Page 1


EB

ENCICLOPEDIA DE BUZUNAR

Seria "SINTEZE"

Biblioteca CeDtre: Univer.itară Timi,oare

111111I 11�11I 1 111i 1 1 �11111111i1l1 111 02169303

Anton Dumitriu

Logica polivalentă Ediţie houă, complet refăcută

şi adăugită de autor cu colaborarea lui

T eodor Stihi

Editura enciclopedică română Bucuresti ,

-

1971


Redaotor: LADISLAU REDLlNGER Tehnoredaotor: OLIMPIU POPA

Coli tipar: 26,5

Tiparnl executat la Combinatul Polignfic "Casa ScInteii" Piata ScInteii nr, 1, BucureVti Republica Socialistă România


Prefata

În anul 1943 am publicat o lucrare purtînd acelaşi titlu ca şi cea de faţă, Logica polivalentă . (care era cursul nos­ tru ţinut la Universitatea din Bucureşti în anul 1942 - 43). Ea s-a bucurat de o bună primire din partea specialiştilor, atît în ţară cît şi în străinătate. Acest lucru s-a datorat probabil şi faptului că, aşa cum scria acad. Gr. C. Moisil ("Revista Fundaţiilor", oct. 19 44), "era singura lucrare de acest fel din literatura universală". În acelaşi an, prof. Enrico Bompiani, membru al Acade­ miei dei Lincei, aflîndu-se în Bucureşti, mi-a propus să publice Logica polivalentă în limba italiană, sub auspiciile instituţiei din care face parte, dar acest proiect nu a putut fi dus la capăt djn cauza evenimentelor care au urmat ime­ diat în Italia. In 1947, planul de traducere era reluat. Traducerea era deja efectuată, dar am oprit publicarea ei din două motil'e: mai întîi, apăruseră între timp o serie de studii de care trebuia neapărat ţinut seama în lucrare şi în al doi­ lea rînd, eu însumi îmi contllrasem o perspectivă mai completă �i mai comprehensivă despre logica polivalentă şi despre lo­ gica matematică în general. Planul unei refaceri a lucrării, îmbogăţirii ei cu noile rezultate obţinute în acest domeniu, urmate de concluzii ma. 5


Logica polivalentă

cuprinzătoare în p erspectiva unor meditaţii mai Endelungate, a putut fi adus la îndep linire abia acum. Două idei au fost directoare în această lucrare: cartea să prezinte, pe cît se poate, întreg materialul informativ, .şi p rin aceasta să fie în mod real un instrument de lucru; expunerea să fie orientată spre concluzia noastră generală, p e care am enunţat-o şi în alte lucrări, că logica nu este o ştiinţă oarecare printre celelalte ştiinţe, ci are un caracter proeminent, caracter p e care logicienii scolastici îl subliniau prin denumirea logicii ca scientia scie ntiarurn, ars artiurn, doctrina do ctrinarurn . Acest rol predominant al logicii faţă de celelalte ştiinţe fusese accep tat şi de gînditorii greci, şi nu fără semnificaţie în fruntea operelor lui Aristotel a fost pus, de primul editor, Andronicus din Rhodos, Organon-ul, adică instrumentul logic . Poate fi extins acest instrument logic, nu în sensul unor ca­ noane sau reguli noi faţă de cele clasice - această posibilitate este neîndoielnică - , ci în sensul sporirii logicităţii gîndirii în comp araţie cu logicita t e a ei clasică? Sistemele logici lor polivalente au în mod real o semnificaţie specifică logică sau nu? Acestor întrebări fundamentale am dutat să le dăm un răspuns în concluziile acestei cărţi . Lucrarea a fost concepută în aşa fel încît să fie accesibilă cititorilor fără a le pretinde o pregătire de specialitate. Pentru aceasta am socotit necesar să facem mai întîi o exp unere intro­ ductivă , care să prezinte modul în care s-a ajuns la concepţia logicii matematice, dînd şi unele indicaţii istorice . D eoarece logicile polivalente sînt ele însele logici matematice, adică se înfăţişează ca sisteme algebrice formale, am expus ideile fundamentale ale construcţiei acestor sisteme, păstrîndu-ne, bineînţeles, în limitele permise de profilul acestei lucrări. Am închinat apoi un capitol sistemului formal al logicii clasice, pentru a a,'ea lin termen de comparaţie şi a se vedea astfel şi modul natural al generalizării logicii clasice, genera­ lizare p e care o repre:intă logicile polivalente . Partea aceasta poate fi considerată deci ca o introducere în logica matematică. După aceasta, exp unerea noastră s-( dezvoltat liber, urmiiri.nd. pe cît s-a putut, ordinea cronoloG


Prefatd

gică a apariţiei logicilor modale *i poliyalente *i aplicaţiile lor în diyerse domenii. In elaborarea lucrării noastre, sub forma aceasta nouă, complet refăcută şi adăugită, am fost ajutat în mod substan­ ţial, prin strîngerea materialului, procurarea bibliografiei, controlul şi verificarea formulelor, de tînărul matematician Teodor Stihi de la Centrul de logică, căruia îi aduc şi pe această cale mulţumirile mele. De asemenea, ţin să mulţumesc pentru ajutorul dat şi tînărului matematician Florin Popescu din colectivul de calcul şi cercetări operaţionale al I.C.P.C.H. ANTO.\" DDIITRIU


1 Introducere. Propoziţia şi modalitatea el

* 1.1. Calculul propoziţional Logica matematică s-a d€zvoltat pe baza cîtorva idei

care în esenţă sînt următoarele : 1. Logica este o ştiinţă pur for mală , "formalul logic"

fiind înţeles "independent de conţinut" *. Putem însă gîndi ceva fără conţinut, şi mai ales putem raţiona cu obiecte fără conţinut, cu e ntităţi p ur formale? Un exe mplu si mplu va arăta că acest lucru este posibil. Fie silogismul cunoscut : "Toţi oamenii sînt muritori; Socrate e om; deci Socrate e muritor". Este evident că acest raţionament se desfăşoară tn baza conţinutului, a se mnificaţiilor concrete pe care le a u conceptele ce intră în j oc şi propoziţiile compuse cu ele. Dar, e uşor să ne convingem, acest silogism este numai un caz particular al următorului raţionament: Toţi a sînt b; c este a; deci c este b. în acest raţionament a dispărut orice semnificaţie a literelor a, b şi e, şi silogismul nostru este o formă pur logică. Astfel de forme logice există în număr nedefinit şi sarcina unei logici for male este de a le desco­ peri şi a le pune în adevărata lor lumină. 2 . Elementul pri mitiv al logici i noi nu e conceptul, aşa cu m era în l ogica tradiţional ă , ci propoziţia . Ideea aceasta a fost aplicată complet p e ntru pri ma dată de

*Nu este vorba aici despre categOl'ia de conţinut a gnoseo­ logiei marxiste, ci despre "conţinut" ca noţiune a logicii formale.


Logica polivalentă

Whitehead şi Russell în lucrarea lor fundamentală Prinei­ pia Mathematica. Actul prin care spiritul ia contact cu realitatea externă este o j udecată, iar formularea ei este o propoziţie . Conceptul nu este decît un reziduu al unei sau al unor j udecăţi, care sînt, astfel , ele mente logice pri­ mitive. D in punct de vedere psihologic, această idee a fost lămurită de L. Brunschvicg în lucrarea sa La modalite du jugement. Există, aşadar, acte simple ale spiritului, de aprehensiune pri mară, care se for mulează în propoziţii. De pildă: "afară plouă" ; "soarele este cald" etc. Acestea vor fi numite de Russell propoziţii atomice sau elementare . Propoziţiile se leagă între ele, formînd fraze, care sînt propoziţii mai complicate, propoziţii moleculare, cum sînt numite de Russell. Cu m sînt alcătuite însă propoziţiile moleculare? Un e xamen, oricît de sumar, arată că ele sînt compuse din propoziţii ato mice legate prin conjuncţii. Spre exemplu : "afară plouă şi ninge"; "dacă plouă, î mi iau umbrela" etc. Cum numărul conjuncţiilor este redus, ur mează că putem stabili anumite tipuri de propoziţii moleculare după conjuncţiile care leagă propoziţiile ato­ mice. Să notăm propoziţiile ele mentare cu literele p, q, r . Pentru conjuncţia "şi" să utilizăm un semn, de exemplu punctul. Atunci a spune că "afară plouă şi ninge" înseamnă a spune o propoziţie de tipul ur mător: .

.

p. q,

adică propoziţia p şi propoziţia q sînt adevărate amîndouă. Tot astfel, dacă pentru expresia "dacă . . . atunci . . . " utilizăm un semn, de pildă ,, => ", propoziţia "dacă plouă, i mi iau umbrela" poate fi socotită ca un caz particular al tipului următor de propoziţie moleculară : p=>q

"Dacă p atunci q", unde p este o propoziţie atomică ca şi q. tn chipul acesta se pot găsi o serie de formule în care ,intră numai litere legate prin semne reprezentînd con­ juncţii; ele Vor fi forme logice pure, în care conţinutul nu apare în nici un fel .


1.2. Valoarea propoziţiilor

3. Utilizarea simbolurilor v a îngădui să se transforme unele formule în altele, cee a ce va fi, în definitiv, un calcul logic, ase mănător calculului algebric . In ceea ce urmează , entităţile care intră în calcule fiind propoziţii, calculul va purta nu mele de "calcul propozi­ ţional". Pre c iziunea care se cîştigă prin aceasta este unul din rezultatele cele m ai importante ale "logicii simbolice".

* 1.2. Valoarea propoziţiilor N e pute m întreba multe lucruri despre o propoz1ţ1e­ s.crie Nicod. Care este materia , forma, interesul ei, chiar frumuseţea ei dar mai înainte de toate acestea, este ea ade­ vărată? Celelalte chestiuni şi le pune spiritul; dar pe acea­ sta din ur mă o pune propoziţia, p€ntru a spune a�a, de la sine"l. Această afirmaţie a logi sticianului francez Nicod fe r efe r ă la logica form �} ă, la o l ogi c ă în care cc nţinutu l pro p c zi ţiilor este eliminat. In acest n:z nu mai poate fi vorba nici de fru­ museţea propoziţiei , nici de intere sul ei etc., ci doar de ade­ vărul sau fal sitatea ei. în aceasta poate con s t a exclusiv, ca­ racteristica unei propoziţii for male . O propcziţie oarecare "q" va fi adevăr at ă sau falsă după cum o vo ro declara, (în cadrul unui sistem) şi la atît se poate reduce tot ce putem spune despre ea. Dacă o propoziţie va fi de clarată adevărată, vom spune că valoarea e i este adevărul; dacă va fi declarată falsă, valoarea ei va fi falsul . Propoziţiile moleculare vor exprima în rlport cU ad e ­ vărul sau falsul propoziţiilor atomice legăturile dintre acestea . De pildă, propoziţia p e care am considerat-o mai înainte, "dacă plouă , î m i iau umb r e la , însea mnă: dacă este ade­ vărată pri ma propoziţie , este adevărată a doua. Sau siro"

,

,

"

1 J eBn Nitod, Les relations de "a/eura el les relalions de seTi8 en logique formelle, În "Revue de Metaphysique et de .Morale",

1924, pp. 577-583.

11


Logica polivalentd

bolic : dacă p este adevărat, atunci q este adevărat. Tot astfel, În cazul propoziţiei moleculare "plouă sau ninge", aVem tot o propoziţie ipotetică : dacă cel puţin una din propozi­ ţiile si mple este adevărată, atunci întreaga propoziţie este adevărată . Simbolic, "p sau q" înseamnă : dacă sau p este adevărat, sau q este adevărat, atunci lIP sau q" este adevărată. Pe scurt, toate formele logice sînt ipotetice in raport cu valoarea propoziţiilor. în logica formală propoziţiile moleculare nu leagă decît valorile eventuale ale propoziţiilor atomice, din care cauză ele apar ca forme ipotetice. Se pune însă problema : pute m noi face abstracţie de sen­ sul propoziţiilor atunci cînd stabilim legături intre valo­ rile lor de adevăr? Iată o chestiune care a fost discutat ă în modul următor de Jean Nicod. Cînd spun: "dacă p este adevărat atunci şi q este ade­ vărat", s-ar părea că nu pot afir ma această consecvenţă intre p şi q decit dacă ţin sea ma de conţinutul acestor pro­ " poziţii, "p" şi "q , şi stabilesc că din adevărul uneia decurge adevărul celeilalte. Totuşi nu este aşa . î ntr-adevăr, este uşor să ne convinge m că există foarte multe propoziţii moleculare al căror adevăr nu depinde decît de ade­ vărul sau falsitate a propoziţiilor componente. De e­ xe mplu, cînd spun propoziţia "p sau q", cu alte cuvinte propoziţia moleculară for mată cu p şi q este adevărată da-că cel puţin una din propoziţii este adevărată, am deter minat valoarea acestei propoziţii moleculare dacă declar numai valorile propoziţiilor p şi q. Propoziţia p poate fi adevărată sau falsă, propoziţia q poate fi, la rîndul ei, adevărată sau falsă; ave m, aşadar, patru combinaţii posibile : 1. pri ma este adevărată şi a doua adevărată i 2. prima este falsă, a doua adevărată; 3. pri ma este adevăraU., a doua falsă; 4. prima este falsă şi a doua este falsă. Deci propoziţia moleculară lIP sau q" este adevărată dacă cel puţin una dintre propoziţii este adevărată. Cu alte cuvinte legătura dintre p şi q, exprimată prin conjuncţia "sau", este adevărată dacă una dintre propoziţii este adevărată sau dacă amîndouă sînt adevărate. 12


1.2. Valoarea propoziţiilor

Iată un tabel care arată această corespondenţă dintre " valorile de adevăr ale lui "p şi " q" şi valorile lui "p sau q"

p

q

p sau q

adevărat fal s adevărat fals

adevărat adevărat fals fals

adevărat adevărat adevărat fals

"

Propoziţia moleculară "p sau q a luat valoarea "fals" numai cînd amîndouă propoziţiile care o co mpun, "p" şi "q", au fost false, fiindcă acest caz e contrar definiţiei. Există , aşadar, astfel d e legături între propoziţii , încît valorile de adevăr ale propoziţiilor co mpuse obţinute în acest mod sînt determinate num ai de valorile propozi­ ţiilor co mponente . Orice ar repnunta propoziţia p, d acă ea e ste adevărată, propoziţia "p sau q" este adevărată. Acelaşi lucru se poate spune şi despre celelalte cazuri : orice ar repreunta propoziţiile p, q , adevărul sau falsi­ tatea unei legături R dintre ele , care se poate scrie "p R q" , depinde nu mai de adevărul sau falsitate a propoziţiilor co mponente. Sensul lor nu intră în nici un fel în determi­ narea legăturii lor. Vo m vedea că astfel de legături au fost studiate de Wittgenstcin �i au fost numite, după Russell, funcţii de ade<.Jăr. Există , prin ur mare , relaţii de yalori, care stabilesc numai legături Între valorile unor propoziţii. Nicod afirmă că exist ă şi reia/ii de sens, care se stabilesc, în acest caz pe baza conţinutului propoziţiilor. De pildă "p sau q" este o relaţie de valori; dar "p este contradictoria lui q" sau "p este subaltema lui q" sînt relaţii de sens2• în relaţiile de felul acestora din ur mă nu ne interesează dacă propoziţiile sînt sau nu adevărate, ci numai ce spun ele . r n fond , ce este efecti v deducţia logică? De la adevă­ rul sau falsitatea unor propoziţii , adică de la valorile unor propoziţii , conchidem valoarea de adevăr a altei propo­ ziţii. Pentru ca această trecere, de la valorile date la valoa2

Ibidem, p. 5 7 8 .

13


Logica polivalentă rea

propoziţiei care rezultă să fie posibilă, trebuie să fie

dată relaţia de valoare dintre propoziţii.

Cum se obţine aceasta? "Nu inferăm, in mod obişnuit, ampra unor propoziţii fără înţeles pentru noi şi ale căror relaţii de valoare ne-ar fi date de un geniu - scrie Nicod. Operăm cu propoziţii inteligibile şi trebuie să descoperim noi înşine relaţiile de valoare pe baza cărora vom trece de la val orile unora dintre ele la valorile alteia"3. Atunci, cum pot fi obţinute aceste legături? Regula este următoarea, aşa cum o exprimă Nicod : "Trebuie ca o relaţie de sens, sesizată între �propoziţii, să-mi garanteze o anume relaţie de valoare"4 . Cu alte cuvinte, nici o inferenţă nu este posi­ bilă fără o relaţie de sens; nu mai că această inferenţă, pe care o îngăduie relaţia de sens, nu se face pe baza ei, ci pe baza relaţiei de valoare pe care ea o legitimează. Aşa­ dar, relaţiile de sens nu sînt decît mijloace de a stabili relaţiile de valoare5 . Pentru a putea infera, este de ajuns să cunoaştem numai relaţiile de valoare, şi cu acestea se ocupă logica simbolică. Se vede dar de ce nu este necesar să considerăm conţinutul propoziţiilor care ar da relaţiile de sens, deoarece acestea nici nu sînt de vreun interes pentru logica si mbolică şi nici nu fac altceva decît explică reIa ţiile de valoare în cazurile particulare în care ele se aplică; numai relaţiile de valoare îngăduie inferenţa .

* 1.3. Originile calculului propoziţional Logicianul polonez Jan Lukasiewicz a arătat, cu toată evidenţa, legăturile istorice ale ca,lculului propoziţional CU logica S toicilor, şi în special CU logica lui Chrysippos, unul dintre cei mai mari logicieni ai antichităţii, pe care Lukasiewicz nu se sfieşte să-I pună, ca logician, pe picior de e galitate cu Aristotel8 . 8

Ibidem. , Ibidem, p. 579 . I Ibidem. 8

JaD Luka3iew:cz,

kenntnis"

Zur

Geschichte der Auasagen/ogik ("Er­

5, p p . 1 1 1-131; 1 935-1 936) .


1.3. Originile calculului propoziţional

Logica Stagiritului era o logică a conceptelor şi a rapor­ tului dintre ele . Stoicii ajung însă să considere propoziţia ca element fundamental al logicii plecînd de la silogismul ipotetic. In Primele analitice, însuşi Aristotel vorbise despre astfel de silogisme care se bazează pe o ipoteză, p e o propoziţie acceptată fără dovadă (E� 07t06EGE:W<;), scriind: "Multe alte silogis me sînt formate plecînd de la ipoteze care trebuie studiate şi explicate clar"? El nu a făcut însă studiul lor, deşi din cauza propoziţiei de mai sus, pe care am citat-o, unii istorici au susţinut că ar fi scris, totuşi, o lucrare despre silogismul ipotetic , dar care s-ar fi pierdut. Discipolii lui Aristotel , Theophrast şi Eudem, au cer­ cetat mai de aproape silogismul ipotetic. Important este faptul că pentru Theophrast şi Eudem nu interesează ipot€ za arbitrară care serveşte de pre misă silogismului ipotetic , ci legătura ter menilor, pe baza căreia unul antrenează pe celălalt . Theophrast î mparte silogis­ mele ipotetice în două grupe . Pri ma grupă cuprinde silogismele care arată condiţiile prin care Ceva este sau nu este şi se compun din propo­ ziţii pur ipotetice. Notînd propoziţiile cu A, B, C, el distinge trei feluri, corespunzătoare celor trei figuri ale silogismului categoric. Dacă Dacă Dacă Dacă

A este , B este B este , C este A este , C este C nu este, A nu este Dacă Dacă Dacă Dacă

A C A C

Dacă A este , B este Dacă A nu este, C este Dacă B este , C nu este Dacă C este , B nu este

este , este, este, este ,

B B C A

este nu este nu este nu este

7 Ana l ytica priora , 1. 29. De altfel se găsesc şi alte "legi" logice asupra propoziţi ilor ipotetice în Organon . De exemplu, în Ana­ l ytica priora (II, 2 , 53b) : "Din prem ise adevărate nu se p oate scoat e o c oncluz i e falsă , dar din premise false se poate scoate o concluzie adevărată". Ceea ce l ogicien ii scolastici vor spune:

Ex !'eris igitur non potest (alsum concludi , ex (alsis !'erum potes'. Astfel de regu l i se mai găsesc în Analytica priora (II, 2, 54b) etc.

15


Logica polivalentă

Interesante sînt silogismele din a doua grupă, care arată existenţa sau neexistenţa unui hicru, aşa-numitele modus ponens şi modus tollens, de care logica actuală se va folosi într-o largă măsură pentru inferenţe .

Modus p onens Dacă A este , B este Dar A este Deci B este

Modus tollens Dacă A este, B este Dar B nu este Deci A nu este8

Se vede că în aceste silogis me ceea ce interesează nu mai este conţinutul propoziţiilor, ci modul în care s e arti­ culează valorile lor. Stoicii au reluat silogismul ipotetic şi, după CUm ne spune Alexandru din Aphrodisia9, nu au recunoscut ca valabile decît formele ipotetice ale silogis melor, cele cate­ gorice fiind, pentru ei, juste în ceea ce priveşte materia lor, dar neregulate din punctul de vedere for mal. Pentru Chrysippos raţionamentul (AaYos) se co mpune din : o ipoteză, o propoziţie adiţională şi din consecinţă. De exemplu: "dacă este ziuă este lumină; însă este ziuă; deci este lumină." El admite cinci for me perfecte de silogism , şi anu me acelea de mai sus, studiate de Theophrast, silogisme ipo­ tetice toate, şi la care trebuie să se reducă celelalte . După CUm se vede, Stoicii pleacă de la propoziţii ca elemente primitive şi, utilizînd raţionamentul ipotetic , leagă numai valorile lor (adevărate şi false) . C u aceasta e i sînt primii care au construit - evident într-un mod primitiv - o logică formală. Astfel, Lukasiewicz are dreptate să numească pe Chrysippos "primul scolastic", deşi nu se pot desconsidera , în istoria logicii for-mal e , numele lui Theophrast şi Eudem , cum a m căutat s ă arătă m. Din cauza utilizării propoziţiilor ca elemente indivizi­ bile, Stoicii au fost împinşi să caute a enumera toate 8 Vezi C. Punti, Geschichte der Logik im Abendlande, vo\. 1, p. 385 (Leipzig, 1885). g Comentariul la care ne referim, al lui Alel[andrn din Aphro­ disia, poartă numele In Aris/olelis Analyticorum priorum librum

1 Commentarium .

16


1.3. Originile calculului propoziţional

felurile de propoziţii posibile, după veşmîntul lor formal , după conţinut. Interesantă este despărţirea în judecăţi simple (&:1tAă) şi non-simple (oux �1tÂă). O j udecată (&�(wfL(X) simplă este aceea care se compune din cuvinte, dar nu din alte propoziţii j este propoziţia atomică a lui Russell . .Judecata non-simplă se compune din j udecăţi simple: este propoziţia moleculară a lui Russel l . Mai mult, Stoicii au despărţit j udecăţile non-simple după TIatura conjuncţiilor care leagă judecăţile simple, adică exact aşa cum au procedat Russell şi Whitehead în Prin­ .cipia Mathematica.: conj uncţiei "dacă" (d) îi corespunde judecata ipotetică ('ro O'uv"YJfLfLEVOV) "dacă este ziuă, este lumină" j conjuncţiei "deoarece" (l:m:ta�) îi corespunde ju­ .c.ecata adjunctă (1tOCPac O'uv"YJfLfLEVOV) "deoarece este ziuă , este lu mină" . Lui "şi" (xact) îi corespunde judecata copu­ tativă (O'UfL1tE1tAEYfLEVOV) "este ziuă şi este lumină" . Pentru conjuncţia "sau" (�) avem judecata disjunctivă (aLE�EuYfLe­ "Vov) "sau este ziuă, sau este noapte" . Mai departe, j ude­ �ata cauzală (oct·'t'LWae:�) se exprimă prin conjuncţia "fiind­ -că" (aLO'rL): "fiindcă e ziuă , e lumină" etc. în total, Stoicii admiteau cinci tipuri de raţionament10• Ei obişnuiau să înlocuiască cu numere termenii raţiona­ mentuluill şi aşa au ajuns să formuleze aceste cinci forme in modul următor : IlU

1. Dacă primul este, atunci al doilea este

Dar primul este Deci al doilea este II.

Dacă primul este, atunci al doilea este Dar al doil ea nu este Deci primul nu este

10 Diogene Laerţiu, Viaţa �i doctrine le filozofilor iluştri (VII, 79), ne spune că Chrysippos a socotit că există cinci tipuri de raţio­ nament, număr confirmat şi de Sextus Empiricus in Schiţe Pyr­ .rhoniene ( I I , 57), care adaugă că aceste cinci tipuri de raţionament ipotetic ar fi fost fundamentale pentru logica stoică, "la care par ;a raporta pe toate celelalte". 11 Appuleu, De Dogmale P lalonis (cartea a III-a).

17


Logica polivalentlt

III.

IV.

Primul nu este în acelaşi timp cu al doilea Primul însă este Deci al doilea nu este Sau primul este , sau al doilea P rimul însă este Deci al doilea nu este

v. Sau primul este , sau al doilea

Îns ă al doilea nu este

Deci primul este o

Cu aceste cinci tipuri simple de argumente se pot forma

mulţime de argumente non-simple , care pot fi reduse toate la acestea , după cum ni s-a transmis că ar fi făcut Chrysippos. Nu vom insista mai mult asupra acestei chestiuni isto ­ rice; v o m spune numai că în evul mediu, atît de neglij at în ceea ce priveşte imensa lui producţie de logică, teoria propoziţiilor ipotetice era perfect cunoscută . Posedăm nenumărate tratate despre această teorie, căreia i se spunea teoria "consecinţelor" - conse quentiae -, tratate care au fost aduse la lumină abia în timpul nostru, de către istoricii logicii matematice . într-adevăr , s-a dovedit că partea numită de logica mate­ matică "calculul propoziţional" era bine cunoscută de către logicienii scolastici şi o mulţime de teoreme ale acestui calcul figurau în tratatele lor12•

* 1.4. Modalitatea propoziţiilor Judecăţile - şi, prin urmare , propoziţiile prin care ele se exprimă - se împart în mai multe categorii, pe care logica clasică le studiase în amănunt. IZ P entru istoria şi originile calcululu i propoziţional in evul mediu vedeţi lucrarea noastră Istoria logicii (cap . XXII), Editura didactică şi p edagogică, 1969.

18


1.4. Modalitatea propoziţiilor

După calitate, avem propoziţii afirmative şi propoziţii negative . După cantitate, unele propoziţii sînt universale , altele particulare . Kant mai introdusese distincţia între propoziţiile analitice şi cele sintetice, dar această distinc­ ţie nu poate interesa logica formală, deoarece ea priveşte modul în care se formează cunoştinţele . Cea mai importantă împărţire a propoziţiilor este însă aceea făcută după mod a­ litatea lor şi de care logica polivalentă se va servi esenţial, �um vOm vedea . Teoria modalitătii este formulată în manualul clasic al lui Petrus Hisp �nus Summulae Logicales . Există patru moduri ale propoziţiilor : 1 - posibil j 2 - contingent; 3 - impos ibil j 4 - necesar . Modul unei propoziţii este format dintr-una din expresiile "este posibil", "este con­ tingent", "este imposibil" , "este necesar"; cealaltă parte, care este propoziţia propriu-zisă, este numită dictum. De exemplu, în propoziţia modală, "este posibil ca Pămîn­ tul să fie rotund", modul este "este_posibil", iar dictum-ul este "ca Pămîntul să fie rotund". In afară de aceasta, se poate ca o propoziţie modală să fie afirmativă sau negativă. Toate combinaţiile acestea au fost rezumate în patru cuvinte latineşti, pe care scolasticii le redau astfel : Purpurea, Amabimus, Iliace, Edentuli. Fiecare cuvînt are patru silabe, corespunzînd celor patru moduri, în ordinea enumerată mai sus. De pildă, silabele iniţiale ale acestor cuvinte artificiale, anume Pur, A,I şi E, se referă la modul "posibil" . Cum însă am văzut că o propoziţie modală se compune din două părţi ( modul şi dictum) , se poate nega sau afir ma numai una sau amîndouă .dintre aceste părţi. Vocalele cuvintelor noastre indică toc­ mai ce trebuie afirmat şi ce trebuie negat, conform urmă­ torului vers mnemotehnic :

E dicturn negat , Ique moium, nihil A, sed U totum Să presupunem că luăm propoziţia "Pămîntul e rotund" 'Şi vrem să o punem, în toate chipurile , la modul posibil, care are silabele Pur, I, A şi E. Vo m avea patru cazuri şi 'Vocalele vor arăta , după vers, ce se neagă şi ce se afirmă. U din Pur arată că şi modul şi dictum sînt negative (sed U totum) : I spune că se neagă modul (Ique modum) ; A


Logica polivalentlf

indică că amîndouă prop()ziţiile sînt afirmative (nihil A) ; în sfîrşit , E spune că se neagă dictu m-ul (E dictum negat) . Aşadar : 1 . Nu este posibil ca Pămîntul să nu fie rotund . 2. Nu este posibil ca Pămîntul să fie rotund. 3 . Este posibil ca Pămîntul să fie rotund . 4. Este posibil ca Pămîntul să nu fie rotund . Iată toate formele pe care le poate îmbrăca o propoziţie posibilă. Procedînd la fel cu "contingent" , luînd adică silaba a doua din fiecare cuvînt, căpătă m propoziţiile modale respective etc . Este de re marcat că "posibilul" şi "contingEntul" nu sînt deosebite din punct de vedere for mal ; de aceea şi în cuvin­ tele de mai sus ele sînt repr(untate de aceleaşi vocale în fiecare cuvînt . De exe mplu , în Purp urea, avem silaba Pur cu u pEntru posibil şi tot p ur cu u pmtru contingent. Aristotel considera nu mai trei modalităţi ale propozi­ ţiilor - realitate , posibilitate şi necesitate -, triadă la care s-a oprit şi Kant. Într-adevăr, i mposibilitatea nu este un mod distinct, ci este negaţia modului posibiL Astfel , diviziunea j udecăţilor, după Kant , în ceea ce pri­ veşte modalitatea lor, în asertorice, apodictice şi problema­ tice , nu este altceva decît împărţirea lui Aristotel: "Orice j udecată se referă la cee a ce este real, necesar sau posibil"13 .. Aristotel nu s-a ocupat, cum am văzut , în Organon, de silogismele ipotetice, în schimb el a făcut o analiză amă­ nunţită a silogismelor "modale" , cum vor fi numite de sco­ lastici. Dacă orice propoziţie afirm ă sau o realitate, sau G necesitate , sau o posibilitate , urmează că vom avea diverse silogisme după cum luăm premise necesare, posibile , aser­ torice, sau una din premise necesară , alta posibilă etc. Studiul acestor silogisme este destul de vast în Organon ŞI se întinde în cincisprezece capitole14• 13 Analytica prim'a, 1 , 2 . 14

20

Analytica priora, 1 , 8-22 .


1.5. Semnificaţia modalitlfţ ii

* 1.5. Semnificaţia modalit�ţii Este evident că "posibil", "necesar" şi "real" nu sint noţiuni atit de si mple şi că jocul silogistic sau, în general, deductiv, care va face uz de ele, va avea să suporte conse­ cinţele înţelesului ce li se acordă. Pentru Aristotel, real, posibil şi necesar erau moduri ale Fiinţei însăşi j ele aveau un caracter obie_,?tiv, iar ştiinţa avea de scop să deter mine rajjorturIle mteligibile din natură, care unesc posibilul, realul şi necesarul. Această idee era în acord cu întreaga logică a Stagiritului, deoarece în logica lui legile gîndirii exprimau legile existenţei; semnificaţia acestor idei era dată de teoria ontologică a cauzei formale, a puterll I a actulUl. POSibilul niT inseamna o ce poa e eXista, a ce se opune necesarului, ceea ce poate să existe sau să nu existe: "Contrariul tuturor lucrurilor care sînt numite posibile este posibil"15. Posibilitatea aristotelică nu era, în felul . acesta o determin'âre ultimă i or· ară a: Fiin ei cum va i erată astăzi e Heide prin ea şi pOSI I ltatea ne- llnţel. De asemenea, este interesant de notat că există diverse înţelesuri ale aceleiaşi modalităţi . Spre exe mplu, Aristo­ tel a deosebit trei sensuri fundamentale pentru necesitate: 1 . indispensabilul - necesitatea scop; 2. obligativul - forţa care sileşte; 3. necesitatea si mplă - care nu are nici o legătură cu forţa sau scopul . Nu este locul să intrăm aici în discuţia acestor idei; a m voit numai să sugerăm că există foarte multe sensuri ale modalităţilor şi că orice logică care le va utiliza va avea să suporte ipoteca punctului de vedere ales. Problema care se pune este aceast a : există, din punct de vedere formal, un criteriu sigur după care pot fi delimi­ tate, în mod strict, diversele speţe modale? O astfel de problemă şi-a pus L. Brunschvicg16 şi răspunsul lui a fost negativ . 16 Metafizica, VIII, 9 . 18 L. Brunschvicg, La modalite d u Jugement, p . 29 (Ed. Alcan).

21


Logica poliualent4

.. Modalitatea - scrie Brunschvicg - nu aparţine jude­ căţii, considerată in expresia e i spontană; ea se datoreşte reflexiei critice , unui fel de judecată asupra judecăţii". Cu alte cuvinte, nu există criterii intrinsece ale modali­ tăţilor. O judecată este necesară dacă afirmaţia contrară nu poate fi concepută. tnsă, cum observă Brunschvicg. criteriul acesta nu este de loc decisiv. Tot astfel, posibilul nu este decît realul insuficient deter minat. Cum se vede. modalitatea unei judecăţi este în strmsă legătură cu rea­ lul, cu posibilităţile care reprezintă adevărul . De aceea el are să conchidă: "Problema logică a modalităţii implică problema metafizică a adevărului"l? Problem a modalităţii propoziţiilor este, prin urmare. extrem de delicată şi nu putem afirma, p(ntru un mod anume, o definiţie categorică . Trebuie re ţinută însă şi observaţia lui Brunschvicg că modalitatea este un fel de judecată asupra judecăţii, lucru pe care Goblot îl exprimă şi mai clar: "Nu există modalitatea judecăţii, există numai judecăţi de modalitate"l8. , Această idee, după cunoştinţa noastră, a fost exprimată, pentru prima dată, de logicianul german Christoph Sigwart . "Dacă orice judecată este afirmaţia sau negaţia unei întrebări - scrie Sigwart -, atunci propoziţia care nu afirmă şi nici nu neagă nu poate fi o judecată"19. Aşadar , propoziţia problematică "A este poate B" nu reprezintă decît indoiala gîndirii noastre, incertitudinea subiectivă a noastră , dar nimic obiectiv cu privire la "A este B"._ "Teoria că aşa-numitele judecăţi problematice ar fi o speţă de judecăţi trebuie respinsă dacă admitem că în conceptul de judecată există afirmaţia adevărului unei propoziţii şi dacă o judecată trebuie să fie sau adevărată� sau falsă"20 . Ce semnificaţie au atunci noţiunile de posibil şi nece­ sar? Posibilitatea, crede Sigwart - şi această concepţie este legată de aceea a lui Aristotel sau a unor ginditori 17 18

Ibidem , p. 37. E. Goblot. Trai!e de logique, p. 16lo

1937).

18 Ch. Sigwart. Logik, 1 Band, p. 2lo3 20 Ibidem, pp. 2lo4-2r.S.

22

(Ed. A.

Colin),

Pal'is-.

(Tiib ingen, e d . IV, 1911)_


1.5. Semnificaţia modalitilţii

contemporani, cum este Heidegger -, are un caracter obiectiv numai atunci cînd se referă la cursul în timp al evenimentelor şi nu poate apărea decît în raport cu noţiu­ nea de necesitate. Judecata "este posibil ca A să fie B" este contradictorie cu judecata "este necesar ca A să nu fie B"; tot astfel judecata "este posibil ca A să nu fie Er' este contradictorie cu judecata "este necesar ca A să fie 8"21. Nu se poate spune dar - şi această concluzie ar putea fi documentată larg - că există un criteriu precis pentru definiţia modalităţilor; di mpotrivă, problema rămîne des­ chisă şi accepţiile date noţiunilor de posibil şi necesar depind de modul în care diferitele sisteme filozofice de­ finesc categoriile.

Obse�l'aţie. Extensiunea noţiunii de modalitate şi clasifi­ carea eL .

Noţiunea de modalitate a căpătat la unii logicieni, ca de exemplu Petrus Hispanus, o extensiune mult mai largă decît cea obişnuită. Vom urmări în această privinţă pe G . H. von Wright22. Von Wright numeşte logică modală logica conceptelor modale, pe care le distinge de concep­ tele sau categoriile de adevăr (truth-concepts. sau truth­ categories): adevărul, falsul şi cele ce ţin de acestea. ·Categoriile modale, înţelese de el într-un sens mai larg decît cel obişnuit, sînt î mpărţite în patru feluri de" moduri" (modi), şi anume:

Modurile aletice sau de adevăr sînt cele cu care s-a ocupat logica modală tradiţională şi care pot să se refere fie la adevărul unei propoziţii (care poate fi: necesar, posibil sau contingent), fie la prezenţa sau absenţa unei proprietăţi la un obiect (şi care poate fi, la rîndul ei, necesară, posibilă sau contingentă). Modurile epistemice sau de cunoaştere, tratate, ce-i drept, dar nu sistematic de către logicieni, sînt: verificat (cunoscut a fi adevărat), falsificat (falsified cunoscut a fi fals) şi nedecis (nici cunoscut a fi adevărat, nici cunos-

21 Ibidem, p. 276. 22 C. H. Ton Wr:ght. An Essay in Modal 1951, pp. 1-2.

Logic, Amsterdam,


Logica polivalentif

cut a fi fals). Acestea , de asemenea, se pot referi la adevăru} unei propoziţii sau la prezenţa, respectiv abseJlţa une; proprietăţi la un obiect. Modurile deontice sau de obligaţie , dintre care cele ma) importante sînt : obligatoriu ("trebuie să" ) , permis ("se poate") şi interzis ("nu trebuieH)23 . Modurile existenţiale sau de existenţă, cărora von Wright le acordă statutul de modalităţi în virtutea asemăJlărilol' de tratament dintre logica modală şi teoria cuantificării24,. sînt : universal , existent şi vid . Similarităţile esenţiale dintre modurile aparţinînd res­ pectiv celor patru categorii pot fi puse în evidenţă , cu ajutorul unui tabel , astfel: aletic necesar posibil contingent imposibil

epistemic verificat nedecis falsificat

deont ic oblig�toriu per mIS indiferent interzis

existenţial universal existent vid

Lista modurilor enumerate este, evident, necompletă.

* 1.6. Ce este logica polivalentă? Valorile de adevăr ale unei propoziţii în logica clasică sînt două : adevărul şi falsul. Ele rezultă din principiul terţiului exclus : orice propoziţie este sau adevărată, sau 23 Noi precizăm aici că teoria modurilor deontice, cum este num ită de von Wright, era b ine cunoscută logicienilor scolastici su b numele de "Teoria obligaţiilor" - De ob·l igationibu.s, asupra căreia a u scris nenumărate şi amănunţite Traclatu.s (vedeţi A. Dumi­

triu,

U

Istoria logicii , 23 .40.1.) .

Teoria cuan tificării este o ramură a logicii formale care s e ocupă cu analiza m odu lui În care este atribuit Într-o propoz iţie. sub aspectul cantităţi i , predicatul subiectului . De p ildă cînd spun "oamenii sînt muritori" , predicatul "muritor" poate f i atribuit unor oameni sau tuturor. Pentru lămurirea acestu i subiect a se vedea .3.9 din lucrare.

24


1.6. Ce este logica polivalentă ?

f alsă , tertium non datur. Logica tradiţională, utilizînd în deducţie numai, cele două valori, era o logică bil'alentă. S-a ivit însă cazul , în matematică sau in alte domenii, cînd unele propoziţii nu puteau fi declarate nici false şi nici adevărate, fie din cauză că nu era posibil să se găsească o demonstraţie care să dovedească adevărul sau falsitatea unei astfel de propoziţii , fie din pricină că, dacă admitem una sau alta dintre aceste valori, se ajunge la contradicţii. O propoziţie de felul întîi este teorema lui Fermat, de pildă . Există sau nu există patru numere întregi, x, y, z şi n, unde n> 2, aşa fel ca între ele să aibă loc relaţia: xn + yn

=

zn

Propoziţia aceasta nu a putut fi dovedită pînă astăzi, cu toate încercările făcute, nici adevărată şi nici falsă; ea scapă principiului terţiului exclus . Exist ă , de asemenea, paradoxe, cum sînt acelea formate cu "impredicabil" sau acelea din "teoria mulţimilor" , unde o propoziţie, fie că este declarată adevărată, fie că este declarată falsă, conduce la contradicţii , la negaţiile pro­ priilor noastre ipoteze . În condiţiile acestea, logicienii actuali s-au văzut siliţi să introducă şi alte valori pentru propoziţii decît diada adevăr-fals. Există valori ale unei propoziţii care nu sînt nici adevărul şi nici falsul. In special s-a luat ca valori pentru propoziţii modalitatea lor, adică "posibilul", "nece­ sarul", "imposibilul", după cum vom vedea în ceea ce ur­ mează . O logi făC"Sre utilizează mai mult de două valori va fi o loglca-�ă�,J.tiE dacă- utilizează-, trei valori dis· tÎncfe,vallo logică tJj5'.l!l�ntă; dacă admite patru valori deosebite, va fi o logică te tr�r'Letc. S-a imaginat şi o logică cu o infinitate de ViIori, despre care vom vorbi la locul cuvenit. Ar fi fost dar mai exact să vorbim nu despre "logica polivalentă", ci despre "logicile polivalente". Vom remarca faptul că aceste logici , ad miţînd că există şi alte valori în afară de adevăr şi fals, duc la consecinţa că în anume cazuri principiul terţiului exclus nu se mai aplică . Intr-adevăr, o propoziţie nu mai este sau adevărată.


Logica polivalentă

sau falsă , ci are sau valoarea adevărat, sau fals, sau a treia valoare logică aleasă (în cazul unei logici trivalente). Aristotel admisese - se pare - că într-un anume caz principiul terţiului exclus nu funcţionează: anu me cînd -era vorba despre viitorul contingent , în care o afirmaţie poate fi numai posibilă , dar nu necesară. Nu Aristotel s-ar ()pune dar logicii polivalente; în antichitate , Stoicii au fost aceia care au susţinut - din motive pe care le vom vedea - valabilitatea universală a principiului terţiului -exclus . în particular, Chrysippos a fost susţinătorul înverşunat al acestui principiu, pe care logicile polivalente îl consi­ deră cu o aplicaţie limitată, din care cauză logicianul polonez Jan f.ukasiewicz a denumit logicile care fac uz de mai multe valori şi logici ne-chrysippiene. Singura observaţie pe care o vom face aici este că modali­ tăţile, nefiind perfect definite , logicile care le consideră ca valori deosebite de valoarea diadică adevăr-fals vor avea să suporte ipoteca acestei nedeterminări, cum va reieşi din analiza pe care o întreprindem în această lucrare .

*

1.7. Logici modale şi polivalente

în expunerea care urmează vom prezenta o serie de sis­ teme logice dintre care unele s-au numit modale , iar altele polivalente. Această distincţie, făcută în literatura de specialitate, ţine seamă de faptul că în pri mele se consideră în mod explicit modalităţile unei propoziţii (posibilitatea, nece­ sitatea etc.) şi legăturile dintre ele, pe cînd în celelalte se p leacă de la supoziţia că o propoziţie poate avea mai mult decît două valori de adevăr (adevărul şi falsul), dezvol­ tîndu-se astfel o logică în care studiul modalităţilor nu este de la început explicitat. Asemenea distincţii sînt greu de sesizat în lipsa aparatului formal pe care se bazează. De aceea vom mai reveni asupra lor în finalul acestei lucrări, cînd cititorul va avea la tndemînă acest aparat. Ţinem doar să menţionăm că problemele legate de această deosebire sînt încă controversate.


2 Sisteme

*

formale

2.1. Metoda axiomatică

Apariţia unor dificultăţi destul de mari , mai întîi in domeniul matematicilor pure şi apoi în fizica matematică şi cea experimentală, a determinat pe oamenii de ştiinţă să scruteze mai de aproape structura ştiinţelor teoretice� pentru a avea o schemă conceptuală clară a oricărei ştiinţe deductive . În modul acesta s-au separat cu precizie p ărţile admise fără definiţie sau fără demonstraţie de acelea care rezultă prin definiţie sau deducţie şi s-au enumerat şi. enunţat în mod precis regulile care permit aceste derivări. Este vorba de o adevărată anatomie a teoriilor deductive. care explicitează fiecare parte constituentă, arătîndu-i rolul şi j ustificînd rezultatele care se deduc în interiorul lor. Motivele care au determinat această analiză riguroasă a constituţiei oricărei ştiinţe teoretice sînt multiple. Mai întîi apariţia geometriilor neeuclidiene a pus în discuţie noţiunea de axiomă . O serie de geometri au căutat să găsească o demonstraţie pentru postulatul lui Euclid. Acest lucru s-a dovedit impo­ sibil, pînă cînd, în acelaşi timp, doi geometri au avut ideea să renunţe la el socotind că-l pot înlocui cu un pos­ t ulat contradictoriu cu acesta. 21


Logica polivalentă

Acest lucru a fost efectiv realizat pentru prima dată, acelaşi timp şi independent unul de celălalt, de Loba­ cevski şi Bolyai, şi astfel s-au născut geometriile neeu­ clidiene . Avem astfe l : 1 . Geometria euclidiană, cu postulatul lui Euclid vala­ bil (care poate fi enunţat şi sub forma : printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelă şi numai una). 2. Geometriile neeuclidiene de tipul Lobacevski-Bolyai, cu postulatul lui Euclid nevalabil (printr-un PUDct exte­ rior unei drepte se duc două paralele la acea dreaptă). 3. Geometriile de tipul Riemann, cu postulatul lui Euclid nevalabil (printr-un PUDct exterior unei drepte nu se poate duce nici o paralelă) . Geometria lui Euclid îşi găseşte realizarea p e un plan; Beltrami a arătat (1868) că geometria lui Lobacevski­ Bolyai poate fi realizată pe o porţiune de pseudosferă , care este o suprafaţă reală de rotaţie , născută prin rotirea unei curbe numită tractrice; geometria lui Riemann (fără paralele) îşi găseşte realizarea pe o sferă reală. Cu alte cuvinte, geometriile neeuclidiene şi-au găsit un model, ele sînt perfect non-contradictorii şi arată că axioma lui Euclid fusese acceptată ca atare , prin evidenţa ei, fără un suport care să-i îndreptăţească alegerea ca axiomă. Nu vom cita mai departe decît un singur exemplu din fizică. La sfîrşitul secolului trecut şi începutul secolului nostru, o problemă preocupa pe fizicieni şi astronomi : determinarea vitezei absolute a Pămîntului (faţă de eter) . S-au imaginat aparate din ce în ce mai precise şi mai fine pentru a face măsurătoarea acestei viteze, dar rezul­ tatul era absurd ; totul se petrecea ca şi cînd viteza Pămîn­ tului era nulă, adică Pămîntul era nemişcat . Cum acest rezultat era inadmisibil, s-a imaginat, pentru a găsi o explicaţie acestui fapt, că însuşi braţul aparatului cu care se făcea experienţa s-a scurtat prin mişcarea Pămîntului şi de aceea rezultatul apare paradoxal. Acest rezultat a fost extins de Einstein, care acceptă ca postulat că lungimea unui corp se contractă în raport cu viteza de care este animat. El nu poate fi stabilit prin observaţii făcute dinăuntrul sistemului, aşa cum se admite explicit. în

28


2.1. Metoda axiomatică

Această ipoteză a condus Ia teoria relativităţii, teorie graţie căreia s-au putut prevedea unele fenomene fizice şi astronomice , căpătînd astfel o serie de confirmări expe­ rimentale strălucite . Aceste întîmplări din lumea ştiinţifică, precum ş i multe altele, au făcut ca oamenii de ştiinţă să-şi schimbe com­ plet concepţia despre axiomă. Pentru Aristotel, şi pînă la sfîrşitul secolului trecut, o axiomă era un adevăr evident ­ Pentru ştiinţa actuală o axiomă este ceea ce permite să. organizăm o teorie în mod coerent . Nu se pune chestiunea adevărului sau falsităţii ci şi mai ales ea nu are nimic de-a face cu "evidenta ". Iată, în sensul acest� , ce scrie Alfred Tarski : " În general nu consideraţii de ordin teoretic fundamental decid cum să alegem un sistem determinat de termeni primitivi şi de axiome printre toate sistemele echivalente; motivele, sînt mai curînd de ordin practic, didactic şi chiar estetic"l. Acest mod de a privi axioma a fost acceptat de oamenii de ştiinţă contemporani şi iată ce scrie însuşi Albert Ein­ stein în această privinţă : "Această concepţie modernă despre axiomă purifică matematica de obscurităţile misterioase care altădată voalau fundamentele matematicilor. Acest mod de a prezenta lucrurile face , de asemenea . evident faptul că matematici le nu pot afirma nimic, nici cu privire Ia reprezentările noastre intuitive, nici cu pri­ vire la realităţile materiale"2. Odată ce intuitia si ' evidenta sînt eliminate din con­ strucţia unei ştii�ţe deductiv� , urmează că ideile primi­ tive şi axiomele nu au o bază în adîncimea realităţii , nu sînt legate de realitate, nu realitatea le poate da un suport ; dar între ele, ele trebuie să aibă o legătură , pentru a fi compatibile şi a nu conduce la rezultate contradictorii (deficienţele acestei concepţii vor fi examinate în capito­ lul 10 al acestei lucrări) . în rezu mat, studiul st ructurii unei ştiinţe deductive ()o adevărată anato mie a ei - constă din : despărţirea elemen-

1 A. Tarski,

Sur la nuHhode deductive ("Travaux

Descartes", Paris , Hermann , 1 93 7 , v o I . V I , p . 1 00) . 2

du Congres.

A. Einstein, Geom e trie und Erfahrung, Berl i n , 1920 ,

p. 1 0 .

29


Lopica polivalentd

telor primitive , concepte şi propoziţii, de elementele deri­

vate; enunţare a precisă a regulilor de compoziţie a acestor elemente pri mitive ; enumerarea regulilor de derivare a elementelor deductibile din elemEnte pri mitive. Această metodă de analiză a teoriilor matematice şi matemati­ zate se numeşte axiomatică şi a devenit indispensabilă oricărei cercetări teoretice . În acest sens, David Hilbert, care a dezvoltat metoda axiomatică pînă la ultimele ei consecinţe, scrie : "Tot ceea ce poate constitui în genere obiect al gîndirii ştiinţifice revine, de îndată ce se află în pragul constituirii teoriei, metodei axiomatice şi prin aceasta revine mijlocit mate­ maticii. Inaintînd spre straturi tot mai adînci de axiome , se obţine totodată şi o înţelegere din ce în ce mai adîncă a esenţei gîndirii ştiinţifice şi devenim conştienţi în tot mai mare măsură de unitatea cunoasterii noastre . Sub :auspiciile metodei axio matice, mat � m atica pare a fi -chemată să deţină un rol conducător în cadrul ştiinţelor în genere"3. I n modul acesta, deoarece logica trebuie să devină () ştiinţă mate matică, urmează să fie construită axioma­ tic, ca oricare altă ştiinţă deductivă, şi acest lucru impune -două condiţii: 1) eli minarea intuiţiei din întreaga ştiinţă matema­ tică a logicii ; 2) alegerea noţiunilor pri mitive şi a axiomelor fără un 'Suport exterior lor , ci, aşa cum spune Tarski , pentru motive de ordin metodologic, practic sau chiar didactic.

* 2.2. Formalizarea teoriilor deductive Ideea de "tormalizare" a teoriilor matem atice este o -consecinţă imediată a noii concepţii despre axiomă şi în �eneral despre structura axiomatică a unei teorii. 3 David Hi lbert, A xiomatisches Denken Annalen", Bd. 78, 1 9 1 8 , pp. 405 - 41 8) .

:30

(in

" M a thematische


2.2. Formalizarea teoriilor deductive

Odată ce ideile pri mitive şi propoziţiile pri mitive nu sint admise pentru evidenţa lor şi nu au de-a face ni mic cu realitatea şi conţinutul pe care ea îl poate da acestor idei şi propoziţii , ur mează că ele nu au nici o se mnifi­ caţie în ele însele, devin si mple si mboluri vide de orice conţinut. Ideea aceasta apare încă înainte de construirea geome­ triilor neeuclidiene , şi anu me în secolul al XVII I-lea , la un matematician şi logician german, J .H. Lambert. Cer­ cetînd teoria paralelelor, el îşi dă seama că "fundamen­ tarea geo metriei trebuie să facă abstracţie de repnzen­ tarea lucrului" şi că "demonstraţiile trebuie expuse pUl'" si mbolic"4. Dar cel care a pus în lumină aspectul necesar pur for­ mal (consecinţă a concepţiei moderne despre axio mă) a fost Moritz Pasch. El desparte cu toată rigurozitatea con­ ceptele mate matice în două categorii: nedefinite şi defi­ nite. Propoziţiile sînt despărţite de el , de asemenea , în. două categorii : propoziţii principale şi propoziţii demon­ strate . Ideea lui Pasch este următoarea : matematica pune în evidenţă relaţii între conceptele matematice , care tre­ buie să corespundă faptelor din experi(fiţă, dar în marea. lor majoritate nu sînt împrumutate din experienţă, ci, "demonstrate". "De fapt , scrie el, dacă geometria vrea să. fie cu adevărat deductivă, trebuie ca procesul deducţiei să fie tot timpul independent de sensul conceptelor geo­ metrice , aşa cum trebuic să fie independent de figuri ; se pot lua în considerare numai relaţiile dintre conceptele geometrice incluse în propoziţiile , respectiv în definiţiile folosite. în cadrul deducţiei este desigur permis şi util dar în nici un caz neceSar să ne gîndi m la semnificaţia conceptelor geometrice care apar j în cazul că acest lucru devine necesar înseamnă toc mai că deducţia avea lacune ,. că propoziţiile pre mergătoare sînt insuficiente ca mij­ loace de demonstraţie".5 -

-

4

J. H. Lambert. Theorie der Para l le l lin ien (în ,, !.lagasin fiir

6

Moritz Pa.eh, Vorleslwgen iiber die moderne Geometrie , Leipzig �

reine

1 88 2 .

u.n d angenwandte

.Malhematik" , 1 786) .

31


Logica po liva lentă

Această idee este dusă la punctul e i cul minant de Hil­ bert. întreg s istemul logico- matematic constă, după el, dintr - un eşafodaj de si mboluri , din care e l eli mină în mod explicit şi total orice conţinut . La începutul aces­ tor cercetări (în logică) , Bertrand Russell tot mai păstra <l legătură între si mbolul for mal $i procesul natural al gindirii. Iată ce s cria e l : "Adoptarea regulilor simbolis­ mului în procesul deduc tiv aj ută intuiţia în regiuni prea abstracte pentru ca imaginaţia să poată prezenta minţii în mod prompt adevărata relaţie dintre ideile întrebuin­ ţate ( . . . ) . Şi astfel mintea este condusă să construiască -şiruri de raţionamente în regiuni în care imaginaţia ar fi cu totul incapabilă să se susţină singură fără ajutor s imbolic"6 . Acest lucru este incontestab i l . Serii de concepte, serii de j udecăţi şi chiar de raţionamente pot fi acoperite de o notaţie si mbolică bine aleasă , care concentrează şi declan­ şează toate aceste serii de concepte , j udecăţi sau operaţii deductive , devenite familiare, de îndată ce s i mbolul apare undeva în cadrul procesului deductiv . Folosul simbolis ­ mului este indiscutabil. Cu aj utorul unui simplu s i mbol s e pot concentra şi efectua operaţii co mplexe mintale, care, fiind bine cunoscute , nu mai au nevoie să fie detaliate , ci numai simbolizate , astfel că rezultatul apare automat. Matematica face uz de asemenea notaţii si mbolic e , care acoperă largi procese mintale , în mod frecvent . Familia­ rizarea cu acest procedeu simbolic a dus la identificarea procesului s i mbolic cu procesul mintal respe ctiv, de unde o credinţă aproape mistică în puterea semnul u i . S-a făcut astfel o identificare între s imbol si ceea ce este si mboli­ zat , socotind că simbolismul însuşi are o v irtute creatoare i ntrinsecă. Pentru Hilbert , esenţa matematicii - şi prin aceasta, a <lricărei teorii de tip matematic - este acest joc de semne făcut după reguli precise . Si mbolul nu este pentru e l un auxiliar al memoriei, c i defineşte un fel de spaţiu ab­ stract cu atîtea di mensiuni cîte grade de libertate sînt 6 B. Russell şi A. N. Whi tehead, Princi p ia Jlathematica, v o I . 1,

'Cambridge, 1 9 1 0 ,

32

p. 2.


2.3. Structura axiomatic4 a

unei ştiinţe

in o peraţ ia concretă şi i mprevizibilă a co mbinaţiei ' . Semnul , spunf' Hilbert , posedă in esenţa lui o regulă intelectuală care garantează contra erorii, este condiţia creaţiei p r i n mobilitatea lui în sensibil . Lui, scrie e l , nu aplic aţ i e i (Abbildung) l u i Dedekind, î i datoread m a­ t e mat ic a întreaga ei origine şi dezvoltare : "Am Anfang

so heisst es hier, ist das Zeichen"

("La început, a�a se s pune

aici , este semnuIH) 8 . După concepţia modernă a ştiinţei , acceptată astăzi de logicienii mat em at ic ieni , logica trebuie, pentru a deveni o ştiinţă matematică pură, să fie construită în condiţiile următoare : 1 ) să se axiomati z ez e ; 2) să se for malizeze . Această concepţie se reduce la construirea logicii ca un sistem formal, şi de aceea vom vorb i mai întîi de si s ­

teme formale9• *

2.3. Structura axiomatică a unei ştiinţe

Din cele spuse mai sus s-a văzut că orice ştiinţă deduc­ tivă are o structură generală , care morfologic este aceeaşi. Există dar o schemă logică a construcţiei unei teorii de­ monstrative, pe care o vom reda mai jos, în modul cel mai general, schemă care constituie anatomia logică a oricărui s is tem şti inţifi c .

Hilbert spune că o teorie axiomatizată constă în "stabi­ lirea unui schelet d e concepte care permit punerea în ordine a unor fapteH10• Pentru a avea o idee clară şi distinctă d e s pre diferenţa dintre axiom atica veche şi axiomatica modernă , vom reda schematic modul de construcţie a l unei teorii deduc­ tive in concepţia lui Aristotel şi in concepţia actuală. 7.

J . Cavailles, Axiomat iq ue et 1938, p . 93.

mann,

Systeme Formei,

Paris,

Her­

a D. Hilberl, Neubegrundilngen der Mathematik, în "Hamburger Serninars Einzelschriften", 1 9 2 9 , p. 1 7 3 .

9 Pentru dezvoltări asupra acestei probleme, a se vedea : A. Dumitriu, A xiomaliea teoriilor deductille, în Pro bleme de logică, II, Ed. Academiei R . S . R . , 1970 . 10 D. Hi lbert, A xiomatisches Denh'en, p. 4.05 .

33


Logica polivalentl1

Aristotel enunţa textual structura axiomatică a ori­ cărei ştiinţe astfelll : " î ntr-adevăr, orice ştiinţă demonstra­ tivă presupune trei elemente : 1) ceea ce se pune la început ca existent ; 2) aşa-numitele axiome , care sînt premisele prime ale demonstraţiei ; 3) atributele al căror înţeles îl acceptă ştiinţa" . Metoda de demonstraţie prin care se dezvoltă orIce ştiinţă este silogismul. Cu alte cuvinte , după Aristotel, structura axiom atică. a unei ştiinţe este următoarea : 1 . Partea axiomatică

a) termenii cunoscuţi prin ei înslSl ; b) propoziţii adevărate prin ele î �;ele.

2 . Partea derivată a) termeni definiţi (cu ajutorul celor cunoscuţi prin el înşişi sau cu ajutorul ce lor deja definiţi) j b) propoziţii deriva t e , în baza celor adm ise dej a . 3 . Metoda de demonstraţie (silogismul) . Acum să considerăm structura axiomatică a unei teo­ rii moderne . în această concepţie terrm nii primitivi şi propoziţiile primitive nu mai sînt adm i şi prin ei înşişi , c i sînt acceptaţi convenţional ; ei vor trebui să îndepli­ nească anum ite condiţii , pentru ca, în pri mul rînd , să nu conducă la contradicţi i . Sche ma axio matică a unei astfel de t eorii deductive devine :

1 . Partea axiomatică a) termeni primitivi, acceptaţi convenţional ; b) propoziţii primitive, acceptate convenţional .

2. Partea derivată a) termeni definiţi ; b ) propoziţii demonstrate . 11

34

Aris totel, A nalyt ica posteriora ,

1 , 2 , 72

a.


2.3. Structura axiomaticd a 'Unei ştiinţe

3 . Reguli de derivare

a) pentru termeni (reguli de definiţie); b) pentru propoziţii (reguli de deducţie) . După cum se vede, schema morfologică a unei teorii deductive este , în ambele concepţii, grosso modo aceeaşi . Ceea ce este schi mbat este punctul de plecare : axiomatica modernă acceptă termeni nedefiniţi şi propoziţii nede­ monstrate, ca şi aceea veche, dar ea le acceptă în mod arbitrar şi convenţional. Această alegere arbitrară a noţiunilor şi propoziţiilor primitive implică cîteva pro­ bleme, care, în mod foarte general , pot fi enumerate ast­ fel : Care este garanţia că ideile şi propoziţiile de la care plecăm nu sînt contradictorii? Cu m ne dăm seama că aceste idei şi propoziţii sînt toate primitive şi că printre ele D U se găsesc unele, cel puţin, care să fie definisabile şi demonstrabile cu ajutorul celorlalte ? In sfîrşit , cum putem să arătăm că prin alegerea părţii axiomatice, admisă arbitrar, putem deriva efectiv întreaga teorie pe care o urmărim ? Aceste probleme, enunţate mai sus în for ma lor cea mai generală, sînt sintetizate în următoare­ le condiţii , pe care trebuie să le satisfacă grupul axio­ matic. Axiomele trebuie să fie: 1. necontradictorii, 2. independente, 3. suficiente. Acelaşi lucru trebuie spus şi despre ideile pri mItIve : şi ele trebuie să fie necontradictorii, independente şi suficiente. Aceste condiţii ale grupului axio matic (sau pri mitiv) au dat loc la probleme dificile , unele chiar nerezolvabile în mod general şi rezolvabile numai în cazuri particu­ lare . Axiomatica aristotelică, dominantă pînă la sfîrşit ';!l secolului trecut, se garanta singură, fiindcă avea garanţIa din afara ei. Axiomatica contemporană , neavînd nici o garanţie din afară , vrea să şi-o găsească în propria e i construcţie, adică vrea s ă s e garanteze singură, dar această fundamentare nu este întotdeauna uşoară. 35


Logica polivalentă

*

2.4. Construcţia unuI sistem formal

Adusă în faza finală de abstractizare şi formalizare, o asemenea teorie deductivă ia forma unui joc de simbo­ luri făcut după reguli precise, dar fără nici un conţinut. Vom încerca să descriem trăsăturile caracteristice ale unui asemenea joc, circumscriind astfel noţiunea generală de sistem formaP2. Un asemenea sistem este constituit din simboluri şi re guli de combinare ale acestor simboluri. Dar să dăm mai bine cuvîntul, în această privinţă , lui J. Cavailles : "Un sistem formal în general este o grupare ierarhică de (( asambIări » de semne sau formule complete astfel ca , plecînd de la unele din ele (în număr finit sau infinit), considerate ca valabile , să se poată obţine altele prin procedee fixate odată pentru totdeauna"13. Modul de construcţie al unui asemenea "sistem" este descris, cel mai clar posibil, de către H . B . Curry14. Şi anume , la baza lui stă aşa-numita structură primitivă, alcătuită din: 1 . Termeni. Aceştia sînt : - indiciile, adică semnele iniţiale în care se va lucra ; - operaţiile, adică moduri de a combina semnele pentru formarea unor noi termeni ; - regulile de formare, care specifică cum se constru­ iesc termenii noi cu ajutorul operaţiilor. 2. Propoziţii elementare. Acestea formează o listă de "predicate", arătîndu-se numărul şi felul lor şi enumerînd,

12 î n dezvoltarea noţiunii de s istem {ormal un rol deoseb i t i-a revenit l u i D. H ilbert . El a Încercat să fundamenteze Întrebu in­ ţarea noţiunilor matematice imp l icînd infinitul actual - noţiuni faţă de care existau susp iciu n i În urma descoperiri i unor paradoxe (ce l i se atribuiau) - pe baza u n or metode fin ite . Această idee , integrată concepţie i sale (formal iste) despre matematică ca disc i­ p l ina ce se reduce l a studiul u n o r formal isme, a generat o serie de stu d i i asupra problemelor form a l ismelor. Ulterior Godel a demon­ strat c ă cerinţele f in it ismu l u i fac c a prob lemele matematicii să nu p oată f i absorbite În tr-un form a l ism . 13 J . Cavai lIes, Axiomatique el systeme (orme l , p . 1 0 i . 14 H . B . Curry, Or�tlines o ( a formalisl Phi losophy of mathema­ ties , Ams terdam , 1 9 5 1 , cap . 1 . 36


2.4. Canstrucţia unui sistem formal

de asemenea, obiectele - "argumentele" - care pot primi

aceste predicate . 3. Teoreme elementare. Acestea sint de două felur i : - axiomele, acceptate ca adevărate fără demonstraţie ; - regulile de procedură, în baza cărora se obţin propoZiţII "adevărate" noi , în cadrul sistemului . Pe scurt , intr-un sistem formal se dau trei feluri de reguli, determinînd trei clase ale s istemului : 1 . clasa componentdor, 2 . clasa propoziţiilor ş i 3. clasa teoremelor15• Descrierea construcţiei s istemului, aşa cum am făcut-o mai sus, se numeşte prezentarea s a . După aceasta, compo­ nentelor primitive li se pot acorda înţelesuri determinate, fiind puse în corespondenţă cu obiecte bine precizate , în asa fel incit teoremele siste mului să rămînă valabile . Operaţia poartă numele de repr� zentarea s istemului16 • Dacă însă o asemenea "repreZ'entare" se poate face în domeniul unor enunţuri al căror adevăr sau falsitate nu depind de sistemul considerat şi dacă ea se face astfel încît unei axiome sau te9reme din sistem să-i corespundă un asemenea enunţ adevărat , atunci s-a obţinut o interpretare a sistemului . Problema găsirii unei interpretări este strîns legată de problema găsirii unui model al sistemului dat. Prin model al unui siste m S se înţelege, de obicei, o mulţime M, astfel încît între cele două mulţimi ( S şi M) să se stabilească urm ătoarele corespondenţe : 1) fiecărei propoziţii din S îi corespunde un enunţ format cu elementele lui M ; 2.) enunţurile formate cu elementele din M sînt adevă­ rate sau false independent d e S ; 3) oricărei propoziţii din S îi corespunde un enunţ adevărat format cu ele mente din M . D e fapt această noţiune este m a i complexă. Noi o vom preciza mai mult cînd va fi vorba de sistem e ale logicii. 16

J . Ladriere, Les

limitatioflS internes des (ormalismes , Louvain, p. 40. Gădel, spre exemplu, a reprezentat formulele unui ase­ menea s istem prin numere natura l e , reprezentare ce poartă şi astăz i în l iteratură numele de "r eprezentare Gădel" .

Paris ,

1957,

18 K .

31


Logica polivalentd

Ceea ce trebuie să mai spunem aici este că două asemenea modele MI şi M2 ale unui sistem se num esc izomorfe dacă între ele se poate stabili o corespondenţă biunivocă în aşa fel încît fiecărui enunţ adevărat din MI să-i corespun­ dă un enunţ adevărat din J12 şi inversl? Regulile precise ale unui sistem formal ne per mit să formăm anumite expresii si să le înlăntuim în anume m o­ duri. Prin urmare ele ne î�vaţă "să vo'rbim" într-un mod r iguros . Sau, aşa cum se exprimă logicienii actuali, "să vorbim o li mbă for malizată" . La rîndul e i , această "limbă", adică însuşi sistemul, poate deveni obiect de studiu, studiu care se face utili­ zînd de asemenea o limbă formalizată. Datorită unor anti­ nomii (paradoxe) ivite într-un asemenea studiu, specialiş­ tii au hotărît să deosebească cele două "limbaj e" ca avînd "niveluri" diferite . Anume, primul este socotit o limbă­ obiect despre care al doilea tratează , acesta din ur mă purtînd numele de metalimbă. Vom mai avea ocazia în cursul acestei lucrări să pomeni m distincţia menţionată. Această idee a condus la distincţia făcută de logicieni între un sistem S şi metasistemul lui , S ' , care vorbeşte despre proprietăţile primului .

*

2.5. Condiţiile grupului axiomatic

După cum am arătat la sfîrşitul paragrafului *2.3, grupul axiomatic al oricărei teorii deductive trebuie să satisfacă trei condiţii : necontradicţia, independenţa şi suficienţa. Acestea se traduc în trei proprietăţi de ordin 1 7 î n această priv inţă ex istă o l iteratură bogată, d in care c ităm doar pe G. Kreisel şi J. L. KriviDe, Elements de Logique Mathi!lna­ lique - Theorie des .Modi des , Paris, 1967 i A. RobiDSOD, Introduction to Model Theory and 10 the Melamathematics of A lgebra, Amsterdam . 1963 . Faptu l , demons trat de altfe l , că un anume s is tem p oate avea mai multe modele izomorfe , indică impos ibil itatea s a de a reprezenta în m od specific un anume domen iu în contrast cu toate celelalte .

38


2.5. Condiţiile grupului a.:riomatic

for mal pe care sistemul respectiv trebuie să le îndepli­ nească , şi anume : necontradicţia axio melor, independenţa �i completitudinea lor. Le vo m preciza pe scurt în cele c e urmează .

2.5.1 . N econtradicţia ax i omelor

Exi stă o proprietate a sistemului formal ( mai precis a grupului său axiomatic ) , în conformitate cu care nici o contradicţie nu se poate deriva din axio mele da te, în interiorul său. Adică, nu se pot deriva si multan în sistem o propoziţie şi contradictoria sa18, căci s-a demonstrat că dacă o singură contradicţie ar fi derivabilă, în mod auto­ mat, orice propoziţie ar fi derivabilă. Prin urmare orice propoziţie, de îndată ce a putut fi for mulată, prin însuşi ace�t fapt devine , într-un astfel de sistem , adevărată. Problem a demonstrării necontradicţiei unei teorii deduc­ tive este, din acest motiv, capitală, căci apariţia unei singure contradicţii înăuntrul unui sistem provoacă diso­ luţia întregului siste m . Chiar şi sub această formă generală, în care am enunţat-o mai sus, rezolvarea problemei necon­ tradicţiei este foarte dificilă şi a rămas în multe cazuri deschisă. După cu m vom vedea însă, în cazurile mai si mple ale unor sisteme de logică, acest lucru a putut fi arătat.

2 .5.2.

1 n dependenţa axiomelor

Concepută mai întîi ca o exigenţă de economie (conform adagiului occamist , principiile nu trebuie multiplicate), această proprietate a fost transformată de logicienii mo­ derni în posibilitatea de a extrage din sau introduce în grupul axio melor, ad placitum, una din co mponentele 1 8 Noţiunea de propoziţie contradictorie a u n e i a lte p ropoziţii va fi prec izată mai de aproape î n cursul acestei lucrări.

39


Logica polivalentct

sale . Ceea ce s-a produs sub influenţa binecunoscutului exemplu dat de postulatul euclidian al paralelelor şi despre care am mai avut ocazia să vorbim în cursul acestui capitoP9. I ntr-un sistem formal , proprietatea de care este vorba se poate exprima pe scurt astfel : nici una dintre axio mele sistemului nu poate fi derivată în interiorul său, utili­ zîndu-Ie doar pe celelalte. Acest lucru, după cum s-a arătat în lucrările de speciali­ tate, echivalează c u următoarea posibilitate : dîndu-se un sistem S necontradictoriu care are un nu măr n de axio­ me : Au A 2 , . . . , An, dacă se scoate una din aceste axiome , A k ' şi s e înlocuieşte c u contradictoria ei, non-Ak' se obţine de asemenea un sistem necontradictoriu. în acest caz este sigur că axioma Ak este independentă in raport cu grupul celorlalte axiome ale sistemului. *

2 . 5 .3 . Suficien ţa axiomelor

Ne vom referi acum , pe scurt, la proprietatea ce decurge din a treia condiţie formulată la sfîrşitul paragrafului * 2 .3, şi anume suficienta axiomelor. Grosso modo, ea poate fi enunţată astfel : un sistem de axiome este suficient dacă din el se poate deriva întreaga teorie respectivii. Aceas­ tă noţiune primeşte o serie de specializări, mai ales in sistemele formale, în care este cunoscută sub numele de completitudine . Vom menţiona aceste sensuri speciale ale "suficienţei", atunci cînd va f i cazul , în cursul expunerii noastre . Aceasta este cea mai dificilă şi cea mai complexă d intre problemele puse pînă acum în legătură cu sistemele axio. 1 9 Nu vom d iscuta a ic i consecinţele l ogico-filozofice ale u n e i asemenea poz iţii . A m făcut-o in lucrarea noastră Mecanismul logic al matematici lor, 78 ( E ditura Academiei, 1968) . A se vedea , de asemene a , şi studiul n ostru La structurs axiomatique de la science moderne ("Scientia" , M ilano , 1 970) .

40


2.6. Construcţia logicii

matice şi a putut fi rezolvată numai în anumite cazuri. P�Dtru o serie de alte sisteme s-a putut arăta însă că ea �te insolubilă2o.

*

2.6. Construcţia logicii ca sistem formal

Am arătat în ambianţa căror idei s-a aj uns să se con­ !!truiască şi logica, după metoda axiomatică modernă , ca o teorie matematică. Concepţia aceasta a condus , în ulti­ mă instanţă, la prezentarea ei sub forma abstractă de .i.st6m formal. De la primele încercări făcute de G. Frege in 1879 şi pînă în ziua de astăzi, întreprinderile de acest fel au luat o a.mploare considerabilă. Se cunosc zeci de asemenea sisteme formale21• Toate îmbracă însă aspectul abstract al jocului de simboluri goale de conţinut şi su­ puse condiţiilor rezumate mai înainte. Vom urmări în această lucrare doar cîteva dintre ele. De fiecare dată nu ne vom lăsa însă conduşi numai de jocul gratuit al semnelor, ci vom căuta să evidenţiem cum e ghidat sistemul de interpretarea logică . Sistem şi interpretare vor face astfel corp comun, deşi ne vom opri, din cînd în cînd , pentru a observa ce parte revine fiecăruia . Odată familiarizaţi cu particularităţile acestor sisteme, vom analiza într-un p aragraf final cum se pun şi cum se rezolvă, pentru ele, prin metode de asemenea formale , problemele de necontradicţie şi independenţă.

2 0 E vident, cele trei cond iţii de care am vorbit mai sus capătă d i verse nuanţe ş i formulări după punctul de vedere din care sînt privite . Aceste diverse enunţări ale condiţiilor c itate nu ne-au interesat în această lucrar e , intru cît obiectivul urmărit este poli­ valenţa logic ă . Pe ntru dezvoltări a se vedea A. Dumitriu, Istoria logicii, 47 . 3 . 3 . uA s e ved ea A . Dumitriu, Istoria logic ii, 48. 2 .


3 Logica bivalentă

A. *

Calculul

propozitional

3.1. Principia Mathematica

Vom expune în cele ce urmează sistemul formal al logicii aşa cum apare în monumentala lucrare a lui A.N. White/ head şi B . Russell, Principia Mathematica (1910) 1 . Această lucrare sintetizează toate rezultatele obţinute de logi­ cienii mate maticieni pînă atunci, şi în special acelea din scrierile lui G. Frege şi G. Peano 2 • Ea conţine principalele idei care stau la baza unei ase­ menea construcţii şi care au ră mas valabile pînă astăzi. Completate şi dezvoltate ulterior, în special în ceea ce priveşte calculul funcţiilor, de nu mai puţin celebrele Grundzuge der theoretischen Logik (1928) a lui D. Hilbert şi W. Ackermann şi Grundlagen der Mathematik (voI . 1, 1934 şi voI . 1 1 , 1938) a lui D. Hilbert şi P. Bernays , aceste 1 Cambridge Un iversity Press ; ediţia întîi a apărut astfe l : voI . 1 , 1 9 1 0 ; vo I . I l , 1 91 2 ; v o I . I I I , 1 9 1 3 . Primul volum al ediţie i a d oua a apăru t În 1 9 2 5 , celelalte În 1 9 27 . I G. Peano, Formulario Mathematico ( operă în 5 ed iţii , pri­ mele fragmente apărute în 1 B97 ; a se vedea Opere Scelte, R oma , 1958). Primul s istem formal de l o g ică a pro p oz i ţiil or (cal cul propoz iţional) a fost propus de G. Freg e în Begriffsschrift ( 1 8 79 ) , autorii Principiilor bazîndu-se pe opera acestu ia şi a l u i G . Peano . Totuşi gradul de maturitate la care aj unge astfel logica matema tică face d in Principii momentul crucial al acestei d iscip l in e .

42


3.2. Idei primitive

lucrări constituie o summa a logicii m atematice . Nu vom putea cuprinde în capitolul de faţă deCÎt CÎteva noţiuni generale şi CU carac ter introductiv asupra a două părţi din această disciplină - şi anu rue cele de logică propriu­ zisă - , calculul propoziţiontll şi calculul funcţiilor propozi­ ţionale. Principia Mathematica mai dezvoltă o teorie a claselor şi a relaţiilor, precum şi aplicarea întregului aparat f�r � al la studiul matematicilor , de care nu ne vo m ocupa aIcI. Ceea ce distinge calculul propoziţional de restul logicii este faptul că accentul nu mai cade pe concept, ci pe propoziţii. Elementul iniţial este propoziţia , dar propo­ ziţia nu trebuie confundată cu actul vorbirii sau al gîndirii, ci este ceva care este adevărat sau fals. într-o astfel de propoziţie nu se distinge ni m i c ; nici subiect, nici predicat. Ea este o unitate primitivă cu o singură proprietat e , aceea de a putea lua două valori : adevărat şi fal s . De aceea logica Principiilor este o logică bivalentă - de altfel ca şi cea clasică -, acceptînd pentru o propoziţie oarecarr numai două valori de adevăr . O "valoare de adevăr " a unei propoziţii (truth mlue) va fi adevărul dacă propoziţia este adevărată şi falsul dacă propoziţia este falsă.

*

3.2. Idei primitive

Să considerăm ideile primitive de la care pleacă White­ head şi Russell. Le vom enumera în ordinea care ni se pare mai naturală. 1 . Propoziţii elementare . O propoziţie ele mentară e ste a ceea care nu conţine nimic variabil ; este o propoziţie care exprimă comportamente fizice stabilite prin obser­ vaţie şi experienţă . De exemplu, propoziţiile "soarele este strălucitor" , "cangurul trăieşte în Australia" etc. , unde este ceva dat de si mţuri , sînt propoziţii elementare . Astfel de propoziţii , privite ca unităţi, unde nu este de distins nici un concept, vor fi r eprezentate prin litere : p , q, r, s . . . î n fond ele reprezintă variabile ce pot 43


Logica polivalentă

lua două valori : adevărul ş i falsul . Conţinutul propoziţi­ ilor nu va interveni în nici un fel în cele ce ur mează. Logica din Principia Mathematica este deci o logică for­ mală fiindcă face abstracţie de conţinutul propoziţiilor . 2 . Negaţia. Dacă p este o propoziţie , negaţia ei, adică propoziţia "non-p" sau "p este fals" va fi reprezentată " prin ,,"'" p 3 . 3 . Disjuncţia. Se pot construi agregate de propoziţii ca şi în limbaj ul obişnuit, plecîndu-se de la propoziţii ele mentare - care mai sînt nu mite de Russell şi atomice ; se pot forma astfel fraze , agregate logice de propoziţii , după expresia lui Russell, propoziţii moleculare. Articulaţia dintre propoziţiile elementare, pentru a forma agregate logice, se face prin conj uncţii. De exemplu conjuncţia "sau" serveşte pentru a uni două propoziţii oarecare, formîndu-se agregatul logic lIP sau q". De pildă , propoziţia moleculară "afară plouă sau ninge" :

p q

= =

afară plouă (afară) ninge .

O asemenea articulaţie între propoziţii se numeşte o disjuncţie logică sau sumă logică şi se notează în simboluri : "p V q"

Citirea este s i mplă : p sau q. Ce însea mnă însă l IP V q"? Ce înseamnă "afară plouă sau ninge"? Nimic altceva decît că sau prima propoziţie este adevărată, sau a doua . Dis­ j uncţia logică "p V q" este o afir maţie alternă care exprimă că sau prima propoziţie este adevărată , sau a doua (cel puţin una) . Iată dar definiţia disj uncţiei "p V q". In condiţiile acestea, putem cerceta cum intră semnul " ....., ", de negaţie, în disjuncţie . Aşa " ""' p V q " va însem­ na : "p este fals sau q este adevărat" ; " '" (p V q)" va sem­ nifica "este fals că sau p sau q este adevărat", care este acelaşi lucru cu a spune "p şi q sînt a mîndouă false". 8 Negaţia aici nu are nimic comun cu negaţia zofic, d e ci nici cu negaţi a d i a l ectică.

44

în s e n s

filo­


3.2. Idei primitive �. Definiţia. ,,0 definiţie este o declaraţie că un nou simbol introdus sau o combinaţie de simboluri este acelaşi lucru ca o altă combinaţie de simboluri al căror sens este deja cunoscut"'. Simbolul prin care se expri mă definiţia este " " şi termenul care t rebuie definit se numeşte definiendum, iar cel care defineşte , definiens . In dreptul unei expresii care conţine semnul definitoriu " " trebuie scris D f. , pentru " poate avea altă semnifi­ că in alte expresii semnul " caţie decît acela de definiţie. Semnul " va fi citit : "se defineşte" sau "este acelaşi lucru ca şi". 5. Conjuncţia . Tot astfel, după cum două propoziţii s-au articulat Între ele prin conjuncţia "sau", dind disjuncţia logică, putem să legăm două propoziţii oarecare prin con­ " juncţia "şi". Agregatul logic "p şi q va Însemna afirmaţia simultană a lui p şi q ; "p şi q sint amîndouă adevărate" . O astfel de legătură logică între propoziţii se va numi o conjuncţie logică sau un produs logic. De pildă , propoziţia moleculară "afară plouă şi ninge" afirmă că propoziţiile.: =

=

=

=

"

p = afarii plouii q (afarii) ninge =

sînt adevărate simultan . Simbolic, conjuncţia logică este reprezentată de un punct pus Între propoziţiile respective : " "p . q Lectura acestei expresii este : "p şi q" .

Russell nu vrea să introducă produsul logic "p . q" ca idee primitivii, ci îl defineşte cu aj utorul disjuncţiei logice. într-adevăr, dacă scriem , prin definiţie :

p . q = "" (

'"

p V '" q)

Df.

" se vede că am acris că "p şi q este acelaşi lucru cu "este

fals cii sau p este fals sau q este fals", ceea ce este exact "p şi q sînt adevărate amîndouă" . , Prill c ipia

Jl,1alhema l ica ,

voI .

1, p. 11. 45


Logica polivalentă

6. Implicaţia. î n general , se spune că o propoziţie p implică pe alta q cînd q urmează din p j cu alte cuvinte, dacă p este adevărată şi q este adevărată. Russell dă o definiţie mult mai largă şi destul de dificilă , la prima vede­ re j el însuşi se t e me că ar putea apărea drept artificială5. Ideea esenţială de la care pleacă Russell este că o propoziţie adevărată implică o propoziţie adevărată ("What is impliBd b y a true proposition is true") . Dar o asemenea proprietate nu trebuie să determine nimic în cazul cînd prima propoziţie este falsă . Singurul lucru pe care-l afirmă implicaţia este că dacă p implică q nu poate fi cazul ca pri ma propoziţie să fie adevărată şi a doua falsă . Cu alte cuvint e , ideea pe care o exprimă i mplicaţia russelliană este c ă toate cazurile p o t fi posibile , afară d e acela c a propoziţia intîia să fie adevărată şi a doua să fie falsă . Ideea logică de implicaţie va fi exprimată simbolic astfel : " lIP => q "

şi se va citi : "p implică q . Din cele ce am spus pînă acu m rezultă că putem defini implicaţia în felul următor :

p => q = ""' p V q

Df·

Această definiţie mai largă înseamnă : sau p este fals sau q este adevărat ; aşadar, dacă p este adevărat , q este adevărat. Membrul întîi (p) al implicaţiei se nu meşte implicans, iar me mbrul al doilea implicat. Vom reveni, mai departe , asupra sensului implicaţiei . 7. Punctuaţia. Pentru a arăta că un anume semn se referă la o expresie logică întreagă , se închide acea expre­ sie în paranteză . Spre exemplu am scris : p . q = ""' ( '" p V '" q)

pentru a arăta că se mnul prim de negaţie se referă la dis­ j uncţia logică ,, '" p V ,..., q" întreagă . De asemenea se în­ trebuinţează, în acelaşi scop , punctuaţia pentru a despărţi diversele părţi ale unei expresii logice (formule logice) , Principia

46

lI1alhemalica ,

voI . I , p. 9 B .


3.2. Idei primitive

părţi care trebuie luate ca un tot. De pildă , definiţia impli­ uţiei poate fi scrisă cu aj utorul punctelor :

Df.

p => q . = . "'-' p V q

_\ceasta arată că se mnul de definiţie , , = " funcţionează intre întreaga expresie "p ::> q" şi întreaga expresie din dreapt a , '" p V q" . Cînd s-a întrebuinţat deja un punct, pentru a expri ma un al t domeniu pînă unde se întinde puterea unui simbol se întrebuinţează două puncte, apoi t rei etc. Domeniul pe care-l indică un punct e ste pînă la sfîrşitul unei propoziţii moleculare sau pînă la un număr diferit de puncte . 8 . Semnul d e a.serţiune. O propoziţie poate f i afirmată sau numai considerată. De pildă , dacă spunem propoziţia "Cezar a trecut Rubiconul", am afir mat această propoziţie, pe cînd dacă spunem "Cezar a trecut Rubiconul este o propoziţie" , propoziţia nu mai este afir mată, ci nu mai luată în considerare8• In limbajul obişnuit s e recunoaşte i mediat că o prOPIJ­ ziţie este numai luată în considerare după vorbele care o precedă şi care o fac ipotetică : dacă . . . (if so-and-so) . Si mbolul întrebuinţat de Frege pentru ideea de aserţiune ŞI pe care l-a adoptat şi Russell este 1 Dacă scrie m : ,,

,, -

"

.

1- · p însea mnă "p este afirmat" . Dacă însă p1:nem acest semn inaintea unei i mplicaţii, de exe mplu :

f-

p

=>

q, trebuie citit : "este adevăr at că p i m plică q" ; cu alte cuvinte semnul " f-" se referă acum la se mnul ,,=>", iar propoziţiile p şi q sînt numai considerate ; de spre ele nu afirmăm nimic. 9. Inferenţa. Să presupunem că se afirmă propoziţia p şi că se mai afirmă şi propoziţia p => q, adică : .

1- . p 1- . p => q 8

Principia Ma lhemalica ,

yol .

1 , p . 96.

47


LogicG polivalentd

În condiţiile acestea, dacă p este adevărat , şi dacă este adevărat că p implică q, urmează că şi q este adevărat, după definiţia implicaţiei (o propoziţie adevărată nu poate implica una falsă) . Aşadar, din aserţiunile d e mai sus scoatem aserţiune a lui q : 1- . q Se vede dar cum poate servi i mplicaţia russelliană la deducţia unui adevăr. In cazul acesta, şi numai acesta, i mplicaţia are rolul une i deducţii, caz cunoscut şi in logica veche sub nu mele de modus ponens . După cum se vede, o inferenţă este cu totul altceva decît o implicaţie , şi numai într-un caz particular al i mplica­ ţie i , cînd se afirmă şi adevărul primului membru , poate fi ea aplicată. Russell zice că o inferenţă este disoluţia unei i mplicaţii. Niciodată o implicaţie nu este o deducţie, dar poate servi, în cazul cînd e afirmată, la o deducţie ' prin modus ponens.

*

3.3. Functii de adev�r

Pentru a înţelege mai exact ce reprezintă o disjuncţie , o conjuncţie sau o implicaţie logică, să facem să intervină ideea de funcţie , şi anu me aceea de funcţie de adevăr. A m văzut că o propoziţie arbitrară p poate lua două valori de adevăr : falsul şi adevărul . Dacă , in general, ne gindi m la ceea ce înseamnă o funcţie în mate matică, adică o variabilă ale cărei valori depind de valorile altei variabile , putem imagina şi in logică funcţii logice . O funcţie logică va fi o expresie în care vor intra una sau mai multe varia­ bile şi care va deveni de fiecare dată o propoziţie cînd se atribuie variabilelor serr,nificaţii determinate . Din aceas­ tă cauză, Russell a numit funcţiile logice funcţii propo­ ziţionale . 48


3.3. Funcţii de adevăr

Fie de exe mplu expresia "p V q" ; se vede i mediat că aceasta este o funcţie propoziţională cu două argumente , P ŞI q : ((p,q) = p V q Este interesant aici faptul că valoarea de adevăr a funcţie i ( depinde numai de valorile de adevăr ale argu­ mentelor p şi q şi, în nici un fel, de conţinutul lor. într-a­ devăr, după definiţie, ((p,q) este în cazul nostru "p V q" , adică cel puţin unul din argu mente trebuie să fie adevărat. Să presupunem că p este adevărat şi q este fals, atunci definiţia este satisfăcută, "p V q" este adevărată şi tot aşa ((p,q) care o reprezintă. Să presupunem că p este fals şi q este adevărat ; definiţia este satisfăcută şi deci expresia "p V q" este adevărată, aşadar şi ((p,q) . Alt caz ar fi cînd şi p şi q ar fi adevărate amîndouă, deci ((p,q) ar fi iarăşi adevărată. în sfîrşit , dacă p este fals şi q este fals , atunci definiţia lui "p V q" nu este satisfăcută şi ((p,q) este falsă. Aceste rezultate pot fi examinate direct pe un exemplu. Fie disjuncţia logică "afară plouă sau ninge". Funcţia noastră este : p

= afară plouă

q = (afară) ninge ((p,q) = afară plouă sau ninge

=

p V q

Să presupunem : 1) p este adevărat şi q fals (afară plouă , dar nu ninge ) ; propoziţia "afară plouă sau ninge" exprimă un adevăr, ((p,q) este adevărată în cazul acesta ; 2) să pre­ supunem că propoziţia p este falsă şi q adevărată (afară nu plouă , dar ninge ) ; propoziţia "afară plouă sau ninge" expri mă U I I adeYăr, f(p,q) este adevărată ; 3) dacă şi p şi q sînt amîndouă adevărate (adică dacă afară plouă şi ninge simultan) , propoziţia "afară plouă sau ninge" este adevărată, adică ((p,q) este adevărată ; 4) în fine , dacă şi p şi q sînt false , propoziţia "afară plouă sau ninge" nu ex­ primă un adevăr, deci este falsă ca şi ((p,q) , care o repre­ zintă.


Logica polivalenti1 Se poate deci conchide , în general , că dacă avem o disj uncţie logică f(p , q) = P V q, e a este adevărată dacă unul din argu mente este adevărat sau amîndouă şi este falsă numai cînd amîndouă argu mentele sînt false . Este de remarcat aici fap tul că p utem şti cînd Q

funcţie de felul acesta f(p , q) este falsă sau adevărată fără a ne interesa de loc de conţinutul argumentelor.

Valorile de adevăr ale funcţiei depind numai de valorile de adevăr ale argumentelor , fără a face să intervină , în nici un fel , se mnificaţia lor . De aceea Russell a nu mit aceste funcţii funcţii de adevăr. Este evident că şi funcţiile :

p f (p) f(p,q) = p . q =

,....

f(p , q ) = p :::) q sînt funcţii de adevăr , ca şi toate funcţiile în care argumen­ tele sînt propoziţii. Proble m a dacă toate funcţiile din logică si din stiinţă sînt functii de adevăr nu este încă . definiti� soluţionată'. Să s t udiem, odată cu Wit t genstein8 , funcţiile de adevăr. Pentru aceasta vo m nota , pe scurt , adevărul c u A şi falsul cu F. A m introdus pînă acum numai funcţiile de adevăr : negaţia , disj uncţia , conj uncţia şi implicaţi a . Vo m m a i defini două , foarte utilizat e : echiyalenţa şi incompatibili­

tatea.

Două propoziţii vor fi echivalente dacă ele sînt adevărat e sau false în acelaşi timp , adică dacă a u aceeaşi valoare de adevăr . " Semnul de echivalenţă es te ,,= . Aşadar :

f(p , q)

.

=

.

p=q

Df·

7 Lewis , spre exemplu, a con testat această p ărere (C. I. Lewis & C. H. Laoglord , Symbo lic Logic, l I , ed. 1 959, p . 1 47 , 200 , 234 ) . 8 Ludwig Wittgen .. lein, Tracla lus Logico-Phi losophicus, prop .

4. 442 ( E d . Kegan Pau l , London, 1933 ) . Schemele care urmează se da toresc acestu i logician .

50


3.3. Funcţii de adevăr

Inco mpatibilitatea exprimă o funcţie de adevăr în care argu mentele nu pot fi adevărate în acelaşi ti mp, prin ur mare cel puţin unul este fals. Semnul de incompatibi­ litate este " \ " , aşa că putem scrie : f(p , q) = p I q

Df·

Acest semn se va citi : "p inco mpatibil cu q" . Să analizăm acu m aceste funcţii de adevăr . Argu mentul p poate lua valoarea A sau F ; argu mentul q poate lua va­ loarea A sau F. Aceste valori pot fi combinate în ur mătoa­ rele patru moduri : 1 ) p adevărat şi q adevărat (A A ) ; 2) P fals şi q adevărat (FA) ; 3) p adevărat şi q fals (AF) ; 4) P fals şi q fals (FF) . Vom păstra această ordine pentru studiul tuturor func­ ţiilor de adevăr cu două argumente . Dacă luă m acum funcţia de adevăr, de exemplu con­ i uncţia logică f(p, q) = p q , •

este uşor de văzut ce valori de adevăr corespund pentru ea cînd se atribuie unul din aranja mentele de mai sus ale valorilor de adevăr pentru argu mentele p şi q . Putem, astfel, să construi m ur mătorul tabel si mplu, în care se citesc i mediat valorile de adevăr pe linia corespunzătoare fiecărui aranj a ment.

1. A A 2. F A 3. A F 4. F F

A F F F

Vo m putea acu m să scriem pentru toate funcţiile de adevăr definite un ase menea tabel , în care să se vadă i me­ d iat ce valori de adevăr le corespund. Vo m face un singur tabel care să le cuprindă pe toate. 51


Logica polivalentă Mai

întîi, pentru negaţie

ave m :

p \ "' p

I

A F

F A

Pentru celelalte funcţii de adevăr găs i m tabelul următor:

p q \ p V q l p · q \ p :J q\ p = q \ p l q 2. F A 3. A F

A A A

A F F

A A F

A F F

F A A

F F

F

F

A

A

A

1. A A

4.

S-.!. vede că pent.ru fiecare din aceste funcţii de adevăr .;u două argu mente corespund, în ordinea aranjamentelor valorilor de adevăr ale argumentelor, o grupă de valori carac­ teristică fiecăreia . De exemplu , pentru corespunde grupa AAF A, pentru grupa AAAF e t c .

"p :J q"

p V q,

Pute m spune c ă o grupă d i n acestea caracterizează pe deplin funcţia de adevăr corespunzătoare , şi după fiecare p utem recunoaşte ce fel de funcţie particulară ave m . Cîte funcţii d e adevăr c u două argumente putem avea? Cîte grupe de acestea putem face , fiindcă fiecăreia îi va corespunde una . Cu două litere A şi F se pot face aranja mente cu repetiţie in număr de ave m în total Wittgenstein

16

222 = 24

funcţii de adevăr

cu

=

16.

a calculat c ă pentru n argu mente

22n

vo m avea , în m o d analog,

Aşadar ,

două argument e .

funcţii de adevăr

p, q , r, . . . f(p,q,r . . . ) .

Funcţiile noastre nu sînt toate independent e , unele putînd f i expri mate prin altel e . Am văzut că :

p

52

.

q

. =

.

'" ('"'"' p V '"'"' q)


3.3. Funcţii de adevăr

Nicod a arătat că dacă se ia semnul de incompatibilitate ca nedefinit , ca semn primitiv, se pot exprima toate func­ ţiile de adevăr cu două argumente cu ajutorul lui9• Iată, de exemplu , cum se pot defini funcţiile noastre : ,,", p . = . p \ p (p I p) I ( q I q) p . q . = . ( p \ q) \ (p \ q) pVq

.

=

.

p � q = . p I ( q I q) Acestea sînt evidente . De exemplu p I p înseamnă p este fals ; p � q înseamnă p \ ( q \ q) , adică "p este adevă­ rat este incompatibil cu q este fals" etc. Am căutat să analizăm sumar funcţiile de adevăr10 pentru a ne da seama mai bine ce anume înseamnă articula­ ţiile logice între propoziţiile p , q , r. . . Propoziţiile p , q sînt numai considerate , nu se afirmă nimic despre el!:J iar legăturile dintre ele nu determină nimic cu privire la p şi q ; cu alte cuvinte p V q , P q, P � q etc. sînt legi de compoziţie , care consideră argumentele numai în mod ipotetic ; ele nu exprimă relaţii între argumente , ci posi­ bilităţi de co mpoziţie . Să luăm i mplicaţia . Expresia "din p rezultă q" nu traduce exact simbolul ,,�" şi de aici pot rezulta o mulţi me de confuziill. Implicaţia nu este decît o lege de compoziţie care lasă libertatea argumentelor să ia orice valori afară de acelea care ar însemna că primul argument este adevărat şi al doilea fals, după cu m din p V q sau din ", p V q nu rezultă absolut ni mic. Această semnificaţie pe care o atribuie Russell i mplicaţiei trebuie •

9 J. Nicod, A reduction in the number of the primi tive propo­ sitions of logic ("Proceedings of the London Mathema tical Society " , voI . XIX, Jan . , 1 91 7) . 10 O analiză m a i completă c ititorul O găseşte în lucrarea noastră Logica nouă , Bucureşti, 1 9t.O. 1 1 Rudolf Carnap scrie : "Că Russell a ales p entru legăt ura dintre prop oziţii caracterizată prin grupa A A F A denum irea <<impl icaţie » a avut o urmare nefericită . . . Unii care remarcă deoseb irea d intre imp l icaţie şi relaţia de consecinţă cred totuş i că semnul d e implicaţi e poate să exprime rela ţia d e consecinţă" (Logische Syntax der Sprache . Springer, Wien, 193t., p . 198) .

53


Logica polivalentlf

reţinută ca fundamentală. Numai această semnificaţie face ca funcţiile propoziţionale să fie independente de conţinutul pe care eventual l-am atribuit argumentelor şi tocmai acest rezultat arată că logica s-a formalizat , dacă înţelegem prin formal "independent de conţinut" 12. Pentru a învedera lucrul acesta , să luăm două propoziţii arbitrare : p = ,,2 + 2 = 5" şi q "Bucureşti este un oraş în România" . Ei bine , deşi în li mbajul curent nu vo m întîlni astfe l de propoziţi i , în logica formală russelliană propoziţia « ,,2 + 2 = 5" sau "Bucureşti este un oraş în România" » este o propoziţie adevărată , fiindcă o disjuncţie logică este adevărată dacă cel puţin una din propoziţii este ade­ vărată (aici pri ma este falsă şi a doua adevărată) . Tot astfel propoziţia «"Bucureşti este un oras în România" implică 2 + + 2 = 5" » este o propoz iţie falsă, fiindcă o prop �� iţie adp.-vărată nu implică una falsă. Acest lucru se vede mai iÎşor dacă utilizăm definiţia i mplicaţiei : =

P

:J q . =

• ......

pV q

în cazul nostru , avem : « (,,2 +2 = 5") sau "Bucureşti este un oraş în România"» . Adică : e ste fals că 2 + 2 = 5" sau este adevărat că "Bucureşti este un oraş în Ro mânia". însă în cazul cînd ambele propoziţii ale unei disjuncţii logice sînt adevărate , d isjuncţia este adevărată. Prin ur mare , î n sensul acesta , o propoziţie falsă poate să implice una adevărată. Din schemele de mai înainte se vede că p :J q este totdeauna adevărat dacă q este adevărat şi totdeauna adevărat dacă p este fals, indiferent de ce valori ia celălalt argument. Aceste rezultate sînt evidente dacă ţinem sea ma că. p ş i q nu au nici o semnificaţie. ""'"

,,

1 2 ., I nd epend e n t d e c o nţinut" nu s e referă l a tru ismul e p is­ t emol ogie că orice formă l ogică are un c onţinut , c i l a princi­ p iul extensionalităţii , c are face abstracţi e d e con ţinuturi d e­ t ermi nat e .

54


3.4. Propoziţii primitive

.. 3.4. Propoziţii primitive In orice teorie deductivă se dau mai întîi cîteva idei primitive şi cîteva propoziţii primitive care se iau ca axiome , după care se deduc teore mele teoriei13. Ideile pri mitive ale sistemului lui Whitehead şi Rus s e ll a ro văzut că sînt : ideea de a reprezenta propoziţiile prin variabilele " p, q , r . . . j ideea de negaţie " ..... j ideea de d isjuncţie " V " j ideea de implicaţie ,, � " ; ideea de inferenţă. S-ar putea spune că aceasta este întreaga logică a propoziţiilor, fiindcă cu ajutorul acestor idei ea poate fi construită tn întregime. Noţiunea de implicaţie este definită de Russell cum am yăzutl' :

p �q.

1 .01

=

"" p V q

.

D f·

Russell pune în dreptul une i propozIţII, odată cu Peano, literele "Pp" , care înseamnă toc mai "primitil'e prop osi­

tion" .

Mai departe ave m : 1 . 1 Orice este i mplicat de o propoziţie adevărată este adevărat . Pp . Această propoziţie diferă de modus ponens fiindcă acolo se spune : dacă p este adevărat şi dacă implicaţia p � q este adevărată, atunci şi q este adevărat . Adevărul lui p este o ipoteză în inferenţa zisă modus ponens, iar aici este un fapt15•

1 .2

f- : p V p � p •

Pp.

