Page 1

GHEORGHE ENESCU

DICŢIONAR DE LOGICĂ

EDITURA ŞTIINŢIFICĂ ŞI ENCICLOPEDICĂ Bucureşti

-

1985


Redactare ti coordonare leXlcograflcă

PETRE DAN

Coperta şi supracoperla: ION MINCU


PREFAŢA

Dicţionarul de faţă constituie un răspuns la necesităţlle apărute ca urmare a procesului de logicizare a ştii nţelor, dar şi la ceri nţele dis­ cursului pragmatic. El permite o orientare rapidă in domeniul complex ŞI vast al logicii contemporane. Ne-am limitat la stri ctul necesar: termeui, metode, probleme, nU am introdus nume de autori. !,ogica tradiţională, logica simbolică, in general, şi logica matematică, în special, constituie compartimentele abordate. Legătura cu lucrările noastre anterioare este <:!videntă, pe de altă parte insă, au fost necesare multe reformulări, com­ pletări ŞI precizări. Adesea o materie care in tratate este prezentată analitic, trebuie să fie tratată aci sintetic. Articolele de istoria logicii (ex. doctrina universalelor) sînt în prin­ cipal sinteze realizate pe baza lucrării Dezvoltarea logicii de Kneale. tn limitele permise de spaţiul afectat am dat exemple simple şi clare. O atenţie specială am acordat în acest sens erorilor de logică extrem de instrnctIve pentru gîndirea cnrentă. tn acelaşi sens am căutat să aso­ ciem schemelor logice formulări naturale in limbajul obişnuit. Nu am considerat necesar să unificăm simbolismul avînd în vedere varietatea de simboluri existentă în literatură. Aceasta face parte, ca să spunem aşa, din informaţie. De altfel, cititorul le va distinge exact sensul după context. Am citat numai acele lucrări de care expunerea a depins în mod nemijlocit. tn condiţiile răbufnirilor iraţi onaliste se impune intensificarea educării gîndirii logice. Claritatea, precizia, necontradicţia, coerenţa şi întemeierea logică reprezintă aspectele fundamentale ale gîndirii raţionale. Logica este, după cum spunea Dimitrie Cantemir... lumina naturală" a omului. Atacurilor la adresa principiului necontradicţiel le răspundem cu formula: a renunţa la princiP,ul necontrad,cţiet tnseamnă a permite' totul, adică haosul gindirii. Lucrarea se adresează filosofului şi matematicianului, literatului şi inginerului, omulni teoretic şi omulUI de acţiune Prof. univ. GH. ENESCU Universitatea Bucureşti


ABREVIERI

Antiref. Antisym.

Antitrans. Asym. FLG FNBG

FNC PNCP FNDP

FND FN

li-A

IDtrans. Iref. Neref. Nesym. Netrans. Ref. Sym.

TFA Trans.

-

antireflexivitate antisimetrie antitranziTititate asimetrie FUNDAMENTELE LOGICE ALE GINDIRII de Gh. Enescu forme normale booleene generale forme normale conjunctive forme normale conjunctive perfecte forme normale disjunctlve perfecte forme normale disjunctlYe forme normale axiomatica Hilbert-Ackermann intranzitivitate ireflexivitate nereflexivitate nesimetrie netranzitivitate reflexivitate simetrie Teoria funcĹŁiilor de adevllr tranzitivitate


A

'\, hteră prin care se simbolizează : 1. judecăţile universal-afirmati ve de forma "Toţi S sint P". 2. judecăţile modale cn modusul şi dictumnl afirmative (Ex. Este posibd Pl .

AU ESSE AD POiSE VALET CONSEQUENTIA (lat. "consecinţa logică de la a exista la a fi posibil este valabilă" , lege a logicii modale simbolizată (dacă este adevlrat "p" este adevărat şi "este posibil p,,). prin p _'o Altfel exprimat de la ceea ce este real se poate conchide faptnl că este şi posibil. Realitatea unui lncru implică în mod necesar posibilitatea lui. AII OPORTERE AD ESSE VALET CONSEQUENTIA (lat. "consecinţa logică de la necesar la a fi real este valabilă"). A circulat şi formula apa­ rent reciprocă: unum quodque, quando est, oportere esse (Leibniz, Teod,­ ceea) - cind ceva este real, este necesar. Hegel a combinat, simplificînd, cele două fo rmule' "tot ce este necesar este real şi tot ce este real este necesar". Este vorba de cele două sensuri ale lui necesar "necesar În sens logic" şi "necesar de fapt" (in sensul că ceea ce este nu poate să nu fie) . ABSORBŢIE , proprieta te formală a operaţiilor, definită astfel:

)

Pp

a· (ao b)

=

a.

Astfel, în logică avem ca legi de absorbţie

a& (a V b)

a V (a&b)

==

==

a.

a.

ABSTRACTUM PRO CONCBETO (lat "abstractul prin concret" ), inlo­ cuire a abstrac tul ui (generalului) prin concret (particular) in argumentare.

Vrind să se argum entez e in genere se operea z ă in fapt cu exemple (cu ca zuri particulare). Este o ilustrare sau, dacă e luată drept o argumentare completă. este o eroare.

ACCENT LOGIC, intonaţie a nnei silabe intr-un cnvÎnt sau a unuI cuvint î ntr-o expresie mai complicată astfel că determină sensul cuvîntului, al

expresiei în scris 8. 1. poate fi redat prin poziţia cuvintului, prin sub­ " liuiere, context san alte mijloace. De ex. expresiile "am puţm i bani şi "am baw" diferă datorită 8. 1. Pnm a spune că am ceva bani ( = nu sînt lipsit de bani), a doua spune că am insnficient de mulţi

puţim

bani.

ACOPEUmE, proprietate a unni implicant '1' În raport cu un impli cat <jI ('1' - ). q,) de a lua valoarea adevăr ca şi <jI pentru aceeaşi alegere de valori. Se spune că '1' acoperă respectiva valoare adevăr a lui q,. De ex. p aco­ peră v aloarea v a f uncţiei p v q pentru alegerile (vv) şi (vI), dar nu pentru alegerea (Iv).

ADEVĂR 1. în teoria cunoaşterii, corespondenţa ideii cn realitatea , 2. în iogică proprietate a propoziţiilor (resp. judecăţilor), 3. tn TFA , valoare logică (caz particul ar de obiect abstract) notată cu v. Adevimll ca proprietate a propoziţiilor este o proprietate derivată de la relaţia de corespondenţă. Proprietatea de adevăr se exprimă prin cnvintul adevărat.


A DICTO SECUNDUM QUID AD DICTUM SIMPLICITER

8

AdevArul unei propoziţii p constă în a reda realitatea cu alte cuvmte, in a exprima o stare de fapt reală. In logica funcţiilor de adevăr (TPA) proprietatea de adevăr (ca şi opusul său - falsul) este reificată, transfor­ mată în obiect abstract. In acest fel, o variabilă propoziţională p de ­ semnează obiectul v sau f. Distincţia intre cele două sensuri este evi­ dentă din cele donă contexte "p are proprietatea adevArat" ŞI "p de­ semnează valoarea v". Există şi alte sensuri ca in contextele: "un lncru a­ devărat" (= un lucru care existiJ în realitate, nn e ilnzoriu), "UD om adevărat" (= UD om conform cu modelul), "x spune un adevăr" (= x spune o proponţ,e adevărată), adevăr moral" ( = normă morală tUCep­ " tattJ) , "cunoaşterea adevărului obiectiv" ( = cunoaşterea realităţii obiec­ tive). In logică predicatul adevărat (adevărul) se poate nuanţa; a. ne­ cesar, a. contingent, a. analitic, a. sintetic, a. aproximativ ş.a. Din cauza folosirii aceluiaşi cuvînt "adevAr " (resp. "adevArat") se confundă ade­ sea noţiunea de adevăr din logica bivalentl cu noţiunile de adevăr din logicile polivalente (v. schema defmi/iei adevărulu,). A DICTO SECUNDUM: Qum AD DItTUM SIMPLICITER (lat. "de la a zice in sens secund la ceea ce e spus in sens simpln"), eroare prin care termenul mediu intră într-o premisă în mod limitat, în alta in mod simplu' Unii A sint B (nedistribuit) X şi Y sînt A (distribnit)

X şi Y sînt B

A FORTIORI (lat ... [pornind] de la ceea ce este preponderent". "cu

atît mai mult", ..in şi mai mare măsură"), formă de raţionament (al" gumentum a fortiori) bazată pe comparaţie. Are două variante; 1) dacă ceva mai pnţin cert (evident) sau mai puţin riguros a fost acceptat atunci cu atit mai mult ceea ce este mai cert (evident) sau mai riguros trebuie să fie acceptat, 2) dacă o idee este mai puţin certă (evidentă) sau mai puţin riguroasă decit alta care a fost deja infirmată (negată) atunci cn atît mai mult trebuie să fie infirmată (negată) prima idee. Exemple; a) dacă un om necalificat a putnt să construiască această maşmă, cu atit mai mult este adevărat că o poate construi un om calificat, b) dacă este fals că Napoleon fără Grouchy a fost învingător la Waterloo, este cu atît mai fals că Grouchy fără Napoleon ar fi ciştigat bătălia de la Waterloo In primul exemplu, se trece de la ideea mal pnţin certă că "un om necalificat a putut să construiască această maşină" la ideea mai certă că "un om calificat poate construi o astfel de maşină", iar in exemplul al doilea, de la infirmarea ideii mal de aşteptat ("Na­ poleon fără Grouchy a fost învingător la Waterloo") la infirmarea ideii mai puţin certe ("Grouchy fără Napoleon ar fi cîştigat bătălia de la Waterloo"). In sensul raţionamentulni a fortion merge şi formularea: ceea ce este mai puţin probabil este mai puţin acceptabil sau cu cit mai probabil cu atît mai mult acceptabil. ALGEBRA LOGICII 1. Algebră booleeană a logicii (v. algebră booleană), 2. Curent În dezvoltarea logicii iniţiat de G. Boole şi care constă în stn­ diul logicil cu mijloace asemănătoare algebrei matematice obişnuite. Esen­ ţial este in această privinţă introdncerea simbolurilor şi a metodelor de calcul (algoritmi).

ALGEBRA SCHEMELOR CU RELEE ŞI CONTACTE, aplicaţie a funcţtilor �e adevăr la schemele cn relee şi contacte. Valorile logice şi funcţiile p, p& q, p V q se reinterpretează astfel: v (adevărul) corespunde con-


AL(�ORI'l'J\f

tactuluI î,lch�s, r (falsul) core�punde poziţiei deschts, fi corespunde poziţiei inverse p07iţiei lui p, p & q corespunde contactelor în serie, iar p V q corespunde contactelor în paralel Notînd Cii i-închis şi cu d-deschis, putem rellefini funcţiile, de ex p V q

p q

pV

q

�._p

-t:�

p

q

Iată şi o schemă mai complexă

-----te

ilI

p Schemele pot fi SlUlphficate cu ajutorul metodelor de nlwimi:rare (v). Dacă în logică interesează tautologiile. evident că ac1 prezintă inter� numai fUllcţiile realizabile, căci o tautologie ar însemna o schemă care funcţionează permanen t ALGEBRA BOOLEANĂ. lalzce (v) care conţme operaţia de comple­ mentantate şi legea de distnbuţ le A este complementar lUI A dacă şi numai dacl

A .lA::o T A= l

A

Unde O este element nul, laC 1 este element unn·ersal Se spnnc că laticea e"te complemenlală dacă ea conţme un element maxim şi un ele­ ment minim. Algebra <A, V, &, - ) este booleană Elementele O, I vor fi fabul şi, respectiv, adevărul. în loc de n. b. �e mal spune ŞI algebră logică. ALGEBRl UNIVI!.1tSALA. �tructură <A, 0, e 1)' unde A este o mul­ ţime de entităţi şi O o lllulţllne de operaţll, de ex <A, x), <.1, &, -) , <A, &, V, -). Un caz Interesant este <.4, C) (unde A este lllulţime de formule iar C operaţia de conchidere imediată). ALGORITIU (cuvint derivat de la numele matematicianuluI AI-Horezmi sec. 8 - 9) : 1. Proces de rezolvare a unei probleme Într-ull număr finit de paşi (altfel spns, Într-un număr finit de operaţii), �. Sistem de reguli de rezolvare a unei prob leme, Într-nn nnmăr fmit de aplicaţa Unind


ALGORITMUL LUI McCLUSKAY

10

cele donă semnificaţii obţinem definiţia 3. a. este un ansamblu de reguli care.,.,aplicate.&Apra unor date De dnc dnpă un număr finit de operaţii (efectuate conform cu regulile) la rezolvarea problemei puse Pnmul sens coincide cu ceea ce, in matematică, se numeşte «proces de calcul � pentru rezolvarea unei probleme (de ex. aflarea rădăcinilor unei ecuaţu), iar sensul III doilea cu • metoda de calcnl. corespunzătoare respectivulUI pro­ ces. De remarcat că multe cărţi de matematică lasă impresIa, prm exem­ p lele pe care le dan, că a. ar fi ceva foarte special şi nn o noţiune comun{t. I n realItate, a. este orice proces de calcul care satisface definiţia Indicată, de ex. procesele elementare de adunare, scădere, înmulţire etc sint procese algoritmice. O sistematizare a teoriei algoritmilor este daU de A. A. Markov in Tecwsa algOf'tUHs/Of' tlOI'",ali. Pe Ungă definiţiile date, noţiunea de a. mai poate fi precizată indicîndu-se propnetăţue 1) caracterul dtscret al procesulni de calcul ( = procesul constă dintr-un şir de operaţii distincte), 2) caracterul deten7tinat (deterministic) al procesului (= rezultatele obţinute dnpă fie(are operaţie sînt unIvoc determinate in raport cu datele anterioare) 3) caracterul de masă (= metoda algontmJcă se aplică la o mulţime potenţial mflnită de probleme singulare), 4) caracterul finit (= orice proces algoritmIc constă dintr-nn număr finit de operaţii, în rewlvarea problemei me­ toda este aplicată de nn nnmăr finit de ori), 5) caracterul formal (= în desfăşurarea procesului de rezolvare esenţială este numai core­ laţla formală dintre date şi nu "conţinutul" lor), 6) caracterul mecanic (= fiecare pa!> În procesul de calcul este "sugerat" imedIat de datele asupra cărora acţionăm şi acţiunea constă numai din operaţii de tIp mecanic (scriere, eventual, ştergere de simbolnri), 7) caracterul prects (definit) al datelor, naturii rezultatului şi regulilor, 8) caracterul prog, amabil al metodei şi maşinizabil al procesulni algoritmlc. Re­ zolvarea algoritmică a problemelor este tipic constructivă ("intuiţio­ nistă" în sensul lui Brouwer) I n logică avem două feluri de a.: smtactici (de ex. a. formelor normale) şi semantlct (de ex. a. matricelor de adevăr). De noţiunea de a. este legată, în logică, noţIUnea de "decidabilitate" (in sens restrins), precum şi "problema deCIziei". Noţiunea de «calcul axiomatic � nu este un caz particular al noţiunii de a., ea nn satisface toate proprietăţile indicate 'Wang Hao a încercat totuşi să algorltmizeze o parte din t>rocesele de demonstraţie dlU logică (I? şi Matrice dr adf­ văr, Forme normale, Probl ema decizieI.) ALGOHITl\IUL LUI ]\Ic.CLUSKAY , algoritm de aflare a formei normale prescurtate Se bazează pe arltmetizarea" valorilor logice. Valoarea ad evdr este notată cu cifra 1," iar falsul cu cifra O. în acest fel , seria de valori pentru care minitermenul ( = constituientnl de unn) la va­ loarea 1 formează o expresie nunterică în sistemul binar. De e:x, pentru pg'is avem seria de cifre 1001. Tradncînd această expresie in sistemul zecimal obţinem numărul rninitermenului. în exemplul dat va fi q. Numărul de unităţi aflate În expresia binară a minitermenulni �e va numi indIce. In exemplul dat indicele este 2 ( = avem două cifre unu). în acest fel fiecărui număr al minitermenului îi asociem un indice. Legea de contopire (A X V A X = A) şi legea de absorbţie (A V AB = A) sînt formulate în limbaj aritmetIc (cu ajutorul numerelor şi al mulţimilor de numere). Există cîteva propoziţii de bază ale acestui algoritm 1) Două numere x şi y de minitermeni reprezintă o contopire dacă şi numat dacă: a) numerele diferă cu 2n (n = O, 1, 2, ... , k), b) indicii celor două nu­ mere diferă cu 1, c) numărul cu indicele mai mare este mal mare decit numărul cu IndIcele mal mic.


ALGORITMUL LUI

11

MC.f'I,USKAY

2) Dacă P e o mulţime de numere (Xl' %2" , Xn ) , astfel că P reprez11ltă o conjuncţie primă, conjuncţia reprezentată de P va fi parte a tutnror minitermenuor reprezentaţi de numerele respectIve: P c mi' P c m2, . . , P C 11Ik. 3) Dacă,) ŞI R sînt două mulţimi de numere ce desemnează două con­ Juncţll pnme ( = produse elementare), conJuncţia desemnată de R ab­ soarbe conJuncţia desemnată de 5 dacă şi numai dacă are loc SeR. 4) Dou:1 mulţimi de numere P şi Q reprezIntă conjuncţii prime care se coutopesc dacă ŞI numai dacă a) diferenţele lor sint identice, b) cele mai mici numere dIn mulţimi sint numere care reprezintă cont opui COIl­ form cu 1) (Diferenţele unei mulţimi reprezmtă diferenţele numerelor care se supun operaţiei de contopire). Fie următoarele expresii mmiter­ menI: P ii r s, p q,. s, P q r s, p q ,. s. Numerele binare sînt respectiv 0001, 0011, 0101, Ol!l Numerele zecimale,sînt respectiv 1,3,5,7. Con­ form cu propoziţia 1) următoarele perechi de numere (1, 3). (1,5), (3, 7) r"'prezint:l conjuncţii prime care se contopesc Considerăm numai cazul (1, 3)' Cp ii ;; s V p q r o) == P q s. într-adevăr, diferenţa de 3 - 1 = 2" Indicele lUI I este 1, iar al lUI 3 e�te 2, deCI 2 - 1 = 1. în fme 3 '> 1. Mulţimea (1. 3) reprezinU con­ Juncţia primă p il s. în conformitate cu propoziţia 2) conjuncţia repre­ zentată de (1, 3) adică p q s intrl in conjullcţiilc reprezentate de llume­ rele 1 ŞI 3, adică este parte a lui p q ;; s şi d lUI P q r s ApOI !li acord cu propoziţIa. 3) mulţimea de numere (1,3,5,7) reprezintă o conJuncţIe care absoarbe conJuncţiile reprezentate de (1,3), (1,5) şi (3, 7), ceea ce se poate verIfica uşor apelînd la expreslIl", literale corespunzătoare în fine, se poate observa c:1 mulţimile (1, 5) ŞI (3, 7) se contope�c, căci dI­ ferenţa lui (1, 5) este 4, la fel diferenţa lUI (3,5). Apoi (1,3) sînt cele mal mici numere dlll mulţimi ŞI ele reprezintă contoplre A. de aflare a implicaţiilor simpli (deci ,l Ln. prescurtate ) are următoa­ rele reguh (I) se dau numerele şi mdicii mini termenilor, (2) se grupează numerele după indicl, grupele dlspunîndu-se in ordinea crescătoare a indicilor, (3) se efectuează contopirile conform cu propoziţiile 1) ŞI 4), (4) se efectuează absorbţiile conform cu propoLiţia 3) . (5) mulţimile de numere necontopite şi neabsorbite reprezintă implicaţii simpli Fie funcţia f (P, q, r, s) _ a cărei f n d p este p ti ;; s V p q r s V p q r s V P "ii r s V V P ii r s V p q ,. 5 V P q ,. s. p", baza valOrilor binare aflăm numerele ŞI mdlcii. Ele sînt respectiv (1,5,3,9, 11,7,15), (1,2,2,2,3,3,4) For­ măm tabelul contopirilor şi absorbţidor IndIci

1

I

Numere

1

2

3,5,9

3

7, 11

I

Contopm (1) (1, 3) (2) (1,5) (4) (1,9) (8 )

I

Contopm (II)

I (1,3,5,7) (2) (4) (1,3,9,11) (1) (8)

(3,7) (4) (3, Il ) (8)

4

e.!5

(5,7) (2) (9, 11) (2) (7, 15) (8) (li, 15) (4)

(3, 7, Il, 15) (4) (8)


"-MBIGUITATE SISTEMATICA

12

Obs. Numerele contopite se scriu în ordine crescătoare, iar în stinga se scrie diferenţa. Cînd se contopesc mulţimi, numerele se scriu, de asemenea, în ordine crescătoare, iar în stînga se scriu diferenţele contopirilor. De ex. 1 se contopeşte cu 3 scriem (1, 3) (2), (1, 3) se contopeşte cu (5,7) . scriem (1,3, 5,7) (2) (4). Numerele rămase necontopite sau neabsorbite le notăm cu un asterisc. Se observă că numai ultimele trei mulţlIIlI nu se mai contopesc şi nu sint absorbite. (v. mtnitermen) AMBIGUITATE SISTEMATICĂ, proprietate a nnor expresII de a avea mal multe semnificaţii intre care eXistă legături sistematice Vn exemplu este cuvîntul lege cn cel puţin trei semnificaţii: lege a natuni, lege juri­ dică, lege ca propoziţie a ştiinţei. Termenul de a. s. a fost introdus de Russell ca o expresie cu sens peiorativ pentru a marca o situaţie nesatisfăcătoare În care se află expresiile, funcţiile propoziţionale şi termenul de "adevăr" (v leona tfpun[or) Cn timpul s-a recunoscut legitimitatea a. 8. în limbaj ca un principiu al "economiei de exprimare" (v. autonim) ş.a. cu condi­ ţiile ca . a) să fie definită explicit (să fie indicate exact respectivele sem­ nificaţii), b) in contextele concrete expresia să fie utilizată univoc. AMBIGUITATE ŞI SUBSTITUIREA TERMENILOR, eroare materiall în raţionament bazată pe pollsemanusmul termenilor. Un exemplu este chiar împătnrea terment/oF' (v ) considerată printre eF'onle formale (v ) din cauza Încălcării regulh celor trei termeni Exemple. Orice lege este un raport mdependent de voînţa omului.

Einstein

a

formulat legea "E

=

mc2"

Emstein a formulat un raport independent de voinţa omului. Datontă ambiguităţii cuvîntului lege 0bţinem aparent concluzia respectivă, care, :n plus, este contradictorie într-adevăr, in prima propoziţie legea este un raport obiectiv, in a doua propoziţie ea este o formulă a fizicii. Raţionamentul Omul duphcitar pste condamuabll Spionul este duplicitar Spionul este condamnabil.

E.bte un exemplu In care tOţi cel trei termeni Îşi dubleazl semnIficaţIa în pnma propoziţie este vorba de "omul duplicitar prtn caracler" care este .. moral condamnabil", în a doua propoziţie este vorba de "dupli­ citar prin profesie". Concluzia depinde de doi factori' a) se înţelege prin "spion" un străin in raport cu ţara dată sau nu', b) in favoarea cui spionează' Fie A ŞI B două ţări Dacă spIOnul este cetăţean al ţărh A şi spIOnează contra B atuncI el este "condamnabil juridic" în B (prob­ lema morală nu se pune). deci sensul lui "condamnabil" se s\:himbă faţă de prima premisă. Dacă spionul este cetăţean al ţării A şi spIOnează pentru B atunci el este condamnabil moral în B şi deopotrivă moral şi JuridiC în A. Silogismul respectiv este un exemplu de raţionament făcut cu propoziţii deschise ( = imprecise, neunlvoc determinate)

AMFIBOLIE

(gr. ă.!l-'PLi30ALot), ambiguitate provenind din construcţia propoziţiei. Sensurile propoziţiei sînt opuse şi pot fi precizate În funcţie de împrejurări. Un exemplu este dat de răspunsul pe care oracolul de la Delphl l-a dat lui Cresus "Dacă Cresus va declara război perşilor, el va distruge un mare Imperiu" Ambiguitatea este risipită in funcţie de evenImente, în cazul de faţă distrugerea Intperiului lui Cresus. La Kant arufibolia constă în confundarea unui obIect al mtelec tului pur cu un oblect sensibil


13

AI'o'TE<'EDENT'

ANALIZĂ LOGICĂ, analiză a structurii logice a unui proces de gindire dat (exprimat intr-un text sau un discurs) cu scopul verificArii corecti­ tudinii logice. A. 1. presupune următorii paşi ' (1) analiza cl aritiiţii şi preciziei limbajului (modul în care sint definiţi termenii şi formate pro­ poziţiile). (2) analiza modulw în care sînt efectuate clasificările (dacă. există). (3) analiza argumentărilor şi. în genere. a coerenţeJ logice a gin­ dirii, (4) analiza cODsistenţei ( = necontradicţiei) gîndirii. Condiţia prin­ cIpală a unui proces de gîndire este argumentare a (raţionamentul). acolo unde nu există raţionament nu există gîndire în sensul exact al cuvin­ huui ci doar exprzmare de opinii, sau de informaţii cunoscute. Un loc Important in B. 1. îl joacă formalizarea logică. Cel mai putermc ŞI mai adecvat instrument de o. 1. formalizată este calculul predicatelor. Cal­ culul propoziţiilor este InsufIcient pentru a. J. Pentru a analiza cu aJuto­ rul calculului predlcatelor un text intuitiv este necesar să distingem predicate le (însuşirile, relaţiile), domeniul de aplicaţie (= universul diacur­ sului) şi cuantorii. De importanţă decisIvă este cunoaşterea traducerzi judecăţilor simple categorIce în limbajul predîcatelor. Pentru Judecăţ;le generice (v 1 folosim echivalenţele: T 5 - P == \fx(Sx -+ Px); TS+ P == == \fx(5x ..... Px) , U 5 - P == 3x(5x & Px) ; U5 + P == 3x(Sx & Px) Ana­ log se procedează cu judecăţile categorice de relaţie (1) Fie propoziţia "orice naş !şi are naşul" (considerată la propriu) O parafrazar\: "illlpl1i. o aduce mai aproape de modul standard in care ne exprImăm în logică: "pentru orIce naş există un naş". Predicatul n aş ascunde o relaţie ,,� este naşul lui y" adică prin definiţie "x cunună sau botează pe y". N oUm prescurtat predicatul N(x, y). Domeniul este hmitat la lDdivizii umani care practică astfel de relaţu. Propoziţia devine: "pentru orice x dacă exisU y astfe l că N(x, y) atunci există z astfel că N(z, x)", ceea ce sÎDl­ bo lizat complet devine "Ix (3y N(x, y) -+ 3z N(z, x». Din geometrie vom da două exemple claSIce de a. 1. a propoziţiilor. (2) "Prin două puncte dLferite trece cel mult o dreaptă". (3) "DouJ. drepte diferite au cel mult un punct comun". Notăm cu x, y, z. . punctel.. 5i cu a. b. c. . . . dreptele. Relaţia P(x. y) va fi "x se aflJ. pe dreapta a". (1) "Ix "Iy (x == y -+ 3;;-3b«a ;ţ. b) & Pi x, a) & P(y, a) & P(x. b) & P(y, li»)) . (2) \fa . "Ib(a ;ţ. b -+ 3y 3Y«x ;ţ. y) & P(�, a) & P(y, a) & P(�, b) & P(y, b))) Ceea ce este remarcabil este caracterul simetriC (dualitatea) celor dOU:L propoziţii. Odată formalizatc propoziţiile pot fi supuse tuturor transfor­ mărtlor echIvalente, le putem forma negaţie Ş a Iată şi postulatul lui Euclid (foloSlDd notaţiile de lIlai sus)· (3) 3x3a j;(x--:a) (3b P(x, b) & & 3y(P(y, a) & P(y, li) & "Ic (P(x, c) &- 3Y(P(y, a) & P(y. c)) & ;ţ. (x, y) -+ == == (c, b))) ADalizînd şi postulatele celorlalte geometrii constatăm că între ele există diferenţa fun damentală În ce pTlveşte inţelesul termenuluI dreaptă ŞI că datorită acestui fapt propoziţiile vorbesc despre lucruri diferite ŞI deci nu se pot opune. Aceasta dovedeşte importanţa analizei definiţiilor termenilor cuprinşi în propoziţie Nu insistăm asupra importanţei analizei clasificărilor, argumentărilor şi construcţiilor teoretice luate ca intreg, ea este evidentă pentru oricine face o. 1. Esenţială este pentru o. 1. şi dezvăluirea supozitiilor tacite ale celui ce-şi prezintă Ideile . A NESCIRE AD NON ESSE (lat. "de la a nu şti la a nu exista"), eroare de conchidere care constă în a trece de la necunoaşterea unUl lucru la asertarea neexistenţel lUI. ANTECEDENT 1. Termen prin care desemnăm prImul membru al unei relaţii de Implicaţie în opoziţie cu. consecventul care este al doilea ter-+


ASTEPREDICAMENTE

men. Astfel, in implicaţia (p& q) _ r "p & q" este 8. iar ,,1''' este con­ secventul. 2. In teoria relaţiilor prin a. se inţelege primul membru al relalzez bz­ nare (v.). spre deosebire de cel de al doilea membru care se numeşte succedent sau consecvent. De ex. în relaţia a > b, a este a. iar b succe­

dentul.

ANTEPREDICAIIBNTB, termen prIn care scolasticil desemnau cele cmci categorii ale lui Porfir (quinque voces) : genus, speczes, diffe1'entla, propn­ um, accidens. Patru dintre ele fuseM'rii introduse de Aristotel in Topica. Ele sînt ..locurile comune" (T6lto � = loc) şi formează obiectul Topicii.

Aristotel indica prin ele poziţia predicatulw faţii de subiect. Acestea sint· definsţits (iJpo�) subiectului - redii esenţa subiectului, projmul (lIlEov) - nu ţine de esenţa subiectului Însă îi este propriu şi predicabil în mod convertibil despre el . astfel, omul este capabtl să înveţe gramatica şi cel ce este capabil să înveţe gramatica este om, genul (revo�) su­ biectulUi-subiectul se distinge în gen prin diferenţa specifică (Iltet<popet), accidenJul (<ru!'[3E[3Eko�) - ceva ce poate aparţine dar nu în mod necesar unor cazuri ale subiectului ( ex. alb pentru om). Defmiţia şi propriul sînt predicate COD lertibile, genul ŞI accidentul - nu. Porfir (în Isagoga) înlocnieşte definzţia cu diferenţa ŞI adaugă specia la gen Diferenţa este mai largă decit definiţia, ea putind cuprinde definiţia ca un caz particular. între Individ şi gen, Porfir introduce specia A. . mai sint numite ŞI predscabJle (= predlcate posibile). Ele trebUie deosebite de preduamente (categorii) care sunt "moduri diferite de a predica" (după cantitate, calitate, relaţie, poziţie etc.) şi de postpredicamenle care tra­ tează despre termeni foarte generali şi înţelesurile lor. Teoria a. a consti­ tuit o parte esenţială a învăţămîntulUi scolastic. Ulterior, a. a fost fo­ losit în sens semiotic ca tratind despre inţelesul expresiilor, despre expre­ siile simple şi compuse etc.

ANTICONJUNCfIE ( = incompatibilitatea = funcţia lui Sheffer) notată " I (sau ,.,,), adică Plq (citeşte "p incompatibil cu q ), este negaţia conjuncţiei: Plq ; p & q. cu

Se defineşte astfel:

P q

Plq

v v v t t v I I

v \' v

Este comutativă, dar nu asociativă

(1)

(2) (3 )

PIP;: P PIP;: v P/v;:

p

(4)

(5)

PII;: v

Plq ;: p&q ;:

Legi mai importante'

P Vq

Funcţia lui Sheffer este duală cu anhdzsJuncţ�a (v.). AntIconjuncţia şi antidisjuncţia satisfac împreună următoarele legi pentru paranteze:

(1) (2)

;: p/(ii(r) ;: p It' (q It' r) (P It' r) ;: PI It' (q)(;) ;: pf(qf r)

(plq)/(Plq) ( Pfq) It'


Al'ft'INOMD KANTIENE

15

13) (PI9)}/ (1'11') == p/(q }/ r) (t) (1' i/ 9)/(1' )/ 1') = p}/ @/r)

== ==

P }/ (910')

PII9 i/ 1')

== P i/ q r }/ r (pl'1) )/ (1'15) (6) (p )/ '1) /(1' }/ s) == P l'1lrlr

( 5\

ANTIDISHJNCŢIE ( =- funcţia lui Webb) notată prin }/, adică l' i/ q, este negaţia disjuncţiei. Se defineşte astfel: pq v V f f v f f

p i/9

\'

v

A. este comutativă, dar hu asociativă. Legi: (1) P}/ p=

P

(2) p}/ p= f

(3)

(4)

p}/ v == f p}/ f = P

Vezi şi antlconJuncl.a.

ANTILOGISM, triadă de propoziţii astfel că oricare două implică con­

tradicţia celei de-a treia. Un a. se poate obţine dintr-un mod silogistic logic adevărat prin contrazIcerea concluziei. De ex. pentru modul Barbara avem triada: (1) "Ix ( M(x) -+ PI x» � (2) "Ix (S(;<) _ M(x»

(3) 3x (S(x) & PIx»� (contradictoria concluziel).

Din (1) şi (2) se deduce negaţIa lui (3), dm (1) şi ( 3) se deduce negaţia lui (2), din (2) şi (3) se deduce negaţia lui ( 1 ). A. este folosit pentru jus­ tificarea modurilor cu excepţia celor care cer o premisă suplimentară de existenţă (v. flgunle sIlogIsmului în calculul predtCatelor). Cu ajutorul subaltemării pot fi Justificate şi aceste moduri. ANTINOI\IIE, in logica formală COIncide cu ceea ce numim paradox. (v.) Kant a analizat o serie de B. filosofice a căror structură logică nu este suficient de inteliglbili'l (v. antinomii kantiene) ANTINOMII .KANTIENE, antinomii formulate de Kant in Cntica Ta­ "unii pure. Kant a definit antinomia ca fiind o contradicţie în care "aser1:iunea contrariului are de partea ei temeiuri de aserţiune tot atît de valabile şi necesare" (Critica raţlumi pure). Aparent. antinomille se raliază noţiunii de parado x, insă există o anumiti!. diferenţă formal ă intre ele. Kant a formulat patru raţionamente care dau răspunsuri con­ tradictorii la problemele: 1 ) dacă lumea are sau nu limite in timp şi in spaţiu, 2) dacă există sau nu simplul absolut, 3) dacă există sau nu libertate absolută, 4) dacă lumea are un temei ultim (absolut) sau nu. Teza afirmă existenţa, iar antiteza - neexistenţa celor indicate. Argu­ mentarea ia forma unui raţionament prin absurd bilateral, însă raţio­ namentul nu e clar. Dăm ca exemplu argumentare a primei antinomii.


II>

ANTIREFLEXIVITATE

Teză: Lumea are un început în spaţiu şi este de asemenea limitată ix: timp. A ntite.ră. Lume a nu are nici început în timp nici limite in spaţiu , ci este infînltă atit în timp cit şi in spaţiu. Demonstrarea tezei. Presll­ punem că lumea nu are inceput in timp şi limită in spaţiu, dar în aCt'St caz "s-a scurs o serie infînită de stări succesive ale lucrurilor in lume" ŞI "lumea va fi un intreg infinit dat, de lucruri existente simultu ". " Or, o serie infinită " terminată şi o infinitate de lucruri "existente SI­ multan" sint imposibile, prin urmare teza este cea adevărată. Demonstra­ "ea antiteze i . Presupunem că lumea are un început în timp , dar orice inceput este o "existenţă precedată" (in timp) etc. Să admitem că ea are limite in spaţiu, dar in acest caz ea ar trebui să se raporteze la vid, ceea ce este imposibil. Deci antiteza este adevărată Demonstraţia tezei este evident discutabilă. Putem fi de acord cu respingerea infI­ nitulUI dat SImultan, dar nu înţelegem de ce " a nu avea inceput în timp şi limite in spaţiu " trebuie să fie echivalent cu a fi "infinit dat simultan". Demonstrarea antitezei este insă corectă, ea se bazează pe faptul că orice inceput presupune in mod necesar că e tnceput din altceva (un "predecesor") şi orice hmdat este limztat de altul. ĂNTIREFLEXIVITATE (prese. Antzref.), termen derivat prin "negaţie slabă" (anti-) de la reflexivitate şi care desemnează faptul că Ref (R) este valabilă pentru unele cazuri, dar nu pentru toate. Se defmeşte astfel . Anltref. (R)

=

3x(x R x) & 3x(x R x)

De ex relaţia "x face bine lui y" este antireflexivă, intrucît există ca­ zuri in care x îşi face bine sieşi şi există cazuri în care x nu-şi face bine sieşi. A.WISUIETRIE (presc. A n/zs ym) , termen care desemnează negarea slabă a proprietăţii Sym. Se defmeşte astfel: Antzsym (R) =3 x y(x R y = Y R x) & 3x y(x R Y = Y R x)

Relaţnle -+, .;;; sînt antisllnetrice. Dacă p este echivalent cu q atunci p -+ q ŞI q -+ p, dacă a = b atunci a .;;; b şi b .;;; a, in celelalte cazuri ele nu sint simetrice. A�TITn.\�ZITIVIT\TE (presc. Antitrans), proprIetate care se formează prin negaţIa slabă a tranzitivităţu. ::.e defineşte prin A ntitran, (R) = = 3x y z Tran s (R) & 3x y z Trans (R). Relaţia "x este prieten cu y" este an btranzitivă APARTENENŢĂ, relaţie intre element ŞI mulţime not6tă pnn' x E X ("x este element al lui X " sau "x aparţine mulţim ii X " ) . Relaţia de a. este Ireflexivă, asimetrIcă ŞI ne-tranzitivă. De ex. . 2 E Par (. 2 ap ar­ ţine mulţimii Par"). APLICAŢIE A LOGICII. Noţiunea a. a 1. este mult mai complexă decit noţiunile de aplicaţie ale altor ştiinţe Cea mai largă a. o 1. este la Indrumarea gîndiriI, în vederea gîndiriz corecte, adică gindire clară, pre­ cisă, ordonată, consIstentă (= necontradictorie) , coerentă şi tntemezată. In acest scop trebuie să respectăm regulile definirii, clasificării ŞI argunIen­ Urii. Este necesar să gindim corect (v. corecti tudi ne logică) pentru a ne menţine in limitele adevărului, pentru buna comunteare şi intele gere între Doi ŞI semenii noştri. Există multe conflicte intre oameni datorate gin-


APLICATIE

A

LO&ICII

dlni eronate, confu z e, neintemeiate Formarea gîndirii logice este un procel'o mal greu decit formarea vorbirii Este neces ară o educaţ ie în­ d elungat ă peutru ca gîndirea corectă să d e\ mă un pr oces :.pontan. Apoi oamenii se nasc cu încli naţii mai man s au mai m ici spre gindIrea lo­ g i că Nu toţi vor atinge ace le aşI per forman ţe de gindire logică Există Însii un folos chiar ŞI pentnl cel care nu ajung să gîndească spontan logic, anUIDe ei se Iasă mai uşor co re ctaţ i de către cei ain j ur , înţeleg obiecţiile logice mal repede Cînd educa ţia gîndu-u logice în cepe prea tîrziu se pot învăţa reguli de gîndir e , dar nu ŞI abilitatea de a le aplIca. Dezvoltarea logicii simboli c e a adus cu sine şi un neajuns lo gica a fost îndep:irtată prin forma sa de ma�ele largi de oameni, devenind dintr·un bun cul'llun un b�m al une� elite Apoi chiar Şl pentru cel Care izbutesc 5-0 Îtl\ eţe rămîne pericolu l (le a nu izbuti s-o aplice pentru îndrumarea ( co rec tare a) g îndIrii Bxistl pe n colu l de a face combinatoncd. sterilă (a­ d es t:a lipsită de Impo rtanţ ă cluar p ent ru 10glcă) ŞI de a nu putea să-ţI controlezi gindirea (conceptual:l.), de a nu put ea controla gindirea celo r din j ur Es te necesar !>d. !>e înveţe nu numai logica în acest caz ci şi permanenta com unicare eu formele li mbaju luI de masă, cu gîndIrea co­ lllUU.:t, cu gîndirea ştiiuţificd. in genere OriCU1ll educaţia gî ndirii trebUIe <;ă înceap'l cu expuuerea logicu În limbajul natural , căci, evident, nu în toate domemile este necesară smlboti=area, Iar pentru g1lldirea co mu ­ nă este chiar neglijabilă. Formarea gindirii log ice are, în conc l UZIe , ca :;cop trei aspe cte . a) gîndIrea spontan logică, b) autocontrolul logic al gîndirii (gîndirea conştient logică), c) controlul logic al gîndirii ce lor­ la lţ i oameni cu c are venim în contact (ŞI r espect iv a mformaţlel scrbe sau auzite) Disputele mtelectnale sint IID element ese nţ i al al vi eţii SPI­ rituale a societăţii. Dacă ele lIU au loc pe baza logicii dispare orice cri­ terÎlI pentru distingerea poziţiei juste. A doua aplicaţ1e e�enţlală a lo­ gIcii L,te în domeniul gfndirii ştiinţifice. Luind « ş tiin ţa .) în in ţelesu l actual putem spune că pe lîngă adevăr în orice dIsciplină e ns/ă atîta ş'li'I!<Î cîtă logică exista. Once 0111 care se formează pentru ştiiuţJ. (fi.. cii L \'or ba de predare, de cercetare sau de aplicare), treb uie !>ă-şI dez­ volte la maximum capacttatea de anahză luglcă. Şi în ştunţ :i dobîndtrea unei anumite spontaneităţi d e a g indi logic este esenţială, dar tot atit de esenţială e�te capacitatea de allah::ă logică conştientă ( = de crit ică logică) şi de reconstrucţie logică în conformitate cu critica logică făcută Feuomen fundamental pentr u ştiinţa contemporană este analiza logică d. şti in ţe lor îu vederea constrUIrii logice sau recon�trucţiei de teorii în­ văţare.! logicii fără capacitatea de analiză logică şi de reco nstruc ţie 10c;ica este o treabă sterilă. Şi aCI eXistă pericolul ruperii gîndirii togicp c?r �ceptuale de manipularea formalis/ă a simbolurilor. Controversele ştiin­ ţifice nu pot fi încheiate în spiri tu l adevărulUi decît pe baza l ogi cii Aicl nu au ce căuta metodele administrative (adevărul nici nu poate fI pus la vot, ulei nu po a te fI deosebit prin simplă deciZie autoritară). De o deu�ebită importanţă este expunerea [')gic<i în cărţi le cu scop didJ.dlc A ceasta mflu e nţează în mod capital form area gmdi rii elevulUI În ce m[,­ �urJ. este logica lllstrument de cercetare) Pe baza leg ilor logice �t.: for­ U1uleazd. un ansamblu de regulI logice, acest J.usamblu de regllh COUSt!­ tui e ceea ce se cheamă ('metoda logic-formală.) DIIl capul loculUI trehlll<! spu� Cd aceasta nu este o metodă prmtre altele Toate ce lela lte mdode au 111 subs trat ul lor lo gica formald., chiar dacă llll �ntem totdeauna c()ll�ttenţi de ace st lucru. O analiză atentă ne dezvăluie, de ex sub"tra­ tul log i c al metodei de rezolvare a ecuaţii10r de gradul II Dar logi c a formală nu p res up une alte metode, în cel mal bun caz, ea este asociat:!


APLlrATIE A LOGICII

18

cu reguli specifice domeniului sau este �încarnată � in asemenE'a :reguli �pecif,ce Universalitatea logicii rezultă din faptul că orice gindire are o larmă, Orice gîndire se desfăşoară sub forma de judecăţi (propoziţii în sens logic) şi raţionamente Modul de formare a Judecăţilor, de raportare a unora la altele, modul de formulare a definiţia/ar (caz particular de ju­ decăţi) şi a prinCiPiilor clasificării, a J udecă/ilor de clasificare, modul de argu mentare toate acestea ţin de logica formală, de forma logică, m­ difcrent de conţin ut . Nici o "metod ă" nu poate justifica Confuzia În gîn­ dire, imprecizia, dezordinea, contradicţia formal ă, incoerenta ŞI hpsa de intemeiere, de argumentare Yerificarea propoziţiilor noastre nu re­ zultă nemij locit dm confruntarea cu practica, CI presupune un p:roces complex de prelucra' e logică a datelor practicii, de confruntarE' cu cu­ noştinţele anterioare Fără verificare nu avem garanţia adevărulUI, or tocmai sub această latură logica formală aj ută p la înaintarea cutloa�terii. lntuiţla furnizează informaţii, dar Intuiţia nu e de nici un folos cînd e vorba să distingem adevăru l de fals. Chiar dacă cineva ar avea un ex­ cepţIOnal simţ al adev ărulm , tot nu l-ar putea transforma în critenu al adevăruluI Două confuzii majore au apărut in problema rolului meto­ dologie al logicii formale in ştnnţă (ŞI chiar într-o sferă mat ;argă) : una provme dm confruntarea cu dialectica, alta provine dm confruntarea cn logica matematică (capitol aPlicativ al logicii formale) . î n nllmele unor prinCipii dlalectJce (inspiraţi ŞI de unele confuzii din logica lUI He gel) unu filozofi au atacat principiile logicii formale, In particular prllldpiul de importanţă vitală al neconlradicţict Anumite descoperiri din l(lgica simbolică (, log ica pollVa/enld) a u fost interpretate eronat în acela5i sens :!'-:u � a inţeles că acolo unde contrad,e/ia form ald este permtm t'ltul �ste pCl mtS lraţionalitatea, haosul in gindire rămîne atuncI singura di­ recţie de defăşurare a gindiriI Dm existenţa o contradicţiei procesuale �, din « l1l1itatea dialectică a contrariilor 1) �-a dedus lipsa de valabilitate a principiuluI necontradicţiei şi, mai timid, lr1/plicit, căci efectul prod n cte otu­ poare, admiterea contradicţie, formale Pentru a preyenl astfel de dla­ lectlz.1n eronate două idei hint capit ale J) ortce contradicţie Id'dJeCt1că sau formală) poal, '1 II cbll l < sâ fI< gÎndaă logiC nuontradtetOi t it, :li pentru a nu amesteca adevărul cu falsul este absolut necesar să nu ne contra­ zicem formal nici m ăcar in dialectică. Dealtfel, este suficient să aruncăm ochii pe lucrările clasice de dialectică pentru a vedea că autorii nu admit (ce l puţin nu conştient) după asertarea a ceva negarea aceluiaşi lucru_ Or, conform cu pseudo-dialectica, ar trebui ca după fiecare propoziţie dintr-un context să urmeze negaţia acesteia. Cind Hegel spune in Lo­ gica (mică) ; " Contingentu l este, în genere, ceva ce nu-şi are tememl fiinţei sale in el însuşi, ci in altul" conform cu pseudo-dialectica el ar trebui să spună .. Contingentul nu este, în genere, ceva ce nu-şi are temeIUl fiinţei sale in el însuşi, ci în alt ul". Cînd Engels afirmă în DJalectica naturu că " toate antagomsmele polare sint condiţionate în general de interacţiunea celor doi polI opuşi " el ar trebUI să con­ tinuie conform pseudo-dialecticianulu i să spună "nu toate antagonlsnlele polare sint condiţionate . . . " Apoi atît Hegel cit ŞI Engels se strădUiesc în măsura posibilulw să-şI argumenteze Ideile tot conform cu - schemele săracu ale logicii formale. Engels şi Lenin obiectează de mwte ori ad­ versaruor lor faptul că se contrazIc logic, că nu-şI argumentează Ideile. Rezultă că ceea ce resping ei nu este logil'a, CI Interpretarea el nzeta­ j,::ică, adie:l el respmg opu nel fa logicii formale faţă de dialectic:i La rîndul săn matenwtismul, apărut odată cu logica matematică, uit:! că gindirea logică este, În primul rind, gîndire collC<"ptuald �i că simbolismul


APORJILE LUI ZENON

19

'71 sistemele formale sînt doar instrumente particulare care vin tot in sprijinul gîndirii conceptuale aJutindu-ne sl efectuăUl mai repede şi mai bine partea « mecanică � a gîndirii, pornind de la concepte şi revenind, după terminarea operaţiilor mecanic e, la concepte Este necesar să re­ marc,itll , in ce priveşte aplicarea for mulelor logice la gindirea conceptn­ ală, cl aceasta nu se face aşa cum a p licăm metodele mat�?Ia tice la re ­ zol varea unor probleme concrete, ca in c azul tipIC al 6pun�rll î n ecuaţie •• Nu ."b.tituim pur ŞI simplu vanabilele c" constante Mal ales în ce PrI­ veşte logica funcţiilor de adevăr este n ecesară această re marcă. Noi tratlm propoziţiile intuitive ca pe un întreg , c ăut ăm să le descoperi for m :t logică, această formă o simbohzăm şi in continuâre efec tuăm anu­ mite ?rocese logice cu ajutorul ap aratului simb olic , rezultatul 11 citim conform cu semnificaţia iniţială a simbolurIlor. Ace as ta este a treia

m

a plicare a logicii la gîndire - aplicarea aparatulm simbol u în vederea efeda:iri' anumitor procese logice A patra aplicare a logicu constă în <1plic.lrea (, fonnalismelor logice . în tehnică (de ex. în procesele de progr.l­ mare . in simplificarea sistemelor de contacte electrice ş.a.). Metodele de m:nimlzare sînt un exemplu clasic În acest sens. Ultima lllodalitate logicii pe c are o indicăm constă in folosirea proceselor şi &tructurilor logice ca lllode le pe ntru s tudiul anumitor procese reale e'l: econo nuce, SOCiale) . Marx a folOSit silogismul pentru model area unor p rocese economice Cititorul dispune de o lucrare fundamentală pentru analiza logică a unor fenomene sociale Logu and soCtal chotce de Y Mur akami. Structurile logice sînt folosite în analiza sistemului de norme, în formularea de norme deci , i mpliCit, în analiza ideii de raţional în decizia socială, ÎlI formularea j udecăţilor de valoare ş a . ( v . �i l g i că dialectică, logică aplicată) .

de aplicare a

(ue

comportame/lt

o

APOD ICTIC, termen SlllOnl1n cu

mai

n llllIesc

şi

apodictice

lIecesar.

JudecăţIle de

necesitate se

AI'OHIILE LUI ZRNON, argumente formulate de fIlosoful grec Zenon împotriva Ideii e Vide nte a existenţei mlşcă:ii. Ele au fost numite apurit ( ,intttnrlăturh) . Le reMun după Fizica lui Aristotel. a) Argununlul di­ Un lucru nu se poate mişca dUl cauză că trebuie să f i e mal întîi la junlătatea distanţel pe care o are de parcurs, a poI la jumătatea jumătăţii distanţei etc Aritmetic Il putem reda astfel. Fie d distanţa. VOrl! avea seria

hotomIe!.

ti

2

ti

4

d 8

FiInd mfInit ă această serie nn po ate fi epUlzat:i Într-un timp finit. b) "niciodat ă lucrul care !>e mişcă lUai incet nu va fi prins tle cel care se mişc ă mai repede, pentru că este necesar ca luc rul care-l urmează pe celălalt sl atmgă pri mul punct de unde a por­ nit cel care fuge, astfel încît va fi î naintea celui lUai repede" c) A rgu­ mentul săgetii : .. dacă întotdeauna orice lucru este în repaus sau în miş­ care cind se află într-un loc egal (cu el însuşI ) , iar lucrul purta t se apli­ că into tdeauna în clipă, trebuie să ş tnll, că săgeata m zbor e�te nemiş­ cat.:i d) Argununtul stadIonuluI "al patrulea raţionament e"te acela cu pnvire la mărimile egale care se mişcl Într-un s tadion in ;,cns contrar,

A hite ŞI broasca ţestoasă '

,le

fap In ărimi egale , unele pornind de la sfîrşitul !>tauLOnului, inr altele de la mijlocul stadionului cu viteze egale, in care el socoteşte că timpul jumătat� este egal cu dublul său " .


AD ESSE NON V ALE'C CONSEQUENTIA

A POSSC

20

.\ POSSE AD ESSE lVOlV VALET CON SEQUENTIA (lat "conseunţa logică de la a fi posIbIl la a exista n u este , alabilă' ), din fap tul c;' ceva este posibIl nu rezultă că şi există (e�te real) . A POSTEJUORI (lat "din ceea ce urmează") , expresie cu două sensuri prIn cipale 1) prekantian - cunoaştere care n\e rge de l a efecte spre cauze, de la consecinţe spre prmcipii , 2) kantian - cunoaştere care-şi are origIne a in ex pe rienţ ă şi are o val abilitate relativă. în tr- un anumit " sens se confundă cu emp,r,e. Astfel, propozi ţia calul alearg ă pe cimpie , " formulată pe baza observaţiel, este o propoziţie aposteriorică. Spre deo­ sebire de a pnon, n. poate fi uhlizat III genere hber făr;! pencolul unor confu zll filosofice. (v 51 a priori) -\ PRUJA rilor

."ACIE ( l at

A

"Ia prima

vedere"),

mod de considerare a lucru­

PRIORI (lat "dm ceea ce pr(cede") , în sensul pe b aza a ceea ce este cunoscut anterior , expresie care in istOria filosofiei are d ou ă înţe­ leSUrI 1) p rek a n tian (de ex la Aristotel, la L eibniz) - cunoaştere care merg e de la cau ze la e fec tc , de la principii la consecinţe ; 2) kantian cu�oaştere mdependentă de experienţă, precede ex per ie nţa, stă la baza ei, I se aplică şi o constituie formal Astfel, pri nc i pi ul logic ".4 == A " ŞI propoziţI a mate ma ti c ă , , 5 -+- 7 = 1 2" sîn t cunoştinţe a. (nedenvate dm exp erien ţ ă) . D u p ă Kant au fost încercări de a da acestei expresi i un sens mai flexibil, relativ, totuşi �ensul kantian a de \'en it atit de domi­ nant î n cît ex presia nn este utilizată <'le cei ce , or s:l evite anumite con­ fUZll fllo�oftcc (\ şi a posterion) . .o\UBOIlE DE tL\ SIFU ,\111:, graficul >lslelllulltl dc clas'f,care (v.) .\lUI8RELE LUI ItORFllt. schemă a diviziunii sugerat ă în Isagog a lUI Porfir Se porneşte, p rin d iviziunea d ihotomică , de la genul snprem şi !>c. aj ungc pînă la infima specie şi ind iv i zi . Se o bţine ierarhia substanfla, COl pus, COl pus anima/IIm, a'lilllal, anim ale r atz on a le , h01110 ( anl 1n ale ra­ tional< mortalt ) , 'iocyates ( unu e IIonio l stC infima specie) AHbl l \tEXT. ] . 1 tll umire pc-ntru \ <lriabil .. mdepelldentă a uneI j'lDcţu, de ex se spune : "in funcţia y � .t T 1 , x - variabila mdependentă, este unicul argument al funcţiei " , sau "x ei>te argumentul funcţiei" sau ".v = 4 pentru \'aloarea 3 a argumentului x" , "p -> q are ca a rgumen te pe fi �I q " , "argumentele p şi q iau valorile I �I resp O" (in term inologi a trd<'llţional.:i, .\rgulllcntui e�te " m ări mca vanabilă" m de pen de n t ă) ; 2. P r o­ poziţIe c on�ide rată ca adeviirată Ş I luată pentru demonstrarea altei propoziţii, (de ex pentru a dellloJlstl a c,l " t este om" invocăm pro­ poziţii cunoscute ca dd c \' ă rat e , r vorbeşte ", " t �indeşte", , , ) munc eş te " �.a.) , :J. J )enl1l11Jre »ln tru unele ra ţ ion ame n te concrete din istoria lo­ gicii 51 fllosofil·i. l aţ I<Juarucnt(. c.lre prezi nt ă un ll1tere� special (v. arg u­ meniul ontologic, ar{:uml'lllul grâme::ii ş.a.) l.:nele dintre ac�ste raţion a­ mente au earacter �ofistie (y voalafu!) , .t1tele conţin o eroare în de­ lllollstr,\ţie ( \ argumentul oll loingie) , alte l e au un c a r a c ter cvaslpara­ doxal (\ al g ll>II1'nt1l1 îndoielii)

.o\nGl.:lIE"To\RF., proce�

termen ni

:1. cqe

<ie JlbtJfIeare l ogl" ;! .1 unei propOLlţU Ap drent Slnon1l1l cu demonstrare, În realltdte el are () _<:lllDlfI­

ca ţle ceva llJai l arg ă , pntllld fi luat şi in �el1� retOrIC ca proces de con­ "ingerc. Sîn t cî teva lucrnri de pre ci z at l1l legJtur ă cu ordznt'a argumen­

tării şi raportul intr" prop 07i ţiil e opuse 1) ori ce argumentare începe cu propozi ţ ia afirmativ;, ( se ccre (]oyedită �au lllhrm ata) , nu cu p:ropo­ ziţi a

neg:ltivă , 2)

d in

nearj!U1J1entdrea

(sall

lllÎnficmar('a)

nnei prop" -


21

ARGUMENTUL

O�TOLOGIC

ziţii nu decurge nimic cu pnvue la opusa ei. Să presupunem că se dis­ cută în legătură cu posibilitatea vieţii pe Marte. Logica pretinde să nu ct!rem intii discutarea propoziţiei negative "nu există viaţă pe planeta Marte " , ci demonstrarea sau infirmarea afirmaţiei corespunzătoare :1. Orice argumentare în legătură cu propoziţia negativă se face prin intermediul propoziţilor afirmative. Chiar prin forma sa adevărul propoziţiei negative înseamnă respingerea logică a propoziţiei afumative :'ituaţIa rămîne nedeCfsă cîtă vreme 11-a fost demonstr'ită "au infirmată pro poz i ţia afu­ mativă. (v. demonstraţie formală) ARGUME�'T CON TRA OMNIPOTENŢEI, dih'ml elaborată În evul mediu pentru combaterea omnipotenţei lUI Dumnezeu. Dacă DumlleLeu poate f ace un lucru atît de mare pe care să nu-l poaU ridica atunci el nu este omnipotent. Dacă Dumnezeu nu poate face un lucru pe care să nu-l poată ridica atunci el nu este omnipotent. Or el face sau nu face un lucru pe care să nu-l poată ridica. Prin urmare, el nu este omni­ potent. ARGUMENTUL D OMINATOR, raţionament construit de DlOdor (hlo­ sof megaric) pentru a arăta că nimic nu este posibil dacă nn este mci 11U va fi adevărat Epictet l-a relatat astfel . a. d. pare sa fi pornit de .. ,mele puncte de vedere ca acestea Există " mcompatibilitate Îutre următoarele trei propoziţii "Orice este trecut �I adevărat este necesar " ; " Imposibilul nu decurge dm posibil" , "Ceea ce nu este nici nu va fi este posibil " . Văzind această lncompatibilitate, DlOdor il fol osi t puterea de convingere a primelor două propoziţii pentru a întemeia teza cl nimic nu este posibIl dacă nici nu este nici nu va fi adevărat. A. Frenkian, în comentarii la Diogenes Laertios, îl rczuml a<;tfel " ceea ce 11\1 est e ŞI nu va fi nu este posibil deoarece din posibil nu poate lua naştere lDlpO­ sibilul. Dacă din două cazuri unul s-a produs atunci contrariul este im­ posibil Dacă ar fi fost posibil atunci dm posibIl s-ar fI produs imposibilul". Kneale în Dezvoltarea logicii arată că prima propoziţie ŞI excluderea de către primele două a celei de a treIa sint neîntemeIate Xccesarul ÎIl conformitate cu prima propoziţie este Identic cu tnalterabthtatea trecu­ tului Din prima propoziţie decurge că once propoLiţie fdIsă în trecut este imposibilă (deoarece contradictoriul unnl enunţ necesar e,te unul imposibil) "Dacă putem arăta că fiecare enunţ fals formulat la prezent sau viitor, sau respectiv despre prezent �au viitor, atrage dupl !>mE: unele propoziţii false la timpul trecut sau despre t recut \ om fi arătat În con­ formitate cu cea de a doua propoziţie a II. d. C.I toate celelalte pro­ poziţii de acest fel sint, de asemenea imposibile " . Kneale distinge Între propoziţii la trecut, prezent sau viitor şi propoziţii despre trecut, prezent sau viitor. El consideră că în aceast:l ambiguitate constă explicaţia �o­ fismului. Din definiţiile date de Diodor relativ la v alorile logice rezultl că valorile logice se schimbă în raport cu timpul Ceea ce este adevărat de spre trecut rămîne adevărat " Dar un enunţ care este adevărat despre trecut în acest sens nu are nevOie s.1 fie exprimat printr-o propoziţie " predi€atIvl la timpul trecut . Se poate exprima şi prin propoziţii la viitor . De ex "Va fi totdeauna adev.1rat c:' reg m a Ana este moart:' ' ' A. d . depinde, aşadar, d e o ambiguitate Ceea c e Re spune că este necesar În prima propoziţie nu este un lucru d" acelaşi fel cu ceea ce se spune a fi imposibil în a doua. (W. ŞI M Kneale, De oltarea logicii)

Alt GUAlENTUL ONTOLOGIC, argument lDtrodu� de filosoful scolashc Anselm pentru a demonstra existenţa lUI Dumnezeu. "Căci poate fi conceput că eXistă ceva ce nu poate fi gindit ca neexistent, C.lre este


ARGUl'I1ENTUL INDOIELII

mai mare decit cee a ce poate fi gindit ca neex is tent. De aceea, dac;, acest lucru mai mare decît c are nu p o ate fi conceput nici un altul , poate fi gî nd tt ca neexistent, ( a tu nc i) însuşi acest lucru, faţă de c are Uliul mai mare nu poate fi con ceput , nu este cel mai mare (lucru) care po ate fi concep ut, ceea ce nu poate fi acceptat. Aşa dar, în adevăr eXistă ceva faţă de care nu poate fi conceput ceva mai mare, asttel că nIci sl nu poată fi gîndit ca neexistent". Anselm vo i a să descop ere , in acest fel, u con t radic ţi e in supoz i ţi a că Dumnezeu nu există. Argumentul a fost prduat ulterior de către D e�c artes. Kant a respins încercare a de a deduce dl1l ideea că Dumnezeu este o realitate supremă eXlstenţ ., sa. " dad. gmd esc o fiinţă C.l realItate sup re m ă (fără l ipsun) (deci perfecU - G h . E ) rămîne mereu mtrebarea dacă e a există sau nu" (Critica I aţitm ii pure) E'C lstenţa mai arată Kant, nu este un atribut 5i cu atît mai pu ţ i n unul care poate fi scos d in concept (fie el ŞI conceptul de perfec­ ţiune) . ApOI : "Dovada ontologică (cartesiană) d eci, atît (le ce le bră , care caută să d emonst reze dm concepte exist enţa unei fiinţe supreme înseamnă cheltuială zadarnică de străd uinţă şi mu n c ă ; Iar din simple Idei un om s-ar Imbogăţi tot atît de puţm in cunoştinţe ca şi un negustor În a\ erea lui, care voind să-şi amelioreze sItuaţia, ar adău g a cîteva zeroUrI in re­ gistrel e lui de casă " . Aceste obiecţii kan tie ne sînt j udic ioa.>e însă prob1em<t este ceva mai complicată. Din existenţa gîndită nu rezult:l eXIstenţa reală, totuşi dacă ceva este gîndit n econtradictoriu rămîne deschisă po­ sibili ta tea existenţei reale. Or problem a este tocmai aci este posibil măcar ca Dumnezeu să fie gindit ca necontradlctoriu ? :,\rai lIlulte pam­ dox(. elaborate în e vul mediu (\' Argltment contra omniPotenţei) araU că conceptul d e Dumnezeu este contradictoriu şi, deci, Im p osib il, prin urmare nici măcar nu mai rămi ne deschisă problema. Frege considera că " in trucît existenţa este o p rop rie tat e a conc eptelor , argumentul on­ tologIC pentru ex isten ţa l ui Dumneze u eş uează". Dar, aşa CUln remarc;, Kneale, el înţelege prin existenţa conceptulm propriet ate a de a avea una sau mai multe e xe mpl ific ăr i. Tot Frege notase că in a. o. se face c onfuz ia între un co n c ep t de nivelul doi ŞI un concept d e II Ivelul UIlU, ca o notă sau o tr ăs ăt u r ă a acestuia din urmă Mal simplu spus, exi�tt'nţa c()nct'ptului ( = a ideii de Dumenezeu) nu e tot una cu existenţa a ceea c e "cade sub Ideea de Dumnezeu" . ARGUMENTUL INDOIELII, raţionament formulat d e către Descarte� În \'ederea aşezăriI cunoaşterii pe b aze sigure Vrind să d emo nstre ze că " eXIstă ceva cert" el pleacă de la p resup une rea opusă cl "Ulmic nu e cert" ( = 111;1 îndoiesc d e orice), deci p rocedează indirect. TotUşI Descartes nu conchide că presu punerea e<;te contradictorie şi că deci însăşi această presupunere este în d oie lni că ( = nu este certă) , ci constată că cel puţin existenţa îndoielii este certă (prin WSUŞI faptul că mă îndOieSC) Acest adevăr este prima sa intuiţie, căci, deşi înce pe să gîndeasc ă "prin op usă " (ca în raţion amentul prin absurd) nu conchide formal, CI sesizează, prin mtniţie, existenţa îndoielii Pe d e altă parte, indoiala este, prin definiţie, cugetare, incît el poate conchide analitic " există indoiala, există cuge­ tarea" . Avem o suită de enbmeme . 1. Mă indoiesc , deci indOIala există (cert) , 2. Dacă îndoi al a există, cugetarea exist ă ; 3 . Dacă cugetarea există, eu exist ; 4. Dacă eu exist, ceva infinit există. Pe baz a argtl­ mentuilli ontologic (v.) Descartes incearci'l să identifice conceptul de fiinţă perfectă ( şi infinită) cu existen ţa reală a lui Dumnezeu. Raţionamentele "ale sînt condensa te în următoarele formule latineşti : 1. Dub�to, ergo COglt , 2. Cogzto, e,.go sum ; 3. Sum, ergo Deus est Fie ­ care dintre aceste formule este o entimemă dintre care ultima, care pre-


23

ARGLMENTUM AD VERFCl:SDIAM

supune argumentul ontologic, este greşită. Raţionamentele dezvoltate se bazează şi pe relaţia de analiticitate (în sens de "dat prin d"!finiţie") ceea ce justifică actul intuiţiei. ARGlJlIBN'ftJ1I AD BACUMLlJM (lat. " argumentul bastonului ", în sensul de a sili prin forţă pe cineva să accepte o idee) . încercare de a argumenta prin constringere (evident, nu constringere logică, raţională) . ARGUllBNTUM AD BelIINEM (lat. " argument la persoană"), argu­ mentare falsă in care pentru a jU:ltifica sau respinge o idee se face referire la calităţile persoanei, la atitudinea el anterioară sau la pre­ ocupările ei, fără legătură logică cu ideea pusă în discuţie. în caz par­ ticular se încearcă discreditarea ide ii prin discreditarea persoanei. De ex , "X nu are dreptate deoarece este un prost", "X nu poate Sd spună " adevărul deoarece pînă acum a susţinut altceva , "X nu poate fi crezut deoarece toată viaţa şI-a petrecut-o în desfriu", "X uu poate să spună adevărul în condiţiile în care se află", "X are dreptate deoarece este uu om cinstit". "Cn caz inrudit cu a. ad h. este argumentul autorităţn ,' "X are dreptate deoarece este o personalitate", "Adevărul este de par­ " tea lui X deoarece este un mare specialist . împotriva acestui fel de " argumentare" trebuie să adoptăm principiul : adevărul sau falsul unei propozilit este cercetat tndependent de c;alităţile sau relaţtt le pefsoane l c;are o asertează, numai în raport cu faptele CII care propoziţia are leg4tură 10gfcă. ARGUIlDTlJII Alt lGNGRANTIAlI, (lat. " argument relativ la igno­ ranţă"), argumentare bazată pe ignoranţa interlocntorului, ceea ce revine la a lua ca argument pentru o propoziţie imposibilitatea de a dovedi opu!>a propoziţiei discutate. Forma acestei false argumentăn pare a fI : );u este impOSibil ca sl fie aşa Ceea ce nu este Imposibil este posibil DeCI este posibil să fie aşa

Se confundă lIuposibilitatea de a do'"edi" cu "neadevărul", pe de o " parte, iar pe de altă parte, ..posibilitatea logică " (abstractă) CII "posi­ bilitatea reală " (ori chiar cu realitatea) . Nu pntem conchide nici măcar cu privire la posibihtatea allev ărului din faptul că opusa n-a fost dovedită Cu al te cuvinte schema " dacă nu s-a doved it p atuncI este posibtl p" este o schemă falsă. AR GUMENTUIII AD MlSEIUCORDIAI\I (lat " argument relativ la milă") , argumentare falsă În care se face apel la sentimentele de milă sau sim­ patie in favoarea cUiva pentru a-l <10' edi, de ex , nevinovăţia. Ăil GUIiENTUM AD POPULUlll (lat " argument relativ la popor' ) se adresează sentimentelor, pasiunilor sau preJudecdţilor poporulUI pentru a justifica o Idee Un caz particular este argumentul ma)orttăţit cînd, pentru a-şi susţine ideea, cineva se referă la acordul majorităţii (ca şi CUIll ade­ vărul ar putea fI pus la vot). ARGUlII.&NTUM AD VERECUNDIAM (lat. "argument relativ la mo­ destie ") , formă falsă de argumentare prin apelul la respectul datorat autorităţiI cuiva sau la utilizarea îndelungată a ideii. Ca argument al autorităţii este o formă de argumenlafe ad hominem. în ce pIlveşte "uza­ Jul îndelungat" se spune adesea ' .,cum putem respinge o Idee pe care lumea a acceptat-o mii de ani ," Pe scurt, se cere să fim modeşti, în a�emellea situaţii. Schem a "ceea ce a fost multă .... reme socotit ca ade-


ARGUMF.NTUl\'I EX SILENTIO

2-l

" .lrat e!>te adevărat ' nu are consistenţă logică. Exprimă o poziţie dog­ mati c ă , conservatoare Pe de altă parte. nu este de acceptat ni ci po­ z iţia inversă . "ceva e!>te îndoielnic pentru că . . . n-a fost pus niclO­ dah\ l a ind olală " . AllG UMENTUM EX SILENTIO (lat " argument prelevat din trecerea sub t ăcere " ) - r aţionament de tipu l "Lipsa negării lui A in cazul în speţă echivalează cu afirm area lui A " .\R IT1IETIZARE 1. Reducerea logică a matematicIi la aritmetică (in spe ţă la aritmetica numerelor naturale) Procesul a fost efectuat în ul­ tima parte a se c 19 graţie unor matematicieni ca Weiersstras ( 1 8 1 5 1 897 ) . Dedelmd ( 1 83 1 - 1 916) . Meray ( 1835 - 191 1). Cantor ( 1 845 - 1918) , Peano ( 1 858 - 1933) � a Cea mal importantă realizare. în ac est sens. a fost red ucerea teonei numerelor reale la teoria numerelor naturale , 2. Traducerea In limbaj ul cifrelor a simbolurilor şi expresiilor matematicii ŞI logicii . Reahzarea este datorată lui Kurt Godel (de aci " antmetizare godelianl") G i>d e l a In trodus reguli de corespondenţă univocă Între sim­ bolurile sistemulUI formal (PrinciPiu Mathematlca) şi o mu lţime de Cifre. apoi reguli de corespondenţă Î n tre secveuţe finite de simbolUl! ele men ­ tare ŞI cifre compuse prin anumi te operaţii aritmeticc. Astfel, pentru si1Ubolurile (zero) , J (succesor) , � (negaţie) v (d isjuu cţi e) , - ( cuantor universal) , ( , ) (paranteze) el asociază cifrele impare de la 1 la 13 (i n ordinea d ată ) . Fiec ărei v ariabi le x" (unde n repre zin t ă tipul vanabilel) îi asoci ază numere prime p > 13 e tc . 3. Folosire a limbajulUI clfric in logic ă pe baza auum ltor analogii între entităţ ile logice ŞI cele aritmetice . Procesul a fost iniţiat de către Leibniz. Astfel, putem adopta ca o convenţie sl no tăm ade\'ărul cu I ŞI falsul cu O (se po at:! pro­ ceda �i i nvers) . De aci vom mtroduce defmiţiile a. pentru funcţiile lo gice li == 1 - p , P & q == P A q ; P Y q == (P + q) - pq , P --+ q == -= ( 1 P) q . Sau pentru &, y , -.. avem resp ectiv : p & q == mm ( P , q ) , dacă p > q ; . FolOSire a C l t re lor pen t r u P Y q = max (P, q) , p -+ q == 1 , dacă p .;;; q ;

elementare O

{ O,

v a lonle logi c e "e fa ce cu deosebit folos îu cazul metodelor (le (v )

1I1l111,nl­

.:arc

relaţie între două sau mai multe o biecte care .m anumite p roprietăţi comune În aşa fe l că cel puţin dintr-un anulllit pum.t de " edere ele p ot fi pr ac tic confundabile (i ndl scernab ile) . Vom d i stin g e nouă JloţiUDl de a. 1. O bi ec te le se aseamln.l întrucît au propr ie t ăţi comune (nu se preC ize az :i care) , 2. Obiec te le sÎut asemăn ătoare in raport cu () m ulţime dată de p rop riet ăţ i Prima este o relaţie de preech ivalcnţ ii \rd­ le:!dvă ŞI sime trică) , a doua este o relaţie <le echIvalenţă (reflexh' :" si­ metrică şi tranzitivă) Xotiud cu � rel aţia de a. vom scrie proprietăţile ASEll.\NARE,

( 1 ) x � x (ţ' se aseamJl1{, Cl\ t ) (2) x � y => y � ţ' (3) ( r � y & Y z .::) => .. � =

Pnma relaţie satisface proprietăţile ( 1 ) ŞI (�) iar a dOl1d pe toate treI. se opuue deosebirea D ac ă a. este totală ( " absolut ă " ) ,"om .1\ ea tdentdate (v ) A. admite g r ad e de comparaţie . Vom putea spune , . -' esee mal II. cu y de cî t c u � .. sau "x se a. in acelaşi grad cu y ŞI cu z" Evident , a. (ca ŞI d eoseb ire a) pot fi relativlzate ' "x se a. Într-o privinţ:L cu ). , d ar �e deosebeşte în alte privinţe". în caz id eal , dacd ob iec t ele

A. I


AXIOMA IlU se a. in nici o privinţă vom spune că sint "absolut deosebite". A�tfel, numărul şi triunghiul nu se a. in nici o pnvmţl (determinată) . în rea­ litate, cazurilor ideale indicate li se substituie noţiunile " practic indis­ cernabu" (identic) respectiv, "practic fără vreo asemănare " . Obiectele "lnt distribuite în clase in funcţie de gradul de a. A SENSU DIVISO AD SENSUM COMPOSITUM (lat. ..de la sensul distribu­ tiv la cel colectiv "), eroare de logică in conchidere. De ex. : De la loIi in sens de fiecare. la 101' in sens de toţi la un loc : toţi oamenii sînt slabi deci nu trebuie sI se uneascl. Emtă şi eroarea inversA : � sensu com­ posflo ad sensum divisum Astfel cind spunem "toţi putem sI ndlcăm această piatră pnn urmare ŞI tu poţi ndica această piatră", conchiderca trece de la sensul colectiv al lui " toţi" la cel distributiv (v. ŞI eroarea compoZiţiei) . ASERTIUNE. J . în 1>ens slab afirmaţie sau negaţie, 2. tn sens tare, afirmaţie sau negaţie insoţită de supoziţia adevărului. Se spune ,,2 x 2 = 4 " ,,2 i= 5 " sint a. Pentru a marca a. i n sensul tare se utilizează uneon semnul 1- pus în faţa expresiei. Pentru a distinge intre simpla informare ŞI asertare (in sens tare) , Frege a utilizat termenii .. Gedanke " (gînd) ŞI respectiv .. Urteil " (judecată) . EI a introdus şi semnul pentru a. (în sens tare). Pentru al doilea sens se poate utiliza cuvîntul asertlJre. O cou­ fuzie vulgară pe care o fac incepltorii cind li se cer exemplificări este intre a., afirmaţie şi propoziţie adevăratl. ASIMETR IE (presc A sym), termen care desemnează negaţia tare a proprt­ etăţii de simetrie. La uuii autori nu se distinge exact intre asimetrie ŞI anti-simetrie Se defiueşte astfel :

A sym (R) Altfel . A sym (R) Relaţia

<

=

=

3x y (x R Y = Y R x)

3x y Sym (R)

este evident asimetricI.

"attnbutum"), 1. însuşire propr1e lucrulUI (de ex. ra­ ţional pentru om), 2. Ceea ce se enunţă despre un subiect. De ex . . i se atri­ buie mamiferului faptul de a fi vertebrat. Uneon prin a. se mţelege predicatul judecăţii de formă S este P, alteori o însuşire sau , in genere, o proprietate enunţată. în fme, prin a. se poate îuţelege orice calitate atribuită subiectului. Neavînd un statut precis termenul este utilizat tot mai rar iu logică. Uneori Judecăţile generice (v ) au fost nuuute J U­ decăţ, alribut,ve. AUTOMORFISM. Endomorjlsmul (v ) care este �zomorj,sm (v.) . AUTONIM, predicat relaUv la o expresie folosită pentru autodesemnare (autodenumire) . Astfel, în expresia "omul e�te un animal raţional" ter­ menul om estc folosit pentru a desemna o entitate extra1îngvisticl (o fiinţă vie) , in timp ce in expresia " omul este Wl cuvint format dm patru litere" termenul om este folosit pentru a se autodenumi. AXIOMA, (iu îuţelesul vechi al cuvintului), propoziţie evidentă pnu sine care nu mai cere demonstraţie ; în iuţelesul contemporau, o pro­ poziţie primă luaU fără demoustraţie, dar care Uu este ueaplrat e\"έ dentă şi care in alt sistem poate fi simplă teoremă. Tradiţional se accepta uneori că există a. in sens absolut (= propoziţie evideută şi indemonstra­ bilă) în timp ce din punctul de vedere .11 logicii actuale avem doar a. in sens relatIV ("axioml in 5" - unde S este un sistem aXlomatic). Sens special: formull rezultatI din aplIcarea schemei de axwme (\ )

ATRffiUT (lat


AXIOMA REDUCTIBILITATII

'l ' .. l

.\ � I O:W: \ REDLCTlBILITĂTII, axiomă formulată de B. Russel l, conform cu care pentru once propoziţie uepredicativă putem formula UD'! pre­ (hcativă echivalentă (v. teOria tip urilor) . lege fundamentală a siiogismuiui • .primată pe :,curt, în latîneşte, prîn Dictum de omnl et de nullo (= a sp"ne despre toţi şi despre niciunul) . Exprimată in formă completă ace:'�'.a Illseamnl "ceea ce se spune despre toţi se spuue şi desp re fiecare in parte, ceea ce se neagă despre toţi se neagă şi despre fiecare in parte ". Analizată mai îndeaproape se obser vă că este o conjuncţie de două axIome care core!>­ pund respectiv cu mod ul Barbara şi resp Celarent. Uneori �e n nmeşte a, �, şi formula : ((A -+ B) & (B -+ C) ) -+ (A -+ CI. AXIOMATICA, metodă de sistematIzare a propoziţiilor uuui domeniu de înforlllaţie. Presupune unnătoarele principu a) se p os tu leaz.l un număr fiuit de termeni ( noţiuni ) numiţi termeni primi (nuţuwi p rimr) şi regulile de definiţie a celorlalţi termeni, numiţi termen, MI'ivaţi (noţiUni derivate) , b) se pos tul ează un număr finit de propoziţ'l pr i mI: numite axiome ŞI regulile de deduc ţie a celorlalte propozIţi i ( llumlte termene) . Ca rezultat obţinem un sfStem ax,t»nat" Dacă e ap hc ată la obiecte formale atunci ob ţi ue m un ststem formal a:nomaftc AXIOMATICA PROPOZIŢIILOH (sistemul lhlbert-Ackermann) , sistem al log ic i i funcţiilor de adevăr A XIOMA SILOGISMULUI,

AXiome : ( 1 ) (p V P) -+ P (2) p -+ (p V q)

(3) (p V q) -+ (q V P) (4) (P q) ( ( r V p) -+ -+

-+

(r V q l )

Semnul -+ este iutrouu>, pnn definiţie p -+ q == lalţi op er aton se <1efillesc prin ( - . VI Regul!

p V q D e asemenea cei­

( 1 ) Regula substituţiâ. în tr -o formulă A o vanabilă propozlţlOn a l ă '" poate fi iulocuit.'i cu once formulă B cu condiţia ca <X să fie Înlocuită pre· tu ti nd en i unde apare in A . (2) Regula detaşăril (modus pone us) . Autorii mtroduc apoi reguh denvate în raport cu fi ec are axiomă ŞI in raport cu unele teoreme ...... A V A (3) Regltla: Idem potenţei dlsjuncţlel -A--

(4) Regula

extlndern dlsJuncţlel

(5) Regula countativltăţil

li A

VB

dlsJllllcţeel

A VB B VA --­

(6) Regula extlndern d,sJlInctlVe a termemlor lmphcaţeel

A -+ B (C V A ) -+ (C V B) Demons traţia acestor reguli se obţine din aXIOme cu ajutorul regulilor (1) ŞI (2)


AXIOMELE

27

LUI

PEANO

Exemple de teoreme T, (P -+ q) -+ ( ( 1' -+ P) -+ ( 1' -+ q) . Se obţine din ax 4 prin regula ( 1 ) (r{r) şi prin introducerea -+. în raport cu T, se demonstrează

-+ B, B -+ C A -+ C 1'2 P V p . Demonstralie. în ax. 2 operăm qlp : p -+ (p V Pl . Aplicăm apoi regula (7) p -+ (p V P) (P V P) -- P ax. ( 1 ) p -+ p apoi regula tranzitivilăţu t mphcaţ,et .'

It

coateln Implicaţla conform cu definiţia şi obţmem 1'2' 1',

PVP

Demonstraţte Aplicăm la teorema T. regula

T• . p -+ p. Demonstra/te. In definiţie, -+ şi obţinem T•.

:

(5)

p

V

PVP

Ta operăm p(p : p V p. Introducem, prilL

T,. i -+ p. Demonstraţu. tn T. operăm PIP şi obţinem. P -+p. Introducem q plin regula (6) :

(q V P) -+ (q V P) Operăm apOI

q/p şi obţinem '

(p V p)

__

(P V P) . Din aceasta şi din p V P

(TI) obţinem prin modus ponens : p V p. Prin regula derivată (5) obţmem p V p. Introducem implicaţia q) -+ ('1 -+ P) · Demonstraţie

(lin aceasta

T. (P

-+

şi rezultă

p -+ P (Q.E.D.)

P -+ P (plq) q -+ q introducem pe p prin regula (6) 1)

pq -+ pq.

fn ax. (3) operăm

PIP şi q lq :

2) P q -+ q P La 1) şi 2) aplicăm regula (7) . pq -+ qp, apoi mtrodl1" cem implicaţia (P -+ q) -+ (q __ p) Q.E.D. Există multe alte sisteme axiomatice ale logicii propoziţiilor. de exemplu. sistemul lui Frege (cu ...... - ) . sistemul lui Russell (din care provine prin simplificare sis­ temul lui Hilbert şi Ackermann), sistemul lui A. Church (cu ...... f/falsf) . sistemul lui Nicod (cu /). AXIOIIELE LUI PEANO. propOZIţIi fundamentale formulate (le matema­ ticianul Italian Peano pentru aritmetica numerelor naturale cunoscute sub numele de B. lui Peano : 1) I este număr natural (uneori in loc de 1 a luat


A...... 'OMELE MULŢIMILOR

28

pe O) ; 2) succesorul oricăruI număr natural este un număr natural , 3) nu există două numere naturale cu acelaşi succesor , 4) l nu este succeso­ rul ntciunui număr natural (in alte cazuri e luat O) ;5) dacă l (resp. O) are o proprietate şi dacă din faptul c:i un n are această proprietate rezultă că succesorul său are această proprietate, atunci orice număr natural are propnetatea respectivă. Ultima propoziţie este În fond p,-inctptul Jnducţiel matematIce (v ) . Demn de reţlUut este că Peano utilizează numai trei con­ cepte aritmetIce prime . număr n atural , zero (sau unu) şi succesor. S-ar putea spuue că aceste concepte sînt definite tmplicit pnn axiome, dar deJa posibilitatea de a inlocui pe unu cu zero arată că lucrurile nu stau aşa Mai mult, există ŞI alte iuterpretări care pot satisface axiomele, (de ex alte progresii) . Prin urmare, în acest fel 1>e poate pierde legătura cu conceptele obişnuite număr na t u ral , unu şi succesor Sistemul se extInde prin extinderea noţiunII de proprtetate, dl1p:i cum a arătat Skolem el este m onomorf (v.) numai dac:i terwemi de mulţime �I funcţie propoztţlonală sint luate independent de orice princiPit de generare. Pentru a evita para­ doxul lui Cantor in această generalizare trebuie să punem în locul axiomel (5) o muiţime de axiome din care fieca re �e rderă la o proprIetate deter­ mtnată. Dacă Introducem un �u !Ufinit numărabil de axiome sistemul, in totalitate, este potimorf (necategoric)

AXIOMELE lllJLŢIMILOn (sistemul ZF) , aXIOme formulate de Zennelo ŞI Fraenkel. 1 . A xioma extenslonahtăttt Dac:, două mulţimi au aceleaşi elemente . sint Identice, 2 A .n oma perechu Dm două mulţlll11 X ŞI Y putem forma o mulţime L care are ca elemente exact pe X şi Y . 3. A xioma detaşăru (axioma form ării submulţimilor) . Pentru orice mul­ ţIme A şi orice predicat monadic P (defiUlt pentru once element x al lui A ) există o mulţime complet deLerm!Uat.l care couţine exact acele ele­ mente ale lui A care satisfac predicatul P Fraenkel spunea că aceasta este ,ce.!. lUai caracten�hcii partLculantate a sistemului lui Zermelo" • 4. A xioma mulţimu sumă sau a " !lntlin ... Pentru orice mulţime X există o mulţ1me Y Identică cu sUlna (reuniunea) elemeutelor lui X 5. A ;noma mulţimi, p otenţiale. Pentru orice mulţime X există o mulţime Y care conţine toate submulţim!le lui X ; 6. A XIoma alegeri.i.. Pentru orice mulţime nevidă X formată din mulţimi care se exclud intre ele eXistă o mulţime Y care conţ!Ue uu singur element comun cu fiecare asemenea mulţime . 7 . A xioma infinituluI EXistă cel puţin o mlllţlme Z care posedă însuşirile : a) O E Z b) dacă x E

Z

atunci {:.. }

E Z.

8 A XIoma substdultet Dacă X este o mul ţime atunci inlOCUind pe fiecare element al lui X cu o mulţime obţinem o nouă mulţime (biunivocă cu X). 9 A XJoma fundării. Orice mulţime X nevidii conţine un astfel de ele­ ment y cu care nu are nici un element comuu. Aceasta este axioma lImi­ tări, destinată să elimine orice mulţime care nu satisface axiomele 1 - 7 O amplă discuţie metateoretică cu alte dIferite formulări (echipotente. mai tari sau mai slabe) este conţmută în lucrarea Bazele teonel mulţimtlor de Fraenkel şi Bar-Hillel.


B

BARSABA. denumire mnemotehnică pentru primul mod al flguru 1 a silogismului simplu categonc Are unnătoarea schemă Toţi M- P Toţi S-M Toţi s-p Exemplu . Toate lllamiferele sint vertebrate Toate cauinele sînt mamifere Toate caninele sînt vertebrate DAROCO. mod al figuni a II-a. Are schema următoare P sint M Unii 5 nu sint M

A Toţi O O Pormă sbhzată a lui Da. S nu sînt M.

Unu

5

nu sînt

P

enti 5 nil sînt P f"ndcd toţ, P sînt AI, or unu

Exemplu Toţi oamenii cinstiţi sint drepţi Unii magistraţi nu sint drepţi Unii magistraţi nu sînt CinStiţi. Forma stilizată ' Unii magistraţi nu SÎnt cinstiţi, fiindcă toţi oamenh ciustiţi sînt drepţi. or unii magistraţi nu sînt drepţi. Sau Urni magistraţi nu sînt cinstiţi, fiindcă nu sint drepţi, or tOţi oamenii clllstiţi sînt drepţi. Sau Toţi oamenii cinstiţi sint drepţi. or unii magistraţi nu sînt cinstiţi . fiindcă nu sint drepţi. BAZĂ OPERAŢIONALĂ, sistem de operatori logici prin care definim alţi operatori logici. Operatorii prin care definim se vor numi operaton de bază. Mulţimea operatorilor de bază este completă în raport cu tota­ litatea operatorilor consideraţi numai dacă baza este suficient:! pentrl1 a defmi tot restul operatorilor. Pentru logica propoziţiilor cea mai cunos­ cută şi utilizată bază este ( - . &. V). Alte baze sînt (I) . ( /) . ( - . -) . ( - , &, Ea). Unele baze sint ,reductib,'e (adică nu conţin o submulţime strictă care să fie la rindul său completă), altele reductfbtle. Baza ( - . & , V) este reductibilă. ea conţine donă baze ireductibile ( - , &), ( - , V) .


BEG RIFSSCHRIFT

30

Toate bazele indicate sint complete pentru logIca propoziţiilor Bazele ( - , == ) , ( - , Ea) nn sint complete In continuare dăm citeva definiţii în diferite baze :

(1) P

-+

q ==

p Vq

(2) P -+ q == P & q (3) P == P/P (4) p == P / q (5) P V q == (p tP) / (q /q) (6 ) P & q == (p /P) / (q /q) (7) P -+ q == p/ (q /q) (8) P & q == p -+ q (9) P V q == p -+ q

BEGHIFSSC[IIUFT (germ Scdere conceptuală) . operă capltaIrt în Isto­ ria logicii, elaborată de G. Frege şi publicată în 1879. Frege uneşte logica cu aritmetica pe baza concepţiei logiciste (v. logicism) al cărei ÎntemeIetor este, elaborează un simbolism specific logicii (prea greoi pentru a fi fost preluat), axiomatizea7ă calculul propoziţiilor �1 tlez\'oltă logica predicate­ lor. Este înteuleletorul logu;n matematue (v.) în Inţelesul restrîns al cuvin­ tului. Denumirea Begrijsschl-ijt este prescurtată, dar in istoria logicii opera este invocată cu acest uume Deschide o nouă etapă în istoria logicii (etapa logicii axiomatice şi a fundamentării logice a matematicii) deosebită de etapa anterioară a logicii algebrice BIUNIV-8CITATE, proprietate a unor relaţii definită priu aceea el rela­ ţit1e presupun o corespondenţă biunivocă intre domeniul şi codomeniul lor. Altfel spus orice relaţie biunivocă impI.lcă o corespondenţă biunivocl. Astfel, relaţia de "căsătorie legală in R.S.R." este o relaţie de biunivocita­ te fiecărui soţ 1 se asociazA o singurA soţie şi fiecărei soţii un singur soţ. Dtmpotrivă, în societăţile in care este admisă poligamia relaţia de căsă­ torie nu este biunivocă. (v. echivalenta mulJimflor) BOCARDO, mod al figurii a III-a. Are schema următoare :

Formă stilizată : Unii sfnt S

O A

Unii Toţi

O

Unii

S nu sint

M nu sint M sînt S

p

S nu sint E

P, fiindcă umi M nu sînt P, deJI tOţI 1Il

E%emplu Unii oameni inteligenţi nu sint înţelepţi Toţi oamenii inteligenţi rezolvă bine probleme intr-un domeniu Unii din cel ce rezolvă bine probleme intr-un domeniu nu sint inţe­ lepţi. l�ormă sttllzată . Umi din cei ce rezolvă l)ine probleme intr-un de__iu nu sint înţelepţi, flludcă uuu oameni iuteligenţl llu sînt înţelepţi de� rezolvă bine probleme iutr-un domeniu


DRICR.L LUI OCICHAM

:n

BRL\KL\NTIP, mod al figuru

il

1\"-a Are ;,cbema urmltoare '

A Toţi P ;,Înt 1\1 A Toţi JI.[ sînt S 1

Cnil

S

siut

P

Se observă o anumită artificialitate în acest �lloglsm Conform cu axioma stlogismului concluzia firească ar fi : Toţi P sint S. în locul acesteia (da­ torită dispunerii termenilor) avem conversa acestei judecăţi ' Unii S sînt P. BRfllHil< f.W Del'IIA�f, denumirea UUUI principiu atribui t lui Ockham ŞI destinat să combată distincţiile inutile ; altfel spus multiplicarea inutilă. a entităţilor in fllosofia medievală. are formularea următoare : Entia non ,unt multiPlicanda praeter neassitatem (" entităţile nu trebuie înmulţite peste necesitate").


c

CALCUL E XTL"\IS AL PROPOZIŢIILOR , calcul COll,trUit <le B. Russell sub denumirea de teone a Implzcaţiei ( 1 906) apoi de Lukasiewicz ŞI Tarskl sub denumirea de calcul extins tU propoziţiilor. El constă în introducer�a de cuantori pentru vari abile propoziţiouale. Russel pl ase ază cuantificaxea nu lîngă variabilă ci lîngă operatorul Implicaţiei : P -::> (q)q (c iteşte "p impl ică pentru orice q pe q") Iuspirat de Peirce, Rnsse1 defmeşte nt"gaţia � P p rin p -::> T r ( 1 903) ŞI respinge d efimţia ne!(atlei prin p -::> (5) < ( 1 906) . Tot el defineşte conjuncţIa p . q p riu p -::> (q -::> r) -::> (1') r ( 1 903, 1 906) &: pare că Russell a fost stimulat de analiza propozIţiei "I1U OTlce este adevărat" pe care a simbolizat-o pTln - (p) p. Church, la rindul său, pleacă de la propoziţia, evident falsă, " orice propoziţie este adevărată " simbolic (s) s - şi defIneşte prin ea falsul (constanta f in sistemul său) , f = df(5) s (iu loc de ' = df" el utilizează semnul , , -+ " ) . Limiti no. in t er ­ p ret area simbolurilor la bivalenţă , , (5)5" se citeşte "orice 5 ia Y al oare a v", ceea ce nu e cazul şi deci ( pri n contraexemplu ) (s) s = f. NegaţIa este d efmită in continuare prin � p = df P -::> f. Adevărul v e defmit prm (3(5) S (adică " există propoziţii adevărate" sau mai restr i n s " există 5 c�e ia valoarea v"). Se inţelege că pornind de la v = df � r putem mtroouct: defiuiţiile " = r

=

df � (5)5 df � (35)5

Re.:ultă că - (SjS c " (35)- 5 � (35)5. în alt context Church defmeşte falsul in felul Ur1u,itor . f = df � (r -::> , ) . în general, Ideea consU În "ub­ sti tuire a falsulUi cu o formulă log ic falsă şi mtroducerea negaţiei in raport cu aceasta. Analog pentru adevdr se poate introduce o for mulă logic ade­ v ăr at ă. C. e. al p. este. echivalent cu calculul necualltificat. Formulele sint adevărate, tautologiee sau false logiC CALCUL LO GIC. 1. Algoritm log ic , 2. Sistelll logIC aXlomabc form.i 1 Se vorbeşte astfel despre calculul matriceal, calcltlul formelor normalr (aceştia sînt algoritmI, res p algoritm semautic şi a lgontm sintactic), ca!­ cuIul Pl'oPoziliilor, calculul predicatelor ş.a. (acestea sînt �isteme axiomath' formale) . CALCl,;L MATR lfEAL, calcul pent ru rezolvarea unor probleme dtn TI A (problema decizie!, problema formelor normale p ... rfecte ş a ) bazat pe matricele funcţiilor de adevăr.

C\LCLL XATURAL. sIstem de logi că bazat n umai pe regu li (scheme)

de deducţIe A fost construit aproape coucom l tent de G. Gentzen ŞI !:>. J askowsky Există <louă felun de reguli d. 1 ntrodllcerc şz de eliminare a opel-atonlo/'. La Gentzen există o deviere in sensul că admite o schemă de axiome, alţi log icie n i ( ex Quine) o elim1Uă. Se notează operatorii pentru denumirea regulilor cu simbolurile lui Luk asiewici indicate cu I (pentru introd ucere) ŞI e (pentru eliminare), de ex , K. (iutroducerea conJuncţîei)


33

CALCUL NATURAL

şi Xe (eliminarea conjuncţiei). Fiecare regulă pleacă de la supo:iţii şi arati ce se poate conchide din ele.

El formulează două calcule Lj (intuiţiODist) şi LK (clasic). Vom vorbi pur şi simplu de .. calculul lui Gentzen". S. Kanger dli o varianU numită "calculul secvenţelor", o altă simplificată aparţine lui Quine. în fine, "metoda tabelelor semantice" elaborată de E. W. Beth corespUDde în plan semantic cu calculul lui Gentzen. în ce priveşte calculul lui Jaskow­ ski îl vom numi Slmplu " calculul supoziţiilor". Gentzen afirmli cli axioma­ tica Russell-Hilbert "este foarte departe de acele metode de raţionare csre se aplicli in demonstraţiile matematice curente", tocmai de aci denumirea de natural" pe care o dă calculului sliu. într-un anumit sens calculul se " apropie de logica tradiţională care foloseşte nu "teze", ci "scheme de de­ ducţie" El spune că deducţiile naturale pornesc nu din axiome logice CI " d in presupuneri". Gentzen demonstrează o teoremli fundamentalli conform cu care "orice demonstraţie pur logică poate fi redusli la o formă normald determinată, deşi nu univocă". Urmlitoarele două exemple date de Gentzen sugereazl esenţa e.D. 1 . Avem de demonstrat (A V (B& C» -+ « A V B) & (A V C)). Raţlo­ năm astfel . fie e adevărat "A sau B & C". Avem două c azuri ; 1) E ade­ vărat A ;2) E adevărat B & C. Din cazul ( 1 ) decurge atit A V B cit şi A V C şi prin urmare (A V B) & (A V C). Din cazul (2) decurge atit B cit şi C. Din B decurge A V B, iar din C decurge A V C şi, deci, din ambele decurge (A V B ) & (A V C) . Dar formula (A V B) & (A V V) decurge în acest fel atit din cazul ( 1 ) dt şi dm (2) şi prm urmare decurge indiferent din care, adicli din A V (B & c ) . Se observă că aci s-au aplicat regulile urmlitoare ; A

mal

Y C

A

n & C

---

B&C

li

o reguld

A V B, A V C

A

A VB

C

'

(A V B) & (A V C) B

C

---

A V B

.1

V C

cupr inz l to are este Urll1dtoarea r V A.

r

f- B. A f- B

r V A f- H Un loc ap.ute ocnpă regu la

r f- A r -+ A 2 . Avem de demonstrat 3xV'yF (x, y) -+ V'Y3x F (x, y ). Se raţionează astfel : eXistă x astfel că pentru orice y are loc F(x, y ). Fie a un astfel de x Ca urm are pentru orice y are loc F(a, y). Fie apoI b un obiect oare­ care De aCI F(a, b) Prin urmare, există x, anume a a�tfel că are loc F (x. b).


34

CALCUL NATURAL AL LUI QUINF.

Cum b este oarecare, aceastJ. formulă are loc pentru toate obiectele, adică pentru orice y există x astfel că Ify 3 t' F( x, y) . Q E D Aci �e aplică reg uli l e

3x Ify F( .t , '1')

lfy F ( a, y)

F (a , y)

3x F ( x , y )

J. (a, v )

3.t F(x, y)

Vy 3x F(x, y)

Ify F(a, y)

Centzell a formulat sistemul de regull de m troducere ŞI elinunare ŞI a a plic at calculul l a aritmetică, ( 1 şi Calcultll Ilti Gentzen, C alculul natur " al lUI <JlIille , Tabelele semantice ale lUI Brth, Calculul lUI ] askowsllY) CALL l L �ATURAL AL LU I QU I'\"E, tehni c ă a d e d ucţie i naturale difentă Intrucitva de cea a lUI Gentzen ŞI ]askowsky. Quine slmplificli regulile in ce pnveşte ehmmarca existenţtalului ( Gentzen) . in troducer e a şt elimin are a existenţialului ( Jaskowsky) Qutne se ocupă, în special, de logica predicatelor, în ce priveşte logica propoziţiilor nu există modificăn . Deducţia con st ă din ltnu ( formule) fiecare linie fiind u n pas În proce�. LlIliile sînt nUlllerotate la stînga cu 1, 2 , . • 11 Fie c are nu măr e I nsoţit d e asterisc cînd formula rezultată este supoziţie sau implicată de liuii ante­ rioare, cînd formula e universal ad evă rată �e omite asteriscul. Se poate trece de la o Hnle c u asterisc la una fără clacă prima este mcorporată ca antccedent al unei implicaţit faţii. de a doua în d re apt a �e indică numărn1 !t n"l or din care linia dată p rovme în caz C;l avem o linie Ură astensc care provine dm una cu a�tc n;,c , scnem numlirul cu a�t ensc

r:x e m p le 1) * ( 1)

Ift' Fx ( 1)

* (2) . Fy

2 ) * ( 1 ) "1 \ ( 0 x & G x) (!>upoziţie)

(.UP0.GlţtC)

* (2)

(lfe)

3x rx (2) (31)

* (3)

(3) ) (4

0y & Gy ( 1 )

Ifx (Gx & Gr) Ifx (Gx & G x)

(lfe)

-+

(Gy & Gy) * (2)

(3)

(Ltuta .1 ;,e justJfid prtn taptul el d ac:! ceva i mphc:i c on tradi c ţi a at I nci lşi I mp li că propria nega ţ ie ) în unele cazuri n umerele din stinga sînt afec ­ tate de dou.' a�ten�cun, e�te vorha de m troelllcere a unor supoziţii �upli­ mentare ŞI d e formulele carc decurg din e l e

al

* ( I) * * (2) **�3) * * ( 4) *(5)

. Fy -+ p . "Ix F.t * Fy (2) . P ( 1 ) (3) . If.t Tr -+ f' *(-f)

Ueducţta nu aratd .:: :1 (5 ) c!> te umversal cu aj u to rul altor formule "pnl\ lzorii". �e poate însă ad ăuga l inia

(6) (Fy

-+

P) -+

Ift' Fx -+ P

Mle vărată, CI

că (1) Impltcli (5)

* (5)

Qume formule az ă urm.ltoarele re guli

1. Regula prem�selor ( P) Oric e schemă. poate it pusă la OrIce pas al ueduc­ ţiei cu prevederea că în ac es t fel vom miţia o c ol03n li noul (interioară)

de asteriscu n .


CAl.CUL

35

NATURAL

AI,

LUI

QUINE

II. Regula exempl'f,cdru umversale (U I) Oricărei linii îi putem subjuncta o nouă linie care este schemli ce implică linia dată prin exemplificare uni-

versală. Adică aplicăm

VxFx

--

Fy

III.

Regula generaludrii existenţIale (E G). Oricărei linii îi putem subjuncta

VI

/legI/Ia gl'llerahză", unIversale ( t; G)

o nouă linie Care este o schemă implicată de linia dată sau conjnncţia linii­ Fy lor d'lte. în �peclal se aplică �cltel1la. --3 tc Fx 1\ Regula llljerenţel funcţionale (1' 1'.). Oricărei hnil sau I>et de Hnu 11 putem �ubjuncta orice schelllă Ldre ".te implicată (funcţional ) de linia dată �au de conjuucţla l ini ilor date V. Regula condzţlOnali::ăYlI (Cd). OncJrcl luul cu astensc , * (m) . ÎI put un subJuncta coudiţlonalul al cărui con�ecvent el>te ace1a�1 cu (m) şi al cărui antecedent e<;te ace1a5i tu ultima premisă a lui ( m )

� v;t, rx

(E 1 ) :

3x Fx

Reguhle " 1 5i Fv VII se aplică cu restricţii (v. calculu l luz Gwt::en) . Quine noteazli variabilele limitate in dreapta după numere. Scrierea variabilei denotă că nu putem pretmde la IDtroducerea implicaţiel la etapa respectivă. Exemplu. * ( 1 ) 3 y "Ix F( x , y) , *(2) V� F(;t" z) ( 1) :: (t I) , VII

Neg'tla excmpltjzcărl!

f;t,lsfenţzale

--- .

* (3) F(w, z) ( 2) (U I) , * (4) 3y F(w, z) (3) (E G) ; * (5) V .. 3'1' F(.,. , v) (4) w (U G)

\. on <h ţlOnalul

(6) 3y "Ix F(x, y) -+ "Ix F(x, z) Illl este lIuiversdl adevărdt, insă (7) 3z [3y V'"< F(x, y) -+ "Ix F( t , z) ] este universal adevăratli. \" dnabila w de la (5\ ardtă că (8) 3y F(w, y) -+ "Ix 3y F(x, y) nu este univer.,al ade" ărată, dar (9) 3 w [3y F(w, y) -+ V)'3y F( '1', y) ] el>te universal ade\"ăratli. La nndnl săn ( 10) 3y [ "Ix F(x, y) -+ V;t, 3y F(x, y) � este ulllversai adevărată.

Qume utlhzează o terrmnologie proprie care nu este prea fericit aleasă uacă ţinem �ă nu multiplicăm inutil limbajul ; o reproducem totuşi pLntru informare Pe de altă parte, metod a sa presupune şi unele noţiuni noi. O lime care urmează după altele astfel că premisele ei se aflli printre cele precedente se numeşte subJunctd la re�pectivele linii De ex. : lini a (3) este subjunctă lui (2) . iar linia (4) lui ( 1 ) şi (3) . La rîndul său linia (5) este subjunctă cu asterisc lui *(4) , iar (6) este subju'l1ctd cu asterisc lui * (5 ) . Dacă o linie (k) este subjunctă unei linii (II) astfel că (II) ..... (k) (pnn E I, L I, E G, U G) (h) ..... (k) se va numi pasul condiţional al lui (J. ). In exemplul de mai sus (6) este pasul condiţional al lui (2). Paşii condiţionali ( � ' , (3), (4) , (5) împreunli implică pe ( 10), dar apare accidentul cli paşii săI condiţionali nu �Înt toţi universal - adeYliraţi, respectiv (2) '11 (5)


CALC ULE

PROPOZIŢIONALE PARŢIALE

36

nu sint umversal adevăraţi Restncţiile la reguWe indicate sint · (a) Nici o v ariabilă nu poate fi semnalatd (scrisll la dreapta) de două on într-o deducţie. (b) . Trebuie să putem stabili o ordine a var i abi lelor în ded ucţie vI ' Vn astfel că pentru fiecare i de la 1 la n - 1 , VI n� e�te liber în nicI o l inie în care V I + ! " V" este Cll asterisc Tehwc cond i ţi a (b) poate fi formulată astfe l ' ordonaţi literele astfel Încît variabila semnalată să fie ulttma dintre variabilele care aparţin liniei respective. Demonstrăm for­ Il"lula 3x (P V Fx) == P V 3x Fx Fiin,l echivalenţă �e de�compune i n două implicaţii ( = cond iţionale ) pe care l e demonstrăm p e rind . il * ( 1 ) P V 3x Fx **(2) 3x Fx **(3) Fy (2) Y *(4) 3� Fx --+ Fy * (3) * (5) P V Fy ( 1 ) (4) * (6) 3 x ( p V Fx) (5)

1

* ( 1 ) 3x (p V Fx)

* (2) P V Fy ( 1 ) Y * * (3) Fy **(4) 3x Fx (3) * ( 5) Fy -+ 3x Fx * (4) * (6) P V 3x F� (2) (5)

C.\LCULE PROPOZIŢIONALE PARŢIALE, calcule propoziţionale ba­ zate pe o mulţime incompletll de operatori. Astfel de calcule sint cal cuiul tmpltcaţMI (bazat pe --+ ) , calculul echivalen!et (bazat pe = ) , cal­ clilui pozitiv (Hilbert), calculul cu echIvalenţă şi nega/te, calculul mluitw117,1 (Heyting) ş.a Din aceste calcule vor lipsi, evide n t, o part e dm teoremele calcululuI complet al pro poziţ iilor Cu alt e cuvinte ele sînt tncomplete (v. completitudine) . CALCULUL LUI 6ENTZEN, pnmul calcul natural (v.) LIsta de semne (p arţial modificată) a, b, c, . . . variabile libere, �, y, z, . . variabile legate, A , B, C, ' " expresii propoziţionale oarecare, T (ad e văr ) , .1 (fals) , -< (Simbol despărţitor), operatorii logiCI. Formttla se define�te m du c ­ tiv Se definesc încă .. gradul formulei" ( = lungimea formulei) . "semnul exterior al formulei" ( = operatorul principal). "subformula" ( = orice rezultat al unei etape in construcţia formulei) . Secvenţd. Este o succesiu­ ne de tipul A l ' . . , A m -< B I ' . . . , B. ( unde A " BJ sint formule oare­ care, iar -< semn despllrţitor). {A,} formează antecedentul, iar {El} succe­ d entul secve n ţei O secvenţă constă din S - formule. Ambele pot fi ' Id e ŞI atuncI secvenţa se notează cu .1. IntUItiv secve nţa Înst'amnă : & A m ) --+ (B I V . . . V B.) Şirul A " Am (resp. El ' . . , Bm) (A l & . trebuie inţeles ast fel : ( (A I & A.) & A s) & . . & . A m , ( analog pentr u { Bl}) Dacă ant eceden tul e vid, atunci se înţelege col avt!m B I V B2 V . . V B.

Dacă succedentu l este ' Id at unc I avenl . (A I & . . & A m) sau (Al " A.) _ .1. l'ent.ru fiecare formulă eXistă o secvenţă echivalentă. Este admisă o sec ­ \ enţă iniţială de forma D -< D. Se introduc figuri de deducţIe şi fIguri de demonstraţie. Ele constau din "formule" sau din "secvenţe". Pentru început se operează cu formule. Figura de deducţIe are forma .

.x

Al'

. . , A.

B

(n ;;' 1 )

I n funcţie de natura calculului se introduc figuri determinate Flgura de demOflSIraţi6 consU dintr-un număr (finit) de formule (cel puţin una) care formeaz:ă figuri de deducţie in care formulel e se succed fără a o forma " "cerc ( = primul membru urmează după ultimul). Deducţille an for m ol


37

CALCULUL LUI GENTZEN

de " .ubore" dacă formulele sînt premise pentru nu mai mult de o figură de deducţie. Formulele din care constll deducţia se numesc H - /01'­ muie. Două H-/OI'mule sint identice, dacă sint formule ideutice şi ocupă acelaşi loc in demonstraţie. Figurile de deducţie care intră in demonstraţie se vor numi H-figuri de deducţie. H-formulele dintr-o demonstraţie for­ meazl un lanţ. Prima formulli este supoziţie, iar ultim a concluzie (sau "deducţia formulei"). Figurile de deducţie pe care le vom numi reguli de d6iucţ�e (cum s-a statornicit ulterior) sint următoarele '

A, B

( 1 ) (K,)

A &B

(A fl)

A VB

(2)

Semnal

A &B --A

(K<l)

A

1-

Ă, A V E

A &B --B

(K'I)

A V B, A 1- C, B 1- C

(A,)

C

nu există la Gentzen. O altă formulare a regulii

B

(C,)

A, A

-+

B

(Ae)

este

B

---­

Altă formulare pentru (C,) este similară teoremei deducţie, (u.) :

r, A 1- B

r l- A -+ B

[A ] .L Ă

(unde r poate fi şi mulţime vidă)

A, Ă

(N.) � '

.L

D

(regula "din fals

se

deduce orice")

Pentru negaţie pot fi date şi alte reguli :

(5) ( N, )

A

=-

A

A

( N,) A

sau

(Nf)

A _B B_Ă -- , (N.) -A _B S_Ă

.-\ceste reguli sînt o complectare nu un simplu substitut pentru regulIle (4) Ele nu apar in varianta Gentzen.

A (t ) * xA (x) ( )V (V ) , VxA (x) , V, 3xA (x) * 3 xA (x), C A (t) ( ) (sau --- ) ( ) A (t) (7) 3, x.4 (x) 3. C 3 Pentru regulile cu asterisc se impune observaţia eli t este un termen arbi­ trac din cei ce pot fi substituiţi lui x. Litera t precede toate variabilele iJbere din A (x) , el desemnind variabilă individuală, o constanU individuală "au un termen individual compus. Utilizarea lui t este li",itatd, odată utilizată ea nn mai particip ă la procesul deducţiei. Exemple de astfel de deducţii avem in algebrli : (6)

II X

(1

=

Vx(x X x

(II

=

Xl)


CALCULUL

LUI

GENTZEN

Pentru cuantorul existenţial, mdi viduală)

38

(3,)

înseamn ă exemplifIcare (generală sau

3x(..);o = �) ..)fiI a =

3x(.j;o = x) ..), = 2

A A -;;;- şi - calculul rămine mtu'ţ'onJst. A A Gentzen a propus pentru trecerea de la calculul intuiţionist la cel clasic soluţia de a lua printre "supoziţii pe aceea a terţului exclus A V Ă". Aceasta este deja o deviere căci A V Ă este schemă de axiomă. AdmiteDacă suprimăm regulile (5)

A rea în locul ac est eI a a reguhi (N,> - trebuie însoţită de o regnlă cores­ A

punzătoare

(

anume

�).

introducere

de

a

negaţiei,

care la Gentzen nu

exi�t;l

Sensul ftgurtlOf' este următorul : (1 ) Din presupunenle A , B rezultă A & B, din presupunerea A & B reznltă A , rezultă B. (2) Dm presupu­ nerea A rezultă A V B etc. ; dacă din ambele cazuri luate in parte rezultă acelaşi lucru, atunci din disjuncţia lor rezultă de asemenea lucrul res­ pectiv. (3) Dacă B este demonstrat (cu supoziţia lui A) atunci A -+ -+ B fără vreo supoziţie ; dacă din presupunerile r şi A se d educe B atunci A -+ B se deduce din r ; regula de eliminare este modus ponens (v.). (4) .L Înseamnă "fals" , din el decurge Ă ; A, Ă este "conttadic­ ţie", deci .L . (5) Nu necesită explicaţii. (6) Dacă A (t) este demonstrată pentru un t oarecare este universal adevărată şi deci "Ix A (x) este demon­ strată. (7) Fie 3% A (x) ŞI a un obiect pentru care are loc A, deCI A (a) (a nu aparţine lui 3x A (x» . Dacă prin această supoziţie d emonstrăm C (care nu conţme pe a şi nu depmde de formule care ţin de a) atunci C e demonstrat independent de A (a) .

Exemple de ( 1 ) (A V

li)

demonstraţn : -+

(B V A )

A V B (supoziţie) [A ), [B ) (presupunere de cazuri) (A,)

E V A, B V A A V E, A f- B V A , li f- B V A BVA

(A V B)

-+

(B V A )

( C I)

(A,)

Q.E.D.


CATEGORIA

39

( 2) 3 1 V)' j. (X. y) -- Vy3x F (x . y) 3 \ VyF(x. y) . . ( supoztţie ) Vy F(x. y) (3 e . X e limitat) F(x. )') (Ve)

Se observă cli intrucît are loc deducţia ultimei formule din pri­ ma se poate aplica introducere a impllcaţiei

r. A

A

deci :

3x. F(x. y) (3i)

3 x'v'yF (x. y) QED.

Vy3x F(x. y) (Vi)

__

1-

__

B

B

(Vy3x F( x. y)

CALCULUL PREDICATEL0!!L.salculul algoritmic sau axiomatic cores­ punzător lo""jicii predic;Ueio;' (v.) . Se mai numeşte şi "calcul funcţional ". Se divide după criteriil e corespunzătoare din logica predicatelor . calculul îngust ( = de ordinul unu) ŞI calculul extins (= de ordin n ;;. 2) . cal­ culul monadic şi calculul n-adlc . calculul pur şi calculul aplicat (ex. calcu lul cu identitate) . (:ALCULUL PROPOZITIILOR, calculul algoritmic sau axiomatic cores­ piiliznor7oglci� propoz1ţiilo? (v.). Uneori e folosit ca sinonim cu .. logica propoziţiilor" sau numai cu "teoria funcţiilQr de adevăr". �:.���N_E� mod al figurii a IV-a. Are schema următoare '

A Toţi P sint M E Nici nn M nu e S E Nici un S nu e P

\.oncInzla se obţine în mod firesc prin intermediul conversiunii. Conchi­ dem (ca in Ce/arent) Nici un P nu e S. apoi prin conversiune concluzia Nici un S nu e P. �J\�IIiSTRE.s� mod al figuri! a II-a. Are schema următoare .

P sint M E Nici un S nu e M

A Toţi

E Nici un S nu e P

Forru.l "llhLată mei un S nu e p. fundcă mCI un S nu e .11. ar ta!, P ;înt ,lI. O alU formă stihzată se obţine astfel N�cI lin 5 n u este p. fiindcâ toti P sînt 11-1. ar nici un 5 nu este M. Exemplu Toţi oamenII cl1Istlţi sint drepţi !\ici 1I11 0111 care răsplăteşte la fel şi pe leneş ŞI pe cel lnunc itor IIU este dre�t

-------

Kicl tlll om care răsplăteşte la fel ŞI pe leneş ŞI pe cel muncitor nu e cinstit. Forma �tiliz at.l . Cine răsplăteşte la fel şi pe leneş şi pe cel muncitor nu e cmstit. fiindcă in acest fel nu este drep t. or omul cinstit este drept A doua formă stilizată Cel ce răsplăteşte la fel şi pe leneş Şi pe ce l muncitor n u este cinstit. fiindcă omul cinstit este drept. o r cel ce răsplă­ t e5te l a fel şi pe leneş şi pe muncitor nu este drept.

(.ATE GORIA 1 . în logică. noţIUne care nu poate fi subordonată altei noţhmi AsfIeI SlnfCategoriile ontologice ' sp:\ţiu. timp. esenţli. feno­ men etc. î!!.. ,.KnoseoIQgte. c. desemnează orice noţiune fundamentală a


CAUZALITATE

unui domeniu de cunoaştere. De ex.

40 mul/lme şi număr în matematică.

2. (In sens matematic) Clasă C ÎnzestraU cu o operaţie * (nu e defi­

nită obligatoriu peste tot) şi sînt satisfllcute condiţiile ' a) dac:i eXJ�trt (11 * g) * f. există şi f * (g • f) şi reciproc. b) dacă există h * g. g * f, există şi It * (g * fI. C)\h�·.(g * 1) = (h • g) * f. d) Vie C exisU un element nentru compozabil de la dreapta la stinga, tI/.(f) şi unul de la stinga la dreapta. (3(f) . Fie R(K) clasa relaţiilor între mulţimile unei clase K. Atunci < R(K). X > este o e. (unde .. X " este produsul relaţiilor) : a) dacă există produsul (R X Q) X S există şi produsul R X (Q X S) (II. produsul rela­ ţiilor) . b) dacă există produsele R X Q, Q X S existA şi prodnsul R X X (Q X S) c) VR(R e R(K) şi A R B există relaţia .. egal cu" în A şi resp. "egal cu" în B (elemente neutre) . (De ex., A c B &: B ... C. = .A c c B) CATEGORIC, termen Sinonim. în metoda axiomatică, cu montJtnorj. De aci. proprietatea de categoricitate (II. monomorfism) . CATEGORICITATE STRICTĂ, proprietate a unui sistem categoric de a avea un singur izomorfism pentru oricare două modele. (v. categori e) CATEC!.(!�����ICĂ, t�men introdus de Tarskl pentru caracteri­ zarea expresiilor limbajelor fOrmalizate. O definh:l inductiv. 1 . Simbolurtle care au acelaşi domeniu de interpretare aparţin aceleiaşi e. s. 2. Expre­ siile pentru operaţii care au domenH1e identice. codomeniile identice şi numărul de argumente identice aparţin aceleiaşi e. 8. 3. Funcţiile pro­ poziţionale care an domenii identice. codomenii identice şi număr de ugu­ mente identice sint de aceeaşi e. 8. De ex. : variabilele individuale aparţin aceleiaşi e. 8.; variabilele propoziţionale aparţin aceleiaşi e. S" operaţiile binare aparţin aceleiaşi e. 8. Astfel (x + y, x X y). sînt de aceeaşi categorie semantică, funcţiile diadice F(x. y). G(x. y) aparţin aceleiaşi e. 8. CAUZALITATE (conexIune cauzală), relaţie intre fenomenE (evenimente) caracterizată prin aceea că un fenomen (numit cauzd) produce un alt fenomen (numit efect). De exemplu, putem lua legea fizică a producerii dilatărit metalelor prin incdlzire. Incălzirea este cauza dilatării. iar dila­ tarea este efectnl Încălzirii 51mbolizăm relaţia de cauzalitate astfel ' C ( X. y) ( .. x este cauza lui y ") . O problemă mult discutată în teoria cauzalităţii este aceea a raportulul in timp intre cauză şi efect. Este cauza SImultană cu efectul sau există o succesiune în timp de la cauză la efect ? Se constată că fenomenul-cauză este Insoţit de un complex de Împrejurări. VGm numi acest ansamblu de împrejurări care conţme cauza complex cauzal. Fie să notăm cu C[c) complexul cauza!. Există nenumărate astfel de complexe în legătură cu o cauză dată : CI [c) . C.[c). . C,,[c) • . . . Indiferent de alte considerente se constati d. a) fenomenul cauză se manifestă expenmental (este inregistrat) î1Jamte de maD1f�area fenomenului efect ; b) pentru a produce fenomenul efect trebuie să inceapă a se produce fenomenul cauză ; c) cel puţin unele inSUşirl ale fenomenului canză se pot manifesta independent de fenomenul efect. In exemplul nostru. : încălzirea este receptată experi­ mental inainte ca să fie receptată dilatarea, pentru a produce dtlatarea producem Încălzirea (de ex .• facem focul), fenomenul Încălzirii se poate manifesta şi independent de dilatare prin alte proprietăţi (de ex . poate produce aprinderea unei substanţe) . Complexele cauzale preced fenomenul i n acelaşi sens în care-l precede cauza. Ca urmare. putem accepta ca pe o schematizare utilă logic principiul : ( 1 ) cauza precede efectul. Un prin-


Cr:RC VICIOS

ClplU care decurge analitIc dm defuriţia r elaţie i de c. este . (2) r e l aţia (!intre cauzd ŞI efect este aslmetricli ( = ireversibilă) . Alte principii �îl1t

(3) cauza nu acţionează niciodată in formă pură ci într-un complex

cauzal . (4) cauza nu es te identică cu efectul ( iref1ex:iv it atea e.) ; (5) oric e fenomen are o cauză (u ex mhilo nihil) ; (6) orice interacţiune .!re efect , (7) dacă A este cauza lui B şi B este cauza lui C atunci A este cauza lui C (tranzitivitatea cauzalităţii) ; (8) este imposibil sli fie cauza şi 'ia nu fie e fe c tul , (9) dacă variază cauza variază şi efectu l , ( 1 0) dacă nu este efectul nu este nici cauza. Principiul ( 1 ) nu trebuie l \ I ţ"I ..� in -<ensul că cele două fenomene n-ar coexista, ci în sensul că in­ tervalul dc timp al fenomenulni efect este în intersecţie cu intervalul <le tip al feu()luenuiui cauză ceea ce se poate reprezenta astfel c e

Cauza se manifestă observabil (în pnnc�plu) în amte de a se m anifesta efectul, iar efectul se poate manifesta un timp ŞI după stingerea cauzei. Se poate ca expeflmental fenomenul cauzli să intre în sfera observaţiei înainte de a se manifesta efectul, se po a te , dimpotrh'ă ca nOI Sd le ob se r­ văm simultan pe ambele, de aceea spunem că fenomenul cauza "se malll­ festă obsen'abil (în principiu) " înamtea efectului. Distincţia este Impor­ tantă pentru raţionamentele inductlve. în le gătură cu (7) este de obser­ ,'at cl A este cauza lui C numa� dacă il singur (nu în combinaţie cu alte fenomene) este cauza lui C. Principiul ( 1 0) nu este afectat de ipo­ teza unicităţii sau multipllCJtăţii can zelor unuI fenomen Teoretic se pare cl fenomenul are o singură cauză (de ex. încălzirea pentru dllatare) , empiriC insă există atitea cauze cîte modalităţi concrete de manifestare are caU7a t eore ti că. Cel mai adesea este greu să descopeflm cauza pU1'ă 5i de aceea ne mulţumim cu cauze emPirice. De aci spunem că fenome­ uul poate a ve a mai multe cauze Pentru înţelegerea depl i n ă a noţiunii de c. trebUIe să avem in vede re şi c onc ep tul de cauză concu1'entă. O cauză "1 ,'sle c,mcurelliă cu altă cauză lJ dacă ea anulează, dimInuează sau schimbă În vreun jel efectul celez de-a doua (B) . Principiile indicate stau l a baza I aţionamentelor, a metodelor Inducţiel cauzale (v.) . (:ELAREl\T, d enumir ea mnemotehnică a celui de-al dOllea mod al hguru 1li' 'siloglsiilUI"iii Simplu categoric. Are următoarea schemă ' Nici un _Ikf nu e P 5 sint -'\,1

Toţi E xe mplu

'

Nici un 5 nu e P

NICI O reptdă nu e ste numller, Toti şerpii sînt rtptile N ICI un şarpe nu este mamifer

CERC VICIOS 1. (In deflrutie. lat. circulus VlllOfUS). eroare 10gtcă con­ stina iil-faptui că definitorul (definens) presupune._definitul. Are două lorme: a) idem per idem şi b) defi!!.�ţorul presupune .j!L mod mediat clefinittU.... înp!9iiria .sa-:aefiru.�imbolic se reduc la schemele A = d/A':' (unde A" dife ră doar verbal ele A) ŞI A� dfB şi B= dfA"> (unde AY


CESARE

42

este sau un sinonim al lui A sau ceva definit prin A ) . 2. (în argumen­ tare, lat. cl1'Culus în probando) . Caz particular al erorii logice numită peţitio princiPii (y.). �o.l!�� în faptul că propoziţrile sînt demonstrate unele prin altele în mod recipr c. Putem avea următoareI\' situaţii a) A r-: A· (unde- A · este edilva entă logic cu A) aşa cum s-a Jntimplat În cazul incercărilor de a demonstra postulatul V al !tu Euclid, b) A 1- B, B 1- C şi C I- A , c) A, B 1- C, A, C 1- B, 3. (în teoria tipu­ rIlor), Russell a identificat defintţiile nepredicalive (v ) cu un fel de defi­ niţii în .. . v. ��ABt3!_mod al figurii a II-a. Are schema următoare

i

E Nici un P nu e M S sint M A Toţi E Nici un S nu e

p,

Forma stilizat:! · mci un S nu e P, fiindcă toţi S sint 1'1 şi mci un P IlU

e )1. Exemplu

NICI un peşte nu e reptilă Toţi şerpii sînt reptile Nici un şarpe nu este peşte, Forma sbhzată Nzcz un şarpe nu este peşte, deoarece 1011 ,erpu ofnt yeptlle �i niC I un peşte tiU este repezlli. Poate fi utilizat, de ex , împotriva aparenţei că ţiparul este şarpe ŞI peşte În acelaşi timp. CHARAL"TERISTICA UNIVERSALIS (lat ) , slmbohsm univer.,aJ (v, Logica luz Leibmz) . CHELUL, p aradox atribuit lui Eubulid ŞI identic in esenţd cu paradoxul grlimezii (" .) " Poţi spune că un om este chel dacă are numai un fir de păr ? Da. Poţi spune că un om este chel dacă are numai donă fire de păr ? Da. etc. AtuncI unde vei trage linia de despărţire ?" CIRCULUS IN PROBANDO (sau IN DEMONSTRANDO) (lat "Cl'rc în demonstraţie"), eroare in demonstraţIe, premisele presupun indirect concluzia (v. cerc vicios) Ci!!<;.ll L US. V:I!��ŞY..L (lat. "cerc vicios"), eroare în deflm/le (11 ) sau . ia demonstraţie (v. C;irculus �n probandgl_ CLAsl, în mod obişnuit e. este sinonim cu mulţIme, există Înl>ă contexte în care ele diferă. Mai întii, cuvîntul c. este utilizat Într-un sens mai concret de mulţime de obiecte determinată de anumite proprielăţl f:afurale (de ex., claSă de plante, clasă de animale, clasă socială). Mulţimile rE:ale (de­ finite în mod natural prin annmite proprietăţi esenţiale) sînt numite frt'cytnt c. î n al doilea rind, logica preferă cuvîntul C" cuvintului multime ((le ex _ , logica cl.lselor sau extensiunea este clasa d e obiecte l a care se apl ic,t un concept în al treilea rînd, chiar în teoria mulţimilor termenul ('. estE: rezervat, În contextul anumitor concepţii (vezI Bernays), pentru mulţi­ mile care nu mai pot fi element al altor mulţimi. Astfel, e. ind ivizilor ( = universul mdivizilor) nu este mulţime În sens obişnuit Ac,,"stea �mt stări lingvistice de fapt, esenţial este, ca şi in alte cazuri, ca atu ncI cind utilizăm cuvîntul c. să precizăm dacă-I considerăm sinonim cu mulţime sau îl luăm într-o altă accepţiune. Pentru a preveni anumite confuzii este important să reţinem punctele de vedere dm care este conSideraU o c. a) c. ca pluralitate (ca mulţime de elemente considerate mdependent


CLASif ICARE

43

unul de altul) , b) r. c a unu (altfel spus ca totalItate) ; c) r. ca sistem (ca mulţime ale cărui elemente se află în mterdependenţă) . Se mal spune că În cazul a) ('. este considerată distrlbutiv (orice proprietate asociată clasei revine fiecărui element În parte), în cazul b) 1'. este considerat{L wl.:ctiv (proprietatea 1'. ca unu nu aparţme neapărat ŞI fiecărui element în parte) , iar în cazul c) ('. este Inată ca integralitate (În care relaţia parte/întreg este determin,mt;\ ) . Astfel, în contextul " Napoleon aparţine clasei împăraţilor francezi", ('. împăraţilor francezi este Inată dlSlrzb'utl V , c a plu ralilat�, î n contextul , clasa impăraţilor franceZI are puţine ele­ mente", aceeaşI r, ebte luată ca unu, Iar în contextul " partidul ebte organi­ mt pe principiul ct'ntralislIl ului democratic", termenul partid desemneazrt o e. ca Sistem (.. ca sistem se deosebesc după gradul de mtegrahtate Dealtfel, oricărei c. îi putem atribui un grad de integrahtate Cînd ele­ mentele c. sint mdependente vom spune că ele au gradul de mtegrah­ tate 7ero, Iar cînd ele nu pot exista în afara e. ca sistem spunem că avem grad maxim de mtegralitate Indivizll organicl sînt exemple de in­ tregi În cel Ulai înalt grad (v şi mulţimea vagă ) .

