Issuu on Google+


EB

ENCICLOPEDIA DE BUZUNAR

Seria "SINTEZE"

Biblioteca CeDtre: Univer.itară Timi,oare

111111I 11�11I 1 111i 1 1 �11111111i1l1 111 02169303

Anton Dumitriu

Logica polivalentă Ediţie houă, complet refăcută

şi adăugită de autor cu colaborarea lui

T eodor Stihi

Editura enciclopedică română Bucuresti ,

-

1971


Redaotor: LADISLAU REDLlNGER Tehnoredaotor: OLIMPIU POPA

Coli tipar: 26,5

Tiparnl executat la Combinatul Polignfic "Casa ScInteii" Piata ScInteii nr, 1, BucureVti Republica Socialistă România


Prefata

În anul 1943 am publicat o lucrare purtînd acelaşi titlu ca şi cea de faţă, Logica polivalentă . (care era cursul nos­ tru ţinut la Universitatea din Bucureşti în anul 1942 - 43). Ea s-a bucurat de o bună primire din partea specialiştilor, atît în ţară cît şi în străinătate. Acest lucru s-a datorat probabil şi faptului că, aşa cum scria acad. Gr. C. Moisil ("Revista Fundaţiilor", oct. 19 44), "era singura lucrare de acest fel din literatura universală". În acelaşi an, prof. Enrico Bompiani, membru al Acade­ miei dei Lincei, aflîndu-se în Bucureşti, mi-a propus să publice Logica polivalentă în limba italiană, sub auspiciile instituţiei din care face parte, dar acest proiect nu a putut fi dus la capăt djn cauza evenimentelor care au urmat ime­ diat în Italia. In 1947, planul de traducere era reluat. Traducerea era deja efectuată, dar am oprit publicarea ei din două motil'e: mai întîi, apăruseră între timp o serie de studii de care trebuia neapărat ţinut seama în lucrare şi în al doi­ lea rînd, eu însumi îmi contllrasem o perspectivă mai completă �i mai comprehensivă despre logica polivalentă şi despre lo­ gica matematică în general. Planul unei refaceri a lucrării, îmbogăţirii ei cu noile rezultate obţinute în acest domeniu, urmate de concluzii ma. 5


Logica polivalentă

cuprinzătoare în p erspectiva unor meditaţii mai Endelungate, a putut fi adus la îndep linire abia acum. Două idei au fost directoare în această lucrare: cartea să prezinte, pe cît se poate, întreg materialul informativ, .şi p rin aceasta să fie în mod real un instrument de lucru; expunerea să fie orientată spre concluzia noastră generală, p e care am enunţat-o şi în alte lucrări, că logica nu este o ştiinţă oarecare printre celelalte ştiinţe, ci are un caracter proeminent, caracter p e care logicienii scolastici îl subliniau prin denumirea logicii ca scientia scie ntiarurn, ars artiurn, doctrina do ctrinarurn . Acest rol predominant al logicii faţă de celelalte ştiinţe fusese accep tat şi de gînditorii greci, şi nu fără semnificaţie în fruntea operelor lui Aristotel a fost pus, de primul editor, Andronicus din Rhodos, Organon-ul, adică instrumentul logic . Poate fi extins acest instrument logic, nu în sensul unor ca­ noane sau reguli noi faţă de cele clasice - această posibilitate este neîndoielnică - , ci în sensul sporirii logicităţii gîndirii în comp araţie cu logicita t e a ei clasică? Sistemele logici lor polivalente au în mod real o semnificaţie specifică logică sau nu? Acestor întrebări fundamentale am dutat să le dăm un răspuns în concluziile acestei cărţi . Lucrarea a fost concepută în aşa fel încît să fie accesibilă cititorilor fără a le pretinde o pregătire de specialitate. Pentru aceasta am socotit necesar să facem mai întîi o exp unere intro­ ductivă , care să prezinte modul în care s-a ajuns la concepţia logicii matematice, dînd şi unele indicaţii istorice . D eoarece logicile polivalente sînt ele însele logici matematice, adică se înfăţişează ca sisteme algebrice formale, am expus ideile fundamentale ale construcţiei acestor sisteme, păstrîndu-ne, bineînţeles, în limitele permise de profilul acestei lucrări. Am închinat apoi un capitol sistemului formal al logicii clasice, pentru a a,'ea lin termen de comparaţie şi a se vedea astfel şi modul natural al generalizării logicii clasice, genera­ lizare p e care o repre:intă logicile polivalente . Partea aceasta poate fi considerată deci ca o introducere în logica matematică. După aceasta, exp unerea noastră s-( dezvoltat liber, urmiiri.nd. pe cît s-a putut, ordinea cronoloG


Prefatd

gică a apariţiei logicilor modale *i poliyalente *i aplicaţiile lor în diyerse domenii. In elaborarea lucrării noastre, sub forma aceasta nouă, complet refăcută şi adăugită, am fost ajutat în mod substan­ ţial, prin strîngerea materialului, procurarea bibliografiei, controlul şi verificarea formulelor, de tînărul matematician Teodor Stihi de la Centrul de logică, căruia îi aduc şi pe această cale mulţumirile mele. De asemenea, ţin să mulţumesc pentru ajutorul dat şi tînărului matematician Florin Popescu din colectivul de calcul şi cercetări operaţionale al I.C.P.C.H. ANTO.\" DDIITRIU


1 Introducere. Propoziţia şi modalitatea el

* 1.1. Calculul propoziţional Logica matematică s-a d€zvoltat pe baza cîtorva idei

care în esenţă sînt următoarele : 1. Logica este o ştiinţă pur for mală , "formalul logic"

fiind înţeles "independent de conţinut" *. Putem însă gîndi ceva fără conţinut, şi mai ales putem raţiona cu obiecte fără conţinut, cu e ntităţi p ur formale? Un exe mplu si mplu va arăta că acest lucru este posibil. Fie silogismul cunoscut : "Toţi oamenii sînt muritori; Socrate e om; deci Socrate e muritor". Este evident că acest raţionament se desfăşoară tn baza conţinutului, a se mnificaţiilor concrete pe care le a u conceptele ce intră în j oc şi propoziţiile compuse cu ele. Dar, e uşor să ne convingem, acest silogism este numai un caz particular al următorului raţionament: Toţi a sînt b; c este a; deci c este b. în acest raţionament a dispărut orice semnificaţie a literelor a, b şi e, şi silogismul nostru este o formă pur logică. Astfel de forme logice există în număr nedefinit şi sarcina unei logici for male este de a le desco­ peri şi a le pune în adevărata lor lumină. 2 . Elementul pri mitiv al logici i noi nu e conceptul, aşa cu m era în l ogica tradiţional ă , ci propoziţia . Ideea aceasta a fost aplicată complet p e ntru pri ma dată de

*Nu este vorba aici despre categOl'ia de conţinut a gnoseo­ logiei marxiste, ci despre "conţinut" ca noţiune a logicii formale.


Logica polivalentă

Whitehead şi Russell în lucrarea lor fundamentală Prinei­ pia Mathematica. Actul prin care spiritul ia contact cu realitatea externă este o j udecată, iar formularea ei este o propoziţie . Conceptul nu este decît un reziduu al unei sau al unor j udecăţi, care sînt, astfel , ele mente logice pri­ mitive. D in punct de vedere psihologic, această idee a fost lămurită de L. Brunschvicg în lucrarea sa La modalite du jugement. Există, aşadar, acte simple ale spiritului, de aprehensiune pri mară, care se for mulează în propoziţii. De pildă: "afară plouă" ; "soarele este cald" etc. Acestea vor fi numite de Russell propoziţii atomice sau elementare . Propoziţiile se leagă între ele, formînd fraze, care sînt propoziţii mai complicate, propoziţii moleculare, cum sînt numite de Russell. Cu m sînt alcătuite însă propoziţiile moleculare? Un e xamen, oricît de sumar, arată că ele sînt compuse din propoziţii ato mice legate prin conjuncţii. Spre exemplu : "afară plouă şi ninge"; "dacă plouă, î mi iau umbrela" etc. Cum numărul conjuncţiilor este redus, ur mează că putem stabili anumite tipuri de propoziţii moleculare după conjuncţiile care leagă propoziţiile ato­ mice. Să notăm propoziţiile ele mentare cu literele p, q, r . Pentru conjuncţia "şi" să utilizăm un semn, de exemplu punctul. Atunci a spune că "afară plouă şi ninge" înseamnă a spune o propoziţie de tipul ur mător: .

.

p. q,

adică propoziţia p şi propoziţia q sînt adevărate amîndouă. Tot astfel, dacă pentru expresia "dacă . . . atunci . . . " utilizăm un semn, de pildă ,, => ", propoziţia "dacă plouă, i mi iau umbrela" poate fi socotită ca un caz particular al tipului următor de propoziţie moleculară : p=>q

"Dacă p atunci q", unde p este o propoziţie atomică ca şi q. tn chipul acesta se pot găsi o serie de formule în care ,intră numai litere legate prin semne reprezentînd con­ juncţii; ele Vor fi forme logice pure, în care conţinutul nu apare în nici un fel .


1.2. Valoarea propoziţiilor

3. Utilizarea simbolurilor v a îngădui să se transforme unele formule în altele, cee a ce va fi, în definitiv, un calcul logic, ase mănător calculului algebric . In ceea ce urmează , entităţile care intră în calcule fiind propoziţii, calculul va purta nu mele de "calcul propozi­ ţional". Pre c iziunea care se cîştigă prin aceasta este unul din rezultatele cele m ai importante ale "logicii simbolice".

* 1.2. Valoarea propoziţiilor N e pute m întreba multe lucruri despre o propoz1ţ1e­ s.crie Nicod. Care este materia , forma, interesul ei, chiar frumuseţea ei dar mai înainte de toate acestea, este ea ade­ vărată? Celelalte chestiuni şi le pune spiritul; dar pe acea­ sta din ur mă o pune propoziţia, p€ntru a spune a�a, de la sine"l. Această afirmaţie a logi sticianului francez Nicod fe r efe r ă la logica form �} ă, la o l ogi c ă în care cc nţinutu l pro p c zi ţiilor este eliminat. In acest n:z nu mai poate fi vorba nici de fru­ museţea propoziţiei , nici de intere sul ei etc., ci doar de ade­ vărul sau fal sitatea ei. în aceasta poate con s t a exclusiv, ca­ racteristica unei propoziţii for male . O propcziţie oarecare "q" va fi adevăr at ă sau falsă după cum o vo ro declara, (în cadrul unui sistem) şi la atît se poate reduce tot ce putem spune despre ea. Dacă o propoziţie va fi de clarată adevărată, vom spune că valoarea e i este adevărul; dacă va fi declarată falsă, valoarea ei va fi falsul . Propoziţiile moleculare vor exprima în rlport cU ad e ­ vărul sau falsul propoziţiilor atomice legăturile dintre acestea . De pildă, propoziţia p e care am considerat-o mai înainte, "dacă plouă , î m i iau umb r e la , însea mnă: dacă este ade­ vărată pri ma propoziţie , este adevărată a doua. Sau siro"

,

,

"

1 J eBn Nitod, Les relations de "a/eura el les relalions de seTi8 en logique formelle, În "Revue de Metaphysique et de .Morale",

1924, pp. 577-583.

11


Logica polivalentd

bolic : dacă p este adevărat, atunci q este adevărat. Tot astfel, În cazul propoziţiei moleculare "plouă sau ninge", aVem tot o propoziţie ipotetică : dacă cel puţin una din propozi­ ţiile si mple este adevărată, atunci întreaga propoziţie este adevărată . Simbolic, "p sau q" înseamnă : dacă sau p este adevărat, sau q este adevărat, atunci lIP sau q" este adevărată. Pe scurt, toate formele logice sînt ipotetice in raport cu valoarea propoziţiilor. în logica formală propoziţiile moleculare nu leagă decît valorile eventuale ale propoziţiilor atomice, din care cauză ele apar ca forme ipotetice. Se pune însă problema : pute m noi face abstracţie de sen­ sul propoziţiilor atunci cînd stabilim legături intre valo­ rile lor de adevăr? Iată o chestiune care a fost discutat ă în modul următor de Jean Nicod. Cînd spun: "dacă p este adevărat atunci şi q este ade­ vărat", s-ar părea că nu pot afir ma această consecvenţă intre p şi q decit dacă ţin sea ma de conţinutul acestor pro­ " poziţii, "p" şi "q , şi stabilesc că din adevărul uneia decurge adevărul celeilalte. Totuşi nu este aşa . î ntr-adevăr, este uşor să ne convinge m că există foarte multe propoziţii moleculare al căror adevăr nu depinde decît de ade­ vărul sau falsitate a propoziţiilor componente. De e­ xe mplu, cînd spun propoziţia "p sau q", cu alte cuvinte propoziţia moleculară for mată cu p şi q este adevărată da-că cel puţin una din propoziţii este adevărată, am deter minat valoarea acestei propoziţii moleculare dacă declar numai valorile propoziţiilor p şi q. Propoziţia p poate fi adevărată sau falsă, propoziţia q poate fi, la rîndul ei, adevărată sau falsă; ave m, aşadar, patru combinaţii posibile : 1. pri ma este adevărată şi a doua adevărată i 2. prima este falsă, a doua adevărată; 3. pri ma este adevăraU., a doua falsă; 4. prima este falsă şi a doua este falsă. Deci propoziţia moleculară lIP sau q" este adevărată dacă cel puţin una dintre propoziţii este adevărată. Cu alte cuvinte legătura dintre p şi q, exprimată prin conjuncţia "sau", este adevărată dacă una dintre propoziţii este adevărată sau dacă amîndouă sînt adevărate. 12


1.2. Valoarea propoziţiilor

Iată un tabel care arată această corespondenţă dintre " valorile de adevăr ale lui "p şi " q" şi valorile lui "p sau q"

p

q

p sau q

adevărat fal s adevărat fals

adevărat adevărat fals fals

adevărat adevărat adevărat fals

"

Propoziţia moleculară "p sau q a luat valoarea "fals" numai cînd amîndouă propoziţiile care o co mpun, "p" şi "q", au fost false, fiindcă acest caz e contrar definiţiei. Există , aşadar, astfel d e legături între propoziţii , încît valorile de adevăr ale propoziţiilor co mpuse obţinute în acest mod sînt determinate num ai de valorile propozi­ ţiilor co mponente . Orice ar repnunta propoziţia p, d acă ea e ste adevărată, propoziţia "p sau q" este adevărată. Acelaşi lucru se poate spune şi despre celelalte cazuri : orice ar repreunta propoziţiile p, q , adevărul sau falsi­ tatea unei legături R dintre ele , care se poate scrie "p R q" , depinde nu mai de adevărul sau falsitate a propoziţiilor co mponente. Sensul lor nu intră în nici un fel în determi­ narea legăturii lor. Vo m vedea că astfel de legături au fost studiate de Wittgenstcin �i au fost numite, după Russell, funcţii de ade<.Jăr. Există , prin ur mare , relaţii de yalori, care stabilesc numai legături Între valorile unor propoziţii. Nicod afirmă că exist ă şi reia/ii de sens, care se stabilesc, în acest caz pe baza conţinutului propoziţiilor. De pildă "p sau q" este o relaţie de valori; dar "p este contradictoria lui q" sau "p este subaltema lui q" sînt relaţii de sens2• în relaţiile de felul acestora din ur mă nu ne interesează dacă propoziţiile sînt sau nu adevărate, ci numai ce spun ele . r n fond , ce este efecti v deducţia logică? De la adevă­ rul sau falsitatea unor propoziţii , adică de la valorile unor propoziţii , conchidem valoarea de adevăr a altei propo­ ziţii. Pentru ca această trecere, de la valorile date la valoa2

Ibidem, p. 5 7 8 .

13


Logica polivalentă rea

propoziţiei care rezultă să fie posibilă, trebuie să fie

dată relaţia de valoare dintre propoziţii.

Cum se obţine aceasta? "Nu inferăm, in mod obişnuit, ampra unor propoziţii fără înţeles pentru noi şi ale căror relaţii de valoare ne-ar fi date de un geniu - scrie Nicod. Operăm cu propoziţii inteligibile şi trebuie să descoperim noi înşine relaţiile de valoare pe baza cărora vom trece de la val orile unora dintre ele la valorile alteia"3. Atunci, cum pot fi obţinute aceste legături? Regula este următoarea, aşa cum o exprimă Nicod : "Trebuie ca o relaţie de sens, sesizată între �propoziţii, să-mi garanteze o anume relaţie de valoare"4 . Cu alte cuvinte, nici o inferenţă nu este posi­ bilă fără o relaţie de sens; nu mai că această inferenţă, pe care o îngăduie relaţia de sens, nu se face pe baza ei, ci pe baza relaţiei de valoare pe care ea o legitimează. Aşa­ dar, relaţiile de sens nu sînt decît mijloace de a stabili relaţiile de valoare5 . Pentru a putea infera, este de ajuns să cunoaştem numai relaţiile de valoare, şi cu acestea se ocupă logica simbolică. Se vede dar de ce nu este necesar să considerăm conţinutul propoziţiilor care ar da relaţiile de sens, deoarece acestea nici nu sînt de vreun interes pentru logica si mbolică şi nici nu fac altceva decît explică reIa ţiile de valoare în cazurile particulare în care ele se aplică; numai relaţiile de valoare îngăduie inferenţa .

* 1.3. Originile calculului propoziţional Logicianul polonez Jan Lukasiewicz a arătat, cu toată evidenţa, legăturile istorice ale ca,lculului propoziţional CU logica S toicilor, şi în special CU logica lui Chrysippos, unul dintre cei mai mari logicieni ai antichităţii, pe care Lukasiewicz nu se sfieşte să-I pună, ca logician, pe picior de e galitate cu Aristotel8 . 8

Ibidem. , Ibidem, p. 579 . I Ibidem. 8

JaD Luka3iew:cz,

kenntnis"

Zur

Geschichte der Auasagen/ogik ("Er­

5, p p . 1 1 1-131; 1 935-1 936) .


1.3. Originile calculului propoziţional

Logica Stagiritului era o logică a conceptelor şi a rapor­ tului dintre ele . Stoicii ajung însă să considere propoziţia ca element fundamental al logicii plecînd de la silogismul ipotetic. In Primele analitice, însuşi Aristotel vorbise despre astfel de silogisme care se bazează pe o ipoteză, p e o propoziţie acceptată fără dovadă (E� 07t06EGE:W<;), scriind: "Multe alte silogis me sînt formate plecînd de la ipoteze care trebuie studiate şi explicate clar"? El nu a făcut însă studiul lor, deşi din cauza propoziţiei de mai sus, pe care am citat-o, unii istorici au susţinut că ar fi scris, totuşi, o lucrare despre silogismul ipotetic , dar care s-ar fi pierdut. Discipolii lui Aristotel , Theophrast şi Eudem, au cer­ cetat mai de aproape silogismul ipotetic. Important este faptul că pentru Theophrast şi Eudem nu interesează ipot€ za arbitrară care serveşte de pre misă silogismului ipotetic , ci legătura ter menilor, pe baza căreia unul antrenează pe celălalt . Theophrast î mparte silogis­ mele ipotetice în două grupe . Pri ma grupă cuprinde silogismele care arată condiţiile prin care Ceva este sau nu este şi se compun din propo­ ziţii pur ipotetice. Notînd propoziţiile cu A, B, C, el distinge trei feluri, corespunzătoare celor trei figuri ale silogismului categoric. Dacă Dacă Dacă Dacă

A este , B este B este , C este A este , C este C nu este, A nu este Dacă Dacă Dacă Dacă

A C A C

Dacă A este , B este Dacă A nu este, C este Dacă B este , C nu este Dacă C este , B nu este

este , este, este, este ,

B B C A

este nu este nu este nu este

7 Ana l ytica priora , 1. 29. De altfel se găsesc şi alte "legi" logice asupra propoziţi ilor ipotetice în Organon . De exemplu, în Ana­ l ytica priora (II, 2 , 53b) : "Din prem ise adevărate nu se p oate scoat e o c oncluz i e falsă , dar din premise false se poate scoate o concluzie adevărată". Ceea ce l ogicien ii scolastici vor spune:

Ex !'eris igitur non potest (alsum concludi , ex (alsis !'erum potes'. Astfel de regu l i se mai găsesc în Analytica priora (II, 2, 54b) etc.

15


Logica polivalentă

Interesante sînt silogismele din a doua grupă, care arată existenţa sau neexistenţa unui hicru, aşa-numitele modus ponens şi modus tollens, de care logica actuală se va folosi într-o largă măsură pentru inferenţe .

Modus p onens Dacă A este , B este Dar A este Deci B este

Modus tollens Dacă A este, B este Dar B nu este Deci A nu este8

Se vede că în aceste silogis me ceea ce interesează nu mai este conţinutul propoziţiilor, ci modul în care s e arti­ culează valorile lor. Stoicii au reluat silogismul ipotetic şi, după CUm ne spune Alexandru din Aphrodisia9, nu au recunoscut ca valabile decît formele ipotetice ale silogis melor, cele cate­ gorice fiind, pentru ei, juste în ceea ce priveşte materia lor, dar neregulate din punctul de vedere for mal. Pentru Chrysippos raţionamentul (AaYos) se co mpune din : o ipoteză, o propoziţie adiţională şi din consecinţă. De exemplu: "dacă este ziuă este lumină; însă este ziuă; deci este lumină." El admite cinci for me perfecte de silogism , şi anu me acelea de mai sus, studiate de Theophrast, silogisme ipo­ tetice toate, şi la care trebuie să se reducă celelalte . După CUm se vede, Stoicii pleacă de la propoziţii ca elemente primitive şi, utilizînd raţionamentul ipotetic , leagă numai valorile lor (adevărate şi false) . C u aceasta e i sînt primii care au construit - evident într-un mod primitiv - o logică formală. Astfel, Lukasiewicz are dreptate să numească pe Chrysippos "primul scolastic", deşi nu se pot desconsidera , în istoria logicii for-mal e , numele lui Theophrast şi Eudem , cum a m căutat s ă arătă m. Din cauza utilizării propoziţiilor ca elemente indivizi­ bile, Stoicii au fost împinşi să caute a enumera toate 8 Vezi C. Punti, Geschichte der Logik im Abendlande, vo\. 1, p. 385 (Leipzig, 1885). g Comentariul la care ne referim, al lui Alel[andrn din Aphro­ disia, poartă numele In Aris/olelis Analyticorum priorum librum

1 Commentarium .

16


1.3. Originile calculului propoziţional

felurile de propoziţii posibile, după veşmîntul lor formal , după conţinut. Interesantă este despărţirea în judecăţi simple (&:1tAă) şi non-simple (oux �1tÂă). O j udecată (&�(wfL(X) simplă este aceea care se compune din cuvinte, dar nu din alte propoziţii j este propoziţia atomică a lui Russell . .Judecata non-simplă se compune din j udecăţi simple: este propoziţia moleculară a lui Russel l . Mai mult, Stoicii au despărţit j udecăţile non-simple după TIatura conjuncţiilor care leagă judecăţile simple, adică exact aşa cum au procedat Russell şi Whitehead în Prin­ .cipia Mathematica.: conj uncţiei "dacă" (d) îi corespunde judecata ipotetică ('ro O'uv"YJfLfLEVOV) "dacă este ziuă, este lumină" j conjuncţiei "deoarece" (l:m:ta�) îi corespunde ju­ .c.ecata adjunctă (1tOCPac O'uv"YJfLfLEVOV) "deoarece este ziuă , este lu mină" . Lui "şi" (xact) îi corespunde judecata copu­ tativă (O'UfL1tE1tAEYfLEVOV) "este ziuă şi este lumină" . Pentru conjuncţia "sau" (�) avem judecata disjunctivă (aLE�EuYfLe­ "Vov) "sau este ziuă, sau este noapte" . Mai departe, j ude­ �ata cauzală (oct·'t'LWae:�) se exprimă prin conjuncţia "fiind­ -că" (aLO'rL): "fiindcă e ziuă , e lumină" etc. în total, Stoicii admiteau cinci tipuri de raţionament10• Ei obişnuiau să înlocuiască cu numere termenii raţiona­ mentuluill şi aşa au ajuns să formuleze aceste cinci forme in modul următor : IlU

1. Dacă primul este, atunci al doilea este

Dar primul este Deci al doilea este II.

Dacă primul este, atunci al doilea este Dar al doil ea nu este Deci primul nu este

10 Diogene Laerţiu, Viaţa �i doctrine le filozofilor iluştri (VII, 79), ne spune că Chrysippos a socotit că există cinci tipuri de raţio­ nament, număr confirmat şi de Sextus Empiricus in Schiţe Pyr­ .rhoniene ( I I , 57), care adaugă că aceste cinci tipuri de raţionament ipotetic ar fi fost fundamentale pentru logica stoică, "la care par ;a raporta pe toate celelalte". 11 Appuleu, De Dogmale P lalonis (cartea a III-a).

17


Logica polivalentlt

III.

IV.

Primul nu este în acelaşi timp cu al doilea Primul însă este Deci al doilea nu este Sau primul este , sau al doilea P rimul însă este Deci al doilea nu este

v. Sau primul este , sau al doilea

Îns ă al doilea nu este

Deci primul este o

Cu aceste cinci tipuri simple de argumente se pot forma

mulţime de argumente non-simple , care pot fi reduse toate la acestea , după cum ni s-a transmis că ar fi făcut Chrysippos. Nu vom insista mai mult asupra acestei chestiuni isto ­ rice; v o m spune numai că în evul mediu, atît de neglij at în ceea ce priveşte imensa lui producţie de logică, teoria propoziţiilor ipotetice era perfect cunoscută . Posedăm nenumărate tratate despre această teorie, căreia i se spunea teoria "consecinţelor" - conse quentiae -, tratate care au fost aduse la lumină abia în timpul nostru, de către istoricii logicii matematice . într-adevăr , s-a dovedit că partea numită de logica mate­ matică "calculul propoziţional" era bine cunoscută de către logicienii scolastici şi o mulţime de teoreme ale acestui calcul figurau în tratatele lor12•

* 1.4. Modalitatea propoziţiilor Judecăţile - şi, prin urmare , propoziţiile prin care ele se exprimă - se împart în mai multe categorii, pe care logica clasică le studiase în amănunt. IZ P entru istoria şi originile calcululu i propoziţional in evul mediu vedeţi lucrarea noastră Istoria logicii (cap . XXII), Editura didactică şi p edagogică, 1969.

18


1.4. Modalitatea propoziţiilor

După calitate, avem propoziţii afirmative şi propoziţii negative . După cantitate, unele propoziţii sînt universale , altele particulare . Kant mai introdusese distincţia între propoziţiile analitice şi cele sintetice, dar această distinc­ ţie nu poate interesa logica formală, deoarece ea priveşte modul în care se formează cunoştinţele . Cea mai importantă împărţire a propoziţiilor este însă aceea făcută după mod a­ litatea lor şi de care logica polivalentă se va servi esenţial, �um vOm vedea . Teoria modalitătii este formulată în manualul clasic al lui Petrus Hisp �nus Summulae Logicales . Există patru moduri ale propoziţiilor : 1 - posibil j 2 - contingent; 3 - impos ibil j 4 - necesar . Modul unei propoziţii este format dintr-una din expresiile "este posibil", "este con­ tingent", "este imposibil" , "este necesar"; cealaltă parte, care este propoziţia propriu-zisă, este numită dictum. De exemplu, în propoziţia modală, "este posibil ca Pămîn­ tul să fie rotund", modul este "este_posibil", iar dictum-ul este "ca Pămîntul să fie rotund". In afară de aceasta, se poate ca o propoziţie modală să fie afirmativă sau negativă. Toate combinaţiile acestea au fost rezumate în patru cuvinte latineşti, pe care scolasticii le redau astfel : Purpurea, Amabimus, Iliace, Edentuli. Fiecare cuvînt are patru silabe, corespunzînd celor patru moduri, în ordinea enumerată mai sus. De pildă, silabele iniţiale ale acestor cuvinte artificiale, anume Pur, A,I şi E, se referă la modul "posibil" . Cum însă am văzut că o propoziţie modală se compune din două părţi ( modul şi dictum) , se poate nega sau afir ma numai una sau amîndouă .dintre aceste părţi. Vocalele cuvintelor noastre indică toc­ mai ce trebuie afirmat şi ce trebuie negat, conform urmă­ torului vers mnemotehnic :

E dicturn negat , Ique moium, nihil A, sed U totum Să presupunem că luăm propoziţia "Pămîntul e rotund" 'Şi vrem să o punem, în toate chipurile , la modul posibil, care are silabele Pur, I, A şi E. Vo m avea patru cazuri şi 'Vocalele vor arăta , după vers, ce se neagă şi ce se afirmă. U din Pur arată că şi modul şi dictum sînt negative (sed U totum) : I spune că se neagă modul (Ique modum) ; A


Logica polivalentlf

indică că amîndouă prop()ziţiile sînt afirmative (nihil A) ; în sfîrşit , E spune că se neagă dictu m-ul (E dictum negat) . Aşadar : 1 . Nu este posibil ca Pămîntul să nu fie rotund . 2. Nu este posibil ca Pămîntul să fie rotund. 3 . Este posibil ca Pămîntul să fie rotund . 4. Este posibil ca Pămîntul să nu fie rotund . Iată toate formele pe care le poate îmbrăca o propoziţie posibilă. Procedînd la fel cu "contingent" , luînd adică silaba a doua din fiecare cuvînt, căpătă m propoziţiile modale respective etc . Este de re marcat că "posibilul" şi "contingEntul" nu sînt deosebite din punct de vedere for mal ; de aceea şi în cuvin­ tele de mai sus ele sînt repr(untate de aceleaşi vocale în fiecare cuvînt . De exe mplu , în Purp urea, avem silaba Pur cu u pEntru posibil şi tot p ur cu u pmtru contingent. Aristotel considera nu mai trei modalităţi ale propozi­ ţiilor - realitate , posibilitate şi necesitate -, triadă la care s-a oprit şi Kant. Într-adevăr, i mposibilitatea nu este un mod distinct, ci este negaţia modului posibiL Astfel , diviziunea j udecăţilor, după Kant , în ceea ce pri­ veşte modalitatea lor, în asertorice, apodictice şi problema­ tice , nu este altceva decît împărţirea lui Aristotel: "Orice j udecată se referă la cee a ce este real, necesar sau posibil"13 .. Aristotel nu s-a ocupat, cum am văzut , în Organon, de silogismele ipotetice, în schimb el a făcut o analiză amă­ nunţită a silogismelor "modale" , cum vor fi numite de sco­ lastici. Dacă orice propoziţie afirm ă sau o realitate, sau G necesitate , sau o posibilitate , urmează că vom avea diverse silogisme după cum luăm premise necesare, posibile , aser­ torice, sau una din premise necesară , alta posibilă etc. Studiul acestor silogisme este destul de vast în Organon ŞI se întinde în cincisprezece capitole14• 13 Analytica prim'a, 1 , 2 . 14

20

Analytica priora, 1 , 8-22 .


1.5. Semnificaţia modalitlfţ ii

* 1.5. Semnificaţia modalit�ţii Este evident că "posibil", "necesar" şi "real" nu sint noţiuni atit de si mple şi că jocul silogistic sau, în general, deductiv, care va face uz de ele, va avea să suporte conse­ cinţele înţelesului ce li se acordă. Pentru Aristotel, real, posibil şi necesar erau moduri ale Fiinţei însăşi j ele aveau un caracter obie_,?tiv, iar ştiinţa avea de scop să deter mine rajjorturIle mteligibile din natură, care unesc posibilul, realul şi necesarul. Această idee era în acord cu întreaga logică a Stagiritului, deoarece în logica lui legile gîndirii exprimau legile existenţei; semnificaţia acestor idei era dată de teoria ontologică a cauzei formale, a puterll I a actulUl. POSibilul niT inseamna o ce poa e eXista, a ce se opune necesarului, ceea ce poate să existe sau să nu existe: "Contrariul tuturor lucrurilor care sînt numite posibile este posibil"15. Posibilitatea aristotelică nu era, în felul . acesta o determin'âre ultimă i or· ară a: Fiin ei cum va i erată astăzi e Heide prin ea şi pOSI I ltatea ne- llnţel. De asemenea, este interesant de notat că există diverse înţelesuri ale aceleiaşi modalităţi . Spre exe mplu, Aristo­ tel a deosebit trei sensuri fundamentale pentru necesitate: 1 . indispensabilul - necesitatea scop; 2. obligativul - forţa care sileşte; 3. necesitatea si mplă - care nu are nici o legătură cu forţa sau scopul . Nu este locul să intrăm aici în discuţia acestor idei; a m voit numai să sugerăm că există foarte multe sensuri ale modalităţilor şi că orice logică care le va utiliza va avea să suporte ipoteca punctului de vedere ales. Problema care se pune este aceast a : există, din punct de vedere formal, un criteriu sigur după care pot fi delimi­ tate, în mod strict, diversele speţe modale? O astfel de problemă şi-a pus L. Brunschvicg16 şi răspunsul lui a fost negativ . 16 Metafizica, VIII, 9 . 18 L. Brunschvicg, La modalite d u Jugement, p . 29 (Ed. Alcan).

21


Logica poliualent4

.. Modalitatea - scrie Brunschvicg - nu aparţine jude­ căţii, considerată in expresia e i spontană; ea se datoreşte reflexiei critice , unui fel de judecată asupra judecăţii". Cu alte cuvinte, nu există criterii intrinsece ale modali­ tăţilor. O judecată este necesară dacă afirmaţia contrară nu poate fi concepută. tnsă, cum observă Brunschvicg. criteriul acesta nu este de loc decisiv. Tot astfel, posibilul nu este decît realul insuficient deter minat. Cum se vede. modalitatea unei judecăţi este în strmsă legătură cu rea­ lul, cu posibilităţile care reprezintă adevărul . De aceea el are să conchidă: "Problema logică a modalităţii implică problema metafizică a adevărului"l? Problem a modalităţii propoziţiilor este, prin urmare. extrem de delicată şi nu putem afirma, p(ntru un mod anume, o definiţie categorică . Trebuie re ţinută însă şi observaţia lui Brunschvicg că modalitatea este un fel de judecată asupra judecăţii, lucru pe care Goblot îl exprimă şi mai clar: "Nu există modalitatea judecăţii, există numai judecăţi de modalitate"l8. , Această idee, după cunoştinţa noastră, a fost exprimată, pentru prima dată, de logicianul german Christoph Sigwart . "Dacă orice judecată este afirmaţia sau negaţia unei întrebări - scrie Sigwart -, atunci propoziţia care nu afirmă şi nici nu neagă nu poate fi o judecată"19. Aşadar , propoziţia problematică "A este poate B" nu reprezintă decît indoiala gîndirii noastre, incertitudinea subiectivă a noastră , dar nimic obiectiv cu privire la "A este B"._ "Teoria că aşa-numitele judecăţi problematice ar fi o speţă de judecăţi trebuie respinsă dacă admitem că în conceptul de judecată există afirmaţia adevărului unei propoziţii şi dacă o judecată trebuie să fie sau adevărată� sau falsă"20 . Ce semnificaţie au atunci noţiunile de posibil şi nece­ sar? Posibilitatea, crede Sigwart - şi această concepţie este legată de aceea a lui Aristotel sau a unor ginditori 17 18

Ibidem , p. 37. E. Goblot. Trai!e de logique, p. 16lo

1937).

18 Ch. Sigwart. Logik, 1 Band, p. 2lo3 20 Ibidem, pp. 2lo4-2r.S.

22

(Ed. A.

Colin),

Pal'is-.

(Tiib ingen, e d . IV, 1911)_


1.5. Semnificaţia modalitilţii

contemporani, cum este Heidegger -, are un caracter obiectiv numai atunci cînd se referă la cursul în timp al evenimentelor şi nu poate apărea decît în raport cu noţiu­ nea de necesitate. Judecata "este posibil ca A să fie B" este contradictorie cu judecata "este necesar ca A să nu fie B"; tot astfel judecata "este posibil ca A să nu fie Er' este contradictorie cu judecata "este necesar ca A să fie 8"21. Nu se poate spune dar - şi această concluzie ar putea fi documentată larg - că există un criteriu precis pentru definiţia modalităţilor; di mpotrivă, problema rămîne des­ chisă şi accepţiile date noţiunilor de posibil şi necesar depind de modul în care diferitele sisteme filozofice de­ finesc categoriile.

Obse�l'aţie. Extensiunea noţiunii de modalitate şi clasifi­ carea eL .

Noţiunea de modalitate a căpătat la unii logicieni, ca de exemplu Petrus Hispanus, o extensiune mult mai largă decît cea obişnuită. Vom urmări în această privinţă pe G . H. von Wright22. Von Wright numeşte logică modală logica conceptelor modale, pe care le distinge de concep­ tele sau categoriile de adevăr (truth-concepts. sau truth­ categories): adevărul, falsul şi cele ce ţin de acestea. ·Categoriile modale, înţelese de el într-un sens mai larg decît cel obişnuit, sînt î mpărţite în patru feluri de" moduri" (modi), şi anume:

Modurile aletice sau de adevăr sînt cele cu care s-a ocupat logica modală tradiţională şi care pot să se refere fie la adevărul unei propoziţii (care poate fi: necesar, posibil sau contingent), fie la prezenţa sau absenţa unei proprietăţi la un obiect (şi care poate fi, la rîndul ei, necesară, posibilă sau contingentă). Modurile epistemice sau de cunoaştere, tratate, ce-i drept, dar nu sistematic de către logicieni, sînt: verificat (cunoscut a fi adevărat), falsificat (falsified cunoscut a fi fals) şi nedecis (nici cunoscut a fi adevărat, nici cunos-

21 Ibidem, p. 276. 22 C. H. Ton Wr:ght. An Essay in Modal 1951, pp. 1-2.

Logic, Amsterdam,


Logica polivalentif

cut a fi fals). Acestea , de asemenea, se pot referi la adevăru} unei propoziţii sau la prezenţa, respectiv abseJlţa une; proprietăţi la un obiect. Modurile deontice sau de obligaţie , dintre care cele ma) importante sînt : obligatoriu ("trebuie să" ) , permis ("se poate") şi interzis ("nu trebuieH)23 . Modurile existenţiale sau de existenţă, cărora von Wright le acordă statutul de modalităţi în virtutea asemăJlărilol' de tratament dintre logica modală şi teoria cuantificării24,. sînt : universal , existent şi vid . Similarităţile esenţiale dintre modurile aparţinînd res­ pectiv celor patru categorii pot fi puse în evidenţă , cu ajutorul unui tabel , astfel: aletic necesar posibil contingent imposibil

epistemic verificat nedecis falsificat

deont ic oblig�toriu per mIS indiferent interzis

existenţial universal existent vid

Lista modurilor enumerate este, evident, necompletă.

* 1.6. Ce este logica polivalentă? Valorile de adevăr ale unei propoziţii în logica clasică sînt două : adevărul şi falsul. Ele rezultă din principiul terţiului exclus : orice propoziţie este sau adevărată, sau 23 Noi precizăm aici că teoria modurilor deontice, cum este num ită de von Wright, era b ine cunoscută logicienilor scolastici su b numele de "Teoria obligaţiilor" - De ob·l igationibu.s, asupra căreia a u scris nenumărate şi amănunţite Traclatu.s (vedeţi A. Dumi­

triu,

U

Istoria logicii , 23 .40.1.) .

Teoria cuan tificării este o ramură a logicii formale care s e ocupă cu analiza m odu lui În care este atribuit Într-o propoz iţie. sub aspectul cantităţi i , predicatul subiectului . De p ildă cînd spun "oamenii sînt muritori" , predicatul "muritor" poate f i atribuit unor oameni sau tuturor. Pentru lămurirea acestu i subiect a se vedea .3.9 din lucrare.

24


1.6. Ce este logica polivalentă ?

f alsă , tertium non datur. Logica tradiţională, utilizînd în deducţie numai, cele două valori, era o logică bil'alentă. S-a ivit însă cazul , în matematică sau in alte domenii, cînd unele propoziţii nu puteau fi declarate nici false şi nici adevărate, fie din cauză că nu era posibil să se găsească o demonstraţie care să dovedească adevărul sau falsitatea unei astfel de propoziţii , fie din pricină că, dacă admitem una sau alta dintre aceste valori, se ajunge la contradicţii. O propoziţie de felul întîi este teorema lui Fermat, de pildă . Există sau nu există patru numere întregi, x, y, z şi n, unde n> 2, aşa fel ca între ele să aibă loc relaţia: xn + yn

=

zn

Propoziţia aceasta nu a putut fi dovedită pînă astăzi, cu toate încercările făcute, nici adevărată şi nici falsă; ea scapă principiului terţiului exclus . Exist ă , de asemenea, paradoxe, cum sînt acelea formate cu "impredicabil" sau acelea din "teoria mulţimilor" , unde o propoziţie, fie că este declarată adevărată, fie că este declarată falsă, conduce la contradicţii , la negaţiile pro­ priilor noastre ipoteze . În condiţiile acestea, logicienii actuali s-au văzut siliţi să introducă şi alte valori pentru propoziţii decît diada adevăr-fals. Există valori ale unei propoziţii care nu sînt nici adevărul şi nici falsul. In special s-a luat ca valori pentru propoziţii modalitatea lor, adică "posibilul", "nece­ sarul", "imposibilul", după cum vom vedea în ceea ce ur­ mează . O logi făC"Sre utilizează mai mult de două valori va fi o loglca-�ă�,J.tiE dacă- utilizează-, trei valori dis· tÎncfe,vallo logică tJj5'.l!l�ntă; dacă admite patru valori deosebite, va fi o logică te tr�r'Letc. S-a imaginat şi o logică cu o infinitate de ViIori, despre care vom vorbi la locul cuvenit. Ar fi fost dar mai exact să vorbim nu despre "logica polivalentă", ci despre "logicile polivalente". Vom remarca faptul că aceste logici , ad miţînd că există şi alte valori în afară de adevăr şi fals, duc la consecinţa că în anume cazuri principiul terţiului exclus nu se mai aplică . Intr-adevăr, o propoziţie nu mai este sau adevărată.


Logica polivalentă

sau falsă , ci are sau valoarea adevărat, sau fals, sau a treia valoare logică aleasă (în cazul unei logici trivalente). Aristotel admisese - se pare - că într-un anume caz principiul terţiului exclus nu funcţionează: anu me cînd -era vorba despre viitorul contingent , în care o afirmaţie poate fi numai posibilă , dar nu necesară. Nu Aristotel s-ar ()pune dar logicii polivalente; în antichitate , Stoicii au fost aceia care au susţinut - din motive pe care le vom vedea - valabilitatea universală a principiului terţiului -exclus . în particular, Chrysippos a fost susţinătorul înverşunat al acestui principiu, pe care logicile polivalente îl consi­ deră cu o aplicaţie limitată, din care cauză logicianul polonez Jan f.ukasiewicz a denumit logicile care fac uz de mai multe valori şi logici ne-chrysippiene. Singura observaţie pe care o vom face aici este că modali­ tăţile, nefiind perfect definite , logicile care le consideră ca valori deosebite de valoarea diadică adevăr-fals vor avea să suporte ipoteca acestei nedeterminări, cum va reieşi din analiza pe care o întreprindem în această lucrare .

*

1.7. Logici modale şi polivalente

în expunerea care urmează vom prezenta o serie de sis­ teme logice dintre care unele s-au numit modale , iar altele polivalente. Această distincţie, făcută în literatura de specialitate, ţine seamă de faptul că în pri mele se consideră în mod explicit modalităţile unei propoziţii (posibilitatea, nece­ sitatea etc.) şi legăturile dintre ele, pe cînd în celelalte se p leacă de la supoziţia că o propoziţie poate avea mai mult decît două valori de adevăr (adevărul şi falsul), dezvol­ tîndu-se astfel o logică în care studiul modalităţilor nu este de la început explicitat. Asemenea distincţii sînt greu de sesizat în lipsa aparatului formal pe care se bazează. De aceea vom mai reveni asupra lor în finalul acestei lucrări, cînd cititorul va avea la tndemînă acest aparat. Ţinem doar să menţionăm că problemele legate de această deosebire sînt încă controversate.


2 Sisteme

*

formale

2.1. Metoda axiomatică

Apariţia unor dificultăţi destul de mari , mai întîi in domeniul matematicilor pure şi apoi în fizica matematică şi cea experimentală, a determinat pe oamenii de ştiinţă să scruteze mai de aproape structura ştiinţelor teoretice� pentru a avea o schemă conceptuală clară a oricărei ştiinţe deductive . În modul acesta s-au separat cu precizie p ărţile admise fără definiţie sau fără demonstraţie de acelea care rezultă prin definiţie sau deducţie şi s-au enumerat şi. enunţat în mod precis regulile care permit aceste derivări. Este vorba de o adevărată anatomie a teoriilor deductive. care explicitează fiecare parte constituentă, arătîndu-i rolul şi j ustificînd rezultatele care se deduc în interiorul lor. Motivele care au determinat această analiză riguroasă a constituţiei oricărei ştiinţe teoretice sînt multiple. Mai întîi apariţia geometriilor neeuclidiene a pus în discuţie noţiunea de axiomă . O serie de geometri au căutat să găsească o demonstraţie pentru postulatul lui Euclid. Acest lucru s-a dovedit impo­ sibil, pînă cînd, în acelaşi timp, doi geometri au avut ideea să renunţe la el socotind că-l pot înlocui cu un pos­ t ulat contradictoriu cu acesta. 21


Logica polivalentă

Acest lucru a fost efectiv realizat pentru prima dată, acelaşi timp şi independent unul de celălalt, de Loba­ cevski şi Bolyai, şi astfel s-au născut geometriile neeu­ clidiene . Avem astfe l : 1 . Geometria euclidiană, cu postulatul lui Euclid vala­ bil (care poate fi enunţat şi sub forma : printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelă şi numai una). 2. Geometriile neeuclidiene de tipul Lobacevski-Bolyai, cu postulatul lui Euclid nevalabil (printr-un PUDct exte­ rior unei drepte se duc două paralele la acea dreaptă). 3. Geometriile de tipul Riemann, cu postulatul lui Euclid nevalabil (printr-un PUDct exterior unei drepte nu se poate duce nici o paralelă) . Geometria lui Euclid îşi găseşte realizarea p e un plan; Beltrami a arătat (1868) că geometria lui Lobacevski­ Bolyai poate fi realizată pe o porţiune de pseudosferă , care este o suprafaţă reală de rotaţie , născută prin rotirea unei curbe numită tractrice; geometria lui Riemann (fără paralele) îşi găseşte realizarea pe o sferă reală. Cu alte cuvinte, geometriile neeuclidiene şi-au găsit un model, ele sînt perfect non-contradictorii şi arată că axioma lui Euclid fusese acceptată ca atare , prin evidenţa ei, fără un suport care să-i îndreptăţească alegerea ca axiomă. Nu vom cita mai departe decît un singur exemplu din fizică. La sfîrşitul secolului trecut şi începutul secolului nostru, o problemă preocupa pe fizicieni şi astronomi : determinarea vitezei absolute a Pămîntului (faţă de eter) . S-au imaginat aparate din ce în ce mai precise şi mai fine pentru a face măsurătoarea acestei viteze, dar rezul­ tatul era absurd ; totul se petrecea ca şi cînd viteza Pămîn­ tului era nulă, adică Pămîntul era nemişcat . Cum acest rezultat era inadmisibil, s-a imaginat, pentru a găsi o explicaţie acestui fapt, că însuşi braţul aparatului cu care se făcea experienţa s-a scurtat prin mişcarea Pămîntului şi de aceea rezultatul apare paradoxal. Acest rezultat a fost extins de Einstein, care acceptă ca postulat că lungimea unui corp se contractă în raport cu viteza de care este animat. El nu poate fi stabilit prin observaţii făcute dinăuntrul sistemului, aşa cum se admite explicit. în

28


2.1. Metoda axiomatică

Această ipoteză a condus Ia teoria relativităţii, teorie graţie căreia s-au putut prevedea unele fenomene fizice şi astronomice , căpătînd astfel o serie de confirmări expe­ rimentale strălucite . Aceste întîmplări din lumea ştiinţifică, precum ş i multe altele, au făcut ca oamenii de ştiinţă să-şi schimbe com­ plet concepţia despre axiomă. Pentru Aristotel, şi pînă la sfîrşitul secolului trecut, o axiomă era un adevăr evident ­ Pentru ştiinţa actuală o axiomă este ceea ce permite să. organizăm o teorie în mod coerent . Nu se pune chestiunea adevărului sau falsităţii ci şi mai ales ea nu are nimic de-a face cu "evidenta ". Iată, în sensul acest� , ce scrie Alfred Tarski : " În general nu consideraţii de ordin teoretic fundamental decid cum să alegem un sistem determinat de termeni primitivi şi de axiome printre toate sistemele echivalente; motivele, sînt mai curînd de ordin practic, didactic şi chiar estetic"l. Acest mod de a privi axioma a fost acceptat de oamenii de ştiinţă contemporani şi iată ce scrie însuşi Albert Ein­ stein în această privinţă : "Această concepţie modernă despre axiomă purifică matematica de obscurităţile misterioase care altădată voalau fundamentele matematicilor. Acest mod de a prezenta lucrurile face , de asemenea . evident faptul că matematici le nu pot afirma nimic, nici cu privire Ia reprezentările noastre intuitive, nici cu pri­ vire la realităţile materiale"2. Odată ce intuitia si ' evidenta sînt eliminate din con­ strucţia unei ştii�ţe deductiv� , urmează că ideile primi­ tive şi axiomele nu au o bază în adîncimea realităţii , nu sînt legate de realitate, nu realitatea le poate da un suport ; dar între ele, ele trebuie să aibă o legătură , pentru a fi compatibile şi a nu conduce la rezultate contradictorii (deficienţele acestei concepţii vor fi examinate în capito­ lul 10 al acestei lucrări) . în rezu mat, studiul st ructurii unei ştiinţe deductive ()o adevărată anato mie a ei - constă din : despărţirea elemen-

1 A. Tarski,

Sur la nuHhode deductive ("Travaux

Descartes", Paris , Hermann , 1 93 7 , v o I . V I , p . 1 00) . 2

du Congres.

A. Einstein, Geom e trie und Erfahrung, Berl i n , 1920 ,

p. 1 0 .

29


Lopica polivalentd

telor primitive , concepte şi propoziţii, de elementele deri­

vate; enunţare a precisă a regulilor de compoziţie a acestor elemente pri mitive ; enumerarea regulilor de derivare a elementelor deductibile din elemEnte pri mitive. Această metodă de analiză a teoriilor matematice şi matemati­ zate se numeşte axiomatică şi a devenit indispensabilă oricărei cercetări teoretice . În acest sens, David Hilbert, care a dezvoltat metoda axiomatică pînă la ultimele ei consecinţe, scrie : "Tot ceea ce poate constitui în genere obiect al gîndirii ştiinţifice revine, de îndată ce se află în pragul constituirii teoriei, metodei axiomatice şi prin aceasta revine mijlocit mate­ maticii. Inaintînd spre straturi tot mai adînci de axiome , se obţine totodată şi o înţelegere din ce în ce mai adîncă a esenţei gîndirii ştiinţifice şi devenim conştienţi în tot mai mare măsură de unitatea cunoasterii noastre . Sub :auspiciile metodei axio matice, mat � m atica pare a fi -chemată să deţină un rol conducător în cadrul ştiinţelor în genere"3. I n modul acesta, deoarece logica trebuie să devină () ştiinţă mate matică, urmează să fie construită axioma­ tic, ca oricare altă ştiinţă deductivă, şi acest lucru impune -două condiţii: 1) eli minarea intuiţiei din întreaga ştiinţă matema­ tică a logicii ; 2) alegerea noţiunilor pri mitive şi a axiomelor fără un 'Suport exterior lor , ci, aşa cum spune Tarski , pentru motive de ordin metodologic, practic sau chiar didactic.

* 2.2. Formalizarea teoriilor deductive Ideea de "tormalizare" a teoriilor matem atice este o -consecinţă imediată a noii concepţii despre axiomă şi în �eneral despre structura axiomatică a unei teorii. 3 David Hi lbert, A xiomatisches Denken Annalen", Bd. 78, 1 9 1 8 , pp. 405 - 41 8) .

:30

(in

" M a thematische


2.2. Formalizarea teoriilor deductive

Odată ce ideile pri mitive şi propoziţiile pri mitive nu sint admise pentru evidenţa lor şi nu au de-a face ni mic cu realitatea şi conţinutul pe care ea îl poate da acestor idei şi propoziţii , ur mează că ele nu au nici o se mnifi­ caţie în ele însele, devin si mple si mboluri vide de orice conţinut. Ideea aceasta apare încă înainte de construirea geome­ triilor neeuclidiene , şi anu me în secolul al XVII I-lea , la un matematician şi logician german, J .H. Lambert. Cer­ cetînd teoria paralelelor, el îşi dă seama că "fundamen­ tarea geo metriei trebuie să facă abstracţie de repnzen­ tarea lucrului" şi că "demonstraţiile trebuie expuse pUl'" si mbolic"4. Dar cel care a pus în lumină aspectul necesar pur for­ mal (consecinţă a concepţiei moderne despre axio mă) a fost Moritz Pasch. El desparte cu toată rigurozitatea con­ ceptele mate matice în două categorii: nedefinite şi defi­ nite. Propoziţiile sînt despărţite de el , de asemenea , în. două categorii : propoziţii principale şi propoziţii demon­ strate . Ideea lui Pasch este următoarea : matematica pune în evidenţă relaţii între conceptele matematice , care tre­ buie să corespundă faptelor din experi(fiţă, dar în marea. lor majoritate nu sînt împrumutate din experienţă, ci, "demonstrate". "De fapt , scrie el, dacă geometria vrea să. fie cu adevărat deductivă, trebuie ca procesul deducţiei să fie tot timpul independent de sensul conceptelor geo­ metrice , aşa cum trebuic să fie independent de figuri ; se pot lua în considerare numai relaţiile dintre conceptele geometrice incluse în propoziţiile , respectiv în definiţiile folosite. în cadrul deducţiei este desigur permis şi util dar în nici un caz neceSar să ne gîndi m la semnificaţia conceptelor geometrice care apar j în cazul că acest lucru devine necesar înseamnă toc mai că deducţia avea lacune ,. că propoziţiile pre mergătoare sînt insuficiente ca mij­ loace de demonstraţie".5 -

-

4

J. H. Lambert. Theorie der Para l le l lin ien (în ,, !.lagasin fiir

6

Moritz Pa.eh, Vorleslwgen iiber die moderne Geometrie , Leipzig �

reine

1 88 2 .

u.n d angenwandte

.Malhematik" , 1 786) .

31


Logica po liva lentă

Această idee este dusă la punctul e i cul minant de Hil­ bert. întreg s istemul logico- matematic constă, după el, dintr - un eşafodaj de si mboluri , din care e l eli mină în mod explicit şi total orice conţinut . La începutul aces­ tor cercetări (în logică) , Bertrand Russell tot mai păstra <l legătură între si mbolul for mal $i procesul natural al gindirii. Iată ce s cria e l : "Adoptarea regulilor simbolis­ mului în procesul deduc tiv aj ută intuiţia în regiuni prea abstracte pentru ca imaginaţia să poată prezenta minţii în mod prompt adevărata relaţie dintre ideile întrebuin­ ţate ( . . . ) . Şi astfel mintea este condusă să construiască -şiruri de raţionamente în regiuni în care imaginaţia ar fi cu totul incapabilă să se susţină singură fără ajutor s imbolic"6 . Acest lucru este incontestab i l . Serii de concepte, serii de j udecăţi şi chiar de raţionamente pot fi acoperite de o notaţie si mbolică bine aleasă , care concentrează şi declan­ şează toate aceste serii de concepte , j udecăţi sau operaţii deductive , devenite familiare, de îndată ce s i mbolul apare undeva în cadrul procesului deductiv . Folosul simbolis ­ mului este indiscutabil. Cu aj utorul unui simplu s i mbol s e pot concentra şi efectua operaţii co mplexe mintale, care, fiind bine cunoscute , nu mai au nevoie să fie detaliate , ci numai simbolizate , astfel că rezultatul apare automat. Matematica face uz de asemenea notaţii si mbolic e , care acoperă largi procese mintale , în mod frecvent . Familia­ rizarea cu acest procedeu simbolic a dus la identificarea procesului s i mbolic cu procesul mintal respe ctiv, de unde o credinţă aproape mistică în puterea semnul u i . S-a făcut astfel o identificare între s imbol si ceea ce este si mboli­ zat , socotind că simbolismul însuşi are o v irtute creatoare i ntrinsecă. Pentru Hilbert , esenţa matematicii - şi prin aceasta, a <lricărei teorii de tip matematic - este acest joc de semne făcut după reguli precise . Si mbolul nu este pentru e l un auxiliar al memoriei, c i defineşte un fel de spaţiu ab­ stract cu atîtea di mensiuni cîte grade de libertate sînt 6 B. Russell şi A. N. Whi tehead, Princi p ia Jlathematica, v o I . 1,

'Cambridge, 1 9 1 0 ,

32

p. 2.


2.3. Structura axiomatic4 a

unei ştiinţe

in o peraţ ia concretă şi i mprevizibilă a co mbinaţiei ' . Semnul , spunf' Hilbert , posedă in esenţa lui o regulă intelectuală care garantează contra erorii, este condiţia creaţiei p r i n mobilitatea lui în sensibil . Lui, scrie e l , nu aplic aţ i e i (Abbildung) l u i Dedekind, î i datoread m a­ t e mat ic a întreaga ei origine şi dezvoltare : "Am Anfang

so heisst es hier, ist das Zeichen"

("La început, a�a se s pune

aici , este semnuIH) 8 . După concepţia modernă a ştiinţei , acceptată astăzi de logicienii mat em at ic ieni , logica trebuie, pentru a deveni o ştiinţă matematică pură, să fie construită în condiţiile următoare : 1 ) să se axiomati z ez e ; 2) să se for malizeze . Această concepţie se reduce la construirea logicii ca un sistem formal, şi de aceea vom vorb i mai întîi de si s ­

teme formale9• *

2.3. Structura axiomatică a unei ştiinţe

Din cele spuse mai sus s-a văzut că orice ştiinţă deduc­ tivă are o structură generală , care morfologic este aceeaşi. Există dar o schemă logică a construcţiei unei teorii de­ monstrative, pe care o vom reda mai jos, în modul cel mai general, schemă care constituie anatomia logică a oricărui s is tem şti inţifi c .

Hilbert spune că o teorie axiomatizată constă în "stabi­ lirea unui schelet d e concepte care permit punerea în ordine a unor fapteH10• Pentru a avea o idee clară şi distinctă d e s pre diferenţa dintre axiom atica veche şi axiomatica modernă , vom reda schematic modul de construcţie a l unei teorii deduc­ tive in concepţia lui Aristotel şi in concepţia actuală. 7.

J . Cavailles, Axiomat iq ue et 1938, p . 93.

mann,

Systeme Formei,

Paris,

Her­

a D. Hilberl, Neubegrundilngen der Mathematik, în "Hamburger Serninars Einzelschriften", 1 9 2 9 , p. 1 7 3 .

9 Pentru dezvoltări asupra acestei probleme, a se vedea : A. Dumitriu, A xiomaliea teoriilor deductille, în Pro bleme de logică, II, Ed. Academiei R . S . R . , 1970 . 10 D. Hi lbert, A xiomatisches Denh'en, p. 4.05 .

33


Logica polivalentl1

Aristotel enunţa textual structura axiomatică a ori­ cărei ştiinţe astfelll : " î ntr-adevăr, orice ştiinţă demonstra­ tivă presupune trei elemente : 1) ceea ce se pune la început ca existent ; 2) aşa-numitele axiome , care sînt premisele prime ale demonstraţiei ; 3) atributele al căror înţeles îl acceptă ştiinţa" . Metoda de demonstraţie prin care se dezvoltă orIce ştiinţă este silogismul. Cu alte cuvinte , după Aristotel, structura axiom atică. a unei ştiinţe este următoarea : 1 . Partea axiomatică

a) termenii cunoscuţi prin ei înslSl ; b) propoziţii adevărate prin ele î �;ele.

2 . Partea derivată a) termeni definiţi (cu ajutorul celor cunoscuţi prin el înşişi sau cu ajutorul ce lor deja definiţi) j b) propoziţii deriva t e , în baza celor adm ise dej a . 3 . Metoda de demonstraţie (silogismul) . Acum să considerăm structura axiomatică a unei teo­ rii moderne . în această concepţie terrm nii primitivi şi propoziţiile primitive nu mai sînt adm i şi prin ei înşişi , c i sînt acceptaţi convenţional ; ei vor trebui să îndepli­ nească anum ite condiţii , pentru ca, în pri mul rînd , să nu conducă la contradicţi i . Sche ma axio matică a unei astfel de t eorii deductive devine :

1 . Partea axiomatică a) termeni primitivi, acceptaţi convenţional ; b) propoziţii primitive, acceptate convenţional .

2. Partea derivată a) termeni definiţi ; b ) propoziţii demonstrate . 11

34

Aris totel, A nalyt ica posteriora ,

1 , 2 , 72

a.


2.3. Structura axiomaticd a 'Unei ştiinţe

3 . Reguli de derivare

a) pentru termeni (reguli de definiţie); b) pentru propoziţii (reguli de deducţie) . După cum se vede, schema morfologică a unei teorii deductive este , în ambele concepţii, grosso modo aceeaşi . Ceea ce este schi mbat este punctul de plecare : axiomatica modernă acceptă termeni nedefiniţi şi propoziţii nede­ monstrate, ca şi aceea veche, dar ea le acceptă în mod arbitrar şi convenţional. Această alegere arbitrară a noţiunilor şi propoziţiilor primitive implică cîteva pro­ bleme, care, în mod foarte general , pot fi enumerate ast­ fel : Care este garanţia că ideile şi propoziţiile de la care plecăm nu sînt contradictorii? Cu m ne dăm seama că aceste idei şi propoziţii sînt toate primitive şi că printre ele D U se găsesc unele, cel puţin, care să fie definisabile şi demonstrabile cu ajutorul celorlalte ? In sfîrşit , cum putem să arătăm că prin alegerea părţii axiomatice, admisă arbitrar, putem deriva efectiv întreaga teorie pe care o urmărim ? Aceste probleme, enunţate mai sus în for ma lor cea mai generală, sînt sintetizate în următoare­ le condiţii , pe care trebuie să le satisfacă grupul axio­ matic. Axiomele trebuie să fie: 1. necontradictorii, 2. independente, 3. suficiente. Acelaşi lucru trebuie spus şi despre ideile pri mItIve : şi ele trebuie să fie necontradictorii, independente şi suficiente. Aceste condiţii ale grupului axio matic (sau pri mitiv) au dat loc la probleme dificile , unele chiar nerezolvabile în mod general şi rezolvabile numai în cazuri particu­ lare . Axiomatica aristotelică, dominantă pînă la sfîrşit ';!l secolului trecut, se garanta singură, fiindcă avea garanţIa din afara ei. Axiomatica contemporană , neavînd nici o garanţie din afară , vrea să şi-o găsească în propria e i construcţie, adică vrea s ă s e garanteze singură, dar această fundamentare nu este întotdeauna uşoară. 35


Logica polivalentă

*

2.4. Construcţia unuI sistem formal

Adusă în faza finală de abstractizare şi formalizare, o asemenea teorie deductivă ia forma unui joc de simbo­ luri făcut după reguli precise, dar fără nici un conţinut. Vom încerca să descriem trăsăturile caracteristice ale unui asemenea joc, circumscriind astfel noţiunea generală de sistem formaP2. Un asemenea sistem este constituit din simboluri şi re guli de combinare ale acestor simboluri. Dar să dăm mai bine cuvîntul, în această privinţă , lui J. Cavailles : "Un sistem formal în general este o grupare ierarhică de (( asambIări » de semne sau formule complete astfel ca , plecînd de la unele din ele (în număr finit sau infinit), considerate ca valabile , să se poată obţine altele prin procedee fixate odată pentru totdeauna"13. Modul de construcţie al unui asemenea "sistem" este descris, cel mai clar posibil, de către H . B . Curry14. Şi anume , la baza lui stă aşa-numita structură primitivă, alcătuită din: 1 . Termeni. Aceştia sînt : - indiciile, adică semnele iniţiale în care se va lucra ; - operaţiile, adică moduri de a combina semnele pentru formarea unor noi termeni ; - regulile de formare, care specifică cum se constru­ iesc termenii noi cu ajutorul operaţiilor. 2. Propoziţii elementare. Acestea formează o listă de "predicate", arătîndu-se numărul şi felul lor şi enumerînd,

12 î n dezvoltarea noţiunii de s istem {ormal un rol deoseb i t i-a revenit l u i D. H ilbert . El a Încercat să fundamenteze Întrebu in­ ţarea noţiunilor matematice imp l icînd infinitul actual - noţiuni faţă de care existau susp iciu n i În urma descoperiri i unor paradoxe (ce l i se atribuiau) - pe baza u n or metode fin ite . Această idee , integrată concepţie i sale (formal iste) despre matematică ca disc i­ p l ina ce se reduce l a studiul u n o r formal isme, a generat o serie de stu d i i asupra problemelor form a l ismelor. Ulterior Godel a demon­ strat c ă cerinţele f in it ismu l u i fac c a prob lemele matematicii să nu p oată f i absorbite În tr-un form a l ism . 13 J . Cavai lIes, Axiomatique el systeme (orme l , p . 1 0 i . 14 H . B . Curry, Or�tlines o ( a formalisl Phi losophy of mathema­ ties , Ams terdam , 1 9 5 1 , cap . 1 . 36


2.4. Canstrucţia unui sistem formal

de asemenea, obiectele - "argumentele" - care pot primi

aceste predicate . 3. Teoreme elementare. Acestea sint de două felur i : - axiomele, acceptate ca adevărate fără demonstraţie ; - regulile de procedură, în baza cărora se obţin propoZiţII "adevărate" noi , în cadrul sistemului . Pe scurt , intr-un sistem formal se dau trei feluri de reguli, determinînd trei clase ale s istemului : 1 . clasa componentdor, 2 . clasa propoziţiilor ş i 3. clasa teoremelor15• Descrierea construcţiei s istemului, aşa cum am făcut-o mai sus, se numeşte prezentarea s a . După aceasta, compo­ nentelor primitive li se pot acorda înţelesuri determinate, fiind puse în corespondenţă cu obiecte bine precizate , în asa fel incit teoremele siste mului să rămînă valabile . Operaţia poartă numele de repr� zentarea s istemului16 • Dacă însă o asemenea "repreZ'entare" se poate face în domeniul unor enunţuri al căror adevăr sau falsitate nu depind de sistemul considerat şi dacă ea se face astfel încît unei axiome sau te9reme din sistem să-i corespundă un asemenea enunţ adevărat , atunci s-a obţinut o interpretare a sistemului . Problema găsirii unei interpretări este strîns legată de problema găsirii unui model al sistemului dat. Prin model al unui siste m S se înţelege, de obicei, o mulţime M, astfel încît între cele două mulţimi ( S şi M) să se stabilească urm ătoarele corespondenţe : 1) fiecărei propoziţii din S îi corespunde un enunţ format cu elementele lui M ; 2.) enunţurile formate cu elementele din M sînt adevă­ rate sau false independent d e S ; 3) oricărei propoziţii din S îi corespunde un enunţ adevărat format cu ele mente din M . D e fapt această noţiune este m a i complexă. Noi o vom preciza mai mult cînd va fi vorba de sistem e ale logicii. 16

J . Ladriere, Les

limitatioflS internes des (ormalismes , Louvain, p. 40. Gădel, spre exemplu, a reprezentat formulele unui ase­ menea s istem prin numere natura l e , reprezentare ce poartă şi astăz i în l iteratură numele de "r eprezentare Gădel" .