Propoziţia aceasta afirmă : "Dacă p sau p este adevărat , atunci p e s t e adevărat", ceea ce este evident. E a poartă 13 A ic i ideea de axiome are un înţeles mai larg decît cel o b iş­ nuit p e care l-am intrebu inţat în cap . 2 ş i-l vom u t iliza ş i de a i c i înc o l o , acela de formulă considerată adevărată fără o demon­ s tra ţie . 14 Vom păstra ordinea ş i numerotarea formulelor utilizată de autori in Principia Mathematica. 1 1 P rincipia Mathematica, voI. 1, p. 99.

55


Logica polivalentă

numele de "principiul tautologiei" ŞI se va însemna pe scurt cu "T aut" . 1 .3

f-- : q

::> .

Pp .

PVq

Adică "dacă q este adevărat atunci sau p sau tf este adevărat" , ceea ce este evident. De exe mplu , fie q "astăzi este marţi" şi p = "astăzi este miercuri", atunci propoziţia 1 . 3 spune "dacă astăzi este marţi , atunci astăzi este marţi sau miercuri". Principiul acesta este nu mit "principiul adiţiunii", fiindcă afirmă că dacă o propoziţie este adevărată, orice alternativă poate să-i fie adăugată fără a o face falsă. Propoziţia 1.3 va fi însemnată pe scurt cu "Add" (de la Addition) . =

Pp . 1- : p V q . ::> . q V P Adică " p sau q i mplică q sau p " . Este legea comutativităţii 1 .4

(.Russell o numeşte a permutării) şi va fi însemnată pe Sc:dr t cu "Perm" (Permutation) .

1.5

f-- : p V (q V r) . ::> . q V ( p V r)

Pp .

Principiul acesta spune : "Dacă sau p este adevărat sau q V r este adevărat , atunci sau q sau p V r este adevărat". Este una din for mele legii asociaţiei logice şi s e numeşte principiul asociaţiei , însemnat pe scurt cu "Assoc". Tot aşa putem scrie :

p V (q V r) . ::> . (p V q) V r 1.6 1- : . q ::> r : ::> : p V q . ::> P V r "Dacă q implică r, atunci p sau q i mplică p sau

Pp .

" r .

Cu alte cuvinte, într-o implicaţie poate fi adăugată aceeaşi propoziţie la ambii membri fără să modifice valoarea de adevăr a implicaţiei. Principiul va fi nu mit principiul de însu mare (Summation) şi va fi notat pe scurt cu "Sum" . 1. 7 Dacă p este o propoziţie ele mentară şi '" P este o propoziţie elementară. Pp . 1 . 71 Dacă p şi q sînt propoziţii elementare şi p V q este o propoziţie elementară. Pp . 56


3.5. Consecinţe imediate

Cu alte cuvint e , siste mul for mal al calculului propozi­ ţional din Principia Mathematica, conform celor discutate in cap. 2, se constituie după cu m ur mează. Simbolurile primitive sînt variabilele propoziţionale , precu m şi simbolurile ",,-," (negaţia) , " V " (disjuncţia) , parantezele şi punctele18 • Din ele se pot obţine formule , co mbinîndu-le după următoarele reguli : 1 . O variabilă propoziţională este o formulă. 2 . Dacă A este o formulă , A este de asemenea o formulă. 3 . Dacă A şi B sînt formule , (A V B) este de ase menea o formulă. Parantezele vor putea fi înlocuite prin puncte, aşa cum am arătat mai înainte. Drept axlO me se aleg următoarele cinci for muIe : "'-'

1. 2. 3. 4.

5.

f- : p V p . ::J . p f- : q . ::J . P V q 1- : p V q . ::J . q V P 1 - : p V ( q V r) . ::J . q V (p V r) f- : . q ::J r : ::J : P V q · ::J · p V r ,

în care p ::J q este o scriere abreviată a formulei ""p V q . După cu m a arătat P . Bernays , cele cinci axiome nu sînt independente ; axio ma 4 poate fi dedusă din celelalte (vezi *9.2) şi deci se poate renunţa la e a . Re gulile de infermţă sînt substituţ ia şi modus ponens, care vor fi explicate in cele ce urmează.

*

3.5. Consecinţele imediate ale propoziţiilor primitive

Propoziţiile care ur mează vor fi consecinţe ale propo­ ziţiilor pri m itive . 18 A m numit aici sim boluri primi tive ceea ce Curry ( . 2 ,l.) numeşte indicii ş i operaţii .

57


Logica polivalentă

Demonstraţia lor va cons ta în a arăta că ele se deduc din aceste propoziţii prin una din ur mătoarele metode de deductie. 1. Metoda substitutiei. În orice formulă adevărată (axio mă sau formul i deja de monstrată) se pot înlocui literele prin orice propoziţie simplă sau moleculară cu condiţia ca aceeaşi literă să fie înlocuită pretutindwi în for mulă cu acee a ş i expresie . 2 . Modus ponens . Despre această metodă de inferenţă am mai vorbit . Ea se reduce la for ma următoare : dacă o i mplicaţie între două expresii este adevărată şi dacă primul me mbru al implicaţiei este adevărat , atunci tra­ ge m concluzia că şi me mbrul al doilea este adevărat. Vo m indica după metoda lui Russell sub o formulă modul ei de demonstraţie , aplicarea regulei modus ponens nefiind explicit specificată. Spre exemplu "Taut � p" înseamnă ce devine propop

ziţia "Taut" (principiul tautologiei) cînd se înlocuieşte p cu ....... p. Pentru a ne lămuri mai bine asupra procede u lui , să consideră m un exemplu. Fie propoziţia de demonstrat : Această propoziţie spune : dacă p implică proprIa sa falsitate, atunci p e ste fal s . Procedeul d e monstraţiei v a fi indicat pe scurt, dedesub­ tul acestei propoziţii, cu rezultatul ce ur mează :

[Taut �P]

1- :

-�

p V '" P

.

::J

'"

P

(1)

Şi încă :

( 1) . (1. 01 )

1 - : p ::J

""'

P

::J

""'

P

Adică, dacă substitui m în propoziţia însemnată "Taut", care este :

t-- : p V p · ::J . p, pe p cu ,..... p , căpătă m : '" p V "V p . ::J . "'-' P 58

(1)


3.5. Consecinţe imediate

A doua linie a demonstraţiei este indicată în parantezele ( 1 ) . ( 1 .01) , adică dacă aplicăm lui (1) definiţia ( 1 .01 ) , care este a implicaţie i , ur mează că suma logică "", p V ""'" p poate fi scrisă p ::> p , după cu m '" p V p este scris p ::> p. Ceea ce s-a scris în drept ul acestei paranteze este tocmai propoziţia de de monstrat. A m scris în faţa propoziţiilor primitive se mnul " f-" de aserţiune , fiindcă le-am luat ca axiome , ca propoziţii adevărate. Tot astfel în faţa fiecărei consecinţe adevărate , în faţa fiecărei propoziţii deduse punem semnul "f-" pentru a arăta că este adevărată . 2.01 1- : p ::> "" p • ::> "'" p ��

Dacă o propoziţie implică propria sa falsitate , atunci este falsă. Principiul reductio ad absurdum .

ea

Dem.17

� PJ 1- : [ Taut -;;

[(1) . (1 .01 ) ] f-

2.02

f- : q

Dem. [Add :'IJ

p V ...... p ::> • '" P

"'-'

::>

( 1)

:

•P

p ::> ::>

p

. ",

. ::> .

P

'"

q

(1 )

1- : q . ::> . "" p V q ::>

1- : q .

[(1 ) . (1 . 01) ]

.

P ::> q

O propoziţie adevărată q este impl icată propoziţie p .

2 . 03

f- : p ::> ...... q .

Dem. [Perm

� p, p,

[(1 ) . (1 .01) ] 17

-

q

]

::::J

q

::::>

"'-'

P

f- :

"-'

p V "'" q .

f- : p ::>

'"

q.

q

::::>

de OrIcare

::::>

q ::>

......

""

qV

"'-'

p

(1)

P

l nsemnăm cu "Dem", p e scurt , "dem onstraţia" .

59


Logica polivalentif

2 .04

1- : . p

.

::::>

::::>

q ::::> r :

q

:

::::>

p ::::> r

Dem.

[Assoc ;: :J -

f- :

p V (--- q V r)

. ::::>

f- : . p

q

(1)

'""'- q V ( --- P V r)

.

( ( 1) . (1 . 01 ) ]

::::>

.

::::>

::::>

r :

: q.

::::>

P ::::> r

Propozi ţ ia 2 . 04 este extrem de importantă . Ea se mai numeşte ş i "principiul comutativ" ("Comm") şi arată că dacă q implică ,., presupunînd p adevărat, atunci p implică ,. dacă q este adevărat. 2 . OS

::::>

1- : . q

,.

::::>

:

p ::::> q

. ::::>

::::>

r

'" p V q

.

::::>

p

p

Dem .

[ Sum /J

f- : . q

[(1) . ( 1 .01 ) ]

f- : . q ::::> r .

2 .06

f- : . p

::::>

q .

::::> ,. . ::::>

::::>

:

q ::::>

Dem.

[ Comm

q ::>r , p ::> q, ,, ::>r p,

P

[2 . 05]

:::l

,.

::::>

]

::::>

r : . ::::> : . p

f- : . q ::::>

[(1) , (2) ]

r

q,

::::>

:

:

:

,.

p

::::>

. ::::>

f-

q . ::::>

: : q ::::> "

q . ::::> : q

p ::::> q.

::::>

---

( 1)

pV r

::::> ,.

::::> ,.

P

::::>

p

. ::::> ,.

: p ::::> q . ::::>

. ::::>

::::> ,.

P ::::>

,.

(1) (2)

1 - : · p ::::> q · ::::> : q ::::> " · ::::> · p ::::> "

Ultimul rînd din demonstraţie se obţine prin inferenţă (modus ponens) din prem i sa (2) pe baza formulei adevă­ rate (1) . A mîndouă propoziţiile de mai sus, 2 .05 şi 2 .0 6 , sînt nu mite "principiul silogis mului" (pe scurt " Syll" ) , deoarece silogismul în Barbara derivă din ele. 60


3.5. Consecinţe imediate

:! .Oi

f-- : p

' ::>

[ �J

, PVp

Dem. 1 . 3

De monstraţia înseamnă : în propoziţia 1 . 3 se înlocuieşte cu p şi se capătă exact rezultatul . In continuare , de monstraţiile vor fi , de asemenea, prescurtate , indicînd doar principalele teoreme folosite �i substituţiile mai importante. Lectorul le va putea astfel reconstitui cu uşurinţă. q

2.08

1- , p

::> p

Dem .

[2.05

pVp, p . Taut , 2 .07 q, r

]

o propoziţie se implică singură. Această teore m ă · nu este principiul identităţii. Ea poartă numele de "legea identităţii" ("Id" ) .

2. 1

f-- , "'-' p V p

Dem . [Id . (1 . 01)] 2.11

f-- , p V "'-' p

Dem. [2 .1, Perm)

Cele două teoreme reprezintă principiul terţiului exclus : orice propoziţie este adevărată sau falsă . 2 .12

f-- . p

::>

"'-'

Dem.

[2.11 �JP 2.13

, 1 .0 1

('"'" p)

J

1- · p V ", {"'-' ( ....., pH

Dem.

[ Su m

-

Il,

q,

-

{- ( - r) } , 2 . 1 2 r

- TI ,

p

2 . 11

J 61


Logica polivalentă

2.14

f- . ",-, (

Dem.

[Perm

"'-

p ) => p

:

- ( - - Il) }

2 . 13

,

,

1 .01

]

Teoremele 2 .12 şi 2 .14 reprezintă cele două forme ale principiului dublei negaţii. De monstraţiile teoremelor care urmează se pot face urmînd aceleaşi metode ca pînă acum , aşa încît , de aici încolo, le vom omite1B• 2.15

1- : ""' p => q . => . ""' q => p

2.16

1- : p => q . => . "", q => ""' p

2:1 '7

1- : "'" q => ,....,. p. => . p => q

Teoremele 2 .03, 2 .15, 2 .16 şi 2 .17 sînt for me ale princi­ piului transpoziţiei. Ele arată că dacă o implicaţie este adevărată atunci este adevărată şi i mplicaţia inversă, obţinută transportînd termenii unul în locul altuia şi s chi mbîndu-le semnele . 2.18

1- : ""'" p => p. => . p

Această propoziţie este co mple mentară principiului reductiQ ad absurdum. Ea afirmă că o propoziţie care urmează din propria ei falsitate este adevărată. 2 .2

1- : p . => · p V q

2.21

f- : "'" p . =>

p => q

1 8 C ititor u l poate însă verifica, constru ind m a t ricea de adevăr a teoremei respective p e baza indicaţiilor date Î n * 3 . 1 4 , că a ceasta e s t e o "tau t o l o gie" , a d ică o r icare ar f i valo r ile d e adevăr ale variabilelor prop o z i ţionale v a l o area sa este A . Dar s-a arătat că in acest caz e a p o a te fi demons trată î n s is temul l u i \Vhitehead şi Russel l .

62


3.5. Consecinţe imediate

� : p . � . "'- p � q 2.25 1- : · P : V : p V q . � . p 2.24

2.26

1- : . "" p : V :p � q . � . q

� :. p . � : p � q . � . q 2.3 � : P v (q V r) . � . p V ( r V q) 2.31 � : p V (q V r ) . � . ( p V q) V r 2.27

� : (p V q) v r . � . p V (q V r) Propoziţiile 2 . 3 , 2.31, 2 .32 exprimă legea asociativităţii pentru adiţia logică a propoz iţiilor.

2.32

p V q V r . = · ( p V q) V r Df· Această definiţie priveşte numai parantezele , care , după cu m se vede , pot fi desfiinţate sau introduse într-o disiwlC­ ţie logică , fără a modifica ceva. 2.33

� :. q � r . � : p Vq . � . rVp 2.37 1 - : . q � r . � : q V p . � . p V r 2.38 � : . q � r . � : q V p . � . r V p 2.36

Aceste uIti me trei teoreme spun că , dacă o impli­ caţie este adevărată, atunci ea ră mîne adevărată dacă se adună logic la me mbrii ci o propoziţie oarecare p . 2.4

1- : . p . V . p V q � , p V q

2.41

.

. q . V · P Vq: � · pV q

1- . . ""'p . V · p � q : � . p � q 2.43 � : . p . � . p � q : � . p � q

2.42

"" ( p V q ) . � "" P 2.46 � : "'- (p V q) . � . "'-' q 2 .47 � : "'-' ( p V q) . � . "'-' p V q 2.48 � : "" (p V q) . � . p V "" q 2.45

:

63


Logica polivalenti1

2.49

f-- :

2.5 2.51

1- : f-- :

2.52

f-- :

(p V q) . :::> . ,,- P V '" q

"-

( p :::> q) . :::>

'"

(p :::> q) . :::> P :::> '" q

'"

(p :::> q) :::> . ...... p :::>

""

p :::> q

q

2 . 521 1- : ,..., (p :::> q) . :::> . q :::> p

P :::> q

2.53

t-- : p V q . :::>

2.54

f-- :

2.55

1- : . "'-' p . :::> : p V q :::>

2 . 56

1- : .

"'-

q . :::> : p V q . :::> . p

2.6

f-- : .

......

p :::> q . :::> : p :::> q . :::> . q

2 .61

1- : . p

2 .62

f-- : . p V q . :::> : p :::> q . :::> q

"-

p :::> q . :::>

PVq •

:::>

q

q :, : "- p' :::> q . :::> . q •

2.621 f-- : . p :::> q . :::> : p V q :::> q •

2 .63

f-- : . p V q . :::> : ......, p V q . :::> q

2 .64

1- : · p V q :::> : p V ...... q . :::> . p

2.65

f-- : . p :::> q

2.67

f-- : . p V q .

2.68

f-- : . p

2.69

1 - : . p :::> q . :::>

2 .73

f-- : . p :::> q .

2.74

1- : · q :::> p . :::> : p V q V r · :::> . P v r

2 . 75

f-- : : p V q . :::> : . p . V . q :::> r : :::> . p V r

2 .76

f-- : . p . V . q :::> r : :::> : p V q . :::> . p V r

2.77

1- : . p . :::> . q :::> r :

2.8

f-- : . q V r . :::> : '"'- r V s . :::> . q V s

64

:::>

q .

:::> :::> :::>

:::>

:

p :::> ......, q :::> •

p

q : :::> p :::> q

q : :::> . P V q q : :::> : q :::> p .

:::>

P

: p V q V r . :::> q V r •

:::>

: p :::> q .

:::>

P :::> r


3.6. Produsul logic a două propoziţii

2.8 1

1- : : q . => . r => s : => :. p V q . => : p V r . => . p V s 2.82 1 - : . p V q V r . => : p V "" r V s . => . p V q V s 2.83 � : : p . => q => r : => :. p => r => s : => : p => q => s •

2.85 � : . p V q => p V r : => : p V . q => r 2.86 1 - : . p => q => p => s : => : p => . q => s •

*

3.6. Produsul logic a două propoziţii

Am văzut că produsul logic a două propoziţii p şi q conjuncţia logică - inseamnă că "p şi q sînt amîndouă adevărate". Russell nu ia această legătură dintre propoziţii ca propoziţie primitivă , ci o defineşte cu ajutorul disjunc­ ţiei logice :

. "-' ("'-' p V "'-' q)

Df. Principalele teore me ale acestui paragraf sînt următoa­ rele : 3.01

p .q

=

� : p . q . => . "-' ("'-' p V "-' q) 3.11 1 "'-' ( "'-' p V "'-' q) => P . q

3.1

3.12 3.13

",-, p . V · "'-' q · V · p · q 1 - : '" (p . q) => "'-' P V '" q

f--

3.2

� : "'-' p V "'" q => "- (p . q) f-- : . p => : q => P q

3.21

� :. q . => : p . => . p q

3.22

� : p . q . => . q . p

3.14

Propoziţia aceasta exprimă legea co mutativităţii pentru produsul logic. 3.24 � . "'-' (p

"-'

p) 65


Logica polivalentă

Propoziţia aceasta expri mă principiul contradicţiei : este fals că o propoziţie este adevărată şi în acelaşi timp falsă.

P

3.26

f--- : p . q �

3.27

f--- : p . q . � . q

.

Teore mele 3 .26 şi 3 .27 se nu m e s c "princi p i ul de ficare" , la fel cu 2 .02 , din care au fost deduse .

si mpli­

1 - : . p . q . � . r : � : p ::> q ::> r Această teoremă spune : dacă p şi q i m p l i c ă î mpreună r , atunci p i m p l ică "q i mplică r" . Pe ano a nu m i t a c e s t prin­ cipiu "exportar e " , deoare ce q este scos ( e x por t at ) d i n pro­ dusul p . q.

3.3

3.31

.

f--- : . p . ::> . q ::> r : ::> : p . q . ::> . r

Teore ma a c e a s t a e corelatiyu p re c e d c nt e i j Peano o n u m e ş ­ " i mportare " .

te

3 .33 3.3�

1- : p � q . q � r . ::> . P ::> r 1- : q � r . p ::> q . � . p � r

Teore m e l e

3.35

3 .33

f--- : p . p

3 .3'1

şi

sînt e xpre s i i a l e

s i l ogi s mulu i .

q .�.q

D a c ă p e s t e adevărat şi în acelaşi t i m p p i m p l i c ă q, a t un c i q e s t e adevărat . Acest principiu va fi numit al aser­ ţiun i i . El e s t e d iferit de inferenţă ( 1 . 1 ) , deoarece aici "p este adevărat" e s t e i p o te t i c ("dae ă") , p c cînd în inferenţă p e s t e ad evărat de fap t .

3.37

f--- : . p . q . ::>

r

: � : p . ...... r . � . ......, q

Teorem a e s t c o a l t ă for m ă a principiului transpoziţiei.

3.4

1-

3.41

1- :. p

3.42

f--- : . q ::> r . � : p . q . � . r

3 .43

f--- : . p ::> q . p ::> r . ::> : p . ::> . q . r

66

:

p . q . ::> . p ::> q �

r

.� : p .q .�

r


3.7.

Echivalenţ.l

Dacă o propoziţie implică fiecare din alte douii propo­ ziţii, ea implică produsul lor logic. Pe ano a numit acest principiu al ,.compoziţiei".

3.44

f- : . q � p . r � p . � : q V r . � . p

Teorema aceasta e analogii cu 3.43.

3.45

1- : . p

q

: p .r .�.q r •

Principiul acesta arată că se pot "multiplica" logic ambii me mbri ai unei implicaţii şi căpătă m tot o impli­ caţie adevărată dacă prima este adevărată . Tot astfel se putea - cu m am văzut într-o teoremă precedentă ( 1 .6) să se adune logic o propoziţie la cei doi membri ai unci i mplicaţi i . Principiul este nu mit d e Peano "al factorului" . -

3 . 47

f- : . p � r . q � 8 . � : p . q . � . r . 8

Dacă p i mplică r şi q implică 8 , atunci p ŞI q împreună implică r şi 8 î mpreună . Această propoziţie fusese demonstrată încii de Leibniz (pentru c lase , nu pentru propoziţii) , care o numlse "p rae­ clarum theorema" .

3 . 48

f- : . p � r . q � 8 . � : p V q . � . r V s

Teore m a ace asta este analogă c u 3.47, unde se întrebuin­ ţează sume în loc de produs .

*

3.7. Echivalenta

Am întîlni t echivalenţa cînd am vorbit de functii de adevăr. Am văzut că două propoziţii sînt echiv� lente cînd au aceeaşi valoare de adevăr. Si mbolic :

p=q Acest lucru, după cum este evid�nt, nu se întî mplă decît dacă a mîndouă propoziţiile sînt simultan ade\-ârate sau simultan false . De aici rezultă că dacă prima este ade61


Logica polivalentă

vărată, a doua este adevărată şi dacă a doua este adevărată, prima este adevărată ; cu alte cuvinte p implică q ş i simul­ tan q implică p. Ceea ce l-a condus pe Russell să definească echivalenţa prin două implicaţii simultane1o•

4 .01 P = q = . p � q q � p D f· De aici mai urmează că în cazul cînd două propoziţii sînt echivalente se poate substitui una cu cealaltă fără a altera valoarea de adevăr a for mulei în care se face sub­ stituţia . Teoremele următoare sînt de reţinut : •

4. 1

1- : p � q - . ''-' q � '" P

4.11

1- : p = q . = . '" p = '" q

Aceste două teoreme sînt forme ale principiului trans­ poziţiei.

4.12

1- : p = ......, q . = . q == '" P

4.13

� . p = '" ('" p)

Teorema 4.13 e legea dublei negaţii : o propoziţie este echivalentă cu negaţia negaţiei ei. �

4.15

. r : = : p . '" r . 1- : . p . q . � . ,...., r : = : q . r .

4.2

1- . p

4.21

1- : p === q . ===

4 . 14

1- :. p . q . ::=

. '" q

� .

'" P

p •

q === P

4.22

1- : p = q . q = r . � . p = r 4. 24 � : p . = . p . P 4.25 1- : p . = . p V p Ultimele două teoreme exprimă "legea tautologiei" : p este echivalent cu "p sau p" sau cu " p şi p" . în această 1 8 Principia Malhemalica. voI . 1, p . 1 2 0 .


3.7. Echivalenta

diferenţă stă deosebirea fundamentală Între algebra logicii iÎmbolice şi algebra obişnuită . ... 3

1- : p . q = . q .

.. . 31

1- : p V q .

::::::::;

P

qV p

Aici, în 4.3 şi 4.31, avem exprimată complet legea comu­ tativităţii pentru produsul şi suma logică, pe cînd în 3.22 şi 1.4 această lege era exprimată incomplet (printr-o singură implicaţie) . 1 - : (p q)

4. 33

1- : (p V q) V r . = . p V ( q V r)

r. =.p

( q . r)

4.32

Propoziţiile 4.32 şi 4.33 exprimă �complet legea aSOCIa"! tivităţii produsului şi respectiv a sumei logice. 4.34

p. q. r.

=

.

(p

q)

r

Df.

Aceasta din urmă este o definiţie folosită la eliminarea parantezelor. ::>

:

p

::>

:

pV r = . qV r

r =. q. r

4.36

f-- :. p = q

4 . 37

f-- :. p = q

4.38

f-- : . p = r . q = s

4.39

f-- : . p = r . q = s . :::> : p V q . = . r V s

4.4

f-- :. p

:::>

qV r . = : p

: p.q.=. r.s q .V p •

r

Propoziţia aceasta (ultimă) exprimă prima formă a legii distributivităţii. Ea seamănă cu operaţia algebrică : p (q + r) 4.4 1

=

p . q + p . r.

f-- : . p. V . q . r : = . p V q . p V r

Aceasta este a doua formă a legii distributivităţii, în raport cu semnul " V ". Nu are corespondent algebric. 69


Logica polivalentll

4 . 42

1- : . p . ==:: : p . q . V . p . ...... q

4.43

1- : . p . :::= : p V q . p V "-' q

4. 4 4

I

4.45

1- : p . -= . p . p V q

1-

:. p . = : p ·V· p . q

Următoarele formule găsi t e de De Morgan.

sînt

corespunzătoare

4.5

� : p . q . :::.::: . ...... (""'- p V '""'-' q)

4.61

f-- :

4.52

1 -- : p . '""-' q . ::::::: .

4.5 ::3

f-- :

'"'"'

( p . '""'-' q) . :::.::: . '"'"' p V q

4.5 4

� :

......

p

4.55

1- :

'"

( ...... p . q) .

4.56

1- :

""'-

p . �� q .

4.57

f-- :

'"'"'

("" p . ...... q)

......

unor

legi

(p . q) . ::= . ...... p V "-' q

. q

==

.

.

( '"'- p V q)

'""-'

......

(p V

=

. pV

==

'""-'

q)

"-'

q

. '"'- (p V q) •

==

. pV q

Formulele care urmează se obtin din cele de m ai sus i me d i a t . Ele arată cum se pot 'transform a i m p l ica ţiile in s u m e sau în n egaţii de produse l o g i c e . =>

==

. "'"' p V q

4.6

f-- : p

4.61

� : ....... (p

4.62

f-- : p

4 . 63

f-- :

"-'

(p => -- q) . = . p

4.64

1- :

......

p

4.65

� : ,....., ( '""-' p

4.66

f-- : ,....., p

70

=>

q.

=>

""�

=>

=>

q) .

==

q. =.

q

.......

p V ,....., q •

q

= . pV q

=>

......

. p . ,....., q

q) .

:=

. ,....., p . ...... q

q = . p V "-' q •


3.7. Echivalenţa

�.67

1- : "" ( ..... p ::> ...... q) . == . "" p . q

�. 7

f- : . p ::> q . = : p

;.71

1- : . p

::>

.

::> . P . q

q . == : p . == . p . q

Âceastă ultimă propoziţie este foarte întrebuinţat ă . Ea îngădui e să transformăm oricare implicaţie logică i ntr- o echivalenţă, ceea ce - scrie Russel l - are avanta­ j ul de a asimila, pe cît se poate, logica simbolică cu algebra20• ne

4.7 2 �.7'....� �

1 -- : . p

L :, q . ,

::>

q .

::>

=

: q . = . pVq

: p. = . p . q

Această teoremă este deosebit de i mportantă deoarece arată că un factor adevărat poate fi omis dintr-un produs fără a a ltera valoarea de adevăr a produsului. = .

4.74

f-' : . "" p . ::> : q .

4.76

f- : . p ::> q . p ::> r . = : p . ::> . q . r

4.77

f- : . q

4.78 4.79 4. 8

pVq

::>

p . r ::> p . = : q V r . ::> . P 1 - : . p ::> q . V . P ::J r : = : p . ::J . q V r

f- :. q ::J P . V . r ::::> p : = : q . r . ::J . P f- : p ::> "" p . = . P .... J

4.82

f- : "'" p ::> P . = . P f- : p ::J q . P ::J ,..... q . = . ,..... P

4.83

f- : p ::> q . "" p ::> q . = . q

4.84

1- : . p = q .

4.85

1- : . p = q . ::J : r

4.81

::>

: p ::> r . = . q ::> r ::>

p . = . r:::> q

2 0 Principia Mathematica, voI . 1 , p .

1 26.

71


Logica polivalentii

4.86 4.87

1- : . p = q . :::) : p = r . == . q = r 1 - : . p . q . :::) . r : = : p . :::) . q :::) r : :::= : q . :::) . p :::) r : ;::=: : q . p . :::) . r

Acest ultim principiu include principiile de exportare, importare şi legea comutativităţii.

*

3.8. Propoziţii diverse

5.12

1- : p . q . :::) p = q f-- : p :::) q . V · ,....".. p :::) q 1- : p :::) q . v . p :::) "'" q

5 .13

f-- : p

q .v. q

:::)

P

5.14

f-- : p :::) q . v . q

:::)

r

5.15

1- : p = q V . p ::::::: "'"

5.16

f-- . --..., (p

5.1 5.11

:::)

::::;;::

q. p

=

q

...... q)

Nu este adevărat că p este echivalent cu q şi în acelaşi t i m p p este echivalent cu '" q .

5.18

1- : p V q · '" (p . q) . :::= . p ;::=: '" q f-- : p = q = . '" (p == '" q)

5.19

f-- . '" (p = ,......" p)

5.17

f-- : '" p . "" q . :::) . p = q f-- : . "" (p == q) . = : p . ...... q V . q . ,......" P 5.23 f-- : . p = q . ;::=: : p . q V . '" p . '" q 5.24 1-- : . ,......" (p . q . V . '" p . '" q) . == : p . "-' q . V · q . "" P 5.25 f-- : . p V q = : p :::) q :::) . q 5.21

5.22

Propoziţia aceasta arată că am fi putut lua implicaţia ca o idee primitivă deoarece disjuncţia poate fi exprimată cu aj utorul ei. 72


3.8. Propozitii di'l:erse

Russell nu a procedat aşa, fiindcă în cazul acesta ar fi avut nevoie de mai multe propoziţii primitive.

5.3 5.31

1 - : . p . q . :J . r : = : p . q . :J . P . r 1- : . r . p :J q : :J : p . :J . q . r

5.32

r-- : . p

5.33

r-- : . p . q

5.35

1-- : . p :J q . P :J r .

5.36

1- : p . p

. :J .

q=r : - : p. q . =. p . r

:J

=

:J .

r. = : p : p . q . :J

p .

:

q. =. q . p

:J .

q

r

_

q

5.41

1- : . p :J . P :J q : = . p :J q r-- : . p :J q :J . P :J r : = : p .

5.42

r-- : : p .

5.44

r-- : : p

::J

5.5

r-- : . p

. ::J

:p

5.501 r-- : . p

. ::J

:q.=. p=q

5.4

r

.

:J .

.

::J .

q .

q

::J

::J

:

::J

r

:

= :. p

. p ::J r .

. ::J :

==

q :J r

. ::J .

q

r

: p . ::J . q . r

q .= . q

5.53

r-- : . p V q V r . :J . s :

5.5 4

1- : . p . q

= . p :V : p . q .

==

.q

5 . 55

1- : . p V q . = . p : V : pV q .

=

.q

5.6 5.61

1- : . p . "-' q . :J . r :

:J .

5.63

1- : . p V q .

5. 7

r-- : . p V r . = . q V r

5.71

r-- : . q :J "" r .

5.74

1- : . p . ::J . q = r

:

5.75

r-- : . r :J "" q : p .

==

.

P .

=

_

:

p ::J s . q ::J s . r ::J s

:p.

qV;

r-- : p V q . "-' q . = . p . '" q 5 . 62 r-- : . p . q . V . '" q : == . p V '" q =

:

p . V . "-' p . q

:J :

:

= : r .V · p = q

p Vq . r . = = : p :J q .

qV r

p . r

.

.

= . P ::J r

: ::J :

p . ......, q

.

= .r 73


B.

Calculul

cu funcţii

* 3.9. Funcţii propoziţionale În capitolul pre ce d e nt am tratat propoziţiile c a pe niş t e între gi , fără a ne interesa dacă a u sau nu o s tructură in­ terioară şi care p o a t e fi ea. Vom considera a cum , şi a ceastă s t ru ctură în calculul care p oartă numele , în

Principia Mathematica, d e "calculul funcţiilor propozi­ ţionale". Numele acestei p ărţi a l ogicii derivă din con­ ceptul fundamental de funcţie propoziţională, p c care îl vom e xp licita în c e l e ce urm eaz ă21. Fie , spre exemplu, propoziţia "Socrate este muritor". In calculul propoziţional a m fi simbolizat-o prin l itera p, deoarece este o propoziţie simplă ( nu include m ai multe A

propoziţii ) . Ceea ce nu sp une nimic c u privire l a alcătui­ rea sa. Ea este alcătuită dintr-un subie ct şi un pre di cat s a u , m ai general , dintr-un i n d ivi d , "Socrate", şi o pro­ prietate , "muritor", şi afirmă că individul are această proprietat e . Dar ş i " P laton e s t e m uritor", ş i "Aristotel e s t e muritor" e t c . ; propoziţii cu a ce e a şi formă, doar individul diferă. Dacă îl notăm în general cu x, forma comună a t uturor a cestora va fi " x este

murit or"

Cum x este considerat aici ca un individ varia b i l , expre­ sia n u mai reprezintă o propoziţie, ci doar un simplu crochiu, .. , u n vas destinat a primi o semnificaţi e22• Russell o numeşte funcţie propoziţional ă , iar pe x - argu­ mentul funcţiei propoziţionale23. 2 1 î n l u crarea l o r , Grundlagen der Nlathematik , voI . I ( 1 934) , Hilbert şi Bernsys l-au num it calcul cu p red icate, ut ilizînd pen tru ceea ce n u m im a ic i funcţie propoz iţională denum irea u e predica t . 2 2 B . Russell, Introduction to mathematical phi losophy, tra d . franceză , p . 1 8 8 . 23 Iată c e scriu autorii Principi i lor : " P r intr-o funcţie p ro p o ­

ziţională înţelegem ceva c a r e c o n ţ ine o variab i lă x ş i exprimă o prop oziţie de îndată ce lui x i se a tribuie o valoare" ( p . l.1 ) .

74


3.9. Funcţii propoziţiona.le

Imprumutînd simbolismul matematic şi notînd cu f proprietatea ("muritor") , e xpresia va putea fi reprezen­ t a t ă p rin

r (x)

.. j

s e va citi " x are proprietatea f" sau pur şi simplu "x .. ste r. Cît eodată privim şi proprietatea ca pe ceva varia­

�)il, putînd lua diverse valori : muritor, raţional etc. _-\tunci utilizăm pentru notare a e i literele alfabe t ului :;recesc cp, y, X, . . . ? (x) Y H reprezenta t o t " x arc proprietatea cp " , însă nici _r şi n i ci ? nu sînt determinat e . O pro p oziţie p o a t e fi adevărată sau falsă. O funcţie propoziţională poate deveni o propoziţie - şi prin aceasta adevărată sau falsă - cînd argumentul x şi proprietatea q:> c a p ă t ă valori determinate . Vom nota, pentru a face distincţie, valorile detel minate pe eare le poat e lua al'gument ul prin a,

b,

c. . .

I ar celc p e care l e poate lua

r,

g,

cp

prm

It . . .

Spre deosebire d e acest e a , x,

y,

z. . .

vor reprezenta indivizi variabili, Iar cp ,

y,

X· . .

proprietăţi variabile. Intr-o funcţie propoziţiona iă determ inată f (x) spre exemplu " x este muritor" - , argumentul poate lua va­ lori pentru care aceasta dev ine o propoziţie adevărată (de exemplu x = Aristotel ) , valori pentru care ea devine o propoz iţie falsă (de exemplu x = Prometeu) , dar în n i c i un eaz valori pentru eare eăpătăm o simplă înşiruire de cuvinte fără sens j de pildă "numărul şapte este muritor" (pentru x = numărul şapte) . Adică trebu i e să ne limităm -

75


Logica polivalentil

la acele valori ale argumentului care o fac să devină o propoziţie cu sens . Acestea formează "domeniul" funcţiei propoziţionale24• Un alt mod de a transforma o funcţie propoziţională dată "f( x) " într-o propoziţie (care poate fi adevărată sau falsă) este cuantificarea , şi anume cuantificarea uniIJer8ală sau generală şi cuantificarea p articulară sau exi8ten­ ţială . Prima se aplică cînd vrem să exprimăm faptul că funcţia devine o propoziţie adevărată pentru fiecare d in indivizii domeniului său , să z icem : a, b, c. . . Pentru aceasta vom SCrle : (x) . f ( x) , ceea ce înseamnă "f(x) pentru toţi x" sau "f(x) întotdeauna". Adică f (a) , f ( b) , f (c) sînt toate adevărate . Cînd sînt în număr finit, aceasta echivalează cu . . .

f (a) . f ( b) . f ( c) . . . asa cum rezultă din modul în care am definit conjuncţia l � gică . Semnul (x) pus în faţa funcţiei ca să indice această transformare se numeşte cuantificatorul uniIJer8al. Cînd cel puţin una din propoziţiile f (a) , f ( b) , f (c) . este adevărată, adică pentru cazul finit cînd . .

f (a) V f (b) V f (c) V . . . Vom scrIe : (3 x) . f ( x) , ceea ce înseamnă evident că "există cel p uţin un care f (x)" sau "f ( x) uneori".

x

pentru

2' Frege asimilează funcţia propoziţională ((x) , unde x poate lua numai valori d in domeniu , cu conceptul. Mulţimea indivi­ zilor a , b, c astfel Încît ((a) , f(b) , ((c) . . să f ie toate p ropoz iţii adevărate formează extensiunea conceptulu i (Grundgesetze der Arithmetik, v o I . 1, Jena, 1 893, § 3) . . . .

76

.


3.10. Idei primitive

Cuantificatorul (3 x) se numeşte existenţial sau p arti­ cular25• Astfel (x) . f (x) şi (3 x) . f (x) nu mai reprezintă n işte funcţii propoziţionale , ci nişte propoziţii . Frin urmare , deşi notat ca o variabilă, x nu mai reprezintă aşa ceva . Acelaşi lucru se petrece în matematică , unde integrala definită

�: f (x) dx este un număr şi nu o funcţie de x . De acee a , în asemenea cazur i , x se mai numeşte variabilă ap arentă sau legată. într-o funcţie propoziţională , f (x) , intervine însă o varia­ bilă reală sau liberă.

*

3.10. Idei primitive

După cum am văzut , calculul cu funcţii se constituie prin analiza mai adîncită a structuri i propoziţiilor , astfel încît e l nu exclude analiza făcută de calculul propozi­ ţiona l , c i , dimpotriv ă , şi-o incorporează în mod natural . î n consecinţă, ide ile primitive de l a care pleacă primul ( *3 .2) sint aici îmbogăţite . Le vom urmări din nou pe toate pentru a avea în faţă un tablou complet al lor . i . Prop oziţii elemer:ttare . Ele apar de fapt în ca1cul sub forma unor variabile c� pot lua drept valori propoziţii elementare . Aceste variablle sînt fie ca în calculul pro25 în logică - după canti tatea sub care este luat subiectul prop o z iţiile se împart în tre i categorii : 1 . singtdare : în care sub iectul este format d intr-un individ singular (de e x . "Aris t o t e l este muritor" ) ; 2 . universale : în care subiec tul este format d in toti indiviz i i u n e i anumite clase ( d e e x . "toţi oamenii sînt muritor i") ; 3 . particulare : în care subiectul este format d intr-o parte a ind iviz ilor u n e i anumite clase (de ex . "unii oamen i sînt muritori") . Analogia d intre acestea § i t ipurile de propoziţii ce se p ot o bţine d intr-o fu ncţie propoz iţiOlfal ă dată este transparentă.

77


[,ogica polivalentă

poziţional , p , q, r etc . , fie cpx, \)Ix, Xx, e tc .28, care , după cum am văzut în * 3 . 9 , reprezintă funcţii propoziţionale variabile ş i iau drept valori tot propozIţi i . Vom num i , după exemplul autorilor mai no i , orice expresie c u care operează calculul nostru , formulă . În a cest sens toate propoziţiile elementare sînt formule . 2 . Negaţia oricăre i formule , notată ca ş i în calculul propoziţiona l prin punerea în faţă a semnului "', este tot o formul ă . Am expl icat deja , În calculul propoziţiona l , care e s t e semnificaţia e i . 3 . D lsjuncţia a două formule (notată V ) este , de ase­ menea , formulă . 4 . Cuantificarea . În sfîrşit, dacă într-o formulă apare o variabilă de indivizi , spre exemplu x, reală sau liberă (vedeţi * 3 .9) - formula putînd fi scrisă atunci sub forma A ( x) -, înseamnă că ea e s te o funcţie propoziţiona) ă avînd drept argument pe x. Aşa , de pildă , p V cpx. In acest caz variabila respectivă poate f i cuantificată într-unul din cele două moduri . Ad ică tol. formule vor fj considerate ( x)

A

(x) şi (3 x) A (x) .

Inţe lesul lor este , po trivit cu înţe lesul celor doi c uant i­ ficator i , "pentru toţi x , A (x)" , şi respectiv "există unii x pentru care A ( x )"27 . O bservaţie . Ap l icînd de două ori operaţia de cuantifi­ care , s e poate ivi următoarea situaţie : formula A ( x) să conţină deja un cuantificator pentru variabila x , ca tn cazu l

( x) . �x V . cp x .

(1 )

Dacă am cuantifica acum variabila liberă x din membrul doi al disjuncţiei , spre exemplu cu cuantificatorul parti­ cular ( 3 x) ( 3 x) : ( x) . �x . V . cpx, 26 Pentru s i m p l ificare vom e l i m in a p ara n t eze le d i n scrierea func ţ i i l ol' propoziţionale în loc de 'll (x) punînd 'll x . 2 7 Formula A ( x) se numeşte în a c e s t c a z domenittl (de acţiune) al cuantificatoru l u i ( x) , respectiv ( � x) .

78


3 . 1 1 . Propoziţii primitive

nu am şti la care d in ce i doi x se referă acest cuantificator . Evităm această confuzie posibilă schimbînd cu y notaţia variabilei x legate sau a cele i l ibere d in (1) . At unc i for­ mu la obţinută în final va fi :

(3 x ) : ( y)

.

O/Y . V . � x

Ş I m C I o confuz ie nu mai este posibilă . Se presupune de obice i că toate formulele s înt construite În fe lul a cesta . Cu aj utorul idei lor primitive de mai sus , exact ca în calculul propoziţional , se pot defini conjuncţia, ilupli­ caţia ş i echivalenţa28 • Adică

=

.

"""'-' ( """'-' p V '" q)

Df·

- conjuncţia :

p . q

- implicaţia :

p -:J q . = . "' p V q

Df·

- echiva lenţa :

p = q . = . p -:J q . q -:J p

Df·

.

Vom nota exact ca în calculul propoziţional despărţirea părţi lor unei formule prin puncte ş i vom util iza semnul de aserţiune "f--" pentru propoziţiile al căror adevăr este postulat (propoziţiile prim itive sau axiomele) sau a l căror adevăr a fos t demons trat (teoreme le) .

* 3.11. Propoziţii primitive Ca ş i calculul propoziţiona l , ce l cu funcţii p leacă de la o serie d e propoziţii primitive . Pe baza lor se demon­ strează apoi teoremele calculului . Mai întîi s e includ printre acestea toate propoz iţiile pri m itive ale calculului propoziţiona l . Prin urmare teore­ mele ce se puteau demonstra acolo se pot demonstra şi C u p r i v i r e 1 ", d d i n i ţ i e , i n g<' n c r a l , s e pot face ", i c i n i şt e f o a r te i n t eresa n l e . A s t fe l , d e ş i cons iderată t o t ca u n s i m b o l a h r C' v i a t i v , e a tre b u i e s ă îndeplinească a n u m i te c o nd i ţ i i . d e e x em p l u : v a r i a b i l e l e l ibere u t i l izate în definienrlum tre b u i e să "' p ară î n deriniens ( v e d e ţ i H. Reiehenbaeh, Elemenls of Symbolic Logic. l\'cw Y ork , 1 948 . pp . 1 20 - 1 2lo) . 29

o bser v a ţ i i

79


Logica polivalentli

aici . Dar , aşa cum vom vedea , acest lucru se va folosi drept ajutor, scopul fiind îndreptat spre demonstrarea unor formule mai complicat e . I n plus , calculul cu funcţi i porneşte d e l a următoarele propoziţii primitive , pe care le vom numerota în conti­ nuarea c e lor din calculul propoziţional : 1 .8

1- : (x)

rpx .

:::>

rpy

Aceasta afirmă că dacă proprietatea rp are loc întot­ deauna atunci are loc şi pentru fiecare individ y în part e . 1.9

1- : rp y

:::>

(3 x ) . rp x

Adică proprietatea rp care este valabilă pentru fiecare y în par t e este valabilă ş i pentru unii d intre e i . 1 . 10. Dacă A ş i B (x) s înt două formule , astfel încît var iabila de ind ivi z i liberă x să nu apară în A şi dacă A :::> B (x) este o propoziţie adevărată , atunci şi A :::> (x) B (x) este o propoziţie adevărată . Evident, aceasta are loc indiferent d e notaţia variabilei din B : x, y etc. Spre exemplu, deoarece (x) . rpx

:::>

rpy

este o propoziţie adevărată (1 .8) şi A , adică (x) . '(x, nu conţine variabila de indivizi y, atunci (x)

rpx

:::>

(y) . rpy

este o propoziţie adevărată , ceea ce, de altfe l , este evident. 1 .1 1 . Dacă A şi B (x) s înt două formule astfel încît variabila l iberă x să nu apară în A şi dacă B (x) :::> A este o propoziţie adevărat ă , atunci (3 x) B (x) :::> A este şi ea o propoziţie adevărat ă . Spre exemplu , din 1 . 9 rp y . :::> ( 3 x) . rpx •

se poate deduce

(3 y)

rpy

:::>

(3 x)

rpX29 .

28 J . I..ukasiewiez n u m e ş t e cele două regu l i , de introducere a c u an t ificatorilor.

80

1 .1 0

şi

1 .1 1 , regul ile


3.12. Consecinţele propoziţiilor primitive

*

3.1 2. Consecinţele propoziţiilor primitive

Ca şi în calculul propoz iţion a l , formul e l e adevărate a l e calculului c u funcţ i i se deduc utiliz înd propoz i ţ i i le s a le prim itive ş i reguli le de substituţie şi modus ponens . Substituţia era regula prin care d intr-o formulă adevă­ rată s e obţinea a l t ă formulă adevărată, inlocu ind in prima o variab i l ă , peste tot unde apăre a , printr-o form u l ă . Dar cum a i c i , spre deosebire de ca lculul propoziţIOn a l , apar m a i multe fe luri de var iab ile , vom avea m a i multe regul i d e sub stituţ i i ; pentru f i e care tip cîte una . i . Pentru !Jariabilele legate , care , dup ă cum am arătat , nu s înt propriu-z is n işte variab i l e , avem doar p o s ib il i ­ t a t e a de a le schi mba nota ţ i a : d in x î n y e t c . Vo m avea însă grij ă în ase menea cazuri s ă nu uti l izăm acelaşi sim­ bol cu al une i variab i l e l ibere ce apare în formula respec­ t ivă sau cu al une i varia b i l e de asemenea legate , dar care apare în domeniul de acţi une al cuantificatorul u i respectiv (vezi observaţia din *3 . 10) . Spre exe mp lu expre s ia :

(x) . ep x . V . epy " ep are l o c întotdeauna s au are loc p entru un y oarecare" e s t e e chivalentă (şi se va putea demonstra aceasta) c u

( x)

.

epx V epY l

"pentru toţi x sau epx are l o c sau ep are loc pentru un y o arecare" . Intr-adevăr , ambe l e exprimă proprietatea une i funcţ i i propoziţionale ep de a fi pentru t o ţ i sau măcar pentru un i i indivizi adevărată (de a n u fi întotdeauna fal s ă , adică contra d ic torie ) . Dacă am schimba însă notaţia variab i l e i l e gate x în y , p r i m a formulă

( y)

<py V . <py

va exprima evident aceeaşi proprietate (ea s e c iteşte la f e l ) . Pe cînd a doua

( Y)

.

<py V epy, 81


Logica polivalentă

ţinînd seama că tfJy V tfJy este acelaşi lucru cu �y, conform teoremei 4 . 25 d in calculul propoziţiona l , se m a i poate SCrIe ca : (y) . tfJy ş i reprezintă a l t ă proprietate a unei fun(' ţ i i p l op n i ţ l O ­ nale rp (de a f i întotdeauna adcvărat ă , de a nu f i n I cI­ odată fa Isă) . Prin urmare , astfe l scrise ,- formulele nu m a i sînt echi­ valente . Aceasta se datoreşte confuziei produse prin u t i l i­ zarea aceluiaş i s imbol pentru două variabile d istincte : y d in primul ş i din a l doilea termen al disjuncţiei tfJy V 9Y (unul f iind varIabilă legat ă , celălalt variabilă l iberă ) . C onfuzia a dus l a înlocuirea nelegitimă a acestei form ule cu rp y . 2 . Variabilele libere a m văzut c ă p o t f i î n general înlo­ cuite cu indiVIzi concre ţ i . Intrucit in c a l c u l u l de care ne ocupăm nu vom lua în considerare asr:menea indiviz i , rămîne ş i pentru e l e doar posibilitatea d e a le seh i m b a notaţia , cu aceleaşi rezerve ca î n cazul p r e c e d e n t . 3 . Variabilele propoziţionale p , q, r � t c . p o t f i înlocui t e prin formu [e a l e calculului c u pred icate , avînd gr ijă însă ca eventuale le variabile l ibere sau legate ce apar în aceste formule să nu fie notate la fel cu vreuna din variab ilele legate ale expre s i e i în care facem subs t i t uţ i a . De p i l dă , în (x) . 9x V p nu avem dreptul să înlocuim varIab i la propoziţională p cu �x sau cu (x) . � x , dar o putem în locui cu tjly sau cu (y) . �!J. Motivul este lesne dc înţe les . 4 . Funcţiile propoziţionale e lementare de form a 9 x , .� y e t c . pot f i substituite prin formule ale calculului cu pre­ d icate ce conţin var iab ila liberă x , respectiv y e t c . Iată u n exemplu d e c(' înseamnă o asemenea subst i­ tuţie . în expresia (x) : (3 y) . tJ? x V .-....- rpy se cere să ş e sub­ stituie funcţia propoziţională tfJX cu formula ( z) . � z V ljix. Cum această funcţie apare în expresia dată în două locuri - su1) forma rp x ş i sub forma rpy -, va trehui să o înlo82


3.12.

Consecinţele propoziţiilor primit ive

cuim în i iecare d in e l e . Subst itut ia ne m a i Cerc însă ca argumentul formu l e i pe care o int�oducem să corespundă, de f iecare dat ă , cu argumentul l u i 9. Dec i , prima apariţie a lu i 9 o vom înlocui cu : (z) . �z V �x, iar a doua cu : :) . �z V �y . Rez ultă ( x) : . (:3 y) : (z) . �z V ?'x . V . '" (z) . �z V �y Ca ş i în cazur ile anter ioare , treb u ie să ne păzim de confuz iile ce se p o t ivi . Dacă , spre exemp l u , formula de in locuit o scriam sub forma (y) . �yV � x , modificarea necesară de argument ar fi transformat-o în ( y) . �y V �y şi confuzia inevi tab ilă d i ntre primul y ( legat) ş i al d o i l C'a y (liber) ne-ar f i dus , ca Într-un exemplu precedent , la identificarea e i nejustifi caH'l cu (y) . � y . Pe l îngă substituţii , î n demonstraţi i vom m a i uti liza şi regula modus ponens : dacă A şi A :::> B s înt formule adevărate ale calcululu i cu f un cţ i i , B este , de asemene a , o formulă adevărat ă . S ă t recem acum la demonstrarea a cîtorva asemenea propoziţii adevăra te30•

1- : (x) .

TL

"Dacă

<il

9 ·7:

.

:::>

. ( :3 x) . 9x

are loc întotdeaun a , atun ci are

loc

s' i uneor i" .

Demonstratie . Prin subst i tutie în teorema 2 .05 ( Syll) a calculului p ropoz i ţ ional ol; ţinem :

[ Syll - -----.- ----- r;).'];] 1- : : (x) . 9x. :::> . 9Y : :::> (X) . 9X, 97f , ( 3X) . Il ,

q,

r

--

: . ? !I . :::> . ( :3 x) rpx . : :::> : (x) . rpx . :::> . ( 3 x) . (p .r . D i n aceas t ă formulă , prin regula modus ponens , uti l izînd p c r înd a xio m e l e 1 . 8 ş i i . 9 , găs i m teorema Ti .

(x) . rpx . :::= . (3 x) . "-' rpX31 Pcntru dl'monstraţie o vom Împ ărţ i în c e l e două imp l i ­ caţ i i , d i n care , după definiţia 4 . 0 1 , se com pune orice echivalenţă .

T2

f- :

30

"-'

Ord i n c :l , n ! l m er o t area şi d � m () n s t l'a ţ i a

lor

va f i e e a

d i n Hi lbert

�i Beroays, G'rulld !ugell cler .'Ha thrmn t i k , 1 , c d . a I I - a , 1 9 6 8 , § 4 . 31 (x) . (jl .Y r'· p r�z i n tii. n e ţ:!a ţ i a formu l e i ( .r) . ']l x ; a ci i � rl _

- [ ( x) . <p.r ) ,

d i n c a re , p e n tru s i m p l i f ic a r e ,

s-au

om i, paran t e z e l e .

83


Logica polivalentii

T2a

:J

r-- : """" (x) . rpx .

. (3 x) . ......., rpx

"Dacă este fal s că rp are loc intotdeauna , atunci există unii indivizi pentru care rp DU are loc" . • :J

. - (x) rpx "Dacă rp nu are loc pentru unii indiviz i , atunci este fals că rp are loc intotdeauna". T2b

r-- : (3 x)

rpx

'""

D em. T2a : . :J

1- : ......., rpy

. ( 3 x)

.......,

rpx

(1)

Aplicînd in ( 1 ) teorema de contrapoziţie 2.15 obţinem

r-- : ......., (3 x) . ...... rpx . :J . rp Y (2) Din (2) , aplicînd regula 1 .10 de introducere a cuanti­ ficatorului universal , rezu1tă : r-- : '"" (3 x) . "'-' rpx . :J . (y) . rpy Aceasta din urmă , prin contrapoziţie (teorema 2 .15) , dă r-- : ......., (y) rpy :J . ( 3 x) . ......., rpx ceea ce trebuia demonstrat . •

D em. T2b : Axioma 1 .8 prin teorema de contrapoziţie 2 .16 dă :

r-- : ......., rpy .

:J

. ......., (x)

rpx

(1)

Aplicînd în (1) regula de introducere a cuantificatorului particular 1 .1 1 obţinem :

r--

: (3 y) . ......., rpy

:J . '" (x)

rpx

c . c.t . d.

T2 , în conformitate cu teorema 4 . 1 2 , este echivalentă cu : T2 '

r-- :

'"

(3 x)

.......,

rpx

=

. (x) . rpx

Nu vom mai da demonstraţiile teoremelor ce urmează . Ele se fac p e aceleaşi principii cu cele expuse m a i SUS32• 32 Pentru detalii vedeţi Hi lbllr t

84

şi BerDays , op. cit.


3.12. Consecinţele propoziţiilor primitive

T3

� : '" (x) . '" tp x

=

.

(3 x)

qJ X

Teoremele 2 ' ş i 3 citite de la dreapta la stînga ne fur­ nizează exprimarea unui cuantificator - universal şi respectiv p articular - în funcţie de celălalt . T3 '

� :

'"

( 3x)

=

qJx .

.

( x)

'"

qJ X

Teoremele 2 şi 3 ' dau rezultatele obţinute prin negarea propoziţiei universale şi respectiv particulare . �egînd propoziţia universală afirmativă "toţi x sint �" , căpătăm , conform teoremei 2 , propoziţia particulară negativă "unii x nu sînt q/' ; negînd propoziţia particulară afirmativă "uni i x sînt qJ" , căpătăm propoziţia universală negativă "toţi x nu sînt qJ"33 . T4a � : . (x) . p ::J qJx ::J : p ::J . (x) . r.px; T4b f--- : . p ::J (x) . qJx : ::J (x) P ::J qJ x Ca urmare a ce lor două imp licaţii stab ilite de teoremele •

.la şi 4b , T4

f--- : . (x) . p ::J qJx . = : p . ::J . (x)

qJ x

Deci afirmaţia că o propoziţie dată implică pentru fiecare obiect că el are o proprietate dată , ş i afirmaţia că propoziţia noastră i mp lică faptul că toate obiectele au proprietatea respectivă , sînt unul şi acelaşi lucru. Este evident cum , astfel tratate , expresii complicate d in lim­ baju l curent îşi lămuresc pe depl in sr,nsul . T5

f--- : . (x) . p V qJx .

= :

p·. V . (x) . tp x

Este o replică în termenii disjuncţiei a teoremei 4! T6 f--- : . (x)

p . qJ X

.

= : p

(x)

qJ x

Acelaşi lucru de astă dată în termenii conjuncţiei. Conjuncţia are însă - spre deosebire de d isjuncţie - o 33 Soluţia d ată problemei negării celor două feluri de propo­ z iţ i i este discutab ilă din punct de vedere logic , aşa cum am arătat în articolul La Negation des Quantificateurs ("Acta Lo­ gica", 1 967) .

85


Logica polivalentlf

proprietate analogă cînd amb ii c i termeni s înt funcţii de x, şi anume T7

f-- : . ( x) . rpx . lji x

.

=

:

( x)

. rp x

(x)

:

.

',;JX

Proprietăţile cxprimate de tcorcmeic 5 ş i II au l o c şi pentru cuant ificatorul p articular , respe c t iv T8

Tia

1-

:.

( 3 ,-v)

.

f-- : . ( 3x)

p V rp x

. =.:..:: :

. p . !p X . :=:=:

p . \;,

:

P

.

( 3 ,-v)

: (::l x) .

.

yx

;j ,-V ,

pc cînd , În a c e s t c a z , prolJl'ietatea de fe lul c e l e i exprimate de T7 este valab Ilă doar dacă înlocu i m conj uncţ ia prin d isj ullcţic T9

. (3 x) . )lx V tj;,r . :=: : (3 x) . y x . V . (3 x ) . 9 x In s f îrs l t , urm [ltoare l e t C G l ( lil l' pot fi c i t i t r ( li ll surin t, ă ' 1-

:

ş i expriI;lă proprie1 ă ţ i e v i d f nt r : Ti i

f-- : . (x) .

Dacă

,?X

)lX :::>

yx

. :::>

:

( .1') .

yX

.

:::>

.

(x)

yx

Impl ică întot d c a un ct ljix, atunci ,,«x întotd�a. ,,�x întotde L\una" .

una" implică T12

1- : . (x) . t'{J x

T 1 G�\

f-- : . ( x) .

TIGh

f-- : . ( 3x) .

TI7a

f-- : . (x)

.

T17b

f-- : . (,r)

.

:-J

yx

t'{J X =:J P . t'{J X ::J P

. �.

: (3 x) ,

';;' x . :::>

= : ( =:' x) . «x .

t'{J x = yx . yx =::: yx .

==

:

(x)

:

(x) .

� :

( ::: x)

(J x l

.

�),T

. = . P

y X . :::; . p t'{J x . ::= . . ,? x . ==

( x)

.

ljix

. (3 x ) . 1,)1.1;

* 3.13. Teoria tipurilor S-ar părea că , prin ordinea ş i rigoarea introdusă de s imbo l i ca ş i tchnica form a l ă , raţ. ionament ul s-a redus la nişte operaţii atît de s imple şi de elementare încît orice teamă de greşea l ă dispare . Calculel e îşi efectue ază fără greş sarcina , ducîndu-ne infailibil l a rezultat . Totuşi nu 86


3.13 Teoria tipurilor

"'5te aşa . Simbo lurile înseşi pot deveni în orice moment dintr-un aj utor o p iedică prin confuzi ile la care pot d a naştere . Ş i a c e a s t a i m e d iat ce , p ierzînd d in vedere semn i ­ ficaţia logică pe care le-am acordat - o , începem să l e m a­ nevrăm a u to m a t . Astfel , o dată c u edificarea logicii form a le , au apărut in cadrul ei şi primele paradoxe expuse formal . Burali­ Fort i , Cantor , Russ�ll e t c . au cxpus tot a t itea antinolll i i care au zguduit put ernic intreaga teorie , o b l i gînd-o să-ş i i a măsur i l e c uvenite d e se curi tate . Pentru a vedea mai îndeaproape cum stau lucrurile , vom expune unul din aceste paradoxe care întrebuinţează doar notiunea de functie propoz itională s, i a fost g ă s i t de Rus�.dl , ' in 190534. ' Să examinăm un pred ica t oarecare : dacă are propriet a ­ tea exp r i m a t ă d e e l însuşi , vom spune că are proprietatea de a fi predicabi l ; în caz contrar , arc proprietate a de a ti impredicabil. De exemp l u , predicatul "abstract" este e l însuş i abstract , dec i este predicab il ; d i mpotrivă, pred ica­ t u l "mam ifer" nu este el însuşi mam ifer , deci este impre ­ dicab i l . Un predicat are s a u nu proprIetatea p e care o exprimă, este deci predicabil sau impred icahi l , tertium non datur. in particular p re d i ca t u l " i m p r e d i cab i l " trebuie să fie predicabil sau impredicabi l , o a treia pos ib ilitate nu exist ă . Dacă este predicabi l , atunci admite proprietatea expri­ m ată de el însuş i , deci este impredicabil ; dacă este impre­ dicabil , atunci are proprietatea exprimată de el însuşi , deci este pred icabil! Contradicţia apare ş i m a i clar , traducînd în s i mbolis­ t ica calculului cu funcţii acest paradox. Notînd cu Imp predicatul "impredicabi l" , căpătăm o funcţie propozi­ ţ ională care p oate avea drept argumente tot predicate Imp (i./I) . Definiţia sa este Imp (i./I ) = � i./I (i./I) 34

Df·

Pentru aceasta ş i p entru alte paradoxe vez i lucrarea noastră

Soluţia paradoxelor logico-matematice, E d . ştiinţif ică , 1 96 6 , cap . 1 1 1 .

87


Logica polivalentă

",� este impredicabil dacă şi numai dacă � nu are proprie­

tatea �" . Aceasta are loc pentru orice pred icat �, ş i în particular pentru predicatul Imp , adică pentru � = Imp , în care caz ob ţinem : Imp (Imp) =

"-'

Imp ( Imp)

Propoz iţia «"impredicabil" este impredicabil » estc echi­ valentă cu propoziţia «"impredicabil" nu este i mpredi­ cab i l » , ceea ce este absurd . Russ e l l consideră că asemenea paradoxe s înt de natură pur logică ş i se nasc din nesocotirea "principiului cercului vicios" (viciou8 circle principle) . Acesta spune că ceea ce presupune o colecţie luată în t o t a litatea e i nu t rebuie să fie un membru al colecţiei35 • P.red icatul "impredicab il" nu poate fi un membru a l colecţiei predicatelor impredi­ cabile , cu alte cuvinte nu poate fi afirmat despre sine Însuşi . Pentru a asigura respectarea acestui principiu , e l împarte proprietăţile în tipuri, cre înd ceea ce s-a num It teoria tipurilor. In ce cons t ă ea? Russell distinge m a i întîi "indivizii" , adică obiectele care nu s înt proprietăţi (tipul zero) . În cadrul proprietă­ ţilor, el distinge următoarele tipur i : proprietăţile indivi­ zilor (tipul întîi), proprietăţi l e proprietăţilor indivizilor ( t i­ pul doi) etc. Să luăm ca exen plu de mdivid corpurile ; în ca­ zul acesta , "triunghiul ar" , "roşu" sînt proprietăţi de tipul întî i , iar "proprietate spaţială" , "culoare" s înt proprietăţi de tipul doi e t c . Teoria tipurilor afirmă că o proprietate de tipul întîi nu poate să aparţină decît indivizilor (sau să nu le aparţină) ; în nici un caz ea nu poate fi atribuită proprietăţilor de tipul întî i sau de tip superior . O proprie­ tate de tipul doi nu poate să aparţină (sau să nu aparţină) decît proprietăţilor de tipul întîi , nu poate fi atribuită indivizilor , proprietăţilor de t ipul doi sau de tip superior ş .a . m .d . Spre exemplu , dacă a şi b sînt corpuri , propo­ ziţiile "a este triunghiular" , "b este roşu" sînt adevărate sau false şi în orice caz au sens , pe cînd "a este proprietate spaţială", "triunghiular este roşu" s înt lipsite de sens , 3. Principia Malhemalica , voI . I, p . 4 0 .

88


3.14. Consideraţii generale

nu au decit aparenţă de propoziţi i . Asemenea pseudoenun­ ţuri sînt evitate , atribl!ind o proprietate de tipul n doar une ia de tipul n - 1 . In particular , ceea ce este impor­ tant pentru no i , o proprietate nu-ş i poate f i atribuită e i însăşi . Expre s i i c a ...... Iji (Iji) , Întrebuinţată î n defin iţia precedentă , s înt declarate fără sens şi prin urmare excluse . În acest fe l paradoxul "impredicah il" nu mai apare38•

* 3.14. Consideratii

generale

Atît calculul propoziţional b ivalent cît şi cel al func­ ţi ilor propoziţionale s înt , după cum se vede , destul de simple . Din cîteva propoziţii primitive se s coatc întreaga serie de teorem e . Trebuie observat însă că principiile logicii clasice - dubla negaţie , principiul contradicţiei, principiul t erţiului exclus , principiul s i logismului - s înt teoreme în logica b ivalentă , adică propozIţii demonstrat e , n u admise axiomatic , ş i anume următoarele teoreme ale calculului propoziţional : ::J

::J

2 .06

1- : . p ::J q

2.11

(principiul terţiului exclus)

3.�4

1- · p v ...... p 1- . ...... (p . "-' p )

4.13

1- . p = ""' ( ......, p )

(principiul duble i negaţii)

: q ::J r .

P ::J r

(princip iul silogismului)

(principiul contradicţie i)

36 î n prima ed iţie a Principiilor ( 1 9 1 0) apăreau , p c l îngă dis­ tincţiile d intre tipuri, d istincţii de ordine Între funcţiile propo­ ziţional e , sub numele de "teoria ram ificată a t ipurilor" . Aceste dis t incţii însă îngreuiază mult, dacă nu fac chiar imposibil, pro­ gramul urmărit de Whitehead şi Russe l l , de a exprima cu ajutorul aparatu lui logico-matematic întreaga matematică . Astfel încît ei se văd nevoiţi să introducă o nouă axiomă : axioma de reduc­ tibil itate (axiom of reduci bility) . Aceasta Însă conduce l a n o i paradoxe . î n urma critic ilor aduse de Chwistek ş i Ramsey, autorii Principi i lor au renunţat î n ediţia a doua a acesteia, din 1 9 2 5 , la teoria ramificată a t ipurilor ş i l a axioma de reductibilitate .

89


Logica polivalentd

Cu aj utorul acestui s istem , Russe l i , ca ş i predecesorul său G. Frege , urmărea aşezarea mate maticii pe baze logice , derivarea conceptelor ş i a propoziţiilor acesteia din con­ cepte şi propoziţii logice . lJe a ic i şi nevoia de a asigura atît e conomia cît şi rigoarea s istemuluI � ă u , căci prin e l urma să se c larifice natura concept e lor ş i a raţionamen­ tului matematic. Logica astfel construită diferă fundamental de logica clasică propriu-zisă ş i , în primul rînd , de aceea a l u i Aris­ totel. Intuiţia este elimmată , simbolul căpătînd put ere absolut ă . La început , scrie Hilbert , este semnul. Numai c ă , aşa cum observa ş i Leon Brunschvicg, "în s imbo lul însuşi răm îne totdeauna un reziduu oarecare de intuiţie"37. Caracteristica generală a logic i i , aşa cum o concep Russel l , Hilbert şi ce ilalţi logicieni matematicien i , o constituie e x tensionalismul. Fie că studiază relaţii Între propoziţii , ca în calculul propoziţional , fie că studiază relaţIi Între obiecte şi indivizi , ca în calculul cu funcţi i , o face de fiecare dată luînd în cons iderare în m o d exclusiv aspectul extensional al acestora ş i neglij înd pe cel inten­ sional sau de conţinut. Simplificarea astfel adusă logicii tradiţionale conduce la aşezarea calculului într-o schemă extrem de simplă , schemă care a fost pusă în evidenţă pentru calculul propoziţional de L. Wittgenstein . Să reluăm o funcţie de adevăr e lementară oarecare , de exemplu :

f (p , q)

=

pV q

Fie un caz concret : p

q

=

=

afară plouă (afară) ninge

Ce spune d isj uncţia logică "afară p louă sau ninge"? Nimic altceva decît că , dacă afară p louă , plouă j dacă afară ninge , ninge j dacă afară p louă sau ninge , p louă sau ed.

90

3' L. Brunschvicg, a

Les e lapes de la phi losophie malhematique,

I I I-a , Paris, 1 92 9 , p.

400.


3.14. Consideraţii generale

!linge e t c . Cu a lte cuvÎnt e , funcţi i le de adevăr nu ne pot informa cu n i c i un chip despre lumea exter ioară , e le nu �xpr i m ă nici un comp ortament efectiv . Există însă două �azuri extre me a le func t i i lor d e adevăr . Sint functii de ' adevăr care s înt adevăra te , oricare ar fi v a l o r i l e de a devăr ale argument e l o r ; a l te l e s înt false , orice v a lori de adevăr am atribui argumentelor. De p i l d ă , l un c ţ i a s i rr p l ă

f (p )

"ste

=

p \j '"'"' p

a devărat ă , f i e eă p este a d e v ăr a t , fie tautologie . D i m p o tr i v ă , funcţia

·� s t e o

e s t e fa l s ; ea

f (p ) = p . '"" p

fa l s ă , f i e că p e s t e adevăra t , f i e e rt e s t e fa l s j ea e s t e n u m i t ă de vVittgenstein o contradictie38 • Însă iată ce se -întîmp l ă : dacă exa rr: inăm teore m e l e d in Princip ii, date m a i înainte cu n n m erotaţ13 res p c d:iv ă , n e eonv ingem imed iat eă e l e s înt tautologj i . Fie , d e e xemp l u , t e orema

" ste

2 .2

f- : p . � . p V q

Să e omt r u i m tab e l u l res p e c t i v , cum am făcut c înd am stud iat funeţ i i l e de a devăr :

p

q

pVq

A F A F

A A F F

A A A F

[p . I

. pV q

A A A A

Teorema p . � . p V q e s t e adevărat ă totdeauna , nu m a i d e p mde de adevărul s a u fa l s ita t e a argumente lor p şi q . :Se poate vedea în acelaşi mod , pentru oricare d in teore m e l e de m a i sus , că s înt tauto lo�i i . Termen i i " t a u tologie" ş i " c o :1 tra d i c ţ ie" , Î n sensul u t i l izat d atorcsc l 'l i WittgeDsteiD (Tracta tus Logico-Phi losophicu� , (.. 4 6 ) . E l e nu s' r d c ră la d <' notatul catego " i c i d i a J e c l ice "cont r a ­ d i cl ie" . 3B

aici,

se

91


Logica polivalentlt

Şi teoremele din calculul cu funcţii sînt Într-un anume sens n işte tautologii. Pentru a descifra acest lucru , să ne întoarcem pentru moment la ceea ce numeam o funcţie propoziţională, adică la o expresie conţinînd una sau m a i multe variabile şi care devine o propoziţie de indată c e aceste variabile s înt înlocuite prin valori date . Exem­ plul dat de noi atunci era "x este muritor" , expresie ce devine o propoziţie (adevărată sau falsă) imediat ce înlo­ cuim pe x prin diverşi indivizi care pot să fie sau nu muritori (ex. Platon , Aristotel , Prometeu etc .) . Luăm În considerare , după cum am văzut, şi expresii în care însuşi predicatul propoziţie i (în cazul nostru "muritor") era o variabilă q>, acestea putind fi scrise sub forma "x este q>" sau q>x. Ele deveneau propoziţii înlocuind mai Întîi variabila q> printr-un predicat dat , iar apoi fie cuantificînd variabila x Într-unul din cele două moduri - universal şi particular -, fie înlocuind-o printr-un individ din domeniul predicatului respectiv. Dar, aşa cum în calculul propoziţional propoziţiile nu erau privite decît sub aspec­ tul valorii lor de adevăr , iar variabilele propoziţionale considerate ca nişte simple variabile b ivalente , şi aici predicatele nu sînt socotite decît ca n işte funcţii ale căror argumente pot varia într-un anumit domeniu ; funcţiile acestea pot lua doar două valori : adevărul (A) şi falsul (F) . Indivizii din care este compus domeniul respectiv sînt , de asemene a , despuiaţi de orice caractere particu­ lare , rămînînd în joc doar numărul ior . Intr-o asemenea viziune simplificatoare , drept predicat poate fi conside­ rată orice funcţie definită pe un domeniu de n indivizi (ce pot fi luaţi chiar primele n numere naturale : 1 , 2, . . . n) ş i ale căre i valori s înt : A şi F. Se pot lua în considerare chiar şi funcţIi definite pe mulţimea tuturor numerelor natural e , deCI predicate avînd un domeniu infinit de indivizi. în aceste condiţii , să considerăm o formulă demonstrată în calculul cu funcţii (o teoremă) . Spre exemplu : Ti 92

f- : (x) . <px

::l

. (3 x)

. <p x


3.14. Consideraţii generale

Ea are următoarea proprietate : oricum am a lege predi­ catul f şi l-am substitui lui rp în această formulă , rezulta­ tul va fi Întotdeauna o' propoziţie adevărată . Pentru a înţelege m a i bine acest lucru, s ă ne a legem un predicat ( la intîmplare . Dup ă cum am spus , esenţial este pentru aceasta alegerea unu i număr de indivizi pentru domeniul predicatului respectiv, să z icem doi ( în care caz dome [J iul poate fi considerat p entru simplificare chiar mulţimea formată din numerele 1 şi 2 : { 1 , 2}) şi modul în care , pentru fiecare d intre cei doi indivizi , predicatul este satis­ făcut (ia valoarea A) sau nu (ia valoarea F) . Să spunem pentru moment că predicatul f este satisfăcut de individul 1 (f (1) = A) , dar nu e satisfăcut de individul 2 (f (2) F) . Urmează că predicatul nu este satisfăcut în tot domeniu l său şi deci propoziţia (x) . ( (x) este falsă ( ia valoarea F) ; dar este satisfăcut pentru unii indivizi din domeniu, şi anume pentru individul 2 , deci propoziţia (3 x) . f ( x) este adevărată (ia valoarea A ) . î n consecinţă , rezultatul substituirii lui rp în T1 prin predicatul f: =

( x)

fx

.

:J . ( 3 x)

(x ,

care se mai poate scrie ţinînd seama de defin iţia impli� caţie i (1 .01) '" (x)

.

(x . V . (3 x) Ux ,

este o propoziţie a devărat ă . Pe acelasi domeniu c u doi indivizi se mai pot defini încă trei p ;edicate , după cum f (1) şi f (2) iau valorile de adevăr AA , FA şi FF. Cititorul poate verifica şi singur că în aceste cazuri propoziţia care se obţine din T1 are valoarea A (adevărat) . Mai mult îns ă , orice domeniu am lua (finit sau nu) şi orice predicat ar fi definit pe acest domeniu , formula T1 este verificată . Această proprietate a e i se numeşte paliditate (unipersală) şi ea generalizează la calculul cu funcţi i proprietatea de tautologie din calcu­ lul propoziţional . Toate teoremele din calculul b ivalent cu funcţii sînt universal valide39• p.

39

Ve deţi Hilbert şi Bernsys, op . cit . , y o l . 1, ed. a I I-a ,

8 ş i p. 1 2 7 .

1968,

93


Logica polivalentd

Şi acum să ne reintoarcem la acest caracter extens ional pe care am observat că-I are logica lui Russell . El este o consecinţă necesară a orientăr i i togicien ilor către aspectul pur form a l , lăs înd deoparte complet conţinutul concep­ telor şi semnificaţia propoz i ţ iilor , pentru a ţine seama doar de extensiunea şi , respectiv , valoarea de adevăr a acestora . Această renunţare nu se poate face Însă fără consecinţe dintre cele mai serioase cu privire la semni­ ficaţia une i astfel de llo gic i . Ceea ce i-a determinat pe numero ş i logicieni să-i conteste parţia l sau integral valoarea .4o Cele mai importante critici le-a suscitat, după cum vom vedea , semnificaţia funcţie i pe care Russe l l o numeştc imp licaţie . Cum poate f i considerată "re laţie de deductibi htate" între două propoziţi i cea care are loc ori de cîte ori prim a propoziţie este falsă sau a doua pro­ poziţie este adevărată? Şi cum se poate constitui matema­ tica pe o logică în care d intr·o propoziţie falsă se poate deduce orice prop oziţie? Căci aceasta este semnificaţia exactă a teoreme i : p . ::J . p ::J q Ne rezervăm Însă acest subiect de d iscuţie pentru cap ito­ lul următor.

2 .2 1

f- :

'"

40 G . KlollS, :l1oderne Logik, cJ . n I l - a ,

1965 Ş . H .


4 Logica implicaţiei

stricte

4.1. Implicaţia strictă

*

Log i c i an u l a m e r i ca n C. l . Lewis p l e a c ă d e Ia CrItICa noţiun i i de i m p l i c a ţ i e , a ş a c u m este definită de RusseIll. Pentru Lewis im p l i ca ţ i a russcII iană este o i m p l i c aţie mate­

r i a lă , deoarece ca are înţclesul exact d e « af irm a ţ i a "p este adevărat şi q f a l s " este o af irm aţ i c fal s ă » . ("The Statement p is true and q is fa lse , is a fa lse s tatement")2. A c e s t a nu este însă , după e l , sensul ob i�nu i t al i m p lI­ caţ ie i .

DIferenţa d i ntre i n ferenţa obişnuită ş i im p lica ţ i a lui Russell este i lustrată d e Lewis în prop o z i ţ i i l e o propoziţie falsă implicâ orice , iar o propoziţie adevăratii este impli­ cată de orice , care aparţ i n i m p l i c aţ i e i russelliene . Din cauză c ă o p rop o z i ţ i e falsă im p l i c ă o r i c e , c a d e exem p l u « " Luna e s t e făcută din brînză verde" i m p l ic ă ,, 2 + 2 4" » , urm e a z ă că în s istemu l i m p l i ca ţie i materia l e ( a l u i Rus=

1

C. I. Lewi E : A

S l/.rvcll of Sim bo lic Logic r C n ivrrs i ty o f C a l i­ Press , Berk e l ('�' , 1 9 1 8) . Lewis a :l d u s i nt re t imp m o d i f icări s i s t em u l u i srl U in U l'fn:l cl' i t i c i l o r făcu l c î n special d e Oskar Bccker .

f o rn ia

Comp l e t ă r i l e In s is t em u l său a u a p ă r u t in A lternative Systems of Logic ( " M o n ist" , 4 2 , 1 93 2 ) şi in S y m b o lic Logic ( New York , 1 932) , a c easta d i n u r rn il scrisă in c o l a b orare CU C. H. Langford. 2

Ib idem , p . 2 9 1 .

95


Logica polivalentă

se Il) există o clasă de propoziţii care nu pot fi aplicate la o inferenţă valabilă3. Tot astfe l , deoarece clasa zero este cuprinsă în orice clasă, putem spune : « dacă "nu există şerpi de mare" , atunci "toţi şerpi i de mare s înt artropozi" » , propoziţie care urmează cu necesitat e . In cazul acesta, clasa şerpilor de mare este zero ; c lasa artropozilor există, dec i cuprinde clasa zero , a şerpilor de mare4• De unde rezultă aceste consecinţe , care par arbitrare şi bizare (queer) ? Lewis conchide că aceste consecinţe curioase se datoresc faptului că implicaţia la Russell este o relaţie în extensiune (în sferă) fără nici o re laţie analogă în intensiune (în conţinut)5. Inferenţa îns ă , după e l , depinde de înţelesul (meaning) propoziţIilor ; de aceea ea este o re1aţie în intensiune . In condiţiile aceste a , implicaţia lui Russe l l î i apare l u i Lewis ca o impl icaţie materia lă, deoarece numai în cazurile materiale date se poate stabili o inferenţă rea l ă , a ltfel ea nu spune n imic şi din această cauză este contingentă . Nu există nici o neces itate în legătura dintre propozi­ ţii (fiindcă nu e xistă relaţii în intens iune , ci numai între valorile de adevăr ale propoziţiilor) . Imp licaţia russel­ liană are astfe l sensul «"p implică material q" înseamnă "este fals că p este adevărat şi q e fals" » . Această afirmare s imultană a adevărului lui p şi q este arbitrară , fără nici o conexiune între faptele pe care le reprezintă p şi q . Lewis introduce un sens riguros pentru implicaţie . Şi anume implicaţia este definită de e l astfe 1 : "este imp osibil ca propoziţia p să fie adevărată şi q falsă" . . 3 Ibidem, p . 3 2 G , cap . "The meanin{! of imp lies" . ( Această deosebire Între implicaţia ma teriala şi impl icaţia formală era bine cu n oscută logic ien ilor scolastic i . E i numeau aceste două feluri de imp l icaţii consequentia materialis ş i consequen­ tia forma lis. Pen tru consequentia materialis, scolasticii c i tau două regu l i (pe care l e pomeneşte şi Lewis) : 1) Ex vero nrtnqttam sequitl1r falsum ("din adevăr nu urmează niciodată falsul") ; 2 ) Ex falsis po test sequi vemm ("din [propoziţii] false p oate urma adevărul") . Ca exempl u de consecinţă materială "bună" e i d ă deau exemp l e tot atît de paradoxal e c a ş i a l e l u i Lewis , d e p ildă : homo est asinus , ergo bacultt.s stat in angulo ("omul este un asin, deci băţul se află în colţ") . A se vedea : A. Dumitriu, Istoria logici i , cap . X X I I . 6 C. I. Lewis, op . c i t . , p . 3 2 7 .

96


4.1. Implicaţia strictd

Cu a l te cuvinte , Între propoz iţi i le p şi q se introduce p este adevărat , cu nece5itate q este adevărat . o legătură de neces itate ; dacă

Acest sens nu-l avea implicaţia l u i Russe l l . Conex i unea d intre propoziţi i era arb itrară şi conse c inţe le erau d e c i rontingente . Pentru a face d istincţia Între impl i caţia materi a l ă ş i i mp licaţia definită cu ajutorul impos i b i l i ­ tăţii - şi pe care Lew i s o numeşte imp licaţia strictă (strict imp lication) - , e l introduce o nouă noţ iune , acee a de pos ib i l itate , pe care o desemne ază prin s imbolul "O" . .\gregatul format prin punerea acest u i semn în faţa une i propoz i ţ i i p , p , va aVe a înţe l e s u l de "p este log i c pos i b i l (necontradictoriu ) " .

O

Defini ţ i a

i m p l i caţie i

mater i a le ,

sub

formă

d e con­

juncţie , e ste :

p

::> q .

=

.

......., ( p

.

......., q)

« "p i m p l i că mate r i a l q" Înseamnă "este fals că p este adevărat şi q fals" 1) . Defin i ţ ia i m p licaţie i str icte a l u i Lewis va f i , între b u in­ ţ înd pentru noţiunea de i m p licaţie strictă , s imbolul ,. -< " , p -< q .

=

.

""' O ( p

. ,......, q) ,

« "p i m p l ică strict q" înseamnă "nu este logic p osib i l (e ste . imposi b i l ) ca p să fie adevărat ş i q fa ls"

1) .

Cu a ceasta , Lewis a firmă că i m p l icaţia strictă conţ ine imp l icaţia materială aşa cum apare în

matica ,

Principia Mathe­

ca pe un sistem parţia l , şi ma i cuprinde o parte

sup l i mentară ,

re la ţ i i le

în

intensiune .

Iată însă care este reforma importantă în sensul nou pe care - l dă Lewis i m p l i caţie i . E l introduce o nouă va loare pentru propoz iţ i i , în afară de adevăr ş i fals :

posibilitatea .

Cu aceasta începe să f ie con s i derată o propoziţie din punc­ tul de vedere al m o d a l ităţ i i ei ş i vom găs i pentru propo­ z i ţ i i mai multe va lori de adevăr. Logica i mp l icaţ i e i stricte

este

prin

u rmare o

logică

po l iva lentă .

97


Logica polivalentcl

Primul care a introdus moda l itatea în ca lculul logic a fost Hugh Mac Colls în anul 1906, pe lucrările căruia se sprij ină , de altfe l , şi Lewis. Mac ColI cons idera , în afară de adevărul şi fa lsitatea une i propoziţii , moda l ităţile j ude­ căţii : "necesitatea" , "realitatea" (adevărul) şi "posibi­ litatea" . După Mac Col I , judecăţile au următoare le pre­ d icate fundamentale : necesar (certain) , imposibil (impos­ sible) , adevărat (true) , fals (false) , variab il (ţ>ariable) . Variab il înseamnă a ic i "nici necesar şi nici imposibil" , adică posibi l adevărat sau posib i l fa ls. Ma i precis , afir­ maţia că este posib i l ca o propoziţie p să fie ade vărată sau fa Isă Înseamnă că este nesigură , "uncertain" . Se vede c ă , spre deoseb ire de sistemul lui RusselI , noţiu­ nile introduse de Mac Col I , şi În legătură cu el de Lewis , corespund şi l imbajului obişnuit. Lewis şi-a num it logica sa , după noţiunea care - i stă la hază , "Sistemul impl icaţie i stricte" (System of s trict implicationp .

*

4.2. Idei primitive (nedefinite)

Ide i le fundamenta le de la care p leacă Lewis pentru a construi sisteme le implicaţie i stricte s înt următoarele : 1 . Propoziţii : p, q, r etc. 2 . Negaţia : '" p , care înseamnă "p este fals" sau "non-p" . 3 . Produsul logic : pq sau p . q (punctul ca semn de des părţire f i ind ut il izat doar cînd termen i i produsului sînt expresii comp lexe) . El are semnificaţia de "p este adevărat şi q este adevărat" sau "p şi q s înt ambe le ade­ vărate" sau simplu "p şi q" . 6 Hugh Mac co n , Sym lo lic Logic and i ls arp lica t ions , L ongman s , L o n d o n , 1 906 . 7 D is c ip o l i i l u i Lew i s au (' d i fieat s isteme a s e m ă n [tIO are ; d e I' x l'm p l u W. Parry, J. E. Ne-L OD e t c . D in c u p r i n s u l acest u i c a p i t o l vom v e d e a e,i e x i s t ă d e f a p t m a i m u l t e s is t e m e a l e i m p l i c a ţ. i e i s t r ic t e .

98


4.3.

Definiţii

4. Posibilitatea sau compatibilitatea cu sine însăşi (self consistency) : O p , care Înseamnă "p este posib i l" sau _.este posib i l ca p să fie adevărat"B . 5 . Echi..,alenţa logică : p = q , care este în ace l aş i t i m p ŞI re l a ţ i a d e def iniţie .

*

4.3. Definiţii

În terme n i i produsu l u i logic ş i a i negaţIe I , Lewis defi­ neşte relaţia pV q: "Cel puţin una d in tre propoz i ţ i i le p şi q fOste adevărată" , adică

1 1 .01 unde

pVq . pV q

=

. .......

( -- p

'"

q)

c it ită "p sau

poate fi

q" .

Impl icaţia strictă este definită c u aj u toru l nega ţ Ie I , posib i l ităţ i i ş i produs u l u i l ogic , aşa elim am menţionat .

l 1 .02 p

-<

q . =

-- O

.

( p -- q)

unde p -� q poate f i c itită "p impl ică (strict) q" şi înseamnă .. nu este posibil (este i mp os ib i l) ca p să f ie adevărat şi q f a l s" 9 . Ş i acum , un f a p t c iudat ş i paradoxa l . S e v a defin i însăşi re laţia de defi n i ţ i e , e chiva lenţa logi r ă :

1 1 .03

P

=

q .

=

:

p

-<

q . q

-<

p,

8 D i n d e z v o l tarea s ist em u l u i rezu l tă că a f irmarea p o s ib i l i t ă ţ i i l u i p , ( , p, e s t e e c h i v a l en tă c u a f i rm a r e a f a p t u l u i c ă p n u im p l i <.: ă n e gaţia s a ş i d e c i este c om p a t i b i lă c u ea însă ş i . 9 In l u crarea s a d in 1 9 1 8 , A Sttrvey o f Symbo lic Log i c , Lew i s a l u a t c a i d e e p r im i t i v ă , î n l o c u l c e l e i d e p os i b i l it a t e , i d eea d e imposibilita te , p e c a r e a n o tat- o c u s i m b o l u l " - " . D a r a t u n c i , pentru a n u o c o n f u n d a c u nega ţ i a , a n o ta t-o p e a c e a s t a d i n u rrrui e u sem n u l m in u s .. - " . U l te r i o r , ,, 1 a e l im inat această c om p l icare d e n ot a ţ i e prin fo l o s irea i d e i i d e pos i b i l i ta t e , a l c ă re i s i m b o l a m \'ă z u t c:"1 este "O " . î n a ce s t c a z impos i b i l i tatea va p utea f i d ef in it ă c u aj u t o r u l nega ţ i e i o b iş n u ite ,, - " ş i a p o s i b i l ită ţ i i ,,(> " , a n u m e . . � (> " , a d ică nonp o s i b i l itatea .

99


Logica polivalenti!

ceea ce nu ne dispensează s - o luăm ş i ca idee pri mitivă , pentru a o putea utiliza ca relaţie de definiţie . Aici Însă, Lewis recunoaşte un cerc v icios10•

4.4. Propoziţii primitive

*

Postulatele , adică propoziţi ile admise fără demonstra­ ţie , s înt :

11.1

pq .

qp

.

Acest postulat expr imă legea comutativităţi i produsului logi c : dacă p şi q sînt adevărate , atunci q şi p sînt adevărate .

1 1 .2

pq .

. p

Dacă p ş i q sînt ade vărate , atunci p este adevărat .

1 1.3

p .

.

pp

Dacă p este adevăra t , atunci "p (pq) r .

1 1 .4

.

ŞI

p" este ade vărată .

p (qr)

înseamnă că (�,,(p şi q) şi r" imp l ică "p şi (q şi r) " ) ; aceasta exprimă legea asociativităţii produsului logi c .

1 1 .5

p . � . '"'- ('"'- p)

Dacă p este adevărat , atun c i este fals că p este fals . p� q . q� r

1 1 .6

:

. p� r

Dacă p imp l i că q şi q implică r, atunci p implică r . Este principiul s i logismuluiI1. 1 0 C. 1. Lewis, op .

cit. ,

p . 293 .

S u b n u m e l e a c e s t a î n ţe legem următoarele d o u ă teoreme : 11

2 .05 2 .06 100

fJ

=> r

. =>

p => q . =>

p => q

: :

fJ =>

r

.

=>

. =>

. .

p

în

=> r

p =>

r

-.

logica

b ivalentă

li na d in


4.4. Propoziţii primitive

11 . 7

p . p -< q : -< . q

Dacă p este adevărat şi p -< q , atunci q este adevărat, ceea ce exprimă o proprietate evidentă a oricărei re laţii de inferenţă . J.C . C . McKinsey a reuşit să arate însă că postulatul 1 1 . 5 poate fi dedus pe baza anumitor regul i din celelalte şase axiome 12• î n prima sa încercare de a edifica un s istem a l implicaţiei s tricte făcută în A Surve y of Symbo lic Log ic ( 1 9 1 B ) , Lewis p ornea de la următoarele B postulate : 1.

pq . � . qp

2.

qp . � . P

3.

p . � . pp

t. .

p ( qr)

-< . q(pr)

5.

p � - ( -p)

6.

p -< q . q -< r : � . p � r

7.

- Op � - p

Dacă p este imp o s ibil, atunci p este fals.

8.

p � q . = . -O q � -O p

adică : "p imp l ică q" este echivalent cu ('"q este imp osib il" imp l ică ,.p est e imposibil" ». E. L. Post a ar ăt a t însă că atunci se ajunge la consec inţa :

- O p . = . - p,

a d ică " imposibilul este identic c u falsul", ş i deoseb irea p e care Lewis urmărea s-o facă între imp l icaţia s trictă şi cea materială E d e remarcat Însă fap tul că Lewis nu l e consideră principii valide de deducţie (Symbolic Logic, p. 496) . S-a demonstrat de a l t fe l că analogele lor s trict e q � r . � : p � q . -< . p � r p -< q . -< : q � r . -< . p � r

nu pot fi deduse din p ostulatele admise aici (Symbo lic Logic, Appendix I I I , p . 507, e d . a II-a, 1 959) .

1 2 A Reduc/ion in the Number of Postulates for C. 1. Lewis's System of Strict Implication, în "Bulle t in of the American Mathe­

ma tical Society" , v o I . 40, p p . 425 - 4 2 7 .

101


Logica polivalentil

d ispare, s istemul său reducîndu-se la cel din Princip ia .�alhe­ s istemu l u i �i inl9-

matica. Aceasta a atras după s ine revizu irea c u irea 8' .

a x i o m c i 8 cu P � q

-

următoa rea :

<> q

-

<> p

Î n Sym bo lic Logic ( 1 932) , scr isă în colaborare cu C . H . Langford - singura pe care o vom urmări de aici ina inte - , Lewis propune un nou sistem formal de logică , in care se p o t demons tra m a i puţine teoreme ş i care p oartă in l it eratura de specialita te numele de sistemul 1 ( SI I , cel dedus din postulatele 1 1 .1 - 1 1 .7 . S istemul d in A Survey of Symbo lic Logic, modificat ş i avind postulatele 1 - 7 , 8', se numeşte sistemul 3 (S3) . Vom v e d e a că e xistă ş i alte s isteme ale imp l icaţiei stricte .

*

4.5. Teoreme

Operaţiile prin care , din aceste postulate , se pot deriva teoremele sistemului, s înt următoarele : 1 . Subshtuţia (a) Orice propoziţii legate prin semnul ,, = " pot fi sub­ stituite una cu cea laltă . (b) Într-o propoziţie , oricare din variabilele aceste ia , p , q , r etc . , poate fi substituită - peste tot unde apare - cu o altă propoziţie . Modul în care diverse le s imbo luri prim itive (idei pri­ m itive) se pot combina Între ele pentru a da propoziţii se poate defini din aproape În aproape astfe l : 1 . p, q, r etc . sint propoziţii . 2 . Dacă p este o propoziţie , atunci "'-- p şi O p sînt propoziţi i . 3 . Dacă p ş i q sînt propoziţi i , atunci p . q ş i p q s înt propoziţi i . După cum s e poate observa , simbolurile p , q , r etc . sînt utilizate în două sensuri distincte : ca figurînd în locu I unor propoziţii concrete ( de exempl u " Socrate este om" etc . ) , dar nedeterminate , sau în locul unor combinaţii de propoziţii [de exemplu "-' <> ( p "'-- q) J . Pentru a le distinge , pe primele le-am şi numit deja - la punctul (b) de mai sus - variab ile. =

1 02


4.5 . Teoreme

2 . Adjuncţia

Dacă două propozi ţ i i p şi q atunci şi produsul lor logic -

-

3 . Inferenţa

-

pq

pot fi afirmate separat , poate fi afirmat . -

Dacă p şi p -< q s înt afirmate , atunci q poate fi şi e l afirmat . Şi acum să trecem la demonstrarea cîtorva teoreme13• Procedeul prin care se ind ică operaţ i i l e ce trebuie făcute pentru a demonstra o teoremă este asemănător cu acela util izat de Whitehead şi Russe l l în Princip ia Mathematica. Se indică schema sub teoremă, arătîndu-se ce substituţi i trebuie făcute . D e exemplu schema

[11 .2 : p/q ] arată că în formula 1 1 .2 trebuie substituit numărătorul p al fracţie i în locul num itorului q . După substituţie , Lewis ind ică ş i consecinţe le . Vom da m a i întî i în amănunt o demonstraţie pentru prima teoremă, celelalte urmînd a fi n um a i indicate .

12 . 1

p

-(

p

Demonstraţie : [11.2 : p/qJpP . -( . p

(1)

S - a notat c u (1) rezultatul obţinut în urma p r i m e i substi­ tuţi i : pp . -< . p.

A doua subst ituţie , ş i care v a f i reprezentată î n de­ monstraţie printr-un al doilea r în d , este : [ 11 . 6 : pp lq

;

pIr] (11 .3)

.

( 1)

:

Ea indică deci subst ituirea în

-<

. p

1 1 .6

-<

P

a lui

pp

în locu l lui

q şi a lui p în locul l u i r. Efectuînd- o , obţ inem :

p

. -< .

1 1 .3 13

aceea

pp : pp

. -< .

P :.

-< .

P

-<

P

( 1)

N u m e rotarea acestor teoreme , ca şi cea a p o stu l a t e l o r , este i n d icată d e L e w is în Symbo lic Logic , cap . V I .

103


Adică s-a obţinut, cum se vede, prin substituţie , în mem­ unde (1) brul intii a l implicaţiei produsul (11 . 3) . (1) �p�zintă rezultatul obţinut prin substituţia anterioară care implică tocmai teorema de demonstrat . Insă propozi­ ţiile 11.3 şi (1) sînt adevărate , una fiind un postulat, realaltă obţinută printr-o substituţie dintr-un postulat . în baza regulei de adjuncţie , produsul lor este adevărat. _�dar, primul membru a l implicaţiei de mai sus este adeyărat j deci, după regula inferenţei , şi membrul al doilea este adevărat, adică tocmai teorema noastră. -

-

12.11

p=p

DeJTl()nst raţie: :.1 2.1)

.

'11.03 :

p� p. p� P p/q] p =p. = . (1)

(12. 1)]

(1)

Făcînd operaţia de adjuncţie a lui 1 2 . 1 cu ea însăşi, obţinem propoziţia (1) . In baza definiţiei echivalenţei logice, 11 .03, p =p este echivalentă cu (1) şi deci opera­ ţia de substituţie (a) ne permite s-o punem în locul ei. Principiul 1 2 . 1 1 poartă numele de "principiul identi­ tăţii". In logica bivalentă l-am întîlnit sub forma teore­ mei 4.2.

12. 15

pq . = . qp

Demonstraţie: '11. 1

q/ pj p/q] q p .

'11 .3

pq/ pj qp/q] pq

� •

pq

�.

qp: qp

(1) .

.

pq :. : pq. = . q p

(11 .1) . (1)

: pq

= qp •

12 .15 poartă numele de "legea comutativităţii" produsu­ lui logic . În baza ei , în orice teoremă în care intervine un produs de două propoziţii, ordinea acestora poate fi inver­ �ată.

12 .17 104

pq.

.

q


4.5.

Teoreme

Demonstraţie:

qJp , p JqJ qp . � . q � 1), 12. 15J pq . � . q

�11.2:

( 1)

Ultimul rînd din demonstraţie este obţinut prin aplica­ legii comutativităţii în antecedentul implicaţiei (1). So-a înlocuit deci în ( 1) , pe baza regulei de substituţie (a) �i a teoremei 12.15, produsul qp prin produsul p q.

rta

12.2

"-'p � q.=."-'q � p

Demonstraţie: :12.11 :

p "" q)Jp J '" O ( "-'p '" q ) = = ""' O ("-,p ",,q) :)) , 12.1 5J "'" O ( '" p "-' q ) = "'" 0('" q "'" p )

[11.02:

[11.02:

,...,

O(

"-'

(1)

(2)

p /pJ '" p � q. '" O ( '" P "-oJ q) (3) , "" qJp ; p Jq J "'" q � p . = . '" O ( "" q '" p ) (4)

'"

[::3) , (4)](2) . =

=,;

:

Q.E. D.

Ultimul r înd din demonstraţie arată că, substituind în (2) ambii membri prin echivalenţii lor deduşi. pe baza definiţiei 11.02 [rîndurile (3) şi (4) din demonstraţieJ, căpătăm teorema 12.2 notată prescurtat prin Q .E.D. (qu od erat demons trandum).

12.25

"'"

( "'" p) � p

Demonstraţie: [12. 1: "'"' p Jp J "-oJ P � '" P [12.2 : "" p Jq J "'" p � "-' p . = . Q.E.D. (1) . = . Q.b'.D.

( 1)

În cele ce urmează nu vom mai expune demonstraţiile teoremelor. Ele se fac toate după acelaşi principiu. Vom 105


Logica polivalentă

indica doar imediat dedesubtul teoremelor principalele axiome sau teoreme pe care se bazează fiecare d in aceste demonstraţii . 12.3 p Dem.

=

......

( "-' p)

[11.5, 12.25J

Această teoremă exprimă "principiul dublei negaţii". Teorema 12.2, de care am m a i vorbit , este o echiva lenţă care pe baza definiţie i reprezintă afirmarea simultană a două implicaţii . Una d intre ele este teorema 12.4 ....... p-<q .-<."-'q-<p De m. [11.2, 12.2J

Alte teoreme sînt : 12.41 ....... p-<"-' q '. -<. q -<p De m . [12.3, 12.4J 12.42

p-<......., q . -< . q -<

.......

P

De m .

[12.3, 12.41J 12.43

p-< q . -<. ""- q �

De m.

[12.3, 12.42J 12.44

p -<q .

Dem .

[12.41; 12.43J

106

""-

p


4.5. Teoreme

12.45

p -<

. q -<

q.

......

p

-....

Dem. [12.42] Toate aceste teoreme sînt forme ale "principiului trans­ poziţiei". 12.5

(pq) r. =. p( qr)

=

. q( pr) .

= .

(qp)r etc., etc.

Dem. [11.4, 12.15] Această teoremă exprimă faptul că într-un produs logic de trei factori (dar se poate generaliza la mai mulţi ) putem grupa oricum termenii şi de aceea, în asemenea cazuri, parantezele pot fi omise. 12.ti

pq. -< .

r

:

:

=

q """ r . -< . "" p:

: p "" r. -< . ......, q

=

Dem. [12.3, 12.5] Această teoremă poartă numele de legea "antilogismu­ lui". Dacă din două premise rezultă o concluzie, atunci dintr-una din premise şi contrara concluziei rezultă contrara celeilalte premise. Echivalenţele din teorema 12.6 pot fi descompuse în implicaţii simple după definiţia 11 .03 . Se obţin astfel: 12.61

pq. -< . r:

12.62

pq. -< . r :

-< -<

: p

r.-< . '" q

......

: q ......

r

.

-<

. """ p

Principiul silogismului (11.6) poate fi extins după cum urmează: 12.77

p -< q: qr.

-<

. s

:

.