Dt: t O�SECI:-':TE I\fEDIATE, mulţime de con�ecmţe C(X) d1Il� tr-o mulţime de formule X, în raport cu un sistem dat de reguli de d ed uc ţ ie R (cu excepţia regulll de substituţie) Se spune că C(X) este " d al>a cl>nsecmţelor imediate ale lUI X " . ( ) fornml:\ A e�te con�eciIlFI imedlaUt, d1l1 X, simbohc A E C(X) - dacd ŞI numai dacă exist:\ o secvenţă D d e formule care este o deducţIe p rin R a lUI A din X C o n ­ siderind deducţta în sens slab (ca relaţie reflexlvă �I tranzitivă) avcm u rm ătoarele form ule (după Tarskl) : ( 1 ) X c C(X) (reflex ivitatea) , (2) X c } ' => ( (X) C C(Y) (consecinţele �ubmlllţill1ii X �înt consecinţele mulţUl111 1- ) , (3) C(C(X) ) c C(X) (tranzitivitatea) , (4) 4 E C ( X) => 3BI' Ek(BI' , H, E X & A E C({HI, . , B , }) (a fI consecmţ.1 din X lllS�alllnd. a avea premisele în X) ; (5) A E C ( X) & ( I => 8) E E ( (A ) =:> LJ E qX)) (modu� ponens) Noţiunea de consecinţă se poate t.xtmde In aşd ieI încît ,>ă cuprindă şi axiomele logice (A x) -- �lIIJbolic (X U .-1\.) l E C(X) � A E C ( X U A x) ( ),.\ S.�

(.L\S,I\.

clasă de formule loglcc la care pot fi rcdu,e, astfel că pentru orIce formulă univ ersal-v alabilă) atunci for­ mula red usl corespunzătoare este realizabilă (resp uni versal-valabilă) . De ex. clasa formelor normale prenexe, clasa formelor normale :"l.olem. <-LASA C�I\ EHSALĂ, c1as:!. care cupnnde totahtatea eatităţilor de a ceeaş i categorie. De ex , clasa indivizllor, clasa insuşirilor de indiVIZI, clasa relaţiilor de indiviZI Clasa mdiv izilor se defmeşte priu ) xix = x) Con form cu distincţia lui Bernays şi von Neumann c. u. nu este mulţime. E.a nu poate fi Inclusă în vreo mulţime şi nu poate fI element .tl unei mulţinl1, de asemenea, ea nu este reflexivă în raport cu Illcluziunea mulţi­ milor UE UED UC't JE,

printr-o procedură. efectivă la alte formule rl'Quctihilă dacă ea este reahzabllă (resp

dmtr-o mulţime daU (d lll tr-un sint distrIbuite în clase în funcţie de asemlnări (şi, respectIv, de deosebirile dmtre ele) . Compararea obiectelor se face dintr-un anumit punct de vedere (= unghi de vedere) numit criterIU. De ex , comparăm oamenii după culoare şi-i clasificăm în albi, galbeni, negrt în ace�t caz, oamenii au tost repartizaţi în trei cla6e, iar criteriul după care au tost repa.rtizaţl este cel al culorii Din punctul de vedere al teoriei ttp urilor ( v.) alb, galben, negrn sînt proprietăţi de tIpul unu ( predicate de tipul unu), in timp ce culoare este predicat de tipul doI. Alte exemple de ct.LASIFIC.\ ltE, operaţie prin care obi ectele

umve,.s)


CLASIFICAREA DIHOTOMICA

chimice, a operelor de artă. C. poate fI ••tu­ rală (ea descrie clasele aşa cum sint in realitate) san artificială (clasele sînt formate dllpă anumite criterii convenţionale, in funcţie de utili­ tate) . C. poate fi apoi teorettcă sau emP irică. In cea teoretică avem nu numai clase reale ci şi clase posibile, in timp ce in cea empirică avem doar clase reale. C. poate fi apoi făcntă după unul sau mal multe criterii fn funcţie de n atura obiectelor e. poate fi exactă san inexactă. O (' . exactă presupune că pentru orice obiect din nniversul supus t'. noi putem spune ex act căreI clase ap arţine. O problemă care se pune în leglitură cn e. este dacă ea se aplică obiectelor sau noţiunilor. Se inţelege, noi ne străduim să determinăm clase rea le (sau cel puţin posibile) şi în aces t sens fiecărei clase reale (san posibile) ii asociem o noţiune. în ace�t fel la sistemul de clase reale (sau şi posibile) asociem un sistem de noţiulll (sistem de c.) . Sistemul de noţiuni redă (cn anumite simplIficări) , SIS­ în biologie, a elementelor

temnl de clase reale (sau şi posibile) . fn niciun caz insă nu trebuie să se confund e e. obiectelor cu e. noţiunilor. în caz particular, oamenii sînt albI galbeni, negn �I nu noţiunile corespunzătoare. Ca operaţie logică c. im plică atît aspecte lnductive ci t şi aspecte formale (uneori comblnatorlCe) în mod tradiţional, se porneşte de la ti pu l tdeal de c. . Această e. are la bază următoarele supoziţii Idealizatoare (idealizări) : ( 1 ) p en tru orice obiect din universul supus e. obiectul satisface tertul exclus în raport cu propriet ăţile invocate, ("Ix (P(x) V P(x» ; (2) e. este completă : fit.­

care obiect din universul de c. face parte dintr-una din clasele indicate , (3) clasele se exclud intre ele ; (4) suma claselor este identică cu UDn er­ su l. Evident, confruntînd aceste cerinţe cu realitatea constatăm adesea abateri. în ( 1 ) sintem confruntaţi cu "mulţimile vagi" ; in (2) sintem confruntaţi cu mulţimIle infinite (san practic infinite) ; în (3) sintem confruntaţi cu cazurile nedefimte (sau tnteymedtare) ; în (4) apare din non problema infinitului. CLASIFICAREA DWOTOMICĂ , clasifIcarea obIectelor dmtr-o mulţime în aouă clase . De ·e:i".-;-" numerue naturale se clasifică in pare ŞI unpare D e regulă, c. d. se face după o proprietate şi generează o clasli pozltl,,[t şi una negativ ă (complementară) . Se poate spune că orice proprietate c. d. (K, K) , CLASIFICAREA JUDECĂŢiLOR l\fODALE, clasificare după calitatea modusulul (v. nlOdus) şi a dictumului (v. dictum) . Notind modnsul ŞI dic t umu l afirmative respectiv cu M şi D, iar pe cele n egative cu �[

generează, în raport cu clasa la care se aplică, o

şi fi vom avea următoarele situaţii : M D, M D, M D, :M D. Ele sînt simbolizate respectiv cu li terel e A, E, r, U. Ex em phficăm pe nt ru judecăţile de posibilitate. A : Este posibil p, E : Este posibil Nu este posibil p şi U : Nu este posibil p. Pentru necesar : A necesar p, E : Este necesar p, 1 .

p, (v. Echzpolenţa moda/elor )

CLASIFICAR&

KANL�.N.';'

Kant in Cn tica ra/lunii pure '

1

Cantdate Universale

Particulare Singulare

II

�at.4

AfrrmatIve �egative Infinite

Nu

este necesar

p,

A. , .tUDEdŢII OR,

III

R��!!:-

Categorice Ipote tice Disjt'nctive

IV

M?� Problematice

:\sertorice .\ poJ ictice

r.

1 Bste

U ' Nu este necesar

clasificare

dată

de


45

COMPENDIOLUM

UNIVERSAE LOGICIES

INSTITUTIONIS

Tabelul lui Kant a fost folosit pentru specu1aţli filosofice, intre alţii de către Hegel. Kant însuşi acorda o unportanţă deosebită c1aslficărU trihotomice. CIASIP��A�EA�NOnPN!l.!mL clasIficare dupl diferite criterii a noţiu­ ni'1Or: a} grad\d de generalitate (singulare, generale, categorii) ; b) rapor­ tul cu obiectul reflectat (concrete, abstracte, ideale) ; c) pozitive, negatiTe ; d) \ l de, nevide. (v. noţtunt stngulare, noltunt generale etc.). 4:1_ \SIFICAREA POLITOMICĂ POZIT!yĂ , clasificare a nnei mulţimi de e ntităţi in n clase (n > 2) astfel că toate clasele sînt pozItive (nn există clase formate prin simplă complementaritate) Sistemul de clasi­ fIcare din biologie este un exemplu de c. p. p. 4.0DO\IENIU

v.

domeniu, relatie, funcţie

COLIZIUNEA VARIABILELOR, SItuaţie a variabilelor în teoriile cuanti­ fIcate cînd apar într-o formulă fie atît cu intrări libere cît şi legate, fIe că una ŞI aceea.�1 intrare este legată de cuantori diferiţi.

CO�IPARAISON N'EST P.\S RAI S ON (fr.) , comparaţia nu este raţIUne ( = nu este argument) . (.OlfPARAŢIE, operaţie logică prin care stabIlIm notele comune �i notele diferenţiale unei mulţimi de noţiuni. Dacă c. se referă direct la obiecte, atuncI vorbim de stabilirea insuşirilor comune ŞI a Însuşirilor diferenţiale. Del;igur nu intotdeauna avem de a face dircct cu olliectele aşa mclt ('. se desfăşoară fie la nivelul observaţiei empirice, fie la nivelul noţiunilor. Pe baza Însuşirilor (resp. notelor) comune se produce abstractizarea şi resp. generalizarea. CQ.AIPENDIOLUM UNIVERS A� LOGICIES INSTlTUTlONIS, mic com­ pendiu de logică scris de D�nitrie Cantemir În jurul anului 1 700. Pri­ mul man.!!�l de logică SCriS de un român. pomnitor al Moldovei, Dimi­ trie Cantemir a fost cel mai mare savant dm estul Europei la incepu­ tul sec. 18, membru al Academiei din Berltn. Compendiul este format dm trei cărţi, fIecare carte constind din tratate ŞI fiecare tratat din capitole. Cartea 1 tratează despre definiţia logicii, probleme filosofice ale 10gicÎl, difer�.Jo::!��. . de tţrmeni:-Cîl�gQilile� .cartea.. a II-a conţinea studiul cate�riilor (substanţa, calitatea, cantitatea, relaţia, acţiunea, pătimirea, loc:§! şi timpul, aşezai,ţii 'il.§tarea) · şi iliomează cele cinci predicabile (gen , specie, diferenţ ă, accident şi propriu) ; iar cartea a III-a st':l4ill:ză.�C?gi�mur (dem6Îtstrativ, probabil ŞI sofiSttc ) . Logica este con­ cepută de D. Cantemir de pe poziţii raţionahste, ca .. lummă naturală" cu care se poate . . ajunge de la cele l11Îci la cele lUari, de la cele inferioare la ..c�le su perioare,.. -ae Ia cele de "pe plimIiitIă-cere-ain cer" ea este .. ��ţa:' �ţ!i�. LogIca studiază operaţiile intelectulUI (conceperea, com­ punerea sau di�lUnea ŞI vorbirea intelecttvă) . Obiectul logtcii este con­ stituit dl11 .. toate entităţile Întrucit cad sub co ncepte ŞI formează !>ublec­ tul metodelor ştiinţifice". EI cntJcă pe emp!riştt care descnu lucruri f:iră d le arăta cauza. Termep.1I si nt c;:lasihcaţi de. el după dIferite cn­ tt rii . Simpli şi complecşi, minJ;ili ş i Verbii�i. caţegor�D:1atici şi sincatego­ rematiCl, universali şi particulari, transcenden!llli, analogl şi uuivoci . Substanţa deşi se aplică individului ( = substanţa primă) nu este, atribut. A��ute sint propxJetăp,le (abstr�te). Astfel Oln nu este atribut albul este. Logic� tratează generalul.. stabijul din lucruri (nu schimbă_ tornI). Tet!!lenii transcendentali (F.iinţa, Unul, Actul, Potenţa, Adevă _ rut �I Falsui) sint deasuErd c ategoriilo r şi deşi nu au c�iiţiUU:t, con vin . oricărui conţinut Vocile (predicabilele) sint iuferioare categonilor. La


COMPLEMENTARE

clasificarea judecăţilor, după IUodahtate, distinge Între propoziţii nece­ sare proprii ( = definiţiile) şi necesare improprii. Clasificarea judecăţilor modale este după materie, nu după formă. Cantemir acceptă trei figuri ale silogismului precum ŞI modurile indirecte ale figurii 1 cu denumIri lUspirate de şcoala bizantină (M. Psellos) : Gramasi, Cesara, A mistl, Pareso, Llmenos. D m exemplele date se vede că particulara este exem­ plificată cu individuala Reţinem exemplul pentru J)arii ' Orice om este o esenţă Petru este om Petru este o esenţă

Despre universale CantemIr are o concepţie comple.-'Că, ele sint " denUlJl lrl

care arată un termen individual ", sînt în parte nedeterminate şi trans­ cendente, stabilite prin înţelegere comună, sînt in afara timpului ŞI nu se implinesc decit primind determinările mdividului Din deosebirea judecăţilor in "determinate " (ex Petru sau acest om este raţional) şi cele nedeterminate (omul este raţional) rezultă că termenii individuali ŞI cei universali, se opun ca determinat ŞI respectiv nedete1'minat El completează că termenul universal "este acela care înfrtţişează multe lucruri şi li se aplică , astfel termenul om îl cuprinde pe Socrate �i pe Platon " . Pe de altă parte cînd spune cl albeaţa arată albul (care m acest fel este individual) concep ţia sa se complică �I mai mult. Cantemir a simţit şubrezenia concepţiilor extreme ŞI pare a fI dont �ă. le e\ ite ( B ădărău, D., FilozofIa lui DimItrie CantemIr)

COlll'LElIENTARE, operaţie prin care pornmrl de la o mulţime X for­ n{ăm o altă mulţim ; notată cu X (sau C X) numită mulţime comp l< ­ mentară şi defiDltă astfel . X-= {xl ' fi, X} Se presupune că X este lu at Într-un univers U, astfel că U = X 1- 5( (unde + este excluderea ( \ ) ) Astfel dacă universul este cel .lI indivlzllor organicl, atunCI Non-Om \ a Prin e. divide lll f. .ue propnetatea de in­ dă clasa vidă . X n J[ = <li.

desemna clasa fiinţelor organice care nu sint oameni unh'ersul în două clase ( = dihotol1ua) X, X voluţie

X=

X Intersecţia dintre X 51

COMPLETITUDINE,

"\

proprietate a unUI sistem axiomatic sau a unei baze oper'ăliona1elcompletitudine funcţională) Există două feluri de deiiniţil semantică ŞI sintactică Se poate d a o definiţie generală seman­ tică dar definiţiile sintactice depind de natura sistemulUI Un Sistem logLc este semantic complet dacă ŞI nUUlai dacă axiomele şi reguJile sînt suficiente pentru a cuprmde in sistem once propoziţIe adevăraU care poate fi formulată În limbaJul sistemului. C. semantică. a sistelllL­ lor formale capătă un caracter special prin introducerea modelelor (sem an­ tice) . C. sintactică pentru sistemul formal (calculul logic) al teoriei func­ ţiilor de adevăr se defineşte in mal multe feluri D acă sistemul ar consta numai din propoziţii închise, nu şi forme de propoziţii atuncl e. S-dr defmi astfel : sistemul este complet dacă şi numaI dacă pentru Orice propoziţie sau propoziţia este teoremă sau negaţIa ei ( termenul teoremă este luat în sens larg) Or în calculul dat există şi forme care nu sint propOZiţii. 1 ) C. în sel!sul lut Post. Sistemul formal este complet dacă pentru orice formula A , san .1 este teoremă. sau anexarea lui A la sis­ tem duce la contradicţie. Legînd r. de necontradlcţie ea va fi relativi­ zată după această noţiune (v. necontradlcţte) . 2) Sistemul formal es te

complet relativ la o transformare care traduce fiecare formulă A într-o


47

CONFJRMARE

form ulă A ', dacă pentru orice formulă B, sau B este teoremă sau ane xarea lUI B la sIStemul de axiome duce la contradicţie in raport cu transformarea dată. (Formula A ' este din punct de vedere semantic negaţia lUI A) . 3) Sistemul fOrlnal e�te absolut romPlet dacă pentru orice formulă A , sau A este tt'oremă sau anexarea lUI .>1 la axiome transform;, loistemul în sistem absulut cuntradictoriu I v. necontradicţie absolută) . Sis­ temul formal al TFA este complet în toate trei sensurile Calculul predi­ catelor de ordinul unu nu este complet în sensurile 2) ŞI în alt sens pentru acest calcul .1 fost dată de K Godel (v teorema lm Godel des­ pre completitudine) . în legăturd cu teoria postulatelor (v ) A. Chllrch a dat două definiţii ale (' • . 1) Sistellllli postulatelor este complet relativ

3) C.

}/I dl!»JOJJsJnlbiJi!olt! vacă sistemul este complet reJath- Ja transformarea lui A în "1 Nu în toate cazurile p u tem avea asemenea c. (v leorema lui Gadel despre mcompletitudine) 2) Sistemul postulatelor este comPlel relatw la consecinţe dacă orice formulă ia pentru Orice modeI valoarea v (adevăr) sau v aloarea f (fals) . Anumite corelaţii pot fi stabllite intre categoricitatea sls/emuluz 'II c. (UlUrcb , A. IntroductMtl to lvlathemat!cal Logic) COMPHEHENSIUNE v extellSIUlle CONCEPT, 1. Termen smonilll cu noţiune (în logIca tradiţională) 2. Termen sinonim cu sens (in semantica logică, tntrodu� ue Church)

t.. O!\"C]�PTE DISPOZIŢIONALE, concepte care redau comportamentul modul de a reacţIona al) obiectelor In anumite condiţii (de ex. solubil, elastic, casabil) Dacă zahărul este scufundat În apă atuncI el se dizolvă, ceea ce în�eamnă cl el este dizolvabil in apl. Problema logică a e. d. este aceea a trecerii de l a experimentul punerea obiectuluI in auumite condiţii) 1.1 pyopyietatea generalii Cu alte cuvinte trebuie să avem garanţia că efectul �e explică exact prtn condiţiile indicate de nOI ŞI nu prin cine ştie ce factori ascunşi. CO�fEPT.: SINTACnCE, concepte uefillite pnn corelaţii pur formale, În opoziţie cu' semantice care sÎut definite prin interpretare ŞI modele semanfice. De ex., deftll1ţia p --+ q = p V q este o defllliţie sintactică a implicaţlel materiale , defmlţl a ' p Imphcă semautlc q = orice model al lUI P e�te model al lUI q este o defmiţie semantică. Ca urmare, în primul caL avem o Imphcaţle Sllltactlc:I, În al doilea o ImplI­ caţie semantică. CONCEPTUALI S\I v dut lnna umversaleloy

(=

singular

(=

'concePleTe

CONCLUZIE, propozl ţlC numite (v )

premise

(j ullecată) lllferat:i dm alte propozIţII (JudecăţI)

(.ONDITIE lVECt:SAIU , (sau c...Ot1d!ţte Sine qua non ) , conulţte fără de care ceva n u poate exista. în logica propoziţiilor ·(o. 11. se exprimă prlll

q =- p, unde p este c. n. a lUI q iar p este condiţIa suficientă (v ) a lui p . De ex., c. n. ca un triunghi s{t aibă 180" cste ca el să se afle mtr-un plan euclidian. C�N DITIE SUF ICIENT.Ă,_ condiţie ('are odată ce este realizata urmează cu necesitate Formal p este condiţia suficientă dacă p =- q. La rindul său q este condiţia necesară (v.) a lUI posibil ca una şi aceeaşI condiţie să fIe suficientă ŞI necesară, formal se reprezintă prin p = q În acest caz, p este c. s. şi pentru q (şi reciproc) .

altceva a lui q p Este ceea ce necesară

CO:\t< IIUIARE. Se spune despre o propoziţIe generală că este cOllftnnată ori de cîte ori se indică un caz pentru care predicatul (relaţia) el are loc. Fie '<Ix (P(x) --+ Q(x» . Dacă pentru x. are loc funcţia P(x) -+ Q(x)


CONJUNCŢIA

RELATIILOR

49

atunci vom spune că "Ix (P(x) -+ Q(x» es te confirmată de x •. Realizace a lui P (x) -+ Q(x) de către XI< se v a numi confirmare a lui "Ix (P(x) -+ Q(x» de către Xi' (v. şi ipotezd) . Confirmarea nu este încă demonstraţie. CONJUNCŢIA RELAŢIILOR (intersecţia relaţiilor), relaţie compusă R Q (sau x(R Q) y) definită astfel ; x(R Q)y = X Ry & x (Qy) (DeflUiţia este limitată aci la relaţiile binare). Exemplu. X este frate cu y şi x este mBl în virstă ca y. C. r. este comut at ivă şi asociatIvă CONIUNCŢIE, termen prin care in logică, desemnăm : a) particula Ş!, b) propoziţiile de forma " p şi q", cl' fnncţia de adevăr a c. d) operato­ rul c. (&) Ş.a. în limbajul logic se simbolizează în diferite felnri : & , o A , n . Propoziţia de formă conjnnctivă exprilllă c . unor s tăn de fapt între care se presupune că există o anumită legătură (nu neapi!.rat ne ­ cesară) . Astfel, "plouă şi Îmi iau umbrela", "tuuă şi fulgeril. ... .. 2 X 3 = = 6 şi 6 - 3 = 3" sînt propoziţii conjunctive. O c. poate fi formată din două sau mal multe propoziţu în mod abstract se mtroduc şi c. VIde (cu nici un membru), e. unare (cu un singur membru) ŞI c. infinite (SimbolIZate de regulă prin

co

Il

PI) . C. cu

11

membri sînt simboh�ate

. -1

P, & Pa & . . . & Pn· Aşa cum "propoziţia in sens log i C" nu se confund:i cn "propoziţia în sens gramatical " nici c. nu se confundă cu propoziţia conjunctivă din gramatică. Propoziţia conjunctivă, în sens gramatical, nu !mPlme condiţii de sens conjugării de propoziţii, ele pot fi U1l1te arbitrar. De ex., ,,2 x 2 = 4 şi afară plouă" este o e. admisă in gra­ matică, din punct de vedere logic ea este un non-sens. Adăugăm insă că este dificil de precizat care sînt condIţiile de sens ale c. C. este asociati­ vă : (P, & P.) & Pa _ P , & (Pa & P.). în logica propoziţiilor se admite că ea este şi comntativă (PI & Pa ) -=> (Pa & P ,), însă exist ă exemple care se abat de la această lege. De ex , "X adormi şi visă un balaur" inversată nu are sens : "X visă un balaur şi adormi". în legaturii. cu raportul de valoare dmtre membrÎ1 c. ŞI c. avem următoarele legi ' a) dacii .. P ŞI q " este adevărată atun ci "P" este adevărată şi "q" este adevărată, simbolic : v ( "P & q")

v ("P & q")

V ("P & q")

==> =-

Ve P")

V ( "q") V( ..P") &:: V( .. q")

b) dacă "P şi q " este falsă atunci cel PUţlU una dm dou;;' este falsă, simbolic :

F ("P & q")

=-

F("P") V F("q")

c) dacă cel puţm o componentă este falsă atnnci rată. simbolic :

F ("P ") F ( "q " )

==-

c.

(.,p"

sau , q ' )

nu poate fi adevă­

V ( "P & q") V ("P & q" )

Acestea sin t legt ale c. zntu!twe ( = cu sens) şi n u trebuie cOllfundate cu legile funcţiei de adevăr, chiar dacă între cele două eXLstă o legă­ tnră strînsă.


COl\"�ECVI:NT

SIMPLU

I:Vldent că pot fi formulate şi legI corespunzătoare pentru c. stărilor de lapt. Despre stănle de fapt putem spune c.:l "au loc" sau "nu au loc". Putem in conformitate cu terminologia lui Russell să distingem "stăn de fapt atomare" ŞI "stăn de fapt moleculare". Stările de fapt moleculare sint agregate de stări atomare. Dacă notăm stănle de fapt atuncI şi propoziţiile corespunzătoare cu P [ oo ), P [� ) , ' " c u 00. li, y. putem �c n e P[ClJ == rY (" a afirma P [ox ] " ÎnseamnJ. c.:l 00 are loc) ;

P [<% j

== i

( , a nega

P[O' J"

Înseamnă că. IX 11/1

P lOO & �) == 00 & li P(oo V �) == 00 V (3 V("P[oo)") == p [<%] F ( .. P [oo)" )

==

==

are loc")

00

P [o:; ;; �

(.. P03.t� fI apOI folo!>IU pentru proprietăţI : P & Q În lUllbajul n atural uu rol de r. îl are juxtapunere..l PQ (de ex. , animal raţional) . 51mboltc PQ(x) = PIx) & Q(x). Totuşi J uxtapunerea deşi conţine conjuncţia n u s e r,"dud' d e regulă l a LOnjuncţie fiind mai degrabă o specifIcaţie (al doilea predicat specifică p e pnmnl) între indivizi conj uncţIa poate fI folosi t i pentru " m,>umarea mdlvizilor" Ion este sportiv �I Gheorghe

e�te sportiv şi Constantlll e�te sportiv =- Ion şi Gheorghe şi Constantlll Slllt sportid. în loc ul IUdl\·izllor putem însuma clase : Caninele sint ma­ mifere )1 feIinele sînt Illanufere ;; canlllele ŞI felinele sînt tnamifere în fine c. relaţiilor lIU e�te deCIt un caz particular de c. a stărilor de fapt­ deCI c. d e st4n de fapt rl latiol1(Jle Un anumit rol loacd c. în silogistică în judecăţtle de forma S este P, şi P2• Pentrn cele universale avem legea T S sint P, şi p. ;; T S sînt P, şi rs sînt p•. O lege core spun­ z;ltoare pentru j udecăţile particulare ca "Unii S sînt PI �i p. == Unii .') �i n t P, ŞI unii :, "înt P," lIU .Irt! loc, CdCI e!>te po�ibil ca uuii S sl flc 1', dar nu ŞI p•• alţI 5 să fic P, De ex . • unele numere sînt pare ŞI un d e (alte) numere siut Im pare. dar nu eXIstă numere care să aibă simultan cele două proprtetăţl

CON OTATIE, termen introdus de J S )Itll în lucrarea System of LogIC peutru a deselnna în!eles/Il nU/ u elor generale. spre deosebire de denota. I.le . ..t�divizii la care �e aplică termenul general) . Dacă admite ' penfftC numele individuale că sint semne p entr u IndIViZI (denotă indivizi) , MiU nu este de acord c.:l numele g en e ral e s ar reduce la atît (că diferenţa faţă de cele individuale ar fi doar lle pluralitate) . în c. sint implicate dtribute ale lucrurilor. în acest fel �[i1l &e deliuuta de nOlnlnalisti. C• .1re priO rI ta te faţă de denotaţie Kncale consideră cl denotaţia �ores­ pllude cu cee a ce medievalii înţelegeau prin suppositio personalls. iar ('. cu significatlo Pentm ?vIill rămine totUŞI deschisă problema denotăriz de către numele generale căci el desparte rtfl'ril!ttt (numelor individuale) de aPlicare (in cazul numelor generale) . Prin int rodu c erea 1'. �[ill nn a scăpat de dificultatea că numele generale ..In o 1Ilultiplicitat, de denotaţii CO NSEC\"ENT (în TFA ) . fun cţie .) În raport CII o funcţIe 9, !>dtIsface condiţia că. pentru orice alegere de valori care li;, \ aloarea fals pentru Y. cP l a valoarea fals ( L şi Implicallt) . C.O NSECVENT SIMPLU, orice exp resi e y e�te c. �. :ll uneI ex pres ii ? dacă şi numai dacă : a) 'f este consecvent al lUI 'Jl ( \ . cun" ,'cvenl) . LI y are formă de sumă logică elementară ( = diSjuncţie primă) Ş I C) nICI o parte strictă. a acestet sume elementare nn este COnscc\'eut al expresiei 'P'


CONSEQUENTIA

50

��\i.DTIt\.

este

termen în logica romană �i medievală al cănu înţeles cu aproximaţie acela de_conchtdere logică (mferenţă, propoziţie mfe­

renţiaIă). Anumite fluctuaţii de inţeles vor rdeşi

tratarea concretă.

din

Germenii teoriei despre ('. apar încă in Topica lui Aristotel Termenul ('. a fost introdu� de Boeţiu ca traăucere a unor cuvinte greceştI. Sensul e!>te "decurgere dlll " Roeţill împarte cOl1chiderile în e. n a u a e (fie cind LOndiţionala se creeazd. din po.dţia termenilor, fie cind condiţionaln e�te

l r

necesară, ca În cazul legăturii cauzale) 5i in 1'. seclI1ldum acczdens (de ex . , Cum igms calidus sit, coelum rotllndu1l1 <st") Abelard ocupÎDdu·se

de ('. o inţelege altfel decît Boeţiu, anume ca enunţ despre conexiuni nece­

sare

( necesilas rOllscqulion'ts)

Iiie-'5iilt

adevărate

inferenţe prenllsele &Illt �uficlente pentru

ab acte'Y1W

tragerea conclullel,

în unele

in altde

ne\'OIe de adăoglri rx l erum natura (de ex , ';! Socl ates (si homo, < s i ani mal) P ..!!!.tr� Abelard conţinutul unt'l r. JlfCeSSttas consUa în fap­ e

tul că antecedentl1l conţine

fi

stabilit

il1lrillSf'C

conseeventul (de ex".

Si tst homo,

Dacă I1U acesta este cazul atunci anevărul propOZiţiei poate numaI pe baza cunoaşterit naturii particulare a termemlor

est animal")

(de ex . . . �1, pate/nlIas I si, fi1iafio est") Se pare că e vorba de inferenţ,1 formală (ca în silogism u l aristotelic) 5i inferenţa care depinde de natura faptelor, dar exemplele lUI Abelard nu par potrh'ite. Pseudo-ScolitI> stu­

diază ŞI el I'. Acestea sm t propoziţii condiţionale corespunzătoare "ilogis­ melor aristoteliee, chiar cind al! mai mult de o premisă, El cla�ifk;; c'. astfel

(v

l\ueale

Dezt'vltal'ea logicii)

lonsequenha

I

I

I

�----------�------- - --- --

materialis

rormah� CUltI' anteecdt'll"

est ulla proposi­ categorica tio

(conversia, ac­ quipollentia etc )

eulU� antecellL1us

est propositlO hy­

pothetica

(�y ­

lIogismu' L tL )

l u eAcepţla ultunnllll

caz

bona ut nune.

bona sllu phclter I multa membr"

�ecllndn1l1 \ ersitatem corum coru11l)

0,110-

dialectJ­

d.lslflcare,. "e a"eam:,nă cu a lUI

A beldTfl, t eea fo.!-�"f. il$

te �e poate H '(\ea din (kftniţii (ciad tt'rIlu nologia dIferă) . Astf!i.(:.•

t'�te sau up. raţionament perfect sau o propoziţIe condiţIOnală corespun­ ln ce priveşte ('. maieJ'ialis brlla simpliciter este SdU lllfert>n ţ', Imperfectă sau propoziţie condiţională corespundltoare adevărată in vir­ z1\toare

tutea lllţelesulUl termenilor (gratia tcrminorum) L mataialis poate fi redusă 1,1 una formală (perfectă ) prlll adăugarea unei - premise suplimt>Ji': tare. Bx, Homo c //I'rit, tgitur animal cunit devine completă prin supli­ mentarea Cll (),ll11i, homo esl animal (Raţionalllentul llllperfect It-nttme­

malle)

pre,upullc " premis'l neexpruuată)

Dac;, a\ el\i

"bona

slJlJpiici­

ter ' adăugăm o premisă m ccsur,j (ca ÎII exemplul de llU\l sus) , d acă avem una "bona ut nunc" (bl!lI:\ in prezt'nt) ad:\ugălll o premisă cor.tingent:i ,' a in exemplul , , �o('rates currtt, Igitur album curit" care e valabIlă {"nnal prtn .mexarca premisel " Soeratef> est A l hu," Auelard .listingea

Între

uu

ut

adevăr

III

general

şi adevăr contingent ( \'er"

ut

nune)

(=

la

tuup ddt) . l'seudo'ocotu!> adaugil ca noutate ('. 1lIaterial1.s bona nunc r:xpreslol "bona nunc" se opune l UI "bona simplieiter" ca

adt:\'ărul

contingent

faţă

ut

dc

ade"ărul

In

general

(necesar)

P�"udo-


eO:-iSEQUJ::NTIA SC()tu� d .l propnetăţlle paradoxale lel{ate de adevărul şi falsul pentru ". Reţ\1lem termenii <.lecurgcformalitcr (bau gro/la formae) şi uecurge sim­ phciter La Pseudo-Scotus cOIlchideriie materiale sînt argumente imper­ fecte. Or "bona simpliciter" e�te perfect validă Dlmpotrivl, c. mater i a ­ lis /)(1"" ut ?/Une este ituperfect.1, deoarece conclu7ia nu decurge exclusIv om prell1 i"ele exprunate Iutroducerea acesteia presupune extinderea sensului pentru c. Pseudo Scotus indică trei moduri de a trata " alidi­ tate .. , .. nch idertl, modun pe carc le combate prin contraexemple Conclu­ zia sa că adevărul unui raţIOnament sU În re/aţl a de conţinut a propo­ ziţiilor �I Ull în relaţz a dintre tlalonle logh e este cea Illai importantă (şi evident 'lcceptabilă) . AcelaşI lucru î l su�ţi\le ŞI Buridan Ockham în Summa Totius Logice se ocup:, şi el de c. Pentru ei cOllchlderile �int entmleme Ele sînt simpltces ( adevdrate tlră raportare la un hmp dat) ŞI ut ?' tllll (adevlrate relahv la tllupul d.1t) ApOI, el (hstmge Între con­ r hldt'Y1 l' ', labile per Iwdla in/Yl1lSeCa ŞI per med t a exil inseca Prima conţine termenii concluziei De ex. : "Socrate nu aleargă, prin urmare, un om IIU aleargtl " , este valabilă prin medium " Socrate este un om". A uoua pre�u!,:1!lt· " regull generală. De ex. "XlImal un om este un asin, aşa <:ii ori,.. " a�ill este om " presupl'ne ' .. () propoziţie afirmath',l exclusivă ,·"te i:" gic; echin,kutu LU o propoziţiL universal afirmath'ă cu termeni inversaţi Silogibtnt'ie sînt .. alaiJlI" per lIledi,1 extrinseca De,!1 Illai puţin evident ,;>1 cele pnn mediI/III iiltrillSeCU11l �Iut astfel valabile Ele cores­ pund (u distincţia i11lperfel t-perfeet (v . 1 I,elau{) , dar Ockham Ultil că. era vorba numai de entimeme. A trel'} distincţie este Între conc/liderile formale (1'. jormalis) ŞI cele mataiale (t'. t/latfrialio) Ockha1l1 diferă de Pseudo Scotus deoarece include pe Iingrl (ouch iderile valabile per m ed l u ex/rm>eca (în virtutea formei propoziţiilor) ŞI pe cele valabtle direct per tlu'dizlIIl illtrinsec // /il şi mdil'ect per medwm n :trinsecum (non) res­ PUtetI,'; conditiol1" S i;l,/",ya!t's PYtl?vsitiollUnl, scilicft verUatelll, falsltatftn, nec,'ss!latem, illlpvssibilitatnn în ce pri,'e�te e. mateYlalls ea ebte .. alabit:1 pral Cl , , ratlone term morll"l el nvn :"a /l o n e allcltllts medii et:/rtnsecz (twn) resp'ol'NI!U pra eo l s � get/Cl lIles , o ndittom s Py<'po>iti,m,wl. (Exemplele sînt parad, »)mle "Cn Olll akargă, aşa c.1 Dumnezeu există", Un om este asin, a�a cl Dumuezeu nu existi, ' Cele formule sînt de colteXtune neces a ra (Abelard) , iar lele material.. sint "paradoxale ' EI dd apOi proprietăţile conclnderiioL IZalph !->trode distinge numaI 1l1tre wn­ chiderile formale şi celc matenale Conclnderea form ală conţine, 111 plu�, faţă de cea materială o relape de �en� (de inţelegere) De ex. "dacii C1l1cva înţelege c,I tu eşti om , el înţelege că tu eşti ani­ lll.1I". De aci, orice conchidere formală c�te ŞI material:!, dar uu şi reci­ proel Exemple de conchidere exclusiv lllaterial{1 (rnataialis t a ntum ) . .. Un OU! este un asin, a'j3 că lIU baston e�te aşezat in colţ" Strode . . Ignoră complet noţiunea de forllld îl[ sen, pur logic şi introduce În locul el noţiunea de Îuţeles" (Knealt ) l n lIlod apropiat <lt' tratare se găscşte la Ferrybndge P.ml dll\ Pcrgo].t a dat următorul t" hel l,cu lru 1.". (In el se ţiue ';(':\111.1 lle " hscn aţiile 1 [ [ [ O l k h .1l1l 'Ii !->trodc) 1 -- L On,;e'luentl.l j

1 I 1 -- Mlllpliciter-I ut llllll< -- forrnalis m atenalis tantU1l1 I I de forma dc materia --- bona

maia


CO,,"SI:QUENTIA MIRADILIS

52

luat in sensul lui Strode. Mu1te dIn proprietăţile de concJl1deYllor sh,diate astăzI se găsesc In logica medie­ \- ală. Unele sînt mspirat e de Aristotel , Stoici ŞI Boeţiu altele sint for­ I!lulate de ei. Regulile lui de Morgan se găse s c la Ockham. Abelard formu­ lează regulile modale Np _ P şi P _ Pp, Petrus Hlspanus formnlează regulile Np :; Pp , Pp :; Np, Psendo- Sco t us formulează "paradoxele Implicaţi el" re l ativ la valorile logice, contradicţie şi modalităţi. Ockham condensează regul ile intr-o listă de I l R em arc ăm modnl exact in care dă regul a (2) " Adev ăru l poate decurge dm fals " spre deosebire de modul eronat În care e dat de unii logiciem con temporan i "adevărul decurge dm fals" O formă frumoasă are tranzitivltatea Implicaţiei " Once decurge (bn con secv ent, decurge dm antec e de n t". Dăm in formă simbolică regulile 8) şi (9) pen tru modali tate (.Vp _ Cp) , ( PP _ 1P) L'ltimele doud reguh contra \ In "pa radoxelor modalităţii " . din Imposibil nu decurge nUnlC , necesarul nu decurge dm nimic altceva. Ockham nu le consideră regulI formale. ACI deri"ării trebllle să I se acorde alt sen!> LONSEQUENTIA lIlRABILlS, denUlDlre dată, În rena5tere, raţlonamen­ tului după care .. oClce -.l>ropo� i ţie c.are �te Î,mp h(;: at ă d(!.p��� :-a ne­ gaţie este adevărată". raţ ion-amen t u l îşi are originea la stoici ŞI în form a sa-ce �ni.�! _�ip'lidtăel api\r�_.ru!1fer: u;,Dacă priml.lJ, aturici' pflmul , dacd n u primul atunci pnmul , prin urmare, pnmul " . Aristotel a fo lo sIt el însuşI schema în lucrarea sa PI'OtI'CptICUS. A ri stot el a vru t să demonstrne că .. este necesar �ă st ud iem filosofia" ŞI a raţionat astfel ' .. Sau trebtue să filo sofă m sau nu trebuie să filosof ăm. Dad, trebu ie , atunci trebuie. Dacă nu trebuie să filoso făm atunci de asemenea trebUIe (pent ru a justi­ fica această con cepţie) Prin urmare, in orice caz trebnie să filosofăm". Platon \1tiliza�e 51 d o varian tă In combaterea relativism ului lui ProtaAci "formahs" e ad e\":ir ŞI regulIle

gora�

FOrlll,\ C(·.l lllai ,'11'� cI' nt,', ,.:j

Îl p u t e m Mlllu!'liza d�tfel

1--1

A sau

.I

- A .1

A _ -l

.1 -. 1 .1 V 1

('O�SISTENT.'\ . proprIetate a ultor Illulţuni de t'Xpresli (termel1l, propo­ ziŢil,"iOrlllule), in SP"FI mulţIme de axiome. P�ntru fornmle coincide cu l ealizabilit.fI!.!!....J3!J. Pentru sisteme (It. expct'sii coinc ide cu proprietat�a ae l1econtradic(ic (v.) Există UI1 singur caz in care termenul (o. Lste de preierat terlllenului de IlccoJl[yadlcţie ŞI anume in cazul logicii pozilzve (v.) c.:O:\!otT \VI' '\ , (san <mlJ! CliIls/{/III) , seIlln a c:irul !>ellllliiicaţle este deter­ lJun at;" �pre ueose!)!re d e t l1/ l alJlIă (v.) . De e� , �el1111l'1e cifnce �îl1t COIl ­ stante \ , ,0", , , 1 " .. :!" etc.) D eterm in are a �emnificaţiei se f"cI: prin utilizare, CUlII se proct',lează c e l mai adesea ÎI1 limbajul n atu ral , Sdtl prin definiţie şi utilizare ca In limbajele formalizate (şi, In genere , In limba­ Jele ştiinţelor) Semnele constante pot fI ter1llem sau oper atori sau sem ne auxi li a re (u sem Il) . în u ne l e limbaje logIce existi't nUlllai termem v ana­ b ili , con!>tantele fiind operatoriI 5i sem n ele auxiliare. f. logice sînt În ace�t


CONSTRUC'l'IVISM

53

caz ioar operatorii logic i ( - , & , v , --+, '1/, 3 etc.) . Există ŞI sisteme lo­ gice în care se introduc e. obltctuale, de ex., Church intr odu ce termenul f (f als) in sistem ul săn axiomatic pentru logica propoziţiilor. tn aritme­ tica teoretică se introduce cel puţin o constantă n um eri c ă (zero) . Pe lîngl semnele e. obişnui te, aşa cum le-am prezentat mal sus, există încă semne ('. determinate numai pnn funcţia lor sintac tică (formală). Ac este a .. ţin locul" de e. din pu nct de vedere semantIc Astfel, sint literele a, b, C În ttpresia matematIcă ax -,- b = c. Se presupune că a, b, c sint numere date în opoziţie cu � care este ne c u nosc ut. Semne analoage SÎnt utilizate în teona structurilor, cu de�ebirea că ele .. ţin locul de constantă", pentru once valoare corespunzătoare din sistemele c oncrete care satisfac structura. Exemple de astfel de "con stante " �înt semnele pen tm ele­ mentele �utre în struc tun e algebrice, semnele pentru operaţll Şl relaţIi cum sint re spec tIv r, * , = în formula a * e = e * a � a. în Ciud a aparenţei, semnul ,, = " este şi el o as tfel de e., el desemnind o relaţle de echivalenJă ŞI nu egalitatea La rîndul său , ariabila " a " este deschisă diferitelor sisteme de semnificaţie. Formu lel e de acest gen nu sînt legl, în sensul strict al cuvîntului, ci forme de leg' î n fine, eXlSU şi un al treilea gen de e. anume e. cu semnifica/te degenerată. C a rac te ristic a lor constă in faptul că ele sînt manipulate în conformitate cu reg ulile S111 -

O

l

tactic e dl1ltr-un limbaj L, d a r au semnificaţii <lin alt limbaJ II. (Analog se comport ă in acest Caz , ariabilele co respun z ătoare Astfel stau lucrurile

în c azul utilizării curelor pentru şi ,, 1 " pen tru adevăr) Semnele mo d corespunzător.

)

valorile logice (d e e'C "O" pen tru fals " - , X , < , �" , ..;; se comportă în

CONSTA�TE LOGICE l:\' Lll\IBAJUL XATlJUAL, cuvmte corespunză­ toare operaţiilor sau relaţillor logice A�tfel, "nu"," "ş i ", "sau", "dacă atunci ", " dac ă şi numai dacă", "pentru once , " există (cel puţm un) ", " toţi , "unii " , .. posibil", "contingent", "llece�ar". în maJoritatea lor aceste cuvinte nu sînt de flllite UDlVOC 5i in fu ncţ ie de definiţia lor sistemul logic de gîndire poate lua o formă sau alta Coml<lerlnd con­ stan lel e " n u", .. şi " , "sau ', "dacă . atunci' , "dacă şi llumat <lacă" ele pot ave 1 s e nsu r i mai larg� sau maI restrînse, se pot refen la stă., de fapt (v.), la Pl opoziţii (judecăţi) . Ia f1ll1cţi� de adevăr, la re/aţiz logice de diferite grade de abstracţie, l a compunerefl de l Xpresit IOglet' sau pot sluji la citirea de semne dIn simbo lismul logic De ex., sau poate exprima disjuncţia (exc lusiv ;). on neexclnsivă), apoi d�sjuncţl.a stărilOl de fapt sau dzsjuncţia ca flttlcţze de adevăI . El poate fi <lefinit in r aport cu rolul său sintactic de a form a propoziţu compuse L, P sau q") sau pentru a C iti simbolul V ( p V q " ) . Const antele logice (indIcate) nu alt chiar " sem nificaţie Independentă, ci in contextul altor expresii (de ex . , .. p sau q"). Prin urmare este mutiI să facem afirmaţii despre ele mainte de a le determina contextul de utilizare (v.) CONSTRUCTIVISlI, vanantă a !I1/uiţwnISIl/i,ZIII logtco-matematlc (v.) el aborat ă în D.R S.S. de şcoala hu A. A. Markov. (în unele cazuri ter­ menul este luat ca sinonim cu "intulţion1&mul l og lco-matem a t lc ' l . a) Pentru cons tru ctiviş tl este fu nda me nt al :! noţIUnea de algoritm (, . ) b) Existenţa obIectului m ate mattc = con strucţie potenţial realizabil:!. c) !l1arkov respinge principiile Idealiste ale intuiţiomslUului. dar mtroduce Ideea că. ş tii n ţ a este "formă a activităţii sociale" (discutabilă m sensu l că e scoasă din contextul filosofic materiali"t (balcctic) . d) Re&pin gind terţul exchs l'lark ov admite pentru unele c.lzuri raţionamentul prm absurd e) Adevărul este identificat cu venfuat ca adevărat


( ONTEXT

EXTENSlONAL

54

EXl'E:\SIO�.\J" termen introdus de R. l'arnap pentru ,t mar<.a nn context raportat la intersubstituţia unei componente l'1I alta. Este deosebit de contextul inteHs,onal (v.) . Definiţia se dă în trei etape ' aJ Lxpresia A j este e xtc11slO1lală relativ la o anumtlii m trare a lUI A j 111 A , (din �) dacă şi numai dacă intrarea respectivă este mtersubstituibilă cu (> expresie echivalentă cn A, (in 5) , b) Expresia A . este: c;\,tmsionalll în � dacă şi nllmai dacă A, este extensională relativ la o intrare oarecare a unUl designator oarecare in A I (din Si . c) Sistemul "elllantIc 5 e�te <' Xll'll s wna l dacă Ş I numm dacă orice propoziţie in S este cxtensională, III cazul că respecth'ele condiţii nu sint satisfăcute vom vorbi de context lIt'c'xlri!5u,nal (deosebit de cel intensional ) . Exemple Orice e:>.presie lllO­ lu:ulară dill logica funcţiilor de adevăr este extensională relativ 1.1 C01l1ponentele 'iale (de e" "p V q" relativ la "p" Şi " q") l:xpre"la ,\,p ( un,le ,\ ",te �"11l11 pentru tncesar) . este neextenslOnal C II pnvile l a p ( 0\ 1 1.:\.'1' I'Tl�;\ !'oo I O\.\I" termen mtrodus de R, Caruap pentru a de­ �enma o expresie (un designator) sau un sistem în raport cu L-intl Ysubsti­ lutlLl (c ) unei expresii care intră in expresia primă sau În sbtemul con­ siderat (\' <-olll('xl) , Termenul mtensional se opune !tu (' '(te nsI O na l ( v, context ('XlrJ/slOllal) ŞI este deosebit de neextensional (v context rx/i'nsional), Definiţia e. i. 1." dă m trei etape ; a) ExpreSIa A , est<! wlcnSlu/lalll rdarlt 1" o am/mită tntrare a lUi A J 111 A , (din S) dacă ŞI numai dacă A i 1111 este extenslOnal CII pn v lre la mtrarea respeetivtl a lm 4 j În � , şi aceastii m(rale a Im A J î n A . este L - intersubstlhubilă ( \ elI) <.11 oricare expresie L-echivalentc' (v ) cu .'l J (în 5), b) Expresia A i este I �lt<'lI ' I ,) /l�Iă in !:> dacă şi nUUlnl d � ă relativ la oric � intrar" ii un:\i d L ­ slgnator 111 A / ' A I este sau extenslOnală sau 1I1tenslOnall\ S I este mteu­ siollala relativ la cel putm o intrare a unui designator c) Sbtellllli semantIc 5 este Intens,onal dacl ŞI numai dacă orice propoziţie 11I .') eite �au extensională sali mtensională şi cel puţin una e,tl> mtensionalJ. I:.xcmplu " .V (P V P)" este llltensionall cu pnviie la , t V Ji" (ACI .Y este semn pentrn "uece'iar") • U"tr' GE:'IiT. calificath' \llOual al stărilor de f..tpt SaU al propoziţitloL :--c hclile ' " este contingent pOl �au " este contingent (să fie adevărat) f' ' RelatÎ\ la stările de fapt �e defineşte prin eXistă condiţii S{t îi" _\ Ş I există condiţii si't nu fIe .\ Formal este def1l11t fte ca lIo/l t'c'sar ( ,l1U este necesar să fie P"). fie ca posibilitatt bilaterală ("este posibil 1� )\ este pO'lbtl non,p") Se fol<Jsef)tc �i ( a "lUOllilll cu "întimFl:lt01 l\1 CO�!,H.UHlT�O t� Al>J.�m> (lat "contradicţie în <..eea ce �e ,Idaugrl" ) , "pătrat Il)­ contradicţIe in termeni, adic;)' între termenii juxtapuşi (e"l: tund" "S ! �t apolit�(' ) , în vorbirea populară există expresii care ,int numai In mod aparent contradicţii lD termem, <le ex , IJUn rflU , tare slab " , Astfel ,le expresii sint modalităţI de a expnmd oarecnm para­ doxal superlativul (,Ol\TRADI(;TIO I� �l R,JH:TO (lat "contradleţie în snhlelt' ) <.untra­ ' ' : dicţie -aflată în tellla �i.iP-;; �f,di scuţiel, eroare 'de'logică, m,'ex , ,1 dIscuta despre caracterul apolitic al l>tatului este o contradicţIe în temă (;O:\TRADICŢIE D IALEGflC\ , tendinţă de anihIlare reciproc.1 a feno meiieror-ciilătîincOntriiilt:lr. l presupune a) existenţa laturilor contra­ rii şi bJ dinamismul (procesul) de negare reciprocă în procesul de ani, hilare sînt negate (suprimate) dIferite determinaţii. ContradicţIa este antdgomcJ: dacl I1e�area)nerge pină) a proprietăţi:esenţlale fenomenelor. altfel este neantagonică Formal contradicţia este indicată prin cuplurile

('O�T(;:\.T


CONTRADIC ' lE

55

FOR\\IALA

de contrani care sînt antrenate În dinamlsm (de ex

atracţie - respin­ gere, forţă centrifugă - forţă centnpetă, burghezie - proletanat) în 1II0d complet, contradicţia este descrisă prin multiplele manifestărI con­ crete pe care lupta dintre contrarii le ia Aceste contradicţii ţin de natura sistemului sau sînt vremelnice. Existenţa sistemului depinde de capacI­ tatea lui de a menţine echilibrul contrariilor, de a rezolva ('ont radic­ ţ iile, de a Innita acţiunea lor la nn nivel care nu afectează natura sis­ temulUi Sistemul este restructurat trecîndu-se la unul de o calitate deo­ sebită cînd contradicţiile nu mal pot fi rezolvate cu mijloacele de care

dispune În societate, contradicţiile �Înt raportate la acţiunea umană şi ele Iau forme « soclo-dinamice ,) sau «psiho-dillanllce . - anilulare de mterese (individuale, de grup), de stări �i poziţii, de sentImente ŞI con­ vmgeri. Problema care interesează logica este raportul Între (' . Il. ŞI cele logic-formale (Ii. contradicţze f01'mală) . L'ontradicţiile formale ţin de form a cunoaştem dar ŞI ele se mscriu în cnplurI de contram ŞI sîn t generate de anumite condiţii subiectn e sau obledive ( = mdependente <le ,'oiuţa mdividulUl) . Sub raport dld.lectic, ele pot deterrruna btăn de tensiune în interiorul individulUI Sau Între mdivizi. I.ogica formală nil se inte­ resează de acest aspect, el ţme de dialectica cunoaşterii Ne mteresează raportul dintre contradIcţia dialectică şi cea formală la nivelul reflec­ Iării. Condiţia fundamentală a oricărei refiectăn este de a fi logic necon­

tradictorie, de a respecta principiul necontradicţiei. Or ice contradicţie trebuie sol fie reflectată necontradictoriu formal Teoria contradicţiilor trebuie sl fie ea însăşi formal necontradlctorie bxistă propoziţii care sînt aparent contradictorii formal . "orice corp este in aceld.Ş1 tunp În IDlşcare ŞI repaus ( = nu este în mişcare) " Aceasta este Însă o propo­ ziţie deschisă (v.) , eliptică şi imedIat ce o precizăm mdicînd sub ce ra­ port se află corpni În mişcare d lcţia aparentă dispare

�I sub ce raport se află în repaus , cuntra­

CONTRADICŢIE FORl\IAL.\.

contradicţia între tlOU:L propoziţii dmtre sau implicitd a celeilalte A�tfel, propo-

c ăre una este negaţia

expllcită

ziţiile ,,2 > [" �I , , 2 ;> [ " smt contradlctoru 1U mod explicit, tar propu­ ziţiile ,,2 '> Ş1 ,,2 .;;; 1 " sint contradictom Implicit Contradicţi,. poate fi făcut:l explicită prin IUdicarea unei.l <lin t"chiv alenţele '

1"

2 <; 1 = 2 > 1

fi .

în logica propoZiţiilor poate fi reprezentaU �lll1plll pnn p .x p sau p = Orice negare a unei t.lUtologii este contradicţie Deoarece dintr-u " . f se pot deduce atit propoziţii adevărate cit 7i false noi sîntem interesaţi În �tudiul e. f. în vederea eliminării lor din contextul in care apar. în funcţie de complexitatea lor avem lUai lUulte tipun <le e. f. a) COI1tradicţii Simple (cum sint cele indicate m ai SIIS ) , b) contradicţii pro­ venite dm nedetermmarea limbajulUI (de ex . , aparenta contradicţie mtre geometria euclidiană ŞI geometriile neeuclidiene) , e) antocontradicţu (de ex., "toate propoziţiile sînt false") , d) anti nolllii, paradoxe (v.) . �Iijloacele de a le elimina dmtr-un context diferă in funcţie de compleXitatea lor. t.. f. trebuie deo&ebită de o altă formă de opoziţie formală - CO>l!rane­ tatea (v ) . L f. este implicată de contranetate, dar reciproca nu este, în gt'neral, adevărată. De ex. ; " Toţ i oallll'nii sint sportivi" ŞI .. ::-lici un 0111 nu e !>portiv" i mphcă contradicţIa ,,"Cnii oameni sint �portivi " '11 , , ::\:icl lin 01\1 nu e sportiv" sau contradicţia " c nii oamem nu sînt spor-


5(,

c o "rRAPOZl rlE

tiVI" ŞI " Toţ i oamenii sint sporti d". Nu putem trece insl de la .. Pnii o amem sint sportivi " şi , ,:Nil ! un om nn e sportiv" la "TOţi o ame n ii sint sportivi" ŞI "Nic i IIU olll nu e sportiv".

t.:Ol\TRAPOZIŢIE, 1. O peraţIe complexă bazată pe co nversi une , ob­ � erSlUne şi eventual dubla negaţie, 2. Inferenţă lOgic v alidă ba7at:l pe c on tr apozlţie in sensul 1). tn logica tradiţională e. este sinonimă CII "mferenţa logic validă bazată pe contrapoziţie " . Există două felUri de 4�. valide pentru Judecăţile A. E, 1, O : paf'ţială şi totala. Legtle 1'. p ar­ ţiale smt unnătoarele ' ( 1 ) 1'5 - P <=> TP

r

5

(2) TS � P <=> Up - .<, (3' [;S - P <=> T.:f> - S

Nu cXI�tii o mfere n ţ ă ... alldă în l egătură cu j ud ec at a p art Ic ula r aflrmatl\ (T.: 5 - p) Legile e. t o tale sînt următo are le :

( 4) 1 ..,

(5) TS

ă

P <=> l l' - :'

P <=> l'P - S

ur m:l to are a succ es iune de o peraţii logIC vahde ' 1"S "7 P (ob"erslUne). apoi T5 + P deVine TI> + 5 (cou\ CrslUne simplă). TP + S devine TP - 5 (obversitme) . Faţ:. <le in fere nţ a (4) inferenţa ( 1 ) p resupune numai două operaţÎl t.. total:t e'ite cunoscută şi in cazul propo ziţiilor de implicaţie ŞI de eclnvalentă Inferenţa

T:::. - P

(4) presupune

de\"we

( P = q) == (i] => Pl . ( P <=> q) =- (i] <=> h CO�TIt.\RIETATE, 1. R aport intre noţiuni (v. f'aportunle de con/mut Îlltre I/oţiu1lt) . 2_ Raport între forme de propoziţii. tn sen�ul 2 se defi­ neşte \U doi paşi ' I două forme omogene de propoziţii core lative ale clror varIabile (cu p OZI ţ ie Identică in forme) sint identice, se afll în raport de c. d acă conjuncţia celor două forme nu poate fi trans fo rmat ă prw mterpretare ( exemplific are ) în propoziţie conjunctivă adevărată , 2. orice transformare echivalentă a membrilor conju ncţi ei transformă co nJllnc ţi a tot in c. Ex. : formele de judecăţi TS - P şi 1 :, f- P siu t m r..tport d e c. ele alt p rImÎl tenneni identici (5) şi l a feI termenn d m poziţia a dou a (P) , ele sint co re l at I ve una l a alta. },�chlvalcntele lor, de

asemenea contrani l:x

roţI

" ex. TS + I> şi re spectIv TS - P sînt de oameni i sint muritori şi ruCI un Olll n u este muritor" este o c onJlIDcţ ie de con tram. Conjuncţia formelor poate fi în schimb astfel interpre tată incit un mem bru să fie adevărat '7i altul fals sau ambii-faIşI ( V. For­

mule omogene, Pătrat logiC) CO�INUT{;L N OTIC:\II.

ţiiiUtilr-el". Tii'Togica ...

d e termm ărlle

tradiţională

redate

în

D.

tonneaLă

con­

con ţ inu tul D. se mai numeşte �I .!..o mpre­ det ermin are se numeş te în aces t caz ŞI

he'lll� lW �ne. Fiecare nota n. LogIc a face abstraCţIe de faptul

că n. îşi pot completa conţl­ llutul sau şi-l pot schimba (parţial) . Con uutul D. se împarte în două : ..1) c onţinutul spec if ic format din d etermin ările caracteristice obiectului şi b) conţin nt general. format din determinările mai gene rale Notele specifIce sînt definitorÎl. Astfel . pentru D. om notele ra/lonal. constructor

ţi

(în sensul utilizărl1 limbajului complex) sînt no t e spe­ Cifice, iar animal. m a mifer, IJertebf'at sÎut note generale. Fie o n. ",' 51

de ul/elte, vorbitor


57

COl'oVERSIUNE

. . . • Dn notele D. Vom considera D•• D.. . Dk (k < 11) note specifice, Iar restul note generale. între notele spec1flce pot exista raporturi de echivalenţă logică (1Dlplicaţie reciprocă), de implicaţie sau de mde­ pendenţă. Pentru studiul raporturilor dintre D. este important să avem în Tedere astfel de raporturi. Corespunzător conţinutului D. ca totalitate de determinări (note) redate în D. avem totalitatea determinărilor obiec­ tului (clasei de obiecte) , deci "conţinutul real". CONVEI\iŢIONALISII. doctrină conform căreia raţionamentele noastre sînt construcţii arbitrare bazate pe convenţii lingvistice. C. nu admite principiul adevărului obiectiv. Sursele acestei doctrine pot fi găsite, pro­ babil. in doctrinele nominaliste anterioare. dar Hobbes pare a fI intemeie­ torul direct al e. Iată concepţia lui Hobbes. 1 . Raţionamentul este doar .. înlănţuirea numelor prin cuvintul < cste ,)" . 2. Raţiunea nu ne dă .. concluzii despre natura lucrurilor, ci numai despIe tcrmenii care le desemnează" 3 Ea constată doar "dacă am unit corect sau nu denumirile lucru Illor. potriTit convenţiilor arbitrare pe care le-am făcut în privinţa M:mni­ flcaţiilor lor" (Objections. III. 4. 1 64 1 ) . î n altă lucrare Computatzo swe Logica (1655) el completează : 4 . . Primele ade văruri au fost create arbitrar de către cei care au Impus nume lucrurilor sau le-au preluat din Impunerea altora". 5 " PI'opoziţiile de bază nu sint nimic altceva decît definiţii sau părţI ale definiţiilol' şi numai acestea sint principii ale demonstraţiei, fiind adeTăruri constItuite arbitrar de către inventatorii vorbiri. şi ca atare nemaifiind de demonstrat " . Prin urmare, gindirea este o manipulare de semne du!,ă reguli stabilite conTenţional. Berkeley preia şi el ideile convenţionaliste : 1. Demonstraţiile sînt Terbale. 2. Nu există adevărul" eterne. 3. Aritmetica şi algebra sint "ştiinţe pur verbale". Leibniz s-a opus doctrinei e. a lui Hobbes. în particular impingînd in prim plan doctrina definiţiilOY reale (v.) . în demonstraţiile veritabile cuvm­ tele exprimă Întotdeauna ceva posiml ( logic necontradictoriu). M1l1 �-a opus şi el e. lui Hobbe� însă de pe poziţiile empirismului. O critică a 1'. o găsim şi la Frege. în speţă el combate e. implicat în concepţia for­ malistă asupra matematicii formulată de ]. Thomae (1898). Raţiona­ mentul matematic deşi poate fi efectuat formal (abstracţie făcînJ de orice semnificaţie) ca şi Jocul de şah, el are totuşi aplicaţii la realItate. ceea ce nu e cazul pentru ultin1Ul. Regulile matematice nu sînt construite arbi­ trar ci impuse de semnificaţie. Criticind confuzia dintre număr şi CIfră. Frege consideră că ea denotă confUZia Între uzul şi menţionarea semnulUI Ulterior convenţiona1ismul a renăscut la ginditori, altfel celebri. C.l Poincare. Carnap, Tarski ş.a. CON"ERSIO �En LlMITATI��EM (sali pI:n ACCIDEIWS) (lat "COll­ versIUne pnn limitare" sau .. prUi accident") (v. con!Jersiunea luderatiloy

D•• D••

. •

=

A .E.I.O) ,

CONVERSIO SUIPLEX (lat. "conversiune simplă") (v.

Judecăţ,IOY A ,E.I,O),

�.NYERSllJ..�J.. termen care denotă,

comVerSH I 11W

in mod general, o operaţIe de mvcy­ Ea se poate aplica la dlfentc entităţi , operaţu. relaţii (indusiy rela­ ţii de corespondenţă) , termeni al operaţhlor (respectiv ai relaţiilor) 51 extensiuw (clase). �aJ. d�l���rînd e. denoU ceva mal restrins. anume mvtl ­ sarea ecJ"valentă (echivalenţa fiind preCizată in funcţie de natura ent1tăţ!lor) . sare


COl'lVEKSIUNEA JUDEt, �TlLOK

\., r. I, O

58

lJalii o enht.tte e..te 111ver:.ă faţ ă de alU en ti t a te atuncI are loc ŞI reci ­ proca llldt noi putem spune că ele sînt reciproc inverse (con ve rse ) . Atit In logică cît şi in teoria funcţiilor vom utiliza mal ales sensul restrins. l:'l:elllpie de ... (în ambele senquri) x

+ Y. y.

y

T >

.'\'

;l

y. y,

x -r-

x .>

X .L 1'.

x .......

v,

y

- v ..... y

- x �.

x

(operaţII lll\"er�e) ( rel aţii Im'er�)

} (termem mver�i)

Y - ;l I (termelll ŞI o per.t ţll resp v < x l relaţii iuver�eJ

x (Inversare.! <le termel1l, relaţu � I exte nl> mm) . Y. 3y3 1 1' = y + x� x . � y = y < x l (COlL\ ChILlIllechl\ alente) ( V. �I Funcţie convfl ,ă, ( rnn " ' t llllt <1 , Udl cli{i!?r 1 , 1'. 1 , , ) . COnVCyszllnpa J elaţiilv r. R elaţie cOllvi'rsâ) t :O�\'EnSUJNE.\ J!:..!!�C\l'JLOU �\.tţ�1 .1.� 1. Op er aţ ie de converszllne (,::J aplicată juuecăţiIor .4 , L, 1, () ; 2. Illferenţ;i logic \ .lJidă bazată pe e. j. 4 , E, 1. (). Aceastil wn\'crsiune el>te <le d0Uă feluri simplă ( = fără schimbarea can ti t ăţii) ŞI prin {/ccid nt ( =- \.Ll schi mbare a cantităţii) . De ex. J udec at a TS-- P se cOll\'erteşte ;,im pl n astfel 1 P - S SI prin accid ent astfel U P- S. în logica tradiţională termenul de cofrtiJu sizme este sinonim cn conversume logic valtdă. Nu orice con\'ersmne in sens larg dă inferenţe logi c valide. în cazul În care nn avem i n feren ţă logic validă în logica tra­ diţ ional ă se spune că "Judecata nu se con\'erte�te" Iată i n fere nţ ele bazate pe conversiune : ( I I 7 ') - P => UP- 5 (com er�iune Vnn alcldellt) (21 1 ,> .,.. P => TP+ .'> (conversiune simplă) (3) CS - P => UP- S ( c o m ersiullc �impIă) JlI de c .!ta p.lrtJcular ne gativă nu l>e converteşte logiC \ alid. Legile de con \ ersiune indicate fac parte dl1l clasa In/erenţelor ,med,ate (V ) .\ristott'l " .,tlHliat cOIl\-ersiunt'3 În Anali­ tica Priora şi a demons trat prin absurd \ alidi t ate ..l legilor ( 1 ) - (3) . O j u st Ific are a acestor legi se poate face cu aJ u toru l dtagramelvr III' Euler(v ) CON\'ERSIUNEA REL:\"fIILOn, operaţia <le trecere de la o relaţic la relaţia conversă (v . ) . Se notea7:!. cu silllholul ---- pus deasupra l>elllllltlui R. i;l'V�

r

-

r

V

l' rop n et ăţi ale conVerSltllLll ( 1)

R ==

H, (2) Dacă Q ....

R .ltUllCI iL

=

R.

(3) D acă Q _ R atuncI iJ .... /!: ( 4 ) il == R, (5) Dacl R =:o IJ atuLlll � � '--'" - R =:o Q, (6) RqQ =: RqQ (unde q este uliul dm op t'r a t oru .x, V, 1 , W, =:o _L Simetria relaţl1lor se po a te ,ldulL cu aJ lLt oru l con\ er�lUl1ii " (7) Sym (U)

(U

==

R)

U)!)U!:�termen latinesc pentru desemnarea leg:lturiI dmtre �ublect şi predicat 111 judecăţ ile <le matrice " ') este P" Se atribUie lUi Abelard In­ trodu cere a Ini în logică . Problema semnificaţiei lUI "este" ( " sînt") a fost lllUIt discutată în istoria logicii. Abelard a criticat punctul de vedere după c are e. a r exprima o z nerclI!ă (preclicatul este i ner en t subiectului) . l,eg{l­ tura concepţiei despre inerenţă cu o anumită doctrină a universalelor este evidentă Foru1 3 .. S este P" s-a f i xa t l1l evul lLleuiu, Jar ea coexistă cu alte­ le încă la Aristotel şi chiar este utilizat:! cu precădere După Kneale unu'l-


59

C01lJVERSJUNEA

RJ:JJATJJLOR

toarele patru forme sint echivalente la Anstotel (a) A se enunţ:' despre iJ, (b) A aparţine lui B, (c) B este A (d) B este In -4 (ca intr-un In treg) Ve eli:. în Despre Interpretare, el scrie "o enunţare simplă . . are ca inţe­ les apartenenţa sau neapartenenţa a ceva la subiect". Tot el sugerează şapte mterpretări posibile pentru "este" (resp. pentru , , 5 este P") · pre ­ dicaţ!a (în sens de enunţare 3 ceva de�pre ceva), Identitatea, a avea (propnetatea) , inclus în, deSCriS pnn, compatibll cu, este in acelaşI timp. Forma (b) indicată mai sus spune că predicatul "aparţîne" subiectului, ceea ce se mterpretează în sensul de predicatul face parte din subiect (de ex., "animalul face parte dîn om"). Forma (d) înseamnă subiectul este cuprins in predicat ceea ce nu are sens decît e:densional Relaţiile dintre subiect şi predicat sînt legate dt relaţiile dintre "substanţe" " Substanţa (primă) este ceea ce nici nn este enunţat despre un subiect, nici nil este intr-un subiect" . Aristotel distinge al .. 3 fi enunţat de�pre �nble('t" şi b) "a fi intr-un subiect" ( = a nu putea să eXiste IU afard. de "ublectul 111 care este"). Ceea ce Uu este "in subiect " Înseal11Dă că poate exista şi în afara subiectului respectiv. Aristotel os cilea ­ ză intre următoarele planuri . a) lingvistic (nume, propoziţii în sens grama­ tical), b) conceptual (noţiuni, �ceea ce este predicat despre .), c) ontic (sub­ stanţe şi relaţii intre ele). Pe de altă parte, la el se trece uşor de la extcnsl­ lIue (sferă) la conţinut "all la o poziţie neutră Alte confuzii sînt intre abstract ŞI concret, intre a fi inclus în sferă şi a fi parte (din intreg) . Toate olceste puncte de vedere mf1uenţează semnificaţia lui este" on, mal exact, " semnificaţia relaţiei dintre snbiect şi predicat tn ce priveşte snbstanţele ele sint "prime" ( = indivizii) sau "secunde" ( = speciile şi genurile) . "Sub­ stanţa" are un sens ontic ceea ce există (ooala) dar fraza următoare h . l 1 . arată confUZIa d e planuri .. Toate celelalte (adică c e n u sînt substanţă primii G E.) sînt ori enunţate despre o substanţă primă, ori într-o substanţă pri­ mă". Din cele de mai Înainte rezultă că ideile (logosul) şi numele pot fi enunţate despre substanţe (Altfel spus noţiunile de substanţă şi numele de substanţă sint enunţabile sau nu ) . O ultimă observaţie constă în aceea că în problema .enunţării . Aristotel pare a se plasa uneoll in al patrulea plan raport ni cl1noa5tere (resp. vorbirea) - obiect "De exemplu, 011\ este enunţat despre omul individual. în acest caz numele speciei om esle aPlicat (subliniat - G.L ) indi vidului, pentnl că noi folosim termenul om, descriind individul , şi noţiunea om \ a fi de asemenea enunţată rl espre omul individual . . . " (CategoriI) Ce este, deCI, subiectul ŞI ce este predica­ tul ? Din multe texte rezultă că subiectul este obiectul supus enunţăru (predicării, vorbirii) in sensul in care-I uuhzăm in contextul ('suhil"ctul discursnlui .). în acest caz, ,,5 este P" are înţelesul nou (necupnns in operele altor auton) , d e termenul P (resp. noţiunea P) este aplicat obiectului S . Or aceasta înseamnă că relaţia .. 5 este p" este transpusă în domeniul relaţiei de desem­ nare sau, in ccI mat bun caz, de aplicare a numelui la denotat Ontologk nu tot ce e�te predicabil (enunţabil) despre un subiect ( = obiect) se află şi în subIect, deşI poate să facă parte dîn esenţa subiectului (cum e cazul "substanţelor secunde" in raport cu cele "prime") (v. doctrina universalelor) După Aristotel, aşa cum s-a spus, a apărut concepţia il1CrB11tei . predicatul este ceva inerent subiectului şi sensul lui "S este P" s-a tradus prm . . P este inerent lui S", poziţie criticată de A belard pentru că ar duce la un regres

la Infwd (v.).

Abelard mterpretează e. ca un semn de Identitate - terme­

nul : subiect şi termenul predicat desemneaL:i aceiaşI lucrll (�a\l olcelea'}l " lucruri) De ex. "Homo este antmal Înseamnă C:l "homo şi "allimal" sînt


CORECTITUDINE

LOGK.\.

60

n ume peutru acei aşi lucru Ockh.tlU, Hobb es ş.a. s-au plasat pe aceeaşi poziţie Leibniz, la rindul său, cu pnncipiul praedicatum lnest sublecto a dop t ă concepţia inerenţei, dar el o generalizează peste limitele judecăţilor Simple categorice (de predica ţie) Li mitat ă la matricea ,,5 este P" ideea cl acea:>ta exprimă faptul că predtcatul este in subiect poate fi luată ca bază pentru interpretarea, dacă nu a logicii aristotelice, a silogisticii aşa cum ne- a lăsat-o evul mediu Alţi auton (Euler, Gergonne, Hamilton) au mers pe linia in terpretării extensionaliste a lui "este"

Pentru B. Bolzano , , 5 este P" exprimă acelaşL lucru cu "S are P". De e'l: , , ::'ocrate a fost inţelept " trebllle înţeleasl ca " Socrate are (in trecut) înţdepciune". Ca şi Leibniz, llolzauo dă o e xtensiune prea largă formei 'iubiect-predicat. Odată cu dezvoltarea l ogicii �imboiice interpretările e: den sion aliste au început să aibă precădere D is tm c ţla netă Între propozi­ !t îlc de extenszune (v.) şi propoziţiil? de ,nlenSlune a dat posibilit at e a să se formuleze o concepţie mai clară despre formele cu m at rice ,, 5 este p". Lukasiewicz afirmă că e vorba d e "relaţii speciale", !ar Carnap că e v or ba de propoziţii "ne u tre " în raport cu cele de c r/enszune sau zntensiune Impor ­ tante sint ciouă lucruri ; a) , , 5 este I''' este o formă aparte de propoziţie " (llldiferent de posibilităţtle d e a o " t raduc e logiC in alte form e �i md i­ terent de mod u l in care tratăm pe "este") , b) orice m terpre tar e a lu i "este" trebuie să satisfacă toate legile silogisticii (în mod special legile convers m n ii) . Trebuie sl menţionăm, de asemenea, că " es te " luat in d iferite contexte poate să-şI schimbe sensul , dar că fără adaosul unui alt cu vint el nu are niciod ată sensuri extensionale. De ex , " a este element al lUI l:J" sau "A este cuprms in B". Dimpotrivă, el poate fi utilizat în sens Intensional fără alt adaos, de el!: , "x este P" ( ad ică , , ;1 a re proprietatea P"), "x este x" ("x este identic cu x") Orice prec izare a inţelesnlui lui "este" atrage d u pă sine o precizare a ceea ce numim "subIect" ŞI " predicat". tn ultima vreme, înţelesul termenuluL "predIcat" s-a extIns in aşa fel Încît nu mal este potrivit să nu mi m propoziţiile de matrice ,,::' este P" drept "propo­ ziţii de forma subiect-predicat " E�te necesar să adop tăm o denum ire cît mai apropiaU de sens dar care , .1 avea un grad de convenţionalitate

COHECTlTUDINE LOGIC_\ terme n

metaloglc (în particular, al pragma­ bcii lOgIce) care desemneaza pt9prie tatea unei construcţii logice de a fi c0l!fpţmă cu anumite. regul..LAstfel, vom !opune că expresia "p V ij" este corect formată sau bzne forma.t.!i-,-Vorbim, de asemenea, de definiţii, clasificări, fonna1idri, raţi oname n te, demonstra ţ ii corecte etc De altfel , corectitudinea, în gen ere, se defineşte ca proprietate a re zult at ul U I uneI acţiuni de a fI efectuată conform cu regu!tle indicate. CORESPONDENŢĂ , relaţie abstractă care nu depmde neapărat de natura obiectelor aflate în relaţie. C. se p vate defim numai prin modul de asociere a elemen telor din două m ulţimi 1 , B E'i:ist:i mal multe tipun de relaţii de c. Ele pot fI rezumate Într-un ta bel

A

B

O O 1t n

n

11l


CORi'

•• 1

{unde n > 1 şi n = m s au 11 p mi. L <l.lUn le ( 1 ,0) � I (0, 1) pot fi llWn1te ('. vidă, c a zul ( 1 , 1) este e. lnu,tilloeă, ( 1 . n) este c. plttrivoeă, (n, 1) eite e. l�nilJocă. iar (n. m) poate fi n umit ('. nedejinitJ (obiectele din A �I B sînt asoci ate la intimplare sau n 1l există legi generale de asociere) . CORESPONDENŢĂ UNIV OC.\, relaţie de corespondenţă intre dou:1 lIIU� notati uneori prin A-;;:' n ŞI definiU, astfel . fiecărui element tim A i se asociază un ŞI uumai un element din B în simboluri

A -+B = df 3R{Vx (XE A «�Rz &yRz) -+ x = y)}

__

Astfel, intre mulţimile

3Y(l E B & .t Ry) & VXYJ

A

H

=

{3. 4, 5} şi

=

{2. 6}

se poate stabili o corespondenţă univocă. Prin corespondenţă se defineşte (unaţia (univocă) . Faţă de e. Il. a mulţimilor, funcţia presupune că &e pre­ cizează care elemente se asociază

CORNUTUL, sofism .ltnbuit

l u i Fnbuli�-, Ceea ce nu ai plerdnt Încă .1, " nu ţHll pierdut co arnele Prin urma re , ai încă coarne". Sofil.11lul porneşte de la premisa primă care este falsă, căci nu este adevărat că tot ce n-ai pierdut ai. Premisa corectă este "dacă ai avut ceva ŞI nu I-ai pierdut, ai încă " . De unde raţionamentul va continua ' "Or tu al avut coarne ş' nu le-ai pierdut. Priu urmare, al încă coarne" CORP, structură matematlcl <A, *, o ) care "atisface <lxlomek ( 1 ) (a * b) .. e = a * ( b * e) ; (2) (a * e) = e .. a = a (cu spe cific aţ i a că e este U111 C) , Dar

(3) a: ă = ă " a = e (cu sp e c ifi c aţ ia cl pentru orice a exist:! un �l1lgur ci dlfe nt san nu de a) ; (4) a " b = b .. a ; (5) (a o b) O c = a O (b O e) , (6) a O e, = e, O a = e l (e. este unic) ; (7) a o a-l = a-l O a = e l (pe ntru hecare a eXistă un smgur a-l difent de a �au nu) ; (8) (a " b) o c = (a o e) .. (b o {. , , ( 9) e o (a .. b ) = (e o a) * (e o b) �e precizează că = este o relaţie de echivalenţă nespecrficată. C. este in dCC&t fel o conjuncţie de două grupu", (v.). or mal exact conjuncţie de z net (v.) şi grup. Gr. C. Moisil a formulat pentru logică o noţiune mm slabă de e. (putem conveni s-o numim corp log" sau evasi-corp). Asttd <A +. &) (şi A. = V) determină corpunle logice cu particularităţile . (p & 1) = (1 & p) = P (p & O) = (O & p) = O

(P & P) = P �I respectiv :

(P

V o)

(P V I ) (P V P) Diferenţa faţă

= (o V P) = P I ( 1 V P) =

=

=

P

de e. in sens strict este evidentă.


CRITERIU

62

CRITERIU, termen folosit, in special, in contextele 1'. de compar4ţi�, c. de clasificare, e. de apreciere, 1'. de admitere El este sinonim cu "punc­ tul de vedere" (din care comparăm, clasificăm etc,) sau cu "unghiul de vedere". Cnteriu poate fI . a) o proprietate. b) o clasă de proprietăţi de aceeaşi categone. altfel spus un "gen de proprietăţi". un "tip de propne­ " tăţi . Astfel, proprietatea alb poate fI luată ca c. de clasifIcare - orice lucru alb va face parte din clasa lucrurilor albe Putem să luăm insă ca e. proprietăţile de culoare (clasa sau o clasă de proprietăţi de culoare) , " om avea atitea clase de obiecte cite culorI sînt satisfăcute, Se ob8erv'1 că atunci cînd avem o clasă de proprietăţi, ele nu <Înt alese la intimplare, ci in \'Irtuh.a f aptu hu că ele Înşile se suborti"nea_ă ItHUţ gOI , unm tIP. deCI, au el" Îllşii,' a,'{/. comun, sînt de aceeaşi ca/t'g one Întrebarea ,care e�te 1'. ad mi teri i lui x" este slllonJm.l cu Î ntrel a re a : " Î n virtuted căror proprietăţi x a fost (sali poate fi) ad mIS ", DaciI ,'or hilll de mal multe e. vom Înţelege că ayem dIferite genuri de proprietăţi t" zllal se poate întîmpla ,it ,'orbim de (J conjuncţie <le (' . ca de un singur 1'. Pentru a evit .., ,lUUlllllt- coufnzii c<.tc de prefel a t ,.i distingeJ.! bine cele dou.l sltua­ ţu (olliuzia de " . este una (l :n cele mai Ylllgare :�reşeh (le logică De )1 am dlstim <lift-rite coutexte în �are e u tilizat termenul e. �e poate spune că once aplicare de " . are ca re.mltat cOl/stitul/·t a dr clase (repartizarea "obiectelor" m clase, tocmaI de aceea " . de clasifIcare (v ) e ste noţiunea principală p� care trebuie s-o studiem (,H!TER I L tiE f L;\ŞJI;U: \RE. criteriu după care obiectele dintr-o mul­ ţl1ne sînt d i�tnbuite în da�e care se exclud (v, criteriu) Unei mulţimi de obiecte I se pot aplica 11 e. de ('. Ca urmare se pot forma 2n -1 sistt: me de clasificare a) si ste me bazate pe un criterIU. b) SIstem e baLate pe două crit('ril, " k) sisteme bazate pe It criterÎl Fie, de ex (" , Cz, e3 cnterii " om avea sistemele CI ' C2, C3, ((C I ' C2) ). (C" C J) , ((2' CJ) , (( 1 , C2 , ( 3 ) ' clecI �J -- 1 = 7, Hda{n Între cYI/eni. Considerăm două cazun a) cnterl u l este o propne­ tolte, L) ciiterTu'i -este o clasă de proprIetăţi Pentru si mpl itate vom lucra h int'eput cu criterii elementare (simple proprietăţi) Un astfel de criteriu poate fi raportat la a) u niversul de obiecte �I1PU� c1<lsifkării, LI l a alte criteriI. Fie ( 1 ŞI L.2 dou.l criter.l, Dacă are sens să le aplicăm la ace­ laşi uni\ �r� ,le obiecte � om spune c.l sint ,,<.chh alente extenslOnal (re­ latÎ\ la respt'ctn a mulţime) Astfel. proprietăţile pa/rupeti şi COI't1 ut pot fi olplicolte ptntru l'lasificarea mulţimii animalelor Dacă U este mulţImea maximă posibilă la care ele se aplică atunci \ 0111 spune in plus că ele sînt "echl\'alente extenslonal m genere" AphcatL lIlulţmm respec ti'. ,' cele dou.l criteriI pot genera aceleaşi clase sau n\l Cind două critLf'l gcnen.ază aceleaşI clase con venim să le n u m i m " iden t ice " sau echip' tente, altfel (dacă nu genereaLă acelea'}i clase) vor tI n umIte , dlferitl Fie , 1 " A2 ŞI Ă,. Ăz clasele generate CrIteriile vor fI lflenUce dacii A l ::;; -= A. 51 Ă, -= Ăa Dimpotrivă. dacă A l ;t A2 şi Ă, ;t ,42 atunci crit eriile <ltferă. Se ob s erv ă că putem avea dourl Situaţii a) clasele generat e bint exact aceleaşI şi proprietăţile-criterii sînt � alabile de'pre aceleaşi obiecte, b) clasele generate sint exact aceleaşi. uar proprietăţile sînt � alallile dt-s­ pre obiecte diferite Fie P, Q cele două proprIetăţi-critem ŞI (a, b, c, ti) Illulţlmea de clasificat Presupunem că P dă clasele (a, b) a�tfel c:, (a, III ,,�t fel P(a) şi P(b) şi (c, d) astfel că PIr) ş, fi(d) iar Q d:t cla�ele c,l <J(a) 51 Q(b) ŞI (c, d) astfel el ?J (C) �I Q (d) îu acest caz, eritetiiIt �in t Ideatice '}I proprietăţile �înt \ ala bile despre aceleaşI obiecte Clast:!· pot fI notate cu PQ ŞI re�pectlv PQ, Pre�upunem apoi că avem aceka�J dllse


CRITERIU DE CL�SIFICARE ca ma! sus dar propnet:iţlle sint clas l e sint difent. Notind cl�ele cu P, P,

Bxtensional

e

1' =

P(a l . P(b) , Q(e). Q(J). dar intensional ele sint caracterizate Q, Q, vom avea in a c st caz relaţiile

a�tfel " alaolle

acclea�i

e

Q

'71 Q = l' Vom .lvea clasele PQ şi PQ. În pri m ul caz, cn t e rn l e :-.int echIvalente atît extensional cît şi Intensional, În al doilea caz ele �int echivalente doar extensional (in sensul că det erm in ă exact clasele (a, b) şi (l , d)) Cind sistemele d e clase create de cele două cri terii diferă atunci între clasele celor două sisteme se produc mter�ecţii sau şi excluderi. Fie din nou nlUlţimea =

(a,

{b, e,

b, e, d)

d}.

ţii le ' P (l moduri de

ŞI crite rhl e

Clasifi c ar e

Q, P

n

Q,

P, Q.

dup:! Q Q

Q n 1'.

=

Clasificare dup:l

{a, b}, i]

=

{e,

P d}

A, elll excluderea P � logic sau factual.

Q

P

{a},

l'

=

Avem IDtersec­ Există ŞI aIte

Doul criterii &Înt I dentice logic dacă şi numai dacă C I == C2 este logic adevărată, altfel spus C, implică pe {2 (ŞI reciproc) Două criteriI �înt identice f actual (relatI\· la o lllulţlme dată) dacă ŞI nu m a i tiaetl ele pnr şi simplu gellereaz:l ac el aşi �btell1 de clase. Tclen titatea logică L�te cleopo­ triv:1 extellsional:1 51 intellsÎonal ă , cea factuală este cel puţin extensio­ nală ( Pentru a lt e consideraţii trebuie &ă se ţină seama cl două pro pr ie ­ t:lţi

Identitatea (" echiv alente logic")

a distinge

lo,-\ic echivalente determină totileanna aceleaşi clase)

Se poate in­

tÎmph C .l nn criteriu �:I se aplice la Uit univers mai larg de obiecte (deCI cnte:llie "ă uu fie echivalente re / a ti \' l a Ilnh'ersul de ohiecte la cJ.re pot fi

aplicate) ':'1 atuncI În universul nostru li mit at ele SlIlt dOdr fadual I de n­ tlcc. În fine, două crIte rn "iut loial diferite dacă �i n um ai dacă ele nu :<e aplic:l (n-are sen�) �i se .lpltct! la ,lc cle a�i nnn ersun (�e aplicl la Ulll ­ versuri diferite) .

Ierarhl"

DOUă

cnteriilor -

în contllludre " Olll considera numai cntlrh diferite.

c n terii C�·: C2 pot fi logic Mluordonate sau factual �ubordolla t e (,riterille sint logiC ordonate În două sensu n . 1. Dnul impl i ă logic pc cel ălal t (dar nu şi reCIproc) . 2. Unul are sens să fie aphcat la Ull univers lnal mare decît universul 1,\ care se aplică cdălalt. Două criterii sînt

c

s te apltcat Î ntr -o clasJ. generat.! de altul ii numită �l difcre nţă "de ordin" san " de grad". în raport cu ordinul (gnulul) introducem Încă noţiunile ' egalitate d," grad ŞI dife renjiL de grad. Două criteri i sînt egale 1n grad dacă şi n U lDal dacă ele se aplicii l a universurI de aceiaşI nivel şi diferă În grad dacă se aphc:! 1,\ lIui versnri ordona te (aplicare făcînd li-se succe­ siv, de l a criteriul cu universu l mai larg la criter iul cu universul mal restrîns). Aci avem În vedere pnn Ilmvers pur � l simplu mulţimea SUPUS:l cl asi fică rii . Fie {a, b, e, d} ulliversul 1\11 CI �I ta, b, c} un i versul lui C. u1\fle fa, b, e} este una din cel", donă c l .i�e ooţinute prin aplicarea Ini CI K I = {d}, KI = {a, b, e} . _'\.plie înd la ]{ l pe C� putem obţine, de e'C . /\ . = {a} [(, = {b, e}. Dou:l cl:lse sînt de acelaşi nivel dacă sînt generate de dcelaşÎ criteriu. Dacă sena criteriilor ordonate este mai mare de dOUrl pu te m să le indicăm gradul prin exponenţI CI, C2, . . , Cn (unde C I t!ste de g radul cel mai Înalt) Donă Criterii care au acelaşi grad vor fi numite egal" �au egale în g rad , În caz contr..tr, vor fi numite diferIte în grad. A lll precizat că vom c on Si der a numai cntern dl fen te În studiul lerarhitl. '-'a urmare, donă eritem egale se exclnd În ce priveşte sis temele generate, tU alte cuvinte, ele nn generează aceleaşi cl ase . (Aceasta este o regul:l c1asIcl a clasifică ni) . Diferenţa de grad po ate fi r aporta tă la mal multe unul Diterenţa de ierarhie va lllai

iactual ordonate dac:!

"linii Ierarhice",

la

e

fel egalit atea Ca nrmare, atunci cînd avem mai multe


6.1

CRITER1UL DE ELIMINABILITATE

linii ierarhice trebnie să se precizeze linia la care ne r aportăm . Pînă aci

am operat cu criterii care sint simple proprietăţi (fiecare putînd produce o clasificare dihotomică), în continuare vom considera criterii care sint clase de proprietăţi (unite la rîndui lor p rintr-o msuşire comun ă) . De ex , criteriul culorii reprezint ă o clasă de proprietăţi (numărul lor nu este specificat) : roşu, galben, albastru ş.a. fiind elementele acestei clase. O astfel de clasă e formată numai din proprietăţi care s e exclud. în clasi­ ficarea după astfel de criterii se ia u în consider aţie numai clasele cores­ punzătoare respecti velor propri etăţi , nn şi cl aBel e complementare. Suma cl ase lor sIstemului d e clasificare este biuUlvot'ii ('1\ mulţimea propnetd­ ţilor criteriului. Fie C criteri ul '1 (, 1 ' (,2' , C" propnetăţlle. "'om avea sistemul de clase : ]{I ' K., . . ,It •. CrIterIUl e!.t e comPlet (suficient) dacă !.uma claselor generate este id entic ă cn univ er sul clasificat O clasificare este com pl eU cînd nu are rez/duri ( = obIecte neclasifiwte) . 1.'n ui univers de obiecte ii putem aplic a mai multe cri te ni deodată, în a ces t caz obţinem o clasificare ('omplex:l U ase le ohţinute vor fi clase de i nt erse cţ ie care \ or satisface atJte •• propoziţii cî t e cnterii a\ elll. Un exelUplu aHm în logkă : clasificarea J u de căţilo r după calitate �i cantitate (A , r, J (1) l'll a l tu l in b i o l ogi C clasificarea după cr iteriu l morfologiC ŞI după ce l fiziologic. în fille, preciză m că toate re laţi i l e de echivalenţă an aliz at e mal sus in legătunl cu simplele propri et ăţ i le putem ex ti nd e (eventual cu unele p rec i zăn) la relaţii le Între criterii c om plexe . La fel cu relaţli1e de ordonare. Nivelul u l ti 1 l 1 la care ne putem IIrca cu cnteriul ( = c lasa de proprie t ăţi ) e�te c ategoria logi că la c are acest criteriu este subordonat (de CX . , for mii, I:Onţlllllt etc ) '·om spune că exist ă atîtea criterii supreme cite c.lt egorit ("genuri supreme ' ) există. (Gh. Enescu, Fundamentele logtce ale gindirii,

1980)

DI: ELUJINABILITATE, criteri u pentru <Idiniţiile expltcitc în ltmbajele form ali za te P. Suppes î l formulează astfel O form ul d S c are mtroduce un nou si mb o l al teoriei satisfac e e. de c. dacă ŞI numai d ac:, o nd eciteon SI este o formulă În c ar e apare noul simbol, eXistă o formulă S. in c a re simbolul nou nu apare astfel că S ...... (SI -+ 52) este d erivahilă d in aXIOmele şi d ef i niţi i le p reced e n t e De t'"\. lu trodllcenl �i11l­ b olu l , , - ' priu tldini ţi a ( 1 ) x - Y = z <:> x = y + z Luînd exp refia dacii ./ Jo' O ahm ci .:\. - Y ;;z! x putem elmu na cu ajutorul lUI ( 1) sern!l1ll .. şi obţinem . d a că y :::ţ:: O atu ncI x ;;z! y + x. D efiniţiile implicite nu " :, attsfae ac e�t criteriu într-o formă mai simplă se cere ca sImbolurile e n d fi it e să poat ă fI eliminate p rin simbolurile primitive ale teoriei UIlTI:llll: l.

DE NECREATI\' ITATE, condi ţIe de in trod ucere a ullui 1"0U SImbol Î ntr - un hmbaJ formalizat al unei teor u . O form u lă 5 care mtro­ d u ce \lU no u simbol al unei teorii satisface e. III" n. dacă şi numaI dacă n\1 există o formulă T în care noul simbol nu pare astfel incit S =- 1 Sd fi e derivabilă din aXIOm e ŞI d efin iţii prece den t e ale teoriei şi 1 nn e�tc a s t fel derivabi1ă. Considerăm o stru ctur ă mai slabă decît g rupu l (defmită n um a i prin axioma asociativltăţit) şi Introducem si mbol n l e : x o [; = ;,: A phcîn d c. d,. n d efin iţi a este respin să deoarece putem conchide CIlITEIlIU

3y V .:\. ( x o y = x)

( ", o e = .:\.) ( (5 )

=

3y V r(x o y = -' )

( ( T»

1u 1 .tp.trt. �ullbollll, illlpltcaţld. şi 1 uu s ilit den vabllc d1l1 u n ic a ,IJl.iomii (asoclatiYit.ltea) lJeiiniţia <:ste in .lcest fd c reat i vă şi d eC I nu e�tc vala­ bilă.


CUANTOR UNIVERSAL

65

CUANTIFICAREA BENTIIAM - HAMILTON, cuantificarea predicatu­ lui în judecăţile A , E, 1, O realizată de către G. Bentham (1827) şi W.

Hamilton (1833) . Spre deosebire de Bentham, HamiIton dezvoltă un SIS­ tem logic pe această bază, de aci şi denumirea ' de logica lui Hamillon. Bentham clasifică jndecăţile astfel : 1. X in toto = Y ex parte : toţi X sint nnii Y (A )

2. 3. 4. 5 6.

X X X X X 7. X 8. X

in toto II Y ex parte : nici un X nu este vreun ,Y (1) IU toto = Y m tot o . toţI X sînt toţi Y ( U) tU toto II Y In toto : nici un X nu este vreun Y (E) ex parte � Y ex parte linii X sint unii Y (1) ex parte 1/ Y ex parte unii X nu sînt unii Y (w) ex parte = Y in toto unii X sînt toţi Y (Y) ex parte il Y in toto unii X nil sînt vreUll Y (O)

La sfîrşIt, în paranteză, se dau denumirile simbolice A, �, U etc Cuvîntul trebllle luat în acelaşI sens cu uuu, adic:! cel pUfin unu. Hamilton formează denumiri puţm diferite toto-totale, toto-parţlale, parit-totale etc CUAJ\jTOU DE UN ICITATE, simbolul 3 ! - se citeşte " există un singur - - ". Ex. 3 ! F(x) : "există un singur x astfel că Fx". Se poate defmi prin mtermediul cnantorului existenţial : 3 ! F:< == 3x (Fx & Vy(Fy _ -+ y = x)). în definiţia grupului (v.) putem utiliza cuantorul de unicltate pentru a marca unicitatea elementului neutru ŞI unicitatea inversului pentru fiecare element : vreull

3 'e V xIx

e=e

V x3 Ix (x '" x

=

x

'"

.1:

x

=

=

x) e)

(,l;ANTon E XISTE1VfIAL, sImbol logIc prm care se mdlcă faptul că este

considerat cel puţin un obiect dlU domenIUl de definiţie al unei variabile. Dacă x este variabila vom spune că "există (cel pnţin un) x" ŞI vom simboliza 3x. Simbolnl 3 este numit c. e. De ex., în formula ,,3xF(x) ' (citeşte ' "există x astfel că F ne x") , variabila individuală x este cuanti­ fieată existenţial Operaţia de cuantlficare existenţIală se mai numeşte ŞI "generalizare existenţială" sali "existenţializare". în afară de simbolnl 3 se utilizează uneori simbolurile E, k, V. De ex. ExF(x), �xF(x). V F(x) sau V xF(x).

x

x

CUANTOn UNIVERSAL, simbol logic prin care se indică faptnl cl sint considerate toate obiectele din domeniul de definiţie al unei variabile Astfel, dacă x este o variabilă, vom spune "pentru orice x" sau "pentru toţi x" şi vom simboliza : "Ix. Simbolul V este e. U. , iar vari abila 1: este cuantijJCată uU1versal. Dacă domeniul de definiţie al variabilelor este uni­ versul zndivzzzlor, variabilele fiind x, y, z, . . . , atunci ,,"Ix" (= pentru orice x) va însemna că este considerat fiecare individ din universul indi­ vizilor. Astfel, în formnla "VxF(x) " proprietatea F Vd fi asertată pentru orice individ. Formula ,,"Ix F(x) " se va citi " pentru orice individ x are loc proprietatea F". Asocierea unni c. u. cu o variabilă (de ex. '11:) se va numi cuantijicare universală. în afară de simbolul V circulă şi alte sim­ boluri in literatura de specialitate : (x), II . A (ex. (x) F(x), II X F(If) . AF(x) sau AX F(x)). x


66

CUANTORI

CUANTORI, simboluri eare indic�_ . .măsura in care �� considerată o mulţime de obiecte dintr-un domeniu de definiţie al variabilei. Astfel, vom spune .. peiîtrîi--orlce·' in sau "există (cei pn·ţin Uo.)-x" sau .. pentru majoritatea obiectelor x" san .. există un singur obiect x" ş.a. Principalii c. sint e. universal (\1') şi cuantorul existenţ�1Il (3) (v.). Asocierea unui c. Q cu o variabilă x, (Qx) se va numi cuantificare (sau operaţie de cuanti­ ficare) . C. sint o specie de operatori. Sintactic, cuantificarea duce la for­ marea unei expresii logice din alta. Dacă avem o snccesiune de variabile în prefu (v.) legate de acelaşi c. putem scrie c. o singură dată : Qx1QXS • • • . . Qx.A se va scrie QX1X2 • • • x.A san Q(x1, x2, • • • x.)A . De ex. in locul formnlei "Ix"ly"lz F(x, y, z) pntem scrie "Ixyz F(x, y, z). La fel pentru cnantond 3. CUANTOBI LIMITAŢI,

"Ix (x e T)

indivizilor) .

şi

3x (x

CU�I GRANO SALIS

e

cuantori cu domeniu limitat, introduşi de Skolem (unde T este limitat în raport cu universul

T)

(lat. "cu un grănnte de sare ") , in sens de : cu o mică

modificare, înţelegere nuanţată a nnei expresii.

Cr \JOşTINŢĂ, propoziţie despre care ştim că este adevărată (adică a fost verificată) . Adevărul nu se Identifică cn c., tocmai de aceea s-ar putea ca propoziţia să fie adevărată în sine, dar nu pentru nOI, adică noi să nn ştim că este adev ărată. Notînd cn C - cunoştinţa, constatăm că pe�tru acest predicat epistemic : nn putem deduce din C(P) faptul că C (P) . De ex. xn + y" = Z" (formula lut Fermet) nu este o c., dar nici negaţia el. T�ul exclus se aplică în forma C( P) VC(P), dar nu in forma C(P) V C(P ) . Principinl necontradicţiei are loc în ambele forme

V

C( P ) & C ( P) C(P) & C (P )

Se inţelege, din cele de mai sus că propoziţia despre care ştim că este falsă nu este Ce, în schunb propoziţia . . p este falsă" este o c. dacă p este falsă, căci în acest caz . . p este falsă" este propoziţie adevărată. Rela­ ţiile c. cu adevărul ( V) ŞI falsnl (F) sint C( P) =:> V(P) F(p) =:> C(P) . A doua propoziţie spune că nnmai adevărul poate fi cunoştinţă.


D

DACĂ . , . ATUNCh. constant�logi<;i:! . �e .�xprjmă diferite fel��i cţ�-'QtUlI­ ţiona,� (�a':1 r!:p..?rţ�� _�.�_ i!!!p!'icaţieJ . Folosită în contextul propoziţiilor _ . _. . ]u<lecăţi ipotetice ("dacă fierul e Încălzit atunci el se cognitive expnml dilată "), cn alte cuvinte (ontologic) se refer ă la raportul de condiţionare a stărilor de fapt (de ex., între starea de fapt că fierul se încălzeşte şi sta­ rea de fapt că flerul se dilată) . în al doilea rind "dacă . . . atunci" exprimă relaţia de Inferenţă Între propoziţii (de ex., dacă , , 2 x 2 = 4" atunci ,,4 - 2 = 2"). în al treilea rînd exprimă funcţia de adevăr ( .. dacă P atunCI q "). EXIstă apoi diferIte relaţii de implicaţie mai mult sau mai pnţin abstracte care sint exprimate cu ajntorul acestei constante (impli­ c aţia contrafactnală, strictă, a relaţiilor ş.a ) . Este, de asemenea, folo­ sită pentru a citi simbolul implicaţiei . ( _, �, :::» . Uneori intră in com­ ponenţa regulilor (de ex., reguli de formare, d e deducţ ie) .

DACĂ ŞI NUMAI DA�. constantă logică folosită în multiple sen su ri : 1 ) exprîplă con!!!E�.!1.!f�.�_ ,!!_l!;�!!Ijl!yj. .Î.1lţre şţ�I!k.gţ_i!P! (.. dac ă şi num at dacă se incălzeşte metalul el se dilată "), 2) exprim ă implicaţia reciprocă

(inferanţa recipr ocă) , adică echiviHenţa logică ( " dac d şi numai dacă toţi S sînt P" atunci " unii P sînt S") , 3) ex pIImă funcţIa de adevăr a ec1u­ valenţei, 4) exprimă diferite relaţii de echivalenţă (mai mult sau mai puţin abstracte) . în fine, este folosită pentru a citI simbolurile echivalenţei ( = , -, -=, = ) �!!AP1"I, mod al figuni a III-a. Are schema următoare : A Toţi M sînt P A TOţI M sînt 5 1 Unii 5 sint P Formă stilizată : fundcă toţi M sint şi P şi 5, unIi 5 sînt P. Sau S sînt P, deoarece toti M sint şi 5 şi P. Exemplu :

f.-· nii

Toţi oamenii duplicitari sînt min cinoşi Toţi oamenii duplicitari sînt ascunşi Unii

oameni

ascunşi

sint

mincinoşi

Formă stilizată : Ftindcă toţi oamenii duplicitari sînt mincinoşi şi a�cunşl, unii oameni ascunşi sint mincinoşi.

D ARJI mod al fignrii I-a a silogismnlui . Are sch ema următoare : A Toţi M sint P 1 Unii S sînt M 1 Unii 5 sînt P


68

DATISI

Exemplu : Toate paralelogramele sint patrulatere Unele poligoane sint paralelograme Unele poligoane sint patrulatere Forma stilizată a acestui exemplu este următoarea ' unele poligoane sint patrulatere, fiindcă sint paralelograme, iar toate paralelogramele sint patrulatere. DATISI mod al f1guru a III-a. Are schema următoare :

A Toţi M sint P 1 Unii M sint 5 1 Unu 5 sint P Fornl ă stilizată : fundcă unu M sint 5 şz toţz llf sînt P, unu ') sînt P . Exemplu : Toţi înţelepţu sînt prevăzători Unii inţelepţi sint tăcuţi Unii oameni tăcuţi sint prevăz:ttori I'ormă stilizată : Fiindcă unii înţelepţi sînt tăcuţi şi toţi Înţelepţii sînt prevăzători, unii oameni tăcuţi sînt prevăzători.

DEDUCTIBILITATE FOR�(ALĂ (sau derivabllitate formală), proces de

deducere a unei formule B dintr-un set de formnle r (de ex. A l' . . . Rt regulile de A .) pe baza anumitor reguh de deducţie. Fie R" deducţie ale sistemulUi logic (cu excepţia f'eg ult i substltuhez) . B este formal dedltCtibll din A I' . . . A" - simbollc A l ' . . . A . 1- B - dacă şi nnmai dacă : a) B este una dm formnlele A . (1 .;;; 1 .;;; n) sau b) B este o teză , (axiomă sau teoremă) a calculultli logiC sau c) B este consecinţă imediată dm A I ' . . A . conform cn cel puţm una din regulile Rl' . . . , Rk' D. 1. este o noţiune mai largă decît demonstrabilitatea, căci ea nn presupnne adevă­ ru l premiselor. Exceptarea regulli sn bstituţiel este determinată de faptnl că substituţia poate duce la rezultate paradoxale. De ex. dacă formnla iniţială este A , ea poate fi substituită cu Â, ceea ce ar însemna că A l­ I- Ă ŞI, deci, că A este infirmat. în schimb, pentru demonstrabilitatea for­ mală (v. ) regula substituţie! poate mterveni. Se inţelege că noţiunea de d. 1, scapă de oriee ambiguitate dacă este raportată la sistem (şi deci regulile de dedncţie sînt precizate), În acest mod vom defini ..dednctibi­ li tat e in 5". Notăm că se admite şi dednctibilitate din prenlise vide, ast­ fel, se spune că o teză este deductibilă din premise vide şi se notează 1- T, de ex. I-P V p.

DEDUCŢIE (SAU RAŢIONAMENT DEDUCTIV) , raţionament în care se

trece de la jud��.i!ţi de un. anumit.�ad de-geaer-atitMe ..la-jlidec�i -de ace: laşi grad de generaIiţllJ.�..s.aIl. .la judecăţi. de Il" grad mai mic de genera• htate (v. şi znducţie). în raţionamentul :

a>b b>c a >r


69

DATISI

se p�ead gradul de generalitate in trecerea de la

a

>

b

şi b

> c la o

Judecată de acelaşi grad de generalitate " a > c", în raţionamentul : Toate numerele intregi sint reale Toate numerele naturale sint intregi Toate numerele naturale sint reale

concluzia este de un grad de generalitate mal mic decit premisa majoră, dar egală în grad de generalitate cu minora. Condiţia logică a d. est e că dac4 jwemisele sint adevărate concluzia este adevărată. Simbolic vom nota deducţia cu r 1- A (citeşte "din r se deduce A ") unde r este mul­ " ţimea premiselor, A este conclnzia, i ar , , 1- simbolul d. Putem 8-0 re­ prezentăm şi in modul obişnuit ca secvenţă (pe verticală)

r

Orice

A

d. corectă ( " valid ă" , "valabilă") este construită conform cu una sau

de raţionare (depinde de complexitatea d.) şi satisface condiţia logică : dacă premisele r sint adevărate, concluzia A est e ade­ văratll Din condiţia logică a d. decurge : a) este imposibil ca premisele �ă fie adevărate şi conclnzia falsă, b) dacă premisele sint false concluzia poate fi adevărată san falsă (depinde de cazuri). Dacă d. nu satisface condiţia logică atunci ea nu este CQ1'8ctă. Regulile silogismului sînt un caz particular de descriere a corect itndinii d. (d. in formă silogistică) . Următorul raţionament deductiv nu este corect : ll1al multe legi

B

Nici un Nici un

A nn e

nu e

Nici un

A

nu

C

B

e C.

El încalcă regula după care în silogismul simplu din donă judecăţi nega­ tive nu se poate trage o concluzie. într-un raţionament deductiv. strict vorbind , ne interesează numai corectitudinea (decurge sau nu concluzia din premise ?), căci altfel sint posibile trei cazuri (compatibile cu corecti­ tudinea) a) premise adevărate, concluzie adevărată, b) premise false, concluzie adevărată, c) premise false, concluzie falsă. Iată exemple pen­ tru fiecare caz luate in modul Barbara (v.) .

Cazul a)

Toţi oamenii sint muritori Toţi poeţii sînt oameni Toţi poeţii sint muntori

Cazul b) Toate reptilel e sînt animale Toţi ţiparit sint reptile Toţi ţip arii sint

acvatice

animale acvatice

Cazul c) Toate numerele Toate nnmerele

întregi sint naturale raţionale

sint

intregi

Toate nnmerele raţionale sint naturale.


DEFINIRE

70

Toate cele trei cazuri satisfac legea de raţionare "dacă toţi B sint C şi toţi A sînt B atunci toţi A sînt C". D. poate fi formalizată, ca în sis ­ temele formalizate (axiomatice) sau nn, ca in gindirea obişnuită. Deduc­ ţia corectă din propoziţii adevArate se numeşte dlmo1fstralie. operaţie logică prin care se determină sensul unui cuviut (termen), o noţiune sau un obiect formal (v.). Cind ne referim la obiecte (clase de obiecte) prin definiţie ( = rezultatul definitii) noi dezvAluim determinările caracteristice obiectului (clasel de obiecte), dăm noţiunea adecvată obiectului. CInd ne referim la termeni noi determinăm semnifi­ caţia fie că o introducem, fie că o explicăm sau o precizAm. Dacă avem in vedere SIstemele formale (v.) dăm regulile de construcţie a obiectelor (claselor de obiecte) formale şi prin aceasta definim termenul corespunză­ tor (de ex., formulă in calculul propoziţiilor"). Aşa dar prin d. surprin­ " dem caracteristicile (adesea esenţiale) ale obiectelor, dăm noţiunea adec­ vată obiectului, delimităm semnificaţia termeuilor (.. modul lor de uti­ lizare" ) sau, in general, a cuvintelor şi indicăm caracteristicile pe care trebuie să le posede un obiect (o clasă de obiecte) din sistemul formal. D. răspunde, deci, la intrebările : (a) care este insuşirea caracteristică obiec­ tuluI ? (respectiv, nota caracteristică noţiunii) ? (b) care este semnificaţia termenului (mai general, a cuvintului) ? (c) care sint caracteristicile obiec­ tului formal care urm ează a fi construit ? în loc de d., care indică un pro­ ces, se foloseşte adesea cuvintul "definiţie", este evident o mică eroare, definiţia este doar rezultatul definiri� ( = a procesului de definire). Studiul definiţiilor depăşeşte cadrul logicii formale pure, el intră iu zona meto­ dologiei logice şi tinde să ţină seama de particularităţi ale domeniului de cunoaştere. D. insă se supune unor reguli formale generale şi de aceea studiul ei este Subordonat logicii formale (pure sau aplicate) . ( V şi Defi­ ntţia). DEFINITIO SUBSTANTIALIS (lat. ..definiţie substanţială"), definiţie prin dez����_ _s_up'ş.�tei (esenţei) lucrului de definit.

DEFINIRE,

DEFINITIO VERBALiS (lat. "definiţie de cuvinte"), definiţie prin care se dezvăluie sensul cuyintelor. Se mai numeşte şi .. definiţia lexicală".

DEFINIŢI;E, propoziţie sau ansamblul de propoziţii prin care se determină

semnificaţia unui termen sau se indică note caracteristice prin care o uoţiune se deosebeşte de altele sau se indică modul de coustrucţie a uuei clase de obiecte formale (ori secvenţe finite de asemenea obiecte). Struc­ tura de bază a unei d. (indiferent de complexitatea ei) este A = df Be: , uude A este entitatea care se defineşte (lat. definiendum), BC este de�­ torni (lat. definiens), iar = df relaţia de definiţie. DefmitoruJ constă dm două părţi : B - genul apropiat din care face parte A, C - diferenţa specifică (proprietatea care delimitează pe A în B). Genul apr?�iat se numeşte în mod tradiţional gen proxirn. înţelesul exact al expres1e1 " gen pro:x:im" este genul cel mai apropiat, dar aceasta nu corespunde �u �odul 1n C are se dau de obicei d., căci este adesea foarte greu sau ch1aI unpo­ sibil de găsit genul cel mai apropiat. Din această cauză este sufici�t să 1ndicăm un gen apropiat. în ce priveşte relaţia de d., = df, ea se Clt�te : .,se defineşte prin" sau "este echivalent prin definiţie cu" sau " este 1den­ tic pnn definiţie cu". în acest fel, formula A = df BC se citeşte, de e� . "A este identic prIn definiţie cu BC". Relaţia de d. nl1 este o �elaţ�e de eC}lJvalenţă (v.) ci este o relaţie de O1'dins (v.) cu propnetăţJ!e rrefle­ :zivitate asimetrie, tranz1tivitate. Refle:x:ivitatea şi simetria ar echivala cu A =' df A şi resp. A = df BC � BC � df A , ceea ce constituie erori in d. : prima este eroarea .dem per tdem, a doua - eroarea cereulut VUIOS


DEFINITIE CONTEXTUALA.

71

Deşi relaţia de d. nu este de echivalenţ/i ea implic/i totdeauna o rela­ ţie de echivalenţ/i : A = df BC � A = BC (de ex., A = BC poate fi echireferenţa sau echivalenţa extensională ş.a.) Aceasta explică una din cele mai răspindite erori : relaţia de d. este confnndat/i cu relaţia de echivalenţ/i, în particular cu egalitatea (a. in fizică formulele s = v • t, E = mes sînt tratate nneori in mod greşit ca d.). De aci nu trebuie conchis cii nn există entităţi tnterdejJnisabile. Astfel, termenii "animal raţional" şi "animal capabil s/i construiasc/i unelte" sint interdefinisabili. în acest caz, san nu este nevoie să-i definim sau stabilim o ordine arbitrar/i (cum se intimplă frecvent in sistemele formalizate) sau definim termenul mai puţin clar pnn cel mai clar. Este important de reţinut că adesea noţiunea definită se referă la o operaţie san la o relaţie. Cind definim o relaţie d. ia forma unei echivalenţe între donă propoziţii fără ca prin aceasta să se incalce condiţiile de structură impnse mai sns. Ex. "A � B dacă şi numaJ dacă orice model care satisface pe A satisface pe B". D. se poate modifica pentrn a o adnce la structura de bază. Există multe tipuri de d., clasificarea lor nefiind făcntă neapărat nnmai după criterii formale. Teoria d. cnprinde atît logica pur/i cît şi logicile aplicate. Pentru a preveni auumite erori în d. an fost formulate o sZie_�JeG'uli pe care trebuie s/i le satisfacă d.L.<liţl_trţ .ill�.J!.ţj .mm m .litt;;t 4.Q.�_ rfţgulile tr�ionale : a) exten­ siunea definitnlui trebuie s/i fie identică cu extenslUnea defliiltorului , bL d. trebuie să fie dată în termeni precişi, c) pe cit posibil d. să nu fie Tată in termeni negativi, d) d. nu trebuie să he In cerc vicios (v.) , �. trebnie să fie necontradicto'i1e:"1rxemple de d.: 1 . Omul este animal raţio­ nal ; 2. P/itratul este rombul cu toate unghiurile egale. în primul caz omul este definItul, ammal t'aţJOnal este definitornl, gellul proxim fiind animal, iar difer.enţa speciţi.�_ă_.!iind I'a/tonal. în al doilea caz pătt'atul este

(v )

definitnl, t'ombul cu toate unghiurile egale este definitorul, t'ombul fiind genul proxim, iar cu toate unghiunle egale fiind diferenţa specifică. în ambele d. , relaţia este exprimată prin copnla este. ( V, Definiţ ia reală, Definiţia nominală, RegulJle deftmţt8') .

definiţie în care se dă unul sau mai multe contexte de ntilizare, astfel că semnificaţia reiese din context. Exemplu clasic de d. c. este definiţia echwalenţeJ mulţJmt lot' (binnivocltăţii) (v. ) A - B = df3R{( Vx x E A -+ 3y(y E B & x R y)) & ( Vy Y E B-+ 3x(x E E A & x R y) & V x Vy Vz((x R z & y R z -. x == y) & x R Y x x R z -+

DEFINIŢIE CONTEXTUALĂ,

-+

y

==

z)) }

Biunivocitatea este definitii prin contextnl de utilizare a relaţiei R. Se poate observa că R apare de mai mnlte ori. In acest fel contextul lui R este format din mai mnlte subcontexte. Tot o d. c. este şi următoarea definiţie dată adunării :

a+O=a a + b' = (a + b)' D. c. nn asigură, în general, existenţa şi umvoCJtatea, aceasta este valabil mai ales pentrn definiţiile formale (definiţiile sub form/i de formule). Definind semnul

,,<

"

pentru fracţii :

Xl

-

Yl

<

X.

- =

Ys

df Xl

Y.

<

Xs

Yl


72

DEFINITIE EXPLICITA.

se arată că există exact o relaţie

�J Y.

== Xl

G. Peano)

6 4 =

..

1,

2

-

3

=

Y.

< X• •

R

care satisface echivalenţa ' R

(-.2. Yl

,

Yl' Iată şi o definiţie necorectă (exemplu <lat de

Xl

Definim funcţia ... astfel : - ...

YI

8

6

7

4

- Deoarece -

=

3

6

2

4

- avem - ...

8

de unde contradicţia -

7

=

X.

-

Y.

=

2

-

3

=

Xl

c

Yl

+ X. + Y.

df ---

De

aci :

2 3 2 3 - ... -. Or - ... 2 3 2 3

1.

DE�N:�Ţ"E EXPI.IClTĂ,� definiţie: in careTproprietăţile""def!nitorii sînt

nnmite in mod direct în aşa fel că obiectul definit sau semnificaţia ter­ menului sint date univoc şi pot fi recunoscute imediat prm alte mij­ loace ; este luată în opoziţie cn definiţiile imPlicite (v.) . Astfel, "pătratul este rombul cn toate unghiurile -egale"- este-·o--o. e. Figura geometr icl pătrat poate fi identificată prin intermediul proprietăţii respective şi este cunoscută şi prin alte mijloace. de ex .• prin altă definiţie : "pătratul este dreptunghiul cn toate laturile egale" . De asemenea, pătratul po ate fi exemplificat imediat. DE,fINITIE GENE'�'ICĂ, definiţie; care caracterizează obiectul prin mo­ dul 'fn care se produce'" sau prin modul in care poate fl produs. De ex. : "B etonul este un material de construcţie obţinut prin intărin:a unui amestec de pietriş şi nisip cu ajutorul unui liant anorganlc ca cimentul sau organic ca bitumul". Acesta este un exemplu de primul tip. în alte exemple, avem mai degrabă� un "experiment mintal" : "Conul este fi­ gura geometrică obţinntă prin rotaţia unui triunghi isoscel În Jurul înăI­ ţim:ii sale" . Chiar dacă poate fi reprodus real acest experiment, ceea ce mteresează este doar experimentul imaginat şi nu prodncerea ca at are. Constru cţiile geometrice (desenele) se bazează totuşi pe astfel de defin iţii.

D�FINll'lE IMPLICITĂ, tip de definiţie opusă celei explicite (v.) . Obiec­

tul sau semnificaţia termenulni nu sint date direct, ci pe căI ocolite, pri� tr- nn sistem de relaţii san, respectiv, printr-un context care nu sînt sufiCiente pen tru a le identifica şi nici nu ne sugerează legătura cu alte mijloace de a le i dentifica . Altfel spns obiectul �au semnif�caţi� nu s �nt "exprimate direct" prin proprietăţi care să-I deltmlteze cl � �1 .uruVOC. fară a-l asocia alte pl;oprietăţi. Astfel de definiţii sînt . a) defJnlţi1le con­ textuale (v.) ŞI b) definiţiile prmtr-un sistem de axiome (formale) . D� . . �x ., 8.Xlomele mulţimilor defmesc implicit conceptnl de mulţime, nu exista In să garanţia că numai conceptul de,i mulţime satisface aceste axlO �e şi nici nu e clar ce extensiune are acest concept în raport cu cele m­ tn itive, determinate neaxiomatic . De notat este că d. f. nu satisfac en­ tenul eltminabilităţii (v. ) . DJ';�IN IŢIE INDUCTlVĂ, tip d e defmiţie, în sistemele formale, caracte­ riz at prin aceea că : a) se postulează anumite obie cte formale elemen­ tare b) se dau reguli de construcţie a unor obiecte formale compuse. în cest fel, d. f. apare ca un ansamblu de reguli � e �onstruc�e de . la SlIDplu la complex. Un exemplu clasic este def1n1ţia .. nuruărulw natural" : a) O este nnmăr natural, b) Dacă n este număr natural. atuncI


73

DEFINIŢII:: NOMINALA

n' e..te număr definite prin

uatural, e) Nu extstd alte 1 şi 2. Prin regulile date

numere naturale în afara celor (1 şi 2) gen erăm şirul : O, O',

. Odată Cu regulile de construcţie se defineşte implt­ Alte exemple de d. 1. sînt definiţia " termenului" şi a "formulei" in ant wetica formalizată în logi c a pro­ poziţiilor putem defini inductiv " formula" (sau " expresia" ) astfel ' a) Orice

O". O' ". O"

",

.

�It şi terlllenui "număr natural"

variabilă propoziţională este formulă, b) D acă CIt es te formul ă ii este for­ lllulă. cI D ac ă CIt. [3 sîn t formule CIt & (3, CI. V (3. Ct => 13. sî n t formule. d) Nu există a l te formule afară de ce le definite la 1, 2, 3. Se observă că ul­

tim a propozIţie este o limitare Kleene numeşte " pun c te dire cte " regulile constru c ţI e propriu-zise, în timp ce regu la de hmitare este numiU " p unct indirect" Se observă că două obIecte sînt diferite dacă sîut pro­ duse dtfent şi sint identice dacă sînt produse identic. Uneon d_ i. se num esc şi "recursive ", totuşi utilizarea termenulUI recursiv este de regulă

{le

;�rtn znducţie " d eoarece depmd de cel e inductlve DJ.;!; 1:\ Il'IE NOlIlNALl (lat. "defmitio nominal lS ") . defmiţte

deosebItă ţii

de

"inductiv "

Kleene

numeşte definiţiile recursiye "defini­

care se re fe r ii la s emn ific aţi a termenilor (sau mal general, a cu d n te lor) Ea are c a scop să introducă sau să precIzeze sau bd. d eL v ăl uie semnificaţia ienuemlor ("au a cuvintelor, în genere) Problema dacă d. n. se referă numai la termeUI sau la cu v t nte , în gen ere, este deschisă încă. Cu­ vîntul " termeu " d ep ind e el msuş l de contextul l in g vist ic Probabil că, în măsur a în care putem da regul i precise de u tilizare , orice cuvînt poate fi defin.t t Astfel, cllvinte c a "acum", " de", " Ia " , "cu " , " ŞI" ar pu te a fi deflDite, dacă nu indepe nden t, în con textu l altor cuvinte O problemă d � care, deci, trebuie să ţină seama definiţia e fap tul că nu toate cu­ VlIltele au senmificaţle mdependent:i, Iar gradul de depenuenţă d ifer ă

de la unele c at egorii gr amatic al e la al tele Cuvi ntele "om " , "numdr" au s e mn ificaţie independentă, la fel " al h " , " negru", " roşu ' , dar CltVIn­ tele "şi", "nu " , " ie lOde pendentă " da", "Ia , "acum" nu au semnificaţ ŞI grad ul lor de d epen dcnţd. creşte de la "ŞI " , "nu " la " acum " , " d e" , " Ia ': . Ev id ent " acum" are mat m ult ă ind ependenţ ă de sem nificaţie decît cuvmtele "de", "la" De regulă, d. n. se referă la term e ni şi de aceea vom a \ ea în vedere în principal termenii Structur a de bază a une i �. D. poate fi redută astfel t erme nu l I are semmficaţla s " , �all vom " " " luţelege prin t ' . , � au " nu mim t . . " (unde în locul punctelor punem ex presi a care redă semmfic aţia ) . D. n. se opun dejmiţiilor reale (v.) care se refer" nu la termeni (c u vint e) ci la obiecte (resp noţlUm) E:xe11lplu : . " N u1lll m Cl anemofil e II grupul de plante al go- game 1.1 care I??lellUI este t:anspor tat de vînt". După poziţia lor în proc esul cu no aş terll d. n. po t fi a) de introducere, b) de explicare, c) de precizare Cînd in trod � ce� . o formă h ngvistică nouă ŞI Îl ac ord ăm o se mn ificaţie avem o defmlţH� "de mtroducere ". Să presupune m că introd uc em cuvîntul darca " astfel : P�in ,.d rca" vom înţelege orice comport ament aflat î n �"re dou ă p o z �ţii � bine dellUutate. în li mbaj ele simbolice d efini ţiile d e mtroducere smt adesea presc urtări" De ex., în sistemul propoziţional cu ( - , V ) semnul " Nu -+ se Introdnce c a o prescurtdre prm deftmţi a p ....... q = df li V q este obligatorin ca forma lingvisttcă să fie cu totul nouă, putem pre­ lua c uvinte ieşite din uz (de ex , din alte limbi, cum ar fi greaca sau latina) şi redefini. Astf el s-a procedat adesea în fi zic ă cu denumirile par ­ ticulelor elementare " elec tron " , " p roton" ŞI chiar cu c uvîn t u l " atom" . DeşI

nu e recomandabil, se poa te lu a un cuvî nt uttllzat frecvent ŞI r edefm i . Alte definiţii sînt de "explicare". Termenul de "explicare" are în lltn-


DEFINIŢIE NOMINALA

bajul obi,nuit inţelesul următor : explicarea presnpune că dispunem de o expresie pe care 1t o inţelege bine. dar pe care y n-o inţelege sau n-o Inţelege suficient şi 1t oferi lui y o definiţie clari a expresiei. Ca urmare. definiţia de explicare introduce o expresie (termen. cuvint) in limbajul unei persoane. Dicţionarele de limbă maternă obişnuite sint dicţionare explicative. Cind profesorul defineşte pentru elevi termennl "atom " sau termenul " moleculă " el explică aceste cuvinte. cu alte cu­ vinte el arată elevilor ce se Inţelege prin cuvintele " atom" şi moleculă". Camap i a termeuul de .. explicare" i n alt inţeles. în înţelesul p e care noi il vom asocia cu "precizarea". El spune : "prin exPlicaţia unui cou­ cept familiar dar vag noi inţelegem inlocuirea lui cn un concept nou exact ; primnl este numit explicat (explicandum). ultimul - explicant (explicatnm)". El raportează aceasta atît la concepte cît şi la termenI. Noi vom numi " precizare" înlocuirea unui termen vag cu unul bine definit. tn cazul precizlrii forma lingvistică este cunoscută. dar semni­ ficaţia nu este clară. Putem avea două cazuri : a) termenul este ut�­ luat, dar nu definit, b) termenul este definit, dar definiţia nu este ac­ ceptab,Iă. Ca urmare. "a preciza" un termen inseamnă sau a-i asocia o definiţie la utilizările cunoscute sau a-i înlocui o definiţie nesatisfă­ cătoare cu uua satisfăcătoare. Astfel termenul " doi" care este utilizat bine. dar Înţeles vag. a fost precizat de Frege ca insemnind "clasa tu­ turor mulţimilor perechi". D. n. sînt legate de procesul de Intelegere. "A inţelege " inseamnă a traduce termenul In l�mbajul experienţei personale. De d. D. se leagă problema polisemantismului cnvintelor. Una şi acee�i fomtă lingvistică cp poate avea n semnificaţii. ceea ce inseamnă că lui cp ii asociem n definiţii nomlUale : a) cp = d f a ; b) cp = d f b ; . . . . . . . . c) cp = d f - . De aci regula : inainte de a discuta şi pentru a discuta să ne defmim cuvintele. Altfel. există riscul să trecem de la omonimie la sinonimie. de la identitatea formei cuvintului la identitatea de semnificaţie. De ex., cnvîntul echivalenţă" este utilizat in matematică 'fi logică in mai " multe înţelesuri ' 1) relaţia care satisface proprietăţile ref. sym, trans (v.) , 2) binnivocitate a mulţimilor. 3) funcţia de adevăr a echivalenţei ş.a. (inţeles general, inţelesuri particnlare). Uneori polisemantismul ia forma ambzguităţzz Ststematzce (v.) . Există şi eroarea inversă . de la diferenţa de form ă se trece la diferel:l.ţa de lIeumificaţie. In ca:!: particular. există indivizi care ştiind că de regulă cuvintele "identitate" şi "ega­ litate" sint diferite ei conchid că in orice context aceste cnvinte au sem­ nificaţia diferită. O altă confuzie care se face este intre speciile noţiunii şi semnificaţiile termenului coresplWZător. Fie termenul t cn noţiunea N. Presnpnnem că N are speciile NI ' N•• • • . • NI<' De aci se conchide că t are semnificaţiile eterogene NI ' N•• • . . • NI<' Aceasta se întîmplă. de regulă, din cauză că noţiunilor li se asociazl (evident. in contexte " diferite) acelaşi cuvint. Pentru cuvintul "echivalenţă avem un înţeles general Şl inţelesuri particulare. înţelesul general este dat de noţiunea generală de echivalenţă, în timp ce inţelesurile particulare sint specii ale acestui tip de relaţie sau d1Wpotrivă. pur şi simplu alte înţelesuri. Nu toate inţelesurile, sensurile, semnificaţiile unui cuvint sint specii ale unui înţeles general. Vom distinge : a) trecerea de la n cazuri parti­ culare (" specii " ) ale noţiunii la n inţelesuri eterogene şi b) trecetea de la n Inţelesuri eterogene la n noţiuni particulare ale unei noţiuni ge­ nerale. (Vom spune că înţelesurile sînt "eterogene" cind ele nu sint noţiuni - specii faţă de o noţiune mai generală) . Termenul semn" se " defineşte Într-nu fel în sintaxă, în altfel in semantică, dar nu rezultă


DEF INJTIC

75

PRI'I/

ABSTR \CTlL

specl1 ale aceleIaşI �e1l1nIhcaţti. Termenul " lege" are mai llIulte înţelesuri (lnrudite) , dar nu sînt specii ale aceleiaşi noţiuni. Astfel . a) lege ca raport, b) lege ca teoremă, c) lege ca o convenţIe. între semni­ ficaţii chiar dacă nn sînt specii ale aceleiaşI noţiuni pot exista legături s an nn. în exemplul dat, semnificaţiile cuvintului "lege" sint sistematic legate, nu la fel in cazul cuvintulni "broască". D. D. pot fi caracteri­ zate prin faptul că răspund la intrebări ca acestea : "Ce termen 'lllti.lizaţi pentru a desemna acest lucru ' ' ' , "Ce se înţelege prin acest termen ' ' ' , "Ce înţelegeţi prin acest termen ? " , " în ce sens utilizaţi acest termen ? " . O confuzie care s e poate face este între eu inţeleg przn . . . , tu înţelegz przn . . Şl, în genere, se inţelege prin

că aveln

DEFL�IŢIE OPERAŢIONAL.\., defmiţie dată prin intermediUl metodelor, operaţiilor sau proceselor de identificare a entităţii Importanţa acestei

definiţii a fost semnalatJ. la Bridgman în The logze of modern physies. " Pentru a defini lungimea cutări sau cutărui obiect, scne el, este necesar să prod ucem operaţÎ1 fizice cunoscute, prin intermediul cărora se fixează lungLmea". în acest fel, dimerlsiunile sînt definite prin "operaţiile de măsură", greutăţile prin "op eraţi1le de cîntărire" ş.a.m.d. O d. o. frec­ vent utilizată pentru exemplificare este : " acizh sînt substanţa care In­ roşesc hirtia de turneso l " . Se înţelege că nn toate conceptele (nn toţi termenii) se pot defini operaţional. Este mai pmdent să credem că se definesc astfel, In primul rind, " conceptele empirice" şi în niciun ca;/; nu toate conceptele generale. Putem da form.l condiţională acestor de­

=> (Q,(x) «> Q.(x)) Să transpunem definiţia acizilor ' x este acid Implică (x este substanţă pusă în contact cu hîrtia de turnesol este echIvalent cu x înroşeşte hîrtia de tumesol ) . Acest mod de inter­ pretare nu coinclde cu iuterpretarea dat.l de Carnap propoziţizlor redue­ tive (v . ) , însă convine exemplelor date Alt exemplu ' x are greutatea g implică (x este pus pe cîntar este echivalent cu x mişcă indicatorul în dreptul lui "g"). Se poate da şi formă de echivalenţă : Ql(X) «> (Q,( x) «> «> Q3(X)) Exemplu : "x are greutatea g dacă Şi nnmai dacă x este pus

fimţii : Ql(X)

pe cintar llnplică x mişcd indIcatorul in dreptul lUI "g". Evident, se pre­ supnne cl avem un cîntar Ideal (care funcţionează perfect) , altfel pro­ poziţiile nu sînt valabile. BEFINITlE PRIN ABSTRACT IE, numită şi definIţIe prm relaţia de echz­ valenţă (v ) Poate avea diferite forme ' sau definim "ceva comun pentru x ŞI y " sau identificăm ceva cu o clasă de echivalente sau determinăm o clasă de echivalente în raport cu o entitate concretă (dată) . Exemple : a) "mulţLmea X are acelaşz număr cu Y = df mulţimile X şi Y sînt biu­ nivoce" (primul caz) , b) " numărul cardinal al unei clase X este clasa tuturor claselor echivalente cu X (al doilea caz), c) , , 1 . inscnpţia A este variabilă propoziţională, 2. orice Inscripţie echivalentă grafic cu A este vari abilă propoziţională" (cazul trei) . Diferenţa între c) ŞI b) este eVI­ dentă, c) defineşte o clasă concretă de entităţi, in timp ce b) defineşte " o " clasă oarecare de entităţi de un anumit gen. Camap a definit prm abstracţie expresiile "a avea aceeaşI extensIune" şi "a avea aceeaşi in tensiune" . "x are aceeaşi extensiune cu y = df x eate echivalent cu y; x are aceeaşi intensiune cu y = df x este logic echî­ valent cu y " . (v. Metoda extenszunii şt illtenszunii) Acestea sînt definiţii de forma a) . Ele lasă deschisă posibilitatea ca termenul "extensiune" şi resp. "intensiune " să poat ă fi concretizat diferit (adică să existe diferite entităţi care satisfac relaţla dată) .

rile este asigurată

unicitatea.

Nl1 e clar dacă în toate cazu­


DEFINIŢIE

7h

PRIN DESCRIPŢlE

DEFINITIE PRIN DESCRIPŢlE, tip de definiţie pentru termenIi In di­ viduali. Te enii individuali (constantele individuale) se pot defini prin descr;'pţ;'J (v). Descripţia are forma : (lX) - - X - - (citeşte "aoel x astfel că - - x - " ) . Se presnpune că descripţia satisface condiţia de UDicitate : 3y Vx( - - x - - == x = y). Definiţia simbolnlm indi­ vidual a are forma : a = (lX) - - X - - & 3y Vx (- - x - - ;;;; x=y) sau mai simplu : a = (lX) - - X - - (unde condiţia de nnicitate este presnpusă) . Exemplu : 0 = (lX) Vy (y + x = y). Numele proprii se pot defini prin descripţii. Ex. : Mlhai Eminescu = df (lX) Autorul poemuluI Luceafărul (x) Dacă nu este suficientă o singură insuşire se poate lua ca descrlpţie o intersecţie de însuşiri care asigură unicitatea. DEFINITIE PRIN RELAŢIA DE IDENTITATE. Relaţia ' de identitate poate fi uneori folosită pentru definiţie (cu condiţia că e inţelell1>ă C.l .. identitate prin d efiniţie " ). Mai intîi o putem utiliza pentru COD6tante individuale, apoI şi pentru operaţii. Utilizarea echivalenţei in locul iden­ tităţii se datorează faptului că nu in toate cazurile identitatea poate fi folosită. Exemple

rm

-

o = y _ Vx (x + y = x)

1 = y _ Vx

(x · y

=

x)

Se inţelege că trebUie garantată unicitatea lui y pentru a nu se obţme con tradicţIe. Dar pentru definiţia lui 2, de ex., este mult mal simplu 2 = I + I decît 2 = Y _ Y = I + 1 . O d efiniţie greoaie se poate da cu ajutorul operatorului descripţiei şi pentru O şi 1. Exemplu ' O = = (ly) [VX (x + y = x» . tn general insă nu putem inlocui echivalenţa (_) cu identitatea ( = ) . din motive teoretice sau pragmatice (de efi ­ cienţă) . Analog stau luc rurile cu simbolnrile pentru operaţii. Formulare (Suppes) ' O propoziţie cu identitate D care mtroduce un simbol de operaţie n-ară O este o definiţie in T dacă şi numai dacă are forma O(vI , , v" sint , vn) = t ŞI satisface următoarele restricţii : (a) VI ' variabile distincte, (b) termenul t n u conţine alte variabile libere decît VI' " ' , v., (c) Singurele constante nelogice in t sint simbolurile primi_ tive ŞI slmbolnrile definite ale teoriei. Exemplu : • • •

• • •

x -- y = x -t- ( - y) - ,\ = O - x

D. pdn j. dep ind de exactitatea deflUiţiilor an terioare ale teorieI DEF lJ�E REALĂ (lat. def�nJt�o r{ali.sl,_ 9�ti.!l,iţ!e . .care-şi propune să deZv rue determin1!.rile caracteristice ale obiectefor-- (respe&1v notele sp��ifice Jl�). Astfel, defiiiţi iile ::omuI ' este animal raţional' , , păt­ ratul este rombul cu toate unghinrile egale" sint reale, ele dezvălUie dete� inările care apart.� �.tf�,!-i omului şi respectiv numa� pătratuluI , Este Important să se observe că d. r. este raportaU c ind la ;,nhiect" (in sensul logiC general de entitate) , cind la "noţiunea" obiectuluI Ux­ presiile " definim obiectul" şi "definim noţiunea obiectului " trebuie luat:l ca echivalente in acest caz. Trebuie să precizăm însă că " a defim obiec­ tul " inseamnă exact a-I da, a-i dezvălui determinările proprii, specifice , determinAti care convin numai obiect ului (respectiv clasei de obiecte), dar "a da determinările obiectului" înseamnă exact " a consbtui notele noţiunii ", prin urmare "a defini obiectul" şi "a defini noţiunea" sînt expresii IUtersubstituibile. D. r. se opun dejmiţiilor nom�nale (� ) care se referă la termenii (san mai general la cuvinte) . Se spune adesea că d. r. redă determinările esenţta/e ale obiectului, desigur aceasta este

�r


77

DEFINIŢIILE CONDIŢIONALE

tendinţa. Jnsă o definiţie nu incetea7;ă să fie reală dacă determmănle sînt neesenţiale. Problema dacă o determinare definitorie poate fi neesen­ ţială se rezolvă concret. in funcţie de ceea ce definim. O ci. r. presupune că semnificaţia cuvintelor este cunoscută in prealabil. D. r. sint pro­ poziţii cognitive (adevărate sau false ) nu convenţii (norme) cum se În­ tîmplă frecvent cn definiţiile nominale. în legătură cu d. r. a apărut prOblema distincţiei intre genul proxim (v.) şi diferenţa spe&ifictl (v.) . Este foarte important să nu confundăm genul proxim cu diferenţa spe­ cifică. DEFINITIILE ARITMETICE ALE FUNCŢIILOR LOGICE, deflUiţ1i in­ troduse ca urm are a notăm valorilor logice cu cifre. Adoptăm convenţia : 1

=

adevăr ; °

=p 1 - P

=

fals. Vom avea definiţiile '

(a) (b ) P & q = P X q (c) p V q = P +q - pq (d ) P

-.

q =

{� �:�! � ;: :

(d') p -. q = I - P + pq Există apoi definiţu prin max (P, q) şi min ( P , q) . (b1 i' & q = mm (P. q) ( c') fJ V q = max (p. q) (d U ) P -+ q = max (1 - p . q) Dacă adoptăm convenţia : l

(a) p = I - P (b ) P V q = p X q (c ) p& q = (P + q) - pq dac � p � q (d ) P -+ q = 1, daca p < q

=

fals , O

=

adev.lr, def miţiile arată astfel :

{O,

(d ' ) P -+ q = q - pq ApOI prin max (P, q) şi min ( P, q) (b') P & q = max: (P, q) (c') p V q = mm ( P. q) (dU) P -+ q = min ( 1 - p, q)

.