Paris ,

1957,

18 K .

31


Logica polivalentd

Ceea ce trebuie să mai spunem aici este că două asemenea modele MI şi M2 ale unui sistem se num esc izomorfe dacă între ele se poate stabili o corespondenţă biunivocă în aşa fel încît fiecărui enunţ adevărat din MI să-i corespun­ dă un enunţ adevărat din J12 şi inversl? Regulile precise ale unui sistem formal ne per mit să formăm anumite expresii si să le înlăntuim în anume m o­ duri. Prin urmare ele ne î�vaţă "să vo'rbim" într-un mod r iguros . Sau, aşa cum se exprimă logicienii actuali, "să vorbim o li mbă for malizată" . La rîndul e i , această "limbă", adică însuşi sistemul, poate deveni obiect de studiu, studiu care se face utili­ zînd de asemenea o limbă formalizată. Datorită unor anti­ nomii (paradoxe) ivite într-un asemenea studiu, specialiş­ tii au hotărît să deosebească cele două "limbaj e" ca avînd "niveluri" diferite . Anume, primul este socotit o limbă­ obiect despre care al doilea tratează , acesta din ur mă purtînd numele de metalimbă. Vom mai avea ocazia în cursul acestei lucrări să pomeni m distincţia menţionată. Această idee a condus la distincţia făcută de logicieni între un sistem S şi metasistemul lui , S ' , care vorbeşte despre proprietăţile primului .

*

2.5. Condiţiile grupului axiomatic

După cum am arătat la sfîrşitul paragrafului *2.3, grupul axiomatic al oricărei teorii deductive trebuie să satisfacă trei condiţii : necontradicţia, independenţa şi suficienţa. Acestea se traduc în trei proprietăţi de ordin 1 7 î n această priv inţă ex istă o l iteratură bogată, d in care c ităm doar pe G. Kreisel şi J. L. KriviDe, Elements de Logique Mathi!lna­ lique - Theorie des .Modi des , Paris, 1967 i A. RobiDSOD, Introduction to Model Theory and 10 the Melamathematics of A lgebra, Amsterdam . 1963 . Faptu l , demons trat de altfe l , că un anume s is tem p oate avea mai multe modele izomorfe , indică impos ibil itatea s a de a reprezenta în m od specific un anume domen iu în contrast cu toate celelalte .

38


2.5. Condiţiile grupului a.:riomatic

for mal pe care sistemul respectiv trebuie să le îndepli­ nească , şi anume : necontradicţia axio melor, independenţa �i completitudinea lor. Le vo m preciza pe scurt în cele c e urmează .

2.5.1 . N econtradicţia ax i omelor

Exi stă o proprietate a sistemului formal ( mai precis a grupului său axiomatic ) , în conformitate cu care nici o contradicţie nu se poate deriva din axio mele da te, în interiorul său. Adică, nu se pot deriva si multan în sistem o propoziţie şi contradictoria sa18, căci s-a demonstrat că dacă o singură contradicţie ar fi derivabilă, în mod auto­ mat, orice propoziţie ar fi derivabilă. Prin urmare orice propoziţie, de îndată ce a putut fi for mulată, prin însuşi ace�t fapt devine , într-un astfel de sistem , adevărată. Problem a demonstrării necontradicţiei unei teorii deduc­ tive este, din acest motiv, capitală, căci apariţia unei singure contradicţii înăuntrul unui sistem provoacă diso­ luţia întregului siste m . Chiar şi sub această formă generală, în care am enunţat-o mai sus, rezolvarea problemei necon­ tradicţiei este foarte dificilă şi a rămas în multe cazuri deschisă. După cu m vom vedea însă, în cazurile mai si mple ale unor sisteme de logică, acest lucru a putut fi arătat.

2 .5.2.

1 n dependenţa axiomelor

Concepută mai întîi ca o exigenţă de economie (conform adagiului occamist , principiile nu trebuie multiplicate), această proprietate a fost transformată de logicienii mo­ derni în posibilitatea de a extrage din sau introduce în grupul axio melor, ad placitum, una din co mponentele 1 8 Noţiunea de propoziţie contradictorie a u n e i a lte p ropoziţii va fi prec izată mai de aproape î n cursul acestei lucrări.

39


Logica polivalentct

sale . Ceea ce s-a produs sub influenţa binecunoscutului exemplu dat de postulatul euclidian al paralelelor şi despre care am mai avut ocazia să vorbim în cursul acestui capitoP9. I ntr-un sistem formal , proprietatea de care este vorba se poate exprima pe scurt astfel : nici una dintre axio mele sistemului nu poate fi derivată în interiorul său, utili­ zîndu-Ie doar pe celelalte. Acest lucru, după cum s-a arătat în lucrările de speciali­ tate, echivalează c u următoarea posibilitate : dîndu-se un sistem S necontradictoriu care are un nu măr n de axio­ me : Au A 2 , . . . , An, dacă se scoate una din aceste axiome , A k ' şi s e înlocuieşte c u contradictoria ei, non-Ak' se obţine de asemenea un sistem necontradictoriu. în acest caz este sigur că axioma Ak este independentă in raport cu grupul celorlalte axiome ale sistemului. *

2 . 5 .3 . Suficien ţa axiomelor

Ne vom referi acum , pe scurt, la proprietatea ce decurge din a treia condiţie formulată la sfîrşitul paragrafului * 2 .3, şi anume suficienta axiomelor. Grosso modo, ea poate fi enunţată astfel : un sistem de axiome este suficient dacă din el se poate deriva întreaga teorie respectivii. Aceas­ tă noţiune primeşte o serie de specializări, mai ales in sistemele formale, în care este cunoscută sub numele de completitudine . Vom menţiona aceste sensuri speciale ale "suficienţei", atunci cînd va f i cazul , în cursul expunerii noastre . Aceasta este cea mai dificilă şi cea mai complexă d intre problemele puse pînă acum în legătură cu sistemele axio. 1 9 Nu vom d iscuta a ic i consecinţele l ogico-filozofice ale u n e i asemenea poz iţii . A m făcut-o in lucrarea noastră Mecanismul logic al matematici lor, 78 ( E ditura Academiei, 1968) . A se vedea , de asemene a , şi studiul n ostru La structurs axiomatique de la science moderne ("Scientia" , M ilano , 1 970) .

40


2.6. Construcţia logicii

matice şi a putut fi rezolvată numai în anumite cazuri. P�Dtru o serie de alte sisteme s-a putut arăta însă că ea �te insolubilă2o.

*

2.6. Construcţia logicii ca sistem formal

Am arătat în ambianţa căror idei s-a aj uns să se con­ !!truiască şi logica, după metoda axiomatică modernă , ca o teorie matematică. Concepţia aceasta a condus , în ulti­ mă instanţă, la prezentarea ei sub forma abstractă de .i.st6m formal. De la primele încercări făcute de G. Frege in 1879 şi pînă în ziua de astăzi, întreprinderile de acest fel au luat o a.mploare considerabilă. Se cunosc zeci de asemenea sisteme formale21• Toate îmbracă însă aspectul abstract al jocului de simboluri goale de conţinut şi su­ puse condiţiilor rezumate mai înainte. Vom urmări în această lucrare doar cîteva dintre ele. De fiecare dată nu ne vom lăsa însă conduşi numai de jocul gratuit al semnelor, ci vom căuta să evidenţiem cum e ghidat sistemul de interpretarea logică . Sistem şi interpretare vor face astfel corp comun, deşi ne vom opri, din cînd în cînd , pentru a observa ce parte revine fiecăruia . Odată familiarizaţi cu particularităţile acestor sisteme, vom analiza într-un p aragraf final cum se pun şi cum se rezolvă, pentru ele, prin metode de asemenea formale , problemele de necontradicţie şi independenţă.

2 0 E vident, cele trei cond iţii de care am vorbit mai sus capătă d i verse nuanţe ş i formulări după punctul de vedere din care sînt privite . Aceste diverse enunţări ale condiţiilor c itate nu ne-au interesat în această lucrar e , intru cît obiectivul urmărit este poli­ valenţa logic ă . Pe ntru dezvoltări a se vedea A. Dumitriu, Istoria logicii, 47 . 3 . 3 . uA s e ved ea A . Dumitriu, Istoria logic ii, 48. 2 .


3 Logica bivalentă

A. *

Calculul

propozitional

3.1. Principia Mathematica

Vom expune în cele ce urmează sistemul formal al logicii aşa cum apare în monumentala lucrare a lui A.N. White/ head şi B . Russell, Principia Mathematica (1910) 1 . Această lucrare sintetizează toate rezultatele obţinute de logi­ cienii mate maticieni pînă atunci, şi în special acelea din scrierile lui G. Frege şi G. Peano 2 • Ea conţine principalele idei care stau la baza unei ase­ menea construcţii şi care au ră mas valabile pînă astăzi. Completate şi dezvoltate ulterior, în special în ceea ce priveşte calculul funcţiilor, de nu mai puţin celebrele Grundzuge der theoretischen Logik (1928) a lui D. Hilbert şi W. Ackermann şi Grundlagen der Mathematik (voI . 1, 1934 şi voI . 1 1 , 1938) a lui D. Hilbert şi P. Bernays , aceste 1 Cambridge Un iversity Press ; ediţia întîi a apărut astfe l : voI . 1 , 1 9 1 0 ; vo I . I l , 1 91 2 ; v o I . I I I , 1 9 1 3 . Primul volum al ediţie i a d oua a apăru t În 1 9 2 5 , celelalte În 1 9 27 . I G. Peano, Formulario Mathematico ( operă în 5 ed iţii , pri­ mele fragmente apărute în 1 B97 ; a se vedea Opere Scelte, R oma , 1958). Primul s istem formal de l o g ică a pro p oz i ţiil or (cal cul propoz iţional) a fost propus de G. Freg e în Begriffsschrift ( 1 8 79 ) , autorii Principiilor bazîndu-se pe opera acestu ia şi a l u i G . Peano . Totuşi gradul de maturitate la care aj unge astfel logica matema tică face d in Principii momentul crucial al acestei d iscip l in e .

42


3.2. Idei primitive

lucrări constituie o summa a logicii m atematice . Nu vom putea cuprinde în capitolul de faţă deCÎt CÎteva noţiuni generale şi CU carac ter introductiv asupra a două părţi din această disciplină - şi anu rue cele de logică propriu­ zisă - , calculul propoziţiontll şi calculul funcţiilor propozi­ ţionale. Principia Mathematica mai dezvoltă o teorie a claselor şi a relaţiilor, precum şi aplicarea întregului aparat f�r � al la studiul matematicilor , de care nu ne vo m ocupa aIcI. Ceea ce distinge calculul propoziţional de restul logicii este faptul că accentul nu mai cade pe concept, ci pe propoziţii. Elementul iniţial este propoziţia , dar propo­ ziţia nu trebuie confundată cu actul vorbirii sau al gîndirii, ci este ceva care este adevărat sau fals. într-o astfel de propoziţie nu se distinge ni m i c ; nici subiect, nici predicat. Ea este o unitate primitivă cu o singură proprietat e , aceea de a putea lua două valori : adevărat şi fal s . De aceea logica Principiilor este o logică bivalentă - de altfel ca şi cea clasică -, acceptînd pentru o propoziţie oarecarr numai două valori de adevăr . O "valoare de adevăr " a unei propoziţii (truth mlue) va fi adevărul dacă propoziţia este adevărată şi falsul dacă propoziţia este falsă.

*

3.2. Idei primitive

Să considerăm ideile primitive de la care pleacă White­ head şi Russell. Le vom enumera în ordinea care ni se pare mai naturală. 1 . Propoziţii elementare . O propoziţie ele mentară e ste a ceea care nu conţine nimic variabil ; este o propoziţie care exprimă comportamente fizice stabilite prin obser­ vaţie şi experienţă . De exemplu, propoziţiile "soarele este strălucitor" , "cangurul trăieşte în Australia" etc. , unde este ceva dat de si mţuri , sînt propoziţii elementare . Astfel de propoziţii , privite ca unităţi, unde nu este de distins nici un concept, vor fi r eprezentate prin litere : p , q, r, s . . . î n fond ele reprezintă variabile ce pot 43


Logica polivalentă

lua două valori : adevărul ş i falsul . Conţinutul propoziţi­ ilor nu va interveni în nici un fel în cele ce ur mează. Logica din Principia Mathematica este deci o logică for­ mală fiindcă face abstracţie de conţinutul propoziţiilor . 2 . Negaţia. Dacă p este o propoziţie , negaţia ei, adică propoziţia "non-p" sau "p este fals" va fi reprezentată " prin ,,"'" p 3 . 3 . Disjuncţia. Se pot construi agregate de propoziţii ca şi în limbaj ul obişnuit, plecîndu-se de la propoziţii ele mentare - care mai sînt nu mite de Russell şi atomice ; se pot forma astfel fraze , agregate logice de propoziţii , după expresia lui Russell, propoziţii moleculare. Articulaţia dintre propoziţiile elementare, pentru a forma agregate logice, se face prin conj uncţii. De exemplu conjuncţia "sau" serveşte pentru a uni două propoziţii oarecare, formîndu-se agregatul logic lIP sau q". De pildă , propoziţia moleculară "afară plouă sau ninge" :

p q

= =

afară plouă (afară) ninge .

O asemenea articulaţie între propoziţii se numeşte o disjuncţie logică sau sumă logică şi se notează în simboluri : "p V q"

Citirea este s i mplă : p sau q. Ce însea mnă însă l IP V q"? Ce înseamnă "afară plouă sau ninge"? Nimic altceva decît că sau prima propoziţie este adevărată, sau a doua . Dis­ j uncţia logică "p V q" este o afir maţie alternă care exprimă că sau prima propoziţie este adevărată , sau a doua (cel puţin una) . Iată dar definiţia disj uncţiei "p V q". In condiţiile acestea, putem cerceta cum intră semnul " ....., ", de negaţie, în disjuncţie . Aşa " ""' p V q " va însem­ na : "p este fals sau q este adevărat" ; " '" (p V q)" va sem­ nifica "este fals că sau p sau q este adevărat", care este acelaşi lucru cu a spune "p şi q sînt a mîndouă false". 8 Negaţia aici nu are nimic comun cu negaţia zofic, d e ci nici cu negaţi a d i a l ectică.

44

în s e n s

filo­


3.2. Idei primitive �. Definiţia. ,,0 definiţie este o declaraţie că un nou simbol introdus sau o combinaţie de simboluri este acelaşi lucru ca o altă combinaţie de simboluri al căror sens este deja cunoscut"'. Simbolul prin care se expri mă definiţia este " " şi termenul care t rebuie definit se numeşte definiendum, iar cel care defineşte , definiens . In dreptul unei expresii care conţine semnul definitoriu " " trebuie scris D f. , pentru " poate avea altă semnifi­ că in alte expresii semnul " caţie decît acela de definiţie. Semnul " va fi citit : "se defineşte" sau "este acelaşi lucru ca şi". 5. Conjuncţia . Tot astfel, după cum două propoziţii s-au articulat Între ele prin conjuncţia "sau", dind disjuncţia logică, putem să legăm două propoziţii oarecare prin con­ " juncţia "şi". Agregatul logic "p şi q va Însemna afirmaţia simultană a lui p şi q ; "p şi q sint amîndouă adevărate" . O astfel de legătură logică între propoziţii se va numi o conjuncţie logică sau un produs logic. De pildă , propoziţia moleculară "afară plouă şi ninge" afirmă că propoziţiile.: =

=

=

=

"

p = afarii plouii q (afarii) ninge =

sînt adevărate simultan . Simbolic, conjuncţia logică este reprezentată de un punct pus Între propoziţiile respective : " "p . q Lectura acestei expresii este : "p şi q" .

Russell nu vrea să introducă produsul logic "p . q" ca idee primitivii, ci îl defineşte cu aj utorul disjuncţiei logice. într-adevăr, dacă scriem , prin definiţie :

p . q = "" (

'"

p V '" q)

Df.

" se vede că am acris că "p şi q este acelaşi lucru cu "este

fals cii sau p este fals sau q este fals", ceea ce este exact "p şi q sînt adevărate amîndouă" . , Prill c ipia

Jl,1alhema l ica ,

voI .

1, p. 11. 45


Logica polivalentă

6. Implicaţia. î n general , se spune că o propoziţie p implică pe alta q cînd q urmează din p j cu alte cuvinte, dacă p este adevărată şi q este adevărată. Russell dă o definiţie mult mai largă şi destul de dificilă , la prima vede­ re j el însuşi se t e me că ar putea apărea drept artificială5. Ideea esenţială de la care pleacă Russell este că o propoziţie adevărată implică o propoziţie adevărată ("What is impliBd b y a true proposition is true") . Dar o asemenea proprietate nu trebuie să determine nimic în cazul cînd prima propoziţie este falsă . Singurul lucru pe care-l afirmă implicaţia este că dacă p implică q nu poate fi cazul ca pri ma propoziţie să fie adevărată şi a doua falsă . Cu alte cuvint e , ideea pe care o exprimă i mplicaţia russelliană este c ă toate cazurile p o t fi posibile , afară d e acela c a propoziţia intîia să fie adevărată şi a doua să fie falsă . Ideea logică de implicaţie va fi exprimată simbolic astfel : " lIP => q "

şi se va citi : "p implică q . Din cele ce am spus pînă acu m rezultă că putem defini implicaţia în felul următor :

p => q = ""' p V q

Df·

Această definiţie mai largă înseamnă : sau p este fals sau q este adevărat ; aşadar, dacă p este adevărat , q este adevărat. Membrul întîi (p) al implicaţiei se nu meşte implicans, iar me mbrul al doilea implicat. Vom reveni, mai departe , asupra sensului implicaţiei . 7. Punctuaţia. Pentru a arăta că un anume semn se referă la o expresie logică întreagă , se închide acea expre­ sie în paranteză . Spre exemplu am scris : p . q = ""' ( '" p V '" q)

pentru a arăta că se mnul prim de negaţie se referă la dis­ j uncţia logică ,, '" p V ,..., q" întreagă . De asemenea se în­ trebuinţează, în acelaşi scop , punctuaţia pentru a despărţi diversele părţi ale unei expresii logice (formule logice) , Principia

46

lI1alhemalica ,

voI . I , p. 9 B .


3.2. Idei primitive

părţi care trebuie luate ca un tot. De pildă , definiţia impli­ uţiei poate fi scrisă cu aj utorul punctelor :

Df.

p => q . = . "'-' p V q

_\ceasta arată că se mnul de definiţie , , = " funcţionează intre întreaga expresie "p ::> q" şi întreaga expresie din dreapt a , '" p V q" . Cînd s-a întrebuinţat deja un punct, pentru a expri ma un al t domeniu pînă unde se întinde puterea unui simbol se întrebuinţează două puncte, apoi t rei etc. Domeniul pe care-l indică un punct e ste pînă la sfîrşitul unei propoziţii moleculare sau pînă la un număr diferit de puncte . 8 . Semnul d e a.serţiune. O propoziţie poate f i afirmată sau numai considerată. De pildă , dacă spunem propoziţia "Cezar a trecut Rubiconul", am afir mat această propoziţie, pe cînd dacă spunem "Cezar a trecut Rubiconul este o propoziţie" , propoziţia nu mai este afir mată, ci nu mai luată în considerare8• In limbajul obişnuit s e recunoaşte i mediat că o prOPIJ­ ziţie este numai luată în considerare după vorbele care o precedă şi care o fac ipotetică : dacă . . . (if so-and-so) . Si mbolul întrebuinţat de Frege pentru ideea de aserţiune ŞI pe care l-a adoptat şi Russell este 1 Dacă scrie m : ,,

,, -

"

.

1- · p însea mnă "p este afirmat" . Dacă însă p1:nem acest semn inaintea unei i mplicaţii, de exe mplu :

f-

p

=>

q, trebuie citit : "este adevăr at că p i m plică q" ; cu alte cuvinte semnul " f-" se referă acum la se mnul ,,=>", iar propoziţiile p şi q sînt numai considerate ; de spre ele nu afirmăm nimic. 9. Inferenţa. Să presupunem că se afirmă propoziţia p şi că se mai afirmă şi propoziţia p => q, adică : .

1- . p 1- . p => q 8

Principia Ma lhemalica ,

yol .

1 , p . 96.

47


LogicG polivalentd

În condiţiile acestea, dacă p este adevărat , şi dacă este adevărat că p implică q, urmează că şi q este adevărat, după definiţia implicaţiei (o propoziţie adevărată nu poate implica una falsă) . Aşadar, din aserţiunile d e mai sus scoatem aserţiune a lui q : 1- . q Se vede dar cum poate servi i mplicaţia russelliană la deducţia unui adevăr. In cazul acesta, şi numai acesta, i mplicaţia are rolul une i deducţii, caz cunoscut şi in logica veche sub nu mele de modus ponens . După cum se vede, o inferenţă este cu totul altceva decît o implicaţie , şi numai într-un caz particular al i mplica­ ţie i , cînd se afirmă şi adevărul primului membru , poate fi ea aplicată. Russell zice că o inferenţă este disoluţia unei i mplicaţii. Niciodată o implicaţie nu este o deducţie, dar poate servi, în cazul cînd e afirmată, la o deducţie ' prin modus ponens.

*

3.3. Functii de adev�r

Pentru a înţelege mai exact ce reprezintă o disjuncţie , o conjuncţie sau o implicaţie logică, să facem să intervină ideea de funcţie , şi anu me aceea de funcţie de adevăr. A m văzut că o propoziţie arbitrară p poate lua două valori de adevăr : falsul şi adevărul . Dacă , in general, ne gindi m la ceea ce înseamnă o funcţie în mate matică, adică o variabilă ale cărei valori depind de valorile altei variabile , putem imagina şi in logică funcţii logice . O funcţie logică va fi o expresie în care vor intra una sau mai multe varia­ bile şi care va deveni de fiecare dată o propoziţie cînd se atribuie variabilelor serr,nificaţii determinate . Din aceas­ tă cauză, Russell a numit funcţiile logice funcţii propo­ ziţionale . 48


3.3. Funcţii de adevăr

Fie de exe mplu expresia "p V q" ; se vede i mediat că aceasta este o funcţie propoziţională cu două argumente , P ŞI q : ((p,q) = p V q Este interesant aici faptul că valoarea de adevăr a funcţie i ( depinde numai de valorile de adevăr ale argu­ mentelor p şi q şi, în nici un fel, de conţinutul lor. într-a­ devăr, după definiţie, ((p,q) este în cazul nostru "p V q" , adică cel puţin unul din argu mente trebuie să fie adevărat. Să presupunem că p este adevărat şi q este fals, atunci definiţia este satisfăcută, "p V q" este adevărată şi tot aşa ((p,q) care o reprezintă. Să presupunem că p este fals şi q este adevărat ; definiţia este satisfăcută şi deci expresia "p V q" este adevărată, aşadar şi ((p,q) . Alt caz ar fi cînd şi p şi q ar fi adevărate amîndouă, deci ((p,q) ar fi iarăşi adevărată. în sfîrşit , dacă p este fals şi q este fals , atunci definiţia lui "p V q" nu este satisfăcută şi ((p,q) este falsă. Aceste rezultate pot fi examinate direct pe un exemplu. Fie disjuncţia logică "afară plouă sau ninge". Funcţia noastră este : p

= afară plouă

q = (afară) ninge ((p,q) = afară plouă sau ninge

=

p V q

Să presupunem : 1) p este adevărat şi q fals (afară plouă , dar nu ninge ) ; propoziţia "afară plouă sau ninge" exprimă un adevăr, ((p,q) este adevărată în cazul acesta ; 2) să pre­ supunem că propoziţia p este falsă şi q adevărată (afară nu plouă , dar ninge ) ; propoziţia "afară plouă sau ninge" expri mă U I I adeYăr, f(p,q) este adevărată ; 3) dacă şi p şi q sînt amîndouă adevărate (adică dacă afară plouă şi ninge simultan) , propoziţia "afară plouă sau ninge" este adevărată, adică ((p,q) este adevărată ; 4) în fine , dacă şi p şi q sînt false , propoziţia "afară plouă sau ninge" nu ex­ primă un adevăr, deci este falsă ca şi ((p,q) , care o repre­ zintă.


Logica polivalenti1 Se poate deci conchide , în general , că dacă avem o disj uncţie logică f(p , q) = P V q, e a este adevărată dacă unul din argu mente este adevărat sau amîndouă şi este falsă numai cînd amîndouă argu mentele sînt false . Este de remarcat aici fap tul că p utem şti cînd Q

funcţie de felul acesta f(p , q) este falsă sau adevărată fără a ne interesa de loc de conţinutul argumentelor.

Valorile de adevăr ale funcţiei depind numai de valorile de adevăr ale argumentelor , fără a face să intervină , în nici un fel , se mnificaţia lor . De aceea Russell a nu mit aceste funcţii funcţii de adevăr. Este evident că şi funcţiile :

p f (p) f(p,q) = p . q =

,....

f(p , q ) = p :::) q sînt funcţii de adevăr , ca şi toate funcţiile în care argumen­ tele sînt propoziţii. Proble m a dacă toate funcţiile din logică si din stiinţă sînt functii de adevăr nu este încă . definiti� soluţionată'. Să s t udiem, odată cu Wit t genstein8 , funcţiile de adevăr. Pentru aceasta vo m nota , pe scurt , adevărul c u A şi falsul cu F. A m introdus pînă acum numai funcţiile de adevăr : negaţia , disj uncţia , conj uncţia şi implicaţi a . Vo m m a i defini două , foarte utilizat e : echiyalenţa şi incompatibili­

tatea.

Două propoziţii vor fi echivalente dacă ele sînt adevărat e sau false în acelaşi timp , adică dacă a u aceeaşi valoare de adevăr . " Semnul de echivalenţă es te ,,= . Aşadar :

f(p , q)

.

=

.

p=q

Df·

7 Lewis , spre exemplu, a con testat această p ărere (C. I. Lewis & C. H. Laoglord , Symbo lic Logic, l I , ed. 1 959, p . 1 47 , 200 , 234 ) . 8 Ludwig Wittgen .. lein, Tracla lus Logico-Phi losophicus, prop .

4. 442 ( E d . Kegan Pau l , London, 1933 ) . Schemele care urmează se da toresc acestu i logician .

50


3.3. Funcţii de adevăr

Inco mpatibilitatea exprimă o funcţie de adevăr în care argu mentele nu pot fi adevărate în acelaşi ti mp, prin ur mare cel puţin unul este fals. Semnul de incompatibi­ litate este " \ " , aşa că putem scrie : f(p , q) = p I q

Df·

Acest semn se va citi : "p inco mpatibil cu q" . Să analizăm acu m aceste funcţii de adevăr . Argu mentul p poate lua valoarea A sau F ; argu mentul q poate lua va­ loarea A sau F. Aceste valori pot fi combinate în ur mătoa­ rele patru moduri : 1 ) p adevărat şi q adevărat (A A ) ; 2) P fals şi q adevărat (FA) ; 3) p adevărat şi q fals (AF) ; 4) P fals şi q fals (FF) . Vom păstra această ordine pentru studiul tuturor func­ ţiilor de adevăr cu două argumente . Dacă luă m acum funcţia de adevăr, de exemplu con­ i uncţia logică f(p, q) = p q , •

este uşor de văzut ce valori de adevăr corespund pentru ea cînd se atribuie unul din aranja mentele de mai sus ale valorilor de adevăr pentru argu mentele p şi q . Putem, astfel, să construi m ur mătorul tabel si mplu, în care se citesc i mediat valorile de adevăr pe linia corespunzătoare fiecărui aranj a ment.

1. A A 2. F A 3. A F 4. F F

A F F F

Vo m putea acu m să scriem pentru toate funcţiile de adevăr definite un ase menea tabel , în care să se vadă i me­ d iat ce valori de adevăr le corespund. Vo m face un singur tabel care să le cuprindă pe toate. 51


Logica polivalentă Mai

întîi, pentru negaţie

ave m :

p \ "' p

I

A F

F A

Pentru celelalte funcţii de adevăr găs i m tabelul următor:

p q \ p V q l p · q \ p :J q\ p = q \ p l q 2. F A 3. A F

A A A

A F F

A A F

A F F

F A A

F F

F

F

A

A

A

1. A A

4.

S-.!. vede că pent.ru fiecare din aceste funcţii de adevăr .;u două argu mente corespund, în ordinea aranjamentelor valorilor de adevăr ale argumentelor, o grupă de valori carac­ teristică fiecăreia . De exemplu , pentru corespunde grupa AAF A, pentru grupa AAAF e t c .

"p :J q"

p V q,

Pute m spune c ă o grupă d i n acestea caracterizează pe deplin funcţia de adevăr corespunzătoare , şi după fiecare p utem recunoaşte ce fel de funcţie particulară ave m . Cîte funcţii d e adevăr c u două argumente putem avea? Cîte grupe de acestea putem face , fiindcă fiecăreia îi va corespunde una . Cu două litere A şi F se pot face aranja mente cu repetiţie in număr de ave m în total Wittgenstein

16

222 = 24

funcţii de adevăr

cu

=

16.

a calculat c ă pentru n argu mente

22n

vo m avea , în m o d analog,

Aşadar ,

două argument e .

funcţii de adevăr

p, q , r, . . . f(p,q,r . . . ) .

Funcţiile noastre nu sînt toate independent e , unele putînd f i expri mate prin altel e . Am văzut că :

p

52

.

q

. =

.

'" ('"'"' p V '"'"' q)


3.3. Funcţii de adevăr

Nicod a arătat că dacă se ia semnul de incompatibilitate ca nedefinit , ca semn primitiv, se pot exprima toate func­ ţiile de adevăr cu două argumente cu ajutorul lui9• Iată, de exemplu , cum se pot defini funcţiile noastre : ,,", p . = . p \ p (p I p) I ( q I q) p . q . = . ( p \ q) \ (p \ q) pVq

.

=

.

p � q = . p I ( q I q) Acestea sînt evidente . De exemplu p I p înseamnă p este fals ; p � q înseamnă p \ ( q \ q) , adică "p este adevă­ rat este incompatibil cu q este fals" etc. Am căutat să analizăm sumar funcţiile de adevăr10 pentru a ne da seama mai bine ce anume înseamnă articula­ ţiile logice între propoziţiile p , q , r. . . Propoziţiile p , q sînt numai considerate , nu se afirmă nimic despre el!:J iar legăturile dintre ele nu determină nimic cu privire la p şi q ; cu alte cuvinte p V q , P q, P � q etc. sînt legi de compoziţie , care consideră argumentele numai în mod ipotetic ; ele nu exprimă relaţii între argumente , ci posi­ bilităţi de co mpoziţie . Să luăm i mplicaţia . Expresia "din p rezultă q" nu traduce exact simbolul ,,�" şi de aici pot rezulta o mulţi me de confuziill. Implicaţia nu este decît o lege de compoziţie care lasă libertatea argumentelor să ia orice valori afară de acelea care ar însemna că primul argument este adevărat şi al doilea fals, după cu m din p V q sau din ", p V q nu rezultă absolut ni mic. Această semnificaţie pe care o atribuie Russell i mplicaţiei trebuie •

9 J. Nicod, A reduction in the number of the primi tive propo­ sitions of logic ("Proceedings of the London Mathema tical Society " , voI . XIX, Jan . , 1 91 7) . 10 O analiză m a i completă c ititorul O găseşte în lucrarea noastră Logica nouă , Bucureşti, 1 9t.O. 1 1 Rudolf Carnap scrie : "Că Russell a ales p entru legăt ura dintre prop oziţii caracterizată prin grupa A A F A denum irea <<impl icaţie » a avut o urmare nefericită . . . Unii care remarcă deoseb irea d intre imp l icaţie şi relaţia de consecinţă cred totuş i că semnul d e implicaţi e poate să exprime rela ţia d e consecinţă" (Logische Syntax der Sprache . Springer, Wien, 193t., p . 198) .

53


Logica polivalentlf

reţinută ca fundamentală. Numai această semnificaţie face ca funcţiile propoziţionale să fie independente de conţinutul pe care eventual l-am atribuit argumentelor şi tocmai acest rezultat arată că logica s-a formalizat , dacă înţelegem prin formal "independent de conţinut" 12. Pentru a învedera lucrul acesta , să luăm două propoziţii arbitrare : p = ,,2 + 2 = 5" şi q "Bucureşti este un oraş în România" . Ei bine , deşi în li mbajul curent nu vo m întîlni astfe l de propoziţi i , în logica formală russelliană propoziţia « ,,2 + 2 = 5" sau "Bucureşti este un oraş în România" » este o propoziţie adevărată , fiindcă o disjuncţie logică este adevărată dacă cel puţin una din propoziţii este ade­ vărată (aici pri ma este falsă şi a doua adevărată) . Tot astfel propoziţia «"Bucureşti este un oras în România" implică 2 + + 2 = 5" » este o propoz iţie falsă, fiindcă o prop �� iţie adp.-vărată nu implică una falsă. Acest lucru se vede mai iÎşor dacă utilizăm definiţia i mplicaţiei : =

P

:J q . =

• ......

pV q

în cazul nostru , avem : « (,,2 +2 = 5") sau "Bucureşti este un oraş în România"» . Adică : e ste fals că 2 + 2 = 5" sau este adevărat că "Bucureşti este un oraş în Ro mânia". însă în cazul cînd ambele propoziţii ale unei disjuncţii logice sînt adevărate , d isjuncţia este adevărată. Prin ur mare , î n sensul acesta , o propoziţie falsă poate să implice una adevărată. Din schemele de mai înainte se vede că p :J q este totdeauna adevărat dacă q este adevărat şi totdeauna adevărat dacă p este fals, indiferent de ce valori ia celălalt argument. Aceste rezultate sînt evidente dacă ţinem sea ma că. p ş i q nu au nici o semnificaţie. ""'"

,,

1 2 ., I nd epend e n t d e c o nţinut" nu s e referă l a tru ismul e p is­ t emol ogie că orice formă l ogică are un c onţinut , c i l a princi­ p iul extensionalităţii , c are face abstracţi e d e con ţinuturi d e­ t ermi nat e .

54


3.4. Propoziţii primitive

.. 3.4. Propoziţii primitive In orice teorie deductivă se dau mai întîi cîteva idei primitive şi cîteva propoziţii primitive care se iau ca axiome , după care se deduc teore mele teoriei13. Ideile pri mitive ale sistemului lui Whitehead şi Rus s e ll a ro văzut că sînt : ideea de a reprezenta propoziţiile prin variabilele " p, q , r . . . j ideea de negaţie " ..... j ideea de d isjuncţie " V " j ideea de implicaţie ,, � " ; ideea de inferenţă. S-ar putea spune că aceasta este întreaga logică a propoziţiilor, fiindcă cu ajutorul acestor idei ea poate fi construită tn întregime. Noţiunea de implicaţie este definită de Russell cum am yăzutl' :

p �q.

1 .01

=

"" p V q

.

D f·

Russell pune în dreptul une i propozIţII, odată cu Peano, literele "Pp" , care înseamnă toc mai "primitil'e prop osi­

tion" .

Mai departe ave m : 1 . 1 Orice este i mplicat de o propoziţie adevărată este adevărat . Pp . Această propoziţie diferă de modus ponens fiindcă acolo se spune : dacă p este adevărat şi dacă implicaţia p � q este adevărată, atunci şi q este adevărat . Adevărul lui p este o ipoteză în inferenţa zisă modus ponens, iar aici este un fapt15•

1 .2

f- : p V p � p •

Pp.

Propoziţia aceasta afirmă : "Dacă p sau p este adevărat , atunci p e s t e adevărat", ceea ce este evident. E a poartă 13 A ic i ideea de axiome are un înţeles mai larg decît cel o b iş­ nuit p e care l-am intrebu inţat în cap . 2 ş i-l vom u t iliza ş i de a i c i înc o l o , acela de formulă considerată adevărată fără o demon­ s tra ţie . 14 Vom păstra ordinea ş i numerotarea formulelor utilizată de autori in Principia Mathematica. 1 1 P rincipia Mathematica, voI. 1, p. 99.

55


Logica polivalentă

numele de "principiul tautologiei" ŞI se va însemna pe scurt cu "T aut" . 1 .3

f-- : q

::> .

Pp .

PVq

Adică "dacă q este adevărat atunci sau p sau tf este adevărat" , ceea ce este evident. De exe mplu , fie q "astăzi este marţi" şi p = "astăzi este miercuri", atunci propoziţia 1 . 3 spune "dacă astăzi este marţi , atunci astăzi este marţi sau miercuri". Principiul acesta este nu mit "principiul adiţiunii", fiindcă afirmă că dacă o propoziţie este adevărată, orice alternativă poate să-i fie adăugată fără a o face falsă. Propoziţia 1.3 va fi însemnată pe scurt cu "Add" (de la Addition) . =

Pp . 1- : p V q . ::> . q V P Adică " p sau q i mplică q sau p " . Este legea comutativităţii 1 .4

(.Russell o numeşte a permutării) şi va fi însemnată pe Sc:dr t cu "Perm" (Permutation) .

1.5

f-- : p V (q V r) . ::> . q V ( p V r)

Pp .

Principiul acesta spune : "Dacă sau p este adevărat sau q V r este adevărat , atunci sau q sau p V r este adevărat". Este una din for mele legii asociaţiei logice şi s e numeşte principiul asociaţiei , însemnat pe scurt cu "Assoc". Tot aşa putem scrie :

p V (q V r) . ::> . (p V q) V r 1.6 1- : . q ::> r : ::> : p V q . ::> P V r "Dacă q implică r, atunci p sau q i mplică p sau

Pp .

" r .

Cu alte cuvinte, într-o implicaţie poate fi adăugată aceeaşi propoziţie la ambii membri fără să modifice valoarea de adevăr a implicaţiei. Principiul va fi nu mit principiul de însu mare (Summation) şi va fi notat pe scurt cu "Sum" . 1. 7 Dacă p este o propoziţie ele mentară şi '" P este o propoziţie elementară. Pp . 1 . 71 Dacă p şi q sînt propoziţii elementare şi p V q este o propoziţie elementară. Pp . 56


3.5. Consecinţe imediate

Cu alte cuvint e , siste mul for mal al calculului propozi­ ţional din Principia Mathematica, conform celor discutate in cap. 2, se constituie după cu m ur mează. Simbolurile primitive sînt variabilele propoziţionale , precu m şi simbolurile ",,-," (negaţia) , " V " (disjuncţia) , parantezele şi punctele18 • Din ele se pot obţine formule , co mbinîndu-le după următoarele reguli : 1 . O variabilă propoziţională este o formulă. 2 . Dacă A este o formulă , A este de asemenea o formulă. 3 . Dacă A şi B sînt formule , (A V B) este de ase menea o formulă. Parantezele vor putea fi înlocuite prin puncte, aşa cum am arătat mai înainte. Drept axlO me se aleg următoarele cinci for muIe : "'-'

1. 2. 3. 4.

5.

f- : p V p . ::J . p f- : q . ::J . P V q 1- : p V q . ::J . q V P 1 - : p V ( q V r) . ::J . q V (p V r) f- : . q ::J r : ::J : P V q · ::J · p V r ,

în care p ::J q este o scriere abreviată a formulei ""p V q . După cu m a arătat P . Bernays , cele cinci axiome nu sînt independente ; axio ma 4 poate fi dedusă din celelalte (vezi *9.2) şi deci se poate renunţa la e a . Re gulile de infermţă sînt substituţ ia şi modus ponens, care vor fi explicate in cele ce urmează.

*

3.5. Consecinţele imediate ale propoziţiilor primitive

Propoziţiile care ur mează vor fi consecinţe ale propo­ ziţiilor pri m itive . 18 A m numit aici sim boluri primi tive ceea ce Curry ( . 2 ,l.) numeşte indicii ş i operaţii .

57


Logica polivalentă

Demonstraţia lor va cons ta în a arăta că ele se deduc din aceste propoziţii prin una din ur mătoarele metode de deductie. 1. Metoda substitutiei. În orice formulă adevărată (axio mă sau formul i deja de monstrată) se pot înlocui literele prin orice propoziţie simplă sau moleculară cu condiţia ca aceeaşi literă să fie înlocuită pretutindwi în for mulă cu acee a ş i expresie . 2 . Modus ponens . Despre această metodă de inferenţă am mai vorbit . Ea se reduce la for ma următoare : dacă o i mplicaţie între două expresii este adevărată şi dacă primul me mbru al implicaţiei este adevărat , atunci tra­ ge m concluzia că şi me mbrul al doilea este adevărat. Vo m indica după metoda lui Russell sub o formulă modul ei de demonstraţie , aplicarea regulei modus ponens nefiind explicit specificată. Spre exemplu "Taut � p" înseamnă ce devine propop

ziţia "Taut" (principiul tautologiei) cînd se înlocuieşte p cu ....... p. Pentru a ne lămuri mai bine asupra procede u lui , să consideră m un exemplu. Fie propoziţia de demonstrat : Această propoziţie spune : dacă p implică proprIa sa falsitate, atunci p e ste fal s . Procedeul d e monstraţiei v a fi indicat pe scurt, dedesub­ tul acestei propoziţii, cu rezultatul ce ur mează :

[Taut �P]

1- :

-�

p V '" P

.

::J

'"

P

(1)

Şi încă :

( 1) . (1. 01 )

1 - : p ::J

""'

P

::J

""'

P

Adică, dacă substitui m în propoziţia însemnată "Taut", care este :

t-- : p V p · ::J . p, pe p cu ,..... p , căpătă m : '" p V "V p . ::J . "'-' P 58

(1)


3.5. Consecinţe imediate

A doua linie a demonstraţiei este indicată în parantezele ( 1 ) . ( 1 .01) , adică dacă aplicăm lui (1) definiţia ( 1 .01 ) , care este a implicaţie i , ur mează că suma logică "", p V ""'" p poate fi scrisă p ::> p , după cu m '" p V p este scris p ::> p. Ceea ce s-a scris în drept ul acestei paranteze este tocmai propoziţia de de monstrat. A m scris în faţa propoziţiilor primitive se mnul " f-" de aserţiune , fiindcă le-am luat ca axiome , ca propoziţii adevărate. Tot astfel în faţa fiecărei consecinţe adevărate , în faţa fiecărei propoziţii deduse punem semnul "f-" pentru a arăta că este adevărată . 2.01 1- : p ::> "" p • ::> "'" p ��

Dacă o propoziţie implică propria sa falsitate , atunci este falsă. Principiul reductio ad absurdum .

ea

Dem.17

� PJ 1- : [ Taut -;;

[(1) . (1 .01 ) ] f-

2.02

f- : q

Dem. [Add :'IJ

p V ...... p ::> • '" P

"'-'

::>

( 1)

:

•P

p ::> ::>

p

. ",

. ::> .

P

'"

q

(1 )

1- : q . ::> . "" p V q ::>

1- : q .

[(1 ) . (1 . 01) ]

.

P ::> q

O propoziţie adevărată q este impl icată propoziţie p .

2 . 03

f- : p ::> ...... q .

Dem. [Perm

� p, p,

[(1 ) . (1 .01) ] 17

-

q

]

::::J

q

::::>

"'-'

P

f- :

"-'

p V "'" q .

f- : p ::>

'"

q.

q

::::>

de OrIcare

::::>

q ::>

......

""

qV

"'-'

p

(1)

P

l nsemnăm cu "Dem", p e scurt , "dem onstraţia" .

59


Logica polivalentif

2 .04

1- : . p

.

::::>

::::>

q ::::> r :

q

:

::::>

p ::::> r

Dem.

[Assoc ;: :J -

f- :

p V (--- q V r)

. ::::>

f- : . p

q

(1)

'""'- q V ( --- P V r)

.

( ( 1) . (1 . 01 ) ]

::::>

.

::::>

::::>

r :

: q.

::::>

P ::::> r

Propozi ţ ia 2 . 04 este extrem de importantă . Ea se mai numeşte ş i "principiul comutativ" ("Comm") şi arată că dacă q implică ,., presupunînd p adevărat, atunci p implică ,. dacă q este adevărat. 2 . OS

::::>

1- : . q

,.

::::>

:

p ::::> q

. ::::>

::::>

r

'" p V q

.

::::>

p

p

Dem .

[ Sum /J

f- : . q

[(1) . ( 1 .01 ) ]

f- : . q ::::> r .

2 .06

f- : . p

::::>

q .

::::> ,. . ::::>

::::>

:

q ::::>

Dem.

[ Comm

q ::>r , p ::> q, ,, ::>r p,

P

[2 . 05]

:::l

,.

::::>

]

::::>

r : . ::::> : . p

f- : . q ::::>

[(1) , (2) ]

r

q,

::::>

:

:

:

,.

p

::::>

. ::::>

f-

q . ::::>

: : q ::::> "

q . ::::> : q

p ::::> q.

::::>

---

( 1)

pV r

::::> ,.

::::> ,.

P

::::>

p

. ::::> ,.

: p ::::> q . ::::>

. ::::>

::::> ,.

P ::::>

,.

(1) (2)

1 - : · p ::::> q · ::::> : q ::::> " · ::::> · p ::::> "

Ultimul rînd din demonstraţie se obţine prin inferenţă (modus ponens) din prem i sa (2) pe baza formulei adevă­ rate (1) . A mîndouă propoziţiile de mai sus, 2 .05 şi 2 .0 6 , sînt nu mite "principiul silogis mului" (pe scurt " Syll" ) , deoarece silogismul în Barbara derivă din ele. 60


3.5. Consecinţe imediate

:! .Oi

f-- : p

' ::>

[ �J

, PVp

Dem. 1 . 3

De monstraţia înseamnă : în propoziţia 1 . 3 se înlocuieşte cu p şi se capătă exact rezultatul . In continuare , de monstraţiile vor fi , de asemenea, prescurtate , indicînd doar principalele teoreme folosite �i substituţiile mai importante. Lectorul le va putea astfel reconstitui cu uşurinţă. q

2.08

1- , p

::> p

Dem .

[2.05

pVp, p . Taut , 2 .07 q, r

]

o propoziţie se implică singură. Această teore m ă · nu este principiul identităţii. Ea poartă numele de "legea identităţii" ("Id" ) .

2. 1

f-- , "'-' p V p

Dem . [Id . (1 . 01)] 2.11

f-- , p V "'-' p

Dem. [2 .1, Perm)

Cele două teoreme reprezintă principiul terţiului exclus : orice propoziţie este adevărată sau falsă . 2 .12

f-- . p

::>

"'-'

Dem.

[2.11 �JP 2.13

, 1 .0 1

('"'" p)

J

1- · p V ", {"'-' ( ....., pH

Dem.

[ Su m

-

Il,

q,

-

{- ( - r) } , 2 . 1 2 r

- TI ,

p

2 . 11

J 61


Logica polivalentă

2.14

f- . ",-, (

Dem.

[Perm

"'-

p ) => p

:

- ( - - Il) }

2 . 13

,

,

1 .01

]

Teoremele 2 .12 şi 2 .14 reprezintă cele două forme ale principiului dublei negaţii. De monstraţiile teoremelor care urmează se pot face urmînd aceleaşi metode ca pînă acum , aşa încît , de aici încolo, le vom omite1B• 2.15

1- : ""' p => q . => . ""' q => p

2.16

1- : p => q . => . "", q => ""' p

2:1 '7

1- : "'" q => ,....,. p. => . p => q

Teoremele 2 .03, 2 .15, 2 .16 şi 2 .17 sînt for me ale princi­ piului transpoziţiei. Ele arată că dacă o implicaţie este adevărată atunci este adevărată şi i mplicaţia inversă, obţinută transportînd termenii unul în locul altuia şi s chi mbîndu-le semnele . 2.18

1- : ""'" p => p. => . p

Această propoziţie este co mple mentară principiului reductiQ ad absurdum. Ea afirmă că o propoziţie care urmează din propria ei falsitate este adevărată. 2 .2

1- : p . => · p V q

2.21

f- : "'" p . =>

p => q

1 8 C ititor u l poate însă verifica, constru ind m a t ricea de adevăr a teoremei respective p e baza indicaţiilor date Î n * 3 . 1 4 , că a ceasta e s t e o "tau t o l o gie" , a d ică o r icare ar f i valo r ile d e adevăr ale variabilelor prop o z i ţionale v a l o area sa este A . Dar s-a arătat că in acest caz e a p o a te fi demons trată î n s is temul l u i \Vhitehead şi Russel l .

62


3.5. Consecinţe imediate

� : p . � . "'- p � q 2.25 1- : · P : V : p V q . � . p 2.24

2.26

1- : . "" p : V :p � q . � . q

� :. p . � : p � q . � . q 2.3 � : P v (q V r) . � . p V ( r V q) 2.31 � : p V (q V r ) . � . ( p V q) V r 2.27

� : (p V q) v r . � . p V (q V r) Propoziţiile 2 . 3 , 2.31, 2 .32 exprimă legea asociativităţii pentru adiţia logică a propoz iţiilor.

2.32

p V q V r . = · ( p V q) V r Df· Această definiţie priveşte numai parantezele , care , după cu m se vede , pot fi desfiinţate sau introduse într-o disiwlC­ ţie logică , fără a modifica ceva. 2.33

� :. q � r . � : p Vq . � . rVp 2.37 1 - : . q � r . � : q V p . � . p V r 2.38 � : . q � r . � : q V p . � . r V p 2.36

Aceste uIti me trei teoreme spun că , dacă o impli­ caţie este adevărată, atunci ea ră mîne adevărată dacă se adună logic la me mbrii ci o propoziţie oarecare p . 2.4

1- : . p . V . p V q � , p V q

2.41

.

. q . V · P Vq: � · pV q

1- . . ""'p . V · p � q : � . p � q 2.43 � : . p . � . p � q : � . p � q

2.42

"" ( p V q ) . � "" P 2.46 � : "'- (p V q) . � . "'-' q 2 .47 � : "'-' ( p V q) . � . "'-' p V q 2.48 � : "" (p V q) . � . p V "" q 2.45

:

63


Logica polivalenti1

2.49

f-- :

2.5 2.51

1- : f-- :

2.52

f-- :

(p V q) . :::> . ,,- P V '" q

"-

( p :::> q) . :::>

'"

(p :::> q) . :::> P :::> '" q

'"

(p :::> q) :::> . ...... p :::>

""

p :::> q

q

2 . 521 1- : ,..., (p :::> q) . :::> . q :::> p

P :::> q

2.53

t-- : p V q . :::>

2.54

f-- :

2.55

1- : . "'-' p . :::> : p V q :::>

2 . 56

1- : .

"'-

q . :::> : p V q . :::> . p

2.6

f-- : .

......

p :::> q . :::> : p :::> q . :::> . q

2 .61

1- : . p

2 .62

f-- : . p V q . :::> : p :::> q . :::> q

"-

p :::> q . :::>

PVq •

:::>

q

q :, : "- p' :::> q . :::> . q •

2.621 f-- : . p :::> q . :::> : p V q :::> q •

2 .63

f-- : . p V q . :::> : ......, p V q . :::> q

2 .64

1- : · p V q :::> : p V ...... q . :::> . p

2.65

f-- : . p :::> q

2.67

f-- : . p V q .

2.68

f-- : . p

2.69

1 - : . p :::> q . :::>

2 .73

f-- : . p :::> q .

2.74

1- : · q :::> p . :::> : p V q V r · :::> . P v r

2 . 75

f-- : : p V q . :::> : . p . V . q :::> r : :::> . p V r

2 .76

f-- : . p . V . q :::> r : :::> : p V q . :::> . p V r

2.77

1- : . p . :::> . q :::> r :

2.8

f-- : . q V r . :::> : '"'- r V s . :::> . q V s

64

:::>

q .

:::> :::> :::>

:::>

:

p :::> ......, q :::> •

p

q : :::> p :::> q

q : :::> . P V q q : :::> : q :::> p .

:::>

P

: p V q V r . :::> q V r •

:::>

: p :::> q .

:::>

P :::> r


3.6. Produsul logic a două propoziţii

2.8 1

1- : : q . => . r => s : => :. p V q . => : p V r . => . p V s 2.82 1 - : . p V q V r . => : p V "" r V s . => . p V q V s 2.83 � : : p . => q => r : => :. p => r => s : => : p => q => s •

2.85 � : . p V q => p V r : => : p V . q => r 2.86 1 - : . p => q => p => s : => : p => . q => s •

*

3.6. Produsul logic a două propoziţii

Am văzut că produsul logic a două propoziţii p şi q conjuncţia logică - inseamnă că "p şi q sînt amîndouă adevărate". Russell nu ia această legătură dintre propoziţii ca propoziţie primitivă , ci o defineşte cu ajutorul disjunc­ ţiei logice :

. "-' ("'-' p V "'-' q)

Df. Principalele teore me ale acestui paragraf sînt următoa­ rele : 3.01

p .q

=

� : p . q . => . "-' ("'-' p V "-' q) 3.11 1 "'-' ( "'-' p V "'-' q) => P . q

3.1

3.12 3.13

",-, p . V · "'-' q · V · p · q 1 - : '" (p . q) => "'-' P V '" q

f--

3.2

� : "'-' p V "'" q => "- (p . q) f-- : . p => : q => P q

3.21

� :. q . => : p . => . p q

3.22

� : p . q . => . q . p

3.14

Propoziţia aceasta exprimă legea co mutativităţii pentru produsul logic. 3.24 � . "'-' (p

"-'

p) 65


Logica polivalentă

Propoziţia aceasta expri mă principiul contradicţiei : este fals că o propoziţie este adevărată şi în acelaşi timp falsă.

P

3.26

f--- : p . q �

3.27

f--- : p . q . � . q

.

Teore mele 3 .26 şi 3 .27 se nu m e s c "princi p i ul de ficare" , la fel cu 2 .02 , din care au fost deduse .

si mpli­

1 - : . p . q . � . r : � : p ::> q ::> r Această teoremă spune : dacă p şi q i m p l i c ă î mpreună r , atunci p i m p l ică "q i mplică r" . Pe ano a nu m i t a c e s t prin­ cipiu "exportar e " , deoare ce q este scos ( e x por t at ) d i n pro­ dusul p . q.

3.3

3.31

.

f--- : . p . ::> . q ::> r : ::> : p . q . ::> . r

Teore ma a c e a s t a e corelatiyu p re c e d c nt e i j Peano o n u m e ş ­ " i mportare " .

te

3 .33 3.3�

1- : p � q . q � r . ::> . P ::> r 1- : q � r . p ::> q . � . p � r

Teore m e l e

3.35

3 .33

f--- : p . p

3 .3'1

şi

sînt e xpre s i i a l e

s i l ogi s mulu i .

q .�.q

D a c ă p e s t e adevărat şi în acelaşi t i m p p i m p l i c ă q, a t un c i q e s t e adevărat . Acest principiu va fi numit al aser­ ţiun i i . El e s t e d iferit de inferenţă ( 1 . 1 ) , deoarece aici "p este adevărat" e s t e i p o te t i c ("dae ă") , p c cînd în inferenţă p e s t e ad evărat de fap t .

3.37

f--- : . p . q . ::>

r

: � : p . ...... r . � . ......, q

Teorem a e s t c o a l t ă for m ă a principiului transpoziţiei.

3.4

1-

3.41

1- :. p

3.42

f--- : . q ::> r . � : p . q . � . r

3 .43

f--- : . p ::> q . p ::> r . ::> : p . ::> . q . r

66

:

p . q . ::> . p ::> q �

r

.� : p .q .�

r


3.7.

Echivalenţ.l

Dacă o propoziţie implică fiecare din alte douii propo­ ziţii, ea implică produsul lor logic. Pe ano a numit acest principiu al ,.compoziţiei".

3.44

f- : . q � p . r � p . � : q V r . � . p

Teorema aceasta e analogii cu 3.43.

3.45

1- : . p

q

: p .r .�.q r •

Principiul acesta arată că se pot "multiplica" logic ambii me mbri ai unei implicaţii şi căpătă m tot o impli­ caţie adevărată dacă prima este adevărată . Tot astfel se putea - cu m am văzut într-o teoremă precedentă ( 1 .6) să se adune logic o propoziţie la cei doi membri ai unci i mplicaţi i . Principiul este nu mit d e Peano "al factorului" . -

3 . 47

f- : . p � r . q � 8 . � : p . q . � . r . 8

Dacă p i mplică r şi q implică 8 , atunci p ŞI q împreună implică r şi 8 î mpreună . Această propoziţie fusese demonstrată încii de Leibniz (pentru c lase , nu pentru propoziţii) , care o numlse "p rae­ clarum theorema" .

3 . 48

f- : . p � r . q � 8 . � : p V q . � . r V s

Teore m a ace asta este analogă c u 3.47, unde se întrebuin­ ţează sume în loc de produs .

*

3.7. Echivalenta

Am întîlni t echivalenţa cînd am vorbit de functii de adevăr. Am văzut că două propoziţii sînt echiv� lente cînd au aceeaşi valoare de adevăr. Si mbolic :

p=q Acest lucru, după cum este evid�nt, nu se întî mplă decît dacă a mîndouă propoziţiile sînt simultan ade\-ârate sau simultan false . De aici rezultă că dacă prima este ade61


Logica polivalentă

vărată, a doua este adevărată şi dacă a doua este adevărată, prima este adevărată ; cu alte cuvinte p implică q ş i simul­ tan q implică p. Ceea ce l-a condus pe Russell să definească echivalenţa prin două implicaţii simultane1o•

4 .01 P = q = . p � q q � p D f· De aici mai urmează că în cazul cînd două propoziţii sînt echivalente se poate substitui una cu cealaltă fără a altera valoarea de adevăr a for mulei în care se face sub­ stituţia . Teoremele următoare sînt de reţinut : •

4. 1

1- : p � q - . ''-' q � '" P

4.11

1- : p = q . = . '" p = '" q

Aceste două teoreme sînt forme ale principiului trans­ poziţiei.

4.12

1- : p = ......, q . = . q == '" P

4.13

� . p = '" ('" p)

Teorema 4.13 e legea dublei negaţii : o propoziţie este echivalentă cu negaţia negaţiei ei. �

4.15

. r : = : p . '" r . 1- : . p . q . � . ,...., r : = : q . r .

4.2

1- . p

4.21

1- : p === q . ===

4 . 14

1- :. p . q . ::=

. '" q

� .

'" P

p •

q === P

4.22

1- : p = q . q = r . � . p = r 4. 24 � : p . = . p . P 4.25 1- : p . = . p V p Ultimele două teoreme exprimă "legea tautologiei" : p este echivalent cu "p sau p" sau cu " p şi p" . în această 1 8 Principia Malhemalica. voI . 1, p . 1 2 0 .


3.7. Echivalenta

diferenţă stă deosebirea fundamentală Între algebra logicii iÎmbolice şi algebra obişnuită . ... 3

1- : p . q = . q .

.. . 31

1- : p V q .

::::::::;

P

qV p

Aici, în 4.3 şi 4.31, avem exprimată complet legea comu­ tativităţii pentru produsul şi suma logică, pe cînd în 3.22 şi 1.4 această lege era exprimată incomplet (printr-o singură implicaţie) . 1 - : (p q)

4. 33

1- : (p V q) V r . = . p V ( q V r)

r. =.p

( q . r)

4.32

Propoziţiile 4.32 şi 4.33 exprimă �complet legea aSOCIa"! tivităţii produsului şi respectiv a sumei logice. 4.34

p. q. r.

=

.

(p

q)

r

Df.

Aceasta din urmă este o definiţie folosită la eliminarea parantezelor. ::>

:

p

::>

:

pV r = . qV r

r =. q. r

4.36

f-- :. p = q

4 . 37

f-- :. p = q

4.38

f-- : . p = r . q = s

4.39

f-- : . p = r . q = s . :::> : p V q . = . r V s

4.4

f-- :. p

:::>

qV r . = : p

: p.q.=. r.s q .V p •

r

Propoziţia aceasta (ultimă) exprimă prima formă a legii distributivităţii. Ea seamănă cu operaţia algebrică : p (q + r) 4.4 1

=

p . q + p . r.

f-- : . p. V . q . r : = . p V q . p V r

Aceasta este a doua formă a legii distributivităţii, în raport cu semnul " V ". Nu are corespondent algebric. 69


Logica polivalentll

4 . 42

1- : . p . ==:: : p . q . V . p . ...... q

4.43

1- : . p . :::= : p V q . p V "-' q

4. 4 4

I

4.45

1- : p . -= . p . p V q

1-

:. p . = : p ·V· p . q

Următoarele formule găsi t e de De Morgan.

sînt

corespunzătoare

4.5

� : p . q . :::.::: . ...... (""'- p V '""'-' q)

4.61

f-- :

4.52

1 -- : p . '""-' q . ::::::: .

4.5 ::3

f-- :

'"'"'

( p . '""'-' q) . :::.::: . '"'"' p V q

4.5 4

� :

......

p

4.55

1- :

'"

( ...... p . q) .

4.56

1- :

""'-

p . �� q .

4.57

f-- :

'"'"'

("" p . ...... q)

......

unor

legi

(p . q) . ::= . ...... p V "-' q

. q

==

.

.

( '"'- p V q)

'""-'

......

(p V

=

. pV

==

'""-'

q)

"-'

q

. '"'- (p V q) •

==

. pV q

Formulele care urmează se obtin din cele de m ai sus i me d i a t . Ele arată cum se pot 'transform a i m p l ica ţiile in s u m e sau în n egaţii de produse l o g i c e . =>

==

. "'"' p V q

4.6

f-- : p

4.61

� : ....... (p

4.62

f-- : p

4 . 63

f-- :

"-'

(p => -- q) . = . p

4.64

1- :

......

p

4.65

� : ,....., ( '""-' p

4.66

f-- : ,....., p

70

=>

q.

=>

""�

=>

=>

q) .

==

q. =.

q

.......

p V ,....., q •

q

= . pV q

=>

......

. p . ,....., q

q) .

:=

. ,....., p . ...... q

q = . p V "-' q •


3.7. Echivalenţa

�.67

1- : "" ( ..... p ::> ...... q) . == . "" p . q

�. 7

f- : . p ::> q . = : p

;.71

1- : . p

::>

.

::> . P . q

q . == : p . == . p . q

Âceastă ultimă propoziţie este foarte întrebuinţat ă . Ea îngădui e să transformăm oricare implicaţie logică i ntr- o echivalenţă, ceea ce - scrie Russel l - are avanta­ j ul de a asimila, pe cît se poate, logica simbolică cu algebra20• ne

4.7 2 �.7'....� �

1 -- : . p

L :, q . ,

::>

q .

::>

=

: q . = . pVq

: p. = . p . q

Această teoremă este deosebit de i mportantă deoarece arată că un factor adevărat poate fi omis dintr-un produs fără a a ltera valoarea de adevăr a produsului. = .

4.74

f-' : . "" p . ::> : q .

4.76

f- : . p ::> q . p ::> r . = : p . ::> . q . r

4.77

f- : . q

4.78 4.79 4. 8

pVq

::>

p . r ::> p . = : q V r . ::> . P 1 - : . p ::> q . V . P ::J r : = : p . ::J . q V r

f- :. q ::J P . V . r ::::> p : = : q . r . ::J . P f- : p ::> "" p . = . P .... J

4.82

f- : "'" p ::> P . = . P f- : p ::J q . P ::J ,..... q . = . ,..... P

4.83

f- : p ::> q . "" p ::> q . = . q

4.84

1- : . p = q .

4.85

1- : . p = q . ::J : r

4.81

::>

: p ::> r . = . q ::> r ::>

p . = . r:::> q

2 0 Principia Mathematica, voI . 1 , p .

1 26.

71


Logica polivalentii

4.86 4.87

1- : . p = q . :::) : p = r . == . q = r 1 - : . p . q . :::) . r : = : p . :::) . q :::) r : :::= : q . :::) . p :::) r : ;::=: : q . p . :::) . r

Acest ultim principiu include principiile de exportare, importare şi legea comutativităţii.

*

3.8. Propoziţii diverse

5.12

1- : p . q . :::) p = q f-- : p :::) q . V · ,....".. p :::) q 1- : p :::) q . v . p :::) "'" q

5 .13

f-- : p

q .v. q

:::)

P

5.14

f-- : p :::) q . v . q

:::)

r

5.15

1- : p = q V . p ::::::: "'"

5.16

f-- . --..., (p

5.1 5.11

:::)

::::;;::

q. p

=

q

...... q)

Nu este adevărat că p este echivalent cu q şi în acelaşi t i m p p este echivalent cu '" q .

5.18

1- : p V q · '" (p . q) . :::= . p ;::=: '" q f-- : p = q = . '" (p == '" q)

5.19

f-- . '" (p = ,......" p)

5.17

f-- : '" p . "" q . :::) . p = q f-- : . "" (p == q) . = : p . ...... q V . q . ,......" P 5.23 f-- : . p = q . ;::=: : p . q V . '" p . '" q 5.24 1-- : . ,......" (p . q . V . '" p . '" q) . == : p . "-' q . V · q . "" P 5.25 f-- : . p V q = : p :::) q :::) . q 5.21

5.22

Propoziţia aceasta arată că am fi putut lua implicaţia ca o idee primitivă deoarece disjuncţia poate fi exprimată cu aj utorul ei. 72


3.8. Propozitii di'l:erse

Russell nu a procedat aşa, fiindcă în cazul acesta ar fi avut nevoie de mai multe propoziţii primitive.

5.3 5.31

1 - : . p . q . :J . r : = : p . q . :J . P . r 1- : . r . p :J q : :J : p . :J . q . r

5.32

r-- : . p

5.33

r-- : . p . q

5.35

1-- : . p :J q . P :J r .

