Issuu on Google+


This

is

an

introduction to the so-called General Logic:

an

introduction, not a scientific treatise, because it does not present original theories in ali the main fields of the classical and modern logic; anyway, it's

not a short and easy initiation for beginners , but it leads the reader far enough in the fields which this book deals with. The frrst chapter contains a logical and philosophic analysis of some essential

concepts

-

such

as

inference,

argumentation,

demonstration,

induction and deduction, truth and validity a. s. o. The next three chapters

explore the labyrinth of the apriori systems of deductive inferences, made of molecular a nd compl ex propositions revealing the importance of the logical ,

form and the total irrelevance of aU intuitive and psychological elements in the foundation of the analytical vaJidity. The last three chapters bring the reader back on the solid and familiar ground of the aposteriori inferences,

which do not offer absolute certainty, but increase the plausibility of our beliefs - either when, starting from individual facts, we are looking for general statements, based on inductive, analogical and probabilist inferences, or when we try to convince an interlocutor who has doubts about our statements.


Dan Crăciun

Logică -

SI ,

tf!!oria argulDentării

(*)

EDITURA TEHNICĂ Bucureşti, 2000


Copyright @ 2000, S.C. Editura TEHNICĂ S.A. Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate editurii. Adresă:

S.C. Editura TEHNICĂ S.A. 1

Piaţa Presei Libere

33 Bucureşti, România cod 71341

Coperta colecţiei: AI\'DREI l\1ĂNESCU

Procesare P.c.: MARIANA GHEORGHIŢ.4. Coperta: VLAD OANCEA SORANA GRIGORAŞ

Bun de tipar: 15.10.2000; Coli de tipar: 17,5 C.Z.U: 16 ISBN 973-31-1518-5 Tipărit SEMNE


PREFATĂ,

Capodoperele

unor

muzicieni

geniali,

precum

Bach,

Vivaldi, Mozart sau

Beethoven se cântă şi în zilele noastre, copleşindu-ne prin perfecţiunea lor inegalabilă, pe care suntem siguri că o vor preţui şi secolele următoare. Desigur, nu toţi contemporanii

noştri ştiu să se bucure de frumuseţea muzicii clasice, mulţumindu-se

cu

genuri minore - în

care se pot întruchipa câteodată şi teme inspirate, dar care, cel mai adesea, au menirea să ne

distreze. Iar muzicienii de avangardă ai timpuri lor noastre se străduiesc să exploreze noi forme de expresie, pe care, deocamdată, le poate gus ta un public foarte restrâns, ce-şi face

din cultura muzicală o preocupare dominantă. Atât genurile minore, cât şi mu zica de avangardă se schimbă de la o generaţie la alta şi poartă peceţi stilistice diferite de la un

spaţiu cultural la altul. Muzica denumită, de loc întâmplător, «clasică» rămâne mereu aceeaşi, păstrându-şi nealterată forma desăvârşită pe care i-au dat-o creatorii săi geniali.

Încremenirea partiturii nu exclude însă, ci provoacă d i ferenţe , cât e odată izbitoare, ale interpretării. Muzica vie, cântată pe scenă este, de fiecare dată, în funcţie de talentul,

dibăcia şi inspiraţia interpretului, o altă întruchipare a forme i invariante,

însernne le in c onfundabile ale personalităţii sale.

ce poartă

Dar ce legătură au toate acestţa cu o carte de logică? Ce poate fi mai îndepărtat de arta prţn excelen ţă, în care intuiţia şi sentimentul par să excludă orice componentă abstract­ teoretică, decât o ştiinţă aridă, în care accentul se pune exclusiv pe raţiune, �cându-se în mod deliberat şi sistematic abstracţie de sentiment şi intuiţie? Şi totuşi, la o privire mai

atentă, se descoperă că tumultul pas iunilor muzicale se exprimă în anum ite forme canonice, de strictă rigoare în capodoperele preclasice şi clasice, muzica fiind, de la Pitagora şi Platon

încoace, un analog al matematicii în lumea sun etelor. Pe de altă parte , în ariditatea ei

caracteristică, logica încearcă să elimine t oate componentele emoţionale, în afară de

pasiunea arzătoare' faţă de adevăr şi r aţ i un e, ale cărei forme pure stâm esc, celor deprinşi să le contemple, real e satisfacţii estetice.

aici. Şi în l og i că există un repertoriu clasic, mereu actual Î n viaţa de toat e zilele, gândurile noastre se arti culează în

As�mănările nu se opresc

însă prin m

�iera de interpretare

.

forme ceva iilai uşurele, ştiute fiind nu după partitură, ci «după ureche», pe care le fredonăm

spontan, fără a şti prea bine ce facem - ceea ce nu-i împied i că pe unii dintre noi să producă

şi să comunice idei extrem de interesante şi de bine argumentate. Există, pe de altă parte, şi

teorii logic e foarte sofisticate, pe care le cunosc şi de care se interesează cercuri res trâns e de specialişti în domeniu . Între aceste două extreme - logi c a spontană a bunului simţ şi teoriile

de maximă performanţă - se aşează un sistem de forme şi structuri logice fundamentale, atât de bine formulate şi demonstrate de minţi strălucite, încât prea puţine elemente esenţiale din

alcătuirea lor mai pot fi modificate. Ele pot fi însă prezentate în stiluri diferite - ceea ce şi

justifică apariţia mereu reluată a unor noi lucrări menite să în �ţi ş eze unui public nici larg,

dar nici exclusivist cun oştinţ ele de bază ale logic i i, în care, pe de o parte, gândirea vie îşi găseşte formele structurante şi de la care pornind, pe de altă parte, se pot elabora teoriile logice ultra-sofisticate, rezervate expertizei sa v an te.


6

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

În această arie tematică se înscrie

cartea d-Iui Dan Crăciun. S pecial izat în logica şi

filosofia limbajul u i moral - domeniu în care

a pub licat mai multe studii interesante şi o lucrare bine apr eciată , Pretexte metaetice (1997) - autorul ne propune acum o introducere în logic ă şi teoria argumentării. O introducere, căci nu abordează toate d ome niile de bază ale l ogicii clasice şi moderne, ci se concentrează numa i asupra teoriei logi ce a propoziţ iilor şi asupra temelor principa le din logica tra diţională. O introducere, deoarece se adresează unui cititor p res upus a nu avea, la pun ctul zero al le cturii, nici un fel de cunoşt inţe anterioare despre logică, dar nu o intro ducere elementară, întrucât cititorul este călăuzit destul de departe în domen iile abordate: până la expunerea axiomatică în logica propoz iţiil or sau pânii la abordarea silogisticii cu m ij loa cele calcul ului c u predicate. Pe scurt, autorul propune un reuşit manual univer sitar, în care acce n tul se pune pe cunoşt inţele de bază, fără a fi evitate însă şi unele aspecte mai difi cile, care dep ăşe sc intenţiile celor care vor să-şi facă doar o idee aproxim ativ ă despre logică, mulţumindu-i însă pe cititorii dornici de o re alii iniţiere în studiul formal al inferenţel or deductive sau inductive. Scrisă cu multă limpezime şi bine ord o nată, această lucrare poate fi un instrument foarte util în predarea şi învăţarea logicii - pr ivită nu ca un scop în sine, ci mai aies ca exersare şi potenţare a abilităţilor intelectuale de care avem nevoie în practi ca argumentării. După analiza logic o - filoso fi că din primul c apito l a unor concepte e s en ţia le precum infe ren ţă, raţionament şi demonstr aţie , indu cţi e şi de ducţie, ade văr şi validitate etc., în urm ătoarele trei capito le textul îl poartă pe c it itor prin l ab irintul construcţiilor a priori ale in ferenţelor deductive, cu propoziţii compuse şi cu propoziţ ii c omplex e , accentuând importanţa formei logice şi lipsa de relevanţă a oricăror componente intuitive , psih olog ice în stabil irea criteriilor de v aliditate analitică. Ultimele trei capitole îl readuc pe c itit or pe solul rezistent al raţion ame ntelor a posteriori, care nu întemeiază certitudini absolute, dar sporesc plauzib ili tatea ideilor pe care le su sţine m - fie atunci când, pornind de la fapte s ingular e, urmărim să desprinde m din cu noaşterea lor nişte enunţu ri universale, ap e lând la inferenţe in d uct ive, ana l ogice sau probab il iste, fie atunci când în cer căm să con vin gem un interlocutor ce are ob ie cţii sau rezerve faţă de ideile noa stre. Il u strările suge sti ve , e xplicaţiile clare şi concise, dar niciodată e lipti c e , precum şi aplica ţiile atent selectate îl invită pe cititor să exerseze el însuşi diferite forme de raţi onament, dobân din d (nu totdeauna fără efort) o triplă sa tisfacţie : în primul rând, aceea de a înţelege structurile formale, bazate pe reguli ri guro s demonstrate, ale gândirii sale spontane; în al doilea rând, cunoaşterea unor forme de raţionament la care gândirea vieţii cotidiene recurge destul de rar sau de l oc, iar atunci când se aventurează în desfăşurarea lor, o face cu multă nesiguranţă; în sfărşit, cunoaşterea mecanismelor inferen ţiale vicioase ce stau la baza unor erori în demon stra ţie şi arg umentare , sofisme şi paralogisme de care, odată avertizat, nu va ma i fi niciodată păcălit . În concl uzie, dl. profesor Dan Cr ăciun ne propun e o partitură bine aleasă din repertori u l clasic al logicii şi o interpretare de luat în seamă. Acad. Alexandru Surdu


CUVÂNT ÎNAINTE_

Acest manual este destinat unei categorii largi de cititori - elevi din clasele superioare de liceu, studenţi, profesori, speci al iş ti în diferite domenii - care doresc o iniţiere . destul de aprofundată în cunoaşterea teoretică a unor principii, legi şi reguli de bază ale raţionării corecte. Care este utilitatea acestei iniţieri? I ată o întrebare ce tinde să le elimine treptat pe toate celelalte, întru izbânda pragmatism care nu poate fi decât nepractic şi păgubitor atunci când devine obsesiv şi dogmatic. Charles Sanders Peirce, întemeietorul pragmatismului american - devenit între timp una dintre filosofiile dominante ale lumii 1 contemporane - aprecia că "fiecare pas important în ştiinţă a fost şi o lecţie de 10gică". Tot pragmatistul Peirce nota că s-ar putea scrie o carte despre principiile călăuzitoare ale raţiunii - carte despre care "trebuie să recunoaştem că nu ar fi de nici un folos unui om a cărui gândire este desfăşurată în întregime spre subiecte p racti ce şi a cărui activitate se desfăşoară urmând cărări temeinic bătătorite. Problemele care se prezintă în faţa unui asemenea intelect sunt chestiuni de rutină pe care acesta a învăţat să le mânuhiscă odată pentru totdeauna la însuşirea profesiunii. Dacă însă cineva se aventurează într-un domeniu nefamiliar, sau într-unul în care rezultatele sale nu sunt verificate continuu de experienţă, chiar, şi int�lectul cel mai vi guros . îşi va pierde deseori orientarea şi îşi va cheltui eforturile care nu-l apropie de scopul său, ba mai mult, îl poartă pe un drum greşit. El e s e ca un vapor în largul măr i i, la bordul căruia nu se află nimeni priceput în regulile na � gaţiei Într-un asemenea caz, un studiu general al principiilor călăuzitoare ale raţionării ar fi socot t cu siguranţă folositor. [sub!. ns. D.C.)"z , Oricui urmăreşte numai foloase imediate şi palpabile, indiferent de ce natură, parcurgerea (nu peste tot lejeră) a aces tui manual de logică nu-i poate fi de nici un folos. Manualul se adresează acelora pentru care inteligenţa nu este doar un instrument subordonat celorlalte facultăţi omeneşti, ci şi o componentă axială a personalită ţ ii aptă şi dornică de satisfacţii intrinseci, dobândite prin adâncirea cunoaşterii. .

.

unui

ÎI\fdirecţii t t i

.

.

.

,

Cherles Sanders Peirce, Fixarea convingerii, trad. rom. Delia Marga, în val. «Fi l osofia americană 2

clasiCă», Ali Educational, Bucureşti, 2000, p. 85.

ibidem, p. 88.


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

8

Cât desp re foloase, fie-ne îngăduite câteva comparaţi i . Acelora care doar merg pe

stradă şi, cel mult, aleargă după autobuz sau după câinele scos la plimbare, cunoştinţele

c

ştiinţifi e despre dinamica al ergării nu le pot fi chiar de nici un folos. Celui care vrea să doboare, însă, un record într- o prob ă de alergare, ace ste

cunoştinţe îi sunt indispensabile.

Un ş ofer amator nu trebuie să cunoască în amănunt prin cipiile constructive şi funcţionale

ale automobilu lui pe care îl conduce (de şi astfel de cun oştinţe nu-i strică, ci îi pot fi câteodată f oarte utile) .

Un driver

de r aliu sau de pistă, pentru care contează fiecare CP sau

kmIh în plus, nu se poate în să lipsi de cunoaşterea temeinică a maşinii cu care trebuie să se contopească.

Tot astfel, oricui îşi petrece viaţa în orizontul mă rg init al probleme lor coti diene,

logi ca spontană a «bun ului simţ», solid ancorată în «ev i denţe» sensibile şi în prejudecăţile

conştiinţei comune, îi este prea de ajuns. Cui însă valorile spirituale nu-i sunt in diferente,

logi ca îi poate fi de folos în mai adânca înţelegere şi în mai pr i ceputa ordonare a unor

cunoştinţe diverse. Acestora, manualul de faţă le-ar fi suficient. Celor care aspiră la o

perfonnanţă oarecare într-o activitate de cercetare teoret i că, stu diul logicii le este nu numai

util, ci necesar - din motiv e care, s p erăm, vor reieş i de Ia sine în ev idenţă în pagini le care

urmează. Acestora din unnă, manuahil pe care îl pro p unem nu le-ar fi suficient, el având

lim i tele unei introduceri în logica ge nerală. Bibliografia de la sfârşitul

volumului poate fi un în acele domen ii

ghid util în aprofu ndarea cunoştinţelor expuse aici, ca şi pentru iniţie rea

al e l o gicii pe care nu ne-am propus să le abord ăm în expunerea noastră.

O ultimă remarcă: spuneam că acest manual este destinat unei categorii largi de

cititori, indi fe rent de specializarea lor pro fesională. Nu există, din fericire, o logică pentru

ingineri, alta pentru medici, alta pentru jurişti sau p oli tici eni etc., chiar dacă fiecare domeniu are particularităţile sale tem a tice şi metodologice. Logica are privilegiul universalităţii, fiind, în mai mare măsură chiar decât matematica sau metafizica, teritoriul fonnelor «canonice» şi «ecumenice» ale raţiunii , în care hotarele dintre discipline şi specialităţi se estompează - dar nu spre a ne pierde în vorb ăria confuză şi superfici ală a diletanti smului, ci spre a desc i fra condiţiile gândirii clare şi pre cis e a indiferent cărui subiect.

De ce este importa nt acest lucru? Iată răspunsul unui mare filosof al secolului XX,

Ludwi g Wittgenstein: "ceea ce se poate spune în genere se poate 3 ce nu se p oate vorbi trebuie să se tacă".

spune clar; iar despre ceea

Am scris această carte în speranţa unui plus de claritate şi concizie în expunerea unor cunoşt i nţe de b ază în dome ni u l logicii generale, la un nivel elementar şi mediu de difi cultate.

Cititorul nu are în faţă un tratat, în care se expun pe larg şi în profunzime idei

mai mult sau mai puţin ori gin a l e, ci un manual de iniţiere, menit să uşureze primii paşi în

lo gică şi teoria argumentării . Eu însumi am făcut ace ş ti paşi sub îndrumarea unor eminenţi

profes ori , printre care îi amintesc cu d eos eb ită consid eraţie pe Alexandru Surdu, Gheorghe Enes cu , Petre Bieitz ş i Draga n Stoian ovici, ale căror lucrări stau Ia baza multora dintre

ideile expuse în cele ce unnează.

Autorul

Ludwig Wittgenstein, TraClalllS Logico-Phi/osophicus. trad. rom. Alexandru Surdu, Humanitas, Bucureşti, 1991, p. 35


CUPRINS-

1.

ADEVĂR ŞI VALIDITATE . . . .. ... . . . . 13 1.1. Scurt istoric 13 1.2. Inferenţă şi raţion am ent ........................................................................................... 17 ..

... ................ . .

.

.............. ......... ..........

. .... .......... .......

................................................... ..... . ......... ............. ..............................

'

1.3. Inducţie şi deducţie ................................................................................................. 21 1.4.

Adevăr şi v ali ditate ................................................................................................. 22

1.4.1. Câteva consideraţi i mai degrab ă filosofice as upra adevărului ..................... 22

1.4.2. Adevărul ca valoare logică a propoziţiilor . .

. ..... .

1.5.

1.4.3. Valid it ate a ca proprietate logică a inferenţelor ..

. ... .

.. ......... .

.. . .

. . 27

.. .

.. ........ . .. .... ..

..

. .... .

.

... .

. . ..

. ....... .

29

Principiile clasice ale lo gicii ................................................................................... 32 1.5.1. Prin c ip iul identităţii ..................................................................................... 32 1.5 2 Principi ul non contradicţie i ......................................................................... 34 1.5.3. Prin cipiul terţului exclus .............................................................................. 35 .

-

.

1.5.4. Principiul raţiunii suficiente .

2.

.

. . ..........

LOGICA PROPOZIŢIILOR .

..

.

.. .

.. .

..

. ..

.... .

.

....... .

.

. .. .

.

.....

.......

.. .

....

.

.

..

... ... .

. .... .

. .. . . .

.. ... . . ... . .....

..

.

.. ..

.

.... ....

.. ..

.. ...

.

.

.. . .. . . .

. .

.. ... .

. 36 ..

. . . ..

..

. 39

.. .......... .

2.1. Prppoziţii şi enunţuri ... . . . .. . . . . .. . . 39 . . . . . .. . .. . . . . .. . .. . . . 41 2.2. Tipuri de propoziţii 2.3. Pr:Opoziţii simple şi propoziţii compuse . . . . . . . .. . . .. . .. 4 3 2.4. «\tocabularul» logici i propoziţiilor com puse . . . . . . . . .. .... .... ........ .... . .......... ...... ........ . ... 44 2.5. Negaţia .. ... . . .. ...... . ... ... . . . . .. . " ............................................ 46 .. .. ... . ... . .

.

.. ... ... . . ... . ...

...... . ... . . . ..

. ....

.

.. .

....

.

.

..... .

.

. . .... ...

..

2.6. Propoziţii compuse conjunctive 2.7. Propozi ţii compuse disj unctive 2.8.

Funcţii de adevăr

.

..

.. .. .... . . . .

.

.

..

.

.

.

..

.. .... . .. . .

...

.

. ..

.

..... . . .

.... .. ... . . . . ..

... ...

... ...

..... . . ..... ...

... .

...

. ..

.......

... ....

..... ............. .. .

.... . . .. ............ ... .... .......

..... ...

.

. .

.

..

. ... .

.

.

..

..

. .

.

.. . . . ........

.

...... .

. . .. .

..

. 47

.. 49

..... . .. . ... . . ...

.

.

..

. . . .. .. . . 50

.

.

.

.

. . . ..

. ..

...... . ..... ..... ....

.

. ..

. ..

.......... .......

.. ....... . .. ...... .. .

.....................

. . . ..

..... .

.

....... ...

...... ... .

..

.. ........ ......... .. . ...

.

. ...

2.9. Propozjţii compuse condiţionale .................. . ......... .... ........................... .... .......... .... 5 0

2.10. Propoziţii compuse bicondiţionale .

.

.. ...

.

.

. . . ..

.... . .... .. . ..

..

.. .

.

.... . .... . . ....

..

... ..... . .

..... . .

... . 53 .

2.11. Alte tipuri de propoziţii compuse .......... ... ... ....... ..... .... .... .. . . .. . . ........ . ....... . . .... . . .. .... 54

2.12. Utilizarea parantezel or .............................................. :........................................... 56 2.13. Relaţii de echivalenţă intre operato ii propoziţionali r

.. .

.

..

...

..

. . ...

. ... . .

.... .

.

..

.. ... 58

.....

...

.

metoda matricial ă . . . . .. 62 .. . . 2.15. Fonnule tautolog ice inconsistente şi con t in gente ................................................. 65

2.14. Calculul functiilor de adevăr prin ,

.. .

.... .... . ... . . .

.. ...... ..

......


LOGICĂ ŞI TEORlAARGUMENTĂRlI

10

2.16. Calculul funcţiilor de adevăr prin reducerea progresivă a variabilelor. ........ ..... 67 ..

2.17. Alte echivalenţe logice

..

în calculul propoziţional .................................................. 71 2.18. Forme normale in calculul propoziţional..... .... . ....... ... .... ....... . ...................... . 72 2.18.1. Ce sunt formele normale ? ........... . ........... .... . . .... .. ... .... ......... ...... ..... 73 2.18.2. Proprietăţi ale formelor n orm al e................................................................ 74 2.18.3. Cum se decide cu ajutorul formelor normale ............................................. 74 2.18.4. Cum se aduce o expr esie propoziţională la forma norm ală ....................... 75 2.19. Relaţii logice intre expresii propoziţionale.............. .. .... .. . .... ........ . ........ ..... . . . 78 2.20. Testarea matricială a validităţii raţionamentelor. . . .. .. ... ... . . .... . . . ...... . . ... . .. . 80 2.21. S cheme elementare de deducţie............................................................................. 83 2.22. Testarea va l idităţii raţionamentelor cu ajutorul schemelor e lem entare de deducţi e ........................................................................................ 86 2.23. Axiomatizarea logicii propoziţiilor ... ..... ... . ... ... . ... . . .. . .... .. . ...... ... .. 91 .

.

.

.

.

...

.

.

. . ..

.

3.

.

.

.

LOGICA TRADIŢIONALĂ A TERMENILOR ..

.

. . .. .. .

.

. ..

..

.

.

...

.

.

.

...

.. ......

.. .. ...

. .

.

.

. . ...

. .

..

.

..

.

.

.... .

.

. . . . .. .. . . . . . . .. .. .... . 97

....

. .

.

.

. . ..

..

..

..

3.1. Un alt gen de raţionamente ...................................................................................... 97

3.2. Termeni şi noţiu ni .. ................. :................................................................................ 98

3.3. Conţinutul şi sfera noţiunilor ................................................................................... 99

Tipuri de no ţiuni .................................................................................................... 100 3.5. RaporrJri extensionale între noţiuni ...................................................................... 102 3.6. Defmiţia 104 3.6.1. Structura definiţiei . . . . . . ... . :.............................. : ...................... 104 3.6.2. Regulile defmiţiei .. .. . . . . . . . .. . . .. .. .. . . ... . . . . . . . . ... . .. . .. . . 105 3.:5.3. Tipuri de defmiţii . .. . . .. . .. . . ........ . .. . .. . . .. . . . . . . . .. .. .... . 107 3.7. Clasificarea . . . . . ... . . . . .. . . . . . .... . .. . . . . . . . ..... . .. . . . . . .... . .. .. 109 3.8. Diviziunea . ..... . .. ... . . . . .. .. ... . .. . .. . . . . .. . . . . . .. . .. .. . . . . . . .. . 111 3.9. Structura şi clasificarea propoziţiilor catego ri c e de predi caţ i e .. . .. . .. ..... . . . 112 3.10. " Opoziţia" propoziţiilor categor ice ..................................................................... 114 3. I 1. Distribuţia te rmeni lor în propoziţiile catego ri ce .................................................. 119 3.12. Inferenţe imediate cu pro po ziţii cat eg o rice ......................................................... 120 3.12.1. Conversiune a . .. .. . ...... .. .. . . .. . .. . .. . . ..... . . ... . . . . ...... ........... . .......... 121

3.4.

....................................................... .........................................................

.

..

. .. ..

.

. .

.

.. . .....

.

... . .

. ..... . ....

. ..

.. .

. ..

..

.

. .

.

.. . .

.

. .

...... ...

.. . ......

.....

.

.

.

. .

..

. .

.. ...

.. .. .

.... .. . . ...

. ..

....

.. . . .. . .

. . ...

. . . .

...

.

.

. ..

.. .

. . .

.

...... ..

.. .

.

.

.. . ....

. .. .

. .

. ... ....

..

..

. .

....... .... .. .. .. .. .

....... .. .

...... .

..

.

..

.

.

..

...

..

.

.

3.12.2. Obyersiunea ............................................................................................. 123

3.12.3. Ap licaţii ale conversiunii şi obversiunii... ... .. ... . . . ... .. . . . . ... .

. .. . .

.

. . .

.. .. ....... 123

...

.

3.13. Structura silogismului categoric .......................................................................... 126

3.14. Figuri şi moduri si lo gi s tice .................................................................................. 127 3.15. Legile generale ale silogismului ..... . .... ........ ... ... . ... . . . . .. .. .... ..... . ... . . . ... .. 128 .

.

.

.

.

.. .

.

.

.

. .

.. .

.

3.15.1. Legi ref eri toare la distribuir ea termenilor ................................................ 128

3.15.2. Legi referitoare la calitatea premise lor şi a conc luziei ............................ 131

3.15.3. Legi referitoare la cant itatea prem iselor şi a concluzi e i .......................... 132 3. I 6. Dem on straţia mod ur ilor s i lo gi stice valide ........................................................... 133 .

3.16.1. Mo durile valide În figura 1. ........ . . ... . ...... ... .... .. ...... .... . ..... .... . .. .... . . ... 134 .

.

.

3.16.2. Moduri valid e În figura a II-a ................. .... ....... .

.

...

.

. ..

.. ... . ... . . . . .

.

3.16.3. Moduri sil ogi stice valide în figura a III-a .............. . .. .... . ... . .

. ..

3.16.4. Moduri si l ogi stice valide în figura a IV·a . .. ... .... . .... . .. . ..

3.17. Reducerea figurilor «imperfecte» . . ..... .. . .. .. ..

..

.

.

.

.

.. . . . . .

....

.

.

. .

..

.

.. .

... .... ... .....

.

. ....... . ... 136

. . ... .

.. ....

.

.

.. .

.. ...

... 137 .

. . . 139

. ........... .. ..

. ..

.

..... ... ..

...

.. . 141 .

3 .1 7 .1. Reducerea directa .................................................................................... 141 3.17.2. Reducerea in directă . . .... . ........ .. . .

.

..

.

.. ......

... . .... .. .. .

.

...

.. .

.....

.

.

... ....

..

........

..

....

144


11

Cuprins 3.18.

Forme eliptice şi fonne compuse de raţionament silogistic ................................. 145 146 3.18.2. Polisilogismul şi soritul ......... .. .. .. .. . .. .. . ........ ... .... .. . ... ... .. ... . . . . ... 146 3. 18.3. E pich er ema .. . ... . ... . . .. .. .. . .... .. .. ... .......... . . . .. . . ... .. ... ... . . .. � . .. .. . ..... . 147 3.18.1. En ti mem a ................................................................................................. ..

..

..

. .

.

.

.

...

.. .

.

.

.

.

.

.

.

..

. .

..

. .

.

.

4. LOGICA M ODERN Ă A PREDICATELOR . ... .. .. .. .. .. .... .. .......... ....... . ...... .... .... . . . 149 ..

.

.

.

.

4.1. Vocabularul logi ci i pred ica t elor ............................................................................ 150

4.2. Valoarea logică a schemelor predicative ............................................................... 152

4.3. Câteva proprietăţi ale cuantorilor ........:................................................................. 154 4.3.1. Relaţii de echivalenţă între cuantori.... .

. .. . . .. . ...... . ....... . . .. . . . .

... .

.. ... .

.

.

..

.

. . . . ..

... ... 154

4.3.2. Raporturile cuantorilor cu conjuncţia şi disjuncţia .... .. . .. .. . . .. . . .... ..... ... .. 155 .

.

4.4. Problema dec i z iei în lo gica predicatelor ............................................................... 15 7

4.4.1. Forme pre ne x e ............................. :............................................................. 157

4.4.2. Decizia cu ajutorul formelor prenexe .. .... . ... ... ..... .. . ... ... .... . . .. . ..... .. . . . 159 Legi ale logicii c lasi ce în logi c a predicatelor .... . . . .... . .. ...... .... .... . . .. .... .. .. . 163 4.5.1. Transcrierea propoziţiilor categorice în limbajul logicii predicatelor .. . . . 163 4.5.2. Conversiunea propoziţiilor cat egorice .. . .... . .. . .... .. .. ...... .... . . .... .. .. . ... 164 4.5.3. Demons trar ea mo dur i lor si logi stice valide în logica predi catelor ............. 167 .

4.5.

.

.

..

. . . .

.

.

. .

.

.

...

.

.

.

. ... .

. ..

.

5.

LOGICA INFERENŢELOR PROBABILE

.

.

.

. .. . ...... . . .. .

.

.

.

.

.

.

.

....

..

. . .. . . .. .... . ... .... . .. . . ... .. .. . .

.

.. . . .

..

173

5.1. Specificul inferenţe!vr ind ucti ve ........................................................................... 175 5.2. In d uc ţia com p l et ă ... ........ . ... . ... .... . . ... ... . .. ......... . . ... .. . . . . .... . .... . .. . .. ...... . .. .. . .. 176 5.3. Inducţia in c om pletă (amplificatoare) . .. ..... . ..... .. .... . .. ..... .. ... . .. . .. ... . .. ... .... ... . 177 5.4. Indu c ţia enumerativă ............................................................................................. 178 5.5. lnducţia ştiinţifică. Metode de c ercetare inductivă.... . .. ... ... .. . .. .. . .. . .. .. .. .. . .. 180 5.5.1. Metoda concordanţei . .. . . .... ... . . . .... ... .... . .... .... . .... . .. ..... .... .. .. ... .. .. . 182 5.5.2. Metoda di fer en ţei....................................................................................... 184 .

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

. . .

.

...

.

..

.. .

.

. .

.

..

.

.

. ..

.

....

.

.

.

. .

.

.

.

...

5.5.3. Metoda variaţiilor concomitente ................................................................ 185 5.5.4. 1-fetoda resturilor ....................................................................................... 186

5.5.5. I n du cţie , ob s erv aţ ie şi ex periment ............................................................. 188 5.5.6. Trăsături comune metodelor inductive................... ; ................................... 189

5.5.7. Alte reguli şi cri ter ii de

5.6. Raţionamente st at i stice şi

v alid itate ale inducţiei sistematice ... .. . ... ... .. . .. .. .. 190 inferenţe inductive . .. ......... .. .... . . .... . .. .. . .. .. .. ... ... .. .. ... 192 .

..

.

.

.

.

.

5.7. An a l'ogi a ..... ............ ....................... . .. . .............. ... ... ....... ......................................... 195

5.8. Verificarea i po tezelor . .. . . . . . .. . ... ... <. . ..... . . . .... .. ..... .... . ... ... . .... ... ... .. ..... ....... .. ..... .... ...... 198 5.8}1. Două sensuri ale termenului

« ipoteză »

...................................................... 198

5.8.2. C ondiţi il e ipot ezei ra ţionale....................................................................... 199

5.8.3. Testarea ip o tez el or ..................................................................... :............... 201

5.8.4. Criterii de evaluare a i potezel or ................................................................. 203

(6. LOGICA DISCURSULUI .. .... . . .

.

.

........

..

.

.

... . ..

. .. ... . . . . . .... ....... .... .. . .. . . .... .. ... ... .. . ... .. .. ..... . ..

6.1. «Propoziţii» şi «acte de vorbire» . .... . .. .. . . .. . .. .... .

..

.. . . . .. . . . . ....... . . ... .....

.....

.

.

.

. .

6.2. Raţionalitatea acte lor de vorbire ... .... .. .. . . .. . . . .. .. . . ... . .. ... . ... .

6.3. ArgUlnentare

.

.. ..

.

. ..

.

.. .. .. ..

...

205

.. . .. .. 205 .... . .. .. 207

.

..

. .

....

..

..

şi d i s cu r s .......................................................................................... 209

6.4. Argumentarea pers uasivă ...................................................................................... 212

. ... .. .... .. . . ... ... .. 214 de d em on straţie. ... . . . ..... .. ... ........ .. .. ... .. .. ... . . .. . .... . . .. . .. ... ....... ...... . 2 20

6.5. Argumente « a n al i ti ce» şi «substanţiale» .... . ... . . .. .. .. .. . . . . . .. . .

6.6. Regu l i

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

... .

.

...

. . .

.

...

.

.

. .

.

..


12

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII 6.7. Forme de demonstraţie .... . ......... . . . .... .. ... . . . ..... . . ... ... .... .......... ..... . .. ......... . . ... .. 222 6.7.1. Demonstraţia directă ......... . ... . ... .... .... ......... . . . . . . . ........ . ..... . . ... .. 223 6.7.2. Respingerea (infirmarea) unei teze .. ......... .......... . . .. . ... ... ... ....... . ..... . 224 6.7.3. Demonstraţia indirectă .. ............................................................................. 229 .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

7. ERORI

îN DEMONSTRAŢIE .

..

..

. ..

.

...

.

.

.

.

..

.

..

...

.

.

..

... ...... ... ......... .. .. ........ . ...... . . . . .... .. .. . .. ........ .... .

.

..

.

.

.

.

.

.

.

..

231

şi paral o g is me .. . ...... .. . ... ... ............... . . ... � ........ . . ..... ....... .... . . .... 231 ........ . .... . . 234 7.2.1. Erori în silogismul ipotetic.. ;.'..................................................................... 234 7.2.2. Erori în silogismul disjunctiv ... . . . ... ........ .... ......... ... ... .... . ..... .... ... . . 236 7.2.3. Sofisme dilema tice ..................................................................................... 237 7.2.4. Erori în pătratul l o g i c ................................................................................. 240 7.2.5. Erori în i nferen ţe l e imediate cu propoziţii categorice ....... ... ... ... ............... 241 7.2.6. Erori în silogi smul categoric ...... . ... . . .. . ..... . .. . ... . ........ . . .... . 242 7.3. Erori de interpretare ... .... . . .. ..... ..... .. ... .................. .... . ........ ... .. ..... ... 244 7.4. Erori de relevanţă .. . . .. .... ..... ... .. ... ... . ..... ... . .... ....... .. . .. . .. 246 7.4.1. Petitia principii . . . .. .. ; ............................................................................. 247 7.4.2. Iglloratio elellc1zi . . . . .. .. . . . . . . ... ... .... . .... . ...... .. . .. . . 248 7.4.3. Întrebarea complexă . .... . . . . . ..... . . .... . . . . . .. .. .... 251 7.4.4. Argumentum ad cOllsequelltiam . . . . ... .. . . . ... . . 252 7.5. Paradoxe sau antinomii .. . . . . ... .. . . ... . . 252

7.1. Sofisme

.

.

.

.

.

.

..

.

..

.

7.2. Erori formale . ...... ......... . ... . .. . .. .... . . .. . ... ...... ......... . . ................ . ... .. .. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.. .

..

.

....

.

.

..

...

..

..

.....

.

..

..

.

. . ...

..

.

..

.

..

..

.

.

.

....

.

.

..

..

BIBLIOGRAFIE

.

.. . . . . .

.

..

.

..

.

.

..

...

.

.... .

..

.

.

......

.

. ..

..

.. .

....... .

INDICE DE TERMENI

..

.

..

.

.

...

.

. .

. ..

. ..

.

.

..

.

.

.

.

... . .

.

.

.

.

.

..

..

.

..

.

..

... . .

.

..

. ..

..

.

.

SOLUŢIILE EXERCIŢIILOR

..

.

.

... ... ..

.. .

.

... .

.

...

.. .

.

. . ...

. . ..

. . .. . . .. .

....... . .... . . . . . . . .. . . .

.. . . . . . .

. . . . ....

. ..

...

.

.. .

.

..

.. . .

...

.

.

...... .

... . . .. . .....

. . . ...

... ... ... . .....

. . . ...

.

.

... .

.... .

.

. . ...

.

.

....

..

.

..

. . .. . .

....

.

.

.

. . ..

.....

.. .

. ..

. . .. ..

.

.. .

..

...

. . . ..

.

.. ..

.

.. .

.... .

.

.

. . . .

..

....

.

.. . . ..

. ....

..

..

. . .....

.

. ... .. . . .. .

.

.

.. .

.

. .. . .. . .

..

.

..

.

..

. . .. ..

.. . .

.

.

..

..

. ... .... . . ..... . . . . . ... . . . . .. . . . . . ... . . . . . . ............. . ......... . .............. .... .. . .. . .......... ........

255 271 277


ADEvĂR ŞI VALIDITATE

I1

1.1. Scurt istoric Ca şi matematica, logi ca

are o vârstă venerabilă, constituindu-se ca di sc i p l i nă teoretică (elaborat ă s i s t emati c ) în Antichitate, cu peste două milenii în u rm ă . Considerabilul dev an s istoric al logicii şi matematicii faţă de ce l e lalte ştiinţe - fizica şi chimia, bi ol og i a, psihologia etc., care se constituie în ansambluri teoretice mult mai târziu, spre sfârşitul Renaşterii şi în zorii Epocii Moderne, nu este în t âmplăt or. În vreme ce şt iin ţe l e care descriu şi expl ic ă diferite cat egorii de procese şi fenomene din realitate se bazează pe un volum enorm de d ate empirice, a căror a c umulare şi clasificare nece s it ă un t i mp înde lungat şi numeroase invenţii tehnice, logica şi matematica studiază obiecte şi raporturi ideale, i n dependente faţă de experienţă, a căror concepere şi dezvoltare pur deductivă nu presupune decât exerciţiul �iguros al gând iri i . Pe de alt ă parte, s impl a acumulare de info rmaţii şi o bs ervaţii ",empirice nu se transformă de la sine în cunoaştere şti inţifi c ă; aceasta presupune�,ordonarea datel or într-un ansamb l u coerent, sistematic de concepte, principii, legi, regul i car e s e înlănţu ie şi se susţin reciproc, alcătuind o teorie ş ti inţifică , în care nu fapt e brute, ci idealizări conceptuale al e ace sto r a se dezvoltă deductiv. Şi din acest punct de vedere, deci, şti i nţe le experimentale vin după cele formale, deoarece constituirea lor ca discipline mature presupune cu n o şt i nţe suficient de avansate desp re r e gulile gândirii deductive cor e cte , astfel încât logica şi matematica sunt instrumente indispensabile ale cunoaşterii şt i inţifi c e în g eneral . Primele probleme de logică nu au format obi�ctul uno r cercetări de s ine stătătoare, ci au fost abordate incidental şi nesistematiC în teoriile unor filosofi ai Antichităţii eline. Eleaţii Pa r m e ni d e şi Ze n o n au d e s c operi t principiile identităţii ş i non-contradicţiei; sofiştii au inventat o serie de argument e în şe lătoare,


LOGICĂ ŞI TEORlAARGUMENTĂRII

14

artifi cios construite ( a şa-numi tel e «sofisme» ) , iar S o crate (c. 470 - 399 î. d. R.) şi Plato n (428 - 348 î. d. R.) a u iniţiat analiza noţiunilor, cercetând destul de amănunţit, dar nu cu mijloace formale, definiţia, clasificarea şi diviziunea, in ducţia şi unel e forme de raţionament deductiv. Cre atorul lo gicii ca ştiinţă d e sine stătătoare a fo st Ari s tot e 1

î.d.R.), ale cărui scrieri consacrate logicii au fost adunate de către discipol ii săi într-o operă m onu mentală, Organon. Aristotel a creat prima teor i e lo gică ' ( s ilo gi stica) şi a formulat un ele probl eme înde lung cercetate după el; totodată, a utilizat şi a explicitat o teorie a metodei de d u ctive . După Ari stotel, logica s-a dezvoltat atât în di recţia trasată de Organon (prin scrierile lui Teofrast, Alexandru d i n Afrodisias), cât şi pe o c al e (384-322

diferită, datorită gânditorilor din şcoala megarică şi cea stoică, ce au întreprins primel e cercet ări d e l ogică a propoziţiilor compuse, form ulând

raţio namente cu aspect al

p rop oziţii cond iţi o n a le, conjunctive şi disj unct i ve , considerate sub u nic ul

M egarici i Diodor Chro n o s ( sec . al IV-l ea î. d. R.) şi ( se c. al III-lea î. d. R.) s-a u ocupat de studiul implicaţiei, forrnulând diferite proprietăţi ale «impl i caţi ei materiale», iar stoi c ii Ze no n din Cit i o n (336 - 264 î. d. H.) şi C h r y s i pp o s (232 - 205? Î. d. H.) au În cercat să elaboreze o teorie generală a implicaţiei .

valorii lor de adevăr.

Philo n din M e g a ra

Nici Aristotel, nici ş col ile post-aristotelice din Antichitate nu au folosit

cercetările lor con sacrat e fonnelor corecte sau eronate de Etimo logic, cuv ântul " lo g ică" derivă din grecescul logos - substantiv greu t ra d uctibil în limbile moderne, dato rită p olisemiei sale, în care, contextual , noi vedem mul t i ple înţelesuri: cuvânt, enunţ, d i sc urs, raţiune, gândire, r aţi on ament etc. Ari s to tel a denumit Analitică (sau Ap od icti că) stu d i u l raţi onamentul ui termenul logică pentru

rati on am ent .

demonstrativ, care extrage concluzii din premise cert adevărate, Dialectică -

studiul raţionamentelor prob abile şi Eristică - studiul raţionamentelor înşelătoare,

cons trui te din premise numai aparent proba bil e. În scrierile lui Epicur, cercetările de natură l ogi că purtau denumirea de canonică, iar î n şc oa l a neo- pl at onică se prefer a tennenul dialectică. Respingând maniera specul ati v ă a dial ectici i de sorgine platoniciană, st oicul Zenon îi opun e termenul logică. Pe vremea lui Cicero (sec. 1 î. d. H.), termenul " l ogică " era d ej a folosit în m od curent, dar abia Alexandru din Ap hrod isia s (un comentator al lui Aristotel din sec. IT e.n.) fixează sensul a ctu a l .

La hotarul dintre Antichitate şi Evul Mediu, B o e t h i u s (480

-

îi

524),

neopl atonic din Roma, aduce o s er i e de comple t ăr i şi perfecţionări silogisticii arist o t el ice . Acest pr oces de ş le fuire până la rafinament a silogisticii va continua neîn trerupt în Evul Mediu, în ca drul scolasticii, care a avut numeroşi logi cieni foarte su btili ; printre a ceşti a, Du ns S c o tt u s (c. 1266 - 1308), W i 11 i a m Occam (c. 1285 -1349), Johannes B u r id a n (c. 1295 -1356), Albertus M a g n u s (e. 1200-1280), R a im u n d u s Lullus ş. a. Pe lângă perfecţionarea silogisticii, l ogi c i enii n:lI�djevl! li an fnnl'11Jat multe dintr€' aGtu91�le kpi ale


Adevăr şi validitate

lS

calculul ui pro po ziţi onal , au studiat o serie de paradoxe şi unele pr obl eme de term in o l ogi e . Corpu l de c unoştinţe logi c e elaborate în Antichitate şi în Evul Mediu formează logica tradiţională sau clasică. Renaşterea şi Epoca Modernă abandonează pro ble m at i c a� şi metodele l og ici i cla s ice, întrucât do gm ati smul scolastic transfonnase logica într-o disciplină artificioasă şi sterilă, de l o c fo l os i toare proce su l ui de constituire a ş ti in ţe lor experim enta le . Mult mai dinamică prin progresele ei rapide şi spectacu l oa s e şi mult mai activ i m p l i c ată în dezvoltarea fizicii, matematica va contribui la re vit ali zarea cercetărilor de logică, în direcţii cu totul noi. Prin înc ercarea de a elabora o ştiinţă matematică gen eral ă (mathesis unive rsalis), R e n e D e s c a r t e s ( 1 596 - 1 650) a st im ula t inv e sti gaţiil e logice în direcţia matematicii. Inten ţiile carteziene au luat form ă concretă în scrieri le lui G o t t fr i e d W i l h e l m L e i b n i z ( 1 646 - 1 7 1 6), care a şi formulat în mod «matematic» o serie de legi l o gi ce şi a sch i ţat posib i l itatea unei axiomatici lo g ice formalizate. Aici des c op erim încep u turi l e l ogici i moderne care, datorită utilizării ' tot mai i ntens e a s imb o li sm ul u i şi a meto d o l o gi e i de tip matemat i c , se mai numeşte şi logică simbolică sau logică matematică. Fără ecou la vremea lor, aceste prime încercări de reconstru cţie a l ogi ci i spre o tot mai strânsă simbioză cu m a temat ic a au fost reluate cu rezultate spectaculoase la jum ătate a sec. al XIX-lea. Irlandezul G e o r g e B o o l e ( 1 8 1 5 1 878) şi englezul A u g u s t u s d e M o r g a n ( 1 806 - 1 878) au găsit calea de a aplica în lo gi ca formală calculul m atema ti c - o de s c ope r i re ce urm a să aibă consecinţe revoluţionare. Limbajul formulelor şi ca l cu l ul ce d ădu s eră atâtea rezultate în mate mati că vin acum să.:şi d emon streze efi ci en ţa şi în l o gi c ă . La rândul ei, metoda axiomatică dob ân d e şt e noi şi nebănuite posibil ităţi de utilizare ce, ulterior, vor aduce contr ib uţii importante la progresul matematicii contemporane. Dacă până la B ool e şi De Morgan cercetările de l og i că aveau un caracter inductiv, încercând să surprin d ă scheme de ra ţio na ment utilizate spontan de gândirea comună, acum n o i l e metode se d esprin d de «observarea» exerciţiului curent al raţi u n i i , a s igu rân d deducţia unor întreg i s i stem e d e leg i prin ut ilizarea unor al goritmi de ca l cul riguros definiţi. De aici în ainte, cercetările de logi că urm ează do u ă direc ţi i maj ore : desc op erire a de noi s istem e l o gice ş i perfecţionarea formală a sistemelor anterior elaborate . Construind un calcul lo gic bazat pe reguli a lg ebr ice, Boole descoperă că unele formule logice sunt i zo m orf e cu anumite fo rmu l e matemat i c e . Odată dem o ns trată po s ib i l i tatea ut il i zăr i i m eto d e i algebr i ce de c al c u l în l o g i c ă, cercetările vor fi în d re ptate în s en sul opt imizării acestei metode. J o h n V e n n dezvoltă metoda geometrică a ce rc u ri l or de an al i ză a pro po zi ţi i l o r, utilizând pr i ntre pnn1ll <jltagma <<Symbolic Logic» ca titlu de tratat şti i nţi fi c . E . S e h r ă d e r ( 1 84 1 - 1 902) dezvoltă metoda algeb rică în logică, pre fi gu rân d ca l culu l


16

LOGICAW ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

predi catelor.

Hugh

McColI

( 1 8 3 7 - 1 909) reformulează logica propoziţiilor

într-un mod destul de a propiat de forma ei actuală . Lucrările celor doi fac trecerea spre o nouă etap ă în ev o l uţia logici i - eta pa fundamentăr i i log ice a matematicii. Logica îşi găseşte un putern ic stimulent în necesitatea sistematizării şi unificării matematicii. A propi erea dintre lo gi că ş i matematică este fa c i l itată de ap ari ţia te oriei m u lţi m il or a lui G e o r g C a n t o r ( 1 845 - 1 9 1 8 ) . G o t t l o b F r e g e (1 848 - 1 925) axiomatizează calculul propozi ţii lor, perfecţionează calculul predicatelo r ( inc lu zând în e l şi s i l ogi st i c a) şi construieşte un sistem logico-a r itmeti c prin c are încearcă să deducă aritmetica din •logică. G i u s e p p e P e a n o ( 1 858 - 1 932) p e rfe c ţ i on ează simbolismul log i c , dându-i o largă ut i lizare în exp uneril e matematic e.

antinomiilor (pa radoxe lor) în sistemele lui Frege şi Cantor constituie sursa din care se vor ivi u lter ior cercetările metamatematice şi metalogi ce . Această etap ă a t in ge p unctul culminant în o p era monumenta lă a lui B e r t r a n d R u s s e l l ( 1 8 72 - 1 9 70) şi A l fr e d N o r t h W h i t e h e a d ( 1 861 1 947) - Princip ia Mathematica ( 1 9 1 0), primul tratat de logică matematică în sensul actual al tennenu l u i . A i c i sunt fonnulate di stinct logica propoziţiilor, logica predicatelor, logica c l ase lo r, logica re laţi il or şi aritmetica « lo gicizat ă» - adică toate teoriile de bază ale logicii moderne. Russell formulează şi cea mai des utilizată metodă de soluţionare a paradoxelor, aşa-numita «t e or ie a tipurilor». Următoarea etapă m arch e ază « r am ifica rea l o gic i i », prin apariţia teoriilor logice neclasice. J . L u k a s i e w i c z ( 1 878 - 1 956) şi L . E . P o s t ( 1 897 1 945) el aborează primele sisteme de logică polivalentă (cu mai multe val ori de adevăr decât d i h oto m i a clasică «a devărat» şi « fa l s » ) , iar C . 1 . L e w i s ( 1 883 1 964) concepe un si stem de logică modală. D a v i d H i l b e r t ( 1 862 -...i�.13) şi W . A c k e r m a n n dau o fo rm ă c l a s ic ă logi c i i matematice ax i om ati zate şi iniţiază cercetările de metamatematică (teoria demonstraţiei şi a prop rietăţi lor s i steme lor axiom ati c e ) . Cercetăril e de metamatematică ş i apoi c el e de metalogică sunt mult s timul a te de des c op e riril e lui K u r t G o d e l ( 1 906 - 1 978) - prin c elebra sa teor e m ă de incompletitudine a s i stem e lo r axiomatice, A l fr e d T a r s k i (1902 1 983) - cunoscut mai ales pentru teoria semantică a adevărulu i în li mb aj ele formalizate , R u d o i f C a r n a p ( 1 89 1 - 1 970) - a cărui pr in c i p a lă contribuţie e ste sistematizarea semanticii log ice) . B r o u w e r , H e y t i n g , M a r k o v ş.a. dezvoltă logica în direcţia concepţiei constructiviste a s u p ra matemat icii . Lo gica normativă (sau «deontologia») este i n iţiată şi dezvoltată de către G e o r g H e n r y k v o n W r i g h t . O d e sc op er ire i mp ortantă este ap licarea forma l i s m u l u i logi c la schemele cu relee şi contacte - C . S h a n n o n şi V . I . Ş e s t a k o v , marcând înce putul «logicii tehnice» şi era infonnaticii actuale. Apariţia


Adevăr şi validitate

1.2.

17

Inferenţă şi raţionament

Într-o accepţiune populară - pe cât de facilă şi de sugestivă, pe atât de puţin riguroasă -, logica este caracterizată drept ştiinţa gândirii corecte, presupunându-se că principala (dacă nu singura) ei utilitate constă în faptul că ne învaţă cum să gândim, ferindu-ne de erori. Ce-i drept, studiul logicii ar putea şi ar trebui să ne ofere beneficiul unei gândiri mai riguroase, ce înaintează mai sigur spre aflarea unor adevăruri bine întemeiate, evitând cu sporită circumspecţie capcanele şi aparenţele înşelătoare. Dar foloasele eventuale pe care le poate aduce studiul logicii, spori nd abilitatea şi p rofun zimea gândirii cuiva, nu reprezintă câtuşi de puţin trăsături definitorii ale acestui domeniu teoretic - aşa cum faptul că ne ajută să ne iluminăm încăperile ori să ascultăm muzică la casetofon nu sunt trăsături definitorii ale curentului electric. În ţel egerea logicii ca ştiinţă a gândirii corecte induce presupoziţia greşită că adevărurile logicii s-ar baza cumva pe consensul şi pe uzanţel e modului efectiv în care oamenii îşi înlănţuie ideile şi cuvintele, îndemnându-ne parcă să asociem ştiinţa logicii cu gramatica. Numai că această aparentă înrudire este inexistentă. Regulile de morfologie şi sintaxă pe care le enunţă gramatica sunt valabile întrucât c1arifică şi s i stemat i ze ază o performanţă lingvistică uzuală într-un anumit stadiu de evoluţie a unei limbi efectiv vorbite. A spune că "Ei vorbeşte prea mult" sau că "Voi trebuiţi să mai învăţaţi", că "Tu e şt i mai sup erior" ori că "Nu se merită să mergi la mare" etc. sunt construcţii gramatical eronate în limba română pentru că nu aşa se vorbeşte corect româneşte - chiar dacă idei le exprimate într-o formă gramaticală eronată pot fi pertinente. Principiul logic al identităţii, proprietăţile implicaţiei materiale sau legile silogis�ului, de p ildă, sunt însă valabile nu pentru că majoritatea oamenilor le cunosc şi le aplică efectiv în modul lor de gândire, ci întrucât se susţin prin demonstraţii riguroase, care ţin exclusiv de construcţia unor sisteme de entităţi şi relaţi i pur ideale - tot aşa cum teoremele lui Thales, Pitagora sau Fermat, să spunem, binomul lui Newton sau geometriile neeuclidiene nu se întemeiază pe cunoaşterea şi susţinerea lor de către maj oritatea indivizilor, ci numai pe argumentele gândirii matematice, care este universală ş i atemporală. "Nu putem explica raţiunea printr-o descriere naturalistă a practicilor limbajului afirmă Thothas Nagel. [ .. ] În măsura în care practicile lingvistice ne dezvăluie principiile gând irii, sau ne indică, de pildă, ceva despre natura propoziţi ilor aritmetice, acest lucru nu se datorează faptului că logica este o gramatică, ci faptului că gramatica se supune logicii. Un «limbaj» în care modus p onens nu ar fi o inferenţă validă sau în care id e ntitate a nu ar fi tranzitivă n-ar putea fi folosit pentru a exprima nici un fel de idei. ,,1 Logicienii de astăzi resping înţelegerea logicii ca ştiinţă a gândirii corecte şi pentru că gândirea este o activitate psihică, deosebit de complexă, care se .

I

Thomas Nagel, Ultimul cuvânt, trad. rom. Gennina Chiroiu, AII, B ucureşti, 1 998, pp. 50- 5 1 .


18

LOGICĂ ŞI TEOR1A ARGUMENTĂRII

desfăşoară în minţile oamenilor, având de fiecare dată o inalienabilă notă subiectivă, prin care indivizii se deosebesc mai mult sau mai puţin unul de altul. Gândirea este un obiect de studiu pentru psihologie, ştiinţă experimentală care urmăreşte să determine prin observaţie, măsurare, comparare, simulare, modelare etc. ceea ce, de regulă sau În mod obişnuit decurge în mod «normal» în minţile oamenilor, sintetizând şi informaţiile extrem de diversificate pe care le furnizează discipline precum cibernetica, teoria informaţiei, neuro-fiziologia şi altele. Înrudită mult mai îndeaproape cu matematica decât cu psihologia sau gramatica, logica nu este o ştiinţă experimentală, căci ea nu descrie şi nu explică modul concret în care oamenii de tot felul gândesc efectiv, îndrumându-i cu sfaturi şi recomandări pe care ei sunt liberi să le urmeze sau nu, cu rezultate ierarhizabile pe diferite scale de performanţă. Neinteresată de conţinutul actelor de gândire, indiferentă faţă de sensul şi valoarea informaţională a «idei lor», logica studia,ză structuri de relaţi i necesare între entităţi ideale, abstracte - structuri de progresivă generalitate, izomorfe nu numai cu actele cognitive, ci şi cu nenumărate si steme naturale sau artificiale din lumea fenomenală. Iată de ce, lăsând gândire a în seama psihologilor şi vorbirea corectă în seama filologilor, vom spune că logica studiază din punct de vedere formal inferenţele valide. Înţelegem prin inferenţă orice extragere sau derivare dintr-una sau mai multe propoziţi i date, numite premise, a unei noi propoziţii, numită concluzie. Cu alte cuvinte, fiind reunite n premise, printr-o inferenţă corectă . d in punct de vedere logic este posibilă sau necesară afirmarea unei anumite concluzii, care se desprinde sau rezultă din premisele date şi acceptate - indiferent cât de mulţi sau cât de puţini ar fi indivizii capabili să efectueze mintal desprinderea concluziei corecte şi indiferent cât de mare sau de mic ar fi efortul intelectual pentru înţelegerea mecanismului logic prin care concluzia derivă din premisele sale. Spune Peirce: "Nu se pune câtuşi de puţin problema dacă, atunci când mintea noastră acceptă premisele, simţim imboldul să acceptăm şi concluzia. Este adevărat că din fire raţionăm în general corect. Acesta este însă un accident; concluzia adevărată ar rămâne adevărată şi dacă nu am simţi nici un imbold de a o accepta, iar cea falsă ar rămâne falsă chiar dacă nu am putea rezista porn irii de a crede în ea. ,,2 Iată câteva exemple de inferenţe elementare: 1/2

Dată fiind premisa ,,2x = 1 0", putem infera concluzia

2/2 Din premisa ni = 1 6" rezultă prin inferenţă ,�

2

=

, ,x =

5".

4 sau x = (-4) ".

3/2

Fiind date dreptele (a), (b) şi (c), precum şi relaţia de paralelism, din premisele ,,(a) 1/ (b) " şi ,, (b) /1 (c) " rezultă concluzia: ,,(a) /1 (c) ".

4/2

Date fiind prem isele "Toate patrul aterele sunt poligoane" şi "Toate romburile sunt patrulatere", se poate infera concluzia: "Toate romburile sunt poligoane".

Charles Sanders Peirce, op. cii. , p. 87


19

Adevăr şi validitate

Dacă am rem arc at un ins necunoscut, cu care nu am discutat nimic,

5/2

dar care avea tenul galben, o chi obl i c i , e ra scund ş i purta ochelari, p utem infera că respectivu l individ trebuie să fie un asiatic din Extremul Orient.

6/2 In trând într-o cameră, apăs pe comutator

şi

nu se

aprinde lumina; p osed despre

faptul ca atare, coroborat cu noţi uni l e pe care le instalaţi i le e l ectrice , mă fac să

presup un că

fenomenul se datorează

uneia dintre următoarele cauze posibile: nu este curent în reţea;

ars fil amen tul becului; s-a defectat c omut atorul etc . Î n lănţu ire a log i că dintre

s-a

p rem i se şi concluzie se mai numeşte şi argument

- termen preferat de către unii logicieni în locul celui de infere n ţă, întru c ât e ste

(sau , cel puţin, p are ) mai fam i li ar. Totu şi , cei doi termeni

nu sunt, credem noi, pe sinonimi. A argumenta sau a constru i un argum ent înseamnă, câteodată, a deriva d in p rem i se date şi acceptate o anum i tă concluzie - cu alte cuvinte, a i n fe ra ; în multe cazuri, însă, a argumenta înseamnă a s u sţine cu anumite temei ur i o

dep l i n

propoziţie dată, al cărei adevăr nu este cert. Altfel spus, a construi un argument poate să însemne a de sco p e ri

anum ite

p remi s e , din care prop o z i ţi a de susţinut

derivă logic drept concluzia lor. Iată câteva exemple de argumente de a cest tip:

7/2 Afirmaţia

că aria u n ui cerc nu poate fi în n i ci un caz egală cu aria

p robl em ă cunoscută în i storia matemati cii drept nu este câtuşi de puţin de la si ne ev identă. De

unu i pătrat (faimoasa

«quadratura ce r cului» )

ce şi cum să ne c o nv ingem de adevărul ei? Avem nevoie de un argument.

Acesta

a

fost

formulat

în

anul

matematicianul Ferdinand Lindemann ( 1 8 5 2 urmează: aria pătratului se cal c u le ază

1 8 82

1 939)

de

către

d up ă cum

după formula z2 - l atura 1 av ând în orice s i tuaţie o lungime (valoare n umerică în s i stem u l metric) finită, astfel încât ş i suprafaţa p ătratu lu i este cu necesitate finită; ari a

r2, numărul n fi i n d iraţi o na l, cu astfel încât ari a nici unui cerc nu p o ate finită. De aici rezultă cu ce rti tudi ne exact care acum s u ntem convi nşi p rin tr- o

cercului se cal culează după formula n

un număr in fi n it de zec imal e,

avea o valoare .�,.

num e r ică p ro poziţi a in i ţ i al ă, de argumentare rigu ro asă .

8/2 Oameni i de demult au fost extrem de contrariaţi atunci când uni i «înţelepţi» - filosofi, matematicieni, as tron om i din An t ic h itate - au susţin ut că p ământu l nu este pl at, ci s fer ic sau «rotund», afirm aţi e aflată într-un viol ent conflict cu evidenţele percept i ve . Iată ce fel de argumente aduce, de

atunci când

p ildă,

Aristotel în sprij inul

acestei afirmaţii:

o corabie dispare în larg, l a limita orizontului, se p i er de

din vedere mai întâi coca sau c orpul navei , şi abia pe urmă d i s p are şi

catargu l , ca ş i cum c orabi a s-ar scufunda în mare - şi invers, atunci când o corabie se ive şte din larg mai întî i i s e zăre ş te catargu l ş i ab ia pe urmă ap are

din valuri şi

coca navei, ca şi cum corab ia s-ar ridica


20

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

din mare; umbra pe care o proiectează pământul pe suprafaţa lunii în timpu l eclipselor de lună este întotdeauna circulară - niciodată eliptică sau liniară, aşa cum ar trebui să se întâmple măcar din când în când dacă pământul ar fi, aşa cum s-a crezut mult timp, un disc plat; în sfârşit, cu cât ne ridicăm la o latitudine mai îndepărtată de Ecuator, cu atât unghiul sub care se înalţă soarele la zenit este mai mic. Toate aceste fapte nu se pot explica altcumva decât dacă ne reprezentăm pământul ca pe un corp c'e resc de mari dimensiuni şi de formă sferică (abia mai târziu s-a aflat cu certitudine că planeta noastră este un geoid de rotaţie, adică o sferă turtită la poli din cauza forţei centrifuge pe care o dezvoltă mişcarea de rotaţie a pământului în jurul axei sale). 9/2 Un copil p o ate fi contrariat atunci când îi spunem că delfinii nu sunt p eşti ,

ci mamifere, ca şi noi, oamenii - deşi prin mediul lor de viaţă, prin formă şi mod de locomoţie se aseamănă izbitor cu peştii. Drept argumente vom folosi definiţiile noţiunilor de peşte şi de mamifer, precum şi o serie de observaţi i care atestă că delfinii nu sunt peşti întrucât nu au «sânge rece», nu se înmulţesc prin icre şi nu resp iră prin branhii, ci sunt mamifere, deoarece au «sânge cald», nasc pui vii, pe care îi hrănesc cu l apte şi respiră prin plămâni, având de aceea nevoie să se ridice din când în când la suprafaţa apei pentru a nu se sufoca.

Un alt motiv pentru care am evitat, în acest context, utilizarea termenului «argument» este acela că - după cum se va vedea în Capitolul 5 - tinde să capete un statut autonom şi, în bună măsură, extralogic o teorie a argumentării, în care sensul fundamental al noţiunii de argument nu se referă la anumite relaţii necesare între propoziţii, ci la interacţiunea comunicaţională dintre un vorbitor şi interlocutorii s ăi , primul încercând să-i conv in gă pe ceilalţi de valabilitatea unei teze disputate, atât prin coerenţa şi rigoarea ideilor sale, cât şi prin alte mij loace de influenţare psihologică. Să remarcăm faptul că în exemplele 1 /2 şi 2/2 concluzia decurge direct, nemij locit, dintr-o singură premisă - aşa cum se întâmplă şi în inferenţe de genul:

10/2 Ştiind că "Nici o pasăre patruped nu este pasăre" .

nu

este patruped", rezultă că "Nici un

1 1/2 Dacă ar fi adevărat că "Toţi magistraţii sunt integri" (făcând abstracţie de faptul regretab il că, în realitate, lucrurile nu stau chiar aşa), s-ar putea infera de aici că "Nici un om lipsit de integritate nu este magistrat".

Astfel de treceri directe de la o singură premisă la concluzie se numesc inferenţe imediate. În exemplele · 3/2 ş i 4/2 concluzia rezultă din câte două premise, a căror considerare împreună este absolut necesară şi suficientă pentru a se real iza inferenţa; în nenumărate alte cazuri, extragerea unei concluzi i necesită


Adevăr şi validitate

21

nu numai două, c i n prem i s e , considerate laolaltă. Ori de câte ori concluzia decurge din două s au m ai mu lte premis e avem de-a face cu inferenţe mediate sau raţionamente.

1.3.