Se observă că negaţia este invariantă în raport cu convenţia de notare, iar conjuncţia şi disjuncţia se comportă dual. Pe baza formulelor delmai sus se poate da un algoritm aritmetic de decizie . DEFINITIILE CONDIŢIONALE, definiţii care presupun o restricţie ca ipoteză. încercînd să definim diviziunea conform cu definiţia pentru operaţii constatăm că nn putem da o definiţie simplă fll.ră o "restric­ ţie", deci. fll.ră o condiţie. Astfel : xlY = Z _ x = Y , z nu satisface res­ tricţia (of) din definiţia simbolurilor-operatori. (v. ) Dacă Y = O. atunci obţinem : x/O = z _ x = ° z . Presupunind. de ex., că x = 2 avem : 2/0 z _ 2 = ° . z, Adică 2/0 = z _ 2 = Aparent. modificarea ar fi aceasta xlY = Z _ Y #: ° & x = Y • z. Lucrurile se complică din nou dacă Y =

=

.

O.

O.


78

DEFINIŢIILE CONDIŢIONALE

o definiţie complicati este aceasta "Iy = z * "Iz' (z' = z � " =- , • .r') V V 3w "Iz' (z' = w _ x = , . 6') & z - O) ceea ce este un exempln al

definiţiei de formă generalII. :

O(xl• • • . • x.) =- y _ "Iz [z ... y � 5 ( xl> • • • • x". z) ] V 3w "Iz [z = w _ 5 (XI • . • • • x•• z) + y = O ] O formă mai simplă se poate obţine dacII. adoptăm introducerea ipo­ tezei y rF O : y rF O => xlY = z � x = y • z. Ea are dezavantajul de a DU satisface complet cnteriul de eliminabilltate. Forma generală a defi­ uiţiilor condiţionale poate fi aceasta : F(x) => (G(x) =df H(x)). (G(x) este definit pentru cazul a cind are loc F(a» . Uneori putem avea un sistem de asemenea definiţii :

FI(x)

=>

(G (x) =

df HI(x»

F.(x) => (G (x) = df H.(x)) în

acest sistem este necesar să se demonstreze că are loc condiţia : F,( � I & F�(x) => (H,(x) = df Hl(x» pentru orice ' . k din 1 • . . • n. alt­ fel iajungem la contradicţie. Def niţiile se aplică apoi la numele a pentru care are loc : FI(a) V . . . . . . V F.(a). Vrind să arătăm că prin asemenea d. e. G este complet definit trebuie să demonstrăm : "Ix F(x). reap. "Ix FI (x) V . . . V F.(,,). în acest caz se poate da o formă explicită definiţiei :

G(x) = df H( x) resp. G (x) = df FI(x) & HI ( x) V . . . V F. (x)

& H.(x)

La Grzegorcyk găsim următoarea formulare : Un simbol F este introdus în mod condiţional într-un limbaj L dacă şi num81 dacă : (a) formulele

V(xl • V (xl•

• • • • • • • •

=> z = v)

X.)(�(XI' . . . • x.) x.) V(z . v)( (3(x1 •

=> 3zet(xl • • • •

x.)

&

. • . •

et( x1 •

x•• z)) • . . •

x •• z) & et(XI •

• • . •

x•• v) =>

�in t teoreme în L. (b) J. nu apare anterior în L. (c) F şi definiţia con­ diţională :

V(). l o

. . •

x ••

y) (Mx1• •

x.)

=>

(y

=

F(xI'

. . . •

x.)

==

et ( XI >

. . . •

x•• y)) )

sînt adăugate la L. Ultima condiţie poate fi formulat.l şi astfel : V(xI •

=> et(Xl '

. . . •

x•• F(xI'

. . . •

• • .•

X.) �(XI'

• . . •

x.)

=>

x.» .

O formulare pentru operaţii se află la Suppes : O implicaţie C care intro­ duce un nou simbol de operaţie o este o definiţie condiţională în T dacă ŞI numai dacă C este de forma :

H => (o (VI' • • • • VII) = W * 5) şi au loc restricţiile : (a) variabila w nu este liberă în H. (b) variabilele VI • • • • • VII. w sînt distincte. (c) 5 nu are alte variabile libere afară de V, • • • • • VII. w. (d) 5 şi H sint formule In care smgurele constante nelogice sînt simbolurile primitive şi simbo­ lurile definite în prealabil. (e) formula H => (E Iw) 5 este derivabill din momele şi definiţiile precedente ale teoriei. Astfel de definiţii nu satis­ fac. în general. criteriul de elimînabilltate (deşi li satisfac in cazurile cele m81 interesante. cînd ipoteza are loc). în cazul diviziunii nu putem elimina semnul divizlnnii din egalitatea

1

O

=

1

O


79

DENOTAT

DEMONSTBABILITATE, proprietate a formulelor propoziţlonale (sau a propoziţUlor) de a fi deduse cu ajutorul regulilor de deducţie din for­ mule propoziţiona1e (sau propoziţii) adevărate. Mai precis vom defini .. demonstrabil in S" şi anume "formal demonstrabil". Fie S nn sistem de axiome. Vom spune că o formulă B este d. in 5 dacă şi numai dacă : a) B este una din axiomele sistemulUI (deci, e deductibilă din "premise vide") sau, b) B coincide cu nna din teoremele date ale lui S, san, c) B se dednce din teze ale lui 5 conform cu regulile de deducţie. Altfel sp us, B este (formal) demonstrabil în S dacă şi numai dacă există o demonstrllţi6 f01'mală (v.) pentru B în S. Se înţelege că de­ finirea aactă a d. (resp. a lui "demonstrabil în S") se dă în raport cu fiecare sistem in parte (precizînd axiomele şi regulile de deducţie). în istoria ştiinţei este demonstrată numai p ropoziţia care decurge din p ropoziţii adevărate neechivalente cu ea. DEMONSfRATIO AD OCULUS (lat. " demonstraţie la vedere"), de­ mOiiStrapa inturtrvl; "prin indtc'area directă a obiectului sau fenomenului. DE�o.,NSTRATIE .APAGOGICĂ, demonstraţie indirectă care constă in stabilirea valabilităţii concluzie! admitind contradictoria şi arătind cl concluzia ce urmează este imposibilă (caz de reducere la Imposibil) . DEMONSTRATIE CONSTRUCTIV,' , demonstraţi e în concepţia intm­ ţionismului logica-matematic. Orice demonstraţie este un proces construc­ tiv, un expenment mental (efectnabi! în prin cipiu de orice fnnţă inte­ ligentă) . D emous traţ ia unei teoreme nu este altceva decît o construcţie mentală efectuată cu sncces. Heyting spune : ,,«2 + 2 = 3 + 1 . trebuie citită ca o prescurt are a enunţu lw : A m efectuat construcli�le mentale in­ dicate de «2 + 2 . şi .3 + 1 . ş� am găsit că ele duc la acelaşi rezultat" . A exista, in spiritul d. c., inseamnă a produce prin construcţie cazul corespunzător. ( V. şi Intuiţionismul log�co-matematic) . DEMONSTRATIE FORMALĂ. O secvenţă de formule A I' . . . , A" dintr-un sistem aXÎomatlc este o d. f. dacă şi numai dacă a) A .. este consecinţă din AI' . . . , A"_l conform cu regulile de deducţie ŞI b) A l' • A " _l sint fie axiome fie formule deja deduse din axiome în legătură cu de­ monstraţIa deosebim forma demonstraţie� ("figura de demonstraţie") ŞI procesul de demonstraţie. Logica s tudiază forma demonstraţiei. Definiţia precisi a d. f. presupune refe rirea exactă la sistemul de axiome şi de reguli de deducţie. DJ;MONSTRATIE INDIRECTĂ, demonstraţie pnn care o prop0.llţle este asertaU prin respingerea propoziţiei opuse. Are două forme : ap a­ gagică (v.) şi exclusivă. Forma exclusivă este raţIOnamentul disjunctiv­ categoric prin eliminare : A I + A. + . . . + A "

AI' AI' . . . , A"_ l A"

DEMONSTRATIE VARIANTĂ : o succesiune finită d e formule <Iacă fiecare formulă este sau variantă a axiomei (v. formulă variantă). fie se deduce din formulele precedente conform cu regulile de deducţie (de­ finiţia aparţine lui A. Church). »,�N�T�1i.. categorie a semanticii de refel'�nţă (v). Este d. entitatea u­ zică sau abstractă (obiectul general. obiectul abstract, obiectul ideal) la care se referă expresiile (termeni sau propoziţii) limbajului cognitiv.


so

DE NOTAT

Este introdus prim a dată de J. S. Mill (v. denotaţie) , dar la el se con­ fundă cu extensiunea termenului. Sinonim cu denotatul folosim cuvintul referent (v.). Rezolvarea problemei referinţei univoce cerea introducerea entităţilor abstracte însă numai în sens metodologic, nu în sens teoretic (în acest fel se evită realismul idealist). Problema apare în primul rind in legătură cu termenzz general�. Aşa cum a arătat deja Burleigh (v. doc­ trina universalelor) termenul general nu cuprinde vreo referire la indivizii la care se aplică. Ca să exemplificăm, vom spune că nu existll. nimic in conceptul om care să se refere în mod determinat la Platon sau Aris­ totel, ceea ce desemnează cuvintul "om" este generalul care este unul

in toţi indivizii umani, adică wbiectul general ,) (Paul Lorenzen). D. ter­ men ilor este determinat de definiţia asociată (în exemplul nostru ea poate fi "animal raţional " sau alta). Problema d. se complică pentru semau­ tica descriptiv ă cind e vorba de propoziţii. Propoziţia însă nu are funcţie denotativă directă, d. ei este lucrul despre care vorbeşte şi care este desemnat de o parte a propoziţiei (ex. subzeetul). Distincţia dintre II. şi extensiune în cazul termenilor provine din deosebirea dintre relaţ�a de a denota şi a se aPlica. Termenul om d. generalul om dar se aPlică fiecJr ui individ în parte, căci om este distributiv, în raport cu clasa indidzilor umam. Problema extensiunii pentru propoziţie se rezolvă specific in funcţie de complexitatea propoziţiilor. De ex., pentru propo­ ziţia universală "toţi S sînt P" problema se rezolv ă astfel : este extensiune a propoziţiei totalitatea indivizilor la care se aplică predicatul P în ex­ tensiunea lui S. în metoda relaţiez de denumzre (v.) problema d. se re­ zolvă difent. în concordanţă cu cele spuse mai sus, în semantica de referinţă, o expresie bine definită se referă la un singur lucru (d.), dar se poate aplica la mai multe lucruri (extensiunea). C orespunzător d. (res. regulilor de d.) avem termenii sinonimi desemnat ( resp . regulile de­ semnare) , denumzt (resp. regulz de denumzre) . D. este corelat cu sensul (v). Pentru termeni este valabilă teorema lui Church că d. este funcţie de sens, pentru propoziţii această teoremă nu mai este valabilă în se­ mantica descriptivă. în funcţie de context categoriile semantice işi pot schimba poziţia şi corelaţiile dintre ele. De ex extensIUnea sau sensul pot deveni ele insele d. în anumite contexte. Două expresii care au acel­ l aş i d. se numesc ech�denotative sau eeh/referente. Două expresii sinonime sint şi eclureferente Deoarece nu toate expresiile se bucură de nuivo­ citate e�te util să rezumăm Într-un tabel relaţiile posibile intre o expre­ sie x şi obiectele care joacă rol de d.

xld

OI 1 1

1

O 1 n

n I m n (unde n

>

1, m

>

1, m

=

n sau m ;:.! ni. Relaţia (O - 1) am introdus-o

pentru completitudine, ea poate însemna că există obiectul (poate chiar In experienţă) dar nu are nu nume ; relaţia (1 - O) indic ă o expresie vidă ; relaţia (1 - 1) indică biumvocitate . relaţia (1 - n) indică plu­ rivocitate (polisemantism) ; relaţia (n - 1) indică echireferenţă intre n ex ­ presii ; relaţia (m - n) in dic ă o raportare nedetermin ată în genere între o mulţime de expresii şi o mulţime de obiecte.


DESCRIPTIJ (INDIVIDUALE)

81

V�:VOT�TIE, termen introdus de

MIII pentru a marca lucrurile la care sau se aplică numele (individuale, re�p. genefale) (Il. conotaţie) . PRI�CIPIIS NON EST IHSI·UTASn Ul\1 (lat "desp re principii nu

se re/eră n

E

s� discută "), for mu lare prm care se caută apărarea concluziilor false � au dda\'orabl le prin mterdlcţla de a discuta principiile din care aces­ tea ,lecurg Exprimă. o atitudme dogmatică Echh'aleazl cu concepţia dupi.\. care o doctrin ă trebuie ab ord at ă 11 It1lla I din znteriorul et " pentru a il Înteleas{t " , în realitate pentru ,t o sall'a Abord area critică cere de­ păşire.! limitelor, discutarea ue la n ivel met ate oreti c J)ES.PI I EUE nlj:. . .�Ţ.i\.!!& concep t introdus de Carnap ca exp hcan t pentrll ,ltanea posi bil ă " :,. l u i Lei bl�i.'�� u "stare.! de lucruri:' a lll,i Witl:.. genstem Carnap d ef in eşte c o ncel'tu l pen tru un limbaj dat .) , In care lUtră pe lî ngă o parte UI lI semnele logicii propoziţiilor şi predic atel o r uuele C'Jllstante descripti ve (ne logice) "O das;! de p ropoziţii din S, care COllţ:UL pentru oricc propoziţie atomară p sau această propoziţie sali nego.ţ ia el, dar nu pe amîndouă şi nu conţine alte propoziţiJ, este numit ă d. de s. (state-description) în 5" deoarece ea dă evident o completă des­ criere a stării posibile a uni versuluI indivizilor cu privire la toate proprie_ tăţile ŞI relaţiile exprimate de predicatele sistemulUI" D acă a�m pred i. catul H"C ("x este om") atuncI p ut e m formd d. de s. Hx, Hx, dar nu (Hx & H"C)-.!'entrtt uoul predlcate P"( ŞI Qx ayelll de ex stările ' (l)x. Qx) , ( P l , Qx). (Px, Qx), ( 1); QX) (pre�upunind cJ. a ve m Îll ved e re �be[e propozlţ1t a tomare) )l u vor fi d. d,' s. mCI (Px, Px), nici (Q \ , Qx). S e înţelege c l puteUl mtro<luce pri ntre p ropoz i ţii le d . de s. şi p r o­ POZiţII compuse ca Px & Qx, P"( V Qx etc. Es te uşor de ob�ervat c i". prmclpala condiţie a d. de s. este necontradicţta. D. de s. care d ă st area re alJ. a un i versului este de numită adevărata d. de s. (ea con ţine numai propozIţii adevărate) . D ESCR IPT II descripţii nESCRIPŢII

(I�D I\'IVL.\Lq ,

expre sl l

LOll1pU�e

(termem)

de forma

" acel , care ' " ". Simbolic 1x Fx (citeşte " acel x care este F" sau "acel 11 astfel cl F d e .\ ") sau mai extins 1.\ _ _ "( _ - (unde locurile goale pot fi ocupate de expresii mai dezvol tate) Semnul " , " este nu mit ope­ ratorul descripţiei sau tota-operator. Hilbert şi B ernays care consacră ?escn pţiilor î ntr eg capitolul VIII dm Fundamentele matematicii (voI. I) lUdică diferite modUri de exprimare a d. după cum rezultă din exemplele cel lllai înalt virf din Alpi" , "cel următoare : "mama lUI Goethe" llIal mare divizor comlln al nu'lll ��elor 63 ŞI 84", "cea mai mare va­ �oare a funcţiei x . e -" " . în limba germană astfel de ex:pres� sînt

. de articol. Deşi prin int enţ ia lor par s::i se refere la un swgur l!lSoţlte in�ivid d. pot avea două feluri de semnificaţ ie semnificaţie care sa­ t �sface condiţza de umcztate (constă dintr-ull lIIuivl(l de ter m inat) . �� se m !ll ­ flcaţia care nu satisface această condiţie (se refer:i la un l�dlV1d oare­ care). Denotatul (v.) descripţiei se numeşte, în semantica logică, descrtpt De ex. : . " cel individ care este autorul poemului Luceaj<iyul " ueseI�nează (cel puţw lI;w contextul actual) un smgur indÎ\'id - poetul M Emmesc u. Aceastd. nnicitate este asiguraU Într-un anumit context, c{tCI nu avem ga ranţi a Cd. un alt poe t nu va scrie un poeUl cu ace laşI titlu Ex is t ă însd. d. a căror unicitate este asigurată pentru once contlxt " acel 1!l­ d i V id" care este autorul poemului Luceajăntl ŞI a încetat dlll viaţă 1!l . 1889 . DeSigur, cuvîntul " individ " nu este ohliga toriu, putem �crie as t -


DESCB1Pl 11 (INDIVIDUALE)

8Z

fel "acel poet care a scris poemul Luceafdrul şi a murit in 1889". O astfel de d. este evident defznitorie. Expresia " acel individ care este alcoolic" nn se bncură de unici tate, deşi se referă la un individ, el nn este determinat, ci oar/Jcare. Russell (Introducere în filosofia matematicii) imparte d. in defimte şi indefinite, ceea ce corespunde cu cele două cazuri Indicate. Ele pot fi date prin "acel" (san un cuvint ar ticulat) şi "un". De ex. in propoziti a : "eu am intilnit un om ", expresia "un om" este indefmită, dar in propoziţia . . Scott este autorul lui Waverley", expresia "autorul lni Waverley" este definită. D. " nn om" poate să stea pe lîngă un nnmlr oricit de mare de indivizi (ea n u se bncnră de unicitate) tn timp ce "autorul lui Wave rley " stă pentru un individ (ScoU) . Pentru Rnsaell, ca şi pentru alţi aut ori, d. nu este important-ă în sine ci în con­ textul propoziţiei, de ace ea ea este studiată fie in poziţia de subiect, fie in cea de predicat. T ermen ul "zndivid" (v.) este luat intr-o accepţie mai largă decit indivizii fizici. Altă problemă pentru d. este dacă ele an san nn denotat, dar aceasta nu e specifică (v. termenzz vzzz) . D. au fost studiate pe larg de către Frege, Rnssell, Hilbert, Carnap. Quine ş.a. Esenţial este că dm forma e xp resiei nu decurge dacă avem sau nu condiţia de unicitate, prin urmare existenţa ei trebuze demonstratd. în matematică teoremele de unzCltate sint ceva tot atit de frecvent c a şi teo­ remele de exzstenţă Pentrn "lX - - X - - " condiţia de unicitate are forma 3z 'Ix (- - x - - == (x == z)). Acest mod de a defin i unicitatea presupune existenţa denotatnlui pen tru d. Probabil că formularea con­ di ţională este m ai ad ec vată

3 x F (x ) � 3z Vx ( -

-

ţ

--

==

(x := z»

(dacă eXistă x astfel că F de x atunci există z încît orice x este iden­ tic cu z). Cn alte cuvinte, condiţia de nnicitate are sens numai in pre­ sn pnnere a condiţiei de existenţă. Frege considera că dacă nn există sem­ nificaţie (Bedeutuug) pentru d. atuncI propoziţiile smgulare corespun­ zltoare nu pot fi adevărate sau false (ceea ce pentru mnlţi IOgtcieni este identic cu nu au sens) . El a acceptat ambele felun de d. (cu sau fără unicitate), dar s-a strădUit să le asigure denotat (descnpt) prin regultle de formare. Rnssell abordează problema în On denotillg (1 905 ) şi împre nnă cn Whitehead în Princzpia Mathematzca Whltehead şi Russel l consideră propoziţii singulare ca " Regele (actual) al Franţei este pleşuv " . O astfel de propoziţie este considerată ca fiind echivalentă (logic) cu u rmătoarea "există x astfel că z este regele Franţei dac:l şi numai dacă. z este identic cn x şi x este pleşuv". Dacă nn există astfel (le 1I1dlvid san dacă există mai mulţi, propoziţia este falsă. Prin unnare, astfel de propoziţii au sens dar sînt false. Ei distmg între intrarea primară şi intrarea secund ar ă a unei descripţii : a) în expresia "Regele Franţei nu este pleşnv " d. are o mtrare primară, iar în b) "Nn există rege al Franţei încit să fie pleşuv" d. are o intrare secundară. în a) propo­ ziţia implică presupunerea d e existenţă, în b) existenţa este explicit negată. Rnssell insistă ca ŞI Frege asupra distincţiei dintre numele pro­ pru ŞI descrzpţii (individuale). Prime le nn au sens prin ele însele in timp ce nltimele an sens. Pe de altă parte, Russell distinge intre numele proprii obişnuite şi nume proprii în sens logzc Distincţia este neclară. Reţinem insă (după Kneale) . a) dacă A este un nume în sen., logic a­ tunci "A exi stă " este absurdă (căci A nu presupune o însuşire sau alta), b) "un cuvint nu poate fi nume proprIU in sens logic dacă nu desem­ nează ceva de care vorbitorul este nemijlocit conştient". Kneale indică pe " eu " ca pe un astfel de cuvînt Ori de cîte ori cineva pronunţ ă


83

DETERMINARE

"el1 exist" propoziţia este adevărată Russe11 consideră că la n1Ull.ele proprii se aplică principiul identităţl1 (x = x). De ex. : "Socrate este Socrate" in timp ce la d. nu se aplică. Nu putem deduce din .. x = x" " că .. autorul lui Waverley este autorul lui Waverley sau că " actualul " rege al Franţei este actualul rege al Franţei . "Este fals că actualul rege al Franţei ar fi actualul rege al Franţei sau că pătratul rotund ar fi pătratul rotund" (Introducere în filosofia matemat�cii) . " Este necesar, spune el, ca «aceh să existe", altfel propoziţia este falsă. Propoziţiile cu nume proprii (de ex. "Homer a existat") au sens numai ciJ1d ele sint asociate cu o d., idee susţmntă deja de Frege. Russell nu acceptă ca d. decit pe acelea care au deopotrivă existenţă şi unicitate. Fără aceste condiţii propoziţiile corespunzătoare sînt false. Ca urmare el consideră că .. definiţia propoziţiilor în care apare d. este următoarea : "Există un termen c astieI că 1) q:.(x) est.. totdeauna echivalentă cu x este c ; 2) 'f'(c) este adevărată". Htlbert şi Bemays nu admit ca d. (definite) decît pe acelea in care propoziţiile implicate sint demonstrate, în caz contrar d. nu are sens. Ca urmare, el formuleaz{t următoarea regulă de introd ucere a d. in formalism

3 x A ( x)

't/x 't/y (A (x) & B(x) -+ x = y) A (a A (x» "

Pentru d. "nedefinite pot fi acceptate ŞI alte metode (sint analizate de Carnap in Semnif�caţte şt necesitate) , ele constau in a alege o enti­ tate (descript) pentru sistemul uat. Iată posibilităţi : (a) pentru sistemul de numere se alege zero (O) (Fregc, Godel, Carnap), (b) pentru sistemul claselor se alege clasa vidă (Quine) , (c) pentru sistemul lucrurilor fizice se alege lucrul vid (Camap) , (d) pentru sistemul semantic S, (fi. metoda extensiunii şi intensiunii) se alege un lucru nedeterminat a* (care poate fi precizat în funcţie de sistemul de obiecte) (Carnap) .

DETERMINARE 1. Proprietate internl ( = însuşire) sau externi ( = relaţie) a obiectului A�tfel. 1'aţional e�te o însuşire a omului, iar acl ionează asupra naturu este o relaţie în care intră omul cu natura. Unele însuşiri deşi aparent inteme sint "dern ate de la relaţii" (Carnap) , astfe l este insuşirea adevăr" care aparent este o proprietate internl propo­ " ziţiei, dar in fond ascunde relaţl<l de corespondenţă cn realitatea. 2. Operaţie de trecere de la noţiuni generale la noţiuni subordonate mai puţin generale, altfel spus, operaţie de trecere de la gen la speciile sale. Trecerea se face prin introdncerea unei însuşiri restrictive. De ex , tre­ cerea de la vertebrat la mamtfcr prin adăugarea unei note definitorii ma­ miferului este o d. D. este operaţia logică de dehmttarc a unei specii în cadrul genului. Dacă la noţiune<t "număr intreg" introducem msuşirea dtvtztbtl CII doi obţinem noţiunea număr Întreg divizibil cu doi", adică " , ,număr par". în caz particnlar d. coincide cu definiţia, În <tIt caz ea coincide cu divtZlunea (fi.) genul ni in specii. Inversul operaţiei de d . este generaliza,.ea (fi.).


84

DIAGRAME EULER

DIAGRAME ElJLER, reprezentări prin cercuri ale raporturilor dintre term enii Judecăţllor A , E, 1, O Sint atriboite de regulă matematicia­ nului Leonard Euler, dar an fost cunoscute şi ntilizate cu mult inainte. Cercurile vor reprezenta "sferele" termenilor S şi P. Există CinCI astfel de raporturI posibi le

8 @ @ ffi 8 8 121

(Il

131

( 41

ISI

î n cazul ( 1 ) termeUll sint zdentlcl c a sferă, Î u cazul (2) su biectul este snbor­ donat predicatu lu i în c az u l (3) pred ic atul este subordonat subIectulUI, lU cazul (4) sferele se încrucişează, Iar în cazul (5) sferele se exclud Re­ c u u oaştem aci unele raporturi dlll teoria mulţimilor . ,

(1) S

=-

P,

( 2 ) .') c P,

(3) P c

5,

(4)

5

il P ;ţ, 0,

(5) 5 il P ==

(0 .

Pr esupu nind c ă j udecata este adevărată ea nu poate avea decit unele A re pre ze ntări, astfel ( 1 ) sa n (2), E (5), 1 ( 1 ) sau (2) sau (3) sau (4), O (3) �au (4) sau (5) în vederea reprezentării termeuilor negdtivi (5, P) aceste diagrame au fost dez. oltate ul teno r al>tfel =

=

=

=

A cest e

d I agr ame

�înt utIle pentru s tud Iere a qlogJ' hejj

Astfel, j udecata " toţi

numai

111

5 sînt P"

Cll ter meni n eg ati V I rep re lOent at ă doar î u (5'), căci Im S este total in afara lui P

poate fI

această reprezentare sfera

.


DIAGRAME KARNAUGH

85

DIA6RAJlE KARNAUGH, modificare a dJagramelor IUJ Vettck (v.) dată de Kamangh. Expresiile sint dispuse nu în ordinea crescătoare a nume­ relor, ci in ordine Clclică. în plus, diagramele pot avea diferite forme. Iată diagramele pentru două variabile :

Ă

A

B

"8fH8 S

AS

A

AS

O

O

AS

00

10

01

11

00

"

01

10

Citirea se face i n ordIne alfabehcă. în continuare vom indica numai ,·alortle pe care le tau vanabtlele sau combinaţiile de vartabile aflate la intrările tabelului :

efO I I I I 01

"

"

AS 00 CO 00

OI

o1

11

---J

I

__

T I

II 10

Diagrame pentru 3 şi 4 variabile Tabelul pentru cmci variabile se constItuie pornmd de la tabelul cu două şi respectiv trei variabtle : DE

A Be

00 01

000

!1

001

O

"

010

--,-

,"

101

100

-J I

I

11

10

Se observă c ă valonle pentru ABC se află din tabelul pentru tret vana­ bile urmărind curba aşa cum se indică mai jos :

, \f1\b I c

.

-

Tabelul cu 6 variabile se formează in acelaşt fel pornind de la tabelul cu

3 variabile (pe verticală avind 3 variabde A BC şi pe orizontală 3

DEF) .


86

DIAGRAME VEITCH

de diagrame pentru reprezentarea formulelor

DIAGRAME VEITCH, tip

logice (din TFA) . Pornind de la dtagramele lui Venn (v.), Veitch a introdus diagrame in care in locul cercun10r avem dreptunghiuri descompuse in căsuţe (prin linii pe verticală şi orizontală) . Exemplificăm pentru două y ariabi le :

S

A

�I :� I ;� I

Venn

AS

AB

B

Veitch

Avind in vede re că o combinatie de litere formează un "mmitermen" ( = un constituent de unu) putem a.şeza literele in aşa fel incit numerele lD.lJlitermeni1or să fie in ordine crescătoare, ceea ce se şi intimplă cînd d. Velteh sint utilizate pentru minimizare. Pentru cazul cu două varia­

bile ordlllea este următoarea .

A

AB

AS B

AS

re s p ·

Ăs

I

' A B

O

1

O

O

1

1

2

3

Pentru 3 variabile avem diagrama :

C

ABC

iec

ASC

ASe

A

s -

a oo

001

010

103

1 01

110

I I

011 111

Aee AsE

C

ASC Ase

'=-v----' B


87

DIACRAMELE VENN

DIAGRAMELE VENN. Pornind de la intersecţia cercnrilor J. Ven1l re­ prezintl toate mtersecţ.iile PosIbile intre clase Într-un univers U. Exemplu pentru n = 2 (x, y).

Exemplu pentru n = 3

(x, y, z)

Reprezentarea propoziţiilor

A,

E, 1, O este respectiv următoarea :

1 lD l l m l l m ! 1 80 1 S a P

S e P

S t P

S e P

Se observă că spaţiul vid este reprezentat prin porţiuni haşurate, spaţiul nevid va fi sau restul porţiunii nehaşurate (dm cele două cercuri) sau

porţiunea notată cu asterisc. în acest fel semnificaţia grafică a judecăţilor va fi : a) porţiunea lui S dm afara lui P este vidă, e) porţinnea comună lui S şi P este vidă, il porţiunea comună lui 5 şi P nn este vidă o) por­ ţiunea lui S din afara lui P este nevidă. Se vede că 5 şi P împart unl­ versul discursului în patru clase de intersecţii : 5P, 5P, SP, 5P. Cele patru judecăţi pot fi transcrise in funcţie de reprezentare astfel : A

E : 5P

=

zentarea

:

51'

=

O;

O : 1 : 5P :F O ; 5P :F O (unde O este clasa vidă). Iată şi repre­ unor

moduri

silogistice.

Toţi M - P

Nici

Toţi S - ]o{

Toţi

Toţi 5 - P

Nici un 5 + P

un M

+ P

S - M

Nici un M nu e P Unii

5 sînt M

Unh 5 SÎnt P


DIAGRAMELE VENN

88

MP: O SM: O SP= O

M P= O SM : O SP : O

MP=O

� S P .t O

o. \ eUIl au multe mtrelminţări. între altele ele sînt ntilizate la v erific area modurilor silogistice. Pentru a decide reprezentăm modul pe o intersecţIe de trei cercuri (ca în exemplele indicate) ŞI v erific ăm dacă formula con­ cluziel ocuPfl spaţIul llldlcat în raport cu formulele premlselor în exem­ plele de mai sn� se constată că acesta este cazul. în cazul modulUI A .' L l

conclulla s P = O este reprezentată î n spaţiul vid cuprins d e prellll,<,e. în cazu l modulUl EA E concluzi a SP = O este cuprinsă in spaţiul yid cuprins

de premise. în cazul modului EIO concluzia nevidă sI' F O este cupnnsă in '<'}laţiul nevld determmat de premise . Fie 1110dul Daraptt : MP

=

O, JIS

=

O, SP F O.

5 Se observ:! cl spaţml lui SP ue, Id este CUPriUS în porţiunea neddil deter­ minată de premise. Să considerăm şi un mod care nu este valabil III (fig. 1) -11 J> -;e. O SM r! O SP -;e. O

�rIi:) P ry 5


89

DILEMA

Se observă că spaţiul vid nn este determmat de premise şi prin urmare nu se ştie ce poziţie ocupă spaţinl nevid al concluziei. D. VeDD presupun, deci, că spaţiul vid este precis trasat pentru a putea decide în legăt ur ă cu valabilitatea dedncerii conclnziei. D. VeoD pot fi folosite şi pentru veri­ ficarea legilor claselor în genere . (Pentrn simbolizările Sa P, SeP etc. v.

silogistica axiomatict!t) DIALELĂ, cerc vicios

in demonstraţie sau explicaţie. De ex.

De ce eşti

" uu sînt rău" "Şi de ce eşti rău ?" .. - Fiindcă nu sint bun" . DICTUM, partea asertorică a unei jndecăţi de modalitate (v. modus). DI�TUM DE Ol\INI ET DE NULLO, d enu mirea latinească pentru axiom a silogismului. Ea spune că "ceea ce este predţcat despre toţi este predi­ cat .!;!�spr� f!ecare � parte şi. .ceell. <:e . este negat despre . t9ţi este negat de§pţe fiecare in parte " Forma pozitivă se găseşte la Aristotel in Cate­

bun

i" " Fiindcă

. "Cînd nil lucru este enunţat ca predicat despre un altul, care este subiectul său, tot ce este enunţat despre predicat va fi asemenea enun­ ţat şi despre subiect". Unii au pretins pre a mult acestei formule UItînd de conţinutul ei. în realitate, prima parte corespunde cu modul Barbara (u.) şi a doua cu modnl Ce/al'ent (u.) 1 . Despre toţi M se spune că sint P şi fiecare S este parte a lui 11'1, prin urmare despre fiecare S se spune că este P. 2. Despre fiecare M se neagă că este P, dar S este o parte a lui M, prin urmare despre S se neagă că este P. Considerăm că acel care au căutat chiţibuşuri formulărilor (ca de ex. Lukasiewicz) au avnt prea mult in vedere forma expresiei, au wtat că acestea sînt două pl'tnctpu metasilogtstice şi că obiecţiile de formă nu prezintă importanţă. Dealt­ fel, singura obiecţie mai demnă de luat în consideraţie este comb in aţi a între aserţtune despl'e ("predicat", în sens de afirmat sau negat) şi ex­ tensiune ("este parte") . încurcătură a produs şi den umirea ei de axiomă " a silogismului" pe care unii au luat-o în sens strict, or este vorba de un pnnciPiu metalogtc v. şi axioma silogismului_

gorii

DILEMA,

silogism cu premise ipotetice şi disjnnctive şi cu concluZl i

��teg�ric�

sau disjunctive. Se cunosc următoarele tipuri în logica tradi­

a) dt/emă

sJmplă constructzvă

'

ţlOnală :

Dacă A atunci C, dacă A san B

B

atunci

C

C b)

dilemă sJmplă dJstructzvă Dacă li

�u Nu c)

B

A

atuncI B, dacă A

s au nn

atunci

C

C

dilemă complexă constl'ucl!vă Dacă

A

C

A

san

B

s au D

atunci

B,

dacă

C atunci D


D lLEMA

90

d) d,lemă comPlex4 distructw4 Dacă A atunci B, dacă C atunci D Nu B sau nu D Nn A sau nu C în aceste raţionamente sensul lui "sau" poate fi atit exclusiv cit şi

neexc1usiv. tIi dilema simplă constru ctivă din două antecedente rezultă nn cousecvent, in timp ce în dilema simplă distructivă dintr-un antece­

dent rezultl doi consecvenţi (a se vedea premisele ipotetice) . Pe de altă parte, dilema simplă poate rezulta din dilema corespnnzătoare complexă printr-o substituţie adecvată. D. pot fi simbolizate in logica propozi­ ţiilor (ca scheme de inferenţă şi ca legi) : a)

A _ C, B _ C A VB

C a') ( A

_

C) & (B _ C) & (A V B » = C

b) A = B, A => C

BVe Ă

b/) ((A => B) & (A => C) & ( B V e)

=>

c) A _ B, C => D

Ă

A VC BVD

e') (( A

=>

B) & (C => D) & (A V C» => (B V D)

d) A => B, C => D

Ji V D Ave d/)

((A => B) & (C => D) & (ffV D»

=

(A-V Cl

Obţ1Uerea prin substituţie a lui a) din c) şi a lui b) din d) este simplă. Exemplificăm primul caz. « A => B) & (C

=>

D) & (A V C)) => ( B V D)

BIC, CIB, DIC « A => C) & (B => C) &

(A V B)} => C

lAci B V D devine C V C, or C V C = CI Există apoi unele particularizări şi extinderi interesante. Mai intii de toate trebuie să avem in vedere că punctul de plecare pentru sllogi51tică


DJLIBIA

91

CALIFULUl

OMAR

sint judecăţile de matrice .. 5 este P". Ca urmare, in locul literelor A, B, C, D, vom pune astfel de forme. Exemplu pentru a) : Dacă 51 este PI atunci 5a este Pa, dacă 51 este PI atunci S. este p. 51 este PI sau 5.Yeste PI Sa este Pa Pe de altă parte, nu este necesar ca toţi termenIi să difere intre ei. De aci obţinem următoarea formă interesantă : Dacă S este P atunci S este Q, dacă 5 este R atunci 5 este Q

5 este P sa u 5 este

R

5 este Q. Schemele pot fi extinse la un număr oarecare de jndecăţi :

Al

=>

B, A.

=>

A l V AI V

B,

. . .

AI<:

=>

B

· · · VAk

B Aceste d. cu mai multe judecăţi ipotetice se numesc pohleme (şi in func­ ţie de număr tnlemă, tetralemă etc.). Desigur că cea mai interesantl ex­ bndere este aceea în care sînt epuizate alternativele în legătuI'1l cu Uli fenomen dat. în acest caz, dilema simplă constructivă spune că orice alter­ nativă vom alege obţinem acelaşi rezultat. ExemPle de d. a) Dilema simPlă constructivă. Dacă x acţionează nnmai după capul său este criticat, dacă x acţionează numai după capul altora este criticat, or x acţionează numai dnpă capul său sau numai după capul altora, deci x este criticat. b) Dilemă simPlă dtstructwd. Dacă bei mult devii alcoolic, dacă bei mult eşti vicios, or nu devii alcoolic sau nu eşti vicios, deci nu bei mult. c) Dilema comPlexă constructivă. Dacă medicamentul iţi face blUe îl foloseşti, dacă medicamentul dăunează renunţi la el, or medicamentll] îţi face bine sau îţi dăunează, d eci il foloseşti sau renunţi la el. d) Dtlema comPlexă distructivă. Dacă plouă prea mult avem inundaţii, dacă este secetă scade recolta, or nu avem inundaţii sau nu scade recolta, deci nu plouă prea mult san nu e secetă. (v. şi Dilema caljluluJ Omar, Dilema lui Zenon contra mişcărit ş a.)

DILEMA CALIFULUI OMAR.

Se spune că Omar , calif arab, ajuns în faţa marii biblioteci dIU Alexandria ar fi făcut următorul raţionament (de forma unei dileme complexe constructive) : Dacă aceste cărţi conţin aceeaşi doctrină ca in Coran atunci ele sint de prisos ; dac.jL!�s te cărţi conţin altă doctrmă decit in Coran atunci ele sint păcătoase şi dăună­ toare. , Or ele conţin aceeaşi doctrină ca În Coran sau conţin o doctrină diferitrGe coran. Prin urmare, ele sînt de prisos sau'Srnt păcătoase şi dău-----" nătoare. Această dilemă e urmată de cea in care conchide distrugerea cărţilor (o dilemă simplă constructivă) : Dacă aceste cărţi sînt de prisos atnnci ele trebuie distruse . dacă aceste cărţi sint păcătoase ŞI dăunl\toare ele tre­ bwe distruse. Or aceste cărţi sint sau de prisos san sint păcătoase şi dău­ nltoare. Prin urmare, ele trebuie distruse. (V. Dilem a)


DILEMA CROCODILULU I

92

D.... L�UI,�, CRQCODILY..LLI, paradol.': antic sub formă de dtlemă. Un cro­ Codil răpeŞte un copil. La cererea tatălui de a i-l înapOIa crocodilul îi �pune "ţi-l dan dacă ghiceş ti ce voi face, ţl-I voi da san nu ţi-l voi da". Tatăl meditează un timp şi spune "nu mi-l vei da". Se observă că cro­ codilul nu poate lua o deciztB fără a se contrazice. Pres npune m că tatăl a ghicit, at unci conform cu clauza crocodilul trebuta să-i înapo�eze copilul. or a i-l înapoia înseamnă a infirma propoziţia "nu mi-l vei da" şi de ci nu trebutB să i-l inapoie ze . Presupunem că tatăl n-a ghiut, în acest caz crocodilul n/4 trebutB să i-l inapoieze, ceea ce însă confirmă prop oziţia "nu mi-l vei da" şi, deci, trebuie să i-I inapoieze. î n mod mai general, acest paradox " pune problema formulării clauzelor fără a aj unge la contradicţie" , _este dt;cI "!p_�dox dec� . DI'-E\IA "LUARlI� .GiAILW". eroare materială în care deşi se acc ept ă alternativa antecedenţi10r ca ex hau sth-ă una sau alt a din consecinţe nu urmează. din ei (deoarece nu există conexiune necesară) . D ac ă poe ţi i trăiesc bi� le d isp are inspiraţi a , d ac�eţii trM� de vinpesimIşti , or poeţii trăiesc bine sau poeţii trăiesc rău, deci le dispare inspiraţia Sau devin pesi mişti . Raţionamentul este � ul ner abil în c e priveşte premisa majo ră ( nu ex prim ă conexlUlll necesare) . Metafora "luarea În coarne" exprimă tocmai deficienţa d ile mei DILEllA L1.I1 ZEl'II ON COl\TRA lllşc1HII, formulare lhlcwatică a unUia di n tre argumentele lui Zenon D ac ă lucrul se mişcă, el nu se mişcă în pun ct ul in care este, dacă lucrul se miş c ă el nu se mişcă în punctul în care nu este, or el se afl ă sau nu �e află intr-un p unc t, prin urmare el nu se mişcă. DILEMA "REBUTAŢ_!", dilemă sohshcă la c arc se răsp u nde cu alt ă dilemă sofistică de acelaşi t ip Replica are valoare pragmatic ă , fiind un mod de a-l ,.infunda" pe un sofist ( V, Llttgwsus) DIL;EHA "SCĂPĂRII PRINTRE COAIlVE", d ile m ă În care premisa minoră ' nu ennmeră toate alternativele D acă studentul învaţă atunci trece, dacă are influenţă asupra profe>or ulUi " hmci t re ce, dacă profesorul este in­ competent atunci studentul trecc, dacă studentul copiază atuncI tre ce , or studentul are infl uenţ ă asupra profesorului salt copiază, deci st ud en tul trece la examen. Această dilem.i este eronată deoarece neglijind o alter­ nativă poate neglija adevărata premisă. �Ietafora " scăp ar ea p rin tre coar­ ne" exprimă deficienţa dilemei ( V. D,tema) . DI\IARIS, mod al figurii a IV-a. Are schema llJ1Uătoare ' 1 Duh P sint

A

M

'i Uţi 11 sint S

1 Ullli 5 si nt P

Evident, concluzia se obţme ca o co nv ersă a con cl uzie i Unii P sînt S. DISAMIS, mod al fIgurii a !lI-a Are sche ma u rm ătoare : 1 Uni i M sînt P

A Toţi M sînt 5 1 Unu S sînt p

Formă stilizată Fundcă tol' M sînt S şi unu M sint p, unii S sînt P. Sau : Uni, 5 sînt P, fiindcă unii M sint P şi toţi M sinI S.


DIS nJNCŢIA RELATIILOR ExemPlu, Unii oameni d repţi umblă cu capul spart Toţi oamenii drepţi sînt cinstiţi

Unii oameni cinstiţi umblă cu capul spart

rorma stilizat! :

Unii oameni cinstiti umbll cu cap ul spart fiind c li toţi o amenii drep ţ i sînt cinstiţi şi unii oameni d re pţi u m bl ă c u capu l spart

DISCURS LOGIC, termen care desemnează o vorbzre î n care sint ut1h­ zate mijloacele logice în desfăşurarea ex presiilor ( termeni ŞI propoziţii)

DISJUNCŢIA, termen prin care desemnlm : a) particula "sau " , b) propo­ ziţiile de form a �p sau q*, c) funcţi a d. neexclusive, d) operatorul d. V ş.a. în limbajul logic se utilizează de reg ul ă simbolul V (uneon U) Propoziţiile de formă disjunctivă e x prim ă d. stărilor de f apt intre care se presupune că există o an\lmită le�ăturrl (nu ne apă ra t lI ecesară) Astfel , " pl o u ă sau ninge", Par (:.!) sau Impar (2) " sînt propoziţii dis]unctive. " O d. po ate fi formată din dou:l sau mal mu lte propoziţii. în mod ab­ .�tract se mtroduc şi d. vide, d. n. un smgUl membru 5i d. mfinite n.

iuflDlte ,e noteaz ă, de regull, cu toarele

legi :

00

L p, D.

'�I

propoziţiilor

s atisf ac e urmă-

a) P I sau P a == P2 �a\l PI' O ) (PI s au P.) �au P . == p , sau

(Pz sa u Pa), c) V("PI sau P.")

=> V("P,") sau F("P. ") , d ) F("PI sa u

=> F( " P ,") şi F("P2) . e) F ( "P, " )

=>

)("PI sau pz)

(z = \, :.!) (nnde

pn => J"

es te

adevărat şi F es te fals) . Conform cu e) da că un membru al d. e s te fals atunc i nu ştIm dacl d. este adevăratli, şi nu şti m dacJ. ea are "reo "alo are in genere. Ace asta deoarece raportul dintre "adevdr" şi "fals" nu este ne ap ăr at cel din

(V ==

F) . D. in siiogisbcJ. ( "J ud ec a t ă d isj uncti vă ") : S este Unii S sin t P, sau Pz == Unn S sin t PI sau unÎ1 ::, sînt Pz. F o rm ulare a corespun zătoare pentru universale nu ei>te adevărat ă : Toţi S sînt Pl sau Pa == T oţi S sî n t P, sau toţ i S sîn t Pz. Exemplul următor o in firmă . "Toate numerele naturale sînt pare logica bivalentă

PI sau p.

Are loc urmltoareJ. lege

B au ilnpare " este adev ăra t l dar "toate numerele naturale sînt pare sau

toate numerele naturale sint i mp are " este falsă. Ca ŞI pentru conjuncţie putem sli formăm d. ale s t ărilor de fapt (în speţli ale relaţiilor) . De asemenea, pntem folosi d. intre prop rie tăţi , (P V Q)(x), între indi vi zi Xl sau x. San . . . sau x,. es te P sau chiar între clase (ceea ce nu tre­ bUie să se confunde cu reuniunea) - X l sau X. sau . . . • sau X.. l·�te

inclusă în K. menilor ,

Funcţia

indi vizilor,

d. nu

trebuie confundată cu d. pr opo ziţhlor, ter­

predica te lor etc.

analizată mai

sus.

DISJUNCTIA RELATIILOR (sau: in termeni extensionali : reuniunea re­ R V Q Sau x(R V Q) Y - se defineşte = �Ry V xQy. Exemplu : x es te văr sau p rie ten cu y.

Iaţnlor) - simbolic :

RVQ

=


DlJUHCTJE CONDITIONALA

94

DlSnJNt'TIE CONDITIONALĂ. q. ,.) şi def:iDitA de A. Church P

v v v v f I I f

II

v v f I v v f f

funcţia de adevăr ternară notată [p. astfel :

,.

v

[p,

r

v I v I v I

'l, ,.] v v v f I f v f

Duala acestei funcţii este notatii. de Church cu [r, q, P 1 şi matricea ei se obţine prin inlocuirea între ele a valorilor v ŞI f. Church a demon­ strat cli d. e. impreunll cn v şi I constituie un sistem complet de opera­ tori mdepcndenţi ( v. bază operaţională) . Demonstraţia se face prin in­ du cţIe matematică in fnncţie de numărul de variabile diferite dm formule ( A. Church. Introductlon to Mathematteal Logic ).

DISTRmUIREA TERIIENILOR. Un termen al jndecliţilor A . E, I, O "e numeşte "distribuit" dacă şi numai dacă el este luat in universalitate faţă de celălalt. în judecata universal-afirmativă (A ) subiectul este dis­ tribuit, dar predicatul. nn. într-adevăr, despre toţi 5 se afirm ă p. dar nu toţI. P sînt S. în jndecata universal-negativi (E) atit subiectul cit şi predicatul sint distribuiţi căci fiecare este exclus in totalitate faţă de celălalt. în judecata particular-afirm ativă nici snbiectul nici predicatnl nu �înt distribuiţi (fiecare este luat numai in parte faţli de celălalt). în Judecata particular-negativă subiectul este nedistribwt, iar predicatul este distribUIt (este exclus in totalitate faţă de acei 5 care nu sint Pl. Putem reprezenta schematic distribuirea :

A : d, n E : d, d I . 11. ti O . n. d

sau

D.

A : + E : -1- + I: - O: - +

t. c�te ub.hzată in studiul silogumulul (v.) . Din distribuire se observă caract.erul in vers al jndecăţilor (A , O) resp. (E, I). Judecăţile pot fi văzute ("a fum:ţie de distribuire :

S P + + + - +

A

E I

O

DIVIZIUNE, operaţie logicli de descompunere a unei noţiuni în noţiu11 1 snbordonate. D. este inversă clasificării in douli sensuri : este o operaţie analitică l a nivelul abstracţiilor, in timp ce clasificarea este inductivă

(sinteticli), apoi formal clasificarea formeazli clase pornind de la cazuri particulare, în timp ce d. descompune o clasă in subclase. D. are mai mult rol pedagogiC CdCI ea presupune deja clasificarea, ea se bazează De operaţia de determinare (opusă generalizării). Ex. de d. trinnghiu* ae divid dupli felnl laturilor in echilaterale, isoscele ŞI scalene. Această d. presupano! că anterior au fost cercetate cazuri le particnlare şi cli an fost


DOCTRINA U N " , ., RSALFLOK

grupate în cele trei clase. Regulile d. sint asemănătoare cu regultle cla­ sificării. Conform cu terminologia clasică d. înseamnă descompunerea genului în specii. Q_QcratNA UNl��ŞAI,.��9..R, doctrină despre ceea ce numim " univer­ sal" (san .. general") în raport cu " individnalul", despre natura u'I'Iiver­ salelM în raport cu indivtdualele. Se obişnuieşte uneori să se spună uni­ " versalil" in loc de "universale" sub influenţa limbii latine (f4nlVerS(lha) Problema apare în formă neexplicită încă în şcoala pitagoreică, traver­ seazA "doctrina ideilor" a lui Platon, "doctrina categoriilor" a lui Aris­ totel şi ia amploare in evul mediu in cadrul unei lungi dispute numită " " cearta universaliilor . în forme diferite problema naturii universalului �i a relaţiilor sale cu individualul str!bate întreaga istorie a filosofiei de după Platon ŞI ea se pune şi a�tăzi (v. enlttăţile abstracte şi obiectele tdeale) . Deşi de natnră filosofică, modul în care a fost rezolvată problema a in­ fluenţat dezvoltarea logicii. In prmcipin pot fi schiţate urmMoarele solu­ 'ţii : (a) soluţia platonică (altfel spus, realismul) , (b) soluţia aristotelică, (c) soluţia nominalistă, (d) soluţia conceptualistă, (e) soluţia logico-mate­ matică (metodologică) şi (f) soluţia dialectică Cînd Pitagora afirma că 1tumerele (ca atare) au eXistenţă reald ŞI �tau la baza lucrunlor el schiţează soluţia pe care o va dezvolta Platon in .. teoria ideilor" - tdeile generale ("formele") alt existenţă " în sine " , separată de individual. Prin teoria participaţiei" Platon rezolvă, in " stilul �ău, problema relaţiilor "ideilor " ( = formelor) cu individualul, cu fenomenul. Individualul, fenomenul există in mdsura in care participă la "forme" (idei) Aristotel în doctnna Categoriilor se opune solnţiel îui Platon şi afirmI că "dacă substanţele prime li-ar exista, ar fi imposibil pentru orice alt lucru să existe". El introduce două relaţii " enunţat despre" ŞI aflat "in". S-a semnalat în opera lui Aristotel o ambiguitate fundamental;!, : el tre­ ce mereu şi neavertizat de la planul "predicaţiei" (al "d iscursulUI") la " planul lucrurilor ŞI invers. Cînd e vorba de lucruri, generalul există " în sau numai aparţllle la individual, cind e vorba de dfscurs (de logos) gene­ ralul "se aplid la" llldividual. Dar cu aceasta se deschide o nouă ambi­ guitate cînd spune că universalele pot fi predicate despre mai multe " obiecte" (ceea ce nu se poate spune despre Illdividuale), anume apare un al treilea plan, planul relaţiei dintre discurs şi realitate (căci noi , orblm despre obiecte, predicăm despre obiecte) Ceea ce a lăsat in plus nesolu­ ţlOnat Aristotel este modul în care universalul există în (sau aparţine la) Individual (adică dialectica relaţiilor dintre universal şi individnal.). Stoicii, la rîndul lor, vor deschide perspectiva conceptna1ismului prin lekton, ceva ce este încorporat şi transmis prin expresii (adică "înţelesul " ) . DoeţlU va rezuma în felul său doctrina lui Aristotel ş i v a d a Impuls dis­ putei de lUai tirziu asupra universalelor : (a) universalele (sp eeies, gemls) sint similarit!ţi desprinse mental din diferiţi indivizi (de ex. : simtlitudo humamtatis e scoasă ex s, ng uli s hommibus), (b) ele există în obiectele eorporale sensibile dar sint ca atare incorporale. Din soluţia lui Platon, ca şi din modul in care Boeţiu il exemplifică pe Aristotel, rezultă că ter­ mewl generali denotă ceva umvoe ca şi cel singulari, dar sfera aplica­ tiei este diferit!. Garland Socotitoru1 public! la Li�ge (aprox, 1040) lu­ erarea D,alectica în care tratează, între altele, De Vocibus sau Incomplex,s {adică despre predicabile) . El deplasează atenţia spre semnificaţie. în propoziţiile categorice afirmative avem una din următoarele situaţii : " (a) predicatul şi subiectnl sint "cosemnificante (= consignificant = sem­ nifică acelaşi lucru) ; de ex . . Omnis homo est animal .. (bl ceea ce semni-


nOCTRINA UNIVERSALFLOR

!lb

fică subiectul este semnificat (cosemnificat) şi dl' predicat ; de ex . . 5pe ­ cus est genus .. c) ceea ce e semnificat de pred ic at estţ cosemnificat de subiect ; de ex. · Homo est genus, adică animal .. (d) predicatul semnifică subiectul ; de ex. · A mmal est gellus ; (e) subiectul semnifică predicatul ; de ex. : Genus est animal. Problema universalelor (genulni, speciei) este deplasată in planul teoriei semnificaţiei. Pornind de la exemple ne putem da mai bine seama de ceea ce vrea să spună autorul. In prima propoziţie Omnis homo est ammal - homo ŞI animal sint cosemnificate numat in contextul acestei propoziţii (căci în a ces t eaz anzmal n u se referă la ceva lUa! mult oeci t homo). în e xemp lu l al doilea Spec1fs est gellus, ceea ce semnific1l specie, ('ste �emDlficat şi de genus (aUl putea spune că semDl­ tlcaţia subiectulUi <'bte inclusă In cea a predicatului). În propoziţia Homo est genus (<1. anzmat) se m n ific aţ i a lni genus este aceea a lui homo. Dupl construcţia lUi (b) ŞI (c) relaţia pare orientată (ea nu are loc şi în sens invers) de la subIect la predicat în (b) ŞI de la predicat la subiect în (c), ceea ce lin e cazul cu (a) În propoziţia (o) genus (cu termen mai larg) �emnifică În wn text anzmal, Iar în (e) animal semnifică (un) genu;. Se în ţelege că autorul nu este prea clar ŞI că discuţia ar putea fi con ti nua­ t;1 Este Interesant să �e observe (ltferenţa dmtre "omnis homo" şi "homo " (a) � i resp. (c). Soluţia nominahstl porne�te de la t r at area lin)!\ l'ihcă ŞI forma CI ct a lllat netă a fost oaU ue Rosc elhn care a afirmat că orice umvef'saha (spcc 1as , genera) sint simple flatus vocis. Nu există decît indivizi (res discreta) . Din punctul de vedere al tratării ulterioare această poziţie estc pur extensivistă (termenii generali au in realitate doar extensiune). John Salisbury În Mefalogtcon ( 1 159) consideră că ostilităţile in jurul problemei au pornit de la un pasaj mtroductiv din Isagoga lui Porhr. un logiciau extrem de subtil a fost Abalard (s e c. 12). Tema mai largă abordată de " el a fost aceea a discursului (logic) (latineşte - Ora/ta) . Semnele lI U semnificaţIe În două sensuri - cu privire la lUcI'ur1 şi cu privire la gî,.­ dun : " prin propoziţie se exprimă un oarecare fel de a fi al lucrurilor ŞI IIU sînt desemnate anumite lucrun". Concepţia sa despre "conţinuturile " propoziţiilor este legată de poziţia sa în problema universalelor. Oamenii dU în com u n proprietatea "de a fi un om" care nu este un "lucru" (res) u ici în �ensul desemnat de "Socrate", nici de "om". Propoziţia So{rafes "t homo exprimă însuşirea lui Socrate de a f1 om (dar însuşirea DU e un lucru) El respinge Ideea după care " termenii generali" ar fi ftume p"oprit pentru UDlversale. Poziţia sa nu este însă prea clară cînd spune că Într-o propoziţie categoricli afirmativă şi adevărată subiectul şi predicatul de­ semnează acelaşi luc"u (sau aceleaşi lucruri). ·W. de Schyres\\ood '7i Petru!> Hispanns adoptă o poziţie dnpă care termenÎl generali desemnează univer­ sale san caractere pe care lucrurile le pot avea în comun. Kneale calificil " aceasU pOZiţie drept "realist li totnşi ei sint maI apropiaţi de Anstotel decît de Platon. Poziţie realistă (în sensul lui Platon) ) dupli care univer­ salele au existenţli de sme stătătoare şi sînt prime în raport cu Slngularul au avnt Anse1m, W. dm Champeaux ŞI Thomas d'Aquino. O poziţie noul adoptă Ockh am care deschide calea nominalismului. Mai exact, poziţia Sa este nominalist-conceptualistă clici el susţine : a) "orice universal este " un lucru smgular" (de ex. ; un "concept in suflet, o intentia), b) el este universal numai în sensul că e "semn" pentru mai multe lucrUri, c) DU există universal care să fie "în mal mulţi mdlvizi" şi în acest fel să preeeadă mdivldualul, d) nu exist;i unÎyersal IDdependent de mintea noas­ tră, in sensul in care eXistă mdivldualul. e) universalul este un cuvint " comun ("un substitut pentru o listă de numc proprii ) .


DOCTRINA UNJVERSALELOR

97

Doctrina sa despre suppos'tio va fi influ enţată de această concepţie. Lei­ bniz tratează problema prin prisma principiului său praeduatum inUl subiecto. In acest fel el asimilează propoziţiile singulare celor universale. Indivizii an o esenţă care constă din totalitatea atribntelor lor. Putem spune că poziţia sa este aristotelică. Bemard Bolzano (1 781 - 1848) revine la o poziţie conceptualistă (intre Dominalişti şi realişti). Gott1ob Frege ( 1 848 - 1925) va relua problema intr-un context cn totul non, anume cel al logicii matematice . Frege cercetează conceptele în vederea fundamentării aritmeticii pe logică a) Conceptul este ceea ce c ex pnmat de o ex­ presie generală care e predIcat intr-o propoziţie, b) Obiectul desemnat <le expresi a cade sub conce pt c) " Număru l nu este ceva fizic, dar nn este mCI ce va subIect!" , nu este o reprezeut are" Cuvintul " unu " este "nume pro pri u al unui obieLt de cerc etare lua tematică" . Numerele nu sfnt ((111cepte, CI ob iecte Într-un sens special Ele nil pot fi atribuite nici mdivi zl ­ lor nici mulţimilor (aşa cum sînt atribmte conceptele obişnuit e, ue ex . , " ,,0111 ) . d ) Nu m erele nu sint niCI concepte de concepte deoarece "formează numai o parte in ceea ce este enunţat, numărul Individual apare ca un oLiect d<. sine ,tăt ător ' , e) Existenţ.l este o propriet at e a conceptelor de a ,l\'ea una sau mal multe exemplificări. f) Frege cntică pe cei care admi t "LOllstru<.ţii Ide.lle" (în particular Cantor) . g) EI admite printre obiecte valorile logice h) Termenii gen erali sint asimilaţi cu funcţiile (propozl­ ţionale) , de ex., om cu " x este om", altfel spus conceptnl om este func­ ţia ex prim ată de expresia " x este om" i) Funcţiile sînt independ en t e de

şi limbaj . j) în propoziţiile generale cu subiect articulat (de ex., "Omul care a descopent orbitele eliptice ale planetelor ) se presupune existenţa unUI lUCru (v. omul) , chiar dael!. o astfel de existenţă nu este asertată. Presupunem că aceste 10 propoziţii sînt sufiCIente pentru a ne fonua o imagine despre concepţia lui Frege. Ar fi inutil să căut ăm aci soluţia tuturor problemelor, căci multe Întrebări legate de umversal, de concep te rămîn fără răspuns f rege construieşte o ontologie a obi ectelor abstracte în domeninl căreia intră, în orice caz, numerele, valorile logice, funcţiile şi dIn propo ziţi a 10 deducem că poate chiar conceptele unh ersale (1 nnul) Frcge pare convins că el are de a face cu o realitate aparte, dar ezită �ă precizeze (sau pur ŞI si mplu nu o face) ce fcl de exist enţă au obiectel e abstracte şi conceptele. El nu poate fi aSImilat cu Platon , Aris­ totel, Ockham, }{oscelill, deci avem o nouă concepţie pe care am con­ v em t s-o denumim logico-matematică. După Frege toţi marii ginditori din dOlll eniu l logicii se vor izbi de problema �entităţilor abstracte ., a abstrac­ ţiilor şi conceptelor unÎ\ ersale Problema este pusă mai general sau mal restrîns. Quine, de ex , referindu-se la clase, divide concepţiile in trei : (a) rea1i�mul (adunte existenţ a claselor) , (b) conceptualismul (admite eXistenţa claselor numai cind pu tem stabili alcătuirea lor), (c) nomina­ h sm ul (se disp en sează d e ipoteza eXIStenţei claselor). Desigur el are in vedere o redefinue a t ermeni lor care desemnează cele trei concepţII. Car­ nap adoptă o poziţie explicit metodologică vorbind de alegere (in fun<:tie de eficienţă) ŞI nu de com petiţie teoretic! între el şi Frege, in Sem"'/i­ caţ,e şi Jzecesdate el se referă direct la problema llniversaliilor, discutind desp re proprutăţi (v. metoda extelZsiunn s' mtenszuni,). Aceasta �e inovaţia cea mai im portantă. Frege era convins că el descrie (face teot'.e) , C amap e convins că elaborează o metodă Între altele, el e un pragmatsc. C arn ap facilitează astfel elaborarea unui punct de vedere dialectic asupra problemeI, deşi cînd abordează direct che�titlnea formulează P0.lIţii in mare parte inacceptabilc gîndire

"

'

'

"

"

.


DOMENIU

98

Schiţăm in continuare punctul de vedere dialectic ' a) Nu există o opo­ ZIţie netă i ntre individual şi nniversal in reahtate. Ceea ce numim indi­ vidnal este corelat prin asem4nări cu alte lucruri individuale. O totali­ tate de asemlnAri formează l atura unwe1'sală a individualelor , b) Univer­ salul exist ă in şi Jw"J individual. O proprietate universală dep ăşeşte mdi­ vidualul in sensul cli există tndivizi care posedA proprietatea inamte, după sa. pur şi simplu dife1'iţt de individul dat. c) Conceptele (universale sau nu) sint în primu l rind re zultatul ahstractizării ( reţiner ii asemănArilor) şi tdealizărn (a simplificării in sensul cA asemăn ar e a aproximativă este tra­ tată ca o asemlinare perfectă). De ex., doi oameni se aseam ănli intrucit sint rafi on alt aproximativ in acelaşi fel, dar noi îi tratăm pu r ŞI Simplu ca raţtOfUl/I neglij ind deosebiri care pentru indivldualizare pot fi necesare Desigur, tdeahzarea (v ) nu se reduce la atit, dar in contextul nostnl este suficient Conceptele pot fi apoi obţinute pe cale pur formală (logică), dar în ultlmli instanţli orice construcţie de concepţie se sprijină pe cele obţi­ nute prin abstractizare ŞI id eal i zare d) Conceptele sint, în ultimă in­ _' /an(ă, obţmute prin studIUl realităţii ŞI corespund in anume sens realităţl1, clar exbtenţa lor ca atare este mentală e) Ca orIce există (indiferent dacă există in sens fizic sau mental) conceptele pot fi su puse cercetării , ŞI, in acest sens, ele apar ca obiecte secunde. f) în an umite condiţii noi putem trata conceptele ca ŞI cum ar avea existenţă primă deoarece aceasta si m­ Plifnă rezolvarea anumitor probleme Acesta este insă numai un punct de vedere metodologic, pragmatic, pro vizonu ŞI nu teoretic fundame ntal . Nu am nevoie pentru a vorbi despre numărul dOI să m ă gînd esc că el redă proprietatea mulţi mii de a avea două obiecte , este suficient să pre­ �upun că dOI este un obiect care are anUlmte proprietăţi în raport cu alte numere. ConvertIte in puncte de " edere metodologice se poate ca reahsmul, c oncep tuali sm ul ŞI nominahsmul �ă fie eficiente în anumite limite, prin aceasta insă nu vom confund a pragmatIcul cu teoretIcul ŞI nu vom de­ g ene ra in concepţl1 f!l�oflce false ))OlI EXIU, termen care de�emnează o mulţlDle de entităţi, cu statut logic det erm i nat , şi an u me a) d. de obiecte al teoriei (v )/ ex mulţimea numerelor naturale pentru teoria numerelor naturale/, b) d. de Interpretare n - uplu format dm obiecte, operaţii, p roprietă ţi (în speţă, relaţii ) pentru inter­ pretarea unuI sistem formal (v znterpretare) , c) d. al relaţiei ' m ulţime de obiecte care constituie ant ecedent u l unei relaţii (de ex , mulţimea indl\·izilor.taţl în relaţia x este tatăl lUI Y ('11 relaţze) ) , d) d. al funcţiei (sau domeniul de defmiţie al funcţiei) mulţimea de obiecte din care se acordă valori variabilelor independente ale funcţiilor (v func/te) , e) d. de valor' al func/iei : mu lţim ea din care o funcţie ia v aloll pentru , alonle corespunzătoare acordate vanabilelor lD de pend e n te ('11 fu n cţJ e) , f) d. în sensul lUI Carnap clasa tuturor descrierilor de stare în c are o propoziţie dată are loc este numită domenJul acelei prop oziţii (v. descriere de stare) , g) d. convers (sau c odom en z u) . mulţimea de obiecte car e formea7ă succedentul une i relaţii (v relaţu) , de ex , mulţi mea fiilor în relaţia x E'ste tatăl lui y. (V. îucă ŞI alţi termeD1 corespunzători) .

D01IEl\IU DE ACŢll,;l\E ( în teolla cuantificăm) , parte din for mul ă care conţine variabilele le g ate de un cuantor. Schematic : QxA [x lB, Q - cuan­ torni, A [xl partea care formeaz li domenIUl de acţiune, B - restul for­ mulei (poate fi şi vidd) . De ex în formulele Vx(F(x) G(x» & H(y), 3x(.F(x) V G(x) d. de a. ,' or fi F(x) ..... G (x) pentru Vx şi respectiv F(x) V V G(x) pentru 3x, In primul caz, B este H(y), iar în al doilea este vi d ă , ceE'a ce inseamnli că d. de 8. �e intinde pînă la capătul formulei __


99

DUAI ITo\'1'E

DOMENIU DE SEMNIFICAŢIE (sau DOMENIU DE VALORI), sistem de entitAţt (obiecte, operaţii, proprietăţi) din care expresiile unni limbaj iau semnificaţie ( valoare) , Astfel, expresiile din limbajul logic a cArui listă de bază este p, q, r, . , . ; - , V ; x, y, z, ' , . ; F, G, H, . , . , V, 3 iau semnificaţii ( = valori) din domeniul (v, f; a, b, C, . , , ; PI-, p.-, . . . ; fi' f. ; QI' Q., . . . ) unde : v, r sint valori pentru p, q, r, . . , şi orice schemă propoziţională (ex. P( x)) ; a, b, C, • • • sint valori pentru x, y, z, . . . ; Pl -, PI-, . • • sint valori pentru F, G, H, . . . ; fi' fa, . . , sint operaţii corespunzătoare lui p şi ii V q ; QI ' Q., sint funcţii cores­ punzătoare combinaţiilor VxF(x), 3x F(x) . . . (v. mterpretare, domeniU de interpretare) DUALITATE, re laţi e de sillletrie intre două formule de acelaşi ordin

astfel că una este obţinută din cealaltă prin inlocuirea simbolurilor cu simbolUri de ac eea�1 categone in conformitate cu anumite reguli de î nlo­ cuire. Semnele care se schunbă între ele precum şi formula respectivă se numesc duale Noţiunea este generalizată la logică din geometrie Semnele duale (unul faţă de altul) sînt : a) v este dual cu r, b) orice variabilă propoZ1ţlOuală este duală cu sine ( = autoduală) , c) - este autoduaJ:\ , d) & este dual c u V , e ) _ este dual c u ;:: (negaţia replicaţiei) , f ) .­ este dual cu =+ , g) ? ( anticon jun cţi a) este dual cu ,/ (antidisjuncţia), h) = (echIvalenţă) este dual cu * ( excl nd ere a) , i) V este dual cu

3.

Dacă o formulă este obţinută din alta conform cu regnli din cl asa a - I , sau şi pnn utilizarea definiţiei unor semne atuncI ea se va numi d u ala formnlei iniţiale. Dacă prin A notăm o formn l ă atunci duala obţinută Jin e a convenim s-o noUm pnn A * . Invers, A va fi duala lui A * De ex. ,, (P V q) & r" este duală Cll ( P & q) V r " , "p .. . q" este duală cu , , ( P += q) ", , ,'rfx F(x) " este duală cu . . 3x F(x) " Dacă nnele din se!:lnele de mai sns

sînt llltroduse ca "prescurtăn" (de ex. "P " pentr u "P") atunci putem obţtne pentru aceeaşi formulă mai multe duale. Con venim să nnmIm dUal4 obţinută conform cu regulile a- i, " duala principală" . Două formule care sint reciproc duale principale au aceeaşi formă. De ex. , , (P V q) & r" şi ,,(p & q) V r" au forma (A * B) o C. Pot fi formulate multe metateoreme în legătură cu d. dintre care cele mai importante ţlll de princiPiUl dualităţii (v) . Reţinem aci mt'tateore­ mele . a) Duala du aleI lUI A este identică cu A (formulă valabilă pentru dnala principală) Simbolic : A ** = A, b) Două formule care sînt dnale cu a treia sint echivalente între ele, c) Matricele (de adevăr) a dou;t for­ mnle dnale sînt duale, d) Duala uneI formule universal-valabile ( ta utolo­ gie) este o formulă irealizabilă (lllconsistentă, contradictorie) .


E

IL J) Mmbol pentru Judecata unlversal-negattv:!. ( " nIci un 5 nu e P"). 2) sImbol pentru judecăţile modale cu modusul afirmatIv şi dlctumul

negativ

(ex.

"Este

posibil

P")

In logIca trao.liţională modalele an fo!>t dispnse în patru clase de echivalenţă (sau echipolenţă) Echipolenţa este sinonimi a propoziţiilor . Iniţial .. posibilul" şi "contingentul " nu sint bine diferenţiate astfel că propoziţia de posibilitate (Este posibil ca 5 să fie P) apare ca echipolentă cn propoziţia de contmgenţă (Este continge.t ca 5 să fIe Pl . Ca urmare. cuvintele mnemotehnice folosite purpurea. Ihace. A mabimus. Edrntuh reflectau această sItuaţie. Aceste cuvinte au următoa­ rele semnificaţn vocale le a. e. t. tt reprezIntă modalităţile cl asificate după tIIodus şi dJctum (A . iar ordinea lor în Cln Înt corespunde cu ordmea modalităţiIor . po bd, contingent, "nposibil şi nrcesar. (Astfel,

Jo:CRIPOLENŢA MOD.'\LELOR.

E, 1, V), si

considerind cuvintul Purpurea avem următoarele patru propoziţii echi­ polente (in ordinea in care sînt indicate în cuvint) · Nu este posibil ca ." să nu tic. P ; Nu este contingent ca 5 să nu fie P , Este posibil ca 5 să nu fie P ; Este necesar ca S să fie P. An alog cu celelalte cuvinte. Cînd prin "contingent " s-a înţeles pur ŞI SIm­ p l u nmecesarul a doua vocală (corespunzător contingentului) s-a schimbat astfel că s-au obţinut cuvintele PurPirea, lluace. A mebimus, Edantuh. Cele p atru propoziţii dm PurpJrea vor fI acum : Nu este posibil ca 5 să nu fie P , Nu este contmgent ca 5 să fie P , Este imposibil ca � să lIU he P , Este necesar ca S să fIe P. Diferenţa de sens între .. Nu este contingent ca S să nu fte p" din Purpurea şi .. Nil este coutmgent ca S să fIe P" dm PurPirea este evidentă. în primul caz. sensul ar putea fi redat astfel , ,::-l'u se întîmPlă 9ă nu fIe", iar în al doilea, "Nu este întîmPlă­ tor să fIe" Una este " a se întîmpla" 'II alta e "Întîmplător" A se întîllipia !>e referă la fenomen, întîmPlător se referă la natura fenomenului. C u alte cuvinte, .. se întîmplă" Înseamnă are loc Jmdeva şi cîndva, iar "întîmplător" Înseamnl prm natura sa nu este necesar. Ulterior " contingentul" a fost definit ca posibilitate bIlaterală (e.;te posIbil p şi este posIbil non-P l ' (v clasificarea judecăţJlor modale).

J,( IIIREFERENTĂ. ren t l . Astfel

relaţIe Între expresiile care a u acelaşi denotat (refe­

Om ŞI A nzmal raţ,onal sint expresii echlreferente. J't.UfVALENŢA MULŢI.\I1LOn. - relaţie - de corespondenţă Între două mulţimi A şi B astfel că fiecll.rui element din A îi corespnnde un şi Dumal lll! element din B şi fIecărui element din B ii corespunde un şi numai nn element din A . SImbolic se notează cu - şi se defineşte astfel . A - B

=

Vy (y e B l'

3 R {lix (x e A ..... 3y ( y e B & xRy» & -+

3 x (x e A

&

xRy»

R z) -+ \' = V)� & ( ( \' Il Y

&

& Vx y z (((x R z &

x R z) -+ y

=

z») }


101

ECHIVALENTA DEDlJCTIVA

Astfel, mulţimile

A

şi

B .!>int biunivoce.

= =

{ l , 2, 3}

{5, 6, 7}

(A

Despre două mulţimi A, B, care sînt echivalente '"" B) se mai spune c ă sînt ech,polente sau echipotenle sau egale sau, pur şi simplu, că se află in coresJlOtldenţă biunivocă. Relaţia de biunivocitate joacă un rol funda­ mental in matematica şi logica contemporană. Prin intermediul ei se definesc infinitul, numărul cardinal şi alte noţiuni importante.

(

�u trebnie să se confunde biunivocitatea cu funcţia biunivocă = bijec­ tivă) . Funcţia biunivocă presupune, în plus, că se determină care elemente din A şi B îşi corespund.

ECHIVALENŢA PROPOZIŢIILOR, termen sistematic ambiguu prin care desemnăm a) propoziţiile de forma . . p dacă şi numai dacă q", b) im­ phcaţia inferenţială reciprocă (P ;:! q) , c) funcţia de adevăr a echlvalen­ ţei (P = q), d) operatorul echivalenţel (= , _, s ) . Echivalenţa este o

relaţie de echIvalenţă în sensul general al teoriei relaţiilor. Convenlm s-o reprezentăm prin _ cînd nu se specifică altfel.

(1) p - p (2) P - q = q - p

(3) « p

_

q) & q

_

r)

(p

_

r)

Apoi avem proprietăţile :

(-I) (p

..... q)

=>

(q ..... p)

(5) P V (q - r ) =- (P V q) ..... (p V

r)

E(;HI\tALENŢA RELAŢIILOR simbolic R _ Q = VxVy (x R y => x Q y & x Q y => x R y) . I;xemplu : x este mai in virstă ca y şi x s-a

relaţii echivalente.

..... Q -

se defineşte

născut înaintea lui

R_

y sînt

Două formule A şi B sînt dednctlv echi­ valente intr-un sistem axiomatic dacă ŞI numai dacă din axiomele lUi S ŞI A se deduce B şi din axiomele lUi 5 şi B se deduce A Fie r mulţi­ mea aXlOlllelr>r lui S. A tunci definim e. d. pe scurt astfel : A este de· ductiv echivalent cu B = df r & A 1- B şi r & B 1- A . E. d. (În S) nu trebuie confundată cu echzvalenţa logică (În SI . Două formule A , B sint logic echil.alente În 5 dacă şi numaI dacă A = B este deductibilă în S.

ECHIVALENŢĂ DEDUCTIVĂ.

In unele limbi pentru astfel de echivalenţă se foloseşte cuvintul cores­ pnnzător termenului .. traductibilitate", acest termen aminteşte de sino­ nimie şi in acest sens nu e de preferat Există apoi echivalenţă log"ă latwă la regulile de transformare Aceasta nu depinde de sistemul de axiome. Nu toate regulile de deducţie sînt reguli de transform are echivalentă (v. regulz de deducţie) Formulele p V şi q V sînt echivalente În S (de ex , În li-A ), dar ele nu sînt echivalente relativ la regulile de trans­ formare (căCI substituţia nu este o regulă de transformare echivalentă) Relaţia Între cele trei feluri de echivalenţe este următoarea . Dacă A , B sint logic echivalente (prin transformare) atunci ele sînt şi logic echiva­ lente in S ŞI e. d. Pe de altă parte, dacă A şi B sint e. d. nu rezultă că ele �î ll t ŞI logic echivalente. Notînd relaţiile de echivalenţă În ordine astfel : .-l =, B (sinonimîe) , A =a B (echivalenţă-logi.că) , A =a B (echivalenţă

re

..

p"

..

q"


lOZ

ECRIVALENTA EXTENSIONALA

logică în S), A = . B (echivalenţă deductivă S) Vom pntem scrie pe scurt relaţii1e ' a) A = l B � A = . B , b) A = l B � A == J B, c) A = . B => => A = . B, d) A =a B � A == 3 B, e) A =a B � A = e B, f) A EI B � � A ==. B. Reciprocele nu sînt adevărate. Cazun de e. d. : a) oricare două formule netautologice ale calculului propoziţiilor sint deductiv echi­ valente, b) orice fonnnlă A care conţine una sau mai multe variabile individuale este dednctiv echivalentă cu fonnula Ae care se obţine din A dacă toate variabilele individuale san o parte din ele sint cnantiflcate cu V pus în faţa formulei, c) fonna nonnalll. Skolem a unei fonnule A este deductiv echivalentă cu aceasta. ECHIVALENŢĂ EXTENSIONALĂ, relaţie între expresii cn aceeaşi exten­ slune. Donă expresii sînt extensional echivalente cind au aceeaşi exten­ siune. Două definiţii sint extensional echivalente cind deJtnilOf',i lor sint extensional echivalenţi. Astfel, "animal capabil să construiască unelte" şi "animal raţional" sint două expresii extensional echivalente. tn acest caz, expresiile sint şi lopc echivalente căci raţionalitatea şi capacitatea de a constrUJ unelte se implică reciproc. In alte cazuri însă e. e. nu este ŞI echI­ valenţă logică. In schimb, orice echivalenţă logică implică e. e. ECHIVOCAŢIE, eroare materială care decurge din caracterul echivoc al expresiilor (v. erOf't în demonst,.aţte).

EFECTIVITATE, cerinţa pentru sistemele logice definită astfel există. metode efective pentru a detennina respectiv dacă : (a) un simbol face parte din simbolurile iniţiale, (b) o fonnulă este sau nu corect construită, (c) o formulă este sau nu axiomă, (d) se deduce sau nu imediat o fonnulă dîn premise date cu ajutoml reguillor de deducţie "Noţiunea de demon­ straţie este efectivll. în sensul că pentm o secvenţă de fonnule dată se poate stabili dacă este sau nu o demonstraţie" (A. Church) Pentru no­ ţiunea de "teoremă" nn există o astfel de metodă, deci nu e efectivă. Noţiunea de e. este identică cu noţiunile de calculabilitate, algordmu:itate şi maşinizahtlitate. Vorbim, de asemenea de .. metodă afectivă", algOf'itm (v.) şi metodă de calcul (v. calcul) . ELEMENTAR, predicat despre un obiect x în raport cu o proprietate P, x este elementar dacă pentru nici o parte y a lui x nu are loc P(y). De ex . atomul este e. în raport cu proprietăţile chimice ELEMENT MAXIMAL v. element mmimal. ELEMENT MINIMAL, element special într-o mulţime ordonată de o relaţie slabă de ordine ( , ) , definit astfel . a este minimal în A dacă şi numai dacă Vx (x , a � x

=

a) (unde

x E

A)

Opusul său este elementul maXlmal care s e defineşte astfel . mal în A dacă şi numai dacă Vx (x � a � x

=

a

este maxi­

a) (unde x E A )

Astfel, în mulţimea potenţială P(A) (considerată fărl 0) mulţimile singu­ lare vor fi minimale, iar mulţimea A este maximală. Mai concret. dacă avem mu.ţ1mea A == {a, b} cu PI (A ) == {{a} . { li} , {a, li}} (unde Pl IA) este P(A ) fără 0), mulţimile {a} şi {b} sînt minJmale, Iar mulţimea {a, b} este maximală. Relaţia , va fi relaţia de incluziune ( c ) .


c OPERATIV

103

Se voCile că singura mulţime inclusă in {a} este ea insllşi, la fel singura inclusă in {b} este ea insAlji, ca urmare au loc relaţiile

111 ulţi m e

tn

ce

{a}

c

{b}

c

{a} ş i dec i {a} == {a} {b} şi deci {b} == {b}

priveşte elementul maximal

se

obser vă că au loc relaţiile

{a, b} c {a, b} şi d eci {a, b} == {a, b}

":U·:JIENT NEUTRU, element dintr-o mulţime care in raport cu o opera­ a * e ţie * satisf ac e următoarea proprietate' 3 !eVa (e * a a). (un de este o rel aţie de echivalenţă, e e. D. şi a un element oarecare din mul­ =

=

=

ţimea dată) De ex. în mulţimea Z (numere intregi) zero este e. n. în raport cu operaţia de adunare' a + O = O + a = a. tn log ică, adevărul (v) este e. n. in raport cu echivalenţa (=). (p = v) == (v = p) == p. Tot in logică, falsul (1) este e. n. in raport cu operaţia de exc1udere ('#): (P '# 1) == (1 '# p) == p. E. n. se bucură de proprietate a de unicitate, căci într-o mulţime există un singur element care este neutru in rapor t cu o operaţie (dacă el există in genere ). .E�DOMORFISM. OmomorlJsmul (v.) lui A in A. ENS RATIONIS (lat "entitate raţională"). E..NTIMEMA, si10gism obţinut prin omiterea unei judecăţi (deci, un silo­ glsm presc urtat, ehptJC). Iată e. obţinute în legătură cu mo dul Barbara (v J, date în formă stilizată. a) Filozofii sint muritori deoarece toţi oam eni i sînt muritori, b) Filosofii sint muritori deoarece sint oameni, c) Toţi oamenti sînt muritori, or filosofii sint oameni tn a) lipseşte pre­ nllsa minoră, in (b) l ipseşte premisa majoră, iar în (c) concl nzia. Jude­ căţile omise sînt subinţe lese . E. e ste o formă pragmatică de raţionament c�rac te nzată prin economicitate şi putere de sugestie. Stilistic se poate aJunge la comprimări şi mai mari, de ex., forma (a) poate fi ex primată eliptic astfel' "om deCI muntor". Problema ordmii judecăţii în e. es te , ca ŞI problema ordinii in silogismele stilizate, de natură pragmatică. De ex., accentul se poate pune pe concluzie sau pe expl ica rea el. în (a) accentul este pus pe explicare, dar no i putem s-o reformulăm astfel. toţi oamenii sint muritori şi deci, filosofii sint muritori, şi atunci accentul cade pe con­ cluzie Reconstituirea silogismului complet este necesară cînd vrem să probăm valabilitatea logică a e. l�N"TIT..\TI ABSTRACTE, laturi, proprietăţi, genuIl tratate metodologie ca existente de sine stătător (fără supoziţia unui suport fizic) De ex., Ilumerele pot fi astfel considerate, la fel valorile logice Ş a (V. ŞI Doc­ trina unwersalelof', ObJecte abstracte, Obucte ideale) EO IPSO (lat. "ca urmare a acestUia"), expresie de legătură logică. &-OPER,\TOR, operator Introdus de Hilbert în locul operatorulu J des­ cripţiei (l-operato r ) (v.) Are un caracter mai general decît l-oper ator. Termenii compuşi cu astfel de ope rato r au forma c� A(x), şi intuitiv În­ seamnă. acel lucru pentru care expresia A (a) se realizează, dacă ea se real izează în principiu pentru vreun obiect Hilbert introduce operatorul prin axioma ( 1 ) A(a) -+ A(czA(x)) c A(x) se poate prescurta E(A)). Tot prin acest operator se definesc cuantorii (2) VxA(x) = A(C.,(Ă(x)), (3) 3xA(x) = A (c.,(A(x)) Din (1)-(3) se deduc formulele (4) Vx A(x) -+ -+ A a ), (5 ) -V; A(x) -+ 3x A(x), (6) 3xA(x) -+ Vx A(x). Dacă A se reali­ ( zează pentru un singur lucru a atunci putem scrie a = E., A (x). Dacă A se re alizează pentru mai multe lucruri atunci E joacă rolul de funcţie de selecţie şi E.,A(x) reprezllltă pe un oarecare a din mulţime pentru care


EPIIIl!:ftEMA

. 104

A(x) se realizea�ă. Pentru introducerea lui c Hilbert se slujeşte provizoriu de un simbol 1) pe care apoi il elintină. Aceasta corespunde cu concepţia sa că unele simboluri pot fi folosite numai provizoriu pentru a putea intro­ uuce altele. EPIBEREMA, lanţ de sdogisme in care premisele sint entimeme (v.). Iată o formă: Toţi

B

sint C, deoarece toţi

Toţi A sint Toţi A sint Formă completă şi

e.

B,

B

sint

D

deoarece toţi A sint E

C.

corespunzAtoare:

Toţi D sînt C Toţi Toţi

B

B

sint D

Toţi

C B

Toţi

sint

Toţi E sint

Toţi A sint E Toţi A sint Toţi

B

sint

B C

B B

sint D sint C

Toţi A sint E Toţi A sînt

B

Toţi A sint C Toţi A sint C Omtmlorfism (v.) surjectiv. "prin urmare"), cuvint de legătură

EPIJ,fORFISM.

ERGO (lat. (ex. cogtlo ergo sum). EROAREA ACCENTULUI, ambiguitate provenită din modul in care este pus accentul sau din modul in care este plasat cuvintul in propoziţie. Jevons dă un exemplu din Bibhe din Cartea regilor (Cap. XIII). "ŞI a ZIS

fiilor săi: 'Puneţi-mi şaua pe măgar (' Şi l-au inşeuat pe el". EROAREA AFIRl\I.\RII CONSECVENTULUI, raţionament eronat de forma A -+ B, B, deci A. Ex. dacă cineva ţine o sursă de căldură Ungă termo­ " " metru atunci mercurul se dilată , "mercurul se dilată prin urmare, cineva ţine o sursă de căldură lingă termometru ". Or s-ar putea să fie alta cauza dilatării. Altă formă eronată se bazează pe faptul că implicaţia nu e necesară.

EROAREA COMPOZIŢIEI, eroare materială de tipul echivocaţiei. Se

consideră ca adevărat "pentru intreg" ceea ce este are loc doar pentru părţi luate separat sau distributiv. Uneori eroarea e datorată confuzlel intre sensul "distributiv" şi "colectiv" al cuvintului "toţi". Exemplu: Toate unghiurile triunghiului sînt mai mici de 180°, A, B, C sint toate unghiurile triunghiului. A, B, C sint (impreună) mai mici de 180°. O altă eroare lşi are sursa în considerarea întregului ca sumă a părţilor. Divizia A constă din regimentele I, II şi III Regimentele I, II şi III sint bine organizate Divizia A este bine organizată. Este posibil ca părţile (regimentele) să fie bine organizate şi totUŞI intre­ gul (divizia) să nu fie bine organizat.


105

EROARE

l\OON

SEQlilTUR

Alt exemp lu l'eorla ebte formată din propo21ţiile Pl, p., p•. PropoLI­ ţiile P" p., PJ sînt fiecare consistente. Teoria lespectJvă este consiste ntă (lr este poslbil.ca fiecare propoziţie , În parte , să fie cons istentă şi totuşi iutregul să nu for meze o teorie consistentă Un exemplu vizează probabilitatea: .. de la probabilitatea mare a părţtlor se trece la probabilitatea mare a intregului". Este cazul unei echipe de fotbal .co nstlt u itlt din "vedete". Fotbalistul 1 este foarte bun trăgător la poart:l I-'otbahstul 2 este fo art e bun trăgător la poartă . . . . . . Fotballstul 3 este foarte bun trăgător la poartă Echipa format:! dm fotbaliştii 1-9 are o mare probabilitate de a m arca gol. :EllOARE,\ DlS.JU'\TCŢIEI BIPERFECTE, raţionament e;on�t:-de ��� următoare, a) 1>e conf und ă disjuncţia neexclusivâ cu disjuncţIa exclusivă {"x este student sau x este sportiv, x este student, prin urmare x nu este sportiv"). b) disj uncţia exclusivă nu este completă ("x este european sau asiatic; or x nu este european, pri n urmare x este asiatic") în primul caz, disjuncţia fdud neexdusi v ă dm ne garea uDui termen nu se poate deduce afirmarea celuilalt, in al doilea caz disj uncţia nefiind C0111pletă dm negarea unui termen nu se poate deduce afirmare a celuilalt. Pentru prinlul caz există două forme eronate A V B, A 1- B; A V B, Ă 1- il, pentru al doilea caz există o singură forml eronată 4. + B, Ă 1- B, unde pe lingă A şi B există şi alţi membri. EltOAREA DIVIZIUNII, " ceea ce este adevărat adevărat despre părţi" sali "de la se nsul colectiv la este in ve rsă co mpoziţiei

de�p[e i ntr eg este sensul dlstributi\" . ,

studenţIi formea zft 1 <J; dm p op ulaţIe Popescu e�te student

Toţi

P opescu formează I % dm populaţIe. în

pruu,\ premi�ă "toţi" are sen� colectlv, în a doua - 'iens dlstnbuhv.

Junul a dat un verdict Just Ionescu e�te un membru al Junuhn Ionescu a dat 11n

yer rl ict

J"�t

În pruna premisă ,Juriul" este luat În �en;\ colec1tv (in care decide maJoritatea), în a doua premisă sensul este dlstributJv Ionescu poate să fie membru al JUriului ŞI �d. nu facl parte din maJoritatra care a deCIS Just.. EROARE� �EGĂRII ANTECEDENTULCI, raţionament eronat , de fo rma A -+ B, A, deci 11 Ex. "dacd. răspunZI bine la I'x"men a tuncI treci, nu răspunZI bine la examen, deCI nu treci". Se presupune că ră�pul1sltl bun la examen este sIDgura condiţie pentru a trece, ceea ce nu e totuşi f{ene­ rai valabIl Altă formă eronată se bazează ll'e faptul că antecedentul este condiţIe suficientă, dar nu şi necesară, "dacă ai fost la faţa loculU I ştii ce s-a intîmplat, or n-ai fost la faţa loculUI nu ştU ce s-a întîmplat". EROAREA NON SEQUITUR, constă in faptul că wnclu zia nu decurge cu adev ă rat din premisele indicate (în ciudl' eve, 'tualei apare nţe ) . . Exemplu Onclne doreşte fericirea, Oamenii virtuoşi sînt fellclţi Deci oricine doreşte VIrf utea.


EROAREA OBIEC'fIUNILOB

106

Concluzia "decurge aparent" din cauza aparentei relaţIi de Identitate " " intre "a fi virtuoşi şi "a fi fericit EROAREA OBIECŢIUNILOR, Înseamnă "a arăta ci există obleoţiunl Impotriva unui plan, teorie sau sistem şi de aci se Înferează că trebuie respinse " (R. Whately). In realitate nu decurge decît că ideea, teoria etc nu pot fi mai mult acceptate decit respinse cită vreme există obiecţii. Este un mod de a gindi conservator, folosit adesea pentru res pingerea ideilor noi EROA�EA ODVERSIUNII SAU CONVERSIUNII ILOGI�E a) în cazul obve1'siunii avem o eroare datorItă Înţelegerii greşite a primei propoziţii. Astfel, se trece greşit de la "cinstea este totdeauna o bună politică" la necinstea este totdeauna o rea politică" sau de la UlCI unUl " " străin nu-i este permis să voteze " la "tuturor cetăţenilor le este per­ mis să voteze". In ambele cazuri înţelesul propoziţiilor nil este exact surprins b) în ce priveşte converSJunea se confundă frecvent, din cauza unei aparente legături reciproce generale Între termeni, converslunea prin accident cu cea simplă. Astfel, aparent putem trece de la "tOţI oamenii curajoşi sînt generoşi" la "toţi oamenii generoşi sînt curajoşi". Impresia că tennenii "curajos" şi "generos" se implică reciproc este cauza raţionamentului prin conversiune greşit. Este necesar să inţelegem exact Înţelesul tennenilor şi relaţiile dintre tenneni şi apoi să efeC'tuăm operaţia logică. EROAREA "PRIN ACCIDENT". eroare materială de echhlOcaţle, con­ stă În confuzia dintre proprietăţile esenţiale şi cele accidentale, între " şi adevilrat prin accident ", altfel spus, se "adevărat prin definiţie " confundă ceea ce ţine "de principii" cu ceea ce ţine "de circumstanţe". Eroarea are două forme' a) directă sau simplă (lat a dJclo sllnplzClta r ad dJctum secundum quzd) , b) conversă (lat. a dicto secundum qU&d ad dtetum SJmphcite1'). Prima constă in a consideră că "ceea ce este ade­ vărat despre un lucru, În general, este adevărat despre el in circumstanţe accidentale sau speciale" A doua constA in a colUiideră că " ceea ce este adevărat despre un lucru În anumite condiţii sau prin accident. " poate fi adevărat in general (relativ la natura lucrului) . Exemplu . Toţi oamenii sint raţionali, prin unnare un om beat se comportă raţio­ nal. Exemplu . Vinul este o băutură bună, prin urmare, vinul este bun pen ­ tru un om bolnav de ficat. In aceste două exemple se conlite prima eroare ( accIdent direct" ). " Pentru "accidentul con vers" vom considera exemplul Popescu a vorbIt. foarte bine la cursul de deschidere, prin urmare, Popescu este un bun Turbitor. Sursa ambelor erori este că nu se ţine seama de "cltcumstanţele speciale" În care aplicăm ceea ce se consideră .. În principiu". Nu se are in vedere că noi considerăm lucru dintr-un punct de vedere atunci cind ne rapor­ tăm la natura lui şi din alt punct de vedere cind il luăm in anumIte cir­ cumstanţe. EROR FACTI (lat. "eroare de fapte"), termen utilizat in domenml dre p­ tului, opus erorii de formă (v. eroI' Jun s). " ERQR FUNDAMENTALIS (lat. "eroare fundamentală ), eroare ma­ terială în demonstraţie, coDstă - În a porni de la premise false. " E! OR IN FORMA (lat. "eroare În formă ), eroare care ţine {le formă. (logică, juridică), nu de fapte, de esenţă. ER QR IN RE .a�t. "eroare În esenţă"), termen care exprimă o eroare aflată În natura celor discutate, În fapte, nu În formă (v Eror H. /OI'ma)_


ERORI �IA'l'ERIALE

101

1�IOIl 1l:lllS (lat "eroare de drept"), termen utilizat În domeniul dreptului lmORI DILEHATICE, erori materiale În demonstraţie (v. Ddema). I�HORI FORMALE, erori care constau din Încălcarea regulilor raţiona­ Inentului (in particular, a regulilor silogismului). EqOBI IN DEMONSTRAT"':, operaţii de gindire care aparent sînt demoastraţii corecte logic uar care În realitate Încalcă regulile logice. Deoarece ele au caracter tipJC logica formală le-a studiat şi le-a clasificat. Una dintre schemele de clasificare a e. in d. (după J. E Creighton) e.,te u.rmătoarea I Eran de mtert"elare

ErOri I

(1) ObverslUnea ioau conversiunea ilogIce (2) Amflbolia (3) Accentul

I 1::rOl t de raţzonare

I

I

Formale

Impătrirea termenilor (quaternio ter­ minorum) Mediul nedb­ tribuit Majorul ilicit Minorul ilicit Premisele negatIve tn sIlo :glSmele ipotettce

I{

tn Sllogismele -disjUJlctive

Matenale I

Echwocaţza

( 1 ) Ambiguitatea şi substituirea termeullor (2) Compoziţia (3) Diviziunea (4) Accidentul (5) Erori dileml­ tice

I

Prezumţ.a

(1) Petitio Princiii (2) ntrebare COIllplexă (3) COll.cluzla irelevantă (Ignoelenchi) ratio Sequitur (4) Non

(6) Negarea ante­ cedentului (7) Afirmarea con­ secventului

(8) Disjuncţia

imperfectă

Erorile pot să fie comise În mod conştIent ŞI atunci avem de-a face cu sofume sau. Inconştient şi atunci avem paralogJsme. Erorile de mt"pretare ţin de inţelegerea greşită a termenilor şi propoziţiilor. Erorile formale yizează Incălcarea regulilor silogismelor, Iar cele materzale vizează incăl­ .carea principiilor relative la conţinutul termenilor ŞI propoziţiilor. Pentru fiecare tip de eroare in parte a se vedea termenii corespunzători. ERORI HATERIALE, erori În demonstraţie care provin din mater,a r âţionamentului nu dm formă. Toate e. m. provin din echivocI tate sau prezumţie. Prin urmare ele incalcă următoarele două principii - a) termenii sint univoc definiţi pe tot parcursul raţionamentului (este o formă a principiului identităţii) , b) concluzia să fie Întemeiată şi nu simplu presupusă (v. pYJncipiul raţiu-


ERORILE DIN PREZUMTIE

108

nu suficiente). Din tre Il. m. fac parte: ambigu itatea şi substItmrea ter­ menilor. compoziţia. diviziunea. accidentul şi erorile dilematt ce ERORILE DIN PREZUMTIE, erori p ro venite din presupuneri (sau accep­ Uri) ilicite in argumentar e. Există cel puţin trei asemenea erori' a) petitw princzpu şi întrebarea comPlexă, b) non sequitur. c) conc luzu� Jreh­ vantă. ET INCUMBIT PROBATIO. QUI DICIT NON QUI NEGAT (lat. "sarcina demonstrării re\'ine celui care afinnă. nu ce l ui car e neagă") (v argu ­ me ntare). " EXtEPTlO PROBAT REGULA (lat "e�cepţia confirmă regula ). maximă metodologică. EX CONTINGENTE NECESSARIUII ( lat. "a face din c ontmgent n ec�­ sar "). eroare de conţinut IV. Contingent. Necesar) EX CONTRARIO (lat. "prin contrariu"). metodă de demonstraţIe prlll presupunerea opusului. EX FALSO QUODLlBET (lat "dm fals orice"). denumire pentru lt>gea [A -+ (A -> B)). EXISTEI\TĂ ( in logIcă). termen cu două se m nificaţu ' 1. ,E. logteâ Şi 2. E. factuală. E. logică este definită c a necont radicţi e logică. A exista În logică = a fi necontradictonu (Hilbert). Avind in vedere faptul ctl posibilitatea log ică se defineşte adesea tot ca necontradicţie lOgiCă, rezultă că in acest sens a exista (lo g ic) = a fi posibil l og ic. în matematic[l demonstraţia de e. se poate face pe două căi: 1. prin absurd bau 2. prin indicarea exemplului. De aci rezultă că În textele matematice nu se di stinge exact Între Il. logJcă ŞI Il. factual4 (factual nu treBuie Înţeles neapă­ rat ca fizic) Ce este Il. factuală � în primul rind. au e. factuală (= de f apt) obiectele fizice ( detenn ina bile În spaţIu şi tunp). În al doilea rînd. an e. {actuală şi construcţiile abstracte determinate În raport cu noţiuni mai gene rale pe care le exemplifică Evident. În acest sens jactual are un sens relativ. Astfel. numărul 2 este o exemplifi care a numărului natural. E. factuală se mdJcă. e. log.că se demonstrează. Cind spunem ..exist;',. x astfel că ;1, + a = a" noi putem să d emonstrăm e. l ui x (caz în care .. a eXIs ta x" = .. a fi demonstrabll") sau să-I indicăm. Exemplificar ea InexlstenţeJ logic e cu flmţe Imaginare nu este totdeauna reuşită Ve ex .• centaur nu e ste o Imposibilitate logică. este doar o absenţă factuală. Care sînt relaţiile Între e. logică ŞI cea fac tu ală � Să le notăm cU EL ŞI EF (1) EF => EL (2) EL=> EF . (3) EL=>FF� (4)EF=>EL'Relaţitle (3) ŞI (4) trebUIe să fIe înţelese ca nedeterminate (= poatt: ...ă f te e. factuală sau poate să nu fIe (3). poate să nu fie e. logICă sau să fie (4)). Un eor i pr in Il. se Înţelege adevărul. De ex. cînd se vo rbeşte de e. matematJcă !>e are in veder e acelaşi lucru cu "adevărul matematic". EX !\IEQE NEGATIVUS NIHIL SEQUITUR (lat. "numai dm propo�iţiJ negative nu urmează nimic ") (v. silog�sm Simplu). EX MERE PARTICULARIBUS NIHIL SEQUITUR (lat. "nlllll.1I ,lin propoziţii particulare nu urmează nimic" (v. silogism Simplu) EX NIHILO NIHIL (lat. " dm nImic nImic "). princ ipIU care expnm:l îiitr-o formă indire cla faptul că nimIC nu există fără cauză ŞI că din ceea ce nil eXIstă nu poate să apară ceva ce există (= din mml c lin poate urma nimic) Este Îndreptat ŞI Împotriva ideii religioase conform cu care "lumea a fost f ăc ută din nimic". Poate fi corelat cu pnncipiul transformărÎ1 şi conservării materiei şi energiei, dIn fizică. ��OPPOSITIO (llit. "prlU op oziţie ") . metodă de demonstraţIe prm presupunerea opusulul (v. Reductlo ad absurdum).


]09

EXTENSJl1NE

( nU C I S l1at. "experiment crucial"), experiment care confirmă sau infirmă În mod <lt:.:isiv o Ipoteză. EXPLlCATIVAE DE"'INITIOi'tES .(lat. definiţii explicative") (� de­ " finiţie nominală). EXPLICAŢIE 1. (A /lueI exp l e ,'t l) , operaţIe prm care o expresIe (Llpltca­ tul) este inlocuită cu ulla slDonimă Illai clară ŞI mai precisă (expl,cantul), 2. (E. cauzală), determinarea cauzei unuI fenomen, ;1. (E. logică) justi­ fIcarea logică a unei propoziţII, 4. (E. teleologică), justificarea prin scop a unei decizii sau acţiuni, ă. (E. nomologicti) Justificarea faptelor prin legi, G. (E. de conceP"') desvăluirea conţinutuluI conceptelor. EX POST .FACTO (lat "de după fapte"), ceea ce vine după parcl\rgo:=rea faptelor. EXPRESIE, unitate i>iutactlco-semantJc:\ caractenzată pnn form;:; pro­ prie ŞI semnIficaţie IDdependentă E. poate fI defillltă l�UY smtactic pnn regulile de formare (v.). în acest sens, vom inţelege prin 1'. ceva relatÎ\' la limbaj, adic ă c. în L Formal, ceva poate să fie e. În­ tr-un limbaj, dar nu În al tul. EXIstă două feluri de c.: termem (1') ŞI lJ1'opo::iţii (v.'. Pentru termt>ni funcţia principală este denominativa, pen­ tru propozlf � funcţIa pru: ipală este znfoymativă (judkativll). E. sînt din punctul de ,edere al structurIi logice 51 ·Ipului de studIate 1081 semnificaţie. (V. ŞI Ltmbaj formalizal, LtmbaJ szmbolic ) EXTEVSIUJ\lI. : termeu introdus de Logica de la POl I Roy.!!l (i-.l Îlllpreu� cu termenul de comprehensiune pentru a ca racteriza IdeiIe generale (�au termenii generali). E. unui tennen general este totalItatea lucrurilor la care se poate aplIca COlllprehen'llUnea ideii (�al1 termenului !!,-neral, este totalitatea atributelor pe care le cnprinde (qu'elle enferme en bOI) William Hamilton (sec 19) înloc\lie�te "co1llprehen�il1ne" cu "intcn'ÎllDe". ŞI Intensiune). n Logzca de la Port Royal i>e mal afIrm:1 că t'. poate fi restrins:\ "fără a distruge ideea", dar atributele (lIn comprebenslUne nu pot fi restrinse fără a nu distruge Ideea Rămîne neclară problellla dacă e. se rderă la specII sau la iudlvizi Este evident că eomprehensiunea euprrnele numai notele esentiale. Distiucţia corespunde cu traducerile În diferite limbI ale cuvintelor sfera ŞI coutlnutul noţll1nn (de ex ID german:l Umfang şi lnhalt) J S Mill 4 mtrodu� dls tIucţl a între componentele �emmfjcaţiel terme­ nulUI, d enot aţle şi conola!u Mulţi antori al1 IdentifIcat e. terlllel1uhu Cil denotaţia, iar illtl!nsiullco cu conotaţia. J. E C reighton le-a tratat ca pe "două funcţii sali lltilizăn ale llumelui " Termenul t>ste utilizat /li e. cînd e luat ('[1 c!l'notillcl un mrlh'i(\ san o dasil, Iar În mtnlsiune - cind e utilizat "pent ru a defini ::.au de scrie lucruri mal degrabă decît pentru a le numi' H. Goblot define�te 1'. şi comprehensiunea În 1 roite d� logi­ que hmitindu-se la termenii generalI "Extensiunea �au denotarea uuui terl11en este numărul de indivizi conţinuţi în gen, adică judecăţile posibile faţă de care el este atribuit, comprehensiunea sau conotarea este nUI'lărul c..tlităţilor comune indivizilor genului, adică judecăţile posibile faţă de care el este subIect". Din mai multe contexte rezultă că se confundă de către mulţI loglcielll "a aplica termenul" cu " a denumi cu lin ter­ men". în conformitate cu evoluţia seman/Jcii loguc (v.) această identifi­ care nu pare acceptabilă. Termenul "om" se aplică IIldividulUI bocrate, dar nu-l denumeşte pe Socrate. Dacă am accepta că "om" desemnează pe �crate ar rezulta că trebuie să existe ceva în in tensiunea termenului care să-I determine pe Socrate. Şi mal inacceptabilă pare ideea că tt>rme­ nul "om" ar trebui s.l denumească ŞI pe toţi Indivizii viitori. în Teona sistemelor logIce (Gh Enescu) s-a adoptat ideea C:l ceea ce denoU tt>rwenul

EXPEIlUIEl\TUl\1

fV.


EXTINDERE DEFINJŢIONALA

110

general este generalul (unul) cuprins hi individual (multiplu). Nu exisU 1l10tiv pentru care n-am accepta aci v entitate abstractă (C1l.Dl. pare a fi sugerat la un moment dat iuuşi Frege), o entitate de ordinul doi in raport cu indivizii. (Necesitatea Ierarhiei a simţit-o şi Aristotel cînd a distins intre "substanţele prime" şi substanţele secunde".) Putem " conveni s-o numim gen (genus) un obiect general". Intr-o formă insu­ ficient de clară ideea se regăseşte la" Roger Bacon, William de Schyres­ word, Burleigh ş.a. Kneale redă astfel ideea lui Burleigh' "Dacă homo semnifică, respectiv inseamnă Socrate şi alţi indivizi umani, nimeni nu ar putea învăţa inţelesul cuvîntului latin fără să inveţe că el se apli­ că la Sacrate, ceea ce este complet fals". Că sîntem nevoiţi să acceptăm abstracţii ca" denotaţii se vede şi din utilizarea termenilor "proprietatea Om", "albul , "culoarea roşu" ş.a. Rezultă cI nu putem confunda e. cu deno/atul (denotaţia, denotarea). în logica matematică se vorbeşte despre e. unui predicat PIx) şi se defineşte prin AX PIx) E XTINDERE DEFINITIONALĂ, termen introdus de H. B. Curry pen­ tru a marca extinderea unui sistem formal, sau lingvistic prin introduce­ rea de noi termeni" (obiecte formale, termeni lingvistici) Notăm cu " D relaţia "este prin definiţie" şi cu S. sistemul iniţial. SI se va numi e. d. a lUI S. dacă sînt îndeplinite următoarele condiţii: ( 1) Termenii lui 51 se formează prin adăugarea la So a unor operaţii (In operaţie sînt incluşi şi termenii atomari ca operaţii de rang zero), (2) Se introduc aserţiuni noi de forma X D Y. (3) Mulţimea postulatelor lui S. va con­ sta din afirmaţii de forma X D X şi ,dintr-o submulţime Sd de postu­ late ( axiome") definitorii de forma �(AI ' AI • . . . , Am). (4) Sint admise " implicaţii ("deducţii") de forma X D Y � X D Y'. ACI Y' se obţine din postulatele definitorii, prin înlocuirea definitului cu definitoml. Con­ diţia (4) se va numi "regulă de reducţie definiţionaIă". Reducţia apare ca o "succesiune de definiens" care Începe cu aserţiuni de f01'Jlla X D Y sau cu postulatul definitoriu şi se sfîrşeşte cu definiendumul final X din S•. Curry, H B.. Foundatlons of Mathematical logzc.


F

termen de!>tinat să caracterize.te conceptele care nu sint mtro­ duse (determinate) pe cale pur logică. ci pe cale extraloglcă. pnn fapte particulare Este opus logiculuJ (v.). Astfel avem posibil factual (v. posibil). f actua l adevărat (v F-adevărat) ,a. Carnap numeşte astfel de concepte ,.concepte factuale" sau pe scurt F-concepte". " de R. Carnap ca "'-ADEVAR (resp. F-adevărat). termen mtrodus explicant pentru adevărul sintetic sau contingent. ÎIl. opoziţie cu ade­ vărul logic (v. L-Adevărul). prescurtare de la adevărul/actual. Con­ diţia generală a adevărului factual (F-Adevărul) este că el nu poate fi stabiht numai pe baza regulilor sistemului semantic. ci este necesar să se facă apel la fapte extralingvistice Definiţia F-A devăruluJ ca şi defmiţia L-AdevăruluJ este relativă la sistemul semantic. O propoziţIe p, este F-adevărată (in .)1) dacă �I numai dacă ea este adevărată. dar nu L-adevărată. Astfel. propozIţia "Scott este om" este factual adevărată. adevărul el nu poate fI stabilIt numai pe baza regulilor seman­ tIce F�LLACIA ACCIDENTALIS (lat "eroare prin accident"). eroare logică in care se confundă natura lucrului cu lucrul considerat in circumstanţe particulare (accidentale) sau 'le confundă diferite circumstanţe ale lucru­ lui. In n10d tradiţional se dau două forme: 1) eroarea prin accident SImplă sau directă şi 2) eroarea prin accident conversă. Prima se exprimă in latineşte prIn a dicto simPliciter a d dictum secundum quid ("de la ceea ce e spus În mod simplu la ceea ce e spus în mod secund " ). iar a doua este exprimată prin a dzcto secundum quid ad dzctum szmplicder ("de la ceea ce e spus in mod secuDd la ceea ce e spus in mod simplu"). In primul caz se trece de la ceva asertat simplu în genere la asertarea despre acelaşI lucrn luat în circumstanţe speciale. Exemple: Cine vîră cuţitul În altul trebuie pedepsit Chirurgul vîră cuţitul În altul

FACTUAL,

Chirurgul trebuie pedepsit. în prima premisă se asertează in genere despre a virE cu(tlul în altul .'1 timp ce in a doua se asertează despre a virî culJtul in cazul operaţi ei .. Eu mănînc azi ceea ce am cumpărat ieri Ieri am cumpărat lapte proaspăt Azi mănînc lapte proaspăt. Premisa primă asertează in genere, iar premisa secundă vizează condiţii speCIale (de la a cumpăra" se trece la "a cumpăra lapte proaspăt"). " în cazul invers eroarea constă În a trece de la asertarea despre lucru În circumstanţe speciale la asertarea În genere (independent de circum­ stanţe).


f'ALLACIA

EXTRA

DICŢIONEM

11:

Exemplu' Cine bea vin mult bea otravă Prin urmare, vinul este otrav:i. In aces t exemplu, se trece de la cazul particular " a bea VID mult' la ru.ertarea generală despre vin. De ::\lorgan a semnalat ŞI al treilea caz de eroare prin accident· trecerea de la asertarea despre lucru In ,mele circumstanţe speciale la asertarea despre lucru în alte circumstanţe

Exemplu: Cme dă unUI cerşetor stImulează cerşetona Or X dă ajutor să se ridice de jos unui cerşetor X stimulează cerşetoria

In acest exemplu se trece de la cJrcull!i>tanţa de a da lucrun sau bani unUI cerşetor la circumstanţe de a-I da ajutor să se ridice de JOs. FALLACIA EXTnA DICTI01\lEM (lat. "eroare in afara vorbirii" ), eroare logic.l nelingvistică (v. e rorJ în demon stratie) FALL\CIA PLURIUII INTEROGATIONUAI (lat. "eroarea [mai] multor " întrebări ), eroarea logică constînd în formularea mai llIultor întrebărI intr-o singură propoziţie (v. eron în demonstraţJe, întrebare complexă). FALLACIA SECUNDU\I DICTIONEM (lat. "eroare relativă la vorbIrea secundă"), eroare logIcă de natură lingvistică (v. erori în demonslratie). FALS LOGIC 1. Logic contradictoriu. Negaţie a unei legi logice. Ceea ce decurge dIn negaţIa unei legi logice, 2. Ceea ce este respms pe baza legilor (axiomelor) logice, 3. Ceea ce e respins pe baza axiomelor (pos­ tulatelor) sistemului şi a legilor logice. Exemple a) "Toate propoziţiile sint false ", "p & p ", "plouă şi nu plouă", b) " dacă 2 X 2 = 4 atuncI 2 ' 3 = 6 implică dacă 2 X 2 = 4 atuncI 2 X 3 = 7", c) ,,2 + 3 = = 7" (e respinsă pe baza axiomelor aritmeticIl cu ajutorul legilor logIce) F. 1. se distinge de r. factual ( = r. în raport cu faptele empirice) şi denot{l o Jmpo sibilitate F. 1. implică r. factual, reciproca nu este adevărată FAPT (in sens larg), conţinutul propoziţiilor despre care putem spune că alt! loc sau nu are loc in realitate De ex. faptul că 2 + 2 = 4 ei>te real, faptul că 2 + 3 = 8 nu este real în sens restrins, conţinutul propoziţiilor despre care spunem că are loc În realitate (de ex., 2 + 3 = 5 este un fapt matematic, 2 + 3 = 8 nu este un fapt matematic) 1 aptul este denumit in metalimbajul propoziţieI prin expreSIi genitiv ale complexe (de ex , .. asasinarea lui Cezar") sau prin expresii de forma "faptul că p" (de ex., "faptul că Cezar a fost " asasinat ). Aşa cum se vede din exemplele iniţiale termenul r. .. pare ca Un predicat COnstant in legătură cu conţmutul propozIţiilor, in expresii de tOrIDa "este un f.". Se distinge între f. de observaţie, r. experi­ mentale ŞI f. teoretice în funcţIe de poziţIa coguitivă a propoziţiei. i'-ECHIVALENŢĂ (resp. F-ecklValellt), prescurtare introdus{l de Llr nap pentru echivalenţa factuală (v. L-eckivalellţă) FELAPTO�, mod al flguni a III-a. Are schema următoare E NlCl un .1I nu e P }1,/ sint �

A Toţi

o Unu

S nu sînt P.

FQrma stilizată: Fiindcă mCI un !If uu e P, dar toţi .11 sint S nu "mt P

Ullll

S


FFSTINO

113 Exemplu

NICI un om calculat nu e generos Toţi oamenii calculaţI sînt mteresaţi Urlii oameni interesaţi nu sint generoşi

Fiindcd nici un om calculat nn e generoq, dar este inte­ resat, unii oameni interesaţi nu sînt generoşi. FERIO. mod al fignrii 1. Are schema următoare

Forma -tilizată

E Nic i

1 Unii

un IU nu este P 5 sînt l'rI

o Cnii

5 sînt P

Forma �t1lizată Nu tOţi S !>illt P deoarece U1111 5 !>lnt II!, or mCI un ;v! nu e P I:xemplu �ICI o reptilă nu este mamifer U nelc patrupede sînt reptile C nele patrupe de

nu

sint mannfere

Se obqen.1 Cd În acest mod estc contrazisă aparcllta legăturd ulliver,alJ. mtre patrupede şi mamifere ("Toate patrupedele sînt mamifere") În formă stilizată exemplul apare astfel. J'..u toate patrupedele sînt mallll­ fere deoarece unele patrnpede !>Ult reptile, or reptilele nu sînt mamifere I?ERISON, mod al flguru a III a Are qc!tema următoare' J� Nici un M nu e P J Unit ,11 qint S

U Cuii Forma stilizată

uu slut P

� nu �l1lt

P

de şI UllU l1f sînt � mCI un .\1

nu

e P şi deci uuii 5

Exemplu NiCI un Ipocnt uu e profllnl1 Unu ipocriti sînt culţi Unii oamem culţI nu sint profunZI :Porllla stilIzată : deşi unn IPOCriţI ::.mt culţi, mCI 1!Il Ipocnt nu e pro fuud şi deCI unii oameni culţi nu sînt profllnzi I"ESAPO, mod al hguru a I\"-a Are ,chem.L lIrlllMoare

E Nici un P lIU est e JI M ,>int ::, A Toţi

O

I:'ESTINO,

rnii

S nu sînt ]'

mod al fIgura a II-a. Are următoarea ;,chen.i!: E Nici un P nu e;,te JI 5 sînt JI 1 Unii

o Unii

5 nu sint P


FIGURA GALENICA Forma stihzatll nu este -'f.

114

Ului S ,nn �int P fiindcă unll S sînt .\1, or nicI un P

Exemplu . NIcIo ţară liberă nu ia decizii sub amenmţarea cu forţa Unele ţări micI iau decizii sub ameninţarea cu forţa l1nele ţări mici nu sint ţări libere Forma stilizată' l'nele ţări mici nu sînt o;ub ameninţarea cu forţa, or nici o ţară ţarea cn forţa . •'IGUR1\ (iALENIC(, denumire pentrn De�coperirea el este atribuită (o;e pare pe nus

ţăn libere, fimdcă ele iau decizii liberă nu la decizii sub amenin­ figura a IV -a a sIlogl!>IDulu i. nedrept) medicului roman Gala­

"'WURI�E SILOGIS�nJLUI " t.AU.ULUL PIlEDICATELOn, transpu­ nere a figurilor silogisJllului in logica predicatelor, se face in majontatea cazunlor prin inlocuirea Jndecăţilor A, E, J, O cu formele echivalente dm logica predicatelor Să considerăm modul Barbara din figura 1 �I modul FerisolJ dm figura a III-a Barbara

FrrlSOIl

Vx (M(x) -+ PI x»� Vx (5(x) -+ M(%»

A

Vx (5(x)

PIx»�

A

E 1

-+

V� (M(x) 3x (M(x) 3x

-+

& 5(%» (8(x) & PIx»�

A

O

ExcepţIe fac llloduTlle Daraptl şi Felapton (figura III) �I BN,m,antl p �i Fesa po (figura 1\') Ele cer introducerea unei premise suplimentare de existenţă.

DaraPl1

Vx (M(x) Vx (M(x) 3x M(x)

-+ -+

PIx»� 5(x»

3x (5(x)& P(x» Ff'/ttptOII

Vx (M(x) Vx (M( x) 3x .II1(x)

-+

P(x»

& PIx»�

"Ix (P(x) "Ix (M(x) 3x M(x) 3x (S(x )

1

PIx»� E A 5(x»

Vx (P(x) -+ 1H(x» Vx (M(x) -+ 5(x» 3x PIx) 3x (5(x)

Fesap o ,'

-+

&

3x (5(x) Bramaft/lp

.4 A

-

-

M(x » 5(x»

O A A •

1 E A •

&

PIx»�

O


FO&MAL

115

as

tn dre apta am notat cu simbolurile din si logl sb că felul judecăţtlor, Iar premisa snpl imentară cu terisc O traducere analoagă se face in cal­ culul claselor nnde Însă premisa suplimentară se traduce prin diferenţa claSeI corespunzătoare faţ ă de mulţimea vidă Exempl u !tI #- 0).

FIGURILE 'SILOGISMULUI SlliPLU (TIP A E I O). Notind te rmenii stlogismului cu S ( termenu l m inor), P (termenul major) şi M (termenul mediu) vom putea clasifica !>iloglsmele în p tru clase după poziţia ter­ menulUi mediu in p remIse EXIStă patru posibilităţi (1) M este subiect în majoră ŞI predicat in minoră, (2) M este predicat în ambele premise, (3) M este subiec t în a mbele premIse, (4) M este predIcat în majoră şi s nb lect in minor ă Pentru a memora uşor :.e obişnuieşte să exprimăm fiecare pe scurt astfel sub-prae, prae-prae, sub-sub, prae-sub (unde sub = = su biect . prae = p re (l 1 cat) Figurile sînt reprezentate prin urlnătoarele scheme

a

M�P

P ----, M

M r- P

P

M

S �M

S ---1 M

ML- S

M

S

Fig II

FIg III

Z

FIg. n'.

Fig 1 II. III au fost descopente de A ristote l, fig IV a fos t atrIbUItă mediculUI roman Galenu� (130 - 200). de aceea s-a numit şi "figura galen.ică". Unit loglcieni contestă că fig IV a fost descoperită de Galenns. Reguli ale figUrilor La regulile priv i nd pOZIţia termenului mediu se adaugă următoarele (1) în figura I pre misa majoră este nniversală. iar premisa minoră este afirmatIvă, (2) În figu ra II pre misa majoră este universal ă ŞI una din premise este negati vă, (3) în ftgura III pre­ misa mino ră este afirmatIvă iar concl u z ia este pa rticnlară. (4) I n fignra IV a) dacă p remisa majoră este afirmativă premisa minoră este unI­ versală. b) d acă o premISă este negativă. premisa min oră este un iver­ sală, c) dacă pre misa IDmoră este afirmatIvă. concluzia este partic ulară . Exemple de silogisme în cel� patru fIgurI

A A

T oţi M sînt P Toţi S sînt M

li

A

Toţi S sînt l' ( Figura 1)

E

Nici un S nu e P (Figura II)

A A

Toţi M sînt l' ToţI M sînt S

A A

Toţi P sint A ToţI M sint S

I

ToţI S sint P (Figura IV)

Unii S sint P (Figura III)

a

A

NiCI un P nu e M Toţi S sint M

FILTRU. t ctură de ordme Fie B o mulţime Într-o lat!ce (II.) A cu operaţia 1.. Mulţime B este f. in A dacă şi numai dacă Va, b €O A fii> .L b e B..;.o. a e B şi b e B. <A, &) este un e emplu de r. logIC "'ORJlAL 1. In logIca tradiţională, ceea ce ţine de forma logică. 2. In logica simbohcă, ceea ce ţine de sistemul fO'Tmal (v.). 3. iu ştiinţ!, în genere cee a ce ţine de structura l ucrurilor. fenomenelor (ex �tructura de grup)

s ru

x


FORMALISM

116

FORU_4.LIS11, termen care in metalogică şi metamatematică ale dOUd inţelesu ri 1. Sistem jOl'mal (v ) şi 2. Conce pţ i a filosofică asupra naturii matematicii şi logicii. ]:. (ca filosofie) este legat în mod deost'blt de Jlumele lui Hilbert, dar concepţia fu�ese dej a definită anterior foarte clar de un adversar al lui Frege, anume J Thome . Frege il va combate s pec Ial in Fundamentele a1'l/me/tCU şi Prznctpzzle anlme/icil. Thome ( 1898) vorbeşte despre "concepţia formală asupra numerelor " ŞI scrie (il re<1:un cuvintele pentru că modul său de exprimare a fost relnat unean aproape Identic tie alţi matematicieni) concepţia formală "nn-şI pnne intrebarea ce sint numerele şi incotro duc ele, CI numai ce b se cere în arltmetic'l. Pentru concepţia formală, arItmetica este un JOc cu semne care :,e nu­ mesc vide. _'\ceasta Înseamnă că ele nu au alt conţmut (în jocul de cal­ cul) decit acela care le este atribuit prIU comportarea 10I faţrl dt' anu ­ mite reguli de comblUare (regulile joculuI) ju<'ătorul de şah face uz de pi esele sale in mod simil a r , el le atribUIe anumite proprietăţi c are ,1etermină comportarea lor in cadrul J OCUlUI, Jar piesele nu sîn t de cî t semne cxterioare ale acestei comportări" Dar TllOme completează în l 1 I od fericit : " D eSIgur că Îutre aritmetic:i ŞI şah deosebirea e ste i m por­ tantă. R e gul ile şahultu sînt arbItrare, pe cînd sistemul de reguli pentru a n t m et lcă este astfel încit cu ajntorul unor axiome simple numerele ;,e pot refen la varietdţl sup use percepţieI �I deCI pot ad nce o <'(mlCl­ buţle ll11portal lttl l a cu n o aşterea de către nOI a natura ". Aproape H1 ell ­ tic 1>e \ a exprima (,ood steill În LoglCa matematică ( 1 957) figura (1e şah (de ex. regele) este " rolul figurii, nu însăşi figura. Exact la fe l nunJ('re1e sînt t ocma i rolurile pe care cifrele l e Ju acă în limbaj " . In anlbele c az u r i Hyem un formalism metodolilliic Hllbert dez\ oltă un adevărat "program formalist " (în opoz iţie CI! IOlilc/slnul şi CII intuiţion ismlll logiw-malf­ mafie) ,?I trece uneori de la poziţia metodologică la cea fllosofică. î n studiul său GÎndi/'ca axif)malică ( 19 18) el a formulat prJJilcipiul , La i n ce pu t e�te semnul A ceste semne n-au nici o semnificaţic " . A pUl con ti n u d , oJ .it"ctele t e orit'i uumerelor �lllt înseşi �el1lllele" Mal tltZlU H li. Curry \ a afirma C'-I m .!te m at ic a este ştiinţa d espre sIstt'mt le fo r ­ male ( , '. si.'lt'iII i'rll/a!j l'roC!raullIl !tu l Iilbert con�ta din <lou" plmet" ( 1 ) formalizared matematicii, (2) demunstraţiile de ne co ntradi c ţi e . l 'rim u l PUl1ct consta d i n COllstrlliro=a matematici i ca sisiL'm for mal {lxi,'ma/lzat ( al t ie l 'pus, ca un şir de sbteme ax io mati ce fo rm aliz ate) lhlbert însuşi a f,kut puţin m ace�t 'L'ns, dar el a găsit i n Princlpia Jl1atlwmatiw ma­ tertal 1>lIfioellt î n t r - a d e \ ilr, în I UJldmllcll lcle geo me tl Ul el utili"t-az{ , , 11 l i m baj c on cep tu al, d enlOnstmţu le nu &Înt fo rmali zate 51 si n t prul'ahi! in totalitah. raţioname n t e eliptice în (Jrundlag' n der .U a/hemalll.- li'.) �illt prezenta te pe l arg �onc ep tele metateoretke, prinCIpalele 111( tnteoreme, problem el e �I metode l e în schim b, În Ba;d, logicii Iforr/ice se insistă a supra prez e n tă ri i sistemelOl furm ale ale logicii (f ăd n du- �e totuşi 1111 apel larg la Îllluiti, ) . rn loc deo�ebit l�te acordat d bcuţi ei ŞI dtmOnftra­ ţIil"r proprietăţilor bIRt cm el or axionlatice. Prin aceasta este pnsii l a punct IJII/oda. el a boră ri i de formalisme ( � sisteme axiomatice f ormal e) . Et',pele jo rm a li z ării sint următoarele 1 ) Construire,1 uuui " Ianbaj al formu­ ldor", 2) .\naliza formal1 a l\oţIUnilor, propoziţiilor şi deml,llstraţii1or �i eJ.. p ri 1l1 arc a lor in liJllbaJul formulelor, 3) \.. ollstruirea axiomaticii for­ lIntle şi a (kmollstraţiilor, abstracţie făcînd de orice conţmut, 4) De­ mon stra rea proprietăţi lor �istemului formal axiomatic (în primul rind demo1lstrarea nccon tradicţiei) _'\ xlOma bca formaIii este opusă axiomaticÎ1 cdn'ţinuth'e ( int uiti\'t:) Însă exagerările filosofice formaUste din unele artIcole sint ){lsate la o p arte dud &e trece la l onstrucţii1e efective A-


111

FORMALIZARE

ceasta se vede din următo arele rindurI din Gl'undlagen del' llfathematlR . "Axiomatica formală după necesităţi se sprijină pe mnom atica conţi­ n utiv ă În completarea sa, întrucît tocmai aceasta din urmă conduce l a inceput în alegerea formallsmelor corespnnzătoare ŞI apoi cînd teoria formală stă la dispoziţia no astră axiomabca conţlnutivă ne indică în ce fel teona formală trebuie să fie aplicată la domeniul considt'rat al realităţii". Necesitatea axiomatlcii formale decurge din faptul că noi avem de a face CU teorii care "nu reprod uc complet adevărata �tare de luc­ ruri, CI sînt numai tdealizărt simPlificatoare ale acestei �tări de lucrurI. Astfel de teorii, desigur, nu pot fi fund amen t ate pe calea trimIterii la evidenţă sau la experienţă" Fundament area se face prin dem on st rarea necontradlcţiei Idealizărilor î n acest fel, e senţial devine punctul de vedere metodologic În " concepţia formalistă". Totnşi la cele !opuse mal sus tre­ buie să adăugăm cîteva ideI pentru a caracteriza complet concepţia for­ mahstă a lUI Hilbert : 1) Formalizarea teoriei presupune şi formali.larea mijloacelor logice util iz ate în ea. (Prin ace asta �e adop t ă lin punct de vedere metodologlc şi asnpra rel aţiil o r dmtre logică ŞI matematică), 2) Teoria matematică presupune mft mt tti ac/ual (v.) ca Idealizare, in­ flDlt expnmabIl nu expliCit, ci implicit în cone .t mn ea elementclol' formale, 3) Contra mtuiţionismului matematic Hilbert p.lstrează legea terţullll exclns, 4) Formalismul permite apbc a rea metodelor finiti,;te (� fi n z­ tismul) la rezolvarea problemei fu ud amen tale ,1 necontradicţiei (con­ sistenţei) sistemulUI, ceea ce este " concesie făcută mtuiţioniştilor pen tru a para anumite obi ecţii dm p art e a acestora, 5) l.on ţin utu l sistemulUI este determinat ImpliCIt de aXIOme - este ceea ce re alizea z l conexiu­ nile date j" axiome, 6) Operarea cu obiecte hrmale (figuri grafice etc. ) în cad ru l f rmaiismuiul ne dă posibilitatea stI 5ezăm la b a7 I prc I:snilli matematic percepţia (cea mal sig ur ă form" a intulţiel) .