5.36

1- : p . p

. :J .

q=r : - : p. q . =. p . r

:J

=

:J .

r. = : p : p . q . :J

p .

:

q. =. q . p

:J .

q

r

_

q

5.41

1- : . p :J . P :J q : = . p :J q r-- : . p :J q :J . P :J r : = : p .

5.42

r-- : : p .

5.44

r-- : : p

::J

5.5

r-- : . p

. ::J

:p

5.501 r-- : . p

. ::J

:q.=. p=q

5.4

r

.

:J .

.

::J .

q .

q

::J

::J

:

::J

r

:

= :. p

. p ::J r .

. ::J :

==

q :J r

. ::J .

q

r

: p . ::J . q . r

q .= . q

5.53

r-- : . p V q V r . :J . s :

5.5 4

1- : . p . q

= . p :V : p . q .

==

.q

5 . 55

1- : . p V q . = . p : V : pV q .

=

.q

5.6 5.61

1- : . p . "-' q . :J . r :

:J .

5.63

1- : . p V q .

5. 7

r-- : . p V r . = . q V r

5.71

r-- : . q :J "" r .

5.74

1- : . p . ::J . q = r

:

5.75

r-- : . r :J "" q : p .

==

.

P .

=

_

:

p ::J s . q ::J s . r ::J s

:p.

qV;

r-- : p V q . "-' q . = . p . '" q 5 . 62 r-- : . p . q . V . '" q : == . p V '" q =

:

p . V . "-' p . q

:J :

:

= : r .V · p = q

p Vq . r . = = : p :J q .

qV r

p . r

.

.

= . P ::J r

: ::J :

p . ......, q

.

= .r 73


B.

Calculul

cu funcţii

* 3.9. Funcţii propoziţionale În capitolul pre ce d e nt am tratat propoziţiile c a pe niş t e între gi , fără a ne interesa dacă a u sau nu o s tructură in­ terioară şi care p o a t e fi ea. Vom considera a cum , şi a ceastă s t ru ctură în calculul care p oartă numele , în

Principia Mathematica, d e "calculul funcţiilor propozi­ ţionale". Numele acestei p ărţi a l ogicii derivă din con­ ceptul fundamental de funcţie propoziţională, p c care îl vom e xp licita în c e l e ce urm eaz ă21. Fie , spre exemplu, propoziţia "Socrate este muritor". In calculul propoziţional a m fi simbolizat-o prin l itera p, deoarece este o propoziţie simplă ( nu include m ai multe A

propoziţii ) . Ceea ce nu sp une nimic c u privire l a alcătui­ rea sa. Ea este alcătuită dintr-un subie ct şi un pre di cat s a u , m ai general , dintr-un i n d ivi d , "Socrate", şi o pro­ prietate , "muritor", şi afirmă că individul are această proprietat e . Dar ş i " P laton e s t e m uritor", ş i "Aristotel e s t e muritor" e t c . ; propoziţii cu a ce e a şi formă, doar individul diferă. Dacă îl notăm în general cu x, forma comună a t uturor a cestora va fi " x este

murit or"

Cum x este considerat aici ca un individ varia b i l , expre­ sia n u mai reprezintă o propoziţie, ci doar un simplu crochiu, .. , u n vas destinat a primi o semnificaţi e22• Russell o numeşte funcţie propoziţional ă , iar pe x - argu­ mentul funcţiei propoziţionale23. 2 1 î n l u crarea l o r , Grundlagen der Nlathematik , voI . I ( 1 934) , Hilbert şi Bernsys l-au num it calcul cu p red icate, ut ilizînd pen tru ceea ce n u m im a ic i funcţie propoz iţională denum irea u e predica t . 2 2 B . Russell, Introduction to mathematical phi losophy, tra d . franceză , p . 1 8 8 . 23 Iată c e scriu autorii Principi i lor : " P r intr-o funcţie p ro p o ­

ziţională înţelegem ceva c a r e c o n ţ ine o variab i lă x ş i exprimă o prop oziţie de îndată ce lui x i se a tribuie o valoare" ( p . l.1 ) .

74


3.9. Funcţii propoziţiona.le

Imprumutînd simbolismul matematic şi notînd cu f proprietatea ("muritor") , e xpresia va putea fi reprezen­ t a t ă p rin

r (x)

.. j

s e va citi " x are proprietatea f" sau pur şi simplu "x .. ste r. Cît eodată privim şi proprietatea ca pe ceva varia­

�)il, putînd lua diverse valori : muritor, raţional etc. _-\tunci utilizăm pentru notare a e i literele alfabe t ului :;recesc cp, y, X, . . . ? (x) Y H reprezenta t o t " x arc proprietatea cp " , însă nici _r şi n i ci ? nu sînt determinat e . O pro p oziţie p o a t e fi adevărată sau falsă. O funcţie propoziţională poate deveni o propoziţie - şi prin aceasta adevărată sau falsă - cînd argumentul x şi proprietatea q:> c a p ă t ă valori determinate . Vom nota, pentru a face distincţie, valorile detel minate pe eare le poat e lua al'gument ul prin a,

b,

c. . .

I ar celc p e care l e poate lua

r,

g,

cp

prm

It . . .

Spre deosebire d e acest e a , x,

y,

z. . .

vor reprezenta indivizi variabili, Iar cp ,

y,

X· . .

proprietăţi variabile. Intr-o funcţie propoziţiona iă determ inată f (x) spre exemplu " x este muritor" - , argumentul poate lua va­ lori pentru care aceasta dev ine o propoziţie adevărată (de exemplu x = Aristotel ) , valori pentru care ea devine o propoz iţie falsă (de exemplu x = Prometeu) , dar în n i c i un eaz valori pentru eare eăpătăm o simplă înşiruire de cuvinte fără sens j de pildă "numărul şapte este muritor" (pentru x = numărul şapte) . Adică trebu i e să ne limităm -

75


Logica polivalentil

la acele valori ale argumentului care o fac să devină o propoziţie cu sens . Acestea formează "domeniul" funcţiei propoziţionale24• Un alt mod de a transforma o funcţie propoziţională dată "f( x) " într-o propoziţie (care poate fi adevărată sau falsă) este cuantificarea , şi anume cuantificarea uniIJer8ală sau generală şi cuantificarea p articulară sau exi8ten­ ţială . Prima se aplică cînd vrem să exprimăm faptul că funcţia devine o propoziţie adevărată pentru fiecare d in indivizii domeniului său , să z icem : a, b, c. . . Pentru aceasta vom SCrle : (x) . f ( x) , ceea ce înseamnă "f(x) pentru toţi x" sau "f(x) întotdeauna". Adică f (a) , f ( b) , f (c) sînt toate adevărate . Cînd sînt în număr finit, aceasta echivalează cu . . .

f (a) . f ( b) . f ( c) . . . asa cum rezultă din modul în care am definit conjuncţia l � gică . Semnul (x) pus în faţa funcţiei ca să indice această transformare se numeşte cuantificatorul uniIJer8al. Cînd cel puţin una din propoziţiile f (a) , f ( b) , f (c) . este adevărată, adică pentru cazul finit cînd . .

f (a) V f (b) V f (c) V . . . Vom scrIe : (3 x) . f ( x) , ceea ce înseamnă evident că "există cel p uţin un care f (x)" sau "f ( x) uneori".

x

pentru

2' Frege asimilează funcţia propoziţională ((x) , unde x poate lua numai valori d in domeniu , cu conceptul. Mulţimea indivi­ zilor a , b, c astfel Încît ((a) , f(b) , ((c) . . să f ie toate p ropoz iţii adevărate formează extensiunea conceptulu i (Grundgesetze der Arithmetik, v o I . 1, Jena, 1 893, § 3) . . . .

76

.


3.10. Idei primitive

Cuantificatorul (3 x) se numeşte existenţial sau p arti­ cular25• Astfel (x) . f (x) şi (3 x) . f (x) nu mai reprezintă n işte funcţii propoziţionale , ci nişte propoziţii . Frin urmare , deşi notat ca o variabilă, x nu mai reprezintă aşa ceva . Acelaşi lucru se petrece în matematică , unde integrala definită

�: f (x) dx este un număr şi nu o funcţie de x . De acee a , în asemenea cazur i , x se mai numeşte variabilă ap arentă sau legată. într-o funcţie propoziţională , f (x) , intervine însă o varia­ bilă reală sau liberă.

*

3.10. Idei primitive

După cum am văzut , calculul cu funcţii se constituie prin analiza mai adîncită a structuri i propoziţiilor , astfel încît e l nu exclude analiza făcută de calculul propozi­ ţiona l , c i , dimpotriv ă , şi-o incorporează în mod natural . î n consecinţă, ide ile primitive de l a care pleacă primul ( *3 .2) sint aici îmbogăţite . Le vom urmări din nou pe toate pentru a avea în faţă un tablou complet al lor . i . Prop oziţii elemer:ttare . Ele apar de fapt în ca1cul sub forma unor variabile c� pot lua drept valori propoziţii elementare . Aceste variablle sînt fie ca în calculul pro25 în logică - după canti tatea sub care este luat subiectul prop o z iţiile se împart în tre i categorii : 1 . singtdare : în care sub iectul este format d intr-un individ singular (de e x . "Aris t o t e l este muritor" ) ; 2 . universale : în care subiec tul este format d in toti indiviz i i u n e i anumite clase ( d e e x . "toţi oamenii sînt muritor i") ; 3 . particulare : în care subiectul este format d intr-o parte a ind iviz ilor u n e i anumite clase (de ex . "unii oamen i sînt muritori") . Analogia d intre acestea § i t ipurile de propoziţii ce se p ot o bţine d intr-o fu ncţie propoz iţiOlfal ă dată este transparentă.

77


[,ogica polivalentă

poziţional , p , q, r etc . , fie cpx, \)Ix, Xx, e tc .28, care , după cum am văzut în * 3 . 9 , reprezintă funcţii propoziţionale variabile ş i iau drept valori tot propozIţi i . Vom num i , după exemplul autorilor mai no i , orice expresie c u care operează calculul nostru , formulă . În a cest sens toate propoziţiile elementare sînt formule . 2 . Negaţia oricăre i formule , notată ca ş i în calculul propoziţiona l prin punerea în fa��ă a semnului "', este tot o formul ă . Am expl icat deja , În calculul propoziţiona l , care e s t e semnificaţia e i . 3 . D lsjuncţia a două formule (notată V ) este , de ase­ menea , formulă . 4 . Cuantificarea . În sfîrşit, dacă într-o formulă apare o variabilă de indivizi , spre exemplu x, reală sau liberă (vedeţi * 3 .9) - formula putînd fi scrisă atunci sub forma A ( x) -, înseamnă că ea e s te o funcţie propoziţiona) ă avînd drept argument pe x. Aşa , de pildă , p V cpx. In acest caz variabila respectivă poate f i cuantificată într-unul din cele două moduri . Ad ică tol. formule vor fj considerate ( x)

A

(x) şi (3 x) A (x) .

Inţe lesul lor este , po trivit cu înţe lesul celor doi c uant i­ ficator i , "pentru toţi x , A (x)" , şi respectiv "există unii x pentru care A ( x )"27 . O bservaţie . Ap l icînd de două ori operaţia de cuantifi­ care , s e poate ivi următoarea situaţie : formula A ( x) să conţină deja un cuantificator pentru variabila x , ca tn cazu l

( x) . �x V . cp x .

(1 )

Dacă am cuantifica acum variabila liberă x din membrul doi al disjuncţiei , spre exemplu cu cuantificatorul parti­ cular ( 3 x) ( 3 x) : ( x) . �x . V . cpx, 26 Pentru s i m p l ificare vom e l i m in a p ara n t eze le d i n scrierea func ţ i i l ol' propoziţionale în loc de 'll (x) punînd 'll x . 2 7 Formula A ( x) se numeşte în a c e s t c a z domenittl (de acţiune) al cuantificatoru l u i ( x) , respectiv ( � x) .

78


3 . 1 1 . Propoziţii primitive

nu am şti la care d in ce i doi x se referă acest cuantificator . Evităm această confuzie posibilă schimbînd cu y notaţia variabilei x legate sau a cele i l ibere d in (1) . At unc i for­ mu la obţinută în final va fi :

(3 x ) : ( y)

.

O/Y . V . � x

Ş I m C I o confuz ie nu mai este posibilă . Se presupune de obice i că toate formulele s înt construite În fe lul a cesta . Cu aj utorul idei lor primitive de mai sus , exact ca în calculul propoziţional , se pot defini conjuncţia, ilupli­ caţia ş i echivalenţa28 • Adică

=

.

"""'-' ( """'-' p V '" q)

Df·

- conjuncţia :

p . q

- implicaţia :

p -:J q . = . "' p V q

Df·

- echiva lenţa :

p = q . = . p -:J q . q -:J p

Df·

.

Vom nota exact ca în calculul propoziţional despărţirea părţi lor unei formule prin puncte ş i vom util iza semnul de aserţiune "f--" pentru propoziţiile al căror adevăr este postulat (propoziţiile prim itive sau axiomele) sau a l căror adevăr a fos t demons trat (teoreme le) .

* 3.11. Propoziţii primitive Ca ş i calculul propoziţiona l , ce l cu funcţii p leacă de la o serie d e propoziţii primitive . Pe baza lor se demon­ strează apoi teoremele calculului . Mai întîi s e includ printre acestea toate propoz iţiile pri m itive ale calculului propoziţiona l . Prin urmare teore­ mele ce se puteau demonstra acolo se pot demonstra şi C u p r i v i r e 1 ", d d i n i ţ i e , i n g<' n c r a l , s e pot face ", i c i n i şt e f o a r te i n t eresa n l e . A s t fe l , d e ş i cons iderată t o t ca u n s i m b o l a h r C' v i a t i v , e a tre b u i e s ă îndeplinească a n u m i te c o nd i ţ i i . d e e x em p l u : v a r i a b i l e l e l ibere u t i l izate în definienrlum tre b u i e să "' p ară î n deriniens ( v e d e ţ i H. Reiehenbaeh, Elemenls of Symbolic Logic. l\'cw Y ork , 1 948 . pp . 1 20 - 1 2lo) . 29

o bser v a ţ i i

79


Logica polivalentli

aici . Dar , aşa cum vom vedea , acest lucru se va folosi drept ajutor, scopul fiind îndreptat spre demonstrarea unor formule mai complicat e . I n plus , calculul cu funcţi i porneşte d e l a următoarele propoziţii primitive , pe care le vom numerota în conti­ nuarea c e lor din calculul propoziţional : 1 .8

1- : (x)

rpx .

:::>

rpy

Aceasta afirmă că dacă proprietatea rp are loc întot­ deauna atunci are loc şi pentru fiecare individ y în part e . 1.9

1- : rp y

:::>

(3 x ) . rp x

Adică proprietatea rp care este valabilă pentru fiecare y în par t e este valabilă ş i pentru unii d intre e i . 1 . 10. Dacă A ş i B (x) s înt două formule , astfel încît var iabila de ind ivi z i liberă x să nu apară în A şi dacă A :::> B (x) este o propoziţie adevărată , atunci şi A :::> (x) B (x) este o propoziţie adevărată . Evident, aceasta are loc indiferent d e notaţia variabilei din B : x, y etc. Spre exemplu, deoarece (x) . rpx

:::>

rpy

este o propoziţie adevărată (1 .8) şi A , adică (x) . '(x, nu conţine variabila de indivizi y, atunci (x)

rpx

:::>

(y) . rpy

este o propoziţie adevărată , ceea ce, de altfe l , este evident. 1 .1 1 . Dacă A şi B (x) s înt două formule astfel încît variabila l iberă x să nu apară în A şi dacă B (x) :::> A este o propoziţie adevărat ă , atunci (3 x) B (x) :::> A este şi ea o propoziţie adevărat ă . Spre exemplu , din 1 . 9 rp y . :::> ( 3 x) . rpx •

se poate deduce

(3 y)

rpy

:::>

(3 x)

rpX29 .

28 J . I..ukasiewiez n u m e ş t e cele două regu l i , de introducere a c u an t ificatorilor.

80

1 .1 0

şi

1 .1 1 , regul ile


3.12. Consecinţele propoziţiilor primitive

*

3.1 2. Consecinţele propoziţiilor primitive

Ca şi în calculul propoz iţion a l , formul e l e adevărate a l e calculului c u funcţ i i se deduc utiliz înd propoz i ţ i i le s a le prim itive ş i reguli le de substituţie şi modus ponens . Substituţia era regula prin care d intr-o formulă adevă­ rată s e obţinea a l t ă formulă adevărată, inlocu ind in prima o variab i l ă , peste tot unde apăre a , printr-o form u l ă . Dar cum a i c i , spre deosebire de ca lculul propoziţIOn a l , apar m a i multe fe luri de var iab ile , vom avea m a i multe regul i d e sub stituţ i i ; pentru f i e care tip cîte una . i . Pentru !Jariabilele legate , care , dup ă cum am arătat , nu s înt propriu-z is n işte variab i l e , avem doar p o s ib il i ­ t a t e a de a le schi mba nota ţ i a : d in x î n y e t c . Vo m avea însă grij ă în ase menea cazuri s ă nu uti l izăm acelaşi sim­ bol cu al une i variab i l e l ibere ce apare în formula respec­ t ivă sau cu al une i varia b i l e de asemenea legate , dar care apare în domeniul de acţi une al cuantificatorul u i respectiv (vezi observaţia din *3 . 10) . Spre exe mp lu expre s ia :

(x) . ep x . V . epy " ep are l o c întotdeauna s au are loc p entru un y oarecare" e s t e e chivalentă (şi se va putea demonstra aceasta) c u

( x)

.

epx V epY l

"pentru toţi x sau epx are l o c sau ep are loc pentru un y o arecare" . Intr-adevăr , ambe l e exprimă proprietatea une i funcţ i i propoziţionale ep de a fi pentru t o ţ i sau măcar pentru un i i indivizi adevărată (de a n u fi întotdeauna fal s ă , adică contra d ic torie ) . Dacă am schimba însă notaţia variab i l e i l e gate x în y , p r i m a formulă

( y)

<py V . <py

va exprima evident aceeaşi proprietate (ea s e c iteşte la f e l ) . Pe cînd a doua

( Y)

.

<py V epy, 81


Logica polivalentă

ţinînd seama că tfJy V tfJy este acelaşi lucru cu �y, conform teoremei 4 . 25 d in calculul propoziţiona l , se m a i poate SCrIe ca : (y) . tfJy ş i reprezintă a l t ă proprietate a unei fun(' ţ i i p l op n i ţ l O ­ nale rp (de a f i întotdeauna adcvărat ă , de a nu f i n I cI­ odată fa Isă) . Prin urmare , astfe l scrise ,- formulele nu m a i sînt echi­ valente . Aceasta se datoreşte confuziei produse prin u t i l i­ zarea aceluiaş i s imbol pentru două variabile d istincte : y d in primul ş i din a l doilea termen al disjuncţiei tfJy V 9Y (unul f iind varIabilă legat ă , celălalt variabilă l iberă ) . C onfuzia a dus l a înlocuirea nelegitimă a acestei form ule cu rp y . 2 . Variabilele libere a m văzut c ă p o t f i î n general înlo­ cuite cu indiVIzi concre ţ i . Intrucit in c a l c u l u l de care ne ocupăm nu vom lua în considerare asr:menea indiviz i , rămîne ş i pentru e l e doar posibilitatea d e a le seh i m b a notaţia , cu aceleaşi rezerve ca î n cazul p r e c e d e n t . 3 . Variabilele propoziţionale p , q, r � t c . p o t f i înlocui t e prin formu [e a l e calculului c u pred icate , avînd gr ijă însă ca eventuale le variabile l ibere sau legate ce apar în aceste formule să nu fie notate la fel cu vreuna din variab ilele legate ale expre s i e i în care facem subs t i t uţ i a . De p i l dă , în (x) . 9x V p nu avem dreptul să înlocuim varIab i la propoziţională p cu �x sau cu (x) . � x , dar o putem în locui cu tjly sau cu (y) . �!J. Motivul este lesne dc înţe les . 4 . Funcţiile propoziţionale e lementare de form a 9 x , .� y e t c . pot f i substituite prin formule ale calculului cu pre­ d icate ce conţin var iab ila liberă x , respectiv y e t c . Iată u n exemplu d e c(' înseamnă o asemenea subst i­ tuţie . în expresia (x) : (3 y) . tJ? x V .-....- rpy se cere să ş e sub­ stituie funcţia propoziţională tfJX cu formula ( z) . � z V ljix. Cum această funcţie apare în expresia dată în două locuri - su1) forma rp x ş i sub forma rpy -, va trehui să o înlo82


3.12.

Consecinţele propoziţiilor primit ive

cuim în i iecare d in e l e . Subst itut ia ne m a i Cerc însă ca argumentul formu l e i pe care o int�oducem să corespundă, de f iecare dat ă , cu argumentul l u i 9. Dec i , prima apariţie a lu i 9 o vom înlocui cu : (z) . �z V �x, iar a doua cu : :) . �z V �y . Rez ultă ( x) : . (:3 y) : (z) . �z V ?'x . V . '" (z) . �z V �y Ca ş i în cazur ile anter ioare , treb u ie să ne păzim de confuz iile ce se p o t ivi . Dacă , spre exemp l u , formula de in locuit o scriam sub forma (y) . �yV � x , modificarea necesară de argument ar fi transformat-o în ( y) . �y V �y şi confuzia inevi tab ilă d i ntre primul y ( legat) ş i al d o i l C'a y (liber) ne-ar f i dus , ca Într-un exemplu precedent , la identificarea e i nejustifi caH'l cu (y) . � y . Pe l îngă substituţii , î n demonstraţi i vom m a i uti liza şi regula modus ponens : dacă A şi A :::> B s înt formule adevărate ale calcululu i cu f un cţ i i , B este , de asemene a , o formulă adevărat ă . S ă t recem acum la demonstrarea a cîtorva asemenea propoziţii adevăra te30•

1- : (x) .

TL

"Dacă

<il

9 ·7:

.

:::>

. ( :3 x) . 9x

are loc întotdeaun a , atun ci are

loc

s' i uneor i" .

Demonstratie . Prin subst i tutie în teorema 2 .05 ( Syll) a calculului p ropoz i ţ ional ol; ţinem :

[ Syll - -----.- ----- r;).'];] 1- : : (x) . 9x. :::> . 9Y : :::> (X) . 9X, 97f , ( 3X) . Il ,

q,

r

--

: . ? !I . :::> . ( :3 x) rpx . : :::> : (x) . rpx . :::> . ( 3 x) . (p .r . D i n aceas t ă formulă , prin regula modus ponens , uti l izînd p c r înd a xio m e l e 1 . 8 ş i i . 9 , găs i m teorema Ti .

(x) . rpx . :::= . (3 x) . "-' rpX31 Pcntru dl'monstraţie o vom Împ ărţ i în c e l e două imp l i ­ caţ i i , d i n care , după definiţia 4 . 0 1 , se com pune orice echivalenţă .

T2

f- :

30

"-'

Ord i n c :l , n ! l m er o t area şi d � m () n s t l'a ţ i a

lor

va f i e e a

d i n Hi lbert

�i Beroays, G'rulld !ugell cler .'Ha thrmn t i k , 1 , c d . a I I - a , 1 9 6 8 , § 4 . 31 (x) . (jl .Y r'· p r�z i n tii. n e ţ:!a ţ i a formu l e i ( .r) . ']l x ; a ci i � rl _

- [ ( x) . <p.r ) ,

d i n c a re , p e n tru s i m p l i f ic a r e ,

s-au

om i, paran t e z e l e .

83


Logica polivalentii

T2a

:J

r-- : """" (x) . rpx .

. (3 x) . ......., rpx

"Dacă este fal s că rp are loc intotdeauna , atunci există unii indivizi pentru care rp DU are loc" . • :J

. - (x) rpx "Dacă rp nu are loc pentru unii indiviz i , atunci este fals că rp are loc intotdeauna". T2b

r-- : (3 x)

rpx

'""

D em. T2a : . :J

1- : ......., rpy

. ( 3 x)

.......,

rpx

(1)

Aplicînd in ( 1 ) teorema de contrapoziţie 2.15 obţinem

r-- : ......., (3 x) . ...... rpx . :J . rp Y (2) Din (2) , aplicînd regula 1 .10 de introducere a cuanti­ ficatorului universal , rezu1tă : r-- : '"" (3 x) . "'-' rpx . :J . (y) . rpy Aceasta din urmă , prin contrapoziţie (teorema 2 .15) , dă r-- : ......., (y) rpy :J . ( 3 x) . ......., rpx ceea ce trebuia demonstrat . •

D em. T2b : Axioma 1 .8 prin teorema de contrapoziţie 2 .16 dă :

r-- : ......., rpy .

:J

. ......., (x)

rpx

(1)

Aplicînd în (1) regula de introducere a cuantificatorului particular 1 .1 1 obţinem :

r--

: (3 y) . ......., rpy

:J . '" (x)

rpx

c . c.t . d.

T2 , în conformitate cu teorema 4 . 1 2 , este echivalentă cu : T2 '

r-- :

'"

(3 x)

.......,

rpx

=

. (x) . rpx

Nu vom mai da demonstraţiile teoremelor ce urmează . Ele se fac p e aceleaşi principii cu cele expuse m a i SUS32• 32 Pentru detalii vedeţi Hi lbllr t

84

şi BerDays , op. cit.


3.12. Consecinţele propoziţiilor primitive

T3

� : '" (x) . '" tp x

=

.

(3 x)

qJ X

Teoremele 2 ' ş i 3 citite de la dreapta la stînga ne fur­ nizează exprimarea unui cuantificator - universal şi respectiv p articular - în funcţie de celălalt . T3 '

� :

'"

( 3x)

=

qJx .

.

( x)

'"

qJ X

Teoremele 2 şi 3 ' dau rezultatele obţinute prin negarea propoziţiei universale şi respectiv particulare . �egînd propoziţia universală afirmativă "toţi x sint �" , căpătăm , conform teoremei 2 , propoziţia particulară negativă "unii x nu sînt q/' ; negînd propoziţia particulară afirmativă "uni i x sînt qJ" , căpătăm propoziţia universală negativă "toţi x nu sînt qJ"33 . T4a � : . (x) . p ::J qJx ::J : p ::J . (x) . r.px; T4b f--- : . p ::J (x) . qJx : ::J (x) P ::J qJ x Ca urmare a ce lor două imp licaţii stab ilite de teoremele •

.la şi 4b , T4

f--- : . (x) . p ::J qJx . = : p . ::J . (x)

qJ x

Deci afirmaţia că o propoziţie dată implică pentru fiecare obiect că el are o proprietate dată , ş i afirmaţia că propoziţia noastră i mp lică faptul că toate obiectele au proprietatea respectivă , sînt unul şi acelaşi lucru. Este evident cum , astfel tratate , expresii complicate d in lim­ baju l curent îşi lămuresc pe depl in sr,nsul . T5

f--- : . (x) . p V qJx .

= :

p·. V . (x) . tp x

Este o replică în termenii disjuncţiei a teoremei 4! T6 f--- : . (x)

p . qJ X

.

= : p

(x)

qJ x

Acelaşi lucru de astă dată în termenii conjuncţiei. Conjuncţia are însă - spre deosebire de d isjuncţie - o 33 Soluţia d ată problemei negării celor două feluri de propo­ z iţ i i este discutab ilă din punct de vedere logic , aşa cum am arătat în articolul La Negation des Quantificateurs ("Acta Lo­ gica", 1 967) .

85


Logica polivalentlf

proprietate analogă cînd amb ii c i termeni s înt funcţii de x, şi anume T7

f-- : . ( x) . rpx . lji x

.

=

:

( x)

. rp x

(x)

:

.

',;JX

Proprietăţile cxprimate de tcorcmeic 5 ş i II au l o c şi pentru cuant ificatorul p articular , respe c t iv T8

Tia

1-

:.

( 3 ,-v)

.

f-- : . ( 3x)

p V rp x

. =.:..:: :

. p . !p X . :=:=:

p . \;,

:

P

.

( 3 ,-v)

: (::l x) .

.

yx

;j ,-V ,

pc cînd , În a c e s t c a z , prolJl'ietatea de fe lul c e l e i exprimate de T7 este valab Ilă doar dacă înlocu i m conj uncţ ia prin d isj ullcţic T9

. (3 x) . )lx V tj;,r . :=: : (3 x) . y x . V . (3 x ) . 9 x In s f îrs l t , urm [ltoare l e t C G l ( lil l' pot fi c i t i t r ( li ll surin t, ă ' 1-

:

ş i expriI;lă proprie1 ă ţ i e v i d f nt r : Ti i

f-- : . (x) .

Dacă

,?X

)lX :::>

yx

. :::>

:

( .1') .

yX

.

:::>

.

(x)

yx

Impl ică întot d c a un ct ljix, atunci ,,«x întotd�a. ,,�x întotde L\una" .

una" implică T12

1- : . (x) . t'{J x

T 1 G�\

f-- : . ( x) .

TIGh

f-- : . ( 3x) .

TI7a

f-- : . (x)

.

T17b

f-- : . (,r)

.

:-J

yx

t'{J X =:J P . t'{J X ::J P

. �.

: (3 x) ,

';;' x . :::>

= : ( =:' x) . «x .

t'{J x = yx . yx =::: yx .

==

:

(x)

:

(x) .

� :

( ::: x)

(J x l

.

�),T

. = . P

y X . :::; . p t'{J x . ::= . . ,? x . ==

( x)

.

ljix

. (3 x ) . 1,)1.1;

* 3.13. Teoria tipurilor S-ar părea că , prin ordinea ş i rigoarea introdusă de s imbo l i ca ş i tchnica form a l ă , raţ. ionament ul s-a redus la nişte operaţii atît de s imple şi de elementare încît orice teamă de greşea l ă dispare . Calculel e îşi efectue ază fără greş sarcina , ducîndu-ne infailibil l a rezultat . Totuşi nu 86


3.13 Teoria tipurilor

"'5te aşa . Simbo lurile înseşi pot deveni în orice moment dintr-un aj utor o p iedică prin confuzi ile la care pot d a naştere . Ş i a c e a s t a i m e d iat ce , p ierzînd d in vedere semn i ­ ficaţia logică pe care le-am acordat - o , începem să l e m a­ nevrăm a u to m a t . Astfel , o dată c u edificarea logicii form a le , au apărut in cadrul ei şi primele paradoxe expuse formal . Burali­ Fort i , Cantor , Russ�ll e t c . au cxpus tot a t itea antinolll i i care au zguduit put ernic intreaga teorie , o b l i gînd-o să-ş i i a măsur i l e c uvenite d e se curi tate . Pentru a vedea mai îndeaproape cum stau lucrurile , vom expune unul din aceste paradoxe care întrebuinţează doar notiunea de functie propoz itională s, i a fost g ă s i t de Rus�.dl , ' in 190534. ' Să examinăm un pred ica t oarecare : dacă are propriet a ­ tea exp r i m a t ă d e e l însuşi , vom spune că are proprietatea de a fi predicabi l ; în caz contrar , arc proprietate a de a ti impredicabil. De exemp l u , predicatul "abstract" este e l însuş i abstract , dec i este predicab il ; d i mpotrivă, pred ica­ t u l "mam ifer" nu este el însuşi mam ifer , deci este impre ­ dicab i l . Un predicat are s a u nu proprIetatea p e care o exprimă, este deci predicabil sau impred icahi l , tertium non datur. in particular p re d i ca t u l " i m p r e d i cab i l " trebuie să fie predicabil sau impredicabi l , o a treia pos ib ilitate nu exist ă . Dacă este predicabi l , atunci admite proprietatea expri­ m ată de el însuş i , deci este impredicabil ; dacă este impre­ dicabil , atunci are proprietatea exprimată de el însuşi , deci este pred icabil! Contradicţia apare ş i m a i clar , traducînd în s i mbolis­ t ica calculului cu funcţii acest paradox. Notînd cu Imp predicatul "impredicabi l" , căpătăm o funcţie propozi­ ţ ională care p oate avea drept argumente tot predicate Imp (i./I) . Definiţia sa este Imp (i./I ) = � i./I (i./I) 34

Df·

Pentru aceasta ş i p entru alte paradoxe vez i lucrarea noastră

Soluţia paradoxelor logico-matematice, E d . ştiinţif ică , 1 96 6 , cap . 1 1 1 .

87


Logica polivalentă

",� este impredicabil dacă şi numai dacă � nu are proprie­

tatea �" . Aceasta are loc pentru orice pred icat �, ş i în particular pentru predicatul Imp , adică pentru � = Imp , în care caz ob ţinem : Imp (Imp) =

"-'

Imp ( Imp)

Propoz iţia «"impredicabil" este impredicabil » estc echi­ valentă cu propoziţia «"impredicabil" nu este i mpredi­ cab i l » , ceea ce este absurd . Russ e l l consideră că asemenea paradoxe s înt de natură pur logică ş i se nasc din nesocotirea "principiului cercului vicios" (viciou8 circle principle) . Acesta spune că ceea ce presupune o colecţie luată în t o t a litatea e i nu t rebuie să fie un membru al colecţiei35 • P.red icatul "impredicab il" nu poate fi un membru a l colecţiei predicatelor impredi­ cabile , cu alte cuvinte nu poate fi afirmat despre sine Însuşi . Pentru a asigura respectarea acestui principiu , e l împarte proprietăţile în tipuri, cre înd ceea ce s-a num It teoria tipurilor. In ce cons t ă ea? Russell distinge m a i întîi "indivizii" , adică obiectele care nu s înt proprietăţi (tipul zero) . În cadrul proprietă­ ţilor, el distinge următoarele tipur i : proprietăţile indivi­ zilor (tipul întîi), proprietăţi l e proprietăţilor indivizilor ( t i­ pul doi) etc. Să luăm ca exen plu de mdivid corpurile ; în ca­ zul acesta , "triunghiul ar" , "roşu" sînt proprietăţi de tipul întî i , iar "proprietate spaţială" , "culoare" s înt proprietăţi de tipul doi e t c . Teoria tipurilor afirmă că o proprietate de tipul întîi nu poate să aparţină decît indivizilor (sau să nu le aparţină) ; în nici un caz ea nu poate fi atribuită proprietăţilor de tipul întî i sau de tip superior . O proprie­ tate de tipul doi nu poate să aparţină (sau să nu aparţină) decît proprietăţilor de tipul întîi , nu poate fi atribuită indivizilor , proprietăţilor de t ipul doi sau de tip superior ş .a . m .d . Spre exemplu , dacă a şi b sînt corpuri , propo­ ziţiile "a este triunghiular" , "b este roşu" sînt adevărate sau false şi în orice caz au sens , pe cînd "a este proprietate spaţială", "triunghiular este roşu" s înt lipsite de sens , 3. Principia Malhemalica , voI . I, p . 4 0 .

88


3.14. Consideraţii generale

nu au decit aparenţă de propoziţi i . Asemenea pseudoenun­ ţuri sînt evitate , atribl!ind o proprietate de tipul n doar une ia de tipul n - 1 . In particular , ceea ce este impor­ tant pentru no i , o proprietate nu-ş i poate f i atribuită e i însăşi . Expre s i i c a ...... Iji (Iji) , Întrebuinţată î n defin iţia precedentă , s înt declarate fără sens şi prin urmare excluse . În acest fe l paradoxul "impredicah il" nu mai apare38•

* 3.14. Consideratii

generale

Atît calculul propoziţional b ivalent cît şi cel al func­ ţi ilor propoziţionale s înt , după cum se vede , destul de simple . Din cîteva propoziţii primitive se s coatc întreaga serie de teorem e . Trebuie observat însă că principiile logicii clasice - dubla negaţie , principiul contradicţiei, principiul t erţiului exclus , principiul s i logismului - s înt teoreme în logica b ivalentă , adică propozIţii demonstrat e , n u admise axiomatic , ş i anume următoarele teoreme ale calculului propoziţional : ::J

::J

2 .06

1- : . p ::J q

2.11

(principiul terţiului exclus)

3.�4

1- · p v ...... p 1- . ...... (p . "-' p )

4.13

1- . p = ""' ( ......, p )

(principiul duble i negaţii)

: q ::J r .

P ::J r

(princip iul silogismului)

(principiul contradicţie i)

36 î n prima ed iţie a Principiilor ( 1 9 1 0) apăreau , p c l îngă dis­ tincţiile d intre tipuri, d istincţii de ordine Între funcţiile propo­ ziţional e , sub numele de "teoria ram ificată a t ipurilor" . Aceste dis t incţii însă îngreuiază mult, dacă nu fac chiar imposibil, pro­ gramul urmărit de Whitehead şi Russe l l , de a exprima cu ajutorul aparatu lui logico-matematic întreaga matematică . Astfel încît ei se văd nevoiţi să introducă o nouă axiomă : axioma de reduc­ tibil itate (axiom of reduci bility) . Aceasta Însă conduce l a n o i paradoxe . î n urma critic ilor aduse de Chwistek ş i Ramsey, autorii Principi i lor au renunţat î n ediţia a doua a acesteia, din 1 9 2 5 , la teoria ramificată a t ipurilor ş i l a axioma de reductibilitate .

89


Logica polivalentd

Cu aj utorul acestui s istem , Russe l i , ca ş i predecesorul său G. Frege , urmărea aşezarea mate maticii pe baze logice , derivarea conceptelor ş i a propoziţiilor acesteia din con­ cepte şi propoziţii logice . lJe a ic i şi nevoia de a asigura atît e conomia cît şi rigoarea s istemuluI � ă u , căci prin e l urma să se c larifice natura concept e lor ş i a raţionamen­ tului matematic. Logica astfel construită diferă fundamental de logica clasică propriu-zisă ş i , în primul rînd , de aceea a l u i Aris­ totel. Intuiţia este elimmată , simbolul căpătînd put ere absolut ă . La început , scrie Hilbert , este semnul. Numai c ă , aşa cum observa ş i Leon Brunschvicg, "în s imbo lul însuşi răm îne totdeauna un reziduu oarecare de intuiţie"37. Caracteristica generală a logic i i , aşa cum o concep Russel l , Hilbert şi ce ilalţi logicieni matematicien i , o constituie e x tensionalismul. Fie că studiază relaţii Între propoziţii , ca în calculul propoziţional , fie că studiază relaţIi Între obiecte şi indivizi , ca în calculul cu funcţi i , o face de fiecare dată luînd în cons iderare în m o d exclusiv aspectul extensional al acestora ş i neglij înd pe cel inten­ sional sau de conţinut. Simplificarea astfel adusă logicii tradiţionale conduce la aşezarea calculului într-o schemă extrem de simplă , schemă care a fost pusă în evidenţă pentru calculul propoziţional de L. Wittgenstein . Să reluăm o funcţie de adevăr e lementară oarecare , de exemplu :

f (p , q)

=

pV q

Fie un caz concret : p

q

=

=

afară plouă (afară) ninge

Ce spune d isj uncţia logică "afară p louă sau ninge"? Nimic altceva decît că , dacă afară p louă , plouă j dacă afară ninge , ninge j dacă afară p louă sau ninge , p louă sau ed.

90

3' L. Brunschvicg, a

Les e lapes de la phi losophie malhematique,

I I I-a , Paris, 1 92 9 , p.

400.


3.14. Consideraţii generale

!linge e t c . Cu a lte cuvÎnt e , funcţi i le de adevăr nu ne pot informa cu n i c i un chip despre lumea exter ioară , e le nu �xpr i m ă nici un comp ortament efectiv . Există însă două �azuri extre me a le func t i i lor d e adevăr . Sint functii de ' adevăr care s înt adevăra te , oricare ar fi v a l o r i l e de a devăr ale argument e l o r ; a l te l e s înt false , orice v a lori de adevăr am atribui argumentelor. De p i l d ă , l un c ţ i a s i rr p l ă

f (p )

"ste

=

p \j '"'"' p

a devărat ă , f i e eă p este a d e v ăr a t , fie tautologie . D i m p o tr i v ă , funcţia

·� s t e o

e s t e fa l s ; ea

f (p ) = p . '"" p

fa l s ă , f i e că p e s t e adevăra t , f i e e rt e s t e fa l s j ea e s t e n u m i t ă de vVittgenstein o contradictie38 • Însă iată ce se -întîmp l ă : dacă exa rr: inăm teore m e l e d in Princip ii, date m a i înainte cu n n m erotaţ13 res p c d:iv ă , n e eonv ingem imed iat eă e l e s înt tautologj i . Fie , d e e xemp l u , t e orema

" ste

2 .2

f- : p . � . p V q

Să e omt r u i m tab e l u l res p e c t i v , cum am făcut c înd am stud iat funeţ i i l e de a devăr :

p

q

pVq

A F A F

A A F F

A A A F

[p . I

. pV q

A A A A

Teorema p . � . p V q e s t e adevărat ă totdeauna , nu m a i d e p mde de adevărul s a u fa l s ita t e a argumente lor p şi q . :Se poate vedea în acelaşi mod , pentru oricare d in teore m e l e de m a i sus , că s înt tauto lo�i i . Termen i i " t a u tologie" ş i " c o :1 tra d i c ţ ie" , Î n sensul u t i l izat d atorcsc l 'l i WittgeDsteiD (Tracta tus Logico-Phi losophicu� , (.. 4 6 ) . E l e nu s' r d c ră la d <' notatul catego " i c i d i a J e c l ice "cont r a ­ d i cl ie" . 3B

aici,

se

91


Logica polivalentlt

Şi teoremele din calculul cu funcţii sînt Într-un anume sens n işte tautologii. Pentru a descifra acest lucru , să ne întoarcem pentru moment la ceea ce numeam o funcţie propoziţională, adică la o expresie conţinînd una sau m a i multe variabile şi care devine o propoziţie de indată c e aceste variabile s înt înlocuite prin valori date . Exem­ plul dat de noi atunci era "x este muritor" , expresie ce devine o propoziţie (adevărată sau falsă) imediat ce înlo­ cuim pe x prin diverşi indivizi care pot să fie sau nu muritori (ex. Platon , Aristotel , Prometeu etc .) . Luăm În considerare , după cum am văzut, şi expresii în care însuşi predicatul propoziţie i (în cazul nostru "muritor") era o variabilă q>, acestea putind fi scrise sub forma "x este q>" sau q>x. Ele deveneau propoziţii înlocuind mai Întîi variabila q> printr-un predicat dat , iar apoi fie cuantificînd variabila x Într-unul din cele două moduri - universal şi particular -, fie înlocuind-o printr-un individ din domeniul predicatului respectiv. Dar, aşa cum în calculul propoziţional propoziţiile nu erau privite decît sub aspec­ tul valorii lor de adevăr , iar variabilele propoziţionale considerate ca nişte simple variabile b ivalente , şi aici predicatele nu sînt socotite decît ca n işte funcţii ale căror argumente pot varia într-un anumit domeniu ; funcţiile acestea pot lua doar două valori : adevărul (A) şi falsul (F) . Indivizii din care este compus domeniul respectiv sînt , de asemene a , despuiaţi de orice caractere particu­ lare , rămînînd în joc doar numărul ior . Intr-o asemenea viziune simplificatoare , drept predicat poate fi conside­ rată orice funcţie definită pe un domeniu de n indivizi (ce pot fi luaţi chiar primele n numere naturale : 1 , 2, . . . n) ş i ale căre i valori s înt : A şi F. Se pot lua în considerare chiar şi funcţIi definite pe mulţimea tuturor numerelor natural e , deCI predicate avînd un domeniu infinit de indivizi. în aceste condiţii , să considerăm o formulă demonstrată în calculul cu funcţii (o teoremă) . Spre exemplu : Ti 92

f- : (x) . <px

::l

. (3 x)

. <p x


3.14. Consideraţii generale

Ea are următoarea proprietate : oricum am a lege predi­ catul f şi l-am substitui lui rp în această formulă , rezulta­ tul va fi Întotdeauna o' propoziţie adevărată . Pentru a înţelege m a i bine acest lucru, s ă ne a legem un predicat ( la intîmplare . Dup ă cum am spus , esenţial este pentru aceasta alegerea unu i număr de indivizi pentru domeniul predicatului respectiv, să z icem doi ( în care caz dome [J iul poate fi considerat p entru simplificare chiar mulţimea formată din numerele 1 şi 2 : { 1 , 2}) şi modul în care , pentru fiecare d intre cei doi indivizi , predicatul este satis­ făcut (ia valoarea A) sau nu (ia valoarea F) . Să spunem pentru moment că predicatul f este satisfăcut de individul 1 (f (1) = A) , dar nu e satisfăcut de individul 2 (f (2) F) . Urmează că predicatul nu este satisfăcut în tot domeniu l său şi deci propoziţia (x) . ( (x) este falsă ( ia valoarea F) ; dar este satisfăcut pentru unii indivizi din domeniu, şi anume pentru individul 2 , deci propoziţia (3 x) . f ( x) este adevărată (ia valoarea A ) . î n consecinţă , rezultatul substituirii lui rp în T1 prin predicatul f: =

( x)

fx

.

:J . ( 3 x)

(x ,

care se mai poate scrie ţinînd seama de defin iţia impli� caţie i (1 .01) '" (x)

.

(x . V . (3 x) Ux ,

este o propoziţie a devărat ă . Pe acelasi domeniu c u doi indivizi se mai pot defini încă trei p ;edicate , după cum f (1) şi f (2) iau valorile de adevăr AA , FA şi FF. Cititorul poate verifica şi singur că în aceste cazuri propoziţia care se obţine din T1 are valoarea A (adevărat) . Mai mult îns ă , orice domeniu am lua (finit sau nu) şi orice predicat ar fi definit pe acest domeniu , formula T1 este verificată . Această proprietate a e i se numeşte paliditate (unipersală) şi ea generalizează la calculul cu funcţi i proprietatea de tautologie din calcu­ lul propoziţional . Toate teoremele din calculul b ivalent cu funcţii sînt universal valide39• p.

39

Ve deţi Hilbert şi Bernsys, op . cit . , y o l . 1, ed. a I I-a ,

8 ş i p. 1 2 7 .

1968,

93


Logica polivalentd

Şi acum să ne reintoarcem la acest caracter extens ional pe care am observat că-I are logica lui Russell . El este o consecinţă necesară a orientăr i i togicien ilor către aspectul pur form a l , lăs înd deoparte complet conţinutul concep­ telor şi semnificaţia propoz i ţ iilor , pentru a ţine seama doar de extensiunea şi , respectiv , valoarea de adevăr a acestora . Această renunţare nu se poate face Însă fără consecinţe dintre cele mai serioase cu privire la semni­ ficaţia une i astfel de llo gic i . Ceea ce i-a determinat pe numero ş i logicieni să-i conteste parţia l sau integral valoarea .4o Cele mai importante critici le-a suscitat, după cum vom vedea , semnificaţia funcţie i pe care Russe l l o numeştc imp licaţie . Cum poate f i considerată "re laţie de deductibi htate" între două propoziţi i cea care are loc ori de cîte ori prim a propoziţie este falsă sau a doua pro­ poziţie este adevărată? Şi cum se poate constitui matema­ tica pe o logică în care d intr·o propoziţie falsă se poate deduce orice prop oziţie? Căci aceasta este semnificaţia exactă a teoreme i : p . ::J . p ::J q Ne rezervăm Însă acest subiect de d iscuţie pentru cap ito­ lul următor.

2 .2 1

f- :

'"

40 G . KlollS, :l1oderne Logik, cJ . n I l - a ,

1965 Ş . H .


4 Logica implicaţiei

stricte

4.1. Implicaţia strictă

*

Log i c i an u l a m e r i ca n C. l . Lewis p l e a c ă d e Ia CrItICa noţiun i i de i m p l i c a ţ i e , a ş a c u m este definită de RusseIll. Pentru Lewis im p l i ca ţ i a russcII iană este o i m p l i c aţie mate­

r i a lă , deoarece ca are înţclesul exact d e « af irm a ţ i a "p este adevărat şi q f a l s " este o af irm aţ i c fal s ă » . ("The Statement p is true and q is fa lse , is a fa lse s tatement")2. A c e s t a nu este însă , după e l , sensul ob i�nu i t al i m p lI­ caţ ie i .

DIferenţa d i ntre i n ferenţa obişnuită ş i im p lica ţ i a lui Russell este i lustrată d e Lewis în prop o z i ţ i i l e o propoziţie falsă implicâ orice , iar o propoziţie adevăratii este impli­ cată de orice , care aparţ i n i m p l i c aţ i e i russelliene . Din cauză c ă o p rop o z i ţ i e falsă im p l i c ă o r i c e , c a d e exem p l u « " Luna e s t e făcută din brînză verde" i m p l ic ă ,, 2 + 2 4" » , urm e a z ă că în s istemu l i m p l i ca ţie i materia l e ( a l u i Rus=

1

C. I. Lewi E : A

S l/.rvcll of Sim bo lic Logic r C n ivrrs i ty o f C a l i­ Press , Berk e l ('�' , 1 9 1 8) . Lewis a :l d u s i nt re t imp m o d i f icări s i s t em u l u i srl U in U l'fn:l cl' i t i c i l o r făcu l c î n special d e Oskar Bccker .

f o rn ia

Comp l e t ă r i l e In s is t em u l său a u a p ă r u t in A lternative Systems of Logic ( " M o n ist" , 4 2 , 1 93 2 ) şi in S y m b o lic Logic ( New York , 1 932) , a c easta d i n u r rn il scrisă in c o l a b orare CU C. H. Langford. 2

Ib idem , p . 2 9 1 .

95


Logica polivalentă

se Il) există o clasă de propoziţii care nu pot fi aplicate la o inferenţă valabilă3. Tot astfe l , deoarece clasa zero este cuprinsă în orice clasă, putem spune : « dacă "nu există şerpi de mare" , atunci "toţi şerpi i de mare s înt artropozi" » , propoziţie care urmează cu necesitat e . In cazul acesta, clasa şerpilor de mare este zero ; c lasa artropozilor există, dec i cuprinde clasa zero , a şerpilor de mare4• De unde rezultă aceste consecinţe , care par arbitrare şi bizare (queer) ? Lewis conchide că aceste consecinţe curioase se datoresc faptului că implicaţia la Russell este o relaţie în extensiune (în sferă) fără nici o re laţie analogă în intensiune (în conţinut)5. Inferenţa îns ă , după e l , depinde de înţelesul (meaning) propoziţIilor ; de aceea ea este o re1aţie în intensiune . In condiţiile aceste a , implicaţia lui Russe l l î i apare l u i Lewis ca o impl icaţie materia lă, deoarece numai în cazurile materiale date se poate stabili o inferenţă rea l ă , a ltfel ea nu spune n imic şi din această cauză este contingentă . Nu există nici o neces itate în legătura dintre propozi­ ţii (fiindcă nu e xistă relaţii în intens iune , ci numai între valorile de adevăr ale propoziţiilor) . Imp licaţia russel­ liană are astfe l sensul «"p implică material q" înseamnă "este fals că p este adevărat şi q e fals" » . Această afirmare s imultană a adevărului lui p şi q este arbitrară , fără nici o conexiune între faptele pe care le reprezintă p şi q . Lewis introduce un sens riguros pentru implicaţie . Şi anume implicaţia este definită de e l astfe 1 : "este imp osibil ca propoziţia p să fie adevărată şi q falsă" . . 3 Ibidem, p . 3 2 G , cap . "The meanin{! of imp lies" . ( Această deosebire Între implicaţia ma teriala şi impl icaţia formală era bine cu n oscută logic ien ilor scolastic i . E i numeau aceste două feluri de imp l icaţii consequentia materialis ş i consequen­ tia forma lis. Pen tru consequentia materialis, scolasticii c i tau două regu l i (pe care l e pomeneşte şi Lewis) : 1) Ex vero nrtnqttam sequitl1r falsum ("din adevăr nu urmează niciodată falsul") ; 2 ) Ex falsis po test sequi vemm ("din [propoziţii] false p oate urma adevărul") . Ca exempl u de consecinţă materială "bună" e i d ă deau exemp l e tot atît de paradoxal e c a ş i a l e l u i Lewis , d e p ildă : homo est asinus , ergo bacultt.s stat in angulo ("omul este un asin, deci băţul se află în colţ") . A se vedea : A. Dumitriu, Istoria logici i , cap . X X I I . 6 C. I. Lewis, op . c i t . , p . 3 2 7 .

96


4.1. Implicaţia strictd

Cu a l te cuvinte , Între propoz iţi i le p şi q se introduce p este adevărat , cu nece5itate q este adevărat . o legătură de neces itate ; dacă

Acest sens nu-l avea implicaţia l u i Russe l l . Conex i unea d intre propoziţi i era arb itrară şi conse c inţe le erau d e c i rontingente . Pentru a face d istincţia Între impl i caţia materi a l ă ş i i mp licaţia definită cu ajutorul impos i b i l i ­ tăţii - şi pe care Lew i s o numeşte imp licaţia strictă (strict imp lication) - , e l introduce o nouă noţ iune , acee a de pos ib i l itate , pe care o desemne ază prin s imbolul "O" . .\gregatul format prin punerea acest u i semn în faţa une i propoz i ţ i i p , p , va aVe a înţe l e s u l de "p este log i c pos i b i l (necontradictoriu ) " .

O

Defini ţ i a

i m p l i caţie i

mater i a le ,

sub

formă

d e con­

juncţie , e ste :

p

::> q .

=

.

......., ( p

.

......., q)

« "p i m p l i că mate r i a l q" Înseamnă "este fals că p este adevărat şi q fals" 1) . Defin i ţ ia i m p licaţie i str icte a l u i Lewis va f i , între b u in­ ţ înd pentru noţiunea de i m p licaţie strictă , s imbolul ,. -< " , p -< q .

=

.

""' O ( p

. ,......, q) ,

« "p i m p l ică strict q" înseamnă "nu este logic p osib i l (e ste . imposi b i l ) ca p să fie adevărat ş i q fa ls"

1) .

Cu a ceasta , Lewis a firmă că i m p l icaţia strictă conţ ine imp l icaţia materială aşa cum apare în

matica ,

Principia Mathe­

ca pe un sistem parţia l , şi ma i cuprinde o parte

sup l i mentară ,

re la ţ i i le

în

intensiune .

Iată însă care este reforma importantă în sensul nou pe care - l dă Lewis i m p l i caţie i . E l introduce o nouă va loare pentru propoz iţ i i , în afară de adevăr ş i fals :

posibilitatea .

Cu aceasta începe să f ie con s i derată o propoziţie din punc­ tul de vedere al m o d a l ităţ i i ei ş i vom găs i pentru propo­ z i ţ i i mai multe va lori de adevăr. Logica i mp l icaţ i e i stricte

este

prin

u rmare o

logică

po l iva lentă .

97


Logica polivalentcl

Primul care a introdus moda l itatea în ca lculul logic a fost Hugh Mac Colls în anul 1906, pe lucrările căruia se sprij ină , de altfe l , şi Lewis. Mac ColI cons idera , în afară de adevărul şi fa lsitatea une i propoziţii , moda l ităţile j ude­ căţii : "necesitatea" , "realitatea" (adevărul) şi "posibi­ litatea" . După Mac Col I , judecăţile au următoare le pre­ d icate fundamentale : necesar (certain) , imposibil (impos­ sible) , adevărat (true) , fals (false) , variab il (ţ>ariable) . Variab il înseamnă a ic i "nici necesar şi nici imposibil" , adică posibi l adevărat sau posib i l fa ls. Ma i precis , afir­ maţia că este posib i l ca o propoziţie p să fie ade vărată sau fa Isă Înseamnă că este nesigură , "uncertain" . Se vede c ă , spre deoseb ire de sistemul lui RusselI , noţiu­ nile introduse de Mac Col I , şi În legătură cu el de Lewis , corespund şi l imbajului obişnuit. Lewis şi-a num it logica sa , după noţiunea care - i stă la hază , "Sistemul impl icaţie i stricte" (System of s trict implicationp .

*

4.2. Idei primitive (nedefinite)

Ide i le fundamenta le de la care p leacă Lewis pentru a construi sisteme le implicaţie i stricte s înt următoarele : 1 . Propoziţii : p, q, r etc. 2 . Negaţia : '" p , care înseamnă "p este fals" sau "non-p" . 3 . Produsul logic : pq sau p . q (punctul ca semn de des părţire f i ind ut il izat doar cînd termen i i produsului sînt expresii comp lexe) . El are semnificaţia de "p este adevărat şi q este adevărat" sau "p şi q s înt ambe le ade­ vărate" sau simplu "p şi q" . 6 Hugh Mac co n , Sym lo lic Logic and i ls arp lica t ions , L ongman s , L o n d o n , 1 906 . 7 D is c ip o l i i l u i Lew i s au (' d i fieat s isteme a s e m ă n [tIO are ; d e I' x l'm p l u W. Parry, J. E. Ne-L OD e t c . D in c u p r i n s u l acest u i c a p i t o l vom v e d e a e,i e x i s t ă d e f a p t m a i m u l t e s is t e m e a l e i m p l i c a ţ. i e i s t r ic t e .

98


4.3.

Definiţii

4. Posibilitatea sau compatibilitatea cu sine însăşi (self consistency) : O p , care Înseamnă "p este posib i l" sau _.este posib i l ca p să fie adevărat"B . 5 . Echi..,alenţa logică : p = q , care este în ace l aş i t i m p ŞI re l a ţ i a d e def iniţie .

*

4.3. Definiţii

În terme n i i produsu l u i logic ş i a i negaţIe I , Lewis defi­ neşte relaţia pV q: "Cel puţin una d in tre propoz i ţ i i le p şi q fOste adevărată" , adică

1 1 .01 unde

pVq . pV q

=

. .......

( -- p

'"

q)

c it ită "p sau

poate fi

q" .

Impl icaţia strictă este definită c u aj u toru l nega ţ Ie I , posib i l ităţ i i ş i produs u l u i l ogic , aşa elim am menţionat .

l 1 .02 p

-<

q . =

-- O

.

( p -- q)

unde p -� q poate f i c itită "p impl ică (strict) q" şi înseamnă .. nu este posibil (este i mp os ib i l) ca p să f ie adevărat şi q f a l s" 9 . Ş i acum , un f a p t c iudat ş i paradoxa l . S e v a defin i însăşi re laţia de defi n i ţ i e , e chiva lenţa logi r ă :

1 1 .03

P

=

q .

=

:

p

-<

q . q

-<

p,

8 D i n d e z v o l tarea s ist em u l u i rezu l tă că a f irmarea p o s ib i l i t ă ţ i i l u i p , ( , p, e s t e e c h i v a l en tă c u a f i rm a r e a f a p t u l u i c ă p n u im p l i <.: ă n e gaţia s a ş i d e c i este c om p a t i b i lă c u ea însă ş i . 9 In l u crarea s a d in 1 9 1 8 , A Sttrvey o f Symbo lic Log i c , Lew i s a l u a t c a i d e e p r im i t i v ă , î n l o c u l c e l e i d e p os i b i l it a t e , i d eea d e imposibilita te , p e c a r e a n o tat- o c u s i m b o l u l " - " . D a r a t u n c i , pentru a n u o c o n f u n d a c u nega ţ i a , a n o ta t-o p e a c e a s t a d i n u rrrui e u sem n u l m in u s .. - " . U l te r i o r , ,, 1 a e l im inat această c om p l icare d e n ot a ţ i e prin fo l o s irea i d e i i d e pos i b i l i ta t e , a l c ă re i s i m b o l a m \'ă z u t c:"1 este "O " . î n a ce s t c a z impos i b i l i tatea va p utea f i d ef in it ă c u aj u t o r u l nega ţ i e i o b iş n u ite ,, - " ş i a p o s i b i l ită ţ i i ,,(> " , a n u m e . . � (> " , a d ică nonp o s i b i l itatea .

99


Logica polivalenti!

ceea ce nu ne dispensează s - o luăm ş i ca idee pri mitivă , pentru a o putea utiliza ca relaţie de definiţie . Aici Însă, Lewis recunoaşte un cerc v icios10•

4.4. Propoziţii primitive

*

Postulatele , adică propoziţi ile admise fără demonstra­ ţie , s înt :

11.1

pq .

qp

.

Acest postulat expr imă legea comutativităţi i produsului logi c : dacă p şi q sînt adevărate , atunci q şi p sînt adevărate .

1 1 .2

pq .

. p

Dacă p ş i q sînt ade vărate , atunci p este adevărat .

1 1.3

p .

.

pp

Dacă p este adevăra t , atunci "p (pq) r .

1 1 .4

.

ŞI

p" este ade vărată .

p (qr)

înseamnă că (�,,(p şi q) şi r" imp l ică "p şi (q şi r) " ) ; aceasta exprimă legea asociativităţii produsului logi c .

1 1 .5

p . � . '"'- ('"'- p)

Dacă p este adevărat , atun c i este fals că p este fals . p� q . q� r

1 1 .6

:

. p� r

Dacă p imp l i că q şi q implică r, atunci p implică r . Este principiul s i logismuluiI1. 1 0 C. 1. Lewis, op .

cit. ,

p . 293 .

S u b n u m e l e a c e s t a î n ţe legem următoarele d o u ă teoreme : 11

2 .05 2 .06 100

fJ

=> r

. =>

p => q . =>

p => q

: :

fJ =>

r

.

=>

. =>

. .

p

în

=> r

p =>

r

-.

logica

b ivalentă

li na d in


4.4. Propoziţii primitive

11 . 7

p . p -< q : -< . q

Dacă p este adevărat şi p -< q , atunci q este adevărat, ceea ce exprimă o proprietate evidentă a oricărei re laţii de inferenţă . J.C . C . McKinsey a reuşit să arate însă că postulatul 1 1 . 5 poate fi dedus pe baza anumitor regul i din celelalte şase axiome 12• î n prima sa încercare de a edifica un s istem a l implicaţiei s tricte făcută în A Surve y of Symbo lic Log ic ( 1 9 1 B ) , Lewis p ornea de la următoarele B postulate : 1.

pq . � . qp

2.

qp . � . P

3.

p . � . pp

t. .

p ( qr)

-< . q(pr)

5.

p � - ( -p)

6.

p -< q . q -< r : � . p � r

7.

- Op � - p

Dacă p este imp o s ibil, atunci p este fals.

8.

p � q . = . -O q � -O p

adică : "p imp l ică q" este echivalent cu ('"q este imp osib il" imp l ică ,.p est e imposibil" ». E. L. Post a ar ăt a t însă că atunci se ajunge la consec inţa :

- O p . = . - p,

a d ică " imposibilul este identic c u falsul", ş i deoseb irea p e care Lewis urmărea s-o facă între imp l icaţia s trictă şi cea materială E d e remarcat Însă fap tul că Lewis nu l e consideră principii valide de deducţie (Symbolic Logic, p. 496) . S-a demonstrat de a l t fe l că analogele lor s trict e q � r . � : p � q . -< . p � r p -< q . -< : q � r . -< . p � r

nu pot fi deduse din p ostulatele admise aici (Symbo lic Logic, Appendix I I I , p . 507, e d . a II-a, 1 959) .

1 2 A Reduc/ion in the Number of Postulates for C. 1. Lewis's System of Strict Implication, în "Bulle t in of the American Mathe­

ma tical Society" , v o I . 40, p p . 425 - 4 2 7 .

101


Logica polivalentil

d ispare, s istemul său reducîndu-se la cel din Princip ia .�alhe­ s istemu l u i �i inl9-

matica. Aceasta a atras după s ine revizu irea c u irea 8' .

a x i o m c i 8 cu P � q

-

următoa rea :

<> q

-

<> p

Î n Sym bo lic Logic ( 1 932) , scr isă în colaborare cu C . H . Langford - singura pe care o vom urmări de aici ina inte - , Lewis propune un nou sistem formal de logică , in care se p o t demons tra m a i puţine teoreme ş i care p oartă in l it eratura de specialita te numele de sistemul 1 ( SI I , cel dedus din postulatele 1 1 .1 - 1 1 .7 . S istemul d in A Survey of Symbo lic Logic, modificat ş i avind postulatele 1 - 7 , 8', se numeşte sistemul 3 (S3) . Vom v e d e a că e xistă ş i alte s isteme ale imp l icaţiei stricte .

*

4.5. Teoreme

Operaţiile prin care , din aceste postulate , se pot deriva teoremele sistemului, s înt următoarele : 1 . Subshtuţia (a) Orice propoziţii legate prin semnul ,, = " pot fi sub­ stituite una cu cea laltă . (b) Într-o propoziţie , oricare din variabilele aceste ia , p , q , r etc . , poate fi substituită - peste tot unde apare - cu o altă propoziţie . Modul în care diverse le s imbo luri prim itive (idei pri­ m itive) se pot combina Între ele pentru a da propoziţii se poate defini din aproape În aproape astfe l : 1 . p, q, r etc . sint propoziţii . 2 . Dacă p este o propoziţie , atunci "'-- p şi O p sînt propoziţi i . 3 . Dacă p ş i q sînt propoziţi i , atunci p . q ş i p q s înt propoziţi i . După cum s e poate observa , simbolurile p , q , r etc . sînt utilizate în două sensuri distincte : ca figurînd în locu I unor propoziţii concrete ( de exempl u " Socrate este om" etc . ) , dar nedeterminate , sau în locul unor combinaţii de propoziţii [de exemplu "-' <> ( p "'-- q) J . Pentru a le distinge , pe primele le-am şi numit deja - la punctul (b) de mai sus - variab ile. =

1 02


4.5 . Teoreme

2 . Adjuncţia

Dacă două propozi ţ i i p şi q atunci şi produsul lor logic -

-

3 . Inferenţa

-

pq

pot fi afirmate separat , poate fi afirmat . -

Dacă p şi p -< q s înt afirmate , atunci q poate fi şi e l afirmat . Şi acum să trecem la demonstrarea cîtorva teoreme13• Procedeul prin care se ind ică operaţ i i l e ce trebuie făcute pentru a demonstra o teoremă este asemănător cu acela util izat de Whitehead şi Russe l l în Princip ia Mathematica. Se indică schema sub teoremă, arătîndu-se ce substituţi i trebuie făcute . D e exemplu schema

[11 .2 : p/q ] arată că în formula 1 1 .2 trebuie substituit numărătorul p al fracţie i în locul num itorului q . După substituţie , Lewis ind ică ş i consecinţe le . Vom da m a i întî i în amănunt o demonstraţie pentru prima teoremă, celelalte urmînd a fi n um a i indicate .

12 . 1

p

-(

p

Demonstraţie : [11.2 : p/qJpP . -( . p

(1)

S - a notat c u (1) rezultatul obţinut în urma p r i m e i substi­ tuţi i : pp . -< . p.

A doua subst ituţie , ş i care v a f i reprezentată î n de­ monstraţie printr-un al doilea r în d , este : [ 11 . 6 : pp lq

;

pIr] (11 .3)

.