-<

:

S

-<

pr -< •

. S

Dem. [11.6, 12.6J 12.78

p -< q. q -< r. r -<

.

p

-<

S

Dem. [11.6,12.77J Teorema 12.78 poate fi extinsă astfel încît dintr-un număr oarecare de implicaţii, prima implicaţie avînd drept consecvent pe antecedentul celei de-a doua, a doua avînd drept consecvent pe antecedentu 1 celei de-a treia Ş.a.m.d., 107


Logica polivalentă

să rezulte implicaţia d intre primul antecedent şi ultimul consecvent, adică în fond un "polisilogism". La demonstrarea teoremelor enunţate pînă acum nu S-i utilizat postulatulll.7.14 Incepînd de acum îl vom între' buinţa. 12.8

p""'" q .

-<

. ,...... (p -< q) p -<. qjqj qlr] 1 1 . 7

De m. [12.61: 12.81

p -<. q .

-<

-<

Q.E.D.

(p ,...... q)

,......

Dem. [12.42, 12.8]

Dacă p implică strict q, atuncI nu este cazul ca p să fi� adevărat ş i q fals . Această teoremă are , în cadrul logicii pe care o studiem. o i mportanţă deosebită, căci după cum am văzut, impI'i ca­ ţ ia materială sau russelliană p :J q putea fi definită (şi c, vom defini ş i noi în cele ce urmează) prin,...... (p"'q) . S-i putut însă arăta că reciproca teoremei 12.81 nu este vala­ bilă (nu este derivabilă din axiome), prin urmare aceasU teoremă reprezintă singura legătură între implicaţia strict:. şi cea material ă , şi anume , dacă implicaţia strictă a doub propoziţii are loc, implicaţi a ior materială are , de ase­ menea , loc . Inainte de a trece la anal iza mai detaliată a raportului dintre cele două implicaţi i , vom da încă cîteva proprie­ tăţi ale implicaţiei stricte, enunţate sub forma următoa· relor teoreme : 12.84 o

p. -< . ,...... (p -<

"'"

p)

propoziţie adevărată nu-şi implică propria sa negaţie.

12.87

p -<.

"'"

p.

-<.

"'"

P

14 Logicienii matematicieni au studiat şi sistemul formal C� se obţine pornind doar de la axiomele 11.1 - 11.6. Evident, tel)­ remele sale sînt si teoreme ale lui 51 si din această cauză el," ' numeşte subsiste � al lui S1. În litera tura de specialitate ace�: sistem formal se note ază cu S1°. (R. Feys, Madal Lagic8, Pari! - Louvain, 1 965, pp. 43-64.)

108


4.6. lmplicaţia materială

�a

Dacă o propoziţie îşi implică este falsă.

12.88

""

-<

p -< p .

.

propria

negaţie, atunci

p

o propoziţie implicată de propria sa negaţie este o poziţie adevărată (principiul adevărului necesar) .

În sfîrşit, pr in cip iul o teoremă.

contradicţiei, ca şi în logica biva­

lentă, este

1�.9

pro­

"-' (p "-' p)

Pe baza teoremelor precedente şi a definiţiei disjuncţ.iei) se pot demonstra următoarele: . -<

13.1 pVq

11.01 (a

qVp

.

(·are este legea comutativităţ.ii disjuncţiei.

13.21 q.

-< . PVq

13.3

pVp

13.4

pV (qVr)

.

-<

p

. .

-< .

13.41 pV(qVr).

=

(pVq)Vr .

(pVq)Vr.

=

.

qV(pVr)

etc.

Ultimele două teoreme exprimă asociativitatea disjunc­ ţiei .

*

4.6.

Implicaţia

materială

Se adaugă definiţiilor date în *4. 3 încă două definiţii, �i anume a implicaţiei materiale sau russelliene şi care aici va purta numărul 14.01:

14.01 p

-:J q

.

=

"-' (p "-' q)

.

şi definiţia echivalenţei materiale:

14.02 P = q

.

=

:

p

-:J q

. q -:J P 109


l_ogica polivalentă

sau , ceea ce este totuna ,

p - q . = : ....... (p "'-- q) . '"'"' (q "" p) Prin urmare "p implică material q" va Însemna "cste fals că p este adevărat şi q fals" j iar "p este material echi­ valent cu q " Înseamnă "p şi q sînt ambe le adevărate sau ambele false". in felul acesta dispunem acum de toate noţiunile care apar În calculul propoziţional b ivaJent d in Princip ia Ma thematica : negaţie , disjuncţie , conjuncţie , implicaţie materială şi e chivalenţă materială . Vom arăta că în sistemul lui Lewisl" pot fi demonstrat e , în afara teoremelor d e pînă acum , toate teoremele calculu­ lui propoziţional b ivalent d in Princip ii (*3. 5--*3.8). Urmarea acestui fapt va fi că În cadrul logicii lewisienc se pot discuta , pc de o parte , proprictăţile pe carc implica­ ţia strictă şi implicaţia materială le au în comun, iar pc dc altă parte , proprietăţile proprii implicaţiei materiale şi care o deosebesc de cea strIctă . Pe baza definiţie i im­ plicaţie i materiale , din 12. 81 rezult ă imediat:

14.1 p -< q . -< . p � q Dacă p implică q strict , atunc i îl implică ŞI material. Reciproca însă este falsă . Implicaţ ia materială este mai largă decit cea strictă. Concluzia ce se desprinde d in această teoremă este că ori de cîte ori se poate demonstra propoziţia p -< q, propoziţ ia p � q poate f i , de asemenea, demonstrată . Orice implicaţie strictă poate fi înlocuită prin implicaţia materială corespunzătoare . Şi acum vom arăta că teoremele din Prin cip ii pot fi demonstrate aici: (Princip ii, 1 .01) 14.2 p � q . . ....... p V q =

Dem .

(11.01 :,...., p /p ]

"V

pV q .

=

.,....,

[12.3]

.

[14.01]

.p

"V

(,...., ("V p) ....... q ] (p "V q) q

15 Este vorba de si9temull(S1) de care ne-am ocupat pînă acum în acest capitol. Cel ale cărui axiome sint 11.1 - 11.7, iar regulile de inferenţă: sub9tituţia, inferenţa �i adjun cţia .

110


4.6. Implicaţia materialll

14 .21 pq. =. '" ( "" pV '" q)

(Principii, 3.01)

De m.

pV

l12.11j '" l --

q) = ( '"'-' pV '"'-' q) = "-' {"-' [ '" ( "-' p)

"-'

�.

[11.01)

'"

( "-' q)])

= pq 1 [ 2.3] În Principia Mathematica, 14 . 2 şi 14.21 sînt definiţii.

14 .25 pV ( qVr). -<. qV ( pVr) Dem.

1 [ 3.4] p\j ( qVr ). -< . ( pVq ) Vr [13.4'1] (1) = Q.E. D.

14 .26 pq.

-<.

r : "-'-' : p .

-<

(1)

. q :J r

Dem.

[12 .6] pq.

-<.

r:

[12 . 45]

q

r.

=

:

=

: p. -< .

��

-<

. "-' P (q

-_

'"'-'

r

)

=:p. -<. q:Jr

[14.01J

14.27 q:J r .

-< :

p\' q . :J. pVr

Dem.

[11.1J

'" rq .

-<

.q

1 [ 2.1 6 : '"'-' rl p; q '" r lr ] [11.1J

'" q '" p.

-<

(1)

� r

(1 ) .

-<

. :

. '" p -- q

. '" (q ....... r) : -< . '" q (2 )

'" r

(3)

[12 .77 : ""-' r. '" (q ...... r)Ip; '" q l q; "" pir ; '" p '" qlsJ (2) . (3) : -<:. '" r . '" \q � 1' ) � p : -< . ....... P . '"' q (4) •

111


Logica polivalentă

P

. ......., p ,...., q (5)

[ 12 .5]

(4 ) . = :. "-' (q "-' r)

[12.6]

( 5) . = :. "-' (q ,..... r) . "-' ( ,..... p '" q)

[ 1 1 .0 1] (6) . [ 14.0 1] (7) . [ 14 .26] (8)

'"

=

:

. '" (q......., r) . p V q

=

:

. q �r . p V q:

=

-<

'"

-<

:

-< .

'" ( "-' p ..... r )

(6)

. p Vr

(7)

: .

r:

-<

pVr

(8)

Q .E. D.

In baza principiulu i 14.1, că o riunde poate fi demonstra­ tă implicaţta strictă, poate fi demonstrată �i implicaţia materială , din 13.3 rezultă

14.22

(Prin cip ii, 1 .2),

p V q .::> . p

d in 13 .2 1 rezultă

14.23

(Prin cip ii, 1 .3 ),

q. � . p V q

din 13.1 rezultă

14.24

(Princip ii, 1.4),

p V q . ::>· qV p

din 14.25 rezultă

14.25 1

(Princip ii, 1 .5 ),

p V (qVr) .::>. qV (p Vr)

iar din 14.27 rezultă

14.28 q::>r

:

p V q .::>

PV

r

. ). (Princip ii, 1 6

Aşadar , am reuşit să demonstrăm toate postulatele şi definiţiile de la care pleapă Russell şi Whitehead in con­ strucţia s istemului lor . In sistemul lor , operaţiile prin care d in acestea se obţineau teoremele erau substituţia şi inferenţa în raport cu implicaţia materială. Prima este aplicată şi a ici [substituţia (b)]. Dar şi a doua poate fi uti l izat ă , deoarece

14.29

p . p �q

:

-<

.q

Dem. [ 12. 1] 1 12

p "' q .-{. . p "' q

(1 )


4.7. Relaţia de compatibilitate

[12.61

:

"" qJq; p "'" qJrJ

(1) . -< :. p . '" (p '" q)

(14.01J

(2)

=

-<. q

( 2)

Q.E.D.

şi deci dacă p şi P :J q sînt teoreme, p . p :J q este teoremă în baza adjuncţiei . Apoi, aplicînd principiu l 14.29, infe­ răm că propoziţia q este şi ea o teoremă. Cititorul se poate întreba : unde mai este atunci dife­ renţa Între cele două feluri de implicaţii (strictă ŞI mate­ rială) dacă amîndouă pot servi în aceeaşi măsură la deduc­ ţia teoremelor prin aplicarea operaţie i numită inferenţă? S-ar părea , într-adevăr, c ă , deoarece Lewis definise impli­ caţia sa într-un mod mai strict decît o făcuse Russel l şi deoarece nu permisese aplicarea operaţiei de inferenţă decît în raport cu ea , însuşi domeniul de aplicabilitate a l acestei operaţii se restrînge în comparaţie cu cel al implicaţiei russel liene . Acest lucru nu este însă a devărat. Pentru Lewls orice implicaţie faţă de care , în sistemul bivalent din Principia, se putea aplica operaţia de infe­ renţă (cu alte cuvinte , orice implicaţie tautologică) este un caz în care aceasta dă naştere în mod valabil deducţiei . Acestea sint , d e altfe l , şi s ingurele cazuri . C a atare , este de aşteptat şi chiar de dorit ca în el implicaţia strictă să aibă loc şi deci operaţia de inferenţă s ă s e poată aplica . Deci orice poate fi dedus cu mij loacele din sistemul Princip iilor poate fi dedus şi cu mij loacele din s istemul de care ne ocupăm . * 4.7.

Relatia de compatibilitate

Noţiunile de compatibilitate şi de independenţă a două propoziţii nu pot fi lămurite satisfăcător în termenii impli­ caţiei materiale . în l imbajul curent , două propoziţii se numesc compatibile dacă, luînd pe una (oricare) dintre ele drept premisă , nu putem deduce falsitatea celeila lte drept concluzie . Adică , în limbajul implicaţiei materiale : 1 13


Logica poliva lentă

'"'-' (p � '"'oJ q) sau, ceea ce e acelaşi lucru : '"'oJ (q � '"'-' pl. De asemenea, două propoziţii se numesc inde pe nde nte dacă nici una nu poate f i dedusă luînd pe cealaltă ca premisă : '" (p �q) ş i '"'-' (q �p l. Postulatele oricărei teori i , în specia l matematice, trebuie să fie compatibile şi este de dorit să fie şi independenteH'. Luînd însă noţiunea de deductibili­ tate ca fiind exprimată prin relaţia de implicaţie mate­ ria} ă, nu e xistă două propoziţii com patibile şi inde p e nde nte ! Intr-adevăr, în baza tezei:

15.3

'" (p �q) .

-{

p � '"'oJ q,

.

dacă "q nu este deductibil din p " , atunci P şi q sînt mcom­ pat ibile" , iar în baza tezei : lI

15.32

'""V

(p � '" q).

-< .

p�q,

dacă P ş i q sînt compatibile", atunci "q este deductibil din p", deci p şi q sînt dependente . M a i mult chiar , nu există două propoziţii independrnte, căci 15.4 """' (p�q). -{. (q�p), lI

dacă "q nu este deduc tibil din p", atunci lIP este deduc tibil diJ} q". In termen ii implicaţiei stricte însă , toate aceste fapte paradoxa le dispar, căci analogele stricte ale teoremelor 15 . 3 , 15.32 şi 15.4 '""V

'"

(p

(p -< q)

-<

...... (p

......

q)

-< q )

.

-< .

-<

-<

p

-<

.......

q

. p -< q

. q -{

P

pot fI demonstrate şi sînt falsel7• Prin urmare, noţiunea de compatibilitate capătă un înţeles mult mai aprop iat de cel obişnuit (şi care a fost

DU

Vedeţi *2.3. Observăm, a şadar, ca In teoremele 15.3, 15.32 şi 13.4, pe r.Înd implicaţia principală au afirmată este strictă, implicaţiile subordonate sau neafirmate nu pot fi decît materialI', rări ele nu reprezintă i nferenţe propriu-z ise. 18

17

114

s


4.7. Relaţia de compatibilitate

menţionat) , luind ca relaţie de deductibilitate implicaţia strictă . Lewis notează relaţia de compatibilitate (consis­ tency) a două propoziţi i cu simbolul ,,0" şi o defineşte astfe 1: 17.01 poq .

........

=

-<

(p

.......

q)

se citeşte "p este compatibil cu q". In baza t eoremelor 12 .42 şi 12.44, găs im:

p09

-<

....... (q .......

(p

-<

-<

'"

p)

'"'-

q) -<'" (q

"""

(p

-<

-<

��

'"

q) sau , permut înd variabilele, pl·

Deci dacă p şi q sînt compatibi le, q şi p sînt , de aseme­ nea , compatibile şi reciproc, simetrie relevată de Însuşi conţinutul intuitiv al acestei noţiuni şi care pe scurt se exprimă În : . q OP

17.21 p O q .

=

Alte proprietăţi la fel de intuit ive a le acestei relaţii sînt : 17.1

pq. -<. p O q

Dacă p ŞI q s int adevărate, ele sînt compatibile. Implica­ ţia nu este reversibilă, relaţia ,,0" neconfundÎndu-se cu produsul logic. 17.12

p -< q .

=.

'"

(po ""' q)

Lewisl.8 o compară pe aceasta cu definiţia implicaţiei materiale 14.01

p

�q

.

=

. '" (p '" q)

Spre exemplu , fie p "trandafiri i sînt verzi" şi q = "za­ hărul este dulce" . Deoarece p este fals (sau deoarece q est e adevărat) -..., (p ""' q) are l o c în acest caz, ş i deci p � q are şi ea loc : "trandafirii sînt verzi" implică material "zahărul este dulce". Dar , după cum se poate vedea, "trandafirii =

18

S!Jmbolic Logic, p . 15'..

115


Logica polivalentă

sînt verzi" şi "zahărul nu este dulce" nu sînt incompatibile una cu cealaltă , '" (p 0"-' q) nu are loc şi deci p� q nu are loc . 17.13

""

(p O "" p)

Orice propozIţie este incompatibilă cu negaţia sa . 17.3

p -<q . por: -<. qor

Dacă r este compatibilă cu p, atunci este compatibilă şi cu consecinţa aceste ia , q. 17.32

p � r . q �s . p Oq

:

-< .

rOs

Dacă premisele sînt compatibile, concluziile vor fi şi ele compatibile . Am vorbit pînă acum doar de compatibil itatea a două propoziţIi . În cazul a trei propoziţii: p, q, r, afirmaţia "p, q şi r sînt toate compatibile" nu mai poate fi exprimată nici prin po (q O r), nici prin (p O q) O r. Căci prima înseamnă �p este compatibil cu propoziţia "q este compatibil cu r" », iar a doua Înseamnă «propoziţia "p este compatibil Cll q" este compatibilă cu r ». Pentru a da un exemplu că aşa stau lucrurile, luăm19 : p q r

=

=

=

iarba este roşie iarba este colorată iarba este verde;

p ş i q sînt evident compatibile, deci poq este adevărată , r fiind şi el adevărat. Cum două propoziţii adevărate sînt , în baza teoremei 17.1, compatibile, (poq)or are loc , deşi

cele trei propoziţii luate În totalitate nu sint compatibile. Nici relaţia p.. O q . po r . q O r nu poate exprima compatibilitatea lor . Intr-adevăr , fie de pildă : p = astăzi este lun i q = astăzi este 4 iulie

r

18

116

Ibidem, p. 155.

=

5 iulie nu cade marţi .


4.7. Relaţia de compatibilitate

Oricare două din cele tre i propoziţii sînt compatibile, deci poq .por. qor are loc. Luate in toto, e le nu mai sînt compatibile . Lewis conchide că relaţia de compatibilitate a trei pro­ poziţIi p, q şi r echivalează cu (CP este compatibilă cu pro­ poziţia "q şi r sint adevărate" �> : p . O . q r. Simetria e i intuitivă rezultă d in teorema : 17.4 p .o. q r :

:

=

q .

O .

pr :

=

:

r.o.pq

Vom cons idera acum un caz particular de compatibili­ tate: compatibilitatea une i propoz iţii cu ea însăşi (self con­ sistency) şi pe care o vom numi simplu compatibilitate. 17.52 p

-< q

.p

-< ......,

-< .

q :

'" (p O p)

o premisă din care se pot deduce două concluzii contra­ dictorii este incompatibilă (cu ea îns ă şi ).

17.53 p

-<

q .p O P

:

. qOq

-<

Dacă o propoziţie este compatibilă , orIce pr<'lpoziţie dedusă din ea este tot compatibilă. Avem Ş I reciproca: 17.54 p. -<q . '"'-' ( qoq)

:

-< .

'"'"' (pop),

adică dacă o propoziţie este incompatibilă, propoziţia din care aceasta a fost dedusă este tot incompatibilă. 17.55 pop. '"'-' ( qoq)

:

-<. "--

(p -!.q)

Dacă două propoziţii sînt , una compatibilă , cealaltă incompatibil ă , atunci cea de-a doua nu poate fi dedusă din prima . 17.56 p-<q . pop:-<.po q

Concluzia este compatibilă cu premisa dacă aceasta din urmă este compatibilă. Condiţia de compatibilitate a pre­ misei este necesară; fără ea teorema nu mai poate fi stabi­ lită . O dată cu 17.56 au loc (ca şi pentru 17.53) toate varian­ tele sale: 17.57 p -< q . '"'-' (p O q) 17.58 pop ......, (poq) •

: :

. ......, (p O p)

-<

-<

.

'"'-' (p -< q) 117


Logica polivalentd

Următoarele teoreme stabilesc legături evidente intre adevăr şi compatibi litate. 1 7 . 6 p . � .pop

Orice propoziţie adevărată este compatibilă .

........, (pop) . � . "-p Orice propoziţie incompatibilă este fa lsă .

17.61

*

4.8.

Funcţii

moda le

Deşi se poate demonstra ca teoremă echiva lenţa

OP. = . pop. . ........, (p �"" p), Lewis observă că ea ar fi putut servi tot atît de bine şi ca definiţie pentru noţiunea de posibilitate (evident cînd nu ea , ci compatibilitatea sau implicaţia strictă ar fi fost l uate drept noţiuni primitive) , căci proprietăţile posibili­ tăţi i în s istem sînt exact cele ce decurg din această echiva­ lenţă . Astfel O p Înseamnă "p este compatibil (cu s ine)" sau "p nu implică propria sa negaţie". Expresia,,", (O p ), pe care o vom scrie........, O p , Înseamnă: "este fals că p este posibil" sau "p este imposibil" sau "p nu este compatibil (cu s ine)" sau "p impl ică propri a sa negaţie" 1 8.12 ""' O p . . ""' (p O p) . = . p � ........, p Expres ia O ( ""'" p) o vom scrie O ...... p şi înseamnă "este posibil ca p să fie fa ls" sau "p nu este necesar adevărat"20 sau , ţinînd seama de echiva lenţele 18.1

=

=

1 8.13

O........, p.= ....po ...... p . = . ........, ('"'vp�p ) ...., •

"negaţia lui p este incompatibilă" sau "adevărul l u i p nu poate fi dedus din propria sa negaţie". 2 0 D eoarece / )

negaţii

- P eslI' echival�ntă, î n baza principiului dublei (12.3), C,\1 - ( - ') -p), iar -")-/1 înseamnă .. [1 este

necesar adevaral .

118


4.8. Functii

modale

Expres ia,,-, [O ( "-' p)], notată", O '" p21, înseamnă "este imposibil ca p să fie fa ls" , deci "p este necesar a de­ vărat" sau, cum 1 8 .1 4

--) '" p

.

=

.

'" ( -- p o'" p)

. =

.

.......

p -{ p,

"negaţia lui p este incompatibilă" sau "adevărul lui p poate f i dedus d in propria sa negaţie". Echiva lenţele 1 8.1 -1 8.1 4 pot fi comparate cu următoa­ rele : cu p. 1 8.12 cu "-' p

18.1

=

.

p '" ( -...., p) -....,

.

=

.

[ P """" ( "-' p)]

'" p

p.

"-' (p :::J ""' p) •

=

.

p

:::J.",

p

-- (-- P :::Jp ) . ,..... P :::J P 1 8.1 4 cu p . . ,..... ( "" p '" p) Aşadar , inlocuind relaţiile stricte "o" şi ,,-<", respectiv cu relaţiile materiale de produs logic şi implicaţie mate­ r ială, se şterge distincţia d intre posibil, ade vărat şi ne cesar ş i d intre imposibil, fals şi posibil fals, logica devenind b iva­ lentă. Pentru a lămuri sensul intuitiv a l noţiunilor de "posib il", "impos ibil" şi "necesar" în accepţia lui Lewis , vom face odată cu el d istincţia dintre un sens relativ şi unul absolut a l acestora 22. Sensul relativ are în vedere legătura pe care propoziţia, sau mai bine zis faptul exprimat de ea , o are cu o anumită stare de lucruri ca : date iniţiale, cunoştinţele noastre la un moment dat etc. Posibil înseamnă atunci compatibil cu această stare de lucruri , imposibil înseamnă incompa­ tibil cu ea , iar necesar - i mplicat de însăşi această start de lucruri. Sensul absolut se referă la propoziţie (sau conţ inutul ei) luată în ea însăşi , adică în raportul pe care îl are cu ea 18.13 cu

'"

p

=

-....,

=

.

=

21 C " literatura de specialitate a prescurtare a notaţiei ,,-(> a introdus simbolul ,.0", numit şi simbolul necesităţii. în aceste condiţii, O p se va citi "p este necesar". Ce v a mai încolo vom utiliza sistematic această notaţie. �2 Symbolic Logic, p. 161.

- ,

119


Logica polivalentă

însăşi sau cu negaţia sa, totul reieşind din s impla analiză logică a acestei propoziţii. Pentru a face o comparaţie între cele două înţelesuri, să notăm prin Q starea de lucruri la care ne refeream mai sus . Atunci: p este

în sens relativ

în sens absolut

posibil imposibil necesar

po Q "- (p O Q) ,....., (" p O p) sau Q-<p

po p "' (po p) ....... ("- po '" p) sau """' p-< p

Sensul relativ a l posibilităţii este mai larg decît cel absolut , implicîndu-l . Invers stă cazul cu imposibilitatea şi necesitatea care , deoarece se definesc prin negarea posi­ bilităţii , ......, O , şi respectiv posibi l falsului , '" O "- , sensu­ rile lor relative vor fi mai restrînse decît cele absolute corespunzătoare . Implicaţia , definită de Lewis ca o i mposi­ bilitate logică , va fi şi ea deci valabilă Într-un număr mai restrîns de cazuri decît noţiunea relativă corespunzătoare . Este evident faptul că Lewis nu tratează modalităţile decît în sensul numit de el absolut. Am văzut legăturile acestora cu modal ităţile re lative . Să urmărim acum legă­ turile lor între ele. Utilizînd echivalenţa 18.1 , putem înlocui în 17.6 expre­ sia pop cu O p şi obţinem: 18 . 4

p -<O p

adevărul implică posibilul. La Cel, d in 18.1 obţinem: 18 . 41

'"

O p -< '" p

imposibilul i mplică falsul . 18.42

....... O

'"

p-< p

Dem.

O � p -< --- ( � p) necesarul implică adevărul . [18 . 41 J

120

ŞI

1 7.61


4.8. Funcţii moda le

18.43

"v

O "v P -c O p

Dem.

[11 . 6] (18.42) . (18.4)

-c

:

Q.E. D.

necesarul i mplică posibilul. 18.44

,.....,

Dem .

p -C O

(18.4 : '" pjp]

'"

p

Q.E.D.

falsul implică posibil falsul. 18.45

,.....,

Dem .

O p -c O

p

'"

[11.6] (1 8. 41 ) . (18.4 4 )

:

-c Q.E. D.

imposibilul implică posibil falsu l . Modalităţile afirmative (posibilitatea ş i necesitatea) au proprietatea că se transmit de la antecedentul unei impli­ caţii la consecventu l ei: 18 .51

p-cq.O p:-c.O q

Dacă antecedentul este posib i l , consecventul este posibil . 18.53

p -c q

"-'

O "-' p

:

-c

.

""' O "-' q

Dacă antecedentul es te necesar , consecventul este nece­ sar23• Aşada r , ori de cîte ori o propoziţie poate fi demonstrată ca posibilă (necesară), orice propoziţie implicată strict de ea este tot posibilă (respectiv necesară). Acest fapt îl vom folosi la momentul potrivit (*4.13). Cu toate acestea , i mplicaţia p-cq .-c.O p-cO q 23 Scolasticii cunoşteau foarte bine aceste relaţii şi încă multe altele pe care le înglobau în tratatele lor sub numele de Teoria

consecinţelor (A. Dumitriu, Istoria logicii, cap. XXII, § care cele două

teoreme 18.5 şi 18.53 apar sub forma

22.5,

În

regulilor

M1 şi M.).

121


Logica polivalentd:

(respectiv p -< q . -< . '" O '" p -< '" O '" q) nu poate f i dedusă uti lizînd doar postulatele 1 1 . 1 - 1 1 .7. După cum vom vedea însă , ea poate f i adăugată ca postu­ lat suplimentar, cu consecinţe importante (*4 .10) . Modalităţile negative - imposibilitatea şi posibi l fal­ sul - se t ransmit invers , de la consecventul implicaţiei la antecedentul e i . Aşa cum, datorită transpoziţiei (12.43) , dacă p-<q ş i ,...., q, atunci"", p. 18.5 p -< q

. .......

O q : -< .

.......

Op

Dacă consecventul este imposibi l , atunci şi antecedentul este imposibil. Altfel spus , o propoziţie care implică ceva i mposibil este , ea însăşi, imposibilă . 18 .52 p -< q . O '" q : -< . O ....... p Dacă consecventul este în mod posib i l fals, antecedentul va fi, de asemen('a , în mod posibil fals .

*

4.9. Completarea Sistemul 2

sistemului 1.

Aşa cum am observat ŞI tn discuţia acestor teoreme, s istemul t ratat de noi pînă acum (Sl) suferă de anumite lipsur i . El este incomplet, în sensul că anum ite princip ii de logică i mportante nu pot fi demonstrate ca teoreme în el (rămîn, aşadar , în acest cadru, false)240, sau nu pot fi demonstrate într-o formă genuină . Ce trebuie să înţelegem prin această ultimă afirmaţie? 24 Completitudinea, ca proprietate a unui sislpm formal, a fost menţionată in "'2.5.3. Pul�m preciza această noţiune în felul următor. Dat fiind un sistem formal, care in pa r ticu l a r poate fi un calcul propoziţional, am văzut ce inţelegem printr-un model al său ("'2.5.1). Ei bine, dat fiind un astfel de model, sistemul respectiv se nume�te c o mp let dacă orice enunţ adevărat al modc-

122


4.9. Sistemul 2

Există o serie de teoreme în sistemul 1 ce pot fi carac­ terizate astfel25 : - Sint de forma p

T

:

.

q

unde T desemnează o anumită teoremă d in s istem şi con­ ţine modalităţi (în mod implicit sau explicit); de exemp lu p �p, dar nu p :;)p. - Propoziţia p . T : � . q este demcnstrabilă în sistem (este teoremă). - Propoziţia p � q nu este demonstrabilă (nu este teo­ remă). Datorită formei lor, ele poartă numele de T-te oreme sau T-principii28• Vom da un exemplu : �

16.1 p

unde: T

: �

q. T

=

p �q

: :

qr -< .

pr .

:

.

qr,

.

-<

qr

adică teorema este de fapt

qr . � . qr :.

-<

:

pr .

-<

.

qr

Demonstraţie :

[12.77 : qrls] Q.E.D.

Pe de altă parte Însă se poate demonstra că propoziţia

1 6 . 1 în forma genuină , adică fără T, p

q.

-<

:

pr

.

.

qr,

deşi valabilă din punct de vedere intuitiv, nu este o teoremă (nu poate fi dedusă n umai din postulatel e 11.1-11.7). Pentru a o putea deduce , atît pe ea cît şi pe altele la fe l de evidente , Lewis se vede nevoit să introducă un al optulea postulat , şi anume: 19.01

O (pq)

� Op

lului psle derivabil în sistt'm. (Reciproca acestt'i proprietăţi esle valabilă prin însăşi definiţia modelului). Tocmai în acest sens considerăm sisleffiul1 ca incomplet, cfici anurn itc principii valabile in modelul la care ne gîndim ( logica ()bi�lluiIă) nu pot fi derivate in interiorul său. 2S R. Ft"y@, op. ciI., p. 61.' 26 Symbutic Logic, p. 1'.7 �i urITI.

123


Logica polivalentă

Aceasta se numeşte postulatul compatibilităţii, căci

o (pq)

. = . '" '" O [p '" ( '" q) ] . = . '" (p =

q) . . poq, "-'

O (pp) . = . p O P Deci 19.01 se mai poate pune sub forma: iar p. =

19. 01·

p

O

.

q

.

.

p

O

P

Dacă p şi q sînt compatibile, atunci p este compatibil (cu sine).

Să observăm că 19.01 putea fi demonstrat sub forma unui T-principiu pornind de la postulatele 11.1-11.7 (în sistemul 1). într-adevăr [18.51 : pq/p; p /q] pq. -! P : O (pq) :. � . O p unde: T = : pq . � . peste postulatul 11.2. •

Noul sistem formal astfel obţinut, şi numit de Lewis sistemu l 2 ( S2 ) , cuprinde pe lîngă teoremele sistemului 1 toate T -teoremele în forma lor genuină (fără T). Intro­ ducerea lui 19.01 se dovedeşte, aşadar, fructuoasă, Totuşi aduce cu sine şi consecinţe ce pot fi privite ca paradoxale: '" O p . De monstraţie:

19. 7 4

�.

(1)

"-' (p o p) �'"'-' (po q)

[12.43, 19.11J

"'" (p

[ (1) : "-' q/qJ

p �q

[18.12 , 17.12 J

O

p)

� '"

(p

O

"-'

q)

(2 )

(2 ) = Q.E .D .

o propoziţie imposibilă sau contradictorie implică orICe propoziţie.

19.7 5 '" 0"-' p Demonstraţie:

[19.7 4 [12 . 44J 124

: �

.

�.

p/ p; "-' q/qJ

( 1)

=

Q.E.D.

q

�p

"-'0""" p . � . '" p � "-' q

(1 )


4. 10.

Modalităţi complexe

o propozIţIe necesară este implicată de orice propoziţie.

Ele seam'ănă doar cu paradoxele implicaţiei materiale ""P ::J . P ::J q şi respectiv p ::J q ::J p, căci, de fapt, repre­ zintă adevăruri fundamentale ale deducţiei27, aşa cum vom vedea în *4.13. •

*

4.10. ModaliUiţi complexe

Discutînd sistemele modale ale lui Lewis, filozoful

O. Becker a făcut următoarea observaţie evidentă28: pe

lîngă cele 6 modalităţi simple considerate de Lewis (adevă­ rul, falsul, posibilul, imposibilul, posibil falsul şi necesa­ rul), nimic nu ne împiedică să considerăm şi modalităţi suprapuse sau complexe, ca de exemplu:

,, "" O

""-'

��

O",

care înseamnă "este

necesar ca să fie im­

posibil". E drept că unele din acestea se reduc, în baza echivalen­ ţelor demonstrate pînă acum, la altele mai simple. De pildă cea din exemplul nostru se reduce, în baza legii dublei negaţii (12.3), la: O O", adică "este imposibil să fie posibil". ,,""Totuşi McKinsey a demonstrat că în S2 (deci şi în S1) există o infinitate de asemenea modalităţi complexe ireduc­ tibile29• Şi anume, a arătat el, toate modalităţile de forma on (adică O O . . O de n ori) sînt ireductibile. .

În acest scop să interpretăm propoziţiile p, q, r etc. ca repre­ zentînd mulţimi de numere naturale; negaţia unei propoziţii, -p, ca reprezentînd mulţimea formată din toate numerele naturale care nu intră în mulţimea p (complementara mulţimii p); produsul logic a două propoziţii, pq, ca reprezentînd mulţimea numerelor 27 28

I bidem, p. 248 şi urm. O Becker, Zur Logik der

J,Jodaliliiten, în "J ahrbuch fur Philosophische und Phenomenologische Forschung". 11 (1930), pp. 496-5/.8. 28 J. C. C. McKiD�ey, Proof thal there are in(initely many modalities in Lewis's system S2, În "Journal of Symbolic Logic", V (1940), pp. 110-112.

125


Logica polivalentă care intră atit in mulţimea p cit ŞI In mulţimea q (intersecţia mulţimilor p şi q); posibilitatea lui p, <> p ca reprezentînd mul­ ţimea atit a numerelor din p cit şi 8. succesorilor 101' imediaţi (reuniunea mulţimii p cu mulţimea succesorilor numerelor din p). Să considerăm acum o propoziţie din logica lui Lewis, spre exemplu postulatul 11.3

p .

-<

. pp

EI poate fi scris doar cu ajutorul negaţiei, produsului logic şi posi­ bilităţii

- O ( - p

pp)

Fie atunci p mulţimea formată doar din numărul O adică {O}. Produsul pp va fi evident, in baza celor spuse mai sus, tot { O }. iar - p va fi mulţimea numerelor naturale mai puţin O adică { 1,2 ... }. Expresia - p . pp va fi mulţimea numerelor naturale carc intră atît În mulţimea {O} cît şi în mulţimea {1,2 ... }. Evident, nici un număr nu poate face parte din această mulţime. Ea este mulţimea fără nici un număr (ddă). Neavind elemente, nu există nici succesori ai elementelor.

Deci mulţimea O ( - p. pp) va fi tot mulţimea fără nici un număr. Dar atunci - O ( - P . pp), formată din toate numerele naturale cu excepţia eelor din 0(- p. pp), va fi formată din toate numerele naturale fără excepţie. Această mulţime corespunde postulatului 11.3 nu numai cînd luăm p drept mulţimea {O}, ci drept orice mulţime de numere naturale (postulatul are o proprie­ tate analogă cu cea de a fi o tautologie din calculul propoziţional bivalent - ·3.14). Toate postulatele au această proprietate. In plus, operaţiile prin care din ele derivăm teoremele (substituţia, adjuncţia şi inferenţa) "păstrează" proprietatea. Adică toate teore­ mele "moştenesc" de la postulate această proprietate. Fără să ins istăm, facem doar observaţia că o propoz iţie de forma

p=q va avea proprietatea în cauză dacă şi numai dacă mulţimilep �i q sînt egale în sensul obişnuit (adică au aceleaşi elemente). Revenind la problema pusă, pentru a arăta că modalităţile On sînt toate ireductibile este suficient să arătăm că o teoremă de tipul

(teoremă de reductibilitate) nu poate avea loc decît dacă n = m. Sau, apelînd la "int.erpretarea" descrisă mai sus, că pentru o mul­ ţime p de numere naturale convenabil aleasă, cele două mulţimi corespunzătoare On p şi Om p nu pot fi egale decit atunci cind

= m.

n

126


4.10. Modalităţi complexe

Să luăm drep t p mulţimea { O}. Prin urmare Op

=

{ O , 1 }, O O P = {O , 1 ,2) elco

O n p şi Om p vor fi atunci, respectiv , {O,1,2, ... ,n}

şi

{O , 1 , 2 , .. , m} egalitatea putind avea loc doar cînd

n = m.

Aşadar, prin combinaţie între ele, modalităţile pot da mereu combinaţii ireductibile. Sistemul modal al lui Lewis este deschis. El prezintă prin aceasta o serioasă lacună. Este de remarcat că Becker, care făcea aceste observaţii, nu se referea la sistemul 2, considerat pînă acum, ci la unul mai cuprinzător decît el şi numit pentru aceasta de Lewis sistemul 3 (S3). Propus în A Sur<,ey of Symbolic Logic (vezi paragraful *4.4) , el poate fi obţinut dacă la postulatele sistemului 1 (11.1-11.7) a dăug ăm postulatul 8. p -< q .-<. O p -< O q30 Acesta s-a dovedit mai "tare" ca 19.01, care poate fi dedus din el (pe cînd invers nu). În S3, americanul W.T. Parry a dovedit că sînt doar 42 de modalităţi complexe ireductibile31• Ce-i drept, cam multe pentru a le da o interpretare intuitivă, dar totuşi În număr finit. (Pentru matematicieni, finitul, oricît de mare ar fi, este la fel de contrastant cu infinitul. De aceea ei nu disting între un finit mic şi un finit mare). La vremea cînd şi-a scris studiul său (1930), Becker nu cunoştea faptul. Considerînd, probabil, că aceste modaG"­ tăţi sînt în număr infinit, el şi-a propus să le reducă la unul finit prin adăugarea de noi postulate sistemului 3. Reducerile astfel obţinute conduc la un număr mult mai mic de modalităţi fundamentale, uşurînd înţelegerea lor intuitivă şi făcînd interesante sistemele respective, motiv pentru care le vom analiza în cele ce urmează. 30 R. Feys, op. cit., p. 79.

31 W. T. Parry, 1\1odalities in the Su.rvey syslem o{.strict impli­ ca/ion, În "Journal of Symbolic Logic" , IV (1939), pp . 137-154.

127


Logica polivalentl!

*

4.11.

Reducerea modalitătilor Sistemul 4

la

14.

Începînd cu acest paragraf, vom întrebuinţa sistematic s imbolul ,,0" pentru desemnarea modalită ţii "necesar" , înlocuind grupul de semne , ,"" O ....... " . Expresia 0 p" se va c it i , aşadar , "p este necesar". între cele două s imboluri O şi O există o legătură fundamenta lă şi care se numeşte "dualitate" (ana logă celei care există între cei doi cuantifi­ catori - universal şi particular - ai calcululu i cu funcţii) , legătură pe care o vom concretiza în "regula de dualitate". Am văzut că d in punct de vedere formal o modalitate se prezintă ca un şir finit de s imboluri ""'v, O şi O, pe care îl notăm pe scurt prin M. Din definiţia s imbolului O, ,,

O = ---- O "', ş i uti lizînd legea dublei negaţ i i , rezultă imediat următoa­ rele echivalenţe O

p·= ·"'O"'--��p·= ·""Op O"'p· .. "'''-<)..-...p . .= ·"'Op Aşadar negaţia, trecînd peste semnele O şi O, le schimbă pe unu l în celălalt; dacă negaţia trece peste alte semne de negaţie, le lasă evident neschimbate. Re gula de dualitate. Fie MI şi M2 două modalităţi, iar M� ş i M2 modalităţile obţinute respectiv din MI şi M2 prin înlocuirea semnelor O şi O Între ele (de exemplu dacă MI este " O "'" O" atunci M� este "O '" O"). Atunc i , dacă MIP -< M2P este o teoremă , 111;p -< M�p estc tot o teoremă . ......

De monstraţie:

Datorită efectului trecerii semnului de negaţie peste semnele O, O, ....... , observat mal sus , rezultă că MI'" P = '" M� p (1) ((1) : '" p/p] MI'" '" P = '" M� '" p (2) [(2), 12.3] M1P '" M� '" P (3) =

128


4.11. Sistemul l

In mol perfect analog putem găsi ŞI echivalenţa M2P =

"'"

Ma"'" P

(4)

Dar am presupus că are loc M1P -< M2P [(3), (4), (5)]

"'"'

M�

"-'

P

-<

----

M� "-' p

"'" p/p] '" M� "" "" p -< "'"' M2 "'"' "" P [(7), 12. 3J "'"' M�p -< '" M2P [(8), 12. 41] MaP -< M�p , dec i ceea ce trebuia [(6)

:

(5) (6) (7)

(8)

demonstrat. Şi acum să revenim la c�rcetările lui Becker. Urmărind reducerea modalităţilor complexe , el introduce noi postu­ late. Iniţial acestea au fost adăugate la cele opt axiome a le sistemului 3. Ulter ior , arăt.indll-se că în acest fel a opta putea fi dedusă d in celelalte, s-a renunţat la ea . Aşadar , vom adăuga, pentru obţinerea sistemului 4, pri­ melor şapte postulate, 11.1-11.7, următorul: 9. O p

-<

O O p

Necesitatea impl ică neces ita tea necesităţii . Care este sen sul introducerii lui? Ne propusesem reducerea modalităţilor suprapuse la unele mai simple. Dar cele de forma Dn sau on pot f i r�duse l a O, respectiv 0, dacă dispunem î n sistem de echivalenţele 10.

Dnp

11.

onp =

=

OP

O

p

Acestea însă pot f i deduse din aproape în aproape din 12 .

D2p = O p

(prin substituţia lui P cu O p obţinem D3p = D2p = = O p ş.a.m . d . ) ş i respectiv 13.

02p = O P 129


Logica polivalentlf

Să observăm că , deoarece fiecare dintre ele este duala celeilalte (conţine simbolul O unde cea laltă conţine simbolul O sau invers) , dacă una are loc, cealaltă , în baza regulei stabilite, are şi ea loc. Dar echivalenţa 12 Se compune din următoarele două implicaţii stricte: 02p -< O p 12". O p -< 02p Formula 12' afirmă că din necesitatea propoziţie i O p se deduce adevărul ei şi ca atare este o aplicare a teore­ me i 18.42. Reciproca însă , 12", nu putea fi pînă acum demonstrată. Luînd-o ca axiomă, 12 si deci 10 devin teoreme. Apoi , prin dual itate , 13 şi 11 p � t f i, de asemenea , demonstrate , On şi on reducînd-se l a O şi respectiv O . Din axioma 9 si din consecinta ei 8 rezultă încă CÎteva teoreme importa �te pentru reducerea modalităţilor . 12'.

14. p -< q . -< . O p -< O q Demonstraţie :

'" qjp; ...... p j q J

...... q -< """ p . -< . (:' ...... q -< O'" p (1) [12.43, (1), 11.6J p -< q . -< . O '" q -< <> """ p (2) [1 2 . 43 : O """ q jp; O ,..,.., pjqJ :) """ q -< O """ p . -< . [8

:

'" O ""' p -< [11.6J 15.

'"'"'

(2) . (3) O p -<

O :

-<

'"

( 3)

q

Q.E.D.

OO Op

De monstraţie:

[18.43 : O p/pJ

02 P

-<

(> O p

(1)

02 pjp; O O pjq] (1). -< . 03 P -< O O O p ( 2 ) [ (2 ), 10J Q.E.D. Din 15 prin regu la de dual itate rezultă: [14

:

16. O OOp-<�)p 130


4.11. Sistemul ·1

17'. O O p -< (O O )2p Dem.

[15 :

O p/p]

17".

Q.E.D.

(D O )2p-<D Op

Dem. [14 :

O O O p/p;

O p/q] 16

-<

Q.E.D.

Implicaţiile 17' şi 17" dau echivalenţa (O O)2 p = O O P şi prin dualitate 17.

(O ;:J)2 p = O O p Din 17 şi 18 re zultă din aproape in aproape (cum rezultă din 12 şi 13) 18.

19.

( O 0)11 P

=

OO P

(O ori p =O o p Utilizînd acum 10, 11, 19 şi 20 , sîntem în măsură să reducem toate modalităţile complexe la 14 fundamentale . Dar să procedăm sistematic. Dacă modal itatea constă Într-un simplu şir de semne "-' (spunem că ea este im propr ie), aplicînd de cite ori este nevoie legea dublei negaţii, fie că aj ungem la propoziţia simplă p (cînd număru l semnelor '"'"-' este par): 20.

( "'"') 211P = p, fie că ajun gem la negaţia sa "'-' p (cînd numărul lor este

impar) :

("'-') 2n+l p

( "-' 2n", p = "'-' p ) Aşadar , modalităţile improprii se reduc la două funda­ mentale : adevărul "p" şi falsul ,, """ p". Interesant este cazul în care modalitatea este proprie, a dică în care apar efectiv simbolurile O sau O . Cum am observat , putem trece atunci toate negaţiile din modali=

131


Logica poli valentă

tate la dreapta ei (l îngă p ) , ţinînd seama de reguli le amin­ t i te (vez i p . 128) . Aplicăm apoi lege a duble i negaţii , astfel încît orice modal itate proprie poate f i adusă fie la forma l�lp (cînd conţine un număr par de semne ...... ) , fie l,a forma 1v! ...... p (cînd numărul de semne ...... este impar) . In prim u l caz ea se numeşte afirmatil'ă , în a l doilea , negatil'ă32.

Să cercetăm numărul modalităţilor fundamentale (ire­ ductib ile) alirmat ive . Ele pot f i împărţite la rîndul lor în două tipuri33 : - tipul A : cele care încep cu s imbolul O - tipul B : cele care încep cu simbolul 0 Cum orice succesiune de semne O poate fi redusă , în baza teoreme i 10, la unul s ingur şi orice succesiune de semne 0 poate fi redusă , in baza teoreme i 1 1, la unu l singur , orice modal itate de tipul A poate fi adusă fie la forma

( O 0)n O dacă u ltimul

CI

O,

semn este

fie la forma

(O 0)n dacă ultimul ei semn este O . Apo i , prin apl icarea teoremei 19, modal ităţi le de prima formă se reduc toate la O O O , iar cele de a doua formă la O <) . Modalităţile care nu conţin de loc semnul O se reduc evident , în baza teoremei 10, la O . Prin urmare toate modal ităţile ireductib ile afirmative de tipul A sînt

000

DO

O

000

00

O

Înlocu ind în raţionamentu l de mai sus pe O cu 0 , pe <) cu O , iar teoremele 10, 1 1 şi 19 prin dualele lor , res­ pectiv 11, 10 şi 20 (sa u , cum se spune , ra ţionînd "dual") , conchidem că toate modal itătile ireductibile af irmative . de tipul B sînt : 32 R. Feys, op. ciI . , 33 I bidem , p. 8 5 .

132

§ 30.6.


4. 1 1 .

Sistemul

4

E uşor de observat că fiecăre i modal ităţi afirmative de tipul A Î i corespunde una negativă , prin adăugarea une i negaţii la sfîr�it. La fe l şi pentru cele de t ipu l B . Alte modalităţi negative ireductibile evident nu m a i pot f i . Deci în total 3 + 3 afirmative, 3 + 3 negat ive şi două impropri i 14 modalităţi fundamentale . Intre cele şase modal ităţi afirmat ive (ca şi între cele şase negative) subzistă nişte serii liniare de implicaţii stricte , ş i anume : =

D p � D O :J p � O D p � O D O p � () p O p -< D O D p � O <) p � O O O p � O p Aceste relaţii pot fi scrise în sehemă astfel, întrebuinţînd săgeţile în locul semnului ,, � ":

Cele şase implicaţii strict e care au loc pot f i deduse imediat , porn ind de la teoremele demonstrate pînă acum . W . T . Parry a arătat că altele în afara acestora nu au loc . Oskar Becker interpretează fenomenologic moda l i tăţ.ile la care a ajuns . Astfel , echiva lenţele 12 ş i 13 (sau 10 şi 1 1) conduc ev ident la faptul că « iteraţia modal ităţi i "nece­ sar" (sau "posibil") , aşadar a moda l i lăţilor afirmative , nu al'e nici un efect , nu oferă nimic ) . Ce concluzie trage d e aici Becker? Fenomenologic, a cest rezultat trebuie interpretat în sensul că neces itatea este o modalitate a bso­ lută, ea nu mai suferă o gradaţie şi are , din cauza aceasta , un caracter ideal34 • Teza aceasta este În legă tură cu deoseb irea pe care o face Husserl între aprioricul forma l ş i contingent35 • Necesi­ tatea formală este , în ordine , superioară neces ită ţii mate­ riale . Necesitatea formală SP. sat isface singură , aduce cu sine propria ei necesi tate , pe cînd necesitatea materială trebuie privită ca o existenţă de fapt (Tatsache). 34 O . Becker, op . c i t . , p. 5 18 . a o E . Husserl, Formale und transzendentale Logik, H a l l e , 1929.

133


Logica polivalentă

Becker merge mai departe şi , deşi este de acord că nece­ si tatea materială este un fapt esenţial (W686ntatsache) , o numeşte , paradoxal , un "aprioric contingent" . Prin teza O p � O O p se exclud din logica formală astfel de fapte esenţiale , rămînînd numai la "aprioricul necesar" . La fe l se petrec lucrurile şi cu posibil itatea . Prin ea trebuie să înţelegem iarăşi o modalitat e ideală sau "for­ maIă" , ad ică o modalitate absolută - ca şi neces itatea care nu este capab ilă de gradare , de "slăbire" (Ab­

schwiichung)3° .

*

4.1 2.

Reducerea modalităţilor Sistemul 5

la

6.

Becker nu se opreşte aici cu stud iul reducer i i modalită­ ţilor. Am văzut că în sistemul 4 apăreau încă modal ităţi suprapuse , şi anume (cons iderînd doar pe c e l e afirmative) : - două cu cîte tre i semne de modal itate (de gradul 3)

OOO

O OO ŞI două cu cîte două semne de modalitate (de gradul 2) ŞI

O O ŞI

00

Să le considerăm pe acestea din urmă . Dacă e le s-ar putea reduce la modal ităţi de gra dul 1 , atunci apare evi­ dent faptul că toate s-ar reduce la modalităţi de gradul 1 . Es!e ceea ce face ş i Becker . Iată cum : Intre fiecare dintre ce le două modalităţi de gradul 2 şi modalităţile de gradul 1 ( O şi O) e xistă implicaţiile : O Op�Op Ş I duala sa O p� O O p

S8 o. Becker, op. ciI . , p . 5 1 9 . A i c i s - a avut in vedere aspectul l og ic-form a l a l conce p ţiei lui O. B ecker ş i nu imp licaţiile e i l oz ofice, c a re necesită un a l t cadru de d i scuţi e .

fi­

134


4.12. Sistemul 5

ce decurg din legile b inecunoscute "necesaru l implică adevărul" ( 18.42) şi " adevărul implică posib ilu l" ( 18 . 4) . Rec iproce le acestor implicaţi i nu pot fi demonstrate . (Dacă cel puţin una ar fi demonstrabilă, atunci ar f i şi cealaltă , în baza regulei de dual itate . ) Dar dacă e le ar aVea loc, atun ci echivalenţele corespunzătoare a u , de asemenea , loc şi dec i toate modalităţile complexe se reduc la cele simple . N u ne rămîne decît să le luăm drept axiome (datorită dualităţ ii este suficientă una s ingură) . Este ceea ce face şi Becker , care adaugă sistemului 4 postulatu l 21. O p -{ O O p Din e l şi din prima implicaţie valenţa

de

mai sus rezu ltă echi.

O O p = O p, iar prin regula de dual ita t f 22 .

23 . O O p

O p Aşadar , reducerea tuturor moda lităţi lor complexe este un lucru ce se poate înfăptu i, ş i anume , pentru cele de gradul 3 : =

O O O p = O (O O p ) = O O p O p O O O p = O \0 O p) = ) O p = O p Reducerile ce lor de gradu l 2 s i n t d a te direct de 22 Ş I 2337 • Prin urmare , în tota l , 6 modalităţi : - două i mproprii , adevărul p şi falsul p, - patru propr i i , dintre care : - două afirmative , necesar adevărul , " O P" , şi posib i l adevărul , "Op", - şi două negative , necesar falsul (sau imposibilul ) =

"'"

" O "" p" (sau ,,

""

O p" ) şi posib il falsul "O "" p" .

37 După cum o b s ervă Prior, î n acest s i s tem ( 5 5 ) , oricc Ş i l' de s imboluri O şi a d ică orice m o da l i tate afirm a t ivă , p oa t e f i

O,

În locuit p r i n u l timul s ă u sem n , res p ect iv O s a u Time and Modality, Oxford, 1 9 5 7 , p . 1 2ft) .

° (A. N .

Prior,

135


LogIca polivalentă

I n încheiere vom face observaţia că din postulatul 2 1 s e poate �educe ş i postu latul 9 (care trece , aşadar , Î n rîn­ du I teoremelor) . 9.

O p� O O p

Demonstraţie:

[18.4: O p j p] D p � O O p [22 : O p /p J D O O p = O D p [( 1 ) , ( 2) J O p -< o O O P [ ( 3) , 23J Q.E.D.

(1) ( 2)

( 3)

Prin urmare , pentru axiomatizarea sistemulu� 5 sînt suficiente postulatele 1 1 . 1 - 1 1 . 7 şi 2 1 . Dar e l mai poate fi axiomatizat şi Într-o altă variantă , pe care o propune Becker. Anume adăugirea la sistemul 4 a postulatului

24 . p ....c D�OJp Acesta afirmă, evident , mai puţin decît 2 1 , Întrucît stabileşte aceeaşi concluzie " D O P " . dar pornind de la o premisă mai tare , p , decît premisa lui 2 1 , anum e OP . Din acest motiv, 9 trebuie ş i el păstrat pe l ista postu­ late lor (nu mai poate fi demonstrat ca teoremă) , l istă care va conţine deci pe 1 1 . 1 - 1 1 .7 , 9 şi 24. Becker numeşte propoziţia 24 "axioma lui Brouwer" deoarece ea afirmă "adevărul implică absurditatea absurd i­ tăţii". într-adevăr , înlocuind O cu '"'" O '""' , 24 se mai poate pune şi sub forma : p -< '"'" O ( "" O p l . Afirmaţia conţinută în ca este fund&mentaIă , după cum vom vedea , în logica intuiţionistă . Să arătăm că 24 şi 9 conduc la 2 1 , dec i la ace leaşi re du­ ceri "tota le" ale modal ităţi lor suprapuse : Demonstraţie :

[24 : O p/pJ O p � O O O P [ ( 1) , 13J Q.E . D. (13 fiind o consecinţă a lui 9 poate fi util izată aici). 136


4.13. Un postulat de existenţCl

Ş i în cadrul sistemului 5 , Becker dă o interpretare feno­ m enologică moda lităţi lor . Teza

2 1 . O p -< O O p "modalitatea posib i l implică propria e i necesitate" se explică astfel. Am văzut că necesitatea şi posibi litatea definesc o sreră "ideală" sau "absolută". Ele sînt, în ordine , deasupra modurilor "contingente". Se poate spune - scrie Becker - că necesitatea se află dej a in fiinţa acestor sfere şi că expresiile verba le a le acestor modal ităţi nu aduc nimic nou38 . Pe de altă parte însă apar ŞI paradoxe :

22 . O O p = O p "posibil itatea necesităţii este echivalentă cu necesitatea însăşi" sau "posib ilitatea şi realitatea coincid cînd se referă la necesitate" . Becker crede că poate justifica şi acest paradox prin interpretarea pe care o dă acelor sfere ideale cărora ar aparţine şi posibilitatea . Sfera posibilităţii ideale este de aşa natură că orice structură este în ea necesară39. *

4.13.

Un postulat de existenţă

Atunci cînd am studiat raportul dintre imp l icaţia strictă şi cea materială în cadru l sistemelor lui Lewis , am obser­ vat că orice implicaţie strictă poate fi înlocuită într-o teoremă prin impl icaţia materială corespunzătoare . Aceas­ ta era o consecinţă directă a teoreme i :'

14. 1 p -< q . -< . p ::J q , în baza căre ia dacă două propoziţii se implică strict , atunci se implică şi material . 38 O. Becker, 3� l b id .

op .

cii . , p . 520 .

137


Logica polivalentif

Reciproca aceste i teoreme însă , după cum am spus şi după cum s-a demonstrat , nu poate fi derivată in calculul lui Lewis . Ceea ce nu înseamnă însă că ar fi contradictorie cu axiomele acestuia . Dimpotrivă , este necontrad ictorie . Adică o putem postula , numai că sistemu l astfe l obţinut degenerează în cel d in Principia (cap . 3 A) , iar impl icaţia strictă în cea materială . Dar am văzut că Lewis acordase celei dintîi un înţeles distinct de al celei din urmă . Prin urmare orice astfel de postulat vine de fapt în contradicţie cu acest înte ' les . în afară de aceasta , proprietăţile impl icaţie i stricte , postulate de Lewis la începutul calculului său , sînt şi proprietăţi a le imp licaţie i materiale , ceea ce poate atrage obiecţia că ele reprezintă de fapt o caracterizare incomp letă a aceste ia din urmă. Pentru acest fapt logicianul american introduce printre axiomele sistemului său una care să exprime o proprie­ tate specifică impl icaţie i stricte şi pe care implicaţia materială să n-o a ibă . O astfel de axiomă delimitează si ma i b ine conţinu tul aceste i i mplicaţ ii . În acest scop � l fşi îndreaptă atenţia spre una dintre proprietăţile propo­ z iţiilor pe care implicaţia materială nu o putea exprima , şi anume proprietatea a două propoziţii de a f i indepen­ dente , adică de a nu se put('a deduce una din cea laltă . Am văzut că , în sensu l implicaţie i materiale , dîndu-se d ouă propoziţi i , sau prima o implică pc a doua , sau a doua o impl ică pe prima : p � q . V . q � p, ceea ce face imposibilă independenţa lor . Nu există propo· ziţii independente . Pentru implicaţia strictă însă nu are loc o asemenea teoremă. Dar nici contradictoria ei nu poate fi demon­ strată . Cum ar suna această contradi ctorie? Există propo­ ziţii independente , adică există propoziţii p şi q astfel tncit ...... (p -< q ) "-- (p -< '" q) Lewis propun� lărgirea sistemului implicaţiei stricte prin postularea în cadru l său a acestu i fapt. Evident, nu •

138


4.13. Un postulat de e;cistenţiJ

o putem face luind formula de mai sus drept axiomă . Aceasta ar echiva la cu postularea faptu lui că toate propo­ ziţiile sînt independente - ceea ce ar constitui o contra­ dicţie vizibilă . Va trebui să Iărgim cadre h� formalismului pentru a exprima în el faptul că numai pentru unele propo­ ziţii p şi q, formula de mai �m este va l�biIă. Lewis pune în faţa une i expre s i i conţinînd \'tll i&bilele propoziţionale p , q, r etc. simbolurile (3 p) , (3 p , q) , (3 p, q , r) etc. pentru a ind ica faptul că expresia este adevărată pentru unii p , pentru un i i p ş i q, pentr·u unii p , q , r eLe . C u alte cuvinte , cuantifică variabilele propoziţionale ale acestei expresii . în aceste condiţi i , postulatul pe rare vrea să-I introducă el este : 20.01

(3 p , q)

:

,...... ( p

-:

q) . "" (p

-:

"" q)

Pentru unii p şi q, p nu implică strict q, şi p nu implică strict " non-q" sau există o pereche de propoziţii p şi q în aşa fe l încît p să nu im p l ice nimic cu priv ire la adevărul sau fa lsitatea lui q. Impl icaţia materială nu verifică acest postulat . Mai mult, axiomele sa le vin în contradicţie cu o asemenea proprietate . Dec i Lewis distinge categoric cele două feluri de impl icaţie . Ş i acum să urmărim pe scurt cîteva din consecinţe le introducerii acestui postulat fără să insistăm Însă, Întrucît spaţiul nu ne va perm ite , asupra metode lor lor de demon­ straţie . 20 . 5 (3 p , q, r) : O p . O q . O r . "" (p q) . "" (p = r) . '" (q = r ) Există cel puţin tre i propoziţ i i distincte compatibile cu ele însele. r . 20.51 (3 p , q, r) : O "" q . O p . q) . "" (p = r) . "'" (q = r) '" (p Există cel puţin trei propoziţ i i distincte posibi l false . =

""

""

=

20.6

(3 p, q , r , 8 ) : ,..."" ( p q) . '"" (p = r ) '" (p 8) . '" (q r) . ,..,.., (q 8) •

=

=

=

=

.

"" (r

=

8)

139


Logica polivalentă

Există cel puţin patru propoziţi i distincte . N-am făcut astfe l decit să expl icităm ceea ce era cuprins implicit in postulatul de existenţă 20.01 , şi anume că există cel puţin patru propoz iţii distincte - propoziţiile p şi q din postulat şi ne gaţiile acestora . Tre i dintre ele , p , q ş i ,....., q , sint , pe baza teoremei 19.76

"'"

(p

-<

q)

-<

O p,

logic posibile , căci există ce l puţin o propoziţie pe care n-o implică. Iar tre i dintre e le , q, "'- p şi "'-' q, s int , pe baza teoremei p) -< O "" p , posibi l false , căci pentru fiecare există ce l puţin o propo­ z iţie de care nu este implicată . Prin urmare două dintre ele, q şi "'" q, trebuie să fie posibil e şi posibi l false, iar celelalte două, p şi ,....., p, trebuie să fie : una adevărată , cea laltă falsă. Menţionăm că fără postulatul de existenţă se putea demonstra că există doar două propoziţii : una necesară şi cealaltă (negaţia sa) i mposibilă. 19.77

'"'w

(q

* 4.14.

-<

Implicaţie şi deductibilitate

După cum am văzut , scopul urmărit de Lewis in con­ strucţia sisteme lor sale era să delimiteze , prin proprietă­ ţile e i , o relaţi e - implicaţia strictă - care să a ibă loc intre d ouă propoziţi i p şi q atunc i şi numa i atunci cînd q este de ductibilă din p. Prevăzător, el precize ază distincţia ce trebuie făcută intre de ducţia logică in general , in care se poate face uz de orice principiu logic va lid (de exemplu princ ipiul silogismu lu i , principiul identităţi i etc.) , şi de ducţia logis­ tică - un caz special a l prime i - , care repre'zintă modul de dezvoltare al unui sistem forma l în care la deducţia unei t'eoreme nu putem utiliza decit princip i i le demon­ strate p înă la acel moment . Aceasta din urmă, schimbin­ du-şi conţinutul pe măsura demonstrări i de noi principii 140


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

fn cadrul siste mulu i , nu poate fi definită (delimitat ă) de un şir de proprietăţi , aşa cum încercăm să face m c u Cea no tată prin s imbolul ,, -< " . D e c i n u poate fi vorba a ici de "deductibil" decît în primul înţe les . Sensul aceste i deductibilităţi rezidă , după Lewis , e xact în înţelesul pe care îl are impl icaţia russe l liană acolo unde este tautologică . Să ne exp licăm . În virtutea definiţie i e i (*3.4, def . 1 .01) , implicaţia materială poate fi adevărată fără ca totuşi din antece­ dentul său să putem deduce consecventul (de exemp lu : 4") . "Luna este făcută din brînză verde" impl ică ,,2 + 2 Sînt însă cazuri cînd ea este nu numai adevărată, ci chiar tautologică (de exemp lu p . :::) . p V q) . Acestea şi num a i acestea sînt cele în care ea exprimă o deductibilitate logică (o "consecinţă formală" aşa cum o defineau medieva l i i ) . E le trebuie , prin urmare , exact acoperite d e imp l icaţia strictă . În acest sens , intreprinderea lui Lewis şi-a atins în întregime scopul , căc i , după cum vom arăta , implicaţia strictă se substituie exact ace lor implica ţ i i materiale (din formule) care s înt tautologice . Ma i înt i i din însăşi definiţia sa rezultă =

p -< q . = . '" O (p "-' q )

=

. "-' O "-' ["-' (p "-' q) ] ,

deci ea este o implicaţie russe l l iană "necesară" . Dar pro­ prietatea unei formu le d in logica bivalentă de a fi "nece­ sară" în logica lui Lewi s coinc ide cu proprietatea ei d e a fi teză în s istemul Principiilor ( adică de a f i o tautologie) . intr-adevăr , teoremele 1 3 .2 1 , 13 . 1 , 14 .25 şi 14.27 ne arată că în axiomele puse de Russe ll şi vVhitehead la baza sistemu lui lor , implicaţiile materiale pot fi înlocui te cu impl icaţii stricte , cu alte cuvinte în lumina echivalen­ ţe lor de ma i sus rezultă că aceste axiome sînt "necesare" în logica lui Lewis. Să observăm că acea stă necesitate se păstrează şi după efe ctuarea unor eventuale substituţi i . 141


Logica polivalentil

Pe de altă parte , dacă o implicaţie russelliană p ::::) q şi an· t e cedentul e i , p, sînt "necesare" , conform principiului 18 .53 p -< q . � O -..... p : -< "-' O "-' q , rezultă că şi consecventul q este "necesar". Prin urmare , toate tautologiile calculului propoziţional bivalent sînt in logica lui Lewis "necesare"40. In particular , implicaţiile materiale tautologice sînt "necesare", deci substituibile prin implicaţii stricte . Iată cîteva exemple de asemenea substituţii •

p . ::::) . q ::::) P p . -< . q ::::) p ", p . ::::) . p ::::) q � p . -< . p ::::) q "- (p ::::) q) ::::) . p ::::) � q "" (p ::::) q) -< . p ::::) "-' q p p q q -< . q ::::) p ""'oJ (p ::::) q) � ( ::::) ) . ::::) . ::::) Toate aceste formule sînt valabile în logica lui Lewis41 • Cele din dreapta se obţin , respectiv , din cele din stînga , prin înlocuirea implicaţiei russelliene principale , care este tautologică , printr· o impl icaţie strictă. Menţionăm că inlocuirea şi a altor implicaţii materiale nu ne mai conduce la formule valide . Aşadar , implicaţia strictă a fost degrevată de anum ite proprietăţi paradoxale , ce făceau implicaţia lui Russel l total improprie scopului deducţie i (tezele 2 .02 , 2 .2 1 , 2 .52, 2 .521 din cap . 3 A) . L a rîndul săli însă, impl icaţia lui Lewis îşi are ş i ea "paradoxele" ei, şi anume în loc de •

2 .02 ,

O ""- p . -< . q -< p , iar în loc de 2 .21 , O p -< . p -< q 19.74 19 .75

'"

""'oJ

Nu putem să nu amintim încă o dată faptul că logicienii scolastici medieva li cunoşteau foarte bine aceste conse&O Symbolic Logic, p p . 2 5 2 - 2 5 3 . M a i p recis , Întru c î t demon­ straţia făcută u t i l izează num a i teoreme d in S 1 , rez ultatul o b t inut este va l a b i l Î n 51 şi prin urmare în toate c e l e c inc i s i s teme 5 1 - 5 5 . 4 1 M a i prec i s , în toa te c e l e c in c i s i s t e m r 5 1 - 5 5 .

142


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

cinţe inevitabile ale modului în care am definit implicaţia strictă : Nece.sarium sequitur ad quodlibet (Necesarul ur­ mează din orice) şi Ex imp08sibili sequitur quodlibet (Din imposibil urmează orice)42. După părerea l u i Lewis însă , e le nu mai sînt paradoxale "decÎt în măsura în care reprezintă adevăruri logice prea uşor trecute cu vederea"43, Întrucit , a�a cum rezultă şi din teorema

19 .891

""-

O

.......

p

=

:

p

=

.

rV

"'"

r,

necesaru l se identifică cu tautologicul , iar o propoziţie de forma rV "'" r poate fi dedusă din orice propoziţie q printr-un raţionament fără cusur : din q rezultă q r . V . q "", ,, ; ceea ce este totuna cu q . rV

.......

r ; deci r V .......

"

O j mtificare ana logă se poate da şi pentru 19.74.

N i m i c de obiectat fOl'malismului lui Lewis în afară de însuşi acest fOl·malism . Ce interes mai poate avea o deduc­ ţie at unci c înd despre concluzie ştim d ina inte că este nece­ sară ! Aşa cum s-a observat imediat, deoarece valoarea de adevăr a relaţiei dintre p şi q nu depinde de înţelesul ce lor două propoziţi i , calculul capătă un caracter exten­ siona I . Aceste concluzii îl determină pe Emch să tragă asupra impl icaţie i stricte concluzi a pe care Lewis o tră­ sese asupra implicaţiei materiale : că este prea largă în conţinut faţă de noţiunea de deductibilitate logică44. La r îndul său , e l propune , în cadrul unui formalism la fe l de riguros , o nouă re laţie de implicaţie, implicaţia log ică4S. V e d eţ i , spre exemp l u , A. Dumitri u, Is toria logicii, p. l,OIi . '3 S y m b o l ic Logic, p . 2', 8 . U A. F . E m cl , Imp lica / ion a n d deduci b i l i t y , î n "Journal of Symbol ic Logic", 1 (193 6), pp . 26 - 3 5 , 5 2 . 42

46 Pentru aceasta adau g ă s istem elor lew isiene încă o noţiune prim it ivă , cl!nsistenţa logică . K ou a relaţie d e impl icaţ ie - impli­ caţia logică - v a fi a 1 u n c i del' i n it ă astfe l : "p im p l ică l og ic q" ÎnseamI1 ă " e s t e l ogic inconsistent ca p să f i e adevărat ş i q fals". 143


Logica polivalentii

Raporturile acesteia cu implicaţia strictă sînt perfect asemănătoare cu raporturi le implicaţiei stricte cu cea materială. în particular , paradoxele 19.75 �i 19 . 74 sînt evitate, în locul lor apărînd însă nişte expresii de ace laşi tip paradoxa l (care afirmă că un anumit fe l de propoziţii sînt "imp licate" de orice propoziţie , iar un alt fe l "implică" orice propoziţie ) . S-ar părea , într-adevăr , aşa cum observă ş i R. Blanche , că acest "caracter extensional al calculului nu este efectul une i simple contingenţe istorice , ci este strîns legat de exigenţele formal ismului logic"46. Aceasta nu i-a demobilizat pe logisticieni în căutarea unor soluţii formale pentru delimitarea relaţie i de infe­ renţă . Vredenduin, spre exemplu , reia încercarea lui Lewis , dar renunţă să mai definească implicaţia strictă47 , căci relaţiile paradoxale 19 . 74 şi 19.75 sînt o consecinţă directă a definiţiei 11 .02 p � q .

=

.

"-' O ( p

'"

q)

Într-adevăr , în baza aceste i definiţii , p implică strict q Inseamnă, după cum ştim, nici mai mult nici mai puţin decît că propoziţia "p şi non q" este imposibilă. Cum însă cînd propoziţia p este imposibilă conjuncţia ei cu orice altă propoziţie rămîne tot imposibilă , p va implica strict orice propoziţie . La fel , cînd propoziţia q este necesară, negaţia sa fiind o propoziţie imposibilă , conjuncţia ei cu orice altă propoziţie rămîne tot imposibilă şi q va fi imp licată strict de orice propoziţie. Prin renunţarea la definiţia 11 .02, Vredenduin renunţă de fapt să spună ce înseamnă implica ţia strictă şi o admite astfel printre ideile primitive ale s istemului . În acest fel se arată că formulele paradoxa le 19 . 7 5 şi 19.74 nu mai pot fi derivate . W. Ackermann este autorul unei a l te încercări de a formaliza re laţia ce are loc între două propoziţii între care R. Blanche, Raison e t D isco urs , Paris, 1 9 67 , p . 1 8 6 . 47 P. G . J . Vrtldtln:luin, A system o f s tr ic I imp lica / i o n , HJournal o f Symbolic Logic" , I V , p p . 7 3 - 7 6 . 46

144

în


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

subzistă o dependenţă logică (ein logi8cher Zuaam­ menhang)48. Aceasta este numită de el imp licaţie riguroasă (strenge lmp lication) ş i notată printr-o săgeată. în s iste­ mul său , bazat pe 15 axiome şi 4 reguli deductive , se poate dezvolta o teorie a moda l ităţii asemănătoare celei din 5 4 . Totuşi , ş i acesta este faptul cel mai important , n i c i paradoxele impl icaţie i materiale şi nici cele ale i mplicaţiei stricte nu pot fi demonstrate pentru "implicaţia riguroasă". Mai precis, nici una dintre formulele p pe

(q

p) ;

'" p � (p

q)

de o parte , Ş I q � (p

(p '" p) � q pe de altă parte, nu poate f i demonstrată49 . Jmplicaţia riguroasă nu poate avea loc Între două for­ mule care nu au nici o variabilă propoziţională comună. Problema determinăr i i unei re laţii formale care să e xprime deductib i l itatea a fost cercetată şi de alţi logi�

p) ;

Begriindung einer stl'engen Imp lication , & 8 W. Ackermann, in "Journal of S ymbolic Log ic", X X I (1956) , p p . 1 1 3 - 1 2 8 . S iste­ mului i-au fost aduse comp letări în articolul lui A . R. Anderson şi N. D. Belnap Jr., A modification of Ackermann "rigoroU8 impli­ cation" În "Joul'nal of Symbol ic Logic", XXIII (195 8) , p p . 457 - 45 8 . 4 9 în s i s temu l imp l icaţie i s tricte, deoarece p -< p era o teorem ă , iar p p o con trad icţie , u rmătoarele formule puteau f i demon­ itrate �

D (p

-C

7)

şi

O (p

-

p)

y 1 , p rin urmare , apl icînd teoremele 1 9 .75 şi respectiv 1 9 .74, se puteau deriva imed iat teoremele q

;;i. ( p

-<

p) ,

o tautologie ( p -< p ) este impl icată de orice propoziţie, şi] (p

p) =<'q,

() contrad icţie imp l ică orice propoz iţie. E le au, ca şi 1 9 .75 ş i 1 9 .74, acelaşi caracter paradoxa l.

14:5


Logica polivalentl!

cien i , fiecare propunînd cîte o soluţie a e iSo. Ne vom. opri la una d intre ce le mai recente si mai intere sante­ dintre ele, relaţia de antre nare (e rltailm e nt) a lui< A . R . An derson şi N . D . B elnap Jr .51 • Critica pe care cei doi autori o fac predeces ori l or Jar e ste deosebit de severă. Aşa-numitele paradoxe ale im p li-­ caţiei materiale şi ale implicaţiei stricte nu sînt de loc' paradoxale şi în consecinţă implicaţia materială ş,i ce a. strictă nu reprezintă specii nepotrivite de implicaţie '" întrucît e le nu sînt de loc specii de implicaţie . Ba zîndu-se pe rezultatele obţinute în l ogică , "în ma i bine de două. m i i de ani" , Anderson şi Belnap susţin că- orice teorie­ satisfăcătoare a implicaţie i trebuie să ţină Seama de două.. proprietăţi importante a le acesteia : ne lJesitate a �i potri­ I'ire a de se ns (re le l'ance ). Iată pe scurt despre ce este vorba . Validitatea une i inferente " stă nu în consideratii mate-­ riale ( de conţinut ) , ci doar în consideraţii de ordi � forma l .. Prin urmare ea nu poate reprezenta un fapt accidental ,. ci un fapt necesar . Or , această cerinţă este violată dacă> re laţia de implicaţi e , notată spre exemplu printr-o săgeată.,. satisface formula p � . q � p,

cacI In cazul În care p este o propoziţie contingentil , vali­ ditatea inferenţe i q � p este garantată de un fapt c ontin­ gent, fiind de asemenea un fapt contingent . Ca un exe m p lUl de sistem În care impl icaţia satisface cond i ţ i a de necesi­ tate este sistemul 4 a l lui Lewis. ( De ce autor i i cita ţ i aleg 5 0 Iată, după R . B lanche (op . cit . , p. 206) , o l istă a celor mai, importante : după impl icaţia " s trictă" a lui L ewis au apărut impli­ caţia " an a l it ică" a lui Parry , imp l icaţia " l og ică" a l u i E mch .. impl icaţia "natura lă" a l u i K a i l a , impl icaţia "raţionaIă" a lui> R e ichenbach , impl icaţia "riguroasă" a l u i A c k ermann , im p l icaţi. "pl ină" a l u i Freudenthal şi "relaţia de a n trenare" (entai/menl) a­ l u i Anderson ş i Belnap Jr. B lanche însuşi propune o noul! bază de constitu ire a u ne i logici în care relaţ ia de d ed uc t ib i l itate­ să-şi găsească locul său natural (op . cit . , p . 224 ) . S 1 A . R . Anderson ş i N . D . Belnap Jr ., The pure ca lcu llUl 01 entailmen t , în "Journal of Symbol ic Logic" , XXV I I ( 1 962) pp . 1 9 - 5 2 . ..

146


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

.dintre 'toate sistemele implicaţiei stricte tocmai pe acesta :nu este locul să explicăm aici .) După cum am observat îns ă , sistemele lui Lewis conţin l1a rîndul l or expre sii paradoxale , de exemplu 19.74 ş i 19. 75. Spre deoseb ire d e prima categorie d e "paradoxe" \la care ne-am referit şi pe care Anderson şi Belnap le denu­ mesc "sofisme de modalitate"53 (fallaciea of modality) , acestea din urmă poartă in sine un alt gen de abatere de 'fa inţe lesul obişnuit al unei inferenţe . De p i ldă. 19 . 7 5 �firmă că , dacă o propoziţie este necesar ă , ea rezultă din -orice propoziţi e . Insă , de cîte ori facem o inferen�ă de la o propoziţie p la o altă propoziţie q, cele două propoziţii -au ceva comun în înţelesul lor , o anume potrivire (rele­ .panetJ) de înţeles. Iar o asemenea afirmaţie ca 1 9 . 75 încalcă �ocmai această cerinţă a potrivirii de înţeles dintre ante­ -eedentul şi consecventul unei inferenţe . Din acest motiv Anderson şi Belnap le numesc "sofisme de potrivire"

(faUaciea of releIJanclJ)53.

Sistemul care , după părerea lor , e limină atit sofismele de modalitate cît şi pe cele de potrivire este sistemul impli­ C!aţiei "riguroase" a lui Ackermann despre care am mai avut �cazia să pomenim în cursul acestui paragraf . Pe d e o parte am văzut că e l e limină propoziţiile de tipul

p -+ . q -+ p 'Şi odat ă c u e le sofismele de modalitate . Ackermann reuşise 'să dem o nstreze că în sistemu l său , dacă p este o variabilă propoz iţ ională, iar q şi r două formule oarecare , formula

p -+ . q -+ r ::nu poate fi derivată . Deci este complet exclusă posibili­ tatea deducerii unei inferenţe dintr-o propoziţie contin­

gentă .

ADdersoD şi Belnav, op . ci t . , p . 42. S istem e capabile să el imine sofisme l e de p o triv ire fuseseră Jlropuse de Moh ,Shaw-Kwei (The deduc!ion theorems and two new Iogical systems , în "Methodos", v o I . 2 (1 950) , pp . 5 6 - 7 5) , ş i A. Churc h (The weak /heory of implica/ion, î n "Kontro l l iertes D e nk e n" , Miinchen, 1 9 51 ) . 1i2

iS

147


Logica polivalentd

Pe de altă parte , potrivirea sau comuni tatea de înţeles d intre antecedent u l şi consecventul unei implicaţi i nu poate fi exprimată formal într-un calcul al propoziţiilor decît printr-o comunitate de variabile propoziţionale . Or , aşa cum a arătat Belnap , implicaţia "riguroasă" nu poate avea loc între două formule care nu conţin cel puţin o variab i lă propozi ţională comun ă . Pentru acest motiv, Anderson ş i Belnap perfecţioneaz ă sistemul propus de Ackermann , dînd relaţiei de implicaţie din el numele de relaţie de antrenare {entailment} . Iată cîteva teoreme verificate de această relaţie şi pe care ce i doi autori le consideră corecte atît sub aspectul necesităţii c ît �i sub cel al potrivirii de sens :

p

_

p

p

_

q

q _

r

legea i dentităţ i i .

_ :

q

_

r .

_

:

p

_

q

_

. _

.

. p . p

_

r

_

r

}

cele două forme ale principiului s ilogismului .

Un procedeu simplu de a obţine � n calcul logic în care relaţia de implicaţie să fie scutită de o serie d in proprie­ tăţile ei paradoxale a fost propus de R. Ackermann64• Iată în ce constă el . Se consideră ca teoreme ale noului calcu l , pe l îngă teoremele calcu lului propoziţional clasic din Principia , formulele ce se obţin din acestea prin înlo­ cuirea imp l icaţie i materiale cu o săgea1ă după următoa­ rea regulă : Dacă i mp l i caţia materială nu se află Într-o parte nega tă a teoremei respective şi dacă , luată separat , împreună cu antecedentul si consecventu l e i constitu ie o teoremă în Princip ia , ea p oate f i înlocuită cu simbolu l ,, _" . În caz contrar , n u . Spre exemp lu d i n p ::J ( q ::J p) s e poate obţine teorema p _ (q ::J p) , dar nu şi p _ ( q _ p) , de ş i p _ ( p _ p) este o teorem ă a MIC-ului55 • După cum observă Acker54 R. Ackermann, Introduction to Many-Valued Logica , LondoD, N ew York , 1 9 6 7 , pp . 9 - g . 55 MIC reprez intă prescurtarea d e l a "minimal implicational calcu/as", cum î ş i denumeşte R . A ckermann calcu l u l său .

1 48


4.14. Implicaţie şi deductibilitate

mann , calculul său utilizează -+ şi � pentru a separa din punct de vedere formal rolurile posibile ale implicaţie i materiale în logica clasică56 . EI acordă evident rolul de­ ductiv conectivei , , -+" . Dar şi aceasta are proprietăţi paradoxale , ca

( p "-' p) -+ ŢI , fapt pentru care este introdusă o a tre i a conectivă notată ,, =)" .

Fie două formule de calcu l propoziţional c lasic , astfe l incît : - prima este o disj uncţie de mai mulţi termeni şi fie­ care dintre aceşti termeni este o conj uncţie de variabile propoziţionale negate sau nenegate (această formulă poartă numele de forma normală disjunctipă) j - a doua este o conjuncţie de mai mulţi termeni şi fiecare dintre aceşti termeni este o disjuncţie de variabile propozi ţionale negate sau nenegate (formă normală con­

ju,!ctipă) .

In acest caz între prima formulă şi cea de-a doua poate fi scris se Ililn u I =) dacă Între fiecare din termenii disj unc­ ţiei (care este prima formulă) şi fiecare din termenii con­ jun cţiei (care este a doua formulă) poate fi s cris sem­ nul -+ şi, în plus , fiecare ase menea pereche de termeni are in comUn o variabilă propoziţională negată sau una nenegată. Spre exemplu Între (p "'-' p) şi q nu se poate scrie semnul => [cu alte cuvinte formula (p "'-' p) =) q nu este valabilă] , căci s ingura pereche de termeni ce se prezintă în acest caz , p "'" p şi q , nu are In comun nici o variabilă propoziţio­ lIa Iă . I ată acu m , în schimb , cîteva exemple de asemenea form ule va lab i le :

p =) ( p V q) ; ( p . q) =) P R. Ackermann stab ileste că s iste mul Si al l u i Lewis conţine drept teoreme for�ulele considerate la început şi in care� j oacă rolul implicaţiei materiale , i ar --+ pe cel al p =) p ;

" R . Ackermaoa" op . cit . , p . 9 .

14.


Logica polivalentil

implicaţiei stricte . Dacă interpretăm însă semnul � C;l) reprezentînd relaţia de antrenare (entailment) d in, sistemul l u i Anderson şi Belnap - , formulele considerate la sfîrşit sînt teoreme în acest sistem . -

*

4.1 5.

Complet�ri aduse sistemelor implicaţiei stricte. Alte sisteme moda le

Am văzut în paragraful precedent cum stud i i le lui Lewi�; au constituit punctul de plecare a numeroase cercetării urmărind formalizarea relaţiei de deductibil i tate logică ._ Acelaşi rol l-au avut şi în cercetările de logică modală � (Deşi , după cum am arătat , aici Lewis a avut un p re c ursor �: pe Hugh MacCo l ! ' ) Acestea au luat o dezvoltare conside­ rab ilă , fi ind înmănuncheate de H . Feys Într-un t rata t a, cărui osatură o const ituie sisteme le impl icaţie i stricte57 Să urmărim cîteva din dezvo ltări le u lterioare ale a ceste ii logi ci. Am demonstrat în paragraful precedent că orice pri n cipiu valabi l a l calculului propoziţional b iyalent este­ "necesar" în S258 , în acord perfect cu accepţia pe c are O> dăm de obice i necesităţi i . Ne putem pune întrebarea :: de ce orice principiu a l ca lculului propoziţional b iva lent şi nu orice principiu al lui S2? Restricţia pare , într-adevăr •. pur convenţional ă şi o putem înlătura adăugînd regul ilor­ lui S2 (substituţia , modus ponens şi adjuncţia) următoarea� re gulă : Or ice principiu valabi l este "necesar" . Ceea ce în limbaj formalizat ar însemna că , dacă am demonstrat propoziţia p , atunci este demonstrată şi propo­ ziţia O p . Obţin'3m astfe l un nou sistem , mai bogat in teoreme­ decit S2 , care pe l îngă teoremele acestuia mai conţine •.

­

·

67 R. Fey;;, _Madai Logic8 ( e d . w ith some complements by J . D opp) , Lou vain , Paris , 1965 . 68 A cest rezultat fusese o bţinu t ch iar În Sl ( · r. .1r.).

150


4.15. Completări

'ti form ulele obţinute prin prefixarea acestor teoreme Cl ouaul sall mai multe semne de necesitate . EI va fi n ot a1 'cu T ş i se va n u m i sistem ul Feys-pon Wright, du p i �ei doi Iogi c ie n i care l-au propus în mod i n de pend e n1

-unu) d e a ltu}59 .

Por nind tot de la S2 , se p ot construi şi alte si s t emt modale pe baza următoare i o b serva ţii a lui Lewis6 0 • Se d e m on s t re ază Î n S 2 teorema

1 9 .84

) '"'"'

......

p

) ........,

'"'"'

-<

q .

.p =q echivalente" . În

" Do u ă propoz i ţ i i ne CE'sare s ln t logic c are înlocu i n d q eu -.., ..:) '"'"' p obţinem : '"'"'

.

) -...

.) "-' p .

'"

Deci , dacă e x istă

.- O

.....

p

.

=

.......

O

'"

p

o propoziţie p astfel încît '" au loc echivalenţe le :

p, atunc i pentru e a

p = "-' O ,,-, p ;

O ,.,..,

O

.....

'"'"' O '"'"' p = "-' O """ "' O """' P este

Dar atunci , dacă q = '"

-<

o

propoZIţie a stfe l i n c it

q , În baza l u i 19.84,

q

=

q �= p .�hci şi p e n tru q

avem :

"-' 0 "-'

q =

.......

0 "-' ,.,.., O "-'

q;

/itrlD urmare postu)atu l 9 (vedeţi * 4 . 1 1 )

'" O

"-J P� -< "-J O

'"

'" O '" p

3re l O G in genera l . EI nu poate fi totuşi demonstrat ca t.eoremă p l e c înd de l a pos t u late l e sistemu lui 2 . iii R. Fcys i n Les Logil]ues no uve l les des modaiites, "Revue Neesco l a s t ique de Ph ilosophie", v o I . 40 (1937) , p p . 5 1 7 - 5 53 şi 'G. H. v o n Wright. A n Essay in Jl..lodal Logic, Ams terdam, 1 95 1 . <:Cel d o i l<)g icien i p ornesc d e l a axiome d iferite dar B. Sobocioski ;a

arăta t că sistemele care se obţ in astfe l au aceleaşi teoreme , prin sint echivalente ( vedeţi R. Feys. M a da i Lagics, p. 1 1 4) . "'18 Sym bolic Logic, p. 499.

fllrm are

151


Logica polivalentlt

În consecinţă avem alternative le : (a) sau există propoziţii care sînt "necesare" ŞI atun ci pentru orice propoziţie p :

(b) sau nIcI o propoziţie nu este "necesar necesară" . (deşi pot exista , b ineînţeles , şi există chiar , propoziţii necesare ) . Cele două alternative sîn t evident incompatibile . Postu­ latul 9 exprimă pe prima . Dar am văzut obiecţia care i se poate adu ce (că deşi este o consecinţă a teoreme i 19.84 nu poate fi dedus din postulatele 1 1 . 1 - 1 9 . 01 ) . Fapt pentru care Lewis optează pentru a doua alternativă . Această opţiune se exprimă prin introducerea postul�. tului 25 .

00p

Orice propozi ţ ie este "posi b i l pos ibi lă" . Într-adevăr , înlocuind p cu '" p obţinem «pentru orice propoziţie p nu este adevărat că ea este "necesar necesară"» . Datorită incompati b i l ităţi i ce lor două alternative , acest postulat nu poate f i adăugat nici siste­ mulu i 4 şi nici sistemului 5, căci duce la contradict i i . Hallden a numit (după Alban) sistem ul 6 sistemul obţinut prin adăugarea postul atu l u i 25 sistemu l u i 2 , iar sistemu l 7 - sistemul obţinut prin adău garea ace luiaşi postulat sistemu lui 3. Tot e l a mai considerat un postulat mai tare decît 25, anume : 26.

'""

O

'"

OOp

Este necesar ca orice propoziţie să fie "posibil posibilă" . E l a numit sistemul 8 sistem u l obtinut prin adăugarea l u i sistemulu i 3. Atunci notînd prin săgeată re laţia de incluziu ne între sisteme (spre exemplu S2 _ S 1 înseamnă "S2 conţine toate teoremele l u i S1" , cu alte cuvinte S2 inc lude pe Sl ) , 152


4.15. Completări

cele nouă sisteme : S1-58 �i sistemul T a l lui Feys-von Wright sînt aranjate de Prior în următoarea d i a gramă'l : S5 � S4 � T . . \ . . � ·. . . . . . . . . . . . A S 3 � S2 � Sl .B .. ...... ......? ..:.. ? ........ ::;8 S7 � 5G . . . . . . . . . . . . . . �

.

.

.

.

.

.

-,

Sistemele de deasupra linie i A conţin regula "dacă p este o teore m ă , atunci O p este ş i ea o teoremă" . Sistemele d e dedesubtul l iniei B conţin teza O O p , incompatibilă - după cum am văzut - cu această regu l ă . C e l e de la stînga l i n ie i C conţin un n u m ă r f i n i t d e moda­ l ităţi ; pentru cele de la dreapta ( cu excepţia lui 56) s-a demonstrat existenţa unui număr infinit de moda lităţi comp lexe ireductib i le . Ceea ce am prezentat pînă acum sînt însă numai princi­ pale le dezvoltări ale logici i modale bazate pe logica i m p l i ­ caţiei stricte . În această pri v inţă studi i l� s-au îmbogăţit şi d i versificat într- un mod i m presionant . In afara a nume­ roase reformulări ale sisteme lor amintite mai sus , s-au stu­ d i at o serie de subsisteme a le lor , c a �i alte sisteme , dife­ rite de acestea , d ar avînd anumite legături cu e le . Pentru a da un singur exemplu , putem menţi ona a i c i faptul că , pl ecînd de la subsistemul l u i S1 pe care l-am notat a i c i S1° (vedeţi nota 1 4 din acest para graf) , B . Sobocinsk i a construi t o serie de subsisteme - S2° , S3° şi S4° - , respectiv a le s isteme lor S2, S3 ş i S4 (tot Soboc inski a arătat că S4° este e chivalent cu sistemul T al l u i Feys şi von \Vright)62. Alte cercetări i mportante în acest dome­ niu sînt legate de numele unor logicieni ca E . J . Lemmon , S . Hal lde n , R . Barcan-Marcus ş i alţi i . 8 1 A. N. Prior, Time and Modality, p . 1 23 . 8 2 Pentru de ta l ii şi s tu d iul acestor s isteme vedeţi lucrarea lui Feys, Modal Logies .

153


Logica polivalentlf

4.16.

*

Consideraţii

generale

Am urmărit în acest capitol o serie întreagă de sisteme logice formale avînd toate un scop comun, anume forma­ lizarea relaţiei care are loc între două propoziţii atunci cînd a doua poate Ii în mod val id dedusă logic din prima . Aceasta , deoarece , după cum am avut ocazia să subl iniem în mai multe r induri , imp l icaţia lui Russel l era valab i lă şi cînd asemenea relaţi i de inferenţă , evident, nu se puteau stab i l i . Din acest punct de vedere însă , poate f i discutabil care dintre re laţi i le de impl icaţie a le sistemelor expuse este sau se apropie cel m a i mult de re laţia de inferenţă căutată. Se pare că dintre cele cinci sisteme a le impl icaţie i stricte , S1 - 55 , Lewis încl ină către 52. Importanţa acestor sis­ teme stă , după părerea sa, in faptul că in ele se poate face distincţia între ceea ce este o ta�tologie în logica bivalentă şi ceea ce este doar adevărat . Intr-adevăr , după cum am văzut (*4. 14) , impl icaţia strictă a două propoziţii avea loc dacă şi numai dac� implicaţia materială corespunză­ toare era tautologică . In acest sens , scrie Lewis, sistemul impl icaţiei stricte ( 52 - n.n.) se poate spune că furni­ zează acel canon si critică a inferente i deductive care este dezidera tul invest igaţiilor logice83 " Cit prive şte paradoxele care apar şi care , după cllm am văzut, au dat naştere la atîtea discuţ i i , "ele sînt consecinţe inevitabile ale unor reguli de inferenţă indispensabi le"6i . Evitarea lor deci nu poate fi făcută fără a renunţa la ase­ menea regul i . O altă problemă o comtituie dificultăţile ce se ivesc la înţelegerea acestor sisteme din pricina i mposibilităţii de fi interpreta numărul mare (citeodată şi infinit) de m oda­ lităţi complexe ireductibile care apar . Aşa cum observ� şi Feys , "dacă s-ar găsi o interpretare naturală celor 1 4 modalităţi ale l u i 54, ca să nu vorbim de cele 42 din 53, interesul acestor sisteme ar deven i de netăgăduit . Dar S3 84

154

Symb o l ic Logic, p . 2 4 7 . Symbolic Logic, ed . a I I-a , 1 95 9 , Appendix

III, p.

512.


4. 16. Consideraţii generale

aceste modal ităţi complexe nu au un sens intuitiv cunos­ cut"83 . D in acest punct de vedere S5 , cu cele şase modalităţi ale sale, pune cele mai puţine probleme de interpretare . Stu­ diul matematic a l une i asemenea interpretări l-a condus pe P . Hen le la concluzia că sistemul S5 poate fi privit într-un anume fel ca o logică clasică86 , în care posibi litatea une i propoziţi i p este definită astfe 1 : O p = 1 , adică ,,0 p este adevărat" , sau , ceea ce este totuna , "p este posibil" înseamnă p =F 0, adică p nu este fals6? După părerea lui Lewis , principa la semnificaţie logică a sistemului S5 stă în aceea că el împarte toate propoziţ.iile în două clase ce se exclud una pe cealaltă : clasa propoziţ i i lor intensionale sau moda le şi clasa ce lor extensiona le sau contingente . Potrivit legi lor acestu i sis­ tem , toate propoziţiile intensionale sau modale sînt nece­ sar adevărate sau necesar false . Prin urmare , pentru orice propoziţie modală , să zicem P m ' ŞI

pe c înd , pen tru propoziţiile extensionale sau contin­ gente , posibil itatea , adevărul şi necesitatea rămîn distincte68 • Fără îndoială , încercările lui Lewis , ca şi a le ce lorlalţi logic ieni care l-au urmat , nu reprezintă un succes total . Dar e le au reamintit o idee pe care logicie n i i matemati­ cieni păreau s-o fi dat u itării , şi anume aceea că un prin­ cipiu de l ogică este un iversal va lid într-un dublu sens : pe de o parte sub aspectul extensiun i i - ca o relaţie valabi l ă pentru toţi - , p e d e altă parte sub aspectul intensiun i i 8 5 "Revue ph ilosophique d e L ouva in" , 1 95 3 , p . 600 . 68 Privită de fap t sub forma ma tema tică a unui calcul a l gebric l a l gebra Boole-Schroder) , vedeţi Sym bo lic Log ic, ed. a I I-a , 1 95 9 ,

p . 50L

87 în accepţia a cordată a ic i l ogic i i clasice , presupunerea că p nu e fals nu n e mai conduce a utom a t la concluzia că p este adevăra t . 8 8 Symbolic Logic, e d . a I I-a , p . 501 .

155


Logica polivalentlI

ca o legătură necesară . Aşa cum observă şi R . B l anche, in afara cazuri lor În care recurgem l a enumerarea completă , ţ;i în care universala se descompune într-o colecţie de singu­ Jare , totul În extens iune , total i tatea nu poate face obiectul une i afirmaţii s igure dacă nu rezu ltă dintr-un tot în inten­ siune (com p rehension) , dintr-o universalitate esenţială, care nu are sens dedt dacă exprimă necesitatea une i legi89•

88

R . BlaDche, o p . c i t . , p. 1 7 6 .


5 Logicile lui Lukasiewicz

*

5.1.

Log ica modală a lui Lukasiewicz

În capitolul precedent am văzut că Lewis făcuse uz de noţiunea de modalitate a une i propoziţii în scopul definir i i relaţiei de impl icaţie strictă . Pentru aceasta e l ape lase la noţiunile d e necesitate , real itate (adevăr) şi posibil itate deja introduse de Hugh MacColi înaintea sa . Logieian lJ l polonez_ Jan Lukasiewicz s-a ocupat înde­ aproape de stu d i u l moda l ităţii , bazîndu-se pentru aceasta , dupa cum vom ve de a , pe cercetările făcute în logică de la Aristotel , adică în peste 2000 de ani , o e c a oe conferă stud i i l or sale un deosebit interes . În p lu s , metodele J u i de �er�e_tare sînt complet originale . Ele au constituit baze le a ceea o e astăzi logicie n i i numesc logici polivatente. Din acest motiv ideile sale au pentru noi uri-- deosebit interes . Ele au apărut şi s-au conturat în mai multe studi i publicate d e Lukasiewicz incepind d i n anul 1920. I n pagi­ nile care urmează noi am util izat pe cele ma i cunoscute , şi anume : ce le două articole publicate în 1930 în Comp tes Rendl�s des seances de la Societe des sciences e l des Lcttres de Varsovie (respectiv Untersuchungen u ber den A ussagen­ halhu l , p . 1-21 , 30-50, scos în colaborare cu e levul său Alfred Tarski , şi Philosop hische Bemerhungen zu mehr­ wertigen Systemen des A ussagenkalkills , pp . 51-77) şi 157


Logica polivalenti1

studiul Die Logik und daa Grundlagen problem (apărut in L88 entretiens de Ziirich sur les fondements et la methode des sciences mathematiques, 194 1 , pp . 88- 100) 1 .

5.2.

*

Ideile

primitive

Idei l e primitive de la care ple ac ă L u k a s i e w i c z s înt urI]1 �­ toare le : vom nota o propoz i ţ i e o areca re cu p� P r o poz i ţ i a "p este posibil" se va nota in felul următor : se ia i�1i�a maj uscu lă a cuvîntul u i "moglich" (posib i l) , adică "M" , �i se pune inaintea propoziţiei p a căre i pos i b i litate vrem să o exprimăm : adică MjJ,'.' Negaţia , care va insemna sim­ plu non-p (nu e adevărâ-2p) , se va insemna cu N. :Aşadar , liP _va insemna "non-p" . Pe scurt , simbolurile intrQduse fără a fi definite silit, în logica lui Lukasiewicz , p, Mp şLNp. Urmează să vedem acum la ce comb inaţii dau loc aceste idei Să le trecem pe toate intr-un tabel , pentru a le avea în evidenţă . * .

(2) "p este fals"

"

p Np

(3) "p este posibil"

"

Mp

(1 ) "p e s t e o propozi ţ ie"

în s i m b o l u ri

(4) "p nu este posibil"

"

NMp

( 5) "este posibil non-p"

"

MN'p

" ( 6) "nu este posibi 1 non- p

("nu este posibi l

N'MNp

ca p să fie

fa ls")

1 De asemenea , am ut i l i z at expunerea s is tem u l u i triva l en t a Lukasiew ic2l făcută in Symholic Logic a l u i Lewis ş i Langford, cap itolul V I I , p r e c u m ş i contribuţiile deose b it de imp o r t a n te ,aduse de J. B. Ros;;er ş i A. R. Turquette in l uc ra re a l o r }Uany­ lu i

Valued Logies (Amsterdam , 1952 ) . Aceste categorii s e exam i ne a z ă aici d i n p unctul d e ved ere

al l ogicii formal e , analiza l O r tră î n obiectul n os t ru . *

158

fil ozofică,

dialect i c a

lor

nu

in­


5.3. Propoziţii modale primitive

Propoziţia (6) poate fi citită şi altfe l : dacă spunem _,nu este posi b i l ca p să fie fals" , aceasta echiva lează cu .. p este necesar adevărată" sau mai pe scurt "p este nece5ar" . U l timele patru modalităţi nu s int identificate de Luka­ ,; iewicz cu j udecăţ i le problematice şi apodictice a le l u i Kant , c i cu c e l e patru mod ur i scolastice : 1 ) possibil6 ; 2) impos8ibile ; 3) aontingens ; 4) necessarium. Î n afară de aceste moduri se mai introduse se în evul mediu Încă două moduri a le propoziţiilor , "lJerum" şi Jalsum" , care au fost identificate cu "p este adevărat" - notat cu p şi "p este fals" - notat cu Np. Toate a cestea nu sînt aserţiun i , ci numa i propoziţii ipotetice .. Iată ide i le primitive ale log i c i i l u i Lukasiewicz . -

*

5.3.

