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Colegio Montessori Módulo de Matemáticas Grado 10 – Período 1 En este módulo de trabajo se encuentran todas las enseñanzas relacionadas con los conceptos iniciales de la Trigonometría: Ángulos, Funciones Trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos. Enrique Alberto Martínez Martínez


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º 10 ESTUDIANTE

GRUPO Enrique Alberto Martínez Martínez

No

MEDIADOR PERIODO

I

DURACIÓN

Feb-Abril 2014

ASIGNATURA

PROPÓSITO DEL ÁREA

Matemáticas y Estadística.

AREA:

Matemáticas

Desarrollar en el estudiante competencias que faciliten el planteamiento de situaciones matemáticas en los diferentes contextos, utilizando los niveles de pensamientos sobre el lenguaje de los números reales.

META DE COMPRENSIÓN DEL AÑO

Solucionar problemas aplicando conceptos matemáticos apoyados en la Trigonometría, en la Geometría Analítica y en la Estadística básica.

META DE COMPRENSIÓN GENERAL DEL PERIODO

Aplicar las funciones trigonométricas y las variables estadísticas en la solución de problemas.

TÓPICO GENERADOR

CONTENIDOS

¿Las funciones trigonométricas y las variables estadísticas te ayudan a resolver problemas de tu entorno? 1. Los sistemas de medidas para ángulos. 2. Las funciones trigonométricas. 3. Signos de las funciones trigonométricas. 4. Las funciones cuadrantales. 5. Funciones especiales.

trigonométricas

trigonométricas

para para

ángulos ángulos

6. Funciones trigonométricas inversas. 7. Trigonometría del triangulo rectángulo 8. Aplicaciones de las funciones trigonométricas. 9. La representación trigonométricas.

gráfica

de

las

funciones

10. Los conceptos fundamentales de la Estadística. 11. Las tablas de frecuencias para datos agrupados y no agrupados.

METAS DE COMPRENSIÓN DEL PERIODO

a. Comprender los sistemas ángulos y sus equivalencias.

de

medidas

b. Comprender la trigonométricas.

de

las

definición

para

funciones

c. Comprender los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante del plano. d. Comprender las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantales. e. Comprender las funciones trigonométricas para ángulos especiales.


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f. Comprender las funciones trigonométricas inversas y sus características. g. Comprender rectángulo.

la

trigonometría

del

triangulo

h. Comprender las aplicaciones de las funciones trigonométricas. i. Comprender la representación gráfica de las funciones trigonométricas y sus características. j. Comprender los conceptos fundamentales de la Estadística. k. Comprender las tablas de frecuencias para datos agrupados y no agrupados.

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

COMPETENCIA ESTÁNDAR Describe y modela fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas

Interpreta y compara resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación.

Interpreta nociones básicas relacionadas con el manejo de información como: población, muestra y distribuciones de frecuencia.

DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN Trabajo individual: Tomando como referente los contenidos del módulo y los temas vistos en clase, los estudiantes solucionarán un taller predeterminado relacionado con las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales y especiales y los signos.

FECHA

VALORACIÓN CONTINUA

Semanas 1-3

Preguntas de comprensión lectora a fin de verificar el dominio de las principales ideas expuestas en el módulo de estudio Revisión del docente

Trabajo en parejas: De acuerdo con el contenido teórico-práctico del módulo de estudio y de la mediación anterior realizada por el docente, los estudiantes aplicarán la trigonometría del triángulo rectángulo en la solución de problemas.

Semanas 4-8

Trabajo individual: Con base en los contenidos funciones trigonométricas y sus aplicaciones se realizarán pruebas escritas para verificar la comprensión de dichas enseñanzas.

Semanas 9-10

Trabajo grupal: Se realizará una actividad sobre las gráficas de las funciones trigonométricas, para que el estudiante compruebe la parte teórica tratada en el aula de clase.

taller por parte del

Pruebas escritas para valorar el grado de comprensión y responsabilidad que están teniendo los educandos en el curso del periodo

Verificación en la logicidad de los ejercicios propuestos para argumentar los posibles errores presentes en ellos. Valoración del docente, de acuerdo al desempeño teórico y práctico del estudiante durante el período.