Inducţie şi deducţie

D up ă mo d ul în care co n c l u zia d ecurge d in prem ise, inferenţele se Împart În două mari categori i : logi c necesare şi probabile. Formele tip i ce pen tru fiecare tip d e inferenţe sunt cele d e d uct ive şi cele in d u c t i ve . D e d u cţi a şi i n d u c ţi a sunt modalităţi fu n dam e n ta l d i ferite de înlănţuire ordonată a «ideilom, prin care d in anum i t e prop oz i ţ i i date se obţin propoziţii noi sau prin care anumit e pr o p o zi ţ ii incerte sunt întemeiate pe alte propoziţii, de care suntem si guri . Deoseb irea esenţ i al ă între i n du cţie şi d e d u cţi e este următoarea: a) Inferenţele inductive "au d o u ă c aracteri s ti c i : prem i s e l e adevărate susţin con c l u zi a , dar nu o garantează; şi concluzia conţine o in fo rm aţi e care nu există în prem i s e " . 3 În inferenţele inductive concluzia nu decurge cu necesitate l og i c ă d i n p re m i s e - motiv pentru care concluzi ile întemeiate i n d u cti v llU sunt n ic i o d at ă absolut certe, Ci m a i mult sau mai puţin probab i le . O b s e rv aţ ia este valab ilă în cazul in d u c ţ i i l o r incomplete, care se b azea ză pe următorul mecanism inferenţial : având de investigat o mulţime nenumărabilă, se pot ex am in a unul câte unul doar o parte d in el ementele ei; da că în toate cazurile exam inate se constată, fără excepţii, o anumită p ropri etat e sau re l aţi e , se generalizează constatarea pentru toate elementele mu lţimii d e fen om ene inve st i gate , inclusiv acelea care nu au putut să fie examinate d i rect, întrucât se p resup une că nu pot s ă apară e xce pţi i care să infirme genera l i zare a formulată. De cele mai mu l te ori, însă, această prezu mţ i e este, m ai devreme sau mai târz i u , infirmată; şi ch iar dacă, în unele cazuri , excep ţ ii l e încă nu s- au produs, i ar p ro b ab i l itate a lor este infimă, imposibilitatea lor absolută nu ,poate fi p r obată p ri n m ij loa ce inductive. Iată şi exemp lu l clasic: multă vreme eurqpenii au crezut că "Toate lebedele sunt albe", pentru motivul de bun simţ că nici;,;un europ e a n nu văzuse lebede de altă culoare - până când e xplorator ii au d e s c o p er it în emisfera australă l ebede negre ! Întrucât afirmă d es pre orice element al u n ei mulţimi ceea c e s e c u n oaşte n umai d e s p re unele din elementele acesteia, i n d u cţi a incompletă nu poate furniza adevăruri certe, ci numai d i ferite grade de probabilitate, i ar concluziile în tem ei ate i n d uc t iv n u d e c u rg cu necesitate l o g i că din premisele lor deoarece sunt mai g en e ral e decât ace ste a ; cu alte cuvinte, concluzia unei i n fe re n ţe inductive spune mai mult dec â t ceea ce se poate e xtrage din premisele asumate . 3

Peter K. McInemey, 1ll 1roducere În filosofie, trad. rom. N. I. Mariş & L. Stai cu, Ed. Li der, Bucureşti,

(f. a.), p. 1 7


22

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

b) În inferenţele deductive concluzia decurge cu necesitate logică din pre m i se ; cu alte cuv inte, fiind date şi acceptate premisele, concluzia rezu l tă din ele neapărat. Inferenţele 1 / 1 - 1 /4 sunt ilustrative în acest sen s. Unu l d i ntre motivele care explică această propr i etate este acela că ni c io d ată concluzia unei d e d u c ţii nu este mai ge n eral ă decât prem i se l e din care d e curge ; o concluzie întem eiată prin deducţie exprimă n u mai ceea ce rezultă din considerarea împreună a p remise l o r . În vreme ce asupra inferenţelor in du ctiv e nu se pot formula decât unele recomandări metodologice. În care se c on d ens e ază rezultatele şi experienţa acumulate în d e cu rsu l cercetări lor şti inţifice (însumându-se c on s i deraţi i d e n atură l o gi că, p s ih o l o g ică, epistemologică, istori că, fil osofică etc.), inferenţele deductive permit sau n eces ită chiar form ul are a unor re gu li şi pr in c i p i i clare, precise şi

si stem atic. lată de ce logica ÎIl s e n s strict trebu i e privită ca studiu form a l consacrat numai inferenţelor deductive sau, m a i pe sc.� uli, c a teorie a deducţie i. În gran i ţe mai pu ţ i n s t ri cte, uşa-numita logicii genera/â a bo rd e ază şi alte probleme -­ cu m sunt cele privind limbajul, c o n c e p t e l e teoretice, de fi niţ i a , clasificarea, i nducţi a etc.-, probleme a b or d ate , cu metode diferite, şi de alte discipline, l ogÎi;a n e avân d exclusivitate în ce rcetarea lor, dar oferind o perspectivă proprie ş i d u c i d ă r i d i ntre cele mu i i m portante . A c e s t e incurs iuni a l e cercetărilor lo�dc(' dincolo d e gra n i ţele stric t e ule inferenţe l L)t' dedu ctiv(� nu sunt dl.l.uşl d{� p u t i n artifi c i a l e sau gratuite, ci se impun, d eo are c e construcpa si stemelor deduct ivc n u se p o ate l i p s i de u n e l e c lllJ'ificări aprofundat e fi le problemelor m a i s u s men l ionate. Având cara c t eru l unei int rod uceri în prob l t'matka. te.oria şi metodologia logic i I . man u a l u l d e laţă abordează tematica lărgită it l o gicii ge nera le.

ordonate

1 .4 .

Adevăr şi vali ditate

1 .4. 1 . Câteva considera ţii mai degrab ă filosofice a s u p ra adevărului

Natura, o r i g i n e a şi criteri il e adevăru lui reprezintă o tem ă hiperco rn plexă şi de ext rem ă d i fi cu ltate, care îi fr ăm â nt ă de multe sec o l e pe t e o l o gi , metafizicieni, epistemologi , psihologi sau logi cieni. În scurtele considera ţ i i care urmează, vom fa c e în mod de l i berat abstracţie de a specte l e metafizi ce şi teo l ogi c e ale refl ecţiei despre a dev ăr - aspecte ce im p l ic ă o mulţime de obscurităţi a d â n c i şi mi sterioase, c e par a depăşi puterea noastră de înţelegere . Dacă privim a devăru l nu ca p e o en tit ate sau ca pe un atribut esen ţ i a l al Fi inţei, ci n umai ca proprietate a «ideil or» noastre d e s p re realitate, comunicabiJe prin i n term ed i u l l imbaj u lui, atun c i cea mai fireas c ă şi mai evi d entă modalitate de defi nire a adevărului pare a fi aceea pro p usă de către A r i s t o t e 1 în


Adevăr şi validitate

23

Metafizica, şi anume corespondenţa

ideilor noastre cu realitatea sau, concordanţa dintre enunţuri şi stările de fapt la care acestea se referă.

altfel spus,

În descrierea lui Stephen Read, teoria adevărului - corespondenţă că "adevărul este un concept rel aţi ona l , ca şi noţiunea de «unchi», constând într-o relaţie de corespondenţă cu un fapt. (Cineva devine unchi având un nepot s au o nep o ată. ) O idee sau o propoziţie este adevărată în acele cazuri, şi numai în acele cazuri, în care există un fapt corespunzător c o n ţin utul u i lor. (Un bărbat este unchi numai în cazurile în care există un nepot sau o nepoată Înrudită cu el.) " 4 Aristotel defineşte conceptul d e adevăr În câteva fragmente c l a s i c e şi mult analizate din cupri n s ul Metafizicii. Mai întâi, în C arte a N ( f) el spune: "a en unţa că ceea ce este nu este, sau că ceea ce nu este este, constituie o p ro p oziţi e falsă; d i m p o tri vă, o enunţare ad evărată e aceea p r i n c are s p u i că este c e e a ce este şi că nu e s te ceea ce nu este." S A i c i se pare că Aristotel rep etă numai o idee curentă despre adevăr a şcolii platoniciene, din c are el în s u ş i a făcut parte multă vreme, până la moartea maestru lui său, Platon. Căci şi a cesta , în Republica, s p un e că "a opina ceea ce este înseamnă a avea parte de adevăr" 6, iar În Sofistul susţine că "teza cum că nu sunt cele ce sunt şi că s unt cele ce n u sunt, va trebui socotită falsă" . 7 În acest fragment din Metafizica lui Ari stote l , accentul se pune pe raportul dintre existenţa id e ală , gândită şi rostită, şi exi stenţa rea l ă, obi ectivă, raport caracteri sti c propozi ţi i l or existen ţiale, c ar e afirmă sau neagă fiinţa unor lucruri (de genu l " Exi st ă extratereştri", "Nu există pol iti cien i s i n c e ri " , "S unt şi o am e n i cinstiţi", "Nu se află pe lume c o pi i cuminţi şi babe frumoase" etc.). În Cartea VI (E), A r ist ote l se re feră mai degrabă la pro p o zi ţi i l e de predicaţie, În c are se afirmă ori se neagă posesia de c ătre un l u c ru a un e i anumite însuşiri sau proprietăţi - de genul "Zăpada este albă", "Mercurul e ste un metal lichid", "Aurul nu este oxidabil", "Mamiferele nu au pen e " etc . Având în vedere sol idaritatea dintre adevăr şi Fiinţă, respectiv aceea dintre fals şi Nefi inţă, ca term e n i ontologic contradictorii, ce nu se p ot afla deod ată într-una şi aceeaşi realitate, respectiv în d e s fă ş ura re a unei singure idei, Aristotel pri v e şte p ro po ziţia ca p e o "unire şi se p ar are " a subiectului ş i a atributului său. În a ce a st ă perspectivă, "adevărată este afirmaţia d e s pre ceea ce În realitate e st e unit şi negaţia despre ceea ce în realitate este despărţit, iar falsul c o ns t ă în o p o ziţia faţă de a ce a stă afirmaţie sau n e g aţ i e . " 8 Im p o rtan te în acest al d o i l e a fragment s unt două precizări s upl im e nta re : a) ad e vă ru l este corelat numai cu aş a-n u mitel e aserţiuni - propoziţii c o n si d er ă

Stephen Read, Thillkillg A bout Log ic. AII 5 6

University Pres s , 1 9 9 5 , p. 7 .

Ari stotel ,

Platon ,

Metafizica,

Introductiol1

10

the

Ph il osop hy of Log ic, Oxford

IV, 7, 1 0 1 1 b, trad. rom. Şt. Bezdechi, Editura IRl, Bucureşti, 1 996, p. 1 56 rom. Andrei Comea, în «Opere», vo I . V, Editura Şti inţifică şi

Republica, III, 6, 4 1 3 a, trad.

Enciclopedi că, Bucureşti, 1 9 86, p. 1 92 .

Pl aton, SOfiSIU1,

24 1 a , trad .

rom.

Constantin Noi ca, în «Opere», v o I . V I , Editura Şti inţifică şi

Enciclopedică, B ucureşti , 1 989, p. 3 4 6 . Ari stotel , op. cit., p. ' 2 3 9 .


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

24

care afinnă sau neagă ceva; b) falsul nu mai primeşte o definiţie de sine stătătoare,

ci

cu

este privit ca opus al adevărului.

În

sfârşit, în Cartea IX

precizarea

suplimentară

(8),

reia definiţia de mai sus, corespoildenţă dintre idei şi lucruri, şi nu invers. "Calea adevărului, spune

1 0, 1 0 5 1 b, Aristotel

raportul

în

real itatea condiţionează adevărul gândirii

de

Aristotel, ap arţi n e acelui care socoate drept despărţit ceea ce este în real itate

ca

ce este unit, precum este în eroare acela care gândeşte contrar de cum sunt lucrurile în realitate. S e pune acum întrebarea: Când are loc ceea ce noi numim adevărat sau fals? Aceasta e chestiunea ce trebuie examinată. Într-adevăr, tu, de p i l dă, nu eşti alb pentru că noi credem pe drept cuvânt că tu eşti alb, ci pentru că tu eşti alb, suntem pe calea adevărului când afinnăm acest lucru. ,,9 Scolastica medievală păstrează teoria aristotelică despre adevărul-cores­ pondenţă, pe care o rezumă Într-o celebră definiţi e: " Verum este adcequatio rei et despărţit şi

unit ceea

intellectus".

Renaşterea şi Epoca Modernă, în care se ivesc primele teorii şti inţifice pe observaţie şi experiment, ale căror date sunt expuse matematic, se preocupă mai puţin de fonnul area unei definiţii a adevărului, şi îşi concentrează atenţia asupra descoperiri i unei metode s i gure, prin a cărei aplicare să putem construite

deosebi Iară greş adevărul de fals. Rene

psihologice:

Descartes

defineşte

"Verum est q uod

adevărul

darae ac

prin

distincte

anumite

calităţi

sub iective,

pe rcipio " . Cu alte cuvinte,

evidenţa intu itivă este ceea ce, prin atributele ideilor clare şi distincte, caracterizează toate ideile adevărate. Comentând faimosul său principiu - dubito, ergo cogito; cogito, e rg o sum -, Descartes spune: "Observând că nu există în acest

g ândesc,

deci exist nimic care să mă asigure că spun adevăru l, în afară de

faptu l că văd foarte clar că

pentru

a gândi trebuie

că lucrurile pe Descartes aj unge

adopt o regulă generală, anume distinct sunt subiectivă

a

toate

adevărate.

,010

să exi ş ti , am co n s i d erat că pot să care le concepem foarte clar şi să generalizeze această susţinere

adevărului întrucât are în vedere numai

matemati ce, aşa

Construcţia non-intuitive (precum geometri iIe non-euclidiene, de exemp lu) avea să şteargă relevanţa evidenţei drept criteriu de adevăr. Cu atât mai puţin poate fi acceptată evidenţa în cazul enunţurilor cu referenţial o b i e cti v. "Nu contează aici câtuşi de puţin intensitatea convingerilor subiective - spune Karl Popper; pot să fiu pe deplin pătruns de adevăru l unui enunţ, de evidenţa unei percepţi i, de puterea de convingere a unei trăiri, orice în d o ia l ă poate să mi se pară absurdă. Dar poate totuşi ştiinţa să accepte pe acest temei enunţu l meu? Poate ea oare să- I întemei eze pe considerentul că domnul cum puteau fi ele interpretate de şti inţa

şi

propoziţiile

fi losofia vremii sale.

ulterioară a unor sisteme şi teorii matematice

10

ibidem, p. 358

Rene Descartes, Discurs despre meto dă, trad. rom. Daniela Rovenţa-Frumuşani şi Al. Boboc,

Ed itura Academiei Române, Bucureşti, 1 990, pp. 1 3 0 - 1 3 1


A devăr şi

validitate

N. N. este pătruns

25

de adevărul lu i ?

Răspun sul este "I l

n eg at i v ; un alt răs p uns

ar fi

incompatibil cu ideea obiectivităţii ştiinţifice. Sesizând slăbiciunea e v iden ţe i luate drept criteriu de adevăr, Leibniz îşi propune să d esco pere un alt criteriu c are să garanteze certitudinea enunţurilor teoretice, fie acestea matematice, logice s au metafizice. El semnalează cel dintâi existenţa unei diferenţe radicale între două tipuri de propoziţii, fiecare tip având alte criterii de adevăr. "Există ... două feluri de adevăruri, cel e de raţionament şi cele de fapt. A dev ărurile de r aţi on ament sunt necesare şi opusul lor e imposibi l, iar cele de fapt s u nt contingente şi op u su l lor este posibil. Când un adevăr este necesar, îi putem găsi temeiul prin anali ză, rezolvându-l în idei şi a dev ăruri mai ,,12 simple, până aj u n gem la cele primitive. D efin iţi a aristotelică a adevărului - co res ponden ţă este adecvată în cazul propoziţiilor care se referă la obiecte şi stări de fapt empirice, de a căror existenţă ne convingem prin re c u rs u l la ex per i enţa sensibilă. Ştim că zăpada este albă d eo arece simţuri l e (dacă nu sunt aIterate) ne dovedesc acest lucru. Leibniz numeşte adecvaţi a acestui gen de propoziţii verite de fait ( " a dev ăr de fapt"). Corespondenţa devine Însă cu totu l irelevantă în matematică, ale cărei enunţuri nu se referă la obiecte sensib ile, ci la en ti tăţ i şi relaţii pur i d ea l e , ce nu pot fi verificate În experienţă. Teoremel e tri u n gh i u l u i sau ale cercului, din geo m etri e , să spunem, nu s u n t în mod cert adevărate prin corespondenţă, p e ntr u simplul motiv că nu există, în l u m e a perceptibilă, figuri geometrice p erfe cte , a căror observare emp i ri c ă să ne c on vi n g ă de adevărul lor. Astfel de propoziţii sunt "adevăruri d e raţiu n e" (verite de raison), de care ne c o n v i n gem nu atât prin e v i d e nţa carteziană ­ ce poate fi, ca fapt s ub i ect i v , n e c o n c l u d entă - c i pr i n aplicarea absolut ri gu roa să a unor procedee inferenţiale valide, ce asigură d edu cţ ii i n fa i l ib il e . lmmanuel Kant ( 1 724 - 1 8 04) păstrează ac e astă distincţie, folosind Însă alte denumiri, care opun "adevărul formal" şi a priori (ce ap arţi n e l egi lo r logice şi p ropoziţi i l or matematicii pure) şi "adevărul materi a l " , a posteriori, c e nu po ate fi stabilit decât prin experienţă, în cazul propoziţiilor care se referă la datele empirice. "Astfel de cu n o ştin ţ e universale, care au totodată caracterul necesităţii interne, tre bu i e să fie, independent de experi en ţă, clare şi certe prin ele în s e l e ; de aceea se numesc c uno ştinţe a priori; d i mpotri v ă, ceea ce este obţ i nu t numai din experienţă nu este cu no s cut , cum se spune, de cât a p o st er i or i sau empiric. ,,1 3 Tot Kant operează şi d ist i n c ţi a di n tre j udec ăţi analitice - în t o a te cazurile şi a priori, deoarece Între subiectul şi predicatul propoziţiei există o relaţie l og ic necesară, astfel încât conceperea subiectului presupune asocierea lui cu pre d i c atul ce-i este, o are c um , inerent - şi j udecăţi sintetice, n umi te astfel deoarece se construiesc p r i n asocierea unor noţiuni care nu se presupun u n a pe cealaltă şi nu 11 12 13

Karl R . Popper, Logica cercetării, trad . rom. M . Flonta, Al. Surdu, E . Tivig, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti , 1 9 8 1 , p. 87 G. W. Leibniz, Monadologia, 3 3 , trad. rom. C. Floru, Humanitas, Bucureşti, 1 994, p. 63 lnunanuel Kant, Critica raţiunii pure, trad. rom. N. Bagdasar şi E. Moisuc, Editura Ştiinţifică, BUCl J r,."ti 1 96 9

D.

42


26

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

sunt Întotdeauna concepute laolaltă. "În toate judecăţile În care este gândit raportul dintre un subiect şi un predicat - spune Kant - acest rapo rt este posibil în două feluri. Sau predicatul B aparţine subiectului A ca ceva ce e cuprins (implicit) în acest concept, sau B se găseşte cu totul în afara conceptului A, deşi stă în legătură cu el. în cazul dintâi numesc judecata analitică, în celălalt sintetică. Judecăţile analitice (afirmative) sunt deci acelea în care legătura predicatului cu subiectul este gândită prin identitate, iar acelea în care această legătură este gând ită rară identitate trebuie să fie numite judecăţi sintetice. Pe cele dintâi le-am putea numi şi judecăţi explicative, pe celelalte j udecăţi extensive, fiindcă cele dintâi nu adaugă prin predicat nimic la conceptul subiectului, ci numai îl descompun prin analiză în conceptele lui parţiale, care erau dej a gândite în el (deşi confuz); pe cân d cele din urmă adaugă la conceptul subiectului un predicat care nu era de loc gândit în el şi nu putea fi scos prin descompunerea lui. , , 1 4 Epistemologia kantiană îşi propune să demonstreze că, pe lângă judecăţile sintetice a posteriori (în care experienţa ne oferă singurul temei al asocierii unor noţiuni), mai există şi j udecăţi sintetice a priori, fundamentale în elaborarea fizicii teoretice, judecăţi în care legătura dintre subiectul şi predicatul propoziţiei este necesară, deşi nu se bazează pe experienţă, ci pe anumite scheme sau forme a priori, constitutive oricărui act de gândire al Eu-lui transcendental . Logica modernă, îndeosebi sub influenţa lui Rudolf Carnap, utilizează distincţia dintre adevărurile analitice şi cele sintetice, el iminând subtilităţile şi obsc urităţile distincţiei complementare din filosofia kantiană între j udecăţi a p riori

şi a posteriori.

Cercetându-se în primul rând adevărul, ca proprietate a propoziţiilor cognitive (contând, în mod special, acelea care intră în alcătuirea teoriilor ştiinţifice), s-au impus, aşadar, două modalităţi principale de înţelegere a corespondenţă conceptului de adevăr: teoria clasică aristotelică a adevărului (reîntărită de cercetări le semantice ale lui Tarski şi de reflecţiile logic 0epistemologice ale unor gânditori importanţi, precum G. Frege, B . Russell, R. Carnap ş.a.) şi teoria adevărului coerenţă, apl icabilă în special asupra propoziţiilor din sistemele formale, logico-matematice. Cu toate acestea, în limbajul vieţii cotidiene, oamenii continuă să utilizeze şi alte semnificaţii ale termenului «adevăm, legate nu numai de procesele strict cognitive, ci şi de o mare varietate de contexte practice, în care adevărul este atribuit unor propoziţi i ce nu exprimă cunoştinţe sau informaţii, ci dorinţe, rugăminţi, aprecieri, soli citări, mirări etc. Din considerarea acestor modalităţi non-cognitive ale limbaj ului, privite ca instrumente utile în adaptare a practică a agentului la sol icitări le mediului social în care trebuie să acţioneze, s-a născut teoria pragmatistă a adevărului - utilitate, iniţiată de americanii Charles Sanders Peirce ( 1 83 9 - 1 9 1 4) şi Wil l i am James ( 1 842 - 1 9 1 0). Potrivit concepţiei pragmatiste, o idee este adevărată dacă şi numai dacă este utilă, criteriul utilităţi i -

-

14

ibidem. pp.

48

-

49


27

A devăr şi validitate

fiind n uma i activitatea practică. Rezumând concepţia lui Peirce, pe care şi-o în s u ş e şt e şi o amplifică, William James spune u rm ăt o are l e : "în general, adevărul credinţelor n o astre constă în faptul că ele dau satisfacţie. ,,1 5 În al tă parte, James precizează: "credinţele sunt reguli pentru acţiune; şi întreaga funcţie a gân d i ri i nu . e ste decât un pas în producerea obiceiuri lor active. [ . . . ] Pentru a o b ţi ne o claritate perfectă în gândurile n o astr e despre u n obiect, trebuie doar să chibzuim ce senzaţii, imediate sau în târz i ate , putem aştepta de la el, şi ce conduită trebuie să ne pregătim ,.16 în caz că acesta este adevărat. [ . . . J adevărat este ceea ce funcţionează b i n e . P ra gmati smu l a fost pe n ed rep t redus la statutul un ei concepţi i triviale, neinteresate de nimic altceva decât d e rezultatul palpabil al acţiunii . În re al itate , această viziune ridică o p ro b l emă i mport ant ă : "Admiţând că o i dee sau o credinţă este ad evărată, ce im portanţă concretă va avea în v i aţa cotidiană a cuiva fa ptu l că ea este adevărată? Cum va fi p e rce p ut ad evărul? Ce exp er i en ţ e ar fi d ife r i t e decât sunt dacă credin ţa ar fi fal să? Pe scurt, care este valoarea - cash (cash-valul?) a adevăru lui în term e n i i experien ţe i ? ,,17 P e ir c e , James ş i D e w ey au i n iţ i at o serie d e cercetări fecunde asupra rolului pe care îl îndeplinesc c un o şti nţele în exi stenţa activă a um an i tăţi i , îmbogăţind teo r i a epistemologică şi teoria ac ţi u n i i cu o ser i e de contribuţii i m p o rtante . Din p u nct de v ede re strict log ic, însă, t e or i a pragmatistă se c o n frun t ă cu d i fi c u ltăţi considerabile. V i c iu l esenţial al acestei c o n c e p ţ i i constă în faptul că două p ro p oziţi i contradictorii pot fi deo p otr i v ă adevărate, dacă se găsesc d o i o am e n i d ife r i ţi care să găse a s c ă , fiecare în fel u l său, o utilitate Într-una sau a lta din cele două propoziţi i .

1 .4.2. Adevărul c a valoare logică

a

prop oziţiilor

Odată ce am co nv en i t asupra faptului că l o gi c a (în sens strict) este un stu d iu formal al i n fe r enţe lo r d e du ct ive, trebuie să clarificăm r o stu l ş i final itatea acestora. O d e d u cţi e bine construită, care îşi îndepli ne şte menirea, este aceea care

ne conduce la o concl uzie în mod cert a d ev ăr ată . Încă de

fo s t

la în c ep utu r i l e ei, logica a

un instrument i n d i sp en s ab i l pentru adevărate - respectiv pentru de p i star e a şi

con cepută şi realizată ca

înt em e i erea cunoştinţelor

aflarea şi

el iminarea

o p i n i i lor f� l s e . Căutân d un maximum de cl aritate, logica trebuie să facă pe c ât posibil abstracţie d e c om p li c aţii şi s ubtil i tăţ i m etafi zi ce , dân d ad e v ărul u i o s em n i fic aţi e «tehnică» şi, ca atare, op eraţ io n al ă . În cele ce urmează, vom considera că adevărul şi, în opoziţie cu el, falsitatea sun t, din punct de vedere logic şi epistemologie (nu neapărat m e tafi z ic 15 16

17

William James,

A bordarea pragmatică

a

ade văru lu i şi cei

care au inţeles-o eronat,

Ovidiu Ursa, în vol. «Filosofia americană clasică.», AII, Bucureşti, 2000, p. 2 1 9

William James, Tipurile

rom.

experienţei re ligioas e , trad. rom. M ihaela Căbulea, Dacia, Cluj -Napoca,

1 998, pp. 3 1 9 ; 328

William James,

trad.

Concepţia pragmatism ului asupra adevărului,

«Filosofia americană c l asi căJ), ed. ci t., p. 1 7 2

tr ad .

rom.

Delia Marga, în


28

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRlI

sau teologic) nişte proprietăţi sau însuşiri care nu aparţin lucrurilor sau entităţi lor reale, aflate în afara conştiinţei noastre, ci numai cunoştinţelor sau ideilor noastre despre lucruri, idei exprimate în propoziţii declarative sau aserţiuni . Cu alte cuvinte, masa pe care scriu, casa în care mă aflu, cărţile care mă înconjoară etc. nu sunt şi nu pot fi nicicum şi niciodată adevărate sau false din punct de vedere logic - chiar dacă, în ambiguitatea plină de sugestii şi subînţelesuri ale limbii naturale, putem vorbi cu sens despre o masă, o casă ori o carte «adevărată», adică bună, deosebită, apreciabilă etc. Sub aspect logic însă, lucrurile sunt sau nu sunt reale, există sau nu există în mod efectiv. Adevărate sau false pot fi numai afirmaţiile sau negaţiile, construite într-un anumit limbaj, despre lucruri - ceea ce am denumit drept propoziţii declarative sau aserţiuni. După cum am văzut în paragraful anterior, nu toate aserţiunile pot fi adevărate sau false în aceleaşi condiţii şi conform aceloraşi c ri t erii. Vom numi analitice propoziţiile care se referă exclusiv la obiecte ideale şi la raporturile dintre ele. Adevărul lor depinde numai de corectitudinea gândirii, fiind indiferent faţă de orice fapt sau eveniment real, cunoscut în experienţă. în terminologia kantiană, propoziţiile analitice sunt toate a priori, adică pur conceptibile înainte şi independent de orice contact empiric cu realitatea, cu lumea «exterioară» gândirii. Următoarele aserţiuni sunt analitice: 1/4

"Toate unghiurile cu laturile în prelungire sunt congruente. "

2/4 "Orice număr natural este par sau impar. " 3/4

"Dacă două m ări mi , A şi B, sunt fiecare egală cu o a trei a mărime C, atunci A = B . "

4/4

"Toate mamiferele sunt vivipare.

"

Adevărul acestor propoziţii, stabilit exclusiv prin exerciţiul gândirii, este analitic deoarece el decurge numai din anumite proprietăţi ale unor idei acceptate Îară demonstraţie ca neîndoielnice (fie datorită «evidenţei» lor intuitive, fie prin convenţie sau prin definiţie) . Propoziţiile analitice nu ne furnizează informaţii despre lume şi nu extind cunoştinţele noastre, deoarece ele extrag numai şi explicitează proprietăţi şi relaţii pe care ideile «primitive» sau «originare» le conţin în mod implicit. Din definiţia pătratului, de exemplu, ca "romb cu un unghi drept", decurge numai prin analiza conceptelor propoziţia "Toate unghiurile pătratului sunt congruente". În schimb, propoziţia "Triunghiul dreptunghic ABC are toate unghiurile ascuţite" este analitic falsă deoarece, prin definiţie, triunghiul dreptunghic are un unghi drept. Vom numi sintetice propoziţiile care se referă la obiecte, proprietăţi, relaţii, evenimente reale. Astfel de propoziţii sunt adevărate dacă relaţia dintre componentel e propoziţiei corespunde unei stări de fapt, controlabi1ă şi verificabilă în experienţă. Din acest motiv, propoziţiile de acest gen se mai numesc şi factuale, având - în terminologia kantiană - un caracter a posteriori, întrucât nu putem afirma sau nega ceva decât după o constatare empirică, ce ne furnizează anumite info rm aţii despre stările de fapt din lume. Sunt factuale propo ziţ ii de genul :


Adevăr şi validitate

29 la m o m e ntu l t)

5/4

"

6/4

,,Aluminiul este inoxidabil. "

P l ou ă . " (în l o c ul S ş i

7/4 " S trada Crângului m ăs o ară 3 6 8 m.

"

8/4 , ,Merc urul este mai greu decât aurul. "

9/4 "Ion e fratele lui Mihai. " Propoziţiile si ntet ice sau factuale furnizează in forma ţii d es pre lume, Iărgind sfera cuno şt inţe l o r noastre, deoarece asociază i dei Între care nu s e pot stabili c onexi un i analitice. D at fiind faptu l că ni c i u na di ntre p ărţil e unei astfel de pro p o z i ţ ii nu l e presupune l o gic pe ce le la lt e , a s o ci e re a dintre ele se bazează pe cele constatate în experien ţă . Propoziţia "Omul este o fiinţă raţională" este analitic adevărată, pentru că i d eea sau c o nceptu l de om implică raţional itatea, însă propoziţi a "Omul este i n flu en ţat negati v de exploziile sol are şi de fazele lunii" este factuală, adevăru l sau falsitatea ei bazându-se pe fre cvenţa statistică a cazurilor ce confirmă s au infirmă re l aţi a enunţată; nicicum din c onceptul de umanitate nu se p oate deriva o consec inţă deductivă în legătură cu exploziile s o l are şi fazele lunii sau invers. Fără a intra în d eta l ii le (numeroase şi difici le) ale distincţiei dintre analitic şi sintetic în proce sul cunoaşterii, trebuie să precizăm că l ogica nu îşi propune stabilirea şi v erificarea adevărului sau fa lsităţi i p ropoziţiilor ca atare; această misiune revine diferitelor domenii ale şti i nţei . Logica îşi pro pune să cerc eteze formele sau tipurile de inferenţe valide, a căror util izare este una dintre c ond iţi i l e c ar e as i gu ră adevărul ideilor no astre .

1 .4.3. Validitatea ca proprietate logică a inferenţelor

Dacă adevărul şi falsitatea sunt propri etăţi ale propoziţiilor declarative, validitatea sau corectitudinea formală, respectiv invaliditatea (logică) sunt propri etăţ i ale inferenţelor ca înlănţuiri de propoziţi i . Robert Blanch6 spune că unu trebuie să se confunde validitatea unui raţionament cu adevărul propoziţiilor care " îl compun ; dând două exemple în acest sens: ce este trilater, deci orice trilater este triunghi . :;�.Orice triunghi este patrulater, deci unele patrulatere sunt triunghiuri . .. ,,0 c li pă de reflecţie va arăta că prima inferenţă nu este validă, deşi cele două propoziţii sunt adevărate, ş i că cea de-a doua este val idă: deşi cele două propoziţi i sunt false. ,,1 8 Fie aserţiunile: 1 0/4 "Cei ce îşi iubesc copiii nu le dau să mestece chewin g-gum. "

'"Orice triunghi

1 1/4 "Oltenii îşi iubesc copi i i . "

18

Robert BJancM.

ti.

1 0.

Introductioll a la logique cOlltemporaine,

Librairie Armand CoJin, Paris, 1968 ,


LOGICĂ ŞI TEOR1A ARGUMENTĂRII

30

Din aceste două propoziţii putem infera concluzia: 1 2/4 "Oltenii nu le dau cop ii lo r să mestece chewing-gum. " Se poate obiecta că premisele sunt discutabile, dacă nu de-a dreptul false, şi că întregul raţionament este stupid. Şi totuşi, raţionamentul este corect din punct de vedere formal : dacă admitem premisele, adevărul concluziei decurge din ele sau este formal implicat de primele două propoziţii. Iată un exemplu mai puţin bizar: Numerele naturale care se divid numai cu 1 şi cu ele însele sunt numere prime

1 548 1 se divide numai cu 1 1 548 1 este număr prim

şi cu el însuşi

În ce condiţii este adevărată concluzia acestui raţionament? a) Mai întâi, este necesar ca premisele să fie adevărate; aceasta este condiţia materială, numită astfel întrucât este cerinţa ca raţionamentul să extragă concluzia din premise întemeiate, ceea ce presupune ca «materialul» sau conţinutul din care se alcătuieşte raţionamentul să fie noţiuni clare şi premise în mod sigur adevărate. În exemplul de mai sus, trebuie să verificăm prin calcul, aplicând regulile de divizibilitate, dacă n umărul 1 54 8 1 este într-adevăr divizibil numai cu 1 şi cu el însuşi. b) A doua condiţie, cea formală, cere ca inferenţa deductivă să fie validă: concluzia trebuie să decurgă cu necesitate logică din premise. În exemplul analizat, validitatea inferenţei este intuitiv evidentă. De regulă, concluzia unei inferenţe este ad e vă rată dacă sunt îndeplin ite ambele condiţii - dar nu întotdeauna. Fie raţionamentul : Toate înotătoarele sunt peşti Balenele sunt înotătoare Balenele sunt peşti

(fals) (adevărat) (fals)

Prima premisă este falsă şi, datorită acestui fapt, e falsă şi concluzia, deşi a fost dedusă printr-o schemă inferenţială validă. În acest caz, schema de deducţie funcţionează corect, dar «transportă» falsul d i n prima premisă în concluzie; cu alte cuvinte, «materialul» din care s-a alcătuit raţionamentul nu este bu n Uneori, Însă, din premise false se poate obţine, în mod accidental sau artificios, o concluzie adevărată. Să aplicăm aceeaşi schemă inferenţială corectă sau validă: .

Toţi românii sunt poeţi Lucian Blaga a fost român Deci, Lucian Blaga a fost poet

(fals) (adevărat) (adevărat)

sau Toate numerele d i v izi b il e cu 14 este di v i z ib i l cu 3 Deci, 1 4 este număr par

3

sunt pare

(fals) (fals) (adevărat)


31

A devăr şi validitate

Remarcăm faptul surprinzător că adevărul premiselor nu este o condiţie pentru deducţia unor concluzii adevărate; contrar bunului simţ, adevărul rezultă din orice fel de premise - fie acestea adevărate sau false. Ce se poate spune despre validitatea sau corectitudinea formală a raţionamente lor? Fie o schemă inferenţială validă de altă construcţie logică, de asemenea (deocamdată) intuitiv evidentă:

sine qua non

Dacă aprind becul, în cameră este lumină Am aprins becul Deci, în cameră este lumină

(adevărat) (adevărat) (adevărat)

Presupunând că premisele sunt adevărate, printr-o inferenţă validă . am obţinut o concluzie adevărată în mod cert şi care nu mai necesită a fi verificată în experienţă, deoarece concordanţa ei cu starea de fap t este garantată prin respectarea celor două condiţii de validitate - atât cea materială, căci ambele premise sunt adevărate, cât şi cea formală, deoarece schema inferenţială este validă. Să alcătuim inferenţa Într-o ordine diferită: Dacă aprind becul, în cameră este lumină Nu aprind becul Deci, În cameră nu este lumină

(adevărat) (adevărat) ?

Presupunând că premisele sunt adevărate, concluzia - aparent adevărată nu este corect Întemeiată. Este prematur să arătăm aici în ce constă viciuJ de formă al inferenţei dar, intuitiv, ne putem da seama că în cameră poate fi lumină chiar şi cu becul stins, pentru că ne aflăm În timpul zilei. Din aceleaş i motive, sesizăm că şi unnătorul raţionament este incorect: Dacă aprind becul, în cameră este lumină În cameră este lumină Am aprins becul

(adevărat) (adevărat) ?

Constatăm, de această dată, că nerespectarea condiţiei formale de validitate a schemelor inferenţiale este o condiţie sine qua non pentru adevărul cert al concluziei; ori de câte ori se comite o eroare în construcţia formală a unui raţionament, chiar dacă se porneşte de la cele mai solide premise, concluzia este falsă ori, în cel mai bun caz, îndoielnică Întrucât doar uneori se întâmplă ca faptele să coincidă cu rezultatul unei deducţii incorecte. Putem sesiza acum mai bine în ce sens logica este un instrument esenţial pentru descoperirea şi demonstrarea adevărului: nu prin verificarea empirică a propoziţiilor factuale, ci prin deducţia riguroasă a unor propoziţii necunoscute sau incerte din propoziţii cunoscute sau presupuse ca adevărate, garanţia de certitudine a adevărului propoziţiilor derivate fiind validitatea formală a inferenţelor efectuate. Înlănţuirile de raţionamente deductive care satisfac atât condiţia materială, cât şi pe cea formală de validitate se numesc demonstraţii logica în sens strict fi ind, în cea mai sumară definiţie posibilă, studiul formal al demonstraţiei. -


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

32

1.5. Principiile clasice ale logicii teorie formală a demonstraţiei, logica înţelege înaintea oricărei alte reflecţii ştiinţifice sau filosofice că orice «sistem de idei» cuprinde un număr finit de propoziţii şi că, într-un anumit sistem, nu toate propoziţiile din alcătuirea lui pot fi demonstrate. Căci dacă demonstraţia înseamnă derivarea logic corectă a unei concluzii din premise în mod cert adevărate, ar trebui să împingem procesul demonstrativ la infinit, având mereu de susţinut premisele unui raţionament prin alte raţionamente şi tot aşa, într-o regresiune rară de sfârşit, ceea ce este cu neputinţă. Demonstraţia trebuie să înceapă cu anumite «prop oziţii primitive», de al căror adevăr suntem convinşi sau îl acceptăm fără demonstraţie - fie că este vorba de constatări factuale, ce-şi au temeiul în experienţa perceptivă imediată ("Zăpada este albă", "Aurul este galben", ,;Cerul e senin" etc. ) , fie că avem de-a face cu «evidenţe» raţionale, al căror temei este (aparenta) neputinţă a gândirii noastre de a le respinge sau gândi altcumva ("Dacă A > B şi B > C, atunci A > C" sau "Două mărimi X şi Y, fiecare egală cu o a treia mărime Z, sunt egale între ele" etc.). Alteori, propoziţiile primitive se dau prin definiţie: "Triunghiul este poligonul cu trei laturi"; "Numim mamifer orice vertebrat care naşte pui vii şi-i hrăneşte cu lapte" ş .a.m.d. in afară de aceste propoziţi i primitive, acceptate ca premise adevărate fără să fi fost argumentate, demonstraţia însăşi se construieşte pe baza câtorva «reguli p rimitive», a căror acceptare este absolut necesară pentru precizarea unor condiţii sau criterii de validitate inferenţială. În logica tradiţională sau clasică au fost c on sacrate câteva reguli fundamentale ale gândirii corecte, numite cel mai adesea Ca

p rincip ii logice. 1.5.1.

Principiul identităţii

În cea mai simplă şi intuitivă formulare, principiul identităţii cere ca, în toată desfăşurarea unei argumentări, termenii şi propoziţiile înlănţuite demon­ strativ să nu-şi modifice înţelesul şi valoarea logică. Odată ce am introdus în discurs propoziţia "Capra vecinului e mai grasă decât a mea", ori de câte ori vom mai vorbi în continuare despre «capră» vom înţelege prin acest cuvânt numai animalul, nu altceva - capra de la trăsură, pe care stă vizitiul, capra de tăiat lemne, jocul «de-a capra» sau vreun nume propriu - iar propoziţia enunţată ca adevărată o vom considera numai adevărată, ori de câte ori vom reveni asupra ei, enunţând-o din nou. Într-o formulare destul de aproximativă, cu sensuri mai degrabă ontologice decât strict logice, Aristotel defineşte identitatea astfel : "Ideritic în sine se zice despre lucrurile a căror materie e una, fie ca specie, fie ca număr, cât şi despre


33

Adevăr şi validitate

acelea a căror substanţă e una. De aici reiese li mpe d e că i dentitatea este un fel de uni tate, o unitate de ex i s ten ţă a unei p lu ra l i tăţi sau aceea care rezultă din c onsiderarea mai multor lucruri ca unul, c a atunci când spunem că un lucru e i dentic cu sine, caz în care ac e l aş i lucru e s o cot it ca două lucruri . ,. 19 Cel care a formulat cu pre c i z i e principiul i d entit ăţi i a fo st Leibniz. În Noi ese uri asup ra intelectului omenesc, el spune: "F i ecare lucru este ceea ce este. Şi în atâte a e xe mple câte vreţi, A este A, B este B. Voi fi ceea ce voi fi. Am s cri s ceea ce am scris. Şi nimic în versuri ca şi în proză este nimic sau p uţi n l u cru . Dre ptu n gh i ul ech il atera l , ac e astă fi gu ră este un dreptungh i . . .Non-A este non-A ... Dacă A este non-B , urmează că A e ste non-B . . . ..20 Privită superficial, formula «A este A», prin care se expr i mă p ri n c ipiul iderttităţii, pare un truism, total irelevant . Absolutizarea lui metafizică i-a condus pe eleaţi i Parm e n i d e şi Zenon l a o stran i e filosofie a imobilităţii, în care diversitatea şi devenire� lucrurilor sunt doar aparenţe înşel ătoare a l e s i m ţu ri lo r, întrucât Fiinţa este Fiinţă, în c are nu se p o ate con cep e d i feren ţa şi tre cerea de l a o stare la alta, adică de la Ne fii nţă la Fi i n ţă şi invers. Iar absolutizarea lo gică a princ i pi u lui identităţii îl face pe Antistene să susţină că numai t aut ol ogii l e sunt întemeiate; res de re non p re dicatur - nu se poate s pun e un lucru despre alt lucru, nu se poate atribui unui subi ect nici un predicat diferit de acesta. Greşim dacă spunem "Omul este bun"; avem voie să susţinem numai că "omul e s t e om" şi "bunul este bun". Ca regulă pe care se bazează co n stru cţ i a unei demonstraţii, însă, p r in c ip i ul identităţii i mp u ne o c er i nţă obligatorie de claritate şi coerenţă, a cărei încălcare anulează validitatea oricărei d e sfă şurări argumentati ve, d ucân d la comiterea unor sofisme şi paralogisme (care vor fi pre zen tat e în ultimul c ap it o l ) . Dincolo de semnificaţia «tehnică» a unei regu l i formale, cu caracte r tau t o l o gi e , principiul «A este A» precizează că A ( care poate fi un o b ie ct real, o noţiune s au o propoziţie) este el în s uş i , neputând fi totodată şi altceva. Petre Botezatu arată că "verbul «este» are în acest context un înţeles deosebit: nu expr im ă nici p o s e s i a unei însuşiri (de exemplu, «omul este bun»), nici apartenenţa la o clasă (d'e exemplu, <<Bucureşti este o metropolă»), ni c i incluziunea subclasei într-o clasă'�( de exemp l u , «balenele sunt mamifere» ) , nici pur şi simplu ex i stenţa (de exempr'h , «este cald» ) şi nici chiar o p eraţia de identificare ( d e exe m plu, <<Bucureşti este capitala României»). Pare parad9xal, dar p ri n c ipiu l identităţii nu se re fe ră la si mp l a r e laţ ie de identitate dintre obiecte sau n oţi u n i, ci enunţă c ev a profu n d , persistenţa subslanţei, a esenţei lucrului, di n colo de vicisitudinile accidentelor. Omul este om şi nu a l tc eva, obiectul indicat de termenul «om» este

omul şi nu altă fiinţă sau lucru. , , 2 1 19

20

21

Aristotel , Metajizica, V , 9 . l 0 1 8a, e d . ci t . , p. 1 8 8 G . W. Leibniz, Nou'Veaux essais sur 1 'enJ endement

humaill,

IV, I I , 1 , F1ammari on, Pari s , 1 93 5

Petre Botezatu, Introducere ÎI1 /ogică, e d i ţ i a a II-a, Pol irom, Iaşi, 1 997, p . 2 8


34

LOGICĂ ŞI TEORlA AR GUMENTĂRlI 1.5.2. Principiul non-contradicţiei

În l u m e a fenomenală de obiecte ş i procese pe care l e s es izăm emp iri c,

contradi cţ i a este antagonismul dintre anumite entităţi, forţe, energii sau proprietăţi care se exclud între el e ori tind să se anihileze reciproc. La nivelul unei folosiri elementare a limbajului şi a gân dir ii par neîndoielnice opoziţii tranşante, absolute, de genul : dacă "X este a lb " nu p o ate fi totodată şi negru, verde, albastru etc.; dacă "Braşovul este la nord de Bucureşti", atunci nu se poate admi te, în acelaşi timp, c ă oraşul de sub Tâmpa este şi Ia sud de c ap ita la României ş.a.m.d. La o pri vi re mai atentă, se constată că în realitate este posibilă, chiar n e c e s ară c âteodată, c oexi ste nţ a în a c e e aşi entitate a unor procese şi re l aţ ii contradictori i : orice nuanţă d e gri este un amestec d e alb şi negru, m etab o l i s n"lU l este opoziţia dinamică d i ntre as im i l aţ i e şi dezasimilaţie, viaţa p si hi c ă este, printre altele, o e ch i l i b rare permanentă între e xc itaţi e şi inhibiţie, în o ri c e magnet coexistă în mod necesar polul nord şi p o l u l sud etc . În filosofie, gândirea d i alecti c ă începută de Heraclit, S oc rate sau Platon în Antichitate şi încununată de monumentalul sistem hegel ian - face din natura contradictorie a oricărui lucru sau proces un principiu fundamental, pr in care se explică p e rm anen ta pr efa c e re şi devenire a lumii reale. În domeniul ideal pe care îl studiază logica, contradicţia este un raport în tre do u ă p ro p oz i ţ i i , d i ntre c are una afirmă ceea c e op us a e i c o nt ra d i ct o r i e n eag ă . P ro p oz i ţi a "Omul este o fi i nţă raţională" - din care ar trebui să facem un postulat al logicii - este contrazisă de p ropo ziţi a conform căreia "Omul nu este o fiinţă raţională" (ceea ce , d i n p ăcate , se adevereşte mult mai des d e c ât ne place să o . recunoaştem. ) Pr in c ipi u l l og i c al n on- c o n tradicţ iei sau al contradicţiei excluse se b azează pe presupoziţia că o propo ziţ ie oarecare nu po ate fi d e c ât adevărată sau falsă ' şi susţine c ă nu p utem admite c ă una şi ac e eaşi propoziţie este, în ac e laş i timp şi privită în ace l a ş i context, totodată adevărată şi fa l s ă . Cu a lte cuvinte, o afirmaţie şi n e gaţia ei nu pot fi adevărate în ace laşi ti mp , formula care exprimă această regulă fundamentală a logicii fiind : «Este exclus A şi non-A». A ris to t e l en u nţă pri n ci piu l non-contradicţiei astfel: "este peste putinţă ca unuia şi ac e l u i aş i subiect să i se potrivească şi totodată să nu i se potrivească sub a c el a şi raport unul şi acelaşi p re d i c at . [ . . . ] Acest principiu, mai spune Ari stote l , e cel mai s igu r din toate, căci . . . e peste putinţă ca un om să-şi poată închipui c ă unul 2 şi acelaşi lucru este şi totodată nu este ? Făcând d in res pi ngerea c ontradi cţi e i p ri n cipi u l fundamental al logicii, Ari st otel îi acord ă în mod expl i c it o e vi d enţă axiom atică, precizând că legea non-contradicţiei nu poate fi d e du s ă dintr-o altă lege mai generală. Cel mu lt, afirmă el, acest principiu se poate susţine printr-o de mo ns tra ţ ie indirectă sau prin m eto d a reduceri i la ab s urd .

22

Aristotel,

Metafizica,

IV, 3, l O05b, ed. cit., p. 1 29 .


Adevăr şi validitate

35

Leibniz pare câteodată să acorde prioritate identi tăţii , considerând că pQncipiul non-contradicţiei este forma negativă a acestuia: o dată ce un lucru este ceea ce este şi aşa cum este (într-o propoziţie), el nu poate fi totodată şi ceea ce nu este şi altfel decât este (cum s-ar enunţa în negaţia primei propoziţii). Cert este că p r inc ip iu l non-contradicţiei are o evidenţă spontană, chiar şi la nivelul simţului comun. Nimeni nu are nevoie de un studiu sistemaţic al logicii teoretice pentru a-şi da intuitiv seama de faptul că o demonstraţie sau un discurs în · care se susţin propoziţii contradictorii sunt incorecte, iar concluziile lor inacceptabile. Cu atât mai mult în elaborarea unor sisteme formale, logico­ matematice, . excluderea contradicţiei se impune ca o primă şi elementară cerinţă� căci a demonstra sau a argumenta corect înseamnă, în primul rând, a nu · te contrazice. Respectarea cu stricteţe a principiului non-contradicţiei asigură consecvenţa logică a demonstraţiei. 1.5.3. Principiul

terţului exclus

Principiul terţului exclus nu are o evidenţă

ax iom at i că, aşa cum pare să fie este mai degrabă un postulat (în sensul clasic e u c lidi an ), care decretează - rară demonstraţie, deşi nu e câtuşi de puţin evident - că nu există . decât două valori logice: «adevărat» şi «fals». Altfel spus, orice propoziţie este sau adevărată, sau falsă, a treia posibilitate fiind exclusă - tertium non datur. În vreme ce principiul non-contradicţiei susţine că pro po zi ţi i le A şi negaţia ei non-A nu pot fi, în acelaşi timp şi sub acelaşi raport, ambele adevărate, una din ele trebuind să fie falsă - principiul terţului exclus susţine că două propoziţii contradictorii, A şi non-A nu p ot fi ambele false : una dintre ele, indiferent care, trebuie în orice caz să fie adevărată. În Despre interpretare - una dintre lucrările ce intră în alcătuirea operei logice a lui Aristotel, intitulată de continuatorii şi comentatorii săi Organon - se spune: "orice afinnaţie sau negaţie este adevărată sau falsă". 23 Aristotel nu acordă însă terţului exclus valoarea unui principiu logic la fel de stringent ca şi non­ contradicţia, considerând că aplicarea regulii tertium non datur este utilă numai în demonstraţia indirectă. "Principiul că un predicat trebuie să fie_ ori afirmat, ori negat despre un subiect este cerut de demonstraţia care utilizează reducerea la imposibil, dar şi atunci nu totdeauna universal. . . ,,24 La rândul său, Leibniz consideră terţul exclus mai d egrab ă o completare sau un corolar aJ non. contradicţiei, atunci când scrie: "Principiul non-contradicţiei, este acela că, în gene ral, o propoziţie este sau adevărată sau falsă, ceea ce conţine două enunţuri adevărate: unul, că adevărul şi falsul nu sunt compatibile in aceeaşi

cazu l non-contradicţi e i ;

23 24

el

Aristotel, Organon 1, Desp re Î1I1erp retare, 9, 1 8a, trad . rom. M. Florian, IRI, Bucureşti, 1 997, p. 1 7 1 . Aristotel. Organon II. A nalitica secundă, I , 1 2, 77a, trad. rom. M . Florian, IRI, Bucureşti, 1 998,

D. 1 1 O.


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

36 propoziţie, sau că o propoziţie nu

ar putea să fie adevărată şi falsă în acelaşi timp�

celălalt, că opusul sau negaţia adevăratului şi falsului nu sunt compatibile, sau că

DU există mij lociu

între adevărat şi fals, sau că nu se poate ca

nici adevărată nicifalsă.

o propoziţie

,,2S

să nufie

Principiul terţului exclus este mai slab decât non-contradicţia, având o

generalitate mai restrânsă. Principiul non-contradicţiei cere ca predicatele să se excludă unul

pe altul,

dar nu limiteazA numărul lor. Dacă un corp este alb, atunci el

nu poate fi verde, galben, roşu, albastru etc. ; dacă un mamifer este cal, atunci el nu poate fi în acelaşi timp lup, urs, girafă, cămilă etc. Dimpotrivă, principiul terţului

exclus introduce o condiţie suplimentară, întrucât restrânge numărul predicatelor la

numai două

-

tertium non datur. "Un număr natural este par sau impar"; "Piesele

jocului de şah pot fi albe sau negre" etc.

Logica tradiţiqnală s-a construit spontan pe principiul bivalenţei, potrivit căruia propoziţiile nu pot avea dec"ât una sau alta dintre două şi numai două valori logice: «adevărat» şi «fals» - condiţie care face posibilă regula terţului exclus . Or, de multe ori ne aflăm în faţa unor propoziţii cărora nu le putem atribui cu certitudine numai una din cele două valori logice, din vari i motive, pe care nu l e detaliem aici . ,,Adam era brunet ş i Eva roşcată"; "Roşu este o culoare mai caldă decât portocaliu";

"În

câţiva ani, cel mult, se va produce un mare cutremur" ;

"Universul este inImit în spaţiu şi timp, necreat şi indestructibil" etc . sunt doar

câteva

exempl e de propoziţii cărora nu li se poate atribui cu certitudine val oarea

logică «adevărat» sau «fals»; putem spune despre ele, cel mu lt, că sunt plauzibile, probabile,

intel igibile, credibile ş.a.m .d. Logica modernă a elaborat sisteme

polivalente, cu n valori l ogice, în care principiul terţului exclus se apl ică, eventual, în forme generalizate şi neintuitive, demonstrabile şi inteligibile numai formal. Marea utilitate a principiului terţului exclus constă, după cum observă Aristotel, în faptul că face posibilă două propoziţii contradictorii nu

propoziţiei

demonstraţia prin reducere la absurd. Întrucât pot fi ambele false, rezultă că probând falsitatea

care neagă teza de demonstrat

- am dovedit, totodată că teza

1.5.4.

şi pe care nu o putem argumenta direct

Principiul raţiunii suficiente

Formulat de către Leibniz, ca raţiunii

-

este adevărată.

suficiente

nu

p iatră unghiulară

este, propri u-zis,

o

a filosofiei sale, principiul

regulă formală

de construcţie

a

inferenţelor deductive corecte, ci mai degrabă o regulă metodologică, definitorie

pentru spiritul şti inţific.

25

G. W. Leibniz, op. cit. , IV, II, 1


37

Adevăr şi validitate

Leibniz are nevoie de enunţarea acestui principiu din momentul în care a deosebirea - menţionată anterior - între adevărurile de raţionament (analitice, necesare şi riguros demonstrabile deductiv) şi adevărurile de fapt (contingente şi întemeiate empiric). Adevărurile raţionale se întemeiază pe cele trei principii anterioare, între care fundamental este principiul non-contradicţiei, în vreme ce adevărurile factuale îşi au temeiul în acest al patrulea principiu, al raţiunii suficiente. "Raţionamentele noastre, spune Leibniz în Monadologie, sunt întemeiate pe do uă mari principii, principiul contradicţiei, în virtutea căruia socotim fals tot ce cuprinde în sine o contradicţie, şi adevărat ceea ce este opus falsului, adică în contradicţie cu acesta; şi principiul raţiun ii suficiente, .în virtutea căruia considerăm că nici un fapt nu poate fi adevărat sau real, nici o propoziţie veridică, fără să existe un temei, o raţiune suficientă pentru care lucrurile sunt aşa şi nu altfel, deşi temeiurile acestea de cele mai multe ori nu ne pot fi cunoscute. ,,26 În concepţia lui Leibniz, principiul raţiunii suficiente este solidar cu o viziune metafizică ce postulează conexiunea universală : toate părţile ce alcătuiesc Universul, oricât de mici - mergând până la faimoasele monade, «atomii psihici» ce reprezintă stratul ultim, elementar, în arhitectonica lumii - se intercorelează într-o «armonie prestabilită», astfel încât fiecare monadă oglindeşte toate schimbările din Univers şi fiece modificare înlăuntrul unei monade se răsfrânge în toate celelalte. Fiecare enunţ trebuie acceptat numai pe baza unor temeiuri întrucât fiecare eveniment în sfera realului se produce în virtutea unei cauze - pe care Leibniz o explică într-o manieră metafizică cu totul aparte, de care, ulterior, spiritul ştiinţific s-a putut dispensa cu destulă uşurinţă. Devenind o regulă de bază în metodologia ştiinţifică, principiul raţiunii su fi ciente respinge în egală măsură dogmatismul acceptarea necondiţionată a unor «evidenţe» sau «revelaţii» ce numai exprimă, fără să argumenteze, nişte pretinse adevăruri absolute, infailibile, cât şi scepticismul care postulează incapacitatea iremediabilă a minţii omeneşti de a avea vreo certitudine întemeiată. Principiul raţiunii suficiente ne cere să respingem afirmaţiile nesusţinute de nici un argument relevant, dar ne încuraj ează să nu ne îndoim la nesfârşit de acele enunţuri care sunt întemeiate pe anumite dovezi şi probe, suficient de tari pentru a ne fundamenta convingerea că suntem, nu numai subiectiv, în posesia unor adevăruri neîndoielnice. Din�'punct de vedere strict logic, principiul raţiunii suficiente cere ca orice propoziţie dintr-un sistem deductiv să fie acceptată ca teză a sistemului numai dacă poate fi riguros derivată inferenţial din propoziţiile primitive, aplicându-se mereu aceleaşi puţine, dar absolut infailibile reguli de deducţie. sesizat

-

-

*

În lunga trad iţie a logicii clasi ce, aceste patru principii au fost aureolate de o demnitate privilegiată, fiind considerate drept pietre unghiulare ale teoriei logice. Greutatea principiilor care postulează identitatea, non-contradicţia, terţul exclus şi 26

G. W. Leihniz. MOl1adolo1( ia,

3 1 , 32,

ed. cit., p. 63.


38

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂR1I

raţiunea su fi c i entă nu poate fi înţeleasă pe deplin dacă nu avem în vedere spiritul filosofic în care s-a elaborat logica tradiţională. Aceasta a fost solidară cu convingerea profundă a logicienilor clasici că Universul este o creaţie minunat alcătuită de puterea şi voinţa unei Raţiuni supreme, ce a dăruit omului şi numai lui privilegiul minţii înţelegătoare şi al graiului capabil să explice şi să ordoneze sistematic structurile gândirii omeneşti, privite nu doar ca un joc arbitrar şi convenţional al raţiu ni i şi al limbii noastre, ci ca model universal, etern şi invariant al tuturor l u cruri l or ce intră în alcătuirea lumii - gând pe care Hegel îl va înălţa la cea mai înaltă desfăşurare dialectică. Tocmai de aceea, principiile logicii clasice aveau, dincolo de semnificaţia lor «tehnică», adânci înţelesuri metafizice, care le proiectau şi în sfera tematică a speculaţii lor ontologice. În logica simbolică modernă, aceste principii au fost d epos ed ate de aureola şi d e mn itate a lor tradiţională. Construindu-se, după modelul matematicii, ca un joc i ntelectu al bazat pe convenţii m ai mu lt sau mai puţin arbitrare şi neintuitive, într­ un limbaj simbolic dezgolit de orice semnificaţie em p ir ică s au metafi zic ă, sistemele din logica modernă abia dacă menţionează cele patru principii clasice, iar atunci când o fac specifică pierderea însemnătăţii lor ca principii şi re d u c e rea lor la niv e l u l comun de legi oarecare, printre multe altele, din calculele logi c e d upă cum vom v e d e a şi noi în capitolul următor, în care se expune l ogi c a propoziţiilor.


LOGICA PROPO ZITIILO R ,

I;

2 . 1 . Propoziţii şi enunţuri Am definit logica drept studiul fom1al al inferenţelor deductive, acestea fiind nişte înlănţu iri precis structurate de propoziţii. Dar ce sunt «propoziţii le»? Psiholo g ii disting în rândul proceselor cognitive actul de judecată, în care se combină două sau mai multe noţiuni, realizând o «idee» aflată într-o parţială corespondenţă ori similitudine cu un obiect sau fenomen reflectat, la nivel raţional, de conştiinţă. Sub aspect g ramatical, propoziţia este o combinaţie de cuvinte care exprimă un sens inteligibil, respectând anumite reg u l i morfologice şi sintactice. Dar ce sunt propoziţiile din punct de vedere log ic? În româneşte "Plouă" indică printr-un singur cuvânt faptul c ă are loc (se petrece) un prea bine cunoscut fenomen meteorologic. În alte limbi (naturale), producerea aceluiaşi fenomen este indicată prin intermediul unor expresii verbale diferite: "It rains" (engl.), "Es regnet" (germ.), "II fait piui" (franc.) etc. Deşi aceste expresii verbale diferă, sensul sau înţelesul este acelaşi. În logică se numeşte Rropoziţie tocmai acest sens (<<idee», «înţeles») exprimabil în limb i diferite şi care se păstrează nealterat prin traducerea lui dintr-o limbă în alta. Vom numi enunţ forma verbală concretă în care se exprimă o propoziţie. De exemplu, propoziţia care indică faptul că un ins, purtând numele unuia dintre Sfinţii Evanghelişti, desfăşoară în mod profesional o activitate didactică, se exprimă în enunţuri (intertraductibile) precum: 1 / 1 "Ion este profesor. " 2/ 1 "J ohn is a teacher. " 3/ 1 "J ohann ist ein Lehrer. . . 4/ 1 "J ean est professeur. " etc.


40

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

Prin unnare, "un enunţ este un tip de expresie [ . . . ] şi expresiile sunt întotdeauna expresii într-o limbă anumită. ° propozi ţi e este defmită mai abstract şi complet independent de limbile în particular. O propoziţie este ceea ce asertează un enunţ. «Plouă» asertează că plouă; «Il fait piui» asertează că plouă; <<.Es regnet» asertează că p lo uă . Avem nevoie de en unţuri care aparţin unei anumite limbi pentru a exprima (sau aserta) propoziţii, dar ceea ce este exprimat (sau asertat) nu aparţine unei anumite limbi. "1

În tre «idei» ş i limbaj, re spectiv între prop ozi ţi i şi expresiile lor verbale există o p ro fu n d ă şi necesară solidaritate, întrucât «ideile» nu p ot fi inteligibile şi comunicabile decât transpuse într-un limbaj, ale cărui reguli invariante şi impersonale modelează gânduri le, dezbrăcându-le de coloratura lor subiectivă, «inefabilă» şi «incomunicabiIă», p entru a le da obiectivitate şi raţionalitate. Această solidaritate între propoziţi i şi enunţurile care le exp r i m ă nu exclude Însă o relativă independenţă a lor, u ş o r de evidenţiat în ambele direcţii. a) Aceeaşi p ro p oz iţie poate fi exp ri mată în enunţuri d i fe ri te, şi a ce a s ta nu numai în l imbi deo s eb i te, ca în exemplele 1/1 - 4/1 de mai sus, ci chiar în aceeaşi lim b ă. De pildă:

"În zori se înalţă steagul" şi 6/ 1 "La răsăritul soarelui se ri di c ă drapelul"; sau 7/ 1 "Ş irul n um er e l or naturale este infinit" şi

5/1

8/ 1

"Cel mai mare număr natural nu există. OI; sau

9/ 1

"Oricât

le-am prelungi, două d rep te paralele n u

se intersectează" şi

1 0/ 1 "Paralele sunt două d re p te situate în acelaşi plan care nu au nici un

punct comun" etc.

b) Pe de altă parte, acelaşi enunţ, în contexte d i fe ri te, poate fi suportul verbal al unor «idei» sau propoziţii di stincte. În sensul ei p rop riu , expresia: 1 1/ 1 ,,Ionescu a virat spre stânga" i ndi c ă faptu l că un individ, pe nume Ionescu, conducând un vehicul,

a

schimbat

direcţia de mers spre stânga. Dar dacă Ionescu este un personaj politic, atunci sensul exp re si ei este cu totul diferit, indicând faptul că opţiunile politice ale lui Ionescu s-au d ep l as at către una din extremele spectrului p ol i t i c . Regulile corectitudinii gramaticale sunt complementare cu cele ale validităţii logice, toate fiind menite să asigure intelig ibi l it atea «mes aj e l or» intercomunicabile, dar nu se suprapun şi nu se subordonează unele celorlalte. Cea mai bună dovadă o constituie faptul că există oameni care se exprim ă cu multe erori gramaticale (fie în limba lor maternă, în cazul pers o an elo r li p site de educaţie, sau Într-o limbă străină, insuficient exersată) , dar rară cusur din punct de vedere logic; pe de altă parte, nu sunt rare situaţiile în care, folosindu-se forme gramaticale impecabile, se comit (pre m e ditat sau invol unta.r) erori lo g i ce - câteodată subtile, alteori de-a dreptul grosolane. Wi lliam James Earl e, Introducere În filosofie,

p. 26.

trad . rom. Florenţa

Oprişan, AII, B ucureşti, 1 999,


Logica propoziţiilor

41

-------

2.2. Tipuri de

propoziţii

Propoziţiile constitu ie unităţi le funcţionale ale limbajului. Acesta este un sistem de semne verbale, care se cere abordat din trei perspective complementare: (i) Sub aspect semantic, limbajul apare ca un sistem de semnificaţii; cuvintele şi expresiile verbale înseanmă ceva, trimit gândul ori cu i le înţelege dincolo de ele, acţionând ca un intennediar între subiectul ra ţi on a l şi mulţimea de o bi e cte (reale sau ideale) pe care le indică şi cărora li se substituie în procesele de gândire şi în actele de intercom unicare. (ii) Sub aspect sintactic, limbajul apare ca un sistem de reguli fonnale invariante, pe baza cărora - a b stracţi e tăcând de conţinutul sau s em n i fi caţi a lor -, unităţile l ingvistice pot intra în diferite combinaţi i . (iii) Sub aspect pragmatic, limbaj ul este u n instrument hipercomplex, de care oamenii se servesc în numeroase mod alităţi, îndeplinind cu aj utorul său o mare varietate de sarcini. Din acest ultim punct de vedere, putem distinge c âte va tipuri principale de propoziţ ii: a) Se numesc descriptive propoziţiile ce raportează an um i te stări de fapt şi relaţi i Între ob i e c te ; aceste propoziţi i sunt men ite să exprime şi să comunice anum ite cunoştinţe sau i n fo rm aţii . Atunci când descripţi ile se re fe ră la proprietăţi le unor obiecte, avem de-a face cu propoziţii de predicaţie, de genul:

1/2 "Cerul 2/2

e

senin. "

"Tabla este neagră. "

3/2 "Unele triunghiuri sunt dreptunghice. " 4/2

"Nici un cetaceu nu respiră prin branhi i . " etc.

Dacă descripţiile se referă la anumite raporturi Între obiecte, atunci de-a fac e cu propoziţii de relaţie, precum:

5/2 "Braşovul este situat la nord de Bu c ureşt i . " 6/2' "Craiova este un oraş mai mare decât Caracal .

avem

"

7/2 "Ion e frate cu Vasile. " etc .

sub

b) Se numesc interogative pro po zi ţ i i l e care nu oferă,

forma unor întrebări, precum:

ci solicită informaţii,

8/2 "Care este capitala Thailandei? "

9/2

"Cum te numeşti? ".

1 0/2 "Ce Înseamnă număr pri m ?

"

etc.

c) Propoziţiile prescriptive nu unnăresc să infonneze, ci să influenţeze comportamentul cuiva, orientându-l în vederea atingerii unui anumit scop. Prescripţi ile sunt foarte diverse, de la imperative, care exprimă ordine, comenzi, porunci de genul :


LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

42 1 1/2 "Închide fereastra ! 1 212 , ,Fii atent !

"

"

13/2 ,,Nu mai vorbi !

"

etc . ,

ş i p ână la propoziţiile nonnative, care specifică instrucţiuni sau regu l i gen era l e de

c omp ortame nt , prec um:

1 4/2 "Toţi vizitatori i spitalului trebu ie să poarte halate albe. " 1 5/2

"În caz de întrerup ere,

sc o ateţi aparatul din p riză .

