. Un obiect oarecare se va nota cu x, y. z, " Succesor al unui obiect x" se va scrie S (x) şi se va defini astfel : S ( x) x + 1 Fiecare obiect reprezintă un număr (în eventua1iţatea inter­ pretării) . Semnele O, 1. 2, . . . desemnează obiecte formale şi exprimă numerele, la fel cuvintele corespunzătoare "zero" , "unu", .. doi" etc. Semnele +, X ş.a. vor fi folosite atît la nivel formal cît şi în metaIimbaj - ele vor desemna operaţiile cunoscute. Şirul natural este definit inductiv prin regulile : (a) zero este număr natural, (b) dacă x este număr natural atunci S(x) este număr natural . Altfel spus, el apare din înlocuirea lui x cu S(x) adică x + 1 şi a lui x cu O. în acest fel, O' este reprezentat de O + t O" de (x + 1 ) + 1 , adică x + 2 etc. Operaţiile x + y şi x X y (pe scurt xy) sînt definite impli­ cit, respectiv prin (1) x + O x x + S(y) S(x + y) (2) x + O O x X S (y) = x + (x X y) Singurul SelTIn de rel aţie poate fi (identitatea, altfel spus "egalitatea" într-un sens mai general) . Constituirea aritmeticii ca un calcul al identităţii a fost intuită dej a de către Leibniz Însă forma modernă a fost dată de A. L. Goodstein. Pentru a ne exprima in limbajul funcţional obişnuit vom nota cu Sum ( x, y) şi resp . Prod (x, y) cele două operaţii. Definiţiile vor lua forma : ( 1 ') Sum (O, x) x Sum ( x, S(y» = S (Sum (x, y» (2') Prod (O, x) = O Prod ( x, S (y» = Sum (x" Prod (x, y» '

"

=

{ {

=

=

=

=

=

Teori a sistemelor logice

B8


( în locul semnului S putem folosi în limbaj semnul " astfel x ' .) î n scopul calculului avem în vedere că pornim de la anumite constante (zero ori alte cifre), iar numărul S(y) este produs conform cu operaţia succesor. Calculul se face prin "inducţie după y" (producerea şirului natural conform cu operaţia succesor fiind numită "proces inductiv", fie­ care număr fiind definit inductiv după un număr finit de paşi) . Fie să cal culăm 2 + 3 5, adică Sum ( 2, 3) = 5 Ap1îcăm schemele ( 1) şi obţinem : 2 + 3 = 2 + 2' = (2 "+ 1 ') ' = ((2 + O) ') ') = (3') ' = 4' = 5 Mai întîi se operează o "reducere" treptată a obiectului 3 la obiecte elementare (conform cu definiţiile din metalimbaj) şi apoi se calculează urcînd de la O la 3. Pentru dezvoltarea teoriei este comod să luăm ca funcţii iniţiale pe lîngă succesor, o funcţie constantă (identic zero), şi o funcţie de identificare. Ca operaţii care raportează unele funcţii la altele vom avea operaţiile de "substituţie" şi de ,.recursie" . în schema (1) adunarea lui x + S(y) e construită din x + y şi S cu aj utorul substituţiei în Sex). adică S ( Sum(x, y) ) (altfel : xjSum (x, y) ) . Schemele ( 1 ) şi (2) sînt scheme d e recursie deoarece ele ne pennit calcularea valorii unei funcţii în dependenţă de valo­ rile unor funcţii mai simpl e. Astfel pentru ( 1) vom avea o funcţie de identificare şi respectiv în loc de x + S(y) avem funcţiile x + y şi S. Funcţiile succesor, constantă şi de identificare vor fi numite "iniţiale". Definiţiile ( 1 ) şi (2) sînt recursive. O funcţie cp va fi numită recursiv primitivă dacă ea este definită din funcţii iniţiale (zero, succesor, identitate) prin substituţie şi scheme de recursie ("prin inducţie") . Schemele de recursie corespunzătoare definiţiilor ( 1 ) şi (2) =

sînt :

<.p ( O, x) = tJ;(x) cp{y'.. x) = X(x, cp (x.. y)) Noţiunea generală de funcţie recursiv primitivă este defi­ nită implicit prin schemele : (1) <p (x) = x' (II) tp (xv x2' " ' , xn) = q ( II I) cp(xv x2 , , xn ) = Xi , xn) ) , Xm(x1, xn ) , , xn) = � (Xl( Xl> (IV) <P(XI' X2, •

"

'

"Metodele logicii moderne

.

"

.

.

89


� (O) q = cp(y') X(Y cp (y) ) (Vb) cp (O X2• , Xn) , Xn) = � ( X 2, <p(y' .. X2, " ' , Xn ) X(y, cp ( y , Y 2, . . . , xn ) , X 2' " ' , x,, )) Definiţiile ( 1 ) şi (2) s înt de tipul (Vb) , cazul n 2. Schema (V b) e dată de G6del . Goodstein a arătat că pentru varianta construită de el e suficientă schema (Va) . Un concept (clasă.. predicat, relaţie) este recursiv dacă i se poate asocia o funcţie definită recursiv. G6del a arătat că datorită procedeului de aritnletizare lnulte concepte metateoretice (" axiomă" .. .... variabilă " ş . a . ) p o t f i definite recursiv (Va)

=

..

..

"

'

.

=

=

.

7. M ETODA M O D ELELOR

Introducerea noţiunii de sistem formal în logi că a atras după sine noţiunea de modef, în înţelesul de IImodel se­ mantic". Teoria model elor a dobîndit o extrem de largă aplicaţie, însă termenul "model" nu este nici pe departe unul şi acelaşi în diferite domenii. Studiind noţiunea de nlodel în lingvistică Chao Yuen Ren [50J încearcă o trecere în revistă a sensurilor principale ale acestui termen Por­ nind de la acest studiu vom rezuma (ţinînd se a ma şi de alte lucrări) conceptel e de model. Prilnul si cel mai vechi sens al termenului model este probabil cel de "exempl ar ideal" (ori cv.asi:-ide �.1). S e sp u�e astfel " este un elev model". adică este un elev conform cu anumite idei (prescripţii) pe care noi le impunem compor­ tării el evului . Pe scurt.. sensul este de .... conformitate cu un ideal (formul at) " , altfel spus obiect conform ide alului Al doilea sens este cel de .... itnitaţie " a unui lucru (sculp ­ fui�a este un model aJ obiect.ului s culpt at) Al treilea sens este cel de "imagine' ; a unui lucru (ex . pictura) sau .. coP-ieJ l • AT patrulea sens este de .... schiţă" a ceva . A lua model al unui lucru revine la a fa ce schiţa acelui lucru. Foarte apropiate de schiţă, cu deosebire că pe lîngă ele­ mentul de ob servaţie intervine elementul imaginat este "schema" unui lucru pe care-l cunoaştem di rect doar în parte Astfel avem "modele cosmologice" (v. Ptole m eu.. Co.

...

"

'

....

" .

.

.

Teoria sistemelor logice

90


pernic, Einstein), "modele atomice" (Rutherford, Bohr) ş.a. "Programul" după care urmează să se desfăşoare un proces (ex. un proces de producţie, un proces de învăţămînt pro­ cesul chiar de construire a socialismului ş . a. ) constituie un alt concept de model . Constatîndu-se că ceea ce este esenţial în definiţia modelu­ lui este "un ansamblu de reguli de corespondenţă" între două mulţimi de entităţi, noţiunea de model a fost extinsă cu mult dincolo de limitele utilizărilor fizice sau obişnuite. O teorie poate fi ea însăşi dese:ţl1nată ca model a ceva (al ul1lif. -sis teni " de entităţi) . Evident " că--e"s te- posibil să introducem noţiunea de model pornind de la teorie la obiecte C,modelul teoriei") . "Modelul teoriei, scrie Suppes, poate fi considerat ca reali­ zare posibilă în care sînt satisfăcute toate propoziţiile adevărate ale teoriei, iar realizarea posibilă a teoriei este considerată ca o formaţiune cu o anumită structură mulţi­ mistă. De exemplu, noi putem caracteriza realizarea posi­ bilă a teoriei matematice a grupurilor ca pereche ordonată în care primul membru este lnulţimea vidă, iar al doilea o operaţi e binară asupra acestei lnulţimi . Realizarea posibilă a teoriei grupurilor este model al teoriei dacă axio­ Inele teoriei satisfac realizarea" [46 ; 286J. Reţinem din cele de mai sus ca esenţial e pentru ideea de lnodel : a) un sistem de obiecte S, b) un sis tenl de obiecte M, c) anumite reguli de corespondenţă între M şi S. Sistemul S va fi "originalul", iar M va fi " modelul lui 5 " . Regulile de corespondenţă sînt "reguli de modelare". Modelele în matematică încep să fie utilizate pe o scară mai largă în legătură cu geometriil e euclidiene şi cele neeucli­ diene (E . Baltrami, F. Klein) , iar în logica matematică de căt re F rege şi Russell . Einstein considera că modelul geom etriei euc1idiene constă din regulile de comportare cu II corpurile practice rigide". Este dej a o mică deplasare a sensului faţă de definiţia reprodusă ulai sus. O extindere foarte mare au luat-o modelele In studIul teoriilor deductive (ex. demonstrarea proprietăţilor de necontradicţie, completitudine, independenţă. în decizie etc . ) . Modelul poate fi raportat la teoria propriu-zisă Sau la sistemul formal corespunzător teoriei . Cînd avem de-a face cu sistemul formal modelul descris este numit " model •

A

Metodele logicii moderne

91


semna tic". Vom raporta deci noţiunea de model semantic la structura sintactică a teoriei (la sistemul formal pe care teoria îl implică) . Se înţelege că uneori putem folosi limba­ j ul natural fără ca totuşi să reţinem s emnifi c aţi a pe care cuvintele o sugerează direct . Astfel procedeaza Hilbert în construcţia geometriei unde cuvintele "punct", " dreap­ tă", "plan" ş.a. nu au neapărat selnnificaţia cunoscută (deşi.. evident, o pot avea şi pe aceasta). ci pot avea şi alte semnifi caţii, cu alte cuvinte semnificaţia lor este "deschisă". Este un gen de formalizare interesant - în loc s ă creălll simboluri care să ne îndepărteze de intuiţie, lăsăul deschisă semnificaţia cuvintelor intuitive (pe lîngă aceea pe care o sugerează direct ele pot avea şi a lta ) . Avelll în acest caz o nreinterpretare" a Iinlbaj ului, după cum în cazul siste­ Inului formal avem o i nt erp ret a r e . Ternlenul de ninter­ pretare" poate să desemneze fie procesul de stabilire a modelului.. fie însăşi modelul . Prin umodel semantic" se poate înţelege fie o mulţime de semnificaţii cu o anumită structură, fie o teorie intuitivă asociată sistemului formal (a cărei structură satisface sis­ temul formal) . Noţiunea de model este din ce în ce mai larg utilizată în logică, fie pentru definirea şi studierea unor operaţii şi relaţii logice, fie pentru studierea unor proprietăţi ale sistemelor logi c e (în genere, deductive) .. evident în scopul rezolvării unor prob le me . Hilbert, Tarski, L6wenheim, Skolem, A. 1. Malţev, Robinson ş.a. au contribuit la in­ troducerea largă a ideilor legate de model în logică şi mate­ matică. O sinteză asupra teoriei modelelor o găsim în cartea lui A . Robinson Introducere în teoria modelelor şi n�etamate­ matica algebrei ( 1963), o alta în lucrarea Matematica meta­ matematicii de Rasiowa şi Sikorski (1963) . Aceste două lucrări vor fi pe larg utilizate în expunerea noastră. "

"

8. D E F I N I ŢI I L E ŞI CLAS I F I CĂRI LE îN LOG I CĂ

Mijloace logice mai ferenţa) definiţiile şi tante pentru studiul pentru construcţiile Teoria sistemelor logice

slabe decît deducţia (în genere, in­ clasificările sînt totuşi foarte impor­ metateoretic al logicii şi.. se înţelege, logice. 92


Definiţiile. Studiind formele de j udecăţi un loc deosebit îl ocupă definiţiile� însă definiţiile nu se reduc neapărat la o singură j udecată. Se poate vorbi de un "proces defini­ toriu" dat printr-un ansanlblu de judecăţi (propoziţii) . Rolul definiţiilor este de a fixa nconceptele" sau semnul ori semnificaţia termenilor. Clasificarea definiţiilor este una dintre cele mai inlportallte probleme de logică. Nu este scopul nostru să ne ocupăm pe larg de această c1asificare� ne vom limita la a-i da schiţa şi a surprinde unele aspecte metateoretice . PresupUlleln că se ştie ce este definiţia. definitul (definien­ dum) şi definitorul (definiens) precum şi regulile pe care trebuie să le satisfacă o definiţie pentru a fi corectă. Vom deosebi "procesul de definire" şi "lnij loacele logice (metoda) de a-l realiza". Propunem

1)

următoarea schemă generală d e clasificare :

După natura entităţii dejinite :

a) reale (definiţia se referă la obiecte reale sau abstracte) ; b) nominale (definiţia se referă la termeni şi, în genere, la expresii) ; c) formale (definiţia. se referă la "obiecte formale " , la elemente ale sistemului formal) . într-un anumit sens cazul c) este inclus în cazul a) cu deosebire că în c) avem "construcţii" ale intelectului (cam în genul "jocului de şah") . Formal trebuie să determinăm roluri ale figu rilor grafice (convenim să le numim ..

grafeme") .

2) După

natw'a

dejinitorului :

a) de esenţă (definiţia dă o caracteristică esenţială sau mai multe ale enti­ tăţii definite) ; b) genetice (se indică modul specific de generare a entităţii definite) ; . c) de relaţie (se determină sistemul de relaţii caracteristice entităţii, ex . , relaţii spaţio-temporale, relaţii sociale ş. a.) ;

d) operaţionale (după metoda de fixare practică, metodologică a obie c­ tului, ex. înregistrarea efectelor, măsura, comportare în situaţie ex­ perimentală ş.a.) ;

e) după relaţia insuşirii definitorii cu entitatea definită (predicativă, 3)

ne-

predicativă) . După modul de stabilire a dejinitorului :

a) ostensive (prin indicarea obiectului vizat) ;

b) prin înregistrarea unor determinări caracteristice ; M etodele logicii moderne

93


c) prin indi c are a sist emului de rel a ţi i din care obiectul face p arte (ex. cu d) constructive (i ndu ctive Sau recu rsive)

ajutorul unui sistem de axiome ) ;

4) După forma logica-lingvistică

.

definiţiei :

a

a) definiţii simple (printr-o propoziţie) ;

b) d efiniţii complexe (printr�un sistem de propo ziţii sau de reguli) ; c) contextuale

(definitorul

reiese

f)

ş.a.) ;

din contextul utilizat) ;

d) definiţia cu ajutorul unor op era tori speciali (1 , A, definiţii explicite sau implicite ;

e:

g) definiţiile prin abstracţie.

5) După poziţia în procesul cunoaşterii :

stipulative (de introducere a unui termen sau concept nou) ; b) explic at ive (un concept sau te rmen existent este explicat prin al tele ) ; c) de precizare (se precizează c o nc ep tul sau sensul te rme nului prin clasifi­ a)

cări

sau

extinderi, ori restri cţii) .

Am dat în cele de mai sus cinci clase de criterii, fiecare clasă constînd din cîteva criterii . Se înţelege că această clasifi­ care este aproxi ln ativă şi poate fi îmbunătăţită . Este interesant să încercăm a descrie evoluţia procesului de definitie . Prim� fază ( absol ută) a procesului de definire începe cu introducerea expresiilor prin raportarea directă, fizică la obiect (definiţiile ostensive) . Este discutabil dacă acest procedeu poate fi num it de definire în sens strict sau este acceptat prin convenţie ca o definiţie . A doua fază este introducerea indirectă (mediată de rezultatele anterioare) a expresiilor. Expresiile pot fi raportate la alte expresii ca prescurtări, ca explicitări sau precizări . Prin repetiţie omul se obişnuieşte să coreleze expresia cu obiectul sau expresia cu expresia. (Explicarea acestui proces aparţine fiziologiei şi psihologiei.) Odată ce dispunem de termenii respectivi (şi în genere de limbaj ) putem trece la caracterizarea obiectelor. Dorim cu alte cuvinte să dez­ văluim modul în care obiectele pot fi identificate ( deose­ bite de altele) . Putem în acest sens să ne referim la proprie­ tăţile specifice obiectelor sau la modul de formare a obiec­ telor sau la mij loacele noastre de a le deosebi în mod prac­ tic (experimenta re, luăsură) sau la rel aţiile lor cu alte =

Teoria sistemelor logice

94


obiecte . Cînd am reuşit să stabilim un limbaj simplu şi univoc noi putem opera cu semnele independent de semnifi­ caţie (de apelul la obiecte sau de înţelesul, sensul lor) . În acest caz se impune să distingem nu obiectele pe care dorim să le cunoaştem, nu cuvintele� ci anumite " obiecte formale", şi nu numai să le distingem� ci şi să le construim din obiecte date (ex. forme grafice iniţiale) . Care vor fi 1 I 0biectele" admise în operaţiile noastre ? - iată o problemă nouă. A distinge între obiectele corect construite şi altele care nu sînt corect construite . Obiectele pot fi construite corect după reguli date . Se inlpune alteori să detenninăm rezultatul unei operaţii şi facem aceasta pl-in reducerea rezolvării la date elementare. prin recursie ( = re­ venire la date iniţiale) . în procesul acesta de distingere a obiectelor� a cuvintelor, a obiectelor formale. metodele şi rezultatele vor depinde de natura obiectului şi de sarcinile pe care ne prOpUnelTI să le rezolvăm prin identificarea (distingerea) lor. Uneori în loc să descriem direct obiectul dăm sistemul de relaţii fundamentale în care acest obiect (mulţinle de obiecte) se află. Obiectul este în acest fel delimitat în mod implicit. O relaţie, la rîndul ei, poate fi delimitată ca o intersecţie de alte relaţii . Procesele se pot defini prin modul (eventual lnetoda) de realizare . Noi ne putem referi direct la obiect. la proprietăţile lui. dar proprietăţile obiectului se 11lanifestă în relatiile cu alte obiecte. Nu numai obiectul este " oglinda" tut u'ror celorlalte obiecte cu care vine în contact dar şi celelalte obiecte sînt într-un anu mit sens " oglinda" acestuia. Noi putem deci să ne folosim pentru distingerea obiectului, de "proiecţia" lui în alte obiecte . Se poate întîmpla ca în încercarea noastră de a caracteriza un obiect printr-o pro­ prietate, proprietatea să nu poată fi caracterizată la rîndul ei total independent de obiect. Vedem dar că procesul de identificare (distingere) se dovedeşte extrem de variat şi complex . Omul nu se poate dispensa de actul fundamental al distingerii care este corelat cu un act tot atît de funda­ mental al identificării. Dacă noi am găsit prin ce se poate distinge un obiect de a1tele� vom putea folosi ulterior acest "semn distinctiv" pentru identificarea acestui obiect. Pe de altă parte, în practică obiectele trebuie să îndepli­ nească funcţii diferite şi noi găsim metode de " a le supune" Metodele logicii mo derne

95


unor funcţii diferite. Orice operaţie cu obiectele� orice cercetare ulterioară a obiectelor se bazează pe faptul că noi ştinl să le "distingem " şi ca urmare să le lIidentificăm" . Pe planul raţiunii aceasta înseamnă că noi construim con­ c epte I I defillite " , abstracţii adecvate. Prin definire noi introducem în aria cunoaşterii un nou obiect sau precizăm poziţia obiectului. Cînd înlocuim defi­ nituI cu definitorul spunem că lIeliminăm" definitul . Nu întotdeauna (după cum se ştie) putem utiliza definitorul în locul definitului . Este necesar deci să se aibă în vedere forma pe care o capătă definiţia şi generalizările să se facă prin considerarea acestor forme. Acesta este pe scurt IIprocesul definirii" � parte integrantă a procesului general al cunoaşterii. î n metateorie vom invoca definiţii de cele mai variate tipuri începînd cu cele ostensive (de IIdenumire" a enti­ tăţilor care constituie teoria) şi terminînd cu definiţii con­ structive (recursive) . V OlU vedea în ultimul capitol (II Filozofia logicii") cum con­ cepţia despre rolul unui fel de definiţii sau altul stă la baza unei anumite filozofii - ex. realismul (defininI entităţi reale), conceptualismul (definim concepte)� nominalismul (definim termeni)� convenţionalismul (definiţiile sînt ale­ geri arbitrare) ş.a. Tendinţa de a reduce procesul de defini­ re l a un tip anumit de definiţie stă la baza unor astfel de concepţii unilaterale. O filozofie greşită începe a desea cu o concepţie greşită despre definiţie . Multe probleme de logică au putut fi rezolvate prin preci­ zarea concepţiei despre definiţie (a se vedea definiţiile ne­ predicative şi paradoxele) . Formalizarea logicii a extins mult posibilitatea de a aplica anumite tipuri de definiţii ( ex . definiţiile recursive� definiţiile prin abstracţie ş.a. ) .

Clasificările. Rolul clasificărilor în logica modernă este mult mai mare decît se presupune. Se confirmă subtila observaţie a lui Fr. Engels că baza lIaşa-numitului raţionament de­ ductiv . . . este totuşi clasificarea" (Dialectica naturii, 1966, p . 204) . Există două tipuri mari de clasificări - clasifi­ carea pe orizontală (în care entităţile sînt grupate în clase de acelaşi nivel) şi clasificarea pe verticală (ierarhică) . Principiul clasificărilor ierarhice este un principiu funda­ mental în structurarea logicii moderne şi în rezolvarea Teoria sistemelor logice

96


anumitor problenle (decizia, eliminarea paradoxelor) . Dis­ tincţia îns ăşi între teorie şi metateorie este un exemplu de astfel de clasificare ie r a r hi că Majo ritate a metodelor de rezolvare a paradoxelor presupun o clasi fic a re ierarhică. Criteriul de ie rarhi zare este o rel aţie care poate să difere de la caz Ia caz. Astfel de rel aţie a fost dej a studiată (IIA despre B") . Proprietăţile ei (indiferent de c a z ul partic ul ar) par a fi : nereflexivitatea, as imetri a intranzitivitatea. Vom avea ocazia să întîlnim în expunerea ult er io a ră dif e rit e r e la ţii de ierarhizare". .

,

n

9. M ETO D E G RAFI C E IN LOG I CĂ

Ca şi în matematică metodele gr afi c e j oacă un ro l important in logică. Sînt cunoscute di agr a m el e lui Euler ( cercuri l e) diag ram ele lui Venn, diferite reprezentări sagital e diagra .

,

­

me în drapel, scheme ş.a. Diagramele aj ută la rezolvarea pr obl emelor , i ar în unele cazuri sînt chiar suficiente. De­ senele corespunzătoare ideii de graf (deci graful ca desen") au luat d e asemenea o ext inde re apre ci abilă în logică. Fie, de exemplu, funcţia ele adevăr f(Pv P 2, Pa) 1 1 1 1 00 1 0 "

=

P1

I I I

I

I

I

I

f- --- - - - - -

(Aci Vl' V2, V5 r eprezint ă valorile 1 în ordinea dată mai sus) . înch e iem cu aceasta trecerea în revistă a me tode lor aplicate în logica modernă. Toate aceste metode sînt nlai mul t sau mai p uţin apl icate şi în dezvoltarea metal 0gicii. După cum a lU mai spus formularea ( de scri e re a) lnetodelor •

­

se face în metateorie . Fiecare teorie este însoţită de anSamMetodele logicii moderne

97


blul de cunoştinţe metateoretice care în principal constau în descrierea lTIodului de construcţie a teoriei şi a nlij loacelor de rezolvare a problemelor. O teorie deci nu e st e niciodată expusă total separat de metateorie, aşa încît avem 'de-a face, de regulă, cu un ,,fragment ştiinţific" cu cel p uţin două nivele de abstractie. Metateoria aşa �um o studiem noi are în vedere nu o teorie logică, ci o clasă de teorii logice sau cel puţin clase de sis­ teme logi ce ale uneia şi aceleiaşi teorii (v. de ex. nc1asa sistemelor de tipul PrinciPia Mathematica") .

Teoria sistemelor logice

98


Antinomiile logice

1.

N OŢI U N EA DE ANTI N O M I E (PA RADOX)

Unul dintre cele m ai adînci principii ale l o gic ii formale este pri,gg.12iu J neGQn�i (s au noncontradicţiei) . La drept vorbind, da că este să c onsi de r ăm formulările nu e xi stă un singur principiu a l ne c o ntr a dicţi e i ci o " c1asă de principii" , e chival ent e întrucît sînt toate logi c adevă::. rate, destul de dife rite în ce priveşte natura entit ăţil or la care se aplic ă ··Probabil că toate pot fi subsumate unei f o nnulări foa rt e g ener ale (uonto1ogice") dată în te rme ni de "a fi" şi Ha nu fi" : (1) în acelaşi timp şi s'Vtb acelaşi raport (= din acelaşi punct de vedere) un luc ru este imposibil să fie şi să nu fie. A c ea§tă formulaxţ interesează în mod de o se b it filozofia şi în sp eţ ă .

.

filozofia Jogicii fornlal e . Alte f ormul ări sînt date în t erm eni pur l o gic i ( ne s e nlan­ tiei) sau: ş e m a nti ci ·şi se r aporte ază la ideea de " pr op o ziţi e în g e nere sau la diferite sisteme logice. în toate a c e st e for­ mulări reapar cele două co n diţ ii fundamentale pentru lo­ gica fornlală şi pe care noi am conv e nit să le numim " coor­ donate ale l o gic ii formale" [ lJ . Le presupunem fără a l e formula e xpli cit =

.

"

.

Iată cîteva formulări semantice : (2) b pr op oziţi e nu poate să fie adevărată şi să nu fie ade­ vărată ; (3) o prop o ziţie nu p o at e să fi e adevărată şi falsă ; (4) o p rop ozi ţi e nu p oate să fie adevărată împreună cu negaţia sa ; ( 5) fie o pro p oziţie b as tfel că b ? ă (se imp li c ă re cipr oc) est e i mp o sibil ca a şi b să fie ambele adevărate ; (6) este imposibil ca a şi ă să fie echivalente. Fiecare din aceste fo rmul ă ri po at e fi supu s ă di scuţi ei în .

Teoria sistemel or l ogice

99


vederea unor p r e ciz ări d at orită f aptului că t e r nl enii ,de npropoziţie"� nadevăr" ,,fals", "negaţie", ..... echivalenţă" pot fi la rîn dul lor pre c iz aţi aşa cum se va vedea în c apito­

lele următoare .

PutelTI da formulări pur l o gi ce , formalizate sau nu : (7) unui subiect este imp osibi l să-i revină şi să nu-i revină a cela şi

predicat ;

------

(8) a & ă ; Vx(F(x) & F(x)) Nu e lipsit de importanţă să remarcăm utilizarea t ernle nu­ lui modaI i mp o sibi l" în formulările intuitive (nesimbolice) . Necontradicţia ( c o nsiste nţ a) este, după cum se şti e , cea mai importantă p r o pri etat e a sist em elor deductive . Preocu­ parea p e ntru a sigura re a unei asemenea proprietăţi este p rim a grij ă a teoreticianului, mai al e s că în ştiinţă ca şi în viaţa de t oate zilele contradicţiile logice ne pîn de s c la tot pasul. OP!!ŞY.L_ne::_c9ntradi.c.ţieL-.es.te. . �QntL�gJ.�ţia for�_9Jă. Avenl lcontradicţie fo rm al ă ori de cîte ori ne aflăin " iîi s ituaţi a de a aserta (ca adevărate, demonstrate) atît propoziţia cît şi ne g aţia ei, pe scurt : l- a şi ci l- a = ă sînt formulările cel e mai generale al e unei c ont radi cţii . (Aici e ch ival e nţ a trebuie luată, în sens int ui tiv de infe ­ renţă recipro c ă . ) Am spus mai sus "o ri de cîte ori ne aflănl în situaţia de a aserta însă pute m nuanţa aceasta astfel : "ori de cîte ori a şi ci ni se imp un e cu aceeaşi tărie logică" (ulti mul termen se cere, evident, pr e c izat ) . Este i mp o rt a nt să nu c onfund ăm contradicţia cu simpla "imposibilitate de alegere" la un moment dat . De exemplu, p rop o ziţii l e " există viaţă pe planeta Marte" şi n nu există viaţ ă p e planet a Marte" sînt două p rop o z i ţii care se c o nt r a ­ zic, dar n-am avea c o nt r adi cţi e decît dacă c i n eva l e-ar aserta de op ot riv ă fie din gr eşe al ă, fie din f apt u l că ele ar fi deduse cu aceeaşi forţ ă logică în c a drul unei teorii. În exelnplul n o str u cele do u ă propoziţii se află în situaţia eg al ă " de a nu exista suficiente argu ment e" nici pentru a re sping e pe vreuna, nici pentru a o aserta . Ambe le sînt ipotez e (ni ci asertate, nici re spi ns e ) . Expr e si a "a =: ă U determină logic o cl a s ă vidă. De remarc at este însă că nu n

__

U

Teoria sistemelor logice

1 00


totdeauna propoziţia este confruntată cu opusa luată în formă directă (negativă), opusa unei propoziţii afirmative poate avea de asemenea forma afirn1ativă, de ex. : x > y şi x � y sînt contradictorii deşi după formă nu ne dăln imediat seama de aceasta (tocmai relativ la acest caz e valoroasă formularea (5) a principiului necontradicţiei) . Dealtfet există logici fără negaţie (logica pozitivă. logica lui de Griss) . Uneori contradicţiile sînt mascate sub expresii noţionale (.,în concepte"), distingem în acest caz "concepte contra­ dictorii" şi "aserţiuni contradictorii". Este deosebit de important să nu confundăm contradicţiile cu aserţiuni de felul acesta : ,,_ţ_ _�§_t� şi b Uţl .Şj � ă:u " , "j',m ateria este şi corpusculară şi ondulatorie", "noţiullea este şi intensională şi extensională" . Asemenea aserţiuni, pe care unii le numesc "dialectice" din cauză că predicate contrarii sînt atribuite aceluiaşi subiect nu sînt nici pe departe atît de simple pe cît par la prima vedere .. el e sînt după părerea noastră, moduri foarte concise şi sugestive de a exprima idei care, puşi în situaţia de a le preciza, se dovedesc a fi foarte complexe. Am ară­ tat dealtfel că în filozofie acţionează "principiul expresiilor prescurtate" [2J . Termenii " bun" şi "rău", pentru a ne opri la acest exemplu.. nu sînt in genere precişi, ci mai degrabă ,-,vagi", imprecişi (a se vedea şi logica inlpreciziunii) - nimeni n-ar putea determina (defini) o clasă de lucruri despre care ar spune "iată clasa tuturor lucrurilor bune (respectiv rele) " ! Precizarea lor se face în context . Apoi ei mai sînt termeni relativi (unul la altul) despre care ştin1 că sînt "contrari" (că ei conţin o anumită contradicţie, fără a se reduce la ea) . Aserţiunea corespunzătoare va fi şi ea imprecisă, în aşa fel că în acest caz nu avem de-a face cu "propoziţii" în înţelesul o bişnuit şi deci nu putem să-i aplicălll normele obişnuite de gîndire. Prin aceasta n-am afirmat că sîntenl în imposibili­ tatea de a le supune unei analize logice. Va trebui după părerea noastră să revizuin1 i deea de . . coordonate logice" . Dacă, de eX'J bun" şi "rău" se referă la faptele cuiva noi putem spune : ,, fapta A este bună şi rea", dar precizăm imediat " ea este bună întrucît (= din punctul de vedere) II

Antinomiile logice

1 01


. . " şi "ea este r e a Întrucît ( = din punctul de vedere) Timpul sau punctul de vedere (sau ambele) se pot schimba. Nefiind "absolute", pr e dic at el e "bun" şi "rău" trebuie p reci zat e de fiecare dată. Ase rţi une a " x e s t e bun şi rău" este imprecisă, e li ptică şi chi ar variabilă. Oricum, ea nu poate fi pr eci z ată în acest fel : "X este (în acelaşi tinlp şi sub acelaşi raport) şi bun ş i rău", această expresie este cDntr a dictorie . Noi cădem în contradi cţi i formale s au illtenţjonat ( a ce as t a se zice , ,În 1110d sozLsJk: '), sau din sinlplă negli jenţă (,3n mDd ]2aralogistic" ) sau în mDd l�ecesar C!p-ţ?:ţinomic") . Ne interesează desigur depistarea şi eliminarea cDntr a dicţii ­ lor în diferite dOlnenii de activitate. Un j urist nu poate permite martorului să rănlînă în stare de contradicţie) un dipl oma t caută contradicţii în gî ndi rea interlocutorului ·

ş.a. Pe noi ne interesează contradicţiile care survin în uCDnstrucţiile t e o reti c e " (ştiinţifice) filozofice) . 'CDnform cu l egea logică u o c ontradicţi e i mp li că D r ic e ( = şi a de vă rul şi fal sul") , constr�ia teDretIcă în c a re apare contradicţia îşi pierde c apa citate a de decizie, a d i că puterea de a de o se bi între adevăr şi f al s . TDcmai de aceea necontra­ di cţi a este o. p rDpr i et a t e fundamentală a teoriilor, i a r gri j a oamenilDr de ştiinţă este să evite co ntr a dicţiil e, să asigure teoriile împ otriva contradicţiilDr . Cum se elimină contra­ dicţiile formale obişnuite ? Dacă avem două prDpDziţii a şi b care se contrazic şi pe care cineva le asertează deopotrivă, VDm decide care dintre ele este adevărată şi vom respinge pe cea falsă. Contradicţia va p e rsi s t a cîtă vrenle nu vom face o al e ger e lDgic Întemeiată şi nu se r e nunţ ă (dacă acest lucru e posibil) voluntar l a as ertar e a alnb el o r pr Dp Dzi ţii . Uneori conţradicţia este ascuns!: Dacă o prDpDziţie a duce la o contradicţie (b şi b) at u nci noi VDnl r es pinge p rDpo ziţia .

ca fiind falsă. Nu întotdeauna lucrurile se pr ezi ntă aşa de uşor. Cazul cel mai dificil este al aşa-numitelor antinonlii (= pi!:racţ9�� JQgk�) pe care l e vom st udi a în contInuare . Ce este un p ar a dox sau o antinomie ? În u lt i lu a vreme ter­ menii sînt utilizaţi aproape în egală măsu r ă aşa că alegere a făcută de noi în titlu este arbitrară. Va trebui să v o r bim in genere de "antin0111ii" ( co n fDr m cu alegerea făcută) dar în speţă pentru d if erit e antinDmii vom ut i li z a şi terTeoria sistemelor logice

1 02


menul de paradox (aşa CUlTI s-a şi făcut în istoria logicii şi matematicii) . ,Termenu l " antinomie " vine din latineşte şi este format din 'cuvintele "anti" (opus) şi " nomos" (lege), iar "paradox" provine din limba greacă npara" + " doxa" (;:::::: dincolo de opinie, contra opiniei, dincolo de raţiune) . /it. Grecii antici au fost aceia care au descoperit diferite con­ tradicţii logice pe care n-au putut să le soluţioneze. Sînt vestite IIparadoxele lui Zenon", paradoxele descoperite de şcolile mici socratice (ex. paradoxul grămezii, paradoxul chelului), paradoxele mincinosului, dilema crocodilului ş.a. Zenon, de exemplu, căuta să arate că conceptul de I Jmiş-� care" duce la contradicţii (paradoxe) . Explicaţia acestor . contradicţii nu este nici astăzi satisfăcătoare . în ce mă , priveşte nu cred într-o soluţie m atem atică problema este de metaştiinţă în cel m ai bun caz. S-ar putea da două I explica ţii : 1 ) imposibilitatea de a reproduce mişcarea fizică prin simple raţionamente logico-matenlatice ; .�), ]imposibi1itatea reducerii continuului la discontinuu. De aci : ipoteza nlişcării fizice (în înţelesul strict) trebuie luată ca postulat (independent), la fel CUlTI ipoteza continuu­ lui trebuie luată ca postulat independent (v. Cohen) . Respectivul paradox al lui Zenon (I IAllile şi broasca ţestoa­ să") arată că nu putenl obţine continuul (mişcării) din discontinuităţi (momente) . în ce priveşte "paradoxul grămezii" (respectiv paradoxul chelului) el nu poate fi soluţionat decît presupunînd că avem de-a face cu concepte de o natură specială (mulţimi vagi, imprecise ori statistice) şi că operaţiile de gîndire trebuie făcute în conformitate cu n?-tura specială a conceptului . .S-a vorbit şi se vorbeşte luult de ,�paradoxul mincino�ului". Acesta are două formulări antice--pdncipal e - formularea lui Epimenide şi formularea lui ' Eubulide. Vom vedea că în sensul strict al cuvîntului ele nţI sînt paradoxe . Se zice că Theophrast şi Chrisippos a u scris o mulţime de tratate despre Jlmincinos" ('Y,eU aO{.LEVOC:;) . Aristotel a tratat paradoxele ca pe sofisme, iar Chtisippos c1C'pe pro­ poziţii fără sens. �vul mediu a reluat studiul paradoxelor dînd între altele formulări exacte pentru paradoxul mincinosului. în traI

,

Antinomiile logice

1 03


tatele medievale paradoxele erau numite ,.insolubilia". Petrus Hispa nus, 1. Buridan, Albert Saxonul, Paulus Nicolaus Venetus sînt cîteva nun�e de a utori preocupaţi de paradoxe. Albert Saxonul dă 14 variante ale Jlmincinosului", iar Paulus Venetus enumeră 1 5 soluţii. Soluţiile date de scolas­ tici sînt mai degrabă sugestii interesante, ele nu sînt dezvol­ tate sistematic şi nu pot fi considerate satisfăcătoare. Galileo Galilei a sesizat şi el un , . paradox" relativ la pro­ poziţia "întregul este mai mare decît partea", a nume că şirul num ere lo r naturale poate fi pus în corespondenţă biunivocă cu o parte a sa, de exemplu, cu şirul numerelor pare . I. Kant dezvoltă teoria antinomiilor filozofice. Această teorie a fost revizuită în direcţia dialecticii (i deali ste) de către Hegel. ca teorie a contradicţiilor. La rîndul său dialec­ tica hegeli ană a contradicţiilor a fost pr elu c rată în dire c ţia , m aterialismul ui de către Marx, Eng els şi Lenin . Priu de­ I finiţie nantinomiile" lui ..!fanţ coincid cu paradoxele însă el a făcut o ap r opier e nu cu genul de paradoxe de care ne vom ocupa noi ci cu uparadoxele lui Z enon" (aporiile). în epoca contemporană studiul paradoxelor a fost reluat cu o deosebită intensitate. �acă pînă în sec. XIX ele puteau fi considerate ca simple jocuri de raţiune, piatra de încer­ care pentru capacitatea de analiză şi rezolvare, în sec. XIX studiul lor este impus chiar de dezvoltarea matematicii şi a logicii. O sarcină de-pri,m rang care stăte a în faţa mate­ maticienilor din seCi XIX ' er a construirea matem aticii ca un sistem unitar şi �'econtradictorit1J cu alte cuvinte Jlfun­ damentare a matematicii". O înc er ca re în acest sens a fos t sistemul logico-arit-metic al lui Frege, o alta teoria mulţi­ milor a lui Georg Cantor. Sistemele acestea operau cu noţi­ uni atît de abstracte (ex. noţiunea de "mulţime") încît se poate spune că ele erau din principiu predispuse anu­ mitor pericole. S-a const atat îndată că sist emel e lui Frege şi Cantor erau afectate de co ntradicţii adînci în care s-a recunoscu t îndată legătura cu vechile paradoxe. în 1895 mat ematicianul italian BuraIi-Forti descoperă în teoria lui Cantor paradoxul celui mai mare ordinal, iar Cantor însuşi dădu peste un paradox analog ("paradoxul mulţimii tuturor mulţimilor"). în 1902-1903 B . Russell consti­ tuie paradox ul tuturor nlulţimilor care nu se conţin, iar Teoria sistemelor logice

104


Zermelo a găsit un paradox asemănător cu cele formulate de Cantor şi Russel1. Diferite forme populare au fost date paradoxului lui Russell de către Russell însuşi , F. Gonseth (1933), G. Mannoury (1936). J. <g,ţchiiE9J (1905) a descoperit 12ar,§:dQ�J;ll, ,qeJinil�tUităţli finite "câ."i'e pune la îndoială posibilitatea de a rezolva la nivelul limbajului ceea ce nu se putuse rezolva la nivelul abstracţiilor. Alte paradoxe au fost descoperite de Grelling; Berry, Kănig, Finsler, Skolem, Shen ş.a. Diferite soluţii au fost propuse de către Russell, Hilbert, Brouwer, Boci­ var, Tarski ş.a. Esenţial a fost, c�" dintr-o prolJlemă logico­ filozofică antinomiire"aJl'�aevenitb problemă 1o'gico-' matem�tică� Să revenl'm acum la noţiunea g.x. Există mai multe defini i ale termenuluI din care unele pot fi considerate echlva enfe). (1) Paradox contradicţie formală dedusă într-un sistem teoretic (definiţie relativă la sistem). (II) Paradox contradicţie Între două propoziţii a şi b astfel că a ? b, din presupunerea lui a rezultă b, iar din presupunerea lui b rezultă a. (III) Paradox = propoziţia din care se poate deduce o contradicţie (în sensul (II)). (IV) Paradox contradicţie formală irezolvabilă cu mij­ loacele logice de care se dispune la un moment dat. Strict logic vom folosi definiţiile 1-111, în sens filozofic vom utiliza şi definiţia IV. Există şi două accepţii ceva mai speciale. (V) O propoziţie adevărată care prin încercarea de a o demonstra într-un sistem se ajunge la contradicţie (vezi .,paradoxul lui Godel"). (VI) O contradicţi e între două propoziţii anlbele adevă­ rate dar l ua te într-un context nepotrivit. în acest sens utilizează },{arx termenul "paradox" relativ la contradic­ ţiile economiei clasice burgheze. Notăm o anumită a,.mbigţ1i­ tate sistematică în utilizarea termenriltif? 'tirieori este apli­ ca t direct contradicţiei, alteori expresie!,' propoziţiei saU conceptului care conţin contradicţia, iar alteori întregii desfăşurări a contradicţiei. Vom spune că o propoziţie eare implică un paradox este paradoxală, analog despre

. .,

�""

"

'

=

=

=

Antinomiile logice

105


un concept. Nu orice propoziţie contradictorie este şi para­ doxală. (Vom reveni ulterior asupra clasificării propoziţii­ lor din acest punct de vedere .) 2. PRINCIPALELE ANTINOMII

(1). Paradoxul mincinosului. Cee_� c e s-a numit în antichi­ tate nparadoxul lllincinosului" în varianta Epimenide vom vedea că, în ciuda renumelui şi îndelungatei circulaţii sub acest înţeles, respectiva formulare nu este un paradox, ci doar un arado aparent (pseudo-p�� ado�.- Critica aces: :: . " e In tel. formulan eene lnsă este eVIdent ca schimbarea în mod tacit a formuIărilor a avut în vedere neajunsurile respectivei enunţări. Iată formularea. Cretanul Epimenide spune: "toţi cre­ tanii sînt mincinoşi". Ce-a spus Epitnenide, adevărul sau minciuna? Aparent raţionarnentul decurge astfel: dacă presupunem că a spus adevărul atunci Epimenide fiind şi el cretan în­ seamnă că e nlincinos deci a spus (nu adevărul, ci) minciuna. Totuşi raţionamentul nu e corect (şi se înţelege că conform cu d efiniţi a 1-111, el chiar şi aş a nu e paradox - contra­ dicţia obţinîndu-se numai în presupunerea " de adevăr") . .

prima obiectie. înţelesul termenului "mincinos" nu a fost luat în mod tacit (dar nejustificat) ca identic cu falsul . Termenul "mincinos" se aplică de obicei la caracterul cuiva, dar el se poate aplica şi, de fapt aceasta este prima utilizare, relativ la propoziţiile spuse de cineva ("minciuni" sau "propoziţii mincinoase") . P�oziţiile re­ feE�ţoare la caracter sînLJ.:rruPDz.iţii-statiş.t� ce, ele reflecfă � o tellililiţaŢex-:-tenCIiii'ţaâe a spune minciuni îit-"f� cazuî:'îL'-�ele nu sînt universale (este imposibil ca un om să mintă absolut în toate cazurile) . Un "enunţ mincinos" înseamnă 1) un enunţ fals şi 2 ) un enunţ pronunţat de cineva care cunoaşte adevărul dar spune în mod intenţionat falsul şi 3) falsul altfel spus consti­ tuie o încălcare a unui cod moral faţă de care individul respe ctiv este angaj at . Să pre supunem că "minciună fals". În acest caz am

p�

=

Teoria sistemelor logice

106


ajunge la concluzia paradoxală că acei savanţi care au for­ mulat ipoteze false au spus minciuni (ceea ce, evident nu convine utilizării obişnuite a cuvîntului) . Să presupunem că ar fi satisfăcute doar condiţiile 1) şi 2). în acest caz, multe glume spuse de artişti sau propoziţii din literatură ar fi minciuni (ceea ce iarăşi contravine utili­ zării obişnuite a cuvîntului). Exi�tă, adevărat, o utilizare slabă doar în sensul condiţiilor 1 ) şi 2 ) , dar aceasta nu este ea însăşi o utilizare în sens prim, ci mai degrabă în sens secund ("un fel de minciună") . Un prizonier care dă cu privire la trupele sale informaţii false inamicului nu poate fi etichetat decît în mod tenden­ ţios drept "mincinos" (în sens de nacum spui o nlinciună") , căci el nu are responsabilitate moral-juridică faţă de codul de norme al inamicului şi nici faţă de o eventuală " morală universală" care ar veni în conflict cu codul de norme morale şi juridice la care prizonierul a aderat. Despre acest prizonier putem spune doar că unu spune adevărul", line induce în eroare", dar nu putem spune în sens prim (fără a fi tendenţioşi) că e mincinos (adică, în sens mai general, imoral) . Nu avem responsabilitatea etico-juridică decît faţă de codul la care am aderat . Tot înt r-un sens secund trebuie înţeleasă şi afirmaţia din donleniul lnedicinei că umedicului îi este permisă uneori lninciuna în scopuri umanitare". în realitate, în sens strict, nwdicul nu trebuie să facă nimic din ce ar putea dăuna bolnavului (dimpotrivă) şi, prin urmare, spusele sale avînd o valoare umanitară nu pot fi calificate drept minciuni, ele sînt ceva în genul propoziţiunilor artistului, în cazul de faţă "cuvinte încuraj atoare". Importanţa distingerii între fals şi minciună în sens riguros este deosebit de importantă În drept unde calificativul "mincinos" poate ave a consecinţe dure. Un martor poate să spună falsul fără a fi mincinos. într-adevăr, este de ajuns o iluzie optică, un defect al vederii (vezi filmul american "Doisprezece bărbaţi înfuriaţi") pentru ca martorul să-şi fi făcut o impresie falsă pe care o transmite În faţa j udecăţii fără a avea habar că acesta este un fals. Acesta nu este un martor mincinos şi deci nu poate fi pedepsit. Am discutat despre prima aplicaţie a termenului "minci­ nos" . Vom spune că un individ este mincinos (sub aspectul Antinomiile logice

107


caracterului) dacă el are tendinţa (luajoritară sau oricum ( enunţuri minci­ noase), adică dacă "există suficient de multe enunţuri mincinoase pronunţate de individul respectiv". Conceptul "mincinos" raportat la caracter este vag, ilnprecis, statis­ t ic, el nu determină o clasă în mod precis (a se vedea logica impreciziunii) . caracteristică) de a spune "minciuni"

=

'�

Aceasta decurge din prima. Conform cu cele de mai sus enunţul lui Epimenide nu este o propoziţie în sens stric t, ci o "propoziţie deschisă" ( = o funcţie pro­ poziţională) - el nu, precizează dacă cretanii mint tot­ deauna (lucru imposibil după cum am văzut), uneori (de cele mai multe ori" suficient de mult) sau o singură dată (situaţie practic vidă) . El cuprinde o variabilă necuan­ tificată. Variabila poate fi rap ort ată la lnulţimea enun­ ţurilor formulate de fiecare cretan în pal·te s au la mo­ mentele în care a formulat enunţul (deci poate fi npro­ poziţională" sau "temporaIă" - situaţii care-şi corespund exact extensiollal) . Din situaţiile singulare şi particulare noi nu putem conchide

nimic cu privire la enunţul l ui Epimenide. Să presupunem Însă cazul universal (prin imposibil) : Cretanul Epimenide spune "orice enunţ cretall (= spus de un cretan) este mincinos". în acest caz s-ar obţine în presupunerea ude adevăr" că şi acest enunţ este "nlÎnci­ nos", deci nu adevărat cum s-a presupus. Dacă dimpotrivă vom presupune că enunţul lui Epimenide este mincinos, aceasta va implica (conform cu definiţia acestui termen) "enunţul lui Epimenide este fals", deci "orice enunţ cre­ tan este mincinos" este fals, deci, prin pătratul logic, "une­ le enunţuri cretane nu sînt mincinoase". Acest ultÎ1u enunţ e ste adevărat (empiric) şi nu ştim (empiric) dacă printre acestea ar putea să se afle şi cel al lui Epimenide, iar logic c onchi dem că nu se poate afla - deoarece duce la contra­ dicţie, conchidein (prin absurd) că el nu poate fi adevărat. în ce priveşte caracterul lui Epiillenide, chiar dacă acest enunţ este mincinos, nu s-ar putea deduce dintr-o singură propoziţie mincinoasă spusă de cineva că acel ins este mincinos. Nu este indiferent modul în care pune In A treia obiectie. ' întrebarea în legătură cu enunţul lui Epiulenide. într-adeTeoria sistemelor logice

108


văr. noi o putem formula şi efectiv este formulată în litera­ tură în mod deosebit. 1) Este enunţul lui Epimenide adevărat sau mincinos? 2) Este adevărat sau fals? 3) Este mincinos sau nu este mincinos? În primul şi al doilea caz situaţia se desfăşoară în mod asemănător, cu aceeaşi concluzie. în cazul trei pentru prima presupunere concluzia e la fel cu cea din cazul 1), în presupunerea "enunţul nu este minci­ nos" lucrurile se complică. Predicatul mincinos fiind o conjuncţie de trei predica te ,,fals & intenţionat & contra codului propriu" - pe scurt FIC negaţia acestui predicat nu duce la vreo concluzie precisă în legătură c u enunţul lui Epimenide. Din .,X nu este FIC" noi putem conchide conform cu legea lui de Morgan (relativă la negarea conjuncţiei): "X e st e F sau T saU C". Deci un enunţ cu un mare grad de indecizie (cum este un enunţ disjunctiv) . în continuare mai putem raţiona pe cazuri, dar nu există nici o prioritate şi deci numai prin alegerea unei premise suplimentare din cele pe care ni le permite disjuncţia am putea reduc e cazul acesta la cazul -

2).

În nici unul din cazurile 1). 2) sau 3) nu ajungem la para­ dox, ci Ia o contradicţie (autocontradicţie) care se poate' soluţiona simplu. sau la o stare de indecizie (v. presupune­ rea a doua din cazul trei). înlocuirea predicatului .,minci­ nos" cu ,,fals" ar duce Ia formularea: uorice enunţ cretall este fals", ceea ce se rezolvă prin absurd conchizîndu-se că la rîndul său acest enunţ este fals. dacă opusul său este adevărat. Am insistat cu analiza asupra acestei formulări din două motive - există încă destui autori care dau respectiva formulare drept paradox, apoi cazul prezintă un anumit interes pentru disciplinele deontice (analiza normelor şi valo­ rilor enunţurpor în drept şi :ţ11 oraIă) . Anticii\i e-au"lăsat!şi formul�ie a lui ,;Eubulide: "Eu mint " (sau mai precis uEu acum mint") . Aceâstă- 'formulare. pre­ supunînd că s�a precizat cine pronunţă propoziţia. scapă de obiecţia a doua însă nu de obiecţiile relative la termenul nnlincinos" . Antinomiile logice

109


Formulări precise. Există foarte multe formulări precise date în evul mediu sau în epoca contemporană aşa încît putem vorbi de nclasa paradoxelor mincinosului". Iată o formulare ad-hoc (inspirată de una dată de Lukasie­ wicz) : ( a:) ** propoziţia aflată Între steluţe pe această pagină este falsă**. Se pune întrebarea, cum este această propoziţie, adevărată sau falsă. Supoziţie. Propoziţia (IX) este adevărată. Aceasta înseamnă că este adevărat ce spune propoziţia lIanume faptul că e falsă", or, conform cu regula setnantică : este adevărat că "a este fals" a este fals, noi conchidem că propoziţia (IX) este falsă. Supoziţie. Propoziţia (o.:)' este falsă. Aceasta înseamnă că este fals ceea ce spune propoziţia, adică "faptul că e falsă ", deci conform cu regula: este fals că "a este fals" = a este adevărat, conchidem că propoziţia (IX) este adevărată. în concluzie avem contradicţia: Adevărat (IX)? Fals (IX) . Dilema crocodilului. Este un paradox Înrudit cu cel al mincinosului deşi prezintă o importanţă particulară asupra căreia nu s-a atras încă atenţia . Un crocodil răpeşte un copil . Tatăl vine şi îşi cere înapoi copilul. Crocodilul promite să i-l dea cu condiţia să ghicească "ti-l voi da sau nu ti-l voi da?". Tatăl spune: "nu n'li-l vei da 1" Ce decizie trebuie să ia crocodilul? Dacă se presupune că tatăl a ghicit, atunci crocodilul trebuie să-i inapoieze copilul dar acest fapt e în contradicţie cu propoziţia şi deci ar Însemna că tatăl n-a ghicit. Dacă se presupune că tatăl n-a ghicit atnnci crocodilul trebuie să nu-i dea copilul, dar acest fapt vine în contra­ dicţie cu enunţul tatălui şi deci tatăl a ghicit. După părerea noastră importanţa particulară a acestui paradox constă în aceea că el e un paradox decizional al teoriei acţiunii. Paradoxul arată că crocodilul nu poate lua nici o decizie fără a se contrazice . Mai general, se pune problema formu­ lării "clauzelor" fără a ajunge la contradicţie. =

Teoria sistemelor logice

"1.10


(2) Paradoxele mulţimilor J:'C1!{!doxu] lui Burali-Forti. Conform cu una din teoremel e lui Cantor orice serie bineordonată are un număr ordinal şi toate ordinalele pot fi puse în ordinea mărimii lor . Mai departe, fiecare serie bine ordonată de ordinale are un număr ordinal care este cu 1 mai mare decît cel lnai mare ordinal din serie. Dacă noi imaginăm acum m lţimea tutu­ ror ordinalelor puse în ordinea mărimi i şi notăm cel mai mare ordinal cu CI) at nci numărul ordinal al multimii va � fi CI) + t respectiv cu 1 mai mare decît cel mai m re ordi­

u

u

nal din multime . Dar3 deoarec� această multime include toate ordinalele3 este o contradicţie a spune �ă există un ordinal mai mare decît cel mai mare ordinal din serie. Paradoxul lui Cantor. Se - dau următoarele două teoreme ăiii:teoilâ-mufţlmn�r a lui Cantor. (a) Pentru orice mulţime M este adevărat că numărul cardinal al mulţimii M (notat M*) este mai mic de cît nu­ nlă_ntl cardinal al mulţimii potenţiale P(M) (deci M*< P '

�p(M*)r

(b) Dacă atunci

o

mulţime

M

este conţinută într-o mulţime N

M* �N* Fie K multinlea

tuturor multimilor 3 Conform c� (a) vom avea : (c) K* < P( I() * Conform cu definiţia lui K ( mulţi1ne a tuturor mulţimi­ lor) avem: (d) P ( K) C K D eci conform cu teorema (b) : (e) P (K ) C K - P(K)* � K* Din (e) şi (d) prin modus ponens se obţine : .

=

(f) P(K)* � K*

Dar (f) este

tocmai negaţia lui (c) (căci

şi d e ci am dedus o contradicţie .

x

�y

=x> y)

.,Paradoxele lui Russell. ii) Vom numi normale mulţimile care n u se conţin ca ele­ ment şi nenormale pe cele care se conţin ca element . Astfel, mulţimea non-creioanelor este un non-creion (şi deci se conţine ca ele ment) ea este nenormală, dar mulţimea .

Antinomiile logice

111


creioanelor nu este ea însăşi un creion, deci e normală. Conform cu terţul exclus avem situaţia

Vx(x ENvx

E

N)

Cum este nmulţimea tuturor mulţimilor normale" ( a ce�or ce nu se conţin)? Fie NU o aselnenea mulţime. Supoziţie. NU se conţine ca element. Cum condiţia fiecărui element din NU este de ua nu se conţine ca element" rezultă că întrucît NU se conţine ca element, el nu poate fi element al mulţimii NU şi deci NU nu se conţine. Supoziţie. NU nu se conţine ca element. Deoarece condiţia fiecărui element din NU este de "a nu se conţine"- şi NU satisface această condiţie, rezultă, dimpotrivă, că NU se conţine. b) Corespunzător acestui paradox al mulţimilor Russell formuleaz;ă un paradox intensional. Dividem predicatele în două: cele care se aplică· sieşi (Predicabile) şi altele care nu se aplică sieşi (impredica­ =

bile).

1

Cum este impredicabil? Presupunînd că este predicabil aceasta înseamnă că se are pe sine ca proprietate, deci' este impredicabil, dimpotrivă, presupunînd că este impredi­ cabil aceasta înseamnă că se respinge pe sine ca proprie'tate şi deci (nefiind impredicabil) este predicabi1. Paradoxele lui Russell au primit şi forme mai populare: paradoxul bărbierului (Russell), paradoxul primar-ilor (MannouryL paradoxul cataloagelor (Gonseth).

Paradoxul lui Richard. Fie mulţimea zecimalelor care pot fi definite cu ajutorul unui număr finit de cuvinte dintr-o limbă L (ex. limba ronlână). Această mulţi1ne (E) este illfinită, numărabilă şi ordonată: ( E) { (Xl>

(XZI

· · "

(Xn l

}

Definim un număr zecimal N astfel: K fiind a n-a zeci­ mală din (X - noi construim numărul N astfel că el are pe zero ca parte întreagă şi pe k + 1 ca a n-a zecimală (sau O dacă k 9)" Face sau nu face N parte din ( E)? Deoarece N diferă la a n-a zecimală de orice număr zecimal din mulţimea considerată, el nu aparţine acestei mulţimi, pe de altă parte, el fiind definit într-un nunlăr finit de cuvinte este necesar să facă parte din (E). O variantă in­ teresantă a fost dată de Mostowski, o alta de Carnap. II

=

Teoria sistemelor logice

112


Paradoxul lui Berry. Formăm o clasă de numere astfel că fiecare număr poate să fie denulnit cu un număr m de si la­ be, unde m > n (un număr dat) sau m < n. Fie n 30. Fie apoi cazul m < n. Construim expresia : IIcel mai mic număr care nu poate fi denumit în mai puţin de 30 de silabe". Această expresie are 26 de silabe (adică 26 < 30) şi deci el va face parte din clasa noastră, pe de altă parte, conform cu definiţia. el nu poate fi denumit astfel şi deci nu va face parte din res­ pectiva clasă. =

Paradoxul lui Grelling. Considerănl clasa adjectiveloL Unele vor avea proprietatea pe care o desemnează (autolo­ gice), altele nu vor avea proprietatea pe care o desemnează (heterologice). De ex. cuvîntul ,.pentasilabic" este penta silabic şi deci autologic, dar cuvîntul "trisilabic" nu este trisilabic şi deci este heterologic. Se pune întrebarea cum e cu vîntul "heterologic" ( Se raţionează analog cu cazul paradoxului impredicabilului. ) ­

3. GRUPAREA ANTINOMIILOR

în cele de mai sus am expus în mod intuitiv principalele antinomii. Cum numărul lor este destul de mare se pune fireşte problema clasificării lor. Ramsay ·a Încercat o ast­ fel de clasificare şi anume în "antinomii lo gi ce (antinomiile lui Cantor, Russell ş.a.) şi lIantinonlii epistemologice (Mincinosul, Richard ş. a.). Ulterior ele au fost împărţite în IIsintactice" şi IIsemantice" (ceea ce voia să fie o altă terminologie pentru clasificarea lui Ramsey). Termenii "logic" şi "epistemologic" nefiind suficient de bine definiţi clasificarea lui Ramsey, cel puţin din aplicaţii nu mi se pare nici clară, nici acceptabilă. Nu este clar de ce trebuie să numim ,,logică" antinomia lui Cantor şi de ce să nunum ,.epistemologică" antinOlnia lui Richard. Nici clasificare?­ în "sintactice" şi "semantice" nu este fără reproş, avînd în vedere sensul precis al acestor termeni. Pe de o parte, nu e clar de ce să numim "sintactice" antinomiile m u lţi milor, iar pe de altă parte, fiecare antinomie poate fi studia­ tă (expusă) pur sintactic sau semantic (în sensul precis al cuvintelor). .

"

"

­

Antinomiile logice

113


Preferăm de aceea

vorbim de o grupare

nu

de clasificare�

grup ar.e a nefăcîndu-se neapărat după ucriterii precise de clasificare", ci după criterii de diferite feluri (ex. înrudirea antinomiilor, relaţiile logice dintre ele ş.a.). Vom adopta următ o ar ea grupare: A) Antinomii ale conceptului de "mulţime" (Cantor,

Burali-Forti, Shen ş.a.) . B) ,Antinomii de tip Richar d (Richard, Berry, K6nig, Finsle r ş.a.). C) Antinomii de t ip Grell ing D) Antin omi i de tip "Mincinosul" (Buridan, Crocodilul

Russell,

.

(�jl:�ntino111ii

aparente (Skolem, Godel, paradoxele implicaţIel ş.a.) . Considerîndu-le pe rînd vom expune noi antinomii în formă i ntui tivă sau formalizată, precum şi diferite variante ale uneia şi aceleiaşi antinomii . în aces t fel cititorul va avea o imagine aproape completă asupra temei în cauză. .

GTI Antinomiile :

concePhelui de

u

.

mulţime" .

'Antinomia lui Cantor es te formulată şi în alt mod de către Kleene. Pentru a o expune avem nevoie de i de ea de " su mă a 111ulţimilor" corespunzătoare unei mulţimi 11:[ şi de o teorenlă rel ativă la această i dee. Fie M o mulţime de mulţimi si A o multim e oarecare element al lui M. Multinlea tutu­ � or elementelor care aparţin elementelor A di� M se va nUlni )Jsuma mulţimilor" care aparţin lui M, simbolic SM. Teoremă. Dacă M este o mulţime de mulţimi şi dacă pent ru fiecare element A din M există un e l em ent A' în M astfel că A * < A'* atunci A * < SA * pentru orice A din .Z\-1. Considerăm K mu ltim ea tuturor multimilor. Pentru oric e M din K exist ă un � lemen t J11' anunle 'UM, as tfel că M* < < M'*. Conform cu teorema de mai sus rezultă de asenlenea M* < < SlVf* (pentru orice M din K). Prin definiţie, SlYI-E K. Dacă S1vI este chiar K a tunci SM* < SM* ( c e e a ce e logic fals). Tot Kleene a rată că se poate o h ţine o contradicţie cu SM dacă luăm în calitate de K mulţimea tuturor puterilor (a se ve d e a u p uter ea mulţimii ) iar în cal i tate de M mulţi­ mea care conţine pentru fiecare putere o m ulţime A de "

Teoria sistemelor logice

,

114


această putere. (Noţiunea de "mulţime de elemente arbi­ trare" poate fi precizată, aşa cum a făcut Gentzen (1936), în acest fel paradoxul se obţine În condiţii ulai tari.) Kleene arată că paradoxul lui Russell se poate deduce din paradoxul lui Cantor - ceea ce vor reda mai jos. O foarte concisă variantă a paradoxului l ui Cantor o dă Quine (Set Theory and its logic). . Introducem notaţiile "lI. � W' (incluziuneaL "lI. <�" (e< nu are mai mulţi nlembri decît �) şi "e< -< �" pentru .. ",(� <lI.)" (unde ""," este semnul negaţiei). Fie apoi 'î-C definit astfel: 'îf:: {zl z z}. Se porneşte de la teorema lui Cantor e< -< {xix � lI.} ("orice clasă are mai multe subclase decît membri"). Extinzînd această teoremă Ia 'îf obţinem 6U -< { xix S; 9,C} ceea ce pri� prescurtarea părţii din:dreapta dă 'te -< 'te (for­ mu�� . care este paradoxală). =

Formalizarea lui Kutschera. Kutschera dă o formalizare complexă şi integrală antinomiei lui Cantor. Fiind instruc­ tivă pentru analiza formală a antinomiilor vom reproduce expunerea lui Kutschera (dealtfel ne vom întîlni cu rezul­ tatele sale şi în cazul altor antinomii). Se dau definiţiile incluziunii ( C( C [3), reuniunii ( li. U �) , intersecţiei ( li. n �L clasei universal e (V), clasei vide (A), clasei singulare { e<} echipotenţei (E(e<,�) ), numărului cardinal (I<*(e<) AxE (x, e<)), relaţiei <, mulţimii potenţiale (P(lI.)), nlulţi­ nlii tuturor numerelor cardinale (K) Nu am reprodus decît definiţia numărului cardinal (K* (e<)), celelalte le. presupu­ nem cunoscute cu excepţia definiţiei relaţiei < pe care o dăm acum: K *( e<) < K*(�) : :1 x(x C � A E(x, e<) A I :3y(y C li. A A E( y, �)) (" ," este s emnul negaţiei, "A" semnul conjullcţiei). Defi­ niţiile sînt numerotate DI - Du, exact În ordinea în care am indicat conceptele definite. Utmează apoi o serie de teorenle : TI' V xVy(K*(x) K*(y)= E(x, y)) (decurge din Da) T2• VxVy(3y(z C Y A E (z, x) � K * (x) C K*(y) V K*(x) = K*(y)). T3• V x (x c K A ,3Y(yEXAV'z(ZEX�Z<YVz y)) � 3y (y e K A V z'(z' eX � z' < y'))). ,

=

=

.