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NIVELES DE META SUPERIOR

ALTO

Aplica las funciones trigonométricas y las variables estadísticas en la solución de problemas

Utiliza las funciones trigonométricas y el comportamiento de variables estadísticas en la solución de problemas.

BÁSICO

BAJO

Utiliza triángulos rectángulos para determinar funciones trigonométricas.

Identifica las diferentes funciones trigonométricas y las diferentes variables estadísticas.

Aplica los diferentes gráficos basados en las tablas de frecuencias.

Se le dificulta comprender los principios teóricos de las Funciones Trigonométricas. Presenta dificultades para realizar diferentes gráficos a partir de una tabla de frecuencia.

RECURSOS REQUERIDOS (AMBIENTES PREPARADOS PARA EL PERIODO) 

Salón organizado y aseado, sillas dispuestas según momentos de trabajo.

Gráficos que facilitarán la comprensión de los educandos, de los temas a tratar, además de trabajar las actividades sugeridas en el módulo de estudio.

Utilización del video bean para la proyección de videos y animaciones.

Laboratorio de Matemáticas virtual, para comprobar la teoría.

INTRODUCCIÓN La trigonometría fue desarrollada por los astrónomos griegos quienes consideraban el firmamento como el interior de una esfera por lo que fue natural que los triángulos sobre una esfera se estudiaran tempranamente y que los triángulos sobre un plano se estudiaran hasta mucho tiempo después. El primer libro con un tratamiento sistémico de la trigonometría plana y esférica fue escrito por el astrónomo persa Nasir ed-din. La trigonometría ha evolucionado desde entonces, de su uso por topógrafos, navegantes e ingenieros hasta las aplicaciones actuales en el estudio de las mareas oceánicas, el alza y la caída de la producción de alimentos de ciertos ambientes ecológicos, los patrones de las ondas cerebrales y en muchos otros fenómenos.

CONCEPTOS CLAVES        

Trigonometría Función Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante


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MARCO TEÓRICO CONTENIDO 1. Los sistemas de medidas para ángulos. 

Los sistemas de medidas para ángulos son el sistema sexagesimal y el sistema cíclico.

Las unidades de medición de ángulos usadas con mayor frecuencia son el grado y el radián. El grado es la unidad de medida del sistema sexagesimal y el radián es la unidad de medida del sistema cíclico.

Sistema Sexagesimal: En el sistema sexagesimal, el ángulo generado por una rotación completa de uno de sus lados se denomina ÁNGULO GIRO. La medida de un ángulo giro es 360 grados y se denota 360º.

1 parte de rotación total. 360

El grado sexagesimal (1º) se define como

El grado tiene dos submúltiplos: el minuto y el segundo 

El minuto es la sesentava parte del grado 1 minuto = 1’ =

 1   º  60 

El segundo es la sesentava parte del minuto 1 segundo = 1’’ =

 1    ’ o también 1º=60’, 1’=60’’ entonces 1º = 3600’’.  60 

Sistema Cíclico: Un radián (1 rad): es la medida de un ángulo central cuyo arco mide un radio. Sea  un ángulo central de la circunferencia con centro O. De acuerdo con la figura, determina en la circunferencia un arco AB.

La medida del ángulo de la circunferencia.

es 1 radián si y sólo si el arco AB tiene una longitud igual al radio


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º Equivalencia entre grados y radianes. 

El perímetro de una circunferencia cualquiera es c  2  r donde

El radio de una circunferencia cabe en su perímetro exactamente

 = 3,1415926…

2r = 2  veces. r

Por lo tanto, se pueden trazar 2  arcos circulares de medida r, sobre la longitud de la circunferencia, así, el ángulo giro tiene medida 2  radianes: 360º= 2  rad Podemos deducir entonces que: 180º =

   1º =   rad  180 

rad

 180  1 rad =     

EJEMPLOS 1. Expresar 36,275º en grados, minutos y segundos. Solución: 36,275º tomamos la parte entera 36, así obtenemos los grados. La parte decimal la multiplicamos por 60 para obtener los minutos:

0,275  60'  16,5' la parte entera es 16. La parte decimal la multiplicamos por 60 para obtener los segundos:

0,5  60''  30'' Concluimos que: 36,275 = 36º 16’ 30’’. 2. Expresar 12º 24’ 54’’en grados. Solución: Se realiza

12º 24’ 54’’ =

24 54   12   º 60 3600  


PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º = 12  0,4  0,015º = 12,415º Por lo tanto, 12º 24’ 54’’ = 12,415º 3. Expresar 4206’’ en grados, minutos y segundos. Solución:

 1  4206 ''  4206   60 

'

(Reduciendo segundos a minutos) = 70’ y residuo 6’’

70'  70

1 º  60 

(Reduciendo minutos a grados) = 1º y residuo 10’

Luego: 4206’’ = 1º 10’ 6’’.

4. Expresar 30º en radianes. Solución: Como

      1º    rad  rad, entonces 30º  30  180   180 

Simplificando, se tiene 30º =

5. Expresar

 rad. 6

3 rad en grados. 2

Solución: 

 180  Dado que 1 rad =   , entonces    

3 3  180  rad =   , eliminando  tenemos 2 2    3 540º  180º   270º 2 2 3 rad  270º 2

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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º ACTIVIDAD 1. Expresar los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos. a) 43,160º

b) 17,225º

c) 81,110º

d) 39,645º

e) 12,415º

f)

g) 217,875º

h) 185,525º

116,310º

2. Expresar los siguientes ángulos en grados. a) 31º17’22’’

b) 121º36’42’’

c) 217º16’09’’

d) 23º12’35’’

e) 312º52’46’’

f)

g) 72º24’36’’

h) 217º16’09’’

172º32’47’’

3. Expresar en grados, minutos y segundos. a) 2407’’

b) 3425’’

c) 6712’’

d) 4028’’

e) 842’

f)

g) 7236’’

h) 1810’’

346’

4. Convertir a radianes cada uno de los ángulos expresados en grados. a) 60º

b) 120º

c) 150º

d) 240º

e) 1080º

f) 270º

g) 45º

h) 35º


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º 5. Expresar en grados el valor de los siguientes ángulos. a)

2 rad 3

b)

d)

5 rad 6

e)

g)

5 rad 4

h)

4 rad 9

 4

 3

c)

f)

rad

2 rad 5

 2

rad

rad

CONTENIDO 2. Las Funciones Trigonométricas. Si

es un ángulo en posición normal, M x, y  es cualquier punto sobre el lado final, diferente

de 0,0 , y

r  OM  x 2  y 2 , entonces, las funciones trigonométricas para el ángulo  se

definen de la siguiente manera: 

sen 

cos  

y r

x r y tan  , con x  0 x

cot  

x , y

sec 

r , con x  0 x

csc 

r , y

con

con

y0

y0

EJEMPLOS 1. Sea  un ángulo en posición normal, tal que P2,3 es un punto ubicado sobre su lado final. Determinar las funciones trigonométricas para el ángulo  . Solución: Dado que P2,3 , entonces x  2 y Luego, r  Por tanto:

y  3 .

x 2  y 2  2 2   3  13 2


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º sen 

y 3 3 13   r 13 13

cos  

x 2 2 13   r 13 13

tan  

y 3  x 2

cot  

x 2  y 3

sec  

r 13  x 2

csc  

r 13  y 3

ACTIVIDAD 1.

Encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas para cada ángulo en posición normal. Conociendo un punto ubicado sobre el lado final del ángulo dado. a. b. c.

 , si P4,3  , si P 1,2

 , si P1,5

2. Hallar el valor de las funciones trigonométricas en el ángulo indicado en cada gráfica.

CONTENIDO 3. Signos de las funciones trigonométricas. 

El signo de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo determina según el cuadrante en el cual está ubicado  .

,

se

Si Px, y  es un punto sobre el lado final de

 , la distancia r  x 2  y 2 , siempre es positiva, por lo cual, los signos de las funciones trigonométricas de  , dependen de los signos de x y y.

 Para un ángulo en el primer cuadrante todas las funciones trigonométricas son positivas, pues x  0 y y  0 para cualquier punto x, y  ubicado en este cuadrante.