"

16/2 ,,Fumatul este interzis" etc. d) Pro pozi ţi il e intenţionale dezvăluie nu o stare de fapt, ci o inten ţie , fie sub forma unei dorinţe sau opţiuni, fie ca r u găm inte, cerere, solicitare; de exemplu: 1 7/2

,

,A ş do ri

să c ălăto resc în străinătate. "

1 8/2 "Te rog să-mi împrumuţi ma ş i na de scris" etc . e) Pro po ziţ ii l e

evaluative

sunt acelea care exprimă o apreciere, o atitudine,

o ap rob are I d e zaprobare ; ele pot fi simple judecăţi

1 9/2

"Îmi plac filmele de acţi un e

de gust,

precum:

. "

20/2 "Prefer in gh eţ ata cu al une . "

2 1 /2 "Detest zilele ploioase" etc . , sau

judecăJi de valoare, c e

s e bucură d e recun oa şter e şi p reţu ire gen era l ă în

contextul unei comunităţi culturale, definind criteri ile ei m ora le , estetice,

re l i gio a se etc.

22/2 "Furtu l e st e o faptă rea (condamnabilă, ru ş in o as ă) . "

23/2 "Mi hai Eminescu este marele poet al românilor.

"

24/2 "Adevărul este mai preţi o s decât utilitatea. "

Între aceste tipuri de propoziţi i există numeroase legături. Oricare dintre

ti pu ri l e (b) - (e) s e întemeiază pe cel pu ţin o prop o ziţie d e scr ipt i v ă ori se formul e ază în legătură cu o astfel de propozi ţi e, de unde rezultă c aracte rul fundam ental al propoziţiilor c ogn i ti ve faţă de to ate

celelalte.

În ace l aşi timp, între

ac e s te c l ase de propozi ţi i e x is tă de os eb iri esen ţi a l e , motiv p en tru care analiza

fiecărui tip de propozi ţi i se rea l ize ază în teorii logice d i s t in cte . Între numeroasele deosebiri dintre aceste tipuri de propoziţi i, una prezi ntă o importanţă aparte: p ropo ziţiil e descri ptive sunt singurele care pot fi adevărate sau false. Altfel spus, n u mai descripţiile au valoare logică sau alethică (în greaca veche a!etheia = « ad e v ăr») . Pentru toate celel alte t ip u ri de pro poz i ţi i există, fireşte, criteri i destul de precise p otri v it cărora diferitele construcţi i propoziţionale non-descri ptive pot fi bine s au rău a l c ătuit e , semnifi cative sau ab s urde, reci p ro c coerente sau incoerente etc . ; dar, în ceea ce p ri ve ş te adevărul sau falsitatea, această p ro b l emă este irelevantă în raport cu ele.


Logica propo zi[iilo T

_ _ ____________ _____

43

Având în vedere definiţia generală a logici i şi consideraţi ile anterioare, se înţelege de la sine importanţa cu totul specială, sub aspect logic, a propoziţii lor descri ptive . Teoria logică a inferenţelor deductive alcătuite din propoziţii descriptive constituie stratul elementar, baza pe care se edifică toate si stem ele logice «speciale», ce abordează mecanisme inferenţiale cu propoziţii de alt tip .

2.3.

Propoziţii simple şi propoziţii comp u s e

Cele mai elementare propoziţi i d e predicaţie indică exi stenţa unui r aport între un obiect şi o proprietate a sa. Expresii precum: "Tabla este neagră. " "Creta este aIbă. " "Groenlanda este o insulă.

"

"Australia esţe un continent" etc. numesc propozi ţii simple sau atomice, deoarece sunt unităţi mIn Ime de semn ificaţie (nu se mai po ate extrage nimic din ele fără o pierdere a sensului, a

se

intel igibil ităţi i).

Logica face abstracţie de conţinutu l s e m a nt ic al propoziţiilor atomice; ce anume s-ar r e fe r i , orice propoziţie s i m pl ă poate fi ad ev ăr ată sau şi aceasta este valoarea ei logică, singura care i n t e r e s e a ză într-o analiză

indiferent la

falsă

-

formal ă.

Propoziţiile simple se p ot combina în div e rs e modalităţi, înlănţuindu-se în agregate s e ma n ti c e articul ate pe baza unor reguli sintactice precise; aceste agregate ce rezultă prin com b i n are a a cel puţin două pro p oz i ţ ii simple se n umesc pro po ziţii compuse sau moleculare. Fie propoziţi ile atomice :

1/3 "Ion e p as i on at de pescuit" şi

"Ion e pasionat de vânătoare" . Ele:�', s,e p o t combina cu aj utorul unor operatori (in ter) p ropoziţionali, formând diferite propoziţii mo leculare sau c om p u s e , precum : 3/3 "Ion e pa s ion at de pescuit şi (e pasionat) d e vânătoare"; 2/3

4/3 5/3

"Ion e pasionat de pescuit

sau

(e pasionat) de vânătoare";

, ,Dacă Ion e pa s i on at de pescuit, atunci e pasionat (şi) de vânăto are" etc .

co m p use, teoria fundamentală În logica simboli�ă se construiesc toate celelalte sisteme logice, este stud i u l fonnal al i n ferenţe lor d eductive al cătu ite din propoziţii m ol e c u l a re , formate prin

Logica propoziţiilor

sau m atematică,

pe

c ar e


LOGICi Şl l'EOJUA A1?GUMENTĂR11 combinarea multiplă a propoziţiilor atomice propoziţionali.

cu

aj utorul

operatorilor

(inter)

Utilizându-se aceiaşi operatori logici, propoziţi ile moleculare se pot combina, la rândul lor, în agregate semantica-sintactice oricât de compliate, pe care le vom numi expresii propoziţionale. Iată un exem p lu: 6/3

,.Dacă

frate l e lui pleacă în atunci sau băi atu l lui Ion rămâne la noi, sau merge la

Ion merge la munte sau la mare şi

străinătate,

bunicii lui. " Pe

structură logică,

definită de funcţiife şi succesiunea operatorilor, se pot a l cătu i oricâte alte expres i i propoziţionale, fiecare cu alt înţeles sau c onţi nut semantic, purtând O anumită semnificaţie sau «mesaj informaţiollal». D e pildă: aceeaşi

7/3 ,.Dacă p l o uă sau e frig şi cab an a e neîncălzită, un radi ator electric, sau rămânem acasă" ori 8/3

atunci sau luăm cu noi

.Dacă vând maşina sau câştig la loterie şi preţurile nu se maj orează spectaculos. atunci sa u cumpărăm computerul, sau zugrăvim

apartamentul " .

Făcând abstracţie de c onţi n utu l semantic al e xp resi il or, logica propoziţiilor studiază numai forma J or invariantă, urmărind să clarifi ce numai criteriile după care şi p ro c ede e l e prin care astfel de expres i i sunt adevărate sau false în fu ncţi e de valoarea logică a propoziţiilor atomice com p o nente, precum şi validitatea raţionamentelor deductive cu propoziţi i compuse. Întrucât soluţionarea acestor prob l em e este independentă de orice considerente intuitive şi de orice conexiune cu sensul concret, prin care expresiile propoziţion ale se diferenţiază între ele, bazându-se exclusiv pe reguli formale şi pe algoritmi invarianţi, riguros demon straţ i , logica modernă a propoziţi ilor c om p u s e are toate atributele unui calcul logic - motiv pentru care i se şi spune calcul propoziţional.

2.4. «Vocabul arul»

logicii propoziţiilor compuse

Deoarece face totală abstracţie de c on ţin utul propoziţiilor, abordarea fonnală nu se poate real iza decât prin utilizarea unui limbaj simbolic adecvat.

a) Aşa cum algebra generalizează, la un nivel mai abstract, cal cu l u l aritmetic, introducând în locul numerelor variabile literale, tot astfel logica propo­ ziţiilor substituie propoziţi ilor atomice de orice fel nişte simboluri, numite variabile propoziţionaHe. Fie acestea literele mici de la sfârşitul alfabetului: p, q, r, . . .


Logica propoziţiilor

b) După

45

cum în aritmetică şi în algebră se uti lizează simboluri pentru

diferite l e operaţii (,,+" pentru adunare, " . " sau ,,3" pentru înmulţire etc.), tot astfel

în calculul propoziţional sunt necesare simboluri pentru operatorii logici

(inter)propoziţionali. c) Întrucât proprietatea esenţială a propozi ţii lor şi expres iilor este valoarea logică, sunt necesare, de asemenea, simboluri p entru valori le logice utilizate.

În

fonna sa elementară, l ogi ca propoziţi ilor operează cu numai două valori de adevăr, considerând că

o propoziţie atomică

sau o expresie propoziţională nu poate

fi

decât

adevărată sau falsă, orice altă posibilitate fiind exclusă. Atât în gândirea comună, cât mai ales în gândirea ştiinţifică se ivesc nenumărate propoziţii despre care nu se poate stabili cu depl ină certitudine că sunt fie adevărate, fie false, ele având doar un anumit grad de probabilitate. Nu vom putea n i ciodată

să ştim,

mai presus de orice îndoială, că "AC:.!ffi exact o mie de ani,

pe locul unde astăzi se află Opera Român ă păşteau caprele şi un cioban cânta din

frunză" . Analizând «viitorul contin gent», Aristotel d iscută faimosul exemplu al propoziţiei "Mâine va avea loc o bătălie naval ă"

-

propoziţie care, în momentul

enunţări i ei, nu e Încă nici adevărată, nici falsă. Pentru as imi larea acestor tipuri de propoziţi i, s-a adoptat mai întâi o a treia valoare d e adevăr, intennediară între

{<adevărat» şi «fals», după care s-au el aborat l ogici polivalente , cu It valori Iogke.

În

versiunea el ementară,

bil'alentă pe care o prezentăm

aici,

vom

util iza

unnătoarele constante alethice : 1 pentru «adevărat» şi O pentru «fals». d) Ca şi în aritmetică sau al gebră, vom utiliza paranteze pentru a delimita ord inea operaţii lor şi aria de acţiun

� a operatorilor,

adoptând ierarhia obişnuită şi

prea bine cunoscută. e) Pentru generalizarea unor relaţii, proprietăţi , legi logice demonstrate mai Întâi

l,� n ivelul raporturilor dintre expresii propoziţionale, oricât de complexe, Ţ

voni: recu, ge

la meta-variabile.

Fie acestea

literele

mari de la începutul

alfabetuluf�A, B , C, .,. Recapitulând, i ată lista de simboluri d e care avem nevoie c�Ic ulului propoziţional : 1 ) variabile propoziţionale: p, q, r, . , . 2) operatori (inter)propoziţional i : 3) constante a l ethice:

4)

paranteze

5)

meta-vari abile:

1

=

l, 1\ , V ,

«adevărat»;

A, B , e, . . .

O

=

+, � , H etc .

«fals»

în

construcţia


LOGIC4 ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

46

2.5.

Negaţia

Funcţia logică a negaţiei constă în inversarea valorii alethice a propoziţiei sau expresiei n egate ; o propoziţie sau expre si e oarecare şi n e gaţi a ei sunt contradictori i (adică una dintre ele este adevărată şi cealaltă falsă, n e p utân d fi nici ambele adevărate, nici ambele false). Dată fiind, de exemplu, propoziţia 1/5

"Toate triunghiuri le

sunt

echilaterale"

-

desigur, falsă -

ex p re si i în

limbajul natural: "Nu toate triunghiurile sunt echilaterale"; "Unele triunghiuri nu sunt echilaterale";

negaţia ei poate primi diferite 2/5 3/5

4/5

"

Numai unele triunghiuri sunt echilaterale".

To ate ace ste e xp r e sii au, însă, unul şi acelaşi sens, pe care îl re d ă cel mai binefonnularea standard a negaţiei : 5/5

"Nu este adevărat ("E fals) că to ate triunghiurile sunt ech ilaterale".

Lucrările de l o g i că matematică utilizează diferite notaţii simbolice ale luând o vari ab i l ă propoziţională o are care p, n e gaţi a ei, citită în toate

negaţiei;

cazurile "nu p" sau "non-p", poate fi notată p, p ' sau Np (în aşa-numita notaţie poloneză, consacrată de Lukas iewicz); în cele ce urmează, vom adopta pentru -

negaţia unei propoziţi i oarecare p

Propri etăţi l e logice

simbolul l p.

ale negaţiei

apar foarte limpede în următorul

1

o

1

o

1

o

tabel:

o variabilă propoziţională o are care p putând avea numai do u ă valori

aleth ice, 1

«adevărat» sau O

=

«fals», negaţia ei

1 p va avea,

conform definiţiei, valori l o gic e opuse. Interesant este faptu l că negând p ro p o ziţi a negativă 1 p, se obţin p en tru 1 1 p ace leaşi valori logice ale vari abilei iniţiale p. De aici se d e s p rin d e o primă lege logică În calculul propoziţional, numită legea dublei =

negaţii:

sau,

generali zând

cu

aj utorul meta-variabilelor,


4/

o expresie propoziţională oarecare, iar simbolul ,;=." se cite şte "este logic e c h i v a l e n t cu" şi semnifică faptu l că termenii re l aţi ei au întotdeauna a c e ea ş i valoare l o g i c ă, putându-se oricând substitu i (aceste proprietăţi vor fi d i s c ut ate mai pe larg în cele ce u nn e ază) . Atunci când se en u n ţă nu în limbajul natu ra l , ci în n o ta ţi e simbol ică, expres iile propoziţionale se numesc "A" s imbo l i zează

formule.

Negaţia este unicul operator l o gic mona r (de la gr. "monas " = unitate), c are îşi e xerc i tă funcţia logică asupra unei s i n gu re variabile sau fonnule; toţi ceilalţi o p e rat ori se numesc binari, deoare ce combină, fiecare într-un anumit mod, câte două variabile sau fonnu le.

Propoziţii compuse conj unctive

2.6. Fie

1 /6

propoziţii l e : "Merg la munte şi

s c hiez" ;

2/6

"Î nvăţ l a matematică şi la fizică" ;

3/6

"Eu v orb e s c engleza, iar el gennana";

4/6

"V -am aşteptat, dar voi

nu

aţi v e n i t" ;

mec i , deşi nu mă p as i o n e ază fotbalul"; 6/6 "Vin, vă iau cu m a ş i n a , vă d u c la gară şi vă sui în tren". 5/6

"Voi merge la

Avem a i c i câteva exemple de p r op o z iţ i i compuse conj unctive, num ite astfel deoarece se construiesc prin l egarea a d o u ă propoziţi i ato mi c e de c ătre un operat or logic numit conjunc ţie. În limbajul natural, conjuncţia se exprimă, după cum s e ve � e, în mai multe modalităţi - p ri n şi, ia7; dar, deşi, cu toale că, astfel încât etc ; uneori, o simplă pauză în i n ton aţi e , marcată grafi c printr-o virgulă, exprimă c�ţ se poate de clar o legătură conjunctivă între propoziţii. Exemplele de ' mai sus ne arată că l imba din vi aţa cotidiană tinde s ă facă «economie de efort», căutând să e x p rime d i fe r i te m e s aj e p r i n tr-u n min imum de tennen i : o s i n gu ră propoziţie gramaticală, "Merg la mu n te şi la m are" , cup ri nd e d o u ă p ropoziţ i i diferite din punct de vedere logic: "Merg la munte" şi "Merg l a m are " . Dacă spunem, însă, "B raşovu l şi Ploieştiul sunt legate prin calea ferată", conj uncţia "şi" nu j oacă rolul de operator propoziţional, căci nu sunt două propoziţii logice, ci o singură pro po z i ţi e atomi că, refonnulab i l ă echivalent astfe l : "Ploieştiul este legat de Braşov p ri n calea ferată " . Vom nota s i m bo l i c conjuncţia a d o u ă propoziţi i simple o are c are p 1\ q. cit irea standard fiind "p ş i q" . Se mai uti l i zează şi alte n otaţ i i s i m bo l i ce, p rec u m :

p . q, p & q, p

ro

q, Kpq.


LOGiC'/' ŞI TEOR1A ARGUMENTÂ1Ul

------

o propoziţie conjunctivă poate P /\

avea

mai mulţi membri, de exemplu:

q /\ r /\ s .

Dacă o conj uncţie se aplică altor conjuncţii, utilizăm parantezele:

(p /\ q ) /\ (q /\ r) Conjuncţia se poate aplica şi variabilelor sau formulelor negate:

p l\ (l q), după cum negaţia poate fi aplicată propoziţiilor conj unctive:

l (p /\ q) Dacă termenii conjuncţiei sunt ordonaţi conjuncţie de n membri poate fi notată astfel: n

TI Pi

=

i=l

PI

1\

P2

1\

-

P t . P2,

. . .

, Pn

-

atunci o

. . /\ Pn .

unde TI Înseamnă p rodus log ic .

În ce condiţii este adevărată sau fal s ă o propoziţie conjunctivă? Afirmaţia "Vorbesc franceza şi (vorbesc) engleza" este adevărată dacă şi numai dacă acela care face această afirmaţie vorbeşte cele două limbi, fiind falsă dacă respectivul vorbeşte numai una sau n ici una din ele . General izând, vom spune că o propoziţie conjunctivă este adevărată dacă şi numai dacă ambele ei componente atomice sunt adevărate, fiind falsă în toate celelalte cazuri. Această proprietate definitorie a propoziţii lor conjunctive se exprimă cel mai clar Într-o schemă numită matrice sau tabel de adevăr. În partea stângă, numită baza matricei, se pun toate combinaţiile posibile de valori alethice ale celor două componente atomice ale conjuncţiei (fie acestea P şi q), iar în partea dreaptă valorile de adevăr ale propoziţiei compuse. p

q

1

1

1

O

O

1

O O ·


Logica propoziţ�l'lor __

______

2.7.

Propoziţii comp use disj unctive

Astfel de prop o zi ţii compuse se r e a l i zează printr-un op erato r logic numit disj uncţie, care se exprimă cel mai adesea p rin cuvintele "sau", "ori", "fie" . . Următoarel e p ro p o ziţi i compuse sunt d i sj u n cti v e : 1/7

"În concediu, merg la munte sau (merg) la mare" ; 2/7 "George e bine pregătit la m at em at i c ă sau la fizică"; 3/7

4/7

"Orice număr natural este p ar sau impar";

I on es cu va fi s a n cţi o n at închisoare".

"

cu un mil ion de lei am endă

sau

cu 6 l uni de

Toate aceste p rop oz iţ i i , de fonn a "p sau q ", sunt adevărate dacă unul din membri i disj uncţiei este adevărât şi sunt fal se dacă ambele componente ato mi ce sunt fal se. Există însă şi o deosebire. Propoziţi ile 1 /7 şi 217 rămân ad ev ărat e şi În eventualitatea că atât p, cât şi q sunt adevărate; este posi bil ca, în a c e l aşi concediu, să aj ung şi l a munte şi la mare, sau ca George să fie bine pregătit la amb ele discipl ine. Posibil itatea ca ambii membri ai disjuncţi ei să fie adevăraţi este însă exclusă în propoziţi i l e 317 ş i 417 : acelaşi număr n u p o at e fi şi par şi im p ar în a�elaşi timp, iar u n a ş i aceeaşi infracţiune nu poate p r i m i două sancţiun i echivalente. Deos ebirea este s u fi c i en t de importantă pentru a fi necesar să definim doi operatori diferiţi sau două ti puri de disj u ncţie. a) Propoziţiile compuse realizate fdlosind disj uncţia neexclusivă (numită şi "inclusivă", " s l abă" sau "alternativă") sunt false numai atunci când cele două propoziţii atomice componente sunt false. Notăm acest tip de d i sj u n c ţie cu semnu l v (d i n latinescul "veI " = sau); citirea standard a formulei P v q este "p sau q", subînţelegând: "p o s ib i l ambele" . Se mai utilizează notaţiile p u q, Ap q . P �ntru simplificarea l imbaj u lui stab i l i m unnătoarea convenţie: ori de câte ori vom l!ţiliza tennenul "disj uncţie" fără alte at ri bu t e sau precizări, ne vom referi numai la ;� isjuncţia s l abă sau n eexclusivă. eY d i sj uncţie poate avea mai mulţi membri ; de exemplu:

pvqvrvs Ea p o ate fi apl icată n e gaţii l o r şi conj uncţii lor, fol os i n d

(l p) v q; La rândul lor, c o nj u ncţ i a

(p /\ q)

V

paranteze:

(q /\ r).

şi n e gaţi a pot fi a p l i c ate propoziţii lor disjunctive :

(q V r); l (p v q ) etc. Dacă termen i i disj uncţiei sunt ordonaţi, in fonna P l . P2, . . , , pn, atunci p /\

putem scrie pe scurt:


lOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂR11

50 Il

L Pi = PI v P 2 v

j =l

...

V

Pn

unde � în s eamn ă sumă logică.

b) Propoziţiile compuse realizate folosind disjuncţia exclusivă (sau "tare") sunt adevărate numai atunci când propoziţiile atomice componente au valori logice opuse. Notăm acest tip de d i sj u nc ţie cu semnul ,,+" şi �onvenim ca citirea " standard a formulei p + q să fie "sau P, sau q - reiterarea lui "sau" indicând adaosul subînţeles "nu ambele". Deosebirea dintre cele două tipuri de disjuncţie reiese cu deplină claritate din definiţiile lor matricial.e : P

q

1

1

1

O

O

1

O

O

2.8. Funcţii de adevăr După cum s-a văzut până aici, pentru a afla valoarea logică a unor propoziţii compuse de forma l p , p A q, P v q, P + q este suficient să cunoaştem valorile de adevăr ale componentelor propoziţionale P şi q, întrucât acestea determină în mod univoc valoarea l o g i că a propoziţiei compuse. Cu alte cuvinte, fiecăruia dintre o perato ri i , ,1 " , "A", "v", ,,+" i se asociază câte o funcţie (în sens algebric) definită pe mulţimea valorilor alethice [ 1 , O] şi având ca domeniu de valori aceeaşi mulţime [ 1 , O] . Iată de ce propoziţiile compuse, precum şi expresiile propoziţionale se mai numesc şi funcţii de adevăr, definite prin matrici sau tabele de adevăr, iar operatorii (conectori i) logici mai poartă şi · denumirea de functori propoziţionali.

2.9. Prop oziţii compuse condiţionale Atât în gândirea comună, cât mai ales în cea ştiinţifică, sunt foarte frecvente deosebit de importante propoziţi i l e compuse condiţionale, realizate prin intermediul unui operator logic de forma "dacă . . . , atunci . . . ", numit im plicaţie.

şi


Logica propoziţiilor

51

În propoziţiile condiţionale de t ipu l "dacă X, atunci Y", X ş i Y pot desemna: (i) o cauză şi, respectiv, efectul ei-; (ii ) două proprietăţi ale unor entităţi ideale (abstracte) sau (iii) o mul ţim e de p rem is e şi, re sp ecti v, concluzia derivată din ele. Să exemplificăm : 1/9 Prop oziţi a ,,Dacă se freacă termometrul, atunci coloana de mercur se dil at ă (urcând p e scala gradată) " exprimă un raport de cau zalitate ; în ac e st caz, avem de-a face cu o implicaţie cauzală. 2/9 Pro poziţi a ,,Dacă un triunghi este i s o sc e l , atunci b isec toare a un ghi u l u i de la v ârf, în ălţim ea, mediatoarea şi m ed iana bazei coincid" expr im ă o r e l aţie între anum ite proprietăţi ale unor en ti tăţi i d eal e ; aceasta este o implicaţie conceptuală. 3/9 Expresia ,,Dacă (a) I I (b) şi (b) I I (c), atunci (a) I I (c) " expr i m ă o relaţie inferenţială; aici av em de-a face cu o implicaţie deductivă. Indiferent ce fel de «obiecte» ar d e s emn a X şi Y, dacă p rop oziţiil e ce s e referă la a ceste obiecte (p ş i q) sunt astfel conectate încât una decurge din cealaltă, vom put ea spune că p i mp l i că q. Exprimăm ac e a stă implicaţie astfel: "dacă p atunci q", ceea ce înseamnă că p este o condiţie suficientă pentru q. Membrul p se numeşte an te c edent , iar q se numeşte consecvent. O rd ine a lor nu este întâmplătoare. Propoziţia 4/ 9 "D acă plou ă , atun c i n u mergem la plajă" nu are acelaşi sens şi nu este adev ărată în ac e leaşi condiţii ca şi propoziţia 5/9 " D acă nu merg em la p l aj ă, atunci plouă". Vom nota imp licaţ i a în formă standard "dacă p. atun c i q" (sau . .q d ac ă p") astfe l: p -7 q; alte notaţii utilizate sunt: p => q, p ::J q. Cpq. În ce condiţi i este adevărată, respectiv fal să o propoziţie c o mpu să condiţională? Răspunsul pare uşor de dat atun ci când antecedentul impli c aţiei este o p ropo zi ţi e atomică adevărată. Expresia "Dacă pl ouă , atunci îmi iau um bre la" este adevărată întrucât o ri de câte ori plouă emitentul afirm aţi e i îşi ia um b r el a ca să se apere de ploaie; atât antecedentul, cât şi consecventul sunt adevărate, con firmându-se faptul că p este o c o n diţi e suficientă a lui q. Aceeaşi expresie se dovedeşte în să falsă dacă atunci când plouă (anteced en t ade v ărat), emitentul ie s e din casă fără umbrelă (consecvent fals); în acest caz, i mp l ic aţi a este falsă deoarece p nu este, aşa cum se afirmă, o c on di ţ ie suficientă a lui q. Dacă ne bazăm numai pe i ntui ţi e , pe «bunul simp>, lucrurile devin obscure şi c omp licate în si tu aţi a în care antecedentul unei p rop o zi ţii c on di ţ i on ale este fals. Fie propoziţia compusă: 6/9 "Dacă azi e j oi, atunci anul 1 are curs de l ogică de la 1 0 la 1 2". În o ricare altă zi decât joia, atât antecedentul, cât şi consecventul sunt false - Întrucât nici joi nu e şi nici cursul de logică nu se ţ in e Între orele 10 şi 1 2. Şi totuşi, propozi ţia c o m pus ă pare să fi e adevărată, Întrucât ea nu spune altceva d e c ât


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂR1I

52

că "a fi joi" este o condiţie necesară pentru a fi programat în orar cursul de l ogi că - ceea ce, evident, nu se poate verifica în alte zile ale săptămânii. Ce se întâmp lă, însă, cu o propo ziţie compusă de genul următor? 7/9 ,,Dacă astăzi plouă, atunci va p l oua şi de ziua mea, peste o lună" Pre supu nân d că azi nu p l ouă - deci antecedentul este fals - şi nu p l ou ă nici la aniversare, peste o lună - deci şi consecventul este fals, s-ar părea că im p li caţia este, totuşi, adevărată, căci dacă ar fi plouat...cine ştie? Dar dacă azi nu plouă (antecedentul fals), dar p louă p e ste o lună? (consecventul adevărat). «Bunul simţ}) ne-ar spune că, în acest caz, p ropoziţi a compusă con d iţion a l ă este falsă, dovedindu-se că nu există nici o relaţie necesară între ploaia de azi şi starea vremii de peste o lună. Pentru a d epăşi deruta şi c onfuzi a «bunului simţ» - care ne-a servit destul de bine p ână acum, în definirea intuitivă a negaţiei, conjuncţiei şi disjuncţiei -, vom proceda jonnal, ad i că în s p i rit ul logicii care, după cum spuneam, s e d etaşează de i ntu iţie şi de sensul concret al propoziţi ilor. Întru cât o propoziţie c ond iţi o n a l ă adevărată este, p ri n d efi ni ţie , aceea în care anţeced entu l este o c o n d i ţi e suficientă a consecventului - cu alte cuvinte, ori de câte ori p, n e apărat q - rezultă că o propoziţie cond iţională este falsă atunci când are i o c sau este adevărat antecedentul p, dar nu are loc sau este fals c on s e c v entul q. Altfel spus, formula l (p � q) , adică "e fal s că p � q" se poate expri ma la fel de bine prin formula p /\ (l q ), a d ic ă o conj uncţie a c e lo r două valori lo gi c e care contrazic definiţia imp licaţiei : an te c e d e nt adevărat şi c o n s ecve n t fals (antecedentul are loc şi c o ns e cv entul nu se pr o d u c e) . Alcătuind tabelul de a d evăr al p ro p oz i ţ i e i conjunctive l (p /\ l q) vom obţine definiţia matricială a i m pl icaţie i . p

q

lq

1

1

O

O

1

1

O

1

1

O

O

1

O

O

1

O

O

1

O

1

p /\

Din matrice rezultă

lq

l (p /\ l q)

identic cu

că o propoziţie condiţională este falsă numai atunci

când dintr-un antecedent adevărat rezultă un consecvent fals; în toate celelalte cazuri, i mp li c aţi a se consideră adevărată. Se pot d es pr i nd e de aici câteva reguli bizare din perspectiva simţului comun, d ar corecte din punct de vedere fonnal şi

care au o importanţă deci sivă în teoria dem on straţ i e i . • Li n i i l e 1 şi 2 din tabelul de adevăr arată că din adevăr rezu l tă în mod valid numai adevărul. Dacă ne referim la im p l i ca ţia deductivă (în care antecedentul rep rezi ntă premisele unei inferenţe, iar consecventul c onclu zi a ei), este, p ri n urmare, imposibil din punct de vedere logic


53

Logica propoziţiilor

ca, gândind co re ct , să p utem extrage din p rem i s e adevărate o concluzie fa l s ă ; este su fi cient să ne as i gurăm de adevărul prem i s elor şi să n u comitem erori în argum entare pentru a intra în po s e s i a unor concl uzi i c erte .

Liniile 3 şi 4 arată că din fals rezultă orice, căci falsul i mp l i că atât ad evăru l , cât şi fa l su l . Dacă p l ec de la prem i sa că "Londra e ste c ap ital a Franţe i" , atunci pot afirma orice consecvent: fie că "Franţa se Înve c i n ează la sud-vest cu S pani a" (un adevăr), fie că "Franţa se Învecinează la răsărit cu China" (un fal s). O demonstraţie care premeditat sau i nvo luntar - acceptă p rem i s e false poate ajunge la conc l uzi i fie ad e vărate , fie fal s e . Liniile 1 şi 3 arată că adevărul rezultă din orice s au că o concluzie a d ev ărată po at e fi dedu s ă atât din p re m is e adevărate, cât şi din

premise false. •

Li n i i l e 2 şi 4 ar ată că falsul rezu ltă în mod va l i d numai din fals; cu alte c uv inte , dac ă prem i s e l e sunt false şi inferenţa nu conţine nici un viciu de co nstru cţi e logică, concluzia nu poate fi decât fal s ă .

2 . 1 0 . Propoziţii comp u s e bicondiţionale

condiţie d eop otr i v ă necesară şi s u ficientă . Forma a ce s to r propoziţii ( de s utilizate mai ales în l imbaju l ştiinţific, de re gu l ă numai subînţe l e se în limbajul obişnuit) este: "dacă şi numai dacă p, atunci q"; se mai poate c i t i re l aţi a şi in v ers : "q d a că şi numai da că p". Op eratoru l "dacă şi numai dacă" se nu m e şte echivalenţă logică şi s e notează astfel : p H q. Alte n o taţi i sunt p <=> q, p == q, p - q, Ep q . Iată ş i câteva exemple de propo ziţii bjcondiţionale: 1/10 "D ac ă şi n um a i dacă iei u lti mu l examen cu n ota 1 0, v ei avea Se

nume şte bicondiţională o

p ro p o ziţie în care se enunţă o

media 9,50"; 2/ 1 0 "Rombul AB CD e ste pătrat dacă ş i

numai dacă are un un gh i drept" ; 3/ 1 0 "Pentru ca numărul 27 1 3 5 s ă fie d ivizibil cu 3 este ne ce s ar ş i suficient ca suma cifrelor sale să fie d iv iz i bi l ă cu 3". Ce rap ort exi stă între m em br ii unei echivalente logice, de forma p H q ? F aptu l că p e ste o c o n d i ţi e suficientă pentru q este exp r i mat de propoziţia condi ţi on a l ă p � q. I ar faptu l că p este o con di ţi e necesară a l u i q Îns eam n ă că nu este po s i b i l să aibă loc q fără p; deci nici odată prop o zi ţi a p n u poate fi falsă dacă p rop ozi ţ i a q e st e adevărată - ceea ce se exp ri m ă p ri n p ro p o z i ţ i a co nd iţ i o n a l ă q�p. Rezu l tă că rel aţia de e c hi va le n ţă l ogi că exprimă acelaşi lucru ca şi c o nj un c ţi a


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRlI

54

implicaţiilor (p --7 q) A (q --7 p); cu alte cuvinte, echivalenţa logi c ă a două formule este, de fapt, implicaţia lor reciprocă. Se poate extrage din această proprietate definiţia- matricială a propoziţiei bicondiţionale:

propoziţii sau

p

q

P --7 q

q --7 P

1

1

1

1

1

1

0

0

1

O

O

1

1

O

o

O

O

1

1

1

(p --7 q)

A

(q --7 p) sau

Se v ede în tabelul de adevăr că o propoziţie bicondiţiona/ă este adevărată numai atunci când componentele sale atom ice au aceeaşi valoare alethică; nu pot fi logic echivalente două p ropozi ţii sau formule cu valori logice opuse. Echivalenţa fundamentează regula schimbului reciproc de echivalente, procedură de largă utilizare în logică' şi matematică: dacă A şi B sunt două formule echivalente, atunci ele se pot substitui una prin cealaltă în absolut orice condiţii. Rezolvarea ecuaţii lor algebrice prin metoda substituţiei este un caz de aplic ar e tacită a acestei reguli.

2 . 1 1 . Alte

tipuri de propoziţii compuse

Propoziţiile compuse descrise până. aici nu su nt singurele care se pot formula. Câteodată, în l imbaj ul natural se enunţă p ropozi ţi i precum: 111 1 "Sau nu e timp frumos, sau nu mă simt prea b in e" ; 2/ 1 1

"Fie că nu am t imp, fie că nu am bani";

3/1 1 "Ori nu mă trezesc la timp, ori nu pri n d autobuzul". Propoziţia compusă de forma , /ie că nu p, fie că nu q" este, de fapt, o disjuncţie de propoziţii atomice negative, iar conectorul cu care 'se construieşte este cunoscut ca incompatibilitate s au operatorul lui Sheffer, n otat : p Î q. Două propoziţii incompatibile nu pot fi împreună adevărate ; dacă una din componentele atomice p sau q este falsă, ori dacă ambele sunt false, atunci compoziţia "fie că nu p, fie că nu q" este adevărată.


Logica propoziţiilor

55 (2)

(3 )

p

q

p ,l\ q

1 (p 1\ q)

1 1 O

1

1

O

O

O

1

1

O

1

O

O

O

1

Din coloanele ( 1 ) şi (2) ale tabel u lu i de adevăr se observă că i ncomp a­ tibilitatea are , în toate combinaţiile posibile de valori ale componentelor atomice p şi q, va l ori alethice opuse faţă de ce l e ale conjuncţiei. Din acest motiv operatorul lui Sheffer se ma i numeşte şi anti-conj uncţie. Vom spun e că incompatibilitatea este inversul dual al conjuncţiei. Coloanele ( 1 ) şi ( 3 ) ne arată că incompatibilitatea şi negaţia conjuncţiei sunt echivalente:

(L.2) Un alt t i p de p ro p o z i ţi e compusă apare ca

atomice negate, de forma "n i c i p, nici q "; exemple:

o conjuncţie de propoziţii

4/ 1 1 "Nici l a mare n-am fost, nici p entru restanţe n-am învăţat"; 5/1 1 "Patrulaterul ABCD nu e nici pătrat, nici dreptunghi" .

propoziţi ilor c om pu s e de form a "nici . . . , nici . . , " se n ote ază p t q . O astfel de propoziţie compusă este adevărată numai atunci când ambele componente atom i c e sunt false, în to ate celel alte cazuri po s ib i l e fiin d falsă. Operatorul

(2)

(3 )

p

q

pvq

1 (p v q)

1

1

1

O

1

O

1

O

O

1

1

O

O

O

O

1

Se obervă în coloanele ( J ) şi (2) ale tabeluJui de adevăr că operato ru l "nici . . , nici . . . " este inversul dual al disjuncţiei, moti v pentru care poate fi d enumi t anti-d isj uncţie; coloanele ( 1 ) şi (3 ) evidenţiază echival enţa:

.

(L.3)


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

56

2.12. Utilizarea parantezelor Folosite pe baza unor reguli explicite, parantezele au rolul de a deli mita raza de acţiune şi gruparea diferitelor tipuri de op eratori interpropoziţionali . Negaţia, conj un cţi a, d i sj uncţi a etc. pot conecta nu numai p ropoziţi i atomice, c i ş i fonnule mai complexe, care c onţin la rândul lor s ubfonnul e, alcătuite prin intenned iul unui num ăr oarecare de operatori . Să luăm, de exemplu, expresia: 1 / 1 2 "M ihai şi-a notat numărul meu de telefon, dar nu m-a sunat aseară",

Notând cu p prop oziţi a "Mihai şi-a notat numărul meu de telefon" şi cu q propoziţia "nu m-a sunat aseară", expres ia va primi următoarea notaţie simbolică: SI

p  lq

Lectura, în ţe l e gerea sensului ş i determinarea valorii de adevăr a formulei p şi q nu prezintă

S I în funcţie de valorile l o g i c e ale componentelor atomice

dificultăţi, neexistând nici un echivoc. Dar dacă spunem că 2/ 1 2 ,,Mihai nu şi-a n otat numărul meu de tel efon, dar m-a sunat aseară", folosind notaţiile anterioare

obţinem fonnula:

S2

lp

Â

q

Luată ca atare, formula de mai sus poate fi interpretată fie ca o conjuncţie q, fie ca negaţie a conjuncţiei dintre p şi q. În acest din urmă caz, formul a ar corespunde expresiei:

între

1 p şi

3/ 12 ,,Nu

e adevărat că Mihai şi-a notat numărul meu de telefon şi că m-a

sunat aseară" .

Sensul şi valoarea de adevăr a expres i i l or 2/ 1 2 şi 3/ 1 2 sunt, chiar intuitiv, nu numai formal, d i fer ite . Pentru eliminarea confuziei şi a posibilei interp retări echivoce, vom nota e xpre si a 2/ 1 2 prin fonnula S3

(l p) Â q

S4

1 (p  q).

iar e xp res ia 3/1 2 prin formula

P arante zele i n dică , du p ă cum ne dăm seama, raza de acţ i u ne a unui operator, grupân d elementele unei fonnule în su b u n i tăţ i ce intră în anumite relaţii preci s determinate. Formula

S5 P

Â

qvr

nu ne i n d i c ă preci s dacă e vorba de conjuncţia lui p cu d i sj un cţ ia q v r sau de o disjuncţie între (tennenul stâng) p 1\ q şi r (tennenul din dre apt a ) . Pentru a face d e o seb irea între cele două i n t erpr etări posibile, vom scrie în primul caz


57

L ogica propoziţiilor

S6 P /\

(q V

r),

iar în cel d e- al doi l ea caz S7

(P /\ q) V

r.

Ut ili zare a parant ezelor trebuie să fie c ât mai economicoasă, deoarece excesul de paranteze îns oţeşte plusul de precizie cu o pierde re de claritate, ducând la construcţii greoaie, inutil Încărc ate cu elemente super flu e. Fie formula:

F: (p v q) " (l (r -7 (q v l s))) Pornind de la nivelul cel mai e l e ment ar, al componentelor at omi c e p, q, r, de p arante ze indică următoarea ordine de ap l icare a

s , cele patru pere ch i oper atorilor logici:

(i) (ii) (iii)

(i v) (v)

prin v a l ui p şi q; n eg are a lui s; legare a prin v a lui q şi l s; legarea pr in -7 a l u i r (antecedent) cu q (c o n secven t) ; n eg are a formulei (iii), adică a propoziţiei c ondiţional e r -7 (qvls); legarea pri n " a lui (p v q), re zu l tat ă din (i), cu formula r e zul tat ă din (iv). l e g ar ea

Operatoru l c ar e intervine ultimul în construcţia u n ei formule are cea mai mare rază d e acţiune şi dă denumirea formulei în întregul ei . Astfel, fo rm ul a F este o c o nj u n c ţi e ; membrul ei din dreapta este o neg aţ i e a formulei ( implicative)

(r -7

(p v 1 s)) etc .

P e ntru e co n om i sirea p arant eze lo r în co n stru c ţi a formulelor logice, se pot adopta anumite convenţii:

1. În primul rând, c on veni m ca o subJormulă negată să nu mai fie scrisă Între paranteze; ac e astă c on v enţie ne permite să el i m inăm din formula F o pereche de paranteze: F' (p v q ) " l (r -7 ( q v l s)) II. fu a l doilea rând, stabilim o ierarhie a operatorilor după puterea lor de coeziune ( ad ică de le g ar e a propoziţiilor şi subformulelor). În ord i ne , convenim că: • operatoru l " este mai c oe z iv decât toţi ce i l a l ţi operatori binari ; • ope ratori i v şi + sunt mai coezivi d e cât op e ratorii -7 şi H ; • operatorul -7 este mai coeziv decât o perat orul H .

Această i erarhi e ne p erm it e să aplicăm u rm ăt oarea regulă: ac ol o unde parantezele nu indică altă grupare, dintre doi sau m ai m ulţi operat or i ce figu re ază într-o form u lă, întâi se ap li că cel mai coeziv, legân d cele mai mici subformule din stânga şi dreapta sa, tratând în cont inuare la fel restul o p eratori l or din formulă.


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

S8

Aplicând această regulă, fonnula F' poate primi o rescriere şi mai economică, pierzând încă un rând de paranteze, rară a pierde, însă, din claritate:

F" (P v q) " l (r --7 q v l s)

Exercitii , Eliminaţi parantezele inutile (superflue) din unnătoarele fonnule:

r) f-t (q --7 ( l p» 2. « 1 (P --7 ( 1 q » ) v ( r A ( 1 p » ) --7 ( 1 s) 3. 1 « ( l p) --7 ( q v r» ) A (p t-7 « r A ( l s» » 1. « ( 1 p) " q) v

2 . 1 3 . Relaţii de echivalenţă Între op eratorii p rop oziţionali

Să recapitulăm definiţiile matriciale ale conectori lor inter-propoziţionali pe care i-am prezentat până aici:

1

1

1

1

O

1

1

O

O

1

O

O

1

1

O

O

1

O

O

1

O

1

1

1

O

1

O

O

O

O

O

O

1

1

1

1

Coloanele (3 ) şi (5) ne arată încă un raport de dual itate între disjuncţia exclusivă şi echivalenţă:

(L.4) Raportul de dualitate este foarte important şi extrem de uti l în simplificarea calculului, prin reducerea la minimum a numărului de conectori utilizaţi . Pe baza echivalenţelor (L.2) - (LA), operatorii +, Î şi J. capătă un


59

L ogica propoziţiilor

caracter superfluu, oricare dintre ei putând fi substituit prin inversul său dual negat. Astfel, în loc de

putem utiliza

Am arătat anterior că echivalenţa poate fi exprimată, la rândul ei, printr-o implicaţie reciprocă: (L.5)

Conform (L.5), echivalenţa poate fi eliminată, exprimându-se prin intermediul implicaţiei. Dar am văzut că propo z iţia condiţională este echivalentă cu negaţia unei propoziţii conjunctive de forma p " 1 q; rezultă (L.6)

Conform (L.6), şi implicaţia poate fi eliminată, exprimându-se prin intermediul conj uncţiei şi al negaţiei. Pe baza acestor identităţi logice, rămân necesari numai trei operatori elementari sau primitivi: negaţia, conjuncţia, disjuncţia. Simplificarea calculului prin reducerea numărului operatorilor utilizaţi nu se opreşte Însă aici. Calculul propoziţional se poate construi cu numai doi operatori primitivi - negaţia şi conjuncţia sau negaţia şi disjuncţia. Prin tabele de adevăr putem evidenţia de îndată anumite raporturi fundament�le între conj uncţie şi disjuncţie, care permit ca orice expresie conjunctiv� să fie transformată într-una disjunctivă şi invers, prin intermediul negaţiei. E:ste suficient să alcătuim un tabel . de adevăr cu patru propoziţii conjunctive şi patru propoziţi i disj unctive, în care apare şi operatorul negaţiei, după cum urmează:

pq 1 1

101a o o

(�) .. . (3) ' d (l) . "r.';P;'lf,ii 'j:Er1l.kTd�;; 1 (OI\a) 1

o

o

:1;dE�i�\;3�

(5) "jjVa';i/<

(6)

1

o

(4) 1

(7)

(8)

o

1

.;�l (Dvâ);: ;nnpVIQJr:;;P

1 0

o

1

o

o

1

1

1

o

1

o

1

o

0 1

o

o

1

1

1

1

o

o

1

1

o

1

1

o

o

1

1

o

00


LOGICĂ ŞI TEOR1A ARGUMENTĂRII

60

ob servă

patru perechi de propoziţii compuse logic e ch ivalente, una dintre ele fiind conjunctivă, cealaltă disjunctivă. Se

cu uşurinţă

(L.7) (L.8) (L.9) (L.I0) Cunos�ute încă din Ev u l Mediu, datorită lui William Occam (c. 1 285 1 3 49), aceste fonnule poartă nu m e l e lui A u g u s t u s d e M o r g a n ( 1 806 - 1 878) - unul dintre fondatorii logicii mate mati ce , care le-a reformulat în limbajul simbolic al calculului pr opo ziţi on a l . Toate aceste transfonnări se efectuează astfel : pentru substituirea conjuncţiei prin disjuncţie ş i invers, se neagă întreaga formulă, precum ş i fiecare

membru al ei. Nicod a reuşit să e l i m i n e chiar şi negaţia, reducând prin d e fin iţi e toţi conectorii propoziţionali la un singur operator de b ază - incompatibilitatea (sau operatorul lui Sheffer). Cel mai cunoscut ş i ce l mai comod grup de op erato r i p rim itiv i este cel utilizat în «algebra logică» elaborată de George Boole - grup d in care fac parte negaţia, conjun cţi a ş i disj uncţia. În funcţie de ace ştia, ce i la l ţi conectori pot primi unnătoarele definiţii:

(D.I.) p � q H l p

v

q

q H 1 (P /\ 1 q) · l (p /\ l q) H l l (l p v l l q) . l l (l p v l l q) H l p v q •

P -7

(L.6) (L. 10) (L. I )

(D.2) (p H q) H ( l p v q) /\ (l q v p) • •

(p H q) H (p � q ) /\ (q � p) (p � q). H l p v q

· (q � p) H l q v p

(L.4) (D. 1 ) (D. 1 )


61

Logica propoziţiilor

(D.3)

p + q H (P A l q) V ( q A l p)

(p + q) H 1 (p H q)

(LA)

(p H q) H (i p v q) A (1 q v p )

(D.2)

(LA); (D.2) (P + q) H l (l p v q A l q v p) • prin echivalenţele lui de Morgan, aplicate succesiv: l (l p v q A l q v p) H l (l p v q) v l (l q v p) H (p A l q) v (q A lp) •

(D.4) • •

p Î q H lp v 1 q

p Î q H 1 (p A q)

(L.2)

1 (p A q) H l p v 1 q

(L.9)

. p J.. q H l (p v q)

(L.3)

. 1 (p v q) H l p A l q

(L.8)

Exercitii ,

1 . Notând cu p,

q,

propoziţiile atomice, reprezentaţi prin formule următoarele expresii propoziţionale: ( a) Dacă spectacolul «Regele Leal'» e programat sâmbătă sau duminică, reprezentaţia nu va avea loc în Sala Mare, ci în sala «Amfiteatru» sau r,

...

«Atelier».

(�) Sau îmi cumpăr o rachetă de tenis, şi atunci mă voi antrena la un club

toată vara, sau îmi cumpăr o barcă pneumatică şi merg cu ea la pe scuit , dar în nici :un caz nu voi cheltui banii la j ocuri mecan i c e sau prin discoteci. (c) Degaj aţi structura formală a expresiilor propoziţionale 6/7, 7/7 şi 8/7.

2. Notând cu p, q, r, . . , componentele atomice ale următoarelor expresii propoziţionale, reprezentaţi simbolic forma logică a fiecăreia dintre ele: (a) Dacă Vlad a venit cu trenul sau cu autobuzul, a sosit după ora 16. (b ) Dacă Vlad nu a venit cu trenul, ci cu autobuzul, a sosit după ora 1 6 . (e) Vlad sau a venit eu trenul, sau a sosit după ora 1 6, cu autobuzul. ( d ) Vlad nu a venit nici cu trenul, nici cu autobuzul, dar a sosit după Ora 16.


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

62

Dacă Vlad a sosit după ora 1 6, Înseamnă că a ven it cu trenu l, şi nu cu autobuzul. Care dintre aceste expresii propoziţionale sunt adevărate şi care sunt false în următoarele ipote ze : (i) Vl ad soseşte du p ă ora 1 6, cu trenul; (ii) Vlad s o s eşte înainte de ora 1 6, cu autobuzul; (iii) Vlad soseşte înainte de ora 1 6, cu alt mijloc de transport decât trenul s au autobuzul. (după D. Stoianovici) (e )

3. Dacă p reprezintă propoziţia "Mi ha i s-a născut în 1 932", q propoziţia "Radu s-a născut în 1 924", r propoziţia "M i h ai era mai tânăr decât Radu", s propoziţia "Mihai a murit în 1 990" şi t propoziţia "Radu a trăi t mai puţin d ecât Mihai" ce expresii propoziţionale exprimă fo rmul e l e : (a ) p 1\ q

-7 r;

(b) (p 1\ s ) -7 (q -7 t); ( c ) t 1\ (p -7 r);

(d) l p l\ (l r v l t) şi ce valoare d e adevăr are fiecare? 4. ( d up ă P. S uppes)

(a) Dacă p H q reprezintă o propoziţie adevărată, iar q v r una fal să, c are este va l o are a de adevăr a propoziţiei reprezentate de p ? (b) Dacă formul a p f-7 1 q este adevărată, ce put em spune despre formula p v q? Dar despre (p v q) -7 r? (c ) Arătaţi că dacă formula p -7 q este falsă, atunci q v r are valoarea de adevăr a lui r.

2 . 1 4 . C alculul funcţiilor de adevăr p rin meto da matricial ă

Indiferen t câte componente atomice şi câte conexiuni logice ar cuprinde, orice expresie propoziţională poate fi de fi n i tă ca o funcţie de adevăr. Fie expresia propoziţională: "D acă r =

nu ninge şi nu bate vântul, mergem să schiem".

Notăm componentele ato m ic e astfel : p = ,,Ninge"; q = "Bate vântul"; "Mergem să s chi em " . Formula care exprimă simbolic expresia propoziţională

dată este:


Logica propoziţiilor

63 Fl

(l p /\ l q) -7 r

Valoarea de adevăr a acestei formule este determinată în mod univoc de valorile a le thi c e ale celor trei componente atomice, p, q şi r, deoarece în construcţia ei nu intervin decât o perat ori i 1 , /\ ş i -7 , definiţi prin funcţii de adevăr. Ce valoare logică va avea formula F în i p ot eza HJ, anume că p şi q sunt propoziţii false, iar r o propoziţ i e adevărată? Această valoare de adevăr se poate «ca lcula», adică se poate determina algoritmic, abstracţie făcând de orice interpretare semantică, după cum urmează: •

şi q fii n d false, rezultă că 1 p şi 1 q sunt adevărate; l p şi 1 q fiind adevărate, conj u ncţi a lor l p /\ 1 q este adevărată; l p /\ 1 q fi i n d antecedentul adevărat al unei implicaţii cu consecventu l r ad evărat, rezultă că formula este adevărată.

p

• •

Acest calcul sumar poate fi rezu mat scriind deasupra celor trei componente atomice valorile lor de adevăr stabilite prin ipoteză, iar apoi sub operatori, în ordine, valorile ce rezultă conform matricei asociate fi ecărui a : o

o

luăm în calcul ipoteza H2, anume c ă p , cal c u lul decu rge a s tfe l : D acă

o .\

r sunt toate

fals e

,

atunc i

O

O 1\

q şi

O

O

O

Dacă luăm

în

considerare toate combinaţiile posibile de valori logice ale

componentelor atomice, c a Jcu l â n d pentru fiecare caz valoarea formulei Fl aflăm , funcţi a de adevăr ce îi corespunde. Acest calcul se prez in tă sub forma unui tabel

de adevăr.


64

LOGICĂ ŞI TEOR1A ARGUMENTĂRII

P

q

r

1p

1 1

O

1p A l q

O

O

O

O

O

O

O

O 1

1q

O

O

O

O

O O

O

c1 p A l q ) � r

1

O

O

O

O

O 1

O

O O

O

O

O

Numărul de linii d in tr- un astfel de tabel (respect iv numărul c ombinaţii l or de valori ale componentelor atomice) este întotdeauna 2n - unde n = număr ul componentel o r atomice din exp resia propo ziţională a cărei funcţie de adevăr se calculează. În exemplul de mai sus , expresia având 3 c omponente atomice, tabel u l ei de adevăr are 23 = 8 l i n i i . FI fiind o formulă simplă, se poate afla destul de uşor

şi fără tabel de adevăr că ea este falsă numai Într-un singur caz, atunci când toate

com ponentele ei atomi ce sunt false. Fiind de formă condiţională, fo rmul a nu poate fi fal s ă decât dacă antece dentul ei 1 p A l q este adevărat, iar con s ecventul r fals. Or, antec edentu l fiind o conjuncţie, nu poate fi adev ărat decât dacă ambele componente atomice 1 p şi 1 q sunt adevărate, adică numai dacă p şi q sunt false. Pentru or ice altă di str i b u ţi e de valori ale componentelo r atomice, formula va fi adevărată - fie pentru că antecedentul este fals ( l ini i le 1 - 6), fie deoar ece

consecventul e adevărat (liniile 1 , 3, 5, 7). Soluţia nu e tot atât de facilă în cazu l unor formule de structură mai complexă. Fie, de exem plu , formula :

Este tot o formulă condiţională, dar ant ecedentu l ei poate fi fals, res pect iv consecventul ei poate fi adevărat în mai multe modali tăţi . Funcţia de adevăr corespunzătoare formulei Fz apare în tabelu l de mai jos:

p

1

q

r 1

1

O

O

1

O

O

O

O

1q

1r

O

O

O

O

1p

1p v 1 q

PA 1r

O

O

O

1

O

c1 p v 1 q) � (p A 1 r)

O

O

O

1

1

1

1

O

1

O

O

O

O

O

O

o

1

O

O

O

O

O

O

O

O

o

O

O

O


65

Logica propoziţiilor

Din tabel se vede că o F2 poate fi adevărată în trei feluri şi falsă în cinci feluri diferite, în funcţie de valorile logice ale componentelor ei atomice.

2 . 1 5 . F o r m u le tautologice, inconsistente

şi

co ntin ge nte

Fie formulele: (a) l p v q -7 q ; (b) P -7 (q v p) ; Ce) (P -7 q) H (P /\ l q) .

Să calculăm funcţiile de adevăr pe care le exprimă aceste formule. În acest scop, alcătuim următorul tabel de adevăr:

pq 1 1

l

(a)

(b)

(e)

1 0 0 1 00

Se observă că formula (a) are valoarea 1 pentru unele (trei) combinaţii de valori logice ale propoziţiilor atomice componente şi valoarea O pentru cea de a patra combinaţie de valori . O astfel de formulă, care poate avea atât valoarea logică 1 , cât şi valoarea O se numeşte contingentă. Formulele de acest tip sunt adevărate sau false în funcţie de valorile alethice ale componentelor lor atomice; adevărul sau falsitatea lor nu pot fi stabilite examinând doar modul în care sunt construite q in propoziţii simple, ci trebuie cunoscute şi valorile logice ale acestora din urmă. Formula (b) are valoarea 1 pentru toate combinaţiile de valori ale variabilelo� propoziţionale. Este un exemplu de formulă tautoIogică. Invariabil adevărate, indiferent de valorile compon�ntelor lor atomice, tautologiile fac inutilă cunoaşterea acestora din urmă; ele au valoarea 1 doar în virtutea formei sau modului de compoziţie. În SIarşit, formula (c) are valoarea O pentru toate combinaţiile posibile de valori ale variabilelor propoziţionale componente. Formulele de acest tip se numesc inconsistente şi sunt false doar în virtutea formei sau modului de compoziţie, independent de valori le logice ale propoziţiilor atomice din alcătuirea lor. În mod evident, orice formulă propoziţională aparţine unuia dintre aceste trei tipuri . Formulele tautologice împreună cu cele contingente alcătuiesc cl asa formulelor consistente sau realizabile: orice asemenea formulă are valoarea 1


66

LOGICĂ ŞI TEOBIA ARGUMENTĂRII

pentru cel puţin o combinaţie de valori ale variabilelor propoziţionale componente; cu alte cuvinte, formulele consistente pot fi adevărate în anumite combinaţii de valori. Formulele c ontingente şi cele inconsistente formează laolaltă clasa formulelor netautologice: orice astfel de formulă poate avea valoarea O pentru cel puţin o c ombinaţie de valori ale variab ilelor p ropoziţionale componente.

Informaţii sau cunoştinţe despre lume nu-şi găsesc expresia decât în contingente; o astfel de formulă oferă informaţii cu atât mai bogate şi mai precise cu cât adevăr u l ei exclude un. număr mai mare de combinaţi i ale val o rilor l ogice ale prop oziţiil or atomice· componente. Fie p prop oziţia ,,Automobilul model X are motor Diesel" şi q propoziţia "Automobil ul model X are tracţiune integrală" . Ştiind că formula 1 p 1\ 1 q este adevărată, extragem de aici informaţia certă că automobilul r es pe c ti v nu are motor Diesel ş i nici tracţiune integrală, deoarece (vezi tab e l u l următor) form u l a 1 p 1\ 1 q p oate fi adevărată numai dacă p şi q au ambele valoarea O. O form u lă precum (lp 1\ 1 q) v p oferă mai puţine informaţii certe, deoarece ea nu este falsă decât Într-o singură situaţie, după cum rezultă din tabelul de adevăr: formule

p q 1 1 1 0 0 1

O O

1 0 0 1 1

O 1

O

1

O O O 1

1 1

O 1

Deci se exclude numai ca automobilul să nu aibă motor Diesel şi să aibă tracţiune inte grală. Adevărul formulei el p 1\ 1 q) v p este compatibil cu trei combinaţii de valori ale propoziţiilor atomice componente: sau maşina are motor Diesel şi tracţiune integrală, sau are motor Diesel, dar tracţiune pe o s ingu ră punte, sau, în fine, nu are nici motor Diesel, nici tracţiune integrală. Tautologi i l e şi form u le l e inconsistente sunt, În tr-u n anumit sens, golite de conţinut, căci valoarea lor logică este dete rm inată numai de structura forma l ă; oricum ar fi propoziţiile atomice componente, fie acestea adevărate sau false în raport cu faptele, ele rămân invariabil adevărate, respectiv false. Inutilizabile pentru ve hi c u l ar ea info rm aţiilor şi a cunoştinţelor em p irice, ta u to logi i le şi expresiile inconsistente prez in tă, însă, cel mai mare interes pe terenul logicii, deoarece între componentele şi subformulele lor există anumite relaţii structurale importante, pe care se bazează construcţia diferitelor calcule l o gice . În cadrul acestor calcule, form u l e le tauto logice se mai numesc şi legi logice (exemple fiind


67

Logica propoziţiilor

relaţiile din acest manual notate cu L.n), iar fonnulele inconsistente. se mai numesc ş i contradicţii logice.

În elaborarea unui calcul logic, precum este şi logica propoziţiilor, ansamblul metodelor standardizate prin intennediul cărora se poate stabili cu maximă precizie valoarea logică a oricărei formule, cât ar fi ea de simplă sau de complexă, se numesc procedee de decizie. Metoda matricială, descrisă în acest paragraf, constituie un prim procedeu decizional în calculul propoziţiilor, Întrucât ne permite să stabilim pentru orice formulă scrisă în «vocabularul» acestui calcul dacă este tautologie, contradicţie logică sau propoziţie contingent-realizabilă.

Exerciţii 1.

Calculaţi funcţiile de adevăr determinate de formulele: a) [ 1 (p /\ 1 q ) v (p H r) ] --7 q ; b) [ (p /\ q ) --7 r ] H (p v 1 r); c) [ p + (l q /\ r) ]--7 (p Î q ); d) [ (l p j, q ) /\ (l p v 1 r) ] --7 (l p H r). 2. Stabiliţi care dintre formulele următoare sunt tautologice, contingente respectiv, inconsistente, calculând prin metoda matricială funcţiile de adevăr pe care le determină: ş i,

a) p --7 (q /\ p); b) (l p v q) --7 q ; c) (p /\ q ) --7 [ (p /\ q)

V

(p /\ 1 q ) ] ;

d) (p H q ) H (p + q); e) [ (l p v q) /\ (1 q v r) ] --7 (p --7 f) [ (p /\ q ) --7 r ] H (p v 1 r);

g)p /\ (p V q ) H 1 [ p

v

r);

(p /\ r) ] .

2.16. C alculul funcţiilor d e adevăr p rin reducerea p rogresivă a vari abilelor

Metoda matri cială este cel mai simplu procedeu decizional în logica propoziţi ilor. Simplitatea şi claritatea metodei matriciale sunt Însă Însoţite de un neaj uns considerabil: atunci când numărul variabilelor propoziţionale este mai mare de trei, procedeul devine extrem de laborios până la impracticabil. Aplicând


68

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

regu l a enunţată în paragraful precedent, un tabel de adevăr al unei fu n cţii p ropo ziţion a le cu numai 5 v ar iabi l e ar avea 25 = 32 de linii ! Un alt procedeu de calcul, numit metoda reducerii p ro gres i ve a variabilelor (sau metoda deci ziei pre scurtate) po ate suplini într-o măsură acceptabilă acest neajuns. Procedeul se bazează pe anumite proprietăţi a l e ope r atorilor defini ţi ca funcţii de adevăr, graţie cărora se poate afla mai rapid pentru ce co mb inaţii de valori alethice ale propoziţiilor atomice comp onen te o anumită formulă este adevărată sau falsă. Redu cerea progresivă a variabi l elor poate fi considerată o variantă prescurtată a calculului matricia l . F ie formu la : F3 • •

[ p -7

(p + q) J

v

lp

D acă presupunem

că p = O, urmează că l p = 1 . Cum 1 p este unul d i n termenii unei disj uncţii, 1 p fi ind adevărat, i ndependent de valo are a celuilalt termen al disjuncţiei, respectiv subformula dintre · parantezele drepte, formula va fi ad ev ărată . Am stabilit astfel că pe jumătate din tabelul de adevăr al formulei F3 anume j umătatea în care p = O - formula este ad evărată , indiferent ce valori a r avea q şi subformulele (p + q ), respectiv [ p -7 (p + q) ] . D acă presupunem acum că p = 1 , atunci 1 p = 0, iar valoarea de adevăr a întregii formule va dep i nde de primul membru al expresiei dijunctive : când [ . . . ] = 1, F3 e ste adevărată ca disjuncţie cu un membru adevărat; când [ . . . ] = 0, F3 este fal s ă, întrucât ambii membri ai disj uncţi ei sunt falşi .

Păstrând ipoteza că p 1 , vedem ce se întâmplă cu propoz i ţia condiţională p -7 (q + q); având antecedentul adev ărat, implicaţia va fi adevărată sau falsă în funcţie de valoarea consecventului p + q: dacă acesta este adevărat, implicaţia este adevărată - dacă e fals , atunci şi imp l icaţia va fi, l a rândul ei, falsă . Considerăm d i sj unc ţ ia exc l usivă p + q, păstrân d ipoteza că p = 1 . Valoarea formu l ei p + q depind e exclusiv de v a loarea logică a lui q; dacă q 0, disj unc ţi a exclusivă este adevărată, dacă q = 1, formula p + q este falsă. =

=

Concluzia finală este aceea că dacă p = 1 , F3 este adevărată atunci când q = O şi falsă atunci când q = 1. Formula nu e ste , deci, nici tautologică, nici inconsistentă, ci o expresie cont in gentă .

Aplic area acestui procedeu de calcul presurtat presupune utilizarea unor foarte si mple, care se ded u c din definiţiile matr i c i ale ale ope ratorilor propoziţionali. Iată aceste regu l i : reguli

(R.I)


69

Logica propoziţiilor

Simbolizând O propoziţie simplă sau compusă, deci o formu lă , indiferent cât de complexă, meta-variabila "A" poate lua valorile 1 sau O; dac ă A = 1 , conj u ncţi a e ste adevărată, dacă A = O, conj uncţia este falsă; deci valoarea lui A dă valoarea l o gi c ă a c onj u ncţi ei sale cu o propoziţie sau formulă adevărată. (R.2)

Termenul fals face c a, indiferent de valoarea lui A, conjuncţia să fie falsă. Prin raţionamente similare se deduc şi re gu lile pentru ceilalţi operatori: (R.3)

(R.I0)

(R.4)

(R.11)

(R.S)

(R.12)

(R. 6)

(R.13)

(R.7)

(R.14)

(R.8)

(R.15)

(R.9)

(R.16)

Numim aceste formule reguli de reducţie deoarece, p ri n utilizarea lor, un operator care conectează un membru cu valoarea alethică nedeterminată şi un alt membru cu valoare logică determinată ( d ec i o parte variabilă şi o constantă aleth ic ă) poate fi redus s au elim in at, înlocuindu-se întreaga formulă cu una din

componentele sale. Notând Hn "ipoteza 1, 2, . . . , n" şi c u semnul � " d ec urge, urmează că ... ", şi apl i cân d re gu l i l e de reducţie, c a l c u l u l formulei F3 se poate scri e du p ă c um urme ază : 'Y I Hl

p=a

[ a - Ha

-1-

q) v 1 ] 1

H2

p

=1

[ 1 - H1

+

q) v a ] (1

1�

(R.3)

+

q)

l+q

lq

H3

q=O

lq= 1

q= l

lq= a

În c oncluzie, F20 este o formu l ă contillgentă.

(R.4) (R. 7) (R. 1 1 )


70

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

Iată cum funcţi on e ază pro cedeu l în cazu l componente atomice. Fie formul a :

1 [ l p v (q 1\ r) ] -t p

F4

1[ 1

unor formule cu mai multe

v

(q 1\ r) ] -t O 1 [ 1 v (q 1\ r)]

(R .6);

O

H2 p = 1

(R.3); (L. I )

1 [ O v (q /\ r) ] -t 1

(R.5)

1

Foarte rapid am stabilit, numai în funcţie de valorile lui p , independent de

v al oril e logice ale lui q şi r, că F4 este c onti n gen tă La fel de rapid se determină şi v al o ar e a de adevăr a unei formule cu patru componente atomice, al cărei tabel de .

adevăr ar avea 1 6 linii.