=

=

=

.

=

'

'

Antinomiile logice

115


T4• \Ix 3y(K*(x) < K* (y) ) . . T5• IE(b,P(b)). Apoi avem o serie de propoziţii: {y} C P (b) ) a) Ax3y ( y E bA x {y})) b) E (b, AX :!y(y E b 1\ X c) 3x(x C P(b) A E(x, b) d) K*( b) = K*(P(b) V K*(b) < K*(P(b)) e) K* (b ) < K* (P(b)) Deoarece b este o mulţime oarecare are loc: Ts' Vx(K*(x) < K*(P(x)) şi deci Vx 3y(K*(x) < K*(y)) q. e.d. O variantă mai simplă este construită pentru ..,cardinalul =

=

.

mulţimii universale". Din D4 urmează; 1) Vx(x E y)

2) Vy(y C y) 3) P(y) C Y 4) 3x(x C Y A E(x, P (y))) 5) [K*(P(Y )) < K *(y) ] V [K*(V) K*(P{ Y) J ceea ce contra zice Te, căci relaţia x < y este asimetrică. Considerînd ..,mulţimea numerelor cardinale" (K) putem da altă formă. înlocuind pe x cu K în T3 obţinem K C K şi din T4 (1)' 13y(y E KA \/z(z E K::> z < y)) (2)' 3y ( y' E K A Vz' (z' E K::> z' < y')) (3)' 3 y'( y' eKAy' < y'), ceea ce e în contradicţie cu proprietăţile relaţiei x < y. (Aci y' f:ste numărul cardinal al lui K.) =

·

'

Antinomia hti Russell a re o mulţime de variante şi este cea i1ialf"ăspîrrdita 'în literatura de logică. Această antinomie se reduce după cum arată Kleene la aceea a lui Cantor. Kleene nu dă demonstraţia de reducere ci doar unele indi­ caţii generale. Conform cu aceste indicaţii VOln da demon­ straţia. Se consideră următoarea lemă (deja demonstrată ) : Dacă S este o totalitate de sub mulţimi ale mulţimii M şi M � S atunci există o s ubmulţime T a mulţimii M care nu aparţine lui S. în alte cuvinte, S nu este chiar P(M) şi deci e firesc să existe submulţimi în afara lui S. Pe de altă parte, vom produce următoarea limitare a lui Teori a sistemelor logice

116


M: el em entele admise ale lui M sînt 0 (mulţimea vidă) sau mulţimi de numere naturale (1, 2, 3 ... )1 Presupunînd că M este mulţimea tuturor mulţimilor vom avea M � UM. Fie K mulţimea russelliană. Ea se obţine dacă în Ierna indi cată considerăm M UM în loc de M,..., S, astfel că fiecare element din M îşi corespunde sieşi în UM. Pentru definirea lui K dăm criteriul de apartenenţă a elementelor la K. (K va juca rolul lui T din lemă.) Conform cu relaţia M UM fiecărui element A al mulţimii M îi apa rţine un element B al mulţimii UM, B fiind o submulţinle a lui M. Prin urmare, sau A E B sau A � B. Dacă · A E B atunci A � K şi dacă A � B atunci A E E K. (Acesta a fost criteriul.) în- continu q.re presupunem, în contradicţie cu cele admise mai sus, că K E UM (din raportarea la lemă se admisese că mulţimea K este în afara lui UM) . Alegem elementul Al din M care corespunde lui K (în acord cu M"""' UM). Aparţine sau nu Al lui K? Să considerăm criteriul luînd în acelaşi timp Al în calitate de A. Deoarece Al corespunde lui K atunci în calitate de subm ul ţi me B luăm pe K. Oricare din alternativele formulate în criteriu duce Ia con­ tradicţie: a) dacă Al E K atunci Al � K b) dacă Al � K atunci Al E K Or, din relaţia M - UM se ştie că fiecar e element din M îşi co respu nde si eşi în UM. Deci Al este chiar K. Deci K E K == K � K. (pr in substituţie şi reunirea aserţiunilor �Lşi b)). .... Quin e la rîndul său a dat o generalizare a antinomiei lui R us sell (o expunem după Kutschera). Quine consideră mulţi mea AX -, 3y(y E X A x E y) Introducem prescurtarea: AX I 3y(y E X A:;x E y). De aci: 1) al 2) V'x(x e al == -, 3y(y EX A x EY). Presupunem ap oi : 3) al E al f'OoI

f'OoI

=

1

Limitarea respectivă a fost propusă de Gentzen în Die Widerspruchsjrei­ heit der reinen zahlentheorie.

Antinomii l e logice

117


Din 2) şi 3) prin eliminarea cuantorului şi substit uţie obţi­ nem: 4) l:3y(yE al A al EY). Prin deplasarea negaţiei::,' 5) Vy(y E al:=> I alEY). De aci prin eliminarea 'de Y, şi substituţie: 6) alE al � laI E al' Apoi din 3) şi 6) 7) laI Eal Din 2) şi 7) se obţine 8) :3y(yEal A alEY). Eliminăm cuantorul :3 după, r�gula calculului natural. 9) bEaI A al E b. Eliminănl conjuncţia: 10) bEaI 11) alE b. Reintroducem conjuncţia şi :3: 12) 13y(y EbA b EY). Deci: 13) alEb � IbEal (prin deplasarea negaţiei, eliminarea de V şi substituţie). Din II) şi 13): 14) IbE al' Şi, în fine, prin substituţie şi introducerea conjuncţiei obţinem antinomia 15) al Eal A'I(al Eal) Se pot ,obţine formulări mai complicate dacă se pleacă de la definiţia an == AX I :3 Yl . Yn (x E Y I A YI E Y2 A ... AYnE X" :

.

I

.

'Paradoxele lu�' Shen Yuting. Pornind de Ia anumite gene.raliZa'i'l'��aie·"--'C'()ndiliel'=<d'eIinitorii dată mai sus în formularea lui Quine, She� Yuting a ajuns la paradoxe illteres�nte. Î(a) Paradoxul clasei tuturor claselor fundate. Fie un şir infinit de mulţimi Av A2, An .. , (pot să nu fie toate distincte între ele) astfel că fiecare mulţÎ1n.e începînd cu A2 este element al mulţimii care o prece'<ţe, c�ea ce putem pe scurt scrie ... E An E E As E 4-� E'AIVom spune în acest caz că mulţimea Al este nefundată. O mulţime care nu satisface condiţia de mai sus (deci care nu este nefundată) va fi numită fundată. Notăm cu K lllulţinlea tuturor mulţimilor fund a te Cum este K, fundată sau nefundată? Supoziţie. K este nefundată. Atunci conform cu condiţia de mai sus există şirul infinit a-�tfel că: E AsE A2 E K ... E An E Rezultă că şi A2 este nefundată, ceea ce nu este adevărat deoarece A2 E K, iar K este o mulţime de ... 'lllulţim-i fundate deci K este fundată. "

' 1

.

.

.

.

_

.

..

Teoriu sistemelor logice

118


Supoziţie. K este fundată. Atunci Ke K şi deci

... e K eKe K Prin urmare, K nu este fundată deoarece există sirul cores' punzător. )('b) Paradoxul clasei tuturor claselor necirculare. Este o antinomie asemănătoare cu cea de mai sus . Spunem că o mulţime Al este n-circulară dacă există mulţimile A 2' , An Încît să aibă loc Al E An E E A2 eAl Da.� ă există n care să satisfacă astfel de condiţie mulţimea este drculară. Se pune întrebarea CUlTI este o clasă K a tuturor claselor necirculare. Dacă presupunem că este circulară, atunci are •

lQC K:� An E

.

.

.

E A2 E K. Dar A2 este necirculară aparţinînd lui K, A3 este necircu­ laJ:ă, aparţinînd lui A2 şi aşa mai departe An este necircu­ Iară; deci K este necircu1ară deoarece K E An. Presupunem că este necirculară. Atunci deoarece K conţine toate mulţimile necirculare avem KE K şi deci K e K e E:e ; EK Prin urmare este circulară. A C) Formularea lui Montague dată primei antinomii a lui Shen. Montague a dat o formă diferită acestei antinomii. O reproducem după Kutschera. Considerăm definiţia : 1) G(o:) == Vy(et e y � 3z(z e yA --, 3z'(z' eyA z'EZ)) Introducem prescurtarea : 2) a == AXG{X) 3) Vx(x Ea == Vy(xey::> 3z(z e yA --, 3z'(z' E yA z' EZ)) Acceptăm că are loc: 4) a E a. Din 3) şi din a Efa} se obţine 5) 3z(z e {a} A --, 3z'(z' Efa} A z' e z). î 11 virtutea formulei y e {a} ::) y a are loc 6) i3z'(z'e{a}Az'Ea) ceea ce contrazice pe a E{a }A AaEa Deoarece (4) duce la contradicţie avem 7) I(a Ea) Să presupunem. acum că 8) I(a E a). Din 3) urmează: 9) 3y(a e y A Vz(z E y => 3z'(z' E Y A z' E z))). Fie b un astfel de y, obţinem : .

"

.

.

=

Anti nomiile logice

119


10) a EbA 'Vz (z E b => 3z'(Z' E b A z' E z)). De unde.: .. 1 1) a E b şi 12) Vz(z E b � 3z' (z' E b A z' E z). Din aceas ta : 13) a E b => 3 z' (z' E b A z' E a) . Conform cu 11) şi 13) 14) 3z' (z' E b A z' E a). Fie c un astfel de z' : 15) c E b A C E a. Apoi: 16) C E b. 17) C E a. Din 3) se deduce: · z' E z))). Prin spe­ 18) Vy(c E y => 3z(z E Y A I 3z'(z' E yA cializare: 19) C E b:) 3z(z E b A I 3 z ' (z' E bA z' E z)). Apoi: 20) 3z(z E b A I 3z'(z' Eb A z' E z). 21) I Vz (z E b:) 3z'(z' Eb A z' E z) ceea ce contrazice pe 12). Prin urmare presupunerea (8) este contrazisă şi deci 22) a E a A I (a e a) . Avînd în vedere condiţia x E y A Vz( z e y => 3z'{z ' E y A A z' E z) a este to cm ai clasa tutu ror cl asel or fundat e. Analogii ale antinomiei lui RusseU (Scho1z und Hasenyae­

ge r.. GML). Se porneşte de la propoziţia X APz � z E X APz) A,.., z(z E X A pz) E r. Prin specializare se obţine: 2) z E z(z E X A ,..., Z E z) � Z E xA ,...,z E z. Fie apoi definiţia: . 3) t(x) == z(z E X A,..., Z Ez). Apoi prin zlt(x) 4) t(x) E t(x) � t(x) E X A ,..., t(x) E t(x) 5) ,..., t(x) E X A ,..., t(x) et(x) Aceasta este Însă o simplă analogie.. nu o contradicţie [42 �

1) z E z(z E

,431/432]. i

Forme populare ale antinomiei . lui Russell. (a) Paradoxul bărbierului (RusselI.. 1919). Se presupune că într-un sat un bărbier bărbiereşte pe toţi cei ce nu se bărbieresc s inguri. Se pune întrebarea: se băr­ biereşte sau nu pe sine acest bărbier. Orice presupţtuere am face ajungem la contradicţii. Notînd relaţia nX bărbiereşte pe y" cu "xBy" putem da'o formalizare simplă: xBy==yBy Teoria sistemelor l ogice

,120


Prin yJx obţinem contradicţia

xBx ==== xBx ,I(h) Paradoxul primarilor (Mannoury, 1936). În Olanda fie­

care municipiu are un primar şi' nu există două municipii cu acelaşi primar. Unii primari nu locuiesc în municipiul propriu. Presupunînd că se formează un municipiu exclusiv pentru aceşti primari se pune întrebarea unde trebuie să locuiască primarul acestui municipiu. Indiferent de presu­ punere se ajunge la contradicţii. Se poate formaliza simplu astfel: nFie x, YJ Z primari, aJ b, C, municipii şi M municipiul special. Relaţia "x lo­ cuieşte în an O notăm cu nxLa"J iar relaţia )IX este primarul lui a" o notăm cu xPa". Definim: .

.

)J

xLM= 3a(xPa) & xL

a.

Dacă considerăm pe a ca fiind M atunci obţinelll

' xLM=xPM & xLM Presupunţnd xLM avem xPM & xLM şi deci xLM. Din

xrM obţinem xPAf&xLM

xPMV xLM ;'PM V xLM

v

,.

.

f"

I

.

r . '

Or, este dat că xPM şi deci xLM (ce'ea ce contrazice presupunerea xLM) . (c) Paradoxul cataloagelor (Gonseth, 1933). Se 'poate concepe un catalog care înregistrează toate cata­ loagele ce nu se înregistrează pe sine. Se înregistrează sau nu; pe sine acest catalog? Se poate formaliza exact ca şi paradoxul bărbierului.

r1 ntinomia

l1U: Burali-Forti.

1) Robinsoll a formalizat această antinomie apropiind-o de antinomiile lui Quine şi Shen Yuting. O redăm după

Kutschera. Se introduc numerele ordinale prin următoarele definiţii: D1 T(Ct.) = 'v'yz(y E zAz E eL � Y E (1.) (tranzitivitate) y) ( conexi-,;, D2 K(Ct.) = Vyz(y E CI. A ZECI. � J' E Z V Z tate) ,',.' =

D3' F(rx) = Vy(y C CI. A I(y = A) � 3z(z E Y A z n y �.

= A)

Antinomiile logice

121


D, O(e<) = T(e<) A K(IX) A F(IX) (fundare) O(IX) înseamnă "clasa desemnată de IX este un număr ordi­ na!"

Teoreme. 1) T(O)

D& O = AXO(X) (Mulţimea numerelor ordinale)

2) K( O) 3) F(O)

Din presupunerea

IF(O) urmează 4) 3y(y E OA i(y A) A \/z(z E Y=:> IZ n y =A)) Fie apoi a un astfel de y că: 5) a C OA I(a =A) A Vy(z E a=:> I Z n a=A) ). De aci: 6) 3z(z Ea A I(z n a = A) Presupunem că b este un astfel de z încît 7) bEa A I(b n a= A). Se obţine conform cu 5). 8) b E O. Apoi conform cu D, 9) T(b) şi 10) F(b). Conform cu 9) 11) 'v'z(z E b =:> Z C b) şi conf. cu 5) 12) Vz(z Ea=> I(Z n a = A). De unde; 13) Vz(z E b n a =:> i(z n (b n b) = A)) . Deoarece b n a C b şi I (b na = A) din 7) obţinem 14) 3y(y ebA I(y A) A Vz(z Ey:J ,(z n y=A))) adică IF(b)1 ceea ce contrazice pe 10). Deci s-a{demonStrat 3) prin reducere la absurd. =

=

Mai departe are loc:

15) V xF(x) :J "1 (x E x) x E x decurge {x}lc x şi I ({x} n x = A). Apoi: 16) {x}cxA l(y=A)A VZ(ZEY=:> l(zny=A))) 17) 3y(y C xA I(y A) A 'v'z(z Ey =:> I (z ny=A))). De unde IF(x) Prin contrapoziţie 15) obţinem 18) 'v'x(x E x =:> I F(x)) Din l)J 2) şi 3) urmează Din

=

19) O E O

Din 15) şi 3) urmează

20) 10 E O Deci :

21) O E O A I O E O

BJAntinomii de tip Richard. Antinomia lui Richard .cjrculă In mai multe variante (Kleenel CurrY Wang Hao) Fraerrkel, I

Teoria sistemelor logice

1.22


lVlendelsohn� Becker, Kutschera ş.a. ) . Adesea aceste variante nu ·dif,eră decît cu puţin una de alta. O formulare intere­ santă este dată în cartea lui Hilbert şi Ackermann ( G T L) . Există apoi o serie de antinomii înrudite cu aceasta (Berry, .Einsler, K6nig, Bartelett ş.a.) . (â)"\O formul are interesantă o găsim în R.B. Curry (F M L) . "Este inspirată din formularea dată de Mostowski prin procedeul diagonalelor. Se porneşte de la modul de a de­ monstra nenumărabilitatea multimii functiilor aritmetice . Presupunem că există o enu� erare a � cestei mulţimi . Fie Jm (n) semnificaţia funcţiei cu numărul de ordine m (în enumerarea respectivă) pentru argumentul 'J't . Formulăm o astfel de funcţie g astfel că pentru orice n are loc : g(n) . fn (n) + 1 Fie p -- nunlărul funcţiei g în această enu m era r e astfel că : g(n) fp (n) atunci fp(P ) g(P) fp (P ) + 1 Ceea ce duce Ia contradicţie. Deci mulţimea funcţiilor nu­ merice nu este numărabilă. în continuare considerăm mulţilnea tuturor funcţiilor definibile Într-o limbă (să zicem limba română) . Mulţimea expresiilor definitorii este numărabilă şi deci şi mulţimea funcţiilor definite. Se poate însă construi un limbaj care să cuprindă reflecţiile despre mulţimea expresiilor numă­ rabile.. ceea ce duce la contradicţie. (b) în mod foarte apropiat raţionează şi Kleene . El consi­ deră expresiile El> E2 care definesc respectiv funcţiile (de numere naturale) . El construieşte apoi expresia urmă­ toare "Funcţia a cărei valoare, pentru orice număr natural dat în calitate de argument, este egală cu valoarea mărită cu o unita te, pentru acelaşi argument, a funcţiei definite prin expresia corespunzătoare în lista de mai sus a acestui număr natural" (Această funcţie este fn (n) + 1) (c) Ca şi Richard� Fraenkel se referă Ia "numere reale" care ·p ot fi definite cu un nUlnăr finit de cuvinte într-un limbaj L. Fie R mulţimea acestor numere . " Caracterizăm acum numărul real r ca astfel de număr real din intervalul (O, 1) astfel că al n-ălea semn zecimal este" rezultatul deplasării ciclice a celui de al n-ălea semn zecimal al celui de al n-ălea număr în mulţimea enumerată (de 'la O la 1 , de la 1 Ia 2, . . . . de la 9 la O) " . =

=

=

=

Antinomiile logice

1 23


(d) E. lVl el1 del soh n se referă tot la nunlere reale şi formu­ lează astfel expresia definitorie II Numărul real al căr ui al n-ălea semn zecimal este egal c u t dacă la al n-ălea nunlăr richardian al n-ălea semn zecimal nu e egal cu 1 şi al n-ălea semn z ecilnal este egal cu 2, dacă la al n-ălea număr richardian al n-ălea semn zecimal este egal cu 1 " . (e) Formularea dată d e Mostowski a m văzut-o dej a î n capi­ tolul nMetodele logicii nl0derrie" . Ea se foloseşte de pro­ cedeul diagonalelor. Becker reia această formulare fără utilizarea explicită a procedeului diagonalelor. Fie mulţimea 1) v 2' ale cărei elemente sînt definiţii de proprietăţi ale numerelor naturale. Ne întrebăm dacă un număr determinat posedă proprie­ tatea definită de Wp • Dacă da, scriem " este adevărat", dacă nu vom scrie este fals" sau " non- Wp (n) este adevărat". Fie apoi cazul în care p anum e acela în care non­ Wn(n) este adevărat . Pentru n aflat în acest caz vom spune că lin este richardianJ�. Da r nrichardian" este proprietatea unui num ăr şi deci trebuie să se afle printre proprietăţile enumerate cu un număr de ordine precis, de ex. Vom avea deci : 2) Wq (n) este echivalent cu Avînd în vedere faptul că n este arbitrar, noi putem lua q şi prin urmare : este echivalent cu non- Wq (q) 3) Or acesta este antinomia . Finsler dă o variantă mult simplificată asemănătoare întrucîtva cu aceea a lui Berry. Pe o foaie de hîrtie scriem următoarele expresii ( şi nu altele) : ,, 1 . 2, 3, cel mai mic număr întreg nedesemnat pe această foai e ) } . Acest număr nedesemnat este însă bine definit şi anume este . 4. Prin urmare este sau nu desemnat ?

W W

"Wp(n)

'

"

Wn'

.

n

Wp(n)

n Wq(q)

=

n,

q. non-Wn(n)

=

I

9)Antinomii de tip Grelling. înrudită cu antinom�a : lui R1chard deşi destul . . de diferită ca formă este antin,omia lui GreIling. De fapt există o cl asă întreagă de n antil;lPP.}ii GrelIing" aş a încît poate fi catalogată ca un c a z ap�rte.

Teoria sisteme lor logice

1 �,4


o formalizare analoagă cu formalizarea antinomiei

lui

Russell despre n inlpredicabil" şi cu care se aseamănă foarte mult poate fi dată astfel : Fie . semnul pentru desemnează. Dacă un cuvînt se desemnează vom scrie : x . x . Definim nHet" . x = �. Prin substituţie o bţi n e m : . u Ret" == uHet" . ..Het" ceea ce este o antinomie. "r:"" 'Po;-;;;'� normală a antinomiei lui Grelling. O clasă de antinomii Înrudite cu cea a lui Grelling au aşa cum au arătat Grelling şi Nelson o formă comună (normală) . Această fonnă normală simplificată de Kutschera o VOln reda (în simbolismul nostru) . Considerăm relaţia Între " nunle şi conc ep te (deci o relaţie semantică) notată în genere prin " Het"

"

Mo ( �' <P [ � J)

unde

� este un 11u m e propriu, <P [ � J este u n p re dicat de ordinul unu iar Ma ( rf., cI> [ 8]) are loc atunci cînd l ui � îi corespunde un predicat de primul o rdin � ( �) astfel 'că v � ( � [ 8 J == cfl [ �J) Fie apoi o astfel de relaţie (de , corespondenţă univocă Între nunle şi concepte) . Ry ( x, F(x) ) Această relaţie este definită prin produsul cartezian B X X B' (unde B este o mulţime de obiecte, iar B' = lnulţime de noţiuni) Univocitatea ei este determinată prin : 1) V(x, F,G) { [Ry (x, F (y))&R,, (x, G(y)) ] - Vz (F (z) == H(z) }} Definim un predicat concret Hl 2) H1 ( rJ.) == 3F(R" ( rJ., F(y)&F( rf.) (A se observa că predicatul F nu are loc despre n um el e

)

IX

Facem apoi două supoziţii : 3) 1 . Hl (X) E B' 2. 3xRy(x, Hl(Y) ) (asigură non-viditatea) Din ( 1) - (3) se poate obţine o contradicţie . Presup unem c ă a este un astfel d e x încît 4) R,,(a,Hl(y) ) . Din (2) obţinem : 5) Hl(a) == 3F(R,, (a, F(y)&F(a)) Presupunem că are loc H1 (a) . Din (5) se obţ i ne 3F (R,, (a, F(y) )&F(a) ) Antinomiife logice


Fie apoi

FI(Y)

un concept din

B'

astfel că

Ry (a, F(y) &FI(a)) .

Prin eliminarea conjuncţiei obţinem din această formulă :

6) Ry(a, FI(Y) ) 7) FI(a)

în continuare folosindu-ne de

Vz (FI(z)

==

( 1), (4) , (6)

HI(z)) .

obţinem

De aci prin eliminarea universalului şi înlocuire vom obţin e : == HI(a) de unde prin (7) :

FI(a)

Hl(a) (cu ajutorul lenţă) în concluzie :

lui

modus

8) Hl(a) -+ HI (a)

Presupunem apoi că

are

loc HI(a) . Din

apoi minat cuantorul universal :

VF(Ry(a� F(y) ) - F(a))

ponens aplicat la echiva­

Ry(a,H(y) ) - HI(a) . Cu ajutorul HI (a) . Deci : 9) HI(a) - HI(a) . Din (8) şi (9) 10) HI(a) == HI (a) Rationamentele de ' asupra claselor.

II.

mai

(5) obţinem :

substituind după lui

sus

ce am eli­

(4) :

pot

fi

ap oi

transferate

Fie R (x,y) o relaţie definită pe clase şi dată prin produsul cartezian B X B' unde B ş i B' reprezintă mulţimi de obiecte (care sînt la rîndul lor clase) . Relaţia este univocă :

1 ) V ( x,y, z) ((R(x,y) &R (x. z)) - y c (o clasă) astfel : 2) C AX 3y(R(x, y)& X E y) Definim

=

z)

=

Acceptăm apoi supoziţiile

3) 1 . cEB' 2. 3xR(x.c)

Dacă presupunem din nou că

4) R (a , c)

Următoarea

1:

aEC

==

c ontradicţie

se

a

este un astfel de

poate

obţine

x

atunci

ca şi în cazul

a�c

Teori a sistemelor logice

1 26


III. Ave m în fine cazul relaţiei umvoce Între mulţimi de o bi ect e B şi mulţimi de funcţii monadice B' (deci pro­ dusul B X B') : R,,( x, cp (y» 1 ) V(x, cp, �) ( Ry (x, cp (y» &R,,(x, �(y» -+ \I Z (cp ( z) == �(z»} Definim o fu ncţie Yl ( X) : 2) Yl ( oc) = � l ( �cp R,,( oc, cp (y» &(<p( oc) # e) Forma �l(P ) va fi definită ca o funcţie dată de funcţii m onadice Considerăm pe YI(X) 3) 1 . Y l (x) e B'

2. 3x Ry ( x, Yl(Y»)

Fie a un astfe l de x că : 4 ) Ry {a. Y l (y)) Din (1) şi (4) obţinem : 5) 3cp(Ry (a) cp (y) )&( cp(a ) = e) == (Yl(a) = e) Apo i : YI (a) == � I(Y l (a) = e) 6) (unde " e " este nu m e) Pe această bază se obţine contradicţia : e (Y I (a ) = e ) == (Y1(a) ) Antinomiile (concrete) se obţin prin înlocuirea e xpr esiilor B, B', R,, ( x, F(y) ) . R ( x,y) , R,, (x, cp(y)) astfel încît să fie satis­ f ăcute c ondiţi il e (1) - (3) . De exemplu, antinomia lui Grelling se obţ ine din (1) . prin considerarea relaţiei de desemnare M,, (x,F(y),B (pre di cate mona dic e ) , şi Hl(Y) (heterologic) . Tot din 1 Kutschera deduce şi paradoxul de autoaplica­ bilitate (Tarski) N ( x, Vy F(y» - re laţia univocă, B - mulţime de propoziţii generale, HI ( x) este : x nu este autoaplicabil . Relaţiile N ( x, 3y F(y) şi N ( x, F(d) ) duc de asemenea la paradoxe . Antinomia lui Richard este formulată de Carnap în acelaşi spirit pl e cîn d de Ia relaţiile : RI ( x) cp,.F(y)) sau 3z(R1 ( x,z) &cp,,(z, F(y» Antinomia lui Russell se obţine dacă pentru Ry(x, F (y)) se ia m ulţin1e a tuturor cla s elor Ay F (y) p e nt ru B x =

=

Antinomiile logi ce

=

1 27


Dacă p e nt ru a luăm AyG (y) se obţine formularea dată de Frege antinomiei lui Russell . î n acest fel schema dată de Grelling şi Nelson cuprinde un m a re număr de antinomii . Bartlett a arătat ( v. Kutschera) că dacă pentru R(x,y), c şi a se iau corespunzător : Az'(z = c) X= Az'(Z y) AX 3y(x= ÂZ (z y)&x �y) Az'(CEZ) x= Az'(YEZ) ÂX 3y( X= AZ (YE z)&x �y) X= Az'(y � z) Âx 3y(x= ÂZ(Y � z)&x �Y) Az'(c � z) X= Az'(z # y) ÂZ(z # c) AX 3y(x= Az'(z #y)&x �y) se obţin tot atîtea antinomii. Quine a reformulat antinomia lui Russel1 pornind de la : "AX 3,, (YE X&XEY) Iată mersul acestei antinomii (după Kutschera) 1) al = AX 3X (YE X&X EY) 2) Vx(xEa 1 = 3 Y (YE X&X EY) Presupunem : 3) alEal de unde :

3Y (YE a l&a IEY) \iY (YE a l - a I EY) alE a l - al � al a l � al 3Y (:YE a l&a I EY ) bEal&alE b 4) b E aI 5) a IE b 3y(y E b&bEY) a IEb - b � al b � al De aci antinomia alEa& al � a. î n l uc rar e a Bazele logicii teoretice de Hilbert şi Ackermann găsim o interesantă formă a antinomiei lui Berry. Fie nSO'(P) " desemnează însuşirea predicatului P de a avea o expresie în simbolismul logi c scrisă în secolul XX. Consl derăm expresia : 1) P(x)&(y ) P( y) - == (x,y ) (variabilel e x,y,z, . . . se referă la numere întregi şi pozi­ tive) . Expresia ( 1 ) înseamnă că x e definit de predicatul P, pe scu rt Df( P, x ) . Teoria sistemelor logice

128


Introducem apoi expresia : 2) ( 3 P) Df(P, x)&Scr(P) Notăm această expresie cu Dsc (x) , ceea ce înseamna "Prin­ tre expresiile simbolice scrise în secolul XX, cel puţin una reprezintă predicatul care defineşte pe x" sau pe scurt " x este definit cel puţin o dată în mod simbolic în secolul

XX"

3) Dsc(x) &(y) ( < (y, x) -+ Dsc(y) Folosim pentru această expresie senlnul 111ds ( x) care în­ seamnă " x are însuşirea de a fi cel mai mic număr care nu este , " ,defi nit simbolic în secolul XX" . Se introduc apoi axiomele : 4) (x) < (x, x) 5) (x) (y) (z) ( < (x,y)& < (y,z) -+ < (x, z) ) 6) ( x) (y) ( == (x,y ) V < (x,y) V < (y, x) ) 7) 3xP(x) -+ 3x [P(x)&(y) ( < (y, x) -+ P(y) ) ] Axiomele 4) - 6) arată că relaţia < (x,y) ordonează numere­ le întregi, iar axioma (7) arată că o asemenea relaţie o,ido­ nează deplin lTIulţimea numerelor întregi. Tot ca axiome se introduc : 8) 3x Dsc( x) şi 9) Ser (Mds) Axioma 8) însemnează că există numere pentru cqre nu avem definiţie simbolică în secolul XX, iar 9) înseamnă că expresia pentru Mds (x) e scrisă în secolul XX (ceea ce e un adevăr factual) . Din definiţiil e şi axiomele date mai sus sînt scoase · apoi o s�rie, de concluzii . î n axioma 7) substituim pe P cu Dsc şi obţinem : 1 0) '3x [Dsc(x) & (y) ( < (y, x) -+ Dsc(y) ) ] Din aceasta şi 8) deducem 1 1 ) . .3x [Dsc(x)&(y) ( < (y, x) - D sc(y)) ] Or, această expresie este chiar formala 3) existenţializată, fapt care ne permite să introducem pentru ea prescurtarea Mds (x) de asemenea cu existenţiaIizare : 1 2) . 3x. Mds(x) Coilfo'rnl cu definiţia lui 111ds are loc 1 3) Jklds(x) - Dsc ( x) Antinomiile l ogice

1 29


Folosind axiomele deducem : 1 4) Mds (x ) - Mds (x)&(y)Mds(y ) .... == (x , y) Ceea ce Înseamnă : 1 5) Mds (x) - Dj(Mds, x) . Din aceasta obţinel11 : 16) Mds(x) - Dsc (x)&Df(Mds, x) Conform cu următoarea teoremă din calculul predicatelor (x) (F(x) - G (x)) - «( 3x F(x) - 3x G(x») obţinem : 17) 3 xMds(x) - 3x(Dsc(x) & Dj(Mds, x) . De aci conform cu 1 2) : 18) 3x(Dsc (x) & Df( Mds, x») . Utilizînd apoi 9) se obţine : 19) 3x{Dsc (x) & Df(Mds, x» ) . Cu ajuto rul axiomei F(y) -- 3xF(x) din calculul predicate10r se deduce 20) F(Q) - 3 PF( P) . Dacă aci substituim Q cu Mds, şi F(P) cu 3x{Dsc(x)& Df( P, x) & Scr(P)} rezultă : 2 1 ) 3x{Dsc (x) & Df(Mds, x) & Scr (Mds) } -- 3P 3x {Dsc (x) & & Df(P, x) & Scr(P) . Premisa implicaţiei fiind demonstrată rezultă 22) 3P 3x{Dsc (x) & Df(P, x) & Scr(P) }. Schimbăm ordinea cuantori1or şi utilizăm formula 3P(A & F(P» == A& 3PF(P) : 23) 3x{Ds c(x) (A&F(P) == A& 3PF(P) . Aplicînd prescurtarea Dsc expresia (23) devine 24) 3 x(Dsc (x)& Dsc (x) Pe de altă parte însă se poate deduce formula 25) (x) (Dsc (x) V Dsc (x» (din formula ( x) (F(x) V F(x» cu ajutorul substituţiei) . Or, cele două formule (24) şi (25) sînt contradictorii (în virtutea principiului dualităţii) , ceea ce reprezintă anti­ nomia analizată. Se observă că autorii utilizează şi predicate de ordinul doi, de asemenea ideea de timp.

r;jS),A ntinomii

de tip "Mincinosu;'. Este cea mai veche clasă de antinomii . Am discutat dej a acele formalizări care fără să fie în sens strict antinomii au stimulat totuşi descoperirea antinomiilor din această clasă. Dealtfel , trecerea de la formularea lui Eubulide la una corectă nu Teoria sistemelor logice

1:30


presupune decît simp-la operaţie de înlocuire a termenului "mincinos", cu' termefiul fals� ceea ce şi fac toţi autorii care"-aii -studiat în profunzime aniinomiile', Hilbett, de ex ., înloc�ieşte "eu mint" cu neu acuin spun o propoziţie falsă" . în clasa antimoniilor de tip umincinosul" noi am introdus şi aşa-numita "dilemă a crocodilului", ea constituie însă un caz aparte şi ceva mai bogat în implicaţii logice . Ea are mai multe variante. l r pilema crocodilului 're'dată) .

(formularea antică

a fost deja

2) Paradoxul antropofagilor. Foarte asemănător cu 1) este ' următorul paradox : Un călător a nime rit printre antrop ofagi. Aceştia i-au promis că vor lua o decizie în baza următoarelor con­ venţii : a) i se permite să spună o propoziţie, b) dacă propoziţia va fi adevărată atunci îl vor fierbe de viu, c) dacă propoziţia va fi falsă atunci îl vor arde de viu. Călătorul a pronunţat următoarea propoziţie "mă veţi arde de viu". Raţiol1înd analog cu cazul 1) se observă că vrînd să decidă antr'opofagii intră în contradicţie cu propriile lor con­ venţii . 3) Cerv antes în Don Quijote dă de asem enea o variantă.

Devenit "cîrmuitor" Sancho Panza este pus în situaţia de a judeca următorul caz pe care i-l relatează un străin. Iată textul care dealtfel este foarte frumos din punct de vedere literar : ,, - Stăpîne, un rîu cu apă multă despărţea două părţi ale aceleiaşi moşii - fii cu luare aminte luminăţia ta la cele ce-ţi spun, că lucrul e de mare însemnătate şi-i puţin cam încurcat ; peste rîul ăsta, era un pod, iar la capătul podului, o spînzurătoare şi un fel de curte de judecată, unde se aflau de obicei patru j udecători, care j udecau după legea d ată de stăpînul rîului, al podului şi al moşiei, iar legea era asta : dacă trece cineva dintr-o parte în alta a podului, trebuie să jure mai întîi încotro şi pentru ce se duce ; şi dacă j ură adevărul, să-I lase să treacă, iar dacă A:ntinomiile logice

1 31


spune vreo nunciună, să moară spînzurat, fără nici o· îndu­ rare, în spînzurătoarea care era acolo. Fiind ştiută această lege, precum şi aspra ei rînduială, veneau mulţi pe acolo, şi după felul cum j urau, se putea vedea îndată că spuneau adevărul, aşa că judecătorii' îi lăsau slobozi să treacă. Se întîmplă, însă, că, luînd unui om jurămîntul. acela jură şi spuse în jurămîntul lui că nu pentru altceva se ducea decît ca să moară atîrnat de spînzurătoarea care era acolo. Judecătorii stătură la cunlpănă cînd auziră acest jurămînt şi spuseră : nDacă-I lăsălll pe omul ăsta să treacă slobod, se cheamă c-a minţit cîhd a j urat, şi atunci, după cum spune legea, trebuie să 1110ară atîrnat în acea spînzurătoare, şi odată ce-a jurat adevărul. tot după aceeaşi lege, trebuie lăsat slobod" (voI . II) . Asemănăto r cumva cu dilema crocodilului este "sofismul lui Protagoras". În nici un caz însă ac esta nu este 'u n p �radox.

4')

Forme 111tedievale ale parado xului mincinosului. Mt;die­ vaI ii au dat o mulţime de variante ale paradoxului m i nci­ nosului, unele mai simple altele Însă prezintă o anumită dificultate în a le formaliza. Forma ' cea mai simplă şi care a devenit lTI odel p e ntr u exemplificare a acestui paradox este aceea dej a amintită a lui Buridan ; pe o foaie de hî rtie este scrisă o singu r ă propoziţie : "Propositio scripta in ilIo folio est falsa" Albert Saxonul a cules un mare număr de variante ale mincinosul ui . Iată lista celor mai interesante (reproduse cu modificări neînselnnate) 4. 1 . Nu spun altceva decît "eu spun falsul" ( este evident precizarea expresiei lui EubuIide) 4.2 Propoziţia pe care eu o exprim este a semănătoare propoziţiei pe care o exprimă Platon. Platon exprimă o singură propoziţie (care este falsă) : "Omul este măga r . ° notă111 cu B. Eu exprim o singură propoziţie "Nici o altă propoziţie nu este asemănătoare cu propoziţia exprima­ tă de Platon". Notăm cu A această propoziţie. Cum este A ? 4. 3. Dacă omul este animal atunci o propoziţie condiţi­ onală este falsă. Nu există altă propoziţie condiţională decît aceasta. "

Teoria siste melor logice

. 1 32


(" Si homo est animal, aliqua conditionalis est falsa" et sit nulla alias conditionalis) . 4.4. Socrat e spune : "Platon spune falsul " Platon spune : " Cicero spune falsul" Cicero spune : " Socrate spune falsul" Ce a spus Socrate, adevărul sau f alsul ? 4.5. Nu exi st ă decît o propoziţie di sjunctivă " Omul este măgar sau o propoziţie oarecare disju n ctivă este falsă" . ("Homo est asinus vel aliqua disiunctiva est falsa" e t sit nulla alia disjunctiva in mundo) . Dăm şi patru !�: mu1ări în care am înlocuit o propoziţie, pe care scol asbcll o credeau adevărată, cu una adevărată. 4.6. ,,2 X 3 = 6, deci concluzia nu este valabilă" 4. 7. Nu există decît trei propoziţii " Omul este animal ", ,,4 X 2 8" şi Orice propoziţie în afară de c ea exceptivă este adevărat ă". Cum este ultima propoziţie (adică cea ex ceptiv ă) ? 4.8. Nu exis t ă decît trei propoziţii : , ,2 X 3 5", 4 X 2 7" şi " Orice propoziţie este falsă" . Cum este ultima propoziţie ? 4. 9 . Un om diferit de Socrate spune : , , 2 X 3 = 6" şi Socrate spune ,. Orice om diferit de mine spune adevărul". Ce a spus Socrate ? 4. 10. Socrate spune " Omul este animal" şi Platon spune "Numai Socrate spune adevărul" (Nu există alte propoziţii) . Ce a spus Platon ? (Dicat Socrates : "Homo est animal" et Plato dicat : "Solus Socrates dicit verum" et non simuli alii loquentes in mundo . Tune quaertur. utrum Plato dicit vertum) . 4. 1 1 . "Această propoziţie este falsă" . Cum este p ro poziţia scrisă aci dacă cuvîntul "aceasta" se referă la ea ? (Varianta nu diferă deloc de cea a lui Buridan) . 4. 1 2. " Omul este animal şi o propoziţie conjunctivă este falsă" (Nu există altă propoziţie conj unctivă) . (" H omo est ani111, al et aliqua copulativa est falsa" et sit sic, quod nulla alia copulativa sit in mundo, quam haec ipsa. Tune quaeritur �ttrum sit vera) . Notănl că textul latinesc est e dat ca o curiozitate. Textul românesc este prescurtat uneori faţă de cel dat în lati­ neşte. 4. 1 3 . S o c rate spune : " Platon spune falsul ". Platon spune : " Socrate spu n e a d evărul " =

IJ

=

,,

=

=

Antinomi ile logice

1 33


(Nu există alte propoziţii) Ce a spus Socrate ? 4. 14. Socrate spune : .,2 X 3 6" şi Platon spune ., Omul este animal" şi Cicero spune : " Omul este măgar" şi Marcus AureIius spune "Atîţia oameni spun adevărul cîţi spun falsul" . Cum este propoziţia lui Marcus Aurelius ? Albert Saxonul dă şi unele formulări mai complicate şi cu alţi termeni decît "adevăr" ,.fals " . Analiza acestora şi stabilirea dacă sînt într-adevăr paradoxe este mai difi­ cilă. 4. 15. Socrate se preface a fi sofist considerînd că a te preface înseamnă a te arăta aşa cum nu eşti. 4. 16. Se poate ca Socrate să ştie că el comite o eroare considerînd că a omite o eroare înseamnă a afirma sau a nega ceva într-un mod fals sau a crede că falsul este =

I

adevăr.

4. 17. Se presupune că în intelectul lui Socrate există două propoziţii " Socrate se înşală" şi că Socrate crede că această propoziţie este adevărată. Se înşală Socrate crezînd acest lucru ? 4. 18. Pe o foaie de hîrtie este scrisă o singură propoziţie : " Regele este aşezat sau o propoziţie disj unctivă scrisă pe această foaie este neîndoielnică pentru Socrate " . Presu­ punînd că Socrate nu ştie dacă regele este aşezat sau nu, că Socrate este cel mai mare savant în ştiinţă şi că el examinează această propoziţie scrisă pe foaie, se pune întrebarea dacă această propoziţie este cunoscută ca adevărată de Socrate sau ea este cunoscută ca fiind falsă sau îndoielnică. 4. 19. Socrate se află în situaţia de a nu dori să-I atace pe Platon (dacă Platon nu-l atacă pe Socrate) şi dacă Socrate nu vrea să-I atace pe Platon acesta nu vrea să-I at ace pe Socrate ; se pune întrebarea dacă Soc rate îl atacă sau nu pe Platon. Scol asticii numeau astfel de propoziţii "insolubilia". Logicienii contemporani au găsit noi moduri de a formula acest paradox. Iată varianta pe care o voi numi de .,tip Lukasiewicz" . 4. 2 0. Propoziţia scrisă după 4.20 pe această pagină este falsă : 4. 21. " Nu produce un enunţ adevărat cînd este ataşat propriei sale citări" produce un enunţ adevărat cînd este ataşat propriei sale citări. (Reprodus după Wang Hao.) Teoria sistemelor logice

1 34


4.22. Dacă 4.22 este adevărat atunci mîine va ninge. î n conformitate cu modus ponens� dacă se dă 4.22 şi antece­ dentul acestuia consecinţa este adevărată. Deoarece antece­ dentul lui 4.22 este ech ivalent cu 4.22 putem aserta în mod necondiţionat 4.22. Atunci vom avea n4.22 es te adevărat " . Conform lui modu s ponens a m demonstrat : mîine v a ninge ( Geach ; reprodus după Wang Hao) . 4.23. Pe o foaie de hîrtie este scrisă o singură propoziţie npropoziţia scrisă pe această foaie nu este demonstrabilă " (reformulare dată de noi după Wang Hao) . în loc de expresia "nu este demonstrabilă" se poate lua .. infirmabiIă" 4.24. Se poate demonstra că se poate infirma 4.24. (Wang Rao) . 4.25 . Nu p utem demonstra enunţul la care ajungem prin substituirea lui 4.25 în locul variabilei din forma de enunţ x (Wang Hao) . 4. 26. Pe o faţă a unei cartele este scris "propoziţia scrisă pe cealaltă faţă este falsă", iar pe cealaltă faţă este scris "propoziţia scrisă pe cealaltă faţă este adevărată" ( Specker) . O foarte interesantă formă a "mincinosului" este analizată în cartea " G T L" de Rilbert şi Ackermann . 4.2�." Se pleacă de l a forma "eu enunţ acum o propoziţie falsa . Această formulare este precizată într-un mod original. Fie o persoană P şi un interval de timp t. în decursul acestui interval de timp t. P pronunţă propoziţia nTot ceea ce P afirmă în intervalul t este fals " şi persoana P nu mai spune altceva în acest i nterval. Notăm cu PI r espectiva propoziţie şi ultiliz ăm expresia .. Bh (q) " pentru l i P afirmă q în intervalul de timp t". Aci q poate lua ca s emnificaţie orice propoziţie. Enunţul P I va fi acum reformulat astfel : 1 ) (q) ( Bh(q) .... q) Faptul că în afară de această propoziţie PlI P nu mai pronunţă nimic se scrie : 2) Bh(PI) şi (q) ( Bh (q) .... = (P v q) ) Prin regula substituirii de echivalente putem pune în Pl -+ P I în consececvent (q) ( Bh(q) .... q) care este exprimare -+ si mbolică a propoziţiei P l ' Rezultă : 3) Pl -+ (q) ( B h( q) -+ q ) Antinomiile logice

1 35


Eliminăm cuantorul universal (q) : 4) PI � (Bh (q) � q) Substituim q cu P I şi obţinem : 5) P I � (Bh(PI) � PI ) Premisele pot fi comutate : 6) Bh (P l) � (Pl � PI) Or, Bh(P I ) a fost acceptată ca adevărată şi deci : 7) Pl � PI Mai departe, prin substituţie în fI -- fI după regula echiva­ lentelor obţinem : 8) fi � (qJ (Bh(q) -- q) sau 9) PI � ( 3 q) (Bh(q) & q) Apoi din 2) formula a doua obţinem : 10) (q) ( Bh (q) & q) -- ( == (PI' q) & q» . D e aci : 1 1) 3q( Bh (q) & q) -- 3 q ( == (Pv q) & q) 12) f I � 3 q( == (P v q) & q) Din semnificaţia identităţii rezultă : 13) == ((P l> q) & q) � p . Prin regula introducerii lui în :1 antecedellt obţinem 1 4) 3q ( == (PI> q) & q) -- P l' Din 12) şi 1 4) rezultă prin tranzitivitate : 1 5) fI -+ P Avem aşadar din 7) şi 1 5) contradicţia 1 6) PI -- fI şi PI � P I deci PI == fI O particularitate logică a demonstraţiei de m_ai sus constă în utilizarea cuantorilor pentru variabile propoziţionale şi a predicatelor de propoziţii . I �ormalizarea da t ă mai sus este si mplă dar destul de întinsă. ',p formalizare mult lnai simplă pornind de l a varianta de "ntip _ . Buridan" a fost dată de Carnap. 4.28. 'Introducem predicatul F(fals) ca o prescurtare pen­ "tru" ' IJ nu e adevărat" şi definim o propoziţie P l astfel : 1 ) P I ==F(nP l" ) ' Cum este propoziţia P l ? wahr = adevărat) Supoziţie W C,P I ") (unde liV Atunci vom a vea deci 3) W (nP I ") == W ( .,FC,PI") " ) == F ( "P/ ' ) 4) W ("P l ") == F ( "Pl") ' Supoziţie F (J lP l " ) . Obţinenl : 5) F ("P l") == F(JlF"Pl" )") == We,P l ") deci 6) F(nPI") == W(.,Pl") . =

Teo;ria si stemelor logice

1 36


Deoarece F ("P 1" ) W("P I ") avem 7) �(,!'p..l.:.�') == W ("PI") -"s:::a:'" ară tat că antinomia poate fi fornlulată cu un număr oricît de mare de astfel de propoziţii care sînt dispuse în trepte : P I == F("P2") P 2 : == F("P 3" ) . . . . . . Pn == F ("PI" ) Se obţine în acest fel antinomia W("P /' ) == F("P /') (i = t 2, . . . n) . O proprietate pe care o putem observa aci este caracterul ..,cic1ic" al propoziţiilor : P I == F ("P 2" )' " ' , Pn == F(,'PI") ' Sirul s e reduce l a două scheme : fi == F(Pi+ l) (i = 1, 2, . . . n) Pn + l == F("Pl") Se consideră de obicei că aceste formalizări redau întocmai conţinutul antinonuilor intuitive corespunzătoare. Lucru­ rile însă nu stau astfel . -C),15iecţi';' noastră este următoarea. în mod firesc orice propoziţie ca re conţine un predicat semantic ca nadevărat" sau ,Jals" poate fi pusă în echivalenţă cu o propoziţie care nu conţine un astfel de predicat : A devărat (" P ") P Fals ("P " ) = p. î n cazul paradoxelor intuitive această separare nu este posibilă, în timp ce în formalizare ea are loc. într-adevăr fiind dată propoziţia lui Buridan ,. Propoziţia scrisă pe această foaie este falsă" noi nu putem separa propoziţia negativă corespunzătoare (şi care nu conţine predicatul de valoare dat) , dimpotrivă, por­ nind de la concluzia formalizării date de Carnap ( 7) noi putem conchide pe baza echivalentelor W (P ) = P şi W(P) = 'fi că : 8) p p. O altă observaţie priveşte simplificarea formelor prin apli­ carea unor reguli semantice relative la "adevăr" şi "fals". Le redăm în formă prescurtată : ( 1 ) W(W) == W (2) W(F) == F =

=

=

Anti n o miile log i ce

137


(3) F(W) == F (4) F(F) == W Ultima, (4). se citeşte : .,falsul de fals dă adevărul". Regula (4) a fost aplicată mai sus în cazul F (nF(up")" ) == W(..P") · V om vedea mai departe că astfel de reguli reprezintă ceea c�_ vom numi ,::ţăţi9JjiLl11�Ate de _ pivel". ' '. " 4:"29-:"In locul definiţiei (1) din 4. 28 se pot lua alte formulări ca : a) p == p -+ F(.,P") sau b) p == W (.,P " ) � P (unde P este o propoziţie mai tare, ex. adevăr logic sau fals logic) . D efiniţia b) pleacă de la o formulă pozitivă a paradoxului . (Negaţia poate fi definită prin ,.ex falso quodlibet".) 4.30. Po rnind d e la formularea lui Buridan se poate obţine formularea lui Lukasiewicz. (O reformuIăm.) Considerăm expresia din unghiul de vedere al subiectului ei "propoziţia care este scrisă pe această tablă" Intro­ ducem operatorul descripţiei 1) �x(Scr(x) & F (x)) Cum pe tablă nu este altă propoziţie (conform cu convenţia empirică). această unică propoziţie desemnată de expresia 1) spune despre sine că e fa ls ă (F) : 2 ) F(. . 1 X (S cr (x) & F ( x) " ) . Stabilim că 1 ) este P I ; obţinem din 2) : 3) PI == F(" PI" )' ceea ce reduce paradoxul la forma de mai sus. 4.3 1 . Formularea lui StegmiUle r în redactarea lui Kutschera. Fie N(x) numele lui ac: ; dacă (X este nume pentru o propo­ ziţie atunci W(ac:) == <1>, S*(x, y, z) - substitui rea lui x cu numele y dă z . Fie apoi ac: predicatul monadic <1> (o funcţie propoziţională de ordinul unu) şi � variabila individuală (vezi <1> ( a) o proprietate specială 1). mai sus) şi y S*( (X. �. y) desemnează expresia care apare prin substi­ tuirea lui 1) în locul lui a. deci <1>(1)) (ttnde <P == <1> ( a) . Operăm în S*(x, y. z) substituţiile : y/. . x " (unde "x" este numele lui x) zjN* (x) (N(x) : x are numele N) Obţinem 1) S*(x, " x". N* (x) ) =

=

T eoria sistemelor logice

1 38


Formulăm predicatul 2) -'W ( S*( x, l 1 X ", N * (x) ) Punem 2 ) î n locul variabilei x din 2) 3 ) -, W(S*II I W(S* ( X, II X ", N* (x) ) ) " " x ", N* (" I W(S* (X, " x", N * ( x) ) " ) . Facem c a a s ă fie o prescurtare pentru 3) şi formănl substi­ tuţia conform cu înţelesul lui 5* ( . . . ) , obţinem : 4) a = I W (a) , expresie care duce la paradox în modul obişnuit . Stegmi.i1ler a fost inspirat de teorema lui G6del . 4.32. Interpretarea ,,În rebus" a paradoxului mincinosului dată de Freudenthal . Am ieşit din cameră - uşa cu yale o închid ca de obicei, dar îmi dau seama că am uitat cheia în interior. Pentru a lua cheia trebuie să deschid uşa, şi pentru a deschide uşa trebuie să iau cheia din cameră. (R. Freudenthal, Logique mathematique aPPliquee) . �A ntinomii aparente. Există mai multe tipuri de for­ ��ări care au un aspect paradoxal mai mult sau mai puţin greu de eliminat. Considerăm că în efortul general de "eliminare a contradicţiilor" studiul lor a jucat un rol important, mai mult, cercetarea lor a fost o excepţională sursă pentru dezvoltarea gîndirii filozofice. 1) Aporiile lui Zenon. Zenon a formulat unel e raţionamente cu caracter paradoxal care au pus în cauză problema ad­ lniterii mişcării . El formulează patru astfel de raţionamente (analizate pe larg de Aristotel în Fizica, după care le şi enumerăm) : a) lucrul nu se poate mişca din cauză că trebuie să fie mai întîi la jumătatea distanţei pe care o are de parcurs (acesta este "argumentul dihotomiei") ; b) I Iniciodată lucrul care se mişcă mai încet nu va fi prins de cel care se nlişcă mai repede, pentru că este necesar ca lucrul care-l urmează pe celălalt să atingă primul punct de unde a p ornit cel care fuge, astfel încît mereu, în mod necesar, lucrul mai încet va fi înaintea celui mai repede" (acesta este argumentul "Ahile şi broasca ţestoasă") ; c) "dacă întotdeauna orice lucru este în repaus sau în mişcare cînd s e află într-un loc egal (cu el însuşi), iar lucrul purtat se aplică întotdeauna în clipă, trebuie să ştim că săgeata în zbor este nemişcată" (acesta este l I argumentul săgeţii" ) ; Antinomiile logice

1 39


d) "al patrulea raţiona lne nt este acela cu privire la rnări­ mile egale care se mişcă într-un stadion în sens contrar� faţă de mărimi egale, unele p o rnind de la sfîrşitul stadio­ nului, iar altele de la mij locul stadionului cu vit e z e egale, în care el socoteş te că timpul j umătate este e g a l cu dublul ,��tt..� ' (este " argumentul stadionului ) "

·

.

2) Altă categ o r ie de antinomii aparente sînt aut oc ol1tra­

di cţi.ile de genul : :';Orice propo ziţie este falsă" sau "Nimic nu este cert (tez a scepticismului, De s cartes) ; uNu există adevăr a bsolut" ; .. Este o regulă că «orice regulă are o excepţie » " ; Toate adevă ruri l e sînt relative". Husserl a numit astfel de propoziţii "contrasens" (nu nonsens ) Contrasensul est e o afi rm aţie (o p ropoziţi e ) al c ă r ei con­ ţinut îi contrazice forma A. Koyre dă şi exemplul acesta . Cineva spune : "Nava pe care am fost îmbarcat a pierit împreună cu t ot echipa­ jul său". Sînt aser ţiuni care nu pot fi făcute (sau dacă sînt făcute sint autocontradictorii) aşa după cUln sînt verbe care nu pot fi conjugate la persoana întîia " eu aCUlTI tac", eu acum sînt absent", "eu acum dorm" ş.a. Analog cu cele de mai sus putem admite că există un limbaj in care se spune doar atît "Nu există nici o expre­ sie în L". .

"

n

.

.

H

'3)\

Antinomiile kantiene . Conform definiţiei date de Kant .antinomia este o contradictie în care asertiunea contrariu­ lui ar e de partea ei temei � ri de aserţiune tot atît de vala­ bi l e şi necesare" [22 ; 373 J . Prin urmare, prin definiţie ceea c e Kant nUlneşte "anti­ nomie" este un paradox. Totuşi exemplele formulate de Kant nu sat isfac exact schemele de raţio nam ent pe care le cuprind antinomiile logico-matematice. Ele sînt în mare măsură legat e de supo ziţii l e speci al e sistemului kantian. Prin aceasta nu sînt mai puţ i n interesante . I(ant expune patru antinomii relative respectiv la 1) dacă lumea are sau nu limite în timp şi în spaţiu ; 2) dacă există saU nu simplul absolut ; 3) dacă exi st ă sau nu li b e rt ate absolută, 4) dacă lumea are un t emei ultÎ1n (absolut) sau nu . Teoria sistemelor logice

"

1 40


Tezele afirmă existenţa celor indicate, în timp ce antitezele neagă. Exemplificăm doar cu prima antinomie. Teză. Lumea are un început în tinlp şi este de asemenea 1ilnitată în spaţiu . A ntiteză. Lumea nu are nici început în t i mp nici limite în spaţiu, ci este infinită atît î n timp cît şi în spaţiu. Demo�1:.�ţ!aţia fiecărei propoziţii se face prin absurd ; din pacale aceste" demo ns traţii nu sînt prea clare". Dovada tezei . Presupunem că lumea nu are început în ti mp şi limite în spaţiu, dar în acest caz "s-a scurs o serie infinită de stări succesive ale lucrurilor în l ume [22 ; 376J şi "lumea va fi un întreg infinit dat. de lucruri existente simultan" [22 ; 376]. Ori o serie infinită nternlinată" şi o infinitate de lucruri "existente simultan" sînt imposibile, prirI urmare teza este cea adevărată. ':Dovada antitezei. Să admitem că lunlea are u n încep ut. Dar orice început este o "existenţă precedată" (în timp) etc. Să admitem că ea are limite în spaţiu, dar în acest caz ea ar trebui să se raporteze la vid, ceea c e este imposibil . Deci antiteza este adevărată. Ştim că filozofia materialist­ dialectică admite propoziţia antitetică formulată de Kant. Desigur în ce priveşte formularea logică a acestei propo­ ziţii, aşa cum am arătat în cartea noastră Filozofie ş'i logică, ea trebuie îmbunătăţită. Demonstraţia la rîndul său face referire Ia noţiunea de uinfinit" (Kant după cum se vede respinge noţiunea de "infinit actual", vom reveni ulterior asupra acestei idei) . Sînt presupuse şi alte noţiuni (.,sillteza succesivă", limitarea presupune prin definiţie "f!l� ul, ceva de care să se limiteze, ş. a.) . "' 4)'i; Există în legătură cu construcţia axiomatică şi formali­ zarea teoriilor logico-matematice (care includ multinlile) unele "anomalii" care par a fi paradoxe, dar care �u sînt în sensul strict al cuvîntului a) II Paradoxul lui Skolem" . O expunere succintă a acestui "paradox" este dată de S. C. Kleene în Introducere în metamatematică [24 ; 377J. Se porneşte de la sistemul godelian de axiome. Noţiuni prime : K (a fi clasă), M (a fi mulţime), E, Domeniul este format din clase şi orice mulţime este o clasă. Forma axiomelor poate fi o formulă predicativă cu identio

,

"

.