( 1)

:

Ea indică deci subst ituirea în

-<

. p

1 1 .6

-<

P

a lui

pp

în locu l lui

q şi a lui p în locul l u i r. Efectuînd- o , obţ inem :

p

. -< .

1 1 .3 13

aceea

pp : pp

. -< .

P :.

-< .

P

-<

P

( 1)

N u m e rotarea acestor teoreme , ca şi cea a p o stu l a t e l o r , este i n d icată d e L e w is în Symbo lic Logic , cap . V I .

103


Adică s-a obţinut, cum se vede, prin substituţie , în mem­ unde (1) brul intii a l implicaţiei produsul (11 . 3) . (1) �p�zintă rezultatul obţinut prin substituţia anterioară care implică tocmai teorema de demonstrat . Insă propozi­ ţiile 11.3 şi (1) sînt adevărate , una fiind un postulat, realaltă obţinută printr-o substituţie dintr-un postulat . în baza regulei de adjuncţie , produsul lor este adevărat. _�dar, primul membru a l implicaţiei de mai sus este adeyărat j deci, după regula inferenţei , şi membrul al doilea este adevărat, adică tocmai teorema noastră. -

-

12.11

p=p

DeJTl()nst raţie: :.1 2.1)

.

'11.03 :

p� p. p� P p/q] p =p. = . (1)

(12. 1)]

(1)

Făcînd operaţia de adjuncţie a lui 1 2 . 1 cu ea însăşi, obţinem propoziţia (1) . In baza definiţiei echivalenţei logice, 11 .03, p =p este echivalentă cu (1) şi deci opera­ ţia de substituţie (a) ne permite s-o punem în locul ei. Principiul 1 2 . 1 1 poartă numele de "principiul identi­ tăţii". In logica bivalentă l-am întîlnit sub forma teore­ mei 4.2.

12. 15

pq . = . qp

Demonstraţie: '11. 1

q/ pj p/q] q p .

'11 .3

pq/ pj qp/q] pq

� •

pq

�.

qp: qp

(1) .

.

pq :. : pq. = . q p

(11 .1) . (1)

: pq

= qp •

12 .15 poartă numele de "legea comutativităţii" produsu­ lui logic . În baza ei , în orice teoremă în care intervine un produs de două propoziţii, ordinea acestora poate fi inver­ �ată.

12 .17 104

pq.

.

q


4.5.

Teoreme

Demonstraţie:

qJp , p JqJ qp . � . q � 1), 12. 15J pq . � . q

�11.2:

( 1)

Ultimul rînd din demonstraţie este obţinut prin aplica­ legii comutativităţii în antecedentul implicaţiei (1). So-a înlocuit deci în ( 1) , pe baza regulei de substituţie (a) �i a teoremei 12.15, produsul qp prin produsul p q.

rta

12.2

"-'p � q.=."-'q � p

Demonstraţie: :12.11 :

p "" q)Jp J '" O ( "-'p '" q ) = = ""' O ("-,p ",,q) :)) , 12.1 5J "'" O ( '" p "-' q ) = "'" 0('" q "'" p )

[11.02:

[11.02:

,...,

O(

"-'

(1)

(2)

p /pJ '" p � q. '" O ( '" P "-oJ q) (3) , "" qJp ; p Jq J "'" q � p . = . '" O ( "" q '" p ) (4)

'"

[::3) , (4)](2) . =

=,;

:

Q.E. D.

Ultimul r înd din demonstraţie arată că, substituind în (2) ambii membri prin echivalenţii lor deduşi. pe baza definiţiei 11.02 [rîndurile (3) şi (4) din demonstraţieJ, căpătăm teorema 12.2 notată prescurtat prin Q .E.D. (qu od erat demons trandum).

12.25

"'"

( "'" p) � p

Demonstraţie: [12. 1: "'"' p Jp J "-oJ P � '" P [12.2 : "" p Jq J "'" p � "-' p . = . Q.E.D. (1) . = . Q.b'.D.

( 1)

În cele ce urmează nu vom mai expune demonstraţiile teoremelor. Ele se fac toate după acelaşi principiu. Vom 105


Logica polivalentă

indica doar imediat dedesubtul teoremelor principalele axiome sau teoreme pe care se bazează fiecare d in aceste demonstraţii . 12.3 p Dem.

=

......

( "-' p)

[11.5, 12.25J

Această teoremă exprimă "principiul dublei negaţii". Teorema 12.2, de care am m a i vorbit , este o echiva lenţă care pe baza definiţie i reprezintă afirmarea simultană a două implicaţii . Una d intre ele este teorema 12.4 ....... p-<q .-<."-'q-<p De m. [11.2, 12.2J

Alte teoreme sînt : 12.41 ....... p-<"-' q '. -<. q -<p De m . [12.3, 12.4J 12.42

p-<......., q . -< . q -<

.......

P

De m .

[12.3, 12.41J 12.43

p-< q . -<. ""- q �

De m.

[12.3, 12.42J 12.44

p -<q .

Dem .

[12.41; 12.43J

106

""-

p


4.5. Teoreme

12.45

p -<

. q -<

q.

......

p

-....

Dem. [12.42] Toate aceste teoreme sînt forme ale "principiului trans­ poziţiei". 12.5

(pq) r. =. p( qr)

=

. q( pr) .

= .

(qp)r etc., etc.

Dem. [11.4, 12.15] Această teoremă exprimă faptul că într-un produs logic de trei factori (dar se poate generaliza la mai mulţi ) putem grupa oricum termenii şi de aceea, în asemenea cazuri, parantezele pot fi omise. 12.ti

pq. -< .

r

:

:

=

q """ r . -< . "" p:

: p "" r. -< . ......, q

=

Dem. [12.3, 12.5] Această teoremă poartă numele de legea "antilogismu­ lui". Dacă din două premise rezultă o concluzie, atunci dintr-una din premise şi contrara concluziei rezultă contrara celeilalte premise. Echivalenţele din teorema 12.6 pot fi descompuse în implicaţii simple după definiţia 11 .03 . Se obţin astfel: 12.61

pq. -< . r:

12.62

pq. -< . r :

-< -<

: p

r.-< . '" q

......

: q ......

r

.

-<

. """ p

Principiul silogismului (11.6) poate fi extins după cum urmează: 12.77

p -< q: qr.

-<

. s

:

.

-<

:

S

-<

pr -< •

. S

Dem. [11.6, 12.6J 12.78

p -< q. q -< r. r -<

.

p

-<

S

Dem. [11.6,12.77J Teorema 12.78 poate fi extinsă astfel încît dintr-un număr oarecare de implicaţii, prima implicaţie avînd drept consecvent pe antecedentul celei de-a doua, a doua avînd drept consecvent pe antecedentu 1 celei de-a treia Ş.a.m.d., 107


Logica polivalentă

să rezulte implicaţia d intre primul antecedent şi ultimul consecvent, adică în fond un "polisilogism". La demonstrarea teoremelor enunţate pînă acum nu S-i utilizat postulatulll.7.14 Incepînd de acum îl vom între' buinţa. 12.8

p""'" q .

-<

. ,...... (p -< q) p -<. qjqj qlr] 1 1 . 7

De m. [12.61: 12.81

p -<. q .

-<

-<

Q.E.D.

(p ,...... q)

,......

Dem. [12.42, 12.8]

Dacă p implică strict q, atuncI nu este cazul ca p să fi� adevărat ş i q fals . Această teoremă are , în cadrul logicii pe care o studiem. o i mportanţă deosebită, căci după cum am văzut, impI'i ca­ ţ ia materială sau russelliană p :J q putea fi definită (şi c, vom defini ş i noi în cele ce urmează) prin,...... (p"'q) . S-i putut însă arăta că reciproca teoremei 12.81 nu este vala­ bilă (nu este derivabilă din axiome), prin urmare aceasU teoremă reprezintă singura legătură între implicaţia strict:. şi cea material ă , şi anume , dacă implicaţia strictă a doub propoziţii are loc, implicaţi a ior materială are , de ase­ menea , loc . Inainte de a trece la anal iza mai detaliată a raportului dintre cele două implicaţi i , vom da încă cîteva proprie­ tăţi ale implicaţiei stricte, enunţate sub forma următoa· relor teoreme : 12.84 o

p. -< . ,...... (p -<

"'"

p)

propoziţie adevărată nu-şi implică propria sa negaţie.

12.87

p -<.

"'"

p.

-<.

"'"

P

14 Logicienii matematicieni au studiat şi sistemul formal C� se obţine pornind doar de la axiomele 11.1 - 11.6. Evident, tel)­ remele sale sînt si teoreme ale lui 51 si din această cauză el," ' numeşte subsiste � al lui S1. În litera tura de specialitate ace�: sistem formal se note ază cu S1°. (R. Feys, Madal Lagic8, Pari! - Louvain, 1 965, pp. 43-64.)

108


4.6. lmplicaţia materială

�a

Dacă o propoziţie îşi implică este falsă.

12.88

""

-<

p -< p .

.

propria

negaţie, atunci

p

o propoziţie implicată de propria sa negaţie este o poziţie adevărată (principiul adevărului necesar) .

În sfîrşit, pr in cip iul o teoremă.

contradicţiei, ca şi în logica biva­

lentă, este

1�.9

pro­

"-' (p "-' p)

Pe baza teoremelor precedente şi a definiţiei disjuncţ.iei) se pot demonstra următoarele: . -<

13.1 pVq

11.01 (a

qVp

.

(·are este legea comutativităţ.ii disjuncţiei.

13.21 q.

-< . PVq

13.3

pVp

13.4

pV (qVr)

.

-<

p

. .

-< .

13.41 pV(qVr).

=

(pVq)Vr .

(pVq)Vr.

=

.

qV(pVr)

etc.

Ultimele două teoreme exprimă asociativitatea disjunc­ ţiei .

*

4.6.

Implicaţia

materială

Se adaugă definiţiilor date în *4. 3 încă două definiţii, �i anume a implicaţiei materiale sau russelliene şi care aici va purta numărul 14.01:

14.01 p

-:J q

.

=

"-' (p "-' q)

.

şi definiţia echivalenţei materiale:

14.02 P = q

.

=

:

p

-:J q

. q -:J P 109


l_ogica polivalentă

sau , ceea ce este totuna ,

p - q . = : ....... (p "'-- q) . '"'"' (q "" p) Prin urmare "p implică material q" va Însemna "cste fals că p este adevărat şi q fals" j iar "p este material echi­ valent cu q " Înseamnă "p şi q sînt ambe le adevărate sau ambele false". in felul acesta dispunem acum de toate noţiunile care apar În calculul propoziţional b ivaJent d in Princip ia Ma thematica : negaţie , disjuncţie , conjuncţie , implicaţie materială şi e chivalenţă materială . Vom arăta că în sistemul lui Lewisl" pot fi demonstrat e , în afara teoremelor d e pînă acum , toate teoremele calculu­ lui propoziţional b ivalent d in Princip ii (*3. 5--*3.8). Urmarea acestui fapt va fi că În cadrul logicii lewisienc se pot discuta , pc de o parte , proprictăţile pe carc implica­ ţia strictă şi implicaţia materială le au în comun, iar pc dc altă parte , proprietăţile proprii implicaţiei materiale şi care o deosebesc de cea strIctă . Pe baza definiţie i im­ plicaţie i materiale , din 12. 81 rezult ă imediat:

14.1 p -< q . -< . p � q Dacă p implică q strict , atunc i îl implică ŞI material. Reciproca însă este falsă . Implicaţ ia materială este mai largă decit cea strictă. Concluzia ce se desprinde d in această teoremă este că ori de cîte ori se poate demonstra propoziţia p -< q, propoziţ ia p � q poate f i , de asemenea, demonstrată . Orice implicaţie strictă poate fi înlocuită prin implicaţia materială corespunzătoare . Şi acum vom arăta că teoremele din Prin cip ii pot fi demonstrate aici: (Princip ii, 1 .01) 14.2 p � q . . ....... p V q =

Dem .

(11.01 :,...., p /p ]

"V

pV q .

=

.,....,

[12.3]

.

[14.01]

.p

"V

(,...., ("V p) ....... q ] (p "V q) q

15 Este vorba de si9temull(S1) de care ne-am ocupat pînă acum în acest capitol. Cel ale cărui axiome sint 11.1 - 11.7, iar regulile de inferenţă: sub9tituţia, inferenţa �i adjun cţia .

110


4.6. Implicaţia materialll

14 .21 pq. =. '" ( "" pV '" q)

(Principii, 3.01)

De m.

pV

l12.11j '" l --

q) = ( '"'-' pV '"'-' q) = "-' {"-' [ '" ( "-' p)

"-'

�.

[11.01)

'"

( "-' q)])

= pq 1 [ 2.3] În Principia Mathematica, 14 . 2 şi 14.21 sînt definiţii.

14 .25 pV ( qVr). -<. qV ( pVr) Dem.

1 [ 3.4] p\j ( qVr ). -< . ( pVq ) Vr [13.4'1] (1) = Q.E. D.

14 .26 pq.

-<.

r : "-'-' : p .

-<

(1)

. q :J r

Dem.

[12 .6] pq.

-<.

r:

[12 . 45]

q

r.

=

:

=

: p. -< .

��

-<

. "-' P (q

-_

'"'-'

r

)

=:p. -<. q:Jr

[14.01J

14.27 q:J r .

-< :

p\' q . :J. pVr

Dem.

[11.1J

'" rq .

-<

.q

1 [ 2.1 6 : '"'-' rl p; q '" r lr ] [11.1J

'" q '" p.

-<

(1)

� r

(1 ) .

-<

. :

. '" p -- q

. '" (q ....... r) : -< . '" q (2 )

'" r

(3)

[12 .77 : ""-' r. '" (q ...... r)Ip; '" q l q; "" pir ; '" p '" qlsJ (2) . (3) : -<:. '" r . '" \q � 1' ) � p : -< . ....... P . '"' q (4) •

111


Logica polivalentă

P

. ......., p ,...., q (5)

[ 12 .5]

(4 ) . = :. "-' (q "-' r)

[12.6]

( 5) . = :. "-' (q ,..... r) . "-' ( ,..... p '" q)

[ 1 1 .0 1] (6) . [ 14.0 1] (7) . [ 14 .26] (8)

'"

=

:

. '" (q......., r) . p V q

=

:

. q �r . p V q:

=

-<

'"

-<

:

-< .

'" ( "-' p ..... r )

(6)

. p Vr

(7)

: .

r:

-<

pVr

(8)

Q .E. D.

In baza principiulu i 14.1, că o riunde poate fi demonstra­ tă implicaţta strictă, poate fi demonstrată �i implicaţia materială , din 13.3 rezultă

14.22

(Prin cip ii, 1 .2),

p V q .::> . p

d in 13 .2 1 rezultă

14.23

(Prin cip ii, 1 .3 ),

q. � . p V q

din 13.1 rezultă

14.24

(Princip ii, 1.4),

p V q . ::>· qV p

din 14.25 rezultă

14.25 1

(Princip ii, 1 .5 ),

p V (qVr) .::>. qV (p Vr)

iar din 14.27 rezultă

14.28 q::>r

:

p V q .::>

PV

r

. ). (Princip ii, 1 6

Aşadar , am reuşit să demonstrăm toate postulatele şi definiţiile de la care pleapă Russell şi Whitehead in con­ strucţia s istemului lor . In sistemul lor , operaţiile prin care d in acestea se obţineau teoremele erau substituţia şi inferenţa în raport cu implicaţia materială. Prima este aplicată şi a ici [substituţia (b)]. Dar şi a doua poate fi uti l izat ă , deoarece

14.29

p . p �q

:

-<

.q

Dem. [ 12. 1] 1 12

p "' q .-{. . p "' q

(1 )


4.7. Relaţia de compatibilitate

[12.61

:

"" qJq; p "'" qJrJ

(1) . -< :. p . '" (p '" q)

(14.01J

(2)

=

-<. q

( 2)

Q.E.D.

şi deci dacă p şi P :J q sînt teoreme, p . p :J q este teoremă în baza adjuncţiei . Apoi, aplicînd principiu l 14.29, infe­ răm că propoziţia q este şi ea o teoremă. Cititorul se poate întreba : unde mai este atunci dife­ renţa Între cele două feluri de implicaţii (strictă ŞI mate­ rială) dacă amîndouă pot servi în aceeaşi măsură la deduc­ ţia teoremelor prin aplicarea operaţie i numită inferenţă? S-ar părea , într-adevăr, c ă , deoarece Lewis definise impli­ caţia sa într-un mod mai strict decît o făcuse Russel l şi deoarece nu permisese aplicarea operaţiei de inferenţă decît în raport cu ea , însuşi domeniul de aplicabilitate a l acestei operaţii se restrînge în comparaţie cu cel al implicaţiei russel liene . Acest lucru nu este însă a devărat. Pentru Lewls orice implicaţie faţă de care , în sistemul bivalent din Principia, se putea aplica operaţia de infe­ renţă (cu alte cuvinte , orice implicaţie tautologică) este un caz în care aceasta dă naştere în mod valabil deducţiei . Acestea sint , d e altfe l , şi s ingurele cazuri . C a atare , este de aşteptat şi chiar de dorit ca în el implicaţia strictă să aibă loc şi deci operaţia de inferenţă s ă s e poată aplica . Deci orice poate fi dedus cu mij loacele din sistemul Princip iilor poate fi dedus şi cu mij loacele din s istemul de care ne ocupăm . * 4.7.

Relatia de compatibilitate

Noţiunile de compatibilitate şi de independenţă a două propoziţii nu pot fi lămurite satisfăcător în termenii impli­ caţiei materiale . în l imbajul curent , două propoziţii se numesc compatibile dacă, luînd pe una (oricare) dintre ele drept premisă , nu putem deduce falsitatea celeila lte drept concluzie . Adică , în limbajul implicaţiei materiale : 1 13


Logica poliva lentă

'"'-' (p � '"'oJ q) sau, ceea ce e acelaşi lucru : '"'oJ (q � '"'-' pl. De asemenea, două propoziţii se numesc inde pe nde nte dacă nici una nu poate f i dedusă luînd pe cealaltă ca premisă : '" (p �q) ş i '"'-' (q �p l. Postulatele oricărei teori i , în specia l matematice, trebuie să fie compatibile şi este de dorit să fie şi independenteH'. Luînd însă noţiunea de deductibili­ tate ca fiind exprimată prin relaţia de implicaţie mate­ ria} ă, nu e xistă două propoziţii com patibile şi inde p e nde nte ! Intr-adevăr, în baza tezei:

15.3

'" (p �q) .

-{

p � '"'oJ q,

.

dacă "q nu este deductibil din p " , atunci P şi q sînt mcom­ pat ibile" , iar în baza tezei : lI

15.32

'""V

(p � '" q).

-< .

p�q,

dacă P ş i q sînt compatibile", atunci "q este deductibil din p", deci p şi q sînt dependente . M a i mult chiar , nu există două propoziţii independrnte, căci 15.4 """' (p�q). -{. (q�p), lI

dacă "q nu este deduc tibil din p", atunci lIP este deduc tibil diJ} q". In termen ii implicaţiei stricte însă , toate aceste fapte paradoxa le dispar, căci analogele stricte ale teoremelor 15 . 3 , 15.32 şi 15.4 '""V

'"

(p

(p -< q)

-<

...... (p

......

q)

-< q )

.

-< .

-<

-<

p

-<

.......

q

. p -< q

. q -{

P

pot fI demonstrate şi sînt falsel7• Prin urmare, noţiunea de compatibilitate capătă un înţeles mult mai aprop iat de cel obişnuit (şi care a fost

DU

Vedeţi *2.3. Observăm, a şadar, ca In teoremele 15.3, 15.32 şi 13.4, pe r.Înd implicaţia principală au afirmată este strictă, implicaţiile subordonate sau neafirmate nu pot fi decît materialI', rări ele nu reprezintă i nferenţe propriu-z ise. 18

17

114

s


4.7. Relaţia de compatibilitate

menţionat) , luind ca relaţie de deductibilitate implicaţia strictă . Lewis notează relaţia de compatibilitate (consis­ tency) a două propoziţi i cu simbolul ,,0" şi o defineşte astfe 1: 17.01 poq .

........

=

-<

(p

.......

q)

se citeşte "p este compatibil cu q". In baza t eoremelor 12 .42 şi 12.44, găs im:

p09

-<

....... (q .......

(p

-<

-<

'"

p)

'"'-

q) -<'" (q

"""

(p

-<

-<

��

'"

q) sau , permut înd variabilele, pl·

Deci dacă p şi q sînt compatibi le, q şi p sînt , de aseme­ nea , compatibile şi reciproc, simetrie relevată de Însuşi conţinutul intuitiv al acestei noţiuni şi care pe scurt se exprimă În : . q OP

17.21 p O q .

=

Alte proprietăţi la fel de intuit ive a le acestei relaţii sînt : 17.1

pq. -<. p O q

Dacă p ŞI q s int adevărate, ele sînt compatibile. Implica­ ţia nu este reversibilă, relaţia ,,0" neconfundÎndu-se cu produsul logic. 17.12

p -< q .

=.

'"

(po ""' q)

Lewisl.8 o compară pe aceasta cu definiţia implicaţiei materiale 14.01

p

�q

.

=

. '" (p '" q)

Spre exemplu , fie p "trandafiri i sînt verzi" şi q = "za­ hărul este dulce" . Deoarece p este fals (sau deoarece q est e adevărat) -..., (p ""' q) are l o c în acest caz, ş i deci p � q are şi ea loc : "trandafirii sînt verzi" implică material "zahărul este dulce". Dar , după cum se poate vedea, "trandafirii =

18

S!Jmbolic Logic, p . 15'..

115


Logica polivalentă

sînt verzi" şi "zahărul nu este dulce" nu sînt incompatibile una cu cealaltă , '" (p 0"-' q) nu are loc şi deci p� q nu are loc . 17.13

""

(p O "" p)

Orice propozIţie este incompatibilă cu negaţia sa . 17.3

p -<q . por: -<. qor

Dacă r este compatibilă cu p, atunci este compatibilă şi cu consecinţa aceste ia , q. 17.32

p � r . q �s . p Oq

:

-< .

rOs

Dacă premisele sînt compatibile, concluziile vor fi şi ele compatibile . Am vorbit pînă acum doar de compatibil itatea a două propoziţIi . În cazul a trei propoziţii: p, q, r, afirmaţia "p, q şi r sînt toate compatibile" nu mai poate fi exprimată nici prin po (q O r), nici prin (p O q) O r. Căci prima înseamnă �p este compatibil cu propoziţia "q este compatibil cu r" », iar a doua Înseamnă «propoziţia "p este compatibil Cll q" este compatibilă cu r ». Pentru a da un exemplu că aşa stau lucrurile, luăm19 : p q r

=

=

=

iarba este roşie iarba este colorată iarba este verde;

p ş i q sînt evident compatibile, deci poq este adevărată , r fiind şi el adevărat. Cum două propoziţii adevărate sînt , în baza teoremei 17.1, compatibile, (poq)or are loc , deşi

cele trei propoziţii luate În totalitate nu sint compatibile. Nici relaţia p.. O q . po r . q O r nu poate exprima compatibilitatea lor . Intr-adevăr , fie de pildă : p = astăzi este lun i q = astăzi este 4 iulie

r

18

116

Ibidem, p. 155.

=

5 iulie nu cade marţi .


4.7. Relaţia de compatibilitate

Oricare două din cele tre i propoziţii sînt compatibile, deci poq .por. qor are loc. Luate in toto, e le nu mai sînt compatibile . Lewis conchide că relaţia de compatibilitate a trei pro­ poziţIi p, q şi r echivalează cu (CP este compatibilă cu pro­ poziţia "q şi r sint adevărate" �> : p . O . q r. Simetria e i intuitivă rezultă d in teorema : 17.4 p .o. q r :

:

=

q .

O .

pr :

=

:

r.o.pq

Vom cons idera acum un caz particular de compatibili­ tate: compatibilitatea une i propoz iţii cu ea însăşi (self con­ sistency) şi pe care o vom numi simplu compatibilitate. 17.52 p

-< q

.p

-< ......,

-< .

q :

'" (p O p)

o premisă din care se pot deduce două concluzii contra­ dictorii este incompatibilă (cu ea îns ă şi ).

17.53 p

-<

q .p O P

:

. qOq

-<

Dacă o propoziţie este compatibilă , orIce pr<'lpoziţie dedusă din ea este tot compatibilă. Avem Ş I reciproca: 17.54 p. -<q . '"'-' ( qoq)

:

-< .

'"'"' (pop),

adică dacă o propoziţie este incompatibilă, propoziţia din care aceasta a fost dedusă este tot incompatibilă. 17.55 pop. '"'-' ( qoq)

:

-<. "--

(p -!.q)

Dacă două propoziţii sînt , una compatibilă , cealaltă incompatibil ă , atunci cea de-a doua nu poate fi dedusă din prima . 17.56 p-<q . pop:-<.po q

Concluzia este compatibilă cu premisa dacă aceasta din urmă este compatibilă. Condiţia de compatibilitate a pre­ misei este necesară; fără ea teorema nu mai poate fi stabi­ lită . O dată cu 17.56 au loc (ca şi pentru 17.53) toate varian­ tele sale: 17.57 p -< q . '"'-' (p O q) 17.58 pop ......, (poq) •

: :

. ......, (p O p)

-<

-<

.

'"'-' (p -< q) 117


Logica polivalentd

Următoarele teoreme stabilesc legături evidente intre adevăr şi compatibi litate. 1 7 . 6 p . � .pop

Orice propoziţie adevărată este compatibilă .

........, (pop) . � . "-p Orice propoziţie incompatibilă este fa lsă .

17.61

*

4.8.

Funcţii

moda le

Deşi se poate demonstra ca teoremă echiva lenţa

OP. = . pop. . ........, (p �"" p), Lewis observă că ea ar fi putut servi tot atît de bine şi ca definiţie pentru noţiunea de posibilitate (evident cînd nu ea , ci compatibilitatea sau implicaţia strictă ar fi fost l uate drept noţiuni primitive) , căci proprietăţile posibili­ tăţi i în s istem sînt exact cele ce decurg din această echiva­ lenţă . Astfel O p Înseamnă "p este compatibil (cu s ine)" sau "p nu implică propria sa negaţie". Expresia,,", (O p ), pe care o vom scrie........, O p , Înseamnă: "este fals că p este posibil" sau "p este imposibil" sau "p nu este compatibil (cu s ine)" sau "p impl ică propri a sa negaţie" 1 8.12 ""' O p . . ""' (p O p) . = . p � ........, p Expres ia O ( ""'" p) o vom scrie O ...... p şi înseamnă "este posibil ca p să fie fa ls" sau "p nu este necesar adevărat"20 sau , ţinînd seama de echiva lenţele 18.1

=

=

1 8.13

O........, p.= ....po ...... p . = . ........, ('"'vp�p ) ...., •

"negaţia lui p este incompatibilă" sau "adevărul l u i p nu poate fi dedus din propria sa negaţie". 2 0 D eoarece / )

negaţii

- P eslI' echival�ntă, î n baza principiului dublei (12.3), C,\1 - ( - ') -p), iar -")-/1 înseamnă .. [1 este

necesar adevaral .

118


4.8. Functii

modale

Expres ia,,-, [O ( "-' p)], notată", O '" p21, înseamnă "este imposibil ca p să fie fa ls" , deci "p este necesar a de­ vărat" sau, cum 1 8 .1 4

--) '" p

.

=

.

'" ( -- p o'" p)

. =

.

.......

p -{ p,

"negaţia lui p este incompatibilă" sau "adevărul lui p poate f i dedus d in propria sa negaţie". Echiva lenţele 1 8.1 -1 8.1 4 pot fi comparate cu următoa­ rele : cu p. 1 8.12 cu "-' p

18.1

=

.

p '" ( -...., p) -....,

.

=

.

[ P """" ( "-' p)]

'" p

p.

"-' (p :::J ""' p) •

=

.

p

:::J.",

p

-- (-- P :::Jp ) . ,..... P :::J P 1 8.1 4 cu p . . ,..... ( "" p '" p) Aşadar , inlocuind relaţiile stricte "o" şi ,,-<", respectiv cu relaţiile materiale de produs logic şi implicaţie mate­ r ială, se şterge distincţia d intre posibil, ade vărat şi ne cesar ş i d intre imposibil, fals şi posibil fals, logica devenind b iva­ lentă. Pentru a lămuri sensul intuitiv a l noţiunilor de "posib il", "impos ibil" şi "necesar" în accepţia lui Lewis , vom face odată cu el d istincţia dintre un sens relativ şi unul absolut a l acestora 22. Sensul relativ are în vedere legătura pe care propoziţia, sau mai bine zis faptul exprimat de ea , o are cu o anumită stare de lucruri ca : date iniţiale, cunoştinţele noastre la un moment dat etc. Posibil înseamnă atunci compatibil cu această stare de lucruri , imposibil înseamnă incompa­ tibil cu ea , iar necesar - i mplicat de însăşi această start de lucruri. Sensul absolut se referă la propoziţie (sau conţ inutul ei) luată în ea însăşi , adică în raportul pe care îl are cu ea 18.13 cu

'"

p

=

-....,

=

.

=

21 C " literatura de specialitate a prescurtare a notaţiei ,,-(> a introdus simbolul ,.0", numit şi simbolul necesităţii. în aceste condiţii, O p se va citi "p este necesar". Ce v a mai încolo vom utiliza sistematic această notaţie. �2 Symbolic Logic, p. 161.

- ,

119


Logica polivalentă

însăşi sau cu negaţia sa, totul reieşind din s impla analiză logică a acestei propoziţii. Pentru a face o comparaţie între cele două înţelesuri, să notăm prin Q starea de lucruri la care ne refeream mai sus . Atunci: p este

în sens relativ

în sens absolut

posibil imposibil necesar

po Q "- (p O Q) ,....., (" p O p) sau Q-<p

po p "' (po p) ....... ("- po '" p) sau """' p-< p

Sensul relativ a l posibilităţii este mai larg decît cel absolut , implicîndu-l . Invers stă cazul cu imposibilitatea şi necesitatea care , deoarece se definesc prin negarea posi­ bilităţii , ......, O , şi respectiv posibi l falsului , '" O "- , sensu­ rile lor relative vor fi mai restrînse decît cele absolute corespunzătoare . Implicaţia , definită de Lewis ca o i mposi­ bilitate logică , va fi şi ea deci valabilă Într-un număr mai restrîns de cazuri decît noţiunea relativă corespunzătoare . Este evident faptul că Lewis nu tratează modalităţile decît în sensul numit de el absolut. Am văzut legăturile acestora cu modal ităţile re lative . Să urmărim acum legă­ turile lor între ele. Utilizînd echivalenţa 18.1 , putem înlocui în 17.6 expre­ sia pop cu O p şi obţinem: 18 . 4

p -<O p

adevărul implică posibilul. La Cel, d in 18.1 obţinem: 18 . 41

'"

O p -< '" p

imposibilul i mplică falsul . 18.42

....... O

'"

p-< p

Dem.

O � p -< --- ( � p) necesarul implică adevărul . [18 . 41 J

120

ŞI

1 7.61


4.8. Funcţii moda le

18.43

"v

O "v P -c O p

Dem.

[11 . 6] (18.42) . (18.4)

-c

:

Q.E. D.

necesarul i mplică posibilul. 18.44

,.....,

Dem .

p -C O

(18.4 : '" pjp]

'"

p

Q.E.D.

falsul implică posibil falsul. 18.45

,.....,

Dem .

O p -c O

p

'"

[11.6] (1 8. 41 ) . (18.4 4 )

:

-c Q.E. D.

imposibilul implică posibil falsu l . Modalităţile afirmative (posibilitatea ş i necesitatea) au proprietatea că se transmit de la antecedentul unei impli­ caţii la consecventu l ei: 18 .51

p-cq.O p:-c.O q

Dacă antecedentul este posib i l , consecventul este posibil . 18.53

p -c q

"-'

O "-' p

:

-c

.

""' O "-' q

Dacă antecedentul es te necesar , consecventul este nece­ sar23• Aşada r , ori de cîte ori o propoziţie poate fi demonstrată ca posibilă (necesară), orice propoziţie implicată strict de ea este tot posibilă (respectiv necesară). Acest fapt îl vom folosi la momentul potrivit (*4.13). Cu toate acestea , i mplicaţia p-cq .-c.O p-cO q 23 Scolasticii cunoşteau foarte bine aceste relaţii şi încă multe altele pe care le înglobau în tratatele lor sub numele de Teoria

consecinţelor (A. Dumitriu, Istoria logicii, cap. XXII, § care cele două

teoreme 18.5 şi 18.53 apar sub forma

22.5,

În

regulilor

M1 şi M.).

121


Logica polivalentd:

(respectiv p -< q . -< . '" O '" p -< '" O '" q) nu poate f i dedusă uti lizînd doar postulatele 1 1 . 1 - 1 1 .7. După cum vom vedea însă , ea poate f i adăugată ca postu­ lat suplimentar, cu consecinţe importante (*4 .10) . Modalităţile negative - imposibilitatea şi posibi l fal­ sul - se t ransmit invers , de la consecventul implicaţiei la antecedentul e i . Aşa cum, datorită transpoziţiei (12.43) , dacă p-<q ş i ,...., q, atunci"", p. 18.5 p -< q

. .......

O q : -< .

.......

Op

Dacă consecventul este imposibi l , atunci şi antecedentul este imposibil. Altfel spus , o propoziţie care implică ceva i mposibil este , ea însăşi, imposibilă . 18 .52 p -< q . O '" q : -< . O ....... p Dacă consecventul este în mod posib i l fals, antecedentul va fi, de asemen('a , în mod posibil fals .

*

4.9. Completarea Sistemul 2

sistemului 1.

Aşa cum am observat ŞI tn discuţia acestor teoreme, s istemul t ratat de noi pînă acum (Sl) suferă de anumite lipsur i . El este incomplet, în sensul că anum ite princip ii de logică i mportante nu pot fi demonstrate ca teoreme în el (rămîn, aşadar , în acest cadru, false)240, sau nu pot fi demonstrate într-o formă genuină . Ce trebuie să înţelegem prin această ultimă afirmaţie? 24 Completitudinea, ca proprietate a unui sislpm formal, a fost menţionată in "'2.5.3. Pul�m preciza această noţiune în felul următor. Dat fiind un sistem formal, care in pa r ticu l a r poate fi un calcul propoziţional, am văzut ce inţelegem printr-un model al său ("'2.5.1). Ei bine, dat fiind un astfel de model, sistemul respectiv se nume�te c o mp let dacă orice enunţ adevărat al modc-

122


4.9. Sistemul 2

Există o serie de teoreme în sistemul 1 ce pot fi carac­ terizate astfel25 : - Sint de forma p

T

:

.

q

unde T desemnează o anumită teoremă d in s istem şi con­ ţine modalităţi (în mod implicit sau explicit); de exemp lu p �p, dar nu p :;)p. - Propoziţia p . T : � . q este demcnstrabilă în sistem (este teoremă). - Propoziţia p � q nu este demonstrabilă (nu este teo­ remă). Datorită formei lor, ele poartă numele de T-te oreme sau T-principii28• Vom da un exemplu : �

16.1 p

unde: T

: �

q. T

=

p �q

: :

qr -< .

pr .

:

.

qr,

.

-<

qr

adică teorema este de fapt

qr . � . qr :.

-<

:

pr .

-<

.

qr

Demonstraţie :

[12.77 : qrls] Q.E.D.

Pe de altă parte Însă se poate demonstra că propoziţia

1 6 . 1 în forma genuină , adică fără T, p

q.

-<

:

pr

.

.

qr,

deşi valabilă din punct de vedere intuitiv, nu este o teoremă (nu poate fi dedusă n umai din postulatel e 11.1-11.7). Pentru a o putea deduce , atît pe ea cît şi pe altele la fe l de evidente , Lewis se vede nevoit să introducă un al optulea postulat , şi anume: 19.01

O (pq)

� Op

lului psle derivabil în sistt'm. (Reciproca acestt'i proprietăţi esle valabilă prin însăşi definiţia modelului). Tocmai în acest sens considerăm sisleffiul1 ca incomplet, cfici anurn itc principii valabile in modelul la care ne gîndim ( logica ()bi�lluiIă) nu pot fi derivate in interiorul său. 2S R. Ft"y@, op. ciI., p. 61.' 26 Symbutic Logic, p. 1'.7 �i urITI.

123


Logica polivalentă

Aceasta se numeşte postulatul compatibilităţii, căci

o (pq)

. = . '" '" O [p '" ( '" q) ] . = . '" (p =

q) . . poq, "-'

O (pp) . = . p O P Deci 19.01 se mai poate pune sub forma: iar p. =

19. 01·

p

O

.

q

.

.

p

O

P

Dacă p şi q sînt compatibile, atunci p este compatibil (cu sine).

Să observăm că 19.01 putea fi demonstrat sub forma unui T-principiu pornind de la postulatele 11.1-11.7 (în sistemul 1). într-adevăr [18.51 : pq/p; p /q] pq. -! P : O (pq) :. � . O p unde: T = : pq . � . peste postulatul 11.2. •

Noul sistem formal astfel obţinut, şi numit de Lewis sistemu l 2 ( S2 ) , cuprinde pe lîngă teoremele sistemului 1 toate T -teoremele în forma lor genuină (fără T). Intro­ ducerea lui 19.01 se dovedeşte, aşadar, fructuoasă, Totuşi aduce cu sine şi consecinţe ce pot fi privite ca paradoxale: '" O p . De monstraţie:

19. 7 4

�.

(1)

"-' (p o p) �'"'-' (po q)

[12.43, 19.11J

"'" (p

[ (1) : "-' q/qJ

p �q

[18.12 , 17.12 J

O

p)

� '"

(p

O

"-'

q)

(2 )

(2 ) = Q.E .D .

o propoziţie imposibilă sau contradictorie implică orICe propoziţie.

19.7 5 '" 0"-' p Demonstraţie:

[19.7 4 [12 . 44J 124

: �

.

�.

p/ p; "-' q/qJ

( 1)

=

Q.E.D.

q

�p

"-'0""" p . � . '" p � "-' q

(1 )


4. 10.

Modalităţi complexe

o propozIţIe necesară este implicată de orice propoziţie.

Ele seam'ănă doar cu paradoxele implicaţiei materiale ""P ::J . P ::J q şi respectiv p ::J q ::J p, căci, de fapt, repre­ zintă adevăruri fundamentale ale deducţiei27, aşa cum vom vedea în *4.13. •

*

4.10. ModaliUiţi complexe

Discutînd sistemele modale ale lui Lewis, filozoful

O. Becker a făcut următoarea observaţie evidentă28: pe

lîngă cele 6 modalităţi simple considerate de Lewis (adevă­ rul, falsul, posibilul, imposibilul, posibil falsul şi necesa­ rul), nimic nu ne împiedică să considerăm şi modalităţi suprapuse sau complexe, ca de exemplu:

,, "" O

""-'

��

O",

care înseamnă "este

necesar ca să fie im­

posibil". E drept că unele din acestea se reduc, în baza echivalen­ ţelor demonstrate pînă acum, la altele mai simple. De pildă cea din exemplul nostru se reduce, în baza legii dublei negaţii (12.3), la: O O", adică "este imposibil să fie posibil". ,,""Totuşi McKinsey a demonstrat că în S2 (deci şi în S1) există o infinitate de asemenea modalităţi complexe ireduc­ tibile29• Şi anume, a arătat el, toate modalităţile de forma on (adică O O . . O de n ori) sînt ireductibile. .

În acest scop să interpretăm propoziţiile p, q, r etc. ca repre­ zentînd mulţimi de numere naturale; negaţia unei propoziţii, -p, ca reprezentînd mulţimea formată din toate numerele naturale care nu intră în mulţimea p (complementara mulţimii p); produsul logic a două propoziţii, pq, ca reprezentînd mulţimea numerelor 27 28

I bidem, p. 248 şi urm. O Becker, Zur Logik der

J,Jodaliliiten, în "J ahrbuch fur Philosophische und Phenomenologische Forschung". 11 (1930), pp. 496-5/.8. 28 J. C. C. McKiD�ey, Proof thal there are in(initely many modalities in Lewis's system S2, În "Journal of Symbolic Logic", V (1940), pp. 110-112.

125


Logica polivalentă care intră atit in mulţimea p cit ŞI In mulţimea q (intersecţia mulţimilor p şi q); posibilitatea lui p, <> p ca reprezentînd mul­ ţimea atit a numerelor din p cit şi 8. succesorilor 101' imediaţi (reuniunea mulţimii p cu mulţimea succesorilor numerelor din p). Să considerăm acum o propoziţie din logica lui Lewis, spre exemplu postulatul 11.3

p .

-<

. pp

EI poate fi scris doar cu ajutorul negaţiei, produsului logic şi posi­ bilităţii

- O ( - p

pp)

Fie atunci p mulţimea formată doar din numărul O adică {O}. Produsul pp va fi evident, in baza celor spuse mai sus, tot { O }. iar - p va fi mulţimea numerelor naturale mai puţin O adică { 1,2 ... }. Expresia - p . pp va fi mulţimea numerelor naturale carc intră atît În mulţimea {O} cît şi în mulţimea {1,2 ... }. Evident, nici un număr nu poate face parte din această mulţime. Ea este mulţimea fără nici un număr (ddă). Neavind elemente, nu există nici succesori ai elementelor.

Deci mulţimea O ( - p. pp) va fi tot mulţimea fără nici un număr. Dar atunci - O ( - P . pp), formată din toate numerele naturale cu excepţia eelor din 0(- p. pp), va fi formată din toate numerele naturale fără excepţie. Această mulţime corespunde postulatului 11.3 nu numai cînd luăm p drept mulţimea {O}, ci drept orice mulţime de numere naturale (postulatul are o proprie­ tate analogă cu cea de a fi o tautologie din calculul propoziţional bivalent - ·3.14). Toate postulatele au această proprietate. In plus, operaţiile prin care din ele derivăm teoremele (substituţia, adjuncţia şi inferenţa) "păstrează" proprietatea. Adică toate teore­ mele "moştenesc" de la postulate această proprietate. Fără să ins istăm, facem doar observaţia că o propoz iţie de forma

p=q va avea proprietatea în cauză dacă şi numai dacă mulţimilep �i q sînt egale în sensul obişnuit (adică au aceleaşi elemente). Revenind la problema pusă, pentru a arăta că modalităţile On sînt toate ireductibile este suficient să arătăm că o teoremă de tipul

(teoremă de reductibilitate) nu poate avea loc decît dacă n = m. Sau, apelînd la "int.erpretarea" descrisă mai sus, că pentru o mul­ ţime p de numere naturale convenabil aleasă, cele două mulţimi corespunzătoare On p şi Om p nu pot fi egale decit atunci cind

= m.

n

126


4.10. Modalităţi complexe

Să luăm drep t p mulţimea { O}. Prin urmare Op

=

{ O , 1 }, O O P = {O , 1 ,2) elco

O n p şi Om p vor fi atunci, respectiv , {O,1,2, ... ,n}

şi

{O , 1 , 2 , .. , m} egalitatea putind avea loc doar cînd

n = m.

Aşadar, prin combinaţie între ele, modalităţile pot da mereu combinaţii ireductibile. Sistemul modal al lui Lewis este deschis. El prezintă prin aceasta o serioasă lacună. Este de remarcat că Becker, care făcea aceste observaţii, nu se referea la sistemul 2, considerat pînă acum, ci la unul mai cuprinzător decît el şi numit pentru aceasta de Lewis sistemul 3 (S3). Propus în A Sur<,ey of Symbolic Logic (vezi paragraful *4.4) , el poate fi obţinut dacă la postulatele sistemului 1 (11.1-11.7) a dăug ăm postulatul 8. p -< q .-<. O p -< O q30 Acesta s-a dovedit mai "tare" ca 19.01, care poate fi dedus din el (pe cînd invers nu). În S3, americanul W.T. Parry a dovedit că sînt doar 42 de modalităţi complexe ireductibile31• Ce-i drept, cam multe pentru a le da o interpretare intuitivă, dar totuşi În număr finit. (Pentru matematicieni, finitul, oricît de mare ar fi, este la fel de contrastant cu infinitul. De aceea ei nu disting între un finit mic şi un finit mare). La vremea cînd şi-a scris studiul său (1930), Becker nu cunoştea faptul. Considerînd, probabil, că aceste modaG"­ tăţi sînt în număr infinit, el şi-a propus să le reducă la unul finit prin adăugarea de noi postulate sistemului 3. Reducerile astfel obţinute conduc la un număr mult mai mic de modalităţi fundamentale, uşurînd înţelegerea lor intuitivă şi făcînd interesante sistemele respective, motiv pentru care le vom analiza în cele ce urmează. 30 R. Feys, op. cit., p. 79.

31 W. T. Parry, 1\1odalities in the Su.rvey syslem o{.strict impli­ ca/ion, În "Journal of Symbolic Logic" , IV (1939), pp . 137-154.

127


Logica polivalentl!

*

4.11.

Reducerea modalitătilor Sistemul 4

la

14.

Începînd cu acest paragraf, vom întrebuinţa sistematic s imbolul ,,0" pentru desemnarea modalită ţii "necesar" , înlocuind grupul de semne , ,"" O ....... " . Expresia 0 p" se va c it i , aşadar , "p este necesar". între cele două s imboluri O şi O există o legătură fundamenta lă şi care se numeşte "dualitate" (ana logă celei care există între cei doi cuantifi­ catori - universal şi particular - ai calcululu i cu funcţii) , legătură pe care o vom concretiza în "regula de dualitate". Am văzut că d in punct de vedere formal o modalitate se prezintă ca un şir finit de s imboluri ""'v, O şi O, pe care îl notăm pe scurt prin M. Din definiţia s imbolului O, ,,

O = ---- O "', ş i uti lizînd legea dublei negaţ i i , rezultă imediat următoa­ rele echivalenţe O

p·= ·"'O"'--��p·= ·""Op O"'p· .. "'''-<)..-...p . .= ·"'Op Aşadar negaţia, trecînd peste semnele O şi O, le schimbă pe unu l în celălalt; dacă negaţia trece peste alte semne de negaţie, le lasă evident neschimbate. Re gula de dualitate. Fie MI şi M2 două modalităţi, iar M� ş i M2 modalităţile obţinute respectiv din MI şi M2 prin înlocuirea semnelor O şi O Între ele (de exemplu dacă MI este " O "'" O" atunci M� este "O '" O"). Atunc i , dacă MIP -< M2P este o teoremă , 111;p -< M�p estc tot o teoremă . ......

De monstraţie:

Datorită efectului trecerii semnului de negaţie peste semnele O, O, ....... , observat mal sus , rezultă că MI'" P = '" M� p (1) ((1) : '" p/p] MI'" '" P = '" M� '" p (2) [(2), 12.3] M1P '" M� '" P (3) =

128


4.11. Sistemul l

In mol perfect analog putem găsi ŞI echivalenţa M2P =

"'"

Ma"'" P

(4)

Dar am presupus că are loc M1P -< M2P [(3), (4), (5)]

"'"'

M�

"-'

P

-<

----

M� "-' p

"'" p/p] '" M� "" "" p -< "'"' M2 "'"' "" P [(7), 12. 3J "'"' M�p -< '" M2P [(8), 12. 41] MaP -< M�p , dec i ceea ce trebuia [(6)

:

(5) (6) (7)

(8)

demonstrat. Şi acum să revenim la c�rcetările lui Becker. Urmărind reducerea modalităţilor complexe , el introduce noi postu­ late. Iniţial acestea au fost adăugate la cele opt axiome a le sistemului 3. Ulter ior , arăt.indll-se că în acest fel a opta putea fi dedusă d in celelalte, s-a renunţat la ea . Aşadar , vom adăuga, pentru obţinerea sistemului 4, pri­ melor şapte postulate, 11.1-11.7, următorul: 9. O p

-<

O O p

Necesitatea impl ică neces ita tea necesităţii . Care este sen sul introducerii lui? Ne propusesem reducerea modalităţilor suprapuse la unele mai simple. Dar cele de forma Dn sau on pot f i r�duse l a O, respectiv 0, dacă dispunem î n sistem de echivalenţele 10.

Dnp

11.

onp =

=

OP

O

p

Acestea însă pot f i deduse din aproape în aproape din 12 .

D2p = O p

(prin substituţia lui P cu O p obţinem D3p = D2p = = O p ş.a.m . d . ) ş i respectiv 13.

02p = O P 129


Logica polivalentlf

Să observăm că , deoarece fiecare dintre ele este duala celeilalte (conţine simbolul O unde cea laltă conţine simbolul O sau invers) , dacă una are loc, cealaltă , în baza regulei stabilite, are şi ea loc. Dar echivalenţa 12 Se compune din următoarele două implicaţii stricte: 02p -< O p 12". O p -< 02p Formula 12' afirmă că din necesitatea propoziţie i O p se deduce adevărul ei şi ca atare este o aplicare a teore­ me i 18.42. Reciproca însă , 12", nu putea fi pînă acum demonstrată. Luînd-o ca axiomă, 12 si deci 10 devin teoreme. Apoi , prin dual itate , 13 şi 11 p � t f i, de asemenea , demonstrate , On şi on reducînd-se l a O şi respectiv O . Din axioma 9 si din consecinta ei 8 rezultă încă CÎteva teoreme importa �te pentru reducerea modalităţilor . 12'.

14. p -< q . -< . O p -< O q Demonstraţie :

'" qjp; ...... p j q J

...... q -< """ p . -< . (:' ...... q -< O'" p (1) [12.43, (1), 11.6J p -< q . -< . O '" q -< <> """ p (2) [1 2 . 43 : O """ q jp; O ,..,.., pjqJ :) """ q -< O """ p . -< . [8

:

'" O ""' p -< [11.6J 15.

'"'"'

(2) . (3) O p -<

O :

-<

'"

( 3)

q

Q.E.D.

OO Op

De monstraţie:

[18.43 : O p/pJ

02 P

-<

(> O p

(1)

02 pjp; O O pjq] (1). -< . 03 P -< O O O p ( 2 ) [ (2 ), 10J Q.E.D. Din 15 prin regu la de dual itate rezultă: [14

:

16. O OOp-<�)p 130


4.11. Sistemul ·1

17'. O O p -< (O O )2p Dem.

[15 :

O p/p]

17".

Q.E.D.

(D O )2p-<D Op

Dem. [14 :

O O O p/p;

O p/q] 16

-<

Q.E.D.

Implicaţiile 17' şi 17" dau echivalenţa (O O)2 p = O O P şi prin dualitate 17.

(O ;:J)2 p = O O p Din 17 şi 18 re zultă din aproape in aproape (cum rezultă din 12 şi 13) 18.

19.

( O 0)11 P

=

OO P

(O ori p =O o p Utilizînd acum 10, 11, 19 şi 20 , sîntem în măsură să reducem toate modalităţile complexe la 14 fundamentale . Dar să procedăm sistematic. Dacă modal itatea constă Într-un simplu şir de semne "-' (spunem că ea este im propr ie), aplicînd de cite ori este nevoie legea dublei negaţii, fie că aj ungem la propoziţia simplă p (cînd număru l semnelor '"'"-' este par): 20.

( "'"') 211P = p, fie că ajun gem la negaţia sa "'-' p (cînd numărul lor este

impar) :

("'-') 2n+l p

( "-' 2n", p = "'-' p ) Aşadar , modalităţile improprii se reduc la două funda­ mentale : adevărul "p" şi falsul ,, """ p". Interesant este cazul în care modalitatea este proprie, a dică în care apar efectiv simbolurile O sau O . Cum am observat , putem trece atunci toate negaţiile din modali=

131


Logica poli valentă

tate la dreapta ei (l îngă p ) , ţinînd seama de reguli le amin­ t i te (vez i p . 128) . Aplicăm apoi lege a duble i negaţii , astfel încît orice modal itate proprie poate f i adusă fie la forma l�lp (cînd conţine un număr par de semne ...... ) , fie l,a forma 1v! ...... p (cînd numărul de semne ...... este impar) . In prim u l caz ea se numeşte afirmatil'ă , în a l doilea , negatil'ă32.

Să cercetăm numărul modalităţilor fundamentale (ire­ ductib ile) alirmat ive . Ele pot f i împărţite la rîndul lor în două tipuri33 : - tipul A : cele care încep cu s imbolul O - tipul B : cele care încep cu simbolul 0 Cum orice succesiune de semne O poate fi redusă , în baza teoreme i 10, la unul s ingur şi orice succesiune de semne 0 poate fi redusă , in baza teoreme i 1 1, la unu l singur , orice modal itate de tipul A poate fi adusă fie la forma

( O 0)n O dacă u ltimul

CI

O,

semn este

fie la forma

(O 0)n dacă ultimul ei semn este O . Apo i , prin apl icarea teoremei 19, modal ităţi le de prima formă se reduc toate la O O O , iar cele de a doua formă la O <) . Modalităţile care nu conţin de loc semnul O se reduc evident , în baza teoremei 10, la O . Prin urmare toate modal ităţile ireductib ile afirmative de tipul A sînt

000

DO

O

000

00

O

Înlocu ind în raţionamentu l de mai sus pe O cu 0 , pe <) cu O , iar teoremele 10, 1 1 şi 19 prin dualele lor , res­ pectiv 11, 10 şi 20 (sa u , cum se spune , ra ţionînd "dual") , conchidem că toate modal itătile ireductibile af irmative . de tipul B sînt : 32 R. Feys, op. ciI . , 33 I bidem , p. 8 5 .

132

§ 30.6.


4. 1 1 .

Sistemul

4

E uşor de observat că fiecăre i modal ităţi afirmative de tipul A Î i corespunde una negativă , prin adăugarea une i negaţii la sfîr�it. La fe l şi pentru cele de t ipu l B . Alte modalităţi negative ireductibile evident nu m a i pot f i . Deci în total 3 + 3 afirmative, 3 + 3 negat ive şi două impropri i 14 modalităţi fundamentale . Intre cele şase modal ităţi afirmat ive (ca şi între cele şase negative) subzistă nişte serii liniare de implicaţii stricte , ş i anume : =

D p � D O :J p � O D p � O D O p � () p O p -< D O D p � O <) p � O O O p � O p Aceste relaţii pot fi scrise în sehemă astfel, întrebuinţînd săgeţile în locul semnului ,, � ":

Cele şase implicaţii strict e care au loc pot f i deduse imediat , porn ind de la teoremele demonstrate pînă acum . W . T . Parry a arătat că altele în afara acestora nu au loc . Oskar Becker interpretează fenomenologic moda l i tăţ.ile la care a ajuns . Astfel , echiva lenţele 12 ş i 13 (sau 10 şi 1 1) conduc ev ident la faptul că « iteraţia modal ităţi i "nece­ sar" (sau "posibil") , aşadar a moda l i lăţilor afirmative , nu al'e nici un efect , nu oferă nimic ) . Ce concluzie trage d e aici Becker? Fenomenologic, a cest rezultat trebuie interpretat în sensul că neces itatea este o modalitate a bso­ lută, ea nu mai suferă o gradaţie şi are , din cauza aceasta , un caracter ideal34 • Teza aceasta este În legă tură cu deoseb irea pe care o face Husserl între aprioricul forma l ş i contingent35 • Necesi­ tatea formală este , în ordine , superioară neces ită ţii mate­ riale . Necesitatea formală SP. sat isface singură , aduce cu sine propria ei necesi tate , pe cînd necesitatea materială trebuie privită ca o existenţă de fapt (Tatsache). 34 O . Becker, op . c i t . , p. 5 18 . a o E . Husserl, Formale und transzendentale Logik, H a l l e , 1929.

133


Logica polivalentă

Becker merge mai departe şi , deşi este de acord că nece­ si tatea materială este un fapt esenţial (W686ntatsache) , o numeşte , paradoxal , un "aprioric contingent" . Prin teza O p � O O p se exclud din logica formală astfel de fapte esenţiale , rămînînd numai la "aprioricul necesar" . La fe l se petrec lucrurile şi cu posibil itatea . Prin ea trebuie să înţelegem iarăşi o modalitat e ideală sau "for­ maIă" , ad ică o modalitate absolută - ca şi neces itatea care nu este capab ilă de gradare , de "slăbire" (Ab­

schwiichung)3° .

*

4.1 2.

Reducerea modalităţilor Sistemul 5

la

6.

Becker nu se opreşte aici cu stud iul reducer i i modalită­ ţilor. Am văzut că în sistemul 4 apăreau încă modal ităţi suprapuse , şi anume (cons iderînd doar pe c e l e afirmative) : - două cu cîte tre i semne de modal itate (de gradul 3)

OOO

O OO ŞI două cu cîte două semne de modalitate (de gradul 2) ŞI

O O ŞI

00

Să le considerăm pe acestea din urmă . Dacă e le s-ar putea reduce la modal ităţi de gra dul 1 , atunci apare evi­ dent faptul că toate s-ar reduce la modalităţi de gradul 1 . Es!e ceea ce face ş i Becker . Iată cum : Intre fiecare dintre ce le două modalităţi de gradul 2 şi modalităţile de gradul 1 ( O şi O) e xistă implicaţiile : O Op�Op Ş I duala sa O p� O O p

S8 o. Becker, op. ciI . , p . 5 1 9 . A i c i s - a avut in vedere aspectul l og ic-form a l a l conce p ţiei lui O. B ecker ş i nu imp licaţiile e i l oz ofice, c a re necesită un a l t cadru de d i scuţi e .

fi­

134


4.12. Sistemul 5

ce decurg din legile b inecunoscute "necesaru l implică adevărul" ( 18.42) şi " adevărul implică posib ilu l" ( 18 . 4) . Rec iproce le acestor implicaţi i nu pot fi demonstrate . (Dacă cel puţin una ar fi demonstrabilă, atunci ar f i şi cealaltă , în baza regulei de dual itate . ) Dar dacă e le ar aVea loc, atun ci echivalenţele corespunzătoare a u , de asemenea , loc şi dec i toate modalităţile complexe se reduc la cele simple . N u ne rămîne decît să le luăm drept axiome (datorită dualităţ ii este suficientă una s ingură) . Este ceea ce face şi Becker , care adaugă sistemului 4 postulatu l 21. O p -{ O O p Din e l şi din prima implicaţie valenţa

de

mai sus rezu ltă echi.

O O p = O p, iar prin regula de dual ita t f 22 .

23 . O O p

O p Aşadar , reducerea tuturor moda lităţi lor complexe este un lucru ce se poate înfăptu i, ş i anume , pentru cele de gradul 3 : =

O O O p = O (O O p ) = O O p O p O O O p = O \0 O p) = ) O p = O p Reducerile ce lor de gradu l 2 s i n t d a te direct de 22 Ş I 2337 • Prin urmare , în tota l , 6 modalităţi : - două i mproprii , adevărul p şi falsul p, - patru propr i i , dintre care : - două afirmative , necesar adevărul , " O P" , şi posib i l adevărul , "Op", - şi două negative , necesar falsul (sau imposibilul ) =

"'"

" O "" p" (sau ,,

""

O p" ) şi posib il falsul "O "" p" .

37 După cum o b s ervă Prior, î n acest s i s tem ( 5 5 ) , oricc Ş i l' de s imboluri O şi a d ică orice m o da l i tate afirm a t ivă , p oa t e f i

O,

În locuit p r i n u l timul s ă u sem n , res p ect iv O s a u Time and Modality, Oxford, 1 9 5 7 , p . 1 2ft) .

° (A. N .

Prior,

135


LogIca polivalentă

I n încheiere vom face observaţia că din postulatul 2 1 s e poate �educe ş i postu latul 9 (care trece , aşadar , Î n rîn­ du I teoremelor) . 9.

O p� O O p

Demonstraţie:

[18.4: O p j p] D p � O O p [22 : O p /p J D O O p = O D p [( 1 ) , ( 2) J O p -< o O O P [ ( 3) , 23J Q.E.D.

(1) ( 2)

( 3)

Prin urmare , pentru axiomatizarea sistemulu� 5 sînt suficiente postulatele 1 1 . 1 - 1 1 . 7 şi 2 1 . Dar e l mai poate fi axiomatizat şi Într-o altă variantă , pe care o propune Becker. Anume adăugirea la sistemul 4 a postulatului

24 . p ....c D�OJp Acesta afirmă, evident , mai puţin decît 2 1 , Întrucît stabileşte aceeaşi concluzie " D O P " . dar pornind de la o premisă mai tare , p , decît premisa lui 2 1 , anum e OP . Din acest motiv, 9 trebuie ş i el păstrat pe l ista postu­ late lor (nu mai poate fi demonstrat ca teoremă) , l istă care va conţine deci pe 1 1 . 1 - 1 1 .7 , 9 şi 24. Becker numeşte propoziţia 24 "axioma lui Brouwer" deoarece ea afirmă "adevărul implică absurditatea absurd i­ tăţii". într-adevăr , înlocuind O cu '"'" O '""' , 24 se mai poate pune şi sub forma : p -< '"'" O ( "" O p l . Afirmaţia conţinută în ca este fund&mentaIă , după cum vom vedea , în logica intuiţionistă . Să arătăm că 24 şi 9 conduc la 2 1 , dec i la ace leaşi re du­ ceri "tota le" ale modal ităţi lor suprapuse : Demonstraţie :

[24 : O p/pJ O p � O O O P [ ( 1) , 13J Q.E . D. (13 fiind o consecinţă a lui 9 poate fi util izată aici). 136


4.13. Un postulat de existenţCl

Ş i în cadrul sistemului 5 , Becker dă o interpretare feno­ m enologică moda lităţi lor . Teza

2 1 . O p -< O O p "modalitatea posib i l implică propria e i necesitate" se explică astfel. Am văzut că necesitatea şi posibi litatea definesc o sreră "ideală" sau "absolută". Ele sînt, în ordine , deasupra modurilor "contingente". Se poate spune - scrie Becker - că necesitatea se află dej a in fiinţa acestor sfere şi că expresiile verba le a le acestor modal ităţi nu aduc nimic nou38 . Pe de altă parte însă apar ŞI paradoxe :

22 . O O p = O p "posibil itatea necesităţii este echivalentă cu necesitatea însăşi" sau "posib ilitatea şi realitatea coincid cînd se referă la necesitate" . Becker crede că poate justifica şi acest paradox prin interpretarea pe care o dă acelor sfere ideale cărora ar aparţine şi posibilitatea . Sfera posibilităţii ideale este de aşa natură că orice structură este în ea necesară39. *

4.13.

Un postulat de existenţă

Atunci cînd am studiat raportul dintre imp l icaţia strictă şi cea materială în cadru l sistemelor lui Lewis , am obser­ vat că orice implicaţie strictă poate fi înlocuită într-o teoremă prin impl icaţia materială corespunzătoare . Aceas­ ta era o consecinţă directă a teoreme i :'

14. 1 p -< q . -< . p ::J q , în baza căre ia dacă două propoziţii se implică strict , atunci se implică şi material . 38 O. Becker, 3� l b id .

op .

cii . , p . 520 .

137


Logica polivalentif

Reciproca aceste i teoreme însă , după cum am spus şi după cum s-a demonstrat , nu poate fi derivată in calculul lui Lewis . Ceea ce nu înseamnă însă că ar fi contradictorie cu axiomele acestuia . Dimpotrivă , este necontrad ictorie . Adică o putem postula , numai că sistemu l astfe l obţinut degenerează în cel d in Principia (cap . 3 A) , iar impl icaţia strictă în cea materială . Dar am văzut că Lewis acordase celei dintîi un înţeles distinct de al celei din urmă . Prin urmare orice astfel de postulat vine de fapt în contradicţie cu acest înte ' les . în afară de aceasta , proprietăţile impl icaţie i stricte , postulate de Lewis la începutul calculului său , sînt şi proprietăţi a le imp licaţie i materiale , ceea ce poate atrage obiecţia că ele reprezintă de fapt o caracterizare incomp letă a aceste ia din urmă. Pentru acest fapt logicianul american introduce printre axiomele sistemului său una care să exprime o proprie­ tate specifică impl icaţie i stricte şi pe care implicaţia materială să n-o a ibă . O astfel de axiomă delimitează si ma i b ine conţinu tul aceste i i mplicaţ ii . În acest scop � l fşi îndreaptă atenţia spre una dintre proprietăţile propo­ z iţiilor pe care implicaţia materială nu o putea exprima , şi anume proprietatea a două propoziţii de a f i indepen­ dente , adică de a nu se put('a deduce una din cea laltă . Am văzut că , în sensu l implicaţie i materiale , dîndu-se d ouă propoziţi i , sau prima o implică pc a doua , sau a doua o impl ică pe prima : p � q . V . q � p, ceea ce face imposibilă independenţa lor . Nu există propo· ziţii independente . Pentru implicaţia strictă însă nu are loc o asemenea teoremă. Dar nici contradictoria ei nu poate fi demon­ strată . Cum ar suna această contradi ctorie? Există propo­ ziţii independente , adică există propoziţii p şi q astfel tncit ...... (p -< q ) "-- (p -< '" q) Lewis propun� lărgirea sistemului implicaţiei stricte prin postularea în cadru l său a acestu i fapt. Evident, nu •

138


4.13. Un postulat de e;cistenţiJ

o putem face luind formula de mai sus drept axiomă . Aceasta ar echiva la cu postularea faptu lui că toate propo­ ziţiile sînt independente - ceea ce ar constitui o contra­ dicţie vizibilă . Va trebui să Iărgim cadre h� formalismului pentru a exprima în el faptul că numai pentru unele propo­ ziţii p şi q, formula de mai �m este va l�biIă. Lewis pune în faţa une i expre s i i conţinînd \'tll i&bilele propoziţionale p , q, r etc. simbolurile (3 p) , (3 p , q) , (3 p, q , r) etc. pentru a ind ica faptul că expresia este adevărată pentru unii p , pentru un i i p ş i q, pentr·u unii p , q , r eLe . C u alte cuvinte , cuantifică variabilele propoziţionale ale acestei expresii . în aceste condiţi i , postulatul pe rare vrea să-I introducă el este : 20.01

(3 p , q)

:

,...... ( p

-:

q) . "" (p

-:

"" q)

Pentru unii p şi q, p nu implică strict q, şi p nu implică strict " non-q" sau există o pereche de propoziţii p şi q în aşa fe l încît p să nu im p l ice nimic cu priv ire la adevărul sau fa lsitatea lui q. Impl icaţia materială nu verifică acest postulat . Mai mult, axiomele sa le vin în contradicţie cu o asemenea proprietate . Dec i Lewis distinge categoric cele două feluri de impl icaţie . Ş i acum să urmărim pe scurt cîteva din consecinţe le introducerii acestui postulat fără să insistăm Însă, Întrucît spaţiul nu ne va perm ite , asupra metode lor lor de demon­ straţie . 20 . 5 (3 p , q, r) : O p . O q . O r . "" (p q) . "" (p = r) . '" (q = r ) Există cel puţin tre i propoziţ i i distincte compatibile cu ele însele. r . 20.51 (3 p , q, r) : O "" q . O p . q) . "" (p = r) . "'" (q = r) '" (p Există cel puţin trei propoziţ i i distincte posibi l false . =

""

""

=

20.6

(3 p, q , r , 8 ) : ,..."" ( p q) . '"" (p = r ) '" (p 8) . '" (q r) . ,..,.., (q 8) •

=

=

=

=

.