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º EJEMPLOS

1. Hallar el signo de las seis funciones trigonométricas para un ángulo  cualquiera, ubicado en el cuadrante I del plano. Solución:

x  0, y  0 , r  x2  y2  0 sen  

y    r 

cos  

x    r 

tan  

y    x 

cot  

x    y 

sec  

r    x 

csc  

r    y 

ACTIVIDAD 1. Complete la siguiente tabla sen  +

I II III IV

cos  +

tan  +

cot  +

sec  +

csc  +

2. Escribir los símbolos > ó < según corresponda: a. sen

3 rad 4

_____ 0

b. tan 315º

_____ 0

d. cos 150º

_____ 0

11 c. sen rad _____ 0 4 11 e. csc rad 6 f.

sec 210º

_____ 0 _____ 0

CONTENIDO 4. Las funciones trigonométricas para ángulos cuadrantales. 

Se denominan ángulos cuadrantales, aquellos cuyo lado final coincide con alguno de los ejes coordenados.

Los ángulos cuadrantales son 0º,90º,180º,270º,360º, etc.

Los valores de las funciones trigonométricas para estos ángulos, se obtienen utilizando cualquier punto P ubicado sobre su lado final.


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EJEMPLOS 1. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para 90º. Solución:

Sea P0, y  un punto sobre el lado final de 90º, como

r  OP  y , entonces

sen 90º 

y OP r   1 r r r

cos 90º 

x 0  0 r r

tan 90º 

y OP r    ind x 0 0

cot 90º 

x 0  0 y OP

sec 90º 

r r   ind x 0

csc 90º 

r r r   1 y OP r

ACTIVIDAD 1. Complete la siguiente tabla sen 

cos 

tan 

cot 

sec 

csc 

1

0

ind

0

ind

1

0º 90º 180º 270º 360º

2. Determinar el valor de a. cot 450º

d. sec

13 rad 2

b. sen 360º

e. tan

17 rad 2

c. csc f.

7 rad 2

sen 1800º


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CONTENIDO 5. Trigonometría del triángulo rectángulo

Las razones trigonométricas se definen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo

cat.adyacente ca  hipotenusa h cat .adyacente ca cot    cat .opuesto co hipotenusa h csc   cat .opuesto co

cat .opuesto co  hipotenusa h cat .opuesto co tan   cat .adyacente ca hipotenusa h sec   cat .adyacente ca

sen 

cos  

EJEMPLOS 1. Encontrar el valor de las razones trigonométricas para el ángulo

Solución: Por Pitágoras:

y

102  7.52

Por lo tanto,

 43.75  6.614

.


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cat.opuesto co 6.614    0.6614 hipotenusa h 10 cat .opuesto co 6.614 tan      0.8819 cat .adyacente ca 7.5 hipotenusa h 10 sec      1.3 cat .adyacente ca 7.5

sen 

2. Si se sabe que

sec  

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cat .adyacente ca 7.5    0.75 hipotenusa h 10 cat .adyacente ca 7.5 cot      1.3338 cat .opuesto co 6.614 hipotenusa h 10 csc    =  1.5118 cat .opuesto co 6.614 cos  

6 , calcular sen  y tan  2

Solución: Sabiendo que sec  

hipotenusa 6  2 cat .adyacente

Por Pitágoras:

y

 6

2

 2  2 2

sen



tan 

cat .opuesto co 2 1 3     hipotenusa h 3 6 3

cat .opuesto co 2   cat .adyacente ca 2 ACTIVIDAD

1. En los siguientes triángulos rectángulos, hallar el valor de las razones trigonométricas para

.


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º

2. Hallar las razones trigonométricas de a. sen  

c.

tan  

sabiendo:

2 3

3 3

b.

cot  

5 2

d.

csc  

15 6

CONTENIDO 6. Las funciones trigonométricas para ángulos especiales. 

Llamamos ángulos especiales a aquellos cuya medida es de 30º, 45º o 60º. De igual manera, a los ángulos equivalentes a estas medidas en los diferentes cuadrantes del plano cartesiano.

Para determinar las razones trigonométricas de los ángulos 30º y 60º, se utiliza como construcción auxiliar un triángulo equilátero de lado l .