Antino miile logice

141


tate ("egalitate") F( A , B) sau o formulă predicativă Eq (C, A, B), cu presupunerile că : A (a) exprimă M(a) B(a, b) exprimă a E b C (a, b) exprimă a = b. între axionle se află aXlOma infinitului şi axioma mul­ ţimii potenţiale. Cu aj utorul teoremei lui Cantor (M* < P(M) *) demon­ strănl : 1) există o mulţime de mulţimi infinită şi nenumărabilă. Pe de altă parte, avem teorema lui L6wenheim - dacă o formulă F este realizabilă într-un domeniu (nevid) atunci ea este realizabilă în domeniul numerelor naturale " - cu ajutorul căreia demonstrăm că : 2) F( A, B) este realizabilă (primul caz este exclus cînd e vorba de axiome) , dacă în genere se poate spune despre ea că este realizabilă (or, avînd în vedere interpretarea mulţimistă de mai sus, acest lucru se poate spune) . Se observă că 2) pare a contrazice pe 1 ) , căci putem interpreta astfel simbolurile prime Încît să existe un model nunlărabil relativ la care axiomele să fie adevărate, si asta în ciuda lui ( 1 ) . Acesta şi constituie "paradoxul lu( Skolem " . b ) " Paradoxul lui G6del". S e porneşte d e la noţiunea de semn de clasă (Klassenzeichen) . Semnul de clasă este o formulă din Pr. Math. care conţine o singură variabilă liberă (variabilă de tipul numerelor naturale, adică a clasei de clase) . Ordonăm aceste semne de clasă într-o serie astfel că fiecare al n-ălea semn de clasă poate fi desemnat prin R (n), unde n este numărul de ordine, iar R relaţia de ordine. Noţiunile de "semn de clasă" şi "relaţie de ordine" pot fi definite în Pr. Math. Fie un semn de clasă (f.., vom nota cu [(f.. ; n l fonnula obţi­ nută din (f.. prin înlocuirea variabilei libere cu semnul cifric (admis în sistem) al numărului natural n. O relaţie de tipul [x Y ; zJ poate fi de asemenea reprezentată în Pr. Math. Definim apoi o clasă K de numere naturale astfel : 1) n E K == Bew [R(n) ; n J (unde Bew = demonstrabil) . Clasa K poate fi şi ea reprezentată în Pr. Math. prin sem­ nul S . De aci [S ; n J " va însemna n E K. în seria ordonată 5 va avea locul n at a l cu R(q), deci S = R(q) . =,

=,

=

II

Teoria sistemelor logice

1 42


Construim formula [R(q) ; qJ care deşi este adevărată nu poate fi demonstrată nici ea nici negaţia ei . Presupunerea că ar fi decidabilă duce Ia contradicţie. Supoziţie. Bew [R(q) ; q J. atunci q E K. deci prin substi­ tuţie în 1) avem : 2) q E K == B ew [R (q) ; qJ De unde prin modus ponens obţinem : 3) Bew [R (q) ; q J (adică opusul supoziţiei) Supoziţie. Bew [R (q) ; q J, atunci q p;; K. deci prin substi­ tuţie în 1) obţinen! : 4) q � K = Bew [R (q) ; qJ . De aCl prin modus ponens şi dubla negaţie : 5) Bew [R (q) ; q J. ceea ce contrazice supoziţia. 5) Paradoxele imPlicaţiei materiale. Se consideră că urmă­ toarele două legi ale implicaţi ei materiale sînt "para­ doxele" : a) falsul implică orice. b) adevărul decurge din orice. Impresia de paradoxal apare. pe de o parte. datorită acestor fornlulări succinte care luate ca atare sînt eliptice. iar pe de altă parte din încercarea de a extinde aceste legi de la implicaţia materială (aşa cum e definită prin matrice) la implicaţia intuitivă Între propoziţii cu sens. Datorită trecerii de la domeniul valorilor logice {v. f}. la domeniul propoziţiilor {P l' P2' . . . Pn . . . } se obţin astfel de expresii care conform cu regulile a). b). ar trebui să fie adevărate. dar care conform cu intuiţia sînt false. De ex . .. dacă în Bărăgan ninge în lunile ianuarie şi februarie atunci New Yorkul este cel mai mare oraş din S.U.A. ". Sau : .. dacă Brazilia este capitala Argentinei atunci Parisul este capitala Franţei". Cel e două propoziţii satisfac condiţiile a). b) dar se con­ stată că Între faptul că în Bărăgan ninge în ianuarie şi fe­ bruarie nu există nici o legătură implicativă cu faptul că New Yorkul este cel mai mare oraş din S.U.A. ; la fel pentru ::!.� doua propoziţie (la care în plus antecedentul este fals) . '6)' Paradoxele relaţiei de denumire. Există autori care con­ sideră că relaţia semantică de denumire este responsabilă de apariţia unor raţionamente paradoxale (nu în sensul strict al cuvîntului) . Antinomiile logice

1 43


Russell a formulat următorul raţionament. a) George al IV-lea dorea să şt ie dacă Scott a fost autorul lui Waverley. (Se ştie că, publicînd acest roman, Scott I-a semnat cu alt nume. ) b ) Este u n fapt c ă Scott = autorul lui Waverley. Dacă în virtutea respectivei relaţii de identitate se substitt.ţie în a) expresia "autorului lui Waverley" cu " Scott" obţi,nelll : c) George al IV-lea dorea să ştie dacă Scott a fost Scott . Ceea ce e paradoxal deoarece pune la îndoială principiul ' identităţii. Quine la rîndul său dă o "antinomie" aselnănătoate. a) 9. este în nl0d necesar mai mare decît 7 b) Numărul planetelor = 9 c) Numărul plan e t e lor este în mod necesar mai mare decît 7 (prop oziţi e care este falsă) . Se poate formula o antinomie cu ajutorul exp resiei nX nu crede". a) X nu crede că autorul Iliadei es t e Homer b) Autorul Iliadei Homer c) X nu crede că Homer a fost Homer. Carnap în Semnificaţie şi necesitate dă ur m ăt o a r e a "al1ti­ nomie" : (a) " Este necesar ca clasa Bipezilor Fără Pene să fie o subclasă a clasei B ipezi l or". (b) Clasa Bipezilor Fără Pene = clasa Om. (c) Este necesar ca clasa Om să fie o subclasă a da�ei Biped. Deoarece faptul că fiinţele umane au două picioare este un fapt biologic contingent şi nu logic necesar următoarea propoziţie este adevărată : (d) Nu este necesar ca clasa Om să fie o subclasă a clasei B iped [4 ; 187/ 1 88 ] . Or, (c) şi (d) s e contrazic . =

. 7) Parado xele fizicii. a) Paradoxul conceptului de "eter". Conceptul de eter a apărut din necesitatea de a fundamenta teoria luminii. Din unele considerente fizice rezultă că eterul trebuie socotit corp solid. Or, aceasta venea în opoziţie cu consta­ tarea că eterul deşi socotit corp solid nu opune nici o rezis­ t e nţ ă corpurilor care se mişcă în el . b) Tot în legătură cu conceptul de eter, exp e ri enţel e lui Te oria sistemelor logice


Michelsohn au arătat că nu există eter imuabil şi că el este antrenat total de corpurile care se mişcă în el . Pe de altă parte, fenomenul de aberaţie arată că eterul trebuie să fie nemişcat, că nu este deloc antrenat de mişcarea pămîntului . Marx a semnalat unele paradoxe în economia politică clasică relative la conceptul de valoare. Astfel de "paradoxe" ţin de evoluţia ştiinţei, de faptul că la un monlent dat nu se găsesc mijloacele logice adecvate pentru a surprinde originea contradicţiei .

j

M ETO D E D E R EZO LVAR E A ANTI N O M I I L O R

4. 1 . Problema genera lă a rezo lvării antinomiilor

Din unele referiri vagi se pare că Aristotel considera p'ara­ doxele ca pe un soi de sofisme (vezi "Respingerile sofistice") . Logicienii medievali în schimb s-au ocupat destul de intens de soluţionarea lor. Ei au surprins trăsătura cea mai preg­ nantă a paradoxelor şi anume -·,�autoraportarea":. Paulus Venetus în Logica Magna scria că- o "insolubilia " este o "propositio habens super se reflexionem suae falsitatis aut se non esse veram totaliter vei partialiter illativa" [26 ; 248 ] . El enumeră unsprezece soluţii (ale "mincino­

sului") . O sugestie interesantă este că paradoxele nU. , şÎnt "nici adevărate nici false.. deoarece nici unul nu este pro­ poziţie" [26 ; 248J. Respingerea autoraportării a fost şi ea sugerată. în mod filozofic ei au formulat ipoteza că este vorba de un contrast între esenţă şi aparenţă, idee valoroasă. Nu există un studiu sistenlatic asupra contri­ buţiei medievalilor în această direcţie, totuşi i deile mari de azi se găsesc prefigurate în aceste lucrări . Apariţia anti­ nomiilor în teoria mulţimilor a constituit motivul principal al studierii lor aprofundate. Au fost propuse mai lllu1te metode între care aşa-numita "teorie a tipurilor" (Bertrand Russell) este cea mai dezvoltată şi fecundă. înainte de a trece la expunerea sistematică a diferitelor metode de soluţionare vom face unele observaţii generale ' cu privire la însuşirile paradoxelor. Prima însuşire a paradoxelor este autoraportarea ori cu un alt cuvînt autologia . Expresia, conceptul sau clasa, Antinomiile logice

1 45


proprietatea, propoziţia etc. se referă la sine. Astfel, mul­ ţimea tuturor mulţimilor se cuprinde şi pe sine ca element, propoziţia lui Buridan se referă la sine etc. Autologia poate fi mediată (cînd avem mai multe propoziţii, cum e cazul cu unele variante ale mincinosului) sau nu (paradoxul lui Buridan) . Autologia se poate realiza la diferite nivele : la nivelul senlnificaţiei (mulţimea se conţine pe sine), la nivelul sensului, informaţiei (sensul se vizează pe sine, ex. judecata se autoraportează), la nivelul formei materiale (cuvîntul, expresia se referă la propria sa formă) . Există şi cazuri cînd autologia se realizează la toate aceste nivele. Astfel expresia nnlulţimea tuturor mulţimilor" implică toate trei genurile de autologie, la nivelul semnificaţiei (mulţimea şi este propriul . său element), la nivelul sensului (deoarece sensul es te o entitat e trebuie în mod abstract să fie vizat şi el ca o mulţime), la nivelul formei materiale (şirul de litere şi cuvinte formează el Însuşi mulţimi) . Propoziţia "orice propoziţie transmite o informaţie" este autologică deoarece şi ea transmite o informaţie (autologie la nivelul sensului) . în fine, expresia "propoziţiile din limba română care sînt formate cu mai puţin de 20 de cuvinte" este autologică la nivelul formei materiale. Este interesant să clasificăm propoziţiile din punctul de v edere al autologiei : "

"

j neautO!Ogice { corecte

Propoziţii auto logice

necorecte {autocontradiciorii {

contradictorii paradoxale

--4

necontradictorii.

într-un mod analog ne putem referi la termeni . Propoziţia ,,2 X 2 4" este neautologică, "toate propo­ ziţiile sînt tipăriteH este autologică şi corectă, " eu acum dorm" nu este corectă (logic). ea nu poate fi formată ; "nici o propoziţie nu este adevărată" este autocontradictorie ; propoziţia lui Buridan este paradoxală, propoziţia "toate propoziţiile scrise pe aCeastă pagină care conţin cifra (1) sînt adevărate" este autologică necontradictorie. Pentru a infirma scepticismul absolut Descartes dezvoltă un raţionament prin ab 3urd pornind de la ideea " nimic =

Teoria sistemelor logice

146


nu este cert". El conchide pe baza supoziţiei că această propoziţie însăşi nu este certă şi prin urmare există ceva cert . Este o formă specială de raţionament prin absurd ..,dacă p implică non-p atunci non-p". Şi Hegel foloseşte raţionamente autologice. Referindu-se la cei ce enunţă ..,identitatea nu e diversitate" şi "identi­ tatea şi diversitatea diferă", el scrie : »Aceştia nu văd că afirmînd acest lucru, ei înşişi spun inlplicit că identitatea este un ce divers, căci ei spun că identitatea e deosebită . de diversitate" (s.n. G.E.) . Hegel face aci un raţionament autologic (înrudit cu raţionamentul cartezian despre cogita) : nu putem nega diversitatea fără a gîndi diversitatea. Auto­ raportarea este dealtfel una dintre metodele de raţionare de care Hegel se foloseşte în construcţia logicii sale. Ne-anl putea pune întrebarea dacă am putea elimina din limbaj expresiile autologice şi cu aceasta şi posibilitatea paradoxe­ lor. O asemenea procedură n-ar fi recomandabil ă. Ar trebui în acest caz să eliminănl în primul rînd toţi termenii cate­ goriali (" spaţiu", II lTIaterie", "obiect" ş.a .) . Este evident că fiecare din aceşti termeni. măcar prin forma sa (sau, CUlTI ar spune scolasticii , luaţi în suppositione materiali) implică o autologie (cad în sfera propriei lor semnificaţii) . Nimeni nu poate izgoni din ştiinţă cuvintele I Itermen". " expresie", » concept", "mulţime" deşi ele sînt autologice . Multe din propoziţiil e logicii formale luate în limbaj ul natural sînt autologice (de exemplu, »nici o propoziţie nu este în acelaşi timp adevărată şi falsă") . Nu toate propo­ ziţiile autologice duc la contradicţii şi cu atît mai puţin l a paradoxe. Astfel ..,propoziţia care conţine litera ac este adevărată," nu duce la contradicţie, deşi este autologică . i O a dolia' condiţie este existenţa negaţiei (implicit sau explicit), căci contradicţia nu poate fi exprimată fără negaţie. Negaţia nu trebuie să fie reductibilă la afirmaţie prin legea dublei negaţii . Am văzut că paradoxul poate fi formulat cu un grup de propoziţii, or se poate ca În mulţimea de prop oziţii să existe atît autoraportare, cît şi negaţie şi totuşi să nu obţinem paradox. Fie mulţimea : "Toate propoziţiile scrise Între acolade pe această pagină sînt adevărate", ..,Nici un om nu e biped" . Prima propoziţie realizează o autoraportare, a doua este negativă, totuşi obţinem doar o contradicţie. A doua pro-

{

AntinomiHe logice

}

1 47


p oziţie fiind falsă, prima este falsă şi deci se contrazice pe sine spunînd că este adevărată. Putem reuni negaţia şi autoraportarea într-o propoziţie : ** Propoziţia scrisă între steluţe pe această pagină nu are mai mult de 1 5 litere** Această propoziţie se contrazice şi este falsă, însă nu un paradox, ci este o simplă autocontradicţie. Trebuie aşadar să existe o a treia condiţie care duce la paradox. Toate entităţile presupun reunirea autologiei şi negaţiei Într-un caz unic� chiar dacă în formulare ar interveni mai mult,e . Unicitatea (singularitatea) cazului însă, aşa cum arată exemplul de luai sus, nu duce totdeauna la paradoxl. �Ultima condiţie este presupunerea unei p_ropri�tă.ţi pe care ' entitatea respecti vă în realitate nu o are. Astfet î n paradoxul lui Buridan, se presupune că respec­ tiva expresie este "propoziţie care poate fi adevărată sau falSă", în paradoxul lui Cantor se presupune că avem o nmulţime în sensul curent al cuvîntului" � în paradoxul lui ' Grel1ing se presupune că "heterologic" este un adj ectiv de " aceeaşi natură cu adjectivel� obişnuite etc. . '\,; " '�.� . \ .Repetăm generahzînă": : o entitate' duce la paradox dacă 1) este antologică, 2) presupune implicit sau explicit nega­ ţia, 3) constituie o singularitate (are unicitate)� 4) pre­ supune că are o proprietate pe care o au multe alte entităţi (deci că face parte dintr-o categorie de entităţi) care sînt definite după proceduri curente, ceea ce nu e cazul . Fiecare din aceste condiţii este necesară, dar numai împreună sînt suficiente . De unde rezultă : a) eliminarea unei singure condiţii este suficientă pentru eliminarea paradoxelor, însă această procedură ar fi prea largă, ea ar afecta şi entităţi care satisfac restul condiţiilor şi nu duc totuşi la paradoxe� iar în unele cazuri astfel de entităţi sînt chiar normale, b) soluţia adecvată constă îi1 a elimina exact acele entităţi caI:e satisfac condiţiile indicate. în mecanismul logic de obţinere a paradoxelor un rol deosebit îl j oacă t�r:ţul exclus şi raţionamentul prin absurd. Î ntr-adevăr� în ultimă instanţă problema care se pune �;:: : -:"'.

"" �"'.

.

în lucrarea (2) am crezut că sînt suficiente cele trei condiţii - autologia. negaţia şi singularitatea (unicibtea) entităţii.

1

Te'oria sistemelor logice

1 48


este : dacă o entitate x aparţine sau nu unei clase K, deai : x � . K sau x � K ? Vrînd să demonstrăm " x E K " facelU presupunerea opusă ; ;ţ � ]{ ", pe de altă parte exact în acelaşi mod se poate demonstra n X � K ". Acesta este un raţionament prin absurd "bilateral" care are drept consecinţă : x E K şi x � ](. Un.eori in demonstraţie intervin scheme siluple care guver­ nează raportul dintre afirmaţie (aii) şi negaţie (neg) şi pe . care le putem reda pe scurt astfel : aiI (neg) neg neg (aii) neg neg, (neg) aii Desigur nu întotdeauna mecanismul denl0nstraţiei este atît de SilUpluJ am văzut dealtfel că adesea raţionamentele sînt foarte complicate (v. Hilbert) , totuşi cele de mai sus sînt presupuse, cu alte cuvinte facem supoziţia că noi putem rezolva problema "X E K sau x � K ? " cu aj utorul logicii bivalente (respectiv a mij loacelor de demonstraţie pe care ea . le oferă) . , J;'eoria rezolvării antinomiilor ocupă o mare parte din teoria 'sistemelor deductive. · Dintre metodele propuse vom con­ sidera : metoda tipurilor (B. Russell), metoda axiomatică (Zermelo, Hilbert), metoda intuiţionistă (Brouwer), metoda lui Tarski pentru antinomiile semantice, metoda lui Boci­ vat ş.a. Teoria kantiană a antinomiilor a Însemnat ea însăşi o con­ tribuţie în dezvoltarea ideilor care stau la baza rezolvării antinomiilor. ,

.

=

=

=

4.2. Teoria kantiană a a ntinomiilor

Acest paragraf constă din rezumarea unor texte deosebit de relevante (Critica raţiunii pure) . Vom trece însă peste acele idei care sînt mai interesante pentru problematica filozofică (urmînd ca în ultima parte " a lucrării să le luăm în: . consideraţi e) . Kant rezumă cercetarea antinomiilor în felul următor : n Î ntrebările care se prezintă în mod firesc într-o astfel de dialectică a raţiunii pure sînt deci : 1 ) care sînt propriu­ zis · judecăţile. în care raţiunea pură este de fapt supusă Ant�nomiile logice

1 49


în mod inevitabil unei antinomii ?, 2) pe ce cauze se înte­ meiază această antinomie ?, 3) dacă şi în ce mod îi rămîne totuşi deschisă raţiunii, în această contradicţie, o' , cale spre certitudine ? " [22 ; 373 ] . L a prima întrebare Kant consideră că aserţiunile antino­ mice "nu pot fi decît exact patru" [22 ; 400] . (Vezi finit­ infinit, simplu-complex, necesitate-libertate, temei-înteme­ iat, toate raportate la .,lume".) După părerea noastră, cele mai interesante idei din teoria kantiană a antinomiilor în ce priveşte explicarea şi rezol­ varea sînt următoarele : 1 ) " Raţiunea cade de la sine şi inevitabil" în antinomii (ele sînt un fenomen necesar) 2) Acest fenomen fereşte gîndirea de o "convingere ima­ ginară" . \3) în faţa antinomiilor raţiunea saU cade într-o "desperare 'sceptică" sau stăruie într-o " atitudine doglnatică" . 4) Folosirea raţiunii pentru aplicarea principiilor intelec­ tului " dincolo de limitele experienţei" duce la apariţia unor "judecăţi sofistice". '5) ' Tendinţa raţiunii Ulnane spre sisteme (edificii arhitec­ tonice) nu se poate împăca cu asemenea judecăţi anti­ n01uice . 6) Experienţa ca întreg nu este dată în experienţă, ea este obiect de raţiune. Pe de altă parte, ea este "măsura" conceptelor . ' . 7) Două judecăţi opuse pot fi deopotrivă false dacă conţin :0 supoziţie inadmisibilă. 8) Antinomiile sînt rezultatul conceperii fenomenelor ca lucruri în sine, al extinderii categoriilor intelectului dincolo de limitele experienţei noastre, al aplicării ideii de "totali­ tate absolută" (condiţie a lucrurilor în sine) la fenomene (la experienţă) . 9) Antinomiile sînt dovada că asemenea supoziţii sînt false. Mai abstract, reţinem următoarele principii : 1 ) Antinomiile sînt un fenomen necesar pentru cunoaştere (idee valoroasă mai ales în plan filozofic) . 2) Ele sînt rezultatul unei extinderi nepermise, al accep­ tării tacite a unei supoziţii inadmisibile. 3) Pentru a le soluţiona se impune : a) să dezvăluim extin­ derea nepermisă şi supoziţia ilicită, b) să impunem o anumită ,,limitare" a mij loacelor cu care operează raţiunea Teoria sistemelor l ogice

1 50


şi e) in genere să adoptăm o operare critică cu conceptele. Se poate spune că dezvoltarea ulterioară a logicii n-a făcut decît să precizeze� confirme şi concretizeze aceste prin­ ci piL In Semnificaţie şi necesitate Carnap a exprimat într-o formă concisă esenţa antinomiilor şi a rezolvării lor. "Acele situaţii logice care sint denumite antinomii logice (în s ensul modern.. nu kantian) sau paradoxe logice sînt caracterizate prin faptul că există două metode de raţio­ nare� care deşi sînt ambele plauzibile şi în acord cu modul obişnuit de a gîndi duc la concluzii contradictorii. Orice soluţionare de antinomii adică eliminarea contra­ dicţiei constă, prin urmare, în a face schimbări adecvate în procedeul de raţionare, cel puţin una din presupunerile sau regulile sale trebuie să fie, în ciuda caracterului lor plauzibil, abolită sau restrînsă în aşa fel ca să nu mai fie posibilă obţinerea a două concluzii incompat ibile Uneori o anumită formă de inferenţă este abolită sau restrînsă, alteori se întreprinde un pas mai radical prin abandonarea anumitor forme de propoziţii care anterior au fost consi­ derate ca avînd sens ş"i ca fiind fără pericol " [4 ; 188 ] . Conceptul d e "rezolvare a antinomiilor" v a fi deci limitat la această concepţie : - soluţia paradoxelor eliminarea lor (evitarea lor în sistemul teoretic dat) .. - eliminarea paradoxelor = eliminarea condiţiilor (supo­ ziţiilor tacite) care le-au dat naştere, - eliminarea condiţiilor care le generează = reglementarea operaţiilor gîndirii, precizarea lor, pe scurt perfecţionarea aparatului formal (definiţii, formulare de judecăţi, raţiona­ mente) . Marea dificultate de care s-au izbit diferite metode a con­ stat în faptul că ele s-au dovedit fie prea ,,largi" .. fie prea ,, îngusteIJ - cu alte cuvinte nu sînt adecvate (nu se potri­ vesc numai cazurilor date prin definiţie) şi de aci nu rareori generează ele însele anumite dificultăţi noi. .

=

4.3. Teoria tipurilor

( 1 ) Fo:rma clasică (B. Russell) . Prima concepţie sistematică şi tehnică despre soluţionarea antinomiilor logico-matema­ tice a fost dată de către Bertran d Russell . Antinomiile logice

151


Bertrand Russell a fost inspirat de anumite idei ia:�e( lui Poincare. H. Poincare, care ca si Gauss, era în anuinite privinţe un �::co'iiser:Vâtor revoluţionar", manifesta multă neîncredere faţă de unele din noile metode care pătrundeau în ştiinţa contemporană. Despre logistică el spune ', li· iro­ nie : "logistica nu este sterilă, ea l1aşte antinomii". Cauza acestor antin01nii (paradoxe) ' care a u zguduit fundan1t�ntele matematicii el o vede în existenţa aşa-numitelor defitţiţ.ii nepredicat�ve, adică acele definiţii care cuprind o anumită circul:iritate ("cerc vicios", deşi nu în sensul banal al cuv,î n­ tului) . În definiţiile nepredicative, definiensul (defi1ii�0rul) nu poate fi construit independent de definiendum · ( defini ­ tul) . Iată un exemplu de definiţie nepredicativă : "Hnjita superioară a unei mulţimi de numere reale este cel , ·mai mare număr din această multinle". În această definitie, termenul nce1 mai mare nu�ăr din această mulţifue" (definitorul) nu poate fi construit independent de ,.JiiIiita superioară a unei multimi de numere reale" (defirtitul) , căci mulţilnea respecti� ă cuprinde ş i limita e i supeFifia:l:ă (ea determinîndu-se prin seria elementelor sale) . . Bertrand Russell a preluat ideea cercului vicios ai, · ltii Poincare făcînd din ea un principiu de bază al prop riei sale metode de rezolvare a paradoxelor. Văzînd într-un asemenea "cerc vicios" cauza paradoxelor, Russell a propus ţ�9ria _tipuriJor ca mijloc de construire a m at em atici i ' fără paradoxe. în 1 903 Russell publică lucrarea The Prin ciPles of Mathe­ matics voI . 1. Tot atunci în anexa II la această 'lucrare Russell dezvoltă ideea tipurilor. Teoria ti puri lor, a lost expusă ulterior în lucrările Les paradoxes de la ' logique (" Revue de Metaphysique et de Morale", Tome XIV, :. 1906) , Mathematical logic as based on the theory of types (în LAmeri­ can . ]ournal of Mathematic", XXX, 1 908), La theorie , id,!s types logiques (" Revue de Metaphysique et de Matale", Tome XVIII, 1 910) şi în Introducere la PrinciP ia ' Mathe.:. matical. în linii mari teoria conţine următoarele idei ! '" I ' 1) Cauza paradoxelor stă într-un cerc vicios. Pentru funcţii propoziţionale aceasta înseamnă că funcţia are printre argu­ mentel e ei unele care se definesc în dependenţă de funcţţ a respectivă. . ' Y. 1 Expunerea urmează îndeaproape textul din Introducere la p�incip�a . ' Mathematica şi Mathematical logic as basea on the theory of eypes. Teoria sistemelor logice


2)\·. · ·Pentru a evita cercul vicios (şi deci paradoxele) se impune o jtt'ra-rhizare a funcţiilor conform cu tipul argumentelor ( = mulţimea de valori admise pentru argumentul dat) . 3} : ·Conform cu ierarhia stabilită argumentele funcţiei nu pot :lua valori de un tip egal sau mai mare decît al fu ncţiei 4) Deoarece prin ierarhia tipurilor se eli1nină unele propo­ ziţi i . (mre utilizează termeni nepredicativi dar care sînt fundam ent al e pentru matematică, pentru a reintroduce aceste propoziţii pri n altele echivalente cu ele dar "predi­ cative" se foloseşte axioma reductibilităţii . .

,

.

"

A) Citise şi funcţii. Totalităţi ilegitime. Matematica contemp0ţ"ană a adus în centrul atenţiei noţiunea de " clasă" (re�p'� ,;111ulţime") "colecţie" etc.) . Clasa este, în concepţia lui.,�,us�elI, o constantă logică. Unei clase (ex. "clasa oame­ llilqrn îi corespunde un concept ( ac i concep tul de " om"), concept care este dat printr-o definiţie . Uneia şi aceleiaşi c1q.s� pot s ă i corespundă mai nnIlte concepte, de exemplu, "pdţI1ul număr cu soţ" şi "numărul întreg cuprins Între 1 şi 3." sînt două concepte pentru aceeaşi clasă. Clas ele pot fi determinate p r i n exten siune (adică se dă lista �lenlentelor) în caz că sînt finite . Se Înţelege că nu e , YQrba de posibilităţile practice de a aplica o astfel de nletodă deoarece în cazul în care o mulţime finită este suficient de mare metoda nu poate fi aplicată în limitele de ,spaţiu şi ele timp pe care le putem manipula . Presupunem că Russell, ca şi alţi autori, are în vedere aplicarea metodei " în- .principiu" abstracţie făcînd de posibilităţile noastre practice. Russell însuşi nu a discutat această supoziţie care. aIializată nlai atent s-a dovedit ulterior o idee rodnică. ) Cl�s�le mai pot f i apoi date printr-o proprietate (int.�n­ siune) indiferent dacă sînt finite sau infinite. î n acest din 11rmă ,oaz el e sînt considerate ca totalitate a argumentelor care satisfac o funcţie propoziţională dată. De exemplu, funcţ�a ) ) x este -om'''' � -detefth.ină clasa- oamenilor, adică sirul : Socfate şi Platon şi Aristotel şi . . . şi . . . D;(tşi ,€,lasa apare ca un obiect singular, aci ea este con­ cep'l:1tă' ca pluralitate de obiecte. Russell distinge Între a c0�?id�a · ))clasa ca unu" şi a o considera ca npluralitate" . Clgsa ! �,ca unu" (ca totalitate) poate să ducă la anumite dificultăţi . De exemplu, în expresi a "clasa tuturor claselor" -

.

; ,

.

1

Antinomiile logice

1 53


clasa este considerată, pe de o parte, ca unu fiind o totali­ tate, dar pe de altă parte această totalitate este o pluralitate care cuprinde însăşi clasa ca unu. Desigur nu în toate cazurile lucrurile stau astfel, de exeUl­ plu, clasa fiinţelor umane este văzută doar ca pluralitate de elemente, ea nefăcînd parte dintre acestea. Comparînd clasa cu elementele ei se presupune că acestea pot fi date independent de clasă, or în primul caz, avem situaţia ciudată că există un element (însăşi clasa) care nu satisface o astfel de condiţie . Această situaţie este rezul­ tatul unui "abuz" în utilizarea ideii de otoţi " C,toate clasele") . " Astfel de clase sînt "reflexive" sau altfel spus ,,în cerc :vicios ". Utilizarea lui "toţi" dă impresia că ar exista o , . totalitate" ceea ce nu e cazul, sau, cum spune Russell, o astfel de totalitate este JJ nepermisă" , este o totalitate ilegitimă" . Putem să înţelegem astfel această idee a lui Russell . Pre­ supunem că am face inducţia incompletă şi deci amplifi­ catoare asupra claselor. Trecem în revistă clasele K v K2, . , . Kn, . . . şi deodată transcendem. posibilităţile noastre empl!1Ce de enumerare spunînd "toate clasele" . O astfel de transcen­ de re a experienţei limitate este pe deplin posibilă în alte cazuri, nu însă şi în acest caz. Cum astfel de formaţiuni reflexive duc la paradoxe, prudenţa operării cu ele trebuie să crească şi mai mult. Cuvîntul "toţi" (ca şi ideea de "totalitate") trebuie folosit în mod critic . Russell a analizat pe larg semnificaţia acestui cuvînt pentru a determina o anumită limitare a utilizării lui. Această analiză este efectuată în Mathematical logic as based on the theory of types . Trebuie să distingenl pe "toti" (aU) de " oarecare" (any) . (" Toţi" este identic cu " once ,, .) Ca exemplu de utilizare a lui " oarecare" avem expresia )JX x" sau teoremele aritmetice care încep.. de exemplu, cu ntriunghiul A BC". Î n primul caz e vorba de un x oare­ care arbitrar ales, în al doilea de un triunghi arbitrar ales (nu de toţi) . La fel în ce priveşte utilizarea expresiei f(x) în propoziţii de felul acesta : " Spunem că o funcţie f(:x) este continuă pentru x O dacă . . . " (Aci f(x) este o funcţie oarecare pentru care propoziţia are sens.) J

I

=

=

Tec-ria sistemelor logice

,

154


Distincţia de mai sus apare clar în cazul variabilelor Cînd spunem ,.pentru orice x" atunci v.�Iiabila este apa rentăA iar cînd nu se specifică dacă e vorba de orice. se 'înţelege că x este oarecare. iar variabila este numită reală. în notaţie avem respectiv � (x)<I> (x) şi � <Dx După cum observă Russell. în matematică deducţia se efectuează cu variabile reale nu apa rente Iată un exem­ plu (dat de el) : 1) (x)<Dx 2) (x) {<I>x� 'Yx} 3) <l>x:=) 'Y x 4 ) <l> x 5 ) 'P' x 6) (x) 'Yx (Presupunem că cititorul cunoaşte acest lucru din calculul natural ) Deci p entru a deduce trebuie să trecem de la variabil e aparente la cele reale şi apoi revenim la cele aparente (la sfîrşit) (Ca ,exemple el dă trecerea de la "toate triunghiuril e isoscele au unghiurile de la bază egale" la "toate triunghiurile care au unghiurile de la bază egale sînt isoscele" sau demon­ strat:ea în logică a m o dului Barbara.) Totuşi variabilele aparente sînt indispensabile în special în definiţii (v. de exemplu. definiţia continuului). deci utilizarea lui toţi nu poate fi în aceste cazuri Înlocuită cu oarecare Dimpotrivă pentru a evita erorile de "refle­ xie" această înlocuire se impune . După părerea lui Russell nu putem spune .,toate propozi­ ţiileH, toate proprietăţile" (aceasta ar genera o nouă proprietate) după cum nu putem spune "toate clasele" . Din această cauză legile logice (care se referă la propoziţii) nu pot avea enunţuri generale. Nu se poate spune "pentru orice propoziţie P. p şi non-p nu pot fi împreună adevărate ci doar l iP şi non-p . . " ceea ce Înseamnă că " nu exist�> o propoziţie care să fie legea necontradicţiei, ci există n unl ai exemple ale acestei legi " . Se impune dar să studiem mai Înde aproape propoziţiile generalizate, adică cu referire uni­ versală la o clasă. Cum trebuie să înţelegem pe "toţi " din propoziţi a toţi oamenii sînt muritori" ş . a. (Este clar că clasa oamenilor are totalitate .) .

­

.

.

.

IJ

"

"

" .

,

,.

,

",

.

:

Antinomiile logice

"

1 55


Russell propune mai multe interpretări pe care le alilali� zează. Să le l uăm pe rînd în ordinea în care el le dă i deşi pentru înţelegerea teoriei tipurilor această redare nu este necesară. Cunoaşterea respectivei analize prezintă însă , un interes general pentru logică. 1) Propoziţia de mai sus poate fi înţeleasă ca . . da,� � x este om, atunci x este muritor" . Două observaţii se impun : - domeniul lui x este mai mare decît al cl asei Om şi este nedeterminat (dealtfel în genere domeniul variabiler liil poate fi lnai mic de cît a ns a mb l ul valorilor care real izează funcţia), - propoziţia aşa cunl e reformulată este adevărată chiar dacă ll-ar fi o ame ni 2) Expresia ntoţi oamenii " care pare a i n di c a obiectul despre care vorbeşte prop oziţia noastră nu are denotat (luată, izolat) şi deci nu se poate spune că respectiva ,pro­ poziţie ar fi despre toţi oamenii (nu există un astfel de n obiect") . De aci Russell conchide că propoziţia trebuie interpretată independent de această expresie (,Jrază" în sensul mai larg utilizat uneori în logică, al acestui cuvînt) . 3) Dar să presupunem că ar exista un obiect desemnat de toţi oamenii" atunci nu i s-ar putea atribui ideea de mortalitate. Lucrurile nu s-ar schimba dacă am sp�ne , ' ..,orice om este muritor" . 4) Formularea 1 ) Ia rîndul său nu se referă la "toţi oame'ni f ' în sensul obişnuit al a c e st e i expresii, ea poate prea bine să se refere şi la fiinţe închipuite, .,îngeri", să zicem." 5) Dăm o nouă interpretare : "totdeauna (always) este adevărat că dacă x este om, x este muritor". ( î n româneşte putem s-o reformulăm şi astfel noridecîteori x este om, x este muritor", ceea ce stilistic este mai adecvat .) Revine atunci să discutăm despre II totdeaunal J (ori, � �nl anl spus, " oridecîteori") . 6) Se limitează x la cazul în care este om ? Dacă lucrwile ar sta astfel (şi n-ar cuprinde, să zicem, şi astfel de ficţiţtni ca "îngeri ") s-ar putea construi inferenţa : , } I X este muritor deoarece dacă X este om x este muritdr/ ' . OrI d e aci, conform cu înţelesul lui totdeauna" a r r.ezulta mai departe " este totdeauna adevărat că x este llluritorfr, enunţ care este fals. .

I

IJ

,

, ,

:

"

"

: , : :' ,

n

1 "

Teoria sistemelor logice

" " ;1 56


Î ntr-adevăr, limitînd pe x la om putem scrie : n dacă omul ' este 'om� omul este muritor" . Or, nomul este om" este logic adevărată deci uomul este muritor" ar fi logic adevărată (adică totdeauna) ceea ce e fals 7) Să interpretăm pe "totdeauna" prin upentru , toate valorile lui x " . î n pr esupuner ea că npentru toate valorile lui x " este expresia legitimă ea ar trebui să se refere şi la utoate propoziţiile", "toate funcţiile", "toate clasele" etc., or am văzut că acestea sînt totalităţi circulare, reflexive, nelegitime. O astfel de interpretare cade, datorită acestor implicaţii . Domeniul lui x trebuie restrîns, ceea ce ne duce la ideea de univers al discursului" în care valorile lui "X pot să se afle. 8) Russell încearcă apoi interpretarea lui totdeauna (always) ca ,.oridecîteori x aparţine cla sei i". Consecinţa este că propoziţia toţi oamenii sînt muritori" se trans­ fonnă în n oridecîteori x aparţine clasei i, dacă x este om, el este muritor" (ori în altă formulare : " este totdeauna adevărat că dacă x aparţine clasei i atunci dacă x est� OUl, x este muritor") . Respectiva formul are nu restrînge pe ' x la clas a om şi presupune trecerea l a altă clasă, care la rindul său de asemenea ar presupune trecerea la o nouă c1asă"ş.a. ad infinitum. 9) Avînd în vedere că nu există propoziţie falsă de forma "dacă x este om, atunci x este muritor" rezultă că nu putenl exclude pentru x decît unele valori care fac din propoziţie un nonsens (deci cazurile în care expresia res­ pectivă ar înceta să mai fie , propoziţie în sensul strict al cuvîntului) . AnI văzut că, într-adevăr, conform cu (7) anunlite valori sînt excluse (de ex. însăşi funcţia) . Din nou c onchidem că funcţia propoziţi6nală trebuie să aibă un n domeniu de valori" care, deşi nu se reduce la sfera oamenilor, totuşi nu cuprinde orice se poate imagina . 10) O ultimă interpretare a respectivei propoziţii pe ' care o dă este " dacă x este om, x este muritor totdeauna" unde "totdeauna" înseamnă "pentru toate valoril e funcţiei " « dacă x este om, x este nluritor » . Or, precizează ' RU6sell , o astfel de limitare ţine de natura funcţiei, este internă, căci este imposibil ca o funcţie să fie adevărată mai lnult decît pentru toate valorile ei . Explicitarea este deci de .

n

"

"

n

Antinomiile logice

1 57


prisos. Mai mult .. dacă domeniul de semnificaţie al funcţiei ar fi i.. funcţia " dacă x este i atunci dacă x este om, x este muritor" ar a vea acelaşi domeniu de semnificaţie, căci ea nu poate avea semnificaţie decît dacă partea ei " dacă x este om, x este muritor" are la rîndul său semnifica tie . Ceea ce înseamnă că si în acest caz domeniul de seu:{ni­ ficaţie rămîne implicit. î n concluzie, noi nu putem face explicit domeniul de semnificaţie deoarece încercarea ar duce la o nouă propoziţie în care domeniul de semnificaţie ar fi implicit. Cum să interpretăm deci propoziţiile de forma n ( X)<l>x" ? Prin una din următoarele expresii : ,,<l>x totdeauna", n<l>x totdeauna adevărat" .. ..,toate propoziţiile de forma <l>x sînt adevărate", "toate valorile funcţiei <I>x sînt adevărate" . (Trebuie s ă avem în vedere c ă valorile funcţiei propozi' �.. ",. ţionale sînt propoziţii. ) Jn consecinţă.. expresia " toţi" (aU) are sensul de n toate valorile funcţiei propoziţionale" (orice alt "toţi " este deri­ vat din acesta) . I J Orice funcţie propoziţională.. scrie Russell.. are un anumit domeniu de semnificaţie în care se află argu­ mentele pentru care funcţia are valori. în acest domeniu ·al argumentelor funcţia este adevărată sau falsă, în afara acestui domeniu ea este un nonsens" [5 1 ; 45 ] . Se conchide de aci în mod firesc că pentru Russell "a avea sens" "a fi adevărat sau fals". Că .... <I>x este semnificantă" înseamnă deci că .. .funcţia are o valoare pentru argumentul x " (valoare care este o pro­ poziţie adevărată sau falsă) . Domeniul de semnificaţie al funcţiei este totalitatea valo­ rilor pentru care funcţia este adevărată Sau falsă ( = este semnificantă = are valoare logică) ; deci "toate valorile funcţiei x sînt adevărate" înseamnă ,,<l>x este adevărat p entru toate valorile posibile ale lui x" ( = toate propo­ ziţiile corespunzătoare lui x sînt adevărate).. unde "valori posibile " acelea pentru care <l>x este semnificantă. î n alte cazuri decît cele indicate mai sus.. aplicarea lui "toţi" p oate fi nelegitimă. Iată şi un text sintetic : " Orice propo­ ziţie care conţine toţi (aU) asertează că o funcţie propo­ ziţională este totdeauna adevărată şi aceasta Înseamnă că toate valorile funcţiei sînt adevărate nu că funcţia este adevărată pentru toate argumentele, deoarece există argu­ nlente pentru care o funcţie dată este fără sens, adică nu =

=

Teoria sistemelor logice

1 58


are valoare. Deci noi putem vorbi de toţi (alt) al unei colecţii atunci cînd colecţia formează parte a întregului domeniu de semnificaţie al unei funcţii propoziţionale. domeniul de semnificaţie fiind definit drept colecţia acelor argumente pentru care funcţia în chestiune este semnificantă, adică are valoare" [51 ; 147 ] . ! n vederea limitării funcţiilor la domeniul lor de semni­ ficaţie şi a evitării utilizării abuzive a lui toţi " se va intro­ duce ierarhia tipurilor. La rîndul lor vor fi eliminate clasele .,ca u'nu".· deci totalităţile ilegitime. care vor fi despicate în clase corect formate. Studiul lui Russell asupra funcţiei propoziţionale nu se limitează la analiza expresiei ,.toţi". în Introducere la PrinciPia Mathematica acest studiu îmbră­ ţişează şi alte aspecte . B) Funcţia propoziţională şi ambiguitatea sistematică. Se dis­ ting ,,funcţiile propoziţionale" (cele care prin substituţie devin propoziţii, respectiv iau ca valori propoziţii) ex Om ( x) şi ,, funcţiile descriptive" (reprezintă termeni), ex. sin ( x) . Spre deosebire de propoziţie, funcţia propoziţională este ambiguă şi aceast ă ambiguitate constituie principala ei trăsătură. Considerînd fornlula identităţii .,A este A " ea exprimă (psihologic vorbind) o singură judecată (are o singură intenţie) logic însă ea se referă la orice propoziţie deter­ minată ca II Socrate este Socrate", " Platon este Platon" ş.a., însă nu vizează pe nici una din acestea în mod expres, luată în parte. Nu vizăm un " obiect definit", ci o "valoare nedeterminată a funcţiei". î n aceasta constă caracterul ambiguu al funcţiei, noi ne gîndim )a o valoare, dar nu Ia una anume. Avem aşadar două moâ:uri de raportare : - odată raportăm funcţia neambiguu la o valoare nedeter­ minată (nespecificată) ; - pe de altă parte, raportăm funcţia în mod ambiguu l a valori specificate (<Da, <Db. . . . ) O funcţie este bine definită . . dacă toate valorile ei sînt dej a bine definite " (buna definire este altceva decît ambiguitatea sistenlatică) . . Valorile funcţiei sînt definite independent de funcţie, deci ea nu se poate afla printre ele. cu alte cuvinte funcţia este aceea care presupune valorile şi nu valorile presupun funcţia . II

.•

Antinomiile logice

1 59


D(l:căJ · există o valoare care presupu ne funcţia atunci avem din" nol1 (ca şi în cazul claselor) un "cerc vicios " şi anume cazul : · .cel mai interesant de cerc vicios. Anlilltindu-l1E' d e . f0rmula impredicabilului n1mp ( x) " am văzut că printre valQr.ile lui x se găsea însăşi ,Jmp (x) " . Totuşi înţelegerea funcţiei nu depinde de fiecare valoare în parte (mai ales că 4,e foarte multe ori numărul lor este infinit), ea poate fi înţeleasă independent. î n v�derea deosebirii în simbolism între funcţie, valoarea nedetEţrminat� şi val ori r dete ��j7:\�� . \Ru?\�l1l� �c� n��uc� " următoarele,. şlm1;>ol q. n. : (f)x (funcţlaL \ <J) (x) (valoarea hede­ termin at ă) , : tDd/ <I>b, r .· '. . . (valori determinate) . (Despre o funcţie se spune că d e notă valoarea sa) . Următoarele moduri de a vorbi sînt corecte : a ) ..,<I>.x" este o propoziţie (este un enunţ ambiguu despre o valoare nedeterminată) , b) ,, <J) x " este o funcţie propoziţională (este un enunţ neambiguu despre ambiguitatea funcţiei, funcţia fiind o ambi guitate) . Va] oFile funcţiei au fonna <I>x, cu c o n diţi a ca x să nu aibă ca r e să cup ri ndă pe <J) �, prin urmare, o forma­ o valoare : ţiune ca J 1<J) (<J) �) " nu poate fi propoziţie. O astfel de forma­ ţiune " nu are semnificaţie" sau "nu exprinlă nimic". Deosebim deci două feluri de argumente : - argumente pentru care funcţia are valoare (acestea sînt va.1Qrile posibile ale lui x"), - argumente pentru care funcţia n-are valoare. Se spune că <J) x este senlnificantă pentru x, dacă are o valoare corespunzătoare valorii acordate lui x*. Astfel dacă avem funcţia "x este om" atunci pentru valoa­ r�a " Socrate" a lui x vom avea valoarea " Socrate este om" a funcţi ei . FOflllele ,,<I>(�x) " sînt fără sens, căci ar reveni să spunem în exempl ul nostru " « x este om » este om", ceea ce n-are sens . Mai mult, despre ea nu putem spune că este falsă, căCi negaţia unei funcţii fără sens este deopotrivă fără sens (vezi « x este 0111 » nu este om") .%r l\.ceastă idee a lui

11

. .. .

Il

. ' 1�,l;.,.1 '.

P

1.* În legătură cu termenul de "funcţie" reaminti"J distincţiile":, Î ) ' cores�: pon d enţa univod'l, 2) valoarea funcţiei, 3) expresia funcţională. Teoria siste melor l ogice

1 60


Russell cere o discuţie mai amplă, discuţie pe care o vom dezvolta-o în alt capitol. Unei funcţii <D x îi corespund trei forme de aserţiuni : a) 1- <l>x<Dx are loc pentru un x oarecare, arbitrar ales b) 1- (x)<Dx (<J)(x) are loc pentru orice valoare posibilă a lui x) c) r- 3 x<J)x (există cel puţin o valoare a lui x pentru care are Joc -<1> x)

C) A mbiguitatea sistematică a adevărului şi falsului. Despre o propoziţie spunem că este adevărată sau falsă. Am văzut că există formaţiuni fără sens C,<J)(<I> �) ") care nu admit asemenea calificative . La fel stau lucrurile cu .. <I>{ (x)<J)x}" deşi aceasta pare să aibă o excepţie . Fie funcţia �,p este fals" şi propoziţia corespunzătoare (P) P este fals " . Expresia (P) P este fals " asertează orice propoziţie de forma l IP este fals" . Respectiva propoziţie formulată fără simboluri este "orice propoziţie este falsă", aserţiune despre care sîntem înclinaţi să spunem că este fa lsă (a se vedea raţionamentul analog făcut de către Des­ cartes) . î n acest caz s-ar aj unge la formaţiunea n{(P) P este fals} este fals" . Or, aci propoziţia (P) P este fals" este argument al funcţiei "p este fals", ceea ce reprezintă un cerc vicios (un argu­ ment al funcţiei se defineşte în termeni de funcţie) . Russell explică această aparentă excepţie prin ambiguitatea sistematică a termenilor "adevăr" şi ,,fals" . EI scrie : "cuvin­ tele " adevăr" şi ,,falsitate" au mai lnulte senlnificaţii diferite care se acordă cu forma propoziţiei la care ele se aplică" . Astfel propoziţia de forma <J)a este în alt fel adevărată (sau falsă) decît propoziţiile de forma (x)<l>x şi 3x<J)x. El con­ vi ne să acorde pentru prima "adevăr prim" (resp. ,,fals prim"), iar pentru cele două forme cuantificate "adevăr secund" (resp. ,,fals secund") . Termenul " adevăr secund" (resp. ,,fals secund") este definit după cum urmează. Expresia : ,,{ (x) <D x} are adevăr secund" înseanlnă că "orice valoare pentru <D x are adevăr prim") adică ,.(x) (<I>x are adevăr prim) " . Expresia .,{ 3x<D x} are adevăr secund" Înseamnă " există valori ale lui <D � care au adevăr

n

H

n

Antinomiiie logice

1 61


prim" adică 3x<l>x are adevăr prim" . în nlod analog se defineşte ,Jalsul secund" . Din această concepţie rezultă că trebuie să se specifice felul de falsitate în cazul expresiei n (p) P este fals". Dacă avem în vedere falsitatea primă vom scrie în loc de nP este fals" liP are fals prim", ceea ce are sens numai dacă p are fals prim sau adevăr prim. La rîndul său expresia ,, (P) P este fals" este înlocuită cu ntoate propoziţiile (care au sau adevăr sau fals prim) au fals prim" . Cu alte cuvinte predicatul " fals prim" este atribuit propoziţiilor care au sau fals prim sau adevăr prim. Reţinînd această limitare putem exprima pe scurt propo­ ziţia nouă introdusă de Russell astfel : (P) P are fals prim" La rîndul ei o astfel de propoziţie are fals secund şi ea uu poate fi un argument al funcţiei l IP are fals prim" . (Că are ,,fals secund" se poate justifica uşor deoarece p poate avea ca valori şi propoziţii cu adevăr prim. deci nu doar propoziţii cu fals prim cum se spune în enunţul nostru.) Nu există, în concluzie, excepţie de Ia ideea că <I>{ (x)<Dx} " este fără sens. Analiza adevărului şi falsului este importantă pentru stu­ :dierea paradoxelor semantice. Esenţial în cele de mai sus 'e ste că el distinge adevăr (resp. fals) de diferite ordine . >

�J

n

..

D) PrinciPiul cercului vicios. Făcînd sinteza celor trei paragrafe anterioare am găsit trei feluri de cerc vicios : 1) clasa conţine elemente care sînt definite în dependenţă de clasă (cu alte cuvinte clasa ia parte la propria sa for­ mare), 2) funcţia are argumente care sînt definite în ter­ meni de funcţie, 3) propoziţia asertează despre sine (acest ultim caz este particular în raport cu cazul 2) aşa cum s-a arătat, însă este important să fie senlnalat separat) . Cercul vicios poate apărea în legătură cu diferite feluri de entităţi (formulările fiind analoage) - clase, funcţii, predi­ cate, propoziţii. numere, expresii etc. Î n anumite condiţii cercul vicios poate să ducă la paradoxe în cazul fiecăreia din entităţile enulnerate. Am văzut că locul central îl ocupă noţiunile de ,Juncţie" şi de "clasă" (colecţie). funcţia fiind într-un anumit sens mai importantă decît clasa, deoa­ rece într-un fel sau altul toate celelalte entităţi pot fi raportate la ea. Teoria sistemelor logic e

1 62


Pentru a preveni cercul V!ClOS (pe care-l consideră cauza paradoxelor) Russell formulează aşa-numitul "principiu al �rclllui vicios" care ia diferite forme în funcţie de e-ntităţi . ( 1) } ,Orice cuprinde totalitatea unei colecţii nu trebuie să a-c'ă parte din colecţie" (sau ,. dacă o colecţie are o astfel : de totalitate care conţine membrii ce se definesc în ter­ menii totalităţii, atunci colecţia respectivă nu are totali­ tate") [49 ] . Cînd spunem că , ", 0 mulţime nu are totalitate" aceasta ,:,înseamnă că nu se poateO--coristrrii o propoziţie cu semnifi­ caţie despre " toţi membrii ei". O mulţime ai cărei membri presupun totalitatea mulţimii, în realitate, nu are total (totalitate) . Astfel este umulţimea tuturor mulţimilor". Există deci clase (mulţimii, colecţii) care nu au totalitate. Ele sînt interzise prin principiul cercului vicios . Cînd avem asemenea concepte este necesar "să despicăm" mulţimea în altele care au totalitate (ceea ce şi este scopul teoriei .tWurilor) . : 2) l .orice funcţie care presupune printre argumentele ei " u11e] e care sînt definite în termeni de funcţie este fără sens . De exemplu, "clasa C( nt!_ ţsţ� TI:!-�,mbru al clasei" este fără sens deoarece ea:-'preslip une că funcţia propoziţională care defineşte clasa (ex. "x are (X-proprietate") poate lua clasa ca argument (ca valoare) . Clasele de obiecte deter­ minate de aceste funcţii sînt în acest fel într-un mod spe­ cial reflectate în ele înseşi, de aceea Russell le numeşte "reflexive",. Pentru astfel de argumente funcţia nu va d:everti- - nici propoziţie adevărată, nici propoziţie falsă, ci v a fi fără sens . De exemplu, dacă în funcţia " x este muritor" vom substitui "muritor" pentru x vom obţine propoziţia " muritor este muritor", ceea ce conform cu tratarea logico-n1atematică ar Însemna uproprietatea muritor este lTIuritor" . Or aceasta este un nonsens. Analog funcţia x este clasă" poate genera nonsensul " clasa este clasă" (a nu se confunda cu expresia obişnuită a principiului identităţii " A este A ", expresie care nu este dată în limbaj ul logicii predicatelor) . ' E) Ierarhia tipurilor. ve e�ea ��htării utilizării abuzive a cuvîntului "toţi", a eliminării " totalităţilor ilegitimeH, a li mitării funcţiilor l a domeniul lor de semnificaţie, a apli-

[f

___

.JJ

nf: d

Antinomiile logice

1 63


cării c or e ct e a pre di catelo r oadevăr" şi Jal s şi în ge ne r e a evitări i n cercului vicios" care poate duce la paradoxe, Russell e fe ctu e ază o cl asificare ierarhică a diferitelor enti­ t ăţi pr e disp us e cercului vicios şi în p ri mu l rînd a funcţiilor. Această ierarhizare se realizează cu aj ut oru l ideilor de , tip şi de u ordin". "Un tiP este definit ca un do meni u de semnificaţie al f uncţi ei pr opo ziţional e, a di c ă col e cţi a argumentelor pentru care func ţi a are val ori [5 1 ; 1 47J . I e rarhia tip uril o r este destinată rezolvării antinomiilor logi co -m at ema tic e (în sensul dat de Ra nl s ey ) cea a ordi­ nelor vizează antinomiile " epistemologice" . Diferenţa din­ tre tip şi ord1:n nu e suficient de clar definită . Tipul s e referă la domeniul valorilor. Ordinul este o diferen­ ţiere în cadrul t ipul ui (începînd cu ti p ul unu), el se referă la p r op ozi ţii şi funcţii propoziţionale. Vom Zl vea astfel o rdi n el e 1, 2, . . . n (în cadrul fiecărui tip > O) . Pe de altă p art e ordinele se divid în două : "predicative '-' şi "nepredi­ cati ve . j in vederea simplifi cări i ierarhizării se produce luai Întîi 10 unificare a i dei l o r de p rop ozi ţi e şi , Juncţie propozi­ ţională" p o rnind de la no ţi une a de " luatrice". Dacă într-o prop oziţi e înlocuim variabilele aparente sau t e rm enii c o nst anţi cu varia b il e real e obţinenl o formă pe c ar e o vom numi I1;l at ri c e . Aceasta va fi atît matricect�p'rdpoziţiei originare cît şi a oricărei funcţii sau propoziţii care se poate obţ�'ne din ea prin transformarea de variabile reale în variabile aparente . Exemplificăm în modul următor aceast ă ide e . Fie p ropoziţi a nIon este fratel e lui Gheorghe" . Să punem în locul t e rm e nilor co nst anţi " Ion" şi " Gheorghe" varia­ bilele x şi resp. y� iar pr e dic atul frate să-I n ot ă m cu <1>, vom obţine matricea <D (x, y) . Ace a sta este nlatricea propoziţiei respective cît şi a urm ăt o ar el or formaţiuni : a) <D (Ion, y) b) <D ( x, Ghe orgh e) c) (x) <D (x, y) d) (y) <D(x, y) e) ( x) (y) <D(x, y) f) 3x<D(x, y) g ) 3y<D (x, y) h) 3x jy<1>(x� y ) . �

.

'"

"

"

"

"

"

Teoria sistemelor logice

"

"

1 64


Numărătoarea tipurilor înc ep e de Ia zero, iar a ordinelor de Ia unu . Util izînd ideea de tip vom obţine ierarhia : 1 ) Tipul zero : indivizii (no taţi cu co nst a nte individuale a, b, c, . . . sau cu variabile individuale x, y, z, . . . )

:

2) Tipul unu

3) Tipul doi

funcţii de indivizi

: funcţii

de funcţii

"

de indivizi

Orice mat ri c e va fi cel puţin de tipul sau fun cţi e obţinută din nlatrice va

matricea .

A

(<I>x, <l>y, . . . )

A

(ex . j(c'J)x), . . . )

unu, orice p rop o ziţie avea a cel aşi tip cu

Astfel, dacă <P ( x) este o nlatrice care are tipul unu \Ix4> (x) " 3x(J>(x) vor fi p rop oziţi i de acelaşi tip adică - unu. La fel p r op oziţi a singul ară 4> (a) . în presupunerea că argumentele pot fi de diferit e tipuri se stabileşte că tipul funcţiei este cu unu mai înalt decît cel mai Înalt tip care p oat e fi stabilit p ri ntr e argumente. Dacă a r gum e nt ele funcţiei au cel mult t ip u l n, atu nci funcţia va avea tipul n + 1 . Trecerea la i d e e a de ordin se face în felul următor:

Matricea de tipul unu (deci care are ca v al o ri ale argu­ lnentelor 'indivizii) este de ordinul unu . Funcţiile sau pro­ p o ziţii le care se obţin prin cuantificarea variabilelor indi­ viduale vor fi de asemenea de or din ul unu. Funcţiil e sau propoziţiile care se obţin pri n cuantificarea variabil elor fu ncţi o n ale vor fi de ordinul doi . N o tînd cu $1 (X) toate funcţiile şi p ro p oziţiile de ordinul unu, atunci cuantificarea l ui $1 va duce la fun cţi i de ordinul doi, ex. V4>I$I(X). 3$I<1>I( X) . Notînd apo i cu $2(X) funcţiile şi pro­ poziţii l e de ordinul doi put em forma p rin cuantificarea lui �2(X) funcţii de ordinul trei '14>24>2 (x), 34>24>2(X) ş . a .m. d . Cu privire la ierarhia propoziţiilor Russell scrie : "Ierarhia propoziţiilor poate fi derivată din ie ra rhia funcţională şi noi putem defini prop o ziţi a de ordinul n ca una c are cu­ p rinde o variabilă ap a re ntă de ordinul n - 1 în i e r ar hi a funcţională" .

Reguli de interdicţie şi permisie . ( 1 ) Dacă o entitate a re ti p ul n ea nu poate fi aplic at ă decît la e ntităţi de tipul (n - 1) şi nu i se pot aplic a decît enti­ t ăţi de tipul (n + 1) . (2) D a c ă o f un cţ ie are o r di nul n atunci a r gu ment e l e ei Anti n omiile logice

1 65


vor avea cel mult ordinul n - 1 şi nici o funcţie de ordinul 11, sau (n + m) (unde m � 1) nu poate fi substituită argu­ mentelor sale. !'F) Funcţii predicative şi funcţii nepredicative. Russell înl­ :parte funcţiile în două : predicative şi nepredicative . " Dacă p funcţie are mai multe argumente şi cel mai înalt ordin .t are apare printre argumentele funcţiei este n, atunci dacă " ea este de ordinul n + 1. adică cel mai de j os ordin compatibil ,cu acela pe care îl au argunlentele sale, noi vom numi funcţia predicativă" . .... 0 funcţie nepredicativă de ordinul 11, se obţine dintr-o funcţie predicativă de ordinul n prin transformarea unora din argumentele de ordinul n - 1 în variabile aparente" (nu toate) . A Funcţia de ordinul unu de forma (J>x este consecvent predicativă, pentru ea nu există funcţie nepredicativă. ' (J orgen J orgenson precizează că funcţiile predicative sînt A

El:lt:r:ic;�...J Fie de ex. matricea de ordinul 2 ,,/($ ! x) ", e a este o funcţie predicativă, prin cuantificarea variabilei obţinem funcţia nepredicativă : ($)f !($ ! x, x) . ( Notaţia complicată asupra căreia vom reveni ţine de diversificarea simbolismului în funcţie de ierarhia tipurilor.) Conform cu această distincţie care aminteşte de definiţiile nepredic ative, noi vom conside ra nepredicative, de exemplu, funcţiile în care se vorbeşte de toate proprietăţile" sau ntoate funcţiile de (argumentul) a " . Astfel în definiţia identităţii x = Y . =: ($) ($x =: $y) expresia n ($) ((J>x == $y) " "este nepredicativă deoarece variabila $ care e cu un ordin mai mic decît ordinul respec­ tivei funcţii ($) ($x == (J>y) este cuantificată, dînd astfel naştere Ia expresia nepredicativă ntoate proprietăţile" . Conform cu teoria tipurilor corect este să se spună în loc de toate proprietăţile lui aH, toate proprietăţile predica­ tive ale lui an sau " toate proprietăţile de ordinul n ale lui a " . Am văzut mai sus definiţia nepredicativă a identităţii, ea nu inlplică nici o dificultate logică. Există în matema­ tică multe aserţiuni importante în formă nepredicativă care de asemenea nu creează dificultăţi. Rezultă că teoria II

II

·Teoria sistemelor log i ce

n

1 66


tipurilor elimină din logică şi matematică Propoziţii impor­ tante nepredicative (dar şi neparadoxale) . Pentru a repara această pierdere Russell a introdus aşa­ numita axiomă a reductibilităţii. Vom expune-o cu unele explicaţii suplimentare necuprinse în textul lui Russell.

G) A xioma reductibilităţii. în vederea formulării acestei axiome se introduce conceptul de nechivalenţă formalăII • Două funcţii $x şi 'F'x sînt formal echivalente dacă ele sînt , adevărate pentru exact aceleaşi valori ale argumentului x. î n general $ ( xl1 xn ) şi 'F' ( xl1 xn) sînt formal echi- ' valente dacă pentru orice Xv . . Xn are loc $(xv . . . x,,) == s'F' (xl, x,,) Russell scrie echivalenţa formală asociind cuantificarea cu relaţia : <I>x ;::::; s'P' ( x ) (unde ==�., înseamnă ,uechivalent pentru orice x") . Formularea axiomei este acum următoarea : pentru orice funcţie dată de ordinul n există o funcţie predicativă forma), echivalentă cu ea. Pentru funcţiile de un argument expresi a axiomei este : 1 ) 3 'F' (<I>x = s'F' Ix) Formula poate fi extinsă la n argumente, iar dacă convenim să notăm cu P(Xl> . . . x,, ) funcţia predicativă atunci putem scrie : ' 2) 3 P(<I>(xv · · . x ,,) == Xl ' , 7:n P ( xv . . . xn ) Pe de altă parte, dacă convenim să indicăm ordinul func­ ţiei prin indici numerici (cum fac unii autori), atunci putem da o fornlulare chiar mai generală. Fie să notănl cU $" ordinul funcţiei. Vom scrie : 3) 3P($"(x1 , · . · x,,) == X l ' x" P (XII • • • x,,) ) (aci n-am făcut nici o presupunere cu privire la ordinul variabilelor Xl' x,,) . Dacă presupunem că Xl' X2 x" sînt variabile de tipul zero, atunci obţinem formula particulară n xn ) = 7:1, 4) 3 P1<I> (x l• x2 X Pl (XI • • • • X,, ) n Se poate apoi cuantifica universal <I>n aşa cum fac Hilbert �;i Ackermann : l 5) (<I>n) 3 P ($n ( xv . . . xn ) = x1, x) PI (XV . . . xn) Russell încearcă să facă intuitivă această axiomă prin reformulări şi exemple. •

.

J)

J

Antinomiile IOQice

.

. •

.

.

.

.

.

.