FORl\fALIZARE, 1) trece rea la un anumit gen (le procesc (proust for­ malizate) , 2) constrUIrea de sistc m e Jormole (1'.) 'ii :.1) construirea 1llll!1 ,lUU · mit tip de li mb aje (v. ltmbaj fOl'1uolizat) . Sensul :1 t"�te senl11dar şi nu 11C vom ocupa de ci aCl Prin f (În sens ele prol'cs formalizat) �L inţcl( gc desprin(lerea formei matenale a hmbajulm de orice conţinnt �i operarea numaI cu această formă în virtutea rrg1tlill'Y J'>/tY forma" ( .. siut.lctice" ) (v 1 eguh for1l1ale) A ltfel SPUq once proces logic este formalizat (strict formal) dacă în el se operează nu 111 al cU forma materială a limbajului în virtutea regulilo r formale, dbstracţie tăcînd de orice conţmut. 1'. poate it aplicată în mod consccv ent numai l a hmbajt:1e ştiinţifice l':gIfYOS construite (t'. hmbaJ for1llalizat) . Xumal astfel de ltmbaje ne permit s.l trecem în lUod consecvent la 1. , 'S(/ joymolz::âl1l Astfel dc limbaje sînt limbajele simbolice ale loglc11 51 m atematicii, d aI ŞI unele porţinm dm limbajul natural (cum este limbajul geometriei) . F. nn trebUIe con­ fundată cu szmvohzarea (v ) de51 simbolizarea este principala cale de a ajunge la r. consecvent:i I'roc esel e de gindire formalizate nu �Înt o inovaţie a sec 20 cum s-ar putea crl:de. Toate procesele de calcul ( v. ) sînt f. ale procesulUI de gîndire, chlar cînd semnele au �em­ llificaţle (cum e cazul cifrelor) căCI semnificaţia IIU Joacă vreun rol in calcul CI doar combinarea lor dup:i anumite reguli formale. La fel sint în multe cazuri procesele deductiv-axiolll atice din logic ă şi m atematică. De aci ad�sea denumirea de "cakul axiomatic' Apariţia g,;omctriilor neeuclidiene ( v. ) este în bună parte rezultatul operării formale, al for­ malizării tacite . Chiar în gî ndirea obişnuită p rocedăm adesea llU în virtutea înţelesului cuvintelor CI în conformitate cu anumIte auto­ matisme lingvistice şi logice }o', proceselor dc gîndire nu reprezintd, in


FORMALIZARE

1 18

sensul definit, doar Irecerl'a la fonna lor pur materială, cnm se p oate inţelege din unele contexte (de ex , .. să formalizăm această demonstraţie" ) , c i şi trecerea la u n proces pur formal. F. Înseamnă lnlocwrea unui pro­ ces de gindire intuitiv (ba�at pe sensul cuvintelor) cu nn proces de gin­ dire pur formal (abstracţie totală făcînd de conţinutul cnvintelor, al simbolun1or) . Aşa dar r. are două aspecte ' 1) abstractizarea de once conţinut şi 2) operarea pur formală (desfăşurarea pur formală a pro­ ceselor) . în general, însă se consideră că f. a fost realizată cind Mnt asigurate condiţiile pentru desfăşurarea pur formală a procese/Dr. în acest sens, putem să definim f. ca pe un proces care aSIgură condiţiile de desfăşurare pur formală a proceselor de gindire. Aceste condiţii sînt două ' 1) introducerea de obiecte formale (v ) in locul cuvintelor cu sen!" 2) Introducerea de reguli formale (pur sintactice) de operare cu obiec­ tele formale Ca 1;>1 in cazul altor metode ( v. algoritm) sensul .. forma­ lizării " se dedublează uneori ne referinl la un gen de procese, alteori la principiile care le aqlgură desfăşurarea. Cineva formalizează în momen­ tul in care trece de la un proces intwtiv la un proces pur formal sau cind dă condlţuJe (prlUClpiile, regulile) desfăşurării pur formale a proceselor în virtutea modului in care definim metoda (v.) , probabil de la Des­ cartes incoace, acest al doilea sens a inceput să aibă prioritate Precizăm că " procesele pur formale " pot fi definite independent de r. astfel că nu se obţine cerc vicios în definiţia dată. Al doilea inţeles al r. enunţat la inceput este acela de construire de sisteme for male , de metodă do SI!>­ temelor formale. Prin sI stem formal (v ) se inţelege aci sIstemul formal aXIOma/le. Logica, de ex , se conSideră formalizată în condiţiile în care e cons truită ca un şir de sisteme formale (axiomatice) Acest inţeles nu se opune celui definit la început ci este mal degrab.l un caz particnlar (foarte important) al acestwa. Hilbert a impmq în prim plan ideea f. (în acest înţeles restrîns) sperind că toate problemele matematice vor fi rezolvate pnn metoda sistemelor formale Pormnd de la această idee el a elaborat o specie de filosofie asupra logidi şi ll1 �­ tematicÎl numită formalism. Godel a limitat in mod sever concepţia despre eficienţa sistemelor formale prin binecnnoscuta sa teoremă de Indecidabilitate (v teorema lUI G odel) . împotriva excesului de formah­ zare formulăm următoarea suită de idei ' 1) Nu tot ce este formalIzat este corut formalizat (În particular, nu tot ce este simbolizat este corect simbolizat) , 2) Nu tot ce este corect for m alizat este Inter­ pretabIl ca adevăra t (pentru simbolism, nu tot ce este simbolizat corect este şi adevărat), 3) l'<u orice adevăr for ma lizat este impor· t an t (eficient, esenţial) . Acesta este un fel de brici al lUI Ockharn (v.) pentru f. (resp. simbolizare). într-adevăr, orice formahsm ( = sistem formal) trebwe snpus unei triple verificări 1) dacă este sau nu corect, 2) dacă e corect trebuie să ne întrebăm in continnare dacă este sau nu interpretabil ca ade\'ărat, 3) dacă este interpretabil ca adevărat trebuie să ne Întrebăm ce eficienţă are (teoretică san prac­ tică), rezolvă probleme importante sau este de prisos (problemele au fost deja rezolvate pe o cale mai bună) or chiar soluţionează bana­ lităţi (care pot fi reZolvate pe o cale mai puţin pretenţioaqă). Uneori un formalism (în genere, o formalizare) nu depăşeşte niv-elul unei ex­ primări trmettce. Ştiind cit de Impresionat e omul de rînd (sau, în general, cei nepricepuţi in .. limbajul matematic") simbolizarea şi formalizarea pot să dea impresia neJustificată de pyofunzim� datorită ermebsmuluJ ( adică al ltpsei de comnnicare) . Pentru a preveni ennetismnl şi superh­ cialitatea in simbolizare şi fonnalizare este necesar si asigurăm traduce-


FORMA

1 19

DE

LEGE

rea şi, respectiv, interpretarea Intr·nn limbaj conceptual (intnitiv) . Acest ultim principiu este fundamental chiar pentru intemeietorul formalis· mnlui D. Hilbert (v. Grundlagen del' Mathematzk ş.a.) care in perma· nenţă trece de la intuiţie (concepte) la simbolizare şi 1. şi invers. In Grundlagen der Geometrie (introducere) Hilbert scrie că sarcina axioma· tieii (inclusiv a celei formale) "se reduce la analiza logică a intuiţiei noastre spaţiale". Deplasarea cercetărilor logico-materuatice spre inter­ pretare şi semantică in genere după o perioadă de "sintacticism " (cal­ cule, sisteme formale) este revelatoare. Analogia dintre Jocul de şah şi procesele formale. nu trebUIe împinsă prea departe. Logica fiind nece­ sară oricăreI gîndiri (indiferent de domeniu) este de asemenea necesar ca ştiznla IoglI;u să rămînă un bun comun ( comunic abil tnturor) .'oRuA DE LEGE. In teoria structurilor trebuie să distingem între lege şi f. de 1. care este dată în simboluri de annmite categorii (simboluri de obiecte, simboluri de operaţii şi simboluri de relaţii) fără in�ă a se spune ceva despre conţinutul concret Cu alte cuvinte r. de 1. este o formulă a unui szstem fOl'mal (v ) . De ex următoarea formulă din teoria grupurilor este o f. de 1. a *e = e O a = a

Aci nu ştim decit cărei categoriI aparţin simbolurile ' a -- obIect oare­ care, e - obiect special. * semn de operaţie. = semnul uneI relaţii de echivalenţă. Totuşi o astfel de formulă nu este f. de- 1. decît dacă printr-o interpretare adecvată ea devine P " opozilze adevărată. adică ex· presie a legii. Fie nrmătoarele IUterpretăn 1)

n u măr intreg (n) e . numărul O (zero) operaţia + relaţia egal 2) a mulţimea (M) l' mulţimea vidă (0) operaţia U (renniunea) relaţia de identitate a mnlţimilor ( E ) 3 ) a variabilă propoziţională ( P) e valoarea v (adevăr) operaţia echivalent ( = ) relaţia logic echivalent ( E ) a. •

C a urmare, vom obţine treI propoziţii care expnmd legz i n domeniile re�­ pective ' 1) n + O = O + n = n 2) M U "' :: '" U M ;; M 3) (P = v ) :: (v = P) :: P Avind aceeaşi formă cele trei legi sint Izomorfe F. de 1 . se poate ob­ ţine dintr·o lege (exprimată simbolic, de regulă) in felul următor fie­ care '!emn concret este inlocuit cu o figură gr a fic ă în legătură cu care nu reţinem decit că face parte dintr-o categorie de semne. Fie formula simplă din algebră (legea distributivităţii) x x (y + z) = (x X y) + + (x x zl. Inlocuim :r, y. z. respectiv cu fIgurile DI' Da, Da pe care le con siderAm figuri obiectuale (din categoria obiecte), semn nl � cu o şi -r- cu *, (o şi * sint figuri pentru operaţii). iar semnul = cu � (fi­ gură pentru relaţie). Obţinem forma de lege : DJ o (Da * Da) � (DJ O Da) • • (D. o Da)' Dacă această formă are şi alte interpretări adevărate decit


I ollMA LOGICA

120

forma lIuţială (ŞI În cazul acesta are astfel de interpretări) ea cste o t. de 1. Ori de cite on pe n tru o formul ă care expnmă o ltgr putem glsi o al t ă formulă izomorfă cu ea (În sensul că si mbo ln rile Îşi c orcspunu pe c.!tegoni) şi care este, de asemenea, lege, pntem prin procedura amin­ tită sit detaşăm o f. de 1. Pe de altă parte, este de presupus că orice lt:ge are cel puţin o lege (d iferit ă d e ea) izomorfă cu ea, astfel mcit putem detaşa din o ri ce lege o f. (genera/tI) de 1. F. de 1. nu e �te nici ,1 d e văra tl nici falsă, ea IIU este propo ziţie , dar prin mterp retare po.!t" (le\'eni propoziţie ŞI deCI lege (altfel spus, teo rem ă a uneI teurii) ( 1 �i Ge1lerali::area strurlltrală) FOH11 \ U'G IC.\, den um i re pentru formele generale ale noţlUllllor, JU­ decăţil"r ŞI raţionamentelor, în logica tradiţională. tn teoria enn o aş teri i , n o ţ i uml e , judecăţile şi raţi onamen tele sint nu mi te .. forme logice de cun" aştere" .

I'UU\I "\ "on" \1. "\ , jOfmulă logică caracterIzată prm tre altele pnn , .u ar" o stru et u r .1 l .... glci bi ne de term mată (un a numi t fel de operaton , o anumită di�tribuţle a sem nelor in formulă) , b) orice fo rmul ă dm s istem este "alt i. n. sau poate fi ad us ă prm transformări logice la f. D . , e) orice fOIlliUlă e�te ec h h' ale ntă cu form a el normal ă. Cele mal cu noscute sînt t.lI. b oo l eeue (baza - , &, v ) dar există r.n. �i in alte baze Cele mal Importante t ipu ri de f. II • . booleene genel'ale (v), perlecte (\ ) , minime (Y ) P ' <'111 xe (v.) ŞI Skoltm (v.). Termenul r. n. corespunde cu terme nul .. formă c an onică" dm matematică (fărl a fi Iden tice) . F. II. sint imph ­ eate In �ol u ţio na reu diferitelor p roble me din logică (d ecizi eI , eclih'a lenţe l , silllpl ifici"rii ex p resiilor ş.a. ) . FOR\( "\ �ORMAL� PRENEX\, formul l a IOgICll predica telor carc COIl­ ţ ine prefix (v ) real sau \'ld Orice formulă a logicii pred l c a te l or este ;,au In forma n ormală sau reductibilă (cu ajutorul unUI algoritm) la o 1orIll,l n o rmală echivalentă cu ea Matricea formulei (a ltfe l spus. baza qau ,\ollleniul de acţiune al cuan torilo r) se poate afla III u rmătoare le SItuaţII 1) cllprl llde nu Importă care operatori ai logicii propoziţiilor (in ca7.ul in care în genere c l1pn nde op er ator i ) , 2) cu prind e numai ope­ r a t0 Ii dintr-o bază op e ra to n a l ă, 3) s e află intr-una dm formele nc>rlllale um logica propoziţiilor (generală sau spec i a lă) Convenil1l ,l n u mim r. n. p. standard acea f.n pr a c :lre l matrice se află in ca.m l 3) Churcl! u tili Le az [t termenul , standard" Într-un sens restrins (la sistemul S(lll ) . Pentru sistemul ( - , &, V ) avem f. n . p. dzsjunctivă sali conjunctivă (deci dour, forme st.!nuard) Regllitle <.le llormali7are prenex:t " OI dCJlilllle de structur.' forlnulel in raport C n operato!!,i propoziţiollali l orl1llllele (F(x) & F(),)) -+ G(z), "Ix 3y (F(x) & (F(y) V F(y) )) sînt în r. II. \1. prima are prefiX VId, a doua prefix real, prI ma are m atri c e !le tIpul 1 ) a dou a are o matrice de tipul 2) �I resp ecti v 3) (este o r. 11. II. l Ol1J unctivă) Pentrn Si mpl ifica re a algoritmului de normalizare este util s(t ad uce m iormula la o bază operaţIOnală propoziţională Algontullll de normalizare pre ne x.1 in haza ( - , &, V) p resup une forOlulele ( 1) .� V V.'f F .t == V Y ( A V l t ) (2) . � & VxF-.: == V r( � & r,,) (3) V , Fx & VxGx =: V.t(Fx & & r)

(4) A V 3xFx <= 3x(A V h ) (5) A & 3 xFx == 3.�(A & Fx) (6) 3xFx V 3.'fGx =: 3 � ( Fx V G x)

�e lu ţe lege Cd în formulele cu partea A , A nu conţme P" \ Algontmul bazează 1ll plus pe re guli le a) redennmlrll (v. regula redenurnirh) �I u) păstrăni ordinii cu anto rilor. Rostul redenwninl este ca fiecare cu an ­ tOI să-şi păstreze p o rţiu nea dm formulă asupra căreia acţionează. Con ­ s id eram o fo e mul .1 c.!re a fos t dej a adusă în baza ( - , &, V) . (V "F 1: V

�e


FORME NORMAl E PERFECTE

121

V 3y Fy) & 'rJ). H;ţ. Aplică m regul a redenumuil pentru cel de al Il ollea cuantor universal şi obţinem ' ('rJ). Fx V 3y Fy) & "Iz fu Apl ic ăm apOl formulele ( 1 ) , ( 4) şi (2) scoţînd cuantorli în prefix în ordinea corespun-

zătoare . '<Ix 3Y '<Iz ((F;ţ V Fy) & iiz) . Pentru alte baze regnlile de no� ­ mahzare vor fi formulate diferit. Procesul de aducere la 1. R. este nUl­ voc pentru un t ip de m atrice . Este de remarcat că două formule pot să fIe echivalente şi să nn ai� aceeaşi f. D., cu excepţia unor f. D. spe­ ciale. ( V. Formele normale perfecte) . FORMA I\ORMALA PRESCURTATA. este disjuncţia tuturor implican ţtlor simpl i sau con jun cţi a tuturor consecvenţL1or SImpli FORMA� NORMALĂ HEDUSĂ (IREDUCTIBILĂ) , este di�jul1cţla tu­ turor Im phc an ţil or unui sistem redus (v sMtemul de ,mplţcanţ i) san ea este conj u ncţia tuturor consecvenţilor SImpli ai nnui sistem redu s de consecycuţi. F. n. r. este echivalentă cu funcţia corespnnzătoare U funcţi� poa te avea mai multe forme normale ireductibile. Din f. n. r. �e aleg formele minime FORIIĂ NORMALA SKOLEM, este formă normală prenexă c,ne nu ..\re v ari abile indiVIduale lIbere şi care co nţine cel puţin un cuantor eX IstenţIa l şi nici un cuantor universal nn p re ced e cuantorii eXlStLllţiah Cn alte cuvinte ca are forma . 3xI 3 '\'2 ' • 3x", '<IYI '<IY2 . . . '<Iy" A ( un de In ;. 1 ŞI n ;. O). Vom numi această formă şi forma Skolem slan­ dard. Orice formul ă a logicii predic atelor este sau in f. n. Skol.m sau poate fi rednsă printr-un algoritm la o asemenea formă. O formut, nu este ne ap ărat echiv alentă cu f. n. Skolem, î n t re ele există rel aţia de echwalenţă deductivd (v. ) . FORMĂ NORMALĂ SKOLEM PENTRU REALIZABILITATE, f:"te o form ă n or m ală prenexă fără variabile libere cu prefixnl de tiPl11 'rJx I 'rJX2 . . • "Ix". 3Y1 3Y2 ' " 3Y" (unde m ;. 1 şi ?l > O) . P rocesul de normalizare constă În următoarele . ( 1 ) Fiind dată o formu lă A , aflăm forma Skolem standard pentru .-1 . 3 �m Ity, It) • . '<Iy" M 3x, 3 ". ( unde m ;. 1, n ;. O) ; (2) Afl ăm forma normală prenexă pentru nega­ ţia nltimei formnle, adică ' 'rJxl V;ţl • • • 'rJ;ţ", 3>'1 3Y2 . . · 3y" M' cee a ce şi este forma Skolem pentru realizabilitate. FORME NORMALE PERFECTE. Oiice FN B G este f. D. p. dacă ŞI numai dacă satisface în p l us următoarele co nd iţii : 1) form ula conţine in fiecare membru toate vanabilele car e �e găs esc in ea, 2) În oric e memb ru al formulei termenii pri m I nu se repet ă , 3) membrii formule i n u s e repet ă , 4) nici un membru nu conţin e o v ariabil ă imp reun ă cu n ega ţIa sa. Bxistă, de asemenea, în mod corespunzător FNBG două forme n orm a le p erfec te - conjunctivă (FNCP) �i disjunctivă (IIND P , Dacă o formul;i este FNB G atunci pentru aducerea e l la f . n . p . ne folosim de următoarele regu h ( 1 ) d ac ă un m em b ru CI. al forml1lt:1 nu conţine o variab i lă t at u nci ea �e ad augă d up ă regu hle a.

V (t & i) (pentru FNCP) ; & (t V t) (pentru FND P) şi in con ti n u are d istri buţie, a.

�e

l eVlne

la

I'N prin


FoaME NORMALE BOOLEENE

122

(2) dac:! un termen se repetă el t

�e

&t

reduce conform cu regulile . = t

tVt = t.

(3) dacă un membru se repetă el se reduce conform cu regultle Ol & Ol = ot

Ol V Ol = Ol (4 ) dacă un membru conţine (t. 7) atnnci el se elimină Exemplu Să se aducă la FNDP formula (p V (q & ,. ) . Se observă că in membrul intii ( P) Iiporesc literele q . y . iar in membrul doi lipseşte litera P Adăugăm q la membrul p (p & ( q V q)) V (q & 1')

(P & q) V (P & q) V (q & 1')

La pnmll dOI membri adăugdlll

1.

Ia ultimul p

((p & q) & (1' V i')) V ((P & ij) & ( 1' V i')) V ((q & 1') V (P & pqy V p qF V N" V Pij i V pqy V pql'

P))

( In \ ederea observăriI mai rapide a componenţeI membrilor am pllS li­ terele in ordinea alfabetică) . în forma normală se repetă luembrul pq" ca urmare operăm simplificarea ŞI obţinenl FNPD

pqy V pq r V Pijl' V Ni V pqy

Exiqtă unele metateoreme importante in legătură cu formele normale 1) tautologla are FNDP cu 2" membri (unde n = numărul de variabile) . 2) tautologia nu are FKCP, 3) contradicţia are FNCP cu 2" membri, 4) contradicţia nil are F!\'DP Se poate folosi pentru aflarea r. n. p. ŞI procedeul matriceal FOH 1IEL": �OH'Ii\LE HOOLEE:\E (GEl\ER .\ I.E) (F\ RG) , forme nor­ male în baza { - . &, v 1 Pot fi dehmte prin introducerea unor concepte ajutătoare în două felnn Vom mtroduce noţiunile de "termenI primI" , "conjuncţii pnme " ş i "disjuncţii prime". a) NumI m termen prun oricc variabilă propoziţională şi negaţia el ( P, q. p. ij, . ) . b) Orice conjuncţie de termeni primI va fi numitrl "conJuncţIe primă " Exemple p, p , P & q , p & q & i sint conjuncţii pri­ me. c) Orice disjuncţIe de termen! primi va fi numită "disjnncţIe pri­ m ă". Exemple P. fi, q. p V fi P V ij. P V l' V q. DIn b) ŞI c) rezultă cl la lImită con juncţiile pnme ŞI disjuncţIile prime sînt Identice ( p . q, 1' , p. ij, r) . Definim apOI doud feluri de forme normale " forma normală conJunctIvă " (FNC) ŞI " forma nOrmală dISJ111lctivă" (FND) . d) FNC = df once con­ juncţie de disjuncţii prime. e) FXD = df orIce disjuncţie de conJllncţii p rime . t n fme defmim PNBG. f) FNBG = df FND sau FNC. Din d) ŞI e) decurge că nneori FNC şi FND se identifică atunci cînd formula se reduce la termeni primi. atunCI cînd formula este conjuncţie sau dis­ juncţie de termem printl O altă definiţie a formeI normale (PNBG) este pnn mtermediul " opera­ torului principal" ŞI al proprietăţilor formeI normale g) FNBG = df orice formulă a logiciI propoziţiilor care a) conţine cel mult operatorii - . &. V ( poate nici unul). b) negaţia cade numai pe v ariabile. c) opera-


FORMULA

123

torul principal nu apare in membrii expreSIei Dacă operatorul princi­ pal este & atunci avem FNC, dacii operatorul pnncipal este V atunci avem FND. Ca urmare a definirii FN putem formula problema aduceni la forma normalli : fiind daU o expresie A (care nu e in forma normală) să se afle forma ei normalli Rezolvarea acestei probleme necesită ur­ mătoarele reguli · a) reguli de eliminare a operatorilor care nu apar în forma normalli, b) reguli de eliminare a negaţiei de pe expresiile compuse, c) reguli de scoatere a operatorului principal din membrii expresiei. IaU aceste reguli : al)

A -+ B AVB

A = B

�)

Ă B

& EA

(dacă apar şi alţi operatori nebooleeni decît ..... = atunci se introduc reguli şi pentru aceştia) ,

bl )

CI) ct)

hz) A & B

A

A

A V E,

(A & B) & C

c»)

A &B&C A & (B V C) (A & B) V (A & C)

Exerciţiu Să

se

b3)

A VB

A&B

(A V B) V C A VBVC A V (B & C)

Ci)

(A V B) & ( A V C)

afle FNB G :>le formulei p

-+

(q = T )

Rezolvare p V (q = T)

P V (qr & rq) p & (qr & rq)

(reg. al) ) (reg. as))

(reg. ba) )

p & (iJr & rq)

(reg. b1»)

p & (qr V rq)

(reg. b.))

p & (f,V i V ; V q)

(reg. ba»)

p & (q V ' V r V q)

(reg. bl ))

t n continuare urmează sli ne decidem peutru una din FN. _-\ceasta este deja FNC. Ea poate fi scrisli mai simplu astfel · p & q r r q F;-.;ID urmeazli imediat : pq V pi V pr V plJ (reg. ct) .

FORMULĂ, succesiune finită de simbolun (dintr-un limbaj simbolic) sau o succesiune finiU de obiecte formale dintr-un sistem formal. F. se defineşte exact relativ la sistem (lingvistic, formal) prin reguli in­ ductive (v. definiţ,e inductwd) . Există diferite tipuri de f. 1) f. iu care numai simbolurile pentru obiecte (toate sau o parte) sînt variabile (ca in algebra obişnuIU). 2) f. in care semnele pentru obiecte şi proprieUţi sint variabile, iar semnele pentru operaţii sint constante (ca în logică),


FORMULA. VARIANTA

124

:11 r. 111 �an: tOolte semnele (pentru obiecte, operaţii şi proprietăţi) sint \ .mablle (ca în teoria structunlor) De ex . a) a + b = b + " (II, b Y.lriahile, + , = - constante) , b) "Ix (F(x) V F(x) (x. F - varia­ l)fle, V. V - con�tante) , c) 11* b = b * a (a, b, *, = - variabile) . tn SCOpUri eun�ttce se utilizează şi r. iucomplete, de ex . Fx, & Fxz & . & & h'n & (punctele aci sugereazl continuarea la iufmit). Prin r. (intr­ Ull I II Il haj s au sistem fo rm al) nu se Inţelege totuşi doar o se cvenţă in­ dh Iduală de simboluri, CI totalitatea secvenţelor eckwa'l'nte grllfic (v . cclll/JaleuţiJ. grafică) . O proprietate importantă a f. este lungimea Lun­ gimea unei f. este numărul de simboluri dm r. De ex r. . . 11 + b = b + a" are lungimea 7 (avînd 7 simboluri) Lu ngImea f. este utilizată adesea m (Iemonstraţit prin lU<1ucţle (matemattcă) după lungimea r. De regull, termenul r. corespunde cu ceea ce in limbajul uatural se numeşte . . pro­ poziţie" (deci, r. = t o rm u ll propoziţională) , totuşi iu anumite cazuri i. este aplicată ŞI la termeul, de ex iu chimIe ("formula apei H.O") Chiar In logică e x is til o si t u aţie ambiguă In teona fuucţiilor de adevăr unde nu e clar dacă avem termem sau propozIţii De ex .. p V q " e ste (J r. care Intuitl\' ar reprezenta o propozIţIe disjunctivă, dar În teona funcţiilor de adevăr ea reprezmtl o OP el atie Iar operaţiile sînt redate prin termeni, nu pnn propoziţii FORMULĂ VAR lANT \, o formnlă 11 este variantă a unei formule A d acă şi numai dacă 11 se obţine prin substituţie din A astfel că intrările Identice rămîu identice după inlOCUIre, iar cele diferite rămîn diferite. Elr. variantă a formulei (P & q ) .... f> c�te ( , & s) ---+ r dar nu (r & s) --+ s, In legăturii cu formula , anant(l au loc teoremele ' a) variauta variantei lUI A este varianta lUI A li A îşi este propri.l sa vanantă, c) vananta unei teoreme este însăşi ·�oremă, d ) sistemul axiomatic nu se schimbă dacă aXiomele sînt înlocuite CII \ anante Relaţia de , artanţă e�te după c um rezultă din cele de mai su� o relaţIe <le echivaleuţă FORIUULE Ol\oIOGE1\ E, formule propoziţionale (scheme de propoziţu) in limbaJul logic ale căror yariahlJe .înt <It' aceeaşi catfgor;p �e11lantică ( v ) şi ale căror constante {ogtee �iut dm aceeaşi clasă (dasa operatorilor propoziţionali. clasa cuautorilor clasa operatorilor silogistici sau clasa operatorilor modali) Ex. formulele LakululUl propoziţional sint r o., fo r ­ mulele calculului predicatelor de u u ordin dat sint omogene etc. Două 1. o. sînt corelative un.l la alta dac:i provin una dm alta prin .lnumite ope­ raţii logIce (dualizare, conyersiuue introducerea �eoaterea sau deplasarea negaţiei ) (v. rap orturt logice i"f;e p, op o::iţii) Dt ex p V q poate proveUl din P &q prin duahzare (\'. dlfalltllt,�) , T2> - P pro\ ine dm T2> + P pnn obversiune, "Ix Fx provine din 3 ,' 1 A pnn dualiz<lre, '1',) -\- P pro\ iue din TS- P prm negaţie. F. o. corel atl\ e po t fi :'<lU nu echlvaleute. Ter­ menul de formulă corelatlvl este o extindere a termenulUI de formulă ! al tllntă (v ) introdus de A. Church }o'IlESISON, m od al figurii a

1"-::1

A re schem.l Unl\dtoare

L Nici

tiU

1

Umi

.�I smt .)

1)

liun

P nu

uu e

sin t

M P.


FUNCTIA

1 25

q ").

ECHIV ALENŢEI

lIU�(:TIA CONJUNCllEl. Juucţie de adHrlr slluuoh.:atl p '

P A q (cIteşte ,, 1' şi

q 1'&q ,

'ie defineşte pnn matricea p

" " , r 1 v r (

&

q.

P , q.

i r 1

Poate fi defimtă mai pe scurt pnn următoarea regulă conjuncţIa e�te adevărată atuncI şi numaI atunci cînd toate .lrgumelltele el sînt adeyli.­ rate, Proprietăţile Ulai importante ale conjuncţiei sînt următoarele a) h) c) d) el

&& q) ( 1' & ) q

p & l' =- P (idempotenţa) p q =- q & P (comutativltatea) (P 1 ) (asociativitatea) & " =- P & q) -+ P J (contracţla) -+ (1' & ,

FUN(;JIA

(q &

V q"

DISJU�Cl'lEI l\EEJ\.(,LL !'1\ )�, funcţia de adevăr Slllluohzată

de obicei prin , ,1' prIn Ul.ltncea

(cite�te "p sau q " ) şi definită în logica bivalt!ut:l

�II P V q , (1 ' '"

( (

V

\ f

\ r

o defiUlţie mai scurtă în cuvmte dIsJuuctla este falsă atul\l1 ŞI IllUual atunci dnd toate argul11entele el sînt false DisJ ullcţi.l are următoarele propnetăţi importante '

VV V V q) V,V q. ) } V (q V q V q) q q q p =�' q �l � ;

a) l' b) l'

P =- P (idempoteuţa) P (comutath It.\tea) q =- q "" P r) (a<;ociativltatea)

c) (p d ) l' -+ (1' e) -+ (p

(extindere.! )

FUl:"CŢIA ECHI\' ALENl'E I, funcţie de adevăr ::'l\ubohzat:1

sau l' ..... sau p <* prin matricea ,

sau l'

=-

(citeşte ' .. 1' este echivalent cu

r f

" (

I

q") p = pnn ŞI

q defmită

1 "

îl\ cuvinte poate fi defmită nlaI pe scurt astfel ' echh'alenţa este fuucţla de adevăr adevărată atunci ŞI numai atunci C Îud ambele argumente IaU aceeaşi valoare. Dealtfel "echivalenţa .. = eclu+ valenţl. adică .. aceeaşI , � loare" Proprietăţi ale echivalenţei '

p = q)

<i) b) (p

p (legea identităţli sau reflexivltatea) P) (simetria) (q

=

0=

=


FUNCŢIA EXCLt:'DERU

IZ!)

e) ((P = q) & ( q ,.» --+ (P = r ) (tranzitiVltatea) d) ((P q) = ,.) = (P (q = ,. ) (asociativitatea) e) (P = q) (ij = p) (eontrapoziţia) =

=

=

=

FllNCŢIA EXaUDERII (_ disjuncţIa exclusivă sumă după modulul 2) notatii prin P EE> q sau #- sau P + q sau pw q , Se defiueşte prin =

p q P EE> q --- --" " " r v r " " r

r

Este negaţia ccJnvalenţel l;l.chH!t're,1 .ne propne t :'ţJie de comutat l\'ltatc �I a,ocmtlvltate, Ea ,atj�face ineii legile

(3) t.. E9

( 1 ) t EB f! ; !'­ (2) 1: EE> !..== 1:

, ==

(4) t.. EB t ;

DIsJ Uncţia ncext lusl\':\ �e deflDf'şte pnn Ef) �I &

fi \

t V i== (e EB iJl EB !: 1

n I\iCrrA nlPLlCAŢIEI (lIATERIALE), funcţie de adevăr sImbolizată prin l' ....... q ,au p ::> q sau P => q (citeşte " P implică q ")

Este definit:! prin matricea

p q P --+ q --- --\'

" r

r

V

\' f

V

\'

v

î n cuv mte poatl fi definită astfel Implicaţla este funcţia de adevăr falsă atuncI ŞI numai atuncI cind primul argument (antecedentul) este adevărat Şl al doilea argument (consecventul) este fals, Implicaţla materială provine de la descnerea raporturilor de valoare ale mjel'enţeJ deductive cu care lDsă nu trebuie confundatli Principalele legi ale implicaţiei !oÎnt urmă­ toarele ' a) P -+ P (legea reflexivităţn) o) ((P -+ q) & (q -+ r» -+ (P --+ r) (tranzlt lvltatea)

c) (1' --+ q) -+ (ij p) (contrapoziţia) d) P --+ (q -+ P ) (adevărul implică once), e) p_ (P _ q) (falsul implică once) f) ( P _ P) -j' P (reducerea la absurd) g) (P (q -+ ,.» -+ ( (P -+ q) --+ (P -+ ,. » (autodistnbubvitatea) -+

-+

FUNCŢIA HAJOIlITAR{, funcţie a logicii propoziţiilor a cărei foraă de bază este M aj (Pl' Pa. P3) PIP2 V P i Pa v P:P. Operatorul Maj se mai Dotează cu * astfel că Maj (Pl' PI' P.) = PI * P. * P. * (Pl ' Pl' Pa) =

=


FUNCTIE

127

J. von Neumann a arătat că { * , - , @'} sau { '*' . - , I } sînt baze func­ ţional complecte. Iată citeva corelaţii de bază ale acestei logici (1) (2) ( 3) (4 )

&

iri = PI '*' pz '*' O PI 1'1 V Pi = P. * P. '*' I P. =11= P. =11= P. = PI 1'1 * 1. * pz = pz

(S) P. '*' Pa '*' P. = 1. '*' Iz '*' 1. 6) (PI '*' pz '*' ir.) * ( I I '*' 1'2 * p ,) * PI = P I '*' P2 * P. (7) (P. * Pa '*' Pz) * (1'. * 1'2 * 1'.) * P. = P I '*' p. '*' ( 1' . * p. * 1',)

( Valorile I şi O sînt respecti v adevărul ŞI lalsu/) FUNCfIA NEGATIEI, fun cţi a sllnbolizată priu p sau - l' sau 1 l' (citeşte : "non-p " ) , definitii prin matricea

� I+ r

v

Propnetate p = l' ( legea dublei negaţii sau le ge'a involuţiel) "fUN(;T " '�. aplicaţie dintr-o mnlţimi A in tr- o mulţime R astfel d flecdru l element considerat din A î i asociem ( îi punem Îu corespondcnţă) un şI num ai un clement dm B. Pe scur t , o f aşa cum a fost definitii mal sus, este o "corespondenţă univocd" sau o "punere în core�pondenţă lIuivocă" ( = asociere univocă de elemente). Componentele r. sînt : a) domeniul r., alt fel spus "domeniul de definiţie al r. " ( aceas ta este Ill ulţ imea A ) . 11) codomemul r., altfel l>pUS "domeniul de l>emnificaţie" .lI r. (aceasta este lIlulţimea B) şi c) regulile de corespondenţă l1nivocă Dacă se consideră nu neapărat to at e elementele dm A atun c i se spune Cd r. este ,.definită în A ", dacă se cousideră toate elementele diu A , se !>pune că r. el>te "definită pe .1 ' . Analog, dacă se consideră nu ne ap ăr a t toate ele m en tele <lin n vom !opune ca r. "ia v alo ri în (din) n", iar dacă a\ em în vedere toat, elementele , din B vom apnn e că f. "ia valori pe B", De observat este că "ÎI1" nu ex clude "pe". Această distmcţie ne obhgă la a deosebi domelllui (resp .codomemul) posibil de cel Y{al Notaţia tradiţIOnală a r. este b = I(a) ("b este r. de a" ) (unde a E A !]I b E B). Kotaţla modernă este I A -., B ( , ,1 aplică A în B") lTueon în loc de r. şi .. aplicaţie " se spuue "transformare". Elementul a (a E A ) se nUllleşte .. preimagine", iar b (b E A ) " Imagine " . În acest fel b este l1naginea lui a (ceea ce coincide cu a scrie b = I(a)), tar a este preimaginea lui b. Dou ă r. diferă dacă diferă mulţimea imaginilor

sau mulţimea preil11aginilor sau regulile de corespoudenţă (acI "sau" este neexc1usiv) . Exemple 1) Fie A = { I , 2, 3, 4 , 5} ŞI IJ = {a , b, c, d } Convenim sIi definim f. pe A ŞI să la v alon pe B, În fel ul ace!ot a

(1 ) a = / ( 1 ) ( 2) b = 1 (2) (3) c = 1 ( 4 ) (4) d = 1 ( 5 ) ( 5 ) b = 1 (3)

Formulele ( 1 ) - ( 5) redau regulile de corespoudenţd. 2) Putem schuuu a r. de ex. astfel ' considerăm mu lţime a A ' e A , astfel A' = f i , 2, 4, 3 } şi mu lţ imea B. deci I A ' -., B Regulile vor fi ( 1 ) , (2) , (4) , (5) Putem


r(JNCTn; BIJECTiVA

128

schimba mulţimea B, considerind B' c B salt C, astfel că B e C etc, Păstrînd mulţimile A, B, putem schimba reguhle, de ex., astfel :

( 1 ) ' IZ = 1 = / (3)' c = / (4)' d = / (5') b = /

(2)' b

(2)

(1) ( 4)

( 3) (5)

F. pot fi clasificate după dliente cntem YOUl d i st in g e mal iutii intIe r. deSC1"iptive şi f, logice, apoi f. injafit'e, surjeclwe şi bijectivc, relaţii lunt;ţional<, f. ,dentiu şi f. conslante, r. una l e (= monadic"J �i t. 11 are (= n-adice), r. calculabile � a (t' ) Expresia f u nc ţIO n ală "f( �)" e st e ubhzat:, ambiguu .a}. pentru a de­ senma t. . 1» pentru a desemna valoal ea /uncţionalli (in generc) , c) pen tl'n a oC;;('l1Iua lIua;..!: i nen elementulUI x, <1) pentru d ,!cseulUa l11săşi expresia fum ţiona!:1 ( � u t l h 7 a re a ut o nimă) .

Obs

FlJl\LTIE BIJELTI\ .\ . flUlcţle slllluitan IUJectl\ ;' )1 �l1rJectivă

FUNCTIE CAl\ O�IC \. O funcţie f : :\.' -., A (A' c A) care este o Jt:!>txÎn­ gere a f Idcntlce f A -., _'\ Exemplu putem rE''itringe funcţiile V" -., V (('11 l' = ( 1 , I /�, O)) la V'n -., V (cu li'" = { l , rl I X . . . ,( {w, I}.).

I'l 'Cl·,,: CO�S'f.\NT \ .

funcţie care satisface condiţia Va l (a) = K (unde în logică (TFA) t autologiil e şi contradicţiile sint

1, E'�tt: o constantă)

f . ....

lT\(:TIE CO' \ EUS.\ (sau ."\'ERSĂ) FIiud dată o funcţie f .4 -., B dac:> eXistă () funcţie f- l : B -., A astfel că ea are proprietatea de InlJoluite (V ) (/-1) - 1 = f vom spune că f- I este conversa (I nve rs a) lU I /) Fie A = = ( 1 , 2, :�, -1) ŞI B = ( 1 , 4, 9, 16). Este evident c.l y = x2 ŞI X = .j)" SÎllt f. i. in raport cu cele doult mulţimi (x e A , )' e B) în dependenţr, de llum.1rul de argumente (funcţii binare, ternare, etc ) se pot da diferite 1l" ţ iuni d e r. c. Exemplu flin,l ,lată o f un c ţi e bmar�1 t;; ( t', 1') d a('ii e"lstă o funcţIe b m a r:, ·';' C' . \) a,tfel cii <;>(x, y) = '.;. (y. x) vom spune că ea este r. e. � respectiv că ('ell dOIl.1 funcţii sînt recipr oc cOn verse FI .' ! TIE f O\II'liS \, este o "funcţie de funcţn" - i>imbolic , Il = f o g, unde J .1 -., B, g B -., C, f o g: A -., C ş i există b E B ast fe l că b = f(a ) , ( = g(b) . decI 'Va E A 3 c e = g Ur a) ] I n loglc.l o a�tfeJ d c ap l icaţ lc eoh:, 1. ( � , ) ), unde A = 1. <xy)F(x, y), B = mu lţime d propo�lţl1lor corespullZ.r,­ toare lui F(x, y) şi C = V (adică mulţimea valorilor logice) ,

I<T ' (ŢIE DE I\ nEvlR, fuucţie defmltă pe J " ( 11 ,'alon din V ( Il = mulţimea , alorilor logice) . f

j-;'

J , 2" , I.-J ŞI l arp i " -., J'. Se ob�r\';i

-

că graful funcţiei este o submulţime a produsuluI Vn X V. Se def1l1htc prm matr"e sau pnu lUdica rea j eguiilor d e corespoudenţă, hla tricele pot avea dif eri t e forme Pentru două valori sînt folOSIte de oblcu

matrice dc forma

stînga

P,

,

, . . Pn

I

I

f ( p,

sîut puse valo nle varial.)llelor,

.

. . Pn)

unde pe

coloană

În

iar Îu dreapta valortle cure,puu'


FUNCTIE DE ADEVAR

1 29

zătoare funcţiei. Pentru mai mult de două valori SÎlIt comode matrice de forma

�I

1 2

• . .

n

1

2 n unde la iu tersecţia liniilor lui p şi q se pun valorile funcţiei. Considerăm matricea implicaţzei malrill,[e (v.)

pq

�;

rv

ff

;

I p-q

I

v v

Domeniul funcţiei este V X V, iar codomeniul V, adică : f : {(vv),

(vf),

(Iv), <fl)} _ {v, f}

Produsul cartezian are opt elemente . (2 X 2) X 2 are doar patru elemente. acestea sint :

G _ = { <t; vv).

v),

=

8. Graful funcţiei

<t; vf) . f). <tiv), v). <t;lv) . v).

<U), , )}

F. de a. fac parte din clasa funcţiilor logice. O clasificare a f. de a. se obţine în dependenţă de numărul de valori din mulţin1ea V. Implicaţia de mai slls� este�defHÎită' e�tru V ,,;. { v , r},--adică pentru' foii�a bivalentă (ade­ văr-fals).

p

în vederea simphflcăru reprezentăni valorilor pntem utiliza cifre pentru valorile logice. de ex. 1 = adevăr. O = fals. Aceasta este doar o ori/melt· zare (v.) aparentă. tn acest fel vom avea logici cu VI = { il. Vz = { I. O}. V3 = {O, 1. 2 }, . . . Ca urmare funcţiile vor fi de tip.l :

fI : v� .-, VI f. : v,: .-, v. 13 : VI; .-, Va IrII : v,: .-, v", F. de a. apar ca urmare a caracterizării propoziţiilor compuse din punctul de vedere al raporturilor de valoare. Exemplu : considerăm conjuncţia "p şi q", unde p şi q sint propoziţii cu

sens iar "şi" reprezintă o legătură de sens a acestor propoziţii. Conjuncţia în logica bivalentă poate avea două v alori : adev ăr (w) şi fals (1) . Dacă ..p şi q" este adevărată atuncI .. p" este adevărat şi "q" este adevărat ;


1 30

FUNCTIE DE ADEVAR

dacă "p şi q" este falsli atunci cel puţin uua din două ("P" sau "q") este falsă Ca urmare obţinem urmlitorul tabel '

p şi q l pq

vI Iv I

v

I vv n

Se observă că deducţia asupra valorii este necesară numai In cazul pnm (oe la v la (v, v)) in timp ce în presupunerea de fals există trei posibilităţI (aşa dar nu putem deduce ceva precis cu privire la valoarea unei compo­ l'ente sau alteia). Dacii acum considerlim tabelul in abstract, adicl fără a lUai avea în vedere legătura cu propoziţiile (aşa cum in matematică considerAm numerele fărli a mal ţine seama de mulţimile pe care le carac1 erizează) , atunci constatăm că între mulţimea perechilor dm dreapta şi mulţimea valorilor diu stînga putem stabili o corespondenţă unhocl ( adică o funcţ�e ) . Operăm o inversare a tabel uluI peutru a corespunde obIşnuinţei noastre de a scrie funcţia de la stinga la dreapta ' vv - v

;!=\-r

VIv\. ,

u-

pq I f( P , q) v

,

vi

rr

f f

Observăm că inversarea tabelului şi trecenle de la stinga la dreapta siut operaţii pur formale, neavînd vreo semnif�caţte în domemul operării cu p ropoziţit. Această observaţie este i mportant ; pentru a evita anumite aspecte paradoxale. Trecerea de la operarea cu valon (de la "calculul cu \ alori") la operarea logică cu propoziţii implică anumite condiţii care ţlll de aplicarea teoriei 1. de a. la mulţimea propoziţiilor. Numlirul f. de a. în presupunerea că avem n variabile şi ni valori, se calculează astfel

Pentru 2 = 2( 2)

m =

=

2 (logica bivalentă) şi n = 2 (două argumente). avem 16 Aceste funcţii pot fi reprezen tate în următorul tabel '

5

pq

vI

\V

Iv ff

v v v v v v f v f v v v

... ...

r f

6

8

7

... ... II

v f

...

...

v

r

f

...

... r r

9

11

12

13

v

v v

v

v

I

v ...

f

f v

f r

f

v v

N

=

14 1 5 1 6 f f

v

r

v


FUNCTIE PROPOZITIONALA

131

IaU ş i denumirile acestor funcţii : 1)

2) 3) 4)

5) 6) 7) 8) 9)

1 0) 11) 1 2) 1 3) 14) 1 5) 1 6)

tautologie disjuncţie neexc1nsivA replicaţie (inversa implicaţie) q neutru faţă de p (simbolic : p. q = P) (afirmaţie de P) implicaţie p neutru faţă de q (simbolic : p o q = q) (afirmaţie de q) echivalenţă conjuncţie incompatibilitate exc1udere (disjuncţie e:.:c1USI vă) negaţie de q antiimplicaţie negaţie de P an tireplicaţic antidisjuncţic contradicţie

Se pot defini şi doud funcţii de un singur argument : p I I- P I P

;I

I �

Acestea sint "afirmaţie de P" şi "negaţie de p". De observat că negaţia este mversă afinnaţiei. în ce pnveşte tabelul de 16 funcţii ele sint dispuse simetric faţă de jumătatea tabelului (linia care desparte pe 8 de 9), astfel că funcţiile simetnce sint în raport de negaţie .

fi f! f.

= b. =

fu

= fe

FUNCŢIE IDENTICA . funcţie care satisface condiţia 'Va f(a) = a. .\stfel este în logica (TFA) funcţia aserţiunii I-P, cacI I- P == p . FUNCŢIE INJECTIVĂ (simplu univocă) , prescurtat f aplică p e A Î n B este funcţia care satisface coudiţia a # a' =- f(a) # f(a' ) . Cu alte cuvinte, la elemente diferite din A corespund imagini diferite dm B. Negaţia in TFA este evident o astfel de funcţie. Funcţia fix) = XZ = x . x este, de asemenea, injectivă, de e:.:. ca aplicaţie de Z -., Z. FUNCŢIE N-ADlcA,' fuucţie al chei domeniu este un Jwodus cart8llian (v.) A I X • X An (factorii pot fi şi identici) şi al cărei craf (t. ) are oric e forma : F c (A I X Az X ' " X A ,,) X B. E:.:emple din logică funcţie n-ară din TFA (P & q , P V q, PI & P.& . . . &p.. etc.), orice f. n-adi_ că predicativă « (x, y) , = (x, y), Intre (x, y, z» . FUNCŢIE PROPOZIŢIONALĂ. termen cu două semnificaţiI : 1) propo ­ ziţie deschisd (v .) şi 2) aplicaţie de forma f : D -., V, unde D este un do ­ meniu de obiecte oarecare, iar V - mulţimea valorilor logice. Pe scurt, prin f. p. se inţelege o funcţie logică (în sens larg) sau e:.:presia unei funcţf i logice. De ex. : "x este par" (sau scris altfel "Par (x) "') este o propoziţie deschisă care e:.:primă o funcţie logică. Dacă D este V· atunci avem o . funcţie de adevăr. Ceea ce ne interesează În logică este propoziţia deschisă


rUNCTIE SU&n:CTIVA

13:!

şi Dl1lUai in dependenţă de aceasta fUDcţia. Acest lucru este imporl an t mai ales pentru cazul in care avem propoziţii descluse tk relaţie (de ex "x este finul lui y") unde pe lingă ideea de funcţie logică poate să apară şi ideea de relaţie fnncţională care interesează nemijlocit teoria mulţimilor ŞI poate interveni in logic ă la n.ivelul met ateore tic (in cadrul metodelor este fiul femeii , " avem atit o de natură matematic ă) . In propozJ.ţia re laţi e fUDCţionaIă (pentru o rice om există o singură mamă corespunză­ toare) cit şi o funcţie logică : D x C -+ V (Ia per echile (a. b) - a e D. b e C - asociem univoc valorile (v. I� (D = domeniu. C = codomeniul . F. p. sînt studiate În logic a predieatelor. relaţiile funcţiollale in teoria

.. x

relaţiIlor.

F UMCfIE SURJECTIVĂ, prescurtat f aplică A pe B - este o funcţie În f (a) . Orice care Vb (b e B) există cel puţin un a (a e A ) astfel că b =

V - este de acest gen . FUNCŢII RECURSIVE, funcţu a căror valoare poate fi calculată de la simplu la complex (in ordinea construlfii inductive a expresiei funcţionale) . Funcţiile TFA. funcţiile aritmetice ( + . -. x +) sîut r. r. căci ele sint "re­ cursiv calculabile". Raţion ament u l prin care calculăm valoarea unei f. r. se numeşte raţionament 1'ecursw (s an recurent). F. r. sînt definite prin scheme şi I de recursie care sint şi reguli de oalcul. Notînd valorile logice cu putem unifica formal funcţWe TFA cu cele aritmetice. Schemele de recursie pentru fuucţiile logice vor fi atunci p = 1 - p, P &q = P x q etc. Pe lîngă schemele de recursie calculul cere şi definiţiile mductive ale funcţiei. funcţie de adevăr - f : V·

-+

O

De ex . să se calculeze P & ij. Rescriem expresia conform cu defmiţiile recursive l - (p x ( 1 - q) ) . Descompunem inductiv expr esia : 1 , p . q . I - q , P x ( 1 - q ) , I -( P x ( 1 - q) ). Rezoh'ăm în ordinea complexităţii : d acă p = I Ş q = I atun ci I - q = = O, P x (1 - q) = O, deci 1 - (P X ( 1 - q)) = 1 ; dacă p = 1 ŞI q = O dacă atuncI 1 - q = 1. P X ( 1 - q) = 1. deci 1 - ( P X (1 - q)) = P = şi q = I atuuci I - q = P X (1 - q) = deci - 1 (p x (1 - q)) = 1 • d acă p = O şi q = O atunc i 1 - q = 1 . P X ( 1 - q) = O. deCI 1 - (p x ( 1 - q)) = 1 . Se observă însă că prin această procedură funcţiile I �gice au fost reduse la cele aritmetice. Se presupune că cele aritmetice dlspuu de scheme de recursie pr opr ii . F. r. se impart îu două mari clase . funcţiI primItiv-recursive şi fun cţiI general 1'ecurswe. F. r. pnmitive presu­ pun trei funcţii iniţiale : constantă, succesor şi de identiflcare. Restul f. r. pnmitwe se obţin din acestea prin schema de substituţie sau alte scheme. Schemele următoare definesc imphcit noţiunea de funcţie primitiv-re­ cursivă '

O

(1) (II)

(III) (IV) stituţie) (V-a) (V- b)

ql( x) = x' (succesor) ql( x) • . . . x,,) = q (constantă) ql( x1• ' " x.. ) = x, (identificare) ql(xI • . , . x,, ) = <jI( X )(xl • • . • x,,) .

{qlql((O)YÎ qle (Y. {(ql(O. xXI' x

O;

O.

O.

.

. •

Xm ( XI ' . . . x,,))

=

=

(ql(Y'.

•• . . •

. • •

ql(Y) ) II) x,,)

= =

ql(xz

• • • •

X(Y.

x,,) ql(Y. XI' • • • x,,) . XI'

• • •

x..) .

(su b-


FUNCTIE

133 ScJaentele adunării.

(1 )

(2)

şi inmulţirii

sint

{xx ++ yO = x x + y)' ; '=( Jx\x O == Ox + (x y) x x

(S.C. Kleene,

y'

exemple pentl'1l (V-a)

X

Introduction to Metamathemattcs, 1952) .

SURJECTIVA


G GEI\ (lat genus) 1. (La Aristotel) , substanţă secundă (ca şi specia) spre deosebire de individ care este substanţă primă, este unul intr-o multitu­ line de indivizi, există in individual dar nu ca individul acum şi a�c" este (impreună cu specia) esenţa individului, este predicat despre fiecare individ în care eXistă, 2. (la Boeţiu) , similaritate (sim�litudo) ce poate fi desprinsă dm fiecare individ" (Kneale) , este unul şi deci este desemnat de termenul general aşa cum mdividul este desemnat de numele propriu, 3. (în logica tradiţională) , generalul in raport cu indiVidualul, astfel spus g. exprimă o noţiune supraordonată altei noţiuni numită specie (v ) , 4. (în biologie) , categorie taxonomică printre altele G. de cea mai mare generalitate �e numeşte summum genus (el nu poate fi şi specie) , după cum specia care nu mai poate fi g. este Infima species. între noţiunile g . şi noţiunile specii au loc următoarele raporturi . a) orice noţiune aflată intre summum genus şi InfIma species este g. in raport cu noţiunile subordonate şi specie in raport cu noţiunile supraordonate, b) conţmutul g. este cuprins in conţinu­ tul noţlUnu specie, c) sfera speciei este cupnnsă în sfera n., d) otlce IJ. are cel puţm două specii. e) otlce specie are cel puţm un g., f) relaţiei g. �pecie I se aplică legea raportuluI Invers (v. ) . Silogistica Judecăţilor, A , E, 1, O, la Anstotel se bazează în principal pe concepţia sa despre .g., specie şi mdi­ vid, dar deja de la Aristotel apar oscilaţii fie in spre extensivism, fie in spre comprckensivIsm (v. doctrina universalelar). Deficienţele apar din dificul­ tatea de a inţelege dialectica general-particular. Concepind g. (în sens ontologic) ca existind în indivizi (ea unul in multiplu) Aristotel s-a apropiat mult de punctul de vedere dialectic insă dinamica acestui raport i-a scăpat. Contexte diferite ne arată că g. nu poate fi Identificat cu extensIunea cum au cei mal mulţi tendmţa s-o facă. Cind spunem "genul om a apărut în pleistocen" nu inţelegem că clasa oamenilor (care cuprinde toţI indivizÎl umani) a apărut in pleistocen De asemenea, cind spunem "omul a parcurs mai multe faze in dezvoltare" inţelegem că genul om s-a realizat intr-o serie de specii succesive, dar pentru a-l numi om este necesar să se conserve ceva în seria speciilor. Se înţelege, ca în toate abstracţiile, intervine un grad de idealizare, d ar aceasta stă in esenţa cunoaşterii . Ne raportAm la realitate abstract şi simplificater. GENERALIZARE. operaţia de trecere de la o noţiune la alta mai gene­ rală (resp. de la specie la gen) prin elimInarea notelor definitorii şi reţine­ rea notelor cu o sferă mai largă. Generalizarea are două laturi : 1) neglijarea a ceea ce e specific, 2. abstractizarea (reţinerea) a ceea ce este mai general. "Facem abstracţie de" şi " abstractizlm" - iată alte moduri de expri­ mare. G. are mai multe cazuri a) trecerea de la o noţiune la alta mai generală (stabilirea genului unei noţiuni, b) trecerea de la n noţiuni la o noţiune comun4 (genul comun mai multor specii). c) trecerea de la n noţiuni la m noţiuni (n > m) (subordonarea unor specii la mai multe genuri) . Operaţia e) exprimă pe plan mintal clasificarea.


GENt:RI

135

se: 4EltE

GENERALIZARE PRIPITĂ , eroare inductivă de tipul lui non sequztur (v. ) . Ea constă in trecerea de la un număr neinsemnat de cazuri (care in plus nu sint bine analizate) la toate cazurile. "X a vorbit bine in şedinţele A , B

prin urmare, X vorbeşte bine in toate şedinţele". Există tendinţa de a trage concluzii generale pornind de la un număr mic de fapte, mai ales cînd e vorba de caracterul omului. GENERALIZARE STRUCTURALĂ, generalizare pe bază de Izomorfism sau omomorfism. Termenii sin t extinşi de la un sistem la altul izomorf cu el sau de la un sistem la altul omomorf cu el într-o astfel de generali­ Lare natura entităţilor nu are importanţă, ci doar corelaţiile dintre ele. Dacă două sisteme Sj, Si sint lZomorfe atunci generalizarea se poate face in orice sens, dacă S, este omomorf cu S, (dar nu izomorf) atunci generali­ zarea se face de la S, către Si nu şi invers. Frege in metoda relaţiei de denumire (v ) şi Carnap in metoda extenszunn szstenszunu (v. ) , utilizează această procedură Conceptul de "algebră logică" este generalizat pe bază de izomorfism de la mulţimi la funcţii de adevăr (bivalente) ŞI la scheme cu relee şi contacte (ca dealtfel ŞI la altele) . Acelaşi concept poate fi generalizat la numere numai pe bază de omomorfism, intrucit are loc pentru domenii numerice foarte restrinse. Gj;:NURI SUPREM�. în dialogul Sofzstul, Platon consideră următoarele cmci "idei" (pe care le numeşte g. s.) ca fimd cele mai importante : Exis­ tenţa, Mişcarea, Repausul, ( = nemişcarea) , A celaşz şi A ltul. Ulterior, in Philebos, introduce alte patru idei importante : Finitul, Infinitul, A mes­ tecul, şi Cauza. Este prima incercare de a sistematiza categoriile filosofice. EI va influenţa pe Aristotel în Categorii şi, evident, dezvoltarea ulterioară a dialecticii. Putem introduce schema · Existenţa _____--;

Mişcare-Rep us

I

Flntt-InflUit

I

L

Acelaş Altul

I

Amestec-Cauza

r� 1>ll n[a �e �pflJlnă, pe de o parte, pe mzşcare şi repaus, Iar pe de altă parte pe acelaF ŞI altul (altfel spus zdenticul şi diferitul) . Probabil că în loc de ftnzt şi znfimt ar fi mai adevărată traducerea Zzmitatul şi nelimttatul pentru a sugera doar ideea de cantitate cu care sint corelate in mod obişnuzt cele două categorit. Amestecul este complexul de iusuşifl prm care deter­ minăm, de ex , un indiVid ca Socrate Am corelat amestecul cu cauza deoare­ ce tocmai cauza determină insuşirile. Putem da o interpretare (mal exact reinterpretare modernă) logică schemei

I Variabila-Constanta I Domeniul I

I finit

I infinit

Exzstenţa I

I identitatea-diferenţa

I însuşiri-Relaţia (de implicaţie cauzală)


13(';

GENUS GENER ALISSIMUM

o formulă logică poate cuprinde toate aceste aspecte : 3x(x = ,, & x o;! b& (Domeniul este presupus) Prin aceasta vrem să sugerăm cores­ pondenţa ideilor (izomorfismul) ca o cale de a studia structural evoluţia lor. GENUS GENERALlSSIMUM (l at . .. genul suprem") (v. gen.). GEOMETRIE NEEUaIDIANA, geometrie care inlocuieşte postnl atul V al lui Euclid ( .. postulaml paralelelor") cu alte formulAri care luate pur formal (v.) par să contrazică acest postulat. Disputa in juml postu1atu lUl

& b =- a)

V şi apariţia geometrillor neeuclidiene au contribuit, in bună măsură, la dezvoltarea metodei deductive şi a pus o serie de probleme pentru metoda aDomatică şi pentru semantica logică. PostulatuI V nu a pArut evident nici tuturor m atematiclenllor antici. Produs (sec. 4 e.n.) a incercat să il inlocuiască cu definiţia paralelei ca locul geometric al tuturor punctelor aflate la o distanţA egală de dreapta dati. Dificultatea a fost insi doar deplastă : acum era necesar să demonstreze ci .. locul geometric" e o dreap­ tă. iaccheri ( 1 733) a depus eforturi considerabile pentru demonsb"area postulatului V, ceea ce nu i-a reuşit, dar experimentul său n-a fost zadar­ nic, căci el a pus o serie de probleme logice. Cu timpul a fost dllscoperită o clasă de propoziţii e&hivalente logic (v.) cu postulatul V, ceea ce putem prezenta simbolic astfel : P� = P: = .Pf =

-

-

-

= 1':

Evident că demonstraţia in care una din aceste propoziţii se deduee dm alta, din acest lanţ, este in cerc, or acest lucru s-a intimplat celor ce au incercat să demonstreze Pi• Saccheri a pornit de la următoarea figurA (dreptunghi) :

A'

H'

B'

A

H

B

(Se vede că segmentul A 'B' este paralel cu AB) tn legătură cu unghiurile putem face trei ipoteze : ( 1 ) A ', B' sint unghiuri drepte, (2) A', B' sint unghiuri obtuze, (3) A ', B' sint unghiuri ascuţite. Ipoteza ( 1 ) este o propoziţie echivalentă cu postulatuI V. Schema demonstraţiei sale este următoarea :

A ', B'

( 1 ) V (2) V (3)

(2) (3) 1 (2), 1 (3) (2) f- 1 (3) f- 1 (1)

După respingerea lui (2) rămîne cu 1 (1) .. (3) şi Saccheri a presupus că aCi poate aplica consequentza mi,abilis. tn realitate, el respinge (2) presu­ punind tacit că există segmente liniare de orice mArime (altfel spus, că nu există cel mai mare segment liniar). Din (2) deduce că suma unghiuri­ lor interne triunghiului este intotdeauna mai mare decit două unghiuri drepte, ceea ce intuitiv pare absurd. La fel concluzia că existi un maximum al segmentelor lmiare. Demonstraţia lui 1(3) nu este completă. EI deduce


1 37

GEOMETRIE NEEUCLlDIANA.

dIn (3) doar concluzii "intuitiv absurde". Exemple de concluzii intuitiv absurde a) dacă două paralele au o perpendiculară comună atunci de ambele părţi ale perpendicularei ele se indepărtează la infinit, b) dacă două paralele llU au nici o perpendicular. comună atunci ele apropriindu-se asimptotic îutr-o parte, se depărtează infinit de cealaltă. Tot din (3) deducem că suma unghiurilor interne unui triunghi este mai mică decit două unghiuri drepte. Ulterior s-a arătat că (2) corespunde geometriei eliptice (Riemann) şi (3) corespunde geometriei hiperbolice (Bolyai-Loba­ cevskil . Viciul demonstraţiei consta in faptul că pentru respingerea lui {2) şi (3) el trebuie să presupună tacit o propoziţie echivalentă cu ( 1 ) . Cu alte cuvinte (2) f- l (2) deoarece (2) contrazice o propoziţie (m) , or (m) = == (1) ; (3) 1- 1 (3) deoarece (3) contrazice (n), or (n) = ( 1 ) . Sau Într-o formă mai slabă : vrem să demonstrăm A prin eliminarea lui lA. Dar lA este elimmat deoarece e incompatibil cu B. Se presupune tacit că B este adevă­ rat, dar A 1- B (ceea ce �e omite) . în acest fel, punctele slabe ale demon­ straţiei sint · a) supoziţia tacită a lui B şi b) omisiunea faptului că B se deduce din A . Pe de altă parte Saccheri invocă pur şi simplu "absurdl­ tatea Intuitivă" a concluziilor şi atunci raţionamentul ia forma (e\'idellt greşităI A f- B

--- (unde lA

il e�te IntUitiv absurd)

Saccheri a simţit cl ipoteza unghiului ascuţit nu duce la o contradulle logică şi a Încercat o alU demonstraţie care insă s-a dovedit greşi�. Ce a rămas din încercările de demonstraţie ale lui Saccheri � în primul rînd, erorile comise de Saccheri sint instructive pentru teoria demonstraţiei : a) problema cercului vicios in demonstraţie poate lua forme mai subtile, b) scoaterea în evidenţă a clasei de propoziţii logic echivalente, c) neceSI­ tatea de a distillge intre logic contradictorzu şi zntuitiv contradictoriu, d) raţionamentele lui Saccheri scoteau în evidenţă necesitatea de a pre­ ciza ce În�eamnă "raţionament prîn absurd " şi consequentia 1mrabilis. Pe de altă parte, Saccheri a pus la dispoziţia geometrici1or două "sisteme de concluzii" care in mod ciudat nu cuprindeau în sine contradicţia logică. Se stabilea o relaţie logică curioasă Între aceste .sisteme de concluzii t ŞI geometna lui Euclid, relaţie care pentru intelectualul de rind nu e clară nici azi. Lambert ( 1 766) a reluat problema. El consideră, de asemenea, �11l dreptunghi : C

D

B

A

Presupune că unghiurile A , B şi C sint drepte, iar pentru unghiul al patru­ lea D face presupunerile (1) este drept, (2) este obtuz, (3) este ascuţit. Ipoteza (1) este echivalentă cu postulatul V. Ipoteza (2 ) i s-a părut că poate fi redusă la o contradicţie (deci respinsă prin absurd) . Incercind să respingă pe (3) ajunge la un "sistem complex de concluzii", pe care oricit l-a dezvoltat n-a găsit contradicţia. în mod foarte instructiv el scrie : "Demonstrarea postulatului lui Euclid poate fi împinsă atît de departe că rămine, evident, un mărunţiş. Dar printr-o analiză grijulie se


GEOMETRIE NEEUCLIDIANA

138

vede că tocmai în acest mărunţiş aparent constă esenţa probleme.! ; de obicei el conţine sau propoziţia de demonstrat sau postulatul echivalent ei". Lambert Însă a mers mult mai departe făcînd ipoteza că "a treia ipo­ teză e adevărată pe o pseudosferă" şi că de aceea .. nu poate fi respinsă. în plan". Legendre (1752 - 1833) se ocupă mai indeaproape de relaţiile dmtre postulatul V şi suma unghiurilor interioare triunghiului făcînd trei ipoteze · ( 1 ) suma este egală cu două unghiuri drepte, (2) suma este mai mare ca două unghiuri drepte, (3) suma este mai mică decit două. unghiuri drepte. Ipoteza ( 1 ) este echivalentă cu postulatul V. Demon­ straţiile lui deşi sint greşite sînt interesante. Ipoteza (2) i se pare că e res­ pinsă prin absurd, iar pentru ipoteza (3) a folosit pe nesimţite un echiva· lent al postulatului V. El a extins "sistemele de concluziI necontradicto­ ni" în legătură cu ipotezele (2) şi (3). Rămîne curios faptul istonc că IPO­ tezele (2) analizate de cei trei gînditori au părut a fi respmse in timp ce la Ipotezele (3) s·a observat destul de repede dificultatea Bolyai şi Lobacev­ ski, în mod concomitent, au formulat existenţa unei noi geometrÎl cores­ punzătoare ipotezelor (3) . Această geometne admite că prmtr·un punct exterior nnei drepte se pot duce două paralele la acea dreaptă. Ulterior s·a generalizat afirmindu-se posibilitatea unei infinităţi de paralele care trec prmtr-un punct exterior unei drepte Această geometrie s·a numit ulterior kiPerbolică Lobacevski a arătat că postulatul V nu este dependent logi c de celelalte Geometria lui Euclid este uzuală, iar geometria sa ifJ1ag�­ nară. Experienţa trebUle să. decidă care dintre ele corespunde mai lllUlt propnetăţilor spaţiului real. Riemann a construit ulterior o geomdne numită. eliptică ŞI care are la bază afirmaţia că prmtr-un PW1ct exterior unei drepte nu trece nici o paralelă la acea dreaptă. Unificarea geometrii­ lor s-a făcut prin clasificarea lor relativ la gradul de curbură. 1 ) geometrie de curbură zero (euclidiană) , 2) geometne de curbură negativă (hlperbolică) , 3) geometne de curbură pOZitivă (eliptică) . La acestea s-a adăugat geo­ metria absolută (mvarlantă în raport cu gradul de curbură) . G. D. au des­ chis cîteva probleme majore (1) cele trei postulate par să se nege reciproc, adică am avea trei propoziţii A , B, C care se află în următoarele raporturi A = l B & l C, B = lA & lC, C = l A & l B (fiecare dintre ele este echivalentă. cu negaţia celorlalte două) , (2) fiecare din cele trei propodţii generează. un sistem necontradictoriu (consistent) de consecinţe Or, cum e posibil ca trei propoziţii care se neagă reciproc săfie adevărate deopotrivă. (adevărate, în primul rind, în sens logic, nu sint contradictorii în consecinţe­ le lor) , Cum e posibil ca A şi lA să. fie simultan adevărate ' Aceast 1 este o încălcare flagrantă a principiulUi necontradicţiei Există următoarele ieşiri dm situaţie 1) sau două din postulate sînt false, 2) sau este fals că "postulatul paralelelor este inlocuit cu negaţia lui", 3) sau prmcipiul necontradicţiel este fals. A treia soluţie estt- llUpO· Slbllă, căci a interzice principiul necontradicţiei echivalează cu a permite totul ( nu mai există alegere Între adevăr şi fals) . Necontradicţiat-stc aşa cum s-a arătat mai tîrziu (Hilbert) esenţialul în ce priveşte metoda .1XIO­ mabcă. Respingînd 3) trebuie �ă respingem ŞI 1 ) , căci postulatele respec­ tive neducind nici unul la contradicţie descriu cel puţin o poszbilitate logiCiI (cum ar fi spus Lelblllz) sau o exzstenţă logică (cum ar fi spus HJ.. 1bert) Avind o lume .. logiC posibJ.. 1 ă" putem să încercăm să-i găsim un cort-spon­ dent .,factual", lucru care a şi fost făcut prin descoperirea de modele pentru g. D. (Beltraml, Felix Klein, Poincare, Riemann) . înamte de a reveni la pro­ blema metodelor să discutăm soluţia 2) Prin ehminare rezultă că acea.<;t:i. propoziţie este falsă, cu alt� cuvinte, în ClUda aparenţelor, nu avem o inlo­ cuire a postulatului paralelelor cu o negaţ ie a �a, căci nu există douii adevii.-


139

GE.OMETRIE

NI EL CLIDI 4.NA

.

care �ă se contrazIcă Între ele (care să se nege reciproc) Rămîne să explicăm negaţM ap arentă Explicaţia constă in faptul că În procesele de demoustraţie corespunzătoare s-a operat cu termenii geometriei ( punct, dreaptă, Plan etc ) şi relaţiile geometrIce în mod pur formal ( = abstracţia făcîndu-�e de conţinutul expresiilor) ( v. formahzare) . Deşi propoziţWe respective erau legate de un conţinut conceptual în procesul logic ele au fost tratate În mod tactt ca simple formule ale căror componente abia urmează s;;' flc inte-rpretate (v mterpretare) . Această procedură a fost explicit indi­ cată de D Hilbert în Grundlagen der Geometrie. Termenil punct, dreaptă, plan au pentru geometrul care operează pur formal doar o semnificaţie zmpltcitii, aceea pe care o determină sistemul de corelaţIi (axiome) formale. SJ. consIderăm următorul sistem de formule pe care le postulăm pentru o l ume pos zbilă (v.) :

rurt

2.

a > b a =c

Formăm un sistem prm care negăm cele două postulate : l '. l( a > b) 2'. 1 (a = c) formule, evident, ele se neagă rec zproc ( 1 cu l' ŞI 2 CII 2') , dar de Indată ce le dăm o interpretare ambele sisteme pot deveni adevărate, nu însă în aceeaşi interpretare. De ex. : pentru 1 ŞI 2 luăm numerele (3, 2) , pentru l' şi 2' luăm (fiul, tatăl), astfel că pentru primul sIstem a = 2, b = := 3 c = 2, iar pentru al doilea a = fiul, b = tatăl şi c = tatăl. Relaţiile, In prtmul caz, vor fI relaţii cunoscute din aritmetică, în al doilea caz, re­ laţii de vîrstă. Abia prm interpretare formulele devin propoziţii şi anume _ Dar ele nu devin adevărate în aceeaşi z nterp retare . Două formule adevarate (sau dacă vreţi două "propoziţii" tratate pur formal) care s e neagă reciProc pot sJ. devină propoziţii adevărate în znterpretăn diferite. în concluzie · 1 ) două formule care se neagă reciproc nil pot face parte din acelaşi sistem ele nu pot fi adevărate Împreună în aceeaşi interpretare (pentru acelaşi model) şi 2) două formule care se neagă reciproc pot deveni adevărate ambele dar În sisteme diferite de interpretare (excepţie fac anumite for­ mule logice) . Or sistemele de postulate pentru geometrii nu sînt interpre­ . acelaşI mod. O curiozitate pe lîngă care n-ar trebui să se treacă cu tate .1U u.şurlnţă constă în faptul că modelele g. n. sînt "cufundate" în modelul şeometriei euclidiene (fără a fi Identice cu acesta) Dăm un singur exemplu lUrmulat de l�elix Klein pentru geometria hlperbolică. Se consideră un cerc

�a

I Punct va fi numit orice punct znt enor cercului, 2 .. Dreapta va fI numită ....rice coardă a cercului, 3. Plan va fi evident mulţimea punctelor interioare cercnlni Prin urmare cînd Lobacevski spune că "printr-un punct exterior unei drepte trec nu mai puţin de d011ă drepte paralele cu dreapta dată"


GRAF

149

el vorbeşte despre cu totul altceva decit euclidienii care spun "printr-UD punct exterior unei drepte trece o singuri dreapU paralelă cu dreapta dată" Este ca şi CUDl am avea douA llinbaje in care forma cuvintelor este aceeaşi dar înţelesul lor este deosebit. Relaţiile logice intre geometrii poHi Inţel� corect numai după ce am inţeles exact natura jol'mahzării (v.) şi i'1ltel'pretărn

(v.).

GRAF (tu sens restrins) . sistem de ;.nulţimi [{ a,} . {b,}] (cu 1 = 1 . 2 . . . . . . . m ; j = 1. 2• . . . n) astfel că fiecArui element a, e {a, } îi corespunde o pereche bJl . b,. e {b,} (unde bit . b,� pot fi identice) . Elementele lui {a,} se numesc laturi sau muchii, iar elementele lui {b/} se numesc vfl'juI'i. Astfel. pătl'atul logic (v.) este figur a geometrică ce reprezintă un g. - fiecărui raport logic (latul'ă) li corespund două tipuri de judecăţi (vîrfuri) (în ",ens larg) G. este definit ca o subm ulţ ime a unui produs cartezian : G c c Al X � X . • • X A n . Legătura dintre cele douA noţiuni este evidentă G c [{a,} X {b il X bu}). Dacă g. este G c A" atunci se nume şte g. în sens Konig. O fun cţie logică bmară este o submulţime a produsului ( V X V) X V ( und e V = {adevăr, fals}) . După cum se poate observa o ast fel de funcţie ln ată strict ca aplicaţie V• ..., V nu este g. în pnmul sens, dar considerînd produsul va X V avem un g. in primul sens in c are laturile sînt coloan ele de valori. iar virfurile elementelor mulţimii VI X V (unde elementele perechii sint luate intr-o ordine determinatA). Astfel. pentru zmplicalla materială (v.) avem laturile (v v v. v jj. j v v. j I v) (altfel spus coloanele din matrice) şi virfurile corespunzătoare ((v V), v ) � «v f)' !); «f v). v); « fi). v»). Unui g. ii putem asocia o figură geome­ trică (dlagyamă. grafic) sau o matl'ice. (Timov ean u M., Elemente de logict1 matematică. 1965)

GRĂl\l!,-DA. Problemă pusă de Eubulid. Nu e un sofism cum se crede ci o problemă reală, anume problema noţimill.or imprecise (sau ceea ce se nu­ meşte în ultima vreme a "mulţimilor vagi"). Un bob nu formează o g. nici două boabe. nici trei . . . Un milion de boab e formează o g. Care este linia de d espărţire ? Mergînd insă din ap roape în aproape ar trebui s' spune m că nn ştim dacă la un milion de boabe avem o g •• sau şi mai strict, că nu avem o g •. Emil Barel trece in revistă citeva soluţii (PI'obabilcte et certztude). 1) Este vorba de " utilizare de cuvinte" şi deci neinteresantă . 2) Se poate rezolva prin introducerea unor expresii distincte: g. netnsemnată, g. mică, g. mare ş.a. Aceasta insă nu face decit să deplaseze problem a. 3} C onsider ăm ca soluţie " p ărere a medie" ( = media părerilor) a celor ce pri vesc . In acest sens nu e nevoie de consens ci de o maJOI'itate sulicientă ( exemplu 95% ) . Totuşi problema reapare : va fi grămadă la 94%, dar la 93% . 92% etc. ? 4) Soluţia administl'ativ4 - decidem pur şi simplu ci la valoarea k tr ebuie considerată g. Dificultatea însă se deplasează asupra valorii k (adică a procesului de stabilire a ei) . 5} Ultima soluţie trecută în revistă este cea legată de .. conţinutul fizic" (Poincar�) care �atisface relaţiile

A = B

şi B

=

C. A

>

C. Problema

mulează din această perspectivă astfel : Al •• = A IOO' deci A , = A loo' . •

A

=

raţionamentului

A ., A I

Or egalităţile fizice nu se compor tă astfel, căci A

g. se refor­ .., = A ,.

=

A 3 ' A3

=

B fizic Înseamnă

că nu putem percepe diferenţ ele. dar intre, să zicem. Al şi Ai. dIferenţele

< Al' l a intrebarea "este ace ast a o g. " se învirte în jurul unei anumite Cifre care este prob ab ilit atea p . A ce as tă se acumulează încit noi le putem percepe astfel că putem spune A .o

O r există un moment in care r ă spu ns ul


GRUI'

141

probabilitate intrerupe continuitatea. Revenim acum la perspectiva , mul­ ţimilor vagi". Conform cu teoria mulţimilor vagi conceptul de g. este imprecis şi deci DU i se poate aplica terţul exclus.

GRUNDLAGEN BER MATHEIIATIK (genn . Fundamentele maten/I!tiezi) , operă fundamentală pentru logică şi m atematicii elaborată de D Hilbert şi P. Bernays, publicatA in două volume (1934. 1939), revăzută in 1 968 de către P . Bernays. Cuprinde logica standard şi analiza logică a matemati­ cii aritmetizate. Ca şi P",neipia Mathematiea (v ) este un tratat de Icgică matemtJtict1 in inţelesul restrius al cuvintului ( = analiza logică a mate­ maticii) , are la bază concepţia formalistă ( = matematica este ştiinţa sistemelor formale) . Primul volum este consacrat calculelor logice (calculul propoziţiilor şi calculul predicatelor) şi forina1izării aritmeticii, cel de al doilea volum cuprinde teoria demonstraţiilor (aplicată la matematică) . Deşi concepută de pe poziţii formaliste. lucrarea se distinge prmtr-o îmbi­ nare a formalizării cu in tuiţia. ceea ce-i dă o claritate aparte in rindul opere­ lor celebre de logică matematică. Se poate spune că a creat un adevArat stil original de expunere. ceea ce i-a atlas mnlţi adepţi. GRlJNDZtlGE BER TBEOBETISCHEN LOGIK (germ. Bazele logzm te01'etiee) . ()J>eră celebră de logică simbolică pură, elaborată de D. Hilbert şi""W. Ackermann. publicată în 1938. ediţie revăzută de Ackermann in 1947. Cuprinde logica standard ( calculul propoziţiilor şi calculul predica­

telor). Se distinge prin claritate şi calităţi pedagogice excepţionale, ceea ce a făcut din ea cel mai utilizat manual de logică simbolică. GRUP, structură algebrică defmită printr-un cuplu (A . *) (unde A este o mulţime de entităţi şi * o operaţie definită pe această mul ţime) astfel că satisface următoarele proprietăţi :

a) 'iabe ( ( a * b) * c = a * (b· e» 3 !eVa (a*e = e* a = a) c) Va3 !ă(a·ii = ă·a = e) (unde ,, = " este o ,.elaţie de echwalenţă (v.» b)

Cu alte cuvinte. g. este caractenzat prin asociativitatea operaţiei. existenţ a elementului neutru şi existenţa elementului invers. în aritmetică cuplul (Z. + > (unde Z este mulţimea numerelor in treg i) formeazA un grup. Des­ coperirea grupurilor în logic ă o datorăm lui M.H. Stone. Astfel (A , '# > şi (A . = > formează grupuri. în primul caz eleme ntul neutru este I (falsul). in al doilea - v (adevărul) . în ambele cazuri Inversul fiecărui element este elementul insuşi. Ca urmare legile de g. vor fi respectiv :

(1) ((P '# q) '# 1') (2) (P '# 1) P (3) (p '# P) = r =

=

(p

'# (q '# r»

şi

(1) ((P = q) (2) (p = , )

=

r) (p = (q

P ( 3) (P = p) = v

=

=

Dacă grupul are în plus propnetatea de comutativitate a*b = b*a el se numeşte abelian. Se observă uşor că cele două grupuri logice sînt şi grupuri abeliene.


H HOMO MENSURA, expresie prin care se desemnează pnncipiul lui Pro­ togoras : "Omul este măsura tuturor lucrurilor, a celor care existA precum că eXIStă şi a celor ce nu există precum că nu există" Formulare care pune accent pe om ca sistem de referin ţă.

1 I t. Simbol pentru judecăţile particular afirmative (" Unti 5 sint P" ) , 2 . Simbol pentru jndecăţile modale c u modusul negativ şi dictumul afirma­ tiv (ex. "Nu este posibil

P ") .

IDEAL, o structură de ordme Fie I o mulţime în laticea (v ) A , cu ope­ raţia T . Spunem că 1 este i. dacă ŞI numai dacă Va,b e A aŢ bel <o> <o> a e I şi b e l. Cuplul logic <A , V ) este un i. Noţiunea de i. este duall cu cea de filtru (v.) . IDEALIZARE, proces de reflectare simplificată a realităţii, reflectare în care se face abstracţie de ( = se negliJează) anumite proprietâţi esenţiale ale obiectelor, fenomenelor etc. 1. este corelatul abstl'actizăl'ii (v.) ori mai exact, abstractizarea are două aspecte a) se reţzn anumite însuşiri, proprie­ tăţi, relaţu, b) se neglijează alte însuşiri, proprietăţi, relaţii. în funcţie de gradul de i. trece pe primul plan abstractizarea (ca reţînere de proprietăţi) sau i. (ca neghjare de propnetăţl) . în cazul simplei abstractizârÎ, i. este mascată de faptul că, pe primul plan, se află proprietăţile reţznute. în reali­ tate, orice abstractizare conţine i. (adică o simplificare esenţială a realităţii)

fie măcar şi pentru faptul că neţinerea însuşirilor comune ,) presupune o omogenzzare care în realitate nu are loc. Să luăm conceptul de om. Este evident că însuşirea esenţială pe care o reţînem, raţionalitatea, ascunde o omogenizare care iese la iveală imediat ce analizăm mai cu atenţie lucru­ rile. Fiecare individ uman este raţional, dar există atîtea moduri de a Iz I'aţional cîţi indivizi există încît fără anumite simplificări, uniformizări, omogenizări n-am putea scoate din extrem de taproximativele asemă­ nări 1) conceptul de I'aţional. Pe de altă parte, i. presupune o anumită zzo­ lal'e, diferenţiere net4, radicală care În realitate nu există (în realitate avind tyecerz abia perceptibile) . Identificare radicală, pe de o parte, diferenţiere radicală, de pe alta, iată cele două laturi ale i. , a metodei de extrapolare,


143

IDEE

de depăşire a limitelor experienţeI, percepţIeI ŞI uneon a conceptelor obişnui­ te. Faptul că folosim termenii pur, tdeal, perfect, absolut, tmaginar în legă­ �ură cu astfel de abstracţii arată tocmai caracterul lor idealizat. Fără slm­ :>lificare, fării fragmentare nu există abstractizare şi in aceasta constă miversalitatea principiului (resp. procesului) 1. Uneori gradnl de i. duce pînii la abstracţie de "lncrnl în sine" ( = ca totalitate de însuşiri mterne) ŞI reţinerea doar a anumitor raporturi (externe) . Metod a axiomaticii (ŞI r'sp metoda structurilor) are nevoie de introducerea unor elemente zdeale ore ajut1i la sImplificarea procesului logic de rezolvare a anumitor pro­ lJieme. Există anumite excepţii a căror recunoaştere complică teoria. Este necesar sii interpol iim excepţiile în sena cazurilor obişnuite ca pe nişte (,cazuri limită •. Avem introducerea a ceea ce numim obfecte tdeale (v ) . Extrapolarea ( = trecerea peste limitele percepţiei, experienţei ş i cazunlor obişnuite) a termemlor şi propoziţiilor fundamentale ale teoriei duce la interpolarea excepţiilor ca pe nişte cazuri limită. De ex. , teoria obişnuit;[ euclidianii capătii o simplificare dacii in loc sii introducem excepţia că există drepte care nu se mtersecteazii în mci nn punct, vom spune că "exis­ tă drepte care se intersectează la infinit". în acest fel noţiunea de " inter­ secţie a dreptelor" se extinde peste limitele obişnuite şi odatii cu ea apar concepte ideale ca "punct la infmit", dreaptă la mfinit", "plan la infinit" " iîn cazul geometriei în spaţiu). La fel, în loc să introducem excepţia apli­ cării operaţiei radical de numere negative, vom introduce numerele I m agi­ nare (resp. complexe) . în contrast cu Brouwer, Hilbert mtrodnce printre conceptele ideale şi inftnttul actual (v. ) . Există o singură condiţie teoretică a introducerii de termeni ideali, anume . sistemul de axtome să rămînă uecontradictoriu prsn extrapolare. în acest caz, dup;i cum arată Hilbert, sistemul de axiome nu reproduce complet realitatea ci stmpliftcat, avem o cosncidenţă aproximativă. EXIstă diferite grade de i. 1. 1. Imphcltă în abstractizare, caz în care termemi au o extensiune realii (de ex. putem mdica pentru .raţional » indiVizi pe care-i consIderăm raţionali). 2 1. explicită în care lucrul în sine" disp are riimînînd numai raporturzle. Ast­ fel sînt punctele, "dreptele, planul. Ele nu pot fi exemplificate direct În experienţă deşi le putem reprezenta şi gîndi intuitiv. De acest mvel sînt şi "fenomenele aleatoare". 3 . 1. explicită în care "lucrul în sine" nu există, nu poate fi reprezentat sensibil 51 gindit intuitiv ci numai formal (ca an­ samblu de relaţii formale) îl1 aceastii eategorie intră " punctele la mfintt", "dreapta la infinit " , "planul l a Infinit" care diferă de gradul doi de i. puncte, drepte, planuri (obişnUite) . Atît in cazul 2 cit ŞI 3 insă avem ceva ce este determinat de raporturi (externe) mai mult sau mai puţin abstracte. Procedura este metodologică, căci a�tfel de obiecte luate ca atare nu există decît ca obiecte abstracte (v.). Le gîndim ('ca şi cum ar exista � deoarece in <lcest fel teoria devine mai simplă şi mai eficientă 1. de la mvelul 2 este proprie şi percepţiilor nu numai c'inceptelor. 1. în concepte are la bază supoziţii pragmattce (neglijabilitatea practică, simplitatea ŞI comoditatea o;)eraţiilor de gindire, luwta la care putem aborda fenomenele în mod eficient). 1. în percepţie este pur ŞI slInplu limita capacităţu de perce *e (de ex. · mdi,cernabilul, imperceptJbilul). IDEE. provine dm greceşte de la E:r�ooC ( = formă) . Teona formelor a lUI Platon tradusii în limbile moderne prin .. teoria ideilor" a contribwt la Impunerea cuvintului. 8t. Augustin i-a acordat Inţelesul de "arhetip al cngetului dIvin" şi Thomas d 'Aquino vorbeşte despre dwtna ideas. în Renaştere inţelesul era imago (imagine ?). Descartes şi Locke l-au folOSIt in locul termenilor medievalI species şi intenlto ( = forme existente în min­ tile oamenilor) . în momentul de faţă 1. s-a stabilit la înţelesul de concept


IDEM PER IDEM

lH

sau Judecată. Se spune "am. L de om" (= am noţiunea omului) san formulez 1. adevărată că "omul este biped" (= judecata că omul este biped). IDEU PER IDEH (lat.), definiţie prin sine, A = dfA (v. def�niţie). IDENTITATE, relaţie Intre două entităţi IX, � (indivizi, clase, proprietăţii notată in mod obişnuit cu == sau mai simplu cu = (semn utilizat in mod tradiţional numai pentru egalitate) şi definită astfel : ( 1 ) IX = � = df VF (F(a.) ..... F «(3) . Definiţia a fost dată de Leibniz deşi Intr-o formă mai puţil1 precisă : "Eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate" (toate obiectele prin substituţie îşi păstrează puterea fără schimbarea sensului"). După cum s-a remarcat aci are loc confuzia intre utilillare 1i Invoca,.e . luc,.urde sînt identice, dacii numele unuia dintre ele poate fi pus in locul numelui celuilalt fArii incă1carea adevărului (Church) . Frege (Grund­ gese!:!e de,. Arithmetik) elimină confuzia introducind noţiunea printr-o axiomii. Peirce o introduce prin definiţie. 1. mai poate fi inţeleasii ca un cOI�cept �deal (neglijare totalii a deosebirilor), ca echi,.eferenţă a semnelor, ca iltdtscernabtlitate a obiectelor, ca neglljare practică a deosebirilor. Russell o dă în forma următoare : ".t' este Identic cu y dacii y aparţine fiecărei clase căreia aparţine x" sau altfel spus dacă x este u atrage dupii sine y este II pentru toate semnificaţiile lUI u. Church mtroduce senmul .. = " printr-o definiţie de prescurtare : (2) x = y. = df VF(F (x) � F(y) Spre deosebire de defi­ niţia datii mai sus ( 1 ) , această definiţie se referii la indivizi (x, y sînt con­ stante individuale sau variabile individuale) . Strict vorbind atit ( 1 ) cit şi (2) sînt "scheme de definiţie". De remarcat este şi diferenţa că autorii mai sus citaţi utilizează in locul echivalenţei (....). in definitor numal implica­ ţia (=;o). în schimb se deduce formula ; (3) x = y � (F(x) ..... F(y) Cum in (2) x şi Y sînt intersubstitnibile concluzia este evidentă. Din punctul de vedere al naturii relaţiei - i. este o relaţie de echivalenţă - este de preferat s-o redăm tot printr-o relaţie de echivale nţă ("echivalenţa for­ mală ") . într-adevăr 1. este reflexivă. sImetrică şi tranzitivă. Aceleaşi pro­ prietăţi le are echivalenţa formală. Deosebirea între ele este de ordin : o relaţie de ordin inferior este definită printr-o relaţie de ordin superior . Pentru mulţimi (clase) se poate da o definiţie specifică ' două mulţinu sint identice dacă şi numai dacă ele au aceleaşi elemente (v. axioma exten­ swnalităţii). De i. trebuie să deosebim 1. p,.in definiţie (= df) . Aceast.ii ultimii expresie este ambiguii : în primul rind, ea are sensul de ..relaţie de defmiţie" (relaţie care uu face parte dlU clasa relaţiilor de echival�nţă) , In al doilea, ea inseamnii i. care decurge dmtr-o definiţie (altfel spus, dintr-o relaţie de definiţie) , ceea ce este o i. in sensul ( 1 ) . IDENTITATEA }(ULTI\IILOR, relaţie notată, d e regulă, c u == ş i defi­ niţia astfel : X == Y = Vx(xE X _ X E Y) Este o relaţie de echivalenţii (în sensul teoriei relaţiilor), adicii reflexwă • simetrică şi tranzitivă. Ea nu trebuie confundată cu egalitatea (biunivoci­ tatea, echivalenţa) mulţimilor. Relaţia lor este aceasta: X == Y � X- Y inversa nu este adevărat" in genere. Problema dificilă care se pune in legii­ tură cu expreSIa "X == Y" este cum să interpretăm aceastii formulă. Fiind identice "X" şi "Y" sint doar două semne pentru aceeaşi mulţime, prin urmare, a vorbi că mulţimea X este identică cu mulţime Y inseamnii a da impresia că avea două mulţimi pe care le compariim. Pe de altii parte, dac � expresia "X == Y" înseamnă semnul .. X" desemneazii aceeaşi mulţime ca ŞI .. Y" aceasta transformă expresia "X la Y" într-o metaexpresie care vorbeşte despre simbolurile . . X" şi "Y" şi deci nu-şi are locul în teoria mulţimilor. O soluţie care ne permite sii integriim expresia X == Y tn


145

IMPLICATIE

(o-ORM ALA

teona mulţimilor este sii consider1im 1. m. ca pe uu caz limită al relaţiei U.e diferenţii Intre mulţimi - adlcii diferenţa mulţimilor este o mulţime de proprietiiţi identicii cu mulţilllea vldii

IGN�RA"IUS ET IGNORABIHUS (lat . "nu ştim ŞI nu vom şti" ) , formuld scepfică de incheiere a unei discuţii. lGNORtţ!'lTIA NON EST ARGU}l.E�UM (lat "ignoranţa nu este argn­ ment ") , replică la cei ce răspund prin "nu ştiu", in loc să argumenteze IGNORATIO ELENCHI ("ignorarea tezei") concluzie irelevantă, erorare prÎlf prezumţie, constind În substituirea concluziei de dovedit cu o altă propoziţie, mai mult sau mai puţin apropiaU de ea. Există lIlal multe forme de concluzii ireleuante (prin ignorare) : 1. ArgumentuOl ..Ld hominem, 2. Argnmentum ad populum , a. Argumentum ad ignorantiam, 4. Argu­ mentu. ad verecundiam, 3. Argnmentum ad misericordiam. fi. Eroarea de obiecţie ŞI, prin extensie, argumentum ad baculum (u )

IGNOTU.lU PER I GNOTllJS (lat "ceva necunoscut pnn altceva şi mai necuuo�cut' · ) . Formulii ce caracterizeazii o greşealii logiCă in definire.

IMPLI{� '\:\T ( = ipoteză, premisii) . Fiind date douii funcţii <;>(Pl' P., . . . . pn) ŞI {s(Pl' Pt' " pn) se spune cl <;> este implicantul lui y dacă pentru orice alrgere de valori care dă valoarea adevăr pentru 'il obţinem va­ loarea adevăr pentru <jI. Se observă că variabilele reunite ale celor două funcţii sint identice cu (P" P., ., P,,) in timp ce una dm ele poate conţme mai puţine variabile decît această mulţime. Exemple : P & q este i. pentru p, p este 1. pentru p V q , pq este i. pentru qp. Una şi aceeaşi funcţie poate să aibă mai mulţi implicanţi. Termenul i. este frecvent folosit in formularea metodelor de mintrnz::are, In alte contexte se folo­ se�te termenul ipoteză sau chiar premisă IMPLlf.ANT SIl\IPLU, orice expresie 'il care este Jmpltcant (v.) al unei expresii tjI

şi 1) are formă de produs logic elementar

(

=

conjuncţie

2, nici o parte strictă a acestui produs elementar nu mIU este implicant al lui <)1. Exemplu Fie <)1 = p V q V r. Se observl că p, q, r. F V q, p V r, q V r sînt 1. s. al acestei funcţii în timp ce pq, qr nu sînt i. s. deoarece părţile lor sint la rindul lor implicanţi. ntPLICATIA RELATIlLOn (sau extensional subsumarea, incluziune a relaţiilor) - simbolic R � Q - se defineşte : R � Q = "Ix Vy (xRy � � xQy). Exemplu ' ţ" = Y � x � y. IMPL ICATm CAUZAL.\., relaţie de implicaţie Între cauz1i ŞI efect (v. cauzalitate) . Pe lîngă proprietăţlle generale ale relaţiei de implicaţie are proprietăţile de Jreflexivitate (v.) �i asimetrie (v ) . Dacii prin cauză se inţelege numai caU,l"Q Jmediată atunci relaţia de cauzalitate este intranzl­ tivă, totuşi este mai În conformitate cu uzul general să consIderăm cauza in Inţelesul mai larg (mediat1i sau imediată) : dacă a cauzeazd pe b şi b cauzează pe c atunci se poate "pune ŞI că IZ cauzează pe c. IMPLlC.o\TIE CONTRAFACTUAL.\, Implicaţie al cărei antecedent este pnmJ.)

o presupunere inversă "Urii de fapt. Ex "dacd unirea lui Mihai s-ar fi consolidat atunci ţările române ar fi avut altă dezvoltare", " dacd Imperiul otoman n-ar fi cucerit imperiul bizautiu, e<;tul Europei ar fi avut altă dezvoltare".

IMPLICATIE FORMALĂ, termen mtrodus de B. Russell pentm a de­ semna implicaţia "Ix ( P( x) � Q(x)) ("P(x) Implică totdeauna Q(x) ) " .

Ea se deosebeşte d e implicaţia materială nefiind definibilă ca funcţie


IMPLI(.Al IE INFFRENŢIALA

1 46

de adevăr. Este folosită pentru formalizarea legilor naturii, cn alte cu­ ,'inte ea este .,formă de lege" Exemplu de 1 f. adeviiratii "Ix (Metal (x) � Dilată (x» , ceea ce este, evident, o lege din fizicii). IMPLICAŢIE INFERENŢIAL :{, relaţie de implicaţie Intre propoziţii (judecăţi) . Se notează cu 1- şi are schema A 1- B (citeşte "din A se Infer1i B" ) . Pe lîngii proprietăţile generale ale relaţiilor de implfcaţle este reflexivă (A 1- A ) ŞI antisimetrică (uneori dacii A 1- B atuncI B 1- A ) . Cazul cel mal interesant de 1. i. este llnplicaţia deductivă 1. 1. depinde de forma propoZIţiilor şi de distnbuţia valorilor logice. (V' Inferenţă, Raţwnament, Deducţie) IMPLICAŢIE NO!\IOLOGIC.\, relaţie necesară redată în legIle ştimţei I�x dacă 2 >-- 2 = 4 atunci ..ti = 2 sau mal general, dacii y = x X x

atuncI ..;-y = x ( v. ŞI propoziţi� lIomologu;e) . Kotînd cu p antecedeutul ŞI cu q cou�ecventul (succedentul) o putelll descrie astfel . p este con­ diţie suficientă pentru q şi q este condiţie necesară pentru p. UIPLICAŢIE STlUCT.\, imphcaţle modală redată pnn propoziţia "este " " Se uo­ necesar ca dacă p atunci q sau "p implică in mod necesar q teazii cu -< şi are schema p -< q A fost introdusă de Lewis cu scopul de a sCdpa de paradoxele tmpltcaltet matenale (v ) ŞI de a reda mai adec­ yat relaţia de inferenţă. ( V. 5�stemele modale ttP Lew�s) . I"CLrZIUNE, relaţIe între mulţimI, notată pnn C ŞI dehmtă (a) X c Y

=

"Ix (x E X -+ X E Y)

EXIstă dotul felun de i. : strictă nes/netă (1. defmită mai sus este ne­ strictă) 1. ll estrictă admite că avem X == Y sau X � Y, ea este notată um'ori diferit S; 1. 1>tricU implică faptul că X � Y. în teoria mulţi­ milor �e ia. de regulă, ca baLă i. uestrictă (J.ualogul relaţiei <:; ) şi se .1efineşte ca un caz restrîll» lllcIuziunea strictă. Printre proprietăţile 1. avem (b) X c X (reflexiyitatea) , (c) ((X c Y) & (Y C Z» -+ X C Z (tranzltiYitatea) (dl X c Y --+ Y c X (contrapoziţia) O teoremă impor­ tantă a teonel I1lUlţullllor spune cl X c Y --+ X * = Y* . unde X · , Y·­ num ere cardmale 1. es te o relaţIe slabă de ordine. Exemple de i. : ", umere naturale c Numere intregi ; Tineri sportivi c Mulţimea sporti­ , ilor. Pe baza i. introducem Identilatea lIlulţimilor (concept ideal) X =- 1-' = X c Y & Y c X .\' == Y = "Ix ( Y E X _ .1. E Y)

Tot pe baza 1. mtroducem operaţnle de r-rtl1ldere ŞI restrîngere Convenim sl le notăm respecth' cu E.yt şi Res )' ==

X ==

X

==

Cxt (X) Re,> (Y) Re,> (Y)

_

_

_

X c Y&X � Y X c Y&X � Y Y == Ext (X)

Operaţllie de exlznderc ŞI reslrîllgere corespund operaţiilor logtce cu no­ ţIUni numIte respectiv generalizarea ŞI determl llarea noţiunilor. De asemenea, ele pot fi corelate <,u unele noţiuni din topologie.


147

INDEPENDEN1'A LOGICA

INDEPENDENŢĂ LOGICĂ, proprietate a unei mulţimi de propoziţii sau a unei mulţimi de termeni. Se poate vorbi, de asemenea, de inde­ pendenţa ·operatorilor care nu sînt totuşi termeni în inţelesul obişnuit al cuvintului. Definiţii curente (1) o mulţime de termeni (resp. opera­ tori) este independentă dacă nici un termen (resp. operator) din mul­ ţime nu se defineşte prin mtermediul celorlalţi, (2) o mulţime de pro­ poziţii este mdependentă dacă nici o propoziţie din mulţime nu se deduce din celelalte. Independenţa unui sistem de expresii este definită prin Independenţa fiecărei expresii în parte. Un interes deosebit prezintă independenţa pentru sistemele axiomatice (axiome, reguli) . Se pot da diferite definiţii. Fie S un sistem de axiome A I ' A2' . . . , An Spunem despre o axiomă A I din S că este independentă dacă ea nu este teoremă în raport cu celelalte axiome. Analog o regulă R este independentă de celelalte reguli prime dacă R nu se deduce din aceste reguli (eventual in combinaţie cu axiomele). Dacă regula R se deduce diu celelalte reguli prime (�I eventual din axiome) ea este denvatd Altă definiţie : o axiomă (sau o regulă) este independentă in S dacă există o teorem;l care nu poate fi tlemonstrată fără această axIOmă (sau regulă) . Se poate in­ tîmpla cl !lacă �e ;,chimbl sistemul de axiome una sau mai multe re­ gnll să devină Independente şi Invers, dacă <;e schimbă sistemul de re­ guli se poate ca o axiomă sau mal multe să devină dependente Ca ur­ mare, independenţa axiomelor trebuie corelată cu independenţa regulilor Raportînd independenţa la teorIa postulatelor (v.) Church dlstmge "in­ dependenţa relativă la demonstrabilitate" ŞI "independenţa relativă la concluzii". Un postulat A este indepentlcnt relativ la demonstrabilitate dacă el nu este teoremă a sistemului care constă tiin celelalte postulate şi din logica asociată Un postulat A este independent relativ la concluzii dacă el nu este conseciuţă a celorlalte postulate. Reamintim că Chul'ch axiomele înţelege pnn postulate aXIOmele unui domeniu special (de ex lUI Peano) . Definiţiile date mal sus sînt formale (sintactice) Se poate da o defimţle relativă la interpretare Uu sistem de axiome formale este mdependent dac;! pentru fiecare aXIOmă a sistemulUI eXistă o mterpretare astfel că toate celelalte aXIOme Iau o anumită valoare (sau anumite valon) pe care aXIOma considerată nu le la Se poate vorbi ŞI de o "definIţie relativă la metoda de demonstraţie a proprietăţii" Acesta este cazul definiţiei date Această procellură de definire pnn interpretare este utilizată pentru calculul propoziţiilor Pentru calculul pretlicatelor de ordmul unu este utilizată o altă procedură şi deci definiţia relativă la procedură se va schimba, î n ce priveşte defimţia prin interpretare ea este va­ labilă pentru orice sistem formal, dar nu este o procedură de deDlon­ straţie a proprietăţii pentru orice sistem formal Pentru a demonstra independenţa axiomel I din calculul propoziţional Hilbert-Ackermall se folosesc Interpretănle p O l 2 (1II,ltn�e pentru dhJunc ţle) P!q I O 1 2 p

102

-- O I

2

1000 O 1 2 O 2 O

Axiomele 2, 3, 4 (H-A) vor lua toate valoarea O in tuup ce aXIOma I nu. Pentru calculul predicatelor de ordinul linII (H-A) �e procedeaz.l la demonstrarea independenţei prm reducţia la calculul propoziţiilor Astfel, pentm axioma "Ix Fx ...... Fy se procedează la inlOCUIrea lui "Ix Fx cu "Ix Fx V P V P şi pentru axioma Fy -+ 3 1' Fv �e înlocuie.�te,


II'm,vm

U8

3x Fx cu 3x Fx & p & p. Orice formulă deductibilă din A XI --:- A x. ŞI A x. devine din nou formulă deductibilă dnpă tr ansformarea illdicată, in timp ca A x. devine contradictorie. (v. calculul propozapilor, calculul pred.'C4IelM). C u privire la importanţa i ndependenţei există divergenţe intre logicien i. Unii (de ex., Church) consideră că nu este o propriet ate necesAr., alţii (de ex , Novikov) dimpotrivă, o consideră importanU sub anumite aspecte. Gr. C. Moisil in Logzca modllltl genera/iJ a arătat cum prin anexarea şi suprimare a de axiome in dependen te se pot con stru i nOI sisteme axiomatice. INDIVID. tn mod ob işnuit prm 1. se Inţelege tndtvtdul jwc (de ex. : Na.poleon, planeta Terra). în logi ca modernă c ategori a J. este relativă la un sistem teoretic, respectIv, la un sistem lingvistic, în sensul restrins al cuvintului (v. ltmbaJ) . Camap (in Semnzjicaţie ŞJ necesitat,) d efineşte astfel indivizii : sint "acele entităţi care sint luate ca elemente ale uni­ versului discursuluI in S, cu alte cuvinte, pentru enti tăţ ile de cel mai jos mvel (pe care îl n um im nivel zero) . cu care avem de a face în S, indiferent c e sîn t a ceste enti tăţi " ( l ucruri fi zice, nu mere , pu ncte sp aţio­ temporale sau altele) Pentru problema individualului in sens fiZIC v . doctrina universalelDt'. I!\'DUCŢIE, proces de generalIzare ; raţionament prin care se tr ece de la constatări despre c azurile singu l are dintr· o mulţime de obiecte la a­ serţiuni despre toate caznrile (în sens distributiv) . Schematic ' fie clasa {x" xa, • • • x,,} de obiecte şi proprietatea F. Dacă s-a constatat eJ. au loc F(xl ), F(xa), F (x"-t) (O < k < n) atunci asertind "Ix F (x) facem un raţionament inductiv ( = raţionament prin g eneraliz are ) . în cazul in care

F(xl). . . . , F(x,,) Dacă k > O Vx F(x) şi II <n, atunci 1. estetncompletă, altfel spus g eneralizar ea este amphjJCatQa,e. F(x,}. F( xa}. , F(xk) (O < k < 11) Această i. in com pl etll e ste Schema : "Ix F(x) . k

=

1. este completă adică avem schema :

O,

• • •

desigur cazul cel mUl mteresant. D acd m ulţim ea de obiecte este fmită atunci i. este în Pyillcipltl com ple t ă (in sensul c:i cel puţin in prin ciptu, abstracţie făcînd de lintitele noastre spaţio .tem­ porale) toate cazurile pot fi trecute in revistă. Ea este numai contin­ gent incompletă (deCI, amp lificato are ) . D acă mul ţimea este mfiDltă atunci i. este in prmcipiu (în mod necesar) incompletă. Ce l eg ătuT d are această 1. cu 1. matematică � 1. matematică este un raţionament lr'ixt Inductivo·deduc tiv, ea este i. ŞI anum e i. compl etă numai in ba::ă în timp ce in pasu l tnductiv este deduc ţi e (v. �nducţ�e matematică) . Deal tfe l i. completă este tot un fel de deducţie sau , m ai exact, este punctul în care i. şi d edu cţia se intî1nesc SchelDa este F(xl) & F(x2) & . . . & F(x,,) 1- Vx F(x) conform cu legea F(x) & F (x2l & . . . & F (x") == "Ix F(x) '>au pentru cazul infinit ( irealizabil de către nOI) .

IX)

n F(x,) == "Ix F(x).

1=1

Pentru i. c omplet ă are loc prl Dclplul

&

dacă

premIsele sint adevărate concluzia este ade" :irată Pent ru 1. lD com plet ă (amplificatoare) un astfel de principiu nu mai este valabtl, concluzia poate fi cel mult credibilă in baza unor con diţii care ne permit să·i acordăm adevAr cu o probabilitate (adesea n especificatli) mal mare sau mai mică. Factorii care fac cred ibil ă concluzia într·un mare grad SÎnt cel puţin or : a) n ă l cazurilor in spec ate : cu cit mai multe cazuri am inspectat (în presupunerea că n ·a m întîlnit nici UDul cOlltrar)

urmlit ri

um ru

t


INDUCTIE MATEMATICA

Cl< "ttt Dlai credibilă devine concluzia, b) modul de alegere a caznrilor : după anumite reguli san aleatoriu, c) relaţia dintre proprietatea F şi proprietatea caracteristică clasei de obiecte, d) relaţiile dmtre proprie­ tatea F şi alte proprietăţi universale ale obiectelor din clasă, e) utilizarea deductivă a concluziei. Factorul b) îl vom divide în trei pentru regult . b1) operînd o clasdicare asupra mulţimi! supusă 1. vom alege unul sau mai multe cazuri pentru fiecare clasll, dacă fiecare Caz ales satisface pe F(x) atunci e credibil că "Ix F(x) , �) dacă clasele sint dispuse Într-o ordine astfel cl avem .. clase pe extremă", elementele din clasele extreme sînt cele mai rele­ vante, b3) alegind cazul ceI mai puţin aşteptat raţionăm astfel : dacă şi cazul cel mai puţm aşteptat satisface proprietatea F, atunci e credibil că Vx F( x) . La cazurile alese după reguli se adaugă cazul aleator : bD) dacă obiecte alese cu totul la intimplare satisfac proprietatea F atuncI este credibi l că "Ix F(x). Factorul c) îI vom divide, de asemenea, în trei ' CI) dacă dincolo de mul-

ţimea noastră, să-i zicem U, are loc că & ( x) -+ F(x), unde G este o propri­ etate caracteristică pentru U, atuncI e credibil că "Ix F(x), c2) dacă F variază cantitativ împreună cu alte proprietăţi generale din U atunci e credibil că "Ix F(x), c3) dacă dispariţia lui F în toate cazurile cerce­ tate implică dispariţia altor proprietăţi generale atunci e credibil că "Ix F(x). d) Dacă numărul proprietăţilor generale care se află in relaţiile CI - C. cu F este mare atunci e credibil că "Ix F(x). e) Dacă din ipo­ teza V x F(x) deducem numai propoziţii adevărate pentru obiecte din U, atunci e credibil că "Ix F(x). Unul dintre cele mIU interesante cazuri de 1. este 1. cauzată (v.). INDUCŢIE MATEMATICĂ, metodă demonstrativă formulată iniţial pentru numere naturale, dar generalizată de IOgJca modernă. 1. m. are două momente : a) bază, b) pasul inducllV. Baza constă din faptul că se de­ monstrează că o proprietate P are loc pentru anumite entităţi iniţiale : "1' . • en (n ;;;. 1). Pasul lnductiv. Se presupune că entităţile ulterioare sint derivate cu ajutorul unor reguh formale din entităţile date. Distingem astfel intre . .entităţile date" şi cele .. derivate imediat" din acestea. Se demonstrează cl d acă P are loc pentru entităţile date (oarecare) ea are loc şi pentru entităţile derivate din acestea. Odată ce s-a demonstrat acest iucru se conchide că orice entitate din sistemul considerat are propri­ etatea P. Forma clasică a principiulUI (încetăţenit odată cu teOrIa nu­ merelor naturale a lui peano) este . (P(O) & P(n) � P(n + 1)) � Vm P(m). Este evident că pentru a demonstra conclUZia trebuie să proced ăm ca în caznl raţionamentului modus ponens (v ) a cărui premiză majoră o:ste tocmai principiul formulat, ca urmare schema demonstraţiei are următoarea formă :

IP(O) & P(n) � P(n + 1 )) � Vm P(m) (axiomă) P(O") (se demonstrează) P(n) � P(n + 1) (se demonstreazl) Vm P(m). In matematică principiul este reformulat pentru mulţimi de numere, pentrn numere transfinite, pentru numere ordinale, pentru "mulţimi bine ordonate ". In logică se utilizează fie in forma de .. inducţia struc­ turală", fie ca inducţie "după lungimea expresiei". Exemplu : demonstrăm plin inducţie structurală teorema "orice teză a sistemului axÎom atic propoziţional (Hilbert - Ackerman) este tautologie". (Prin teză se Inţe­ l egI< axiomă sau teoremă a sistemnlui). 1 . Baza inductiei. Se demonstrea-


INDUCTIE MATEMATiCA

1 50

ză prin matrice că axiomele t - 4 sînt tautologii. 2. Pasul lnduclw. Se demonstrează că dacă dll1 formule care sint tantologti se trag con­ cluzii conform cu regula substttuţiei sau şi modus ponens atunci se ob­ ţin tautologii. Demonstraţia se face prin absurd : se presupune cii r sint tautologii ŞI că C este o concluzie falsii. ceea ce e imposibil prin ur­ mare C este tautologie. 3. Concluzie Orice tezii este tautologie Al doilea exemplu este de demonstraţie după lungimea formulei Demonstr1im tecwema deductie, (v ) in calculul propoziţiilor }''te axiomele urm1itoare în S

SI ' A -+ S2' (A

(B -+ A ) (B -+ C» (A --+ B) -+ (B

-+

-+

8..

-+

«A

--+

B)

--+

(A -+

A)

Demonstrăm : dacă r, A 1- B atunci r 1- A -+ B r este un set (fini t) arbitrar de formule din sistemul propoziţional 5, Iar D o derivare (= şi r finit de formule) a lui B din r U {A } (deri­ varea se face conform cu modus ponens) . D constă din n formule D . . . . . • lJ". deCI are lungimea n. I. Bază .- n = 1 . D are lungimea unei formule. adicii r U 1- B este o formulă Dat fiind D, constrUim o denvare D' (nu neapărat de lungime unu) a lui A -+ B din r. Avînd În vedere că D constii numai dmtr-o formulă rezultă : D = Dn = . . . = = DI = B . Există trei cazuri : 1 ) B este aXiomă, 2 ) B este teoremă i l l r . 3) B este însăşI A . î n continuare construuu D' astfel c ii A --+ B s ă fie ultima formulii care derivii d in r. Cazul 1 . B este axiomă D' este o derivare de lungimea 3 . I n (axiomă prin Ipotez;L) 2 J] --+ (A --+ B) (axiomă prxn SI ) 3 .A --+ B (modus ponens) . Operînd cu axiome (S, - S3) a\ cm evident o dl!lIIf1i1straţu (nu o simplii derivare). C a_lIl 2. lJ este in r. D' \ a fi, de asemenea, de lungime 3 (adică are trei pa�l, trei fonuulc)

{A }

2

3

lJ (dat) il -+ (A --+ J3) (.lxiomă pnn SI) ' � --+ B (m odu � pon!'us) .

C azul 3 B este .� Pnn urlllare A , a t i de lungime 5

-+

B este însăşi A

A -+ ((A --+ A) -+ A) (axiomii pnn SI)' 2 (A --+ ( 4. --+ A ) -+ A}} -+ « A --+ ( -l --+ A» -+ (A -+ A ) 3 (A --+ (A -+ A » --+ ( I -+ A ) (modus ponens la I şi 2) 4 A -+ (.1 --+ A ) (axioml prm SI ) S A --+ 4. (modu� pone ns la 3 ŞI 4).

--+

A 'P deCI

(aXiomă

D'

pnn 52)

Pasul tnduct1V Dac.l teorema deducţiei are loc pentru o denvare lllai nuc ă deCit k atun c I e.l are loc pentru orice derivare de lungimea k . Presupunem cl D a re lungimea k (D : r U {A } 1- B) Vor fi patru cazuri ' 1. B este axiomă. 2 B este În setul r, 3. B este A însuşi, II

4

LJ e�te consecinţa imediată prin modus ponens din douii formule pre­

cedente

Cazurile 1

-3

sînt exact ca in bază, demonstrăm cazul 4. Fie

D I ' D, formule precedente posibilităţi

a) DI

(t

<

k, j

D, -+ B, b) DJ ' D,

<

k),

-+

iar

B

=

Dt.

Avem două

B (altfel B n-ar fi consecinţă


151

INFERENTE BAZATE PE pATRATUL LOGIC

imediati din D" DJ). Luăm indiferent care alternativă, de ex., DJ. Lun­ gimea derivării lui D. din r U {A } este mai mică decît k şi deci :

1. r 1- A

-+

Dt (adică această ipoteza inductivă rezultă din r, _-4 1-

De),

Apoi avem '

2. r 1- A ..... 3. r 1- (A

DJ

-+

(adică r 1- A .....

(D.

(Dt -+ B)) ..... ( (A -+ D.)

-+

-+

B))

In continuare :

(A -+ B))

(axiomă pnn

52),

Folosind teoremele dacă r 1- A şi r 1- A -+ B atunci r 1- B �i, dacă 1- A atunci r 1- A , în raport cu 2 şi 3, .wem

4. r 1- (A

-+

Dt) -+ (A

-+

B)

1

Aceleaşi teoreme le aplicăm la

şi 4

5. r 1- A -+ B. Q. E. D. Teorema este valabilă pentru toate dertvănle din 5. Ea are loc pentru cazul cu cea mai mică lungime şi dacă are loc pentru un caz arbitrar are loc pentru cazul imediat următor, deci, este valabilă pentru toate cazurile. (Hunter G , Metalogzc, 197 1 ) INEL, structură algebrică, constă dintr-o mulţime A Inzestrată cu doua operaţll ., o astfel că satisface condiţiile a) este grup abehan în raport cu operaţIa ., b) cealaltă operaţie este distributlvă la stinga şi la dreapta în raport cu operaţia de grup. Un exemplu de i. In teoria numerelor e�te ( Z, +, x ). în logică, (A , #- , & ) şi (A , = , V> formează i. într­ adevăr, in raport cu (A , #- > şi resp. (A , = > avem grupUll abehe�e La acestea se adaugă distributivitatea celei de a doua operaţii faţă de ope­ raţia de grup, respectiv :

&

&

a) (p (q #- r)) == ((p & q) * (p r) (distributivitate la dreapta) , b) ((q * r) & P) = ( (q & p) #- (r & p)) (distributivitate la stînga) pentru (A , # , & ) şi c) ( p V (q = r) = ((p V q) = (P V r)) dlstributivitate la dreapta) ; d) ( (q � r) V p) = (q V P ) = (r V p) (dlstnbutlVltate la stînga ) pt:ntru ( A , = , V> INFEUEl\Ţ\. 1. Proces de trecere de la premise la concluzie, 2. Relaţie Intre premise şi conclUZie (v. relaţIe In/erenţla/ă).

raţionament (v.)

3

Termen sinonim cu

INJ!'ERE!\ŢE BAZATE PE P.:{TRATlJ L LOGIC, inferenţe care

au

ca

premisă majoră o "relaţie" din pătratul logIC (v ), ca premisă mmoră afirmarea sau negarea uneia din propoziţiile aflate In relaţie, iar conclu­

Zia constă din afirmarea sau negarea (în funcţie de caz) a celeilalte propoziţii. Notăm relaţiile din pătrat astfel ' contrarietate : p/q , contra­ dicţie . p + s, q + r, ordonare : p ..... r, q -+ s, su bcontrarietate , V s Ca urmate, vom avea următoarele scheme de inferenţe :

(1) P /q

p ---

( 2) p/q q

(3) p + s p

(4)

p + s

, fi fi ii ( analog cu (3) - (6) avem schemele cu q + r),

(5) p + s fi (7) p -+ r p r

(6)

p

-�

s

p (8 ) p ..... r r

fi


lNi'IIIA SPBCIBS

152

(analog cn (7), (8) avem scheme cu q (9) r ;-

v

s

-+

s),

(10) r V s r

Schemele pot fi expnmate eliptic, elimiDJnd premisa majoră,

C�

q p ( 1 ) - , (2) --::- etc. p ij De asemenea, schemele pot fi exprimate cu ajutorul predicatelor Qdevărat, fals. Ex ( 1 ) dacă p este contrar cu q şi P este adevărat, atunci q este fals (aceasta deoarece contrariile nu pot fi împreună adevărate), . . . , (3) dacă p exclude s ŞI p este adevArat atunci q este fals, . . . (5) dacă p exclude s şi p este fals atunci s este adevărat (contradictoriile nu pot fi nici împreună adevărate, nici Impreuni false) , . . . , (7) dacă p este supraordonat lui r şi p este adevărat atunci r este adevărat etc. Exemple de mferenţe conform cu schemele date :

(1)

A lE A E

(3)

A + O (5) A A A

..L

O (9)

'

O

1VO

i

O

Ace.,ţe iuferenţe sint legt de raţiona"e (v. A, E, 1, O) . Le putem formula şi IlDlar, de exemplu ' ((A lE) & A) 1- E. Exemple concrete (ehptice) : ( 1) dacă « toţi oamenii sint muritori t este adevărată, atunci «nici un om nu este muritor & este falsă (in virtutea relaţiei de contrarietate dmtre cele două judecăţi), (7) dacă «toţi oamenii sint muritori . este adevărată, atunci «unii oameni sint muritori . este ade\'ărată (în virtutea relaţiei de ordonare) (v. pălratul logic �i A , E, 1, O)

I�FnIA SPECIES, termen latm care desemnează clasele care nu mai pot fi divizate în alte clase. Uneori s-a considerat in mod greşit Cd It,]1/10 este o 1. 8. (v. a"borele lut Porfir) . Probabil se avea în vedere că între om şi indivi&ii umQnI nu se mai află o divi&tune esenţtală (dar esen­ ţtal depinde de criterii). INFINIT ACTUAL, ideal1zare ut1lJzată in matematica clasică ; constl in a concepe mulţimile mfin1te ca .. date simultan", altfel spus, toate

elemeutele mulţimii sint date în acelaşi timp. Hilbert acceptă noţiu­ nea numai ca pe o tdealizare (v.), Brouwer în schimb o respinge, făcînd-o responsabilă de apariţia paradoxelor. După Brouwer, conceptul de i . •• apare ca rezultat al extinderii princiPiului ter/ulut exclus (v.) asupra mulţimilor tnfinite (v.) . Brouwer limitează tertul exclus la mulţimile fi­ nite şi propune în locul mfimtulut actual noţiunea de tnftntt potenţial (v. ) . O mulţime infinită este, după Brouwer, o mulţime în dev'enlre, care se extinde mereu, o mulpme permanent desclusă. L�FL�IT POTENŢIAL, concept care presupune că mulţimile infinite nu pot fi date simultan, ci '>înt concepute în conltnuă cre�tere, î,t devenire. Conceptul de i. p. este pus de către Brouwer la baza matematu:li intul­ ţioniste (v. Intuiţionism loglco-matematic) . 1. p. poate fi raportat ŞI la uwversul fizic în sensul că pot fi concepute s;'steme de thmenstum oncît de mari fără însă a avea sisteme date actual in dimensiuni spaţio­ temporale infinite.


INTEIlPBE'I'ABE

153

INTENSIUNE 1. (In teoria noţiunii) , comprehensiunca (CODţinutul no­ ţiunii) , li. (In teoria termenilor), sensul termenului, 3. (In semantica lui Camap) , entitate care satisface L-echwolenţa (v.) a doi designatori, -G. Proprietate care determină o clasă (extensiUDea) , INTERPRETARE, acordare de semnificaţii obiectelor elementare şi secvenţelor finite de obiecte elementare ale unui sistem formal. Fiecărei categorii de obiecte formale i se asociază printr-o corespondenţă 1lJlÎvoci un domeniu de obiecte (diferit de obiectele sistemului formal) sau se indică funcţia pe care obiectul formal o indeplin�e in 1. in Cal: că e obiect auxiliar. Prin aceasta secvenţele de obiecte formale devin expnsil ale unui limbaj for tty'\lizat (termenii devin simboluri sau CUVInte, iar fonaU!1ele propoziţii sad' 5cheme de propoziţii. Fie formalismul cu obiecte­ le formale : 1. x, y, Z, . • ; 2. F, G, H, . . . ; 3. - , &, V, -+, V, 3 , of .

(,) şi cu secvenţe de forma ' F(x) , F(x, y), . . . G(x), G(x, y), . . .', F(;r) , . . , F(x) & G(x) . . . , F(.oţ) v G(y), . . , F(;» -+ F(y) , . . . , Vie P(x) , . . . • 3 % F{ x) . 1. va consta în faptul că vom asocia categorii de entităţi pentru obiectele neauxiliare şi in consecinţă pentru formule (secvenţe) . 1 . x, y, z, . . . se vor referi la domeniul indivizilor, 2. P, G, H, . . . se vor referi la domeniul proprietăţilor de indivizi ; 3. - se va referi la operaţia logică negaţie

& V -+

v 3

conjuncţie disjuncţie implicaţie cuantificare universală existenţială.

of. (.) vor ajuta la precizarea semnificaţiei secvenţelor. Secvenţele devin scheme de propoziţii : "individul x are proprietatea P" (pentru F(x» • ..nu are loc F(x) " (pentru F(x)), "x are proprietatea F şi Y are proprie­ tatea G" (pentru P( Ie) & G(y)) etc. Aceasta este f. g enerală. ea devine completă dacă se indică pentru fiecare obiect formal ce anume semnI­ ficaţie i se asociază la un moment dat. De ex., pentru x vom alege obiec­ tul Napoleon. pentru F proprietatea general. Secvenţa F(Ie) va deveni in acest caz "General (Napoleon)" adică "Napoleon este general". Putem apoi alege pentru x pe 2, pentru y pe 3 şi pentru P pe < , vom creea propoziţia 2 < 3 care e o exemplificare a schemei de propoziţie x < y, Se observă că 1. lui P(x, y) are in acest caz următoa­ rele Divele : a) x şi y se află in relaţia P, b) < (x, y), c) < (2, 3). Se observă, de asemenea, că pentru 1. este nevoIe de un metalimbaj mult mai larg decit limbajul destinat să descrie sistemul formal ca sistem formal. Corespondenţele vor fi stabilite prin reguli de corespondenţă care vor fi numite şi ..reguli de interpretare" sau "reguli semantice de desemnare" (de referinţll.). Categoriile de entităţi care pot fi asociate in genere sint : 1) domeniu de obiecte oarecare, 2) domeniu de operaţii. 3) domeniu de proprietăţi. Lingvistic aceasta inseamnă că obiectele for­ male devin nume de obiecte, expresii de operaţii. expresii de proprietăţi, iar formulele devin expresii propoziţionale. Expresiile termeni pot de­ semna fie obiecte (simple) fie operaţii asupra obiectelor. O i. este core&l4 dacă fiecare secvenţă a sistemului formal devine termen sau propoziţie (sau, mai abstract, schemă de termeni şi resp. de propo-


154

l�jTERPRETAREA MATRICEALA A MODALlT"-TILOR

ziţiil . In sensul concret cel mai tare o 1. transformă fiecare formulă a sistemului formal in propoziţie adevărată sau falsă sau realizabilă. In raport cn axiomele sistemului formal o 1. este corectă dacă toate axiomele se transformă in propoziţii adevărate (desigur cu condiţia că sistemul formal axiomatic satisface toate proprietăţile formale cerute, în special necontradic/.a. Orice 1. completă, imparte formulele sistemului în cel pu/.n trei clase : formule care devin propoziţii adevărate (teze) , formule care devin propoziţii false şi formule care devin propoziţi , des­ ,;hise (v. ) O 1. generală care transformă axiomele sistemului În expresii universal adevărate este un model general al sistemului (v. model) . INTERPRETAREA MATRICEALĂ A I\IODALITĂŢILOR. Sistemele mo­ dale pot fi interpretate prin matrice, adică prin mulţimi de valori re­ prezentate curic. Au fost utilizate matrice pentru demonstrarea propril:­ tdţilor de consistenţă şi independenţă. De aci nu se poate conchide că sistemele sînt polivalente Hilbert şi Ackermann utilizează matricea n­ valentă pentnl a demonstra independenţa sistemului propoziţion al bi­ valent Matricele au următoarele caracteristici : (a) hecare axiomd. a Sl�temulw în chestiune va lua una din valorile indicate independent de valoarea variabilelor, (b) dacă o regulă de transformare a sistemului este aplicată la o formulă sau la formule care iau numai valoarea (va­ lorile) mdicată (indicate) atunci formula rezultantă va lua numai valoarea desemnată (valorile desemnate) , (c) axioma caracteristică noului sistem va lua o valoare nedesemnată pentru valonle date variabIlelor (Hughes & Cresswell An Introduclton to modal logic) Există matrice f,nite şi ,n/zmte, apoi matrice caracteristICe (satisfac numai sistemul respectiv) ŞI matrica necaracterlstleC. Astfel, pentru sistemele 5" 5" 55, 58 sint date matrice tetravalente care le realizeazd., pentru sIstemul S. există matrice octavalente. S-a arătat cl nicI unul dm sistemele 5 , - 58 şi în general sistemele de " tIp Lewis" nu arc o matnce caractenstică f!Uită Orice �istem este caracteruat de o algehră booleană infinită (M, 5, - , .. , )( > unde M = mulţimea elementelor, S = parte strictă a lui M (nev ,dă) , iar re�tul. operaţii - (complementarea), x (produsul), .. (corespunde lui O ) CU ajutorul matricelor se demonstrează nu numai proprietăţil e sistemelor, ci se rezolvă (in unele cazuri ?) problema deciziei Pentru sIstemul Sf se pot utiliza matricele următoare cu valorile { 1 . 2, 3, 4} şi " alorile pentru formule demonstrate { l , 2} P 1 2

3

4

-p 4

3 2 1

P l OP 2

3 4

1 2 1 3

" 1 2

3 4

1 2 3 4 1 2 :3 4 2 2 4 4 3 4 3 4 4 4 4 4

în conformitate cu definiţiile pentru O , V, -< , se obţin noi matrice. Once formulă demonstrabilă are o valoare indicată (1 sau 2), iar opusa are valorile 3 sau 4, ceea ce demonstrează că sistemul este necontra­ dictoriu. Se poate utiliza şi matricea bivalentă (O, 1) dacă ţinem seama de corelaţiile

O P = 1' O 0=0 0 1 = 1


155

INTRAZITIVITATE

Iată şi matrice pentru sistemul S I'

p I 2 3 4

" 1 2 3 4

-p I Op 4 3 2 I

I

2

2 2 4

1 I

2 3 4

2 2 2 4 4

3 3 4 3 4

4 4 4 4 4

Diferenţa faţă de matricele anterioare apare in cazul posibilităţii. Pentru sistemul Sa se folosesc matrice cu opt valori. Cu ajutorul a1gebrelor boo­ leene se demonstrează anumite proprietăţi ale sistemelor. Mc Kinsc" introduce in acest scop unele noţiuni noi : 1) extindere a nnui sistem 5, 2) extindere veritabilă a unui sistem S. Dacă avem un sistem 5' ast­ fel că orice propoziţie demonstrabilă in 5 este demonstrabilă în 5', atuncI 5' este o ext,ndere a lui S. Dacă cele două clase de propoziţii nu sint Identice atunci S' reprezintă o extindere veritabilă Un sistem necontra­ dictoriu este ccmplet în sens strict dacă el nu posedă o extindere ven­ tabilă necontradictorie. Sistemele incomplete au cel puţin o extindere completă. El a demonstrat că : a) S, şi deci 56, ca extindere a lui S" posedă numai o extindere completă, b) 52 (şi deCI SI) posedă infinit de multe extinderi complete. S. C. Scorggs a demonstrat că S. are numai ex­ tinderi veritabile (cn regulile substituţiei şi modus ponens) cn o matrice ca­ racteristică finită. Pentrn S. a demonstrat că există infinit de multe ex­ tinderi finite şi că calculul clasic al propoziţiilor este o extindere com­ pIetii a lui 5•. Mc Kinsey şi A. Tarski au arătat că 5, este izomorf cu calculul intuiţionist al lui Heyting. Ei au formulat trei funcţii de tra­ ducere a unui sistem in altul (5. în sistemul lui Heyting şi reciproc) . S. şi calculul clasic al propoziţiilor sint, de asemenea, reciproc traductibile (Hallden, Dummatt, Lemmon). Pentru sistemele de tip Ackermann nu s-au găsit matrice caracteristice (v. szsteme modale t,p LefJJ1, s) . INTERSECŢIE, operaţia cu mulţimi notată de regulă cn n şi definItă x n Y

==

{le I le

E X&

le E Y}

Aceasta inseamna că i. X n Y este formată din elementele care ţin atit lui X cît ŞI lUI Y. PropIletăţi1e 1.