"" (r

=

8)

139


Logica polivalentă

Există cel puţin patru propoziţi i distincte . N-am făcut astfe l decit să expl icităm ceea ce era cuprins implicit in postulatul de existenţă 20.01 , şi anume că există cel puţin patru propoz iţii distincte - propoziţiile p şi q din postulat şi ne gaţiile acestora . Tre i dintre ele , p , q ş i ,....., q , sint , pe baza teoremei 19.76

"'"

(p

-<

q)

-<

O p,

logic posibile , căci există ce l puţin o propoziţie pe care n-o implică. Iar tre i dintre e le , q, "'- p şi "'-' q, s int , pe baza teoremei p) -< O "" p , posibi l false , căci pentru fiecare există ce l puţin o propo­ z iţie de care nu este implicată . Prin urmare două dintre ele, q şi "'" q, trebuie să fie posibil e şi posibi l false, iar celelalte două, p şi ,....., p, trebuie să fie : una adevărată , cea laltă falsă. Menţionăm că fără postulatul de existenţă se putea demonstra că există doar două propoziţii : una necesară şi cealaltă (negaţia sa) i mposibilă. 19.77

'"'w

(q

* 4.14.

-<

Implicaţie şi deductibilitate

După cum am văzut , scopul urmărit de Lewis in con­ strucţia sisteme lor sale era să delimiteze , prin proprietă­ ţile e i , o relaţi e - implicaţia strictă - care să a ibă loc intre d ouă propoziţi i p şi q atunc i şi numa i atunci cînd q este de ductibilă din p. Prevăzător, el precize ază distincţia ce trebuie făcută intre de ducţia logică in general , in care se poate face uz de orice principiu logic va lid (de exemplu princ ipiul silogismu lu i , principiul identităţi i etc.) , şi de ducţia logis­ tică - un caz special a l prime i - , care repre'zintă modul de dezvoltare al unui sistem forma l în care la deducţia unei t'eoreme nu putem utiliza decit princip i i le demon­ strate p înă la acel moment . Aceasta din urmă, schimbin­ du-şi conţinutul pe măsura demonstrări i de noi principii 140


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

fn cadrul siste mulu i , nu poate fi definită (delimitat ă) de un şir de proprietăţi , aşa cum încercăm să face m c u Cea no tată prin s imbolul ,, -< " . D e c i n u poate fi vorba a ici de "deductibil" decît în primul înţe les . Sensul aceste i deductibilităţi rezidă , după Lewis , e xact în înţelesul pe care îl are impl icaţia russe l liană acolo unde este tautologică . Să ne exp licăm . În virtutea definiţie i e i (*3.4, def . 1 .01) , implicaţia materială poate fi adevărată fără ca totuşi din antece­ dentul său să putem deduce consecventul (de exemp lu : 4") . "Luna este făcută din brînză verde" impl ică ,,2 + 2 Sînt însă cazuri cînd ea este nu numai adevărată, ci chiar tautologică (de exemp lu p . :::) . p V q) . Acestea şi num a i acestea sînt cele în care ea exprimă o deductibilitate logică (o "consecinţă formală" aşa cum o defineau medieva l i i ) . E le trebuie , prin urmare , exact acoperite d e imp l icaţia strictă . În acest sens , intreprinderea lui Lewis şi-a atins în întregime scopul , căc i , după cum vom arăta , implicaţia strictă se substituie exact ace lor implica ţ i i materiale (din formule) care s înt tautologice . Ma i înt i i din însăşi definiţia sa rezultă =

p -< q . = . '" O (p "-' q )

=

. "-' O "-' ["-' (p "-' q) ] ,

deci ea este o implicaţie russe l l iană "necesară" . Dar pro­ prietatea unei formu le d in logica bivalentă de a fi "nece­ sară" în logica lui Lewi s coinc ide cu proprietatea ei d e a fi teză în s istemul Principiilor ( adică de a f i o tautologie) . intr-adevăr , teoremele 1 3 .2 1 , 13 . 1 , 14 .25 şi 14.27 ne arată că în axiomele puse de Russe ll şi vVhitehead la baza sistemu lui lor , implicaţiile materiale pot fi înlocui te cu impl icaţii stricte , cu alte cuvinte în lumina echivalen­ ţe lor de ma i sus rezultă că aceste axiome sînt "necesare" în logica lui Lewis. Să observăm că acea stă necesitate se păstrează şi după efe ctuarea unor eventuale substituţi i . 141


Logica polivalentil

Pe de altă parte , dacă o implicaţie russelliană p ::::) q şi an· t e cedentul e i , p, sînt "necesare" , conform principiului 18 .53 p -< q . � O -..... p : -< "-' O "-' q , rezultă că şi consecventul q este "necesar". Prin urmare , toate tautologiile calculului propoziţional bivalent sînt in logica lui Lewis "necesare"40. In particular , implicaţiile materiale tautologice sînt "necesare", deci substituibile prin implicaţii stricte . Iată cîteva exemple de asemenea substituţii •

p . ::::) . q ::::) P p . -< . q ::::) p ", p . ::::) . p ::::) q � p . -< . p ::::) q "- (p ::::) q) ::::) . p ::::) � q "" (p ::::) q) -< . p ::::) "-' q p p q q -< . q ::::) p ""'oJ (p ::::) q) � ( ::::) ) . ::::) . ::::) Toate aceste formule sînt valabile în logica lui Lewis41 • Cele din dreapta se obţin , respectiv , din cele din stînga , prin înlocuirea implicaţiei russelliene principale , care este tautologică , printr· o impl icaţie strictă. Menţionăm că inlocuirea şi a altor implicaţii materiale nu ne mai conduce la formule valide . Aşadar , implicaţia strictă a fost degrevată de anum ite proprietăţi paradoxale , ce făceau implicaţia lui Russel l total improprie scopului deducţie i (tezele 2 .02 , 2 .2 1 , 2 .52, 2 .521 din cap . 3 A) . L a rîndul săli însă, impl icaţia lui Lewis îşi are ş i ea "paradoxele" ei, şi anume în loc de •

2 .02 ,

O ""- p . -< . q -< p , iar în loc de 2 .21 , O p -< . p -< q 19.74 19 .75

'"

""'oJ

Nu putem să nu amintim încă o dată faptul că logicienii scolastici medieva li cunoşteau foarte bine aceste conse&O Symbolic Logic, p p . 2 5 2 - 2 5 3 . M a i p recis , Întru c î t demon­ straţia făcută u t i l izează num a i teoreme d in S 1 , rez ultatul o b t inut este va l a b i l Î n 51 şi prin urmare în toate c e l e c inc i s i s teme 5 1 - 5 5 . 4 1 M a i prec i s , în toa te c e l e c in c i s i s t e m r 5 1 - 5 5 .

142


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

cinţe inevitabile ale modului în care am definit implicaţia strictă : Nece.sarium sequitur ad quodlibet (Necesarul ur­ mează din orice) şi Ex imp08sibili sequitur quodlibet (Din imposibil urmează orice)42. După părerea l u i Lewis însă , e le nu mai sînt paradoxale "decÎt în măsura în care reprezintă adevăruri logice prea uşor trecute cu vederea"43, Întrucit , a�a cum rezultă şi din teorema

19 .891

""-

O

.......

p

=

:

p

=

.

rV

"'"

r,

necesaru l se identifică cu tautologicul , iar o propoziţie de forma rV "'" r poate fi dedusă din orice propoziţie q printr-un raţionament fără cusur : din q rezultă q r . V . q "", ,, ; ceea ce este totuna cu q . rV

.......

r ; deci r V .......

"

O j mtificare ana logă se poate da şi pentru 19.74.

N i m i c de obiectat fOl'malismului lui Lewis în afară de însuşi acest fOl·malism . Ce interes mai poate avea o deduc­ ţie at unci c înd despre concluzie ştim d ina inte că este nece­ sară ! Aşa cum s-a observat imediat, deoarece valoarea de adevăr a relaţiei dintre p şi q nu depinde de înţelesul ce lor două propoziţi i , calculul capătă un caracter exten­ siona I . Aceste concluzii îl determină pe Emch să tragă asupra impl icaţie i stricte concluzi a pe care Lewis o tră­ sese asupra implicaţiei materiale : că este prea largă în conţinut faţă de noţiunea de deductibilitate logică44. La r îndul său , e l propune , în cadrul unui formalism la fe l de riguros , o nouă re laţie de implicaţie, implicaţia log ică4S. V e d eţ i , spre exemp l u , A. Dumitri u, Is toria logicii, p. l,OIi . '3 S y m b o l ic Logic, p . 2', 8 . U A. F . E m cl , Imp lica / ion a n d deduci b i l i t y , î n "Journal of Symbol ic Logic", 1 (193 6), pp . 26 - 3 5 , 5 2 . 42

46 Pentru aceasta adau g ă s istem elor lew isiene încă o noţiune prim it ivă , cl!nsistenţa logică . K ou a relaţie d e impl icaţ ie - impli­ caţia logică - v a fi a 1 u n c i del' i n it ă astfe l : "p im p l ică l og ic q" ÎnseamI1 ă " e s t e l ogic inconsistent ca p să f i e adevărat ş i q fals". 143


Logica polivalentii

Raporturile acesteia cu implicaţia strictă sînt perfect asemănătoare cu raporturi le implicaţiei stricte cu cea materială. în particular , paradoxele 19.75 �i 19 . 74 sînt evitate, în locul lor apărînd însă nişte expresii de ace laşi tip paradoxa l (care afirmă că un anumit fe l de propoziţii sînt "imp licate" de orice propoziţie , iar un alt fe l "implică" orice propoziţie ) . S-ar părea , într-adevăr , aşa cum observă ş i R. Blanche , că acest "caracter extensional al calculului nu este efectul une i simple contingenţe istorice , ci este strîns legat de exigenţele formal ismului logic"46. Aceasta nu i-a demobilizat pe logisticieni în căutarea unor soluţii formale pentru delimitarea relaţie i de infe­ renţă . Vredenduin, spre exemplu , reia încercarea lui Lewis , dar renunţă să mai definească implicaţia strictă47 , căci relaţiile paradoxale 19 . 74 şi 19.75 sînt o consecinţă directă a definiţiei 11 .02 p � q .

=

.

"-' O ( p

'"

q)

Într-adevăr , în baza aceste i definiţii , p implică strict q Inseamnă, după cum ştim, nici mai mult nici mai puţin decît că propoziţia "p şi non q" este imposibilă. Cum însă cînd propoziţia p este imposibilă conjuncţia ei cu orice altă propoziţie rămîne tot imposibilă , p va implica strict orice propoziţie . La fel , cînd propoziţia q este necesară, negaţia sa fiind o propoziţie imposibilă , conjuncţia ei cu orice altă propoziţie rămîne tot imposibilă şi q va fi imp licată strict de orice propoziţie. Prin renunţarea la definiţia 11 .02, Vredenduin renunţă de fapt să spună ce înseamnă implica ţia strictă şi o admite astfel printre ideile primitive ale s istemului . În acest fel se arată că formulele paradoxa le 19 . 7 5 şi 19.74 nu mai pot fi derivate . W. Ackermann este autorul unei a l te încercări de a formaliza re laţia ce are loc între două propoziţii între care R. Blanche, Raison e t D isco urs , Paris, 1 9 67 , p . 1 8 6 . 47 P. G . J . Vrtldtln:luin, A system o f s tr ic I imp lica / i o n , HJournal o f Symbolic Logic" , I V , p p . 7 3 - 7 6 . 46

144

în


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

subzistă o dependenţă logică (ein logi8cher Zuaam­ menhang)48. Aceasta este numită de el imp licaţie riguroasă (strenge lmp lication) ş i notată printr-o săgeată. în s iste­ mul său , bazat pe 15 axiome şi 4 reguli deductive , se poate dezvolta o teorie a moda l ităţii asemănătoare celei din 5 4 . Totuşi , ş i acesta este faptul cel mai important , n i c i paradoxele impl icaţie i materiale şi nici cele ale i mplicaţiei stricte nu pot fi demonstrate pentru "implicaţia riguroasă". Mai precis, nici una dintre formulele p pe

(q

p) ;

'" p � (p

q)

de o parte , Ş I q � (p

(p '" p) � q pe de altă parte, nu poate f i demonstrată49 . Jmplicaţia riguroasă nu poate avea loc Între două for­ mule care nu au nici o variabilă propoziţională comună. Problema determinăr i i unei re laţii formale care să e xprime deductib i l itatea a fost cercetată şi de alţi logi�

p) ;

Begriindung einer stl'engen Imp lication , & 8 W. Ackermann, in "Journal of S ymbolic Log ic", X X I (1956) , p p . 1 1 3 - 1 2 8 . S iste­ mului i-au fost aduse comp letări în articolul lui A . R. Anderson şi N. D. Belnap Jr., A modification of Ackermann "rigoroU8 impli­ cation" În "Joul'nal of Symbol ic Logic", XXIII (195 8) , p p . 457 - 45 8 . 4 9 în s i s temu l imp l icaţie i s tricte, deoarece p -< p era o teorem ă , iar p p o con trad icţie , u rmătoarele formule puteau f i demon­ itrate �

D (p

-C

7)

şi

O (p

-

p)

y 1 , p rin urmare , apl icînd teoremele 1 9 .75 şi respectiv 1 9 .74, se puteau deriva imed iat teoremele q

;;i. ( p

-<

p) ,

o tautologie ( p -< p ) este impl icată de orice propoziţie, şi] (p

p) =<'q,

() contrad icţie imp l ică orice propoz iţie. E le au, ca şi 1 9 .75 ş i 1 9 .74, acelaşi caracter paradoxa l.

14:5


Logica polivalentl!

cien i , fiecare propunînd cîte o soluţie a e iSo. Ne vom. opri la una d intre ce le mai recente si mai intere sante­ dintre ele, relaţia de antre nare (e rltailm e nt) a lui< A . R . An derson şi N . D . B elnap Jr .51 • Critica pe care cei doi autori o fac predeces ori l or Jar e ste deosebit de severă. Aşa-numitele paradoxe ale im p li-­ caţiei materiale şi ale implicaţiei stricte nu sînt de loc' paradoxale şi în consecinţă implicaţia materială ş,i ce a. strictă nu reprezintă specii nepotrivite de implicaţie '" întrucît e le nu sînt de loc specii de implicaţie . Ba zîndu-se pe rezultatele obţinute în l ogică , "în ma i bine de două. m i i de ani" , Anderson şi Belnap susţin că- orice teorie­ satisfăcătoare a implicaţie i trebuie să ţină Seama de două.. proprietăţi importante a le acesteia : ne lJesitate a �i potri­ I'ire a de se ns (re le l'ance ). Iată pe scurt despre ce este vorba . Validitatea une i inferente " stă nu în consideratii mate-­ riale ( de conţinut ) , ci doar în consideraţii de ordi � forma l .. Prin urmare ea nu poate reprezenta un fapt accidental ,. ci un fapt necesar . Or , această cerinţă este violată dacă> re laţia de implicaţi e , notată spre exemplu printr-o săgeată.,. satisface formula p � . q � p,

cacI In cazul În care p este o propoziţie contingentil , vali­ ditatea inferenţe i q � p este garantată de un fapt c ontin­ gent, fiind de asemenea un fapt contingent . Ca un exe m p lUl de sistem În care impl icaţia satisface cond i ţ i a de necesi­ tate este sistemul 4 a l lui Lewis. ( De ce autor i i cita ţ i aleg 5 0 Iată, după R . B lanche (op . cit . , p. 206) , o l istă a celor mai, importante : după impl icaţia " s trictă" a lui L ewis au apărut impli­ caţia " an a l it ică" a lui Parry , imp l icaţia " l og ică" a l u i E mch .. impl icaţia "natura lă" a l u i K a i l a , impl icaţia "raţionaIă" a lui> R e ichenbach , impl icaţia "riguroasă" a l u i A c k ermann , im p l icaţi. "pl ină" a l u i Freudenthal şi "relaţia de a n trenare" (entai/menl) a­ l u i Anderson ş i Belnap Jr. B lanche însuşi propune o noul! bază de constitu ire a u ne i logici în care relaţ ia de d ed uc t ib i l itate­ să-şi găsească locul său natural (op . cit . , p . 224 ) . S 1 A . R . Anderson ş i N . D . Belnap Jr ., The pure ca lcu llUl 01 entailmen t , în "Journal of Symbol ic Logic" , XXV I I ( 1 962) pp . 1 9 - 5 2 . ..

146


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

.dintre 'toate sistemele implicaţiei stricte tocmai pe acesta :nu este locul să explicăm aici .) După cum am observat îns ă , sistemele lui Lewis conţin l1a rîndul l or expre sii paradoxale , de exemplu 19.74 ş i 19. 75. Spre deoseb ire d e prima categorie d e "paradoxe" \la care ne-am referit şi pe care Anderson şi Belnap le denu­ mesc "sofisme de modalitate"53 (fallaciea of modality) , acestea din urmă poartă in sine un alt gen de abatere de 'fa inţe lesul obişnuit al unei inferenţe . De p i ldă. 19 . 7 5 �firmă că , dacă o propoziţie este necesar ă , ea rezultă din -orice propoziţi e . Insă , de cîte ori facem o inferen�ă de la o propoziţie p la o altă propoziţie q, cele două propoziţii -au ceva comun în înţelesul lor , o anume potrivire (rele­ .panetJ) de înţeles. Iar o asemenea afirmaţie ca 1 9 . 75 încalcă �ocmai această cerinţă a potrivirii de înţeles dintre ante­ -eedentul şi consecventul unei inferenţe . Din acest motiv Anderson şi Belnap le numesc "sofisme de potrivire"

(faUaciea of releIJanclJ)53.

Sistemul care , după părerea lor , e limină atit sofismele de modalitate cît şi pe cele de potrivire este sistemul impli­ C!aţiei "riguroase" a lui Ackermann despre care am mai avut �cazia să pomenim în cursul acestui paragraf . Pe d e o parte am văzut că e l e limină propoziţiile de tipul

p -+ . q -+ p 'Şi odat ă c u e le sofismele de modalitate . Ackermann reuşise 'să dem o nstreze că în sistemu l său , dacă p este o variabilă propoz iţ ională, iar q şi r două formule oarecare , formula

p -+ . q -+ r ::nu poate fi derivată . Deci este complet exclusă posibili­ tatea deducerii unei inferenţe dintr-o propoziţie contin­

gentă .

ADdersoD şi Belnav, op . ci t . , p . 42. S istem e capabile să el imine sofisme l e de p o triv ire fuseseră Jlropuse de Moh ,Shaw-Kwei (The deduc!ion theorems and two new Iogical systems , în "Methodos", v o I . 2 (1 950) , pp . 5 6 - 7 5) , ş i A. Churc h (The weak /heory of implica/ion, î n "Kontro l l iertes D e nk e n" , Miinchen, 1 9 51 ) . 1i2

iS

147


Logica polivalentd

Pe de altă parte , potrivirea sau comuni tatea de înţeles d intre antecedent u l şi consecventul unei implicaţi i nu poate fi exprimată formal într-un calcul al propoziţiilor decît printr-o comunitate de variabile propoziţionale . Or , aşa cum a arătat Belnap , implicaţia "riguroasă" nu poate avea loc între două formule care nu conţin cel puţin o variab i lă propozi ţională comun ă . Pentru acest motiv, Anderson ş i Belnap perfecţioneaz ă sistemul propus de Ackermann , dînd relaţiei de implicaţie din el numele de relaţie de antrenare {entailment} . Iată cîteva teoreme verificate de această relaţie şi pe care ce i doi autori le consideră corecte atît sub aspectul necesităţii c ît �i sub cel al potrivirii de sens :

p

_

p

p

_

q

q _

r

legea i dentităţ i i .

_ :

q

_

r .

_

:

p

_

q

_

. _

.

. p . p

_

r

_

r

}

cele două forme ale principiului s ilogismului .

Un procedeu simplu de a obţine � n calcul logic în care relaţia de implicaţie să fie scutită de o serie d in proprie­ tăţile ei paradoxale a fost propus de R. Ackermann64• Iată în ce constă el . Se consideră ca teoreme ale noului calcu l , pe l îngă teoremele calcu lului propoziţional clasic din Principia , formulele ce se obţin din acestea prin înlo­ cuirea imp l icaţie i materiale cu o săgea1ă după următoa­ rea regulă : Dacă i mp l i caţia materială nu se află Într-o parte nega tă a teoremei respective şi dacă , luată separat , împreună cu antecedentul si consecventu l e i constitu ie o teoremă în Princip ia , ea p oate f i înlocuită cu simbolu l ,, _" . În caz contrar , n u . Spre exemp lu d i n p ::J ( q ::J p) s e poate obţine teorema p _ (q ::J p) , dar nu şi p _ ( q _ p) , de ş i p _ ( p _ p) este o teorem ă a MIC-ului55 • După cum observă Acker54 R. Ackermann, Introduction to Many-Valued Logica , LondoD, N ew York , 1 9 6 7 , pp . 9 - g . 55 MIC reprez intă prescurtarea d e l a "minimal implicational calcu/as", cum î ş i denumeşte R . A ckermann calcu l u l său .

1 48


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

mann , calculul său utilizează -+ şi � pentru a separa din punct de vedere formal rolurile posibile ale implicaţie i materiale în logica clasică56 . EI acordă evident rolul de­ ductiv conectivei , , -+" . Dar şi aceasta are proprietăţi paradoxale , ca

( p "-' p) -+ ŢI , fapt pentru care este introdusă o a tre i a conectivă notată ,, =)" .

Fie două formule de calcu l propoziţional c lasic , astfe l incît : - prima este o disj uncţie de mai mulţi termeni şi fie­ care dintre aceşti termeni este o conj uncţie de variabile propoziţionale negate sau nenegate (această formulă poartă numele de forma normală disjunctipă) j - a doua este o conjuncţie de mai mulţi termeni şi fiecare dintre aceşti termeni este o disjuncţie de variabile propozi ţionale negate sau nenegate (formă normală con­

ju,!ctipă) .

In acest caz între prima formulă şi cea de-a doua poate fi scris se Ililn u I =) dacă Între fiecare din termenii disj unc­ ţiei (care este prima formulă) şi fiecare din termenii con­ jun cţiei (care este a doua formulă) poate fi s cris sem­ nul -+ şi, în plus , fiecare ase menea pereche de termeni are in comUn o variabilă propoziţională negată sau una nenegată. Spre exemplu Între (p "'-' p) şi q nu se poate scrie semnul => [cu alte cuvinte formula (p "'-' p) =) q nu este valabilă] , căci s ingura pereche de termeni ce se prezintă în acest caz , p "'" p şi q , nu are In comun nici o variabilă propoziţio­ lIa Iă . I ată acu m , în schimb , cîteva exemple de asemenea form ule va lab i le :

p =) ( p V q) ; ( p . q) =) P R. Ackermann stab ileste că s iste mul Si al l u i Lewis conţine drept teoreme for�ulele considerate la început şi in care� j oacă rolul implicaţiei materiale , i ar --+ pe cel al p =) p ;

" R . Ackermaoa" op . cit . , p . 9 .

14.


Logica polivalentil

implicaţiei stricte . Dacă interpretăm însă semnul � C;l) reprezentînd relaţia de antrenare (entailment) d in, sistemul l u i Anderson şi Belnap - , formulele considerate la sfîrşit sînt teoreme în acest sistem . -

*

4.1 5.

Complet�ri aduse sistemelor implicaţiei stricte. Alte sisteme moda le

Am văzut în paragraful precedent cum stud i i le lui Lewi�; au constituit punctul de plecare a numeroase cercetării urmărind formalizarea relaţiei de deductibil i tate logică ._ Acelaşi rol l-au avut şi în cercetările de logică modală � (Deşi , după cum am arătat , aici Lewis a avut un p re c ursor �: pe Hugh MacCo l ! ' ) Acestea au luat o dezvoltare conside­ rab ilă , fi ind înmănuncheate de H . Feys Într-un t rata t a, cărui osatură o const ituie sisteme le impl icaţie i stricte57 Să urmărim cîteva din dezvo ltări le u lterioare ale a ceste ii logi ci. Am demonstrat în paragraful precedent că orice pri n cipiu valabi l a l calculului propoziţional b iyalent este­ "necesar" în S258 , în acord perfect cu accepţia pe c are O> dăm de obice i necesităţi i . Ne putem pune întrebarea :: de ce orice principiu a l ca lculului propoziţional b iva lent şi nu orice principiu al lui S2? Restricţia pare , într-adevăr •. pur convenţional ă şi o putem înlătura adăugînd regul ilor­ lui S2 (substituţia , modus ponens şi adjuncţia) următoarea� re gulă : Or ice principiu valabi l este "necesar" . Ceea ce în limbaj formalizat ar însemna că , dacă am demonstrat propoziţia p , atunci este demonstrată şi propo­ ziţia O p . Obţin'3m astfe l un nou sistem , mai bogat in teoreme­ decit S2 , care pe l îngă teoremele acestuia mai conţine •.

­

·

67 R. Fey;;, _Madai Logic8 ( e d . w ith some complements by J . D opp) , Lou vain , Paris , 1965 . 68 A cest rezultat fusese o bţinu t ch iar În Sl ( · r. .1r.).

150


4.15. Completări

'ti form ulele obţinute prin prefixarea acestor teoreme Cl ouaul sall mai multe semne de necesitate . EI va fi n ot a1 'cu T ş i se va n u m i sistem ul Feys-pon Wright, du p i �ei doi Iogi c ie n i care l-au propus în mod i n de pend e n1

-unu) d e a ltu}59 .

Por nind tot de la S2 , se p ot construi şi alte si s t emt modale pe baza următoare i o b serva ţii a lui Lewis6 0 • Se d e m on s t re ază Î n S 2 teorema

1 9 .84

) '"'"'

......

p

) ........,

'"'"'

-<

q .

.p =q echivalente" . În

" Do u ă propoz i ţ i i ne CE'sare s ln t logic c are înlocu i n d q eu -.., ..:) '"'"' p obţinem : '"'"'

.

) -...

.) "-' p .

'"

Deci , dacă e x istă

.- O

.....

p

.

=

.......

O

'"

p

o propoziţie p astfel încît '" au loc echivalenţe le :

p, atunc i pentru e a

p = "-' O ,,-, p ;

O ,.,..,

O

.....

'"'"' O '"'"' p = "-' O """ "' O """' P este

Dar atunci , dacă q = '"

-<

o

propoZIţie a stfe l i n c it

q , În baza l u i 19.84,

q

=

q �= p .�hci şi p e n tru q

avem :

"-' 0 "-'

q =

.......

0 "-' ,.,.., O "-'

q;

/itrlD urmare postu)atu l 9 (vedeţi * 4 . 1 1 )

'" O

"-J P� -< "-J O

'"

'" O '" p

3re l O G in genera l . EI nu poate fi totuşi demonstrat ca t.eoremă p l e c înd de l a pos t u late l e sistemu lui 2 . iii R. Fcys i n Les Logil]ues no uve l les des modaiites, "Revue Neesco l a s t ique de Ph ilosophie", v o I . 40 (1937) , p p . 5 1 7 - 5 53 şi 'G. H. v o n Wright. A n Essay in Jl..lodal Logic, Ams terdam, 1 95 1 . <:Cel d o i l<)g icien i p ornesc d e l a axiome d iferite dar B. Sobocioski ;a

arăta t că sistemele care se obţ in astfe l au aceleaşi teoreme , prin sint echivalente ( vedeţi R. Feys. M a da i Lagics, p. 1 1 4) . "'18 Sym bolic Logic, p. 499.

fllrm are

151


Logica polivalentlt

În consecinţă avem alternative le : (a) sau există propoziţii care sînt "necesare" ŞI atun ci pentru orice propoziţie p :

(b) sau nIcI o propoziţie nu este "necesar necesară" . (deşi pot exista , b ineînţeles , şi există chiar , propoziţii necesare ) . Cele două alternative sîn t evident incompatibile . Postu­ latul 9 exprimă pe prima . Dar am văzut obiecţia care i se poate adu ce (că deşi este o consecinţă a teoreme i 19.84 nu poate fi dedus din postulatele 1 1 . 1 - 1 9 . 01 ) . Fapt pentru care Lewis optează pentru a doua alternativă . Această opţiune se exprimă prin introducerea postul�. tului 25 .

00p

Orice propozi ţ ie este "posi b i l pos ibi lă" . Într-adevăr , înlocuind p cu '" p obţinem «pentru orice propoziţie p nu este adevărat că ea este "necesar necesară"» . Datorită incompati b i l ităţi i ce lor două alternative , acest postulat nu poate f i adăugat nici siste­ mulu i 4 şi nici sistemului 5, căci duce la contradict i i . Hallden a numit (după Alban) sistem ul 6 sistemul obţinut prin adăugarea postul atu l u i 25 sistemu l u i 2 , iar sistemu l 7 - sistemul obţinut prin adău garea ace luiaşi postulat sistemu lui 3. Tot e l a mai considerat un postulat mai tare decît 25, anume : 26.

'""

O

'"

OOp

Este necesar ca orice propoziţie să fie "posibil posibilă" . E l a numit sistemul 8 sistem u l obtinut prin adăugarea l u i sistemulu i 3. Atunci notînd prin săgeată re laţia de incluziu ne între sisteme (spre exemplu S2 _ S 1 înseamnă "S2 conţine toate teoremele l u i S1" , cu alte cuvinte S2 inc lude pe Sl ) , 152


4.15. Completări

cele nouă sisteme : S1-58 �i sistemul T a l lui Feys-von Wright sînt aranjate de Prior în următoarea d i a gramă'l : S5 � S4 � T . . \ . . � ·. . . . . . . . . . . . A S 3 � S2 � Sl .B .. ...... ......? ..:.. ? ........ ::;8 S7 � 5G . . . . . . . . . . . . . . �

.

.

.

.

.

.

-,

Sistemele de deasupra linie i A conţin regula "dacă p este o teore m ă , atunci O p este ş i ea o teoremă" . Sistemele d e dedesubtul l iniei B conţin teza O O p , incompatibilă - după cum am văzut - cu această regu l ă . C e l e de la stînga l i n ie i C conţin un n u m ă r f i n i t d e moda­ l ităţi ; pentru cele de la dreapta ( cu excepţia lui 56) s-a demonstrat existenţa unui număr infinit de moda lităţi comp lexe ireductib i le . Ceea ce am prezentat pînă acum sînt însă numai princi­ pale le dezvoltări ale logici i modale bazate pe logica i m p l i ­ caţiei stricte . În această pri v inţă studi i l� s-au îmbogăţit şi d i versificat într- un mod i m presionant . In afara a nume­ roase reformulări ale sisteme lor amintite mai sus , s-au stu­ d i at o serie de subsisteme a le lor , c a �i alte sisteme , dife­ rite de acestea , d ar avînd anumite legături cu e le . Pentru a da un singur exemplu , putem menţi ona a i c i faptul că , pl ecînd de la subsistemul l u i S1 pe care l-am notat a i c i S1° (vedeţi nota 1 4 din acest para graf) , B . Sobocinsk i a construi t o serie de subsisteme - S2° , S3° şi S4° - , respectiv a le s isteme lor S2, S3 ş i S4 (tot Soboc inski a arătat că S4° este e chivalent cu sistemul T al l u i Feys şi von \Vright)62. Alte cercetări i mportante în acest dome­ niu sînt legate de numele unor logicieni ca E . J . Lemmon , S . Hal lde n , R . Barcan-Marcus ş i alţi i . 8 1 A. N. Prior, Time and Modality, p . 1 23 . 8 2 Pentru de ta l ii şi s tu d iul acestor s isteme vedeţi lucrarea lui Feys, Modal Logies .

153


Logica polivalentlf

4.16.

*

Consideraţii

generale

Am urmărit în acest capitol o serie întreagă de sisteme logice formale avînd toate un scop comun, anume forma­ lizarea relaţiei care are loc între două propoziţii atunci cînd a doua poate Ii în mod val id dedusă logic din prima . Aceasta , deoarece , după cum am avut ocazia să subl iniem în mai multe r induri , imp l icaţia lui Russel l era valab i lă şi cînd asemenea relaţi i de inferenţă , evident, nu se puteau stab i l i . Din acest punct de vedere însă , poate f i discutabil care dintre re laţi i le de impl icaţie a le sistemelor expuse este sau se apropie cel m a i mult de re laţia de inferenţă căutată. Se pare că dintre cele cinci sisteme a le impl icaţie i stricte , S1 - 55 , Lewis încl ină către 52. Importanţa acestor sis­ teme stă , după părerea sa, in faptul că in ele se poate face distincţia între ceea ce este o ta�tologie în logica bivalentă şi ceea ce este doar adevărat . Intr-adevăr , după cum am văzut (*4. 14) , impl icaţia strictă a două propoziţii avea loc dacă şi numai dac� implicaţia materială corespunză­ toare era tautologică . In acest sens , scrie Lewis, sistemul impl icaţiei stricte ( 52 - n.n.) se poate spune că furni­ zează acel canon si critică a inferente i deductive care este dezidera tul invest igaţiilor logice83 " Cit prive şte paradoxele care apar şi care , după cllm am văzut, au dat naştere la atîtea discuţ i i , "ele sînt consecinţe inevitabile ale unor reguli de inferenţă indispensabi le"6i . Evitarea lor deci nu poate fi făcută fără a renunţa la ase­ menea regul i . O altă problemă o comtituie dificultăţile ce se ivesc la înţelegerea acestor sisteme din pricina i mposibilităţii de fi interpreta numărul mare (citeodată şi infinit) de m oda­ lităţi complexe ireductibile care apar . Aşa cum observ� şi Feys , "dacă s-ar găsi o interpretare naturală celor 1 4 modalităţi ale l u i 54, ca să nu vorbim de cele 42 din 53, interesul acestor sisteme ar deven i de netăgăduit . Dar S3 84

154

Symb o l ic Logic, p . 2 4 7 . Symbolic Logic, ed . a I I-a , 1 95 9 , Appendix

III, p.

512.


4. 16. Consideraţii generale

aceste modal ităţi complexe nu au un sens intuitiv cunos­ cut"83 . D in acest punct de vedere S5 , cu cele şase modalităţi ale sale, pune cele mai puţine probleme de interpretare . Stu­ diul matematic a l une i asemenea interpretări l-a condus pe P . Hen le la concluzia că sistemul S5 poate fi privit într-un anume fel ca o logică clasică86 , în care posibi litatea une i propoziţi i p este definită astfe 1 : O p = 1 , adică ,,0 p este adevărat" , sau , ceea ce este totuna , "p este posibil" înseamnă p =F 0, adică p nu este fals6? După părerea lui Lewis , principa la semnificaţie logică a sistemului S5 stă în aceea că el împarte toate propoziţ.iile în două clase ce se exclud una pe cealaltă : clasa propoziţ i i lor intensionale sau moda le şi clasa ce lor extensiona le sau contingente . Potrivit legi lor acestu i sis­ tem , toate propoziţiile intensionale sau modale sînt nece­ sar adevărate sau necesar false . Prin urmare , pentru orice propoziţie modală , să zicem P m ' ŞI

pe c înd , pen tru propoziţiile extensionale sau contin­ gente , posibil itatea , adevărul şi necesitatea rămîn distincte68 • Fără îndoială , încercările lui Lewis , ca şi a le ce lorlalţi logic ieni care l-au urmat , nu reprezintă un succes total . Dar e le au reamintit o idee pe care logicie n i i matemati­ cieni păreau s-o fi dat u itării , şi anume aceea că un prin­ cipiu de l ogică este un iversal va lid într-un dublu sens : pe de o parte sub aspectul extensiun i i - ca o relaţie valabi l ă pentru toţi - , p e d e altă parte sub aspectul intensiun i i 8 5 "Revue ph ilosophique d e L ouva in" , 1 95 3 , p . 600 . 68 Privită de fap t sub forma ma tema tică a unui calcul a l gebric l a l gebra Boole-Schroder) , vedeţi Sym bo lic Log ic, ed. a I I-a , 1 95 9 ,

p . 50L

87 în accepţia a cordată a ic i l ogic i i clasice , presupunerea că p nu e fals nu n e mai conduce a utom a t la concluzia că p este adevăra t . 8 8 Symbolic Logic, e d . a I I-a , p . 501 .

155


Logica polivalentlI

ca o legătură necesară . Aşa cum observă şi R . B l anche, in afara cazuri lor În care recurgem l a enumerarea completă , ţ;i în care universala se descompune într-o colecţie de singu­ Jare , totul În extens iune , total i tatea nu poate face obiectul une i afirmaţii s igure dacă nu rezu ltă dintr-un tot în inten­ siune (com p rehension) , dintr-o universalitate esenţială, care nu are sens dedt dacă exprimă necesitatea une i legi89•

88

R . BlaDche, o p . c i t . , p. 1 7 6 .


5 Logicile lui Lukasiewicz

*

5.1.

Log ica modală a lui Lukasiewicz

În capitolul precedent am văzut că Lewis făcuse uz de noţiunea de modalitate a une i propoziţii în scopul definir i i relaţiei de impl icaţie strictă . Pentru aceasta e l ape lase la noţiunile d e necesitate , real itate (adevăr) şi posibil itate deja introduse de Hugh MacColi înaintea sa . Logieian lJ l polonez_ Jan Lukasiewicz s-a ocupat înde­ aproape de stu d i u l moda l ităţii , bazîndu-se pentru aceasta , dupa cum vom ve de a , pe cercetările făcute în logică de la Aristotel , adică în peste 2000 de ani , o e c a oe conferă stud i i l or sale un deosebit interes . În p lu s , metodele J u i de �er�e_tare sînt complet originale . Ele au constituit baze le a ceea o e astăzi logicie n i i numesc logici polivatente. Din acest motiv ideile sale au pentru noi uri-- deosebit interes . Ele au apărut şi s-au conturat în mai multe studi i publicate d e Lukasiewicz incepind d i n anul 1920. I n pagi­ nile care urmează noi am util izat pe cele ma i cunoscute , şi anume : ce le două articole publicate în 1930 în Comp tes Rendl�s des seances de la Societe des sciences e l des Lcttres de Varsovie (respectiv Untersuchungen u ber den A ussagen­ halhu l , p . 1-21 , 30-50, scos în colaborare cu e levul său Alfred Tarski , şi Philosop hische Bemerhungen zu mehr­ wertigen Systemen des A ussagenkalkills , pp . 51-77) şi 157


Logica polivalenti1

studiul Die Logik und daa Grundlagen problem (apărut in L88 entretiens de Ziirich sur les fondements et la methode des sciences mathematiques, 194 1 , pp . 88- 100) 1 .

5.2.

*

Ideile

primitive

Idei l e primitive de la care ple ac ă L u k a s i e w i c z s înt urI]1 �­ toare le : vom nota o propoz i ţ i e o areca re cu p� P r o poz i ţ i a "p este posibil" se va nota in felul următor : se ia i�1i�a maj uscu lă a cuvîntul u i "moglich" (posib i l) , adică "M" , �i se pune inaintea propoziţiei p a căre i pos i b i litate vrem să o exprimăm : adică MjJ,'.' Negaţia , care va insemna sim­ plu non-p (nu e adevărâ-2p) , se va insemna cu N. :Aşadar , liP _va insemna "non-p" . Pe scurt , simbolurile intrQduse fără a fi definite silit, în logica lui Lukasiewicz , p, Mp şLNp. Urmează să vedem acum la ce comb inaţii dau loc aceste idei Să le trecem pe toate intr-un tabel , pentru a le avea în evidenţă . * .

(2) "p este fals"

"

p Np

(3) "p este posibil"

"

Mp

(1 ) "p e s t e o propozi ţ ie"

în s i m b o l u ri

(4) "p nu este posibil"

"

NMp

( 5) "este posibil non-p"

"

MN'p

" ( 6) "nu este posibi 1 non- p

("nu este posibi l

N'MNp

ca p să fie

fa ls")

1 De asemenea , am ut i l i z at expunerea s is tem u l u i triva l en t a Lukasiew ic2l făcută in Symholic Logic a l u i Lewis ş i Langford, cap itolul V I I , p r e c u m ş i contribuţiile deose b it de imp o r t a n te ,aduse de J. B. Ros;;er ş i A. R. Turquette in l uc ra re a l o r }Uany­ lu i

Valued Logies (Amsterdam , 1952 ) . Aceste categorii s e exam i ne a z ă aici d i n p unctul d e ved ere

al l ogicii formal e , analiza l O r tră î n obiectul n os t ru . *

158

fil ozofică,

dialect i c a

lor

nu

in­


5.3. Propoziţii modale primitive

Propoziţia (6) poate fi citită şi altfe l : dacă spunem _,nu este posi b i l ca p să fie fals" , aceasta echiva lează cu .. p este necesar adevărată" sau mai pe scurt "p este nece5ar" . U l timele patru modalităţi nu s int identificate de Luka­ ,; iewicz cu j udecăţ i le problematice şi apodictice a le l u i Kant , c i cu c e l e patru mod ur i scolastice : 1 ) possibil6 ; 2) impos8ibile ; 3) aontingens ; 4) necessarium. Î n afară de aceste moduri se mai introduse se în evul mediu Încă două moduri a le propoziţiilor , "lJerum" şi Jalsum" , care au fost identificate cu "p este adevărat" - notat cu p şi "p este fals" - notat cu Np. Toate a cestea nu sînt aserţiun i , ci numa i propoziţii ipotetice .. Iată ide i le primitive ale log i c i i l u i Lukasiewicz . -

*

5.3.

Propoziţii

modale

primitive

Lukasiewicz cons��ră tre i grupe de propozIţII , care se intilnesc în istoria J5Jg i c i i ş i care au fost privite de logi­ c ieni ca evidente . Jjită aceste propoziţi i care se referă la moda l i tă ţi . ;" Prima grupă : (a) A b oportere ad esse lJalet consequentia . (b) A b esse ad posse lJalel conse q wJntia . Prin contrapoziţie se capătă din (b) : (c) A b non posse ad non esse lJalet consequwtia . Ce spun aceste propoziţi i ? Propoziţia ( � înseamnă : de la a fi necesar la a fi , este valabi l ă consecinţa . Cu a lte cuvinte , apl icînd-o la propoziţi i , fiindcă acestea ne interesează a i c i , vom spune : dacă o propoziţie este necesară , atunci ea este adevărată � (Necesitatea implică rea1itate a �) . Propoziţia (b) exprimă : de la a fi la a f i posibi l , este valabi l ă consecinţa . Aşadar , dacă o propoziţie este adevă­ rată , ea este pc)s ib i lă . (Adevărui sau rea l itatea une i propo­ ziţ i i i m p l ică posibi l i tatea e i . ) 159


Logica polivalentă

În sfîrşit , propoziţia (c) are semnificaţia : de la ImposI­ bi l , la neexistenţă , e ste valabi lă consecinţa . Imposibilitatea unei propoziţii atrage drept urmare logică falsitatea e i , irealitatea e i . ( Imposibil itatea are de consecinţă ireal itate a , falsitatea . ) . Pentru înţelegerea propoziţie i (c) , Lukasiewicz dă un e xemplu : "Este imposibil ca un număr prim să fie divi­ zibil cu 4 ; deci nici un număr prim nu este divizibil cu 4"2 . Imposibilitatea implică inexistenţa . Ca propoziţie reprezentantă a primei grupe , Lukasiewicz formu lează : I . "Dacă nu este posibi l p , atunci non-p" . Aşadar : dacă p este imposibil , urmează că p este fals . O propoziţie mai puţin cunoscută declt precedente le , dar nu mai puţin intuitivă , este următoare a , care for­ mează grupa a doua . JLllo u! �r,�p_ă : •.

(d)VnutnquoiIque, quando est, oportet esstfl .

Ce spune această propoziţie? "C ind ceva exist ă , cu nece­ sitate există" . t,ukasiewicz Iămureste astfe l această afirmatie : "Nu tot ce există (Seiendes) �ste necesar , după cum � u orice nu e xistă (Nichtseiendes) este imposibil ; dar cînd ceva care există este (dat) , atunci este necesar şi cînd ceva care nu există nu este (dat) atunci este i mposibil"". De p ildă , scrie Lukasiewicz , "nu este necesar să fiu a casă astă-seară , dar dacă sînt acasă astă-seară atunci , c u această presupunere , este necesar să fiu acasă astă­ seară" . Ca propoziţie re prezentantă a celei de-a doua grupe , LUKasiewicz înscrie următoarea : I I . " Dacă se presupune non-p , atunci (cu această pre­ supunere) nu este posib il p" . 2 J. Lukssiewicz, Phi lO/loph ische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des A ussagenkalkii ls, p. 53 . a Propoz iţia aceasta este c itată de L e ibniz În Theodicee , dar se trage de la Aristotel (De Interpretatione, 9 , 1 9 a, 23 ) . 4

160

J . f,ukasiewicz, op. ci t . , p . 5 3 .


5.4. Consecinţele primelor propoziţii modale

Mai precis, dacă presupunem că p este fals rea lmente , a� n� este posibi l , dar numai cu condiţia acestei llresupunerI . - in sfîr�i_t , a treia grupă de_ propoziţii constă d intr-o singură propoziţie , pe care Aristote l o numeşte "posi­ bitifafea oe amîndouă părţile"5, "posibilitatea bi l aterală". E l i lustra această posibi litate prin exemplul următor : "Se poate ca această haină să se rupă , dar se poate să nILs.e rupa' . Lukasiewicz dă un alt exemplu : "Se; p oate ca-.,acest bolnav să moară , dar se poate şi să nu. -l))O ară" . Este ceea ce se numeşte , după cum am m a i spu s , "con­ t ingenţa v i itorul ui" , întrucît propoziţ i i le de fe l u l acesta se referă la Întîmplările vi itoare pe care nu le putem cunoaşte în prezent. Lukasiewicz formulează t1rmătoarea propoziţie, e :lCprI­ m ind tocma i - aceastA posibi l itate "b ilateraIă" . lI! . "Pentru un p oarecare e.�te posib i l p şi este posib il non-p" . Adică pentru o propoziţie oarecare p , propozIţia "p este adevărat" este posibilă , după cum este posib ilă pro­ poziţia "p este fals". Ave m , aşadar, tre i propozi ţ i i moda le primitive . _

5.4.

*

Consecintele primelor două propoziţii modale

Vom introduce un nou sem n , ace la al impl icaţie i . Pentru două propoziţii p şi q , care sînt astfe l incit - orice ar Însemna ele - dacă prima este adevărată ş i a d o u a este adevărată , Lukasiewicz , uti l iz înd un si mbo­ l ism propr i u , scrie înti i l i tera C, după care pune , in ord inea lor , cele două propoziţ i i p ş i q. Astfel "Cpq" înseamnă "dacă p este adevărat , atunci şi q este adevă­ rat" şi se va citi pe scurt :

Cpq : "dacă li

De Interpre ta/ione , 9 , 19

a,

p

"

atunci q

9.

· 161


Logica polivalent4

Simbolurile M , N, C , precum şi alte le , de acelaşi fel , care vor mai fi introduse se numesc functo,.i, termen întrebuinţat de Kotarbinski . Să se obstrve că functorii nu afirmă nimic : ei "modal izează" numai propoziţiile . Să formulăm acum , în simbolurile noastre , propozi.ia 1 . Vom căpăta o propoziţie simbol ică , o teză. (Sub n.mele de teze , Lukasiewicz înţelege - după Lesniewski - atît axiomele c ît şi teoreme le unu i siste m . ) Vom căpăta teza 1 :

1 . CNMpNp "Dacă p nu este posibil , atunci p este fals" . Pentru a nu exista vreo îndoială asupra simbolismu lu i , să pro­ cedăm astfel : avem un semn "C" de implicaţie , care leagă două propoziţii ; prima propoziţie va începe de la primul runctor de după C �i va ţine pînă unde este primul semn de propoziţie , în cazul nostru p ; a doua propoziţie începe de la functorul imediat de după p şi ţine pînă unde se iveşte iarăşi un semn de propoziţie , aici p ; dacă ar mai fi o a treia propoziţie , ea s-ar determina la fel . Aşadar , în loc să scrie : NMp impl ică Np Lukasiewicz a scris , simplu CNMpNp , "

care se citeşte : "dacă p nu este posibil, atunci non- p . A doua propoziţie ( II) poate fi formulată ca o impli­ caţie , care nu este decît impl icaţia precedentă inversată : 2. CNpNMp "Dacă non-p , atunci p este imposibil" . Deocamdată n e oprim l a aceste două propoziţi i , răm înînd ca , mai departe , să o introducem şi pe a tre i a . Iată -dar fixate ideile primitive şi propoziţiile primitive . Pen1ru a deduce din acestea a lte teze , Lukasiewicz între­ buinţează două reguli de deducţie : substituţia şi cpea ce el numeşte "despărţirea" , care nu este a l tceva decît modus ponens : dacă o teză trecută pe l ista propoziţiilor adevărate impl ică o a ltă teză , atunci şi aceasta este ade162


5.4.

Consecinţele primelor propozitii

moda.le

vă rată şi poate fi trecută in aceeaşi l istă . . Vom numerota teze le în aceeaşi ordine pe care o dă Lukasiewicz . Înain­ tea unei teze numerotate se va gAsi un rind care nu poartă n i c i un număr , acesta indicînd ce substituţii urmează să fie făcute . Un r înd de fe l u l acesta este compus din două părţi despărţite de semnu l " X " .

Semnele d inaintea l u i X constituie o formulă care e ste aceeaşi cu Cea de după x , numai că este notat ă în chip deosebit. I naintea semnu lui X se scrie substi ­ tuţia c e trebuie făcută ; d e exemplu , 3q/Mp arată că tn formu la (teza) 3 trebuie inloc u i t q cu Mp . Vom trata la timp , în intregime , un exemplu pentru a se observa bine procedeul .

Teze 1 . CNMpNp

2. CNpNMp 3 . CCNqNpCpq

4 . CCNpqCNqp 5. CCpNqCqNp 6. CCpqCCqrCpr Aceste şase teze s tnt acceptate de LU Kasiewicz fără a

fi demonstrate ; e le s in t de fapt axiome le s istemulu i . Prim e l e două s înt propoziţiile modale 1 ş i II ; tezele 3, 4 şi 5 s int forme a l e principiului transpoziţ i e i ; teza 6

eite s i l agismul ipote t i c . Pentru a nu da loc la vreo con­ fuzie e ventual A , să citim una d in e l e , m a i compl icat ă , f i e teza 3 : CCNqNpCpq . Avem aici , la inceputul formule i , două semne de impl icaţi e , ceea ce ar putea părea echivo c . Se observă Însă că propoz i ţ i i le noastre s int :

Nq

Np

p

q

Avem una după a l ta propoz i ţ i i le Nq şi Np ; unul din cele două semne iniţiale CC leagă aceste propoziţii , CNqNp ;

163


Logica polivalent!

după aceea semnul 9 d in interiorul formulei se referă la p şi q, deci Cpq. In sfîrşit, unul din semnel e C, care

a mai rămas l iber, articulează aceste două propoziţii CNqNp şi Cpq . Aşadar , CCNqNpCpq cum se va citi ? Dacă non-q implică non-p, atunci p i mp lică q . Să trecem acum la tezele care a u nevoie de demonstraţie . Pentru a demonstra teza 7 , vom scrie mai întîi rîndul care indică substituţia : 3q/Mp X Cl- 7 . Cum a m spus , acesta indică că in formula 3 trebuie să !nlocuim pe q cu Mp ; rezultatul este scris în dreapta semnului X , pe scurt , şi este Cl - 7 , adică teza 1 implică teza 7 şi dec i , după modu!} p onena , putem scrie teza 7 ca adevărată. Să facem această substituţie :

CCNMpNp CpMq .

--

1

7

X

Cl- 7.

Se vede că , după substituţie , formula noastră s-a trans­ format în "teza 1 implică teza 7" şi demonstraţia este făcută . Să scriem acum tezele demonstrate de Lukasiewicz indi­ c înd numai substituţiile ce trebuie fi'lcute .

3q/Mp X Cl-7 7.

CpMp 7 p/Np

X

8

8 . CNpMNp 4.

q/MNp X C8 - 9

9. CNMNpp 6 p j NMNp , q/p , r j Mp

X

C9-C7 - 1 0

1 0 . CNMNpMp 4. 1 64

p j MNp , q/Mp X CI0- 11


5.4.

Consecinţele primelor propoziţii moda.le

11 . CNMpMNp * *

3 q/p , plMp

*

X C2 -12

12. CMpp 12 p /Np

X

13

1 3 . CMNpNp 5 plMNp , q/p X C 1 3

-

14

14. CpNMNp

6 p lMp , q/p , r/NMNp

X

C12-C14-15

15. CMpNMNp 5 p/Mp, q/MNp

X

C15 - 16

16. CMNpNMp Tezele de la numărul 7 la numărul 11 inclus iv rezu ltă d in teza 1 (propoziţia moda lă 1) ; tezele de l a 12 la 16 inclusiv rezultă d in teza 2 (propoziţi a moda lă I I) . Să citim une le teze di n prima grupă (7-11) . De p i ldă, teza 7 spune : "Dacă p , atunci p este posib i l" . Teza 9 ; "Dacă nu este pos i b i l non-p, atunci p" . în general , te­ zele 7 - 1 1 , din prima grupă , s înt evidente . Nu tot aşa se Întîmp l ă cu tezele din a doua grupă , 12-16. De exem­ p lu , teza 12 ("CMpp") : "Dacă p este pos ib i l , atunci p" . Pe baza aceste i teze Lukasiewicz se crede îndreptăţit să facă in fere n ţa următoare , destul de surprinzătoare : " Este p o s i b i l ca bolnavul să moară , a şadar moare" . Concluzia este destul de b izară şi Lukasiewicz scrie : "Această concl u · zie va f i admisă num a i de ace i a pentru care nu există n i c i o diferenţă Între a f i pos i b i l (Moglich sein) şi a f i ( Sein)"8 . Vom reveni l a. sfîrşitul capitolului asupra aceste i înche ier i . •

J . l.. ukuiewiez, op. cit . , p . S 7 .

165


l.AIgIiE8 ,-rl',... T..zt lt 1 2 - 113 sint transformări respective a le tezelor d m prima grupă 7-11 . Teza 2 (adică propoziţia II) este

t r .. nspoziţia i n versă

lor ,

tezei 1 (a propoziţiei 1) , adică imp l i ca ţ ia ce l e i din teza 1 , cum se vede uşor d in comparaţia

2 . CNpNMp 1 . CNMpNp unde se observa că s-au intervert i t , pur şi simplu, termenii implicaţiei între e i . Urmează că tezele din a doua grupă sînt transpoziţiile teze lor respective din prima grupA . Avem cinci teze în prima grupă şi cinci teze în a doua grupă ; e l e îşi corespund întru totu l . De exemplu, să luăm ultima teză ( 1 1) din grupa întîi şi ultima teză (16) din grupa a doua : 1 1 . CNMp MNp

1 6 . CMNpNMp Afirmaţia noastră este evidentă . Tot astfe l se verific ă acelaşi lucru şi pentru celela lte teze . Acest rezultat ne duce însă la concluzia că cele două grupe de teze reprezintă de fapt o grupă de cinci echiva lenţe fiindcă avem im­ p licaţii simultane reciproce . De aceea Lukasiewicz scrie • Cine adm ite amîndouă grupe le de teze trebuie să accepte că propoziţiile următoare s înt echivalente între e le : "p" ; "p este posibil" ; "nu este posibi l non-p" sau "p e necesar" . Tot a şa propoziţiil e : "non-p" ; "non-p este pos i ­ " bil" ; "nu este posib i l p trebuie privite c a echivalente • . Intr-adevăr , s ă considerăm numai u n exemplu. Fie tezele 7 şi 12 care Îşi corespund în ce le două grupe : Î . CpMp 12.

CMpp

Ele reprezintă echivalenţa lui p cu Mp . Aşa se pot cerceta mai departe şi celelalte echiva lenţe . Cu aceasta Însă , noţiunile de necesie ştati de posibili­ tate introduse devin superflue , odată ce , în această logică , 16&


5.5.

Consecinţele ultimei propoziţii moda.le

"a fi posibil" echivalează cu ,,8 fi adevărat" , "a fi ne­ cesar" echivalează cu "a fi adevărat" e tc . Lukasiewicz crede că ajungem la această concluzie din cauza propoziţie i modale primitive I P : "Dacă se presu­ pune că non-p , atunci (cu această presupunere) nu este posibi l p" . Propoziţia este evidentă , după e l , numai că traducerea e i 2 . CNpNMp , cu toate că poate f i doved ită că reprezintă propoziţia I I , nu redă exact sensul e i . Acest lucru s e întîmplă d i n cauză că nu avem m ij loace sufic iente in logica biva lentă ca să exprimăm complexitatea mai vastă de sens pe care o are propoziţia I I , traducînd-o simbolic printr-o simplă impl icaţie . În rezumat, calculul bivalent aplicat propoziţiilor mo­ dale ajunge la o confuz ie a lor , astfel că n u ne aduce a bsolut n imic nou.

* 5.5.

Consecinţele

celei de

a

treia

propoziţii moda le primitive Nu am utilizat pînă acum propoziţia primitivă III. Lukasiewicz crede că ea nu poate f i exprimată simbolic decît dacă se lărgeşte calculul propoziţional8 • Să introducem atunci , odată cu Lukasiewicz , următoa­ re le noi simboluri . Fie � un cuantificator partioular, aşa fel încît dacă îl punem în faţa unei propoziţii să arate că este vorba de un caz part icular , nu de toate cazurile .

,, "Ep" = "pentru un p oarecare" 'Lp înseamnă deci , că p nu e luat in general , dat , ca o propoziţie dată .

CI

ca un caz

7 I bid,m . 8

Ibidem, p . 5 8 .

161


Logica polivalent4

Fie acum şi simbolul conjuncţiei logice , K , astfel Inc it, dacă îl punem Înaintea a două propoziţii, aceasta În· seamnă că e le au loc simultan : "Kpq" = "p şi q" Putem scrie propoziţia I I I în mod simbol ic astfel (con­ tinuînd numerotarea) : 1 7 . "1:.pKMpMNp

"Pentru un p oarecare este pos ibil p şi este posibil non-p" . Cuantificatorul ,, "1:." poate fi exprimat printr-un alt cuantificator, anume cuanti{icatorul unipersal "ll" . Semnificaţia lui "il" este : I"llp" = "pentru fiecare p" , adică "pentru toţi p" . Să notăm pe scurt cu "CI.(p)" = o propoziţie în care intră p, adică o formulă care conţine pe p. În faţa une i formule care reprez intă o definiţie vom pune l itera D urmată de un număr de ordine . Vom defini :

D1

"1:.p

CI.

(p)

=

NllpN CI. (p)

Să o citim : partea de la stînga semnului ,,=" este "pen­ tru un oarecare p este vala b i l ă CI.(p)" ; partea din dre a p t a semnu l u i ,,=" este "nu e adevărat că pentru oricare p nu e valabilă CI.(P)" ; aceste două expresii au acelaşi sen s . Aş�dar , "1:. p ş i NllpN au acelaşi efect , dau aceeaşi semni­ ficaţie u nei expresii CI. ( p) . Să facem atunci această sub­ stituţie p/NllpN în 17 ; obţinem :

18. lVllpNKMpMNp , care este teza 17 exprimată cu cuantificatorul ll . E a semnifică : «( N u este adevărat c ă pentru oricare p, propoziţia "p este posibil şi non-p este posibi l" este falsă Il . 168


5.5. Consecinţele ultimei propoziţii modale

Lesniewski a considerat un sistem logic încă mai gene­

ral pe care l-a numit Protothetică.

In loc să considere functori constanţi , cum s înt M, N,

C , K etc . , L esniewski a introdus functori i variabili ne­

determina ţi . In Protothetică se demonstrează că dacă .,," e ste un functor care are numa i o variabilă ca argument, adică dacă avem cpp (tp un functor variabil) , atunci for­ mula următoare este valabilă : "Dacă cpp este valabil şi în acelaşi timp cpNp este vala­ b i l , atunci este valabil şi rpq" . Cu alte cuvinte , dacă pro­ poziţiei p i se aplică functorul şi în ace laşi timp este valabilă şi semnificaţia lui pentru propoziţia non-p, atunci functorul tp se apl ică _oricăre i propoziţii q . Ceea ce este şi evident . Cum functoru l cp este oarecare , re laţia de mai sus se menţine ş i pentru cazul particular , c înd luăm cp = M . Aşadar :

19. CKMpMNpMq "Dacă propoziţia p este posibilă şi în ace l aşi timp este posibi l ă non- p , atunci orice propoziţie q este posibilă" . Pentru a demonstra Încă c îteva teze , să amintim care sînt regulile de demonstraţie :

1 . Substituţia 2 . Despărţirea ( Mo d us ponens) 3 . Adăugarea (introdu cerea) cuantificatoru l u i .

Prime le două re gul i le-am util izat mai înainte . Ultima re gul ă este : <�Dacă în membrul al doilea al unei implicaţii adevărate se află o variabilă propoziţională l iberă "p" , care nu intră şi în membru l înt îi a l impl icaţie i ca variabilă iiberă , atunci se poate pune în faţa membrului doi al implicaţiei date semnul "TIp" ) . Intervenţia aceste i reguli Jntr-o demonstraţie o vom însemna prin " + " (se adaugă cuantificatoru l TI) . Această adăugare a cuantificatorului ,,�P" nu arată decît că implicaţia este valabilă pentru oricare p . 169


Logica polivtJlent4

Să considerăm şi regula b ine cunoscută din logica biva­ lentă , după care o impl icaţie adevărată dă prin transpo­ z iţia termeni lor o implica ţie adevărată

p -=> q . -=> . "-' q -=> "-' p 'J care poate fi scrisă in simbolica lui Lukasiewicz :

CCpqCNqNp In condiţii le acestea a vem aici următoarele teze :

18. NllpNKMpMNp 19. CKMpMNpMq 20 . CCpqCNqNp *

20 pIKMpMNp , q!Mq

X

C19-21

21 . CNMqKMpMNp 21 + ll X 22

22. CNMqllpNKMpNp 4 plMp , q)llpNKNpMNp

X C22q!p - C18-23

23. Mp Am obţinut "p este posibil" unde "P" reprezintă o pro­ poziţie arbitrară . Am ajuns astfel , pe baza propoziţie i I II, la teorema 23, după care orice este posib i l (orice ar exprima propoziţia arbitrară "p") . Cu aceasta , dacă totul este posibil , atunci nimic nu este imposi b i l şi nimic necesar. într-adevăr, dacă "Mp" este adevărată , atunc i , înlocuind pe p cu "Np" , obţinem "MNp" ; orice propoziţie falsă este posi­ bilă. Deoarece "Mp" şi "MNp" s lnt adevărate , urmează cii negaţiile lor trebuie respinse , fiind propoziţi i fa lse : "NMp" . şi "NMNp", care reprezintă respectiv "nu este posibil p" şi "nu e ste posibil non-p" sint propoziţ ii fa lse . "

170

"


5.6.

JncompatibUitatea propoziţiilor modale

Astfe l nu pu� em avea n iciodată o propoziţie a devărată care să exprlme imposibilitatea unei propoziţii , fie ea socotită adevărată ("p") , fie fa lsă ("non-p") . Acestea s înt urm ări a l e tezei 1 7 , respectiv 18, şi care după Lukasiewicz nu pot căpăta a ltă formă simbo l ică , chiar în calculul lărgit prin introducerea cuantificato­ ri l orB •

5.6.

*

Incompatibilitatea propoziţiilor modale primitive in calculul bivalent

Toate a ceste rezultate penibile , crede Lukasiewicz , se datoresc mecanismului prea sărac a l calcululu i logic b iva­ lent . Nu numa i atît, a cest calcul conduce la prop6ziţ ii care nu pot fi acceptate . De exempl u , dacă combinăm teza 12 cu teza 23, căpătăm teza 24 : 12. CMpp 23 . Mp 24. p Prin urmare , dacă privim ca adevărate tezele 12 �i 23, a tunci , după consecinţa 24, orice propoziţie p este vala­ bilă şi ajunge m , astfe l , la un sistem contradictoriu . Nu putem conchide decît că propoziţi i le I I şi I I I sint incompatib i le în reprezentarea lor simbolică. Ne-am bazat , pentru a ajunge la acest rezultat, pe o propoziţie a Prototheticei. Ace laşi rezultat poate fi însă obţinut şi direct, utilizind numai tezele 12 , 13 şi 20 � i tezele obişnuite a le ca lcu l ulu i propoziţional biva lent . Lu­ kasiewicz a lege următoarele teoreme din logica lui Rus­ ;.e

Il :

r-- : p . :J . q :J p , I bidem, p . 60.

171


Logica polivalentif ,,0 propoziţie adevărată p este impl icată de oricare propoziţie q". 1 - . '"" (p . '"" p) "Nu este adevărat p şi în acelaşi timp non·p" (princi­ piul contradicţie i) .

1-

::l

::l

::l

::l

::l

q s . 10 tn simbolica lui Lukasiewicz, acestea vor fi scrise astfe l : : :

p

q

:

. r

8

:

p . r

.

25. CpCqp 26 . NKpNp 27. CCpqCCraCKprKqs

2 7 p /Mp , q/p , r/MNp , a/Np X C i2 - Ci3

-

28

28. CKMpMNpKpNp 20 p/KMpMNp ,q/KpNp X C28 - C26 - 29 29. NKMpMNp

25 p/NKMpMNp

X

C29

-

30

3 0 . CqNKMpMNp 30 + Il

X

3i

3 1 . CqIlpNKMpMNp 3 1 q/CpCqp X C25 - 32 32 . IlpNKMpMNp Teza 32 este însă contrad ictorie cu teza 18 , care este : 18. NIlpNKMpMNp

Am ajuns la două teoreme adevărate care sînt contra­ dictorii . Prin urmare propoziţiile modale primitive II şi I I I ( 1 8 se bazează pe I I , 32 pe I I I) sînt incompatibile . In faţa acestui rezultat, Lukasiewicz scrie că putem avea două i eşiri . Ma i Întî i , propoziţia I şi tezele care ţin It

172

P oate f i obţinută d in teorema 3 .ft7

din Principia Mathllnull i C4.