( p 1\ q -t r ) v ( l p /\ 1 q) -t s

Fs HI

p=O

v ( 1 /\ 1 q) -t s) v 1 q -t s v 1 q -t s

( O 1\ q -t r)

(O

-t

r)

1

(R.2); (R. 1 )

(R.8)

1

H2 P = 1

( 1 /\ q -t r)

v

q -t r q -t r

v

(O /\ 1 q) -t

O -t s

v

1

s (R. l ); (R.2)

(R. 8)

1

Fs este o tautologie. Şi în acest caz am determinat caracterul tautologic al expresiei numai în funcţie de valorile alethice ale lui p, independent de valorile logice pe care l e ar lua q ş i r. -

Exerciţii Stab i l i ţi prin reducerea progresivă a variabilelor care dintre următoarele formule s unt t aut o l ogi c e , c onti n gen te sau inconsistente:

1. 1 (p l\ q) H l p v l q 2. (p /\ q -t r) H ( q 1\ 1 r -t l p ) 3. [ P I\ (p v q) ] H l [ p v -(p /\ r) ] 4. [ p v ( l q l\ r) ] -t l p v q 5. (l q -t l p v r) H [ ( l r -t l q ) -t p]


71

Logica propoziţiilor

2 . 1 7 . Alte echivalenţe logice în calculul propoziţional

Întrucât sunt invariabil adevărate, independent de valorile alethice ale propoziţi ilor atomice componente, toate tautologiile sunt logic echivalente. Unele tautologii sunt însă mai interesante decât altele, deoarece au diferite aplicaţii în construcţia calculului propoziţional. Cele mai multe dintre aceste tautologii remarcabile sunt de formă bicondiţională. Prin metodele de calcul prezentate, cititorul poate verifica singur că echivalenţele (L. I ) (L. I O), enunţate în paragrafele anterioare, sunt formule tautologice. Utilizând aceleaşi metode de calcul, se poate demonstra că şi echivalenţele ce urmează sunt, de asemenea, tautologice. -

(L.11) (L. I2) (L.13) (L.I4) (L.IS) (L. I6)

Formulele (L. 1 I ) şi (L. I 4) exprimă o proprietate comună conj uncţiei şi disjuncţiei, �numită idempotenţă; alte proprietăţi comune celor doi conectori sunt comutativitatea (L. I 2) şi (L. I S) şi asociativitatea (L. 1 3 ) şi (L. 1 6). Următoarele două echivalenţe logice exprimă distributivitatea reciprocă a conj uncţiei şi disjuncţie i : -

-

(L.I7) (L. I8)

Iat � şi câteva proprietăţi şi transformări ale implicaţiei : (L. I9) (L.20) (L.2I) (L.22)

Formula (L. 1 9) se numeşte legea contrapoziţiei, iar eL. 20) legea exportaţiei; aceste formule au legătură cu procedeul demonstraţiei indirecte sau prin reducere la absurd.


LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

72

Menţionăm în încheierea acestui paragraf expresia simbolică şi întemeierea în calculul propoziţional a principiilor logice din logica tradiţională.

(1..23) Reiterând implicaţi a se poate extrage uşor de aici identitatea logică a unei propoziţii sau formule cu ea însăşi: p H p . Este clasicul principiu al identităţii care, dincolo de aspectul formal, într-o interpretare semantică, exprimă cerinţa obligatorie ca, în acelaşi context sau în desfăşurarea până Ia capăt a unui şir de demonstraţii, o anumită propoziţie sau formulă să îşi păstreze nemodificată semnificaţia şi proprietăţile logice.

(L.24) Această formulă enunţă principiul non-contradicţiei: conjuncţia unei propoziţi i sau formule cu propria negaţie este inevitabil falsă. Din acest motiv, A /\ 1 A este expresia generică pentru orice con tradicţie sau formulă incons istentă, întrucât oricare ar fi valoarea logică a lui A, conjuncţia ei cu propria negaţie face ca unul din membrii conjuncţiei să fie inevitabil fals, astfel încât falsă va fi şi propoziţia compusă conjunctivă.

(L.25) Această formulă exprimă clasicul principiu al terţului exclus: disjuncţia unei propoziţii cu propria negaţie este inevitabil adevărată, ceea ce se subînţelege fiind faptul că p şi negaţia sa, 1 p, epuizează sfera posibilităţilor; ori e adevărat p, ori e adevărat l p , a treia posibilitate fiind exclusă. Formula A v 1 A este expresia generică a formulelor tautologice, întrucât orice valoare alethică ar lua A, una din componentele disj uncţiei este adevărată, suficient pentru ca propoziţia compusă disj unctivă să fie în toate cazurile adevărată.

2 . 1 8 . Forme normale în calculul propoziţional Un alt procedeu de decizie în calculul propoziţional, ceva mai elaborat, prin care putem determina dacă o formulă oarecare este tautologie, contingentă sau inconsi stentă se bazează pe reducerea formulei respective la o formă normală cu care este logic echivalentă.


73

L ogica propoziţiilor 2. 18. 1 . Ce sunt formele normale ?

Există anumite expresii care posedă unele proprietăţi structurale din care se pot deduce alte proprietăţi pentru expresia dată şi pentru orice altă expregie echivalentă; ele se numesc expresii canonice sau normale. Dacă în aritmetică se cere ca din şirul de fracţii 1

2

4

8

3

6

12

24

- = - = - = - =

s ă se aleagă fracţia având calitatea de a reprezenta univoc pe oricare din mulţimea fracţiilor considerate, atunci va trebui să găsim o astfel de fracţie având proprietăţi ce nu mai aparţin nici unei alte fracţii din mulţimea considerată. O astfel de fracţie este aceea care posedă proprietatea de a fi ireductibilă - în cazul nostru 1/3 . Prin unnare, dacă o fracţie alb este ireductibilă, putem spune că ea reprezintă univoc toate fracţiile din mul ţ imea considerată. Ş i în logica propoziţii lor există expresii standard la care pot fi reduse prin transformări echivalente alte expresii şi care, datorită proprietăţilor lor structurale, ne pennit să decidem asupra valorii tuturor expresiilor logic echivalente cu ele. Astfel de expresii se numesc « forme normale». Aceste fomle nomlale se construiesc în funcţie de clasa operatorilor de bază. Aici vom considera fonnele nonnale în «algebra B oole», adică cele construite cu operatorii l, 1\, v . În funcţie de operatorul principal (care dă şi denum irea funcţiei de adevăr) avem două fonne nonnale : forma normală conjunctivă (f.n.e.) ş i fo rm a normală disjunctivă (f.n.d.). Definitii

df 1 Numim termeni primi variabilele şi negaţiile lor.

(p , q ,

r,

. . . , l p, l q , l r, . . . )

df 2, Numim conjuncţie primă orice tennen prim şi orice conj uncţie de termeni primi.

(p, l q, P 1\ q , lp

1\

q, ... )

df 3 Numim disjuncţie primă orice tennen prim şi orice disj uncţie de termeni pri mi .

(p, l q , p v q , p v l q , . . . ) O bservatii fi

se admite şi cazu l unor conj uncţi i sau disjuncţii cu un singur membru; în anumite cazuri , una şi aceeaşi expresie p o at e fi tratată ca membru al unei conj uncţi i / d i sj u n cţi i cu un singur membru ;


74

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII •

se poate vorbi de conjuncţii şi disjuncţii cu o mulţime vidă de argumente; conjuncţiile / disj uncţiile cu un singur membru pot fi tratate ca având restul membrilor vizi.

df4 Numim formă normală conjunctivă (f.n.e.) conjuncţia oricărei mulţimi de disj uncţii prime.

df 5 Numim form ă normală disjunctivă (f.n.d.) disjuncţia oricărei mulţimi de conjuncţii prime .

2.18.2.

Proprietăţi ale formelor normale

(i) Negaţia cade numai pe variabilele propoziţionale. (i i ) Operatorul care dă denumirea formei normale nu apare în membrii expresiei.

(iii) Prin definiţie, în formele normale nu apar alţi operatori în afară de 1\,

V.

l,

2.18.3. Cum se decide c u ajutorul formelor normale

Orice formulă corect alcătuită în calculul propoziţional poate fi transformată, pe baza unor reguli şi definiţii, într-o formă normală logic echivalentă cu ea. Odată ce am stabilit dacă forma normală este tautologică, inconsistentă sau contingentă, am determinat totodată în ce clasă de formule se înscrie orice expresie logic echivalentă cu ea. Înainte de a vedea cum se aduce o expresie propoziţională oarecare la o formă normală, trebuie să înţelegem cum stabilim în ce clasă de formule se înscrie o expresie în formă normală. În primul rând stabilim două corelaţii iniţiale între anumite proprietăţi structurale şi valoarea logică. (a) Expresia de forma A v l A este Întotdeauna adevărată. (L.25)

(b) Expresia de forma A 1\ l A este Întotdeauna falsă . (L.24) Prin urmare, putem scrie pe ste tot: CA v l A) 1 şi (A 1\ l A) = O. Pe de altă parte, A v l A poate face p arte dintr-un membru disj unctiv al unei formule conj unctive, iar A 1\ l A poate face parte dintr-un membru conj unctiv al unei formule disjunctive. Fie � v A v l A o disj uncţie în care � reprezintă restul membrilor. Deoarece A v l A 1 , formula iniţială se reduce la � v I , adică la o expresie tautologică, întotdeauna adevărată, conform (R.3). =

=


75

L ogica propoziţiilor

Fie apoi

Întrucât A A l A

f3 A A A l A o conj uncţie în care f3 reprezintă restul membrilor. O, formula conjunctivă se reduce la f3 A O, adică la o contradicţie

=

logică, întotdeauna falsă, conform (R.2). De aici rezultă că dacă o conjuncţie este formată numai din membri de fonna f3 v A v l A, atunci fiecare membru al ei va fi adevărat şi deci toată conjuncţia va fi adevărată. Iar dacă o propoziţie compusă disj unctivă este formată numai din membri de forma f3 A A A l A, atunci fiecare membru al ei va fi fals şi deci toată expresia disj unctivă va fi falsă. (În ambele situaţii se presupune că f3 p oate fi şi vid.) Se desprind deci următoarele criterii de decizie în formele normale: 1. II.

Dacă în fiecare membru al unei f.n.c. este conţinută o expresie de forma A v l A, atunci forma normală reprezintă o expresie tautologică. Dacă în fiecare membru al unei f.n.d. este conţinută o expresie de forma A A l A, atunci forma normală reprezintă o juncţie inconsistentă.

III .

Oricare expresie din clasa de expresii echivalente cu forma normală respectivă va avea aceeaşi valoare ca şi forma normală.

IV .

Pentru a decide dacă o expresie oarecare este tautologică, inconsistentă sau contingentă este suficient să o aducem la forma normală; dacă nu are loc nici cazul 1, n i c i cazul TI, avem o juncţie contingentă. 2. 1 8 . 4. Cum se aduce o exp resie p rop oziţională la forma n o rmală

Procedeul standard parcurge următorii paşi : a) Dacă în expresia dată există operatori dif�riţi de cei admişi în formele normale, aceştia se elimină conform definiţi ilor (D . I ) (D.S). Astfel, in loc de A � B v om scrie l A v B , în loc de A Î B s c riem l (A A B) etc. -

b) • • •

c)

Dacă negaţia nu cade numai pe variabilele propoziţionale, se coboară pe variabile conform următoarelor reguli: (L. I) I I A se înlocuieşte cu A rl r2

r3

l (A A B) se înlocuieşte cu l A l B l (A B) se înlocuieşte cu l A A l B v

v

(L.9)

(L. 8) După efectuarea operaţiilor (a) şi (b), aducem expresia la forma normală dorită, aplicând regulile de asociativitate şi distributivitate (L. 1 3) , (L. I 6), (L. 1 7), (L. I 8).

Vom ilustra în continuare modul în care se aplică aceste reguli.


76

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

Exemplul !

Să se aducă la forma normală expresia: EI [

(P -7 q) A ( q -7 r) ] -7 (P -7 r)

Eliminăm operatorul implicaţiei, conform (D. I )

1 [ (l p v q) A (1 q v r) ] v (lp v r) Coborâm negaţia pe variabilele propoziţionale:

1 (l p v q) v 1 (1 q v r) v l p v r H (P A 1 q) v (q A 1 r) v lp v r Am obţinut o f. n. d. Conform criteriului de decizie, ea nu reprezintă o contradicţie şi deci nici expresia dată, echivalentă cu ea, nu este inconsistentă. Trebuie să mai verificăm dacă expresia nu este cumva tautologică; în acest scop, este necesar să o aducem la f. n. c., di strib u in d de câteva ori disj uncţia faţă de conj uncţie. Pentru simplificarea notaţiei, scriem expresia fără semnul disj uncţiei, considerându-l subînţeles:

(P A l q) (q A l r) l p r Distribuind l p r faţă de (q A 1 r) obţinem:

(P A l q) (l p r q A l p r l r) Distribuind apoi (p A l q) faţă de ( l p r q A l p r 1 r) obţinem :

[ (P A 1 q ) l p r q ] A [(P A 1 q) l p r 1 r] Prin ultima distribuţie obţinem:

lp r q P A lp r q 1 q A lp r 1 rP A lp r 1 r 1 q Reordonând variabilele (pe baza comutativităţii) şi scriind acum Şi disj uncţiile subînţelese, obţinem f. n . c.

(pv l pvqvr) A (pvqv 1 qv r) A (pv l pvrv 1 r) A ( l pv 1 qvrv 1 r) Se observă uşor că fiecare membru al formulei conj unctive conţine cel puţin o subformulă de forma A v 1 A; prin urmare, atât f. n. c., cât şi El, logic echivalentă cu ea, sunt tautologice. Exemplul 2

Să se aducă la forma normală expresia:

E2 l [p -7 (q -7 p)] Prin transformări succesive aducem expresia dată la forma normală.


77

!!!gica propoziţiilor

f. n. d .

Ultima expresie p o at e fi tratată atât ca f. n. c. cu m em bri i p , 1 p, q, cât şi ca cu un s i ngur membru. În cel din urmă caz, e a co nţine o subformulă de

forma A

A

1 A, ceea ce Înseamnă că este, ca şi E2' o fun cţ i e inconsistentă.

Exemplul 3

Să se aducă la forma normală exp re s ia E3 : (p 1\ q ) � P E3

[ 1 (p /\ q) V p ]

/\

[ (p

[ lp

v

A

q) -7 P ]

(p A q) ]

1\

[ p -7 (p /\ q) ]

cl p v 1 q v p)

e l p v 1 q v p) /\ cl p v p)

/\

r l p v (p /\ q) ]

A

clp v q)

F. n. c. pe care am o b ţi nut- o n u e st e t au to l o gi c ă . Urmează să vedem dacă nu este cumva o expresie inconsistentă. În acest scop, trebuie să o bţi nem f. n . d. Pentru simplificare, e l im in ăm din scriere conjuncţia, pe care o subînţelegem.

( p v l p v l q) (p v l p ) C l p v q) H (p v 1 p v 1 q) (p 1 p v p q v l p 1 p

v

lp q H

pp 1 p v ppq v p 1 p 1 p v p 1 pq v p 1 p 1 p v p 1 p q v 1 p 1 p 1 p v v l p l p q v p l p 1 q v p q 1 q v l p 1 q 1 q v l pq 1 q

Observăm că în f. n. d. astfel obţinută o serie de membri se repet ă; conform (L, 1 I ) şi (L, 14) - id e mp oten ţa conjuncţiei şi, re s p e c t iv, a disjuncţiei -, putem red u c e aceşti temleni, mai întâi în interi oru l te nn en i l o r conj unct i v i , ap oi chiar termenii conj un cti v i care se rep et ă în şirul de disj uncţii. În final, rămânem cu expresia:

(p /\ l p ) v (p /\ q ) V (p /\ l p A q )

V

(p /\ l p

/\

1 q) V

v (l p /\ l q) v cl p /\ q /\ l q ) v (p A q /\ l q ) După cum se vede, f. n. d . nu este o funcţie inconsistentă; rezultă că E3, logic echivalentă cu c e l e două fonne nonnale, este o fun c ţi e contingentă. Exemplul 4

Să se aducă la

foona

normală expresia E... : (p Î q)

F. n. c. ne arată că E4' logic

transfonnăm În f. n .

d.

ech ival entă

/\

( q Î p)

cu ea, nu est e tautologică; o


78

L OGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

F. n. d. ne arată că E4 n u co nti nge ntă .

este nici inconsistentă. Avem, deci,

o expre sie

Exerciţii 1 . D emon straţi prin metoda form e lor normale că fonn ule l e (L. I I ) sun t tautologice (l e gi logice). 2. Determi n ati sistente)

ce fel qe expresii (tauto l o gi ce

sunt următoarele formule:

a ) [ p v ( 1 q " r) ] - Hl p

v

,

g

c onti n ent e

-

(L.22)

sau incon-

q)

b) [ (p + q) v r ] � [ ( 1 r " q ) -7 l p ] c) [ (p � q) ,, (l r � q) ] -7 (l p � r) d) [ (p � q) " (q -7 r) ] � (p � r) e ) l [ p � ( q � p) ] 3. St ab i liţ i prin metoda formelor norm a l e care di ntre urm ăto are l e formule este logic echivalentă cu expre s ia (p " q) -7 r şi care cu expresia (p v q) -7 r: a) p -7 (q -7 r); b ) q -7 (p -7 r); c) (p -7 r) " (q � r) ; d) (p -7 r) v (q -7 r) . 4. Să se determine valorile de adevăr ale unnătoarelor expr e s ii p rop o zi ­ ţionale, uti lizându-se toate procedeele de calcul cuno s cute :

q) -7 l p; b) p -7 el q v p); c) q -7 (p -7 q ); d) (p v p) -7 p; e) (p v 1 q ) -7 q; f) (p -7 q) -7 (q -7 p)

a) (p "

2 . 1 9 . Relaţii lo gice Între expresii propoziţio nale importantă în construcţia calculelor logice, d etaşare a tautologii lor din mulţimea formulelor propoziţionale nu constitu ie o sarcină ultimă a teoriei logice . După cum am văzut, logica este o teorie a inferenţelor deductive; se cer definite, a ş ad ar, criteri i precise de t e s tar e a val idităţii raţi onamentelor cu p ropoziţii compuse. Raţionamentul fiind o înlănţuire de propoziţii, trebuie să precizăm tipurile de relaţii în care se pot g ă s i expresiile propoziţionale. Oricât

de


79

Logica propoziţiilor

Să considerăm u rm ăto arele expresii: 1/18 "Dacă are febră, bolnavul va fi internat. " 2/ 1 8 "D ac ă are febră şi pulsul accelerat, bolnavu l va fi internat. " 3/ 1 8 "Dacă bolnavul nu va fi intern at , deşi are

că nu are febră. "

pulsul a c c elerat, înseamnă

4/ 1 8 "D e şi are febră şi pul s u l accelerat, bolnavul nu va fi internat.

"

Notăm prop o zi ţ i i l e atomice astfel: •

p

q = "B ol na vu l are pulsul accelerat"

l' =:

=::

"Bolnavul are febră"

"Bolnavul va fi internat"

Expresiile propoziţionale se e xp r i m ă simbolic prin formulele: (A) p -'t q ; ( B ) (P /\ q)

-'t

r ; (C) (l r /\ q ) -'t l p ; (D) p /\ q /\ l r ,

pentru care alcătuim următorul tabel de adevăr:

p q r lp

lr

1

1

0

0

1 O 1

O

O

O 1

1 1 0

1 1

O

O O 1

1

O

1

1

1 0

1 0 0

O

O O O

O

O

1

1

1

1

1

Din tabel se constată următoarele tipuri de relaţii logice: a) Formulele (B) şi (C) au în toate cazurile p o s i bil e ac ee aş i valoare de adevăr; pentru orice c o m bin aţie de v al ori logice ale componentelor l or atomice, formulele (B) ş i (C) s unt ori împre ună ad ev ărate , ori împreună false. Astfel de propoziţi i se n u m e s c logic echivalente şi, în orice context, s e pot s u bsti tu i una prin cealaltă.

b) Form u l e l e (C) şi (D) au pe toate liniile din tabel valori al eth ic e opuse; orice valoare logică a r lua una dintre ele, c e a l a l tă are valoarea logică op usă (indifer e n t care d i n tre ele e s te , d e fapt, ad ev ărată) . Astfel de formule s e numesc contradictorii sau reciproc inconsistente ; o r i c a r e din ele este logic echivalentă cu ne gaţi a c e l ei l a l te . c) Privind coloanele (A) şi (B ), se observă că ori de câte o r i formula (A) e s t e adevărată, tot adevărată este şi forn1 U l a (B) - nu Însă şi re c i p roc . Rap ortu l dintre aceste două formule este de aşa n atură în cât dacă am şti că (A) este


80

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

adevărată, am putea fi siguri că şi (B) este tot adevărată; cu a lte cuvinte, din ad ev ărul p resup us al celei dintâi decurge în mod necesar adevărul celei de-a doua. Vom spune că fonnula (B) este consecinţă logică a fonnulei (A) sau că (A) i m p l i c ă l o g ic (B ) . U n raţionam ent nu este altceva decât o m u l ţime de n propoziţii, numite premise, care impl ică logic o altă propoziţie, concluzia. Din acest motiv, o definiţie riguroasă a raportului de implicaţie logică dintre n expresii p ropoz iţi ona l e ne oferă un criteriu precis de testare a validităţii raţionamentelor cu propoziţii compuse .

D e fi n i t i e : O mulţime de propoziţii Xl o X2

•••

Xn (unde

n

� 2) implică

l og ic o p rop o z iţie Y dacă pentru toate combinaţiile de valori logice ale componentelor at omic e din XJ , X2, Xm Y, c are fac simultan adevărate propoziţi ile Xt . X2 Xn este adevărată şi propoziţia Y. •••

• ••

,

2 . 20. Testarea matrici ali a validităţii raţionamentelor Din definiţia precedentă rezultă că un raţionament este valid atunci când mulţimea X] , x2, Xn a premiselor sale implică logic concluzia; altfel spus, într-un raţi onament valid concluzia este consecinţa logică a prem i se l o r : pentru toate combinaţi ile de valori ale: �ice ale componentelor atomice, care fac toate p remisele raţionamentului s imultan adevărate, şi concluzia treb u i e să fie tot adevărată. Să considerăm un raţionament foarte simplu: •••

Dacă ai fi frecventat orele de curs şi ai fi învăţat, ai fi promovat examenul de logică. Nu ai promovat, deşi ai frecventat orele de curs. Deci, nu ai învăţat. Notăm propoziţiile atomice: p = "A i ( fi) frecventat orele de curs); q = "Ai (fi ) învăţat"; r = "Ai (fi) promovat examenul". Traduse în formule, expresiile propoziţionale se înfăţişează astfel: (A) (p

1\

q) -t r

(B ) 1 r 1\ p (C)

lq

Verificăm printr-un tabel de adevăr dacă premi sele implică logic concluzia acestui raţionament:


81

Logica propoziţiilor p

q

r

lr

1

1

1

1

1

1

(A )

(B)

(e)

O

P /\ q 1

1

O

O

O

1,

1

O

O

O

1

O

O

1

1 O

1

1

O

O

1

O

O

1

1

O

O

1

O

O

1

O

O

O

1

O

1

O

1

O

1

O

O

O

1

O

O

O

O

O

1

O

1 1

Se vede că o singură combinaţie de valori logice ale componentelor atomice face simultan adevărate ambele premise - situaţie în c are şi conc luzia are valoarea 1 ; deci, raţionamentul este valid. Iată cum arată tabelul de adevăr al unui raţionament invalid:

Dacă eşti modest, atunci dacă reuşeşti În carieră, vei fi invidiat.

Dacă eşti invidiat, Înseamnă că eşti modest. Deci, dacă eşti invidiat, înseamnă că eşti mo dest. Propoziţiile atom i ce sunt: p = "Eşti modest"; q "Reuşeşti în carieră"; r = "Eşti invidiat" . Iată şi formulele care exprimă premisele şi concluzia acestui raţionament: =

(A) p � (q � r) (B) r � l p (C) r � l q Să vedem ce ne arată acum tabelul de adevăr: ',�,

�i

(A )

(B )

(C)

1

1

O

O

O

O

O

1

1

O

1

1

1

O

1

O

O

1

1

1

1

1

1

1

1

O

1

O

1

O

1

O

O

1

1

1

O

O

1

1

1

1

1

1

1

O

O

O

1

1

1

1

1

1

p 1

q

r

1

1

O

O

1

1

O

O

1

O

1

1

O

O

� r

1


LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

82

Pe linia a c in c e a se observă că cele d o uă premise sunt adevărate, însă con c l uzi a este falsă; rezultă că raţionamentul nu este vali d, întrucât concluzia lui nu este o cons ec i n ţă l o gi că a premiselor. Un a stfe l de raţ i on am ent se poate scrie şi p e o s ingu ră linie, ca o si n gu ră fo rm u l ă con diţi o n a l ă, în c are conjuncţia pre m i se l or i m p li c ă logic concluzia: (A /\ B) � C. În cazul unui raţi o nam ent val id, expre si a con d i ţion a l ă având conjuncţia p remis e lor drept antec ed ent şi c o n c l uzi a drept consecvent, trebuie să fie tautologică, c ee a ce nu se întâmplă atunci cân d toate premis e l e au valoarea logică 1 - astfel încât şi conjuncţia lor are aceeaşi val o are -, iar concluzia are valoarea l ogi că 0, fiind, prin urmare, falsă.

Exerciţii 1. Ce re l aţi i l o g i c e considerate d ou ă câte două?

a)

b)

c) d)

exi stă

între următoarele exp re s i i propoziţionale,

Dacă ştie să ste n o grafi e ze şi c u n o aşt e o limbă s tră i n ă, solicitantul va fi angaj at.

Dacă ştie s ă stenografieze, atunci dacă nu va fi an gaj at, înseamnă că s o l i c itantul nu cunoaşte nici o limbă străină. A ne ga că solicitantu l ştie să stenografi eze ş i c u n o a şte o limbă străină e tot un a cu a spune că el va fi angaj at. D e ş i ştie să ste n o grafieze şi c un o a şte o limbă str ă i n ă, solicitantul nu va fi angaj at.

2. (P. S u p p e s ) Ex am i n aţ i

validitatea

raţionamentului :

Logica sau e grea sau n u e agre ată d e mulţi studenţi. D a că matematica e uşoară, atun c i logica nu e grea. Dacă logica e agreată de mulţi stud enţ i , atunci matemati ca nu e u şo ară .

3. (H. J. Ke i s l er) Tre� indivizi, Brown, Jones şi Smith sunt suspectaţi de com iterea u n e i infra cţiu n i . La anchetă, ei dau următoarele decl araţi i : BTown: " Jon es e vinovat, iar Smith e nevinovat. Jones:

"

..

D ac ă e vi nov at Brown, atunc i e şi Smith. "

Smith: "Eu sunt n ev i n o v at , dar cel puţin unul dintre c e i l a l ţ i doi e vinovat.

"

Răs pu nd eţi cu aj utorul unui tabel de adevăr la următoarele întrebări : a) Pot fi împ r eună adev ărate c e le trei declaraţi i?

b) D ecl araţ i a unuia dintre s u sp e cţi d e c u rg e logic din d ec l ar aţi a" unuia dintre c e i l a lţi doi; c are din care?


83

Logica propoziţiilor

c) Admiţând că toţi s unt n evinovaţi , care de c l araţ i e este falsă? d) Adm i ţâ nd că to ate cele trei d e c l araţ ii sunt adevărate, c ine

cine e nevinovat? 4. (1. Copi) F o l o s iţi tabele toare l or forme de raţi o n am e nt :

a) p -) (q -) r)

b) (p v q) -) r

p -) q

p -) r

2.2 1 .

de adevăr pentru

lp -) (q " r) rv lq

a

e

v in ovat şi

ver ifi c a validitatea urmă­

c) (p -) q) " ( q -) r) p

qvr

Scheme elementare de deducţie

Am văzut că, în pofida clarităţii şi a simplităţii ei, metoda matricială devine cu atât mai des c u raj antă şi mai ineficientă cu cât numărul variabilelor propoziţionale d i ntr- o formulă este mai mare. Testarea val i d i tăţi i unor raţi o ­ namente mai complexe se poate face şi altfel decât prin utilizarea tabelelor de ad ev ăr, şi anume prin recursul la anumite scheme elementare de ded ucţ i e . Acestea sunt n işte raţi on'amente extrem de s imp l e, care se pot demonstra fie matricial, fie prin metoda formelor normale, ca tautologii în calculul propoziţional. Datorită simplităţii l or, aceste mini-raţionamente sunt, în marea lor m ajo ritate, spontan sau intuitiv evidente şi se uti li ze ază ca atare, extTem de frecvent, atât în argu m entări l e gând i r i i comune, cât şi în e l abora rea teoriilor şt i in ţifi ce . Din acest motiv, unii logicieni le enunţă nu ca funcţii de adevăr tauto lo g i ce , testate prin calcul, ci ca pe n i ş te reguli naturale de deducţie, acc e ntu l fiind pus nu pe conexiunile fun cţii l or de adevăr, ci pe reglementarea str i ctă a paşilor în demonstraţie. D eo s eb i rea nu este e s enţi al ă, cele dou ă interpretări fiind complementare. Fie,�aţionamentul: ,�.. :

'�,�că temperatura scade sub - 1 5 0 e, militarii nu ies la instrucţie. Su nt - 1 60 C.

Deci m i l i tar i i nu i e s

S imbolic, raţi o nam entu l

la instrucţie.

se p rezi nt ă astfel:

p -) q p q

Acelaşi condiţională, în

raţion ament se poate scrie şi ca expresie care conjuncţia prem i s e l or implică logic concluzia.

propoziţională


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

84

Tabelul de adevăr confirmă v aliditate a acestui raţionament, în tru cât concluzia q este con s eci n ţa logică a celor două prem i s e .

p

q

1 1

1

O O

E 1

O

O

1

1 1

O

O O

1 1 1 1

Aducând a c eastă expresie co n di ţională la forma nonnală constatăm că este

ta utologi că .

[ (P--1 q) Ap ] --1 q H 1 [( l pvq/\p)] V q H 1 (lpvq) v l p v q H H (P /\ l q) v l p v q H (p v l p v q) /\ '(l p v q v l q) Considerându-le d re p t tautologii (te state prin metode de c alcul ) , şi nu reguli «naturale» de deducţie, vom expune în continuare schemele deductive elementare cel mai frecvent utilizate. Întrucât este însă mai comod şi mai instructiv, preferăm dispu ne rea pc v e rt ic al ă a p rem is elo r, u rm at e d e concluzi e .

(PP) N otăm a stfel prescurtat o schemă de raţion ament deductiv de fonna: p�q

p q

şi a cărei denumire c la s i c ă este modus ponendo ponens ( s au , mai pe s c u rt, modus ponens). Ac e a stă schemă ne spune c ă dacă su nt date premisele p şi p --1 q , atunci se poate deduce q . Este dec i metoda (modus ) c are, afirmând (pon'endo) ante ced e ntul unei implicaţii, afinnă (ponens) şi con s ecv entu l ei. Cu alte cuvinte, dintr-o implic aţie în care afinnăm antecedentul putem detaşa con s ecventul ei; d e aceea, schema (PP) se mai num e şte şi regula detaşării.

(TI) Modus tollendo tollens ( mai p e scurt modus tollens) arată astfel:

p� q lq Potrivit ac e stei scheme, n eg ân d (tollendo) consecventul unei implicaţi i, se neagă (tollens) totodată şi antecedentu l ei.


85

Logica propoziţiilor

(TP) Modus tollendo ponens (sau modul nega-afirmativ) este o schemă care funcţionează pe ambele tipuri de disjuncţie, având unnătorul mecanism inferenţial : negând (tollendo) unul din membrii unei disj uncţii presupus adevărate, se afirmă (ponens) în mod necesar celălalt membru. deoarece disjuncţia nu ar putea fi adevărată dacă ambii săi membri ar fi falşi.

pvq

p+q

pvq;

sau

lp

lq p

q

p+q

sau

_L

lq

q

p

(PT) Modus p onendo tollens (modul afirma-negativ) este o schemă ce nu funcţionează decât pe disjuncţia exclusivă, având următorul mecanism inferenţial : afirmând (ponendo) un membru al unei disjuncţi i tari presupus adevărat e , se neagă (tollens) în mod necesar celălalt membru, deoarece disjuncţia exclusivă nu ar putea fi adevărată dacă ambii săi membri ar avea valoarea 1 .

p+q

sau

p

p+q q

CA) Regula adjuncţiei ne permite să obţ ine m d i n premisele p, q concluzia

p A q, deoarece afirmarea a două propoziţii (fiecare justifică afirmarea drept adevărată şi a conjuncţiei lor.

în

parte ca fiind adevărată)

p q pAq (S) Regula simplijicării ne pennite, dimpotrivă, să deducem dintr-o conj u ncţ ie presupus adevărată unul sau altul din membrii săi , deoarece c onjun c ţ i a nu poate fi adevărată decât dacă ambii săi membri au valoarea alethică 1 . p 't-

q

p

sau

pAq

sau

p

AqAr

sau

q

etc.

(Ad) Regula adiţtunii se bazează pe faptul că o propoziţie compusă disj unctivă adevărată nu cere decât un singur membru cu valoarea 1 ; afinnând adevărul l u i p, a c e a stă propoziţie atomică poate fi p u s ă în disj uncţi e cu nu importă ce altă propoziţie atomică sau expresie. p pvq

sau

p pvr

sau

p pvs

etc.


86

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII (SI) Regula silogismului ipotetic

p -t q

q -t r

p -t r Acestea sunt câteva dintre regulile de deducţie mai des utilizate. În general, orice tautologie poate fi folosită ca «schemă de deducţie» potrivit unei reguli generale:

(T) Regula întrebuinţării tautologiilor; astfel, pot fi reguli de deducţie legea dublei nega ţii (L. I ), echivalenţele lui de Morgan (L. 8 ) şi (L.9), ech ivalenţa

dintre implicaţie �i d i sjuncţie (D. I ) etc. Familiare sunt şi aşa-numitele dileme, scheme de raţionament care combină două fel uri de premise: condiţionale şi disj unctive. ( a)

p ·� r lj -t

r

l' v q

-.. _ --

r

(b)

p�q

(c)

p � r.

r q -t s

p�

(d)

p � ,. q

-� s

lq v 1r

pvq

1r v ls

lp

rv s

1p v l q

Schemele ( a) şi (b) sunt dileme simple , cazuri particulare ale schemelor (c) şi (d), numite d i leme complexe; pe de altă parte, (a) şi (e) se numesc dileme afirmat i ve sau constructive, iar (b) şi (d) negative sau distructive.

2.22. Tl� starea validităţii raţionamentelor cu aj utorul s c h emelor elementare de deductie , Să vedem cum se pot utiliza schemele elementare de deducţie pentru testarea validităţii unor raţionamente mai complexe. Vom începe cu un exemplu faci l. Exemplul l

Fie raţionamentul: Dacă nu ninge ( l p), mergem la schi (q) Nu mergem la schi

Deci, ninge (P)

(1 q), ci j ucăm bridge (r)


87

Logica propoziţiilor · Iată şi c;l educţia efectuată cu aj utorul s ch eme lo r d educt ive e l em entare : (1)

l.

(2)

2.

(2)

3.

( 1 ,2)

4.

( 1 ,2)

5.

P1 P2

l p -7 q l q 1\ r lq I Ip p

2 (S) 1 , 3 (TT)

4 (L. l )

Numerele în paranteze din prima coloană indică, pe fiecare linie a deducţie i , premis el e (şi numai premis e l e ) din care a fost dedusă formula de pe linia re s p ectiv ă . Numerele 1 , 2 , . . . , 5 din cea de-a doua coloană indică numărul p a ş i l or sau liniilor deducţ ie i . Evi de n t că l in i i le 1 şi 2 nu d e p i nd de alte linii, fi i nd chiar premisele (Pn) de la c a:re porneşte deduc ţ i a . Pe u lt i ma coloană avem. două categorii de semne : cifre ş i litere. Literele indică schema de deducţie p rin a cărei ap1icare s-a obţin ut expresia de p e linia respectivă; cifrele arată numerele liniilor a nteri oare asu p r a c ăr ora s"'a ap l icat schema de deducţie. Exemplul 2 Fie

raţionamentul:

Dacă nu avem b an i , nu cumpărăm computerul. Dacă mergem d es la discotecă, nu avem b an i . C u mp ărăm c om p uterul sau îl p ri mim cadou. Nu n e face nimeni cadou un computer. Deci, nu mergem des la discotecă. Notăm propoziţiile atomice: • • • •

p. = "Avem bani" q

Cu m p ărăm com p uterul " r = "Mergem des la discotecă" f = "Primim computerul cadou" = "

S imboHc, premisele, deducţia şi concluzia se pre z i nt ă du p ă cum unneaz ă: �(

l p -7 l q r -7 1 p

(1 ) (2)

2.

(3)

3.

qvs

(4) ( 1 , 2)

4.

ls

PI P2 P3 P4

r -7 1 q

2, 1 (SI)

(3, 4) (4 )

6.

q

llq lr

6 (L. l )

( 1 ,2,3,4)

l.

5. 7. 8.

3, 4 (TP)

5 , 7 (TT)


LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRlI

88

Demonstraţia se putea face şi altfel: 1.

(1) (2)

2.

(3)

3.

(4)

4.

l p --7 1 q r --7 l p qvs ls

(3, 4)

5.

q

(3 , 4) ( 1 , 3 , 4)

6. 7.

( 1 ,2,3, 4 )

8.

PI

P2 P3

P4 3 , 4 (TP) 5 (L. l )

llq I Ip lr

1 , 6 (TT)

2 , 7 (TT)

Exemplul 3 Fie raţionamentul :

Dacă Mihai câştigă (P), atunci Radu e al doilea (q) Dacă Vlad e a l doilea (r), at un c i Radu nu e al doilea (1 q) Dacă Vlad e al d o i l e a (r), atun c i Mihai nu c â ştigă (1 p) S imbolic, raţ i o n am e n t u l arată a s tfe l :

P --7 q

r --7 1 q r --7 l p

Putem dem o n stra uşor prin metoda matricială că raţi o n am entul este valid. Dacă recurgem la schemele elementare de d ed ucţi e , constatăm că acelea prezentate până acum nu sunt suficiente . Deducerea con ci u zi e i de p i n de aici de introducerea unei premise sup limentare, a stfe l încât con c l uz i a să decurgă logic din premisele iniţiale plus prem i s a suplimentară. I at ă cum se pro c ed e ază : ( 1)

1.

(2)

2.

Din ace ste două prem i s e ini ţi a l e n u p utem necesar s ă introdu c em o p rem i s ă supl imentară: r. (3)

3.

(2, 3)

4.

( 1 , 2, 3)

5.

r

ex trage

m a i de part e nimic; este

Ps

2 , 3 (PP)

1 , 4 (TT)

Aparent , deducţia este încheiată . Dar c o n cl u zi a pe care trebuie să o nu este 1 p, ci r --7 1 p . Extragerea ac e s tei concluzii din liniile anterioare ( l , 2, , 5) se b aze ază pe o nouă regulă de d e du c ţi e Trebuie să avem în ve d er e faptul că 1 p nu rezultă l o g i c din premisele PI şi P2, ci numai din acestea p lus deducem . . .

.


89

Logica propoziţiilor

deci că l p po a te fi d ed u s din prerÎlisele i n i ţi al e dacă avem de a sem e n ea şi premisa suplimentară r. Deducţia ne arată că dacă (avem) 1', atunci (putem infera) l p. Or, tocmai acesta este sensul concluziei căutate, l' � l p, c are apare abia pe ultima linie a d e d u c ţi e i : premisa sup lim entară Ps• Putem s p u n e

( 1 , 2) aplicând

liniile

6.

3, 5

(ed)

regula condiţionării (n otată Cd).

În e x empl u l nostru,

1, 2

l' �

l p e ste justificată dacă l p este logic implicată de

şi de r. Simbolic, dacă

(p � q), (r � l q), l' => l p (p � q), ( r � l q ) => r � l p Generalizând, vom formula Cd astfel:

1 , 2, 3 => 5 1 , 2 => 6

sau

Expresia

B

C

este demons trată

Într-o de d u cţ i e ale căre i prem ise iniţiale sunt A l . A2, . . , , An, dacă C este l o g i c implicată de to at e aceste premise şi d e (sau plus) B . Exemplul

4

F i e raţi onamentu l : S o sesc cu trenul (P ) şi nu întârziu (l q) s a u telefonez ( 1') . Dacă telefonez (r), amnci n e Întâlnim în oraş (s) s au mergem la Ion (t). Deci, dacă eu Întârziu ( q ), atunci dacă nu ne întâlnim în oraş (l s), î n s e am n ă că mergem la Ion (l).

Iată

c um se prezi ntă transcris în formule acest r aţ i on am en t

componente atom ice, al cărui tab e l de adevăr ar avea 25

(1)

1.

(2)

2.

(1)

3.

(3 )

4.

(3)

5.

( 1'; 3 )

p l\ (l q v r) l' -7 (s v t) lq v r

P1

q

Ps

=

3 2 d e linii !

P2 1 (S)

llq

4 (L. 1 )

6.

l'

3 , 5 (TP)

( 1 , 2, 3)

7. 8.

2, 6 (PP )

(4)

svt ls

( 1 ,2, 3 ,4)

9.

( 1 , 2 , 4)

1 0.

( 1 , 2 , 3 , 4)

11.

t

ls � t q � ( l s � t)

Ps

4, 7 (TP) 9 (ed) 4, 9 (ed)

cu c in ci


90

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

C o n clu zi a raţ i on amentului este întemeiată întrucât cele două premise i n i ţia l e c o n duc la t dacă, mai Întâi q şi apoi dacă 1 s, adică cele două premise suplimentare, detaşate pri n regula c o ndiţi o n ări i .

Exerciţii 1. Demonstraţi, utilizând sch em e l e elementare de deduc ţi e, validitatea următoarelor raţionamente: a)

p�q p /\ r lqvs

c)

pvq q � (r /\ s) tvlr

d)

s v

s� lt lt b)

lp � q q�r r� ls

l s � ( t v u) (t v u) � v

1t

l r� t q� lr

(s v p) � r

q�r

lp � v 2. (Radu J. B o gdan ) Un tată fiind Întrebat dacă doi dintre fiii lui, Ion şi Petrică, sunt gemeni, răspunde: "Dacă Ion este mai mare decât Vasile, atunc i Mihai e st e mai mic decât Radu. Dacă Ion şi Petrică s unt gemen i , atunci Ion este mai mare dec ât Vasile. Dar Mihai nu-i mai mic dec ât Radu. " Cel care a pus întrebarea co nc h ide : "Deci, Ion şi Petrică nu sunt gemeni . " A raţi o nat, o are, c orect ? 3. (Radu J. B o gd an ) În tr- o excursie, trei p rieten i - A, B ş i C - neavând unde să doarmă, s-au culcat fiecare pe câte o bancă d i n tr- un p arc . B ăn c i l e erau pro a sp ăt v op s i te şi, d in această cauză, a doua zi stare a J or vestimentară s tâm ea râsul . A şi B râd e au fi ec are de as pectul celorlalţi, neb ăn u i n d că la rândul lor ar putea fi d e râs. C îşi dă seama însă că hainele îi sunt murdare de vopsea, raţionând astfel: "Dacă eu nu sunt m u r d ar de vopsea, atunci văzând c ă A râde, B ar trebui să-şi contro l eze ţinuta. În să A râde, i a r B nu-şi contro lează ţin uta. Deci, eu sunt murdar de v o psea . " Este corect raţio n am entul lui C?


91

Logica propoziţiilor

2.23 . Axiomatizarea logicii p ropoziţiilor

Până acum, logic a pro poziţiilor a fost expusă Într-o modalitate «algebrică» - adică s-au formulat problemele şi s-au indicat procedee de rezolvare independent de sistemul general al propoziţiilor logice . Logica propoziţiilor poate fi expu să ca sistem logic ş i prin metoda axiomatică. Un sistem axiomatic poate fi intuitiv, dacă în construcţia l ui se ţine seama de înţelesul expresiilor, operându-se cu ele pe baza acestui înţeles, sau fonnalizat, dacă se face abstracţie de conţi nutul expres ii lor, operându-se num a i cu form a lor grafi că, în virtutea unor reguli pur formale. Un sistem axiomatic se c onstru i eşte astfel: (i) se dă l ista de s e mn e ; (ii) s e dau re gu li le de formare a formulelor, alcătuite d in formulele date ca elementare; (iii) se dă lista de postulate; (iv) se dau regulile de deducţie. Conceptele principale al e unui si stem axi omatic sunt: • definiţia - o p ropozi ţie sau o formulă prin care unele expresii sunt i ntr odu s e pe baza altora (altfel spus, sunt «redu se;> la expresii date iniţi a l ; • axioma - o propoziţie (formulă) luată drept adevărată rară demonstraţie în sistemul formal consi derat; s p re deosebire de concepţia tra d i ţ io n a lă, «axioma» are un sens r e l at iv la sistem, nu trebuie să fie n e ap ărat un adevăr pr i n sine evident, în o rice context r aţiona l ; • regula - o propoziţie cu aj utorul căreia d i n propoziţii dat e se pot obţine prin dedu cţ ie alte prop ozi ţi i; • teorema - orice propoziţie (formulă) dedusă din axiome pe baza regu li l or de d ed u cţ i e . D e fi n i ţ i il e i niţi a le , axiomele şi regulile iniţiale (la eventual, şi 'anumite convenţii) fo rm e ază clasa postulatelor.

care

se

pot

a dău ga,

Sistemul axiomatic nu este numai un mod de organizare sistematică a ştiinţei, ci >şi un mij loc de decizie - adică unele fo rm u l e sunt d em onstrate ca tauto l ogii , contingente sau inconsistente prin corelarea l o r logică cu anumite propoziţii iniţiale (axiome, defi n i ţi i) . Printre cele mai cunoscute sisteme axiomatice de logică a propoziţiilor se numără cele elaborate de Frege, Russell, Church, Lukasiewicz, Nicod. Forma clasică este aceea expusă de H i l b e r t şi A c k e r m a n n , din care prezentăm, cu titlu ilustrativ, câteva din elem e nte le de bază. Operatori primitivi :

presc urtare a

formulei

disjunc�e şi negaţie.

l

v,

l ; se util izează şi i mp li caţia p -7 q , dar numai ca C ei l al ţi operatori sunt reduşi prin definiţii la

p v q.


92

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

Lista de simboluri : p, q, r, ... sunt variabile propoziţionale; v,

1 sunt ope ratorii p rimitivi sau de bază;

î , J, sunt operatori introduşi prin definiţie; A, B , e, . .. sunt metavariabile, ce exprimă atât variabile propoziţionale,

� , 1\, t-7,

cât şi formule mai complexe.

Reguli

de formare

Variabilele propoziţionale sunt formule. (ii) Dacă A este o formulă, atunci 1 A este de asemenea o formulă. (iii) Dacă A ş i B sunt formule, atunci A v B, A 1\ B, A + B, A (i)

A H B , A î B , A J, B

sunt d e asemenea fonuule.

---4

B,

Definiţii

df. df. df. df. df.

1 p ---7 q H 1 p v q 2 p 1\ q H 1 ( l p v 1 q) 3 (p � q) H 1 [ 1 (1 p v q) 4 P î q H 1p v 1 q 5 p J, q H 1 (p v q)

v

1 (1 q v p) ]

Axiome

(p v p) ---7 P Ax2 P ---7 (p v q) Ax 3 (p V q) ---7 ( q v p ) AJ4 (p ---7 q) ---7 [ ( r v p ) ---7 (r v q) J

Ax !

Reguli de deducţie I.

Regula detaşării (modus ponens): dacă este dovedit A şi dacă este d ov edi t A ---7 B, atunci e st e dovedit B (separat, detaşat de A). Simbolic: A, A ---7 B � B , unde � arată că partea dreaptă se deduce din cea stângă.

II.

Regula substituţie;: într-o formulă A, o variabilă propoziţională a. poate fi substituită cu o formulă oarecare �, cu con d i ţi a ca variabila a. să ·fie înlocuită pretut i n de n i unde apare (în formula A) cu formula �.

Simbolic: 0. 1 � (se citeşte " a. se substituie cu W') Exemplu: Fie formula (p 1\ q) ---7 ( q 1\ p). Se c ere să se efectueze substituţia plq 1\ r. Vom obţine [ (q 1\ r) 1\ q ] ---7 [ q 1\ (q 1\ r) ] . Se introduc apoi reguli derivate, corespunzătoare axi om e l or.


93

Logica propoziţiilor III. Regula idempotenţei disjuncţiei:

demonstraţie:

AvA�A

1.

(p v p) -4 p

Ax l

2.

(A v A) -4 A AvA A

1 p/A

3.

4.

ipoteză 2 , 3 (I)

IV. Regula adiţiunii: A � A v B

d em on straţie :

1.

AX2

2.

p -4 (p V q) A -4 (A v B )

3.

A

ipoteză

4.

AvB

2, 3 (1)

Regula comutativităţii disjuncţ iei: A v B

V.

d em onstraţi e :

1. 2.

3. 4.

l p/A, q/B

=>

BvA

(pv q) -4 (q V p) (A v B) -4 (B v A)

AX3

AvB BvA

ipoteză

1 p/A, q/B

2, 3 (1)

VI. Regula extinderii disjunctive a termenilor implicaţiei (disjuncţia

a

consecventului cu o formulă se deduce din di sj un cţ i antecedentului cu acea form ul ă) : A -4 B � (C v A) -4 (e v B).

d em o nstraţi e :

1. 2. 3. 4.

(p-4 q) -4 [ (r v p ) -7 (r Ax4 v q) ] (A -4 B) -4 [(C v A) 1 plA,q/B,rlC -4 (Cv B) ] ipoteză A -4 B 2, 3 (1) (C v A) -4 (C v B)

2�ntinuare vom prezenta doar c âteva teoreme, dintre cele mai simpl e, pentru a-l aj uta pe c it itor să se familiarizeze Întrucâtva cu modul în care decurge demonstr e a lor În cadrul s i stemu lu i axiomatic. o propoziţie care implică p ro pri a contradictorie este T.I În

ar

dem.

falsă (principiul reducerii la absurd).

1.

(p v p) -4 p

Ax l

2.

(l p v l p) -4 l p (p -4 1 p) -4 1 p

1 . p/l p

3.

2. df 1


LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

94

T.2 AX2

2.

p � (p v q) p � (p v p)

1.

(p v q) � (q v p)

Ax 3

3.

( l p v l q) � ( l q v l p) (p � l q) � (q ---7 1 p)

1 . p/l p, q/l q 2. df. 1

1.

(p ---7 q) ---7 [ (r v p) ---7 (r v q)]

Ax4

l.

dem.

1.

qlp

T.3 dem.

2.

TA

d em

.

2. 3.

(p ---7 q) � [( 1 r v p) ---7 ( 1 r v q)]

(p � q ) � [ (r ---7 p ) ---7 (1' ---7 q ) ]

r/l r

1.

2. df. 1

(clasica lege a identităţii)

T.5 1.

dem.

(p

q) � [(1" ---7 p ) � (1' ---7 q)]

2.

[(pvp) � p] � [(P ---7

3.

(p v p) ---7 P [(p � (p v p )]

4. 5.

p � (p v p )

6.

p�p

---7

(pvp)) ---7 (p � p)]

(p ---7 p)

T. 4 1 . p/pvp,

qlp rlp ,

AXI

2, 3

(I)

T2 .

4, 5

<n

T.6

dem

T. 5

.

df. 1 T.7

d e m.

(legea terţului exclus) 1. 2. 3. 4.

(p v q) � (q v p) ( l p v p) ---7 (p v l p)

lp v p p v lp

AX'3 1 . pll p,

T.6

2, 3 (1)

q/p


95

Logica propoziţiilor �!';"kfV:&tl1n��l\V&i1*

T 8 �Rr;�.AB .

dem.

1.

2.

T.9

dem.

4. 5. 6. 7.

8. 9.

1 0.

Il. 1.

3. 4. 5. 6. T.n

1 p -7 1 1 1 p (p -7 q) -7 [(r v p) -7 (r v q) ] (l p-71 1 1 p) -? [(p v 1 p) -7 (p v 1 1 1 p )]

(p v 1 p) -7 (p v 1 1 1 p) p v 1p p v 1 1 1p (p v q ) -? eq v p ) (p v 1 1 1 p) -? e1 1 1 p v p ) 1 1 1p v p 1 1 p -7 p

p,:�.n 1 'ftk;�i,�! 2.

dem.

1 . pl1 p

2. df 1

f�.t;;;�1?�P�. 1. p -7 1 1 p 3.

dem.

T. 7

3. � 1' ,'� �

2.

T.I0

p v 1p 1p v 1 1p p -7 1 1 p

1. 2.

··3.

�!4.

5. 6.

7.

8. 9.

AX4 3 . pl1 p,

q / 1 1 1 p, rlp 2, 4 (I) T. 7

5 , 6 (1) Ax3 8 . q/1 1 1 p 7 9 (I) ,

10.

df

1

(legea dublei negaţii)

p -7 1 1 p 1 1 p -7 p (p -7 1 1 p) A e1 1 p -7 p) el p v 1 1 p) /\ (1 1 1 v p) 1 [l e1 p v 1 1 p) v 1 e1 1 1 p v p) ] 1 [11 pv 1 1 p)v 11 1 1 pvp) ]H(P H 1 1 p)

!; <P��J�):�;fm

T.8 1 . pl1 p

T. 8 T. 9

1 , 2, 7

3 , df 1 4. dj 2 5 . df 3

(legea contrapoziţiei)

p -7 1 1 p q -7 1 1 q (p -? q) -? [er v p) -? ( r v q)] (q -7 1 1 q) -? [ (l p v q) - H1 p v 1 1 q)] (l p v q) -? c 1 p v 1 1 q) (p v q ) -? (q v p) c 1 p v 1 1 q) - H 1 1 q v 1 p)

T. 8

(l p v q) -7 (1 1 q v 1 p) (p -7 q) - H1 q -7 1 p )

5 , 7 tranzitivitate

1 . plq AX4 3. plq, q/1 1 q, r/ 1 p 2, 4 CI) AX3

pl1 p, q/1 1 q 6.

8 . df

1


96

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

T.12

dem.

1. 2. 3.

I I p -7 p l l (l p v l q) -7 (l p v l q) l (p 1\ q) -7 (l p v l q)

T.9

p -7 1 1 p (lp v l q) -7 1 1 (l p v l q) (l p v 1 q) -7 1 (p 1\ q)

T.8

l. p/l p v l q

2. d! 2

T. 13

dem.

1. 2. 3.

(una dintre legile lui de Morgan)

T.14

dem.

1. 2.

T. 1S

dem.

l . p/l p v l q 2. d! 2

[1Pl\ q)-7 c l p �lq )] 1\ [c lo v 1 q)-71 (p l\ q) ] cl p v l q) H l (p l\ q)

:j�;�:':J'�r

(legea non-contradicţiei)

v lp

1.

p

2.

lp v I I p (l p v l q) -7 1 (p l\ q) (l p v l l p) -7 1 (p l\ l p) l (p l\ l p)

3. 4.

5.

T. l 2 şi T. 1 3 1 . d! 2

T.7 1 . p/l p

T. l 3 3. q/l p 2, 4 (1)

Proprietăţile unui sistem axiomatic

. Pentru a fi acceptat, un sistem axiomatic trebuie să satisfacă trei proprietăţi formale: Ci) necontradicţia sau consistenţa: un sistem axiomatic este necontra­ dictoriu dacă şi numai dacă în el nu poate fi demonstrată o fonnulă împreună cu negaţia ei, adică o fonnulă de forma A 1\ 1 A nu poate fi teoremă în sistem; (ii) independenţa: un sistem axiomatic este independent dacă nici una dintre axiomele lui nu poate fi dedusă din restul axiomelor; CHi) completitudillea: un sistem axiomatic S este complet dacă, adăugând la S o formulă A, nedemonstrabilă în sistem, obţinem o contradicţie, astfel: (S

1\

A) -7 CB

1\

l B)

Demonstrarea acestor proprietăţi se poate face sintactic, prin procedee pur formale, sau semantic, adică prin interpretarea formulelor.


LOGICA TRADIŢIONALĂ A TERMENILOR

13

·

3 . 1 . Un alt gen d e raţion am ente

Să considerăm r aţi o n ame ntu l : Toate patrulaterele sunt poligoane

(p)

Toa te romburile sunt p a tru l at er e (q) Deci,

toate romburil e

sunt poligoane ( r)

Intuitiv, acest raţi on ament este în mod evident valid. Şi totuşi, testat prin orice pro cede u de c al c u l prop o zi ţi o n al , el se dovedeşte incorect sau, mai exact, neconcludent . Raţi o n amentu l fiind o expresie propo ziţi o n al ă de forma (p 1\ q) -7 r, un tabel de adevăr ne arată imediat că expresia nu este tautol og ică . Motivul acestei n ec o n c o rdan ţe Între intuiţie şi calculul propoziţional îl constituie faptu l că m e c an i smu l, inferenţial al raţi o n amentu l u i de mai sus nu se bazează pe c on exi un ea fu n cţ i i l or d,e adevăr, ci pe anumite raporturi între termenii care intră în alcătuirea pro p o z i ţ i i l �[ înlănţuite deductiv. Operân d cu formule simbolice, în care variabilele p, q, r, ... indică propoziţi i simple oarecare, neinteresând decât v a l ori l e l or de adevăr, logica p rop o z i ţ iil o r compuse nu poate să exp li ce raţi on ame nte de tipul celui de mai sus - raţi o nam ente numite s i l o gis m e categorice. Acestea nu pot fi con stru i te din premise oarecare, cu s i n gu ra condiţie ca ele să fie adevărate. Ne dăm seama de îndată că din p rem i se le : Toate p atrul atere l e

sunt poligoane

Toate balenele sunt mamifere

(adev ărat) (adevărat)

şi

premisele nu au în comun ni c i un element de ord in semantic. Pentru a putea să stu diem re guli le formale pe care

nu putem extrage nici u n fel de concluzie, deoarece


L OGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

98

se bazează construcţia si logismelor categorice val ide, va trebui să înc epem cu analiza logică a termenilor, continuând apoi cu studiul propoziţiilor simple de predicaţie (sau categorice) şi cu cercetarea inferenţelor imediate cu astfel de propoziţii - toate acestea integrându-se fi n a lmente în teoria silogismului categ o ric , expusă în maniera logicii tradiţionale sau clasice, cu doar câteva elemente din logica de dată mai recentă. În cele din urmă, vom expune la un nivel elementar logica modernă a predicatelor, în cadrul căreia teoria clasică a silogismului categoric nu e decât o aplicaţie sau un set de legi logice în sistem.

3.2.

Termeni şi noţiuni

Fie propoziţiile:

1/2 "Toate mamiferele sunt v ertebrate"

2/2 "Nici un număr prim

nu este divizibil cu 2"

3/2 "Unii studen ţi sunt căsătoriţi"

(adev ărat )

(fals) (adevărat)

Di stingem în aceste propoziţii două clase de cuvinte sau elemente lingvistice. Există, pe de o parte, componente care descriu forma logică a propoziţiei, formă care poate cupr i n de indiferent ce conţinut:

"Toate . . . sunt. . . "; ,,Nici un. . . nu este. . . "; " Unii. . . sunt. . . " etc. Restul cuvintelor, care exprimă conţinutu l (sensul) specific al fiecărei pro­ poziţii, sunt componente «extralogice», care variază de la o propoziţie la alta, pre­ zenţa lor tăcând ca fiecare propoziţie să spună altceva, să exprime un înţeles propriu. Vom numi termeni toate aceste componente extralogice ale propoziţiilor simple de predicaţie (în care, reamintim, unui obiect i se atribuie sau i se respinge o anumită proprietate). Situaţi la nivel lingvistic, tennenii sunt asociaţi în logica

tradiţională cu aşa-numitele noţiuni sau concepte. Având în primul rând o semni­ fic aţi e psihologică şi epistem o l ogîcă, noţiunea este o formă de cunoaştere, prin care se reflectă la nivel raţional proprietăţile esenţiale ale claselor sau mulţimi lor de obiecte. Toate numerele prime au în comun însuşirea caracteristică de a nu fi divi­ zibile decât cu unu şi cu ele Însele; toate poligoanele sunt l ini i frânte închise, iar poligoanele regulate au În comun proprietatea laturilor şi u n ghi uri l or congruente (de unde consecinţa: toate pot fi în scri se într-un cerc şi în toate se poate înscrie un cerc tangent pe mijloacele tuturor laturilor etc.). Toate mamiferele sunt fii nţe vii, care, oricât de diverse ca genuri, specii, rase, in d iv izi au în comun faptul că se reproduc sexuat, născând pui vii după o perioadă de gestaţie intrauterină ş.a.m.d. Aceste


99

Logica tradiţională a termenilor

însuşiri e s enţial e , pe

baza cărora ent ităţi le

individuale se

grupeaza

In clase de

clase de clase etc. se numesc note sau caracteristici, iar cunoaşterea lor se con centrează în conc epte sau no ţi un i . obiecte,

Orice noţiune se exprimă printr-unul sau mai multe cuv inte, care constituie un suport lingvistic in dis p en s ab il , d ată

fi i nd so li d aritate a pro fun d ă ce există între

gândire şi l imbaj (Ia care ne-am referit în Cap. 2, 1 ). Această solidaritate nu exc lude , însă, o relativă independenţă a c onţinutu lu i ideal faţă de suportul său l in gv i sti c . Fie

că una

şi aceeaşi noţi un e

se poate exprima p ri n cuvinte diferite (aşa-numitele sinonime, de exemplu "ivăr" şi "zăvor", "voce" şi "glas", "start" şi " porn ire" sau "plecare" etc . ), fie că unul şi ac e l aş i cuvânt, în contexte d i feri tet desemnează noţiuni cu totul distincte (de exemplu "capră" - animal, de tăiat lemne, de la trăsură, joc d e

co p ii ; "toc" de scris, la uşă, la pantof, de bătaie, de ochelari ; "v o l um" - carte, spaţi al ,

tărie a unui sunet etc . ). Fonna l in gv i stică prin care s e exprim ă orice noţiune are rolul

d e nume al tuturor e l emente l or

reflectate de noţiunea re spectiv ă .

simplu - atunci când con stă într-un

Numele poate fi

singur cuv ânt (de exemplu "unghi") sau complex

- atunci când constă într-un grup de cuvinte (de exemp l u " un gh i u r i l e de la baza triunghiului isoscel") .

Unitatea logico-lingvistică fonnată dintr-un nume ş i noţiunea pe care o evocă ace sta constituie un termen logic. Tennen u l nu este, deci, un simplu e l e m en t al limbaj ului, ci o sinteză între o fo rm ă l o g i c ă (no ţi u n e a) şi o fonnă l i n gv is t i c ă (nu m e l e) .

3 .3 .

Conţinutul şi sfera noţiunilor de

o b i e cte căreia îi

co re sp un d e pe plan raţional, orice noţi u ne poate avea o d u b l ă raportare: calitativ, ea este un «model ab s trac t» , în care nu se regăsesc însu ş i ri l e accidentale prin care elementele unei mulţimi se d i fe renţiaZă, ci numai trăsăturile es en ţi ale comune, fără de care un ob i e ct s-ar ex c l u d e din mu lţi me ; cantitativ, noţiuni i i se subsumează toate e leme nt e l e m u l ţim i i core spunzăto are . Ansamblul notelor caracteristice un e i clase de obiecte c on s ti t ui e conţinutul s au intensiunea unei noţiuni ; totalitatea membrilor c l asei de obiecte, grupaţi d up ă cr i te r iul îns uş i r i l o r comune, fonnează sfera sau extensiunea acelei n o ţi un i . A exp l i c i ta con ţ inu tu l u n ei n o ţ iu n i presupune a ră s p u n d e la întrebarea: «Ce Înseamnă tennenul X?», iar a pre c i za sfera unei noţiuni p r esu pu n e un ră s pu n s la în treb area : <<La ce se referă termen u l X?». Sc h e m a d e m ai j os i l u stre ază ra p o rtu l di n tr e c o n ţi nu t şi sferă. Faţă de mulţimea


100

LOGICĂ ŞI TEORL4 ARGUMENTĂRII

romb cu un unghi

conţinutul se

drept

lărgeşte

pătrat

sfera se restrânge

Între conţinutul şi sfera unei noţiuni există un raport de variaţie inversă: cu cât sporeşte numărul notelor care definesc un concept (conţinutul devine mai bogat, iar sensul noţ i uni i mai bine determinat), cu atât se îngustează sfera conceptului ( obiecte le care corespund întrutotul descrierii mai bogate în calităţi sunt din ce în ce mai puţin numeroase) şi invers . De exemplu secvenţa de noţiuni "om - (om) alb - european - român - oltean - craiovean" sau "poligon - patru l ater - romb - pătrat" .

3.4.