Propoziţii

modale

primitive

Lukasiewicz cons��ră tre i grupe de propozIţII , care se intilnesc în istoria J5Jg i c i i ş i care au fost privite de logi­ c ieni ca evidente . Jjită aceste propoziţi i care se referă la moda l i tă ţi . ;" Prima grupă : (a) A b oportere ad esse lJalet consequentia . (b) A b esse ad posse lJalel conse q wJntia . Prin contrapoziţie se capătă din (b) : (c) A b non posse ad non esse lJalet consequwtia . Ce spun aceste propoziţi i ? Propoziţia ( � înseamnă : de la a fi necesar la a fi , este valabi l ă consecinţa . Cu a lte cuvinte , apl icînd-o la propoziţi i , fiindcă acestea ne interesează a i c i , vom spune : dacă o propoziţie este necesară , atunci ea este adevărată � (Necesitatea implică rea1itate a �) . Propoziţia (b) exprimă : de la a fi la a f i posibi l , este valabi l ă consecinţa . Aşadar , dacă o propoziţie este adevă­ rată , ea este pc)s ib i lă . (Adevărui sau rea l itatea une i propo­ ziţ i i i m p l ică posibi l i tatea e i . ) 159


Logica polivalentă

În sfîrşit , propoziţia (c) are semnificaţia : de la ImposI­ bi l , la neexistenţă , e ste valabi lă consecinţa . Imposibilitatea unei propoziţii atrage drept urmare logică falsitatea e i , irealitatea e i . ( Imposibil itatea are de consecinţă ireal itate a , falsitatea . ) . Pentru înţelegerea propoziţie i (c) , Lukasiewicz dă un e xemplu : "Este imposibil ca un număr prim să fie divi­ zibil cu 4 ; deci nici un număr prim nu este divizibil cu 4"2 . Imposibilitatea implică inexistenţa . Ca propoziţie reprezentantă a primei grupe , Lukasiewicz formu lează : I . "Dacă nu este posibi l p , atunci non-p" . Aşadar : dacă p este imposibil , urmează că p este fals . O propoziţie mai puţin cunoscută declt precedente le , dar nu mai puţin intuitivă , este următoare a , care for­ mează grupa a doua . JLllo u! �r,�p_ă : •.

(d)VnutnquoiIque, quando est, oportet esstfl .

Ce spune această propoziţie? "C ind ceva exist ă , cu nece­ sitate există" . t,ukasiewicz Iămureste astfe l această afirmatie : "Nu tot ce există (Seiendes) �ste necesar , după cum � u orice nu e xistă (Nichtseiendes) este imposibil ; dar cînd ceva care există este (dat) , atunci este necesar şi cînd ceva care nu există nu este (dat) atunci este i mposibil"". De p ildă , scrie Lukasiewicz , "nu este necesar să fiu a casă astă-seară , dar dacă sînt acasă astă-seară atunci , c u această presupunere , este necesar să fiu acasă astă­ seară" . Ca propoziţie re prezentantă a celei de-a doua grupe , LUKasiewicz înscrie următoarea : I I . " Dacă se presupune non-p , atunci (cu această pre­ supunere) nu este posib il p" . 2 J. Lukssiewicz, Phi lO/loph ische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des A ussagenkalkii ls, p. 53 . a Propoz iţia aceasta este c itată de L e ibniz În Theodicee , dar se trage de la Aristotel (De Interpretatione, 9 , 1 9 a, 23 ) . 4

160

J . f,ukasiewicz, op. ci t . , p . 5 3 .


5.4. Consecinţele primelor propoziţii modale

Mai precis, dacă presupunem că p este fals rea lmente , a� n� este posibi l , dar numai cu condiţia acestei llresupunerI . - in sfîr�i_t , a treia grupă de_ propoziţii constă d intr-o singură propoziţie , pe care Aristote l o numeşte "posi­ bitifafea oe amîndouă părţile"5, "posibilitatea bi l aterală". E l i lustra această posibi litate prin exemplul următor : "Se poate ca această haină să se rupă , dar se poate să nILs.e rupa' . Lukasiewicz dă un alt exemplu : "Se; p oate ca-.,acest bolnav să moară , dar se poate şi să nu. -l))O ară" . Este ceea ce se numeşte , după cum am m a i spu s , "con­ t ingenţa v i itorul ui" , întrucît propoziţ i i le de fe l u l acesta se referă la Întîmplările vi itoare pe care nu le putem cunoaşte în prezent. Lukasiewicz formulează t1rmătoarea propoziţie, e :lCprI­ m ind tocma i - aceastA posibi l itate "b ilateraIă" . lI! . "Pentru un p oarecare e.�te posib i l p şi este posib il non-p" . Adică pentru o propoziţie oarecare p , propozIţia "p este adevărat" este posibilă , după cum este posib ilă pro­ poziţia "p este fals". Ave m , aşadar, tre i propozi ţ i i moda le primitive . _

5.4.

*

Consecintele primelor două propoziţii modale

Vom introduce un nou sem n , ace la al impl icaţie i . Pentru două propoziţii p şi q , care sînt astfe l incit - orice ar Însemna ele - dacă prima este adevărată ş i a d o u a este adevărată , Lukasiewicz , uti l iz înd un si mbo­ l ism propr i u , scrie înti i l i tera C, după care pune , in ord inea lor , cele două propoziţ i i p ş i q. Astfel "Cpq" înseamnă "dacă p este adevărat , atunci şi q este adevă­ rat" şi se va citi pe scurt :

Cpq : "dacă li

De Interpre ta/ione , 9 , 19

a,

p

"

atunci q

9.

· 161


Logica polivalent4

Simbolurile M , N, C , precum şi alte le , de acelaşi fel , care vor mai fi introduse se numesc functo,.i, termen întrebuinţat de Kotarbinski . Să se obstrve că functorii nu afirmă nimic : ei "modal izează" numai propoziţiile . Să formulăm acum , în simbolurile noastre , propozi.ia 1 . Vom căpăta o propoziţie simbol ică , o teză. (Sub n.mele de teze , Lukasiewicz înţelege - după Lesniewski - atît axiomele c ît şi teoreme le unu i siste m . ) Vom căpăta teza 1 :

1 . CNMpNp "Dacă p nu este posibil , atunci p este fals" . Pentru a nu exista vreo îndoială asupra simbolismu lu i , să pro­ cedăm astfel : avem un semn "C" de implicaţie , care leagă două propoziţii ; prima propoziţie va începe de la primul runctor de după C �i va ţine pînă unde este primul semn de propoziţie , în cazul nostru p ; a doua propoziţie începe de la functorul imediat de după p şi ţine pînă unde se iveşte iarăşi un semn de propoziţie , aici p ; dacă ar mai fi o a treia propoziţie , ea s-ar determina la fel . Aşadar , în loc să scrie : NMp impl ică Np Lukasiewicz a scris , simplu CNMpNp , "

care se citeşte : "dacă p nu este posibil, atunci non- p . A doua propoziţie ( II) poate fi formulată ca o impli­ caţie , care nu este decît impl icaţia precedentă inversată : 2. CNpNMp "Dacă non-p , atunci p este imposibil" . Deocamdată n e oprim l a aceste două propoziţi i , răm înînd ca , mai departe , să o introducem şi pe a tre i a . Iată -dar fixate ideile primitive şi propoziţiile primitive . Pen1ru a deduce din acestea a lte teze , Lukasiewicz între­ buinţează două reguli de deducţie : substituţia şi cpea ce el numeşte "despărţirea" , care nu este a l tceva decît modus ponens : dacă o teză trecută pe l ista propoziţiilor adevărate impl ică o a ltă teză , atunci şi aceasta este ade162


5.4.

Consecinţele primelor propozitii

moda.le

vă rată şi poate fi trecută in aceeaşi l istă . . Vom numerota teze le în aceeaşi ordine pe care o dă Lukasiewicz . Înain­ tea unei teze numerotate se va gAsi un rind care nu poartă n i c i un număr , acesta indicînd ce substituţii urmează să fie făcute . Un r înd de fe l u l acesta este compus din două părţi despărţite de semnu l " X " .

Semnele d inaintea l u i X constituie o formulă care e ste aceeaşi cu Cea de după x , numai că este notat ă în chip deosebit. I naintea semnu lui X se scrie substi ­ tuţia c e trebuie făcută ; d e exemplu , 3q/Mp arată că tn formu la (teza) 3 trebuie inloc u i t q cu Mp . Vom trata la timp , în intregime , un exemplu pentru a se observa bine procedeul .

Teze 1 . CNMpNp

2. CNpNMp 3 . CCNqNpCpq

4 . CCNpqCNqp 5. CCpNqCqNp 6. CCpqCCqrCpr Aceste şase teze s tnt acceptate de LU Kasiewicz fără a

fi demonstrate ; e le s in t de fapt axiome le s istemulu i . Prim e l e două s înt propoziţiile modale 1 ş i II ; tezele 3, 4 şi 5 s int forme a l e principiului transpoziţ i e i ; teza 6

eite s i l agismul ipote t i c . Pentru a nu da loc la vreo con­ fuzie e ventual A , să citim una d in e l e , m a i compl icat ă , f i e teza 3 : CCNqNpCpq . Avem aici , la inceputul formule i , două semne de impl icaţi e , ceea ce ar putea părea echivo c . Se observă Însă că propoz i ţ i i le noastre s int :

Nq

Np

p

q

Avem una după a l ta propoz i ţ i i le Nq şi Np ; unul din cele două semne iniţiale CC leagă aceste propoziţii , CNqNp ;

163


Logica polivalent!

după aceea semnul 9 d in interiorul formulei se referă la p şi q, deci Cpq. In sfîrşit, unul din semnel e C, care

a mai rămas l iber, articulează aceste două propoziţii CNqNp şi Cpq . Aşadar , CCNqNpCpq cum se va citi ? Dacă non-q implică non-p, atunci p i mp lică q . Să trecem acum la tezele care a u nevoie de demonstraţie . Pentru a demonstra teza 7 , vom scrie mai întîi rîndul care indică substituţia : 3q/Mp X Cl- 7 . Cum a m spus , acesta indică că in formula 3 trebuie să !nlocuim pe q cu Mp ; rezultatul este scris în dreapta semnului X , pe scurt , şi este Cl - 7 , adică teza 1 implică teza 7 şi dec i , după modu!} p onena , putem scrie teza 7 ca adevărată. Să facem această substituţie :

CCNMpNp CpMq .

--

1

7

X

Cl- 7.

Se vede că , după substituţie , formula noastră s-a trans­ format în "teza 1 implică teza 7" şi demonstraţia este făcută . Să scriem acum tezele demonstrate de Lukasiewicz indi­ c înd numai substituţiile ce trebuie fi'lcute .

3q/Mp X Cl-7 7.

CpMp 7 p/Np

X

8

8 . CNpMNp 4.

q/MNp X C8 - 9

9. CNMNpp 6 p j NMNp , q/p , r j Mp

X

C9-C7 - 1 0

1 0 . CNMNpMp 4. 1 64

p j MNp , q/Mp X CI0- 11


5.4.

Consecinţele primelor propoziţii moda.le

11 . CNMpMNp * *

3 q/p , plMp

*

X C2 -12

12. CMpp 12 p /Np

X

13

1 3 . CMNpNp 5 plMNp , q/p X C 1 3

-

14

14. CpNMNp

6 p lMp , q/p , r/NMNp

X

C12-C14-15

15. CMpNMNp 5 p/Mp, q/MNp

X

C15 - 16

16. CMNpNMp Tezele de la numărul 7 la numărul 11 inclus iv rezu ltă d in teza 1 (propoziţia moda lă 1) ; tezele de l a 12 la 16 inclusiv rezultă d in teza 2 (propoziţi a moda lă I I) . Să citim une le teze di n prima grupă (7-11) . De p i ldă, teza 7 spune : "Dacă p , atunci p este posib i l" . Teza 9 ; "Dacă nu este pos i b i l non-p, atunci p" . în general , te­ zele 7 - 1 1 , din prima grupă , s înt evidente . Nu tot aşa se Întîmp l ă cu tezele din a doua grupă , 12-16. De exem­ p lu , teza 12 ("CMpp") : "Dacă p este pos ib i l , atunci p" . Pe baza aceste i teze Lukasiewicz se crede îndreptăţit să facă in fere n ţa următoare , destul de surprinzătoare : " Este p o s i b i l ca bolnavul să moară , a şadar moare" . Concluzia este destul de b izară şi Lukasiewicz scrie : "Această concl u · zie va f i admisă num a i de ace i a pentru care nu există n i c i o diferenţă Între a f i pos i b i l (Moglich sein) şi a f i ( Sein)"8 . Vom reveni l a. sfîrşitul capitolului asupra aceste i înche ier i . •

J . l.. ukuiewiez, op. cit . , p . S 7 .

165


l.AIgIiE8 ,-rl',... T..zt lt 1 2 - 113 sint transformări respective a le tezelor d m prima grupă 7-11 . Teza 2 (adică propoziţia II) este

t r .. nspoziţia i n versă

lor ,

tezei 1 (a propoziţiei 1) , adică imp l i ca ţ ia ce l e i din teza 1 , cum se vede uşor d in comparaţia

2 . CNpNMp 1 . CNMpNp unde se observa că s-au intervert i t , pur şi simplu, termenii implicaţiei între e i . Urmează că tezele din a doua grupă sînt transpoziţiile teze lor respective din prima grupA . Avem cinci teze în prima grupă şi cinci teze în a doua grupă ; e l e îşi corespund întru totu l . De exemplu, să luăm ultima teză ( 1 1) din grupa întîi şi ultima teză (16) din grupa a doua : 1 1 . CNMp MNp

1 6 . CMNpNMp Afirmaţia noastră este evidentă . Tot astfe l se verific ă acelaşi lucru şi pentru celela lte teze . Acest rezultat ne duce însă la concluzia că cele două grupe de teze reprezintă de fapt o grupă de cinci echiva lenţe fiindcă avem im­ p licaţii simultane reciproce . De aceea Lukasiewicz scrie • Cine adm ite amîndouă grupe le de teze trebuie să accepte că propoziţiile următoare s înt echivalente între e le : "p" ; "p este posibil" ; "nu este posibi l non-p" sau "p e necesar" . Tot a şa propoziţiil e : "non-p" ; "non-p este pos i ­ " bil" ; "nu este posib i l p trebuie privite c a echivalente • . Intr-adevăr , s ă considerăm numai u n exemplu. Fie tezele 7 şi 12 care Îşi corespund în ce le două grupe : Î . CpMp 12.

CMpp

Ele reprezintă echivalenţa lui p cu Mp . Aşa se pot cerceta mai departe şi celelalte echiva lenţe . Cu aceasta Însă , noţiunile de necesie ştati de posibili­ tate introduse devin superflue , odată ce , în această logică , 16&


5.5.

Consecinţele ultimei propoziţii moda.le

"a fi posibil" echivalează cu ,,8 fi adevărat" , "a fi ne­ cesar" echivalează cu "a fi adevărat" e tc . Lukasiewicz crede că ajungem la această concluzie din cauza propoziţie i modale primitive I P : "Dacă se presu­ pune că non-p , atunci (cu această presupunere) nu este posibi l p" . Propoziţia este evidentă , după e l , numai că traducerea e i 2 . CNpNMp , cu toate că poate f i doved ită că reprezintă propoziţia I I , nu redă exact sensul e i . Acest lucru s e întîmplă d i n cauză că nu avem m ij loace sufic iente in logica biva lentă ca să exprimăm complexitatea mai vastă de sens pe care o are propoziţia I I , traducînd-o simbolic printr-o simplă impl icaţie . În rezumat, calculul bivalent aplicat propoziţiilor mo­ dale ajunge la o confuz ie a lor , astfel că n u ne aduce a bsolut n imic nou.

* 5.5.

Consecinţele

celei de

a

treia

propoziţii moda le primitive Nu am utilizat pînă acum propoziţia primitivă III. Lukasiewicz crede că ea nu poate f i exprimată simbolic decît dacă se lărgeşte calculul propoziţional8 • Să introducem atunci , odată cu Lukasiewicz , următoa­ re le noi simboluri . Fie � un cuantificator partioular, aşa fel încît dacă îl punem în faţa unei propoziţii să arate că este vorba de un caz part icular , nu de toate cazurile .

,, "Ep" = "pentru un p oarecare" 'Lp înseamnă deci , că p nu e luat in general , dat , ca o propoziţie dată .

CI

ca un caz

7 I bid,m . 8

Ibidem, p . 5 8 .

161


Logica polivalent4

Fie acum şi simbolul conjuncţiei logice , K , astfel Inc it, dacă îl punem Înaintea a două propoziţii, aceasta În· seamnă că e le au loc simultan : "Kpq" = "p şi q" Putem scrie propoziţia I I I în mod simbol ic astfel (con­ tinuînd numerotarea) : 1 7 . "1:.pKMpMNp

"Pentru un p oarecare este pos ibil p şi este posibil non-p" . Cuantificatorul ,, "1:." poate fi exprimat printr-un alt cuantificator, anume cuanti{icatorul unipersal "ll" . Semnificaţia lui "il" este : I"llp" = "pentru fiecare p" , adică "pentru toţi p" . Să notăm pe scurt cu "CI.(p)" = o propoziţie în care intră p, adică o formulă care conţine pe p. În faţa une i formule care reprez intă o definiţie vom pune l itera D urmată de un număr de ordine . Vom defini :

D1

"1:.p

CI.

(p)

=

NllpN CI. (p)

Să o citim : partea de la stînga semnului ,,=" este "pen­ tru un oarecare p este vala b i l ă CI.(p)" ; partea din dre a p t a semnu l u i ,,=" este "nu e adevărat că pentru oricare p nu e valabilă CI.(P)" ; aceste două expresii au acelaşi sen s . Aş�dar , "1:. p ş i NllpN au acelaşi efect , dau aceeaşi semni­ ficaţie u nei expresii CI. ( p) . Să facem atunci această sub­ stituţie p/NllpN în 17 ; obţinem :

18. lVllpNKMpMNp , care este teza 17 exprimată cu cuantificatorul ll . E a semnifică : «( N u este adevărat c ă pentru oricare p, propoziţia "p este posibil şi non-p este posibi l" este falsă Il . 168


5.5. Consecinţele ultimei propoziţii modale

Lesniewski a considerat un sistem logic încă mai gene­

ral pe care l-a numit Protothetică.

In loc să considere functori constanţi , cum s înt M, N,

C , K etc . , L esniewski a introdus functori i variabili ne­

determina ţi . In Protothetică se demonstrează că dacă .,," e ste un functor care are numa i o variabilă ca argument, adică dacă avem cpp (tp un functor variabil) , atunci for­ mula următoare este valabilă : "Dacă cpp este valabil şi în acelaşi timp cpNp este vala­ b i l , atunci este valabil şi rpq" . Cu alte cuvinte , dacă pro­ poziţiei p i se aplică functorul şi în ace laşi timp este valabilă şi semnificaţia lui pentru propoziţia non-p, atunci functorul tp se apl ică _oricăre i propoziţii q . Ceea ce este şi evident . Cum functoru l cp este oarecare , re laţia de mai sus se menţine ş i pentru cazul particular , c înd luăm cp = M . Aşadar :

19. CKMpMNpMq "Dacă propoziţia p este posibilă şi în ace l aşi timp este posibi l ă non- p , atunci orice propoziţie q este posibilă" . Pentru a demonstra Încă c îteva teze , să amintim care sînt regulile de demonstraţie :

1 . Substituţia 2 . Despărţirea ( Mo d us ponens) 3 . Adăugarea (introdu cerea) cuantificatoru l u i .

Prime le două re gul i le-am util izat mai înainte . Ultima re gul ă este : <�Dacă în membrul al doilea al unei implicaţii adevărate se află o variabilă propoziţională l iberă "p" , care nu intră şi în membru l înt îi a l impl icaţie i ca variabilă iiberă , atunci se poate pune în faţa membrului doi al implicaţiei date semnul "TIp" ) . Intervenţia aceste i reguli Jntr-o demonstraţie o vom însemna prin " + " (se adaugă cuantificatoru l TI) . Această adăugare a cuantificatorului ,,�P" nu arată decît că implicaţia este valabilă pentru oricare p . 169


Logica polivtJlent4

Să considerăm şi regula b ine cunoscută din logica biva­ lentă , după care o impl icaţie adevărată dă prin transpo­ z iţia termeni lor o implica ţie adevărată

p -=> q . -=> . "-' q -=> "-' p 'J care poate fi scrisă in simbolica lui Lukasiewicz :

CCpqCNqNp In condiţii le acestea a vem aici următoarele teze :

18. NllpNKMpMNp 19. CKMpMNpMq 20 . CCpqCNqNp *

20 pIKMpMNp , q!Mq

X

C19-21

21 . CNMqKMpMNp 21 + ll X 22

22. CNMqllpNKMpNp 4 plMp , q)llpNKNpMNp

X C22q!p - C18-23

23. Mp Am obţinut "p este posibil" unde "P" reprezintă o pro­ poziţie arbitrară . Am ajuns astfel , pe baza propoziţie i I II, la teorema 23, după care orice este posib i l (orice ar exprima propoziţia arbitrară "p") . Cu aceasta , dacă totul este posibil , atunci nimic nu este imposi b i l şi nimic necesar. într-adevăr, dacă "Mp" este adevărată , atunc i , înlocuind pe p cu "Np" , obţinem "MNp" ; orice propoziţie falsă este posi­ bilă. Deoarece "Mp" şi "MNp" s lnt adevărate , urmează cii negaţiile lor trebuie respinse , fiind propoziţi i fa lse : "NMp" . şi "NMNp", care reprezintă respectiv "nu este posibil p" şi "nu e ste posibil non-p" sint propoziţ ii fa lse . "

170

"


5.6.

JncompatibUitatea propoziţiilor modale

Astfe l nu pu� em avea n iciodată o propoziţie a devărată care să exprlme imposibilitatea unei propoziţii , fie ea socotită adevărată ("p") , fie fa lsă ("non-p") . Acestea s înt urm ări a l e tezei 1 7 , respectiv 18, şi care după Lukasiewicz nu pot căpăta a ltă formă simbo l ică , chiar în calculul lărgit prin introducerea cuantificato­ ri l orB •

5.6.

*

Incompatibilitatea propoziţiilor modale primitive in calculul bivalent

Toate a ceste rezultate penibile , crede Lukasiewicz , se datoresc mecanismului prea sărac a l calcululu i logic b iva­ lent . Nu numa i atît, a cest calcul conduce la prop6ziţ ii care nu pot fi acceptate . De exempl u , dacă combinăm teza 12 cu teza 23, căpătăm teza 24 : 12. CMpp 23 . Mp 24. p Prin urmare , dacă privim ca adevărate tezele 12 �i 23, a tunci , după consecinţa 24, orice propoziţie p este vala­ bilă şi ajunge m , astfe l , la un sistem contradictoriu . Nu putem conchide decît că propoziţi i le I I şi I I I sint incompatib i le în reprezentarea lor simbolică. Ne-am bazat , pentru a ajunge la acest rezultat, pe o propoziţie a Prototheticei. Ace laşi rezultat poate fi însă obţinut şi direct, utilizind numai tezele 12 , 13 şi 20 � i tezele obişnuite a le ca lcu l ulu i propoziţional biva lent . Lu­ kasiewicz a lege următoarele teoreme din logica lui Rus­ ;.e

Il :

r-- : p . :J . q :J p , I bidem, p . 60.

171


Logica polivalentif ,,0 propoziţie adevărată p este impl icată de oricare propoziţie q". 1 - . '"" (p . '"" p) "Nu este adevărat p şi în acelaşi timp non·p" (princi­ piul contradicţie i) .

1-

::l

::l

::l

::l

::l

q s . 10 tn simbolica lui Lukasiewicz, acestea vor fi scrise astfe l : : :

p

q

:

. r

8

:

p . r

.

25. CpCqp 26 . NKpNp 27. CCpqCCraCKprKqs

2 7 p /Mp , q/p , r/MNp , a/Np X C i2 - Ci3

-

28

28. CKMpMNpKpNp 20 p/KMpMNp ,q/KpNp X C28 - C26 - 29 29. NKMpMNp

25 p/NKMpMNp

X

C29

-

30

3 0 . CqNKMpMNp 30 + Il

X

3i

3 1 . CqIlpNKMpMNp 3 1 q/CpCqp X C25 - 32 32 . IlpNKMpMNp Teza 32 este însă contrad ictorie cu teza 18 , care este : 18. NIlpNKMpMNp

Am ajuns la două teoreme adevărate care sînt contra­ dictorii . Prin urmare propoziţiile modale primitive II şi I I I ( 1 8 se bazează pe I I , 32 pe I I I) sînt incompatibile . In faţa acestui rezultat, Lukasiewicz scrie că putem avea două i eşiri . Ma i Întî i , propoziţia I şi tezele care ţin It

172

P oate f i obţinută d in teorema 3 .ft7

din Principia Mathllnull i C4.


5.7. Logica trivalentil

de ea (tezel e 1 şi 7 - 11) trebuie recunoscute ca adevărat e , tntrucit sînt ş i evidente ş i n u dau l o c , niciodată, Ia nici o Îndoia lă . D intre propoziţiile I I şi I I I nu putem alege decît una , nu am îndouă d eo d ată , fiindcă sînt contradictorii . Daci ne decidem pentru propoziţia II �i tezele ce derivă d in ea (tezele 2 şi 12- 16) , atunci toate propoziţi ile modale devin echivalente cu cele nemoda le - cum am arătat - , Ceea ce arată că este superfluu a introduce propoziţiile modale în logică. Pe lîngă aceasta , ajungem �i Ia propo­ ziţii destul de dificile de a cceptatll. Dacă ne dec idem pentru propoziţia I I I , trebuie să recu­ noaştem şi consecinţe le ei paradoxal e , că totul este posi­ bil , şi iarăşi nu mai are nici un sens să introducem moda­ l itatea propoziţiilor .

*

5.7. Logica trivalentă

Lukasiewicz trage din aceste constatări bizare o altă concluzie dec ît aceea la care ne-am fi aşteptat . Logica clasică - ca şi aceea a lui Russel l - admitea d ou ă va lori pentru propoziţii : adevărat şi fals (A şi F) . Principiul terţiului exclus era pentru aceste logici o pro­ poziţie fundamenta l ă . Aristotel a susţinut acest p rincip iu, dar a arătat că e di scutabil p entru întîmplări vi itoare. Dacă luăm propoziţia "este p osibil ca să fiu la V arşov i a la 2 1 decembrie" , ea este p osibilă, dar nu necesară. Astăzi ea nu este nici fa lsă , n i ci adevărată . Principiul terţiului exclus n u i se aplică , prin urmare . Există deci o valoare de adevăr pentru unele propoziţii care nu este nici adevăru l (A) şi nici falsul (F) . Lukasiewicz introdu­ ce pe aceast ă bază o a tre ia va loare , "posibilul" , fun­ dînd astfe l o logică cu trei va lori de adevăr. Am putea să insemnăm această valoare cu P. Deoarece unii logicieni 11 J . l.aka8iewiez, op . ci I . , p. 61 .

173


Logica polivaZent4

nota seră cu 1 adevărul şi cu O falsu l , Lukasiewicz notează a tre ia valoare de adevăr cu 1/2, ceea ce este ind iferent . "Ea ist emm das Mogliche , das ala d�itte,. We�t neben das F aL.,che und das Wah�e an die Seite t,.itt"J2. Este evident că dacă o propoziţie "pos i b i l adevărată" are va loarea 1/2 şi negaţia ei are tot valoarea 1/2. Dacă "Mp" are valoarea 1/2 şi "MNp" are va loarea 1/2 . Vom avea deci următoarea m atrice pentru negaţie :

N

1

1 - O 2

în linia l u i p am scris valor i le de adevăr a le l u i p ; tn l inia lui N (negaţia) am scris valorile corespunzătoare negaţie i e i . Dacă o propoziţie p are valoarea O (falsul) , atunci negaţia e i are valoarea ,1 (adevărul) etc . Să găsim a cum matricea corespunzătoare impl icaţiei . în logica , bivalentă această matrice era simplu de construit. In

logica trivalentă şi implicaţia (functorul "C") va avea trei valori : adevăra t , fals şi pos i b i l . Sint de e xaminat , in afară de cazurile din logica bivalentă (care erau patru) , fncă următoare le cinci cazuri unde intră valoarea 1/2, pentru a vedea ce valori de adevăr rezultă pentru impli­ caţie :

C O C

C

1

2

-

1

2

-

1

2

-

: falsul impl ică pesibilul

O: posibilul implică fa lsul 1

- : posibilul implică posibilul 2

13 Ibidem , p . 64.

174


5.7;

Logica

tritJoleRt4

C ..!.. 1 : posibilul implică adevărul 2

CI

� adevărul impl ică posibi l u l .

După cercetări atente , Lukasiewicz a găsit următ()area matrice a implicaţiei , care se citeşte uşor ; în coloana !ntîia din dreapta s-au scris valorile primului membru al implicaţie i ; în linia de sus s-au scris valorile m embru lui al doilea ; la intersecţia l iniei cu coloana respectivă se găseşte valoarea de adevăr respectivă a implicaţiei C. De exemplu :

­

..Q.I ...Q... 1

O

inseamnă : impl icaţia (C) este adevărată pentru primul membru fa ls si al doilea fals. Iată matrice� completăl3 : c

O

O

-

2

â

l'

1

1

1

1

O

2

1

2

1

.

1

1

li A c eastă ma trice p oa te fi scrisă u t i l iz ind in locul semnelor O , 1/2 , 1 l iterele iniţiale F , P, A ale cuv intelor "Fals" , "Polibil" ,i "Adevărat" ,. astfel :

C

F

P

A

F

A

A

A

P

P

A

A

A

F

P

A

1;5


Logica polivalentil

Ce spune această matrice care a făcut să intervină şi va loarea a treia "posibil" ( 1/2) a propoziţii lor? Pentru valori le O şi 1 ale membrilor , implicaţia are valoarea cores­ punzătoare din l ogica lui Russe I l , adică este adevărată cu excepţia cazul u i c înd prima propoziţie este adevărată ,i a doua falsă . Să cercetăm acum cazurile in care intră 1/2 (posibilul) . Dacă primul membru este posibil (1/2) şi al doilea este fals , implicaţia are valoarea 1/2 (este posi­ bilă) ; dacă primul membru este posibil (1/2) şi al doilea este posibil (1/2) , atunci implicaţia este adevărată (1) etc.

5.8.

*

Definiţia noţiunii de posibilitate

Pe baza acestor concluz i i , Lukasiewicz caută o definiţie posibil ităţii. Această definiţie a fost găsită de e le vul lui Lukasiewicz , Alfred Tarski ( în anul 1921) , şi este defi­ n iţ i a posibilităţii in general , corespunztnd ce lor tre i pro­ poziţii moda le primitive . Această definiţie este : a

D2. Mp

=

CNpp

" P este posibil" înseamnă ace laşi lucru cu "dacă

non-p

atunci p"14.. Expresia "CNpp" , care defineşte posibilitatea une i pro­ poziţii p, este conform matricei , numai atunci falsă cInd p este fals ; in toate ce lelal te cazuri expresia este adevărată . Avem astfe l : MO = 0 , M � - 1 , Mi = 1 2

u J. l.uka8icrwicz, op . ciI . , p . 66 .

176


5.B. Definiţia noţiunii

de posibilitate

Adică : posibilitatea laIsului este lalsă j posibilitatea posibilităţii este adevărată j posibilitatea adevărului este adevărată . Trebuie să observăm că în calculul b ivalent e xpresia " eNpp" este echiva lentă cu p ; prin urmare valoarea e i este ca ş i a lui p . N u ace laşi lucru se întîmplă în calcu­ 'l uI trivalent , unde avem în plus cazul M 1/2 = 1 . Astfel , teza biva lentă "CCNppp" , în calculul trivalent, ,n u este valabi lă pentru valoarea logică 1/2 a lui p, cum llşor ne putem convinge . Într-adevăr , această propoziţie -este teorema 2 . 18 din Principia Mathematica :

f- : ""' p lEa este

un

:J

p.

:::l .

P

caz particular al reducerii la absurd ( reductio

.ad, absurdum) : "Dacă o propoziţie urmează din ipoteza

propriei ei falsităţi , atunci ea este adevărată". Girolamo Saccheri , care s-a ocupat de această propoz i ţie , ilncercind să demonstreze cu ea postulatul lui Eucli d , o n umeşte prima I'eritas. Lukasiewicz o denumeşte după cercurile iezuite , care au cercetat-o mai de aproape , con8equentia mirabilis. Este interesant faptul că acest mod de deducţie nu este valabi l intotdeauna în logica triva­ 'entă . Să definim acum ş i necesitate a , după Lukasiewicz :

D3 NMNp

=

NCpNp

..,p este necesar" înseamnă ace laşi lucru ca "nu este ade­ 'vărat că dacă p atunc i non-p". Cu alte cuvinte , o propoziţie este necesară numai atunoi -cÎnd este fals că ea implică propria e i negaţie15• 16

lbid.

177


Logica polivoJema

Este posibil fnsă să luăm o altA definiţie pentru posibi­ litate? Tarski a arătat el s ingura definiţie posibilă a posibi litAţii este CNppl'

*

5.9.

Consecinţele definiţiei conceptului de posibilitate

Vom arăta în baza definiţiei dată conceptului de posi­ bil itate că în logica trivalentă cele tre i propoziţii moda le primitive 1, II şi I I I , analizate în paragrafele anterioare , sînt simultan adevărate şi deci compatibile . Pentru aceasta insă , în prealab i l , s int necesare cîteva precizăr i . Am văzut (- 3. 14) că interpretind formule le calculului propoziţional b ivalent ca pe nişte funcţii de adevăr , teoremele apăreau ca acele funcţii particulare (numite şi tautologii) care pentru orice valori date varia­ bilelor iau valoarea 1 (adevărat) . Dar faptul că iau în mod constant valoarea 1 poate constitui chiar o demon­ straţie a lor . Este indiferent din punct de vedere al cal­ culului - şi aceasta este o observaţie importantă - dacă el se dezvoltă pornind de la axiome (metoda a:eiomatică) sau dacă teoremele sînt inserate pe baza dovezii ci sînt tautologi i . ( Dovada , după cum am văzut , se face alcă­ tuind matricea de adevăr a formule i , fapt pentru care metoda se numeşte matricială . ) Lukasiewicz îşi a lege ca mod de dezvoltare a sistemului său metoda matricială. Prin urmare orice teoremă trebuie însoţită , drept demon­ straţie , de un tabel În care se dA , pentru fiecare sistem de va lori posibile luate de variabilele sale propoziţionale , 1 8 La Începutul cercetărilor sale , I:.. u kasiewicz luase ca definiţie a posibilită ţ i i pure lormula : n·1 . Mp AEpNpllqNCpKqNq unde functori i A şi E Înseamnă A d isjuncţia logică , E ech i­ valenta logică. E a se traduce : "p este p os ibil" Înseamnă " sau p şi non-p sînt echivalente sau nu există o pereche de p ropoz iţii contrad ictorii care rezultă d in p". I:.. u kasiewicz a renunţat Însă la n·1 p entru a adopta definiţia lui Tarsk i. =

=

=


5.9. Consecinţele definiţiei posibilitdţii

valoarea core spunzătoare ca lculată pe baza matrice lor trivalente a le i mp l icaţiei şi negaţie i . Spre exemplu , teo­ rema CpMp. Pentru a calcula valoarea aceste i formule pentru o valoare a lui p, trebuie să inlocuim m a i intri Mp, pe baza definiţiei sale , cu CNpp şi obţinem CpCNpp. Atunci pentru p, de pildă egal cu 1/2 . Np va fi egal tot cu 1 /2 , deci va fi

CNpp .

va fi

C � 1 , deci tot 1 . 2

loare posibilă a lui tabe l :

p,

C !. !. . 2

ad ică

2

1,

trecem rezultatele

CNpp

CpCNpp

o

O

1

2

1

1

1

1

1

CpCNpp

Calcultnd aşa pentru fiecare va-

p 1

iar

tn

următorul

care ne arată că formula ia intotdeauna va loarea 1 (ade .. vărat) , deci este o tautologie şi prin urmare o teoremă. Asemenea verificări f iind s imple şi mecanice , le vom omite . Astfel, teoreme a le logici i trivalente stnt următoare le :

T1

CpCqp

T2

CpCNpp

T3

CpMp

T4

CCpqCNqNp ,

care este principiul transpoziţie i .

T5 CNMpNp , care este propoziţia modală prim itivă 1 .

T6

CNpCNpNMp

T7

CpCpNMNp 179


Logica polivalentlJ

Teorema 6 afirmă : " Dacă Np , atunci Np impl ică i mpo­ sibilitatea lui p" , iar 7 : "Dacă p, atunci p implică nece­ " sitatea lui p . Ele sînt forme ale propoziţie i moda le­ primitive II. Să observăm , odată cu Bernays17 , dublarea­ antecedentului faţă de propoziţiile 2, respectiv 14, for­ mele bivalente ale aceleiaşi propoziţ i i moda le . I n logica bivalentă , pe care o acceptasem la începutu l acestui capi­ tol , cele două forme - cu antecedent simplu şi cu ante-­ cedent dublu - erau echiva lente . I n logica trivalentr. însă are loc impl icaţia T8

CCpqCpCpq,

dar nu si conversa e i . Prin urmare nu ne e'lte indiferentfo distincţ i a . Şi , într-adevăr , formule le cu antecedent simplu ::

CNpNMp CpNMNp nu sînt teoreme , luînd fiecare pentru p

Pentru a arăta că şi triva lentă , trebuie să �i conj uncţia logică respectiv K . Aceste D4

Apq

D5

Kpq

=

=

1/2 valoarea 1/2 _ propoziţia I I I este valab i lă în logica introducem în acest calcul d isjuncţi a notate de Lukasiewicz prin A ŞJÎ definiţ i i sînt : =

CCpqq NANpNq

Ca şi în logica bivalentă , Apq se va citi "p sau q" ,

18r

Kpq " p şi q" . Atunci este uşor de verificat că şi formulele

T9

"2:.pKMpMNp

TiO NrrpNKMpMNp , care exprimă din punct de vedere formal propoziţia I I I ,. sînt teoreme în logica triva lentă . Spre exempl u , p r i m a 1 7 L es en lrelieru de Ziirich

180

.

.

.

, p . 1 04 .


5.9. Consecinţele definiţiei posibiliti1ţii

este teoremă , deoarece există un p astfel Încit atît Mp � it şi MNp să ia valoarea 1 şi anume p 1 /2 . Aşadar , toate cele tre i propoziţii moda le primitive s înt aici valabi le şi deci compatibile . Să facem acum dovada că definiţia "Mp = CNpp" este s i ng u ra care satisface propoziţiile moda le primitive 1 , I I " i III. F i e 0Il o propoziţie s a li o expresie mai compl icată . După 1, din "NMe,." urmează "Na." . Prin trans p oziţie , din IZ flrmează Ma. . Acest rezultat poate fi uşor constatat : =

C!, =

1 ; Ma.

=

M1

=

1 ; M1

=

1.

După propoziţia I I , din "Noe" urmează "NMoe". Dacă O, atllnci :

=

N0Il

=

1;

N Al!X

N MO

=

=

1.

Dar NMO poate fi 1 nllmai dacă 11.f0 :aşadar , o nOllă ega litate :

MO

=

O . Căpătă m ,

O

=

În sfîrşit , propoziţia I I I , 'LpKMpMNp , este falsii pentrll p = O şi p 1 , fiindcă în cazlll acesta lInlll din nlembri i conj uncţiei este fa ls, deci întreaga conj llncţie este falsă. Conjuncţia aceasta devine adevărată dacă luăm : =

1

M2

=

1,

atllnc i , pentru p 1 /2 , ea are valoarea 1 . Cele trei propoziţ i i , 1 , I I şi I I I , nu sînt verifica te dectt dacă luăm : cacI

=

Mi

=

i ; MO

=

O ; M ..!.. 2

=

2. 2

însă aceste valori sînt tocmai acelea date de definiţia CNpp" ; deci ea verifică propoziţiile 1, I I , I I I sau o expresie echiva lentă .

...., Mp

=

181


Logica polivtllentlf

*

5.10. Dezvoltarea logicii trivalente

Lista de teoreme ale logicii trivalente începută In para­ graful anterior poate fi completată cu citeva proprietăţi importante ale implicaţie i definite de Lukasiewicz18 , şi anume :

T1 1

Cpp

(legea identităţii)

Ti2

CCpCqrCqCpr

(principiul comuta tiv)

Ti3

CCpqCCqrCpr

Ti4

CCqrCCpqCpr,

ultimele fiind cele două forme ale principiului silogis­ mulu i . Ma i departe , a lături d e prima proprietate paradoxală a implicaţiei materiale

p

.

.

q

p,

care am văzut c ă are loc ş i pentru impl icaţia l u i Lukasie­ (Ti ) , a doua este , de asemenea şi ea , valab i lă :

WICZ

Ti5

CNpCpq

O propoziţie falsă implică orice . Ca ş i în l ogica biva lentă , vom putea defini echivalenta a două propoziţii p şi q ca implicaţia lor reciprocă . Notînd-o cu E, avem :

D6

Epq

=

KCpqCqp,

d in c a re putem deduce imediat că are loc principiul dublei nega ţ i i

Ti6

EpNNp

1 8 D u p ă cum a observat G r . C . M o i s i l , care s-a ocu p a t ş i d e p o s i b i l i ta tea d e f in ir i i unor a l te imp l ic a ţ i i Î n l ogi c a trivalentă , " im p l icaţia luk a s i ew iczeană se bucură de cele m a i m u l te d intre propriet ă ţ i l e t ip ice ale imp l icaţie i " . (Gr. C. M oisil, lncercări yech i şi /to i de log ică neclasică, p . 284 . )

182


DupA. cum s-a văzut o serie de teze ale logici i bivalente au loc şi tn cea trivalentă . Există , desigur, şi exemple con­ trare , intrucit cele două logic i stnt distincte . Se poate arăta uşor că nici o t autologie Q logic i i biva­ lente nu va căpăta valoarea fals (O) jn logica trivalentă , oricare ar fi valorile de adevăr luate de variabilele sale propoziţionale . Prin urmare nici o asemenea tautologie nu va putea deve i În logica lui Lu k asie ic o contra­ dieţie (adică o formu lă care să ia în mod constant va loarea O) . Totuşi putem observa , privind matr i ce le triva lente ale functori lor N, A şi K , că formule le în a c or com­ ponenţă intră numai ei i a valoarea 1 /2 nd toate varia­ bilele lor propo iţionale iau această valoare . Prin urmare , dacă au fost în logica b iva l entă tautologii , acum nu mai sînt . Astfe l , princip i u l te ţ i u l ui exclus

n,

w z,

u

z

ăr

r

ApNp nu mai este valabil in logica trivaJentă . Era şi de aşteptat, căci el spune că orice propoziţie este adev rat sau falsă . Un postulat pe care , evident , nici o logică cu mai multe valori nu-l acceptă . Locul lui ti ia , după cum vom vedea , un princi iu a l uartului exclus : orice ropo i ie poate avea trei valori : 0, 1 /2 sau 1 , quartum non datul'. Ceea ce este mai cu i os n ici principiul contradicţiei

ă ă

p

p

q

r ,

NKpNp

oo (

� e l capătă valoarea î ) bine s-a observat tnsă , l i psa lui de va l ab i l itat nu mai ţine de punctul de vedere polivale n t , ci trebu ie privită mai curînd d rep t o mutilare a conjuncţiei de sensul e i nu e ste o taut l gie pentru p

.

=

Cum

e

obişnuit19• Este e vident eli şi în logica triva lentă , ca şi în cea bivalentă , o propoziţie p nu poate lua simultan două valori de adevăr. Relativ la aceasta , F . Gonseth punea în evidenţă valoarea 1/2 pe care ar trebui s-o ia onj uncţia : "De aeum într-un aII voi fi la Varşovia şi nu voi Ii la Varşovia" dacă opoz i i i le referitoare la viitorii

c

pr

11 Les enlrelieM de Zarich

..••

ţ

p. 105. Dotă .

181


Logica polivalentll

contingenţi ca "De acum Într-un an voi fi la Varşovia'''' sînt considerate ca avind valoarea 1 /2 . Aceasta , după< părerea lu i Mostowski , d istruge orice speranţă de a da o· interpretare rezonabi lă logic i i lukasiewicziene în termenii l imbaj u l u i obişnu it2 0 • Vom vedea cum asemenea d i fi­ cultăţi se ivesc În orice logică triva lentă , ca de a ltfe l şi< in logici le cu m a i mult de tre i valori .

*

5.11.

Modalităţile

logicii trivalente

Vom re lua acum d iscuţia modal ităţi lor în sistem ul! trivalent a l l ui Lukasiewicz . Pentru aceasta să introdu cem mai intii , o dată cu Lewis 21 , o nouă moda litate a propo­ ziţii lor , care d in motive pe care l e vom vedea mai tîrziu este interpretată de el ca "dubitativu l " (doubtful) ş i notată, cu D :

D7

Dp

=

Ep Np

Atunci vom avea , pe l îngă adevăr şi fals : p şi Np , şase' modal ităţ i : Mp , NMp , MNp , NMNp , Dp şi NDp , al e căror matrice de adevăr le putem ca l c ul a i m e d i at , obţi ­ n înd

_P_j O

Np

1 1

1/2 1 1/2 1

: 0

I

Mp NMp MNp l\TMNp

Dp NDp

O

1

1

O

O

1

1

O

1

O

1

1)

1

O

O

1

O

1

(1) Mp este moda litatea care are loc Îll afara cazului cînci p

=

O.

De c i semnificaţia e i exactă este p =1= O sau "p n u e ste­ cu s iguranţă fa ls" . 20 J o urn a l of Sym b o l i c Logic", XV (1 950) , p . 2 23 . " 21 C. 1. Lewis ş i C. H. LBD�ford, Symbolic Logic, p .

225.


5.11.

Modalitdţile logicii

trivalente

(2) NMp este modalitatea care are loc exact c înd p O. Dec i semnificaţia e i exactă este p O s a u "p e st e cu s i gura n ţă fals" . (3) MNp este modalitatea care are l oc cu exce p ţ i a cazului p = 1. Dec i semnificaţ ia e i exactă este p=f=1 sau "p n u este cu siguranţă adevărat" . (4) NMNp e ste moda litatea ce are loc exact cînd p = 1 . Deci semnificaţia e i exactă este p = 1 sau "p este cu s iguranţă 22 adevărat" . (5) Dp este modal i tatea care are loc exact c înd p = 1/2. Deci semnificaţia ei exactă este p = 1 /2 sau "p este dubitativ (n i c i cu s iguranţă adevărat, n i c i cu s iguranţă fa ls)" . De altfel ea este e chivalentă cu conjuncţia : KMpMNp (at it p c ît şi Np s înt posibi le) , ceea ce îl face pe Prior s-o identifice cu "contingentul"23 . (6) NDp este modal itatea care are loc cu excepţia cazu lui p = 1 /2 . De c i semnificaţia e i exactă este p=f= 1 /2 s a u " p n u e dubitat iv" Observăm că toate aceste şase funcţi i de adevăr pot lua doar două valor i , adevăru l ( 1 ) şi fa lsu l (O) , spre deosebire de primele două "p şi Np" , care iau ş i valoarea 1 {2 . Prin urmare , propoziţia p ş i propoz i ţia p = 1 s în t d is­ tincte . Dar afirmar6a lui p este echivalentă cu p 1. Se confirmă , aşadar , observaţia făcută de no i în primul paragraf , că toate aceste mod uri nu trebuie considerate a serţiuni , ci doar propoz i ţ i i i p otetice . Cît priveşte re laţii le d intre modalităţ i , între el e au loc impl icaţi i le obi şnuite din logica modală intre "necesar" , "adevărat" ş i "posibil" , ca ş i Între " impos i b i l " , "fals" şi "posi b i l fa ls" . Notînd aceste implica ţ i i prin săgeţi , re laţi i le se pot scrie schematic a s tfe l : =

=

.

=

22 L ewis ob servă că a i c i , ca şi în toate ce l e la l te c in c i cazu r i , "cu siguranţă" n u înseamnă o certitu d ine p s i h o l ogică, c i are exac t inţelesul l u i p = 1 d in c a l c ulu l proba b i l i t ăţilor (I bidem , p . 226) . 23 A. N. Prior, Forma l Logic, p . 2 4 7 .

185


Logico poliVGlentd

NMNp NMp

-+

-+

p

Mp

-+

-+

Mp

MNp

Modalitatea "d ubitativ" , Dp , nu este implicată de nici una d in celelalte modalităţi , dar implică moda lităţi le Mp şi MNp, aşa cum se poate constata d in teoremele :

T17 C DpMp T18 CDpMNp în p lus ea are proprietăţi le :

T19 EDpDNp "dubitativitatea lui lui Np" ;

p

echivalează

cu

dub itativitatea

T20 ENDpNDNp "nedubitativitatea lui p echiva lează cu nedub itativitatea lui Np" , aşa cum uşor se poate verifica . Cu ajutorul aceste i modalităţi , putem exprima princ i­ p iu l quartu lu i e xclus , despre care am afirmat că este valabil în logica trivalentă . Prin analogie cu princ ipiul terţiului exclus sau - aşa cum î l mai numeşte Luka­ siewicz al celor două valor i , care afirmă că ori<!e propoziţie poate lua numai două valori : adevărul şi falsul, p utem pune pentru logica triva lentă un principiu al celor trei valori : orice propoziţie poate lua tre i valor i , adevărul ( 1) , falsul (O) şi valoarea 1/2, quartum non datur. Ceea ce în s imb o lismul lukasiewiczian , uti l izînd modalităţi le anterior defin ite , s-ar scrie astfe l -

T21 AANMNpDpNMp "Orice propoziţie p admite sau modalitatea necesar, sau dubitatilJ, sau imposibil", căci NMNp , Dp , NMp înseamnă , după cum am văzut , respectiv p = 1 , p = 1 /2 şi p = O . Această teză a logicii c u trei valori este numită d e Moisil principiul quartului e:z:clus1l4 •

. 1'

il

Gr. C. Meiai l , Incercări vechi ,i noi . . . , p . 184, unde autorul sub o formă a l gebric ă , echivalentă însă cu cea dată

exprimă de noi.

186


5.11. Modalitifţile logicii trivcilente

Am văzut care este modul aparte în care Lukasiewicz

l�i dezvoltă sistemul : metoda matrice lor de adevăr. Se

pune problema dacă nu poate fi dezvoltat şi aşa cum ne-am obişnuit pînă acum , adică deducîndu-i teoremele d in Dişte axiom e , prin regulile fam i liare de inferenţă din ca lculu] logic : substituţia şi modu9 ponens. Wajsberg , un e lev al l u i Lukasi ewicz , a arătat că acest )uc�u este posibil dacă pornim de la următoarele patru aXIOme :

Al CqCpq .0

propoziţie adevărată e implicată de orice propoziţie".

A2 CCpqCqrCpr care

este unul d intre principiile silogismului ,

A3 CCCpNppp A4 CCNqNpCpq

regu la

de transpoziţie.

I ntr-adevăr , să arătăm cum , spre exemp]u , se pot demon­ stra pe baza acestor axiome şi a re gu l i l or de substituţie şi modu9 ponens , primele trei teoreme enunţate de noi ]a paragraful pre cedent (modul lui Lukasiewicz de a indica dem onstraţ i i le n e este f a m i l i a r Încă de l a * 5 . 4)

Ai p/q, q/p X Ti Ti CpCqp Ti q/Np X T2 T2 CpCNpp T2 D2 x T3 T3 CpMp Pentru demonstrarea teoremelor cu cuantificatori este necesară , aşa cum am menţionat , regula de adăugare a cuantificatorului (. 5 . 5 ) . Observăm că toate cele patru axiome sint teoreme a le logici i clasice. Prin urmare , utilizînd numai substituţia 187


Logica polivalent.!

şi modua ponens, nu vom putea demonstra în logica lui Lukasiewicz decît teoreme a le logicii clasice , dar n u pe toate. Spre exemplu, după cum am observat , principiul terţiului exclus ApNp n u poate fi demonstrat · . Deci logica trivalentă , abstracţie făcînd de interpretarea sa trivalentă , poate fi privită ca un fragment a l logicii clasice. Dacă l uăm însă în considerare interpretarea triva lentă , vom vedea că există deosebiri esentiale între cele două logi c i , care nu j ustifică această inclu;iune simplificatoare . Pe scurt , despre ce este vorba? întrucît combinaţi i le ce se pot forma cu cele două valori de adevăr , 1 şi 0, luate cîte două , sînt ( 1 , 1) , ( 1 ,0) , (0 ,1) şi (0,0) , in logica bivalentă le corespund patru functori unari : tautolog ia , adevărul , fa lsul (negaţia) şi contradicţia . Toţi se pot exprima cu ajutorul ideilor prim it ive puse de Russell la baza sistemului său : tautologia lui p prin p V "-' p , ade­ vărul lui p prin p, fals itatea lui p prin ", p, iar contra­ d i�ţia lui p prin p . '" p sau ( p V '" p l . 27 In logica trivalentă Însă a ve m dintr-o dată 3 1 functori unari . Unii d intre ei nu pot f i exprimaţi cu aj utorul impl icaţiei şi negaţie i trÎvale nte . Spre exemp lu functorul Tp , definit de matricea : �w

=

p

I O

1/2 1 T \ 1 /2 1 /2 1 /2

nu poate fi scris in funcţie doar de C şi N. S lupecki , unul d intre elevii l u i Lukas iewicz , a propus să- I luăm Împreună cu aceştia drept functor primit iv. În p l u s , pentru calculul cu T, trebuie adăugate celor patru axiome a le l u i Wajsberg încă două : A5

C TpNTp

A6

CNTpTp •

Fap t u l că nu toa te p r i nc i p i i l e l og ic i i c la s ice ne s i n t acce­

s i b i l e în logica triva lentă ingreuiază m u l t demons traţiile unor teoreme (pentru exempl ificare vezi R. A r kermaon, Introduction to Many-Valued Log ics. p p . 50 - 53) . în asemenea cazuri, e de preferat ve r i fica re a faptului că o teoremă are loc p r in cons truirea

matricei triva lente .

188


5.12. Logicile L m

Sistemul astfe l l ărgit nu ma i prezintă carenţe de tipu l celor menţionate . Din păcate însă noul functor introdus D U are nici o semnificaţie intuitivă 2 5. Logicianul chinez Tzu- Hua Hoo a demonstrat că logica b ivalent ă , despre care am văzut ma i înainte că .,includea" logica l u i Lukasiewicz , se poate considera .. inclusă" În logica trivalentă , Îmbogăţită cu functorul T şi cele două axiome AS şi A6 , cu cond iţia de a inter­ preta negaţia şi impl icaţia clasică respectiv prin defi­ n i ţ i ile26

'" p

*

CTpNp

D,.

p :J q = CNqNp

D(.

=

5.12. Generalizarea logicii trivalente :. logicile Lm

Am văzut ca m l ogica triva lentă s-au atribuit prop o­ ziţiilor trei valori : 0, 1 /2 şi 1 . Putem genera l iza această idee şi să atribuim , în interva lul ° (fa ls) şi 1 (adevărat) , o serie de valori propoziţii lor : patru , cinci etc . , obţinînd o logică te trava lentă , pentava lentă etc . Cît priveşte i mp licaţia şi negaţia , Într-o a stfel de logică ele vor putea fi definite în fe l u l următor. Să observă m , privind matricea implicaţiei trivalente ('" 5 . 7) , c ă În toate cazuri le cînd valoarea lui p este mai m ică sau c e l 2 6 C u privire l a acelt�ta , a s e vedea interesante d iscuţii in p . 103. De a l tfel , utilizarea functorului T n u reprezintă singura po­ sibilitate d e rezolvare a prob lemei. Ch iar Slup ecki a m a i propus ulterior Încă una (vedeţi A. N. Prior, Formal Logic, p . 237) . Con­ tribuţiile lu i S lapecki au apărut În "Comptes Rendus des Seances d e la 80ciete des Sciences et des Lettres de Varsovic" , Classe I I I , v . 29 (193 6) , p p . 9 - 1 1 ş i v. 32 ( 1 939) , pp . 1 0 2 - 1 2 8 . 2 6 m-J' alued sub-syslems o f ( m + n) - J'alued propOBitional calculus, "Journal of Symbolic Log ic" , XIV (1 949) , p p . 1 7 7 - 1 8 1 , in care Roo demonstrează de fapt un rezu ltat m a i general , a l căru i caz particular este c e l despre care a m vorbit . Les erdrelÎens de Ziirich ,

189


LogicA pOliVCIlentd mult egală cu valoarea lui q impl icaţia Cpq are loc (ia valoarea 1) , iar c in d valoarea l u i p este mai mare decit p + q (şi deci valoarea l u i q ea are exact valoarea 1 DU mai are loc) . Pe de a ltă parte este uşor de văzut că negaţia lui p, Np, are intotdeauna valoarea 1 p. Aşadar , Însemnînd cele m valori a l e une i logici m- va­ lente prin numere le : -

-

0,

1

--

m - 1

.

2

--

m- 1

.. . . . ..

m- 2

--

m- 1

'

1,

vom putea defini impl icaţia a două propozi ţ i i p ŞI q , astfe l : . pentru p � q: Cpq ia valoarea 1 (este adevărat ă , deci are loc) ; pentru p > q : Cpq ia valoarea 1 p + q (deci n u are loc) .

Cpq,

-

In fe l u l acesta , uti lizind metoda matrice lor de adevăr, se poate dezvolta un calcul m- valent , Lm , respectiv cu 4 , 5 ş .a .m .d . valori de adevăr . Ba , mai m u l t , n i m i c nu ne lmpied ică să luăm drept valoare de adevăr a une i propo­ ziţii orice fracţie raţiona l ă m a i mare ca 0, dar mai micii ca 1, şi să punem astfel baze le une i logici cu o infinitate de valori . Lukasiewicz considera i mportantă o asemenea logică , datorită pos i b i l i tăţii ei de aplicare În calculul probabilităţi lor . tri toate aceste sisteme se pot defi n i , ca şi in logica cu trei valori , d isjuncţia , conj uncţia �i e chivalen ţa :

Âpq = CCpqq Kpq = NANpNq •pq = KCpqCqp

Df. Df .

Astfel s înt păstrate o parte dintre proprietăţile disj uDc' ţ iei şi conjuncţiei d in logica clasică (comutativitatea , asociativitatea etc .) . Este interesant de observat legăturile pe care aceste logici le au Intre e l e . Toate teoremele unei logi ci poli· valente s int valabile in logica bivalentă , dar niciodată reciproc. Cele mai importante teze ale sistemului bivalent care nu sInt valabile In sistemele pol i valente , s int celE 190


5.12. Logicile Lm

se referă la unele moduri de deducţie numite apagogicB ti considerate , incă de m u l t , discutabile . Iată citeva �xemple, care nu s int valabile in logicile polivalente : e a re

CCNppp CCpNpNp ICCpqCCpNqNp CCpKqNqNp CCpEqNqNp Cit priveşte incluziunile logicilor pol ivalente intre ele,. menţionăm că aceasta este o problemă de1 icată . Deşi � într-un anumit sens , cu cit m creşte , mulţimea teoremelor lui Lm scade , in general nu avem relaţia " Ln este in c lus in Lm" pentru orice n > m27• Logica cu o infin itate de valori este un caz- l imită , teoremele e i fiind valabile in oricare dintre logici le cu un număr finit de valori . Ca in cazul logici i triva lente şi pentru l.:elelalte logici polivalente s-au căutat sisteme de axiome din care să se poată deduce prin substituţie şi mod us ponen8 exact acele teoreme pe care logica respectivă le certifică drept valabile (a căror matrice de adevăr m-va lentă , m fiind numărul valorilor de a devăr d i n log i ca respectivă , are pe ultima coloană numa i elemente 1) . Mai Întii , evident , ne putem pune problema dacă acest lucru este posibil în gene­ ral . Nu cumva există logici pol ivalente care să nu poată li dezvoltate , plecînd de la un număr finit de axiome? Wajsberg28 a demonstrat că orice asemenea logică cu un număr finit de va lori in care s înt valabile teoreme le :

CCpqCCqrCpr CCqrCCpqCp" 2 7 A ceasta are loc n um a i c î n d ex i s tă un întreg po : dt iv k, astfel (m - 1 ) = n - 1 (vez i R. AckermllDD, op. cit . , p. 60) . aa M. W.j8berlll . Be i t răge ;z;um 1Wetaaussagenkalkiil , 1 , În "Mo­ na tshefte fiir M a them a t i k und Phy s . " , 42 (1 935) , p p . 221 -242. Încît k

191


Logica polivalmt4 CCqrCpp CCpqCNqNp CNqCCpqNp

poate fi axiomatizată p ornin d de la un număr finit de a x i ome . Se poate arăta că formule le de m a i sus sînt vala­ bile 1n orice logică Lm . Nu ne rămîne , prin urmare , decit să găsim , pentru fiecare d intre ac es t ea , s is te m u l potri v i t d e a xio me . O metodă generală a fost dezvoltată de Rosser şi Tur­ quette29 prin introducerea unor funcţi i speci a l e de adevăr. Să presupunem că ne aflăm Într-o logică cu m va lori de adevăr , şi anume : 1

2

m-l

m - l

0, -- ,

--

'

. .

o

Vom considera functorul unar J

m - 2

-- , 1

,

i

m - 1 p,

m- 1

(adevărat) exact atunc i cînd p Lm se pot defin i . . . J� ' J1• m

-

1

m

=

_i_ , Iar in res t 0 0

în

m - 1

asemenea functori :

( în La tre i

c a re ia va loarea 1

functori J

Jo , J_1_

m-1 '

2_ J_

m-1

o

care coincid c o aform

tabelului de la pagina 184 cu următoare le modalită ţ i : cu NMp sau i m pos i bi l i tatea l u i p , J I P cu Dp sau

Jop

2'

dubitativitatea lui p , J1P cu NMl\'p sau necesita tea lui p .) Aceştia pot fi exprimaţi , am văzu t în logica triva­ lentă , c u aj utoru l lui C şi N o Opera ţ ia însă poate fi făcută in orice logică Lm 30. Să urmărim acum modul in care , cu ajutoru l funcţii lor J, poate fi axiomatizată oricare dintre aceste logici . 2. J. B. Rosser ş i A . R. Tlll'll lIelte, Many-Va lued Logica, Amsterdam , 1952, pp o 1 6 - 23 . 3 0 Aceasta rezultă , i n lucrarea l u i Rosser ş i Turquette, d in însu,i modul in care ei definesc funcţiile J (Ib idem, pp . 1 8 - 22) .

192


5.12. Logicile L m

Lista axiome lor incepe , pentru oricare dintre e le , cu urmă­ toare le tre i postu late : 1

CqCpq

adevărul este implicat de orIce . II

CCpCqrCqCpr

III

CCpqCCqrCp'

Ele sînt valabile în toate logici le Lm , chiar �i în cea o infinitate de valori . în continuare , sistemul de axiome se parti cularizează potrivit logi c i i pentru care este construit . Intrucit axio­ mele pot deveni destul de complicate (deşi principiul după care s lnt cons tru ite rămîne simplu) , noi vom trata doar cazu l logicii trivalente . Pe baza lui , cititorul poate găsi apoi uşor modu l de general izare la oricare alt caz . Aşadar , pentru l ogit;a trivalentă , următoare le două postulate s înt : cu

V VI

CCJIpqCCJ .!. pqCCJopqq 2

CJ1Pp

Primul d intre e l e afirmă că dacă propoz iţia q s� poa te deduce din p În toate ce le tre i cazuri în care aCeasta din urmă se poate găsi - cînd ia valoarea 1 (de c i J1 P este adevărată) , c înd ia va loarea 1/2 (deci este adevărată h p) , şi c înd ia valoarea O (de c i este adevărată Jop) - , 2"

atunci q este adevărată3J . A.I doilea postulat este evident, ţinînd seama de fa p t u l că J1P nu afirmă a l tceva decit adevărul l u i p . Următorul grup de axiome exprim ă , cu aj utoru l func­ ţiilor J , proprietăţi le caracteristice i m p licaţie i şi negaţie i 31 Să observăm că funcţ iile J nu pot lua decit două valori, adevărul ş i falsu l .

193


Logica polivalentif

trJvalente , aşa cum rezul tă ele din matricele de adevăr (* 5 .7 ) . V i la

C J1p JoNp

V lIb

CJ � pJ � Np 2

V I Ic

2

CJopJ1Np

Dacă p ia valoarea 1 , atunci Np ia valoarea O . Dacă p ia valoarea 1/2 , atunci Np ia valoarea 1/2 etc . V lld

C J1PCJIqJ1 Cpq

V I le

CJIP CJ 1 qJ 1 Cpq

V I If

CJ1PC JO Ju q Cpq

V I Ig

C J !.. pC J1 qJ1 Cpq

V I Ih

CJI pCJ I qJ1Cpq

VIIi

C J 1 pCJopJ 1 Cpq

V l Ij

C JOpCJIPqJI Cpq

V l lk

CJopC J 1 qJ1Cpq

VIII

CJopCJO qJ1Cpq

2

2

2

2"

2"

"2

"2

2"

Dacă p i a valoarea 1 şi dacă q ia valoarea 1 , atunci Cpq ia valoarea 1 etc . Sînt exact proprietăţile prin care

Lukasiewicz îşi definise implicaţia sa trivalentă . Am lăsat la urmă axiomele puse de Rosser şi Turquette in faţa celor d inainte . Ele exprimă unele cazuri speciale În care formula CCpCpqCpq are loc . După cum s-a observat în * 5 . 9 , această formulă n u e valabilă in logica trivalentă (n ici în vreuna din logicile 1 94


5.12. Logicile L m

1/2 ş � polivalente Lm) . Spre exemplu , in L3 ' cînd p 0 , valoarea sa este 1/2 . Dar c ind p şi q Iau numai ,-alorile i şi 0 , intrucit formula este o teoremă a logic i i bivalente , valoarea s a v a fi constant egală cu 1 . Func­ ţiile J nu iau decit aceste valori . Aşadar , formulele care urmează sint tautologii . Ele constituie axiomele de care am vorbit.

ti

=

=

IVa

CCJ1PCJ1PqCJ1P q

IVb

CCJ 1 p CJ t pqC .J "2

2"

1

2"

pq

Pe baza acestor postulate se poate , relativ uşor , arăta completitudinea s istemulu i , adică faptul că orice formulă care , calcu lată cu matrice le trivalente ale lui Lukasiewicz , ia in mod constant valoarea 1 (este o tautologie) , poate fi dedusă prin subst ituţie şi moou8 ponen8 d in axiome32. Axiomatizarea logici i trivalente propusă de Waj sberg , deşi mai simplă , r idica in ca lea unei asemenea demonstraţii piedi c i importante . Aşa cum am spus şi ma i inainte , principi i le care a u stat la baza axiomatizări i date d e Rosser ş i Turquette sint generale şi ne dau posibil itatea să trecem cu uşurinţă de la logica triva lentă la o logică polivalentă oarecare , dar cu un număr finit de valor i . Rămîne problema axio­ matizării logicii cu o infinitate de valori . Lukasiewicz a enunţat i poteza că şi aceasta poate f i de dusă d intr-un număr finit de axiome , şi anume axiomele Ai - A3, propuse de Wajsberg pentru logica trivalent ă , precum ,i următoare le două : C CCpqqCCqpp C CCpqCqp Cqp33 32 Vedeţi Ro••er şi 33 A. TU8ki , Logic, 1 95 6 , p. 5 1 .

TDnfuelte,

Semantic8,

op . cit . , p p . 68-74. Metamathematies , Oxford,

195


L"gica polivalentif

Re lativ recent s-a arătat că această ipoteză este ade­ vărată34. __ In continuare , să punem in evidenţă , folosind funcţii l e J , cîteva analogii intre logica biva lentă şi logic i le poli­ valente Lm. Principiul terţiului exclus din logica biva­ lentă , care afirmă că orice propoziţie este adevărată sau falsă , tertium non datur, i se substituie , Într-o logică cu m valori , un principiu a l (m + 1)- lui exclus : orice propoziţie poate lua va loarea O sau _1_ sau . . . sau 1 . m

- 1

Ceea ce , utilizînd simbolismu l lui Lukasiewicz , precum şi funcţ i i le J , s-ar scrie astfe l : A

• . .

AAJopJ

1

1i'i"'=1

p . . . J1P

Gr . C . Moisil a numit pe drept cuvînt acest prmcipIU "a l e xhaustiun ii"35. Este evident că logica cu o infini­ tate de valori este lipsită de un asemenea principiu. Principiu l contrad icţie i putea fi enunţat Î n Jogica biva­ lentă sub forma : o propozi ţ ie nu poate fi În acelaşi timp adevărată şi falsă . Dacă , urmind pe Gr. C. Moisil , îl concepem ca pe un "principiu al unicităţii valorilor logice " 38 , Într-o logică cu m valori va trebui să-I înlocuim prin m a i multe enunţuri . Şi a nume , pentru fiecare pereche de valori distincte k şi l cîte un enunţ care afirmă "o pro­ poziţie p nu poate lua simultan va lorile de adevăr k şi l" ; În simbolismul l ukasiewiczian : NKJ/i pJ1P

Aceste analogii pot fi împinse şi m a i departe , dar nu este cazul s-o facem aici . Ele dovedesc o legătură strînsă în tre s i ste m e le poli v a l e n t e şi calculul biva lent prin gene­ ra l izarea căruia au luat naştere . 34 A. R08e şi J. B. R08ser, Fragments of many-valued s latemenl calculi. in .. Tra nsac tions of the Am erican Mathem a t ica l Society", 87 ( 1 958) . p p . 1 - 53 . 36 Gr. C. Moisil, Logica formală ş i pro b lema e i actuală. in istoria filozofiei moderne. v o I . IV , 1 939 ( s au lncercări vechi !Ii noi de logică neclasică . p . 5 1 ) . 3 8 i b idem ( sau l ncercări vechi � i lIoi . . . . p . 55) .

1 96


5.12. Logicile L m

Sistemele polivalente au fost dezvoltate , pe de o parte, prin cuantificarea variabilelor propoziţionale sub forma calculului propoziţional extins37 , iar pe de altă parte , prin dezvoltarea unor calcule ale funcţiilor propoziţionale , asemănătoare celui prezentat in capitolul 3 B , dar bazate pe calcule propoziţionale pol ivalente . Spre exemplificare , vom schiţa numa i cum se poate construi un asemenea calcul al funcţiilor propoziţionale pornind de la logica lui Lukasiewicz cu trei valori38• Pentru aceasta este suficient ca axiome lor logici i triva­ lente (celor patru propuse de Wajsberg sau celor 20 date de Rosser şi Turquette) să li se adauge cele două axiome şi două reguli despre care am văzut că sint specifice cal­ cu lului cu funcţi i clasic (*3 . 1 1 ) . Acestea erau39 :

(.1:) . rpx rpy

.

::J

::J .

rp y

. (:3 x) . rpx

şi re gu l i le : Din A ::J B(x) , unde x nu apare liber în A, deducem A ::J ( x) B ( x) . Din B(x) ::J A , unde x nu apare l iber in A , deducem ( 3 .1:) B ( x) ::J A . Evident , pentru deducţia teoremelor , in acest calcul trebuie , ca şi in calculul dezyoltat în capitolul 3 B , lărgită corespunzător regula d e substituţie . Regula modus ponens rămîne aceeaşi . De asemenea , formu la : (x) . rp.1l .::J . p : ::J . ( 3

) rpx ::J p

.:z: .

a 7 J. Lukasiewicz

şi A. Tarski, Un!ersuchungen i.i.ber den (A. Tarski, op. ci! . , p . 54) . 38 Bazele aces t u i gen de cercetări au fost puse de R osser ş i Turquette î n importanta l o r lucrare Many-Valued Logics , p p . 4 8 - 1 08 . Noi Însă vom urmări aici expunerea m a i s implă dată d e prof. Moisil pentru cazul logic ii cu trei valori (Sur la logique ti tro;s valeul's de �ukasiewicz , "Acta L ogica", aDul V. 1 9 62 ) . 38 Vedeti această lucrare " 3 . 1 1 .

Au.saagenifaliful

197


Logica polivalentif

trebuie adăugată ca axiomă . In calculul de care ne ocupă m , ea n u poate f i obţinută c a teoremă40. Functorul T al l u i Slupeck i poate fi introdus în calculul cu funcţii ca şi în cel propoziţional, şi anume , imbogăţind s i stem u l de axiome cu axiome le A5 şi A6, aşa cum am pro­ cedat şi în calcu l u l propozi ţional ( * 5 . 1 1 ) şi în plus cu postulatul

(x)

Tt:px

=

.

T(x )

t:p x

s pecific calcul u l u i c u funcţi i .

*

5.1 3.

Alte

cercetlri

Ideea modificăr i i logic i i b ivalente prin introducerea pentru propoziţ i i a unor noi valori de adevăr în afara l u i 1 (adevărul) şi O (falsul) a u avut-o ma i intîi logician u l polonez J . Lukasiewicz şi cel american E.L. Post . Inde­ pendent, şi la scurt timp unul după a l tu l , e i au propus constituirea unor s isteme logice bazate pe o generalizare a ide i i de funcţie de adevăr41 . Într-adevăr , ce ne împiedică ca , aşa cum în logica lui Whitehead şi Russe l l conective le între propoziţii erau cons iderate drept funcţii de adevărul acestora , funcţi i care puteau lua două valori (cînd argu ­ mente le lor luau tot două valori) , să privim aceste conecu î n logica b ivalentă , acest lucru era posib i l ; intr-adevăr, formula de care ne ocupăm nu era altceva decît una d in cele două implicaţii care formează echivalenţa 1 6b (vez i * 3 .1 2 ) . Ceea ce nu trebuie să ne m ire ; acolo aveam la d ispoz iţie pentru demon­ strarea ei o serie de tautologi i d in calculul propoziţional bivalent, care nu ma i apar în logica trivalentă . L ipsa lor atrage după s ine imp os ibilitatea deducerii teoremei 1 6b . f I S e pare că primatul descoperir i i logicilor cu ma i mu lte valori aparţine lui Lukasiewicz , ale căru i idei in acest sens datează d in 1 91 8 (vez i A. Mostowski, L 'oeuvre scienti(ique de Jan Lukasiewicz dans le domaine de la logique mathema t ique , in "Fundamenta Mathe­ mat icae " , 44 ( 1 967) , pp . 1 - 1 1 ) . A şezarea lor sistema t ică a făcut-o în 1 92 0 în articolul O logice tl'ojwarloscÎowej ("Ruch Filozoficzny", 5 , pp . 1 6 9 - 1 71 ) . Contribuţia lui Post se află in Introduction to a General Theol'Y of E lemenlary Propositions, in "American Journa) of Mathemat ics" , 43 ( 1 9 21 ) , pp . 1 63 -1 85 .

1 98


5.13. Alte cercetl1ri

t ive ca putînd lua tre i sau mai multe valori dnd propo­ .:r.iţiile ce le compun iau , la rîndu l lor , mai mult de două \'alori? Dar şi ce ne obligă s-o facem? Lukasiewicz, după cum am văzut , îşi constituia logica � trivalentă pornind de la considerente de ordin filozof i c . EI o substituie celei b ivalente i n domeniile i n care aceasta din urmă nu ma i este adecvată . (Cum este , spre exemplu , cel a l gîndirii modale .) Dimpotrivă , Post , p lecind de pe poziţiile matematicia­ nului , considera că logica poate fi redusă la anumite reguli mecanice . În aceste condiţi i , putem schimba după plac aceste regu l i . De fapt iată ce scria e l : "Nu ştim dacă aceste logici �ne-aristotelice ') şi dezvoltarea generală pe care o implică vor avea o aplicaţie directă ; dar credem că în măsura in care teoria propoziţiilor e lementare (cal­ culul propoziţional - n . n . ) stă la baza sistemului com­ plet din Principia , această perspectivă lărgită asupra teorie i ne va pregăti pentru o anal iză similară a acelui sistem , şi deci în u ltima instanţă a matematici lor"42 . Post a stud iat în articolul său sisteme cu un număr oarecare , finit de valori . Aceeaşi generalizare , de la trei la ma i multe valor i , este făcută de Lukasiewicz şi de e levul său , Tarski , într-un articol din 193043 . Ba , m a i mult , e i împing generalizarea pînă la a considera u n sistem in care propoziţiile să poată lua o infinitate de valori de adevăr . Lukasiewicz cons idera o astfel de l ogică legitimă pentru posibilitatea pe care ar avea-o de a fi ap licată in calculul probabilităţilor . Încercarea une i asemenea aplicări a fost făcută de un a l t e lev al lui Lukasiewicz , Z . Zawirski44. . De a ltfe l întreaga şcoală de logică polo­ neză şi-a adus în acest domeniu o contribuţie substanţial ă . Am menţionat deja î n cursul acestui capitol rezul tate le &2 E. L. Post, op . cit . , p. 1 04 .

Untersuchungen iiber den Aussagenkalkiil, î n "Comp tes Rendus des seances de la Societt\ des Sciences et des L ettres d � Varsovie", Classe I I I , 2 3 ( 1 93 0) , pp . 1 - 21 , 30 - 5 0 . 4 4 Z . Zawirski . Semnificaţia logicii po livalente pentm cunoa.,­ 'ere � i legătura sa cu calculul pro babilităţilor, (in p.ol oneză) , în "Przeglad F ilozoficzny", 37 ( 1 934) , pp. 393 -398 şi tJber das V"er­ hă ltnis mehrwertigen Logik zur T/Vahrschein lichkeitsrechnung , în "Studia Philosophica " , 1 ( 1 935) , p p . 407 - 44 2 . 43

] 99


l..ogiCQ polivalentd

obţinute de M . Wajsberg cu prIVIre la axiomatizarea s is­ temului trivalent al lui Lukasiewicz , precum şi dezvol­ tarea acestui sistem de către J. Slupecki prin introducerea functoru lui T . Alături d e sistemele polivalente a l e lui Lukasiewicz şi Post au apărut o serie de a lte asemenea sisteme . Astfel , în 1939, logicianul sovietic D . A . Bocivar propune un sistem trivalent pentru anal iza paradoxelor logice45• Un sistem , de asemenea triva lent , propus în 1938 de S . C . Kle­ ene46, este uti lizat de acesta în studiul funcţ i i l or parţial recursive . Lukasiewicz Însu�i studiază un sistem cu patru valor i , îndeosebi pentru interpretarea lui modaIă47 . .\fatrice le de adevăr util izate de Lukas iewicz în calculul trivalent (ca ş i în cel pol iva lent) sint o generalizare a matricelor corespunzătoare din calculul bivalent (*3 .3) , în sensul că se reduc , cînd variabi lele propoziţiona le iau doar valorile adevărat şi fal s , la acestea d in urm ă . Din această pricină ele se numesc normale. Dar , oricît ar părea de curios , s-au construit şi s isteme ale căror matrice nu s înt normale (de exemplu sistemele construite de Post) . A. Church a tratat sistematic aceste s isteme48• O altă l inie de cercetări în logicile polivalente au consti­ tuit- o , aşa cum am avut ocazia să menţionă m , introducerea în calcul a funcţi i lor propoziţiona le . Prima Încercare de acest gen a fost făcută În 1939 de către J . B . Rosser4 9 , dar momentul i mportant Î n această privinţă î l constituie " Asupra unui calcul trivalent ,i aplicaţ iile lui la analiza paradoxuri lor calcu lului funcţional extins clasic (în l imba rusă) ,

în "Matemat iceskii sbornik", 4 ( 1 939) , p p . 353 -369 şi în l imba română în Analele româno-sovietice, seria mat.-fiz . , anul XV ( 1 9 61 ) , p . 200 . V edeţi în această lucrare · 9 . 5 . 48 S . C. Kleene, O n a Notation for Ordinal Numbers , i n "The Journal of SymboIic L ogic" , III ( 1 938) , p p . 3 3 2 - 340 . Vedeţi , de a semenea, Introduction to kletamathematics , Amsterdam , Prin­ ceton , 1 95 2 , pp. 332 -340, tot de acelaşi autor. 4? A Sys/em of Modal Logic, în "J ournal of Comput ing Sys tems" , v o I . 1 , nr. 3 ( 1 953 ) .

U A . Cbureb, Non-normal Truth-ta b les for the Propositional Ca/cu/us, în " B oletin de la Sociedad Matematica Mex icana", 1 0

(1 953) , p p . 41 - 4 2 .

U The Introduc/ion o f Quantification into

IJ

Three-Valued Logic.

rezumată în "Tbe Journal of Symbolic Logic" , IV ( 1939) , pp . 170 - t71' .

200


5.13. Alte cercet.4ri

lucrarea Many- Valued Lo�ica a lui Rosser şi Turquette <l in 1952 . O contribuţie Îi) această privinţă revine l u i A . Mostowski50 • Logicianul chinez Moh Shaw-Kwe i a arătat posibil itatea cons truirii în sisteme le cu mai multe valori a unor pa­ radoxe asemănătoare celor din logica b ivalentă (*3. 13)5J . Th . Skolem şi C . C . Chang au stud iat posibilităţile con­ struirii une i teorii axiomatice a mulţi m i lor bazate pe o log ică CU o inlinitate de valori53 • în sfîrşit , din punct de vedere filozofic , problema logici­ lor polival ente a fost pe larg discutată de către logicianul sovietic A . A . Zinovievli3 • Structura algebrică a logici lor polivalente a fost studiată de numeroş i logicieni şi matematicien i . Una dintre con· tribuţiile de p ionierat în acest domeniu aparţine profeso­ rului român Gr . C . Moisil54 • El este creatorul aşa·num ite­ lor algebre Lukasiewicz. Numeroase contribuţii în această privinţă , ca şi Î n genera l în domeniul logici lor polivalente , a adus Alan Rose56• Problema aplicării logicilor cu m a i multe valori o vom discuta pe larg In capitolul 9, iar cea a interpretării lor În capitolul 10 . 60

A.

MOlltowski, A xiomatizab ility of Some Many-Valrud Calculi, în "Fundamenta M a th em a t ic a e , 50 (196 1 ) , pp . 1 65 - 1 90 . & l V e d e ţ i * 9 . 5 d in această l u crare .

Predicate

"

6 2 Tb. Skolem, Mengen lehre gegriindet auf e iner Logik mit unend­ lich vielen Wahrheitswerten şi C. C. Cbau'!, Infinite valued logic as a basis for set theory, în " Logic, Methodology and Phil080phy 01 Science". Proceed ing s of the 1 961t In terna tional C ongre ss , Amlter­ dam , 1 965 . &3 A. A . Zi no'fiev, Probleme filozofice a le logicii po livalen'fI

( î n l imba rusă ) , Akad . Nauk SSSR, Institut F i l ozofii, Moskva. 1 960 ( trad . engleză 1 963 , tra d . g erm ană 1968) . 6 f Prim u l său articol in această pr ivinţă , Rechercht!8 s ur les logiques non-chrysippiennu ( A n a l l es scientifiquea d e l ' U n iversite d e J a s s y" , tome X X V I ) , a apărut î n 1 940. i& O l istă com p l etă a lor ar fi extrem de lungă , d ep ă , ind .pa­ ţiu l afectat de n o i a ces tei problem e . M enţionăm to tu ş i articolul scris in c o l a bor a r e cu J. B. Rosser, Fragment' of Many-ValuBd S tatement Calculi ("Transact ions American M a thema tic a l Soc iety". "

87,

pp .

1 - 53) .

201


Logica pOlivalentl1

5.14.

*

Consideraţii

generale

Lukasiewicz crede că această descoperire a logici lor polivalente se poate asemăna cu descoperirea geometriilor neeuclidiene . După cum s-au putut construi diverse geo­ metrii renunţînd la postulatul lui Euclid, tot aşa se pot construi mai multe logici - după cîte valori de adevăr considerăm pentru propoziţi i - abandonînd principiul terţiului exclus , după care o propoziţie nu poate lua decit două valor i , şi anume : ori este adevărată , ori este falsă . Lukasiewicz dă cîteva indicaţii istorice sumare , însă noi vom cerceta mai de aproape această chestiune . Aristote l a susţinut, destul de c lar , va labil itatea prin­ cipiului terţiului exclus faţă de propoziţii le contradictori i . Dintre două (propoziţii) contradictori i una este necesar­ mente adevărată , cealaltă falsă , nu există o posibilitate intermediară58. Cu toate acestea , s-ar părea că există , după e l , aşa cum am mai arătat în cursul lucrăr i i , o excepţie : propoziţiile care se referă la viitorul contingent , cum s înt actele viitoare a le omului , care depind de liberul arbitru , n u pot fi declarate , în momentul c înd vorbim despre e le , adevărate sau false mai înainte ca e le să f i avut loc . Astfel de propoziţii reprezintă numai posibilitatea . "Toate lucru­ rile care sînt numite posibile au contrari ile lor de asemenea posibile"57 . Vom da Însă un pasaj din Aristotel care pune în adevărata ei lumină problema aceasta . Iată acest pasaj : " Dacă orice propoziţie referitoare la viitor este adevărată sau falsă , este necesar pentru orice lucru ca e l să se În­ tîmple sau să nu se înt împle , căc i , dacă cineva zice : cutare lucru va f i , ş i dacă altul î l neagă , este c lar că este necesar că unul dintre ei spune adevărul , dacă orice afir­ maţie sau negaţie este totdeauna sau adevărată sau falsă . Atunci nimic nu Se întîmplă fortuit nici în chipul de a fi acesta sau aceea , nici ceea Ce ar putea să fie şi să nu fie , c i totul se întîmplă în mod necesar şi nu într-un fe l sau altul". Şi mai departe : "Toate acestea nu s înt admi­ sibile , căci recunoaştem că lucrurile care se vor întîmpla le

A na lyt ica posteriora , 1 , 2.

17 Metaphysica , VIII , 9.

202


5.14.

Consideraţii generale

au ca inceput deliberările noastre şi acţiunile noastre şi că printre lucrurile care nu au existenţă actuală şi permanentă sînt unele care pot să fie şi să nu fie în mod ega l , pentru care una sau alta (din eventualităţi) este posib i l ă , sau ca să fie sau ca să nu fie , că ele pot să se întîmple sau �ă nu se întîmple . Este deci adevărat că nu totul se tn­ t împlă cu necesitate şi că afirmaţia anticipată nu este mai adevărată decît negaţia"58 . Se vede clar că această excepţie la regula terţiului exclus tste în strînsă legătură cu problema determinismu l u i , care , dintr-o problemă psiho logică , devine o problemă de logică . Stoicii , dimpotrivă , erau determinişt i ti outrance. Această at itudine era consecventă cu concepţia pe care � i-o făceau despre l ume : nimic nu exista pentru ei decît in formă materială , iar materia este guvernată , după e i , d e u n determinism riguros . Chrysippos (282-209 Le .n .) , care este socotit ca a l doilea fondator a l şcolii , a combătut cu înverşunare afirmaţia lui Aristotel privitoare la v iitoru l contingent, care admite a , cum am văzut , un liber arb itru. Fiind determinişti , stoicii căutau , prin diverse argumente , �ă infirme teza lui Aristote l asupra l iberului arbitru . în afară de argumentul bazat pe legea cauzalităţii şi acela care explică posibilitatea devinaţie i, stoicii aduceau un argument logic , dezvoltat , în speci a l , de Chrysippos, cum ne relatează C icero. Dintre două propoziţii contra ­ dictori i una este necesarmente adevărată . Deci d intre aceste două propoziţii " a va fi" şi "a nu va fi" - Dece­ ;;itatea uneia, în momentul chiar Îu care vorbesc , exclude posibilitatea celeilalte : ea; omni aeternitate fluens I'l ritas Jempiterna59• Pentru a lămuri concluzia aceasta , Chrysippos distin­ gea două feluri de cauze : cauaae principalea şi eausae adju­ "'antes. Pentru a arăta cum funcţio ne ază acest determinism . ", 1 dădea u n exemplu cu ajutorul unui c i l i ndru care se rostogoleşte pe un p lan înclinat : trebuie un impuls pentru ca el să se rostogolească (causae adjul'antes) , dar el se -

68 U

De Interpretatione, IX. Ci cero, De D ivinatione, 1, 5.5 .

203


Logica

polivalentlf

rostogoleşte în v irtutea formei lui (caILSM p,.incipales)60. Chrysippos este, aşadar, primul logician care susţine stAruitor principiul terţiului exclus şi astfel apare naturală denumirea pe care o dă Lukasiewicz logicilor polivalente de logici nechrysippiene81• în cele ce urmează ne vom rezuma la cîteva observatii ' sumare asupra logici lor ne-chrysippiene. Mai întîi, logica polivalentă a lui Lukasiewicz pleacă de la faptul că propoziţiile moda le primitive 1, I I , I I I sînt incompatibile în sistemul bivalent. Cu alte cuvinte, deoa­ rece se ajunge la contradicţii, trebuie să renunţăm la logica bivalentă, cum am văzut. Propoziţia I I I , de pildă, ne-a condus la două teoreme contradictorii. In acest caz, dacă am fi aplicat un mod de raţionament cunoscut, pe care l-am citat în cursul acestui capitol, anume: CCpqCCpNqNp, care spune că dacă dintr-o propoz iţie p se pot deriva două propoziţii contradictorii, atunci ea este falsă, concluzia noastră ar fi trebuit să fie că propoziţia I I I este falsă. Să considerllm din nou propoziţiile modale fundamentale. Acelea care conduc la rezultate penibile sînt propoziţiile II şi III. Să ne referim chiar la propoziţiile iniţiale, de eXem­ plu (d): (d) " Unumquodqu6, quando eat, opo,.te t ease". "Cînd ceva există, atunci cu necesitate există". Luka­ siewicz dă citeva exemple, care ar ilustra şi evidenţia această propoziţie. Un exemplu l-am citat atunci cînd am vorbit despre această aserţiune. lată-l: .,Nu este necesar să fiu acasA asUl-seară, dar dacă sînt deja acasă astă-seară, atunci, cu aCeastă presupunere, este necesar că sînt acasă astă-seară". Este adevărată această propoziţie? Sau, mai curind, ce sens are ea? Mai tntli, cum admite însăşi această .. Cicero, De Falo,

18 . Pasajul următor din Cicero arată (De Falo, 10.21) mai bine vigoarea cu care apăra Chrysippos principiul desJ'l"e care este vorba: "Chrysippo8 se temea că, dacă n-ar susţine că tot ceea ce poa­ te fi enunţat este adevărat Bau fals, atunci nu putea să susţină cii toate se intimplă dupl destinul lor şi din cauzele eterne ale lucrurilor viitoare". •1

204


5.14. Consideraţii generale

propOZIţIe, faptul că voi fi acasă astă-seară nu este nece­ sar, este contingent; ce scmnificaţie are atunci necesitatea ei, pe care o introducem in partea a doua a propoziţiei? Este clar că ea nu poate ridica caracterul de contin genţă , care aparţine, prin definiţie, propoziţiei noastre. Eveni­ mentul indicat de propoziţie se întimplă în mod contin­ gent; necesitatea pe care o introducem, în urmă, nu se poate referi la acest eveniment, deoarece am declarat că el este contingent. Ea prive,te cu totul altceva: dacă ştiu că propoziţia este adevărată - chiar in mod contingent -, pot afirma despre ea că nu este posibil să nu fie ade­ vărată. Acest lucru nu înseamnă că îi atribui e i înseşi o necesitate, ci că afirmaţia mea despra ea este i mposibil să nu fie adevărată. Cu a lte cuvinte, fie propoziţia p; despre ea declar: "p este adevărat"; şi atunci, propoziţia pe care o afirm despre "p este adevărat", adică ( este ade­ vărat că "p este adevărat" 1), este necesară, cu condiţia să ştiu in prealabi l că p este adevărat. Deosebim a ici două aserţiuni: una care atribuie lui p o valoare de ade­ văr şi una despre această valoare de adevăr. Lukasiewicz nu observă această distincţie şi consideră propoziţia (d) ca atribuind lui p contingent o necesitate, ceea ce e absurd. Prin transpoziţie obţinem i mediat: "dacă p este fals, atunci p este imposibil". Lukasiewicz o scrie sub forma simbolică 2: CNpNMp Această propozIţIe este falsă, întrucît niciodată din simp la constatare a falsităţ i i unei propoziţii nu pot de­ duce imposibi litatea e i. Alt sens Însă are afirmaţia: "Cînd constat că o propoziţie este falsă pot afirma despre ea că este imposibil să fie adevărată" (afirmaţie despre ea, dar care nu poate atribui altă modalitate propoziţiei decît falsul contingent). Se vede, aşadar, de ce se ajunge la contradicţ i i şi unde ar fi trebuit să opereze Lukasiewicz schimbarea. In afară de aceasta , propoziţia I I I nu poate avea loc in lo­ gica formală. Dacă a formaliza logica înseamnă a o constitui fn afară de orice conţinut determinat, urmează că adevărul 205


Logica polivaZentc1

sau falsul unei propozlţJl nu pot dep inde de eveni­ mente viitoare . Deoarece in felul acesta evenimentele ar condiţiona valorile lor de adevăr (adică valorile de adevăr ar fi conrliţionate in conţinut) . Asemenea condiţionări materiale nu pot avea loc in logica formală pură . Legi le logicii, care sînt numai reguli simbolice, nu pot depinde de' exi stenţa unui determinism in lumea externă . Pentru a se vedea cît de delicată este raţiunea pe baza căre ia s-au formulat logici le ne-chrysippiene , să analizăm un exemp lu amuzant , care are mai multe versiun i . Î I găsim Într-o lucrare a lui F . Gonseth , care se declară impotriva terţiului exclus , scriind : "Nu are nici un sens să pretindem că tot ceea ce nu este adel'ărat este fals şi că tot ceea ce nu este fals este adel'ărat. Se poate foarte bine ca un lucru care ar putea să fie adevărat sau fals să nu fie nici adevărat şi nici fals"8z. Pentru a ilustra această afirmaţie , Gonseth ci tează UD exemplu referitor la un viitor contingent , aşa-numita parabolă a giganţi lor subtili şi cruz i: I ntr-o insulă locuiau asemenea giganţ i care condamnau la moarte şi executau pe orice străin ar fi pătruns in insula lor . Deoarece erau subtil i , l ăsau pe condamnat să-ş i pronunţe singur sentinţa . I i puneau o Întrebare şi dacă răspunsul era adevărat îl sacrificau Idolului Adevărului, iar dacă răspunsul era fals , atunci îl sacrific au Idolului M inciunii . S-a întîmplat însă că Într-o zi a pătruns in insulă un străin " mai subtil decît ei" - scrie Gonseth (noi credem că mai puţin cunoscător al legilor logice) - căruia i -au pus tntrebarea i mprudentă : "Ce soartă ve i avea?" Străinul a răspuns : "Mă veţi sacrifica Idolului Minciunii". Iată acum care este Încurcătura . Giganţii au intrat În deliberare , ca să determine dacă această propoziţie este adevărată sau nu , pentru a-l sacrifica Într-un fel sau in altul. Dacă străinul a spus ad�vărul, atunci, după condiţiile problemei , trebuia sacrificat Idolului Adevă82 F. GODseth, Les (ondements des matematiques, Ed. Blanchard, Paris, 1926, p. 214.

206


5.14. Consideraţii generale

rului ; dacă a spus un fals , atunci trebuia să fie sacrificat Idolului Minciun i i , ceea ce nu se putea , f iindcă în acest caz ar fi spus un adevăr . Gonseth conchide : "Opoziţia dintre fals şi adevărat este schematică şi nu împarte în două categorii , cele a­ devărate şi cele false , toate aserţiunile . . . Parabola face tocmai să vedem că această împărţire nu se poate efectua odată pentru totdeauna" . Desigur , Aristotel ar fi conchis că întrucît propoziţia "Mă veţi sacrifica Idolului Min­ ciunii" se referă la un fapt viitor nu poate fi declarată nici adevărată, nici falsă . Noi credem că străinul comite o eroare de logică sim­ plă c înd declară "mă veţ i sa�rifica Idolului Minciunii", care este în afară de consideraţia timp ulu i , a faptului că uciderea lu i avea să se tntîmple într-un moment viitor . Intr-adevăr , condiţia logică pusă de giganţi era : adevărul sau falsitatea propoziţiei pe care o vei spune va determina modal itatea ucideri i. Dimpotrivă , străinul calcă această condiţie spunind "mă veţi sacrifica Idolului Minciunii", deoarece acum propoziţia aceasta va fi adevărată sau falsă după modul cum va fi e l sacrificat unui idol sau altuia . Străinul inver­ sează deci cond iţii le, spunînd că adevărul sau falsitatea propoziţie i sale dep ind de modalitatea ucider i i sale . Cele două criteri i care stau la baza deciziei - pe de O parte valoarea de adevăr a propoziţiei stră inului, pe de alta, fe lul uciderii lui - sînt în cerc vicios . Dacă giganţii erau chiar atit de subtili cît spune parabola , cu siguranţă că au descoperit viciul raţionamentului . Rezultatul acesta arată atemporalitatea propoziţiilor logice , deoarece am putut stabili viciul argumentlri i aceste ia în afară d e faptul c ă uc iderea urma s ă s e facă in viitor . Credem a fi arătat însă suficient cît de delicată e chestiu­ nea şi că grăbit au conchis logicien i i că există propoziţ i i care n u pot fi declarate n i c i false , n i c i adevărate - cel puţin in momentu l in care vorb im - , cum sint cele posi­ b i l e , care se referă la evenimente contingente viitoare.


6

Logica intuiţionistă

* 6.1.

Intuiţionismul

lui

Brouwer

Ultimele decenii ale secolului trecut au avut sa mre­ gistreze unul d in faptele cele mai bizare pe care le puteam aştepta în domeniul matematicilor : apariţia celebre lor paradoxe logico-matematice, In special ale teoriei mul­ ţimilor. Pentru a inţelege mai b ine cele ce urmează , să considerăm unul din aceste paradoxe , fie acela descoperit de Russell . O mulţime este o colecţie de obiecte distincte - indiferent dacă sint reale sau nu - întrunite Ia un loc pe baza une i proprietăţi comune . Obiectele care aparţin mulţimii se numesc e lementele e i : legătura d intre un e lement ş i mulţimea căre ia aparţine este deci o aparte­ nenţă. Să notăm o mulţime cu E, un element a l e i cu a ş i l.egătura de apartenenţă cu E ; în aces te condiţi i putem s cr I e : Elementul a aparţine mul ţimei- E. Dacă examinăm acum d iverse le mulţimi care se pot forma , putem, foarte uşor , să ne dăm seama că unele mulţimi nu se conţin ca e lement , nu au aceeaşi proprietate ca şi e lemente le lor ; spre exemplu , mulţimea numerelor prime nu este şi ea 208


6.1. Intuiţionismul lui Brouwer

un număr prim . Sint şi mulţimi care se conţin? Răspunsul pare afirmativ. Intr-adevăr, mulţimea tuturor noţiunilor abstracte este , ea insăşi , o noţiune abstractă şi deci se conţine sigur, îşi aparţine . In condiţiile acestea , putem despărţi toate mulţimile posibile in două categorii : pe de o parte mulţimile care nu se conţin ca e le ment, pe de a lta acelea care se conţin. Aceste două categorii de mulţimi formează, fiecare la rîndul e i , o mulţime : fie A mulţimea tuturor mulţimilor care nu se conţin şi fie B mulţimea tuturor mulţimilor care se conţin . Ar părea evident că , atunci dnd n e înt rebăm despre o mulţime oarecare "se conţine sa u nu se conţine?", răs­ punsul să fie "sau se conţine, sau nu se conţine , tertium non datur". Principiul terţiului exel us nu ar lăsa loc pentru o a treia posibilitate . Ei b ine , să punem această chesti une pentru mulţimea A a tuturor mulţimilor care nu se conţi n : A se conţine sau nu se conţine , tertium non datur. Să presup unem că ea se conţine; după definiţie, A conţine numai m ulţimi care nu se conţin. Am ajuns la o contradicţie . Să p resupunem că A nu se conţine ; cum , după definiţie , A conţin e toate mulţimile care nu se conţin , ea se conţine . Am aj uns iarăşi la o contradicţie . Nu putem afirma nici că A se conţine , nic i că nu se conţine şi principiul terţiului exclus iese compromis. Multe asemenea paradoxe au făcut pe matematicieni şi logicieni să caute o ieşire din impas . Una din sol uţiile propuse este teza intuiţionistă a lui L. E . J. B rouwer1 . Principiul fundamental al doctrine i intuiţioniste este următorul : orice propoziţie care are un conţinut trebuie .să indice una sau mai multe stări de lucruri (Sachl'erhalte)

t>p

1 Brouwer �i-a susţinu unctul său de vedere cam de pe la 1907. Lucrările sale mai cunoscute in acealltA direcţie lIint: lntui­ li.ni.tmand formalism, în "BulletinAmerican Mathematical Society", 20, 1913; Inluitionistiache Mengenlehre, în "Jaheraber ich t der deut­ schen Mathema tischen Vereinigung", 28, 1920; lntuitioniatische Betrachtungen iiber den Formaliamus, în .. Berichte der A kademie Berlin physikalisch - mathematische Klasse", 1928; Mathematik, Wissenscha(t und Sprache în .. Monatshefte fur Mathematik und Physik", 36, 1929; Historical backgroună, principiu and methods of intuitionism, în"SouthAfrican Journal of S cience", 49, pp.139-146

209


Logica polivalent4

bine determinate şi accesibile ex perienţei noastre. Iată înslit ce se întîmplă : in domeniul colecţiilor infinite , după Brouwer, nu are nici un sens să spunem că un e lement a aparţine unei mulţim i E, fără să putem indica ace) e lement (conform principiului de mai sus) ; cum putem spune' atunci că o colectie are o infinitate de e lemente dacă nu putem - fiind�ă în domeniul infinitului nu putem opera această indicaţie în mod total - să arătăm f iecare membru al colecţiei? O propoziţie are , aşadar ,. conţinut cînd e legată prin intuiţia noastră imediată de anume stări de lucruri . Fie atunci propoziţia următoare a:. "fiecare element a l mulţimii K posedă proprietatea P" j. dacă mulţimea K este infinită , atunci negaţia aceste) propoziţii "a este falsă" nu satisface principiul de mai sus , întrucît nu avem posib i litatea să putem arăta , pentru o infinitate de e lemente , stările de l ucruri care împiedică ca ele să aibă proprietatea P . Care este concl uzia l ui Brouwer? Imitînd ceea ce se petrecea în filozofie , matema­ ticienii au extrapolat - după Brouwer , în mod nelegitim - adevărurile logice , considerîndu-le ca "idea le" şi soco­ tindu-le valabile chiar şi acolo unde n u există un control direct, cum e în domeniul infinitului2• în particular , s-a acordat această valabilitate princi­ piului terţiului exclus , care nu este valabil decît în domeniu) colecţiilor f inite . " Credinţa în eficacitatea nelimitată a, principiului terţiului exclus , în studiul legilor natura le� implică prin aceasta însă şi credinţa în caracterul finit şi în structura atomică a lumii"3. Cu alte cuvinte, prin­ cipiul terţiu lui exclus nu are valoare şi nu s-a născut decît d in proiectarea matematicii pe un sistem finit al şti inţelor natur i i . Nu este , atunci , imprudent să extin­ dem , fără nici o motivare , adevărul logi c , tale quale, şi în domen iul infinitului? Brouwer crede că acesta este motivul care a făcut să apară paradoxele logice . Pentru a corecta această accepţi�a principiului terţiului exclus, Brouwer dă o definiţie negaţiei : propoziţia "a 2 L. E. J. Brouwer, Malhemalik, Wissenschafl und Sprache.

p. 159.