5.7. Logica trivalentil

de ea (tezel e 1 şi 7 - 11) trebuie recunoscute ca adevărat e , tntrucit sînt ş i evidente ş i n u dau l o c , niciodată, Ia nici o Îndoia lă . D intre propoziţiile I I şi I I I nu putem alege decît una , nu am îndouă d eo d ată , fiindcă sînt contradictorii . Daci ne decidem pentru propoziţia II �i tezele ce derivă d in ea (tezele 2 şi 12- 16) , atunci toate propoziţi ile modale devin echivalente cu cele nemoda le - cum am arătat - , Ceea ce arată că este superfluu a introduce propoziţiile modale în logică. Pe lîngă aceasta , ajungem �i Ia propo­ ziţii destul de dificile de a cceptatll. Dacă ne dec idem pentru propoziţia I I I , trebuie să recu­ noaştem şi consecinţe le ei paradoxal e , că totul este posi­ bil , şi iarăşi nu mai are nici un sens să introducem moda­ l itatea propoziţiilor .

*

5.7. Logica trivalentă

Lukasiewicz trage din aceste constatări bizare o altă concluzie dec ît aceea la care ne-am fi aşteptat . Logica clasică - ca şi aceea a lui Russel l - admitea d ou ă va lori pentru propoziţii : adevărat şi fals (A şi F) . Principiul terţiului exclus era pentru aceste logici o pro­ poziţie fundamenta l ă . Aristotel a susţinut acest p rincip iu, dar a arătat că e di scutabil p entru întîmplări vi itoare. Dacă luăm propoziţia "este p osibil ca să fiu la V arşov i a la 2 1 decembrie" , ea este p osibilă, dar nu necesară. Astăzi ea nu este nici fa lsă , n i ci adevărată . Principiul terţiului exclus n u i se aplică , prin urmare . Există deci o valoare de adevăr pentru unele propoziţii care nu este nici adevăru l (A) şi nici falsul (F) . Lukasiewicz introdu­ ce pe aceast ă bază o a tre ia va loare , "posibilul" , fun­ dînd astfe l o logică cu trei va lori de adevăr. Am putea să insemnăm această valoare cu P. Deoarece unii logicieni 11 J . l.aka8iewiez, op . ci I . , p. 61 .

173


Logica polivaZent4

nota seră cu 1 adevărul şi cu O falsu l , Lukasiewicz notează a tre ia valoare de adevăr cu 1/2, ceea ce este ind iferent . "Ea ist emm das Mogliche , das ala d�itte,. We�t neben das F aL.,che und das Wah�e an die Seite t,.itt"J2. Este evident că dacă o propoziţie "pos i b i l adevărată" are va loarea 1/2 şi negaţia ei are tot valoarea 1/2. Dacă "Mp" are valoarea 1/2 şi "MNp" are va loarea 1/2 . Vom avea deci următoarea m atrice pentru negaţie :

N

1

1 - O 2

în linia l u i p am scris valor i le de adevăr a le l u i p ; tn l inia lui N (negaţia) am scris valorile corespunzătoare negaţie i e i . Dacă o propoziţie p are valoarea O (falsul) , atunci negaţia e i are valoarea ,1 (adevărul) etc . Să găsim a cum matricea corespunzătoare impl icaţiei . în logica , bivalentă această matrice era simplu de construit. In

logica trivalentă şi implicaţia (functorul "C") va avea trei valori : adevăra t , fals şi pos i b i l . Sint de e xaminat , in afară de cazurile din logica bivalentă (care erau patru) , fncă următoare le cinci cazuri unde intră valoarea 1/2, pentru a vedea ce valori de adevăr rezultă pentru impli­ caţie :

C O C

C

1

2

-

1

2

-

1

2

-

: falsul impl ică pesibilul

O: posibilul implică fa lsul 1

- : posibilul implică posibilul 2

13 Ibidem , p . 64.

174


5.7;

Logica

tritJoleRt4

C ..!.. 1 : posibilul implică adevărul 2

CI

� adevărul impl ică posibi l u l .

După cercetări atente , Lukasiewicz a găsit următ()area matrice a implicaţiei , care se citeşte uşor ; în coloana !ntîia din dreapta s-au scris valorile primului membru al implicaţie i ; în linia de sus s-au scris valorile m embru lui al doilea ; la intersecţia l iniei cu coloana respectivă se găseşte valoarea de adevăr respectivă a implicaţiei C. De exemplu :

­

..Q.I ...Q... 1

O

inseamnă : impl icaţia (C) este adevărată pentru primul membru fa ls si al doilea fals. Iată matrice� completăl3 : c

O

O

-

2

â

l'

1

1

1

1

O

2

1

2

1

.

1

1

li A c eastă ma trice p oa te fi scrisă u t i l iz ind in locul semnelor O , 1/2 , 1 l iterele iniţiale F , P, A ale cuv intelor "Fals" , "Polibil" ,i "Adevărat" ,. astfel :

C

F

P

A

F

A

A

A

P

P

A

A

A

F

P

A

1;5


Logica polivalentil

Ce spune această matrice care a făcut să intervină şi va loarea a treia "posibil" ( 1/2) a propoziţii lor? Pentru valori le O şi 1 ale membrilor , implicaţia are valoarea cores­ punzătoare din l ogica lui Russe I l , adică este adevărată cu excepţia cazul u i c înd prima propoziţie este adevărată ,i a doua falsă . Să cercetăm acum cazurile in care intră 1/2 (posibilul) . Dacă primul membru este posibil (1/2) şi al doilea este fals , implicaţia are valoarea 1/2 (este posi­ bilă) ; dacă primul membru este posibil (1/2) şi al doilea este posibil (1/2) , atunci implicaţia este adevărată (1) etc.

5.8.

*

Definiţia noţiunii de posibilitate

Pe baza acestor concluz i i , Lukasiewicz caută o definiţie posibil ităţii. Această definiţie a fost găsită de e le vul lui Lukasiewicz , Alfred Tarski ( în anul 1921) , şi este defi­ n iţ i a posibilităţii in general , corespunztnd ce lor tre i pro­ poziţii moda le primitive . Această definiţie este : a

D2. Mp

=

CNpp

" P este posibil" înseamnă ace laşi lucru cu "dacă

non-p

atunci p"14.. Expresia "CNpp" , care defineşte posibilitatea une i pro­ poziţii p, este conform matricei , numai atunci falsă cInd p este fals ; in toate ce lelal te cazuri expresia este adevărată . Avem astfe l : MO = 0 , M � - 1 , Mi = 1 2

u J. l.uka8icrwicz, op . ciI . , p . 66 .

176


5.B. Definiţia noţiunii

de posibilitate

Adică : posibilitatea laIsului este lalsă j posibilitatea posibilităţii este adevărată j posibilitatea adevărului este adevărată . Trebuie să observăm că în calculul b ivalent e xpresia " eNpp" este echiva lentă cu p ; prin urmare valoarea e i este ca ş i a lui p . N u ace laşi lucru se întîmplă în calcu­ 'l uI trivalent , unde avem în plus cazul M 1/2 = 1 . Astfel , teza biva lentă "CCNppp" , în calculul trivalent, ,n u este valabi lă pentru valoarea logică 1/2 a lui p, cum llşor ne putem convinge . Într-adevăr , această propoziţie -este teorema 2 . 18 din Principia Mathematica :

f- : ""' p lEa este

un

:J

p.

:::l .

P

caz particular al reducerii la absurd ( reductio

.ad, absurdum) : "Dacă o propoziţie urmează din ipoteza

propriei ei falsităţi , atunci ea este adevărată". Girolamo Saccheri , care s-a ocupat de această propoz i ţie , ilncercind să demonstreze cu ea postulatul lui Eucli d , o n umeşte prima I'eritas. Lukasiewicz o denumeşte după cercurile iezuite , care au cercetat-o mai de aproape , con8equentia mirabilis. Este interesant faptul că acest mod de deducţie nu este valabi l intotdeauna în logica triva­ 'entă . Să definim acum ş i necesitate a , după Lukasiewicz :

D3 NMNp

=

NCpNp

..,p este necesar" înseamnă ace laşi lucru ca "nu este ade­ 'vărat că dacă p atunc i non-p". Cu alte cuvinte , o propoziţie este necesară numai atunoi -cÎnd este fals că ea implică propria e i negaţie15• 16

lbid.

177


Logica polivoJema

Este posibil fnsă să luăm o altA definiţie pentru posibi­ litate? Tarski a arătat el s ingura definiţie posibilă a posibi litAţii este CNppl'

*

5.9.

Consecinţele definiţiei conceptului de posibilitate

Vom arăta în baza definiţiei dată conceptului de posi­ bil itate că în logica trivalentă cele tre i propoziţii moda le primitive 1, II şi I I I , analizate în paragrafele anterioare , sînt simultan adevărate şi deci compatibile . Pentru aceasta insă , în prealab i l , s int necesare cîteva precizăr i . Am văzut (- 3. 14) că interpretind formule le calculului propoziţional b ivalent ca pe nişte funcţii de adevăr , teoremele apăreau ca acele funcţii particulare (numite şi tautologii) care pentru orice valori date varia­ bilelor iau valoarea 1 (adevărat) . Dar faptul că iau în mod constant valoarea 1 poate constitui chiar o demon­ straţie a lor . Este indiferent din punct de vedere al cal­ culului - şi aceasta este o observaţie importantă - dacă el se dezvoltă pornind de la axiome (metoda a:eiomatică) sau dacă teoremele sînt inserate pe baza dovezii ci sînt tautologi i . ( Dovada , după cum am văzut , se face alcă­ tuind matricea de adevăr a formule i , fapt pentru care metoda se numeşte matricială . ) Lukasiewicz îşi a lege ca mod de dezvoltare a sistemului său metoda matricială. Prin urmare orice teoremă trebuie însoţită , drept demon­ straţie , de un tabel În care se dA , pentru fiecare sistem de va lori posibile luate de variabilele sale propoziţionale , 1 8 La Începutul cercetărilor sale , I:.. u kasiewicz luase ca definiţie a posibilită ţ i i pure lormula : n·1 . Mp AEpNpllqNCpKqNq unde functori i A şi E Înseamnă A d isjuncţia logică , E ech i­ valenta logică. E a se traduce : "p este p os ibil" Înseamnă " sau p şi non-p sînt echivalente sau nu există o pereche de p ropoz iţii contrad ictorii care rezultă d in p". I:.. u kasiewicz a renunţat Însă la n·1 p entru a adopta definiţia lui Tarsk i. =

=

=


5.9. Consecinţele definiţiei posibilitdţii

valoarea core spunzătoare ca lculată pe baza matrice lor trivalente a le i mp l icaţiei şi negaţie i . Spre exemplu , teo­ rema CpMp. Pentru a calcula valoarea aceste i formule pentru o valoare a lui p, trebuie să inlocuim m a i intri Mp, pe baza definiţiei sale , cu CNpp şi obţinem CpCNpp. Atunci pentru p, de pildă egal cu 1/2 . Np va fi egal tot cu 1 /2 , deci va fi

CNpp .

va fi

C � 1 , deci tot 1 . 2

loare posibilă a lui tabe l :

p,

C !. !. . 2

ad ică

2

1,

trecem rezultatele

CNpp

CpCNpp

o

O

1

2

1

1

1

1

1

CpCNpp

Calcultnd aşa pentru fiecare va-

p 1

iar

tn

următorul

care ne arată că formula ia intotdeauna va loarea 1 (ade .. vărat) , deci este o tautologie şi prin urmare o teoremă. Asemenea verificări f iind s imple şi mecanice , le vom omite . Astfel, teoreme a le logici i trivalente stnt următoare le :

T1

CpCqp

T2

CpCNpp

T3

CpMp

T4

CCpqCNqNp ,

care este principiul transpoziţie i .

T5 CNMpNp , care este propoziţia modală prim itivă 1 .

T6

CNpCNpNMp

T7

CpCpNMNp 179


Logica polivalentlJ

Teorema 6 afirmă : " Dacă Np , atunci Np impl ică i mpo­ sibilitatea lui p" , iar 7 : "Dacă p, atunci p implică nece­ " sitatea lui p . Ele sînt forme ale propoziţie i moda le­ primitive II. Să observăm , odată cu Bernays17 , dublarea­ antecedentului faţă de propoziţiile 2, respectiv 14, for­ mele bivalente ale aceleiaşi propoziţ i i moda le . I n logica bivalentă , pe care o acceptasem la începutu l acestui capi­ tol , cele două forme - cu antecedent simplu şi cu ante-­ cedent dublu - erau echiva lente . I n logica trivalentr. însă are loc impl icaţia T8

CCpqCpCpq,

dar nu si conversa e i . Prin urmare nu ne e'lte indiferentfo distincţ i a . Şi , într-adevăr , formule le cu antecedent simplu ::

CNpNMp CpNMNp nu sînt teoreme , luînd fiecare pentru p

Pentru a arăta că şi triva lentă , trebuie să �i conj uncţia logică respectiv K . Aceste D4

Apq

D5

Kpq

=

=

1/2 valoarea 1/2 _ propoziţia I I I este valab i lă în logica introducem în acest calcul d isjuncţi a notate de Lukasiewicz prin A ŞJÎ definiţ i i sînt : =

CCpqq NANpNq

Ca şi în logica bivalentă , Apq se va citi "p sau q" ,

18r

Kpq " p şi q" . Atunci este uşor de verificat că şi formulele

T9

"2:.pKMpMNp

TiO NrrpNKMpMNp , care exprimă din punct de vedere formal propoziţia I I I ,. sînt teoreme în logica triva lentă . Spre exempl u , p r i m a 1 7 L es en lrelieru de Ziirich

180

.

.

.

, p . 1 04 .


5.9. Consecinţele definiţiei posibiliti1ţii

este teoremă , deoarece există un p astfel Încit atît Mp � it şi MNp să ia valoarea 1 şi anume p 1 /2 . Aşadar , toate cele tre i propoziţii moda le primitive s înt aici valabi le şi deci compatibile . Să facem acum dovada că definiţia "Mp = CNpp" este s i ng u ra care satisface propoziţiile moda le primitive 1 , I I " i III. F i e 0Il o propoziţie s a li o expresie mai compl icată . După 1, din "NMe,." urmează "Na." . Prin trans p oziţie , din IZ flrmează Ma. . Acest rezultat poate fi uşor constatat : =

C!, =

1 ; Ma.

=

M1

=

1 ; M1

=

1.

După propoziţia I I , din "Noe" urmează "NMoe". Dacă O, atllnci :

=

N0Il

=

1;

N Al!X

N MO

=

=

1.

Dar NMO poate fi 1 nllmai dacă 11.f0 :aşadar , o nOllă ega litate :

MO

=

O . Căpătă m ,

O

=

În sfîrşit , propoziţia I I I , 'LpKMpMNp , este falsii pentrll p = O şi p 1 , fiindcă în cazlll acesta lInlll din nlembri i conj uncţiei este fa ls, deci întreaga conj llncţie este falsă. Conjuncţia aceasta devine adevărată dacă luăm : =

1

M2

=

1,

atllnc i , pentru p 1 /2 , ea are valoarea 1 . Cele trei propoziţ i i , 1 , I I şi I I I , nu sînt verifica te dectt dacă luăm : cacI

=

Mi

=

i ; MO

=

O ; M ..!.. 2

=

2. 2

însă aceste valori sînt tocmai acelea date de definiţia CNpp" ; deci ea verifică propoziţiile 1, I I , I I I sau o expresie echiva lentă .

...., Mp

=

181


Logica polivtllentlf

*

5.10. Dezvoltarea logicii trivalente

Lista de teoreme ale logicii trivalente începută In para­ graful anterior poate fi completată cu citeva proprietăţi importante ale implicaţie i definite de Lukasiewicz18 , şi anume :

T1 1

Cpp

(legea identităţii)

Ti2

CCpCqrCqCpr

(principiul comuta tiv)

Ti3

CCpqCCqrCpr

Ti4

CCqrCCpqCpr,

ultimele fiind cele două forme ale principiului silogis­ mulu i . Ma i departe , a lături d e prima proprietate paradoxală a implicaţiei materiale

p

.

.

q

p,

care am văzut c ă are loc ş i pentru impl icaţia l u i Lukasie­ (Ti ) , a doua este , de asemenea şi ea , valab i lă :

WICZ

Ti5

CNpCpq

O propoziţie falsă implică orice . Ca �� i în l ogica biva lentă , vom putea defini echivalenta a două propoziţii p şi q ca implicaţia lor reciprocă . Notînd-o cu E, avem :

D6

Epq

=

KCpqCqp,

d in c a re putem deduce imediat că are loc principiul dublei nega ţ i i

Ti6

EpNNp

1 8 D u p ă cum a observat G r . C . M o i s i l , care s-a ocu p a t ş i d e p o s i b i l i ta tea d e f in ir i i unor a l te imp l ic a ţ i i Î n l ogi c a trivalentă , " im p l icaţia luk a s i ew iczeană se bucură de cele m a i m u l te d intre propriet ă ţ i l e t ip ice ale imp l icaţie i " . (Gr. C. M oisil, lncercări yech i şi /to i de log ică neclasică, p . 284 . )

182


DupA. cum s-a văzut o serie de teze ale logici i bivalente au loc şi tn cea trivalentă . Există , desigur, şi exemple con­ trare , intrucit cele două logic i stnt distincte . Se poate arăta uşor că nici o t autologie Q logic i i biva­ lente nu va căpăta valoarea fals (O) jn logica trivalentă , oricare ar fi valorile de adevăr luate de variabilele sale propoziţionale . Prin urmare nici o asemenea tautologie nu va putea deve i În logica lui Lu k asie ic o contra­ dieţie (adică o formu lă care să ia în mod constant va loarea O) . Totuşi putem observa , privind matr i ce le triva lente ale functori lor N, A şi K , că formule le în a c or com­ ponenţă intră numai ei i a valoarea 1 /2 nd toate varia­ bilele lor propo iţionale iau această valoare . Prin urmare , dacă au fost în logica b iva l entă tautologii , acum nu mai sînt . Astfe l , princip i u l te ţ i u l ui exclus

n,

w z,

u

z

ăr

r

ApNp nu mai este valabil in logica trivaJentă . Era şi de aşteptat, căci el spune că orice propoziţie este adev rat sau falsă . Un postulat pe care , evident , nici o logică cu mai multe valori nu-l acceptă . Locul lui ti ia , după cum vom vedea , un princi iu a l uartului exclus : orice ropo i ie poate avea trei valori : 0, 1 /2 sau 1 , quartum non datul'. Ceea ce este mai cu i os n ici principiul contradicţiei

ă ă

p

p

q

r ,

NKpNp

oo (

� e l capătă valoarea î ) bine s-a observat tnsă , l i psa lui de va l ab i l itat nu mai ţine de punctul de vedere polivale n t , ci trebu ie privită mai curînd d rep t o mutilare a conjuncţiei de sensul e i nu e ste o taut l gie pentru p

.

=

Cum

e

obişnuit19• Este e vident eli şi în logica triva lentă , ca şi în cea bivalentă , o propoziţie p nu poate lua simultan două valori de adevăr. Relativ la aceasta , F . Gonseth punea în evidenţă valoarea 1/2 pe care ar trebui s-o ia onj uncţia : "De aeum într-un aII voi fi la Varşovia şi nu voi Ii la Varşovia" dacă opoz i i i le referitoare la viitorii

c

pr

11 Les enlrelieM de Zarich

..••

ţ

p. 105. Dotă .

181


Logica polivalentll

contingenţi ca "De acum Într-un an voi fi la Varşovia'''' sînt considerate ca avind valoarea 1 /2 . Aceasta , după< părerea lu i Mostowski , d istruge orice speranţă de a da o· interpretare rezonabi lă logic i i lukasiewicziene în termenii l imbaj u l u i obişnu it2 0 • Vom vedea cum asemenea d i fi­ cultăţi se ivesc În orice logică triva lentă , ca de a ltfe l şi< in logici le cu m a i mult de tre i valori .

*

5.11.

Modalităţile

logicii trivalente

Vom re lua acum d iscuţia modal ităţi lor în sistem ul! trivalent a l l ui Lukasiewicz . Pentru aceasta să introdu cem mai intii , o dată cu Lewis 21 , o nouă moda litate a propo­ ziţii lor , care d in motive pe care l e vom vedea mai tîrziu este interpretată de el ca "dubitativu l " (doubtful) ş i notată, cu D :

D7

Dp

=

Ep Np

Atunci vom avea , pe l îngă adevăr şi fals : p şi Np , şase' modal ităţ i : Mp , NMp , MNp , NMNp , Dp şi NDp , al e căror matrice de adevăr le putem ca l c ul a i m e d i at , obţi ­ n înd

_P_j O

Np

1 1

1/2 1 1/2 1

: 0

I

Mp NMp MNp l\TMNp

Dp NDp

O

1

1

O

O

1

1

O

1

O

1

1)

1

O

O

1

O

1

(1) Mp este moda litatea care are loc Îll afara cazului cînci p

=

O.

De c i semnificaţia e i exactă este p =1= O sau "p n u e ste­ cu s iguranţă fa ls" . 20 J o urn a l of Sym b o l i c Logic", XV (1 950) , p . 2 23 . " 21 C. 1. Lewis ş i C. H. LBD�ford, Symbolic Logic, p .

225.


5.11.

Modalitdţile logicii

trivalente

(2) NMp este modalitatea care are loc exact c înd p O. Dec i semnificaţia e i exactă este p O s a u "p e st e cu s i gura n ţă fals" . (3) MNp este modalitatea care are l oc cu exce p ţ i a cazului p = 1. Dec i semnificaţ ia e i exactă este p=f=1 sau "p n u este cu siguranţă adevărat" . (4) NMNp e ste moda litatea ce are loc exact cînd p = 1 . Deci semnificaţia e i exactă este p = 1 sau "p este cu s iguranţă 22 adevărat" . (5) Dp este modal i tatea care are loc exact c înd p = 1/2. Deci semnificaţia ei exactă este p = 1 /2 sau "p este dubitativ (n i c i cu s iguranţă adevărat, n i c i cu s iguranţă fa ls)" . De altfel ea este e chivalentă cu conjuncţia : KMpMNp (at it p c ît şi Np s înt posibi le) , ceea ce îl face pe Prior s-o identifice cu "contingentul"23 . (6) NDp este modal itatea care are loc cu excepţia cazu lui p = 1 /2 . De c i semnificaţia e i exactă este p=f= 1 /2 s a u " p n u e dubitat iv" Observăm că toate aceste şase funcţi i de adevăr pot lua doar două valor i , adevăru l ( 1 ) şi fa lsu l (O) , spre deosebire de primele două "p şi Np" , care iau ş i valoarea 1 {2 . Prin urmare , propoziţia p ş i propoz i ţia p = 1 s în t d is­ tincte . Dar afirmar6a lui p este echivalentă cu p 1. Se confirmă , aşadar , observaţia făcută de no i în primul paragraf , că toate aceste mod uri nu trebuie considerate a serţiuni , ci doar propoz i ţ i i i p otetice . Cît priveşte re laţii le d intre modalităţ i , între el e au loc impl icaţi i le obi şnuite din logica modală intre "necesar" , "adevărat" ş i "posibil" , ca ş i Între " impos i b i l " , "fals" şi "posi b i l fa ls" . Notînd aceste implica ţ i i prin săgeţi , re laţi i le se pot scrie schematic a s tfe l : =

=

.

=

22 L ewis ob servă că a i c i , ca şi în toate ce l e la l te c in c i cazu r i , "cu siguranţă" n u înseamnă o certitu d ine p s i h o l ogică, c i are exac t inţelesul l u i p = 1 d in c a l c ulu l proba b i l i t ăţilor (I bidem , p . 226) . 23 A. N. Prior, Forma l Logic, p . 2 4 7 .

185


Logico poliVGlentd

NMNp NMp

-+

-+

p

Mp

-+

-+

Mp

MNp

Modalitatea "d ubitativ" , Dp , nu este implicată de nici una d in celelalte modalităţi , dar implică moda lităţi le Mp şi MNp, aşa cum se poate constata d in teoremele :

T17 C DpMp T18 CDpMNp în p lus ea are proprietăţi le :

T19 EDpDNp "dubitativitatea lui lui Np" ;

p

echivalează

cu

dub itativitatea

T20 ENDpNDNp "nedubitativitatea lui p echiva lează cu nedub itativitatea lui Np" , aşa cum uşor se poate verifica . Cu ajutorul aceste i modalităţi , putem exprima princ i­ p iu l quartu lu i e xclus , despre care am afirmat că este valabil în logica trivalentă . Prin analogie cu princ ipiul terţiului exclus sau - aşa cum î l mai numeşte Luka­ siewicz al celor două valor i , care afirmă că ori<!e propoziţie poate lua numai două valori : adevărul şi falsul, p utem pune pentru logica triva lentă un principiu al celor trei valori : orice propoziţie poate lua tre i valor i , adevărul ( 1) , falsul (O) şi valoarea 1/2, quartum non datur. Ceea ce în s imb o lismul lukasiewiczian , uti l izînd modalităţi le anterior defin ite , s-ar scrie astfe l -

T21 AANMNpDpNMp "Orice propoziţie p admite sau modalitatea necesar, sau dubitatilJ, sau imposibil", căci NMNp , Dp , NMp înseamnă , după cum am văzut , respectiv p = 1 , p = 1 /2 şi p = O . Această teză a logicii c u trei valori este numită d e Moisil principiul quartului e:z:clus1l4 •

. 1'

il

Gr. C. Meiai l , Incercări vechi ,i noi . . . , p . 184, unde autorul sub o formă a l gebric ă , echivalentă însă cu cea dată

exprimă de noi.

186


5.11. Modalitifţile logicii trivcilente

Am văzut care este modul aparte în care Lukasiewicz

l�i dezvoltă sistemul : metoda matrice lor de adevăr. Se

pune problema dacă nu poate fi dezvoltat şi aşa cum ne-am obişnuit pînă acum , adică deducîndu-i teoremele d in Dişte axiom e , prin regulile fam i liare de inferenţă din ca lculu] logic : substituţia şi modu9 ponens. Wajsberg , un e lev al l u i Lukasi ewicz , a arătat că acest )uc�u este posibil dacă pornim de la următoarele patru aXIOme :

Al CqCpq .0

propoziţie adevărată e implicată de orice propoziţie".

A2 CCpqCqrCpr care

este unul d intre principiile silogismului ,

A3 CCCpNppp A4 CCNqNpCpq

regu la

de transpoziţie.

I ntr-adevăr , să arătăm cum , spre exemp]u , se pot demon­ stra pe baza acestor axiome şi a re gu l i l or de substituţie şi modu9 ponens , primele trei teoreme enunţate de noi ]a paragraful pre cedent (modul lui Lukasiewicz de a indica dem onstraţ i i le n e este f a m i l i a r Încă de l a * 5 . 4)

Ai p/q, q/p X Ti Ti CpCqp Ti q/Np X T2 T2 CpCNpp T2 D2 x T3 T3 CpMp Pentru demonstrarea teoremelor cu cuantificatori este necesară , aşa cum am menţionat , regula de adăugare a cuantificatorului (. 5 . 5 ) . Observăm că toate cele patru axiome sint teoreme a le logici i clasice. Prin urmare , utilizînd numai substituţia 187


Logica polivalent.!

şi modua ponens, nu vom putea demonstra în logica lui Lukasiewicz decît teoreme a le logicii clasice , dar n u pe toate. Spre exemplu, după cum am observat , principiul terţiului exclus ApNp n u poate fi demonstrat · . Deci logica trivalentă , abstracţie făcînd de interpretarea sa trivalentă , poate fi privită ca un fragment a l logicii clasice. Dacă l uăm însă în considerare interpretarea triva lentă , vom vedea că există deosebiri esentiale între cele două logi c i , care nu j ustifică această inclu;iune simplificatoare . Pe scurt , despre ce este vorba? întrucît combinaţi i le ce se pot forma cu cele două valori de adevăr , 1 şi 0, luate cîte două , sînt ( 1 , 1) , ( 1 ,0) , (0 ,1) şi (0,0) , in logica bivalentă le corespund patru functori unari : tautolog ia , adevărul , fa lsul (negaţia) şi contradicţia . Toţi se pot exprima cu ajutorul ideilor prim it ive puse de Russell la baza sistemului său : tautologia lui p prin p V "-' p , ade­ vărul lui p prin p, fals itatea lui p prin ", p, iar contra­ d i�ţia lui p prin p . '" p sau ( p V '" p l . 27 In logica trivalentă Însă a ve m dintr-o dată 3 1 functori unari . Unii d intre ei nu pot f i exprimaţi cu aj utorul impl icaţiei şi negaţie i trÎvale nte . Spre exemp lu functorul Tp , definit de matricea : �w

=

p

I O

1/2 1 T \ 1 /2 1 /2 1 /2

nu poate fi scris in funcţie doar de C şi N. S lupecki , unul d intre elevii l u i Lukas iewicz , a propus să- I luăm Împreună cu aceştia drept functor primit iv. În p l u s , pentru calculul cu T, trebuie adăugate celor patru axiome a le l u i Wajsberg încă două : A5

C TpNTp

A6

CNTpTp •

Fap t u l că nu toa te p r i nc i p i i l e l og ic i i c la s ice ne s i n t acce­

s i b i l e în logica triva lentă ingreuiază m u l t demons traţiile unor teoreme (pentru exempl ificare vezi R. A r kermaon, Introduction to Many-Valued Log ics. p p . 50 - 53) . în asemenea cazuri, e de preferat ve r i fica re a faptului că o teoremă are loc p r in cons truirea

matricei triva lente .

188


5.12. Logicile L m

Sistemul astfe l l ărgit nu ma i prezintă carenţe de tipu l celor menţionate . Din păcate însă noul functor introdus D U are nici o semnificaţie intuitivă 2 5. Logicianul chinez Tzu- Hua Hoo a demonstrat că logica b ivalent ă , despre care am văzut ma i înainte că .,includea" logica l u i Lukasiewicz , se poate considera .. inclusă" În logica trivalentă , Îmbogăţită cu functorul T şi cele două axiome AS şi A6 , cu cond iţia de a inter­ preta negaţia şi impl icaţia clasică respectiv prin defi­ n i ţ i ile26

'" p

*

CTpNp

D,.

p :J q = CNqNp

D(.

=

5.12. Generalizarea logicii trivalente :. logicile Lm

Am văzut ca m l ogica triva lentă s-au atribuit prop o­ ziţiilor trei valori : 0, 1 /2 şi 1 . Putem genera l iza această idee şi să atribuim , în interva lul ° (fa ls) şi 1 (adevărat) , o serie de valori propoziţii lor : patru , cinci etc . , obţinînd o logică te trava lentă , pentava lentă etc . Cît priveşte i mp licaţia şi negaţia , Într-o a stfel de logică ele vor putea fi definite în fe l u l următor. Să observă m , privind matricea implicaţiei trivalente ('" 5 . 7) , c ă În toate cazuri le cînd valoarea lui p este mai m ică sau c e l 2 6 C u privire l a acelt�ta , a s e vedea interesante d iscuţii in p . 103. De a l tfel , utilizarea functorului T n u reprezintă singura po­ sibilitate d e rezolvare a prob lemei. Ch iar Slup ecki a m a i propus ulterior Încă una (vedeţi A. N. Prior, Formal Logic, p . 237) . Con­ tribuţiile lu i S lapecki au apărut În "Comptes Rendus des Seances d e la 80ciete des Sciences et des Lettres de Varsovic" , Classe I I I , v . 29 (193 6) , p p . 9 - 1 1 ş i v. 32 ( 1 939) , pp . 1 0 2 - 1 2 8 . 2 6 m-J' alued sub-syslems o f ( m + n) - J'alued propOBitional calculus, "Journal of Symbolic Log ic" , XIV (1 949) , p p . 1 7 7 - 1 8 1 , in care Roo demonstrează de fapt un rezu ltat m a i general , a l căru i caz particular este c e l despre care a m vorbit . Les erdrelÎens de Ziirich ,

189


LogicA pOliVCIlentd mult egală cu valoarea lui q impl icaţia Cpq are loc (ia valoarea 1) , iar c in d valoarea l u i p este mai mare decit p + q (şi deci valoarea l u i q ea are exact valoarea 1 DU mai are loc) . Pe de a ltă parte este uşor de văzut că negaţia lui p, Np, are intotdeauna valoarea 1 p. Aşadar , Însemnînd cele m valori a l e une i logici m- va­ lente prin numere le : -

-

0,

1

--

m - 1

.

2

--

m- 1

.. . . . ..

m- 2

--

m- 1

'

1,

vom putea defini impl icaţia a două propozi ţ i i p ŞI q , astfe l : . pentru p � q: Cpq ia valoarea 1 (este adevărat ă , deci are loc) ; pentru p > q : Cpq ia valoarea 1 p + q (deci n u are loc) .

Cpq,

-

In fe l u l acesta , uti lizind metoda matrice lor de adevăr, se poate dezvolta un calcul m- valent , Lm , respectiv cu 4 , 5 ş .a .m .d . valori de adevăr . Ba , mai m u l t , n i m i c nu ne lmpied ică să luăm drept valoare de adevăr a une i propo­ ziţii orice fracţie raţiona l ă m a i mare ca 0, dar mai micii ca 1, şi să punem astfel baze le une i logici cu o infinitate de valori . Lukasiewicz considera i mportantă o asemenea logică , datorită pos i b i l i tăţii ei de aplicare În calculul probabilităţi lor . tri toate aceste sisteme se pot defi n i , ca şi in logica cu trei valori , d isjuncţia , conj uncţia �i e chivalen ţa :

Âpq = CCpqq Kpq = NANpNq •pq = KCpqCqp

Df. Df .

Astfel s înt păstrate o parte dintre proprietăţile disj uDc' ţ iei şi conjuncţiei d in logica clasică (comutativitatea , asociativitatea etc .) . Este interesant de observat legăturile pe care aceste logici le au Intre e l e . Toate teoremele unei logi ci poli· valente s int valabile in logica bivalentă , dar niciodată reciproc. Cele mai importante teze ale sistemului bivalent care nu sInt valabile In sistemele pol i valente , s int celE 190


5.12. Logicile Lm

se referă la unele moduri de deducţie numite apagogicB ti considerate , incă de m u l t , discutabile . Iată citeva �xemple, care nu s int valabile in logicile polivalente : e a re

CCNppp CCpNpNp ICCpqCCpNqNp CCpKqNqNp CCpEqNqNp Cit priveşte incluziunile logicilor pol ivalente intre ele,. menţionăm că aceasta este o problemă de1 icată . Deşi � într-un anumit sens , cu cit m creşte , mulţimea teoremelor lui Lm scade , in general nu avem relaţia " Ln este in c lus in Lm" pentru orice n > m27• Logica cu o infin itate de valori este un caz- l imită , teoremele e i fiind valabile in oricare dintre logici le cu un număr finit de valori . Ca in cazul logici i triva lente şi pentru l.:elelalte logici polivalente s-au căutat sisteme de axiome din care să se poată deduce prin substituţie şi mod us ponen8 exact acele teoreme pe care logica respectivă le certifică drept valabile (a căror matrice de adevăr m-va lentă , m fiind numărul valorilor de a devăr d i n log i ca respectivă , are pe ultima coloană numa i elemente 1) . Mai Întii , evident , ne putem pune problema dacă acest lucru este posibil în gene­ ral . Nu cumva există logici pol ivalente care să nu poată li dezvoltate , plecînd de la un număr finit de axiome? Wajsberg28 a demonstrat că orice asemenea logică cu un număr finit de va lori in care s înt valabile teoreme le :

CCpqCCqrCpr CCqrCCpqCp" 2 7 A ceasta are loc n um a i c î n d ex i s tă un întreg po : dt iv k, astfel (m - 1 ) = n - 1 (vez i R. AckermllDD, op. cit . , p. 60) . aa M. W.j8berlll . Be i t răge ;z;um 1Wetaaussagenkalkiil , 1 , În "Mo­ na tshefte fiir M a them a t i k und Phy s . " , 42 (1 935) , p p . 221 -242. Încît k

191


Logica polivalmt4 CCqrCpp CCpqCNqNp CNqCCpqNp

poate fi axiomatizată p ornin d de la un număr finit de a x i ome . Se poate arăta că formule le de m a i sus sînt vala­ bile 1n orice logică Lm . Nu ne rămîne , prin urmare , decit să găsim , pentru fiecare d intre ac es t ea , s is te m u l potri v i t d e a xio me . O metodă generală a fost dezvoltată de Rosser şi Tur­ quette29 prin introducerea unor funcţi i speci a l e de adevăr. Să presupunem că ne aflăm Într-o logică cu m va lori de adevăr , şi anume : 1

2

m-l

m - l

0, -- ,

--

'

. .

o

Vom considera functorul unar J

m - 2

-- , 1

,

i

m - 1 p,

m- 1

(adevărat) exact atunc i cînd p Lm se pot defin i . . . J� ' J1• m

-

1

m

=

_i_ , Iar in res t 0 0

în

m - 1

asemenea functori :

( în La tre i

c a re ia va loarea 1

functori J

Jo , J_1_

m-1 '

2_ J_

m-1

o

care coincid c o aform

tabelului de la pagina 184 cu următoare le modalită ţ i : cu NMp sau i m pos i bi l i tatea l u i p , J I P cu Dp sau

Jop

2'

dubitativitatea lui p , J1P cu NMl\'p sau necesita tea lui p .) Aceştia pot fi exprimaţi , am văzu t în logica triva­ lentă , c u aj utoru l lui C şi N o Opera ţ ia însă poate fi făcută in orice logică Lm 30. Să urmărim acum modul in care , cu ajutoru l funcţii lor J, poate fi axiomatizată oricare dintre aceste logici . 2. J. B. Rosser ş i A . R. Tlll'll lIelte, Many-Va lued Logica, Amsterdam , 1952, pp o 1 6 - 23 . 3 0 Aceasta rezultă , i n lucrarea l u i Rosser ş i Turquette, d in însu,i modul in care ei definesc funcţiile J (Ib idem, pp . 1 8 - 22) .

192


5.12. Logicile L m

Lista axiome lor incepe , pentru oricare dintre e le , cu urmă­ toare le tre i postu late : 1

CqCpq

adevărul este implicat de orIce . II

CCpCqrCqCpr

III

CCpqCCqrCp'

Ele sînt valabile în toate logici le Lm , chiar �i în cea o infinitate de valori . în continuare , sistemul de axiome se parti cularizează potrivit logi c i i pentru care este construit . Intrucit axio­ mele pot deveni destul de complicate (deşi principiul după care s lnt cons tru ite rămîne simplu) , noi vom trata doar cazu l logicii trivalente . Pe baza lui , cititorul poate găsi apoi uşor modu l de general izare la oricare alt caz . Aşadar , pentru l ogit;a trivalentă , următoare le două postulate s înt : cu

V VI

CCJIpqCCJ .!. pqCCJopqq 2

CJ1Pp

Primul d intre e l e afirmă că dacă propoz iţia q s� poa te deduce din p În toate ce le tre i cazuri în care aCeasta din urmă se poate găsi - cînd ia valoarea 1 (de c i J1 P este adevărată) , c înd ia va loarea 1/2 (deci este adevărată h p) , şi c înd ia valoarea O (de c i este adevărată Jop) - , 2"

atunci q este adevărată3J . A.I doilea postulat este evident, ţinînd seama de fa p t u l că J1P nu afirmă a l tceva decit adevărul l u i p . Următorul grup de axiome exprim ă , cu aj utoru l func­ ţiilor J , proprietăţi le caracteristice i m p licaţie i şi negaţie i 31 Să observăm că funcţ iile J nu pot lua decit două valori, adevărul ş i falsu l .

193


Logica polivalentif

trJvalente , aşa cum rezul tă ele din matricele de adevăr (* 5 .7 ) . V i la

C J1p JoNp

V lIb

CJ � pJ � Np 2

V I Ic

2

CJopJ1Np

Dacă p ia valoarea 1 , atunci Np ia valoarea O . Dacă p ia valoarea 1/2 , atunci Np ia valoarea 1/2 etc . V lld

C J1PCJIqJ1 Cpq

V I le

CJIP CJ 1 qJ 1 Cpq

V I If

CJ1PC JO Ju q Cpq

V I Ig

C J !.. pC J1 qJ1 Cpq

V I Ih

CJI pCJ I qJ1Cpq

VIIi

C J 1 pCJopJ 1 Cpq

V l Ij

C JOpCJIPqJI Cpq

V l lk

CJopC J 1 qJ1Cpq

VIII

CJopCJO qJ1Cpq

2

2

2

2"

2"

"2

"2

2"

Dacă p i a valoarea 1 şi dacă q ia valoarea 1 , atunci Cpq ia valoarea 1 etc . Sînt exact proprietăţile prin care

Lukasiewicz îşi definise implicaţia sa trivalentă . Am lăsat la urmă axiomele puse de Rosser şi Turquette in faţa celor d inainte . Ele exprimă unele cazuri speciale În care formula CCpCpqCpq are loc . După cum s-a observat în * 5 . 9 , această formulă n u e valabilă in logica trivalentă (n ici în vreuna din logicile 1 94


5.12. Logicile L m

1/2 ş � polivalente Lm) . Spre exemplu , in L3 ' cînd p 0 , valoarea sa este 1/2 . Dar c ind p şi q Iau numai ,-alorile i şi 0 , intrucit formula este o teoremă a logic i i bivalente , valoarea s a v a fi constant egală cu 1 . Func­ ţiile J nu iau decit aceste valori . Aşadar , formulele care urmează sint tautologii . Ele constituie axiomele de care am vorbit.

ti

=

=

IVa

CCJ1PCJ1PqCJ1P q

IVb

CCJ 1 p CJ t pqC .J "2

2"

1

2"

pq

Pe baza acestor postulate se poate , relativ uşor , arăta completitudinea s istemulu i , adică faptul că orice formulă care , calcu lată cu matrice le trivalente ale lui Lukasiewicz , ia in mod constant valoarea 1 (este o tautologie) , poate fi dedusă prin subst ituţie şi moou8 ponen8 d in axiome32. Axiomatizarea logici i trivalente propusă de Waj sberg , deşi mai simplă , r idica in ca lea unei asemenea demonstraţii piedi c i importante . Aşa cum am spus şi ma i inainte , principi i le care a u stat la baza axiomatizări i date d e Rosser ş i Turquette sint generale şi ne dau posibil itatea să trecem cu uşurinţă de la logica triva lentă la o logică polivalentă oarecare , dar cu un număr finit de valor i . Rămîne problema axio­ matizării logicii cu o infinitate de valori . Lukasiewicz a enunţat i poteza că şi aceasta poate f i de dusă d intr-un număr finit de axiome , şi anume axiomele Ai - A3, propuse de Wajsberg pentru logica trivalent ă , precum ,i următoare le două : C CCpqqCCqpp C CCpqCqp Cqp33 32 Vedeţi Ro••er şi 33 A. TU8ki , Logic, 1 95 6 , p. 5 1 .

TDnfuelte,

Semantic8,

op . cit . , p p . 68-74. Metamathematies , Oxford,

195


L"gica polivalentif

Re lativ recent s-a arătat că această ipoteză este ade­ vărată34. __ In continuare , să punem in evidenţă , folosind funcţii l e J , cîteva analogii intre logica biva lentă şi logic i le poli­ valente Lm. Principiul terţiului exclus din logica biva­ lentă , care afirmă că orice propoziţie este adevărată sau falsă , tertium non datur, i se substituie , Într-o logică cu m valori , un principiu a l (m + 1)- lui exclus : orice propoziţie poate lua va loarea O sau _1_ sau . . . sau 1 . m

- 1

Ceea ce , utilizînd simbolismu l lui Lukasiewicz , precum şi funcţ i i le J , s-ar scrie astfe l : A

• . .

AAJopJ

1

1i'i"'=1

p . . . J1P

Gr . C . Moisil a numit pe drept cuvînt acest prmcipIU "a l e xhaustiun ii"35. Este evident că logica cu o infini­ tate de valori este lipsită de un asemenea principiu. Principiu l contrad icţie i putea fi enunţat Î n Jogica biva­ lentă sub forma : o propozi ţ ie nu poate fi În acelaşi timp adevărată şi falsă . Dacă , urmind pe Gr. C. Moisil , îl concepem ca pe un "principiu al unicităţii valorilor logice " 38 , Într-o logică cu m valori va trebui să-I înlocuim prin m a i multe enunţuri . Şi a nume , pentru fiecare pereche de valori distincte k şi l cîte un enunţ care afirmă "o pro­ poziţie p nu poate lua simultan va lorile de adevăr k şi l" ; În simbolismul l ukasiewiczian : NKJ/i pJ1P

Aceste analogii pot fi împinse şi m a i departe , dar nu este cazul s-o facem aici . Ele dovedesc o legătură strînsă în tre s i ste m e le poli v a l e n t e şi calculul biva lent prin gene­ ra l izarea căruia au luat naştere . 34 A. R08e şi J. B. R08ser, Fragments of many-valued s latemenl calculi. in .. Tra nsac tions of the Am erican Mathem a t ica l Society", 87 ( 1 958) . p p . 1 - 53 . 36 Gr. C. Moisil, Logica formală ş i pro b lema e i actuală. in istoria filozofiei moderne. v o I . IV , 1 939 ( s au lncercări vechi !Ii noi de logică neclasică . p . 5 1 ) . 3 8 i b idem ( sau l ncercări vechi � i lIoi . . . . p . 55) .

1 96


5.12. Logicile L m

Sistemele polivalente au fost dezvoltate , pe de o parte, prin cuantificarea variabilelor propoziţionale sub forma calculului propoziţional extins37 , iar pe de altă parte , prin dezvoltarea unor calcule ale funcţiilor propoziţionale , asemănătoare celui prezentat in capitolul 3 B , dar bazate pe calcule propoziţionale pol ivalente . Spre exemplificare , vom schiţa numa i cum se poate construi un asemenea calcul al funcţiilor propoziţionale pornind de la logica lui Lukasiewicz cu trei valori38• Pentru aceasta este suficient ca axiome lor logici i triva­ lente (celor patru propuse de Wajsberg sau celor 20 date de Rosser şi Turquette) să li se adauge cele două axiome şi două reguli despre care am văzut că sint specifice cal­ cu lului cu funcţi i clasic (*3 . 1 1 ) . Acestea erau39 :

(.1:) . rpx rpy

.

::J

::J .

rp y

. (:3 x) . rpx

şi re gu l i le : Din A ::J B(x) , unde x nu apare liber în A, deducem A ::J ( x) B ( x) . Din B(x) ::J A , unde x nu apare l iber in A , deducem ( 3 .1:) B ( x) ::J A . Evident , pentru deducţia teoremelor , in acest calcul trebuie , ca şi in calculul dezyoltat în capitolul 3 B , lărgită corespunzător regula d e substituţie . Regula modus ponens rămîne aceeaşi . De asemenea , formu la : (x) . rp.1l .::J . p : ::J . ( 3

) rpx ::J p

.:z: .

a 7 J. Lukasiewicz

şi A. Tarski, Un!ersuchungen i.i.ber den (A. Tarski, op. ci! . , p . 54) . 38 Bazele aces t u i gen de cercetări au fost puse de R osser ş i Turquette î n importanta l o r lucrare Many-Valued Logics , p p . 4 8 - 1 08 . Noi Însă vom urmări aici expunerea m a i s implă dată d e prof. Moisil pentru cazul logic ii cu trei valori (Sur la logique ti tro;s valeul's de �ukasiewicz , "Acta L ogica", aDul V. 1 9 62 ) . 38 Vedeti această lucrare " 3 . 1 1 .

Au.saagenifaliful

197


Logica polivalentif

trebuie adăugată ca axiomă . In calculul de care ne ocupă m , ea n u poate f i obţinută c a teoremă40. Functorul T al l u i Slupeck i poate fi introdus în calculul cu funcţii ca şi în cel propoziţional, şi anume , imbogăţind s i stem u l de axiome cu axiome le A5 şi A6, aşa cum am pro­ cedat şi în calcu l u l propozi ţional ( * 5 . 1 1 ) şi în plus cu postulatul

(x)

Tt:px

=

.

T(x )

t:p x

s pecific calcul u l u i c u funcţi i .

*

5.1 3.

Alte

cercetlri

Ideea modificăr i i logic i i b ivalente prin introducerea pentru propoziţ i i a unor noi valori de adevăr în afara l u i 1 (adevărul) şi O (falsul) a u avut-o ma i intîi logician u l polonez J . Lukasiewicz şi cel american E.L. Post . Inde­ pendent, şi la scurt timp unul după a l tu l , e i au propus constituirea unor s isteme logice bazate pe o generalizare a ide i i de funcţie de adevăr41 . Într-adevăr , ce ne împiedică ca , aşa cum în logica lui Whitehead şi Russe l l conective le între propoziţii erau cons iderate drept funcţii de adevărul acestora , funcţi i care puteau lua două valori (cînd argu ­ mente le lor luau tot două valori) , să privim aceste conecu î n logica b ivalentă , acest lucru era posib i l ; intr-adevăr, formula de care ne ocupăm nu era altceva decît una d in cele două implicaţii care formează echivalenţa 1 6b (vez i * 3 .1 2 ) . Ceea ce nu trebuie să ne m ire ; acolo aveam la d ispoz iţie pentru demon­ strarea ei o serie de tautologi i d in calculul propoziţional bivalent, care nu ma i apar în logica trivalentă . L ipsa lor atrage după s ine imp os ibilitatea deducerii teoremei 1 6b . f I S e pare că primatul descoperir i i logicilor cu ma i mu lte valori aparţine lui Lukasiewicz , ale căru i idei in acest sens datează d in 1 91 8 (vez i A. Mostowski, L 'oeuvre scienti(ique de Jan Lukasiewicz dans le domaine de la logique mathema t ique , in "Fundamenta Mathe­ mat icae " , 44 ( 1 967) , pp . 1 - 1 1 ) . A şezarea lor sistema t ică a făcut-o în 1 92 0 în articolul O logice tl'ojwarloscÎowej ("Ruch Filozoficzny", 5 , pp . 1 6 9 - 1 71 ) . Contribuţia lui Post se află in Introduction to a General Theol'Y of E lemenlary Propositions, in "American Journa) of Mathemat ics" , 43 ( 1 9 21 ) , pp . 1 63 -1 85 .

1 98


5.13. Alte cercetl1ri

t ive ca putînd lua tre i sau mai multe valori dnd propo­ .:r.iţiile ce le compun iau , la rîndu l lor , mai mult de două \'alori? Dar şi ce ne obligă s-o facem? Lukasiewicz, după cum am văzut , îşi constituia logica � trivalentă pornind de la considerente de ordin filozof i c . EI o substituie celei b ivalente i n domeniile i n care aceasta din urmă nu ma i este adecvată . (Cum este , spre exemplu , cel a l gîndirii modale .) Dimpotrivă , Post , p lecind de pe poziţiile matematicia­ nului , considera că logica poate fi redusă la anumite reguli mecanice . În aceste condiţi i , putem schimba după plac aceste regu l i . De fapt iată ce scria e l : "Nu ştim dacă aceste logici �ne-aristotelice ') şi dezvoltarea generală pe care o implică vor avea o aplicaţie directă ; dar credem că în măsura in care teoria propoziţiilor e lementare (cal­ culul propoziţional - n . n . ) stă la baza sistemului com­ plet din Principia , această perspectivă lărgită asupra teorie i ne va pregăti pentru o anal iză similară a acelui sistem , şi deci în u ltima instanţă a matematici lor"42 . Post a stud iat în articolul său sisteme cu un număr oarecare , finit de valori . Aceeaşi generalizare , de la trei la ma i multe valor i , este făcută de Lukasiewicz şi de e levul său , Tarski , într-un articol din 193043 . Ba , m a i mult , e i împing generalizarea pînă la a considera u n sistem in care propoziţiile să poată lua o infinitate de valori de adevăr . Lukasiewicz cons idera o astfel de l ogică legitimă pentru posibilitatea pe care ar avea-o de a fi ap licată in calculul probabilităţilor . Încercarea une i asemenea aplicări a fost făcută de un a l t e lev al lui Lukasiewicz , Z . Zawirski44. . De a ltfe l întreaga şcoală de logică polo­ neză şi-a adus în acest domeniu o contribuţie substanţial ă . Am menţionat deja î n cursul acestui capitol rezul tate le &2 E. L. Post, op . cit . , p. 1 04 .

Untersuchungen iiber den Aussagenkalkiil, î n "Comp tes Rendus des seances de la Societt\ des Sciences et des L ettres d � Varsovie", Classe I I I , 2 3 ( 1 93 0) , pp . 1 - 21 , 30 - 5 0 . 4 4 Z . Zawirski . Semnificaţia logicii po livalente pentm cunoa.,­ 'ere � i legătura sa cu calculul pro babilităţilor, (in p.ol oneză) , în "Przeglad F ilozoficzny", 37 ( 1 934) , pp. 393 -398 şi tJber das V"er­ hă ltnis mehrwertigen Logik zur T/Vahrschein lichkeitsrechnung , în "Studia Philosophica " , 1 ( 1 935) , p p . 407 - 44 2 . 43

] 99


l..ogiCQ polivalentd

obţinute de M . Wajsberg cu prIVIre la axiomatizarea s is­ temului trivalent al lui Lukasiewicz , precum şi dezvol­ tarea acestui sistem de către J. Slupecki prin introducerea functoru lui T . Alături d e sistemele polivalente a l e lui Lukasiewicz şi Post au apărut o serie de a lte asemenea sisteme . Astfel , în 1939, logicianul sovietic D . A . Bocivar propune un sistem trivalent pentru anal iza paradoxelor logice45• Un sistem , de asemenea triva lent , propus în 1938 de S . C . Kle­ ene46, este uti lizat de acesta în studiul funcţ i i l or parţial recursive . Lukasiewicz Însu�i studiază un sistem cu patru valor i , îndeosebi pentru interpretarea lui modaIă47 . .\fatrice le de adevăr util izate de Lukas iewicz în calculul trivalent (ca ş i în cel pol iva lent) sint o generalizare a matricelor corespunzătoare din calculul bivalent (*3 .3) , în sensul că se reduc , cînd variabi lele propoziţiona le iau doar valorile adevărat şi fal s , la acestea d in urm ă . Din această pricină ele se numesc normale. Dar , oricît ar părea de curios , s-au construit şi s isteme ale căror matrice nu s înt normale (de exemplu sistemele construite de Post) . A. Church a tratat sistematic aceste s isteme48• O altă l inie de cercetări în logicile polivalente au consti­ tuit- o , aşa cum am avut ocazia să menţionă m , introducerea în calcul a funcţi i lor propoziţiona le . Prima Încercare de acest gen a fost făcută În 1939 de către J . B . Rosser4 9 , dar momentul i mportant Î n această privinţă î l constituie " Asupra unui calcul trivalent ,i aplicaţ iile lui la analiza paradoxuri lor calcu lului funcţional extins clasic (în l imba rusă) ,

în "Matemat iceskii sbornik", 4 ( 1 939) , p p . 353 -369 şi în l imba română în Analele româno-sovietice, seria mat.-fiz . , anul XV ( 1 9 61 ) , p . 200 . V edeţi în această lucrare · 9 . 5 . 48 S . C. Kleene, O n a Notation for Ordinal Numbers , i n "The Journal of SymboIic L ogic" , III ( 1 938) , p p . 3 3 2 - 340 . Vedeţi , de a semenea, Introduction to kletamathematics , Amsterdam , Prin­ ceton , 1 95 2 , pp. 332 -340, tot de acelaşi autor. 4? A Sys/em of Modal Logic, în "J ournal of Comput ing Sys tems" , v o I . 1 , nr. 3 ( 1 953 ) .

U A . Cbureb, Non-normal Truth-ta b les for the Propositional Ca/cu/us, în " B oletin de la Sociedad Matematica Mex icana", 1 0

(1 953) , p p . 41 - 4 2 .

U The Introduc/ion o f Quantification into

IJ

Three-Valued Logic.

rezumată în "Tbe Journal of Symbolic Logic" , IV ( 1939) , pp . 170 - t71' .

200


5.13. Alte cercet.4ri

lucrarea Many- Valued Lo�ica a lui Rosser şi Turquette <l in 1952 . O contribuţie Îi) această privinţă revine l u i A . Mostowski50 • Logicianul chinez Moh Shaw-Kwe i a arătat posibil itatea cons truirii în sisteme le cu mai multe valori a unor pa­ radoxe asemănătoare celor din logica b ivalentă (*3. 13)5J . Th . Skolem şi C . C . Chang au stud iat posibilităţile con­ struirii une i teorii axiomatice a mulţi m i lor bazate pe o log ică CU o inlinitate de valori53 • în sfîrşit , din punct de vedere filozofic , problema logici­ lor polival ente a fost pe larg discutată de către logicianul sovietic A . A . Zinovievli3 • Structura algebrică a logici lor polivalente a fost studiată de numeroş i logicieni şi matematicien i . Una dintre con· tribuţiile de p ionierat în acest domeniu aparţine profeso­ rului român Gr . C . Moisil54 • El este creatorul aşa·num ite­ lor algebre Lukasiewicz. Numeroase contribuţii în această privinţă , ca şi Î n genera l în domeniul logici lor polivalente , a adus Alan Rose56• Problema aplicării logicilor cu m a i multe valori o vom discuta pe larg In capitolul 9, iar cea a interpretării lor În capitolul 10 . 60

A.

MOlltowski, A xiomatizab ility of Some Many-Valrud Calculi, în "Fundamenta M a th em a t ic a e , 50 (196 1 ) , pp . 1 65 - 1 90 . & l V e d e ţ i * 9 . 5 d in această l u crare .

Predicate

"

6 2 Tb. Skolem, Mengen lehre gegriindet auf e iner Logik mit unend­ lich vielen Wahrheitswerten şi C. C. Cbau'!, Infinite valued logic as a basis for set theory, în " Logic, Methodology and Phil080phy 01 Science". Proceed ing s of the 1 961t In terna tional C ongre ss , Amlter­ dam , 1 965 . &3 A. A . Zi no'fiev, Probleme filozofice a le logicii po livalen'fI

( î n l imba rusă ) , Akad . Nauk SSSR, Institut F i l ozofii, Moskva. 1 960 ( trad . engleză 1 963 , tra d . g erm ană 1968) . 6 f Prim u l său articol in această pr ivinţă , Rechercht!8 s ur les logiques non-chrysippiennu ( A n a l l es scientifiquea d e l ' U n iversite d e J a s s y" , tome X X V I ) , a apărut î n 1 940. i& O l istă com p l etă a lor ar fi extrem de lungă , d ep ă , ind .pa­ ţiu l afectat de n o i a ces tei problem e . M enţionăm to tu ş i articolul scris in c o l a bor a r e cu J. B. Rosser, Fragment' of Many-ValuBd S tatement Calculi ("Transact ions American M a thema tic a l Soc iety". "

87,

pp .

1 - 53) .

201


Logica pOlivalentl1

5.14.

*

Consideraţii

generale

Lukasiewicz crede că această descoperire a logici lor polivalente se poate asemăna cu descoperirea geometriilor neeuclidiene . După cum s-au putut construi diverse geo­ metrii renunţînd la postulatul lui Euclid, tot aşa se pot construi mai multe logici - după cîte valori de adevăr considerăm pentru propoziţi i - abandonînd principiul terţiului exclus , după care o propoziţie nu poate lua decit două valor i , şi anume : ori este adevărată , ori este falsă . Lukasiewicz dă cîteva indicaţii istorice sumare , însă noi vom cerceta mai de aproape această chestiune . Aristote l a susţinut, destul de c lar , va labil itatea prin­ cipiului terţiului exclus faţă de propoziţii le contradictori i . Dintre două (propoziţii) contradictori i una este necesar­ mente adevărată , cealaltă falsă , nu există o posibilitate intermediară58. Cu toate acestea , s-ar părea că există , după e l , aşa cum am mai arătat în cursul lucrăr i i , o excepţie : propoziţiile care se referă la viitorul contingent , cum s înt actele viitoare a le omului , care depind de liberul arbitru , n u pot fi declarate , în momentul c înd vorbim despre e le , adevărate sau false mai înainte ca e le să f i avut loc . Astfel de propoziţii reprezintă numai posibilitatea . "Toate lucru­ rile care sînt numite posibile au contrari ile lor de asemenea posibile"57 . Vom da Însă un pasaj din Aristotel care pune în adevărata ei lumină problema aceasta . Iată acest pasaj : " Dacă orice propoziţie referitoare la viitor este adevărată sau falsă , este necesar pentru orice lucru ca e l să se În­ tîmple sau să nu se înt împle , căc i , dacă cineva zice : cutare lucru va f i , ş i dacă altul î l neagă , este c lar că este necesar că unul dintre ei spune adevărul , dacă orice afir­ maţie sau negaţie este totdeauna sau adevărată sau falsă . Atunci nimic nu Se întîmplă fortuit nici în chipul de a fi acesta sau aceea , nici ceea Ce ar putea să fie şi să nu fie , c i totul se întîmplă în mod necesar şi nu într-un fe l sau altul". Şi mai departe : "Toate acestea nu s înt admi­ sibile , căci recunoaştem că lucrurile care se vor întîmpla le

A na lyt ica posteriora , 1 , 2.

17 Metaphysica , VIII , 9.

202


5.14.

Consideraţii generale

au ca inceput deliberările noastre şi acţiunile noastre şi că printre lucrurile care nu au existenţă actuală şi permanentă sînt unele care pot să fie şi să nu fie în mod ega l , pentru care una sau alta (din eventualităţi) este posib i l ă , sau ca să fie sau ca să nu fie , că ele pot să se întîmple sau �ă nu se întîmple . Este deci adevărat că nu totul se tn­ t împlă cu necesitate şi că afirmaţia anticipată nu este mai adevărată decît negaţia"58 . Se vede clar că această excepţie la regula terţiului exclus tste în strînsă legătură cu problema determinismu l u i , care , dintr-o problemă psiho logică , devine o problemă de logică . Stoicii , dimpotrivă , erau determinişt i ti outrance. Această at itudine era consecventă cu concepţia pe care � i-o făceau despre l ume : nimic nu exista pentru ei decît in formă materială , iar materia este guvernată , după e i , d e u n determinism riguros . Chrysippos (282-209 Le .n .) , care este socotit ca a l doilea fondator a l şcolii , a combătut cu înverşunare afirmaţia lui Aristotel privitoare la v iitoru l contingent, care admite a , cum am văzut , un liber arb itru. Fiind determinişti , stoicii căutau , prin diverse argumente , �ă infirme teza lui Aristote l asupra l iberului arbitru . în afară de argumentul bazat pe legea cauzalităţii şi acela care explică posibilitatea devinaţie i, stoicii aduceau un argument logic , dezvoltat , în speci a l , de Chrysippos, cum ne relatează C icero. Dintre două propoziţii contra ­ dictori i una este necesarmente adevărată . Deci d intre aceste două propoziţii " a va fi" şi "a nu va fi" - Dece­ ;;itatea uneia, în momentul chiar Îu care vorbesc , exclude posibilitatea celeilalte : ea; omni aeternitate fluens I'l ritas Jempiterna59• Pentru a lămuri concluzia aceasta , Chrysippos distin­ gea două feluri de cauze : cauaae principalea şi eausae adju­ "'antes. Pentru a arăta cum funcţio ne ază acest determinism . ", 1 dădea u n exemplu cu ajutorul unui c i l i ndru care se rostogoleşte pe un p lan înclinat : trebuie un impuls pentru ca el să se rostogolească (causae adjul'antes) , dar el se -

68 U

De Interpretatione, IX. Ci cero, De D ivinatione, 1, 5.5 .