1 67


o funcţie este totdeauna posibil să gaslm o o funcţie predicativă) fo rm a l echivalentă cu ea. Această afi rmaţi e, spune el, echi valeaz ă cu supoziţia că "orice combinaţie sau disjuncţie de p r edicate (dată intens i on al) este e chiva l e ntă cu un p re di c at " . Ca unnare, ' toate prop rie tăţile" va fi despicat ă într-o disj uncţie de p rop ri et ăţi ( de ordinul i n di c at ) . î ntr - ad evă r, se ştie din cursul de l ogică faptul că : 3xA (x) == A ( Xl) V . . . V A ( xn) V . . . La rîn dul său expresia 3 P P(Xl1 . . . xn) p o ate fi în ac el aş i fel desfăcută într-o disj uncţie : 3 P P( XI' . . . , xn) == P (xv . . . xn) V P2 ( XI xn) V . . . Lăsînd la o p art e scrupulele teoriei tip uri l or putem spune că din " toate proprietăţile au loc des pr e a" p ut em deduce ideea că "e xi s t ă c el puţin o aseme ne a proprietate (din această totalitat e) care are loc despre a " . Ca exemplu intuitiv Russell consideră propoziţia "Napoleon avea toate calităţile care fac un mare general " . în loc să spunem " toate calităţile" formăm di sj un c ţia predicatel or marilo r generali ( care, caz fericit. sînt în număr fi nit) . Ne abatem şi aci de Ia s im b ol ismul lui Russell (foarte inc omo d) şi scrienl di sjuncţia PI V P2 V . . . V Pn cu �P. Aces ta este un predicat c a r e nu mai cup r i n de ideea de ntoate propri e tăţil e " şi care poate fi at ribuit lui Nap ol e on �p (Napol eo n) . O ap licaţie interesantă se poate face la principiul i de nt ităţii. Acesta se justifică prin faptul că f ormulă ri i ($) ($x == <l>y) îi corespunde totdeauna o matrice 'F'x == 'fIy. H) Simbolismul teoriei tipurilor. J or gen J o rg e ns on rezumă într-un tabel simbolismul introdus de Russell pentru ideile din teoria tipurilor . în acest tabel se exemplifică ordinele funcţiilor, formaţiuni i l e gi time, matr ice, funcţ ii n epredi ­ cative, simbolizarea u nei funcţii, sim b oli z ar ea valorii (ne­ determinate a fun c ţiei ) . Aceste trei serii de e xe mpl e sînt suficiente pentru ca citi­ torul să poată reconstitui r egul il e acestui si nlbolism (evi­ dent, foarte gr eoi ) . Fiind dată lnatrice ( =

i

1) Aplicaţii. Scopul imediat al metodei t ip urilo r a fost s o luţi o n ar ea paradoxeloT, cu timpul î ns ă ea a devenit un pro c ede u de c ons tr uc ţie siste m ati că a t eo r i il or logico­ ll1atematice . Astfel în lo gică s-a cons trui t "calculul de difeTeoria sistemelor logice

1 68


rd ... O

I

Degitime

Expresii funcţionale Matrice

I

Funcţii nepredicative

I

Funcţii ""

'Yx

'Y Ix

""

""

2

'Y('Yx)

j('f" I x)

3

'Y ['Y('Y x) ]

KU! ('Fx)] (f)K ! [j ! (o/ !x, x) ,

"" ""

I

('Y)f l ('Y Ix, x) ""

f l ('Y

""

""

""

I x)

""

""

""

K ! [f I ('Y Ix)

0/ ! x, x ]

I

Valoare

oarecare

'P' Ix

""

j l ('Y Ix) ""

K 1 [f 1'Y I ""

x]

� rite ordine" (Stufenkalkiil), în matematică au fost date

variante ale teoriei mulţimilor construită cu aj utorul meto­ dei tipurilor� mai mult a început să se vorbească despre anumite teorii cu denumirea scurtă de teoria tipurilor". î ntr-adevăr, corespunzător metodei se poate concepe o teorie a mulţimilor ierarhizate� o teorie a funcţiilor ierar­ hizate etc . în ce ptiveşte soluţia paradoxelor, metoda tipurilor împiedică construirea unor n mu1ţimi circulareH,] şi în genere a unor entităţi în J lcerc vicios" prin faptul că , procedînd inductiv Ia construirea entităţilor (de la tipul I O la tipul 1, de la 1 la 2 ş.a.m.d.) nn ajunge niciodată să,' vorbească despre "clasa tuturor entităţilor". Nu se poate' forma "mulţimea tuturor mulţimilor" nici propoziţia care" să vorbească despre sine� nici funcţia care să se ia pe sin� ca argument, nici expresia care să se auto desemneze. Or, cir{ cularitatea (autologia) fiind o condiţie necesară pentru apa� riţia paradoxelor este suficient ca ea să fie eliminată pentru ca formaţiunile paradoxale să nu mai apară. Din expunerile lui Russell putem conchide modul de ierarhizare a diferite­ lor tipuri (clase, predicate. relaţii ş.a . ) . Există o coresponden­ ţă între ierarhia diferitelor entităţi. Iată tabelul respectiv : n

Tip o

2

I

Clase

I Predicate I Relaţii

I

Funcţii

Simboluri a,

indivizi

indivizi

indivizi

indivizi

clase de indivizi

predicate de indivizi

intre

Relaţii

Funcţii de indivizi

clase de clase de indivizi

predicate de predicate de indivizi

.Antinomiile logice

indivizi Relaţii de relaţii între indivizi

Funcţii de funcţii de indivizi

b, C, • • • y, z 111, q" • • • f, g, h,

x,

• • •

1 69


Exemplificarea diferitelor tipuri nu este atît de uşoară pe cît ar p ute a să pară, la prima vedere . Evident, tipul O şi tipul 1 nu prezintă dificultăţi, dar dej a tipul 2 este dificil de exemplificat pentru cine nu este obişnuit cu asemenea idei. Fie tipul O: Alexandru Macedon, Iulius Cesar, Napoleon, . . . (pentru toate entităţile) . Tipul 1 : clasa marilor personalităţi, predicatul n a fi gene­ ral", relaţia " x este tatăl lui y", funcţia "Om ( x) " . Tipul 2 : clasa tuturor claselor echipolente cu clasa de tipul unu (adică numărul cardinal al unei clase) , a fi pre­ dicat monadic (ex. general este un predicat monadic) , a fi o relaţie intranzitivă între x şi y (ex. relaţia " x este tatăl lui y " este intranzitivă), f uncţi a Adevărat ( .. F ( x) ") . în legătur ă cu propoziţiile (caz limită al fun cţii l or ) observă1l1 că o propoziţie elementară ca " Ion este om" este de tipul 1 deoarece provine din matricea <1> (x) a funcţiei Om (x), iar ,. «Ion este om » este adevărată" este de tipul (ordinul) 2 deoarece provine din matricea A (<I> x) a funcţiei "Adevă­ rat (<1> (x)) " . î n dependenţă de entităţi putem deci construi diferite teorii ale tipurilor. Dil1 cele de mai sus decurge - că totuşi teoria tipurilor s-a dovedit prea largă în legătură cu sarcina de a elimina paradoxele, de aci nevoia de a o restrînge prin aserţiuni de tipul ., axiomei reductibilităţii". Pe de altă parte) s-a adus obiecţia că propoziţiile care enunţă metoda tipurilor nu satisfac ele înşile condiţiile impuse de teoria tipurilor. Aceasta însă nu este o obiecţie cu greutate, acesta este cazul tuturor teoriilor, oricît de precise ar fi principiile care prescriu construirea ei. ele sînt formulate Într-un limbaj universal care nu satisface nici pe departe precizia prescrisă pentru teorie. (2) Dezvoltări ale teoriei tipUl'Hor. În cele de mai sus am reprodus teoria tipurilor (cu excepţia unor adaosuri expli­ cative) - în varianta sa originară (aşa cum a fost formulată de Russell) . Mai departe vom urmări unele evoluţii ale principiului ierarhiei tipurilor. (1) Teoria- tipurilor a lui Russell este un model intuiti v al teoriei mulţimilor . Ea dă principii de ierarhizare a mul­ ţimilor şi a funcţiilor care le definesc. Există o anumită Teoria siste melor logice

1 70


prolixitate în expunere, prolixitate care constă cel puţin în următoarele : a) nu totdeauna e dară şi consecvent utilizată diferenţa dintre entităţi (clase, predicate, relaţii, funcţii etc .) şi expresii, de ex . nu e clar dacă ne referim printr-o exp res ie de forma : " x E K" imediat la clase sau Ia expresii despre clase cum ar fi " X E Om", " x E Animal" ş.a.) b) diferenţa dintre tiP şi ordin este uneori pur verbală, alteori de c o n ţinut (de ex. în cadrul aceluiaşi tip p ut em deosebi " ordinul p r e dic ativ " şi n ordinul nepredicativ"), c) simbolismul adoptat este foarte incomod. Ramsey a arătat că teoria lui Russell este o "teorie rami­ ficată a tipurilor" şi că ea poate fi redusă la teoria simplă odată ce am adoptat axioma reductibilităţii (adică distinc­ ţia de " ordin" d evin e superf lu ă) . Wang Hao at r ib ui e lui Russell formularea încă din 1 9 16 a trei metode pos ibile 1) teoria zigzag, 2) teoria limitării volumului, 3) teoria fără clase. Ca exemplu de " t eo ri e zigzag" Wang Hao consideră pe cea a lui Quine (NF) ; Zermelo şi von Neumann au a­ doptat teoria limitării volumului, iar Russell însuşi me­ toda 3) ( teoria ramificată a tipu ri l or) . Teoria limită­ Tii volumului constă în a nu opera cu extens iuni nprea mari", c e ea ce a fost precizat de von Neumann ca însem­ nînd : , , 0 ext ensi une nu este prea mare atunci şi numai atunci cînd nu este echivalentă cu universul tuturor mul­ ţimil o r " [ 1 9 ; 367 J . î n teoriile ZF s au NF fo rmul a : '" X E x " are sens însă nu este permis s-o folosim pentru definirea unei mulţimi, iar în NB ,, "'" X E x" (adică ,, (x) ,..., X E x") defineşte colecţia universală, însă aceasta nu este mulţime, ci clasă (B e rnays arată că o mulţime este cl asă de îndată ce nu mai poate fi element al unei mulţimi) . " Skolem şi Fitc h permit mulţimea x '" (x E x) însă nu admit aplicarea terţului exclus la ea. Despre o rdi n Wan g Hao precizează : .,spre deosebire de ordi n care este determinat prin modul în car e este intro­ dusă o abstracţie, tip ul unei abstracţii este determinat complet prin extensiunea acesteia" [19 ; 385]. Wiener şi Kuratowski a u integrat şi relaţiile în clase. Relaţiile sînt =

II

Anti nomiile logice

171


concepute ca clase de pe re c hi ordonate sau În g e ne r al ue n-tuple ordonate. U n cuplu < x, y > este ordonat ş i e l p o a t e fi rep rezentat (după Kuratowski) ca o clasă cu următoarele elemente {{x}, {x, y}}, unde {x, y} nu es t e ordonat . în ac e s t fel se obţine o simpl ă ierarhie a claselor. Cuplul va avea tipul i + 2, adică în c azu l de mai sus dacă numărătoarea începe de la O, atunci clasel e { x} şi { x, y} au tipul C iar clasa lor are tipul 2. (3) Teoria modernă a tipurilor. Această teorie adoptă : a) reducerea relaţiilor la clase, b) ierarhia simplă a tipurilor (indivizi, clase de indivizi, etc')1 c) utilizarea unui singur fel de variabile indiciate superior (superscripte) sau inferior (s ub s cript e ) e x . xn, xn -, 1" şi n Xnl xn +1" Sistemul tipurilor bazat pe aceste principii a fost formulat de Godel (o variantă puţin diferită de cea a lui Russell) . Definiţia identităţii în acest sistem are forma : Xn = Yn : (Zn +l ) (Xn E Zn L I == Yn E Zn + I) ' Axiomele cOlnprehensiunii, extensionalităţii şi infinitului j oacă un rol important în aceste teorii de forma indicată. Wang Hao arată că s-a sugerat şi introducerea tipurilor negative ( - 1, - 21 ) [ 1 9; 390 ] . JJ

(4) Teoria lui Quine. Această teorie s e bazează p e adop­ tarea : 1) unificării variabilelor fără indici, 2) principiului stratificării propoziţiilor : - unei variabile îi corespunde un singur număr întreg în toate intrările sale în formulă, - variabila care stă după semnul E are cu o unitate mai mult decît variabila care precede acest semn. Se observă că numerotarea trebuie să fie doar posibilă nu indicată. Ex. propoziţia : ( x E y & y E z) y (x E W & W EZ) este IIstratificată' deoarece putem să-i asociem variabilei x nUlnărul unu, -variabilelor w şi y nUlnărul doi, iar lui Z numărul trei . Dimpotrivă, propoziţiile 'I X E X & Y E Z & Z E x " şi /I X E Y & & Y E Z Y X E z" nu sint IIstratificate" deoarece asemenea numerotare nu e posibil ă . I

Teoria sistemelor logice

1 72


î n prima formul ă presupunînd x l , atunci y 2 şi z 3, dar în z E x, x ar avea numărul 4 nu 1 ! î n fonnula a doua x are numărul 1. y are 2 şi z are 3, or în x E z diferenţa 'Î ntre x şi z ar fi de două unităţi. După cum se poate observa în cazul lui Quine numerotarea este doar presupusă, ea nu este indicată (se cere doar să poată fi indicată) . Principiul stratificării limitează axioma de existenţă a mulţimilor, însă nu este obligatoriu ca toate fOflnulele să fie stratificate . Definiţia identităţii şi axioma cOll1prehensiunii iau forme obişnuite. Axioma extensiona­ lităţii ia fornla : (z) (z E X == Z E y) � X = Y O altă axiomă este a stratificării ("zigzag axioma" cum îi spune Wang Hao) : Dacă F(x) este stratificată şi nu conţine nici o variabilă liberă y atunci :Jy ( x) [(x E Y == F(x) ] Metoda lui Quine admite mulţimea universală (V) definită ( x) x E V şi chiar V E V' Quine a extins sistemul NF in iVIL pentru a putea deduce teoria numerelor. Acest sistem admite chiar " clase nepredi­ cative" =

=

=

.

(5) Teorii mai slabe. Wang Hao în [19J prezintă şi unek teorii mai slabe Înrudite cu teoria tipurilor. O prinlă variantă pleacă de la teoria lui Zermelo. Dă m elenlentele acestei teorii. Intuitiv se iau ca bază A (mulţi­ mea vidă) şi P (mulţimea tuturor submulţimilor) . P(A) este {A} P({A}) este {A, {A}} Aceasta corespunde cu modul în care B. Russell produce şirul numerelor naturale din mulţimea vidă. Notăm c u p (k) mulţimea cu numărul de ordine k astfel produsă. Se vede că p (n) este mulţimea potenţială a mul­ ţilnii p(n 1) . Se · presupune apoi mulţimea infinită I care conţine mul­ ţimile care intră în P(k) (k-număr finit) . -

1

=

{AI {A}, {{A}}, . . . }

Aplicăm apoi P Ia I şi obţinem P(I) . Notăm 1 cu P(w) şi celelalte cu P (w + k) �ntinomiile logice

1 73


Se introduce spaţiul 5 ca totalitate a mulţimilor P(g) O, t . . . co, co + 1, . . . ) (g Teoria mai slabă presupune introducerea spaţiului S' ( = suma mulţimilor P (i) pentru orice i < w), 51 conţine numai mulţimi finite . Wang Hao notează această teorie cu TI. T" este un fel de variantă a tipurilor dar de nivele mai înalte ca TI . Variabilele în Tn au indici (1, . . . ,n) . Simbo­ lul X l este " mulţime" sau " clasă de tipuri i" , Xi - ,.clasă de tipul i" . Formulel e de bază sînt de forma : Xl E Y I Xi E Yi +l Definiţia identităţii : Xl = YI : (ZI) ( ZI E X l == ZI E YI ) Xi +1 = Yi 1- 1 : (Zi) (Zi E Xi +I == Zi E Yi +l ) Avem deci tipuri de la 1 la n. =

=

(6) Calculul de diferite ordine (Stufenkalkiil) . Preluînd ideea de ierarhie din teoria tipurilor, Hilbert şi Ackermann au propus construirea calculului predicatelor "pe ordine" : ordinul unu, ordinul doi, ordinul n. Se presupune generalizarea axiomelor. De exemplu axioma VxF(x) - F (y) se generalizează astfel : VxFn (x) - Fn (Y) şi VAnFm (An) - Fm ( Bn} ( m > n)

(7) E. Specker despre ambiguitatea tipurilor. Se porneşte de la principiul de formare a mulţimilor din teoria T. Există două posibilităţi de a formaliza şi axiomatiza o astfel de teorie : a) se introduce predicatul PA pentru tipul k : Pk ( a ) (" a este element de tipul k"L b) se introduce un şir separat de variabile pentru fiecare tip . Această a doua variantă este aleasă de autor. Pentru marcarea tipului se foloseşte superscriptul, pentru diferenţierea va­ riabilelor subscriptul, astfel : x�, xg, xg x�, xL x�,

Teoria sistemelor l ogice

1 74


Formulele elementare sînt de d ou ă feluri : formate cu ( de exemplu, xZ x;) şi cu E (ex . xZ E k; + l ) (unde k P sau k =1 P) . Mulţimil e or d o nate dup ă tipuri vor fi : To ( vid ă sau infi­ nită) Tv T2• ( fo rmat e ca în T) . Tk + 1 este mulţi mea potenţială a l ui Tk Teoria ide ală a tipuri l o r poate să fi e definită ca mulţilne de propo ziţi i (fonnule fără va ri ab il e l ib ere) adevărate în fiecare structură ( To , TI' . E) . [5 1 ; 1 36]. Se for­ mulează axiolll.e le extensionalităţii şi comprehensiunii (pe s curt E, C) . Dacă 5 este o fornlulă rel ativă la tipul n at unc i 5 + va fi o formulă relativă la tipul n + 1 . =

=

=

,

JJ

"

.

.

=

,

Rezultat : dacă 5 este teoremă în (E, C ) atunci şi S + e teoremă în (E, C) . Ac est rezultat a fost formulat de Godel

ca naxiomă a ridicării tipului". Specker consideră acest rezultat ca fiind p rimul care dă u n sens termenului de amb iguit ate a ti purilor . (Rezultatul poate fi formulat şi r elativ l a teoria ideală a tipurilor") . Pr opoz iţi a inversă nu are loc. în schimb are loc o formulare relativă la ideea de nteoremă" (ne rel ativizată) : dacă S + e teoremă şi 5 e teoremă. (Ace ast ă regulă a mi nteşte de teoria tipurilor n egative a lui Wa ng Ha o ) Pentru cazul cînd avem supoziţi a Uli = Tk + 1, dacă U şi T sînt izomorfe po at e avea loc chiar e chiva1 enţa S � S +. "

"

JJ

.

.

4.4. Metoda axiomatică

D efini ţi a dată de Cantor "mulţimii" a dus după cum am vă­ zut la antinomii. Dej a Cantor a împărţit mulţimile în două : "consistente" şi ne c onsistente" fără însă a indica criterii precise pentru distincţie. Am văzut că Russell a luat ca m ăsur ă pentru limitarea noţiunii de "mulţime"şi a concep­ telor l egate de totalităţi ("toţi") regulile teoriei tipurilor. "

,

( !L.§i.Şl(}JJ)..llL ZF._ .ş.a. .

·O

serie de autori (Zermelo,

von

Neumann, Bernays ş.a.) au propus ca mijlo c de limitare metoda axiomatică. Este dr ept sistemele axio matic e constru­ ite nu asigură ne c o ntr adi cţi a în general, dar ele a sigură faptul că acele raţionamente care au dus la antinomii nu apar în aceste s ist e me .

Antinomiile logice

1 75


Un prim sistem este cel al lui Zermelo completat ulterior de Fraenkel (ZF) . Raţionamentele paradoxale sînt considerate în acest sistem "ca demonstraţie prin reductio ad absurdum de neexistenţă a unor astfel de mulţimi" (Fraenkel) .. aceasta deoarece presupunerea de existenţă duce la contradicţii. în ce priveşte antinomiile semantice ele în genere nu apar în sistem. Un sistem mai tare este construit de von Neunlann. Von Neumann introduce o axiomă care exclude caracterul de element al obiectelor de aceeaşi extensiune cu mulţimea universală ( V = ÂX(x = x)) Cuantori i se aplică doar la elemente . Ideea lui von Neumann se găseşte în esenţă la P. Bernays care împarte obiectele teoriei mul ţimilor în două : " mulţimi " şi .... clase" . Sistemul nu conţine "indivizi" . Ca urmare a diviziunii el introduce şi dou ă tipuri de apartenenţe : apar­ tenenţa la mulţime (x E a) şi apartenenţa la cl asă (n."A) (respectiv două tipuri d e incluziuni) . (2) Sistemele axiomatice formale. în vederea rezolvării definitive a paradoxelor D. Hilbert uneşte axiomatica cu formalizarea. într-o serie de studii el arată cum se poate trece de la abordarea teoretic intuitivă a obiectelor la sisteme formale axiomatizate. Cauza paradoxelor constă într-o operare "insuficient de critică" cu astfel de noţiuni ca .., toţi", .... există" .. .., mulţime", "infinit" (noţiuni între care există o anumită legătură, după cum va arăta) . Matematica are un conţinut indepen­ dent de logică şi deci nu poate fi întemeiată pe logică, pe de altă parte" logica însăşi presupune unele concepte mate­ matice (.. mulţimea" şi într-o anumită măsură chiar " nu­ mărul ") . Trebuie acţionat deci asupra alnbelor - atît a logicii cît şi a matematicii. Propoziţiile care operează cu .... toţi " şi .. există" antrenează uneori IJmulţimile infinite" (între altele pe cele inconsis­ tente) . Este necesar să analizăm mai îndeaproape esenţa

infinitului.

a) Infinitul nu există în realitate (nici în sensul .. diviziunii" Ia infinit, nici în sensul extinderii la infinit) . Diviziunea la infinit este doar ideea noastră* •

Hilbert preia aci unele idei la modă în fizica timpului său.

Teoria sistemelor logice

1 76


b) Realitatea este finită şi totuşi noi operănl în gîndire cu infinitul. el ocupă un rol de prim plan. Avînd o egalitate cu o variabilă noi putem pune în locul variabilei un număr oarecare şi astfel ,,formula conţine o mulţime infinită de propoziţii ". Fiecare propoziţie este ceva finit şi nu pune probleme. c) Alt punct de vedere în care ne întî 1 ni nl cu infinitul este "metoda elementelor ideale" (adică ceea ce numim noi azi "obiecte ideale") . Aceste elemente (utilizate adesea în geometrie, ex. "puncte ideal de îndepărtate") fa c legile mai simple. Sistemele infinite de numere formează un " număr ideal ". De aci te oria nunlerelor transfinite (Can­ t o r) Există două feluri de infinit : infinit potenţial (în devenire) şi actual ("în formă încheiată") . Frege şi Dede­ kind au aplicat infinitul actual in fundamentarea ari t meticii . C anto r a adîncit i d ee a de infinit distingînd într e "infinit numărabil" şi ninfinit nenumărabil " . Apariţia para­ doxelor însă a pus în discuţie construcţiile cu p ri vire la infinit. Cauza stă în conceperea "informală" a infinitu­ lui, în operarea nelimitată cu legile gîndirii. Gîndirea logică informală este necesară, numai lnodul arbitrar de formare abstractă a noţiunilor trebuie Înlăturat. Există un conţinut " nelogic" care constituie condiţia preliminară a aplicării deducţiilor logice - anume "obiectele determinate, con­ crete date în contemplarea vie". Deducţiile logice sînt sigure cîtă vreme ne sprij inim pe asemenea obiecte care sînt percepute distinct. î n particular, în matematică, astfel de obiecte sînt înseşi semnele, ca de exenlplu : 1, 1 I, I I 1, Aceste semne luate în sine n-au nici o semnificaţie . Pentru a vorbi despre ele se introduc prescurtări (ex. 2 = ) precum şi semne pentru transmite­ = I l, 3 = 1 I 1, rea de aserţiuni ( +, <) . Astfel, 2 + 3 = 3 + 2 arată că, avînd în vedere prescur­ tările, 2 + 3 şi 3 + 2 reprezintă acelaşi semn 1 I I I 1 . Pentru semnele numerice noi putem introduce şi litere. Acestea antrenează termenii de "există" şi .,toţi". "Există" este o prescurtare pentru o disjuncţie care poate să fie infinită. Nu ne putem limita la finit, căci atunci unele legi logice n-ar m ai fi valabile. .

­

.

.

.

.

. .

.

=,

Antinomiile l ogice

1 77


Dilelna în care ne pune deci Hilbert este următoarea : dacă ne-am li nli t a la mulţimi de propoziţii finite (ca 1'2 + 3 = 5") atunci unele legi logice n-ar mai putea fi apl i cate căci ele cer mulţi mi infinite de astfel de p ropo ­ ziţii, d ac ă utilizăm infinitul putetTI aj unge la paradoxe. Este necesar s ă adăugăm la propoziţiile finite n p ropo zi ţii ideale" (infi ni te ) pentru a salva legil e l o gi c ii . Cunl să introducem propoziţiile ideale ? Prin t r ata rea ex­ p r es iil o r cu litere ca simPle jOl'mule constituite d i n sinl b o l uri f ăr ă s emni fi c a ţ i e . Am t r ata t deci cal culul aritmetic ca pe un simplu proc es formal ("cu obiecte") ; vom face acelaşi lucru cu cal culu l literal . Propoziţiile de forma ,,2 + 3 = 3 + 2", ,,3 > 2" nu pun probleme, lor li se adaugă acum f or mul e " a + + b = b + an (p rop o ziţii ideal e ) . " Avînd în v e de re că p ropozi ţiil e ideale� anume formulel e, nu au prin sine semni­ fic aţie, deoarece ele nu expri m ă as e rţiuni finite, operaţiile logice asupra lor nu pot avea loc informal ca asupra p r o­ p oz iţiilor finite" (Hilbert) . �

Este necesar să jormalizăm şi operaţiile şi demonstraţiile logice. Eliminînd conţinutul. fo rm al iza r ea elimină posibili­ t at e a contradicţiilor Între propoziţii, căci contradicţiile nu pot ap ă re a între obiecte reale, ci nUlnai între propo z iţii . Totuşi p r oblema necontradicţiei rămîne şi an u m e ca p o s i­ bi l it ate de a obt in e anumite co mbinatii care în domeniul p ropo ziţ iil or fh{ite reprezintă evide�t cont r adi cţ ii (ex. O =1= O) . Avînd fonnula l o gi că (A & B O =1= O noi obţinem

Al

-t-

B şi p unînd în l oc ul lui

(A & A) -t- O of O. Este necesar să arătă m că n u p u t e m detaşa o astfel de concluzi e ca O #- O. Or noi avînd în loc de demonstraţii informale si mp l e op e r aţi i exterioare cu obiecte putem prin inspecţie vizuală să ve rificăm dacă s e obţine sau nu o astfel de combinaţie . ( Proprietăţile demonstraţiilor sînt vizual ve rifi cabile . ) "_ în ac est fel se demonstrează necontradicţia şi cu aceasta

­

Teoria sistemelor logice

· 1 78


consistenţa nlulţimil or infinite, căci a exista a fi necon­ tradictori�t . Legile logice clasice (în speţă terţul exclus) îşi vor păstra acunl deplina valabilitate. =

4.5. M,�ţ99.�L���.i,ţ!.�,nIsţţJ . . . .

Marele matematician ol andez Brouwer a considerat că izvorul antinomiilor logice trebuie căutat în condiţii mai adînci decît eroare.a.:, .�er�ului vicios . Brouwer leagă apariţia paradoxelor de " o anumită înţelegere a conceptului de 'wji,­ nit. Binecunoscutele legi clasice - legea terţului exclus şi legea dublei negaţii - sînt valabile pentru mulţimile finite. Credinţa îndelungată în terţul exclus, scrie Brouwer, se explică prin 1) caracterul evident necontradictoriu al principiului pentru o oarecare aserţiune simplă ; 2) valabilitatea practică a întregii logici clasice pentru totalitatea fenomenelor simple. Pentru intuiţionism "terţul exclus n-ar putea fi sursă de adevăr în matematică, decît dacă adevărurile pe care le cuprinde au fost sau p ot fi experimentate" Mulţimile infinite depăşesc posibilităţile experienţei noastre �§i ca atare ele nu îngăduie aplicarea terţului exclus şi a dublei negaţii. Raţionamentul prin absurd care se bazează pe aceste două legi este de asemenea respins. Aplicarea acestor legi şi procedee la mulţimile infinite dă naştere infinitului actual (.,infinitul cantorian") noţiune care ascun­ de în sine paradoxele. Prin urnlare cauza paradoxelor stă în extinderea legilor terţului exclus şi a dublei negaţii la mulţimile infinite. Se impune o limitare a aplicării acestor legi. Noţiunea de infinit actual este înlocuită cu noţiunea de infinit potenţial. Concepţia lui Brouwer a fost numită .,intuiţionism" deoarece pleacă de la ideea de construcţie matematică intuitivă. La baza matematicii stă procesul de construcţie a entităţi10r matematice, proces pe deplin intuibil. Logica corespunzătoare a fost construită de către Heyting (este logica intuiţionistă sau infinitistă) . 4.6. Metoda l u i Bocivar

Logicianul sovietic D. A. Bocivar consideră că paradoxe­ le sînt expresii "absurde ".. adică "fără conţinut". î n logica pură astfel de paradoxe nu apar, ele pot apărea însă în logica Antinomiile logice

1 79


pli c ată Logica aplicată spre deo sebire de logi c a pură conţine axiome de existenţă şi permite includerea în ea a anumit or pre dicate determinate care la rîndul lor presu­ pun existenţa . În unele cazuri pro p oziţ iile de existenţă introduse o d at ă cu predicatele dete nni nate vin în c o ntra di c ­ ţie cu axiomele de existenţă, ceea ce se şi exprinlă în paradoxe. Pentru a analiza p rop oz iţiil e p aradoxale D. A. Bo­ civa r propune un calcul logic tri vale nt În acest sistem se rezolvă p ro ble ul a logică spec ific ă a analizei paradoxelor logicii matematice prin lnetoda delTIOnstrării formale a ab su rdităţii anumitor enunţuri" [3 ; 287J VOlTI expu n e în linii generale lo gic a trivalentă a lui Bocivar. Ea c onst ă din. trei părţi : a) calculul p rop oziţiilor, b) calculul funcţional "îngust", c) calculul funcţional ,.Iărgit" (în care se anali­ zează paradoxel e) a

.

.

n

.

( 1 ) Enunţuri în logica lui BocÎvar. Există două feluri de enunţuri cu sens : enunţurile a dev ăr ate şi false . Alte enunţuri nu au sens, sînt absur d e sau, cum mai sc ri e Boci­ var , ,,fără conţinut". Principiul logicii lui Bocivar este deci următorul: uorice enunţ sau nu are sens sau este adevă­ rat sau este fals" [3 ; 288J î n afară de aceasta enunţurile pot fi di vi zate în d ouă tipuri : " clasice" (sau i nterioare ) şi n ec 1 as ice (sau exter i oa re ) Iată ta b elul lor: "

"

"

Enunţuri interioare

"

"

"

.

Enunţuri exterioare

"" A "

" A este ade v ărat nA este fals" "A este adevărat şi B es te / I A şi B" adev Arat" "A este adevărat sau B este a dev ărat "dacă A este adevărat atunci " dacă A atunci B" B e s t e adevărat" " A este ab surd Se observă că fiecărui eaunţ interior îi corespunde un enunţ exterior, d ar inversa n� este adevărată, căci există un enunţ exterio r "A este absurd" căruia nu-i c ore spunde nici un enunţ interior. Enunţurile interioare şi cele exteri­ oare (corespunzătoare) sînt simultan false sau simultan adevărate. "

II noIJ-A "

"

"

Teoria sistemelor logice

1 81


(2) Calculul funcţional restrins. (variabile obiectuale) 1) x, Yr Z. 2) f( ) . g( ) , cp ( ), ljJ( L . . . funcţii variabile . No ţi une a de formulă . se defineşte inductiv (vezi calculul predi ca telor) 3) Cuantorul (x) (universal) este l u at c a bază şi slujeşte pentru introducerea altor cuantori : a) ($x)f(x) (x) '"f( x ) b) 3xf(x) (�x) f-f(x) c ) Vxf(x) = (x) f- f(x) Cuantorii (x) şi (�x) sînt clasici şi se citesc re spe ctiv : "pentru orice x are loc însuşirea f" şi " ex i st ă un x c u însuşire f" . Cuantorii ( Vx) şi ( 3x) sînt n e c1 as ici şi se citesc respectiv "pentru orice x este adevărat f(x) " şi " există un x p e ntru care este adevărat f(x) " . Se dau apoi axiome specifice. •

=

.

'"

=

(3) Extinderea calculului funcţional şi analiza parado xelor.

Se construieşte un sistem ce cuprinde orice formulă clasică. Se analizează paradoxe logice (Russell) şi semantice (Gre­ lli ng, \Veyl) . Paradoxul lui RusseU. S e pleacă de l a formula Pd(cp) = rp ( cp) . De aci prin a =:) C a se obţine tp (tp) � C tp{tp) * sau folosindu-ne de definiţia lui Pd rp(tp) � C Pd(�) Funcţia Pd aparţine domeniului de semnificaţie al lui rp . Substituim deci cp / "'" Pd : ( '" Pd( - Pd) => C Pd( '" Pd) Considerăm în sist e tnul � (logica trivalelltă) funcţia CP,, (tp/J şi determinăm Pd (cp,,) = rp� ( rpk ) Domeniul lui t'f>" coincide cU domeniul lu i ep, totuşi a :=> C a n u are loc în � deci n-o p ute m folosi. în schimb are loc a a. în această ultimă formulă substituim pe a cu =

'"

=

cp,, (<p,,) : CPk (CPk ) = CPk(CP,,)

Folosind definiţia lui Pd scriem : Pd ( rp,,) == ţpk ( CPk) • Simbolul , , ::J ( .. a e absurd").

c"

-

Anti nomiile logice

este echivalenţa. Alte simboluri utilizate aici sint l (negaţia. iar in alt context chiar , .echivalenţa").

a

181


Funcţia '" Pd" ţine de domeniul de valori al variabilei CPk ' Prin substituţie obţinem : Pd( '" Pd) == Pd ( Pd) ( o:) Folosind formula delTIonstrabilă în � anume : a == a . == l a obţinem : Pd( '" Pd) == Pd( '" Pd) . == � Pd ( '" Pd) şi în virtutea fonnulei ( O() obţinem : l Pd ( � Pd) lVIai departe în virtutea lui l a == l ,...., a obţinem ! Pd( "" Pd) . î n acest fel enunţul Pd( .- Pd) este absurd ca şi negaţia lui interioară. Am prezentat un exemplu de analiză a paradoxelor cu ajutorul calculului trivalent. Un alt punct de vedere asupra paradoxelor se bazează pe distincţia între "aparatul calcu­ lului logic în sensul propriu al cuvîntului şi aparatul axio­ melor şi regulilor care determină domeniul obiectelor la care se aplică calculul logic". Calculul funcţional lărgit fără teoria tipurilor este contradictoriu. nDin punctul de vedere al problemei despre natura contradicţiilor apărute în acest calcul este esenţial că prin trecerea de la calculul funcţional nrestrîns" la cel extins are loc nu numai inclu­ derea de predicate Îl1 domeniul obiectelor, dar în mod pro­ priu construcţia însăşi a domeniului se bazează pe axiome determinate cu caracter existenţial deşi nu evident formu­ late". Se presupune că O1'icărei formule de forma A ( v, w, . . . r) îi corespunde în domeniul de obiecte un predicat. El poate fi introdus formal cu aj utorul unui simbol individual : 1) F ( v, w, . . . r) = A ( v, w, " ' , r) după care poate fi considerat ca o semnificaţie particulară a predicatului variabil cp. Afirmaţia existenţială ascunsă are forma : 2) (&f) ( v ) (w ) . . . (r )f( v, w, . . . r) A (v, w, . . . r ) . Prin urmare, definiţiile de forma ( 1) nu sînt simple pre­ scurtări sau introduceri ale unor noi moduri de a scrie formula, ca de exemplu definiţia : A - B = Ă V B, care nu conţine în sine axiome de existenţă relative la obiecte determinate. Aceasta este doar o definition in use. "Logica însă nu conţine judecăţi de existenţă despre obiec­ te speciale, nici j udecăţi despre relaţii speciale de caracter existenţial Între obiecte. Prin urmare.. calculul funcţional IJ

'"

""

'"

""

i"'J

""

Teoria sistemelor logice

1 82


lărgit nu reprezintă prin sine în realitate un formalism logic pur deşi cuprinde în sine un anumit fonnalism logic ". Calculul funcţional extins este de fapt aplicarea unui forma­ lism logic la domeniul de obiecte în componenţa căruia intră predi c ate. "Construcţia acestor predicate se realizează în definiţii de tipul (1) iar existenţa lor se postulează în axiome existenţiale care se conţin în definiţiile lor". Calculul logic pur poate fi uşor izolat şi non-contradicţi a lui se poate demonstra. nDe aceea contradicţiile calculului funcţional lărgit trebuie să fie considerate numai ca rezultat al anexării la sistemul axiomelor logice a unor axiome speciale de existenţă incompatibile cu primele şi care se conţin în defi niţii de tipul ( 1 ) " . în acest formalism cal culul logic conţinut este cel clasic (notat de Bocivar cU Ko) . Ko se obţi ne prin eliminarea din calculul lărgit a regulii care ne permite să introducem predicate individuale prin definiţia de tipul ( 1 ), cît şi a regulilor clare sau tacite care conţin afirmaţii despre legăturile netri vi al e de caracter existenţial dintre obiecte (în particular, predi c ate ) şi , împreună cu regulile indicate, axiomele spec i ale de existenţă care înlocuiesc mul­ ţimea infinită, şi de singularitate a predic ate10 r constante. Totuşi !{o pune problema să nu se conţină anumite afir­ ll1aţii de existenţă căci unele to t uş i se conţin (ex. asupra Ilonvidităţii fiecărei categorii în domeniul obiectelor) . Prin­ tr-o serie de schimbări obţi ne m o aplicaţi e a lui Ko, pe care o notănl cu cJ>Ko . În cJ>Ko are loc axioma de existenţă : ­

1 ) (�) ( � cp) y;(cp) "'-' cp ( cp )

Legătura acestei for nlul e cu paradoxul lui Russell e 3 t e evide ntă : 2) F (rp) = rp(cp) Paradoxul se obţine dacă adăugăm la <l>Ko definiţia (2) şi prin aceasta axioma de existenţă pe care o conţine : 3) ( t9�) (cp) (� (cp) '"'-' cp (cp)) Negarea acestei formule este : 4 )' (&tJi) (cp) ( � (cp) '"'-' cp (cp) ) Or această formulă este echivalentă cu ( 1 ) . Analog stau I U c rur ile şi cu alte paradoxe. Bocivar conchide : , , ( 1 ) Logica nu este contradictorie. Nu există nici un paradox logic. (2) Toate paradoxele apar ca urmare a anexării la sistemul axiomelor logice a unor ,

Antinomiile logice

1 83


axiome speciale care asertează existenţa în domeniul obiec­ telor a unor predicate determinate cu însuşirea de a con­ trazice axiomel e logicii". 4.7. Metoda semantică

Tarski şi Carnap au indicat o metodă specială de rezolvare a paradoxelor semantice . Cauza paradoxelor semantice constă în confundarea diferitelor nivele de limbaj , prin urmare a separa aceste nivele înseam na-a-'evit a'·"pâradoxele . Ca urmare s e obţine diviziunea nlimbajul-obiect" şi "me­ talimbaj ul". Dacă un limbaj este supus studiului atunci el se va numi ,,limbaj -obiect" şi orice propoziţie despre limbaj ul obiect va fi formulată în metalimbaj . Tarski j ustifică această separaţie prin următoarea analiză a paradoxului mincinosului. Fie c o prescurtare pentru propoziţia "c este falsă". Dacă acum la aceasta vom aplica schema definiţiei adevărului : l ) x" este propoziţie adevărată dacă şi numai dacă x, vonl obţine definiţia particulară : 2) "e este fals" este propoziţie adevărată dacă şi numai dacă c este fals . (Aci expresia în ghilinlele este numele propoziţiei.. iar expre­ sia pe care am subliniat-o este însăşi propoziţia.) înlocuind expresia " c este fals" cu prescurtarea ei obţi­ nem paradoxul : 3) c este propoziţie adevărată dacă şi numai dacă c este fals. Cauza paradoxului.. consideră Tarski, constă în aceea că în raţionamentul de mai sus litera c are dublă funcţie (vezi (3) ) ea este în prima parte nume al propoziţiei, iar în ultima este parte a propoziţiei, deci nume şi parte în raport cu propoziţia "c este fals". Numele propoziţiei ţine de metalimbaj .. prin urmare.. aci se confundă o expresie din metalimbaj (ca nume) cu una din limbajul-obiect (parte a propoziţiei din acesta) . Limbile naturale sînt inevitabil .... Închise" (se confundă cele două nivele) .. de aceea ele sînt prin natura lor predispuse paradoxelor.. în schimb în limbile formalizate (= sistemele deductive) nivelele pot fi riguros separate şi deci paradoxele vor fi evitate . Prin urmare.. avem o ....ierarhie de limbaj " .. analog cu o "ierarhie a tipurilor". n

..

Teoria sistemelor logice

1 84


4.8. G. H. �I I

PoincClr�" ��s.p_r�.J�.a rad�xe

. .. �..-- - - • ••

1 . Ca şi intuiţioniştii, Poincare îşi p u ne problema dacă regulile logicii pot fi extinse de la colecţiile finite Ia cele infinite. El consideră că ,,logica formală nu este decît studiul prop rietăţilor comune clasificării " [37 ; 102J, iar c o n diţi a valabilităţii acestor reguli este ca "clasificarea adoptată să fie imuabilă" [37 ; 102 ] . "Antinomiile care a u fost semnalate provin toate di n uitarea acestei condiţii atît de simple ; ne-am sprijinit pe o clasifi ­ care care nu era imuabilă şi care nu poate să fie ; s-a luat precauţi a de a o considera imuabilă, dar această precauţie era insuficientă ; trebuia să fie făcută efectiv imuabilă si ' eXl stă cazuri cînd acest lucru nu e p osibil " [37; 1 02 J . Astfel în cazul paradoxului l ui Berry s-a făcut o clasi ficare a numerelor întregi în două : acelea care pot fi defi nite printr-o frază cu mai puţin de o sută de cuvinte şi acelea care nu pot să fie astfel de finite . Se credea că această clasificare dihotomi că era definitivă, or lucrurile nu stau aşa. Ar fi fost d efinitivă dacă am fi t rec ut în revis tă toate frazele cu mai p uţin de 100 de cuvinte . "Printre aceste fraze există unel e ca r e nU au sens decît după ce clasifica­ rea este terminat ă; acestea sînt acelea care se referă chiar Ia cl asificare" [3 7 ; 104 J . Aci nu este v orba d e i nfini t , dar lu c ruri l e s e complică atunci cînd av e nl în ve d e re infinitul. Poincare respinge " infinitul actual ", el a ccept a doar "colecţia la care se pot ad ăuga fără încetare noi elemente" [37 ; 104/ 105 ] . în acest caz clasificarea nu poate fi terminată, iar atunci cînd la colecţie se adaugă noi elemente, colecţia se modifică şi deci şi relaţia elelnentului cu colecţia. De aci do uă feluri de clasi­ fică ri : predicative (relative la mulţimi î ncheiat e ) , nepredica­ tive (r elati ve la colecţii care se completează lnereu) . De Ia clasifi care se trece I a definiţie căci "Orice definiţie este într-adevăr o clasificare . Ea separă obiectele care satisfac def i niţi a şi pe acelea care n-o satisfac şi le pune în două clase distincte" . Ca urmare avem definiţii predi cati ve şi ne­ predicative. Dar " o clasificare nu este predic ativ ă în mod absolut ci în raport cu modul de definiţie " [37 ; 109 J . Num ărul cardinal este definit pe baza unei legi de cores­ pondenţă care se bizuie pe o dublă clasificare. Legea e predicativă dacă respectivele clasificări sînt astfel . Anti n o m i i le logice

1 85


H. Poincare face apoi unele obiecţii teoriei tipurilor. Teoria tipurilor nu se poate întemeia pe teoria ordinalelor, deoa­ rece o presupune, nu poate distinge între infinit şi finit deoarece cere dej a dis ti n cţi a . Cu privir e la metoda axioma­ tică el arată dificultatea de a demonstra nec o ntradicţi a fără a apela Ia altceva (adevăruri ndeja faite", sau nevidenţalJ) . î n consecinţă el propune : 1) A nu înfăţişa decît obiecte care sînt suscept ibi l e de a fi definite într-un număr finit de cuvinte, 2) A nu pier de din vedere că orice propoziţie asupra infini­ tului trebuie să fie traducerea, enunţul prescurtat al propo ­ ziţiilor asupra finitului, 3) A evita clasificările şi de fini ţi ile nepredicative . 4.9. Alte so l uţii

( 1 ) Behman.\ Crede că o re gulă a de finiţi e i prin a b revie r e este ca semnul introdus să poată fi eliminat prin definiens . Ori) în cazul paradoxelor (ex. F(cp) cp(cp)) nu se poate aplica această regulă. Cauz a antinomiilor ar fi deci o Între­ buinţare necorectă a semnelor abreviative. "Expresiile care conţin semne abreviate sînt permise numai în cazul în care substituţia acestor semne prin semnificaţia lor simbolică este în mod total efectuabiIă". =

(2) Perelman: Consideră că schema comună este :

(x)

", xR x

a

paradoxelor

:=. xRa

Or schema nu este în mod universal adevărată . (Avem un fel de generalizare pripit ă ? ) Trebuie deci să limităm dOllleniul ei de valori. ceea ce se poate face prin formul a ( x fără a) '" xRx == xRa (3) H. B. Curry şi Church propun soluţia logicii combina­ torii care nu luai operează cu substituţii . Curry împarte combinatorii ( operatorii) în paradoxali şi neparadoxali. Cei paradoxali sînt evitaţi prin anumite reguli de siste lll . (4) S. A. Ianovskaia. lanovskaia a generalizat unele con­ cluzii care d e cur g e a u din alte teorii (de exemplu, din cea a lui Bocivar ) . Fiecare afirmaţie paradoxală conţine o supoziţie tacită de existenţă. Paradoxul este demonstraţia pri n absurd a falsităţii acestei supoziţii . De exemplu, se Teoria sistemelor logice

1 86


presupune că există o astfel de mulţime ca ,. mulţimea tutUro r mulţimilor/� or paradoxul arată că această supo­ ziţie duce la contradicţie şi deci este falsă.

4. 1 0. Sinteză a s u p ra metodelor de rezolva re

Î n cele ce urmează vom încerca o sinteză asupra metodelor expuse, sinteză în care vom releva ideile de bază şi legă­ turile mai nlult sau mai puţin evidente între ele. Teoria tipurilor pune în evidenţă aproape toate ideile fundamental e care într-o formă sau alta vor fi preluate de alte metode. Definiţiile nepredicative, totalităţile ilegitime, autorapor­ tarea, expresiile fără sens, ierarhizarea entităţilor, ambigui­ tatea şi structura limbajului pe baza unei anumite clasi­ ficări a entităţilor, iată tot atîtea idei fundamentale puse în lumină de teoria tipurilor. Metoda axiomatică (Zennelo, Fraenkel. Bernays ş.a.) pro­ pune limitarea prin axiome a conceptului de mulţime şi a operaţiilor şi relaţiilor asupra lor. Metoda axiomatic formală pune în evidenţă legătura antinonliilor cu "conţinutul expresiilor", trecerea de la intuiţia intelectuală (gîndirea în concepte intuitive) la intuiţia vie mult mai sigură prin studierea teoriilor numai sub latura lor sintactică, formală - ca sisteme de obiecte lnateriale de o anumită formă. Malformaţiile materiale sînt mai uşor de recunoscut şi de evitat decît cele conceptuale. Separarea formei materiale a limbajului de conţinutul său (sau cum a nl spune a sintaxei de semantică) - iată soluţia lui Hilbert. Grij a se deplasează apoi spre ,.formarea obiec­ telor" şi " operarea formală" cu ele. Mulţimea obiectelor cu care avem de-a face este acum o " mulţime experimen­ tală", ,Jinită" care nu depăşeşte posibilităţile noastre de percepţie şi inspecţie inductivă (completă) . Metodele care acum devin ansamble de reguli de operare cu obiecte formale sînt confruntate cu " procese finite" şi sînt valabile în măsura în care ele fac faţă acestor procese finite. Nu pierdem din vedere limbaj ul intuitiv, căci metodele, regulile sînt formulate într-un limbaj, limbajul care se referă la sistemele (de obiecte) formale. Dacă matematica efectivă Antinomiile logice

1 87


constă dintr-un ansamblu de sistenIe fornlale, studiul aces­ tor sisteme se constituie în metamatematică. Limbajul care dispal'e de la nivelul matematic reapare la nivelul metamatematic şi atunci nu reapar şi dificultăţile legate de conţinutul său ? Există o deosebire - în timp ce linIbaj ul sistemelor lllate­ luatice era deschis spre un univers ",neexperimental", limbajul matematic se referă la un univers limitat "COll­ struit de noi" (obiect cu obiect) . Se schiţează astfel o nouă ierarhie : 1 ) Universal (în sens larg) 2) Teoria (matematică) a acestui univers 3) Universul sistemelor forn1ale (matenlatica) 4) Teoria sist elnelor formale (n1etamatematica) . Trecerea de la (2) la (3) se face prin formalizare, iar for­ malizarea şi produsele ei (sistelnele formale) sînt studiate în (4) . în locul unui "univers" care nu este construcţia noastră se propune un "univers construit de noi". Hilbert nu afir­ mă că acest univers ar fi arbitrar construit, oricum rezultă că noi studiem propriile noastre construcţii cu scopul de a le perfecţiona . Problema infinitului se pune acum în două sensuri : 1 ) c a abstracţie e l este o .,idealizare", 2) în sistem el este reprezentat de combinaţii finite şi evident controlabile. ",Idealizarea" însealnnă că el nu are un corespondent În experienţa noastră, dar că-I putem admite ca pe un con­ cept limită în măsura în care se supune formalizării . I-Iil­ bert preia de la Russell (în special din Pr. Math.. ) efectele concepţiei tipurilor asupra învelişului formal al matematicii : ierarhia entitătilor devine aci ierarhia obiectelor si construc­ ţiilO1/ formale ":"" figurile grafice şi combinaţiile lo � sînt strict ierarhizate datorită regulilor de formare, regula substituţiei este mînuită în aşa fel încît să nu genereze dificultăţi de construcţie, sistemele sînt de diferite ordine (ex. "calcu­ lul predicatelor de ordinul unu", "calculul p redicatelor de ordinul doi" etc.) . Hilbert a fost un om de ştiinţă extrem de concesiv - o excepţie de la regulă poate fi admisă dacă nu creează dificultăţi şi duce la rezultate. El admite, de exemplu, demonstraţii autologice atunci cînd regulile derivate sînt denlonstrate prin substituţie în axiomele sistemului forniaI Teoria si stemelor logice

1 88


la care regulile (formulate în metasistem) se referă . Metoda i nt uiţio ni stă refuză să ia ca punct de plec are sistemele formale, e a revine la concepte (la intuiţia intelectuală) . Li m baj ul formalizat este doar un auxiliar, sistemele for­ male la fel . Există concepte difi cil e, ex. cel de infinit. Difi ­ cultatea derivă din modul de tratare - dacă le tratăm ca pe c o ncept el e obţi nut e din experienţa obişnuită atunci greşim, dacă le ac or dăm un sta tut aparte atunci scăpăm de dificultăţi. Infinitul actual anlinteşte de unele totalităţi i l egitim e ale lui Russell, cît şi de infinitul l ui Hilbert care nu ap are în experienţă (deşi e luat ca ideal iz are) . Conţinut ul lnatematicii este însuşi procesul de construire a ei) o nletamatematică ar putea să rezume modul în care se desfăş oară p roce sul Infinitul poate fi cel mult un p ro c e s intelectual în devenire, deschis, care poate co nt inu a oricît (dacă ne ţin fo rţel e această continuare are loc în mod efectiv) . Modul în care Russell construieşte şirul numerelor naturale este un exempl u tipi c de proces int uiţi onist de gîndire care parcă se al im ente ază din p r op riil e sale rezul tate şi care poate continua oricît . Studiind un anumit gen de procese ("procese constructive"), Erouwer le ia ca model de reco nst rui re a întregii matem atici - acele caracteristici care se desprind din studiul acestor procese sînt unite într-o c onc epţi e logi c a fi lo z ofic ă şi se propune extinderea lor la întreaga nlatematică. Prin �!..?Ehig " Ji1?.�riJ.�.r,.". a c ărei construcţie se face "din a p roap e în aproape" nu ' se aj u ng e la infinitul ac t u al i ( totalitate i l e g iti m ă ) dar ni c i nu s e încheie procesul ; p ri n p r oce de el e ,,formaliste" (Hilb ert) obi ectel e sînt de aseluenea construite " din aproape în ap r oap e infinitul neexistînd nici conceptual, nici experimental . Erou wer reia ideea co nst ru c ţie i din aproape în ap roap e ea însă nu se referă nici la entităţi sau exp r es ii despre entităţi ca l a ;!Russell, nici la obiecte formale ca Ia Hi lb e r t ci la concepte. Mulţimile sînt ceea ce putem concepe după un cod de reguli i ntuiţi o nis t e Or, după acest cod nu putem concepe mnJţinli -infinite actuale. �Ordinea ierarhică este deci comună tuturor numai că ea este raportată la entit ăţi (Russell) , la ob i e ct e formale (Hil­ b e rt ) şi la concepte ( Er o uwe r ) - fiecare dînd reguli cores.

-

..

,

"

"

,

",

,

.

'

.

AntinomiHe logice

1 89


punzătoare de construcţie şi operare . Un pas mai departe îl face Tarski (în legătură cu antinomiile semantice) - el deplasează ierarhia la nivelul limbaj ului (al expresiilor) .

Rezumăm în tabelul de mai jos concepţiile respective.

w

Russell

Hilbert

B rou er

Tarski

Mulţimi de entităţi structurate conform cu teoria tipurilor. Matematica construi­ t ă cu ajutorul unui limbaj formalizat în conformitate cu teo­ ri a tipurilor.

Mulţimi de obiecte formale. Metamatematica este un sistem de teze şi reguli des­ pre construire a sistemelor formale şi perfecţionarea lor.

Concepte construite după un anumit mod. Codul care dă modul de construire a conceptelor.

Expresii şi limbaje for­ malizate. Metalimbaj e.

[,cBăocivar la rîndul său preia din opera lui Russel1 ideea expresiile paradoxale sînt fără sens (şi le acordă un

� tatut într-o logică trivalentă), iar de la Hilbert ideea separării conţinutului de formă prin distincţia particulară Între ,.logica pură" şi ,,logica aplicată" . Nivelul de abor­ dare este cel conceptual (dar nu intuiţionist ca la Brouwer) şi nu formalist ca la Hilbert. Dacă expresiile paradoxale In-au conţinut, sînt absurde cum spusese şi Russell, atunci conceptele respective sînt vide şi deci presupunerea de exis­ tenţă a entităţilor corespunzătoare este falsă. 1ntrod'Ucerea ideii că orice predic a t imPlică o supoziţie de &Jfistenţă este 'Una dintre cele mai rodnice dezvoltări logice. Fraen,kel, apoi Ianovskaia au schiţat soluţia simplă a 'tratării nraţionamentelor paradoxale" ca "raţionanlente prin absurd relative la supoziţia de existenţă. Vom oferi mai j os propria noastră sinteză relativă la metodele de rezol­ yare a paradoxelor, sinteză bazată pe ideea de mai sus. Faptul că o entitate x este definită într-un mod oarecare (printr-o proprietate, printr-un ansamblu de proprietăţi ş . a . ) v a f i scris

'DJ (x)

D acă x a fost definită atunci conform putel11 conchide : 1 ) Da c ă Df(x) atunci 3x Df(x) Teoria sistemelor l o gice

cu

o axiomă logică

1 90


Fie C o contradicţie (în speţă ea poate fi de tip paradoxal) . 2) Dacă Df(x) r- C atunci 3x Df(x) . (Cu alte cuvinte, dacă din propoziţia care defineşte într-un fel entitatea decurge o contradicţie atunci entitatea nu există. ) Faptul c ă o entitate e definită înseanlnă confonn c u prin­ cipiul comprehensiunii că ea aparţine unui domeniu (clasă) . x E D. ' 3) Df(x) Prin aceasta x poate fi la rîndul său conceput ca o mulţime (clasă) . Considerăm acum fun cţia " x E D" şi concepem ur­ mătoarea substituţie =

Sb�(x E D)

4) Dacă Sb�(X E D) r- C atunci D � D şi deci -l Sb�(X E D) (unde " -l " este semnul respingerii) . 5) Dacă -l Sb� (x E D) atunci există două domenii Tn şi Tn '- 1 astfel că Tn i= Tn + 1 şi

x E T şi D E Tn +1

În sensul cel mai larg (dat prin definiţie) Tn este chiar D, astfel că se obţine ierarhia x E D şi D E Tn + 1 Relaţia E nefiind tranzitivă nu puten1 conchide

x E Tn +1

Propoziţiil e 3) - 6) corelează ideea enunţată în 1) şi 2) cu teoria tipurilor . Ideile de mai sus pot fi dezvoltate şi altfel . Fie paradoxul 1 ui R ussell :

x EK

==

x � x.

Formulînd întrebarea x E K sau x � K noi am presupus că x E (K U K) . K U K constituie o mulţil11e deternlinată de o proprietate P. Fi e P determină clasa Pk ( K U =

U K) .

întrebarea de mai sus are sens numai dacă are loc propozi­ tia : dacă x E Pk atunci x E K sau x � K. Invers : x E K sau x E K dacă şi numai dacă x E Ph• Dacă x E K r- C şi x E !( r- C atunci x � Pk• Antin omiile logice

191


D acă x � P k atunci

Pk + 1 = (Pk U Pk) ·

x

E

Pk, deci există Pk+1 astfel că

î n par adoxul lui Russell noi a m divizat "nlulţimile" în două şi am presupus că însăşi K face parte din una sau alta, cu alte cuvinte că el este mulţime (M) Conform cu cele de mai sus : dacă K E M atunci K E K sau K E K altfel K E K sau K E K dacă şi numai dacă K E M. Or K E K K � M.

r-

K � K şi K

E

K 1- K

E

K, în concluzie

Aceasta poate fi pusă imediat în legătură cu diviziunea făcută de Bernays în "mulţimi" şi " clase" şi , se înţelege, cu teoria tipurilor întrucît se impune imediat o ordonare a enti tătilor.

Dacă �poi presupunem că x este o expresie într-un limbaj L, deci x E L şi P este o proprietate a lui x, adică P(" x"), atunci această aserţiune despre x nu aparţine lui L . 6) Dacă x E L i ş i P(x) atunci există LAi =1= i) astfel că P(x) E Lj . Acest Lj va fi MLi (în genere ML) . Presupunînd că ML == L atunci se poate arăta că există y şi exj stă Q astfel că Q(y) E L I- C. Aceasta este o corelare cu metoda lui Tarski . 7) Dacă Df(x) 1- C atunci A xDf(x) 0 (mulţimea vidă) . Fi e Q o proprietate care defineşte pe x. 8) Dacă Df(Q , x) 1- C atunci -1 Df(Q, x) . (Cu alte cuvinte dacă din presupunerea că o proprietate Q defineşte entitatea x se deduce o contradicţie, atunci definiţia este respinsă.) =

9) -1 Df(Q, x) r 3x Df(Q, x) (D'acă este respinsă definiţia respectivă atunci nu entitate care să poată fi astfel definită) . Prin principiul comprehensiunii deducelTI 1 0) Q(x) X E 0 (Q are o extensiune vidă) . Se poate, evident, generaliza la relaţii. 1 1) Dacă R(xl J . . . Xn ) -1 C atunci 3xl . . . X,t R ( xv (De aci prin tratarea relaţiilor ca clase de n-tuple extinde observaţiile despre definiţie) . Propoziţiile 7) - 1 1) au făcut legătura cu metoda

.există

=

Teoria siste melor l o g i c e

. . . xn)

putelTI defini1 92


ţiei. Fie x definit pe mulţimea propoziţiilor ŞI T o teorie. 12) Dacă x E T r-- C atunci x � T 1 3) Dacă x � T atunci există o condiţie K astfel că ea :;: estrînge pe T în raport cu x şi nu există x astfel încît să satisfacă condiţia K . Fie teoria astfel precizată T'. O defininl : T' = AY (Y E T şi Vz (z == x) z � T) Aceasta înseamnă că T' constă din acei Y care aparţin lui T şi orice z construit la fel cu x nu aparţine lui T. ( în ce priveşte condiţia K ea poate fi dată printr-o regulă sau mai multe.) Aceasta este corelarea cu metoda axiomatică în care fornla propoziţiilor este definită prin anumite reguli speciale restrictive în raport cu forma mai liberă a lui T. T' mai poate fi definit şi astfel : T' constă din toate propo­ ziţiile lui T care satisfac condiţia (ansamblul de condiţii) K şi dacă o expresie nu satisface această condiţie ea nu este ,.propoziţie în TI J • Dacă în loc de "propoziţie" considerăm ,, fonnule" (ca secvenţe ale sistemului formal) atunci cele de mai sus pot fi reformulate în mod corespunzător . Esenţial este în cele de mai sus faptul că s-a presupus tacit că x satisface condiţia K de apartenenţă la T, or deducerea contradicţiei arată că o astfel de condiţie nu e satisfăcută şi nu există un astfel de x care să aparţină lui T. De la 1 2) putem face unele precizări în legătură cu teoria şi metateoria ( T, M T) . Avem teo rema : 14) ' Vx (x E M T -- x E T) Apoi paradoxele demonstrează teorema : 1 5) 3x(x E A-I T şi x E T � C) Din 1 5) decurge că M T =1= T. Să presupunem mai departe că avem :

X E K r-- C C X E K şi x � 1( =

De aci rezultă teorema : 16) Dacă x E !( r-- C atunci --1 Vy(y E K V Y � K) Cu alte cuvinte dacă di n supoziţia că o entitate aparţine unei dase se deduce un paradox atunci terţul exclus este respins pentru cl asa care conţine o astfel de entitate. Presu­ punem 11lai departe că K este finită. De aci decurge că putem fonnul a un criteriu efectiv încît să spunem dacă Antino miile logice

1 93


terţul exclus se aplică la Ca u rma r e t e rţul exclus propoziţii particulare :

fiecare element în p a rt e sau nu. este desfăcut Într-o mulţi1ne de

Y l E K V Yl � K Y2 E K V Y2 � K

Yn E K VYn � K Singura generalizare este un fel de r ezum a r e treceri în revistă : 1. 2. . . . n) (i 'r/i(Yi E K V Yi � K) =

Pres upu nem apoi că avem K infi nit

17)

a

Dacă i E

00

.

altfel i E

a acestei 00

T.

T atun ci nu există procedură efectivă pentru

decide 'r/i(Yi E K V Yi � K) Fie 1 � senln pentru demons trabil efectiv. ..

"

_

00

18) Vi(i E T ) H -Yi E K V Yi � K Propoziţia ( 1 6) face corelarea cu metoda intuiţionistă. Iar celelalte p r e ciz ează c o ncepţi a intuiţionistă. O corelare simplă se poate face c u metoda lui Bocivar. 19) Dacă avem o axiomă de forma 3 xA şi s e intro duce printr-o formul ă F* u n predicat determinat F astfel încît 3xF == 3xA a tu nc i 3xF. 20) Dac ă nu există axiome de forma 3xA care să ap a rţină unei teorii T. atunci din ( T. 3xF) nu se de du c e C. Posibilitatea introducerii logicii n-val ente rezultă din condiţi a introdusă mai sus : dacă x E Pk at un ci x E K sau x E K Or cum --1 X E !{ şi -I x E K r ezultă că x E Pk + l unde F;;: l (A U B U C), adică Pk+ 1 = C U C şi C !{ 'u K. S e înţelege că procesul poate fi continuat pentru Pk +2• Pk+3, Legătura cu metoda lui Qui ne se poate face prin intermediul teoriei tipurilor sau ca mai j os. 21) Dacă presupunem că a r e loc Rej( E ) şi Sym ( E ) şi Trans ( E ) şi deducem o contradicţie C în aceste c ondiţi i atunci 3xy z(Ref ( E ) şi Sym ( E ) şi Trans ( E ) ) , adică =

=

-1 X E x -1 X E Y şi Y -l x E Y şi Y

E

x

E Z

atu n c i

Teoria sistem elor logi ce

x

E z

1 94


22) Dacă x E y atunci există un indice care marchează X i şi Y = Y i + l domeniul de definiţie astfel că % într-adevăr, dacă X = Xi ş i Y = Yi, atunci teorema d e mai sus (22) ar fi falsă. Atunci presupunînd Xi E Yi am deduce şi cazul Yi E Xi' ceea ce contrazice teorema (22) . în fond metoda lui Quine vrea să spună că în x EY� x şi Y au domenii de definiţie diferite şi că domeniul lui y este imediat superior domeniului lui X (în ordinea formării) . Pornind de la ideea lui Bocivar că propoziţiilor neclasice de forma HA este absurd" nu le corespunde o propoziţie clasică putem constata că cel puţin o parte din paradoxe apar atunci cînd nu se pot face anumite nreduceri de nivel" care în mod obişnuit se fac. Dacă există o clasă K astfel că are loc 23) %,, [X11-1J Xn - I [ Xn -2 ] = . . . = x2 [xr J = Xl şi dacă există un Y pe care-l presupunem a fa ce parte din clasa K (care reprezintă un univers stratificat) astfel încît nu există Yi încît : Y2 [Y IJ Yv atunci respectiva entitate poate duce la contradicţii . " Expresia n Xi [ Xi- l ]" trebuie citită " x i se aplică la Xi _ l Conform cu fonllula (24) putem da următoarea regulă de nivel (Jlraţionament de nivel") : =

=

=

Xn

%2

[ xtl - d

[ xl J

Xl

'

Această regulă se aplică în cazul formulelor de tipul Adevăr Pn , Fals (Pn) Pn. Demonstrabil(Pn) Pn ( Pn) Ex. Adevăr (2 + 2 4) 2 + 2 ::::s 4 Fals (2 + 3 = 7) 2 + 3 =1= 7. 5) 2 +3 5 Dem (2 + 3 Schema în trepte poate fi oricît de mare. Fie A - adevăr� F - fals. Vom avea schema PI deci A (A ( . . . ( P I) · · · ) ) PI A (A (A ( . . . ( PI) · ) ) ) A (P I) = PI PI Analog cu fals . Evident că se poate îmbina adevărul cu falsul după regulile respective. Ex. A (F(A (P) ) ) P P(A (P) ) P(P) =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

P

Antinomiile logice

1 95


în cazul paradoxului lnincinosului (ex. fornlul area lui Buri­ dan) nu putem sep ara propoziţia clasică de cea neclasică, cu alte cuvinte nu putem elimina predicatul fals şi formula separat propoziţi a negativă corespunzătoare. Rezultă de aci că schema formală a paradoxului dată de către Carnap nu redă întocmai acest para dox deoarece creează iluzia unei asemenea deducţii a propoziţi ei de infranivel (cum o vom numi, adică " clasică" în limbaj ul lui Bocivar) din propoziţiile echivalente de nivelul superior. într-adevăr, dacă e dat p F(P) atunci A (P) A (F(P)) =

=

=

F(P) p. Pri n unnare, o astfel de ,, formalizare" este doar o schemă Înrudită nu o redare a respectivului paradox. D i n * "propoziţia scrisă după asterix pe 2. ceastă pagină este falsă" nu putem separa respectiva propoziţie negativă şi se înţelege nici pe cea afirmativă . Putem i nt ro duc e urmă­ toarea condiţie : 24) Dacă avîn d Xn [Xn- l ] nu puteln separa pe Xn - I , atunci nu există astfel de Xn - I ' Această condiţie e îndeplinită de toate paradoxele intuitive. în cazul mulţimii tuturor mulţimilor" nu putem separa elementele de mulţime, în cazul nunlărului richardian nu putem separa acest număr de celelalte ş . a . m . d . Fără În doi ală că paradoxele ptezintă multe alte aspecte şi că ne putelTI aştepta la noi sugestii în ce priveşte rezolva­ rea loT. Confuzia de nivele (de abstracţie sau de liulbaj ) a fost ideea cea ulai des întîlnită. în toate cazurile Însă are loc supoziţia că o entitate x ar aparţine unei cl a s e K cînd în realitate ea nu aparţine şi deci nu poate fi deternli­ nată prin proprietăţi care se aplică numai în interiorul clasei . Ex. Cînd vorbim de "mulţimea tuturor nlulţinlilor" presu­ punem că ideea de " mulţi me" face parte din predicatele care ar putea defini o mulţime, î n general, că ea face parte din universul predicatelor, ceea ce nu este exact . Ideea de " mulţime " este o categorie, or categoriile nu sînt predicate, în sensul obişnuit nu " determină clase în uni- . vers". Alteori presupunem că predicatul face parte din mulţi m ea de predicate Pn cînd în realitate face parte dintr-o mulţime care dej a presupune pe P1P adică din Pn+ I (a se vedea paradoxul lui Richard, Grelling, Berry) . în cazul paradoxului mincinosului noi avem de-a face cu =

=

JI

Teori a sistemelor l ogice

1 96


upropoziţii în sens gramatical" (un sens foarte larg)1 dar nu ,,în sens l ogic". Or supoziţia că orice propoziţie gramati­ cală este propoziţie în sens logic se dovedeşte greşită. Clasa propoziţiilor Ia care se aplică disj uncţia " adevărate sau false" este mult mai îngustă decît clasa propoziţiilor în sens gramatical . Fie KL (clasa propoziţiilor logice) şi KG (clasa propoziţiilor gramaticale) . Avem : KL C KG Or nu orice proprietate care are loc despre elementele lui KL are loc şi despre elementele lui KG ; cu alte cuvinte nu are loc VP(P(x) (x E Kd -> VyP(y) (y E KG) ) Or aceasta este dej a o idee tradiţională " nu tot ce este adevărat despre particular este adevărat şi despre general" . î n mod nepermis (şi tacit) în cele de mai sus noi a m făcut o identificare falsă KL = KG

( Or astfel spus, am făcut o ureducere falsă", am redus pe KG la KL) . Ideea de "supoziţie tacită" poate fi deci formu­ lată în diferite chipuri . Ei i se poate da în fine o formă filo­ zofică " a lua aparenţa drept esenţă". Aparent avem o propoziţie în sens logic, în esenţă nu avem . în cartea noastră Filozofie şi logică am arătat că antinomiile filo­ zofice îşi au originea în identitatea falsă : lumea = lucru (reducerea lumii la lucru) . Tot acolo am arătat că se pierde din vedere faptul că unele expresii sînt simple prescurtări şi nu au semnificaţie de sine stătătoare. De ex . expresia .,lumea este infinită" poate fi precizată astfel : " nu există lucrul cu cele mai mici coordonate spaţio-temporale şi nu există lucrul cu cele mai mari coordonate spaţio-temporale". Confundarea rela­ tivului cu absolutul este de asemenea sursă de antinomii. Avînd un capitol Filozofia logicii V0111. prefera să revenim asup ra acestor probleme în respectivul capitol . 4 . 1 1 . Rezolva rea a nti nomiilor aparente .