3 lntuilionisli.8che Mengenlehrll,

218

p.

208.


6.1. Intuiţionismul lui Brouwer

este fal s" trebuie să insemne "a conduce la o contrad icţie", adică "a este absurd" . Negaţia lui a devine , astfe l , o pro­ poziţie existenţ ială , care satisface principiul intu iţionist : există o serie de deducţii logice , care , în ipoteza că a este adevărat , conduc la o contradicţie . Propoziţiile existen­ ţiale au fost supuse de Brouwer une i anal ize foarte delicate . O propoziţie existenţială nu are nici un sens dacă nu putem indica starea de lucruri , referentul experimental al ei; sau dacă nu putcm să dăm, o dată cu enunţarea ei, şi construcţia corespunzătoare . Fără aceste indicaţi i propoziţia este aparentă şi nu are nici un înţeles . Însă în ştiinţele natur i i , propoziţiile de existenţă au totdeauna referent experimental ; iar în mate­ matici , propoziţiile de fe lul acesta sînt Însoţitr, totdeauna , de indica ţia construcţie i corespunzătoare . După Brouwer nu este o propoziţie existenţială o con­ statare pură , că am găsit un element corespunzător tntr-o mulţime K. Într-adevăr , dacă ar fi aşa , propoziţia exis­ tenţială ar fi fost falsă înainte de găsirea construcţiei şi adevărată după. Aşa se ivesc propoziţi i care , deş i au con­ ţ inut invariab il în timp, nu pot fi pronunţate decit în anumite condiţii. În rezumat : pentru o propoziţie generală, negaţia ei nu poate fi pri!>ită ca a!>înd, în general, un sens bine determinat. Numai în anumite condiţ i i date negaţia unei propoziţii are un Înţeles precis, cum se întîmplă in domeniul fin i­ tulu i . Cu aceasta ajungem la cîteva concluzii extrem de importante . Mai întîi , in demonstraţiile ind irecte , care fac uz de principiul terţiului exclus, adică in dedu cerea une i proprietăţi prin reductia ad absurdum, principiul acesta nu ma i poate fi întrebuinţat într-o formă generală . .. . într-adevăr , fie propoziţia "obiectul A are proprie­ tatea P" ; dacă afirm că e absurd ca această propoziţie să fie falsă, nu urmează că ea e adevărată , deoarece , pentru a fi adevărată ea trebuie să aibă o iudicaţie experimentală sau de construcţie şi există un caz c înd nu putem face acest lucru ; anume cînd e vorba de colecţii infinite . De u nde axioma lui Brouwer: A bsurditatea a bsurdităţii nu implică ade!>ărul. (Adevărul implică însă absurditatea 211


Logica poliV4lenti!

absurdităţii). Cu alte cuvinte , absurd itatea absurdităţii ne dă o modalitate particulară a propoziţiilor, care diferă de noţiunile simple de adevăr şi fals. Restrîngînd domeniul de aplicabil itate a principiului terţiului exclus , Brouwer crede că e limină paradoxele infinitului . Cu toate acestea , în logica intuiţion istă acest principiu nu e declarat laIs , ci numa i nu poate fi dovedit. E l rămîne ade vărat în mod strict pentru domeniul fini­ tului. Logica l u i Brouwer capătă , astfe l , o bază empirică , cum a relevat-o R. Wavre, "Brouwer , refuzînd aplicaţia principiului terţiului exclus, nu face decît să tragă o con­ secinţă inevitabilă , poate paradoxal ă , din teza empirică . . . Existenţa ideală nu este pentru empirist decît o fereastră fa lsă pentru simetria propoziţiilor , referitoare la o mul­ ţime finită' , pe de o parte , şi la o mulţime infinită , pe de alta . . . Dar numai o analiză intuitivă a fiecărui caz par­ ticular determină dacă se găseşte sub această jurisdicţie . .. Matematica , acţiune a spiritulu i , reprezentare , nu trebuie să debordeze domeniul acestei reprezentări . Existenţa empirică este această reprezentare însăşi , pe cînd existenţa ideală pare la sfîrşit să se anihileze în ideea ne-contra­ dictoriului"4 .

* 6.2.

Formalizarea

log icii

intuiţioniste

Discipolul lui Brouwer, A . Heyting, a reuşit să "forma­ l izeze" logica intuiţionistă , pe baza unor axiome simple , prezentînd un calcul de o mare valoare logică5. E l recu­ noaşte, ce- i drept, că "nu se pot reduce toate posibilitii.ţile gîndirii la un număr finit de reguli stabil ite dinainte". Totuşi, calculul său urmăreşte să redea desfăşurarea gîn­ dirii în cadrul doctrinei intuiţioniste . Pentru aceasta Heyting îşi va alege în aşa fe l axiomele încît să nu cuprindă C

Y-at-il une cri8e dss malh�matiqU8S?, În .. Revue de Metaphysique et de Morale", 1924, pp. 435-470. 6 A. Beyting, Die Formalen Rcgeln der inluitioniati8chen Logik, :u "Sitl:ungsberichte der preussischeu Akademie der Wisseulcbaf­ ten", Physikalisch-math. Kla8se, Berlin, 1930, pp. '.2-56.

212

Rolin WawEI,


e.2. FormalizarelJ logicii intuiţioniste

principiul terţiului exclus şi nici sA nu permită derivabi­ litatea sa. N oţiuni le primitive de la care pleacă în construcţia

sistemului sînt în număr de patru, şi anume': Conjunoţia " A ": propoziţia pA q ( citită lIP şi q") poate fi asertată dacă şi numai dacă atît p cît şi q pot fi asertate. Disjuncţia " V ": p V q ("p sau q") poate f i asertată dacă şi numai dacă cel puţin una d in propoziţ iile p şi q poate fi asertaU. Spre deosebire de disjun cţia clasică, s-a arătat cA o disjuncţie intuiţionistă poate fi demonstratA dacă şi numa i dacă unul anume din termenii săi poate fi demon ­ strat (sau amindoi)7. Deci ea "constituie pentru intuiţio­ nist o comunicare incompletă a unei afirmaţii care spune că p are loc sau q are loc sau , cel puţin, care dă o metodă prin care să putem a lege care dintre cele două propoziţii - p şi q - are loc". (A disjunction p 01' q oonstitute.s fo1'

the intuitioniat an incomplete communication of a statement telling UN that P hold 01' that q hold, 01' at leaat gi"ing a met/wd by which wt' oan chOO8e r1'Om p and q one which

holda.)a

.

. Negaţl.O."î" : î p ("non- p" sau "p este absur d") exprima �

faptul că o contradicţie q şi non-q rezultă din p printr-un raţionament intuiţionist sau, mai ex plicit, că cineva posedă o metodă care, d intr-o demonstraţie a lui p, ne furnizeazll o demonstraţie a unei contradicţii q şi non-! 0)8. (sau a unei afirmaţii absurde, de exemplu 1 Jmplicalia ,,::J " : p ::J q ("p implică q" sau "dacA p a tu nc i qU) exprimi faptul că p rintr -un raţionament intuiţionist din p rezultă 9 BaUt mai explicit, că cineva posedă o metodă prin care din orice demonstraţie a lui p se poate obţine o demonstraţie a lui fO. =

• A. Heytiag, Intuitionism - An Introduction, 19 5 6 , p p . 98-9 9. 7 Afirmaţie făcută ma i Întii de Godel (1932) ş i ulterior de Gentzen, Tarski, McKinsey etc . • S. C. Kleene, Introduction to Metamathemat ics, • Ibidem , p.. Si. 1 0 Ibidem. In memoriul sAu d in 1930, pe care îl

Amsterdam,

demonstrată pp . 50-5 1 . vom urmări

ş i noi în următoarele paragrafe, Heyting notează implicaţia intui­ ţioniată cu acelaşi semn pe care îl intrebuinţase şi Russell pentru implicaţia materială.

213


Logica polivalentd

Ca o trăsătură specifică calculului intuiţionist , cele patru conective de mai sus nu pot fi defin ite , aşa cum a �rătat J . C . C . McK inseyll, unul în funcţie de celelalte . In logica lui Russel l , spre exemplu , implicaţia şi con­ juncţia erau introduse cu ajutorul negaţiei şi disj uncţie i prin echivalenţele : 1.01

p :> q . = . '" p V q

p . q = . '" ( --.... pV --.... q) Dar , după cum vom vedea , în s istemu l intuiţionist echivalenţele corespunzătoare nu ma i au loc . În cele ce urmează , l iterele a , b , e, . . . vor reprezenta propoziţii . Pentru constituirea calculului său propoziţional, Heyting pleacă de la 1 1 axiome . Din acestea, printr-un şir de ope­ raţi i simple , se pot obţine teoremele. Atît axiomele cît şi teoremele primesc în faţă , întrucît sînt socotite propo­ ziţii adevărate , semnul de aserţiune ,,1-", pe care am văzut că-I utiliza şi Russel1. Regula modus ponens, care în schemă este reprezentată astfe l : 3.01

1- . a � . a :::> b � . b

este prescurtată de Heyting în modu l următor :

� a ::>� b Din afirmaţia lui a rezultă afirmaţia lui b .

* 6.3.

Reguli

de

operaţii

1.1 Pentru a arăta că o formulă este pa lista propoziţiilor socotite adevărate, se va pune înaintea ei semnul de aser11 J. C. C. McKiD8(\Y, Proof of the Independence of the Primitive Sym bols of Heyling's Calculus of Prop08itions, în "Journal of Symbolic Logic", IV (1939 ), pp. 1 5 5 - 1 58.

214


6.3. Reguli de operaţii

ţiune "f--" j aceasta se face pentru propoziţiile demon­ strate . Pentru axiome , adică pentru propoziţi i le admise fără demonstraţie , se va întrebuinţa , pentru a specifica lucrul acesta , semnul dublu de aserţiune " f--f--" 12 . 1 .2 Dacă a şi b sînt adevărate , atunci a /\ b este ade­ văratl3• 1.3 Dacă a Ş I a :::J b sint adevărate , atunci şi b este adevărata. 1 .4 La începutul fiecăruia din următoare le trei para­ grafe vom specifica constante le ce intră în constituirea formulelor. Semne le care apar şi nu sînt specificate astfel, sjnt variabi le. Dintr-o formu lă adevărată ia naştere tot o formulă adevărată c înd se înlocuiesc variabilele, pretu­ tindeni, prin alte combinaţi i de semne15• 1.5 indică că in formu la tre buie înlocuită va­

(:)a

a

riabila x pretutindeni prin semnul p. 1 .6 Formula a D b se numeşte o definiţie ; o defin iţie permite să înlocuim o formulă într-o altă formulă în care ar figura primul membru al definiţiei prin membrul a l doi lea şi viceversa , adică s ă inlocuim a prin b sau b prin a, chiar dacă a reprezintă o formulă întreagă , iar b, la fel , o formulă. Împărţirea formu le lor se face , ca în cal­ culul lui Russell , prin puncte. Numărul de puncte utilizat intr-o formulă poate fi redus , fădnd apel la următoarea convenţie : de cite ori lnttlnim in formula respectivă una din constante le (conectivele) /\ sau V împreună cu o 12 U lterior Heyting a renunţat Ia această notaţie distinct ivă, folosind aserţiunea simplă "f-" atît pentru axiome cit şi pentru teorem e . 1 3 Aceas ta este regula de adjunctie ş i am întilnit-o şi în siste­ mele lui Lewis (vedeţi ·4.5). It E ste vorba d e binecunoscuta regulă modus ponens. 1& în felul acesta Heyting enunţă regula de substituţie . Indica­ rea substituţiei se face conform notaţiei stab ilite la punctul 1 .5 . Variabilele vor fi notate, in calculul propoziţional , prin litere mici latine.

215


Logica polivalentiJ

altă conectivă fără ca numărul de puncte uti lizat să indice pe care dintre e l e o citim mai intii, vom c iti mai intîi conectivele 1\ sau V . De exemplu , formula

va fi citită ca şi cum parantezele ar fi aşezate astfe l :

a ::::> (a 1\ a ) ŞI nu

(a ::::> a )l\a Dacă este necesar , partea stă semnul I va fi închisă

* 6.4.

unei formule în faţa căreia în paranteze .

Constantele .,:, : . , ::,

::::>

, 1\, ::::> C , ( , ) , D

Cum am spus, o teoremă se va recunoaşte după semnul pus înaintea e i , iar o axiomă după semnul "I-t-". Defin iţia va fi indicată de semnul i). in acest paragraf vom da cîteva axiome heytingiene. precum şi teoremel e care se deduc din e l e . Demonstraţia se va face pe baza reguli lor de adjuncţie , modus ponens şi substituţie. Vom indica sub o teoremă modul ei de demonstraţi e , aşa cum s-a procedat şi in celelalte s isteme. Să în ce p e m , aşadar , să scriem lista propoziţi i l or adevărate din logica intuiţionistă , care se referă la constantele anun­ ţate în titlul acestui paragraf (axiome ) .

,,1-"

2 .1

:-t- .a::::>a!\a

2 .11

t- 1- .

a

2.1 2

1- 1-

a ::::> b .

2.13

1- t- . a

216

.

1\ b ::::>

::::>

b 1\ c ::::>

a 1\ c ::::> b!\ c

b . 1\ . b

::::>

c

.

::::>

a ::::> c


6.4. Constantele . , : , :., ::,::l,/\, ::le,

(,J,i).

Acesta este "princ ipiul silogismului". 2 . 14

1-1-- . b ::J a::Jb •

Dacă b este adevărat , atunc i el este implicat de propoziţie a.

OM

ce

2 .1 5 f- f- . aA . a ::J b . ::Jb Dacă a este adevărat şi a i mpl ică b, b este adevărat. 2 . 01

f - . a::Jcb . D

.

a::J b . 1\ . b::Ja

Propoziţia 2 .01 defineşte semnul nou introdus ,,::J c", de ech iva lenţă , şi anume : a spune că două propoziţii a şi b sint echivalente înseamnă a spune că prima i mpl ică pe a doua şi , în acelaşi timp , a doua impl ică pe prima. Este aceeaşi definiţie ca şi în logica russell iană, numai că Heyting utiliZl'ază pentru a pune în evidenţă această dublă implicaţie , dublul semn de implicaţie ::J c". Să considerăm acum şi une le teoreme derivat � din aceste axiome . Demonstraţie:

[2.14 J 1-· a ::J . b ::J a � ::J [2 . 12J 1-. aAb::J . b::Ja .l\b . ::J [2 .15Ja Să urmărim această demonstraţie scrisă in simbol istica lui Heyting. Primul rind reprezintă axioma 2 . 1 4 . în baza axiomei 2.12, care afirmă că membrii unei implicaţii pot fj "inmul­ ţiţi" (conj unc taţi) cu acelaşi factor, în speţă b, aceasta i mplică expresia: aAb::>. b::J a .Ab care va fi deci , conform regu l i i modus ponens, adevărată . Din ultimul membru a l impl icaţiei deduc în baza axiome i 2 .15 propoz iţia a . Atunci principiul silogismului (2.13) ne asigură de impli­ caţia I u i a de către (J A b; deci teorema este demonstrată. %'17


Logica polivalent4

Nu vom face toate demonstraţiile teoremelor ce urmează. De altfel toate sînt destul de simple şi pot fi regăsite de cititor după puţin exerciţiu . 2 .2 1

1 -. a � a

2 .22

1-.a 1\ b ::J b

2 .23

1-.a � b

2 .24

f-- . a � b . 1\ . a::J C � C

2 .25

1-. b . 1\ .a � C

1\ . c � d . � . a1\c � b1\ d

a � b1\ c

� a � b1\ c •

Demonstraţie: [2 .14, 2 .12]

1-. b 1\ . a � C

� a � b . 1\ . a � C •

::J

a � bl\c

(2 .24] 2 .26

1-. b � . a � al\ b

Demonstratie: [2 .21 , 2 .14]

f-- .b � .a � a

[2 .14] [(1), (2) , 2 .24]

f-- b � . a � b

2 .27 2 .271

f--

:

(2)

f--.b::J.a � a.1\ .a � b. � .a � al\b

a � .b � C:::JC al\b.::Jc

1- : a::J.b � C : ::JC : b � . a::J G

Demonstraţie: f-[2 .27] [2 .11 , 2 . 13]

a � . b � c : � : a1\ b: � C : � :

:

bl\a � c : � : [2.27] b � . a � G

2 .28

1-. a � C

2 . 281

1-: a � b � : a � . c � b

2.282

1-.a1\. a 1\b � c

218

(1)

.

� a1\ b � C •

�. b � c


6.5. Constanta V

Demonstraţie: r2 .27, 2 .12]

r2.15]

f--:a/\ a/\b =:> c :=:> : a/\ :a=:>.b =:>C:=:> : •

b =:> c

1-: a=:>b . 2.291 f-- : b =:> C

=:>:b

) -' .29 2.3

=:>

1- a/\b./\ .

=:>c.=:>.a=:>c

: a =:>b .

C

=:>

=:>

a=:> c

a/\.b/\ c

Demonstraţie: :2.2, [2.22 ,

2 .28]

f-- . aAb. I\c. �a

2.12] 1- .al\b./\

(1) (2 )

=:>b/\c

c .

:!1), (2), 2 .24] 1- 2.3 2.31

1-- .a/\ b./\ c

.

=:>

b/\

2.32 1- .a/\ . b/\ c . =:> a/\b Demonstraţie: •

a

.

.

/\ c 1\ c

[2.11] f-- .a /\ .b/\c.=:>.bl\c./\a.=:>. cAb./\ a.=:>.[2.3] c/\ .bl\a.=:> . b /\ a . /\ c . =:> [2.31] a/\b ./\ c

�2.31] ;2.11]

2.02

1--

2.33

1- a/\ b/\ c � C a/\ c/\b � cb /\a/\ c etc .

2.10

1-'. a

* 6.5.

.

a 1\b /\ c. D.a/\b. /\ c =:>b

. 1\ b =:> c .

Constanta

.

1\ . c

=:>

d .

=:>

a �d

v

Vom re da teoremele stabilite de Heyting faţă de semnul " V " de disjuncţie logică , fără a mai scrie şi indicaţi ile demonstraţii lor corespunzătoare , deoarece acestea sint foarte simple. 219


Logica polivalentlf

3.1

1-1- a -:JaVb

3 .11

f- 1- aVb -:J bVa

3.12

f-I- . a -:J e . 1\

.b

3.2

f- . a Vb. V e.

3.21

1- aV. bVe.

-:J

-:J .

-:J.

(;

-:J

. -:J . aV h

C

a V . bV c

aVb. Ve

3 .01

1- . aVbVc. i). aVb. Ve

3.22

1- ava

-:J a

Dfmonstratie:

[2 .21 ,

( : ) (�)

Adică: 2.21

3 .12]

f- . a :::> a

Substituţia 3.12

f- . a -:J a . 1\ . a

:

:::>

.

a

-:J

.a Va

-:J

a

Cum membrul Întîi al impl icaţiei este adevărat, şi al doi lea este adevărat .

.

1\ . c

3.3

1- . a -:J b

3 .31

1- . a -:J b. -:J .

3 .32

1- . a-:J b .

3 .33

1- . aVb -:Jb .

3 .34

1- . a -:J b .

-:J

-:J

a

:::>

d.

:::>

aV c

:::>

bV d

1\ C -:J bV d

. aVb -:J b :::>

a -:Jb

. a V e -:J bVe

3.35 1- aVbVe-:JbVaVc:JaVcVb etc . 3.4

1- . a 1\ C V . b 1\ C :J . aVb

3 .41

1- . aVb . 1\ C

3 .42

1- . a 1\ b. Ve. :J

3.5

f- . a :J bVe. 1\ . b :J d . 1\

220

-:J

. a 1\ C

o

.

1\

c

. '1-.b 1\ C

. aVe. 1\ . bVe

. C :J

e

.

-:J

. a :J d V

EI


6.6. Constanta.-'

3.51

1- . a =:> bV c

3.6

1-: a V b =:> : a =:> b . =:> b

* 6.6.

A

b =:> d

.

A .

c

=:> d .

=:>

.

a=:> d

Constanta I

Interesante sint teoremele re feritoare la negaţia ,,1"; ele arată d i ferenţa d intre calculul intuiţion ist şi calculul obişnui t . 4. 1

f- 1- . la=:> a=:> b •

Dacă o propoziţie este fa lsă "Ia" atunci ea implică orice propoziţie "b". 4.11

f- 1- . a=:> b

A . a::J I b

::JI a

Dacă a implică b ş i in acelaşi timp a imp lică I b.. atunci a este fa lsă . Cu alte cuvinte avem regula cunoscută: dacă d intr-o propoziţie se pot deriva două propoziţii con­ trad ictorii , ea este falsă . 4.01

r- . II aDI (1 a)

4.2

f- . a::J b .::J.1 b::JIQ

Teorema 4.2 exprimă regula transpoziţie i fa ţă de i mpli­ ca ţia a=:> b. 4.21

1- . a =:>1 b. =:>

4 .22

1- . a =:> b

4.23

f- . a A b =:> c .

4.24

f- . a=:> b . 1\ I b .

.

=:>

b=:> la

. II a=:> I I b =:>

a

Ale=:> I b

=:>

Ia

Dacă a i mpl ică b şi în acelaşi timp b este fal s , atunâ a este fa ls . 4.3

f- . a=:> I I a

Z21


Logica polivalent4

o propoziţie adevărată a implică dub la absurd itate a lui a. Aceasta este "axioma lui Brouwer".

4.31

1- . la ::l III a

4.32

1-. I II a ::l I a

4.4

1- . a 1\ la::lb

·4.41

f-- . a 1\ la . Vb .

4 .42

1- . aVb . 1\ la . ::l b

4.43

1- . Ia::l . I b::l I (a Vb)

4. 4 4

f-- . I (aVb) ::l ela 1\ I b

4.45

1- . aV la .

::l.

::l b

II a::l a

Ce spune această ultimă formulă? Prima parte , anume aV I a, este principiul terţiului exclus ; aşadar , propo­ . 'Z iţia 4 .45 spune: dacă pentru o propoziţie a princ ipiul terţiului exclus este valabi l , atunci este valabilă pentru acea propoziţie I I a ::l a, care este conversa teoremei 4 .3 a axiomei lui Brouwer. 4 .46

1- . 1 aVb . ::l. a::lb

·4.53

1- . I aV I b::lI (al\b)

Vom avea încă c îteva teoreme interesante asupra dublei negaţii: -4 .6

f-- . IIa 1\ II b::l II (a 1\b)

4 .61

1-.I I (a 1\b) ::l IIa 1\ I I b

4. .62

f-- . IIaVII b::l II (aVb)

4 .63

f-- .II (aVb) I\ .laVlla . ::lllaVllb

După cele spuse mai îna inte, condiţialaVlla poate fi înlocuită prin aV la dar nu pri n-Ila::la . -4.7

I- . a::ll (bl\c) .::l. al\b::llc

4 .71

f-- . a::lbV IC .::l . al\C::l b

222


6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţiul exclus

In

sfîrşit,

în

ceea ce priveşte terţiul exclus, avem urmă­

toarele teoreme:

�.8

f-- .11 (aV la)

�.81

f--- II (II a�a)

� .82

f--- . aV I a� b

4.83

f--- . aV Ia�I b.�I b

.

.

II b

Această formulă arată că principiul terţiului exclus poate fi utilizat totdeauna în demonstraţia unei propoziţii negative16•

4.9

f--- . a� b . �I (aAlb)

4.91

f--- . a V b� 1(1 a Alb)

4.92

f-- .aAb�I( laVlb)

* 6.7.

Axiomele intuiţioniste şi principiul terţiului exclus

Să strîngem la un loc cele

11

axiome intuiţioniste:

2.1

f--- 1- a�aAa

2.11

- aAb� bAa 1- f--

2.12

1- 1- . a� b .� . aAc � bAC

2.13

1- 1- . a� b A . b� c � . a� c

2.14

f--- f---

p.

18 Heyting,

52.

.

.

b� . a� b Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. 223


Logica polivalent4 (J A

(J ::::J

2.15

f-- 1-

3.1

r- 1- a -:::J a V b

3.11

.

b . ::::J b

1- 1- a V b -:::J bV a

3.12

f-- 1-

4.1

r-f- . i a-:::J . a-:::Jb

·4.11

f- 1- . a

.

a::::J -:::J

c

b

A

A

.

.

b ::::J C

. ::::J

a -:::J i b

aV b

::::J i

::::J

C

a

Heyting reuşeşte să arate independenţa acestor axiome printr-un procedeu formulat de P. Bernays17. Noi nu vom face aici aceste demonstraţii , dar vom utiliza , urmărind pe Heyting, acelaşi procedeu pentru a demonstra că in 'sistemul intuiţionist principiul terţiului exclus nu poate fi derivat ca teoremă . Pentru aceasta să considerăm că propoziţiile pot lua tre i valor i : "adevărul" notat cu O, "fals itatea" notată �u 1 şi, în sfîrşit, valoarea une i propoziţii care nu poate fi falsă , dar al căre i adevăr nu e doved it, notată cu 218 • Heyting dă pentru cele patru conective fundamentale nişte matrice , aşa cum am văzut că procedase şi Luka­ siewicz (*5.6) . Scopul său este ca toate teoremele demon ­ .strate să fie , în raport cu aceste matrice , nişte tautologii . Observăm însă, bazîndu-ne ş i pe cele arătate în capitolele anterioare , că pentru a indeplini acest dez iderat este suficient ca : 1. Cele 1 1 axiome să fie toate tautologii . 2. Matricea conjuncţie i să fie astfel defin ită Încît O AO = = O. 3 . Matricea implicaţiei să fie astfel definită incit .{) -:::J b O numai atunci cînd şi b = O. =

Cele tre i reguli nu determină complet matricele. Este iateresant de văzut cum foloseşte Heyting acest grad de libertate În scopul interpretării Într-un anumit fe I a conec• tivelor sale. 17 P.

BeraaY3,

MD;thematica",

11 A.

224

în

Untersuchung des AUII3agenkalkiils der "PI"incipia

"Mathematische Zeitschrift", 25 (1926), p. 305.

HeytÎag, op.

cit., p.

56.


6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţiul ezclus

Pentru impl icaţie matricea este următoarea (pe c oloana d in stinga sint trecute valorile antecedentulu i , iar pe rîndu l de sus valorile consecventului) : 2 1 a ::::> b l O o

1

O O

1

2

O

O

0.0 • • • • • • • • • • • 0.0

1 O 2 O Vom încadra special cu linie întreruptă o submatrice a acesteia , şi anume cea care reprezintă valorile impl icaţie i rind atît a . cît şi b iau doar va lorile "adevărat" şi "fals" . C ititorul poate observa că în acest caz e a coincide cu impl ica ţia c lasică . Prin urmare , definiţia matricia lă dată de Heyting implicaţie i este o general izare a cele i c lasice , pentru cazul cînd propoziţiile pot lua tre i valori de adevăr. Am văzut la timpul potrivit că şi Lukasiewicz procedase tot la o astfel de generalizare , dar de pe a lte poziţii . Urmărind această matrice , observăm că a devărul este impl icat de orice (de c i şi de o propoziţie avind valoarea 2) , falsul implică orice (deci şi o propoziţie avînd valoarea 2) . S ingurele cazuri cînd imp l icaţia nu este adevărată rămîn (in afara lui O::::> 1) ce l în care amb i i termeni iau valoarea 2 (şi cînd implicaţia in intregime ia valoarea 2 , cum este , de altfe l , natura l in lumina interpretării pe care am văzut că o dă Heyting aceste i valor i ) şi ce l în care antecedentul ia va loarea 2, iar consecventu l va loarea 1 (falsu l) . Acesta d in urmă este singurul punct in care matricea lui Heyting pentru implicaţie diferă de cea a lui Lukasiewicz . Matricele pentru conjuncţie şi disj uncţie sint : 2 1 1 2 1\ I O V I O

O O 1 .- . . .

2

1

1 1

2 1

O O 1 O

O

1

2

. . . . . . . . . . . . ....

---------_....... . . . . .

2

O

2

2

O

2

În a cest fel , conj uncţia verifică condiţia cerută

2

O 1\ 0= O.

Matricele reprezintă general izări naturale ale conective lor 22�


Logica poliva lentă

clasice corespunzătoare. De a l tfel ele coincid întru totul cu general izările date de Lukasiewicz . Mai deoseb ită poate fi negaţia °

1

1

o

2 1

Aşadar , negaţia intuiţionistă a unei propoziţi i Crlre nu poate fi fa Isă, dar I1ici doved ită adevărată , este o propo­ ziţie falsă . Şi aici IWl.tricea lui Heyting diferă de cea a lui Lukasiewicz . În raport cu aceste matricI: putem ca lcula valoarea de adevăr a oricăre i formule cînd variabile lor propoz i� iona l e a l e acestora l i s - a u atribuit anumite valor i . D e e xemplu, în cazu l primei aXIOme a :J a !\ a ,

atribuind lui a pe rînd valorile 0 , 1 , 2, obtinem mereu valoarea O (adevărat) . O astfel de form u lă , după cum am văzut , se numeşte o ta'�tologie. C ititorul poate proba în acest fel că toate cele 11 axiome sînt tautologi i . Pentru a nu m a i pre lungi această di scuţie , e suficient să spunem că toate cele tre i condiţii enumerate la incepu­ tul acestui paragraf sînt îndeplinite. Prin urmare, orice teoremă intu iţionistă, adică orice formulă demonstrabilă în logica lui Heyting , este o tautologie faţă de matrice le sale trivalente . Rămîne să vedem dacă principiul terţiului exclus , ad ică formula aV I a , este o tautologie . Cînd a ia valoarea 2 , adică este o propozi ţie care nu poate fi falsă , dar a l căre i adevăr nu poate Ii dovedit , ţ inînd seama de matrice l e disjuncţi e i ", i negaţie i , obţine m : 2VI 2=2V l = 2 ş i prin urmare formula care exprimă principiul terţiului exclus nu este o tautologi e , deci nu face parte dintre pro­ poziţ iile adevărate in sistemul lui Heyt ing . Că asemenea propoziţii (ce nu pot f i fa lse, dar niCI dovedite ca adevărate) există Într-adevăr , ne-o probează 226


6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţtul exclus

următorul exemplu din matematici, pe care Brouwer l-a găsit În 192519• Scriem dezvoltarea zecimală a numă­ rului 7t 3,1416 . . . ŞI sub e a fracţia zecimală p

=

0,3333 . . .

p e care o Întrerupem îndată ce Înşiru irea de cifre 01234567R9 a apărut În 7t . Dacă acest 9, din prima sec­ venţă de acest fe l care apare in 7t , este a m-a cifră după virgu lă, numărul p poate fi cu uşurinţă calculat, �i anume20 p=

10m - 1 3.10m

Să considerăm atunc i propoz iţia : "p este un număr raţiona 1" pe care s-o notăm prin a. În ipoteza că p nu ar fi raţiona l , dec i I a, ar f i i m posibil ca

p

-

10m - 1 . Prin urmare nici o secvenţă 0123456789 3 . 10m 1

nu apare in 7t. Dar atunc i p reprezintă suma progre­ sIeI geometrice infinite, care, după cum se ştie , este 1/3 ; ceea ce este , de asemenea , o absurditate . Presup u ­ nerea l a a dus I a o contradicţie . D u p ă definiţia negaţiei intuiţion iste (*6. 2) avem dreptul să afirmăm Ila. Pe de altă parte Însă , propoziţia a, adică "p este un număr raţional", nu poate fi demonstrată ca adevărată 18 L. E. J . 8roawer, Intuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe , în "Jahresbericht d er deutschen Mathematischen Vereinigung ", 33 , pp . 251 - 256 . 20 P este în acest caz suma unei p rogresii geome triee finite

227


Logica polivalentă

căci a ceasta ar însemna că put , e m calcula întreg i i k ş i astfe l încît p

=

n

� , Dar atun c i putem fie să indicăm o n

secvenţă 0123456789 ce apare în dezvoltarea l u i 7t, fie să demonstrăm că nici o astfe l de secvenţă nu poate apare . Ceea ce , după cum se ştie , nu e cazu l . P ropoziţia a face parte dintre enunţur i l e cărora Heyting le a cordă valoarea 2 . Ea nu respectă principiul terţiului exclus . Dar se poate observa şi d irect că , deoarece II a este adevărat, pe cînd a nu poate fi demonstrată ca adevă­ rată , din I I a nu vom putea deduceA pe a. Aşa dar , a nu respectă nici " legea dublei negaţii". In logica lui Russel1 prin aceasta înţe lesesem echiva le n ţa 4 . 13

p =""" ( ....... p),

adică o propoziţIe este echiva lentă cu dubla sa negaţie . Echivalenţa poate fi descompusă în două implicaţ i i , care în log ica b ivalentă erau 2 . 12 2 . 14

p ::J ...... ( ...... p) ( p ) ::JP

'"

"-

În logic!! lui Heyting , prima d intre e le poate fi regăsită sub forma teoremei 4 .3 .

1- .

a

::J I

I

a,

adică o propoziţie impl ică dubla sa absurd itate , numită şi ax ioma l u i Brouwe r , pe cînd a doua nu apare pe l ista propoziţiilor adevărate . Aceasta deoarece enunţur i ca cel de mai sus , care au valoarea de adevăr 2, nu respectă , după cum am văzut , acest principiu . Adică , d in absur­ ditatea absurdităţii lor nu se poate deduce adevăru l lor. Pentru formula I I a ::J a, matrice le date de Heyting arată că :

şi deciAca nu poate fi dedusă d in axi ome , nefi ind o tauto­ logie . In general însă , în cazu l une i propoziţii pentru care 228


6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţiul exclus

este valab il principiul terţ i u l u i exclus este va labil ş i prin­ c ip iul dublei negaţ i i , aşa cum ne arată teorema 4 .45. Demonstraţ ia pe care am urmăr it-o are un caracter mai mult formal , arătîndu-ne că d in axiomele şi re gul ile admise de Heyting nu se poate deduce pe cale forma lă expresia simbolică a Via. Din fe lul în care a fost efectuat ă , Se poate vedea totuşi că ea conţ ine şi o justificare intuitivă . Să încercăm a ne apropia şi mai mult de o asemenea justi­ ficare . Pentru aceasta trebuie să precizăm , o dată cu Hey­ t ing, faptul că logica intuiţ ionistă tratează în mod exclusiv despre propoziţ i ile matematice iar faptul că poate f i aplicată sau nu in a fara domeniului acestora nu îl preocupă cîtu�i de puţ in pe intuiţ ionist21• Orice propoziţ ie matematică afirmă că o anumită construcţ ie matematică , cu anumite proprietăţ i , a fost efectuată . Această construcţie demon­ strează propoziţ ia . Este evident vorba de o const ruc­ ţie mentală . De pildă , propoz iţia care afirmă ,,2 + 2 = = 3 + 1" e ste de fapt prescurtarea afirmaţiei «Am efec­ tuat construcţiile mentale ind icate de ,,2 + 2" şi de ,,3 + + 1" ş i am găs it că e l e conduc la ace laşi rezultat ))22. Afirmarea une i formule de logică care conţine variab i­ lele propoz iţ ionale a , b, c ... , privită în această nouă interpretare , apare echivalentă cu afirmarea faptului că d i spunem de o metodă de construcţie care prin particula­ rizare (specialization) ne furn izează construcţia cerută de propoziţia ce se obţine înlocuind variabilele propozi­ ţ i on a le a , b, c . . . prin propoziţ i i matematice particulare . De p ildă , afirmarea principiului terţ i u l u i exclus , a V I a, ar insemna că d i spunem de o metodă generală d in care , dată fiind o propoziţie matematică a, prin particularizare să obţinem f ie o demonstraţ ie a lui a, fie o demonstraţ ie a lui I a. Cum o astfe l de metodă nu ne stă la îndemînă , nu putem 'lf irma n ici principiul terţiului exclus . Acest 2 1 A. Heyting,

lntuitionism, p. 9 7 . Ibidem, p . 8. Construcţia mentală apare , aşadar, ca o expe­ rienţă evidentă în s ine . Nu putem intra a i c i în deta l i i asupra subiectu lui, p entru care c i titorul poate c onsulta : S. Koroer, Introducere în filozofia matematici i , Ed . ştiinţifică, 1965, cap. VI şi VII. 22

229


Logica polivalentif

fapt, de a l tfe l , va apare şi mai pregnant în * 6 . 1 2 , urmărind interpretarea pe care Kolmogorov a dat-o calculului intui­ ţionist .

* 6.8. Observaţii asupra calculului propoziţional intuiţion ist Principiul terţiului exclus şi principiul dub l e i negaţii nu sînt singure le legi clasice care îşi p ierd valabi litatea în intuiţionism . Să urmări m pe scurt şi a lte asemenea cazuri . Una d intre legile clasice importante era transpoziţia : 4.1

f-- : p :J q . = . "-' q :J "-' P În logica l u i Heyting găsim teorema :

4.2

f-- . a :J b . :J I b :J I a .

Reciproca e i însă , I b :J l a . :J

.

a

:J b,

nu are loc . De asemenea, echiva lenţa materială 4. 56

f-- : ""-' p . ......., q . = . ,....., (p V q) ,

una din cele două legi ale l u i De Morgan , Îşi are a.na loga e i printre teoremele demonstrate de Heyting , ş i anume : 4.44

f-- . I (a V b) :J C I aAI b,

pe c înd cealaltă lege a l u i De Morgan , 4 . 51

f-- : ......., (p

.

q) . = . "" p A '" q ,

n u m a i este valabi l ă d i n punct d e vedere intuiţionist . Am menţion a t teorema • 4 .53

1- .

I

aV I b :J I (aA b ) ,

dar implicaţia inversă nu are loc . 230


6.9. Calculul cu funcţii inturttonist

o a ltă relaţie importantă este echivalenţa

:- . I I a /\ I I b :::J C I I (a /\ b) , <,are rezultă din cele două impl icaţii 4 .6 şi 4 .61 , în t i mp ee faţă de disj uncţie nu m a i este valabilă dec ît o impl i­ ,:a ţie , şi anume :

.. . 62

f- I I a V I I b

:::J

I I (a V b)

Conversa ei nu are loc in general , c i , după cum am văzut , numai c înd negaţia uneia dintre propoziţi ile a şi b veri­ fică principiul terţiului exclus (vezi teorema 4,63) .

Calculul

* 6.9.

cu

funcţii

intuiţionist

Ca lculul cu funcţi i a fost dezvoltat de Heyting în cadrul logicii intuiţion iste23• D in punct de vedere formal , aceasta inseamnă adăugarea la simbolur i le calculului propozi­ ţiona l (variabile propoziţionale , conective etc .) a s imbo­ lurilor proprii calculului cu funcţi i, şi anume : variabi­ lele ql, � . . pentru proprietăţi , varia b i l e le x , y . . pentru ind ivizi etc .24 . Axiomelor şi reguli lor de deducţie intui­ ţ ioniste li se adaugă următoarele două axiome şi cele două reguli care am văzut că sint specifice calculului cu funcţii propoziţ.ionale25 : .

.

- aXIOme :

- f- : (x) . :-- f--

:

ql y

ql

x .

. :::J

:::J

(3 x)

rp y . rp

x

-reguli ( în care A şi B(x) s înt astfe l de formule înc ît A nu conţine variab ila x l iberă) : 23 A. Heyting, Mathematische Grundlagenrorschung,� Intuitio­ nismus , Beweistheorie, în " E rgebn isse der Mathemat ik und ihrer Grenzgebie te" , Berl i n , 193 4 . H V e d e ţ i această lucrare , ·3 . 9 . 2� I b idem, .3 .11 .

231


Logica polivalentc1

din A ::::> B (x) putem deduce A din B (x)

::::>

::::>

(x) B (x) , iaf

A putem deduce (3 x) B (x)

::::>

A.

Fără îndoială însă , nu toate teoremele c e puteau fi demonstrate în logica bivalentă rămîn valabile a ici . Spre exempl u , orice teoremă de dusă acolo cu ajutorul legii duble i negaţi i , în intuiţionism nu va putea fi demonstrată. De altfe l , Heyting a urmărit ru grijă toate consec inţele ce decurg din lipsa acestui principiu2• • Una d intre e le este faptul că între cei doi cuantificatori - universal şi particular - nu ma i există legătura simplă exprimată prin echivalenţele ( teoremele T2 ' şi T3 d in *3.12) : "'-' ( 3 x) '" (x)

.......

'"

ql

ql

x .

x .

==

=

.

.

(x) !il x

(3 x) !il

x

Aceasta , deoarece în logica intuiţionistă s-a schimbat însuşi înţelesul obişnuit al cuantificator i lor. Fie fx o anu­ mită proprietate matematică , iar D un domeniu de obiecte matematice ce pot avea această proprietate27 • Se va putea afirma (x) fx dacă sîntem în posesia une i metode generale de construcţie , care , odată ce s-a a les un e lement d in D28 , să ne dea prin particularizare f Xo ' Şi se va X o putea afirma (3 x) fx dacă s-a construit un e lement Xo a l lui D , astfe l încît fxo să fie satisfăcut ă . După cum am observat în să ( * 3 . 1 2 , pct. 2) , in calculul de care ne ocupăm nu intervin în nici un fel ind ivizi concre ţ i 2 D • Prin urmare , nu se poate demonstra că o proprietate este particular va lab i lă în sensul propriu-zis al cuvîntului . 2 1 A . Beyting, O n weakened quanlificalion, i n " J ournal ot Symbo l ic Logic", XI (1946) , pp. 1 1 9 - 1 21 . 27 Intuiţionişti i numesc specie (species) o proprietate care se p oate presupune că o au anum ite entităţi matematice tA. BeytiD�, Intuitioni8m , p . 37) . 28 N-am m a i notat ind iviz i i particu"ri cu a, b, c . . . cum con­ venisem in cap. 3 B, p entru a nu-i confunda cu variabilele pro­ p oziţionale d esemnate a ic i prin astfel de l itere . 2 8 D in acest motiv , acest calcul m a i p oartA ş i denumirea de calculul cu funcţii pur, ad ică in care nu se iau in considerare nici un fel de va lori determ inate, pe care variabilele le-ar putea lua .

232


6.9. Calculul

cu

funcţii intuiţionist

Orice demonstraţie este demonstraţia cazului general . G . Gentzen a obţinut în acest sens u n rezultat foarte inte­ resant. Dacă A (x) este o formulă care nu conţine altă variabi lă liberă în afară de x şi dacă formula ( 3 x) A (x) este demonstrabilă în calculul cu funcţii intuiţionist, atunci ( x) A (x) este , de asemenea , demonstrabilăso. Şi acum să urmărim cîteva teoreme ale logicii intuiţio­ niste31 • Demonstraţiile lor sînt perfect asemănătoare celor date în cap . 3 B , * 3 . 1 2 . Ti .

T2 .

f- : ( x) . <il x ::> . I (3 x) . -, ip x f- : (3 x) . <il x ::> (x) . I <il x .

.

.

Sînt s ingurele implica ţ i i care răm în va lab ile din echi­ valenţe le clasice : (x) . <p x . ( 3 x) . T3a .

f- : (x) . I

T3b .

1- : -, (3 x)

T4 .

1- : (3 x)

.

<il

<p

. ::>

<il x

Î 9 x

. I (3 x) . I <p x

=

x .

x

.

=

.

.

-, ( x ) . Î

. I ( 3 x) .

<p

::>

<p

. ::>

.

. (x)

.

I (x)

Î . <il

<p

.1:

x x

x

a cărei i mpl icaţie inversă nu are loc . Printr-o substituţie în T3a obţinem : T5a .

1- : ( x) . -, Î

<p

x

.

::>

. I ( 3 x)

.

Î <il x

şi prin aceeaşi substituţie , dar in T3b rezultă Tob . 1 - : Î (3 x) . Î <il x . ::> . (x) . Î I cp x În baza teoreme lor intu itioniste 4.2 si . , 4 .32 ( *6 .6) din T5a rezultă : T6.

f- : I Î (x)

.

I Î

<il

x

.

::>

. Î (3 x) . -,

<p

x

30 G. GeDlzfD, Untersuchungen iiber das logische Schliessen , î n " M athem a t ische Zeitschr ift" , voI . 3 9 , pp . 1 7 6 - 2 1 0 , 405 - 4 3 1 . 31 A. Heytiag, lntuit ionism, p. 1 0 3 . Numero tarea lor e s t e independentă d e cea a tez e l o r d in c a l c u l u l cu hmcţ i i b ivalent ( 3 .1 2) .

.

233


Logica polivalentiI

f- : 1 1 ( x) . !fI x .

T7.

� .

1

(3 x) . 1 <p x

Din T7 ş i T5b obţinem un rezultat i mportant, şi anume :

1- : I I ( x) . !fi x

T8 .

.

. (x) . 1 -l !fi x

Heyting menţionează drept una dintre trăsături l e sur­ prinzătoare (striking) a le logici i intuiţioniste faptul că reciproca aceste i i mp l icaţi i nu are loc. Ma i a les deoarece, în cazul cînd domeniul D în care poate varia x este finit, această reciprocă este valabilă . într-ade văr , cînd D este format , spre exemplu , d in două e le mente , această reci­ procă se reduce la teorema de calcul propoziţiona l :

f- . l l a !\ l l b � l l (a !\ b)

4.6

Din T3a ş i T3b în haza l u i 4 . 2 rezultă : T9 .

f- : I I (3 x)

T10.

1- :

1

.

!fi x

.

. 1 ( x)

.

1 !fi x

(x) . 1 !fi x . � . I I (3 x) . !fi x

Prin substituţie în T4, Tii .

f- : (3 x ) I I <p x .

.

::l

.

1 (x) . 1 <p x

D in T11 şi TiO, T12 .

1- : (3 x) . 1 1 !fi x

.

::l

.

11

(3 x) . 'P x

Ş i în acest caz i mplicaţia rec iprocă nu are loc . Dar faptul este m a i puţin surprinzător, căci nici formula corespun­ zătoare de calcul propoziţiona l I I (a V b) ::l I 1 a V 1 1 b

nu este valabilă.

*

6.10.

Compararea logif:ii intuiţioniste cu logica bivalentă

Prohlema interpretării logicii formal izate de Heyting i-a condus pe mulţi logicieni la compararea ei cu a lte 234


6.10. Compararea cu logica bivalentă

�isteme . D intre aceste comparaţii cele m a i importante sînt : 1. compara ţ i i l e cu logica bivalentă ; 2 . compara ţ i i le cu logicile moda le a le l u i Lewis. Ne vom ocupa mai întîi de prime l e . Acestea la rîndul lor au condus la două rezultate complet diferite Între e le . i n primul rînd , trebuie să facem următoarea observaţie . Examinînd matrice le pentru conjuncţia , d isjuncţia , nega­ ţia �i imp lieaţia intuiţionistă (*6.7) , preculII ş i proprie­ tăţ i le pe care a m văzut că le au în cadrul s iste mulu i intui­ ţionj� t , rezu ltă că e le sînt d istincte de conective le respec­ t ive din logica b iva Jentă . Spre a fi riguroşi , trebuie s ă util izăm d e c i pentru e le a l te notaţi i . Pentru conjuncţie �i negaţie , vom păstra notaţiile lui Heyting, care sînt d istincte de cele c lasice . Implicatia intuitionistă o vom nota printr-o săgeată32, aşa încît � va în �emna "i mplică În logica lui Heyting" . Cît despre d isj uncţia intuiţio­ nistă , a m văzut că înţelesul ei este mai pre c is decît a l ce le i c lasice , întrucît s-a demonstrat c ă d isjuncţia a două propoz iţii nu poate fi demonstrată în logica lui Heyting decît dacă una d intre cele d ouă propoziţii a fost demon­ strată (vedeţi *6.2) ; de aceea o vom nota cu acelaşi s imbol cu care o notăm şi pe cea clas ică , V , dar trasat cu l inie îngroşată "V" . Şi acum să urmărim rezul tatele obţinute de logieieni în compararea logicii intuiţioniste cu logica b iva lentă . F ilozoful germa n O . Becker , de care am avut pri lej ul să vorbim , a observat că traducind conective le lu i Heyting în conective b ival ente a le logi c i i lui Russel l , după cum lIrmează33 : "

,,

Heyting :

v

Russ e l l :

V

toate teoremele intuiţioniste devin tauto log i i (deci teoreme) a le logici i b iva l ente. Ceea ce pare evident , dacă porn i m 3 2 Semnul acesta a fos t pentru prima dată util iza t i n notaţia imp l icaţiei de H i lbert (în Grundzilge der theoret ischen J.ogik , 1 928) � i a fost adaptat u l terior de Jl eyt ing în logica s a .

33

Z ur Logik der 1Hodah/ăten.

235


Logica

polivalentd

de la premisa că logica intuiţionistă s-a constituit ca o parte a logic ii clasice , şi anume aceea care nu se bazează pe principiul terţiului exclus . Dec i , dacă am face abstrac­ ţie de faptul că intuiţionistul şi c lasicul acordă aceloraşi conective (conj uncţie , d isjuncţi e , negaţie ş i imp licaţie) inţelesuri d iferite , am putea spune că orice princip iu enunţat în logica intuiţ ionistă rămfne valabil şi în logica clas ică . Reciproca nu este însă adevărată . Logica intuiţion istă nu acceptă , după cum am văzut , o serie întreagă de prin­ cipii c lasice (principiul terţiului exclus , legea dublei negaţii etc . ) . în cazul acesta ea nu mai poate fi privită ca o logică b ivalentă . Heyting o interpreta , după cum am văzut, ca pe o logică cu tre i valori . D ificultatea care apare la o asemenea interpretare stă in faptul că nu toate formulele valide (tautologiile în raport cu matrice le lui Heyt ing) pot fi de duse d in cele 11 axiome ale logicii intuiţionist e . Se mai spune că siste­ m u l nu este complet in raport cu această interpretare34• Pentru completare , Lukas iewicz a propus să i se adauge o a 12-a axiomă , şi anume :

(1 p

q)

( ( (q

p)

_

q)

q) 3S

Formula ( ( (q _ p ) _ q) � q) poartă nume le de "legea lui Peirce" şi este va lidă în logica b ivalentă. Axioma introdusă de Lukasiewicz postulează valabilitatea ei în logica pe care o construieşte astfel , dar numai pentru pro­ poz iţiile p şi q avînd proprietatea că din absurd itatea lui p se deduce q. Această logică , după cum arată e l , conţine drept teoreme exact tautologiile faţă de matrice le lui Heyting . Ea are următoarea proprietate , deosebit de inte­ resantă : dacă înlocuim într-o teză , valabilă în logica clasică,

variabilele p ropoziţionale simp le prin negaţiile lor, obţinem teză a acestui sistem (bineînţe l es , întrucît conectivele

o

acest u i sistem au notaţia intuision istă , se presupune că 3' Vedeţi nota 23 d in cap . 4 .

16 J. Lukasiewiez, D ie Logik und das Grundlagenpro b lem, in "Les entretiens de Ziirich" ( 1 9 41 ) . Am revenit in scrierea formu­ lelor la notarea variabile lor p ropoziţionale prin p , q, r etc .

235


6.10. Compararea

cu

logica bivalentil

!;-au tradus m a i întîi conectivele b iva lente d in teza clasică

În cele intuiţioniste corespunzătoare : de exemplu ,,", '"'-' P :::) P

!;e traduce m a i întîi în I lp �p) . Motivarea este i mediată . Aşa cum ne arată matricea lui Heyting a negaţie i

�1 -�_-0_1_-:d ind lu i p toate cele tre i valori O, 1 şi 2 , propoz iţial p nu m a i ia decît două va lori : O (adevărul) şi 1 (falsu l ) . Restrîngînd matrice l e lui Heyting pentru conectivel e propoziţiona le l a aceste două valori , dăm peste matricele lui Russell (aceste restricţi i au fost notate în matricele lui Heyt ing cu l inie punctată) . Faţă de acestea însă , f i ind teză clasică , formula va fi o tautologie . Prin urmare , aşa cum a arătat Lukas iewicz , ea va fi deductibilă din cele 12 axiome (desigur , nu neapărat şi din prime le 11) . Ase­ menea cazuri am remarcat şi în logica intuiţionistă . Spre exempl u , deşi princ ipiul dublei negaţ i i : I I P � P

nu era deductib i l , princ ipiul triple i negaţi i , I I I P �I P

era o teoremă (4 .32) . în acelaşi sens Gl ivenko a găs it o serIe de rezultate remarcabile , şi anume : 1 . Dacă o propoziţie p �ste demonstrab ilă în logica clas ică , atunci şi propoz iţia "p nu poate fi falsă" ( I I p ) este' demonstrabilă în logica intuiţionistă . 2 . C înd propoziţia "p este fa lsă" este demonstra b i lă în logica clas ică , atunc i ea este demonstrab i lă şi în logica lui Heyting36 • 36 Gli�eDko, Sur q uelq ues points de la logi q ue de M. Brouwer (Academ ie royale de Belgique, "Bullet in de la c l a sse des sciences" , 5-e serie , t . XV , 1 920 , pp . 1 83 - 1 88) . I n enunţurile lui G l ivenko se presupune că traducerea s imbolurilor s-a făcut aşa cum am ind icat mai sus.

237


Logica polivalentcI

Pe de altă parte , logicianu I german K . Gode 1 , făcînd studiul comparat al logic i i b iva lente şi intuiţionist e , a ajuns l a rezultate orientate în a l t sens decît cele ale l u i Becker , şi anume că toate tezele logicii clasice ca re conţin num a i negaţia ş i conj uncţia sînt valab ile În logica intui­ ţionistă37 . Prin urmare , dacă vom cons idera p :J q ca o prescurtare a formulei 1 ( p /\ 1 q) , iar p V q ca o prescurtare a formulei 1 (1 P /\ 1 q) , putem regăs i în ca lcul u l intui­ ţ ionist toate teoremele c 1as ice38. De p ildă , principiul terţiului exclus ,

pV I p, va f i o teoremă intuiţionistă . Dar , ţinînd seama de abre­ vieri l e făcute , ea reprezintă nici m a i mult nici mai puţin decît 1 ( 1 P /\ I I p ) , care e s te , într-adevăr, o teoremă intu iţion istă ; ea poa te f i dedusă imed iat din teorema 4.8 cu aj utorul teoremelor 4 .44 ş i 4 . 2 . J . Lukas iewicz a dezvo ltat mai î n a mănunt acest punc t de vedere39• Pentru e l logica nu este o ştiinţă a legilor gindi r i i sau a legilor vreunu i a l t obiect rea l , ci doar un instrument ce ne permite să tragem d in anumite prem ise anumite , concluz i i . Dar, prin tre d iversele s iste me logic e , c e l clas ic (b ivalent) nu este şi c e l mai adecvat i n toate ocaz i i l e . Spre exemp l u , am văzut că pentru stud iul moda li37 Z u r intuitionislischen A r i thmelik und Zahlentheorie , in " Ergeb­ n isse e ines math . Kolloqu iums" (Wien) , HeCt 4 , pp . 3 4 - 3 8 . Rezultatele l u i Gode l , ca s i o serie d e alte rezultate urmărind aceea ş i idee , se găsesc în l� crarea lui S. C. K leene, In troduc/ion to Metamathematics , § 8 1 . 38 Aces te . prescurtări n u sînt făc ute î n t împlător. E le î ş i au j us tificarea În echivalenţele

p :J q . == . - lP . - q ) p V q · == · - ( - p · - q ) care am văzut că erau valab ile în l ogica bivalentă ( t ezele 4 . 53 şi 4 . 57 din * 3.6 ) . 38 On the In tuitionistic Theory of Deduc tion, in " I ndagationes mathematicae" , 14 ( 1 952) , pp . 202 - 21 2 .

238


6.10. Compararea cu logica bivalentă

tăţilor e l propunea o logică trivalentă ( *5 . 7 ) . Analiza intreprinsă de Lukasiewicz asupra logici i intuiţioniste i i arată că este "mai bogată şi prin urmare m a i puternică" decît cea c las ică . Să urmărim pe scurt această analiză . �[a i întîi , Lukasiewicz reformulează sistemul de axiome �at de Heyting pentru calculul propoziţional intuiţionist. !n locul celor 11 axiome (*6.7) , el propune num a i 1 0 . I n simbolistica uti lizată de el , p e care am exp licat-o în .:apitolul precedent40, notînd implicaţia intu iţionistă cu F . conjuncţia intuiţionistă cu T, disjuncţia intuiţionistă ('u O, iar pentru negaţie utilizînd acelaşi s imbol N ca şi i n sistemul b iva lent , cele 10 axiome sînt : 1 . FqFpq

2 . FFpFq1'FFpqFq1' 3 . FTpqp 4 . FTpqq

5 . FpFqTpq

6 . Fp Opq 7 . FqOpq 8 . FFp1'FFq1'FOpq1' 9.

FFpNqFqNp 10 . FpFNpq

Să citim pe cele m a i complicate . Axioma 2 , trecută în ; i mbo luri heytingiene , va fi :

(p

_

(q

_

))

_

( (p

( (q

1'

1'

_

q)

_

(p

_

1'

)) ,

iar axioma 8

(p

1')

)

-

( (p Vq )

-

1'

))

Din aceste 10 axiome , prin num a i două regul i de infe­ renţă , substituţia şi modus ponens, se pot deduce toate teoremele demonstrate de Heyting şi numai acelea . 4 0 Vedeţi

*

5 .4.

239


Logica polivalentii

în plus , s istemul de care ne ocupăm are o proprietate remarcabilă . Teoremele care conţin doar implicaţia pot fi de duse utilizînd numai primele două axiome ; cele care conţin implicaţ ia şi conjuncţia pot fi deduse numai d in axiomele 1-5 ; cele care conţ in implicaţia şi d isjuncţia pot fi de duse numai din axiomele 1 - 2 şi 6-8 ; cele care conţin doar implicaţia şi negaţia pot fi de duse numai d in axiomele 1-2 şi 9 - 1 0 . Nici o teoremă d in care l ipseşte vreunul d in cele patru simboluri nu cere pentru demonstrare vreo axiomă din grupul în care acest s imbol este prezent . Şi acum , notînd cu Cpq41 formula NTpNq [în scrierea lui Heyting I ( p /\ I q) ] , Lukasiewicz cons ideră urmă­ toare le teoreme deduse d in axiome le 1 - 1042 : CCNppp CpCNpq CCpqCCq,.cp ,.

Să facem pentru moment abstracţie de faptul că le-am obţinut ca teoreme . Ele sînt în fond tre i formule ale cal­ culului propoziţional . Nimic nu ne împiedică să construim un s istem in care acestea să fie axiomele . Regul ile de de­ ducţie vor fi tot subst ituţ ia şi modus ponens (de data aceasta , evident , faţă de implicaţia notată prin C) . Cu o precizare : în noul s istem nu apar deocamdată decît doi functori C şi N ; căci F , T şi 0 - conectivele intui­ ţ ioniste - nu trebuie cons iderate ca putînd intra în com­ punerea formulelor sa le43 • Lukasiewicz reuşeşte să arate , pe de o parte , că toa te teoremele s istemului astfe l constituit devin teoreme intui­ ţioniste cind , pretutinden i unde apare în e l e , functorul C este înlocuit în funcţie de conectivele intuiţion iste T Il Am văzu t in .5 .l . că l itera C era u t i l izată de E.ukasiew icz p entru a s imbo l iza imp l icaţ ia . î n cazul d e faţă , ca va simboliza imp l icaţia russel l iană. ai Deci teoreme a l e logic i i l u i Heyt ing . u I n fond d e c i este vorba despre o parte a teoremelor intui­ tioniste care conţin doar conjuncţia şi negaţia şi in care se presc urtează formula NTpNq prin Cpq. Ad ică , c e ea ce am văzut cA. lua în cons iderare ş i Godel . 240


6.10. Compararea

cu

logica bivalentd

cu aj utorul cărora a fost definit . Pe de a ltă parte , �ste teoreme în C şi N sînt toate teoremele clasice în implicaţi a russe l l iană şi în negaţia b ivalentă . Putem obţine chiar toate teoremele c lasice dacă, notînd il! stilul lui Lukasiewicz cu K şi A respectiv conjuncţia ti disjuncţia din logica b ivalentă (adică conectivele " . " !i " V ") , le definim în funcţie de C şi N astfe l :

P N,

Kpq drept NCp Nq 4.4 A pq drept CNpq Ce concluzie trage de a ic i Lukasiewicz ? Teoria c las ică deducţiei este inclusă în cea intuiţionistă . Numai că fiecare operează cu a lte conective . între conectivele c las ice �i cele intuiţ ioniste există anumite legătur i . în afara _gaţie i N, comună după cum am văzut ambelor sisteme , fiecare d in conectivele intuiţioniste implică conectiva dasică corespunzătoare . Adică au loc teoreme le : a

FFpqCpq implicaţia intuiţionistă impl ică ( în sens intu iţionist) implicaţia clas ică4.5 ; FTpqKpq ronj uncţia intuiţionistă implică ( intuiţionist) conj uncţ ia c:las ică ; FOpqA pq disj uncţia intuiţionistă impl ică ( intuiţionist) d isjuncţia clas ică. Nici una d intre reciprocele acestor implicaţii nu are loc . Functorii clasici C, K şi A sînt m a i slabi decît functorii intuiţionişti corespunzători . Astfe l , fiecare principiu de logică se dedublează într-un u l "tare" şi unul "slab" . ca D in nou aceste definiţii nu SÎnt întîmp lătoare , c i insp irate de echivalenţele c las ice 4 . 63 şi 4 . 64 ( · 3 .7) . " Avem a ic i o s ituaţie analogă celei create de Lewis în logic a sa, în care am văzut că reconstituise întreaga logică b ivalentă , iar această teoremă este teorema

1 4 .1 P

-<

q

.

-<

.

p

::> q

d in logica imp l icaţiei stricte (·4.6) .

241


Logica polivalentl!

De p ildă , principiul "tare" a 1 terţiului exclus este OpNp şi intuiţioniştii nu-l acceptă , pe cînd cel slab , care este ApNp , apare ca. teză şi în logica lui Heyting ; În con­ secinţă , intuiţionişti i trebuie să-I accepte46. în logica c lasică , valabilitatea principiului terţiului exclus izvora din acceptarea următoarelor afirmaţi i : (1) O d isjuncţie "p sau q" este adevărată dacă cel puţ in unul d in termeni e adevărat. (2) Negaţia unei propozi ţ i i false este adevărată . (3) Orice propoziţie este sau adevărată sau falsă . Atunci oricare ar fi propoziţia p , sau este adevărată, şi atunci "p sau non-p" este de asemenea adevărată con­ form ( 1 ) , sau este falsă , şi pe baza lui (2) "non-p" este adevărată , prin urmare "p sau I1on-p" , conform (3) , este tot adevărată . Afirmaţiile (1) şi (2) sînt evidente şi au fost acceptate nu numai dc logica clasică , ci şi de intuiţionişti . D impo­ trivă , principiul (3) - al b ivalenţe i - a fost resp ins de logicile polivalente �i , în particular , de cea intuiţionistă . Cu toate aceste a , principiul terţiului exclus poate fi demon­ strat împreună cu toate celelalte princip i i clasice în s iste­ mul intuiţionist . Numai că sub forma : ApNp înţelesul lui dep inde de înţelesul acordat ce lor doi func ­ tori : d isj uncţia şi negaţia . Dar condiţiile ( 1 ) şi (2) sînt îndeplinite atît pentru A şi N c î t şi pentru O şi IV : deci în ambele cazuri ele pot f i numite "disjuncţie" şi "negaţie"47. Astfel ca lculul intu iţionist operează cu mai multe feluri de conective , fiecare cu înţelesul lui determinat. El este deci mai bogat şi mai puternic decît cel clas i c . Ceea ce-l 46

On the lnluil ionis t ic Theory of Deduction, pp . 206 - 20i .

t7 Este discutab il faptul că în interpretarea l u i Gode l , ca ş i

în c e a a l u i Lukas iewicz , negaţia intu iţionistă ş i c e a c lasică s e confundă, părînd a urma de a ic i că nu există de fap t între ele nici o deoseb ire d e sens. Căci după cum am văzut ( .6 .1 ) , negaţia e însu ş i punctul sensibil a tacat de Brouwer în d iscuţia terţiului exclus. Această lacună o vor ump l e , după cum vom vedea în para­ graful următor, interpretările modale, unde 1 , negaţia intuiţio­ n istă, devine imposibil itatea lui Lewis - O .

242


6.1 1. Compararea cu logica lui Lewis

face pe Lukas iewicz să afirme : "Mie m i se pare că printre i istemele logice p o livalente cunoscute p înă în prezent t�oria intuiţionistă este cea mai intuitivă şi e legantă"4g .

6.11.

*

Compararea log icii intuiţioniste cu cea a lui lewis

Ace laşi l ogic iall Becker 49 interpretează modal l ogica intuiţionist ă , şi anume făcînd "traducerea" conective lor lui Heyting în conectivele lui Lewis , după următorul �dicţionar" : Heytinf1 .

�,

1\ , V ,

::J , . , V ,

Lewis :

......

1, O

Observăm că în această traducere , implicaţiei intui­ ţioniste îi corespunde implicaţia materială (nu strictă) definită de Lewis în cadrul logici i sale (*4 .6, definiţia 14 . 01) , iar negaţie� intui ţioniste - imposibilitatea. Astfe l Becker a arătat că primele zece axiome intuiţion iste sînt teze În S3 . Pentru pri me le n ouă - care nu conţin negaţia - acest lucru este e v ident , căci am arătat că traducînd implicaţia ,

conj unctia si d isj unctia intuitionistă , asa cum am făcut-o ,

' axiome l� i �tuiţionis te devin teze clasi �e , iar logica b iva­ lentă e inclusă complet în S3 . Să ne ocupăm , aşadar , de u ltimele două . A zecea , tradusă in simboluri lewisiene , va fi : 10'.

OP

::J ( p ::J q ) Dar noi am demonstrat În S2 (deci '"

19. 7 4

'"

Op

.

-<

.

ŞI

În

S3) teorema

p -< q ,

dec i , cu atit mai mul t , teorema 1 0 ' , care s e obţine d i n e a prin înlocuirea implicaţiei stricte cu c e a materială . 4 8 On the 1 ntuitionistic Theory of Deduc/ion , 48

Zur Logik der Modali/ăten .

p. 208 .

243


Logica polivalent4

În sfîrşit, a unsprezecea va fi : ' 1 1 p '::) q . p '::) "-' O q : '::) . "-' O p Deoarece avem

18.41

"'"

Oq

-<

"'"

q,

implicaţia materială are şi e a loc : ""' O q '::) "-' q De unde , în baza logicii clasice (şi implicit a celei lewisien e ) ,

p '::) ""' O q · '::) · p '::) ", q

(1)

Convertind impl icaţiile stricte ale teoremei

1 7 .52

P -< q . p

-<

'"

q

: -<

.

"-' O p

în implicaţi i materiale , obţinem teza :

p '::) q · p '::) ""' q : '::) · ""' O p

(2)

Din (1) şi (2) deducem că 1 1 ' este şi ea validă . Aşadar , toate axiomele şi toate teoremele intuiţion iste devin, astfel tălmăcite , teoreme ale lui 535°. A . Tarski şi McKinsey , care au studiat mai multe ase­ menea "tălmăciri" în logica implicaţiei stricte51 , a u găs it şi următoarea interpretare posib i lă . Heyting Lewis

p O p

"-'

I ,

_

O,

-<

Adică variabilele propoziţionale s imple sînt prefixate de s imbolul necesităţ i i , negaţia intuiţionistă este înlocuită prin i mposibilitate , iar implicaţia intuiţionistă prin implicaţia strictă . Teoremele intuiţion iste astfel traduse , care nu conţin d isjuncţia şi conj uncţia , sînt tde vărate în s istemul 54 & O B ecker nu ajunge să demonstreze acest lucru . Vom o bserva , mai m ul t , că toate cele 1 1 axiome intu iţioniste sînt val ide in S 1 . U Some Theorems aboul lhe Senlenlial Calculi of Lewis and Heyting , în "Journal of Symbolic L ogic", X I I I (1948) , p. 1 3 - 1 4 .

244


6.11. Compararea

cu

logica lui Lewis

al lui Lewis . Ma i mult chiar , o astfel de teoremă a l u i 54 �evine , util izÎnd "dicţionarul" , o teoremă intuiţionist ă . Iată u n exemplu : teza intuiţionistă

p _iip devine teorema lewisiană adică

o

p � D O D p52

Reciproca însă conduce la

ii P - P

D O D p� D p , care , după cum am arătat la timpul potrivit , nu are loc in S4 (deşi are loc în S5) . Iată , prin urmare , cum S4 poate ri un cadru potrivit pentru o interpretare a logicii intui­ tion iste . , În înche iere vom face o s ingură remarcă . Toate aceste interpretări se referă la s istemul formal heytingian a l logici i intuiţ ionis te şi n u l a însuşi modu l de gîndire intui­ ţionist . Cît priveşte potrivirea d intre acestea , Heyting mărturiseşte că nu poate f i niciodată demonstrată pe o cale riguroasă53. Un i i chiar a u pus-o - măcar parţia l - sub semnul întrebări i . Johansson54 , spre exemplu, a construi t , după c u m vom vede a , un s istem axiomatic de calcul pro­ poziţiona l - "ca lculul m inimal" - fără axioma il . 1 a lui Heyting I p - ( p - q) , în care aceasta este privită chiar ca o propoziţie falsă . 62 Teza 15 in s is temu l lu i Lewis S4 ; aceasta nu e decît "axioma lui Brouwer" , i n care s-a inlocuit p cu O P ( 0 4 . 1 2 , teza 24) . 6 3 A. Hey tlag, Intui tiani8m , p . 1 1 2 . 6 ' 1 . J ohaa88oa, Der Minimalkalku l , ein reduzierler intuitia­ ni.<Jtischer Farmalismw , în "Compositio mathemat ica" . 4 ( 1 936 ) . pp . 1 1 9 - 1 3 6 .

245


Logica polivalentă

* 6.12.

logica problemelor a lui Kolmogorov

Plecînd de la logica intuiţionistă, A . Kolmogorov a avut ideea interesantă de a încerca să schematizeze soluti ' ile probleme lor , după mode lul schemelor demonstrative ale logic i i formale55• Spre exemplu , principiului s ilogismului îi corespunde următorul principiu , referitor la probleme (a , b, c fiind , de data aceasta , probleme) : dacă putem deduce solutia lui b d in solutia ' lui a si solutia lui c d i n soluţia l u i b', atunci putem de duce solu ţ ia lu i � d in soluţia lui a5 6• Kolmogorov începe prin a funda un calcul al proble­ melor (A ufgabenrechnung) , fără a face presupuneri de teoria cunoaşteri i , în particular fără a face ipoteze intu i­ ţion iste (de şi în continuare îl va cons idera ş i d in acest punct de vedere) . Este de remarcat că , edificînd o logică a problemelor , Kolmogorov aj unge la concluzia că ea coincide cu logica intuiţion istă . Pe scurt , o logică a pro­ blemelor, independentă de orice ipoteză , construită pur formal , conduce la un calcul i dentic cu cel al lui Heyting. Vom vedea ce interpretare acordă Kolmogorov acestei coincidenţe . Să începe m , odată cu Kolmogorov , nu prin a defini ce e o problemă, c i prin a da cîteva exemple de probleme . i . Să se găsească patru numere întregi astfe 1 încît relaţia urmă toare să fie valabilă (teorema lu i Fermat) : xn + yn

=

zn

n>2

2 . Să se demonstreze fa ls itatea teoremei lui Fermat. 3. Să se ducă prin trei puncte un cerc . 55 A. Kolm ogorov, Zur D eullLng der

intuitionis l ischen

în "Mathematische Zeitschrift", 3 5 . Band, 1 93 2 . U I bidem , p . 5 8 . Este cazul s ă m enţionăm a ic i comun icarea l u i

Logik,

Eug eDiu Spe­ ranţ i a : Remarque.� SlLr les propos i t io1iS i nterogat ives , Proj e t d 'une "Logique du probleme" , în "Actes du Congres internat ional de ph ilosophie scientifique", V I I , L og ique , Hermann, 1 93 6 . E . S pe

­

ranţia preconizează în această comunicare o log ică a p roblem e i , foarte interesantă , d a r d in a l t punct de vedere decît al lu i Kol­ IDogoro v.

246


6.12.

Logica problemelor a lui Kolmogorov

4. Presupunînd că s-a dat o rădăc ină a ecuaţie i ax2 + + bx + c = 0 , să se găsească celelalte . 5 . Presupunînd că numărul 7t' este exprimat raţional n 7t' = - , m să

�e găsească o expresie analogă pentru numărul e . Intre aceste probleme s e poate constata o diferenţ ă . Problema 5, d e pildă , este i mposibilă şi prin urmare fără conţinut (inhaltlos) . Ko lmogorov va considera în restul s tudiului său dovada că o problemă este fără conţinut , ca o solutie57 • Iată dar' e xemple de probleme şi de ceea ce Înseamnă soluţi i le lor . Problemele vor fi notate cu l itere latine m inuscule : a , b , c , d, ' " Problema "să s e găsească soluţia l a amîndouă problemele a ş i b" va fi notată : a l\ b Problema "să se solutioneze cel puţin o problemă din problemele a sau b" va f i notată : În sfîrşit , notaţia

aV b a :::l b

va însemna : "presupunînd că soluţia lui a este dat ă , s ă se rezolve b" , sau , ceea ce este acelaşi lucru , "să s e deducă solutia lui b d in solutia lui a" . ' T� t astfel la va însemna : "presupunînd că rezolvarea lui a este dat ă , s ă obtinem o contrad ictie" . ' For� ulele căpătate , art iculînd d iverse probleme a , b , c . . . prin semnele 1\ , V , :::l , 1 , vor reprezenta tot. probleme . O astfe l de comb inaţie de probleme se va scrie pe scurt :

p(a , b ,

c . . .) .

57 A. K o lmogorov, op . ci t . , p. 5 9 .

247


Logica polivalent4

Dacă :J: este o variabilă oarecare şi o(x) o problemă , a l căre i sens depinde de x , formula : (x) . a (x) va Însemna : "să se găsească o metodă genera lă pentru rezolvarea lui a (x) pentru fiecare valoare particulară a l u i x" . Pentru p(a , b , c, . . . ) prol-Iema aceasta poate fi indicată mai pe scurt astfe l :

1- p(a , b , c . . . ) în loc de :

(a) (b) (c) . . . p(a , b , c . . . ) Adică , să se găsească o metodă generală pentru rezol­ varea l u i p(a , b, c ) , pentru fiecare alegere a variabile lor a, b , c . . . Se vede că semnul ,,1-" are a l t sens a ic i , dar,_ cum vo m vede a , conduce la aceleaşi reguli de calcu l . In calcu lul propoziţiona l obişnu i t , semne le 1\ , V , ::J ,1 erau exprima­ b i l e unel e În funcţie de a ltele ; ele erau independente în logica l u i Heyting şi sînt independente şi a i c i , după cum arată sensul lor . Scopul ca lculului probleme lor este de a da o metodă generală de re70lvare a problemelor de forma 1- p(a , b , C • • • )S8 . Va trebu i , pentru aceasta , să presupuI}em că rezo lvarea c îtorva probleme e lementare este dată . In acest scop vom lua două grupe de probleme ca postulate (grupa A şi B). Kolmogorov numerotează aceste postulate cu ace leaşi numere ca şi Heyting , deşi acestea sînt acceptate in afară de motive le logic i i intuiţioniste . • . .

Grupa A . 2 .1

1- . a ::J a 1\ a

2 .11

1- .

2 .12

r- . a ::J b . ::J . a l\ c ::J b l\ c

2 .13

r- . a ::J b . 1\ . b ::J C • ::J . a ::J c

68

248

a

1\ b ::J b 1\

Ibidem, p. 61 .

a


6.12. Logica problemelor a lui Kolmogorov

.a

b

2 .1 5 1- . a 1\ . a

b

2.14

� . b

3. 1

� .a

3.11

1- . a V b

3 . 12

� .a

4 .1

� .I a

4.11

� .a

b

c .

.

aV b �

bVa

c . 1\ . b �

b

b . 1\ .

a

. a

I b

. aV b .

c

I a

Aceste postulate sînt evidente . într-adevăr , să luăm unul , de exemplu 2 . 12 :

� . a � b . � . a I\ C ::l b l\ c Dacă soluţia problemei b se deduce din aceea a proble­ me i a , atunci soluţia problemei b 1\ c se deduce d in aceea a problemei a l\ c . Fie a l\ c soluţionată : atunci ş i a şi c sînt soluţionate j d in rezolvarea lui a se deduce aceea a lui b ; cum soluţia lui c este dată , urmează că ş i b 1\ c este soluţionată . Propoziţia 2 . 12 este generală . Postulatul 4 . 1 Înseamnă că soluţia lui a nu este pos ibilă şi problema a � b este fără conţinut .

Grupa B . Grupa a doua conţine tre i probleme :

1- . p 1\ q este rezolvată , să se rezolve 1- p . I I . Dacă 1- p ş i � P � q sint rezolvate , să se rezolve � q .

1 . Dacă

I I I . Dacă 1- p (a , b , c . . . ) este rezolvată , să se rezolve 1- p (q , r, s , . . . ) . Aceste probleme nu se pot exprima complet în s imbolur i . Regulile calculului probleme lor sînt următoare le : 1 . Vom scrie pe l ista problemelor rezolvate problemele grupei A . 2 . Dacă pe l ista noastră se găseşte 1- . p 1\ q, atunci este Îngădu i t să punem şi � p . 3 . Dacă se găsesc pe l istă � p şi 1- . P ::l q , atunci pu­ tem scrie şi � q .

249


Logica polivalentă

Ana logia acestor regu l i cu acelea d in calculul propo­ ziţiona l este evidentă . 4 . Dacă 1- p (a , b , c . . . ) se află pe l istă , iar q , r, a s int funcţii de prubleme (comb inaţii logice de pI"obleme e le­ mentare) , atunc i putem scrie pe l istă şi p(q , r, a . . ) (regula substituţ iei) . D in toate acestea rezultă imediat propoziţiile respective d in logica lui Heyting : .

4.3 f-- . a ::> I I a 4.2 1- . a ::> b ::> . I b ::> I a 4 .32 1- . I 1 1 a ::> I a .

Dacă a dăugăm ş i :

1-

.

a V 1 a,

( 1)

care este principiul terţIUlui exclus , avem s istemul complet , corespunzător logic i i clasice a propoziţiilor ; (1) are Însă următorul înţeles în logica problemelor : "să se dea o metodă generală pentru ca pentru oricare problemă a să se găsească o soluţie , sau , din presupunerea aceste i soluţ i i , să se deducă o contra dicţie " . Kolmogorov conchide : "Dacă c i t i torul nostru nu se ţ ine drept atotştiutor , atunc i va concede c ă propoziţia (1) nu se poate afla pe lista problemelor rezolvate"59 . S� poate vedea uşor că următoarea formulă remarcab ilă :

4 . 8 f-- . I I (a V I a) se poate rezolva după cum arată calculul l u i Heyting. Nu tot aşa este cu dubla negaţie

1- . 1 l a ::> a ,

(2)

deoarece aceasta Împreună cu 4 .8 conduce la (1) " Aşadar , nici principiul terţiului exclus, nici princ ipiul dublei negaţ i i nu sînt valabile în log�ca probleme lor , ca ş i în logica propoziţiilor a lui Heyting . în concluz ie , calculu l problemelor arată că une le prin­ cipii clasice nu sînt valabile fără a introduce cons ideraţii le 60

250

I b idem , p . 6 3 .


6.13. Alte

cercetări

intulţlOnist e . Acest rezultat este extrem de important , dar nu a fost îndeajuns valorificat de logicieni. Numai că , edificînd o logică a problemelor şi aplicîndu- i calculu l c lasic , cîteva d in propoziţi ile c las ice trebuie eliminat e . Această interpretare ingenioasă a logicii intuiţioniste , în termeni de probleme , dispensează logica lui Heyting de principii luate în afară de logica clasică6 o . Kolmogorov a căutat să scape de principiile intuiţioniste , introducînd un calcul al problemelor , astfel că formulele lui Heyting capătă cu totul alt sens81 •

* 6.13.

Alte cercetări intuiţioniste

ale

şcolii

Modul de gîndire intuiţionist a fost adoptat şi dezvoltat , in specia l de matematic ien i , în cadrul unei şcoli intui­ ţioniste ale cărei contribuţi i , îndeoseb i în matematică , s-au impus lumi i întregi. Aici însă ne ocupăm de cerce­ tările de logică ale intuiţioniştilor , şi anume ne vom referi in ce le ce urmează la două dintre ce le ma i interesante : calculul minimal al lui Johansson ş i logica matematicii

intuiţioniste fără negaţie a lu i Griss62•

e o A . Errera a făcut C Î teva o b iecţii s istemului l u i Kolmogorov in R4ponse a quelques o bjections , in " I ' Enseignement mathema­ t ique", tome 3 4 , 1 93 5 , p p . 1 03 - 1 1 1 . O b iecţ ia , care ni se pare că ar merita atenţie, e UJ'mă toarea : doyada că o pro b l emă nu are sens poate fi considerată ca soluţia sa? Intr-un asemen ea caz , nu există nici problemă şi n i c i soluţie, prin urmare Kolm ogorov introduce o semnificaţie convenţiona lă . 6 1 P. Fevrier a genera l izat ideea l u i Ko lmogorov at.aşind f ie­ cărui calcul propoziţional c î te un calcul asociat a l problemelor

(Rapports en tre l e calcul des prob lemes e t l e calcul des propos i t ions ,

in " C . R . de l 'A ca d . des Sc iences" , voI . 224 , Paris , 1947 ) .

6Z U n material informat iv bogat în l egătură cu dezvoltarea logic i i şi matema tic i i intuiţioniste conţine lucrarea lui Heyting,

Les {ondements des mathematiques . 1n tuitio nisme . demonstra /ion , Paris-Louva in, 1 95 5 .

Th10rie

de la

251


Logica polivaientii

Într-un articol publicat în 1936, 1 . Johansson reia s is­ temul intuiţionist al l u i Heyting , dind Ia o parte axioma 4 . 163• După cum observă e l , formule le :

q � (p � q) 1 p � (p � q) , a mîndouă luate de Heyting drept axiome (2.14 ş i 4.1) , arată că , în afară de cazul c înd q este o consecinţă Il)gică a lui p, ma i scriem p �q şi cînd : q este propoz iţie a devărată ( teoremă) ; p este 1) propoziţie falsă ( 1 p este o teoremă) . Pe c înd primul d intre aceste cazuri este după părerea lui Johansson în acord cu accepţia noţiun i i de impl icaţie , a l doilea reprezintă însă o lărgire cam greu de acceptat a acest e i notiuni84• ' Johansson compară calculul m in i ma l cu celelalte logic i . Să considerăm implicaţiile :

(l p V q) � (p � q) (p � q) � (1 p V q) Ambele erau verificate în logica c lasică de implicaţia materială ( * 3 . 7 , teza 4 .6) . Implicaţia strictă a lui Lewis verifica doar pe a doua (*4.6, teza 14.1) . Dimpotrivă , impl icaţia intuiţionistă a. lui Heyting verifică doar pe prima (*6.6, teza 4 .46) . In calculul minimal Însă , nici una dintre cele două nu este va labilă . Johansson "j'i-a numit calculul său "minimal" , datorită faptu lui că nu există nici un a lt s istem m a i restrîns care să conţină negaţia şi toate teoremele d in logica lui fleyting scrise numa i cu ajutorul functor ilor � , V , /\ . I n e l se pot demonstra : � 1 (p /\ 1 p) principiul contradicţie i ,

1 - (p � q) � ( 1 q � 1 p)

e 3 1. J ohaD'8oD, De,. 1ll i nimalkalk u l , ein ,.eduzierle,. inlui lioni­

atiache,. Fo,.ma liamus , in "Compos itio l\Iathemat ica" , 4 ( 1 936) , pp . 1 1 9 - 1 3 6 . e 4 I b idem , p . 1 1 9 .

252


6.13. Alte cerceti1ri

principiul contrapoz iţiei , i- p - I l p axioma lui Brouwer ; conversa e i , nefiind demonstrabilă in logica lui Heyting, nu va fi nici aici . Totuşi, în timp ce afirmarea ( p ostularea ) ei echivala acol o , după cum am văzut , cu afirmarea terţiului exclus , în calculul minima l ea echivalează cu afirmarea a două principi i , şi anume : pVI p terţiul exclus

ŞI

o contradicţie , p A I p , implică orice . Aceasta d i n urmă , deşi teoremă intuiţionistă , odată cu excluderea axiomei 4.1 îşi p ierde valabilitatea . Postularea terţiului exclus fără postu larea acesteia face d in calculul m inima l nu logica bivalentă aşa cum ne-am aştepta , ci o logică asemănă­ toare cu cea a l u i Le'" is6ii• Una dintre trăsăturile cele mai interesante ale calculului lui Johansson este , aşa cum a 'observat Prior86, aceea că reţine ca teoremă doar unu] din paradoxele implicaţiei . , 0 propoziţie adevărată este implicată de orice propoziţie" . După cum s-a observat mai tîrziu , el poate prezenta interes şi din punctul de vedere a l aplicaţ i i lor în f iz ică) . O a ltă linie de cercetări , de mult ma i mare amploare şi mai profundă semnificaţie , a constituit-o în şcoala intuiţionistă studiul matematicilor intuiţion iste fără nega­ ţie . i nceput de G . F . C . Griss în 194487 , a fost continuat apoi tot de acesta într-o serie de articole publicate între 194 6 şi 1951 în revista olandeză " Indagationes Mathe­ maticae"68. e 6 Ibidem , p . 1 3 0 . e e A. N. Prior, Formal Logic, p. 259. I ? G. F. C. Gris8, Negatieloze intuitionistische

w iskunde , in Yerslagen Akad. Amsterdam, 53 , p p . 261 - 26 8 . '8 Volumel e : 8 , pp .67 5 - 681 , 1 2 , p p . 1 08 - 11 5 ; 1 3 , p p . 1 9 3 - 200 , �52 - f17 1 .

253


Logica polivalentil

Logica acestor ma tematic i a fost studiată mai intîi tot de Griss , care a Încercat să o forma l izeze611 • Ulterior o serie de a l te cercetări şi·au adus aportul în această direcţie70 • Noi n e vom mărgini doar l a cîteva consideraţii de ordin strict genera l . Griss este de acord c u Brouwer în ceea c e priveşte faptul că orice noţiune matematică îşi are originea într-o con­ strucţie matematică ce poate fi rea lizată . Dacă construcţia este imposibilă, noţiunea nu poate fi c lară . Cînd fac matematică plec de la propoziţ i i adevărate ca să a j ung tot la propoz iţi i adevărate . Este adevărat că se poate întîmpla ca rezultate negative să ne sugereze soluţii pozitive . A pune probleme şi a cere soluţ i i sint pentru Griss însă ocupaţii prematematice71• Astfe l , într-un s istem matematic nu pot apărea decît propoziţii adevărate . În el negaţia nu- ş i găseşte locul. Să vedem ce consecinţe poate avea aceasta pentru logica unor asemenea matematici . Vom spune d e la început că ea este foarte d ificil d e for­ malizat, căc i , după cum a observat Heyting , d in pricină că doar propoz iţiile adevărate au sens , nic i nu există propriu-zis un calcul cu propoziţii72• Cunoscîn d aceste p iedic i , Griss se mărgineşte la cîteva ind ica ţ i i şi remarc i cu privire la o eventuală forma lizare a une i asemenea logic i . n Logique des malh Imatique.� inluitionistes sans n!gation , in : C . R . Acad . Sciences, Paris, 227 , pp . 946 - 947 ş i The logic of negationless in tuitioniatic mathematics, in " Indagationes mathe­ maticae", 1 3 , pp. 41 -49 . 7 0 P. Deslouches Fev r i er, Logique de l' intuitionnisme sans negat ion et logique de l' intuitionnisme positi( in " C . R . Acad . Scien­ ces", Paris , 226 (19(,B ) , p p . 3 B - 3 9 . P. C. G . Gilmore, The effect o f Griss criticism o f the intuitio­ niatic logic on deductive theories formalized within the intuitionistic logic, în " Indagationes math ematicae" , 1 5 (1 953 ) , pp . 1 6 2 - 1 8 7 . P. G. J . Vredenduin, The logita o f negationless mathematics , in "Comp os itio mathemat ica" 1 1 ( 1 953) p p . 20(, - 27 7 . V. Valpola, Ein System der negationslosen Logik mit ausschliesslich rea liaierbaren Prădikaten , în "Acta p h i losophica Fennica" 9 (1 955 ) , pp . 1 - 2(,7 . 7 1 Logique des math!!matiques intuitionnistes sans negation, p . 946 . 7 2 A. Heyti ng, Intui tionism , p . 1 22 . _

254


6.13. Alte cercetilri

Ma i Întîi ea va fj diferită de logica obţinută prin Înlă­ turarea teoremelor din calculul lui Heyting, care conţin negaţia . Aceasta , deoarece se modifică însă şi interpretarea formulelor . Implicaţia p -+ q va avea Înţelesul său natural : q urmează d in p , p e ste adevărat astfel încît q este ade­ yărat . De asemenea conjuncţia . Înţelesul disjuncţiei Însă trebuie ana lizat cu grij ă . Expresia "propoz iţia p este ;idevărată sau propoziţ ia q este adevărată" nu are Sens a ic i , unde n-avem de-a face decît cu propoz iţii adevărate73• Nu vom reţine astfe l , din logica intuiţionistă , decît propoziţiile referitoare Ia implicaţie şi conjuncţie , cu o precizare . Axiomele p e care le acceptăm trebuie să repre­ zinte raţionamente utilizate efectiv în matematică. Dar, un asemenea rationament nu are niciodată forma axiomei ' 2 . 14 d in logica lui Heyting :

- q -+ (p

-+

q) ,

fapt pentru care o înlocuim prm

- p l\ q -+ p La fel , axioma 2 . 1 5 :

:- p 1\ (p

-+

q) -+ q

poate f i omisă căci în p -+ q, q nu reprezintă niciodată o propoziţie falsă . Aşa încît , Griss pleacă de la următoarele c inci postulate :

2 . 1 p -+ p l\ p 2 .11 p l\ q -+ q l\ p 2 . 12

(p -+ q) -+ (p l\ r -+ q l\ r)

73 Iată ce spune Griss: " . . . nu am reu ş i t să-i atrib u i un sens , d isj uncţiei - n . n . ) in logica propoziţiilor, fără a face să inter­ vină noţiunea de specie ( . . . ) . D isj uncţia nu afirmă nim ic despre un caz determinat (part icularl , ci n e dă p os ib il itatea să demon­ străm o teoremă p entru toate e lem entele unei m u lţim i V, demon­ strind a ceastă teoremă p entru elem en tele a două specii a căror reuniune este ident ică cu V." (Logique des mathematiques intui­ lionnistes sans negation , p . 947) .

255


Logica polivalentif

2 . 13 (p - q) A (q - r) _ (p _ r) 22.16 p A q - p şi următoarele trei reguli de deducţie : 1 .1 1 1 .12 1 .13

Din formulele P şi Q rezultă P A Q. Din P şi P _ Q rezultă Q. Din R şi P - R rezultă P - Q A R ( la fel R A Q) .

Iată şi 2 .21 2 .22 2 .221 2 .23 2.241 2 .242 2 .28 2 .3

c iteva teoreme care se pot astfel deduce : p -p p !\ q -- q (p - q) - ( r A p - r A q) (p - q) A (r - s) - (p A r - q A s) ( p - q) A (p � s) � (p � q A s) (p - q A r) � (p � q) A (p � r) (p � r) � (p A q � r) (p A q) A r � p A (q A r)

Utilizînd pentru echivalenţă simbolul în modul b ine c unoscut : 2 .03

,,_ce

şi definindu-l

p -- q D ( p � q) A (q � p) ,

Griss deduce următoarele teoreme : 2 .5 2 .51 2 .52

p -- p (p -- q) � (q -- p) ( p -- q) A ( q -- r) � p -- r

Dezvoltarea sistemului său conduce şi la a lte dificultăţi decît cele menţionate ma i înainte . Astfel , in calculul cu funcţ i i , spre exemplu , nu au sens , d in punctul de vedere a l lui Griss , conj uncţia a douiP funcţ ii : fx A gx ale căror domenii de definiţie nu au nici un e lement comun. Ea ar reprezenta atunci o funcţie avînd un domeniu de 256


6.14.

Consideraţii generale

.,iniţie vid (egal cu intersecţia celor două domenii, ale IU f şi respectiv g) . Cu alte cuvinte o contradi cţ ie , ceea ce Wiss nu admite în logica sa . Toate acestea însă nu ies la �Iă , cum a sub liniat chiar e l , decît printr-un studiu "incit a l însă� i matematic i i fără negaţie , studiu pe care �1 efectuat cu precădere . Tot pentru construirea une i matematici afirmative , dar .� pe a lte poziţii , şi-a efectuat cercetări le şi un a lt mate­ :aa t ician intui ţ ionist, D. van Dantz ig74., la care , avînd 'DI ca racter m a i specia l , nu ne vom op r i . O contr i buţie interesantă a adus În logica intuiţion istă fI. profesorul român Gr . C . Mois i l , care a demonstrat că �!nt valabile d in punct de vedere i ntuiţ ionist următoarele 5nme de silogism : Dacă 1- I I P � i f--- I I (P Dacă f--- I I (P

;: 6.14.

:J

Q) ş i i-

I

1- I I (P

:J

Consideraţii

:J -

Q) atunci 1- I I Q (Q

:J

R) atunci

R)'5 .

generale

Concepţia intu iţionistă ne-a interesat a i c i numa i în :�gătură cu logica . Ea are Însă o extemiune ma i mare , ?-,ivind întreaga matematică , nereductib ilă pentru intui­ �i'Jllişti numai la structuri formale , f i indcă are o semni­ :ieaţie ş i în conţ inut ş i se naşte printr-o activ itate con­ -tructivă . Pentru intu iţion işt i , matematica este o l : tivitate originară a intelectului o menesc ş i , prin urmare , .iin punctul lor de vedere ea nu poate să prcsupună o con­ ':tpţie filozofică şi nici una logică . Logica nu este funda­ :nentul pe care stau matematic ile , subliniază Heyting, =lci o construcţ ie matematică trebuie să fie pentru m inte a

D. vaD DaDtzi g, On the princip les of intuitionistic and affir­

.a/ive mathematics,

în " Indagat iones mathemat icae" , 9 ( 1 947) ,

pp . 429 -440, 506 - 5 1 7 . 7 6 Gr. C. Moisil, Sur l e syllogisme hypothetique dans la logique in/uitionniste ,

în "Journal des mathema t iques pures et appl iquees",

Paris, tome XVI I ( 1 938) , pp . 1 9 7 - 2 0 2 .

257


Logica polivalentă

un dat imediat şi rezultatul său să se prezinte atît de clill încît să nu-i trebuiască nici un fundament . Atunci însă ce reprezintă logica intuiţionistă? laii cum răspunde însuşi Heyting7 6 • Să notăm cu A proprie­ tatea unui întreg de a fi divizibil cu 8, cu B proprietatea. de a f i divizibil c u 4 , cu e proprietatea de a f i d ivizibil cu 2 . În loc de Sa putem scrie 4 X 2a ; prin această con­ strucţi e matematică , P, observăm că proprietatea A. implică B (A � B) . O construcţ ie similară , Q , ne araU că B � e. Efectuînd m a i întîi P şi apoi Q (juxtapunînc. P şi Q) obţinem Sa = 2 x (2 X 2a) care arată că A � C. Acest proces răm îne valid dacă 111 loc de A , B, e luărr n işte proprietăţi arbitrare : dacă construcţia P arat ă cL A � B şi construcţia Q arată că B� e, at unci j uxtapunere. lui P şi Q arată că A � e. Şi astfel am obţinut o teoremL logică (este vorba de principiul s i logismului numerotat Între tezele intui ţioniste cu 2 .13) . Procesul prin care � fost obtinută ne arată că ea nu d iferă esential de teoremelt matem � tice , ci este doar mai genera lă. As tfe l orice teoremă de logică este o teoremă matematică extrem ue generală ş i , prin urmare , logica face parte d in matematici. Deci nu- i poate servi în nici un caz drept fundament . Nu numa i atît, matematica este pentru intuiţionişt i independentă ş i de limbă , în mod principia l . Limba nu poate reda decît În mod inexact procedeele intelectuale matematice , zice Brouwe r , şi Între matematică ş i l imba matematică există o despărţire net ă . Dacă ţinem seama de ideea fundamentală intu iţionist ă , că l imba ş i , prin urmare , formalism ul matematic nu sînt decît un m ij loc aproximativ de a reda procese le intelectuale matematice, care a u loc în e le însele , fără exprimarea lor formală , atunci se vede că logica intuiţionistă nu poate f i cons ide­ rată în ea însăşi ca "s istemul" logicii intuiţioniste . Ea f'st e numa i un mijloc aproximativ de a ne aprop ia de modul de a gînd i intuiţionist . De aceea şi observaţi ile care s-au făcut pro şi contra acestui s istem privesc mai mult dezvol­ tarea form a lă a acestei logic i , i nu co ncepţia propriu-z isă despre logică a acestei şcol i . 7. A . Beyling,

Jn/ui/ioni.om ,

p.

6.


7

Logica modală

7.1.

'*

Cercet�rile

lui

Gr.

C.

Moisil

De-a lungul bogate i sale activităţ i , profesorul român

.:;.� . C. Moisi l a publicat o serie de cercetăr i privind cele �a i variate domenii din logica matematică . Am avut

:.-ja prilejul să menţionăm contribuţi ile sale în studiul ..)gicilor cu mai multe valori (neclasice ) , ca şi în logica I:lt!liţionist ă . In ultim i i ani , profesorul Gr . C . Moisi l s-a ocupat d e ?roblema aplicaţiei logicilor cu m a i multe valori , şi �deosebi de aplicaţiile legate de teoria mecanismelor lil tomate . Vom avea pri lej u l să tratăm şi noi , pe scurt , .cest subiect , în capitolul 9 , special dedicat problemei lplicaţ iilor . Aici vrem s ă urmărim însă un cap itol special în cerce­ tările logicianului român : logica modală. El este autorul 'lll ui s istem de logică modală, avînd legături cu o parte .l in s istemele studiate de noi pînă acuml. Vom expune l·� est s istem în cele ce urmează . 1 ută

Sistemul său este expus în lucrarea Logique Moda le publi­ în " D isquit iones mathemat icae et p hysicae", t . I I , fas c . J , t 9!o2 , pp . 3 - 98 � i republicată î n lncercări I'echi ş i noi de logică ,

259


Logica polivalentă

7.2. Idei primitive ; definiţii ; functorul S

*

Menţionăm că Moisil pleacă de la structura modală a propoziţ i i lor, care conduce la o logică po livalentă. Simbo lismul util izat de e l este acela al lui Lukasiewicz, fără paranteze , şi anume : A pq : d isj uncţia logică "p sau q" . Kpq : conj uncţia logică "p ş i q" . Cpq : imp licaţia logică "p i m p l ică q" . A , K , C s î n t numiţi , cum am văzut la logica lu i Luka­ siewicz , {unc[ori . Pentru ide i l e de modalitate , Mois i l introduce următorii functori unar i 2 , care atribu iesc , prin convenţie , une i pro­ poziţ i i p moda litatea respectivă : lJ = impos ib i l itate a ; y contingenţa ; 1.1. = pos ibilita­ tea ; v = necesitate a ; N = negaţia . Aşadar : =

lJP =

p este p este I.I.P = p este vp = p este Np = non-p

yp

=

impos ib il contingent pos i b i l necesar (p este fals) .

Dacă o propoz iţie p nu este precedată de vreun functor, atunci ea poate f i considerată ca adevărată , deş i repre­ z intă şi o val·iabilă (nu ca o aserţiune ) . Să introducem , odată cu autoru l , un nou functor S . Există propoziţi i din limbaj u l obişnui t care fac uz de copula "fără" . De exemplu : neclasică, Bucureş t i , E d . ştiinţifică, 1 9 6 5 , p p . 2 1 8 - 3 28 . C itatel e l e vom face d u p ă a ceasta d in urmă . De logica s a modală pot f i l egate ş i cercetări le sale anterioar � pub l icate în Remarques sur la kJgique modale du concep t , în " Ana1 ele A cadem iei Române" , seria a I II-a , t. XVI , Mem. 1 2 , 1 941 , republ icată �i ea în l ncercări v echi şi noi de logică neclas ică , p p . 90 - 1 2 8 . 2 Functor i i A , K , C sint functori b inari, c u două propoziţii p şi q , pe cînd functorul unar se referă numa i l a o s ingură pro­ poziţie.

260


7.2. Idei primitive .. definiţii ..

functorul S

..Cavalerul fără frică ş i fără pată" etc . Vom putea deci iIIt ilni, în general , două propoziţii p şi q legate prin <r->pula "fără" : "p fără q" . Pentru această legătură , Moisil atroduce3 un functor S, astfel încît :

Spq

"p fără q"

=

in l o g i c a b iva lentă , functol"ul S poate fi construit foart e t;ruplu , definindu-l cu ajutorul functorilor K ş i N ; " Spq" �mnificînd " p fără q" , adică "p ş i non-q" , e l poate f i scris :

Spq

=

KpNq

Interpretarea modală însă a lui S ne duce la o semni­ ficaţie mai puţin r igidă şi care va fi "p poate fără q" . i are , astfel , semnificaţia modală "pos ibil fără" . Cu ajutorul functori lor C ş i S , Moisi l constru ieşte idei l e .:� adevăr ş i fals . Adellărul va fi reprezentat de :

Cxx JiU :

"x implică x"

FrJ.lsul va fi Sxx !8U4 :

"x poate fără x" Să definim acum modalităţile . Propoziţia "x implică ialsul" , înseamnă că x este absurd sau este impos i b i l . Am definit însă falsul ca f iind "Sxx". Aşadar , propoziţia " x implică falsul" va fi reprezentată simbolic de CxSxx . Cum în notaţ ia lui Mois i l imposibilitatea une i propoz iţii � este desemnată de functorul "IJ , avem : "lJX a Gr. C. MoisiI, Jncercări , IbUkm , p . 2t9 .

= CxSxx

vechi şi no i de logică nec lasică , p . 218.

261


Logica polivalent4

Moisil defineşte apoi contingenţa astfe l : "adevărul poate fără x" . Cum adevărul a fost definit ca Cxx , urmează că putem scrie , pentru contingenţă (pentru care avem func­ torul y) :

yx

=

SCxxx

Să iterăm aceşti functor i , adică să- i aplicăm în mod repetat acele iaşi propoziţii x. Mois i l pleacă de la propo­ z iţia naturală :

dubla imposibilitate echiIJalează cu p osibilitatea . Cum am definit imposibilitatea (functorul "1J) , urmează că posibilitatea (functorul !-L) poate fi definit ca o dublă impos ibilitate : !-LX

=

"1J"1JX

Rămîne să definim acum necesitate a . Aici este poate ideea Cea mai interesantă a lui Mois i l , deşi paradoxală , că dubla contingenţă (yy) echivalează cu necesitatea ( '1) _ C u alte cuvinte , în simboluri : 'IX

=

yyx

Intuiţia noastră nu poate surprinde ideea că afirmaţia "e contingent că propoziţia x este contingentă" înseamnă a spune că , , 3: este necesar" . Vom vedea totuşi că Moisil găseşte une le rezultate care se deduc din această definiţie , aşa încî t ea devine plauz ibilă5.