X n Y == Y n X (comutativltate) X n X == X (idempotentă) (X n Y) n Z == X n (Y n Z) (asociativitate) . (v.) faţă de reuniune ( u ) . X n ( Y u Z)

==

1.

este

apar­

dzstrlbutliJi

(X n Y) u (X n Z)

In raport cu ambele are loc legea absorbţiei X n (X u Z) == X ŞI legea lui de Morgon ' X n Y == X U Y. Exemplu de mulţime obţinută prin i. ..mulţimea studenţilor-sportivi" . Un caz special de 1. este 1. infinită O()

scrisă

n Xj

.=1

INTRANZITIVITATE (presc. Intrans), proprietate formală a relaţiilor obţinntă prin negarea totală a tranzitivităţii. Se defineşte astfel '

Intrans (R)

=

V

le Y z Trans (R)


15i

lNTUlTlONlSM LOGICO-MATEMATIC

Astfel relaţia "x este tatăl lui y" (simb. T( x, y» .este intranzitiv ă , d1ci nu eXistă x, y, z astfel ca din T(x , y) şi T(", .:) să conchidem T(x, z) 1�1...QlŢIONISIi LOGICO-MATBIIATIt:. concepţie filosoficl asupra logicii şi matematicii elaborată, ia principal, de matematicienii olandezi L.R. J. Brouwer şi A. Heyti.ng in dispută cu logicismul (v.) şi fOf"ma­ lismul (v.). O variantă a intuiţionismului numită constructwJ.Sm (v.) a fost elaborată de A. A. Markov (U.R.S.S.). Problema de la care s-a pornit a fost aceea in legătură cu rolul ,njinitulu, actual (concept de bază al matematicii clasice) in apariţia paradoxelor teoriei mulţimilor. Poincare a sugerat că tocmai conceptul de infinit actual (incheiat, d at simultan) este responsabil de apariţia acestor paradoxe, Apele in problema infi­ wtului fuseseră deja tulburate de Kant in Cntica raţiuni, pure, dar ideile sint schiţate chiar în Fiz,ca l ui Aristotel. In justificarea antitezei la prIma antinomie Kant scria : "un agregat infinit de lucruri reale nu poate fi considerat ca un tot dat, deci nici ca dat în acelaşi timP". GaU55, Kronecker ş a. au respins Ideea infin itul uI actual. Brouwer a pornit şi el de la Kant în mai mu l te puncte ale concepţiei sale, chiar dacă în anumite privinţe se îndepărtează de acesta. 1 ) Intuiţia timpului este "fenomenul fundamental al Intelectului uman" din ea poate fi derivată intreaga m atematică. 2) Matematica constă din judecăţi sin­ teti ce a prim. 3) Procesele matem atice constau din �construcţii » (un fel de experimente mentale) . Intuiţia constă În conceperea clară a con­ strucţhlor intelectuale. 4) Matematica nn are un conţinut ind ependent de gindire şi este "independentă de experienţă . 5) Existenţa obiec­ tului matematic este admisă dacă este dat un procedeu care ne poate duce in princiPiu (abstracţie f ăcî nd de limitele practice in legătură cu lungimea procesulw efectuat) la construcţia efectivă (intnibilă) a obiec­ tului respectiv. 6) Infinitul este potenţial (v. mJinit potenţial) nu ac­ tual Infinitul actual este rezultatul extinderii principiului terţului exclus asupra mulţimilor infinite. Aceasta este şi cauza apariţiei paradoxelor. 7) Matematica are de a face cu mflnitul, dar obiectul său care este con­ strucţia matematică intelectuală exclude infinitul actual şi adJuite numai infinitul în devenire (potenţial) . 8) Matematica intui ţio n istă cere o lo­ gIcă proprie, logica mtuiţlomstă (v. ) care este o logică inJtnilistă, fără terţul exclus, fără dubla negaţie şi fără raţionamentul pnn absurd. A­ ceastă logică a fost formulată de HeytJng. 9) Enunţurile universale sint demonstrate in unele cazuri cind se constată că enunţul eXistenţial co­ respunzător implică o contradicţIe ŞI deci trebUIe respins . "

"

"

13x ( F x & lG x) -- ' V x l (F ,ţ' & lG x)

10) �{ atematica intuiţionistă admite numai metode care si n t in acord cu principiile deja amintite, ele sînt numite "metode constructive" (sau mtuiţioniste) . Pe Ungă aceste idei este util, pentru înţelegerea intui­ ţlOnismului, să reţinem că logIca sa cere o altă interpretare pe ntru sim­ boluri pentru a o distinge de logica clasiCă, altfel În aceeaşi interpretare logIca clasică se poate deduce din axiomele lui Heyting. Brouwer a echi­ valat respingerea terţului exclus cu respingerea rezolvabilităţii oricărei probleme matematice. Absolutizind metoda con structivi st ă intui ţ ion iştii au ajuns la o concepţie idealistă asupra matematicii şi logicii. Matema­ tica .. mtuiţionistă" nu depinde insă în mod logic de acest fun damen t idealist.


157

IZOMORFISM

1�\'EKSAREA RELAŢIEI, sclumbarea

termenilor ŞI a sensului relaţi ei (în caz că e contrară) . Ex. · trecerea de la x > y la y < x este i. r., y < x fiind inversata lui :e > y. tntr e relaţia directă şi inversata ei există î ntotde au na raport de echivalenţă Ex x > y == y < x. Uneori se confundă ,.elaţia ,nversatd cu conversa , ela(u, (v.) , ceea ce evident este o eroare. INVBRSIUNE, inferentă bazată pe schimbarea callt,tăţ,i j udecăţii ŞI a calităţii termenilor sau şi c6pulei. Se deosebesc două feluri de 1. ale jude­ căţilor A , E, 1. O : 1) parf,ală (presupune schimbarea calităţii subiec­ tului şi a c6pulei) , 2) totală (presupune schimbarea calităţii termenilor) . Legi de 1. parţială : (1) 1'S - P => US + P, (2) TS + P => US - P Legi de 1. totală : (3) TS - P => US + P (4) TS + P => US + P. Jude­ căţile particulare nu dau inferenţe valide prin i. 1. totale se obţin prin obversiunea f. par ţiale . Ca şi contrapoziţia trecerea de la o judecată la Inversa ei parcur ge Ull lanţ de judecăţi : TS - P, TS + f> (obversiune) , 1 P -j- 5 (conve rsiune), Ti' - 5 (obverslune) , US - P (coU\ ersiune) , Os + P (obversiune), US + P (dubla negaţie) . IPOTEZ \, 1) presupu nere din care urmează să deducem anumIte con­ cluzii (ele 1. raţionamentului prin absurd), 2) presupunere (sau ansamblu de presu p uneri) prin care ne propunem să explicăm un fapt nou (a cărui exphcaţl e reală n-o cunoaştem incă) sau care asertează (fără a demonstra) existenţa unui fapt (ex. " păsJ.rile se orientează pe baza magnetismului glo­ bului pJ.mintesc", "pămîntul a luat naştere prm despn ndere din soare", .. există viaţă in sistemul planetar cel mai apropiat ") . în legătură Cu lmul ŞI acelaşi fapt, neexplicat incă, pot fi formulate mal multe 1. Există o serie de condiţii logice pe care 1. trebuie să le satisfacă a) necontra­ dicţia sistemului de concluzii care decu rg din ea, b) dacă e iu acord cu principiile ştiinţei (şi nu este o alternativă la astfel de principu) trebUIe să fie iu acord şi cu concluziile care decurg din ele, c) dacă i. îşi proplme explicarea unor fapte ea trebuie să fie competitiv;" (adică să exphce cel puţin la fel de bine faptele ca şi 1. concurente) . d) dacă asertează eXIs­ tenţa unui fapt nou trebuie să existe adevăruri deja demonstrate care s-o confinne, e) să llU existe adevăruri care s-o infirme. lREFLEXIVITATE (presc. Iref) , termen derivat prin negaţIa tare a re­ f1exivităţii, desemnind faptul că proprietatea Ref(R) nu are loc pentru nici uu caz. Se defineşte astfel ' Iref(R) = 3x(x R t'). Astfel, relaţia < este ireflexivă căci Vx(:e < :el. I�OlIORFISM (gr. isos = egal, morphe = formă, aceeaşi formă), relaţia complexl& 1iifre două obi ec te , mulţim i , sisteme c�re constă in a ayea aceeaşI formă (indiferent de natura entităţilor puse in corespondenţă). Este convenab il să privim ob iectele ca sistem şi să definim 1. prin cores­ pondenţa binnivocă (v.) a elementelor intre ele, a operaţiilor intre ele , a propnetăţilor (însuşiri şi relaţii) intre ele. Acesta este 1. complet (per­ fect) . 1. parţial e relativ la un tip de structură. De ex. un SIstem formal (v.) şi reprezentarea sa sint perfect izomorfe. (Z, +) are aceeaşi structură algebrICă cu (P, = ) şi ( P, ;lo ), und e (Z, +) este mulţimea numerelor întregi inzest rati cu operaţia de adunare, (P. = ) este mulţime a func­ ţiilor de adevăr Înzestrată cu oper aţia echivalenţă, iar (P, ;lo) este mul­

ţimea funcţiilor de adevăr Inzestrată cu operaţia de excludere (nonechiva-


IZOMORFISM

1 58

lenţa). tn plus <P, =) şi P, ;lo) sint considerate în cadrul logicii biva­ lente. Aceste trei sisteme au aceeaşi structură, anume structura de grup (v.). tn schimb <Z, + , x ) şi <P, =) sint izomorfe in ce priveşte struc­ tura de grup, dar nu cea de inel. Noţiunea de f. definită mai sus este cea mai tare, căci ea impnne corespondenţa sub trei aspecte : elemente, operaţii şi proprietăţi. Cum structura poate fi definită mai larg sau mai restrins (v. structuri matemat"e) putem să ne limităm la ideea el SIS­ temele sint izomorfe dacă ele satisfac aceeaşi structură (şi structura Sf' presupune a fi definită in abstract, independent de natura sistemelor) Dacă in exemplul de mai sus limităm mulţimea P la mulţimea valorilor logice (v, 1) structura va fi realizată şi vom avea 1. in acest ultim sens, dar nu in sensul iniţial. căci nu putem stabih corespondenţă biuUlvoc�l între Z şi ( v, 1). în fnncţie de necesităţi vom aplica o noţiune sau alta De ex , uneori în modelarea fizici (v. model) este necesar să ţinem seama de numărul elementelor (altfel spus, de echivalenţa mulţimllor de elemen· te), alteori putem face abstracţie de aceasta (\" şi Omomoljzsm).


Î hlPĂTRIREA TERMENILOR, eroare logică oazată pe pohsemantismul termenilor. Un silogism simpl u trebuie să aibă trei şi numai trei termeDl, or dacă ' termenul mediu este luat intr-un înţeles in prima premisă şi in alt inţeles în a doua premisă silogismul are patru termeni (de aci 1. t.). Exemplu Adevărul este o proprietate a judecăţii Propoziţia ,,2 + 3 = 5" este un adevăr Propoziţl<l

..

2 ,- 3

-

5"

e�tc o proprietate

a

judec:lţii

ACI termenul adevăr este luat in pnma propoZIţie aşa cum se arată in "enl.ul ,le proprietate a Judecăţii, dar in a doua propozIţie este luat in sensul de Judecata adevărată, în ace!>t fel I>e obţme o concluzie eronată. INTREBARE COMPLE XĂ, eroare logică de prezumţle Se hazează pe presupunerea că ceva este adevărat sau că ceva este fals şi presupune deJa un anumit răspuns, iar prin răspun�ul direct se a&ertează mai mult decit o smgură propoziţie. 1. e. are caracter retoric şi este frecvent utili­ zată în dezbaterile publice. Exemple 1) " Trebuie oare să fure din mo­ ment ce nu i se oferă de lucru ' ' ', 2) " Este cmeva perfect ' " 3) "LocUleşti la Braşov sau la Bucureşti ? " Prima întrebare presupune că " nu trebuie să fure" şi deCI că "trebuie pedepsit" , a doua întrebare presupune c ă "Dlmeni n u este perfect " ş i că deci " vinovatul treb uie scuzat (cel puţin în parte) " , a treia intrebare presupune că cel întrebat locuieşte la Bucureşti sau la Braşov. Dacă se dă răspunsul "Locuiesc Ia Sibiu" aceasta implică şi negarea prezumţiei

INTELEGERE LOGICĂ, proces de î nţelegere a expresiilor şi, resp , a Idei­ lor care constă in a) traducerea lor in lunbajul experienţei personale (resp exprimarea ideilor in acest limbaJ ) , b) definirea termenilor şi trans­ formarea propoziţiilor in propoziţii sinonime sau echivalente logic, c) operarea formală corectă cu expresiile (resp Ideile) , d) aplicarea expre­ siilor la domeniul de semnificaţie (indicarea denotatului sau a elemen­ telor extensiunii), în genere la realitate. Aceasta este 1. 1. completă. Existd. două tipuri de abatere de la inţelegerea completă ; 1. capacitatea de a opera fOImal cu expresiile fără a le putea aplica la realitate (Ia cazuri particulare etc.) şi 2. capacitatea de a ntiliza in aphcaţii expresiile (apli­ carea lor corectă, adesea prin simplă exemplificare) fără a le putea defini şi a opera formal corect cu ele. 1. 1. i se asociază impresia psihică de in· ţelegere dar Inţelegerea psihică (Impresia) nu este un criteriu ai i. i. Core­ latul 1. 1. este transmiterea logică pe inţeles (comunicarea ,nteligibilti) Acea. se realizează cînd ne sprijintnl pe limbajul experienţei personale al celui ce receptează şi se verifică prin probarea pe ci nd a cri1.·iilor 1.


J JL'DECATA 1. Formă logică constînd într-o aarmare sau o negare. 2. Informaţie transmisă de o propoziţie, altfel spus, sensul propoziţiei. In logica tradiţională, j. este una dm categoriile de bază alături de' .".ţiune (v.) şi raţionament (v.), J. este o categorie conceptuală (ţine de IimlJajul abstracţiilor). In logica modernA se preferă categoria semiotică Propozil,e. J. este actul elementar de gindire, altfel spus odată cu j. începe gîndirea propriu-zisă Expre�ii1e care nu redau o J. nu fac decît cel mult să rea­ mintească d_ obiecte. să trimită la obiecte, să ne îndrepte atentIa spre anumite obiecte, ele sint "gînduri incomplete". JUDECATĂ DE MODALITATE, judecată care are una din formele ,,1tste posibil p", " Este necesar p", "Este imposibil p", . . Este contingent P " sau respectiv formele corespnnzătoare cu negaţia ("Nu este poSIbil P " .. Este posibil non-p") etc. Părţile jndecăţii modale sint modwtd (T) şi dictitllul (v.). Judecata modală se poate raporta la stări de fapt şi atunci forma ei exactă este "Este M ca p" (unde M este modalitatea) iar p exprimă starea de fapt sau se raportează la o propoziţl.e p ca in forma "Este posibil p". Propoziţia "Este posibil ca mîine să plouă" se referă la " starea de fapt să Ploua, dar propoziţia ..Este posibil miine va ploua este o prescnrtare pentru .. Este posibil să fie adevărată propoziţia "lI1Î1De va " ploua (v. şi Pătratul modalelor). JUDECATA PARTICULAR AFIRMATIVĂ, jndecată de forma unu S sCnl P, simbolizată prin 1 şi avind schema US - P. Se disbnge de judecata particular exclusivă care are forma numaI unii S stnt P. în raport cu aceasta j este ne exclusivă, "unii " insemnind cel puţin un, mai mulţi. sau poate toţi. Ex. "Unii oameni sint muritori" (particu­ lar neexclusivă) . "numai unii stlldenţi sint sportiV)" (particular exclusivă) . Orice Jndecată parttcular exclusivă poate fi exprimată printr-o Judecată particular neexcluslvă, dar in operaţiile cu judeclţtle neexclusive trebuie să se ţină seama de această posibilitate. Dacă notăm judecata excl1l9ivă cu j* atunci relaţia dintre ele va fi j" => 1 (nn şi reciproca). Relaţia lui j" cu A este de exc1udere, iar cu O este 1* => O. O la rindul său poate fi exclusivă O". , ,]. p. a." se extinde la J. de relaţie, compuse etc . JUDECATA PARTICULAR NEGATIVĂ, judecată de forma unii S ,w sint P:simbolizată cu O şi avind schema US + P. Se deosebeşte de jude­ cata exclusivă (numai unii S nu sint Pl. Ex. "unii oameni nu sînt spor­ tivi", "unii oameni nu sint marţiew"_ ( V. Judecată part"ular afirmativă) . JUDECATĂ UNIVERSAL AFIRMATIVĂ, judecată de forma toţi S .sint P simbolizată cu litera A şi avind schema TS - P. Ex. "Toate mamiferele sînt animale " Se mai poate exprima prin "Orice S este P" sau "Fiecare 5 este P". . . ]. u. a." se extinde la ]. de relaţle, compnse ttc. JUDECATĂ UNIVERSAL NEGATIVĂ, judecată de forma nici un S nu e P simbolizată prin litera E şi avind schema TS + P (ceea ce SI' citeşte "toţi S nu sint P"). Ex. "Nici un peşte nu e mamifer". (v. �i J. u. a.)


JUDECA'l'1

1 11 1

ANALITICE

JUDEC.(TI ANALITICE, t�rmen lansat de Kant în Crtt�ca f'aţiunu pUf'e pr1 n distincţia intre j. a. şi judecăţile sintetice. El scrie : " In toate Jude­

căţile in care este gîndit raportul dintre un subiect şi un predicat (nu consider decît judecăţile afirmative, căci la cele negative aplicarea e�te apoi uşoară) , acest raport este posibil in două feluri. Sau predicatu l B aparţine subiectului A ca fiind ceva ce e cuprins (implicit) in acest con­ cept, sau B se găseşte cu totul in afara conceptului A, deşi stă în legătură (.u el. î n cazul dintii numesc judecata analitică, în celălalt sintetică. Jude­ căţile analitice (afirmative) sînt deci acelea în care legătura predicatuluI cu ,subiectul est e gîndItă p nn identitate Iar acela in care legătura este gîndită f{lră identitate trebUIe sJ. fie numite Judecăţi smtetice". Pe cele anahtice le mal numeşte ŞI exPlicatwr, iar pe cele sintetice exlenswe î n j. 3. pre­ dicatul este scos prin analizâ ( = d esco mpun ere) din conceptul suLic,> tu lui, în cele sintetice el este adăugat (sintetizat) la conceptul subIectului. De ex. " toate corpurile au întindere" este o Judec aU. analitică, în timp " ce, " toate corpurile sînt grele este o judecată sint etIc ă. ]udecăţil<. de experien ţă sînt smtetIce, J ude c a t a , ,7 + 5 = 1 2" e�te �mtehcJ. J. li • .,,' Înb'meiază pe prlllclpiul necolltradlcţi{'l, îu tanp ce, Jurlecăţile �m tetll!:

se hazează pe intuiţie Kant a deschis prin aceasta pr ob le m a Judedlţi!or "analitic adcvărate" şi a judecăţilor " sintetic adevărate " , de aci nenumi'!­ rat(! complicaţii ulterioare. I n plus Kant a distins intre Judecăţile sin te t i ce a pl ion şi cele a posterion. Primele conţin în sine necesitate, celelalte nu Privind lucrurile retrospectiv distincţia kantlană analitic-sintetic se re­ găs('şte la Descartes (în Regulae) sub denumirea de " conjuncţii nece�an:" şi " conJuncţii contingente". ConjuncţIa este necesară cînd un concept este "lI1tim implicat î n alt concept", iar contingentă este "conjuncţia acelora care lIU sînt legate printr-o re laţ ie msepar abilă". O corespondenţă perfectă nu există totuşi căci la Descartes " necesarul cuprind e şi sinteticul a priOri al lUI Kant, cel puţin cind exemplifică. Dar ŞI la Descartes lu­ crurile stau mai complicat, căCI el distinge mal întîi ideile simple ŞI cele compusp ( = conjuIlcţii), Iar acestea se su b d h'id primele în trei, ultimele " În două ,'şa cum am văzut ApOI distincţia lui Intre "idei născute şi cele dobindite nu este de neglijat în disputa deschisă de Kant LeibnIZ msuşi " " pnn " adevărunle de fapt şi " adevărurile de raţiune se reintegre.lză pe li nia a prton - a posterlOrt ŞI i mplici t anahtlc-sl"tetzc. Leibniz corelează

,uIe\ ::irurile de raţlUnl' cu pr m clp lUl identităţii şi pnncipiul necol1tradic­ ţiei. Kant va face �i el din principiul necontradicţiei raţiune sufidentă pentru j. 8. Bolzano va relua termenii, dar din altă perspectivă . o pro­ poziţie este analitică relativ la unul dm constltuenţii săi substitUibil cu orice obiect (real) dm clasa respectivă. Prin substituţie ea poate deveni " " ulllversal adevărată" sau "universal falsă sau "parţial adevăr ată, par­ " ţial falsă Propoziţia este analitică în primele două cazuri şi sintetică In " ultimele. De ex. propoziţia " Omul CaJus este muritor poate fi substi­ " tuită faFl de constituentul "Calus şi se obţin propoziţii ca "Omul Titus este muritor " , "Omul Iulius este muritor" etc. Propoziţia " Un om lUora­ hceşte răn nu merită preţuire" este analitică deoarece la orice �ubsti­ tuţie pentru "om" se obţin numai propoziţii adevărate, dar " Un triunghi conţine două unghiuri drepte " este sintetică. EI credea că inţelesul său este apropiat de Kant, dar rămin de discutat două puncte a) noţiunea de

substituţie şi b)

includerea

Bolzano mai deosebise unor simple accidente.

în analitice a propoziţiilor universal false.

anaht"ul EI admite

in virtutea legilor naturii

ŞI În virtutea

că anumite propnetăţl decurg din �truc­

tma propoziţiIlor, dar în ansamblu concepţIa sa e�te

mat degrabJ. nebuloasă.


JUDECATI DE CALITATE

162

Prege distinge adevărurile analitice de cele sintetice prin aceea cl cele analitice se bazează doar pe legi logice şi pe definiţii, in timp ce propozi­ ţiile smtetice apelează la premise care uu ţin de logică. Pentru el con­ ceptul de logică este mult mai larg decît pentru Kant. Wittgen9teiu (şi după el Russell) leagă ideea de anal,t" de cea de tautologie : " Propoziţiile " logicii, prin urmare, nu spuu Ulmic (ele sînt propoziţii analitice) . Poin­ care ,-a distinge anali tic1I l szlogzstic, de cel I'ecurent aplicat in matematică. Camap reia termenii de adevăr necesar" (Leibniz) , "adevăr analitic" " (Kaut), " adevăr lOgIC formal" şi propune ca explicant " L-Adevărul " (v.) L-Adevărut se defineşte în raport cu regulile semantice ale sistemulUI şi cu conceptul descriere de stare. Analiticul este totuşi mai larg decît logic adevăratwl. Ajdukiewicz procedeazl la relativizarea lingvistică a termenilor. Pl!ntrn A. J. Ayer : "O propoziţie este analitică dacă validitatea ei depinde numai de definiţiile Simbolurilor pe care le conţine, ŞI este sintetică dacă validitatea ei este determinată de faptul de experienţă". Jakko Hintikka distinge patru clase de definiţii, pnmele trei cuprinzînd mai multe cazuri astfd că avem 4 -!- 2 + 5 + I = 12 sensuri. Noi ne-am oprit la un singur sens care este utilizat destul de curent "adev ărat prin definiţie".

J{. UEC \ŢI Dl-: Ci\LITATE, judeCăţile aftrmative sau negative. Judecăţile pot avea dou ă feluri de calităţi (in logica propoziţiilor cognitive), afirm a 11I'â sau mgatwă. Ex " tOţi studenţii sint sportivi" este judecată afirmativă,

"unii studenţi nn sint sportivi" este Judecată negativă î n clasificarea Jude­ căţilor criteriul calităţii se îmbină de obicei cu criteriul cantităţii (\". A .

L, 1, O).

Judecăţile compuse se pot afla În unnătoarele situaţii - eLe �int negative cind negaţia se află pe În treaga Judecată, dar este posibil să aibă numai membri negativi fără ca Judecata în ansamblu să fie negativă. De ex. , , )Ou este adevărat că dacă pLouă se produc inundaţii" este nega­ tiyă, în timp ce " dacă plouă nu se produc inundaţii " nu este negatiyă ci are doar o componentă negativ:t.

Jl UEC.:\ŢI GENERICE, Judecăţi în care se expnmă o relaţie Între spee te (v ) şi gen (v.) sau indwzd (v.) şi gen. Acestea sînt J udecăţi de matrice ::, e"te P. Ele sint numite uneori "judecăţi de predlcaţie" sau " Judecăţi atributive" sau "j udecăţi simple categorice " . Termenul generic lUdică legătura cu genul �i limitează astfel înţelesul Ceilalţi termeni au neajun­ surile următoare - predicaţie vine de la ceea ce se predicii despre ceva ori aceasta poate fi \ alabil pentru orice altfel de jud ecat:i . - atnbut poate fi extins dmcolo de schemele de forma 5 e�tc P , - simPlII categoncă poate fi ŞI o Judecată de relaţie (cînd e ne-ipotetică)

JUDEC,\ŢI IPOTETIC";, judecăţI de forma ducă p atunct q. Ex.. " dacă plouă atunci i m i iau umbrela". "dacă un ammal este mamifer atuncI el este \ ertebrat". O j. i. reflectă o relaţie de Implicaţie şi se exprimă intr-o propoziţie Imphcativă (v. relaţii de ,mpltcaţie) .


L

L-.I\DEVj\1l (rte�p L-ADEVĂnAT) . prescurtare pentru adevărul logIc. Tennen introdus de R . Carnap pentru a desemna adevărul (propoziţiilor) care poate fi stabilit "numaI pe baza regulilor semantice ale sistemului '. Aceasta este condiţia generală a L-A. căci definiţia se dă în raport cu fiecare sistem semantic în parte. De ex., pentru sistemul SI (v. descriere de stare) definiţia este următoarea : O propoziţie PI este adevărată (in S,) dacă şi numai dacă ea are loc În orice descrtere de stare. De ex., "Pa v y Pa . este 1. a. deoarece are loc in orice descriere de stare Adevărul ace�tel expresii poate fi stabilit numai pe baza regulilor semantice ale SistemuluI S, . 1.-,\ . este luat Ca explicant pentru analitic adevărat sau necesar ade­ vărat. el este corelativ l'-Adevărulul (v.) L.I\TICE, structură de ordine (A, 1.. T ) definit:! de axiomele : \1)

(2)

(3) (4) (5) (6)

a .1 (b 1. e) = (a .L b) .L e a Ţ \b Ţ e) = (a Ţ b) Ţ C a 1.b = b 1. a aŢ b = bŢ a a 1. (a T b) = a CI T (a .1 b) - a (unde .L ŞI T sînt două operaţii).

Propnetăţl .

7) Operaţiile .L. T sînt duale (v. dualttate) ; (8) Operaţiile 1. , Ţ sÎllt idempotente (v. idempotentă) . (9) L. este ordonată, adlC':! existd o relaţie -< a -< b = a 1. b = a a -< b = a Ţ b = b ( 1 0) Dacă a T b = b .l. a atunc I a = b. în logică (..4 , y, -:: ) este o 1. Relaţii! de ordine este --+. într-ade, Olr, se poate defini după cum �e vede la (9) .

-+ q = df

ea

= df (P & �) :; p p (P Y q) == q LAWS OI� THOUGHT (engl. Legile gindiriJ). denumire prescurt.ltă a principalei opere de "logică a lui G. Boole, puM.ieată in 1854. D('zvolt� idetle de bază schiţate in The mathematlcal anahsysls of logIC (1847) ŞI pune bazele logicii simbolice in fonn a algebrei logice (v.) B oole este inte­ meietorul logicii simbolice. Logica sa este construită după modelul algebrei elementare, utilizind SImbolismul şi metoda alg<>ritmică. . L-ECHIVALENŢĂ (resp. L-ECHIVALENT), prescurtare de la echiva­ un (pentru mmătoare lenţă logică, introdusă de R. Carnap prin definiţia sIstem dat �) . A i este I.-e. cu Al dacă şi numai d ae:i A l :; A 1 e'te L-

P --+ q


I.EGl.

Hil

LOGICA

adevărat (in S ) Dependeuţa d e sistem a acestUi concept rezultă um depen ­ denţa de Sistem a L-Adevărulux (v ) . Astfel in conformitate cu exphcaţla dată pentru S că om şi am mal raţional înseamnă acelaşi lucru rezultă că : "'� (Hx E A Rx) este o propoziţie L -adevărata ŞI prin urmare echi­ valenţa ( E ) este aCI o L-e. Dimpotrivă dacă echivalenţă este F - adevă­ rată (v ) ea e"te F-echivalenţă LEGE LOGIC\. 1 . Relaţie logic necesară, 2. Puncţle logic.! adevărată. l1ulependent de valoarea argumeutelor, 3. Propoziţie logică uuiversal adevărată I.EGEA ASER1"IU�IJ, lege a TFA . P --+ « P --+ q --+ q)) I,EGE.<\ C OlI UT.\ R I J , (p --+ (q --+ r)) --+ ( q --+ (p --+ r)) . LEGEA DUBLEI l\EGAŢII, legea TFA. Are treI forme

l)P --+ p , 2) P p; 3) ;E p. Legea 2) este valabilă în loc,ca xntulţwmstJ (v ) dar 1) şi :' ) nu . Se poate formula şi semantic dacă este fals că este fals --+

p atunc I este adevărat p. LEbEA EXPORTĂRIJ, lege a TFA ( P & q --+ r) --+ (p -+ (q --+ r) ) Exem­ plu dacă tOţI oamenii sint muriton ŞI Socrate e om Implică Socrate e muntor, atunc, dacă toţi oamemi sint munton, Socrate e om lmphcă Socra­ te e muntor. U�(iEA UIPORTĂRII, lege a 'eFA

(P --+ (q --+ r)) --+ ( P & q --+ r) Exemplu ' Dacă toate maullferele Slllt vertebrate implică faptul că dacă felinele sînt mamlfere, ele sînt vertebrate atunc, dacă toate lIlalllifLrele sînt vertebrate şi felinele sint maUlifere, feIinele sint vertebrate. LEGEA RAPORTULUI IN\'ERS, lege formulată în logica de la Port-Royal În legătură cu sfera SI couţlnutul noţiunilor aflate în raport de subordonare (exact, relaţia individ - �pecie - gen) cu cît sfera creşte cu atît contmutul scade ŞI cu cît sfera scade cu atît conţmutul creşte. Această lege este valabilă Îu cundiţitle in care sfera ŞI conţinutul sînt luate în sens real. Astfel, con­ sidermd noţiunile vertebrat şi mam'fer totalitatea determinărilor reale ale vertebratului este mai mIcă decît totalitatca determinărilor re.tle ale mamiferului ÎI1 timp ce sfera vertebratului este mai mare decit sfera mamife­ rului. în acest fel, legea are in vedere nu noţIUnea propriu-zisă ci clasele reale ŞI totalitatea propnetăţilor (ueterminărilor) care aparţiu di stribut,v elementelor claselor. Sau dacă avem in vedere noţIUnile acestea 1>int "UOţl­ Uni absolute" (în care se pre1>upune, prin idealizare, că intregul conţinut real e reflectat) . Logica tradiţională n-a observat această deosebire şi dm această cauză opera fără dlstiucţie fie in planul ontologic, fie în planul lloţiumlor absolute inchipumdu-şI că operează cu noţiuni in sensul uzual.

UWI DE ELI \IINAHE .\ PRElIISEI. ( 1 ) A V (A & B) == AV B , (2) A & (A V B) E A & B Formulele pot fi transformate în ( 1 ) (A V A) & ( A V B) E A V il , (2) (A & Ă) V (A & B) == A & B. LlWI DE MONOTONIE, legi ale TFA relative la formulele monoton crescă­ toare sau monoton descrescătoare. O formulă A [P) este monotom crescă­ t(� are (respectI v monoton descrescătoare) în raport cu variab Ila p dac ă ti m Bl --+ B2 rezultă A [BtJ --+ A [Bal (respectiv din B I --+ B 2 rezultă A [B.l --+ A [Bd unde A [B I ] ŞI A [B21 se formează prin inlOCUirea lui p în � [P) respectiv prin formulele Bl' Ba. Operaţiile logice ( - , &, V, -o) SlUt monotone in raport cu toate variabilele pe care le conţin . Ă descreşte în raport cu A ; A & B ŞI 4 V B cresc 1I10noton in raport cu A şi il , .l --+ B


1h5

LEGI IN LOGICA FUNCTIILOR DE ADEVAR

<:reşte Inonoton în raport ( 1 ) dacă Bl ...... Ba atunci (A & B,) ...... (A & B.) ; (3) (4) dacă B l ...... Ba atunci

cu B şi descreşte în raport cu A. Exemple : (Bl & B) ...... (Ba & B) ; (2) dacă Bl ...... Ba atunci dacă B l """ Ba atuncI (B. ...... B) ...... (Bl ...... B) ; (A ...... Bl) -+ (A -+ Ba)

LE<H IN LOGICA FUNCŢIILOR DE ADEV_.\R. 1. l eg' -l

2

ale

negaţu,

--+ A

li -> .4

:3 A = A -'1

-:r = .1

Legile 1 - 3 sint legi ale dublei negaţii, iar legea 4 legea negaţillor Impare. ( \" legea dublet negaţi,)

2.

Leg, ale conJuncţ,et

-t & B = B & A (legea comutativltăţil) (A & B) & C = A & (B & C) (legea asociativităţii) 3 A & (B V C) = (A & B) V (A & C) (legea distnbutivItăţ li conjuncţiei) -t I & (A V B) (legea absorbţiei) 2

= A (legea idempotenţei) 6. A & v = A (legea posibilităţii) 7. (A & B) -> A · . conj uncţiei 1egl' 1e con tracţlel (A & E) -> B

5 .cI & A

}

8. (A & .1) (legea necontradicţiei)

a. LegIle dtsJuncţtel. Sîut legi duale cu legile 1 - 8. Dăm numai legile pen­ tru 7 şi 8.

}

7'. A ..... (A V E) . 1egt' 1e ext'Ind em. d"lSlnncţIei. " B -> ( A VB) 8' � V .1 (legea terţului exclus) Xv Ă (legea slabă a terţului exclus) 4. Legile lut de Morgan

1 . A & B = Ă V B.

2 A V B = Ă & B.

d. Legtle t mPhcaţlCi

1 . A ..... A (reflexivitatea implicaţiei) 2 « A -> B) & (B -> C» ..... (A -> C) (tranzitivitatea Implicaţiel) 3 (A -> (n -> C» ..... «A ...... B) ..... (A ..... C) (legea au todistrlbu ti vItăţ!i lInplicaţiel) 4 A -> (lJ -> A ) (legea asertării antecedentului) 5 .1 -> (B -> A) (legea negării consecventului)

Legtle 4 şi 5 exprimă aşa-numItele .. paradoxe ale Implicaţiei" : 4. adevărul decurge dm orice şi 5. falsul lIuplică orice. în realitate, acest mod de citire este defectuos cîud se trece de la funcţiile de adevăr la propoziţii. în cazul


lub

LEGI IN LOGICA PREDlCA'l'r:LOR

propoziţiilor le vom citi r espectiv : 4. "o concluzie adevărată poate decurge din orice premise ( = adevărate sau flase)" şi 5. "din premise false se pot deduce orice concluzii ( = ad ev ărate sau false) " 6. (A --> B) --> (B -+ A) (legea contrapoziţiei)

7. 8. 9. 10. I I. 1 2.

B) & A) --> B (legea modus ponens) B) & B) -+ A ( lege a modus tol/ens) ( (A -+ B) & (A --> e)) --> (A -+ (B & C) (legea com poziţ ie i concluzitJor) (A --> B) & (B --> e) -+ « A V Bl -+ e) ( legea disjun cţiei premillelor) (A --> B) --> ((A -+ B) -+ A) (re d uctio od absurd um) (A -+ A) --> Ă (legea parţială a reducerii de absurd)

«A « A

13. (A

1 4 . (A 15. (A

-->

-->

--> --> -->

B) (B (B

1 6. «(A & B) 1 7 . (A

-->

(A

--> --> -+

-->

-+

(e V A) --> (e V B» --> (B --> (A --> e) e» --> ( A & B) -+ C) (legea imporUrii) e) --> (A -+ (B -+ C)) (legea exportării) B)) -+ (A --> B)

6. Legile echivalenţe,

1 . A = A (reflexivitatea echivalentei sau "principiul identităţIi") 2. (A = B) == (B = A ) (simetria echiv ale nţei) 3. (A = B & B = C) .... (A = C) (tranzitivitatea echivalenţei)

Alte legi pot fi formulate în analogie cu unele legi al e im pli c aţi ei . LEGI I� LO GICA PREDICATELOR.

}

1. Legt ale raportulu, Intre cuantori 1.

'<Ix A (x) = 3x A (x)

2. V'x A (x) = 3x A (x) 3.

3x A (x) = Vx .4( x)

4 . 3 x A ( x) = "Ix (A x)

g••"oH%ări .10

2. Legt ale jormulelor prej,xate

"Ix Vy (x, y) = Vy "Ix A ( x, y) 2 3 x 3y A ( x, y) = 3y 3 x A (x , y) 3 3 x Vy A (x, y) --+ Vy 3x A ( x, y)

}

'.gil�

'"' d. Mmgo.

legile comutatlvltăţi1 preflxului

omogen

3. Legt ale re latH lor dtntre cuantorx şx operatora proporţlonah

l . Vx A (x)

=

A (Xl ) & A ( x2) &

}

� 3 x A (x) = A ( x1) V A (x 2) V

3. "Ix A (x) =

4. 3x A (x)

=

TI

1: 1

A (x,)

L. A Ct . ) .=1

& A (x,,) V A ( x,,)

} valabile finite

pent ru domenii

yalabtle pentru domenii infinite

5 . "Ix (A (x) & B(x) = "Ix A (x) & "Ix B(x) (dlstributlvitate) 6. 3 x (A (x) V B( x») = 3 x A (x) V 3x B(x) (distnb utivlt ate)


LIMBAJ

1Ii7

7 3 t (A ( ,. ) & B (x) ) --+ 3x A (x) & 3 x B(x) (distributivitate de la stînga) 8 ( 'i , A (x) V 'Ix B(x) --> 'Ix (A (x) V B(x) ) 9 V' t' (A (x) --+ B(x)) -+ (V'xA(x) -+ V'xB (x)) (distributivitate) 1 0 (3 TA ( T) --+ 3 xB(x)) --+ 3x« A ( x) --+ B (x)) 4.

Prm"pu log,ce

1 . Vx (A ( x)

2

3x ( A (x)

=

A (x)) (identitate)

& A (x)) (necontradicţie)

3 V'x (A ( T) V A (x)) (terţul exclus) -t V' x A (x) --+ A (y) (axioma silogismului) 5 ,i (x) --+ 3x A (x) (axioma existenţializăriI) LEKTA ( l.e:x-rq.), termen în logica stoicilor, categorie a teoriei înţelesului derh'ată din AEye:,y ( a insemna", "a spune " ), pluralul pentru Ae:X't'Oy ("ceea " ce este înţeles"). Clasificarea 1. este următoarea : 1) eliptice (cu expresie " netermmată) de ex., scrie , căci presupune Întrebarea " cine", 2) complete " " (cu expresia completă) de ex., " Socrate scrie . Cele eliptice se Împart in subucte şi pred"ate, Iar cele complete in ax,omata, întrebăn, ceren, ordine, jurăm,nte, rugămtnţ" supoziţii, adresărt şi cele s,milare lui axiomata. A xioma (ti�(W!,IX) Înseamnă probabil Judecată (propoziţie declarativă) . Axiomata sînt simple şi nesimple (complexe) . Axiomata complexe constau dintr-o axtoma duplicată (de ex, "dacă este Ziuă este ziuă") sau din mal multe aXlOmata diferite (de ex. : "dacă este ziuă, este lumină"). Axiomata simple se impart in categon ce, definite şi indefinite sau in af,rmative şi nega­ tIVe (în diferite feluri) , aceasta conform cu relatarea lui Diogene Laertios. Lonform cu cele scrise de Sextus Empiricus ele se împart În defimte, nede­ " fmits ŞI ,ntermed,are. Exemple de definite . "Acest om m erge , Acest " " " om şade" , exemple de intermediare ' "Omul şade , "Un om şade , " Socrate merge" . Indefinitele sînt adevărate numai cind definitele sînt adevărate Diogene distInge apoi A xiomata nesimple : a) condiţionale (formate cu " "dacă") ; b) condiţionale inferenţiale (formate cu "dat fiind ) ; c) con­ Junctive (formate cu "şi") ; d) disjunctive (formate cu " ori") ; e) cauzale (formate cu "din cauză că") ; f) cele formate prin "mai curind . . . decit" ; " g) cele form.lte prin " mai puţin decît . Un loc aparte ocupă problema adevăruhu pentru 1. Cu această ocazie stOIcii puu premisele dezvoltărÎl funcţiilor <.le adevăr, dar nu este exact că ei au şi definit funcţll1e de adevăr. LEl\IA , teoremă pe care o folosim in vederea demonstrării unei propoziţii ŞI la care renunţăm odată ce am demonstrat propoziţia LIBERTATE DEONTICĂ 1. PosibilItatea omului de a-şi formula normele de comportare şi acţiune, 2. Ansamblu de permisii acordate ŞI garantate de o dnumită autoritate (de ex . dreptun juridice, politice, permisii mora­ le) LllfBA.J, sistem de semne manipulate după anumite reguli in vederea IÎxării, prelucrării şi transmiterii de iuformaţii. Termenul în acest sens larg a fost impus de semiotica logIcă El se referă atît la limbile obişnuite (vorbite sau scrise) cît şi la 1. speciale (ştiinţifice sau de altă natură) . Lll�bile ,"orblte sînt naturale ( cel puţin îu fondul lor principal) . Lim � a �crlsă este evident artificială (construită în mod deliberat de oameUl) . DID punct de vedere semantic elementele 1. sint expresiile, iar expresia de bază este propoziţia. Limbajele pot fi clasificate după difente criterii ' a) după natura fizică a semuelor ' vorbite sau scnse; b) după domeniu : Il>ltVersale sau speciale, c) după natura vocabularului ' 1. de cuvinte (cu


1 68

Lli\IB.\J CONCEPTUAl.

structură alfabetică), 1. ldeograflce, d) după precizia construcţIei 1. �:(fOI ­ malizate sau 1. formalizate ; e) după origine : naturale sau artificiale Pentru logică şi matematică un interes special îl prezintă anumite 1. Ideo­ grafice (de ex. : 1. cifrelor, 1. simbolic in genere). Simbolurile sînt �elllne elementare care exprimă direct noţiuni (concepte) sau indeplinesc o funcţie ajutătoare În acest scop. Spre deosebire de cuvinte care constau dm litere, sImbolurile sînt simple. Ele sînt, in acelaşi timp, mnlt mai precise şi prin combinare redau mai limpede, mai direct relaţiile, structurile reale. Ele se detaşează de semnificaţiile pentru care nu sint utilizate (de ex., afec/ivei , chiar dacă nu în mod absolut. L. simbolurilor, al formulelor (Hilbert) a J ucat un rol deosebit in dezvoltarea ştiinţei şi, in general, a civilizaţiei. între diferite forme de 1. există strinse legături deşi ele nu pot fi reduse unele la altele Baza existenţei omeneşti este 1. natural (şi ech1valentul său scris), deşI 1. speciale, indeosebi 1. simbolic, constituie o condiţIe indispensabilă pentru dezvoltarea civilizaţiei, a ştiinţei in particular. (v. şi L,mbaJ natural, L,mbaj simbolic, Limbaj formalizat). LIMBAJ CONCEPTUAL, limbaJ care operează cu abstracţii fără vreo indicare a formei hngvistice. De ex. propoziţia "omul este animal raţIonal" este în 1. c, In timp ce propoziţia "omul denotă animalul raţional " nu este în 1. e. căci face trtmitere la cuvintul om. LIMBAJ FOR�IALIZAT, termen introdus de Tarski pentru a marca deose­ birea între limbile obişnuite (vorbite sau scrise) ŞI limbaJele ştitnţelor exacte sau, mai restrins, ale teoriilor deductive. Principiile de construcţie a unui asemenea limbaj sint următoarele : (1) se dă o listă de semne (cu­ vinte) elementare, (2) se dă o listă de reguli de operare cu semnele, (3) există o submulţime de expresii ale limbajuluI care este organizată în sistem axiomatic. Semnele elementare sint de diferite categorii (in funcţie de natura entttăţi­ lor). Regulile se împart mai intii in două : reguli sintactice ( = formale) şi regulz semant"e. Regulile sintactice la rindul lor sint de mai multe felurt · a) reguh de for­ mare, b) reguli de transformare, c) reguh de selecţie (ex. reguh de deducţIe). Regulile de formare determină noţiunea de expresie ( tertnen sau pro­ poziţie) Regulile de formare se disting în a) o regulă care postulează expresii­ le elementare, b) reguli care arată cum se formează expresii compuse. Regulile de transformare ne lUdică modul cum se trece de la o expresie la alta echivalentă logic cu ea (şi invers). Nu este necesar să formulăm din capul locului aceste reguli ci în funcţie de necesităţi. Regulile de selecţie (În cazul cel mai important regulile de deducţie) ne arată cum să selec­ tăm o submulţime de expresii cu anumite proprietăţi (de ex. : a f' adevărate, a f' cele mai simple expresii la care se reduc altele din ansamblul expresiilor). Pentru sistemul ulOmatic postulăm propoziţiile care sînt axiome, pos­ tulăm definiţiile prime şi regulile de deducţie. Regulile semantice constituie a doua clasă mare de reguli. Ele sînt in principal de două feluri : a) reguli de desemnare (altfel spus, de semnificaţie), b) reguli de adevăr (ele deter­ mină "conceptul de adevăr" pentru sistemul respectiv). Precizăm că pentru noţiunea de limbaj (v. ) sint suficiente următoarele condiţiI ' 1 ) lista de semne (cuvinte) elementare, 2 ) reguli de formare, 3 ) regulile de desemnare (de semnificaţie) L. f. are următoarele trăsături Importante (după Tarski) . a) nu este universal (nu pntem exprima in el tot ceea ce in genere poate fi exprimat, el este relativ la un domemtt restrîns). b) nu este inchis ( = în limbaj nu se conţin expresii care vorbesc despre limb�J � c) este precis (se ştie dIU capul locului ce este expresu in limbaj şi ce semnifI­ caţie are expresia), mai exact spus, pe baza regulilor de formare ŞI de =


1 .. " d esem na re p u tem determina exact dacă o comblUaţie de selllne este expre­ �ie şi ce se mnific aţi e are (în cazul că este expresie), d) concept ul de adevăr relath la limbajul dat po ate fi definit exact şi se poate opera corect (fără riscul de a ajunge la antinomii) Exemplu de ,_ f. Vom considera un hmbaJ �implll . li mbajul fu ncţiilor de adevăr. J 1 ,la de Se nlnr \ ,Ul,ll)lle p , q, r. :! ( 'pcrdton V 3 �e ll l ne aux Il i are (

1

II J(' gul/le 1 . Regulile smtact;ce 1 I Reg ult de formare a) V a ri a b i lel e :.Înt expresll b ) lJacă A este expresie .:r (non-A) este exp resie, e) Dacă A şi B sînt expresIi A V B (A sau B) este e xpre sie I 2 Reguh de transformare. în acest caz putem formula o regulă de transform are

A

A

1 3 Se postule azl defim ţiile prune şi axiomele şi se dau următoarele A, J V B regu li de ded ucţi e ' a) reg ula substltUţUl (v ) , b) regula detaşării B 2

2 I

R�g!tl!le semant,ce Reg ltl !

de desemnare

a) Ortee \'aClabllă desemnea.ll obi ect u l ab st ract l' (nil amb ele deodată) ,

v

sau obiectul abstract

b) li ac:, '1 desem neaz ă pe v atunc I A desem ne az ă pe 1 ci vad ..J. desemnează pe f at un ci A desemnează pe v (b ŞI c sint re gnh pen t ru n egaţie) d) Dacă A , n dese m ne ază ambele pe v, A V B desem nează pe f e) Dac.i cel puţm una din expresiil e A , B d ese mn e azd. pe v atu nc i A V B desemne ază pe v. f) Dacă A, B desemnează ambele pe f at unci A V n dese m neaz ă pe t. (Regulile d) - f) sînt pe n tru d isj u ncţie). 2.2

Reguli de adevăr

a) Dacă o variabilă dese mne ază ob ie ctul \ vom sp une că este "expreSIe adevărată " b) Dac ă o variab i l ă desemnează obIectul r vom spune că este "expresie falsă" c) D a că A este expresie ad ev ăr at ă, .I este ex presie f alsd., d) Dac ă A este expre sie falsă atunci A este exp resie adev ăr ată e) Dacd cel puţin una din expresii le A, B este adevărată atunci A V B este adevărată, f) Dacă ambele expreslÎ A , B sint false atuncI A V B este falsă.


LIMBAJ NATURAL

1 70

Fiecare din condiţiile impuse defineşte un concept (sau o clasă de concepţie de un anumit tip) . Lista determină noţiunea de "semn elementar" , regulile de formare determină noţiunea de upresie (ele asigur ă, în acelaşi tunp, că expresiile au semnificaţie , deşt nu o definesc), regulile de transformare definesc noţiunea de echivalenţă (ele garantează echivalenţa semantică), regulile de deducţie determină, în raport cn definiţiile şi axiomele, noţiunea de teoremă (ele garantează adevărul in caz că axiomele sînt adevărate) , regulile de desemnare determină noţiunea de semnificaţie (mal exact denotat) . regul ile de adevăr determină conceptul de "adevăr În limbajul dat" între regulile sintactice şi cele semantice (respectiv, intre conceptele definite) există anumIte legături. Tocmai aceste legături fac posibilă deta­ şarea sintacticulUi de semantic ŞI consti tuirea sistemulut Sintactic. resp. slStemul formal (v.). Se înţelege că elaborarea atît de meticuloasă a acestui 1. f. am făcut-o pentru exempl ificare, în experienţa gînd irii loglco-matema­ tică, se procedează de regulă mai rezumativ, LJMBAJ NATURAL. limbajul obişnUIt, vorbit care a luat naştere în mod spontan. Tarskt a ev idenţiat citeva trăsături ale acestui limbaj, interllliante pentru logică 1. L. n. este universal, el se referă la toate domeniile e Xisten­ ţei umane şi poate exprima tot ceea ce, in general, este exprimabil (idei, sentim"nte, atitudini pragmatice etc.), 2. L. D. este închis în sensul că este reflexiv (poate vorbi despre sine), altfel spus, el cuprinde propriul său metalimbaJ (v.) ŞI este propriul său ltmbaj-obiect (v.), 3. L. n. nu este precis şi aceasta in două sensuri a) expresiile (in mod deosebit, cuvintele) sînt polisemantice, b) regulile nu sînt universale, au mai degrabă un carac­ ter statistic (uneon presupun destul de multe excepţii) , 4. , Trăsătunle expuse mai sus an drept consecinţă că În acest hmbaj apar contradictii logice (ceea ce adesea îl face impropriu pentru gîndirea ştiinţifică precisă). 3. Acest hmbaJ este neeconomlc ŞI insuficient de transparent pentru expn­ marea Ideilor ştiinţifice. De aCI nu deducem cumva că el ar fi mal puţ1ll mdlspensabll existenţei umane decît a fost pină acum şi că el ar putea fi. în genere. inlocuit cu un alt limbaj . Complexitatea lui este determinată de compleXItatea eX istenţei umane Nici o ştiinţă nu se poate dispensa de 1. u. (resp. de corespondentul său scris care are aceleaşi trăsături pe care le-am indicat mai sus). chiar dacă pe porţiuni însemnate limbajele ideo­ grafice (simbolIce) devlD indispensabIle progresului ştiinţei O eroare gravă pe care o comit unit lingviştI constă În a VOI să tncludă 1. u. m tiparele înguste ale lim bajelor logico-matematlce Evident, aceasta nu trebuie confundat cu studiul logic şi matematic al i. n. Pe de altă parte. ac",t stu­ diu nu înseamnă că 1. n. ar fi un sistem lingvistic de tipul indife ren t că­ rUI sistem logic sau matematIc. (v. şi LtmbaJ , Limbaj stmbohc) . LIl\IBAJ S IMB OLIC. lt mbaj care utihzează simbolnri ( v. simbol). ::\latema­ ti ca a fost prima ştiinţă care a utilizat în mod sistematic simbolurile'. Ld început au fost mtroduse semne ideografice pentru exprimarea nume­ relor - Cifrele (acestea sînt simboluri constante). ;\Iult mai hU11I au apărut semnele variabile (vanabilele). Antichitatea le-a cunoscnt atît În logică cît şi În matematică. însă abia odată cu dezvoltarea alg, bn , (care În mare măsură la început Însemna calculul cu litere) se poate vorbi de utilizarea largă a variabilelor. Dmtre calit ăţile 1. s. remarcăm : a) econo­ micitatea (simphcltatea), b) precizia (univocitatea slmbolunlor ŞI formu­ lelor în contextul dat şi generalitatea regulilor), c) definiţia tnd1tctivă (v ) a expresiilor. d) posibilitatea de a opera pur formal (în calcnle, în demon­ straţii), e) posibilitatea de a·1 remterprela uşor (de a-l deplasa de la un domeniu de semnificaţii la altul izomorf cu a cesta) , f) claritatea (transpa­ renţa mformaţlOnală) care merge uneot1 pînă la izomorfismul dmtre for-


171

LIMBAJ

SIMB .... LIC

muie şi rel �ţi ile reale, g) detaşarea de alte semnif' ...ţ Ii decît cele c oguiti ve In r apor t c u �fera activităţil or u r. . dne funcţiile sale sînt limItate ŞI li mbaj u l simbolic nu poate fi un î n locuitor al lim­ b aJu lui nat ur<ll În genere Pe de alt ă parte, pentru a pr eveni ste­ nlitatea ŞI erlllellSlllul es t e necesară o c ont inuă comunicare cu limba­ Jul natural - în se nsu l slmbolizării unor părţi din a cesta in vederea rezolvării de probleme şi în sensul traducerii în li mb ajul natural în vederea unei mai b uu e comunicări şi dplic ăn a ideilor simbolizate (v. limbaj na­ tllral) Inte reseaz ă aci, îl1 continuare, e tapele introducerii simbolurilor în logic'l (şi in particular, a simbolurilor v ari abile) Aristotel în suşI a utiliz at literele in Orga llon, în locul cuvintelor Problema este ce rol Jucau aces te htere eTaU el� variabile în deplinul inţeles al cuvîntului sau supoziţii de constante cum apa r în matematică unele litere , de ex în a x + b = c i Ar istotel le-a utilizat puţm nu le-a definit Şl nu a form u lat reguh de �ub­ stituţie Evul lU ediu a ! U t rodus simbolurile A , E, l, O ş.a. pen t ru a marc a <liferite tipuri de judecăţi (c ategorice a ci) . Ratmundu� Lullus ( 1232 - 13 16) a Încercat să introducă nn si mbolism logic în vederea combinării i deilor de la SImplu la c omplex Descartes face un progres în extinderea ublizăni variabilei de la un �iugU1 s iste m de semnificaţii la două (el utilizeazd literele atit pentru semn ificaţii geometnce cît şi pentru !.enmificaţii alge­ hrice) Tot el form u lea z ă Ideea Ullei metode unl\'ersa!e de t i p matematic, un fel de matematică general izată .1/ athesi, m!Îversalis Pri m a tentativă <le d d ez vol t a un Simbolism l ogic sistematic îl aparţine l U I Leibm z I nfluen ­ ţat de A,S Jllaglla a lui Lu l lus ŞI de Mathesxs universalis a lUI Descarte�, formu le ază el însuşI proiectul unei ars combinatoria, a unui calculus 1 atio­ cinatur cu ajutorul unei cltaracteristica universalis. El vis a la o epocă în care toate di spu tele vor fi rezolv ate prin calcul, cînd pe nt ru a rez ol\ a proble m a "om spune Calculemus I în acest scop el S-d �tr ăd lll t �ă îmb me rigoarea (de fond) a I<>glCli cu precizia l Îln b aJ ulul matematic De alCl ideea unuI �lInbohs1l1 u ni versal (characteristna umvcrsalts) Reahz:inle sale pot fi grupate as tfe l a) formularea unei concepţii generale de spre simbo­ ltsmul l ogi c, b) Î n cerc area de a introduce l uubajul Cifrelor în 10glCă, c) schiţarea unUl simbolism algebrlc ( litera l) pent ru logi că , d) mtroducerea unor reprezentări auxiliare (l inii, cercuri ) pentru judecăţI Lui Îl aparţine Ideea ,JnlmetizărÎl (v ) prelu ată de Gade l Concepţia sa com p rehensivistf( asupra logicii cît ŞI nesesizar<'!a fap tul UI că an al ogla între operaţiile ŞI re l a ţiile logice, pe de o parte, şi operaţi ile ŞI relaţiile matematice, pe de .tltr, par.te, este lunitaU l- au înlpi edi c a t să for mule z e Ull simbolism ddecvat logicii. Incercarea de a extinue simbolismul m ate mati c as upr a logicii odată cu e xtindere a operaţiilor şi relaţiilor matematice nu putea să-I reuşeasc ă . EI a Izbutit totuşi să simbolizez e multe Idei logice. Pe aceeaşi linte a analI z e i mtre ope r aţiile (resp. rel aţiil e) logic ii şi n\3tematicii se va merge multă vreme ( Lam bert , Holland, Castillon Ş a.). Abia George Boole ŞI Augustus de )o!or­ gan vor Izbuti să formule ze un simbolism alge bnc pen tru logIC ă , dar el ţin seama in l lI are măsură de specificul logicH şi folose sc analogiile în limIte rezonabile. Simbolismul algcbric pentru l ogică l' de z volt a t de către Hugh :lIc. Coll, Schroder şi Poreţkl Ei merg pe lima d e zvoltări i calculelor logice, a algebreI logu:e. Gottlob Frege (in G e rm an i a) ş i, într-o anumită măsură, Ch. S. Petree (În SUA) a u fost cei care au elaborat un Simbol ism specific l ogI cii . Logica predicatelor pe care o dezvol tă Frege era mai refractară la tra tare a algebrică şi el a fost pu!> în faţa elaborării unui li mb a j simbolic speci al. Apoi Frege p orn eşte pe altă direcţie, nu a analogiilor oper aţiil or (resp. relaţiilor) logicii Cll cele ale matematicii ( văzu te din perspecti v a matematicii) ci pe linia reducerii deducth"e a matematicii la logică. Pllnc-


L.MBAJ-OBIECT

tului dt: " edere matematist antenor (de snbordonare a logicii faţ;! dE: ma­ tematică) îi va opune Ideea logicistă, formulată explicit, a subordonării matematicii faţă de logică Simbolismul său a fost însă greoi ŞI u-a fost adoptat_ Mentul de a fi elaborat un simbolism simplu ŞI eficieut, total adecvat logicii, revine, în primul rînd, lui Peano, apoi lui Whiteheatl, Russell şi Hllbert. Simbolismul de azi aparţine, în principal, acestor logici­ eni ŞI matematicieni. O noutate a fost inventarea simbolismului fără paran­ teze de către Jan Lukasiewicz (v. slmbohsmul lui Lukasiewicz) Formularea nnei scrieri adecvate pentru logică a presupus o analiză adincă a categoriilor de individ, proprietate (predicat), clasă, relaţie, operaţie Ş a Orice simboli­ zate presupune capacitatea de a analiza clar conceptele, altfel nu exbtă garanţia unei simbolizări corecte Sinlbolizarea logicii constitUIe baza IDtroduceru proceselor j01 mahzate îu logică (calculul, axiomatica formalii), a studiuluI matemahc al structurilor logice şi al modelării lor dincolo de domeniul propriu-zis al logicii. Introducerea sImbolismului in logică a atras după sine diferite denuuutl logtca simbolică (v ) , logica malr:matică (0 .) , algebra logteă (v ) �.a Era vorba de a marca diferenţa dintre ,,('chea logică şi noua logIcă Trebuie spus îusă cii siloglstica a fost şi ea simbolizată de către Lukasiewicz încît azi logica stmbolică cuprinde efectiv toate capI­ tolele logicii. Limbajul uzual continu ă totuşi să fie utilizat În paralel sau simultan, el fiind necesar în anumite privinţe mai ales in ceea ce se numeşte metalogica. î nsă comunicarea permanentă dintre cele două hmbaJe este impusă, în primul rînd, de dOI factori a) logica trebuie să rămînă Ull 0 1 / " comun tuturor oamenilor (Indiferent dacă folosesc sau nu limbajul mate­ matic şi b) gindirea intuitivă rămîne o sursă inepuizabilă de sugestii p111trn dezvoltarea logicii şi de aplicaţii ale logicii. LIMBAJ-OBIECT. Un limbaj supus studiului va forma limbaJul-ublect al unuI metalimbaj (v ) .

Orice metalimbaJ poate deveni 1 . o . pentru un alt metalimhaj, dar �XISU care nu sînt despre mci un limbaj, ci despre obiecte extralmgvl!otice (de ex. obiecte fizice, caz în care avem hmbajul fizicii). Astfel de 1. 6. vor fi numite tnjrahmbaJe 1. o.

LIJ\IBAJlJL EXTENSIUNILOR, 11lubaJ care utilizează numaI txpresii pentru exteusiuni (mdivizl, clase, valori logice) Limbajul '1 PA şi limbnjul logicii claselor sînt date ca exenlple de asemenea limbaje. Carnap a crezut că poate distinge net intre trei forme de limbaj : limbajul cxtensi :tniIOl', lzmb ajut tntensiunitor (v ) ŞI hmbaJltl neutru. El presupune ' 1\ că se poak construi un limbaj pur in unul din aceste sensuri, 2) că este suficient uilul sau altul din aceste limbaje (celelalte două putînd fi reduse la ullul, cel de al treilea) Că lucrurile nu stau aşa se vede chiar dm structura limbaju­ lui claselor unde pentru a deflUl clase avem nevoie de proprietăţi. Tn:cerea in tensiunilor oarecum în planul secund (implicit) nu îuseamnă ehminarea lor totală LIl\IBAJUL INTENSIUNII.OR, limbaJ care utilizează nnmal upresli pentru intensiunl (concepte, proprietăţi, judecăţi, sensuri). Conform c u convingerea lui Carnap modahtăţile ar putea fi studtate într-un d�emellea limbaj Este distins de hmbajul extensiunilor (v. ) Reapare, în ace�t fel, vechea dispută intre extensivism şi comprekensivlsm pe care Carnap o rezolvă În mod pragmatic, văzînd În cele două orientări doar două postbili­ făţi de alegere. La acestea el adaugă un hmbaJ neutru in care expresiile nu exprimă explicit nici extensium, nici infe11stuni, de ex , "Omul este animal " . Această formă pare a corespunde cel mal bine silogisticii Disputa poate fi soluţionată in felul următor I exi�tă luuhaje in care extensiunile �au


173

LOGIC

in tensiunile trec pe primul plan şi limbaje în care ambele sînt utilizate implicit, nu apar explicit , 2. utihzarea cu precădere a unei forme de expri­ mare este chestiune pragmatică, de alegere De ex. in matematică şi logica simbolică asertorică extensiunile ies in prim plan, în chimie ies în prim plan foarte adesea proprietăţile, !ar în comuDlcarea comună se utili­ zeaZd frecvent hmbajul neutru 1" I \TERSUBSTlTUTIE (resp L- INTERSlJDSTITUIBIL) , prescurtare Illtrodusă de R Carnap pentru a marca substJtuţia logică reciprocl (spre deosebIre de simpla zntersubstztuţte (v.) ŞI definită în felul următor. Se dau mai întii explicaţii libere de �istem ale termenilor ' l Ilter­ substituibil şi L-i. în felul următor J. l O expresie care apare Într-o propozIţIe este Inlersubstzlulbllă cu o <lltă expresie dacă şi numai dacă valoarea logică a propoziţiei nu se schim­ b:l cînd prima expresie este înlocuită cu a doua 2 O expresie care apare Într-o propoziţie e�te L-i. cu o altă expresie dacă ŞI numai dacă lIlteuslUnea prop oziţieI nu se schimbă prin înlocuirea uneia cu cealaltă. II. Fie o expresie A J care apare (intră) în expresia A, 'Ii fie o altă expresie Aj (toate din clasa designatorilor din 5) . l O intrare a lui A I este in!eI"substitu lbllă cu A; în A j dacă şi numai dacă A I e�te echivalent cu A I 2 O

în A, dacă 'Ii numai dacă A I e�te L­ J echi\ alent cu A; (Defimtiile de mai �n� sînt relative la contextul unei expresii A .) III. Fie aceleaşi expresl1 A J' A] luate în contextul unui sistem semantic S. 1 . A ; este Intersubstiluibilă cu A; dac:! �i numai dac:! o intrau oarecare a lui A într-o propoziţIe oarecare om " este Intersubslltulbllă cu AS 2 J A este L-i. cu A; dacă ŞI numaI d acd o mtrare oarecare a lm A I mtr-o propozIţIe oarecare dm S e.,te L·i. cu A; ( V 'lI J1rloda exle/!SZltll/l ŞI tntensiunii) LITIGIOUS, �ohsm �ub formă de dllemd. Deoarece EUdthlu" ele� ul sofistuliii Protagoras n-a putut să-i pllrtea�că m" ăţătoruIUl său Întreaga sumă datorată pentru mstrulre au căzut de acord Cd restul de platd să fIe făcut atuncI cînd Euathlus va cîştiga pnmul proces. Cum Euathlus n·a profesat niciodată meseria învăţată, Protagoras s-a văzut în situaţia de a nu mal primI bann între Protagoro� ŞI Euathlus a avut loc urmă­ torul schimb de raţionameute Protagoros îi spune că îl Vd da în judecată şi dacă Euathlus va pierde atunci el va trebm să plătească conform cu hot.lrîrea Judecătorească, dacă Euathlm, \ a cîştiga el va trebui să plă­ tească conform cu înţelegerea pe care a făcut-o cu Protagoras Or Euatblus trebuie sau să cîştige sau să piardă. Prin urmare, în orice caz, el trebUIe să plătească. La rindul său Euathlus, în replică raţIOnează astfel : dacă voi pierde procesul atuncI nu trebme să plătesc, conform cu înţelegerea dintre noi, dacă voi cîştiga procesul atunCI, conform cu hotărîrea judecii­ torească, nu trebuie să pI ăte�c. Or eu trebUIe să cîştig sau să pierd procesul Prin urmare, nu trebUIe să plătesc. Sofismul se rezolvă luind seama că fiecare Joacă pe două inţelesuri ale termenului proces proces in care Euath­ lus este avocat sau proces în care este simplu inculpat (v. Dilema) LO(.IC 1. Ceea ce este în confornntate cu regulile logice (de ex o defi­ niţie, o clasificare, un raţionament) . 2. Ceea ce este introdus (determmat) numaI pnn legi (reguli) logice fără apel la fapte particulare a. Ceea ce este determinat numai pe baza regulilor sistemulUI semantic fără apel la fapte extrallngvistice (R Carnap). tn cazul 1. 1. este opus ilogiculUl (alotntrare a lui A I este L·i. cu A


LOGICA

174

gicului, neloglcului), iar in cazurile 2. şi 3. 1. este opus factualulu� (v.) . Exem­ ple de 1 •. 1. necesar, 1. adevilrat (v), L-Atkvărul, L-Falsul ş.a. axpresia .. 2 X 2 = 4 sau 2 X 2 #- 4" este logic adevărată, expresia ,,2 = 4 şi 2 #­ #- 4" este logic falsă. Expresiile din limbajul logicii care sînt leg' logec e (v ) sînt logic adevilrate, iar cele care sînt contradICţii (v.) sint logic fals� . Carnap numeşte- conceptele astfel determinate L-coucepte sau concepte L­

determmate.

4. Ceea ce ţine de domeniu logicii (ex. "F (x)" este o expresie logică) .

LOCiICA. manual celebru elaborat de Titu Maiorescu Cuprinde două plrţl Logica elementară (1876) şi Metodologia sau Logica s�ntetică ( 1 887) . Este rezultalul prelegerilor ţinute l a Universitatea din I.&şi (1863 - 1872) şi la Universitatea din Bucureşti (începind din 1884). Se distinge printr-o deosebită claritate şi În general prin calităţi pedagogice care au făcut dm această lucrare principalul instrument de educaţie a gîndirii mai multor generaţii de intelectuali. A stabilit principalii termeni de logică tradiţională în limba română ŞI cuprinde multe reflecţii originale, precum şi luări de poziţIe în controversele legate de logica formală. Autorul surprinde bine esenţa formală a logicii ' "constatarea adevărulUI în sine nu se ţine de Logică care garantează nu mai atit, că, dacă ideile d ate sint adevărate, trebwe să fie ŞI ideile derIvate cu observarea legilor el" Logica împreună cu ştiinţele speciale "au pentru educaţiunea noastră folosul de a arăta întîmplările lumu supuse la legI constante, de a da omului încredere III sine, depărtind neslguranţa ŞI superstiţiunea, ŞI de a contribui prin obiec­ tele lor impersonale la echilibrarea statornică intre gîndiri şi Simţăminte. Logica prin obiectul ei special produce o agerime mai mare a argumentării, ordine iu gîndire şi uşurinţa de a descopen şi dovedi eroarea în concluzi­ unIle false". Maiorescu critică "formalismul" şi " abstracţiunile goale" pe care-l promovează unele cărţi de logică şi araU că logica "trebuie să fie tratată în raport cu valoarea ei practică şi orice abstracţiune bună, nefiind decît o rezumare a ideilor concrete, trebuie să-şi amintească totdeauna această legătură şi s.l poată fI readusă la realitate de cite ori cere trebuinţa" LogtclJ,.. elementară, cuprmde . teoria BOţiunilor, teoria Judecăţilor şi teona stlogismelor , logica sinletică ( = metodologia) cuprinde studiul pnncipiilor logicii, descrierea şi clasificarea, definiţia ŞI diviziunea, demonstraţia ŞI inducţia. Contrar expuneril formaliste autorul analizează continuu exem­ ple interesante de aplicaţie a logicii . Cartea poate fi citită ŞI azi cu foloS ca o mtroducere în logica formală. LOGIC.\. CLASEI,On, logica legilor cu forme propoziţlouale de extensiuue ( x e K, K e L ) . Se deosebeşte de teoria mulţimilor în sensul că nu stu­

d!.ază

�ulţimi, operaţii definite pe mulţimi ŞI relaţÎl IllUlţiUllste CI rela­ O expresie ca "x E K" poate fi co �iderată in două feluri : ca expresie a relaţiei de apartenentă şi ca pro­ POZ!ţM de apartenenţă. Logica nu se interesează de relaţia de apartenenţă, ci de propoziţia de apartenenţă. De ex. proprietăţile formale ale apar te-

ţu logice între propoziţÎl de extensiune.

nenţei nu interesează logica, ci teona mulţimilor Relaţia J{ e L I- x E e K => X E L este însă o relaţie logică Există deSigur �i corespondenţe, ex. trauz itivitatea incluziunii corespunde cu legea de raţionare A c B &

& B e C 1- A c e.

RelaţJi.le 1. c. cu logIca predlcatelor merg pînă la lZOlnorfism ceea ce �e exphcă prin echlvalenţa logică F(xl, . . x..) == (x" .l"n) E F. (uude " � 1) Iar F. este clasa determiuată de funcţia F( . . ))


175

LOGICA COMBINATORIC A

LOGICA COHBINATOHICĂ, ramură a logicii simbolice care-şi propune să construiască logica fără variabile şi fără substituţie pe baza unor ope­ ra ţIi "prelogicI" (Curry) cum ar fi de ex., juxtapunerea de simboluri. Se speri in acest fel la eliminarea complicaţiilor pe care le implică substi­ tuţia, la el i mruarea paradoxelor, precu m şi l a sImplificarea unor demon­ stratti- L. c. a fost iniţiată de SchOnfmkel ( 1 924). O influenţă esenţială a avut-o lucrarea lui A. Church Th e Calctlli of Lambda-Conversion ( 194 1 ) « .re, după opmia lui Curry, face trecerea Între logica sim bolică obişnuit ă ŞI J. c. Monografia publicată de Curry '1 a în d ou ă volume Combinatory Logu a creat un statut definitiv J. c. Op er aţii le prelogice de la care se pleacă sint notate cu aj utoru l unor operaton numIţi combznator! I.a În­ ceput combinatoriI se definesc cu aj utoru l operatoruluI abstracţiei ( v ) A-operator. Si mbolurile elementare . a, b, C , . • const ante , f, q, h , simboluri funcţIonale, A-operatorul abstracţiei. Cu ajutorul acest or a prin �lmplă juxtapunere formăm secvenţa ; de ex , (jx), (f(fx)} , . apoI ) x1./:>. . {f Axlfx, . . . Pe scurt, bcriem "AxlM unde se presupune c ă J;/ con ţul<. pl x Dacă avem A%,/"Ax2/).x3 ' 1 ).Xn /M putem prescurta : 1 ' 1 '2 . . ·

. t"/lIl.

Exel11ple Axlsm x, Ax/(x 1- y} , ).xI Ayf(x + y} . J ux tapu nere a A B denotă că B d ă semnificaţia B v ariabi l e i expresiei A . Regula de transformar e : (Ax/M}N se transformă în ex presia care se obţine pnn substitu ţia lui N î n locul tuturor intrărilor lUI x dlll .lI. De el: . . « Aj/ Axl/(j(fx» ) 0) ..l Je v me

(Ax/G(G(Gx» )A apoi se res tringe la ('(G(GA » . în acest tel. « "Af:>.lf(f(fx)» G) A ( ad ică AflAx) f(f(fx\» G A. se transformă iu expresia care este rezultatul substituţiel lui G pentru f �i A pen tr u x în f(f(fx» . mai intu

O expresIe ca (Axlx)A se reauce la

A,

clei

nu e decît un x de inlOCUIt

(iar "Ax dispare prin zndicarea valorII lui .l ) . D eseulDăm prin 5111

;

substi­

tuţia de ţ" cu y în ,vI şi formulăm du p ă R. L. Godsteln regulile A-con­ versiunu . 1 . Orice p arte ]1,1 a unei expresii poate fi înlocuită cu 511f� cu condiţia că .t nu e l iber în ivI ŞI y nu ap are in 111. 2. I:xpresla ( AxIM) N poate fi înlocuită cu 5M ; cu cond i ţi a ca varIabilele legate ale lui M să fie deosebite atît de

.t ,

cît şi d elv ari ab llele libere ale lui

N

3 Expresia

5_114; poate fi înlOC UI tă cu expresia ( AxIJlI) N în once context în c a re sub­

stituţia inversl e permisel de regula 2. Dacă 1110, llIp • M., 1lI'_ 1 este o succesIUne de expresii astfel cl pentru oric e r, o .;:; r '- k, Mr poate fi redus la .llr + I după una Jin regulile 1 - 3, atuucI JIo ŞI ,11A H se numesc reciproc reductIbile (sau pur şi simplu id en tice ) Deoarece regulile 1 , 2 sîn t recIproc inverse, Iar 3 e inver�ă sieşi reducerea reciprocă este tranzi­ tivă şi simetrică. în con tinuare se defineşte " A-defimtibilitatea" pe care o omitem aci. D e la c alculu l A-conversiunÎ1 formulat de A C h urch - se trece la introdu cerea , .combinatorilor"

Combznatora

B, C, 1, W, K, 5, <IJ , � .

1. Ident!flca/orul

clementar

(1)

� ste ce l mdl simplu combinator ŞI exp ri m ă sImbolul x c a funcţie de sine 1 == l.x. X 2 . Permutatorul elementar ( C) : C == Af.lY . fyx 3. Dupllcatorul elementar (W) : W == Afx . fxx 4 Compozitorul elementar (B) . B == ).jgx · • f(gx) == Afxy . f (xy) 5. Compozztorul eliminării (K) : ]{ == Afx . f == i.xy • x 6.- Combznatorul 5 : 5 == )./gx . fx(gx} == AXyz . xz(yz) 7. Comblna/orul " : ., == "Af(ghx . f(gx) (hx} == "Afxyz . f(xz) (yz) 8. Gombil1atorul ojI . ojI == i fgxy • · f(gx) (gy) == "Afxyz . f(xy) (xz). FiecărUI combinator i se aSOCIază o regul ă


LOGICA DE LA PORT-ROYAL

de reducţie. (Curry utilizează în loc de bară punctul, astfel AX • X e scris în loc de AX/x). Pentru primii 5 operatori în literatura de specialitate sînt date şi definiţii mai simple 1'. 1 a = a, 2'. C a b c = alb o) , 3'. IV a b = = a b b, 4'. B a b C = a (b c), 5'. K a b = a. Operatorii sint apoi interdefiniblh după cum urmează ' �== B ( B( B IV) C) (B D) , W = C S 1 sau IV = S ( C 1) , 11>= B (B S) B = B ( B( B ( B ( B IV)C) ( E lJ))) B , y == B ( B W(E C)) ( B B(B B)) , 1 = W [( , : == S K K , 1 = == � K S. tn general avem 1 == S K X (unde X este un combinator arbi­ trar) . B = S (K S) J( , IV = S S (I< 1) , C == S(B B �) (I< K) , of ==

Sistemul are 15 axiome, 4 reguh de inferenţă l]1 o regulă specială (II), ( H, Il Curry, R Feys, Combl natory logIC voI. r. 1958 , H. B. Cnrry, J. Roger Hindley, Jonathan P. Saldin, Comblnatory logIc voI II, 1972) LO(. IC.\ DE LA PORT-ROrAL. deuumlre �ub care este cunoscut trata­ tur ele logică tradiţională elaborat de A Arnauld ŞI P Nicolae, apărut anonim in 1 662 Scris sub mfluenţa concepţiilor lui Descartes ŞI Pascal tratatul s-a bucurat de un deosebit succes datorită calităţilor sale peda­ gogice.

= 11>(11)(11> B)) B (K K) .

J,OGIC \ DEONTIC;\ A LUI VO:\' WRIGHT, Von Wnght a elaborat două sIsteme de logică deontzcă (v.) "vechiul sistem" cu norme categorice monadice ( 195 1 ) şi "noul sistem " cu norme coudiţlOnate, diadice ( 1 964). 1. Vechiul sistem (sistemul monadzc) . Simbolism : 1 . A, B, C, . . . acte tn genere (hoţie, ucidere etc.) . 2. Dacă A , B, C sînt acte atunci - A (non-A ) . .4 & B, A V B , A -+ B, A +-+ B sînt acte moleculare. Actele moleculare sîut funcţie de actele componente 3 Un act este realzzat (notat cu , , 1 ") " sau nerealizat (notat cu " O ) . Funcţ1l1e de realizare se defmesc analog cu cele dm TF A. De ex., A V B este realizat dacă cel puţm unul dm actele A, B este realizat. 4 ModalităţI deontice : O (obligatoriu) , P (Per­ miS) , ]o' (tnterzis), 1 (iudlferent). Von Wright ia ca punct de plecare penms!a (P) şi defmeşte celelalte modalităţi în funcţie de aceasta, în ana­ logie cu logIca modală (v ) . De asemeuea, el defineşte anumite relaţii intre acte. Analogia modalităţilor este următoarea : Alehce ::-<ecesar Posibil Contingent Imposibil

Deonbce ObligatOriU PerrUlS Indiferent Interzis

Normele se clasifică in funcţie de modalităţi şi sînt ierarhizate după nivelul autorităţii care le dă, după Dlvelul codului (de ex , intr-un cod de norme se normează alte norme).

Defznlf!! ·

1 . O il = - P- A 2 FA = -PA . 3. 1 A = (P A ) & (P

4 . COlllp ( A , E)

_

A)

P(A & B ) (compatibil! tate) ; 5. Incomp (A, B) = - P (A & E) ; 6. O A -+ B : realizarea lUI A obligă la rea­ lizarea lui B. =


171

LOGICA

DE LA PORT-ROYAL

SIstemul este legat pe de () parte de teoria acţ1Uull pe de alU parte, d e logica pură (v ) Problema deciziei Se dIvide î n do uă . a) dacă o schemă

deontică este general realizabilă sau nu, b) dacă un sistem de norme este consistent sau nu Un act este tautologie dacă el este realtzat on de cîte on este dată valoarea de realizare ( 1 sau O) a " acte date. DecizIa se face pe baza urmatoarelor pri ncIpii

( 1) Dacl realizat ' ziţiile cu cu logica

nn act A este realizat atuncI propoziţia care spune· .. A este este adevărată, în caz contrar, este falsă. La fel pentru propo­ modalit ăţ i deollhce ( Prin urmare decizi a se face prin corelarea pură)

(2) P, i'lclp,ul

dzstnbuţzez

deontlce

Dacl

A V B e�te realizat atunci

P(A V B) e�te echlvaleută cu (P A ) V ( P li). astid col, de ex., P A & - B iu�eanml pp (3) PYI,lclPlul permzsutl!ll. Pentru orice act ( 4) PrlllCtpJlII contzlJgenţez deollltoe. UII act

Uneori se omit parantezele

& - B) A are loc PA sau P(- A ) .

tautologic llU este necesar obhgatoriu, un act contradictoriu nu este necesar interzis. DecIzia se face prin matriee în depeudenţă de di�tribuţla deontică ŞI de m atricele func­ ţiilor de adevlr

Legi di!uWzce. I ( ;' ../ ) +-+ - (O - A ) , 2. (O A) -> (P A ) , 3 O :! &. B +-+ (O A ) & (O LJ) ,

4

P t V B

+-+ l'

5 \(J t ) V (O B)

A VP R, .... O

A V B;

6 ( E' f &. B ) -+ ( P A ) &. ( P B) , 7 ((O -l ) &. ( O A -+ B)) -+ O n , Sistemul poate fi aXlOlllahzat pe Al

S. ( ( P A ) &. (O A -+ B)) -+ P B , 9. ( - (P B) & ( O A __ B ) -+ - (P A ) , 1 0 ((0 .1 -+ B V C) & - ( P B ) &. ( P C i) .... - ( P A ) ; I I - ((O A V B) & - ( P A ) & ­ - ( P B)) , 1 2 ((O A ) & (O li & /J -+ G) ) -+ O /J -+ ---. C ,

1 3 0 - A -+ A . baza

O . 1 &. B .... O A & O B

A� ,) A .... - P - A A , - O(A & - A ) .

Vrm.1torul sistem ,'a fI nllltut "sll>te111ul �t.md,tr(l d e log ică deontică"

\.,

PA

Def O A

v P=

A ,

A�.

P(A V B)

+-+

l' � V l' n ,

A3 - 1'( 4

&.

- .J).

- P- A

Reg Dacă ' ",4 " �i " B " sînt logiC ccluvaleutc , l' � .. 51 " P Ji" siut l ogic ech1 valente

II

Sistemul dladlc. în Xo!tl sIstem de logică deont,ca ( 1964)

con�truieşte un calcul diadic bazat pe axiomele

.\, - (O(PIP) & O (PI - P) & O ( - PIP) &. O ( - P/- P)) Ai U(P & qlr) == O( Plr) & O(qlr) ; A , tJ(P/q v r) == O(Plq) O (Plr) .

&

''ou \\' righ t


LOGICA IMPRECIZlUNIl

liS

sint acte, P !q se citeşte "p sub condiţia q " şi exprrm;, p , q, r, actul con(hţionat. Reguli de deducţie regula substltuţlel (pentru vanabile de acte ) , (t·gul.! substituţiei în formule logice, regula schimbulUI de echivalente �I regula detaşerii.

unde

-0- p;

2 P(Pfq) =. - O ( - P fq) ; Al' P( A/j,) , A2• P(P v qlr) =. =. P (pfr) V P( q fr) , Aa P(P!y v r) =. P(Pfq) &: P(pfr) în lucrările sale Sarm aud aC/IOn ( 1 963) şi A n essay 11t deontzc l(lg lC and general theo ry 0/ oetlon ( 1 968) von \Vright coreleazl sIstemele de logic:, deontică cu teona schimbării, teona acţIUnII ŞI dez....oltă llUmer03l>e pro­ Opera/anI .

1 . Pp =.

Alt sistem de aXIOme este

bleme metateoreticc.

următorul

(l�ica fuzzy ) , logIcă daborată de L A Zadeh (�UA, 1972) pentru mulţinifle " agi (imprecise) (v.) Zadek are în vedere sistemele complexe care mi pot fi caracteri7ate exact şi care an la bal:' următond principiu de IIIc(lmpalibililale "Cu CIt com plexitatea unUI sis­ tem creşte cu atît capacItatea noastră rle a face propoziţii precise şt ('u semnificaţ I e despre comportamentul său descreşte pină la un prag dmcolo de care precizia şi semnificaţia (sau relevanţa) rlevm caracteristici aproape mutual exclusive". Zadeh cousideră ca element cheie al gindirii om�neşh nu numal ul ci eticht"te de mulţimi imprecise, adică de lIlulţimi la ('art- tre­ cerea de la x E .lI la x .ţ. .11 este graduală. Ba7a ontologică a nnl" ase­ menea logici \ a h teOria mulţimilor JUlpreci::.e Logica va av�a cleei \ alon logice Imprecise, funcţii logll:e Imprecise şi reguh de JUft!rt!uţ ii Imprecise. I:I consideră efI ceea ce este Important în prelucrarea nnei 1I1a�c de lI1formaţii nu este uu lUalt grad de Imprecizie, CI faptul relevan t 'II aproximaţia. Etapele elaborărll J. i. ( 1 ) folosirea vanabilelor ltngvistue În locnl celor numence sau împreună cu cele D1lmerice, (2) caracterizarea r�l aţiilor slJllpl� Ultre , a n.Jblle prm prOp07lţll cOllrllţlOnate IlnpreClSe , (3) c.Jracterizar",a relaţl1lor compleJ\.e prIn algOrItmi de i mprecizie lit/i­ ,O \"ariabllă Imgvistică ",�te rlefinită ca {, vari.,­ II/tia variabil, i li IIgt' isliC<' lJiJă ,llt· c.hel \"n lori sînt l'''pn'si! intr 1111 li mhaj natural sau ar tiiH'iaJ " ' . D e cx . cudntul Îl/iiltimc este o \ ariabilă lingdstică L U valori ('a î'l'lalt, tlU în alt, /oarl,> Î"alt, 1111 Pi'l ll Înalt, e,llrcl11 dt' Înalt, deslul de Înalt t-tc CU\ in!t')e din limbaJul lIa/1tI 01 (v ) �mt un ft!! de descripţii Sllm an' ah.. unei �u bll l ul ţi mi illlprecise .11 (x) din UUI\ ersul d l sc u rs ll lui ( Uj .NI ( r) flilld 5r11'1 m/lcatw l n i I (on 111aI c:.act extenslllnca lUI r) De eA.. Jl (fIoart» , _11 (r0'lul reprezint.l sublll ulţilllile pentru /la(trE �l re'l)' j'u�u. Floano roşie este o I1ltcr�ecţle (IL J / (floare) 7i M' (roşu) ( ,floare c,;te o varia l)JIă pc 1I1111ţi111ea culorilor }'rupozlţiile an �( l1mificaţii imprecise, de e:. "dald x nu l ,te pred m are atuncI y este extrem ele mar,," AlgontmlJ \ agl constau dlu mstrucţllllll a c :iror ",,,ecutare dtpmde de reguli compoziţiouale ŞI de regula altern ati\"u prepondcrente. Ex J Redl1 puţin pc x dac:, y este 111 3re I 2 l'ă �:t crea�c:i x foarte pllţm <Iad, v I1 U (.�lc uici prea 11101 ( , 11ICI Pl l a IIll e :� Dac:, , e-tt. /Ilie, atul1cl �H,p I Altfel f,1 să crească .l cu 2 I LOG.IC.::� , j� TIl,Ell:"\RILOH sau eroletiNI (gr. rrrdema - mtrelJart ) , 10b ică �i �ată la stuJIUrilti:re1!.llnŢijr ··A ros'f-:�ligeflnă ,kXtistotel in legătur.-, ClI "silogisl1lul dialectic" ( = cu premise interugatÎ\'e) O întrehate este () propoziţie pragmatică l a care se cere 1111 r{lspun,> NoţIUnile de intreoare şi /'dSPIl/7S SInt corelatÎ\'e (pot fi definite numai 1111..t relativ la alta ) . Orice I n trebare an nu conţiuut illlperati\' DIstingem intre judcc ata z nt{'rogat�vă LOGICA UIPRECIZR � I I


1 7'l

LOGICA

IN'l'RFBAIULOR

.';oi forma gramaltcală a .IJ/de�ii!1I Hllerogafwi!. ]udec1'lţile mterogatl\ e pot fI C:K.prW1ate în form[l proprie de propoziţii in te rog ath'e sau În alte forme optabve, normatil'e, Imper ativ c Exemple ( 1) Estt. 2 X 3 = 6 ? (formă i nterog ativă) , (2) Aş u0ri �ă ştiu dacă 2 X 3 = 6 (optativă) , (3) Trebuie să răspuuZl dacă 2 A 3 = G (normativă), (4) Spune dacă 2 X 3 = G I (Imperativl) . :-iu exist:! încă un sistem de logic ă interogativă elaborat c omp le t , există o probl'�mntică sistematizatl "i unele probleme clarificate. Numero�le �tudri existente dderă adesea foarte mult atît în ce priveşte termmulogm Cit şi modul ue abord31e a Întrebărilor Principalele probleme sînt I Fo rm a log. că a J udecăţilor interogative, 2. Yaloarea l udecăţilor mterog;ltive, 3 SUPOZiţII şi răspullsuri, 4 Clasificare .. j udecăţilor inte­ rogatlw, 5 . Relaţii la î ntr eb.1 nle Lli alte felun de judecăţi, în splClal de�­ cnptlve. 6 Rel aţii logice Între illtreh[lri, 7 Calculul Întreh ărilor, Proble­ matica illlltă logica pur:i, dar ca toate l oglc il e particulare ( = aplic ..te) J, i. ,:�l" dm punct d e ved.:r.: formal o SIIbslmctl/ră d structurii ' 0o(ic i i �t tlIo l wl (logica bivalent:i t ,) t,d ă) 1 . F.Qrm«-h2l:.lfi!:., O Jud.:cat:'i m t erog a tiv ă constă dm dou.:! părţi : p artea desrripti:" i �I parte,{ intl'Yi>gativd (oper atoru l imperativ al întrebării) . Part<:a descrip t i\' l e�te sau o propoziţie nemijlocit d escri p ti vă (de e'C .. 2 y 3 = = 6") sau supoz iţi a cullţinu t:, I1 l 1eU l at HI IU trebare (de e'C . "Care este cea mai mare vict o rie a lUI X"polcoll ) p resu p une unedlat că "există cea mal luare victorie .l lui Xapoleou") . Partea Ill terogath',l este reuat.l fie priI! operatorul " ? , fie princr-o expresIe care reuă acelaş se us cu el, dupa CUIU se poate vedea din exemplele ( 1 ) - ( 4 1 Formd logică poate ii �irubohzată astfe l A ? i�\"Îdeut, .1 poate fi si m pl u �;lll compus :!. V,!l'>llrea Ju.4.ecăj.ilor jll{ţ;:�'galj".J .Judecăţile iuterogative nu sint mci adevăr .. te, nici false, ele siut co rect ' "dll incorecte Desigur nillllc nu ne im p iedIca să le numllJl adevarate �all JIlI.,e dar .lceste cuvinte lIU vor inseruu,.. acela�1 InCrLl Ld 111 logica pllră. l'rohlc.P1a definirii corectitudlUl1 sau ,"corectitudinii uu este rezolvată satisfăcător. Cel mai mulţi consideră că '!<l po ate fi rezolvaU rela t h' la supoziţiile fabe - dacă cel puţiu u Sll!JIlZiţie este falsă ..ttmc i p ro poz i ţ i a e�tl' incorectă. Vo m admite că cele dOl1:l nrlţiulll sInt defi nite rela ti v la carcas,! dt' sttpoziţit (v ) a propOZIţIei. :'UP' lz l ţli l e pot fi rel ative la couţ i ll utul întrebării (de ex. : supozlţia iruediată), la r.l�pun�, la ÎmpreJurăI'i �i l a re� pon de n t (= cel ce Urmea<ld să r:hplLudă ) . � u L'Ju"lderăm C .:! o sllllpla s n po zi ţi e falsă po ate ,]"t"rmmd IUcorecbtu­ ulUea Judecăţii int eroga t l \ e a�a cll1n ,e considerl in l ite ratura existent,i.. Prop'Jziţia "Care dintre bătăliile hu � apol eol1 S-.l dat III C h i na , " conţine <,upoziţia falsă " Cel pnţin una di n tre bătăliile lui Napoleon s-a dat în (hina ' . Or, aceasta nu ÎmplediC:t răsp unsu l "NiCI una", ceea ce inseamnă lllduderea mulţimii vide iu r ăsp uns �e Î nţ e lege că avem 111 \' ed ere ră.>puu­ sIW.1e dirl'Cte şi nu altfel de r, hp u l l� ur i \'- 0111 c:ol1�ider.l Ca mc,)rectă o Judecatii lIlterogath'{' care couţine o pro poziţ ie de il11[losiblh tate �au la Cdre �te imposibil să dall l un răs p uns direct IaU astfel <le Î a t rehăn . \ li Dm ce cauză triunghiul are tre i laturi ? (2) Cu ce �cop plU ll:l 1 (�\) Care este poziţi .. ŞI impulsul p art ic ul el r Î1l momentul 1 ) (4) Ce poziţie are fiecare atom îu univers ) (5) Cn11l se afl,l \-OIUlIUll cercuhu ) Propoziţia ( 1 ) presupune că eXIstă o rel aţi e de cau Zd li t ate in cazul re�pectl \- ceea ce 6te imposibil şi, dec i , face şi r.:!spunsul direct i mpos ib i L Prop"ziţia (l) presu p uu e că ploa13 are un !ocop. ceed ce este absurd "i, deCI, r:l:;pullsul direct este imposibil. Propoziţia (3) p resup l 1 nc cii se p o at e determina �I­ multan po ziţia şi impulsul partlculei , ceea ce co nfo rm r el dţ i i l or lui Uel­ senberg este imposibil ŞI, deci, r:Asptlllsul este imposibil Propoz i ţ i a (4) pre�upune cl se poate determina poziţia tuturor atolllilor din unÎ\ ers,


LOGICA fNTREBARILOR

180

or aceştia fimd in număr infmit răspunsul este imposibil Propoziţia (5) presupune că cercul are yolum, ceea ce este I mposibil şi, deci, răspunsul direct este imposibil. Acestea sint intrebăn formal Mcorecte, altele sint Hlcorectc factual (în context) întrebărIle incorecte factual sint · a) cele care nu sînt inţelese de respondent, b) cele c are în principIU nu pot fi rezol­ yate de respon<1entul respectiv (de ex . nu este instrlllt pentru a răs­ punde), c) cele care în împrejurările date (momentul) nu pot fi rezolvate (de ex., "este x" -1- y" = z" demonstrabi1ă pentru o mulţime definit" de nUluerc ' ' ') . ConSiderind ansamblul supoziţii1or formal sau factual impo�l­ bile S putem scrie relaţiile Iucorcct(p) =<> S, Corect(p) =<> S' (unde S' este ansamblul supoziţii1or care nu sînt im posibile) . Cunoaşterea Sl1POZI­ ţii10r este necesară pentru răspuns De t'x "A învins Napoleon ]" Wa­ terloo in 1 900 ) " implIcă supoziţiile fabe a) X apoleon a trăit În 1 900 şi h) Xapoleon s-a luptat la Waterloo î n 1900. Dacă supoziţiile sînt cunoscute (se ştIe di sînt fal�e) atunci se poate răspunde prin "Nu" ŞI se poate ' justifica răspunsul ' ..<'l eoarece a .. Pentru J, i, prezmt:l .un an�llmt l!l�ereS stuulIll lhrect deşI nu putem face abstracţie de coreiaţIa cu Illtrebanle) ni supo7iţiiIor ŞI răspunsurilor, În special clasificarea acestora A S po i ţii H �, I.eonard defineşte SU POZlţ\3 ca "orice enunţ care este necesar pentru validitatea Întrebării", Iar L. Aqvist ca "enunţuri implIcate ele fiecare răspunsurI directe la Q" (unde Q este intrebarea) în general, este ,.,IPO­ ziţle oric e propoziţie llescriptIvă i mp lica tă de proprietăţile (PI ceru te intreh:irii . P(" q ? ") =<> .<' Supozlţule pot fI clasIfIcate după valoart a lo­ gică ; adaăra tt' Sd.U false (logic false sau factual false) . după cum sint 1> a u formale, sau secundal r , sUllan hce, sintactice sau prag­ mal!ct O cl a ifi c are largă st poate da ca la punctul 2. întrebarea .. Le suprafa ţă are masa ) " are ca sllpoziţie empirIcă "se poate măsura masa" şi ca supoziţie formală "masa are suprafaţă" Prima supoziţie este pn­ mară, a cloua ,ecuntlară (dec urg e din pri ma ) Supozlţia că se poate răs­ punde la întrebare este pragmatică, sup07iţia că răsp n � ul e�te aelevărat este semantică, iar sllpoziţia e,l răspunsul este întemeiat este sm t act i c ă (form ală) B Rtis/,unsl//'l . Probabil cea Illai Illl portantă c la i fican- a răs­ punsunlor e�te În răspull"un de tipul da - nu ŞI de tipul care. ] )e ex. " Este 2 / 3 � 6 " " RăspuD' Da " Care este "ol uţi .l ecnaţiei _\ . � 4 ? " Răspullslln 2. - 2 Dintre răspunsurile de tipul care un loc aparte il ocup" r.lsplln�urI1c e plIc atl \ e la intr�bările cu de ce Altă clasificar" a răspunsurilor e stc 111 I ăsPl/llsUI ' d'l t ctL (fIe prin da - 111/, fie prlll in\l ka­ rea o. actă a soluţieI) ŞI l(iSpU1!S1II l Indi recte (prIn de�cncrea zmpl;co'lfi a soluţiei) De ex " L are este rădăclIla eC ll aţl el .\ -1- O = 1 ) " . Răspuu _ di­ rect 1 , răspnn� indirect rădăciuo.l ecuaţiei este uu uumăr nd tllral n ast­ iL'! că 11 ))J ,1/ Răspu nsurile pot fi prrcisr sau tagi. Ex . "Ce greu­ tate dre acea�tă maşină ? ' Răspun� pn'ci� 1 000 kg , rlspulls vag o des­ tui cle mare. Răspun�uriic pot fi integJ alt' sau parţia"'- De ex "t'nd" ai fost aLi la ora 1 2 ' . Răspum integral ' al1\ fost să cumpăr zahăr, răspuns parţial am fost 1.1 magazi n Răspunsurile pot fi dep endente sau i licit /'ClI ­ JUlfc l le ex . . .. I�xistă \"iaţa pe :I/ arte ? " Răspulls ciad există cOI,d;ţiile c" CII atunci da, dacă nu există ct'1 puţin uua dm cundiţiIle 1 ) . . (" atunu nu Răspunsurile pot fi în număr finit sau tufmit De ex "Es1c fierul bun conducător de eiil(lur{," are un r:1sPUIlS finit Da . . . Ce J>rnprie­ t<.lţi are fieru l ? " List::t de răspunsun este potenţial mfInită 4 Cla,ificarea Jlldecăfilor z nlc./:oggt,ive. Judecăţile mterogative pot fI cla ­

�uPr=il{.( E r..�S.P!EH.!Jr..i

t ,UPIYlCt'

s

u

z

primal t'

u

s

Ă

sIflc'at�- (i-�pă ' dif;rit;-crit�-;:i'i

înainte (le

n

IndIca unele criterii vom .lis-


181

LOGICA IN rREBARILOR

tinge propoziţ IIle interogative cu caracter retoric de intreb:lrile propri u ­ zise O întrebare proprIU-zisă pune în mod exphclt o problemă care se cere rezolvată. Ne vom ocupa numai de acestea, deşi dm punct dc ved ere pragmatic pot fi luate în consideraţie toate propoziţiile interogative. în­ trebările pot fi cl asific ate în raport cu forma loglc:l a în trebării, în raport cu su poziţiile ŞI în raport cu răspunsul . Din punctul de vedere al formei, Întrebările pot fI st mple sau co mpu se. O Întreb are simplă conţine o parte descriptivă simplă, o în trebare compusă constă fie din mai multe în­ trebări simple, fie că are o parte descnp tiv ă formată dm mal multe pro­ poziţii. Exemple ( 1 ) Este 3 + 1 = 5 ? (simplă), (2) Este 2 -1- 2 = 5 ? şi este 3 + 2 = 5 ) (com puner e de întrebări) (3) Este 2 t- 2 = 4 ŞI 3 -+ 2 = = 5 ) (compunerea descripţiei). Pro poz iţiil e (2) şi (3) diferă în ce priveşte modul de a răspunde la ele : deşi ambele sint conJunctive : la (2) se cere răspuns pe rînd, l a (3) se poate răspunde deodatrt (există şi cazurr În care se poate răspunde numai pe rînd, pnn descompunere În Întreb.ln SImple. La propo zIţIa "Este 2 + 3 = 5 şi 3 + 4 = 8 ) " nu �e poate da un singur răspuns, ea trebUIe descompul>ă în două : "este 2 + 3 = 5 ) " şi " este 3 + 4 = 8 )" Tot conJunctive sînt ş i Întrebăril e Iterate şi ( ele cu operatori conjunctIvl ca de ex . , " cine ştie cine a inventat ti par u l ' ' ' şi respecth', "cînd şi cine a inventat becul electric ) " întrebări i.. pot avea fonne co mpu se negativă, conjunctivă, disjunctivă, Ipotetică ş . a Exemple de forme conjunctive am dat mai su<; (2) ŞI (3) , e x e mpl e pentru celelalte forme sînt (4) Nu este omul fi inţ ă biped ă ? (5) Este peretele alb sau galben ) (6) Dacă 2 + 2 = 4, este 4 - 2 = l ? (= este adevăr at că d acă 2 + 2 = 4 atuncI 4 - 2 = I ? ) înt re b ările disjunctlve -;înt complete sau

parţiale Cele complete enumeră toate posibilităţile (oe ex . . toate culo­ rile) cele incom pl e te enumeră numai o parte din p osi bi l i t ăţi (ca în ex. (5» . O d i viziune in teresantă este în întrebări call'goric e şi condttionate. ( 1), (2) , (3) sînt Întrebări categorice, (6) este condiţionată. Cond iţia se " po ate exprim a prin "dacă . . atunci", prm " pn:.. ; upunînd că . , pnn " ş a Exemple (7) Presupunî l1rl că. 3 + I = 5, cît fac " dat fiind 5 - 3 ) (8) Dat fiind că suprafap p ătrat ul u I este 4 m' cît es te l, tt u ra ? întreb ările pot fi claSIfic ate în rd por t cu supoziţiI le . O astfel oe clasifi­ care este împărţirea întrebărilor În corecte ;;all lIJcorecte. O c l asificare esenţială a Intrebărilor este dup;! caraderu l răspunsurilor. Toate clasifi­ cările răspunsurilor pot fi puse În core'pondellţă cu clasiflcared întrebă­ nlor 5 Re/atjiltt. 3.JJ!n!!ă!:por cu J*� jeli I l de ) udecâţz. a) RelalHle fnlrcbiil'ilor cu propoziţiile descriptive. Astfel de re laţii "e <;tabîiesc la nivel lIIetateoretic nu în cadrul unei teorii. Fie A în t rebarea 5i p o propoziţie p ( d es cri p ­ bv ă) , R o r elaţie vom scrie "A ' H"p" care înseamnă "Întreharea "A ) " este În rel aţ ie cu "P" (unde "A ?" 'lI , P" sînt numele întrebării şi respectIv propoziţiei) Putem conveni să folosim e x presiil e autonim ŞI să scriem A ) R p. De ex . A ) =o> p, A ) _ p în acest fel , rdaţiile dintre întrebări ŞI supoziţii au sensul Indicat P(A ) =o> 5, A ? =o> � h) Relaţiile întrebărilor Cit propoziţii deontice şz zmperatzvc Ca ŞI in cazul a) aceste relaţii se stabilesc la mvel metateoretic. Exemple A ' =o> A * ', A ? = O A * (unde A * este baza propoziţiei imperative sau deontice) 6 Rţl�n .logzce între .întrebărz Relaţl1le logice între ÎutrebărI se stabIlesc pe baza răspuns unlor Dintre relaţiile logice anuntim : negaţ13 unei în­ trebări, compatibilitatea Întrebărilor, Implicaţi a Î ntr eb ăn lor şi echivalenţa întrebănlor Negaţia unei Întrebări nu este () propoziţie descripti\'ă ci o intrebare a cărei supozlţie imediată este negltţla supoziţiei imediate a celeI­ lalte Întrebări. De ex "De ce al fost ieri la teatru ; " are ca negaţie în-


LOGICA LUI BOCIVAR

182

trebarea "De ce n-ai fost Ieri la teatru , " căc i sup oziţii le imedIate (ma­ tridle c um le uumesc unii) sint " ,eri ai fost la teatru" şi .. Ieri n-ai Îo�t la teatru" EVldent, negaţia nu se poate forma autom at ŞI ce re 111ve�tJgaţia modulUI in " ue trebuie pu să intrebarea pe lingă o supoziţie imediată. Fie in t reb are � ,Este 3 > 4 ' " Supoziţia imediată este "este pos ib il ca 3 > 4 ". Punîm. intrebarea trebuie să formăm o snpoziţie de imposibilI­ t ate pentru a ob ţ i ne negaţia . "De ce e necesar ca 4 > 3 ? " D ealtfe l urice ID tre b are cu răspuu � da - lIU pusă pe lingA o propoziţie ca tegor ic ă IIlL­ pl ic ă supoziţia Imediat:' c" "este posibil P " deoarece implică două posi ­ bilităţi de răsp uns da, lUt Din moment ce întrebăm "E�te p " , ID mod o bie cti v ( = independent de mtenţta celui ce întreabă) apare o �it\l aţle care ll-ar fi problematic:' d acă n-ar presupune o posibilit ate de alegere între rdspunsun. nouă 111 t rebări se află in relaţie de compatibllztate d ac ă {. I e nu au supoziţii care �:, se nege reciproc. Notînd întrebările cu Q I ' Qz, p u tem tormaiIza această afirmaţie astfel ' Comp (Q., (lj) = 3" 5 (Q, =<>

S "'- Qj =<> S) LOUd Î n t re bă r i se află în relaţie de implic a ţie dac:! ră�pulL­ uneia Implică rdspunsul celeilalte Fie R Q, răsp nns u l adevărat la ,) întrebare (}, Funnalizăm ' Q, =o> Q, .",. R Q, => R Q,. E xe m pl e "Hste 3 > -1 ?" =<> " I;l>te -1 � 3'" fn tr- ade" ăr , răspunsul , , 3 :> 4" lIuphc l pe ,, 4 � 3" Două întrebări se află în relaţie de echivalenţă d acă rt.spunsurile lor se I mpl ic ă reciproc. în treb ările de 111ai sus se află şi în rel aţia de ecll1\ alenţ;[ clci 3 > -1 ..... -1 � 3 Două întrebăn sint identice dacii răsp un"u­ rile sint IdentIce Q, == Q, .",. R Q, == R Q, în stabilirea relaţiei de mai Sll� este imp ur t an t să se reţmă că răspunsul prin da es te un mud prescurtat de a a�erta o propoziţie, iar răspunsul prin nu este un 1110<1 prescur tat de .i respinge o propoziţie ( slDlb olic . I-P, -i P). Î. Cal.c!tlul înt�/or; J mitînd logica pură, calculul întrebărilor poate fi un algoritm destiuat s1 stabilească anumite proprietăţi ale întrebărilor (de e-r corectitudinea, Illcorectitudmea, faptul dacd o anumitl relaţi" are l uc Între intrebări) sau nu calcul a nomatic Aceste calcule �e COtlst I t ll lt' d up ă modelul calcululUI standard şi în corelaţie cu :lce,L, ])'1111 c l t e\' a metateoreme în leg ă tu ră cu propnetăţile intrebărilol ( 1 \ Dac:, 1 este o t autologi e atuncI "Este T I l O are totdeauua răspun� u l da, (�) Vad =-

sul

este o contradicţie atunci "Este C , " are totdeauna r:lsp u n ,u l (3) lJ:iC:! P e ste realIzabil:! atImel ,,1:,te P ) I I are fie r'i�pIIII�ul 0'(1

C

/I i i ,

fi,>

in depe ud enţ ă de precizarea m atricei, (4) Orice î n treba re este echJ\ .,­ len tă cu sme ' A ' ..... .el " (5) Orice 11ltIe bare este identIcă cu 'iine A ' == 1 ; ,

nu

�6) il ? == B ' =<> A ' .",. n � (reciproca nu este , alabilă\ Calculul �e (le/ \ olt < in cont11l11 are prin cercet area relaţIIlor d11ltre oper.ttorul " ; " �I o pt- rat urii logicIi pure precum Şl iu wrelaţie cu calculul propozlţulor Lli �alclll\ll predicatelor, CII mod ahUţ l le, cu logici1e polivalente , cu teori.1 1llulţimilor 5.a. Există, de a'iemenea,\ <.ercet.1n semantice şi p ragm at Ice asupra între­

bărilor. (Pentru 7 , ::-ruei D. Beluap, Thomas B Streel Jr n'e LogiC of Questzons and A nswers) . J,OGIC'\ LUI BOCIVAR, IOglCd tri v al en tă cu valorile R (ade\'ărat) , I (f a l s) şi 5 (a6sufU) c!:e�unată Sd analizeze p aradoxe1e dm teona lIlul­ ţimilor (respectiv logica predic a telor) . Bocivar imparte propoziţiile in clasice 51 ne( lasice.


LOGICA LUI ROCIVAR

183 P ropoziţii clasice (in te­ rioa re)

l'ropoziţii neclaslce (exterioare)

A non-A A şi B A sau B dacă A atunci 13

A est e A este A este A este dacă A A este

adevărat fals

adevărat şi 13 este auev ărat ade v ărat sau B este adev ărat este adevărat, B este adevărat absurd .

Se obser v ă că formet .. A este absuru " nU-I c ore spunde nici o formă interioară, aceasta expnmă propoziţii paradoxale de gennl ('propoziţia scrisă în ghiltm ele ascuţite pe aceast ă pagină este falsă �. în acest caz propoziţia nu poate fi separată de metapropoziţie. Propoziţia este absurdă, "fără conţinut". Celelalte forme merg pe linia sche mei lui T arski W ("P")== == P (unde W = adevăr). De ex. W{P & q) == Wp & Wq =: p & q Vanabilele vor fi p , q, 1', • . • • Func torii sint la rîndul lor . clasici ŞI �le­ clasic.. 1 . Functo rii cl aSIci � (negaţia), n (coIlJuncţia) . U (disjuncţia) , ::::> (implic aţta) , ::::> c (echh alenţa) . 2. FUD ctorii neclasici f- asertarea ( "este adevărat . . . "), -, (negaţia), 1\ (conjuncţia ), " (disJuncţia) , _ (implicaţla), .... (e chivalenţa) , == (Identttatea logică), ! (ab"urditatea) , -

(negaţia asertării)

p -p -- --R F F R S S

3 Deftruţlile funcţiilor

R F !:o p n q --- --H RES F FFS 5 S S !:o

de

bază

P lP -- --F R R F !:o F

f-p P -- --H Il rF F S

4. Deftniţiile celorlalte funcţii se <Iau prm lH'gaţie şi conjuncţie. în loc de valorile R, F S, putem utiliza nUDlere cu I �c d;l defin ţii arttmetlce' VOI11 considera Il = 1 , 5 = 2, F = 3 (1) - p = 4 - P Se obser v ă că dac.! P atuncI p = 2 etc

(2) IP (3) f- p

=

=

{ {1

3 dacă p l dacă p

dacă. p 3 dacă p

= =

=

1 s au P 3.

=

=

.lhmC I p

1,

��

3. dac:i p

=

2

1

bau p =- .; (4) P () q = cea mai slabă , aloar<: (hntre "" , q iordmea slăbim 1, 3, Definiţiile funcţiilor necJasice ( 5) P A q = (6) P V q =

(7)

rS)

P

-+

q

=

=

'r-- P n H 'r--P u f-q 'r-- P ::::> 'r-- q (P -+ q) n (q

p ..... q = ::IIatricea pentrn

! p este

2

2

(9) P == q

=

=

=

-+

I P --+ q) () ( � P +--> - q) u l P)

( 1 0) J, P - '-p ( 1 1 ) P '" 'r-- p .

P) P

iP

1 2 :J

,) 1 3

2) .


18-1

LOGICA LUI BOCIVAR

}1,fetateo reme ( 1 ) Dacă A este absurd atllllci � '1 este absurd. I-A este fab �I i P este fals (2) .ti li � este echivalent cu 5 (3) Dacă uu argument este absurd atunci întreaga formulă claslc.l este absurdă. (4) Nici o formulă clasică nu e demonstrabilă in calculul lUI Boclvar (5) Nici o formulă contradlctorie nu e demonstrabilă În calculul lui Bo­ civar. (6) O expresie va fi neclaslcă dacă conţine cel puţin o funcţie neclaslcă.. ( 7) Once formulă clasică este izomorfă cu o formulă neclasică. (8) Conform cu (7) toate legile clasice sînt valabile în sensul IzomorflSmului în calculul necla�lc Tautvlogll ( 1 3) R -+ R = R ( 14) F _ F = R ( 1 5) 5 -> 5 = R ( 1 6) p ..... I- P ( 17) -P ..... ,p ( 18) P li q ..... p A q ( 1 9 ) P u q -> p V q (20) (P => q) -> (P _ q) ( 2 1 ) � P == ! � P (22) � P -> 1 1 P

( 1) P - P li q (2) P li q - q li P (3) (P _ q) _ (P li r _ q li r) (4) « P _ q) li (q _r) ) _ (P _ r) ( 5) q _ (p _ q) (6) ( P li (P - q) ) - q ( 7) P -> (P V q ) (8) P V q -> q V P (9) « P -> r) li (q -> r)) -> (p V q) - r ( 1 0) P -> (P -> q) ( I l ) ( P - q li p -> q) -> p ( 1 2) p V P r:xistă şi tautologu mal

( 2 4) - ( p U - p) (2 5) 1 ' ( P U � P) (26) 1 � (p V 1 P) (27) � (P u � p) == l(P (28) ,l. (p U - p) == ! P ( 29) (p == � p) == � P

V

(23 ) ! p -> Î I-P

complexe

lP)

( 30) (31) (32) ( 33 ) (34)

(p ..... � P) = � P (� .} P - (p ..... - p)) == � P « p u � p) -> (p ""' � P) == .} p (p -> lP) == � P ( I-P == lP) == � p)

Se observă că formulele (21) - (23) pot fi tratate ca dlfente moduri de definiţie a absurdului. alăturt de formulele (29) - ( 34) . Pentru anahza paradoxelor sînt importante următoarele formule (35) (p == H) == l P ( 36) (P == � p ) ..... � P (37) � P -> (p -> q) ( 38 ) 1P -> (p -> q)

( 39) � P -> (P -> q) (4 0) (P == q) -> (� P == � q) (41) (P == q) -+ ( ! P == ! q)

Calculul este extms la predlcate du pă. cum urmează . \ ariabIle indivi­ duale 'f. y. Z. • • varIabile predicative . f. g. <p. </J. • • . • cuantori cla­ �icl ( 'f) . (�x) ; cuanton neclasici ' "Ix. 3x. Citirea cuantorilor este ur­ mătoarea ( 'r) f ( x) · "pentm orice x. x are insuşirea f. ($x) f (x) ,,1"-


1 85

LOGICA LUI RFICIIENBACII

xlstă x astfel că x are însuşirea f, 'Ix f (x) · "pentru ollce x, f(x) este adevărat, 3x f ( -r) ' "există x astfel că fIx) este adevărat.

Definiţii. 1 . (h) f(x) = - ( x) = (x) 1- fI x) .

f( x) , 2 3 x f(x)

=

($x) f- f(x) , 3 Vxf(x) �

La tautologitle de mai sus 'le adaugă expresule universal adevărate : ( 4 2) (a) f(a) -+ f(b), (43) f(b) -+ 3af(a), (4 4) ! (a) f(a) -+ 3 a ! I(a) , (45) 3a ! f(a) -+ .\. (a) f(a) . Reguli de deducţM. 1. Dm p şi q rezultă p n q , 2. Din p ş i P -+ q rezultă q, 3. Regula substituţiei pentru cele trei felUri de variabile (ca in calc ulul clasic), 4. Din P � q rezultă p -> (a)q 5. Din q -+ p rezult! 3 a q -+ p (în 4 şi 5 a nu apare în formnle legată ) LOGICA LUI LEIBNIZ logica fonnală expusă de Leibniz îu spintul maTetiiiiiIic i (aritJiietic gebrei) . PrinCipiile de bază ale 1 . lui 1• • sînt . 1) fonna 5 este P este mterpretată ca p,'edicatum inest subiecto ( = pre­ dicatul e'lte în subiect), 2) utilizarea unui simbohsm universal (�harac­ teristtca unwersalzs) după modelul algebrei, J) introducerea calcululuI în logică (calculus ratzoctnator) Simbolismul algebnc e.,te extins de Leib­ IlIZ asupra logicii pe baza analogiilor dintre operaţiile şi relaţiile .tritme­ tice cu operaţiile şi relaţiile logice. Simbolismul lui LeibnIZ nu este IZ­ butit tocmai din cauză că s-a ţinut prea strins de această analogie, pe de altă parte el s-a menţinut in fond în limitele logicii tradiţionale. Totuşi el a izbutit să formuleze simbolic multe legi logice şi opera S,l constituie, prin movaţiile ei, inceputul logicii simbol ice. Din n efe ricire, ea a fost descopentă ulterior întemeierii logicii simbolice de către G Boole, astfel că influenţa ei n-a fost pe măsura valorii. B. RnsseJl ŞI L. Conturat au reabilitat-o în parte ŞI au lansat-o în circuitul culturii logice universale. La aceasta a contribuit ŞI faptul că opera lui Leibniz conţme încă destul de mnlte sugestii pentru dezvoltarea logicii sim­ bolice. LOGICA LUI REICHENBACH. logică trivalentă cu valorile I ( adevăr venficat), 2 (fals verificat) , 3 (imposibil de determinat) . Numărul funcţiilor introduse este mare : N� (n egaţi a ciclică) , Np (negaţia diametrală), l\'� (negaţia completă) , (conjuncţia), (alternativa) , (implicaţi a standard) , (Imphcaţia alternativă) , (cvasii mplicaţia) , R�q (echl­ valenţa standard) ŞI (echivalenta alternativ ă). Definiţiile matriceale sînt următoarele :

Kpq R�q

Cpq

Apq Cpq

_p_ l 2 3

pq l l

2 l 3 l

] 2

2 2 3 2 l 3 2 3

3 3

) Kpq ) Apq ) l

2 3 2 2 3 3 3 3

l l I l

2 2 l

2 3

1

2 3 l l

3 l l l

� Ni>

C},q

Np

3

2

2 l

3

l

3 3 l I l l l l

2 l 1

Cpq ]

2 3 2 2

2

2 2 2

R}q

R� q

3 2

3 3 3

1 2 I

2 3 2 l

I

l

3

3

3 l


LuGiCA MICROFIZICII

186

1 autologl t

Rf,,, (Identitate) Rp .,,'� N� (dublă (3) R� Xl NI N} (.f) R' xi, Na N3 Nj, 1)

( 2)

( 5) A."

(6) R' (7:

1

J\'p

)

(terţul exclus pentru N')

X� AN� 11." N� A" l\'� NI Nt 1

( 8) /(' -1 P (q)

negaţie

1

� (excluderea c vartului)

N' N� 1I."p J \ I I,'p Np

( 1 0) X3 Kp .\ 1

11.'�

!{p

(exclu d erea contradlcţlei)

si, c-\" Kpqj [ -{ .Vp " � ; [,\ ' A pq] [l{ ,V� X;]

( I l) ( 1 2)

( 1 3)

=

( 1 4)

}

LegIle dlstrihutivităţii

/(l O Spq CI ., ;" RI CI Npq C" .\ �."

( 15) ( 1 6)

( 1 7) R I ( 1 8)

11'-

( 19)

N'

}

(torm;! 'peclal:, pe nt ru reguhle lUI ;\lorgau)

pe u tru

Apq

�i

I{pq

( reguI ll� cOlltrap ol lţlei)

R�q K G�p (.,�q R�q KI\� (PcI C!p 1': (,! _\ � .'v � l ! �\ � ..\'p Cpq NI N" A Spq l(li70h 'Ul a hu phcaţid)

:\r� :\� J

( I C� ( ' Cp Sp Np

J

le

(reducti,) .ttl ab�llnl u lll)

}

(legile dizolv:1m echivalenţei)

LlaMflcarea expresnlor IdentIC .tlle, :.rate, 2 Ideutl c fabe, J ideutic n ede t e r minat e , 4 nUlllal ad e\ ăr•• k sau talse, 5. numai adev:lrate san lledetcrlllinate, 6 U'llllUi ialse �au u .:d e t ennin ate , 7 . •t d e\' ă r a te , false sau

'

llt!deterl11inate. DeşI r('gulilt! Illgicii "înt ale lIUCI logici triv alen t e legile microfizicii sÎl1t tOt'IŞI numai în t <"rmcnI de , , 1(lev ăr-fnls" e xpril l l at e .

I'eutru cazul cînd p, q satisf a.. formula l ' .1 " .'v complementare. Com plementaritatea pentru trei

]{ CI Ap

Aq �

N�

P NI N�

ele se

propoziţii

Ilumesc

este '

NI .l'v ]li N NI COlllplementantat.:a 1lI cazul limltdor de c-':,ictttate es te CI A [(el , t) = 1t � [Nl (.:1, li = 1I J :\" SI t) = v} (unde el, , , t &Înt v arI abile şi u, v rt'zlI!tatul lllJ.Sllrii) .

'

[te',

J.!!GI�A AIICllOFIZICU, !>1stem de logică polIvalent:! Inspirat de lUI­ cIofiziCă' Anumite fap� sau in terpretări dat e de fizideni ace�tor fapte dm fizica mode rn ă (cualltic-relath-istă) an st î rn I t lllteresui logicieuilor lina dmtre tendinţele l ogi cii moderne este de d ccrceta în ce măsur:i s tructu ri l e logice (d eterm i n ate prin axiome for m a le) pot fi extmse dm­ colo de nl\'cllli pro poziţiilur J în s peci al al propoziţiilor cognitive) Se ş ti e de lJIult cJ furmu l e logice iu.lte in p arte pot căpăta interpretăr I la dlfente l I h-d" ,1.: realit.l!t: (ubiec tÎ\'.l sau sublecti\' ii l "-"Uel, � I nt prill-


LOGICA l\JODALA A

1 87

LUI

GR. C.

MOiSIL

C1Plile A == A . A & A. A V Ă ş a. O mulţime ue formu le logice determin ă o structură. Cea mai cuprinzătoare structură este cea a logicii bivalente, orice alte structuri dogice . sint nnmai tsubstructuri . ale structurii bivalente. Putem considera axiomele H-A ca defInind structura biva­ lentă sau structura logică «standard ., cnm se mai numeşte. A " ( p V p) --+ p A . f> --+ (p V q) A3' (P V q) --+ (q V P) A.. A.

( (r V p) --+ (r V q» Fy 3x F?

(P q) '!Ix Fx --+

--+

--+

A •• Fy --+ R1• Snbstituţia R. �lodus ponen�

Dacă anexăD1 �i axiowele modalităţJ1 ( v log,ca modalei) obţinem loglul standard totală. între teoreme se află P == P. p&f şi P V p. Dacă con­ fruntăm această structură standard (totală) cu anumite corelaţii care nu privesc propoziţiile sau predicate de propoziţii ( deci şi metapropo­ ziţii1e) atnnci unele dintre form ule nu se nlai aplică. în 1 926 Heisenberg după discuţii indelungate cu Nlls Bohr a formulat .principiul nedeter ­ minării . . exactitatea determinării coordonatelor particulei şi exactitatea determinării impulsului sint mvers proporţionale. Dacă luăm măsurile «inexactităţii �, atunci produsul lor pentru poziţie şi impnls dă constanta de acţiune a lui Planck. O corelaţie analoagă are loc pentru determi­ lIaţiile twnp şi energie. La rîndul său Nils Bohr a formulat tprincipiul complementarităţih ca inevitabilltate a caracterului contrar (comple­ mental') a l reprezentărilor macroscopice şi microscopice despre substanţă, în speţă complementaritatea corpuscular-on dulatoriu. Pentru orice deter­ minaţle fizică există o altă determinaţie astfel că ele au sens (există) numai nna raportată la alta şi ale căror proprietăţi tind să se anlhile 7e reciproc (sînt de "sens mvers"). Ambele principii par să afecteze atIt formula p V fi cît şi formula p & p. Dacă notăm poziţia cu p ŞI im pulsul cu z atunci propoziţia conjunctivă p = II & Z = 1 (unde II şi 1 �lnt valorile exacte ale lUI p şi respectiv i) nu este ade.... ărată. conform cu principiul lui Heisenberg. Pe de altă parte, dacă conjungăm propoziţiile "suhstanţa este corpuscul ară" şi "substanţa este ondltlatorie" conjuncţia pare con­ tradictorie, avind in vedere implicaţiile : corpuscutar => ne-ondula tor , ondulator => ne-corpuscular. Or conjuncţia este valabilă conform cu principiul complementarităţii. Unii fizicieni şi logicieni au conchis de aci că logica standard nu mal este valabilă pentru asemenea situaţii. Cd aCI trebuie �ă luăm in considerare alte lOgiCI. Cii este vorb.! de altce\'a am arătat-o în numeroase rînduri. Vom expune totuşi o «stmctură lo­ gică » adec\'ată unei asemenea situaţii din fizică, anume logica luz RelChen­ bach (v.). AmlDtim că există diferite formulări de 1. a m. date de Birk­ hoff, Neumann, Destouches- Fevner, H. Reichen b ac h , Peter Mlttel­ staedt (acesta pornind de la logica dialogului a 1111 Paul Lorenzen) (Y. logica IUJ Relchenbach) . LO(ilCA :U:�D�LĂ A LlJ.1 GH. �f�L. sistem propriu ele logică mo­ dalăCOiiSUfUH, fn 1 942, de Gr. C Moisil şi la baza cărula aşează ope­ ratorul 5 ("poate fără"). Moisil adopta si m bolismul de tip Lllkasi ewicz. I Simboluri. 1 . x. y. z, variabile propoziţionale, 2 S, 'l (imposibil) ,


LOGICA POLIV ALEN'l'A A LUI POST

l R8

(contingent), (1. (po!>lbill , v (neceSdr) , N (nu), C (Implică), l\ (ŞI), A (sau) , 2. Defzmţu. l . Sxy = /(xNy , 2. "l)x se defineşte implicit, C"I) xCxSxx; CCxS­ X:f"IJX 3 . yx se defineşte Implicit: CyxSCxxx, CSCxxxyx. 4 IL = 1)"1). 5, v = yy. 6 Adevăr = Cxx 7. Fals = 5xx Se iau ca axiome iniţiale, axiomele !agzcu pozztlVe (v ) şi dou:' aXIOme (ultima sub formă de schemă de deducţie) pentru 5, A x, - A Xn A x, - A x sint cele ale logicii pozitive. CzA xy . _ Iată aXIOmele pentru S A xl• CyA Syx.'f , A "'<l l . --- . Regulile CSzyx de deducţie sînt modt� s ponens, regula substltuţteZ, regula adJ unctle, in Ipote::ă, regula adJuncţiet concluziilor, regula sllogismulltZ, reg ula substz­ tuliei în sch emă ŞI reg ula aserliunii (v ) Exemple de teze pentru 5, "1], y CSxyx ; CSyySxx ; C"I)xyx ; "I) .'> � x (falsul este Imposibil) , Ayxx (prinCIpiul modal al terţului exclu�) . La axiomele A , - A n se adaugă axiome pentru 1'), y, (1., v, şi se demonstrează teze corespunzătoare Sis­ temul este numit " logică lIIodală generală" �i prin anexarea de alte axiome se obţin numeroase alte sisteme mai tari ( Gr C. Moisil , Incercărt vechI SI noi de logzcă necla5ică, 1965) . LOGICA POLIV��:!..�.�Ţ1.. !�_ �,!JllOSl', logică n-valentă con!>trUltă por­ nma"de la semnificaţii abstracte ( .. obiecte abstracte") 1, 2, 3, . . , n (in genere, n ;;:. 2) Există o corelaţie a acestor valori cu logica bzvalentd (\ ) l n Simbol de enunţ p care ia n \ alori logice poate fi corelat cu o clasă de n - I enunţuri bivalente P I ' p" , P .. - I Dacă p" . . , p .. - I IdU tOdte valoarea auevăr atuncI p are \ dloarea 1 , dacă unul din ele nU1l1ai la fals atuncI p la valoarea 2 etc dacă toate sîut false atuncI P la \ aloarea n . y

FI/ne/ It

I NegaţI a clclic .l ,:\ PI •

{p

I dac ;, I <:: P .;;: n - I I dac.1 p n -,

=

2. Alternativa A pq = nlln (P, 'Il Sistemul e,te funcţional complet :\la­ tricea negaţiei ciclice este unn?,toarea

P

,\ �

2

2 3

n -

ti

11

Cind 11 = 2 sistemul dennc bivalent Tautologie (in sensul lui Post) în­ seamnă o expresie logică cu valoarea z ( 1 .;;; z <: s) şi I <: s < n. Se înţelege c.1 I şi s sînt indicate exact (5 poate fI > 2) . Funcţzz definite. 3. )/egaţia simetrică N� = n - p + 1 . 4. Conjuncţia Kpq = max(p, q) . Fuucţiile sînt generalizări din logica bivalentă. Legt ale negaţiilor nNlp= = p , N2N2p = p, Sistemul a fost axiomatizat Faptul că Post operează cu valon abstracte nu trebuie să ducă la concluzia că logica renunţă la propoziţii ŞI la valori logice, este vorba doar de un mod de abordare, LOG ICA l'UEDU:ATELOH, logica legilor de raţionare În funcpe de struc­ tura propoziţiilor elementare de intensiune (ex. "x are proprietatea P" .,au " x !>e află în relaţia R cu y"). L . p. cuprinde ŞI logica propoziţiilor


LOGICA PREFI:RIN rEI ca pe un cadru mal larg O caracteristi că a J. p. e,te utIlizarea de cu"n­ ton (v. ) . în dependenţă de diferite criterii. J . p. poate fi conceputl lUai ingust sau mai larg. Distingem mai intîl J. p. de diferite o rdin� . 1 . p. de ordinul unu. de ordinul doi etc L. p. de orumul unu cuprinde v anabile de indivizi ŞI vanabile predlcatlve de Indivizi : x. y. =. . �i resp. F, G, H, . . . , Iar cuantorli se aphcă numai variabilelor individuale. 1.. p. de ordinul doi cuprinde aceleaşi simboluri ca şi J. p. de ordinul unu, deosebirea constă in faptul Cd pot fi cuantificate şi varial)1lele pr�­ dicative (ex. VF F(x». O posibilitate de a extinde ordmele constă În in­ troducerea de predicate de tip superior, adică predicate de predlcate (ex. <p(F) , cjI(F, CI) Ordinul trei &e obţine prin cuantificarea predicatelor de tipul trei (adică predicate de predicate de indivizi) L. p. de ordinul unu poate fi concepută Inal restrins sau mai larg a) logica pură (nu conţine variabile funcţionale pentru termem, nici relaţii detennmante) , b) logica cu variabile funcţIOnale şi cu relaţia de identitate (ex: . [(x) , g(x, y). == (x, y)) în dependenţă de numărul variabilelor individuale Id care se aplică cele predicative. logica predicatelor poate fi rlivizată în 1. 11. IUonadice (F(x), G(X)) ş i 1. /1. n-:lchce (n :;;, 2) (ex F( r. y ) , (; ( :( . y . zI)

logic<l aplic ată la relaţia de preferinţă : x este preTerallif lui y. Interesul pentru studiul logic al acestei relaţit apare în că itI 1 optea lui Aristotel 1\a a ..ttras, de asemene a, atenţia unor econo­ llli�ti cllll vremed noastră în legătură Cu teoria utilităţii precum )1 a de­ ciziei sociale . Stud I I speciale aparţin lUI R l\I Martm şi R :\1. Chis110Im din S U A Se porneşte rle la prefennţă în sen� strict �i �e inţelege Intuitiv Cd " x este preferabll In �ens larg lUI y' dac ă "y nu este prt:­ fer abil În sens strict lUI x" �otîtld relaţiile de preferinţă III sens larg cu Q, În sens strict cu P şi de illdiferenţ;L cu I putem studia ace�te relaţii pormncl de la logIca relaţiilor (v ) În genere , î n phlS, vom ţllle seama de po�tulatc privind domeniul speCial de aplicare a relaţiilor I 'V l'y (xQy v yQ,1,). Postlt/ate generale I Vxyz (xQy & yQz -+ l'Qz) . 2 3 'Vxy ( xly = xQy & yQx) (rlefiniţia lUI 1), 4 'Vxy ( l'I'y = }i]X) (defmiţia hu Pl. Relaţia 1 este de echivalenţă, iar Q ŞI P sînt de ordin,; Ca urmare, I e�te refleXlvă, simetrică ŞI tranzitivă. Q e<;te treflexivă, nesimetrică 5i tranzitivă, iar P este ireflexivă, aSlmetrică şi tranzihvă. Alte teze sint Vxy (xPy _ )-:-Px) . 'V ry ( , ly -+ ( x I'y V yI'x) ) , "1\)'= ( t iy o.: v!)::� -+ � Pz) ; Vxy z ( rly & ZPl: -+ d'y) • Vxy ( t Py -+ ( xIy V "Il' 3y ( x Py ) , V yp7}). Dacă x este cOlUplementar lui x atunci ' a) xPx & xpx . b) rPi V xP � , c) xPy & x i>y , di l'Py -+ xPy E xemple pentru aceste for­ lIlule Fie x "a avea 1 0U lei " , y : " a avea 5U Iei" Referinţa depmde de context De ex , avem conte"tlll în care cineva este în magazm pentru clIlllp.lrături şi conte xtul Îl1 care cmev.! este JefllIt Este impOSibil să prefen a avea 1 00 lei lui a nu avea 1 00 lei. ŞI. în acelaşi hmp, să pre­ fe�i a nu avea 100 lei lui a avea 1 00 lei (formula a) ) Formula 1?) este eVidentă Formul.! c) . Este imposibil Sd preferi a avea 1 00 Iei lUi a a\'ea 50 de lei �I să prefen. În acel aşi timp, a avea I DO Iei lUI a nil avea 50 Iei. Dar în ce priveşte ordinea preferinţei nu este impo<;lb�1 .�l prefen a avea 50 Iei lUI a avea 100 Iei (de ex . În contextul ! efulrl1) rormula d) : Dacă este preferabil să al 100 Iei lui a avea 50 Iei atuncI este preferabil a nu avea 50 lei lUI a nu avea 100 lei Astfel spus ( acl) este preferabil să-ţi hpse,lscă mai puţin decît Inal mult (Expresiile "a a\'ed" şi "a nu avea" trebuie mterpretate strict ca " a poseda exact" ŞI "a nu poseda nici măcar" altfel se pot iVI ambignităţi)

J.O(H.(:� !',I�E,���I�I:I,


LOGICA PROBABILITATILOR

190

LOGICA PROBABILITATILOR, logica inferenţelor cu propoziţii de:- pro­ babilitate. Ca şi teoria mulţimilor fuma pl"obal"lităţzloy (v.) a fost pusl in diferite corelaţii cu logica. î ncă G Boole a formulat această legă­ tură in cartea cu titlu sugestiv An Investigatzon of the Laws of Thought an flIhich are Founded fhe lIfathematzcal Theorzes of Log zc and Probab�­ Wies ( 1854). Boole avansează. ideea fundamentală că in loc de eveni­ men te pntem considera propoziţiile despre evenimente. De logica propo­ ziţiilor de probabilitate s-au ocupat J. M. Keynes, H. Jeffreya. R Camap, H. Reichenbach Ş a Cel mai inchegat �iste111 îl datorăm lni H Reichenbach, fhr Thcol }' of pYe>bability ( 1 949) (t.uiţie \'eehe JVahr<chel­ hchkeitslehre, 1 935) înainte <1c a expune sistemul lUI Reichenbaeh rc ­ marcăm citeva .Jspecte generale a) Probabilitatea poate fi consiu('raHI ca apel a/or moda! de ex . ..Este probabil că p" Această formă nn Sl deosebeşte prea lUult de forma .. Este posibil ca p" Ea pierde distincp,\ fundamentală dintre po sibil şi p rob abzl - probabilul este esenţialmente legat <IL i(1c(>:\ de cantitate (de raportnl cantitativ) el este "măsura pu�ihdităţii" Întrc lele două forme se poate !>tabili o relaţie de echl­ y"lenUI " Est� pU!>lbtl f> ' ''''' " E ste probabil p ". lJeoseblrea de\ me cyicleutl de indată ce MIăog:111l r .Jport ul c a ntlt a tn .. L'te probabil , Este pusibtl

m -Il

p IU

el f> ' (II > O) , ceea

In llldsura -II

ce

În�eamni",

cu alte

cuvmt. ,

". î n acest id, prob<\bllul mtrodllce "p Adc

de P<Jsllllhtatc" -- un <.velllment este mal mult sau mai puţm proh.1ull )roţiunea de ", cesitat� apare ('a o limită a probabilităţii "E�t< n t'ces , lr /) ' l11"eallllld

"Este

b,lilate este, de <eaullld

"Este

n

prohabll - eă p ". Analog IL

noţlllll <: <\

d�

. . nJ

o'l­

ltmiti'\ a probabIlttăţn " Este i mp OSI bi l p ' lD11 - n probabil --- că p ". b) O altă leg.1turl se poate iace a�cmenea,

n

e Olllept nl !Il' ad, {II (" modalităţi epIstellllce ) . ddCZ\ <ldlllltelll c.l o.. l"t:. "gralk de aden,r", mai exact de "certitudine" \'0111 forma metaprc ŢlC>­ ziţ ii .1,- forll !.\ ,L�te probabil adevărat c.l P" Ce,l mai comodă forr.lU­ ('11

<

Iare III care .. pare elementul cantitativ este exprimarea plOdusuh11 de certltudme Îu procente : "Este 1 00% probabil adevărat că p" ( = .,f e�te cer t " ) , ,.Este K% probabil adevărat că P" (unele O < 1\ < l OO) . . Este O�o probabil adevărat că p " ( = .. p este fa1�") R l arnap d 1Il­ terprdat probabihtatea într-o direcţie oarecum analoagă, aUUUle CI> g1'ad de co nfir mare c) A treia legătură Între logicii ŞI prob abilităţi SE' poate face pe linia logicilor polivalente. Valonle sînt dispuse În intervalul �O. , 1 J unde limitele O şi 1 corespund respectiv Cll fa/stil )1 a,Jcl'iJo ui Legătura se face insă mai mult pe linia structuI'iloy decît a e:1tităţil< r , căci altfel, nu pare a avea un Înţeles s;\ spunem că, (1e ex , 1 /2 este " valoare logică. Ar fi tot una cu a spune "e pe jumătate adevărat", cc-"" ce in contexte libere poate fi ntilizat, dar nn intr-un sens logic stnct DeSigur, am putea să schimbăm d irecţia de mterpretare astfel ' , n i!! J UIll.ltate de motive sl cred că p e�te adevărat" în neest caz Însă PTC>­ lJabilităţile sînt �oClatc CII "grad111 de încredere" În adevărul unE'Î pro­ poziţii, ceea ce este altce\'a în orice caz, esenţial este că intre <l par .e ,1 logicii Ş I calculul probabihtăţtior există o structură invariantă, care poate fi interpretată logiC sau probabilIstic. el) _\. patra leg1itură este intrI:


LOGICA PROBLFMELOR

IUducţt.e �I probablbtate ( R. Cacnap) . H Relchenbach a îmbinat oare­ cum punctul de vedere al modalităţii cu cel al polivalenţei. El llltroduce operatori de probabilitate (de ex . 3 - Implicaţi a probabilistică) şi trans1' formă intervalnl [O• . . . • 1 ] În interval de valon logice. flrl a mtra Î n detalHle interpretării valorilor mtermedlare Reichenbach porneşte de la Ideea de probabilitate ca frecvenţă (datl de \ on �Iises) . Relaţia de bază este implicaţi a probabilisticl

( 1 ) x E A 3i y E B (e][tensional) sau (2) fx 3p g x (funcţional) Enmplu : "dacă aruncăm zarul atunci cu prohabihtatea p apare faţa ( = uu evc­ IIlment oarecare din mulţimea celor posibile) . Avînd În vedere că expe­ rimentul (de ex . aruncarea Z<lrului) se poate realiza de un număr oare­ care n de ori. evenimentul (căderea unei feţe) se poate realiza cu pro­ habthtatea p. de fiecare dat" H.eichenbach cuantifică universal lIuph­ caţia

y ". Este o relaţie între e:.pe-riment ŞI umil din evenimente

(3) (z) ( x, E A 31> )" E il) În loc de experImente (evelllmellte) Reichen­ bach ia mulţimi de propoziţII (antecedenţil şi. respectiv. consecvent i impllcaţleî) Vonl avea dou ă şiruri de propoziţii It::" h�". . • IIzl • Ix, � " arunc z.trul in momentul ti", . . De ex • fx,. fXl fx2• 11::. = ..... ade faţa a l " . !Y! = . . arunc zarul m mOlllentul t;' ; hz! = cade faţa a. Probabilitatea e interpretat;! în acest caz Cd rel aţie intre şirul de propoziţii {fx, } adevărate (nnde {f-rl} c {j;;,,}) ŞI mulţimea de pro­ poziţii {kr.} (unde {hz,} c { II::,, ) ) �rulţimile {f:r,,} ŞI {II",,} IlU sînt neap:irat finite (illuicele n reprezentînd numărul de ordine n = 1 . 2. ) Proble­ ma prohabilităţii se p une atuncI În termenii următori . ClIYt! e,le raportul dintre Ululţimea propozitiilor adevărate wrespllnzcitoan' propozitiilor adevăIfI/� (hz,) i' totalul propoziţiilor 1 fx,, } Dacă pentru orice rl j are loc. he, atunCI implicaţia este universal adevărată. î n continuare. se intro­ duc operaţiile logice pentru l11ulţirwle de propoziţii { Ix,} şi { gV, } (unde în tlccare caz particulur se Iau p erechile cu aeel ai i indIce) . de ex . fX l cu

gYl )'

(-l ( Ix, } V {gy,} = {Ix , V gy. l ( 5 ) if.t', } & {gy,} = { Ix , & gy,J ( , ; ! 'f;; ,} => { gy, } = {fx, => 1;'1' ,: (7 . ff.1',} ;;; {gy, } = {!;; . := gy,}. A ccasta În"ealUn:1 că operaţia dmtre mul­ ţimil., de propoziţii (jx.} şi ( g}. } este identică L'U lIlulţimea operaţiilor dintre perechile de prop07iţii fix,. gy,}

(8) {jx,} = (/x,) })e aceast:; haL:! se 'lefUleşte probabilitatea pentru f i ecare fel de operaţie. De ex P ({fx,} & (gy,}) = P({fx, & gy,}) . Rei­ chenbach introduce apoi operatia . .. . . (virgulă) (Ix,}. {gYi } care înseamnă operarea nnei selecţii de către şIrul {jx, } în şirul (gYi} Pentru calculul probabilităţilor este necesar să avem probabilitatea "operaţiei de �e­ lecţie " : P ( {lx;}. (gy,}) = P((fx• . gy,}) . Dacă cele două şirurt {Ix;}, {gy. } sînt identice atunci probabilitatea selecţiei este de 1. Probabili. tăţile se calculeazl în funcţie de probdbilităţile respectiv ale lU I {Ix .},

{gy,} ŞI ({Ix,}. (gy,}) . (D ullu tritl A . Logzca polzvalelllă. 1 97 1 ) . I.O GICA PROBLEMELOH, interpretare dată de Kolmogorov calcululUI I U­ t ui ţ i o nb t

Semnificaţia

expresiilor '

l P. q. r.