X

Antinomiile aparente se rez olvă de asemenea prin eliminarea unor supoziţii tacite . Astfel la Zenon se presupune că "con­ ţinutul fizic" ar putea fi redat prin " discursul intelectual", la Kant lumea este gîndită prin modelul experienţei finite, paradoxele implicaţiei nlateriale sînt rezultatul confundării propoziţiilor intuitive cu funcţiile de adevăr etc . Antinomiile logice

1 97


Semiotica logică

1. C H ESTI U N I G E N E RA L E Am văzut dej a că există trei moduri cognitive în raport cu limbajul : conceptual, semiotic, formalizat. în acest

capitol ne vom ocupa de studiul semiotic al limbajului

teoriei acest studiu este mai receptiv faţă de l11.ijlo acel e de tip matematic şi de aceea el este mult superior demersu­ lui c onc ept ual O teorie poate fi expusă conceptual sau semioti c (sintactic -

.

ori semantic) . Scholz şi Hasenj aeger pronl0vează cu consec­ venţă punctul de vedere semiotic în expunerea teoriilor logice (v. Grundzuge der mathematischen Logik) . Cu alte cuvinte teoriile logice sînt expuse "ca limbaj e formali­ zate" fie că e vorba de limbaj , luat doar ca sintaxă, fie că este vorba de limbaj ca unitate sintactico-semantică. Noţiunea de "limbaj " (şi în speţă de ,.limbaj formalizat") constituie punctul de plecare al semioticii . Limbaj ele au o formă (morfo-sintactică) şi un conţinut (semantic) . Ele se descompun în "expresii" . Semiotica trebuie să studieze vocabularul. diferitele clase de expresii, sistemul limbajului (limbajul ca întreg) . Logica dispune nu numai de un limbaj artificial standardi­ zat ci şi de o porţiune sistematizată din limbaj ul natural cu cele două variante verbală" şi "scrisă". Variatele moduri de exprimare din limbajul natural pot fi reduse prin transformări echivalente la limbaj ul natural (porţiunea de limbaj natural) utilizat de logică. Fie să notăm limba­ jul simbolic al logicii cu Ls, iar limbaj ul natural corespunză­ tor acestuia cu LN• în anumite privinţe Lr; este mai bogat decît Ls. în alte privinţe mai sărac. Uneori se foloseşte un limbaj amestecat (mixt) . în ce priveşte nletateoria, limbajul ei este cu precădere natural, totuşi conţine şi II

Teoria sistemelor logice

1 98


elemente simbolice. Mai mult limbajul 111etateoriei este foarte puţin standardizat cu toate că pentru te ln e spe cial e s-a încercat formalizarea sa (a se ved e a c o nstru cţia lui Tarski în legătură cu .. Conceptul de adevăr în l imbajel e fo rmalizate ) Deoarece limbaj ele pqt fi studiate din multe puncte de vedere precizăm că semiotica logică le studia z ă numai întrucît acest studiu este necesar construcţiilor logice. "

2.

.

NOŢI U N EA DE SEMIOTICA

Fiind dată o e xp r es ie e, putem stabili c el puţin trei relaţii de bază : e xp re sie - obiect expresie - a cţiune expresie - compo n ente Expresia este p a rte a unui limbaj L astfel că a cel eaşi raportu ri le putem stabili şi în cazul limbajului din care exp resia face parte . Primul raport este "semantic" dacă e xp resi a e desemnează ( de n umeşt e, se r e fe r ă cognitiv) l a o bi ectu l r e sp ecti v Al doilea rap or t este npragmatic" da c ă expresia este c o nsid e rată sub raportul funcţionalităţii sale. Al treilea raport este "sintactic" Întrucît viz e az ă structura (forma) expre siei Ştiinţa care s tudi a ză l imb aj ul din p u n ct el e de vedere sin­ tacticI se mantic şi p ragm atic p oartă numele de semiotică. Invers, capitolele semioticii vor fi (core sp u nzăto r) : sintaxa. semantica şi pragmatica. Sintaxa este partea semioticii care studiază structura ex­ presiilor şi r e l aţiilor formale dintre e xp resii (abstracţi e făcînd d e conţinu t) Semantica este partea semioticii care studiază r ap o rtu rile dintre exp resie şi obiect sau rel aţii l e dintre expresii în funcţie d e r elaţi i l e cu obiectul . Pragnlatica este p art e a semioticii care studiază expresiile şi r elaţ i il e lor din punctul d e vedere al utilizării şi eficienţei. î ntr e logică şi limbaj este o strînsă le gătură Mai întîi orice gîndir e logică se dezvoltă cu aj utorul unui limbajţ apoi studiul l ogici i implicate Într-o expunere se fac e cu ajutorul 1imbaj ului şi în fine construirea sistemelor deduc­ tive şi în ge nere a sistemelor (teori il or ) logice se face cu ajutorul limbaj ului . Avem aşadar tr ei nivel e de abstracţie : p roc es ul logic (1), studiul p roces u lui logic (II) şi str u ctu­ rare a în teorii a inform aţiei desp re procesele logice (III) . o

"

.

.

.

.

Semiotica logică

1 99


La fiecare din aceste nivele es t e prezentă l egăt ura strînsă dintre logică (logic) şi limbaj . Nivelul (II) şi (III) au între al t el e rostul perfecţionării nivelp.lui (1) . La rîndul său ni­ velul (III) p o at e fi considerat din nou din p unc tul de vedere

al fiecăruia dintre cel e trei nivele în parte . Particularizînd cele trei nivele la di fe ri te stii nte von1 avea (1) te ori i le ştiinţifice, (II) metateorii coresp un� ătoare aces­ tora (ex . metarn.atematica) şi (III) logica în genere (eventual cu unele particularităţi) . Fiecare din acestea posedă nn limbaj adecvat . Semiotica logică studiază în sens strict limbajele teoriilor logice şi în sens mai general orice limba;' din punctul de vedere al construcţiilor logice . C u alte cuvinte ea vizează în sens restrîns limbaj ul "construcţiilor logice pure " şi limba­

j ele n construcţiilor logice aplicate" . Necesitatea d e a feri construcţiile logice (pure sau aplicate) de paradoxe (antinomii) a fost motorul pri ncipal al dezvol­ t ării semioticii logice . Se înţelege că ulterior s-au adăugat toate celelalte foloase care decurg din const ruirea unor l i mb aj e p r ecis e simple, e l ega nt e şi ('COllo illico as e . .

3 . CONŢI N U T U L S E M I OT I C I I LOG I C E

î n cel e c e urnlează von1 expune numai sintaxa şi semantica, fi i n d încă într-un studiu incipient . Vom trece în revistă mai întîi pri ncipal ele c o n c ep te ale semioticii (ex . limbaj, expresie, t erme ni , propoziţii etc . ) apoi VOln expune sintaxa şi semantica . P e lîngă nletoda des criptiv- i n du ct i v ă (inevitabilă în orice expunere cu caracter pedagogic) vom folosi cele 111ai diferite metode din arsenalul dej a anunţat (v. Metodele logic ii) . Cititorul poate fi avertizat de asemenea asupra unei ordini compre­ hensive în tratare : 1 . definiţii, 2. clasificări I 3 . proprietăţi, 4. p robleme şi soluţii (metode de soluţionare) 5. teo reme şi demonstraţii, precum şi a unei ordini extensive - de la elen1ente la mulţilni ale acestora şi în f i ne l a "sisteme". pragnlatica

I

4. N OŢI U N EA D E L I M BAJ

Orice sistem de seUU1e mînuit după anumite reguli şi care sluj eşte la fixarea, prelucrarea ş i transmiterea (comuni­ c a r ea) informaţiilor poartă numele de "limbaj " . Categoria Teoria sistemelor logic e

200


de bază a l i m baj ul ui este "semnul" (în diferite conte xt e el poartă diferite denumiri : II cuvînt"l nsimb ol l Jl expresie" pur şi simplu) . Semnele (elenlentare) se constituie după anumite reguli în ., secvenţe" (şir liniar de obicei) 1 la rîndul lor secvenţele pot forma clase ordonate (deci secvenţe de secvenţe) . Orice secvenţă are o st ruc t ur ă determinată d e o regulă sau exprimată într-o r eg ul ă . Nu e corect să se spună că limbaj ul constă din voc ab ul a r şi reguli (gramaticale) . Regulile sînt întruchipate în limbaj ca nstructuri"l ca I I regularităţi" dar nu sînt ele înşile parte constitutivă (prin definiţie) a limbaj ului . Ţinînd seama de aceasta vom putea spune că limbajul este caracterizat de vocabular şi structuri (definite de anumite regul i) . Structurile limbaj ului sînt studiate de gramatică. în gramatica obişnuită de o s e bim ustructuri morfologice" şi ustructuri sintactice". în semiotica logică distincţia între morfologic şi sint actic este e s to lnpată se vorbeşte pur şi simplu de structuri sint ac tic e Vom deosebi mai întîi limbaj e viz,ua}e_ ( s c ri se ) şi au diti ve (sonorey-'- după Jl;ltura fizică--a--:seri1:1felor. Această dedu­ blare se impune prclUtrilde-nruiid-e- - avem de-a face cu oa­ m eni normali . În al doilea rînd v om divide l i mb aj el e în llat1!.�i---ar tifi.cLale . Această distincţie vizează geneza limbaj elor. Trebuie să se aibă în vedere că în acest sens orice limbaj scris este artificial . Nu şi orice limbaj sonor este natural . Limbaj ele vorbite sînt în principal naturale. Vom rezerva pentru ele termenul d e nlimbă" . Aşadar în utilizarea noastră termenul nlimbaj " va fi luat într-un sens mai larg decît cel de ,,limbă" . Adeseori se înţelege prin ,,limbaj natura l" 1imba vorbită şi orice echival ent (sinoni m în sensul relaţiei de traductibilitate) în forma s c ri să , al acesteia. Se înţelege că aci se are în vedere nu geneza ci natura li mbaj ului . Urmînd pe Tar ski vom rezerva pentru a c est caz expresia de .,limbaj uni ver s al " Totuşi putem utiliza şi ternlenul indicat . Deosebirea "natural-artificial " nu este rigidă, există şi limb�i�_ !!l:ixte . Şt i inţele utilizează d e regulă limbaj e mixte - adică o parte este luată din lim­ bajul natural, o altă parte este construită . Unele l i lnbaj e au o r egul aritate statistică (astfel sînt cele naturale), altele dimpotrivă sînt precis structurate. Limbaj el e care implică o ordine riguroasă vor fi numite ,, formalizate" . Se consideră că aceste limbaj e sînt "închise" relativ la o mulţime de re gul i . "

­

1

.

1

.

Semiotica logică

201


Un limbaj form a li z at (. stan da r dizat ) este determinat prin : 1) existenţa unui vocabular de bază (listă de semne ele­ mentare), 2) reguli p r ec is formulate . Regulile sînt de două feluri : sintactice şi selnantice. La rîndul lor regulile sintactice şi respectiv cele sernantice pot fi de mai multe feluri . Cele m.ai important e reg uli sintactice (din unghi u l de v e d e r e al defi ni rii limbaj ului) sînt cele " de formare", respectiv p e ntru cele semantice sînt "regu­ li1e de desemnare" . După cum ansamblul semnelor elementare (din punct de vedere semantic) f o rm e az ă v ocabula rul de bază", ansam­ blul regulilor formează "granlatica" ( acest e două n o ţi u ni pot fi precizate şi altfel) . Noţiunea de "limbaj formalizat (standardizat) " dat ă mai sus este minimă, se po at e considera o definiţie mai tare, aşa cum o fac Tarski şi alţi autori . Conform cu această noţiune limbaj ele formalizate au urm.ătoarele trăsături : a) se dă lista de semne sau descrierea structurală a semnelor din care sînt formate expresiile sistemului, b) propoziţiile sînt delimitate de alte expresii pri n proprietăţi s t ru ctur ale, c) se dă lista propoziţiilor prime (axiome) , d) se dau reguli pentru transformarea unor propo ziţii în altele (propoziţiile obţinute pri n aplicarea acestor reguli se numesc " conse­ cinţe") . Astfel definite limbaj ele formalizate sînt evident .. limbaj ele sist� deductive" . O diviziune i mportant ă a limbaj elor este în limbaj e constan­ te (vocabularul conţine numai semne constant e) şi varia­ bile (vocabularul c onţine simboluri variabil e) . Un exemplu t ip i c de limbaj formalizat constant este limbajul cifrie . Limbaj ele aritmetice cu diferite sisteme de numeraţie constituie cazuril e cele mai interesante. Limbajul algebric este un exemplu de litnbaj variabil . î n sensul strict al cuvîntului limbaj ul simbolic este un l i mb a j cu simboluri variabile . Linl b a j el e variabile (si mbolice) pot fi speciale sau logice. Aceasta este o clas if i car e semiotică preliminară . Vom reţine din acea s t ă clasificare : 1 . Limbile naturale, 2. Limbaj ele forma l i z at e (standardizate) , 3 . Limbaj ele consta nte .

"

JI

,

Teoria sistemelor logice

202


4. Limbaj ele variabile (simbolice) , a) speciale. b) logice. Clasificarea va fi dezvoltată pe măsură ce ne adîncim in studiul sintactic şi semantic al limbajelor. Pentru referinţă vom considera în afară de limba română (eventual şi alte limbi naturale), limbajul constant al aritmeticii (cu diferite Jlsisteme de numeraţie"), limbaje matematice cu variabile şi limbaj ele diferitelor teorii lo­ gice (pentru propoziţii, predicate. clase şi modalităţi). Adesea logica este anexată teoriilor ştiinţifice speciale în calitate de formalizare a mijloacelor logice ale teoriei. în acest fel se obţine o teorie mixtă cu două nivele special şi logic. Un astfel de sistem este cel construit de Whitehead şi RusselI în PrinciPia Mathematica . Limbajul unui astfel de sist eln va urma complexităţile teoriei. în cele ce urmează vom face adesea referiri l a un astfel de limbaj . Schiţăm acest limbaj : 1. Vocabular de bază (lista semnelor de bază) .

Semnele cifrice (în sistemul cu baza zece) : 1, 2, . . " 9, Semne pentru operaţii aritmetice : +. X , Semne pentru relaţii aritmetice : < , Variabile individuale : x, y, z" , " Variabile predicative : F, G, H, . , . Operatori termina1i : , (iota-operator), A (lambda-operator) Operatori propoziţionali : == a) functori : -, &, V, -b) cuantori : V, :1 8) Semne auxiliare : paranteze ( ), [ ]. { }, virgula, puncte.

1) O, 2) 3) 4) 5) 6) 7)

=.

II. Regulile sintactice . 1) Reguli de formare pentru : a ) termeni (constanţi va riabili), b) expresii propoziţionale. 2) Reguli de transformare a expresiilor, 3) Reguli de inferenţă (în special de deducţie) .

sau

III. Regulile semantice. 1) Reguli de desemnare. Se arat ă pentru fiecare simbol la ce entitate se referă, în genere, în ce fel se raportează la obiecte, şi Ia fel pentru fiecare e xpres i e . Semiotica logică

203


2) Reguli de adevăr. Studiul special al vocabularului şi regulilor se va face în capitolele următoare . Se presupune că cititorul cunoaşte însă în esenţă limbaj ul indicat mai sus, de aceea nu exempli­ ficăln regulile în acest paragraf. Ordinea în care vonl studia entităţile lingvistice (semantice) se va axa pe structura de la simplu la complex a limba­ jului: lista semnelor de bază, expresii (termeni, expresii propoziţionale) .. mulţimi de expresii.. sisteme de expresii . 5. IERARHIA LIMBAJELOR

Pentru a distinge între limbajul studiat şi limbajul în care acesta este studiat se introduc distincţiile: "limbaj-obiect" şi "metalimbaj " . Deci limbajul-obiect limbaj ul supus cercetării semiotice, metali1nbajul limbajul în care cer­ cetăm (= limbaj ul semioticii). Se pare că cei doi termeni au fost introduşi pentru prima dată de către Carnap. Diferenţa ierarhică dintre linlbajul-obiect şi llletalimbaj va fi numită " diferenţă de ordin". Relaţia de ordine va fi notată aci cu "A despre B". Notînd cu L limbajul-obiect şi cu ML metalimbajul este evident că putem prelungi ierarhizarea oricît de lnult =

=

-

L, ML.. MML, MMML, ...

Posibilitatea de a construi linlbaje cu NI repetat de ori de cîte ori vrem (însă finit) rămîne deschisă, noi putînd obţi­ ne metalimbaj e de ordin oricît de înalt. Practic însă ne oprim totdeauna la un anumit nivel (după care nu ne mai interesează ierarhia). Există UIl limbaj Ia care ne opri In în toate cazurile şi care este un fel de metalimbaj la care raportăm toate limbaj ele - acesta este ,,limbaj ul univer­ sal" (Curry, Tarski) pe care-l vom nota cu U L. De regulă UL este limbaj ul natural plus unele completări determinate de necesităţi semiotice specifice. (Noi vom considera ca UL limba română la care VOln adăuga d u pă necesităţi expresii artificial construite în confonnitJ.te cu convenţii precizate.) Teoria sistemelor logice

204


Dacă în ce priveşte ierarhia lilTIbajelor avem un nivel su­ perior relativ convenţional (UL) există în schimb un nivel inferior abso"ut, anume limbajul care nu se nlai referă la entităţi lingvistice ci la fapte extralingvistice, convenim să-I nunlim "infralinlbaj" şi să-I notălTI cu IL. Ierarhia se poate prezenta aCUITI astfel: IL, JJIIL, Ml�fIL, ... , UL. O descriere llcminimizată a nletalinlbajului este dată de Tarski după cum urmează: 1) ML conţine trei grupe de expresii: a) expresii de Îornlă logică generală, b) expresii care au aceiaşi semnificaţie ca şi constantele limbajului discutat sau care sînt suficiente pentru defini­ rea unor asemenea expresii luînd ca bază regulile de defi­ niţie adoptate în metateorie. c) expresii de tip structural-descriptiv care d en otă semne singulare şi expresii ale limbajului considerat, clase întregi şi serii de asemenea' expresii sau, în fine, relaţii existente între ele. Expresiile din grupa b) ne dau posibilitatea să traducem expresiile din limbaj în metalimbaL iar cele din grupa c) slujesc la formarea numerelor. 2) Conţine trei grupe de axiome (corespunzătoare ce!rJ[ trei grupe de expresii): a) axiome de formă generală, b) aXi011le care au aceeaşi semnificaţie ca şi axiomele lim­ bJjului (cercetat) sau sînt logic mai tari decît acestea dar suficiente pentru stabilirea tuturor propoziţiilor care au aceeaşi semnificaţie ca şi teoremele limbajului, c) axiomele care determină proprietăţile fundamentale ale conceptului priluitiv de tip structural-descriptic. Expresiile primitive şi axiomele din primul grup (ca şi regulile de definire şi de inferenţă) pot fi luate din orice sistem logico-matematic suficient de dezvoltat; expresiile şi axiomele din grupa a doua depind în mod natural de particularităţile limbajului investigat, iar cele din a treia grupă depind de necesităţile metalimbajului. Deoarece semiotica se împarte în trei p ărţi care pot fi expŢfSelnde­ pendent, metalimbajul poate fi divizat şi el în liJJJ-.9-aj sintactic", .,limbaj semantic", şi "limbaj pragmativ". Termenii "sintactic", "semantic" şi "pragmatic" sînt utilizaţi sistematic ambiguu - pe de o parte, ei au sens ,

Semiotica logică

.2Q5


cu privire la L, pe de altă parte� cu privire la J.1!fL. în pri­ mul caz ei desemnează respectiv .. latura sintactică" .. ",la­ tura semantică" şi l atura pragmatică" a lui L, în al doi­ lea caz ei des enln ează părţile lui ML (respectiv sînt utili­ zaţi în raport cu enti tăţ i din ML). Practic în expuneri (mai puţin pr etenţioase din punct de vedere logi c) noi nu sepa rălll net nivelul L de nivelul ML. Este ap oi de notat că deşi noi am limitat aci sensul lui ML la acela de , limb aj semiotic" (al semioticii) el poat e fi definit Într-o accepţie mai larg ă Ne vom limita totuşi la înţel esul de mai sus. Deoarece latura sintactică a limbaj ului poate fi separată de cea semantică şi pragmati că (ex. în cazul si stemelor fonuale"), iar cea semantică de cea pragmatică noi vonl put ea constru i s eparat metalimbajul sintactic (ML Syn) .. apoi metalilnbajul semantic (ML Sem) şi cel pragm atic (ML Prag). Presupunem apoi că avelU de a face cu dom enii suficient de organ i zate (logic) ale cunoaşterii pentru a merita titlul de ... teorii" (T) . în acest caz oricărui L îi va corespunde o T� iar fiecărui ML o MT ( metateori e). Dacă T este studiată ca un ansamblu conceptual, abstracţie făcîndu-se de laturile lingvistice (semi otice) .. atunci ML va exprima o metateorie MT.. dar nu o semioti că Vom numi această MT o "analiză conceptuală (neselniotică) sau simplu o ..,metateorie". Metateor ia şi senlÎotica deşi noţiuni distincte.. nu sînt reali­ tăţi absolut separate. Alt e raporturi pot preciza mai bine această distincţie: 1) pentru orice T pot exista diferite L.. 2) pentru orice MT pot exista diferite ML, 3) orice semiotică por neşte de la un limbaj de referinţă (LR). în continuare vom presupune că ML va fi un limbaj semio tic şi că L este s uficien t de organizat logi c (că exprimă o t eorie) Pe de altă parte, ne vom limita la limbaje l ogice şi matematice, or, pe scurt, la limbaje logic o-matematice, din rîndul cărora vom alege LR. Vom presupune apoi că ML este suficient de organizat ceea ce implică o utilizare mai precisă a lui UL. în raport cu des cri erea dată ML de Tarski noi vom indica o noţiune sim pl ificat ă de limbaj al semioticii (abstracţie făcînd de distincţia - sintaxă.. semantică şi pragmatică). ,..

,

.

"

,

.

"

..

­

.

Teoria sistemelor l ogice

206


în.. genera] structura limbajului semioticii este determinată de funcţiile acestui limbaj. Vocabularul semioticii cuprinde 1) nunle pentru semnele din L, 2) traduceri pentru expresiile din L, 3) expresii specifice pentru formarea termenilor şi propoziţiilor semio­ tieii, 4) alte expresii utile. Gramatica semioticii cuprinde reguli logice şi reguli pur lingvistice. Extensiunea limbaju­ lui semiotic este influenţată de extensiunea obiectului său. Astfel avînd o teorie T noi nu ne limităm neapărat la un singur limbaj ci considerăm adesea "clasa limbajelor lui T". Pe de altă parte, noi studiem şi relaţiile dintre limba­ jele lui T. Dacă lui T îi corespund limbajele Lv L2' '" Ln atunci semiotica poate studia pe fiecare L în parte� ceea ce dă o "seuliotică descriptivă" sau orice Li în raport cu T, ceea ce va da o "semiotică generală" (aci vor fi inc1us� şi relaţiile dintre două Li' Lj oarecare). Există apoi semiotic� unei clase de teorii K( T) din aceeaşi ştiinţă sau chiar la unor clase de teorii mai generale (din diverse ştiinţe). Semio­ tica în general este luată în ultima accepţiune. Noi ne vom limita la semiotica teoriilor logico-matematice şi vom utili­ za, se înţelege, categoriile selnioticii în genere împreună cu categorii specifice. în vederea studierii laturii formale a teoriei se poate proce­ da în două feluri: sau construim un sistem de obiecte for­ male care să nu amintească deloc de vreo interpretare, dar care să fie în raporturi structurale bine determinate cu sintaxa limbajului (anume în aşa fel ca eventual el să poată servi de "reprezentare" a structurii sintactice a limbajului) sau detaşănl structura sintactică cu ajutorul metalimbajului în aşa fel încît: a) se recunoaşte imediat că e vorba de structura sintac­ tică; b) se indică special că e vorba doar de sintaxă. Aceasta înseamnă a construi "sistemul sintactic" cores­ punzător limbajului. Am spus că diferenţa între J,sistelnu1 sintactic" detaşat cu ajutorul limbajului şi "sistemul for­ ma1" poate fi neglijată. Precizăm că, limbajul se prezintă ca o unitate sintactico-semantică. Detaşarea celor două laturi se poate face în metateorie prin construirea de "sis­ teme sintactice" şi respectiv .,sisteme semantice" cores­ punzătoare. în acest mod procedează Scholz şi Hasenj aeger Semiotica logică

207


în GML. Altă cale de a detaşa sintacticul de semantic este de a formaliza limbajul şi de "a uita" în acest fel de latura semantică operînd numai cu partea fornlală. Sintacticul astfel detaşat este "sistem formal". Aceasta este proce­ dura obişnuită. Cînd logica propoziţiilor este construită ca teorie a funcţiilor de adevăr, aceasta înseamnă că ea este construită ca "sis­ tem semantic" (relaţiile semantice sînt explicitate), cînd ea e construită ca un "calcul al propoziţiilor" în care se uită de dimensiunea semantică, ba chiar se face abstracţie în aşa fel că ea nu intervine în nici un fel în rezolvarea pro­ blemelor, atunci avem un "sistem fornlal". Dacă dimpotrivă, ţinem să precizăm că acest sistem fornlal redă o structură sintactică atunci el e tratat ca "sistem sintactic". Sistemul sintactic presupune concepte metateoretice relativ la semne şi formule. în sistemul formal avem, să zicem, secvenţa (p -- (p V P),) (P V P) -+ P, P -- p. Această secvenţă este redată în "sistemul sintactic" prin: ,.formulele 1), 2), 3) constituie o secvenţă demonstrativă", sau prin ,,formula «- - - » decurge sintactic din for­ mulele . . . " Fiecare teorie formalizată are un sistem formal care se poate îndepărta ca structură de structura sintactică a limbajului ei (deşi relaţiile între cele două structuri sînt strict determinate). O sintaxă a limbajului ca parte a meta­ teoriei trebuie să redea (să descrie) şi reconstituie cu mij­ loacele llletalimbajului dimensiunea sintactică a limbaJu­ lui-obiect. Sistemul formal nefiind linlbaj nu presupune un metalimbaj, ci doar un limbaj care descrie modul în care el se constituie. Fie deci L un limbaj formalizat al unei teorii T. Dacă SF (sistemul formal) este constituit prin simplă detaşare a ,,formei materiale" a sistemului atunci descrierea sintaxei şi redarea ei în "sistemul sintac­ tic" (în metalimbaj) coincide cu descrierea sistemului for­ mal (diferenţele fiind neglijabile), dacă SF este de o altă structură decît structura sintactică dată a lui L atunci "sistemul sintactic" nu redă structura lui SF. aceasta este redată într-un LSF din ML. Pe de altă parte trebuie să ţinem seama că pentru orice teorie putem avea mai multe limbaje. De aci: 1) mai multe sisteme formale prin detaşarea formei sintactice, 2) nIai multe sisteme sintactice în MT. Fie teoria funcţiilor de Teoria sistemelor logice

208


adevăr. Ea poate fi redată în simbolismul Peano-Russell sau în sinlboliSl11ul lui Lukasiewicz. Sintaxele logice vor diferi întrucîtva. O diferenţă care poate exista între sintaxa limbajului şi sistemul formal este că sistemul formal presupune în mod necesar formalizarea limbajului. Pentru a nu confunda noţiunile putem introduce următorii termeni: 1) sintaxa limbajului ( structura sintactică a limbaju­ lui). 2) sistemul sintactic (= expunerea teoriei ca sistem sin­ tactic, luînd în consideraţie numai forma sintactică a limbajului ei). 3) meta-sintaxa ( teoria care studiază sintaxa limbajului şi descrie construirea sistemelor sintactice). Analog pentru semantică vom avea: 1)' semantica (implicită) a limbajului (ca dimensiune a lui L), 2)' sistemul semantic (expunerea lui T ca sistem seman­ tic), 3)' meta-semantica ( teoria care descrie dimensiunea semantică a limbajului şi arată modul în care se construieş­ te sistemul semantic). Deoarece sistemul formal provine de la limbajul teoriei sau se află în strînsă legătură cu siu­ taxa acestuia vom spune că LSF face parte de asemenea din ML. în scopul economiei de limbaj vom utiliza diferite principii semantice: 1) principiul univocităţii generalizate (un semn va avea în tot limbajul o singură semnificaţie), 2) principiul ambiguităţii sistematice (un semn va avea în ML mai nlulte semnificaţii sistematic corelate), 3) principiul univocităţii contextuale (un semn poate fi univoc într-un context, dar nu neapărat în genere în limbaj). 4) principiul �xpresiilor prescurtate (o expresie poate avea sens numai prin intermediul altora) . Aceste principii vor fi precizate în funcţie de necesităţi. De observat este că mulţi tenneni semiotici sînt utilizaţi sistematic ambiguu în raport cu părţile semioticii, cu alte cuvinte aceeaşi expresie (luată ca formă exterioară) poate fi definită sistematic în trei feluri - sintactic, semantic, =

=

=

Semiotica logică

209


pragmatic. Legăt urile sistematice dintre conceptele cores­ punzătoare (mai ales dintre cele si nta cti ce şi semantice) ne fac să utiliz ăm aceeaşi formă de exprimare pentru concepte diferit e . Exerciţii de distingere între L şi ML. Fie limbajul p r e dic a­ telor un exenlplu de L (ca un ansamblu de semne şi secvenţe de asemenea s e mne). 1) VxF(x) 2)" 3x(F(x) -+ G(x)). 1) şi 2) sînt expresii din L. Următoarele expresii vor fi di n ML 1) E xp resi a VxF(x)" este cuantificată universal. 2) Expresi a 3x(F(x) --. G(x))" est e cuantificată existen­ II

n

ţial. 3) Expre sia

6.

n

VxF(x)" nu

este adevărată.

CLASIFICAREA EXPRESIILOR

Ne V01n ocup a de cl as ifi ca re a expr esi i lor fără a lua seama în mod special la deosebirea dintre sintactic şi s em anti c . Din c ont ext se va v edea dacă un punct de veder e sau altul este pe primul l o c . Problema clasificării "logice" a e xpres ii­ lor este veche . Nu s-ar putea spune că avelll o s oluţie satis­ făcătoare. O încerc are de clasificare largă est e dată în car­ tea noastră Logica simbolică. Aci ne vom limita la unele chestiuni genera l e şi eventual la noi precizări, în rest vom trimite la respectiva clasificare. Termenul de "expresie " des emn ea ză o parte sintactico-semantică a limbajul ui . Caracteristica princiPală a unei exp res ii este că ea poate fi

corelată în mod independ�nt sau relativ independent cu o en titate (pe baza unei reguli de desemnare) . În litnbajele formalizate d ist inc ţi a este p recis ă, în cel e naturale nu putem spune totdeaunl dacă avem de-a face cu o e x p resie sau nu. Est e n del} o ex ;;> r esie (în sensul logic strict) sau nu ? La fel despr e nea". Nu putem da răspunsuri pr eci se . Putem conveni că o expresie are o serie de p ropriet ăţi fundamentale, proprietăţi care sînt pr eciz ate în funcţie de limbaj . Orice e xpresi e are o forml materială şi un conţinut. Ne vom limita (cel puţin p r ovizo r i u) la conţi nut ul cognitiv. Tlioria sistemelor logice

210


Orice expresie are un obiect la care se referă (prin inter­ mediul unei reguli de desemnare) numit referent. Orice expresie are (sau i se poate asocia) un sens (printr-o regulă definitorie) . Orice expresie are o extensiune ( anumite limite de apli­ cabilitate) . Orice expresie este corelată cu o determinare (însuşire sau relaţie) a obiectului - cu alte cuvinte are o intensiune. Toate aceste determinări sînt mai degrabă Jlvagi"� "impre­ cise", ele devin precise abia în raport cu anumite sisteme de limbaj . în loc, de "expresie" vom vorbi atunci de nexpre­ sie în S" (analog vom relativiza toate celelal te concepte) . Care sînt cele mai interesante criterii de clasificare a expre­ siilor (clasificare considera tă din punctul de vedere al intereselor logicii) ? Evident că prima clasificare ce se impune este în: lIelementar" şi IIneelementar" (com,pus) . O expresie este elementară dacă nici o parte a ei nu mai este expresie� în caz contrar ea este compusă (neelementară) . Ex. "F(x)" este elementară.. dar "F ( x) & G(y)" nu este elementară. O altă clasificare fundamentală este în ,.termeni" şi ",ex­ presii propoziţionale" (sau "propoziţii"). Distincţia nu e deloc uşor de făcut în afara sistemelor determinate, în schimb în sisteme determinate de limbaj ea poate să fie trivială. Anl putea spune că în cazul termenilor primează referirea la obiect (desemnarea obiectului) în timp ce în cazul pro­ poziţiilor transmiterea unei informaţii (în scop cognitiv sau pragmatic) este dominantă. Expresia "om" (un termen) ne trimite la un obiect, în timp ce propoziţia "omul este capabil să construiască unelte" inform,ează despre obiectul respectiv. Fundamentale sînt apoi clasificările termenilor şi respectiv ale propoziţiilor. Cel puţin deocamdată nu intrăm în detalii, dar reţinem unele criterii. O veche clasificare împarte ter­ menii în categorematici (obiectnali) şi sincategorematici (de legătură). Este posibilă o clasificare trihotomică a expresiilor l ) termeni 2) expresii d e legătură ş i 3 ) propoziţii. Propoziţiile la rîndul lor sînt închise şi deschise. Propoziţiile închise nu conţin variabile şi sînt bine precizate în ce priveşte semnificaţia expresiilor componente, propoziţiile =

..

Semiotic-G logică

211


deschise conţin variabile sau sînt pur şi simplu ambigue. Astfel }IX + 2 4" este o propoziţie deschisă, "eu dorm" este de aselnenea o propoziţie deschisă în măsura în care pro numel e personal nu e precizat. Dimpo t r ivă .,2 + 2 4", "Eu (Enescu Gh.) scriu aceste propoziţii" sînt propoziţii închise . Uneori propoziţiile deschise se rnai numesc ,, funcţii propoziţionale" sau chiar "propoziţii v ariabile Trecerea de la propoziţiile deschise la cele închise se poate face fie prin s ub stituţie fie prin cuantificare, fie prin con­ textualizare. Două clase de propoziţii reţin în mod deosebit atenţia logicienilor contemporani, anume: descriptive (decI ara­ tive, teoretice) şi normative (prescriptive, pragmatice) Avînd în vedere că raţionamentele sînt construite în funcţie de tipul de propoziţie, fie c ar e teorie logică are la b az ă una sau mai multe clasificări ale propoziţiilor (ex. asertorice, modale. compuse etc.) . în cele ce urmează ne vom ocupa în special de propoziţiile descriptive (declarative, teore­ tice) . Caracteristica lor principală este că au o valoare logică (adevăr fals sau o nuanţare a acestora) . O mulţime de propoziţii vom spune că forn1ează un .,lanţ logic" dacă între ele se p ot stabili anumite relaţii inferenţiale Scopul logicii eJte să descopere legile după care se constituie astfel de lanţuri inferenţiale numite în mod obişnuit "raţiona­ n1ente" sau chiar ,jnferel1ţe". Se înţelege că orice mulţime (finită) de prop oziţii poate fi redusă la o singură propoziţie compusă cu aj utorul unor expre3ii sp e c iale De aci rezultă că o teor'ie poate fi "redusă" la o singură propoziţie, iar sarcina de a studia teoria se reduce la aceea de a studia unica propoziţie. E vident această con­ cepţie poate prezenta un anumit interes, dar pînă acum nu a fost luată în consideraţie. Vom prefera să vorbin1 despre teorie ca despre o mulţime de propoziţii şi m3,i mult ca despr e un .. sistem de propoziţii'. =

=

".

,

.

..

.

.

,

7.

TERMEN I ŞI PROPOZIT" IN M L

În vederea studierii şi exemplificării conceptelor semioticii logice vom lua ca limbaj de referinţă limbajul logicii pre­ dicatelor. Acest limbaj constă din vocabular de b ază şi Teoria sistemelor logice

21 2


expresii (termeni.. propoziţii) . între vocabular şi expresii (in ace st caz) o intersecţie - unele exp r es ii sînt

există

date deja în vocabular. Regulile nu fac parte din limbaj dar sînt reprezentate în structura componentelor limbaj ului. Vom nota cu L limb aj ul .. cu V vocabularul de bază şi cu E ---;- e xp r esi i l e .

L {V, E} unde V şi E nu sînt neapărat disj uncte (exclusive) . :M:etalilubajul sintactic cuprinde la rîndul său pe l îngă expresii din U L termeni şi propoziţii speciale . 1 ) Termeni descriptivi. Ca termeni des criptivi avem nume s ingulare de se mne din V şi de expresii din E. Există mai multe procedee de a forma nume pentru semne şi expresii: a) procedeul ghilimelelor (se introduce semnul sau expresia în ghilimele, ex . liP", liP & q"), b) procedeul utilizării autonime (semnul sau expresia se auto desemnează, ca de ex. în afirmaţ i a : p este o variabilă propoziţională) c) procedeul numelor p rescur t ate (se introduc semne spe­ ciale ca " nume proprii". ex. litere. cifre ş.a. cum e cazul în matematică - se spune "teorema 1" sau "propoziţia A" sau Jlteorema lui Gau s s") , d) procedeul structural-descriptiv (i ntro dus de Tarski) - acesta presupune formarea numelui pr i n descrierea structurii semn �l ui sau exp r es i ei (ex. expresia formată din litera liP" şi o bară deasupra. adică p) . A �este proc�dee sînt valabile în genere pentru semiotică. N Ji le vom utiliza pe toate în funcţie de necesităţi sau de cOillJditate. Ade s ea V'JID folosi pe lîngă sem nele grafice şi "moduri d � c itire" a lor (se înţelege acestea sînt date în =

UL). 2) Te/meni generali. Termenii generali se referă la clase de semne sau la cl ase de expres i i (ori la alte entităţi gene­ r ale utile în ML). Ei pot fi simbolizaţi s aU daţi prin cuvinte intuitive (din UL). Astfel putem nota semnele din V cu (X, �. "'(. expresiile cu A I E, C, " " putem introduce termeni' ca "variabiIă", "expresie" .. " vocabul ar", " opera­ t o r ". "cuantor" ş.a. 3) Traduceri. Pe lîngă nume de semne şi expresii vom folosi traduceri ale expres iilor . Astfel expresi a .... A C Eli se va traduce p rin "clasa A este inclusă în clasa B". •

Semiotica logică

213


4) Propoziţii. Cu ajutorul termenilor şi expresiilor ajută­ toare noi putem forma în ML propoziţii (formalizate sau nu) după reguli presupus ca date (ex. după reguli asemănă­ toare cu cele din L sau după reguli din UL). Propoziţiile vor fi de asemenea descriptive (singulare) sau generale. Propoziţiile descriptive se vor referi la entităţi concrete din L, în timp ce propoziţiile generale la clase de asemenea entităţi. Ex. "p este un simbol din V" este o propoziţie descriptivă deoarece se referă l a un simbol dat "p", în timp ce aserţiunea "variabila propoziţională este o clasă de inscripţii echivalente grafic" este generală . Ca şi în L avem propoziţii postulate (puse) şi teoreme. Con­ venţiile care postulează vocabularul V, regulile de formare, regulile de desemnare, convenţiile care postulează axio­ mele sînt toate propoziţii elin clasa postulatelor metateore­ tice. Ansamblul entităţilor postulate în L este determinat în acest fel de o serie de propoziţii metateoretice . Este posibilă confuzia între upostulat în L", npostulat în ML" şi upostulat în UL", dar ea e:ste uşor îndepărtată gîndindu-ne la ce anume se referă propoziţia (postulat). Astfel 'tIxFx -+ Fy" este un postulat (axiomă) în L, aserţiune a : ,,formul a «'tIxFx -+ Fy» este axiomă în L", este un postulat în ML (dacă nu cumva prin construcţie este trecută în rîndul teoremelor) . Propoziţia "Dacă A şi A -+ B atunci B" este un postulat în ML, iar aserţiunea "propoziţia «dacă A şi A -+ B atunci B» este o regulă de deducţie pentru L" este un postulat în MML (dacă prin context nu s-a convenit să fie teoremă) . Unele propoziţii din ML sînt teoreme, altele nu. Teoremele din ML vor fi numite şi IImetateoreme" . De ex., propoziţia " orice expresie din L are o formă normală echivalentă cu ea" este teoremă (convenit fiind că L este limbaj ul predica telor). 5) 1nferenţe. M L cuprinde se înţelege şi inferenţe, acestea pot fi formalizate (dacă ML e formalizat) sau intuitive. Regulile de inferenţă se pot asemăna cu cele din L cu deose­ birea că sînt reformulate în ML. Este de remarcat că în ce priveşte mijloacele de demonstraţie ele depăşesc- de regulă.în bogăţie pe cel�, din L. Inducţia completă, proce­ deele constructive, chiar demonstraţia autologică sînt foarte răspîndite. O teoremă descriptivă care afirmă caracterul II

Teoria sistemelor logice

·214


tautologie al unei formule poate fi demonstrată prin simplă inspecţie. O regulă derivată poate fi demonstrată autologic dintr-o axiomă a lui L. De ex. din axio ma n(p V P) --. p" deducem regula "Dacă A V A atunci A ". 6) Sistemul deductiv. Deşi în ML funcţionează metodele deductive nu se obişnuieşte construirea după toate normele de formalizare a metalimbajelor ca sisteme deductive. Tarski a dat totuşi un exemplu de asemenea construcţie în cazul definirii adevărului în limbajul claselor axiomati­ zînd metalimbajul respectiv. Dealtfel o construcţie liberă şi intuitivă este din multe puncte de vedere de preferat în cazul iltIL. Aceasta nu exclude creşterea gradului de organizare logică a metalimbajului.

Semiotica logică

21 5


Sintaxa logică

1. CONŢINUTUL SINTAXEI LOGICE

Termenul de "sintaxă logică" a fost impus de lucrarea lui Carnap Logische Syntax der Sprache. Sintaxa studiază limbajul din punctul de vedere al fonnei semnelor şi expresiilor. Un linlbaj L presupune un vocabular� o ll1ulţime (potenţial infinită) de expresii şi o gramatică a expresiilor. Gramatica constă dintr-un ansamblu de reguli formale care prescriu forma expresiilor (termeni sau propoziţii). în acest fel sin­ taxa apare ca studiul mulţimii {V� E, G} unde V (vocabular de bază), E (expresii), G (ansamblul de reguli gramaticale). V şi E nu sînt neapărat disjuncte� iar G nu face parte din L, ci doar redă fonna elementelor din E� cu alte cuvinte E este o mulţime închisă relativ la G. a) Studiul vocabularului presupune studiul tipurilor de semne de bază (constante� variabile� operatori etc.). b) Studiul logic al muţţimii E {T, P} (T termeni, P propoziţii) cuprinde definirea� clasificarea� proprie­ tăţile şi relaţiile sintactice ale expresiilor. Un loc central îl ocupă "relaţia de inferenţă". c) Mulţimea E poate fi studiată în sens general (indepen­ dent de limbaj) sau relativ la limbaj. în ultimul caz vom avea "clasa de expresii din L" (analog pentru V şi G). O clasă de expresii în L se descompune în submulţimi M, M CEL' A studia proprietăţile sintactice ale unor ase­ n1.enea submulţimi cît şi relaţiile sintactice dintre diferite submulţimi este una din sarcinile principale ale sintaxei logice. (în loc de submulţime a lui EL vom spune pur şi simplu "mulţime în EL",) d) Studiul mulţimilor în E pregăteşte terenul pentru studie­ rea unor mulţinli speciale - "sistemele logice" (pure sau/şi �

=

=

=

Teoria sistemelor logice

216


aplicate). Elementele sistemului� str u ctu ra� proprie tăţ i le� r elaţiil e dintre sistem e (considerat e din unghi ul de vedere sint acti c) vor fi tot atîtea probl em e de st udiat . e) Metaconcepte (metatermeni) şi metapropoziţii în sintaxă. Sintaxa cupr inde termeni descriptivi (nume d e expre sii sau selune de bază sau mulţimi de expresii din L)� termeni generali C , inscripţi e " � " semn" , , formulă " .,propoziţie", "axiomă" � " t e or em ă" " demonstraţie " ş.a.) . M etap rop ozi ţii le pot să fie postul ate (axiome, reguli� con­ venţii) sau derivat e . Ele se pot referi fie la entităţi (clas e de entităţi) date din limbaj fie l a concepte generale din sintaxă (,Jormulă"� " demonstraţie" ş . a . ) . Propoziţiile care indică .ce anunle formule sînt alese ca axiome în L sînt p os tul at e, la fel toate regulile formale. Propoziţiile care definesc "axi omă în L" (indiferent de L), "formulă în L" � te ore m ă în L" ş.a. se referă la concepte generale si nt acti ce . Următ oarel e expresi i redau forme de pro po ziţii în sintaxă, forme care se pot refe ri la U11 a numit li m b aj sau care sînt l uat e în genere, indep en de nt de limbajul concret. "x este u n semn în L" "x est e o formulă în L" "A es te axiomă în L" "A e s te teoremă în L" "D este d emon str a ţie în L" A s e de duce din B" "A este izomorfă în B" .. M este ec hipol entă cu N" Iată şi exenlple de demo ns traţi e a unor p ropo ziţi i din ML ( sint axă) . Teoremă. liP" es t e formulă în LR (limbajul d e referinţ ă ). S e d emo nstrează inlediat p e b aza r e guli lor de formare care sînt p rop oziţi i în MLR. Teoremă. n(P V q) & (q V r)" este o fornlă normală în LR. Se demonstrează pe baza regulilor care definesc forma normală şi c are sînt propoziţii în MLR. Teoremă. ,,(P V P) --t> p " este a xi omă în LR. Se demonst re az ă pe baza propoziţiei care postule az ă a xi ome l e din LR . Teoremă. "p --t> P" este teoremă în LR. Se demonstrează pe baza propo ziţi ilo r care definesc teorema în LR şi pe ,

JJ

"

Sintaxa logică

217


baza r egulil or de deducţie (toa te acestea sînt metapropozi­ ţii în Jl1LR). Demonstraţiile propoziţiilor de mai sus sînt toate construc­ tive. Teoremă (generală). Orice fonnu1ă din LR este echivalentă cu forma ei normală. Se demonstrează pe baza regulilor de aduce re la forma normală (p ostulate în M LR). Teoremă (existenţială). Pentru orice formulă e xist ă cel puţin o f ormă normală (conjunctivă, resp. disjunctivă). Demonst raţia aceasta se face din metapropoziţii (ea are un caracter ceva nlai complicat). Se înţelege că putelll m ări nUlnărul exempl el or de lnetateoreme şi de demonstra­ ţii metateoretice. Exemplele date Însă sînt suficiente. 2. NOŢIUNEA DE VOCABULAR

Dacă avem un limbaj universal (UL) atunci vocabularul se descompune în "cuvinte".. d up ă cum limb aj ul se descom­ pune în expr esii Pentru limbajele formalizate folosim mai ales termenii mai generali de "semn" sau "simbol" şi ,.fornlulă". Spunem că vocabularul este o clasă de semne, dar ce este semnul? Am a d optat mai sus o c aracteri zare sintactico­ semantică a semnului, avem acum sarcina mai dificilă de a încerca o caracterizare pur sintactică. Fie următoarele expresii (formul e într-un sens mai special) luate din LR (limbajul de re fe rinţ ă) : 1) Vx 3y(F(x, y) - G(x, y) 2) Vy(F(y) - G(y) ) - 3xF(x) Fiecare dintre ele constă dintr-un şir de semne grafice, desene (forme grafice) - litere sau alte forme. Unele dintre aceste desene apar de lnai multe ori. Ex. "x" apare de trei o ri în f o rmu la 1). Se pune problema: ce numim usemn".. fiecare desen în parte sau totalitatea desenelor identice? Dacă fiecare desen în parte a r fi "semn" (cuvînt) atunci ar tre bui să existe atîtea dictionare cîte utiliz ări de semne există, ceea ce este evide;"t o imposibilitate. expresiile (inclus iv si mbolurile) scrie Curry, nu s înt obiecte fizice concrete şi singulare, ci tipuri sau specii de asemenea obiecte în a cel aşi sens ca şi merele, c opa cii "

n'

".

.

,

,

Teoria sistemelor logice

218


oamenii care se pot întîlni în multe exemplare" (p. 59). Sintem obligaţi deci să distingem între nsemne" şi "apariţii de semne". Vom numi fiecare apariţie a semnului "intrare" sau uinscripţie" sau ,Jonnă grafică" sau "desen". Inscrip­ ţiile sînt astfel "exemplare" (Curry) ale semnului. Revenind la cele două formule de mai sus constatăm că senlnul "x" are trei intrări în formula 1) şi două intrări (inscripţii) în formula 2). Fiecare inscripţie (intrare) este bine localizată spaţial (sau spaţio-temporal, în alte limbaje.. cum sînt cele sonore). Două intrări nu pot avea niciodată poziţii spaţiale iden­ tice. Două inscripţii formează intrări ale aceluiaşi semn dacă şi numai dacă ele sînt atît de asemănătoare ca formă grafică, mărime şi culoare încît nu pot fi deosebite cu ochiul liber alte diferenţe între ele decît acelea de "coordonate". Vom numi această asenlănare echivalenţă grafică (evident.. avem în vedere faptul că noi lucrăm în special cu limbaje scrise). Presupunerea că între inscripţii nu există alte diferenţe decît cele de ncoordonate" este o idealizare. Două sau mai multe inscripţii aflate în relaţia de echiva­ lenţă grafică vor fi numite "echivalente grafice", Ca urmare a distincţiilor de mai sus vom numi semn totali­ tatea inscripţiilor echivalente grafic (într-un limbaj L).. altfel spus o clasă de inscripţii echivalente grafic. (Relaţia de echivalenţă grafică se bucură de to ate proprietăţile echivalel1ţei în genere). Se întîmplă cu noţiunea de semn astfel introdusă ceva analog cu noţiunea de număr dată de Frege şi Russell, devine mult mai puţin intuitivă decît cea obişnuită. Putem da şi două definiţii mai puţin riguroase: 1) semnul este totalitatea utilizărilor sale posibile în limbajul L, 2) semnul este ansamblul imprimărilor unei forme tipografice. Prilua poate fi considerată ca o definiţie pragmatică întru­ cît apelează la conceptul de utilizare, a doua ca o definiţie operaţională întrucît se referă la operaţia de imprimare. Pornind acum de la o clasă de echivalente grafic [<, vom spune că o ri c e oc astfel că (X E

K

este o intrare a lui K (altfel spus o inscripţie). în acest fel "semnul" desemnează o clasă de inscripţii, iar "intrarea" elementele acestei clase. Sintaxa logică

219


Prin cele de mai sus noi am determinat noţiunea de se nln în L". Cum definim sintactic vocabularul unui limbaj Li? Pentru a da într-un limbaj Li (determinat) semnul, proce­ dăm în felul următ or : - se dă o inscripţie (o formă grafică), - orice altă inscripţie grafică utilizată în raport cu aceeaşi teorie şi echivalentă grafic cu inscripţia dată va fi element al aceluiaşi semn. Fie cr inscripţia dată iniţiat vom numi semnu l IT" totali­ tatea inscripţiilor echivalente g rafic cu IT. (Fie car e repro­ ducere a lui IT va fi o intrare.) Vocabularul se introduce prin acest gen de postulate. Revenim Ia limbaj ul de referinţă. 1) Vom numi .,variabile individuale" (deci o clasă de semne) clasele de i ns cripţii echivalente graf ic respectiv cu inscripţiil e Vom avea deci "clasa de echivalente grafic p, q, r, cu p", clasa de echivalente grafic cu q" etc. 2) Vom numi .,variabile predicative" clasele de inscripţii echivalente grafic respectiv cu F, C, H, ... Analog pentru celelalte semne. Se înţelege că în practică nu procedăm atît de complicat, distincţiile de mai sus sînt necesare pentru unele precizări teoretice. Linl baj ul logicii predicatelor dispune de cel puţin opt clase de semne (constante individuale, variabile indivi­ duale, constante predicative, variabile predicative, varia­ bile propoziţionale, operatori propoziţionali, cuantori, pa­ ranteze, virgule) . Fixarea acestor clase se face, de regulă, pe baza unor criterii semantice. Cea mai importantă clasi­ ficare a semnelor este în 1) c onstant e 2) variab ile, 3) semne auxiliare. Constantele pot fi logice sau descriptive. Opera­ torii propoziţionali sînt exemple de constante logice. Să analizăm mai îndeaproape cele trei clase de semne. Semnele aSa cum l e a m considerat noi aci se mai nUlnesc "semne d� bază" (Godel) sau .,semne elementare". în teoria algoritmilor se mai spune că ele formează un "alfa­ bet" (noi am preferat termenul vocab ula r ) Ideea de "alfabet" este sugestivă pentru tratarea algoritmică a expresiilor. (Vom reven i ulterior asupra ei.) .,

"

'

"

.,

,

-

)J

Teoria sistemelor logice

"

.

220


Constantele. Vom distinge două feluri de constante - con­ stante "prin supoziţie" şi "constante efective". Astfel în formula: ax + b c literele a� b� c sînt constante prin supoziţii, x est e variabilă. Dimpotrivă 2x + 3 7 conţine constante efective 2, 3, 7. în logică pentru a marca operaţia de singularizare a schemei propoziţionale utilizăm constante pr in sup oziţie : ex. F(x) e si ngul ariz at în F(a). Cunl distingem sintactic constantele? Există cel puţin două procedee: 1) prin postularea lor şi 2) prin inter­ dicţia anumitor operaţii formale în legătură cu ele (ex. inter dicţia "snperpoziţiei" (a substituţiei) sau în genere prin "definirea rolului lor formal"). Problema definirii pur sintactice a constantel,or (de ex. a cifrelor) este deosebit de importantă pentru concepţia şi me t oda pe care o adop­ tănl în construirea ştiinţei. Aritmetica poat e să apară ca "ştiinţă despre numere" sau ca ş tiinţă despre cifre" - iată două concepţii radical deosebite. Un raţionament sumar ne arată că nu putem considera ca obiect al arit­ nleticii cifrele ca desene, ca inscripţii, at unci în ce sens sînt ele "obiect al aritnleticii"? Comparînd cifrele cu figurile de şah, Goodstein arată: "ceea ce face figura să fie rege" nu este cunl s-ar crede forma sau materia din care ea e construită "ci acele mişcări pe care ea le săvîrşeşte. Astfel că noi putem spune că regele de şah este unul dintre rolurile p e care figura le joacă în jocul de şah - rolul figurii, nu însăşi fi gura [14; 22J. "Exact la fel numerele sînt diferitele roluri pe care cifrele le j oac ă în limbaj" [14; 22J. "Astfel. regula că suma lui doi cu trei este cinci este for­ nlularea in termeni de rol - a faptului că formula ,,2 + +3 5" este demonstrabilă în aritmetică" [14; 22]. O clasă de semne poate fi deosebită sintactic de al ta dacă se determină prin reguli rolul pe care semnele (eventual fiecare semn) din acea clasă îl joacă în linlbaj. Revenind la ideea de "semn constant" vom p rescrie ca "ro1": 1) o constantă poate fi pusă în locul unui senUl variabil în conformitate cu regulile de substituţie, 2) o constantă nu poate fi cuantificată, 3) o constantă nu poate fi substituită în sensul în care e o variabilă. Am arătat deja mai sus că putem împărţi constantele în logice =

=

"

"

=

Si ntaxa logică

221


şi descripti ve . De ex. uom" este o constantă descriptivă, în timp ce "nu", "sau" sînt constante logice. Deoarece constantele logi ce au funcţie fornlativă (operatorială) putem conveni să le numim cu un cuvînt "operatori". (Pentru o subclasă de operatori se mai folosesc şi cuvintele ,Junc­ tori", "conectori", "conectivi" ş.a.) Există şi ope ratori nelogici (+, X ş.a.), de aceea vom spune "operatori logici". Operatorii. Operatorii propoziţionali ( - , &, V , .....,., =), cuantorii (\1, 3) şi operatorii modali (D� <» sînt subc1ase de operatori curent utilizaţi în logică. O diviziune utilă a operatorilor este în trei: 1) operatori termina1i (operatorul descripţiei şi cel al abstracţi ei în logică, operatorul adunării şi înmulţirii în aritmetică) .. 2) op eratori propoziţionali ( aci vom includ e şi cuantorii) . Operatorii terminali ajută la formarea de termeni din semne sau termeni d aţi, operatorii propoziţionali ajută la formarea de propoziţii. Dacă a(x) este o expresie '1 xa(x) şi Axa( x) sînt termeni. Dacă A (x) este o expresie propoziţională şi B(x) este ex­ presie propoziţională A (x) & B(x), \lxA (x).. 3xB(x) ş.a. sînt expresii propoziţionale. H. B . Curry divide operatorii după funcţia lor în "opera­ tori care transformă numele în semne", cei care trans­ formă nllumele în propoziţie" (dc numiţi de el verbe sau predicatori), "cei care transformă propoziţiile în propoziţii" (conectarii) şi în fine "cei care transformă propoziţiile în nume" ("subnectorii"). Curry fo loseşte termenul general de ,, functor" şi f oloseşt e cuvîntul "operator" numai pentru pri m a categorie. Tot el divide operatorii (= functorii) �upă poziţia lor în expresie în a) prefix, b) infix şi c) sufix. In limbajul Lukasiewicz operatorii propoziţionali sînt uti­ lizaţi ca prefix, În limbajul Peano-Russell ca infix (utili­ zarea lor ca infix cere folosirea par a nteze lor) - cu ex cepţia celor unari (negaţia, modali). Cînd operatorii sînt luaţi pur şi si mpl u ca .,simboluri simple" (independente) sînt numiţi de Curry "afix" şi semantic sînt raportaţi la funcţii. Pe lîngă distincţiile de mai sus vom avea în vedere şi nordinul operatorilor". Unii operatori se aplică la formule care deja-i conţin: «(P & q)""'" r) & s Teoria sistemelor logice

222


Acelaşi operator va putea avea .,ordinul" (sau "gradul ") l� 2� 3, . . . n. î n cazul nostru prima conj uncţie are ordi­ nul 1, următoarea ordinul 2. Această distincţie n u este fără înţeles semantic . Folosirea parantezelor ne ajută să diferenţie111 ordinul cOlnponentelor unei expresii şi să dăm o interpretare exactă. Se înţelege însă că putem adopta şi alte mi jloace fie pentru împuţinarea parantezelor, fie în locul lor. Pentru împuţi­ narea parantezelor se poate adopta în cazul operatorilor propoziţionali o convenţie în sensul dispunerii lor în ordinea în care leagă " mai tare". Ex. negaţia leagă cel mai tarel apoi conjuncţia, disjuncţial implicaţia, echivalenţa. în loc de (p & q) V r putem scrie p & q V r ; în loc de (p & q) -t> r putem scrie : p & q-+ r Se poate adopta apoi convenţia de suprimare a unor ope­ ratori (ei subînţelegîndu-se) . Operatorul suprimat va fi considerat a l ega mai tare . Ex. în loc de (p & q) V r şi resp. p & q V r vom scrie pq' V r. Operatorii mai pot fi utilizaţi în contextul unor prescurtări, ca de ex.

1( - v - 2' . . sau f( )

' 1

-

n

)

Ex. implicaţia Cpq poate fi scrisă simplu ca o prescurtare (cu două locuri goale)

C ( - v - 2)

în cazul în care operatorii au o comportare simetrică sau diferenţa dintre ei nu este importantă din punctul de vedere considerat se pot introduce variabil e meb.teoretice (sau supoziţii de constante) . în acest fel obţinem formule cu o sferă de acţiune mai generală. Astfel se întînlpl ă cînd vrem să exprimăm "proprietăţi" ale operaţiilor şi nu ,.legi ale unei operaţii date" . Notînd c u * u n operator (binar)� cu a v a 2, , a iI s e mn e obiectuale, cu E o relaţie de echivalenţă oarecare (sensul nu e precizat) putem de ex. da formula c omutativităţii pentru o operaţie oarecare : al * a2Ea2 * al' •

Astfel de generalizări sînt adesea utilizate în sintaxa logică, ele fiind foarte economice. Sintaxa logică

223


3.

NOŢI U N EA D E EXP RESI E

Noţiunea de "expresie" în sens sintactic este definită prin reguli precise numite reguli de formare. Î n teoria algoritmilor se foloseşte un termen mai general , anume expresia ca o combinaţie de simboluri (simbolurile fiind numite ,, litere", iar totalitatea lor "alfabet"), de exenlplu, ca o secvenţă liniară de simboluri . Din acest punct de vedere va trebui să distingem între "expresia" (denumită şi "cuvînt" în teoria algoritmilor) şi "expresia bine formată " (altfel spus "corect formată") . Fie un alfabet format din literele A, B, C, D. Fiecare literă în parte sau submulţinli de litere din acest alfabet va fonna de aSelllenea un alfabet . Ac e ast ă p r opri et at e are sens llulllai sintactic în condiţiile g en e rali zării noţiunii de expresie. Generalizarea poate fi susţinută şi de fa ptul că "rolul" fiecărei litere (simbol) este bine definit (în mod conven­ ţional) cu ajutorul regulilor. Ca exemple de cuvinte ( = expresii) în al fabetul ( simbo­ lismul, vocabul arul) dat avem : =

A,

A BC, A CD, BA D, A BA CD.

Prima literă " A " este cuvînt şi în subalfabetele {A }, {A, B}, {A, B, C} . A Be este cuvînt şi în subalfabetul {A, B, e} . Fie vocabularul logic : { P, q, r, . . . , -, &, V, -to, == } Com binaţia p V q este cuvînt în acest alfabet, dar este şi în subalfabe tul {P, q, - , V} ceea ce nu e cazul 'cu combinaţia (secvenţa) (P V q) -+ 1'. în sens sintactic (algoritmic) şi combinaţia -to qsv este " cuvînt" (,,formuIă") . Fiecărui cuvînt îi corespunde un subcuvînt. De exem.plu cuvîntului A BC îi corespund subcuvintele A, B, C, A B, BC, A BC. Dacă noţiunea de cuvînt se generalizează pînă la a cupri nde şi cuvinte vide (ceea ce uneori este comod din punct de vedere fonnal) atunci la cele de mai sus se poate adăuga şi cuvîntul vid (resp. subcuvîntul vid) . VOln spune c ă a este un subcuvînt al lui b dacă şi numai dacă b cad (unde c şi d pot fi şi vide) . Orice cuvînt are cel puţin două proprietăţi formale (sintac­ tice, algoritnlice) importante lungimea şi structura ( mai gen er al ordinea) . Lungimea unui cuvînt constă în numărul =

Te�.,'ia s:stemelor l ogice

224


de litere (simboluri elementare) din care este compus . Astfel cuvîntul A Ee are lungimea 3� cuvîntul A BDA are lungimea 4. Două cuvinte pot să difere şi după ordinea în care sînt dispuse literele . Astfel, A B este diferit de BA . În limbaj ul nostru logic p V q este diferit de q V p. Se poate acum generaliza noţiunea de " echivalenţă grafică" . Două sau lnai multe cuvinte sînt echivalente grafic dacă şi numai dacă ele au a cee a ş i lungime şi c on s t au din ac e le a ş i litere care sînt dispuse în aceeaşi ordine (adică la l o c u rile care-şi corespund se află aceleaşi litere) . Ex. -+ p & q şi -+ P & q sînt două cuvinte echival ente gra­ fic. ' Cuvintele sînt formate prin operaţia de "j uxtapunere", în teoria algoritmilor numită şi .,compoziţie" a simbolu­ rilor sau a cuvintelor dej a date (ori chiar J,produs") . D a că a� b sînt cu vi nte atunci ab este un cuvînt (regulă de compoziţie) . Ex. în alfabetul logic : p & q, p sînt cuvinte prin u rn"lare , p & qp va fi un cuvînt . Cuvîntul obţinut prin juxtapunere (compoziţie, produs) s e -va l1um i "COlllpoziţie" sau nprodus". în cazul nostru "p & qp " est e o compoziţie de p & q şi p. Am văzut mai sus că A B ş i BA sînt două cuvinte diferite în sensul că ele nu sînt echivalente grafic� dealtfel în sens sintactic diferenta ' cuvintelor trebuie considerată numai ca lleechivalenţă grafică, prin urmare, operaţia de juxta­

punere nu este comutativă.