Razones trigonométricas de 30º

1 2

o

sen30º 

o

cos 30º 

3 2

o

tan 30º 

1

o

o o

3

3 3

cot 30º  3

sec 30º 

2 3

2 3 3

Razones trigonométricas de 60º o

sen60º 

3 2

o

cos 60º 

1 2

o

tan 60º  3

o

cot 60º 

1 3

o

sec 60º  2

o

csc 60º 

csc 30º  2

2 3

3 3

2 3 3


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º 

Para determinar las razones trigonométricas del ángulo de 45º, se utiliza como construcción auxiliar un triángulo isósceles cuyos lados congruentes equivalen a l .

Razones trigonométricas de 45º

sen45º 

2 2

o

tan 45º  1

o

o

sec 45º  2

cos 45º 

2 2

o

cot 45º  1

o

o

csc 45º  2

EJEMPLOS 1. Determinar el valor de las siguientes expresiones:

sen30º sen60º   b. tan  sec 3 6 a.

Solución: a.

sen30º sen60º Con base en el triángulo equilátero auxiliar tenemos:

sen30º sen60º  b.

tan

 3

 sec

1 3 1 3   2 2 2

6

Realizando la conversión: tan 60º  sec 30º Con base en el triángulo isósceles auxiliar tenemos:

tan 60º  sec 30º  3 

2 3 5 3  3 3


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º ACTIVIDAD

1. Resolver cada una de las siguientes operaciones y llevar a su mínima expresión, en caso que pueda efectuarse. a. c.

sen45º  tan 30º  csc 60

b.

cos 60º tan 45º  csc 30º 

tan 30º sen60º sec 45º  cos 30º

cos

g.

 3

 cos

 4

 6  sec 3 sec 60º  tan 30º  csc 3   cos  tan sen45º 3 4   tan 30º cos 30º  csc 6 cot

d.

e.

tan

f.

 4  sen sec 30º  cos 45º 3

h.

CONTENIDO 7. Las funciones trigonométricas inversas.

Cuando se restringe el dominio de una función trigonométrica se puede determinar su inversa 

Sea

Sea

Definición de las funciones trigonométricas inversas:

y  sen    sen 1 y       , , y   1,1  2 2 y  cos     cos 1 y

Sea

  0,  , y  

Sea

  0,  , y   1,1

Sea

y  tan     tan 1 y        , , y    2 2

y  cot     cot 1 y

Sea

y  sec    sec 1 y        0,    ,  , y   1,1  2 2  y  csc    csc 1 y         ,0    0, , y   1,1  2   2


PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º EJEMPLOS 1. Determinar el valor de y si 

a)

 

Puesto que 

2

 y

 2

3  2 

y  arcsen   Solución:

1

 2    2   

se tiene:

2  3 3     a) Para y  arcsen    2  , y   3 porque sen   3    2   b) Para, y  sen

2

 y

b) y  sen

1

 2   y   porque sen     2  2  2 4 4  

2. Determinar el valor de y si

a)

0 y 

1 y  arccos   2

b)

y  cos 1  1

0  y   se tiene:  1   1 a) Para y  arccos   , y  porque cos   3 2 3 2 1 b) Para y  cos  1 , y   porque cos   1 Puesto que

ACTIVIDAD 1. Determinar el valor de y si 

3  3 

a)

y  arcsen  

b)

1 y  sen  

e)

 3  y  cos 1    2 

2  2 

 c) y  arctan 3 1 d) y  arccos   2

 2

 y

 2

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CONTENIDO 8. Aplicaciones de las funciones trigonométricas.

En la resolución de triángulos rectángulos se presentan dos casos: cuando se conocen un lado y un ángulo, y cuando se conocen dos lados. 

Caso 1. se conocen un lado y un ángulo.

En este caso, se utilizan las definiciones de las funciones trigonométricas para plantear una ecuación en la que alguno de los lados desconocidos es la incógnita. 

Caso 2. se conocen dos lados.

Cuando se conocen dos de los lados en un triángulo rectángulo, se usan las funciones trigonométricas inversas, para encontrar el valor de los ángulos agudos. El valor del tercer lado se puede hallar utilizando el teorema de Pitágoras.

EJEMPLOS 1. Resolver el triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, si se sabe que b  3m y B  54º36' . Solución: Se construye el triángulo ABC para representar los datos.