* 7.3.

Logica

modală

generală

în cele ce urmează nu vom urmări decît rezultatele i mportante la care ajunge autorul , fără a intra în dezvol­ t ăr i şi în chestiuni de detalii. Ceea ce d istinge logica lui 6 M o is i l arată m o t iv e l e mai intu itive care ar sprij ini a cce p ­ tarea acestui princip iu în Remarques sur la logique modale du concep t . p p . 1 6 - 1 7 , i n 1 ncercări I'echi � i noi de logică neclasică , pp . 1 0 2 -104.

262


7.3. Logica modală generalll

Moisil de celelalte logici polivalente est e , in fond , utili­ zarea functorului S 8. Pentru a construi "logica modală generală" , el consideră primele axiome , 1 .1 - 1 .9 , ale lui Hilbert şi Bernays , din aşa-numita "logică pozitivă" , adică numai acele axiome În care nu intră negaţia . Iată aceste nouă axiome7 : 1.1

CxCyx

1 .2

CCxCxyCxy

1.3

CCxyCCyzCx:

1 .4

CKxyx

1 .5

CKxyy

1.6

CCzxCCzyCzK xy

1.7

CxAxy

1 .8

CyAxy

1 .9

CCxzCCyzCAxyz

Aceste axiome se c i tesc foarte uş or şi cu unele din � l e ne-am ma i întîlnit. D e exemplu 1 .1 Înseamnă : dacă x este adevărat, e l este implicat de orice propoziţie y (adevărată sau falsă) ; 1 .4 spune că dacă conj uncţia log ică Kxy es t e adevărată atunci x este adevărat ; etc . Procedeele de demonstraţie ale lui Moisil sînt urmă­ toarele : regula modului ponens ş i regula substituţiei . 8 E ste dem n de observat că functorul S este introdus de Moisil şi d in considera t i i pur a lgebrice. Toz iro Ogasawara a arătat ( R e la­ tion between logic and lattices , în "Journa l of sc ience of the H iro­ shima University", S .A. IX, 1 939) că ansamblul propoziţ i ilor logicii poz itive este o lat ice rez.iduată , a cărei re2. iduaţie e s te rap ortată la functorul de conjuncţ ie ; Moisil p leacă d e la rez iduaţ ia şi în raport cu disjuncţ ia, dată de functorul S . 7 D . Hi lbert uad P. B ernays, Grundlagen der Mathematik, I .Sprin­ ger, Berl in, 193t. . Moisil le scrie însă în s irnbolismul l u i Lukasiewicz .

263


Logica polivalentd

In afară de aceasta , el întrebuinţează şi scheme deductive m a i complicate decît substituţia şi modus ponens , asupra cărora însă nu putem insista a iciB • Logica modală general ă va f i construită cu a j utorul axiomelor 1 . 1 - 1 .9 , p lus următoarele axiome referitoare la functorul S : 2.1

CyA Syxx

2 .2

CzA xy CSzyx

Ce spun aceste axiome? 2 . 1 afirmă : dacă y este adevărat . atunci disjuncţia logică "Syx sau x" este adevărată , ceea ce este evident . Î ntr-adevăr , ea afirmă : "propoziţia y implică y fără x sau x" . A xioma 2 .2 este o schemă deduc­ t iv ă . Ea se traduce : "dacă pentru un sistem de propoziţii date x , y , z implicaţia CzA xy este adevărată, atl1nci este adevărată şi implicaţia CSzyx" , ceea ce este , iarăşi , evi­ dent . într-adevăr , cînd se întîmplă că pentru trei propo­ z iţ i i x, y, z să avem CzA xy, adică dacă z este adevărat şi "x sau y" este adevărat , urmează că putem scrie că "z fără y" adevărat impl ică x este adevărat9• Primele nouă axiome dau loc la întreaga logică "pozi­ tivă" , cu tot cortegiul de rezultate , ca legile comutative > legile distributive etc. Moisil demonstrează în tezele pe care le deduce din cele nouă axiome , la care adaugă axiomele 2 . 1 şi 2 .2 , proprietăţile funclorull!l i S, cum sînt c e l e ale d istributivităţii etc. Nu vom urmări în acest calcul logica modală generală , ci vom trece la stud iul modalităţi lor . Pentru ace s te scheme vedeţi Gr. C. Moisil, Logique modale . Untersuchungen iiber das logische Sch liessen, I ş i I I ("Mathematische Zeitschrift" , Bd. X X X I X , 1935 ) . 8 D in punct de vedere algcbric, aceste axiom e , 2 .1 ş i 2 . 2 , exprimă faptul că S este o rez iduaţie i n raport c u A (Gr. C . Moi.i1, op . cit . , p . 233) . 8

G. Genlzen,

264


7.4. Imposibilitatea şi contingenţa

* 7.4.

Imposibilitatea şi contingenţa in log ica modală generală

Am văzut care Este s istemul logic a l l u i Mois i l , intitulat "logica modală generală" . Pentru a vedea cum se dezvoltă m a i departe acest s iste m , pe baza ide ilor de modalitate , să considerăm defi­ niţiile referitoare la i mposibilitate ş i contingenţă , pe care le introduce . Impos ibil itatea une i propoziţii ,x a fost de ' inită de autor (vezi * 7 .2) astfe l : r; ,x

=

C,xS,x,x

"Propoziţia ,x este imposibilă" echivalează cu ",x implică falsul" ( S,x,x) . Această echivalenţă se desface în două impli­ caţ i i reciproce :

3.1

G-Ij ,xCxSx,x

3 .2

CCxSxxYJ,x

C ele două propozi ţ i i spun respectiv : "dacă x este impos ibi l , atunci x impl ică falsul" ; "dacă ,x implică falsu l , atunci x este imposibi l " . Am văzut c ă Mois i l a definit contingenţa c a f iind "ade­ vărul poate fără x" : yx care se desface şi ea 3.3

în

=

SCxxa;,

două impl icaţ i i :

CyxSCxxx

3 .4 CSCxxxyx Aceste implicaţii se citesc tot aşa de uşor ca şi primele . Se observă imediat c ă imposibil itatea implică contin­ genţa :

3.5

C'f)XYx

De asemenea falsul este impos ibil (să fie adevărat) :

3 .6 'f) Sx,x 265


Logica polivalentd

Falsul mai poate fi definit prin principiul contradicţiei : "1) KX"l) x,

3 .32

care se c iteşte : "e ste impos ibil ca x să fie adevărat şi în acelaşi timp imposibil" . În sfîr � it , se poate enunţa un principiu modal al ter­ ţ iului -excluslO : 3 .18

Ayxx

"Propoziţia x sau este adevărată , sau este contingentă" . Să remarcăm că numai propoziţiile care definesc imposi­ bilitatea şi contingenţa sînt definiţii (3 . 1 , 3 . 2 , 3 . 3 , 3 .4) , lestul s înt teoreme. Pe baza acestor definiţi i şi a axiomelor , Moisil deduce o serie de teze modalell (propoziţiile 3 . 5 - 3 . 78) , intere­ sante , dar pe care nu le putem urmări mai departe .

*

7.5.

Necesitatea

şi

posibilitatea

Iteraţia functorilor "y" (contingenţa) şi ,,"1)" (imposi­ bilitatea) ne-a permis să definim posibilitatea şi necesitatea . Î ntr-adevăr , Mo isi l pune , cum am văzut : (.Lx

=

"I)"I)x

vx

=

yyx

Definiţia a doua spune că "X este necesar" echivalează cu _ dubla lui contingenţă . In felul acesta , ne găs im în faţa următoarelor definiţii care vor îngădui calculele cu modalităţile "necesar" şi "posibil" : 4.1

C(.LX"I)"I)X

4.2

C"I)"I)x(.LX

10

11

266

I b idem , p. 3 4 2 . E le se găsesc în lucrarea c i tată, pp. 243 - 248 .


7.5. Necesitatea şi posibilitatea

4.3

C vxyyx

4.4

Cyyx vx

Acestea sînt implicaţiile ce derivă din echivalenţele definitorii de mai sus . Dacă o propoziţie x este posibilă (!Lx) , atunc i implică dubla impos ibilitate a lui x ('1)'1) x) şi viceversa ( 4 . 2) ; dacă o propoziţie este necesară , ea implică dubla ei contingenţă şi v iceversa (4 .4) . Adăugînd la 1 . 1 - 1 .9 , axiomele 2 . 1 , 2 .2 , 3 . 1 - 3 .4 ş i aceste definiţii axiomatice (4 . 1 - 4 .4) , Moisil demonstrează o serie de teze importante privind necesitatea şi posibili­ tatea şi raportul lor cu celelalte modalităţ i . V o m aminti num a i principalele teze , care s înt : 4 .1 5

CyyX'1)YJx

"Necesi tatea implică posibilitatea" ; ceea ce este (yyx) este posibil ('1)'1)x) . 4 .13

necesar

Cyyxx

"Necesitatea (yyx) implică adevărul (x) " . 4 .14

CX'1)'1)x

"Adevărul (x) implică posibilitatea (YJ'1)x) " . 4 . 18

C'1) x'1)YJ'1)X

4 . 19

CYJYJ'1)x'1)x

Aceste două i mplicaţi i arată că tripla imposibilitate echivalează cu impos ibil itatea simplă . La fel tripla contingenţă ech ivalează cu contingenţa simplă 4 . 16

Cyyyxyx

4.17

Cyxyyyx

După cum a arătat Wajsberg, logica intuiţion istă a lu i Heyting , studiată de noi În capitolul precedent , poate f i dedusă ş i din axiomele l ogicii pozitive , la care s e adaugă 267


Logica polivalentd

încă două axiome referitoare la negaţ ie12• În logica modală genera lă , rolul negaţie i îl j oacă functorul de imposib ili­ tate . Logica intuiţionistă poate fi obţ inută din axiomele 1 . 9 ale logi c i i modale generale , la care se adaugă 1.1 şi următoare le două formule : -

CKCxyCx''1 YY, x CYJxCxyl1 Prima afirmă c ă , dacă implicaţiile Cxy şi CX''l Y au loc , adică dacă d in x se pot deduce atit y c î t ş i i mpos i b il Ita tea sa, YJY, atunci x este i mpos i b i l . A doua este b inecunoscuta afirma ţ ie că d intr-o propoziţie i mpos ibilă se poate deduce orice . Dar e le sînt în s istemul lui Mois il respectiv teoremele 3 .28 şi 2 .23 ş i , prin urmare , orice teore mă intuiţionistă convenabil tă lmăci tă14 poate fi dedusă in logica modală generală . 52 poate arăta că ş i invers orice teză a log ic i i moda l e generale c e n u conţine decit func torii K , A , C �i YJ este ş i teză a log i c i i lui Heyting15 . Prin urmare re iese clar că s istemul intuiţionist a l lui Heyting este cuprins în logica modală generală .

* 7.6.

Logica

modală

specială

5 istemul logici i moda le generale poate fi lărg i t , şi anume prin introducerea a două noi axiome care să exprime d istri­ b utivitatea functorilor C şi S . Ele sînt 6.1

CCKxyzACxzCyz

8.1

CKSzxSzySzAxy

12 M. Wajsber.!l;, Untersuchungen ii ber den A lls.'lagenka lkii 1 v o n în "W iadomosc i matcma tycz nc" , X L V l , 1 9 3 8 , p . 45. 1 3 Acestea s înt ch iar a x iomele lui Heyt ing refer i toare la negaţie (4.1 ş i 4.2 d in "' 6 . 6 ) , scrise î n s imbol ismu l l u i !\Io is i l . H Ad ică i n c are conj uncţia, d isj u n c ţ i a , impl ieaţ ia ş i negaţia d in s is temu l l u i H eyt ing d e v in respectiv functor i i K , A , C şi 1) d in s istemul l u i M o i s i l . 1 6 Gr. C . Moisi 1, op . ci t . , p . 2 5 � .

A . Heyting,

268


7.6.

Logica modală specială

Prima exprimă faptul c ă , dacă din x ş i y rezu l t ă z, atunci sau d in x rezultă z , sau din y rezultă z . A doua spune că dacă ,,2: poate fără x" şi , ,2: poate fără y" , atunc i "z poate fără x sau y". Sistemul ale cărui axiome s înt : 1 . 1 - 1 . 9 , 2 . 1 - 2 . 2 , 3 . 1 - 3 . 4 , 4 . 1 - 4 . 4 , 6 . 1 şi 8 . 1 este num i t de Mois i l logica modală specială . Trăsătura s a caracteris­ tică stă în faptul că moda lităţile f1. (pos ibilitatea) şi 'J (neces itatea) s e d istribuie conj uncţiei şi disjuncţiei , ş i următoare le pe re c h i d e formule sînt echivalente :

'JKxy

ŞI

K 'Jx vy

!J.Kxy Ş I Kf',x!J.Y vAxy ş i A vx vy

!J.A:l:Y şi A [I.Xf1.y Deci , cum o b serv ă M o is i l , în ) ogica moda lă specia l ă nu apare ideea de compatibilitate . Intr-adevăr, Lewis definise compatibilitatea a două propoziţii drept i mpos ibil itatea de a deduce din una dintre propoziţ i i contradictoria ce l e i ­ lalte (vezi *4. 7) . S � poate arăta că această cond iţie e�;te e ch iva lentă cu condiţia ca să f ie posibilă conjuncţia ce l o r două propoz iţiil8 . Dar Într-un s istem c a logica specială , aceasta Înseamnă exact că fiecare din cele două propoz i ţ i i este posibilă , şi deci compatib i l itatea , d intr-o legătură Între două propoz iţ i i , degenerează în cîte o cond iţie (posi­ bil itatea) impusă fiecăre ia d in cele două propoz iţii. Să remarcăm un fapt interesant : în logica modală specială , deşi nu are loc principiul terţi1llui exclus (Ax'IJ x) , are loc , sub o formă modaIizat ă , un principiu a l quartului exclus

8 . 1 9 A A vXTJxKf1.xyx , care arată că orice propoziţie este sat:. necesară ( vx) , sau imposibilă (TJx) , sau problematică (Kf1.xyx)17 . De asemenea , î ntr-adevăr, În l og ica l u i Lewis există teo rema 1 8 .3 O (pq) = - (p -< - q) . (C. 1. Le,w:s &, C_ B. Laogford, S ym bolic Logic, p . 1 62) ; ved'eţi ş i această lucrare * 4 . 9 . 1 7 Moisil numeşte p roblematică o propoz iţie care este î n acelaşi timp p os ibilă şi cont ingentă : KfLxyX (op. ci t . , p. 260) . 16

269


Logica polivalent<1

se poate demonstra teorema : "dacă T este o teză a logicii modale speciale , V T este , de asemenea , o teză" . Ea traduce princ ipiul : Quod est, quando est, oportet esse , pus şi de Lukasiewicz la baza logicii sale trivalente . D in logica modală specială se pot obţine atî t logica b ivalentă sau clasică, cît şi logica trivalentă a lui Luka­ siewicz, şi anume , iată cum . Dacă , în p lus faţă de axiomele ce am văzut că stau la baza logici i modale speciale , postulăm una , oarecare , din următoarele teze c lasice : 9.1

AX"lJx

9.11

CyxY) x

9. 11 1

CY)Y)x'fr:l:

9 . IV

CY)Y)xx

9.V

Cxyyx

9.VI

CC1]Y) xY)1]YCxy

9.VII

CCyy.:z:yyyCxy

9 .VIII

CCY) xY)yCxy

9 . XIX

CCy.:z:yyCyx

9.X

AyyxY)x ,

sistemul astfe l obţ inut devine identic cu logica b ivalentă. în aceste condiţii functorul excepţie S îşi p ierde sensul moda l , căpătînd înţelesul strict de "x şi non y" , iar modali­ tăţile , pe care le-am definit cu aj utorul lui , degenerează : necesitatea ( v) şi pos ibilitatea ([1.) în s implul adevăr ; impos ibi litatea (1]) şi contingenţa (y) în simpla fals itate . Dacă în locul unui astfe l de postulat adăugăm logicii moda le speciale , drept axiomă, următoarea formulă : 10.3

CKC vx vyC[1.X[1.YCxy ,

Moisil arată că se obţine logica trivalentă a lui Luka­ S lew!Cz . 210


7.6. Logica modalll specială

Postulatul 10.3 poartă numele de principiul de deter­ minare şi are următorul înţeles : dacă din necesi tatea l u i x

se deduce nece s itatea lui y ş i din posibilitatea l u i x se deduce posibilitatea l u i y, atunci din x se deduce y18 . Sîntem însă datori cititorului cu o explicaţie . Luka­ s iewicz , după cum am văzut19, îşi construise s istemul pornind de la două noţiuni fundamentale : i mp licaţia , pe care o notase cu C, ş i negaţia , pe care o notase cu N. Î n logica lui Mois i l , pînă acum, nu apar nici unul din acesti doi functori căci ceea ce Moisil notează cu C este o a ită implicaţie decît cea defin ită de Lukas iewicz . Pentru a f ace deosebirea o vom nota pe aceasta din urmă cu CL ' Negaţia lukasiewicz iană N poate f i definită în logica tri­ va lentă (adică logica modală specială cu axioma 10.3) prin următoarele două axiome : 1 1 .1

CNxATjxKxyx

11.2

CATjxKxyxNx

Ele spun că "Nx" înseamnă ace laşi lucru cu "x este i mposibi l sau x este adevărat , dar contingent" . Cît despre implicaţia Lukasiewicz CL, ea poate f i defi­ n ită prin următoarele două axiome : 12 . 1

CCLxyACxyCNyNx

12.2

CACxyCNyNxCLxy

Adică " CLxy" înseamnă "Cxy sau CNyNx"20. Moisi l reuşeşte astfel să dezvo lte întreaga logică trivalentă re care am urmărit-o în capitolul 5 . 18 Gr. C. Moisil, o p . cit . , p . 2 7 2 . Moisil consideră axiomele 9 . 1 - 9 .X de asemenea nişte princip i i de determinare , dar "mai tari" ( o p . c i t . , p. 266) . 19 *5 . 7 . 20 D i ferenţa d intre implicaţia definită d e Lukas iewicz ş i cea notată de Moisil prin s imbolul C mai poate fi pusă în ev idenţă �i în modul următor. P e cînd imp l icaţia lui Lukasiewicz era , după cum am văzut ( * 5 .12) , a stfel definită încît cînd x�y, CLXY lua valoarea 1, iar cînd x> y, CLxy lua v aloarea 1 P + q , imp l i­ caţ ia introdusă de Moisil este astfel încî t cînd x<,y, Cxy ia tot va loarea 1 , dar cînd x> y, Cxy ia valoarea y. E a este imp l icaţ ia­ rez iduaţie. -

271


Logica polivalentil

Punctul de vedere dezvo ltat pînă acum permite punerea în evidenţă a unui fapt deose b it de interesant . Anume , am observat că logica lui Heyting era cuprinsă în logica modală generală . Tezele acesteia d in urmă sînt şi teze a le logi c i i moda le speciale2I , iar logica modală spec ială p lus principiul determinăr i i ne furnizează logica trivalent ă . Aşadar , tezele logici i intuiţioniste ale lui Heyt ing sînt valabi le în logica triva lentă a lui Lukas iewicz22, b ine­ inţeles , cu condiţia să nu confundăm implicaţia şi negaţia intu iţion istă ( identificate în logica modală generală cu C şi 1)) cu implicaţia şi negaţia ut ilizate de Lukas i ewicz şi pe care Mo isil le-a notat , după cum am văzut, prin CL ş i N . între e le subz istă re laţiile 1 1 . 1 , 1 1 . 2 , 12 . 1 ş i 12.2. Observă m , aşadar , la ce rezultate interesante conduce stud iul s iste melor moda le constru ite de Mois i l .

* 7.7.

Logicile

moda le

simetrice

După cum observă Mois i l , o c lasă i mportantă de s iste m e sînt c e l e care a d m i t u n functor unar - negaţia , pe care s-o n o.tă � cu N şi care se bucură de următoarele două proprietaţ I. : N satisface legea dublei negaţii -

NNx

=

x;

de asemenea , are loc regula transpoz iţie i , care în schemll poate fi reprezentată astfe l : Cxy CNyNx "

adică din "x implică y

deduce m "Ny implică Nx" .

11 A ceasta rez ultă d in faptul că logica modală spec ială 8- a obţinut adăugînd acestor teze o scrie de a l te l e noi (cele deduse din axiomele 6 . 1 şi 8 .1 ) . U Ş i s e poate arăta că această re laţie are loc � i între log ica lui Heyting şi o logică p o l ivalentă Lm oarecare .

272


7.7. lAJgioile

modale simetrice

Logica b ivalentă, logica tr iva lentă a lui Lukasiewicz sat isfac aceste condiţii . Moisil stud iază proprietăţile c omun e acestor s isteme Într-o logică pe care o nume ş te l@gică ffl(jdală simetrică generală23. Ea se obţine adăugind axiome lor 1 .1 - 1 .9 , 2 . 1 - 2 .2 , 3 . 1 - 3 .4 ş i 4.1 - 4 . 4 , care -caracterizau logi c a moda lă genera lă , următoarele trei postulate

16.1

Cxy CNyl'."x

16.2

CxNNx

16.3 CNNxx Ce le m a i i n t e resante conseci.nţe ce decurg din e le Ii Înt l e gile l u i De Mo r ga n

NAxy = KNxNy precum Ş I

NKxy = A NxNy NCtt

=

8tt

N8tt = Cu U l t im e l e două exprimă le gătura care există între impli­ caţ ie (Cl şi excepţie ( 8) , astfe l incît functorul exce p ţ i e poate f i construit cu ajutorul impl icaţie i şi negaţi e i prin formula

Sxy = NCNyNx

s� poate pune întrebarea : ce legătură există tn.tre această n � gaţ ie N ş i c e le două modalităţi , impos ib i l itatea (-tj ) şi contingenţa (y) , a le logicii moda le geRera le . Cons iderînd p� IV ca expr imind s impla falsitate , a r fi natljral ca impo­ s ib i l i tatea să i m p lice falsitatea

23 L a ince p ut , în 1 9U , el . numit-o log ica s.imetr·ic' generală , u l terior sch imbindu-i denumire. (vedeţi lucrarea c i tată, p . 308) •

273


Logica polivalenti1

ş i falsitatea să implice contingenţa CNxyx

Dar aceste formule nu pot f i deduse ca teoreme În logica modal ă simetrică generală. Moisi l l e ia atunci l'a axiome , num ind logică modală simetrică normală logica modală specială care este s imetrică (16.1 - 16 .3) şi satisface aceste axiom e24• în această logică au loc următoarel e echivalenţe : N1J x

=

yNx

=

'Yj"fJx,

adică falsitatea imposi b i lităţ i i , contingenţ,) falsităţi i şi impos ib ilita tea imposibilităţ i i s î n t unu l ş i ace laşi lucru ; la fel fa lsitatea contingenţei , impo, i b i l itatea fals ităţi i Ş I contingenţa contingenţe i , după c u m arată : Nyx

=

=

Y, Nx

yyx

De asemenea, are loc principiul dublei imposib i l ităţi : NfLNfL X

* 7.8.

Consideraţii

=

fL X

generale

Sistemul "logi c i i moda le generale" este un efort l ogistic de a îmbrăţişa în acelaşi cadru , pe c î t posibil , ce lelalte s isteme . Noţiunea pur a lgebrică de reziduaţie , pe care Îşi întemeiază Moisil construcţia sa , asigură întregului edificiu simplitate şi e leganţă . în fond , ca ş i Lukasiewicz , logicianul român işi dă anume functori care prin definiţie vor avea anume legături între e i ; pe baza definiţ i i lor axiomatice se va naşte astfe l un calcul. Este aceasta o logică? Problema este dificil de tranşat şi amînăm acest subiect de d iscuţi i pentru capitolu l "Concluzi i finale" . Ne vom rezuma a i c i a sub l inia cîteva puncte privind sistemul lu i Moisi l . U

274

Gr. C.

Moisil, op.: cit.,

p.

31 5 .


7.B. Consideraţii generale

Am văzut că el ajunge să stabilească în logica modală specială teorema : dacă 't" este o teză , atunci şi V't" este teză . Cu alte cuvinte adevărul unei propoziţi i 't' atrage după s ine necesitatea e i . Ceea ce este însă admisibil numai în interpretarea pe care i-am dat-o vorbind despre princip iul s imilar enunţat ş i pus de Lukasiewicz printre axiomele s istemului său ( *5 .14) . Partea cea mai delicată a logicii lui Mo isil ne apare a fi definiţia neces ităţii ca fiind dubla contingenţă :

V l: = YYl: Mois il însuşi a remarcat că , d in punct de vedere logic , aceasta prezintă d ificultăţi . Iată în acest sens ce scrie e l : "Princip iul dublei contingenţe - contingenţa contingenţei echivalează cu necesitatea - ne pare greu de susţinut"25 şi de aceea "acest principiu merită o anal iză m a i aprofun­ dată" . Unde ne conduce o asemenea ana l iză? La concluzia că principiul vx = YYl:, "cu tot caracterul său straniu" , este consec inţa inevitabilă a unor princip i i cu totul natu­ rale . El apare , de a ltfe l , aşa cum arată Mois il , atît în logica cu tre i valori a lui Lukasiewicz , cît şi în cea cu patru ş i c inci valori d e adevăr .

ti

Ibidem, p.

101 .


8

Logica probabilităţilor

* 8.1.

Noţiunea

de

probabilitate

N oţiunea de p r o babili tate este utilizată frecvent in limbaj u l z ilnic . Un eveniment natural nu poate f i prevăzut cu o c ert itud ine a bsolută porn in d numa i de la un număr finit de date , cîte s int a ccesibile o m u l ui la un moment dat . Astfel spunem , de exemp lu , că starea vii toare a vrem i i este cun os cută cu o probabilitate de 40% sau m a i mul t . Dar nu numa i cele c u pr iv ire la v i i tor , c i ş i ce le referi­ t oa re la trecut pot f i supuse u ne i aprecieri probab ilistice . Istoricu l compară evenimentele ce au avut loc după infor­ m aţ i i l e d e c a r e d i spu ne afirmind : "este foarte p ro bab i l c a N e r o s ă f i o r donat arderea Ro me i şi este foarte puţin p robab i l c a Bacon să fj fost autorul p iese lor l u i Sha­ kespeare" . Trehu ie să ne păzim Însă a confu nda noţiunea de proba­ b ilitat e cu cea de posibil itate , cu toată asemănarea mare d intre e le . Şti inţa modernă , dar ma i a l es cea contemporană , şi·a însuşit această noţiune ;; i nu putem c once p e teori i le ştiin­ ţifi ce actuale fără a face ape l la ea . Au trebui t însă mulţi ani de stud i i şi reflecţii care să precizeze şi să pună in lumină conţinutul noţ iuni i d e probabilitate . In cursul t i mp ului

276


•• 1. Noţiunea de probabilitate

s-au crista lizat cu prIvIre la această noţiune m a i multe concepţii importa nte . Ne vom o p ri În deo s e b i la cele care p rivesc logica formală1. Pen tru prima dată o delimitare strictă a probabilităţ ii şi o încercare de definire a e i s-a făcut pe Ia mij locul seco­ lului al XVI I-lea , In cadrul aşa-numitei teor i i matematice a j ocuri lor de noroc . Un pas important îna inte a fost făcut de J. Bernoul l i , care a arătat că Într-un număr mare de experienţe frecvenţa unui eveniment d iferă puţin de pro­ babilitatea matematică a evenimentului . A.dică cu cît nu­ mărul cazurilor analizate este ma i mare , cu atît elementul întîmplător este eliminat din cons ideraţii (Legea nume­ relor mari) . Definiţia , pe care o num im astăzi c lasică, a probabili­ tăţii a fost dată de Laplace (1785) . Pentru a o formula , să considerăm un exemplu. Fie un zar perfect (absolut omogen şi s imetric) . C tn d ti aruncăm , oricare din feţele sale poate apărea cu aceeaş i proba b i l i t ate . Cum s înt în t 'Jtal sase fete , , , probabi l i tat ea de aparitie , a fiecăre ia este � . 6

Laplace defineşte probab i l i tatea producer i i unu i evcniment drep t raportul n - , iri

unde n este numărul cazurilor favorab ile , iar m număr ul cazuri lor posibile . După această definiţie , probabilitatea ca la aruncarea zarului nostru să iasă un număr par (2 , 4 , 6) 3 , a d Ica va f I· ' - 1 . 6

2

La o analiză mai serioasă tnsă , această definiţie a fost găsită insuficient fundamentată din punct de vedere logic şi experimenta l . Fără să intrăm in deta l i i , este suficient să spune m că o serie de cerce tă to r i au abandonat-o în 1 C i t i to rul poate gAsi un material informativ mai bogat in articolul lui G. Cincu, Teoria probabilităţilor şi mode larea pro ba­ b ilistă, p ublicat in culegerea Materia lismul dialectic şi ş tiinţe le naturii, v o I . X, Editura politici, Bucureşt i, 1965 . De asemenea, o anal iză aprolundată a noţiunilor legate de teoria probab i l i tăţilor se găseşte în lucrarea acad . O. Oaieeac_, Nu.mere l i s is teme aleatoare, E ditura Academ ie i , Bucurefti, 1962. 277


LO!1ica polivalentlf

favoarea unei definiţii bazate pe noţiunea de frecyenţă . Pornind de la această noţiune , s-au dezvoltat două şcoli . Una , bazată pe lucrarea The Logic of chance a lui J . Venn , explică probabi litatea prin limita unei frecvenţe relative intr-un şir numărabil de evenimente (vom vedea imediat c e Înseamnă aceasta) . Ea a fost dezvoltată de R. von Mises şi H. Reichenbach . î mbunătăţiri importante i-au fost aduse ulterior de A. Wal d . Concepţ ia a cestora şi ma i a les a lui H . Reichenbach ne va interesa îndeosebi în cele ce urmează . O a doua şcoală , legată în specia l de sta­ tistica modernă , a grupat statisticieni de fru!lte ca R . A . F isher , J. Neyma n , E . S . Pearson şi a lţii . In con­ cepţia lor, probabi litatea este considerată ca un termen nedefinit Într-un s istem axiomatic . O asemenea poziţie fusese deja adoptată de A . N. Kolmogorov în 1933 . Poziţia a xiomatică a fost dezvoltată şi precizată , ţinînd seama de multiplele faţete a le e xperienţei , de mulţi a lţ i i , printre care menţionăm pe B . de F inetti , A . Renyi şi O . Onicescu . Dar să ne Întoarcem pentru un moment la definiţia probabilităţ i i ca frecvenţă (limită) . Vom urmări concepţia lui von Mise s , fundamentală în această privinţă2. Pentru a înţelege mai Întîi sensul noţiuFl.ilor de frecvenţă relativă şi frecvenţă- l im it ă , să considerăm o m u lţime f in ită S formată din k entităţi distincte (al căror conţinut va fi precizat ulterior) al ' az , , ah ' pe care Mises le numeşte etichete (labels) , şi un şir de e lemente notat pe scurt {xj} format doar din etichetele al > a2 . . . ah , toate sau numa i o parte , fiecare apărînd o dată sau de m a i multe o r i şi într-o ordine fără legătură c u indicii lor . Fie ai una dintre etichete , fixată . Printre primele n elemente ale şirului { Xj} apare de ni ori ai . Numărul ni depinde • . .

de n , de ai şi de şirul

n· { Xj} . Raportul ....!. se n

numeşte

frecvenţă sau frecyenţă relativă a lui ai printre primele n elemente din

{ 'Z:j } .

2 In expunere am utilizat lucrarea sa Mathematical Theory of Pro bability and S tatisties (ed i ted and complemented by H. Gei­ rin ger) , New York and London, 196�.

278


8. 1.

Noţiunea de probabilitate

Pentru .a inţelege rostul acestor consideraţii abstracte J să luăm un exemplu concret , şi anume tot un zar , care de data aceasta nu mai trebuie să fie perfect. Feţele sale , în număr de şase , le notăm astfel : faţa ,,1" prin al ' faţa 2 prin a2 ş . a . m . d . Aruncînd zarul de m a i multe ori , vom nota cu Xl faţa ieşită la prima aruncare , cu Xz f aţa ieşită la a doua aruncare etc . Să cons iderăm apariţia feţei ,,6" in primele 100 de asemen�a aruncăr i , adică apariţia eti­ chete i a6 printre prim ii 100 de termeni a i şirului { xi) ' Am notat cu n6 numărul acestor apariţii . Deci frecvenţa (relativă) a lui as printre primii 100 de termeni ai şirului "

,,

{ xJ} este � . 1 00

Conceptul de frecvenţă trebuie e l iberat însă de depen­ denţa sa faţă de numărul termenilor din şir consideraţi (n) . M ises face atunci următoarea ipoteză fundamentală :

Şirul poate fi extins în mod indefinit şi frecl'en ţa

ni

n

S/J

apropie de o limită pe măsură ce n tinde către infinit. Vom nota această limită cu Pi ' care se numeşte frecl'enţă-limită. Pentru von M ise s , ori de cîte ori este utilizat termenul de probabilitate, el se referă la o (limită de) frecl'enţă, şi această frecl'en/ă trebuie să fie aproximatilJ lJerificabilă , cel puţin conceptuaP. Dacă spunem că probabilitatea de apariţie a feţei ,,6" la aruncarea unui zar este -.!. , aceasta 5

implică faptul că, la aruncarea de 10 000 de ori a zarului , ,,6" va apărea de aproximativ 2 000 de ori . S ă observăm c ă î n v irtutea une i asemenea concepţii orice aserţiune probabilistă se referă nu la evenimente luate în mod izolat (de pildă o singură aruncare a unu i zar) , ci la clase întregi de evenimente similare . O asemene a interpretare acordată probab ilităţii se mai numeşte şi interpretare statistică. După cum se poate vedea , în acest fel conţinutul noţiun i i de probab ilitate apare extras d irect 3

R . VOD Mis8S, op . c i t . , p. 45 .

279


Logica polivalentlt

din experienţă , ceea ce a fieut pe mulţi să dea concepţiei cal ificativul de e m pir ică- o Concepţia filozofului şi logieianului german H . Re i­ chenbach , care ne va int eresa in mo d deosebit in cele c e urmează , pleacă tot de l a interpretarea probabi lităţ i i ca frecvenţă6 . După părerea s a insă termenul de probabi litate poate fi folosit în două aecepţii : una se referă la şirUF i l e de evenimente sau d e obiecte fizice (de exemp l u , ş irul de aruncări ale unui zar} ; în această accepţ i e c uv int u l t r e b uj e să fie interpretat ca referitor la o fre cven ţ ă re l a t iv ă . In cealaltă accepţie termenul "probabil itate" este a p l i c a t evenimentelor singulare sa u a ltor obiecte fizice singulare6• Deosebit de interesantă la Reiehenbach este , mai ales din punctul nostru de vedere , următoarea observaţie . Cînd interpretez probabil itatea ca frec venţă , ea apare ca o pro­ prietate a unu i şir de e ve n i mente . Putem cons idera Însă în locul acestor evenimente propoziţiile ca re afirmă că au avut sau vor avea loc. De p ildă, in lo cul evenimentu lui care constă in apariţia feţei "f;' la arunc a re a unui z a r , s ă consi derăm afirmaţia tv a apărea faţa ,,6" l) , ş i astfe l s ă facem d in probabi litate un mod de evaluare (rating) a propoziţi i lor . Interpre tarea aceasta a probab i l ităţi i este numită de R e i ch e nb a c h interpretare logic ă. De fapt primul care a avut ideea une i asemene a inter­ pretări a fost G. Boole . Iată ce s cr ia e l : "Există o alt ă formă în baza căre ia pot fi e xa m i na t e toate prob l e m e l e teoriei probabil ităţi lor : această formă constă d in a substitu j ·

, Nu putem intra in discuţia acestei concepţii �i a laturi lor controversate . Menţionăm doar eli. ea imp lică o anu m e l im i­ in domen i ul apl icabilitălii noţiunii de p ro babi l itate . 6 Ea a fost ex p u s ă de H . Reichenbach mai intîi în l u craTea Wahrsche in/ichke its lehre , Leyden , 1935, iar ap oi revizuită ş i com­ p let.ată , ţ inînd seama de criticile ce i a-au fă c u t , î n The Theory of Pro bability, Berkeley - Los Angeles, 1949 (c itatele l e vom da d u p ă aceasta din urmă) . Este de remarcat că, î n c iuda cri t ic ilor făcute p r im e i lucrări, autorul menţine punctel e importante a l e concepţ i e i sale despre probabilitate . a H. Reicbenbacb, op. ei'. , p. 388. Această din u1'lllă accepţie

sale tare

o

vom discuta in

2 80

* 8 .4 .


8.1.

Noţiunea de probabilitate

evenimentelor propoziţiile care afirmă că aceste evenimente au avut sau vor avea loc"' . Interpretarea probabilităţ i i pe planul logic a ma i fost intreprinsă şi de alţ i cercetători , printre care trebuie men­ ţionaţi În primul rînd J. M. Keynes şi H . Jeffreys . E i o cons ideră ca p e o re laţie logică obiectivă între două pro­ poz i ţ i i . Asupra punctulu i l or de vedere vom reveni in * 8 . 4 . D e această problemă s-a ocupat, d e asemenea , logicianul ş i f ilozoful R. Carnap . El găseşte pe l îngă interpret:nea probabi l ităţ i i ca frecvenţă )li o altă interpretare logică . ş i anume ca "grad de confirmare" (degree of confil'mation) al unei propoziţi i de către o altă propoziţie . Acest concept este , după Carnap , semantic , adică bazat pe înţelesul lui , ş i logic , adică independent de fapte� . Dar să revenim l a concepţia l u i Reichenbach . Pentru a degaja noţiunea de probabi litate , el consideră de mare aj utor metoda s imbolică . Prin extensi une , metodele log i c i i s imbolice folosite de noi pînă în prezent pot include o caracterizare a judecăţilor de probabi litate . Să vedem cum . Mai întîi să observăm că o j udecată de probabi litate are forma une i implicaţi i . Numai că spre deosebire de i mp l ica­ ţia logică care afirmă : dacă propoziţia a este adevărată , atunci şi propoziţia b este adevărată , implicaţia de pro­ babi litate afirmă : dacă propoziţia a este adevărată , atunci propozi ţ ia b are probabilitatea p9. În cazul zaru lui , de pildă , am afirmat : «(dacă arunc zarul , atunci apariţia feţe i ,,6" are probabi litatea p ) . Pentru acest motiv Reichen­ bach notează implicaţia de probabilitate prin s i mbolul impl icaţi e i logice ,,� " tăiat cu o l inie orizontal ă , specifi­ c înd dedesubt ş i gradul de probabilitate p : , ,-3- " . p Implicaţia de probabilitate are loc , aşadar , Între cele două propoziţii a şi b . Amîndouă afirmă producere a a două 7 G. Doolf', A n Inves t iga t ion of the Laws of Tought on which are Founded the Ala thema tÎcal Theories of Logic and Proba b i lities ,

London , 1 8 5 1,. , p . 247 .

8 R. [unllp, Logica l Foundat i ons of Proba b i l i t y , C h icago , 1 9 5 0 , cap . I I ş i în special § 9 şi § 1 0 . v N e vom ocupa a i c i doar d fl interpretarea log ică a probab i l i­

tăţi i , ad ică apl ica lă nu even imentelor înseş i , c i propoz iţiilor despre

evenimente.

281


Logica polivalentă

evenimente . Primul este aruncarea zarului. Dar nu este vorba de o anumită aruncare individual izată , ci de una oarecare . Prin Urmare ea afirmă că un even iment x aparţine clasei aruncărilor A : x E A . Este a i c i un grad de nedeter­ m inare asemănător celui menţionat c înd am vorbit de funcţia propoz iţională . De fapt această propoz iţie poa,!-e fi scrisă şi sub forma unei funcţii propoziţionale : fx. In mod analog afirmaţia produceri i celu i de-al doilea eveni­ ment - apariţia fe ţe i 6 - , prezentînd acelaşi grad de nedeterminare , poate fi s imbolizată prin Y E B sau gy. Legătura d intre ele constituie j udecata de probabilitate : «dacă arunc zarul , atunci apariţia feţe i ,,6" are probabili­ tatea p » ş i va f i notată , utilizind s imbolul introdus de Reichenbach, prin ,,

"

XE A�Y E B p

s

au

fx � gy p

Dar am văzut , studiind interpretarea prin frecvenţă a probabilităţi i , că o asemenea afirmaţie de probabilitate c onţine de fapt un ş ir intreg de evenimente . Cu alte cuvinte , e venimentele x se ordonează Într-un şir Xl ' x2 " ' Xi . . . ; la fel ş i evenimentele y în ş irul Yl ' Y2 . . . , Yi . . . , fiecărui Xi corespunzîndu-i un Yi b ine determinat . Judecata de pro­ babil itate afirmă de fapt relaţia :

Xi E A � Yi E B p

pentru toate perechile de evenimente corespunzătoare d in c e l e două ş iruri , ceea c e Re ichenbach notează pe scurt prin :

(i) ( Xi E A � Yi E B) p

Prin urmare j udecata de probab i litate este o implicaţie generală între afirmaţi i cu privire la apartenenţa la nişte c lase a elementelor anumitor şiruri date10• 10

282

H.

Reieheobach, op.

ci t . , p .

46.


8.1.

Noţiunea de

probabilitate-

Pentru motive de economie vom scrie acelaşi lucru prin sau

P (A , B)

=

P(fXi ' gYi)

p

=

p

Expresia P( A , B) se va c iti "probabil itatea de la A la B" ş i reprezintă o relaţie : relaţia de probabilitate . Este cee a ce în literatura de specialitate se numeşte probabili­ tatea relatiyă sau condiţionată a lui B faţă de A . Se mai întrebuinţează , de asemenea , şi probabilitatea absol u tă. însă numa i ca un mod abreviat de a vorb i , cînd c lasa A (sau clasa de referinţă) este subînţeleasă , şi anume c înd toate propoziţiile Xi E A sau (xi s înt adevărate . Cum o propoziţie adevărată poate fi scrisă sub forma a V ă ( "a sau non-a" , principiul terţiului exlus) , probabi l i tatea absolută poate fi definită în fe lul următor :

DfProbabilităţile se bucură de c îteva proprietăţi impor­ tante . Pentru a le degaja nu este necesar să presupunem una , anume , d intre d iverse le interpretări ale acest e i noţiun i . Este suficient s ă presupunem adevărate cîteva proprietăţi fundamentale , a dică valabile d in punctul de vedere a l oricărei asemenea interpretăr i . S e constituie astfel un s istem axiomatic . S-au c o ns tru, i t d iverse a s e men ea s isteme axiomatice . Primu l , după cum a m ma i spus , este datorat. l u i A. N . Kolmogorovll. La baza lui au stat o serie de a lte cercetări , în principa l cele a le lui Gibb s . I-au urmat o serie de modificări şi completări d intre care menţ ionăm pe ce l e ale lui Fine tt i , Reny i , Oniceseu . î n u l t i m i i a n i , prof. O . O nicescu a elaborat în această priv inţă un nou punct de vedere asupra a ceea ce trebuie să înţe legem , d in p unct de vedere matemat ic, printr-un calcu l p robab i l is t . Astfel el îmbracă Într-o privire un itară gama foarte variată a neces ită­ ţ ilor d iscip l inelor ce se servesc de acest. instrument. Iată p e scurt În ce constă acesta12 • 11 A. N. Kolmo/(orov, Grundbegriffe der lVahrscheinlichkeil$­ rechnung , Berl in, 1 93 3 . 12 Datorăm prof. O n icescu scurta expunere ce urmează asupra cercetărilor sal e .

283


Logica polit)alentă

Pentru a face teoria prob a b i l ităţilor, trebuie m a i int i i să precizăm , în măsura p o s i b ilulu i , care este structura a lgebrică a evenimentelor (sau propoz iţii lor despre acestea) suscep tibile d e probab il izare într-un s istem de as tfel de propoz i ţ i i , î n care vreau să definesc o prob a b i l itate . Prec izarea trebuie să fie suficient de intinsă, p entru ca, pe măsura unu i proces la care evenimente le sint sup u s e , să pu tem ext inde s i s temul de evenimente la o struc­ tură algebrică anumită (în care even imentel e satisfac legile de comutat iv i tate, asociativ i ta te , d istributiv itate etc . , structură c are in cazul acesta se numeşte latice relativ comp lementatăJ 13. Ace s to r evenimente l e p utem a tribu i eventual măsuri finit aditive, care reprez intă o estima ţie teore t ic ă sau practică a eve­ n imentelor respective in cadrul unu i fenomen d eterm inat . P entru matemat i c ian p onderi le evenimentelor relativizate la un even iment fundamental pot căpăta semnifica ţia d e probab i l i ta t e . Această probabi l itate, astfel defin ită , are p roprie t ă ţ i l e c las ice a l e pro­ babilităţ ii p entru sis temul de evenimente relativ izat la eveni. mentul fundamenta l . U n proces a lea tor este cons t i tu i t d in tr-o succesiune d e eveni­ mente a l e l at i c i i re la t iviz a te la o succesiune de evenimen te fundam entale care se amp l ifică pe măsura desfăşurăr i i procesu l u i . Probab il ităţile resp e c t ive a l e proces u l u i urmează ş i e l e procesu l de sch imbare corespunză tor. Teoria aceasta a fost o b l igată să-ş i creeze un ins trumen t c a n­ t itativ care să reprez inte mărim i l e asoc i a te d iverselor evenimente . î n teoria c las ică , mărimile sînt reprezenta te prin fun c ţ i i măsu­ rab ile def inite p entru punctele spaţiu l u i evenimentelor e l ementare şi poartă numel e de varia bile a leatoare. Ele sînt suscept i b ile de va/ori med i i , de abateri, de a bateri medii pătratice. Variab ilele aleatoare p ierd orice sens în cadrul teorie i l u i O n icescu şi sînt înlocuite cu funcţii sumă care sint, ca şi probab ilită ţ i l e , va lori a d i t ive de evenimente care se anulează odată c u proba b i l i tatea acestor eveniment e .

Reichenbach îsi fundamentează s istemul său de calcul al probabi l ităţil� r pe cîteva axiome destul de s i mple , dar d in care se pot deduce , pe bază de regu l i s imbolice , toate proprietăţile probabi l ităţi i ca frecvenţă . Ceea ce î i conferă un p lus d e vigoare ş i conc izi e . Noi n u p utem intra a ici în dezvoltarea matematică a acestui calcu l , dar vom util iza anumite relaţii între probab i lităţi ce se pot deduce in interiorul său şi de care vom ave a nevo ie în expunerea logicii probabilităţilor . la

o . Onicescu,

Princip i i le

Academiei, Bucure ş t i , 1 969 .

284

teoriei

pro babi lită ţ i lor,

Editura


8.2. Constituirea logicii probabiliti1ţilor

Prin l og i c a p r ob ab i l i tăţilor Reichenbach înţelege trans­ punerea legilor calculului pro bab i l i t ăţ i l or în limbaj logic . Ca urmare se obţine o logică p o l ivalentă c u o infinitate de va lori , proba b i l ităţil e , adică toate numere le cuprinse Între O şi 1 .

* 8.2. Constituirea logicii probabilităţilor După cum am văzut , R e i chenbach a deră , în ceea ce priveşte noţiunea de probab i l itat e , la interpretarea sta­ t istică a l u i von M ises , după care probab i l itatea este o propr i e tate a unui ş i r de even imente , ş i anume o frecvenţă re lat ivă . Trec în d de la even imente la propoziţ i i d e s pre even i m ent e , proba b i l itatea devine o proprietate a unUl şir de asem ene a propoziţ i i . Din acest motiv este recoman· d a b i l să constru i m d in p unct de vedere tehnic l o g i c a pro­ bab i l i t ă ţ ilor p l e c înd nu de la propo z i ţ i i luate separat . c i de la ş irur i de propoz i ţ i i considerate ca n işte entităţi14• F i e , aşad a r . două ş i rur i de propoz i ţ i i pe care , urmînd notaţia l u i R c i chenbach , le vom scrie astfe l : pe s curt (hzi ) pe s curt ({xi) ' a d i c ă sllb for'ma a două func ţ i i propoziţionale IL ş i f, a l e· căror argumente z ş i x au dre p t va lor i , pe r înd , e lemente!.: ş iruri lor ZI ' Z 2 , Z i ' " ş i respectiv Xl ' x2 , . , Xi . . . Atun c i proba b i li tatea relativă a ş i r u l u i ((Xi ) faţă d e şirul (hzi) v a f i notată , u t i l iz înd s i mbolul P : P( (hzj ) , ({xi) } s a u p e scurt P(hzj , fx; ) 15 . Ea va reprezenta , după definiţia l u i v o n Mises adap tată caz u l u i de faţă , frecvenţa propoziţii lor ro; a devărate dintr-un subşir pre l ev a t d in ş iru l ({Xi ) , d u p ă urm ătoarea regu l ă : e l este forma t d i n •

. . .

. .

1 4 H . Rei<·henbae J- . o p . c i ! . , p . 395 . 16 V edeţi * 8 . 1 . R e i c h enbac h atrage: atenţia asupra faptului c ă. ar treb u i să scriem P ("hzj" , ,,(xt) , punînd în ev idenţă fap tul că acum n e referim la propoziţiile despre even imente ş i nu la even i­ m entele înse ş i . C e e a C e nu sc h imbă Însă cu n im i c modul de tratare al pro b l eme i .

285


Logica polivalentlf

:ace i termeni {xi ' pentru care termeni corespunzători (cu acelaşi indice) hz; din şirul (h�) s înt propoziţii adevărate . Pentru a înţelege m a i b ine această definiţ ie , să con­ s iderăm un caz particular , şi anume cel În care toate şiruri le de propoziţii s înt formate din c îte n termeni şi dec i sînt finite . Cum se calculează în acest caz probabilitatea P (h�, (Xi)? Eliminăm mai întîi din şiru l ({Xi) termeni i .corespunzători propoziţiilor false d in şirul (h�) 16. Obţinem un nou şir - o parte a şirului ({Xi) - care poate avea ma i puţini sau ce l mult n terme n i . Probabil itatea P (hzi , (Xi) va fi atunc i exact frecvenţa propoz iţiilor adevărate în acest nou şir, adică raportul d intre numărul propoziţiilor adevă­ rate şi numărul tuturor propoziţiilor (adevărate şi false) d in e l . Vom num i probabilitate (absolută) a şirul u i ((Xi) frec­ venţa propoz iţiilor adevărate d in e l . Se poa te imediat observa că aceasta echivalează cu presupunerea că în şirul (hzi ) toate propoz iţ i i l e s înt adevărate , au forma a V ă17 • Prin urmare probabi litatea (absolută) a şirului ({Xi) poate f i definită cu aj utorul probab ilităţii sale re lative astfe l :

Df. 'Cînd şirurile de care ne ocupăm au fiecare cîte n termeni , probabi litatea oricăruia d intre e l e poate lua doar n + 1 valor i , şi anume : o

1

n-1

n

n

n

- , - p . . . . . ,

n

, ; n

prin urmare logica pe care vrem s-o construim va fi în acest -caz ( n + l)-va lentă . între cazul finit pe care îl tratăm acum şi cel infinit ·există cîteva deosebiri esenţia le pe care este b ine să le punem în evidenţă . Existenţa limitei frecvenţe i propo1 8 I n logica de care n e ocupăm acum se presupune că prop oz i­ ţ iile p'ot lua doar două valori de adevăr : adevărul şi falsu l . 17 î n notaţiile l u i Re ichenbach prin "a" s imbo l izăm o propo­ :ziţie oarecare, iar prin "ii" negaţia sa (non-a) . Aşa încî t "a Vii" -este princi p iu l terţiului exclus "a sau non-a" şi dec i o propoz iţie adevărată .

286


8.2. Constituirea logicii probabilitătilor

ziţiilor adevărate din orice şir este în acest caz în mod banal asigurată ; am văzut şi ce valori poate lua . Ordinea e lementelor oricăruia din aceste siruri nu influentează cu nimic această limită . Limita e�te 1 atunci si n� ma i atunci cînd toate propoziţiile sînt adevărate ; de �xemplu� în cazul şirului ((Xi) , cînd funcţia propoziţional ă respectivă are loc pentru toţi Xi ' sau cum am mai s p us noi , este "universal validă"18 . Ea este O cînd toate propoziţiile sînt false . Prin urmare , în cazul f init nu există nici o deosebire· intre implicaţia generală şi o implicaţie de probabilitate de gradul 1 . C înd n = 1 , deci şirurile de propoziţii conţin doar cîte un s ingur termen , logica obţinută va avea doar două valor i - cele două frecvenţe posibile în acest caz O şi 1 . Astfel că adevărul şi fa lsul pot fi privite drept cazurile-li­ mită de probabi litate cînd şirul se reduce la un singur element . Acum să revenim la cazul infinit. Bazîndu-se pe opera­ ţiile logice între propoziţii (disjuncţia , conjuncţia etc.) � Reichenbach defineşte anal ogele lor pentru şirurile de propoziţii . Fie (fxi ) şi (gy; ) două aSemenea şirur i . Vom nota prin : (fXi) V (gYi ) d isj uncţia lor logică , prin (fxi ) . . (gYi) c onjuncţia lor logică , prin ((x; ) ::l (gYi ) implicaţia lor , prin (fxi ) == (gYi ) echivalenţa lor . Negaţia , Reichenbach o notează printr-o bară pusă deasupra şirului respectiv : (fxJ pentru negaţia lui ((Xi) ' Definiţiile acestor operaţii s ili t următoarele : -

(fXi) V (g Yi) = (fx; V gYi) (fx;) . (gYi) = (fXi . gXi ) (fXi) ::l (gYi) = ((Xi ::l gYi) (fXi ) = (gYi) = (fXi gYi ) ==

Df· D(. Df·· D(.

Cu alte cuvinte , operarea logică a două şiruri reprezintă şirul obţinut prin operarea logică a perechilor de elemente 1 8 Vedeţi

* 3 .1 4 .

287


Logica pOHvalentll

corespunzătoare . Acelaşi mod de defin iţie se aplică ŞI rn cazul negaţiei ((Xi) = ((Xi )

Df·

în acest fel , pe baza definiţiilor date , putem cons idera probabilitatf'a une i d isj uncţ i i , conju ncţii e lc . de ş iruri de propoz iţi i . Spre exemplu P( (f.Ti) V (gYi) ) va f i , conform definiţi e i d isj uncţiei de şirur i , egală cu P(fxi V gYi) ' Re i­ chenbach procedează şi i nvers . Anume , pornind de la probab i l itatea relativă a două ş irur i ((xi) şi ( g Yi ) , P (fXi ,g Yi) , a

căre i se mnificaţie am unmăr it-o la începu tul acestui paragraf, el der ineşte o nouă opera ţ ie intre ş i r ur i , pe care o notează , din motive pe ca re le vo m înţe lege imed iat , printr ·o virgulă " , " . Şi anume (fxi ) ' ( gY i ) reprezintă un nou şir de propoz iţii astfe l definit incit P ( (fxi) , (gYi) )

=

P ({xi ' gYi) I nţe lesul operaţiei , , , " este , după Re ichenbach , ace la a l une i selecţi i operate d e şirul ({Xi) î n şiru l ( gYi ) I 9 . Rolul acestei noi operaţ i i , specifice logicii . probab il i­ tăţi lor , este , după cum vom vedea , e s e n ţ i a l . In calculul probab il ită ţ i lor determ inarea probab il ităţ i i un u i e ve n imen t compus din două (sau mai multe) eve n imente neces i t ă p e l îngă cunoa;;terea probab il ităţi i acestora , cunoa,terea a c e l puţin încă une i proba b i lităţi refe r i toare la ele . Vom tran"pune acum , punct cu p unct , aceste cunoştinţe din ·ca lculul probabi l ităţi lor in l o gi c a probabi lităţilor2Q_ Pentru aceasta să cons iderăm două ş irur i de propoz iţii ( {Xi) ş i (g Yi) ale căror probab ilităţi (absolute) l e v o m presupune -cunoscute notindu-Ie re3pectiv cu p şi IJ . H C e ea c e p o a te f i u ş o r d e î n ţ e l es î n l u m i n a c e l o r s p u s e d e n o i la î nc ep u l u l a c e s t u i p ar-agl'a f , c î n d am v o rb i t d e c a l c u l u l p ro ­ bab i l i tă ţ i i rel ative . 2 0 P entru formu l e l e de c a l c u l u l p ro b a b i l i tă ţ i l o r ş i d em onstra­ rea l o r , v ede ţi s p re exem p l u , M. Io , ifcscu , Gb. Mihoc şi R. Tbr,o­ dorcscu, Teoria proba b ilităţilor şi s tatis t ica matematică, Ed. t e h n ică , Bucure� t i , 1 96 6 , p p . 1 0 - 1 7 .

288 '. -


8.2. Constituirea logicii probabilităţilor

Formăm, spre exemplu , şirul (fXi) V (gYi) care este prin definiţie (f:ei V gYi) ' Probabilitatea P(fxi V gYi) este dată , în calculul probabilităţi lor , de formula :

sau , ţinînd seama de notaţiile făcute , Prin urmare , calculul acestei probabilităţi necesită cunoaş­ Iterea lui P((Xi , gy�) , pe care s-o notăm cu u . în funcţie de p, q şi u pot fi calculate şi probabil ităţile celorlalte şiruri rezultate d in operarea logică a şirurilor ((:ei) şi ( gYi) ' Şi anume , pentru ele avem formulele :

P((:ei . gYi ) P«(:ei

:::>

P((:ei

=

gYi)

=

pu 1

(2) -

gYi ) = 1

P(gYi , (:ei) =

pu

q

-

P + PI/. p

-

1/.

(3) + 2pu

(4) ( 5)

Probabilitatea negaţiei unui şir de propoziţii este dată de P «(Xi) = 1

-

p

(6)

Observăm că , aşa cum in calculul propoziţional opera­

ţiile logice erau funcţi i de adevărul componentelor lor, t9t aşa în logica probabilităţilor , probabilităţile şirurilor de propoziţi i rezultate din compunerea altor şiruri s înt funcţii de probab il ităţile acestora din urmă . Deosebirea stă în faptul că aceste funcţii depind şi de o a treia mărime u. Ea peate fi privită ca o măsură a gradului de cuplare (d8gree o( coupling) între cele două şiruri . însă cele tre i argumente ale funcţie i de adevăr nu mai pot lua valori în mod independent unul de altul . între e le subzistă anumite relaţii provenite d in semnificaţia pe care le-am acordat-o : aceea de a reprezenta anumite probabilităţi. 289


Logica polivalentă

Astfe l , din relaţia (5) de mai sus rezultă că

pu q

trebuie să

reprezinte o probabi l itate , deci să fie ma i mică decît sau egală cu 1 . De unde prima cond iţie : u

q

< -

( 7)

p

D in faptul că p + q - p u este tot o probab ilitate - precum o arată (1) - rezultă că trebuie să fie Ş I ea tot mai mică decît sau egală cu 1, sau p+q-l< u (8) p Definiţia probabilităţii P(fx; , gy;) ne arată ca In cazul cînd cele două şiruri coincid val oarea sa trebuie să fie 1 . Deci ( 9) Î n total , aşadar , a m găsit trei condiţi i . Cînd s înt înde­ plinite , cunoaşterea valorilor p , q şi u ne dau posibil itatea determinării şi a celorlalte probabilităţi corespunzătoare operaţiilor logice cu cele două şiruri de propoziţii . Să urmărim acest lucru în cazul particular , c înd intervin doar două probabilităţ i : 1 şi O. Rezultatele obţinute le vom trece în tabele pl P ({;; ) = 1 - p I

I

q

P

u

I 1 1 O O I 290

1 O 1 O I

1 O ? ?

�I

::!

Il

R.

il -;:;;

� ;::-, I

I I

� - R. o.... II

I

1 1 1 O

I

o 1

tu)

b'I

>.. +

I

::!

R. � Il ..t[ o....

1 O O O

I

::!

II

R.

�+

� R. n I .�

�Q;- Il

1 O 1 1

Il + -- ::!

Il --

::! � I R. ..t[ :: I � III R. \1 I C'1 + .�

.�

�o.... Il

1

O

O 1

o....

1 ? O ?


8.3. Logica modalităţiloT

Ce observăm? Cînd spre exemplu p şi q sînt 1 (primul rînd d in tabelul de mai sus) , u va treb u i , conform con­ diţiilor (8) sau (9) , să ia , de asemene a , va loarea 1 . Deci îşi pierde caracterul său independent ş i toate probabili­ tăţile celorlalte opera ţ i i logice devin în acest caz perfect determinate doar de va lorile l u i p şi q . Să explicăm semnificaţia semnelor de întrebare ce apar in tab e l . De p i ldă cele din coloana a tre ia . Ele indică faptul că 1n aceste cazuri (cînd p = O) drept u poate fi luat orice număr aflat între O ş i 1. Aceasta nu va influenţa cu nimic asupra valori lor probabilităţilor ce lorla l te ope­ raţ i i . Spre exemplu , d isjuncţia va avea în acest caz pro­ bab i litatea P ([Xi V g Yi)

=

O +

q

-

O

.

u =

q,

care nu depinde decit de q . Aceste nedeterminări marcate prin semnele de întrebare apar numai pentru probab ilităţile p(r-Ci , gYi ) şi P (g Yi , [Xi ) ale operaţie i de selecţie . Celelalte operaţi i logice pe care le-am întîlnit şi în calculul propoziţional s înt perfect determ inate doar de valorile lui p şi q ş i au aceleaşi matrice ca şi în calculul propoziţional b ivalent21 . Prin urmare am regăsit logica b ivalentă ca un caz-limită a logic i i probabi­ l ităţilor .

* 8.3.

Logica

modalităţilor

După cum am observat , c înd p şi

q

i a u doar va lor i l e

1 ş i O , se obţine u n c a z degenerat a l logici i probab ilităţilor

(cazul în care toate operaţi ile logice sînt funcţi i doar de două argumente ; matrice le lor sînt identice cu cele din logica b ivalentă) . După părerea l u i Reichenbach , această situ aţie i-a împiedicat pe logicien ii care construiseră logici polivalente să aj ungă la o asemenea general izare22. 2 1 Vedeţi . 3 .3 . 2 2 I n logica p o l ivalentă a l u i E. ukas iewicz , de p ildă

(cap . 5 ) , operaţiile logice erau funcţii t o t de două argumente , nu de tre i , ca in l og ica prob a b i l ităţilor.

291


Logica polivalent4

Cînd trecem însă de la logica cu două valori de adevăr la cea cu trei ş . a .m . d . , apar cazuri în care valorile opera­ ţi ilor logice nu ma i s înt determinate doar de va lorile p şi q . în aceste cazuri u apare ca un parametru indepen­ dent . Aceasta face ne interesantă construirea unor astfel de logici avînd un număr finit de valori de adevăr. Singura plină de interes rămîne logica probabilităţilor avînd o scală continuă de valori . Şi totuşi , vom vedea , conside­ rarea modalităţilor într-o aSemenea logică ne conduce la un s istem ale cărui matrice au aceeaşi structură cu a logicii ce se obţine În cazul a trei valori de adevăr (n = 2) . Cu s ingura precizare că aceste valori de adevăr nu mai pot fi interpretate ca probabilităţi în sensu l de frecvenţe . Dar să vedem despre ce e ste vorba . Vom defini modal ităţile necesar (Ne) , posibil (Ps) şi imposibil ( Im) ca proprietăţi ale şirurilor de propoziţii . Ş i anume , vom c iti expresia M(f:ei) : "modalitatea şirului (f:eS' . Atunci definiţiile de care am vorbit sînt : [M(f:ei )

Nc] = (:ei)f:ei Df. Df . [M(f:eil = Ps ] = ( 3 :eilfx i · (3 :eilf:ei m = (xilfxi [M(f:eil = I ] Df . Prima ne spune că modalitatea şirului ({xil este necesar, dacă pentru orice :ei ' (Xi este adevărată , cu alte cuvinte dacă toate propoziţiile din şir s înt adevărate . Modalitatea sa este posibil dacă în e l apar atit prepo­ ziţii adevărate , cît şi false 23• î n sfîrşit, modalitatea sa este imposibil dacă toate pro­ poziţiile din şir s înt false . Cînd şirurile pe care le considerăm s înt finite , necesi ­ tatea echivalează cu probabi litatea 1 , imposibilitatea cu probabilitatea 0 , iar posibi litatea cu una oarecare d intre probabilităţile intermediare acestor valori.Cind considerăm Însă şiruri infinite , frecvenţa-limită a unui astfel de şir (deci probabil itatea sal poate să fie 1 fără ca toţi termenii să fie propoziţii adevărate . Necesitatea unui astfel de şir =

13 Aşa cum observă ş i Re ichenb ach , posib ilitatea definită astfel inseamnă doar posibilitate, adică că ea exclude necesitatea (op.

ciI . , p.

292

401 ) .


8.3. Logica modalitdţilor

impune o condiţie mai restrictivă decît aceea ca probabi­ litatea sa să fie 1 . Consideraţii ana loge privind ş i celelalte modalităţi ne duc la concluzia că ele nu pot fi interpretate ca n işte probabilităţi . Totu ş i , tabelele de adevăr ale logici i moda l ităţilor24 sînt perfect identice c u cele a le logicii trivalente obţinute pentru cazul cind numărul propoziţiilor din şiruri este n = 2 (cons iderînd evident În locul celor trei valori de adevăr 1 , � s' i 0 , cele tre i modalităt, i : necesa r ,

2

posibil şi imposibil) . M((Xi} M((Xi} lm

Ne

"'::1

i2 oi

Ps

Ps

Im

Ne

� I >

.t[ '-.; �

� 62 "-�

"--

Ne

Ne

Ne

Ne

Ne

Pa

Pa

Ne

Ne

Im

Im

Ne

Pa

Ne

Ne

Ne

PII

Ps

Pa

Im

Im

Ne

?

Ne

Im

Pa

?

Pa

Im

Im

?

Im

----

-- -- ---

-- ----

-- --- --- --

.!

"--

----

� oi

'-.;

Ne

"'::1 ;:r,

.......

.......

oi

"--

J[

Ne

Ne

Ne

n

-- --

l!l

"--

.!

Pa

Pa

P,

Ne

Im

Im rNe

Im

?

Pa

p,

1----

Pa

--

Im, P" Ne P', Ne lm, Ps Ps, Ne Im, Pa, Ne Im, Pa, Ne 1Pa . Im Im Pa Pa il --

Im

Ne

Im

Im

Im

Ne

Pa

Im

Im

Ne

Ne

?

-- ---

14 Modalităţile p ot fi apl icate tuturor operaţiilor cu ,iruri d e propoziţii: d isj uncţiei, conjuncţici etc . In particular, operaţ iilor de selecţie ((.ei' fIIi) , i (f!fi. (xi ) ' Numai el in ace.te c&2.uri apar

293


Logica polivalentlf

În rîndul din mijloc apar nedeterminările despre care am menţionat că sînt inerente l ogicilor cu un număr finit, m a i mare ca doi , de valori25• C înd şirurile ((xJ şi (gYi ) au modalitatea posibil, compuşii formaţi cu ele pot avea ma i multe modal ităţi, c eea ce corespunde , de fap t , înţele­ sului normal al lucrurilor. Spre exemplu , c înd două eveni­ mente sînt posibile , nu este determinat dacă conjuncţia lor este , de asemenea , posibilă, căci ele ar putea să se excludă reciproc . De asemenea d isj uncţia lor poate fi şi necesară . Dacă , de p i ldă , aruncăm o monedă , este necesar ca sau una sau cealaltă d intre feţele sale să iasă , dar este impo­ s i b i l ca să iasă amîndouă . Definiţi ile modal ităţilor po! f i aplicate şi compuşilor funcţiona l i de forma (Xi ' gYi ' In acest caz însă , termeni i d e rang i , pentru care (Xi este o propoziţie falsă , sînt înIăturaţ.i , căc i pentru e i tab e la de la p . 290 indică un semn de întrebare , compusul individual nema ifiind _o propoziţie şi deci operatorul M neputîndu-se apl ica . ln baza aceste i regul i , modalitatea compusului (Xi ' g Yi poate fi determinată, cu excepţia cazului cînd ({Xi) are modali­ tatea imposibil ( tabela de ma i S U S ) 26 . *

8.4.

Logica ponderii. Noţiuni preliminare

Logica probabi l ităţilor , aşa cum am văzut că este con­ struită , nu presupune în nici un fe l posibilitatea determ iexcepţi i . Cînd spre exemplu ((Xi) conţine doar propoziţii false , deci are m odalitatea impos i b i l , matricele d in paragraful precedent nu dau p entru compusul ([Xi , g y;) nici o yaloare determ inată , fapt însemnat printr-un semn de întrebare. î n logica modal ităţilor e l este, de asemenea , u n caz d e nedeterminare ş i d e aceea a fos t notat prin acelaşi simbol . 25 I n logica probab i lităţilor, cunoaşterea probabilităţi i com­ pusulu i ((Xi , g Yi) ne permitea aflarea probab il ităţi i oricăruia d in ceilalţi compu ş i pe baza formulelor (1 ) - (6) . î n logica modal i­ tăţilor, modalitatea l u i ([Xi ' g Yi) nu determină cu nimic modal ită­ ţile celorlalţi compuş i . 2 8 B. ReicheDbach , op . cit . , p . 405 .

294


8.4. Logica ponderii

nării pentru fiecare propozIţIe în parte a gradului său de adevăr sau probabilitate . Conform interpretării prin frecvenţă a probabilităţii , aceasta nu poate fi atribuită decît �irurilor de evenimente sau propoziţii despre even i­ mente , ceea ce restrînge , fără îndoială, domeniul de aplicaţie a logici i probabi l ităţilor , Reichenbach găseşte însă că o astfel de gradare a ade­ vărului une i propoziţii este cîteodată foarte natura lă , iar principiul dihotomie i , după care no i clasificăm orice afirmaţie în adevărată sau falsă , este doar unul d intre modurile posibile de a proceda . Putem însă apela la o verificare cantitativă , ordonînd fapte �e în raport cu gradul în care satisfac afirmaţia respectivă . In felul acesta putem atribui afirmaţiei un grad de adevăr dep inzînd de fapte le Qbservate . Pentru a înţelege mai b ine , să analizăm urmă­ torul exemp l u . Un ţ i nta ş spune : "Vo i lovi în centru" , După tragere măsurăm distanţa r d intre punctul lovit şi centrul ţ intei ; r reprezintă o măsură a gradului de adevăr Pentru a obtine numa i al afirmatiei făcute de tintas. ' valori cuprinse Între O şi 1 , p� tem tot atît d � bine considera drept măsură :expresia 1 1 + r

_ , _

Se pune aCUm problema construirii une i logici a proba­

b i l ităţilor pentru propoziţiile individuale ; adică, în care locul ş irurilor ( infin ite) de propoziţii îl vor lua propo­ ziţiile indiv iduale . Reichenbach o construieşte pr intr-un transfer fictiv a 1 proprietăţilor ş irurilor de propoziţii, propoziţiilor ind iv iduale. Spre exemplu , vom putea scrie de aici încolo P(a) = p, unde a este o simplă propoziţie ; p va măsura astfel ponderea propoziţiei a . Dar ce semni­ ficaţie probabil istică mai poate avea o asemenea pondere? Reichenbach analizează în amănuntime această chestiune 27 • Valoarea pr incipală a j udecăţi lor d e probah i litate s tă În posibilitatea de a prevedea un fapt. Sub acest aspect unii au privit aplicarea probabilităţilor evenimentului s ingular ca pe un "grad a l aşteptării" (degree of expectation) evenimentului , ceea ce face d in ea Însă o mărime greu de apreciat obiectiv . Aşa cum observă Reichenbach, dacă 27

Ibidem ,

§ 71.

295


Logica polivalentii

putem ajunge să corectăm aprecierea acestei aşteptări la j usta e i valoare , atunci trebuie să existe şi o interpretare a probab i l i tăţ ii independentă de e a . U n al doilea mod d e a privi probabilitatea evenimen­ tului singular stă în enumerarea completă a termenilor unei disjuncţii dintre care nu avem motive să preferăm pe vreunul . Este cazul clasic al zarului perfect, care , oda tă aruncat , poate cădea cu oricare d in cele şase feţe ale sale . Î n sfîrşit, un al treilea mod constă în renunţarea la a defini noţiunea de probabilitate cu aj utorul a ltor concepte ; deci de a o lua printre noţiunile primitive ale teorie i . Cînd spunem , aşadar , că probabil itatea ca un eveniment să aibă loc este p (spre exemplu să apară faţa ,,6" cînd arunc facem o af irmaţ i e cu un înţeles de sine un zar este

�) .

stătător , asemenea înţelesurilor celorlalte noţiuni primi­ tive din logică . Se mai spune că legile probabilităţi i ar constitui o log ică cantitatipă , bazată pe o evidenţă proprie , asemănătoare celei d in logica obişnuit ă . Sus ţinătorii unor astfel de idei sînt J. M. Keynes , H . Jeffreys şi alţi i . Reichenbach respinge însă toate aceste explicaţii . După părerea sa , s ingurul mod p lauzibil de a interpreta noţiunea de probabilitate este frecpenţa . Am văzut însă că acesta se referă nu la un eveniment singular , ci la o clasă întreagă de evenimente . Aşadar , probabilitatea evenimentului singular (sau propoziţiei despre acesta) este un pseudo con­ cept, care trebuie înlocuit printr-un substitut construit în termenii probabilităţilor unor clase . Vom considera cazul individual drept limita unor clase , devenind d in ce în ce mai restrînse . Problema alegeri i acestora , numită. de Reichenbach "problema clasei de referinţă" (tha problam of reference clasa) , este destul de complicată şi nu putem intra aici în detalii. Reţinem doar atît : judecata despre probabilitatea cazului s ingular nu are un înţeles de sine stătător, ci reprezintă un mod eliptic de exprimare. Pentru a-i acorda totuşi un înţeles , ea trebuie tradusă printr-o afirmaţie despre frecvenţă într-un şir de evenimente , în aşa fel încît afirmaţiei despre probabilitatea cazului sin­ gular i se acordă un sens f ictiv, obţinut prin transferul înţelesului de la cazul general la cel particular. Acest mod !96


8.5. 7'autologiile din prima categorie

de a proceda este , după Reichenbach , j ustificabi l , dar nu pentru metive de cunoaştere , ci din motive pragmatice28• Logica obţinută d in logica probabilităţilor prin acest transfer este numită de Reichenbach logica ponderii. Logica ponderii �i logica �irurilor de propoziţii au aceeaşi structură : olceleaşi reguli de calcul şi aceleaşi legi . Cu un cuvint, sînt izomorfe . Aşadar , de aici încolo le vom trata sub numele .omun de logica probabilităţilor .

*

8.5.

Tautologiile logicii probabilit�ţilor. Oeducerea tautologiilor din prima categorie

Constituenţii logici i probabilităţilor (şiruri de propo­ ziţii sau propoziţii simple) vor fi notaţi prin a, b, c etc . Lor l i se aplică operaţiile logice : disjuncţia , conjuncţia , implicaţia şi echivalenţa , precum şi operaţia de selecţie Dotată a ,bZ9• Ele sînt funcţii de adevăr care depind de trei argumente , şi anume de p = P(a) , q = P(b) şi u = P(a , b) ; p , q şi u nu pot avea , după cum am văzut , orice valori , c i doar acelea pentru care sînt îndeplinite condiţiile30 : =

u <. !L

(7)

p + q- 1< u

(8)

P(a,a) = 1

( 9 ')

p

p

2 8 Ibidem , p . 2D

377 .

Operaţia de selecţie pentru propoziţii rezultă prin transferul fictiv al operaţiei de selecţie pentru şirurile de prop oz iţi i . Valoarea sa de adevăr pentru cazul cind a şi b iau doar valorile 1 şi O este dată prin definiţie de valorile corespunzătoare d in coloana a treia a tabelei din .8 . 2 . C u excepţia cazului cînd a = O şi in tabela respectivă apare semnul "P" j atunci compusul a, b nu se consideră definit. 80 Vedeţi . 8 . 2 .

297


Logica polivalentl1

[n acest caz , probabilităţile celor şase operaţii cu a şi b s int date în funcţie de p , q şi u de următoarele formule : P(a V b) = p + q - pu

( 1 ')

pu

(2')

p + pu

P(a = b) = 1 - p - q + 2pu

( 3') (4 ')

P(b ,a) = pu

( 5 ')

P(a . b) P(a

::>

b) = 1

=

-

q

P ( ă)

=

1

p

-

( 6 ')

în particular, cînd p şi q iau doar valorile 1 şi O, se obţin probabilită ţile Înscrise în tabela de la *8.2 . Vom putea acum defini tautologiile logicii probabili­ tăţilor în perfectă concordanţă cu tautologiile logicii bivalente (şi cu ale oricărei logici polivalente) . Ele s int acele formule care capătă probabilitatea 1 indiferent de probabil ităţile pe care le iau constituenţii lor . Să urmărim Insă modul specific în care le tratează Reichenbach . Mai întîi el le împarte în două categor ii. Celor d in prima categorie le corespund analoge în logica b ivalentă obiş­ nuită . Numai că , spre deosebire de acestea din urmă, nu -sInt puse sub forma s implă a unor formule de calcul pro­ poziţiona l , ci sub forma unor identităţi ce stabilesc că proba b i l i ta tea une i asemenea formule este 1 . De exemplu : P (a V a)

=

1

A doua categorie de tautologi i exprimă relaţi ile există între d iverse probabilităţi ; de exemplu :

P ( b) = P (a ) • P (a , b) + [ 1

-

ce

P(a) ] P (a , b) •

Ne vom ocupa mai întîi doar de primele , arătînd cum pot fi deduse d in formulele l ' 6 ' şi din tabela de la *8.2 . Orice tautologie a logicii b ivalente conduce la o taut o­ logie a logicii probabi lităţilor ; de pildă : -

P (a . a

298

=

a) = 1


8.5. Tautologiile din prima categorie

Aceasta poate părea evident dacă ţ inem seama de faptul probabilitatea oricărei expresii compuse este 9 fUllcţie de probabilităţile componentelor , funcţie care , aşa CUm o arată tabela de la *8.2 , coincide , în cazul cînd compo­ nentele iau doar valorile 1 şi O, cu funcţia corespunzătoare de adevăr din logica b ivalentă . Noi Însă vom demonstra formula de m a i sus arătînd cu acest prilej de ce trebuie adăugată logicii probabilităţilor condiţia P(a , a) = 1 . în demonstraţie utilizăm , aşa cum am mai spus , ega l ităţile l ' 6 ' , precum şi reguta de substituţie (aşa cum apare ea în orice calcul propoziţional). cii

-

P(a .a)

=

P(a ,a) P(a .a) În P (a ,a)

=

(coni. 2 ')

P(a) . P(a,a) =

=

1

(9')

P(a) '

(10)

1 , substituind pe a cu a . b , obţinem. P(a . b , a . b)

P(a . b , a . b)

=

=

1

P(a . b , a) . P(a . b .a , b) (conf. 2')

Deci produsul din membrul drept este 1 şi cum niei UJIlu) din factori nu poate fi m a i mare ca 1 (fiind vorba de nişte probabilităţi) rezultă : =

P(a . b , a) P(a . b .a , a) Substituinrl în

pr i m a

1

=

1

d in e l e pc b cu

P(a .a , a)

=

a,

rezu ltă

1,

care împreună cu (10) pe baza lui (4') demonstrează tau­ tologia P(a .a

=

a)

=

1

Observăm că , dacă am fi putut înlocui în paranteză cu echivalenta sa a, demonstraţia ar fi fost imediată .

G .G

299


Logica polivalent4

Să studiem atunci in cele ce urmează : Regula înlocuirii expresiilor echil'alente . In logica probabilităţilor această regulă are următorul enunţSl . Dacă formula : (11) P(b = c) = 1 ,este deductibilă, deci o tautologie , putem înlocui b cu c in argumentul oricărei probabilităţi avind valoarea 1 , fără să-i schimbăm valoarea. D6monatraţi6. Vom arăta mai intîi că dacă (11) are loc, atunci P(b) = P(c)

Notăm : P(b) = p , P(c) = q , P(b,c) = u , P(c , b) = v . Atunci din (11) ş i (4') rezultă : 1

-

p

-

(12)

q + 2pu = 1

u = p+q

(13)

2p

Prima condiţie restrictivă ( 7 ) dă u <. ...!l... p

tn CQre , fădnd s ub stituţia indicată de ( 13) , găsim: ( 14) p <. q . Fi ind vorba de o probabilitate , O� u�1 şi conform (5') , v q <, 1 u= p

v Il

lentA

.•

300

<. E . q

Dup A oum am=văzut (.3 .7) , ea era valab ilă şi

(15) I n logica

b iva­


8.5.

Inserînd pe

U =

l"q p

-

Tautologiile din

prima

categOTie

în (12) căpătăm

1 - p - q + 2qv = 1 v =

Din (15) şi (16) Din (14) şi (1 7)

p + q

2p

( 16 )

q <. p

(1 7)

p = q e . e . t .d .

Deşi p apare la numitor în ( 13) , concluzia este valabilă şi pentru p = 0 , căci atunci neapărat q = 0 , altfel

u =p �

+ 2p

q

n-ar putea fi <. 1 .

Şi acum vom arăta că dacă (11) are loc , atunci P(b,c) = 1 ŞI

P(e , b)

=

1

(18a)

(18b)

Ceea ce , în ipoteza că p > 0 , rezultă imediat din (13) , (16) şi faptul că p = q . De asemenea, se poate arăta că dacă ( 11) are loc, atunci P(a ,b) = P(a,c)

(19)

Mai întîi , dacă P(d) = 1 , atunci P(a , d) = 1 , oric�re ar fi a cu P(a) > 0, căci din a doua condiţie restrictivă rezultă că dacă P(d) = 1 atunci P(d,a) = P(a) ; dec i , în baza formulei (5 ') , P(a ,d) = 1 . In particular , luind drep t d pe b - e, şi cum (11) ne asigură de indeplinirea condiţie i P(d) = 1 , pentru orice a cu P(a) > ° avem P(a , b = c) = 1

(20)

Pentru a putea manipula probabil ităţi de tipul a cesteia , adică în care după virgulă apar propoziţii compuse , Reichenbach utilizează următoarea regulă drept adaus la regula de substituţie . Regula IX : Dacă se poate deduce o relaţie între probabi­ lităţile P(x1) , P(x2) . , atunci fiecare Xi din acestea poate . .

301


Logice polivalentd

fi subst itu i t prin a , xi cu cond iţia ca a să f i e în t oate aceste expresi i acela� i . Expre s i ile de forma a ( :IJ ,y) car" pot rezulta d in asemenea substituţ i i vor fi înlocuite prin a :ll , y32 . Apl ic înd această regulă ş i notînd .

P(a ,b ) = p , P(a , c) = q , P(a . b ,c) = u, P(a .c ,b) =

v,

relaţia (20) poate fi scrisă sub forma ( 12) , d i n care , par­ curgînd acelaşi şir de raţionamente , obţinem (19) . (19) , pe baza ega l ităţ i i ( 5 ') , dă

P(b,a) dacă

=

P(c ,a)

P(b) > O ŞI P(c) > O .

C u rezultatele ob ţ inute pînă în prezent rezultă imed iat că dacă (11) are loc , atunci

P(d . b = d .c) P(d V b = d V c)

=

1

=

1

La fel ş i celelalte cond i ţ i i n � cesare aplicăr i i regulei de tnlocu ire33•

S � poate arăta de asemenea - noi n-o vom face - că relaţiile obţinute rămîn va lab ile şi fără condiţii le pe c are le-am pus în cursul demonstra ţ i e i ca anum ite probabilităţi să f i e nenu l e . Reichenbach introduce :

Regula �. Dacă o formulă este der ivabilă pentru atu n c i ea are loc şi pentru P(a) O.

P(a)

>

O,

=

Util izînd regula d e Înlocu ire , S I-'. p o t dcduce a nalogele tuturor tau tolog i i lor d in l og i ca b i va l entă sub forma unor tautolog i i d in prima categor ie . SZ S pre exemplu, inlocuind în proba b i l i tatea P ( b , e) p e b cu .,b obţinem , confo rm acestei regu l i , P ( a . b , c) . 33 Demonstrarea regulei de inlocuire a expresiilor echivalente Intr-o formulă a ca lculului propoz iţional se poate face prin inducţie eompletă i n raport cu numărul de semne din această formulă . t n acest scop, presupunînd b == e, este necesar să p utem arăta că li = a ş i pentru orice d : d . b == d . e , dVb == dVc , d :::J b == d :::J C, b :::J d == e ::J d, ( b == d) == (e == d) (a se vedea , de exemplu , B . Rei­ eII eabach, Elements of Symbo lie Logic, p . 60) .

302


8.6. Tautologiile din a doua categorie

Trebuie remarcat că în logica probabilităţilor e l e nu m a i p ăstrează inţelesul pe care îl aveau î n calcul u l propoziţional clasic, deoarece operaţi ile logice odată cu schimbarea matrice lor de adevăr şi-au schimbat şi semnificaţia . Numa i cînd reducem domeniul de probabilitate la valori le O ş i 1 revin şi e l e la semnificaţia ob işnuită . Rămîne o deosebire în modul de aserţiune . Primele sîn" asertate scriindu-le pur şi simplu . În logica probabili­ tăţilor însă , aceasta se face prin intermediul funcţie i P :

P(a V ă )

=

1 , după cum am văzut .

Diferenţa se poate şterge uşor , introducînd : Regula de aserţiune. O formu lă avînd probabi litatea 1 poate fi asertată , cu excepţia cazului în care simultan are şi probabilitatea O . Astfel toate tautolog i i l e logi c i i b ivalente pot fi asertate In logica probabilităţilor . Nu şi reciproc . Spre exempl u , formu la : a,a

poate fi asertată în logica probabilităţi lor pentru P(a) >0, căci am văzut că P(a ,a ) = 1 . Ea nu apare printre tauto­ logiile calculului propoziţional , unde nu figurează operaţia de selecţie . Vom trece acum la studiul celei de-a doua categori i de tautologii .

* 8.6. Tautologiile din a doua categorie. Negaţia cantitativii

Din a doua categorie fac parte , după cum am văzut, tautologiile ce exprimă relaţii între probabi l ităţi . Pentru a le putea aserta ca ş i pe cele d i n logica b ivalent ă , cum am reuşit să facem cu cele d in prima categorie , ne trebuie un mij loc de a exprima probabilitatea unei propoziţii fări 303


Logica polivalent4

utilizarea simbolului P. Acesta este negaţia cantitativă . Post fşi construise logicile sale polivalente plecind de la o negaţie dată in cazul trivalent de matricea a

- a

(in notaţia lui , tI ' ta ' ta sint valorile de adevăr indexate in ordine crescătoare , � falsul , ta adevărul)". Ea se numeşte ciclică, căc i , după cum se poate observa , are drept efect permutarea circulară a celor trei valori de adevăr. Asertarea lui =

=

fnseamnă atunci, conform liniei a treia din matrice , afir­ marea faptului că a ia valoarea tI (fals) . Asertarea lui

va echivala cu afirmare a faptului că a ia valoarea t2 • In sfil'l}it, asertarea lui

ech ivalează cu afirmarea faptului că a este adevărat. Prin urmare , numărul de negaţii puse în faţa lui a arată însuşi indicele valorii sale de adevăr . într-o logică cu n valori ar fi necesar să intrebuinţăm pînă la n semne de negaţie . I n logica probabilităţilor , cu scara sa continuă de valori, procedeul trebuie puţin modi­ ficat . In:loc să repete numărul semnelor "" , Reichenbach afectează Regaţia , pe care o numeşte cantitativă, de o varia8' E. L. Po�t. lntroduction to a General Theory o( Elementary J ° llrn al _of Mathematics", ,.3 , 1 921 ,

PropOIitions, in "American

pp . 163-185.

304


8.6. Tautologiile din a doua categori4

bilă w, ce poate lua orice val ori între O şi 1 . Vom vede: analogia între w şi numărul de negaţie . Notîndu-şi negaţi: cantitativă aplicată unei propoziţii a prin

r wl a , e l o defineşte pe baza următoarei egalităţi

r q l a = p - w + 8p _ w , unde p reprezintă valoarea P(a) , iar numărul 8 p_' e ste + 1 , O sau - 1 după cum p - w � O, 0 < p - w < ş i respectiv p w = 1 . Efectul acestei negaţi i depind de probabilitatea lui a. Dacă p>w, probabil itatea lu fw l a va fi mai mică decît P(a) ; cind p = w, această pro babilitate sare brusc la 1 , iar dnd p<w ea devine ma mare ca P(a) . Se poate verifica uşor că singuru l caz t care rwla are probabilitatea 1 este cel în care w = P(a� Prin urmare afirmarea propoziţiei -

este echivalentă cu afirmarea faptului că P(a) = p. Aşadar r p 1 are acelaşi rol ca şi numărul semnelor ,....., puse în faţ: unei propoziţii. El poate fi utilizat, evident, nu numai i faţa propoziţiilor simple, ci şi in faţa compuşilor fUD( ţiona l i . Alături d e acest nou fel d e negaţie , va putea apare � negaţia obişnuită definită de (6') . Astfel tautologi ile de a doua categorie se pot scrie făr simbolul P, dar utilizind negaţia cantitativă . De exemplu formu la P(a) + P(a) = 1 poate fi scrisă sub forma

[P(a)

=

p] � [P(ă)

=

1

-

p] ,

unde s imbolul ::::) reprezintă implicaţia b ivalentă ob işnuită Ceea ce în termeni i negaţiei cantitative ar putea fi scri (21 30�


Logica polivalentll

Săgeata reprezintă a ici tot un fel de implicaţie , distinctă in orice caz de implicaţia definită în logica ponderei prin relaţia (3' ) . D acă ea ar coincide cu aceasta , relaţia (2') D-ar mai reprezenta o tautologie şi n-ar ma i fi adevărată decît în cazul în care P (a) = p ( p trebuie privită aici ca o constantă , pe cînd probabilitatea lui a poate varia) . Implicaţia ,, _H este definită de Reichenbach prin matricea

P (a) IP ( b) W ( a -b) 1 1 <1

1 <1 � 1

1

O

1 şi este deci falsă doar c înd P (a) 1 şi P(b) < 1 . Deoarece poate lua doar două va lori de adevăr , 1 şi 0, ea se numeşte implicaţie alternativă (alternative implication) . Cu aj utorul =

ei şi al negaţiei cantitative pot fi reprezentate toate tau­ tologiile d in categoria a doua . De pildă, exemplul dat la inceputul paragrafului anterior,

P(b)

=

P(a) ' P(a , b) + [ 1 - P(a ) ] · P(ă,b)

devine

r p l a . r u l (a , b) . rVl (a , b) - f pu + ( 1 - p)v l b care este o tautologie . Metodele de demonstrare ale unor astfel de tautologi i sînt aceleaşi ca şi în calculul propoziţional : regula de sub­ stituţie şi regula de înlocuire a expresiilor echivalente (ca.re am demonstrat că este valabilă) ; de asemenea modus ponens , sub două forme :

a a_b b a a =:> b b 306


8.7. Sistemul 5 al lui Lewi a doua impl icaţie f i ind cea definită prin (4') . Justificare" este i med iată , ţ i nînd seama de definiţ i i le ce lor doui i mp l icaţ i i .

8.7.

Sistemul 5 al lui Lewis, din punctul de vedere al calculului probabilit�ţilor

Logicianul a merican N . Rescher35 a arătat cum poat, fi conceput din punct de vedere proba b i l ist un s istem a log i c i i modale , şi a nume s istemul 5 a l l u i L�wis (*4 . 1 2) Pentru a ceasta să presupune m , aşa cum am făcut-o î u l ti mele două p aragrafe , că d ispunem de un m ij loc d determ inare a probabi lităţi i propoz iţii lor (numită în aces caz şi p ondere) . Probab i l i tatea unei propoz iţi i a am notat­ cu P(a) . Vom presupune că , pe l îngă faptul că satisfac re laţ i i le l' 6 ' , această probab i l i tate este astfel ind dacă P(a) 1 , atun c i a este adevărată (a 1) , iar dac P(a) 0, atun c i a este falsă (a 0)36 . (Comparind acest u l t i me două cond i ţ i i cu cele spuse în * 8 . 2 , ajungem l concluzia că ne-am s ituat astfel in cazul In care c lasa d referinţă faţă de care determinăm p o nd erea unei propoziţi este f in i tă) . Sistemele l u i L�wis cons iderau pe lîngă propoz i ţ i i l s i mple ş i moda l ităţ ile acestora : -

=

=

=

"a "a

este necesar" notat este posi b i l" n otat

=

O a O a,

cons iderate l a r îndul lor propoz i ţi i . Rescher def ineşte "Da este adevărată" (adică "a est necesară") prin "probab i l i tatea l u i a este 1" , P(a ) = 1 Î n p lus probab i l itatea P(D 1i) nu poate lua decît valor i i 1 şi O, 36 N. Rescher, A Pro babilistic Approach ta Madai Logic, î n "Act Ph ilosophica Fenniea" , fas e . 1 6 (1963) , pp. 21 5 - 22 6 . 3 6 Cond iţiile impuse astfel l u i P , f i ind m a i restrictive dec' cele d in * 8 . 2 , toate rezultatele demonstrate acolo rămîn valabil şi a ic i (dar nu şi reciproc) .

30


Logica polivalent4

"Posibil itatea" poate fi definită cu aj utorul "neceSI­ tăţii"37 , şi anume

o a drept Dă 38 , prin urmare în limbaj d e probab ilitate e a înseamnă "pro­ babi litatea lui a nu este O" : P(a) =1= 039. Ideea principală pe care Lewis urmărise s-o formalizeze în sistemele sale era , după cum am văzut , impl icaţia strictă. El ajunsese la concluzia că este o implicaţie mate­ rială necesară40. Pe aceasta o utilizează Rescher drept însăşi definiţie a implicaţiei stricte a-< b înseamnă

D (a :::> b ) ,

căci ambele noţiuni "necesitatea" şi "imp licaţia materială" au fost deja expuse în termeni de probabilitate (relaţia :::> a fost definită prin egalitatea (3 ' ) ) . Odată lămurite aceste chestiun i , vom numi o M- tauto­ logie orice formulă d in logica lui Lewis a cărei probabi­ l itate calculată după regulile de ma i sus este 1, indiferent de probabil ităţile pe care le iau variabilele sale propo­ ziţionale4I , şi vom demonstra că aceste M-tautologii coincid exact cu formulele care pot fi deduse in sistemul 5 (*4 .12) . Mai întîi însă vom da cîteva proprietăţi aj ută­ toare expuse sub titlu 1 de regul i . Pentru a exprima faptul că o formulă a este o M-tau­ tologie vom pune în faţa ei semnul IM f-- (semnul de aserţiune precedat de un M) . 37 După cum am văzut, Lewis proceda invers.

38

Vom continua să utilizăm a ic i , ca şi în paragrafele ant er ioa re , p entru negaţie semnul ,,-". 311 N u putem face o c o m p a ra ţ i e d irectI!. Între aceste mo d a l i tl!.ţi definite pentru p ro p o z iţ i i ş i cele propuse de Reichenbach (*8.3) definite p entru ş irurile de p ro p oz iţi i . Totuşi o simplă o b s e rvaţi e ne arată că pe c înd "posibilitatea" lui Reichenbach era , după cum am remarcat, "strictă" , cea definită a ic i nu e strictă (nu exc lude necesitatea) . 40 Vedeţi *4.1 4 . tI Deşi Rescher defineşte M-tautol ogiile Într-un mod diferit, noi l-am preferat p e aces ta , d eoarece este Într-o mai bună COI1cordanţă cu prezentarea de p ină acum a l ogicii probabi l ităţilor. 308


8.7. Sistemul 5 al lui Lewi

Regula 1 . Dacă I M � al :::l a2 , atunci P(al)-<.P(a2) Demonstraţie : După cum am arătat în *8.4, deoarec al :J az · = .

li l V az

este o tautologie în logica b ivalentă , ea va rămîne o tau to logie şi în calculul probabilităţilor şi deci P(a1

:::l

a2 • = . al V a2 )

=

1.

Dar , a şa cum am demonstrat , atunc i

P(a1 :J az)

=

P(iZl V a2)

şi , pe baza ipotezei P(a1 :J a2) = 1 , de asemenea P(iZl V az� =1 Atunci, conform (1') , l-<.p(al) + P(az)

de unEle :

=

1

- P(al) + P(az) ,

P(al ) -<. P(aa) c.c.t.d.

Regula 2. Dacă 1 M � al :J a2 �i IM 1- al ' atunci IM f- a Demonstraţia este imediată dacă ţinem seama de regul anterioară şi de faptul că o probabilitate poate fi cel mul egală cu 1 . Regula 3 . IM f- al . 11:1 dacă şi numai dacă atit IM f- c cît şi IM f- az · Demonstraţie : (i) Dacă IM � al . au atunci P(a1 a2) 1 . Şi cum p baza lui (2') atît P(al) cît şi P(a2) sînt �P(al . a2) , rezult că ambele sînt 1 . (ii) Dacă IMf- al ş i IM f- az, P(al) = P(a2) = 1 . DaI conform(l') şi (2 ') , P(a l . a2) = P(al) + P(a2) - P(al 2 -P(a1 a2) , de unde P(al . 11:1) = 1 ; deci şi IM f- al C c . c . t .d . •

=

=

V az) =

Regula 4 . Dacă IM � al = a2 , atunci P(al)

=

P(ae

Ceea ce este evident , căci am arătat (*8.4) că d i = P(�) .

P(al = az ) = 1 rez u lt ă P(a1)

30!


Logica polivalentl!

D in regulile 2 şi 4 rezultă că modus ponens şi regula înlocu irii expres iilor echivalente (*8 .4) păstrează pro­ prietatea une i formule de a fi M-tautologie (cînd pre­ misele sînt M-tautolog i i , concluzi ile s înt , de asemenea , M-tautologi i) . Î n particular , dacă axiome le unui sistem de calcul propoziţional au această proprietate , toate teo­ remele sistemulu i o vor avea .

Regula 5 . Dacă al :::J a2 este o teoremă a logicii b ivalent e, atunci IM f-- al -< a2• :::J a2) = 1 P(D (al :::J a2)) 1. a2 dacă şi numa i daeă P(ă1 V a2) = L

Deoarece atunci , după cum am arătat , P(a1

şi , în baza defin iţiei "necesităţii" ,

=

Regula 6 . I M f-- al -< Această regulă este evidentă . Î n baza regule i 5 rezultă imed iat ; M 1- ab . I M f-- ab

-<

. ba -< . a I M f-- ab . -< b 4 . I M f-- a . -< . aa 5 . I M f-- (ab)e . � . a( be) 6 . I M 1- a ( bc) -< . (ab)c

1. 2. 3.

.

.

.

7.

I M f-- a

-<

;;

De asemenea , au loc ŞI următoarele M-tautologiii:

8.

I M 1- O a Demonst,.aţie :

-<

a

D istingem două cazuri :

P(a) = 1 ş i , cum P(D a V a) >- P(a) , rezultă că P( O a

-<

a)

=

P( D a V a)

P (a)=I= 1 , deci P ( D a) şi prin urmare 310

=

=

1.

0, 1

P(D a

-<

=

a)

P(Da) � P( DaV ap =

1.


8.7. Sistemul 5 al lui Lewi

Tot astfel se pot demonstra 9.

1 M � a -< b . b -< c

10.

1 M 1 - a . a -< b

:

-<

:

-<

.

a -< c

b

Teoremele 1 , 2 , 4 , 5, 7, 9 şi 10 sînt chiar postulatel istemu l u i 1 al lui Lewis42. Acestea fiind M tautolog i i "toate tezele sistemului vor fi M-tautologi i . De aceeaş proprietate se bucură ş i :

os

-

11.

1 M � Da -< O Da

Demonstraţie : Distingem două cazuri : P(a)

=

1 , P( Oa) = 1 , P( O Oa)

<leei : P(D a -< O D a)

=

P (a) =1= 1 , P( Oa)

0,

=

P ( Da V O Da)

=

<leei P ( D a -< O D a)

=

1 , P( O a V O Da)

=

:

1. P(O a)

=

1 - P( D a) - 1

1,

=

1.

Cum 11 este axioma care adăugată celorlalte şapte n. furnizează sistemul 443, rezultă că şi teoremele acestu sistem sînt M-ta.utologii . î n sfîrşit, tot M-tautologi, este şi

12 . I M � Oa -< DOa , demonstraţia fiind perfect analogă celei dina inte . Aceasti formulă adăugată ca postulat celorlalte şapte permite după cum am arătat44, reducerea tuturor modalităţilo la şase şi obţinerea s istemului 5. Prin urmare teoremei. acestuia sînt , de asemenea , M-tautologii . Rescher izbuteşte să arate că ş i reciproc orice M-tauto logie poate fi demonstrată în S5 . 42 Vedeţi * 4 . 4 . 43 Vedeţi * 4 . 1 1 . 44 Vedeţi * 4 . 1 2 .

311


Logica polivalentiJ

* 8.8. Consideraţii generale După cum am mai spus , construindu-ş i logica polivalentă pe modelul calculului probabil ităţilor, Reichenbach se vede eliberat de arbitrariul care a stat la baza celorlalte construcţii de acest gen (am menţionat la momentul potri­ vit că, de exemplu , Lukasiewicz , atunci cînd şi-a con­ struit logica trivalentă , avea la îndemînă de fapt mai multe implicaţii , dintre care el a ales doar una - vedeţi nota 18, cap . 5) . Logica astfel obţinută are o scară continuă de valor i , to ate probabilităţile . Ea este o generalizare a logicii bivalente , care apare în cadrul ei ca un caz-limită . Reichenbach atribuie logicii astfel generalizate un caracter cantitativ. Probabilitatea fiind gradul de adevăr al unei propoziţ i i , şi nu a l obiectelor fizice , devine în concepţia lui o proprietate a propoziţiilor. Dar generalizarea astfel dată conceptului de adevăr nu se referă decît la j udecăţile provenite din experienţă , adică cele empirice . Ea nu se aplică şi celor matematice , căc i , după părerea lui Reichen­ bach , matematica se referă nu la conceptul de adevăr , ci la ce 1 de tautologie45• � Cu toate acestea , chiar în cazul j udecăţilor empirice , extensiunea pe care o propune pentru logică (concepînd-o ca o logică a probabilităţilor) , prin însăşi extensiunea conceptului de adevăr, depăşeşte logica tradiţională. Dupli. părerea sa însă, în aceasta problema probabilitli.ţii îşi găseşte soluţia ei ultimă408. Căci caracterul b ivalent al logicii clasice nu reprezintă decît un principiu de clasificare (a principle of dipision) prin care sînt clasificate afirma­ ţiile . Principiu care poate fi foarte bine înlocuit prin altu l . (Am văzut exemplul ţ intaşului de care se:' serveşte Reichenbach în sprij inul acestei teze ) . Caracterul bivalent al logicii clasice apare , aşadar , ca o simplă conve' ţie , comparabilă cu cea adoptată la scrierea numerelor tn baza 10 . 46 H. Rei chenbacb, The Theory of Probabilily, p. 3 9 . 4 8 I bidem, p. 10.