Considerînd cuvîntul A Be am observat că sînt cuvinte (subcuvinte) atît A B cît şi Be. Rezultă că operaţia de j uxtapunere este asociativă. Cum un cuvînt este o " n"lulţillle ordonată" de litere, evident că noi putem să aplicăm în mod trivial metoda mulţimilor l a studiul cuvintelor. Se observă astfel că în cazul asocia­ tivităţii două subcuvinte formează o intersecţie (ex. A B� Be, au ca intersecţie subcuvîntul B) . La fel putem spune că n un cuvînt este inclus în altul", că . , 0 literă aparţine unui c u vînt " etc . O literă (un s i mb o l elementar) poate să apară de mai multe o ri î ntr- u n cuvînt (expresie), lucru asnpra căruia anl atras dej a atenţia în paragraful anterior. Fiecare aselnenea apa ­ riţie a fost numită "intrare" (în cazul grafic "inscripţie") . Uu cu vîn t poate fi obţinut din altul prin operaţia de "sub­ stituţ ie" . La acest nivel putenI înlocui orice literă s au S intaxa logică

225


c uvînt (op e raţi a are aci un sens t rivial) Ex. în A BC înlo­ cuim litera A cu cuvîntul BD şi obţinem cuvîntul BD BC (s e înţel ege că fiecare cuvî nt trebuia să aparţină a c i la a cel aşi alfabet) . în loc de nsubstituţie" c a re este un termen prea sp eci ali zat put e m vorbi de înl oc uire Vom avea u rmăto ar ele tipuri de înlocuiri : 1) înlo cui m o singură i nt r a r e (s a u o part e din intrări) a unei li t e r e cu un cuvînt . 2) înlocuim toate intrările unei litere cu un cuvînt . 3) înlocuinl un subcuvînt (într o intrare, o parte s a u toate intrările sale) dint r-un cuvînt cu un alt cuvînt în logică utilizăm toate trei tip uril e de înlocuiti prima po art ă numele de "re denumire (este ut ilizat ă în cazul exp r esiil or cuantificate), a d ou a este cazul -" substituţiei " propriu-zise, i a r a treia este cazul nsubstituţiei de echi­ valente" (în sens s emantic) Dorind să f a c em legătura între senliotică şi linlbajul algo­ ritmi l or noi am utili za t mai sus în p a ral el terminologia c el o r două limbaje : litere-cuvinte şi r e sp e c tiv : senIne (simboluri) - e xp r esii î n c ontinuare vom folosi mai ales tenninologi a apropi a tă l ogicii Din clasa expresiilor vonl desprinde subc1asa expr e sii lo r bi n e form at e Expr esiil e bin e form at e vor fi la rîn dul lor de două feluri : "termeni " şi , Jorm ul e (ex­ p re si i propoziţionale) . Astfel în lim b aj ul predicatelor 11 - P " este expresie, dar nu un a "bine formată", dimpotrivă "p - VxF(x) " este o e xpresi e bine formată. Pentru prescurtare, T0111 uti li za de a c um în loc de exp r esie bine fornlată" doar cuvîntul , exp resi e ',! (în a c e s t fel termenul "expresi e" capătă în metalinlbajul n ostr u o s e mnifi c aţi e largă şi una s tri ct ă) . O combinaţie de senlue va fi numită expresie (în sens strict, re st rîn s ) dacă există reguli bine definite care a r ată : a) ce anume c o n sid e r ăm c a e xpr e si i i n i ţi a l e, b) cunl form ăul expr e s ii compuse din semne sau expresii date, astfel c ă r e sp ec tiva c ombin a ţi e este constituită în conformitate cu ace st e r eguli Observăm că în li ulbajel e l o gi ci i vocabularul şi limbaj�tl ( c a mulţime de expre si i ) se intersectează, însă nu orice element din vocabul ar este expresie . în LR simbolul p este şi e xpr es i e , dar simbolul -- nu este .

"

".

-

.

-

"

.

.

.

n

.

".

"

"

.

.

Teoria sistemelor logice

226


expresie . Regulile sintactice pentru formarea expresiilor v or fi numite şi .., reguli de forma r e " . Fie R v R2, Rn r egul i le de formare. Putem nota pe scurt clasa r eguli l o r cu R. Vom numi nexpresie în limbajul L" clasa combinaţiilor (o combinaţie se poate reduce şi la un singur simbol) închisă relativ la regulile R. Cu alte cuvi nte o se c venţ ă (combillaţie) de simboluri va fi exp r es i e dacă şi num ai dacă ea este postul ată sau formată în confonnitate cu reguli din R . Deoarece o expresie v a fi repro dusă d e nenumărate ori în limbaj, noi vom înţelege (ca şi în cazul s e mn elo r) p rin expresie o clasă de c o mbinaţii echivalente g r afi c. Riguros vorbind un limbaj L este o mul ţi nle de astfel de clase de combinaţii echi vale nt e grafic . D e fi niţi a no ţ i u nii d e expresie se face î n mod inductiv ( re cur si v) astfel încît avem la dispoziţie un mij loc c o nst ruc­ tiv de a r ăsp unde la întrebarea : " este sau nu o expresie ( bi n e formată) cutare combinaţie de simboluri". Pe de altă parte, nu trebuie uitat că "definiţia recursivă" şi Tespectiv ll1 et od ă constructivă" vizează "expresii în L" şi n u " expresii î n gene r e". Rezolvarea problemei de mai sus se face prin simplă inspec­ ţie sau prin reconstrnire efectivă a expresiei în conformi­ tate cu R . Regul il e n u numai c ă definesc noţiunea d e expresie şi sînt lnij loc de d ec i zi e, dar ele contribuie l a defini rea sintactică a simbolurilo r în sensul că precizează rolul lor în l i mb aj . î n general, rolul unui simbol este definit de regulile de formare şi de clasa exp re sii l or s el ecţi o n a te după unele criterii mai tari decît r e gul i le de formare . a ulterioară di vi zi u n e a e xpre si ilo r presupune introducerea de noi criterii. O p rim ă diviziune (clasificare) va fi în "te rnleni " şi " p ropo ziţii " . în l oc de " p r op o zi ţi e" vom folosi .a desea tennenul sintactic ,Jormulă". �..\.stfel : x este tennenJ F(x) este fonnulă. Nu în orice li mb aj se impune di f ere n ţ a între tennen şi formu l ă . D e ex. în lj lnb aj ul fu ncţiilo r de adevăr o astfel de diferenţă nu apare. In cazul în c a re o astfel de di st i nc ţi e nu este luată În c o n­ si deraţie (sau nu se i nlpune) no ţi u ni le de "expresie" şi ,,formulă" se identifică. D ef i niţi a termenilor sau a formulelor se dă de asemenea prin inducţie (rec u r s i v) . •

J .•

Sintaxa logică

227


Fie, de ex. limb aj ul aritmetic cu vo c a bul aru l (, ) x,

a,

b,

c

+

=,

Definiţia termenilor. 1) Literele a, b, c vor fi ternleni 2) Dacă rx, ţ) sînt t e rm e ni atun ci rx + �, rx X � sînt ter­ lneni . Unii a u tor i adaugă la regul il e de fornlare a t e rm e ni l or şi o regulă de superpoziţie : 3) Dacă rx este termen atu nc i Super � dă t e rm e n (unde JJ Super" Înseamnă superpoziţie) . Definiţia formulelor. Dacă rx, � sînt termeni at unci rx < �, rx = � sînt formul e . Confornl c u aceste definiţii a + b, a X b, a + c sînt ter­ meni, a b, b < c sînt fo r mu l e . Fie apoi vocabularul logicii predicatelor {x, j', z, . . . F, C, H, - , &, " A, ( , ) V, 3} =

Definiţia termenilor. 1 ) Variabilele x, y, z, ' " sînt termeni 2) Variabilele F, C, H, . . . sînt termeni 3) Dacă l/J este t e rm en conform cu 2, atunci � este termen 4) D ac ă 0/, X sînt ternleni c o nfornl cu 2, a tun c i � & X e s te ternlen 5) Dacă oc este t erm e n conf. cu 1 şi cp este termen confornl cu 2. at un ci 1 rxcp ( rx) şi Aex<p ( ex) sînt termeni . Se înţelege că putem generaliza regul ile de fornlare a t e r­ m e nil o r . Fie � op er at o r terminal . 1) Literele a, b, c, . . . vor fi t ermeni 2) Dacă oc, ţ) sînt termeni at une i � ( rx, �) este t e rm e n (a c i literele rx sau f1 pot fi vide nu Însă ambele deodată) . Definiţia formulei este bine cunoscută, aşa În c ît renunţănl la a o ma i da. Este util uneori să se di st i ng ă Între termeni elementari şi ternleni c omp uş i , respectiv formul e el elnentare şi formul e c omp u s e . As tfe l, x, F sînt termeni elementarl , clar 1 xF(x) , AxF(x) sînt termeni compuşi . Un tennell c o mp us nu se des c Olnp une neap ăr a t în t e rm e ni , el se poate d es c o mp une În termeni şi for mul e . Ex . AxF(x) c o n ţi ne ca parte formula F(x) . Teoria siste melor l ogice

228


Spunen1 că un termen (resp . o fornlulă) este elementar dacă el nu nlai constă din alţi termeni (resp. din formule) . Corespunzător cu clasificarea propoziţiilor în ,,închise" şi "deschise" vom avea o clasificare a formulelor în ,.formule propoziţionale" (fără variabile libere) şi ,.formule variabile" ( cu variabile libere) . Analog, termenii sînt constanţi şi variabili . Fie T-termeni şi F-formule, un limbaj fornlalizat L va fi : L = { T, F}. Aceasta este accepţia cea mai largă, vom vedea că introducerea noţiunii de axiomă (A ) ne dă o definiţie nlai restrînsă L = {A, T, F} în formarea termenilor şi formul elor noi nu am acordat nici un rol operaţiilor de amP lificare şi restrîngere, iar iniţial nici înlocuirii (superpoziţiei) . Aceste operaţii sînt înţelese de regulă ca operaţii de "trecere" de la o expresie la alta, dar, în definitiv nimic nu ne împie­ dică să le considerăm şi ca operaţii de fonnare (şi deci să introducem noi reguli de formare) . Iată astfel de reguli în logică : Dacă A ( x) este expresie atunci A (y) este expresie (înlo­ cuire) . Dacă A & B este expresie atunci A este expresie (restrîngere) . Dacă A este expresie atunci A V B este expresie (ampli­ ficare) . =

4.

TIPURI DE EXPRES I I

a) Te rmenii. Am definit mai sus noţiunea d e termen . O definiţie sintactică riguroasă presupune relativizarea la limbaj a definiţiei ( tennen în L" ) . Mulţimea T este închisă faţă de clasa regulilor de formare a termenilor. Sintactic noi puteln clasifica termenii după complexitatea şi rolul lor formal (determinat de operaţiile formale la care sînt supuşi) . Vorbin1 mai întîi de termeni simpli în sensul strict (a căror parte nu nlai este termen) şi termeni compuşi (care conţin alţi termeni ca parte) . Utilizînd un anumit lTIod de expri­ lnare care îşi are originea în opera lui B . Russell vom spune respectiv ntermeni atomari" şi "termeni mol eculari". 'J

Sintaxa logică

229


ln limbaj ul nostru de referinţă x, y, z, . . . sînt t e r nlen i simpli (ato mari ) , în timp ce x + y, AxF( x) sînt termeni compuşi ( mo l e c ula ri ) . Problema dacă trebuie să int roduc e m sau nu constantele-operatori ( + ' " A, V, =1- etc . ) printre termeni nu e uşor de rezolvat . În evul mediu se di s tinge intre "t e rmen i categorematici" şi "termeni sincategore­ matici" . Deosebirea este totuşi radicală căci în timp c e termenii sint expr esii , intuitiv, cu gr eu am putea spune c ă +, X ş . a . sînt expresii. Totuşi metodele ITIoderne adm.it o generali­ zare chiar împotriva intuiţiei dacă se gă s eş t e o convenţie utilă în acest sens . Vom conveni că acele componente ale vocabularului care au rol formativ sau auxiliar nu sînt ternleni sau în orice caz nu sînt termeni compleţi şi deci ne vom limita la clasa expresiilor definite ca termeni prin regulile de formare. Clasa simbolurilor operatoriale, auxiliare sau de legătură va fi tratată separat. Vom denumi această clasă "sim­ b olu ri formative" (SF) ' Termenii simpli (atOluari) vo r fi c on st a nţi (ex. t 2, Julius Cesar, Nap oleo n 1) sau variabili (x, y, z, . . . F, G, H, . . . ) . Deosebirea sintactică între termeni constanţi şi variabili se poate fac e în raport cu anumite operaţii la care sînt supuşi, dar desigur ei pot fi de la început po stulaţi ca atare. O tr ăs ăt ură esentială între termenii constanti ' si cei variabili constă în fap tul că t e rm enil or constanţ� n� li se aplică niciodată cuantorii ( V, 3) . Apoi termenii constanţi deşi pot fi sup uş i ope raţi e i de ,,Înl ocuire " nu p ot fi supuşi operaţiei speciale de "substituţie' ' . Fie s ă n�tăm operaţia de înlocuire c u I� (A) ( te rme nul IX se înlocU1eşte cu t ermenul � în expresia A) şi substituţia cu Sb; (� ) (expr � sie dej a cunoscută) . Orice substituţie este o "InlOCUire, recIproca nu este adevărată . Exemple : 1; (2 + y = 4) == x + y 4 S b � + 3) ( x + Y = 7) == == (2 + 3) + y = 7. Termenii compuşi sînt de asemenea co n s ta n ţi sau variabili. (Putem, după exemplul propo z iţii lo r să nUInim termenii , variabil � II de schi �i " , iar termenii constanţi " În chişi " ) . . Terme t.ll : compuşI pot avea ca parte alţi tenneni sau c h i ar . p rop o zlţl1 . Ex. "x + y " are ca părţi t e rme ni i I I X " şi nY ", dar ., AxF(x) ' ) are ca parte p rop ozi ţi a (deschisă) "F(x) " . =

Teoria si stemelor logice

230


Deoarece un tenllen compus poate rezulta printr- o succe­ siune de op eraţii de formare pornind de Ia si mbolurile elementare (din vocabular) evident că noţiunea de .. parte" trebuie p r ecizată în raport cu ul tima operaţie de formare. Fie * un s i m bol fornlativ şi CI., �, Y term eni sin'lp l i (el em en tari ) . Vom forma succesiv ternlenii compuşi : 1 ) CI. * � 2) ( o:: * �) * Y 3 ) (( CI. * �) * Y) * ( CI. * �) Dacă operaţia de formare * nu este asociativă în aşa fel ca să putem suprima toate parantezele, necesitatea de a distinge .. partea" este şi mai stringentă. Astfel 3) va avea ca părţi 1 1 ( 0:: * � ) * y" şi " oc * �" dar nu pe , , 0:: " , J J �" sau y Apoi 2) va avea ca părţi " o:: * �" şi "ruJ iar 1) pe ,, ('J.. " şi � Se înţelege că noi putem considera noţiunea de parte în sens strict (caz în care termenul nu îşi e propria sa part e) sau în sens l arg (caz în care termenul îşi e s te propria sa parte) . Preferăm noţiunea de parte în sens larg, nestrict. Considerăm expresia " AxF(x) ", observăm că ea are ca parte strictă pe nF(x) ". Trebuie oare să considerăm ca pa rte c o mbinaţia ., AX" ? Se poate desigur adopta o conve nţie prin care prin partea unei expresii să se înţeleagă şi combi­ naţiile operatoriale sau simpli operatori Însă din punctul de vedere al sintaxei l ogice o asemenea convenţie nu pare a prezenta interes . Ar însemna că expresia negaţiei "P " constă din două părţi "P " şi - ". în teoria al goritmil or o asemenea convenţie poate prezenta interes (vezi mai sus noţiunea de " cuvînt") . între termenii compuşi un loc aparte îl ocupă termenii descriptivi (,,1 xF(x) ") şi a bstracţi (pluraIi) ( AxF(x) "). Sintactic expresia ,,�xF(x) " poate satisfac e condiţia de unicitate 3yVx [F(x) == (x y) ]. în timp ce expresia " AxF(x) " în genere nu satisface o astfel de condiţie Pentru termenii compuşi se poate apl ica operaţia de în­ locuire a lo r cu alţi t e rm eni, dar ei în întregime nu se supun sub stituţiei Ex. putem înlocui " AxF(x) " cu " AXG(X)", dar nu putem vorbi de substituirea lui AxF(x) " . Pe de altă parte, dacă silnbolurile F, G, H sînt constante atunci termenii descrip­ ţiei şi abstracţiei sînt închişi (constanţi) . As tfel expresia

­

"

".

,,

"

JJ

"

=

.

.

n

Sintaxa l ogică

231

.


x Autorul Luc eafărului (x) " este un ternlen c o n sta n t. AxPar(x) ". Mulţimea termenilor mai poate fi c1 a$ ificat ă după pri ncipii de ierarhie astfel că avem termeni de diferite nivele (a se vedea teoria tipurilor) . Putem folosi indici pentr u a marca diferenţa de nivel : JJ'

Ia fel

n

t� , tg, t�, t: , t�, t�,

t�, t;, t;, . . . (unde exp onentul este indicele de nivel) .

O mulţi me TlI este disjunctă faţă de o m ulţi me Tm dacă m =1= n. Noţiun ea de "parte" a termenului p o ate fi c orel at ă cu ideea de nivel. Nu s e respectă aci regula t ipu ri l or cu p ri vire la ap li c ar ea simbolurilor. Ex. "H(1 XF(x) ) " este o propo­

ziţie, dar H şi F sînt de acelaşi tip . Pentru t e oria tipurilo r aceasta este evident o pr oblemă . Redată numai în sim b ol u ri t indi ciate , expresia respectivă va avea fonna t � (1tO ti (tO), or aci t � se aplică unei expresii care conţine dej a un simbol de acelaşi tip ti . Doi termeni sînt iZOlnorfi dacă ei sînt form aţi astfel că satisfac condiţiile generale de izomorfism În formarea lor. î ntr-un sens mai restrîns doi termeni sînt l ogic izomorfi dacă au aceeaşi structură l ogi c ă . Expresiile . , AxF(x) " şi AxG(X) " sînt iZ01TIorfe în sensul cor esp ondenţ e i în formarea lor, pe de altă parte toate expresiil e (dintr-un limbaj L a p licat) care au forma AxF ( x) vor fi logic iZOlnorfe Între ele, la fel pentru cele de forma � xF(x), dacă F e înlocuit cu o expresie de acelaşi tip. Expresiile l J � xF(x) " şi " AxF(x) " luate ca atare fac parte din limb aj ul logicii , apli c ate însă ele generează clase de expresii izomorfe logic (deci de echivalenţă) . O ultimă problemă relativă la termeni este introducerea termenilor constan ţi (indivi dua l i, funcţional i ) în limbaj ( G rz egorcyk) . 1) Un termen a este i ntrodus corect ca termen constant Într-o f ormul ă et. ( x) dacă şi numai dacă : - p ro p oziţiil e 3 xet. (x) şi V(x, v ) ( ( et.( x) & et.(v ) ) - X = v ) sînt teorenl e În limbaj ul t eore tic L, H

Teoria sistemelor logice

232


- termenul a nu apare în cele două propoziţii şi în genere în L, - termenul a este introdus în L împreună cu axioma a == C{ (x)) . C{( a ) (ori altfel : 'v'x(x Fie L un limbaj aritmetic care nu conţine zero (O) , atunci : y + x) va introduce termenul zero . C{ (x) == 'v'y (y 2) Un simbol F astfeJ că F ( XI' . . . xn) este introdus corect într-un limbaj L dacă şi numai dacă : - propoziţiile : 'v' ( x i xn) 3z cx(xv . . . Xn' z) xn) 3(z, v ) (( C{(xv . . . XfI' z) & oc(xv . . . Xn' v)) ­ V(x1, v) -z sînt teoreme în L, - termenul F nu apare anterior în L, - termenul F şi definiţia F (x1, V(xv ' " Xn' y) (y x,J == C{ (xv . . . , Xn' y) ) sînt adăugate la L, (Ultima condiţie e formulată de Grzegorcyk şi astfel : xn) )) xn) (((xv · . . xn' F(x1 V(x1, 3) Un simbol F este introdus în mod condiţional în L dacă şi numai dacă : V(Xv . . . xn) ( � (Xl> . . . xn) - 3z cx(Xl> . . . xn' z) ) V(Xv . . . x1:) V(z, V) (( �(Xl' . . . Xn) & Cl ( Xv . . . xn' Z) & &Cl ( Xv . . . xn V ) ) - z = V sînt teoreme în L. - F nu apare anterior în L, - F şi definiţia condiţională F( xv . . . xn ) == V(x1, xn' y ) ( � (xv . . . xn) - (y == Cl (Xv . . . xn ' Y ) ) ) sînt adăugate la L . (Ultima condiţie e formulată ş i astfel : 'v'(xv . . . xn) �(xv . . . X1:) - C{(xv . . . Xn' F (xv . . . x,, ) ) ) =

=

.

.

=

=

.

.

=

b ) Propoziţii. Ne-anl ocupat mai sus de studiul sintactic al termenilor, între altele de clasificarea lor sintactică. Pentru limbajul formalizat (în speţă pentru limbajele logice şi matematice constituite cu variabile şi simboluri speciale) vom vorbi în loc de propoziţii despre formule . Definiţia formulelor este cunoscută (anl exemplificat-o dej a) . Fără îndoială că noi distingem între a vorbi despre ,.formulă În genere" caz în care utilizăm o condiţie care Sintaxa logică

233


conţine în formularea ei termeni neprecizaţi şi ,.formulă în L" caz în care se presupune că regulile sînt precis for­ mulate . Criteriile de clasificare a formulelor pot fi diverse : a) după gradul de cOlnplexitate, b) după tipul termenilor, c) după tipul operatorilor ş.a. Distingeln mai întîi formule elementare şi fonnule COlnpuse, în alţi termeni "atOlnare" şi "moleculare" , ex. nF(x) " şi resp. J )F(x) & G(y) " . O fonnulă este elementară dacă nu mai conţine c a parte a sa o altă fonnulă (noţiunea de nparte" este luată aci în sens strict) dimpotrivă, ea este compusă. D acă o formulă nu conţine termeni variabili atunci este mai potrivit s-o numim pur şi simplu prop oziţie (sau "formulă constantă" sau ,.formulă închisă" sau J,propo­ liţie închisă" ) . Variabilele dintr-o formulă pot să fie libere (neafectate de operatori ca V, 3 sau chiar �, A) sau dimpotrivă fixe (legate de operatori) , ca urmare vom avea fonnule deschise ("pro­ poziţii deschise" în limbaj e intuitive) cînd cel puţin o variabilă este liberă, sau formule închise C,propoziţii închise") cînd nici o variabilă nu este liberă. O formulă este total deschisă (toate variabilele sînt libere) sau parţial deschisă. O formulă poate să conţină o singură variabilă ( cu una sau mai multe intrări) şi VOln conveni s-o nUlnilll "nlOnoton variabilă" sau chiar " mollovariabiIă", sau poate să conţină variabile diferite, caz în care o vom HUlui " n - variabilă" . (A nu se confunda cu predicatele n-adice) . în raport cu operatorii putem clasifica formulele după tipul de opera­ tori (propoziţionali, predicativi, extensionali, luodali ş.a.) . Vom avea formule al e logicii propoziţiilor, fornlule ale logicii predicatelorJ formule ale logicii claselor, formule ale logicii relaţiilor, formule ale logicii modale ş . a. Aceste clase de fonuule n u sînt neapărat disj uncte. Această clasi­ ficare se mai spune că este după ,Jorma logică a propo­ ziţiilor" (formă care este determinată de tipul de operatori aplicaţi în formarea propoziţiilor) . Se poate ca unele formule să fie formate cu un singur operator - ele sînt monooperatoriale (ex . ,, (p -- q) -- r ") Sau cu mai mulţi - ele sînt pluri operatoriale (ex. ,, (P & q) V r " ) . Teoria sistemelor logice

234.


Clasificări diferite se pot face în legătură cu cu antorÎÎ (cuantificate, necuantificate ; uniform cuantificate - cu un singur cuantor sau diferit cuantificate ; cu prefix sau fără) . î n fine o formulă poate conţine numai simb oluri logi ce sau şi s imb o luri n e logice ( des criptive) - VxF(x) este o formulă pur l ogică, dar Vx \ly (y > x) este o formulă cu un simb ol descriptiv (» . Se p ot deos ebi forme. .speciale numite "canonice" (sau "norma1 e ") , f orme " mI nI me ş. a . Putem da definiţii riguroase termenilor de mai sus, însă în cele mai multe cazuri ele sînt cunoscute dej a din logică. Vom defini totuşi unii termeni în mod sistematic. O formulă ap arţine strict de un limbaj L dacă şi numai dacă ea conţine simboluri specifi c e li mb ajului L. Astfel : (p & q) -+ r ap arţi ne strict limbaj ul ui propozi­ ţiilor, nestrict limbajului predi catel or ; YxF(x) " aparţine strict li mbajului predic atelor, la fel Vx (F (x) -+ G(x) ". Avînd în vedere di stincţia dintre , . li mba j ul l ogic " şi ,,lim­ baj e aplicat e " (în raport cu logica), vom di stinge între " expresii pur l ogice" şi "expresii logice aplicate ". O expresie pur logică este o schemă de expresii în rap ort cu limbaj ele l ogic e ap licate . O schenlă care aparţine stri ct lui L va fi nunlită "de tip L"I la fel o expresie care se obţine prin substituţie în respectiva schemă. Astfel VxF(x) " este o schemă a limb ajului predi ­ catelor. deci ude tip predicativ ", la fel expresia \Ix Om (x) " care rezultă prin s ub st ituţi e este de tip predicativ, dar nu sch emă . O formulă are prefi x dacă şi numai dacă ea conţi ne cuantori şi orice alt sinlbol nu precede cuantorii ( \IX, 3y) . Cînd vorbi m de intrarea cuantorilor în formulă este neces ar uneori să avem în vedere conlplexul Qa. (unde Q cu a nto r a. = vari a bila cuantificată) . O formă este canonică (llonnaIă) pentru o cl a să K de for­ mule dacă şi numai dacă a) există o de fini ţi e a structurii ei. b) orice formulă din K p oa te fi adusă prin transformări la o formulă de structură indicată . O fo rmulă A este minimă în rap ort cu o formulă B dacă şi n umai dacă a ) A se obţine prin reguli de transformare din B şi b) A este formula cu cel mai mic nu măr de sim­ boluri în care B p o ate fi transformată . (Definiţia p oate fi JJ

n

II

II

II

=

Sintaxa logică

,

235


dată relativ I a l ung i mea formulei . Se poate utiliza opera­ t o rul de minimizare [1.) . Clasificarea sintactică a fornlulelor este i nlp o rt a ll t ă nu nu­ mai pentru probl enla deciziei (sau alte probleme) , ci şi pentru dezvoltare a conceptelor semanticii (după cum se va -vedea) . 5. NOŢIUN EA D E R EGULĂ S I NTACTI CĂ

Noţiunea de nregulă" a fost pînă aCUll1 i nvo c at ă însă nu i-am acordat o atenţie specială. O regulă este o propoziţie metateoretică în care se pre­ scrie modul de efectuare a unei operaţii (sau pur şi simplu o operaţie) . Aşadar noţiunea de regulă este legată de aceea de operaţie . în cele de mai sus am avut de-a face cu " ope­ raţia de f o rm are a exp resi i l o r această operaţie este de­ finită de ansatublul regulilor de formare . Siulbolurile la rîndul lor sînt detenninate sintactic prin "rolurile" pe care le j oacă, adică prin ansamblul operaţiilor în care ele sînt antrenate prin aplicarea regulilor sintactice . Puteln să definiln li mb aj ul L într ucîtv a diferit ele definiţia dată mai sus, anume ca o algebră : L {S, O} unde 5 reprezintă mulţimea simbolurilor din vocabular iar O ansamblul operaţiil or cu aceste simboluri . Clasificarea regulilor urmează clasificarea operaţiilor. Astfel în liInbaj ul nostru de referinţă avem "reguli de formare", "reguli de transfonnare" (de la o expresie se trece la alta echivalentă cu ea), "reguli de selecţie" (în speţă regulile de deducţie) prin care detaşăm o submulţime de expresii cu anumite proprietăţi sintactice. Mulţimile de reguli nu sînt neapărat disj uncte între el e. Din anumite puncte de vedere este necesar să luăm seama la următoarea succesiune de noţiuni : Reguli ...... Operaţii - Secvenţe de sinlbolul-i (sau secvenţe de asemenea secvenţe) . Regula prescrie (sau chiar, putem spune, descrie) operaţia, executarea operaţiei (aplicarea ei) duce la un rezultat care este în cazul nostru o secvenţă de tipul amintit . Adesea în locul operaţiei noi descriem "clasa de rezultate " . înţelegem prin " deducţie" n u mişcarea (mentală) d e l a prelnise la concluzii c i o anunlită secvenţă a cărei structură este prevăzută prin regulile de operare . ",

=

Teoria sistemelor logice

236


în sens matematic operaţia este o aplicaţie de forma A n -'> A (unde A n este un produs cartezian) , ceea ce Însealnnă un ansamblu de reguli de corespondenţă (univocă) . Cu alte cuvinte matematic nu contează ideea de " mişcare" p e care o presupune operaţia în sensul obişnuit, se pre­ supune că o operaţie este lnatematic pe deplin definită de "clasa rezultatelor sale" raportată la o clasă de date. Schema de definiţie este următoarea : din datele A l, A 2 . . A n se obţine rezultatul B dacă există regulile RI' . . . Rm astfel că efectuînd operaţiile 0v ° 2 On se produce rezultatul B. Altfel : secvenţa A v . . . An reprezintă un proces (un complex de operaţii) dacă An este identic cu A j şi se obţine din A v A 'i - l conform cu regulile Rv . Rn . Un astfel de proces poate fi. de exemp lu, deducţi a. Vom folosi ca expresii echival ente : s ecve nţ a S reprezintă obţinerea unui rezultat A i din datele Ai - 1 " "A se obţine din r" sau "A este rezultat din r" (unde r este o mulţime de date), , , 0 mulţime de entităţi E reprezintă un proces P dacă există anumite date D si un rezultat C care se obţine din D prin efectuarea o p eraţiilor ° prescrise de regulile R". Printre regulile logice regul a substitnţiei ocupă un loc separat . Formularea regulei substituţiei de­ pinde de tipul de variabile din lilnbaj şi se înţelege de structu ra generală a limbaj ului . Astfel, dacă în logica funcţiilor de adevăr ea este foarte simplă, în logica predi­ catelor este, dimpotrivă, foarte cOlnplicată. Justificarea acestei reguli ca de fapt şi a tuturor regulilor formale v o m vedea că este de natură semantică. Formal ea are două aspecte : a) arată care este clasa de expresii substituibile unei va l ia­ bile libere, b) arată cum trebuie făcută înlocuirea (ex. în toate i ntră­ rile ş.a.) . Există încă două reguli de înlocuire înrudite cu regul a substituţiei : - regula redenumirii variabilelor cuantificate, - regula înlocuirii de expresii echivalente (se presupune că tennenul echivalenţă a fost definit în prealabil pur forma] ) . Putenl să diversificăm notaţia astfel : I� (A) (operaţia de înlocuire în genere) . •

.

.

.

.

.

.

"

Sintaxa logică

237


Sb� (A) (substituţie de v)� Rd�vJ (A ) (redenumire a variabilei legate [v] cu variabila �) e.

E cj (A ) (înlocuirea unei expresii e i c u o expresie echivalentă ej) ' în fiecare caz în parte noi am reprezentat operaţia�' dar expresiile noastre redau în acelaşi timp un rezultat Q astfel că' putem scrie 1; (A ) == Q 6. RELAŢI I S I NTACTICE i N TR E EX P R ES I I

a) Relaţia de la parte la întreg. Această relaţie a fost dej a utilizată nlai sus . Noţiunea de "parte" a fost înţeleasă într-un sens strict (pe această bază am definit conceptele de elementar) sau în sens larg (nestrict) . Vom numi parte a unei expresii în L - expresia vidă� - orice expresie conţinută în expresia dată dar de o lungime mai mică, şi care o precede iluediat în ordinea formării - însăşi expresia. Aceasta este definiţia părţii în sens larg . în sens strict parte va fi orice expresie conţinută în expre­ sia ' dată ; dar de o lungime mai mică decît expresia . Relaţia de la nparte la întreg" poate fi studiată pur formal : ea este reflexivă, nesimetrică şi netranzitivă. Prima pro­ prietate şi a doua decurg imediat din definiţie, a treia este demonstrată prin exemple "pro" şi ncontra". Fie două formule : A & B, A & B & C A este parte a lui A & B, A & B este parte a lui A & B & C, dar şi A este parte a lui A & B & C. Dilupotrivă formulele (p - q) şi (p - q) - v nu se supun tranzitivităţii de exemplu� relativ l a "p " : p este parte a lui p - q, p - q este parte a lui (p - q) - r� dar p nu este parte a acesteia. În sens algo­ ritmic noţiunea de "parte" poate fi definită atît de slab încît relaţia respectivă să fie tranzitivă. în legătură cu noţiunea de "parte" a expresiei vom intro­ duce ternlenul de "context" : Teoria sistemelor logice

238


( l ) O expresie A este context pentru un simbol s - pe

scurt

A [ s ] - dacă şi numai dacă s este conţinut în A,

(2) O e xp r e s i e A este context pentru o expresie B dacă

şi nUlnai dacă B este conţinută în A - pe scurt A [B] şi B este de o lungilne mai nlică decît A . Invers, se spune despre s (resp. B) că "intră În contextul A " dacă şi numai dacă A este context pentru s (resp . pentru B) . Un simbol sau o expresie pot avea mai multe "intrăriJJ Într-un context. Ex � [(F(x) - G( x ) J - 'v'x [F (x) - G( x) ] este un context pen­ tru · x, F, F(x) etc . F(x) are două intrări în c ontext iar x are' cinci intrări . Contextele pot să fie de mai multe feluri : a) terminale, b) propoziţiollale, c) inferenţiale. Dacă (X intră într-un context CI şi CI intră într-un context C2 atunci cx; intră în contextul C2• (Tranzitivitate) . Contextul poate să fie definit sau ambiguu. Aceste două noţiuni ţin mai degrabă de semantică decît de sintaxă şi deci le vom preciza în capitolul respectiv. -

b) Relaţii de echivalenţă. Am studiat dej a ideea de "echi­ valenţă grafică", Însă noţiunea de echivalenţă cuprinde mult mai multe cazuri, chiar cîtid e vorba de limbaje. Un al t exemplu de echivalenţă (în dimensiunile sintactice) este i zomorfismul . Se observă, de exemplu, că formulele : P & q =. q & P p v q -= q v p sînt foarte asemănătoare, efectiv Între ele nu există dife­ renţa de structură, ci doar între simbolurile utilizate . Vom spune că dou2. expresii sînt sintactic izomorfe dacă şi numai dacă : a) ele sînt de aceeaşi lungime, b) fiecărui simbol dintr-o formulă îi corespunde un şi numai un simbol de acelaşi tip din cealaltă formulă şi reciproc . Condiţia b) poate fi dezvoltată astfel : fiecărui termen din prima îi corespunde un şi numai un termen din a doua (şi reciproc), fiecărei operaţii din prima Îi corespunde o şi numai o operaţie din a doua şi reciproc. Dacă avem o mulţime de termeni T {tv . . tn} şi o lTIulţime de operaţii O {Ov . . 0tlt} atunci fiind date două =

=

Siritaxa logică

.

.

239


formule (1) şi (2) ele sînt izomorfe dacă există o aplicaţie univocă ( o funcţie) h astfel că :

h(t1j) = t2j h(t2j) tIj h(t1k)O' h(tll ) h(t1kOtll ) h (t2m) Olt (t2tţ ) h (t2mO't2Jt ) =

=

Formulele

=

:

P&q= p v q p v q == p & q

par să nu fie izomorfe deoarece negaţiei nu-i corespunde o operaţie de acelaşi tip. Şi totuşi, ei îi putem pune în cores­ pondenţă afirmaţia pe care convenim s-o notăm (numai pentru uz momentan) cu + astfel că vom avea :

+ P & + q == + p v + q p v q == p & q Noţiunea de izomorfisnl sint ac tic poate fi

definită precis dacă o relativizăm la f i e c a r e limbaj în p arte . O alt ă relaţie de echivalenţă este definită pe baza regulilor

de transformare ; ea va fi simbolizată :

A� B

Comparînd relaţiile de e c hivalenţă se constată că orice echivalenţă grafică este izolnorfism, r ecipr oca nu este adevărată. Echivalenţa grafică este un endo m orfism (= un homo­ morfism în sine) luai precis este un aut o morfism (= este şi izomorfism) . Transformarea nu coincide cu izomorfismul definit mai sus, ea este însă o relaţie de echivalenţă de la o clasă de echivalente grafic la altă clasă de echivalente grafic (posibil şi identică cu prima) . în acest sens echivalenţa grafică poate fi privită ca un caz special de transformare. Problema echivalenţei poate să fie extinsă şi la expr e s ii aflate în limbaj e diferite (LI' L2J Ln) · O expresie di n Li poate fi echivalentă cu o expresie din Lj, de ex. în sensul relaţiei de traduct ibilit ate pe c are o putenl defini printr-un ansamblu de "reguli de traducere" tra­ tate pur formal . Vom c o nveni că fiecare expresie de forma qJ ( oc) din limbaj ul predicatelor va fi tradusă în limbajul cl aselor printr-o expresie de forma oc E qJ (şi reciproc) . Echivalenţa cp ( oc) == oc E cp este în acest fel o echivalenţă în sensul traductibilităţii. •

Teoria sistemelor logice

240


Prin idealizare vom admite că Li şi Lj pot să fie şi identicE'. în acest fel, o expresie " se traduce pe sine" .

cp ( rx) == cp ( o:)

(Semantic acest lucru echivalează cu a spune că ea este sinonimă cu sine) . c) O relaţie simplă dar utilă în definiţii este aceea de " x urmează imediat după y " (unde x, y sînt simboluri sau expresii) . Ex. Orice variabilă care urmează iniediat după un cua ntor este legată de acel cuantor. d) O altă relaţie este cea de definiţie ( df) . Ea se stabi­ leşte între termeni : C( = df �. Definiţia sintactică este de regulă o prescurtare care se dă în raport cu o expresie dej a introdusă. Pe baza acestei relaţii se determină alte noţiuni. Un termen L este independent de un termen B dacă L nu se poate defini prin B, dacă are loc şi reciproca atunci ei sînt reciproc independenţi. Un termen este prim în L dacă şi numai dacă el riu este introdus prin defin�ţie în L şi face parte din L . Fie două nlulţimi d e termeni Tk , TI astfel c ă Tk =1= Tl şi Tk C TI · Mulţimea T� este o mulţime minimă de termeni primi dacă şi numai dacă orice termen ti E Tz şi ti � Tk este "reduc­ tibil prin definiţie" la cel puţin un termen tk E Tk ( este definibil prin cel puţin un t kE Tk) şi nu există o nlulţime Tm =1= Tk şi Tm C Tk astfel ca să satisfacă condiţia de reduc­ tibilitate enunţată. Vom mai spune că mulţimea Tk este comPletă relativ la 111ulţimea TI . Un termen C( este necontradictoriu dacă el nu are o defi­ niţie care să ilnplice o contradicţie. Doi termeni C( şi � nu se contrazic (sînt compatibili) dacă şi numai dacă definiţiile lor nu se contrazic. Un termen t este definibil în T dacă s i l1u111ai dacă există o definiţie care să ne permită introdu�erea lui t în T fără a ne contrazice cu T. =

=

e) Relaţia de inferenţă. Este cea mai importantă relaţie pentru logic ă şi studierea proprietăţilor ei şi a formelor ei particulare constituie principalul obiectiv al logici i. O vom mai numi şi "relaţia de consecinţă" sau de " derivare logică" . Ea nu trebuie con.fundată cu cazul ei special - deducţia. Sintaxa logică

24 1


Von1 nota relaţia de inferenţă cu t- şi v o m scria A I- B ( IJ di!] A rezultă logic B"� s au " B se inferă logic elin A " sau N E este consecinţă logi că din A " ş.a.) . Term elml "infere nţă" este ambiguu - el poate de s eluna

operaţia de derivare logică sau o rel aţie coresp unzătoal'e între propoziţii . Put e m adopta un unghi de vedere sau

şi pe celălalt. Spunem c ă o formulă B e st e o conseci nţ ă din A ( u nde A p oate să fie o singură propoziţie sau 111 ai m ul t e) dacă şi numai dacă există o r egul ă R care arată că din A de forma dată se p oate obţine B de forma dată. A p o ate fi o propo­ ziţie s a u un ansalublu de propoziţii. În raport cu B dacă are loc A 1- B� A va forma luulţimea premiselor� i a r B cOllcluL:ia. Puten1 p o rn i de l a un al t punct de vedere : A 1> A 21 An este o secvenţă inferenţială dacă An este concluzb şi ea d ecu r g e logic din Av A 2� . . . An.-l (pren1i­ se1e) . Regula de infe renţ ă este o propoziţie care arată, pe de o par te, ce formă au premisele� iar pe de altă parte, ce formă are concluzia care decurge logic din premise. Relaţia 1- este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă, cu al t e cuvinte au loc ( 1 ) A ' t- A (2) dac ă A I- B n um ai uneori B I- A ( ex . conver s iu ni1 e simple sînt simetrice" cele prin accident nu) (3) dacă A f- B şi B I- C at un ci A I- C. Tranzitivitatea totuşi nu are loc decît dacă inferenţa este luată în sens slab ca ,,inferenţă directă sau in dire c tă" (nu are importanţă care dintre ele are loc) . Pentru un studiu sintactk mai în de t al i u este necesar să OperălTI o sumară clasificare a inferenţelor. 1) Inferenţe inductive sau deductive. Logica formală s e interesează în p rincip al ele infere nţele deductive şi numai în m ăsu ra în care inducţia este completă o poate in t er e sa. (Inducţia incompletă.. amplificatoare interesează partea euri stică a logicii.) Inducţia completă j oacă un a n u lu it rol în sistemele teore­ tice formal izate . De foarte mu.lte ori concluzia este trasă prin trecerea în revis tă a tuturor cazurilor (ceea ce poate avea loc dacă nun1ărul acestora nu este prea mare) . Astfel.. recunoaşterea faptului d Lcă o formă normală reprezintă o lege logică sau nu s e face printr-o inspectare a fiecărui •

Teoria sistemelor logice

242


membru al formei normale. Pentru metateorie inducţia completă este un instrument preţios, avînd în vedere că adesea cercetăm clase finite de expresii. Dacă logica îşi îndreaptă Însă atenţia în primul rînd spre deducţie aceasta se datoreşte faptului că teoretic rolul ei este mult mai mare (ca dealtfel şi varietatea formelor ei) . 2) Inferenţele pot să fie dintr-o premisă sau din n-premise (n > 1) (iar în caz idealizat se poate vorbi şi de inferenţe din nlulţime vidă de premise) . Conversiunile corespund cazului n 1, iar silogismele categorice (simple sau compuse) - cazului n > 1. 3) Inferenţele sînt directe san indirecte. Le vonl mai numi "imediate " şi respectiv mediate . (A nu se confunda cu "inferenţele mediate" şi "imediate" din luanualele tradi� ţionale şi care sînt cuprinse in cazul 2 ) . Spunem că B decurge imediat (direct) din A dacă A r B şi nu există C astfel ca A r e şi C r B. În caz contrar va fi luediată (indirectă) . Regula modus ponens ca şi regul a substituţiei dau consecinţe imediate (directe) . Dacă A şi A � B atunci B. Dacă A (x) � atunci Sb:A ( x ) Aşa-numita contrapoziţie este în schimb rezultatul unUl lanţ de conchideri : TS - P I- TI> - s Există două concluzii intermediare : TS .+ F, TF + S, astfel că avem o secvenţă (lanţ) deductiv : TS - P r TS + P. TS+ Pr TF+ S, TP +Sr TP- S. în virtutea tranzitivităţii relaţiei � ne permitem să scriem : TS - P r- TP - S-: în legătură cu inferenţele indirecte introducem următorii termeni : "premisă primă", " concluzie ultimă", "premisă (concluzie) intermediară". =

La nţ de inferenţe imediate. O secvenţă de propoziţjj A l> A 21 An se va numi lanţ de inferenţe inlediate dacă : a) ea este de forma A l r- A 2' A 2 � A 3 � r- An -l r A .t ; b) A l este o mulţime de premise prime ; c) An este o concluzie ultimă ; d) A i (1 < i < n) este propoziţie intennediară. •

.

Sintaxa logică

.

243


Arbore i11jerenţial Sil1tp lu. O secvenţă A v A 2� . . . . A n este un arbore inferenţial simplu dacă : a) A l este o mulţime de pre mi se ; b) A n este o concluzie ultimă ; c) Ai est e o mul ţi me de propoziţi i care conţine cel puţi n o concluzi e din A i - l ( 1 < i < n) . Din cele de mai sus decurge că A i cuprinde cel puţin o concluzie intermediară şi poate cuprinde premise prime . Schema unui asemenea a rb ore de inferenţe este în parti ­ cular unllătoarea :

}

Cv CI ' Y l- C'2' " . C11 - 1, Z l- Cn C n' C'm l- CK L1, A t-- C{, C; , B l- C�, . . . , C;� - l' H f-- C ;� r, X t--

(Aci X, Y, Z, A, B, . . . H pot fi şi vide) . Următoarea infe­ renţă este m onoranlificată (lanţ de inferenţe imediate) . (p & q) - p, p - (p v r), (p & q) - (p v r ) . Iată şi o infe­ renţ ă p �i r am ifi cată (arbore) :

(4) p q- qp

( 1) p -+f (2) P -+ q

(3) P q -> fq

(3) pq-. pq-

(5) P q--+ ip (6) P q- fi p

Putenl da si d i agra m a (graficul) unei ase m ene a i nferenţe : ( 1) (4)

! (5)

t

( 2)

! (3)

( 6)

I

iL"

Se înţelege că putem s tu dia algeb r i c diferite asemenea forme de inferenţe c om pl exe (dealtfel vom re veni asupra lor ) . Tarski a studiat în special conceptul de ., c ons ecinţă imediată" (prin d etaş l re) . O formulă A este o consecinţă pri n det aşa r e dintr-o mul­ ţilne X de formul e (A E Cno (X)) dacă şi numai dacă există o secvenţă f i n i tă D de fo rmul e astfel că D este o demonstra­ ţi e prin det aş are a form ule i A din m ulţinlea X de formule ( ac cept ate ca i pote ze) . Proprietăţile acestei relaţii sînt ur m ăt oare le : ( 1 ) X C Cno (X) Teoria sistemelor logice

244


(2) XC Y -- Cno(X) C C"o( Y) (3) C'IO( CnO ( X ) ) C Cn o (X) (4) A E Cn o (X) -- 3Bv . . . Bk( Bv . . . Bk

E X & A E C1�O ( { BI, " Bk}) (5) A E CnO (X) & (A -- B) E C"o (X) -- B E Cno(X) Se den1011str ează teorema deducţiei relativ la această n oţ i un e . Noţiunea de consecinţă se ia apoi în sens mai larg A E C,. (X) =- A E CnO (X U A xL) (tlnde nA xL" sînt axiomele logice) . 4) O clasificare sintactică a infer e nţelo r poate fi dată după fonna propoziţiilor. Fiecare teorie logică presupune la bază o formă principală (specifică) de propoziţie (ex. propoziţii compuse cu operatori propoziţionali J p r opoziţii predicative� de inh e renţă, modale ş.a.) . •

7.

M U LŢI M I DE PROPOZ I Ţ I I i N L

Fie un l imb aj L { T, P} . Este interesant să studiem în genere mulţimi de propoziţii în L (adică submulţimi ale lui P) . Alegerea mulţimii se poate face arbitrar sau după criterii speciale. Notînd cu M mulţimea aleasă vom avea J.V1 C P. De aci decurge că M ar putea fi şi 0 sau p� vom exclude cazul cînd M = 0 (c el puţin deocamdată) . Criteriile spe­ ciale se pot referi la operaţii, proprietăţi şi rel aţii. 1) O mulţime M de propoziţii va fi numită ,Snchisă relativ la criteriul de al egere" dacă şi numai dacă orice element al mulţimii satisface criteriul de alegere. Ca exemple de mulţimi alese special vor fi "mulţimea for­ mulelor (propoziţiilor) din LI) (adică însăşi P), IImu1ţimea fonnulelor propoziţionale (propoziţii închise) ", "mulţimea fonnulelor ne-propoziţionale (propoziţii deschise) ", "mul­ ţime de formule independente logic" ş.a. Dacă Mk este o mulţime de propoziţii deschise (formul e nepropoziţionale) există o mulţime Me astfel că vp (P E Mk ) P * E Ml dacă şi numai dacă P * este o propoziţie închisă formată din P (prin cuantificare sau eventual şi prin substituţie dacă sistenlul cuprinde constante) . 2) Mulţimea Mz va fi o transformare a lui Mk (relativ la reguHle de transformare indicate) . =

Sintaxa logică

245


3) O mulţime M este consistentă (necontradictorie) . �acă şi numai dacă pentru orice p E J[ (unde p este o pro­ poziţie atomară sau moleculară) are loc :

P&P � M

4) Dacă o mulţime M este consistentă în sensul indicat ea se va numi ndescriere de stare" (Carnap) . Se poate demonstra că în raport cu n propoziţii atomar e se pot forma 2n descrieri de stare. O serie de logicieni şi filozofi au început în ultima vreme să dea o întrebuinţare destul de largă acestui termen. 5) O mulţime M de propoziţii (formule) este sintactic comPletă în raport cu un limbaj L dacă şi numai dacă : a) M est e închisă relativ l a clasa regulilor de formare din L, b ) VP (P E L � P E M) . Cu alte cuvinte, M conţine toate formulele (propoziţiile) din L şi numai . In acest fel M este cea mai mare clasă de propoziţii din L. în acelaşi timp ea este şi cea mai mică clasă de propoziţii care conţine toate propoziţiile din L. Această ultimă afirnlaţie poate fi redată cu ajutorul opera­ torului de minimizare f1. : M (f1.K) Vp (P E L -+ P E K) 6) O mulţime M din L se va numi inferenţială dacă toate propoziţiile sînt legate între ele direct sau indirect şi or ice p este sau o premisă primă sau o concluzie ultimă sau o propoziţie intermediară în raport cu relaţirr 1- . 7) O ll1ulţime M di n L se va numi dedttctivă (ordonaHt, structurată deductiv) dacă relaţia 1- este relaţia de de­ ducţie . Avînd în vedere că prin 1- se înţelege nse deduce imediat sau mediat" relaţia respectivă va fi de ordine parţială. O mulţime i nferenţial ă (resp . deductivă) are cel puţin o p r emi s ă primă şi cel puţin o concluzie ultimă dacă este finită. Pentru orice p şi orice q (P, q E M) dacă p 1- q atunci există cel puţin o regulă de inferenţă (resp. deducţie) care corespunde inferenţei p 1- q . O regulă prescrie o infinitate de inferenţe, altfel spus o infinitate de re] aţii de forma nq este consecinţă din P ", altfel scris : q = C(P) 8) Fie M o mulţime finită de propoziţii. Vom spune că p A

=

Teoria sistemelor logice


este o consecinţă din M dacă şi nUlllal dacă există o sec­ venţă de propoziţii a) P I' P 2' . . . Pn astfel că b) P coincide cu p" c) , ' pentru orice i (i � n ) sau P i E i'vI sau Pi decurge din unele propoziţii Pv . . . , P i- l conform cu cel puţin una di n regulile Rl' . . . Rm (de inferenţă imediată) . Tarski a analizat . aşa cum am văzut dej a, noţiunea de clasă de consecinţe a lui K" . 9) O mulţime M de propoziţii este logic independentă dacă fiecare prop oziţie a ei este logic independentă de celelalte propoziţii din M. (Două propoziţii sînt logic independeute dacă nu are loc nici P f- q, nici q f- P şi deci nici (p 1- q şi q r- p) ) . 10) Introducem ap oi noţiunile d e contradicţie şi necontra­ dicţie a lui M relativ la relaţia 1- . O mulţime M de propoziţii este contradictorie relativ la r�l a ţia de deducţie (în genere de inferenţă) f- dacă şi ••

numai dacă : a) există o s ecvenţă de propoziţii {Pn} Pn E M astfel că din {P n } se poate infera atît q cît şi fi (deci {Pn } 1f- (q & fi) b) q E M sau q � AI şi fiE M sau fi � M.

Condiţia b) prevede cazul în care M C p. a dică M poate fi o subluulţime a lui P şi deci propoziţiile care se contrazic pot 83 fie date efect iv în M sau să nu fie în M ci doar în P. in caz că nu sînt îndeplinite condiţiile de luai sus lllulţimea

este necontradictorie . 1 ] ) O mulţime M de propoziţii este paradoxală dacă şi llUTIlai dacă există o propoziţie P astfel că p 1- p- şi P- f- p O Dlulţime M de propoziţii poate să fie finită sau infinită. ea este în orice caz llumărabi1ă . Dacă este finită atunci în principiu ea este reductibilă la o propoziţie moleculară conjunctivă . Pentru o mulţime infinită conj uncţia ar fi infinită şi deci nereprezentabilă efectiv. Vom spune că o conj uncţie care e formată elin toţi membrii unei nlulţi mi M reprezi ntă mulţimea M. Dacă M este finită ea poate (în pri ncipiu) să fie efectiv reprezentabilă conjunctiv. Sihtaxa logică

247


de propoziţii M este necontradictorie dacă dacă conj uncţia care o reprezintă nu conţine ca parte şi nu inferă o propoziţie de forma nP & p" . Avînd în vedere că mulţimea propoziţiilor din L e st e numărabilă şi infinită puterea ei este eu . Dacă în L există constante corespunzătoare variabilelor astfel că orice funcţie propoziţională sau schemă de astfel de funcţie poate fi transformată în propoziţie atît prin cuantificare cît şi prin substituţie, putem defini un concept mai puternic de neco ntra di c ţie, anume eu - ne contradicţi e ( Go del ) . 1 3) O mulţime M este cu - necontradictorie dacă ş i numai dacă nu există o funcţie p rop oziţională cp (n) astfel încît să se poată deduce din M atît negaţia lui Vncp(n) cît şi orice propoziţie o b ţi nut ă prin substituţi e din <p (n) adic ă ITIulţiITIea cp(x1), cp (x2), unde Xl' X2 sînt constante şi cp este de asemenea constantă. Acest concep t a fost introdus de Gadel . El p r evj ne o form ă mai tare de contradicţie cum este cea suger at ă de pseudo­ p ara doxul mincinosului în formularea " orice propoziţie este falsă" . Fie P variabilă pentru propoziţi e, F pr ed icatul fals şi F(P} funcţia propoziţională liP este fals" . Notînd cu Pv P2 . . . Pn diferite propoziţii concrete putem forma propoziţiile : F(Pl ) ' F(P 2 ) ' . . . F(P n ) . , . Pe de altă parte p o rnind de la F(P) putem forma propo­ ziţia VPF(P) . Ca urmare în şirul de mai sus trebuie să existe o propo­ ziţie F(Pk) F( VPF(P) ) , adică o propoziţie echivalentă cu negaţia formulei VPF(P) . Or negaţia lui VpF(P ) contra­ zice şirul amintit. La rîndul său conj uncţia care reprezint ă respecti vul şir este contradictorie şi în plus eu - contra­ dictorie. Această legătură între conceptul lui Gadel şi pseudo-paradoxul mincinosului a fost pusă în evidenţă de noi într-un studiu anterior. Con ceptul de (rJ - n econtr adicţie este mai tare decît con­ ceptul de co ntra di cţie, însă mai slab decît conceptul de parad ox al . 14) Fie { xn } mulţi mea constantelor corespunzătoare unei funcţii prop ozi ţionale cp(x) şi M astfel că el conţine orice propoziţie cp(xi) , precum şi cuantificările lui cp (x) . 12) O

lTIulţi me

şi n umai

=

"

"

Teoria sistemelor logice

248


(a) - c ompl et (Tarski , Henkin) relativ la { Xn } dacă ş i numai dacă Vxcp(x) este consecinţă din M atunci şi numai atunci cînd orice propoziţie cp (xi) este consecinţă

lVI es te

din M. Se înţelege că condiţia trebuie să fie s at isfă cut ă de o ri c e q> E M. G6del a demonstrat că a ri tm eti c a nu este (a) - com­ pletă rel ativ la mul ţi m ea de constante {O, 1 , 2.. . . . } . Să studiem î n continuare unele relaţii între mulţimi de

propoziţi i . 1 5) Unei lTIulţimi

ordonată inf erenţi a l î i corespunde un graf inferenţi al . Dacă două mulţimi au acelaşi graf i n fere n ţia l atunci ele sînt inferenţial izomorfe. Dacă în plus pentru orice secvenţă inferenţiaIă din pri m a 1l1 u I ţ ime există o secvenţă inferenţială în a doua lutdţime a stf e l că ele sînt desfăşurate exact după acel eaşi reguli de i nf e re nţ ă (şi reciproc) atunci cel e dou ă mulţimi sînt

logic identice . 1 6) D a c ă avem

două mulţimi de propoziţii lvlk, MI şi dacă Mk CiVIl (astfel că Mk of Mt) atunci vonl p utea vorbi de M, ca de extinderea lui Mk, iar de Mk ca de restrîn­ gerea lui Mz • 1 7) Fie două mulţimi M k' Mt . Vom spune că mulţimea Mz este re du c t ib il ă la Mk dacă şi nu mai dacă a ) Mk este echivalentă cu Mz p ri n regulile de transfor­ m a r e sau b) M, este o clasă de consecinţă din Mk ( p r i n regul il e de deducţie) sau c ) Mk este o traducere a lui MI (prin regulile de traducere fonnulate pur sintactic) . Altfel, mulţimea formulelor c al culul ui propoziţional este echivalentă p ri n transformare cu mul ţim e a formulelor nor­ male conj unctive (prima reducîndu-se l a a d ou a) . O p rop o ziţi e P * este o transformare a pr op o zi ţi ei P dacă există cel puţin o regulă de transformare care s ă n e pe rmită trecerea de I a p la P*. Dacă există o singu ră propoziţie P* pentru un p dat atunci transformarea este univocă.. dacă şi pentru orice P* corespunde o singură propoziţie P, atunci transformarea este biunivocă . Sintaxa logică

249


dar nu biunivocă (în exemplul dat lucrurile stau în acest fel) . Mulţimea teoremelor calculului propoziţiilor este reducti­ bilă la mulţimea axiomelor prin regulile de deducţie. Calculul monadic al predicatelor este reciproc reducti bil prin transformare Ia calculul monadic al c1ase10r p rin regula : TransfoDllurea poate să fie reciprocăJ

cp ( x) == x E cp.

Mulţimea formulelor din calculul propoziţiilor date în limbajul Peal1o-Russell este traductibilă în mulţi mea pro­ poziţiilor calculului propoziţiilor în li111bajul Lllkas iewic7,. Prin urmareJ în cazul traducerii 1\111. C Lk şi MI C Lt unde Lk =1- Lz (aceasta întrucît definim traducerea în sens strict) . Dacă două mul ţi mi de propoziţii nu sînt Teduct i bile în nici unul din sensuril e cnunţate el e sînt independente logic. 1 8) Decizia în sens larg. Fie E o mulţime de expresii din L şi P o proprietate de expresie sau de mulţinle de expresii . Vom spune că avem o situaţie decizională dacă şi numai dacă trebuie să dăm răspuns la întrebarea

P(e) sau P(e) P(E) sau P(E) . Se presupune că avem de ales Între P(x) şi P ( x) (că deci nu putem da ambele răspunsuri în sensul n P ( X) şi P(x) ") . Vonl considera primul caz : P(e) sau P(e) . O mulţime E este decidabilă în raport cu o proprietate P dacă şi numai dacă exi s t ă uu procedeu astfel Încît 5ă putelll da un răspuns efectiv la Întrebarea n P(e) sau P(e) " . Cu alte cuvinte.. dacă pentru orice e e: E putelTI stabili �ă ne are proprietatea P" sau că ne nu are proprietatea P" atunci mulţimea E este deci dabilă în raport cu proprietatea P. Ca exemple de proprietăţi P relativ la ll1ulţimi de expresii avenl : " x este ternlen în L"J n X este formulă în L".. n X (unde

e

E

E) ori la întrebarea

este teorernă în L J n X este formă normală în L", " x este " echivalent cu y , HX i mpl ică Y"J ş. a., unde x, y sînt expresii din L . U

Pentru a decide dacă o combinaţie d e simboluri este sau nu ntermen în L" ne folosim de regulile de fo rmare a ter­ menilor, analog pentru , formulă ,

".

Nu' în raport c u orice proprietate o m ulţi m e E este decida­ bilă (presupunînd că proprietatea are sens relativ la respec­ t iva mulţime) . Teori a sistemelor logice

250


finit de reguli care permite să rezolvăln dup ă un num�.r finit de operaţii

Procedeul d e decizie este un ansamblu

lle

deciziei care constă În a alege între P(e) şi P(e) . Ansalnblul de reguli care constituie procedeul de decizie este decj un ansamblu de reguli de alegere (altfel spus ) , de sel ecţie " ) a elementelor d int r- o mulţime de expresii E c are satisfac p ropri etat e a P ( dat ă) . Prin urmare prin decizie formăm o submulţime E" a mulţimii E şi respectiv complementara lui Ek (adi că E,,) . Decizia pur sintactică poate fi dat ă p rin algoritmi sintac­ tiei sau prin meto da axiomatică. (Calculul natural este un p roc edeu care îmbină unel e trăsături ale al gori tmilo r cu trăsături al e metodei a xi o mat i ce) . Decizia prin formele normale este un exemplu de decizie p rin algo ritm i, la fel d e cizi a prin regulile de formare. Cînd nu di sp un e m de un p roc e d eu exact de de cizie aplicăm 111etoda "înc ercării şi eşecului" ( d e care nu ne vom ocupa problema

aci) . Un interes special prezintă decizia prin metoda axiomatică.

Calculu.l predicatelor, de exemplu, nu este deeidabil în gen ere prin a l g oribni , el este decidabil prin metoda axio­ m atic ă (cel puţin calculul de ord inul unu) . Vom studia în continvare c on cept e l e relative la sisten1l11 axiomatic ca mulţi me specială de propoziţii. 1 9) Sistemul axiomatic. Fie din nou M nlulţhnea propo­ ziţ i il o r închise d i n L şi A o submulţime strictă şi finită a m ulţi mi i M, a s tfel că o ri c e p E M este sau p E A sau co nse cinţ ă logică din unele propoziţii ale lui A . Dacă A satisface această c on di ţie vom spune că A este o JJ1uulţime

de a xi o me " , iar A o "mnlţinle de t e o r el11 e ". Vom s p u ne că orice P E .tI este o "axiomă în sens larg" a lllulţilnii NI şi

o ri c e q E .ti este ,. teoremă în

NI relat iv la A " . O d efiniţie echivalentă cu aceasta este următoarea : orice

propoziţie p

din M care este luată ca premisă p rimă este a xiomă în iVI. Prin urmare, A este pur şi simplu o nillulţime de pre mise prime" (cu co n d iţia f ini tu d ini i ) .

o propoziţie q E A este c o n seci n ţă logică din A C Oll­ ro nn cu regulile de deducţie a t unci se spune c ă " q este demonstrabil din A " , altfel spus " q este teoremă relativ la A ", în caz contrar q nu este demonst ra b i l ( este i n­ demonstrabil) adică nu este teoremă r el at iv l a A .