Como A  B  C  180º , entonces

A  180º B  C  A  35º 24'

Además, a  b tan A

a  3 tan35º 24'  2,1319m

y como

c

b 3m 3m    3,68m senB sen54º36' 0.8151

por lo tanto, los elementos del triángulo ABC, son: a  2,1319m ; b  3m ; c  3,68m ; A  25º 24' ; B  54º36' ; C  90º


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2. Resolver el triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, si se sabe que c  6cm y a  4cm . Solución: De acuerdo con el triángulo ABC de la figura:

Si cos B 

4 1 '  0,66 ' , entonces, B  cos 0,66  48º11'22' ' 6

Como A  B  C  180º , entonces,

A  180º B  C  A  180º138º11'22' ' A  41º 48'38' '

Además, por el teorema de Pitágoras,

c2  a2  b2 , Luego, b 

así,

b2  c2  a2 ,

c2  a2

b  62  42

b  20  4,47cm por lo tanto, los elementos del triángulo ABC, son: a  4cm ; b  4,47cm ; c  6cm ; A  41º 48'38' ' ; B  48º11'22' ' ; C  90º

ACTIVIDAD 1. Solucionar los siguientes triángulos rectángulos

2. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 6 pulgadas de longitud. Si uno de sus ángulos mide 35°, encuentre la longitud de cada cateto.


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3. Un triangulo rectángulo tiene una hipotenusa de 4 centímetros de longitud. Si uno de sus ángulos mide 38°, encuentre la longitud de cada cateto. 4. Un triángulo rectángulo contiene un ángulo de 35º, Si uno de sus catetos mide 6 pulgadas, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa? (Sugerencia: Son posibles dos soluciones).

CONTENIDO 9. La representación gráfica de las funciones trigonométricas.

En cursos anteriores se dio inicio al estudio de las funciones reales, de allí se pueden destacar algunas funciones como lo son: la función lineal, la función cuadrática, la función exponencial, entre otras. Cada una de las funciones anteriormente mencionadas se pueden representar gráficamente en un plano cartesiano y algunos elementos las caracterizan, diferenciando una de otra. De igual manera, las funciones trigonométricas se pueden representar en un sistema de coordenadas rectangulares, pero con una característica singular y es que a los valores que corresponde a la variable independiente se le asignan medidas de ángulos.

y  tan


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EJEMPLOS 1. Graficar la función

y  cos  y establecer sus características.

Características:  Dom f   

 Ran f   1,1 La función y  cos  es periódica y su período es T  2 . Esto significa que cos x  cos( x  2n ) con n   La función y  cos  es par, lo que significa que es simétrica con respecto al eje y.

  

y  cos  alcanza su valor máximo en 1, esto es, para los valores de x de la forma x  2n con n entero par. y  cos  alcanza su valor mínimo en -1, esto es, para los valores de x de la forma x  n con n entero impar.  Los ceros de la función y  cos  son los múltiplos impares de , es decir, los 2  valores de x de la forma x  n , con n entero impar. 2 ACTIVIDAD

1. Graficar las siguientes funciones trigonométricas y establecer sus características.

y  cos  c. y  cot  e. y  csc g. y  cos 3 a.

y  tan d. y  sec f. y  sen2 h. y  tan 2 b.


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CONTENIDO 10. Los conceptos fundamentales de la Estadística La Estadística se puede dividir, a grandes rasgos, en dos áreas: estadística descriptiva y estadística inductiva. Estadística Descriptiva: Se dedica a la organización, síntesis y descripción de datos. Estadística Inductiva: También llamada inferencial, se utiliza cuando el objetivo de un estudio, en una muestra, es proponer una conclusión que puede inferirse para una población, a la cual pertenece esa muestra. 

Población: Se define como población el conjunto formado por un grupo de individuos o elementos, bien definidos, sobre los cuales se pretende estudiar alguna característica.

Muestra: Es una parte o subconjunto de la población que se selecciona para ser encuestada, en casos en que la población es muy numerosa. La muestra debe ser representativa y aleatoria.

Variable: Una variable es una característica que va a ser estudiada en una población. Una variable es estadística, si puede ser escrita como una pregunta cuyas respuestas pueden ser tabuladas o clasificadas dentro de determinados rangos. 