Tipuri de noţiuni

Sfera şi conţinutul re p re zintă criteriile logice principale în funcţie de care distingem diferitele tipuri de noţiuni . 1. După

sferă putem deosebi : noţiuni vide sau nevide (reale ) . O noţiune este vidă numai dacă mulţimea de obiecte la care se referă nu conţine nici un element; în caz contrar, noţiunea este nevidă sau reală. a) Noţiunile vide sunt fie rezultatul comiterii unor contradicţii logice explicite (de exemplu "cerc pătrat" sau " Triunghi cu patru laturi"), fie rezultatul unor construcţii speculative, soldate cu nişte ficţiuni necontradictorii din punct de vedere logic, deci conceptibile sau inteligibile, însă fără nici un corespondent În realitate (de exemplu "regele Elveţiei", "preşedintele Marii Britanii", "centaur", "sirenă", " i norog" etc.). Nu toate noţiunile vide sunt rezultatul unor erori de gândire sau al un�i fl'lntezii necontrolate. Aşa-numitele «ficţiuni teoretice» sunt -


Logica tradiţională a termenilor

chiar instrume nt e c on ce ptu al e indispensabile pentru c o n struc ţia

101

deductivă a unor modele idealizate ale unor clase d e procese şi fenomen e reale. Astfel de fi c ţi uni teoretice sunt conceptele ge ometric e ("pu n c t", " d re ap tă", "plan" etc.), "punct material" sau "gaz ideal" în fizică şi în chimie etc. b) La rându l lor, noţiunile nevide pot fi: no ţ iun i i nd iv i duale sau g enerale . O noţiune este individuală n um ai atunci când se referă l a un sin gur obiect şi generală atunci c ând clasa la care se referA conţine cel puţin două elemente. De exemplu, "B uc ureşt i" sau "cap it al a României", "numărul p r i m par" sau ,,2" sunt noţiu ni individuale; "capitală" şi "număr pri m" sunt noţiun i generale. Noţiun il e i ndividuale s unt d enumit e fi e p rin nume proprii (precum ,,Lon dra " , ,,Mihai Eminescu ") , fie prin nume complexe, care constitu ie d es crip ţ ii suficient de complete pentru identificarea obiectului denotat ("capitala Marii Britanii", "autorul poemului «Luceafărul»"). Noţiul1ile generale se îm part în alte două subcIase:

divizive. N oţ i u n il e colective se referă la clase

întregi d e o b iecte , pr i v ite ca total ităţi de elemente, î ntre gul având unele proprietăţi

c) Noţ i uni colective sau

dist in cte faţă

de proprietăţile fiecărui element în parte. Mai simplu spus, în cazul

tot ceea ce se poate spune despre mulţ i me luată ca întreg

este adevărat şi în le g ătură cu fiecdfe clement al ei pr i v i t ca atare. De exemplu, o

noţiun i lor colective

nu

din ea; o "armată" poate fi nu me roasă sau distribuită p e 200 km2, nu Însă şi fiecare fi aranj ată în mai multe încăperi, întrucât este foarte vastă - ceea ce nu revine fiecărui vo lu m etc. N oţiu n il e divizive sau distributive e xp r i m ă ceea ce este general, esenţial şi, ca atare, comun tuturor o b i ecte l or dintr-o mulţime, astfel încât ceea c:e este valabil pentru toate elementele mul ţimii este valabil şi pentru fiecare element luat individual. Astfel, ceea ce este definitoriu pentru ideea de "tri ungh i" - pol i gon cu trei laturi - este o caracteristică ind i spe nsab ilă a ori cărei fi guri geometri c e care poate fi numită, pe drept cuvânt, triunghi; noţiunea de "număr prim " se defineşte pr in aceea că număru l respectiv nu se divide decât cu 1 şi prin el însuşi - ceea ce este valabil pentru oricare număr prim în part�" etc. d) pintr-un alt punct de v e dere, putem di st in ge între noţiuni precise şi vagi. O n oţjun e este p re c is ă numai dacă satisface condiţia: oricare ar fi o bie ctu l ales, putem spune cu certitudine că el aparţine sau nu clasei pe care o denotă noţiunea; în caz contrar, noţ iun ea este vagă. În vrem e ce noţi uni prec um "d reptu n gh i ", "nu m ăr p ri m " sau " pen d ul " sunt precis e, no ţ iun i precum "tânăr", "bun", "intel igent", "interesant" sunt vagi . " păd ure"

poate ti rară

sau deasă - CCf:a ce nu se poate spune de spre fiecare arbore

militar din componenţa ei; o "bibliotecă" poate

II. conţinut d istingem urm ătoare le t i puri de propoziţii: a) Noţi un i abstracte sau concrete. O no ţi une este abstractă atunci când

După

ca şi cum ar fi de sine stătătoare, nelegată de un obiect. De exemplu, "c u lo are", "mândri e", "duritate" etc . - însuş ir i care nu au o exi stenţă reală independentă (de c ât, poate, în filosofia lui Pl aton), deşi pot fi con ce p ute ca fiind desp ri ns e de suportul lor ontologic. Noţi un i l e concrete

desemnează o în su ş i re concepută în sine,


LOGICĂ ŞI TEOR1AARGUMENTĂRII

102

desemnează una sau mai multe însuşiri ca fiind legate laolaltă într-un obiect; de

noţiune este absolută dacă notele care

exemplu, "popor", "copac", "automobil" etc.

enunţate despre obiecte independente unele f�ţă de

b) Noţiuni absolute sau relative.

O

altele; de exemplu "om", "număr par", "carte" etc. Atunci când spunem că par este formează conţinutul ei pot

numărul care se divide cu

fi

2,

avem în vedere doar o proprietate intrinsecă fiecărui

număr par luat ca atare, fără a fi necesar să concepem vreo relaţie a numărului respectiv cu alt număr sau cu oricare altă entitC).te.

O

noţiune este relativă dacă

notele din conţinutul ei caracterizează un obiect individual numai într-o relaţie între acel obiect şi unul sau mai multe alte obiecte; de exemplu "sinonim", "frate", independent de orice legătură cu vreun alt termen, două, trei, patru silabe, cum

"însoţitor" etc. Un termen nu poate fi «sinonim» luat ca atare, aşa cum poate avea,

poate să înceapă cu o vocală sau cu

consoană, ori cum poate fi substantiv, verb,

adjectiv etc. Ideea de «sinonimie}) presupune că un tennell are aceeaşi semnificaţie o

cu altul (alţii), dar, evident, nu cu oricare alt termen din vocabular; dacă luăm, de pildă, chiar ultimul termen - "vocabular", el este sinonim cu "lexiC" şi numai cu acest termen. c) Noţiuni pozitive sau negative.

O

noţiune este pozitivă dacă intensiunea

şi este negarivă

dacă, dimpotrivă, intensiunea ei exprimă privaţiunea obiectului de una sau mai ei se defineşte prin prezenţa unor însuşiri care aparţin unui obiect

multe însuşiri.

"

Ro ş u " ,

"vertebrat", "demonstrabil" sunt noţiuni pozitive; "orb",

"asimetric", "incoerent" etc. sunt negative.

l după sferă

vide nevide

individuale generale

după

continut

abstracte

concrete

absolute

relative

pozitive

negative

colective

precise

divizive

vagi

3.5. Raporturi extensionale Între noţiuni

Între două noţiuni distincte e xtens i ona l două tipuri de raporturi:

-

să le notăm A şi B

-

pot exista sub aspect


103

Logica tradiţionaLă a termenilor •

concordanţă, dacă sferele lor au cel puţin un element comun,

opoziţie sau excludere, dacă sferele lor nu au nici un element comun.

Pentru o maţ sugestivă

reprezentare a raporturilor extensionale dintre reprezenta\â grafic printr-un cerc; schemele care

sunt cunoscute drept diagramele lui Euler.

noţiuni, sfera fiecărei noţiuni va fi

urmează

şi

00@oo a

(1)

(a) al

a

(2)

a

Există mai multe raportmi de

b

concoldanţă.

A �I B au llceeaşi sferă, întrucât se referă Ia sau la aceeaşi mulţime de obiecte; de exemplu "Mihai Eminescu" şi "autorul poemuiui «Luceararul»"; "număr par" şi "număr divizibil cu 2"; "nemţi" şi "germani" etc.

identitate:

n oţi u n i l e

(3)

acelaş i obiect

a2

subordonare: sfera uneia dirJIre cele două noţiuni se include total în sfera celeilalte, fără însă ca sferele lor să coincidă; de exemplu, fie A "poligon" şi B = "patrulater"; sau A "primate" şi B "cim­ panzei" etc. În figura a (2) A este subordonată lui B, iar B este supraordonată lui A. Supraordonata se mai numeşte şi gen, iar =

=

=

subordonata specie.

a3

intersecţie sau încrucişare: sferele celor două noţiuni coincid parţial, fie c are separându-se de cealaltă prin câte o parte a sferei sale;

de exemplu, fie A = "număr par" şi B '}\ = "student" şi B "sportiv"; s au A =

etc.

=

=

cu 5"; sau " ro m ân i " şi B "francofoni" "număr divizibil

(b) În cazul noţiunilor aflate în raport de excludere sau opoziţie sferele lor separate; de exemplu "număr par" şi "număr impar"; "cerc" şi "pătrat";

sunt total

"fag" şi "stejar"; "român" şi "paralelipiped".


104

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

3.6. Definitia , Fiecare domeniu teoretic se caracterizează printr-un ansamblu de noţiuni (concepte) proprii, specifice. La progresul cercetării în fiecare domeniu contribuie direct doi factori, aflaţi într-o strânsă interdependenţă: profunzimea cunoştinţelor şi gradul de organizare atins de ansamblul noţiunilor proprii domeniului respectiv. La rondul său, gradul de organizare a unui ansamblu sistematic de concepte depinde direct de utilizarea corectă a anumitor operaţii logice cu noţiuni, între care cele mai importante sunt definiţia, clasificarea şi diviziunea. Definiţia este operaţia logică prin care se precizează conţinutul sau sfera unei notiuni - respectiv sensul (înţelesul) sau aria de aplicabilitate a unui termen. 3.6.1. Structura

definitiei ,

În alcătuirea oricărei definiţii intră următoarele trei componente:

b) definiens (defin i torul) - ceea ce se spune despre obiectul d e definit; c) relaţia de definire este echivalenţa dintre (a) şi (b), care se notează cu semnul "==df,, şi se citeşte "este identic prin definiţie cu" sau " este prin definiţie" .

a) definiendum (definitul) este noţiunea care constituie obiectul definiţiei;

Formula

în care "A" reprezintă definiendum şi "B" definiens redă structura generală a oricărei definiţii. În exemplul: "Patrulater =df poligon cu patru laturi"

noţiunea "patrulater" a luat locul variabilei A, iar "poligon cu patru laturi" a luat l ocul lui B. {) defi n i ţie poate fi corectă dacă şi numai dacă relaţia de definire coincide cu un raport de identitate Între A şi B. Nici un obiect nu se poate autodefini, iar dacă A se defineşte prin B, atunci este exclus ca B să se definească prin A; rezultă că formulele: (2) A =df A şi

(3) (A =df B )

/\

(B

=df A)

sunt lipsite de sens. În schimb, dacă A se defineşte prin B şi B se defineşte prin C, atunci A se defineşte prin C; altfel spus, formula (4) [(A=df B )

este logic corectă.

/\

(B =dfC)]

-7

(A=dfC)


105

Logicgrl':.-adiţionalil a termenilor ,ţ.'

3.6.2.

Regulile definiţiei

1. Definitia trebuie să fie caracteristică: definiens trebuie să fie astfel alcătuit încât să corespundă întregului definiendum şi numai lui. Notele care fonnează conţinutul detinitorului se cer selectate în aşa fel încât si ofere un temei suficient pentru a preciza clasa desemnată de către definiendum. Acest <<Dote caracteristice» sunt comune tuturor obiectelor din clasa respectivă, astfel încât pennit identificarea completă a clasei de definit, pe baza unui raport de identitate între cele două părţi echivalente ale definiţiei. În cazul nerespectării acestei reguli, între definiendum şi definlens ar exi sta un raport de (sub)ordonare în locul unuia de identitate, iar defi n i ţi a ar fi neadecvată. Abaterile de la această regulă pot fi comise în două modalităţi. Fie definiţia:

,,Matematica =df ştiinţa care studiază operaţiile cu numere".

Această definiţie este prea îngustă, deoarece notele care fOimează definitorul nu aparţin întregului definit şi, drept unnare, defi71iens este o noţiune subordonată jPţă de definiendum: în matematică există, pe lângă aritmetică. şi alte dcmenii sau discipline, care nu studiază operaţii cu numere, ci alte entităţi şi relatii ideale, aşa cum este, de exemplu, cazul gp om etrie i sau analil.d matematice. In schimb, definiţia: ,,Fizic a =df şti i nţa fenomenebr naturale"

este prea largă, d eoare ce notele definitorului nu caracterizeazA numui fizka, ci şi alte ştiinţe naturale, precum chimia sau biologia. Tot inadecvată este şi s i tuaţi a în care definiendum şi definiens se găsesc într-un raport de încrucişare, aCopt�rindu-se reciproc numai parţial din punct de vedere al extensiunii, p recum în defi n iţia: , ,Fil osofi a =df cunoaşterea omului",

căci, pe de o parte, de om se ocupă numeroase alte domenii de reflecţie pe lângă cea filosofică, iar filosofia, pe de altă parte, nu se concentrează sub aspect tematic în mod exclusiv asupra umanităţii, ci se preocupă şi de multe alte probleme.

II. nefinitia nu trebuie să fie circulară : definiens nu trebuie să conţină în semnificaţia sa pe definiendum, cum se întâmplă în cazul definiţiei următoare:

,,Psihologia =df ştiinţa care studiază procesele şi particularităţile vieţii

psi hice",

şi nici să utilizeze pe definiendum pentru propria sa definire, aşa definiţiilor:

cum

e ste cazul

"Cauză =df obiect sau proces care precede şi produce (generează) obiect sau proces, numit efect" şi

un

alt

,,Efect =df obiect sau proces care succede altuia, numit cauză, şi care este produs de către aceasta".


106

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

Exemplele invocate nu respectă condiţiile relaţiei de definire (vezi formulele (2) şi (3) de mai sus) şi, drept urmare, deşi nici una dintre aceste definiţii nu este fonnal fal s ă, toate sunt lipsi te de valoare informaţionaH\ sau cognitivă, deoarece nu ne comunică nimic nou despre definieiuium. Cazul nI doilea are un caracter aparte, deoarece noţiunile de cauză şi efect sunt corelative; astfel de noţiuni nu pot fi obiect al definiţiei decât împreună, ca termeni ai relaţiei dintre ele (în cazul nostru ca tenneni ai relaţiei de cauzalitate) - aceasta fiind, de fapt, aceea care primeşte o definiţie.

III. Definitia treb uie să fie logic afirmativă, precizând ce este concep t ul de definit şi nu arătând ce nu este. Prin însuşirile sale, orice obiect (clasă de obiecte)

are o anumită individualitate prin care se deosebeşte de o infinitate de alte obiecte (clase de obiecte). Dacă definiţia unui obiect ar spune că el nu este un anumit alt obiect, ar lăsa deschisă posibilitatea ca el să fie orice altceva, ceea ce ar constitui o sursă de confuzie, de neclarităţi asup ra obiectului definiţiei, chiar şi atunci când definieTu1um ar fi o subclasă dintr-un număr restrâns de subclase incluse în una şi aceeaşi clasă supraordonată tuturor, ca în exemplul următor: "Linie curbă =df linie care nu este nici dreaptă, nici frântă".

De sigur, atunci când definiendum este o noţ i u ne l/egilfil'ă, tiefiniens este în mod obligatoriu negativ ; de exemplu "Operă anonimă =df lucrare al cărei autor nu este

cunoscut".

IV. Definiţia trebuie să fie clară şi precisă.Pentrll respectarea acestei reguli se cer satisfăcute câteva condiţii: (i) Definiens nu trebuie să c on ţină termeni coufuzi, ei înşişi necunoscuţi, sau noţiuni vide, precum în exemplul unnător:

,,Eter =df substanţă subtilă, invizibilă şi insesizabilă, situată în intennundii şi încărcată de flogiston vibratoriu".

(ii)Definiens nu trebuie să inclu dă term eni figuraţi , metafore, figuri de stil

creatoare de echi voc sau de ambiguitate, precum în exemplul:

"Duplicitate =df alunecare ofidiană p e pomul solidarităţii, poleit cu veninul ucigător al resentimentului. "

În asemenea cazuri ,. definiens nu ne spune ce este, de fapt, conceptul de definit, ci încearcă să ne sugereze o imagine, o impresie subiectivă, o intuiţie inefabilă despre obiectul definiţiei. Astfel de enunţuri nu sunt definiţii, ci artificii retorice, care pot fi utilizate ca mijloace p ersuasive sau ca pri lej satisfacţii estetice, nu însă ca forme de cunoaştere teoretică. Cititorul trebuie preven it asupra faptului că aşa se prezintă lucrurile în perspectiva strictă a logicii, în măsura în care aceasta are de a face cu teoria definiţiilor ca o p eraţii cu n oţiun i . Nu rezultă Însă de aici că expresiile aforistice sau metaforele poetice n-ar avea nici o valoare de cunoaştere şi de înălţare spirituală şi că ele ar trebui şi ar putea fi înlocuite prin definiţii ştiinţifice riguroase; dimpotrivă, sunt nenumărate momente şi experienţe umane


Logica tradiţională a termenilor

107

fundamentale, precum iub irea, moartea, prietenia, cu tremurarea religioasă, euforia contemplati vă etc . care îşi găsesc cele mai profunde «rostiri» în limbaju l poetic, în aforisme sau în expresii apoftegmatice, voit paradoxale şi de neînţeles numai cu mintea, dar capabile să producă o tulburare şi o iluminare în suflet, prin care subiectul se simte cumva mai aproape, mai familiar cu obiectul «revelat», cum ar spune Lucian Blaga, «metaforizant». (iii) Definiens trebuie să se limiteze strict la ace le elemente care formează un temei suficien t pentru i denti ficarea noţiunii de definit; el nu trebu ie să se complice în mod inutil, transformându-se într-o descripţie încărcată de amănunte nesemni ficative, d ar nici să fie prea eliptic, neoferin d toate elementele necesare pentru a şti ce definim.

V. Defi ni ti a trebuie să fie consistentă, adică să nu intre Într-un raport de opozi ţie (con trad icţie logică) cu orice alte definiţii sau propozi ţi i acceptate anterior în domeniul (sistemul) din care face şi ea parte. 3 . 6.3.

Tipuri de definiţii

(A) După obiectul definiţiei, exprimat de către definiendum, di sti n gem următoarele tipuri de de finiţii: 1) Se numesc reale definiţiile unor obi ecte despre care ştim (sau presupunem) că există efecti v; drept urmare, definind o noţiune, ddinim totodată clasa de obie cte c are este reflectată de către aceas ta. De exemplu,

"S atelit =df obiect (natural sau artifi c ia l ) care se roteşte pe o orbită eliptică în jurul unui corp cere sc ".

2) Se numes c nominale defin iţiile care urmăresc să p reci zeze sensul unui termen, indiferent dacă acesta are sau nu un corespon dent în realitate; unnătoarele definiţii sunt nomin ale: "Terifian t =df ad jecti v prin care se în ţe lege cal i tat ea a ceva de a fi îngro ­

zi to�, înfricoşător, înspăimântător, cum pli t";

"In o ro g = df anima l fantasti c, întâlnit în mitologia ma i multor popoare din vechime, reprezentat ca un cal cu un corn lung şi ascuţit în fru nte".

La rândullor, definiţiile nominal e sunt de două felu ri :

(i)

Definiţiile lexicale precizează toate în ţe l esu rile cu care poate fi uti l i zat un anumi t termen într-o li mbă; de exem pl u :

Lu n ă =df substanti v feminin prin care se înţ el e ge : 1) satelitul natural al Pămân tu lui; 2) satelit al unei alte planete; 3) fiecare din cele 12 peri oade de timp cu � durată de 28 până la 31 de zile În care este divizat anul

"

calendaristic".


108

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

stipulative corespund următoarelor situaţii:

introducerea unui termen nou în vocabularul unei limbi; poate fi vorba de o construcţie lingvistică a b so lu t nouă (de exemplu: "Tahion =df particuHi care se d epl asează mal rapid decât fotonul în vid") sau de un termen imprumutat din altă limbă (de exemplu: "Management =df ştiinţa conducerii eficiente a întreprinderilor şi instituţiilor private sau publice").

(ii) Definiţiile

introducerea unui

fi "nomenclatura" şi "emanaţie" după «evenimentele» din decembrie sens

nou pentru

un

cuvânt deja în circulaţie (cum ar

1989 in limbajul politic) sau ;,cartuş" (cutie care conţine zece pachete de tigAri sau o componentA a imprimantei care conţine tuş tipografic) etc.

precizarea unui Sens anume care se atribuie, într-un context particular, unui termen ambiguu, pentrU a se evita eventualele confuzii (de exemplu, "putere" înseamnă altceva în matematică, în fizică, în politologie etc., după cum llcontingent" are în filosofie alt inţeles decât la centrul de recrutare pentru serviciul militar).

(B) După protedeul de defibire, evidenţiat unnâtoarele tipuri de definiţii (reale):

de către

definiens. distingem

1) Definiţii prin gen proxim şi diferenţă specifică (generice) sunt acelea în

care deflnieltdwn exprimă o specie, iar deftniths ge nul proxim al acelei specii, precizând atât notele caracteristice genului, cât şi notele care diferenţiază specia în cadrul genului. De ex.emplu:

"Pătrat t::df romb cu Un unghi drept"

Nu

defini pătratul

patrulater, căci este un gen prea cuprinzător, În din urmă se divid în patrulatere convexe regulate şi neregulate (dreptunghiuri, trapeze, paralelograme); genul cel mai apropiat, în care pătratele reprezintă o specie, îl constituie romburile patrulatere regulate cu toate laturile congruente, faţă de care pătratul are drept notă sau diferenţâ specifică un unghi drept. care specii sunt cele convexe vom

ca

şi

concave, Gele

2) În definiţiile operaţionale, deflniens indică o serie de operaţii , experimente SăU probe eare, luate laolaltA, sunt suficiente pentru a delimita obiectul definiţiei oarecum indirect, în sensul că orice ob i ect care trece cu succes toate aceste probe este un exemplu din clasa de n otată de către definiendum. De exemplu: "Un număr este par dacă rezultatul impărţirii sale cu 2 este un număr intreg"; I,acidul este o substanţă care inroşeşte hârtia de tumesol". 3) În definiţiile genetice! defttiiens indică sursa din care provine obiectul denotat de către definiehdwn şi procesul prin care acesta ajunge să fie ceea ce este. De exemplu! "stalactită =dr formaţie calcaroasă conică, fixat:::� la bază de tavanul


Logica tradiţională a termenilor

109

go lu r ilor subterane (peşteri. galerii) constituită prin depuneri succesive ale carbonatului de calciu d izolvat în apa care se scurge treptat ca rezultat al infiitrării ei constante plin straturile superioare, bogate în carbonat de calciu". 4) Definiţiile constructive sunt asemănătoare cu cele genetice. cu deo seb irea că acestea d in urmă indică procesul natural prin care ia fiinţă obiectul denotat de către definiendum. pe când definiţiile constructive se referă la obiecte realizate în mod conştient de către. oameni. Exemplu: "Cerc =df loc geometric rezultat prin secţionarea u n u i cilindru pe un plan paralel cu baza".

5) Definiţiile structurale sau relaţionale indică sistemul unor raporturi esenţiale în care se găseşte obiectul denotat de către definiendum. De exemplu: "Zero =df ac el număr a pe nt r u care este adevărat că ax = a şi a + x = x".

6) În definitiile enumerative p re c izare a noţiunii definiendum se face prin enumerarea completă de către definiens a elementelor din clasa denotată de către definiendwn; de exemplu: "Continente sunt Europa, Asia, Africa, cele două Americi, Australia şi Antarctica"; ,jocuri sportive sunt volleyball, handball, football, rugby, b asch et etc." Evident, definiţia p r in enumerare (pur extensională) nu se poat!! IJtiliza d\;cât atunci c ân d clasa la care se referă definiendum conţine un număr rClUli \' redus de elemente.

7) Atunci când enumerarea completă nu este posibilă. se poate recurge la definitia o.\/eI1SiVt1, (:are invocă doar câteva exemple considerate reprezentative; de exemplu: Fi7L;ian =df un savant nat uralist precum Newton, Faraday, Ein s tein , Heisenberg ş.a."; Jotbalist =df un s p ortiv ca Pele, Bobby Charlton, Maradona, Cruyff sau Bagi". ..

Luată separa t, orice procedură de definire are o valoare limitată şi, din acest motiv, se recomandă ca orice termen să fie definit prin combinarea a două sau mai multe proceduri - lucru posibil întrucât acestea nu se exclud, ci se presupun şi se completează reciproc.

3.7. Clasificarea Clasificarea este operaţi a logică prin care termeni mai puţin generali sunt grupaţi, în virtutea anumitor note din conţinu tu l lor, în sfera unor termeni mai general i . Clasificării îi corespunde procesul raţ ional de formare a claselor sau mulţimilor de obiecte individuale, a claselor etc.

În structura clasificării, trei sunt c ompon ente l e prin c ipale : •

elementele clasificării, respectiv termenii care formează obiectul clasificării şi care, în multe cazuri, sunt noţiun i individuale;


110

LOGICĂ ŞI TEORlAARGUMENTĂRII •

clasele, adică termenii mai generali obţinuţi ca rezultat al clasificării;

criteriul clasificării clasificării în clase.

-

notele utilizate pentru gruparea elemen telor

Corectitudinea clasificării presupune respectarea următoarelor reguli:

1) Clasificarea trebuie să fie completă, adică fiecare dintre elementele care formează obiectul clasificării trebuie să fie introdus într-o clasă, nici unul nu trebuie să rămână în afara clasificării. În geometrie, adunăm toate genurile de poligoane în clasa liniilor frânte închise, alături de care distingem clasa liniilor curbe închise şi ambele clase se subsumează noţiunii de figură geometrică, care epuizează "universul" entităţilor care delimitează sau închid un spaţiu în acelaşi plan . În schimb, încălcăm regula enunţată dacă , studiind lumea vie, după criteriul modului de hrănire construim clasele autotrofe (plante care sintetizează materia vie prin fotosinteză) şi heterotrofe (animale care consumă alte fiinţe vii pentru a se hrăni), şi în care se adună laolaltă clasele ierbivore, carnivore şi omnivore; clasa camivore astfel delimitată nu include plantele camivore, care rămân astfel în afara clasificării. exclusiv raporturi d(� opozitie; oricare element al clasificării trebuie să fie introdlJS într-o singură clasă şi numai într-una, neputând să figureze în dou ă sau mai mult·! c la se deodată. Dacă, de exemplu, clasificăm instrumentele muzicale acustice (non­ electronice) după modul în care produc sunete în instrumente de suflat, cu coarde şi de percuţie, pianul s-ar găsi o dată în clasa instrumentelor cu coarde, altă dată in

2) Pe fiecare, treaptă a clasificării, între clasele obţinute trebuie .Ş,! exis!�

clasa celor de percuţie.

3) Pe aceeasi treaptă. criteriul de clasificare trebuie să fie unic; aceleaşi elemente pot fi clasificate după criterii diferite, dar nu în acelaşi timp. Păstrând criteriul de clasificare, operaţia se poate efectua din aproape în aproape sau treaptă cu treaptă, până la epuizarea obiectelor de clasificat. Grupând populaţia activă În categorii profesionale după nivelul de calificare, vom introduce în clasa intelectualităţii toţi oamenii şi numai oameni i cu studii superioare, tăcând abstracţie de faptul că, din alte puncte de vedere, intelectualitatea poate fi privită mai curând filosofic, ca o condiţie existenţială, sau psihologic, ca tip caracterologic, decât ca o categorie socio-profesionaIă, primind în cadrul ei numai indivizii care dedică în mod creativ o mare parte din timpul şi energia lor sufletească acumulării, asimilării critice şi producerii de «idei» sau cunoştinţe, indiferent de nivelul studiilor atestate prin diplome universitare sau nu. 4) Asemăn ările dintre obiectele aflate în aceeaşi clasă trebuie să fie mai importante decât deosebirile dintre ele. Aici se pune'problema relevanţei criteriilor de clasificare. Într-o clasificare superficială, delfinii sau ba lenel e ar sta alături de peşti, având în vedere mediul în care trăiesc, forma corpului şi modul de locomoţie - criterii după care, la rândul lor, liliecii s-ar situa alături de păsări în clasa zburătoare lor. După criteriul mai esenţial al modului de reproducere, însă, atât


111

Logica tradiţională a termenilor fiind, pe acest pl an , mult mai importante decât deosebirile, oricât

ar fi aces t ea

balenele şi delfinii, cât şi liliecii fac parte din clasa m am ife re l or - asemănările de

vizibile în primă aparenţă.

După caracterul însuşirilor pe care le reflectă notele pe care se întemeiază clasificarea, deosebim două tipuri de clasificare:

clasificarea artificială, gruparea ele mentelor în clase are loc pe baza

unor proprietăţi neesenţiale pentru elementele clasificării, dar convenabile pentru a)

În

organizarea acestora în vederea unor deziderate practice; de aceea se mai numeşte şi clasificare pragmatică. De exemplu, ordinea alfabetică

a

termenilor dintr-un

dicţionar sau a studenţilor în catalog.

b) În clasificarea naturală, fund amentul clasificării constă exclusiv în note

este forma de rep r o du cere în cazul vieţuitoarelor

ce reflectă însuşiri esenţiale pentru elementele clasificării - aşa cum am văzut că

3.8. Diviziunea Numită şi «clasificare analitică», diviziunea este operaţia l o g i că prin care, porn in d de la o n o ţiun e generală, d e zvălui m întâi speciile acesteia, apoi subspeciile fi ecă reia dintre ele, continuân d astfel, din treaptă în treaptă, până ce ajungem la o bie ct ele individuale care aparţin clasei denotate de termenul iniţial. Exemplificări p ot fi, «citi te invers», toate tipologiile expuse în paragraful anterior). structura diviziunii aflăm aceleaşi c om p onente

dis puse în ordine inve rsă :

În •

ca

şi la clasificare,

obiectul diviziunii - o noţiune generală luată ca gen şi împ ărţită în

c riteriul diviziunii - însu şiri l e pe baza cărora se grupează speciile şi subspeciile;

membrii (elementele) diviziunii.

specii, subspecii ş.a.m.d.

Regulile diviziunii coin cid , în mare măsură,

cu

regulile clasificării:

1) Diviziun ea trebuie să fie completă, astfel încât membrii diviziunii să

epuizeze obiectul operaţiei; grupaţi la61altă, aceştia trebuie să acopere o extensiune

identică celei ce aparţine termenului iniţial.

2) Pe fiecare treaptă a diviziunii, Între speciile care reprezintă membrii diviziunii t rebuie să existe un raport de opozitie (contrarietate sau opoziţie).

3) Pe aceeasi treaptă a diviziunii. fundamentul trebuie să fie unic.


112

LOGICĂ ŞI TEORIAARGUMENTĂRII

4) Diviziunea nu trebuie să facă salturi; noţiunile de pe fiecare treaptă a diviziunii trebuie să-şi găsească genul proxim pe treapta imediat superioară. Pornind de la noţiunea de "om", distingem rasele după culoarea pielii - albi, negri, galbeni etc. - şi greşim dacă, în specia albilor divizăm subspeciile români, bulgari, sârbi etc., deoarece am sărit treapta diviziunii continentale, uitând să grupăm albii mai întâi în europeni, nord şi sud americani etc.

Diferitele tipuri de diviziune se deosebesc după numărul membrilor diviziunii, în dihotomice, trihotomice, tetratomice etc. în cazul diviziunii dihotomice, între membrii diviziunii există un raport de contradicţie (un membru oarecare nu poate să facă parte din ambele specii, dar nici să lipsească din amândouă). în celelalte tipuri de diviziune, între membrii diviziunii există raporturi de contrarietate (un membru oarecare nu poate să facă parte din două sau mai multe specii, dar poate fi absent dintr-una sau mai multe).

3.9. Structura şi clasificarea propoziţiilor categorice de predicaţie Termenii izolaţi nu au şi nu ar putea să aibă vreo semnificaţie sau valoare cognitivă: sensurile lor se conturează numai prin multitudinea fără număr a combinări lor dintre ei în cadrul propoziţiilor, înl ănţuite, la rândul lor, în raţionamente. «Ideile» nu se pot concepe şi exprima decât prin propoziţii. Cele mai simple propoziţii de predicaţie sunt alcătuite din două noţiuni absolute, între care se stabileşte un unic raport - acela de inerenţă a unei proprietăţi într-un anumit obiect. Acest raport se enunţă în mod necondiţionat sau cu certitudine: "Tabla este neagră", "Creta este albă", "Studenţii sunt inteligenţi", "Profesorii sunt erudiţi ", "Arbitrii de football sunt corecţi" etc. - fără nici un alt adaus de genul «e posibiL.», «este necesar...», «e ventuaL .» , «nu-i exclus . .. », «este îndoielnic. . . », «de necrezuL.» etc. Din acest motiv propoziţiile simple de predicaţie se numesc, pe scurt, categorice. Termenul ce desemnează lucrul căruia i se atribuie o anumită însuşire este subiectul logic al propoziţiei (notat S), i ar tennenul corespunzător proprietăţii atribuite subiectului se numeşte predicat logic (notat P). De regulă, subiectul şi, respectiv, predi catul logic coincid cu subiectul şi predicatul gramatical - dar nu întotdeauna. De exemplu, în propoziţia "Tinerilor le place muzica rock" (sau rap, sau dance sau cine le mai ştie?), subiectul gramatical este "muzica rock", care posedă însuşirea (predicatul) de a le plăcea tinerilor; logic, putem accepta această predicaţie (muzica are proprietatea de a le plăcea ti n eri lor), sau o putem inversa, considerând S = "tine ri i ", care au proprietatea P = "a le plăcea muzica rock".


!:!!gica tradiţională a termenilor

113

Din punc t de vedere extensional, între S şi P poate exista fie un raport de

concordanţă - şi, în acest caz, propo ziţia afirmă că S are pro pri etatea P, fie un raport d e excluziune - şi, în aces t caz, propoziţia neagă faptu l că P este o în suşi re a

lui S. P ropri etatea de a afirm a s au nega re l aţi a dintre S şi P se numeşte calitatea pro pozi ţ ii lo r categori ce . În s tructura propozi ţii lor c ategori ce de predicaţie mai apar, în mod explicit sau tacit, ni şte operator i logici numiţi cuantorÎ (sau cuantificatori) - cu p rec izare a im portantă că ei nu se referă decât la sfera lui S). Cu an tori i cel mai frecvent utilizaţi s unt:

Ci) Cuantoru l universal, redat prin «toţi» ( <<toate ») , «orice», «oricare», «nici u n», «n i ci O», i nd i că faptu l c ă re l aţia enunţată între S şi P are loc pentru fiecare element din sfera subiectului, fără excepţie. (ii) Cuantorul existenţial «unii» (<<unele » ) i nd ică faptu l că există cel pu ţin un element în sfera subiectului pentru care relaţia dintre S şi P are loc, ceea ce nu se po ate spu ne , însă , despre toate elementele din clasa S. (iii) În sfâr şi t , cuantorul individual, redat printr-un p ronu me demonstrativ (<<acest X», « ac e l Y») sau pr i ntr- u n n um e prop riu, arată că un singur element din sfera lui S (fie că aceasta c u p r inde doar acel unic element sau mai multe) este pus în relaţi e cu P. Proprietatea de a con ţine un ul di ntre ac eşt i cuantori, ca un prefix ce precizează sfera lui S, se numeşte cantitatea p ro p oz i ţi i lor c atego r ice . D up ă cantitate, în funcţie de cuantorul folosit, se d ist ing u rm ăto arele tip u ri de pro p ozi ţi i cate goric e : a) uni v ersale , în care P se enunţă despre întreaga sferă a lui S: "Toţi studenţ ii sunt prezenţi " sau "Nici un stu dent nu este pli ctis it la cursul de logică"; în mod fr e cvent, în limbajul comun, al vieţii coti d iene, cuantorul universal este i m pli c i t sau subînţel es : " O mul este o fii nţă raţi onală" Csub în ţelegand c ă or i c e fi i n ţă care î şi merită numele de om posedă atributul raţionalităţii), "Balenele nu sunt peşti" (subînţelegând că ne referim la toate balenele din lume).

b) particulare, în care S este o noţ i un e gen er al ă, iar P se enunţă numai despre o parte din elementele cupri n se în sfera lui S: "Unii studenţi lipsesc de la cursul de log ică" sau "Un ii şoferi nu respectă (întotdeaun a şi absolut to ate) regu l ile codului rutier".

c) singulare, în care P se enunţă despre u n si ngur element din sfera lui S, atunci când S este o noţiun e general ă ; de exe mp l u , "Acest creion este albastru". Atunci când S este o noţiune individuală, având şi o d en um ire care îi exprimă lim p ede unicitatea, m enţi onare a cuantorului individual devine super fl uă; de exemplu, "Bucureşti est e capitala României".


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

114

categ or ice s ingul are prezin t ă s i m i l itu d in i e senţial e cu cele (fără a fi cu totul identice cu ace ste a d in urm ă): întrucât subiectul lor repr ezintă o clasă cu un s in gur element, vorbind despre acel unic element ne referi m la întregul clasei, ca ş i în cazul propoziţiilor universale. As im i lând aceste do u ă tip uri de propoziţii, rezultă că şi după criteri u l c antităţ ii vom reţin e numai două feluri de propoziţii categori ce : universale şi particulare. Prezenţa şi semnificaţia cuantorilor în structura propoziţiilor cat egorice este atât de i ntim legată de re l aţi a dintre S şi P, încât calitatea şi ca ntitatea formează numai împreună un criteriu unic pen tru clasificarea acestor propoziţii, pe care o redăm sintetic mai j os, utilizînd şi reprezentarea grafică prin diagramele Euler: Propoziţiile

universale

Denumirea propoziţiei

Notaţie simbolică

Citire standard

afirmativă

A SaP

"Toţi S sunt P"

universală

negativă

E SeP

,,Nici un S

particulară afirmativă

1 SiP

"Unii S sunt P"

ne gati vă

o SoP

"Unii S

universală

particulară

nu

Reprezentare grafică (diagrame Euler)

este P"

nu sunt

P"

3.10. "Opoziţia" propoziţiilor categorice S şi P stab i le sc două

C ele pat ru tip uri de p ropozi ţi i categorice care se pot forma cu două noţiuni câte două anumite raporturi logice p re c i s definite, în virtutea cărora, ştiin d valoarea de adevăr a unei propoziţii, se pot infera valorile alethice a le celo rl a l te t ip u ri de p ropoz iţ ii catego ri ce An s amb lul ac estor re laţ i i l ogi c e este figurat în schema alăturată, cunoscută ca pătratul opoziţiei propoziţiilor categorice sau pătratul lui Boethius. .


Logica tradiţională a termenilor

SaP

SoP

115

SeP

contrarietate

SoP

subcontrarietate

"Opoziţi i le" din pătratul logic poartă urm ătoare l e denumiri :

1 ) Propozi ţiile care diferă atât după calitate, cât şi după cantitate (SaP se numesc contradictorii. Astfel de propoziţii nu pot fi nici ambe l e adevărate, nici ambe l e fals e, ci au întotdeauna val ori logi c e opuse, astfel

SoP şi SeP - SiP)

Încât din adevărul uneia decurge logic fals itatea celei l alte şi invers . Dacă este adevărat că "Toate pătratele sunt patrul atere regul ate", atunci este cu siguranţă falsă afirmaţi a contradictori e că "Unele pătrate nu sunt p atru latere regulate" . Dacă este adevărat că "Unii oameni i ubesc muzica simfoni că", atunci este cu n e cesitate

simfonică" . Iar din falsitatea propoziţi ei "Unele m am i fe r e au pene" extragem cu

fal să propoziţi a ei contradi ctode, anume că "N ici un om nu iube şte muzica

certitudine adevăru l propoziţiei "N ici un mamifer nu are pene" .

2) Universalele de calitate opusă (SaP şi SeP) se numesc propoziţi i contrare: ele nu pot fi niciodată ambele adevărate (astfel încât ad evărul uneia implică logic fals itatea celeil alte), dar pot fi ambele fal se (astfel încât din falsitatea uneia dintre ele nu decurge prin implicaţi e logică valoarea alethică a celei l al te ) .

schimb, fii nd fals că

Întrucât este adevărat că "Toate romburile sunt patrulatere", propoziţi a contrară

"Toate triunghi urile sunt patrulatere", contrara ei "Nici un tri unghi nu est e

"N ici un romb nu este patru later" nu poate

fi

decât falsă.

În

patrul ater" este adevărată; dar tot falsă este şi propozi ţia " Toate triunghi uri l e sunt echilaterale", însă contrara ei "N ici un tri ungh i nu este ech ilateral" este, de

asemenea, fal să.


116

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII 3) Particularele de calitate opusă (SiP şi SoP) se numesc propoziţii

subcontrare: astfel de propoziţii nu pot fi ambele false (as tfel încât din fal si tatea uneia din ele decurge logic adevărul celeilalte), dar pot fi ambele adevărate (astfel încât adevărul unei particulare nu implică logi c valoarea alethică a subcontrarei sale). Dacă este fals că "Unii oameni nu sunt pas i onaţi de fotbal", atunci neapărat este adevărată subcontrara ei , "Unii oameni sunt pasionaţi - şi încă cum ! - de

fotbal". În schimb, adevărat fiind că "Unii oameni au copii", e la fel de adevărat că "Unii oameni (restul) nu au copii". Dar dacă este adevărată propoziţia "Unele triunghiuri sunt poligoane", contrara ei "Unele triunghiuri nu sunt poligoane" nu mai este, la rândul ei, adevărată, ci este falsă. 4) Propoziţiile de aceeaşi calitate, însă de cantităţi diferite (SaP - SiP şi SeP - SoP) se află în raport de subaIternare; pro p o z i ţia universală se numeşte supraalternă, iar particulara corespunzătoare se numeşte subalternă. Adevărul universalei supraalteme implică 10lZic adevărul particularei subalteme, căci ceea ce se poate afirma sau nega despre "toţi S" a jortiori s e poate spune şi despre oricare

"unii S"; în schimb, adevărul subaltemei nu implică logic valoarea alethică a sup r aaltemei, căci nu tot ceea ce se poate afirma sau nega despre "unii S" este adevărat despre "toţi S". Întrucât "Toţi oamenii au o mamă şi un tată" (ceea ce devine tot mai problematic pe măsură ce se răspândeşte fertilizarea in vitro sau inseminarea art i fi cială), a jortiori este adevărat că măcar "unii oameni (încă destui) au fost procreaţi de către o mamă şi un tată". Dar dacă este adevărat că "Unii studenţi înţeleg cursul de logică", e fals, din nefericire, că toţi studenţii fac acelaşi lucru. S au este adevărat că "Unii profesori nu ştiu limbi străine", dar, din fericire, nu-i adevărat că "Nici un profesor nu ştie nici o limbă străină". Pe de altă parte, falsitatea subaltemei implică logic falsitatea supraaltemei corespondente , căci ceea ce nu se poate afirma sau nega despre "un i i S", cu atât mai puţin s-ar putea spune despre "toţi S"; în schimb, falsitatea supraaltemei nu exclude întotdeauna adevărul subaltemei sale. Dacă este fals că "Unele triu n ghi uri au cinci laturi", nu are cum să fie adevărat că "Toate triunghiurile au cinci laturi"; este însă posibil să fie adevărat că "Unele triunghiuri nu sunt isoscele", dar fals că "Nici un triunghi nu este isoscel". Doi termeni genera li S şi P se pot găsi

în

unnătoarele cinci raporturi

extensionale:

1.

i denti tate

II.

subordonare

III.

supraordonare

IV.

încrucişare

v.

excI uziune


117

Logica tradiţiollală a termellilor

Aceste raporturi sunt exprimate prin cele patru tipuri de propoziţii categorice alcătuite din termenii S şi P. În tabelul de mai jos sunt înscrise raporturile logice anterior definite.

SaP

SeP S iP SaP

cazul ! 1

cazul II 1

O

O

1

1

O

cazul ill O O 1

cazul N

cazul V

O O

O

1

O

1

1

1

1

O

Utilizând cunoştinţele de calcul propoziţional, putem formula pe baza raporturilor de opoziţie între propoziţiile categorice câteva legi logice sau farmule tautalagice. (a) contradicţia

1 . SaP şi SaP: SaP

1 (SaP) sau 1 (SaP) H SaP (prin definiţie)

H

Transformări echivalente: •

[SaP -1 1 (SaP ) ]

[ 1 (S aP) -1 SaP)

(L.5)

[ SaP -1

1 (SaP) ] 1\ [ 1 (SaP) -1 SaP]

(L.5)

1 (SaP 1\ SoP) 1\ (SaP v SaP),

1\

deoarece una dintre propoziţii este falsă, şi conj uncţia lor va fi tot falsă în orice situaţie - iar disjuncţia lor este întotdeauna adevărată, deoarece una dintre propoziţii (indiferent care) este adevărată. 2.

SeP şi S iP: SeP

H

1 ( S iP) sau 1 (SeP) H SiP (prin definiţie)

Transformările echivalente, similare celor de la punctul 1 , se vor efectua ca exerciţii.

(b) contrarietatea 1 (SaP 1\ SeP) - prin definiţie; Transformări echivalente: •

1 (SaP) v 1 (SeP)

SaP -1

1 (SeP)

(D. I )

SeP -1

1 (SaP)

(L. 15); (D. l )

(c) subcontrarietatea

SiP v SaP - prin definiţie;

(L. 9 )


118

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

Transfonnări echivalente: •

1 [ 1 (SiP) /\ 1 (SoP) ]

(L. 1O)

1 ( SiP ) -t S OP

(D . 1 )

1 (SoP) -t SiP

(L. I S); (D. I )

(d) subalternarea 1 . SaP -t S i P (prin d efiniţie);

Tran s fonn ări e chi v al ent e : • •

1 (S i P) -t 1 (SaP) 1 [ SaP /\ 1 (SiP)]

(L. 1 9) (L.6)

2. SeP -7 S o P (prin d e fin iţie ) ; Transfonnări echivalente:

1 ( S oP) -7 1 (Sep) • 1 [ SeP /\ 1 (SoP)]

(L. I 9 )

(L.6)

Exerciţii

1. Găsiţi perech i d e t e rmeni ge ne ral i , S şi P, astfel încât:

b) S aP să fie a d ev ărat ă, iar SeP falsă sau invers;

a) S aP ş i SeP să fie împreună false;

c) SiP şi S o P să fie îm preună adevărate;

d) SiP să fie adevărată, iar SaP fa l s ă sau invers ; e) SaP ş i S iP să fi e împreună adevărate, iar SaP falsă sau invers;

f) SaP să fie falsă, iar SiP adevărată; analog p entru SeP ş i SaP.

2. Presupunând valabile raportul de contradicţie dintre SaP ş i SaP, respe cti v SeP ş i S iP, ca şi raportul de contrarietate dintre SaP şi SeP, d emonstraţi p rin reducere la absurd că SiP ş i SoP nu pot fi amb ele false, dar pot fi ambele adevă rate. 3. P entru fiecare dintre propoziţi ile:

(1) "Unii A s unt B"; (2) "Toţi B sunt A";

(3 ) "Nici un A nu este B"; (4) "Unii B nu su n t A"; (5) "Toţi A su n t B";

(6) "Un i i A sunt B",


119

Logica tradiţiollală a termenilor

se stab i l e ască : (a) co ntrad icto r ia ; (b) con trara sau subcontrara ( d up ă caz) ; şi apoi să se d etermi ne valoarea d e adevăr a noilor propoziţi i, pentru fiecare din condiţiile: să

(c) supraaltema sau subaltema (după caz)

(i) A subordonată faţă de B ; (ii) A intersectată (în cru c i ş at ă) cu (iii) A

B;

şi B în raport d e opoz iţ ie .

4. Fiind date propoziţi ile următoare, stabi l iţi pentru fiecare contradictoria şi, după caz, c o n trara sau subcontrara, respectiv subaltema sau supraaltema, arătând, totodată, ce raport există între contrara ş i c o n tr ad ictoria a c e l e i a ş i propoziţi i .

a) Numai

b) Multora le place fotbalul. stu d e n ţ i i a u acces

în această d i scotecă.

c) Nu exi stă pisici dresate . d) Puţini fotbalişti j oacă b r i d ge . f) Cine fu ge după doi i e p u ri

e) Printre m ari i s c u lptor i au existat ş i câţiva pi ctori renumiţi . g ) Exi stă u n s i n gu r metal care este lichid.

nu prin d e n i c i unu l .

3 . 1 1 . Distrib uţia termenilor în p ropoziţiile categorice Mecan i smele inferenţiale bazate pe rel aţi ile d intre termenii p ropo z i ţ i i l or categorice sunt c o nd i ţ i o n at e de distribu irea termen ilor S şi P. Un termen este distribuit Într-o anumită propoziţie categorică d ac ă acea propoziţie ne comunică ceva despre întreaga sferă a termenului respectiv; în caz c ontrar (atunc i c ând sensul propoziţiei vizează doar un el e elemente din sfera acelui termen), termenul se consideră nedistribuit. Distribuirea subiectului logic nu prezintă n i c i un fel de dificultate, datorită cuantorilor. E l i mpe d e că în p ro p oz i ţ i i l e universale S este distribuit, odată ce se afirmă că " Toţi S au proprietatea P" ori , dimpotrivă, că ,,Nici un S nu are proprietatea P". E s te la fel de evi dent că în propoziţiile particulare, introduse prin cuantoru l exi stenţial

"unii", S este nedistribuit, sen su l acestor propozi ţii vizând o parte d in elementel e c u pr i n s e în s fera l u i . Se poate spune, aşadar, că S este în to t dea u na distribuit în un iversale şi n e d is tr i bu i t în particulare. În ceea ce pr i v e şte distribuirea predicatului, diferenţierea s e face Între propoziţi i l e afirm ative şi cele negative. Să analizăm mai întâi cazul afirmativelor universale. Cân d spunem că "Toate romburi l e sunt patrulatere" (SaP), d i s tr ib u it este numa i S; propoziţia nu s e referă l a într e a g a sferă a lui P, căci propri etatea numai


120

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

"patrulater" nu revine doar romburilor, ci şi altor figuri geometrice cu patru laturi, des p re care propoziţia noastră nu sp une nimic. La fel şi în cazul particularelor afinnative. În propoziţia "Unele p atrulatere sunt poligoane regulate " , atât sfera lui S , cât şi sfera lui P sunt vizate numai parţial şi se suprap un în cazul pătratelor, care nu epuizează nici sfera patrulaterelor, nici sfera poligoanelor regu lat e . Ce se întâmplă în cazul propoziţi ilor negative? Atunci când s punem, de exemplu, că "Nici un tri u nghi nu este patrulater" , arătăm că orice element din S e lipsit de legătură cu orice element din clasa P; propri etatea " patrul ater" nu revine nici unui element din sfera lui S. La fel, atunci când spunem că "Unel e p atrulatere nu sunt poligoane regulate", acea parte din sfera lui S la care se referă propoziţia s e sep ară d e întreaga sferă a lu i P. S intetizând, vom sp une că P este întotdeauna distribuit în negative şi nedistribuit (de regulă) în afinnative. Am spus " de regulă" pentru că există şi excepţii - cazul SaP atunci când între S şi P există un raport de identitate; de exemplu: "Toate numerele pare sunt di vizi bi le cu 2". Notând " di stri b uit" cu semnul + şi "nedistribuit" cu -, alcătuim următorul tabel rezumativ. S S aP SeP SiP SoP

P

+ +

+ +

În legătură cu di stribuirea termenilor vom enunţa um1ătoarea regulă (condiţ i e de validitate) pentru orice fel de inferenţă cu propoziţii cat e gori ce: Nici un termen nu poate fi dis tribuit în concluzia unei inferenţe dacă nu e distri b uit şi în premise.

Nerespectând această regulă, am fi în situaţia de a trage o concluzie asupra întregi i sfere a unui tennen, d e ş i premisele ne dau infonnaţii numai d espre o parte din sfera lui - caz în care adevărul premise lor nu poate fi o con d iţie suficientă pentru adevărul concluziei .

3.12.

Inferenţe imediate cu propoziţii categorice

Din oricare tip de propoziţie categorică pot fi derivate, prin anumite transfonnări l ogic e , alte propoziţii; aceste transfonnări se numesc inferenţe imediate Întrucât concluzia este derivată direct, nemij locit, dintr-o unică prem isă. Cele mai i mportant e inferenţe imediate cu propoziţi i categorice sunt conversiunea şi obversi unea.


Logica tradiţională a termenilor 3.12.1.

121

Conversiunea

Numim conversiune i nfe ren ţa imedi ată prin care dintr-o propoziţie dată (numită convertendă) d e d u c e m o altă p r op o zi ţ i e (conversa), cea din urmă fiind de aceeaşi calitate şi av ân d aceiaşi termeni ca şi p rim a , dar funcţii logice opuse. Schematic, conver si une a se înfăţişează astfel: S - P c� p - s

convertenda

conversa

Nu toate tipurile de propoziţii categorice se convertesc în acelaşi mod. a) Fi e universala afirmativă "Toate p atrulaterele sunt poligoane". Intuitiv, ne dăm seama de îndată că s i mp l a inversare a termeni lor ne dă o propoziţie falsă: "Toate poligoanele sunt patru latere". Revăzând reprezentăr i l e grafice din tabelul de la pag. 1 1 6, constatăm că o p ro p o zi ţ ie de forma SaP poate fi ad ev ărată numai în d o u ă situaţi i : atu n c i cân d S şi P se află într-un raport de identitate sau atunci când' S este subordonat lui P. S impl a inversare a termenilor dă o conversă adevărată în primul c az, dar falsă în cel de-al doilea, mult mai frecvent. Nici r e gu l a de di stribui re a tennenil or, enunţată la finele p ara grafu l u i p rec e dent , nu este respectată de tran sfonnarea lui S aP în PaS . S a P c� P a S -

+

+

S e observă că P, d i stribuit în c o n c l u zi e este nedistribuit În p r emi s ă

Transformarea corectă din t o at e punctel e de vedere (şi intuitiv şi grafic şi c o n fo rm regulii de di stribuire a te rm en i l o r ) este: ,

.

S a P c-7 P i S +

-

Revenind la exemplul nostru, din adevăru l propoziţiei "Toate patru laterele sunt poli goane" se poate infera corect c o nvers a " Unele pol i g o an e sunt patrul atere". Acest gen de convers i une, sp eci fi c propoziţii lor unive rsale afirmative c are se tr a n s fo rm ă în pr o p o z i ţ i i particulare, mai slabe cantitativ, se numeşte c onvers i une prin accident (per accidens). Conversa şi con v e rt end a nu sunt logi c echivalente, motiv pentru care c on vertind, l a rândul ei, conversa nu s e revine la p ro p o z i ţ i a iniţi ală.

b) În cazul universale/oI' negative, simpla inversare a termenilor din propoziţia dată fun cţio nează : dacă ,.N i c i o nasăre n u este Datnl]Jed" intu itiv n e dăm


LOGICĂ ŞI TEORlAARGUMENTĂR!I

122

seama de îndată că tot adevărată este şi conversa "Nici un p atruped nu este p asăre". Rep rezentarea grafică din tabelul de la pag. 1 16 arată limp ede că sep ararea completă între sferele tennenilor S şi P se poate enunţa în ambele sen su ri . Şi regula de distribuire a tennenilor este resp e ctată într-o conversiune de fonna:

S e P c-7 P e S + +

+ +

Acest gen de conversiune, în care conversa are aceeaşi cantitate ca şi convertenda se numeşte conversiune sim plă (simplex); premisa ş i concluzia inferenţei sunt logic echivale nt e , astfel încât prin re c onv ertirea conversei se revine la propoziţia in i ţ i al ă .

c) Tot simplu se c o n v e rt e sc şi particularele afi rm a t i v e ; dacă este adevărat că "Unele mamifere sunt fiinţe a c vat i c e" , în mod evident va fi adevărată şi conversa ei "Unele fiinţe acvatice sunt mamifere" . S i P c-7 P i S

Fiind vorba de acea parte comună din sferele lui S şi P, relaţia de atribuire se poate face în ambele sensuri; se observă că şi regula de di stribuire a tenneni lor este pe deplin respectată. d) Conversiunea particulare/ar negative nu este posibilă ca operaţie logică. Ea se poate realiza câteodată, dar nu în virtutea unei corelaţi i necesare între valorile de adevăr al e convertendei şi ale conversei . Î n tabelul de la pag. 1 1 6 sunt reprezentate cele două s ituaţii î n care poate fi adevărată o propoziţie de tip S oP. Exemplificând primul caz ( S şi P i n tersect at e), fie adevărată propoziţia: "Unii studenţi nu sunt s p o rtivi"; inversând tennenii, se obţine tot o propoziţie adevărată: "Unii sportivi nu sunt studenţi". În al doi lea caz (S supraordonat lui P), propoziţia "Unele poligoane nu sunt patrulatere" este adevărată, însă propoziţia cu tenneni i inversaţi "Unele patrulatere nu sunt poli goane" este, evident, falsă. Conversiunea parti culare lor negative nu respectă nici regula de distribuire a termeni lor: S o P c-7 P o S +

+

(nedistribuit în convertendă, S apare distribu it în conversă) Rezumând: • • •

propoziţiile de tip A (SaP) se convertesc prin accident;

propoziţi i l e de tip E ( S eP) şi 1 ( S iP) se convertesc simplu; propoziţi ile de tip O (SoP)

nu

se conve rtesc.


Logica tradiţională II termenilor 3. 12. 2. Obversiunea

Se numeşte ob v ersiune inferenţa imediată prin care, dintr-o propoziţie dată - numită obvertendă, este deriv ată o altă pr o poz iţi e - obversa , de aceeaşi cantitate, dar de cal itate opusă faţă de propoziţia i n iţială, având acelaşi sub iect logic, iar ca pre dicat contradictoriul predicatului din prop oziţ ia in iţială . S ch ematic , obv e r s iune a s e prez intă as tfe l : p o -7 obvertenda

S

-

1 (P 1 S)

obversa -

Toate t i p u ri l e de propoziţii cat ego rice se obvertesc în ac e laş i mod:

S e P 0 -7 S

exemplu : "Toţi m agi straţii sunt corecţi " 0-7 "Nici un m agistra t nu este inc orect" exemplu : "Nici un cascador nu este fri c os " 0-7 ,.Toţi cascadorii sunt curajoşi" exemplu: "Unii arbitri sunt coruptibili" 0-7 "Unii arbitri nu sunt incoruptibili" e xempl u : "Un i i studenţi nu sunt s er i oşi " 0-7 "Uni i stude n ţ i sunt ne s er i o ş i " .

a1p

S i P 0-7 S o l P S

o P 0-7 S i

lp

Î ntre obversă şi ob v e rt e n dă există un raport de echivalenţă logică, astfel încât reobvertind ob v er s a, se re vi ne la propoziţi a in i ţ i a l ă . 3. 12. 3.

Aplicaţii

ale

conversiunii şi obversiunii

Deseori, o propoziţi e categorică de forma S - P apare sub o altă formă decât ac ele a care se o bţ i n direct printr-o s i ngură co n ver s iune sau obv ersiune ; putem întâlni forme de gen ul 1 S - P, 1 P - s, 1 S - 1 P sau 1 P - 1 S . Apari ţia acestor formule este posibilă deoarece o propoziţie cat e g o r i că poate fi transform ată succesiv prin apl icarea repetată şi a l t ernat iv ă a convers iunii şi a obvers iuni i. De multe ori, forma sub care se prezintă o anumită propoziţie categorică este atât de diferită de fonna ei iniţială, înc ât - deşi cunoa şte m v a l oarea logică a propoziţiei in i ţia l e - nu putem stab i l i intuitiv valoarea alethică a forme i sale transformate. În astfel de situaţi i , e s te necesar să v e rificăm dacă p ropoziţia la care s - a aj u ns poate fi d e riv ată d i n p ropoz iţ ia in i ţi a l ă a p l ic â nd corect o alternanţă de co n v e r s i un i şi de obvers iun i . Iată acum t o ate i n ferenţe l e imed i at e care pot fi e fe ctu ate pornind de l a fiecare t i D d e nroD07: iti e

r " t e o f'r i r il '


124

1.

o� Se l p c-+ l Pes 0-+ l Pa 1 s c� l Si l p o� l soP 2. <a) SeP c� PeS 0-+ Pa 1 S c-+ 1 SiP o� 1 S o 1 P (b) SeP o� Sa 1 p c:-+ 1 PiS o-+ 1 Po 1 s 3. (a) Sip c-+ Pi S o� Po 1 S (b) S ip o� So 1 p SoP o� Si 1 P c:-+ 1 PiS 0-+ 1 Po1 S 4. Dupl cum se poate observa, şirurile de inferenţe alternative se incheie de dată cu o propoziţie particular negativă, care nu se mai poate converti. <8>

(b)

fiecare

SaP c-+ riS 0-+ Po , .

lOGICA" ,..,..MtJlIMDV7h11

Propoziţia obţinere

SaP

conversă a obversei se numeşte contrapusă

parţială (procedeul de numindu-se c:ontrapoziţie parţiaIA), iar obversa contrapusei parţiale , prin c:ontrapoziţie totalA. se numeşte contrapusă totală. Se numeşte

inversă a unei propozi ţii o alti propoziţie implicată l ogic de ea şi care are ca

obţinută

subiect contradictoriul subiectului ei. Inverse nu au d ecât propoziţiile universale

(lsiP şi 1 So 1 P sunt inversele lui SaP; 1 SiP şi 1 So 1 P sunt inversele lui SeP).

Sintetizând toate relaţii1e logice stabil ite prin efectuarea inferenţelor imediate

cu

propoziţii categorice, notăm unnătoarele legi logi ce (notate cu 1,,): Legile logice ale conversiunii

(1.1) (1.2) (1.3)

SaP � PiS

SeP H PeS SiP H PiS

Legile logice ale obversiunii

(1.4) (I.S) (1. 6) (1.7)

1P SeP H Sa 1 P SiP H S o 1 P SoP H Si 1 P SaP H Se

Legile logice ale contrapoziţiei parţiale

(1.8) (1.9) (1.10)

SaP +-+

1 PeS SeP -+ 1 PiS SoP +-+ 1 PiS

Legile logice ale contrapoziliei totale

(1. 11) (1.12) (1. 13)

1 Pa l S SeP -+ 1 Po 1 S SoP +-+ 1 Po 1 S SaP +-+


Logica tradiţională a termenilor

125,

Le g ile lo g ice ale inversiunii

(1.14) (1.15) (1.16) (1.17)

SaP -7

l Si l P

SaP -7 l SaP SeP -7 l SiP SeP -7 l Sa l P

Exercitii ,

1 . C on str ui ţ i contra p us e le parţiale

şi tota l e

ale propoziţi i l or:

a) Numerele i mp are au pătrate impare. b) Uni i bursieri nu sunt c ămin i şt i

2. (Keynes) Determinaţi re laţ iil e l o g i c e dintre următoarele propoziţii considerate două câte două: .

a) Toate cri stalele sunt solide. b) Unel e sol ide nu sunt cristale. c) Unele substanţe ce nu sunt cristale nu sunt solide. d) Nici un cri stal nu este solid. e) Unele cri st al e sunt solide. g) Unele substanţe ce nu sunt solide nu sunt cristale. h) Toat e solidele sunt cri stale.

3. (P. Bie l tz) Refarmulaţi urm ăt oare l e propozi ţii astfel încât ele să aibă a ce l a şi subiect şi ace l aşi p re di c at logic şi arătaţi ce rap ortu ri există între ele: ( 1 ) Toţi A sunt non-B . (2) Uni i non-A sunt B. (3) Nici un non-A nu este B .

(4) Upii A s u n t B .

4 . (P;� Bieltz) S ă se formeze din u rm ăt oarele p ropoziţi i toate perechi le p o sib i le şi pentru fiecare pereche în parte să se arate dacă u na d in propoziţi i poate fi de ri v ată corect din cea l a l t ă prin inferenţe imediate:

( 1 ) Orice a cţ iu n e inumană este nejustificabilă. (2) Orice acţ i u n e nej usti ficabilă este inumană. (3) Unele ac ţiu n i jus ti fi c ab i le nu sunt inumane. (4) Nici o acţiune j usti fi c ab i l ă nu este inumană. (5 ) Unele acţiuni inumane nu s u nt nejustificabile. (6) Unele ac ţi u n i care nu sunt inumane nu sunt nejustificabile. (7) Unele acţi uni j u stificabile sunt inumane.


126

LOGICĂ ŞI TEOR1A ARGUMENTĂRJI 3.13. Structura silogismului categoric

Cele mai simple raţionamente cu propozlţll categorice se numesc silogisme. Creat de către Aristotel, cu sensul de raţionament deductiv în genera l, termenul silog ism se foloseşte astăzi cel mai adesea cu sensul de il)ferenţă deductivă în care concluzia decurge din două (şi numai două) premise. D upă natura premiselor, se disting diferite tipuri de silog isme.

Atunci când una din p remise este o propoziţie compusă condiţională, vorbim de si l og isme ipotetice; exemple p o t fi l uate modus ponendo ponens sau modus tolle ndo tollens.

Atunci când una din pr emise este o propoziţie compusă disj unctivă, avem de a face c u silog i s me disjunctive sau alternative; de exemplu modus tollendo ponelis sau modus ponendo tollells.

S ilogismele în care atât premi s e le, cât şi concluzia sunt propoziţii categorice se numesc, după natura premiselor, categorice.

Fie următorul exemplu de s il og ism categori c: Toate patrulaterele sunt poligoane Toate r omb uril e sunt p atru later e Deci, toate romburi l e sunt poligoane

Găsim în acest raţionament trd tenneni, fi ec are prezent de câte două ori . Se numeşte termen minor subiectul concluzie i (notat S) şi minoră premisa în care se găseşte acest termen; în exemplul nostru, S este term en ul "romburi", iar premisa minoră propoziţia "Toate romburi le sunt patrulatere". Se numeşte termen maj or predicatul conc/uziei ( no t at P) şi majoră premisa în c a re se găseşte acest termen ; În exemplul ales, P e ste termenul "poligoane", iar premi s a maj oră pro p oziţi a " To at e patrul ate rel e sunt poJigoane". Minorul şi maj orul sunt termenii extremi ai s il o gis mul u i . Stabilim prin convenţie ca, în scrierea standard a silogi smelor să Începem totdeauna cu premis a maj oră. Cel de-al trei lea termen al si logismului apare câte o dată în fiecare premisă; el nu figurează în concluzie, dar j oacă un rol cheie în stabil irea relaţiei dintre S şi P, Întrucât el - raportându-se atât la P, în premisa m ajor ă , cât şi la S, în premisa minoră - mij l oceşte relaţia dintre extremi; din acest motiv, el se numeş te termen mediu (notat M). În exemp l u l nostru, M este termenul "patrulatere". Forma simbolică a silogismu lui ales spre exemplificare este: Ma P S a M S a P


Logica tradiţională a termenilor

127

Figura reprez i ntă grafic relaţ i i l e extensionale dintre termenii unui s i l o g i s m de această formă. P a fost numit termen "maj or" d e oarece are sfera cea mai cuprinzătoare, în vreme ce S, termenul "mi n or" , are sfera cea mai restrânsă. Figura ne arată fo arte sugestiv că mecanismul infer en ţ ial al silogismului se bazează p e relaţ iil e extensionale între sferele celor trei termeni : întrucât orice element di n S aparţi ne lui M şi o r ic e el ement d in M aparţine l u i P, rezultă că orice e l emen t din S aparţi n e lui P ( altfel spus, S este o submulţime a lu i M, M e st e la rândul său o submul ţ ime a lui P, deci S este o sub m ulţim e a lui P).