1 )::l.că

=

Sintaxa logică

25 1


Deosebirea sintacti că dintre " deducţie" şi " demonstraţie"

n stă doar în faptul că în demonstraţie fixăm o mulţime de referinţă A în raport cu care verific��m dacă o propo­ zitie se deduce sau nu . C �le spuse mai sus nu constituie totuşi decît nişte condiţii generale pentru definirea " axiomei " şi "teoremei " . Defi­ niţia noţiunii de " axiomă" (şi resp . "teorenlă") poate fi dată numai prin relativizarea la o mulţime de propoziţii din L (dat) ) în acest caz definim conceptul de "axiomă în L " . Definiţia se dă prin simplă enumerare a propoziţiilor prime. Iată forma definiţiei : a ) Numim axiomă în L propoziţia A l sau A z sa n . . . sau A n ' Altă schemă de d efiniţie este : b) A l este axiomă şi A 2 este axiomă şi . . . şi A n este axiotnă (în L) . D e exenlplu, nU1l1im aX1:omă în calculul propoziţii lor fonnula (p v P) -- P sau formula p -- (p v q) sau formula co

(P

v

q) -- (q

Dacă l a

v

P) sau formul a (p -. q) -- ( (r

v

P) -+ (r

v

q) ) .

aceasta aplicăm schema conjunctivă obţinenl form a a doua a definiţie i . A m presupus că A este mulţimea axiomelor A l' . . , An­ Este necesar s ă distingeln între ).forma conjunctivă" a definiţiei axiomei şi reprezentarea conjunctivă a mul­ ţimii de axiome . Conjuncţia axiomelor nu este neapărat axiomă, ea p o ate deveni dacă se specifică astfel. Notăm că o astfel de alegere de axiome nu se face neapărat după criterii de esenţialitate, mai degrabă ea se face după cri­ terii de eficienţă. În metateorie se specifică regulile de deducţie (printre cele lnai frecvente fiind regula modus ponens şi regula substituţiei) . Fie R nlulţimea acestor reguli . Vonl introduce acum noţiunea de " demonstraţie în L " (unde L conţine axiomele A ) . c ) Nunlim " demonstraţie în L [A ] (unde L [A ] L con­ ţi ne axiomele A ) o succesiune de propoziţii Pv p z, . . , P n astfel c ă Pi E A sau Pi E C (A ) şi fI) p z) . . . P,t - l 1- Pn (conform cu cel puţin o regulă di n R) . Aci expresia "C(A ) " reprezintă clasa de consecinţă d i n A co nfo rm cu R. o) O propoziţie P este teoremă în L [A ] dacă şi numai dacă P E C(A ) . Altfel spus o propoziţie p este teo remă în =

Teoria sistemelor logice

· 252


L [A ] dacă şi numai dacă pentru p e xi stă o deUl0nstraţie în L[A J . Oricărei d e m o n straţi i î i corespunde o "figură (schemă) de d emonst r aţ i e r epr eze nta bilă printr-un gr af Orice figură de de mons traţ i e este p r e s cris ă de cel pu ţi n o regulă de d em o ns traţi e Pentru sistemele l ogic e (pure) se de nl on st r e az ă o meta­ t eo r e lu ă imp o r ta ntă care poate duce la scurtarea unor demonstraţii, este vorba de teorema d e d ucţi ei : Dacă din r, A f- B atunci r � A ...-. B ( und e r p o at e fi şi vid) Orice teoremă logică de forma A - B reprezi ntă o figură de denlOnstraţie. O figură de demonstraţie po ate să fi e o conj uncţie de al t e figur i al e delTIOnstraţiei . Oricărei teoreme logic e de f o rm a A B îi corespun de o regulă "

.

.

--+

l ogică de deducţie . e ) O m ulţime 5 { A , C (A ) } ( u n d e A este fini t ) se numeşte siste111 axiom ati c . Altfel scris S A lJ C (A ) . Ori ce Se L [A ] . Nu orice mulţinle inferenţială este axioma tizabilă =

=

sensul definit (A s e vedea teorema lui Godel) . Orice 5 est e definit în lHL [A ] pr i ntr - u n grup de postul ate . Definiţia lui S nu aparţine l ui L [A ] . În c o nt i nu a re se dă o defi nitie mai tare axiomei şi o definitie mai sl ab ă teoremei. f) Oric � P E A e s t e axiomă în sens t a're d a c ă şi n unlai da c ă p nu se deduce din c elel alt e axiome, cu alte cu vin te nu a r e J oc : A - {p} � p. Altfel spus j) e s te axiomă tare în A dacă şi numai d a c ă p este l ogic independentă în A . g) Orice q E L [A ] este o teorenlă în sens l a r g dacă şi n u1l1ai dacă p E A sau p E C(A ) . Această noţiune va fi utilă cînd vom confrunta m et oda axiomatică cu al te procedee de decizie. Dacă axiolna este luată în sens t are atunci are loc A n n C (A ) 0, dacă teorema este luată în sens slab atunci T S ( un d e T este nlulţimea teorenlelorL dimpotrivă în s ens tare T C(A), T C S şi T n A 0 . Reluăm acunl proprietăţile m ul ţi mi i de formule în raport cu S. h) Un si st em S este consistent dacă şi nu m a i dacă n u există p E L [A ] astfel ca A � P & p. Al tf e l spus nu există p E L [A ] în cît p & P E C(A ) . În a l t ă variantă : S este consistent dacă şi numai dacă P =f. T (unde P este l1mlţi­ m e a propoziţiilor din L) al tf el spus P =f. S . În

=

=

=

Sintaxa logică

=

253


i) Un sistem 5 e st e complet dacă pentru orice p (propoziţie închisă din L) est e adevărat că P E 5 sau p E 5, sau, avînd în vedere înţelesul slab al t e o r eme i, P E T sau

P

E

T.

De aci d ecu rg două posibilităţi a) Vp P E L [A ] atu nci p E 5 (deci inclusiv p & p), b) VP (P E L [A ] ) P E 5 atunci p � 5 şi VP (P E L [A ] ) P E 5 atu n c i P � 5. Cazul a) va însemna compl et itu di ne în sensul slab al cuvîn ­ tului, cazul b) va îns e mn a completitudine în sensul strict al cuvîntului . Dacă L cup rinde funcţii propoziţionale atunci cOlnpletitudinea se va defini relativ la o t ra nsforma re a l ui L În L' care va consta numai din propozi ţii (închise) . în funcţie de sisten1 necontradicţia şi cOlupletitudinea pot primi definiţii specifice (a se vedea defi niţia dată de Post pentru c o mpl e t it u di n e în c al c ul ul pro p oziţiilor) . j ) Sistemul de axiOll1e A este i n de p ende nt dacă nici o axiomă nu se deduce din celelalte adică : VP (P E A -­ ..... p � C (A)) . k) O lIlulţime de axiome A este irt::d'u ctibilă în r apo r t cu 5 dacă 5 este c ompl e t în raport cu A şi 5 devine incom­ plet în raport cu orice A ' e A (A ' i= A ) . O definiţie mai largă independentă d e completitudine este aceasta : A e st e ireductibilă dacă C (A ' ) C C (A) şi C (A ')

C (A ) . 1) O m ul ţi m e

i=

de axiome A este minimă în r aport cu 5 da c ă şi numai dacă ' nu există o mulţime de axiome astfel încît e a să cuprindă un număr mai mic de axiome decît A şi si stemul să fie conlplet . m) Da c ă 5 este c o ns i st ent şi complet atunci el este deci­

dab-il. AlTI văzut

c ă un sistem este decidabil (în altă d efi niţi e) dacă şi nUlnai dacă există un procedeu efectiv de a alege între P E T ş i P E T. Ac e as t ă definiţie depinde de modul în care noi am descris pe T, a di că de definiţia noţiunii de teo:relnă" . D eoarece nu totdeauna st im dacă sistemul este c ompl et, n oţ i u ne a de t e or e mă as tfe t ' definită este nesigură. Metoda algoritmică a fo rm elor normale porneşte de la o d es cri e r e structurală a u n ei formule care reprezintă trans­ })

formata unei clase de alte formule.

Ori ce p este tenremă dacă P are o transformată P * de struc­

tura cutare şi cutare. Cînd o a s e mene a soluţie nu e posibilă Teoria sistemelor logice

254


problenla completitudinii şi deci a decidabilităţii rămîne în genere deschisă cel puţin din punct de vedere sintactic. (Asu­ pr a acestor chestiuni vom_ reveni într-un paragraf ulterior) . 20) Sistemul sintactic. În vederea studierii anumitor pro­ prietăţi este util să studiem noţiunea de sistem sintacti c. De această noţiune ne-am ocupat într-o anumită măsură în capitolul anterior. Un limbaj L va forma un sistenl sintactic în sens logic dacă şi numai dacă : a) fi ecare semn este bine definit printr-o indicare clară a inscripţiilor iniţiale şi definirea claselor de echivalenţă grafică corespunzătoare ; b) fiecare expresie este bine definită printr-o indicare precisă a regulilor d e forma r e ; c) clasa teoremelor este bine definită printr-o indicare clară a regulilor de selecţie ( reguli de deducţie din axiome date sau re gul i al goritmice) . Dacă un sistenl sintactic este axiOlnatizat atunci ei va f i sisteul sintactic în sens t a r e . 21) Relaţii între sisteme . Fie două sisteme sintactice Sk şi S t . Aceste sisteme pot să se afle în unul sau altul din unnătoarele r ap o rtu ri Sk n S t =1- 0 Sk C St (şi S� =1- SI) S t C Sk (ş i S k =1- SI) Sk e st e izolnorf cu SI (în una sau alta dintre accepţiile date izomorfism_ului) .

Sk este o transform_are a lui SI (sau invers) Sk e s t e o t ra du c er e a lui SI Sk este logic identic cu SI Sk este izomorf cu SI (se arată precis în ce sens) Sk este o reprezentare a lui Sz Toate aceste relaţii se definesc în dependenţă de structura sistenlelor ori se decide în functie de sisteme da c ă o relatie , ' sau alta are loc si ' în ce sens . Ultima noţiune c ea de "reprezentare" se uefineşte după CUlTI ur111ează : Fie un sistem s int acti c S ; dacă noi construim un alt sistem S' astfe l că : a) oricărui element din S îi corespunde un şi numai un element din S' ; b) oricărei secvenţe de elemente din S îi c or es p u n d e o şi numai o combinaţie de elelnente din S' ; Sintaxa logică

255


c) după forma combinaţiei din S' noi putetTI recunoaşte fonna secvenţei din 5 ; atunci vom spune că 5' este o reprezentare a lui S. Am stu­ diat dej a un exemplu de reprezentare, anume reprezentarea godeliană a sistemelor de tipul PrinciPia Mathematica . Reprezentarea nu trebuie confundată cu interpretarea (con­ cept semanti c) . 8. S I STEM ELE FORMALE ŞI PROBLEMA DEC I Z I EI

1) Numim sisten1 formal orice sistem sintactic şi orice reprezentare a acestuia. Principala problemă teoretică pe care o avem de rezolvat ,e ste problema deciziei relativă la teoremă. Ternlenul t e or e ln ă (în sens larg) a fost definit r el a tiv la un sistem de axiome sau invers, relativ la un procedeu de decizie. Probl ema care se pune este dacă noi putem găsi : a) o astfel de definiţie sintactică a termenului "teoremă" încît el să corespundă cu termenul "propoziţie adevărată" din sistemul semantic corespunzător ; b) o astfel de procedură care să ne arate pur formal dacă putem decide după formă (în sensul de structură a expresiei şi a relaţiilor ei formale cu alte expresii) dacă o expresie propozj ţională este sau nu teoremă în sensul reprezentării exacte a "propoziţiei adevărate" . Pentru cal culul propo­ ziţiilor aven1 o procedură formală algoritmică (formele normale) care dau exact corespondentul sintactic al noţi­ unii de "tautologie" ( expresie identic adevărată) . La rîndul său sistemul axiomatic fiind necontradictoriu şi complet este decidabil relativ la . axiome şi reguli . Deci sistemul este decidabil atît în sens algoritmic (construc­ tiv) cît şi în sens axiomatic. Calculul predicatelor n-adice (de ordinul unu) aduce dej a o surpriză, el este decidabil în sensul sistemului axiomatic, dar nu în sensul constructiv (algoritmic) - nu există un algoritnl care să ne permită să recunoaşten1 după forma expresiei dacă ea (şi orice transformare a ei) este "teo­ remă" . Pe de altă part e, în ambele cazuri, adică atît în logica propoziţiilor cît şi în logica predicatelor conceptul formal de "teoremă" se baze ază pe conceptul de " propoziţie adevă=

TeOB'BO sistemelor logice

256


rată:" . Sistel1111l este deci decidabil în sens formal dacă şi numai dacă a) teoremă p rop oziţie a d ev.ărat ă ; b) există o pr o c e d ură formală efectivă de a spune despre orice propoziţie neste sau nu teoremă". Un al treilea sistem, anume de tipul PrincîPia Mathematica aduce c ompli c aţii şi mai grave� el este principi al incomplet şi deci nu ori c e p rop ozi ţie adevărată din L este r ep r ez e ntată de o teoremă în 5 {A, C(A ) } . Pe de altă parte, el este, e vi d ent, şi indecidabil, căci nu se poate decide (prin re gu­ lile" de d edu cţi e) pentru orice expresie dacă e ste sau nu =

=

teoremă. Sistemul se comportă ca saturat în raport cu anumite pro­ p oziţii atît în ce p riv eşte afirmaţia cît şi în ce p riv eşt e nega­ ţia. Ac e ste re zult a te surpri nz ăto a r e aU fost puse în evidenţă ­ de " Godel. Ele au spulberat sp er anţ el e absolute pe care Hilbert şi l e pusese în m eto da axiomaticii formale. Salvarea stă pînă la urmă în două soluţii : p ute nl încerca " despicarea ei în c az uri pentru a o rezolva algoritmic (nu neapărat algoribni sintactici) sau t r ebuie să exti ndem "

sistemul axiomatic . În ambele cazuri apelul la proceduri. semantice este i n dis p e ns abil . În ce priveşt e de sp ic a r ea în c a zuri ( r e duc e re a problemei generale la probleme p arti c ul are) un exemplu c lasic este oferit de logica predica­ telor. Iată cîteva cazuri : a) clasa schemelor p r e dic ative f ără c u ant or i ; b) c l a sa scheluelor predicative monadice cuantificate total c ua nt if i c at e p ar ţi a l cuantificate olllogen cuantificate eterogen ; c). slas a sc hem el or pr edi c ative n-adice (11, > 1) care din nou " c up ri n d e cele patru cazuri de la b) . Pe lîngă ac e s te cazuri, se pot c onst rui altele spec i al e după structura formulelor (ex. , , formel e Skolem") . C1.zul a) se soluţionează exact ca în calculul prop oziţiilor� cazul b) se s oluţion e a7.. ă constructiv prin algoritIni semantici, cazul c) se soluţi on ea z ă prin ap l i c ar e a metodei axiomatice (la într egul calcul al pr edi catel o r ) . Conlpletitudinea (în s ens semantic) a predicatelor a fost demonstrată de K. G6II

"

=

deI .

Sinioxo logică

-257


î n cele ce urmează ne vom ocupa de teoremele lui Godel de indecizie relativ la sistemele de tipul nPrincipia Mathe­ matica" . 2) Teoremele lui Godel asupra indecidabilităţii. Pentru dezvol­ tarea delTIonstraţiilor sale K. Godel construieşte o variantă simplificată a sistemului de tipul nPrincipia Mathematica". Trăsăturile generale ale acestor sisteme sînt următoarele : a) conţin aritmetica şi logica necesară demonstraţiilor (este deci un sistem logico-aritmetic) ; b) sînt bazate pe teoria tipurilor ; c) dispun de o reprezentare aritmetică (datorită căreia orice expresie a sistemului şi chiar o parte din conceptele nleta­ teoretice pot să ia o formă aritmetică) ; d) conţin funcţiile recursive . Godel notează varianta sa cu P. Dat fiind interesul deo­ sebit al operei lui Godel vom reproduce-o după original pentru a oferi cititorului posibilitatea să judece direct rezultatele lui Godel . î n acest sistelTI numerele sînt luate ca obiecte formale individuale, i ar succesor va fi singura operaţie cu nUlnere nedefinite. A) Semnele de bază (Grundzeichen) 1) Constante : O, J, , v, TI, ( , ) 2) Variabile : X v Yv zv x 2, Y2, Z2' "'

Xn, Yn, Zn' (unde n 1, 2, . . . k, reprezintă tipul variabilei) =

B ) Ierarhia tipurilor. 1) Semne de tipul unu : orice combinaţie de fo rma a, fa, , unde a este O (zero) saU o variabilă de primul tip. ffa, Astfel de semne se mai numesc " semne pentru numere" ( cifre) . 2) Senlne de tipul n(n > 1 . ) : variabile de tipul n. "

'

=

C) Formule. 1) Fornlulă elementară. Este o combinaţie de forma a(b), unde b are tipul n, iar a tipul n + 1 . ' 2 ) Clasă d e formule. Este cea mai mică clasă astfel c ă : a) conţine toate formulele elementare ; Teoria siste melor logice

258


b) dacă a. b sînt formule în această clasă atunci -- (a) . (a) v (b). x TI ( a) sînt de asemenea formule în această clasă.

3) Formulă propoziţională. Este o formulă fără variabile libere. 4) Semn de relaţie. O formulă cu n variabile individuale libere (şi nici un altfel de variabilă liberă) se va numi semn de relaţie. 5) Semn de clasă. O formulă cu o singură variabilă liberă se va numi semn de clasă. Se definesc apoi în mod genetic operaţiile de ., substituţie" şi .,ridicare de tip" a două clase de formule. 6) Subst ti (�) . Prin Subst a(�) (unde a este o formulă. v o variabilă liberă în a. şi b un semn de acelaşi tip cu v) se înţelege o formulă care apare din a prin înlocuirea lui v cu b pretutindeni unde v apare liber în a . 7) O formulă a este ridicarea de tip a unei alte formule b dacă şi numai dacă ea apare din b prin ridicarea cu acelaşi num ăr a tuturor variabilelor din b.

D) Observaţii şi exemPlificări : 1 ) Semnele din A l) sînt respectiv : zero. succesor. negaţie. disjuncţie, cuantor universal şi paranteze. 2) în A 2) pentru variabilele de tipul n(n > 1) se presupune că ele se referă numai la funcţii monadice, aceasta deoarece semnele pentru funcţii n-adice sînt .,de prisos". relaţiile putînd fi reduse la clase de perechi ordonate. iar perechile ordonate la clase de clase. De ex. perechea ordonată < a. b > va fi redată prin {{a}. {a. b}} unde expresia .,{{ a}. { a b }}" reprezintă clasa formată resp . din clasa cu un e1enlent a şi clasa cu elementele a şi b. (Procedura se extinde şi la cazul cînd relaţia are elemente ,eterogene. ca în exemplul relaţiilor dintre individ şi clasă : {{ X2}. { Xv x2}} 3) Exemple : Xl> fx!> ffxl' . . . sînt expresii de tipul unu ; O. jO. flO. X2(X1), xa(x2) sînt formule elementare, Xl TI X2(XI) este o formulă propoziţională. X2(X1) v X2(YI) este un semn de relaţie. X2(Xl) este un semn de clasă. ,,", X2(XI ) este o negaţie. S ubst x2 ( Xl) (�:) ( = X2(Yl) ) este o formulă obţinută prin substituţie. iar xa(x2) apare din X2(XI ) prin ridicarea de tip. 4) Pentru prescurtări se folosesc sen1nele (şi) � (implică) , .

.

.

. •

Si ntaxa logică

·259


== (echivalent)� (Ex) (cuant o rul existenţial) şi tic) .

(iden-

E) A xiome şi scheme de axiome. r. Axiomele aritmeti ci i 1) (jxl = O) (z e r o nu este succ eso r ) 2) jXl fYl � . Xl Yl (fiecare nunlăr are un singur succesor) 3 ) x2(0) x1 II ( X2 (Xl) � X2(jX1)) � x1II (x2(x1) ) ( i ndu cţi a mate­ matică) . .

=

=

II. AxiOlne lo gic e . Orice fornlulă care apare din schemele de mai j os prin înlocuirea variabilelor p, q, r c u formule va fi axiom ă : 3) P v q :J q v P 1) P v p :J P 2) P � P v q 4) (p :J q) :J (r v p :J r v q) III. Axiome logice penhu subs tit uţie şi g ene rali z ar e Orice formulă care apare din schemele : 1 ) v II (a) � S ubst a (�) 2) v IT (b v a) � b v vll (a ) p ri n înlocuirea literelor a, v, b, c re sp . cu o f o r mulă oare­ c are o variabil ă oarecare, o formulă în care v nu apare liber, un semn de acelaşi tip cu v (p rev ăz ut că c nu conţine vreo variabilă care în , a ar fi l egat ă în ti mp ce v este liberă, ştii nd u-s e că variabila şi senl nificaţia e i aparţi n acelui aşi ti p ) IV·. ' Axi oma de comprehensiune. Orice formulă care apare din schema : (Eu) (v II (u (v) == a)) prin aceea că p e nt ru v resp . u se pune orice var iabilă' de tipul n resp . n + 1, iar p entr u a se p un e o formulă c are nu conţine pe u liber. D e exemplu� (Exa) X2I1 (X3( X2) == oc [x2J) .

'

.

V. AxiOlua bunei definiri. Formu la x1 II ( X2 (X1) =Y2(X1 ) ) � X2 = Y 2 : ', şi orice altă formulă care apare din ea prin ridicar ea de 'tip va fi axiomă.

F) Consecinţe imediate . 1) c este c onse cinţă imediată din a şi b dac ă a are fo rm a -, (b) v (c) 2) c este consecinţă imediată di n a d acă c ar e forma v II (a) Teoria sistemelor logice

. ,

260


Se ,observă că regula 1) nu este altceva decît modus ponens redat prin disj uncţie şi negaţie. Regula 2) este o generalizare a l ui x în raport cu variabila v. 3) Vom numi " clasă de formule demonstrabile" cea mai luică clasă de formule care conţine axiomele şi este închisă relativ la relaţia de consecinţă imediată . (Regula de substituţie a fost dej a prevăzută în sistemul ' de axiome şi deci devine de prisos aci) . G) Met a da aritmetizării. Se introduc e acum o lnetodă care ne v a permite s ă dălTI formă aritmetică fiecărei expresii din 'sistemul P şi chiar unor concepte din metateoria 'sis­ temului. Datorită faptului că sistemul reprezintă o mulţi­ me de s i mboluri şi secvenţe de asemenea simboluri pe deplin ordonată putem asocia fiecărui simbol. secvenţe de simboluri şi secvenţe de a sem enea secvenţe numere naturale� în confot­ mitate cu anulTIite reguli . Aceste reguli au fost dej a date într-un capitol anterior, le reluăm în vederea exemplificării . ( 1) Fiecărui semn de bază constant (A. 1) îi VOlTI asocia un număr impar respectiv de la 1 la 13. (Ex . O - 1� f - 3, v - S, etc.) . (2) Fiecărei variabile xn Yn' Zn' (luate în ordine alfa­ betică) îi vom asocia un număr prim p > n 1 3 luat l a pute­ 2 rea corespunzăto are tipului variabilei : p (Ex . x2 - ' 1 7 ) . (3) Fiecărei secvenţe de simboluri de bază care au ca numere godeliene respectiv nI> n2, " ' , nk îi vom asocia produsul de factori p ri tni exp onenţiaţi 2,t1 3na P:k . Avînd dat un număr NG(Godelian) noi putem găsi expresia prin descompunere în factori primi . Astfel 289 va fi 1 7 X 1 7, adică 172, deci va reprezenta pe X2• (4) Următoarea regulă asigură non-viditatea reprezentării numerice godeliene. Vom nota prin <I> (a) numărul ,godelian al expresiei a, iar prin R(av a2, , an) O clasă sau relaţie între senlne de bază (ori serii de semne de , bază) . O asemenea relaţie R va primi ca reprezentare o relaţie R(xl, X2, x ) între numere naturale (godeliene) Xl' %2 - " X" dacă şi numai dacă există astfel de semne de bază aI> a2, a" încît Xi = <1> (ai) (i L 2, . . . , n ) şi are loc R(av' a 2, , an) ' Pentru fO avem <if precede O) şi repre­ zentarea <1>(/) > <f> (0) , adică 3 > 1 . '

'

.

"

=

Sintaxa logică

261


Asemenea clase de numere sau relaţii Între numere care sînt asociate în modul indicat noţiunilor metamatematice de "variabilă", ,.formulă", " axiomă" ş . a . vor fi numite de asemenea cu aceste cuvinte scrise cursiv. Astfel, clasa de nU1TIere godeliene care va corespunde variabilei va fi clasa p " (formată conform cu G2) - adică totalitatea numerelor p" (Vom vedea mai departe cun1 decurge o asemenea repre­ zentare a conceptelor metateoretice) . în continuare se pune problema demonstrării unei propo­ ziţii de forma "Există o formulă propoziţională a astfel că nici a nici negaţia lui a nu sînt formule demonstrabile" [15 ; 1 79]. Pentru demonstrarea acestei propoziţii Godel se serveşte în plus de metoda funcţiilor recursive.

H) Metoda funcţiilor recursive. Dezvoltarea acestei metode aparţine în parte lui Godel însă expunerea acestuia este întrucîtva eliptică. ( Godel se limitează la clasa de })funcţii recursiv primitive" . ) Noţiunea de recursie s e defineşte prin aceea d e calculabili­ tate. O funcţie este calculabilă dacă există un procedeu de calcul care ne permite efectiv să află1TI valoarea funcţiei în dependenţă de anumite valori date. Calculul se efectuea­ ză "treptat", de la simplu la complex. Expunerea mai pe larg a acestei metode e redată în cap. Metodele logicii. Un concept (predicat, clasă, relaţie) este recursiv dacă i se poate asocia o funcţie definită recursiv. Godel stabileşte mai întîi patru teoreme care arată că din funcţii recursive se obţin funcţii recursive prin substituţii, operaţii logice, egalitate sau anumite raporturi speciale. Printre primele funcţii recursive se enulneră x + y, x . y, x�, x < Y, x y. Relaţia de identitate (x y) se defineşte ca în PrinciPia Mathematica ,' Xn Yn = Xn + l I1 (Xn+ l (Xn) :) � Xn +l (Yn ) K. Godel defineşte apoi 45 de concepte recursive şi un concept nerecursiv .,X este formulă demonstrabilă". Se înţelege că pentru demonstraţia noastră vom extrage pe cele mai interesante şi le vom explica intuitiv deoarece în textul lui Godel ele sînt expuse destul de ermetic pentru un cititor mai puţin versat în materie. Aceste predi­ cate sînt silnbolizate prin prescurtări după cuvinte din limba germană (vom păstra şi respective1e simbolizări) . îi

=

=

=

Teoria sistemelor logice

262


( 1 ) nGlx ( = al n-ăl ea membru al şirului de numere asociate numărului x) . Definiţia este următoarea : 1 ) nGl == e:y [y � x & yf (nPrx)" & xf(nPrx) Y + l ceea c e s e citeşte : există cel mai mic y, astfel c ă y � x şi x este divizibil pri n al n-ălea număr prim conţinut în x şi luat la puterea y şi x nu este divizibil prin al n-ălea nUlnăr prim co n ţi nut în x şi l uat la puterea y + l . Simbolul E este operator de minimizare, î n ex. EX(X + 3 = = 4) , acesta este chiar t căci 1 este cel m ai mic număr care adunat cu 3 dă 4. Exemplificăm ace a st ă formulă pentru a-i da sens intuitiv. Fie X2(X1) seria de semne elementare, ea are ca numă r x : 2172 3 11 517 713 Fie n 3 (deci al treilea membru al seriei). acesta est e 5 (adică factorul prim 5 luat la puterea 1 7) . Acest număr satisface condiţiile impuse : 17, 1 7 < x, x/ 517 şi X/517 + 1 (bara d e p e ultÎ111a expresie y este selnnul negaţiei) . 2) l ( x ) == EY [Y � x & yPrx > 0 & (y + I ) Prx = OJ "există cel mai mic y � x şi al y-ălea număr prim din y este > O şi al y + l -lea număr prim din y este egal zero" . Considerăm acelaşi număr x de mai sus : l( x) este lungimea seriei de nUlnere x, aceasta înseamnă că există y (adică aci 4) astfel că al y-Iea număr prim (adică al 4-lea) conţinut în x (ceea ce e 7) es te mai mare ca zero şi al y + 1 (a d i că al 5-lea) este egal cu zero (adică . . nu există) . 3 ) x *y == EZ{Z � [ Pr(l(x) +l(y) ]x+ J'& (n) [n � l(x) � nGlz = = nGlx] & (n) [ O < n � l(y) � (n + l(x))Glz nG1y J } (]uxtapunere) . Astfel trecerea de la X2 (X1) l a x1ll (X2 (X1)) se face prin j uxta­ punere . 4) R(x) == 2% (x > O ) (R(x) corespunde şirului care constă numai din numărul x(x > O) . 5) E(x) = R ( I I) * x * R( I3) (punerea în paranteze) . 6) Neg (x) == R(5) * E( x ) Ex . X2(X1) se neagă prin j uxtapunerea negaţiei la expresia pusă în paranteză X2 (X1) respectiv prin juxtapunerea nu­ mărului negaţiei la numărul expresiei luată în paranteză. 7) x Dis Y == E (x) * R(7) * E (y) (disjuncţia) 8) x Gen y == R(x) * R(9) * E(y) (generalizarea lui x din y) •

=

=

----= --:c --,-

.

=

Sintaxa logică

263


9) Z(n) == nN [R( l ) ] C,nN x" îns e amnă iterarea de n ori a sem nului succesor în faţa l ui x) Se inţelege că toate numer el e x, y, z, . . . vor fi godeliene, formulele 1) - 9) date mai sus indic î n d modul în care se constituie numărul unei serii de semne în dependenţă de alte numere ; altfel spus, o defi niţie descrie "structura numerică godeliană" a unei secvenţe de senlne. Astfel, pentru a descrie numărul gădelian al unei formule e lenl ent are

Xn+ l (Xn)

vom const at a că există trei numere y, z, n astfel că el e sînt mai mici sau egale cu numărul f ormul ei (prima condiţi e) , apoi y este număr al senlnului de ti p ul n, z este număr al semnului de tipul n + 1 şi x este f o rmat din nu măr ul z j uxtapus lui y luat în p arantez ă .

(Xn)

Xn+l

'-..,.-'

-...--

z

y

l

l

z * (y )

.,

10) Termenul de "axiomă" se defineşte în r ap o rt cu ter me ni i uaxiomă a numerelor naturale" şi ,,formulă obţinută din schema de axiomă" . î n ac.est fel termenul de "axiomă" ar e înţelesul strict d e " axiomă în P". Axiolnă (în P) sau axiomă 1 sau fo rmul ă obţinută din II sau fo rmulă obţinut ă din III sau formul ă ob ţinut ă din IV sau axiomă V. (Se înţelege că se p r es up u ne definit termenul de ,,fo!1nulă") . Fap tul că o ric e relaţie recursivă este definibilă în P fără a se apela la conţinut este exprimat exa ct pr in : Propoziţia V. Pentru o ri c e r el aţie recursivă R(xl> . . . Xn) exist ă un semn de rel aţi e r (cu variabilele libere U1, Uz, . . . Un astfel că p e ntr u orice (Xl> " " xtJ) are loc : ( rl) R (xl> ' . . xn) -+ B ew (Sb(ri(�:)::��Z(Xn)) =

( (j) R ( xv . . . xn) -+ B ew [N eg Sb(r;('�li:: �.� (X,�)) Există, de exemplu, totdeauna un r c u variabilele libere 17, 19, 23 etc. p e ntru care au loc cele dou ă formule. " Propoziţia V, no t eaz ă Godel, se întelneiază î n mod fires c pe aceea că ea este decidabilă pentru orice n-tuplu de numere din axi om el e sistemului P, dacă r el aţi a R exist ă sau nu" . Demonstraţi a p r opo ziţi ei V s e face prin "inducţie dup ă nivel" . Dacă are loc pentru ni ve l ul 1 şi dacrl. din faptul că are loc Teoria sistemelor logice

264


pentru nivelul

n decurge că are loc pentru nivelul n + 1 atunci are loc pentru orice nivel ("tip") . Semnificaţia intuitivă a formulelor ( Ot) şi ( (3) constă în unnătoarele (exemplificăm pentru ( C'f.) ) . Dacă are loc o relaţie R între numere naturale Xl> x2, , Xn atunci este demonstrabilă formula obţinută din r prin înlocuirea varia­ bilelor libere Uv U2, Un cu semnele cifrice pentru nume­ rele Xl' X2, , XnCum npredicatele metateoretice" sînt definite pe numere naturale (godeliene) lor le corespunde o funcţie recursivă r decidabilă p entru numerele corespunzătoare. De exemplu, n X este axiomă în P" este un predicat recursiv care are loc pentru numerele corespunzătoare . La fel pentru " x este consecinţă imediată din y şi z" (simbolic Fl(x, y, z) şi deci : Fl (x, y, z) -+ B ew [Sb ( r;(�). ;(y) ;(z») ] 1) Propoziţii indecidabile. Fie o clasă K de formule din P. Vom nota prin Flg (K) mulţimea de consecinţe din K, adică cea mai mică mulţime de formule care conţine toate formulele din Ii şi toate axiomele şi este închisă rela­ tiv la relaţia de " consecinţă imediată". în terminologia noastră : K {A, C(A ) } S e defineşte acum proprietatea d e w-necontradicţie a clasei K : K este w-necontradictorie dacă nu există un semn de clasă a astfel că : (n) [Sb (a�(n») E Flg(k) & [Neg (v Gen a) E Flg (k) ] (unde v este o variabilă liberă a semnului de clasă a) Godel denlonstrează apoi teorema VI de indecidabilitate. Propoziţia VI. Pentru orice clasă K de formule, clasă recursivă si: w-necontradictorie există un semn de clasă r recursiv, astfel că nici v Gen r, nici Neg(vGen r) nu apar,­ ţin lui FIg(K) (v este o variabilă liberă din r) . Aşadar avenl o cl asă de formule K (din P), respectiv Flg(K) care este w-necontradictorie. Demonstraţie. Fie deci K o clasă recursivă şi w-necontra­ dictorie de formule. Definim o serie de concepte în raport cu clasa K. 1) Bwk (x) == (n) [n � l(x) -+ A x (nGlx ) v (nGlx) E K v . (EP , q) {O < P, q < n & FI (n Glx, pGlx, qGlx)} ] . Acesta este predicatul n X este o figură de demonstraţie în K " . Intuitiv aceasta înseamnă : pentru orice n astfel că •

=

Sintaxa logică

.


n � l (x) > o avem sau o axiomă sau o teoremă (se înţelege, cu caracter l ogic) sau o consecinţă imediată din formule date. 2) xBky == Bwk (x) & [l(x)Glx yl (x este figura de demon­ straţie pentru y în K) . 3) Bewk(x) == (Ey)yBkx (x este demonstrabil în K) Din 3) se deduc formulele : x E Flg(k) (unde este echivalenţa) 4) (x) Bewk ( x) 5) (x) [ Bew( x) -+ Bewk(x) ] Se defineşte apoi o relaţie specială : 6) Q(x, y) == xBk [Sb (y}(y») ] Deoarece conform cu cele de mai sus x B"y şi S b (y��y ) sînt ». recursive este şi Q(x, y) recursivă. Conform cu propoziţia V şi formula 6) vom avea un semn de relaţie q (cu variabilele libere 17, 19) astfel că au loc formulele : 7) xBk [Sb (y}(y) ] -+ Bewk [S b (q}7(x)1!(y») ] 8) xBk [Sb (y}(y») ] -+ Bew [Neg(Sb (qY( x)My») ] Postulăm apoi că 9) p 1 7 Gen q 10) r Sb (qlJ( p » ) Formula 9) arată că p este o generalizare a semnului de clasă q în raport cu variabila care are nUlnărul 17 ; iar formula 10) stabileşte că r este un semn de clasă obţinut prin substituţia variabilei cu numărul 19 (adică y) cu semnul cifric corespunzător numărului godelian reprezen­ tat de p. A se observa că formulele presupun că vorbim despre semne de clasă prin intermediul nUlllerelor godeliene şi în genere variabilele au ca obiect numere godeliene care la rîndul lor "reprezintă " expresii din P. Mai departe au loc două trans­ formări în legătură cu generalizarea şi respectiv substituirea variabilei libere 1 7) din r (adică a lui x) 1 1 ) 17 Gen r 17 Gen(Sb (q}(p» ) Sb ( 1 7 Gen q) Sb (P}(p» ) 12) Sb (r}(x») Sb (Sb (q1(p»)f(x» ) = Sb (q11x» ) }(p») Dacă în 7) şi 8) substituim p pentru y deci y/p şi consi­ derăm 9) şi 10) obţinem : 13) xB,, ( 1 7 Gen r) -+ Bewk [S b (rl<x») ] 14) xBk( 17 Gen r) -+ Bewk [Neg Sb(r}'( x» ) J. Se demonstrea­ iă apoi că 17 Gen r este formula indecidabilă, cu alte cuvinte nici ea nici negaţia ei nn este demonstrabilă în K. =

r>J

. , /'V "

=

=

=

=

=

=

. Teoria sistemelor logice

266


1 5) 17 G en l' nu este k-demonstrabil . Supoziţie. Bewk ( 1 7 Gen r) . Atunci conf. cu 3) există n astfel că nBk(17 Gen r). iar mai departe conf. cu 14) avem : a) Bewk [Neg Sb (d(nd .

Pe de altă parte. din supoziţie decurge conform cu axioma de substituţie 1111 (a se vedea mai sus la E) : b) Sb (r}(n» Or a) şi b) contrazic ideea că clasa k este cu-neco (a se vedea definiţia conceptului cu-necontradicţie) şi deci supoziţia din , care ele decurg nu are loc . Supoziţie. Bewk [(Neg ( 1 7 Gen r) ] S-a dovedit dej a că B ewk (17 Gen r) nu are loc de unde rezultă : ---a) Bewk ( 1 7 Gen r), de aci conf cu 3) : b) CE-ii) nBk ( 1 7 Gen r) c) (n) nBk ( 1 7 Gen r) apoi com. cu 13) avem d) Bewk [S b (rl(I�) ] Ceea ce contrazice presupunerea noastră şi deci presupunerea este infirmată. Prin urmare, s-a demonstrat că 17 Ge n " este o propoziţie indecidabilă şi cu aceasta este dovedită propoziţia VI. (Demonstraţia este constructivă) . Prop oziţia XI. (a doua teoremă de indecidabilitate) . Fie K o clasă de formule recursivă şi necontradictorie. î n acest caz propoziţia care spune că ., clasa K e necontradictorie" nu este k-demonstrabiIă. î n particular necontradicţia lui P nu este denlonstrabilă în P. Demonstraţie . î n propoziţia VI s-a presupus că mulţimea K este necontradictorie, ceea ce vom nota prin wid (k) . 1 6) wid (k) � Bew ( 1 7 Gen r) De aci conf. cu 6) 1 7) wid (k) - (x) xBk ( 1 7 Gen r) . î n virtutea lui 14) avem : Sb (Pl�p) şi deci 17Gen r 1 8) wid (k) � (X) XBkS b (P}�p» de unde conf. cu 9) 19) wid (k) - Q(x, P) Pentru a reprezenta în P o astfel de expresie vom nota cu w formula propoziţională corespunzătoare lui wid (k) . relaţia Q ( x, y) prin q şi deci Q ( x, P) prin r (deoarece " S b ( q}(p ) . iar ( x) Q( x, P ) prin 17 Gen r. Conform cu aceste notaţii obţinem din 1 8) : 20) w Imp ( 1 7 Gen r) (unde . , Imp " implică) . =

=

=

=

Sintaxa logică

267


Supoziţie. Bewk(w), deci Bewk ( 1 7 Gen r) (conf. cu 20) . ) . Or din aceasta şi din 16) rezultă wiq,(k) , ceea ce Înseamnă că mulţimea K nu este necontradictorie, or aceasta contra­ zice presupunerea iniţială. Prin urmare, din presupunerea că în K - s-ar pute.a demonstra necontradicţia lui K, deci wid(k) , s-ar obţine că această mulţime nu este necontradic­ torie, adică wid (k) . Cum însă prin presupunerea iniţială K este cu-necontradic­ t ori e (şi deci necontradictorie) supoziţia Bewk(w) est e falsă. î n concluzie dacă presupunem că sistemul P este complet el trebuie să cuprindă şi propoziţiil e indecidabile, dar în acest caz el devine contradictoriu. Necolltradicţia sa a fost stabi lită şi ca urmare sistemul nu este complet (de c i res­ pectivele propoziţii n1,1 pot fi deduse în sistem) . Deoarece sist emul nu este simultan necontradictoriu şi complet el este în principiu indecidabil . · Există şi expuneri simplificate, unele dintre ele nu sînt corecte şi dovedesc o neînţelegere a ansamblului din cauza neînţelegerii unor detalii importante. Notă.

în legătură cu sintaxa logică este interesant să se observe sime­

tria existent ă între termeni şi propoziţii relativ la relaţiile de

şi tespectiv inferenţă. în expunerea conceptelor

f�o':ia

sistemelor logice

am urmat îndeaproape această

definiţie

simetrie.

268


Sem anti ca logică

1.

CONŢI N U TU L S EMANTICI I LOG I C E

Semantica studiază relaţiile (informaţionale) dintre expresi e şi ' obiect, precum şi relaţiile dintre exp resi i în funcţie de

rap ortul lor cu obiectul . î n ce priveşte semantica logică ea studiază limbajul construcţiilor logic e din punct de

vedere semantic Semantica logică a apărut din necesitatea de a evita dificultăţile legate de para dox e şi în genere de p robl eme ale deciziei. Ca p arte a semioticii ea este un ansamblu de concepte, .

propoziţii şi raţionamente despre dimensiunea semantică a sistemelor logic organizate (în primul rînd sistemele " logicii pure) Există mai multe încercări de a sistematiz a conceptele semanticii logice, între care două sînt c ele mai cunoscute � metoda lui Frege şi metoda lui Carnap O sistematiz are presupune anu mite unificări care nu rareori sînt în contrast cu intuiţia noastră obişnuită. Tocmai de aceea înaint e dp a vorbi de asemene a sistematizări noi vom trece în revistă conceptele semanticii şi propoziţiile mai Î1npor t ante indepen"­ dent de legăturile lor sistematice mai profunde. Vom numi aceasta "Semantica de referinţă". Vom arăta apoi u n ele lTIoduri de sistematizare a semanti ci i în totalitate (Frege, Church, Carnap ) sau pe po rţiuni (Tarski) . î n ultima " parte vom studia sistemele sintactice din punctul de vedere al interpretării lor (modelele semantice) şi relaţiile între concep­ tele sintactice şi cele semantice. Acest sistem de c oncep t e în expunere liberă este o sursă pentru introducerea unor noţiuni mai precise şi de aseme­ ne:;l prin caracterul - său intuitiv un mij loc de tradUcere a unor termeni mai speciali. Semantica logică se constituie cU ajutorul unui limbaj care poate fi mai mult sau mai .

.

teoria sistemelor logice

- 269


puţin standardizat. Vom presupune mai întîi că limbajul obiect este un limbaj al unei teorii şi că el constă din semne de bază� termeni şi propoziţii . Această delimitare este strict necesară pentru a nu extinde conceptele semanti­ cii dincolo de anumite limite, fără eventuale modificări. La rîndul său limbaj ul semanticii conţine nume pentru semne, termeni, propoziţii din limbaj ul obiect. traduceri ale expresiilor din limbajul obiect. precum şi expresii rela­ tive la entităţi� proprietăţi şi relaţii semantice . De asemenea el conţine termeni şi în genere expresii cu caracter logic. Pentru denumirea expresiilor vom utiliza sau simboluri speciale (prescurtări ş.a.) sau procedeul autonim ; pentru traducere vom folosi expresii sinonime existente sau · ex­ presii special constituite. De exemplu� "F(X) 1 7 se va tra­ duce prin u Z are proprietatea F" , pentru nA C B" vom avea traducerea uA este inclus în B". Termenii "denotat ", "sens", "concept" ş.a. vor avea caracter semantic general. iar expresiile "pentru orice"" "există", I J dacă . . . atunci" ş.a. sînt de natură logică. 2. CATEG O R I I S EMANTICE

Am afirmat dej a că limbajul este un ansamblu de expresii şi am determinat conceptul de "expresie " din punct de vedere sintactic . Vom porni şi aci de la termenul "expresie" (mai precis "expresie semnificantă " ) pentru a-l determina� de astă dată, din unghiul de vedere semantic. Se spune mai întîi că o expresie se referă la un obiect . Această afirmaţie este valabilă atît pentru termeni cît şi pentru propoziţii. or pentru expresiile de legătură sau de operaţie. Termenul nOln" se referă la entitatea Om. termenul "Au­ torul poemului «Luceafăruh>" se referă la poetul Mihai Emi­ nescu. Propoziţia " Bucureştiul este capitala României" se referă la un oraş care are proprietatea de a fi capitala României . Semnul 11 + " se referă la operaţia de adunare, iar semnul "şi" la o legătură specială Între stări de fapt sau între expresii . Nici operaţia nici relaţia nu există fără obiecte la care se aplică, tocmai de aceea expresiile respective sînt oarecum "incomplete" ca şi în entităţile la care se referă. Teoria sistemelor logice

270


Faptul că o expresie Ne se referă la un obiect ob" înseamnă deci că expresiei e îi este asociat printr-o regulă de corespon­ denţă obiectul respectiv. Vom conveni să numinl acest obiect "referent " . Aşadar o expresie (indiferent de natura ei) va fi ceea ce are nlai întîi un referent sau presupune că are un referent . (Expresia "înger" doar presupune că a r e un refe­

rent) .

Deoarece nu totdeauna relaţiile între expresii şi obiecte (în sensul referinţei) sînt univoce vom da un tabel în care sînt prezentate complet astfel de relaţii de corespon­ denţă = e

ob

o 1

1 o

n n

n

J

m

Î n primul caz (O, 1) obiectului nu-i corespunde încă o expresie, el nu a intrat încă în aria cunoaşterii raţionale. deşi se poate afla în zona practică sau senzorială. Î n cazul al doilea ( t O) expresia este vidă, ea nu are referent (ex. "steaua cea mai îndepărtată de pămînt". "cel mai mare număr natural", NLudovic al XXX-lea este rege al Franţei") . Probabil că printre semnele fără referent trebuie introduse în genere semnele auxiliare (ex. parantezele), totuşi aceasta necesită o discuţie specială. î n al treilea caz (t l) avem o expresie univocă, adică unei expresii îi corespunde un singur obiect (referent) şi invers. Î n cazul ( 1 , n) expresia are n obiecte (referenţi) şi va fi o expresie plurivocă (polisemantică) . Astfel termenul de .lege" poate să se refere la a) o lege a naturii, b) o propoziţie care exprimă o lege, c) o convenţie etică sau juridică. O astfel de expresie mai poate fi numită "ambi­ guă" sau chiar "echivocă". Dacă Între entităţile l a care se referă există o legătură sistematică (cum e cazul pentru termenul ,.lege") vom spune că expresia este "sistematic alnbiguă" . Termenul " sistematic ambiguu" trebuie luat strict în acest înţeles şi nu identificat cu "confuz" sau " polisemantic" (în genere) ori cu " omonim" . El a fost introdus de către Russell, aşa cum s-a arătat dej a. pentru •

Semantica logică

271


a caracteriza unele concepte (funcţie propoziţională, adevăr, fals) - însă, evident în scopul de a elimina unele efecte negative pe care el presupune că le au astfel de termeni de ambiguitate sistematică. Cazul (n, 1) este acela al nlai multor expresii care se referă la acelaşi obiect (referentL fiecare dintre ele fiind univocă. î n fine, cazul ('111" n) ne arată că se poate concepe şi faptul de a avea mai nlulte expresii m raportate la mai multe obiecte n însă într-un mod nedefinit în raport cu utilizarea lor în limbajul L . N e putem reprezenta astfel acest caz. Fie el, e2, • • • , en expresiile şi obv ob2, . . . obm obiectele .

Expresia el are doi referenţi (ob!> obm), expresia e2 de ase­ menea doi referenţi (ob2, obm) , iar expresia en are trei refe­ renţi (ObI' ob2, obm) . Pe de altă parte, el are un referent comun cu e2 (anUlne obm), e2 are un referent comun cu en (anume ob2), iar en are referent comun atît cu el 'cît şi cu e2• Cu alte cuvinte cazul (n, '111, ) cuprinde mai multe expresii plurivoce ai căror referenţi pot să fie comuni sau nu fără vreo regulă. Cînd vorbim de referentul unei expresii este necesar să avem în vedere două sisteme de referinţă fundamentale : limbajul în genere L şi contextul dat C. O expresie poat e să fie plurivocă în L şi să devină univocă în C. Contextul este deci un mij loc esenţial de a face ca exp resia să fie univoc determinată în raport cu referentul. î n limbajul natural (sau chiar şi în limbaj ele ştiinţelor) expresiile sînt în ce a mai mare parte a cazurilor plurivoce în raport cu L. D acă vom numi universul obiectelor (entităţi1or) la care s e poate referi o expresie "spaţiu de referinţă" atunci putem s pune că acest spaţiu poate fi împărţit în patru : - în raport cu obiectele propriu-zise (O) , Teoria sistemelor logice

272


în raport cu indivizii umani

(1) ,

în raport cu acţiunea indivizilor (A ) ,

în rap ort cu expresiile înseşi (E) . Termenul "lege" indicat dej a poate fi rapo rtat în toate cele patru sensuri. Conjuncţiile dintr-o limbă au prin esenţa lor referenţi din 0, 1, A sau E. Poziţia unei expresii e în raport cu această diviziune a spaţiu­ lui de referinţă poate fi reprezentată astfel :

Considerăm expresia de forma "Nu a ci b" şi o ex emplifi­ căm în toate cele patru cazuri : 1) Nu obiectul a, ci obiectul b (O) 2) Nu P cum crede x, ci q ( 1) 3) Nu executa KlJ ci K2 ! (A) 4) Nu este adevărat Pl. ci P 2 (E) Analog putem lua conjuncţia "şi" : 1 ) ' a şi b (O) 2) ' Sînt convins de PI şi nu de P 2 (1) 3) ' Este permis KI şi nu este permis K2 (A ) 4) ' Este adevărat Pl şi este fals P2 (E) î n primul caz "şi " se referă la o "conj uncţie de obiecte " (Russell vorbea de " adunarea obiectelor"), în cazul 2) ' la o conj uncţie de stări sufleteşti (convingeri), în cazul 3 ) ' la o conj uncţie de acte (permise şi nepermise), iar în cazul ultim la o conjuncţie de propoziţii. Logica ne arată că referenţii lui "şi" nu au exact aceleaşi proprietăţi în toate patru cazurile, deşi utilizăm aceeaşi expresie. Limbaj ul special şi cel lnai adesea contextul ne va arăta ce tip de referent are expresia. O problemă importantă este aceea a introducerii expresiilor cu referent. Semantica logică

273


o expresie cu referent poate fi introdusă pe două cal : a) prin indicarea fizică a obiectului (metoda ostensivă)� b) p rin intermediul altor expresii dej a introduse (metoda d�finiţii1or) . Definiţiile prin care introducem o expresie nouă poartă nUlnele de " definiţii nominale". Definiţiile nominale sînt fie de introducere a unei expresii noi, fie de p recizare a unei expresii dej a introduse, fie de expli citare. A.� ţţel, dacă noi vom conveni să numim implicaţia "plicaţie" (cuvînt dej a utilizat de Curry) vom introduce prin prescur­ tare (identificare referenţială) acest nou cuvînt . Dacă vom spune că "analitic adevărat" desemnează acelaşi lucru ca şi "logic adevărat" (aşa cum procedează R. Car­ nap) vom avea o precizare de referent (care altfel nu e prea clar, sau nu e satisfăcător) . Dicţionarele de limbi naturale dau, de regulă, definiţii de explicitare . î n sens strict, numai ultimele sînt definiţii, primele două fiind pur şi simplu reguli (convenţii) de utili­ zare a expresiilor. CUln apar expresiile vide ? Cauzele lor pot să fie diferite : sau iluzia unor obiecte, sau manipularea prea liberă a regu­ lilor sintactice sau altele asupra cărora nu ne oprim aci. Am discutat pînă acum despre expresie (semne, termeni, prop oziţii) care au (sau pretind a avea) referent. Ca urmare am introdus un concept semantic fundam21lt al conceptul "referent" şi o relaţie semantică " de referi nţă" : ab este referentul lui e sau relaţia invers orientată e se refer ă la o b . Ac eastă terminologie este suportată de întreaga clasă de expresii a unui limbaj şi nu contravine modului n ��tru intuiti v d e a vorbi. Matematic vorbind, rel aţia de referinţă este o relaţie de corespondenţă în care natura entităţilor puse în corespondenţă nu prezintă nici un interes. Interes prezintă alegerea expresiilor doar din punctul de vedere al eficienţei limbaj ului. Relaţiei de referinţă î i corespunde pentru fiecare expresie în p ute probleml "la C� se referă expresia e ? " Pentru a rezolva o ast fel de problemă trebuie să dăm răspuns la alta " C Uln s e referă o expresie la obiect ? " Reluînd un exemplu dat de Frege (dar puţin modificat) fie· să considerăm trei drepte care se intersectează într-un punct. 'Teoria sistemelo r logice

274


Am numit aceste drepte r esp ectiv Dv D2' Da, i ar punctul de intersectie O. Fiecare dintre aceste semne a fost intro­ ' dus pe cale ostensivă (am indicat pe hîrtie la ce se referă) . Se întîmplă însă că nu Întotdeauna avem obiectul în faţă, s au nu ni-l reprezentăm clar sau pur şi simpl u nu l-am perceput niciodată. în acest caz modul de re f erire ostensiv nu ne nl a i este de folos. Trebuie să apelăm la a doua c al e introducerea referentului prin alte expresii. în cazul de mai sus, să considerăm expresia ° (litera) şi expre­ siile Dv D2' D3' Noi putem determina referentul lui O cu ajutorul expresiilor Dv D2' Da. Se înţelege că este necesar să alegem în acest scop o proprietate (însuşire, relaţie) �tnivocă în raport cu obiectul (punctul respectiv) . Această posibilitate constă în a considera punctul ca inter­ secţie a cîte două din cele trei drepte sau chiar a toate trei. Vom obţine în acest fel expresiile (le scriem prescur­ tat) .,D1 X D2 ", .,D2 X Da", uD1 X Da " , "DI X D2 X D3". Fiecare din aceste patru expresii se referă univoc la punctul respectiv, numai că fiecare se referă în mod dtjerit (dintr-un unghi de vedere diferit) , prin prisma unei proprietăţi dife­ rite, căci una e, de exemplu, proprietatea de a fi intersecţie Între D1 şi D2 şi alta pr opri etat e a de a fi intersecţie Între D2 şi Da. Expresia 0 la rîndul său se referă global la obiec­ tul perceput ca un "întreg" (eventual la reprezentarea lui), o referire sintetică, vagă în sensul că părţile sau proprietă­ ţile sînt indiferente. Scoasă din cadrul senzorial (percepţie sau reprezentare) expresia "O" pierde legătura cu referen­ tul, însă ea o poate recăpăta dacă este corelată cu alte expres i i care nu se mai referă global la obiect, ci unilateral -

.

.,

Semantica logică

"

275


print r-o proprietate sau cîteva proprietăţi care-l delimi­ tează exact de altele. Astfel sînt celelalte expresii indi­ cate. Vom spune atunci că nO" are acelaşi referent ca şi " Dt X X D2" sau 110" are acelaşi referent ca şi II D2 X Da" - etc. Ce raport există Însă Între cele patru expresii formate cu II Dt ", II D2 ". "Da" ? Mai întîi ele au acelaşi referent ca şi 110". Pe de altă parte, însă ele diferă prin modul în care se referă la obiect (punc­ tuI O) . S-ar putea ca cineva să propună o soluţie cam ciu­ dată şi anume - să nu considerăm că cele patru expresii au un singur referent ci că fiecare are referentul său dar de ' un soi deosebit, referentul este o parte a unui obiect, sau o proprietate a unui obiect . Această soluţie ar avea următoarele inconveniente : a) ar despica un obiect într-o infinit ate de alte obiecte care totuşi nu sînt de sine stătătoare (nu sînt independente) ; b) s-ar pierde din vedere legătura între părţi şi proprietăţL pe. , de o parte, şi obiectul ca întreg, pe de altă parte ; c). fiecare parte sau proprietate ar fi luate izolat ; d) legătura între expresii şi obiect nu s-ar mai putea stabili decît ostensiv ; e) nu s-ar mai putea stabili alte legături Între expresii decît acelea că ele diferă ca formă material ă şi poate au sau nu acelaşi referent . O pulverizare a obiectului şi a gîndirii (resp. a limbajului) . De aci nu conchidem că în anumite limite proprietăţile nu pot fi considerate la rîndul lor ca " obiecte" de sine stătătoare şi deci ca referenţi. Soluţia de nl ii sus este în genere cea firească şi logică - să considerăm că expresiile se referă în mod diferit la acelaşi referent . Acest mod diferit de a se referi la unul şi acelaşi obiect va fi . numit "sens". O expresie poate avea aşadar pe lîngă referent un sens. Tennenul "sens" convine utilizării noastre obişnuite în raport cu toate expresiil e (fie ele termeni sau propoziţii) . Expresia " cal bălan" are un sens ; la fel, propoziţia "Parisul este capitala Franţei" are un sens . Prima este un termen şi , se referă la acei cai care au culoarea "bălan", a doua este o propoziţie şi se referă la oraşul Paris în calitate de capitală a Franţei. Teoria sistemelor logice

276


Ptitem ' construi atîtea expresii cu sens relativ la un obiect

în cîte moduri ne putem referi la el şi ne putem referi la

el în atîtea moduri cîte proprietăţi (însuşiri, relaţii) speci­ fice (caracteristice, definitorii) are. Am introdus pînă acum două categorii semantice - refe­ rent şi sens . Referentul şi sensul vor fi numite împreună " conţinutul cognitiv" al expresiei. î n loc de "conţinut cognitiv" se spune adesea "înţeles (cognitiv) " sau "semni­ ficaţie (cognitivă) ". Semnalăm că în utilizarea obişnuită se confundă adesea termenii "sens", "Înţeles" şi "semnificaţie". O altă utili­ zare care poate duce la confuzii este aceea care identifică termenul de " referent" cu cel de "semnificaţie" (aceasta Îndeosebi sub influenţa m ate lu ati cii care numeşte entităţile pe care simbolurile variabile l e iau ca valori "semnificaţii" ; se spune : ,, % are semnificaţia numerică a" ) . Sensuh la rîndul său, mai este uneori denumit "intenţie" sau "idee". Faţă de tabelul nostru tripletul {sens, înţeles, semnificaţie} corespunde cazului (n, m) . Crearea unui "limbaj tehnic cere să facem o alegere în raport cu această terminologie variată. Vom vede:! că unii auto ri au în ce rc at generalizarea unora dintre termenii de mai sus chiar în contrast cu utilizarea lor obişnuită. "

Proprietăţile relatiei de referz·nţă. Nli discutăm aceste pro­ prietăţi în cîmpul limbaj elor formalizate, ci în cîmpul posibilităţilor lingvistice în general . Fie să notăm pe scurt relaţia cu x Refrx, unde se presupune că domeniul lui x po ate să difere sau să interfereze cu domeniul lui oc . Conform cu l ogica predicatelor putem scrie şi astfel : Ref ( x, rx) ceea ce în notaţia anterioară înseamnă Ref (e, ob) . E-,ristă cazuri în care avem autoreferinţă, am văzut dej a acest lucru discutînd despre antinomii . î n asemenea cazuri putem avea două situaţii : 1) expresia este ea însăşi referent, 2) , expresia face parte din extensiunea r efer ent ului. Vom scrie deci : :;Ix Ref (x, x ). Exemplificăm pentru termeni şi pentru propoziţii . Cuvîntul "termen" face parte din propria sa extensiune . Propoziţia s'e mantica logică

277


" orice p rop oz i ţi e este adevărată sau falsă" face parte di n "

propria sa extensiune.

Propoz i ţ ia

Ter men u l În scris În

în scri s ă

În acest dreptung h i este adevărata

acest dreptung h i

Acest termen îşi este propriul său referent, la fel propoziţia resp e ctivă.

Relaţia este deci în genere antireflexivă.

Există ş i cazuri de simetrie :

Ref (x, \l)

=

Ref ( \l, x )

Ter m e n u l Înscris În tri u ngh i u l de alăt u ri

Relaţia este antitranzitivă căci nu are loc : R ef ( x, \l) şi Ref ( \l, �) -- Ref ( x, �) 3. SEMANTICA TERM EN I LOR

î n paragraful anterior am introdus două categorii seman­ tice referent şi sens. Vom adînci acum studiul semnificaţiei (conţinutului cogni­ tiv) al expresiilor în funcţie de clasificarea acestora. Perechea { referent, sens} va fi particularizată la termeni prin perechea {den ot at co nc ept}. Termenul "concept " luat în această a c c epţiu n e a fo st in­ trodus de Church. J. S. Mill a folosit pentru sensul ter­ menului expresia "conotare" (sau c on otat ) Termenul este sau se presupune a fi nume a ceva (un obiect în sensul general în care log ic a formală def � neşte o b ie ctul ) Pentru perechea { termen, referent} se utilizează în logică următoarele denumiri corespunzătoare : {nume, nominat ( = denumit) } ,

"

"

.

.

Teoria sistemelor logice

276


{ designator, desemnat ( = designat) } {dE;notant, denotat} {semnificant, semnificat} Avem apoi expresiile corespunzătoare pentru relaţie : relaţia de denumire, J.1€laţia de desemnare, relaţia de denotare, r:elaţia de semnificare . ;'Vom ,reţine din această bogată terminologie următoarele el�:presii : "nume", n denotat", "concept" şi "relaţie de desemnare" în' logica tradiţională au circulat şi alte expresii sema ntice în 'legătură cu termenii : " noţiune", "sferă", " conţinut", ",notă a noţiunii ", "comprehensiune", nextensiune", "in­ tensiune" (ultilnele două expresii au fost u tilizat e mal .

în limba engleză) . Iată ce scrie Goblot în legătură cu o parte din aceşti ter­

q:les

lueni : » Oric� nume denotă un subiect (în sens de obiect n.n.­ n.E.) şi conotă proprietăţile aparţinînd acestui subiect. Astfel om denotă pe Petre, Pavel, Socrate, Don Quijote, europenii) negrii şi pieile roşii . . . . şi conotă poziţia dreaptă, inteligenţa, limbaj ul, sociabilitatea etc. Au fost adesea utilizaţi aproape în acelaşi sens ca şi denotare şi conotare cuvintele extensiune si intensiune : semnificatia ' unui nume este mai mult sau m'ai puţin extinsă, adică ea convine la un număr mai mic sau lnai mare de subiecţi, sau ea es,ţ e mai mult sau mai puţin intensă, adică plină, bogată. In loc de in tensiune care nu este utilizat decît în engleză se spune de obicei comprehensiune. " [16 ; 1 02 ] . ,'Extensiunea sau denotarea (denotation) unui termen este numărul de indivizi conţinuţi în gen, adică j udecăţile posibile faţă de care el este atribut, comprehensiunea sau conotarea este numărul calj tăţilor comune ale indivizi­ lor genului adică j udecăţile posibil e faţă de care el e subiect" [ 16 ; 103]. Un logician american 1. E. Creighton scrie că termenul " este utilizat în extensiune" cînd este luat ca denotînd un individ sau o clasă şi este ,. utilizat în intensiune" cînd e : folosit "pentru a defini sau descrie lucruri mai degrabă decît pentru a le numi". Acestea sînt " două funcţii sau utilizări ale numelui" [6, 58/59J . 'S'emantica

logică

279


" Extensiunea termenului, după cum s-a spus indică Qbiec­ tele la care numele se aplică şi intensiunea - calităţile sau atribut el e pe Care le semnifică" [6 ; 59J . D e exemplu, extensiunea cuvîntului "planetă" poate fi definită prin menţionarea numelor diferitelor pl an et e, Mercur, Venus, Terra, Marte etc. Analog pentru "carl1i­ vor" se enumeră speciile de carnivore. "Uzual totuşi noi o de fi nim din punctul de vedere al intensέ unii, adică, prin stabilirea proprietăţilor sau caracteristicilor pentru care ternlenul stă" . Se spune, de exemplu, că dăn1 ,,înţelesul intensiv" al termenului " pl anetă " cînd îl defininl într-un anumit fel [6, S9 J . Un concept ( = noţiune, n.n. G.E.) este . . . . un înţeles general sau o idee" [6 ; 45 J . T. Kotarbinski l a rîndul său scrie ,, însuşirile cOllotate împreună de numele dat c onst it uie ca urmare conţinutul acestui nume, sa u sensul acestui nume, în op o ziţi e cu desig­ natele care împ r eună constituie sfera ac estui nume sau deno tar e a sa" [27 ; 2 1 0 ] . Credem c ă cele de mai sus sînt suficiente pentru a su rprinde cu ap roxim aţie semnificaţia acestor termeni . Nu este în intenţia noastră de a urmări i s to ricul respectivilor tetmeni, am dorit doar să avem un punct de sprijin pentru a Încer­ ca să schiţălll o concepţie exactă (sau oricum mai precisă) despre utilizarea lor. Reţinem din concepţia lui Goblot următoarele : a) denotare = extensiune = numărul de indivizi c o n ţi ­ nuţi în gen = j udecăţile posibile . . . b) conotare = intensiune = comprehensiune = numărul calităţilor comune genului = j udecăţile posibile . . . . La Goblot pare că există deci o re gret abilă confuzie înt.re subiectiv ("j udecăţile posibile") şi obiectiv ( " num ărul de indivizi" etc.) . Creighton distinge uutilizarea în ext e nsiu ne " respectiv în intensiune şi defineşte cele două concepte astfel : a) extensiune = obiectele la care numele se aplică, b) intensÎune = calităţile sau atributele pe care le semni­ fică. La r în dul său Kotarbinski distinge : a) conţinutul numelui = îns uşi ri le conotate (împ reun ă) , b) sfera = de sign atele împreună. Din cele de mai sus se pare că noţiunile de ",extensiune" şi "intensiune" sînt raportate cu precădere la termenii g e neral i . JJ

Teoria sistemelor logice

280


Apar : unele întrebări : a) ' se c bnfundă denDtantul cu extensiunea şi sensul cu intensiunea ? b) 'se ' confundă sensul cu intensiunea ? (deci cDnceptul cu intehsiunea ?) c) se confundă extensiunea termenului cu sfera noţiunii (fie şi numai pentru termenii generali) ? d) s'e ' confundă conţinutul noţiunii cu intensiunea term.e­ nului '? e) este noţiunea acelaşi lucru cu sensul ? Rudolf Carnap a preluat termenii "extensiune" şi ,)nten­ siune" generalizîndu-i peste limitele intuitive şi făcînd din ei baza metodei sale care este concepută ca o. alterna­ tivă la metoda lui Frege. După părerea noastră prDblema n11 este soluţionabi1ă fără a adopta anumite supoziţii filo­ zofice precise, ceea ce nu pare a exista la respectivii aU,t ori.