Variable cuantitativa: Una variable es cuantitativa, si la característica que se va a estudiar se puede medir en una escala numérica. -

Si la variable cuantitativa toma valores enteros se denomina discreta. Si la variable cuantitativa toma valores reales se denomina variable continua.

Variable cualitativa: Una variable es cualitativa, si en la característica que se va a estudiar se busca conocer gustos, preferencias u opiniones.

EJEMPLOS 

Determinar clases bien definidas para la siguiente variable: Se desea conocer el grado de apoyo de los ciudadanos ante una nueva medida del gobierno. Solución: La variable se puede medir en las siguientes clases o rangos: -

Totalmente de acuerdo Parcialmente de acuerdo En desacuerdo No sabe o no responde

Se dice que estos rangos están bien definidos, pues para responder, cualquier individuo se verá en la necesidad de escoger una sola de las respuestas posibles.


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º ACTIVIDAD

1. Se desea realizar un estudio sobre el maltrato infantil en niños y jóvenes de estrato 1,2 y 3 en la ciudad de Cartagena. a. ¿Cuál es la población? b. Describir algunas características de la población para definir la muestra. 2. Una nueva empresa de telefonía desea establecer la cantidad promedio de clientes potenciales. Para este fin se realizó una encuesta entre 250 ejecutivos de diferentes ciudades del país. a. ¿Cuál es la población de interés? b. ¿Cuál es la muestra? 3. La alcaldía desea determinar la venta de licor adulterado en la zona norte de la ciudad. Para realizar este estudio, cuenta con las direcciones de todos los establecimientos comerciales en las tres cuadras principales de la zona. a. ¿Cuál es la población? b. ¿Cómo se puede garantizar representativa?

cobertura

para

tomar

una

muestra

4. Definir una variable estadística para cada uno de los siguientes estudios. Luego, definir los rangos posibles de respuesta, si se trata de una variable cualitativa. a. Se quiere determinar si un nuevo medicamento reduce el tiempo de recuperación de cierta enfermedad. b. Se desea determinar el grado de popularidad del presidente de la república después de un año de gobierno. c. Para diseñar un nuevo sistema de ingreso a la universidad, es importante determinar la cantidad de colegios en los cuales estudió una persona en su vida escolar. 5. Clasificar las variables del ejercicio anterior en cuantitativas, cualitativas, discretas o continuas. 6. Para cada uno de los siguientes casos indicar si la variable es cuantitativa o cualitativa. a. b. c. d. e.

Tiempo de llegada de 16 ondas sísmicas reflejadas. Tipos de software para un computador utilizando un sistema de gestión de datos. Marcas de calculadora usadas por los estudiantes, de grado décimo en la ciudad. Kilometraje alcanzado por 12 vehículos que utilizan tecnología Diesel. Preferencias que tienen los estudiantes de grado décimo por alguna bebida gaseosa.


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º CONTENIDO 11. Las tablas de frecuencias para datos agrupados y no agrupados.

Distribución

de

frecuencias:

una ordenación en

La distribución

forma

de tabla de

de

frecuencias o tabla

los datos

de

frecuencias es

estadísticos ,

asignando

a

cada dato su frecuencia correspondiente . Tipos de frecuencias: 

Frecuencia absoluta: La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por f.

Frecuencia

relativa :

La frecuencia

relativa es

el cociente entre

la

frecuencia

absoluta de un determinado valor y el número total de datos . Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n.

fr  

f n

Frecuencia acumulada : La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de

todos

los valores

inferiores

o

iguales al

valor considerado.

representa por F.

Frecuencia

relativa

acumulada :

La frecuencia

relativa

acumulada es

el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos . Se puede expresar en tantos por ciento.

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan

la misma am plitud denominados clases . A

cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Se


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º

Límites de la clase: Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase .

Amplitud de la clase : La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca

de

clase:

La marca

de

clase es

el punto

medio de

cada intervalo y

es

el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

EJEMPLOS -

Suponga que un investigador desea determinar cómo varía el peso de un grupo de estudiantes de primer semestre de una universidad. Selecciona una muestra de 50 estudiantes y registra sus pesos en kilogramos. Los datos obtenidos fueron los siguientes: 65 64 64 63 64

63 65 65 65 64

65 64 64 63 63

63 72 71 70 69

69 68 68 67 67

67 66 66 66 66

53 55 56 57 58

58 57 59 59 60

60 60 61 61 61

61 62 62 62 62

Para determinar el número de veces que aparece cada dato (frecuencia absoluta), se utiliza el diagrama de tallo y hojas. Se traza una línea y a la izquierda se escriben las cifras anteriores a las unidades que tengan los datos, a la derecha de la línea se escriben la cifra de las unidades para cada uno de los datos. Este diagrama facilita determinar la cantidad de veces que se repite un dato y los valores de los datos con el fin de escribirlos de manera ordenada en la tabla.


PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º Luego, se organiza la información en la tabla, de la siguiente manera:

Las gráficas que representan la información de la tabla son:

-

-

Histograma de frecuencias absolutas:

Polígono de frecuencias

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-

Diagrama circular Diagrama circular frecuencias relativas

2% 2%

2% 4%

2% 2% 2%

53

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

4%

4%

4% 4%

6%

6% 8% 8% 10% 8% 12%

-

Diagrama de Ojiva

10%


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º ACTIVIDAD

1. Para una investigación se midió el peso, en kilogramos, de 35 mujeres y 35 hombres. Los datos son los siguientes:

72 74 66 71 56 67 69 52 60 54 69 71

HOMBRES 59 57 67 79 52 53 59 74 59 68 59 55

MUJERES 36 40 42 36 44 45 52 46 46 62 46 49

46 38 53 62 62 64 35 47 61 42 39 36

71 55 74 58 57 78 70 54 53 63 80

48 44 64 59 65 43 64 37 59 64 59

a) Elaborar un diagrama de tallos y hojas para cada muestra. b) Comparar los diagramas anteriores y elaborar una conclusión con respecto a los datos. c) Construir una distribución de frecuencias para las estaturas de los hombres y una distribución de frecuencias para las estaturas de las mujeres. d) Realizar los gráficos estadísticos

2. Los siguientes datos representan gasto en miles de pesos de unos estudiantes en fotocopias durante determinado período de tiempo:

14 19 24 24

16 18 25 25

20 16 17 22

21 21 20 24

19 15 16 20

19 19 18 20

23 22 22 25

18 22 16 23

a) Elaborar un diagrama de tallos y hojas para la muestra. b) Construir una distribución de frecuencias. c) Elaborar un Histograma, un polígono de frecuencias y un diagrama de ojiva.

24 22 23 19

21 16 24 16


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PDC MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA 10º 3. Para una investigación se obtuvo el peso, en kilogramos, de siguientes:

72 74 66 71 56 67 69 52 60 54 69 71 71 61

59 57 67 79 52 53 59 74 59 68 59 55 56

40 jóvenes. Los datos son los

71 55 74 58 57 78 70 54 53 63 80 53 60

a. Elaborar un diagrama de tallos y hojas para la muestra. b. Construir una distribución de frecuencias. c. Elaborar un Histograma, un polígono de frecuencias y un diagrama de ojiva.

TALLERES Taller 1


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Taller 2

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LECTURAS ADICIONALES

LECTURA. El desarrollo de la Trigonometría a través del tiempo. La trigonometría desarrollada por indios y árabes

Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en lo que hoy es llamado seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín. A finales del siglo VIII, los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de La Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos se destacó, en particular, Abu al-Wafa al-Buzadjami (940-997) por las divisiones en cuarto grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno. La trigonometría en Occidente

El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regio- montano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540-1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. Posteriormente, Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra de los polinomios se prestan mucho apoyo. La trigonometría en los tiempos modernos En el siglo XVII, Isaac Newton (1642-1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tan x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos. También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos.


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BIBLIOGRAFÍA 

Trigonometría y Geometría analítica. Editorial Santillana, capítulos 2, 3, 4. Bogotá, Colombia 2004.

Nuevas Matemáticas 10. Editorial Santillana, capítulos 2, 3, 4. Bogotá, Colombia 2007.

Nuevo pensamiento matemático 10. Editorial Libros & Libros.

Sullivan Michael. Trigonometría y geometría analítica, México, Prentice Hall, Hispanoamericana S.A., 2007.


Módulo 10 1