312


B.B. Consideraţii generaZe

La ce poate servI msă abolirea acestei convenţii ? La obţinerea unei logici mai potrivite experienţe i ştiinţifice moderne . în experienţa z ilnică obi�nuită , fenomenele pe care le întîlnim , avînd un grad înalt de probabilitate , erorile sînt neglijabile şi putem foarte bine aproxima această probabilitate cu probabilitatea 1 . O astfel de idea­ l izare în care apar doar cele două poziţii extreme , adevărul � i falsul , poate conveni experienţei făcute la această scară . I n experienţele în care ne întîlnim însă cu fenomene avînd un grad de probabi litate mai scăzut este necesară înlocuirea unei asemenea logici printr-o logică cu o gradaţie continuă de valori , cum e logica probabilităţilor47 • R . Carnap însă î i reproşează lui Reichenbach că în această privinţă se înşală . Iată , în rezumat, obiecţiile aduse de e l . Uni i filozofi cre d , spune e l , c ă conceptul logic d e proba­ b ilitate înlocuieşte conceptul de adevăr . Ei privesc con­ ceptul ultim ca o idealizare nelegitimă ; în loc de a spune că o afirmaţie dată este adevărată , ar trebui să spunem mai corect că ea este confirmată într-un grad foarte mare sau probabi l într-un grad foarte mare . Intr-un mod ase­ mănător , Reichenbach crede că valorile probabilităţii (conceptul logic de probabilitatel) ar trebui să ia locul celor două valori de adevăr , adevărul şi falsul din logica obişnuită sau , cu alte cuvinte , că logica probabilităţilor este o logică polivalentă , care înlocuieşte logica obişnuită cu două valori . Carnap crede că aceste concepţii sînt bazate pe o l ipsă de d istincţie între "adevărat" , pe de o parte , şi "cunoscut a f i adevărat" , "absolut s igur" , "complet verificat" , "confirmat în grad maxim" , "avînd probabi­ litatea! t" , pe de altă parte . Conceptul formulat de ulti­ mele expresii în sensul lor cel mai strict e ste , după Carnap , un concept "absolutizat" , ca.re ar trebui să fie înlocuit prin conceptul de probabilitate! ! cu scara lui continuă de grade . Amîndouă aceste concepte se referă la o evidenţă dată j conceptul de adevăr totuşi nu este , după e l , un asemenea concept şi deci e l trebuie înţeles ca avînd o natură total diferită . De unde urmează , spune Carna.p , '7

Ibidem, p .

397 . 313


Logica polivalentă

că valorile probabilităţii sînt fundamental diferite de

valorile de adevăr . Aşadar , logica inductivă , deşi intro­ duce o scară continuă de valori ale probabil ităţiiv rămîne o logică cu două valori , ca şi logica deductivă48 . Importanţa primară a introduceri i valorilor de proba­ bilitate în logică stă în aplicarea aceste ia în inducţie . Un raţionament poate f i , după cum se ştie , de două feluri : deductiv şi inductiv. Un raţionament deductiv scoate d intr-o propoziţie generală o concluzie avînd aceeaşi general itate sau mai restrînsă . Raţionamentul inductiv dimpotrivă , plecînd de la enumerarea mai multor cazuri particulare , conchide la una general ă . De p ildă : "deoarece Pămîntul , Marte , Venus etc . sînt toate planete şi ele nu au lumină proprie , rezultă că planetele nu au lumină proprie" . Ceea ce conferă necesitate unei asemenea concluzii este faptul că am enumerat toate cazurile în cauză . în mod obisnuit ' însă acest lucru nu este posibil . Legile ştiinţe i , de p i ldă , se referă la o infinitate de cazuri posibi le , deşi au fost stabilite pe baza unui număr limitat de experienţe şi observaţi i . în stabilirea lor intervine , aşadar , un nou mod de inferenţă , în care concluzia nu mai urmează cu necesitate din premist,:: , ci cu o anumită probabilitate mai mare sau mai mică . In locul i mpl icaţie i ,, � " care stabi­ leşte "dacă a este adevărat , atunc i cu necesitate b este adevărat" intervine implicaţia de probabilitate ,,�" , p în v irtutea căre ia din adevărul lui a nu se poate deduce pentru b decît un anumit grad de probabilitate , p. Dar nu putem intra în studiul acestei probleme , ea s ingură putînd face conţinutul unui tratat4.9 .

48 R. Cunsp, Logical Foundations of Probability, Chicago , 1 9 5 0 , p . 1 77 . Carnap face d istincţi e , după cum am mai s p us ( * 8 . 1 ) , Între probabil itatea ca frecvenţă , pe care o no tează probabilitatea2, şi probabil itatea ca grad de confirmare , probab ilitatea cazului singular, p e care o notează probab il itatea1. 49 Pentru aceasta, cititorul este trimis la l i teratura de spec ia­ l itate , foarte bogată În acest domen iu . Una d intre lucrările impor­ tante este lucrarea lui G. H. von Wright, The Logical Problem of lnduction, New York , 1965, care cuprinde şi o amplă bibliografie .


9

Aplicaţiile logici lor polivalente

*

9.1. Introducere

Logicile polivalente şi-au găsit une le aplicaţi i atît în domeni i teoretice cît şi în domenii concrete , f iz ice . În cele ce urmează vom înfăţişa cititorului, în ordine crono­ logică, principalele încercări ce s-au făcut în această pri­ vintă : � demonstrarea independenţe i axiomelor s istemelor formale (Bernays) ; - fundamentarea matematicilor intuiţioniste pe logica formal izată de Heyting ; - interpretarea mecan i c i i cuantice pe baza une i logici trivalente (P . Fevrier şi H. Re ichenbach) ; - analiza paradoxelor logico-matematice în cadru) unui s istem trivalent (Bocivar) ; - studiul schemelor cu contacte şi relee cu ajutorul logi cilor cu mai multe valor i .

* 9.2.

Aplicarea logicilor polivalente la studiul sistemelor formale

După cum am văzut în capitolul 2 , studiul s istemelor formale ridică o serie de probleme ca : independenţa axio­ melor , necontrad icţia lor etc . O serie din ele pot f i rezol­ vate prin construirea unor logici poliva lente . 315


Logica polivalentlf

o asemenea metodă a fost pentru prima dată aplicată de P . Bernays pentru a demonstra independenţa axiome lor 1 . 2 , 1 .3, 1 .4 şi 1 .6 din sistemul b ivalent al lui Whitehead şi Russell1. După mode lul ei s-au construit de atunci foarte multe demonstraţi i , urmărind nu numa i indepen­ d enţa axiome lor , dar şi a reguli lor de deducţie dintr-un s istem forma l , ca şi consistenţa sistemului 2 • Spre exemplificare vom da o astfe l de demonstraţie , viz înd nedeductibilitatea axiomei 1 .2 din celelalte tre i axiome În cadrul sistemului bivalent a l lui Whitehead şi Russell (*3.4) . Cele patru axiome III. care ne referim s înt :

1 .2 � : p V p . :J . P 1 .3 � : q . :J . P V q 1 .4 � : p V q :J . q V P 1 .6 1- : . q :J r : :J : p V q .

.

:J

. pV r

Am văzut că matricele bivalente pentru disj uncţie ş i negaţie fac din toate ueste patru axiome n işte tautologi i , adică nişte formule identic adevărate . Noi căutăm acum însă nişte matrice faţă de care doar ultimele trei axiome să fie tautologi i . Prin Urmare va trebui să acordăm varia­ b ilelor propoziţionale ce l puţin trei valori de adevăr , să le notăm 1 , 2, 3. Pentru moment nu vom da o semnifi­ caţie decît valorii 1 pe care o vom considera drept valoarea "adevărat" . Să defin im negaţia şi d isjuncţia respectiv prin matrice le p I 1 2 3 1 2 3 V ,,- p [ 3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 2 3 1 P. D ....n.fi, A xiomatiache de,. "p,.incipia Mathematica",

(1 926) , p . 305 . 3 O trecere în

Unt6,.Buchung d6B A usBagenka lku16

în "Mathematisch Zeit schrift", 25

revistă a mai multor rezultate de acest fel se gă seş te în lucrarea lui A . Clturch, lnt,.oduction to Mathematical Logic, Princeton, 1956, § 1 9 .

316


9.2. Aplicarea la sistemele formale

Atunci matricea implicaţie i ::) poate f i ca lculată imediatt pe baza definiţiei aceste ia 1 .01

p ::) q

.

=

.

......, p V q

Df·

Obţinem : q

p

l

p ::) q l

1

2

3

2 1 1

3

1

1

2

1

3

1

2 1

Se poate u�or verifica că faţă de aceste matrice ultimele tre i axiome 1 . 3 , 1 .4 şi 1 .6 iau invariabil valoarea 1 (ade­ vărat) şi prin urmare sînt tautologii. Orice formulă obţinută d intr-o tautologie prin efectuarea une i substituţi i este evident o tautologie . Totodată , privind matricea de mai sus a implicaţie i , observăm că singuruJ caz în care impl icaţia este adevărată şi primul său membru este adevărat este cazul în care şi a l doilea membru este adevărat . Prin urmare orice formulă obţinută printr-un şir de substituţi i şi aplicări ale regulei mod us ponens (adică prin "deducţie") din axiomele 1 .3t 1 .4 şi 1 .6 este . ca � i acestea , o tautologie faţă de matrice le trivalente de mal sus . Cum formula 1 .2 pV p . ::) · p

ia pentru p = 2 valoarea 2 , ea nu este o tautol ogie şi deci nu face parte dintre formulele deductibile din u l timele tre i axiome . Este , prin urmare , independentă de ele . O altă problemă, şi anume cea a necontradicţie i axio­ melor unui sistem formal3, poate f i rezolvată utilizînd aceeaşi interpretare a tezelor sale drept tautologii faţă de anumite matrice de adevăr . Să precizăm insă , mai Îndea ­ proape decît a m făcut-o î n capitolul 2 , această problemă , 3 Vedeţi . 2 . 5 .1 .


Logica poliva lentă

în cazul particular al unui sistem de logică formală. Un astfel de s istem se va numi necontradictoriu sau consistet1.t dacă în interioru l său nu pot fi deduse simultan o formulă p şi negaţia ei non-p. Ceea ce apare în deplină concordanţă cu afirmaţiile noastre de la începutul aceste i lucrări . Sînt Însă sisteme formale în care noţiunea de negaţie a unei propoziţii nu apare pur şi simplu . Consistenţa lor va trebui definită fără a face apel la această noţiune . Ţ inînd seama de cele spuse în capitolul 2 , că apariţia une i contradicţ i i atrage după sine derivarea tuturor formulelor , vom defini consistenţa unu i sistem de asemenea prin cond iţia ca să nu putem deduce în el toate formule le posibile4• Spre deosebire Însă de primul sens al noţiunii de consistenţă , numit şi consistenţă relativă la negaţie , acest al doilea sens , avînd un caracter mai general, se numeşte consistenţă absolută. Logicianul american E . L . Post a introdus , pe l îngă acestea două , şi un al tre ilea sens . Un sistem se numeşte consistent în sensul lui Post dacă formula con­ stituită d intr-o singură variabilă propoziţională, p, nu poate fi de dusă în interiorul său5 • Dar să revenim la modul în care putem demonstra efectiv consistenţa unui anume siste m , de pildă al logici i b iva­ lente . Formulele sale sînt , după cum am mai spus , tauto­ log i i în raport cu matricele b ivalente de la * 3 .3 . Dar negaţia une i tautologi i este o contradicţie (*3.14) şi deci nu ma i poate fi teză . Se observă uşor cum orice sistem , odată ce i s-a găsit o interpretare convenabilă utilizînd matrice de adevăr , poate fi demonstrat consistent . Pentru sistemele neb iva­ lente aceste matrice pot conţine mai mult de două valori de adevăr şi prin urmare interpretarea este polivalentă . , Trebuie să facem d istincţie a i c i între formulă şi teză. O pro­ poziţie p şi negaţia ei non-p pot fi amîndouă formu l e , dar n u sînt amîndouă teze. 5 E . L. Pos t , Introduction to a General Theory of E lementary Propositio ns , p . 1 7 7 . E ste c lar eă şi aceasta reprezintă o cond iţie necesară pentru ceea ce am numit mai înainte consis tenţa unui -s istem. Căci dacă formula alcătu ită d intr-o s ingură variabilă pro­ poziţională e admisă ca teză în sistem , a tunc i , în baza regulei de substituţie, şi n egaţ ia acesteia . non-p, trebuie admisă ca teză .

3 18


9.2. Aplicarea la sistemele formale

Astfel , spre exemplu , matricele triva lente folosite în calculul său de Heyting (*6 .7) demonstrau pe lîngă nede­ rivabilitatea principiului terţiului exclus şi consistenţa (în toate cele tre i sensuri) a s istemului . La fel , datorită faptului că logica lui Lukasiewicz este exprimată prin matrice trivalente , consistenţa sa este automat asigurată. Dar logici le modale ale lui Lewis? Pentru a arăta că sînt consistente , este suficient a arăta că S5 este consistent. Căci este lesne de observat , că dacă un sistem este con­ sistent , orice subsistem al său este , de asemenea , consis­ tent . Şi , după cum am văzut, sistemele moda le Sl- S4sînt subsisteme ale lui S5 . Să presupunem câ variab ilele propoziţionale pot lua patru valori de adevăr , notate respectiv cu 1, 2 , 3 ş i 4, Între care 1 reprezintă "adevărul" , pe c înd celelalte tre i rămîn pentru moment fără o semnificaţie precizată (se poate arăta totuşi că o asemenea semnificaţie există) . Vom defini negaţia "-' prin următoarea matrice :

p I 1 2 3 4 "'"' p I 4- 3 2 1 posibilitatea lui Lewis ,,0" prin matricea : p I 1 2 3 4 0 1 1 1 1 4

Iar produsul logic (conj uncţia) prin matricea6 :

. I 1 2 3 1 1 2 3 2 2 2 4 3 3 4 3 4 4 4 4

4

4 4 4 4

D in definiţia imp licaţiei stricte 11 .02 a

p -< q

.

=

,O

. ......

(p

'"

q)

8 Aceste matrice corespund "grup u l u i I I I "

d in SymboCic

LO'gie

l u i L ew i s ş i Langf ord, Appen d ix I I , e d . a II-a , 1 95 9 , p . 4 9 3 .

319


Logica polivalent4

urmează că aceasta va avea matricea ( unde val orile lui p sînt trecute în rindul d in stînga) : -<

1 2 3 4

1 2

1 1 1 1

3 4

4 1 4 1

4 4 1 1

4 4 4 1

Toate postulatele sistemului 5 (*4.12) sînt, calculate pe baza acestor matrice , nişte tautologii , după cum uşor se poate verifica făc1nd calculele . Operaţiile de substituţie şi modua poneT&8 transformă tautologiile în formule , care sînt, de asemenea, tautologii (pentru modua ponena aceasta rezultă din faptul că matricea implicaţiei stricte are aceeaşi p roprietate cu cea a implicaţiei materiale , a impli­ caţiei intuiţioniste , a celei lukasiewicziene etc . ; anume , 1 -< q ia valoarea 1 dacă şi numai dacă q = 1) . In s istemele lui Lewis însă mai utilizăm şi o altă regulă de deducţie , adjuncţia . Privind matricea de adevăr a produsului , obser­ văm că dacă p = 1 ,i q = 1 atunci pq = 1. Aşadar , prin adjuncţia a două tautolggii obţinem tot o tautologie . Rezultă de a ici că toate teoremele din logica lui Lewis (sistemele 51- 55) sînt asdel de tautologi i . De unde rezultă imediat consistenţa , în toate cele tre i sensuri , pentru a c e ste sisteme . Un rol esenţial în toate aceste demonstraţii îl j oacă , după cum bine se poate vedea , un anumit mod de inter­ pretare a formulelor unui sistem drept tautologii fală de nişte matrice prin care sînt definite conectivele logice . Noi construim , cu a lte cuvinte , un model pentru sistemul forma l' . Acesta este în cazul logici i lui Whitehead şi Russel l un model b ivalent , pentru logica l u i Lukasiewicz şi cea intuiţionistă unul trivalent , pentru cea a lui Lewis unul tetravalent , iar in cazul logici i probab ilităţilor chiar unul cu o inf inita t e de valor i . Dat fiind un astfel de mode l , pentru s istemul formal respectiv s e poate pune o problemă foarte importantă : sint toate tautologiile modelu lui demon 7

320

Vedeţi

.2.4.


9.3. Aplicarea in matematicl1

strabile în s istem sau nu? în caz afirmativ , spunem că sistemul este , în raport cu mode lul respectiv , complet. Nu toate sistemele de mai sus sînt complete faţă de mode­ lele cu care le-am pus în legătură . De p ildă, după cum am mai spus , cel intuiţion ist nu este (putem însă alege un model faţă de care şi el să fie complet) . Nu este însă scopul nostru aici de a intra în studiul acestui gen de probleme .

* 9.3. Aplicarea logicilor polivalente

in matematic�

După cum observă Mostowski , "singura logică, diferită de logica clasică , de care se serveşte efectiv un grup , de altfel restrîns , de matematicieni , este , se pare , logica intuiţionistă"8. Intr-adevăr, izvorîtă din studiul matematicilor şi dez­ voltată mai ales în acest scop , logica intuiţionistă se află indestructibil legată de ele . De altfe l , aproape toţi cei care au fundamentat-o şi dezvoltat-o - Brouwer , Heyting etc . - au fost în primul rînd matematicien i . în această privinţă Heyting se pronunţă categor i c : "Logica ( intui­ ţionistă) tratează numai despre propoziţii matematice ; prob lema dacă mai admite şi a lte aplicaţii în afara mate­ matic ilor nu ne preocupă a icj"9. Scopul intuiţioniştilor este acela de a explora p înă la capăt posibilităţile raţionamentului matematic intuitiv . însă , aşa cum formalismul are nevoie de o bază intuitivă , oricît de strîmtă ar f i ea, intuiţionismul nu se poate l ipsi de metodele formale10• Această conlucrare d intre logica intuiţionistă şi matematica intuiţionistă a dus la obţinerea unor rezultate dintre cele mai interesante . Unul din cele 8 L 'oeul're sdentifique de J. Lukasiewic7. dans le domaine de la logique mathematique, in "Fundamenta Mathematicae" , 44 ( 1 957) , pp. 1 -5 . • A . HeytinlJ, Intuitionism, p . 9 7 . 1 0 A . Heyting, Logique e t intuitionnisme , i n "Applications scientifiques de la logique mathematique" ( Actes du 2. C o l loque international de logique mathematiqueJ Parie-Louvain ,1954. 321


Logica polivalentd

mai importante îl constituie dezvoltarea la maximum , pen­ tru nevo ile demonstraţiilor în matematica intuiţionistă , a teoriei funcţiilor recursive . Astfe l , încercînd să reconstruiască în stil intuiţionist edificiul matematicilor studiate cu logica clasică , s-au dezvoltat o serie de ramuri ale acestora ca aritmetica intu iţion istă , a lgebra intuiţionistă , analiza matematică intuiţionistă etc .ll . Deşi lipsită în acest fe l de o serie de rezultate importante , matematica intuiţionistă nu trebuie cons iderată doar ca o sărăcire a celei fundate pe princ ip iul terţiului exclus . D impotrivă, anal iza m inuţioasă a raţio­ namentelor acesteia din urmă întreprinsă de intuiţionişti a permis degajarea unor noi noţiuni şi subtilităţi neînţelese pînă atunci . O serie d intre noţiunile clasice au fost mod i­ ficate cu această ocazie corespunzător cerinţelor intui­ ţioniste . Vom da un exemplu . O teorem1l. de analiz1l. afirm1l. că erice şir mono ton şi mărgini t de numere reale este convergent. Repl ica sa intu iţionist1l. este : orice şir monoton şi nega tiv, mărginit de numere reale, este ne08cilan t, unde prin faptul că ş irul {an } de numere reale este nega tiv mărginit vom întelege că el îndepl ineşte con:liţia iar prin

faptul

I I ( 3P ) (\f n) (an < p) , este ne08cilant, că îndeplineşte

(1) condiţia

(2) (k) I I ( 3 n) (VI') ( lan+T - a n I < 2-k) prin inserarea unei negaţ i i duble î n criteriul general de convergenţă al lui Cauchy. Apl icind de mai multe ori teorema ob ţ inută

I ( 3 x) observăm că e

I

su

f i c i e nt

ep:!:

--

(\fx) I ep:!: 12,

să demonstrăm (în locul condiţiei (2))

(3k) (\f n ) I I (31') ( �+T - an > 2 -k-1 )

(3 )

11 M enţionăm d oa r contribuţiil e d e seamă pe care l e-au adus în acest domeniu Freudenlhal (in top ologi e ) , VaD DaDlzig şi Van Roolselaar ( i n t eoria funcţiilor de vari abilă reală) , De Roor, Weyl şi Van der C orput ( î n algebră ) . O introd ucere în acest sens este lucrarea l u i A . Beyting, Intuitionism. An Introduction. D e asemenea, m enţionăm ca foarte imp ortantă S . C. Kleene & R . E. Vesley, The Founda tions of intuitionistic mathematics, especially in relation to recursive functions, Amsterdam, N orth- HoIIand Pub I . C o , 196 5 . 1 2 E a rezuIt1l. direct din t e oreme l e T4 ş i TEa, ·6.9.

322


9.,3; Aplic4rea in matematici!

Prin urmare va trebui!ca, pornind de la ipotezele (1) ş i (3 k ) ( '<I n) I I ( 3 r) (an+T - an > 2-k- 1 )

( 4)

să ajungem la o contradicţie13• Fie k l un număr astfel încit

Fie q un număr oarecare. Să punem

[

q

-;: a l

2-

,

J

]+

(5) 1

=

N.

Ca un caz particular a lui (5) are loc

I I (3r) (aT - al > Să presupunem că am fi găsit

ar

,

-

41

2-k,-J )

r1

(6)

astfel ca

( 7)

> 2-kl- 1

Atunci, conform (5) , I I (38) ( ar, + s - lIr, > 2 -k, - 1 ) sau, conform

(6) ,

Am demonstrat, aşadar,

( 3 r) (ar - al

> 2 -k, - 1 ) -+ I I

(3t) (a, -

al > 2 . 2-k,- 1 )

(7)

Atunci, l ogica ne permite să conchidem din (6) ş i ( 7) că I I (3t) (at

-

al > 2 . 2-lc l - 1 ) 1&

Aplicînd de N ori acest raţionament, vom avea : deci 13 Căci a tunci, în baza tezei 4 . 52 r- I (p A q) -+ . p -+ 1 q, rezultă exact impl icaţia din teorema noastră. U Aceasta revine la a arăta că dinI I P şi P -+ I I q putem conchide I I q . Intr-adevăr din P -+ I I q , ap licînd de două ori contrapoziţia (4.2) şi princip iul triplei negaţii (4.32), căpătăm I I P -+ I I q. Deci aplicînd modw ponens faţă de pre­ misa I I p, rezul tă I I q .

323


Logica polivalentil Astfel pornind de l a (4)

am demonstrat

(vp) I I (3 l ) ( au > pl· Deci :

în timp

ce

( 1 ) dă

I (3P) (v u ) I ( au > p) , I I ( 3p) (vu ) I ( au > p l .

Am

*

obţ inut

contradicţia clutată.

9.4. Aplicaţiile logicilor polivalente in mecanica cuantică

Matematizarea într-un grad din ce în ce mai înalt a fizici i a avut , pe l îngă alte consecinţe , ordonarea mate­ rialului faptic şi teoretic sub forma unor structuri din ce în ce mai abstracte . S-a ajuns astfel la posibilitatea prez entări i unor teorii fizice ca s isteme formale . Procesul complex prin care se constituie o teorie fizică trece , după J. L. Destouches , prin următoarele tre i etape : 1) sinteza inductivă ; 2) axiomatizarea ; 3) partea deductivă15 • Logica , explicitată în cadrul axiome lor şi a regulilor de raţionament admise , are un ro l important în această construcţi€; . Definirea raportului dintre partea de logică şi cea de pură matematică ori de fizică este marcată de două puncte de vedere . Mai tntî i s-a crezut că este suficient , pentru a formaliza o ştiinţă , să se adauge la axiomele logicii b ivalente axiome care să definească proprietăţi fizice considerate în s istem . De pe această poz iţie , Gonseth declara că "tezele logici i sînt pure tautologii" , ele n.eputînd exprima proprietăţi fizice , şi că deci logica este "fizica obiectului oarecare" . la

J. L. Deetouches, Essai sur

physiquel, Cluj , 1 938,

324

p.

3.

la forme gbl�rale des tMorita


9.4. Aplicaţiile in mecanica cuanticd

Dezvoltarea mecanicii cuantice şi formalizarea sa au lămurit că unui domeniu al realităţii o logică i i poate fi sau nu adecvată ş i că , "dacă reguli le logice ale unu i s istem formal sînt altele decît cele ale logicii b ivalente , ele pot traduce anumite proprietăţi fizice . . . , care pînă acum păreau că nu pot fj enunţate decît prin postulate nelog iceH 18 • Se arată că logica b ivalentă convine mecanicii c lasice . M a i precis , propoziţiile experimentale d in mecanica c lasică se supun unui calcul b ivalent . Argumentul se bazează pe faptul că starea sist em ului mecanic la un moment dat poate fi descrisă î n me can ica c l asic ă de un punct din spaţiul fazelor, adică de n parametri ( n f iind numărul gradelor de l ibertate ale s istemului). Experienţa n u ne poate da eu o preciz ie absolută rezultatul măsurătorilor ace sto r p arametri, ci doal' în l im itele anumitor abateri Il.q . Dec i prvp oz iţiile experi­ mentale sin t de forma : "parametrul q se află in intervalul qe ± Il. q" . Lor nu le corespunde in spaţiul fazelor un punct , c i o mulţime de puncte , ş i anume ele trebuie reprezentate, după păre rea lui B irkhoff şi von Neumann, prin mulţimile de puncte măsur a b i le Lebesgue ; iar dacă diferă printr-o mulţime de măsură nul ă , trebuie identi­ ficate1 ? Aceste mulţimi formează un corp de părţi ( c lanul borel ian) care, după teorema l u i Stone, este izomorf cu o algebră Boole - structura al gebrică a logicii clasice. Rezultă că p ropoziţiile ex p e r imental e din mecanica clasică urmează regul i l e d in calculul b iv al ent . Toate acestea nu mai sint valabile în mecanica c u ant icA . S-a Î nc erc a t ş i in acest c az gă s irea unei corespondenţe in tre propoziţiile experimentale şi anumite 8ubmulţimi d in spaţiul fa:r; e lor. Conclu:r;ia e st e că propoz iţiile astfel interpretate DU mai satisfac toate prin­ c ip iile logicii clasice. De exemplu, ele DU mai saiisfac legile distributivităţii : p . qVr • = : p

q .V. P

p.V. q . r . = . pVq

r

pVrlS

18 R. Feys , Problema ap licaţiilor logieii forma lizlJ te, in MlJte­ ria lismul dialectic şi ş tiinţele moderne, voI . X I I I , B ucur eş t i , 1 970. 1? G. Birkhoff ş i J. VOD NeumaoD, The Logic of Quantum Mechanics, in "A nnal s of Mathemat ics", X X X V I I (1936), pp. 823 -843 . 18 Tezele 4 . 4 ş i respectiv 4.41 d in . 3 . 7 .

3Z5


Logica polivaZentc1

Z . Zawirski a observat pentru prima dată că mecanica cuantică nu poate fi interpretată în cadrul logicii clasice1&. Pentru a explica fenomenele în cadru l acestei ştiinţe trebuie să apelăm la mai multe imagini , care , deşi se exclud , s e întregesc reciproc ; s e pare că aceasta ar fi singura cale . După cum se ştie , studiul e lementelor microfiz ice se poate face pe două căi : prin teoria corpusculară sau prin cea ondulatorie . Paralelismul dintre interpretarea ondulatorie şi cea corpusculară , ambele necesare , conduc e , după Zawirski , la concluzia că realitatea f izică se traduce în două propoziţii contradictorii . In logica b ivalentă există însă o teoremă după care o propoziţie din care se deduc dou ă propoziţii contradictorii este fa Isă :

[p :) ( q = '"'w q)] :)

""'

p

Prin Urmare mecanica cuantică , în care se deduce că elec­ tronul este corpuscul şi nu este corpuscul (este undă) este falsă . î n logica trivalentă a lui Lukasiewicz însă (cap . 5 ) formula d e m a i sus n u este adevărată . D e aceea , pentru a ocoli o asemenea s ituaţie , Zawirski propune interpretarea mecanicii cuantice cu logica lui Lukasiewicz 20 • Dintre cei care au căutat , de asemenea , să dea o inter­ pretare a mecanicii cuantice cu ajutorul logic ilor triva­ lente au fost H . Reichenbach şi P . Fevrier . Vom urmări în continuare , ceva mai amănunţit, încercările lor . * 9.4.1. Logici le pol ivalente construite de Pau lette Fevrier

P . Fevrier a încercat , bazîndu-se pe o serie de rezultate care puneau în lumină diferenţele dintre vechea mecanică şi cea cuantică, fundarea unor logici plecînd de la con18 Z . Zawirski, Vber die A nwendung der Mehrwertigen Logik in der empirischen Wi.88enschaft, in Das Kausalpro b lem, II ( .. Interna­ tionaler Kongress fiir E inheit der Wissenschaft", Kopenhagen. 1 936) . 20 I bidem, p. 431 .

.326


9.4. Aplicaţiile în mecanica cuantică

siderarea valorilor de adevăr ale propoziţiilor21. Cum vom vedea , aceste logici sînt obligate să introducă pentru unele propoziţii experimentale noi valori de adevăr , în afara "adevărului" şi "falsului" (terţ iu l , falsul absolut etc . ) . Trecînd d e l a fenomenele l a scară ob işnuită , unde apa­ riţia şi d ispariţia obiectelor sînt legate esenţial de cauze necesare , la lumea fizicii atomice , constatăm fenomene în decursul cărora se creează şi se anihilează particule ; astfe l , celor două stăr i , existen ţa şi "non-existenţa" , l i se adaugă o a treia , "starea zero" , care exprimă "posi­ bilitatea trecerii la existenţă"211. Prin urmare , un enunţ despre existenţa unui corpuscu l poate lua tre i valori de adevăr : adevărul , falsul şi terţiul (corespunz înd stadiulu i zero de existenţă a unei particule) . P . Fevrier ia în d iscuţie logica unor astfel de propoziţi i , pe care o arată a fi o logică trivalentă LaE ' avînd aceleaşi legi ca şi logica trivalentă a lui Lukasiewicz. Mecanica cuantică , aşa cum o considerau Bohr şi Som­ merfeld , diferă de mecanica clasică prin faptul că pe l îngă "legăturile" obişnuite impuse sistemului (rotaţie liberă în j urul unu i ax etc.) apar şi aşa-numitele condiţii de cuanti­ ficare . Acestea se prezintă ca n işte restricţi i ap riori impuse rezultatelor măsurătorilor şi deci propoziţi ilor experi­ mentale . O propoziţie care nu respectă condiţi i le de cuan­ tificare nu este adevărată, dar nici falsă (fa ls u l desemnînd o propoziţie care ar putea fi adevărată dar care nu este) , c i absolut falsă . Aceasta este de fapt o a tre ia valoare de adevăr A . Logica trivalentă L3 Q pe care o obţine astfel P . Fevrier are aceleaşi matrice cu o altă logică - "logica complementarităţii" - , de care ne vom ocupa in cele ce urmează . Savantul german W . He isenberg a stabilit c ă nu se pot cunoaşte exact, simultan, poziţia şi viteza - ma i exact cantitatea de mişcare - care animă un corpuscul (in cazul "

"

21 P. Fevrier ş i-a expus pentru prima oară ide il e lîn �1936 { comunicarea a fost publ icată In "Travaux du I X -e C ongres, int. <le philosoph ie", VI, p p . 8 8 - 94 , Paris , 1937 ) . N o i vom urmări lucrarea sa La s truclure des th!ories physique8, Paris, 1 951 , în care se găseş te dezvoltată pe larg concepţia e i . Z 2 P. Fevrier, L a s tructure des th!ories physiq ues, p . 5 .

327


Logica polivalentll

cind p lecăm de la concepţia corpusculară) . Fie q coordo­ nata care determină poziţia corpusculului şi p cantitatea sa de mişcare (masa X viteza) . Ambele se determină cu anumite erori . Fie aceste eror i : Âq pentru peziţie şi tl.p pentru cantitatea de mişcare . Heisenberg arată că ele nu s înt independente in mecanica cuantică , ci invers pro­ porţionale : cu c ît una se micşorează , cealaltă cre şte . Are loc aşa-numita relaţie de incertitudine

 p .  q >-- h care arată că cele două imprecizii sînt canonic conjugate şi că în nici un caz produsul lor nu poate fi mai mic decît constanta h a lui Planckla • Reiese că două propoziţii experimentale despre deter­ minarea poziţie i şi cantităţi i de m işcare ale uneia şi ace­ leiaşi particule la un mement dat : ±  p" "p ia valoarea Po "q ia valoarea qo ±  q"

nu pot fi adevărate ori false simultan dacă  p  q < h . Sîntem atunci conduşi la aranjarea perechilor de propoziţi i in două clase : - clasa perechilor compozabile , pentru care putem utiliza produsul şi suma logică în condiţiile obişnu ite , şi - clasa perechilor i.ncompozabile, pentru care nu putem afirma niciodată produsul logic. Avem de ales între a declara că nu li se poate aplica con­ j uncţia şi a prelungi domeniul de aplicabilitate al acestei operaţi i , d îndu-i o semnificaţie chiar şi în astfel de cazur i . P . Fevrier alege ultima cale . Astfel , în cazul a două propoziţii incompozabile , produsul logic este declarat , nu fals , ci a bsolut fals, logica pe care o construieşte avind trei valor i : adevărul , notat V (de la francezul "Piriee") , falsul F (de la "faussete,,) şi falsul 18 w. Beisenhu//" D ie Physika liachen Prinzipien der Quanten .heorie, Stuttgart, 1 930 (tra d . româneascA, Bucureşti, ed. ştiin­ ţificA 1 96 9 ; citatele le Tom face dupA e a ) .

328


9.4. Aplicaţiile in mecanica cuanticll

absolut AU. Produsul logic va f i definit in două cazuri: cind propoziţi ile care îl compun s int "compozabile" Ş1 cind sint "incompozabile" . P . Fevrier îl noteazli cu sim­ " bolul ,, & . In cazul a două propoziţii p, q , compozabile , ca şi ta logica clasică , p&q va f i adevărat dacă ambele propoziţii sînt adevărate , iar dacă una ia valoarea A, produsul va lua , de asemenea , valoarea A . Asdel incît produsul propo­ ziţiilor compozabi le e ste dat de matricea

&IV

F

V V P F

F A F A

A

A

A

A

A

In cazul propoziţiilor incompozabile , dacă una are valoarea V sau F, este pentru că s-a efectuat o măsură şi deci valoarea ce le ilalte nu mai poate fi determinată, a doua măsuri neput1ndu-se efectua în acelaşi moment j aceasta conduce la faptul că produsul este A . Dacă una d intre propoziţii are valoarea A, produsul este , de asemenea , A. Rezulti că produsul a două propoziţii incompozabi le va avea matricea

V A F A A A

F

A

A A A

A A A

Suma logică, fără excluziune (disjuncţia ) , a două propoziţii p, q, notată cu p V q , este adevărată în logica clasică daci ce l puţin una dintre propoziţii f\ste adevărată . In plus, in logica complementarităţi i , cînd propoziţiile s înt com­ pozabile şi una ia valoarea A , suma ia aceeaşi valoare.. U "AU nu trebuie confundat cu identic falsul (negaţia 'unea t autologii) .

32t


Logica polivalentlJ

Deci

VIV F A V V V V F V F F A V F A,

c ind perechile sînt compozabile

ŞI

VIV F A V A V V F V A F A V F A,

cînd perechile s int incompozabile .

9.4.2. Log ica mecan ici i cuantice a lui Hans Reichen bach

Pornind ca şi P. Fevrier de la o analiză foarte amă­ nunţită a mecanicii cuantice , Reichenbach găseşte şi el justificabilă ideea utilizării în acest caz a une i logici cu trei valori25• Vom urmări în cele ce urmează concluziile lui . Reichenbach pleacă de la afirmaţ iile făcute de către unii f izicieni contemporani în legătură cu interpretările experimentelor din mecanica cuantică . Bohr şi Heisenberg propuseseră să se dec lare o serie de enunţuri aparţintnd mecanicii cuantice drept propoziţ ii l ipsite de sens . Aceasta pentru a putea evita anumi te situaţii care apar şi care se abat de la concepţia clasică a determinismului ( Heisenberg le numeşte anomalii cauza le ) La d iscuţia oricăror experienţe , scrie W. Heisenberg, trebuie să se ia în considerare în specia l interacţiunea d intre obiect şi observator , care este a fortiori legată de orice observare . In teoria clasică această interacţiune a .

Expunerea completă a ideilor sale a fos t făcutil. in lu crarea Berkel ey-Lo8 Angeles. 1944. sa

PhilDaophical Foundations of Quantum MechaniC8. 330


9.4. Aplicaţiile în mecanica cuanticII

fost considerată sau negl ijabil de mică , sau controlabilă, astfel încît influenţa e i să poată fi eliminată ulterior prin calcu l . I n fizica atomică însă n u s e poate face o astfel d e presu­ punere , deoarece , din cauza discontinuităţilor în domeniul atomic, fiecare interacţiune poate provoca schimbări relativ mar i , parţial necontrolabile2 8 • Precizia c u care pot f i determinate î n experienţă anu­ mite mărimi nu poate depăşi astfel l imita fixată lor, după cum am văzut, de relaţiile de incertitudine . Hei­ senberg vede în e le tocmai gradul de libertate faţă de noţiunile clasice , care este necesar pentru descrierea fără contrad icţi i a proceselor atomice . Aceste relaţi i dau limitele p înă la care pot fi aplicate noţiunile teoriei corpusculare . O folosire mai precisă a cuvintelor "poziţie" , "viteză" , care depăşeşte relaţiile de incertitudine , este tot atît de lipsită de conţinut ca folo­ sirea unor cuvinte al căror sens nu a fost definit27 • H . Reichenbach consideră însă că nu este necesară eli­ minarea acestor enunţuri fizice din domeniul enunţurilor cu sens pentru a avea o teorie fără anoma lii cauzale ; est e sufic ient să facem doar precizarea, că ele nu trebuie con­ siderate nici ca adevărate , nici ca false . Logicianul german ajunge astfel la introducerea cele i de-a treia valori de adevăr pe care o numeşte nedeterminarea (U nbestimmtheit) , notată cu U, şi a cărei semnificaţie o distinge de ceea ce . el înţelege prin "necunoscut" (unbekannt) 28 . Reichenbach ajunge să deosebească două tipuri de enunţuri , şi anume : enunţuri cu caracter observaţional ; de pildă, "contorul Geiger s-a oprit la indicaţia n" sau ,, 1 inia neagră de pe un film fotografic măsoară atîţia milimetri" etc . ; ele formează aşa-numita "limbă a observaţiei" (BeobacJ.­ tungssprache) ; 28 W. Heisenherg, op. cit. , p. 8 . 27 I bidem, p . 19. 28 "Necunoscutul" poate f i apl i cat ş i propoziţiilor dintr-un calcul b ivalent atunci cind valoarea de adevăr a unei asemenea propoz iţii nu ne este cunoscută.

331


J.ogica polivalent4

enunţuri cu caracer teoretic , ca : "electronul are impul­ p" . Acestea din urmă sînt încadrate de Reichenbach fu aşa-numitul 1 imbaj mecanico-cuantic" (quantenme­ .hanische Sprache) . Pentru a reprezenta comparativ soluţia obţinută de el , prin introducerea cele i de-a treia valori de adevăr U, eu soluţia dată de Heisenberg, să considerăm următoarele două enunţuri din "l imba observaţie i" : "s-a făcut o măsurare fizică u" simbolizat prin "mu" ş i "instrumentul d e măsură arată valoarea u" simbolizat . prm "u" . Ele nu pot lua decît două valori de adevăr : adevărul , Dotat de Reichenbach cu W (de la germanul "Wahrheit") , ,i falsul , notat cu F (de la "Falschheit") . Fie atunci următorul enunţ din limbajul mecanico­ eua'n tic "valoarea mărim i i , imediat după măsurare , este ",ee notat cu S. Valoarea sa de adevăr depinde de adevărul e-nunţurilor m,. şi u , a�a cum i lustrează şi tabelul următor. sul

,,

Limba observaţiei c u : două valori de ad evăr

mu

,

I

Limba mecanicii cuantice c u t re i v a l ori de ad evăr După Heisenberg

u

S

I

După Reichenbach

S

W

W

W

W

W

F

F

F

Y

W

fără sens

U

F

F

fără sens

U

In acest tabel în coloana corespunzătoare fiecărui enunţ Il- fost trecută valoarea sa de adevăr . Coloana a treia a fost introdusă de Reichenbach pentru a arăta că, în cele două eazurl ctnd S ia valoarea U, Heisenberg declară acest enunţ fără asns. 332


9.4. Aplicaţiile in mecanica cuanticl

Considerînd prin urmare trei valori de adevăr pentra propoziţii , Reichenbach se vede nevoit să introducă ti mai multe negaţ i i : Negaţia c iclică notată c u simbolul """ �i c u care ne-am mai întîlnit în capitolul trecut (*8.6) , matricea sa de ade­ văr , după cum am văzut , fiind : A

"", A

w U F

u F W

Negaţia numită de Reichenbach "diametraIă" ,i notati cu semnul minus ,,- " , avînd matricea 2 11: A

- A

W U F

F U W

Negaţia "completă" , notată printr-o bară pusă deasupra a căre i matrice este : A

Ă

W U F

U W W

Rolul acestor negaţii este , în logica dezvoltată de Reichenbach , deosebit de i mportant . Limba care vorbeşte despre enunţurile mecanicii cuantice sau , aşa cum i-am mai spus , metalimba30 , conţine enunţuri de forma "A are valoarea de adevăr X" şi care nu pot fi decît adevărate sau false . Reichenbach consideră că valorile de adevăr 2 9 DupA cum se poate observa, ea este identică cu negaţia tri­ valentă N, definită de Lukasiewicz (·5 .7) . 30 Vedeţi .2 .4.

J31


Logica polivalentă

sint astfel definite încît nu putem aserta decît că un enunţ are valoarea W. Pentru a exprima faptul că are altă valoare de adevăr , facem apel la negaţi i . Şi anume aserţiunea

"- ....... A

va f i echivalentă cu aserţiunea că enunţul A este nedeter­ minat , iar aserţiunea sau aserţiune a - A

va fi echivalentă cu "A este fals"31 . Logica mecanicii cuantice se dezvoltă definind disjunc­ ţia, conjuncţia şi o serie de implicaţi i şi echivalenţe numite de Reichenbllch : implicaţie standard , alternativă , cvasi im­ plicaţie şi echivalenţă standard şi alternativă . întrucit nu vom intra în detalii , este suficient , pentru considera­ ţiile ce le vom face , a menţiona doar matrice le de adevilr pentru disjuncţie şi implicaţia alternativil (notatil printr-o săgeată) . Acestea sînt

A

B l AVB

W W W U U U F F F

W U F W U F W U F

W W W W U U W U F

A- B W

F F W W W W W W

Cu ajutorul acestor două conective , precum şi al negaţie i ciclice ""- , Reichenbach crede că poate exprima în logica Il

Procedeul utilizării negaţiei pentru a face din aserţiunea aserţiunea faptului că un alt enunţ ia o anumită valoare de adevăr a mai fost util izat de Re ichenb ach , dupA cum s-a putut vedea, ş i i n l ogica probabilităţilor ( · 8.6 ) . adevărului unui enunţ

334


9.4. Aplicaţiile in mecanica cuantic4

sa "complementaritatea" a două propoziţii, şi anume : două propoz iţii , A şi B, vor fi complementare dacă între e le subzistă relaţia

(A V '" A )

_ '"

'" B ;

adică, din faptul că A este adevărat sau fals rezultă ........, ........, B. Ce îl face însă pe Reichenbach să numească o asemenea relaţie "complementaritate"? " . . . Descrierea obişnuită a naturii şi în special ideea că toate evenimentele în natură decurg după anumite legi exacte - scrie Heisenberg - se bazează pe presupunerea că este posibil să se observe fenomene fără a le influenţa sensibil. A atribui unui anumit efect o anumită cauză are sens numai atunci cînd efectul şi cauza pot fi observate fără să se intervină simultan , perturbînd evenimentul . Legea cauzalităţii în forma e i clasică poate f i definită dec i , conform caracterului e i , numai pentru s isteme închise . în fizica atomică , în general , de fiecare observare se leagă însă o perturbare finită, pînă la un anumit grad necontro­ labilă , după cum era de altfel de a� teptat, în principiu, în fizica celor mai mici unităţi posibile. Deoarece , pe de a ltă parte , fiecare descriere spaţio-temporală a unui eveniment fizic este condiţionată de observarea eveni­ mentulu i , rezultă că descrierea spaţio-temporală a unor evenimente, pe de o parte , şi legea clasică a cauzal ităţi i , pe d e altă parte , s înt trăsături complementare ale feno­ menelor fizice , care se exclud reciproc32 • Cele două aspecte a le electronului şi celorlalte m �;­ obiecte : ca particule (teoria corpusculară) şi ca unde (teoria ondulatorie) s înt complementare . Ele se întregesc reciproc (la expl icarea unui fenomen d in mecanica cuantică avem nevoie de ambele descrieri) . Dar nu putem niciodată combina cele două concepte în cadrul aceleiaşi descrieri . Principiul acesta a fost formulat pentru prima dată de Bohr , sub numele de principiul complementarităţii . Şi acum să ne întoarcem la formula dată de Reichenbach

(A V ........, A) 32

W. Heisenherg,

_ '"

'" B

op. ciI., p . 59.

335


Logica polivalentd

Ea spune că dacă A este un enunţ adevărat sau fals, atunci enunţul B este nedeterminat (căci """ """ B am văzut ceva mai inainte că înseamnă exact "enunţul B ia valoarea U") . Dar acelaşi lucru se petrece cu două enunţuri complemen­ tare : unul "corpuscular" , celălalt ondulatoriu" . Dacă unul are sens (este adevărat sau fal�) , celălalt este fără sens sau , în logica lui Reichenbach, cu valoarea de adevăr U. Poziţia simetrică a acestor enunţuri se traduce astfe l , elin punct d e vedere formal , printr-o simetrie a relaţiei ie care am vorbit. Intr-adevăr , ea poate fi pusă sub forma

eare arată că A şi B ocupă poziţii simetrice . Mai mult, Reichenbach ajunge l a un analog forma l al priJ1cipiulu i de complementaritate formulat de Bohr . Nu ,utem insă da. deducerea aceste i formule , căci ar insemna e dezvoltare a formal ismului său peste limitele pe care .i le-am propus aici. Este interesant de urmărit în continuare modul formal In care se caracterizează, în logica triva lentă de care ne ecupăm , propoziţiile mecanic i i cuantice . După cum se ftie , formulele logicii b ivalente pot fi împărţite din punct ele vedere formal în : tautologii , contradicţ i i şi formule sare nu sînt tautologi i , dar iau cel puţin o dată valoarea "adevărat" . Pe acestea din urmă Reichenbach le numeşte nntetice ş i , după părerea sa , ele sînt singurele a căror .sertare exprimă un conţinut. în logica trivalentă clasa propoziţiilor sintetice poate fi sub împărţită la rîndul ei în : - propoziţii complet sintetice, cele care pot lua toate yalorile de adevăr ; - propoziţii simplu sintetice , cele care pot lua doar yalorile W şi F ; - propoziţii 8emisintetice, ce le care pot lua doar valorile W şi U . Interesant este faptul că , aşa cum arată Reichenbach, toa,te propoziţiile mecanicii cuantice nu pot lua decit 336


9.4. Aplicaţiile in mecanica cuanticil

valorile W şi F (sînt s implu sintetice) . Cu alte cuvint.e , deşi le "judecăm" într-o logică trivalentă , ele au un carac­ ter b ivalent . *

*

Am urmărit , pînă aici , mai multe încercări de a construi un fundament logic , altul decît cel clasic , pentru mecanica cuantică , cu scopul de a e limina "ciudăţeniile" ce apar În interiorul ei (anomalii cauzale, propoziţii incompo­ zabile etc.). Nu trebuie să credem că cercetările s-au redus la atît . Este suficient să cităm doar pe cele ale lui H. Margenau ş i H. Putnam , ca şi d iscuţiile purtate in contradictoriu pe această temă33 . Toate aceste încercări - cu excepţia celei a lui Birkhoff şi von Neumann - au În fond la bază o idee comună : introducerea un�i a treia valori de adevăr (posibilitatea trecerii la existenţă, falsul absolut , nedeterminatul) cu care s înt creditate enunţurile care , altfe l , ar trebui con­ siderate ca l ipsite de sens . Numai că in unele d in ele, cum este logica LJE construită de P . Fevrier , această valoare are o semnificaţie ontologică , pe cînd în altele , ca LaQ , ea capătă un caracter epistemologic, pierzîndu-şi caracterul ontologic. Rămîne să vedem care ar fi avantajele şi raţiunile de a fi ale unui asemenea tratament , pentru care au optat o parte d in logicieni . Reichenbach le rezumă la două mai importante : - perturbarea obiectului prin instrumentul de obser­ vare (microscop , camera Wi lson etc . ) nu oferă în sine raţiunea suficientă pentru a renunţa la enunţuri privind obiectele neobservate ; - folosind regul ile de extindere ale l imbajulu i , se poate întotdeauna extinde l imba observa ţi ilor astfel încît să includă şi obiectele neobservate . 33 H. Margenau, The Nature of Physical Reality, N ew York, 1 950 ; H. Pat nam, Three-Valued Logic, în "Ph ilosoph ical Studies", 8 (1957) , pp. 73 -80. D iscut ii asupra logicii triv alente a lui Reichenbach au fost purtate, printre alţ ii, de E. N ag e l ( 1 946) şi P. Feyerabend (1 958) .

337


Logica polivalenti1

Se pune însă problema dacă această extindere satisface un principiu de continuitate : obiectele neobservate intro­ duse în acest fel să urmeze aceleaşi reguli ca şi obiectele observate . Spre deosebire de mecanica clasică , în cea cuan­ t ică răspunsul este negativ, ori cum am alege extinderea respectivă . Legi le guvernînd obiectele neobservate includ anoma l i i cauzal e . Introducînd o logică cu tre i valor i , se poate atribu i valoarea "nedeterminat" enunţuri lor privind obiectele neobservate şi astfe l e l imina anoma l iile cauza le d intre enunţurile afirmative34•

* 9.5. Logicile polivalente

şi paradoxele logice

După cum am arătat , s istemele logice s-au lovit de t im­ puriu de paradoxe . Cum această s ituaţie era incompatibilă cu dezvoltarea u lterioară a acestor s i steme, Russel l şi alţii au încercat să le e limine , recurgînd la diverse restricţii mai mult sau mai puţin naturale (spre exemplu teoria tipurilor)35, restri cţii avînd drept scop să facă imposibilă construirea unor propoziţii de tip paradoxa l . Alţii însă a u tras concluzia c ă însăşi universa litatea logi c i i b ivalente şi, mai precis, a principiulu i terţiului exclus iese de a i c i atinsă . Aceasta era , după cum am văzut , părerea lui Brou""er şi a şcoli i intuiţion iste . Alături de ei putem menţiona pe Church şi alţi logicien i i mportanţi . Logicianul sovietic D . A . Bocivar şi-a propus, în 193836, 84 H. Reichenbach, Les fondamenl8 log iques de la IMorie des quanla : Uli lisalion d' uM log ique a Irois I'aleurs, î n "Appl ications scientifiques de la logique mathematique" (Actes du 2e colI. Int. de Logique Mathematique, Paris, 1 952, Paris, 1 954, pp. 1 03 - 1 1 4 ) . Soluţia respectivă este supusă criticii In l iteratura filozofică m arxi s tă . 35 Vedeţ i . 3 . 1 3 . 38 D . A. Boci'vor, Asupra unui calcul tril'a lent şi ap licaţiile lui la ana liza paradoxuri lor calculului funcţional extin.s clasic, în "Matematiceski i Sbornik" , t . 4 (46 ) , nr. 2, 1 938, pp. 257-308. (Traducerea românească a acestui articol se găse,te în "Analele româno-sovietice", seria matematică-fizică, anul XV, nr. 2 (37) pp. 200 -222. C itatele le vom face după această traducere . ) Rezul-

338


9.5. Logicile polivalente şi paradoxele

să anal izeze în cadrul unui sistem formal , construit în acest scop , asemenea propoziţii cu caracter paradoxal , prin metoda demonstraţiei formale a absurdităţii lor . Pentru aceasta Bocivar face distincţie între anunţ şi propoziţia . Enunţul are un caracter mai general şi poate fi chiar fără sens , pe cind propoziţia este un caz particular de enunţ , �i anume ce l în care acesta are sens. Prin urmare .enunţurile pot lua trei valori de adevăr : adevărul (R) , falsul (F) �i non-sensul ( 8) , pe cînd propoziţiile numai două : adevărul şi falsu l . Bocivar distinge apoi două forme d e afirmaţie , două forme de negaţie , două forme de conjuncţie etc . Spre exemplu , un enunţ A poate fi afirmat sub forma s implă "A" , identică cu însuşi enunţul ; o astfel de formă este numită de Bocivar intarioară37 . Sau poate fi afirmat sub forma numită a.:ll tarwară, şi anume "A este adevărat" . La fel , negaţia, conjuncţia , disjuncţia , implicaţia au dte o formă interioară �i alta exterioară . In plus , printre formele exterioare mai trebuie să trecem şi "A este fără sens" , fără corespondentă interioară. Deosebirea prin­ cipală dintre aceste forme poate fi ilustrată prin următorul eX'lmplu : dacă A este un enunţ fără sens, forma interioară a negaţie i sale , "non-A" , este , de asemenea , fără sen s , pe cînd cea exterioară , "A este fals" , are sens �i este falsă . Dup � cum observă Bocivar , în calculul b ivalent cele două forme slnt aplicate simultan , ceea ce conduce la o dualitate în interpretarea posibilă a conţinutului lor . El mai numeşte formele interioare funcţii da conţinu.t olasica , iar pe cele exterioare , funcţii da conţinut nsclasice de enunţuri variab i le . S ă notăm atunci c u a , b, 0 , d . . . enunţurile variab ile ce pot lua tre i valori de adevăr : R (adevărul) , F (falsitatea) şi S (non·sensul) . Funcţiile clasice fundamentale vor fi : nega ţia interioară � a (non-a) şi produsul logic interior tate ul terioare cu privire l a s tudiul acelu iaşi sistem sint p ubl icate sub titlul Asupra problemei necontradicţiei unui calcul trivalent, în "Matematiceskii S bornik", t. 1 2 (54) , nr. 3 , 1 943, p p . 353-369. (Traducerea românească a apărut in "Analele româno-sovietice", 'Seria matematică-fizică, anul XV, nr. 3 (38), pp. 35 - 5 1 . ) 3 7 D . A . BJ eivar, Asupra unui calcul trivalent, trad. rom . , p . 201 .

339


l,ogicCJ polivalenti2

a n b (a şi b) . Definiţia lor se face prin următoarele matrice : anb1 R F S

al R F S "" a I F R S

R F S R F S F F S S S S

Singura funcţie neclasică fundamentală este afirmaţia exterioară � a (a este adevărat)38, cu următoarea matrice de adevăr al R F S 1- a l R , F F •

Celelalte funcţii clasice pot fi definite cu ajutorul celor . două fundamentale astfel : s uma logică clasică sau forma l interioară

(a U b) D

'"

("" a n

b) ,

i mplica.ţia clasică sau formal interioară

(a :) b) D

'"

(a n

b) ,

echivalenţa clasică sau formal interioară

(a

:::l C

b) D [(a :) b) n ( b

:)

a)]

Cu ajutorul afirmaţie i exterioare şi a funcţiilor clasice se pot defini funcţii le neclasice sau formal exterioare : suma logică

Ca 1\ b) D ( 1 - a n � b) (a V b) D ( 1- a U � b)

implicaţia

(a � b) D ( 1- a

concurenţa39

(a -- b) D [(a

produsul logic

:)

� b)

bf n (b � a) ]

38 Vedeţi D. A . Bocivar, Asupra pro blemei neconlradicliei unui alcul Irillalenl, trad. rom . , p . 3 6 . 8 8 a .- b Înseamnă e ă adevărul fiecăru ia d in cele două enunţuri

Impl ică adevărul celuilalt. Pe cind echivalenţa logică a == b are i nţelesul că cele două enunţuri au aceeaşi valoare de adevăr.

340


9.5. Logicile polivalente şi parado;rele

echivalenţa

(a = b) jj [(a

negaţia

l a jj � "" a

non-sensul

t

li

+-+

b) n ( "" a

+-+ .......

b) ]

D "-' ( 1- a U I a)4) .

Calculînd pe baza acestor definiţii matricele de adevăr ale tuturor funcţiilor clas ice , vom observa că e le au toate aceeaşi proprietate pe care o au matricele negaţiei şi pro­ dusului logic clasic , şi anume c înd cel puţin unul d in argumente ia valoarea S (este fără sens) , întreaga funcţie ia aceeaşi valoare . Prin urmare nici o formulă clasică (care conţinJ doar funcţii clasice) nu poate fi identic adevărată ( identic egală cu R) . Nu poate fi deci o tautologie ş i teză în s istemul lui Bocivar. De pildă a :J C a nu este o astfel de tez ă . Asemenea tautologii trebuie deci să conţină neapărat şi funcţii neclasice . Iată , spre exemplu, cîteva asemenea tautologii mai importante : asa "a este logic echivalent cu a" t a = J, ....... a «"a este fără sens" este logic echivalent cu "non-a este fără sens" 1) a = J, a . = J, a ta este echivalent cu ..ci este fără sens" 1) este echivalent cu ..a este fără sens" . Verificarea faptului că sint tautologii este imediată . De asemenea , se poate observa că printr-o substituţi e 4 0 Semnele _ , f- , I ş i � s e aplică doar l iterelor sau paran­ tezelor imediat următoare. F u ncţia ,, � au poartă numele de "non­ sens" deoarece, pe baza definiţiei sale, făcînd un calcul simpl u , ii găsim următoarea matrice de adevăr

a IR F S � a IF F R

c!lre arată că � a este adevărat exactl atunci cînd ( Ia valoarea S) .

a

este fără senl

Ul


Logica polivalentif

efectuată într-o tautologie se obţine , de asemenea , C) tautologie . Nu vom ma i insista în continuare asupra calculului dezvoltat de Bocivar. Funcţiile propoziţionale pot f i introduse l a fel de natural c a ş i în logica b iva lentă (vedeţi *3.3) . Trebuie să ţinem seama în permanenţă că avem un calcul restrîns, în care enunţurile sînt legate doar prin conective interne sau clasice . EI este , după cum arată Bocivar , întru totul asemănător calculului cu funcţii din cap . 3 B. Dar , pentru că va trebui să deosebim funcţiile şi enunţurile sale variabile de cele ale unui calcul obţinut prin lărgirea acestuia , le vom pune indice le k . Se observă şi aici , ca şi in calculul enunţurilor, că for­ mulele în care intră doar conective clasice nu pot fi tan ­ tologii în raport cu matrice le date de Bocivar. Calculul acesta restrîns poate f i însă extins prin intro­ ducerea conectivelor externe , aşa cum am procedat mai înainte41• In acest cadru ma i larg , obţinut , după cum am văzut , prin introducerea a o serie de noţiuni şi d istincţii , Bocivar analizează paradoxele logice . Să urmărim ş i noi una din aceste analize , şi anume aceea a paradoxului construit de Russel l , expus de noi la *3 .13. Despre ce era vorba? Spuneam că o proprietate � este predicabilă, notat pe scurt Pd ( �) dacă are proprietatea exprimată de ea însăşi ; in caz contrar ea este impredicabilă. Aşadar , prin definiţie :

Î n logica clasică (nu Cea definită de matricele lui Bocivar) se putea demonstra că "a este echivalent cu a" , adică în notaţia lui Bocivar a �c a U Bocivar introduce şi o nouă pereche de cuantificatori neclasici, corespunzători celor clasic i . N e vom mărgini însă l a strictul necesar înţelegerii demonstraţiei ce urmează . t3 în *3.13 definisem proprietatea de impredicab il itat e : Imp (1jI) . Urmărind dem onstraţia lu i Bocivar, păstrăm notaţ iile sale. De altfel , această diferenţă nu are, după cum se poate observa, nimic. e s enţial. E o simplă convenţie de notaţie.

342


9.5.

LogiciZe polivalente li paradoxele

Prin urmare sau , folosind definiţia funcţiei Pd , � (�) ::> c Pd (�) Substituind in ultima formulă � cu ,....

Pd (...... Pa)

::> c

......

Pd obţinem43

Pd ("-' Pd) ,

care este contradictorie . Transpunînd problema în sistemul lui Bocivar , vom considera în locul funcţiei variabile � ana logul său clasic, funcţia variabilă �k şi definiţia proprietăţii Pd va fi : Pd (h) jj �k (�k ) Aici însă, spre deosebire de logica clasică , formula a ::>c a

nu mai este valabilă , căci nu mai e ste o tautologie . In schimb este o tautologie , aşa cum am menţionat , formula a = a, d in care , prin substituţie , obţinem h (h) :=: h (h) sau , utilizind ult ima definiţie , Pd (�k ) == �k (h) , in care substituind h cu

""""

Pd

43

rezultă

(IX ) Dar am arătat că in sistemul lui Bocivar are loc tautologia Pd ("-' Pd)= """" Pd ("-' Pd) a = ...... a . = t a

deci , prm substituţie , Pd ( ....... Pd) = """" Pd ( "-' Pd) . = t Pd ("""" Pd) ; 43 Bocivar observă că aceste substituţii sint posib ile, deoarece

Pd aparţine de fiecare dată domeniului de Tal ori al variabilei relpective

(Asupra unui calcul trivalent,

pp.

218, 21 9) .

343


LogiCa polivalent/!

in virtutea lui (ot)

t Pd ( "'-' Pd) Şi , cum are loc tautologia + a = + ",-, a , rezultă � J

t "'-' Pă ( ...... Pă) Prin urmare , ambele enunţuri , Pă ( "" Pd) şi "'"' Pd ( ...... Pd) , sînt fără sens (afirmaţiile lor exterioare slnt însă false). •

II

Logicianul chinez Moh Shaw-Kwei a demonstrat că nici sistemele polivalente nu sînt scutite de paradoxe44, deşi au s lăbit sau au e liminat complet principiul terţiului exclus. Ş i anume , paradoxe de acelaşi tip cu cel al lui Russell46 pot fi construite în calculal intuiţionist al lui Heyting, in sistemele implicaţiei stricte ale lui Lewis , in calculul m in imal a l lui Johansson etc . Căci proprietăţile pe care ne bazăm cînd vrem să construim asemenea para­ doxe sint îndeplinite in toate s istemele menţionate . Acestea sint în fond legate de faptul dacă implicaţia din sistemul respectiv , pe care s-o notăm spre exemplu prin C, verifică : - princip iul identităţii :

Cpp , legea modUB pon6n8, adică dacă p �i Cpq sint teze, IJ este , de asemenea , o teză şi - una din următoarele reguli de inferenţă : CpCFQ Cp q

" Mob Sbaw-Kwei, LogicaL parado:r;es for manY-IIaLued sys l,ms. (195lt) pp. 37-39.

In "Journal of Symbol ic Logic" X I X

" Vedeţi · 3 .13.

344


9.5.

Logicile polivalente şi paradortele

sau Cp CpCpq CpCpq etc . î n aceste condiţii , un interes deosebit îl prezintă logicile polivalente ale lui Lukasiewicz . In La , s pre e:x:emplu, după cum am observat"8, implicaţia

CCpCpqCpq nu are loc ŞI nici regula de infere Rţă CpCpq Cpq Are loc în schimb CpCpCpq CpCpq ŞI ,

pe baza e i , raţionamentele dezvoltate de Moh Shaw­ Kwei . în general , într-o logică Ln, din formula cu ante­ cedent multipl icat de n 1 ori , -

cp

• . . .

de

CpCpq n

-

1 orI ,

nu se poate conchide la cea cu antecedent multiplicat de n 2 ori . în schimb , de la cea cu antecedent multiplicat de n ori se poate conchide ]a cea cu antecedent multiplicat de n 1 ori . Ca urmare a acestui fapt, paradoxele pot fi fncă construite . Rămîne să se analizeze atunci situaţia logicii cu o infinitate de valori. Dacă ea ar fi lipsită de parado:x:e , ar putea constitui o bază convenabilă pentru dezvoltarea diverselor alte s isteme forma]e"7 . -

-

.. Vedeţi ·5.9. Asemenea incercări au fost deja făcute in teoria axiomatică a mulţimilor. în legătură cu aceasta, a se vedea Th. Skolem, t7

Menlenl6/ar" g"grunde' auf einer Logik miI unendlich vielen Wahr-

345


Logica polivalent4

* 9.6. Aplicarea logicilor cu mai multe valori in studiul schemelor

cu contacte şi relee

C . E . Shannon şi V. 1 . Şestakov au avut ideea de a aplica studiul algebric al logicii cu două valori în analiza schemelor cu contacte şi relee48• Un contact este o lamă metalică mobilă care poate inchide sau deschide un c ircuit. El poate avea deci două poziţii : închis sau deschis . Să- i asociem o variabilă x , care să i a valoarea O dacă contactul este deschis şi valoarea 1 dacă contactul este închis :

x= o

.

x=1

Să considerăm acum două asemenea contacte legate in serie .

x

",

y

i

Circuitul alcătuit din ansamblul lor este deschis dacii cel puţin unul din cele două contacte este deschis şi închis dacă amîndouă contactele sint inchise . Lui i se asociază . de as �menea , o variabi lă z, a cărei valoare depinde de valorile pe care le iau variabilele x şi y asociate respectiv heitswerten şi C. C. C 'tan�, Infinite valued logic as a basis for sel Theo/'y, in "Logic, Methodology and Philosophy of S cience", Proc. of the 1 964 Int. Congress, Amsterdam , 1 965. 48 C. E . S it ,nn<>n, A Symbolic Ana lysis of Relay and Switching Circuits, in "Transaction oI the American Institute of Electrical E ngineers", 57 ( 1 938) , pp. 7 1 3 -723. C ontribuţiile lui V. 1. Şes­ takov se g ăsesc in teza sa de doctorat ţinutli. la Universitatea din Moscova ( 1 93 8) .

346


9.6. Aplicarea la schemele

cu

contacte

celor două contacte d in c ircuit. Şi anume , z va avea valoarea conjuncţiei dintre 3l şi y

Z = 3l · Y valoare dată de matricea de la * 3 . 3 . Montarea î n paralel a celor două contacte ne conduce la un nou circu i t ,

---;1 : � � II---

a cărui variabilă z va avea de data aceasta valoarea dis­ juncţie i d intre 3l şi y

z = 3l V y Intr-adevăr , în acest caz circuitul va f i deschis dacă ambele contacte sînt deschise şi închis atunci cînd măcar unul din ele este închis. Astfel putem studia funcţionarea unui circuit avînd mai multe contacte , legate în serie şi în paralel , construind expresia în care intră variabilele acestor contacte legate , respectiv , prin intermediul conjuncţiei ş i disjuncţiei b ivalente . Să considerăm însă un caz s implu , din care rezultă că această schematizare este prea simplistă şi nu corespunde decît unui caz idea l . Fie anume un aşa-numit contact de transfer, adică un contact a cărui funcţionare poate fi u şor înţeleasă din fi gura următoare

"

347


Logica polivalentd

El este format din două contacte , 1 şi I I . Lama mediană 'le poate stab ili pe rind . Ea se află sub acţiunea unui -electromagnet . C înd nu circulă curent prin e l , lama aflată în poziţia I stab ile ş te acest contact. C înd facem să treacă curent prin e lec tromagnet , lama va f i atrasă de acesta , mutîndu-se în poziţia I I , desfăcînd primu l contact şi sta­ b i l indu- l pe al doilea . D in aceste mot ive , contactul de tramfer aflat În pr ima poz i ţ ie poartă nume le de "neac­ ţ ionat" , iar aflat în poziţia a doua poartă numele de "acţio­ nat" . Trecerea d intr-o poziţie în cealaltă se face în momentul în care lăsăm să treacă curentul p r in electro­ magnet sau îl Întrerupem . Să obse rvăm Însă că funcţio ­ narea reală a contactului de transfer se face trecînd prin trei poziţii d iferite : poziţia 1, poziţia intermediară 1- 1 1 ş i poziţia I I . î i vom asocia d e c i o var i abi l ă x , putînd lua tre i valori , după cele tre i poz i ţ i i a le contactu lu i , şi anume : o

)( = 0

Studiul func ţion ă rii unor asemenea contacte ne conduce , aşa cum a arătat logicianul român Gr . C . Mo is i l , l a studiul algebric al unei logici Lukasiewicz trivalente4t•

4 9 Primul care a util izat o l ogică p ol ivalentă în studiul sche­ melor cu contacte ş i relee a fost tot matematicianul sovietic V. 1. Şestakov ( 1 946) . î ncepînd din 1 954, Gr. C . M o isil, împreună cu colaboratorii săi, au adus contribuţii importante tn acest domeniu . ( Pentru u n s tudiu mai. detal iat şi referinţe b ibl iografice vedeţi lucrarea sa lncercări vechi ,i noi de logică neclaai că.)


10

Concluzii finale

/'

* 10.1.

Distincţia dintre logicile modale şi logicile polivalente

S-a introdus o distincţie intre aşa-numitele logici modale şi logici poliva lente , despre care am pomenit ceva în introducerea aceste i lucrăr i , dar despre care putem vorbi acum în termeni mai precişi . Logica matematică de tip clasic făcea uz de două valori pentru propoziţii : adevărul şi falsul . O astfel de logică s-a numit, cu un termen mai general , o logică standard (Standard logicI) . în opoziţie cu această logică de tip clasi c , care după cum vom vedea apărea unor logicieni mult prea largă , s-au construit logic i non-standard sau neclasice sau încă nechrysippiene , în care de�i ideile se îmbogăţesc , introducîndu-se noi caracterizări pentru pro­ poziţ ii , după cum am văzut, acestea atrag după sine o serie de restricţi i . Vom vedea mai departe cum se explică lucrul acesta . în rezumat , vom putea clasifica sistemele de logică în două categorii : logici standard şi logic i non-standard . Pentru a construi o logică nO'1-standard se pot utiliza 1 R . Ackermann, Introduction to many valued logica, Routlege & Kegan Paul, Loadon-NewYork, 1 967, p. 1 5 .

349


Logica polivalentă

două metode : o primă cale este aceea de a introduce în calculul respectiv , în mod explicit, modalităţ ile ; modali­ t ăţi care vor fi reprezentate ca operatori ai oricăre i formule b i ne formate . Aceşti operatori nu pot fi definiţi utilizînd e xclusiv pe cei din logica standard. De aceea o serie dintre ei sînt consideraţi drept "noţiuni primitive" şi introduşi de la început . Ce ilalţi apar pe măsura dezvoltării calculului şi sînt definiţi cu ajutorul celor "primitivi" (la Lewis, de p ildă - cap . 4 - , o asemenea noţiune primitivă era posibilitatea : O . Celelalte modalităţi - necesitatea , impo­ sibilitatea etc . - erau definite ulterior şi cu ajutorul ei) . Interpretarea intuitivă a modalităţilor, aşa cum apare in gindirea filozofică, fie antică , fie modernă , este destul de greu de clarificat, ş i astfel o serie de rezultate bizare pot să apară , după cum s-a şi văzut , în cadrul logici lor modale . De exemplu , oricare ar fi logica modală , ea impune distincţiei "adevăr-fals" din logica standard o distincţie mai cuprinzătoare , "posibil-non-posibil", astfe l încît pro­ poziţi ile posib ile includ toate propoziţiile adevărate şi unele d in propoziţiile false din logica standard3• Cealaltă cale este aceea a construirii logicilor pol iva­ lente3 , care pleacă tot de la ideea că propoziţiile pot avea .ş i alte valori decit numai adevărul şi falsu l . O astfel de logică non-standard se prezintă ca un calcul în care valorile variabilelor propoziţionale nu se reduc la două , c i pot fi In număr mai mare . Un caz evident , de a descrie mai mult decit tre i valori pentru propoziţi i , este ace la c ind se consideră că o propo­ ziţie poate fi adevărată , falsă sau fără sens. Un calcul trivalent corespunzător va fi construit atunci pentru a Il'eflecta această presupunere'. a

Ibidem, p . 16. Ibirhm, p . 1 7 . , După cum am văzut , sistemul trivalent a l l u i B ocivar (-9.5) era construit p e baza une i asemenea interpretări. I

350


10.1. Logici modale şi logici polivalente

In rezumat , logica matematică poate fi împărţită astfe l : logica matematică �--------�I � I � � � logica non -standard logica standard ____

_ � -1

logici modale

I_� logici polivalente

Se pune în mod firesc problema , care nu este pînă azi rezolvată în mod precis : care este raportul dintre logicile moda le şi logicile pol ivalente? După J . Lukasiewicz , un sistem formal de calcul pro­ poziţional poate fi considerat drept o logică modală dacă printre conectivele lui (definite sau nedefinite) apar doi operatori cu un s ingur argument , unul de posibilitate , pe care J notăm , de exemplu , cu A , şi altul de necesitate . simbo izat prin r , astfe l ca dacă N este negaţia , să ave : - rp implică întotdeauna p , dar nu şi reciproc ; - rp nu este întotdeauna falsă (deci N rp nu este întotdeauna adevărată , adică nu este o teoremă) ; - p implică Întotdeauna Âp , dar nu şi reciproc ; - A p nu este întotdeauna adevărată , deci nu este o teoremă t - rp este echivalentă cu NANp6. Majoritatea sistemelor moda le îndreptăţesc această condiţie , de altfe l destul de largă . Lukasiewicz însuşi construieşte (în studiul citat) un sistem în cadrul acestei definiţi i . Sistemul său are însă o particularitate : toţi functori i utilizaţi pot fi definiţi cu ajutorul unor matrice de adevăr în care propoz iţiile se consideră că iau valori de adevăr, notate cu 1 , 2 , 3 şi 4 (1 = adevărul , 4 = falsul , 2 şi 3 reprezintă posibilitatea în două forme d iferite ) .

6 J. Lukasiewicz, A system of modal logic ("Journal o f Computing Systems", voI . 1, nr. 3 , § 1, 1 953 ) . 8 Vedeţi ş i A . N . Prior, Time and Moda lity, Oxford, 1 95 7. pp. 2-3.

351


Logica polivalentă

De altfel el afirmă în mod categoric că toate logicile modale , cel puţin în sensul dat de e l acestora , trebuie să fie polivalente? De aceeaşi părere sînt şi alţi logicien i , ca J . B . Rosser etc . O problemă extrem de importantă este aceea pusă de Lewis (şi alţii) , şi anume că pentru a lămuri noţiunile fundamentale de implicaţie , compatibi litate etc. trebuie să facem apel la relaţii pur intensive , care sînt funcţii de adevăr. Intr-adevăr , după cum observă şi B lanche8, o teorie logică a relaţiilor interpropoziţionale , aşa-zisa teo�i e a funcţiilor de adevăr , trebuie în mod necesar să neglijeze acel neZU8 logic dintre propoziţii , pentru a se sprij ini pe adevărul lor material". Problema rămîne deschisă , fiindcă , de exemplu, J . Dugundj i' a reuşit să arate că sistemele lui Lewis ( toate cele opt : 51-58) nu admit o interpretare polivalentă în sensul lui Lukasiewicz . Aceasta înseamnă că nu se pot construi pentru toţi functorii matrice de adevăr cu urmă­ toarele două proprietăţi : - în cadrul lor propoziţiile să poată lua doar un număr finit oarecare de valori de adevăr, şi - faţă de e le să fie tautologii (adică : formule identic adevărate) acele şi numai acele formule care pot f i demon­ strate în sistemele respective . Rezultatul acesta este asemănător cu acela obţinut de K . Godel pentru calculul propoziţiona l intuiţionist1o• Aşa cum am arătat în capitolul al 5-lea , s istemele lui Lukasiewicz au fost construite pornind tocmai de la o interpretare pol ivalentă . Există dificultăţi serioase tn interpretarea polivalentă a modal ităţilor , care conduc uneori la situaţii foarte greu de admis. D<l exemplu , propoziţia considerată de Luka­ siewicz care exprimă o stal'e posibilă de lucrur i : "De acum 7 J. Lukasiewicz, 0p . 8 R . Blanche, Raison

cit. , p . 1 1 3 . e t Discours, Paris, 1 967. 8 J . Dugundj i , Note on a property of matrices (01' Lewis and Langford's calculi o( prop08i tions, in "J ournal of SymboJic Logic", V ( 1 940) , pp. 1 50 - 1 5 1 , 1 940. lO K . Gidel, Zum intuit ionistischen Aus8agenkalkiil, i n ..Anzeiger der Akademie der Wissenschaften in Wien", math .-naturwiss . Kl asse, 69, p p . 6 5 - 6 6 , 1 952.

352


10.2. Logica bivalentif şi logicile polivalente

Într-un an vo i fi la Varşovia" scapă princ ip iul ui contra ­ d icţiei . ° asemenea propoziţie are in logica lui L ukasiewicz . 1 . 1 1 ( negatia va1 oarea pOSI' b I' l , notata cu - , Insa N . -

-

-

2

2

=

-

2

posibilului este posib ilul) şi in baza matrice i conjuncţie i avem

K .!... N .!... = K .!... .!... = �2

2

2

2

2

Principiul contrad icţiei , aplicat acestei propoziţi i , are valoarea � , adică este numai posibi l si nu adevărat . 2

S-a incercat, pentru a depăşi aceste d ificultăţ i , să se interpreteze valorile de adevăr nu fiecare în parte , ci în grupări de asemenea propoziţi i . ° astfe l de Încercare a fost făcută , de exemplu , de E . L . Postll. In rezumat , problema interpretări i unu i s is tem formal polivalent prin valori moda le este o problemă extrem de d i ficilă şi de cele mai multe ori conduce Ia concluz i i paradoxale . Aceste rezultate sînt inevitabile, fi indcă nu este posibi l să se vorbească de modal ităţi sau de adevăr şi fals fără a presupune implic it o anumită concepţie în baza căre ia aceste ide i sînt introduse şi care , tocmai f iindcă nu sînt supuse unei delimitări precise , vor apăre a , pe parcursul dezvoltări i sistemului de logică respectiv , Într-un fe l sau altul . I n acest sens , R. Ackermann scrie12 : ,,0 re împărţ ire propusă a intervalului adevăr-fals , ca fundament al une i logic i polivalente , este aproape totdeauna rezultatu l intervenţie i unei teorii semantice sau epistemologice" .

* 10.2.

Raportul dintre log ica bivalentă şi logicile polivalente

Am urmărit pe larg în cap itolul 3 al acestei lucrări cum se cons t i t u ie ca s ist�m forma l şi cum se dezvo l t ă logica 11 E . L . Post.

Introduction to a General Theory of E lementary Prop08itions. 1 2 I bidem, p. 22.

353


Logica polivalentă

b ivalentă . Am urmărit apoi o serie de a lte s isteme logice : logica lui Lewis , logica lui Lukasiewicz, logica lui Heyting etc . , sisteme care sînt de fapt polivalente , căci admi t interpretări î n care propoziţiile pot lua mai mult de două valor i de adevăr . Se poate pune problema comparări i logic i i b iva lente (ca s istem formal) c u aceste s isteme? A. A. Zinoviev a susţinut că pentru aceasta proprietatea logici i b ivalent e , în care negaţia adevărului este falsu l şi negaţia falsului este adevărul , trebuie păstrată sub o anumită formă ş i În celela lte sisteme . Şi anume : dacă i este valoarea de adevăr corespunzătoare adevărulu i , iar k cea corespunzătoare falsul u i , atunci notînd cu N negaţia po livalentă respectivă trebuie ca

Ni

=

k ş i Nk

=

i13•

La ce revine această cerinţă? În primul rînd printre valorile de adevăr ale logici i respective trebuie să se afle una corespunzătoare adevărului şi alta corespunzătoare fa lsului - cond iţie , de a ltfe l , destul de îndreptăţită dacă ţinem seama de interpretarea sistemului respectiv . Pe aceste valori negaţia trebu ie să opereze la fel ca în logica b ivalentă . Ceea ce se poate cere de la negaţie se poate cere însă de l a orice operaţie . Conjuncţ ia , de p ildă , a două propo­ ziţii să fie adevărată cînd fiecare dintre propoziţii este adevărată şi falsă atunci cînd cel puţin una este falsă . Cu alte cuvinte , orice operaţie , c înd argumentele sale iau doar valorile adevărat (A ) şi fa ls (F) să capete exact aceeaşi valoare pe care în cazul similar o capătă în logica b iva lentă . 13 A. A. Ziooviev, Philosophical pro b leTM of many valued logic, Dordrecht . 1 963, p. 91 . Autorul se referă a ici doar la acele logic i poHvalente cum sint l ogicile Lm . care admit un număr finit d e v a l or i d e adevăr.

354


10.2. Logica bivalentă şi logicile polivalente

Nu acesta este cazul tuturor s istemelor pol ivalente . Î n logica triva lentă a lui Post, de exemp lu, apare negaţia ciclică avind următoarea matrice de adevăr14• a

A T F

I

'"'-' U

T F A

În acest caz negaţia falsului este adevărul ; negaţia adevărului nu mai este Însă falsu l , c i terţ iul . Reichenbach folosea "negaţia" de mai sus pentru a afirma , in siste m , că o propoziţie i a o anumită valoare d e adevăr15• Sistemele polivalente în care toţ i functorii sînt aceiaşi ca În logica b ivalentă şi astfel definiţi încît pentru va lorile "adevărat" ş i "fals" ale argumentelor iau aceleaşi valori ca în logica cu două valori se numesc normale . Logica trivalentă a lui Lukasiewicz (fără functoru l T) este un exemplu de un astfel de s istem normal. Putem stabili acum un rezultat general privind s istemele normale . Tautologiile oricărui astfel de s istem sînt şi tautologii ale logicii b ivalente . Pentru a vedea acest lucru , să luăm o tautologie a unui astfel de s istem. Ea este o formulă construită cu aj utorul variabilelor propoziţionale p , q, r. . . (no i vom presupune pentru s implificare că apar două asemenea variabile - p şi q - , dar cititorul poate observa că raţionamentul poate f i extins În acelaşi mod pentru cazul unui număr oarecare de variabile) şi a f unctorilor respectivi . Adică , în fond , avem funcţ ie de adevăr de argumentele p şi q : f(p, q) . Fie cele n valor i pe care le pot lua , in mod inde­ pendent , aceste argumente : A (adevărul) , F (falsul) , iar VI ' V2 , Vn_2 celelalte n - 2 valori , a căror semni• • •

14 Vedeţi . S . 6 . Vom nota de data aceasta pentru mai multă daritate valorile t3 , t2, t 1 prin A, T ş i F (adevărul, terţiul ş i respectiv falsul) . 16 Vedeţi, de exempl u , . 9 J t .

355


Logica polivalenttl

ficaţie pe moment nu ne interesează . Întrucît formula este o tautologie , ea va avea următoarea matrice de adevăr : f(p,q) ,

A

F

• • • • • • • • • •••••••

VI

A F � VI A A i A A...A A A i A A . . .A A A A A ...A

••••••••••••• 1

A A A A . . .A două, A şi F, cele n

Dacă lim ităm Ia valori (situîn­ du-ne astfel în logica bivalentă) , formula f (p ,q) rămîne o tautologie aşa precum ne arată matricea : f(p,q) I

A

: \1

F

A A

submatrice a celei de mai sus . În general însă , reciproca nu mai este adevărată18. De pi ldă principiul complementar principiului clasic re­

ductio ad absurdum :

"-' p ::J p . ::J . p , tauto logie i n logica bivalentă (este teorema 2 . 18 d in Principii) , nu este tautologie in nici una din logicile poli­ valente ale lui Lukas iewicz , nici în cea cu o infinitate de valori . Sistemele polivalente normale sînt în general mai sărace in tautologii decît sistemul b ivalent. Ele cir16 Există, totu ş i , şi cazuri în care reciproca este adevărată. Prior dă un asemenea caz sub forma următoarei teoreme (Formal Logic, p . 239) : Toate l egil e imp l icaţiei ş i negaţiei b ivalente sînt valabile pentru o impl icaţ i e şi o negaţie trivalentă care au pro­ prietăţile (vom nota cu C şi N imp l icaţia şi respectiv negaţia în cauză)

Cp q =1= A dacă p Cpq A în rest.

J" p -d-: A cl a d i = A În r e . =

Np

356

=

r' �

:

.

A ş i q =1= A ;

.4 ;


10.2. Logica bivalentlf şi logicile polivalente

cumscriu , din mulţimea de teze ale logicii bivalente , o parte * . însă nu numai sistemele poliva lente normale se află in această situaţie . Logica intu iţionistă , de exemplu , nu poate fi interpretată dînd propoziţiilor un număr finit de valori . Dar toate teoremele sale , făcînd traducerea conectivelor după "dicţionarul" lui Becker (*6.10), s înt şi teze clasice . Reciproc însă nu . Care sînt consecinţele unei asemenea l imitări În mulţ imea de teoreme clas ice ? Functori i pe care î i utilizează atit logica clasică cit ş i logici l e polivalente (negaţia , implicaţia etc .) vor avea în cele din urmă un sens mai lim itat faţă de cazul b ivalent . Pentru a înţelege acest lucru , un singur exemplu ne poate fi suficient . Am văzut că in logica b iva lentă d isjuncţia p V q a două propoziţii p şi q este adevărată , atunci cind cel puţin una din propoziţii este adevărată . Dar teoreme sînt nu propoziţiile adevărate , ci cele identic adevărate . Ca urmare , d isjuncţia bivalentă poate fi identic adevărată şi deci teză , fără ca nici una dintre propo ­ ziţiile p şi q să fie teze (identic adevărate) , aşa cum se întîmplă În cazul principiului terţ iului exclus : p V '" p. În logica intuiţionistă , după cum ştim , acest principiu nu poate fi demonstrat . Deoarece nu mai este pos ibil ca disjuncţia intuiţionistă a două propoziţi i să fie o teză fără ca una anume dintre cele două propoziţii să fie teză . Observăm , aşadar , că logica intu iţionistă operează o anume limitare în înţelesul bivalent al noţiunii cu care lucrează . Aceasta a fost observată de Lukasiewicz , după cum am văzut . Renunţările impl icate însă de concepţia Brouwer­ Heyting sînt mult mai vasteI? Să considerăm numa i una din teoremele abandonate de Heyting, de exemplu aceea a formelor normale de tipu l Hilbert . După cum se ştie , H ilbert a demonstrat o teoremă , S emnalăm că ( i n Prob leme de logică dialectică în filozofia l ui G . W .F. Hegel, vol . l I , 1964, p . 206 şi urm . ) Pavel Apostol ajunge , p rin cu t otul alte argumentări, l a interpretarea l o g i cilor p o l i­ valente ca exp resii ale aceluiaşi cîmp logic pe c a re- l explorează logica bivalentă , cimp logic supus, in cazul l ogicilor p olival ente , unor restricţii noi . 1 7 Cîteva indicatii sumare în această privinţă privind calculul propoziţional au fos t date în * 6 . 8 . *

357


Logica polivalentil

după care orice expresie a calculului propoziţional b iva­ lent poate fi redusă la o "formă norma lă" , care nu mai conţine decit semnele de negaţie , disjuncţie ş i conj uncţie18• Teorema lui Hilbert s' i Ackermann arată că ceea ce este caracteristic pentru "formulele adevărate" ( tautologii) este că formele lor normale sînt conjuncţiile unor disjuncţii care conţin fiecare o variabilă propoziţională ş i negaţia ei, adică tocmai principiul terţiului exclus . Cu a l te cuvinte , toate tautologiile calculului propoziţional a l logi c i i b iva­ lente nu exprimă nimic altceva decît principiul terţiului exclus , Într-o formă mai mult sau mai puţin complicată , adică apl icat la expresii m a i s imple sau ma i complicate . Caracteristica adevărului une i tauto logi i este dec i tocm a i principiul terţiului exclus . Dacă intuiţioniştii susţin că principiul terţiului exclus nu mai este o teoremă în logica lor , atunci prin aceasta au renunţat la toale formele normale a le tauto l ogiilor , care sînt adevărate num a i pentru că principiul terţiului exclus este o formulă adevărată . Prin urmare , punctu l de vedere intuiţion ist impune renunţarea la teorema for­ melor norma l e . Se pune dar prob lema d e a vedea cîte sacrifici i sînt cerute logicii clasice - ş i , pentru a spune aşa , bunulu i simţ logic - pentru a putea interpreta un sistem form a l poli­ valent drept "logică" . Ar trebui să facem o listă completă şi explicită de tot ceea ce trebuie abandonat din logica clasică şi o l istă tot atît de completă şi de explicită a avantaje lor pe care le-ar oferi o asemenea "logică poli­ va lentă" . Numai din compararea acestor l iste se va putea conchide dacă este acceptabil sau nu să se facă sacrifi­ c i i le cerute . *

1 0.3. Funcţia negaţiei

*

în lucrarea noastră Logica polivalentă din 1 94 3 închi­ nasem un capitol Întreg construcţiei unu i sistem de logică 18

D . Hi lbul ş i W. Aekerm aDD, Grundziige der theore/�chefJ Springer, Berl i n , 1 949, e d . a II-a , pp. 1 0 - 1 2 . E s t e v orb a d e nl' g a ţ i a formală ş i n u de c e a d iall'ctică .

Logik, •

358


10.3.

Funcţia negaţiei

trivalentă - logica T pe care îl schiţasem numa i . Am considerat in acest s istem că valorile unei variab i le pro­ poziţiona le p pot fi tre i : A , F şi T , fără n i c i o a ltă spec i­ ficaţ ie . Aceste trei s imboluri A (adevăru l) , F (falsul) ş i T (terţiul) se comportă ca n işte functori ş i va lorizează variabila propoziţională , înţelegînd prin valorizare acor­ darea une ia din aceste valori variabilei considerate ; -

Ap Fp Tp

=

=

=

" p este adevărat"

D{.

"p este fals"

Df. D{.

" p este terţ"

O variabilă propoziţională nu p oate lua decît una d i n aceste tre i valori , A, F şi T , a patra posi b i litate nu există , quartum non dalur. Cu a lte cuvinte , simpla enumerare a ce lor tre i valori posi b i le pentru variabilele propoziţionale introduce o axiomă , care exprimă că nu există decît tre i valori pentru variabilele propoziţionale - principiul cuar­ tului exclus :

Ap V Fp V Tp În lucrarea menţionat ă , încercam să punem în evidenţă mai ales funcţia negaţ ie i , care nu este tot a tît de simplă ca în sistemele de logică biva lentă . într-adevăr, acţiunea negaţ ie i asupra une i valori acor­ date une i variab ile propoz iţionale nu mai este univocă . Dacă negăm că "p este A" , nu rezultă decît că p poate avea va loarea F sau T . AI tfel spus , dacă notăm functorul de negaţie cu N, urmează că avem următoare le trei formule în mod imediat :

NAp

=

Fp V Tp

Df .

(2) NFp

=

Tp V Ap

Df ·

(3)

=

(1)

Df· Într-o logică pol ivalentă, în genera l , negaţ ia nu poate avea o funcţie univocă , c i ea ne conduce la posib i l itatea ca propoziţia , a căre i va loare se neagă , să a ibă una d i n celelalte valori rămase .

NTp

A p V Fp

359


Logica polivalentif

În aceste cond iţi i , nici disj uncţia nu mai poate fi con­ siderată exact ca în logica bivalentă . Intr-adevăr , in logica clasică , d isj uncţia logică este definită prin functorul V cu următoarea matrice :

V

A

F

A

A

A

A F F Adică , după cum se ştie , p V q este adevărată dacă una (cel puţin) din variabilele componente ia valoarea A . Această idee , care corespunde expresiei latine vel . veI (sau . . . sau) înseamnă : sau una sau alta din a lternative, sau amîndouă . Există încă o idee de genul acesta , expri­ mată in l imba latină prin aut . . . aut (sau . . . sau) , care Însă presupune numa i una d in alternative , cu excluderea celeilalte . "Aut Caesar aut nihil" (sau Cezar , sau n imic) . Functorul acesta (disj uncţia exclus ivă) va avea matricea b ivalentă : A F v . .

A

F

A

A F F Este evident ca In cazul logicii trivalente considerate functorul de d isjuncţie nu poate avea decît sensul unei d i sjuncţii exclusive . Î n rezumat , negaţia nefiind univocă în astfe l de sisteme , nici d isjuncţia nu poate rămîne cu acelaşi sens ca în logica clasică . Acelaşi lucru se poate spune relativ la toţi functori i din logicile polivalente : ei trebuie examinaţi în raport cu ide ile deja admise , ca.re le impun anumite delimitări , de care , în general , nu s-a ţinut seama . Este foarte uşor să ne convingem că negaţia în logicile poliva lente are o acţiune un ivocă , ceea ce implică un caracter cu totul arbitrar pentru negaţie , care cu greu îşi mai poate menţine un sens logic . Dacă din punctul de vedere al constru iri i unui sistem formal (fără interpretare 360


10.3.

Funcţia negaţiei

logică) nu se poate aduce nici o obiecţie jocului algebric pe care- l construim prin atribuirea une i funcţii arbitrare functorului de negaţie N, din punct de vedere logic acest lucru nu este indiferent, fiindcă conduce la consideraţii greu acceptabile sau chiar inacceptabile , cum am şi intilnit unele in cursul lucrării noastre . D� exemplu, Lukasiewicz, după cum ştim , consideră pentru negaţie următoarea matrice : o

p

1

2

1

1

1 2 O

Np

d in care se vede că acţiunea functorului N asupra valori i luate d e o propoziţie este absolut univocă . Astfel , dacă negăm va loarea O pentru variabila p , atunci valoarea e i este 1 , în logica lui Lukasiewicz (ca şi in logica b iva lentă) . Dacă negăm c ă o propoziţie este falsă , atunci e a este adevărată . Dar este uşor de văzut că acest rezultat este ales arbitrar. Î n adevăr, dacă punem in faţa variabilei functorii (aşa cum am arătat mai sus în logica T) , matricea lui Lukasiewicz spune : NOp = 1p D,. N ':" p = .! p 2

2

N1p

D,.

Op

Df· Dar , deoarece in această logică variabilele propoziţionale =

pot avea trei valor i , O, .:.. . 1, urmează că , dacă negăm 2

falsitatea une i propoziţi i , atunci ea poate fi adevărati sau numa i posibilă. Ace laşi lucru pentru cele lalte valor i : NOp = .:.. p V 1p 2

N ':"p

=

lp V Op

Nlp

=

Op V ':" p

2

2

361


Logica polivalentd

"Neg că p are valoarea ...!.." înseamnă "p are sau va loarea 2

1 , sau valoarea O" (sau este adevărată sau falsă) . De ase­ menea , negaţia propozi ţ i e i "p are va loarea 1" conduce la afirmaţia disjuncţiei "p are valoarea sau O sau

+" .

Acelaşi lucru se poate spune despre negaţ ia lui Heyting . Negaţia în logica l u i are matr icea :

I O 1 2 I p I 1 O 1 p

Dacă am a les pentru propoziţ i i tre i valori( intuiţ ioniste) : adevărul (O) , falsul (1) ş i valoarea "propoziţia nu poate fi falsă , dar adevărul ei nu poate fi demonstrat" (2) , atunc i negaţia une i astfel de valori nu poate fi un ivocă , c i ne duce la o disj uncţie . Dacă punem şi a i c i functori i �are "valorizează" o variab ilă propoz iţ ională în faţa var ia­ bilei propoziţiona le, avem :

I 1p = Op V 2p

Df . Df .

1 2p = 1pV Op

Df .

I Op = 1p V 2p

Dacă neg valoarea O pentru variab ila p , atunc i p poate 'avea valoarea sau 1 sau 2 (cele lalte rămase) etc . Neţinîn d seama de aceste efecte ale funcţiei negaţie i , �e ajunge l a rezultate b izare , uneori inadmisibile , iar contradicţ i i le d irecte sînt înlăturate prin restricţii axio­ matice . Să considerăm următoarele ega l ităţi valab ile , În logica h ivalentă , prin definiţiile conjuncţie i şi impl icaţ i e i , în 'f uncţie de negaţie şi d isjuncţ i e : ....... (p . "" p) . = . p � p . = . ....... p V p Df . în logica intu iţion istă aceste defin i ţ i i (şi echivalenţe) nu pot fi scrise , deoarece cind p ia va loarea 2 formula � pV p (principiul terţiului exclus) are va loarea 2, iar cele lalte valoarea O : 0 . = . 0 . = . 2 362


10.3. Funcţia negaţiei

La fe l , În logica l u i Lukas iewicz , c ind p

=

1

.! , prima ş i 2

u ltima dintre e le iau va loarea - , iar r.ea din m ij loc 2

va loarea 1 : 1 2

=

. 1.

1 =

2

Cum s-a ajuns in logica trivalentă La ca expresia 1 sa a ibă va loarea � ? Acest rezul tat s-a obtinu"l A HJu 1 ' 2

-

2

_

2

graţie unei ma trice a negaţiei , aleasă arbitrar, şi călcînd î.nsuşi principiul p e care îl admisese , al cuartului exclus .

Intr-adevăr , dacă Lukasiewicz ar f i explicitat ceea ce adm isese , anume că există trei valori pentru propoziţ i i � e l trebuia s ă pună c a axiomă expl icită princip i u l cuar­ tului exclus (pe care no i îl scriem , pentru a - i arăta în întregime conţinutu l , util izînd functorii "de va lorizare") : 1

AA l p - p O p 2

Aceasta ar fi arătat , de la începu t , că nega ţ ia nu mai poate avea o funcţie univocă ş i că a legerea une i matrice un ivoce calcă însuşi principiul cuartul u i exclus , adm is ca teză de sistemul respectiv . Dacă ţinem seama de matri­ cele acceptate de Lukasiewicz pentru disjuncţie ş i negaţie � avem pentru principiul terţiului exclus exprimat de formula A Npp (unde punem în eviden ţă functorii de "valo­ rizare" pentru fiecare valoare) ; A N1plp

=

AOp1p

=

1p

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

AN - p -p = A - p -p = -p A NOpOp = A 1pOp = 1p

Ceea ce l-a condus pe Lukasiewicz să constate că prm­ cipiul tertium non da tur, ANpp , nu funcţ ionează în cazul 3(;]


Logica polivalent4

1

propoziţiilor care au va loarea - , fiindcă 2

e 1 msuşl are va loare a - . .

1

'

in

cazul acesta

2

Să ţinem Însă seama de principiul cuartului exclus şi de efectul pe care il are , În aceste condiţ i i , negaţia asupra valor i i acordate variabilei, după cum am arătat ma i sus . Să acceptăm şi matricea disj uncţiei aşa cum este construită de Lukasiewicz (deşi ş i ea este d iscutabi lă) . î n cazul acesta negaţia duce la o determ inare univocă (din cauza matricei d isjuncţ iei) şi avem : 1

1

Nlp = A- pOp=

2

2

1

N 2 P = AlpOp =

Df .

lp

Df.

A lp - P = lp

Df .

-

NOp

P

-

=

1

2

Să vedem acum ce valoare ia , pentru fiecare va loare a var iabilei propoziţiona le , principiul terţiului exclus , ANpp : ANlplp

=

A � plp = lp 2

1

1

1

2

2

2

AN - p - p = Alp - p ANOpOp

=

AlpOp

=

=

lp

lp

Cu alte cuvinte , prin j ocul defin iţiilor, princ ipiul ter­ ţiului exclus rămîne valab i l . Prin urmare afirmaţia că "o propoziţie este sau adevărată sau falsă" nu contrazice afirmaţia cuartului exclus din logica trivalentă . Această observaţie se aplică , în general , tuturor siste­ melor polivalente , care fiind create liber se crede că sînt create arbitrar, adică amputind chiar propriile noastre convenţi i . Nu mai vorbim de dubla şi tripla negaţie etc . , care în cazurile acestea , a l logicilor cu mai multe valor i , capătă o complexitate care , î n genera l , n u este descifrată tn toate nuanţele e i . 364


10.4. Valori de adeoor

Gr . C . Moisil a atras atenţia asupra faptu lui că negaţia are , în s istemele nechrisippiene , d iferite grade , ceea ce corespunde şi limbajului comun 1 9 : "este fals c ă . . . " "este imposibil că . . . " "este absurd că . . . " Aceste expre s i i par a introduce tre i trepte , falsitatea referindu-se la o constatare , imposibilitatea la o imposi­ b i litate de fapt, iar absurditatea la o imposibilitate de drep t . Logicile lukasiewicziene (cu mai multe valori) introcluc mai multe tipuri de negări , al ' (i2 ' . . . , an , Între care există relaţiile : (Jn x C an_l x c . . . C alx Aceste re laţi i arată că (Jn este negaţia cea ma i "tare" , în timp ce al este negaţia cea ma i " slabă" . Pe lîngă aceste negaţi i , zice Moisi l , mai apare o negaţie intermediară N , care s e găseşte între negaţia cea ma i slabă şi cea mai tare. (in x C Nx c crlx în afară de a ceasta , logicianul român observă că nega­ ţ i i le moda le nu satisfac principiul dublei negaţi i , dar satisfac principiul triplei negaţi i . Luînd o negaţie modală oarecare (ii avem jai Cri ai x = cr;x Concluzia noastră este că negaţia avînd esenţial o funcţie logică , în legătură cu valorile de adevăr, ea nu poate fi definită prin matrice arbitrare , c i numai prin acelea per­ m ise de înseşi ide i le primitive de la care se pleacă în construirea unui s istem de logică cu ma i multe valori. *

10.4. Valori de adev�r

Logicile polivalente au putut fi construite numai pe baza conv ingeri i că este posibi l ca o propoziţie să ia mai pp.