Vom adopta mai Întîi ontologia minimă necesară definirii termenilor indicaţi . Expresiile vor fi rapDrtate la nIl univers care e format din : obiecte, proprietăţi, relaţii, operaţii, ll1ulţimi, sisteme. Obiectele \Tor fi obiecte fizice (concrete), obiecte abstracte (latu ri· ale obiectel or fizice detaşate de acestea şi tratate ca obiecte de sine stătătoare) , precunl şi obiecte ideal e (limita gîndit ă a unDr tendinţe reale) . Proprietăţile şi rela­ ţiile sînt respectiv determinări ale obiectelor luate ' în parte şi ' determinări ale obiectelor raportate unul la altul. Opera­ ţiile presupun o anumită schilubare în ce priveşte deter­ minările obiectelor. Mulţimea presupune o reuniune de obiecte în virtutea unor detenninări comune. iar sistemul o. mulţime de obiecte între care există anumite corel aţii . Principala dificultate semantică în legătură cu acest uni­ vers constă în faptul că adesea elelnentele i ndicate pot să-şi schimbe poziţia. De exemplu, oricare din entităţile univer­ sului poate deveni obiect, apoi datorită unor raporturi de echivalenţă dintre ele se poate produ ce cel puţin în anumite contexte, o "reducere de entităţi" sau cel puţi n o .uunificare". Astfel : proprietăţile (însuşirile) se unifică cu relaţiile (alegîndu-se una din cele două denumiri), relaţiile "se reduc" la clase (mulţimi)� operaţiile "se reduc" la relaţii, sistemele se reduc la ll1ulţimi . Mulţimile (clasele) ,

Semantica logică

28 1


pot fi considerate ca unu (deci ca un obiect cu integralir tat e) sau ca multiplicitate (distributiv) , deci ca fiind formate din obiecte (elemente) . . . Toate acestea constituie o sursă de alnbiguitate sistematică pe ntru expresii, d ep l a s ar e a neavertizată a conţinutuJui cognitiv al expresiei (adică a s eInnific aţiei) de la o e nti t at e la alta putînd da naştere l a confuzii . Vom ţine deci sean'la d e : a ) diferenţa entităţilor, b) de redu­ c ere a sau unificarea lor, c) schimbarea poziţiei în U. Obiec­ tul fizic care dispune de integralitate (poate fi calificat ca un întreg ale cărui părţi au un grad mai mare sal.f mai mic de interdependenţă) va fi considerat ca av�nd "realitate completă", toate celelalte vor avea realitate relativă la obiectul fizic. Fiecare dintre entităţile indicate va deveni o entitate s emi � ­ tică dacă ea este corelată se m antic cu expresia şi prin urmare va purta un nume special semantic. Prin acest nun'le semantic se va i ndi ca poziţia semantică a entităţii în raport cu tern'lenul . ' :

:

Extensiunea. Am p r ecizat că denotatul este entitatea .la care termenul se referă (pe care o desemnează, faţă de care el este nume) . Confornl cu principiul univocităţii (cel puţin relativ la contexte precise) orice termen are un singur denotat. Or extensiunea este o multiplicitate. D acă exten­ siunea ar fi luată ca denotat atunci sau ea ar fi luată �a unu şi deci principiul univocităţii ar fi r e spectat sau ea . 'ilr fi luată c a mult ipli citate şi atunci (cel puţin în cazul ter­ menilor generali) principiul univocităţii ar deveni imposi bil . Fie termenul " om" . Ce-i corespunde acestui termen. în realitate ? î n realitate noi găsim nu vreun obiect om ei : obiecte individuale un ansamblu de p rop rietăţi P con'lune acestor indi-: . .

-

VIZI.

Deşi are o anumită legătură cu fiecare individ în parte termenul "om" nu se referă la nici unul în mod sp e cial este indiferent faţă de di fere nţ el e dintre "indivizi " şi deci nu s-ar putea spune că-i desemnează "pe fiecar e în p a rte O a s e men e a concepţie despre denotat care ar face din fi e­ care individ în parte un denotat al termenului g e ner al ar avea drept consecinţă şi schiInbarea con c ep ţi e i despre sens ( cîţi indivizi atîtea concepte) . ,

." .

Teoria sistemelor logice

282


Această concepţie ar duce deci la concluzia că între indivizi nu există comun decît . . . . semnul ( forma materială a termenului), ceea ce este în esenţă nominalism . Rudolf Carnap afirmă că expresiile " clasa Om", "proprie­ tatea Om" şi "Omul" reprezintă pur şi simplu trei traduceri în metalilnbaj ale unei singure expresii din limbajul obiect. Dacă lucruril e ar sta astfel ar însemna că noi putem consi­ dera pentru termenul "om" drept referent clasa, proprie­ tatea sau o entitate "neutră" (care nu este nici clasă, nici proprietate) . Mai mult, din moment ce expresiile se află doar în relaţia de traducere nu vedem ce diferenţă (afară de cea referitoare la forn'la lor materială) ar exista între ele. ' Dacă ele ar fi identice ca referent atunci ar putea să fie suqs,tituite în orice context fie că acesta ar ţine de un limbaj si logistic, extensional sau predicativ, ceea ce, evident, nu e cazul . Fie ·contextul silogistic: Omul este mamifer . Mamiferul este vertebrat Omul este vertebrat. Î n presupunerea că denotatul pentru "om1' ar fi clasa om ar trebui să putem înlocui termenul "om" cu expresia "clasa om" fără a schimba întreg contextul şi fără a face din el un non- sens . Or se observă că dej a prima propoziţie (ca dealtfel şi ulti­ ma) ar fi transformată în nou-sens : " Clasa onl este mamifer" . Analog s-ar întîmpla cu substituirea prin ..,proprietatea Om".. s-ar obţine non-sensul : "Proprietatea Om este mamifer". Rămîne o singură posibilitate, să alegem o a treia enti­ tate - neutră faţă de cele două. Această entitate este gene­ ralul (genul), adică acel agregat de proprietăţi care se află în fiecare individ uman. Acest general deşi e distribuit în fiecare individ în parte e totuşi unu (a se vedea dialectica generalului şi individualu­ lui, a unului şi multiplului) . Conform cu principiul ierarhiei putem spune că faţă de fiecare individ (în parte), genul (generalul) este de ordinul doi, o entitate abstractă. Mai precizăm că el nu este o simplă =

Semantica logică

283


conj uncţie de proprietăţi (c01llune) ci un agrega t adică· un ansamblu de proprietăţi interdependente. î ntre individ şi gen ( general) în sensul determinat avem o reIa ţie de Ia parte la întreg : individul cuprinde generalul (ca parte) . Vom avea deci în genere r elaţia pe care o notăm : A cuprinde pe B Deoarece oricărei relaţii îi corespunde o simetrică V0111 a vea şi în acest caz una şi anume : B este în A . Prin urmare, " A cu p ri nde pe B " e s t e identic (logic) cu n B e s t e in A " . Vom introduce următoarea notaţi e pentru relaţia A c uprinde pe B : A ::F B , respectiv pent ru si metria ei B =e A . astfel =

echival enţa d e mai sus devine :

A � B = B :e A .

Propoziţia n Omul este mamifer" va avea acum u r m ă t o a rea j ust ă :

i nterpretare s e m anti c ă Om � Mamife r .

Cu al t e cuvi nte, d e no tatu l termenului " om" c u p r i n d e de­ notatul termenului " manlifer " . R e l a ţia =t: reprezi ntă tot­ odată i nterpretarea exactă a c o p u l ei " este " în si logistică . (Disti n cţia între funcţia "c6pulati vă " şi c ea "existenţială " nu di s p are în acest caz) . Conform cu cel e de mai sus silogismul va fi acum 'e xact simbolizat d up ă c um u rm ează :

A * B B =1= C A � C

Î n cele de mai sus am denl0nstrat numai faptul că termenul general nu p o at e fi înţeles ca desemnÎnd o clasă saU o 'pro­ prietate, prin aceasta n-am exclus posibilitatea ca el să· se afle În relaţii determinate cu clasa şi proprietatea . Entitatea om (aşa cum am conceput-o mai sus în cont ext ul silogistic) este distributivă faţă de o clasă de indivizi, în acest sens termenul om .f.se referă" implicit (indirect, prin intermediul generalului) la fiecare individ din clasă. Clasa faţă de care termenul se raportează implicit şi distributiv este tocmai extensiunea ternlenului. După cum denotatu­ lui (şi prin acesta termenului) i se asociază o extensiune, Teoria sistemelor logice

. 284


propoziţiei

corespu nz ătoa re

de formă A � B A C B

e xt e n si ona I ă

se poate

aSOCI a

o

propozi ţie

Intensiunea . Mai compli c at stau lucruril e cu intensiunea : trebuie să fie confundată cu sensul (resp . conceptul) sau nu ? Am văzut mai sus că sensul unui termen este referirea la denotat printr-o proprietate. Din aceas tă definiţie rezultă că spre deosebire de denotat care se află ..,la cel ăl al t capăt" al relaţiei de denumire sensul stă în însuşi actul de referire, est e , . modul de referire" . Prin urmare, el nu stă nici "la capătul de dincoace" al relaţiei de denumire . Ca urmare dacă menţi ne m defi niţi a intensiunii ca fiind proprietăţile ,.selnnificate" atunci ea nu este identică cu sensul . Rudolf Carnap identifică intensiunea (pentru termenii generali) cu p ro pri et ate a (nu cu pr op ri etăţile) corespunzătoare clasei . Dacă înţelegenl prin pr op ri et a te ceva ce determină clasa atunci identificînd intensiunea cu p rop rietat ea (idee care se pare a început să se strecoare destul de curent în contex­ tele logice) în niciun caz sensul nu poate fi la rîndul s ău identificat cu intensiunea. Putem, după părerea noastră, să adaptăm următoarea utilizare pentru termenul ,.inten­ siune" : intensiunea este un corelat s enl a nt i c al tennenului şi anu­ nle este p r oprietat e a prin care tennenul se referă la deno­ tat (deci datorită c ă rei a termenul are sens) . O distincţie evidentă între intensiune (astfel definită) şi sens . (c onc ep t) este aceea că termenul poate să aibă o · inten­ siune vidă fără a fi un non-sens (adică fără c a sensul la rîndul său să fie vid), de exemplu, a stfe l stau lucrurile în ��_�ul� �-!l��nu�1!�_ I I c el mai mare număr natural" I n . fine, vom I ntroduce o a treia p ropoziţie echi valentă l ogic c u A 9: B şi a n u m e u n a în t e r m C l l 1 d e i n t e ns i ti ni V x ( A ( x)

--

B ( x) ) .

d e s t u l d e d i f i c ilă şi d e c a r c' d e p I n d e i n clicarea i n tens i u n i i t e r me nului este : c e se Î n ţ e l ege prin " p ro prie­

O problem ă

tate" ?

Nu inten ţi o n ă m să dăDI o soluţie.. ci doar să schiţănl unel e aspecte. Formăm cu destulă uşurinţă proprietăţi .de la tenneni c o nc r eţi (Om, Mamifer ş.a.), fără ca t o t u şi să fie prea clar ce se inţelege p ri nt r- o asemenea pr opri etat e . Semantica logică

285


Den9ţatul om, de exemplu, este un agregat de proprietăţi interdependente� el se poate descompune într-o serie de (presupunerea proprietăţi nI ai simple Pl' P2' . . . . Pn că numărul lor este finit nu ni se pare justificată) . Î n acest caz că don are proprietatea Om » Înseamnă Ion are proprietatea P 1 şi Ion are proprietatea P 2 şi Ion are proprietatea Pn' . nOm" ar fi o expresie prescurtată pentru o conj uncţie infinită de proprietăţi . D eci o inten­ siune cOlnplexă. Altă soluţie ar fi să concepem relaţia Între denotatul subiec­ tului şi denotatul predicatului ca intensiune : J l a fi om. " ::::: " a cuprinde denotatul Om" Avantajul acestei soluţii ar consta în faptul că ar fi o idee simplă şi n-ar antrena conceptul de infinit. De modul în care concepem intensiunea depinde şi modul în care înţelegem sensul unui termen ge n eral Vom reveni ulterior asupra acestei chestiuni. •

.

.

.

.

Noţiunea. Am arătat într-o serie de lucrări că termenul n noţiune" este definit defectuos în manualele clasice, prin­ cipala obiecţie fiind că definiţia nu concordă cu aplicarea termenului (de exemplu, în clasificare) . Se spune că unui termen îi corespunde o noţiune. Dacă în plus noţiunea va fi identificată cu sensul termenului o vom numi concept. (Nu vom face o semantică asupra istoricului acestor ter­ meni ci o alegere între utilizările posibile) . Pentru teoria cunoaşterii un înţeles lnai larg al termenului de nnoţiune" este preferabil . (A se vedea lucrarea noastră [8J) . Ce este " sfera noţiunii", ce este "conţinutul noţiunii" ? Conţinutul noţiunii este aproape în mod general definit ca fiind totalitatea notelor noţiunii ". Exemplu, conţinutul noţiunii " Oln" {raţional. biped, biman, constructor de unelte, vorbitor, . . . } Notele noţiunii se referă la determi­ nările obiectului corespunzător noţiunii. Problema este : obiectul are o infinitate de determinărt noţiunea nu poate fi infinită - ea este limitată, deşi în "evoluţie" . "Totalitatea d e note" atribuite noţiunii de " atom" în sec. XIX este, se înţelege, mai mică decît totalitatea de note" atribuite în secolul XX. Prin urmare, ca număr de note conţj�utul celor două noţiuni este diferit (şi desigur nu ntllnai ca număr) . Conţinutul noţiunii poate fi diferit de la o epocă l a alta şi chiar de la unii indivizi la alţii . Astfel n

=

JJ

Teorie sistemelor l og i c e

286


definit conţinutul noţiunii are un aspect subiectiv (ori cel puţin social-relativ la o col ectivitate dată la un nloment dat) . PutenI schimba într-o anumită lTIăsură unghiul de vedere - continutul unei notiuni totalitatea determi­ nărilor obiectuiui redate în n�ţiune. Or aceasta presupune că orice noţiune are un ,.conţinut obiectiv" , ceea ce conform cu utilizarea largă a termenului "lloţiune " nu este admisi­ bil . O "notă" poate fi obiectivă sau do ar se presupune că e . Rezultă c ă trebuie s ă rămînem la prima definiţie. Ce este "sfera noţiunii" ? Putem avea două înţelesuri (cel puţin) : a) lTIulţilTIea obiectelor la care noţiunea se poate în geneTe (prin definiţie) aplica, b) nlulţimea obiectelor la care ştim că noţiunea se aplică la un moment dat . Oricît ar fi de interesant primul sens eu cred că el nu convine utilizării tradiţionale. În mod tradiţional se specifică la ce anume obiecte se referă noţiunea şi această specificare se făcea nu atît luînd obiect cu obiect ci luînd "specii de obiecte" (care evident sînt în nunlăr finit) . Sfera noţiunii A se referă la obiectele din speciile A l' A 2' A n . Cît putelTI enumera ? Atîtea cîte specii cunoaştem. Dacă des­ coperim o nouă specie ale cărei obiecte sînt în acord cu noţiunea extindem sfera noţiunii . Care este sfera noţiunii "vertebrat"? Sfera noţiunii vertebrat {nlamifere, păsări, peşti, reptile, . }. Acest procedeu se bazează cleei pe clasificarea dej a făcută a obiectelor. Putem obiecta acestui procedeu că e sau insuficient sau de prisos . Ar fi i nsuficient prin relativitatea sa la ceea ce ştim la Ull moment dat, ar fi de prisos deoarece definiţia noţiunii e suficientă pentru a ne arăta dacă un obiect dat face sau nu parte din sfera noţiunii . În ce priveşte definiţia se poate întîmpla ca ea să intre în conflict cu "conţinutul noţiunii" . Se poate ca " conţinutul noţiunii" să nu fie consistent (să cuprindă note contradictorii) şi prin urmare să ne afl ăm în încurcă­ tură cînd un obiect care satisface definiţia, nu satisface o anumită notă . Un procedeu independent de definiţie şi, în genere, relativ independent de conţinutul acordat la un moment dat nu e de prisos . Că între "sferă" şi "conţinut " se pot ivi contra­ dicţii acest lucru nu este excl us. =

.

.

=

.

Semantica logică

.

287


Nu mai discutăm despre faptul că la conţinutul noţiunii trebuie să aparţină şi ideea că obiectele respective fac parte fie din specia A 1> fie din specia A 2' fie din specia .

.

A ti '

Ideea că omul este sau alb sau negru sau galben face parte din conţinutul noţiunii de " om". î n acest fel sfera este strîns legată de conţinut . Conceptul (ca sens al termenului) nu pretinde la un înţeles atît de bogat, el este sensul dat printr-o definiţie asociată termenului . Numesc triunghi" poligonul cu trei laturi şi trei unghiuri. Aş putea asocia altă definiţie echireferentă (echidenotantă) cu aceasta. Sensul e dat de expresia "poligonul cu trei laturi şi trei unghiuri". Nu ne interesează alte note generale sau speci­ fice ale noţiunii de triunghi. Relativitatea poate interveni acum din aceea că pot fi alese pentru acelaşi tennen dife­ rite definiţii . Nu riscăm ni ci o contradicţie da c ă sfera con­ ceptului va fi luată ca mulţimea obiectelor care satisfac II

definiţia.

Comprehensiunea . Acest termen a fost cînd identificat cu intensiunea (deci opus clasei, extensiunii) cînd cu conţinu­ tul n9ţi unii . Am putea să-i dăm o semnificaţie obiectivă : totalitatea determinărilor denota..tului . Se înţelege vom face aceast a dacă efectiv vom avea nevoie de un astfel de te nnen. Dacă-l identificăm cu "conţinutul noţiunii" atunci el devine pur şi simplu un alt mod de exprimar e. Din cel e de mai sus rezultă că putem să creăm un statut aparte termenilor utilizaţi indicaţi mai sus . Î n conformi­ tate cu cele precizate vom avea următoarele raporturi : a) sfera noţiunii nu poate depăşi extensiunea ; b) conceptul te rmenului face parte din conţinutul noţi­ unii ; c) intensiunea este reprezentată de o notă a noţiunii (o notă definitorie) ; d) noţiunea este cuprinsă cel puţin în parte în conţinutul cognjtiv al termenului .

TiPuri de termeni. 1) Termenii singulari sînt fie nume proprii fie descripţii . Astfel "Ştefan cel Mare", "Napoleon" sînt nume proprii . ,- Î nvingătorul de l a Vaslui din anul 1 475 " şi ,,învingătorul Teoria sistemelor l o gice

288


de l a Austerlitz" sînt descripţii . Termenii singulari pot desemna indivizi sau agregate de indivizi sau orice entităţi despre care putem spune că au singularitate (unicitate)� adică entităţi cu extensiune singul ară. Termenul "p oporul englez" este singular� deşi nu s-ar pu­ tea spune că desemnează individul în sensul obişnuit. Denotatul termenului singular este elementul unei clase singulare . Problenla naturii unui astfel de elenlent poate prezenta interes pentru evitarea unor dificultăţi (confuzii sau chiar paradoxe) . O c1asă� de exemplu� poate fi considerată� aşa cum a arătat Russell� ca multiplicitate (pluralitate) saU ca unu. O pro­ prietate poate fi considerată distributiv sau ca o entitate singulară. Sensul termenului singular este dat de definiţia asociată1 dacă nu este descriptiv} sau este exprimat nemijlocit de descripţie dacă este descriptiv. Definitorul unui termen singular este în acest sens descripţia asociată. Astfel, sensul (conceptul) termenului .,Ştefan cel Mare" este dat de de­ scripţia ,.Învingătorul de la Vaslui din 1 475". Se poate distinge Între diferite singularităţi ca între entităţi de diferite tipuri (în sensul unei ierarhii) însă nu neapărat după regulile date de Russell. Dealtfel numai în acest sens putem asocia fiecărui termen un singur denotat . În ce priveşte descripţiile el e au fost tratate în mod diferit după cum se va vedea din cele ce urmează. Problema descripţiilor. Feluritele metode de tratare a de­ scripţiilor sînt rezumate de Carnap în Semnificaţie şi necesi­ tate . O descripţie are forma (� x) . . . x . . . . Ea poate avea unicitate sau nu . Dacă are unicitate ea satisface con­ diţia : 3yVx(- - x - - . � . x z) a ) Hilbert şi Bernays admit descripţia numai după ce i s-a demonstrat unicitatea. Carnap arată că aceasta lasă o imprecizie în regulile de formare, căci nu stiriI dinainte de a demonstra unicitatea ce este expresie şi ce nu e. De exemplu, nu ştim dacă "F('l xD(x) ) " este s au nu propoziţie . b) Russell ia condiţia de unicitate ca o condiţie de adevăr a . propoziţiilor de fonna indicată (F('l x D (x))))) : - v - - J ( 3y) [ \i x( - - x - - ) � ( x = y ) & =

Semantica logică

289


Descripţiile sînt c) Frege adopt ă care nu s atisfac

definite în contextul cel o r două propoziţii . două metode pentru tratarea descripţiilor uni c itatea : - descriptul este cl asa de ent it ăţi care satisfac ma trice a descripţie i ( - - x - - ) , - se al ege un descript. ex. O (zero) pentru expresii nUluerice (propusă chiar de Frege) , 0 (clasă vidă) p e ntru expresii de clasă (Quine) , lucrul vid a p ent ru expresii asupra obiecte­ lor fizice (Carnap) sau s e lasă al eg er ea deschisă (a *) (Ca rllap) . î n ce ne priveşte VOlTI accepta că expre s iil e de fornla (1 X) F(x) sînt descripţii singulare. ele se pot referi Ia or ice fel de singul arităţi (indivizi sau agregate de indivizi sau clase luate ca unu etc.) . Prin u rma r e , x es t e aci o variabil ă obiectuală. dar nu ne ap ărat individuală. în ce priveşte e xt e nsiune a şi intensiunea Carnap consi der ă individul ca extensiune, i ar conceptul individual ca intensiune . în fine. vom pu ne problema extensiunii şi intensiunii. Carnap identifică pere ch e a dată de Frege şi Church {deno­ tat , concept} respectiv cu {extensiune, intensiune}, în spe­ ţă {individ, c o nc ept individual}. Te o ria mulţinlilor ne oferă totuşi pos ibili t atea de a difer enţi a între elementul clasei singulare şi clasa corespunzătoare . Prin urm a r e , putem considera elementul ca denota t, iar clasa si ngulară ca

extensiune.

Dacă avem llunlele Napo l e o n " atunci individul Nap ole o n va fi denotatul iar clasa Napol e on va fi extensiune a . n N ap o le o n " ca avîn d denotat (ca nUlTIe a l unui obiect) va putea fi utilizat în contexte diferite fără a se schimb a : Napoleon este învingătorul de la Austerlitz. - Napoleon E {Napoleon}. - Napol eo n a re prop rietatea de a fi învingătorul de la Aust e rlitz . Denotatul este deci invariant în rap ort cu diferite c o ntext e c ar e-l core l e a ză cu un d esc ript . cU o clasă ( e xtens iune) sau cu o proprietate (intens iune) . Observănl, în sfîrşit că da c ă entitatea are atît num e pro­ priu cît şi nume de scrip tiv nu se p res up une că ştiind p e unul putem şt i iUlediat pe celălalt decît dacă efectiv c uno aş ­ tem o de finiţi e car e-i cor elează. n

2) Termeni generali. Aceştia sînt t erm e ni i care a u ca ex­ tensiune o cla s ă cu m ai mult de un element : " Om", ,. AnÎTeoria sistemelor logice

· 290


mal"l .. Regiment" ş . a . Frege nu se ocupă de termenii generali în acest sens, el îi abordează în context funcţionat ex. " Om(x) "1 iar Carnap le atribuie doar extensiune (cla­ sa) şi intensiune (proprietatea) . An1 stabilit dej a că în contextele în care aceşti termeni se comportă ca generali (deci în contextul silogistic) denotatul este generalul (o entitate abstractă de ordinul doi) . Care este sensul (conceptul ) termenului general ? în mod firesc el ar trebui să fie referirea prin proprietatea (generală) la denotatl o' proprietate care să fie intensiunea clasei . Oricărei clase îi corespund mai multe intensiuni . Problema care se pune este dacă sensul este dat de rapor­ tarea prin intensiunea termenului aşa cum e sugerată imediat de denotat sau printr-o proprietate mai simplă definitorie ? Prima variantă este adesea insuficientă. căci denotatul nu este suficient definit de nlodul în care am conceput inten­ siunea sa. Aceasta însealnnă că termenului nom" îi cores­ punde mai degrabă o noţiune (nedefinită) decît un concept definit . Această noţiune se referă la .. proprietăţi fizice" ( = relative la fonna fizicăI la organismul uman) , l,proprietăţi subiec­ tiv�" şi determinări relaţionale. Denotatul fiind agregatul tut uror acestora el poate fi mai bogat sau lnai sărac în determinări după cum ele sînt compatibile cu definiţia aleasă. Pentru noi "omul" este omul pămîntean. dar cine spune că nu s-ar găsi fiinţe care să fie în cele mai multe privinţe asemenea omului cu excepţia să zicem a număru­ l ui de membre ? Este necesar să al egem o proprietate mai simplă care să grupeze în j urul ei toate proprietăţile compatibile cu ea. mai precis care să lase deschisă această posibilitate . î n cazul omului putem alege mai multe definiţii na fi ani­ mal raţional" n a fi constructor de unelte" ş. a. Denotatul termenului " Om" va fi acum exact acel agregat de proprietăţi compatibile cu conceptul . în concI uziel nici noţiunea, nici intensiunea sugerată imediat de ter­ menul ., om" nu pot fi luate ca punct de plecare pentru introducerea sensului (conceptului) . Ca şi în cazul expresiilor individuale este nevoie să asociem o expresie definitorie .. aceasta va da sensul (conceptul) ; de exemplu : Om � x Animal Raţional (x) =

Semantica logică

29 1


Acesta Înseamnă că denotatul 011't este acea entitate x astfel că ea are proprietatea (conţine proprietatea) de A Fi Animal Raţional . (Variabila x este utilizată aci într-'..' l1 sens larg pentru orice fel de e nt ităţi . ) 3) Termenii categoriali. Mult ln ai complicată este problema termenilor categoriali e,spaţiu", "timp", "materie", ,,for ­ mă" ş.a.) Ei nu pot determina clase de lucruri concret e (clase de individuali sau de agregate) . Am abordat în lu­ crarea Filozofie şi logică problema acestor tenneru . Concluzii­ le de acolo depi nd de o supo ziţi e - predicat = predicat de lucruri concrete . ar această supoziţie ni se pare acum prea strictă şi în orice caz noi p ut e m adopta o convenţie mai largă, de exemplu, conformă cu teoria tipurilor. VOln înţelege p ri n predicat "predicat de ordinul n" . P ri ncipiu l clasificărilor ierarhice este indispensabil semanticii. (Toate c ategor iile semantice vor fi ie rarhiza te coresp unzător) . Vom st u dia în special termenul "spaţiu" . Se constată· că acest termen nu se referă la vreo clasă de lucruri din uni­ vers c are ar fi "entităţi-spaţiu" şi care în acest fel s-ar deo­ sebi să zicem de clasa " entităţilor-tinlp " . Nicăieri nu găsim un "lucru-spaţiu" sau un "lucru-timp" printre alte lucruri. î n acest sens, spaţiul, timpul nu reprezintă clase şi nici predicate. Să analizăul totuşi lnai îndeaproape lucrurile (fizice) . între altele noi putem constata că ele au astfel de pr opri etăţi ca : 2 m lungime ; - 3 m lăţime ; - 5 m adîncime . Apoi unele proprietăţi de riv ate : - suprafaţa de 6 m2 ; - volumul de 30 In 3. Astfel de proprietăţi pot fi asertate despre lucruri concrete (ex. blocul " Eva", oraşul " Bucureşti", lacul "Herăstrău" ş.a.). A avea " n metri" sau l I n metri pătraţi" sau " n metri cubiH aceasta înseamnă a avea anumite proprietăţi . Aceste pro­ prietăţi însă fac parte dintr-o "clasă de proprietăţi" sau alta şi anUlne (respectiv) : "proprietăţi de lungiule", "pro­ prietăţi de lăţime", "proprietăţi de adîncim e", "prop rieTeoria sistemelor logice

292


tăţi de suprafaţă", "proprietăţi de volunl " . (Alte proprie­ tăţi pot fi de exemplu din "clasa culorilor " ) . Aceste clase d e proprietăţi sînt la rîndul lor subcl ase ale unei clase mult ulai largi : "clasa proprietăţilor spaţiale" . " Spaţiul " este deci un termen care nu denotă lucruri con­ crete, ci "proprietăţi de un anumit tip", altfel spus, el nu se referă la proprietăţi de indivizi (ord. unu), ci la "proprie­ tăţi de proprietăţi de indivizi" (ord. doi) . Fie x, y, z, . . . indivizi fizici. Fie apoi aserţiunile " x are 2 m", "y are 3 m" . uA avea 2 m", " a avea 3 m'! reprezintă proprietăţi ale lui " x. La rîndul lor 2 m , ,,3 m" sînt proprietăţi de lungime, deci o antunită clasă de proprietăţi . Proprietăţile de lungime, de lăţime sau de adîncime formează proprietăţi spaţiale. Universul proprietăţilor este despicat pe orizontală (în cadrul aceluiaşi nivel) sau pe verticală (la nivele diferite) în "tipuri de proprietăţi" . Vom spune deci : " nn metri este o proprietate a lui x ",proprietatea n metri este de lungime" proprietatea de lungime este spaţială" " Putem simboliza În mod corespunzător : Doi metri ( x ) L (doi lnetri) ,,

Sp (L)

Ternlenul "spaţiu" poate fi introdus printr-o definiţie extensională (se indică disj uncţia speciilor) sau operaţio­ nală (în raport cu anulnite operaţii de ln ăsură) sau osten­ siv - inductiv. Toate aceste moduri de a introduce concep­ tul " spaţiu" sînt nepredicative . Fie definiţia extensională : " Spaţiu este o proprietate de lungime, de lăţime, sau de adîncime Sau proprietăţi derivate de la ' acestea" . Putem presupune de aci că deno­ tatul nu este nici o entitate singulară, nici o entitate ab­ stractă de tipul "agregatului de proprietăţi comune", nici o entitate abstractă simplă, ci o entitate compusă disjunc­ tiv. Despre o astfel de entitate putem face aserţiuni de acest fel : "spaţiul este tridimensional", "spaţiul se contractă", "spaţiul se dilată" ! ş . a. Toate acestea fac parte din actual.a noastră noţiune de "spaţiu" (A se observa că ne-am r efent . la spaţiu în sensul intuitiv şi nu în sensul abstract, n-dlmen­ sional) . Semantica logică

293


Intensiunea va fi şi ea dată de disjuncţia respectivelor pro­ prietăţi în măsura în care aceasta este văzută distributiv ca determinînd o clasă de entităţi (de o specie deosebită) . Nu insistăm asupra semanticii altor termeni categoriali, ni se pare însă că procedura utilizată mai sus poate fi generalizată.

Probleme speciale pun termenii vi zi C.imaginari", cum i-a denumit Frege)� negativi, ideali şi abstracţi. Sugerăm doar că pentru termenii negativi denotatul ar putea fi ales obiectul c a altul, pentru cei vizi putem sau să nu adlnitelTI denotat sau să admitem unul vid, pentru termenii ideali şi abstracţi VO lTI adopta soluţiile existente : " obiecte ideale" şi resp . " obiecte abstracte ". Am văzut că referentul termenului general este tot un obiect a b st rac t �el pu ţin în modul în care l-am ales noi . Clasel e şi proprietăţile (deci extensiunile şi intensil1nile) pot deveni la rîndul lor referenţi . în teoria nlulţimilor clasele , după cum în sînt referenţi ai simbolurilor A, B, C, teoria predicatelor proprietăţile sînt referenţi ai simboluri­ lor FI G, H� . . . " Clasa oamenilor", de exemplu, are alt referent decît ternlenul "om" - căci nu tot ce este valabil despre una este valabil şi despre alta. La fel II proprietatea O m n u este totuna cu omul. Termenii "clasa Om", "proprietatea Oln" şi "Om" nu sînt traduceri ale unuia şi aceluiaşi lucru cum credea Carnap, ei au referenţi deosebiţi . Fiecare astfel de referent are la rîndul său extensiune şi intensiune. Ca obiect abstract clasa Om se bucură de unicitate, este element al unei clase singulare şi nu nlai este distribuită faţă de alte entităţi . Cu alte cuvinte, termenul "clasa Om" nu poate fi aplicat la mai multe entităţi care ar conţine clasa Om, aşa cum e aplicat termenul " Om". Intensiunea acestui termen poate fi introdusă în mod obişnuit considerînd proprietatea (insuficient definită, dacă nu chiar ne definită) /Ia fi clasa Om" sau proprietatea introdusă prin definiţia care dă conceptul termenului . Această intensiune diferă de intensiunea denotatului Om, ca determinînd o clasă (o extensiune) cu un singur el ement (care la rîndul său este clasă) . Analog stau lucrurile cu "proprietatea Om " . ,

.

.

.

.

"

Teoria sistemelor logice

294


4.

S EMANTI CA P RO POZIŢI I LOR

Ne vom limita (cel puţin provizoriu) la prop oziţi il e c u con­ ţinut cognitiv (numite şi "teoretice" sau " descriptive " în opoziţi e cu cele " pr a gmatice " s au " presc riptiv e " ori " no rmat i ve " ) . O propozi ţie se referă la un obiect (deci are un referent) d espre care asertează ceva (= afirmă sa u neagă o determjnare) . Despre propo z iţie putem spune în uzul obişnuit că "semni­ fică ceva " că )) are un înţeles", dar e ste forţ at s ă spui că de n unleşte ceva, sau "desemnează ceva" sau "denotă ceva" . Fie propozi ţi a ,,2 X 2 4") e s te ea nume pentru ceva ? Evident că în nlăs ur a în care nu redefinilTI acest cuvînt ("llume" ) nu se p oate spune aşa ceva . S-ar put ea spune că pentru ea relaţia d e denumire ( d e desemnare, den ot a re ) este luai degrabă i mplicită (pre supus ă) că destinaţia pro­ poziţiei este alta, anume de a aserta despre un obie ct cu aj ut oru l u n or nume (pentru obiect p e ntru propriet ăţile co r e s punz ătoare ) . Cînd spunem că p ropoziţia aserte a z ă c e va înţelegem că ea are un sens pe care-l afirmă sau îl ne ag ă . Sensul propo­ ziţiei se lu ai numeşte şi informaţie s a u j u decată . Oricît ar părea de ciudat termenii "a aserta", " a informa", "a j udeca " diferă întrucîtva de s ens , deşi, evident, fiecare dintre ei conţin ideea de sens. încercăm să delimităm aceste nuanţe care logic pot să nu p re z int e interes, dar care ni se pare că există . "A aserta" pare a îns emna că raportăm o determinar e la obiect, "a j udec a " pare să însemne că no i fornlăm o j u de­ cată despre o biect ( corelăm două sau mai mult e c onc epte) , cu alte cuvinte "a j udeca" pare a surprinde actul intelec­ tual ca at are în care raportarea la obiect este indiferentă, deşi presupusă. La rîndul său "a informa" are înţel esul de a transmite cuiva sensul . Prin urmare as e rtar ea implică o co ns idera r e a sensului în raport cu obiectut judecarea are în vedere actul intel ectu al formativ (raportul cu obiec­ tul fiind pr esupus) , iar informarea înseamnă raportarea sensului p r opoziţiei la un subiect re ceptor . Important e pentru psihologi e s au t eoria cu noa şterii , dife­ renţele dintre cei trei termeni pot fi neglij ate logic. Ca urn1ar e, sensul propoziţ i e i poate fi numit "jude cată ", )

=

,

,

Semantica logică

295


"informaţie" sau chi ar "aserţiune " Uneori tennenul "j ude­ catăI I coincide cu cel de "gînd" sa u "idee" (luat în înţeles special) . Am văzut că un termen poate să fie vid sau nu. Există ceva asemănător şi în cazul propoziţie i ? Situ a ţi a este ceva mai complicată. O j udecată este raportare (mintală, prin intermediul conceptelor) a cel puţin două entităţi (obiecte luate ca întreg şi proprietăţiJ determinări) . În consecinţă putem avea următoarele situaţii : a) există obiectut există deternlinarea şi are loc relaţia între ele ; b) există în genere obiectul. există în genere detenninarea dar nu are loc relaţia între ele ; c) nu exi s t ă obiectul, există detenninarea însă nu are loc

relaţia ; d) există obiectul, nu există determinarea şi d e c i loc relaţia ;

nu

are

e) nu există nici obiectut nici determinarea şi, prin urmare, nu poate avea loc relaţia . Exemplificănl fiecare caz în parte : a) "Omul este animal raţi onal b) " Pătratul este rotund c) Centaurul este patruped" , d) " Cocoşul este supranatural"} e) " Jupiter este zeu" . Am luat prop o zi ţi i de fo rmă afirmativă însă aceasta nu prezintă vreo importanţ ă. Propoziţia de tipul e) este evident vi dă în cel mai deplin înţeles al cuvîntului, propoziţiile c) şi d) sînt însă v i d e numai în parte (prima este vidă în ce priveşte subiectut a doua este vidă în ce priveşte predicatul) . Pentru nuanţare am putea să le numim "semivide ". Propoziţia a) nu este vidă în nici o privinţă, i ar b) este vidă în sens ul că nu are loc rapor­ tul considerat între subiect şi p r edi c at Cînd propoziţia se află în cazul a) se spun e despre ea că este adevărată, cînd ea se afl ă în cazul b) spunem cle:5p re ea că este falsă. Termenii a st fe l î nţ e l eşi c o re spund cu lllodul În c are Aristotel însuşi i-a definit. Trebuie oare să extindem tennenul fals şi la celelalte t re i c azuri ? B. Russell considera cazul c) ca fii nd un n o n- s e ns Justificarea acestei afirmaţii lipseşte în textul lui Russell. Am abordat într-un studiu problema p rop o z i ţ i i l o r cu ter­ lue ni vizi . Revin asupra ei din a c el a ş i unghi de vedere. Să c ons i derăn1 luai î ntîi pr o p ozi ţi a d) care pare mai la ",

",

.

.

Teoria sistemelor logice

296


îndelnînă pentru relevarea aspectelor care urnlează. Formăm negativa exenlplului respectiv : "Cocoşul nu este supra­ natural" . Vom fi de acord că aceasta este adevărată) că pentru respingerea nlultor judecăţi avem nevoie de asertarea unor astfel de negaţii . Nu vedem de ce să califi­ cănI această negaţie ca adevărată şi să nu calificănl afir­ maţia corespunzătoare ca falsă . Propoziţia c) implică supo­ ziţia că 3x Centaur (X)I or această supoziţie este falsă şi deci respectiva propoziţie este falsă. Analog pentru propo­ ziţia d) . în concluzie, termenii " adevăr " şi ,Jals" se pot extinde asupra celorlalte propoziţii cu precizarea că se impune o gradare a lor ; ·propoziţia b) fiind falsă în mod obişnuit. iar restul avînd un fals nlai puternic (logic false) . P entru defini ţi a " adevărului" se utilizează uneori expresiile "are loc" şi "stare de fapt". Se spune că o propoziţie este adevărată dacă starea de fapt corespunzătoare are loc. Astfel. lIiarna ninge" corespunde unei stări de fapt (ninsoarea în timpul lunilor de iarnă) . Poziţia termenului I I stare de fapt" nu este prea clară în semantică. Faptul că uneori se spune "propoziţia desemnează o stare de fapt" s-ar putea să ne inducă în eroare şi s-o considerăm ca referent. Or în acest caz ideea de .,sens al propoziţiei" n-ar avea rost. Propoziţia " Ion este om" exprimă starea de fapt "că Ion este om" . Ar fi însă o limitare cu consecinţe destul de neplăcute să spunem că propoziţia are ca referent starea de fapt. Aceasta ar fi ca şi cunI în cazul descripţiilor am lua nu entitatea singulară ca denotat ci complexul "individ­ descripţie" De exemplu, pentru ,Jnvingătorul de la Austerlitz" refe­ rentul ar fi c o nlpl ex u l : înv'ingătorul-de la-A usterlitz şi nu pur şi simplu individul Napoleon . î n acest c az, n-ar putea exista două concepte cu acel aşi denotat. iar în cazul pro pozi ţiei TI-ar putea exista două judecăţi cu acelaşi referent. "Ştefa n cel Mare a învins pe turci la Vaslui în 1475 " şi Ştefan cel :rvI are s-a urcat pe tron în 1 457" ar trebui să " se r e fe r e la lucruri di fe rite dacă starea de fapt ar fi referent. Vom spune deci că propoziţia se referă l a un obiect şi că exprinlă o stare de fapt a obiectului . Starea de fapt este conţinutul obiectiv al ideii de sens . Ea este complexul, n obiect-determinare" exprimat în judecată . Următoarele fraze (frază în sensul utilizat uneori în logică) sînt echiva­ lente : "starea de fapt vizată are loc". ,;propoziţia este .

­

Semantica logică

297


adevărată"1 "propoziţiei îi corespunde starea de fapt de­ scrisă"1 ndeterminarea este adevărată despre obiect " . D eoa­ rece sensul unei propoziţii (judecata) este despre referent noi putem spune că "sensul este adevărat despre referent", ceea ce ne duce la concluzia că ade v ărul este un raport între sens şi referent. Despre stările de fapt se spune că sînt prezente sau absente, ceea e Înseamnă respectiv ace­ l aşi lucru cu "are loc", .,nu are loc" . După diviziunea operată de Russelt stările de fapt pot fi " atomare sau "moleculare" - ex. pentru "F(x) " vom avea clasa stărilor de fapt atomare, iar pentru "F(x) & G(x) " vom avea clasa stărilor de fapt nlOleculare (conjuncte) . "

TiPuri de propoziţii 1 ) Propoziţii simPle categorice. Pentru prop oz iţiil e singulare alegerea referentului este în acor d cu int ui ţii le noastre obişnuite. De exe mplu obiectul la c a re se referă propoziţia n Ştefan cel Mare a fost un mare domnitor românI I este în mod firesc individul Ştefan cel Mare . Nu la fel de simplu stau l ucrurile cu al egerea pentru propoziţiile parti­ culare şi generale . Propoziţiile de forma . , Unii 5 sînt P" pa r s ă se refere la obiectul desemnat de 51 or dacă 5 ar fi referentul, el ar trebui luat în toată extensiunea sa (ceea ce nu e cazul) . Fie propoziţi a Unii oameni sînt sportivi" . Este vorba aci despre om ? Nu. Ne referim la o "parte a oamenilor " . î nseamnă aceasta c ă referentul este o subclasă a extensiunii termenului Om " ? Avînd în vedere distincţiile făcute mai sus nici această soluţie nu poate fi acceptată. Am putea spune că referentul nu este determinat sau cel puţin că el nu poate fi determinat numai de expresia "unii oameni", ci trebuie să avem în vedere întreaga propoziţie . în acest caz omul sportiv ar fi cea mai bună alegere. Pentru pro­ poziţia "unii oameni sînt muritori ", referentul ar fi om'ul muritor. Propoziţia particulară ne mai spune că extensiunea refe­ rentului este o subclasă a extensiunii termenului subiect . O subclasă însă poate fi şi identică cu clasa ca în c az ul expresiei "unii oalneni sînt muritori ". Pentru j udecăţile generale referentul este în mod normal denotatul subiectului . Care este acum extensiunea şi respectiv intensiunea respec l

IJ

IJ

-

' Teoria sistemelor logice

298


tivului referent ? Are propoziţia extensiune şi respectiv intensiune în genul termenilor ? Carnap soluţionează problema pozitiv, dar el redefineşte termenii în aşa fel încît sînt de nerecunoscut, iar, pe de altă parte, el elilnină perechea {referent, sens}. Extensiu­ nea este valoarea l ogică, iar intensiunea este j udecata. în contextul limbajului logic o asemenea alegere poate să fie normală, în contextul unui linlbaj natural ea însă şochează. Fără a sacrifica perechea { referent, sens} credem că putem face următoarea alegere . Pentru propoziţia singulară extensiunea este clasa singular ă corespunzătoare referentului, pentru propoziţia particulară extensiunea este clasa f aţă de car e se distribuie referentul . Astfel. " omul sportiv" are ca e xt e n siu ne clasa indivizilor umani sportivi . Propoziţia universală are ca extensiune clasa corespunză­ toare subiectului. Specificul propoziţiilor particulare şi generale constă în aceea că ele inlplică trimiteri directe la extensiune (nunii", "toţi") . Propoziţia particulară poate fi citită : "S luat într-o parte a extensiunii sale este P", iar cea generală : nS luat în toată extensiunea sa este P". în cazul judecăţilor generale ne putem dispensa de trimiterea directă eliminînd expresia " toţi". De exemplu, putem spune " Omul este muritor" în loc de "toţi oanlenii sînt muritori" . Odată ce a m rezolvat problenla extensiunii" alegerea inten­ siunii nu mai prezintă dificultăţi. în cele de mai sus ne-am ocupat doar de propoziţiile shnple categorice. Propoziţiile de relaţie, propoziţiile compuse" propoziţiile modale şi propoziţiile deschise pun probleme specifice . De exemplu, în cazul propoziţiilor compuse putem avea propoziţii cu acelaşi subiect şi atunci problema referentu­ lui se rezolvă simplu întreaga propoziţie avînd un referent" dimpotrivă apar complicaţii cînd propoziţiile diferă ca subiect. Nu este în intenţia noastră să tratăm aci semantica unor astfel de propoziţii. Dimpotrivă ne vom opri (în virtutea faptului că problema a preocupat într-o oarecare măsură pe o serie de logicieni) asupra propoziţiilor p e care le vom numi provizoriu "subiective " . Semantica l ogică

299


2) Propoziţiile sttbi ective. Frege şi Carnap s-au ocupat şi de o clasă specială de propoziţii . Aceste propoziţii conţin utilizări indirecte ale unor expresii . Ele au fornlele : " x " spune că . . . " x arată c ă " x e d e părere c ă . . . , "x e convins că . . . , " x crede că . " x conchide că . . . ", "x cunoaşte că . . . ) , x şti e că . . . "x îşi imagi­ nează că . . ş . a . Fie propoziţia " Copernic credea că orbi­ ţele planetelor sînt cercuri". Confonn cu nletoda adoptată de noi referentul ei este pur şi simplu obiectul despre care vorbeşte (Copernic), iar judecata este informaţia despre Copernic (ne translTIite o convingere a lui Copernic) . Frege consideră că semnificaţia acestei propoziţii este sensul expresiei " orbitele planetare sînt cercuri" (la ele se referă Copernic) . în acest caz însă noi avem în vedere referen­ tul eonvingerii lui Copernic şi nu pe al propoziţiei despre Copernic. Sensul unei asemenea propoziţii este în concepţia lui Frege sensul expresiei : "sensul propoziţiei orbitele planetare sînt cercuri". în acest caz aveln de ales : sau perechea lui Frege - selnni­ ficaţie, sens - nu e aceiaşi cu perechea noastră - referent, sens - sau teoria lui este greşită. Teoria lui ar fi greşită dacă ar fi contradictorie, or ea nu este contradictorie. Prin urmare, n-o putem respinge teoretic, ci doar pragma­ tic ca fiind ne adecvată sau inC01TIodă pentru scopurile propuse. Perechea noastră este, în concluzie, diferită de perechea lui Frege . Dacă există intersecţii este altceva . Pentru propoziţii în genere vom prelua şi perechea {semni­ ficaţie, sens} dată de Frege, însă nu o vom confunda cu referent, sens . Nu considerăm că este adecvat contex­ telor, limbaj ului natural (şi chiar unor contexte ştiinţifice speciale) să SpUnelTI că propoziţia deSelTInează adevărul sau falsul . Dacă am trata astfel limbaj el e naturale s-ar obţine sau o interpretare extrem de greoaie (inutilizabilă) sau absurdităţi . De exemplu, propoziţia "Olnul este raţio­ nal" infornlează despre adevăr este în contextul natural o absurditate sau cere să schimbăm Într-un nlod de nerecu­ noscut sensul terl11.enului "adevăr " pentru a o face inteli­ gibilă. pentru Carnap adevărul este extensiunea propoziţiei, ceea ce iarăşi iese cu totul din uzul curent şi nu e în acord cu dezvoltarea logicii. Logica a evoluat în genere pe lîngă tendinţele reducţioni�te, cel mult ea a acceptat anumite ",

.

"

.

.

"

.

",

. ) 1,

",

. )1

Teoria sistemelor logice

300


,�oIelaţii foarte strînse între categoriile senlantice însă în cele din urmă ea a trebuit să depăş ească nreducţionis­ mul" . Conceptul de adevăr va fi studiat de noi Într-un paragraf special .

5.

ALTE EX P R ES I I

AlTI discutat mai sus despre termeni şi propoziţii, există Încă o clasă de expresii pe care de asemenea trebuie s-o avem în vedere - anume expresiile "incomplete" (conjuncţii � locuţiuni adverbiale, semne auxiliare) . Vom spune despre astfel de expresii că au referent, că desem­ nează ceva numai în combinaţie cu alte expresii. În anumi­ te cazuri li se poate acorda referent (denotat) cu un anumit grad de independenţă. Ele sînt mai aproape de termeni şi putem chiar să le numim ".termeni incompleţi " . Semnul . , X " desenlnează în aritmetică operaţia de înmulţire, dar termenul complet este Ha X b". Cuvîntul "de" nu are refe­ rent independent, el ajută la constituirea unor expresii.. ex. " de la Bucureşti l a Ploieşti" . Combinaţia "de la . . . pînă la" indi că un intervaL ei i se poate dej a atribui un referent. Vom conveni că termenilor incompleţi li se asocia­ ză referenţi cu diferite grade de independenţă (inferioară independenţei referenţilor pentru termeni compleţi) începînd de la zero, cum e cazul cu selnnul de paranteză şi continu­ înd cu expresii ca " de", "la", "pînă" care deşi n-au refe­ rent propriu par dej a să sugereze un gen de referent, pen­ tru ele am putea să atribuim gradul 1 de independenţă, ş.a.m.d. Selnnele 11 + ' " "şi", .. sau" ş . a . vin imediat după termenii compleţi, ele au aşadar un grad foarte luare de independenţă .

6. SISTEM E SI NTACTICE ŞI CONCEPTE

S EMANTICE

o serie de noţiuni semantice sînt raportate la formele sin­ tactice (în speţă usistem sintactic") . Avem aci categoriile de "model semantic" şi "interpretare" . Uneori cei doi ,semantica logică

30 1


termeni se identifică. Ideea de "model semantic" poate fi înţeleasă în trei feluri : a) ca nlulţime de entităţi la care raportăm funcţional mulţimea obiectelor şi secvenţelor de obiecte ale sistenlu. lui sintactic ; b) ca o teorie intuitivă (cu conţinut) care este asociată unui sistenl sintactic după anumite reguli de corespondenţă ; c) ca sistem de entităţi care transformă în teorie adevă­ rată sistemul formal . în ce priveşte " interpretarea" noi o putem considera strict ca aplicaţie a unui sistem sintactic 5 în mulţimea entităţi­ lor M. în acest fel interpretarea este o funcţie complexă determinată prin reguli de corespondenţă. Cu a cest ea am trecut în revistă principalele categorii seman­ tice. Revine acunl să adîncim studiul lor în funcţie de clasificarea expresiilor şi mulţimilor de expresii şi mai ales să studiem diii. punct de vede're semantic limbajul logicii. înainte de aceasta însă vom exemplifica şi tipuri de pro­ poziţii semantice şi de demonstraţii în semantica logică. 7. M ETA PROPOZIŢI I SE MANT I C E P e lîngă termenii semantici există, se înţelege, propoziţii

(luetapropoziţii) semantice. Mai întîi aşa-nunlitele reguli semantice (reguli de desemnareI reguli de adevăr, reguli de interpretare) vor fi "postulate semantice". Ex. "variabilele p, q, r, vor avea ca refe­ rent entităţi din mulţimea {v, f} şi anume nu amîndouă v deodată" (regulă de desemanre), " dacă p f) şi q atunci p & q v" (regulă de adevăr) . O altă clasă de propoziţii semantice vizează definiţia termenilor semantici (referent, sens, adevăr, model) . . Ca şi propoziţiile sintacticii, propoziţiile senlanticii pot fi descriptive sau generale. De exenlplu, propoziţia "p v p este o propoziţie logic adevărată" este descriptivă (ea se referă la o anume propoziţie din limbajul logic) . Dimpo­ trivă .,orice propoziţie de forma A v Ă este logic adevă­ rată" este generală. Demonstraţia faptului "că p v p este propoziţie logic adevărată" se face pe baza regulilor semantice care se referă la disj uncţie şi negaţie. (A se observa că penhu .

.

0

=

=

=

'

Teoria sistemelor logice

302


denumirea formulei am folosit procedeul numelor auto­ nime) . în ce priveşte limbaj ul se impun încă unele precizări. Fie LP şi expresiile : p -4> p, P q, P V p, . . . Operînd numai cu asemenea expresii putelll da impresia că încă nu avem un linlbaj deoarece acestea sînt simple formule din sistemul sintactic. într-adevăr, dimensiunea seman­ tică a limbaj ului este implicită nu explicită. Cînd cineva spune : "p v p" eu înţeleg prin aceasta că "asertez propoziţia p sau propoziţia p". înţeleg acest lucru cu condiţia că dimensiunea semantică a limbajului a fost introdusă anterior. Termenul " Om" este înţeles numai dacă am învăţat dej a să-I corelez cu un referent . Relaţia cu referentul nu este însă redată de acest cuvînt ea este implicată prin utilizări repetate. Explicitarea rela­ ţiei se face în metalimbaj , unde expresia este pusă faţă în faţă cu referentul său care este redat în -�1te cuvinte ce nu ţin de limbaj ul obiect. =

.

8. S EMAN TI CA LIM BAJ ELO R FORMALIZATE

Vom trece în revistă trei tipuri de limbaj e formalizate: limbajul aritmetic constant, limbaj ul simbolic în genere, linlbaj ul logicii. ( 1 ) Limbajul aritmetice Principala problemă a unui ase­ menea limbaj este formarea termenilor în diferite sisteme de numeraţie. Avem ca simboluri pentru obiecte cifrele. în funcţi e de numărul cifrelor elementare regulile semantice pentru ter111enii cOlupuşi vor diferi . Să urnlărim semantica sistemu­ lui binar, adică sistemul cu două semne elementare obiec­ tuale O, 1 . Fie o mulţime de obiecte speciale (steluţe) : (A) { * * * * * * * * *} Aceste obiecte sînt comode deoarece nu diferă decît prin Qoziţie (" coordonatele spaţiale") . în cazul sistemului binar regulile semantice sînt : a) simbolul "O" va desemna cardinalitatea mulţimii vide, b) simbolul ,, 1 " va desemna cardinalitatea mulţinlii sin­ gulare { x}, c) O secvenţă a,.an - t . . . al va desemna cardinalitatea unei mulţimi finite {XlX2 xk } (unde k > O) . (�mantica logică

303


Fie această secvenţă S. Ea poate să aparţină limbaJHlul binar (L2), adică S E Lz sau unui limbaj n-ar Ln (n >' 'e), adică S E Ln. Ce deosebire este între "S în LZ" şi "S ' in Ln" sub raport semantic? Deosebirea constă în faptul că un simbol elementar ai E S va desemna în funcţie de poziţia sa p din secvenţă mi pur şi sinlplu cardinalitatea unei mulţimi, ci cardinalitatea unei mulţimi de " ordinul p". Completăm deci reguiile semantice: ' ţa d) Dac'ă un simbol a (a O sau a = 1) ocupă în secve n S locul de rang p atunci va desemna cardinalitatea mu:lţimii de ordinul p. Ce este însă acest "ordin P"? Fiind dată o mulţime de obiecte, să zicem (A), elementele ei pot fi grupate după criteriul n-tuplelor (cupluri, triplete, cvadru­ pla etc.). Fie M o mulţime de n-tuple (cu eleme nte n-tuple) (n 1 sau n 2, ... ): (1) mulţimea formată din el e luente singu­ lare va fi de ordinul unu, (2) dacă grupănl elenlentele unei mulţimi M în n-tuple atunci obţinenl o nltllţinle de un ordin mai înalt decît M. în acest fel obţinem o ierarhie a nlulţinlilor după criteriul grupării în n-tuple. PrinciPiu. Se aleg atîtea cifre (elementare) cîte elemente conţine n-tuplul (la n elemente, n cifre). Teoremă. O secvenţă cuprinde atîtea cifre (elementare ) cîte ordine există. Mulţimile de diferite ordine pot , fi dispuse astfel (în ordinea apariţiei): MI> M2, , Mp(Mi (i <P) din şir poate fi şi vidă). Secvenţa este ordonată de la dreapta la stînga (Aceasta este, se înţelege, o convenţie comodă). , Acum considerăm că regula (d) este clară. Vom aplica regulile (a)-(d) la mulţimea A. ,: Criteriul de grupare este "cupluri". Prin gruparea lui, A obţinem o mulţime Mz cu patru cupluri şi o nlulţime MI cu un element singular. MI = {*} M2 = {<* *), <* *), <* *), <* *)} Dacă mulţinlea obţinută permite gruparea în cupluri q.pli­ căm din nou criteriul şi obţinem o mulţime Ma' forr;r' iCltă din două cupluri de elemente din Mz: Ma {«* *), <* *»), «* *), <* *»)} =

=

=

\

=

Teoria sistemelor logice


În fine din aceasta obţinem o singură 11lulţime şi anume una singulară 1114: M4 { [«* *), <* *»), «* *), <* *»)] } Avem deci secvenţa de mulţinli MI> 11,12, lVI3, M4• O lTIulţime din secvenţă va fi vidă dacă şi numai dacă ea este sau o lTIulţime iniţială vidă sau este făcută vidă prin absorbţia tuturor elementelor ei în mulţinlea de ordin superior. Prin regulile a) şi b) noi nu putem avea decît mulţimi .vide şi mulţimi singulare. Prin regulile a), b), d) vom asocia fiecărei mulţimi simbolul corespunzător, iar prin regula a) vom dispune cifrele în ordinea indicată. MI -) 1 MI {*} M2 -) O M2 { } Ma -) O M 3 = {} 11;14 M4 -) 1 {a} Secventa va fi deci 1001. Această expresie reprezintă car­ dinalit�tea mulţimii A. Aşadar denotatul oricărei expresii cifrice va fi un obiect abstract "cardinalitatea" (ca proprietate a mulţinlii). Deno­ tatul poate să fie conceput însă şi altfel, în spiritul lui Frege-Russell ca o "clasă de echivalenţă", sau ca ,,individ abstract". Toate trei procedeele de a acorda denotat expresii­ lor cifrice pot fi aplicate. Cel aplicat de noi este un procedeu genetic. în cele de mai sus noi ne-am limitat la un limbaj L2• Siste­ mul se poate extinde la orice Ln. De observat este că semantica noastră este formulată în­ tr-un metalimbaj care presupune dej a în componenţa· sa limbajul LlO (ca limbaj de referinţă). Noi nu am dat sis­ temul de reguli semantice decît pentru semne elenlen'ciare şi pentru operaţia de juxtapunere. Ar urma să dăm reguli semantice pentru expresii formate cu + X ş. a. operaţii, apoi reguli semantice pentru expresii propoziţionale de forma Cl. < �, Cl. = �. Nu este în intenţia noastră de a analiza aci întreaga semantică a limbajului aritmetic şi de' aceea ne-am ocupat de partea pe care am considerat-o ,cea mai îriteresantă din punct de vedere logic. Notăm încă faptul că tot de semantică ţin şi regulile de traducere dintr�un limbaj Li în altul Lj (i '1= j). =

=

=

=

J

Semantica logică

305


De exel11pl u 9 este o traducere în LIO pentru expresia ,,1001" din L2• În Metodele logicii am văzut că un astfel de linlbaj poate fi pî nă la un punct reinterpretat În logi că. "

,

,,

(2) Limbajul simbolic. Limbajul simbolic L = {V, T, F}, unde V vocab ul ar ul de bază (semnele elementare), T este mul ţim e a termenilor şi F = mulţimea formulelor. Din semnele elementare fac parte a) semne obiectuale, b) semne operatoriale, c) semne pentru prop rietăţi (însuşiri sau relaţii) şi d) semne auxiliare. , a) ·Semnele obiectuale sînt constante aparente sau variabile. Presupunenl că a, b, c, . sînt constantele aparente, iar x, y, z, variabilele. =

.

.

Constantele aparente, pr esupun un denotat (şi anume unul dar el nu este încă precizat. Cînd el este prec iz at ele devin semne obiectuale ca în limb ajul intuitiv. Variabilele obiectuale sînt de asenIenea senIne al căror deno­ tat nu este precizat, în schimb se precizează: - clasa din care poate primi denotat; faptul că orice. obiect din clasa respectivă poate fi denotat pentru semn luat în limbajul respe c tiv ; faptul că într-un context dat variabila nu poate avea decît un denotat. Denotatul variabilei se mai numeşte " valoare" sau "semni­ ficaţie a vari abilei , iar clasa din care var i ab i la ia valori se m 11. numeşte domeniu de valori s au "dOlneniu de s ingu r)

,

-

-

"

semnificaţie" . Unei variabile i

se acordă valoare (denotat) prin corelarea cu un nume constant N. Schema este următoarea: Variabila v primeşte valoarea N. Odată ce variabila v a fost corelată cu numele N ea primeş­ te şi toate determinările semantice ale acestuia (denotat, concept, extensiune, intensiune etc). Fix'lrea denotatului se poate face şi indirec t fără corelare cu un termen, anume prin context. De exemplu contextul Vx(y + x = x) este un context care i ntroduce pentru y denotatul care este cel al termenului "zero". Un sistem de ecua ţii cu o rădăcină introduce un denotat pentru necunoscută. Astfel "x + 5 = 7" introduce denotatul 2 pentru x. Se poate ,

Teoria sistemelor logice

306


forma din contextul indirect un nume descriptiv: -Ex. ,, �x (x + 5 7)". Este de asemenea demn de remarcat că donleniul de valori se poate schimba� extinde sau restrînge. "De aceea� arată Church� la conţinutul variabilei se referă într-un anumit sens şi conţinutul numelui propriu al dotne­ niului ei de semnificaţie" [5; 20J. b) Operatorii. Acestea sînt semne care stau pentru operaţii (desemnează operaţii). de ex. +� x, &, ş.a. Termenul "operaţie" poate fi asociat cu diferite entităţi (logic înrudite) . Se poate înţelege prin operaţie un act (fizic, nlental) sau o aplicaţie în sens matematic : An -t A. Din punct de vedere sintactic am văzut că există două feluri de operatori - terminali şi propoziţionali. Fie ope­ ratorul terminal + şi termenul variabil (deschis) x + y. Operatorul este un termen semantic cu mai nlică indepen­ denţă decît term�l �.căruia intră. Care va fi denofatullui x + y în r aport cu +? Termenul " "x + y poate la rîndul său să fie tratat în două feluri: a) ca desemnînd o valoare funcţională sau b) ca desem­ nînd funcţia (ca şi +) . în primul caz denotatul îi va fi acordat prin asocierea cu un nume comp�tS (constant) , ex. ,,2 + 3"� în al doilea caz pur şi simplu prin definirea funcţiei. Generalizînd vom spune că dacă x, y sînt variabile obiec­ tuale şi � un operator atunci denotatul lui "x�y" va fi o funcţie de tipul An -'t A sau o valoare acordată prin asocierea unui nume constant compus a�b. În acest Ultitll caz toate categoriile semantice proprii lui I,aab" vor fi transferate lui nx�y". Cînd "xay" este luat ca nume de funcţie ca şi "a" atunci conceptul va fi dat de definiţia dată funcţiei o(x, y) adică o funcţie de forma An -) A� extensiunea va fi graful aces­ tei funcţii, iar proprietatea elementelor grafului va fi i11tensiunea. Se înţelege că x va fi un element cuplu, iar intensiunea va fi o relaţie. =

c) Semnele pentru proprietăţi vor desemna proprietăţi din­ tr-un donleniu de proprietăţi dat. Semnele acestea pot fi de asemenea constante aparente sau variabile . Tratarea este analoagă. Semantica logică

307