203


Logica

polivalentlf

rostogoleşte în v irtutea formei lui (caILSM p,.incipales)60. Chrysippos este, aşadar, primul logician care susţine stAruitor principiul terţiului exclus şi astfel apare naturală denumirea pe care o dă Lukasiewicz logicilor polivalente de logici nechrysippiene81• în cele ce urmează ne vom rezuma la cîteva observatii ' sumare asupra logici lor ne-chrysippiene. Mai întîi, logica polivalentă a lui Lukasiewicz pleacă de la faptul că propoziţiile moda le primitive 1, I I , I I I sînt incompatibile în sistemul bivalent. Cu alte cuvinte, deoa­ rece se ajunge la contradicţii, trebuie să renunţăm la logica bivalentă, cum am văzut. Propoziţia I I I , de pildă, ne-a condus la două teoreme contradictorii. In acest caz, dacă am fi aplicat un mod de raţionament cunoscut, pe care l-am citat în cursul acestui capitol, anume: CCpqCCpNqNp, care spune că dacă dintr-o propoz iţie p se pot deriva două propoziţii contradictorii, atunci ea este falsă, concluzia noastră ar fi trebuit să fie că propoziţia I I I este falsă. Să considerllm din nou propoziţiile modale fundamentale. Acelea care conduc la rezultate penibile sînt propoziţiile II şi III. Să ne referim chiar la propoziţiile iniţiale, de eXem­ plu (d): (d) " Unumquodqu6, quando eat, opo,.te t ease". "Cînd ceva există, atunci cu necesitate există". Luka­ siewicz dă citeva exemple, care ar ilustra şi evidenţia această propoziţie. Un exemplu l-am citat atunci cînd am vorbit despre această aserţiune. lată-l: .,Nu este necesar să fiu acasA asUl-seară, dar dacă sînt deja acasă astă-seară, atunci, cu aCeastă presupunere, este necesar că sînt acasă astă-seară". Este adevărată această propoziţie? Sau, mai curind, ce sens are ea? Mai tntli, cum admite însăşi această .. Cicero, De Falo,

18 . Pasajul următor din Cicero arată (De Falo, 10.21) mai bine vigoarea cu care apăra Chrysippos principiul desJ'l"e care este vorba: "Chrysippo8 se temea că, dacă n-ar susţine că tot ceea ce poa­ te fi enunţat este adevărat Bau fals, atunci nu putea să susţină cii toate se intimplă dupl destinul lor şi din cauzele eterne ale lucrurilor viitoare". •1

204


5.14. Consideraţii generale

propOZIţIe, faptul că voi fi acasă astă-seară nu este nece­ sar, este contingent; ce scmnificaţie are atunci necesitatea ei, pe care o introducem in partea a doua a propoziţiei? Este clar că ea nu poate ridica caracterul de contin genţă , care aparţine, prin definiţie, propoziţiei noastre. Eveni­ mentul indicat de propoziţie se întimplă în mod contin­ gent; necesitatea pe care o introducem, în urmă, nu se poate referi la acest eveniment, deoarece am declarat că el este contingent. Ea prive,te cu totul altceva: dacă ştiu că propoziţia este adevărată - chiar in mod contingent -, pot afirma despre ea că nu este posibil să nu fie ade­ vărată. Acest lucru nu înseamnă că îi atribui e i înseşi o necesitate, ci că afirmaţia mea despra ea este i mposibil să nu fie adevărată. Cu a lte cuvinte, fie propoziţia p; despre ea declar: "p este adevărat"; şi atunci, propoziţia pe care o afirm despre "p este adevărat", adică ( este ade­ vărat că "p este adevărat" 1), este necesară, cu condiţia să ştiu in prealabi l că p este adevărat. Deosebim a ici două aserţiuni: una care atribuie lui p o valoare de ade­ văr şi una despre această valoare de adevăr. Lukasiewicz nu observă această distincţie şi consideră propoziţia (d) ca atribuind lui p contingent o necesitate, ceea ce e absurd. Prin transpoziţie obţinem i mediat: "dacă p este fals, atunci p este imposibil". Lukasiewicz o scrie sub forma simbolică 2: CNpNMp Această propozIţIe este falsă, întrucît niciodată din simp la constatare a falsităţ i i unei propoziţii nu pot de­ duce imposibi litatea e i. Alt sens Însă are afirmaţia: "Cînd constat că o propoziţie este falsă pot afirma despre ea că este imposibil să fie adevărată" (afirmaţie despre ea, dar care nu poate atribui altă modalitate propoziţiei decît falsul contingent). Se vede, aşadar, de ce se ajunge la contradicţ i i şi unde ar fi trebuit să opereze Lukasiewicz schimbarea. In afară de aceasta , propoziţia I I I nu poate avea loc in lo­ gica formală. Dacă a formaliza logica înseamnă a o constitui fn afară de orice conţinut determinat, urmează că adevărul 205


Logica polivaZentc1

sau falsul unei propozlţJl nu pot dep inde de eveni­ mente viitoare . Deoarece in felul acesta evenimentele ar condiţiona valorile lor de adevăr (adică valorile de adevăr ar fi conrliţionate in conţinut) . Asemenea condiţionări materiale nu pot avea loc in logica formală pură . Legi le logicii, care sînt numai reguli simbolice, nu pot depinde de' exi stenţa unui determinism in lumea externă . Pentru a se vedea cît de delicată este raţiunea pe baza căre ia s-au formulat logici le ne-chrysippiene , să analizăm un exemp lu amuzant , care are mai multe versiun i . Î I găsim Într-o lucrare a lui F . Gonseth , care se declară impotriva terţiului exclus , scriind : "Nu are nici un sens să pretindem că tot ceea ce nu este adel'ărat este fals şi că tot ceea ce nu este fals este adel'ărat. Se poate foarte bine ca un lucru care ar putea să fie adevărat sau fals să nu fie nici adevărat şi nici fals"8z. Pentru a ilustra această afirmaţie , Gonseth ci tează UD exemplu referitor la un viitor contingent , aşa-numita parabolă a giganţi lor subtili şi cruz i: I ntr-o insulă locuiau asemenea giganţ i care condamnau la moarte şi executau pe orice străin ar fi pătruns in insula lor . Deoarece erau subtil i , l ăsau pe condamnat să-ş i pronunţe singur sentinţa . I i puneau o Întrebare şi dacă răspunsul era adevărat îl sacrificau Idolului Adevărului, iar dacă răspunsul era fals , atunci îl sacrific au Idolului M inciunii . S-a întîmplat însă că Într-o zi a pătruns in insulă un străin " mai subtil decît ei" - scrie Gonseth (noi credem că mai puţin cunoscător al legilor logice) - căruia i -au pus tntrebarea i mprudentă : "Ce soartă ve i avea?" Străinul a răspuns : "Mă veţi sacrifica Idolului Minciunii". Iată acum care este Încurcătura . Giganţii au intrat În deliberare , ca să determine dacă această propoziţie este adevărată sau nu , pentru a-l sacrifica Într-un fel sau in altul. Dacă străinul a spus ad�vărul, atunci, după condiţiile problemei , trebuia sacrificat Idolului Adevă82 F. GODseth, Les (ondements des matematiques, Ed. Blanchard, Paris, 1926, p. 214.

206


5.14. Consideraţii generale

rului ; dacă a spus un fals , atunci trebuia să fie sacrificat Idolului Minciun i i , ceea ce nu se putea , f iindcă în acest caz ar fi spus un adevăr . Gonseth conchide : "Opoziţia dintre fals şi adevărat este schematică şi nu împarte în două categorii , cele a­ devărate şi cele false , toate aserţiunile . . . Parabola face tocmai să vedem că această împărţire nu se poate efectua odată pentru totdeauna" . Desigur , Aristotel ar fi conchis că întrucît propoziţia "Mă veţi sacrifica Idolului Min­ ciunii" se referă la un fapt viitor nu poate fi declarată nici adevărată, nici falsă . Noi credem că străinul comite o eroare de logică sim­ plă c înd declară "mă veţ i sa�rifica Idolului Minciunii", care este în afară de consideraţia timp ulu i , a faptului că uciderea lu i avea să se tntîmple într-un moment viitor . Intr-adevăr , condiţia logică pusă de giganţi era : adevărul sau falsitatea propoziţiei pe care o vei spune va determina modal itatea ucideri i. Dimpotrivă , străinul calcă această condiţie spunind "mă veţi sacrifica Idolului Minciunii", deoarece acum propoziţia aceasta va fi adevărată sau falsă după modul cum va fi e l sacrificat unui idol sau altuia . Străinul inver­ sează deci cond iţii le, spunînd că adevărul sau falsitatea propoziţie i sale dep ind de modalitatea ucider i i sale . Cele două criteri i care stau la baza deciziei - pe de O parte valoarea de adevăr a propoziţiei stră inului, pe de alta, fe lul uciderii lui - sînt în cerc vicios . Dacă giganţii erau chiar atit de subtili cît spune parabola , cu siguranţă că au descoperit viciul raţionamentului . Rezultatul acesta arată atemporalitatea propoziţiilor logice , deoarece am putut stabili viciul argumentlri i aceste ia în afară d e faptul c ă uc iderea urma s ă s e facă in viitor . Credem a fi arătat însă suficient cît de delicată e chestiu­ nea şi că grăbit au conchis logicien i i că există propoziţ i i care n u pot fi declarate n i c i false , n i c i adevărate - cel puţin in momentu l in care vorb im - , cum sint cele posi­ b i l e , care se referă la evenimente contingente viitoare.


6

Logica intuiţionistă

* 6.1.

Intuiţionismul

lui

Brouwer

Ultimele decenii ale secolului trecut au avut sa mre­ gistreze unul d in faptele cele mai bizare pe care le puteam aştepta în domeniul matematicilor : apariţia celebre lor paradoxe logico-matematice, In special ale teoriei mul­ ţimilor. Pentru a inţelege mai b ine cele ce urmează , să considerăm unul din aceste paradoxe , fie acela descoperit de Russell . O mulţime este o colecţie de obiecte distincte - indiferent dacă sint reale sau nu - întrunite Ia un loc pe baza une i proprietăţi comune . Obiectele care aparţin mulţimii se numesc e lementele e i : legătura d intre un e lement ş i mulţimea căre ia aparţine este deci o aparte­ nenţă. Să notăm o mulţime cu E, un element a l e i cu a ş i l.egătura de apartenenţă cu E ; în aces te condiţi i putem s cr I e : Elementul a aparţine mul ţimei- E. Dacă examinăm acum d iverse le mulţimi care se pot forma , putem, foarte uşor , să ne dăm seama că unele mulţimi nu se conţin ca e lement , nu au aceeaşi proprietate ca şi e lemente le lor ; spre exemplu , mulţimea numerelor prime nu este şi ea 208


6.1. Intuiţionismul lui Brouwer

un număr prim . Sint şi mulţimi care se conţin? Răspunsul pare afirmativ. Intr-adevăr, mulţimea tuturor noţiunilor abstracte este , ea insăşi , o noţiune abstractă şi deci se conţine sigur, îşi aparţine . In condiţiile acestea , putem despărţi toate mulţimile posibile in două categorii : pe de o parte mulţimile care nu se conţin ca e le ment, pe de a lta acelea care se conţin. Aceste două categorii de mulţimi formează, fiecare la rîndul e i , o mulţime : fie A mulţimea tuturor mulţimilor care nu se conţin şi fie B mulţimea tuturor mulţimilor care se conţin . Ar părea evident că , atunci dnd n e înt rebăm despre o mulţime oarecare "se conţine sa u nu se conţine?", răs­ punsul să fie "sau se conţine, sau nu se conţine , tertium non datur". Principiul terţiului exel us nu ar lăsa loc pentru o a treia posibilitate . Ei b ine , să punem această chesti une pentru mulţimea A a tuturor mulţimilor care nu se conţi n : A se conţine sau nu se conţine , tertium non datur. Să presup unem că ea se conţine; după definiţie, A conţine numai m ulţimi care nu se conţin. Am ajuns la o contradicţie . Să p resupunem că A nu se conţine ; cum , după definiţie , A conţin e toate mulţimile care nu se conţin , ea se conţine . Am aj uns iarăşi la o contradicţie . Nu putem afirma nici că A se conţine , nic i că nu se conţine şi principiul terţiului exclus iese compromis. Multe asemenea paradoxe au făcut pe matematicieni şi logicieni să caute o ieşire din impas . Una din sol uţiile propuse este teza intuiţionistă a lui L. E . J. B rouwer1 . Principiul fundamental al doctrine i intuiţioniste este următorul : orice propoziţie care are un conţinut trebuie .să indice una sau mai multe stări de lucruri (Sachl'erhalte)

t>p

1 Brouwer �i-a susţinu unctul său de vedere cam de pe la 1907. Lucrările sale mai cunoscute in acealltA direcţie lIint: lntui­ li.ni.tmand formalism, în "BulletinAmerican Mathematical Society", 20, 1913; Inluitionistiache Mengenlehre, în "Jaheraber ich t der deut­ schen Mathema tischen Vereinigung", 28, 1920; lntuitioniatische Betrachtungen iiber den Formaliamus, în .. Berichte der A kademie Berlin physikalisch - mathematische Klasse", 1928; Mathematik, Wissenscha(t und Sprache în .. Monatshefte fur Mathematik und Physik", 36, 1929; Historical backgroună, principiu and methods of intuitionism, în"SouthAfrican Journal of S cience", 49, pp.139-146

209


Logica polivalent4

bine determinate şi accesibile ex perienţei noastre. Iată înslit ce se întîmplă : in domeniul colecţiilor infinite , după Brouwer, nu are nici un sens să spunem că un e lement a aparţine unei mulţim i E, fără să putem indica ace) e lement (conform principiului de mai sus) ; cum putem spune' atunci că o colectie are o infinitate de e lemente dacă nu putem - fiind�ă în domeniul infinitului nu putem opera această indicaţie în mod total - să arătăm f iecare membru al colecţiei? O propoziţie are , aşadar ,. conţinut cînd e legată prin intuiţia noastră imediată de anume stări de lucruri . Fie atunci propoziţia următoare a:. "fiecare element a l mulţimii K posedă proprietatea P" j. dacă mulţimea K este infinită , atunci negaţia aceste) propoziţii "a este falsă" nu satisface principiul de mai sus , întrucît nu avem posib i litatea să putem arăta , pentru o infinitate de e lemente , stările de l ucruri care împiedică ca ele să aibă proprietatea P . Care este concl uzia l ui Brouwer? Imitînd ceea ce se petrecea în filozofie , matema­ ticienii au extrapolat - după Brouwer , în mod nelegitim - adevărurile logice , considerîndu-le ca "idea le" şi soco­ tindu-le valabile chiar şi acolo unde n u există un control direct, cum e în domeniul infinitului2• în particular , s-a acordat această valabilitate princi­ piului terţiului exclus , care nu este valabil decît în domeniu) colecţiilor f inite . " Credinţa în eficacitatea nelimitată a, principiului terţiului exclus , în studiul legilor natura le� implică prin aceasta însă şi credinţa în caracterul finit şi în structura atomică a lumii"3. Cu alte cuvinte, prin­ cipiul terţiu lui exclus nu are valoare şi nu s-a născut decît d in proiectarea matematicii pe un sistem finit al şti inţelor natur i i . Nu este , atunci , imprudent să extin­ dem , fără nici o motivare , adevărul logi c , tale quale, şi în domen iul infinitului? Brouwer crede că acesta este motivul care a făcut să apară paradoxele logice . Pentru a corecta această accepţi�a principiului terţiului exclus, Brouwer dă o definiţie negaţiei : propoziţia "a 2 L. E. J. Brouwer, Malhemalik, Wissenschafl und Sprache.

p. 159.

3 lntuilionisli.8che Mengenlehrll,

218

p.

208.


6.1. Intuiţionismul lui Brouwer

este fal s" trebuie să insemne "a conduce la o contrad icţie", adică "a este absurd" . Negaţia lui a devine , astfe l , o pro­ poziţie existenţ ială , care satisface principiul intu iţionist : există o serie de deducţii logice , care , în ipoteza că a este adevărat , conduc la o contradicţie . Propoziţiile existen­ ţiale au fost supuse de Brouwer une i anal ize foarte delicate . O propoziţie existenţială nu are nici un sens dacă nu putem indica starea de lucruri , referentul experimental al ei; sau dacă nu putcm să dăm, o dată cu enunţarea ei, şi construcţia corespunzătoare . Fără aceste indicaţi i propoziţia este aparentă şi nu are nici un înţeles . Însă în ştiinţele natur i i , propoziţiile de existenţă au totdeauna referent experimental ; iar în mate­ matici , propoziţiile de fe lul acesta sînt Însoţitr, totdeauna , de indica ţia construcţie i corespunzătoare . După Brouwer nu este o propoziţie existenţială o con­ statare pură , că am găsit un element corespunzător tntr-o mulţime K. Într-adevăr , dacă ar fi aşa , propoziţia exis­ tenţială ar fi fost falsă înainte de găsirea construcţiei şi adevărată după. Aşa se ivesc propoziţi i care , deş i au con­ ţ inut invariab il în timp, nu pot fi pronunţate decit în anumite condiţii. În rezumat : pentru o propoziţie generală, negaţia ei nu poate fi pri!>ită ca a!>înd, în general, un sens bine determinat. Numai în anumite condiţ i i date negaţia unei propoziţii are un Înţeles precis, cum se întîmplă in domeniul fin i­ tulu i . Cu aceasta ajungem la cîteva concluzii extrem de importante . Mai întîi , in demonstraţiile ind irecte , care fac uz de principiul terţiului exclus, adică in dedu cerea une i proprietăţi prin reductia ad absurdum, principiul acesta nu ma i poate fi întrebuinţat într-o formă generală . .. . într-adevăr , fie propoziţia "obiectul A are proprie­ tatea P" ; dacă afirm că e absurd ca această propoziţie să fie falsă, nu urmează că ea e adevărată , deoarece , pentru a fi adevărată ea trebuie să aibă o iudicaţie experimentală sau de construcţie şi există un caz c înd nu putem face acest lucru ; anume cînd e vorba de colecţii infinite . De u nde axioma lui Brouwer: A bsurditatea a bsurdităţii nu implică ade!>ărul. (Adevărul implică însă absurditatea 211


Logica poliV4lenti!

absurdităţii). Cu alte cuvinte , absurd itatea absurdităţii ne dă o modalitate particulară a propoziţiilor, care diferă de noţiunile simple de adevăr şi fals. Restrîngînd domeniul de aplicabil itate a principiului terţiului exclus , Brouwer crede că e limină paradoxele infinitului . Cu toate acestea , în logica intuiţion istă acest principiu nu e declarat laIs , ci numa i nu poate fi dovedit. E l rămîne ade vărat în mod strict pentru domeniul fini­ tului. Logica l u i Brouwer capătă , astfe l , o bază empirică , cum a relevat-o R. Wavre, "Brouwer , refuzînd aplicaţia principiului terţiului exclus, nu face decît să tragă o con­ secinţă inevitabilă , poate paradoxal ă , din teza empirică . . . Existenţa ideală nu este pentru empirist decît o fereastră fa lsă pentru simetria propoziţiilor , referitoare la o mul­ ţime finită' , pe de o parte , şi la o mulţime infinită , pe de alta . . . Dar numai o analiză intuitivă a fiecărui caz par­ ticular determină dacă se găseşte sub această jurisdicţie . .. Matematica , acţiune a spiritulu i , reprezentare , nu trebuie să debordeze domeniul acestei reprezentări . Existenţa empirică este această reprezentare însăşi , pe cînd existenţa ideală pare la sfîrşit să se anihileze în ideea ne-contra­ dictoriului"4 .

* 6.2.

Formalizarea

log icii

intuiţioniste

Discipolul lui Brouwer, A . Heyting, a reuşit să "forma­ l izeze" logica intuiţionistă , pe baza unor axiome simple , prezentînd un calcul de o mare valoare logică5. E l recu­ noaşte, ce- i drept, că "nu se pot reduce toate posibilitii.ţile gîndirii la un număr finit de reguli stabil ite dinainte". Totuşi, calculul său urmăreşte să redea desfăşurarea gîn­ dirii în cadrul doctrinei intuiţioniste . Pentru aceasta Heyting îşi va alege în aşa fe l axiomele încît să nu cuprindă C

Y-at-il une cri8e dss malh�matiqU8S?, În .. Revue de Metaphysique et de Morale", 1924, pp. 435-470. 6 A. Beyting, Die Formalen Rcgeln der inluitioniati8chen Logik, :u "Sitl:ungsberichte der preussischeu Akademie der Wisseulcbaf­ ten", Physikalisch-math. Kla8se, Berlin, 1930, pp. '.2-56.

212

Rolin WawEI,


e.2. FormalizarelJ logicii intuiţioniste

principiul terţiului exclus şi nici sA nu permită derivabi­ litatea sa. N oţiuni le primitive de la care pleacă în construcţia

sistemului sînt în număr de patru, şi anume': Conjunoţia " A ": propoziţia pA q ( citită lIP şi q") poate fi asertată dacă şi numai dacă atît p cît şi q pot fi asertate. Disjuncţia " V ": p V q ("p sau q") poate f i asertată dacă şi numai dacă cel puţin una d in propoziţ iile p şi q poate fi asertaU. Spre deosebire de disjun cţia clasică, s-a arătat cA o disjuncţie intuiţionistă poate fi demonstratA dacă şi numa i dacă unul anume din termenii săi poate fi demon ­ strat (sau amindoi)7. Deci ea "constituie pentru intuiţio­ nist o comunicare incompletă a unei afirmaţii care spune că p are loc sau q are loc sau , cel puţin, care dă o metodă prin care să putem a lege care dintre cele două propoziţii - p şi q - are loc". (A disjunction p 01' q oonstitute.s fo1'

the intuitioniat an incomplete communication of a statement telling UN that P hold 01' that q hold, 01' at leaat gi"ing a met/wd by which wt' oan chOO8e r1'Om p and q one which

holda.)a

.

. Negaţl.O."î" : î p ("non- p" sau "p este absur d") exprima �

faptul că o contradicţie q şi non-q rezultă din p printr-un raţionament intuiţionist sau, mai ex plicit, că cineva posedă o metodă care, d intr-o demonstraţie a lui p, ne furnizeazll o demonstraţie a unei contradicţii q şi non-! 0)8. (sau a unei afirmaţii absurde, de exemplu 1 Jmplicalia ,,::J " : p ::J q ("p implică q" sau "dacA p a tu nc i qU) exprimi faptul că p rintr -un raţionament intuiţionist din p rezultă 9 BaUt mai explicit, că cineva posedă o metodă prin care din orice demonstraţie a lui p se poate obţine o demonstraţie a lui fO. =

• A. Heytiag, Intuitionism - An Introduction, 19 5 6 , p p . 98-9 9. 7 Afirmaţie făcută ma i Întii de Godel (1932) ş i ulterior de Gentzen, Tarski, McKinsey etc . • S. C. Kleene, Introduction to Metamathemat ics, • Ibidem , p.. Si. 1 0 Ibidem. In memoriul sAu d in 1930, pe care îl

Amsterdam,

demonstrată pp . 50-5 1 . vom urmări

ş i noi în următoarele paragrafe, Heyting notează implicaţia intui­ ţioniată cu acelaşi semn pe care îl intrebuinţase şi Russell pentru implicaţia materială.

213


Logica polivalentd

Ca o trăsătură specifică calculului intuiţionist , cele patru conective de mai sus nu pot fi defin ite , aşa cum a �rătat J . C . C . McK inseyll, unul în funcţie de celelalte . In logica lui Russel l , spre exemplu , implicaţia şi con­ juncţia erau introduse cu ajutorul negaţiei şi disj uncţie i prin echivalenţele : 1.01

p :> q . = . '" p V q

p . q = . '" ( --.... pV --.... q) Dar , după cum vom vedea , în s istemu l intuiţionist echivalenţele corespunzătoare nu ma i au loc . În cele ce urmează , l iterele a , b , e, . . . vor reprezenta propoziţii . Pentru constituirea calculului său propoziţional, Heyting pleacă de la 1 1 axiome . Din acestea, printr-un şir de ope­ raţi i simple , se pot obţine teoremele. Atît axiomele cît şi teoremele primesc în faţă , întrucît sînt socotite propo­ ziţii adevărate , semnul de aserţiune ,,1-", pe care am văzut că-I utiliza şi Russel1. Regula modus ponens, care în schemă este reprezentată astfe l : 3.01

1- . a � . a :::> b � . b

este prescurtată de Heyting în modu l următor :

� a ::>� b Din afirmaţia lui a rezultă afirmaţia lui b .

* 6.3.

Reguli

de

operaţii

1.1 Pentru a arăta că o formulă este pa lista propoziţiilor socotite adevărate, se va pune înaintea ei semnul de aser11 J. C. C. McKiD8(\Y, Proof of the Independence of the Primitive Sym bols of Heyling's Calculus of Prop08itions, în "Journal of Symbolic Logic", IV (1939 ), pp. 1 5 5 - 1 58.

214


6.3. Reguli de operaţii

ţiune "f--" j aceasta se face pentru propoziţiile demon­ strate . Pentru axiome , adică pentru propoziţi i le admise fără demonstraţie , se va întrebuinţa , pentru a specifica lucrul acesta , semnul dublu de aserţiune " f--f--" 12 . 1 .2 Dacă a şi b sînt adevărate , atunci a /\ b este ade­ văratl3• 1.3 Dacă a Ş I a :::J b sint adevărate , atunci şi b este adevărata. 1 .4 La începutul fiec��ruia din următoare le trei para­ grafe vom specifica constante le ce intră în constituirea formulelor. Semne le care apar şi nu sînt specificate astfel, sjnt variabi le. Dintr-o formu lă adevărată ia naştere tot o formulă adevărată c înd se înlocuiesc variabilele, pretu­ tindeni, prin alte combinaţi i de semne15• 1.5 indică că in formu la tre buie înlocuită va­

(:)a

a

riabila x pretutindeni prin semnul p. 1 .6 Formula a D b se numeşte o definiţie ; o defin iţie permite să înlocuim o formulă într-o altă formulă în care ar figura primul membru al definiţiei prin membrul a l doi lea şi viceversa , adică s ă inlocuim a prin b sau b prin a, chiar dacă a reprezintă o formulă întreagă , iar b, la fel , o formulă. Împărţirea formu le lor se face , ca în cal­ culul lui Russell , prin puncte. Numărul de puncte utilizat intr-o formulă poate fi redus , fădnd apel la următoarea convenţie : de cite ori lnttlnim in formula respectivă una din constante le (conectivele) /\ sau V împreună cu o 12 U lterior Heyting a renunţat Ia această notaţie distinct ivă, folosind aserţiunea simplă "f-" atît pentru axiome cit şi pentru teorem e . 1 3 Aceas ta este regula de adjunctie ş i am întilnit-o şi în siste­ mele lui Lewis (vedeţi ·4.5). It E ste vorba d e binecunoscuta regulă modus ponens. 1& în felul acesta Heyting enunţă regula de substituţie . Indica­ rea substituţiei se face conform notaţiei stab ilite la punctul 1 .5 . Variabilele vor fi notate, in calculul propoziţional , prin litere mici latine.

215


Logica polivalentiJ

altă conectivă fără ca numărul de puncte uti lizat să indice pe care dintre e l e o citim mai intii, vom c iti mai intîi conectivele 1\ sau V . De exemplu , formula

va fi citită ca şi cum parantezele ar fi aşezate astfe l :

a ::::> (a 1\ a ) ŞI nu

(a ::::> a )l\a Dacă este necesar , partea stă semnul I va fi închisă

* 6.4.

unei formule în faţa căreia în paranteze .

Constantele .,:, : . , ::,

::::>

, 1\, ::::> C , ( , ) , D

Cum am spus, o teoremă se va recunoaşte după semnul pus înaintea e i , iar o axiomă după semnul "I-t-". Defin iţia va fi indicată de semnul i). in acest paragraf vom da cîteva axiome heytingiene. precum şi teoremel e care se deduc din e l e . Demonstraţia se va face pe baza reguli lor de adjuncţie , modus ponens şi substituţie. Vom indica sub o teoremă modul ei de demonstraţi e , aşa cum s-a procedat şi in celelalte s isteme. Să în ce p e m , aşadar , să scriem lista propoziţi i l or adevărate din logica intuiţionistă , care se referă la constantele anun­ ţate în titlul acestui paragraf (axiome ) .

,,1-"

2 .1

:-t- .a::::>a!\a

2 .11

t- 1- .

a

2.1 2

1- 1-

a ::::> b .

2.13

1- t- . a

216

.

1\ b ::::>

::::>

b 1\ c ::::>

a 1\ c ::::> b!\ c

b . 1\ . b

::::>

c

.

::::>

a ::::> c


6.4. Constantele . , : , :., ::,::l,/\, ::le,

(,J,i).

Acesta este "princ ipiul silogismului". 2 . 14

1-1-- . b ::J a::Jb •

Dacă b este adevărat , atunc i el este implicat de propoziţie a.

OM

ce

2 .1 5 f- f- . aA . a ::J b . ::Jb Dacă a este adevărat şi a i mpl ică b, b este adevărat. 2 . 01

f - . a::Jcb . D

.

a::J b . 1\ . b::Ja

Propoziţia 2 .01 defineşte semnul nou introdus ,,::J c", de ech iva lenţă , şi anume : a spune că două propoziţii a şi b sint echivalente înseamnă a spune că prima i mpl ică pe a doua şi , în acelaşi timp , a doua impl ică pe prima. Este aceeaşi definiţie ca şi în logica russell iană, numai că Heyting utiliZl'ază pentru a pune în evidenţă această dublă implicaţie , dublul semn de implicaţie ::J c". Să considerăm acum şi une le teoreme derivat � din aceste axiome . Demonstraţie:

[2.14 J 1-· a ::J . b ::J a � ::J [2 . 12J 1-. aAb::J . b::Ja .l\b . ::J [2 .15Ja Să urmărim această demonstraţie scrisă in simbol istica lui Heyting. Primul rind reprezintă axioma 2 . 1 4 . în baza axiomei 2.12, care afirmă că membrii unei implicaţii pot fj "inmul­ ţiţi" (conj unc taţi) cu acelaşi factor, în speţă b, aceasta i mplică expresia: aAb::>. b::J a .Ab care va fi deci , conform regu l i i modus ponens, adevărată . Din ultimul membru a l impl icaţiei deduc în baza axiome i 2 .15 propoz iţia a . Atunci principiul silogismului (2.13) ne asigură de impli­ caţia I u i a de către (J A b; deci teorema este demonstrată. %'17


Logica polivalent4

Nu vom face toate demonstraţiile teoremelor ce urmează. De altfel toate sînt destul de simple şi pot fi regăsite de cititor după puţin exerciţiu . 2 .2 1

1 -. a � a

2 .22

1-.a 1\ b ::J b

2 .23

1-.a � b

2 .24

f-- . a � b . 1\ . a::J C � C

2 .25

1-. b . 1\ .a � C

1\ . c � d . � . a1\c � b1\ d

a � b1\ c

� a � b1\ c •

Demonstraţie: [2 .14, 2 .12]

1-. b 1\ . a � C

� a � b . 1\ . a � C •

::J

a � bl\c

(2 .24] 2 .26

1-. b � . a � al\ b

Demonstratie: [2 .21 , 2 .14]

f-- .b � .a � a

[2 .14] [(1), (2) , 2 .24]

f-- b � . a � b

2 .27 2 .271

f--

:

(2)

f--.b::J.a � a.1\ .a � b. � .a � al\b

a � .b � C:::JC al\b.::Jc

1- : a::J.b � C : ::JC : b � . a::J G

Demonstraţie: f-[2 .27] [2 .11 , 2 . 13]

a � . b � c : � : a1\ b: � C : � :

:

bl\a � c : � : [2.27] b � . a � G

2 .28

1-. a � C

2 . 281

1-: a � b � : a � . c � b

2.282

1-.a1\. a 1\b � c

218

(1)

.

� a1\ b � C •

�. b � c


6.5. Constanta V

Demonstraţie: r2 .27, 2 .12]

r2.15]

f--:a/\ a/\b =:> c :=:> : a/\ :a=:>.b =:>C:=:> : •

b =:> c

1-: a=:>b . 2.291 f-- : b =:> C

=:>:b

) -' .29 2.3

=:>

1- a/\b./\ .

=:>c.=:>.a=:>c

: a =:>b .

C

=:>

=:>

a=:> c

a/\.b/\ c

Demonstraţie: :2.2, [2.22 ,

2 .28]

f-- . aAb. I\c. �a

2.12] 1- .al\b./\

(1) (2 )

=:>b/\c

c .

:!1), (2), 2 .24] 1- 2.3 2.31

1-- .a/\ b./\ c

.

=:>

b/\

2.32 1- .a/\ . b/\ c . =:> a/\b Demonstraţie: •

a

.

.

/\ c 1\ c

[2.11] f-- .a /\ .b/\c.=:>.bl\c./\a.=:>. cAb./\ a.=:>.[2.3] c/\ .bl\a.=:> . b /\ a . /\ c . =:> [2.31] a/\b ./\ c

�2.31] ;2.11]

2.02

1--

2.33

1- a/\ b/\ c � C a/\ c/\b � cb /\a/\ c etc .

2.10

1-'. a

* 6.5.

.

a 1\b /\ c. D.a/\b. /\ c =:>b

. 1\ b =:> c .

Constanta

.

1\ . c

=:>

d .

=:>

a �d

v

Vom re da teoremele stabilite de Heyting faţă de semnul " V " de disjuncţie logică , fără a mai scrie şi indicaţi ile demonstraţii lor corespunzătoare , deoarece acestea sint foarte simple. 219


Logica polivalentlf

3.1

1-1- a -:JaVb

3 .11

f- 1- aVb -:J bVa

3.12

f-I- . a -:J e . 1\

.b

3.2

f- . a Vb. V e.

3.21

1- aV. bVe.

-:J

-:J .

-:J.

(;

-:J

. -:J . aV h

C

a V . bV c

aVb. Ve

3 .01

1- . aVbVc. i). aVb. Ve

3.22

1- ava

-:J a

Dfmonstratie:

[2 .21 ,

( : ) (�)

Adică: 2.21

3 .12]

f- . a :::> a

Substituţia 3.12

f- . a -:J a . 1\ . a

:

:::>

.

a

-:J

.a Va

-:J

a

Cum membrul Întîi al impl icaţiei este adevărat, şi al doi lea este adevărat .

.

1\ . c

3.3

1- . a -:J b

3 .31

1- . a -:J b. -:J .

3 .32

1- . a-:J b .

3 .33

1- . aVb -:Jb .

3 .34

1- . a -:J b .

-:J

-:J

a

:::>

d.

:::>

aV c

:::>

bV d

1\ C -:J bV d

. aVb -:J b :::>

a -:Jb

. a V e -:J bVe

3.35 1- aVbVe-:JbVaVc:JaVcVb etc . 3.4

1- . a 1\ C V . b 1\ C :J . aVb

3 .41

1- . aVb . 1\ C

3 .42

1- . a 1\ b. Ve. :J

3.5

f- . a :J bVe. 1\ . b :J d . 1\

220

-:J

. a 1\ C

o

.

1\

c

. '1-.b 1\ C

. aVe. 1\ . bVe

. C :J

e

.

-:J

. a :J d V

EI


6.6. Constanta.-'

3.51

1- . a =:> bV c

3.6

1-: a V b =:> : a =:> b . =:> b

* 6.6.

A

b =:> d

.

A .

c

=:> d .

=:>

.

a=:> d

Constanta I

Interesante sint teoremele re feritoare la negaţia ,,1"; ele arată d i ferenţa d intre calculul intuiţion ist şi calculul obişnui t . 4. 1

f- 1- . la=:> a=:> b •

Dacă o propoziţie este fa lsă "Ia" atunci ea implică orice propoziţie "b". 4.11

f- 1- . a=:> b

A . a::J I b

::JI a

Dacă a implică b ş i in acelaşi timp a imp lică I b.. atunci a este fa lsă . Cu alte cuvinte avem regula cunoscută: dacă d intr-o propoziţie se pot deriva două propoziţii con­ trad ictorii , ea este falsă . 4.01

r- . II aDI (1 a)

4.2

f- . a::J b .::J.1 b::JIQ

Teorema 4.2 exprimă regula transpoziţie i fa ţă de i mpli­ ca ţia a=:> b. 4.21

1- . a =:>1 b. =:>

4 .22

1- . a =:> b

4.23

f- . a A b =:> c .

4.24

f- . a=:> b . 1\ I b .

.

=:>

b=:> la

. II a=:> I I b =:>

a

Ale=:> I b

=:>

Ia

Dacă a i mpl ică b şi în acelaşi timp b este fal s , atunâ a este fa ls . 4.3

f- . a=:> I I a

Z21


Logica polivalent4

o propoziţie adevărată a implică dub la absurd itate a lui a. Aceasta este "axioma lui Brouwer".

4.31

1- . la ::l III a

4.32

1-. I II a ::l I a

4.4

1- . a 1\ la::lb

·4.41

f-- . a 1\ la . Vb .

4 .42

1- . aVb . 1\ la . ::l b

4.43

1- . Ia::l . I b::l I (a Vb)

4. 4 4

f-- . I (aVb) ::l ela 1\ I b

4.45

1- . aV la .

::l.

::l b

II a::l a

Ce spune această ultimă formulă? Prima parte , anume aV I a, este principiul terţiului exclus ; aşadar , propo­ . 'Z iţia 4 .45 spune: dacă pentru o propoziţie a princ ipiul terţiului exclus este valabi l , atunci este valabilă pentru acea propoziţie I I a ::l a, care este conversa teoremei 4 .3 a axiomei lui Brouwer. 4 .46

1- . 1 aVb . ::l. a::lb

·4.53

1- . I aV I b::lI (al\b)

Vom avea încă c îteva teoreme interesante asupra dublei negaţii: -4 .6

f-- . IIa 1\ II b::l II (a 1\b)

4 .61

1-.I I (a 1\b) ::l IIa 1\ I I b

4. .62

f-- . IIaVII b::l II (aVb)

4 .63

f-- .II (aVb) I\ .laVlla . ::lllaVllb

După cele spuse mai îna inte, condiţialaVlla poate fi înlocuită prin aV la dar nu pri n-Ila::la . -4.7

I- . a::ll (bl\c) .::l. al\b::llc

4 .71

f-- . a::lbV IC .::l . al\C::l b

222


6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţiul exclus

In

sfîrşit,

în

ceea ce priveşte terţiul exclus, avem urmă­

toarele teoreme:

�.8

f-- .11 (aV la)

�.81

f--- II (II a�a)

� .82

f--- . aV I a� b

4.83

f--- . aV Ia�I b.�I b

.

.

II b

Această formulă arată că principiul terţiului exclus poate fi utilizat totdeauna în demonstraţia unei propoziţii negative16•

4.9

f--- . a� b . �I (aAlb)

4.91

f--- . a V b� 1(1 a Alb)

4.92

f-- .aAb�I( laVlb)

* 6.7.

Axiomele intuiţioniste şi principiul terţiului exclus

Să strîngem la un loc cele

11

axiome intuiţioniste:

2.1

f--- 1- a�aAa

2.11

- aAb� bAa 1- f--

2.12

1- 1- . a� b .� . aAc � bAC

2.13

1- 1- . a� b A . b� c � . a� c

2.14

f--- f---

p.

18 Heyting,

52.

.

.

b� . a� b Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. 223


Logica polivalent4 (J A

(J ::::J

2.15

f-- 1-

3.1

r- 1- a -:::J a V b

3.11

.

b . ::::J b

1- 1- a V b -:::J bV a

3.12

f-- 1-

4.1

r-f- . i a-:::J . a-:::Jb

·4.11

f- 1- . a

.

a::::J -:::J

c

b

A

A

.

.

b ::::J C

. ::::J

a -:::J i b

aV b

::::J i

::::J

C

a

Heyting reuşeşte să arate independenţa acestor axiome printr-un procedeu formulat de P. Bernays17. Noi nu vom face aici aceste demonstraţii , dar vom utiliza , urmărind pe Heyting, acelaşi procedeu pentru a demonstra că in 'sistemul intuiţionist principiul terţiului exclus nu poate fi derivat ca teoremă . Pentru aceasta să considerăm că propoziţiile pot lua tre i valor i : "adevărul" notat cu O, "fals itatea" notată �u 1 şi, în sfîrşit, valoarea une i propoziţii care nu poate fi falsă , dar al căre i adevăr nu e doved it, notată cu 218 • Heyting dă pentru cele patru conective fundamentale nişte matrice , aşa cum am văzut că procedase şi Luka­ siewicz (*5.6) . Scopul său este ca toate teoremele demon ­ .strate să fie , în raport cu aceste matrice , nişte tautologii . Observăm însă, bazîndu-ne ş i pe cele arătate în capitolele anterioare , că pentru a indeplini acest dez iderat este suficient ca : 1. Cele 1 1 axiome să fie toate tautologii . 2. Matricea conjuncţie i să fie astfel defin ită Încît O AO = = O. 3 . Matricea implicaţiei să fie astfel definită incit .{) -:::J b O numai atunci cînd şi b = O. =

Cele tre i reguli nu determină complet matricele. Este iateresant de văzut cum foloseşte Heyting acest grad de libertate În scopul interpretării Într-un anumit fe I a conec• tivelor sale. 17 P.

BeraaY3,

MD;thematica",

11 A.

224

în

Untersuchung des AUII3agenkalkiils der "PI"incipia

"Mathematische Zeitschrift", 25 (1926), p. 305.

HeytÎag, op.

cit., p.

56.


6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţiul ezclus

Pentru impl icaţie matricea este următoarea (pe c oloana d in stinga sint trecute valorile antecedentulu i , iar pe rîndu l de sus valorile consecventului) : 2 1 a ::::> b l O o

1

O O

1

2

O

O

0.0 • • • • • • • • • • • 0.0

1 O 2 O Vom încadra special cu linie întreruptă o submatrice a acesteia , şi anume cea care reprezintă valorile impl icaţie i rind atît a . cît şi b iau doar va lorile "adevărat" şi "fals" . C ititorul poate observa că în acest caz e a coincide cu impl ica ţia c lasică . Prin urmare , definiţia matricia lă dată de Heyting implicaţie i este o general izare a cele i c lasice , pentru cazul cînd propoziţiile pot lua tre i valori de adevăr. Am văzut la timpul potrivit că şi Lukasiewicz procedase tot la o astfel de generalizare , dar de pe a lte poziţii . Urmărind această matrice , observăm că a devărul este impl icat de orice (de c i şi de o propoziţie avind valoarea 2) , falsul implică orice (deci şi o propoziţie avînd valoarea 2) . S ingurele cazuri cînd imp l icaţia nu este adevărată rămîn (in afara lui O::::> 1) ce l în care amb i i termeni iau valoarea 2 (şi cînd implicaţia in intregime ia valoarea 2 , cum este , de altfe l , natura l in lumina interpretării pe care am văzut că o dă Heyting aceste i valor i ) şi ce l în care antecedentul ia va loarea 2, iar consecventu l va loarea 1 (falsu l) . Acesta d in urmă este singurul punct in care matricea lui Heyting pentru implicaţie diferă de cea a lui Lukasiewicz . Matricele pentru conjuncţie şi disj uncţie sint : 2 1 1 2 1\ I O V I O

O O 1 .- . . .

2

1

1 1

2 1

O O 1 O

O

1

2

. . . . . . . . . . . . ....

---------_....... . . . . .

2

O

2

2

O

2

În a cest fel , conj uncţia verifică condiţia cerută

2

O 1\ 0= O.

Matricele reprezintă general izări naturale ale conective lor 22�


Logica poliva lentă

clasice corespunzătoare. De a l tfel ele coincid întru totul cu general izările date de Lukasiewicz . Mai deoseb ită poate fi negaţia °

1

1

o

2 1

Aşadar , negaţia intuiţionistă a unei propoziţi i Crlre nu poate fi fa Isă, dar I1ici doved ită adevărată , este o propo­ ziţie falsă . Şi aici IWl.tricea lui Heyting diferă de cea a lui Lukasiewicz . În raport cu aceste matricI: putem ca lcula valoarea de adevăr a oricăre i formule cînd variabile lor propoz i� iona l e a l e acestora l i s - a u atribuit anumite valor i . D e e xemplu, în cazu l primei aXIOme a :J a !\ a ,

atribuind lui a pe rînd valorile 0 , 1 , 2, obtinem mereu valoarea O (adevărat) . O astfel de form u lă , după cum am văzut , se numeşte o ta'�tologie. C ititorul poate proba în acest fel că toate cele 11 axiome sînt tautologi i . Pentru a nu m a i pre lungi această di scuţie , e suficient să spunem că toate cele tre i condiţii enumerate la incepu­ tul acestui paragraf sînt îndeplinite. Prin urmare, orice teoremă intu iţionistă, adică orice formulă demonstrabilă în logica lui Heyting , este o tautologie faţă de matrice le sale trivalente . Rămîne să vedem dacă principiul terţiului exclus , ad ică formula aV I a , este o tautologie . Cînd a ia valoarea 2 , adică este o propozi ţie care nu poate fi falsă , dar a l căre i adevăr nu poate Ii dovedit , ţ inînd seama de matrice l e disjuncţi e i ", i negaţie i , obţine m : 2VI 2=2V l = 2 ş i prin urmare formula care exprimă principiul terţiului exclus nu este o tautologi e , deci nu face parte dintre pro­ poziţ iile adevărate in sistemul lui Heyt ing . Că asemenea propoziţii (ce nu pot f i fa lse, dar niCI dovedite ca adevărate) există Într-adevăr , ne-o probează 226


6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţtul exclus

următorul exemplu din matematici, pe care Brouwer l-a găsit În 192519• Scriem dezvoltarea zecimală a numă­ rului 7t 3,1416 . . . ŞI sub e a fracţia zecimală p

=

0,3333 . . .

p e care o Întrerupem îndată ce Înşiru irea de cifre 01234567R9 a apărut În 7t . Dacă acest 9, din prima sec­ venţă de acest fe l care apare in 7t , este a m-a cifră după virgu lă, numărul p poate fi cu uşurinţă calculat, �i anume20 p=

10m - 1 3.10m

Să considerăm atunc i propoz iţia : "p este un număr raţiona 1" pe care s-o notăm prin a. În ipoteza că p nu ar fi raţiona l , dec i I a, ar f i i m posibil ca

p

-

10m - 1 . Prin urmare nici o secvenţă 0123456789 3 . 10m 1

nu apare in 7t. Dar atunc i p reprezintă suma progre­ sIeI geometrice infinite, care, după cum se ştie , este 1/3 ; ceea ce este , de asemenea , o absurditate . Presup u ­ nerea l a a dus I a o contradicţie . D u p ă definiţia negaţiei intuiţion iste (*6. 2) avem dreptul să afirmăm Ila. Pe de altă parte Însă , propoziţia a, adică "p este un număr raţional", nu poate fi demonstrată ca adevărată 18 L. E. J . 8roawer, Intuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe , în "Jahresbericht d er deutschen Mathematischen Vereinigung ", 33 , pp . 251 - 256 . 20 P este în acest caz suma unei p rogresii geome triee finite

227


Logica polivalentă

căci a ceasta ar însemna că put , e m calcula întreg i i k ş i astfe l încît p

=

n

� , Dar atun c i putem fie să indicăm o n

secvenţă 0123456789 ce apare în dezvoltarea l u i 7t, fie să demonstrăm că nici o astfe l de secvenţă nu poate apare . Ceea ce , după cum se ştie , nu e cazu l . P ropoziţia a face parte dintre enunţur i l e cărora Heyting le a cordă valoarea 2 . Ea nu respectă principiul terţiului exclus . Dar se poate observa şi d irect că , deoarece II a este adevărat, pe cînd a nu poate fi demonstrată ca adevă­ rată , din I I a nu vom putea deduceA pe a. Aşa dar , a nu respectă nici " legea dublei negaţii". In logica lui Russel1 prin aceasta înţe lesesem echiva le n ţa 4 . 13

p =""" ( ....... p),

adică o propoziţIe este echiva lentă cu dubla sa negaţie . Echivalenţa poate fi descompusă în două implicaţ i i , care în log ica b ivalentă erau 2 . 12 2 . 14

p ::J ...... ( ...... p) ( p ) ::JP

'"

"-

În logic!! lui Heyting , prima d intre e le poate fi regăsită sub forma teoremei 4 .3 .

1- .

a

::J I

I

a,

adică o propoziţie impl ică dubla sa absurd itate , numită şi ax ioma l u i Brouwe r , pe cînd a doua nu apare pe l ista propoziţiilor adevărate . Aceasta deoarece enunţur i ca cel de mai sus , care au valoarea de adevăr 2, nu respectă , după cum am văzut , acest principiu . Adică , d in absur­ ditatea absurdităţii lor nu se poate deduce adevăru l lor. Pentru formula I I a ::J a, matrice le date de Heyting arată că :

şi deciAca nu poate fi dedusă d in axi ome , nefi ind o tauto­ logie . In general însă , în cazu l une i propoziţii pentru care 228


6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţiul exclus

este valab il principiul terţ i u l u i exclus este va labil ş i prin­ c ip iul dublei negaţ i i , aşa cum ne arată teorema 4 .45. Demonstraţ ia pe care am urmăr it-o are un caracter mai mult formal , arătîndu-ne că d in axiomele şi re gul ile admise de Heyting nu se poate deduce pe cale forma lă expresia simbolică a Via. Din fe lul în care a fost efectuat ă , Se poate vedea totuşi că ea conţ ine şi o justificare intuitivă . Să încercăm a ne apropia şi mai mult de o asemenea justi­ ficare . Pentru aceasta trebuie să precizăm , o dată cu Hey­ t ing, faptul că logica intuiţ ionistă tratează în mod exclusiv despre propoziţ i ile matematice iar faptul că poate f i aplicată sau nu in a fara domeniului acestora nu îl preocupă cîtu�i de puţ in pe intuiţ ionist21• Orice propoziţ ie matematică afirmă că o anumită construcţ ie matematică , cu anumite proprietăţ i , a fost efectuată . Această construcţie demon­ strează propoziţ ia . Este evident vorba de o const ruc­ ţie mentală . De pildă , propoz iţia care afirmă ,,2 + 2 = = 3 + 1" e ste de fapt prescurtarea afirmaţiei «Am efec­ tuat construcţiile mentale ind icate de ,,2 + 2" şi de ,,3 + + 1" ş i am găs it că e l e conduc la ace laşi rezultat ))22. Afirmarea une i formule de logică care conţine variab i­ lele propoz iţ ionale a , b, c ... , privită în această nouă interpretare , apare echivalentă cu afirmarea faptului că d i spunem de o metodă de construcţie care prin particula­ rizare (specialization) ne furn izează construcţia cerută de propoziţia ce se obţine înlocuind variabilele propozi­ ţ i on a le a , b, c . . . prin propoziţ i i matematice particulare . De p ildă , afirmarea principiului terţ i u l u i exclus , a V I a, ar insemna că d i spunem de o metodă generală d in care , dată fiind o propoziţie matematică a, prin particularizare să obţinem f ie o demonstraţ ie a lui a, fie o demonstraţ ie a lui I a. Cum o astfe l de metodă nu ne stă la îndemînă , nu putem 'lf irma n ici principiul terţiului exclus . Acest 2 1 A. Heyting,

lntuitionism, p. 9 7 . Ibidem, p . 8. Construcţia mentală apare , aşadar, ca o expe­ rienţă evidentă în s ine . Nu putem intra a i c i în deta l i i asupra subiectu lui, p entru care c i titorul poate c onsulta : S. Koroer, Introducere în filozofia matematici i , Ed . ştiinţifică, 1965, cap. VI şi VII. 22

229


Logica polivalentif

fapt, de a l tfe l , va apare şi mai pregnant în * 6 . 1 2 , urmărind interpretarea pe care Kolmogorov a dat-o calculului intui­ ţionist .

* 6.8. Observaţii asupra calculului propoziţional intuiţion ist Principiul terţiului exclus şi principiul dub l e i negaţii nu sînt singure le legi clasice care îşi p ierd valabi litatea în intuiţionism . Să urmări m pe scurt şi a lte asemenea cazuri . Una d intre legile clasice importante era transpoziţia : 4.1

f-- : p :J q . = . "-' q :J "-' P În logica l u i Heyting găsim teorema :

4.2

f-- . a :J b . :J I b :J I a .

Reciproca e i însă , I b :J l a . :J

.

a

:J b,

nu are loc . De asemenea, echiva lenţa materială 4. 56

f-- : ""-' p . ......., q . = . ,....., (p V q) ,

una din cele două legi ale l u i De Morgan , Îşi are a.na loga e i printre teoremele demonstrate de Heyting , ş i anume : 4.44

f-- . I (a V b) :J C I aAI b,

pe c înd cealaltă lege a l u i De Morgan , 4 . 51

f-- : ......., (p

.

q) . = . "" p A '" q ,

n u m a i este valabi l ă d i n punct d e vedere intuiţionist . Am menţion a t teorema • 4 .53

1- .

I

aV I b :J I (aA b ) ,

dar implicaţia inversă nu are loc . 230


6.9. Calculul cu funcţii inturttonist

o a ltă relaţie importantă este echivalenţa

:- . I I a /\ I I b :::J C I I (a /\ b) , <,are rezultă din cele două impl icaţii 4 .6 şi 4 .61 , în t i mp ee faţă de disj uncţie nu m a i este valabilă dec ît o impl i­ ,:a ţie , şi anume :

.. . 62

f- I I a V I I b

:::J

I I (a V b)

Conversa ei nu are loc in general , c i , după cum am văzut , numai c înd negaţia uneia dintre propoziţi ile a şi b veri­ fică principiul terţiului exclus (vezi teorema 4,63) .

Calculul

* 6.9.

cu

funcţii

intuiţionist

Ca lculul cu funcţi i a fost dezvoltat de Heyting în cadrul logicii intuiţion iste23• D in punct de vedere formal , aceasta inseamnă adăugarea la simbolur i le calculului propozi­ ţiona l (variabile propoziţionale , conective etc .) a s imbo­ lurilor proprii calculului cu funcţi i, şi anume : variabi­ lele ql, � . . pentru proprietăţi , varia b i l e le x , y . . pentru ind ivizi etc .24 . Axiomelor şi reguli lor de deducţie intui­ ţ ioniste li se adaugă următoarele două axiome şi cele două reguli care am văzut că sint specifice calculului cu funcţii propoziţ.ionale25 : .

.

- aXIOme :

- f- : (x) . :-- f--

:

ql y

ql

x .

. :::J

:::J

(3 x)

rp y . rp

x

-reguli ( în care A şi B(x) s înt astfe l de formule înc ît A nu conţine variab ila x l iberă) : 23 A. Heyting, Mathematische Grundlagenrorschung,� Intuitio­ nismus , Beweistheorie, în " E rgebn isse der Mathemat ik und ihrer Grenzgebie te" , Berl i n , 193 4 . H V e d e ţ i această lucrare , ·3 . 9 . 2� I b idem, .3 .11 .

231


Logica polivalentc1

din A ::::> B (x) putem deduce A din B (x)

::::>

::::>

(x) B (x) , iaf

A putem deduce (3 x) B (x)

::::>

A.

Fără îndoială însă , nu toate teoremele c e puteau fi demonstrate în logica bivalentă rămîn valabile a ici . Spre exempl u , orice teoremă de dusă acolo cu ajutorul legii duble i negaţi i , în intuiţionism nu va putea fi demonstrată. De altfe l , Heyting a urmărit ru grijă toate consec inţele ce decurg din lipsa acestui principiu2• • Una d intre e le este faptul că între cei doi cuantificatori - universal şi particular - nu ma i există legătura simplă exprimată prin echivalenţele ( teoremele T2 ' şi T3 d in *3.12) : "'-' ( 3 x) '" (x)

.......

'"

ql

ql

x .

x .

==

=

.

.

(x) !il x

(3 x) !il

x

Aceasta , deoarece în logica intuiţionistă s-a schimbat însuşi înţelesul obişnuit al cuantificator i lor. Fie fx o anu­ mită proprietate matematică , iar D un domeniu de obiecte matematice ce pot avea această proprietate27 • Se va putea afirma (x) fx dacă sîntem în posesia une i metode generale de construcţie , care , odată ce s-a a les un e lement d in D28 , să ne dea prin particularizare f Xo ' Şi se va X o putea afirma (3 x) fx dacă s-a construit un e lement Xo a l lui D , astfe l încît fxo să fie satisfăcut ă . După cum am observat în să ( * 3 . 1 2 , pct. 2) , in calculul de care ne ocupăm nu intervin în nici un fel ind ivizi concre ţ i 2 D • Prin urmare , nu se poate demonstra că o proprietate este particular va lab i lă în sensul propriu-zis al cuvîntului . 2 1 A . Beyting, O n weakened quanlificalion, i n " J ournal ot Symbo l ic Logic", XI (1946) , pp. 1 1 9 - 1 21 . 27 Intuiţionişti i numesc specie (species) o proprietate care se p oate presupune că o au anum ite entităţi matematice tA. BeytiD�, Intuitioni8m , p . 37) . 28 N-am m a i notat ind iviz i i particu"ri cu a, b, c . . . cum con­ venisem in cap. 3 B, p entru a nu-i confunda cu variabilele pro­ p oziţionale d esemnate a ic i prin astfel de l itere . 2 8 D in acest motiv , acest calcul m a i p oartA ş i denumirea de calculul cu funcţii pur, ad ică in care nu se iau in considerare nici un fel de va lori determ inate, pe care variabilele le-ar putea lua .

232


6.9. Calculul

cu

funcţii intuiţionist

Orice demonstraţie este demonstraţia cazului general . G . Gentzen a obţinut în acest sens u n rezultat foarte inte­ resant. Dacă A (x) este o formulă care nu conţine altă variabi lă liberă în afară de x şi dacă formula ( 3 x) A (x) este demonstrabilă în calculul cu funcţii intuiţionist, atunci ( x) A (x) este , de asemenea , demonstrabilăso. Şi acum să urmărim cîteva teoreme ale logicii intuiţio­ niste31 • Demonstraţiile lor sînt perfect asemănătoare celor date în cap . 3 B , * 3 . 1 2 . Ti .

T2 .

f- : ( x) . <il x ::> . I (3 x) . -, ip x f- : (3 x) . <il x ::> (x) . I <il x .

.

.

Sînt s ingurele implica ţ i i care răm în va lab ile din echi­ valenţe le clasice : (x) . <p x . ( 3 x) . T3a .

f- : (x) . I

T3b .

1- : -, (3 x)

T4 .

1- : (3 x)

.

<il

<p

. ::>

<il x

Î 9 x

. I (3 x) . I <p x

=

x .

x

.

=

.

.

-, ( x ) . Î

. I ( 3 x) .

<p

::>

<p

. ::>

.

. (x)

.

I (x)

Î . <il

<p

.1:

x x

x

a cărei i mpl icaţie inversă nu are loc . Printr-o substituţie în T3a obţinem : T5a .

1- : ( x) . -, Î

<p

x

.

::>

. I ( 3 x)

.

Î <il x

şi prin aceeaşi substituţie , dar in T3b rezultă Tob . 1 - : Î (3 x) . Î <il x . ::> . (x) . Î I cp x În baza teoreme lor intu itioniste 4.2 si . , 4 .32 ( *6 .6) din T5a rezultă : T6.

f- : I Î (x)

.

I Î

<il

x

.

::>

. Î (3 x) . -,

<p

x

30 G. GeDlzfD, Untersuchungen iiber das logische Schliessen , î n " M athem a t ische Zeitschr ift" , voI . 3 9 , pp . 1 7 6 - 2 1 0 , 405 - 4 3 1 . 31 A. Heytiag, lntuit ionism, p. 1 0 3 . Numero tarea lor e s t e independentă d e cea a tez e l o r d in c a l c u l u l cu hmcţ i i b ivalent ( 3 .1 2) .

.

233


Logica polivalentiI

f- : 1 1 ( x) . !fI x .

T7.

� .

1

(3 x) . 1 <p x

Din T7 ş i T5b obţinem un rezultat i mportant, şi anume :

1- : I I ( x) . !fi x

T8 .

.

. (x) . 1 -l !fi x

Heyting menţionează drept una dintre trăsături l e sur­ prinzătoare (striking) a le logici i intuiţioniste faptul că reciproca aceste i i mp l icaţi i nu are loc. Ma i a les deoarece, în cazul cînd domeniul D în care poate varia x este finit, această reciprocă este valabilă . într-ade văr , cînd D este format , spre exemplu , d in două e le mente , această reci­ procă se reduce la teorema de calcul propoziţiona l :

f- . l l a !\ l l b � l l (a !\ b)

4.6

Din T3a ş i T3b în haza l u i 4 . 2 rezultă : T9 .

f- : I I (3 x)

T10.

1- :

1

.

!fi x

.

. 1 ( x)

.

1 !fi x

(x) . 1 !fi x . � . I I (3 x) . !fi x

Prin substituţie în T4, Tii .

f- : (3 x ) I I <p x .

.

::l

.

1 (x) . 1 <p x

D in T11 şi TiO, T12 .

1- : (3 x) . 1 1 !fi x

.

::l

.

11

(3 x) . 'P x

Ş i în acest caz i mplicaţia rec iprocă nu are loc . Dar faptul este m a i puţin surprinzător, căci nici formula corespun­ zătoare de calcul propoziţiona l I I (a V b) ::l I 1 a V 1 1 b

nu este valabilă.

*

6.10.

Compararea logif:ii intuiţioniste cu logica bivalentă

Prohlema interpretării logicii formal izate de Heyting i-a condus pe mulţi logicieni la compararea ei cu a lte 234


6.10. Compararea cu logica bivalentă

�isteme . D intre aceste comparaţii cele m a i importante sînt : 1. compara ţ i i l e cu logica bivalentă ; 2 . compara ţ i i le cu logicile moda le a le l u i Lewis. Ne vom ocupa mai întîi de prime l e . Acestea la rîndul lor au condus la două rezultate complet diferite Între e le . i n primul rînd , trebuie să facem următoarea observaţie . Examinînd matrice le pentru conjuncţia , d isjuncţia , nega­ ţia �i imp lieaţia intuiţionistă (*6.7) , preculII ş i proprie­ tăţ i le pe care a m văzut că le au în cadrul s iste mulu i intui­ ţionj� t , rezu ltă că e le sînt d istincte de conective le respec­ t ive din logica b iva Jentă . Spre a fi riguroşi , trebuie s ă util izăm d e c i pentru e le a l te notaţi i . Pentru conjuncţie �i negaţie , vom păstra notaţiile lui Heyting, care sînt d istincte de cele c lasice . Implicatia intuitionistă o vom nota printr-o săgeată32, aşa încît � va în �emna "i mplică În logica lui Heyting" . Cît despre d isj uncţia intuiţio­ nistă , a m văzut că înţelesul ei este mai pre c is decît a l ce le i c lasice , întrucît s-a demonstrat c ă d isjuncţia a două propoz iţii nu poate fi demonstrată în logica lui Heyting decît dacă una d intre cele d ouă propoziţii a fost demon­ strată (vedeţi *6.2) ; de aceea o vom nota cu acelaşi s imbol cu care o notăm şi pe cea clas ică , V , dar trasat cu l inie îngroşată "V" . Şi acum să urmărim rezul tatele obţinute de logieieni în compararea logicii intuiţioniste cu logica b iva lentă . F ilozoful germa n O . Becker , de care am avut pri lej ul să vorbim , a observat că traducind conective le lu i Heyting în conective b ival ente a le logi c i i lui Russel l , după cum lIrmează33 : "

,,

Heyting :

v

Russ e l l :

V

toate teoremele intuiţioniste devin tauto log i i (deci teoreme) a le logici i b iva l ente. Ceea ce pare evident , dacă porn i m 3 2 Semnul acesta a fos t pentru prima dată util iza t i n notaţia imp l icaţiei de H i lbert (în Grundzilge der theoret ischen J.ogik , 1 928) � i a fost adaptat u l terior de Jl eyt ing în logica s a .

33

Z ur Logik der 1Hodah/ăten.

235


Logica

polivalentd

de la premisa că logica intuiţionistă s-a constituit ca o parte a logic ii clasice , şi anume aceea care nu se bazează pe principiul terţiului exclus . Dec i , dacă am face abstrac­ ţie de faptul că intuiţionistul şi c lasicul acordă aceloraşi conective (conj uncţie , d isjuncţi e , negaţie ş i imp licaţie) inţelesuri d iferite , am putea spune că orice princip iu enunţat în logica intuiţ ionistă rămfne valabil şi în logica clas ică . Reciproca nu este însă adevărată . Logica intuiţion istă nu acceptă , după cum am văzut , o serie întreagă de prin­ cipii c lasice (principiul terţiului exclus , legea dublei negaţii etc . ) . în cazul acesta ea nu mai poate fi privită ca o logică b ivalentă . Heyting o interpreta , după cum am văzut, ca pe o logică cu tre i valori . D ificultatea care apare la o asemenea interpretare stă in faptul că nu toate formulele valide (tautologiile în raport cu matrice le lui Heyt ing) pot fi de duse d in cele 11 axiome ale logicii intuiţionist e . Se mai spune că siste­ m u l nu este complet in raport cu această interpretare34• Pentru completare , Lukas iewicz a propus să i se adauge o a 12-a axiomă , şi anume :

(1 p

q)

( ( (q

p)

_

q)

q) 3S

Formula ( ( (q _ p ) _ q) � q) poartă nume le de "legea lui Peirce" şi este va lidă în logica b ivalentă. Axioma introdusă de Lukasiewicz postulează valabilitatea ei în logica pe care o construieşte astfel , dar numai pentru pro­ poz iţiile p şi q avînd proprietatea că din absurd itatea lui p se deduce q. Această logică , după cum arată e l , conţine drept teoreme exact tautologiile faţă de matrice le lui Heyting . Ea are următoarea proprietate , deosebit de inte­ resantă : dacă înlocuim într-o teză , valabilă în logica clasică,

variabilele p ropoziţionale simp le prin negaţiile lor, obţinem teză a acestui sistem (bineînţe l es , întrucît conectivele

o

acest u i sistem au notaţia intuision istă , se presupune că 3' Vedeţi nota 23 d in cap . 4 .

16 J. Lukasiewiez, D ie Logik und das Grundlagenpro b lem, in "Les entretiens de Ziirich" ( 1 9 41 ) . Am revenit in scrierea formu­ lelor la notarea variabile lor p ropoziţionale prin p , q, r etc .

235


6.10. Compararea

cu

logica bivalentil

!;-au tradus m a i întîi conectivele b iva lente d in teza clasică

În cele intuiţioniste corespunzătoare : de exemplu ,,", '"'-' P :::) P

!;e traduce m a i întîi în I lp �p) . Motivarea este i mediată . Aşa cum ne arată matricea lui Heyting a negaţie i

�1 -�_-0_1_-:d ind lu i p toate cele tre i valori O, 1 şi 2 , propoz iţial p nu m a i ia decît două va lori : O (adevărul) şi 1 (falsu l ) . Restrîngînd matrice l e lui Heyting pentru conectivel e propoziţiona le l a aceste două valori , dăm peste matricele lui Russell (aceste restricţi i au fost notate în matricele lui Heyt ing cu l inie punctată) . Faţă de acestea însă , f i ind teză clasică , formula va fi o tautologie . Prin urmare , aşa cum a arătat Lukas iewicz , ea va fi deductibilă din cele 12 axiome (desigur , nu neapărat şi din prime le 11) . Ase­ menea cazuri am remarcat şi în logica intuiţionistă . Spre exempl u , deşi princ ipiul dublei negaţ i i : I I P � P

nu era deductib i l , princ ipiul triple i negaţi i , I I I P �I P

era o teoremă (4 .32) . în acelaşi sens Gl ivenko a găs it o serIe de rezultate remarcabile , şi anume : 1 . Dacă o propoziţie p �ste demonstrab ilă în logica clas ică , atunci şi propoz iţia "p nu poate fi falsă" ( I I p ) este' demonstrabilă în logica intuiţionistă . 2 . C înd propoziţia "p este fa lsă" este demonstra b i lă în logica clas ică , atunc i ea este demonstrab i lă şi în logica lui Heyting36 • 36 Gli�eDko, Sur q uelq ues points de la logi q ue de M. Brouwer (Academ ie royale de Belgique, "Bullet in de la c l a sse des sciences" , 5-e serie , t . XV , 1 920 , pp . 1 83 - 1 88) . I n enunţurile lui G l ivenko se presupune că traducerea s imbolurilor s-a făcut aşa cum am ind icat mai sus.