. . probleme. 2. D ac ă


] «)2

LOGICA PREPOZITIILOR

p, q sint probleme atunci a) lP va insemna

presupunînd soluţia !tu p dată se aJunge la contradicţie, b) P A q : să se rezol v e cele două probleme p şi q, c) P V q ' să se rezolve cel pnţln una dm problemele P, q, d) P -+ q presupunînd soluţia lui p dată să se rezolve q (sau ; să se reducă SOIUţld probleme nespecificate şi P(x) , q(y), lui q la Pl . 3 :Fie x, y , z, probleme care depind de x, y, " atunci ' a) '!Ix P i x) Înseamnă : să !>e Indice o metodă generală de rezolvare a lnl pix) pentru orice valoare par­ ticulară a lUI x b) 3x P i x) Înseamnă . să se Indice o metodă prin care P ix) este rezoh'at cel puţm pentru nn caz particular a Simbolnl 1- de,em­ nează g en eral i t a t ea (de c:x . : 1-1' -+ (P A P) . Rezolvarea prohleme:nr �e face într-ull sir finit de paşi Kohnogoro\ mtroduc!:' jUl1etn de t,·o!,lc­ mc care con�titUle obiectul 1. 1" l'ormula P V lf> nn reprez m til o p!u­ bkmi\ cleoarece nu disp un em de o metodă cle rezol\"are a f1e c .l rUl ( dI I at:l 51 ..laUd rD.. lOme P -+ (P A P) . 5[1 se reduc.1 �oluţia lUI P 1\ P Ia " , , ( P -+ '1) -+ ((t 1\ I l -+ (q 1\ r)) admiţincl că so l u ţ i ..l l1li q .1 fo � t n dns,\ la t să se re/lucă soluţia lui q 1\ r la P 1\ r 1 L(�('f( .\ ..!.'!l(II'OZr[IILOn, logica l egil or de raţlOnar!:' m fUUcţle ( t Pfl )­ r:ozii�co11lpI\SC CII aju toru l operatori l or propoziţionall (lIU, şi, ,a" etc I In fUl!cţie de gradul de abstracţie cuprmde a) teoria raţionamentului cu Te"IJt.:<" th·ele forme de propoziţii, b) teoria flIncţiilor el .. adevăr, e) calculul logic (algorîtndi, axio ll latic a formală) (v. Cnlcl/lul propoziţiilor) U!.6It.A UEL') !I' fiU , l ogi c a kgilor de raţi on .l re C'1l propoziţii de r�lfl­ ţit: Se dIstinge <le teorid relaţiilor in sen s ul că nu btudiază relaţii ŞI opera­ ţii CII rel a ţi i ci in f e renţe cu propoziţii de relaţie . D istincţ ia nu e�te dară in literatura de specialitate şi de cele m al lII ulte on cele două se confund:l (v Raţionamente de relatie) L()(. IC\ �T.\�DAUD, denumire pentru logica blvalentă de haz .. (c. 1 1<"uluI propozi ţ ii lor şi calculul predlcatelor de ordinul I) );()(.It:A STII:"\TEI. analiză logică a ştiinţei �În deyellirc ,) sau a �tim \el <constitmte » (on cum se mai spune a ştiinţei în �contextul descoperirh ) �I re spec tiv in "LOntextul Justificării") . l\u este \ o rb a de o logzca noua l i de o �tud l ere a modului specific in care procesele şi respectiv schem el e logice se m an Ifestă intr-nn domeniU sau altul al .ştiinţei Uneori este mal dkiellt �i\ pornim de la scheme logice partlculan. in raport cu logica, dar gem·rale ill raport cu lin domeniu ']timţific dat Aşa, de ex , în mate­ matkă avem �cheme de raţionare foarte gener a le ca inducţia mate ma tică , schemele de re c urSIe , raţionamente de relaţie ş a , În biolOgIe avem o teorie proprie a c l asificării - taxonomza. in fizi c ă o teone a definiţiei l tc, De e:x , În loc să consider1!m formula (a > b & b > e) => a > e ca o prc­ miză particulară În raport cu c are să apl J c ăII l reg ii l a modus ponen� (a > b &. b ..... e ) = a � c a> b&b > e a

vom formula direct o schemă particulară. de relaţie")

> e deducţie

( "r a ţI On a men t ,le

A > B JJ > C A nalog �tau l l l c run l !:' cu moucţla IllUtematlc;\., Il! loc să cons l de r d lll pnll­ clpiul indut"ţiei drept un pl. st ul at particular (o prt: m l să ) la care sa dphcăm


193

LOGICA TE1\fPORALA

apoi schemele logice il tratăm direct ca pe o schemă particulară de raţio­

nare :

P (o ) ,

P (n) => P(n')

Vx P(x)

De o deosebită importanţă este studierea rolului şi specificului explicaţiei, inducţiei, deducţiei (in special al axiomaticii), definiţiilor şi c1asificlrilor în domenii mai puţin elaborate logic. L. st. este o parle a metaştiinţel şi, in acest sens, ea nu se confundă cu metaştiinţa ori cu vreo alt ă parte a acesteia. L. st. ca «expresie particulară )) a logi cii pure trebuie să se sprijine în permanenţă pe logica pură, oferindu -i acesteia in schimb « exemple relevante )) şi sbmulen te pentru d ezvolt are . O disciplină are atîta ştiinţă cîtă logică are, mformaţla fără prelucrare logică fiind cunoaştere, dar nu în că ştiinţifică.

L O lOICA TEl\IPORAL'\ (S.lU LOGICA (.HOl\OLOGIC.:\), logică aplIcată 1.\ studIUl propoziţiilor temporale (propoziţii al căror conţinut depinde ele poz i ţia in timp a �tării d e fapt pe car e o exp ri m ă) . Megaricii au concepu t moflnlităţi1e iu fu nc ţie de timp actual (= ceea ce se realizează acum), posibil (= cee a ce be realizeaz ă cindva) , necesar ( = ceea ce se re alize ază in toate timpurile). L a Aristotel problema timpului apare în legătură cu \ ii torii contingenţi. Diod or Cronos leagă de timp explicaţia implicaţiei. în IOglCd medieval ă, William de Shyreswood a analizat legătur a d intre termeni ŞI verbele l a trecut, prezent şi viitor . Problema 1. t. a fost pusă intr-un mod riguros d e către H. Rei che nbach, Prior , N. Rescher, G H. von Wnght ş a. Von W righ t o studi ază ca "logică a sc hi mbării" . Logica \ eche este atemporal ă. Verbul " a fi" este utilizat in ea l a timpul prezent (estr, sînt) ca, de ex., in schem a "S este P", i ar înţelesul este copulatlv. Logica simbolică pură, de asemenea, face ab stracţ ie de timpunle verbului utilizind verbul "a fi" în diferite combinaţii atemporale. în pseudo-para­ doxul mincinosului există un universal temporal ("cretanii sint totdeauna miucinoşi"), iar în referirea la evenimentele istorice se foloseşte aşa-numitul prezen t istoric ("Kapoleon este bătut d e coaliţie la Waterlo"). Există deci llIai multe posibilităţi de a face ab stracţie d e modurile timpulUI N. Resc her propulle un fel de pred icat atemporal "a fi un fap t" astfel că toate prOpoziţiile temporale să poată fi traduse prin forma nu este un f apt". " De ex. "Ces ar a fost asasinat în anul 44 te.n." se traduce prin "Asasi­ u are a lUI Cesar in auul 44 î e.n este un fap t " . Cu toate acestea pentru aborddrea m ultor probleme prezmtă in te res mtrod uce re a propoziţiilor temporal e relative la trecut. prezent ŞI viitor De asemenea, prezm tă in­ t eres rel aţiile temporale : înainte, după, simultan. F i zi c a modernă este in te resată in analiza logică a ac es tor relaţii. Ca exemplu avem relaţiile d e Iledeterminare ale lui Heisenberg care imp lica ideea de Imposi bi litate de a pre ciz a simultan pOZIţia şi impulsul particulel. Pentru ordinea tem­ porală se poate introduce o cronologie p reci să (rap ortată la un evemment) cum se intîmpl ă în calendarele actuale sau una nedefinită ( variabil ă) in care este reţinută doar succesiunea evenimentelor, (de ex., " fierul se dnat! după încălz ire") . Propoziţiile relative la timp pot fI închise sau deschise. Pr opo ziţiil e în care se indic ă data precisă intr-o cronologie definită sint închise . Ex. : "România şi- a clşt1gat independenţa de stat în 1 877". Prin cuantificarea te mpor ală obţinem propoziţii închise. De ex. : "Uneori " pl ouă în Bucureşti s au Totd e aun a plou ă in B ucur eşti". Dacă folosim " variabila te mporal ă t care la ca valon momente temporale pu tem intro­ duce cuan tori i obIşnuIţI : "It P" 3t P, ( adică "pentru orice t, P are loc în t, există t încit p are loc în tl Propoziţiile deschise folosesc ast fel de


LOGICA TOPOI,OGICA

194

expresii ea azi, ten, mÎzne Exemple : Acum (azi) plou:!. în Viena, Ieri a plouat în Viena, Mîine va ploua în Viena.

- -sînt -;apor­ P;.;p7;ziţiile format� i�C';; t" şi ":'Tn.7it;;' ' '�s�;;;-că tate la p.ezentul în care trăim şi, în acest sens, pot fi cOl lsiderate închise. De ex "în trecut oamenll nu dispuneau de nave cosmice " " în viitor , om faee exc urSll pe lună". Propoziţiile temporale care cuprind o parte varia­ bilă sint "funcţii de timp". Ordinea temporală poate fi marcată în aşa fel încit să ştim cum se raportează momentele unul la altul. Pe lîngă logica de bază (standard) introducem an limbaj specific logicii temporale I 1 •• 1,. ta, momente temporale, 2 / (aZI) , t - I (ien), t +- 1 (mîine) sau t - un moment dat, t - 1 - moment anterior, t + I - moment viitor, 3. pentru funcţiile temporale putem utiliza indicii de timp P" r,• . Funcţia P, se va citi "p are loc în momentul t" . Se poate r, vor fi variabile pentru evenimente despre proceda şi altfel ' p, . care spunem că se realizează în momentul t. Notind realizarea cu R, putem forma funcţii de forma�t(p) ' P se realizează în momentul t.

q"

q,

De ex " lIoartea lui Cezar a avut loc in momentul 1 " . Funcţiile temporale pot fi cuantificate : V, 3, P, sau in caz că introducem al doilea gen de notaţu V, 3, (aceasta reprezintă o modificare a simbolis­ mului lUI N. Rescher care presupune că p, r, . sînt simboluri pen­ tru propoziţii nu pentru evenimente) . Relaţia cauzală sugerează un gen de implicaţie temporală ' De ex. " după încălzirea fieru­ (P) => R'+J " lUI urmează dllatarea . Universalitatea relaţiei se va nota V,(R,(P) => => L. t. presupune printre alte probleme . 1 . Studiul relaţiei dintre operatorul temporal şi operatorii propoziţionali 2. Funcţiile tem­ porale în contextul funcţiilor propoziţionale in genere. 3. L. t. şi logica

P I' R, (P)

R, (P) ,

q,

R,

(q)

R,+t (q»

R, (P) == � (P) (2) R,(P & q) == R, (P) & RH I(q» .... (R,+I(q) .... R;(P» . Nu se poate spune că

modală ş a. Exemple de legi : ( 1 )

& 1.

R,(q)

(R, (q)

(3)

=>

t. se află la nivelul unei sistematizări stabile, ea se află încă în faza căutărilor şi trebuie luată ca atare. sistem logic construit de Hempel (1 936) pe baza valonlor comparative ("mai adevărat " , "mai puţîn adevărat " . " Ia fel de adevărat" etc.). Valorile pot fi ordonate conform cu relaţiile "la fel de adevărat" şi " mai puţin adevărat " . De ex. · ,,3 X 6 = 1 8" este la fel de adevărată ca ,,3 X 2 = 6" , "lt = 3, 1 " este mai puţin adevărată decit ,,1': = 3, 14" . Putem !Iota relaţiile cu = , < în raport cu două enunţuri ;\, y avem x = y sau x < y sau y > x, ceea ce se notează pe scurt cu G,W, resp. M. Dacă avem perechea (x, y) atunci perechea negaţiilor va fi definită :

LOGICA TOPOLOGICĂ,

(x,y)

(Nx. Ny)

W G M

M G W

Funcţiile sint definite (În limbaj

1. [N x]

=

1

2. [K x ,,]

=

3. [A It ,,]

=

{ {

-

Lu.kasiewicz)

[x] [x) dacă [x] <:: [y] [y] dacă [x] > [y] [y] dacă (xl <:: [y] [x] dacă (xl > [y]

astfel :


195

4. [ C x y]

5. [E x y ]

=

==

{ {

LOGICA TRIVALENtA A LUI LUKASIEWICZ

1 dacă [x] .;;; [y] 1 - [x] + [y] dacă [x) > [y] 1 - [y] + [x ] dacă [ x ] .;;; [y) 1 - [x ] + [y) daci [x) > [y]

rv

Valorile sint cuprinse in inte alul (O, 1), 1 fiind unica valoare indicată. Scrierea Nx etc. indică funcţia, iar [N xl etc. indică valoarea funcţiei. Valorile pot fi cu caracter logic sau nelogic.

LOGICA TRIVALENTĂ A LUI KLEEl\iE, sistem logic cu valorile adevăr, · a Zs; nedetermmat notate respectiv t, f, u. A lte interpretări ale simbolu­ rilor de valoare sînt t : " adevăr algoritmic stabilit " , "adevăr cunoscut", "adevăr decis" ; f. " fals algoritmic stabilit", fals cunoscn t" , "decis ca " fals" ; u : "nici adevărul nici falsul nu sint stabilite algoritmic " , " necu­ noscut", "nu e esenţial ce este ", nedecls ". Funcţiile se definesc ca la " Lukasiewicz, cu excepţia zmpZicaţzez (şi, în consecinţă, a echivalenţei) care dă pentru u ..... u valoarea u. LOGICA TRIVALENTĂ A LUI LUKASIEWICZ,

sIstem de Zogzcă polz­ elaborat de Lukasiewicz (logfdail' polonez) in ul 1920. Lukasiewicz analizează propoziţiile de posibilitate ("Este posibil ca . . . ") şi ajunge la concluzia necesităţii introducerii unei a treia valori "posibil adevărat". Nu este clar după ce criteriu a clas icat Lukasiewicz valorile logice, fapt este ci el acceptă trei valori : adevărul - notat cu 1 - falslll - notat cu O - şi posibilul - notat cu 1/2. De asemenea, Luka­ siewicz (ca şi mulţi alţii) a lăsat neclarificat raportul dintre logica poli­ valentă şi logica modală (v.) . Vom folosi simbolismul lui Lukasiewicz (fi.). Definiţiile aritmetice ale operatorilor sint următoarele :

an

vaZenT/J (v".)

if

(1) Np 1 -P (2) Kpq = mIU (P, q) (3) A pq max (P, q) (4) CPq miu (1, (1 - P + q)) =

=

=

Definiţiile

matriceale

P I

°

1/2

sint următoarele :

Kpq

Np NP ° I

1/2

N.I °

1/2

Cpq

A pq

1 ° 1 /2 1 O 1/2

� 1 O

° ° °

1 /2 0 1/2

1/2

1 0 1/2 1 1 1 1 ° 1 /2 1 1 /2 1 /2

� 1 O

1/2

°

1/2 1/2 1 1 /2 1

O 1

Luind ca bază operatorii C, N definim pe A şi K astfel :

(5) Apq = CCpqq (6) Kpq N A NP Nq =

Definiţia plicaţiei prin negaţ e şi di juncţie nu are loc. Sistemul C, N nu este funcţional complet (Slupecki). Exemple de formule care nu sint

im

i

s

in La : N Kp Np (necontradicţia) ; A� Np (terţW exclus) ; C C Nppp; C Cp Np Np ; C Cp Kq Nq Np (ultimele trei sint va­ riante ale reducerii la absurd)

legi in La d eşi sint


LOGiCA

196

ExempLe de tautoLogii ' C 1'1 .\ � ' Cp "\ Np

Tarski C N.

ŞI

{

legile dublei negaţii

W ebbcrt:

au dat următorul sistem de axiome pentru calculul

1) Cp Cqp

2) C Cpq C Cq, Cp, 3) C C Cp Nppp 4) c e Nq Np Cpq Regulile de deducţie sint regulile substltuţiei şi modus ponens (v) . Slupecki a introdus funcţia Tp = 1 /2 ŞI a dat axiome pentru un b1stem complect (funcţional şi axiomatic)

5. C Tp N Tp 6. G N Tp Tp

}

(anexă L a 1 - 4)

teŢmen ce provine dm cuvintul grecesc My�� (cuvînt, gind , ;'orbire, raţiune, ordine) . în limbile europene moderne a pătruns prin filieră latină. Nu se ştie cine l-a folosit prima dată în Latină. La Boeţiu (sec. 5) întîlnim o astfel de definiţie care ntilizează cuvintul " logică", Omllis ars logica de oratione est. Platon utiliza Aoy6� atît pentru vorb;re (in particular, propoziţie) cit şi pentru gînd (ceea ce apare in suflet) Aristotel deşi intemeietor al ştiinţei logicii n-a folosit cuvîntul 1. pentru desemnarea acestei ştiinţe (v. Organon) . Denumirea 1. a fost introdusi. priJna dată probabil de Alexandru din Afrodisla (sec. 3) . Multă vreme s-a utilizat ca dennmire pentru 1. cuvintul dfalectică în definirea 1. s-a oscilat intre metodologte şi obiectual arta de a gindi " sau "ştiinţă " a formelor de gindire". Termenul 1. este utilizat in multe inţelesuri par­ ticulare (in asOCiaţie cu alte cuvinte) . Kant a distins între "logica formală" " ŞI "logica transcendentală . Leibniz a introdus termenul, larg utilizat azi, "logica mathematica ". în sec. 19 apar termenii "logica SimbOlică" (J. " Venn) , " logică algoritmică (1. R. L Delboeuf) , "logică algebrică" (L Liard) în s ec. 20 apar termeni speciali ca " logică teoretică" (Hilbert ŞI Ackermann) , "logică polivalentă" (Lukasiewicz) , "logică deontică" (von Wright) ş.a. Denumirile sint determinate de concepţiile pnvitoare l a conţmutul ş i metodele logicii. Uneon este vorba de simple aplicaţii la domenii particulare. Pentru a o deosebi de alte inţelesuri precizăm că aci este vorba de logica formală (v. ) , că on de cite ori vom utiliza cu­ vîntul 1. îl vom lua în această accepţiune. Este necesar să se evite con­ fundarea cu utilizarea din contextul "logica lucrurilor" (sau , ,1. dome­ niului") unde cuvintul 1. devine sinonim cu ordine (ordinea lucrurilor, ordinea domemului) . Este una dintre erorile cele mai frecvente pe care le fac necunoscătorii logicii. Cind cineva spune : "şi sportul are logica sa " " el vrea să zică "şi sportul are o ordine a sa , dar acest sens este cu totul altul decit atuncI cind vorbim, de ex, de "logica ştiinţei " , "logtca dis­ cursului". logică obţinută din logica pură prin a) determina­

LOGICĂ,

LO�ICĂ APLICATĂ,

rea formelor de propoziţii, prin determinarea termenilor, operaţitlor

relaţiilor,

b) cu

ogic-adevlrate.

sau

şi

fără restringerea numărului de formule care sint

Logica matematică

(în sensul strict al cuvîutului) , 10-


LOGICA DIALOGKA

197 gica deonticl ,.a. reprezintă ramuri ale (v. logica pură) .

1.

ap. La fel logicile polivalente.

LOGI� BIV_#}�:NT!t. logică

în care se presupune că propoziţiile sînt saifCiltevl"aJe sau false a .!!eia valoare neexistînd . Relaţiile dintre adevăr (A ) şi fals (F) sint : A == F, F :; Ă. în cazul în care aceste predicate sînt nuanţate apare logica polzvalentă (v ) Tratată pur formal i. b. este cea mai cuprinzătoare in sensul că în ea apare orice formulă care este lege a logicii pure. logică apltcată la studiul normelor. Ideea raţiona­ mtntelor cu norme se găseşte inci la Aristotel (Etica Nicomahică, Miş­ carea anzmalelor) sub forma aşa numitului ..silogism practic". Idei esen­ ţiale au fost sugerate de Hume, Kant, Mill, A . Hofler, E. Hall y , K . l\Ienger, A. Ross, dar fondatorul 1. d. este considerat logicianul finlan­ dez Henrik von Wright care schiţează primul sistem coerent, adoptind ŞI denumirea actuali, in studiul Deontzc logzc (Mfnd, 1 95 1 ) . Două lucrări de sinteză Norm and action (1963) şi An essay zn deontzc logzc and the r,eneral theory of action (1968) fixează definitiv contribuţiile lui von Wright la acest capitol aI logicii aplicate (v. logzca deontică a IUf von Wyight) . Odată ce 1. d. s-a impus atenţiei logicieni1or, cercetările s-au diversificat după cum urmează : algebra predicatelor deontice (E. Garcia Maynez) , sisteme axiomatice (Castaneda H. N.), reducerea 1. d. la logica mo�all (Prior, Anderson), 1. d. şi intuiţionismul (L. Philipps) , 1. d. şi pohvalenţa (Ka1inowski), 1. d., sistemele juridice (Tammelo, R. Klinger) şi etica (S. Kanger), silogistica deontică (Z. Ziemba) , semantica 1. d. (S . anger, S. A. Kripke, Hintikka). L. d. porneşte de la studiul cate­ . gonel de normă (v.) . norme de obligaţie, de permisIe, de interdicţie. In principal zmztă problematica logicii pure (v . ) , se înţelege, cu limitările Impuse de faptul că avem o aplicaţie la un domeniu restrins şi cu o noţiune de raţ.onalitate deosebită, avind in vedere diferenţa fundamentală dintre propoziţiile cogn.tive şi norme (clasă de propoziţii prescriptive) . Logica pură urmăreşte fundamentarea adevărului, 1. d. fundamentarea acţiunii raţionale. Pînă la un punct ele sint structural identice, dar nu toate formulele logicii pure !şi găsesc o interpretare în 1. d. (ceea ce se reflectă in descoperirea unor paradoxe deontzee (v.) . Incercarea lui An­ derson de a reduce 1. d. la logica modală (v.) se bazează pe o neînţe­ legere (v. reducţionismul lui A . A nderson) . Simetria cu logica modală este insă evidentă incă din cerceUrile lui von Wright şi ea este dezvol­ tată de alţi ginditori la nivelul sem anticii în speţă pe baza conceptului de lume posibilă (v.). Numeroase critici care au fost aduse cercetărilor de 1. d. i-au făcut pe unii să afirme că deocamdată avem mai degrabă o "sistematizare de probleme" decît rezolvare, totuşi este incontestabil că s-au produs mnlte clarificări de concepte, ceea ce este esenţial.

LOG�CĂ DEQl�.r!�,

L.QGICA DIALECTIc.\,

teorie a dialecticii formelor raţionale de cunoaş­ tere (conceptul, judecata, raţionamentul, sisteme teoretice ş.a.). Se pleacă de la presupunerea că fiecare formulă logică îndeplineşte o anumită func­ ţIe cognitivă, că se supune unei anumite ordini in dezvoltarea cunoaşterii. întrucit nu s-& izbntit pin ă acum construirea unei teorii clare şi coerente preferăm să luăm termenul de logică în acest caz intr-un sens secund de ordine şi să vorbim pur şi simpln de dzalectica cunoaşteru.

LOGICĂ DIALOGICĂ, sistem de logică aplicată echivalent cu logica zn­ tuilionislă (v.), elaborat de Paul Lorenzen. Foloseşte numai nume proprii

(de indivizi, evenimente, stiri de luemri, "obiecte generale") ş a. cu sco­ pul de a face propoziţiile independente de situaţii. Ceea ce desemnează


LOGILA DIALOGICA

198

numele proprii sînt «obiecte . Există două forme de predJcare : atribuire ŞI respingere de predicate in raport cu obiectul Totuşi in unele cazuri nu se poate face nici una nici alta Pornind de la rolul ltmbii ca mijloc de comunicare Lorenzen concepe procesul logic ca pe un dialog intre două persoane oponent (O) şi Proponent (P). Dialogul are trei momente : aser­ tare, atac ŞI apărare. El este inceput de P. Mutările sint alternate ca la JOc. Se poate aserta numai ceea ce este intemeiat prin fapte extralingvis­ tice Dialogul este conceput fie ca un "joc material" cu propoziţiI, fie ca un "joc formal" cu formule. Sint elaborate reguli pentru calculul pro­ poziţiilor, pentru cuantori, modalitliţi şi logica deontică. Operatorii pro­ poziţional1 sint unarf (negaţie, afirmaţie, verum-operator şi falsum . operator) şi btnart (conjuncţie, adjuncţie, subjuncţie, inversa subjunc­ ţiei) . Semnul ,, ? " va desemna atacul, de ex., ? A (sau A 1) - atac la A. Iată schema «joculuh pentru operatorii unari notaţi în ordine cu ( 1 ) , (2) etc . Asertare

1) A 2) A 3) A 4) A

Atac

Apărare

A ?

nu e posibil ă A nu e necesarli nu e posibilii

? nu e posibil totdeauna necesar

Pentru operatorii binori A • B se introduc regulile :

1 . Partenerul atacat PI cere ca să existe apărare atit la stînga ?L(L = links), cit şi la dreapta 1 R (R = rechts), adică la A şi la B, PI trebuie să aserteze A şi B. 2. Propoziţia compusă este atacată, dar partenerul p. poate alege să apere A sau B. 3. P, asertează A, p. asertează B. 4. p. asertează B, P, aserteazli A . =

Schemă : Asertare

Atac

Apărare

Operator

A&B A&B A VB A VB A -'t- B B --+ A

? L

A B A B B A

Conjuncţie

?R ? �

A ? B?

Adjuncţie Subjuncţie Invers-subjuncţie

Regulă de cîştig : P ciştigă atunci cînd O nu mai are mutare. Dialogul are sens cind propoziţiile SÎnt "definite-dialogic : adIcă O şi P dispun de mijloace extralogice pentru a justifica sau respinge propoziţiile simple. O propoziţie este "efectiv adevărată" cind ea este cîştigatli contra oricăreI strategii a oponentului. Clasa propoziţiilor dialogic definite este depen" dentă de nivelul civilizaţiei. Propoziţiile "efectiv logic adevărate nu depind de. nivelul de dezvoltare,

ele pot

fi cîştigate contra oricărui oponent.

Acestea sint formulele logic adevărate. Dialogul cu astfel de formule este "joc

formal"

cu

regulile '

1. P atacă numai una din formulele compuse sau se apără contra ulti­ mului atac al lui O.


LOGICA DIALOGICA

199

2 Fiecare răspunde numai la mutarea imediat precedentă. 3 P dştigă dnd are de apărat o formulă primâ după ce O a asertat o formulă primă

Excmple

p

O l. 3. 5. 7. 9.

2· P & q ? 1 4. (fi V q) ? 3

( P & q) - fi V ii

p V ij

� 2L �2R �4 I l . a. I l b. P � 10 a q � 10 b .

6. P

8. q 10. a. 10 b. P q

Ciştigă P căd O nu mai are răspuns la ultimul atac. Formula terţnlui exclus nu poate fi apăraU

� l. PV�

2 ? 1 4 a. 4 b. p

3 a. P 3 b . fi

Ea poate fi luatli ca ipotez!, de ex., pentru apărarea lui

O

p - p.

P

1. tV p 3. P ? 2

5. a. p 5 b. P 7. b. P ? 6 b

2. p 4. ? 6 a. 8 b.

-p 1 p 6 b. P ? 3 p ? 5 b.

Pentru cuantori atacul constă in a indica o lIaloare oarecare Vx P(x» sau o anume lIaloare v. (cind avem 3x P(x))

huem

O 2. Vx P(x) ?

4. ? 3 6. P(v,}

II,

(dnd

P I

1 . Vx P(x) - 3x P(x)

3. 3x P(x) 5. ? 2 II,

7. P(v.)

Pentru logica modală are loc regula : N Al & AI & . & A. 1- B - atunci N Al & N Aa & P & N A. � 'N B � (und'; N e'ste ne��s;;;U , logic adevăratul).

O 2. N A ? 1 4. A

P

1. N A _ A 3. ? 2 5. A

Sistemul este echivalent cu M' (von Wright). Analog stau lucrurile cu logica deontică.


LOGIC \ FORM.\LA

200

Exemplu .

o

2. O A ? 1 4.

?

3

6. A 8. Ă � 7

(O din

p

1 . 0 A -o O A 3. 0 A 5. � 2 7. A 9. A ? 8

formule este simbolul pentru obligatortu) (Quantoren, Modalitaten.

Paradonen, Berlin, 1972).

ştiinţă care studiază formde propoziţionale şi legile de raţionare cu expresii propoziţionale de diferite forme, precum şi ansam­ blul metodelor care-i permit atingerea acest. .ll obiectiv. Prin raţionare se are în vedere aci, în primul rînd, deduc/ia şi Inducţia (generalizarea) , d ar ŞI procese pe care se sprijină acestea cum sînt definirea şi clasificarea. Studiind formele propoziţionale ne intilnim cu problema termenilor (resp. a conceptelor) şi a diferitelor relaţii intre aceştia. De aci problema defini­ ţiei ŞI problema clasificăriI. Pornind de la legile de raţionarc (in sensul mdlcat) formulăm apoi reguli de raţionare pe care le aplicăm în cazuri concrete de raţionare. L. f. (in sensul general dat aCI) are ca scop să des­ copere legile pe care se bazează trecerea de la adevăr numai la adevăr. Uneori această treCere se face cu o anumită probabilitate cum se intîmplă in cazul inducţiei ( = genera1izării pe baze incomplete) . Acest principiu al trecerzl de la adevăr numai la adevăr leagă logica de procesele de cunoaş­ tere fără a o confunda cu teoria cunoaştem sau cu pSIhologia. O altă trăsătură a logicIi este că ea nu se interesează de conţinutul partIcular al propoziţiilor ci numai de forma lor (de relaţiile foarte generale cupnnse în informaţie) . Relaţiile redate în fortna propoziţiilor sînt de aşa natură "S că ele nu determină vreun domeniu particular de obiecte. De ex este P" este o formă d e propoziţie care redă relaţia . . - este - " intre S şi P fără a spune care sînt obiectele S şi P. în cel mai bun caz putem vorbI de o categone de obiecte, dar nu despre obiecte determinate sau clase de astfel de obiecte. Forma A == B nu indică nici măcar vreo cate­ gorie de obiecte, căci A , B pot fI obiecte individuale, pot fi operaţii. însuşiri sau relaţii. Forma . . x este F" presupune doar că avem de a face cu relaţia între un obiect individual şi o proprietate (aci sint specificate categoriile de obIecte : indivizi, proprietăţi). Orice introducere de termem concreţi, in locul semnelor variabile, ne scoate din sfera 1. pure indife­ rent cît de general ar fi astfel de termen concret (de ex. : număr, ele­ m en t chimiC, fiinţă vie) . L. f. pleacă de la supoziţia fundamentală c ă

LQf!ld F,OJţl\!.A.M,

într-un context 1. aserţiunile sint luate in acelaşi timp şi sub acelaşi raport (supoziţie introdusă de Aristotel in formularea principiilor 1.) . Orice schimbare a tImpului sau raportului trebuie să fie explicită şi să se ţină seama de consecmţele care urmează de aci. Cele douli condiţii ale supoziţiei formează "coordonatele 1. formale". O altă trăsătură a 1. for­ male constă în faptul că ea îşi poate studia obiectul in mod pur formal (formalizat) . Aceasta permite aI>Iicarea la organizarea ştiinţei 1. a unor metode de tip ..şa zis matematic în fine, evidenţiem faptul că 1. se aPlică la propnul său studiu. Teoriile 1. sînt rezultatul aplicăI1i mijloacelor 1. la organizarea mulţimilor de propoziţii ale 1. formale. Care este conţinutul actual al i. formale ? L. f. actuală cupnnde următoarele capitole : a) Teoria definiţieI, b. TeOria clasificării, c Silogistica d. Teoria funcţiilor


LOGICA IN r(.J ITIO'lISTA

�O l

de adevăr (bivalente) . e Teoria predicatelor (inclusIv 1. Identttăţu) . f. Teoria claselor (a nu se confunda cu teoria mulţimilor) , g Teoria modali­ tăţii, h. Teoria sistemelor logice. }[etalogica Forma în care poate fI e][pu�ă 1. formală modernă este fie tntuztzvă fie pu r formală (formalizată) Expunerea sub formă de «calcule 1 • • ( = sis­ teme formalizate) ne dă posibilitatea să utilizăm în metalogică metoda structurală, metoda inducţiei matematice (într-un sens generalizat) ŞI alte metode. Deşi formalizarea este foarte eficientă pentru cercetare, lim­ baj ul intuitiv este indispensabil pentru comunicare şi pentru aplicarea 1. la domenii concrete. (u ce nu trebuie confundată lOgIca ? a) nu tre­ lmie confundată CII aplicaţiile el, b) 1. nu trebuie confundată cu disciplmele Îll\'cciuate (de ex : gramatica, psihologia, teoria cunoaşterii) , c) 1. nu tre­ buie confundatd cu disciplinele cu care are multe înrudirl metodologice, de ex. : matematica (v logtclsm, matematlsm) . îu ciuda numeroaselor relaţii metodologice cu matematica 1. este, în esenţa ei, tot atît de legată de matematică pe cît e de fizică, chimie sau gindirea comună Din a) rezultă că aşa-zisa 1. deontică, 1. valorilor şi chiar 1, matematică, în sens restrins, nu fac parte din 1. Ele includ termeni, predicate, relaţii con­ crete şi constituie, deci, aplicaţu ale 1. în analiza unor domenii concrete.

L.

Toate capitolele 1. pot fi aplicate în toate domeniile (ştiinţifice sau prag­ matice) . Noţiunea de aplicaţie a 1. (v ) are un conţinut special fapt care nu trebuie uitat cînd o comparăm cu alte ştiinţe şi aceasta reprezintl o trăsătură specifică 1. formale.

Pormnd de 1.1 critica făcută de Brouwer ' terftilui exclus şi raţionam'i:iifUl prin absurd in legătură cu presupunerea că acestea generează noţiunea de infinit actual şi resp paradoxele mul­ ţllni1or, Heyting a formulat o logică infinitistă adecvat" demonstraţiilor constructive, logică în care amintita lege şi respecti\'.1l rationament nu mal sint utIlizate

LOGIC.\. I�TUITIONIST.\.

..... '<lomele slsteulUlul sînt

următoarele

! P - (I' " P) :.! (P " q) -+ (q A P) :'1 (1' -+ q) -+ (( P " r) -+ (q " 1 ) ) -! ((P -+ q) " (q -+ r )) -+ ( P -+ r)

,:; q -+ (1) -+ q) 6. (l> " (P -+ q)) -+ q 7 . P - ( P V q) 8 . (P V q) - (q V P) 9 (( P _ r) A (q _ r)) _ ( p V q) -+ , ) 10. 1 P -+ ( P - q) I l . ((P - q) A (P - lq)) -+ lP 12. "Ix Fx -+ Fy 13. Fy _ 3x Fx. Regttlile de deducţie sint aceleaşi ca în sistemul H - A. Dm acest sistem nu se pot deduce formulele : a) p V l P (terţul exclus) , b} _ P (dubla negaţie) ; c) (1 q ....... lP) ....... ( P ....... q) (contrapoziţia inversă) ; d) q) l (P A ....... (lP V lq) (o parte a legii lui de Morgan) Formulele b), c). d) arată că nu se demonstrează respectivele echivalente, ci numai una din implicaţiile lor. într-adevăr se demonstrează ' b') p _ l l P precum

1 1P


LOGiCA JURIDICA

202

şi 1 1 1 P -+ 1 P . c) ( P -+ q) -+ (1 q -+ 1 P) ; d ' ) ( 1 P V 1q) -+ 1 (P A q) . Gr. C. Moisi! a demonstrat următoarele două teoreme : e) 1 1 P A 1 1 (P -+ -+ q)) -+ 1 1P . f) n 1P -+ q) A 1 1 (q -+ r)) -+ 1 1 (p -+ r). Se inţelege că formulele raţionamentulUi prin absurd nu sînt demonstrate. Nu e de mirare că 1. 1. cu asemenea .. ciudăţenii" a dat naştere la multe discuţii atit cu privire la sensul operatorilor cît şi cu privire la interpretarea polivalentă şi aplicaţiile acestei logici. Propoziţiile matematice se referl la construcţiJ efectuate sau cel puţin la metoda care ne permite să construim efectiv obiectele matematice. ( 1 ) Astfel. ,,2 + 2 = 3 + 1 " trebuie inţeleasă ca ' "eu am îndeplimt construcţiile desemnate prin ,,2 + 2" şi •• 3 + 1 " şi am găsit că duc la acelaşi rezultat sau . .eu dISpun de metode de a realiza construcţiile desemnate de .. 2 + 2" şi ,,3 + 1 " ŞI de a arlta că ele duc la acelaşi rezultat" . O astfel de propoziţie se spune că este .. �a­ tisfăcutd în mod mtuiţionist" sau asertată (simbolic 1- p) Construcţia demonstrează propoziţia. (2) Negaţia 1P spune că «p duce la contradicţie . şi înseamnă că .. p este imposibil" (de jure. nu de faclo) . Dacă a = b duce la contradictona a =;t. b atunci construcţia a = b este unposibilă încercînd să construim a = b. ajungem la a =;t. b. deci l (a = b) (3) Con­ juncţia P " q este asert ată cind ambele propoziţii sint asertate in mod intuiţionist ( = construite sau construibile) . (4) Disjuncţia P V q este asertatd cind cel puţin una dm propoziţii este asertată in mod intui­ ţionist. (5) Implicaţia P -+ q inseamnă cl o construcţie P impreuni cu o construcţie r duc la construcţia q (6) Vx Fx : "avem o metodă generală de construcţie care ne permite ca pentru orice element a ales din Q să obţinem o construcţie pentru F a". (7) 3 x Fx : este construit efectiv elementul a din Q astfel cl Fa în logica predicatelor nu au loc impli­ caţiile : a) 13x 1 Fx -+ Vx Fx . b) 1Vx 1 Fx -+ 3x Fx . c) 1Vx F x -+ -+ 3x1Fx . d) Vx)llFx -+ 1 1 VxFx. deşi InverseZe lor sînt demonstrabile. Ca exemple de metode intulţioniste avem metoda inducţiei matematicc şi metoda funcţiilor recursive. tn ce priveşte numărul de valon enstă o dispută dacă 1. 1. este trivalentă sau infinită. Heyting însuşI a formulat matrice trivalente

I

P _ 1P I

_

0 1 2 1

O

1

_ _A

O 1 2

0

2_ 2

__ _

u 1

2

1 2

V

0 1 2

2

0 1 2 0 2 2

O I

o O O

Logka lui Heyting a fost comparată cu alte sisteme. in speCIal cu logica bivalentă. cum deja s-a arătat şi CII logica modall (v ) . Fie L K (logica clasJcă) ŞI L J (logica intuiţionistă). Glivenko a descoperit că : 1 Dacă I-P în L ]{ atunci 1- l 1 P în L r . 2 Dacă 1- 1P în L K atunCI 1- lP î n L J. Godel la rindul său a arătat că : 3 . Dacă avem o formulă A numai cu 1. A atunci dacă l-A în L K. I-A în L J. Un rezultat ciudat este că dacl transcriem P V 1P prin 1 (1P A 1 1P) atunci a doua formuEi este demonstrabilă în L J . numai că în L J operatorii nu sînt interdefini­ sabili Becker. la rîndul slu. a stabiht următoarele corespondenţe intre operatorii din L J şi cei din logica modală a lui Lewis : 4 - . A . V. 1 (Heytmg) ::> . ' . V. - O (Lewls) . La rindul lor Tarski şi !\fc Klll­ sey au stabilIt corespondenţele 5. P. 1. -+ (Heyting) O p , - O. -< (Lewis) . Kolmogorov a interpretat calculul intuiţionist ca pe {) lOgică a

problemelor

(v.) .

LOGIC.:\. JLRIDICĂ.

1) (în sens restrîns). lOgica normelor de ilrept (partt­ cularizare a logicii deonbce) . 2) (in sens larg) . logica nonllelor j uridice


LOGIC,,"

203

'\1ATFMATICII.

�i ana:lw logică a argumentăni din domeniul Ju ridic (în speţ.l "logica cercet.irii Judiciare"). Analiza logică cuprinde. a) cercetarea speciflcnhu logic al termenilor (resp. conceptelor) juridice (de ex.. termeni vagi, cO'l/strllctivil, b) analIza raţionamentului dedncti v ŞI induchv in cercetarea infracţiunilor şi în genere a problemelor Juridice, in speţă prob lema con­ sish'nţei sau incons istenţei mărturiilor, problema mecantsmului logic al lllterogatoriullll Ş a Se inţelege că fiind vorba de o aplica/te a logicii nu se poa te pune pro bl e ma unei J. J. independente de logica formală pură, cel mult se adaugă postulate specifice domeniuluI. Două postu la te au reţi­ Ilul aleuţla [ojJicl. dt'ontice (v.). (l) nul/um crimen sme lege (nu există mfracţiune fără lege), (2) nulta poena sine lege (nu există pedeapsă fără lege) Cu alte cuvmte dacă nn există lege care Sd prescrie fa pta ea nu poate fi consider ată ca infracţiune, dacă nu eXistă lege care să prevarlă pedeapsa, pedeapsa nn po ate fi aplIcată.

Actul negatIv (dăunător) precede norlllarea �I decI conceptul de Infrac ţ lulle, comp<lraţie dm Capitahll negative, iar legali tate a in Jnrul dreptăţii aşa cum preţnl oscueaz[L în jurul valorii. O altă prob le mă majoră in care logica poate interveni în d rept este adoptarea umu cod de norme raţio nale eficient, consistent �I coerent ide ea de dreptate pr ecede legalitatea. Folosind o lni .:\ilarx, mfracţinnile oscileaz ă în Jurul actelor

I.OGIt..l\ lIATEMATICĂ.

în

Isto ri a logicii terlll�llul �e înhll1��te prund.

la Leibilii -Logica -Mmhematica Boole foloseşte expresiile: "mathema­ hcal analyslS of logic" şi " mat h ema tical theory ot logic", Schroder ,,11ath"lUdtische logik ", Poreţki : "matelllattceskaia l og hlka " , l't'ano: dan

"logi ca matematica' Dnpă definiţiile date şi după conţmutul celor mal importante tr t ate care Illclud termenul de 1. m. rezultă C;l avem dou:i sensuri principale a le acestni termen: 1) logic a expusd cu ajutorul hm

a

bajelor furmalizate ( v ), �) logic a disclphnelor mat elll .lt lce PrimitI sens este ev id ent suficient de larg pentru a cuprinde toată acea parte a l o gicii care poate fi slmbohzată �i for ma l J zaU (deci În esenţă toat:i logica), adică logica modernă. A. Church în Introduc&Yc în logIca matemallcă ( 19 56) înţelege prin 1. m. logica Jormală (v.) "stu<hată cu aJutorul l tmb a j elor formalizate" Pentru el termenul are acelaşI sens cu logica simbolică (v.) şi logisttca Exis­ t.1 mulţi alţi termeni cu semnificaţie aprop iat ă �atl Identică (\' logica 'tmbolică). Cu toate că definiţia primll pare a d eli mit a bine logica de m ate ma tică , este necesa r să o confrltntăm cu conţinutul tratatnlnt on de c te an un logic ian ntilizează expresia 1. m. Or (hurch, de ex., ca logi­ CISt « logicism) Include lIlult mai mult în 1. m. decî t s-ar putea aştepta citItorul obi�nuit. Cea mai bună proceelură este să pornim de la co n­ ţinutul tratatu lUI spre definiţie, v om \ ede a c:i fiecare autor presupune un anumit înţeles al termenuluI logică înamte de a defini ter menI mal speciali IaU conţinutnl 1. 01. dat de Church' I Ca lculni propoziţiilor, 2 Calculul func ţional de diferite ordine, 3. Aritmetic a (tratată logic), 4. Aritmetic a recursivă, 5. Axiomatic a teoriei mulţimilor, 6. Intuiţion is­ mul matematic. Calculele modale şi calculele polivalente sînt invocate foarte puţin. Alţi auton le o nut total A Grzegorczyk le consideră pe acestea ca fiind "mal curind produsul fanteZiei filo�ofice decît rezultatul! unti nece"i tăţ l IOgIco -matema tl ce profunde" . Gr C MOI�11 �coate ŞI e

loglca modală din 1.

m.

S. C. Kleene in Logtca matematIcă

g

( 1967)

urm.'itoarea definiţie. "LogIca malemahcă (numită ŞI -lo l � a-slm este logica tratată pnn metode matematice"

Dar el precll:eaz<l

d:i

b�

că ace�t-=


204

LOGICA MODALA

este un sens restrins - "logica utilizată în matematică" pentru c:i. altfel este de asemenea utilizată in sistematizarea cunoştinţelor ştiin­ "logica ţifice" (altele decît matematice). La Kleene apare, aşadar, al doilea sens - logica disciplmelor matematice. Conţinutul este mult mai restrins decît la A. Church (Kleene merge mai degrabă pe linia lui Hilbert) - el distinge 1. m. de fundamentele matematicii şi se înţelege de mate­ matica propriu-zisă. R. L. Godstein (1957) dă o definiţie în sensul al doilea (restrins) . "Logica matematică are ca scop evidenţierea şi sistematizarea proceselor logice folosite în raţionamentul matematic, precum şi explica­ rea noţiunilor matematice. Ea însăşi este o ramură a matematicii care foloseşte simbolica ŞI tehnica ruatematică". Deşi nu e logicist el include în 1. m. acelaşi conţmut ca ŞI Church. J. R. Schoenfield în Loglca matematlcă ( 1967) scne

"Logica studiază raţionamente, iar logica matematică studiază acele tipuri de raţIOnamente " care se folosesc în matematică . Dm conţinutul 1. m. fac parte: 1. Calcule logice clasice (propoziţiilor şi predicatelor), 2 Teoria modelelor, 3. Teoria numerelor (naturale), 4. Teoria mulţimilor. în flDe, un tratat mal recent, Handbook of mathemattcallogtc (1977), publi­ cat sub redacţia lui J. Barv.ise, arată şi mai clar in ce direcţie merge 1. m. Ea cuprinde 1. Teoria modelelor, 2. Teoria mulţimilor, 3. Teoria recursiei, 4. Teoria demonstraţiei şi matematica constrnctivă. în con­ cluzie, vom reţine că 1) 1. m. are un sens metodologlc - logica studiată cu ajutorul metodelor matematice - şi un sens obiectual - studiul procedeelor logice folosite în matematică , 2) 1. m, (prin conţinut) cupl'inde o parte a logicii pure şi logzca aplicată la matematică; 3) 1. m. este strins legată de necesităţile logice ale matematicii. Prin aceasta se presupune că termemi logică, matematică şi metode matematzce sint cît de cît pre­ cl7.aţi. � V

Şl

ceilalţi termeni în legătură cu Logica).

L OGIC.\ !\l ODALĂ'-farte a logicii care studiază legile de raţionare in

care

i'iitervin, pe lîngă propoziţiile asertorice, propoziţii de forma: "Este po­ sibil p", "Este necesar p", "Este imposibil p", "Este contingent p". Logică generală (tradiţională) ne-a lăsat următoarea clasificare a Judec:i­ ţilor după modalitate . asertorice (de ex.: "Omul este arumal biped"), apodzctice (de ex . "Este necesar ca ftinţele raţionale să poată comunica "Este posibl1 ca mîine să plouă"). intre ele") şi problematice (de ex Se observă că din acestea trei numai judecăţile apodictice ŞI cele proble­ matice sînt de modalitate In sens strict. Bazele 1. m. au fost puse tie Aristotel Alte etape ale dezvoltării vor fi· logzca megaro-stozcă, logzca meduvală şi logica modernă

Deoarece termenii modali poszbzl, necesar etc. nu au semnificaţie univocă, iar pe de altă parte există termeni cu o semnificaţie mai restrînsă a căror logică este izomorfă cu 1. m, generală se impune să definun ŞI să clasificăm modalităţile. Formal definirea modalităţilor se face în modul cel mai simplu luînd ca termen prim pe una dintre ele. (de ell: . . posibtl sau necesar) Pentru simp1jficare introducem notaţiile P (posibil), N (necesar), 1 (imposibil), C (contingent). Luăm ca termen prim poszbzlul (P).

1. Np df pp. 2 lp = df Pp, 3 Cp fac parte din 1. ID. enumerăm =

=

df Pp & Pp. Printre legile care


LOGICA

205

4. Np ..... p 5. p ..... Pp 6. N (p&q)

= NP&N q

MODALA

7. P(P V q) = Pp V Pq 8. Np-+ pp 9. N (P A q) ..... Np A Nq 10. P (P &q) ..... Pp & P q .

Valabilitatea legIlor este condiţIOnată de noţiunile modale cu care operăm, adică de definiţia dată termenilor modali Din analiza 10gico-filosofică a categorillor de posibilitate, neces,tate şi întîmplare (= contingenţă) putem să deducem două înţelesuri majore: a) modalităţi ontice şi b) modalităţi cognitive. Primele califică stările de fapt, celelalte cunoaşterea. Stările de fapt pot fi actuale sau in devemre. Mai putem vorbi de evenimente, ceea ce diferă de propoziţii, indivizi sau predicate De ex "Fiinţele raţionale au în mod necesar capacitatea de a comunica intre ele" (actual), "Este necesar ca mîine să plouă" (in devenire). ModalităţIle sînt in acest caz un fel de predtcate ale stărilor de fapt starea de fapt că fiinţele raţio­ nale au capacitatea de a comunica între ele este necesară", "Starea de fapt că miine va ploua este necesară". Altfel spus "evenimentul că miine va ploua este necesar". în sens cognitiv, modalităţile se combină cu ade­ vărul şi falsul: "Este posibil să fie adevărat că există Viaţă pe planeta Marte". In conformitate cu schema definiţiet adevărului a lut Tarski (v.) putem trece la starea de fapt Este posibil să fie adevărat că "există viaţă pe planeta Marte" dacă şi numai dacă este posibtl să fie viaţă pe planeta Marte. De regulă modalităţile in logica modernă sint Înţelese ca modalt­ " tăţi cogmtive De ex.: .. este posibil e o prescurtare pentru "este po­ sibil să fie adevărat". în acest caz avem de-a face cu predicate despre propoziţii (sau ceea ce s-a numit "modalităţile aletice"). Există mai multe criterii de clasificare a modalităţilor în logică. Logica medievală ne-a lăsat distincţia intre modalităţile de re şi de dzcto (v.) Leibniz a deosebit între logic şi factual (v.), iar Lewis şi Reichenbach au introdus implrţirea modalită.ţl10t în absolute !li relahve (v.). Logica modernă a extins clasificarea in funcţie de domeniu. Tabelul de mai jos dă clasifi­ carea dup� diferite domenii corespunzătoare cu modalităţile alebce. Aletice

Existenţiale

Necesar Posibil Contingent

Universal Existent Parţial

Imposibil

Vid

I I I

Epistemice

Verificat Nefalsificat Nedecis

I

Falsificat

Logice şi fac· tuale Logic adevărat Ne-logic fals Factual adevărat Logic fals

Mai bun nu e mai � .\ la fel d<.. va.oros mai rău

Deontice

Obhgatonu Permis Indiferent Interzis

Temporale

Axiologice bun nu-rău la fel de valoros rău

I

totdeauna , cI rupI' 1I1h.

.,

Ju ..

!l;uuai

nici odată

mai devreme cel tirziu simultan mai tîrziu

Se observă că In aceste ultime două cazuri apare distincţia între modalităţile absolute şi cele relative. Astfel de predicate care se comportă corespunzător modalităţilor aletice există şi în alte domenii.


LOGiCA MODALA

206

m. ne arată, deci, cum să operăm conszslent şi coerent cu modalităţile aletice şi cu predicatele particulare corespunzătoare acestora. In cazul "modalităţilor particulare " nu avem de-a face proprin-zis cu logzca ci cu aplicaţiz ale logtcii. în cazul aphcaţiilor pot apare unele nuanţări ale pnncipiilor generale. EVident că orice "predicat modal" se supune legilor de bază ale logicii (identităţli, necontradicţiei ŞI terţulUl t'<�!us). Problema relaţiilor 1. m. cu logicile polivalente (v ) se pune din puncte de vedere diferite şi znaplicabilitatea terţuluz exclus în sistemele !nodale are un alt sens decÎt cel indicat de not azci. Notind cu m un predicat modal putem L

formula cu uşurinţă cele trei principII mp == mp; nlp & mp; mp V mp Exemple . Ceea ce este pOSibil este posibil, ceva nu poate să fie posib li ŞI să nu fie posibil, ceva este posibil sau nn este posibil a treia formă de aserţiune (a acestui predicat) este exclu'lă. Se observă că terţul exclns poate fi formulat astfel. orice predicat este sau afirmat �au negat nu există a treia formă de aserţiune Simplă, orice predicat are sau nn are loc în raport cu ceva, este exclusă contradicţia Pornind de la m.delul calculului logic clasic Lewis Ş a. au formulat diferite si<;teme modele ("calcule modale") Ele sînt date axiomatic sau matricea!. Este o diferenţă între interpretarea modalităţIlor ca predzcate ŞI ca valorz ale varzab ilelor. în pnmul caz avem o tratare mtenstonală, în al dOilea una extensională (funcţională) Dacă 1. m. este combinată numai cu calculul propoziţiilor vom avea 1. m. pro ­ pozzţzonală, dacă e combmată şi cu calculul predicatelor avem "calculul modal al predicatelor " (sau 1. m. a predicatelor) Calculele logice se Împart în trei grupe pentru logica propoziţlOnală 1) sistemele zmplicaţzei stricte (Lewis), 2) sistemele zmpltcaţzez e't:acte (W. Ackermann), 3) sistemele zmplicat!zlor polivalente (Lukasiewicz) Lewls construieşte, in 1918, un sis­ tem de 1. m. numit ulterior S3' iar în 1932 formulează (influenţat de cercetările lui O. Becker) alte cmci sisteme modale SI' 52, 5" Ss' �6' Sistemele 1-5 se mai numesc canonIce �u toate sistemele au fost axio­ matizate de Lewis iar unele au fost reaxiomatizate de alţi autori. Unele axiomatizări sînt echivalente, adică postulatele unui sistem (axiomele şi regulile de deducţie) sînt deductibile în alt sistem ŞI reciproc. Proprietă­ ţIle sistemelor au fost demonstrate de Lewis sau de alţi autori. Siste­ mele lui Lewls dU fost expuse ŞI În formă de calcul natural (v ). Luka­ siewicz a formulat, de asemenea, calcule modale în 1920 ŞI 1953. Prior ŞI �feredlth au construit "sistemul parţial I (sistem illlplicativ), Godel su,temul T, von Wright - sistemele .'11, M', M", Hilltikka ŞI Knp­ ke - ,,�lstemele lui Brouwer", Dummett şi Lemmon - sistemele 5.2 ŞI 5, 3' von Hallden - sistemele S. şi �.' Ackermann \V. - sistemele P' şi P", iar Anderson �i Belnap - sistemele E şi E', Calculele modale pot fi interpretate prin matrice cu uu număr finit de valori sau ele sînt interpretabile pe mulţinu mfimte de valori. Modalităţile pot fi Iterate (de ex NNp, P.Vp) , fapt care nu este utiliut intnitIv decît in mod foarte rar. Construirea de calcule modale predicative are loc pentru prima dată în 1946 de către Ruth Barcan şi R. Carnap. Considerind expresll de forma ..Evenimentul p are loc În cazul t" şi simbolizîndu-Ie prin pl putelll cuantifica afirmaţia "Evenimentul p se produce cu necesitate" prin '!/ t pt, iar afirmaţia ..Evenimentul peste p osibil" PiiU 3tpt. Feys numeşte aceasta limbaj aJutător deoarece necesarul ŞI posibilul sînt ÎnlOCUIte respectiv cu '!/ şi 3. în ultimul timp, a crescut interesul pentru semantica SIstemelor modale (S. Kripke, K Schiitte, Hintikka � a ). Sistemele modale prezintă interes pentru fi loso


LOGICA POLIVALENTA

2()7 fie ŞI unele domenii umaniste. (1'. 5i

modalităţllar).

L Q.tJ.1CĂ OPTATIVĂ.1 ". P p, dar

sa d'oreşb

V

LOGIC.\. PI.URATn .\,

SIstemele loglcu modale, SemantIca

logica dorinţelor raţion e. iraţional să dore5ti p & p

De ex. este raţional

logică hazată pe nuanţarea cuantificăriI propOLl­ (mulţi, puţini, cei mai mulţi, maJoritatea, destul de mulţi ş a ). Exemplu de silogism pluratlv:

ţiilor

Toţi 11/1 sîut P :\Iajoritate de 5 sint

.11

<le S sînt

P

Majontate

Ll->te Important să nu mutăm pe acea�U cale �ilogistica obişUUltă, tleoa­ rece lIU se obţm în toate cazurile silogisme valabile. Gn exemplu eronat este acesta Cei llIai lI1ulţl Cei mai mulţi

.11 �înt P � sînt ,VI

Cel mai mulţi

S sînt P

într· adevăr, fie mulţimile \ 0111 a vea relaţiile:

M =

{2,

3, 4}, P

Cei mai mulţi M sînt mai mulţi .') sînt M Cel llIai mulţi 5 "înt

Cei

=

�:{, 4, 5, 6},

P p, 4} c P {2, 3} c :\1 P {3} c P

S

=

(2, 3, 7}

dar e fal� că

LO.!J..!��-X9hly�_ţEN.1'Ă._ (sau �O.(�IC.\ ��\'�L��T�), ansamblul SIS­ . temelor logice (formale) care admit ca pnnclpJU eXistenţa şi a altor pro­

poziţii decît propoziţiile pur şi simplu adev4rate sau false. Altfel spus, 1. p. este logica bazată pe clasificarea pohtomică (nu simplu dihotomică) a valorilor logice Există diferite moduri de a specIfIca adevărul sau fal­ sul incit să obţinem valori logice lluanlale. O posibilItate de nuanţare este modalizarea valonlor logice: necesar adevărat, necesar fals, posibil

adevărat, posibil fals. Această posibilitate a fost folosită de LukaSlewicz, intemeietorul primulUI sistem de 1. p. (1920). Lukaslewicz a utilizat iniţial exact valorile. ad ev ăra t, fals, posibIl (in inţelesul de posibil ade­ vărat). Modahzarea prin necesar a adevărulUI ŞI falsului este presupusă Ideea că nu toate propoziţiile pot fi calificate pur şi simplu ca adevărate sau ca false este mult mai veche, ea e�te cuprinsă deJa în opera lUI Aris­ totel Despre interpretare Dealtfel, LukasiewicL a pormt de la analiza acestei opere (v. VIitorii contingenţi). Deşi Aristotel lega însăşi definiţia propoziţiei de .. ceea ce este adevărat sau fals", el constată Cd există propoziţii (ca .. mîine va fi o bătălie navaIă") despre care nu putem decide acum dacă sint adevărate sau false deşi în sInea lor ele sint astfeL Adevărul şi falsul sînt nuanţate relativ la posibilitatea noastrZL tle de­ cizie. Rezultă următoarele nuanţăn din textul lui Aristotel' a) mUl mult sau mai puţin adevărat, b) actual adevărat, c) potenţial adevărat, d) ne­ cesar adevărat, e) contingent atlevărat, f) decis ca adevărat, g) nedecls ca adevărat (.. nu putem spune precis", .. trebuie Sd lăsăm alternativa nedecisă"). Esenţial este nu natura acestor nuanţări, ci ideea însăşi a nuanţării. Ideea nuanţărilor predicatelor de adevăr n-a fost străină mei evului mediu, dar nn pare a exista ceva remarcabil în sensul logicÎl poli­ valente. Mai Interesantă este distincţia lui Leibniz între "adevărurile de raţiune " şi .. adevărurile de fapt". Kant prezlDtă, de asemenea, interes


208

LOGiCA POZlTIVA

prin distincţia intre adevăruri anahtzce şi sintetice. G Boole afirmă că logica cu două valori este doar un caz limită al raportului de pro­ babilitate, iar Peir ce afirmă că "orice enunţ este mai mult MU mai puţin fals şi că aceasta este o chestiune de grad". Dar aşa, cum am spus, abia Lukasiewicz construieşte nn prim sistem pe baza ideii de polivalenţă. După el Post (1921) inspirat de consideraţiile lui Peirce va da o schemă abstractă pentru construirea de 1. p. Au urmat apoi o serie intreagă de construcţii datorate lui Heyting, Boclvar, Reichenbach, Kleene ş.a. Există două posibilităţi de a trata "predicatele de adevăr nuanţate": 1) ca valori ale variabilelor şi expresiilor funcţionale, 2) ca predicate metateoretice determinate. In primnl caz, 1. p. sint teorii ale funcţiilor de adevăr, definite pe un domeniu cu V" (unde Veste mulţimea valo­ rilor logice) şi luind valori din V.) Fiecare fnncţie este astfel de tipul' f: V.. ..., V. In al dodea caz, analiza se face în cadrul unei logici bivalente aplicată la predicatele metateoretice corespunzătoare. Teoria funcţiilor n-valente poate fi construită matricea!, algebnc sau a:nomatic. Problema care se pune este ce relaţii există Între logica funcţiilor bivalente ŞI logica funcţiilor n-valente, respectiv, intre «calculul bivalent» şi .calculul n-valenh. 1) Toate formulele tautologice ale logicii n-valente sînt fonnule tautologii şi in logica bivalentă. 2) Orice sistem de formule tantologlce n-valente este sau pur ŞI simplu un subsistem strict al logicii bivalente sau izomorf cu un asemenea subsistem. 3) Cel puţin o formulă tautologică din logica bivalentă nu este lege logică în sistemele polivalente - legea terţului exclus, dar evident şi alte legi care depind de aceasta. 4) Dm punct de vedere sintactic calculul polivalent nu aduce nimzc in sensul introducerii unor legi logice noi. 5) Din pnnct de vedere semantic el constă Într-o reinterpretare a formulelor bivalente. In această reinter­ pretare unele formule rămîn degh altele nu. 6) Este necesar să se în­ ţeleagă că ceea ce se obişnuieşte a se numi adevăr şi fals in 1. p. nu corespunde exact cu ceea ce se numeşte «adevăr» şi resp. .fals» în lo­ gica bivalentă. In logica polivalentă adevărul şi falsul reprezintă cele mal puternice nuanţări (de ex.: "necesar adevărat", "necesar fals"). 7) Propoziţiile cu valori nuanţate nu prezintă in toate cazurL1e un in­ teres deosebit pentru ştlinţă şi nici cWar pentrn logică. 8) Există încer­ cări de a interpreta calculele polivalente În alte domenii decit cel lOgiC (de ex: în domeniul tehmc ş i, în general, în domeniile în care . 1. fenomenele comportă mai mult de două «stări ». 9) In metateona p. operăm cu logica bivalentă. Logica blvalentă este deci fundamentul «ideal» al gindirii noastre şi dacă În unele cazuri trebuie să renunţăm la unele din formulele ei, nu rezultă că în genere putem renunţa la prin­ cipiile ei. Renunţăm la «cazuri particulare» şi nu la cele mai generale formulări. 10) Dacă o formulă nu este teză în logica bivalentă, nu este nici în I.p. LOGICĂ POZITlVĂ..Jistem de logică TFA elaborat de Hilbert prin eliminarea axiomelor cu negaţia din următorul sistem de axiome. 1. Formule pentru Implicaţie. 1. A ..... (B_A)

2. (A _(A_B))_(A ..... B) 3. (A_B) _«B_C) ..... (A _C)) II. Formule pentru conjuncţie. 1. (A &B)_A 2. (A &B)_B 3 . (A - B)_ «A C) (A ..... (B & CI)) --+

-+


209

LOGICA SIMBOLIC A

nI. F'JYlnule pentru dlsilmctze I A _(A V B)

2. B -+ (A V B) (A --+ C) -+ «B

3.

-+

C)

-+

«A

V B)

-+ CI).

1 \'. Form ,de pentru echIValenţă. 1. (.f = B) -+ (A --+ B)

2.

(A

=

B) -+ (B -+A) B -+ «B -+ A) --+ (A = B)) V. ['ormu[e pe ntru negaţze. 1 . ( " ..... E) ..... (B -+ A) 2. A -+ A 3 A ..... A Grupele I-IV formează 1. II. Se observă că în ce priveşte operaţiile logice Hilbert a căutat să plece de la proprietăţile lor esenţiale. Dealtfel, se retuarc:i analogia cu modul în care el a procedat în Fundamentele geometriei în legătur:i cu grupa 1 se def1ll\:!şte noţIUnea de "formulă implicativă regulată'" Al -+ (A2 ...... ( - (A"-1 ...... An) . . )) unde A" se află printre formule sau reznltă din ele conform cu modus ponens (v. ) (nu prin sub­ stituţie). Toate axiomele grupului 1 sînt "implicativ regulate". De ell:.: (4 ...... (A -+ B)) -+ (A ...... B). Aplicăm modus ponens' A -+ (A ...... B), A, B. A se află pnntre formnle, iar B se deduce pnn aplicarea de două ori a lUI modus ponens: A,"-/. ..... B, B. Ca urmare remtroducem impli­ caţm: ('1 -+ (A -+ B)) -+ (A ...... B) (V. şi Teorema deducţii:!). Din sist 1 - V eliminîudu-se diferite grupe de legi de negaţie obţinem sub�l�telIle ca log. pozitivă, calculul minimal, intuiţionlst � a. G.'llculltl minimal. J. Johanson (1936) a formulat un subsistem TFA din care exclude terţul exclus (A V Ă) 5i princip iul "din fals decurge ,I -... (A ...... B) Se inţelege că excluderea vizează şi orice teo­ o rtc" " rem;! care se deduce din ele sau faţă de care se află in raport de de­ ducţie reciprocă. Acest calcul !>-a nUimt e. m. (der Minimal-Kalkul) şi diferă de cel mtuiţiomst tocmai prin ultuna aXIOmă (v. logică zntltt­

3. A

--+

tionistă) .

mal gell.;ral caracterizat;; ' p rTn a) studiază numai formele cele mal generale de propoziţii (S este p, F(�), G(�, y), x e J(, J( c L etc.) , b) cuprinde numai legile care depind de fonnele generale de propoziţu şi de valonle adevăr, fals, c) nu cupnnde nici un fel de termeni. operaţii sau relaţii determinate ( = re­ lative la vreun domeniu particular), d) �tudiul inferenţei şi a condiţiilor el tormale constituie scopnl logicii, e) orice determinare a termenilor, operaţiilor ŞI relaţiilor înseanlllă trecere de 1.1 forme de propoziţh la pro­ poziţii despre domenii determInate ŞI prIn urmare la logica aphc{l,tă, f) operaţiile şi relaţîile logicii sint studiate uumai prIn prisma proprie­ tăţilor formale ale relaţiilor şi prin prisma d.dcvl\rului ŞI falsului, g) cu­ prinde toate legile logice posibile care satisfac condiţiile indicate mai sus (punctul b)). LQ..c;IC'\ SIMBOLICĂ, logică fonuală coustruită cu ajutorul IImbaJuluz simbolic (v.). Uneori -'termenul de logică simbolică este luat ca smonim cu logIca matematică (v ). Logica formală contemporană utilizează in • ntregul ei limbajul simbolic, indiferent dacă are sau nu leg.lturI strinse

LOGlt.\ PUR.\., logicd. fonnal:i in sensul cel


LOGICA TRADIŢIONAL A

%10

CU matematica Pe de altă parte, utilizarea lImbajulUi natural este încă o componentă mdlqpensabil:� logicii contemporane

LfH.H.. A THAIHTIO!\AL.\.

logica formală anterioară logicÎl simbolice. Foloseşte în principal limbajul curent, nu distinge între nivelul teoretic ŞI cel metateoretic, utilizează metoda clasificării (aplicată la fomlele lo­ gice noţiunea, Jt\uecata ŞI raţionamentul). :lletoda deduchvă este spo­

radic utilizată De asemenea, se confundă auesea aspectele teoretice cu cele metodologice, precum şi logica purJ cu logica aplicată. Este un it'! de logică universală (În sens de atotcuprin::ătome). în principal este logic.l bivalentJ, cazul polivalentel fiind doar întîmplător semnalat ((le ex Aristotel). 1.'neorl este numită �I .. logică aristotelică" !:>copul el este

la

să inregistreze formele logice generale p<.ntru a fundamenta gllldirea co­ r<:ctă (adicJ operaţiile logice de de/intre, clasIficare, raţionament) concepţie asupra relaţiilor dmtre logică �I matematică ela­

�()GJCISM,

boratd de (;otIon l 'rege ŞI

Alon�o Church

ş.a.

dez"oItatli În parte

de

către Bertrand Russell,

Trei evenimente ştiinţifice majore au împins în prim

plan problema relaţiIlor dintre logică şi matematică (În speţJ, probl ema

fio/etni

mtllmloltciij 1J apariţla logicii .

simboJice

(trataIea

logicii cu

mij­

loace care tradiţional erau aplicate preponderent în matematică, în exten­ silUlea acordată pină la Frege acestei ştiinţe) . 2) crearea teoriel mulţi­

milor

(Cantor)

ŞI 3)

aritruetizarea

matemdticll

1'e"a

fundamentalJ

a

este că matematica <ste o ramură a logicIi Frege a el<iborat un ade, J­ rat program (cunoscut aZI sub numele de "programul lui Prege .) pentru

1.

jnstifiearea aee,tei teze. EI pre�upune realizarea a trei puncte. a) defi­ nirea noţiunilor matematice cu ajutorul noţiunilor logice; b) exprnuarea propozIţiilor matematice În termeni logici , c) demonstrarea ade\'ărurilor

matematice dm axiome logke Frege a construit un sistem logico-arit metic prin eare presupunea că a realizat toate cele trei puncte Acest si stem a fost submmat (le paradoxele llmlţimilor descoperite ultenor, dar 71 de altt' descoperIrI Whiteheael şi Russell au refăcut construcţIa lUI 1 rege p'"111n<l <le

l:l /tona tipuYllOJ (v) m opera fundamentală Prm­ czpla Jlathrmal!.c(J Au fost aduse 1I1al mlllte oblecţa speciale sau r;ene­ rale impotrh a tezeI 1. a) o serie <le propoziţii matematice (axiullta in­ fznitului şi axioma alegerii, in primul rînd) 1111 pot fi deduse di n axio­ mele presupus logIce, b) teorema llli Godel (v.) a dovedit mcompletitll­ dinea aritmetică a sistemelor de bpul Principia .'Ilathematica nici Frege, nici Russell sau altcine"a dintre logicişti nu au rezolvat cite, a probleme generale pe caTe teza 1. le presupunea :,olnţlOnate, c) ce e�te l,'gtca, ce este matematica) (ace�tea pentru a şti ce reducem la ce) , d) este logIC a claselor identică cu teona nmlţiuulor, q categoriile de clasă, clasă vidă, şi apartenenţă sint categoni ale logicii) A. <...hurch a Încercat �ă Justifice o variantă mai sl ab ă ... 1.: logica are pnoritate faţă de matematIcă Alţi ginrutori aII reţinut doar legfi/ura strînsă dintre logică şi matematică �i au formulat alte filosofII a�upra natnrii matematicii, (v. JOY1nal!sm �l tntmţlonZS11l log!ca-matematlc). EAlstă ŞI o concepţie popuJ ard a�upra celor doua ştiinţe pe care am numi t o lIIatematism tv) LU�IE I'VSWl."'.\, lume gindibilă necontradictoriu (Lelbmz) <...arnap iă ca eApUcaut pentru 1. p. desrnerea de stare (v.) S. Kripke, S Kanger, J. Hintikka Ş a au relevat conceptul dm punctul de vedere al semanticii logicii modale, von \V rig ht 1 a folOSit pentru logica prefermţel În ge­ nere, este larg folOSIt m scmantica logicilor aplicate Ideea ne necontra­ dicţie rămine esenţiald pentru once 1. p. vom începe cu lumea reală, să Zicem,

1. p.

� anante la o lUllIe reală care să

uu

Ca să facem intuitivă lumea blpedelor. Putem

fie logic imposibile, de ex.

Ideea gindi

lumea


211

LUl\IE

PO<jIBILA

Zltoyogllor. Deşi factual IIU există m orogi , logic el nu �mt eXcIWll. Kri pke porneşte de la co ncept ul de "mulţime a lumilor posibil"," g al clrci prim element este lumea reală G, astfel cl G E K. Xotăm cu H o lume oarecare po si bilă, astfel că H E J.;. Orice formulă atomard. e,te raportată la o 1. p, priutr- o funcţie <1>(P, H) care presc ri e fiecărei P o valoare logică Îu lumea H. Tot lu l egătur ă cu 1. p. apar e relaţia H Între două lumi posibile HIRHa, unde H to H. E K. H I RH. poate fi mterpreta t ca , !Il este po sibIl faţă de 11," .sau "H. e�te pos ibil ÎI1 El, . sau "H. d ep inde de Ht" sau "din H I se poate accede la HI'" Acea�ta este noţiunea de 1. p. relativă (o lume este posibilă relati v la alta) Kripke utilizeaza însă ŞI 1. p. abso lu tă (o 1. p. în raport cn oricare alta). Orice bune e s te po­ sibil ă relativ la sine (HRH), ceea ce Kripke traduc e prm orIce propo­ ziţie adevărată în H este de asemenea poszbzlă în H. O formulă .-1 este necesară în ElI dacii: ea e!>te adevărată i n orice 1. " . rdativ la lI,. Simbolic (1)( 0.1, HI) = T <o> <1> (A, H.) = T pe n tr u orice II., a stfel că H,RH•. Relaţia il este de echivalenţă. Am văzut că ea este reflexlvă, ea este, de a::.emenea, si me tr ică şi trallzitivă (H,RH. şi H,RH. implică HIRHa). Pentru H,RH. are loc proprietatea că Il este p osibil i'n 8, = eristft. H" H,RU. ŞI A e ste adevărată in H•. Anal og pentru H, RH" . deci. e posibIl că e po!>ibll .el in H•. S-a s tab il I t că A este cel puţin posib il.1 în HI' dacă, deci , A este adevărată în Ha, e ste cel pu ţin pvsibzl Cd A este posibilă în H,. Pentru a conchide H,RH. e nevoie de axioma "posibil că posibil înseamnă că e posibil" Din proprietăţile mdicate se poate conchi­ de Simetria folosind axioma lUI B r ouwer A __ OOA. (A x i om a lui Brouwer se obţine dÎn A --11.1 prm înlocuirea lUI 1 cu negaţia tara 0- )


M

MATE}IATIS�I, concepţIe spontană despre natura matematicii şi logicII.

Matematica este definită după o însuşire sau alta fără a analiza mai " adînc. De ex., "matematica este ştiinţa care utilizează simboluri , "ma­ tematica este ştiin ţa calculului", "matematica este ştiinţa n um erelor ", "matematica este ştiinţa structurilor", " m atematica este ştiinţa sistemelor formale". Efectul acestor defmiţii cOll�tă în faptul că în aceqt fel sînt înglobate în matematică ştiinţe sau părţi din alte ştiinţe care n u an legătură logică (pnn definiţie sau deducţie) cu conţinutul matematicII. Abstract vorbind, matematica studiază trei feluri de obiecte: mulţimi, 1Il1mere (care sînt determinaţii ale mulţimIlor) şi structuri de JIlulţimi sau de mulţimi de numere. Unele dintre struct urile detaşate de la mulţimi sau numere pot fi regăsite în alte domeud. De asemene a, o serie de me­ tode (ex. calculul) considerate în mod tradiţional ca matematice au putut fi gen er ali zate peste limitele obiectelor mat ematice . MATRICE, t b el format din n linii (= rînduri) şi m coloane (unde putem a\·ea ŞI 11 = 111) In caz că 111 '" n avem m. dreptunghiulară. iar in cazul că m = 11 avem m. pătrată. Căsnţele m. !.înt completate cu anumite sem­ nificaţii dependente de cele de la m trările (pe linii şi pe coloane) tabelului. Figura următoare reprezintă un model de m . .

a

1'>(1 u

al

I

--a-_-

I

_-_1

a.

I

J

o, IIlb,

a_b, !I.b,

I

II

b2

alb_

I I

b. alb.

a.b2

a_ba

aJb.

!lab.

UI

fn căsuţe au fost puse n ll aI comblll,mle Între a. �I b, în calcnlnl matri­ ceai din matematic;. "e omite de regulă Illlplrţirea in căsuţe. 1\1. are forma a,b" -


213

METALIMBAJ

)

Şirurile orizontale vor reprezenta liniile, iar şirunle verticale vor repre­ zenta coloanele. Se foloseşte şi forma

(

",', ...... �". a"b"

a mbl

Este suficient să introducem o smgur:i hter:i cu llldici

1

a11' a\2' au

a nI an 2'·

. . . , al"

J

(l11

n

tn loc de [ ] ŞI ( ) se pot pune II II . 51mbohzăn ale m. [a,):, Ila"ll, [M] .. xm sau simplu 111, (o variabilă pe o mulţime de m. ) . Expresia m,<n reprezintă ordinul m. tn matematică putem aduna sau înmulţi m. E xemplificăm adunarea matricelor' Ila,) II + : ib,,11 = I lc,, 1 i (unde c,; = = a" + b.j). Are sens să adunăm numai m. cu acelaşi dimensiuni m x n : (Mmxn + Nmxn ) . Se adună după reguh preCIS mdicate elementele care ocupă aceeaşi poziţie in m. (ex au cu bI2). Ca exemple de adunare vom lua corpurile Galois (modulo 3); deci 1113x3 cu N3x3 , notate cu MI ' M2• M, =

Iil

2 O 2

I

I l O

2 O 2

",'J. = 1 O 1

O I 2

l I

III

4

3

=

1; 1, ca urmare 2 + 2

tn logică

m.

=

O

aJJ,

l O l

1

II 2

2 il

Exemple. adunăm pe 2 cu 2 (dm poziţiile -

I

l 2 2

i11 � �t

O

I I

b33) efectuînd 2

-

2

=

4,

1 (conform cu adunarea după modulo 3).

sînt pe larg utilizate (Y ftmc/le de adevăr, J li. ,mnime).

MATRICE A F ORMULEI (v. prefixul formulei). lfATRICE DE ADEVĂR, tabel prin care se definesc juncţule de adevăr (v.).

MAXIMAL NECONmADICTORIU, clasă de formule care este necontra­

dictorie şi orice extindere a ei este contradictorie. în legătură cu aceasta se formulează următoarea metateoremă' orice clasă de formule necontra­ dictorie poate fi extinsă pînă la o mulţime de formule m. n. O mul­ ţime de axiome care nu mal poate fi extinsă (pnn anexarea unei axiome independente) este m. n.

IIAXITERMEN (v. mimtermen) . YERE OL OGIE, sistem de logică bazat pe relaţia parte-intreg elaborat

de logicianul polonez Lesniewski. \tETALIMBAJ, lunbajul in care este studiat un limbaj dat numit ltm­ baj-obtect. Distincţia a fost introdusă de R. Carnap şi A. Tarski sub influenţa lui D. Hilbert care a introdus termenul de metamatematică in corelaţie cu matematic a. Originea utilizărit prefixului meta trebuie căutată însă în antichitate. Aristotel l-a folOSit în denumirea metafizica


lUETALOGICA

214

( = meta - fizica) De rcgul:i 111. nu este formalizat El cuprinde o parte dm ll1nbaJul uzual �I ullele 'Imboluri speciale. Notînd limbajul-obiect Ul [. Hl1l1 nota cu ,1IL 111. Expresiile w. constau din: a) denumiti pentru expresii dm limb�jul·obiect (adică "nume proprii" pentru astfel de ex­ presii), b) termeni generali pentru clase de expresii din w. şi pentru proprietăţi, c) expresl1 generale de natur.l logică. d) unele simbolun "pedale, el traducen .lle expresiilor dIU limbajul-obiect f) modul de CI­ tire a e\ entualelor expresii simbolice din L. 1\1. poate fi speCializat în tuncţle de laturile lunbajului-obiect supuse studiului' smtacttc, semantic, praglllotL. Orice m. la rindul său poate fi supus studiului şi in acest ca7 el devine hm baj-obiect , iar propriul său m. se va numi meta-meta­ ltm baJ (1IAIL). Cum ierarhia poate merge la IUfinit se presupune că practic ne oprim unde\'a, limbajul care va rămîne deasupra (nesupus rdlecţiei) .. a fi lllnbajui univl ysal Uneori prefixul meta se va aplica şi la expresiile dm m. (J/Ietaexpresie, metatermen, metapropoziţie) Exemple de expresii dm L ŞI JfL. Fie L limbajul aritmetlc. a) 2 + 3 = 5 (ex­ pre»!e in L), b) Expresia a (nume propriu al expresiei in L); c), a este e"-presle adevărată (metapropoziţie): d), a este o propoziţie de re­ laţie (1I1etapropoziţie), e) Propoziţiile din L (termen general in ML); f) Xecontradicţia (termen de natură logică generală) Condiţille de con­ strucţie a limbajului obiect sînt formulate în w. De ex" regulile lim­ bajului sint propoziţii În JlfL \ \'. metateoru, metalogzcă). llET \1.0G lCA, teone a sistemelor logice, altfel spus, metateone a teo­ riilor logice Studiază teoriile logice dm pllnctul de vedere al conţinutulUI, fornlcl, problemelor, metodelor, ltmbajului ŞI supoziţiilor filosofice (V. Ş I semiotzca logzcă).

j\lET.\\1 \TE'\lATICA, termen mtrodus de D HiIbert, pentru a desemna

teoria demonstraţiilor formalizate într-un sens mai re strîns m. desem­ neazil cercetările destmate fUlldamentării logice a matematicii de pe poziţiile formalismului Dacl a\'em în ... edere lucrarea celebră a lui Kleene illtroducere in metamatematlca atwlci termenul m. este sinonim cu lu­ gica fIlatematicH adicl cu l'Jglcu matematICă (într un sens restrîns) (v. luglcii matematică) Paul Lorenzen a semnalat un aspect paradoxal in utilizarea acestm termen metamatematica ( = teorie despre structura logică a matematIcii) este ea însăşi disciplină Inatematică. Ieşirea din această stare paradoxală nu se poate face decit admlţind că, mdiferent de mijloacele folosite, metall1atematica e�te o ramură a logicii aplicate , altfel spus este logică aphcată O altă lucrare MatematIca metamatematicH de Rasiowa şi Sikorskl sugerează la rîndul său că metamatelllatica poate fi studiată dm punct de "edere 1l1atematlc. Or aceasta implică faptul că există aci următoarele nivele de abstracţie a) un domeniu de mfor­ maţle (mai mult sau mal puţin organizat) numit matematicâ (cu tdmu· riIe principale - teoria mulţimilor, teoria numerelor şi geometna). b) UII �tudiu logic al acest1l1 domelllU nUlUlt metamatematică, c) un �tudlll 11lulţmllsto-structural al metaruatematicii. In acest fel tenneUI1 logiC.! ŞI m. au pe lingă sensul de baz:i sensuri relatzve la nivelnl de ab...tracţle. Raslowa ŞI SlkorskI deflllcsc m. drept "teorie care stUdl.lZl teonile ma­ tematice formalizate" Or, acestea - teoriile matematice formalizate constituie mal de grabă scopul decî t obiectul studiulw. :\fetamatematlca �tudiază teorule matematice în vede"ea formalizări.I lor (r- �I ml'la­ hmbaj, lIIeta/eone, metalogică).

'IET.\TEOnEj\lĂ, teoremă componentă a unei metateOYl t (v) De ex, afirmaţIa "PrinetPla l11athematica este un sistem necontradictoriu" este


215

METODA

COEFICIENŢILOR NEVETERMINAŢI

o m. La fel afirmaţia .. Once formulă este t:c!lIvalentă logic cu forma el normală". ln:TATEOnIE, studlll asupra unei teoni sau c!a�e de teoriI. Conţinutul w. depinde de ceea ce se inţelege prin teon (v. teone) şi de mulţimea punctelor de vedere pe care le adoptăm în studiul teoriei. Scopul m. este constrUIrea unei teorii perfecte dm punct de vedere logic ŞI eficiente sub raport pragmatic (termenul pragmatic trebuie luat în sens foarte general). Putem considera teoria în �ensul cel mal sărac al cuvîntului (suficient de stnct îns[l) ca mulţime dr p rop oziţiz (formule) organizată logic (deduc bv), sau, urmînd practica ştiinţifică, putem inţelege teoria ca avînd cel puţin două ., tratun logice 1) teona in sensul mat

e

e e

ce

rei

sarac al cuvîntului ; 2) un minimum de propozitii m tat oreti ( relative la o astfel de teorie) ca, de ex . regulile de deducţie, reguli de rezolvare (adică mctodele) ŞI uneon chiar regulile de definiţie Acest mod uzual de a în ţelege teona este aşa dar un complex teoretico-me/ateoreltc nu te o ­ ne pură, sau m. purrt î11 acest ca7, ceea ('!, vom numi m. , a fi în rea­ litate o mela-metateone Avem �a dar : 1 (teone pură).. T· (teoria pură plus minim u m de mijloace melateoretice), decI În mod corespunzător iVI T sau ]'.11'. (m.) . Fiind mai eficient S{, considerăm teoria in sensul T*, vom înţelege prin DI. MT· Pe ele altă parte, este necesar ,ă avem in vedere că nici o 111. nu este pur:!, căci m ea mtervm adesea noţiulll

şi propoziţiI de nivel

superior el.

\.. a urmare, idealul unor logicieni de

a distinge stnct teoreticul de mata/eoralle nu este practic realizabil şi nici de dorit. Pornind aşa dar de la conceptele pure YOUl d evia de la ele in conformitate cu practica ştiinţifică şi cerinţele pragmatice Ce studiază aşa dar ni. (în sensul acceptat) I a) Forma. problenlele şi metodele teo­ riei. b) limbajul teonel (aspectele sintactic, semantic şi pragmatic), c ) problemele filosofice ale teoriei. L a aceste ca pitole ll1ari adăugăm . defi­ niţia şi conţinutul teoriei, precum ŞI, eventual, \Iuele probleme privind relaţiile logice sau istorice cu alte teorii. M. eHspune de un alt limbaJ decît teona, cel mai adesea neformaIizat 5i oricl/Ili nu în totalttate formah­ zat. Ea nu trebuie să fie Însă confundată cu metalunbaJ ul (�, ) lIET 9_D A C OEFIC IENŢI L O n NEDETEnMI'Nf !, metodă de atlare a formei normale minime Fie o funcţie f(PI ' P., . , P n) . 1) Se scriu to�e conjuncţiiIe prime de 1 , 2, şi n ,,· ariabile. ne ex : Pl' , P•• P IP•• P• • . . , P,P•• . . . • p". 2) Se determină pentru fiecare conjuncţie primă coe­ ' . ' ·==· ; ficientul K ,·y l�;ile (: ;;otat� i ;-; ist�l��{i' binar) care transf� i{ conjuncţia in 1. Iar J = seria de numere care reprezintă variabilele res­ pectivei conjuncţu prime. Fie, de ex , conJl\Ilcţm P,P,P 3 coefiCientul v a f i Km. CoefiCientul s e scrie i n faţa conjuncţlel prime . KUl P I OP3 Ter­ menii astfel constituiţi formează o formă normală disjunctivă (cu co­ eficien ţi). Exemplu de aplicare a regulilor ŞI (2) '

p,

p" P

} t1�d��

P

(1 )

fP P ( lo .) = KI pl V ll �P I V ](� P. V

lQp2 V 1, HpIP. V l' I:plp. V ], nPIP. V V hf�PIP, 3) Scnem disjuncţiile de constttuenţi care transformă funcţia in 1 şi dlsJuncţlile care transformă funcţia in O. în acest scop putem scrie numai coeficienţii. Pentru f(PI ' P.) = (PIP. V PIP. V PIP, , om obţine HI V Hl V gg I Kt V K� V Rig = I K: V K� v Kn = O Kf V K� V Rn = O =


'1ETODA CONCORDANŢEI

2 1 1>

Să verifIcăm fiecare dISjuncţie iu parte pen tru funcţia

1).

P2 V PtP"

f(p"

i).)

=

P d'.Vr,

Pentru prima disjuncţIe avemf( l. într- adev ăr Pt = 1 şi P. = 1 t ransf ormă primul membru al dlSjuncţiei in 1 . P1P. = 1. or este deajuns ca un membru al disjuncţiei să se t.ransforme in 1 pentru ca întreaga disjuncţie f(pt. P.) să devină 1 . Pentru a dona disjuncţie avem f( l , O) , ceea ce transformă membrul în I şi deci toată disjuncţia devi ne 1 Pen tr u a treia disjuncţie avem f(O, 1 ) ceea ce transformă fiecare membru al disJuncţiei În O ŞI decI toată disjuncţia ia valoarea O Într-adev{lr P I P. = O I = O, PI . = oî = O, = Oi = O_ Analog procedălIl pe n tru disjullcţia patru unde a\'em /(0, 0) _ în rezumat avem

PtP.

P

PtPI

Kf V Kl V KlI 1 KI V K� V K}� = 1 1<� V Rg V Rît 1 R: V Ki V K�l = O =

=

4\ Lo",tlclenţl1

care se

scrieul '

a fl d în disjuncţia c u valoarea zero ÎI izol:im 51 restul

Hf V I, g = Iq V ](�g = 1<: V Iqg =

5) Dacă un coeficient est e conţinut în altul atuncI ce l care-I conţme e�te şter�. \'om reţine d eci . I{l = 1 , KI = 1 , K: = 1 l orma normală disjunctivă minimă va fi formată din aceşti coefICienţI

l\t V Rg,

adică

Pt V fi.

a legJ.tnrH cauzale Fie o serie de"'c omplexe cauzale ale unui fenomen a. D ac ă com­ plexele cauzale obse rvate concordă într-o singură împrej u rar e (fenomen) atunCÎ probabil acea î mprej u rare este cauza fenomenului dat. Schem[l :

!UETODA CONCOnDA�rnl, me todă mductivă de descoperire

A BCD - a A BEF - a AGHI a A -

a

Problema care se pune aci este rec un oaştere a elementulUi comun ( � a împrejurării) A în complexele A BCD, A BEF, AGHI ş.a. Această metodă se bazează pe însuşirea simplă că dacă este prezentă (apare) cauza este prezent (apare) efectul (advemente cauza, advenit effectus) David Brewster a cercetat cauza culorii ŞI linÎllor sidefului. S- ar putea crede că aceasta constă în proprietăţile chimice sau fizice ale sidefului S-.I în tîmpl at însă că a luat amprenta sidefului pe ceară de .llbme 51 pe smoală şi a văzut culorile reproduse pe aceste amprente. A luat amprenta pe alte materiale (plumb, gumă arabică ş.a.), a constatat acelaşi lucru. în toate aceste substanţe diferite identică era forma (amprenta) lă­ saU de sidef. Ca urmare, s-a conchis că forma sidefulUl este cauza cu­

lorilor sale.

1lETODA CONCORDA:IIŢEI ŞI D1FEI\ENl',J: I , metod ă de i nd ucţ Ie cau­ zală care îmbină metoda concordanţet (v.) cu metoda diferenţelor (v ) . Dacl o circumstanţă A care c onco rd ă într-o serie de grupuri de circumstan ţ e ale uuui. feuom.eu

(l e\;\e

p'te'l.eu\ă dud e\;\e p'tuent

C1

'9\ elite a'o\;entă


217

METODA DIAGONALELOR

cind este absent a, atunci această circumstanţă A este probabil cauza lUi a . Se consideră aşa dar n grupuri de circumstanţe şi dacă com­ parăm pe cele in care apare a cu cele in care nn apare a descoperim (cu mare probabilitate) cauza lui a. Ca exempln, putem Ina fenomenul creşterii infracţiunilor în diferite localităţi. Creşterea criminalităţii con­ cordă cu existenţa anumitor circumstanţe (de ex. , sărăcirea oamenilor, analfabetismul ş.a.). Dacă luăm apoi alte localitlţi in care infracţiunile n-au crescut şi constatăm că aceste localităţi diferă de primele tocmai prin absenţa respectivelor circumstanţe. atunci putem conchide că exis­ tenţa respectivelor circumstanţe este cauza creşterii infracţiunilor în localităţile indicate.

MET0'lA DE SIMPLWICARE PRIN INCERC'\RI, metodă baLată pe

un nnmăr mic de legi ale algebret booleene

( 1 ) ( -l .1. R) (A + C) = .-1 -1- RC (2) A + A = 1 (3) A + A = A (4) A + A B = A 4 5) A + AB = A + B (6) A C + AC + BC = � (A + B) (A + C) = A C + A B

( 1 ') (2') (3') (4') (5')

A B + A C = A (B - e) AA = O AA = A A (A .1. B) = A A (A + B) = A B

Uneori înainte de a simplifica este nevOie să complicăm

termenii ceea

ce se face prin distribuirea disjuncţiîlor faţă de conjuncţia Co>nJuncţiel faţă de disjuncţia adaugă) .

X

+

il

XX

sau a

(unde X este variabila care se

Exemplu : a) f = A 11 + C + A CD + BCD. Aplicăm formula (5) ulti­ milor trei membri ŞI obţinem : b) 1 = A 11 + C + A D + BD. într-a­ devăr ' C + ACD = C + AD C + BCD = C + BD. La formula b) se aplică apoi ( 1 ) şi ob-

ţinem c) 1 = AI1 + C + D (A + B) cînd (5) la A 11, simplificată .

=

A B + C + DA B.

De

unde apli­

DAn obţinem d) 1 = 04. 11 + C + D, ceea ce este forllla

.\I�TODA DIAGONALELOR, metod.1 mtrodus:-! de Cantor În yederea

deinonstrării existenţei numerelor transcendente. Se vorbeşte chiar de .. raţionamentul diagonal" şi se aplică Într-un sens mai larg. decit l-a conceput Cantor (v. paradoxul lUI Richard). Se construieşte un tabel cu două intrări, tabel, evident, neincheiat şi care poate creşte la infinit. Fie cazul funcţiilor aritmetice monadice (exemplu dat de Kleene) : lo(a ) , II (a) , I. (a) , . . . (mulţime numărabilă. ordouată şi infinită). Se poate construi o funcţie dacă raţionăm pe baza următorului tabel .

a

O

1

2

în stinga tabelului avem funcţiile, în dreapta expresllie pentru va lonle corespunzătoare (O. 1, 2, . . ). Valonle funcţiIlor formează un şir pe diagonală (aşa cum se indică de c ătre săgeţi) , de unde şi denumirea m. \\. sau. fa.ţiOtlC11t1ot1\!ul dia.go1\a.l. Definim {(al astfel : {(al = la(a) + 1


METODA

DIAGRAMELOR

KARN �UGH

218

ŞI presupunem că fat a) la " alonLe de pe diagonaLă. Prm definiţie f(a) este diferită cu o unitate de oricare funcţie din şir şi prin urmare va­ lorile ei nu se afl ă pe diagonală Să presupunem că f(a) se află printre luncţl1le indicate. î n acest caz există indicele k astfel că f(a) = fJ.(a). mdiferen t care ar fi numărul n atura l II Or aceasta înseamnă că putem presupune k = a şi deci f(k) = fk(k) = fk(k) + I ceea ce contrazice prin­ cipiul identităţii şi. decI. e falsă Prm u rmare . presupunerea că f(a) se află printre funcţiile noastre este falsă. llETODA DIAGRAI\IELOR KARNAUGH, metodă de mmlmlzare bazată pe diagramele corespunzătoare (v. d�agrame Karnaugh) Problema mini­ mizării pe această cale prezint ă mai multe aspecte ' a) construirea ma­ tricei Kamaugh p omin d de la funcţia dată ; b) aflarea funcţiei pe baza unei matrice Karn augh ; c) formularea re gulilor de minimizare in funcţie de numărul de v ariabile conţinute de funcţie Analizăm cazul funcţiilor cu patru variabile (cu 3 şi 2 nu slut intere­ sante) . Operatorul ,,&" este oml5. Iar , , + " este disjuncţia . O matrice cu 4 vari abile are 16 celule ( = pătrăţele) Fie funcţia f (A . B. C. D) = = AH + 11C + BIJ + BCD. Un memb ru al LUI f acoperă un miniter me n aflat într-o c ăsuţ ă ŞI în genere el ac operă toţi minitermenu în care es t e conţinut. Astfel AB acoperă minitermenii ABCjj. ABCD. ABCD. ABCiJ ;

11C acoperă minitermenu ARCi5. ABCD. A 11Cb. A 11CD ; Bjj acoperă miniterme.iI A11Cjj. A11cIJ. ABCv. A Bci) ; iar BCD acoperă mini­ termen ii A BCD şi A BCD. Ca urmare vom avea matricea ' AB 00

CD

01

Il

10

00

1

1

I

01

1

1

1

11 10

1 1

I

. .... ..

I

Matricea 1 Aflarea funcţiei pe ba za matricei. Avem o matrice in care anumite celule sînt complectate cu cifra 1. Aflarea funcţiei depinde de capacitatea de a distinge anumite configuraţii. Noţiunea de configuraţse se defineşte ca o reuniune de celule ( = pătrăţele) învecmate. astfel că una sau mai multe litere au valoare constantă. Trebuie să definim noţiunea de ve­ etnătate. a) Două celule sint vecme dacă sînt alăturate pe acelaşi rind sau pe aceeaşi coloană. b) Două celule sint vecine dacă se află pe extre­ mităţile unni rind sau pe extremităţile unei coloane. CazuL a) e Simplu de exe mplificat

-- -- ---1---- 1 --- --- --- 1 ---- 1 --- --- --- 1 ·---- 1


METODA

219

DIAGRAMELOR

KAR'IlAUGIJ

Pentrn cazul b) să ne imaginăm că matrice a este înfăşurată pe orizon­ tală sau pe verticală în jurul unui cilindru a:;,tfel că marginile devin vecine două cite două (rindul superior cu cel inferior ŞI coloana din extrema dre aptă cu cea din extrema stîngă) . I

I

I

1

--- ---

1 -----1-- --- ---

--- ---

1

a)

b)

Matricea 2 Iată acum şi exemple interesante de configuraţii. a) Configuraţia for­ mată din două celule (afl ate pe acelaşi rind sau pe aceeaşi coloan ă) (ma­ tricea 1). b) Configuraţia formată din donă celule aflate pe extreme (ma­ tricea 2). c) Configuraţia formată din 4 celule. Avem mai multe caZUl! (matricea 3). --

1 l 1 l

l

I

I

1

-

-

Matricea 3

Cazul!le sînt deci ( 1 ) un rind (oarecare) , (2) o coloană (oarecare), (3) u n patrn celule (plasat oriunde), (4) pătrat format prin alăturarea marginilor (in exemplul nostru rindurile extreme), (5) pătrat format prin unirea colţurilor (ceea ce se obţine considerînd marginile alăturate două cite două) . d) Configur aţia formată din 8 celule. Avem următoa­ rele cazuri : (1) două rinduri apropiate , (2) două coloane apropiate, (3) două rinduri pe extreme, (4) două colo ane pe extreme Pen tru a determina constantele şi variabilele în cazul expresiilor cu patru litere ne folosim de următoarele reguli ' 1) o configuraţie forlUată din două celule are trei litere constante şi una variabilă, 2) o configuraţie care constă din p atru celule are două litere constante şi două variabile,

pătrat de


METODA

DIAGrRA'tIELOU

KARNAUGH

2:!0

3) o conflgnraţit' care constă dm opt celule are o literă constantă şi

trei litere variabile. Lulm ca exemplu fig. 1 , configuraţia formată din celulele aflate in cele 4 colţuri Vom avea două litere constante B = = D = O şi două litere variabile A = O, B O; A O, B 1 ; A = 1, E = O, A 1, B 1 . Reţinem produsul literelor constante, adică SI> (corespunzător expresiei binare 00). Cum alegem configuraţiile ? a) Por­ nim de la celule care aparţin unei Stnguye configuraţii, b) Alegem con­ figuraţiile cu celule care aparţin la mai multe configuraţii, c) Alegem configuraţiile In aşa fel incit fiecare să cuprindă numărul ma:&:im posibil de celule. Reguli pentru a scrie expresiile direct din matrice : 1) pentru configuraţia de două celule este important să reţinem cii. dacă se află pe orizontală atunci semnificaţia constantă are rinduri diferite, dacă se află pe verticală atunci semnificaţia constantă are coloane diferite, 2) dacă configuraţia este formată dintr-un rind complet sau dintr-o coloană completă atunci d81lumirea rîndulut (coloanei) ( = literele a­ flate la capăt) va fi expresia căutată, 3) dacă configuraţiile au formă de pătrat atunci reţinem două litere cu semnificaţia constantă, ele sint in număr de două, 4) dacă avem configuraţii de opt celule atuncI o smgură literă are semnificaţie constantă. Exerciţiu. Pentru simplitate vom da funcţia prin numerele ei 1(0, 1 , 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, I l, 15). Ma­ tricea va fi =

=

=

=

=

O

4

1

12

S

13

3

7

IS

6

14

2

I

8

\

9

� !) -Y

11 I 10 I

'..L ," y

I

1)

/'1 I

I�

::1-"

:\Iatricea 4 Alegem configuraţi11e. Mai in tu Izolăm celulele care nu pot face parte decît dintr-o singură configuraţie. Insemnăm conhguraţlile ales e cu bucle. (Convenim să notăm celulele cu două numere - numărul rindului şi respectiv al coloanei. De ex., (2,4) inseamnă rîndul 2, coloana 4.) Se observă că celula ( 1 , 2) nn poate fi inclusă decit intr·o configuraţie, la fel celulele ( 1 , 4), (2, 4), (3, 3) . Alegem c onfiguraţiile. A vem : ( 1 , 1), (1, 2) , (4, 1), (4, 2», (rindul 3) , (( 1 , 1), (2, 1 ) , ( 1 , 4), (2, 4) . Fiecare .:elulă trebuie să fie inclusă într-o configuraţie. Ea nu trebuie ;;:1 r apară in două ('onfiguraţii decit dac ă altfel nu! ae poate Lonfiguraţiile noastre sint de 4 celule, prin urmare fiecare va avea cîte două litere_ constante. Le aflăm :

0.0 �ţ) O

O l

1\ O t \2;

A - - fi

� �O� ;) 1\

O

1

A - C D


221

l\IETODA

DIAGR'\MELOR

It t\RNt\UGH

Există cazun In c are putem funcţia f = ABjj + BCjj + .lBC + A B D + A B C . Matricea funcţiei va fi

Forma Illllliwă va fi AI> CD T Be. construi mai multe forme minime. Fle -

T

I

1

1

1 1

1

1 1

Se pot alege două grupe de configuraţii ca in matrice1e următoare : 00 00

01

0

01

10 (1

: c;-

1 (1

(1

11

11

11

1)

0

1)

f. = BCD + A CD + BCD + AC]] f. = Ă Bjj + ABC + A BD + ABC

Alt caz interesant este atuncI cînd avem "membn coudlţionaţi". Membri sînt aceia care pot lua valoarea 1 sau O. Indiferen t care, neinfluenţind rezultatul. îi putem considera cnm ne convine pe.,ntru a obţine configuraţii cit mai largi Considerăm funcţia f = A BCD + + A BC1J + ABCD + A B cD Următoarele condiţiI nu au loc. ele pot lua valoarea 1 sau O (indiferent care) ABC'l>. Al1c'b. AB CD ĂECD, ABCD, A B CD, ABC'D. A Bcfl. Notăm ulourea lor cu O Formăm matricea condiţionaţl al funcţiei

.

00 01 11

10

Pentru a obţine considera0 = 1 .

Forma

�r 0__

configuraţii

cAutată este

10

0 '1

CII

-� 1

__

'J

un număr cit mai mare de membri

0000 000 1 0101 1 00 1

000 1 00 1 1 1001 10 1 1

- - C­

- B-D

C + BD.

putem


MttODA

DIAGRAMELOR

KARNAUGH

222

Dăm un exempln de suprapunere a mal multor bucle.

(1,

X1X

C,

f = A BC

-1-

\)

,,"-V

B[D + A BD .... A CD

Se obsen ă că minitermenul A BCD intră in combinaţie cu toţi ceilalţi. Dtagrama cu etnci şt Jase variabile. O diagramă cu cinci variabile se descom­ pune in două diagrame cu patru variabile raportate la valorile O şi I ale

celei de a cincea variabile. Apoi se pot combina celule care ocnpă poziţii Simetrice în cele două diagrame. O

AS

I \J

1(1

E

=

O 1

D

10

1)

V

1)

cD

E=I

AS

CI

1

L'

(1

1.-/

1

b)

a)

BucIde de pe rîndurile unu sint Identice, la fel buclele de pe rindnl trei. Ele pot h f( unite A

C O O

D E O O O O

O

O

O (d Iagrama a l

O

O

O

Dacă adăugăm combînaţl11e de la diagrama b) rămîn identice doar coloa­ nek CD, prin urmare vom scrie rezultatul c'D Pentru celelalte bucle cu

poziţii identice avem

A B C D E O 1 I 1 O 1 O l

(diagrama a) Addugînd bucla de la diagrama b) se schi1l1bă doar coloana lui E, in acest fel rămin identice coloanele A CD, deci rezultatul va fi A CD. Avem in fine bucla de la diagrama a) A

O () O (1

l1 Il I O

C O O I

l l

D E O () O ti ti O O

O


DlAGRAMELOR

METODA

223

1{ <\RN ·U;(ai

Rezultatul este Prin urmare, forma mWlmă va fi. (;0 + A CD -+­ + A.DE · Alt exemplu : o configuraţie din a) conţine o configuraţie dm b) .

ADE

E=O

AS

CD

1(1

"

1\.1

i)

ff\ \li

exemplu din cazul în care o configuraţie este conţmntă in altele din a) şi b)

d

f

(1

-

-

Al treilea mai mari

y-

=

(1

D

CI

j)

C ii II + B CE

J)

� v f'--1

+ BC D

D'

,�/

i

D iagrama cu 6 variabile se descompune În patrn diagrame În raport cn valorfieEF = O O, E F = O 1, EF = 10, EF = I l .

O

A

E F=OO

(1

AS

EF"OI

1) Ci

EF-lO

,

cO

(i

D (1

CL

J) 1

D

\J CI I rI

E F -- l 1

J)

'/ "\ ]>

Cazul f1Wcţiei inverse. O f1Wcţie inversă lui ! (adică J) se obţine considerind celulele rămase vide după alegerea celulelor cu 1. Celulele vide vor fi complec-


Ml'TOD,\ DIFERENŢELOR

tate cu O

22-1

şi vom proced a În

ce

priveşte

configuraţiIle

ca şi

in

cazul

lui 1.

A B C D

A B C D O O

O O l O l l

-

H - D

l

O

O O

() l

l

O l

l

f f =

B e

RD f Be 1Je , BD

( l'dttclerc, A., Traiti de>

ordmatcurs, 1 979.) \lETODA nJFEHEl\lTELOH •. metodă mducth';i de descopenre a legdturh ca�zale. Fie un fenomen a căre apare într-un grup de circumstanţe C dacă a este absent şi există o circumstanţă A dm grup care este de asemenea absentă (sublata cauza, tollitur ellee/us) atunci A este prob abil cauza lui a Schemă ABCD - a BCD A-a Vrem să afl:im cauza cădeni cu viteze diferite a corpunlor. C onsid erăm căderea corpurilor in aer şi În vid constaU dacă toate Însuşirile cor­ p uril o rămîn aceleaşi şi, de asemenea, alte Î prej ări (de ex. forţa gravi­ taţiei) 5i dacă �chimbăm doar impr ej ra ea , căderea în a e " "căderea

Se

r

u r

m

ur

r cu

\\\. 'dd" ,Gl\\ <:<Ju'i>tata d. "Î.'tI. a\. <i()U.It.<l.. �a'L t()\\.t� �()'1'\lun\� cai:l \a i�\. yt'm. urm are , cauza vitezei diferite a căderii corpu n lor este . ezistenţa ae,ulut, căci în prezenţa ci corp uru e cad cu viteze diferite, Î n timp ce În absenţa el viteza de căd ere este egală M�ŢODA DU IZIUNII ŞI REUNIRIlz..J!lţtodă utilizată pe larg de Platon în dialog unle sale, Această metodă constă in aflarea uefimţiei noţiunilor printr-o succesiune de dlhotomii ŞI reunirea uilora Schema este rm ătoarea

u

.

A I

I B'

I B I I C I I

---- ---

I

I

D'

D L

I C'

T.. '

dintre

alternative.


225

METODA

La sfîrşit se produce reunirea ; de ex. :

EXTENSIUNII

X

=

ŞI

INTENSIUNJI

A BCDE. Faptul că

am

alea

din dihotomie prima alternativă nu este important. s-ar fi p utnt intîm pla

X

să avem :

= A B'CDE'. Iată defmiţia pescarului din Sofistul. Tehnician

I care dobîn d eşt e I I

i

PrlU conS ringere

T

I fnnţe "Ii I

I

dcvatlce I peşti I

I

prm schimb

pnn l upt:i I

fiinţ e lip si te de vldţă I

terestre

I

păsăn I

noaptea

zIua

I

cu undiţa

I

care prod uce

I

urlllănnd I

I

cu

tridentul

în reUnIre avem Pescar = teh ni ci an care dobindeşte prin constringere, urmărind fiinţele vii. acvatice care sint peşti. operind ziua cu undiţa. La Pl aton d�alectzca este in esenţă confundată cu această metodă. "lIETODA EXTENSUJNU ŞI I�TENSIlJNU. m�todă. semautlcă. �\abo'[ată. de R Camap ca o al ternati vă la metoda relaţiei- de denumire (Frege) . (amap numeşte expresiile de care se ocupă deSlgnatort. Fiecarui d es gnator li asociază o extensiune ŞI o intensiune. Conceptul de bază (în ord ine defin!ţio­ nală) este concep t ul de adevdr D esign atorii sînt ; expresiile individuale (nume p roprii san d escripţii) . predicatorii (expresiile predicative) şi pro-

i

poziţiile (declarative). Termenii extensiune şi intensiune i-au fost sngeraţi

lni Carnap de logica obişnuit ă (exact de la termenii t;lasti şi propnellJU,

li defineşte intr-un mod esenţialmente diferit. bazindu-se pe ge_a­ hzarea serUGtura/ti (v.). Spre deosebire de metoda ,elaţiei de denumire (II.), care "consideră. o expresie intr-un limbaj drept nume al unei entităţi con­ crete san abstracte" metoda lui Camap tratează o expresie doar "ca posedind o intensir.ne şi o extensiune". Pentru o exemplificare completă metoda este dezvoltată pe un limbaj concret SI (constituit din simbolismul logicii propoziţiilor şi predicatelor şi unele constante descriptive. nelogice) . Con­ ceptul de adevăr e luat ca nedefinit. Se dau reguli de adevăr pentru diferite forme de propoziţiI atomare (v.) sau moleculare (v.) din SI' Camap distinge dar el


METOD!\.

EXTENSIUNII

ŞI

INTENSIUNll

226

apoi intre adevărul logic şi adevărul factual (pe scu rt L-adevăml (v.) ŞI F-adevărul (v.) iar pe baza acestei distincţii introduce alte L-concepte ŞI F-concepte. Termenul factual este identificat cu ceea ce nu este logic determinat (este L-indeterminat), Carnap il consideră ca un explicant Falsul, implicaţla, pentru ceea ce Kant a numit "Judecăţi sintetiCe" echivalenţa, determmarea se diVid fiecare în facturale şi logice (de ex L­ cchival8llţa ( v. ) şi F-echivalenţa (v.). Prin aceasta se obţin trei clase de concepte cele bazate pe adevăr (fără vreo specificaţie) , L-conceptele ŞI F-conceptele (de ex echivalenţă, L-echlvalenţă ŞI F- echivalenţă). Pe baza echivalenţei ŞI L-echil'alenţei Camap defineşte respecti v expresiile "a avea aceeaşi exteusiune " ŞI "a avea aceeaşi intenslUne" pentru două expresii (designatori) oarecare î n forma cea mal general ă deflUlţiile sint : 1) DOI desiguaton au aceeaş� extenstune (în SI ) = d f el sînt echiva­ lenţi (în SI) ; 2) D oi designaton au aceeaşi intenstune (în SI) = d f el sînt L-echivalenţi (în SI). Eliminîud S I rămînem cn Simple �cheme de defi­ uiţil. Cercetează apoi care sîut exten"lUnea şi lOtensiunea pentru predica­ tOrl Î n acest sens porneşte de la noţinnile tradiţionale sferă ŞI conţinut şi reţlOe ca extensiune a predicatului clasa (iudivizilor), Iar c a Illtensiune proprietatea. Dificultatea constă în faptul că el confundă termenii geuerah cu termenii pentru proprietăţi (generale) Dc ex . . om" cn "proprietatea " OM" Carnap respinge poziţia realistă ŞI sub lectivistă În problema univer­ saliilor (aci În problema proprietăţilor) , dar ferindu-se de once poziţie filosofică (" metafizică") el pluteşte în vag Încercînd să se delimiteze negativ (proprietatea nu e ceva subiecth-, uici ceva în sensul lui Platon) �au cu refenre la ştiinţele particulare (proprietatea e folosită În sens fi�c, În �en�ul în care apare în expresiile oamenilor de ştiinţă). Reţinem ca esenţiale uruIătoarele 1) proprietatea e ceva fizic, ceva ce aparţine lucrUrilor ŞI nn ce\-a mental ; 2) proprietatea este expnmată în expresii (predicatori) ; 3) el nu recunoaşte existenţa dHfmctă a două feluri de entităţi (clase şi pro­ prietăţi) , CI e vorba de "dou:! modun de a vorbi" (totuşi fundamental deosebite) , 4) expresiile de genul următor " Scott este om", Scott are " proprietatea Om" şi .. Scott aparţine clasei Om", după p:irerea �a, "au acelaşi conţinut " (sînt îu raport de trad uctiblIitate) , 5) expresiile de genul "proprietatea de a fi om", "proprietatea Om" şi "proprietatea Animal Raţional", sÎ!.t identice ; 6) din 4) el deduce că ne-am putea lipsi de expre­ siile clasă şi proprietate (care ar reprezenta o siruplă dedublare a obiectelor" " în contradicţie cu principiul lui Ockham) Evident punctele 3) , 4) şi 6) sînt discutabile şi neîntemeiate D lu 4) şi 5) nn rezultă dacă Om ŞI proprie­ tatea Om sînt două idei distincte Or este de cea mai lUare llnportanţă să 'ltim dacă el consideră genul ca fimd o proprietate. în once caz nu este clar ce înseamnă "proprietatea Om" şi CUIn "este aceeaşi" cu, " proprietatea " î n altă parte, el spune că "proprietatea Om" este L­ Ammal Raţional echivalentă cu "proprietatea Auimal RaţIOnal" Sînt Identice expresiile . . aceeaşt şi L-echivalent" ? D e la predicatori (termenii generali) el extinde expresiile extensiune ŞI zntensiune la ceilalţi desi�natori �i al e�e entităţile. corespnnz1l.toare · - pentru expresiile individuale extensiunea Ş\ mtensi­ unea sînt respectiv sndiv..idul ŞI conceptul zndividual ; - pentru propoziţiile declarative extensinnea este valoare logică (adevărul sau falsul) Iar inten­ SI unea este Judecata. O atenţie deosebită este acordată deseripţiilor (indt-

viduale) (v.) Pentru variabile Carnap consideră că extensiunea şi intensi :a lor sînt respectiv extensiunea ŞI intensiunea valorzlor pe care le acordăm. Concepte esenţiale sint �ntersubstituţJe şi L - �ntersubstituţte (v.) prec� şi context extţ.nsional (v ) . clJntext inten$Umal)

(u ) , structură extenslon-;;r;


METODA. HARVARD

227

o aualiză largă este făcută În legătură cn L-determi7'labilitatea diferiţi­ lor designatori. Metoda sa este confruntată in special eu mero4a rslalieJ de denumire (v.) pe care o analizează in mod critic. Din propoziţiile 3), 4). 6) de mai sus rezultă posibilitatea de a rennnţa la unele entitiţi in elabora­ rea metalimbajului pentru semnatică. Din răspnnsnl afimnativ la pro­ blema .. redncerii entităţilor" el deduce posibilitatea formnlării a trei limbaje diferite : a) limbajul extensiuni1or, b) limbajul intensiunilor şi e) limbajul neutrn. Apelind la exemplele din 4) in limbajul ex:tensiuni1or utilizăm doar expresii de extensiune (de ex . . .. Scott aparţine clasei Om'. '), în limbajul mtensiuni10r utilizăm numai expresii de intensinne (de ex. : .. Scott are proprietatea Om"), iar in limbajul neutru nu apare mCI una dmtre cele "Scott este om"). două forme de expresii, ci o a treia - neutră (de ex O aplicaţie a metodei sale o face la logica modală (v.)

ME..!ODA HARVAR:Q". .!Jl-'=..todă de simplificare a expresiilor logice. Fund

dată o funcţie de n variabile şi de K minitermeni (nnde K se presupune mai mic decit numărul total de minitermeni care pot fi formaţi pornind de la literele respective) formăm tabelul tuturor minitermenilor. Pre�upunînd că avem trei litere, să zicem A, B, C. Tabelul are forma urmltoare :

mo ---

m.

I I

1

A .{

B E

1

C C

I

AB

AS

I

AC

AC

I I BC

A BC

Be

Ase

----- --- --- --- --- ---

E

A

C

AE

AC

EC

AEC

--- ----- --- --- --- --- ---

Ulz

.4

ma

.{

B

C

AB

AC

BC

ABC

--- ----- --- --- --- --- ---

B

C

--- --- --- ---

m.

A

B

C

AB

Ac

--- ---

AE

AC

BC

ABe

--- ---

EC

A BC

--- --- --- ----- --- --- ---

ro.

A

E

C

AE

AC

Bc

A Ec

--- --- --- ----- --- --- ---

m6 ---

m,

A

B

C

AB

AC

BC

A BC

--- ----- --- --- --- ---

A

B

C

AB

AC

BC

A BC

Rrguh. (1) Pe verticală (stînga) se numerotează minitermenii (mo' , • • • m,) Iar pe orizontală (sus) se aşază combinaţiile de litere luate cîte una. dte două etc. (2) Pe c oloane se scriu minitermenii posibili În raport cu combi-


223

ME'i"ODA IlARVARD

naţia respectivă de litere. Astfel, pentru o literă avem două posibihtăţ (afirmaţia Ş1 negaţia). Coloanele A , B, C se constituie după modelul tabe­ lului alegsrilOf' binare (v.) (binarit atea ftind dată aici de calitatea : pozitiv,' negatUl) . Coloanele de cîte donă litere se constitUle ca nişte combinaţii ilie minitermenilor de pe coloanele singulare corespunzătoare, la fel cele de trei litere etc. Astfel, coloana A B se constituie în funcţie de coloanele siDgulare A şi B, coloana A C se constituie in fnncţie de coloanele singu­ lare A şi C etc. In continuare formăm tabelul cu numerele cores­ pUllzătoare minitermemlor din căsuţă. Nnmerele se află prin traducerea valorilor l.inare corespunzătoare minitermenilor . De ex., ARC = 000 = = &, ABC = 010 ". 2 etc. De remarcat este că numărul coloanelor este de 2" - 1 , iar numărul rindurilor este de 2". După realizarea tab eluiui se 3Crie funcţia ca sumă de minitermeni = formă normală disjunctivă perfectă). Convenim să scriem suma in mod obişnuit prin serunul + ". (

..

I mo

A

O

--- ---

m. ---

m2 ---

ma

O ---

O ---

O

--- ---

mc ---

m. ---

m.

I

I

B

O ---

C

O ---

O

I

---

---

I

O

I ---

I l

I

AB

O

1

I

---

---

O

O

O ---

I ---

I

I

AC

O

--- ---

O ---

I

--- --- ---

1

1 ---

O l

--- ---

2

2

--- ---

---

--- ---

I

O ---

I

2 3

3

2

--- ---

3

I

BC

O ---

1

3

I

A BC

O ---

I

--- ---

2

--- ---

1-

--- ---

--- ---

m,

I

3

2 ---

3

--- -

O

..

--- ---

1 ---

2

5 -

6

--- ---

3

7

(3) Se taie rindurile care corespund minitermenilor neconţinuţi de funcţie. (4) In continuare, dacă nn număr aparţine unui rind tăiat, el este apoi tăiat peste tot în coloana corespunzătoare. Coloanele vor fi denumite cu ajntorul combinaţiilor de litere aflate în capul lor (sus) , de ex., A , B, C, A B etc. Facem analiza rîndurilor netăiate, de la stinga la dreapta. Obser­ văm că denumirea coloanei aflată la stînga poate fi conţinută in denumirea


METODA IIAIlVARD

22!J

unei coloane de la dreapta ei. De ex. : A B în A BG. (5) Considerăm primul numit netăiat aflat pe un rind. Vom tăiA toate numerele care se află in dreptul dennmirilor care conţin denumuea acestui prun număr Numerele care riUnln după această operaţie vor forma �mphcanţ�� ssmPh (II.) . (6) Dacă unui rîud Î I corespunde o singură coloană cn un număr netăiat încer­ cuim acest număr şi pe toate cele identice cu el de pe coloana respectivă. Aceste numere încercuite vor intra in "nuclenl funcţiei simplificate". Facem în continuare analiza numerelor netăiate. (7) Alegem cîte un număr pentru fiecare minitermen in aşa fel incit împreună cu numerele aflate IU

nucleu să acoperim toţi minitermenii (care intră În fnncţie) . Marcllm numere in acelaşi mod pe toată coloana. de ex. } ntrodncîndn-le

aceste

iutr-un triuughi. Facem acelaşi lucru cu celelalte numere nemarcate şi le marcăm, să Zicem, prin mtroducerea în pătrat. Operaţia se repetă (folo­ sind alte figurî) pină ce nu mai avem numere nemarcate în concluzie. se obţin mal multe expresÎl simplificate. din care alegem pe cea mai simplă. Exempln. Să se simplifice funcţia : f = CD + ABD + JB G + AB GD + + ABCD + BGD. De zvoltînd [funcţia pină la forma normală disjunctivă perfectă ( = "sumă de minltermeni") vom avea : f = 11'10 + ms + ma + + a, + a, + 11'18 + m. + ml l + 111'111 + n�... Formăm tabelnl nnmerelor ŞI aplicAm regulile de tăiere a numerelor. Mai întil dispar rindurile corespun7ătoare minitermenilor neconţinuţi in .. suma de minitermem" (m .. m. etc.) Se aplică regula (4) şi rămln netăiate următoarele numere : la "'•• numărul O de pe coloana GD şi nnmăruI O de la A BD. la ",., nnmerele la ma, numerele

1 de la A BG şi O de la A BD, 1 de la A BG şi 3 de la BGD,

la "'" numerele O de la GD şi 2 de la A BG, la

"'5'

la

m._

la

"'._

numerele 2 de la A BG, numerele O de la GD şi 4 de la A BG. uumerele 4 de la A BG şi 5 de la A BD .

la mI I. numerele 5 de la A BD şi 3 de la BGD. la ml 2, numerele O de la GD şi 6 de la A BD, la m... numărul 6 de la A BD. Aplicăm apoi regula ( 5) şi cbţinem lmpli­ canţii simpli (O, 1, 2, 3, 4. 5. 6). Numerele 2 şi 6 intră în nucleu. Putem avea donă expresii sÎnlplificate : (O. 3. 4. 2. 6) ; (O, 1. 5. 2. 6). Le tra­ ducem in litere J = ABC + ABD + CD + (2) (6) (O)

ABG + A BD ; f = ABG (1) (5) (2)

+ ABD + (6)

ABD + (O)

+ ABC + 1JGD . Iată şi tabelnl obţinnt in urma aplicării regulilor de (3) (4) tlUere :


l\IETODA

LUI BLAKE

230

A

B

C

O

AB

AC

An

BC

ma

e

6

{)

O

{)

o

O

O

m,

e

{) - O

-1

O

O

-O

O

Bn -l

{)

cn ABC ABD AC[) BC r A8C[1 -

-

3

O

fi

e - - -t

1

- - -t - -

1-

O

G

O

2

e

{)

1- -

r

[Q] CD

2

3

(])

2

3

2

o

?

3

3

3

9 - {}

- il 3

?

2 ?

2

3

m'5

1- - - 4 - - \ - - + - --3 - - -3 - - -3 - - ;3 - - - ;3 - - - 3 M

S

3

O

-2 - - -4-

3

I Phlster:

<,

1.

8

2

3-

/1:,

O

l- - - l - - {} - - + - - � - - ? {I

P

7

m,J

{)

{)

-

.?

- -)-

fl

'n, o l- - - O - - l - - O m ll

-1-

OJ

?