3 . 14 . Figuri şi mo duri silo gistice Dacă avem în vedere di spun er e a termenilor S, M şi P în ca d rul pr em i selor, figuri silogistice:

di st i n ge m patru structuri sau forme, numi te

',;' Pig;:ttt!{o 'Yi��H;1, "i!Fig:" a!li':k>;';;'· " '} ' iFig::"� .III':li< ; \!i ':' Pig/[ N�� }'" .. M-P

S-M s-p

P-M S-M S-P

M-P

P-M

M-S

M-S

S-P

s-p

În figura I term �n i i extremi S şi P au ac eeaşi funcţi e l o g ică , atât în premise, cât şi în concluzie - astfel încât S este subiect logic şi în mi no ră, ca şi în c oncluzie , i ar P este predicat lo gic şi în m aj oră , ca şi în concluzie - (de unde «firescul» sau «naturaleţea» silogismelor din această figură) . În figura a II-a, M este predicat lo g ic în ambele premise; în figura a III- a, M este subiect logic în ambel e prem i se ; în fi gura a IV -a, te rm en i i extremi au în concluzie funcţi i logice opuse celor pe care le deţin în premise (de u nde c aract erul mai greoi, oarecum fo rţat din perspectiva intuiţiei al deducţi ilor silogistice d in această figură) . Figurile silogistice se transformă din structuri abstracte în scheme de inferen ţă numai dacă specificăm tipuril e de propoziţii (A, E, I sau O) c e apar drept premise şi concluzi e . De exemplu, o prem isă maj oră din figura 1, de structura M-P, poate fi o propoziţie de forma MaP, MeP, S iP sau SoP. Considerând acest aspect, în fiecare fi gură sunt posibile câte 64 de c ombina ţ ii, numite moduri silogistice. Numărul total de cons trucţi i sau moduri si l ogistice este considerabil: 4 x 64 = 25 6. Pentru notaţia simbolică a fiecărui mod silogistic posibil ad optăm următo ru l proced e u: o succesiune de trei l itere Ca, e, i sau o) ind i că tipurile de propoziţi i care a l căt u ie s c premisele şi concluzia modului si logistic respectiv, iar una din cifrele 1 , 2, 3 sau 4, al ăturată grupului de l i tere, indică figura si logi s tică, respectiv modul de di s pune re a termenilor în p remise. De exemplu, aaa- l redă simbolic un si logism de forma:


128

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRlI

MaP SaM

sau

(MaP)

1\

(SaM) � (SaP)

SaP

eio-2 r e pr e zin tă

un s i l ogi sm în

figura

a II-a, de forma:

PeM

iM _S_

__

sau

(PeM)

1\

(SiM) � ( S oP)

SoP Întrucât se pot construi 2 5 6 de moduri silogistice, se pu ne pr o b lema câte şi câte şi care dintre aceste scheme deductive posib ile sunt valide ? Sunt ne c esare

anumite criterii sau condiţii de validitate, pe baza cărora să putem determina cu

certitudine (şi, dacă se poate, s i stemati c ) toate modurile valide. Teoria logicii clasice adoptă două metode pri n c ipal e de determinare a v al idi tăţii si logismelor. P ri m a a fost elaborată de către Ari stotel , creatorul s i logi s t i cii an tice: un mic număr de silogisme s u nt acceptate d re pt valide fără demonstraţie, în virtutea «e v idenţei»

lor naturale quasiaxiomatice, iar celelalte moduri sunt stabilite prin reducerea ( deri v are a logică) a lor, folosind i nferen ţel e imediate, din schemele primiti v e . Imperfecţiun i l e şi lac unele m eto de i ari stotel ice sunt dep ă şit e de o metod ă mai gen era l ă , elaborată u lterior de către l og i c i en i i medieval i , în c are un r o l esenţial îl j o ac ă d i st ribu ir e a t e rm en i l or (n eutiliz ată de către Ar i st ot e l ) . În cont i nua r e , vom expune si l ogistica mai întâi după cea de-a doua metodă, mai compl etă şi mai bine arti cul ată, după care v o m p rezenta şi «reducerea» aristotelică .

3.15. Legile generale ale silogismului

Indiferent de p art i cu lar i tăţi le fiecărei figuri, o r ice sc h em ă s i l ogistică poate fi validă numai dacă se con formează unor cerinţe sau reguli, numite legi generale ale s ilogismul ui categoric. Majoritatea acestor «legi» nu au o demonstraţie formală în logic a trad iţională; ele sunt stabil ite nesi stemati'c, ilustrându-se prin exempli­ ficări consecinţele n e respectării lor. După aspectul pe care îl re gleme ntea ză , l egil e gener a le al e si log i smului se pot împărţi în trei clase: 3.15. 1 . Legi referitoare l a distribuirea termenilo r

(L.I) P e n tru ca un s i l o g i sm să fie val id este necesar ca term enul fie di stri bu i t în cel puţin una din pr em i se .

mediu


Logica tradiţională a termenilor

129

Dacă nu s-ar respecta această cerinţă, atunci ar fi posibil ca fiecare dintre tem1enii extremi să fie pus în relaţie cu o altă parte din sfera lui M, astfel încât legătura dintre S şi P nu ar fi logic determinată. Fie, de exemplu, premisele: PaM

S iM

în care M este nedistribuit în ambele premise (ca predicat logic de propoziţie afirmativă). Reprezentând grafic, prin diagrame Euler, cele două premise, avem de figurat un raport de încrucişare între sferele lui S şi M, precum şi un rap ort de subordonare a lui P faţă d e M . Dar P, ca noţiune subordonată, p oate ocupa în sfera lui M oricare dintre poziţiile (a), (b) sau (c).

(a)

Presupunem că ambele premise sunt adevărate. În ceea ce priveşte raportul dintre S şi P, exprimat de concluzie, reprezentarea grafică ne oferă trei variante : (a) SeP; (b) SiP; (c) SiP sau SoP. Variantele (a) şi (b) sunt contradictorii : una d i ntre concluziile SeP sau S iP este inevitabil falsă; or, în orice inferenţă validă, din premise adevărate se obţin întotdeauna numai concluzi i adevărate. Rezultă că un silogism în care M nu este măcar o dată distribuit nu poate fi valid. Intuitiv, conţinutu l propoziţi ilor ne spune, de regulă, câre dintre variantele posibile trebuie aleasă pentru a avea o concluzie adevărată. Pe aceeaş i schemă silogistică putem construi unnătoarele în lănţuiri de propoziţii :

Ci)

Toate pătratele sunt patrulatere Unele poligoane regulate su n t patrulatere

(ii)

P aM S iM

Unele poligoane regulate sunt pătrate

SiP

Toate cioriIe sunt negre Unele lebede sunt negre Nici o lebădă nu este cioară

PaM

SiM SeP

Î n cazul (i) se potriveşte soluţia (b); în cazu l (ii), soluţia Ca) - dar opţiunea pentru o concluzie sau alta nu se face în virtutea fonne.i logice, ci a conţinutului sau a sensului propoziţi i lor, cunoscut empiri c.


130

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRlI

(L.2) Nici un u l dintre termenii extremi ai silogismului nu poate fi d i stribu it în co n c lu zi e decât dacă este distribuit şi în pr em i s a în care apare.

Această cerinţă a fost enunţată şi exp l icat ă ca re gulă generală a tuturor i n feren ţelor cu propoziţi i categor i ce . Nerespectarea ac e s tei legi duce la comiterea următoarelor erori logice:

(a) majorul ilicit; fie sil o gis mul :

MaP

Toţi marinarii sunt beţ iv i

Nici un ş o fer nu este marinar

SeM

Nici un ş o fer n u e ste b e ţ i v

SeP +

Term en u l m ajor P este distribuit în concluzie (ca pred i cat de propo z iţ ie negativă), dar nedi stribuit în p rem i s a maj oră (ca p re d icat d e afirm ati v ă). Re p r ezentarea grafică a celor două p remise face d i n no u pos i b i l e trei concluzii diferite:

b)

Concluzi i l e posib i l e sunt: (a) SeP; (b) SiP sau SoP; (c) SaP. Găsim aici o pereche de contrad icţi i logi ce, între S aP şi SoP, pe de o parte , şi În tre SeP şi S iP, de ceal altă parte; pr i n urmare, schema si logi stică nu este validă. (b) minorul ilicit; fie silogi smul:

Nici o pas ăre

nu e

vivipară

Toate păsări le sunt bipede

Nici un biped nu este vivipar

MeP MaS SeP +

Termenul minor S apare distribuit în concluzie (ca subiect logic de propoziţie u n i ver s al ă), dar este nedistribuit in prem i s a minoră (ca predicat logi c de propoziţie afirmativă) . Din nou reprezentarea grafică a celor două pre m i s e face posibile mai multe concluzii, două dintre acestea fiind contradictorii ; deci, raţionamentul nu e ste val id.


131

Logica tradiţională a termenilor

8 3.15.2.

(a)

(a) S

e P

(b) S i P sau SoP

Legi referitoare la calitatea p remiselor şi a concluziei

(L.3) Dacă ambele premise sunt afirmative, concluzi a (presupunând că se

poate extrage vreuna) nu poate fi decât afirmativă. Motivaţia acestei legi este următoarea: ambele premise fiind afirmative, fiecare tennen extrem este pus în concordanţă cu termenul mediu, astfel încât premisele se referă numai la acele părţi din sferele lui S şi P care se suprapun cu M; stabilind un raport de excludere între extremi , o concluzie negativă s-ar referi la acele părţi din sferele lui S şi P nesuprapuse sferei lui M, părţi despre care premisele nu oferă nici o informaţie.

(L.4) Cel putin o premisă trebuie să fie afirmativă (sau, într-o formulare echivalentă: Un silogism cu două premise ne2:ative nu poate fi val id).

Raţiunea acestei legi este foarte s implă: dacă ambele premise sunt negative, atunci fiecare din ele se referă la ceea ce S, respectiv P nu au în comun cu M; în acest caz, tennenul mediu, fiind separat atât de S, cât şi de P, nu poate spune absolut nimic despre relaţia dintre termenii extremi, care se pot găsi în oricare din tipurile posibile de raporturi extensionale. Dacă "Nici un om nu este pasăre" şi "Nici o pasăre nu are tre i picioare", din aceste două propoziţi i nu derivă logic nici o concluzie necesară, ci se poate spune orice sau nimic. (L.5) Dintr-o premisă afirmativă şi alta negativă nu poate rezulta decât o

concluzie negativă.

Premisa afirmativă enunţă un raport de concordanţă Între M şi termenul extrem pe care îl conţine. Cealaltă premisă fiind negativă, enunţă un raport de opoziţie între M şi celăl alt tennen extrem. Impl icit se stabileşte un raport ' de opoziţie între S şi P, în sensul că acela dintre ei care se află în premisa negativă este separat de orice element aflat în zona de coincidenţă a sferei celuilalt termen extrem cu sfera termenului mediu.


132

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII 3.1 5.3.

Legi referitoare

la cantitatea premiselor şi a concluziei

A c e ste legi , care re g l ement e ază condiţi ile de validitate a s i lo g is me lor în ceea ce priveşte cantitatea pr em i se l o r, pot fi demonstrate drept c on s e c î nţe lo gi ce ale celor cinci le g i anter i or e n un ţate . (L,6) Cel putin una din prem ise trebuie să fie universală (sau, într-o formulare echivalentă, un silogism format din două prem is e parti­ culare nu poate fi valid.)

Vom demonstra această l e g e prin reducere la a bs urd. F i e , aşadar, acceptată ip otez a : ambele prem is e ale unui s i l o g i s m pot fi p rop o zi ţi i cate gori ce p art i c u lare . Urmează să analizăm consecinţele acestei ip oteze, luân d În consideraţie şi calitatea premiselor. Se deschid tre i posibi lităţi :

Hl ambele premise negative; n u deoarece este încălcată (LA)

putem admite

această posibilitate,

H2 ambele premise afinnative : în două pro p o z i ţi i particular afirmative nu exi stă nici un termen d ist r i b u it , ceea ce duce la încăl c are a (L. I ) H3 o prem isă afirmativă (de t i p 1) şi o premisă negativă (d e tip O); în astfel de pre m i s e nu exi stă decât un singur te rm en distribuit (p re di c atu l premisei n eg ati v e ) . D ecu r g de aici următoarele consecinţe: • •

M trebuie să fie cel puţin o dată di str i b u i t (L. I )

pre m i s a negativă face c a şi concluzia silogismului să fie tot ne g at i v ă (L. 5 ) în con c l uzia n e g at i v ă, P e ste distribuit (ca predicat de propoziţie n e g ati v ă ) distribuit în c o ncl u zi e , P treb u i e să fie distribuit şi în prem i s a maj oră (L.2) sunt, p r i n urmare, necesari doi termeni distribuiţi în premise (M şi P), dar nu se poate distribui decât unul; deci, fie (L. I ), fie (L.2) va fi încălcată.

O d ată re s pi n s e toate cele trei posibilităţi, cade şi ipoteza; c o n fo rm ad i c ă enunţu l l u i

p r i nci p i u l u i terţului exclus, este adevărată contradictoria i poteze i ,

(L. 6).

(L.7) Dintr-o premisă u ni ve rs a l ă şi decât o c on c l u z i e particulară.

una

particu lar�

nu

se poate extrage

D e m o n s traţia acestei legi este Întrutotul similară celei p re cede n te şi o ca exerciţiu. L o g i c i e ni i medieval i con topesc (L. 5 ) şi (L. 7) într-o s i n gu ră l e g e generală a s i l o g is mu lui , care e,ste uti l ă d i n punct de vedere mnemotehn ic: p o tr i v i t acestei form u l ări medievale . . . con c l uzia urm ează part ea cea mai slabă din premise" -

su ge răm


Logica tradiţională a termenilor

133

considerând că sunt «slabe» propoziţiile negative faţă de cele afirmative, res pectiv propoziţiile particulare faţă de cele universale. Prin urmare, într-un silogism valid , acolo unde apare o p rem isă negativă, concluzia (dacă s e poate extrage vreu n a) va fi n eap ărat negativă, i ar dacă apare o premisă parti culară, atunc i concluzia nu poate fi, la rândul ei, decât p art i c ular ă. Cu alte cuvinte , Într-un si logism în care una dintre premise este o propoziţie SoP, putem extrage numai o concluzie de acelaşi rang, adică tot SoP. Din dorinţa de a scurta pe cât posibil expunerea si logisticii, nu am introdus în rândul legilor ge n erale ale si l o g is m u l u i o regulă structural ă care, d e obicei , se en u nţ ă c a p ri mă lege a si logismului categoric. Se cere, prin această r e g u l ă, ca silogismul să nu aibă mai mult decât trei şi numai trei termeni. În speţă, e vorba de eliminarea oricărei ambiguităţi a termenului mediu - căci dacă acesta se foloseşte cu două sensuri diferite , atunci se comite un so fi s m , numit quatemio temlinorum sau ero are a celui de-al patru lea termen, în care M nu face decât o legătură artificioasă între tenneni i extremi ai sil ogism ul u i . Fie, de exemplu, s i logis mul :

Albastru este un a dj ecti v Cerul este albastru Dec i , cerul este un adj ectiv

E l im pe d e , în exemplul de mai sus, î n ce constă eroarea: în premisa

m aj or ă, t e rm e n u l

,; a lb a s t r u " este luat ca p a rt e de vorbire şi i se p re c i ze a z ă v a l o ar e a gr am at ic a l ă ; în p r e m i sa minoră, "albastru" este luat c a p r o pri et ate atribuită cerului real, a st fe l încât legătura pe care o face termenul mediu Între sferel e termen i l or extremi e s te a rtifi c o a s ă . O ul t i m ă remarcă, înainte de a tre c e mai departe. Într-o expunere ri gu ro s axiomatică a s i l o gis ti cii , primele cinci legi general e al e s i l o f]ii s m u l ui, aşa cum le-am e n u n ţat anterior, ar fi suficiente ca axiome a l e sistemulu i . Intrucât, d up ă cum am văzut, pot fi d e monstr at e pe baza primelor cinci legi generale ale silogismului, (L.6) şi (L.7) ar trebui formulate ca teoreme ale si stemu lui axiomatic , l a fel ca ş i alte proprietăţi ale deducţiilor si logi stice, aşa cum s u n t - vom vedea imediat în cele ce u rm e ază - reg uli l e sp eci a le ale fiecărei fi guri si logistice, pe baza c ăro ra se determină to ate mo duri l e s i l og i sti c e valide, precum şi alte p ro pr i etă ţ i , d intre care unele vor fi cerute a fi demonstrate ca exerciţi i .

3 . 1 6. D emonstraţia modurilor silogistice valide Cele şapte legi generale a le s i l ogismului sunt s u fi c i en te pentru a testa val iditatea ori c ăr e i scheme s i l ogistice; a verifica însă 2 5 6 de mod u ri s i lo g i st i ce , eliminând treptat pe cele i nva l i de , nu este o cale nici uşoară, nici el eg an tă . Pentru a stabili de la început, în mod s i s tematic, toate moduri l e val i de, se apl ică unnătoarea m eto d ă :


134

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRlI Se deduc mai întâi regulile speciale ale fiecărei figuri silogistice; ac e ste reguli speciale sunt n i şte c on d iţi i suplimentare de validitate, im p us e de aranjamentul tennenilor în premise, care diferă de la o figură la alta

1)

2)

Pe baza re gu l i lo r s pec i a l e se determină toate perechile de premise acceptabile în fiecare fi g u ră silogistică.

Tot p e baza legilor g ener ale ale s il o gi s mu l ui , se d etenn i nă concluziile care dec urg în mod valid din p erec hi l e de premise stabilite anterior.

3)

3. 16. 1. Modurile valide în figura 1 Reamintim aranj amentul structural al tenneni l or în figura 1: M-P S-M S-P (L. I ) cere ca t erm en u l mediu (M) să fie măcar o dată distribuit. Fie ca ip o teză în care această cerinţă ar fi satisfăcută:

(HI) p rem is a minoră este n egat i vă . C on s e ci nţe logice:

concluzia silogismului e ste o propoziţie n e gat i vă (L.5)

în concluzie, P este d i stri bu i t , ca predicat de propoziţie negativă

P trebui e să fie distribuit şi în premisa majoră (L.2)

.

întrucât P este predicat l o gi c în pre m i s a maj oră, ar fi d istrib u i t numai dacă şi premisa maj oră ar fi o propoziţie negativă - situaţie în care si l ogi smul ar avea două prem ise negative, ceea ce nu se poate accepta, confonn (L.4)

Rezultă că min ora unui si lo g i s m în figura 1 nu poate fi decât afirmativă; în acest c az, fiind nedi stribuit în prem i s a minoră (ca predicat de propoziţie afirmativă), termenul mediu nu poate fi di stribuit decât în premisa maj oră, dacă aceasta este o propoziţie un iversală (în care M este subiect l o g ic) . Se pot enunţa

regulile speciale ale figurii 1:

R.l (1) premisa majoră universală R.2 (1) premisa minoră afirmativă Pe baza acestor reguli speciale, rezultă că singurele perechi de premise acceptabile în figura 1 sunt următoarele: a a

a

e

e

a

Stabi l i nd, în confonnitate cu l egi le generale ale silogismului, con cluziile


Logica tradiţionalII a termenilor

135

care decurg din aceste perechi de premise, determinăm unnătoarel e moduri valide în figura 1:

MaP SaM SaP

MaP SiM SiP

MeP SiM S oP

MeP S aM SeP

Cunoscând raportul de subaZternare (adevărul supraordonatei un iversale imp l ică logic adevărul subaltemei particulare) putem adăuga încă două moduri valide s ub aspect fonnal, deşi «slabe» sau redundante d i n punct de vedere informaţional - numite moduri subalterne: M aP SaM SiP

MeP S aM S o P

Recapitulând, am d emonstrat că în figura I există următoarele şase moduri valide:

1 (1) 2(1)

3( 1)

4(1)

MaP /\ MaP /\ MeP /\ MeP /\

SaM -7 S aP S iM -7 SiP S aM -7 SeP SiM -7 S oP

sau sau sau sau

aaa- l a i i- l eae- l

sau sau

aai- l eao- l

eio- l

subalteme

5 (1) 6(I)

MaP /\ SaM M eP /\ S aM

-7 -7

SiP SoP

Privind aceste şase moduri valide, se desprind câteva caracteristici int e re s an t e : •

pot fi concluzii toate cele patru tipuri de propoziţii categorice: A, E, I şi O; de notat şi faptu l remarcabil că numai în figura 1 se p o ate deduce o concluzie universal afirmativă.

În figu ra 1

F igu ra 1 poate fi con s iderată demonstrativă prin excelenţă: premisa maj oră fiind un iversală, enunţă o regularitate sau o general itate; premisa m inoră fiind numai afirmativă şi având drept pred icat logic pe M (subi ectul premisei maj ore), prezintă un c az, o ilustrare sau o aplicaţie particulară a general ităţi i enunţate de premisa maj oră. Concluzia formulează, deci, rezultatul aplicări i generalităţii din premisa maj oră la cazu l particular din premisa minoră. Specificul argumentativ al figurii I este exprimat, în logica clasică, în două formule latineşti : din punct de vedere extensional , dictum de omni et Ilullo (ceea ce se enunţă, afirmativ sau negativ, despre t oţi membrii unei clase de obiecte este valabil şi despre membrii oricărei specii a ei d e s pre orice membru individual al ei ; din punct de vedere intensional nota notae est /lota rei ipsius (propri etatea genului aparţine ori căru i membru individual al ori cărei spec ii subordonate genu l u i respectiv).


136

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII 3.16.2. Moduri valide în figura a II-a

D i s pu n e r ea termenilor în figura a logică de predicat log ic în ambele premise.

II-a aşează

tennenul mediu în fun cţ i a

P-M

s-p

S-M

Rezultă imediat că una dintre premise trebui e să fie negativă, căci numai astfel (ca predicat l o g i c de propoziţie n egat i vă) M po ate fi d istrib u i t, aşa cum o cere (L. I ). De aici re zul t ă u rm ăto ar e l e co n s e c inţe l o gi c e : •

având

în

o pre mi s ă

concluzie, P e s te distribuit

d is tr ib u i t În

negativă, concluzia nu poate fi (ca

predicat de

decât

negativă (L.5)

p r o p o ziţie

c o n c lu zi e, P trebu ie să fie distribuit şi

negativă)

în p rem is a maj oră

(L. 2 )

în premisa maj oră funcţia logică de s u b i e c t, P poate n u m a i d acă această p re misă este o p rop oziţ i e u n iv ers a l ă .

având

fi distribuit

Regulile speciale a l e figurii a II-a s unt, aşadar, următoarele:

R.I(II) premisa majoră universală R.2(II) o premisă negativă fi g ura a IT-a:

Re gu li l e s p ecia l e indică a

a e

o

e a

următo arele perech i de

premise acceptabile în

e

Determinând şi concluziile care decurg din următoarele moduri valide în figura a II-a :

ac e ste premise, p utem

PaM

PaM

PeM

PeM

SeM

S oM

S aM

S iM

SeP

S oP

SeP

S oP

În virtutea două moduri

«sl abe» s au subalteme:

PaM

rap ort u l u i de subaltemare,

PeM

SeM

S aM

SoP

S oP

putem adă u ga şi În

stabili

figura a II-a în c ă


Logica tradiţionaliJ a termenilor Rezumând, şi

în

figura a II-a se demonstrează tot ş ase moduri valide:

l(m

PaM

1\

S eM -7 SeP

2(m 3(II) 4( m

PaM

1\

S oM

SoP

sau

aee-2

PeM

1\

PeM

1\

SiM -7 SoP

sau

eae-2

-7

SaM -7 S eP

s ub alt em e 5(ll)

PaM 1\ SeM

6(ll)

PeM

1\

-7

SaM -7 SoP SoP

sau

s au

sau

s au

137

aoo-2 eio-2

aeo-2 eao-2

Iată şi câteva din caracteristicile si logismelor d i n ac eastă fi gură : •

una d i ntre premise fiind în mod o b l i gator iu negativă, în figura a II-a se pot deduce decât concluzii negative;

nu •

fiind o propoziţie u n ivers ală, pr em i s a maj o ră a s ilogi smelor din figura a II-a e n unţă, ca ş i în figura r, o g en er a l itate : orice P are / nu are pro pr i etatea M; întotde aun a de calitate opusă faţă de prem i s a maj o r ă, minora spune că S are / nu are aceeaşi propri etate M. Cu alte cuvi nte , S nu este un caz particular al lui P; prin raportul faţă de M, S se diferenţiază faţă de P. Formula logicii c l a si c e pentru această figură este: dictum de diverso.

3. 16.3. Moduri silogistice valide în figura a III-a

În această figură, termenul mediu (M) este subiect l o g i c în ambele premise. M-P M-S

S-P Deoarece, conform (L. 6), cel pu ţi n una dintre p re mis e este o propoziţie universală, term enul m e d i u (M) este autom at distribuit în pre m is a re sp e ct i v ă , ca su bie ct de propoziţie universală; astfel, (L. I ) este respectată. Prin exact a c ee a ş i de mo nstraţi e Ia care am recurs şi atunci când am dedus modurile s ilo g i sti ce valide din fi gu ra r se arată că şi în figura a III-a premisa mi n oră trebuie să fie afirmativă, de unde rezultă următoarele consecinţe: •

în prem i s a minoră afirmativă, S este nedistribuit , ca pr e di c at de propoziţie afi rm at i vă

rezultă că S treb u ie să fie n e d i str i b u it şi în c o n c l u z i e (L.2)

aşadar, concluzia va fi o propoziţie p art icu l ar ă (căci numai în part i c u l ar e subiectul logic este nedistribuit)


138

LOGICĂŞI TEORlAARGUMENTĂR!!...

Iată regulile speciale ale figurii a III-a:

R.l(III) premisa minoră afirmativă R.2(III) concluzia particulară Particularitatea demonstraţiei moduri lor valide din figura a TII-a rezidă în faptul că regulile speciale ale acestei figuri nu ne oferă informaţii despre ambele premise; din ele se pot extrage perechi d e minore afirmative şi concluzii particulare. Acestea sunt: a

?

?

?

?

a o

o

Rămâne să determinăm, pe baza legilor generale a l e silogismului, premisele majore necesare pentru construcţi a unor silogisme valide. Trecând în revistă toate posibil ităţile, găsim şi în figura a TII-a următoarele moduri silogistice valide:

MaP MaS

MiP MaS

MeP

MoP

MaS

SiP

SiP

S oP

MeP

MaS

MaP MiS

S oP

SiP

S oP

MiS

scheme silogistice nu este redundantă. În schimb, remarcăm că aceeaş i concluzie S iP se poate extrage atât din combinaţia de p rem i se «tari» MaP /\ MaS, cât şi din combinaţia mai «slabă» MiP /\ MaS ; simi l ar, concluzia SoP rezultă şi din combinaţia de premise un iv ers al e MeP /\ MaS, d ar şi din p erech e a în care o premisă este particulară MoP /\ M a S Moduril e în c are cele două prem ise universale dau aceeaşi concluzie ca ş i perechea de premise univers a lă + particulară se numesc moduri «tari» sau supraalterne.

În figura a III- a nu putem ave a moduri subalteme şi nici una dintre aceste

.

Sintetic, cele şase moduri valide în figura a III-a sunt următoarele:

1 (III)

MaP /\ MaS � SiP

s au

2(ill)

MiP /\ MaS

s au

3 (III)

MeP /\ MaS � SoP

4(ill)

MoP /\ MaS

S(ill)

MaP /\ MiS

6 (ill)

SiP

aai-e iai-3

S oP

sau

SiP

sau

aii-3

MeP /\ MiS � SoP

sau

eio-3

� �

s au

eao-3 oao e -

Şi moduri le figuri i a III-a au câteva caracteristici argumentative :

În figura a III-a nu se pot deduce concluzii universale;

Atunci când ambele premise sunt afirmative, M

propri etatea P, cât şi p ro p rietat ea S, întemeiază afirmaţi a că

a v ân d

atât

unele


Logica tradiţională a termenilor

139

elemente din clasa S au proprietatea P; cu alte cuvinte, o afinnaţie gen e ral ă este ilustrată prin produ cere a unui exemp lu care o confinnă. Fonnula clasică pentru această funcţie argumentativă este dictum de exemplo; •

Atunci

când premisa majoră este negativă, silogismele din figura a III - a produc un contraexem p lu care infinnă o teză ge neral ă ; fonnula clasică pentru aceste moduri silogistice este dictum de excepto.

3.16.4. Moduri silogistice valide în figura a IV-a

În figura a IV-a, termenii extremi au în concluzie funcţi i logice o pus e celor

avute În premise: P-M M-S s-p

o particul aritate a regu l i l or s p e cial e al e ac e s t e i fi gu ri este ac ee a că nici una nu impune restricţi i c atego r ice vreunei premise ori concluziei; ele impun re str ic ţi i fie unei prem ise în fu n cţi e de proprietăţi le celeil alte pr em i s e, fie concluziei în funcţie de c a li tat ea premisei minore. Din acest motiv, enunţurile regulilor s peci al e ale figuri i a IV -a sunt de formă condiţională. Hl Să adm i t em că premisa majoră este negativă; decurg unnătoarele

consecinţe: •

• •

• •

în premisa maj oră negativă, M este d istribuit ( ca p redi c at logic de propoziţie n e g ativ ă) concluzia va fi tot o p rop ozi ţ i e negativă (L.5) în c on c l uzi a negativă, P este di stribuit (ca pr e d i c at de propoziţie negati v ă) P tre b u i e să fie distribu it şi în premisa maj oră (L.2) ac eas ta presupune ca premisa majoră s ă fie universală.

H2 Să presupunem ap o i că premisa minoră este negativă; co n s ec i n ţe: •

• •

având o premisă negat i v ă (m inora), ceal altă premisă (maj ora) trebuie s ă fie afirmativă (L.4) având în pre m i s a maj oră afinnativă funcţia d e p re d i cat logic, M este nedistribuit în această prem is ă Întrucât M trebuie s ă fie c e l puţin o d at ă di stribuit (L. I ) , singura posibilitate este ca premisa minoră (în care M este subiect l o g i c ) să fie universală având o prem isă n egati v ă, concluzia va fi tot n e gati v ă (L.5) în concluzia negativă, P este di stri buit


LOGICA ŞI TEORIA ARGUMENTAlUl

140

P trebuie să fie tot di stribuit şi în prem isa m aj oră (1.2) aceasta nu se poate realiza decât dacă premisa majoră (în care P este

• •

subiect l ogic) este universală.

H3 Ce se întâmplă dacă premisa majoră este afirmativă?

în prem i s a majoră afirmativă, M este nedistribuit (ca predicat de propoziţie afirmativă)

întrucât M trebuie s ă fie măcar o dată distribuit (1. 1 ), sin gu ra posibilitate în ac est sens este c a premisa minoră (în care M este subiect l o g ic ) să fie o pro p o zi ţ ie universală

IL În sfârş it, să p resupunem că premisa minoră este o pr op o zi ţ ie

afirmativă. •

în premisa mi noră, S este nedistribuit (ca predicat de propoziţie afirmativă)

rezultă că S trebuie să fie tot nedistribuit şi În concluzie (1.2)

concluzia va fi, deci, o pr o p o z i ţie particulară.

Putem sintetiza aceste dem o nstraţ i i în numai trei reguli speciale ale figurii a IV-a : R,l (IV) Dacă o premisă este negativă, atunci : acea premisă este şi universală (ceea ce înseamnă că În silogismele din figura a IV-a nu se admit premise particular negative)

premisa majoră este o

pr o p o z i ţi e

universală

R,2(IV) Dacă premisa maj oră este afirmativă, atunci pre m isa minoră trebu ie să fie o propoziţie universală R,3(IV) Dacă prem i sa minoră este afirmativă, atunci concluzia este o propoziţie parti culară

Pe baza acest o r re gu l i s pe c ia l e se determină următoarele moduri valide: PaM MaS

PaM MeS

SiP

SeP

PiM MaS S iP

PeM MaS

PeM MiS

S oP

SoP

Două dintre aceste moduri sunt «tari» (primul şi a l patrulea); putem adăuga şi în această figură un mod subaltern s au «slab»: PaM MeS SoP


L ogica tradiţională a termenilor Iată

că şi în figura a IV -a există tot şase moduri valide:

1 ( IV )

PaM 1\ MaS ---7 SiP

sau

2(IV)

PaM 1\ MeS

SeP

sau

3(IV ) PiM 1\ MaS ---7 SiP 4(IV ) PeM 1\ MaS ---7 S oP 5 (IV ) PeM 1\ MiS ---7 SaP

sau

---7

aai-4

aee-4 iai-4

eao-4

sau

e i o -4

sau

aeo-4

sau

141

subaltern

6(IV)

PaM 1\ MeS

---7

S oP

Silogismele din figura a IV -a nu au o caracteristică argumentativă net conturată. Specific acestor silogisme este caracterul lor oarecum forţat, neintuitiv, datorat faptului că atât S, cât şi P au în concluzie altă funcţie logică decât aceea care le revine în premise.

3.17. Reducerea figurilor «imperfecte» Demonstraţi a aristotelică a urmat o altă cale. Caracteri sticile silogismelor din figura I l-au făcut pe creatorul silogisticii să le considere m oduri perfecte, acceptând fără demonstraţie val iditatea lor, numai pe criteriul evidenţei intuitive. Restul schemelor silogistice, considerate moduri imperfecte, se consideră demonstrate dacă pot fi «reduse» fiecare la câte un mod din figura 1. Reducerea decurge în două modalităţi di stincte.

3. 17. 1 . Reducerea directă Iată p r incipii l e acestui mod de demonstraţie: un mod imperfect se consideră valid dacă: (i) din premisele lui decurg (prin conversiune) premisele unui mod perfect; (ii) concluziile celor două moduri sunt identice sau concluzia modului perfect implică logic concluzia celui imperfect. Îndeplinirea acestor condiţii este suficientă pentru a proba că în modul imperfect concluzia decurge cu necesitate logică din premisele sale, modul, fiind, prin urn1are, valid. Iată câteva exemp l e ilustrative. Fie silogismul eae-2 ; desfăşurat, el arată astfel: PeM SaM S eP


LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

142

Convertind simplu majora, se o b ţin e un silogism «perfect»: eae- l , cu ace ea ş i con c luzi e : MeP SaM SeP

A lte o ri , conc l uzi a si l o gismulu i pe rfe ct, ob ţinut prin transformare a premi s el or celui in i ţi a l , este alta decât concluzia de demonstrat. Fie silogismul iai-3 : MiP MaS SiP Convertirea premisei minore s e poate face numai prin ac c i d ent; MaS c S iM. Cu două p remis e particulare nu ave m ce face. Pentru a aduce term en i i în di spun erea specifică figurii I nu avem decât o singură s o lu ţi e : inversarea premiselor şi conversiunea simplă a premisei p arti cu l are . S e obţ in e astfel un si l ogi sm pe rfect de forma:

MaS PiM

Pi S

C o n c l uz i a m o dulu i pe rfect este P i S ; din ace asta d ecurg e însă prin conversiune simplă exact concluzia s i l o gismu l u i imperfect de la care am pornit: PiS c-7 S i P. Şi acest mod silogistic se consi deră, prin urmare, va l id . Tehnica reducerii este c om p l et expr im ată prin intermediul un o r denumiri codificate, pe care logicienii medievali le-au atribuit diferitelor moduri silogistice. Iată ace ste denum iri : Figura 1

F i gura II

Fi gura ill

Figura IV

B arbara

Ce s are

Darapti

Fresis on

Ce l arent

Camestres

Dati si

B r amanti p

Darii

Fe stin o

Disamis

C amen e s

Feri o

B aroco

Ferison

Fesapo

Fe l ap t on

Dimaris

B ocardo Silogismele subalterne nu au primit denumiri codificate, deoarece l o g i c ie n i i clasici le considerau redun d ante , neluându- Ie în con s i de raţ i e . Majoritatea literelor din care sunt a l cătu i te aceste d enum i ri au o anumit ă semnificaţie:


Logica tradiţiona/ă a termenilor

143

vocalele in d i că succesiunea propoziţi ilor din care este alcătuit modu l respectiv; de exemplu, modul Barbara este un silogism de fQrma aaa1 sau modul Festino este un silogism de forma eio-2;

c onso anele iniţiale, cu care încep de.numirile modurilor imperfecte indică modul perfect la care se face reducţia; de exe mp lu , modurile

Cesare şi Camestres din figura a il-a se reduc la modul perfect Celarent din figura 1; Ferison şi Felapton din figura a fi-a se reduc la modul Ferio din figura 1 etc.; •

consoanele din interiorul denumirilor codificate ale modurilor imperfecte au următoarele semnificaţii : m

(mutare)

=

s (simpliciter)

transpoziţia (inversarea) premiselor; =

propoziţia precedentă se converteşte simplu;

p (per accidens)

=

propoziţia precedentă se converteşte prin

accident. Iată câteva exemple edificatoare: Cesare (fig. il) -7

PeM S aM SeP

C-7

Camestres (fig.

PaM SeM S eP

(fig.

1)

PaM SaM SeP

il)

-7

seM

XP a M

Dimaris (fig. IV) PiM MaS SiP

Celarent

C-7

Celarent (fig. n C -7

MeS PaM PeS

Darii (fig. 1)

Mas

XP i M PiS

C-7

SiP

Metoda reduceri i directe, prin transpoziţie şi conversiune, eşuează în cazul modurilor B aroco (aoo-2) şi Bocardo (oao-3), deoarece propoziţiile particular negative nu se convertesc. Reducerea directă a acestor două moduri s-ar putea realiza dacă se utilizează şi obversiunea - pe care anticii o cunoşteau, însă o consi derau inap l icabilă În tehnica red uceri i la moduri l e perfecte. Dacă se acceptă obversiunea - ceea ce este pe deplin justificat -, atunci este necesară o nouă consoană semnificativă şi, implicit, noi denumiri codificate. Fie k

=

ob v e rsiu n e a p ro p oz i ţ i ei precedente;


144

LOGICĂ ŞI TEORlAARGVMENTĂRII

Am putea denumi Faksoko modul aoo-2 şi Doksamoks modul oao-3 .

Com bi n aţi a de litere ks

=

contrap oziţia parţială (conversa obversei) a propoziţiei precedente.

Iată cum ar decurge reducerea: �

Faksoko PaM SoM S oP

c� c�

lM S i lM

lM e P S i lM

Pe

S oP

Doksamoks MoP

Ferio

M a SX

-7

Mas MoP

Darii o�

MaS M i 1P

S oP 3 . 17. 2.

c-7

MaS lPiM 1Pi S

c-7

S i 1P

0-7

S oP

Reducerea indirectă

Ne accept ân d uti lizarea obversiunii în tehnica reduc eri i , Aristotel a elaborat o altă metodă de demonstraţie prin reducere la absurd sau "per impossibile", cunoscută şi ca reducere indirectă. Această metodă se bazează pe principiul potrivit căruia din premise adevărate, printr-o schemă de inferentă validă, se obtine întotdeauna o concluzie adevărată - la care se adaugă principiul tertului exclus. Metoda înc epe prin a presupune, prin ipoteză, drept adevărată contradictoria tezei de demonstrat. Dacă în finalul unei suite de raţionamente valide contradictoria tezei se dovedeşte a fi falsă, atunci - conform raportului de contradicţie - rezultă că teza dată spre a fi demonstrată este adevărată. În cazul aplicării sale în dovedirea validităţii silogismelor imperfecte, baza demonstraţiei prin reducere la absurd o constituie modurile valide din figura 1. Iată, spre exemplificare, cum se demonstrează per impossibile sau indirect validitatea modului Baroco.

PaM SoM

Ipoteza: cele două premise sunt adevărate; de demonstrat: SoP este o propoziţie adevărată

SoP •

Presupunem că este falsă concluzia SoP; în acest c az, contradictoria ei SaP trebu ie să fie adevărată.

Combinăm contradictoria concluziei date cu una din cele două premise, în speţă cu premisa maj oră; se obţine un silogism valid, de forma aaa- l :


!:!'gica tradiţională a termenilor

145

PaM S aP SaM

Noua concluzie, obţinută printr-o inferenţă validă, este contradictoria premisei minore (SoM), despre care ştim prin ipoteză că este adevărată

.

Cum printr-o inferenţă validă nu se poate ajunge la o concluzie fal să din prem i se adevărate, Înseamnă că una dintre premisele silogismului derivat este falsă; care anume? Falsă nu p o ate fi decât minora SaP, deoarece des p re maj ora PaM ştim prin ipoteză că este adevărată.

Dar dacă S aP este falsă, rezultă că propoziţia contradictorie este adevărată; or, contradictoria este tocmai SoP. Quod erat demonstrandum.

Iată şi demonstraţia indirectă a modului Bocardo: MoP MaS SoP

Ipoteza : cele două premise sunt adevărate; de demonstrat: SoP este o propoziţie adevărată

Presupunem că este falsă concluzia SoP; în acest caz, contradictoria ei SaP este adevărată.

Combinăm contradictoria concluziei cu una dintre cele două premise, în speţă cu cea minoră; se obţine un si logism perfect, de forma aaa- l :

SaP MaS MaP •

Noua c on clu zie este contradictoria premisei maj ore MoP, despre c are ştim prin ipoteză că este adevărată; deci concluzia MaP este falsă. Cum printr-o inferenţă validă nu se poate obţine o concluzie falsă din premise adevărate, rezultă că sursa faisului din concluzie trebuie să fie una dintre premise; aceasta nu poate fi d ecât maj ora SaP, căci minora MaS este adevărată prin ipoteză.

Dacă SaP este falsă, atunci contradictoria ei SoP este adevărată. Q. e. d.

3 . 1 8 . Forme eliptice şi forme compus e de raţionament silogistic

Ordinea în care se enunţă, în practica argumentăr ii, premisele şi concluzia un ui silogism nu coincide, cel mai ad e sea cu forma s tan d ard , pe c are am stabilit-o în mod convenţional . ,


146

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

3. 18.1. Entimema Mai mult decât atât, în expunerea efectivă a diferitelor argumente, se manifestă frecvent tendi nţa de a eluda ceea ce se consideră de la s i n e înţeles. De multe ori o concluzie este argumentată silogistic fără a se m en ţ i o n a explicit ambele p rem i s e; alteori se enunţă nu mai prem i s e l e , extragerea concluziei fiind considerată de ordinul ev i de n ţe i .

(i) Atunci când spunem: "Unele patrulatere sunt pol i go ane re g u l ate , deoarece au laturile ş i un gh i u ri l e con gru ente" , am în cep ut prin enunţarea concluziei unui sil o gi sm de forma aii- l , invocând apoi drept expl i c aţi e premisa minoră, su b în ţe l e asă fiind premisa majoră "Toate poligoanele cu laturi şi unghiuri congruente sunt regulate" .

(ii) Atunci când spunem : "Toate p ol igo an ele cu laturi şi un gh iur i congruente sunt regul ate , deci pătratele sunt po l igo an e regu late " , am expus e l iptic un s i l o g ism de forma aaa- l , începând cu premisa majo ră, urmată direct de con cluzie, fiind s u b în ţe l e as ă premisa minoră: " Toat e pătrat e l e au l at uri le ş i u n ghi urile c ongru en te ". (iii) Este suficient să enunţăm împreună premi se l e unui silogism de fo rm a eio- l : "Nici u n recid ivist nu poate fi an g aj at , or unii dintre c an did aţi s unt recidi vi şti ", pentru a n u mai fi n ec es ară şi fo rm ulare a (de la sine în ţe leas ă) a concluziei: "U n i i c andid aţ i nu pot fi an gaj aţ i " .

Astfel de argumentări si l ogisti c e prescurtate, în c are una dintre premise ori concluzia n u s u nt en u nţat e , fi i n d s u bîn ţe l e s e , poartă numele de entimeme şi se În t âl n e s c extrem de frecvent în di scursul argument ati v p racti c , de uz curent. 3 . 1 8.2.

Polisilogismul şi soritul

Te ndi n ţa g ân di r i i naturale de a face «economie de efort», spunân d cât mai multe prin cât m ai p u ţ i n e cuvinte, el iminând fragm ente l e de di scurs redundante, se manifestă şi în alte m odal i t ăţi , atunci când este necesară expunerea unei succesiuni de argumente si l o g i st i ce , toate conducând la o si n gu ră concluzie final ă. Se n um e şt e polisilogism u n lanţ de două sau mai multe si logisme s im ple , în care concluzia fi e c ă r ui silogism ( afară , fireşte de u ltim u l ) este folosită ca p rem i s ă în cel u rm ăt or. Sil o gis m el e simple înlănţuite într-un po li si lo gi s m pot să fie toate de acee aş i figură sau de fig u ri diferite. Iată două exemple s c h e m at i c e care ilu strează ambele situaţi i :


147

--�------

eae- l eae-l eio- l

--�------

eae- l e io 2 -

------

--�------

oao-3

Se nume şte sorit un polisilogism în care concluziile intermediare nu se enunţă, ci se subînţel eg. Dacă în ce le două exemple anterioare supri;n ăm concluziile tuturor si logismelor simple, afară de ultimul, se obţin soriţi i : Nici u n D n u es te E

Toţi C sunt D

Toţi C sunt D

Nici un D nu este E

Toţi B sunt C

Toţi B sunt A

Uni i A sunt B deci , Unii A nu s u n t E

3.18.3.

Unii B sunt E

deci, Unii A nu sunt C

Epicherema

Epicherema este un raţi onam ent silogistic compl ex, în care apar ca verigi mai mu lte entimeme (cu câte O premisă suprimată) . Iată un exemp lu schematic: Nici un A nu este B, pentru că toţi A s u nt C Toţi C sunt B, pentru că sunt D Unii E s unt C

Unii E nu s un t A

Validitatea unei epichereme depinde, pe de o parte, de vali d it at e a entimeme lor care intră În alcătuirea ei, iar pe de altă parte, de corectitudinea formală a extragerii concl uziei finale din concluzi ile lor ş i din restu l prem i s e lor .


148

LOGICĂ ŞI TEOR1A ARGUMENTĂRJI

Exercitii ,

1. Demonstraţi pe baza legi lor generale ale si logismului (L. I - L. 5) că dintr-o premisă universală şi una parti culară nu se poate deriva decât o concluzie particulară (L. 7) 2. Ştiind că termenul maj or este distribuit în premisa maj oră şi nedistribuit în concluzia unui silogism valid, să se determine silogismul. 3. Să se demonstreze că d acă concluzia unui sil ogism valid este o propoziţie universală, atunci termenul mediu poate fi distribuit numai o singură dată. 4. Dacă premisa minoră a unui silogism valid este negativă, ce ştim despre poziţia termenilor în prem isa maj oră? 5. În ce figuri avem un silogism valid în care un singur termen este di stribuit şi acela numai o singură dată? ' 6. Există în vreuna dintre fi gu ri un mod silogistic val i d în care termenul mediu să fie di stribuit în ambele premise? 7. Să se demon streze că dintr-o premisă majoră particular afirmativă şi o minoră negativă nu se poate construi un si logism val id în nici o fig u r ă silogistică. 8. Dacă termenul maj or al unui silogism valid este predi cat în premisa maj oră, ce putem stabil i cu privire la premisa minoră? 9. Să se demonstreze că dacă concluzia unui sil ogism val id este o propoziţie universală, atunci termenu l mediu nu poate fi distribuit decât o singură dată. 10. Să se demonstreze că dacă termenul minor este predi cat logic în premisa minoră a unui silogism valid, atunci concluzi a nu poate fi o propoziţie universal afirmativă. 11. Dacă prem isa minoră a unui si logism valid este o propoziţie particular negativă, să se determine figura şi modul silogismului. 12. Să se arate că modul i e o este invalid în orice figură sil ogistică. 13. Să se demonstreze că propoziţiile universal afirmative pot fi concluzi i numai în figura r. 14. Să se determine modurile silogistice valide care conţin numai doi termeni distribuiţi , fiecare de câte două ori . 15. De ce, atunci când termenul minor este predi cat în premisă, conc luzia nu poate fi u ni vers al ă afirmativă?


AI '4'

LOGICA MODERNĂ PREDICATELOR

Logica mod ernă a term e n i l or este e l ab o r a t ă cu m ij lo a c e mai precise şi

mai s o fi s t i c at e d e cât cele util i zabile în teori a clasică a s il o gism u l u i . Într-o abordare extensională, inferenţel e imediate cu pro p oziţii c at e g o ri c e şi raţ i o na m entele s i l og i sti c e sunt anal i zate ş i d em o n s tr ate Într-o logică a claselor. C l a s a fi i nd o mulţime de e l em ente , grupate d u p ă anumite

criteri i de aparten enţă, p o a t e fi as i m il ată cu sferţ} unei n o ţi u n i . Propozi ţi i l e categorice enunţă an u m it e re l aţii între c l ase de obiecte, denum ite p r i n n oţ i u ni l e care sunt corel ate î n r e s p ec t i v e l e p r o p o z i ţi i . Universal e l e afirmative, d e forma SaP, spun că m u lţi m ea sau c l a s a S este i nc l u s ă în m u l ţimea sau c l as a P, a s tfe l încât orice element care aparţine lui S, aparţin e , totodată, şi clasei mai cuprinzătoare P. O clasă de o b i ecte se define şte Însă prin an umite criteri i , în funcţj e d e care să putem ş t i c u certitudine d es p r e orice ent itate oare care x dacă aparţi n e sau

nu ca element c l a s ei respective. Atunci c ând vorbim despre clasa mamiferelor, trebuie s ă i n d i căm cel puţi n o caracteri stică esen ţială, sine qua non, a căre i prezenţă face ca o vieţuit oar e să fi e mam ifer - r e s pe c t iv a cărei a b s en ţă să exc ludă orice an imal d i n rândul m am i ferel or. Cu alte cuvinte, sfera unei noţiuni se p r eci z e ază în fu n cţ i e de c on ţin u t u l ei, iar teoria l og i că a c lasel or ( d esp re care nu vom spune mai multe aici) pr e s u pu ne o te o r ie l og i c ă mai fun damental ă, ca abordare intensională a p ro p o ziţi i l o r cat e go ri c e , numită logica predicatelor: un si stem din cadrul logicii simbolice sau matemati ce, c o n s t r ui t c a instrument de a na l i z ă formală a p r o p oz i ţ i ilor complexe.


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

150

4 . 1 . Vocabularul logicii predicatelor

Logica predicatelor este o extindere a calculului propoziţional, pe care îl presupune, înglobând limbaj u l şi legi le sale logice. Elementele «atomare» în logica propoziţiilor sunt propoziţi ile simple, a căror unică propri etate ce interesează este valoarea logică (adevărul sau falsitatea), în funcţie de care, prin uti lizarea operatorilor (inter)propoziţionali, se con struiesc propoziţii «moleculare» sau comp us e . Studiul logic al predicatelor «sparge» propoziţi ile simple, pătrunde în structura lor internă şi elaborează un l imbaj capab i l să exprime elementel e care alcătuiesc propoziţiile categorice şi proprietăţile lor logice. Fie propoziţii le :

Ex } "Orice mamifer este o fiinţă sexuată" ori , altfel spus, "Orice mam ifer este sau mascul, sau femelă" şi

EX2 "Unele mamifere sunt asexuate".

fi notată p

1

(având valoarea logică «adevărat»), i ar EX2 q O (fiind «falsă»). Dacă ne interesează alcătuirea sau structura interioară a acestor propoziţii, limbajul calculului propoziţional s'e dovedeşte insuficient şi, din acest motiv, trebuie dezvoltat. Atât în Ex} , cât şi în EX2 se vorbeşte despre clasa (mu lţimea) de obiecte ,,mam ifere", cărora li se atribuie ori li se resp inge o anumită însuş ire sau propri etate comună - în speţă, caracterul sexuat, exprimabil prin disjuncţia exclu­

În l imbaj u l calcu l u l u i propozi ţional, propoziţia Ex}

ar

=

=

sivă "sau mascu l, sau femelă". Această însuşire se numeşte p redic a t - de unde şi denumirea dată studiului formal al propoziţi ilor complexe. Aceste predi cate sunt exprimate simbol i c prin maj uscule de la mij l ocul alfabetului: F, G, R, . . . , numite variabile predicative. Mai constatăm că EX 1 se referă la toate elementele clasei mamifere ; cu alte

cuvinte, sfera subiectului logic al propoziţiei (universală afirmativă) este determinată prin cuantorul universal - în vreme ce sfera subiectului logic din EX2 este specificată prin cuantoru l exi stenţial unele mamifere. Cel mai adesea,

cuantorii sau cuantificatorii) se notează prin s imbolurile V

"orice, ori care, toţi, toate, nici un, nici o" şi :3 - cuantorul exi stenţi al, specific propoziţi i l or p arti culare, introduse prin "unii" sau "unele", dar cu sensul mai precis (de l a care îi vine şi denumirea) "există cel puţin un ... " . Aceşti cuantori, prin a căror prezenţă, marcată simbolic, propoziţi i l e -

cuantorul universal

simple sau compuse devin propoziţii complexe, se referă direct l a elementele individuale din sfera subi ectului logic, cărora le revine În suş irea - pred icat; toate la un loc, aceste el emente formează extens iunea clasei caracterizate şi del imitate


151

Logica modernă a predicateloT

de către o anumită însu ş i re . Aceste elemente ind i viduale se notează cu literele m i c i

de la sfârşitul alfabetului : x, y, z, numindu-se variabile individuale sau variabile ­ ob iect. Dispunem acum de to t ceea ce ne trebuie pe n tru a e xprima s i mbol i c propoziţi il e complexe EXt ş i EX2. Faptul că un element individual o arecare din clasa mamiferel or (x) posedă însuşirea sau predicatul de a fi sexuat (H) s e notează prin formula Hx, care se c iteşte ,,x este H" sau , ,x are p ropri e tate a H". Cuantorul

universal , pre zen t în Ext , se notează Vx şi se citeşte "pentru orice x. . . . " s au "oricare ar fi x . . . ". Prin i n trodu cere a cuantorului, EXj d e v in e o schemă

predicativă de forma Vx fu, p e care o citim "oricare ar fi x, x are pro p ri et ate a H".

Dar în această notaţie nu am precizat criteriul de apartenenţă a oricărui element x la clasa "mamifere" ; fără precizarea acestui aspect, x ar putea fi orice entitate din universul infinit, ceea ce ar face ca, în imensa maj oritate a cazurilor, propoziţia EXI să fie falsă. S pecific ân d că orice x din clasa m amiferelor posedă proprietatea de a fi mascul sau femelă, construim o schemă predicativă de formă condiţională, ce arată astfel :

Fmt

Vx [ Fx � (Gx +

1 0x) ]

femelă" - n otaţi i l e fiind evidente : F = mam ifer, G = mascul, 1 G adică femelă. După aceleaşi reguli, Exz se v a nota simbolic astfel :

şi care se citeşte : "oricare ar fi x, dacă x este mamifer, atunci x este sau mascul , sau

Fm2 sau este G (mascul) sau este

3x [ Et A

care se citeşte : "exi stă cel puţin un

x,

=

non-mascul,

1 (Gx + 1 Gx) ]

as tfel încât x e s t e F <mam ifer) ş i e fal s că

1 G (femelă)".

x

S i ntetic, iată ce notaţii simbolice sunt prezente în «vocabul arul» logicii predicatelor: 1;

;

1)

variab ile propoziţionale: p, q,

2)

operatori (conectori) interpropoziţionali:

3)

constante alethice:

1

=

. . •

ad e v ărat , O = fals;

1, A,

V, +, �, H etc . ;

4) paranteze; Până aici, avem simboluri le calcu lul propoziţional ; specifice logi c ii p re d i c ate l o r sunt, în continuare:

1)

variabile predicative: F, G , H , . . . ;

2)

variabile individuale:

3)

cu an to ri : V, ::3

x,

y, z;


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

152

În EXI şi EX2 am introdu s numai noţiuni absolute: "mamifer", "mascul " sau "femeIă", astfel încât oricare e l ement x din clasa mamiferelor poate avea sau nu pro p rietatea de a fi mascul s au femelă. Aceste predicate care stau în relaţi e cu un singur element individual, exprim at printr-o variabilă obiect, se num � sc monadice - de forma Fx, Gy, Gz etc. Atunci când în propoziţi ile c o mplexe avem noţiuni relative, este necesară uti lizarea unor pre d icate poliadice (diadice, triadice, . . . , n -adice) în care, pe lângă v ari abi l a predicativă stau It variabil e individuale. De exemp lu, fie p ropo ziţia: EX3 " Unii bărbaţi sunt căsătoriţi",

exprimată simbolic astfel:

Fm3

Notând F

=

3x (Fx 1\ 3y Gy,x)

"bărbat" ş i G = "căsătorit", remarcăm faptul că noţiunea

"căsătorit" este relativă, căci un bărbat nu poate fi în mod intrinsec însurat, aşa cum este înalt, brunet sau diabetic, ci mariajul este o relaţie cu o persoană de sex opus (cel puţin până de curând o situaţie fără exc epţi i - cine ştie cum va fi de-acum înainte? ! ) . Vari abila predicativă G este, prin urmare, di adi c ă, urmată fiind de două variabile individuale, între care se stabileşte o proprietate relaţi onală. Dacă x este un bărbat, el poate fi căsătorit numai dacă exi stă cel puţin un y (adică o femeie) cu care să posede împre u nă atributele mariaj ului . De aceea, fom1Ula preci zează că "există cel puţin un x, astfel încât x este bărbat şi există cel p u ţin un y (femeie) cu care x este căsătorit" . •

4.2. Valoarea logică

a schemelor predicative

D istingem două tipuri de scheme predicative: •

În formele de genul Fx, Gy sau 3y G(y,x), există cel puţin o variabilă individuală care nu intră în sfera de acţiune a nici unui cuantor. A stfel de variabile individuale se numesc libere, iar formulele care conţin cel puţin o variabilă ind ividuală l iberă se n u mesc deschise.

În formule cum sunt Fml sau Fm2 nu exi stă nici o vari abi l ă individuală l iberă; astfel de formule s e numesc Închise, iar v ariab il e l e individuale din cuprinsul l or, toate cuantificate, se numesc vari abile

legate.


1 53

Logica modernă a predicatelor

Schemele predi c at i ve deschise sunt nedefinite sau nedeterminate s ub

a spec tul valorii lor logice, deoarece nu le c o respun de o extensiune pre c is delimitată. ° formulă de genul Fx, în care F poate să însemne indiferent ce însuşire pre di c at, i ar x un lucru oarecare, nu este, ca atare, nici adevărată, nici falsă. Dacă, d e exemplu, F = "patrulater", Fx - care se citeşte ,,x este p atru l at er " - nu are valoare de adevăr atâta timp cât sfera lui x nu este precizată prin cuantificare . Prin acţiunea cuantorilor asupra tuturor variabilelor individuale din schemele predicative închise, devine posibilă stab ilirea valorii de adevăr a acestor ori care ar fi x, x este patrulater" este o expre si e în mod

evident falsă, în vreme ce 3x Fx = "exi stă cel puţin un x c ar e este patru later" este o expresie adevărată. S chemele predicative înch i s e au valoare logică deoarece cunatorii, care «leagă» toate variabilele individuale, împreună cu interpretarea variabilelor predicative, pun întreaga formulă în relaţi e cu o anum ită extens iune, ce apare ca gen faţă de sferele noţiun ilor exprimate prin litere le predi cat. Această extensiune scheme. Astfel, Vx Fx =

"

la care se referă o schemă predicativă închisă se numeşte "univers al discursului" ş i se notează cu U. În e x emplu l de mai sus, U = " c la s a poli goanelor", între care exi stă elemente cărora le revine pred icatu l "patrul ater". Pentru evitarea unor absurdităţi sau a unor c o n s ec i n ţ e inacceptab i le, se stipulează condiţia ca U să nu fie, În nici un vaz, o mulţime vidă. Prin raportare faţă d e U (un "univers al discurs ului" preci s delimitat) ,

valori le al eth ice ale schemelor predicative închise se prezintă astfel:

Vx Fx = 1 dacă ş i numai dacă extens iunea (clasa) delimitată de F epui­ zează p e U; cu alte cuvinte, predicatul F revine fiecărui element x din mulţimea U. De exemplu, dacă U = clasa numerelor prim e, este adevă­ rată propoziţia: "Orice număr prim se divide numai cu 1 şi cu el însuşi".

• _

Vx Fx = O dacă şi numai d acă extensiunea clasei delimitate de F nu epuizează pe U, astfel încât există în mulţimea U elemente care nu au propri etatea F. De ex emplu , în cadrul aceluiaşi U mulţimea numerelor prime, propozi ţia "Orice număr prim este impar" se =

dovedeşte a fi falsă, deoarece exi stă o excepţi e, şi anume numărul 2. •

3x Fx = 1 dacă şi numai dacă exi stă în sfera lui U c e l puţin un element

căruia îi revine predi catu l F; cu alte cuvinte, clasa delim itată de predi catul F nu este vidă. Conform celor stabil ite anteri or, propoziţia "exi stă numere prime pare" se doved eşte adevărată. •

3x Fx

O dacă şi numai dacă extensiunea delimitată de predicatul F este o mulţime vidă (care nu conţine nici un element) . Este, de exemplu, falsă afirmaţia că "Exi stă numere prime divizibi l e cu 2 ş i cu =

3 Î n acelaşi timp" .


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTARII

1 54

4.3 . Câteva proprietăţi ale cuantorilor După cum am văzut, formulele şi legile logice din calculul propoziţional sunt asimilate în logica predicatelor. Între operatorii interpropoziţionali şi cuantori există o serie de rel aţii deosebit de importante în construcţia unui calcul al predicatelor. 4.3 . 1 .

Relatii de echivalentă Între cuantori ,

,

Este posibilă transformarea unui cuantor în celălalt, cu aj utorul negaţiei, într-un mod analog legilor lui Augustus de Morgan . S e obţin astfel aşa-numitele relaţi i de echivalenţă între cuantori : LL.1

LL.2

\ix Fx H l 3x l Fx :::Ix Fx H 1 \ix l Fx

LL.3

1 \ix Fx H 3x l Fx

LL.4

l :::lx Fx H \ix l Fx

Ca şi în cazul legilor lui De Morgan din calcul u l propoziţional, transformări l e se fac în aceleaşi etape: cons iderând negaţia în faţa cuamoru lui drept negaţi e a întregii formule, pentru a transforma unul dintre cuantori în celălalt, se schimbă semnul cuantorului, se neagă întreaga formulă şi, în sfârşit, se neagă form ula de după cuantor (ţinând cont, acolo unde este cazul, de dubla negaţie, echival entă cu o afirmaţie). Aceste formule apar nemij l ocit evidente sub aspectul conţinutului. Ele ne dau posibilitatea să aducem toate expresi ile la formule în care să apară numai cuantorul universal , respectiv numai cel exi stenţial . În orice domeniu nevid sunt apo i valide implicaţi ile: LL.5

LL.6

\ix Fx -7 Fy Fy -7 3x Fx

ŞI

Şi aceste legi sunt evid ente în ceea ce priveşte conţinutu l l or. Prima spune că o proprietate ce revine tuturor indivizilor din clasa U revine şi unui individ oarecare y. Rel aţia este cuprinsă în prima parte a principiului clasic numit axioma

silogismului dictum de omni et ll ullo. A doua impli caţie spune, în mod banal, că

pentru o propri etate oarecare F, care revine unui individ oarecare y d in clasa U, urmează că exi stă şi un x căruia îi revine proprietatea F.


Logica modernd a pred/cate/oT

plicaţiei (dac ă p � q ş i q �

lSS

Aplicând o lege demonstrabilă în calculul propoziţional

am

r

- tranzitivitatea im­

sunt adevărate, atunci este adevărat ş i p

� r,

pe care

întâlnit-o ca regu l ă a silogismului ipotetic, notată SI), rezultă din LL.5 şi LL.6:

LL.7

Vx Fx � 3.x Fx

D in LL.7 rezultă l imp e de motivul pentru care trebui e sti pul ată c ond iţ i a ca U să nu fie o mu lţim e vidă. D ac ă în U nu s-ar gă s i nici un element, antec e d en tul im p l i caţ i e i L1.7 ar fi universal ad ev ărat , deoarece nu s-ar putea gă si nici un

i ndi vi d în U care să nu aibă proprietate a

F, anulând adevărul schemei predicative VxFx. În sch imb, consecventul implicaţi ei L1.7 ar fi în mo d universal fals, deoarece nu s-ar putea găsi nici un individ în U car e să aibă proprietatea F. Prin aceste consecinţe, L1. 7 ar fi o implicaţie de forma 1 -7 O c are , după cum ştim din d efi n i ţi a matric ială a conectorului, este falsă. (În practica argumentării, această re str i c ţie nu este e se nţi a l ă , deoarece în imensa maj or itat e a cazur i l o r avem de-a face cu domenii nevide.)

4 . 3. 2 .

Raporturile cuantorilor cu conj uncţia şi disj uncţia

Condiţia definirii acestor raporturi dintre cuantori, pe de o parte, conjuncţie şi disj uncţie, pe d e altă parte, este aceea ca «universul discursului» să conţi nă u n număr lim itat de elemente; simbolic U =

{al , a2 , . . . a/1 }

Cu această condiţie, cuantorul universal p o a t e fi expri mat în limbaj u l calculului propoziţional ca o c onjun cţi e a tuturor elementelor care ap arţi n lui U:

LL.8

Vx Fx

H

(Fal

/\

Fa2

/\ . . . /\

Fan)

d i n mulţimea elementelor lui U are propri e t at ea F, atunci conj uncţia tuturor schemelor predicative de fo nn a Fx (x E U) e s te în orice c az D acă orice

x

adevărată" întrucât toţi membri i conj uncţi ei au valoarea l ogică 1 . Păstrând aceeaşi con diţi e a un iversului d e d i scurs lim itat, cuantorul existenţial se p oate asimila cu o disj un cţie neexc/usivă a t u turor elementelor care aparţin lui U.

LL.9

3x Fx H (Fa l v Fa2 v . . . v

Fan)

din mulţ i m e a U are proprietatea F, at u nc i disj uncţia tuturor schemelor predi cative de fo rm a Fx (x E U) este în orice caz

Dacă cel puţi n un element

x

adevărată, odată ce măcar un membru al d i sj uncţiei are valoarea logică 1 . Cuantorul universal este distributiv faţă de conjuncţie, astfel încât :


156

LUGiCA ŞI TEORlA ARGUMl:.N1AJUl LL.lO 'l/x (Fx /\ Fx)

(-7

'l/x Fx /\ 'l/x Gx

Demonstraţia se bazează pe LL. 8, conform căreia primul membru al echiva­ lenţei de mai sus devine: (Fal /\ Gal) /\ (Fa2 /\ Ga2) /\ . . . /\ (Fan /\ Gan), iar ce l de-al doilea membru se transformă în: (Fal /\ Fa2 /\ . . . /\ Fan) /\ (Gal /\ Ga2 /\ . . . /\ GaD). Cei doi membri ai echivalenţei LL. I 0 sunt expresii conjunctive care conţin exact aceleaşi elemente, aranjate însă în ordine diferită; întrucât conj uncţia este comutativă şi asociativă, cele două şiruri de conj uncţii pot fi aduse la exact aceeaşi fonnă. Prin acelaşi gen de demonstraţie, folosind comutativitatea şi asociativitatea disj uncţiei, se arată că şi cuantorul existenţial, la rândul său, se distribuie pe lângă disjuncţie: LL. ll

3.x

(Fx v Gx)

(-7

3.x Fx v 3x Gx

Cuantorul universal nu se distribuie faţă de expresiile disj unctive, m C i cuantorul existenţial nu se distribuie faţă de expresiile conj unctive. Sunt, totuşi, legi logice următoarele impl i caţi i : LL.1 2 ('l/x Fx v 'l/x Gx) LL.13

3x (Fx /\ Gx)

-7

-7

'l/ x (Fx v Gx)

(3x Fx /\ 3x Gx)

Exercitii ,

1 . Transpuneţi următoarele propoziţii din limbajul natural în limbajul simbolic al logicii predicatelor:

a) Orice număr întreg este sau par, sau impar. b) Există cel puţin un număr prim divizibil cu 2 .

c ) Oricare a r fi numărul x, exi stă u n număr y mai mare decât el. d) Cel mai mare număr nu există.

x, y , z astfel încât diferenţa dintre mai m ică decât produsul lui x cu z.

e) Există astfel de numere

x şi

y este

f) Mihai nu poate cânta la nici un instrument. g) Miha i nu poate cânta la orice instrument.

h) Orice om admiră cel puţin un actor de film. i) Nu exi stă frizer care să bărbierească numai pe acela care nu se bărbieresc singuri.

j ) Orice persoană care re spectă cel puţin o persoan ă se respectă pe sine.