237


Logica polivalentcI

Pe de altă parte , logicianu I german K . Gode 1 , făcînd studiul comparat al logic i i b iva lente şi intuiţionist e , a ajuns l a rezultate orientate în a l t sens decît cele ale l u i Becker , şi anume că toate tezele logicii clasice ca re conţin num a i negaţia ş i conj uncţia sînt valab ile În logica intui­ ţionistă37 . Prin urmare , dacă vom cons idera p :J q ca o prescurtare a formulei 1 ( p /\ 1 q) , iar p V q ca o prescurtare a formulei 1 (1 P /\ 1 q) , putem regăs i în ca lcul u l intui­ ţ ionist toate teoremele c 1as ice38. De p ildă , principiul terţiului exclus ,

pV I p, va f i o teoremă intuiţionistă . Dar , ţinînd seama de abre­ vieri l e făcute , ea reprezintă nici m a i mult nici mai puţin decît 1 ( 1 P /\ I I p ) , care e s te , într-adevăr, o teoremă intu iţion istă ; ea poa te f i dedusă imed iat din teorema 4.8 cu aj utorul teoremelor 4 .44 ş i 4 . 2 . J . Lukas iewicz a dezvo ltat mai î n a mănunt acest punc t de vedere39• Pentru e l logica nu este o ştiinţă a legilor gindi r i i sau a legilor vreunu i a l t obiect rea l , ci doar un instrument ce ne permite să tragem d in anumite prem ise anumite , concluz i i . Dar, prin tre d iversele s iste me logic e , c e l clas ic (b ivalent) nu este şi c e l mai adecvat i n toate ocaz i i l e . Spre exemp l u , am văzut că pentru stud iul moda li37 Z u r intuitionislischen A r i thmelik und Zahlentheorie , in " Ergeb­ n isse e ines math . Kolloqu iums" (Wien) , HeCt 4 , pp . 3 4 - 3 8 . Rezultatele l u i Gode l , ca s i o serie d e alte rezultate urmărind aceea ş i idee , se găsesc în l� crarea lui S. C. K leene, In troduc/ion to Metamathematics , § 8 1 . 38 Aces te . prescurtări n u sînt făc ute î n t împlător. E le î ş i au j us tificarea În echivalenţele

p :J q . == . - lP . - q ) p V q · == · - ( - p · - q ) care am văzut că erau valab ile în l ogica bivalentă ( t ezele 4 . 53 şi 4 . 57 din * 3.6 ) . 38 On the In tuitionistic Theory of Deduc tion, in " I ndagationes mathematicae" , 14 ( 1 952) , pp . 202 - 21 2 .

238


6.10. Compararea cu logica bivalentă

tăţilor e l propunea o logică trivalentă ( *5 . 7 ) . Analiza intreprinsă de Lukasiewicz asupra logici i intuiţioniste i i arată că este "mai bogată şi prin urmare m a i puternică" decît cea c las ică . Să urmărim pe scurt această analiză . �[a i întîi , Lukasiewicz reformulează sistemul de axiome �at de Heyting pentru calculul propoziţional intuiţionist. !n locul celor 11 axiome (*6.7) , el propune num a i 1 0 . I n simbolistica uti lizată de el , p e care am exp licat-o în .:apitolul precedent40, notînd implicaţia intu iţionistă cu F . conjuncţia intuiţionistă cu T, disjuncţia intuiţionistă ('u O, iar pentru negaţie utilizînd acelaşi s imbol N ca şi i n sistemul b iva lent , cele 10 axiome sînt : 1 . FqFpq

2 . FFpFq1'FFpqFq1' 3 . FTpqp 4 . FTpqq

5 . FpFqTpq

6 . Fp Opq 7 . FqOpq 8 . FFp1'FFq1'FOpq1' 9.

FFpNqFqNp 10 . FpFNpq

Să citim pe cele m a i complicate . Axioma 2 , trecută în ; i mbo luri heytingiene , va fi :

(p

_

(q

_

))

_

( (p

( (q

1'

1'

_

q)

_

(p

_

1'

)) ,

iar axioma 8

(p

1')

)

-

( (p Vq )

-

1'

))

Din aceste 10 axiome , prin num a i două regul i de infe­ renţă , substituţia şi modus ponens, se pot deduce toate teoremele demonstrate de Heyting şi numai acelea . 4 0 Vedeţi

*

5 .4.

239


Logica polivalentii

în plus , s istemul de care ne ocupăm are o proprietate remarcabilă . Teoremele care conţin doar implicaţia pot fi de duse utilizînd numai primele două axiome ; cele care conţin implicaţ ia şi conjuncţia pot fi deduse numai d in axiomele 1-5 ; cele care conţ in implicaţia şi d isjuncţia pot fi de duse numai din axiomele 1 - 2 şi 6-8 ; cele care conţin doar implicaţia şi negaţia pot fi de duse numai d in axiomele 1-2 şi 9 - 1 0 . Nici o teoremă d in care l ipseşte vreunul d in cele patru simboluri nu cere pentru demonstrare vreo axiomă din grupul în care acest s imbol este prezent . Şi acum , notînd cu Cpq41 formula NTpNq [în scrierea lui Heyting I ( p /\ I q) ] , Lukasiewicz cons ideră urmă­ toare le teoreme deduse d in axiome le 1 - 1042 : CCNppp CpCNpq CCpqCCq,.cp ,.

Să facem pentru moment abstracţie de faptul că le-am obţinut ca teoreme . Ele sînt în fond tre i formule ale cal­ culului propoziţional . Nimic nu ne împiedică să construim un s istem in care acestea să fie axiomele . Regul ile de de­ ducţie vor fi tot subst ituţ ia şi modus ponens (de data aceasta , evident , faţă de implicaţia notată prin C) . Cu o precizare : în noul s istem nu apar deocamdată decît doi functori C şi N ; căci F , T şi 0 - conectivele intui­ ţ ioniste - nu trebuie cons iderate ca putînd intra în com­ punerea formulelor sa le43 • Lukasiewicz reuşeşte să arate , pe de o parte , că toa te teoremele s istemului astfe l constituit devin teoreme intui­ ţioniste cind , pretutinden i unde apare în e l e , functorul C este înlocuit în funcţie de conectivele intuiţion iste T Il Am văzu t in .5 .l . că l itera C era u t i l izată de E.ukasiew icz p entru a s imbo l iza imp l icaţ ia . î n cazul d e faţă , ca va simboliza imp l icaţia russel l iană. ai Deci teoreme a l e logic i i l u i Heyt ing . u I n fond d e c i este vorba despre o parte a teoremelor intui­ tioniste care conţin doar conjuncţia şi negaţia şi in care se presc urtează formula NTpNq prin Cpq. Ad ică , c e ea ce am văzut cA. lua în cons iderare ş i Godel . 240


6.10. Compararea

cu

logica bivalentd

cu aj utorul cărora a fost definit . Pe de a ltă parte , �ste teoreme în C şi N sînt toate teoremele clasice în implicaţi a russe l l iană şi în negaţia b ivalentă . Putem obţine chiar toate teoremele c lasice dacă, notînd il! stilul lui Lukasiewicz cu K şi A respectiv conjuncţia ti disjuncţia din logica b ivalentă (adică conectivele " . " !i " V ") , le definim în funcţie de C şi N astfe l :

P N,

Kpq drept NCp Nq 4.4 A pq drept CNpq Ce concluzie trage de a ic i Lukasiewicz ? Teoria c las ică deducţiei este inclusă în cea intuiţionistă . Numai că fiecare operează cu a lte conective . între conectivele c las ice �i cele intuiţ ioniste există anumite legătur i . în afara _gaţie i N, comună după cum am văzut ambelor sisteme , fiecare d in conectivele intuiţioniste implică conectiva dasică corespunzătoare . Adică au loc teoreme le : a

FFpqCpq implicaţia intuiţionistă impl ică ( în sens intu iţionist) implicaţia clas ică4.5 ; FTpqKpq ronj uncţia intuiţionistă implică ( intuiţionist) conj uncţ ia c:las ică ; FOpqA pq disj uncţia intuiţionistă impl ică ( intuiţionist) d isjuncţia clas ică. Nici una d intre reciprocele acestor implicaţii nu are loc . Functorii clasici C, K şi A sînt m a i slabi decît functorii intuiţionişti corespunzători . Astfe l , fiecare principiu de logică se dedublează într-un u l "tare" şi unul "slab" . ca D in nou aceste definiţii nu SÎnt întîmp lătoare , c i insp irate de echivalenţele c las ice 4 . 63 şi 4 . 64 ( · 3 .7) . " Avem a ic i o s ituaţie analogă celei create de Lewis în logic a sa, în care am văzut că reconstituise întreaga logică b ivalentă , iar această teoremă este teorema

1 4 .1 P

-<

q

.

-<

.

p

::> q

d in logica imp l icaţiei stricte (·4.6) .

241


Logica polivalentl!

De p ildă , principiul "tare" a 1 terţiului exclus este OpNp şi intuiţioniştii nu-l acceptă , pe cînd cel slab , care este ApNp , apare ca. teză şi în logica lui Heyting ; În con­ secinţă , intuiţionişti i trebuie să-I accepte46. în logica c lasică , valabilitatea principiului terţiului exclus izvora din acceptarea următoarelor afirmaţi i : (1) O d isjuncţie "p sau q" este adevărată dacă cel puţ in unul d in termeni e adevărat. (2) Negaţia unei propozi ţ i i false este adevărată . (3) Orice propoziţie este sau adevărată sau falsă . Atunci oricare ar fi propoziţia p , sau este adevărată, şi atunci "p sau non-p" este de asemenea adevărată con­ form ( 1 ) , sau este falsă , şi pe baza lui (2) "non-p" este adevărată , prin urmare "p sau I1on-p" , conform (3) , este tot adevărată . Afirmaţiile (1) şi (2) sînt evidente şi au fost acceptate nu numai dc logica clasică , ci şi de intuiţionişti . D impo­ trivă , principiul (3) - al b ivalenţe i - a fost resp ins de logicile polivalente �i , în particular , de cea intuiţionistă . Cu toate aceste a , principiul terţiului exclus poate fi demon­ strat împreună cu toate celelalte princip i i clasice în s iste­ mul intuiţionist . Numai că sub forma : ApNp înţelesul lui dep inde de înţelesul acordat ce lor doi func ­ tori : d isj uncţia şi negaţia . Dar condiţiile ( 1 ) şi (2) sînt îndeplinite atît pentru A şi N c î t şi pentru O şi IV : deci în ambele cazuri ele pot f i numite "disjuncţie" şi "negaţie"47. Astfel ca lculul intu iţionist operează cu mai multe feluri de conective , fiecare cu înţelesul lui determinat. El este deci mai bogat şi mai puternic decît cel clas i c . Ceea ce-l 46

On the lnluil ionis t ic Theory of Deduction, pp . 206 - 20i .

t7 Este discutab il faptul că în interpretarea l u i Gode l , ca ş i

în c e a a l u i Lukas iewicz , negaţia intu iţionistă ş i c e a c lasică s e confundă, părînd a urma de a ic i că nu există de fap t între ele nici o deoseb ire d e sens. Căci după cum am văzut ( .6 .1 ) , negaţia e însu ş i punctul sensibil a tacat de Brouwer în d iscuţia terţiului exclus. Această lacună o vor ump l e , după cum vom vedea în para­ graful următor, interpretările modale, unde 1 , negaţia intuiţio­ n istă, devine imposibil itatea lui Lewis - O .

242


6.1 1. Compararea cu logica lui Lewis

face pe Lukas iewicz să afirme : "Mie m i se pare că printre i istemele logice p o livalente cunoscute p înă în prezent t�oria intuiţionistă este cea mai intuitivă şi e legantă"4g .

6.11.

*

Compararea log icii intuiţioniste cu cea a lui lewis

Ace laşi l ogic iall Becker 49 interpretează modal l ogica intuiţionist ă , şi anume făcînd "traducerea" conective lor lui Heyting în conectivele lui Lewis , după următorul �dicţionar" : Heytinf1 .

�,

1\ , V ,

::J , . , V ,

Lewis :

......

1, O

Observăm că în această traducere , implicaţiei intui­ ţioniste îi corespunde implicaţia materială (nu strictă) definită de Lewis în cadrul logici i sale (*4 .6, definiţia 14 . 01) , iar negaţie� intui ţioniste - imposibilitatea. Astfe l Becker a arătat că primele zece axiome intuiţion iste sînt teze În S3 . Pentru pri me le n ouă - care nu conţin negaţia - acest lucru este e v ident , căci am arătat că traducînd implicaţia ,

conj unctia si d isj unctia intuitionistă , asa cum am făcut-o ,

' axiome l� i �tuiţionis te devin teze clasi �e , iar logica b iva­ lentă e inclusă complet în S3 . Să ne ocupăm , aşadar , de u ltimele două . A zecea , tradusă in simboluri lewisiene , va fi : 10'.

OP

::J ( p ::J q ) Dar noi am demonstrat În S2 (deci '"

19. 7 4

'"

Op

.

-<

.

ŞI

În

S3) teorema

p -< q ,

dec i , cu atit mai mul t , teorema 1 0 ' , care s e obţine d i n e a prin înlocuirea implicaţiei stricte cu c e a materială . 4 8 On the 1 ntuitionistic Theory of Deduc/ion , 48

Zur Logik der Modali/ăten .

p. 208 .

243


Logica polivalent4

În sfîrşit, a unsprezecea va fi : ' 1 1 p '::) q . p '::) "-' O q : '::) . "-' O p Deoarece avem

18.41

"'"

Oq

-<

"'"

q,

implicaţia materială are şi e a loc : ""' O q '::) "-' q De unde , în baza logicii clasice (şi implicit a celei lewisien e ) ,

p '::) ""' O q · '::) · p '::) ", q

(1)

Convertind impl icaţiile stricte ale teoremei

1 7 .52

P -< q . p

-<

'"

q

: -<

.

"-' O p

în implicaţi i materiale , obţinem teza :

p '::) q · p '::) ""' q : '::) · ""' O p

(2)

Din (1) şi (2) deducem că 1 1 ' este şi ea validă . Aşadar , toate axiomele şi toate teoremele intuiţion iste devin, astfel tălmăcite , teoreme ale lui 535°. A . Tarski şi McKinsey , care au studiat mai multe ase­ menea "tălmăciri" în logica implicaţiei stricte51 , a u găs it şi următoarea interpretare posib i lă . Heyting Lewis

p O p

"-'

I ,

_

O,

-<

Adică variabilele propoziţionale s imple sînt prefixate de s imbolul necesităţ i i , negaţia intuiţionistă este înlocuită prin i mposibilitate , iar implicaţia intuiţionistă prin implicaţia strictă . Teoremele intuiţion iste astfel traduse , care nu conţin d isjuncţia şi conj uncţia , sînt tde vărate în s istemul 54 & O B ecker nu ajunge să demonstreze acest lucru . Vom o bserva , mai m ul t , că toate cele 1 1 axiome intu iţioniste sînt val ide in S 1 . U Some Theorems aboul lhe Senlenlial Calculi of Lewis and Heyting , în "Journal of Symbolic L ogic", X I I I (1948) , p. 1 3 - 1 4 .

244


6.11. Compararea

cu

logica lui Lewis

al lui Lewis . Ma i mult chiar , o astfel de teoremă a l u i 54 �evine , util izÎnd "dicţionarul" , o teoremă intuiţionist ă . Iată u n exemplu : teza intuiţionistă

p _iip devine teorema lewisiană adică

o

p � D O D p52

Reciproca însă conduce la

ii P - P

D O D p� D p , care , după cum am arătat la timpul potrivit , nu are loc in S4 (deşi are loc în S5) . Iată , prin urmare , cum S4 poate ri un cadru potrivit pentru o interpretare a logicii intui­ tion iste . , În înche iere vom face o s ingură remarcă . Toate aceste interpretări se referă la s istemul formal heytingian a l logici i intuiţ ionis te şi n u l a însuşi modu l de gîndire intui­ ţionist . Cît priveşte potrivirea d intre acestea , Heyting mărturiseşte că nu poate f i niciodată demonstrată pe o cale riguroasă53. Un i i chiar a u pus-o - măcar parţia l - sub semnul întrebări i . Johansson54 , spre exemplu, a construi t , după c u m vom vede a , un s istem axiomatic de calcul pro­ poziţiona l - "ca lculul m inimal" - fără axioma il . 1 a lui Heyting I p - ( p - q) , în care aceasta este privită chiar ca o propoziţie falsă . 62 Teza 15 in s is temu l lu i Lewis S4 ; aceasta nu e decît "axioma lui Brouwer" , i n care s-a inlocuit p cu O P ( 0 4 . 1 2 , teza 24) . 6 3 A. Hey tlag, Intui tiani8m , p . 1 1 2 . 6 ' 1 . J ohaa88oa, Der Minimalkalku l , ein reduzierler intuitia­ ni.<Jtischer Farmalismw , în "Compositio mathemat ica" . 4 ( 1 936 ) . pp . 1 1 9 - 1 3 6 .

245


Logica polivalentă

* 6.12.

logica problemelor a lui Kolmogorov

Plecînd de la logica intuiţionistă, A . Kolmogorov a avut ideea interesantă de a încerca să schematizeze soluti ' ile probleme lor , după mode lul schemelor demonstrative ale logic i i formale55• Spre exemplu , principiului s ilogismului îi corespunde următorul principiu , referitor la probleme (a , b, c fiind , de data aceasta , probleme) : dacă putem deduce solutia lui b d in solutia ' lui a si solutia lui c d i n soluţia l u i b', atunci putem de duce solu ţ ia lu i � d in soluţia lui a5 6• Kolmogorov începe prin a funda un calcul al proble­ melor (A ufgabenrechnung) , fără a face presupuneri de teoria cunoaşteri i , în particular fără a face ipoteze intu i­ ţion iste (de şi în continuare îl va cons idera ş i d in acest punct de vedere) . Este de remarcat că , edificînd o logică a problemelor , Kolmogorov aj unge la concluzia că ea coincide cu logica intuiţion istă . Pe scurt , o logică a pro­ blemelor, independentă de orice ipoteză , construită pur formal , conduce la un calcul i dentic cu cel al lui Heyting. Vom vedea ce interpretare acordă Kolmogorov acestei coincidenţe . Să începe m , odată cu Kolmogorov , nu prin a defini ce e o problemă, c i prin a da cîteva exemple de probleme . i . Să se găsească patru numere întregi astfe 1 încît relaţia urmă toare să fie valabilă (teorema lu i Fermat) : xn + yn

=

zn

n>2

2 . Să se demonstreze fa ls itatea teoremei lui Fermat. 3. Să se ducă prin trei puncte un cerc . 55 A. Kolm ogorov, Zur D eullLng der

intuitionis l ischen

în "Mathematische Zeitschrift", 3 5 . Band, 1 93 2 . U I bidem , p . 5 8 . Este cazul s ă m enţionăm a ic i comun icarea l u i

Logik,

Eug eDiu Spe­ ranţ i a : Remarque.� SlLr les propos i t io1iS i nterogat ives , Proj e t d 'une "Logique du probleme" , în "Actes du Congres internat ional de ph ilosophie scientifique", V I I , L og ique , Hermann, 1 93 6 . E . S pe

­

ranţia preconizează în această comunicare o log ică a p roblem e i , foarte interesantă , d a r d in a l t punct de vedere decît al lu i Kol­ IDogoro v.

246


6.12.

Logica problemelor a lui Kolmogorov

4. Presupunînd că s-a dat o rădăc ină a ecuaţie i ax2 + + bx + c = 0 , să se găsească celelalte . 5 . Presupunînd că numărul 7t' este exprimat raţional n 7t' = - , m să

�e găsească o expresie analogă pentru numărul e . Intre aceste probleme s e poate constata o diferenţ ă . Problema 5, d e pildă , este i mposibilă şi prin urmare fără conţinut (inhaltlos) . Ko lmogorov va considera în restul s tudiului său dovada că o problemă este fără conţinut , ca o solutie57 • Iată dar' e xemple de probleme şi de ceea ce Înseamnă soluţi i le lor . Problemele vor fi notate cu l itere latine m inuscule : a , b , c , d, ' " Problema "să s e găsească soluţia l a amîndouă problemele a ş i b" va fi notată : a l\ b Problema "să se solutioneze cel puţin o problemă din problemele a sau b" va f i notată : În sfîrşit , notaţia

aV b a :::l b

va însemna : "presupunînd că soluţia lui a este dat ă , s ă se rezolve b" , sau , ceea ce este acelaşi lucru , "să s e deducă solutia lui b d in solutia lui a" . ' T� t astfel la va însemna : "presupunînd că rezolvarea lui a este dat ă , s ă obtinem o contrad ictie" . ' For� ulele căpătate , art iculînd d iverse probleme a , b , c . . . prin semnele 1\ , V , :::l , 1 , vor reprezenta tot. probleme . O astfe l de comb inaţie de probleme se va scrie pe scurt :

p(a , b ,

c . . .) .

57 A. K o lmogorov, op . ci t . , p. 5 9 .

247


Logica polivalent4

Dacă :J: este o variabilă oarecare şi o(x) o problemă , a l căre i sens depinde de x , formula : (x) . a (x) va Însemna : "să se găsească o metodă genera lă pentru rezolvarea lui a (x) pentru fiecare valoare particulară a l u i x" . Pentru p(a , b , c, . . . ) prol-Iema aceasta poate fi indicată mai pe scurt astfe l :

1- p(a , b , c . . . ) în loc de :

(a) (b) (c) . . . p(a , b , c . . . ) Adică , să se găsească o metodă generală pentru rezol­ varea l u i p(a , b, c ) , pentru fiecare alegere a variabile lor a, b , c . . . Se vede că semnul ,,1-" are a l t sens a ic i , dar,_ cum vo m vede a , conduce la aceleaşi reguli de calcu l . In calcu lul propoziţiona l obişnu i t , semne le 1\ , V , ::J ,1 erau exprima­ b i l e unel e În funcţie de a ltele ; ele erau independente în logica l u i Heyting şi sînt independente şi a i c i , după cum arată sensul lor . Scopul ca lculului probleme lor este de a da o metodă generală de re70lvare a problemelor de forma 1- p(a , b , C • • • )S8 . Va trebu i , pentru aceasta , să presupuI}em că rezo lvarea c îtorva probleme e lementare este dată . In acest scop vom lua două grupe de probleme ca postulate (grupa A şi B). Kolmogorov numerotează aceste postulate cu ace leaşi numere ca şi Heyting , deşi acestea sînt acceptate in afară de motive le logic i i intuiţioniste . • . .

Grupa A . 2 .1

1- . a ::J a 1\ a

2 .11

1- .

2 .12

r- . a ::J b . ::J . a l\ c ::J b l\ c

2 .13

r- . a ::J b . 1\ . b ::J C • ::J . a ::J c

68

248

a

1\ b ::J b 1\

Ibidem, p. 61 .

a


6.12. Logica problemelor a lui Kolmogorov

.a

b

2 .1 5 1- . a 1\ . a

b

2.14

� . b

3. 1

� .a

3.11

1- . a V b

3 . 12

� .a

4 .1

� .I a

4.11

� .a

b

c .

.

aV b �

bVa

c . 1\ . b �

b

b . 1\ .

a

. a

I b

. aV b .

c

I a

Aceste postulate sînt evidente . într-adevăr , să luăm unul , de exemplu 2 . 12 :

� . a � b . � . a I\ C ::l b l\ c Dacă soluţia problemei b se deduce din aceea a proble­ me i a , atunci soluţia problemei b 1\ c se deduce d in aceea a problemei a l\ c . Fie a l\ c soluţionată : atunci ş i a şi c sînt soluţionate j d in rezolvarea lui a se deduce aceea a lui b ; cum soluţia lui c este dată , urmează că ş i b 1\ c este soluţionată . Propoziţia 2 . 12 este generală . Postulatul 4 . 1 Înseamnă că soluţia lui a nu este pos ibilă şi problema a � b este fără conţinut .

Grupa B . Grupa a doua conţine tre i probleme :

1- . p 1\ q este rezolvată , să se rezolve 1- p . I I . Dacă 1- p ş i � P � q sint rezolvate , să se rezolve � q .

1 . Dacă

I I I . Dacă 1- p (a , b , c . . . ) este rezolvată , să se rezolve 1- p (q , r, s , . . . ) . Aceste probleme nu se pot exprima complet în s imbolur i . Regulile calculului probleme lor sînt următoare le : 1 . Vom scrie pe l ista problemelor rezolvate problemele grupei A . 2 . Dacă pe l ista noastră se găseşte 1- . p 1\ q, atunci este Îngădu i t să punem şi � p . 3 . Dacă se găsesc pe l istă � p şi 1- . P ::l q , atunci pu­ tem scrie şi � q .

249


Logica polivalentă

Ana logia acestor regu l i cu acelea d in calculul propo­ ziţiona l este evidentă . 4 . Dacă 1- p (a , b , c . . . ) se află pe l istă , iar q , r, a s int funcţii de prubleme (comb inaţii logice de pI"obleme e le­ mentare) , atunc i putem scrie pe l istă şi p(q , r, a . . ) (regula substituţ iei) . D in toate acestea rezultă imediat propoziţiile respective d in logica lui Heyting : .

4.3 f-- . a ::> I I a 4.2 1- . a ::> b ::> . I b ::> I a 4 .32 1- . I 1 1 a ::> I a .

Dacă a dăugăm ş i :

1-

.

a V 1 a,

( 1)

care este principiul terţIUlui exclus , avem s istemul complet , corespunzător logic i i clasice a propoziţiilor ; (1) are Însă următorul înţeles în logica problemelor : "să se dea o metodă generală pentru ca pentru oricare problemă a să se găsească o soluţie , sau , din presupunerea aceste i soluţ i i , să se deducă o contra dicţie " . Kolmogorov conchide : "Dacă c i t i torul nostru nu se ţ ine drept atotştiutor , atunc i va concede c ă propoziţia (1) nu se poate afla pe lista problemelor rezolvate"59 . S� poate vedea uşor că următoarea formulă remarcab ilă :

4 . 8 f-- . I I (a V I a) se poate rezolva după cum arată calculul l u i Heyting. Nu tot aşa este cu dubla negaţie

1- . 1 l a ::> a ,

(2)

deoarece aceasta Împreună cu 4 .8 conduce la (1) " Aşadar , nici principiul terţiului exclus, nici princ ipiul dublei negaţ i i nu sînt valabile în log�ca probleme lor , ca ş i în logica propoziţiilor a lui Heyting . în concluz ie , calculu l problemelor arată că une le prin­ cipii clasice nu sînt valabile fără a introduce cons ideraţii le 60

250

I b idem , p . 6 3 .


6.13. Alte

cercetări

intulţlOnist e . Acest rezultat este extrem de important , dar nu a fost îndeajuns valorificat de logicieni. Numai că , edificînd o logică a problemelor şi aplicîndu- i calculu l c lasic , cîteva d in propoziţi ile c las ice trebuie eliminat e . Această interpretare ingenioasă a logicii intuiţioniste , în termeni de probleme , dispensează logica lui Heyting de principii luate în afară de logica clasică6 o . Kolmogorov a căutat să scape de principiile intuiţioniste , introducînd un calcul al problemelor , astfel că formulele lui Heyting capătă cu totul alt sens81 •

* 6.13.

Alte cercetări intuiţioniste

ale

şcolii

Modul de gîndire intuiţionist a fost adoptat şi dezvoltat , in specia l de matematic ien i , în cadrul unei şcoli intui­ ţioniste ale cărei contribuţi i , îndeoseb i în matematică , s-au impus lumi i întregi. Aici însă ne ocupăm de cerce­ tările de logică ale intuiţioniştilor , şi anume ne vom referi in ce le ce urmează la două dintre ce le ma i interesante : calculul minimal al lui Johansson ş i logica matematicii

intuiţioniste fără negaţie a lu i Griss62•

e o A . Errera a făcut C Î teva o b iecţii s istemului l u i Kolmogorov in R4ponse a quelques o bjections , in " I ' Enseignement mathema­ t ique", tome 3 4 , 1 93 5 , p p . 1 03 - 1 1 1 . O b iecţ ia , care ni se pare că ar merita atenţie, e UJ'mă toarea : doyada că o pro b l emă nu are sens poate fi considerată ca soluţia sa? Intr-un asemen ea caz , nu există nici problemă şi n i c i soluţie, prin urmare Kolm ogorov introduce o semnificaţie convenţiona lă . 6 1 P. Fevrier a genera l izat ideea l u i Ko lmogorov at.aşind f ie­ cărui calcul propoziţional c î te un calcul asociat a l problemelor

(Rapports en tre l e calcul des prob lemes e t l e calcul des propos i t ions ,

in " C . R . de l 'A ca d . des Sc iences" , voI . 224 , Paris , 1947 ) .

6Z U n material informat iv bogat în l egătură cu dezvoltarea logic i i şi matema tic i i intuiţioniste conţine lucrarea lui Heyting,

Les {ondements des mathematiques . 1n tuitio nisme . demonstra /ion , Paris-Louva in, 1 95 5 .

Th10rie

de la

251


Logica polivaientii

Într-un articol publicat în 1936, 1 . Johansson reia s is­ temul intuiţionist al l u i Heyting , dind Ia o parte axioma 4 . 163• După cum observă e l , formule le :

q � (p � q) 1 p � (p � q) , a mîndouă luate de Heyting drept axiome (2.14 ş i 4.1) , arată că , în afară de cazul c înd q este o consecinţă Il)gică a lui p, ma i scriem p �q şi cînd : q este propoz iţie a devărată ( teoremă) ; p este 1) propoziţie falsă ( 1 p este o teoremă) . Pe c înd primul d intre aceste cazuri este după părerea lui Johansson în acord cu accepţia noţiun i i de impl icaţie , a l doilea reprezintă însă o lărgire cam greu de acceptat a acest e i notiuni84• ' Johansson compară calculul m in i ma l cu celelalte logic i . Să considerăm implicaţiile :

(l p V q) � (p � q) (p � q) � (1 p V q) Ambele erau verificate în logica c lasică de implicaţia materială ( * 3 . 7 , teza 4 .6) . Implicaţia strictă a lui Lewis verifica doar pe a doua (*4.6, teza 14.1) . Dimpotrivă , impl icaţia intuiţionistă a. lui Heyting verifică doar pe prima (*6.6, teza 4 .46) . In calculul minimal Însă , nici una dintre cele două nu este va labilă . Johansson "j'i-a numit calculul său "minimal" , datorită faptu lui că nu există nici un a lt s istem m a i restrîns care să conţină negaţia şi toate teoremele d in logica lui fleyting scrise numa i cu ajutorul functor ilor � , V , /\ . I n e l se pot demonstra : � 1 (p /\ 1 p) principiul contradicţie i ,

1 - (p � q) � ( 1 q � 1 p)

e 3 1. J ohaD'8oD, De,. 1ll i nimalkalk u l , ein ,.eduzierle,. inlui lioni­

atiache,. Fo,.ma liamus , in "Compos itio l\Iathemat ica" , 4 ( 1 936) , pp . 1 1 9 - 1 3 6 . e 4 I b idem , p . 1 1 9 .

252


6.13. Alte cerceti1ri

principiul contrapoz iţiei , i- p - I l p axioma lui Brouwer ; conversa e i , nefiind demonstrabilă in logica lui Heyting, nu va fi nici aici . Totuşi, în timp ce afirmarea ( p ostularea ) ei echivala acol o , după cum am văzut , cu afirmarea terţiului exclus , în calculul minima l ea echivalează cu afirmarea a două principi i , şi anume : pVI p terţiul exclus

ŞI

o contradicţie , p A I p , implică orice . Aceasta d i n urmă , deşi teoremă intuiţionistă , odată cu excluderea axiomei 4.1 îşi p ierde valabilitatea . Postularea terţiului exclus fără postu larea acesteia face d in calculul m inima l nu logica bivalentă aşa cum ne-am aştepta , ci o logică asemănă­ toare cu cea a l u i Le'" is6ii• Una dintre trăsăturile cele mai interesante ale calculului lui Johansson este , aşa cum a 'observat Prior86, aceea că reţine ca teoremă doar unu] din paradoxele implicaţiei . , 0 propoziţie adevărată este implicată de orice propoziţie" . După cum s-a observat mai tîrziu , el poate prezenta interes şi din punctul de vedere a l aplicaţ i i lor în f iz ică) . O a ltă linie de cercetări , de mult ma i mare amploare şi mai profundă semnificaţie , a constituit-o în şcoala intuiţionistă studiul matematicilor intuiţion iste fără nega­ ţie . i nceput de G . F . C . Griss în 194487 , a fost continuat apoi tot de acesta într-o serie de articole publicate între 194 6 şi 1951 în revista olandeză " Indagationes Mathe­ maticae"68. e 6 Ibidem , p . 1 3 0 . e e A. N. Prior, Formal Logic, p. 259. I ? G. F. C. Gris8, Negatieloze intuitionistische

w iskunde , in Yerslagen Akad. Amsterdam, 53 , p p . 261 - 26 8 . '8 Volumel e : 8 , pp .67 5 - 681 , 1 2 , p p . 1 08 - 11 5 ; 1 3 , p p . 1 9 3 - 200 , �52 - f17 1 .

253


Logica polivalentil

Logica acestor ma tematic i a fost studiată mai intîi tot de Griss , care a Încercat să o forma l izeze611 • Ulterior o serie de a l te cercetări şi·au adus aportul în această direcţie70 • Noi n e vom mărgini doar l a cîteva consideraţii de ordin strict genera l . Griss este de acord c u Brouwer în ceea c e priveşte faptul că orice noţiune matematică îşi are originea într-o con­ strucţie matematică ce poate fi rea lizată . Dacă construcţia este imposibilă, noţiunea nu poate fi c lară . Cînd fac matematică plec de la propoziţ i i adevărate ca să a j ung tot la propoz iţi i adevărate . Este adevărat că se poate întîmpla ca rezultate negative să ne sugereze soluţii pozitive . A pune probleme şi a cere soluţ i i sint pentru Griss însă ocupaţii prematematice71• Astfe l , într-un s istem matematic nu pot apărea decît propoziţii adevărate . În el negaţia nu- ş i găseşte locul. Să vedem ce consecinţe poate avea aceasta pentru logica unor asemenea matematici . Vom spune d e la început că ea este foarte d ificil d e for­ malizat, căc i , după cum a observat Heyting , d in pricină că doar propoz iţiile adevărate au sens , nic i nu există propriu-zis un calcul cu propoziţii72• Cunoscîn d aceste p iedic i , Griss se mărgineşte la cîteva ind ica ţ i i şi remarc i cu privire la o eventuală forma lizare a une i asemenea logic i . n Logique des malh Imatique.� inluitionistes sans n!gation , in : C . R . Acad . Sciences, Paris, 227 , pp . 946 - 947 ş i The logic of negationless in tuitioniatic mathematics, in " Indagationes mathe­ maticae", 1 3 , pp. 41 -49 . 7 0 P. Deslouches Fev r i er, Logique de l' intuitionnisme sans negat ion et logique de l' intuitionnisme positi( in " C . R . Acad . Scien­ ces", Paris , 226 (19(,B ) , p p . 3 B - 3 9 . P. C. G . Gilmore, The effect o f Griss criticism o f the intuitio­ niatic logic on deductive theories formalized within the intuitionistic logic, în " Indagationes math ematicae" , 1 5 (1 953 ) , pp . 1 6 2 - 1 8 7 . P. G. J . Vredenduin, The logita o f negationless mathematics , in "Comp os itio mathemat ica" 1 1 ( 1 953) p p . 20(, - 27 7 . V. Valpola, Ein System der negationslosen Logik mit ausschliesslich rea liaierbaren Prădikaten , în "Acta p h i losophica Fennica" 9 (1 955 ) , pp . 1 - 2(,7 . 7 1 Logique des math!!matiques intuitionnistes sans negation, p . 946 . 7 2 A. Heyti ng, Intui tionism , p . 1 22 . _

254


6.13. Alte cercetilri

Ma i Întîi ea va fj diferită de logica obţinută prin Înlă­ turarea teoremelor din calculul lui Heyting, care conţin negaţia . Aceasta , deoarece se modifică însă şi interpretarea formulelor . Implicaţia p -+ q va avea Înţelesul său natural : q urmează d in p , p e ste adevărat astfel încît q este ade­ yărat . De asemenea conjuncţia . Înţelesul disjuncţiei Însă trebuie ana lizat cu grij ă . Expresia "propoz iţia p este ;idevărată sau propoziţ ia q este adevărată" nu are Sens a ic i , unde n-avem de-a face decît cu propoz iţii adevărate73• Nu vom reţine astfe l , din logica intuiţionistă , decît propoziţiile referitoare Ia implicaţie şi conjuncţie , cu o precizare . Axiomele p e care le acceptăm trebuie să repre­ zinte raţionamente utilizate efectiv în matematică. Dar, un asemenea rationament nu are niciodată forma axiomei ' 2 . 14 d in logica lui Heyting :

- q -+ (p

-+

q) ,

fapt pentru care o înlocuim prm

- p l\ q -+ p La fel , axioma 2 . 1 5 :

:- p 1\ (p

-+

q) -+ q

poate f i omisă căci în p -+ q, q nu reprezintă niciodată o propoziţie falsă . Aşa încît , Griss pleacă de la următoarele c inci postulate :

2 . 1 p -+ p l\ p 2 .11 p l\ q -+ q l\ p 2 . 12

(p -+ q) -+ (p l\ r -+ q l\ r)

73 Iată ce spune Griss: " . . . nu am reu ş i t să-i atrib u i un sens , d isj uncţiei - n . n . ) in logica propoziţiilor, fără a face să inter­ vină noţiunea de specie ( . . . ) . D isj uncţia nu afirmă nim ic despre un caz determinat (part icularl , ci n e dă p os ib il itatea să demon­ străm o teoremă p entru toate e lem entele unei m u lţim i V, demon­ strind a ceastă teoremă p entru elem en tele a două specii a căror reuniune este ident ică cu V." (Logique des mathematiques intui­ lionnistes sans negation , p . 947) .

255


Logica polivalentif

2 . 13 (p - q) A (q - r) _ (p _ r) 22.16 p A q - p şi următoarele trei reguli de deducţie : 1 .1 1 1 .12 1 .13

Din formulele P şi Q rezultă P A Q. Din P şi P _ Q rezultă Q. Din R şi P - R rezultă P - Q A R ( la fel R A Q) .

Iată şi 2 .21 2 .22 2 .221 2 .23 2.241 2 .242 2 .28 2 .3

c iteva teoreme care se pot astfel deduce : p -p p !\ q -- q (p - q) - ( r A p - r A q) (p - q) A (r - s) - (p A r - q A s) ( p - q) A (p � s) � (p � q A s) (p - q A r) � (p � q) A (p � r) (p � r) � (p A q � r) (p A q) A r � p A (q A r)

Utilizînd pentru echivalenţă simbolul în modul b ine c unoscut : 2 .03

,,_ce

şi definindu-l

p -- q D ( p � q) A (q � p) ,

Griss deduce următoarele teoreme : 2 .5 2 .51 2 .52

p -- p (p -- q) � (q -- p) ( p -- q) A ( q -- r) � p -- r

Dezvoltarea sistemului său conduce şi la a lte dificultăţi decît cele menţionate ma i înainte . Astfel , in calculul cu funcţ i i , spre exemplu , nu au sens , d in punctul de vedere a l lui Griss , conj uncţia a douiP funcţ ii : fx A gx ale căror domenii de definiţie nu au nici un e lement comun. Ea ar reprezenta atunci o funcţie avînd un domeniu de 256


6.14.

Consideraţii generale

.,iniţie vid (egal cu intersecţia celor două domenii, ale IU f şi respectiv g) . Cu alte cuvinte o contradi cţ ie , ceea ce Wiss nu admite în logica sa . Toate acestea însă nu ies la �Iă , cum a sub liniat chiar e l , decît printr-un studiu "incit a l însă� i matematic i i fără negaţie , studiu pe care �1 efectuat cu precădere . Tot pentru construirea une i matematici afirmative , dar .� pe a lte poziţii , şi-a efectuat cercetări le şi un a lt mate­ :aa t ician intui ţ ionist, D. van Dantz ig74., la care , avînd 'DI ca racter m a i specia l , nu ne vom op r i . O contr i buţie interesantă a adus În logica intuiţion istă fI. profesorul român Gr . C . Mois i l , care a demonstrat că �!nt valabile d in punct de vedere i ntuiţ ionist următoarele 5nme de silogism : Dacă 1- I I P � i f--- I I (P Dacă f--- I I (P

;: 6.14.

:J

Q) ş i i-

I

1- I I (P

:J

Consideraţii

:J -

Q) atunci 1- I I Q (Q

:J

R) atunci

R)'5 .

generale

Concepţia intu iţionistă ne-a interesat a i c i numa i în :�gătură cu logica . Ea are Însă o extemiune ma i mare , ?-,ivind întreaga matematică , nereductib ilă pentru intui­ �i'Jllişti numai la structuri formale , f i indcă are o semni­ :ieaţie ş i în conţ inut ş i se naşte printr-o activ itate con­ -tructivă . Pentru intu iţion işt i , matematica este o l : tivitate originară a intelectului o menesc ş i , prin urmare , .iin punctul lor de vedere ea nu poate să prcsupună o con­ ':tpţie filozofică şi nici una logică . Logica nu este funda­ :nentul pe care stau matematic ile , subliniază Heyting, =lci o construcţ ie matematică trebuie să fie pentru m inte a

D. vaD DaDtzi g, On the princip les of intuitionistic and affir­

.a/ive mathematics,

în " Indagat iones mathemat icae" , 9 ( 1 947) ,

pp . 429 -440, 506 - 5 1 7 . 7 6 Gr. C. Moisil, Sur l e syllogisme hypothetique dans la logique in/uitionniste ,

în "Journal des mathema t iques pures et appl iquees",

Paris, tome XVI I ( 1 938) , pp . 1 9 7 - 2 0 2 .

257


Logica polivalentă

un dat imediat şi rezultatul său să se prezinte atît de clill încît să nu-i trebuiască nici un fundament . Atunci însă ce reprezintă logica intuiţionistă? laii cum răspunde însuşi Heyting7 6 • Să notăm cu A proprie­ tatea unui întreg de a fi divizibil cu 8, cu B proprietatea. de a f i divizibil c u 4 , cu e proprietatea de a f i d ivizibil cu 2 . În loc de Sa putem scrie 4 X 2a ; prin această con­ strucţi e matematică , P, observăm că proprietatea A. implică B (A � B) . O construcţ ie similară , Q , ne araU că B � e. Efectuînd m a i întîi P şi apoi Q (juxtapunînc. P şi Q) obţinem Sa = 2 x (2 X 2a) care arată că A � C. Acest proces răm îne valid dacă 111 loc de A , B, e luărr n işte proprietăţi arbitrare : dacă construcţia P arat ă cL A � B şi construcţia Q arată că B� e, at unci j uxtapunere. lui P şi Q arată că A � e. Şi astfel am obţinut o teoremL logică (este vorba de principiul s i logismului numerotat Între tezele intui ţioniste cu 2 .13) . Procesul prin care � fost obtinută ne arată că ea nu d iferă esential de teoremelt matem � tice , ci este doar mai genera lă. As tfe l orice teoremă de logică este o teoremă matematică extrem ue generală ş i , prin urmare , logica face parte d in matematici. Deci nu- i poate servi în nici un caz drept fundament . Nu numa i atît, matematica este pentru intuiţionişt i independentă ş i de limbă , în mod principia l . Limba nu poate reda decît În mod inexact procedeele intelectuale matematice , zice Brouwe r , şi Între matematică ş i l imba matematică există o despărţire net ă . Dacă ţinem seama de ideea fundamentală intu iţionist ă , că l imba ş i , prin urmare , formalism ul matematic nu sînt decît un m ij loc aproximativ de a reda procese le intelectuale matematice, care a u loc în e le însele , fără exprimarea lor formală , atunci se vede că logica intuiţionistă nu poate f i cons ide­ rată în ea însăşi ca "s istemul" logicii intuiţioniste . Ea f'st e numa i un mijloc aproximativ de a ne aprop ia de modul de a gînd i intuiţionist . De aceea şi observaţi ile care s-au făcut pro şi contra acestui s istem privesc mai mult dezvol­ tarea form a lă a acestei logic i , i nu co ncepţia propriu-z isă despre logică a acestei şcol i . 7. A . Beyling,

Jn/ui/ioni.om ,

p.

6.


7

Logica modală

7.1.

'*

Cercet�rile

lui

Gr.

C.

Moisil

De-a lungul bogate i sale activităţ i , profesorul român

.:;.� . C. Moisi l a publicat o serie de cercetăr i privind cele �a i variate domenii din logica matematică . Am avut

:.-ja prilejul să menţionăm contribuţi ile sale în studiul ..)gicilor cu mai multe valori (neclasice ) , ca şi în logica I:lt!liţionist ă . In ultim i i ani , profesorul Gr . C . Moisi l s-a ocupat d e ?roblema aplicaţiei logicilor cu m a i multe valori , şi �deosebi de aplicaţiile legate de teoria mecanismelor lil tomate . Vom avea pri lej u l să tratăm şi noi , pe scurt , .cest subiect , în capitolul 9 , special dedicat problemei lplicaţ iilor . Aici vrem s ă urmărim însă un cap itol special în cerce­ tările logicianului român : logica modală. El este autorul 'lll ui s istem de logică modală, avînd legături cu o parte .l in s istemele studiate de noi pînă acuml. Vom expune l·� est s istem în cele ce urmează . 1 ută

Sistemul său este expus în lucrarea Logique Moda le publi­ în " D isquit iones mathemat icae et p hysicae", t . I I , fas c . J , t 9!o2 , pp . 3 - 98 � i republicată î n lncercări I'echi ş i noi de logică ,

259


Logica polivalentă

7.2. Idei primitive ; definiţii ; functorul S

*

Menţionăm că Moisil pleacă de la structura modală a propoziţ i i lor, care conduce la o logică po livalentă. Simbo lismul util izat de e l este acela al lui Lukasiewicz, fără paranteze , şi anume : A pq : d isj uncţia logică "p sau q" . Kpq : conj uncţia logică "p ş i q" . Cpq : imp licaţia logică "p i m p l ică q" . A , K , C s î n t numiţi , cum am văzut la logica lu i Luka­ siewicz , {unc[ori . Pentru ide i l e de modalitate , Mois i l introduce următorii functori unar i 2 , care atribu iesc , prin convenţie , une i pro­ poziţ i i p moda litatea respectivă : lJ = impos ib i l itate a ; y contingenţa ; 1.1. = pos ibilita­ tea ; v = necesitate a ; N = negaţia . Aşadar : =

lJP =

p este p este I.I.P = p este vp = p este Np = non-p

yp

=

impos ib il contingent pos i b i l necesar (p este fals) .

Dacă o propoz iţie p nu este precedată de vreun functor, atunci ea poate f i considerată ca adevărată , deş i repre­ z intă şi o val·iabilă (nu ca o aserţiune ) . Să introducem , odată cu autoru l , un nou functor S . Există propoziţi i din limbaj u l obişnui t care fac uz de copula "fără" . De exemplu : neclasică, Bucureş t i , E d . ştiinţifică, 1 9 6 5 , p p . 2 1 8 - 3 28 . C itatel e l e vom face d u p ă a ceasta d in urmă . De logica s a modală pot f i l egate ş i cercetări le sale anterioar � pub l icate în Remarques sur la kJgique modale du concep t , în " Ana1 ele A cadem iei Române" , seria a I II-a , t. XVI , Mem. 1 2 , 1 941 , republ icată �i ea în l ncercări v echi şi noi de logică neclas ică , p p . 90 - 1 2 8 . 2 Functor i i A , K , C sint functori b inari, c u două propoziţii p şi q , pe cînd functorul unar se referă numa i l a o s ingură pro­ poziţie.

260


7.2. Idei primitive .. definiţii ..

functorul S

..Cavalerul fără frică ş i fără pată" etc . Vom putea deci iIIt ilni, în general , două propoziţii p şi q legate prin <r->pula "fără" : "p fără q" . Pentru această legătură , Moisil atroduce3 un functor S, astfel încît :

Spq

"p fără q"

=

in l o g i c a b iva lentă , functol"ul S poate fi construit foart e t;ruplu , definindu-l cu ajutorul functorilor K ş i N ; " Spq" �mnificînd " p fără q" , adică "p ş i non-q" , e l poate f i scris :

Spq

=

KpNq

Interpretarea modală însă a lui S ne duce la o semni­ ficaţie mai puţin r igidă şi care va fi "p poate fără q" . i are , astfel , semnificaţia modală "pos ibil fără" . Cu ajutorul functori lor C ş i S , Moisi l constru ieşte idei l e .:� adevăr ş i fals . Adellărul va fi reprezentat de :

Cxx JiU :

"x implică x"

FrJ.lsul va fi Sxx !8U4 :

"x poate fără x" Să definim acum modalităţile . Propoziţia "x implică ialsul" , înseamnă că x este absurd sau este impos i b i l . Am definit însă falsul ca f iind "Sxx". Aşadar , propoziţia " x implică falsul" va fi reprezentată simbolic de CxSxx . Cum în notaţ ia lui Mois i l imposibilitatea une i propoz iţii � este desemnată de functorul "IJ , avem : "lJX a Gr. C. MoisiI, Jncercări , IbUkm , p . 2t9 .

= CxSxx

vechi şi no i de logică nec lasică , p . 218.

261


Logica polivalent4

Moisil defineşte apoi contingenţa astfe l : "adevărul poate fără x" . Cum adevărul a fost definit ca Cxx , urmează că putem scrie , pentru contingenţă (pentru care avem func­ torul y) :

yx

=

SCxxx

Să iterăm aceşti functor i , adică să- i aplicăm în mod repetat acele iaşi propoziţii x. Mois i l pleacă de la propo­ z iţia naturală :

dubla imposibilitate echiIJalează cu p osibilitatea . Cum am definit imposibilitatea (functorul "1J) , urmează că posibilitatea (functorul !-L) poate fi definit ca o dublă impos ibilitate : !-LX

=

"1J"1JX

Rămîne să definim acum necesitate a . Aici este poate ideea Cea mai interesantă a lui Mois i l , deşi paradoxală , că dubla contingenţă (yy) echivalează cu necesitatea ( '1) _ C u alte cuvinte , în simboluri : 'IX

=

yyx

Intuiţia noastră nu poate surprinde ideea că afirmaţia "e contingent că propoziţia x este contingentă" înseamnă a spune că , , 3: este necesar" . Vom vedea totuşi că Moisil găseşte une le rezultate care se deduc din această definiţie , aşa încî t ea devine plauz ibilă5.

* 7.3.

Logica

modală

generală

în cele ce urmează nu vom urmări decît rezultatele i mportante la care ajunge autorul , fără a intra în dezvol­ t ăr i şi în chestiuni de detalii. Ceea ce d istinge logica lui 6 M o is i l arată m o t iv e l e mai intu itive care ar sprij ini a cce p ­ tarea acestui princip iu în Remarques sur la logique modale du concep t . p p . 1 6 - 1 7 , i n 1 ncercări I'echi � i noi de logică neclasică , pp . 1 0 2 -104.

262


7.3. Logica modală generalll

Moisil de celelalte logici polivalente est e , in fond , utili­ zarea functorului S 8. Pentru a construi "logica modală generală" , el consideră primele axiome , 1 .1 - 1 .9 , ale lui Hilbert şi Bernays , din aşa-numita "logică pozitivă" , adică numai acele axiome În care nu intră negaţia . Iată aceste nouă axiome7 : 1.1

CxCyx

1 .2

CCxCxyCxy

1.3

CCxyCCyzCx:

1 .4

CKxyx

1 .5

CKxyy

1.6

CCzxCCzyCzK xy

1.7

CxAxy

1 .8

CyAxy

1 .9

CCxzCCyzCAxyz

Aceste axiome se c i tesc foarte uş or şi cu unele din � l e ne-am ma i întîlnit. D e exemplu 1 .1 Înseamnă : dacă x este adevărat, e l este implicat de orice propoziţie y (adevărată sau falsă) ; 1 .4 spune că dacă conj uncţia log ică Kxy es t e adevărată atunci x este adevărat ; etc . Procedeele de demonstraţie ale lui Moisil sînt urmă­ toarele : regula modului ponens ş i regula substituţiei . 8 E ste dem n de observat că functorul S este introdus de Moisil şi d in considera t i i pur a lgebrice. Toz iro Ogasawara a arătat ( R e la­ tion between logic and lattices , în "Journa l of sc ience of the H iro­ shima University", S .A. IX, 1 939) că ansamblul propoziţ i ilor logicii poz itive este o lat ice rez.iduată , a cărei re2. iduaţie e s te rap ortată la functorul de conjuncţ ie ; Moisil p leacă d e la rez iduaţ ia şi în raport cu disjuncţ ia, dată de functorul S . 7 D . Hi lbert uad P. B ernays, Grundlagen der Mathematik, I .Sprin­ ger, Berl in, 193t. . Moisil le scrie însă în s irnbolismul l u i Lukasiewicz .

263


Logica polivalentd

In afară de aceasta , el întrebuinţează şi scheme deductive m a i complicate decît substituţia şi modus ponens , asupra cărora însă nu putem insista a iciB • Logica modală general ă va f i construită cu a j utorul axiomelor 1 . 1 - 1 .9 , p lus următoarele axiome referitoare la functorul S : 2.1

CyA Syxx

2 .2

CzA xy CSzyx

Ce spun aceste axiome? 2 . 1 afirmă : dacă y este adevărat . atunci disjuncţia logică "Syx sau x" este adevărată , ceea ce este evident . Î ntr-adevăr , ea afirmă : "propoziţia y implică y fără x sau x" . A xioma 2 .2 este o schemă deduc­ t iv ă . Ea se traduce : "dacă pentru un sistem de propoziţii date x , y , z implicaţia CzA xy este adevărată, atl1nci este adevărată şi implicaţia CSzyx" , ceea ce este , iarăşi , evi­ dent . într-adevăr , cînd se întîmplă că pentru trei propo­ z iţ i i x, y, z să avem CzA xy, adică dacă z este adevărat şi "x sau y" este adevărat , urmează că putem scrie că "z fără y" adevărat impl ică x este adevărat9• Primele nouă axiome dau loc la întreaga logică "pozi­ tivă" , cu tot cortegiul de rezultate , ca legile comutative > legile distributive etc. Moisil demonstrează în tezele pe care le deduce din cele nouă axiome , la care adaugă axiomele 2 . 1 şi 2 .2 , proprietăţile funclorull!l i S, cum sînt c e l e ale d istributivităţii etc. Nu vom urmări în acest calcul logica modală generală , ci vom trece la stud iul modalităţi lor . Pentru ace s te scheme vedeţi Gr. C. Moisil, Logique modale . Untersuchungen iiber das logische Sch liessen, I ş i I I ("Mathematische Zeitschrift" , Bd. X X X I X , 1935 ) . 8 D in punct de vedere algcbric, aceste axiom e , 2 .1 ş i 2 . 2 , exprimă faptul că S este o rez iduaţie i n raport c u A (Gr. C . Moi.i1, op . cit . , p . 233) . 8

G. Genlzen,

264


7.4. Imposibilitatea şi contingenţa

* 7.4.

Imposibilitatea şi contingenţa in log ica modală generală

Am văzut care Este s istemul logic a l l u i Mois i l , intitulat "logica modală generală" . Pentru a vedea cum se dezvoltă m a i departe acest s iste m , pe baza ide ilor de modalitate , să considerăm defi­ niţiile referitoare la i mposibilitate ş i contingenţă , pe care le introduce . Impos ibil itatea une i propoziţii ,x a fost de ' inită de autor (vezi * 7 .2) astfe l : r; ,x

=

C,xS,x,x

"Propoziţia ,x este imposibilă" echivalează cu ",x implică falsul" ( S,x,x) . Această echivalenţă se desface în două impli­ caţ i i reciproce :

3.1

G-Ij ,xCxSx,x

3 .2

CCxSxxYJ,x

C ele două propozi ţ i i spun respectiv : "dacă x este impos ibi l , atunci x impl ică falsul" ; "dacă ,x implică falsu l , atunci x este imposibi l " . Am văzut c ă Mois i l a definit contingenţa c a f iind "ade­ vărul poate fără x" : yx care se desface şi ea 3.3

în

=

SCxxa;,

două impl icaţ i i :

CyxSCxxx

3 .4 CSCxxxyx Aceste implicaţii se citesc tot aşa de uşor ca şi primele . Se observă imediat c ă imposibil itatea implică contin­ genţa :

3.5

C'f)XYx

De asemenea falsul este impos ibil (să fie adevărat) :

3 .6 'f) Sx,x 265


Logica polivalentd

Falsul mai poate fi definit prin principiul contradicţiei : "1) KX"l) x,

3 .32

care se c iteşte : "e ste impos ibil ca x să fie adevărat şi în acelaşi timp imposibil" . În sfîr � it , se poate enunţa un principiu modal al ter­ ţ iului -excluslO : 3 .18

Ayxx

"Propoziţia x sau este adevărată , sau este contingentă" . Să remarcăm că numai propoziţiile care definesc imposi­ bilitatea şi contingenţa sînt definiţii (3 . 1 , 3 . 2 , 3 . 3 , 3 .4) , lestul s înt teoreme. Pe baza acestor definiţi i şi a axiomelor , Moisil deduce o serie de teze modalell (propoziţiile 3 . 5 - 3 . 78) , intere­ sante , dar pe care nu le putem urmări mai departe .

*

7.5.

Necesitatea

şi

posibilitatea

Iteraţia functorilor "y" (contingenţa) şi ,,"1)" (imposi­ bilitatea) ne-a permis să definim posibilitatea şi necesitatea . Î ntr-adevăr , Mo isi l pune , cum am văzut : (.Lx

=

"I)"I)x

vx

=

yyx

Definiţia a doua spune că "X este necesar" echivalează cu _ dubla lui contingenţă . In felul acesta , ne găs im în faţa următoarelor definiţii care vor îngădui calculele cu modalităţile "necesar" şi "posibil" : 4.1

C(.LX"I)"I)X

4.2

C"I)"I)x(.LX

10

11

266

I b idem , p. 3 4 2 . E le se găsesc în lucrarea c i tată, pp. 243 - 248 .


7.5. Necesitatea şi posibilitatea

4.3

C vxyyx

4.4

Cyyx vx

Acestea sînt implicaţiile ce derivă din echivalenţele definitorii de mai sus . Dacă o propoziţie x este posibilă (!Lx) , atunc i implică dubla impos ibilitate a lui x ('1)'1) x) şi viceversa ( 4 . 2) ; dacă o propoziţie este necesară , ea implică dubla ei contingenţă şi v iceversa (4 .4) . Adăugînd la 1 . 1 - 1 .9 , axiomele 2 . 1 , 2 .2 , 3 . 1 - 3 .4 ş i aceste definiţii axiomatice (4 . 1 - 4 .4) , Moisil demonstrează o serie de teze importante privind necesitatea şi posibili­ tatea şi raportul lor cu celelalte modalităţ i . V o m aminti num a i principalele teze , care s înt : 4 .1 5

CyyX'1)YJx

"Necesi tatea implică posibilitatea" ; ceea ce este (yyx) este posibil ('1)'1)x) . 4 .13

necesar

Cyyxx

"Necesitatea (yyx) implică adevărul (x) " . 4 .14

CX'1)'1)x

"Adevărul (x) implică posibilitatea (YJ'1)x) " . 4 . 18

C'1) x'1)YJ'1)X

4 . 19

CYJYJ'1)x'1)x

Aceste două i mplicaţi i arată că tripla imposibilitate echivalează cu impos ibil itatea simplă . La fel tripla contingenţă ech ivalează cu contingenţa simplă 4 . 16

Cyyyxyx

4.17

Cyxyyyx

După cum a arătat Wajsberg, logica intuiţion istă a lu i Heyting , studiată de noi În capitolul precedent , poate f i dedusă ş i din axiomele l ogicii pozitive , la care s e adaugă 267


Logica polivalentd

încă două axiome referitoare la negaţ ie12• În logica modală genera lă , rolul negaţie i îl j oacă functorul de imposib ili­ tate . Logica intuiţionistă poate fi obţ inută din axiomele 1 . 9 ale logi c i i modale generale , la care se adaugă 1.1 şi următoare le două formule : -

CKCxyCx''1 YY, x CYJxCxyl1 Prima afirmă c ă , dacă implicaţiile Cxy şi CX''l Y au loc , adică dacă d in x se pot deduce atit y c î t ş i i mpos i b il Ita tea sa, YJY, atunci x este i mpos i b i l . A doua este b inecunoscuta afirma ţ ie că d intr-o propoziţie i mpos ibilă se poate deduce orice . Dar e le sînt în s istemul lui Mois il respectiv teoremele 3 .28 şi 2 .23 ş i , prin urmare , orice teore mă intuiţionistă convenabil tă lmăci tă14 poate fi dedusă in logica modală generală . 52 poate arăta că ş i invers orice teză a log ic i i moda l e generale c e n u conţine decit func torii K , A , C �i YJ este ş i teză a log i c i i lui Heyting15 . Prin urmare re iese clar că s istemul intuiţionist a l lui Heyting este cuprins în logica modală generală .

* 7.6.

Logica

modală

specială

5 istemul logici i moda le generale poate fi lărg i t , şi anume prin introducerea a două noi axiome care să exprime d istri­ b utivitatea functorilor C şi S . Ele sînt 6.1

CCKxyzACxzCyz

8.1

CKSzxSzySzAxy

12 M. Wajsber.!l;, Untersuchungen ii ber den A lls.'lagenka lkii 1 v o n în "W iadomosc i matcma tycz nc" , X L V l , 1 9 3 8 , p . 45. 1 3 Acestea s înt ch iar a x iomele lui Heyt ing refer i toare la negaţie (4.1 ş i 4.2 d in "' 6 . 6 ) , scrise î n s imbol ismu l l u i !\Io is i l . H Ad ică i n c are conj uncţia, d isj u n c ţ i a , impl ieaţ ia ş i negaţia d in s is temu l l u i H eyt ing d e v in respectiv functor i i K , A , C şi 1) d in s istemul l u i M o i s i l . 1 6 Gr. C . Moisi 1, op . ci t . , p . 2 5 � .

A . Heyting,

268


7.6.

Logica modală specială

Prima exprimă faptul c ă , dacă din x ş i y rezu l t ă z, atunci sau d in x rezultă z , sau din y rezultă z . A doua spune că dacă ,,2: poate fără x" şi , ,2: poate fără y" , atunc i "z poate fără x sau y". Sistemul ale cărui axiome s înt : 1 . 1 - 1 . 9 , 2 . 1 - 2 . 2 , 3 . 1 - 3 . 4 , 4 . 1 - 4 . 4 , 6 . 1 şi 8 . 1 este num i t de Mois i l logica modală specială . Trăsătura s a caracteris­ tică stă în faptul că moda lităţile f1. (pos ibilitatea) şi 'J (neces itatea) s e d istribuie conj uncţiei şi disjuncţiei , ş i următoare le pe re c h i d e formule sînt echivalente :

'JKxy

ŞI

K 'Jx vy

!J.Kxy Ş I Kf',x!J.Y vAxy ş i A vx vy

!J.A:l:Y şi A [I.Xf1.y Deci , cum o b serv ă M o is i l , în ) ogica moda lă specia l ă nu apare ideea de compatibilitate . Intr-adevăr, Lewis definise compatibilitatea a două propoziţii drept i mpos ibil itatea de a deduce din una dintre propoziţ i i contradictoria ce l e i ­ lalte (vezi *4. 7) . S � poate arăta că această cond iţie e�;te e ch iva lentă cu condiţia ca să f ie posibilă conjuncţia ce l o r două propoz iţiil8 . Dar Într-un s istem c a logica specială , aceasta Înseamnă exact că fiecare din cele două propoz i ţ i i este posibilă , şi deci compatib i l itatea , d intr-o legătură Între două propoz iţ i i , degenerează în cîte o cond iţie (posi­ bil itatea) impusă fiecăre ia d in cele două propoz iţii. Să remarcăm un fapt interesant : în logica modală specială , deşi nu are loc principiul terţi1llui exclus (Ax'IJ x) , are loc , sub o formă modaIizat ă , un principiu a l quartului exclus

8 . 1 9 A A vXTJxKf1.xyx , care arată că orice propoziţie este sat:. necesară ( vx) , sau imposibilă (TJx) , sau problematică (Kf1.xyx)17 . De asemenea , î ntr-adevăr, În l og ica l u i Lewis există teo rema 1 8 .3 O (pq) = - (p -< - q) . (C. 1. Le,w:s &, C_ B. Laogford, S ym bolic Logic, p . 1 62) ; ved'eţi ş i această lucrare * 4 . 9 . 1 7 Moisil numeşte p roblematică o propoz iţie care este î n acelaşi timp p os ibilă şi cont ingentă : KfLxyX (op. ci t . , p. 260) . 16

269


Logica polivalent<1

se poate demonstra teorema : "dacă T este o teză a logicii modale speciale , V T este , de asemenea , o teză" . Ea traduce princ ipiul : Quod est, quando est, oportet esse , pus şi de Lukasiewicz la baza logicii sale trivalente . D in logica modală specială se pot obţine atî t logica b ivalentă sau clasică, cît şi logica trivalentă a lui Luka­ siewicz, şi anume , iată cum . Dacă , în p lus faţă de axiomele ce am văzut că stau la baza logici i modale speciale , postulăm una , oarecare , din următoarele teze c lasice : 9.1

AX"lJx

9.11

CyxY) x

9. 11 1

CY)Y)x'fr:l:

9 . IV

CY)Y)xx

9.V

Cxyyx

9.VI

CC1]Y) xY)1]YCxy

9.VII

CCyy.:z:yyyCxy

9 .VIII

CCY) xY)yCxy

9 . XIX

CCy.:z:yyCyx

9.X

AyyxY)x ,

sistemul astfe l obţ inut devine identic cu logica b ivalentă. în aceste condiţii functorul excepţie S îşi p ierde sensul moda l , căpătînd înţelesul strict de "x şi non y" , iar modali­ tăţile , pe care le-am definit cu aj utorul lui , degenerează : necesitatea ( v) şi pos ibilitatea ([1.) în s implul adevăr ; impos ibi litatea (1]) şi contingenţa (y) în simpla fals itate . Dacă în locul unui astfe l de postulat adăugăm logicii moda le speciale , drept axiomă, următoarea formulă : 10.3

CKC vx vyC[1.X[1.YCxy ,

Moisil arată că se obţine logica trivalentă a lui Luka­ S lew!Cz . 210


7.6. Logica modalll specială

Postulatul 10.3 poartă numele de principiul de deter­ minare şi are următorul înţeles : dacă din necesi tatea l u i x

se deduce nece s itatea lui y ş i din posibilitatea l u i x se deduce posibilitatea l u i y, atunci din x se deduce y18 . Sîntem însă datori cititorului cu o explicaţie . Luka­ s iewicz , după cum am văzut19, îşi construise s istemul pornind de la două noţiuni fundamentale : i mp licaţia , pe care o notase cu C, ş i negaţia , pe care o notase cu N. Î n logica lui Mois i l , pînă acum, nu apar nici unul din acesti doi functori căci ceea ce Moisil notează cu C este o a ită implicaţie decît cea defin ită de Lukas iewicz . Pentru a f ace deosebirea o vom nota pe aceasta din urmă cu CL ' Negaţia lukasiewicz iană N poate f i definită în logica tri­ va lentă (adică logica modală specială cu axioma 10.3) prin următoarele două axiome : 1 1 .1

CNxATjxKxyx

11.2