-6 m,

1-

O

G (t

fl

2 -

[Q]

3

l,.oglcoLcLe �n

-\

.ot

-+--

� -

-

I- - �

dl.fjll01 �.o'!'P;J�.2 . 1 9 S-

METODA LUI BLAJ(E, met.odă de aflare a f.ormei n.ormale disjunctive

prescurtate. Spre de.osebire de alte met.ode aci nu se pleacă de la f.orma n.ormală perfectă ci de la .o f.ormă n.ormală disjunctivă (f.n.d.) .oarecare Se P.orneşte de la următ.oarea pr.oP.oziţie : (1) dacă .o funcţie I conţine in f.n.d. d.ouă c.onjuncţii de f.orma APi şi BPi atunci are loc echivalenţa : p = p Y A B (unde P este f.n.d. a funcţiei/.) . Dem.onstraţia se face simpln plecînd pe rind de la presupunerile că I = 1 şi / = O (utilizînd legile l.ogicii pr.oP.oziţiil.or) (F.orma n.ormală disjunctivă are prin presupunere forma : P = 5 Y Ap, Y BP, ) . Din pr.oP.oziţia fi) decurge algoritmul de con­ strucţie a f.n.d. prescurtate (a) Se c.ompletează f.n.d. iniţială cu n.oi membri c.onf.orm cu pr.oP.oziţia ( 1 ) . conjungindu-se A cu B. (b) se efectnează abs.orbţi11e elementare în f.orma astfel completată, (c) dacă e cazul se c.ompletează din n.on f.n.d. şi se fac absorbţUle. Pr.ocesul se c.ontinuă cîtă vreme apar n.oi conjuncţii. După .obţinerea f.n.d. prescurtate se P.oate aplica tabelul lu� Quine (v.) Exemplu : Fie funcţi a f(P• • Pl' P3) = PIPI Y PJ73 Y PIPsPS Y PIPIPe ' Sc riem perechile care satisfac propoziţia ( 1 ) (a) (P.P•. P.PIPa) ; (b) (PaP•• P. PsPs) ; (c) (PIP2' PlPaP3) ; (d) (PaPa. PIp.Pa). (e) (PIP.P" PtPsPa). Pr.odncem' toate completările în cele cinci perechi c.onf.orm cu pr.oP.oziţia (1) şi încadTăm


23 1

METODA LUI QUINE

completănle care dau zero. Pentru perechea (a) (PIP" Plp.Pa) . procedura este următoarea . Structura Ap. V BP. este aci dată de alegerea lui P. în cali­ tate de A. a lui P.Pa in calitate de B .

L' wm A c u B . adică Pa cu P.P. şi obţinem P.P.Pa. membru care este egal cu ",ero avind în vedere că P.P. = O. Deci pentru perechea (a) forma completată

\' a fi P.P. V P'P.PJ V

I

P.P.Pa

I

Procedînd analog pentru celelalte perechi

obţinem succesiv : PaPa V Pl p.Pa V

1

PI P3Pa

J

;

PIP, V PIP.P. V PIPa' (Se

observă că PI P, se obţine din PIPI Pa prm slmpltflc are) P.P. V PIPaP J V

V ! PIP.P. I ; PIP.Pa VPI P.Pl V PsPa. ( Se observă Că P,Pl =P.P.Pa) · Vom avea lvcma completată PI P. V P,P.P. V P.Pa V PIP.P. V PI P. V PsPa ' Efectuăm absorbţiile. Observăm că ele se efectuează intre (P1P.Pa . PIPa) şi intre Ca reznltat obţinem f = PIP. V PaP. V PIPa V P.P.· . PIP.Pa . P.P.)· În această formă propoziţia ( 1 ) mai poate fi aplicată pentru completare doar la perechea (PI P. , P.P.) . dar prin aceasta s-ar reveni la expresii deja eliminate. Prin urmare aceasta este f.n.d. prescurtată. llETODA LUI NELSON, metodă de aflare a implicanţilor simpli. Se expri­ mă tincţia in formă de produs de sume. în continuare aplicînd legea distri­ butivităţii (înmulţim toţi membri) obţinem expresia care conţine toţi lmphcanţii simpli. Dacă apoi efectuăm absorbţiile obţinem numal impli­ cauţi Simpli. Exemplu. Fie f = m. + m. + m. + m7 + m. + mtl + m 12 + mll• Prodn­ sul de maxitermeui va fi : f = Ma M.. M,. M. M7 M. MI }Ido. Adică : (A + B + C + D) (A + B + C + 15) (A + B + C + D) ( A + B + C + D ) \ •.f

+ B

--1-

C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + 15) .

,-\.pllcind legIle corespunzătoare aJ ungem la . A BC + A BD + A CD + - ABe -1- Be + BCD + ABD + BCD + ACD + BCD = A BD + A CD + - BC + A BD t- ACD + BCD. Ultima sumă reprezintă o sumă de im pllcau ţu "uuph. în continuare se operează ca în cazul metodei lu, !z,i7lc (v ) lI.J:;,TODA LUI QUINE ,(de minhnlzarl!) , metodă determinată prin regu­ ile' a) Scriem funcţia sub formă de sumă de minitermeui. b) Aflăm implicanţii simph. comparind fiecare mmitermen cu ceilalţi mini termeni. în acest scop se aplică legea contopirii A B + A B = B. Se continuă procesul pînă emd expresiile nu se mai simplifică. Membrii care an fost snpuşi contopirii smt marcaţi cu astensc. Toţi cei care rămîn nemarcaţi vor forma grupa .!II. plicanţilor stmplt c) Constituim tabela cu Implicanţii pe verticală în �unga şi cu minitermenil pe orizont ală sus Acolo unde se intersectează =termenii cn implicanţii punem asterisc. d) Dacă pe o coloană se găseşte un singur asterisc atnnci implicantul simplu corespnnzător este reţinut pentru nucleul funcţiei. Formăm apoi un non tabel în care intră doar lmpli­ :anţll simpli nemarcaţl cu asterisc ŞI numai acei mini term eni în coloanele


METODA LUI QUINE

232

cărora nu sînt asteriscuri singulare. e) Dacă într-o coloană se repetă asteris­ curile din alta atunci ea este eliminată. In acest fel obţinem un nou tabel. f) Din ultimul tabel alegem o mnlţime minimă de implicanţi astfel că Împreună acoperă cite un asterisc din coloană. Această mulţime impreună cu implicanţii din nuclen reprezintă membrii formei normale minime. Exemplu :j = 11'13 + m. + 11'1, + "', + m. + "'Il + mII + mII a) Aflăm implicanţii simpli 1. A BCD

2. Ă BCD 3. ĂBCD 4. ĂBCD

1 + 4 = ĂCD 5 + 8 = A CD 1 + 6 BCD 6 + 8 A BC 2 + 3 "" ĂBC

5. ABCD 6. A BCD

2 + 7 = BCD 3 + 4 = ĂBD

=

7. A BCD 3 + 8 = BCD 8. A BCD 5 + 6 = A BD Simplific1tn acum expresiile cu trei variabile : ĂBi: + A Be = EL (la fel -BeD + BCD). Rămin ne<:ontopiţ; ĂCD, BCD, ĂBD, A BD, AeD, Be. Formăm tabelul cu impUcanţii simpli şi minitermenii :

IA I

I

I

I

I

I I

I

BCD A BCD ABCD, ABCD, ABCD ABCD A BCD A BCD •

ĂCD BCD ĂBD A BD ACD Be

*

I

*

*

*

*

* •

în nucleu va intra Rumai BC, căci numai lui ii corespnnd coloane cu un

singur asterisc.

Formăm tabelul redus (scăzînd coloanele acoperite de Be)

I 1. ĂCD 2. BCD 3. ĂBD 4. ABD 5. A CD

ABCD •

I

ABCD • •

I

ABCD

I

I

ABCD •

• •

Alegem grupe de acoperire (la care se adaugi BC) : BC + ĂCD + BCD + + ABD ; BC + ĂCD + ABD etc. Se observi că forma cu cei mai puţini membri eate f "" BC + ĂCD + ABD. In cazul in care funcţia DU are


233

METODA RELAŢIEI DE IlENUMIRE

nucleu vom face al egeri numaI in funcţie de restul membrIlor, cele cu un număr mai mic de implicanp (putînd fi şi mai mult de una, de ex., mai multe cu un număr egal de implicanţi) vor fi forme normale disjunctive minime. METODA RĂMĂŞIŢELOR, JDetodă inductivă, de descoperire a legăturii caÎfzale. Fie un complex de cauze ABCD şi un complex de efecte abcd. Dacă aDI stabilit că A este cauza lui a, B este cauza lui b şi C este cauza lui c, at unci probabil D este cauza lui d.

A BCD ---"abcd A --- a II --- b G --- c D

--Id

Astfel perturbaţ1ile lui 1.: ranus au fos t explicate prm existenţa uneI 1101 planete ( Neptu n) , iar al e lui Neptun prIn existenţa lui Pluto Nu toţi logicienii consideră această formulare ca satisfăcătoare �BTODA RELAŢIEI DE DENUMIRE, varIantă a semanttct! relaţtet df referJn!ă (v.) carac terizată in primul rind prin a) faptul că toate expresiile sint considerate ca «nume .) a ceva. ŞI b) faptul că trecerea de la unele nume la altele se face pe baza gelleralizării structurale. Prima formulare a Ol. r . de d. este dată de Frege (Sinn und Bedeutung) La rîndul său A . Church a introdus unele schimbări Ş I precizări. O caracterizare !>uccmtă a acestei metode este dată de Carnap in Semnificaţte SI necesitate " Ea con­ stă in considerarea expresiIlor ca nume de entităţi (concrete sau abstracte) lD acord cu urm ătoarele prmcipii : 1) OrIce nume are exact un nommat (adicl entitatea numită de el) ; 2) o propozIţIe vorbeşte de�pre lIomma­ tele nUlllelor care apar în ea ; 3) dacl un nume care apare într-o pro­ poziţie adevărată este înlocuit cu u n alt nume cu acelaşi nominal, propozI­ ţia rămine adevărată". Carnap numeşte cele trei principii respectIv al II ni vocităţii , obiectuQ.lităţl! ŞI Intersubstituţiei. Fundamentală este pentru această metodă distincţia intre nimonat şi sens Această distmcţie coincide in multe cazuri cu distincţia )w Carnap intre extenslUne şi intensiWle. �Iodnl în care Camap formulează principiul oblectualităţii e discutabil dm cauza expresiei vorbeşte despre" . Tocmai acesta este unul dmtre " metoda relaţieI de denumire de semantica relaţieI a.. pecte care deosebeşte de referinţă (în genere) . ConSIderind propoziţIa GiurgIU este la sud de " Bucureşti" şi intrebînd despre ce vorbeşte, ar trebui să �punem că ea vorbeşte in aceeaşi măsură despre Giurgiu, snd ŞI llucnreşti (conform cn numele care apar în ea) Or acest lucru este, evident, inexact se con ­ fwnd4. 1uCTwl despre care se vorbeşte cu ceea ce se vorbeşte despre el (mformaţia), Termenul .. propoziţie de predicaţie" are in ,-edere exact acest lucrn, anu�e că in propoziţie ceva se spWle (se vorbeşte, se predIcă) despre altceva In propoziţia amintită intenţIa este de a vorbi ( = a predica) de�pre oraşul G,,,rgtw, nn despre sud sau BucureştI Cind Carnap analizează propoziţia .. Rom ist gross" el afir m ă in mod greşit că "propoziţia vorbeşte despre Roma şi despre clasa Lucrurilor Mari" în realitate vorbIm despre Roma şi anume ce ? Că Roma este mare . El confundă aşadar "despre ce vorbim" cu "U '1rorbim " . Un alt aspect neobişnuit este generalizarea peste nznl ob�ult al cuvîntului .. nume" - el referindu-se atît la tertnem (singul an sau ge nerah) cit şi la propoziţit (declarative) . Aceasta se justifică prin abordarea structurală a semanticu expresiilor (v generalizare structurală) . Curintul .. nume" este in acest caz un termen tehnic. Principiul uni voci-


METODA RELATIEI DE DENUMIRE

23 1

tăţii pune de asemenea probleme in cazul termenilor generali Pentru a fi umvoci termenii generali trebuie să desemneze o singură entitate, ceea ce, după cum deducem noi din expunerea lui Carnap, nu e realizabil decît dacă avem în vedere proprietăţz . Dacă avem în vedere înţelesul obiş­ nuit al termenului "proprietate" atunci albastru şi raţional sunt proprie­ tăţi, dar om şi antmal nu sunt proprietăţi, dacă nu cumva convenÎm să extindem înţelesul termenului "proprietate" într-un mod forţat. Problema pune aşa dar alegerea nominatului univoc pentru diferite feluri de entităţi In schimb, ultimul principiu , al Intersubstituţiei nu ridică dIficultăţi deosebite. Carnap crede că metoda relaţiei de denumire suferă de două neajunsuri de bază a) duce la o mnltiplicare infinită a entităţilor, b) se confruntă cu paradoxul relaţiei de denumire (v.) . Prima obiecţie ţme de un anumit gen de redncţionism practicat de Carnap, vom reveni dSupra ei cind vom expune metoda lui Frege. Metoda relaţiei de dennmire are două variante ,-ananta de bază a lui Frege (întemeietorul acestei metode) şi varianta lUI Church 1 . Jlfe/oda semantică a luz Frege Frege dezvoltă metoda sa în prmC1pal in studiile Uber Sinn und Bedeutung, Funktion und Begn// şi Uber Begn/ und Gegenstand. Descoperind anumite corespondenţe structurale intre termeni (sigulari, generali) ŞI propoziţiile declarative. Frege introduce o serie de termeni tehnici care se abat de la semnificaţia uzuală (ex. "nume"). în al doilea rind, el se sprijină pe procedura obiectelor abstracte Metoda nn este complect expusă căci el nu rezolvă pînă la capăt problema semni­ fIcaţiei termenilor generali. Iată pnncipalele idei ale acestei metode ( 1 ) Toate expresiile constderate vor fi nume. Numele sunt de trei felun a) nnme proprii (simple şi compuse I=descnptive/), b) nume funcţlOuale (terminologice ŞI noţionale), c) propoziţii (care conţin expresÎ1 În utilizare directă sau conţin expresii în utilizare indirectă). (2) Fiecare nume are semnificaţie (Bedeutung) şi sens (Sinn) . Semnificaţia este ceea ce e de,em­ nat de nume (altfel spus "denumit") , iar sensul este modnl de a reda nnmele (3) Frege presupune (nu totdeauna explicit) că numele satISface cele trei convenţii ("principii") Indicate mai sus ' univocităţii, obiectuall­ tăţii şi intersubstitnţiei. în concordanţă cu (1) - (3) semantica lUI Frage apare oarecum ca o semantică a unui sistem lingvistic perfect, căCI evident hmblle obişnmte (naturale în pnmul rind) nu satisfac aceste condiţ1l decît pe porţiuni restrînse. Principiile (1) şi (2) vor fi prezentate desfăşurat într-un tabel (cu exemplificări corespunzătoare) . Modul complicat în care Frege rezolvă problema semmfJcaţlei ŞI ;,en"l1lui expresiilor care conţin nume în utilizare indirectă este evident, tocmai de aceea pntem spnne că acesta este punctnl cel mai discutabil al ;,eman­ hcii sale. Frege distinge între "gind" ( Gedanke) şi "judecată" (Urteil) Judecata este gindul asertat (considerat ca adevărat) . Frege nn mtroduce relaţia de "echireferinţă" şi de aceea principiul intersubstituţiei este limitat la echivalenţa propOZiţiilor "Valoarea logică a unei propoziţÎ1 rămîne neschimbată dacă noi înlocuim o expresie din ea printr-una care denumeşte aceeaşi (entitate) . " DeSigur, principiul poate fi generalizat aşa cum procedează Camap. O curiozitate la Frege este faptul că deşi el are în vedere limbaje formalizate exemplifică adesea cu expresii dm hm­ bajele curente. Metoda semantică a luz Ckurck. Church a reluat cu unele modIficăn ŞI a completat metoda lui Frege. O expunere densă se găseşte în "Introdnctioll to mathematical logiC". Expresiile cu care lucrează Church sunt : 1) Dume propriu, 2) variabilă (in opoziţie cu constantă) , 3) formă (singulară, bmară, etc.), 4) propoziţie, 5) formă propoziţională (forma funcţiei logice),


I ...

-N�; --

---�[

e

OI

g

� .-

:P

. .,

=it 8. g

p..

-- �_ I -=-==-__

�en

�_ ___ _

1,0 "" t" __ -

Nu an: sens priu sine. Sensul e .1at de o descripţle asociată (" IntemeietoruI logicii")

Compuse ("Autorul

Obiectul Aristotel)

Fiind o descripţie are sens prin sine (redă pe Aristotel ca autor al "Or­ ganon ulll i").

Organonului")

individual

(individul

Nume pentru funcţii nepropoziţionale (incomplete ' "sin � " complete : "sin O")

Xlllllele incomplet la semnIfic aţie cind e transformat în nume complet. Valoarea funcţieI pe ntru valoare.! argu Illentului

Prol)lema sensului nu e rezolvată (Probabll sensul e (l at (le o definiţie asociată)

Kume noţ1Onale ( = funcţii propoziţionale) ( Par( x) ") "

Valoarea funcţiei pentru \'aloarea argumentului (adevăml pt "Par (2) ", falsul pt " Par (3) "

Problema sen�ului nu e rezolvată (Prob abil seusul coincide cu gîndul propoziţiei corespunzătoare) .

PropozIţii utihzate (hrect ( , , 2 + " + 3 = 5" ,,3 + fi 25 )

Valoarea logică (ade vărul san falsul) ( , , 2 -\ 3 = 5" denumeşte adevăruI, ,,3 + 5 -� 25" denumeşte falsu l) .

Gindul (informaţia) comunicat de propoziţie (Gîndul că 2 f 3 = 5" gîndul că 3 + 5 �- 25)

SemnIficaţia este sensul numelUI utilizat indirect (aci sensul numelni "orhitele plauetan. sunt cucuri")

Notînd cu A numele utihzat indirect .,ensu l este sensul expresiei (.sensul nu melui A » (în exemplu, sensul este sensul expresiei "sensul numelui orbitele planetare sunt cercuri")

-

(j

__

Setnnificaţlt-

Obiectul individual (indlvit1ul Ari�totel)

'" 1'1

-

Simple ( Aristotel") "

'a.. p..

S" llillUlll'll luI l,'rl'OI'

Propoziţii care conţUl nume utilizate indirect ("Copernic credea că orhitele pl anetare sunt cercun")

:s:

o t;) il> ::a ., � il> �

I

I I I

� t;) tol

Z C! � S ttI


1\11:.'TODA TABELELOR SEMANTICE

6) simboluri improprii. Pentrn conţinutul expresiilor se utilizează catego­ rule 1 ) denotat, 2) domeniu de semnificaţie, 3) funcţie, 4) concept

5) judecată

Denotatul este obiectul denumit Domeniul de �emnificaţle este dome­ niul de obiecte din care variabila ia valori. Funcţ�a (vezi) este IID gen de relaţie de corespondenţă (nnivocă). Conceptul este sensul numelui Jude­ cata este sensul (conceptul) propoziţiei. Church utilizează mai multe feluri de relaţii a) relaţia de denumire (intre nume şi denotat) , b) re­ laţia de exprimare (uumele expnmă conceptul), c) relaţia de dSociere a funcţiei la formă (variabila este un caz particular de formă) Mru mult sali mal puţin explicit ele există ŞI la Frege. Numele generale snnt identificate cu nn anumit gen de formJ. Slmho· lurde improprii (ex operatorii) nu au conţinut propriu, dar îu comb1l13ţIe cu Simboluri proprii dau expresii cu conţinut propnu. Operatorilor li se asociază forma (ŞI resp. funcţia) . Church admite şi .. nume de funcţii" (corelate cn operatorii, dar nu identice). Deosebirea este urm;i­ toarea . 1) funcţia se defineşte pentru constanta funcţIOnală (�" nume proprii de funcţie), în timp ce pentru conector ( =operator propoziţional) ea se asociază, 2) conectorul nu se inlocuieşte cu variabilă, 3) pe lîngă �mnJ­ ficaţiile corespunzătoare aplicării funcţiei la argumente există semnifI­ caţia pentru conector care ţine loc de constantă funcţională (funcţia este denotatul conectorulni în acest caz). în anumite contexte distmcţia JIU este utilă. Clasele sunt idenhflcate de Chnrch cu funcţiile singulare propoziţlO!lJ.le, iar insuşirile cu conceptul clasei. Prin urmare, "numele funcţional" denotă clasa şi exprimă însuşirea. FiecăreI forme propoziţionale singulare i se asociază o clasă Modul în care Church asociază denotat Şl concept pentru numele proprii, numele funcţionale şi propoziţii corespunde eu modnl în care Frege asociază Bedeutung (semnificaţia, denotat) şi Sinn (sen�) pentru numele corespunzătoare Cu precizările care reies uşor in e"ideuţă din expunenle date cele două concepţii sunt identice în esenţa Church mai precizează că Denotatul numeluI N f (sensul numelUI .\ ) . Faptul că metoda relaţIei de denumire uWizează mai multe relaţii semautice (vezi a) e), şi nu doar relaţia de denumire, este esenţial pentru inţe­ legerea concepţiei. La rindul său Carnap a sugerat pentru "numele gene­ rale" relaţia "se aplic ă", deşi o tratează în fugă (v. semantICa 1'(1atie'� de referinţă) . METODA TABELELOR SEMANTICE, metodă elaborată de logicianul olandez E W. Beth pentru demonstrarea formulelor. Se îmbină idei din calculul lui Gentzen cu ideile de adevăr şi fals. Pentru a considera () formulă se arată că In mod sistematic nu se poate găsi contraexemplu, în caz că se găseşte contraexemplu fermula este respinsă. Se iomtn­ lează reguli pentru construirea şi închiderea tabelelor semantice Aceste reguli sint următoarele (in formularea lui Beth) ': ( 1 ) Dacă una ŞI aceeaşi formulă se află in ambele coloane ale uneI tabde­ (sau subtabele), atunci tabela (sau subtabela) este Închisă : dacă dourt, subtabele ale unei tabele (sau subtabele) sînt închise, atunci această tabelă (sau subtabelă) este inchisă. (2a) Dacă l U se află în coloana st!ngă, atunci U se introduce in coloana asociată din dreapta (adică coloana dreap­ tă a aceleiaşi tabele sau subtabele) . (2b) Dacă 1 U apare in coloana din dreapta, atunci U se introduce in coloana asociată din stînga (3a) Dacă U & V apar în coloana stîngă, atunci atît U cît ŞI ţ' se in­ troduc în aceeaşi coloană =

-


237

METODA TABELELOR SEMANTICE

(3b) Dacă U & V apar în coloana dreaptă, atunci tabela (san subtabela) se descompune in două subtabe1e in ale căror coloane din dreapta intro­ ducem respectiv U şi V. 4a) Dacii U V V apar in tabela din stinga, atunci tabela (sau subtabela)

dată se descompune in două sllbtabele în ale căror coloane din stinga introducem respectiv U ŞI V. (4b) Dacii U V V apare în coloana dreaptă, atunci atît U cit şi V se mtroduc in aceeaşi coloană (Sa) Dacă U => V apare în coloana stîngă, atuncI tabela (subtabela) se descompune ; in coloana din dreapta a unei subtabele mtroducem U, iar in cea din stinga pe V. (5b) Dacă U => V în coloana dreaptă, a tuuci V �e mtroduce în aceeaşi coloană, Iar U în coloana stingă asociată. (6a) Dacă 'r/x U(x) apare în coloana stingă, atunci în aceeaşi coloană. punem U(P) pentru fiecare parametru p care a fost sau '.':! fi introdus. (6b) Dacă 'r/;ţ U(;ţ) apare în coloana dreaptă, atuncI noi introducem un nou parametru p şi punem U (P) in aceeaşi coloană. (7a) Dacă 3x U(;ţ) apare in coloana stingă, atunci introdncem un nou parametru p şi punem U(P) în aceeaşi coloană. {7b) Dacă 3x U(;ţ) apare in coloana dreaptă, atunci în aceeaşi coloană introducem U (P) pentru fiecare parametru p care a fost sau va fi introdus. î n cele două coloane putem pnne orice formulă iniţială U1, Uz' . . . • VI' V.. . . Dacă se intîmplă să nu putem introdnce primnl parametru p conform cu regulile (6b) sau (7a) atunci se introduce primul parametru individual pentru a putea aplica regulile (6a) şi (7b). Exemple . I . Să se arate că formula 3z (pz & 1 Sz) nu decnrge din formulele 3x (P;ţ & 1 M;ţ) şi 3y (My & 1 Sy) . 2. Să se arate că formula 3z (Sz & l Pz) decurge din 'r/;ţ (Px => lMx) şi

3y (Sy & My) .

Exerdţiul I se rezolvă prin tabelnl următor : Fals

Adevdr

( 1 ) 3� (Px & Mx) (2) 3)' (My & Sy)

(3) 3x (pz & Sz) (7) Ma

( 1 1) Sb

(4) PtJ &.,Ma (5) p.,

( 12) Pa &

(6) M.,

(i) ( 1 3) Pa

(8) Mb & Sb (9) Mb

(iii)

(ii)

( 1 4)

Sa

( 1 6) Pb & Sb

( 10) Sb

(i)

s"7i

(iii)

(ii)

(15) Sa (iv) ( 19) Sb

( 1 7)

Pb

(iv)

( 18) Sb


MDllODAI VAIUAŢIILOR

238

Se observă aplicarea regulilor de eliminare a cn ant oru l ui 3 şi a conjunc­ ţiei &. DeolUlece Pa se află in ambele coloane nu se mai poate construi contra exemplu şi deci (i) este închisă. Deoarece ( 1 8) contrazice pe ( 10) (iv) se .inchide. Rămîne Pb neÎnchlsă ceea ce termină exerciţiul. Exerciţiul 2.

Adevăr

Fa!;, (3) 3z (Sz

& pz)

( 1 ) 't/� (Px -> M�) (2) 3y (Sy & My) (4) Sa &: Ma

(7) S a & Pa

(5) Sa (6) Ma

(8) Sa

(i)

(ii) Pa

(il)

(i)

( 10)

Pa

( 1 2)

( I l) Pa_Ma (iii)

(9)

( 1 3)

(iii)

Pa

I

(iv) ( 1 4) Ma

(h·)

Ma

Nu se poate construi contraexemplu. Formulele noastre redau modul FESTINO în logica predicatelor (Beth E. W., The fundattOn of mate­ matics, Amsterdam, 1959) .

METODA VARIATIILOR CANTITATIVE CONCOMITENTE (VARIANTE CAUZA, VARIATUR EFFECTUS) . metodă inductivă de descoperire a

legătuni cauzale. Dacă un fenomen a variază canfitutiv-ofi de cîte ori variază un alt fenomen A d in complexnl său cauzal atunci A este pro­ babil canza lui /J. Sch emă

An -

an

A -

a

Vrem să determinăm cauzele schimbării perioadei pe ndul nlw simp l u. Presupunem că in complexul cauza! participă următoarele circumstanţe masa (A ), forma (B), natura materialului (e) , lungimea (D), intensitatea gravitaţiei (E). Notăm schimbarea cu A ', B', C', E', a'. C onstatăm că provocind diferite schimbări a se schimbă numai cind se schimbă D sau E

D'E - a' D E' - a' D'E' - a' !" - a' E' - a


219

METODA STRUCTU R 4.LA

Raţionamentul e mai complex, aceasta este doar faza finală. NOI schim­ băm pe rind diferiţi factori şi conchidem : a) dacă a se schimbă odată cu X atunci X este cauza lui a, b) dacă a nu se schimbă cînd X nu se schimbă atuncI X este cauza lui a în cazul nostru putem avea urllldtoarea schemă :

ABCDE A'BCDE A'B'CDE A'B'C'DE

- a - a - a - a

ABCDE' - a' A BCD'E' - a' D' - a' E' - a' D

VE

- a

Concluzia arată că : a) schimbarea lungimti pendulului sau a intensităţii gravitaţiei duce la schimbarea perioadei, b) constanţa lungimii şi intensi­ tăţii păstrează perioada independent de alte schimbăn. Această metodă implică şi metoda diferenţei, căci avem diferenţa între "se schimbă A" şi "nu se schimbă A".

METODĂ CARTEZIANĂ. Descartes a formulat o serie de principii meta­ I Ogrce pentru metoda dednctivă. El ia ca punct de plecare tntuiţia şi evidenţa. Raţionamentul dednctiv are pentru el sensul psthologic de a intui concluzia In propoztţii evidente. Premisele se stabilesc prin intwţie, dar şi trecerea spre concluzie este o intuiţie, mal exact intwm concluzia în premise evidente (mdubitabile) . El metodologizează în acest fel psi­ hologia gîndirii matematice. în Discurs asupra metodet formulează urmă­ toarele reguli de metodă . 1 . Să luăm ca adevărat numai ceea ce este mdiscntabil adevărat 2. Să reducem problema dată la alte probleme mai simple şi mai uşor de rezolvat. 3. Să rezolvăm problema compusă in func­ ţie de părţile la care am redus-o, urcîndu-ne treptat de la Simplu la compus. 4. A revedea toate cazurile (de care depinde rezolvarea proble­ mei) pentru a nu fi omis vrennul. Aceste principii sînt metateoretice şi în acest sens ţin de teoria rezolvării de probleme (în special de metodele matematice) , anume inducţia şi recursia)' METODĂ DE REZOLVARE, ansamblu de regnh care indică modul de

desfăşurare a unui proces in vederea rezolvării unui tip de probleme. Există două tipuri de metode a) metode care duc cu certitudine la re­ zolvarea problemei puse şi b) metode euristice, metode care arată "cam pe unde se află rezultatul". Metodele algoritmice, metoda axiomatică sint certe. Metodele de a descoperi tratamentul unei boli, precum şi multe alte metode legate de viaţa obişnuită sînt metode euristice. De ex., nu există o metodă certă de a răspunde la întrebările "cum să avem succes", "cum " să fim fericiţi deşi pot fi date unele prescripţii care duc cu o anumită probabilitate la rezultat.

METODĂ STRUCTURAL� metodă care prescrie studierea obiectului di'ii- punctul de vedere al structU1'n ( = al corelaţiilor interne) abstraciie


Ml:TODE FINITISTE

240

fă clnd de natura specială (iar uneori de orice natură) a elementelor care intră in corelaţie. S-a dezyoltat mai întîi pe terenul matematicii, apoi în logică, lingvistică şi alte domenii. Exagerarea filosofică a utilizlrii aces­ tei metode se numeşte "structuralism". Anumite structuri pot fi definite pur formal (in sensul formalizării). Astfel sînt structurile algebrice, de ordme şi topologice. în acest caz se face abstracţie de natura specială a elementelor, operaţiilor şi relaţ1110r şi se consideră numai anUll1Îte PYO­ pn etăţt formale ale acestora (v element mvers, element neutru, proprie­ tăţi formale ale ope,-aţiilor, proprJet4ţi formale ale relaţiilor). METODE FINITISTE. Ca replică la criticile intuiţioniste (v. zntutţzomsm logico-matematzc) Hilbert a adoptat o concepţie restrictivă asupra pro­ ceselor de demonstraţIe in meta-matematică, concepţie numită jinitism Ea constă in acceptarea numai de m. f. Herbrand (matematician francez) a definit astfel m. r. ,Prin raţionamente intuiţioniste (adică finitiste) inţelegem raţionamentele care satisfac următoarele condiţii : Intotdeaun a se consideră numai nn număr finit şi determinat de obiecte şi funcţii ; funcţiile acestea sînt exact definite şi definiţia permite calcularea univocă a valorilor lor ; niciodată nu se afirmă existenţa vreunuI obiect fără indi­ care procedeului de construire a acestui obiect ; niciodată nu se consideră (pe deplin determIDată) mulţimea tuturor obiectelor x ale nnei totalităţi infinite oarecare ; dacă totnşl se spune că raţionamentul (sau teorema) cutare este adevărat pentru toţi aceşti x, aceasta Înseamnă că acest raţionament general poate fi repetat pentru fiecare x concret şi insuşi acest raţionament general trebuie considerat ca model de a forma ase­ menea raţionamente concrete" (J. Herbrond, Sur la non-conlrQdtetzon

de l'aritmetique, 1932).

METODELE INDUCŢIEI CAUZALE. în cartea sa Ststem ul loglCu J . S.

M'!I a sistematizat metodele IDducţiei incomplete (schiţate incă de Fr. Bacon în Noul Organon) destinate să descopere cauza unui fenomen dat. Ac�te metode sînt următoarele a) metoda concordanţei (The Method of Agreement), b) metoda diferenţet (The Method of Dlfference) . c) metoda combinată a concordanţez şz diferenţei (The Joint Method of Agreement and Difference), d) metoda v ari aţiilor concomitente (The Method of Con­ comitent Variations) şi e) metoda rămăşiţelor (The Method of ReS1dues) (v. termenii respectivi) . Aceste reguh se bazează pe o anumită noţiune de cauzalttate (v.). Ele dau o concluzie probabilă.

AI Il\CIl\OS, proprietate a unor propoziţii declarative (ex

mărturii) . sau a unor indivizi. în logică apare în contextul unor formulări ale pseudo-paradoxului Mtncinosul. Analiza este Importantă pentru logica mărturiilor. Are mai multe semnificaţii. Semwficaţiile pot fi clasificate după mai multe criteni ' a) empirică san zdealizată, b) tare sau slabă, c) relatzvă la propoziţii sau relativă la individ. La acestea putem adăUgd minciuna afectzvă şi mznciuna în tntenţie Raportarea la propoziţii este p rimă, iar raportarea la indivizI este secundă (în funcţie de propoziţii). In drept şi etică se utilizează sen!oul tare, fn artă şi alte domenii (de ex. , in medicină) sensul slab. Toate senmificaţiile obişnuite sînt empirice, semnificaţia idealizată este sau o simplă exagerare sau introdusA din motive de analiză logică. Vom trece in revistă prinCipalele semnificaţ ii (combinind criteriile). în primul rind vom avea în vedere mznciuna afec­ tiv ă. Semnificaţia expresiei "propoziţie mincinoasă" luată in sensul tare este aceasta ; (1) propoziţia este mincinoasă dacă şi numai dacă eate o de­ claraţie falsă, făcută cu tntenţie (cunoscind adevărul) şi contl'lWenind


2U

MINI'I ERME'"

constsent codulut dp norme (moral e sau jllnd lce) la care individul aderă (eite supus) . Semnificaţia e"{presiel , . propozlţie mmcmoasă" luatil în sensul slab este (2) propoziţia e�te mincinoasă dacd şi numai dacă este o de­ c1ar.e lalsă, făcută cu tnten(u (cunoscînd adevărul) f.lră a încălca sau cel puţin fără a încălca conştient codul de;, norme (morale, J uridice) la care aderă (e supus) individul A"tfel, o mări urie miuc!noasă la tribunal e�te minciună in sensul ( 1 ) şi se pedepseşte de către lege, o g�um � p�a�e fi o minciună în sensul (2) D efini l U apoI semnificaţia expresieI .. mdlYld minclDos " Avem două caznri . emprrlc şi idealizat (3) expresia .. x este minoino�" (î n sens empiric) Înseamnă ed -' exprimă suficien t de mnlte pro­ polliţii Ill in cmo ase "au le exprimă în asemenea circumstanţe încît e� te caliIicat de minc1nos (Se poate in ca'" particular s pu ne �I " y este mw­ Ctnoi cînd enunţă p".) Observăm mai întîi că termenul . . indidd minci nos " n� pcesupune (in sens empiric) că toate propoziţiile spuse de el smt 1111n­ c moa.se, ci numa, unele. (Empiric este Impo�ibil La llJ l individ Sd mmtl totdeauna.) în al dOIlea rind, nu avem critem precise pe nt ru a spune to td ea­ una dacă un individ este sau nu l1Iincinos (dacă are un caracter de mincinos) ceea ce Înseamnă că t er me n ul " individ mincinos" este impreciq, vag DeciZia se face în funcţie de context Semnificaţia Idealizată este defmită a<. tfe I (4) .ţ' este mdivid mincinos (m sens idealizat) dacă ŞI nUlnal d ac:i toate propoziţide spuse de x sint minclDoase Evident, un a�tfel de .. mincinos absol ut" nu există Definim ap()i termenul .. minciună in intenţie" (5) pro poz i ţi a este tIItnctună în , n /plltia dacă şi l1ul1lai dacă cel ce o en unţă o crede t alsă şi o spune cre",Îlld c{l ascunde ade\'ărul Pnn urmare, un mdivid x este mincmos (într- u n sens foarte larg) dacă şi numai dacă el Sptlnf 11wersul a aea ce crede cil ştie. Termenul 111. (aplicat la propoZiţii ) este adesea în mod greşit identificat cu falsul, ceea ce, evident, nu est corect Altfel spus, falsul este l u at în sens de 111 . De asemenea, opusue III . este în mod eronat coufunda t <-lI adevărul Se �pUlle , .1111 e mînciun:i' e ad evăr", în acest caz prin adevăr se Înţelege sincel l>eci opusul III este sil2arul. Ca urmare, ne vom exprim a corect astfel : p este propo z iţi e . (declaraţie) smceră Sali Illincinoasă , , este individ sincer sau ru. Dacă c ine \' a utilizează adevărat În loc de �tnCe1 (resp fals în loc de m.) trebuie să ţinem Sfama de această nouă semnificaţie, ea rezultă dlU context în acest context .. adevărat" <lei>emneaz(, enunţ Sincer, "fals"

desemnează enunţ m (iu tr-uuul dlll sensurile definite) " Dacă nu ţmem seama de aceasta putem C0l111te er o are a de .. Împ:anre a termenilor" l\l INIMIZARE, proces de simplificare a expresiilor pnll aflarea pentru fiecare expresie a cel eI mal sllJ l pl e expresIJ eelu\ alellt.i cu ea In caz particular, cea mai simpl a expresie �e cere să fie Într-o forml normal ă. în acest sens, ID. în se aru n d aflarea celeI l II,t! <;1111 pl e forme nor m ale (de lin tip indicat) Exist<! mai multe metode de III. (mrfuda (! '/IIU, Ah Chtskey, metoda [, af1,augl! ş a ) . )f lN ITERMEN, cOIIJnncţle pruuă de 1t I anahlle JlI care termeuu nu "e repetă 1\1. se mai numeşt e ŞI . . constituellt de uuu" �Imetnc, pcntru di sju ncţii l e prime avem maxitermm ii "au, altfel 'p us , con<;tttueuţll de zeco . O pri mă proprietate a m. co nstă in aceea c:i d" că îulocUlm \ ana­ \»Ia directă ( = pozitivă) cu valoarea logic:' 1 ( = ade\' ăru l ) �i , ariabila negati vă cu O (= falsul), atunci obţinem pentru 111. v al o are a I (de nCI şi denumirea de constituent de uuu). Pentru IZ \'anabile avem :!" Dl.


MINITERMEN

2,12

n =

3, 2" = 8 Exemplu. Pentru variabilele A , B, C avem m. A 13 [. (dIspuşi în ordmea crescătoare a nu mărului zecimal al m.) FIe

A R c, .l B C. .l B C, A R c , A 13 C, A R E, A B C

A 13 C

000 001

A 13 C

A nc - I I I Numărul m. ( = n nmărul constituentului de unu) este traducerea alegeni de valon (de ex O O 1 ) d in sistemul binar in s istemul zecimal. Se observă că pentru valorile ,'ariahilelor i n d icat e mai sus, fiecare m. ia valoarea I De ex .4 n c O O O A Re O O I A Re I 1 1 NotÎnu

m.

cu

111 ,

A BC - )

(1 fimd mdlcele dat de poziţIa în ordinea crescătoare) ,

vom avea In., "'" m., m2" - I . Numărul total al m. este 2,m (La fel pentru ma x ite nnen i) . Teoreme. ( 1 ) Suma logIC:! a tuturor m. este -;g;:u Cu 1 (disjuncţl.\ logică a tu t u ror ' m. este o tautologie) 2fl _ l

�uJ l boh c

î n mod d nal

avem

E .�O

m,

=

I

(2) }lrodn,>ul loglc a l tuturor maxitermenilor este egal

c u J (conJuucfJa t utu ror

ma

... iterJllf'JIJlor

Simbohc

1" - 1

e�te o tautologie)

D "I. =

I

. -0

Relaţule Între m u i ci

l

111.

5i lIlaxltenllcnJ!or e�te dată u e egaht;l ţll e (4) m2" - 1 -, De exen'plu, pentru două varia­ 111. ŞI m a xi t erme m care' au ca termeni (A, 13), (A, E), (A 13) , (A , B ) . adică respectÎ\ "' . = ..-1 13, nIl = A B, "'a = A fi, ma = = A B , il[. �-= .l .. 13, • . . . . • . . , M, = A + B. Fie n'3, atunci conform CII corelaţld (4) a, em ma = .'\.I. - 1 - 1 =� M. Adică A R = A + ...,.. il Or AR este mversul (negaţia) lui 1113 , Iar M. este A + 13. Tot de aC! se ob�ervă C:l m. este inver�111 unui Dlaxitermen, iar mUltermenul este inveJ�nl unui m. în cazul nostru, A + 13 este lDversul lui AB (adIcă m, � J1� - I _ I , bile vom forma

(5)

II,

=


MODAl rrAu LOGICE

243

AB). Alte corelaţii Importante sînt (6\ ni, rIlJ = O (unde i -# J) , (7) Mi + MJ = 1 (unde � -# j) De ex 111. ' , - O (in exemplul nostru de mai sus) , altfel scris ' A B . A B = O. într-a, ,': ;ăr, A B . A B = A. (B ,B) = = O, căci B . B = O, or conjuncţIa este O cind cel puţin un membru este O. în fine, notăm că suma de m este formă normală disjunctivă perfectă, iar produsul de maxitermeni este formă normală conjunctrvă perfectă. Notind valorile funcţiei (corespunzătoare alegeIllor de valori) cu tradu­ , I.n -1 (de ex, cerile in sistemnl zecimal a acestor alegerI 10' 1" pentru n = 3, dacă avem alegerea O 1 O ŞI valoarea funcţieI este 1 , vom pune, in locul lui 1, ft, căci traducerea lUI O I O este � \ om avea teore­ mele (8) 1 =

Zn _ l

L:: 1. t=O

ni"

( 9)

i�

2'. - 1

L:: j, l =U

m"

( IOJ 1 -

2n _ l

Il

t�O

(f,

-r

;;;,J

2" - 1

Il

, =0

(f, -:- 1112" - 1 -')

�IODALlTĂŢI ABSOLL TE, modalItăţI Lare �e aphcă necondIţIOnat, in opoziţie cu modalităţile relative care se aplică condiţionat De ex , "Este nece:-ar să plouă" este o propOZIţIe cu modalitate necondiţionată, În tunp ce "Este necesar ca metalul sJ. se dllate în raport cu încălzIrea" sau "Este necesar ca metalul s1 se dilate dacă metalul se înc:ilzeşte", sînt condiţio­ nate. Modalităţile condiţionate �e sunbolizează de regulă prin M(P/q) , unde M este modalitatea, iar q este condiţia. în caz particular O ( P /q) ( .. P este necesar în raport cu q") O (P/q) (..p este po�ibil în raport cu q " ) . MODALITĂŢI D E DrCTO (v. modalităţi d e re) \I ODAL ITĂŢI DE HE, modalităţi aplicate prediedtulm unel propoziţu, în contrast cu modalităţile de dlCto care sint aplicate propoziţieI ca În­ treg. De ex . , forma ,,5 este pOSibil P" este o forml de propoziţie de re (În caz particular "Ionescu e"te posibil talentat), iar forma "Este posibil ca S să fie P" este de dicto (ÎII caz particular "Este posibL! ca Ionescu să fie talentat" ) . Distincţia a fost mtrodusă în logica medievală lUODALITĂŢI FACTUALC (v modalităţi logice) lIOD -\LITĂŢI ITERATE, modalităţi obţinute prin aphcarea unui opera­ tor Ulodill la o expresie dej a modalizată (de ex. : O O p , O OP, O O p etc ) \ om numi prefix modal o a�tfel de secvenţă de modalităţi Se pnne problema care prefixe modale sînt mdependente şi care sînt echIValente Pentru a demonstra reducerea a vem nevOIe sl demonstrăm existenţa \Inor reguh de reducţie ( .. formule de reducţie"J . De ex. : dllpă cum a arătat Parry, în 5. există nUlIJai patru modahtăţi independente restul reducîndu-se la ace�tea O p, � O p, [J 1> , � O 1> Formula de reducere este :) p = O O P Dimpotrivă, el a arătat <.ă in 5, există douăsprezece modalităţi independente . O p , O p , O O O p, V O p , O O p , 0 .0 O p ŞI negaţiile lor. (Tot dou:isprezece exi�t.l ,?l în sistemul Illl ,\ckcrmann) . l'ormulă de reducere ' O P == O O P ]l.fc Kin�ey a arătat că in 5. există mfinit de multe rnodahtăţl mdependente Se poate constata legea cu cit este mai puternic sistemul modal cu atit mai puţine modalităţi JU­ dependente există. (Y. 5�steme modale !tlP Lerms) . �I ODALITĂŢI LOGICE, modalităţi defiwte in termem lOgiCI, in contrast cu modalităţile factuale care sint definite in termeni factuali ( li Jac/ual) .


2 1-1

MODALITATI RELATIV!:

Definiţule sint urm ătoarele . Pp = dfP este logic necontradictoriu II> = = rltf> este logH' con trao i ctor; " Np = dfP este logic con tTad i ctorru . CI' = nici p nu sî n t blC con trad ictorii Modalităţile fac tuale IIInt = tit lli('1 P. rel ativ e la anumite sisteme de condiţii (legi) este posibil să fie p deoa­ rece q» qn. e ste nece�ar să fie p deoarece există toate condiţii le q p en tru p. este Im posibil �d fie p deoarece nu există condiţia q (sau 1111 e XIstă nicI o co nd iţie pentru Pl. Relaţiile Între modalităţile logice �i cele factuale sint urm ăt oarel e PFp => PLP. NLP => NFP . ILP :;. JFP (U1Hle J. ind ic{t modalitatea factual.1. Iar L modali t ate a logică). De ex . • " este I1l1po�ibil logic s ă existe perpetuum mobIle" implică " este imposibil lactual să existe perpetnum mobile". MODALITĂŢI RELATI\"E (v. modalităt� absolute) \l ODEL, interpretare care transformă o formulă in propozIţIa adevărată­ 'Analog pentru o mulţime de formule. o interpretare care transiormă sunultan toate formulele din r in propoziţii adevărate se va numi a. al lui r Exist:! două nuanţe in defmuea m. a) DI . se d efineşte fie simplu prm 5lstemul de semnificaţii (dintr·un domeniu D) acord at variabflelP.r di n formul:! (tormule), b) si multan prin funcţia de interpret::ue �i şi sistemul 5 de semnificaţii. adică cuplul <'II •. 5) . Spre a deosebi m. defi· nit aci de alte concepte acesta se mal numeşte şi "m. semantic". :&xem­ ple formula x > y are m. în mulţimea N. de ex perechile {3. 2}. {4. 3} ş a. Formula F (x. y) ar e ca m. in N. {CI>. {a. b}} unde CI>

=

{

F

=

>

3 . II = 2. tn acest fel propoziţIa ,,3 > 2" va fi rezultatul modelării lui F�. y) ŞI deci m. pentru F(x. y). Se mai spune că o formulă are m. intr-o teorie T dacă el l se poate asocia o propoziţie adevărată din T. li. este larg folosit pentru defmirea predicatelor semantice de valoare. pentru defmirea �emantică a opera torilor logicii ( - . &. V . ..... . = . O . O . ş.a ) . pentru definirea proprietăţilor sistemelor aXIOmatice (necontra· dicţie. completitudine. independenţă) ş.a ţn anumite contexte Doţiunea de ID. este asociată cu noţiunea de lume posibilă (v.). Exempliftcăm I1hhzarea noţIU nii de m. prin defilll re a I mplicaţiei . O formulă A implică semantic o formulă B = df orice m. pentru A este m. pentru B. Exem­ plu : X = 2 -+ x' = 4 e�te o implicaţie in se nsul definit . m. este {2}. D e finim şi noţiunea .. logIC adevărat" : o formulă este logic adevărată dac t �I numai dacă ea are w. in orice interpretare MOD(jRI Il\D IRECTE, moduri ale silogismului în care termenul mlUor �1>te predIcat in conclUZIe despre cel major. Au fost formulate moduri mdirecte corespunzătoare figuni I De num irile mnemotehmce ale acestor \nodml 1>int Baralipkm. Celantes. Dabiti �. J'apesmo �i Frisesom01'um. Scheulele lor �int In mod core�punzător următoarele TJl - P T.<' - .1/

F.1/ · P / � .- 11

1 .'1 - P V5 - .11 l P

-

a

=

1 .1/ - P F5 -\- .M

UM - P T5 + .U

UP 1- 5

UP 1- 5

M ODURILE SILOGISl.IlJLl'I. Cele patru figuri ale �J1oglsmuIUl sunplu categoriC Ciijinna-T9 modUri prinCIpale ŞI 5 moduri subalterne Fiecare mod are o d enumire mnemotehmcă. Ele an fost date de căbe Petrlls Hl !lpa!lu�. Iată modurile principale pe figuri Fig.

1

}" i! II

Barba/a, Cdarml. Darii. Feno CamestTes. Baroca. Fcstino

Cesaf( ,


MODURILE SILOGISMULUI

245 Fig Fig Iată Fig Fig Fig

In : Dtwapli. F�lapton. Disam�s. Datis,. Bocardo. Fmson IV : lN_tMtip. Camenes. D,maNs. Fes u.po. Fl'esison. apoi

modurile

subalterne :

1 : BMbari. Celaront n : CINiMO. Camestl'op IV : C_enop.

Denumirile sint astfel constituite incit literele au anumite semnificaţii. a) Vocalele a. �. i. o desemnează respectivele jud ecăţi A. E. 1. O. ; b) consoanele iniţiale arată la care mod al flgum I se reduc modurile figurilor n. m. IV, CI consoana s arată că in cazul reducem avem o con versiune simplă a Judecăţii precedente, d) eonsoana p arată că in cazul reducerii avem o converSlUne prm accident a judecăţii care o precede . e) consoana m md1că o inversare a premiselor în cazul reducerii. De ex.. modul Cesare (fig se reduce la Cclal'tmJ cum mdlcă ml­ ţlala C) iar premIsa maJoră E 'le converteşte SlIlIplu (cum mdică sI . Re­ prezentările relaţulor între termeni ne arată cîte cazuri particulare posi­ bile de astfel de relaţii avem pentru fIecare mod. Astfel, modul Barbal'a are douA reprezentări :

II)

8

llodul C�lal'�nt

are

o

smgllrl

reprel ; utare

ta schimb. pentru modul IlaN' sunt posiblle ClnCI cazuri :

8 @) @ � W III

:Fiecare

exemplu

( 21

de

raţionament

131

în

(41

acest

ISI

mod se v a afl a în unul şi

numai in UDul dintre aceste cinci cazuri. tn legătură cu modurile deosebim " forma stmdard " dată in logică şi .,forma stilizată" utill:zată in gindirea obiŞnuită. Forma �tilizată are printre alte particularităţi : a) caracterul de propoziţie explicativă (indicat pnn cuvintele deH uce.jiindcă san altele) ; b) concluzia este pusă adesea in faţA ; el uneon premisele sint mversate. Această formă stilizată pune accentul pe Justificarea concln:ziei, Explica­ ţia constă In faptu l că în gindirea obişnuită BU interesează doar deduc-


MODUS

2 J6

tia, ci deducţia ca argllmentare. Deosebirea intre formele standard ŞI for­ mele stilizate ţine de logica pragmatică, căci ele sint date în funcţie de eficien ţa u tiIizării .

:&IOY.l,iŞ1. �enumirt:

a părţii n!Odale a unei jndecăţi de modalitate. �Io­ ®Sul judecăţii de foinia-;�Este posibil P" este partea "este posibil" Core­ lativul modusulul este dutumul care este partea asertortcă a judecăţii Illodale, in schema noastră este p. Avind judecata ..Este necesar ca pJ.­ " mîntui sol atragă corpurile din jurul său modusnl este partea "este nece­ sar", iar dictumul este "ca pămintul să atragă corpurile din jurnl său" . Forma dictumului nu este î n acest c a z asertorică, c i are m a l degrabă as­ pectul unei denumiri pentru starea de fapt, dar ea poate fi uşor transfor­ " mată în aserţiune explicită "pămîntul atrage corpurile din jurul său . Atît modusul cît ŞI dictumnl pot fi afirmative sau negative. Forma "Nn este posibil P" are modusul negativ şi dictumul afirmativ

\I ODU�� JWlJI!!!... ponendo ponen8), a

raţlOnamentului

cu

următoarea

schemă :

denumirea

latineascol

( 1) B în sistemele aXIOmatice se uhltzează în mod corespunzător regula modus ponen� (sau "regula detaşării") dacă A şi A => B atuncI B. Regula are următorul echivalent semantic "dacă este adevărat �A => B» ŞI este adevărat �A » atunci este adevărat «B .. Această regulil. exprimă condiţia de adevăr a raţionamentului. Teza logică corespunzătoare este

A & (A "regula

=>

B)

=>

B. în calculul natural schema modns ponens �e numeşte

eliminării implicaţiei".

în

teoria funcţiilor de adevăr schema

rt'dă doar relaţii Între funcţii de adevăr :

(2)

p

-+

q

p q Se pot însă folosi

scheme cu interpretări diferite (pentru propo71ţii 51

resp. fnncţii de adev ăr) . în dependenţă de structura propoziţiilor, A , n şi a relaţiilor dintre ele pot fi date şi scheme mai complicate, utIh7111d

op81'atortt sllogistzcz (v.), ca de ex

(3)

SaP

=>

SaQ

SaP SaQ Se poate întîmpla însă că nu este valabilă 5 a P ci .'> , a P (uude 51 este o specie a lui 5) caz in care schema ia forma :

(4)

SaP => SaQ SlaP


MODGS PONENS

247

Aceasta se explică prin aceea că prima judecată este o universală de tip A , iar 5, unii S. Ca urmare s-ar părea că putem da schema ' =

SaP SlP

(a)

=>

SaQ

Este vorba d e o schemă bazată pe subaltern are ( A ( b)

SaP

=> =>

S�P SIP

f-

I) .

SaQ S�Q St Q

Această schemă însă are defectul că nu a prt'cizat dacă. " unii 5 " dm antecedent sînt aceiaşi cu "unii 5" dm con�ecvent. Ca urmare numai forma următoare este corectă : SaP

=>

S,aP 5,aP

SaQ

=>

S,aQ

Exemple : Dacă plouă îmi iau umbrela (1)

(2)

Plouă -----îmi iau umbrela Dacă toţi oamenii sînt demm atuncI nici unul nu e millcmos ToţI cei ce iubesc onoarea sînt demni Toţi cei ce iubesc onoarea nu �înt mincinoşi

Exemplul (2) e bazat pe subaltemare. Formele (a) şi (b) nu sînt corecte din cauza impreciziunii poziţiei lui "unii 5". Impreciziunea apare clar in jndecăţile : "dacă unii studenţI au învăţat atunci unii studenţi au trecut la examen" şi "dacă unii studenţi au lucrat atunci unii studenţi au făcut sport " . In prima judecată contextul ne sugerează că "unii 5" sînt aceiaşi in cei doi membrii ai ipoteticei, în timp ce in a doua "unii 5" din antecedent pot să fie dIferiţi de "unii 5" din consecvent. Se înţelege că valabilitatea formei (3) nu este afectată de aceste conside­ raţii. în legătură cn logica predicatelor se pune, de asemenea, problema structurii componentelor. Aci avenl imphcaţia formală ' 'tIx (P(x) => Q(x)). Schema pentru ",odus ponens

(5)

'tIx ( P(x) P(x)

=>

Q(x)) Q(x)


I\IODUS

Ea

s.e

TOWoBNS obţine

2 18

prin

elillllnarea

cuan/oyului unwersa: (v. ) :

P ( � ) => Q ( x)

P (x) Q� �l

MODI;S TOLLE�S următoarei scheme

("au lIlodus

tollendo fo/lens) , dell u ll u re latinească a

Ă pon en s 51 e a se bazează pe legea (A => B) => (B => A ) . Se poate justifica as tfel .

Este o schemă i uve rsd �chel1lel 1I1odus

contrapoziţiei implicaţiei

(A => B) => (E A => B

=>

A)

rezultatul unei aplicăn repetate a reguhi modus pone),. la legea COll­ ziţi el . Ca regulă sint acticJ. avem dacd A => B ŞI B atuncI Ă cee a ce corespunde tezei : ((A => B) & B) => A Ca reguli semantică a vem : dacă <A => B ,) este ade\ ărat şi « B � este fals atunci «A " este fal� 1 . ­

Este

t rapo

xemplu

Dacă

rombul este pătrat el are toate unghi uri le are toate unghlurile egale

Or rombul n u

eg.lle

Rombul nu este pătrat proprietat e a unui sistem de formule aXIOmatIce de a avea numai modele i zomo rfe Între ele. tu caz contrar , oIbim de poll­ morftSm Sistemul lui Peano (, a 1 ioll1cle lui peano) c,te monomo.rt in anu mite limite ale noţiun ÎJ de proprI etate, altfel este po ll morf In . loc de monomoYf se utilizează adesea termenul categoric. AlULŢUIE INFINITĂ, o mulţime �I este infinită dacă �I nu�al d acă ea are cel puţin o parte strictă care este ecluvalentă cu n1Ulţlmea )[ M ulţimea numerelor naturale este echi valentă cu mulţImea numerelor p_a �e . Ea este , de asemenea, I are_ echivalentă cu mnlţimea numerelor mp EVident, mulţimile finite nu satisfac această condiţie. S-a susţ mu t c., este 111 cazul infinitului datontă relaţiei de m ai sus axioma .. intregul mai mare decit partea" nu mai este valabilă (cee a ce a fost consld e� a t

!UO!\ OMORFISl\I,

precIzarea aXI<?­ mal �uare deCI t ta elemente

"fap t paradoxal") . Or relaţia amintită ne obligă doar la nu la renunţare . întregul (mulţimea ca intreg) este p artea (submulţimea in sens strict) d acă şi numai dacă e Xis care aparţin intregului, dar nu aparţin părţii.

mei

:&IVLŢIME INCHISĂ (relativ la operaţie sau regulă) , mulţime pentrn care rezulta�ul operaţiei asupra elementelor mulţimii face part e din mUlţI mea respechvă. Formal, mulţImea este închisă dacă şi numaI dacă satisfac e


IlU'l'ATIS MLTANDIS

249

condiţia a, b E M � a * b E .11"). Mulţimea Z (nu mere intregi) ,."te inchisă relatIv la operaţia - (scădere) ' a, b E Z => (a - b ) E Z. Dim­ potrivă, . mulţimea N (numere naturale) nu este IDchis:l relativ la această operaţie căci nu are loc condiţia : a, b E N => (a - b) e N. tntr-adevăr, 4 ele aparţin lui N fără ca 2 - 4 (adici - 2) să "'lpar­ dacă a = 2 şi b ţină lui N. Mulţimea P a formulelor din limbajul funcţiilor de adevăr ş. a. ) . este închisă relativ la operaţiile din acest limbaj ( - . &. V. Exemple A e P => Ă e P ; A , B e P => (A & B) e P. O mulţime este închisă cu privire la o regulă dacA şi numai dacA rezultatul aplicării regulei asupra elementelor mulţimii di UD element care aparţine mul­ ţimii. Astfel, o mulţime de termeni este inchisă relativ la regulile de de­ flDiţie date pentru mulţimea respectivă, o mulţime de teoreme este in­ chisă relativ la regulile de deducţie date pentru mulţimea respectivă. Mulţimea teoremelor din sistemnl funcţiilor de adevăr H A este închisă relativ la regulile de substiţie şi modus ponens. (Se are in vedere că axioma este inţeleasa ca un caz particular de teoremă. teoremă dedusă din prermse vide.) AIULŢlUE POTENŢIALĂ, mulţimea tuturor submulţimilor (in sens larg) unei mulţimi date. Dacă mulţimea dată este notată cu M, m. p. se va nota cu P(M). Fie, de ex , mulţimea {a , b, c}. Notind această mulţime cu A , deci A == {a, b, c}, m. p. P(A ) va fi : =

_

P (A )

==

{0 , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c} , {b, e}, {a, b , c}}

Se observă că mulţimea A are 3 elemente, iar mulţimea P(A ) are 8 ele­ mente. O teoremă importantă a teoriei mnlţimilor spnne că : dacă " t* = 1Z atunci P(M) * = 2". De aci ' P(M) • > M *, unde P(M) · şi M · sînt respectivele numere cardinale. MULTIME VAGĂ, mulţime M dintr-un univers U in legăturA cu care există elemente astfel că nu putem decide dacă aparţin sau DU acestei mulţimi. Cn alte cuvinte, terţul exclus în forma următoare nn este va­ labil : 'V,lI (x e K (x e U)

Vx

<$ K)

Astfel OI. tinerilor este vagă în universul oamemlor, căci există indiVIZI umani despre care nu putem spune daci sînt sau nu tineri. Conceptele corespunzătoare m. v. se nnmesc concepte vagi, iar logica corespunza­ toare logica cOHceptelor v agi. Conceptul de grămadă (v.) este concept vag in universul mulţimilor. Bazele teoriei (resp. logicii) mulţimilor vagi au fost puse de către L. A, Zadeh. IIUTATIS l.f"ţJŢA�DIS -'lat.), cu schimbările necesare, despre aplicarea unei" for"muiAri in alt context care presupune unele modificări de înţeles.


N

�Er.ES!\R, calificativ moda! . Se referă la stări de fapt ("este necesar ca apa să îngheţe la _ 4°C") sau la ceea ce este logic adevărat ( " este necesar ca p V P " ) în combmaţia "este necesar ca " se foloseşte pentrn cituea operatorului nece�ltăţiL ( :=1 ) . XECONTRAD ICŢIE, prol)rietate 10gic.1 a unei mulţimI d e expresii (ter·

meDl, propoziţii, formule) dintr·un limbaj L de a nu conţine o contra­ dicţie logică. EXIstă dOIl.1 felun de defmiţli 1) stn!ac/tce (pur formale) şi 2) semanttce. Este util �ă definim termenul n. pe categorii de expresii . termeni, propoziţii, forme de termeni 'il de propoziţiL DefiniţIa n. pre­ supune că am definit antenor contradicţLa logică a) Un termen este contradictoriu dacă implică determinaţii care se exclud logIc sau care vin în contradicţie cu o determillaţie dată în sistem Toţi termenii logic vizi sint astfel contradictorii . De ex "cerc pătrat " conţine determinaţa care �e exclud, căci definiţiile cercului şi pătratului implică propoziţit care se exclud logic. Termenul "cel mai mare număr natural" conţine o determinare care contrazIce determinaţla şIrului natural de a nu avea Imulă supenoară. Cind termenul este contradictoriu În sine se spune c.1 11\ em o contradicţte In adJecto Invers, un termen este necontradtetortu dad el nu presupune o contradicţie in sensul descris b) O mulţime de teunem este necontradlctorie dacă definiţiile lor uu se contrazic . c) O mulţime de termem este necuulradlctorie relativ la o submulţime flmtă de teYII/MII primi ŞL o mulţime de reguh de definiţie dacă D1ulţinlea ter­ menilor primL este necontradictorie ŞI ortc!' rlcfiniţie este conformă cu regulile de defmiţie . (Se presupune că lImbajul L posedă reguli pentru ceea ce se unmeşte " termen bine for mat" Astfel de reguli sint reguli in­ ductive ) Necontradicţia termenilor trimite deja la necontradicţla propo­ ziţiilor (definiţiile fiind propoziţii) d) O propozIţIe este contradictorie dacă ea implică o contradicţie Astfel, propoziţia " Toate propoziţiile sînt false" este contradictorie 'il anume autocontradictorie. Propoziţia " " Numărul 2 este impar este contradictorie căci proprietăţile date prin definiţie lUI 2 exclud logIC propnctatea impar O propoziţie este necontra­ dictorie dacă ea nu implică o contradIcţie fIe în sensul unei propoziţii he în sensul că termenii el se contrazic e) O mulţime de propoziţii din L este necontradictorie dacă ea HU conţllle propoziţii care să se contrazic.l (A şi A). f) . O mulţime de propoziţii este necontradictorie relatIv la reguMe de transformare dacă nici o propoziţie A din mulţime nn poate fi transformată în negaţia el Ă. g) O mulţime de propoziţii este ne­ contradictorie relativ la o submulţime strictă a sa şi la regulile de deducţie dacă nu se deduce din această submulţime strictă atît A cit şi A. Acesta este cazul sistemului deduct1v (rcsp. axiomatic) h) Un sistem aXLomatic este necontradictoriu dacă din axiome nu se deduce (CIL ajutorul regulilor de deducţie) atit A cit şi A (cu alte cuvIDte nu sînt teoreme două propoziţii care se exclud) . DefinLţLa este valabilă Şi pentru sistemul axio-


NEGATIE

251

matic formal. 1) Un sistem axiomatic formal este necontradictoriu dacă există cel puţin o interpretare in r aport c u care fiecare formulă a sis­ temului devine propoziţie adevărată. Cu alte cuvinte. un sistem axio­ matic formal este necontradictoriu dacă el are model ( v. ) . De ex .• calculul propoziţional Hilbert - Ackermaun este necontradictoriu relativ la mat­ ricele bivalente. Demonstrarea n. unui sistem logic este prima problemă a metalogicii sistemului. (V. şi Contradicţie formal4. Neeonlradicţie ab­

solutd. Necontradicţie in sensul lUI Post. Necontradicţie in sensul lui Hil­ bert) . NECONTRAD ICl'lE ABS OLUTĂ, u n sistem logic (pur sau ap!tcat) este

necontradictonu in sens dbsolut dacă nu toate propoziţiile şi formele pro­ poziţionale om hmbaJul sistemului sînt teoreme in sistem. (v. neCOl1tra­

dicţie)

I� SENSUL LUI GODEL (Ol - necontradlcţia) . "l'n sistem logic este w - necontradictonu dacă. nu există in el o funcţie pro­ poziţională încit să fie demonstrate în sistem toate substituţiile in această funcţie propoziţională Împreună cu negaţia cnantificării generale a fuucţlel în caz contrar. este (U - contradictoriu. Astfel. dacii. <p(x) este o funcţie propoziţională şi nu sînt demonstrate toate substituţiile <p(x.). <p(x2). NECONTHADICŢIE

Împreună cu Vxq:> (x) atunci sistemul este Ol

- necontradictoriu. Ideea I · a

fost sugerată l u i G6del d e propoziţia autocontradictorie "Toate propozI­ ţiile sînt false ". Orice sistem w - necontradictoriu este şi necontradictoriu.

NECONmADICŢlE IN SENSUL LUI HILBERT. Pornind de la metateo'

rema că .. dintr-o contradicţie se poate dednce orice " Hilbert a definit necontradicţia astfel : un sistem logic este necon tradictorin dacă există o propoziţie in limbajul sistemului care nu este teoremil. in sistem. De ex. în sistemul lUi Church o astfel d e propoziţie este f (simbolul falsului) .

NECONmAD ICŢIE IN SENSUL LUI POST. Un sistem logic care conţine

variabile propoziţionale este necontradictoriu dacă nici o variabilă. pro­ poziţională nu este teoremă in siste m.

NEGAŢIA RELAŢIEI -

Simbolic

cu o relaţie dată. astfel că R şi de obiecte

De ex

ii

R

sau xRy - relaţie

complementară.

nu pot avea loc pentru aceeaşi mulţime

'l' > y are ca negaţie pe x > y (sau x ..;;; y)

NEGAŢIA TAliE, negaţia de forma OA ( . . este necesar A"). ceea ce echi­ valează cu .. este Imposibil A ". Uneon apare în formule logice ade" ărate in mod tacit. de ex .•

A & A este deosebită de negaţia lui A. ceea ce se

reflectă şi în modul de citire a lui

A &A

"cste imposibil să fie

A

şi

A"

termen prin care desemnăm : 1 ) particulele nu. n Ol1 Ş a . c u acelaşi înţeles. 2 ) propoziţiile d e forma n u p (sau n u este adevărat ed 3) operaţia de negare a unei propoziţii (adică de form are negaţiei) . 4) funcţia negaţiei (funcţie de adevăr) . în limbajul logiC D. se notează. în diferite

NEGAŢIE,

Pl.

feluri : - . 1 . ' . - . Exemple : f. 1 P . P' . -p. N. unei propoziţii este contradutona p ropozi ţiei şi se formează cu ajutorul operatorului n. (nu) Ea nu trebuie confundată cu propoziţia negativă în genere, CI este exact propoziţia negativd contradletarie propoziţiei date Pe de altă parte. ea nu trebuie confundată nici cu contradiefaria care poate să aibă şi formă afir­ mativă. Astfel. a � b este contradictoria lui a < b. dar nu este uegativă . dimpotrivă 1 (a � b) este şi contradictone şi n. 1\". este opusă aflrmaţlel şi atttindbul constituie cele două modUri ale asertării Orice propoziţie


NELOGIC

252

cognitiv:' �implă este sa u a.fu:matlvă sau D. N. se supo.ne următoarei legi "D. negaţiei este echivalentă cu afirmaţia". De ex. : .. Nn (este adevli­ rat că) nu (este adevl'lrat că) p este echivalent cu p. Apoi avem 1eg:ile biva­

lente ' dacă p este adevl'lrat p este falsă ; dacă p este falsă p este adevărat ă. O problemă importantă a loglC1l este găsirea diferitelor forme de D. Exemple : "Toţi S sint P" are ca Il. simplă (directă) pe "Nu toţi S sint P" şi ca formă indirectă (mai interesan tă) pe "Unii S nn sint p". Simbolic : A are ca n egaţie pe Ă, resp. pe O. "Dacă p atunci q" are ca Il. directă pe .. Nu este adevărat că dacă p atun ci q" ŞI ca D. indlrectă pe . .P şi nu q" . Simbolic : P => q are ca D. pe (p => q) şi respectiv pe p & q: Evident p => q :; P & q N. pro po ziţ ie i "dacă plo uă atunci Imi iau umbre­ la" \-a fi " plouă şi nu-m i Iau umbrela " Prin tran"forrulI'l logice p ot fi găSite ŞI al t e forme ' p & q :s p V q) în e xemplu l nostru aceasta va fi " nu este adev ărat că (nn plonă :,au îmi iau u mb re la) " în contmuare vom da D. indirecte rezultate prin tran sform are a D. directe. N. pro poz iţiei conJunctivă (P ŞI q) este "nu p sau nu q". Simbolic p & q 5 Fv q. l'I. pro po ziţiei d isjunc t i ve neexclusive (.,p sau q") este . " nu p ŞI nu q ' . S i mbolic : p V q == P &q. exem plificăm pentru conjuncţie şi. disj un cţie . "Nu este adevl'lrat că ftună şi f n1geră � este echi val entă cu . . nu tună sau nu fulgeră" ; "Nn es te adevl'lrat c ă �plou ă sau e vreme frumoasă ." este echivalentă cu .. nu plouă şi nu e vreme frumoasă " . I at ă ŞI D. pentru alte forme (d ate simbolic) : (P _ q) == (P + q) ; VxA (x) ;: 3xA (x) ; 3xA (x) == == "Ix A (x). Se pot introdnce şi noţiuni mai slabe de Il. in legătură cu o poz iţiile din pătratul logic (negatie cont"a"ă. vezi cont"aneJaJea ; negaţia subcontrar ă. vezi subcontrarietatea). in legătura cu logicile n - v a l ent e ş. a NELOGIC 1. Proprietate atnbuită lInor expreslI Toate expre&hle care nu aparţin logicii pure vor fi numite n. (sau extr alog ice) 2. Ceea ce contrazice le gLle logiciI. NERE}o'LEXIVITATE (presc. Nercf ) proprietate formală a unei relaţii

derivate prin negaţie Se define.'lte astfel ' Neref ( R)

=

VX(.T R x) Ori de

c î t e ori vom găsi un contraexemplu care infirmă formula Vx(xRx) vom spune că. avem Neref ( R) . Evi de nt . V'x(x > x). este infirmată de once exem­ plu ŞI deci Neref ( » . m ai mult avem Iref ( R) . Relaţia "x dă palme lu i y " nu implică faptul că "Ix (x dă palme lui x), există. contraexemple . ea este nereflexivă şi anume an ti - reflexi vă NETUANZITIVITATE (presc. Netrans). t ermen care desemnează negaţia nedefinită a tranzitivităţh. Se d e fm e.� te astfel Ne- T1'ans ( RT'""= V x y z Trans (R) Relaţia .. x iubeşte pe y" (ca şi .. x este prieten cu y") este eVident n e tra n zitiv ă. NIHIL �ş'T. ...lN INTEl ECTI!M.J�y"""_D NON PRlUS FUERIT IN SENSU (lat .). nimic nu este in intelect fără ca"rna:! inainte .să...fi....fwIt..-4t simţuri. Maximă sensualistil.. evident greşită.

NOMINAt.tSM-- (to-: -�- -�.st.WJ,or)

N ON.(.'O':..NUj. particulA utilizat! frecvent in limbajul logicli pentru a expri­ ma negaţia ( . . no n- P" , .. non -p " ) . NO��!" .l.!l.g'!'!'y. �/_��� ��!-ECTIVI MEDlI (l�t.) termenul medin nn _ e distrIbUit cel puţin lntr-o preiiil$ ll· �v:· '$t�,mplu) . NONSENS 1. Expresie aparentă care nu e construită conform cn regulile

de sens. d ar pare a avea sens prin faptul că imită expres U cu se ns, de ex. : superfragilistic. 2. Expresie in care sint unite noţiuni incomparabile (de


�ORMA ex

..pa.trat roşu " ) , :j. lixopres ia care conţlllC " coutr,\(ltcţll! logic.l (expre­ "ia absurdă", de ex " pătrat rotu nd ") , 4. E x presi a in teligibilă (de ex orice bllblia1ă incoerentă este Ull nonsens) . 1\, po ate fi relativ expresia are sens intr-un do mewu dmcolo de acesta ea ÎŞI pierde sensul. Pe de altă parte, dacă aphcăm regulile de fo nnare a ex­ p restilor CU sens dincolo de anumIte limite ob ţ Ine m u, O ex presie n. nu ene niciodată bIne defiWtă. NOBIlA, propoziţle prescriptivă care expnm;; o obltga!te ( v ) sau o pef'nuste (II.) 86U o interdicţie (v.). Spre deosebire de p ropoziţiile descriptive (cogni­ tive) care au ca scop transmiterea une i informaţii adevărate sau false n. sint propoziţii c are prescrm acte, acţiuni, deternunl limitele comporta­ It\ea:tu1ui nostru · "trebuie să facem . . ", "este permis ,ă facem ", "este lUterzis să fac em . . . " " este permis să facem SJ.U să nu facem . . " Ideea de .. se ascunde sub o terrmnolog l e extrem de bogatd. · pnncIpIU, dispoZiţie, dIrecti vă. re comand are, prescrIpţie, regulă, imperativ. lege, <'on venţie , stipulare, reţetă, model, standard, ordin, prohibiţie, comandă Ş a () actI­ vitate corelată cu n. se n umeş te normală ŞI ea se desfăşoară (sau 6e pre­ s upane că se va d es fdş ura) în ltmitele n. La urmare, II. se dbting dupl tipul de activitate la care se referă ( de ex u. morale, Juridice, politice, de joc) Nu orice prescripţie e"te n., de ex simplele recomandări, cerinţele nu slnt D. Vorbind despre D. morale Engels (A nti-Duhring) remarcă faptul că "oamenii lşi formează concepţiil e lor lUorale porni nd de la relaţiile pracbce " , ele, " relaţiile practice", constItuie izvorul tuturor tipurilor de n. Engels coreleaz ă problema D. cu ac eea a egalităţii �I libertăţii suciale. c'!- proble m a necesităţii şi libertă ţu, îu genere " Nu sc poate yorbi de mora­ l ă şi drep t fără a aborda prob lema aşa zisei vOInţc libere, a re�ponsabih ­ tăţii 01. ului, a raportului dintre necesitate ŞI li bert atc " (II libe rtate deon­

determmat, dar extins{,

,

,

ticd) . F:itnd prescrIpţtl D. (regnWe în sensul de D.) nu sint nici adevărate, nICI false ele sint raţionale sau neraţionale (rezonabile sau nerezonabile). Relaţiile dIntre D. ŞI fapte sint exac t in verse celor dintre propoz i ţ i ile cogm­ tlve Şi fapte (Gh. Enescu, Fundamentele logt ce ale gîndl1'u) în ca zul pro­ poziţiilor cogwtive propoziţiile sînt raportate la fapte (care sînt ll\ ate ca rePH') şi în funcţie de aceea dacă corespund sau nu cu faptele sînt califi­ cate ca adev ărate sau false ; În cazul n. faptele (actele) oamewlor sînt raportate la n. ŞI în funcţie de aceea dacă corespund sau nu n., ele sînt calificate ca fiind corcefe sau mI (II cOl ectitudine) N. sînt determInate de atingerea anunutor scopuri şi ele sint valabile În măsura în care există Interesul (scopul) pe rare-l slujesc şi p e măsura eficienţe i lor Von Wri ght distinge patru tipuri de ac tivităţi normate : a) în relaţhle In terumane (drept, morală), b) creaţia (ştiinţa, arta, tehnica), c) actiVItatea de producţie. d) jocul , distracţia. Ca urmare el clasifică normele în 1) reguli (de joc, de gram atic ă, de calcul). 2) prescripţii de c o mportament (legile statului, cutuIuele, normele morale) , 3) directi ve tehnice (în producţie. in diferite meserii san activităţi practice) . N. la rindul lor pot fi calificate ca raţionale în măsura in care faptel e prescrise sint reahzabile, altfel ele n-an sens. O n. ca aceasta " trebuie să facem gimnastică sărind cite 10 metri in sus" este e vident ireallzabilă şi, deci, fără sens (ner aţional ă) , N, sint formulate în fancţie de posibilităţi (inclusiv posibilitatea de a Impune) . interese, scopnn ŞI, in acest sens, ele sînt conSiderate ca valabile în măsura in care corespund posibilităţil or, intereselor, scopnrilor, Ele sînt , in acel aşi timp, mal mult san mai pnţin eficiente . Realizarea lor presupune legătura dintre scop şi. mijloace şi, deci, considerarea raportului dintre posibilitate şi. liber­ tate. O n, n-are sens dacă interesul care a generat-o nu mai există, ea n u are sens dacă nu există nici un mijloc de a o realiz a sau dacă contravine


NOTA NOTAE EST NOTA REI IP ,

S

legilor obiective tn formularea n. L._ sprlJ mi m, <lecl, pe de o parte, pe ceea ce sîntem lIben să facem sub raput ontLc, pe d e aItă parte. pe ceea ce este în lllteresul nostru. Cum realitatea oferă mal multe posibilităţi de a acţiona noi procedăm la o alegere în funcţie de realizarea optimă (sau ceea ce considerăm optim) a lDtereselor, a scopurilor noastre. A,a se explică faptul că există sisteme de norme concurente, N. devine astfel mijloc, condiţM parţială d e realizare a scopurilor. O problemă importantă este aceea a raportului dmtre conţmutul D. ş' forma de expr,mare.Propoziţiil", deontice sînt adesea sistematic amblgui in ce priveşte conţinutul. Ele Implică ("el puţm treI referinţe a) la voinţa autorităţii (care promulgi'l norma), h) la eXistenta normei (există obligaţia ca. există permisi a ca etc .) , c) l a () aCţiune (sensul imperativ) Evident că nOI n u putem gindi toate aceste semnificaţii deodată. R eferire a la vOlUţă poate fi cognitivă (decla­ rativă) sau prescnptivă ' - ,"oinţa autorităţii (persoană. adunare) este ca (sens cognitiv). consiliul popular dispune ca toţi locuitorii . . . . . are în momentul pro­ (sens presc ri ptlv) O D. ca " trebuie să fac em . mulgării Ull sen, prescnpt1v, dar invocarea ei ulterioară poate să aibă sensul cognitiv de "există D. Cd trebuie să facem " Trimiterea la acţiune coincide cu sensul prescriptiv. Nu se poate face abstracţie totală de vreuna din semnificaţii. de aceea vom vorbi d e inlcnţ,a principală (cea pe care dorim s-o expriru:tm la momentnl dat) ŞI de intenţi a secundară (cea care este doar pre!>upusă. subînţeleasă). '\1. pot fi exprimate in forme ind"aJive sau tmperative . De ex. · "Trebuie să facem P" sau "Fă p '''. N. în formă imperativă au totdeauna ca intenţie primă sensul prescrlpt1v Din această posibilitate de exprimare nu rezul tă că imperativele sînt toat e D. O simplă comandă ca "dă-mi un pahar cu apă !" nu este on. �. ca judecăţi normative pot fi stu diat e din diferite pun cte de vedere (ceea ce von Wright numeşte in lllod nea de c vat componente) a) modul D. (obIigatoClu, permis etc.) , b) conţl11utul factual (faptul prevăzut) . c) condiţia de aplicaţie (condiţiile faptului prescris) , d) autoritatea (care promulgă n. �au poate s-o Impună, po at e să sancţioneze) . e) subiectul (individual sau colectiv) care urmează a indeplim n., f) ocazia (împrej urările spaţiale. temporale, demograi ic e etc. în care urmează a se reali za D.) N. pot fI cl asifica te În dependenţă de ace!>te punLte de "edere ' a) D. de obligaţie. de permlsie, de InterdicţIe , b) pozitive (de ex. : "TrebUIa să inchizi fereastra") , negative (de ex. : " POţI lăsa deschisă fereastra "), mIxte (de ex . . " include uşa şi Iasă deschisă fereastra ''') , c) categorice (condiţia e implic it ă. ca în exemplul " închide fereastra ' " unde se presnpune că fereastra este deschisă şi ea nu se inchide de la s me) . Ipotetice (condiţia este explicită "închide fereastra, dacă plottă ' ' '). d) personale sau impersonale (n. se dă În n umel e unei persoane sau abstract in nnmele unei mstituţii). e) particulare (>e referă la p erso ane date) sau generale (se referă la toţi membrii unei colectivităţi) , f) pentru ocazii speciale. pentru o mulţime fmită de ocazii (determinată în genere) . pentru o mulţime Illdefimtă de oc azii Ca prototip al 11. se iau regulile joculUI dar trebme să di s tinge m între n. care sînt pure con\" enţiJ, n. care reprezintă alegeri între condiţii de realizare a unUl fapt ŞI D. elaborate pe baza legilor ştiinţifice. Regulile de şah sînt pure convenţii, regulile de gramatică sînt alese din nec es i tate a de a comunica (ne putem hpSl de şah, dar nu de comunicar",) , reguIiIe de calcul se Întemeiează pe teoreme mate­ matice, logice etc. (v. regulă) . N OTA N OTAE EST �OTA REI IPS I l �. formulare latwească pentru axzotna silogMmuluz (v.) în traducere în�ealllnă " însuşirea însuşirii este lnsnşl1"ea lucrului însuşi" Luată ad literatii formularea este evident greşită Exem­ plificăm roşul are însuşirea d e a fi culoare. creionul are însuşirea d e a fi


NOTIUNE

255

dar . . . nu însUşirea de a fi c uloare ! DecI însUŞ1fea (culoare) a însu­ şirii (roşu) nu este insuşire a l ucrul ui îns uş i ( creion) N OTA, determinare redată în noţiune (v ) , N. sîn t mai mult sau Dlal puţIn ge ne rale în f uncţie de sferă NOŢIUNE, categorie logic ă constind d intr-un ansamblu de de te rmmăn rllativela-iln o biect real sau presupus De ex 0111, animal, număr, culoare. în logica tradiţională termenii D. şi concept sînt utilizaţi în sens Identic, la fel în l imb aj ul comun, iu semantică termenul concept are nn înţeles mai re strîns (u concept) Expl i caţ i a dată mai sus D. nu este o definiţie

roşu,

riguroasă, ci o caracterizare aproximativă. Uneori se dă o definiţie gnoseo­ logic ă "n. este reflectarea însuşiril o r generale şi esenţ iale ale obiectelor" , or, aceas ta este o definiţie pre a îngus tă. Ea nu ţine seama de D. vide, sin­ gulare şi categonale. Pentru a în ţelege modul îu care logica tratează D. e st e necesar să distingem în tre D. informale (utilizate independent de �istematIzarea logi că) ŞI D. formale (u til izate într-un sens sistelllatic in " " formă pură . De această diferenţă şi-a dat seama şi Titu M aiore scu in teza sa de doctorat Cînd abordăm log ic n. presupune m că avem de a face cu n. în formă pură, în care însuşirile reţInute sînt necoutradictoru ŞI sîut în coucordanţă cu de fin iţi a d a t ă Il. U zua l insă cele mai multe n. SInt infor­ male, adică ele uu dispun de o definiţie precisă, în su şirile date nu sînt totdeauna în conco rdan ţă CII de fllliţia şi între În suşiri există adesea cou­ tradicţÎl X. i nformale ţin adesea de utilizarea persouală şi nu există dOi indiv i zi care s ă posede exact ac ee "'51 n. in for mală D i m potrivă, D. formal ă (pură) este un bun col ec tiv , cel puţIn In "eusul că ea se găse şte expusl sistematic, de ex. în t r o carte, sau este dezvoltată sistematic după anumite reguli l ogice Astfel, în utilizarea fizicie nilo r D. de forţă, de masă sînt D. for­ male, pentru mate m aticieni D. de număr, produs, divinune sîn t u. for mal e �. mforma1e sînt un produ s mal m ul t sau mai puţIn spontan, in tllUP ce n. formal" ,Înt rezultatul unei elaborărl si'>tematice Una este Il. de cal pen tr u 1111 hiolog ŞI alt a pentru cel ce IIU se ocupă de b io logie O altă distin cţ ie utilă pe n tru a delimit a sensul termeuulUi n, este Între n. care vizează acelaşi lucru dlD d ife rite puncte de ved e re una este omul din punct de , eder t! b iolog i c, alta omul di n punctele de \ edere medical, politiC, etic etc. Omul JHo logui ui este om ul dm p unc t de vedere anatomo-fiziologic, al poziţiei in re gnu l animal, al relaţiilor cu mediul ş.a., în timp ce o mul medicu­ lui (:ste olUul considerat c u p r('căd ere din pun c tu l de vede re al stării de !>ănătate. Există o II. u n ifiC.it o are peutru om ) Sau avem un termen Cll o cons te l aţie de D. ? Avem desigur un nucleu comun t uturor ac estor D., c el puţin in sen sul că fiec are recunoaşte ca punct de plecare un anumit număr de d e te rmin ări pe care le recunosc şi ceilalţi Ace-stea ar putea fi în cazul omuluI (pămînte an) ' raţionalitatea, capacitatea de a con strui unelte, în ge neral de a munci capacitatea de a vorbi (în sensul mai general, de a CO Ul ll n i ca in mod logic), bim an itat ea şi al te cîteva. Am putea re pr eze n ta as tfel di versificare a D. d up ă punctul de vedere : -

,

,

o m (biologi cl

om ( et i c

om (politic)


NO'f1UNE

Tot ce es te g�n�fal 'Valabd pentru omul medical este valabil pentru o", şi dar o, comună de o m nn este identic;;' in conţinut cn n. deonl mBdical. Nu pare a fi raţional să considerăm n. de om ca un conglomerat al tuturor n. wm lalerale despre om. O •• fo rm al ă este o sistematizare unilaterală şi chiar dacă există o sistematizare care să coreleze diferite puncte de vedere (in cazul omului ar putea fi antropologia) ea însăşi demne unilatar'aliJ ( pnnct de vedere de un ordin superior). Pentru studiul anumitor rapor­ tUri este necesar să limităm Î nţ elesul termenului de n. la ceea ce este dat pnn definiţie. Uneori expr esI a n. este o expresie definitorie, alteori trebuie să asociem exprt!siei o d efin i ţ ie , În fl Ue, în unele c<izuri trebuie S'I dedncem d efi niţia din �ull1a utilizărilor ex presie i n. Astfd, "patrulaterul cu toate laturile şi toate unghi urile egale ' re dă n. expri mată de pătrat, dar c u�tu l păt"aI, luat izolat, este expresie a n. numai prin utilizăn Dificultatea prin­ cipală in legătură cu termenul n. provine din aceea că : teoretic se considt'ră, de regulă, că există atîtea D. cîte definiţii ; în timp ce in utilizare nu se dis­ tinge intre diferite n. (în sensul in care 'le dIstin ge 111 flefIUlţie) . util i zare a trateazit luunnle ca 5 1 cum am avea de a face CII () �lIIgură II. Toate aceste dificu ltăţi au stImulat logica modernă să prefere categori a senuotică tnmell categOrIeI conceptuale D. O altă problemă a n, este aceea a relaţiilor el cu judecata. Şi n. şi judecata reţin determ ini'lri ale ob I e ctiv e lor ŞI atuncI care este deosebirea ? Deosebinle sint urm:ttoarele a) fiecare JndecaU elementară reţine o singură determinare şi b) fIec are Judecată compusă poate reţine n determinări, in timp ce, c) o n. conţ in e o mulţime nede6nită (potenţial in firu tă) de determinări, d) judecata conţine expliCit o afirmare �au o negare în timp ce n . poate fi concepută fără afIrmare sau negare (51 1U logic ă aşa este, de regulă, concepntă). Vom distinge între forma smte#Jcă a n. in care deternunănle sînt presupnse fără a fi cnprinse Intr-o judecată ş � forma analItică Judicativă (desfăşurată, explicită) în <,ure deter minările SlUt cupn nse in judecăţi şi n. apare ca un "sistem de judecăţi" . Astfel , n. de număr este utilizată sintetic cînd o raportăm la altă n. şi este utilizaH'L analItic, atuuci cînd o descompunem intr-un sistem de judecăţi (număr in acest sen � este tot ce se spnne despre nnmăr in teoria numerelor). Putem vorbi despre utilizarea globala şi u tilizare a "desfăşurată ludicativ" (pentru a o dIstInge de simpla înşir UIre a determinărilor) N. SIntetic ă apare in raport cu J udecata, ca te"me n al judecăţii, n. analitico-Jlldicativă apare c a !iind compus;} dIU judecăţi, ca sistem de Judecătt. Piecare judecată reda as ertI v ( afIrmativ san negativ) o determinare a obiectulUI. în acest sens, n. slUtetică este ° " virtualitate de judecăţi" ( Goblot) , iar n. analitico-Jndicativă este un ansambln (sistem) de judecăţi . Distincţia este e�'ident necesară. Ar fi imposibil ca ori de cite ori formulăm o judecat:l să utilIzăm D. in sens analitic (chiar şi nejudicati v) Spunel� "omul este . arumal raţional", dar n am putea înlOCUI omul cu sbtel11ul de Jndecăţi des­ pre animal şi f'aţional cu sIstemul de judecăţi despre raţioualitate. TrImi­ terea la om se face global, la fel la anillzat 5i l a raţional tocmai pentru C;L ceea ce interesează aci este relaţia între cele trei n. ŞI uu iu tregul lor conţmut. D in punctul de vedere al llmbajulw adoptat în lOgIcă termenul D. �e de lIm bajul abstracţiilor, este o categorie conceptuală, nu una sem.otJcă. Categoria semiotică corespunzătoare ftste termen ul (sau mal larg cuvt1ltul) . Pe ntru a studia in continnare diferite probleme relative la n. vom adopta următoarele supoziţii : a) n. va fi utili zată sintetic şi orice utilizare anahtică se ' a lImita la prezentarea unul tabel de determinări ; b) n. va fi utilizată formal , nu ' 0111 ţme se a m a de utilizările personale, spontane, lnIormale , c) n. \'a li inţelea!>;;' cind nu se prevede altfel ca fiind idenIll vers,

=

=

=


:!57

NonUNI COl\CRf:.TE

tlcă cu nu cle ul n., necuprinzînd şi n, unilaterale (dacă ele există) . Aceste supoziţn pot fi schimbate în funcţie de necesităţile logice. O problemă este aceea a relaţ1ilor n. cu cUllîntul (respectiv cu termennl) . Există CUVin­ te cu semnifIcaţie mdependentă şi cnvinte cu semnificaţie în contextul altor cuvinte Cnvintele snbstantive, adjective, verbe au semnificaţie independentă, în timp ce conjnncţii1e, prepoziţille Ş a au semnificaţie în contextul altor cuvinte Putem spune că om, antmal, frumos, a merge desemnează ceva mdependent de alte cuvinte şi deci exprimă o n., dim­ potrivă şt, sau, de la, ca nu an astfel de semnificaţie independentă şi luate �eparat nn exprimă o 11., lor li se asociază totuşi o n . specifică în conh:x­ tul altor cuvinte 1\"11 definim pe "t separat, dar definim pe si în contextul "a şi b" Este 1111 IllOd pre�curtat ,le a spune II, corespunzătoare lui şi. in realitate avem noţiunea corespunzătoare lUI "a �I b" Există deal tfe l şi llll alt motiv de cele mal multe ori a�tfel de cuvinte işi schimbă semni­ ficaţia in funcţie de context şi chiar dacă pă�trează un rest de �elllllifi­ caţie comună el e�te greu definibil dacă nu chiar lDdefinibil L'neia 11 aceleiaşi II. pot bă-i corespundă mai multe cuvinte, după cum unuia �I acelUiaşi Ul\ Înt pot să-i corespundă ll\aÎ multe II, O croare fOdrte r:\�­ pîndită este dceea de ,1 se conchide de la identitatea de cuvînt (de la OIllO­ nimie) la Identitatea de n., o alta constă în a conchide de la diferenţa de cuvinte la diferenţa de n. O Il. poate fi exprimată printr-un singur cuvint S,IU prin IIldi multe cuvinte Astfel "animale ierbivore ", "număr diYizibil cu doi", "paralelogranlUl cu toate laturile şi toate unghiunle egale" sînt exemple de D. cu expresia complexă. Simplu sînt exprimate noţiunile om, ammat, a/ bastnt. Modul în care este exprimată n. poate prezenta un anumÎt interes, mai ales dacă însuşirile reţinute sînt definitorii. în mod tradiţional n. are două laturi conţinutul ŞI sfera (v conţinutul noţiuni" sfera noţiunii) Abordarea n. din punctul de vedere al conţinutului şi sfereI trebuie să ţină seama de unghml de vedere din care considerăm n. formal sau neforma!, sintetic (global) sau analitic (desfăşurat). Aşa cum s-a preCIzat. în logică studiem n. in . . formă pură " în epistemologie tre­ bUI e să avem în vedere D. în toate Ipostazele Reţinem, infine, că nne­ Ori pnn n. se înţelege pur ŞI Simplu proprietatea alteori funcţia propoziţio­ nald. (Frege) ' ()TIU 1\ I ABSTRAtTJ<:, noţmlll car" nu pot fI corelate cu ce, ,\ care există ca atare in realitate, ca lucru de Sine stătător (bau ca clasă de lucruri concrete) . Ele sint rezultatul tratăni proprietăţilor ca ŞI cum ar fi lu­ cruri Gramatical aceasta se produce de ex prin substantIvlzarea cldjec­ tivelor (roşu - roşeaţă, egal - egalztate, drept - dreptate ş.a.) 1\" u exis­ tă dreptate, egalitate ca lucruri concrete san ca clase de lucruri concrete, ele sint doar proprietăţi ale unor astfel de lucrun Proprietăţile sînt in ace�t fel rClftcate. Cuvintul abstract de aCI nn trebuie confundat cu ab�t"a&­ tul în genere în genere once noţiune este abstractă (în sensul că e formată prtn abstracţu) . Şi noţinnea om este abstracţie, dar în sensul exact descris aCI ea nu e�te n. Q.

�OTIUlH CONCRETE, noţlUDI care se aplică la lucruri care există (sau se presupnne că eXIstă) ca atare in realitate (sint exempIificabIie in experi­ enţă). Astfel PariS, Bucureşlt, M,hat Emtnescu, om, ammat DeşI omul nu există c a atare în realitate, el totuşi se aplIcă la lucuri care exi�tă ca atare (tndlvIZh umarul. N. e. se opun noţtun,lor abstracte (II.). NoţiUnile concrete redau o total t ta te de de t er mtn ăn , cele ,lbbtracte numai determinări separate (reifIcatel


NOŢIUNI CONTRARII

258

N OTn;NI CONTRARII, noţiuni care se definesc prin note inverse (de ex. alb - negru, forţiJ centrifugtl - /lwţtl cenh'ipetă, alracţie - respingere) N. ('. nu se confnndă cu cele contradictorii (v. rapOYtul'ile de conţinut între nOflum) . Putem reprezenta diferenţa dintre ele dm pnnctnl de vedere al sferei astfel

Cont radi ctori i

l\ OŢlUNI GENERALE, noţ\UnLle care se aplică (sau presupun Cd se

aplică la o clasă cu mai mult de un element, cu condiţia că orice notă a noţiunii poate fi aplicată fiecărui element al clasei. Noţiunile om, număr, pădul'e sint n. g. Tot ce este valabil despre om, în genere, este valabil şi despre fiecare om (individ uman) in parte. Noţiunile cu cel mai mare grad de generalitate se nnmesc categor" 10gJ ce. Astfel, sint categorule ontologiei (formă, conţinut, spaţiu, timp ş.a.) Noţiunile cu cel mai mare grad de generalitate Intr-un domeniu al cunoaşterii se numesc categonite dome/ttu­ lut (de ex., categoriile matematicii, categoriile fizicii, categoriIle teoriei cunoaşterii ş.a.). N. g. pot determina clase de diferite ordine ŞI in dIfe­ rite domenii. Astfel, pntem avea clasa mamiferelor in nniversul indIvizI­ lor, clasa tnturor claselor de numere în universul mulţimIlor, clasa pro­ prietăţilor spaţiale in universul proprietăţilor ş a. Roşu este o noţiune de ordinul unu, ea se aplIcă la indivizi (obiecte) fizice, culoare este o noţIune de ordinul doi, ea se aplică diferitelor culori In parte (roşu, galben, albastru etc.) , dar nu indIvizilor la care se aplică aceste culori. Nu tre­ bwe să se confunde ordinul noţiunii cu genel'alitatea noţiunii Roşu ŞI cu.loare sint proprietăţi de diferite ordine, ele nu se pot aplica aceleIaşi clase, dar mamifer şi vertebrat sint proprietăţI de generalitate diferită de acelaşi ordin, ele pot fi aplicate aceleiaşi clase (de indivizi, în acest caz) NOTIUNI IDEALE, sint introduse prin procesnl de idealizare, ca limită gindită a nnei tendinţe reale. De ex. : "corp perfect solid", " gaz perfect " , "corp perfect elastic " , " punct euclidiau", "punct material" (în mecamca clasică) . în limbajul reific se spline obiect ideal (v) . Poziţia logică a aces­ tor noţIUni nu este clară. Ele par a fi noţluni de sferă vidă ŞI Încă logi C ) vidă şi totUŞI nu rezultă dificultăţile la care ne-am aştepta. (v. tdealtzare . NOTIUN I NEGATIVE, sint formate prin negarea notelor definitorÎl ale unor nofium pozdwe (v.). Exemplu : non-om, non-mamtfer, tnegal, ne­ drept. Nn trebnie să se creadă că orice cuvînt format cu prefix negativ exprimă o n. n. Astfel neom nn exprimă noţiunea non-om ci noţiunea cu sens moral negativ - " lIpsit de omenie". NOTIUNI POZITIVE, sint formate prin definirea cu ajntorul unor determmări date. De ex, om, mamifel', egal, dl'ept. Ele se opun noţtumlol'

negatwe (v.).

NOTIUNI RELATIVE (sau cOl'elative) . noţiuni care sint definite una relativ la alta. De ex., ptll'inţi şi copii, Sol ŞI solie. NOŢIUNI SINGULARE (indiVJduale) , noţiunile care se referă (sau pre­ snpun că se referă) la un obiect (fenomen etc.) individual sau la singularităţI. Astfel ; Mihat EminesCfl, oraşul Bucureşti, Zeus, Centaul'ul SÎnt n. s.


NUMAR ALEATOR

%59

(singulare) . Primele donă sînt nell,de celelalte donă sint lIide (II.)

între D. s. un loc aparte ocupă Doţiunile care se referă la singularităţ . ce nn sint îndivizi in sensnl obişnuit al cuvintului, ci entităţi (sau conglo­ merate de entităţi) care satisfac proprietatea de unicztate. Astfel avem : a) D. 8. colective, b) D. s. abstracte, c) mulţimile luate ca unu. N. 8. colective sînt conglomerate (agregate) de indivizi (care pot să nn aparţină aceluiaşi gen.) . De ex., Pădurea BănelZ$a, B,blioteca din A lexandria. Pădurea B ăneasa constă din toate plantele care se află pe o anumită porţiune de teritoriu (bine localizată) , iar Bibhoteca din A l ex andri a a c onstat dm toate lucrările, clădirea şi alte lucruri care formau părţile acestUI agregat. N. s. abstracte se referă la abstracţii tratate ca singula­ ntăţi, de ex. numărul zero, mulţimea vidă, numărul dot. Există un singur număr zero, o singură nIulţime vidă, un singllr numdr doi. Ca exemple de mulţmll luate ca Unu avem mulţimea tuturor numerelor naturale " , "n11\!­ " ţImea tuturor numerelor pare". Este Important să distingem D. s. co lective de noţIUnile indIVIduale (in !>ensul strict al cuvintului) şi de noţiUnIle generale O noţiune colectivă se poate asocIa CII alte D. s. pe hDla rapor­ tulUI parte/întreg, in tilILp ce intre noţIUnile generale 5i II. s. corespun,lă­ toare raportul este de ordonare XQTIUl\'1 VIDE, noţiuDl cărora nn le corespunde nimiC în reahtate De ex . . " oamenii de pe planeta Marte " , "cel mal mare număr natural " l:.xistă două feluri de noţiuni Vide D. factual vtde şi D. logIC lIide. Xoţiu­ wle factual vide sînt vide într-un anumit moment, dar nu in principiu. _-\stfel "oamenii de pe planeta Marte" este o D. \'. in momentul de faţă insă nu este exclus ca în trecut planeta Marte să fI fost locuită de oameDl şi, de asemenea, nu este exclus ca în viitor ea să fie locuită de oamenI. Xoţiunile logic VIde sînt contradictorii prin definiţie şi deci imposibil să le corespundă ceva De acest fel este noţIUnea "cel mai mare număr natu­ ral". 'l', constantă (sau particulă) logică. Poate fi utilizată diferit : a) asociată Cli copula este, poate forma propoziţii negative ( .. S nu este P"), b) in combinaţIa "nu este adevărat că . . . " exprimă negaţia propoziţiei ( " nu <:ste adevărat că (,tOţI 5 sînt P." ) , c) pusă În faţa propoziţiei exprimă negaţia stării de fapt exprimată de propozIţIe l"nu tOţI oamenii sînt IUun­ citori") Corespondentul lui "nu " în alte limbI este asociat şi cu termenii, lDsă în limba română astfel de constrncţii sint artificiale (de ex "nll om " , nu alb") 5i e ÎnlOCUIt cu latinescul "non (de ex. · " non-om " , non-.tlb" ) . " Este utilizat şi i n combinaţie cu variabile (de ex. "nu p sau n u q"

'C1L�R ALEATOR, număr asociat unui eveniment întîmplător. COll!>Ide­ răm experImentul aruncării cu 3 monezi FIecare monedă are două POSI­ bilităţI stema (S) şi cifra (e). Numărul de steme este un număr aleator. Formăm tabelul cu evenimente �i cn nnmărul de steme posibile in fiecare caz S S S s C c C C

S S C e S s C C

S C S e S e S C

3 2 2 1 2

O


l"UMAa ALEATOR

260

Numărul de steme va fi O sau I sau 2 sau 3. Vom spune despre numărul de steme că este "mărime aleatoare" (respectiv " variabilă aleatoare") care poate lua valonle O, 1 , 2, 3. Prin urmare, dacă x este o variabilă aleatoare valorile ei vor fi numere aleatoare asociate evenimentelor unui �paţiu de evenimente, adică numerele X I ' X" • • X" In exemplul nostru XI -- O, X2 = J , x, = 2, x, = 3. Fiecare număr aleator are o frecvenţă Astfel O apare o dată, l apare de 3 ori, 2 apare de 3 ori, iar 3 apare o dată In raport cu variabila aleatoare se defineşte juncţla de probablhtate. lJefinIţIa acestei funcţii se dă pe baza tabelultu distrIbuţiei probabilităţIlor. Tabelul probabilităţilor are forma nrmătoare

unde

XI ' .\2

X,

X I ' X2' X" /( XI ), /( x2) • /(x")

X I /( x) 1 sînt

D. a.

• • • ,

pe care le poate lua ca valori

/(x)

X

Iar

K

/(x)

e�te

K este frecvenţa m unUI număr (sau "coefICientul de probabilItate "), iar m numărul de evenI­ mente din S Pentru exemplul nostru, tabelul are forma prooabIlItatea corespunzătoare numărulUl

Xl

O

FI

f(x) I

-

3

2

1 /8

=

3

3

3/8

3/8

1 /8

(unde F �te frecvenţa) . Defmim noţiunea de medie a alegerii

( 1)

T

X.

x,n,

X2 • "2 n2

+ + "1 + = -=-_.:..._ .c -=----=c_____=_...: + + 111 +

n,

�x,n, (n, reprezIntă suma frec� 11,

= ---

venţelor) .

n, �n f

�x. --

(2) (3)

X

l

=

-

n

=

l

�n.

--

�x,n.

Deoarece

�11.

=

n,

formula devIne

� x,n,

11, 11

Raportul - depinde de alegere, el este numaI aproximativ egal cu

Dacă însă pentru orice

J

n,

avem -

n

=

f(x,)

/( x,)

atunci vom defini o nouă

noţIUne, anume " aşteptarea matematică " ( .. speranţa matematică " ) sau "valoarea medie", precum şi noţiunile . .. amplitudine". " abatere medie absolută", .. dispersie" şi .. abatere standard". Notăm valoarea medie (aşteptarea matematică) cn E(X)

(4) E(X)

=

�x.f(x,) .

Spre deosebire de

X,

E(X) nu depinde de alegere .


:!fil

NUMAR CARDINAL

este definită Amplitudinea variabilei aleatoare - simbollc A (X) astfel A (X) max (Xl' . . " xn) - min (xv · . xn) (6) DolCă notăm cu IL valoare medie adică E(X) = IL, atunci J. (fX - IL/) va reprezenta abaterea medie absolută a lui X. (5)

=

(7)

Dispersie

D(X) = E [(X

- IL)2 ]

t

=

E (x, - IL)· f(x,) .=1

Abaterea standard a lUI X notată c u a" şi deflDItă a" .jD(X) , de unde rezultă invers că D(X) = a;.:\Ul\IĂR CARDINAL t. (în sens intuitiv) proprietate cantitativă a une i mulţimi de obiecte, 2. (în sensul lUI Prege şi Rnssell) N. e. al unei mulţimi :\{ este totalitatea mulţimilor echivalente cu M (v . Ech�lIalenţa mulll­ mdor, LogJcism). în acest caz operaţiile între numere se vor traduce în o peraţii între mulţimi. De ex. 2 + 3 5 se va traduce prin (a E 2 , b E 3) => a U b E S , 2 x 3 = 6 se v a tradnce prin (a e 2 , b E 3) => (a x b) E 6 unde X este produs cartezian între a, b). (8)

=

=

=>


o

O, 1. simbol pentru judecăţile particular negative (.. Unii S nu sint P"),

:!. Simbol pentru operatorul oblJgaţiei (v.)

OBIECT (în sens logic) tot despre ceea ce putem vorbi fără a ne contrazice (sau, cnm se spune uneori, cn sens legic). în particular o. vor fi indivizi i.eu",m.eue. ţ>'t"'ţ>'tietăţi, e()u��t�, �e'tee�ţii, �mne. o. e.bstte.cte, o. ideale ş.a Uneori în loc de o. se spune entitate, pentru a evita legătura cu utilizarea în sens fizic, prea restrinsă. Interesant este că o. este şi mul­ I�mea v,dă (v.) care este denumită printr-o expresie contradic/(lrJe sau pur şi simpln cu o expresie căreia nn-i corespnnde nimic in realitate. în acest sens, trebnie să distingem între ceea ce e denumit în mod contradictoriu şi a vorbi despre contradictoriu. Se poate vorbi despre contradictollu Ură a ne contrazice. Matematica vorbeşte despre mulţimea vidă fără a se contra­ zice. Prin expresia "actualul rege al Franţei" presupnnem că desemnăm ceva, dar în realitate nu desemnăm nimic. Pentru teoria mnlţimilor şi logică (in vederea unor generalizări) este de preferat să spunem că expresiei ii corespunde Iln ,ndivid v,d, sau că expresia are o extensiune (multi/ne ) vtdă. Analog stau lncrurile cu diferite genuri d e obucte ,deate ( r. Obiect ideal, 1deahzare) . OBIECT ABSTRACT, orice proprietate (însnşlre san relaţie) considerată ca obiect de s,ne sttUător (independent de obiectele cărora le aparţin), la fel orice grup de asemenea proprietăţi (care nu coincide cu totalitatea proprietăţilor unUl obiect real) . O. a. tipice sînt numerale, valorile logice, proprietăţile lnate ca valori ale variabilelor predicative. Introduce­ rea o. a. în logică şi matematică, tn mod exPliett, a fost făcută de către GottIob rrege. Totuşi problema a apărut încă din şcoala pitagoreică �I, in genere, în cadrul doctrinelor despre universalii (lncepînd cn Platon) . O: a. nu trebuie confnndat cu conceptul. Pentru Platon (ca ŞI pentru Pltagora) numărul are existenţă reală independentă (aşa cum au, să zicem, mdivizii, deşi existenţa lor este de alt gen decit a indivizilor). Pentru nominaIiştii extremi (Roscelin ş.a.) in realitate nn există decit indivizii fl:dci şi orice existenţă a universalului este negată (deci, este negată impli­ cit şi posibilitatea o. 8.) Nominaliştii moderaţi (conceptna1tştii) admit eXlstenţa conceptelor (în gîndire), dar din doctrina lor nn decurge posibili­ tatea admiteriI o. 8. Frege le consideră obiective in donă sensuri : 1) sint ceva ce nu depinde de limbaj, neidentlce cu conceptul, 2) sint un "bun comun mnltor oameni". A. Church introduce printre o. a. judecă­ ţile, clasele, funcţiile şi este de acord cu obiectivitatea lor în sensul lui Frege. Acest punct de vedere este nesatisfăcător, chiar dacă nu este vorba de un realism în sensnl lui Platon sau Thomas d'Aquino. în fond apare o lume a obiectelor a. între realitatea fizică şi cea conceptnală Adevărata filosofie a o. a. este nrmătoarea : o. a. sint introdnse d,n necesttăţi ffU­ todologice In virtutea prmcipiului că noi putem vorbi despre annmite pro­ prietăţi (sau grupe de proprietăţi) ca ş' cum ar avea existenţă independentA (din necesitatea cunoaşterii de a ,dealiza) , cu alte cuvinte, în anumite

fhld.,


OMOMoaFISM

2113

ştim

că nu­ contexte putem face abstracţie de legături altfel esenţiale. mărul ca determmare a mulţimilor de obiecte este esenţialmente legat de mulţimi (nu există indepeudent de mulţimi) şi totuşi în coutextul aritmeticii putem face abstracţie de această legătură şi discuta (logic) despre numere ca ş� cum ar fI i1fdepe1fde1fte de mul/iml. Trebuie să acceptăm insri. ca pe un principiu fundamental aserţiunea : ceea ce poate fi tratat distinct, iMepe1f­

de1ft '1fIr-u1f a1fumit C01ftext nu t1fseam1f4 c4 există separat, iMepe1fdent î1f realitate şi n,c, 1fU poate f' tratat separat r1f orice conte xt . Fără acest prin­ cipiu metoda o. 8. degenerează In realism (platonic).

OOlEcr IDEAL, obiect conceput prin gîndirea limitei unei tendiuţe reale. tendinţă care în realitate uu atinge niciodată această limită. Ex. corp perfect omogen, punct euclidian, dreaptă euclidiană. Tendinţa este exprimată printr-o propoziţie de forma " . . . din ce in ce mai . . . " De ex., în realitate corpurile sînt din ce în ce mai omogene sau dm ce in ce mal asemănătoare sau

din ce tu ce ma.i d,ifetite. Obiectul idea.l u.u se <;Qu.fuudil.

CII conceptul ideal. De ex., despre dreapta euclidiană putem spune că are o

singură dimensiune in timp ce despre conceptul ideal corespun7.ător nu putem spune acest lucru (v. Idealizare) .

OBLIGAŢIE, situaţie in care se află o persoană sau un grup de a face ceva constrins de o normă (numită no"md de obl'gaţie), promulgată de o autoritate. De ex. o. de a plăti un impozit. O. de a nu face ceva este iden­ tică cu '1fterdiclza de a face acel lucru. De ex. : "este obligatoriu $ă 1fU cir­ culi cu maşina pe stinga" este sinonim cu "este interzIs să circuli cu maşma (v. Log,ca deonticd) . pe stinga" OBVERSIUNE, 1) operaţie in silogistica judecăţilor A , E, 1, O, care con­ stă în introducerea, eliminarea sau deplasarea negaţiei, 2) inferenţă validă bazată pe o. tn logica tradiţională o. este sinonimă cu "inferenţă validă bazată pe o. " . Termenul o. a fost introdus de logicianul englez A. Bain, dar legile de o. au fost cunoscute in parte de către Aristotel. Există urmă­ toarele patru legi de obversiune :

( 1 ) TS - P c> T + P (2) TS + P c> TS - P Trecerile inverse la

( 1 ) , (2)

( 1 ) TS + P c> TS -

(3) U 5 - P c> U 5 + P (4) US + P c> US - P şi

fI c> TS

(3)

presupun aplicarea dublei negaţii :

- P

(2) TS - P c> TS + Pc> TS + P (3) US + P c> US - P c> US - P c_orespondenţă între două sis . ii asociem un astfel că : a) fiecărui x E S, x' E S., b) fiecăreI operaţii O E S, li asociem o operaţie O' E S. (operaţtile sint de acelaşi număr de argumente). c) fiecărui predicat q. E S, ii aso­ Ciem un predicat q.' E S. (cu acelaşi număr de argumente), astfel că : O (x" . . . xn) = O'(x{, x;) , q.(x,. . . x,,) = q.'(x{• . . . x.) . Dacă avem o structură numai cu operaţii atunci vom omite condiţia pentru predicate

Oll�MORFISI\I

teme de obiecte

(sau

HOMOllORFISM).

S1' S.

(relaţii) . Conruţla pentru operaţii se poate defini ţinînd seama de notaţia unaginii ( = f(x)) . O (x,. x,,) = O' (I(x,) • . . f(x,,)) . Se mai poate scrie ŞI astfel : f(O(x,. . xn) = O' (I(x). . fIx,,) (adică imaginea operaţiei O este identică cu operaţia O' a imagimlor) . Exemple de omomorfism : a) Omomorfism

de

grup : grupul

logic ( P.

=)

este

omomorf cu

( P. tF ) (v. grup), b) omomorflSm îu tre grupul logic şi Inelul logic.

grupul


ONTOLOGIA LUI LESNIEWSKI

ONTOLOGIA LUI LESNIEWŞKI, parte a sistemulUI de logică a lUI Le�­ nl�ski bazată pe prototeticit (v T; conţine o relaţie nouă 6 , o aXIOmă şi citeva reguli. Simbolul , , 6 " corespunde cuvîntulUI latinesc est (esteI Fraenkel ŞI Bar- Hillel consideră că semnul lui Lesniewski este un agregat de trei sensuri ' apartenenţă la clasă, incluziune şi identitate, dar exemplul dat Socrates est homo " nu este convingător. căci În acest caz nu t!ste " vorba de clasa homo ci de semnificaţia mai complexă (neutrit în raport cu extensiunea şi iutenslUnea) a termenulUI geueral homo. La stînga semnulUI " se află uu nume mdividual nevid pentru ca propoziţia să poată fi ,, 6 adevărată. altfel este falsă (de ex. ; "Hamlet est albus "). OPERATOR, semn pentru operaţie. De ex. • -. &. V. 3. V. în logică avem mai multe feluri de o. : a) o. pentru termeni (ex. o. descrlpţl ei , o. abstracţiei) . b) o. propozlţionah ( - . V. &. -+ ş.a ) numiţi ŞI fU1fctOYl sau conectorz , c) cuantoril (V, 3 ) . d) o. mod ali (O . O). OPERATOR PRINCIPAL, ultimul operator aplicat în construcţia mduc­ tlvă a uuei formule Astfel formula (P V q) -+ r este constituită succesiv : p, q (postulăm variabile) p V q, .- (introducem diSJuncţia şi postulăm pe r) (p V q) -+ r (introducem implicaţia) în aceasta formulă -+ este o. p. în formula (p & q) & r & (s v r). O. p. este & o. p. poate să nu fie utilizat În etapele antenoare ale construc­ ţiei formulei In formula (P V q) -+ r implicaţi a (-+) nu apare anterior dar in formula (p & q) & r & (s V r) operatorul & apare şi anterior, anume in (p & q) . OPERATORI SILOGISTICI, .operatorii a, e, 1. o mtroduşi de Lukasle­ wicz pentru propoziţiile A. E, 1, 0, respectiv SaP. SeP, S,p. SaP (v. SiloglStlca axiomatizată) OPERAŢIE, aplicaţie din A x B în C (unde A . B, C sint mulţimi şi A x B produs cartezian) . Dacă A , B. C sint identice cu M atunci avem o. în sensul obişnuit (numiti! o. l1fter1fă) M x M ...., M Dacă B şi (, sînt identice cu M atunci avem o. ext81'1fă de prlmul tlP A X M ...., Jl,1. Dac:! A ŞI R SÎnt Ideutice cu M. atunci avem o. exter1fă de tIpul dOI M x M ..." C. Funcţiile de adevăr sîut o. Interne. funcţiile propoziţionale sînt o. externe (de ex " x > y" reprezi ntă o funcţie de tipul M X M ..." C, unde .'II x .'II este o mulţime de cupluri de numere iar C mulţimea valorilor logice) OPERAŢIOlliAL J. Ceea ce poate fi determinat priu operaţii (de ex con­ ceptul de lunglme este O., la fel orice concept care desemnează propnetăţi măsurabile, precum şi propnetăţi de comportameut în anumite situaţii date) 2. Ceea ce poate fi efectiv utilizat, fără intermediar (de ex . . con­ ceptele empirice ih raport cu cele teoretice. couceptele coucrete în raport cu cele abstracte) . Termeuul o. în sens de efectiv utilizabil " este totuşi " relativ la context, ceea ce într-un context este utilizabil efectiv in altul poate avea nevoie de noţIUni intermediare. Primul sens al cuvîntului o. interesează logica atunci cind studiază conceptele dispozlţlOnale ŞI defim­ ţiile O•• al doilea sens interesează epistemologia. OPPOSITIO CONTRADICTOHIA (lat. "opoziţie contradictone" (v pit­ t.-at loglC) OPţOSITIO CONTRAR IA (lat "opoziţie contrane " ) (v. contrarietate) . OPPPSITIO SUBCONTRARI,A (lat opoziţie subcontrarie " ) (v subcon­ " trarietate) . ORGANON, denumire dată de succesorii lUI Aristotel ausamblului opere­ lor de logică scrise de acesta Graţie lui M. Florian dispuuem de o traducere


ORG '\ 'IlON III Im:ba romand a (),ganOtlu/uI, în!>oţltă d e excelente comentarn (uvin­ tul o. Înseamnă în limba greacă "mstrument", "mijloc " , "metodă" Operele cuprin-e în acea,tă colecţie sînt CategoriIle (Ka-lJyr'pta,) , Despre l1fterpretal'e ( I l � ;: " E;:J. e'J < b � ) , Analitica primă ( ' Av a ),u '"""" 1<Fo-:epcx), A nalitica secundd ( 'A';"}:'-:""" u,, -epcx). ToPica (1" ,-:,,,<» , şi Respmgeyile sofistice (�o�,,,'",,x(;l ';i.:-:Z" '. i . Categoriile se ocup;' de termeuI, dar termenul de " categorie" (ŞI cazurile particulare) este abordat cînd îu planul outologic, cînd în cel umccptllal cÎn(1 în cel lingYÎstic în general, Aristotel oscîlează în Jurul Hce,t.. r trei puncte de , edere. Un loc aparte îl ocupă în această lucrare 111O(luril", in care �e poate pr<'dica despre ceva, fapt care i-a făcut pe unii filosofi de 11Iai tîrzIU i'ă cre<ldă că această lucrare este o teorie a predlcamen­ /,.1", �liRca Florian împarte lucrarea în trei părţi : teoria antepredlcamen­ tdor ( \' antepredicamente). teoria predicamentelor (v predtcamente) şi teona postpredicamentelor (\ postpredtcamente) Cartea cuprmde şi supo­ ziţiile filo�ofice pe care ArIstotel le aşază la baza logicii Lucrarea Dropre mtel prdare �e ocupă cu �tudiul propoziţitlor (modurilor de enunţ<lre), a l t­ fel �pus , , ' orbirea declarativă" (1,6YfJ� cx:-;0 9 "';" "0<;) Un loc aparte îl ocupă în această lucrare viitorii contingenţi (v ) AnalitIca prmtă studiază silogismele. ŞI aCI Anstotel oscilează în jurul a trei concepţii în l egătură cu raportul dintre subiect ŞI predicat . extensivi�lll, comprehensivisln ŞI POZI­ ţi a neutră (predlcatnl este cuprins în �ubiect) Temele principale ale 4 na­ litiat prIme sint . a) figurile şi modurile siiogisltluiui ( A ristotel reţine (loar trei figun, deşi era conştient de existenţa celei de a patra) , problema cOl1ver�iunii, b) metoda de descoperire a termenuhu mediU cînd este dată concluzia, c) reducerea modurilor. Silogismelf' lJlodale sînt studiate după modelul silogismelor asertorice Ultima parte a cărţii abordează siloglsme aplicate (inductia, exemplul, reductia, obiecţia ŞI silogismul ri/oric) . A nah ­ I!ca s-cundă are ca temă principală demonstraţta (pe care Aristotel o deo­ ,eheşte ,le siloglsm) Ştiinţa se bazează pe demonstraţie, este apodlctlcă, in ti!llp ce gindirea bazatii pe probabil este dialectică Demonstraţia decurge tu form,l siloglstică. DemoJlst(aţla are ca mijloc auxlltar definiţia De ase­ menl'U demonstraţia se bazează pe inducţie în sensul că mducţia ÎI procurl principii evidente TOPlca studiază În principal dialectica, gîndirea proba­ biluhu, deşi Aristotel revine in parte asupra temelor principale ale logicii ahord.lte in celelate cărţi Dtalectica este a�ociată cu RetorIca Dialectica <-ste tehD1ca disputelor, retorica e�te .. tehnica discursurilor" Respinge­ rii.. .,oflstiu analizează erorile de raţionament (paralogisme, sofisme) . le tldine�te şi cl asifică Probleme de logică sînt abordate de Aristotel şi în alte lucrări ale sale (Metafizica, Ftzica, Mişcarea animalelor, l:.tica Nico­ mahică) Se poate spune că Aristotel a dezvoltat sau iutuit aproape toate temele logicit de mai tirziu (inclusiv cele de logică aplicată) , din acest punct de vedere lucrarea sa rămîne megalabllă


p

PARADOX, contr",dlcţie fqrmală rezultată din încălcarea unor SUPOZlţti (tacIte), necunoscu{e incă, relative la lilJlitcle de ap1icahjlitate (, alabili­

!

tate) a unor concepte, prO OZitu, formule. Pe lingă această caracterizare generală in IOgl'Ca" tioţlunea e p. este defmin mai restrins în diferite felun : a) contradicţie formal ă intre două propoziţii p şi q astfel că q ;: P şi P f- q ŞI q f- p, b) contradicţie formală demonstrată Într-un sistem teoretic, c) ţie formală irezolvabilă c.!!..:tIl,i.Î�� contra !Q.!� etice de care ştimţa dlspune la un moment dat. Pal'adoxul lui Grelling ( v) se incadrează exact in prima definiţie, paradoxul lui Cantor (v.) se Încadrează in a doua defI­ niţie dar poate fi reformulat şi independent de sistem (in sensul a)), paradoxele fizicii clasice se încadrează în sensul ci. Evident, orIce p. in sensul a) poate fi formnlat în sensul b) şi orice p. in sensul a) şi b) este p. în sensul c) P. logic in seus strict va fi defirut conform cu a) sau b) . Formularea a) este cea mai tare. ea presupune o aplicare bilaterală a raţio­ namentului prm absurd (presupunind p rezultă p şi presupunind p rezultă P), în acest fel fIecare propoziţie "trece" in contradictoria sa. Există şi o noţiune mai slabă de p. : contradicţie rezultată din aplicarea intuitivă ma­ decvată a unor legi sau moduri de raţiouare. Astfel, aşa-numitele p. ale zmphca/IBI materIale (v ) rezultă dm aplicarea anumitor reguli de corespon­ denţă ale funcţiei de adevăr la propoziţiile intuitive, p. luz ZenOfi rezultă din incercarea de a epuiza pnn procesul de diviziune matematică �ea (fizică) . în fine, în alte CazurI contradlcţta rezultă din sinIplă depăşire a limitelor de aplicabilitate. De ex . paradoxul lu, George al IV-lea (v.) rezultă din extinderea substituţiei de la propoziţiile cognitive la cele mte­ rogative fără vreo modificare a regulilor Există şi cazuri in care avem doar p. aparente, rezultate din msuficienta analiză logică a raţionamen tului (v. pseudo-paradoxul mlnc$1,osulz4i). Noţiunea de "pseudo-paradox" de­ pinde de ce acceptăm să numim p. î1J SB1JS strict. Dacă soluţia se poatt.' da printr-o simplă analIză logică este de presupus că e mal potrivit să , orbim de o simplă contradicţie formală (dacă nu cumva şi aceasta este apareută). Termenul de p. logic este uWlzat de Remsey în opoziţie cn p. ep.stemologie. P. logIce utilizează categorii logice ca mulţime. predicat ş.a., în timp ce p. ep,stemologice utilizează categorii epistemologice ca adevăr. desem1Jare ş a. Alţi auton au înlocuit această clasificare cu dihotomia p. sJ1Jtactiee - p. semantice. Aceste clasificări prezmtă interes pentru diferite capitulL ale metalogicii.

PA IlJ\DO XF' i: BB8N"It't'!. Anumite aplicaţii ale formulelor logIce gene­ reă zultatele care coutrazic intuiţia şi care, din această cauză, au fost denumite paradoxe. AH Ross (filosof al dreptului) a descoperit că fonnula Op -+ O (p V q) duce ' iii -un-asemenea exemplu intuitiv inacceptabil ca "dacă este obligatoriu să expediezi o scrisoare atunci este obligatoriu sA expe­ diezi scrisoarea sau s-o arzi" Al doilea paradox aparţine lui Prior ("pa­ radoxul obligaţiei derivate") ' lOi'rifiilii'''Fp -+ O (P --+ q ), adică dacă este interzis p atunci dacă e obligatoriu p, este şi q. Cu alte cuvinte săvîr"

ftre


PARADOXUL ANTROPOFAGILOR

267

�trea a ceva interzIs ne obhgd la săvîrşirea a indiferent ce" Tot Prlor a for­ mulat "paradoxul bunului samaritean" (după pilda din Biblie) pornind de la formula Fp -+ F(P & q) (dacă o stare de lucruri este Interzisă atuncI e�te Illterzisă şi conjuncţia ei cu orice altă stare de lucruri) , Aceste paradoxe ,trat:i cii sîut necesare auumite limitări ale aplicării formulelor lOgice la cazunle deon tice PAl\ ..\nOXm,E IMPLICATIEI MATEBIALE. Implicaţia are unele tr1l.­ sături care sint aparent paradoxale şi care sint redate iu următoarele două formulări eliptice a) falsul Implică orice, b) adevărul decurge dlll orice, Ca urmare, se consideră că propoziţiile implicative de felul celor de mai jos sînt adevărate (deşi între componentele lor nu există uici o legătură de seus) ( 1 ) dacă 2 X 2 = 4 atuuci NewYork-ul este oraş mare, (2) dacă 2 X 2 = = 5 atuncI Napoleon a invllls l a Austerlitz, (3) dacă 2 X 2 = 5 atunci Parisul este capitala Angliei Aspectul paradoxal apare din cauza extinderii nepennise a regulilor implicaţiei materiale la implicaţiile de sens Adevărul Implicaţiei de sens presupune o legătură necesară între informaţia celor două propoziţii componente (de ex" in "dacă fierul se încălzeşte, atunci el se dilată", există o legătură necesară între incălzlrea fiernlui ŞI dilatare a lUi) . în timp ce, in cazul implicaţiei materiale avem o simplă corespondenţă univocă Intre 1S - tuple de valori logice şi valori logice

< \ , " > ...,, V < v, r) ...., I <r, v) ..." v <,, 1) ...., v

O expheaţle a trecerii iliCite de la valorile logice (v, 1) la pyopoZlţule cu se1SS (purtătoare de vlllo ri) stă şi in caracterul elipt,c al celor două formulări, a căror interpretare exactă, in raport eu propoziţiile, este următoarea a) din propoziţii false se pot deduce atît propoziţii adevărate cît şi propo7iţit false, b) propoziţiile adevărate se pot deduce atit din ptopoziţii adev�­ rate cît şi din propoziţii false. Observăm că din ideea tse pot deduce . nu rezultă cazurile a) din once p ropoziţie adevărată se deduce orice propoziţie adevărată, b) din once propoziţie falsă se deduce once propoziţie adevărată, c) dm orice propoziţie falsă se deduce orice propoziţie falsă, d doar că există nişte posibilitiJ.ţi ale cazurilor v ...., v, , ..." V ŞI respectiv i ..." f Precizînrl această interpretare, respectivele paradoxe nu se mal ob­ ţlll , .� şa dar ele sint rezultatul unei aPlicări 1Seadecvate a implicaţiei materiale Funcţia Implicaţlel materiale este un caz particular al aplicaţiei de tipul V.. ...., V nu a funcţiei de tipul

pn ..." p (unde V = {v, I} şi P = mulţimea propoziţiilor cu sens PARADOXUL ANTROPOFA6ILDH , variantă a d,lemei crocodIlulUI (v ) UD CII!tofiltip iiiieriF rintre antropofagi şi aceştia i-au promis că '\for lua o decizie in baza următoarelor convenţii : a) i se permite să spună o propoziţie ; b) daeă propoziţia .Y.!I fi a�tă atunci îl vor fierbe de viu. c) dacă propoz!ţi�.v.a fi falsă .il ...,.2r a!:<1e 4EO_� Călătorul spuue .. maveţi arde de viu", Raţionind ca ŞI in cazl!L�ţ!�II!.e i c!,.<?codilului se observă că vrind să decidă aDtropofagii intri! in contradicţie cu propriile lor convenţii" ceea ce arată că avem Şl...3CÎ. Jlll....••pat:adox decizional", O variantă aproape identică dă CervaDtes in Do1S Quijote


268

PARADOXUL BARBIERULUI

PAR@.I,)XU.1. BAR� ERULUI (Russell 1 9 19). poate fi formulat în două feluri ca paradox i1esc-"lpmr�escriptiv Uneori puuctele de vedere se amestecă ceea ce nu e corect. Se presupune că îutr-un sat un bărbler bărbie­ reşte pe toţi cel ce nu se bărbleresc slngun. Se J2!!!1e întrebarea se bărbie­ reşte sau nu_ pe sin� ac�l . .I?iir.Q�) Supoziţie ' se -l:iărorereşfe pe sine. 111 acest caz, couform cu presupunerea iniţială, el nu se băI'biereşte Supozi(u nu se bărbiereşte pe sine în acest caz, conform cu presupunerea iniţial ă, el se bărbiereşte pe sine. O uşoară modificare îl tranS!9IU\ă in paradox prescriptiv (de genul dilemei crocodilului) Un bărbler îşi propune să băr­ bierească pe toţi din satul său care nu se bărbieresc singuri 1 rebui(' s.'\ se bărbierească sau nu pe sine Se vede că orice decizie ar lua el se ( ontm­ zice Prin urmare, decizia sa de a b ărbieri pe toţi cei ce se bihblere,c � 1 I l ­ gun nu poate fi luată (este absurdă). PARADOXUL CATALOAG-ELOR (Gonseth, 1 933) Putem forma un ca­ talog mcîire-SăIIe- mregIstrate toate cataloagele care nu se înregistrează pe sme ) Dacă da, se poate înregi!;tra sau nu pe sine acest catalog ) Orice presupunere am facc ajungem la contradicţie PARADOXUL IMPREDICABILULUI (Russell). Analog cu parddoxul mulţimtlor noniiâre',-RusseJi a Iofiiialat aşa-zisul paradox al I mpredicabi lului Există proprietăţi care au loc despre sine, numite de el prcdicabile şi proprietăţi care nu au loc despre sine ( = impredicabile) . De ex , proprietatea a f' concret lIU este concretă ci abstractă (deci, este impredicabilă), în timp ce proprietatea aji abstract este ea însăşi abstractă (deci, este predical)i1 ă ) . ::' ă notăm noile proprietăţi respectiv cu Pred şi lmp S e presupune c ă pentru orice proprietate x are loc Pred (x) sau lmp (x). Se pnne întrebarea cum este l mp. Supozilie Pred ( ImP) Aceasta înseamnă că Impredlcabil este predlcabil despre sine, adică, lmp (ImP) Supoziţi,&. lmp (lmP) Vacă Impredicabil este Impredicabil aceasta înseamnă că se iiphcă sieşi ŞI, deci, este predicabil despre sme, deci Pred (ImP) . Formalizarea Slmpl.1 a acestui paradox este următoarea Considerăm pe x variabilă pe mulţimea propnetăţllor ŞI defmlm (1) lmp (x) == xIx) De aci priu substttuţla l ll1 x cu 1mp obţinem Or

(2) I l1Ip (Imp) (3 ) Imp ( Imp)

==

==

Imp (Imp) Pred ( lmp )

DecI

Pred (ImP) == lmp (lmP) şi lmp (lmp) == Pred (ImP) PARADO.�J:,_.�\l_L.m.!J1A.L1·FORTI, paradox descopent de d'itre matematicianul italian Burali-Forti îu teoria mulţimilor lui Cantor ( 1 895) Deschide seria paradoxel�'1ogIcemo;rerne Se formulează astfel ' ordin alele seriilor bIne ordonate pot fi puse în ordinea mărimu lor Fiecare senl bine ordonată de ordiuale are la rindul său un număr ordmal care este cu 1 Indl mare decît cel mai mare ordlual diu serie Notînd cu w cel mai mar>! oruinal din seria tuturor ordinalelor, această serie va avea nnmărul w + I CUlll sena noastră este a tuturor ordinalelor, este o contradicţie a spune că exist.! un ordinal (w + 1 ) mai mare decît cel mai mare ordinal uln s>!rie Can­ tor la rindul său a formnlat un paradox corespuuzător pentru numerele cardinale ( 1'. Paradoxul lui Cantor) PARADO XJII J 'II ��N'j;gR ÎA 1899 Cantor a descoperit în teona nun melor cardiuale trausflUi te un paradox analog celui descoperit de


PARADOXUL LUI GRFLLlNG

269

Burali-Fortl (v ) . Se cousiderl următoarele două teoreme din teoria lui Cantor . (1) P(M)'" > M'" (pentru orice M) ; (2) M c N � M'" <: N'" (pentru orice lv.I şi N) (Prin 111 '" , N" am notat numerele cardinale ale mulţinulor M ŞI N iar prin P(lIl ) mulţimea pote1fţialit (v ) a lUi M) Se consideră apOi că avem o mulţime K defiUltă ca mulţime a tuturor lllUlţimilor. AplicÎud cele două teoreme la această mulţime obţinem , (3) P(K)'" > K'" (din ( 1 ) prin substituţie) ; (4) P(J() c K (couform cu def lui K) , (5) P(K) c K � P(K)" <: ]('" (din (2) prin substituţie) , (6 ) P(K)'" '" K'" (din (4) ŞI (5) prin modus ponens) Deoarece a = b V V a > b V a < b avem a > b == a < b. Prin urmare P(J()," - A * == == P(J()," > K'" Deci (7) P(K)'" > }..:* & P(J() ," > A · ceea Le este o con­ tradicţie I'<\RADOXUL LUI GEORGE AL IV-LEA. Ru�sell a formulat următorul raţlOnaill'enf:" a} Georgeal Iv-IEd dena să ştie dacă Scott a fost autorul lui TI avcrley (Se ştie că publicind acest roman Scott l-a semnat cu alt nume) . b) Este un fapt că . Scott autorul lui Waverley Dacă in a) substitUim în virtutea Identităţii din b) "autorul lui Waverley " cu "cotl obţinem ' c) George al IV-lea dorea să ştie dacă Scott a fost Scott. Or, expresia c) este contradictorle deoarece pune la îndoială principiul iden­ tităţii. Se observă insă că George al IV-lea nu putea să facă o astfel de :;ubstituţie deoarece lUI îi era necunoscută Identitatea din b), iar dacă l-ar fi fo!>t cunoscută, donnţa exprimată în a) n-ar mai fi avut !>en�, dCI n-ar fi dorit să ştie . . ceea ce ştia deja, pnn urmare nici sub�htuţla nu mal avea sens. PAUADO XUL LUI GHELLll\G. Kurt Grelhng d formnlat următorul paradOi:-numit-'şi '-pârăd�ologieulul Considerăm cuvintele care desemnează proprietăţi făe ex , cuvintele-din limba romană) Unele dmtre ele ali proprietatea pe care o desemnează şi vor fi numite autologiee, altele nu au proprietatea pe care o desemnează şi vor fi numite hetero­ logice Astfel cuvîntul "pentasilablc" are proprietatea de a fI pentasilabz c ( = are clUci sil abe pen ta-si-Ia bIC) , in timp ce cuvîntul " trisIlabic " n u are proprietatea a fi tY1sllablc (el este tetrasilabic tri si-Ia-hic) . Ca urmare, " cu\'intul "peutasilabic este antologic, iar cuvîntul "tnsilabic" este hele­ ro/aglc. Fie X variabilă de proprietăţi ŞI "X" cuvîntul corespunzător pro­ pre­ pnetăţu X. Fie apoi A ut pre�curtarea pentru "autologic" şi Hrt scurtarea pentru "heterologic" Vom Introduce formulele ( 1 ) A ut ( " X ") == (2) Het ( " X") == X ( X ) , (3) Hei ("X") == A ltt ("X ' ) == X("X") , ..l ut ("X") == IJet ("X") , (-l) 'v'X(Aut ("X") V Het ( " X") Presupunînd că "Het" este un cuvint care desemnează proprietatea heterologie se pune intrebarea cum este Het autologic sau heterologic ? Notăm că această " intrebare presupune neapărat condiţiile (3) ŞI (4) Supoziţie (5) A ut ("Het ) , Aceasta Îuseamnă c ă "Het" are proprietatea pe care o exprimă, adică ;"Ierologie, or confornl cu ( 1 ) obţinem : (6) A ut ("Hei") = Het ("Het") :'upoziţie (7) Het (.. Het") Aceasta Înseamnă că Het" nu arc proprieta­ tea pe care o exprimă (heleralogie), deci rămîne �ă aibă proprietatea au/oI 'gre Conform cu (2) şi (3) avem respectiv (8) Het ("Het") == Het ("Het") , 9) Het ("Het " ) == A ut (" Het" est paradox este analog cu paradoxnl c .."predleabllulu, EXIstă mai variante ale acestuI paradox astfel Incit ele formează clasa parad r de "tip Grelling". Grelliug .,i Nelsou au arătat că ele au o formă normală, Din această formă normalil se poate o bţme un număr nelimitat de antiuomii =

-

"

"

,

-

..


r ARADOXUL

LUI QUINE

270

PARADOXUL LUI QUINE. Fie următoarele propoziţii adevărate:

a) 9

este-In mod necesar măTDlare decit 7 . b) Numărul planete10r 9. Din a) şi b) se deduce prin substituţie : c) Numărul planetelor este In mod 7 necesar mai mare decît (propoziţie care este falsă) . Or. propoziţia c) arată că o astfel de substituţie nu este legitimă. Explicaţia nu poate consta decît in faptul că expresiile "nnmăruI planetelor " şi ,,9" nu sînt. cum se crede. echi$emnificative (şi cu atit mal puţin sinonime). într-adevăr. prima desemnează un numă,. C01fcret nedefinit. în timp ce a doua desem­ nează un 1fumit,. abstract . Nu tot ce se afirmă despre nnmărul abstract este valabil despre numărul concret. PARADOXUL LUI RICHARD. Considerăm mulţimea zeclmale10r car e pot 'f'laefinite in liDîba română (se poate cousidera oricare altă limbă)­ cu ajutorul unui număr fmit de cuvinte. Convenim să notăm cu Z mul. ţi mea acestor zedmale. cu (lI ' 1Xt (l.. . . zecimalele şi cu (lI'", 1Xt'" . respectivele expresu def'1fitoru ,' (l: . =

• • •

.