2. Care este domeniul scheme predicative?

a) 'v'x Fx " Gy

b) 'v'x 3x G (x, y)

c) 'v'x (Fx " Gy) v fu

117

de acţiune al cuantorilor din unnItoarele exemple de d) 'v'x 3y O(x,y) " H(x,y) e) 'v'x [(Fx � Ox) v 1 fu]

3y Gy

O 3x'v'y (Fy " Ox) � H(x,y)

3. Care dintre expresiile următoare sunt corecte şi care sunt incorecte,

tinând seama de regula poziţie i şi ordinii cuantorilor?

a) 'v'x Vy Fx,y H Vy Vx Fx,y

d)

Vy 3x Fx,y � 3x Vy Fx,y

c) 3x 3y Fx,y H 3y 3x Fx,y

e)

Vx 3y (y >x)

a) Vx (Fx � Gx)

e)

b) 3x (Fx v Gx)

O 3x Fx

d) 3x (Fx 1\ Gx)

g) Vx (Fx v Gx) h) 3x (Fx � Gx)

b) 3x Vy Fx, y � Vy 3x Fx,y

3y Vx (y > x)

4. Negaţi următoarele expresii cuantificate:

c) Vx (Fx " Gx)

Vx Fx

4.4. Problema deciziei în logica predicatelor Metodele de decizie din calculul propoziţional - prin care putem stabil i dacă o expresie oarecare, bine formată î n limbajul sistemului, este lege logică (tautologie),

contradicţie

logică

(inconsistentă)

sau

contingent

realizabilă,

aducerea expresiei a cărei valoare logică v rem să o determinăm la forma ei

funcţionează şi în logica predicatelor, cu o condiţie suplimentară şi prealabilă:

prenexă.

4.4.1. Forme prenexe

Prin formă prenexă se înţelege

o s chemă

predicativă în care toţi cuantori i

cuantor nu este negat, acoperind sau captân d întreaga formulă care îi urmează.

din alcătuirea ei se află în faţa schemei respective - ca un fel de «prefix»; nici un Aducerea oricărei scheme predicative la forma prenexă se bazează pe

câteva reguli de transformare, în rândul cărora intră: •

legile de distribuţie a cuantori lor (LL. l O şi echivalenţele cuantori lor (LL. 1

la care se adau gă următoarele sase ech ivalente : •

-

4),

LL. l 1 );


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂlUI

158 LL.14 \fxFx H \fyFy H \fzFz LL.15 3xFx H 3yFy H 3zFz •

Numite reguli de reliterare, echivalenţele de m a i sus s u nt evident valabile, dacă avem în ved ere definiţiile cuantorilor. \fx înseamnă "oricare ar fi individul x, y, Z e tc din clasa U, el a re propriet a tea F"; 3x îns e amn ă "exi stă în cla sa V cel puţin un individ, fi e el x, y, Z etc . căruia îi revine proprietatea F". .

LL. 1 6

(\fxFx /\ p) H \fx(Fx /\ p)

Demo ns traţia o vom face prin metoda deciziei prescurtate :

HI

p

=

1 ; cons e cin ţe :

ambi i termeni ai e chiv a lenţe i se reduc la \fxFx;

întrucât e chivale n ţa este reflexivă, 'dxFx H VxFx este adevărată.

H2 • •

p

=

O; con s e c i nţ e :

O H O este, din nou, ega l cu un adevăr logic ambi i termeni ai e chiva l enţe i sunt falşi;

.

Simi lar se demonstrează ş i celel alte regu l i de tran sformare : LL. 1 7

(\fxFx v p)

H

LL. 1 8

(3xFx /\ p) H 3x(Fx /\ p)

LL. 1 9

(3xFx v p)

H

\fx(Fx v p) 3x(Fx v p)

După cum se o b s erv ă în echivalenţele LL. 1 6 - LL. 1 9, schemele pre dic ative adm it printre c o m p on entele lor şi v ariab i l e propoziţionale. Trebuie proced at întotdeauna astfe l încât să nu ex i ste în cuprinsul v reu n e i formule propoziţionale nici o variabi l ă l iberă care să coincidă cu o altă variabilă legată din cuprin s ul schemei pre d icativ e - deoarece, prin aducerea cuantorilor în faţa schemei p redicati v e, acea variabilă propoziţională liberă ar intra în aria de referinţă a cuan tor i l o r ceea ce dă naştere la erori logice. Din ac e l a şi motiv, este o b ligatoriu ca, în cazurile în care schema pred i c ativă con ţ in e cel puţin o variabilă individuală l iberă, să se ev i t e transformarea ei în variab i l ă l egată, prin aducerea cuantoril or în faţa expresiei . Având formula \fxFx v Gx, am proceda greş it dacă am trece direct la formu l a \fx(Fx v Gx), deoarece x liber din Gx a devenit l e gat , căzând sub acţiune a cuantorului universal . Pentru evitarea unor astfel de erori, atunci când schema predicativă conţin e şi variabile individuale libere, în a int e de adu c erea cuantorilor în faţa schemei p redic at ive , se va proceda la reliterarea tuturor acelor c u anto ri a căror mutare în p refix ar conduce la captarea de variabile libere. Procedând astfel, prin (LL. 1 4) formula iniţială devine mai întâi 'dyFy v Gx şi ab ia u l terior \fy(Fy v Gx), c are este un exemplu de formă prenexă. ,


159

Logica modernă a predica/elor

· Atunci când în schemele predicative apar alţi operatori propoziţionali decât conj uncţia şi disj uncţia, precum +, �, H etc., ei sunt înlocuiţi (utilizând D . I D.5 d in capitolul 2, consacrat c alculului propoziţional) cu operatorii de bază - conjuncţia s au disj uncţia. Fie, de exemplu, formula: -

F1I4 Pentru transformări: II

aducerea

ei

la

forma

prenexă,

se

efectuează

următoarele

se înlocuieşte operatorul implicaţiei, după modelul formulei p � q H l p v q , astfel încât FIl4 devine

Fm. •

V'x(Fx � 3yGyx)

V'x( l Fx v 3yGyx)

prin aducerea cuantorilor în faţa schemei predicative, se obţine forma prenexă:

Fm

••

V'x3y( l Fx v Gyx)

În cazul în care schema pred icativă ar

fi conţinut o impl icaţie negată, de

fofIT',a :

Fms

V'x l (Fx � 3yGyx)

eliminarea impl icaţi ei s-ar face mai uşor după formula l (p� q ) H P /\ l q . Aducerea la forma prenexă a formu lei Fms ar parcurge următori i paş i :

V'x(Fx /\ l 3yGyx)

\1

Fm*

CI

prin ech ivalenţele cuantori lor, ap licând LL.4, obţinem

Fm.. "

V'x(Fx /\ V'y l Gyx) V'xV'y(Fx /\ l Gyx)

ap li când LL. 1 6, obţinem forma prenexă

Fm...

4.4.2. Decizia cu ajutorul formelo r prenexe

Atunci când avem de-a face cu inferenţe de forma unor implicaţii în logica predi catelor, aducerea la forma prenexă a schemelor predi cative ne poate proba direct dacă acestea sunt inconsi stente sau nu. FOffila prenexă nu ne poate Însă arăta direct, în cazul unei scheme predicative realizabile sau consistente, dacă formula este tautologi că sau numai contin gentă. Această limită poate fi în să depăşită printr-o suită de operaţi i . Fie inferenţa imed iată : EX4 Ex i s tă cel puţin un poet pe care îl cunosc toţi român i i ; prin urmare , orice român cunoaşte cel puţin un poet." "


160

1.

concluzia.

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRlI

în primul rând, se exprimă simbolic părţile inferenţei: premisa şi

a) Premisa, adică propoziţi a "Există cel puţin un poet pe care-l cunosc toţi români i", conţine unnătoarele elemente: •

fi re d ate prin schemele predicative:

trei noţiuni, dintre care două, "poet" şi "români" sunt absolute, p u tân d Fx = ,,x est poet" şi Gy = "y este român " ; cea de-a trei a noţiune, "a c unoaşte " , este re l ati v ă ş i o putem exprima simbol ic prin schema diadică Hyx = "y c u n oaşt e x " ;

în premisă apar şi doi cuantori: cel exi s te n ţial "există cel puţin un . . . " se referă Ia x şi cel uni v er s al "t oţi , oricare" se referă Ia y;

pronumele rel ativ "care" i ntro d uc e o conjuncţie, d e c i un operator propoziţional, la care se mai adaugă o implicaţie, pe care o evidenţiem transcri ind sensul premi s ei în form a e i logică pe d e pli n exp licită: "Există cel puţin un x a stfel încât x este poet şi o r i ca re ar fi y, d ac ă y este român, atunci y c u n oaşte x" . A c es te i expresii predicative îi c orespu n de formula:

a)

3.x [ Fx

0)

'lty [ Gy

1\

'lty(Gy -1 Hyx) ]

b) Concluzia este de forma logică explicită " O ri c ar e ar fi y, dacă y este român, atunci exi stă cel puţin un x, astfel în cât x e st e poet şi y cuno a ş te x" . G ăs i m aici aceleaşi el emente ca şi cel e din premisă, pe care le redăm s i m bo l ic în formula: -1

3x (Fx 1\ Hyx) ]

Prin urmare, i n fe ren ţei a => j3 îi c orespunde formu l a : Fmu

3x [ Fx 1\ Vy(Gy -1 Hyx) ]

-1

'lty [ Gy -1 3x (Fx 1\ Hyx) ]

Prima etapă se închei e construind n egaţia implica/iei date spre verificare:

l Fmu

3x [ Fx 1\ Vy ( Gy -1 Hyx) ]

1\

l 'lty [ Gy -1 3x (Fx Hyx) ] 1\

II. Se transform ă fiecare m emb ru al c o nj u nc ţ ie i de mai sus în forma p r en exă :

a) 3.x [ Fx 1\ \ty ( Gy -1 Hyx) ] H 3x\ty [ Fx 1\ (Gy -1 Hyx) ] 0)

l 'lty [ Gy -1 3x (Fx 1\ Hyx) ] H 3y l [ GY -1 3x (Fx 1\ Hyx) ] H 3y [ Gy 1\ l 3x (Fx 1\ Hyx) ] H 3y [ GY I\ \tx l CFx 1\ Hyx) ] H

3y\tx [ Gy

/\

l (Fx

1\

Hyx) ]

(cf. LL. 3 )

(cf. L.6) (cf. LLA) (cf. LL. 1 6)


Logica modernă a predicatelor

161

sau nu o conj uncţie inconsistentă - căci dacă ne gaţ ia schemei predicative de verificat se dovedeşte inconsistentă (cotradicţi e lo gică, în toate cazurile fal să), rezultă prin demonstraţie indirectă, pe baza principiului terţului exclus, că schema predicativă iniţială este în toate cazuri l e adevărată ( l e g e logică sau tautologie); dacă nu, atunci este o funcţie contin gen tă . În acest scop, trebuie parcurse următoarele etape: III . În continuare se testează dacă formele prenexe astfel obţinute formează

a) În fiecare din formele p renex e se elimină cuan torii, c ee a ce duce la obţinerea unor scheme pred icative deschise. •

Eliminarea cuantorului universal ia forma trecerii de la formula VxFx la formula Fy, printr-o inferenţă lo g ic validă de forma: dacă este adevărat că oricare ind i vid x (x E U) are însuş irea F, atunci este adevărat şi că un individ oarecare y din e x ten s i u n e a lui U are această însuşi r e .

Elim inarea cuantorului existenţial ia forma trecerii de la formula

3xFx la Fy; ac easta nu mai este o inferenţă validă, ci nu m ai pro b ab i l ă sau p l au z ib i l ă : nu putem afirma cu c e rt i tu dine, dar putem presupune că y este tocmai acel x (din extensiunea lui U) despre care 3.xFx ne spune că exi stă, având propri etatea F. Ordinea eliminării cuantorilor nu este oarecare . Dacă formula dată c o nţi ne doi cuantori existenţiali, care l ea g ă fiecare altă variabilă

individuală, de forma 3x3yFxy, la reliterare se vor folosi li t ere distincte (Fuv) ; în schimb, la eliminarea cuan t or i l o r universali - cu co n diţ i a necapt u rări i unor variabile l i bere - rel iterarea este indiferentă . Din acest motiv, eliminarea cuantorilor şi re l i t e rarea încep cu cuantorii existenţi al i . Aplicând aceste reguli , transformăm formele prenexe a ş i � în scheme

predicative deschise.

a) 3x Vy [ Fx /\ (Gy � Hyx) ] H Vy [ Fu

� ) 3 y 'llx [ Gy

H Fu /\

/\

/\

(Gy � Hy u) ] H

Gv � Hvu

1 (Fx /\ Hyx) ] H Vx [ Gv /\ 1 (Fx /\ Hvx) ] H H Gv /\ 1 (Fu /\ Hvu)

b) După tran sformarea formelor prenexe în scheme deschise, asupra lor se aplică procedeul deciziei prescurtate:

[ Fu

/\

(Fu /\

(Gv � Hv u ) ]

/\

)

/\

1 � Hvu

(Fu /\

[ Gv /\

1 (Fu Hvu) ] [ 1 /\ 1 (Fu /\ Hvu)] Hvu ) /\ 1 (Fu /\ Hvuî /\


162

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII •

� nu poate fi adevărată decât dacă toţi membrii conj uncţiei sunt adevăraţi ; deci, în mod obligatoriu Gv 1 ; întreaga schemă se reduce =

la valoarea logică a lui •

în a, G v 1 este antecedentul implicaţiei care, conform R.7 se reduce la valoarea logică a lui Hvu, iar întreaga schemă predicativă se reduce =

la conj uncţia Fu •

l (Fu 1\ Hvu) (ef. R. I);

1\

Hvu;

or, întreaga formulă este o contradicţie logică - deci conj uncţia

formelor prenexe a şi � este inconsistentă; întrucât această conj uncţie coincide cu negaţia implicaţiei iniţiale, rezultă că această implicaţi e (şi inferenţa pe care o reprezintă) este validă.

Exerciţii 1. Să

se aducă la formele prenexe următoarele formule :

a) l (3x Fx /\ Vx Gx) ---7 3x (Fx Gx)

b) 3x Vy Fx,y ---7 Vx 3y l Fx,y

/\

c) 3y (3z Fy, z ---7 Vx Fx,y) v Vx l 3z Fx,z d) Vx (3y Fx,y 1\ Gx) ---7 (3y Fy /\ Gx) 2. Arătaţi dacă următoarele formule sunt sau nu legi logice:

a) b) c) d)

Vx Fx ---7 3x Fx [ Vx Fx ---7 3y Gy ] ---7 [ l 3y Gy ---7 l Vx Fx ]

[ Vx Fx ---7 3y GY ] ---7 [ Vy l GY ---7 l 3x l Fx ]

3x (Fx /\ Gx) H [ 3x Fx /\ 3x Gx ]

3. Să se determine prin metoda formelor prenexe dacă următoarele inferenţe sunt sau nu val ide: a) Orice pătrat este un romb; deci, cine desenează pătrate, desenează romburi . b) Oricine a j ucat şi fotbal şi ten is preferă tenisul. Există Însă unii oameni care au j ucat tenis şi nu preferă ten isul , deci, unii dintre cei care au j u cat ten is n-au j ucat fotbal . c) Există o problemă de matematică pe care o rezolvă orice absolvent de l iceu; prin urmare, orice absolvent de liceu rezolvă cel puţin o probl emă de matematică.


Logica modemă a predicatelor

163

d) Pentru orice număr x există un număr y astfel încât, dacă diferenţa dintre x şi 5 este mai mică decât y, atunci diferenţa dintre x şi 7 este mai mică decât 3 . e) Dacă există în Bucureşti o femeie cu un frate la Braşov, atunci există un bărbat în Braşov cu o soră în Bucureşti .

f) Dacă există un singur om care este mai înalt decât orice om, atunci există un om care este mai înalt decât el însuşi. g) Dacă în lot nu există sportivi competitivi, atunci nici unul dintre membrii lotului participanţi la Olimpiadă nu este competitiv. Cei medal iaţi la Olim p i ad e sunt însă competitivi şi, deci, dacă vreunul din membrii lotului participanţi la Olimpiadă a fost medaliat, atunci în lot există sportivi competitivi .

4 . 5 . Legi ale logicii clasice în logica predicatelor Multe, dacă nu toate legile logicii clasice se regăsesc şi sunt demonstrate în logica modernă a pr ed i c at elo r - exi stând, Însă, şi neconcordanţe între cele două modalităţi de elaborare a ceea ce am denumit, cu un termen generic, logica termenilor.

4 . 5. 1 .

Transcrierea propoziţiil or categorice în limb aj ul logicii predicatelor

Cele p atru tipuri de propoziţii categorice pot fi exprimate simbolic în l imbajul sp e c ific al logicii moderne a predicatelor. Astfel, vom valida următoarele definiţii sau «traduceri»:

T.I T.2 T.3 T.4

SaP =df Vx (Sx � Px) SeP =df 'ix (Sx

1 Px)

SiP =df :3x (Sx 1\ Px)

SoP =df :3x (Sx 1\ 1 Px)

Aceste traduceri nu surprind, din păcate, foarte exact toate nuanţele enunţării propoziţiilor categorice în limbajul natural . Astfel, dacă luăm propoziţia universal afirmativă "Toţi studenţii sunt politicoşi" şi îi stabilim obversa "Nici un student nu este nepoliticos" în limbajul simbolic al logicii clasice se observă deosebirea dintre cele două p rop oziţii : SaP o� Se 1 P. În limbajul logicii predicatelor, atât propoziţi a SeP cât şi obversa propoziţiei SaP au exact aceeaşi formulă: Vx ( Sx � 1 Px).


164

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII Cu toate acestea, formulele

T. l - TA realizează o traducere destul de

fidelă pentru a permite utilizarea metodelor de decizie din logica predicatelor pentru verificarea validităţi i inferenţelor cu propoziţii categorice (ceea ce este cu deosebire folositor în cazul poiisilogismelor cu multe linii, a căror corectitudine

reducere la absurd).

este foarte greu de verificat cu metodele logicii clasice, fie acestea grafice sau prin

4.5.2.

Conversiunea propoziţiilor categorice

În afară de faptul că obversele nu-şi găsesc în limbajul logicii predicatelor

conversiunea propoziţii lor categorice. În logica predicatelor, trecerea de la premise

o expresie simbol ică distinctă, alte dificultăţi se ivesc în ceea ce priveşte

un iv e rsale (care pot fi universal adevărate chiar dacă U este o mulţime vidă) la concluzii existenţiale (care pot fi adevărate numai dacă U este nevid) nu se poate face direct. Putem afirma, de exemplu, "Oricare dintre regii Elveţiei trebuie să ştie să căl ărească", fără a enunţa

o

imposibilitate logică sau o absurd itate. Nicidecum

oarecare sau anume x, care este regele Elveţiei, afară de cazul în care ar fi

nu putem extrage în să din această afirmaţie vreo propoziţi e adevărată referitoare la un

dovedită drept adevărată o propoziţie existenţială care să certifice că "Există cel puţin un x care este regele Elveţiei" - ceea ce nu este cazu l .

(i) Iată de c e conversiunea p e r accidens a propoziţii lor universale afinllative nu se poate demonstra direct în logica predicatelor. Conform T. 1 şi T.3, SaP c-7 P i S s-ar nota simbolic astfel: Vx ( Sx -7 Px)

-7

3x (Px 1\ Sx)

Aducem formula dată la forma prenexă, eliminăm cuantori i, substituim schemele predicative deschise cu variabile propoziţionale şi analizăm prin metodele de

decizie

din

calculul

transfonnate.

Vy (Sy

-7

Py)

-7

3y (Py

Vy 3y [( Sy -7 Py)

-7

1\

propoziţional

Sy) H

(Py 1\ Sy)] H

1 Sy v Py) -7 (Py 1\ Sy)] H Vy 3y [ 1 ( 1 Sy v Py) v (Py 1\ Sy)] H

valid itatea

1\

astfel

(reliterare)

(aducerea cuantori lor în faţă)

Vy 3y [ (

Vy 3y [ (Sy

formulei

1 Py) v (Py 1\ Sy)]

(cf.

D. 1 )

(ef.

D. l )

Prin substituirea schemelor deschise cu vari abile propoziţionale obţinem:

(s 1\ l p ) v (p

1\

s) H (s 1\ l p ) v (s I\ p )


Logica modernă a predicatelor

165

Este o formă normală disjunctivă (f. n. d.) care, după cum se vede, este o expresie contingentă. Ce se întâmplă dacă încercăm, după modelul din paragraful anterior, o demonstraţie indirectă? În acest scop, scriem negaţia implicaţiei date şi o aducem la forma prenexă.

\iy (Sy � Py) A l:3y (Py A Sy) f-t \iy ( Sy � Py) A \iy 1 (Py A Sy) f-t \iy ( 1 Sy v Py) A \iy ( 1 Py v 1 Sy) \iy [ ( 1 S y v Py) A ( 1 Py v 1 Sy) ] (l s v p ) A ( l s v 1 p )

(cf. LL.4) (cf. D. I şi L.9)

Am obţinut de această dată o f. n. c. care, de asemenea, este o funcţie realizabilă contingentă. Conversiunea per accidens a propoziţiilor categorice universale afirmative se poate demonstra dacă şi numai dacă introducem în demonstraţia de mai sus încă o premisă suplimentară, prin care să precizăm explicit că sfera lui S nu este vidă: 3x Sx. Demonstraţia se desfăşoară acum astfel, pornind de la următoarea implicaţie: [ "dx (Sx -7

Px) A 3x Sx ] � 3x (Px A Sx)

În continuare, nu mai reliterăm, deoarece în cazul de faţă nu s-ar produce nici o clarificare necesară, ci s-ar introduce numai un pas inutil în demonstraţie. Construim negaţia formulei asupra căreia-trebuie să decidem şi o aducem la forma prenexă. "dx (Sx -7 Px)

A 3x Sx A 1 3x (Px A Sx) f-t f-t\ix (Sx � Px) A 3x Sx A "dx 1 ( Px A Sx) f-t f-t \ix 3x [(Sx -7 Px) A Sx A 1 (Px A Sx) ] Substituim schemele predicative deschise cu variabile propoziţionale şi obţinem formula:

(s -7 p) A S A 1 (p A s) f-t ( 1 s v p) A S A ( 1 p v 1 S) Aplicăm metoda reducerii progresive a variabilelor.

Hj

H2

dacă p = 1

dacă p

=

O

( 1 S v 1 ) A S A (O v 1 S) 1 A (S A l s)

( 1 S v O) A S A ( l v 1 S) ( l s A S) A 1 O O


1 66

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

Întrucât negaţia formulei iniţiale este inconsistentă, rezultă că, astfel îmbogăţită cu o premisă existenţială, conversiunea per accidens a fost demonstrată ca lege logică. (ii) Demonstraţia directă a conversiunii propoziţiilor universale negative, de forma SeP c-� PeS, nu întâmpină dificultăţi. Avem de demonstrat nu o implicaţie, ci o echivalenţă logică:

'l7'x (Sx � 1 Px) f-7 'l7'x (Px � 1 Sx)

Cum ech ivalenţa logică este o dublă implicaţie reciprocă, va trebui să demonstrăm pe rând cele două implicaţii .

a) 'l7'x (Sx � 1 Px) -7 'l7'x (Px � 1 Sx) f-7

f-71 'v'x (Sx -7 1 Px) v 'v'x (Px � 1 Sx) f-7 f-7 3x 1 (Sx � 1 Px) v 'v'x (Px � 1 Sx) f-7 f-7 3x 'v'x [1 ( Sx -7 1 Px) v (Px � 1 Sx) ]

Prin substituirea schemelor deschise cu variabile propoziţionale, obţinem:

1 (s -7 1 p) v (p � l s) f-7 (s /\ p) v 1 p v l s

dacă p == 1

H2

(s /\ 1 ) v O v 1 s s v O v ls sv ls 1

(s /\ O) v 1 v 1 s 1 13) 'l7'x (Px � 1 Sx) -7 'v'x (Sx � 1 Px) f-7 f-71 'v'x (Px � l Sx) v 'v'x (Sx � l Px) f-7 f-73x 1 (Px � 1 Sx) v 'v'x (Sx � 1 Px) f-7 f-73x Vx [ 1 (Px -7 1 Sx) v (Sx -7 1 Px) ] dacă p = O

Prin substituirea schemelor deschise cu variabile propoziţional e, obţinem:

1 (p -7 1 s ) v ( s � 1 p) f-7 (p /\ s) v l s v l p

HI

dacă p = 1

=>

H2

dacă p == O

=>

( 1 /\ s) v 1 s v O s v ls v O 1 (O /\ s) v 1 s v 1 1

D e vreme ce ambele implicaţi i sunt legi logice, rezultă că echivalenţa de demonstrat este validă.


Logica modernă a predicatelor

167

(iii) Demonstraţia directă a conversiunii propoziţiilor particulare afir­ mati v e este şi mai simplă. Conversiunea SiP c� PiS este, în logica predicatelor, tot

o echivalenţă, de forma:

3x (Sx /\ Px) H

3x (Px /\ Sx)

care se aduce imediat la forma prenexă:

3x [(Sx /\ Px) H (Px /\ S-x) ]

Apl icând comutativitatea conj uncţiei, echivalenţa este evidentă.

4.5.3. Demonstrarea modurilor silogistice valide în logica predicatelor

Problemele, dificultăţile, neconcordanţele ş i metodele de soluţionare a lor, pe care le-am întâlnit la demonstrarea validităţii conversiunii propoziţiilor categorice în logica predicatelor, se regăsesc întrutotul atunci când aplicăm regulile din l o gi c a predicatelor pe n tru verificarea modurilor silogistice valide. În a i nt e de a prezenta câteva demonstraţii ilustrative, să spunem de la început că, în logica predicatelor, se pot demonstra direct numai 15 moduri silogistice : B a rb a ra, Celarent, D a rii şi Fe ri o în figura 1; Ce s a re, Camestres, Festino şi Baroca în fi gura a II-a; D is am i s, Datisi, Bocardo şi Ferisoll în fig ur a a li-a; Camenes, Dimaris şi Fresisoll în figura a IV -a. Lipsesc, după cum se poate observa, toate modurile în care din premise universale se ex trag concluzii particulare. La fel ca şi în cazul conversiunii per accidens, se poate face, totuşi, o demonstraţie indirectă şi a «validităţii condiţionate» a acestor moduri subalteme (<<slabe») sau s upr a a ltem e (<<tari»), introducând în conjuncţie cu premisele date ale si logismului încă o premisă suplimentară - o propoziţie existenţială care enunţă explicit faptul că extensiunea lui S, M sau P (în funcţie de cerinţele demonstraţiei») nu este vidă. Iată, spre ilustrare, cum se demonstrează direct şi indirect câteva dintre modurile silogistice. I. În figura 1 se demonstrează direct modurile aaa - l , eae- l , aii- l şi alegem modul Celarent.

Vx (Mx � l Px) /\ Vx (Sx � Mx) � Vx (Sx � l Px) H H 1 [Vx (Mx � l Px) H1 Vx (Mx � l Px)

/\

v

Vx (Sx � Mx) ] v Vx (Sx � l Px) H

l Vx (Sx � Mx) v Vx (Sx � l Px) H

H 3x 1 (Mx � l Px) v 3x 1 (Sx � Mx) v Vx (Sx � l Px) H H 3x (Mx /\ P-x) v 3x (Sx /\ l Mx) v Vx (S-x � l PX) H H 3x Vx [(Mx /\ Px)

V

(Sx /\ l Mx) v (Sx � l Px) ]

eia- l .


168

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

După eliminarea cuantorilor şi substituirea schemelor deschise cu variabile propoziţionale, se obţine formula:

(m A p) v (s A 1 m) v (s � 1 p) H (m A p) v (s A 1 m) v 1 s v 1 p

Hl

Hz

dacă m =

l

:::}

( l A p) v (s A O) v 1 s v 1 p p v O v 1 s v 1p " p v lp

dacă m =

1

O

(O A p) V (S A l) v l s v 1 p O v S v 1 s v 1p

La fel se demonstrează şi celelalte trei moduri menţionate din fi gura 1. Vom prezenta în continuare cum se demonstrează indirect val iditatea unuia dintre modurile subalteme din fi gur a 1 - fie acesta aai- l . Pentru reuş ita demon straţiei, este necesară adăugarea unei premise suplimentare: 3x Sx.

Vx (M.x � Px) A Vx (Sx � Mx) A 3x Sx � 3x (Sx A Px)

Vx (Mx � Px) A Vx (Sx � Mx) A 3x Sx A 1 3x (Sx A Px) H Construim negaţia expresiei de mai sus:

HVx (Mx � Px) A \fx (Sx � Mx) A 3x Sx A Vx 1 (Sx Î\ Px) H HVX 3x [(Mx � Px) Î\ (Sx � Mx) A Sx Î\ 1 (Sx /\ Px) ] El iminăm cuantorii şi substituim schemele deschise cu variabile propo­ ziţionale; rezultă formula:

(m � p) /\ (s � m) /\ s /\ l (s /\ p) Apl icând comutativitatea conj uncţiei, inversăm ordinea primilor membri ai formulei conjunctive; (s � m) /\ (m � p) ne permite să deducem, prin tranzi­ tivitatea implicaţiei, formula (s � p ).

(s � p)

Hl

dacă p

/\ S /\ 1 ( s /\ p) H ( 1 s v p) A S /\ ( 1 s v 1 p)

=

1

:::}

( 1 s v I ) /\ s /\ ( 1 s v O) 1 /\ s /\ ls '---v---'

H2

d a că p = O

O

:::}

( 1 s v O) /\ S /\ ( 1 s v I ) ls

/\ S A

1

'---v---'

O

Negaţia fiind incons istentă, rezultă că implicaţi a iniţială este tautologică.


Logica modernă a predicatelor II.

169

în figura a II-a se demonstrează direct validitatea modurilor

eae-2,

primi decât o demonstraţie prin reducere la absurd: Baroco; în logica predicatelor,

aee-2,

eio-2

şi

aoo-2.

Să alegem un mod care, în silogistica aristotelică, nu putea

acest mod poate primi o validare directă.

\ix (Px --7 Mx) /\ 3x (Sx /\ l Mx) --7 3x (Sx /\ l Px) � H1

[\ix (Px --7 Mx) /\ 3x (Sx /\ 1 Mx) ]

H 1 \ix (Px --7

H3x

H3x

v

3x (Sx

A

1 Px) �

Mx) v 1 3x (Sx /\ l Mx) v 3x (Sx A l Px) H

l (Px --7 Mx) v \fx l (Sx A l Mx) v 3x (Sx A l Px) H (Px A l Mx) v \fx (l Sx v Mx) v 3x (Sx /\ l Px) �

H3x \fx [ (Px A

l Mx) v (l Sx v Mx) v (Sx A l Px) ]

După eliminarea cuantorilor şi substituirea schemelor deschise cu variabile propoziţionale obţinem formula: Hl

dacă p = 1

(p A 1 m) v 1 s v m v (s /\ l p) �

( 1 /\ 1 m) v 1 s v m v (s A O)

lm

v ls v m v

O

v

1

lm vm H2

dacă p =

O

(O /\ 1 m) v 1 s v m v (s /\ 1 ) O v lsvm v s

Indi rect se demonstrează modurile «s labe»; fie, de exemplu, aeo-2.

\fx (Px --7 Mx)

/\ \fx (Sx --7 1 Mx) A 3x Sx --7 3x (Sx A 1 Px)

Verificăm validitatea negaţiei expresiei date.

\fx (Px --7 Mx) /\ \fx (Sx --7 1 Mx) /\ 3x Sx A 1 3x (Sx A 1 Px) H H \fx (Px --7 Mx) /\ \fx (Sx --7 1 Mx) /\ 3x Sx /\ \fx 1 (Sx /\ 1 Px) H H\fx (l Px v Mx) /\ \ix (1 Sx v l Mx) A 3x Sx A \fx (1 Sx v Px) H H\fx 3x [ (1 Px v Mx) /\ ( 1 Sx v l Mx) /\ Sx /\ ( 1 Sx v Px) ] Se elimină cuantorii şi se substituie schemele deschise cu variabile

propoziţionale. Rezultă formula:

e l p v m) A ( l s v l m) A s /\ ( l s v p)


170

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

dacă m = 1

Hl

( l p v l ) A ( l s v O) A s A ( l s v p) l s A S A ( l s v p) 1 A '------v--"'

dacă m =

H2

O

H3

dacă p

=

1

114

dacă p

=

O

O ( 1 p v O) A ( 1 s v I ) A S A ( 1 S v p) lp A A S A ( l s v p) 1 A S A ( l s v p) 1 O A O A S A ( 1 s v O) 1 A 1 ls ASA 1 1 A '-----v-----'

O

se demonstrează direct modurile aii-3 , eio-3, iai-3 şi oao-3 . Fie, de exemplu, modul Ferison: III.

În

figura a III-a

1 Px) A 3x (Mx A Sx) -1 3x (Sx A 1 Px) H H 1 [ ţix (Mx � 1 Px) I\ ::X (Mx A Sx) ] v 3x (Sx /\ l Px) H H 1 ţix (Mx � 1 Px) v l 3x (Mx Sx) v 3x (Sx 1\ l Px) H H3x 1 (Mx -7 1 Px) v \:Ix 1 (Mx A Sx) 3x (Sx 1\ 1 Px) H H3x (Mx Px) v 'ţ/x (1 Mx l Sx) 3x (Sx 1 Px) H H3x 'ţ/x [(Mx 1\ Px) v (1 Mx v 1 Sx) (Sx A 1 Px) ]

ţix (Mx �

1\

v

1\

v

v

1\

v

După eliminarea cuantorilor şi substitu irea schemelor desch ise cu variabile propoziţionale obţinem formula: Hl

H2

(m 1\ p) v dacă p

dacă p

=

=

1

O

l m v 1 s v (s 1\ l p) (171 A 1) v 1 111 V 1 s v (s A O) 111 v l m v l s v O '---v---'

1 �

(m A O) v 1 m v

1 s v (s A l )

O v lm v ls v

s 1

'---v-----'

Indirect se demonstrează moduri le «tari»; fie, de exemplu, Darapti:

ţix (Mx -1 Px) A ţix (Mx -7 Sx)

1\

3xMx -7 3x (Sx

A Px)


Logica modernă a predica/elor

171

Negaţia expresiei este:

\Ix (Mx -t Px) /\ Vx (Mx -t Sx) /\ 3xMx /\ 1 3x (Sx /\ Px) H HVX (Mx -t Px) /\ Vx (Mx � Sx) /\ 3xMx /\ Vx 1 (Sx /\ Px) H HVx 3x [(Mx -t Px) /\ (Mx -t Sx) /\ Mx /\ ( Sx /\ P�) ] După eliminarea cuantorilor şi substituirea schemelor deschise cu variabile propoziţionale obţinem formula:

(m -t p) /\ (m � s) /\ m /\ l (s /\ p) H H ( l m v p) /\ ( l m v s) /\ m /\ l (s /\ p)

Expresia conjunctivă nu poate fi adevărată decât dacă m

=

1.

(O v p) /\ (O v s) /\ l /\ l (s /\ p) P /\ S /\ 1 /\ l (s /\ p ) Aplicând comutativitatea conjuncţiei la primii doi membri ai expresiei, obţinem contradicţia: (s /\ p) /\ 1 (s /\ fi) = o. Negaţia fiind inconsistentă, rezultă că expresia dată este lege logică. IV.

în figura a IV-a se pot demonstra direct numai trei moduri : aee-4,

iai-4 şi eio-4; fie, spre ilustrare, modul Camenes. Vx (Px -t Mx) /\ Vx (M"t -t 1 Sx) � 3x (Sx � 1 Px) H

H 1 [Vx (Px -t 1-ix) /\ Vx (Mx � 1 Sx) ] v 3x (Sx � 1 Px) H Hl vx (Px -t Mx) v l Vx (Mx � l Sx) v 3x (Sx � l Px) H

H3x 1 (Px -t Mx) v 3x 1 (Mx � 1 Sx) v 3x (Sx � 1 Px) H H3x (Px /\ l Mx) v 3x (Mx /\ Sx) v 3x (1 Sx v 1 Px) H H3x [ (Px /\ 1 Mx) v (Mx /\ Sx) v 1 Sx v 1 Px ] După eliminarea cuantorului şi substituţia schemelor deschise rămânem cu expresia propoziţională: Hl

H2

(p /\ 1 m) v (m /\ s) v 1 s v l p dacă m = l

=>

(p /\ O) v ( 1 /\ s) v 1 s v 1 p O v s v 1 s v lp 1

'---v---'

dacă m = O

=>

(p /\ 1) v (O /\ s) v l s v 1 p p v O v 1 s v lp 1


172

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTÂRII

Bramantip este s ingurul mod a cărui dem on straţi e indirectă presupune introducerea premisei suplimentare 3x Px. În simbolistica logicii predicatelor. s ilogismu l se prezintă astfel: \:Ix (Px -7 Mx)

Construim \:Ix (px -7

şi

/\ \:Ix (Mx -7 Sx) /\ 3x Px -7 3x (Sx /\ Px)

verificăm negaţia silogismului aai-4.

Mx) /\ \:Ix (Mx -7 Sx) /\ 3x Px /\ 1 3x (Sx /\ Px) B

B\:Ix (Px -� Mx) B\:Ix 3x [ (Px -7

/\

\:Ix (Mx -7 Sx)

/\ 3x Px /\ \:Ix 1 (Sx /\ Px) B

Mx) /\ (Mx -7 Sx) /\ Px /\ 1 (Sx /\ Px) ]

D upă eliminarea cuantori lor şi sub s t i tuţi a schemelor deschise r ăm ân em formula:

cu

(p -7 m) /\ (m -7 s) /\ p /\ l (s /\ p )

Prin tranzitivitatea implicaţiei, primii doi membri ai expre s i ei conjunctive se reduc la (p -7 s).

(l s v lp) B (l p v s) /\ P /\ (l s v 1 1') P entru c a e xpres ia conj unctivă să p o ată fi c on s i stentă este necesar p 1. (p -7 s) /\ P /\

,

=

(O v s) /\ l /\ ( l s v O) S /\ 1 /\ l s o

Exercitii , 'Să

se demonstreze validitatea modurilor silogistice care nu au fost

verifi cate în paragraful precedent.


LOGICA

INFERENŢELOR PROBABILE

I

,

5

Rigoarea i n fere nţe l o r deductive,

lo g i c ă din premise in

în care concluziile re zu ltă cu necesitate virtutea unor forme v al i d e de raţionament, pare să eclipseze şi să p u n ă într-o poziţie de inferi oritate inferenţele « m a i slabe», în care prem i sele nu întemeiază concluzi i ab so l u t certe, ci numai pro b ab i l e . Am arătat, însă, c� logica îş i propune să fie nu numai un joc gratuit al minţi i, ci un instrument de descoperire şi argumentare a unor idei ad evărat e ; or, certitudinea 'unei concluzii extrase prin deducţie este garantată nu num a i de validitatea schemelor i n ferenţi a l e (ceea -ce am numit condiţiajormală a demonstraţiei), ci şi de adevărul prem i s e l or

materială). Or, aici se iveşte

Ari stote l era pe premisele adevărate, din care să putem deduce concluzi i absolut certe? În matematică, p ut em construi s i stem e deductive de mare întindere şi maximă rigoare; porn ind lanţul demonstraţii lor de la câteva axiome, câteva reguli de deducţie şi c ât ev a definiţii. Dar m ate m ati c a nu descri e obi ecte şi fenomene empirice; date în experienţă, ci entităţi ideale, abstracte. Ce se întâmplă însă atunci când formele gând irii corecte se ap l ică unor conţinuturi em p iri c e - cu alte cuvinte; atunci când constru im raţion amen te în care atât premisele, cât şi c on c l uzia cOrIţin informaţii despre obi ecte şi fenomene reale, date în e xp er i e nţă? (condiţia

o problemă de primă im portanţă , de care

deplin conştient: cum obţinem

Fie silogi smul categoric:

Toate mamiferele sunt vertebra te. Toate balenele sunt mamifere. Toate

balenele

Concluzia este

sunt

vertebrate.

certitudine adevărată în virtutea fonnei l o g i c e , dar rândul lor, adevărate. De unde ştim, însă, că "toate mamifereJe sunt vertebrate" - atâta timp cât, prin defin iţie, c o n c eptu l de

numai dacă ambele premi se sunt, la cu

mamifer presupune doar reproducerea sexuată, gestaţi a intrauterină, n aşterea pui lor v i i �i hrăn irea lor cu lapte? Evi d ent, n i meni nu a putut şi n·a Încercat


174

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂR1I

vreodată să inspecteze mulţimea practic inepuizabilă a tuturor mamiferelor care au fost, sunt ş i vor fi pe lume, pentru a constata, prin epuizarea întregi i clase de mamifere, că toate sunt, rară excepţie, vertebrate. Ş i totuşi, nu este o afirmaţie gratuită - nici m ăcar îndoielnică; dimpotrivă, putem fi ş i practic suntem siguri de adevărul premisei maj ore din silogismul anal izat, premisă stabil ită prin observarea unui foarte mare număr de mamifere şi coroborată cu o sumă de alte cunoştinţe bio l o g ice care demonstrează o conexiune de loc întâmp lătoare între structura osoasă vertebrată a vieţuitoarelor şi pos ibil itatea reproduceri i în modal itatea specifică mamiferelor - cunoştinţe în lumina cărora posibil itatea unor organisme nevertebrate, precum moluştele sau caracatiţele, de a naşte pui vii şi de a-i hrăni cu lapte este practic exclusă şi, dacă s-ar produce, ar fi un miracol ; or, şti inţa nu crede în miracole. În ceea ce priveşte premisa minoră a silogismu l u i , credibilitatea ei se bazează tot pe observarea şi inventarierea unor fapte empirice. Date fiind forma, mediul de viaţă acvatic şi modul de l ocomoţie, balenele şi delfinii au fost consideraţi multă vreme a face parte din categori a peştilor şi numai sesizarea treptată a modului (mai greu accesibi l observaţiei) în care se reproduc şi respiră aceste animale marine a dus la corectarea opiniei eronate şi la înţelegerea condiţiei lor de mamifere. Esenţial este faptul că nici una dintre premisele silogismului analizat nu este în mod absolut cert adevărată, după canonul logicii deductive, căci ambele propoziţi i din care se extrage concluzia si l o g ismului sunt nişte generalizări empirice, pe care l e acceptăm nu prin evidenţă axiomatică şi nici prin definiţie, ci în virtutea experi enţei care le susţine. Având în vedere dependenţa adevărului concluzi ilor extrase deductiv de adevărul premi selor şi faptul că, atât în gândirea vieţi i cotidiene, cât mai ales în ştiinţele naturii sau în cele socio-umane avem de-a face cu raţionamente şi argumente alcătuite din propoziţii factuale, trebuie să reevaluăm i mpo rtanţa inferenţelor cu concluzii probabile, deoarece numai prin intermed iul acestora putem spori gradul de plauzib ilitate a propoziţi ilor generale din care se pot deduce consecinţe cel mult la fel de plauzibile. În zadar construim deducţi i vaii de dacă ne b izu im pe nişte prem ise îndoielnice sau de-a dreptul false. Logica inferenţelor probabile cuprinde toate acel e tipuri de raţionamente prin care construim, pornind de la constatarea unor fapte singulare. date în experienţă, propoziţi i din ce în ce mai generale ş i cu un grad sporit de probabil itate. Deşi aceste inferenţe nu pot conduce la certirudini absolute (în sensul deplin al cuvântului), ele sunt s i n g ure l e mij loace de care dispunem pentru a Întemeia legi şi principii g e ne rale , pe care să ne putem baza cu relativă siguranţă ­ apropiată, în multe cazuri, de probabilitatea m aximă şi, ca atare, de o certitudine practic acceptabilă.

'J ti i i zate i n fere nţe probab i l e - indispensabile

Î n cele ce urmează, vom analiza cele mai importante şi cel mai des în soluţi on area problemelor reale cu ..: <i rr:: s e confruntă gândirea comună, cercetarea şti inţi fică, investi gaţi i l e j udiciare, dabaterile politice şi morale etc. : i n d ucţi a , analogia, raţionam entele statistice şi tes tarea ipotezel or.


er_e_n� _L_o� g_ k_ a_m if._ �_w_r�p_r_ _t_e� o_ ba _b_i_ k

_______________________________

5.1.

�-----1�75

Specificul inferenţelor inductive

Ştiinţele formale, logica şi matemat i c a , operează exc lus iv cu inferenţe d eductive, dar aceste ştiinţe nu se raportează d i rect la realitatea fenomenală şi nu vehiculează informaţii despre lumea empirică, ci studiază numai structuri de relaţii posibile şi necesare între obiecte în genere, între entităţi i deal e, abstracte. Cunoaşterea p ropri etăţi l or şi re l aţ ii lor obiectelor concrete din lumea empiri că, dobândirea, prelucrarea şi utilizarea inform aţii l or d es pre nenumărate l e categorii de fenomene şi procese naturale, psih i c e, sociale etc. presupun recursul Ia raţionamente inductive. Într-o primă definiţie, inducţia este o metodă de raţionament prin care se inferă o lege generală sau un principiu din ob s e rvarea unor cazuri particulare. Termenu l "inducţie" derivă din traducerea latină a cuvântului grecesc epagoge, fol o s it pentru a d e s emna toate raţionamentele în care, deş i adevărul premiselor nu implică logic adevărul c onc l u zi ei , dă impresia că reprezintă un bun temei pentru acceptarea ei. inductive:

Aşadar, două sunt caracteristicile esenţiale ale tutu ror i nferenţelor

a) Concluzia este mai generală decât premisele; inducţia este acel tip de i nferen ţă prin care se trece de Ia observarea unor cazuri individuale la o general i zare presupus valabilă pentru toate cazurile de acelaşi gen. b) Din acest motiv, premisele unui argument indueliv nu implică formal concluzia, chiar dacă oferă temeiuri, oricât de solide, pentru acceptarea con c luzi ei. Iată câteva exemple de propoziţii În te m e i at e inductiv: 1/1 Există patru grupe sanguine. 2/1 Greutatea specifică a aurului este 1 9,3 .

3/1 Toţi oam eni i sunt muritori. 4/ 1 Cometele evoluează pe orbite eliptice.

6/ 1 C i ne a furat o dată, va mai fura. 5/1

Triburile australiene au o mentalitate p rim i tivă .

7/ 1

E periculos să înoţi imediat după masă.

8/1

Toţ i studenţii d e limba engleză.

la

secţia "Relaţii economice internaţionale" vorbesc

Nu toate aceste generalizări sunt juste, iar cele acceptabi l e ca justificate nu au toate acelaşi grad de credibilitate. To ate au însă în c omun faptul că, invocând un număr finit de cazuri i n d iv iduale, a căror c unoaşt e re dă certitudine afirmaţiei că "Unii A s un t B", se afirmă că "Toţi A sunt B" - trecerea de la particular la general neavând necesitate logică. . Există însă r i go a re şi în ra ţion am entel e inductive, care nu eXclud orice canon m etod i c ; dimpotrivă, inducţia se poate efectua mai mult sau mai puţin


176

LOGICAŞI TEOR1AARGUMENTĂRII

inducţie, fiecare con fer in d un grad mai îmilt sau mai scăzut de plauzibilitate

metodic şi în funcţie de acurateţea argu!ll entării Se>' disting mai multe tipuri de concluziilor pe care le întemeiază.

'.

5.2.

..

Inducţia completă

inductive cu un fel de general izare ce poad?;;- numele de inducţie, deşi îi lipsesc Vom începe scurta trecere în revistă a principalelor tipuri de inferenţe

atributele definitori i ale r aţ i onamente l or inductive.

Inducţia completă constă În a fi rm area (negarea) unei anumite proprietăţi

toate elemente le unei clase de obiecte, după inventarierea, unul câte tuturor elementelor cl asei respective. Întrucât satisface această condiţie,

'Îlilegătură cu

inducţi a completă face posibilă derivarea unor concluzii necesare, care decurg

unul, a

Schema inferel1ţială a inducţiei complete poate fi redată astfel: fie o clasă de obiecte (A ). form"tă din n elemente:

logic din ansamblul premiselor.

CerectânJ fi, care el ement în parte, se constată că oricare dintre obiectele

care aparţin c lasei A posedă însuşirea F, ceea ce notăm

A=

{al, a2 ... an}

(al

Fa.

A) 1\ Fal ,

E

(a2 E A) 1\ Fa2

(an

E

A)

1\

Fan

Generalizând rezultatele acestei treceri în revistă a tuturor elementelor din clasa A, putem scrie (utilizând notaţia matematică a cuantorului universal):

\ix

{

Propozi ţia adică

verificând

(x E A)

8/ 1

H

[ (x = al) v (x = a2) v \ix [ (x E A) � Fx ] stu dent

.

. v (x = an) ] .

ar putea fi dovedită ca adevărată prin inducţie completă,

dacă

fiecare

de

la

secţia

"Relaţia

economice

ofiţerului că "Toţi militarii din plutonul P sunt prezenţi în formaţie", el exprimă ' concluzia unei inducţii complete. internaţionale" vorbeşte englezeşte. La ' fel, atunci când caporalul raportează


Logica interferenţelor probabile

177

Evident, o astfel de inducţie nu este posibilă decât în cazul unor clase fmite, cu un număr restrâns de elemente; din acest motiv, inducţia completă - chiar în rarele situaţii în care este realizabilă - are o valoare cognitivă foarte redusă; în fond, concluzia unor astfel de inferenţe nu face altceva decât să exprime concis ceea ce premisele exprimă în detaliu .

5.3. Inducţia incompletă (amplificatoare) În mod obişnuit, clasele de obiecte pe care încercăm să le cunoaştem sunt inepuizabile prin examinarea fiecărui caz individual în parte. Uneori , clasele ce fac obiectu l cercetării au un număr finit de elemente, dar nu le putem investiga pe toate; atunci când a formulat legile mişcării planetelor, Kep ler nu dispunea de o lunetă suficient de putemică pentru a-i fi permis observarea tuturor planetelor din sistemul nostru solar. Alteori (şi cel mai adesea), clasele care fac obiectul cercetări i au un număr infinit de elemente şi, ca atare, sunt inaccesibile inducţiei complete; pentru formularea faimoasei legi a atracţie i universale, Newton s-a bazat pe cercetarea unui număr de «fapte» absol ut i n fim În "ca port cu infinitatea corpuri lor cereşti pe care le acoperă această lege. În astfel de situaţii, afirmaţiile generale nu se pot brua decât pe o inducţie incompletă: afirmarea (negarea) unei proprietăţi în legătură cu toate elementele unei clase de obiecte, după cercetarea, unu l câte unu l , doar a unor elemente din clasa respectivă. Notând cu A clasa infinită şi cu an ultimu l element din clasa A care a fost studiat, putem reda astfel schema injeren{ia/ă a i nducţiei incomplete:

3.d (x E

A)

H

(al

E

A)

1\

Fal

(az

E

A)

1\

Faz

(an

E

A)

1\

Fan

[ (x = al)

v

(x = az) v

\Ix [ (x E A) � Fx ]

. . .

v

(x = an) ] r

Suma observaţiilor directe Întemeiază în mod cert un enunţ particular (semnalat de cuantorul existenţial 3x): există (unele) elemente ale clasei A cu proprietatea F. Concluzia «amplifică» rezultatul observaţi ilor directe, făcând saltul de la particular (cert) la general: orice element din clasa A are proprietatea F. Concluzia inducţiei incomplete este mai tare decât premisele, afirmă mai mult decât rezultă logic din acestea şi, din acest motiv, schema inferenţială nu este validă (tautologică), ci realizabilă, iar concluzia astfel derivată nu este niciodată absolut certă, ci numai probabilă sau ipotetică.


178

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRlI

Cu toată imperfecţiunea sa formală, inducţia incompletă sau ampli fi ­ catoare reprezintă cel ma i puternic instrument de cunoaştere a lumii fenomenale de care dispunem, de neînlocuit în ştiinţele experim entale. Cât de plauzib ile sunt concluziile Întemeiate prin inducţie ampl ifi catoare depinde îri mare măsură de rigoarea metodică a proceselor de generalizare utilizate. Studiul raţionamentelor i nductive nu ma i ţine propriu-zis de logica pură, ci de metodologia ştiinţei, dar expunerea sistemat i că şi generalizată a rezultatelor aparţi ne, în virtutea tradiţiei, logicii generale. Problema principală este căutarea şi descoperirea condiţiilor care, odată respectate cu maximă stricteţe şi consecvenţă, măresc probabil itatea concluziei. În funcţie de mulţimea, str ingenţa şi susţ i nerea reciprocă a acestor condiţii, se pot distinge câteva tipuri de i nducţie amplificatoare, ierarhizate după cr i ter i ul credibilităţi i sau plauzibilităţi i cOllcluzi ilor pe care le Întemeiază.

5.4. Inducţia enumerativă La nivelul conşti inţei comune, inducţia incompletă se efectuează de obicei nesistematic, ca simplă enumerare a cazurilor înregistrate. Generalizările astfel obţinute se bazează pe simpla repetare a unor constatări, înregistrându-se absenţa oricărui contraexemplu. Premisele acestui gen de inducţie sunt însă rezultatul unor observaţii neordonate şt iinţific, care de cele mai multe ori nu sesizează proprietăţi şi relaţii esenţiale, ci aspecte superficiale, accidentale; din acest motiv, probabilitatea de adevăr a concluziilor desprinse prin simp l ă enumerare este scăzută, oricând fiind posibilă apariţ i a unor contraexemple care să infirme aceste concluzii (să ne reamintim de lebedele negre din emis fera austraIă). Există, fireşte, şi reuşite quasi certe ale acestu i gen de inducţie; propoziţiile 1/1 4/1 sunt ilustrative în acest sens, dar plauzi bilitatea lor foarte ridicată se bazează pe coroborarea generalizărilor enumerative cu o ser i e de legi şti i nţifice foarte solide, care exp l ică raţiunea (cauzalitatea) pe care se inteme i ază. În inducţia enumerativă (care se mai numeşte şi «populară», deoarece se Z real izea ă spontan, în limitele simţului comun) concluziile prezintă o credibilitate redusă, datorită frecvenţei unor erori de raţionament, Între care cele mai frecvente sunt generalizarea pripită şi confu zia între simpla succesiune a unor fenomene cu o re l aţie cauzală. -

În gândirea vieţii cotidiene se întâlnesc la tot pasul raţionamente induct i ve de genul: "Eu nu am văzut până acum copii cărora să le placă Învăţătura, aşa că toţi copiii sunt stresaţi de şcoală" sau "N-am întâlnit arbitru corect şi fotbal i st cult, aşa că toţi arbitrii sunt nişte hoţi şi toţi fotbaliştii nişte ignoranţi" sau - cum din păcate gândesc mulţi occidental i - "N-am văzut străin cu paşaport românesc care să nu fie un ţigan hoţ, aşa că toţi românii sunt nişte ţigani şi nişte hoţi".


Logica interferenţelor probabile •

179

G ând i rea comună se mulţumeşte cu ap rox i maţi i p racti c utile, câteodată, însă logic inconsistente, întăr i n du-ş i erorile şi prej udec ăţil e cu d i ctonul potrivit c ăru i a «excepţia întăreşte regula». Contrar ra�onalită l i i logice,

În care o sin gură exc epţie este suficientă pentru a o regulă ca regulă, transformând-o dintr-o propoziţie universală într-una p a rti c u la ră, s i m ţu l comun se mulţumeşte cu maj orităţi vagi, i gnor ân d în mod d e l i ber at cazurile - mai puţin numeroase - care, într­ o s impl ă enumerare, nu se înscriu în seria de repetiţii con statate . Astfel încât, dacă se poate arăta că b ă i eţe l u l X sau fetiţa Y învaţă c u plăcere , se va r ăs p un de : "Astea sunt excepţ i i , domnule - «cu o floare nu se face primăvară»; în rest, îţi spun eu, copiii llonnali fug de ş coa l ă ca dracul de tămâie". Cea mai mare parte a prov erb el or şi zicător ilor În care se co nd en s ează înţelepciunea popul a r ă suferă de acest viciu a l generalizării pripite, care acceptă şi trece cu vederea excepţiile, considcrând că puţinătatea l or nu in firmă, ci consolidează generali zăr i le em p i r i ce . Pe această schemă d e genera li zare pr ipită se articulează, În mod pre med i t at sau nu, mu l te dintre tezele pentru care pledează unii polil icieni sau zi ari şt i (să nu c o m i tem noi înşine eroarea de care 1< tlr bim ! ), J1 unci când, s emn al ând un num ăr limitat şi nu tot­ deauna rep/ elcntat ! v de cazuri s i n g u l are sau particulare, se vorbeşte în numele .,în tregul ui popor» sau al «maselor largi», avansându-se în mod propagandistic şi sofistÎC afirmaţii despre "toţi ti neri i ", "toţi intelect ual i i", "toti pcnsionari i", "toţi creşti n ii ortodocşi" etc. anu l a

Uneori se gcncral iwază chi ar de la un singur c a z cunoscut, ridicân­ du-se imed iat s i n g u l ar ul l a universal - precum se întâmp l ă în exem p l e de genul: "Calul lui Costică bea bere şi ţu i că, deci ca ii sunt amatori de băuturi sp i rtoase " sau "Am condus eu o s ingură dată o Dacie care mergea execrabil, deci toate Daciile sunt m aşin i foarte proaste" sau "Am cunoscut un profesor care m-a înnebuni t toată seara cu nişte aiureli despre extratereştri; îţi spun eu, profesori i ă şti a nu sunt întregi la minte". Toate aceste exemple sunt de tipul «Cine s-afript o dată cu ciorbă, suflă şi-n iaur!» . În alte cazuri, se trece de la un comportament singular la o caracterizare gen e ra l ă a unui individ: "Am discutat ş i eu o dată cu el despre cotaţiile la bursă şi mi-a expl i cat nişte lucruri pe care nu le ştiam; e un om foarte intel ig ent" sau "Vecinul X l-a aj utat pe Y să-şi care mobila în apartament; e un om foarte săritor". Protot i pu l acestor generalizări amplificatoare îl dă proverbul «Cine fură azi un ou, mâine vafura un bou».

În anumite c azuri , i nducţia enumerativă poartă l imi te l e stadiului cunoaşterii la un moment dat. Aşa stau lucrurile în c l as i c u l caz al generalizării "Toate lebed e l e sunt albe" (câtă vreme europ en ii nu întâlniseră lebede negre) sau în ceea ce priveşte afirmaţii precum


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRll

180

"Toate metalele sunt mai grele decât apa" (nu se ştia că există şi metale mai uşoare) sau "Toate metalele sunt solide" (neştiindu-se că mercurul, deşi lichid, este un metal). Aceste slăbiciuni ale inducţiei «populare» pot fi eliminate sau măcar atenuate prin respectarea anumitor reguli şi principii, utilizate sistematic în cercetarea ştiinţifică.

5.5.

Inducţia ştiinţifică. Meta1e de cercetare inductivă

Prudentă, ri guroasă, metodică - inducţia ştiinţifică nu se mulţumeşte cu simpla repetare întâmplătoare, ci caută să determine dacă aspectele repetabile constatate au sau nu un caracter necesar. În acest scop, cercetarea ştiinţifică re c urge la observaţii sistematice (utilizând o aparatură tehnică din ce în ce mai sofisticată), la experiment (provocarea controlată a unu i fenomen, în condiţii prestabilite) şi la modelare teoretică, ceea ce conferă inducţiilor ştiinţifice un !:,rra d sporit de probabilitate. S uperioritatea demersului şti inţific faţă de cunoaşterea comună se explică, aşadar, prin utilizarea unor metode precise de cercetare inductivă şi, pe de altă parte, întrucât concluziile întemeiate inductiv nu sunt uşor acceptate drept certitudini, ci sunt luate ca ipoteze supuse verificări i . Metodele d e cercetare inductivă s e bazează p e aşa-numitele «canoane ale inducţiei», a căror investigaţie este iniţiată de către Francis Bacon ( 1 56 1 - 1 626), primind formulările clasice în scrierile lui John Stuart Mill ( 1 806 - 1 873). În lucrarea sa Novum Organum - «Noul Organom> al ştiinţelor experimentale ale n aturii , opus anti cu lui Organon aristotelic, transforma t de scolastica medievală într-un instrument al speculaţiilor dogmatice şi a priori, Bacon expune pentru prima oară un canon al inferenţelor inductive sistematice, menite ,să depăşească naivitatea inducţiei populare, pe care el o numeşte «res puerilis», căci "acest fel de inducţie, care procedează prin simplă enumerare, nu e decât o metodă bună pentru copii, o metodă care duce numai la concluzii slabe şi care este expusă primejdiei îndată ce se prezintă primul fapt contradictoriu". I Intenţia lui Bacon este aceea de a face ca ştiinţa să progreseze de la observarea faptelor individuale, prin generalizări prudente şi treptate, până la enunţuri universale, care să exprime cât mai fidel «natura» generală şi specifică a unei categorii de fenomene. Această cercetare a esenţei fenomene l or poate avansa pe un teren sigur dacă se înscriu observaţiile - prin care, după Bacon, se poate citi "cartea Naturii" - în trei tipuri de tabele: . 1

Francis Bacon, Noul

Organon, Bucureşti, 1 957, p. 85


Logica interferenţelor probabile •

181

În tabela p rezenţe i (tabula p resentiae) se trec t o ate cazurile de lucruri, fen omen e şi procese în care proprietatea sau «esenţa» căutată se regăseşte. Cercetând "natura caldului", Bacon notează 27 d e cazuri care concordă pri n faptul că au proprietatea căldurii (razele soarelui, îndeosebi vara şi l a amiază, lumina solară reflectată de suprafaţa unei oglinzi sau condensată printr-o lentilă, m ete oriţii incandescenţi etc.). În tabela ab se nţe i (tabu la absentiae) se trec toate cazurile de lucruri, fenomene şi procese în care ne-am aştepta să fie prezentă proprietatea cercetată ş i în care, totu ş i , ace asta l ip s eşte . Astfel, căldura este absentă din lumina împrăştiată de Lun ă, stele sau cornete, deşi primim şi d e la ac e ste corpuri cereşti raze luminoase.

În s fârş it, tabela grad aţi ei (tabula graduum) c u p rin d e toate cazurile observate în care proprietatea studiată suferă an umit e v ar i aţi i de grad şi i nten si tate, în anum i te c on d i ţii repetabi le. De exemplu, în corpurile solide in erte nu găsim, de regulă, o căldură p ro pri e, generată de corpurile respective; în an um i te su bs tan ţe există o căldură virtu ală, care se poate de g aj a prin ardere (sulful, petrolul) ; alte corpuri păstrează mai mult timp decât alt el e c ă l d ur a pr imită din afară (bălegarul).

Odată În to c mit e aceste tabele, urmează " s ă găsim o astfel de însuşire care este totd e au na prezentă sau absentă o dată cu însuş i rea dat ă ş i totdeauna c reşt e sau descreşte cu ea" ? În ac e st fel, Bacon aj unge la concluzia că fenomenul căldurii este o m i ş care de extindere, îm pi e di c ată şi răs p ând it ă în părţile mai mici ale co rp uri l or. El form u l ează trei reguli în ceea ce pr i ve şt e rel aţi i le dintre fenomenul A ş i natura lui B: 1 . D acă A este prezent, B este prezent.