19

Gr. C. Moisil,

1 0t. - 1 05 .

lncercări vechi şi n o i d e

logică

neclasică,

365


Logica polivalentif

multe valori de adevăr . Această concepţie introduce o serie de idei în mod implicit, pe care , în general , logicieni i Il U s-au străduit să l e expliciteze . Cită vreme ne menţinem în domeniul pur formal, a l unui j o c de esenţă a lgebrică , n u v o m obiecta n i m i c aic i ; dar în momentul cind un s istem formal - b ivalent sau polivalent - este interpretat ca un s istem logic , s-au introdus i mediat , pe nesimţite , o serie de idei şi problema acceptări i unui asemenea s istem Ca "sistem logic" ne impune aceste ide i , fără să ştim şi fără să vrem. A m spus că, în sine, sis t emul formal este o algebră. Să spunem mai întî i cîteva cuvinte despre această algebră formală. *10.4.1. Aige b re boo l eene ş i lukas iewicz iene

î n sistemele formale, care pot fi interpretate ca logic i h i valente, întîlni m variabile care pot l u a numai două valori . Aceste dou ă valori pot fi i nterpretate ca adevăr sau fa ls , dar jocul algebric n u se face cu aj utorul semni­ f�caţiilor acestor "valor i , ci prin faptul că sint două valori : valoarea numerotată cu numărul 1 şi valoarea numerotată cu 2 (sau numerotate cu O şi 1 , dacă preferăm să incepem cu O notaţia noastră) . Primul care a utilizat În mod efectiv două valori pentru variabile şi a construit in modul acesta o algebră b ivalentă, cu anumite reguli speciale , a fost matematicianul ş i logicianul englez Ge(nge Boole (1815- 1864) 20 . D in acest motiv , algebrele de acest fel , cu variab ile b ivalente , s-au numit algebre booleene sau simplu : algebre Boole. Fie aceste două valori pe care le pot lua variabilele (nu numai cele independente , c i şi cele dependente) , O � i 1 . Se poate defin i o algebră booleeană introducind 2D Lucrările princ ip a l e ale lui Boole in care iş i expune rezul­ tatele cercetărilor sale sint : The mathematical analysis of tholtght ( 1 847) ş i An in"estigation of the laws of tholtght (1 854) .

366


10.4. Va lori de adevllr

noţ iunea matematică de mulţime ca idee primitivă . în. acest caz vom avea definiţia următoare al : O algebră booleeană este o mulţime non-v idă 5J[ , în care s-au definit două operaţii binare , U şi n , şi o operaţie unară - , şi care , grosso modo vorbin d , au aceleaşi proprie­ tăţi ca reuniunea (disj uncţia) , intersecţia (conjuncţia) ş,j complementaritatea (negaţia submulţimi lor dintr-un spaţiu dat) . E lementele mulţimi i vor fi indicate prin literele A , B, C . şi prin semnul E ; dec i A E 8Jlt , B E8Jlt etc_ Operaţiile U şi n sînt caracterizate printr-o serie de axi­ ome, în a căror a legere avem un grad destul de mare de libertate . Iată , de exemplu , una din aceste posibilităţi : . .

=

Ai

AUB

BUA

A2

A U (B U C)

A3

(A n B) U B

A4 A n (B U C) =

AS

=

(A U B) U C , A n (B n C)

=

=

B , (A U B) n B

=

(A n B) n c

B

(A n B) U (A n C) , A U (B n C)

=

(A U B) n (A U e)

(A n - A) U B

=

B, (A U - A) n B

=

B

Putem spune , pe scurt , cu aj utoru l lămuririlor date mai sus :

o algebră booleană este o mu lţime non-vidă sm. cu trei operaţii A U B,A n B , - A , care satisfac axiomele Ai - A S .

Această algebră booleană s e v a dezvolta apoi pe baza regulilor de derivare a formulelor din axiome şi se ver obţine teoremele sale . Pentru ca o astfel de construcţie a lgebrică să devină o "logică bivalentă" , trebuie să interpretăm anumite ele­ mente a le acestei algebre ca reprezentînd adevărul şi altele ca .reprezentînd falsu l . I n ace laşi mod s-a putut general iza ideea aceasta ş i s-au constru it alge bre în care var iabilele iau valori d iscontinue', mai mult decît două . O a lgebră în care variabilele iau trei valor i , patru valori . , n valor i , şi chiar o infinitate .

21 Roman

H eidel berg

-

.

Sikorski, Boolean A lgebras (Berl in New York, 1 964) .

-

G iittingen

-

367


Logica polivalentii

de valor i , va fi o a l gebră lukasiewiczieană , după nume le celebrului logician polonez care a avut ideea aceasta in mod exp l icit. Se poate defini o algebră lukasiewiczieană 1n termen i de mulţimi (luînd ca şi mai sus , în algebre le Boole , noţiu­ nea de mulţime ca termen prim itiv) . O algebră Lukasiewicz va fi o mulţime 8JIL non-vidă , în care variabilele vor lua n valori posibile d iscrete şi în care se definesc o mulţime fin ită de operaţii fundamentale şi o mulţime de axiomeu. întreagă această construcţie algebrică este un j oc de semne , după regul i precis dat e , ca ş i în a lgebrele Boole , cu diferenţa că este un j oc poliva lent . în algebrele Boole sau Lukasiewicz nu există n I C I o interpretare , nici o modelare ; ele sînt numa i combinaţ ii de semne vide , combinaţii realizate conform regu l ilor date . De aceea este posibil ca ele să fie "interpretate" ca logi c i , dar şi ca altceva decit logici : de p i l d ă ca un mode 1 mecanic (în mecanismele automate cu re lee etc.) .

10.5. Adeviir şi fals

După cum am spus mai sus , legiti m itatea constrUlr I J algebrei Boole s a u Lukasiewicz este indiscutabilă . Inter­ pretarea lor ca "sisteme logice" aduce însă cu sine , în mod implicit , admiterea unor ipoteze care au fost acceptate fără un control prea lab i l . Acceptarea interpre tării unui sistem bivalent s a u p o l i ­ v a lent c a u n "sistem de logică" presupune î n principal următoarele ide i : există două valori logice (pentru s iste­ mele b ivalente) sau n valori logice (pentru sistemele poli­ valente) pe care variabilele le pot lua . Acest postu lat , care la prima vedel e pare inofensiv , perm i te Însă transfor­ marea logicii I ntr-un calcul (bivalent sau polivalent) .

Dar acest postu at acordă valorilor de adevăr un rang egal , 22 Pentru s e vedea Gr. nr. 6 , 1 963) . a

368

dez v ol tări matematice a l e a l g ebre l o r l.ukasiewicz, C. I oisil, Le a lgebre di l.ukasiewicz, in "Acta l o gica",


10.5. Adev4r

şi fa.ls

la acelaşi nivel, şi această simplă presupunere introduce în mod vag �i obscur o întreagă concepţie despre adevăr �i fak

Să considerăm ma i ÎnUi logica b ivalent ă , cu două valori : adevărul şi falsu l . După cum adevărul reprezintă ceva , tot astfel s-a extins această bază a valorii de adevăr şi la fals : ş i el reprezintă ceva , cînd in rea litate falsul nu repre­ zintă nimic din punct de vedere logic . Această iluzie este provocată de o confuzie verbal ă . Cînd spunem 2 + 2 = 5 nu exprimăm ceva care are o anumită valoare de adevăr , ci exprimăm ceva care nu are n ici o valoare23 • într-adevăr, cînd spunem ,,2 + 2 = 4" are va loarea de adevăr "ade­ vărat" , iar propoziţia ,,2 + 2 = 5" are valoarea de adevăr "fals" , falsul acesteia din urmă nu-i acordă vreo valoare , c i tocmai nu-i acordă nici una . Extensiunea aceasta neper­ m isă , de a acorda o "va loare" propoziţiilor fal se , tot aşa cum au o valoare propoziţiile adevărate , se datoreşte faptu lui că în anumite cazuri determinate declararea unor propoziţ i i ca fiind false echivalează cu afirmarea une i propoz iţ i i adevărate . Să consideră m , de exemplu, numerele reale ; ele pot fi despărţite în două mulţimi : mulţimea numerelor raţionale ş i mu lţimea numerelor iraţionale . Mulţimea R(reale) se descompune în două mulţimi complementare , mulţimea r(raţionale) ş i mulţimea i(iraţionale) . Să presupunem că demonstrăm că x este un număr real , deci x E R j că x nu aparţine lui r, deci nu este raţional ; rezultă atunci în mod necesar că x este un număr iraţional . Cu alte cuvinte a spune că propoziţ ia " x este un număr raţional" are valoa­ rea de adevăr "fals" este echivalent cu a spune " x este un număr iraţional" . în acest caz , atribuirea valorii de 23 î n exp unerea noastră, avem î n vedere statutul logic ş i nu cel ep istemologie sau metodologie al prop oziţiilor . î n d ialectica pro­ proces de constituire a adevărului - falsul, cesului de c unoaştere ca negaţie dialectică, d e d ata aceasta, a adevărului, p oate avea "sens" ca m oment al elaborării adevărului (determinînd, de p ildă, E rintr-o n egaţi e a acestui anume fals asertarea unui anume adevăr) . I n l ogică, unde avem de-a face cu adevărul constituit şi numai cu el, falsul, ca negaţie absolută a ad evărului, cad e în afara cîmpului logic . Studiul nostru fiind de logică formală, am fost obl igaţi, din consid erente metod ice, să evităm incursiun ile în epistemologie sau în geneza formelor l ogice . -

369


Logica polivalentif

adevăr "fals" unei propoziţii înseamnă atribu irea une i va lori reale acelei propoziţii . Plecînd de la asemenea cazuri particulare şi bine delim itate , cînd negaţia sau falsul une i propoziţii poate da loc la o afirmaţie sau la o propoziţie adevărată , conform definiţiilor din cadrul problemei respective , s-a considerat , printr-o extrapolare nepermisă , că falsul unei propoziţii sau negarea e i acordă în mod efectiv şi universal o semnificaţie propoziţiei şi prin aceasta o valoare de adevăr. Acest mod de a vorbi despre valori de adevăr a făcut ca Frege să declare că o propoziţie are valoarea de adevăr "adevărat" dacă este adevărată şi are valoarea de adevăr "fals" dacă este falsă , fără a supune unui control riguros o atare atribuire . Această considerare a noţiunilor de adevăr şi fals , fără nici o specificare a nici uneia din caracteristicile adevă­ rului şi fa lsu l u i , dă acestor noţiuni rang ega l de "valori" ale propoziţiilor şi numai datorită acestui fapt s istemul forma l a l logicii poate fi dezvoltat a lgebric . Fără Însă a stabili , în prealabi l , raportul dintre adevăr şi fals nu este posibil ca un s istem formal să fie interpretat în mod logic . lar pentru a stabili acest raport , trebuie să ştim în prea lab i l c e este adevăru l . Adevărul are totdeauna u n caracter existenţial ; acest lucru a fost arătat de Aristotel , iar expresia prin care el enunţă acest caracter esenţial al adevărului era : "Orice cît are existenţă atît adevăr are" - Q(J6'w� lXe:� 'tau e:!VOCL , o a {hac;;

xoct "t'ljc;; ocf\'l6e:(ocC;;24 .

Această idee despre adevăr a fost prezentă continuu în fi lozofia europeană , iar scolasticii o vor repeta în formula :

Unumquodque quantum habet de entitate tan tum ha bet de veritate . Caracterul ontologic al adevărului exprimat prin

aceste formulări devine esenţial ş i , prin aceasta , există o adaequatio rei et inteZlectus - o adecvare între lucru şi intelect - prin însăşi natura lor . Dacă porn i m de la această concepţie clasică a adevăru­ lui , după care numai ceea ce există - şi în măsura în care există - este adevărat, este ev ident că ceea ce nu 21

370

Aristotel, Me tafizica, I I

(oc) , 1 , 993 b .


10.5.

Adev(fr şi falJ

există se situează la polul opus existenţe i , nu are nici un fel de inteligibilitate şi nu este purtătorul nici unei valor i . Adevărul şi falsul nu se opun la acelaşi nive l , c a şi c u m ar fi două cunoştinţe deosebite sau două opin i i d iferite : adevărul este un concept cu un conţinut ontologic , iar falsul nu are n ic i un continut . Cum a fost posibil să se aj �ngă totuşi la concepţia după care şi falsul acordă o valoare de adevăr unei propoziţii? Această concepţie a fost posibilă graţie modificări i a însuşi conceptului de adevăr . Gind irea modernă vede in adevăr o compatibil itate intre lucruri . Pentru Kant adevăru l va deveni "acordu l gînd irii cu ea însăşi" . Desigur , această compatibi l itate a gîndirii cu ea însăşi este - in sens subiectivist ş i forma.list -o exigenţă sine qua non . î nsuşi Aristotel a subliniat faptul acesta , căci iată ce scria e l : "Trebuie ca tot ce este adevărat să fie în mod complet de acord cu s ine însuşi" as . Această cond iţie poate fi numită cond iţia orizontală a adevărulu i , adică de compatibil itate a tuturor e lemen­ telor care se află la acelaşi n ive l , pe cînd condiţia adaequa­ tio rei el intellectus poate fi numită condiţia perticală a adevărulu i , care-i asigură legătura cu real itatea . Condiţia orizonta lă a fost exprimată de scolastic i , tra­ duc1nd ideea lui Aristotel , astfe l : Q uicquid enim est perum opus est ut ipsum secum omni ex parte consentiata6 • Ceea ce este indiscutabi l adevărat şi exprimă principiul non­ contradicţiei pentru tot ce este gindit c a şi pentru gindire . Dar condiţia este numai necesară, nu şi suficientă: este necesar ca toate lucrur i le d in lume ş i însăşi gindirea care le gîndeşte să fie necontradictorii ; însă această cond iţie de inteligibilitate nu este suficientă pentru că adevăru l este o adaequatio rei et intellectus. Rămînînd numai la cond iţia de necontradicţie a lucru­ rilor intre ele, ca şi a gîndirii însăşi , filozofii ş i logicien ii modern i , cu unele excepţi i , a u izolat adevărul de obiectul lui , subiectul de obiect şi astfel s-a putut ajunge la ega­ l itatea logică intre a fi şi a nu fi, ca două situaţi i omogene 26 Primele analitice, 1 , 32, 4 7 a. 2 8 Vedeţi JUliUB PaciuB, Aristotelis Peripateticorum Principii

Organum, ed. a I I-a, 1 5 97 , reproducere după textul Darmstad t, 1967.

original ,

371


Logica polivalent4

şi simetrice ş i , in consecinţă, la considerarea că afirmaţia şi negaţia sînt şi ele omogene şi s imetrice . 27 Cu alte cuvinte , din cele două condiţii stabilite m a i sus pentru adevăr, 1. adaeq uatio (caracterul vertical) 2. non-contradicţia (caracterul orizontal) , logicien i i actual i au păstrat numai ultima cond iţie , care , nemaiavind de-a face propriu-zis cu adevărul , devine o condiţie de construcţie corectă sau incorectă , avind o legătură esenţială cu expresivitat ea logică . . Evident că atunci dnd stabilim , ca de exemplu in logica matematică , după anumite reguli acceptate prin convenţie , ceea ce este constru it corect şi ceea ce nu este constru i t corect, atunci construcţi ile formale convenţional-juste sînt la acelaşi nive l cu cele convenţional-nejuste şi in cazu] acesta ceea ce am numit adevărat , impropriu , poate sta faţă in faţă cu ceea ce am numit, impropriu de asemenea , fa ls. Dar aceste abuzuri terminologice nu ne pot inşela ; în logica matematică ceea ce se constru ieşte nu are de-a face cu adevărul şi fa lsu l , ci cu conceptul de "construcţie for­ mală corectă sau incorectă" . De a ici s-a trecut mai departe şi s-a pus faţă in faţă , pe acelaşi plan , afirmaţia şi negaţia . A m arătat Însă În altă parte că cei mai mari ginditori de ]a Aristotel pînă ]a Wittgenstein au conceput negaţia pe un plan inferior faţă de cel al afirmaţie i28• C lasicii marxism-leninismului vorbesc despre o "negaţie sterilă", care nu reprezintă "un stad iu de dezvoltare a obiectului insuşi"29 . î n dialectică , 2 7 î n t eoria materialist-dialectă a ad evărului (ef . d e exem­ plu, A. Schaff, Nekotorîe problemî marxistsko-leniniskoi teorii istinî trad . rusă, Moscova, 1953 - s au G. Klaus, Moderne Logik, p p . 115 şi urm . etc . ) această alunecare a teoriei lo g icii in sub i ectivism şi formal ism a fost criticată . Noi căutăm să aducem în discuţia acestei probleme epistemologice - d in alt punct d e ved ere - noi argumente, cu justificare strict logică . 28 A. Dumitriu, Logique formelle el logique forma lisie ("Revue Roumaine des Sciences Sociales", serie de Philosophie et Logique, 1 96 6 ) . 2 9 F. Engels, Anli-Diihring, Editura P . M . R . , 1 952, p . 409 . -

3 72


10.5.

Adevllr şi fals

scria Engels, "a nega nu tnseamnă pur ş i s implu a spune nu sau a declara un lucru inexistent , sau a-l distruge într-un mod oarecare"30 . Această idee este precizată de Lenin astfel : "Negativul este în oarecare măsură pozitiv-negaţia este ceva determinat , are un conţinut determinat"31 . Şi mai deperte : "Nu negaţia goală , nu negaţia fără rost , nu negaţia 8ceptică, indoiala sînt caracteristice ş i esenţiale în d ialec­ ticl - care incontestabil conţine în sine un element de negaţie şi chiar cel mai important element - nu , ci nega­ ţia ca moment al legăturii , ca moment al dezvoltăr i i , menţinîndu-se pozitivul"32 . Prin urmare , fără un element de pozitivitate în ea însăşi , cum este cazul negaţiei d ialectice, n egaţia în sens forma l devine "fără rost" , fără sens ş i nu poate fi opusă afirmaţiei . Dar în logica matematică cele două concepte , de adevăr şi de fals , de afirmaţie şi de negaţie , sint opuse ca două valori simetrice . De unde rezultă o serie de confuzi i , intro­ duse implicit , care au fost acceptate odată cu introducerea ide i i de negaţie în sin e , ca o valoare independentă de afirmaţie . Să vedem acum ce se întîmplă în logicile care admit mai multe valori decît două pentru propoziţii. După cum s-a văzut , nici un s istem de logică polivalentă nu poate depăşi logica b ivalentă . Ce semnificaţie au atunci valorile de adevăr introduse în p lus faţă de valorile logicii bivalente , adevărul şi falsul? Trebuie aici să d istingem cu precizie între ceea ce facem efectiv şi interpreUrile pe care le dăm rezultatelor formale . D in punct de vedere pur formal , am văzut că va lorile "formale" ale logicii b ivalente nu au decît semnificaţ ia "corect" ş i "incorect" (faţă de un punct de vedere conven 30

I bidem, p . 166 . Lenin, Caiete fi lozofice, Editura de s tat pentru I itera­ tură p ol itică, B ucureşti, 1 956, p. 6 9 . 3 1 I bidem, p . 189. Aici e s t e vorba d e două accep ţii d iferi t e a l e termenului d e negaţie: 1) negaţia dialectică , c a moment a l p rocesuaIită ţii, avind, ca atare, semni ficaţie existenţială ş i logică î n acelaşi timp î n cadrul unei dezpoltări determina t e ş i 2 ) negaţia ( formal - ) logică, d es pre care ş i marxismul a firmă că este .fără rost" atît sub raport existenţial, cît şi l ogi c .

3 l V. 1.

373


Logica polivalentă

ţional dat) . Atunci ce înseamnă celelalte valori? Cum ade­ vărul şi falsul epu izează întreg domeniul logic , urmează că celela lte valori , acceptate pentru propoziţii , se situează Între adevăr şi fals . Acesta este şi motivul pentru care n i c i o tautologie a vreunu i s istem de logică polivalentă n u poate să nu aparţină şi logici i b ivalente ( î n condiţi ile discutate la * 10 .2) . Cu alte cuvinte dacă notăm cu Al adevărul şi cu A 2 falsul , valorile de adevăr A a , A4 ' . . . An, ale une i logici cu n valor i , Ln, se s ituează toate Între Al şi A 2 • Prin urmare trebuie să scriem , pentru a arăta acest rezultat : Al , Aa , A4 . . . , An , A 2 •

Introducerea unor valori în plus , faţă de adevăr şi fal s , nu înseamnă o extindere a domeniului logic a l aplicabi l i­ tăţii acestor concepte , c i o determ inare a unor planuri ale adevărului şi falsu lui ( în fond a ceea ce este corect con­ strui t şi a ceea ce este necorect constru it) . Numai că inter­ pretarea acestor ide i , în legătură cu ceea ce este adevăru I şi falsu l , va introduce concepţi i f i lozofice destul de vagi şi greu de susţinut, ale căror ultime consec inţe n imen i nu ş i-a dat osteneala să le anal izeze . Această s ituaţie a valorilor de adevăr în logici le pol i ­ va lente a fost obs.ervată foarte b ine de Ştefan Lupaşcu . lată ce scrie el : " In rea litate , logica poliva lentă se întîl­ neşte în prezenţa unei pu lverizări sau a unui atom ism al une i s ingure valori , fie acela a l afirmaţie i , pen tru logicieni i care cred Întotdeauna Într-o matematică platonică sau Într-o metafiz ică leibn izian ă , fie aceea a negaţ iei , pentru ce i care se inspiră din metafizica empirismu lui"33. Dar , ceea ce remarcă Lupaşcu În mod deosebit, este că va lorile introduse de logici le pol iva lente nu presupun un dual ism intrinsec , nici un confl ict structural . De aceea , scrie e l , "un principiu al cuartului , a l cvintu lu i , a l n- lea exclus 33 Ştefa n Lup a ş cu ,

Logique

e/

con/radiclion,

p p . 1 6 - 1 7 . Notăm numai ac eastă d i sti ncţie pe Lu paşcu, fără să a d o p tăm p o z i ţia g e n era lă pe c a r e l uc r a r e a c i tată .

374

Paris, 1 94 7 , c a r e o face el o are in


10.6. Logicitatea sistemelor polivalente

înlocuieşte în aceste logici principiul terţiului exclus, de care nu diferă decit prin număr şi nu prin spirit" . In rezumat , introducerea unor valori multiple în logică s-a făcut cu intenţia de a lărgi aparatul logic, dar in reali­ tate e l s-a restrins prin aceasta . Natura domen iului logic nu se exp licitează prin această incercare , ci se "impl ici­ tează" . S-ar părea astfel că adagiul l u i Heracl i t se aplică in mod direct ş i în domeniul logic : "Naturi i i i p lace să se ascundă" . Este adevărat că dacă considerăm s istemu l form a l poli­ valent ca o algebră lukasiewicz iană , el este mai bogat in idei decit un s istem sau o algebră booleană , dar dacă il interpretăm logic, d intr-o dată lucrurile se inversează şi domen iul d e aplicabi l itate este mai restrîns . Domen iul logic s-ar organiza astfel interior in mod matematic, iar cunoaşterea lu i în mod exter ior . Realitatea logică pare astfel că are tend inţa să se ascundă , să se comprime , iar cunoştinţa ar incerca să o revelez e , să o desfăşoare . Procesul cunoaşteri i apare in consecinţ ă ca un act de explicitare a ceea ce , prin natura l u i , este un mod implicit de a exista .

* 1 0.6. Logicitatea sistemelor polivalente Ana liza făcută mai sus ne permite să punem acum pro­ blema cea mai i mportantă a "logicilor" polivalente. No i s întem obişnuiţi să gindim într-un anum it mod , după regulile logici i b ivalente ; dacă am putea să a legem ad libi tum , o a ltă logică , după care s-ar desfăşura gînd irea noastră , atun c i n-ar Însemna că se reduce intreg aparatul logic la o convenţie, la un s istem coerent , dar cons tru it convenţional ? Totuşi , numai in baza une i asemenea con­ cepţ i i s-au putut interpreta sistemele polivalente (algebre Lukasiewicz) ca fi ind sisteme de logică . Concepţia conven­ ţ ional istă valabilă ind iscutabil cind este vorba de sisteme formale , ale căror semne şi formule constru ite din semne s înt vide de orice conţinut şi de orice sens (sinn los) , cum spune Wittgenstein , nu m a i este atît de simplu de adm is cînd ne referi m la interpretarea in termen i de logică a 315


Logica polivalentlt

acestor sisteme . Numai in convenţiona lismul logicieni lor matematicieni a putut să fie imaginată logica ca o s implă coerenţă , ca un schelet bine construit, pe care se sprij ină gîndirea În desfăşurarea e i . Aceastl concepţie presupune că orice s istem ştiinţific î n genera l , ş i deci ş i oricare sistem de l og ică î n particular, p oate li construit în mod relativist ş i convenţional p lecînd d e l a u n gru p , b ine ales, de idei primitive şi un grup de axiome, b ine ales, care îndepl ines c anumite condiţii, foarte largi de altfe l .

Am arătat in a ltă parte deficienţele logice a le conven­ ţiona lismului şi relativismului logic, şi în general ştiin­ ţific, pentru a mai reveni a ici34 • Subliniem numai că ideea că pot exista mai multe logici , ba chiar o infin itate de logici , este o consecinţă inevitabilă a acestei concepţi i . Această concepţi e , acceptată implicit sau explicit d e toţ i logicieni i matematicien i , a fost teoretizată de Rudolf Carnap şi exprimată astfel35 : " în logică nu există mora lă (In der Logik gi b t ea kein6 Moral) . Fiecare poate să-şi construiască cum vrea logica sa , ad ică forma limbii lui . Numa i trebuie ca atunci cînd vrea să discute cu noi să ne arate in mod lămurit cum vrea să facă , să ne indice hotăririle lui [sintactice] , în loc să ne dea explica ţ i i filozofice" . Este evident că o asemenea concepţie conţine explicit posibilitatea de a construi orice logică , fie bivalentă , fie pol iva lentă . Această idee - a convenţionalismului logic-se bazează pe două presupuneri : 1 . că logica este o formă a l imbii ; 2 . că ide ile şi axiomele logic i i - adică ala acestei forme a l imbii - pot fi a lese ad p lacitum . (Noi nu ne vom extinde aici prea mult asupra acestei probleme , fiindcă am făcut-o în a !tă parte)36 . 3 1 A s e vedea l ucrarea noastră Theory and System, E d itura Capel l i , Roma, 1970. 3fi R. Caroap, Logische Syntax der Sprache, Springer, Wien, 1 934 , p . 45. 38 A. Dumitria, La logique c lassique e l les systemes formeltt ("R evue R oumaine des Sciences Sociales", Serie de Philo8ophie et Logique 1 966) . Vorbim d espre solu ţia acestei probleme în l ucrarea noastră Teoria logicii, î n curs de apariţie .

376


10.6. Logicitatea sistemelor polivalente

Ideea " convenţiona lismului" se datorează , aşadar , in primul rînd interpretări i gîndiri i in termeni lingvistici. Se consideră astfel că actul exprimării epuizează actul gîndirii. Dar acest postulat implicit sau exp l icit al con­ venţiona lismului logic negl ijează tocma i ceea ce este mai important în actul gîndirii , şi anume ceea ce este valab i l în acest act , adică ceea c e este logic . Părăsind conţinutu l logic al actului gîndiri i , s ingurul care putea să del imiteze , să c ircumscrie posibilităţile şi electivitatea expresiei , evident că s-au tăiat tocmai legăturile cu logicitatea expre­ siei, care-i dădea un fundamenta? Pentru a da numa i un exemplu, pe care îl socotim decisiv in această problemă , să considerăm principiul contradic­ ţ iei şi principiul terţiului exclus. Aceste principi i sînt fundamentale şi fără ele nu putem gîn d i . Să le exprimăm pur forma 1 :

[1J

""'"

(p . "" p) principiul contradicţie i ,

[2J ""'" p V p principiul terţiului exclus . Î n sistemul lui Russel l , în care semnele de negaţie şi de disjuncţie sînt primitive , principiul [2J nu este decît altă expresie , prin definiţie , a lui [1J . Într-adevăr, după cum am ma i văzut, conjuncţia logică este o noţiune definită în sistemul lui Russell : p . q • = . . ....... ( ""'" p V '" q) D,. Dacă particularizăm această definiţie (care este de fapt o prescurtare) şi o aplicăm ]a conjuncţia logică particulară p . "" p, ave m , ţinînd seama de negaţie : p . "" p . = . ....... ( ....... p V ....... "" p) Df· "-- (p . ....... p) · = · """' p V p Df· Prin urmare , chiar din punct de vedere formal ( logico­ matematic) , principiul terţiului exclus nu este altceva decît o a Ită expresie prin definiţie a principiului contra37 In Probleme de logică dialectică " . ( vo I . I I , p p . 1 45 - 184) , P . A p ostol face o distincţi e interes antă Între structura logică unică şi d i feritele modalităţi d e funcţionare a acesteia ( " l ogici" d iver8e= expresi i diverse ale unei l ogici unice j .

377


Logica polivalentil

dicţie i . Rezultă că pentru logica formală b ivalentă o respingere a principiului terţiului exclus înseamnă o l i m i­ tare a însuşi principiului contradicţie i , care nu se m a i poate explicita î n cazul acesta , conform definiţii lor abre· viate , în forma principiului terţiului exclus . Cum a fost atunci posibil să se atenueze sau chiar să se renunţe la principiul terţiul u i exclus? Acest fapt s-a datorat numa i ipostazieri i forma lului logico·matematic ca o valoare în sine , ca o existenţă în sine:l8 . Orice propoz i ţ ie este adevărată sau falsă ; dacă fa lsu l este însă o valoare , de ce n u am spune că o propoz iţie poate f i adevărată , falsă sau să aibă o a treia va loare? Toate acestea se datoresc unei concepţ ii cu totul parţiale despre logică ş i despre princip i i le log i c e . Să cons iderăm ma i de aproape aceste princ ipi i , pentru .a ne lămur i că ele nu pot fi reduse numa i Ia expresia lor verbaIă39 . Să vedem m a i intîi cum au fost ele enuntate de ' Aristotel . Acesta se ocupă în special de principiul contrad icţ i e i în Metafizica sa . E l începe prin a spune c ă princip i i le apar ţin Fiinţei ca Fiinţă : on Ţ O u ov't'o<; E(jŢ(V � ov . Aceste princip i i sînt sesizate direct de inte lect : de aceea e le nu mai sînt demonstrab i l e , f i ind adevărate prin ele insele ca şi Fiinţa . "Cît î i priveşte pe ace ia care încearcă să d iscute adevărul acestor axiome - scrie Aristote l - . ş i despre măsura în care ele pot fi adm ise sau nu , e i îndrăznesc să facă aces t lucru pentru că ignoră logica . C ind abordez i o şt i inţă specia lă , trebuie să posezi deja aceste a x iom e , nu să incep i s ă le studiezi atunci cînd te ocup i cu ştiinţa respectiyă"40 . Aristotel demonstrează că orice ş t i inţă trebuie să aibă un început , iar începutul trebu ie să fie cunoscut a l tfel decît prin demonstraţii , căci în caz contrar construcţia ştiinţe i este c ircu lară ; trebuie să ne opr im undeva (pentru a incepe) , ocvocYY.."I] Cl'Ţ�vO(� . Această "oprire" are loc la 38 Wittgenstein aj unge l a conc l u z ia c ă formu l e l e adevărate (tautol ogiile) d in l og ică sint osa tura l um i i Das Ceriist der Wel t . (Tracta tU8 Logico-PhilosophicU8, prop . 6 , 1 24 ) . 38 Pentru dezvoltări a se vedea A. Damitria, Istoria logicii, 8 . 8 3 . 'O Metafizica, I V , 3 , 1 005 b . -

378


10.6. Logicitatea sistemelor polivalente

princIP l l , care toate au un caracter ontologic, iar d intre acestea "cel ma i sigur , c e l ma i putern ic" este principiul contradicţie i . Iată acum formularea ontologică a acestui prInCIpIU : "Este impos i b i l ca c ineva să poată concepe că a ce laş i l ucru - TO(I)'tOV - este s i nu este în acelasi timp"41 . ' Şi mai departe :

"

Prin �lrmare dacă e excl u s ca aceluiasi '

s u biect să-i revin ă p redicate contrari i ... şi dacă p rop oziţia negativă constituie contrariul celei afirmative , e evid ent că un om n u p oate să p resupună că unul şi acelasi lucru este si nu este42 ". Ma i găsim şi url� ătoare le formulări : "Este imposibil ca două enunţuri contradictori i să fie adevărate în acelaşi timp , despre acelaşi obiect"43 . "Este imposibil ca unuia şi aceluiaşi lucru să-i convină şi totodată să nu-i convină sub acelaşi raport acelaşi pre­ d icat"44 . Vedem că însăşi formularea principiului contradicţie i are ma i multe sensuri la Aristo t e l , care se acoperă unul pe alt u l , şi a răm îne cu un singur sens înseamnă să nu te referi la acest princip iu , pe care Stagiritul îl socotea cel mai puternic (sigur) dintre princip i i : � �e:�O(�oT(h'"I) 'tW V

ocpx,wv.

T . Kotarb inski găseşte că exprimările principiulu i con­ trad icţi e i , la Aristote l , pot fi clasate în trei categorii4 5 :

1) principiul ontologic al contradicţiei ; 2) principiul logic al contradicţiei (cînd se referă Ia

propoziţii care nu pot f i adevărate împreună) ; 3) principiul psihologic al contradicţiei , care ar fi cuprins în enunţarea "este imposibil ca un om să-şi poată închipui că unul şi acelaşi lucru este şi totodată nu este" . Princip iul contrad icţie i nu este numa i formularea posi­ b i lă "nu este adevărat că o propoziţie este adevărată şi falsă în acelaşi timp", c i , mai ales , el este cuprins în forn

Ibidem , IV, 3 , 1 005 b .

t 2 I bid.

43 I bid. , IV, 6 , 1 01 1 b . 44 Ibid . , IV , 3 , 1 005 b . 4 & T. Kotarbi ns k i , Leţan8 sur l ' I.isto ire

1 964, p. 30.

de

la

logique, Paris,

3i!)


Logica polivalent4

mularea "ceva nu poate să fie ş i să nu fie" . Această for­ mulare ontologică , care cuprinde şi pe celelalte , scapă însă unei analize l ingvistice sau pur formale (în sensul logico-ma­ tematic modern) . Desigur, formularea de mai sus poate fi luată şi în accepţia "ceva nu poate să fie adevărat şi să nu fie adevărat" adică adăugînd cuvîntul "adevărat". Rămîne să vedem dacă nu am particular izat însă, prin a ceastă simplă adăugire , acest principiu . Î ntr-adevăr, această formulare cere să ştim ce este adevărat şi ce nu este adevărat. Dar ceea ce este adevărat şi fals s înt j udecăţile şi propoziţiile . De unde rezultă că , în cazul acestei formu­ lăr i , principiul contradicţ i e i a pri m i t un înţeles restrîns , c u o apl icaţie delimitată faţă de sensul lui universal "ceva nu poate să fie şi să nu fie" , cînd nu se introduce nimic care să l imiteze apl icaţ ia lui . Dacă acum ne referim la principiul terţiului exclus , ş i el va avea aceleaşi formu lări : a) p rincip iul onto logic al terţiului exclus : ceva sau este sau nu este ; b) principiul logic al terţiu lu i exclus : o propoziţie sau est6 adel'ărată sau nu este adel'ărată ; c ) p rincip iul psihologic al terţiului exclus : un om îşi p oate imagina numai că cel'a este sau nu este . După cum vedem , ech ivalenţa formală a principiulu i contrad icţie i cu princ ipiul terţiului exclus se menţine şi la nivelul ontologic ; cele două formulări sînt exact echi­ va lente : "cel'a este sau nu este" este echiva lent cu "nu există cel'a care este şi nu este" . Aceste două formulări nu mai po t fi d iscutabile n iC I măcar î n "forma lor lingv istică" . Dacă se ţine seama de aceste sensuri ontologice ale acestor princip i i , care sînt sensurile lor universale , se vede b ine că ele nu mai pot fi amputate în nici un fel . (1) Princ ipiul contradicţie i , indeoseb i în formularea lu i ontologică , este ind iscutabi l şi nu este pos i b i l un sistem de logică care să- I infirme . (2) Principiul terţului exclus , fi ind absolut echiva lent cu principiul contrad icţiei , îndeosebi în formularea lui 380


10.6. Logicitatea sistemelor polivalente

ontologică , este inatacabil şi atit cît universal itatea lui nu este pusă in joc orice logică formală care ar vrea să treacă peste e l nu ţine seama de unul din princip i ile logice . Ma i mult încă , d in analiza de ma i sus , am văzut că prin­ cipiul terţului exclus poate fi exprimat cu ajutoru l principiului contradicţiei , dar principiu l contradicţiei se află nu numai la originea principiului terţul u i exclus , ci a tuturor principiilor. În această priv inţă , Aristotel spune clar : "Iată pentru ce toate demonstraţiile se reduc la această ultimă axiomă [principiul contradicţie i ] , fiindcă aceasta este , prin natura e i , principiul cX.pX� tuturor ce lorlalte axiome"46. În acest caz , este imposibil să atenuăm sau să renunţăm la principiul logic a l terţiului exclus , sau la a lte principii logice , fiindcă ele n u sînt contingente , nici admise conven­ ţiona l , ci sînt, cum z ice Aristotel , prin natura lor, prin­ cipii d iverse care au un principiu comun , de unde se trag toate , şi care este principiul contradicţiei . C u alte cuvint e , numai formulările d iverse ale princi­ piului terţiu lui exclus au făcut să se creadă că e l se aplică numai celor două valori ale propoziţiilor, adevărul şi falsul . Cum se pleca de la punctul d e vedere convenţional ist , general izarea acestei convenţii se făcea în mod natural � să acordăm atunci propoziţiilor nu numa i două valori . c i tre i , patru ş i , în general , n valori . Dacă plecăm Însă de la sensul ontologic a l principiului contradicţiei şi, ca urmare , al principiului terţiului exclu s . aceste sensuri fiind universale , e l e nu sint limitab i le şi cîmpu l lor de aplicaţie nu poate fi redus. Este cu neputinţă ca cineva să gîndească fără să accepte principiul contradicţiei j este cu neputinţă ca cineva să gîndească logic dacă nu acceptă principiul ontologic a l terţ iului exclus (fiindcă acesta n u are o existenţă auto­ nomă , ci derivă d irect şi imediat d in principiul contra­ dicţiei) . Ce s-a intimplat În logicile polivalente , unde numai principiul terţiului exclus a fost fie redus , fie înlocu it (cu cvartul exclus , cu cvintul exclus etc . ) ? S-a plecat de -

48

-

Mp-fa(izica , I V , 3 , 1 005 b . 381.


Logica polivalent4

la sensurile deja reduse , ca aplicabilitate , ale acestor princip i i , şi anume acelea care se referă la propoziţii ade­ vărate şi neadevărate . Punînd problema astfe l , s-a coborit sensul principiu lui terţiului exclus şi însăşi enunţarea l u i nu mai este aceea autentică şi originară . Desigur, putem spune că dacă o propoziţie poate lua numai două valori , adevărul şi falsu l , atunci orice propoziţie este sau adevărată sau falsă . Dar nu acesta este înţelesul originar (care le cuprinde şi pe celelalte) al acestui principiu , c i e l s e enunţă astfe l : orice propoziţie sau este adevărată , sau n u este adevărat ă . Orice altă formulare a acestui principiu , în raport cu adevărul şi falsul unei propoziţi i , este o abatere d e l a sensul strict a l acestui principiu ş i in acest caz e l poate apărea d iscutab i l . Dar nu numa i atît , chiar dacă admitem că ex istă pentru propoziţi i mai mu lte valori , să spunem tre i , A , F , T , principiul terţiului exclus , exprimat corect, s e enunţă astfe l : orice propoziţie sau este adevărată , sau nu este adevărată ; orice propoziţie sau este falsă , sau nu este falsă ; orice propoziţie sau este terţă , sau nu este terţă . Cu alte cuvinte , principiul terţiului exclus funcţionează tot timpul dacă avem in vedere forma lui ne de generată . Dar numai formularea lui degenerată poate să-I facă d iscutabil şi numa i ea a putut da loc la d iscuţiile f ilozofice care s-au născut în marginea acestei probleme . Rămîne acum o Întrebare : ce înseamnă in cazul acesta valorile atribuite propoziţiilor în logicile polivalente? Din examenul nostru rezultă că aceste valori nu pot avea o a ltă logicitate decit aceea a logicii bivalente ; e le sînt valori care nu au nimic un iversal , deci sînt valori care pot fi găsite în probleme concrete , unde se prezintă mai multe posibil ităţ i . De exemplu : o propoziţie poate f i corect construită , î n care caz , prin convenţie , s e v a spune că are valoarea "adevăr" sau 1 ; propoziţiile care nu au valoarea 1 pot fi împărţite la rindul lor în mai multe cate­ gorii ; unele pot fi num ite false şi vor avea va loarea 2 , iar altele vor fi numite fără sens si vor avea va loarea 3 etc . Împărţirea aceasta poate co� tinua indefin it. Dar prin aceasta principiul terţiului exclus , in formularea lui auten­ t ică , este neatins ; orice propoz iţie sau este 1 , sau nu este 382


10.6. Logicitatea sistemelor polivalente

1 ; orice propozIţIe sau este 2 , sau nu este 2 ; orice pro­ poziţie sau este 3, sau nu este 3 etc . î ncă o dată vedem că logica nu poate f i construită con­ venţional , fiindcă ea Îşi bazează întreaga ei logic i tate pe principiul contradicţiei (sau pe echivalentul lui, principiul terţiului exclus) , care aparţine gindirii ş i Fiinţei in mod intrinsec . Sistemele de logică construite convenţional , fie bivalente , fie polivalent e , nu sînt sisteme de logică , ci sisteme a lgebrice , care au referinţă concretă (lingvistică sau de exprimare) . Ele sint construite cu respectul absolut al princip i ilor logice , în sensul lor universal , ca şi oricare şti inţă . D ificultăţile care apar atunci cînd este vorba de a interpreta aceste s isteme polivalente ca s isteme de logică au astfe l o exp licaţie natura lă : se încearcă a se trece de la planul unor relaţii dat e , de ord inul exprimării , la p lanul universalulu i , şi acest lucru nu este niciodată posibiL Universalul explică datul ( în sensul cel mai larg a l cuvîntului) şi îl face inteligib i l , dar nu-l absoarb e . Numai această interpretare a unor s isteme date În termeni univer­ sa l i , adică logi c i , dă loc la dificultăţile pe care le întîmpină sistemele poliva lente cînd sînt considerate ca sisteme de logică . În această privinţă , logica probabilităţi i , a lu j Reichenbach , vorbeşte de la sine : ea absoarbe În întregime logica b ivalentă şi introduce re laţi i şi legi probabi l istice , ad ică nu rămîne pe terenul pur logic , c i apl ică logica Într-un anume domeniu . Logicitatea sistemelor polivalente este deci aceea d in orice ştiinţă , ad ică logicitatea exprimată de principiul contradicţiei şi de echiva lentul lui - principiul terţiului exclus . Numai luînd anumite formulări drept enunţuri ale principiului terţiului exclus, cind de fapt ele nu exprimau in rea litate decît a lternative convenţiona le sau concrete , sau situaţ i i plurale, s-a aj uns la ideea că acest principiu (al terţiului exclus) este o simplă convenţie şi prin urmare modificabi l . Ca atare sistemele pol ivalente nu prezintă mai multe logici alternative , ci sînt aplicaţi i ale aceloraşi logici in domen i i concrete în care există mai multe posi­ b ilităţ i , opoziţi i exclusive , plurale etc . în acest sens ele au o va loare ştiinţifică indiscutabilă , căci îmbogăţesc , după cum am mai spus , ideile şi introduc noi caracterizări

383


Logica polivalent4

pentru propOZIţII, ceea ce nu se face lărgind logicitatea cuprinaă în logica clasică, ci prtJ8upunînd-o. Sistemele poli­ valente pot să ne ofere astfel o schemă conceptuală adec­ vată mai bogată, dar mai puţin obişnuită a unui domeniu oarecare , abstract sau concret , fără ca logica organizării acestui domeniu să fie d iferită în s ine d e l o gica clasică . Ele vin să întregească cunoştinţele ş i viziunea noastră asupra realităţi i şi au din acest punct de vedere o reală valoare practică (ceea ce, credem , se desprinde şi d in faptul aplic ăr i i lor, urmărit de noi în capitolul 9) . î n acest sens, "teorema de re prez entare" a l u i Gr. C . Moisi l �ste o confirmare pentru punctul nostru d e vedere . După .cum se ştie, Moi s i l a demonstrat o teoremă după care "orice propoziţie trivalentă este o pereche de propoziţ i i b iva­ lente"·l7 . El însuşi observă această consecinţă , căci scriI' ; "Este fără îndoială că teorema de reprezentare îndeamnă �ătre o subsumare a logicilor lukasiewicziene la logica clasică"48 . Moisil nu aderă Insă n i c i la părerea unor fi lozofi după care "logica matematică , mai mult încă , logicile matematice neclasice ar fi constituite de calcule logoide . care nu corespund de loco·, sau numa i foarte puţin , logic i i tra d iţ ionale"49 . Noi am arătat că logicile moda le şi polivalente conţin principiile logicii clasice , şi prin urmare numai interpre­ tarea lor eronată le poate da o semnificaţie aparentă dt' "calcule logoide" . î n rezumat, putem incheia concluziile noastre astfel : - logicile moda le şi polivalente reprezintă un succes :al şt i in ţei c ont emp orane ; '7 Gr. C. Moi s i l, Note asupra logic ilor nechrysipp iene, stud iu publ icat prima dată in "Annales scientifiques de l ' Universite de .Jassy", 1 , XXVII, 1 941 , p. 86, apoi in lncercări I'echi şi noi de logică neclasică, p. 1 76 . t n această l ucrare, Moisil s tud iază reprezentarea algebrelor lukasiewicziene trivalente prin fam i l i i ·de p erech i de mulţimi . Această teorie, spune l ogicianul român, corespunde c e l e i datorate l u i M. H . Stone, asupra reprezentării algebrelor booleene prin fam il i i de mulţimi ş i celei a l u i A. Tarsk i , asupra reprezentăr i i l ogicii l u i Heyting printr-un spaţiu topologic. 'B lncercări I'echi şi noi de logică nec/asică, p. 4 2 0 . u Ibid .

.384


10.6. Logicitatea sistemelor polivalente

- cu aj utoru l unor scheme pol iva lente s-au putut crea st,· ucturi matemat ice pentru domenii concrete aparent contradictorii j - logici le moda le şi pol iva lente nu pot avea decit in terpretări concrete ; logica formală fiind abstracţia ultimă , care atinge un iversalul , s istemele cu mai multe valori nu pot at inge abstracţia maximă �i nu pot dec i avea o inter­ pretare în domeniul un iversa lulu i decît În punctele În care e le ar pu tea să se confunde cu logica clasică şi deci care nu reprezintă specific ceea ce este poliva lent În eleGo •

60 C o nci uzia noastră este ilustrat ă ş i de încercarea p e care a m făcu t-o de a expl ica m o dal i tatea gindirii "primitive" ş i a cel ei chinez e p rin sch eme pol ival ente (vezi Istoria logicii, cap. 1 ş i I I ) . După cum e s t e cunoscut gind irea "primitivă", c a ş i gîndirea chineză, se desfăşoară t o l timpul p e imagini concrete, nepărăsind i n d ividual u l , ci brodind, p entru a spune aşa, in j urul l u i , un evan t a i de note relaţionale d e ord in sensibil, astfel că elementul cu care l ucrează gindirea dev ine o emb lemă cu bază concretă �i ex istenţial ă, nu o esenţă u niversal ă . A c eastă specificitate a gindirii "prim it ive" s a u a celei chineze, de a fi î n primul rînd o gîndire concretă, credem c ă poate permite ipoteza noastră, după care ea s-ar desfăşura pe schem e pol ival ente.


Simbolurile utilizate in lucrare ·

negaţia la Russell (44) , l a Lewis ( 99 ) negaţia c icl ică a l u i Post (304 ) , - i nterioară [Ia Bocivar] ( 340) suma logică ( d isjuncţia) l a Russell (44) , - l a Lewi. (99 ) , la Heyting (213) , clasică [la Bocivar] (340) produsul logic ( conjuncţia) la RusselJ (45 ) , - l a Lewis (98) semnul definiţiei l a Russell (45) impl icaţia la Russell (46) , impl icaţia materialA l a Lewis (109 ) , impl icaţia intuiţionistA [la Heyting) (2 1 3 ) ; impl icaţia. clasică l a Bocivar (340) semnul de aserţiune la Russell (47), afirmaţia exte­ r ioară l a Bocivar (342) echivalenţa la RU8sell (50) , echivalenta materialA l a Lewis ( 1 09) - neclasică [ l a Bocivar] ( 341) incompatibil itatea l a Russell (51 ) functii propozitionale (75) functii propozitionale variabile (75) constante individuale ( 75) variabile individuale (75) cuantificatorul universal ( 76) cuantificatorul particul ar ( 77) "p osibil itatea" l a Lewis ( 97 ,99) echival enţa l ogicA [la Lewis) ( 99) impl icaţia strictă [la Lewis] (97,99) compatibil itatea la Lewis ( 1 15 ) "necesitatea" la Lewis ( 119) cuantilicatorul particular la Lewis ( 1 39) -

v

-

=

D(

:>

1--

,

-

,

(x, gx

. . .

ipx, IjI x a, b, c x, y, :Il

I x) r 3 x) <) -<

O

O (3 P) •

• . . . . . • • •

In paranteză am pus pagina unde aimbolul apare definit.

�87


Logica polivalentlJ -

-> N M C E K II Cl (p)

A E D T J e

"

, 1- 1D ::::> c

F T O

--

implicaţia riguroasă [Ia W. Ackermann] (tt.5) relaţia de antrenare ( 148) implicaţia intuiţionistii [I a Heyting] (237) implicaţia alternativă [Ia Re ichenbach] (306,334) implicaţia la R. Ackermann ( 149) negatia la f.. u kasiewicz (158, 1 74) "posibil itatea" l a f.. ukas iewicz ( 1 58,1 � 6 ) impl icaţia l a f.. u kas iewicz ( 1 61 ,175) impl icaţia la Moisil (260) cuantificatorul particular la f.. u kasiew icz ( 1 67) conjuncţia l ogică la f.. u kasiewicz (168, 1801 cuantificatorul u n iversal la f.. u kasiewicz ( 1 6 8 ) funcţia propozi � ională ( 1 68) disjuncţia la f.ukasiewicz (180) echivalenta la f.. ukasiewicz (182) "dubitativul" la f.. u kasiewicz ( 1 84) functorul l u i Slupecki (188) functorul l u i Rosser şi Turquette ( 1 9 2) lIemnul de apartenenţă ( 208) conjuncţia intuiţionistă [Ia H e y t ing] ( 213), - neclas ică [ l a Bocivar] (340) negaţia intuiţionistă ( 21 3 ) , - ne c lasică [la Boc ivar] ( 34 1 ) dublul semn d e aserţiune ( 21 5) semnul definiţiei la Heyting ( 215) , - la Boc ivar (340) ech ivalenţa la Heyting ( 217) , - clasică [la Bocivar] (340) impl icaţia intuiţionistă ( 239) conjuncţia intuiţionistll. ( 239) diajuncţia intuitionistă (239) echivalenţa l a Griss (256) , concurenţa [la Boc ivarJ (340) "posibil itatea" la Moisil (262) "imposibil itatea" la M o is il ( 2 6 1 ) "necesitatea" la M oisil (262) "contingenţa" la M o isil ( 262) functorul excepţie [la M o is i l J ( 2 ;; 1 ) implicaţia lukasiewiczeană [Ia Mois i l ] (27 1 ) implicaţia de probabil itate la Reichenbach ( 28 1 )

Ne p

388

negaţia l a Reichenbach (286 , 287 , 3 3 3) "necesitatea" la Re ichenbach ( 292) "posibilitatea" la Reichenbach (292)


Simbolurile utilizate in lucrare lm

rwl ­ IM[ &

u ()

" impos ibil itatea" la Reichenbach (292) negaţia cant itativă la Re ichenbach (304) semnul aserţiunii M-tautologiil',,. [Ia Rescher] ( 30B) produsul în logica mecanicii cuantice a lui p , Fevrier (329) negaţia d iametrală în logica mecanici i cuantice a lu i H . R eichenbach (333) suma logică interioară [Ia Bocivar ] (340) ope raţia de reuniune într-o algebră booleană (367) produsul l ogic interior Ila Bocivar] (339) operaţia de intersecţie într-o algebră booleanl ( 367) non-sensul ( 341) "posibil itatea" l a Lukasiewicz (351) "neces itatea" la Lukasiewicz (351) negaţiile logiciIor lukasiewicziene (365)


Index de

nume

A Ackermann, R . , 1�9 , 1 8 8 , 3lt9,

353 Ackermann, W . , lt2, Hlt - H 8 ,

358 A l ban,

P . , 42, 57, 74, 8 3 , 84, 93 , 180, 224, 263 , 3 1 5 , 316 Bernou l l i , J . , 277 Birkhoff, G . , 325, 337 Blanche, R . , H4 , H6 , 1 56., 352 Bocivar, D .A . , 200 , 315 , 33 8 343 , 350 BernaYl,

152

16 1 45 -H8 Andron icoi din Rhodos, 6 Apostp l , P. 357, 377 Ar is tot el , 6 , 1 4 , 1 5 , 2 0 , 21 , 2 2 , 2 6 , 2 9 , 33, 34, 90, 1 5 7 , 1 60 , 1 6 1 , 1 72 , 202 , 203, 207 , 3 7 0 , 371 , 378 , 379, 381

A l exandru d i n Aphrodisias, Anderson, A . R . ,

B Barcan-Ma rcu8. R . , 1 5 3

O., 9 5 , 1 2 5 , 1 27 , 1 29 , 1 34 - 1 3 7 , 235 , 238 , 243 , 244, 357 Belnap, N, D Jr , H5 -H8, 1 50 B e I tram i , E . , 28

Becker,

.

.

-

Bohr , N . , 327 , 330 , 336 Bolya i, 1 . , 28 Bomp ian i ,

E., 5

Boole, G . , 280, 281 , 366 ,

368 209 , 2 1 0 , 21 1 , 21 2 , 227 , 242 , 253 , 258 , 321 , 338 , 357 Brunschvicl':, L . , 1 0 , 2 1 , 22, 90 Bu ra l i-Fort i, C . , 87 Brouwer,

L.E.J. ,

c Cantor, Carnap ,

G . , 87 R., 4 5 , 53, 54 ,

281 ,

3 1 3 , 3H, 3 76

391


Logica polivalentll

Cava il\es, J . , 3 3 , 36 Chang, C . C . , 201 , 3�6 Chwiste k , L . , 89 Chrysippos, 14, 1 6 , 1 7 , 1 8 , 2 6 , 203 , 20� Church, A . , 1 4 7 , 200, 3 1 6 , 338 C icero , 203 , 20� C i UCII , G . , 2 7 7 Corp u t , van der, 3 2 2 Curry, H . , 3 6 , 5 7

D Dan lzig D. , van , 25 7 , 322 Dedek ind , R . , 33 Destouc h e s , J . L . , 32� Dugundj i, J . , 352 Dumitriu , A . , 2�, 33 , .a , 96 , 1 21 , 1 43 , 3 7 2 , 376, 378

E Ei nstein, A . , 28, 2 9 Emch, A . F . , 143, 1 46 Enge l s , F . , 372 Errera , A . , 251 Euclid, 27, 2 8 , 177, 202 Eudem, 1 5 , 1 6

F }o' e rmat, P . , 2 5 , 2�6 Fevrier, P . , 251 , 254 , 3 1 5 , 326 - 330 , 337 Feyerabend , P., 33 7 Feys, R . , 108, 1 23 , 1 2 7 , 1 32 , 1 50 , 1 51 , 1 53 , 1 5� Fine lti, B . d e , 278 , 28'1 Fisher, R . A . , 278

392

Frege , G . , �2 , � 7 , 7 6 , 90 , 370 Freude ntha l , H . , 1 4 6 , 322

G Gentzen, G . , G ibbs, 283

21 3 ,

233,

26�

G i lmore, P . C .

G . , 25� Gl ivenko , V . , 236 Goblot, E . , 22 Godel, K., 3 6 , 3i, 2 1 3 , 238, 240 , 2�2 , 252 Gonseth , F . , 183 , 206 , 207, 329 Griss, G . F . C . , 253 - 25 7

H Hallden , S . , 1 52 , 1 53 Heidegge.·, M . , 21 , 23 Heisenberg, W . , 327, 328 , 331 , 332 , 335 Henle, P . , 155 Herac l i t , 376 Heyting, A . , 208 -258, 2 7 2 , 3 1 5 , 3 1 9 , 321 , 356, 3 5 7 , 362, 384 H ilbert, D . , 30, 32, 33, 4 2 , 7 � , 83 , 84 , 90, 93 , 263, 3 5 7 , 358 Hoo, Tzu-Hua, 189 Husserl, E . , 133

330,

268 , 3�� , 36, 235 ,

1 I os ifescu , M . , 288

J J effreys, H . , 281 , 297 Johansson , 1 . , 245 , 251 , 252, 3'.4


Index de nume

K Ka i l a ,

146 Kant, 1 . , 1 9 , 20 , 1 5 9 , 371 Keynes, J . M . , 281 , 296 Klau s , G . , 3 72 K l e e n e , S . C . , 200 , 2 1 3 , 238 Kolmogorov, A . N . , 230 , 246 251 , 283 Kiirne r , S . , 2 2 9 Kotarb i n s k i , T . , 1 6 2 , 3 7 9 Kre i s e l , G . , 38 Kriv i n e , J .L . , 38

L Ladriere, J . , 37 L a erţi u , D iogene, 17 Lambert , H., 3 1 Langfor d , C . H . , 50 , 95 , 1 0 2 , 1 5 8 , 184, 269, 3 1 9 Lap la c e , 2 7 7 Leibniz, G . W . , 6 7 , 1 60 L emmo n , E . J . , 1 53 L e n i n , V. I . , 373 Lesniews k i , S . , 162, 1 69 L e w i s , C . I .h 5 0 , 9 5 - 1 5 6 , 1 5 7 , 241 , 1 58 , 1 84 , 1 8 5 , 235 , 244 , 245 , 2 5 3 , 307, 308 , 3 1 1 , 31 2 , 319, 320 , 346 , 3 5 2 , 354 Lobacevs k i , N . I . , 2 8 L o o r , D e , 322 Luka siewicz, J . , 1 4 , 1 6 , 2 6 , 8 0 , 1 57 - 209, 225 , 226 , 236 , 238 - 241 , 243 , 2 6 0 , 263 , 2 7 0 , 2 7 2 - 2 7 5 , 3 1 2 , 3 1 9 , 320, 3 2 6 , 3 2 7 , 333 , 345 , 348 , 351 , 3 5 2 , 354, 35 7 , 36 1 , 363, 3 6 4 , 368 L u paş cu , S . , 3 7 6 2 6 - Logica pol!valentă

M Mac C o l I , H . , 98 , 1 5 0 , Marge nau , H . , 337 McKinsey, J . , 101 , 1 2 5 , 2 1 4 , 244 M i h o c , G . , 288 M i s e s , R . von , 280 , 281 , Moh Shaw-Kw e i , 147, 201 , 345 l\fo i s i l , Gr. C . , 5, 1 8 2 , 1 8 6 , 1 9 7 , 201 , 2 5 7 , 259 -275 , 368, 384 Mos towsk'j , A . , 1 84 , 1 98 , 321 Morgan, A . De, 70 , 230 ,

157 213,

287 34.4 , 1 96 , 365 , 201 , 367

N Nage l , E . , 337 N e lson, J . E . , 98 N e uma n n , J. von , 327 , N eyman , J . , 2 78 N ic o d , J . , 1 1 , 1 2 , 1 4 , 53

336

o O ga s a wara , T . , 2 63

O n ice s c u , O . , 2 7 7 , 2 8 4 , 287

278 ,

283 ,

p Pac i u s , J . , . 3 7 1 Parry, W . T . , !l 8 , 1 2 7 , 1 3 3 , 146 Pasch, M . , 31 Peano , G., 4 2 , 55, 64 , 6 6 , 67 P earson , E . , 278 P etrus H is panu s , 19, 23

393


Logica polivalentll

Popescu , F . , 7 Post, E . L . , 1 01 , 1 98 , 1 9 9 , 200 , 304, 3 1 8 , 353 , 355 Prant l , C . , 1 6 Prior, A . N . , 1 35 , 1 53 , 1 85 , 1 89 , 253 , 351 , 356 Putnam, H . , 337

R Rams ey, R . , 89 R eichenbach, H . , 79, 146, 276 314, 315, 326, 338 , 355 Renyi , A . , 2 78 , 283 R i eman n , B . , 28 R escher, N . , 307 , 308 , 311 Robinson, A . , 3 8 Rootselaar, v a n B . , 3 2 2 Ros e , A . , 1 96 , 2 0 1 Rosser, J . B . , 1 5 6 , 192, 1 94 1 97 , 2 0 0 , 201 , 352 Rus s e l l , B . , 9 , 1 0 , 1 7 , 3 2 , 41 97 , 1 0 3 , 1 1 2 , 1 1 3 , 1 41 , 1 4 2 , 1 5 4 , 171 , 1 73 , 1 76 , 1 8 8 , 1 98 , 208 , 2 1 4 , 2 1 5 , 228, 235, 237 , 3 1 7 , 320 , 338 , 342, 344, 377

s Saccheri, G . , 1 7 7 Schaff, A . , 372 Sextus Empiricus, 1 7 Shannon, C . E . , 343 S igwart , Ch . , 2 2 S ikorski , R . , 367 Skolem , Th . , 201 , 345 Slupecki , J . , 1 8 8 , 1 8 9 , 1 98 , 200 Sobocinski, B . , 1 5 1 , 1 53 Sommerfeld , A . , 327 Speranţia, E . , 246

Stihi, T . , 7 Stone, W . , 325, 384

ş Şes takov, V. L , 346, 348

T Tarsk i , A . , 2 9 , 30, 1 5 7 , 1 76, 1 7 8 , 1 9 5 , 1 97 , 2 1 3 , 244, 384, Theodorescu , R., 288 Theophrast, 1 5 , 16 Turquette, A . R . , 158, 1 9 2 , 194, 1 95 , 1 9 7 , 201

v Valpola, C . , 254 Venn , J . , 278 Vredenduin, P . G . ,

144, 254,

w Wa l d , A 2 78 Wavre, R . , 2 1 2 Wajsberg, M . , 1 88 , 1 9 1 , 1 9 5 , 1 9 6 , 1 97 , 2 0 0 , 2 6 7 , 2 6 8 I Whitehead, A . N . , 9 , 1 7 , ,32, H - 94 , 1 0 3 , 1 1 2 , 1 4 1 , 1 98 , 31 6 , 320 W ittgenstein, L . , 1 3 , 50 , 52, 90 , 91 , 372, 375, 378 Wright , G . H . , von , 23, 24, 1 51 , 1 5 3 , 314 .•

z Zaw irski, Z . , 199, 326 Z inoviev , A .A . , 201 , 354


I

Index de materii

A Adaequalio rei el inlellBctus, 370, 3 71 , 372 Anomali i cauzale, 330 , 331 , 337 Asociativitate, 56, 63 , 100, 264 Axioma lui Brouwer, 1 36 , 21 6 , 222, 228 , 245, 253

c Calcul minimal , 245, 251 - 253 Cerc vicio s , 100, 207 ; ( princi­ piul - ) , 88 Complementaritate ) , 335, 336

(princ ipiul

-

Completitudinea (suficienţa) axiomelor, 40, 1 22 , 1 9 5 , 321 Comutativitat'e a , 56, 60, 69, 72, 1 00 , 104, 264

65,

Condiţia verticală a adevărului , 372

Condiţia orizontală a adevăru­ lui, 3 7 2 Consistenţa, 318, 3 1 9 , 320 Construcţie matematică, 229, 254, 258 Contradicţi e , 89, 1 8 3 , 1 8 8 , 257, 3 1 8 , 336 Convenţionalism logic, 3 7 6 , 377 Cuantificarea (în calculul cu funcţii) 76, 78 ; - (în ca lcu­ lul propoziţional ) , 139, 1 6 7 , 1 68 , 197

D Deducţie ( logică) , 1 3 , H, 27, 29 , 30, 31 , 32, 1 1 3 , 140, 1 41 , 1 42 ; - ( logis t ică) , 1 40 DBfiniBndum, 45 , 7 9 DBfiniBns, 45, 79 D e finiţia, 45, 7 9 , 215 Dictum, 1 9 Distributivita t e a , 69, 2 6 4 , 269, 325 393


Logica polivalentii

Domeniu ( d e a cţiune a l u n u I cuantificator) , 78 ; - ( a l u n e i funcţii propoz iţiona l e ) , 76,

I nterpretare,

330 , 3 5 0 , 3 5 2 ,

31 7 , 3 1 8 , 3 2 4 ,

3 5 3 , 3 5 6 , 3 5 8 , 368 ,

9 2 , 93, 2 3 2 , 234 , 3 43

Dubla negaţ i e ( principiul legea - , regu l a - ) , 6 2 , 6 8 , 106,

3 7 , 41 , 1 25 , 1 8 4 ,

1 88 , 234 , 2 4 2 , 243 , 2 4 4 , 245 , 375 ;

-

( l ogică a proba b i l i tăţii) , 280 , 281 ; - (statistică, prin frec­ v e n ţ ă , a proba b i lităţii) , 2 7 9 ,

89,

1 8 2 , 2 2 8 , 2 2 9 , 2 3 2 , 23 7 ,

2 8 2 , 285 , 2 9 5 , 296

250, 272

Izomorf i e ,

3 8 , 297

E Exte n s iu n e , 7 6 , Extensiona l is m ,

96,

1 43 ,

1 56

90

L Legea antilogismu l u i , Lege a l u i P e irc e ,

F

Legile l u i D e Morgan,

Fa l s u l absolut , 3 2 8 , 33 7 Formă nor mală, 358 ; ( con­ junct ivă) , 1 49 ; - ( d i sjunct i ­ vă ) , 1 4 9 Formu lă, 4 6 , 5 7 , 7 8 FuncLor, 1 6 2 -

78 , 230,

2 73

Limba - obiect ,

38

Logica

(complementarităţi i) , 327 - 330 ; (cu o infin itate d e va lori) , 25, 1 90 , 1 9 5 , -

196, 356 ;

G

107

236

199, -

201 ,

285,

( i nductivă) ,

345,

314 ;

( La) ' 1 73 - 1 7 6 , 1 8 2 - 1 8 4 ; (L", ) , 1 8 9 - 1 98 ; (LaE) , 3 2 7 ; - (L3Q) , 330 ; - (T) , 359 ; -

-

Geome trii necu c I idien e ,

28 , 3 1 ,

200

Grad ( d e confirmare ) , ( d e cuplare ) , 289 ; aşteptări i ) , 295

281 ;

(al

-

(matemat i c i i intuiţion i s te fă­ ră nega ţi e ) , 2 5 1 , 253 - 257 ; (modală simetrică genera lă ) , 2 7 3 ; � (modaIă s imetrică normală) , 274 ; (ncchrisip­ p i ană ) , 2 6 , 202, 365 ; (ponderei) , 297 ; (poz itivă) , 263 ; (simbo l ică) , 1 1 , 281 ; (Standard ) , 349 ; (şti i n­ ţă forma l ă ) , 9 , 1 1 , 1 2 , 4 4 , 1 3 4 , 205 , 246 ; - (şt i i nţă a şti inţelor) , 6 -

1 I nd e p e n denţa propoz i ţi lor,

1 1 -'0 ,

1 3 8 , 1 39

I n d iv i d , 74 , 8 8 , I nd u c ţ i e , 314 Intensiu n e , 9 6 , 1 56

396

-

-

92, 97 ,

93, 98,

232 1 55 ,

-

-


Index de materii

M Matrice, 1 74 ;

(normaIă) , 200 ,

355 M e talimbă, 3 8 , 333 Metoda (axiomatică) , 178 ; (matricială sau a matrici lor de ade,văr) , 1 78 , 1 90 Modalitatea (modu8 ş i dictum) 1 9 ; - (afirmativă ş i negat i­ vă) , 132 ; - (comp lexă ire­ ductibilă) , 1 2 5 - 1 2 7 , 153, 1 54 ; - ( î n sens larg) , 23 , 24 ; - (în s e n s relativ ş i ab­ !lolut) , 1 19, 1 20 ; - (proprie

,ş i improprie) , 131 ; (gradul u nei) ,-

134

Model , 37, 1 2 2 , 123, 320 , 321 Moduri (aletice) , 23 ; - (deon­ tice) , 24 ; - (epistemice) , 23 ; - (existenţiale) , 24

Modu8 ponens (regula - , s au

de inferenţă, sau de despărţi­ ) , 16, 48 , 58, 83, 1 0 3 , 1 6 2 ,

re

j1 91 , 1 9 8 , 2 g , 239, 240, 2 6 3 , 302, 317 Modu8 tollens, 16

N Necesaru l ( la Aristote l ) , 21 , 203 ; - (in s istemele impli­ caţiei s tricte ş i c e l e înrudite cu ace s tea) , 119, 133 , 137 , l U -g3 , g 6 , 150, 1 5 2 , 155 ; - ( la Lukas i e w icz) , 159, 1 6 0 , 1 77 , 191 , 204, 205 ; - ( î n ­ tr-o logică modală oareca r e ) ,

351 ; - (la Moi s il) , 275 ; ( la Reichenbach) , 292 Nedeterminatul , 331 N e gaţia ( cuantificatorilor) , 85 ; - (în intu iţionism) , 2 1 0 , 211 , 226, 2(12 ; - (în logici le poli­ valente ) , 354, 358-365 ; ( sceptică, s terilă) , 3 7 2 , 373 Nonsensul (ca va loare de ade­ văr) , 339

o Operaţia de s e l ecţie , 288, 291 , 297

p Paradoxul (în sistemele poli­ valente ) , 344 , 345 ; ( in teoria mulţim i l or) , 2 5 , 208, ("predicabil-impre­ 209 ; d icab i l") , 2 5 , 8 7 , 8 8 , 342 , 343 , 344 Paradoxele ( implicaţ iei mate­ riale ) , 114, 125, 145, 1 8 2 ; ( implicaţiei s tricte ) , 1 4 2 , 143, 1 4 5 , 1 54 Ponderea , 295 , 307 Posibilul ( la Ari s totel ) , 21 , 202, 203 ; - (în s is temele imp li­ catie i stricte ) , 1 1 8 , 1 1 9 , 1 20, 134, 1 5 2 , 1 5 5 ; - {la luka­ siewicz) , 1 58 - 1 61 , 1 6 5 , 1 73 , 174, 1 7 6 - 1 81 ; (într-o logică modală oarecare) , 351 ; - ( l a Reichenbach) , 292

397


LogicG poiil"Glentă Pred icat,

74,

principia

Mathematica

8 7 , 8 8 , 92, 93 ( Prici­ p i i ) , 9, 1 7 , 4 2 - 7 3 , 7 4 , 8 8 , 8 9 , 91 , 9 7 , 103, 1 1 0 , 1 1 1 , a 2 , 1 38 , 1 41 , 1 7 2 , 1 7 7 , 1 9 9 , 224, 31 6 , 3 5 6 Princip iul (contradicţiei ) , 6 6 , 8 9 , 1 0 9 , 1 96 , 251 , 3 5 3 , 376 , S 7 7 , 378, 380 , 381 , 383 ; ( logic, ontologic , psihol ogic a l contradicţiei) , 37 9 ; (de determ inare) , 271 ; (dublei contingenţe) , 275 ; ( ident ităţii) , 1 04 ; (reduc­ tio ad absurdum) , 5 9 , 6 2 , 21 1 , (sil ogismu l u i ) , 6 0 , 356 ; 8 9 , 100, 1 0 7 , 182, 1 8 7 , 2 1 7 , 246 , 258 ; ( terţiului exclus) , 61 , 8 9 , 1 73 , 1 83 , 1 8 8 , 1 96 , 202 , 203 , 204 , 209, 2 1 0 , 2 1 1 , 2 1 2 , 21 3 , 2 2 2 , 223 - 230, 231 , 242, 250, 266, 322, 3 5 8 383 ; - (quartu l u i exclus) , 1 8 3 , 1 8 6 , 269 , 359 , 362 , 364 ; ( m + 1 - l u i exclus) , 196 ; (transpoziţiei sau contra­ poz iţiei ) , 62, 66, 68 ; T ­ princip i i (teo,reme ) , 1 2 3 , 124 Probab il itate (absolută) , 283 286 ; - (relativă sau condi­ ţ ionată) , 283 Produs logic, 45, 65, 69, 98 Propoziţii (atomice sau s imple) , 1 0 , 1 1 , 4'. ; - (compozabile) , 382 ; - (incompozabi l e) , 328; - (moleculare sau compus e ) , t O , 1 1 , 44 ; ( sintetice ) , 343 Prolothetică, 1 69 Punctul (ca s emn de despărţire a formulelC!)r) , 46, 4 7 21 6 -

-

-

-

398

R R e gula (de adjuncţie sau ope­ raţ ia de adjuncţie) , 103, 126, 2 1 5 , 2 1 6 , 320 ; (de a lcă­ tuire a formulelor în calculul propoziţional) , 57 ; (de alcătuire a formu l e l or în cal­ culu l cu funcţ i i ) , 7 7 - 7 9 ; - (de dual itate , 128 ; - (de introducere a cuantificatori­ l or) , 80 , 1 69 ; (înlocuirii expresiilor echivalente) , 301 302, 3 1 0 Relativismul l ogic, 376 Relaţia (de antrenare en/ai­ lement) , 1 4 6 , 1 4 7 , 1 48 , 1 50 ; - (de deduct i b i l itat e , d e in­ ferenţă) , 94, 1 1 5 , 1 4 0 - 150, (de probabil itate) , 1 54 ; 283 Relaţii d e i ncert itud ine, 330 , 333 R e z i dua ţ i a , 2 6 5 , 266, 273 , 276 -

-

-

s Scheme deductive , 264, 272 S i l ogism (categoric) , 1 5 ; ( ipotet ic) , 1 5 , 1 6 , 20 , 1 63 S i s temul (1 , al l u i Lew i s : S1) , ( S2) , 102 ; - (S l°) , 1 08 ; 1 24 , 243 ; - (S3) , 102 , 1 27 , 243 , 244 ; - (S4) , 1 2 9 , 244, 245 ; - (S5) , 136, 24& ; (S6) , 1 52 ; - (S 7 ) , 1 52 ; ( S 8 ) , 1 5 2 ; - (S2°) , 1 53 ; (S3 ) 1 53 ; - (T, a l l u i Feys­ von Wright) , 1 51 ; (S4.°) . 1 53 ; (normal). 355 °

,

-

-


Index de materii

(in calculul propoz iţional i n­

Sofisme (de moda l i ta te) , 1 lt 7 ; (de potrivirtţ) , 1lt 7 Specie, 232, 255 Substituţia (regula , metoda, operaţia de s ubstituţie în calculul c u funcţii) , 51 -83, 1 9 7 ; - (in calculul p ropozi­ ţional intui � ionist) , 2 1 5 , 239 , 240 ; - (în calculul propozi­ ţional al lui L e w is ) , 102 ; ( i n calculul p"opoz i ţional a l l u i Lukasiewicz) , 1 6 2 , 1 63 ; (in calculul propoz iţional a l l u i Moisil) , 263 ; - ( I a R e i­ c henbach) , 301 , 306 ; - (in calculul propoziţional b iva­ l e nt ) , 5 8 Suma logică , 44 , 59, 6 9

tuiţionist) , 224, 226, 228 , 237 ; - (in calculul propoz i­ ţional a l lui Lewis ) , 320 ; ( i n calculul propoz iţiona l al lui Lukasiewicz) , 178, 1 7 9 , 1 83 , 1 95 ; - ( i n calculul pro­ poziţional b ivalent) , 91 , 1 8 8 , 3 0 3 , 3 1 6 , 355 , 356 ; Mtau­ tologie, 308 - 3 1 0 Teorema ( l u i S tone) , 325 , 384 ; - (de reprezentare) , 383 , 384 Teoria ( consecinţelor) , 1 8 , 1 21 ; - (corpusculară ) , 326, 335 ; - (ondulatorie) , 326, 335 ; ( relat ivităţii) , 29 ; - (ramifi­ cată a tipurilor) , 89 Teză, 1 6 2

T

v

Ta uto l ogi e (in calculul cu func­ ţ i i , sau formulă universal validă ) , 92, 287 ; - (in lo­ gica probabil ităţilor) , 298 ; ­ (in calculul p ropoziţional al lui Bocivar) , 341 , 343 , 344 ; -

Valoare de adevăr , 1 3 , 43 , 91 , 94 , 96, 1 73 , 198, 202 , 226, 316 Variab ilă ( l egată ) , 7 7 , 8 1 ; (l ibe ră ) , 7 7 , 82 ; - (pro p o­ z iţional ă ) , 43 , 55, 57 , 7 7 , 8 2 Viitor contingent, 2 0 2 , 207


Bibliografie

B ibl iografia care urmează nu are pretenţia să fie exhaustivă . Ea a fost al cătuită in vederea acelor cititori care ar voi să apro­ fundeze problemele puse i n lucrarea de faţă. P entru o mai bună înţel egere a acestei b ibl iografii l!:m indicat mai întî i l ucrările cu caracter general istoric şi apoi am grupat lucrările i n funcţie de c onţ inutul l or, pe cap itolele care formează cuprinsul acestei cărţi. Lucrări istorice Boche08ki, J. M . ,

Dumitriu, A., Koeale, W. ş i M., KOlarb:08ki, T "

Formale Logik (Freiburg-Miiilchen , ediţi a a I I-a , 1 962) . î n special § 49. Is toria logicii (Bucureşt i , 1 969) . I n spe­ cial cap . XLV. The development of logic (Oxford, 1 962 ) . în special cap . I X , 4 , 5 , şi X I , 3 , Lefons sur / 'histoire de la logi ql.1B (Paris. 1964) . 401


Logica polivalenti!

La capito lul 1

Dlanche, R.,

Drnnschvicg, L . , Poirier, R . , Prior, A . N . ,

von Wright, G.B.,

Raison e t discours (Paris, 1967). Pentru studiul modalităPi a se vedea în special cap . VI . La modalite du j!tgement ( Paris, 1 897) . Logique et modalite (Paris , 1 952) . Formal Logic (Oxford, ediţia a I I-a, 1 962) . Partea a I I I-a a acestei lucrări reprezintă o foarte bună in troducere în logicile modale şi pol ivalente. A n Essay in Modal Logic (Amsterdam, 1 951 ) , una dintre cele ma i imp ortante lucrări moderne·de logică modală.

La capito lu l 2

Dlanche, R., CavaiIIes, l., Domitriu,

A.,

Ladriere, l . , Porte, J . , La cap ito lul 3 1 Carnap, R . , Chnrch, A . ,

Rilbert, D . şi Ackermann, W., Rilbert, D . şi Bernays, P . , Kleene, S. C . , 1

Axiomatique ( Pari s , 1 959) . Axiomatique e t sys teme forme l ( Par is, 1 938) . La struclure axiomatique de la science moderne, "Sc ientia", 1 970. Les limitationa internes des formalismes (Louvain-Paris, 1 957) . Recherches sur la tMorie g�nerale des systemes formels et sur les systemes connecti/s (Louvain-Paris, 1 965 ) . Einfu.hrung i n die Symbo lische Logik (Viena , ediţia a I I-a , 1 960) . Introduction to mathematical logic ( Prin ­ ceton, 1 9 56 ) . Grund::;u.ge der Iheoretischen Logik (Berl in, ed iţia 1 , 1 928 ; e diţia a V-a , 1 967) . Grundlagen der Mathematik (Berlin, ediţia I : voI . I, 1 934 ; voI . I I , 1 938) . Introduction to metamathematies (Amsterdam - Groningen - New York, 1 952 ) .

Toate lucrările date la capitolul 3 sint int roduceri sau tratate importante de logică b ivalentă .

462


Bibliografie

Whitehead, A. N. şi Russell, B.,

(Cambridge, edilia "VoI. 1 , 1 91 0 ; "VoI. I I , 1 91 2 ; voI. I I I , 1 9 1 3 ; e d iţia a I I-a : voI . I în 1 925 , celelalte în 1 92 7) .

Principia Mathematica

1:

*

*

*

în l imba r omână cititorul p oate consult.a : Dumitriu, A., Logica Nouă (Bucure şti, 1940 ) . (Editura ştiinţificii., Logica simbolică E nes cu, Gh., 1 971) . Mihăilescu , E.,

Sisteme

şi

forme

propoziţional

miei, Novikov,

în

calculul

(Editura Acade­

1 966) .

matematică (Edi­ trad. d i n 1. rusă ) . Elemente d e logică matematicet (E d itura didactică şi pedagogică, 1 966) .

P. S.,

Tirnoveanu,

normale

bil'a/ent

In troducere

M.,

În

logica

tura şt iinţifică,

1 963,

L a cap itolul 4

Ackermann, W.,

Begriindung e iner s trengen

Implikation.

"Journal of Symh olic L ogic" , XXI p p . 1 1 3 -1 28 .

( 1 9 56) .

tJ ber d i e Beziehung zwischen strikter und

Ackermann, W.,

s trenger Imp likation , (1 958) ,

Anderson, A. R. şi Belnap, N. D . Jr.,

S.

" D ialectica", B d .

The pure calcu lus 01 enta i /men t,

of

12

213-222 .

Symb.

Logic" ,

XXV I I

"Journ . (1 960) ,

p p . 1 9-52 .

Barcan, R.

Belnap, N.

Feys, R.,

A functional ca/cu lus of first order based

C.,

D.

Jr.,

on s trict implication, "Journ. of S ym b . L ogic" , XI ( 1 94 6) , p p . 1 -1 6 . O încercare de a dezvolta calculul cu funcţii pe baza sistem e lor impl icaţiei stricte . A lorma l ana lysis of entailmen t, "Technical R eport" nr. 7, Office of naval research , C ontract No SA R Nonr - 6 0 9 ( 1 6 ) , New Haven, 1 95 6 . Les logiqu�s noul'elles des modalites, "Re­ vu e Neoscolastique d e philosophie", XL

403


Logica polivalenU!

,.,., R.,

a_pes,

G.

E. ,i

6e..well, M.

Lipite, S .

Leamaon ,

J., A.,

E.

J .,

(193 7 ) , p p . 5 1 7-533 şi XLI (1 938) , p p . 21 7-25 2 . Modal logics ( Edited w ith some comple­ men ta by J. Dop p , Louvain-Paris, 1 965) . Cartea conţine o expunere s istemat ic ă ş i dezvoltată a cercetărilor avînd ca bază sistemele moda le lewisiene 81-8 5 . î n ea c it itorul poate găs i , de asemenea , o b ibliografie cuprinzătoare a lucrArilor din acest domeniu. lntroduction 10 Modal Logic (Londra, 1 968) . A comp leteness theorem i n modal logic, "Journ. of 8ymb. Logic" XXII (1967) , p p . 176-1 86 . Lucrarea reprezintă un punct de vedere comun între s istemele numite moda l e (în speţă s istemul 5 al lui Lewis) ş i c ele p o l ivalente - in care tezele sînt tau­ tologii calculate pe baza unor matrice de adevăr. Numa i că , în interpretarea lui Kripke , une i formu le din 85 ii cores­ punde nu o matrice de adevăr, ci mai multe . New foundations for Lewis modal systems , Journ. of Symb. L ogic", XXI I ( 1 957) , p p . 1 76-1 86 . Symbolic Logic (New York, e diţia 1 1 93 2 , ediţia a I I-a 1 959) . I n cap itol u l VI a l acestei lucrăr i , precum ş i î n appen­ dixele II ş i I I I (ed. a I I-a) , Lewis expune sistemele implicaţiei stricte. Many I'alued and modal systems : an intu­ itive approach, " Ph ilosophical review", LX (1955) , p p . 626-630. Time and modality (Oxford, 1 957) . In special cap itolele I I , I I I şi Appen­ dix B. On many I'a luell systems o/ logic, Ajatus", XXII ( 1 95 9) , p p . 1 1 5-1 5 9 . ..

Lewil, C.

1. şi

lerd, C. K.,

Prior,

A.

N.,

A.

N.,

Saloma.,

A.,

Prior,

Lang­

..


Bibliografie

Enta i lmen t an a deduc i bi li ty " Procee­ dings of the aristotelian society", 1 958--1 959 , p p . 233--25�. Note o n a modal system 01 Feys-I'on Wright. "The j ournal of computing systems . I (1 953) , p p . 1 71 --1 78 .

Smiley, T. J.,

,

SobociDeki, D.,

..

.

La cap itolu l 5

AekermaDD,

Bay, L.

R.,

S.,

Introduction 1 0 many I'a lued LogicB (London -- New YOl·k, 1 967) . O i n troducere de mici proporţii În studiul logici lor p ol ivalente, În special În logic ile Lm ale lui Lukasiewicz. 01 the infinite-I'a lued pre­ "Journ. of Symb. Logic". XXVI I I (1 963) , p p . 77--86. Asupra logicii tril'alente, "Ruch Filo­ zoficzny" , V (1 920) , p p . 1 60--1 7 1 . Philosophische Bemerkungen zur mehr­ wertigen Systemen aes A ussagen k a lkiila. C o m p t es rendus des seances de la 80c ict e des sc iences et des l ettres de Var­ sov i e " , C l a sse I I I , 23 ( 1 930) , p p . 51--77. Articolul a apărut tradus În volumul "Ma terial ismu l dialectic şi ştiinţele m o­ d e rn e " , X I . Die Logik und das Gruna lagenpro b lem , " L e s entretiens de Ziirich sur les Ion de­ ments et la methode des sciences mathe­ mat iqu es" , Ziir ich , 1 941 , p p . 88-1 0 0 . V n terschungen iiber den A ussagenkalkiil. "Comptes rendus des seances de la so­ c iete d e s sciences e t des l e ttres de Var­ sovie " , C lasse III, 23 (1 930) , p p . 30--5 0 . The dependence o f an axiom 01 Lukasiewicz. "Transactions of the american mathema-

Axiomatization

dicate calcu lus,

LDkasiewiez, J., L ukaeiewiez, J.,

"

Lukasiewicz, J.,

Lukasiewiez, J. şi Tarski, A.,

Mereditb,

C.

A.,

405


Logica polivalentlf

MOBtOWIU, A.,

PoRt,

E. L.,

o f ma thematics", XL (1921 ) , p p . 1 63-183 . Comple teness of Lukasiewic:-Ta"ski p"o­ positionai ca leu lus, "Mathematische an­ nalen", C XXI I ( 1 950) , p p . 206-298 . Axiom systems fo" 3-valued logic, "The journal of the London mathematical so­

R08e, A . ,

R08e, A.,

ROle, A. ş i Roner, J . B.,

R088er, J. B . ş i Turquette, A. R., TurqueUe, A. R.,

La capito lu l

GOdel, K., Beyting, A . ,

406

ciety" , XXVI ( 1 9 51 ) , p p . 50-5 8 . Fragments o f many I'alued statemen tcal­ cuIi, "Transactions of the american ma thematical society", LXXX (1 958) , p p . 1 -5 3 .

ManY-l'alued logics (Amsterdam, 1952) . Una d intre cele mai importante lucrări În domeniul l ogicilor pol ivalente . Independent axioms fo" infinite value d logic, "Jour n . of. S ymb. Logic", XXVI I I ( 1 963) , p p . 2 1 7-221 .

6

Brouwer, L. E. J . ,

GOdel, K.,

tical Bociety", LXXXVI I (1958) , p . 54 . A xiomatizability of some many I'aluetl p"edicate ca lcu li, "Fundamenta mathe­ maticae", L ( 1 961 ) , p p . 1 65-1 90 . Introduction to a gene"al theo"y 01 e le­ mentary p"opositions, "American j ournal

H istorical

background, princip les and methods of intuitionism " South-african j ournal of science", X L I X , p p . 139-1 46. Zur in tuitionistischen Arithmetik und Zah­ lentheorie, "Ergebnisse e ines math. Kol­ l oqu iums", B. 4 ( 1 933) , S. 34-3 8 . Eine Interpre tation des intuitionistischs1I Aussagenkalkuls, "Ergebnisse e ines math. Koll oquiums", B. 4 ( 1 933) , S. 39--40. Die formalen Regein der intuitionistische1l Logik, " S itzungsberichte der Preussis­ chen Akademie der Wissenschaften"


Bibliografie

(Physikalische ma thematische 1 930, p p . 4 2 -5 6 .

Klasse) ,

-

BeytiDg, Ao,

Les fondements des mathemat iques, Intui­ tionn isme .

Theorie

(Louvain-Paris,

de

la

demons tra/ion

1 95 5 ) .

Lucrarea cuprinde şi un bogat material informativ cu pr ivi re la cercetările legate in vreun fel de logica intu iţionistă. BeytiDg, Ao,

JobaDSSOD ,

10,

Jn/u itionism - An Introduction (Amster­ dam , ediţia 1 1 95 6 ; ediţia a I I-a 1 966)0 O lucrare de largă iniţiere in matematica şi logica intu iţionistă . Ea este insoţită de o b ibliografie aproape exhaustivă asupra acestui domeniu de cercetări. Der Minimalka lkii l ein reduzierter intui­ t ioniatiacher

Formalismus,

mathematica", I V Prawitz, D o ,

..Compositio

( 1 93 6 ) , pp .

1 1 9 -1 3 6 .

A n in terpreta /ion o f intuitionistic predi­ cale logic in modal logic . .. Contributions to mathematical logic. Proceedings of t h e logic coIloquium Hannover 1 966.

Sehiilte, Ko,

Vol islăndige Systeme modaler und

intui­

(Berl in - Heidelberg - New York , 1 968) .

t io nistiacher Logik

La cap ito lul 7

Moisil,

Gro Co,

Sur la theorie classique de la modalite de,

" Bu l l . math. de la soc. rou­ maine des s e . " ( Bucureşti, t. X I , 1 938, p . 2 35) .

jugemen ls,

Moisil,

Gro Co,

Moisil,

Gro Co,

Logique modale, "D isquisi tiones math. e t phys." (Bucureşti, t. I I , 1 942) . Remarques

sur

la

logique

"Analele Acad . române sccţ. şt.", Seria III , t. XVI p. 975.

du

concep t,

memoriile (1 940-41 ) ,

407


Logica poltvalent4 La capitolul 8

Caruap, R.,

Caruap, R., de Fiuetti, B., Kemeny, J. C., Ouice8CU, O. , Reicheubach,

H.,

Ru_avin, G. 1 . ,

Logical loundatiom 01 probability (Chicago, ediţia a I I-a , 1 960) . Un tratat important asupra probab il ităţi i din punc t de vedere logic. The Continuum 01 inductive me thodll (Chicago , 1 952) . Teoria delia Probabilita , 2 val. (Torino, 1 970) . A logical measure lunetion , "Journ. of Symb. L ogic", XVI I I (1 953 ) , p p . 290-308. Princip iile teoriei probabilităţilor (Bucureşti , 1 969) . The theory 01 pro bability ( Berkeley-Las Angeles , 1 949) . Proba bilitatea logică şi inlerenţele induc­ tive, tradus din l imba rusă în volumul Materialismul dialectic şi ştiinţele moder­ ne, vo I . X I I I ( Bucureşti , 1 970) .

La capitolul 9

BirkhofC, G. ş i vou NeuMaun, J . , Fe­ Destouchea vrier, P., Feyerabeud, P . , -

Nagel, E.,

Putuam, B., Reicheubach,

H.,

MoiBiI, Gr. C.,

408

The logic 01 quan tum mechanics, " An nala o f mathematics " , XXX I I (1 936) , p p . 823-843 . La structure des tMories physiques ( Paris. 1 951 ) . Reichenbach '8 interpretation of quantum mechanics, "Philosophical atudies" , 9 (1 95�" p p . 4 9 --59 . Prolessor Reichenbach on quantum mecha­ nics: a rejoinder, "The journal of p hilo­ sop hy", XL ( 1 946) , p p . 247 -250. Three va ltlei logir, "Ph ilosophical atu­ dies", 8 (1 95 7) , p p . 73-80. Philosophical foundations of quantum m e­ chanics (Berkeley - Los Angeles, 1 944 ) . Funcţionarea reală a schemelor c u contacttl şi relee, I ( Bucure�ti , 1 963) .


BibliografIe

La capitolul 10 Organon, voI. I-IV (Bucureşti, 1 957 1963) . Logica p olivalentă (Bucureşti, 1 943) . An/i-D iihring, Editura P . M . R . , Bucu­ reşt i , 1952 . Caiete filozofice, Editura d e stat p entru l iteratura p ol itică, Bucureşti , 1956

Aristotel, Dumitriu, A., Engels, F., Lenin, V. 1. ,

l.. ukasiewicz,

J.,

Lupattcu, S . , Rescher. N.,

Rescher, N., Zinoviev, A. A.,

A sys/em of modal logic, "Journal o f computing systems", voI . 1 ( 1 953 ) , n r . 3 , p p . 1 1 1-140. Logique e l con/radiclio n ( Paris , 1 947) . Topics in phil080phical Logic (Dordrecht, 1 968) . în special cap . V I dedicat l ogicilor polivalente. Many-valued logic (New York , 1 969) . Philosophical problema of many-valued lo­ gic ( Dordrecht-Holland, 1963).


Tabla de materii

.... .

Prefaţă .

. . . .

. . . .

. .

. . . . . . • . . • . . . . . . . . . • • . . . . • . . • • . • • . •

• •

5

1 Introducere

Propoziţia şi modalitatea ei 1 . 1 . Calculul propoziţional 1 .2 . Valoarea propoziţiilor 1 .3 . Originile calculului propoz iţional 1 . 4 . Modalitatea propoziţiilor 1 .5 . Semnificaţia modalităţii 1 . 6"Ce este logica p ol ivalentă? 1 . 7 . 'Logici modale şi p o l ivalente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • • • • •

. . . . . . . . . .

. . .

. . . . . . . . • . • • • • • . • .

. . . . . • . . . • . "

• . • • • • •

. . . . . . . . . . . . . . . . • • • . • • •

. . . . . . . . . . . • . . . • . • . • • • . . • . . . . . . .

. . . . • . . . • . . • • . • • • • •

. . . . . . . . . • . . . • . • . • • • . • • •

9

11

14

(Tt' 2i

26

2 Sisteme formale

2 .1 . 2 .2 . 2 .3 . 2 .4 . 2 .5 .

Metoda axiomatică Formal izarea teoriilor deductive Structura axiomatică a unei ştiinţe . C onstrucţia unui sistem formal . C ondiţiile grupului axiomatic 2 . 5 .1 . Necontradicţia axiomelor 2 . 5 .2 . Independenţa axiomelor 2 . 5 . 3 . Suficienţa axiomelor 2 . 6 . Construcţia logic ii ca sistem formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . • • • . . • • • • . • . • . • . . . • . • • • . • • • • • • • • •

• . . . . . • . • • • • • • • • •

. . . . . . . . • • • . • . • . • • • • •

. . . . . . . • . • • . . . . • • • • • • •

. . . • • . . • . . . . • • • • • •

. . . • . . . . . . . • . . . • • . . •

. . • . . . . . . • . • . • • • . . . • • •

27

30 33 36 38

39

39

40 U

411


3 Logica bivalentă

A. Calculu l propoziţional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 1 . Princ i p ia Mathema t ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .2 . Idei primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . :l . Funcţii de adevăr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 4 . Propoz iţii primit ive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 5 . Consecinţele imediate ale propoziţiilor primitive . . . . .

.

3 . 6 . Produsul l ogic a două propoziţii. . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 7. E c hivalenţa .................................... 3 . 8 . Propoziţii diverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B . Calcu l u ! cu funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 9 . :Funcţ i i propoz iţionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .1 0 . Idei primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .11 . Propoziţi i primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 1 2 . Consecinţele propoz iţiilor primitive . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .1 3 . Teoria tipurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .1 4 . Consideraţii genera l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

.

Logica implicaţiei s tricte

I m p l icaţi a stric tă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I d e i primitive (nedefinite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definiţii ....................................... Propoziţii primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoreme ............... ................. ..... 4 . 6 . Impl icaţi a materială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 7 . Relaţia de compat ibil itate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '4.8. Funcţii modal e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 9 . Completarea sistemului 1 . Sistemul 2 . . . . . . . . . . . . . . 4. .1 0 . Modal ităţi compl exe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �4. . 1 1 . Reducerea modal ităţilor la 1 4 . S i8temu l 4 . . . . . . . . 4 .1 2 . Reducerea modal ităţilor la 6. Sistemul 5 . . . . . . . . . . 4 . 1 3 . Un p ostulat de existenţă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4 .3 . 4.4. 4.5.

.

.

.

.

.

.

.

4 .1 4 . Implicaţie ş i deductibi l itate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 �

42 42 43 48 55 57 65 67 72 i4 74 77 ';9 81 86 89

95 98 99

1 00 1 02 1 09 113 118 1 22 1 25 1 28 1 34 137

HO


4 . 1 5 . C ompletări adu se si stemelor impl icaţiei stricte. Alte sis teme modale , , ,....... 4 . 1 6 . Cons ideraţi i generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

. . . . . • . .

.

.

.

.

1 50

15�

5 Logicile lui Lukaaiewicz

5 .1 . 5 .2 . 5 .3 . 5 .4 . 5 .5 . 5 .6 .

L ogica modală a lui l.ukas iewicz .............. I de i l e primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propoziţii modale prim itive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C onsecinţele primelor două propoziţii modale . . . . . . Consecinţele celei de-a treia propoziţii modale primitive I ncompatibil itatea prop oziţ i ilor modale primitive in calculul bivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 7 . Logica trivalentă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 .8 . Definiţia noţiuni i de posib i l itate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 9 . Consec inţele definiţiei conceptului de p osibil itate . . 5 .1 0 . Dezvoltarea logic i i trivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 1 . Modal ităţile logici i trivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 .1 2 . General izarea logic ii triva lente : l ogicile L m . . . . 5 .1 3 . Alte cercetări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 .1 4 . Considera ţ i i generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

157 1 58 1 59 1 61 167 1 71

1 73 1 76 1 78 1 82 1 84 1 89 1 98 202

6 Logica intu iţionistă

6 . 1 . I ntu iţionismu l lui Brouwer 6 .2 . Formal izarea l ogicii intuiţioniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 .3 . Regul i d e operaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

6 .4 . Constantele : : . • : : ;:) . /\ . ;:)c . (.) . D . . . . . 6 . 5 . Constanta V 6 .6 . C onstanta -, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 .7 . Axiomele intuiţioniste �i principiu l terţiului exclus 6 .8 . O bservaţ ii asupra calculului propoziţional intuiţionist 6 .9 . Calculul cu funcţ ii intuiţionist 6 .1 0 . Compararea logic i i intuiţio n iste cu logica b ivalentă 6 .1 1 . Compararea logic i i intu iţioniste cu cea a lui Lewis 6 .1 2 . Logica problemelor a l u i Kolmogorov . . . . . . . . . . . . 6 .1 3 . Alte c ercetări ale şcol ii intui ţioniste 6 .1 4 . Consideraţii generale . . . . •

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . • . . . • . • . . . . . .

. . . . . . . • . . . . . .

. . .

. . . . • . . . . . . . • . . . . . . . .

208 212 214

21 6

219 221 223 230 231 234 243

246

251

257

7 Logica modală

7 .1 . Cerc e tările l u i

Gr. C . Moisil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259

413


7.2.

7.3. 7.4.

7 .5 .

7.6 . 7.7.

7.8.

Idei primitive ; definiţi i ; functorul S Logica modală generală . .... Imposib i l itatea şi contingenta în l ogica m odală generalii. ......................................... Necesitatea şi p osibilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logica modală specială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logicile moda le simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cons ideraţii generale . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . • . . . . . . . . . . . . . "

• • .

.

260

262 265

266 268

272 27!o

8 Logica probabilităţilor 8.1 .

Noţiunea de probabi l itate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constituirea l ogici i probab i lităţilor . . . . . . . . . . . . . . 8 .3 . Logica modal ităţilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Logica ponder i i. Noţiuni preliminare . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Tautologiile logici i probabil ităţilor. Deducerea tautologiilor din prima categorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . 6 . Tautologiile din a doua categorie . Negaţia cantitativă 8 . 7 . Sistemul 5 al lui Lewis. din punct u l de vedere al calculului probab il ităţilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Consideraţii general e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.

.

.

.

276 285

291

294

297

303 307

31 2

9 Ap licaţiile logici lor polivalente 9.1 .

9.2 .

9.3 .

9.4.

Introducere . . . . . . . . . . Apl icarea l ogicilor p o l ivalente la stud i u l sistemelor ........................................ formale Aplicarea logicilor pol ivalente în matematică . . . . . . Apl icaţiile logicilor pol ivalente în mecan ica cuantică 9 . 4 . 1 . Logic i l e poliva l ente construite de Paulette Fevrier ................... ..... ......... 9 . 4 . 2 . Logica mecan icii cuantice a lui Hans Reic henbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logicile p ol ivalente ş i paradoxele logice . . . . . . . . . . Aplicarea logic ilor cu mai multe valori în studiul schemelor cu contacte şi relee . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.5.

9.6.

.

.

.

10 10.1 .

.

.

.

.

31 5

321

32/. 326

330 338

3la6

Concluzii finale

Distincţia d intre l ogicile modale şi logicile pol ivalente . . . . • .

414

.

.

31 5

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

349


tO.2. tO.3.

1 0 . r. . 1 0. 5 . 10.6.

Raportul d intre l ogica b ivalentă ş i logicile polivalente ..... ..... . Funcţia negaţiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valori de adevăr 1 0 . r. . 1 . Algebre booleene ş i lukasiewicziene . . . . . . A devăr şi fals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logicitatea s istemelor pol ivalente Simbo lurile u t ilizo.te în lw:rare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ndez de nume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lndez de materii Bibliografie . .

.

. . . . . . . . . . . . . . •

. . . . . . . .

. • • • • • • . • • •

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . •

. . . . . . . . . • . • • • • •

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • • • •

. . . . . . . . . • . . . . • . . . . . . . . . • . . • • • • • • • • •

353

358

365 366

368

375 387 391 395

�Ol

Anton Dumitriu - Logica polivalenta  

Anton Dumitriu - Logica polivalenta