.

. •

Z = { (l I . (l2' . Z · = { (lI'". 1Xt· •

(lH.

. • . •

. .}

0<.... . . }

Mulţtln ea Z · (resp. Z) este infinită. ordonată şi numărabilă Fiecare O<� defineşte numărnl (l,. Definim un număr ze cimal N astfel : "K fIInd a 1f-a zecimală din (l. noi construim numărul N astfel că el are pe zero ca parte întreagă şi pe K + 1 ca a n-a zecimală (san O dacă [( = 9) ' .

Se presupune că : N e Z V N e Z şi se cere să decidem care din cele două alternative are loc. Din definiţie decurge" că Vi (N :F (l.) (annme. ]Ii diferă la a n-a zecimală) şi prin urmare. N e Z. Pe de altă parte .

N'" e Z· (expresia l ui N este o defiuiţie finită în limba română) �i. deci. conform cu corespondenţa dintre Z. şi Z. nnmărul care corespunde lui N aparţine lui Z · N e Z. Aşa dar : N e Z & N e Z" Acest paradox mai poartă dennmirea şi de "paradoxul defmibilităţil fmite". Şi pentru acest paradox există mai multe formulări analoage (Carnap. Mostowski. Kleene . Wang Hao ş.a.) ; astfel încît putem vorbi de clasa de paradoxe tip Ri­ " chard " . Redăm unele variante. a) Vana1fta Mostowskl. Bazîndu-se pe procedeul diagoualelor. Mostowski a dat următoarea formulare. Fie un limbaj L şi expresiile din L care redan proprietăţile definitorii ale nume­ relor intregi. Notăm proprietăţile prin Richo şi Rich1 Ric"". . . , Faptul că 1f are proprietatea Richp se va scrie astfel : Richp(n) (adică n are proprietatea RlChardian p) Dlspuuem aceste numere conform cu procedeul diagonalelor ' •

RJCh.(O) Rich.(l) Rseh.(2) • Rich1 (O) Rich1 (1) RJChd2) . RlCht(O) Rlcht(l) RJCh.(2) • RlCh,.(O) RJCh,.(I) Rzch,,(2) •

. .

.

.

. .

'

. RlCh.(n)

• • • •

;

. . .

RIChl (n). . . . ; ' . R,ch.(n) • . . . ; •

• . . •

RICIl,,(1f).

.

.

Se presupnne "In (RlCllp(1f) V n 0 1f -RIC ll p � Se pune întrebarea dacă există (In lista considerată) un 1f astfel că lIJ-RJChp(1f) . In caz că există nn astfel de număr . el este identic cu un intreg q astfel că Vn(RlChq(1f} = ... non-Rich,,(1fJ) Contradicţia se obţine în caz că presupunem 1f = J q :


�71

PARADOXUL "MINCINOSULUI"

1fon-Richq(q). b) Becker reformulează varianta Mostowski luînd RlChq(q) în consideraţie predicat ele adevăr, fals, dar neutilizînd explicit procedeul ale cărei diagonalelor. Considerăm mulţimea 1 ) WI , Wa, . , W.. elemente siut definiţii de proprietăţi ale numerelor natnrale. Pentru o proprietate Wp avem Wp(tl) V non - Wp (n) tn caz că n are propnt:tatea Wp vom scrie .. Wp(n)" este adevărat, iar dacă 1f nu are proprietatea Wf> vom _pune că .. non- Wp(1f) " este adevărat. Presupunem pentru non-Wp(n) că p 1f şi obţinem, în caz că are loc non-Wp(n), "uon-W,,(1f)" este ade­ vărat Un 1f care satisface o astfel de condiţie va fi numit nchard,an. însă rlchardia1f fiind proprietatea unuI număr se va afla prmtre proprie­ tăţile enumerate avind un număr de ordine, să zicem q C a urmare vom avea : 2) Wq(1f) este echivalent cu non-W,,(n) . Numărul n fiind arbitrar q şi decI ' 3) Wq(q) este echivalent cu non-Wq(q), putem presupune n ceea ce este o contradicţie. Analog raţionează Curry peutru .. mulţimea fnncţiilor aritmetice", Kleene pentru "fuucţii de uumere naturale" şi Mendelsohn pentru .. numere reale". PARADO XUL "MINCINOSULUI". Filosoful grec antic Eubulide a for­ mtnarui-tnătoăreadl'ficiîltate logică Cînd spun "e � ac.?-�_.Eifu.1"', �t sau nu � Din cauza înţelesnlui special al termenulUl a minţi acesta uu este clll ar un paradox, însă, se observă că printr-o uşoară transformare (i nlocuirea lui .. mînt" cu "spun falsul") se obţine un paradox. Cind spuu .. eu acum spun falsul" spun falbul sau nu ) Presupunînd că spun ade­ vărul, rezultă că &-pun falsnl, căci .. e adevărat că spuu falsul" înseamnă " spun falsul" şi presupunind că spun falsul, rezultă că spun adevărul, căCI .. e fals că spun falsul" Înseamnă .. spun adevărul". Notind adevărul cu V şi falsul cu F se observ.! că aCI se aplică schemele ' =

.

.

,

. • •

=

=

(1)

V(F)

(2) F(F)

= =

F

V

Toate paradoxele care se obţIn pe baza acestei scheme se numeo;c p. ale li. Denumirea provine de la legătura istorici'L cu dificultăţile formulate de Epimende şi Eubulide (dificultăţi care strict vorbind nu sînt parado.xe). tn evul medin şi În .epoca contemporană au fost fonnulate multe v ariante ale a.E.«:.sţ�i par x. Propoziţiile paradoxale conţin predicatul fals sau un predicat de v oat'e înrudit. a) Formulă... medze.vale al) Una din cele mai �I mple formulăn aparţine lui Burldan ' pe �- î�aie de hîrtie este scrisă o singură propoziţie : propo­ sitio scripta In il/O folia est falsa ( = propoziţia scrisă pe această foaie este falsă) , se pune întrebarea dacă această propOZiţie este ade, ărată sau ials.l ? Se observă uşor că dacă presupunem că e adev.lrată rezultă că e falsă, Iar dacă presupunem că e falsJ. rezultă că e adevărată, conform cu schemele (1) ŞI (2). Vom reda încă o �erte qe variante culese ._�� Albert Saxouul. Ils) Nu spun altceva decît "eu spun falsul" (legătura <,u Îor­ mularea lui Eubultde este eVidentă) . a3) Propoziţia exprimată de mine este asemănătoare propoziţiei exprimate de Platon Platon expnmă o Singură propoziţie care este falsă (" Omul este măgar" ) . O notăm cu B Eu exprIm o singură propoziţie : .. Nici o altă propoziţie nu este asemă­ . nătoare cu propoziţia exprimată de Platou. . Notăm cu A această pro­ poziţie. Cum este A ? (Observăm că aci asemănător are sensul de echwalc1ft). a,) Socrate spune : " Platon spune falsnl " ; Platon spune : "Cicero spune falsul" ; Cicero spune : "Socrate spuue falsul". Ce a spus Socrate, adevă­ rul sau falsul ? Există şi unele formulări in care apar aserţiuni despre existenţa sau neexistenţa lui D umnezeu. Paradoxul DU se obţine decit


P.1.RADOXUL "MINCINOSULUI"

dacă admitem că este adevărat că Dumnezeu există" şi falsă negaţia " ei. Pentru a evita discuţiile le-am înlocnit cu propoziţii aritmetice indiscu­ tabile al) 2 x 3 = 6 deci concluzia nu este valabilă. a.) Nu există decit trei propoziţii . "Omul este animal", ,,4 X 2 = 8" şi "Once propotiţie în afară de cea exceptivă este adevărată " Cum este ultIma propoziţie (adică cea exceptivă) ? a,) Nu există decît trei propoziţii : ,,2 x 3 = 5", ,,4 /. 2 = 7" şi "Orice propoziţie este falsă". Cnm este ultima propoziţie ) a.) Cn om diferit de Soc rate spune . . 2 X 3 = 6" şi Socrate spune "Qnce OIU diferit de min� spune adevărul " Ce a spus Socrate ) a.) Dacă omul este animal, atunci o propoziţie 'coudiţională este falsă Nu există altă propoziţie condiţională decît aceasta. ( SI homo est animal, aliqna con­ " ditionalis est falsa" et sit nulla alias conditionalis) alO ) Nu există decit o propoziţie disjunctivă , Omul este măgar sau o propoziţie disjuuctn'ă " oarecare este falsă (Homo est asinus veI ahqua dlsjunct1va est falsa et sit nu11a alia disjuucbva In mundo). an) Soc rate spune .. Omul este animal" ŞI Platon spune "Numai Socrate spune adevărul". Nu existl alte propo­ ziţii a12) .. Această propoziţie este falsă". Cnm este propoziţia dacă aceasta sc referă chiar la ea ? au} Omul este ammal şi o propoziţie conjunctivă " e&te ialsrl" Nu există altă propoziţie conjuncth'ă. au) Socrate spune "Platon bpune falsul " , Platou spune .. 80crate spulle adevărul' Nu există alte propoziţii. Ce a spus Socrate ? au) Socrate spune ,,2 X 3 = 6" ŞI Platon spune "Omul este animal " şi Cicero spune : Omul este măgar" " şi Marcus Aurelius spune Atîţia oamenI spun adevărul cîţi spun falsul" " Lum este pr,opoziţia lui Marcus Aurel!U§ ) Există şi formulări mai COIll­ plicate Evident caracternl lor paradoxal trebuie discutat al.) Soc rate se preface a fi sofist considerind că A te preface-înseamnă a arăta aşa cum nu eşti a,,) Se poate ca Socrate să ştie că el COJmte o eroare con­ svlerind că a comite o eroare înseamnă a afirma sau a nega ceva într-un mod fals sau a crede că falsul este adevăr a 18 ) Se presupune că în inte­ lectul lui Socrate eXistă două propoziţii " Socrate be înşeală " şi cJ. Socrate crede că "această propoziţie e�te adevărată" Se în5eală Socrate crezînd acest lucru ) au) Pe o foaie de hîrtie este scrisă o singură propoziţie , Regele este aşezat sau o propoziţie disjunctivă scrisă pe această foaie ebte neîndoielmcă pentru Socrate " Presupunîud cJ. Soc rate nu ştie dacă regele este aşezat bau nu, că Socrate este cel mai mare savant ŞI cl el exammează această propoziţie scrisă pe foaie, se pune îutrebarea dacă această propoziţie este cunoscută ca adevărată de Socrate sau ea este cunoscută ca fiind falsă sau îndoiellllcl �t) Socrate be află in situaţia de a nu dori să-I atace pe Platon (dacă Platon nu-l atacl pe Socrate) şi dacă Socrate nu vrea să-I atace pe Platon acesta nu vrea să-I atace pe Socrate , se pune întrebarea dacă Socrate îl atacă �au llU pe Platon b) Fqrmulitn .J,!:oderne , bl) O variantă corespunzătoare formulării lUI al) este aceas ta :

I

Propoziţia scrisă in acest dreptunghi este falsă

I

Cum este propoziţia SCrIsă în acest dreptuughi ) b.) PropozIţia SCrisă dup.l b,) pe această pagină este falsă (Lukasiewicz) b3) .. Nu produce un enunţ adevărat cînd este ataşat propnei sale ciUri" produce un euunţ adevărat cînd este ataşat propriei sale citărI. b,) Pe o faţă a unei cartele este scris .. propoziţia scrisă pe cealaltă faţă este falsă " , iar pe cealaltă faţă este scris .. propoziţia scribă pe cealaltă faţă este adevărată" (Specker) b.) Pe


PA.RA.DOXlJ L

MUL J'Ii\IILOR

"ORMA.LE

o {n,lIe d e

hîrtie este 'cnsa o singură propo z iţ i e .. propo ziţia scrisă pe ace.lstă foaie nu e ste dell1011stral>ilă ( refoT1 llul ar c a uupă Wang Hao ) . b8) Nu p ute m d emonst ra en unţul la care aj ungem pri n substitUlrea lui

b.) in l oc ul variabilei propozi ţionale

Fom!!!l�Yt

l'

(Wang Hao) .

simbqfjce. Există numeroase prop uneri de simbohzare şi a p.l1I. ( Carna p , Hllbert, Lukasiewicz, StegmtilIer � a ) For­ l11,dlzarea lUI IIilbert ŞI Ackerm:mn porne 5 te de la forma "cu e n un ţ acum o prr}[lo7Iţle f alsă " Ea m trod uc e ŞI Ideea de . . l11ten al rle t imp t ' Car­ uap pr'l p un e o formahzare a p aradoxu l uI lUI B u n dan Ea nu redă in toc ­ mai acest par d o x . CI este p ur şi simpl u o altă variantă daU în si mbo lur i CI) Pie IV ("1''') = "P" este adevărat , ]. ( ' 1''') = "P" este fab , F(" P") "" c) fo r mal iz ar

e

a

""

W("p")

Dehntm propoziţia p aradoxală. p a�tf el

( 1 ) l' "" F("P") Cum (2) IV(' P") "" IV("l ("1' '') '') "" F(p) , d e cI (3) 11'(" /,") == 1 ("p") P re�u p unîl1cl q"p") ob ţ lll e m (4) F("P") "" F ("F ( "r) ") "" 1/ ("p") . de c i ' ( 5 ) F("P") "" W("p") Deu,

este

propoziţia p

1

Pre�upunînd

W("p " )

ob ţine m

prm deflmţla lui F("p") (G) 11'("1" ') '" rV( "p") c2) Putem folosI 1111 J1111u:ir IlIlpar oarecare de p rop ozi ţii cu predicatnl fals ( 1 ) 1', "" F( "P�") , ( u nd e k = (II) Pk "" FCPI") ( 2) r. == P(" p,") , (3) /" "" F("r," ) , � 1 . :1. 5 i) :-'cna se reduce Id două schcmc p,. "" 1 '(1'1/+1) � I h "" F("PI " ) În deducerea con tradlcţlel e�te utilă regula următoare . o s uc cesiuue IITlpară de pred i c a te Fal,; e,te ecluvalpllt:1 Cll prerl ica tu l l' fo ­ " mularea ,e reduce l a CI) Pentru k ,,= 3 avem p, == l' ( l' ( 1 ( Pl ) ) ) = == F ( "p,") , deci P I � F("p ; ') reea ce reduce p ar ,uloxul ld Ltl L.) l orma· lizarea exactă peu tru p dradoxlIl Ini Buridan p o at e fi dată cu ajutorul logieii predicatelor Considerăm v ri n t a cu (l re pt u nghi ul (c t i ) . ( 1 ) " pro­ poz iţ i a scrisă in ace�t dreptunghi e�te f" lsr. Fie Pr - predicatul a fI propoziţie şi Scr - predicatul a ft scris în acest dreptunght Si mbolizăm (2) F(' x(P,(x) & '>&f( r) ) ) Or �e Uln�tată că . . ' x ( Pr ( x) & 'ler ( x) ) " este chiar propozi ţia (2) , ceea Le vom scne a�tfel (3) u ( P,(X) & Ser( ... )) = = . . F(I X(P, ( x) & Ser( ... ) ) ) ( unde �ell1nlll � e,te iden tic cu desemnează) P re su p unin d de ';lrul respec ti\ el propoliţh a \ em \-1) V(u( P,(x) O/; 6.: SCt (x)) "" l '("F(' ",( P,( ... ) & Scr(x)))") ad ici. · (5) r ( 1 t"(P,(x) & Scr(x)) "" =: F(' x(P, ( -r) & Scr(;\ ) ) ) P re su p unînd r:1 p ro poziţi a e falsă obţmem (6) F( ) =: F ( "F ( Deosebirea dcestel fonuulăn faţă. ) " ) "" I ( . . ) de cea dată de C -trna p Cutl�tă in ac e e a că aci propo.dţia tiU poate fi deta-

, �e�I��� � ,� ,} ,

:..

a a

a \

şată de predi c at u l de \ ,tioare ( F) du p ă rt'gu l a 1· ( " P") - - fi în timp ce, la Carnap o as t fel de �epararc c,te po�ibilă, În aşa fel că p •• r ado xul I�

fo r m a l' = P PAR,� DOXt.:L llUl.l'UIILOR �O H\1 \I,E ( 1{ \1ssell,. 1902 - 1903) �e con­ stata ca uneIeiiiiiTţiiiiT"se- wnţfn 'ctrrt� (.l4-E Jl) şi altele nil (M <t M) D e ex

mulţimea nun-creioane/ar este ea ins(,şi

Uli

non-creioll , de CI �on­

-creIOn E N o u · c re ion , in t i m p ce mulţ/nI' a m,'l'dllr nu e ste ,'a mS(lşi UII măr, dec i nu :;,e conţine , prin urmare :\! ăr <t :\ ! ăr Se presup u n e cii pentru orice M are loc ( 1 ) Al E M V J�[ <t iloI ::\" u mi m lIIulţimile <.are :;,atlsfac coml!ţla J}f <t 111 nvrma[" Iar pe cele Cdre satisfac condiţi a .H E .lI ne'­ ,, )rmale Formăm apoI mulţimea tuturor lIlulţimilor ""Tlna/, �I o not ă m I II N Conform cu ( 1 ) trebUie să rezo l v :i tll dacă a\'elll 11, E .\ -au N <t .\ Pute tu raţiona in două felu T\ a) de l a apartenenţa la mulţllnc trecem la proprietatea elem en tulUI sau b) de 1.. proprietate tr cc em I.t poziţia elc­ m en tu iui în raport c u mul ţim ea Yom raţiolla în p ri m u l nll<l ÎII Ulodul a, SUP OZlţze N E N ( = " N e�te el em en t al lIlulţu1I11 tuturor lIIulţaml"r normale). Ca urmare , N are proprietatea ace,tor mulţimi do: a IIU "e


274

PARADOXUL PRIJ\JARJLOR conţme",

deci N nu este element al lui N N fj; N. SUP OZ t/t e N <t .V ( = .v nu este element al mulţimii tuturor mul/lrmlor normale) Ca urma t e

N nu ar e propnetatea acestor mulţimi, adică " d e a n u s e conţme", deci

se conţine ' N e N. Raţionăm apoi în modul b) . !:>t'POZtţte 1Y e N ( = N are proprietatea de a-şi aparţîne). Avînd proprietatea "de a-şI apar­ ţtne" ci nu poate face parte dm mulţimea tuturor mulţimilor care ,nu-şi aparţl11 ", deCI N fj; .V SupOZtţt a .V fj; N ( � N are proprietatea "ele a

N

nu-şi aparţine"). Avind proprietatea "de a lIu-şi aparţine" el face parte din mulţimea tuturor mulţinulor care nll-,?i aparţm, deci

N e N. Există X o variabilă pe mulţimi şi N mulţimea tuturor mulţimilor normale defIDltă astfel ' ( 1 ) X e N =­ == X fj; X Sub�titllind pe S lui X obţLrel1l contradicţia (2) .V e S =­ 'Ii o formalizare simplă a acestui paradox. Fie

= .V <t .V )

]':4.RAl)OXLL PRI\lAlllLOn (�Ian�o.�!L.-!.!htf;>J� . ?_ărbierului

analog ,

cu

paradoxul

EI poate fi prezentat, de asemenea, ca paradox descriptiv

sau prescrtptiv.

în

Olanda fiecare municipIU are un primar şi nu eXI�td

două m;micipii cu acelaşi--E!iwar Deoar�cc l1;lli prtmari nu

Ioct1i�,c in la hotărirea să se formeze un municipIU exclusIv pentru aceşti prinldri Se pune întrebarea unde trebute să locuiască primarul nlUniciplUl propf1u, se

�i �?I\�Pre�upl\nîn2.1că el

trebuie să locutască în acest muni­ nu trcbtlie să locuiască acolo, dimpotrn ă, că nu trebUIe să loctltascti in acest municipiu, ajungem 11'fbUte să [ocmască

Cipiu ajungem la conclUZIa că da�ă presupunem la

concl UZia

PA� !��O _

(lat

pATHAT I,OGIl,

sistem de raportun logice Între patru

pdrţile drept intTeg ziţii

"pa rtea ÎI) !�c-,��reguhl 1 " ) . eroare logiC;} de a lua

forme de propo·

p, q, r, s .I�tfcl că P �I q se află în raport de contrarIetate (v.), p '1 S ca şi!q�Cl 1' r se aH:, in raport de contradictie (v ) , p ŞI r ca şi q cu s se află in rap ori d� ordonare (v ) . Iar r 5i � in raport de wbco/ltrarZC/a/e (

,

).

Del1unllrea de

pătl'at

aJ 1ltorul ace�tei figuri

p

'"

d c: o

� o

provine

de l.t reprezentarea raporturilor cu

c o n t rarlel a t e

�o

"/

�9.�/",,-'

,\C> �(. '...//

0(:0

v

'1.

Q

',�

"

subcont rarletate

d c: o

� o

5


275

PATRATUL MODALELOB

În raportul de ordonare forma de deasupra este supraordonată celei de de�ubt (ex.

A, E, r, O,

p lUi r ) . Primul p:itrat logic descoperit a fost între judecă.ţlle iar

A �_____71

o

al dOIlea intre judecăţile module (v pătratul moda/eler) . Cu timpul, a u fost descoperite ŞI alte c a zun, incit s e poate vorbi d e o structură foarte generală. Despre propoziţiile de formă. corespunzătoare se va spune, de asemenea, că se afl ă În respectivele raporturi. Exemple de alte pătrate logice :

pltrat logic aplicat la judecăţile modale . Judecăţile modale au fost dispuse în patru clase desemnate cu ajutorul unor cuvinte mnemotelmice . Purpurea, Iliace, Amablmus şi Edelltul< A ce ste cuvinte presupun că POSibilul şi contingentul sînt apropiate ca sem­ nific aţie. Dacă insă definim contingentul ca nenecesar atunci ele se modi­ fică astfel PurPil'ea, Iluace, Amebimus, Edantuli. Cele patru clase pot fi dispuse într-un pdtrat logic (v ) . Pătratul va avea forma

PĂTRATUL !\IODALELOR,

Pu

u ace I I.,. o_______ e,:: rpl;,.r.::,

"

(\' Echlpolcnta modGlelor)


PER ARGUMENTUM BACUL)J'I:"UM PER AHGt'\lE:\iTUll DA(;IJ U " UlI

argumentul , , ('()n�tringerii

"

2iti (lat

" pTln_ argumentul hacuhc ' ) ,

(11 Qrgu»1t'llll<m ad baculum)

l'En IUE\I (1.1t "prm acela�i") . refentor la defInIrea termenIlor (v dtfl nifi,)

I'EIUIJ�IE, lllodaht,lte deontică ce exprun:i abM'nţa obhgaţlei, a prolu­ biţiei de a face (�au a nu face) ceva P. poate fi de două fel un II. U I/ i­ la/eralii ("e�te permis să fac:! ' ) şi )1. bzla/l'rală ("este permis să facrt . . . ŞI este permis să nu facă . . ) l' ltilJla p. mai poartă numele de "imlife " renţă deontică (nu trebuie cOllfundată CII liber/alfa deon/ieli (,, ) Indi­ ferenţa deontică. poate �ă fie prevăzută �au nu de norm{1 in Illod t-xpli Cit Exemple , Este I'. s:! se fUlIIeze" (p. unIlaterală). Această p. Implică faptul tă. nlIllel11 nu poate Inter7lce legal Clliva S{I fumeze, "Este II. Sll <;e fumeze ŞI e..,te II. �ă nu �e fumeze" ( p. 1)llaterală) A('east;t p. presupune că II. Îutr-un <;l'ns nu c�te lnsoţită ,le mterdicţia in celălalt sens Conform cu principi1l1 " tn'huie Implică e permis '1, I'. llnilaterală ar put�a derh a din Irt bllie nu din iudlf' relltă " Este II. fiec:1rui tînăr �ă facI liceul' e<;te o p. care nnplică o obligaţie din partea <;tatulUl de a garanta II. E�te p. oricărUI tînăr să nu facă facultatea", I/Il pYf'supmte o garanţu, dar pre�u­ pune că "fiecare tînăr poate să facă. �au nu facultatea " ca o p. hllateral normatJ J'ETI'QU

co:\'rU:\ Il ' O H I' \f (sau Pptitw ti, cOl/tran) anticipare <11" <,on­ trarii, er<;are-loglcă"Tri"-,T;;-iiionsfiirei '-uiîi'i propOZIţII probabile, con�t,i in postularea <,outrarului in premise. Apare în cazurile . 1) atît propuziţia cît ŞI negaţia t'i sint a�ertate, desigur tn fonuulăn imhrecte, 2) .e aser­ tt'dz;j rredicate ('ontrarii <le�pre uIlul ŞI acelaşi lucru lde ex "bun" 5i "rău" ) , 3) se asertează universalul şi in aceiaşI timp (in formă neexplt­ tltă) partIcularul contrad lctonu (de ex "toate numerele sint studiate de " �I "n umerele concrete smt �tudtate de o ştiinţă spe­ o singură '?tiinţa cială") . 4) �e a,imite partIculara ŞI apoI se postuleaz'l unÎ\'er�al antiteza. 5) se postulează contrara <,oncluziei care rezultă nelesar din premise , eroarea are loc cind "postulăm dou[1 propoziţH C,lTe sînt de aşa natnr:l iudt , .1 rezulta o lontradictorie care este opusă primei concluzÎI ' (Arb­ totel) A �adar, "petitio de contran se referă l a premise in l1lii�ura in care ele se află una fap de ,llta intr-un anumit r,lport" (Aristotel)

l'E!!:rJ..(U!!.!l\�!r!!...._q.ntlclparea princlpillor, eroare in ,lelllon�traţic. constă în a lua ca premise propoâţii care cer ele însele să fie del11on­ :>trate Anstotel a enumerat cmci cazuri : 1) cind postulăm ceea ce este (].: do\ e<iit, 2) CÎnt postulăm tn �ens UllÎ\ er�al pentru a conchide ceva particular, :�) cind luăm in sell� particular ceea ee e ,le dovedit i n sens universal, -1) postl1lăJll pe ca711rl ( i u mod , dIYlzat") ceea ce treliuie demonstrat ulliH :rsal 5) postulăm li propoziţie care pre..,upuue dep l'f)n­ duz;a, lixnllţ>le , 1 ) Prima formă ,le II. II. apare dnd argumentu l este sinonim cu coucluzia, dar evident difent ca expresie sau predlcatul argu­ mentullll e�tc ,ldillit prin predicatul conc\uziei ,,;"Ieseria de croitor este lucrati v ă d eoarece <lduce CÎştig' În această argumentare "mesena ele croitor ,,�te lucrati,,:1' eMe sinonlluă cu "ll1e�eria de croitor aduce cîştig ' (căci lucralw este sinonim CII aduce cîştig) "Această fiinţă este ,\Dimal raţional ,leo,trece este om" Predicatul 0111 pre�upun(! prin definiţie predi­ catul animal raflonal. Amhele raţionamente sint date sub formă de entl­ mem{t (v.) explicativă, în pnmul raţionament trehuie <;ă dovedim tocmai faptul presupus, anllme că " lUest'ria de croitor este lucrativă", Iar in .1 doua trebuie să do\ edim că fiinţa în ('au7ă e�te raţiollală (('eea ce se afirmă


277

POLISILOGISM

in concluzie) pentru a putea spline că "c om " (cum se aftrmă în premisă) . 2 ) în argumentarea "sufletul estc llcmuntor deoarece este o substanţă �implă şi Indecolllpozabilă" trebuie să dovedim tOCU1a1 afirmaţia u11i­

Hrsală că "orice substanţă �implă şi indecompozabi1ă e�te nemuritoare ". 3) în raţionamentul " Popescu nu poate scrie o carte deoarece este inca­ pal)!l să scrie ceva bun " , argumcntul cste particular in timp ce �e cere ,ă demonstrăm în genere că Popcscu nu poat<· scrie o cdrte 4) R aţIOna­ mentul "Austria nu - I poate infringe pe Napoleon, Prusia nu -I poate în­ fringe pc Napoleon, Anglia nu-I poate înfrînge pe Napoleon, prin urmare nimeni nu -I poate înfrînge pe Napoleon" implică (le asemenea o p. p. căCI trece de la punerca de cazun (separate) la aser ţ 1Uuca unl"er�aIă, or prm aceasta se Omite cazul colectiv (toate împreumi) 5) Ultimul tip de cerc \ idos apare clar în Încercările de a demonstra postulatul \' al lui Euc1id unde se presupune în premise o propoziţie logic echh alentd Cll concluzia

",t poale !>l\ facă p", aviud o tnpll .emnificaţle 1) există mijloacele obiective l'a x să facă p (raportare 'Jbiectivă) �au 2) x are aptitudinea de d face ţ> " (raportare la calităţile ,ubiectulul) . sau :1) . . x are permiSIUnea de a iacc (> ' (sens deontic) . Din context se deduce dacl avem de a face cu o parte din semnificaţii san cu toate trei l.ollfundarea semnificaţiilor duce la �oflsllle (dacă e inten­ ţlOnată) sau la paralogisllle (dacă e im'oluntară)

POATE, termen utilizat în contextul

P�I�!L.El\Ii\ (v ._ D�lem �) . POLISEl\IANTISl\.t (sau plurlvoCttall ) . propTietate a unor forme hng\ Îstlce

cuvlnte: propoztţii, sfinbolurl) de a avea mdi multe �el1lnificaţii neecll 1.,-alente Exi�tă două felun de p. 1 ) >Istematlc (\ a1/lbigu�tatfa si stema ­ tIca) ŞI 2) aleaIOl'. în pnmul caz semnific aţiile sint corelate sistematic iormind o anumită �Imetrie, paraleli�I11), în al doill'a caz. ele sint luate

la intîmplare, fără. legătură (de ex cuvintul !Jrl,lI>w �el11nifică ammalu l t.roască, broasca de la u5ă ş a ) O precizare ,e llnpUl1e o expresie poate ,l\ �a 111 al multe sen�un (v. sens) fără ,1 fi p. d.lCd. :>ensunle �Înt logiC t-ehlvalente (prin urmare, ŞI extel1siollal echh'alente)

Cînd intr-lin con­

:t:xt dat o expresie are mal lUulte se1l1mftcaţli nedeftmte expre�la se r.umeşte confltză, propnetate opu:>ă. hll precis

(v ) .

POLISILOG I S)I, StlogiSlll c u mal mult de teri Judecăţi, a�tfel el con­

:JuzTii -·Ji-n:;;i ·siiogism simplu rlevine premisă În 'Iloglsmul următor rneori

:"rmenul p

este luat ca smonim cu " stloglsm compus complet" (nu şi II complet 1) progresiv (conclUZia silo­

-=1iptic). EXistă două forme de

_�mului precedent devine premisă majoră în SlloglS111111 următor) ŞI 2) , c ­ ETfSiv (concluzia polisilogismulu i precedent devine premisă nunoră în ;:1uglsmul următor) Schema Simplă pentru II. (>/ ogreslVe (cu componente

:;: 2.baYQ)

este următoarea

A C

B .1

C D

B C

D

B


2i8

POLISILOGISM (evident, se poate ("C

prin

continua) . Se observă că concluzia primului silogl�1T\ - D") devine premIsă maJoră In al doilea silogism. Reprezentarea cercuri este

S ch e ma

următoarea

p. regl eslV (c o m pus din moduri Barbara) es te

(se poate continu a) .

Reprezentarea prin

B A

C B C

B D B

C

D

cercuri este următoarea :

Exemplele pot fi SImplu Exemplu

A C

d ate dac.!. se iau UOţiUDl în raport de ordonare.

de p. progresIv (Barbara) Toate vertebratele sînt animale

Toate mamiferele sint vertebrate Toate mamiferele sînt animale

Toate canmele sint mamifere Toate canmele sînt animale


PRAGMATI( A LOGICA

279

Exemplu de p. regrestv (Barbar.1) Toate canlUele bÎnt mamlfere Toţi buldo.,il sint canine Toţi buldogLl sint mamlfere Toate mamlferele sint anImale Toţi buldogii sint mamL{ere ToţI buldogll sint anImale

P,QNS A5INORUM, dellumlIe Ironică d ată in evul mediu pentru dIagrama

şi formulele mnemotehnice care ajutau la învăţarea fignnlor silogismului. POSIBIL, expresie constantă de modalItate 1) Ca modalitate fizică exprimă o anumită poziţie a stărilor de apt in procesul de devenIre, de ex. "este posibil ca miine să plouă " . Ace.1sta imeamnă că eXIstă annmite condiţii care în mod obişnuit atrag fenoll1en'L' ploii (însă aceste condiţii nu sint suficiente), 2) LogIc p. exprimă necontradicţia ( " nu este con­ tradictOrIU ca 5 să fie P"), 3) Epistemologic II. exprimă un anumit nivel de cunoaştere (o cunoaştere incompletă a fenomenelor). �) în combinaţie cu este ( ..este p.") se foloseşte pentru citin'a operatorului de posL biiitate (O) . PQŞTPIţEDICA}f�:'IŢA,. termen prin care �colasticii deserunau problemele ridice,te de înţelesul unoi: -fePl��!!.i. (tratate de Aristotel iti Categorii şi Despre �nterpYetare). Ultenor s-a folosit pentru acest inţeles cuvintul antepredtcamenta, I ar prin p. s-a înţeles teoria opuselor în primul sens Aristotel tratează in Categorii despre omonime, Sinonime, paronime, despre termem ŞI propoziţit, Iar în Despre interpretare, despre nume, verb, negaţie, afirmoţ�e, enunţare, vorbire. în al doilea înţeles el tratează in Categorii despre diferite feluri de opoziţie Există patru fehlrl de opuse (iivnkeq.a.evoc)·

relattvn (Ta :rcp6ST(), contrari�le (ivocvT[a), P' tvaţuc , 1 'J�ii'lJa(s) . ŞI contradte/la (x'I"d<poc<:f"IJs) . Exemple pentru relativt . dublu ,/1 jumătate ; pentru contrarii : rău şi bun ; pentru prwaţle (şi poseste) ' orbIre şi vedere, pentru eontra­ d,*e (Opoziţ Ia între afirmaţie şi negaţIe) .. el şade", "el nu şade". ( V. antepred�camenta)

POSTULAT 1. (La Euchd) Cerinţă specială pentru construcţlue geome­ trice, 2. (La A. Church) Axiomă pentru teom matematice (ex geometria lui Euclid, teoria numerelor naturale), 3. (în general) Propoziţie primă (nederivată din alte propoziţii). În sensul 3. din categoria postulatelor pot face parte : axiome, scheme de axiome, metaaxiome, reguli de definiţie, regull de deducţie, reguli de interpretare. P. sîn t relative la sIsteme PRAGMATICA LOGICĂ, parte a semzottett logtce (v.). Ch. W. Horris

a lDţeles prin pragmat�ca Sf"udinl (.xpreSlilor lIngvistice în raport cu indl­ ,;w care utilizează expresule şi SItuaţiile in care sint utilizate . B ar-Hil­ Iei, Montague ş.a. inţeleg prin pragmatică stndlul "expresiilor indexate" Ch. S. Peirce) , adică a expresiilor a căror semnificaţie depinde de con­ textul de utilizare (a. pronumele " en"). Aceasta înseamnă a trata pragmatica behaviorist, ea ocupîndu-se de un soi de concepte dispoziţio14IJle. IV ) R. Cantap conSIderă că pragmatica operează cu "construcţii teore­ tice in limbajul teoretic introduse pe bază de postulate şi legate de lIm­ bajul de observaţie prin reguli de corespondenţ ă" Ea studiază astfel de .:oncepte ca OPi14;8, 1ISef'I;U14e, rostire. Conform cu prima concepţie (Mon­ tague) pragmatica studiază aceiaşi termeni ca şi semantica (ex , adevăr,


PRECIS

280

de sens ar ţine d oar de p r ag matic i , �e mţelege studiul este efectuat din punctul d e vedere mdicat mai su� :->c realizeaza un p a r alelism i n tre se m antic ă ŞI p ragmat i că. ::, Shapiro, studiază termeniI pragmatici corespunzător celor sin tact i ci (calettlabil, decidabil, măsurabil, definibil, a:nomatizabil Ş a.). Fiecărui termen sintactic il c orespu n de unul pragmatic care d esemnează .. proce�e realizabile ,le c meva , de ex , termenului Sin tac tI c calculab�l ii core�p und e termenul pragmatic un tndivid poate calcula funcţia Pro b abil că p r agmati ca nu se po a te l ip si d e p redi cat e pragmatIce cum sînt corect, util eficient, comod O ricu m ea �e află încă in stadiul de incep ut ŞI nu există o co ucep ţl e deff­ mtl\· a c c e ptată asupra ei.

l eah�abllttate) , mat mult, c once p t ul

PHEU ., (În sens logiC) l . (În semanttcă) Se spune despre o ex p r e s ie est e p. dacă seumificaţla el este univocă. P. term enilor e�te asigu ra t<\ formal de defi ni ţ i e Prin aceas ta nu trebuie să se Înţeleagd. că pe nt ru a fi p. un te r m e n trebuie să posede o singură definiţie Termenii rămin unll 'le definiţi c1l1d to ate definiţiile sînt logic echivalente san cel puţin exten ,iona! echivall'1lh {t . } P. propOZiţiilor este asigu rat ă d e p. t e rme n i ­ lor şi de con�t r u cţi a corectă a contextu lui Trebuie să d i sti n gem iutre a avea ,emnzflcatie univocă ( = o smgură semnifi c aţie ) , ceea ce nu se poat e asigura deCit În contexte determinate (de ex : Într-un IUllba) formahzat ) ş i a descrie p. semDlficaţla unei forme lingVistice. Există cuvinte p oll ­ semantice Ele pot fi defini te p. dacă se indică distinct totalitatca sem­ l1ific �ţiilor pe care le au D esig u r, acesta rămîne un ideal al dicţionarelor :!. ( [ n smta:ră) O ex p resie este II. construi t ă (altfel spus , corect ('011� t r tlit(l ' ) dacă este con strU It ă în conformitate Cl1 regu l i le ,le f o rmare Precizia �emantică implică p reci ZI a sintactică, dar re cip roc a nil este ad e ­ , ăratii. Vacă sem nifica ţi a a fost univoc definită atunci preciZia transfor­ măril"r sin tact i c !:' \Ta a� igll r a p r ecizia semantică a expresiilor (V -;;i P"ll­ ctl

semantlsm)

l'UEI) (('AME:\ITE, te r men pnn care �colasticll desemnau l110dunle deo­ sehite de a p red ica analizate de Aristotel in opera sa Categoriile. A ces te<l. sînt · >ubstanta (de ex , 0111, cal) , cantitate (de ex , lung de dOI COţi) , cali­ tate (de ex: , alb, gramatIcal) , relaţta (de ex: , dublu, jumătate, mai mare) . locul (de ex , in piaţă, in Liceu) , timpul (d e ex , ien, anul trecut) . po::i/za (de e" , culcat, şezînd ) , posesIa (de ex , Încălţat, i n a r mat ) , acţiunea (de ex., a tăia, a ard e) şi pasiunea ( de ex. , a fi t ă i at , a fi ars) . . . �ic iunul dmtre aceşti termenI, �crte Aristotel, n n Implică, in şi prin sine, o afirmaţie sau o negaţie , numai prin legarea acestor termeni Iau naştere propoziţii afi r mative sau negative ' (Catl'goriile) (v antepredzcamenta) . I'REDIC o\T, al doilea termen al rel aţi ei S e�te P, ad i că cel c are este PYl ­ dzcat (u predicaţie) despre ceva c a re este subiect (v.) . Termen u l este deosebit de cel dm gramatIcă in două pri vinţe 1) în gra m atică est e \ orba de pO Z iţia smtactică a unei ex p resii Îu propoziţie (in �en� gramatical) , In logică este vorb a de un c on cept, 2) exp resi a - predicat din gram atică nil corespunde cu expresia predicatulUI dm logică (nu sînt Ide n tice) . Iniţial con ceptu l de p red icat era legat de Înţelesul restrîns al termenului proprie­ tate adică d e insuşirile sau atributele lucrurilor, ulte rior se mnific aţia sa s-a ex tins în conformitate cu e xtin d ere a termenului de proprietate şi cu dls­ t mc ţla intre termem generali şi termem p en tru p roprie tăţi (v. logica pre­ (hcatelor) Totuşi te rm en ul de predicaţie nu s -a extins in mod corespunzător În mat ricea x este F dm logic a predicatelor spunem că F este predicatul lUI x (nu se prea utihzeazl p entru x d en unure a sub�ect) fără a vorbi de predlcaţle Cnn auton (F rege se pare a fost pnmul) au facil tt at o nOIlă


PREDJCAŢIE

281

extindere a termenului predicat in �ens futlc/tonal Astfel, se mai numeşte p. însăşi funcţia predica ti vă, F(x), G (x, y) etc. sau pur şi simplu expresia IDcompletă (Frege), F(--), &(--) . Nu este exclus ca utilizarea să fi fost IDspirată de modul terminologic de a citi funcţitle in matematică, de ex . fix) se citeşte "f de x " , de unde în logică F(x) se citeşte "F de x" în fIDe, este necesar să luăm in consideraţie ŞI p. de formă negativă (notat P) ŞI chiar pe cele v,de (de ex., "cerc pătrat"). Introducerea printre p. a termenilor negativi nu prezIDtă dificultăţi formale CI de interpretare (ce entttăţl trebuie să le asociem) De la p. derivă termenul .. variabilă predi­ cativă " .

PREDICATE DE " AI,O \RE, pred lcatele care reliau proprietăţtie propo­ ziţiilor sau formulelor propoziţionale de a fi adevărate sau false ( = nea­ devărate) sau adevărate (resp false) cu anumite �pecificaţii (de ex UDI­ versal ade\'ărate, logic adevărate, logic false) . Uneori specificaţiile poartă nUllle în care nu este mclu, predicatul adet'ărat (resp fals) ca de ex. rea­ lizabIl, consistent, cert, absurd. 1'. dl' �. trebuie deosebite de valorile [(lgiC/' ( v ) sau, altfel spus, de valorile de adevăr. Valorile logice sint derivate de la predicatele de adevăr şi ali statutul logic de obiecte abstracte ( = valon ale variabilelor ŞI expresiilor logice) . în teoria funcţiilor de adevăr p. de , . depIDd de valorile logice ( = semnificaţiile lOgice) . La rindul lor, pro­ prietăţile redate de predicat ele lOgice sînt "denvate de la relaţu " (v. pro­ pnetate) Deosebirea dintre predicate ŞI valori, În acest caz, reiese clar din contextele ,,\'anabila p desemnează valoarea v" ŞI "Expresia p este adevărată sau falsă in funcţie de faptul dacă desemnează valoarea , sau valoarea 1". Considerind propoziţiile (resp formulele propoziţionale) închue sau deschtse (v propoziţii tnchise) în cadrul logicii bivalente avem următoarele p. de v. Propoziţii

Formule

Adevărat

Universal-adevărat (pentru orice domeniu de IDter­ pretare) Univer�al adevărat (într- un domenm de mterpre ­ tare D) Uwversal-fals Realizabil (în Oflce domeniu de interpretare) Realizabil (intr-un domeniu de interpretarf')

Fals Reahzabll ( = uneon adevă­ rat)

PREDICATOR, termen care exprimă. propnetăţi generale. Ex a fI om, a ft muritor. Termenul a fost Introdu� de Carnap pentru a desemna una dintre cele trei expresu-deslgnator analizate în sistemul său semantic (v metoda extenstunit St intenstunH) . Prin analogie s-au introdus şi alţi termeni ca individuator (pentru expresiile IDdividl1ale), propositor (pentru propoziţii) Ş a. �DICAŢIE, termen de origine latină sIDonim cu " enunţare ", de<;em­ nînd-'operaţliL-Iogi'caae"ji 1'!IlUnţa ceva despre ceva, altfel spus, a predica ceva despre ceva. De aci denumirea "judecăţi de predlcaţie". Termenu l este legat totUşI de o concepţie despre judecăţile d e forma .. 5 este P " (v. copula). Tot d e aci derivă denumirea pentru termenul P , predtcat (v.), in opoziţie cu 5 care este ,ubiectul (v ) enunţă.rii (predIcăril, pre­ dicaţiei). Ultenor, atenţia s-a concentrat I1U asupra actului de judecare ci asupra relaţiei între subiect şi predicat (v. praedicatum uust subiecto, Leibniz). Acest fapt este justificat avind în vedere că există diferite felUri


PREFIXUL FORi\IULEI

282

de enunţare Nu întîmplător termenul enunţ a înlocuit pe cel de Judt­ cată, iar in limba rom ână s-a generalizat mult termenul Pyopoziţie (în seu� logic) . Dificultatea a rămas în sensul că pînă acum nu există o denu­ mire adecvată pentru Judecăţile de matrice 5 este P. PREFIXUL FORMULEI , este format cind toţi cuantorii unei formule sint rujezaţi în faţa formulet. Schematte Q� Q� . . . Q"A (1!. � 1) De eI.. : VxVy3.Vu(F(x) -+ F(y) & (F(z) V G(u))). Prefixul este grupul .. VxVy 3zVII". l{e�tlll formulei de după prefix este domeniul de acţiune al prefixului ŞI poartă numele de matrice a jOl'mulet. l'UB:\l IS1, propoziţie (judecată) din care urmează să inferăm o altă pro­ poziţie (judecată) n um i tă concluzie. O propoziţie (Judecată) poate să apară smgură în calitate de p. cum e in cazul mferenţelor zmedMte sau împreună cu altele, cum se întîmplă în cazul inferenţelor mediate Astfel în infe­ renţa . toate mamiferele �int verteIJrate/prin urmare/unele vertebrate sÎut Illamifere, Judecata " toate mallliferele sînt vertebrdte" este premisă. în inferenţa ( 1 ) Toate � ertebratele �l1lt animale (2) Toate reptilele sînt , ertebrate (3) Toate reptIlele sînt anunale, primele două pwpo'Z.iţii slut pYelnbe, iar 1IItl1na concluzte (v ) ( \'. ratIOnament, v. sllogzsm) . PI!E MIS.il MAJ (,l!lA ,...denumirea pentru pnma premisă a siloglsmuhu Simplu (tip A E I O) . Ea conţine termenul mediu şi termenul major (cel care apare ca predicat in concluzie) ( v s ilogi s m s imPlu) P�.!I.I.IS� }f!NORĂ, denumire pentru a doua premisă a sIloglsmull1l Simplu (tip A E TD) . 1!a conţine termenul mediu şi termenul m mor (cel care apare ca subiect în concluzie) (v silogism s zmp lu)

PRI�CIPIA l\IATHE\IATI('A . operă ceLebră elaborată de A. Whitehead şi B. Russell, pnblicată in trei volume ( 19 1 0 - 1 9 1 3) Cuprinde logica simbolică standard şI lIlatematica aritmetizată (v al'itmetizare) Are la bază concepţia loglcist.'l ( \' logicism) şi teoria tzpurilor (v.) Constihue un imens inventar de teoreme logice 5' matematice Pornind de la această operă Godel a desprins un tip de sl�teme pe care le-a numit si s teme de tzpul Prtnczpza Mathematzca (v. Feorenta lUI Godel) . PR INCIPIILE LOGI(;H, det� dată unor legi considerate fundamen­

ta:le pentru gîndirea logiC:!. Ele sint prt1tczputl Identztăţil, prinCIpiul ne­ contradzcţzez, przncipiul terţulul nelu; şi prÎncipi1!l..!..'!l:iJ:!..'!.ii. .s14Jiciente (v ) . Sub pnmele trei denumiri se ascund d e fapt nu cîte o lege logică C I clase de legz logue Principiile pot fi formulate la diferite nivele ' ontologic, sin­ tactic, semantic, in funcţie de sisteme logice Logica modernă a constatat că pentru anumite sisteme unele dintre principii trebuie limitate. Cu alte cuvinte, aceste principii nu sînt valabile zndependent de orue supozzţii. Pe de altă parte, împotriva absolutlzării lor în aplicarea la realitate, dialectica a formulat unele limitări ale acestor principii Metafizica (abso­ lutizantă) �e naşte tocmai din absolutizarea aplicărII la realitate a acestor principii. Ele presupun supoziţii metafizice "de uz casniC " (ca să folosim o expresie a lui Engels)

Trebuie precizat că în formularea pnncipl1lor


283

PRINCIPIUL CONDITIONALIZARII

mtervin în permanenţă două supoziţii fundamentale : "în acelaşi timp" ŞI :,sub acelaşi raport", ceea ce înseamnă că principiile sint valabile numai in măsura in care entităţile la care se aplică sînt considerate tn acelaş' t,mp şi sub acelaşi raport şi nu se schimbă (adesea tacit) timpul sau Taportul. Deşi limitate de anumite supoziţii de valabihtate caracterul lor privilegiat nu poate fi pus la îndoială şi, prin urmare, ele merită in con­ tinuare denumirea de prmcipii. PRINCIPIILE LUI LAMBERT, principii formulate de către Lambert pentru fiecare Tigurl a silogISlii"t"iiIii1."Yen ru fignra 1 este prelnat princi­ piul D"tum de omnz et de nullo (v) ; pentru figura a II-a formnleazii Dictum de dwerso : lucrurile care sint difente nu-şi convin ; pentru figura a III-a formulează Dictum de exemPlo : dacă se găsesc A care sint B atunci se poate spune că există unii A care sînt B ; pentru figura a IV-a formulează DictunI de reciproc o : dacă nici un M nu este B, nici un B nu este cutare sau cutare M, dacă C este cutare sau cutare B sau nu este, atnnci există unii B care sint C sau care nu sint. PRINCIPIUL CONDIŢIONALIZĂRII, variantă mai veche a feorwlCl P f- Q .feducţlez (v.). Forma dată de Gentzen este ---

P -t Q

A

fost utilizat şi de Aristotel deşi nu I-a formulat explicit. Se pare c;1 stoicii i-au dat o formulare explicită : "Dacă primul şi al doilea, atunci al treilea ; dar nu al treilea ; pe de altă parte, primnl, prin urmare nu al doilea". Premisa condiţională dacă primul şi al doilea, atunci al treilea" " presupnnem că exprimă un mod valid în formă condiţională. în acest caz ea poate fi eliminată ŞI rămînem cu primul, dar nn al treilea, prin urmare nu al doilea". Acest mod este legat de propoziţia condiţională (eliminată) conform cu principiul "Dacă două propoziţii atrag după sine o a treia atunci oricare din acestea donă împreună cu negaţia celei de a treia, atrag negll.ţia celeilalte" (a fost utilizat de Aristotel în reducerea induectă a silogismelor). Este evident că cele două propoziţii care atrag după sine pe o a treia sint premisele silogismului, iar a treia e concluzia. Prin urmare putem introdnce explicit un asemenea silogism. Să schematizăm : (P, q) -t r , -;, P 1- q Eliminind (p, q) -+ r rămînem cu (i, P) 1- ii, altfel scris (P, r) 1- q ':: onform cu "principiul reducerii" putem scrie « p, q) -+ r) -+ (p . r) _ q. Dar (p, r) -t q este derivată ea insăşi din modul exprimat condiţional p, q) -+ r care este o premisă suplimentară. Problema reapare in Log"a " la Port Royal. Cunoscind numai o premisă a silogismelor putem intro' dnce pe cealaltă ca o condiţie pentru conclnzie. Dacă nu ştim c ă sint ade­ l'ărate atunci premisele pot fi introduse condiţional (P, q) -+ r. Gentzen l'a relua procedura de a construi scheme noi de inferenţă pe baza altora. ::le ex P & Q 1- P V Q se poate demonstra pe scheme

P&Q - (&E) -p

P V Q ( V /) Pnn p. -

e.

( P & Q)

transformăm deducţia într-un enunţ condiţional asertat . (P V Q) In altă parte Gentzen demonstrează p. e. în teoria

-+


1'lUNClPIUL DUALITATII

28-1

Exprimăm regula d%fdşurdYlI dtunci 1- P -+ Q. Demonstraţie •

---- (

[P] [P -+ Q]

condlţlOnahzării

astfel

dacl

P

1-

Q

(Introducere de sup o zlţ n )

(modus ponens)

Q

P -+ Q

re g u la

--- ) Q'

P -+ Q

.

( ..hten"cul marchează lIlulţul1ea ' ldă de prenn�e)

PIlI :\flPIUL DLALIT.\l'lI. în geometna prolechvă '>-a descoperIt feno­ menu l tie slmetne extrem de interesant că dacă teoremele sînt formulate Într·un anumIt fel ele pot fI obţmute unele din altele prin ÎnlOCUIrea ter­ men u l uI punct cu dreaptă ŞI Im, ers Pormm de la două expreslI duale "punctul aparţine drepte! " .� I "dreapta aparţme punctuluI ŞI d:i1!1 exemple de aX I ome duale 1 . Oncare ar fI două puncte x ŞI y, eXIstă o drl'aptă D care aparţine punctelor x .�i y 1 '. Oricare ar fI două drepte D, ŞI Dl ' eXI"t ă u n punct x care ap arţme dreptelor D, ŞI D ; 2 Orica re ar f i două, , p uncte diferite x ŞI J există cel m u lt o dreaptă D care aparţme atit l UI x cit ŞI lUI y, 2' Oricare ar fi două drepte difente D, �I DJ ex ist ă cel mult un punct x care aparţme atit lui D, cît ŞI lui D J ' 3 F iec ăreI drepte ÎI aparţm nu ma i p uţin de treI puncte EXIstă cel puţin treI p unc te care nu aparţin unei drepte,

3'

FIecărui p unct îi aparţm nu mal puţm de trei

drepte EXIstă cel puţin trei d repte care nu aparţin unUI punct , "

două drepte au un pu nc t comun, 4'

F Ie c are

Iliecare

două puncte all o dreaptă

Se înţelege că expresiile " punctul aparţine drepteI" şi "dreapta aparţme punctuluI " trebuIe luate ca duale, d a r nu Idenhce, căCI ele au

comună

-

sen�uri diferite Ele sînt astfel construite doar pentru comoditate

Exact

expri mîndu ne " pu nc tul aparţine drepteI" înseamnă "punctul &e află pe " o dreaptă , iar "dreapta aparţme punctulUI" înseamnă "dreapta trece

-

.,

Printr un

punct"

următor

4. Va Vb (a #- b -+ 3x 3y x #- y & PIx, a) & P(y, a) & PIx, b) &

Ulttmele două propoziţii pot fI

i m boli zate în felul

& P(y, b))), 4'. Vx Vy ( x #- y -+ 3a 3b ( a #- b & PIx, a) & P(y, a) & P( \', b) & & P(y, b)) ) . (unde x, y sînt pun c te le , a. b dreptele, Iar P( . . . ) expruuă relaţia dintre ele) . în acest fel o propoziţIe poate fi obţinută din alta prm inlocuirea expresiilor duale. Un fen omen asemănător are loc în logIc ă in legătnră cu anumIte semne (11 dualttate) . Ca urmare au fost formulate o serie de principii care poartă numele de .. pnncipii ale dualităţii" şi care ne arată cum să trecem de la o lege logică l a o altă lege logtcă duală cu prima 1

1-

A atunci 1- A· A -+ B atunci I-B·-+A · 3 . Prtnc,ptul dualttăţIl pentru echwalenţă. Dacă 1- A _ B atunci 1- A *­ _ B· (Asteriscul marchează du ala) Prtnctptul dualttăţll pelltr u negaţie. Dacă

2. PrinciPiul dualităţii pentru tmPlicaţie. Dacă

1-


PRINCIPIUL IDE!'.TITATII

285

Aphcaln L Il V A , (A & A) 2 (A & B) -+ A , A

-+

(A V B)

3 A & B == A V B , A V B == A & li A ces tea sînt legi dm poziţii lor , vom da ŞI le g i dm l og ica pTf�dicatdor

Logica

p ro ­

't/x (Fx V Fx) , 3x(F .. & h-) 2 't/x Fx -+ Fy , Fy -+ 3.\ Fx 3 't/x Fx == 3x F-:; , 3x Fx ==

�h

Perechi de Legi duaLe se pot formula în legătura cu cOlUutativltatea, a<;o­ ciativitatea, distnbutivitatea, ab sorbţia , idempotenţa, posibilitatea Ş a. PRINCIPIUL IDENTIT.\TU (lat "principium Identitatis" ) , Lege funda­ me'ii"ftLă -a lOgiCii' f6rmăIe:a-c'lrei schemă este A == A , Pornml area cea mat general ă este ontologică " orice lucru (once f eno men) este identic cu sine", Mal exact "în acelaşi timp şi sub aceLa�1 raport orice lucru e�te identic cu sine" Ac easta în�eamnă că dac ă obiectul este considerat 1.1 nu mome n t dat ŞI sub UII anumit raport , el este tratat ca rămîn înd ace­ laşt. De ex , un individ ( u man ) x c onside rat intr-un interval de timp I şi SilO raportul insuşirilor esenţiale rămine acelaş�. El poate să se schimbe �ub alte raporturi (neesenţiale) - îmbrăcămintea. poziţia socia Lă . re La­ ţii le cu cel dm jur. dar bIOlogic �I pSihologic să rămînă acelaşi. Cind "pu­ Ilem că "rămine aceLaşi" sp unem implicit c l nu s-a schimbat pe mtervaLul de tmlp considerat şi &ub raportul considerat (bioLoglco-pSlhologlc) A fi Identic = a rămîne acelaşi = a nu se sc him b a în mtervaluL I ŞI sub rapor­ tuL r �e are in vedere că prin raportuL r se pO.1te î nţelege �I un sistem de rapvrlttn . IntervaLul t nu coincide neaplrat c u mtervaLul în care obiec­ tul este supus discursulut logic CI cu znlervalul considerat Strict LogiC for­ l II u lănle p. 1. pot fi sintactice sau !>em an tice �intactic dăm pur �i �1tnplu o formulă p == p Semantic, mterpretăm această formuLă " orice propoziţie " e�te echivalentă c u sme Putem da o formulare ŞI pentru termeni "orice terme n este sin onim cu sine" No tîn d sinonimia cu ::::: putem scrie t ::::: I �e observă că atît echwalenţa cît şi sinonim ta sint cazuri particulare de Identitate Se observă că p. i. este o leg e de reflexivitate. Plecînd de L.1 1" i. se form uLeaz ă o regulă terminoLogică pe tot parcn rsuL unui p roce � logic un termen îşi păstrează sensuL sau orice schimbare de sens este anu nţat ă în pre aLabil . Erori in ra po rt cu acea�tJ. regulă a) omommia Implică sinommia, b) diferenţa de formă imp hc ă diferenţa de &ens. c) sen­ suri dlfente aLe termenuluI sint specii dlfente aLe a ce Leiaşi n oţiu ni. P. i. dm te oria f un cţiil or de adevăr stă la baza sist emu lu I logic al echlVaLenţel. în acest fel, p. 1. este .. forma normală" a oricărei legi dm slstemnl echi­ valenţei. Fie form ula ' (p == s) == ((p == r) == (s == r)) , Suprimăm parante­

zele ' p == s == p == r == s == r Comu tăm termenii p == r == s== p == r == s ((P == r) == s) == ((P == r) == s) Ceea ce este ev ident o lege a Iden ­ tităţii ( pri mul ŞI al d oilea membru fiind identici) Eugen Mihăilescu a de�­ copent nn criterIU aritmettc de decizie în acest sistem . o formuLă e�te lege logică dacă are pentru fiecare vanabilă un număr par de mtrăn Legea ide ntităţii (în genere) exprimă reflexivitatea relaţiei de tdentttate Asociem

(v ) Relaţia de identitate nu trebuie confundată cu relaţza de echwalenţă (v ) . dar ea are m u l te cazuri particulare, tocmai de aceea ŞI p. 1. are m ult e


PRINCIPIUL

INDEPENDENŢEI

286

cazuri particulare. Uneori p. 1. din logica propoziţ111or este redat sub forma refleDvităţii implicaţiei . p => p. Aceasta se Justifică prin fapt ni că '

(p - q) = « p => q) & (q => p» (p - p) = « p => p) & (p => p» (p - p) = (p => p) PRINCIPIUL INDEPENDE�ŢEI. Simbolul predicativ R este independent de alte simbolnri predicative primitive dintr-o teorie T, dacă există două

interpretări ale axiomelor astfel că ' ( 1 ) domeniul ambelor interpretări este acela,l, (2) interpretările &int aceleaşi pentru <"elelalte Simboluri, (3) dacă " R," ŞI " R2" sînt două mterpretări pentru R, atuncI ele trebuie '1'" în domeniu astfel că să fie diferite în sensul că există elemente x, , .t ,,) " este adevărată şi (b) '' !?2(.t ) , (a) "Rl(Â." , .t n ) " este falsă. Presupuniud c.l R ar depmde de alte simboluri am ,n ea formula ( 1 ) care ar fi derivabilă din aXlOltle DeCI conform cu . .1 , ) .." ') R(x " RI' R• .llll aHa (:?) R,(x" .t " ) ..,, '"2 .t n ) "" S , (3) R,(.I ,. fJcoa­ rece toate sim buluTlle cu accepţia lui il au aceeaşi interpret are ,"om avea , , x,,) .." U. ( x] ' (4) 5) .." S2 Din (2), (3) ŞI (4) deducem (5) R, (x), ,ţ ,, ) ceea ce contrazice pe (a) �I (b) ŞI deCI supoziţia de dependenţă nu are loc Prmcipiul poate fi formulat analog pentru alte slmbolun (constante Individuale, semne pentru operaţii) (Suppes P , / ntroduction to logic, 1 969) PRINCIPIUl. LUI PADO-\ (PlUNCIPlUL INDEPE�DENŢEI) . Un SIm­ bol primitiv este Independent de celelalte dacă există două mterpretări ale aXlOmclor astfel că simbolul primitiv dat are două interpretări in timp ce celelalte au una. Considerăm axiomele preferinţei A, Dacă ,ţ Py ŞI yP= atuncI xPz , A3 Dacă xly & j'lz atunci xIz ; A 3 Are loc numaI una din t Pl'. yPx, xly Vrem să arătăm că P (preferinţa) este mdepen­ dent:l de J (indiferenţa). Interpretări : domeniul { 1 , 2}, I = identilatea, l' '- san P > (două interpretări pentrn Pl. Ca urmare avem 1 P 2 (conform cu prima Interpretare ' 1 < 2) şi nu 2 P 1 (conform cu A 3) . ApOI ' 2 l' l (conforlll cn a doua interpretare 2 > 1) şi nn 1 P 2. Dacă P ar it dehnibil în termeni de 1 atunci P ar avea aceeaşI interpretare ca 1 (adiei, identitatea) or nu are aceeaşi interpretare Suppes prt'dzează prm­ dpiul dstfel �e defineşte mai întîî dependenţa Simbolurilor. Un simbol il (relaţje n-adlcă) este dependent de alte �imboluri primitive dacă forlllula R ( L ) , v,, ) _ 5 poate fi derivat.l din axiome cînd : ( 1) V" • • , v,,, (3) singurele VII sint distincte, (2) singurele variabile în 5 sînt v" . constante nclogice care apar în 5 sint alte simbolufl primitive ale teorieI. PR !:,\(:IPIUL �ECO�TRADICŢIEI___� "prmcipium contradictionis' ' ) . Formulare simbolică A & Ă . Formularea ontologtcă În acelaş. tunp ş ' sub acelaş. raport este .mpos.b.l c a un luc ru s ă fie Ş I s ă n u I.e. O formulare ontologică mai particulară este aceasta : în acelaşi timp �i sub acelaşi raport un lucru este Imposib.l să aibă şi să n '4 aibă o proprietate. Formulăn semantice . a) în acelaşI timp şi sub acelaşi raport o propoziţie este impo­ sibil să aibă Ş' să nu aibă o valoare logică W, b) o propoziţie este Imposibil să fie adevărată şi să nu fie adevărată, c) este imposibil ca o propo­ ziţie să fie adevărată impreună cu negaţia el. Se vede că prectzînd ideea de valoare logică, b) este caz particular al lui a) şi că putem formula atîtea cazuri parbculare cite valori logice putem indica. O formă interesantă e�te nn exist:! dou.l propoziţii adevărate care să se contrazică. Se înţelege c.l am presupus C,L ideea de propoziţte a fost bine precizată în prealabil. NormatIv, p. 11. îi corespunde cerinţa de a nu ne contrazice Acest principiu a fost descoperit <le Aristotel :


PRINCIPIUL TERTIJLUI EXCLUS

287

"este lIuposlbll ca aserţiuni contradictorII să fie i lUpreună adevărate" (Organon). 111 Metafizică a dat vananta ontologică ' "Este Imposibil ca ceva să aparţină şi să nu aparţmă ultui lucrn în aceiaşI sens". Prlnclpml se opune c ontradic/u i formale (v ) 'II nu c ontr et dla/rctice (v ) . l�ormulărI

simbolice ale legii necontradicţlei ' f a) p &

P-

(logica propoziţiilor) ; b)

Vx (F(x) & F(x» ; c) 3x (F(x) & F(x)) (logica predlcate1or) ; d) Vx (x e K &: &:;eK) (logica claselor). Ca o expresie a p. n. este necontradicţta Slst,­ melew aXlomatue (v.).

I)RINCI!"_I.!!�.. !!AlIU_l'!J.L ŞUFlCIENTE,

în formulare ontologică acest spune : orice lucru (fenomen etc.) există în virtutea unuI temei. In logică apare numai la nh'el metateoretlc once propoziţie adevărată

prindpTu

are cel puţin o propoziţie adevărată din care se deduce ŞI al cărei adevăr este stabilit Independent de prima propozili e. Propoziţia (sau propoziţiile) dm

care deducem propoziţia dată constituie "raţiunea suficientă" sau "te­ meiul" acestei propoziţii. Simbolic' Pentru orice Q adevărat există P astfel că 1= P ( = P e"te adevărat) şi P f- Q. De aCL nonna : orICe propoziţie

trebuu admisă ca adevărată nltmm În virtutea UliUl tem e i (a unei raţiuni SUflCllnte) Se înţelege că Q este difent de P, altfel avem cerc VI�OS (v ) .

Este important s ă observăm c l putem avea două cazUri în ce priveşte relaţiile dl1ltre propoziţie ŞI te e l el a) P _ Q , b) P�Q (dar nu Q�P) Evident el cel mai interesant es te cazul b) . dar uneort, aşa cum s a întim­ plat cu postulatul lui Euclid. propoziţia este atît de generală încît nu putem ieşi deducth' dintr-o clasă de propozitii echivalente Există unele propo­ ' ziţii foarte generale al căror adevăr este acceptat îu urma unul proces mai complicat. tn acest proces pot mtervenl a) expenenţa şi eVidenţa , b) .idealizările, c) necontradicţia unui si"tem de propoziţii, d) confirmarea prin concluzÎl adevărate, e) utilizarea de modele consistente. Deşi p. r. s. poate fi aplicat la orice propoziţie nu putem împinge prac-tic la ne­ i;firşlt J ustificarea (întemeierea). este necesar să ne oprim undeva la mşte "principii prime" pe care să le considerăm raţiune suficientă pentru cele­ lalte propoziţii altfel, cădem în regre ssum ad infinitum. Tocmai de aceea putem da o formulare mai slab{( : orice propozitie adevărată ar e o raţiune

mm

sufiinentă, adică un temei în virtutea căruia noi o acc eptăm ca adevdrată la un mom e nt dat PţUNCIPIUL TESTULUI EXCLUS (lat "pnncipium exclusi tertii " ) . în latmeşte lega- mal este denuuUCU h;� t:clusi tertii Slve medII int" duo co ntradi ctoria sau ca în logica medievală tert,u m non datul'. Simbolic ' A V Ă (A sau non-A ) . Formulare ontologică : in acelaşi timp şi sub acelaşt raPort un lucru există sau nu existd a treia posibilitate este ex­ clusă Altă fonnulare ' în acelaH hmp Ş! sub acelaşi raport un lucru sau are _ proprietate sau n-o are a treia posibilitate e ste exclusă. Aristotel în

Metafizica l-a formulat astfel "nu poate fi nimic între două judecăţi care se contrazic, ci despre un (subiect) orice predicat este necesar sau să fie afinnat sau să fie negat " . Formulări semantice : a) În aceiaşi timp şi sub acelaşi raport o propoziţie are sau nu o valoare logică W, a treia posibilitate este exclusă, b) în acelaşi timp şi sub acelaşi raport o propo ­ ziţie sau eate adevărată sau nu este adevărată a treia posibilitate este ex­ clusă. O formă particulară este legea excludeni contradicţiei : d) in ace­ laşi timp şi sub acelaşi raport o propoziţie este adevărată sau nu, contra­ dicţia este exclusă. Din formularea a) putem deriva în funcţie de preci­ zarea lui W diferite fonnulări particulare (de ex. b» . W = adevăr, fals, adevăr necesar, adevăr probabil, . . . Uneori formularea p. t. e. a fost con-


:!88

PIUNCIPllTl. Tt.RTULUI EXCLUS

fundată cu pnnctptul btvalenţet (v ) , Ulai exact, C.l <l fost dată in hnatele principiuluI bivalenţei e) "orice propoziţie e�te �au ade\'ărată sau falsă a treia posibilitate este exclusă", FormulărI.. simbolice a) p V p sau V P (P V P) , b) Vx (I· (J.) V F('!:)) , c) Vx (x E [{ V x <l= A ) sau V'!: (x E 11: V X E K) \"alabllitatea fonnulărilor slmbohce este fn funcţte de Interpretarea pe care o dăm formulelor î n acest sens o deosebită Importanţă are precizarea noţiunilor de propoziţie, valoalt logică (sau predicat de \ ::lIoart-) . f>l edlcat şi rlasă Logica modem:l, îndeo"ebi logIca illtuiţtomslă (Brouwer) 'ii logica polivalenlă (v ) aU pu� Î n realitate, logica polha­ m (liscuţle valabilitatea tt-rţului exclus lentă a Pll� in discuţie doar formulările care decurg din princIpIUl bh'<l­ lenţel, de ex. "orice propoziţie este sau adevărată sau falsă a treia posibilitate este exclusă" Admiţînd �I propoziţii care pot fi calificate nuanţat necesar false, necesar ade tl ărate , posibil false, posibil ade\ d­ rate ş.a ('\"iqent eă exist:\ t otde auna a treia posibilitate l�ste n ecesa r să ohM n :il11 in"ă c.1 dincolo ,le dihotouua " adevăr-fals " termenii adevtil �i fal, lIacă 1/1.11 ,Înt ullli;aţl nu mal alt acallş t semnificaţu. l�tili.tarea lor alllblguă d,1 naş tere )(leii că pe lîngă adevăr şi fals (aşa CUIII sint defmite 111 IlInitele dihotomiei) ar eXista a treia posibilitatt. Î n IUlIItele dihotomiei a treia pO�Jhilitate e�te exclusă prin defimţie ade\ ;Ir � JlOll·f.lls fal� = non-adevăr non-non-fals = adevar ?lIatnceal :l\

cm

p adevăr fdls

fals adevăr

p \.

f

v

Ve .1<.1 decurge Imediat p V P ::oau afirmaţIa este adevăratil sau Ilegdţla, nu ambele , san afirmaţia sau negaţia este f abă, JIU ambele ; pentru orice p ereche (p, P) una din ele este adevărată şi una este falsă. este exclusrL posibilitatea ca ambele să fie adevărate sau ambde să fie false o pro­ poziţie nn are o valoare care să nu fIe nici ade\·ărat.1 nici falsă Dt,di l f ' (valoarea logică) este particulanzată pe mulţimea de valOrI nuanţate ' 1' "2"' f" f.,

\"

f"

atunci terţul exclus lIU are loc in mterpretarea matnceală, căci in raport cu donă � alon (v• • fi) există totdeanna o a treia. Dacă avem " valori \'om mtroduce legea excluderii celUI de al n T 1 lea. Pentru cazul in care IV este infinit avem : orice propoziţie DU are o valoare care să nu aparţină lui W. La nivel metateoretic atribuirea valorilor este guvernată de p. 1. e. (indiferent ce sbtem logic alU avea) : o propoziţie are sau nu are va-


PRINCIPIUL

289

..TREBUIE

IMPLICA

POATE"

loarea W, a treia posibilitate este exclusă. De exemplu, o propoziţie are sau nu are valoarea probabil adevărat, intre a avea şi a nu avea această valoare nu există o a treia posibilitate (= nu poate s-o atbă Ş' să n-o aibă) . Această formulare este in fond particularizarea formulării ontologice : ceva (aci propoziţia) are sau nu are o proprietate (aci valoarea dată) a treia posi­ bilitate este exclnsă. S-ar putea replica : dacă are W este exclus să nu-l

aibă, dar dacă nu are W atunci are ceva diferit de W ! De e:x. p să fie probabil falsă l Aceasta insă nu infirmă terţul exclns căci este vorba doar de o completare a acestuia p este probabil adevărată sau p nu este pro­ babd adevarată, dacă p nu este probabi l adevărată atunci p este W. sau W. sau • . • sau W.. (unde W. oF probabil adevărat). Or, "nu este proba­ bil adevărat" == "este sau W1 sau W., sau . . . sau W... . . în acest fel ter­ ţul exclus ia forma : p este probalnl adevărat sau p ia una dm restul valorilor,

x

Il

.

treia posibilitate este e clusă între a fi probabil adevărat şi a lua una din restul valorilor nu există o a treia posibilitate. De ex., nu există posi­ probabil adevărat şi să ia una din restul valo­ bilităţile ca : a) p să fie rilor, b) p să ia dou4 din restul valorilor ori in genere n (n > 1) din restul valorilor. Intuiţiomsmul la rindul său limitează terţul. exclns la mulţimile

şi

Vx (x e

x e K).

finite. J-'ormularea pusă in discuţie imediat este KV A ceastă formulare presupune Infinitul actual (v.). Respingerea se face in baza ideii constructiviste că nu putem avea o metodă prin care să decidem, in principiu, dacă nltă,

xe K

sau

x e K.

Mulţimea

în concepţia clasică complementara

K

(x $

K

K U

K este actual

cnprinde

toate

x"

mil­

elementele

care nu aparţin lui lC : = AX K) Spunind .. orice noi ne rapor­ tăm simultan la toate elementele din U, or tocmai această raportar. simul­ tană la o infinitate de elemente generează noţiunea de infinit fUtual. în r ea litate U (in cazul de faţă universul indivizilor) : a) se poate să nu fie dat simultan (şi nu este), b) se poate să nu putem decide pentru un X dat dacă aparţine lui

K

Vx (x e K V x E K)

sau lui

K.

La aceasta trebuie replicat că formularea

Vx (x e K V x $ K). K == AX (x $ K) . Totul depinde aci K este lnat ca restul universuluI de

este mai tare decit formularea

Echivalarea lor se bazează pe definiţia de limitele stabilite pentru

K.

Dacă

mdivi:i atunci legea are loc, dacă el este inţeles intr-un univers mai restrins (de ex., universul organismelor vii) atunci principiul nu mai e valabil. De ex., o statuie nu aparţine nici animalelor nici non-animalelor (in universul organismelor) ci unni alt univers de indivizi. Pentru a preveni astfel de

Vx (x e K) = x $ K) , la Vx (x '" ]{ _ x e K). Definiţia K == AX (x $ K) este totuşi o Idealizare admisibilă in anumite limite. PRI�_9P.!PI,. .. «':I:J.:l,EBUI': .11I-'�L!�Ă �.2!!E �, principin al logicii deontice

situaţii este mai prudent să pornim de la relaţia : şi nu de

după care obligaţia de a face ceva presupune posibilitatea (obiectivă, Su­ biectivă şi deontică) de a face acel lucru. (v. poate) . Simbolic princI piul e redat doar parţial c a "obligaţia implică permisia" : Op -+ Pp. Evident, implicaţla nn este necesară dar este o condiţie a obligaţiei raţionale. Există excepţii de la acest principiu aşa cum se arată in A ntigona lui SofocIe : chiar dacă cineva nn poate să facă ceva, el poate lua decizia să facă conform cu principiul că :

este suficientă

trebuie (moral) nu implică posibilitatea de a făptui, ci

tendinţa. Raţiunea stă in faptul că tendinţa de a face ceva

este un stimnlent moral pentru ceilalţi, chiar dacă cel care tinde nn poate indeplini

obligativitatea morală.


PROBLEMA "CE INTREBARE

A PUS"

290

PR OBLE)IA .CE INTREBARE A PUS ,) . Doi tineri dintre care unul spnne-to1:deaurra l1dev�fut ·şr âTfitT tDtaeauna falsul stau la o bifurcare de

drumuri Ei răspund la orice Întrebare cu "da" sau .. nu" Ce Întrebare trebuie să li �� pună pentru a afla drumul care duce la un lac d i n apro­ piere ' (\'. soluţia in FLG) PROBLE1IA CELOn DOUĂ TRIBURI. Pe un ostrov se af!.i dOU(1 triburi tribul celor care-spui(fntotde-amial'âTSi'i!1i 'tnbuf ceţ?� ��re spuu -î ntotdea­ una adevărul en că)�!�! }�t� �!� J:�e iIl!;�!ă_..un.!>'iişt aŞ care-I spune că . . Il angajează ca înso Itor �Ial departe. "e cinstit" . ca urmare calatoiiiI intîlnesc amindOI pe un alt băştinaş. însoţitorul îi spune călătorului că şi acesta e onstit. Cum era însoţitorul ? (v. soluţia in G E . FLG). PROBLEMA CELOR TREI FILOSOFI. Trei Jilosofi grecI an adormit în grădina Acăacini"eClntt.e ._ti.!DP cineva l-a murdărit cu car'fiune ·pe ·frunte. Cind s-au trezit fiecare a ..începuf ·să ridă de cetlatţl -ctof, dar deodată unul s-a oprit din ris dindu-şi seama Că şi el este murdar. C-u m a raţionat ' (v. soluţia în G.E , FLG). PROBLEMA CULORII ��I1. Trei prieteni A, B, C stau unul după altul, astfel că C (ultimul) îi vede pe B şi pe A . E i an capetele descoperite. Dintr-un săculeţ care conţine două şepci albe ŞI trei şepci negre i s-a dat fiecăruia o şapeă necnnoscută de el, iar două şepci neştiute de toţi au răma;, în �ăcu­ leţ. C şi B spun că ei nu-şi pot determina culoarea şepcilor lor. Poate A să determine Culoarea şepciJ. sale pe baza răspunsurilor hu C ŞI D ' (v. soluţia in G.E., FL G ) . PROBLEMA DECIZIEI, problemă fundamentală a logicl1 wnboltcc. constă in a găsi o procedură efectivă astfel că pentru fiecare formulă logică să se decidă intr-un număr finit de paşi după structura fonnulei dacă reprezintă sau nu o lege logică. Problema este rezolvată in general pentru teoria fnncţiilor de adevăr (p rin algoritmul matricelor, prin formele nor­ male Ş a.), ŞI numai parţial pentru alte sisteme logice (v. problema dec�­

1r

ztez în log�ca pred"atelor). PROBLEMA DECIZIEI IN LOGICA PREDICATELOU. Spre deosebire de

calculul propoziţiilor, în calculul predlcatelor l1U există o procedură efec­ tivă de evaluare a fiecărei formule, adică de a decide după formă dacă este universal adevărată ( = logic adevărată), universal falsă (= logic falsă) sau realizab!lă (în ori ce domeniu) . Dacă problema deciziei nu este rezol­ vabilă, in general, ea este în schimb rezolvabilă pentrn anumite clase de formule. Nu este Sigur că putem avea o cl asificare completă încît orice for­ mulă să facă parte dmtr-o clasă dendabtlă (Kalmar, de ex , lasă deschisă această posibilitate) . Problema deciziei poate fi pusă fie pentru realizabiIi­ tate fie pentru universal valabilitate, însă nu este necesar să fie pusă pentru ambele căci rezolvarea pentru unul dtn cele două predicate implică rezol­ varea pentru celălal t. într-adevăr, o formulă este logiC adevărată dacă nega­ ţia ei este irealizabi1ă ( = logic falsă) . W. Ackermann a indicat trei fonne în care poate apare problema deciziei : 1. A deCide dacă o formulă dată este logic adevărată sau nu. n. A decide dacă o formulă este logic adevărată. Dacă nu este logic adevărată a decide dacă ea nu este univresal adevărată intr-un domeniu oarecare sau în unele domenii. în ultimul caz trebuie să determinăm nnmerale cardmale pentru domeniile pentru care este um­ versal adevărată. III. A decide pentru o formulă dată dacă ea este U111versal adevărată în toate domeniile cu un număr finit de elemente sau nu. A. Church şi A. Tunng au arătat că problema nu este, în general, rewl­ vabilă în formele I ŞI II, Iar n.A. Trachtenbrot a arătat aceiaşi lucru pentru forma III. Kleene arată că problema deciziei poate fi pnsă şi îu termeUl sintactici . "O suită de formule este o demonstraţie ? " "O for-


291

PROBLE'IoIA DECIZIEI PENTRU MODALITATI

mul ă dată este demonstrabilă". Pruna prohlelll.'. e&te reL:olvabllă prm sistemul postulatelor sistemulUI (axiome, reguli) . a doua problemă nu este rezolvabi1ă, deşi fiecare formul ă are cel puţin un "mecanism de demon­ straţie". în cazul În care formulele nu conţin cuanto r i �oluţi a �e dă pe haza teoremei orice su bstitu ţie de sch e me necuantificate Într-o t autologie din

TFA dă o schemă logic ad ev ăra tă . I;xemple F(x) V F( Y), F(:L , y) V V F(x, y) , F(x) ...... F(x), (F( r, y ) & F(x, :1')) ...... F(x, z) , sînt formul e logic adevărate (şi in acel aşi timp tautologii) . Problema este general rezolvabilă pentru calculul monadic al predicatelor Solllţi1 au fost date de B e ruays , Schonfinkel, Qume Ş a. Teorema care stă la baza rezolvării acestei p ro b­ leme este u rm ătoarea . o formul:i lUonauică cu n v .riabi le pred l ca h v e (diferite) este l ogic adevărată ( = universal valabilă) uacă şi numat dac ă negaţia el n u este reahzabilă Într-un domemu cu 2 n mdlvlzi O formulă aplicată la 2 n mdiviz i e.,tc de compozabil ă il1 conjuncţie finită În raport Cii cuant ificarea universală şi În disj uncţie finită în raport cu cuantificarea existenţială, ceea ce reduce problema la deci zi e În TFA. Pentru reducerea şi rezolvarea pro ble mei deCiziei În calculul II- ad l c (IZ -> l) co ns iderăm o anumită clasi fic are a formulelor din trei pu ncte de \ edere l) pr efixul , 2) matricea, 3) 1I1dtricea şi prehxul. Se presupune c.1 formul ele sint ÎlI forma, normală prenex,f (v.) . Caz urile rezolvate �ÎlIt urm ătoarele . ( l a) prefixul nu conţi n e cuantori eXistenţiali, ( l b) prefixul nu conţi ne cnantori l1Diversah, ( lc) pr efi x ul nu c:onţine cnantori existenţiah care .,ă prece adă vreun c uan tor universal, ( ld) prehxul n u c onţin e mai mult de un cuantor exist enţial, ( le) p refix ul conţiue numai dOI cnantori existellţlah între care nu se mterpulle v reun c uantor uni vers " l, (2) matricea este o diSJunc­ ţie de formule elementare suu negaţi i ale acestora , ori e&te reductibil,. la această formă, (3a) p refIxul este de forma 3 " . . x", 'o'Yl . . , Yn fie c are formulă elementară (c:onţinl1tă) în care apar van a hile ,'\' " , ;1, ,,, c uprinde sau toaH, aceste vanabtle sau cel puţm una dm v arI abi le le )'1' , Y", (3 b) prefbml are ca ultimă parte 'o'ZI ' • Zn ŞI fiecare formulă elementară tim matrice c a re conţine variabile di n prefix , cupri nd e cel puţin uua din \-aria­ bilele ':; " . , .:;", (3c) p refix ul este de forma 3.� 3y 3Z1 Zn (n "" 4) şi matricea este de iorma G( r, y) ...... H(zv . . . zn) (�an ceva ecluvalent cu aceasta) ŞI unicul predicat din H(Zl ' . . . z,,) este pr edicatul diadic &. Pentru rezolvarea acestor cazuri se demonst rează mai m ulte leoreme de eLail/are (v ) PROBI,E1J.\ Df:UZIE I PE�Tnu \I OD..\UT\ŢI. î n sIstemele Lukasie­ wiCL: p roble m a deciziei se rezolvă cn aj utorul logiciz polivalente (v ) . Sis­ temele Lewls şi A ck er m ann nu permit o as tfel de soluţie deoarece pentru ele DII exbtă matriCI c a racterist ic e finite. Carnap reduce soluţia pentru 5. l a m ..trici blvalentc cu valorile L-adevărat şi L- fa ls, folosindu-se de formele norma l e

Regulz de ÎII!OClllre 1 A V A CII 1 2 A & A ('U - 1 3 D a că O A are formele O t, - t, O A , - O A atunci va fi înlocuit ă cu A Formula se r educe la 1 (de m on strabil ă) sau _ 1 (indemonstrabilă). McKmsey a dat o solu ţie p en t ru 52, El introdnce noţiun ea de parte a expresiei (in sens larg). De ex. : (P A q) V O P se poa t e descompnne Î n urm ătoarele părţi (p roprii sa u improprii) : p, q, p A q, O p, (P A q) V V O p. Soluţîa se reduce în acest caz la construirea de finit de multe mat­ rici fimte. ::Ilc Kinsey formulează următoarea teoremă de decizie ' Dacă A


PROBLEMA ELIMINABU

292

este o expresie in S2 care conţine partea ". atunci A este d emons trabilă :u Sa numai dnd ea este realizată de orice matrice normală a lui S. care nu 2 conţine mal mult de 2 ' + I demente. Pe baza corespondenţei stmctu­ rale în tre calculele modale şi cele nemodale se pot formula diferite proce­ dee. Astfel de procedee formulează von Wright modificînd formele normale disj unchve şi matncele de adevăr şi Kripke pornind de la tabelele de adevăr ale lu� Beth (v ) Tot Kripke corelează decizia in calculul modal al pre­ dicatelor cu c ea din calculul nemodal. Hughes şi Cresswell formuleazli diagrame de dec iZie (pornind de la noţiunea lumilor posibile) pentm 5•• 5•• S•• S. şi aIte sisteme. Diagramele pentm 5•• S. rep re zint ă două tipuri de lumi posibil e - normale şi neuormale. Pentm cele normale se folosesc drept unghiuri simple. pentru cele nenormale dreptunghiuri inscrise O secvenţă de dr ept unghi uri pe orizontală va da o T - diagramă. Exem­ plificăm pentm formula LL (p => Pl. T - diagrama este :

W,

LL I p ::> p l

O '"

l

L tpJpl O *

l

p :;:) P 1 • O W1• Wa• W. sinI lumile posibile. Orice formulă care incepe cu L şi are va­ loarea O ca şi orice formulă care incepe cu M şi are v aloare a I este ca racte ­ ristică pentru Inmlle nenormale. Inconsistenta in Wa va insemna că for­ mula este T - validă. Diagrama' aceasta diferă total şi de diagrama Sa :

W,

LL l p => p ) O *

lAci Wa este nenorma1ă dacă formula nu este S. v alid ă. (v. sistemele modale ip Lewts lume pos!b�Iă) . •

PROBLHMA ELIMINĂRH (formulată d e ScL1rOder Ş I dezvoltată de W .

Ackermann)

vwază reducerea un e i formule din calcul ul predlcatelor de

ordinul doi Ia o formulă echivalentă din calculul id entităţii ( de ordiuul


293

PROBLEMA

unu). Problema constă in găsirea unei proceduri efective (v.) pentru aseme­ nea reducere. PROBLEMA LUI SMULLYAN. în ziua terminării primului riizboi mon­ diăf tiei familirs::Qii-decfSsăsărbătorească impreună evenimentul. Fiecare soţ era fratele unei femei care era căsătorită, fiecare soţie era sora unui bărbat căsătorit, deci erau trei perechi frate-soră. Se ştie că 1. Elena e cu 26 de săptămîni mai mare decit soţul ei care s-a născut in august, 2 sora lui White e căsătorită cu cuscrul fratelui Elenei şi s-a căsătorit cu el in ziua aniversării ei, in ianuarie, 3. Margareta White e de statură mai mică decît W. Blacke, 4. sora lui Arthur e mai frumoasă decît Bea­ trice, 5. John are 50 de ani. Cum o cheamă pe d·na Braun ) (u. solu­ ţIa in Gh. Enescu, FLG).

PR�,LEMA LlJL��N�_Regu1amentul unui club cuprinde următoarele reguli : ( 1 ) comitetul financiar trebUle să fie ales din componenţa comitetu­ lUI general, (2) nimeni nu poate fi in acelaşi timp membru al comitetului

general şi comitetului de bibliotecii, dacă nu aparţine şi comitetulw finan­ ciar, (3) nimeni dintre membrii comitetului de bibliotecă nu poate fi In comitetul financiar. Sii se simplifice regulamentul J Se aplică calculul

propoziţiilor (v.). PR�BLEHA N UMELUI DE FAMILIE. Popescu, Ionescu şi Vasilescu . lucrează 'pe iiii tren' fiecare-'avmifUiIlr'din profesiile mecanic, conductor ,

fochist. în acelaşi tren merg trei pasageri cu aceleaşi nume de familie. Se ştie că . pasagerul Vasilescu locuieşte la Craiova, conductorul locuieşte la Piteşti, pasagerul Ionescu a uitat de mult algebra pe care a invăţat-o in şcoală, pasagerul care are acelaşi nume de familie cu conductoml locuieşte la Braşov, conductorul şi un pasager care este specialist in logicii materna­ beA merg la acelaşi club, Popescu ciştigă la fochist cind se intilnesc la partidele de biliard. Care este numele de familie al mecanicului ? (v. soluţia in Gh. Enescu, FLG). PROQLEMA VIITORILOR CONTINGENŢI, problemii despre evenimen­ tere viitoare-pnsrae ciitre Aristotel in lucrarea Despre interpretare. Prin definiţie propoziţia este ceva "ce este adevl1ră.f sau - fals". Ailă.1IZiiid pro­ poziţiile de genul ..miine va fi o bătălie navală", Aristotel constată cii astfel de pr�oziţU nn pot fi declarate nici adevăraţe .t;!.ii:: Ualse, deşi este evident că !!..�â, din i::eJe două,posibllităţi.iie'-va-TeaMa. Felul in care Aristo­ tel analizează problema deschide perspectiva logicii polivalente, după cum va arăta Lukasiewicz. Aristotel nuaiiţeaz'ă a.ăevaiuT1ŞTIălSUIflilurmătoa­ , : a, ma mult_ sau ��i.J>uţin adevărat, b) ac!ual adev�l:!t, rele nioa�ii t c) potenţIal adevărat, a) necesar adevărat, e) contingent adevărat, f) ştim cI(esteMevhat (.. putem spUiieprects "), nedecis· ( .. lăsăm alfernativa în aceste ca��.Jerţul exclus nu se JEai I\Plică aşa cum se aplic� 1Il cazufOivalenţei. Sugestiile sale sint după cum se vede numeroase ŞI chiar dacă nu le-a explicat in adincime ele au contribuit la dezvoltarea logicii modale şi polivalente in secolul nostru. PROBLE MATIC, termen care in logică este sinonim cu "posibil" . •Tudecă­ ţt!e de posibilitate se mai numesc şi problematice. PROBLEMĂ. Spunem că avem o problemă ori de cite ori dispunem de o mulţime de informaţii numite date şi ni se cere să ajungem la un rezultat uumit solu/�e. Exemple de p.' 1 . p. rezolvării unei ecuaţii de gradul 1, 2. p. delllonstrării unei teoreme, 3. p. producerii unei substanţe chimice cu anumite calităţi. 4. p. luării unei decizii, 5. p. obţinerii succesului într-o acţittne La aceste p. (ori mai exact, tipuri de p.) putem auăuga ceea ce s-ar putea numi metaprobleme. 6. este o p. adevărată ceea ce ni se prezintă ca

��-=-���" )


PROCEDURA EFECTIV A

29-1

p. ) 7. ce ttp de soluţIe are p. ? 8 este rezolvabilă p. cu ajutorul unui cedeu dat , Un criteriu de a disttng e p. de pseudo-problemă este dem onstraţi a faptulut că soluţia cerută nu este absu"d ă P. poate fi studiată sub următoa­ rele aspecte a) datele, b) rezultatul, c) relaţia dintre date ŞI rezultatul (cerut), d) procesul de rezoh'are, e) metoda de rezolvare. P. pot fi practice sau teoretice. Orice p. practică implică o p. teoretică (in sensul foarte larg al cuvintului de p. raţională) . Ne referim , in continuare, nu mai la p. teoretice Este necesar să formulăm clar datele şi să defimm cIar natura generală a soluţiei. î ntre date ŞI rezultat trebuie să existe relaţii logice (adică in pnncipiu datele să fIe legate logic ue rezultat) Ele trebuie să fie

pro­

necontradictorii, independente şi suficiente pentru ca soluţia să decurgă logic din prelucrarea lor. Dacă datele îndeplinesc condiţiile respective atunci prelucrarea ( " procesul de rezolvare " ) depinde de metodă. Ke putem afla in situaţia c ă metoda este insuficientă pentru a ajunge în mod sIgur la rezultat. î n acest caz problema nu este rezolvabilă cu cer tI tu dine . Dac ă. atît datele cît şi metoda sint complete (suficunte) problema este rezolva­ bilă cu certltudme sau, cum se mai spune, efectw Dacă metoda nu este suficient:! - fie că nu dIspunem de toate regulile fte că se cer �I alte con­ diţii (de ex , inventiYitatea, intUIţia) - atunci rezoh'area este euristică, adică metoda ne arată "cam pe unde se afl:! rezultatul" dar nu-I poate d etermina exact P. 5 este prin excelenţă o p. rezolvabllă eunstic prin încercăn, ghidindu-ne dup.l unele reguli care pot fi necesare dar nu s ufi­ ciente P. 1 este rezolvabilă efectiv, căci există metode de calcul ( = algo­ ritmi) care ne duc cu certItudine la rezultat şi în mod mecanic P. 2 deş1 dispune d e o metodă completă (în sensul că avem l a dispoziţie toate regu­ lile) nu se rezolvă automat prin reguli căci ordinea aplicării regulilor nn este sugerată imediat de date , fiind necesară o anumită inventivitate, intuiţia a ceea ce trebUIe făcut. RăspUllsul la p. este de două feluri Sau prin da-nu sau prin acesta. Ca urmare, p. sînt de tipul da-nu sau de tipul care. Este re­

zolvabilă ecuaţia de gradul 1 ) Da. Care este soluţIa ecuaţiei date ) Aceasta. Pentru logica simbolică p. fund amentală este de a decide dacă o formulă reprezintă sau nu o lege logtcă (v, p"oblema deciziet). P. se consideră rezol­ vată cînd este dată m etoda de rezolvare efectivă. Astfel, pentru teoria func­ ţiilor de adevdr p. este efectiv rezoIvabtlă, dar pentru logica predic atelor î n genere, e a n u este rezolvabllă astfel A. Church a demonstrat irezolvabili­ tatea efecth'ă pentru logica predicatelor în genere î n ultima vreme apar tot mal multe teoreme de irezolvabilitate, ceea ce ne scuteşte de căutări inutile. (v ŞI Log ica problemelor.)

PR OCEDLR\ EFECTIV.:\. , procedură care satisface condiţia de efecth itate (v.). l\Ietodele de calcul ( algoritmii) sînt exemple clasice de proceduri efective (V şi P"oblemă, Rezolvare) PllODI.;S tARTEZIAN, se spune că Al X A2 este p . e. dacă şi numai dacii Al X A. este mulţimea 'fufuror elementelor perechI (adIcă de forma < \ , y» astfel c ă x E A şi Y E R. Sl mbobc A I Â A 2 A ( x, y) ( x E A & Y E E) . P. ('. este deCI o mulţime de Il-uple (v ) . Se înţelege e li. putem avea nu doar mulţimi de cupluri (Perechi , dta de ) ci şi de t"iplete (triade) şi , în ge­ nere, de n-uPle (n- ad e) . ),Iai mult, putem avea p. e. infinite Sim=

n

bolic

TI A, şi •

=-= 1

resp.

& X" E A ,,) Un p. X

A,

'Vom

co

n

TI A " TI

'I = J

'1 = 1

=

j,(xl, ''\'2,

, '\',,) (Xl E A l & X2 E A 2

e. interesant este cel cu factori identici A X A x ... adică . A " sau chiar A � . Fle mulţimile Al = {a, b} ŞI A. = {c, d} în logic ă. avea p. e• . A I X A. = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}


PROPOZIŢIE DE VALOARE

295

funcţiile de adevăr sint definite pe p. c. de forma A n. Avind V = {v, f, } mulţimea valorilor logice ş i n variabile, mulţimea n-uplelor v a fi Vn. Pentru n = 2, vom avea · V X V = VI = {u, !} X {v, I} = <II)}. Se observă că dacă numărul de elemente al mulţimilor A I ' As, . . . A n este respectiv ni' n2, • • • , 1ln, atunci numărul de n-uple al produ­ sului este ni X n. X • . • X n n . tn cazul nostru, pentru avem 2 X 2 = 4 . PRODUS LOGIC, denumire în limbajul antmetizat aritmet�zare) pentru conjunctie (funcţia conjunctivă) . Se notează cu • şi se reprezintă priu formula p • q Dacă avem o serie de membri ordonată (finită sau

{ (f1V), (vi),

(fv),

V'

infinită) atunci produsul logic se sCrie

PRODUS RELATIV R{Q 3z (xRz & zQy)

TI p,

,=1

(v.

00

(resp.

TI p,l ·

.= 1

simbolic · R{Q sau x(R{Q)y - se defineşte astfel : Exemplu · x este unchiul lui y = 3z (x este frate z este talăl lui y) . Produsul relaţiilor este asociativ. -

cu z

=

&

PROPOZIŢIE, termen care denotă fie o formă gică. P. In sens gramatical se referă la forma

gramaticală, fie o formă lo­ materială a j udecăţilor. O j udecată poate fi exprimată in diferite forme gramaticale (sinonime) . P. în sens lOgiC este o categorie semiotică mai complexă. Ea presupune : a) o informaţie, b) o formă gram aticală, c) o valoare de aprobare sau respingere, d) o structură logică. După tipul de semnificaţie propoziţiile pot fi de mai multe feluri : 1) cognitive, 2) pragmatice (normative, inte ­ rogative) , 3) axiologice. Un gen aparte de p. sînt cele exclamative. Sem­ nificaţia lor este complexă (cognitivă şi apreciativă) . P. declarativ-subiec­ tive (formulate la persoana

P� O!,Q;ţ;!'[I!?_

AŢ2.MAIlA,

1) sint un gen de propoziţii cognitive.

termen introdus de Russell pentru propoziţiile

elementare (adică propoziţiile care nu mai conţin nici o parte ca propozi­ ţie) în opoziţie cu propoziţiile moleculare (formate din propoziţiile atomare cu ajutorul anumitor operatori, de ex. : nu, ş�, sau etc.) . De ex. . "Ion este fratele lui Gheorghe" este o p. a. "Veronica este soţia Iw Gheorghe şi Veronica este cumnata lui Ion" este p. moleculaYlJ. tn mod corespunzător In limbajul variabilelor vom avea semne pentru p. a. p, q, r, . ..:.. sau expresii P(a) , R(a, b) şi respectiv pentru p. moleculare, de ex. : p , p & q. P(a) P(b) . PROPOZIŢIE DECLARATIVĂ, propoziţie care transmite o informaţie In scop cognitiv şi care poate fi calIficată ca adev.1rată sau falsă sau cu nuan­ ţări ale acestor predicate . De ex. : . . 2 + 4 = 6", ,,2 + 3 = 7". Unele p. d. se referă la subiectul care o enunţă sau la subiecţii dintre care face parte declarativ-subiective". subiectul care o enunţă - aceste propoziţii sînt " De ex. · "eu sint in vîrstă de 20 de ani " ; noi am venit aici cu intenţii " paşnice" PROPOZIŢIE DESCHISĂ, propoziţie care conţine cel puţin o parte variabilă. De ex. "x este om", "x este număr par". Se mai numeşte şi funcţie propoziţională. Este diferenţiată de propoziţia închisă care nu con­ ţine părţi vanabile De ex. " Petre este om", ,,2 este număr par".

(v.)

&

PROPOZIŢIE DE VALOARE, propoziţie cu semnificaţie cognitivă-prag­ matică, constînd in a raporta un lucru artificial sau natural la conceptul de valoare adoptat de individ sau de colectiv Sau pur şi simplu la impresia subiectivă produsă de lucrul respectiv. De ex. : "aceasta este o carte fru­ moasă" , " a ceastă maşină este foarte efiCientă " . Cînd valoarea poate fi măsurată se procedează la evaluaf'e în raport cu "unitatea de măsură" . Propoziţia poate fi calificată ca adevărată sau falsă in funcţie de modul In care se acordă cu conceptul sau I mpresia produsă. Că "x este propozi-


PROPOZIŢIE ELEMENTARA

296

înseamnă în acest caz că "x este în acord cu conceptul de ţie adevărată" " valoare sau că "x produce impresia declarată". PROPOZIŢIE ELEMENTARĂ, orice propoziţie a cărei parte nu mai este propoziţie. De el[. ,,2 + 2 = 4", " plouă", " omul este biman". PROPOZIŢIE EXPLICATIVĂ, propoziţie de forma "p deoarece q " (unde p şi q reprezintă propoziţii) De ex. omul este muritor deoarece toate fiin­ ţele vii sint muritoare. ( V. şi expltcaţie) PROPOZIŢIE INTER OGATIVĂ, o propoziţie care pune o problemă şi cere un răspuns, un gen de p rop oziţi e tmperativă (v ) . I n funcţie de răspun­ sul cuprins, intrebarea are forma implicită "da sau nu ? " �i resp. "care?" Este omul nemuritor ' Care este rădăcina acestei ecuaţii ? Forma care se poate tran�forma pnn dIsjuncţie în judecată cu răspuns da sau nu (dacă numărul de răspunsuri este flmt) · este p, sau Pa sau . . . sau p,, ' P. 1. sint corecte sau nu, dar nu are sens să spunem că sint adevărate sau false. Apli­ caţia logicii la studIul întrebănlor dă loglca tnterogatwă ( = erotetica) (v.). PROPOZITIE MOLECULARĂ (v. propoztţte atomaI'ă) . PR OPOZIŢIE SIMPLĂ CATEGORICĂ, denumire curentă pentru propo­ ziţiile de matrice S este P Termenul categoric se opune lui ipotetic (condi­ ţionat) insemnind deci necondiţionat. Simplu, la rindul său, se opune lui compus. Exemplul ,,2 > 1" este o judecată atit simplă cît şi categorică, totuşi nu este de forma S este P. Ca urmare, e de preferat termenul "judecăţi (propoziţii) generice " pentru judecăţile de forma S este P (jude­ căţi de gen). Termenul "simplu categoric" corespunde exact cu judecăţile simple şi necondiţionate (nelpotetice). în acest fel, există două feluri de judecăţi simple categorice : a) generice ( = de gen) şi b) de relaţie De ex. : "Toţi oamenii sînt muritori " şi resp. "Bucureştiul se află la nord de Atena". PROPOZIŢIE TELEOLOGIC.4., propoziţie de scop ("de plan" ) care implică luarea unei declzÎ! pe baza evaluăni unor posibilităţi. De ex., " "în 1 990 vom produce 20 miI. tone oţel are sensul exact de "ne-am propus ca în 1990 să producem 20 mll. tone oţel". P. t. nu este adevărată Sau falsă ci l'aţională sau iratională. Este necesar să fie distinsă de p rop ()zi­ ţiile de pl'eviziune (v.). O�ice p. t. raţională presupune anumite propo­ ZIţii de previziune, dar nu se identifică cu acestea. P. t. este totdeauna şi o condiţie a propriei sale realizări. PROPOZIŢII COMPUSE, propoziţii care apar din propoziţii elementare prin utilizarea operatorilor logici. De ex. "Nu toţi oamenii sint război­ nici", , , 2 + 2 = 4 şt ,,4 - 2 = 2". Există şi cazuri în care aparent avem o propoziţie elementară, de ex. : "toţi oamenii sînt muritori", Dacă supri­ măm Însă pe toţt rămine "oamenII sînt muritori" care este de asemenea, propoziţie în limbajele formalizate distincţIa Între propoziţiile elementare şi compuse este exact redată.

PROPOZIŢII CONDIŢJOI\iALE, sint propoziţti de forma " dacă . . atunci ", care exprimă o t njel'enţă sau cel puţin coincid, cu anumite pro­ prietăţi de adevăr ale inferenţei. Aristotel a formulat pentru fiecare schemă de inferenţă cite un principiu in formă condiţională. De ex. : pentru Bar­ bara (v.) · Dacă toţi M sînt P şi toţi S sint M atunci toţi S sint P. Folo­ sirea condlţionalelor este esenţială în logica megaro-stoică. Ei au discutat indelung despre natura acestor enunţun. Sextus Empiricus mdică la megaro-stoici patru puncte de vedere asupra acestor probleme . ( 1 ) este un enunţ care nu incepe cu un adevăr ŞI se termină cu un fals (Filon) ; (2) este ,mposibil să fi inceput sau să înceapă cu un adevăr şi să se termine cu un fals (Diodor) ; (3) este un enunţ in care contradîctoria consecvent ului este


297

PROPOZIŢII DE INERENŢA

incompatibill cu antecedentul (Hrisip) ; (4) este

un enunţ lu care consec­ ventul este potenţial conţinut In antecedent (Alexandru din Afrodisias). Exemple corespunzătoare : ( 1 ) "Dacă este ziuă eu conversez" ; (2) .. Dacă nu există elemente atomice ale lucrurilor atunci există elemente atomice ale lucrurilor" ; (3) "Dacă este Ziuă, este Ziuă" ; (4) "Dacă este lumină este " ziuă (căci lumina cuprinde în ea potenţial ziua) . Diodor neagă valabilitatea exemplului Iw Filon, iar perlpateticii respmg exemplul (3) (căci ziua nu c u.prin de potenţtal ziua) . Filon admite trei cazuri în care p. e. poate fi ade­ vărată (exact ca in matricea lmplicaţiei materiale). Exemplele aduse de astă dată sint esenţial deosebite de exemplul ( 1 ) dat mal sus ; (5) " Dacă este ziuă este lumină (v v, V) , (6) " Dacă pămintul zboară, pămlntll1 are aripi" (ff. II) ; (7) ..Dacă pămîntul zboară, pămîntul există " (fu, v) . Este respins ins! (8) . . Dacă este ZI este noapte" (v f, fi. Aceste exem· ple arat! că el nu are în vedere pllr şi simplII cone:uum necesare (de ex fizica) ci legături mferenţJale. şi chiar mai mult enunţur, analitice ( ade­ vărate sau false prin definiţie) . Exemplul ( 1 ) poate fi considerat ca o dovadă că Filon n-a înţeles exact distincţia pe care o mtroducea între funcţia de adevăr (implicaţia materială) şi propoziţiile Jmplicative (cu sens) . Diodor expnml prin modalitate ("este imposibil") natura relaţiei. dar adevărul şi falsul sînt pentru el relative la timp (II. argumentul domJnatoruluJ) , ceea ce generează complicaţii. Tocmai in acest sens exemplul ( 1 ) este fals : el demne fals cind am tăcut. El se apropie totuşi de imPlicaţia strictă (v.) . "Este imposibn p şi q" (sau " este necesar p _ q) . O serie de paradolre pe care le generează relativizarea la timp a adevărului şi falsului sînt analizate de Kneale. Conform cu concepţia a treia putem introdllce schema P/q ( "P este incompatibil cu q"). Stoicii (în special Hnsip) influenţaţi de Teofrast au. adoptat următoarea formă de condiţionale prin care descriu inferenţele' neceSare .,Dac! primul, atunci al doilea; dar primul, prin urmare. al doilea'" etc. Conţinutul condiţionalelor este deci pentru ei necesitatea logictl. Pentr<l. peripatetici sensul pare a fi mai general, căci termenul potenţial nil se aplic ­ numai la relaţii logice. ci şi la relaţii fizice. Abelard va reduce con. ţinntul condiţionalelor la consequentJa (v.). adică "decurgerea necesară"� Schyreswood defineşte adevămJ condiţionalei prin quod cum sit antecedenţ SIt conseqllens, iar Petrus Hispanlls il descrie : qoud antecedens non possi­ esse verum sine consequente şi omms conditionalu vera est necessana. Re zulU că. in esenţă. s-a înţeles prin condiţionale in principal propoziţi' .nferenţiale adevărate şi eli atenţia a fost atrasă de relaţille ; de valoare. Ulterior, anumite relaţii de adevăr au fost considerate suficiente pentru a d�ie condiţlonalele. Istoriceşte, deCI, vom cuprinde în sfera p. c. : 1) in­ ferenţele logice, 2) implicaţia materială şi 3) implicaţia strict!. Trebuie totuşi remarcat că 2) şi 3) sînt rezultatul descrterii raporturilor de valoare in cazul mferenţelor logice şi. ca urmare, e de presupns că nu au fose concepute ca relaţii independente. ci ca nişte condiţii nec/lsare ale inferenţei adevărate. în consecinţă. nu vom identifica p. e. cu orice propoziţie de forma . .dac! . " atunci" cînd ne vom raporta la dispntele antice şi me­ dievale ( V. şi Propoziţii ,mphcative) . PROPOZIŢII DE EXTENSIUSE, propoziţii care exprimă sali aparte­ Benţa unui element la clasă sau mcluziunea unei clase în alta : x e f( " ("x apa:ţine lw 1("). L c K ( .. L este inclusă în K ). Exemple . 2 E Clasei numerelor pare ; N c Z (N ŞI Z mulţimi de numere). PROPOZIŢII DE INERENTA, propoziţLi de matrice 5 este P. Poartă incă denumirile de .. propoziţii (judec!ţi) simple categorice " sali .. propo­ " " ziţii de predica ţie "judec!ţi atributive" sau judecăţi de apartenenţa . " Conform cu concepţia lui Leibniz 0,5 e�te P" spune că predicatnl este in .•

=


PROPOZIŢII DE INTENSIUNE

298

subiect (praedzcatum znest subzecto) Ideea de tnerenţă sugerează o legătură consubstanţială între subiect ŞI predIcat, ceea ce evident nu e cazul în general. Putem lua ideea lui Leibniz în sens mai larg P este în S, ceea ce " este mal adecvat. Avantajul termenului "inerenţă constă doar in faptul că nu implică vreuna dintre cele două concepţii - extensivism sau C01/l­ prehensivum. Fiecare din celelalte denumiri are neajunsuri. Probabil că ar fi mai fericită utilizarea termenilor "judecată copulativă " (u. c6pulă) sau de Judecată genericd (v.) A doua denumire ar spune că predicatul este totdeauna gen in sensul strict al cuvîntului. O interpretare semiotică este de asemenea posibilă : denotatul lui P este cuprins in S dar introducerea cantităţii (toţt, unii) complică interpretarea. Structura de bază (matricea) a acestor judec ăţi este S este P, unde S se referă la un individ sau o specie, iar P la specia infimă sau la gen (cel mai adesea) . Ex. "Caius este om" (Cauts desemnează un individ, Iar om un gen) , "omul este animal" (om de­ semnează o specie în raport cu genul ammal"). Clasificarea acestor propoziţii dupli cantitate ŞI calitate dă următoarele forme : sînglllare (afirmabve, negative), particulare (afirmative, negative), generale sau altfel spus universale (afirmatIve, negative). în silogistica tradiţională sînt considerate numai cele particulare ŞI generale (cele singulare sint 1000mai asimilate cu cele generale). Iată simbolizarea şi structura corespunzlitoare :

A : Toţi S SÎnt P (universal afirmativă) E · Kici un S nu e P (universal negativă) 1 . Unii S sint P (particular afirmativă) O . UDli S nu sint P (particular negativă)

Lukasievicz le-a simbohzat in modul următor .

SaP, SeP, SiP, SoP_

propozIţii care expnmă relaţia de "a " avea o proprietate". Ele pot fI în funcţie de proprietate, "de însuşiri sau "de relaţie". Simbolic F(x), G(x, y), G(x, y, z) , adică "x are pro­ prietatea (insuşirea) F" ; "x şi y au proprietatea G" etc Exemple · "Ion " are însuşirea de a fi sportiv" , "Ion şi Constantin sînt fraţI . PROPOZIŢII DE PBEDICfIE, propoziţii care enunţă presupuneri despre "evenimentele viitoare". Pot fi certe (demonstrabile) sau prob abLle. Exem­ plu de previziune probabilă în anul 2000 va fi eliminat şomajul de " " pe tot globul . O astfel de Judecată odată «realizată » devme previziune. Se spune " acest lucru s-a prevăzut". PredIcţiile (pre-zicerile) care au caracter probabIl, în sensul strIct al cuvintului nu le poţi numi pre-ueden (p"e-vizzum) decit odată ce s-au reahzat, chIar dacă am presupune cl sint intltiţii certe (deşi indemonstrabile) Totuşi, in mod obişnuit termenii se utilizează ca identici, fără a lua seama la asemenea subtilităţi. Se poate formula următorul paradox al previziunii : evenimentele se abat de la cursul "previzzunii" tocmaţ pent,u că au fost prezise. Tot prezicînd că :0 bancă va da faliment, ea dă faliment. Aceasta se explică prin faptul că predicţia se transformă dm presupunere asupra evoluţiei evenimentelor în condiţie a evoluţiei. PROPOZIŢII DE RELAŢIE," propoziţn care exprimă relaţII (tradi ţlOnal se spune "judecăţI de relaţIe ) De ex. Bucureşti se află la sud d e Plo­ " ieşti". Considerată din pllUctul de vedere al logicii relaţiilor termenii ocupă. poziţie egală în raport cu relaţia in sensul că relaţia îi determină pe ambiI, considerată din punctul de vedere al predtcaţiei numai primul termen este determinat, al doilea face parte din predIcat. Astfel, relaţia "la sud d e " se aplică in primul sens perechii ordonate < Bucllreşti, PloieştI) in tim p ce In al doilea sens predicatul " la sud de Ploieşti" se aplică subiectului B llcu-

PR OPOZIŢII DE I�TENSIUNE,


299

PROPRIETATE

reşti. Reducerea p. de r. la judecăţile simple de forma S este P nu este totuşi corectă, deşi o astfel de reducere s-a incercat în logica tradiţIOnală. Considerînd judecata ,,3 > 1 " predicatul ei ar fi , , > 1 " ( = mai mare decit unu), el se afirmă despre subiectul , ,3". Incorectitudmea reduceni apare în cazul raţionamentului de relaţie. Fie 3 > 1. l > O 1- 3 > O. Este evident că , , > 1" nu poate fi termen mediu în sensul sllogismului simplu Dacă to­ tuşi am considera expresia , , > 1 " ca termen mediu, atunci ar rezulta c ă ceea c e se afirmă despre pre(hcatul . > I se afirmă Ş I despre 3. O r despre > I se poate afirma că este o relaţie aritmetică, ceea ce nu este valabil despre 3_ ( v. Raţ,onamente de relaţie)

PROPOZIŢU IMPLICATIVE, propoziţii care expnmă relata de zmpllca­ "e (v.) . Au forma "dacă a atunci b " PROPOZIŢII NOl\IOLOGICE, propozIţii carE' exprimă legi ale �tiinţel (legi

logice sau legi ale unor ştiinţe speciale) .

PROPOZIŢII l'\i ORl\IATIVE, propoziţii care pre�cC1u un comportament. Ele sînt de obhgaţze, de interdicţie sau de permisie De ex. · "trebuie să în­ chizi uşa", "este interzis să ţii uşa deschisă", " este permis să fumezi pe coridor". Cele trei feluri de propoziţii se mal numesc şi deontice. O propo­ ziţie normativă nu este nici adevărată nici falsă, ea este raţională sau nu. O p. D. este determinată sub trei raporturi ' a) poziţia " faptului, b) .. po­ " ziţia" subiectului emiţător, c) "poziţia " receptorului ( ,- . logica deontică,

no"mă) PROPOZITH REDUCTI\'..E, propoziţIi introduse de C arnap pentru de fim­ rea cOllceptelor dispoziţionale (v ) O p. r. are forma <Jl(�) =;> (Q3 (X) .;:.­ <> Q.(x)) Aci Q, operaţia de control, Q. rezult atu l operaţiei de control,

Q3 ' predicatul dispoziţional. De ex. · " dacă x este scufundat în apă, atunci ,,:1- este dizolvabil în apă" este echivalent cu "x se dizolvă în apă". De­ numirea de reductiv provine de la faptul că predicatul dispoziţional Qs se reduce la predicate nedispoziţional (Q" Q.) . P!'��.�.IE1:AŢ�., _î�._!9g�c::_a_veche se inţelege prin p. orice însuşm (mternă) a lucrurilor. Dacă insuşireaeste a unui mdivid atunci putem spune "z are însuşirea P ' , dacă însuşirea aparţine mai multor mdivizi atuncI ea detetmină o clasă de mdivizi, astfel că despre fiecare individ x al clasei putem spune ".\ are p. P". Termenul care exprimă o p. ,'a fi numit termen pentru p. În logica predicatelor once termen de p. e"te un predicat. Logica modernă a adus unele precizări şi extmderi în legătură cu p. 1) prin p. se înţeleg nu numai însuşirile CI ŞI relaţiile (de ex. : "a fi mai mare ca") 2) termen de însuşiri "derivate de la relaţii" (Carnap) , (de ex . . adevăr deri­ \'at de la relaţia " corespondenţă cu starea de fapt") , 3) p. cuprinde şi proprietăţi (însuşiri, relaţii) de propnetăţi (de ex. p. roşu are proprietatea de a fi o culoare), 4) termenii de p. (numiţi ŞI " termeni pentru intenslUni") nu sint Identici cu termenii generali din silogistică (de ex . nu putem sub­ stitui în forma "S este (predicatul P cu un termen de p. fără schim­ barea sensului lui este ; fie " Socrate este muntor", prin simplă substituţie s-ar obţine " Socrate este proprietatea de a fi muntor" sau mal pe scurt "Socrate este A Fi Muritor") , 5) pentru tennenii de p. denotatul este însăşi proprietatea (de ex . pentru p. Roşu denotatul este culoarea roşu) , în acest caz ro>u ca denotat devine un obiect abstract care m plus se bucură de unici tate ŞI dispune de o descnpţie. O problemă discutabilă este dacă

P"

de la numele generale concrete (de ex \de ex.

om) putem forma termeni de p.

A Fi Om) . Deşi acest lucru se face destul de frecvent procedura

:l-a fos t fllndamentată Dacă spunem "Ion este om " şi trecem la propoziţia


PROPRIETATE DE INVOLUŢIE

300

de intensiune . .Ion are proprietatea de A Fi Om" această propoziţie nu este totuşi identică structural cu .. Ion are proprietatea de A Fi Blond". Intr-adevăr, s! le transformlim in propoziţii de tip silogistic : ..Ion este om", .. Ion este blond", Blond exprimlnd un adjectiv propoziţia co ntinnă să aibă Inţelesul de "Ion are proprietatea de A Fi Blond". Dacă "conver­ tim" propoziţia atunci sau substantivizăm adjectivul .. Un blond este Ion " sau il completlim cu un sllbstantiv "Un om blond este Ion", ceea ce nil e cazul pentru ..Ion este om" unde vom avea " Un om este Ion". Dacă am scris conversiune in ghilimele a fost pentru a marca deosebirea Intre ceea ce am numit ac i conuersiune şi conversiune a in cazul judecăţilor A, E, 1, O. (u. conuerswne). In cazul singularelor inversarea poziţiei ter­ menilor presupune trecerea de la relaţia cop ulativă la relaţia de identitate. Intr-adevăr, " Un om este Ion " are sensul de "Un om este identic cu Ion" . Problema dacă printre proprietăţi trebuie să introducem şi conţi­ nutul unor termeni negativi (de eli: , non-om) este discutabilă. PROPRIETATE DB INVOLUTIE, Avind o operaţie unară 6) vom spune că ea este involutivă dacă şi numai dacă satisface relaţia de echivalenţă :

COOl.%'

=

It

(unde "x " este entitatea la care se aplică, iar , , = " este o rela­

ţie de echivalenţă in funcţie de natura entltăţilor) . Fie operaţiile - (ne­ gaţie), C(conversa) , � (dual), - (minus), vom avea legile de involuţie In legătură cu entităţile la care se aplică :

; = 1'

(1)

(2)

(3) (4)

CCp

=

P

Mp = P - ( - x) =

x

PR OPRIETAŢI FORMALE ALE OPERAŢIROR, Operaţiile pot fi carac­

terizate prin proprietăţi care pot fi definite independent de natura elementelor

şi

a operaţiilor. Astfel de proprietăţi des intnnite In algebra ab­

stractă sint : comutativltatea,

asociativitatea, distribntivitates, idempo­

tenţa, absorbţia. Structurile sint caracterizate adesea prin combinarea unor astfel de proprietăţi Iată scheme,e prin care ele se definesc

(1) a * b = = b * " (comutativitatea) ; (2) (a * b) * c = a • (b * c) (asociativItatea) ; (3 ) (a * a) = a (idempotenţa) ; (4) a o (a * b) = a (absorbţia) ; (5) a o o (b * c) = (a o b) • (a o c) (distributivitate la dreapta) ; (6) (b * c) o " = = (b o a) • (e o a) (distnbutivitate la stinga) . Este important de remarcat că Intrucit nici natura elementelor, nici natura operaţiilor. nici natura

echlvalenţei nu sint precizate aceste formule nu reprezintă leg�, ci fdYme

de legi (sau scheme de legi) care definesc proprietăţile respective şi care

plm aplicaţia la entităţi şi operaţii determinate pot să dea sau nu legi (ceea ce rlimine de demonstrat) . De

e:x ,

dacă in forma a * b = b

• a

vom pune numere naturale pentru a, b ŞI + pentru operaţia * obţinem legea a:+ b = b + a. La fel dacă punem operaţia x (înmul ţire) obţinem legea a

x

b

=

b

x

a. Dacă insă punem in loc de a, b valon logice {v, I} -> atunci formula a -+ b = b -+ a nu va fi lege. Se

şi in loc de. *, operaţia

observ! că, in funcţie de inlocuire, relaţia de echivalenţă se precizează fie ca egalitate numerică (pentru +, x ), fie ca echivalenţă logică

(pen-


301

PROTOTETlCA

trn -). Ceea ce este remarcabil este că o schemă (formă) de lege acoperă

legi de natură foarte diferită. Astfel, legile a + b =b + a a x b= b x a a & 'b = b & a a Vb = bVa a n b == b n a a U b == b U a

sInt toate izomOf"je, a · b = Il · a.

adică

l (

} }

aritmetică logică teoria mulţinuJor

au structura dată in formula foatte

abstractă

PROPRIET.4.ŢI FORMALE ALE REJ.l\ŢIILOn, grup de proprietăţi care ne ajută să studiem relaţiile abstracţie făcînd de natura lor concretă. Dis­ tingem proprietăţi pozitive ca : reflexivitate (Ref) simetrie (Sym) , tran­ sitivitate ( Trans) şi negaţiile lor nedefinite, slabe sau tari. Negaţiile nedefinite se obţin prin ataşarea prefix ului ne (de ex. : Neref), cele slabe prin ataşarea prefixului ant, (de ex. : Antisym), iar cele tari prin ataşarea diferitelor prefixe : Iref, Async, 11'/lrans. Iată tabelul acestor propri etăţi (v. şi termenii respectivi) 1

Ref Sym

Trans

2

3

Neref Nesym Netrans

4

Antiref lref Antisym Asym Antitrans Intrans

..

Se observă că grupa 2 se formează prin simplă negare a proprietăţilor elin grupa J. grupa 3 prin negare parţială a proprietăţilor din grupa 1

(= proprietăţile au Joc pE'ntrn unele cazuri dar nu pentru toate) , iar grupa a 4-a se formează pnn negare totală a proprietăţilor din grupa 1 (= pro­ prietăţile nu an loc pentru niciun caz) ) . Pentru a justifica .. negaţia ne­ definită" este suficient un smgur "contra-exemplu", În schimb pentru .. negaţiile slabe" şi .. negaţiile tari" trebuie să apelăm la demonstraţii. Uneori proprietăţile au loc prin presupunerea unei restricţJ.i, de ex. : x � � y sau � (x, y, z) . Uneori se introduce printre proprietăţi coneXJunea, dar nu pare a fi de aceeaşi natură. PR OTETICA SUPERIO ARĂ. Protetica cu "'arlabile de tip superior Inl 1 (v. teoria tipUrllOf", v. protetică) . PROTOTETICA. Logicianul polonez Lesnienbki a construit un sistet11 de logică a propoziţiilor pornind de la calculul e.a:IJns al propozJţulor. EI in­ troduce variabile pentru funcţiile de adevăr . f', g' , Iz', . . pentru func­ ţiile cu un argument, fi, g2, h2, pentru funcţiile biargumentale, - - - - - f". g", k", . . . pentru funcţiile cu n argumente. Cuantorri se ap­ lică la oTlce variabile. Pe lîngă aceasta acceptă ,?i variabilele pentru func­ ţii propoziţionale de funcţii de adevăr. Church reformulează sistemul şi ehmmă acest ultim gen de variabile considerindu-Ie de prisos Pentru Lesniewski numai propoziţiile pot fi asertate nu şi formulele cu variabile libere. Church renunţă şi la această restricţIe. El ia ca operatori de bază numai implicaţia şi cuantorul universal. P. este echivalentă cu sistemul propoziţional extins şi deci cu calculul propoziţional, corespondenţa este însă m ai complexă. De ex. : pentru formula p. (fI) . P =:> (q) P (q) ;: (q ) . ' "


302

P!oEUDO-PARADOXUL "MINCINOSULUI"

=> !' (q» este corespondentă în calculul extius conj uncţia următoarelor patru formule

. p

p

=>

(q)1 == (q) . p => t =>

p => (q)q == (q) . p p => (q) - q == (q)

p => (q) f == (q) . p

q

p => - q

=>

f

Formulei ( f�) P == q => (r ) fZ (P , r) == f· (q. ,. ) din p. îi co respun d 16 for­ mule din calculul extins Pentru ([3) R (unde B conţine pe f' liber şi nu

conţine alte variabile funcţionale) avem 2 56 formule corespondente (con­

p. ( 1 ) P == q => • f(P) == f(q) ( 2 ) P == q == (f) . f(p) => J(q) (3 ) pq == (f) f' == . f(P) == f(q) (4 ) f(P, q) => . f(P, - p) => (q) fU', q) (5) g ( P) = g (l ) V g(f ) - P (6) g (P , q) == get , I)pq V g(l, f)P - q V g(f, 1) - pq V g(f. f) "" p ,.., q (7) 3q(P) f(q(p» == g(f(P» '" q ( 8) pq == (f) . J(P, q) == f(1, 1) , (9 ) pq == (f) . f(P, q) '" Jl g, P == q ) După cum se vede Church elimiuă şi indicii s uperiori deoarece dtn context se vede ce fel de funcţie avem . Sistemul In tegral de logică a lui Lesniewski cuprmde trei trepte : p., on­ tologta (1/.) ŞI 1IIereologta (� ) 1'. este baza ontologiel. (Church A., Introduc­ t � oil lo .11athemattcal Lugic, 1 9 5 6) . P !'oEt.:DO-P!\RADO XU. "l\I I:\U!\ O SLLlT', formulare considerată greşit ca p�-l'Ie tIpul "lnmclnosul Ea este atribuită filosofului cretan Epimenide ŞI se găseşte in cOll te " t ul epistolei lui Pavel către Tit Iată a ce- a stă for1ll ul ar� Cnul o mtre ei (un prooroc cretan - Gh E ) a spus : "l ret a ni i sînt totdeauna m i n ci noşI . . Această m ărturie este adevărată " . Convingerea ci, e un para(lox se uazează pe o privire superficială asu!Jra a cestei formulări. 1:rec\"ent �e d ă o formulare simplificată : Cretanul Epi­ me-nide a spus : "TOţI crltanÎl sînt mi ncinoş i " . Ce a spus Epimenide fonn cu 223). Formu le ade\·{trate ale

minciuna sau ade\'ărul - Această formulare nu este mei măcar o contra­ dicţlt' Kleene a analiz,.t !c,nnularea In legătură cu consecinţele care de­

curg dm presupunerea c:, cretanii mmt o dată, uneori sau totdeauna. O analiză mai Inrgii a fost d a t ă de 1101 in Teo/ ia sIstemelor log Ice, Prima ob­ servaţie care se impu ne e,te in le g ăturl cu definiţia termenului minCInos (u ) Se produc adesea cloue,