2. Dacă A este absent, B es te absent.

3. Dacă A creşte (descreşte), B c r eşte (descreşte).

În exemplul cercetării sale, căldura se află în astfel de raporturi cu mişcarea. Reluând cercetările lui Bacon într-un stadiu mult mai avansat al ştiinţelor naturale, în lucrarea sa A System of Logic ( 1 843 ) John Stuart Mill perfecţionează considerabil canonul inducţiei, ţintind nu atât determinarea «naturii» sau « esen ţe i » fenomenelor - o reminiscenţă a gândirii aristotelico-scolastice, de care Bacon nu s-a p utu t elibera pe d ep l i n , ci mai ales cauzele o b i ect iv e , a căror cuno aştere permite explicarea şt i i n ţifi c ă, p r i n l e gi ge ne r al e , a fenomenelor empiric observabile.

ibidem, p . 1 3 2


182

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

Fundamentală în gândirea ştiinţifică modernă, cauzalitatea este o relaţie între două fenomene A şi B, astfel încât A face să se producă existenţa lui B. Fenomenul A se numeşte "cauză", iar B - "efect". Astfel, încălzirea metalelor determină (provoacă) dilatarea lor, deci încălzirea metalelor este cauza dilatării lor. Ştiinţa modernă are la bază principiul cauzalităţii: «Ni mi c nu există fără o cauză orice fenomen se produce ca efect al unei cauze, generând, la rândul său, efecte». Operând cu ideali zări ale fenomenelor reale, teoria ştiinţifică defineşte un concept pur de cauzalitate, în care sunt eliminaţi (se face abstracţie de) factorii neesenţiali şi accidentali, postulându-se principiul echivalenţei cauzei cu efectul. Gheorghe Enescu detaliază consecinţele acestui principiu astfel: "a) ori de câte ori apare cauza apare şi efectul; dispare. cauza, di s..p a re ş i efectul;

b) în orice circumstanţă apare cauza, apare şi efectul (independenţa cauzei de circumstanţă); c) dacă se schimbă cantitativ cauza, se schimbă cantitativ efectul;

d) dacă diferă efectele, diferă c auze l e, fiecărui efect îi core s p u nde o cau ză unică; e) la efecte asemănătoare corespund cauze asemănătoare."3

În realitate, fenomenele concrete sunt p rodus e de acţiunea c onj u gată a unei pluralităţi de cauze, ce acţion ează într-un ansamblu de cond i ţii sau de circumstanţe variabile. Încălzirea este cauza dilatării metalelor, dar fenom e n u l dilatări i depinde, în datele efective ale producerii sale, de structura atom i c ă şi moleculară a fiecărui metal, de puritatea substanţei, de presiune, de p articu l ari tăţ i ale mediului în care se produce dilatarea prin încălzire ş. a. Conceptul ideal al cauzalităţii pur teoretice este formulat, în orice ştiinţă deterministă, într-o propoziţie universală, care exprimă o lege şti inţ i fi că (în speţă: "încălzirea provoacă dilatarea metalelor"), dar ac e a stă lege se realizează în cazuri (situaţii, fenomene) individuale, numite instanţe, influenţate totdeauna de un complex de circumstanţe (condiţii) specifice.4 În cercetarea cauzelor şi formularea legilor cauzale, John Stuart MiII enunţă următoarele patru metode de inferenţă inductivă incompletă: 5.5.1 . Metoda concordanţei

Ne punem, de pildă, întrebarea: care este cauza faptului că oscilaţi ile unui pendul au aceeaşi perioadă? Vom construi câteva pendule din materiale diferite (lemn, metal, plastic, carton etc.) şi de forme diferite (regulate - sferice, cubice, piramidale etc. şi neregulate), astfel încât obţinem un pendul din materialul A şi

4

Gheorghe Enescu, Tratat de logică, Lider, Bucureşti, (f. a.), p. 1 66 Pentru o anal iză mai detal i ată a cauzalităţi i , vezi Gheorghe Enescu, Ştiinţifică, Bucureşti, 1 973

Filosofie şi logică,

Editura


Logica interferenţelo r probabile

183

de forma Y, a l treilea din m ater i alul C şi de forma Z etc. Dacă în toate cazurile un singur parametru rămâne neschimbat, şi anume lungimea pendulului, se constată că aceeaşi l ungi m e determină e gal itatea perioade lor. De aici conchidem că fenomenul cercetat se explică printr-o relaţie cauzală universală: perioad a oscilaţiilor unui pendul este determinată (numai) de lu ngi me a pendulului. Tot astfel, dacă studiem nefericitul şi oribilul fenomen al pedofiliei, care ia, în u ltim u l timp, o alannantă amploare, se constată că în toate cazurile pedofilii - oricât de d i feri ţi ca vârstă, mediu socio-profesional ş i rezidenţial, situaţie economică ş.a.m.d . - au fo st, la rândul l o r, ab uzaţi sexual în copilărie de către persoane din familie sau d e către copii mai mari ş i adolescenţi din casele de copii, orfelinate, şcoli de reeducare pentru minori etc. Se poate trage de aici concluzia că p rin c ip al a (dacă nu singura) cauză a pedofiliei este un traumatism infantil provocat de ab uzu l sexual l a care a fost supus cândva pedofilul însuşi. Metoda concord anţe i se bazează pe însuşirea relaţiei cauzale ideale sau teoretice că dacă este prezentă cauza, atunci se produce neapărat şi efectul. Ea se confonnează unui principiu pe care Mill îl fonnulează astfel : "Dacă două sau mai multe cazuri în care se produce fenomenul investigaţiei au o sin gu ră circumstanţă comună, acea unică circumstanţă prin care toate cazurile c oncordă este cauza (sau efectul) fenomenului dat".s În expresia lui Jevons, "singurul antecedent invariabil al unui fenomen este probabil cauza lui". Dacă notăm cu a fenomenul investigat şi cu K, L, M, . . . diferitele

forma X, un altul din materialul B şi

caracteristici constatabile empiric în producerile succesive ale fenomenului putem schiţa mecanismul inferenţial astfel: K, L, M

a,

. . . . . . .... ... . ... . . . . ....a

K, M, N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

M, N, P . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . a N .. . . .. .... . ... .... . ..... .a

K, M, P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

L, M,

M este cauza (efectul) lui a

Exemplul inv o cat de Mill în ilustrarea meto d ei c onc ord an ţe i este descoperirea faptul ui că diferitele substanţe d o b ân de s c o structură cristal ină în procesul trecerii lor de la starea lichidă la cea solidă - deci cauza c r istal izării este modificarea stării de agregare. Sir David Brewster a descoperit prin aceeaşi metod ă cauza culorii irizate a scoicilor purtătoare de perle: luând amprente ale suprafeţe l or acestor scoici în substanţe diferite - ceară şi metal - a obţinut acelaş'i efect, dovedind astfel că fenomenul se e xp l ic ă nu prin anumite particularităţi ch im i c e ale cochiliei, ci prin profilul suprafeţei sale. 5

apud

Antony

Aew (editor),

Dicţionar de fi{ozofie şi logică, trad. rom. Dragan Stoian ovici,

Humanitas, Bucureşti, 1 996, p. 228


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

184

Fertilă ca sursă de ipoteze şi direcţii de cercetare, această metodă are

limite considerabile şi se confruntă cu câteva dificultăţi de principiu. 1) În primul rând, metoda concordanţei nu este un un test relevant al

cauzei eficiente, deoarece un fenomen poate ti (şi este, cel mai adesea) rezultatul unei pluralităţi de cauze. Marea dificultate în aplicarea metodei concordanţei rezidă în posibilitatea redusă de a izola acea unică trăsătură comună - presupusa cauză a fenomenului investigat. Uneori trăsătura comună evidenţiată nu este cauza, ci o condiţie necesară pentru producerea fenomenului; de exemplu, menţinerea oului de găină timp qe 2 1 de zile la temperatura de 36° C este condiţia, dar nu cauza apariţiei puilor. În legătură cu dificultăţile metodei concordanţei, este celebră anecdota pusă în circulaţie de Chesterton şi Hilaire Belloc: bând coniac şi apă, cei doi s-au îmbătat; acelaşi lucru s-a întâmplat şi atunci când au băut scotch cu apă, gin cu apă, vodcă cu apă etc.; potrivit metodei în discuţie, ar reieşi că apa este cauza beţiei ! 2) Pe de altă parte, metoda concordanţei presupune antecedenţa cauzei faţă de efect; există, Însă, şi situaţii În care fenomenele despre care se poate presupune că sunt interconectate ne apar ca simultane, nu succesive. Sărăcia se asociază în mod frecvent cu ignoranţa, alcoolismul şi delincvenţa. Metoda concordanţei nu ne semnalează Întotdeauna care este, Între aceşti factori, cauza şi care sunt efectele. Se pot imagina şi chiar se întâlnesc efectiv situaţii în care lipsa de educaţie stă la originea consumului de alcool, care generează infracţionalitatea (nu neapărat şi sărăcia, din păcate ! ); alteori, dimpotrivă, sărăcia împiedică educaţia şi duce la dependenţa de alcool şi la sărăcie etc. 3 ) În sfârşit, metoda concordanţei nu ne fereşte de comiterea unei erori numite în latineşte post hoc, ergo propter hoc, "după aceea, deci din acea cauză": eroarea constă în a lua simpla succesiune drept o relaţie cauzală. Ziua urmează întotdeauna după noapte, însă noaptea nu este cauza care dă naştere zilei; Înainte de producerea unui cutremur major, şobolanii ies din ascunzătorile lor şi animalele se agită, dar panica lor nu este cauza cutremurului, ci numai un semnal care poate fi un indiciu de avertizare. 5.5.2. Metoda

diferenţei

Dacă un clopoţel se agită Într-un recipient în care se găseşte aer, se aude clinchetul clopoţelului; dacă acelaşi clopoţel se agită Într-un recipient vidat, din care s-a scos aerul, sunetul nu se mai aude. Putem extrage concluzia că există o legătură cauzală sau, în orice caz, esenţială Între propagarea sunetului şi existenţa unui mediu elastic (în speţă aerul) în care se propagă undele acustice. În lumina unor observaţii curente, se ştie că diferite corpuri, care se deosebesc între ele în ceea ce priveşte masa şi greutatea specifică, lăsate libere cad spre centrul Pământului cu viteze variabile: de la aceeaşi înălţime, o ghiulea de pl imb cade mult mai repede pe Pământ decât un fulg sau o frunză. Atunci când căderea liberă se produce în vid, se observă că toate corpurile cad cu aceeaşi


185

Logica interferenţelor probabile

viteză. Din aceste observaţii - dintre care ultima nu se poate realiza decât în condiţii experimentale, de l ab orator - se desprinde o si n gu ră concluzie: c auza căderi i corpurilor cu viteze d iferite este rezistenţa aerului, care frânează mai mult sau mai puţin acceleraţi a gravitaţională. Aşadar, metoda diferenţei nu urmăreşte să descopere un factor invariant, prezent ori de câte ori se produce un fenomen, ci caută să depisteze un factor care este prezent în orice producere a fenomenului şi absent ori de câte ori fenomenul nu se produce. În formularea lui Mill, principiul acestei metode afirmă că "dacă un caz în care fenomenul se produce şi un caz în care el nu se produce au în comun toate circumstanţele în afară de una, [acea circumstanţă] este e fe c tul , sau cauza, sau o parte indispensabilă a cauzei".6 Schema inferenţială s-ar putea formula astfel:

K, L,

M

-, L, M

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

. . . .. . . . . . . ..... ... . ... .. . .a

K este cauza (efectul) lui

a

Galenus, celebrul medic al Antichităţii, a observat că pulsul unui paciente creştea brusc numai atunci când se discuta despre un faimos actor, de unde a inferat pasiunea onorabilei patriciene faţă de cuceritorul sluj itor al Thaliei. Un alt e x emp l u de aplicare reuşită a metodei diferenţei : în timpul războiului h i s p ano ­ american a izbucnit în rândurile trupelor americ ane o epidemie d e friguri g albene; se bănuia că boala ar putea să fi e provocată fie prin contactul cu alţi bolnavi, fie de m u ş c ătura ţânţaru l u i anofel . Exp er i m entu l a de c is : câţiva m il i tari au stat închişi într-o cameră ticsită cu haine şi obiecte ale unor bolnav i , i ar un alt grup a fo st închis Într-o Încăpere plină d e ţânţar i ; cei din prima grupă au rămas sănătoşi, ceilalţi s-au îmbolnăvit - prin urmare, transmiterea frigurilor are drept cauză muş c ătura ţânţarului anofeI. Ş i ace a stă metodă este o sursă fertilă de ipoteze , dar trebuie coroborată cu metoda concordanţei pentru eliminarea factorilor necauzali, care pot pune cercetarea pe o pistă falsă. Şi diferenţa este practic greu de stabilit, evidenţiindu-se că toţi fa c tori i sunt comuni, în afară de unul singur şi acela precis identificabil. Un grad spor i t de plauzibilitate revine formulărilor negative: nimic nu poate fi cauza u n u i fenomen dacă fenomenul nu se pro du ce atunci când apare presupusa lui c au ză (dar nici în a c e st caz nu putem avea de la început o certitudine, deoarece neapariţia fenomenului - efect se poate datora absenţei unor condiţii necesare ale relaţiei cauzale). 5.5.3. Meto da variatiilor concomitente ,

Legea după care încălzirea provoacă dilatarea metale l or a fost descoperită pri n această metodă, c are a pus în evi d e n ţă faptul că ori de c âte o r i se produce o 6

idem


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

186

creştere sau descreştere măsurabilă a temperaturii, dimensiunile unor b are de metalice (indiferent despre care metal ar fi vorba) se dilată ori se contractă. Tot pr in observaţie s-a stabilit că schimbarea stării de agregare a apei se produce ori de câte ori sunt atinse şi depăşite an u mite praguri critice de temperatură: sub - 4°C apa îngheaţă, peste 1 00°C apa fierbe, transformându-se în vap o ri . În termenii fo l o s i ţi de către Mill, metoda vari aţiilo r concomitente se bazează pe următorul pri nc i p i u : "Un fen om en care variază într-un fel oarecare ori de câte ori un a lt fenomen variază într-un anumit mod este fie o cauză fie un efect al acelui fenomen, fie este legat cu �cesta printr-un fapt de cauzare".7 Schematic, proced u ra se prezintă astfel: K, L, Mo, N, P

K, L, Mlo N, P

K, L, Mn, N, P

. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .

ao

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . at .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an

M este cauza (efectul) lui a

Prin această metodă s-au formulat o serie de ipoteze fertile, confirmate ulterior, oferind explicaţii unor fenomene precum: frecarea tinde să frâneze mişcarea corpurilor; furtuni le magnetice sunt corelate cu exploziile solare, perturbând comunicaţiile electro-magnetice (radio, TV); fumatul este un factor favorizant al cancerului pul mon ar etc. Şi această metodă are limitele ei; variaţia concomitentă nu ne arată neapărat o legătură cauzală necesară - poate fi vorba şi despre o simplă coi n cidenţă Metoda nu evidenţiază rară greş factorii esenţiali; de exemplu, incidenţa sporită a cancerului pulmonar poate fi pusă în relaţie ş i cu sporirea numărului de persoane în vârstă, datorită unor factori cu totul independenţi de fumat etc. Acelaşi lucru se poate spune şi despre aparenta cor elaţ i e Între consumul exagerat de alcool şi incidenţa cirozei . Observaţiile arată că exi stă o legătură cauzală între creşterea c ri m i n al ităţ i i şi accentuarea sărăciei - dar la creşterea numărului de i nfracţi u ni pot contribui şi a lţi factori, precum incapacitatea operaţională sau / şi corupţia poliţ i e i şi a sistemului j u d i ci a r, atenuarea credinţei religioase etc. .

5.5.4. Metoda resturilor

Această metodă se poate ap li ca numai atunci când fenomenul studiat face parte d intr-un complex cauzal şi unele relaţi i din acest complex sunt deja . cunoscute. Miii propune următorul pri n c i piu : "Scăzând dintr-un fenomen acea parte despre care am aflat p r i n inducţii anterioare că este efectul anumitor antecedente, ceea ce rămâne din fenomen este efectul restului antecedentelor".8 idem idem


187

Logica interferenţelor probabile

Schematic, inferenţa se produce astfel: K este cauza lui

K, L, M, N, P L

... . .

P .. .

N

. . .

.

.

...

.. .. .. .. .a. b.

....

...

...

. . . . . . .

. .

.

.

........

.. . . .

. . .

c,

d, e

b

.. c .

...

d

. . . . . . . . . . . . . . . .. e

M este cauza lui a Exemplul clasic al aplicării cu succes a metodei resturilor este descoperirea prin calcul matematic de către astronomul Le Verrier a planetei Neptun ( 1 845). Mişcarea pe orbită a planetei Uranus (ultima planetă din sistemul solar observabiJă cu instrumentele optice ale epocii) prezenta anumite abateri faţă de evoluţia calculată în funcţie de atracţia Soarelui şi a celorlalte planete observabile. Le Verrier a presupus că abaterile se datorează atracţiei exercitate de către un alt corp ceresc, situat pe o orbită exterioară orbitei lui Uranus şi a pus în acord obervaţiile şi calculul, determinând masa şi ecuaţia de mişcare a planetei ipotetice. Utilizând apoi un telescop mai putemI c, gerrnan ul Galle a confmnat calculele matematice ale lui Le Verrier, identificând prin observaţie planeta Neptun ( 1 846). Gheorghe Enescu argumentează convingător ideea că, în acest caz, avem de-a face numai aparent cu o inferenţă inductivă, în care se aplică metoda resturilor. În realitate avem de-a face cu o deducţie: fi ind stabilită anterior l egea universală potrivit căreia perturbaţii le ce apar în mişcarea pe orbită a planetelor se datorează atracţiei exercitate de alte planete, Le Verrier a dedus că acest adevăr universal se apl ică şi în cazul planetei Uranus, calculând matematic (deci rară nici o legătură cu observaţia fenomenelor) parametrii unei planete ipotetice, a cărei forţă de atracţie, corelată cu atracţia planeteJor dej a cunoscute, ar aduce orbita lui Uranus l a parametrii constataţi prin observaţii astronomice. Punctul de plecare al deducţiilor matematice ale lui Le Verrier l-a constituit o analogie: ştiindu-se că în alte cazuri perturbaţiile orbitelor sunt produse de vecinătatea altor corpuri cereşti, s-a presupus că acelaşi lucru se întâmplă şi în cazul planetei Uranus.9 G. E Creighton a conceput un exemplu mai apropiat de ideea asociată de Mill cu metoda resturilor. Stau timp mai îndelungat într-o cameră luminată electric cu un număr de becuri având o anumită putere şi observ că, după un anumit interval, temperatura camerei creşte cu 3 °C; în acelaşi timp, într-o cameră alăturată, de aceleaşi dimens iuni şi luminată cu o putere electrică egală, dar în care nu se mai află nimen i, temperatura creşte cu numai 2°C. E foarte probabil că diferenţa de l OC se explică prin căldura emanată de corpul meu. Aici se aplică, însă, mai degrabă, metoda diferenţelor, prin care se constată că plusul de temperatură (efectul constatat) se produce dacă apare o unică diferenţă între cele două camere: prezenţa corpului meu într-una din ele. 9

Gheorghe Enescu, op. cit. , p. 1 8 1


188

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

Limita principală a metodei resturilor rezidă în faptul că ea se poate aplica numai complexelor cauzale, presupunând existenţa unor cunoştinţe deja dobândite şi confirmate, precum şi o îmbinare a procedurilor inductive şi a celor deductive.

5.5.5.

Inducţie, observaţie şi experiment

Metodele inductive uti lizate în cercetarea ştiinţifică în vederea stabil irii cu un grad sporit de prob�bilitate a unor conexiuni cauzale se bazează pe observaţie şi experiment. Trebuie să distingem observaţia ştiinţifică de cea întâmplătoare, datorată hazardului - deşi este posibil ca şi aceasta din urmă să fie o sursă fertilă de problematizare şi de emitere a unor ipoteze interesante. Observaţia ştiinţifică es te o suită de perceperi sistematice a producerii şi a caracteristicilor unei clase de obiecte, fenomene sau procese, orientate de anumite ipoteze asupra mecanismelor legic cauzale, presupuse a sta la baza caracteristicilor supuse observaţiei . Contrar credinţelor naive, potrivit cărora savantul «priveşte» natura fără idei preconcepute, până ce şansa ş i insp iraţia îl fac să sesizeze dintr-o dată ceva frapant, care îi sugerează subit o «idee», în realitate cercetarea şti inţifică porneşte întotdeauna de la o ipoteză, adică de la o explicaţie cauzală conceptibilă şi plauzibilă a unei clase de fenomene, i ar observaţiile sunt proiectate şi focalizate asupra unor anumite aspecte anticipate a se produce în cazul în care ipoteza emisă ar fi corectă. Omul de ştiinţă nu caută să observe tot ceea ce se petrece în mod natural în producerea unui fenomen, ci este atent numai asupra anumitor parametri semnificativi din perspectiva ipotezelor sale asupra cauzelor şi condiţiilor care determină, prin acţiunea lor, fenomenul studiat. Observaţia poate fi simplă, atunci când recurge numai la organele de simţ, sau amplificată, dacă se utilizează aparate special construite pentru a spori şi completa capacităţile noastre perceptive. De exemplu, microscoapele optice permit perceperea unor obiecte infim de mici, inobservab ile cu ochiul l iber, după cum telescoapele permit perceperea unor corpuri cereşti aflate la mari distanţe, de asemenea inaccesibile privirii noastre . O serie întreagă de aparate sofisticate înregistrează vibraţii, unde, emisii pe care simţurile noastre nu le percep câtuşi de puţin şi le «traduc» în semnale optice sau auditive ce sunt accesibile facu ltăţilor noastre perceptive. Din alt punct de vedere, observaţia se poate orienta asupra unor fenomene care se produc de la sine, într-un cadru sau mediu neinfluenţat de către observator - de pildă aşa procedează biologii atunci când supun observaţi ei un ecosistem sau sociologii atunci când fac observaţii asupra unor fenomene sociale - sau poate viza producerea şi evoluţia unui proces real izat experimental, în condiţi i de laborator. Experimentul este o suită de operaţii, provocate în mod deliberat în anumite condiţi i, care, prin transformarea obiectului studiat şi a relaţiilor sale cu alte «forţe» şi «entităţi», permite observarea anumitor însuşiri caracteristice. De regulă,


Logica interferenţelor probabile

189

experimentul se produce în anumite condiţii ideale, în care se elimină circumstanţele presupus accidentale şi nerelevante din perspectiva ipotezelor ce stau la baza conceperii şi realizării unui experiment. Astfel, în biologie şi în medicină organismele sunt cercetate în anumite condiţii de laborator, urrnărindu-se rolul exercitat de anumite substanţe, alimente, fenomene mecanice, chimice etc. asupra metabolismului; în psihologie, subiecţii investigaţi sunt plasaţi într-un anumit context pentru a li se observa modificările şi reacţiile comportamentale, eliminându-se influenţele perturbatoare ale unor factori neinteresanţi pentru cercetător etc. Recurgerea la experimente amplifică în mod considerabil probabilitatea inferenţelor inductive, apropiind-o de certitudinea practică. Aplicate în cercetarea experimentală, regulile metodologiei inductive se pot reforrnula astfel: 1 . Dacă se provoacă producerea unui fenomen în diferite circumstanţe, astfel încât o singură p roprietate este comună tuturor contextelor circumstanţiale,

atunci acea caracteristică este cauza fenomenului. 2.

D acă, prin introducerea acţiuni i unui anumit factor printre alţi parametri

observabili, se produce de fiecare dată un anumit efect, iar suprimând acţiunea acelui factor facem să di spară de fiecară dată respectivul efect, atunci acel factor este cauza fenomenului.

3. Dacă variaţia cantitativă, observabilă şi măsurabilă, a unui anumit parametru sau factor se asociază întotdeauna cu variaţii corespondente ale unui anumit efect, atunci parametrul respectiv e s te cauza fenomenului.

4. Dacă se produc 11 circumstanţe din care rezultă Il efecte şi dacă pentru 1 circumstanţe şi Il 1 efecte am constatat anterior o conexiune cauzală, atunci putem presupune că ultima circumstanţă este cauza ultimului efect. Il

-

-

5.5.6. Trăsături comune meto delor inductive

Deşi se individualizează prin caracteristici clar definite, metodele de cercetare inductivă posedă anumite trăsături generale comune . astfel :

a) Oricare dintre metodele m enţionate este o inducţie prin eliminare ; •

metoda concordanţei elimină treptat împrej urări le antecedente care nu apar de fiecare dată în producerea fenomenului investigat;

în metoda diferenţei se elimină împrejurările antecedente care apar în ambele situaţi i, adică şi atunci când se produce, şi când nu se produce fenomenul studiat;

în metoda variaţii lor concomitente sunt eliminate antecedentele constante, precum şi acelea a căror variaţie nu concordă cu variaţia fenomenului studiat;

metoda resturilor se bazează pe eliminarea factorilor cunoscuţi drept cauze ale unor fenomene corelate cu cel investigat.


LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

190

b) Oricare metodă poate fi utilizată şi în sens negativ, demonstrând că nici unul dintre factorii eliminaţi nu poate fi cauza fenomenului studiat, contribuind la înlăturarea ipotezelor şi a explicaţiilor false. c) Fiecare metodă sporeşte gradul de probabilitate a adevărului concluziei, dar nici una nu conferă concluziei certitudine, rezultatele fiind în toate cazurile ipotetice şi necesitând verificări riguroase; metoda concordanţe i se fundamentează explicit pe observaţie, pe când celelalte trei se bazează, în principal, pe experiment

Este evident că aceste metode de cercetare inductivă nu sunt suficiente pentru a conduce automat la descoperiri semni fic ati ve ; fantezia, imaginaţia, ingeniozitatea cercetătorului rămân factori de neînlocuit în producerea unor rezultate teoretice cât de cât valoroase. Aceste metode îşi asumă un rol mai modest decât acela de a garanta succesul investigaţiei ştiinţifice, însă de loc negl ij ab i l: controlul logic strict al fanteziei, astfel încât aceasta să nu s e irosească pentru cauze dinainte p i e rd ute exercitându-se în terito rii nesigure, dar nu lipsite de şansele unor rezultate valabile. ,

5.5.7. Alte reguli şi criterii de validitate

ale inducţiei sistematice

Pe lângă aceste canoane ale inducţiei incomplete formulate de către Mill, în practica cercetării ştiinţifice s-au conturat şi alte condiţi i a căror satisfacere asigură un spor de plauzibilitate a concluziilor extrase prin inferenţe inductive, mai ales În domeniul ştiinţelor socio-umane. Spre deosebire de inducţia populară, în care factorul întâmplător joacă un rol decisiv, înregistrându-se apariţia de la sine a unor fapte oarecare şi a unor corelaţii, asemănări sau deosebiri neesenţiale, inducţia ştiinţifică procedează la o selecţie cât mai riguroasă a cazurilor avute în vedere, precum şi la o definire cât mai clară a factorilor (însuşirilor) semnificative. Ceea ce se caută a se stabili prin inducţie sistematică nu este doar un număr de cazuri - cât mai multe, dar nu importă care, ci acele cazuri care semnalează diferenţe sau asemănări semnificative pentru fenomenul i n v es tigat .

1 ) O primă regulă de întărire a temeiuri lor care susţin generalizări inductive amplificatoare solicită o clasificare prealabilă, după criterii cât mai semnificative a fenomenelor de investigat. Faptele nu sunt înregistrate la întâmplare, contând numai numărul lor, ci trebuie căutate cazurile care semnalează diferenţe semnificative pentru cercetarea întreprinsă. Dacă studiem, de pildă, rata nupţialităţii şi a divorţului într-o anumită ţară şi într-o perioadă suficient de relevantă, vom fi atenţi la diferenţele şi concordanţele, precum şi variaţiile care apar în funcţie de mediul rezidenţial, categorii de vârstă şi profesionale, grupuri etnice şi regionale, nivelul de instrucţie, starea economică etc. Dacă toate cazurile analizate din diferite clase sati sfac conexiunea vizată, putem conchide că putem formula o concJuzie generală adevărată cu o mare probabilitate. De exemplu, se


Logica interferenţelor probabile

191

p o ate de s p rind e concluzia că nu p ţi a l itatea

sc ad e , re spectiv rata div orţur il o r creşte în co relaţ i e cu anumi ţi fa cto r i , pre cum : d ep l asar e a popu l aţie i spre mediul urban, creşterea gradu lu i de calificare pro fe s iona l ă, instabilitatea şi p recaritate a situ aţi e i economice a cu p l ur i l o r ş . a . m . d .

2) Dacă se pot di s pune fen ome ne l e inv e sti gate într-o anumită or d in e , astfel în cât s ă s e distingă cu sufi c ientă c lar itate cazurile extreme , şi dacă e xtreme le p rezintă a c e l e a ş i p rop ri etăţi şi c o n ex i uni cauzale ca şi cazurile ban al e , medii, atun c i creşte probabil itatea ca toate cazu r i l e s ă prezi nt e ace l eaş i p ro pr i etăţi şi re laţi i . De ex em p lu , dacă şi oamenii total in cu l ţ i şi cei fo arte in stru iţi au auzit de numele lui Gh eorgh e Hagi, atunci se poate presupune că pro bab i l toată lum e a îl cunoaşte pe marel e fotbalist; dacă şi extre m a dre aptă şi extrema stângă sunt de acord în ceea ce pr i v e şte ap ărare a i nte gr i tăţi i teritoriale a Român i e i sau în ceea ce pri veş t e in te grare a e u ro p e an ă a ţ ăr i i noastre, se poate presupune cu de stu l temei că to at e orientări le p oli tic e sunt de acord măcar în ceea ce priveşte aceste" inter es e maj o re a l e �r i i în m om en tu l de faţă şi în viitorul prev i zi bil . 3 ) Pro babi l itat e a unei concluzii întemeiate inductiv sporeşte în mod considerabil dacă s e ap l i că regula cazului cel mai puţin aşteptat: dac ă se d ove d e şte că şi cazu ri l e cele mai n eaş tept at e satisfac o anumită pr o p rietat e , atunci a Jortiori (cu atât mai m u l t) ceea c e este mai probabil să se întâm ple pre z intă pr o p r ietat e a respectivă. D a c ă, d e e x e m p l u , până şi sfinţi i au v i se erotice şi gând ur i necuvioase, atunci orice om este, măcar în as cu n z i ş u ri le sufletului său şi măcar din când în cân d , păcătos . Dacă şi analfab eţ i i cunosc valoarea nominală a bani lor şi pot fac e socoteli cu su m e de bani, atunci orice om este apt de ope raţii aritmetice elementare. Dacă şi oameni i cei mai temerari (c ascad or i , paraşutişti, exp loratori, alpinişti, m i l it ar i din tru pe l e sp ec ial e etc.) cunosc m om e n te de teamă, atunci orice om este, cel puţin câteo dat ă , frÎc.os. Regula este d eose bit de eficace atun c i când ap li c area ei dă rezu ltate negat ive , obl igându-ne să nu an ţăm ori să ren u n ţăm la anu mite g ene ra lizări aparent foarte solide. De e xem p l u , am fi în c l i n aţ i să presupunem c ă au şanse mai mari de a c â şti ga l e pro n os p ort oam e n i i pr i c epu ţ i la fotbal ş i / s au la calcule p ro babiliste ; de multe ori se întâm p lă că aceş t i o am e n i n u câş t i gă , ceea ce reuşesc, din întâmpl are, alţi oameni care nu au habar d es p re sport şi matematică.

4) P ro b abi l itate a concluzi i lor întemeiate inductiv sporeşte şi d acă se apl i că

regula selecţiei aleatoare : dacă toate cazurile alese la întâmpl are din mulţimea

fenomenelor stu d i ate satisfac o an u m i tă proprietate sau relaţie, atunci e fo arte pl a uz ibil că orice obiect d in mul ţi me a c ar e n e intere s ea ză are ac ea propr i et at e sau re laţi e . De s ig u r, ap l ic ar e a acestei metode pre s u p un e a l ua în co n s i d e ra ţ i e un număr semn ificativ de cazuri - altminteri e foarte p o sibil să general izăm pe b a za u n or c o i n ci d e n ţe în tâm p l ătoare ; de a s eme ne a, trebuie să ne asigurăm ca se l ec ţi a aleatoare să se distribuie pe Întreaga clasă de fenomene studi ate şi nu doar pe o s e cţ i u n e a e i . Pe acest mecanism logic se bazează tehnicile de sondare a o p i nie i p u bl i ce . Atingem aici o problemă d ifici lă, Însă im port ant ă din pe rs p e ct i v a logicii: ce ra p o rtu ri se pot defin i între cal cul e l e statistice şi ge n er a l i z ări le i n d u ct i ve ?


LOGICĂ Ş'! TEORIA ARGUMENTĂRII -192�------------------------���-------

5.6.

Raţionamente statistice şi inferenţe inductive

Raţionamentele statistice sunt, la rân d u l lo r, scheme inferenţiale probabile, în care "cel p u ţin una din premise are caracter statistic, ad ic ă este o prop oziţi e referitoare la frecvenţa d istri buirii u no r proprietăţ i în rap o rt cu o c l as ă determinată. Vom sp un e că prop ri etatea este satisfăcută de m obiecte din Il, u n d e m re p re z i ntă numărul cazuri lor favorabile, iar n numărul total al cazurilor din cl a s a dată" . 10 De exemp lu, av ân d în ve d ere m u lţi m ea K a bo ln avil or de cancer pulmonar din Români a, se poate stabili că din numărul total It a l celor care suferă de această maladi e , m indivizi sunt fumători înrăiţi, dependenţi de intoxicaţia cu nicotină. Acest raport se exp r i m ă, d e regul ă, p ro c e ntu a l : K%. C lasa studiată poate primi diferite denumiri: «co l ecti vitate » , «populaţie», «lot», «masă» etc . Întrucât, de foarte multe ori, se cer inv e st i gate mulţimi cu un număr foalte mare d e elemente, calculele statistice se efectuează asupra unei subclase cât mai reprezentati v e pentru întreaga «populaţie» sau «colectivitate», subclasă numită, cel mai adesea, «eşantion» sau «probă». Această subclasă supusă investigaţiei îşi propune să fie o p ro i e cţie sau imagine tipică a întregi i m u l ţi m i de fenomene avu te În vedere. A c eas tă imagi ne trebuie să aibă cal itativ şi cantitativ un grad de omogenitate cât mai apro p iat de cel al colectivităţi i, astfe l Încât e şant i o n ul să fie r eprezentat i v, redând cât mai fidel structura p o pu l a ţiei şi p ro p o rţ iile dintre diferitele categori i din cadrul acesteia. După d e fi ni re a criteriilor de eşantionare, selecţia indivizilor care intră în subclasa de probă se face la întâmplare. Cu cât eşantionul reprezintă mai bine colectivitatea, cu atât concluziile valabile la scara eşantionului se pot extinde cu sporită p robab i litate la scara întregi i p o p u l aţ i i . Tehnicile de investigare stati stică deţin un rol foarte important în metodologia ştiinţelor socio-umane, printre care sociologia, psihologia s o c i a l ă, demografia etc. Între calculul statistic şi inferenţele inductive există o înrud ir e im por­ tantă: în ambele tipuri de raţionamente se întemeiază concluzi i probabile. Există însă ş i deosebiri importante Între sensul probabilităţii În statistică şi prob a b i l i tatea inferenţelor inductive care conduc la general izări ale cazurilor p art i cul are. Condiţionat de legea n umere l o r mari şi de rigoarea eşantionării corecte, calculul statistic determină rapo rtur i cantitative de distribuţie a unor proprietăţi la nivelul unor mase (mulţimi) de fenomene, luate global, o fer i nd de fiecare dată o estimare precisă a probabil ităţi i , exprimată in procente. De exemplu, să spunem că într-o ţară cu o populaţie de 1 0 m i l i oan e de locuitori, 2% dintre aceştia m or prematur de cancer pulmonar - ceea ce dă o prob ab i l i tate redusă de îmbolnăvire la n iv e lul întregii populaţii, rară să ofere, însă, nici o certitudine în ceea ce pr iveşte şansele de îmbolnăvire ale fiecărui individ în parte. Cu alte cuvinte, nimeni nu poate conta în pro p orţie de 98% pe faptu l că el însuşi, ca persoană singulară, nu este am e n inţat de boa l ă . Pe de altă parte, calculul statistic arată că, di ntre cei 2% din p o p u l aţi e care mor de cancer pulmonar, 70% (să spunem) sunt furnători şi că, pe măsură ce numărul anil o r de fumat şi al ţigărilor consumate zi ln i c sporeşte, creşte şi procentul c e l or 10

ibidem, p. 1 92


193

Logica interferenţelor probabile

răpuşi prematur de această boală. Rezultă de aici o foarte mare probabil itate a unei conexiuni directe Între fumat şi cancerul pulmonar, din care un individ oarecare poate să

extragă

cu temei un avertisment în ceea ce priveşte riscurile la care se

expune fumând, dar nu şi posibilitatea de a măsura pe propria persoană coeficientul Tot astfel, dacă durata medie de vi aţă într-o ţară X este, să spunem, de

de risc, care diferă considerab i l de l a un indivi d la a ltul. de

an i,

acest

fapt

este

semnificativ

raportat

la

nivelul

întregii

68

populaţi i .

ani, s e poate aprecia, aproape fără dubii, că nivelul general d e dezvoltare al ţări i X

Presupunând c ă există alte ţări , î n care durata medie de viaţă este de

75

sau

79

de

asi stenţă med icală şi socială etc.) este inferior nivelului atins de acel e ţări în care

(în ceea ce priveşte condiţi ile materiale de viaţă, de muncă, alimentaţie, igienă, an i durata med ie de viaţă din ţara X a scăzut, să zicem, de la 74 l a

oamenii trăi esc

În medie mai mult. De asemen ea, dacă în decursul ultimilor 50 de

să fi avut loc în a c e st i nterval războaie, cataclisme naturale sau epidemii

68

de ani (fără

ţara X a scăzut dramatic în secolul respectiv. Semnificative la nivelul global al

devastatoare) se

poate afirma cu d epl in temei că

nivelul

general de civi lizaţie din

cu individul. Nimeni din ţara X nu-şi poate face proiecte contând pe

întregii populaţi i, datele statistice nu au câtuşi de puţin aceeaşi relevanţă în raport

68

de ani de

d e oare c e acestă cifră este o medie stabil ită la n i v e lu l a zece m i li oane de fiind foarte pos i b i l ca nici unul dintre membri i a c e stei popu l aţi i să nu se stingă e xac t la această vârstă; maj o r itat e a mor la vârste apropiate de medie; existând Însă nu m ero as e cazuri d e indivizi care mor în primul an de viaţă, în plin ă ti n ereţe sau la o băt râ neţe foarte avansată, de peste un seco l . Iar dacă media de v i aţă Într-o ţară Y este cu zece ani mai mare decât aceea din ţara X, aceasta n u Înseamnă câtuşi de puţi n că oricare individ di n Y trăieşte cu zece an i mai mult decât oricare individ din X. Aşadar, în stati stică nu ne interesează fiecare obiect sau element al clasei, vi aţă,

locuitori,

fi divizat în p ărţi (ii) concluzia căutată este imposibil de descoperit direct, ca atare, prin studierea unui s i n g ur element luat izolat. Altfel spus, metodele statistice scot

ci subiectu l cercetat este însăşi clasa de fenomene. A p l i carea metodelor stati stice sau elemente;

presupune două condiţii : (i) obiectul inve sti g at trebuie să poată

la iveală, cu probab i l ităţi precis determinate (întrucât sunt de ordin pur cantitativ)

emergente, care aparţin î ntreg u l ui sau mulţimii totale de fenomene, fără să aparţină ca atare şi în egală măsură fiecăru i element individual în parte. Inferenţe le inductive urmăresc altceva decât calculele statistice: nu măsura cantitativă a posibilului, raportat la o mulţime g l o b a l ă de elemente, ci enunţuri universale, care afirmă că fiecare element dintr-o mu l ţim e , fără excepţie, p os e d ă o an um ită proprietate . Probabilitatea a cesto r enunţuri decurge din faptu l că ne asumăm riscul de a spune despre «toţi x» c e ea ce nu ştim cu siguranţă decât despre «unii x» existând totdeauna po si b ilitate a unor cazuri, încă n ei nspectate , care să ne contrazică afirmaţia uni ver s al ă . Această p robab i li tate poate fi apreciată ca fi ind mai mică sau mai mare, Însă estimările nu sunt niciodată prec i s măsurabile şi exp ri m ab i le în procente, ci au un caracter vag, aproximativ, înscr i indu- s e pe o scală în care di stingem - fără d e l i mi tăr i exacte - g e n e ra l izăr i «practic cu to t u l improbabile» sau proprietăţi


194

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRlI

«practic imposibile» , «puţin probabile», «cu o oarecare probabilitate», «destul de probabile», «cu o mare probabilitate» şi, la limită, <<practic certe». Până la · descoperirea lebedelor negre, era crezută afirmaţia că «toate lebedele sunt albe» doarece nici un european nu văzuse, niciodată, măcar o singură lebădă neagră. Apariţia excepţiilor nu s-a soldat cu o scădere a probabilităţii culorii albe de la 1 00% la, să spunem, 90% ci cu dovedirea falsităţii unei propoziţii universale şi cu înlocuirea ei de către o propoziţie particulară, de forma «unele lebede sunt albe», chiar dacă putem indica vag o sporită incidenţă a culorii albe, spunând «cele mai multe dintre lebede», «în majoritatea cazurilom, «de cele mai multe ori», «de regulă» sau «în mod obişnuit» etc. lebedele sunt albe, ceea ce, din punctul de vedere al teoriei logice, nu schimbă absolut nimic. Statistic putem stabili, prin sondaje de opinie, că 50% din electorat susţine la moment ul t, anterior alegerilor un anumit partid politic P. Presupunând că estimarea este corectă la nivelul întregii populaţii cu drept de vot, ea nu ne permite să decidem numai prin calcul despre oricare individ ales la întâmplare- din masa de alegători dacă face parte sau · nu dintre susţinătorii partidului respectiv. Dacă estimarea nu este corectă, numărătoarea voturilor va aduce o corecţie măsurabilă să zicem că numai 45% sau că 69% dintre alegători au votat în realitate partidul P. În ceea ce priveşte inferenţele inductive în sensul anterior definit, ele ne permit, de pildă, să afinnăm, cu mare probabil itate că «orice român a auzit de Eminescu şi ştie măcar un vers d in opera marelui nostru poet naţional». Dacă afirmaţia este adevărată, ea ne permite să presupunem că oricare individ cu atributele definitorii ale unui român va confirma, fără excepţie, ceea ce am spus . Apariţia unui număr de contraexemple, oricât de puţin numeroase, nu corectează precizia afirmaţiei, ci o anulează pur şi simplu, obligându-ne să afirmăm o propoziţie particul ară în locul uneia universale. Generalizarea în calculul statistic este o trecere de la o parte a mulţimii studiate la întregul mulţimii de fenomene studiate. Distribuţi ile constatate pe un eşantion sunt extinse asupra întregii mulţimi din care s-a extras - mai mult sau mai puţin judicios - eşantionul avut în vedere. Dacă pe o parte a populaţiei se constată că incidenţa unei caracteristici este de 3 5 %, se presupune că la nivelul Întregi i populaţii procentul de incidenţă a caracteristici i respective va fi acelaşi, cu o marj ă, la rândul ei calculabilă, de eroare. În inferenţele inductive înaintarea se face de la individual spre particular şi universal: dacă şi numai dacă toate cazurile cercetate unul câte unul prezintă, rară excepţie, o anumită proprietate, atunci se presupune că toate cazurile dintr-o mulţime definită au acea proprietate. Sintetizând această deosebire esenţială dintre raţionamentel e stati stice şi inferenţele inductive, Gh . Enescu arată că "una este să spui « 5 0% din cei cercetati sunt pentru» şi alta e să spui «fiecare din cei cercetaţi este pentru» . În pr:mul ca; , nu interesează dacă există sau nu cazuri care' se n eagă reciproc « <x este pentru», « y n u este pentru»); în inducţie cercetarea se opreşte la primu l caz opus, concluzionând «nu toţi»; inducţia avansează numai dacă orice caz cercetat este favorabil conc1uziei generale. " \ 1 ,

11

ibidem. p. 1 6 1


195

Logica interferenţelor probabile

5.7. Analogia Frecvent. utilizată, atât de gând irea comună, cât ş i în cercetarea şti inţific ă, este i n ferenţa prin analogie. Este un raţi o nament probabil bazat p e raporturi de asemănare. S chem ati c, putem defini analogia dre pt o compa rare a cel puţin dou ă obiecte care posedă anu mite îns u ş iri comune, inferând pe baza acestora că orice prop ri etate, care s- ar constata numai la un u l dintre obiectele c om parate , trebuie să a parţi n ă şi ce l u i lalt. Fie ob i ectel e comparate a şi b, iar diferitele lor propr i etăţi F, G, H etc. Schema inferenţială ar a răta astfel :

Fa A Ga A Ha Fb A Gb A Hb la Un exe mp l u intuitiv ar putea fi:

Ib

Tu d or, G eorge şi Mihai sunt i nte l i genţi , s er i oş i , iubesc lectura şi sunt foarte buni l a m atematică. Tudor şi

G eorge joacă şah .

(De presu p u s că) şi Mihai j oac ă şah.

Gradul de pro b abi l itate c a o concluzie Înt emei ată a n a l ogic să fÎ t� ad ev ărată este, cel mai adesea, destul de scăzut. Gândirea comună c o m i t e adeseori eroarea de a c ons i d era c o n cl uzi i le an a log i c e fie adevărate, fie de o p ro b a b i l itate aprop i ată de c ertitud ine. Gând irea şt ii n ţi fi c ă, m a i prud e ntă, mai circufIlspectă, Ilu-şi p o ate în găd u i să acorde an alogi e i m a i m u lt d e c â t o v a l oare i po te l i c ă, ce urmează a fi testată în fel şi chip, apoi c orob o rată cu alte cunoştinţe te o reti c e înai nte de a se pute a în s c r i e pr in tre rezultatele confirmate a l e c erc etării . Un e ori, an alog i a poate fi Întâmplătoare, ne fi ind rez ul t atu l u n or c ăutări orientate de anumite ipoteze. De exemplu, s-a o b serv at că o an um ită r egi u n e di n A u stral i a p re zi ntă a s em ăn ări frap ante cu peisaj ul cal i fomian; şt i i n d u- s e că în California existau zăc ăm i nte au rifere, s-a presupus că s -ar putea găs i aur şi în acea regiune au straliană - presupunere ce s-a confirmat. Chiar dacă se r e al i ze ază din întâmp l are , inferenţa ana l o g i că re u şi tă nu este un dar al n oro cu l u i, ci presupune i n s p i raţi a un u i s p i rit Înzestrat cu o anum ită e xp er i e n ţ ă şi cu o mare c ap ac itate d e ob s erv aţ i e . Se s pu n e că Galileo Gal ilei ar fi d e s c o p e ri t oscil aţii le izocrone ale p end u l u lui pornind de l a ob s erv are a mişcărilor lustrei. Rămâne p r ob abil e x em p l ară lege nd a p ot r i v i t căreia Newton ar fi avu t i d eea grav itaţiei un i ve r s a l e observând în grădi n ă căderea unui măr din pom; l e gend a spune că Newton s-ar fi întrebat s ub i t de ce mărul, care este atât de mic şi atât de u ş o r, c a de p e s u prafaţa Pământului , în vreme ce Luna, atât de mare şi de grea pr in co mparaţie cu m ărul, nu face ac el aş i l u cru ? C ău tân d ră sp unsu l la această aparent si m p l ă întrebare, Newton ar fi înţeles


196

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

că satel itul p lan etei noastre se m enţin e pe o rb i tă deoarece forţa de gravitaţie a Pământului este p erfect egală cu im pul su l c are pro ie ctează Luna pe o trai ectorie recti linie. (Pe l ân gă faptul că nu e ste adevărată, această anecdotă nu ne oferă un exemplu de gând i re pur analogică; porn i n d de la o pre sup u să asemănare între măr şi Lu n ă , din care s-ar deduce că ambele corpuri ar trebui să se comporte identic în câm pul grav itaţ io nal al Păm ân tu l u i, se con stată o de o s eb i r e , care necesită o expl ic aţi e. ) Mulţi o am eni au observat mişcarea oscilatorie a unor co rpu r i su s pe n d ate sau căderea liberă a un or corpuri, dar a fo st nevoie de g en i u l unor savanţi de talia lui G al i leo sau Newton pen tru conceperea unor i p oteze ulterior confirm ate , care au deven it le gi fundamentale în şt ii n ţe l e moderne. An al o gi a sistematică presupun e cercetarea unui obiect, proces sau fen o m e n în lumina u no r i p oteze , care conduc la căutarea sau la co n str uc ţi a unui model (experimental, grafic, matemat i c etc.) a l obiectului, pentru a-l studia pe baza acestuia. Cer ce tarea ana l o gică se poate interesa fie de anumite însuşiri c omun e , fie de anumite re laţi i a l e uno r fen o.mene comparabi l e . Un e xe m pl u de raţionament an a l o gi c bazat pe constatarea u n o r în s u ş i ri comune găs i m la filosoful scoţi an Thomas Reid (sec. al XVIII-lea): " Putem observa o foarte mare similitudine între Pământul pe c a re locuim noi şi celelalte pl an ete - Saturn, Jupiter, Marte, Venus şi Mercur. Toate se rot es c în jurul S o are lu i , ca şi P ăm â ntu l . Câteva din ele se şti e că se rot e s c în j urul p ro pr i e i lor axe, ca şi Pământul, ceea ce î n s eam nă că tre bu i e să aibă o s u c c e s iu n e asemănătoare a zilei ş i a n o p ţ i i . Unele au luni (sateliţi) c are le furnizează lumina în ab s en ţa Soarelui, aşa cum n e furnizează nouă Luna noastră. Toate se supun, în m i şc ăr i l e lor, ac e l e i a ş i legi a grav i taţie i , ca şi Păm ântu l . Pornind de la toate aceste similitudini, nu este nere zo nabi l să ne g ând i m că aceste planete s-ar putea să fie, asemenea Pământului nostru, locuite de d i v ers e gen u ri de fi i nţe vii. Această concluzie prin anal o gi e are oarecare p r o ba b i l itate . " An al i zân d raţi o name ntu l l u i Re i d pr i n p r i s m a cunoştinţelor actuale, observăm că în ana l og i a l ui fi gurează unele elemente irelevante iar, pe de altă parte, sunt i gno rate câtev a d i san al o gii d e im p o rtan ţă cap i t al ă, cum ar fi i nt e rv a l e l e de temperatură, prezenţa atm o s fe re i şi co mp o z i ţ i a chimică a ac e s te ia etc.

Mai im p o rtante su nt, d e regul ă, anal og i i le bazate pe rela��ii c o mun e . Acestea pot fi intern e (între părţ i l e un u i în tre g) sau externe (într e ent it ăţ i in dep e n den te ) .

a) Analogia structurală se bazează pe faptu l că două sisteme se aseamănă în pr iv i nţa u no r c o rel aţi i interne, de unde se extrage c o n c luz i a că şi alte co re l aţ i i sunt asemănătoare. Astfel, po rn ind de la an a l o gi a structurală Între câmpul gravitaţ ion al şi câmpul electric, C ou l om b a aj uns la c on cl uzi a c ă ş i pentru câm p u l electric trebuie să fie va l ab i l ă o lege as em ă nătoar e cu legea newton i an ă a gravitaţiei. Tot astfe l , porn i n d de la succesul teoriei acustice, care exp li c ă pr in legi u ni v ersa l e , confirmate experimental, prop a gare a sunetului ca vi b raţi e a unui med iu e l a stic, fi zi c i e n ii peri o adei clasice au presupus că şi fenomenele opti ce ar treb u i să se bazeze pe ac e l a ş i t i p de e xp l i caţi e - lumina fiind, aşadar, ca şi su n etu l , un fenomen ex c l u s i v


Logica interferenţelor probabile

197

ondulatoriu. Cum, îns ă, în spaţiul interstelar nu există aer - motiv pentru care sunetul nu se propagă în vidul 'Iocosmic, s-a postulat existenţa unui mediu el asti c invizibil, eterul - prin a cărui vibraţie se propagă razele luminoase. Abia descoperirea efectului fotoelectric de către Einstein a eliminat falsa ipoteză a eterului, conducând la teoria actuală, potrivit căreia emisia şi propagarea luminii este un fenomen paradoxal, corpuscular în anumite experimente şi ondu latoriu în altele. Analogia poate presupune că elementele din alcătuirea entităţilor comparate sunt de aceeaşi natură (de exemplu, analogia eronată Între delfini şi peşti, corectată apoi de analogia corectă Între delfini şi celelalte specii de mamifcre). Alteori, analogia este pur structurală, presupunând că asemănarea nu priveşte natura elementelor componente ale fenomenelor comparate, ci exclusiv schem a de organizare, ansamblul relaţiilor interne dintre componente de naturi diferik. Î ntre semnele grafice Înscrise pe o partitură şi muzica interpretată fie l a in strurnente acustice, fi e e lectronice nu există asemănări d e ord in fizic, ci numai asemăIIări structurale. Tot astfel, creierul omenesc şi calculatorul electronic nu sunt a l cătu ite din elemente de aceeaşi natură, dar prezintă numeroase analogii la nivelu l schemelor de organizare. Tot pe o analogie structurală se bazează şi model ul planetar al atomului, conceput de Rutherford.

b) Analogia morfo-funcţională ia în considerare atât proprietăţi care ţin de formă , cât şi proprietăţi funcţionale corelate cu acestea. Antichitatea greco-romană stabilfa () analogie explicită între soci etate şi corpul omenesc, gâ.n dind că în ambele există o parte conducătoare (mintea, respectiv elitele), organe efectoare (mem l 'rel e superioare şi inferioare în organism, clasele socia le subordonate în societa te), funcţii şi activităţi comune, precum producerea şi consumarea hranei, circulatia şi prelucrarea informaţiei, reproducerea, învăţarea din experienţă, lupta pentru supremaţie etc. Din astfel de asemănări analogice erau deduse şi alte similitudini «invizibile», care j ustificau inegal itatea socială, subordonarea individ ului faţă de întregul social ş . a. În vremuri mai apropiate de noi, aşa-numitul «darwin ism social» presupune că, date fiind asemănările dintre specia umană şi celelalte specii de vieţuitoare - toate având o origine comună, vi aţa socială se supune aceloraşi legi evo luţioniste, nefiind altceva decât luptă pentru existenţă şi selecţie naturală a celor mai tari din punct de vedere biologic. În medicină şi" farmaco logie se utilizează astăzi pe scară largă analogi a dintre om şi animale în testarea medicamentelor. Cobaii sau anumite specii de maimuţe inferioare se aseamănă cu omul sub aspect morfo-funcţional, de unde se presupune că dacă organismele acestor specii de animale reacţionează într-un anumit mod l a medicamentele testate, probab i l ş i organismul uman v a reacţiona î n acelaşi fel .

c) În cercetarea ştiinţifiCă se utilizează frecvent analogia cauzală: d e l a efecte asemănătoare la cauze asemănătoare sau, invers, d e l a cauze simi lare la efecte similare. Oservându-se anumite simptome identice, se presupune în medicină că maladiile comparate au aceleaşi cauze; invers, se presupune că, administrând aceleaşi medicamente omului şi unor animale înrudite morfo-funcţional cu omul, efectele curative vor fi aceleaşi. Şi în istorie sau în teoria socială se fac numeroase analogii


LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

198

între revoluţii, restauraţii, războaie, crize, personalităţi etc., presupunându-se că ceea ce s-a întâmplat o dată se repetă, mai mult sau mai puţin la feI: Concluzi ile raţionamentelor prin analogie sunt cu atât mai solide cu cât satisfac mai deplin o serie de ccndiţii: •

proprietăţile prin care se aseamănă obiectele comparate sunt mai

numeroase decât acelea prin care se deosebesc; proprietăţile comune sunt mai importante decât cele necomune, iar

plauzibilitatea concluziei sporeşte o dată cu n umărul obiectelor

între însuşirile comune şi cea general izată analogic există o relaţie esenţială;

comparate;

de asemenea, concluzia este cu atât mai plauzibilă cu cât adaosul

analogic este mai redus; •

diferenţele dintre . o b iec tel e comparate sunt mai puţin importante, n efiin d

de natură să contrazică afirmaţia susţinută analogic.

Ceea ce deosebeşte raţionamentul prin analogie de inducţia amplificatoare este faptul că, în cazul analogiei, concluzia nu este o propoziţie generală, ci se trece de la un caz panicular l a altul. Ceea ce le apropie este Însă mai esenţial : premisele prezintă cazuri particulare, iar concluzia - întrucât extrapolează - nu decurge cu necesitate logică din premise, ci doar cu o probabilitate oarecare. De altfel, concluzia raţionamentului analogic, deşi se referă la un caz individual, este potenţial generală, în sensul că am fi dispuşi să o repetăm pentru orice alt caz individual suficient de asemănător cu tennenul de comparaţie.

5.8. Verificarea ipotezelor Spuneam în paragrafele anterioare că spiritul ştiinţific îşi interzice să ignore caracterul ipotetic al concluziilor întemeiate inductiv; n eac cep tân d drept certitudini nişte afinnaţi i numai probabile sau plauzibile, cercetarea şti i nţi fi că se bazează pe o vastă metodologie prin care se testează valoarea de adevăr a diferi telor ipoteze. 5. 8 . 1 .

Două sensuri ale termenului <<ipoteză»

Termenul ipoteză are două sensuri principale : (i) enunţ sau sistem de enunţuri util izat ca fundament în dem onstraţi i sau ca premise în inferenţe deductive; (ii) enunţ care trebui e testat prin consecinţele sale pentru a-i fi verificată valoarea de adevăr.


Logica illterjerenţelor JJ�obabile

199

analitic o propoziţie trebuie ca propoziţia respectivă să fie derivată prin scheme

Primul sens,

a decv at

ded ucţi e i, expr i m ă faptul că pentru a dem on stra

i n ferenţi a l e valide dintr-un număr de propoziţii acceptate anterior drept a dev ărate .

Adevăru l fundamentului sau ipotezei este o c on d iţie a adevărului t eze i care d eri vă analitic din ea. Metoda ipotetico-categorică de el ab o rare a teoriilor ştiinţifi ce are

bază a cest prim sens al termenului « ip ot eză» . În a l doilea sens, pr i n ipoteză se înţelege nu n um a i o si n gură propoziţie doar plauzibilă ( d e c i concluzia singulară a unei inducţii incomplete), ci un ansamblu d e pro poziţ i i care, l ao l a ltă , integrate într-un lanţ de raţ i on amen te inductive şi d edu ct ive , oferă o e xpli c aţ i e posibilă unui fen o m en încă insuficient cunoscut. Acesta este sensul pe care îl avem în vedere în cele ce urmează. la

5.8.2.

Condiţiile ipotezei raţionale

nu este n i ci o dată un enunţ arb itrar, asumat fără nici un t e m e i , din c ap r ic i u sau p r i nt r- o decizie gratu ită . În gân d ire a ş t iinţi fi c ă, emiterea de ipoteze se realizează întotdeauna pe fundalul unor teori i anterior verificate şi acceptate, a căror c on s i d erare i m p u n e anumite criterii de r aţi o n a l itate , în a b s e n ţa c ăro ra ip o te za nu merită a fi l u ată în serios. a) În p rimu l rând, o i p o t ez ă vrednică de luat în s eamă trebuie să fie în sine consistentă, adică să n u c o nţi n ă o c o ntradicţi e l o gi c ă . Ip o teza o rig i n ii extraterestre a u m a n i tăţi i , a c u l tu r ii şi c iv i l i z aţi e i , emi să în virtutea p o stu l atu l ui că spiritul sau c o n şt i i nţa nu pot să apară s p o n ta n pr in ev ol uţi a unor procese pur n atu ra l e , oarbe şi in c o n ş ti e nt e , e de n esus ţ i n u t atâta timp cât adm ite (tacit) că ap ar iţi a formelor i nte l i gente de v i aţă s - a putut real i za, totuşi , pe căi naturale, nu supranaturale, în alte c o n s te l aţi i , pe a l t e p l a nete . Ip oteza devine rezonabilă - deşi cu p rob a b i l it ate foarte redusă, dacă susţine doar c ă evo luţ i a b i o l og ic ă de pe planeta noastră s-a rea l i zat potriv i t unor legi şi în anumite cond iţ i i care, prin ele însele, n-ar fi putut sau n-ar fi tre b ui t să conducă în mod le g ic la a p ar i ţia vieţii c on şti e n te , proces datorat unei i nterv enţ ii a unor fi i nţe evol u ate venite din altă parte, care au m od i fi c at În mod d e li b e rat cursul fi re s c al ev ol uţi e i terestre. b) În a l doi lea rând, o ipoteză raţională nu poate să c on trazi c ă în totalitate cunoştinţe l e anter i or verificate şi stabil ite cu mare p ro b ab il i tate d re pt a d e vărate. D es c o peri r i le rev o l u ţ i o n are în istoria şt i i nţ e l o r provoacă temporar a d e v ărate «s c an d al ur i» teoreti c e , răvă şi n d în a p aren ţă în tregul corp de cunoştinţe anterior c on s a c rate d re pt adevărate de consensul comunităţi i şt i i n ţi fi c e . Aceste răs turnări revoluţionare pr o d u s e de c o nfi rm are a unor i p ot eze în drăzneţe l-au făcut p e Thomas Kuhn să el aboreze o te o r i e epi stemologică de largă n o to r ietat e , p o tri v it căreia revol uţi ile ş tii n ţ i fic e se consumă, după î n tre g i p e r io ad e de «criză» într-un domen iu sau altul, ca schimbări ra d i c a l e de «paradigmă» : între gu l eş a fo d aj d e c ate go rii şi de p o stu l at e ontolDgice, precum Şl an s am b l u l de m eto d e şi c ri te ri i de raţi o nal itate î n care se ed ifică teoriile ş t i i nţ i fic e se re st ructu re ază . Fără în doială, astfel de mutaţi i rad icale ma rc hează etapel e mari ale gând i r i i şt i i n ţi fi c e , în să I p oteza şti i n ţ i fi c ă


200

. LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

discontinuităţile nu sunt niciodată atât de radicale, încât să fie anulate absolut toate cunoştinţele anterior dobândite. Un exemplu clasic se referă la mecanica relativistă a lui Einstein, care aparent modifică radical mecanica galileano-newtoniană. De fapt, teoria relati­ vităţii nu contrazice principiile fizico-matematice ale mecanicii clasice, ci anulează sau modifică anumite postulate filosofice şi anumite principii de metodă care alcătuiesc, cum ar spune Kuhn, «paradigma» fizicii moderne (aspecte privind natura spaţiului, timpului şi a mişcări i, raportul dintre necesitate şi hazard în producerea fenomenelor naturale, rolul predicţiei fenomenelor etc.). Mecanica lui Newton poate fi asimilată, din punct de vedere strict fizico-matematic, teoriei relativiste, ca un caz particular al acesteia, în care se descriu fenomene de deplasare în spaţiu a unor macrocorpuri, cu viteze infim de mici în comparaţie cu valoarea vitezei luminii în vid. S-a crezut, de asemenea, că geometri ile non-euclidiene contrazic radical sistemul clasic euclidian; în realitate, nu se modifică principiile demonstraţiei geometrice, ci se modifică unele dintre postulatele lui Euclid, începând cu faimo­ sul postulat al paralelelor, a cărui contrazicere - presupunându-se că printr-un punct exterior unei drepte se pot duce două paralele, o infinitate de paralele sau nici o paralelă - nu a condus la contradicţii (ceea ce, printr-o demonstraţie indirectă sau prin reducere la absurd, ar fi transformat postulatul într-o teoremă a sistemului euclidian), ci la construcţii axiomatice consistente. În cele din urmă, s-a conturat ideea că geometria euclidiană, este un caz particular al celor neeuclidiene, teoremele acestora din urmă transformându-se în cele clasice într-un spaţiu de curbură nulă. c) În sfârşit, o ipoteză cât de cât promiţătoare din punct de vedere ştiinţific trebuie să aibă o anumită «forţă explicativă» şi să fie, măcar În principiu, verificabilă. Sunt aici două aspecte. Pe de o parte, nu avem ce face cu o ipoteză care, dacă ar fi adevărată, nu ne-ar ajuta să explicăm mare lucru; bună pare a fi o ipoteză capabi l ă să ofere o lege universală cu mare arie de cuprindere, prin a cărei aplicare s-ar dezvălui cauzalitatea esenţială ce produce un câmp de fenomene. Ipoteza (ridicată de diferitele doctrine teologice la rangul de dogmă inatacabi lă) că toate sunt aşa cum sunt prin voinţa, puterea şi înţelepciunea infinită a lui Dumnezeu nu ne oferă decât aparent o explicaţie universal valabilă a fenomenelor naturale, psihice şi sociale, deoarece, la rândul său, Dumnezeu este o fi inţă absolută şi misterioasă pentru noi, întrucât fiinţa şi atributele Sale depăşesc puterile unor minţi finite şi imperfecte cum sunt ale noastre. Pe de altă parte, nu avem ce face nici cu o ipoteză foarte tare sub aspectul puteri i sale expl icative, dacă ipoteza respectivă nu este, măcar În principiu, verificabilă. Se pot construi prin speculaţii pur matematice modele cosmologice în care se respinge postulatul teoriei relativităţii, potrivit căruia viteza luminii este o limită absolută, de nedepăşit în universul fizic, acceptându-se existenţa aşa-numiţi lor tah ioni - particule ce se deplasează mai repede decât fotonul în vid şi care, în unele interpretări, ar traversa universul nostru actual dinspre vi itor spre trecut. Oricât de seducătoare, astfel de ipoteze nu sunt, cel puţin în orizontul previzibil al fizicii actuale. verificahile. deoarece nu se poate nici măcar concepe,


201

Logica interferenţelor probabile

cu atât mai p uţin şi real i za tehnic o aparatură care să ne sem nale ze e x i s tenţa şi

trecerea unor astfel de particule. Criticabile din start sunt şi ipotezele atât de tari încât devin imune faţă de orice respingere a lor ; ceea ce e xpl i că absolut totul, nu explică, de fapt, n imi c. În psihanaliza ortodoxă a lui Freud, de exemplu, visul este e xp l ic at ca o satisfacere halucinatorie a unei dorinţe (cel mai adesea de natură sexuală ş i refulată în in con şt i en t), satisfacere de natură a ne ajuta s ă nu ne trezim din somn. Atunci când o p ac i entă i-a ob ie ctat, pe bună d reptate, lui Freud că oribiJele coşmare, care din când În c ân d , îi tulburau somnul nu par câtu ş i de puţin să confinne teori a psihanalitică, Freud i-a explic at că, de fapt, pacie nta visa u rât din dorin ţa secretă de a-i dovedi psihiatrului său că ace sta se înşeală şi că teoria lui nu este c o rectă . O fe rind a ce st exemp l u , Karl Popper subliniază ideea că o ipoteză care nu poate fi nicicum falsificată nu este o ipoteză ştiinţifică, ci o superstiţie sau o speculaţie �atuită - eventual seducătoare şi extrem de in ge nioas ă, dar inop er antă . 5.8.3. Testarea ipotezelor (H) se poate fac e numai atunci unul câte unul toate obiectele din clasa de fenomene pe care o acoperă i poteza . Ob s erv aţi il e astronomice ale lui Gal le au verificat direct i pote za lui Le Verrier, arătâ n d că ex i st ă Într- adevăr pl an et a presupusă de matematicianul francez, cu masa ş i ec uaţ i a de mi şcare calculate de către acesta. La fel, ob s e rv aţ i i le anatomice efectuate la mi crosco p de către Malpighi au dus Ia descoperirea vaselor capilare, verificând direct- ipoteza lui Harvey privind exi sten ţa unor vase san gu ine care l e a gă arterele ş i venele. Verificarea ipotezelor care acoperă clase infinite sau nenumărabile de fenomene nu poate fi decât indirectă. În a int e de acceptarea sau re s pi n ge rea pe ac ea stă cale a u n ei i pot eze (H} se cer parcurse do uă etape prel imi n are : 1. Din i pot eza H s unt derivate deductiv cât mai m ul te co n s eci n ţe, notate CI. C2, ... . Cll - cu men ţi u n e a că, în vreme ce H e ste un enunţ general, c on s e c i n ţel e sale trebuie să fie propo ziţ ii s i n gu lare (de observaţie), a căror valoare de adevăr se poate stabili în mod cert prin observaţie sau experime nt. 2 . Fiecare dintre consecinţele CI. C2, ... , Cll se verifică direct, prin m et o dele mai sus m enţio n ate.

Verificarea directă a un e i ipoteze oarecare

când pot fi i n spe ct ate

Odată parcurse aceste două etape preliminare se trece la acceptarea sau re s p in gere a ipotezei (H) - ope raţ i e realizabilă exclusiv pe cale logică. Pentru H s um po s ibi le numai două variante: \.

a) Fiecare dintre conseci nţele CI. C2 .... , Cn s-a dovedit a fi adevărată; în ace st caz, este adevărată şi conj uncţ ia propoziţ i il o r de o b serv aţ i e : CI /\ C2 /\ ... /\ Cn• Acceptarea ipotezei se face printr-o schemă inferenţială c e nu este validă ( fu ncţie de adevăr tautologi că ) , ci numai realizabilă - a ş a- n umitul modus ponens realizabil sau plauzibil:


202

LOGICĂ ŞI TEORlAARGUMENTĂRII H

(Ch C2, . . , cn) (Ch C2, , cn)

.

•.•

H

Afirmarea consecventului implicaţiei nu validează (nu verifică) adevărul confirmă, arătând că există situaţii în care implicaţia este adevărată; concluzia nu poate fi, însă, certă; ea rămâne doar probabilă, deoarece schema de inferenţă nu exclude posibilitatea ca acelaşi consecvent să poată rezulta şi din alt antecedent afară de H. Chiar dacă nu as igură certitudinea concluziei, verificarea i n d irectă p rin modus ponens plauzibil poate s p ori în chip considerabil gradul de probabilit a te a ipotezei, astfel încât ea poate fi folosită cu succes pentru soluţionarea unor antecedentului, ci numai îl

probleme teoretice sau practice. b) Cel puţin una dintre consecinţele CI, C2, ,Cn se dovedeşte falsă; drept urmare, ş i conjuncţia CI 1\ C