Page 1

×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

.À.Ñâèðèäþê

Â.Å.Ôåäîðîâ

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ×àñòü I

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

×åëÿáèíñê 1999


Ìèíèñòåðñòâî îáùåãî è ïðîåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ îññèéñêîé Ôåäåðàöèè ×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

.À.Ñâèðèäþê

Â.Å.Ôåäîðîâ

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ×àñòü I

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

×åëÿáèíñê 1999


ÁÁÊ Â16 ÿ 73 Ñ247 ÓÄÊ 517.9 Ñ247 Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×. I : Ó÷åá. ïîñîáèå / .À.Ñâèðèäþê, Â.Å.Ôåäîðîâ; ×åëÿá. ãîñ. óí-ò. ×åëÿáèíñê, 1999. 158 ñ. ISBN 5-230-20012-x Ïîñîáèå îõâàòûâàåò áîëüøîé ðàçäåë êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ÷èòàåìûé â ïåðâîì ñåìåñòðå ñòóäåíòàì, îáó÷àþùèìñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè "Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà". Íåñêîëüêî íåñòàíäàðòíîå ðàçáèåíèå ìàòåðèàëà íà ãëàâû ëîãè÷åñêè è ìåòîäè÷åñêè âïîëíå îáîñíîâàíî. Áîëüøîå êîëè÷åñòâî óïðàæíåíèé ïîçâîëÿåò ÷èòàòåëþ ëó÷øå îñâîèòü ïðåäëàãàåìûé ìàòåðèàë è èñïîëüçóåìûå ìåòîäû. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. Áèáëèîãð.: 12 íàçâ. Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ×åëÿáèíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. åöåíçåíòû: êàåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà × ÏÓ; êàíä. èç.-ìàò. íàóê, äîö. Ë.Â.Ìàòâååâà

Ô

1702050000 − 012 Áåç îáúÿâë. 4K8(03) − 99

ISBN 5-230-20031-6

 16 ÿ 73-1

×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, 1999


3

Ñîäåðæàíèå

Ñîäåðæàíèå ÂÂÅÄÅÍÈÅ

0.1 0.2 0.3 0.4 1

äèñöèïëèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

ÄÅÉÑÒÂÈÒÅËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ

1.1 1.2 1.3 1.4 2

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè . Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ . . . . . Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè . . . . . . .

4

Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë . . . . . . . . . . Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë . . Ïðèíöèï òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, àêñèîìà Àðõèìåäà Îñíîâíûå ïðèíöèïû òåîðèè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë .

25

. . . .

25 28 31 36

×ÈÑËÎÂÛÅ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ È ßÄÛ 40

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

3

5 8 11 18

Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åãî ñâîéñòâà Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè Êðèòåðèè Êîøè è Âåéåðøòðàññà. ×èñëî e . . . . . . . Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà . . . . . . . . . . . . . . . ÿäû ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 ÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Íåçíàêîïîñòîÿííûå ðÿäû. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû . . . . . . . . . . . . . . . .

54

ÍÅÏÅÛÂÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

68

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Ïðåäåë óíêöèè â òî÷êå è åãî ñâîéñòâà . . . . . . . Ïðåäåë, àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è íåðàâåíñòâà . Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà óíêöèè . Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ýêâèâàëåíòíûå óíêöèè Ñèìâîëû Ëàíäàó o è O . . . . . . . . . . . . . . . . Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû . . . . . . . . . . . . . . . . Ëîêàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé . . . . .

. . . . . . .

40 43 45 49 52

57 60 63 65 68 71 74 76 80 82 85


4

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

3.8 3.9 4

87 90

ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÓÅÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

ëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé . . . . . Êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé óíêöèè . . . . Ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè â òî÷êå è åå ñìûñë . . . . . . . Ïðîèçâîäíàÿ è àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè . . . . . . . Îñíîâíûå òåîðåìû î äèåðåíöèðóåìûõ óíêöèÿõ . Ôîðìóëà Òåéëîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà óíêöèè. Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïðîñòåéøèå ïðèåìû èíòåãðèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé. Ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ èððàöèîíàëüíûõ óíêöèé

ÈÍÒÅ ÈÓÅÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

94

94 97 102 105 110 114 116 122 127 130

Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà èìàíà è èíòåãðàëîâ Äàðáó . 130 Ñâÿçü èíòåãðàëà èìàíà è èíòåãðàëîâ Äàðáó . . . . . 133 Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ïî èìàíó . . 135 Ñâîéñòâà èíòåãðàëà èìàíà . . . . . . . . . . . . . . . 137 Èíòåãðàë êàê óíêöèÿ âåðõíåãî ïðåäåëà. Ôîðìóëà Íüþòîíà - Ëåéáíèöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà èìàíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Ïðèçíàêè Àáåëÿ - Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Äà è âîîáùå ÿ ìàòåìàòèêó íå î÷åíü ëþáëþ. Ìàðê Òâåí "Ïðèêëþ÷åíèÿ åêëüáåððè Ôèííà"


0.1

0.1

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è äèñöèïëèíà

5

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è äèñöèïëèíà

Êàê õîðîøî èçâåñòíî, âñÿêàÿ óâàæàþùàÿ ñåáÿ íàóêà äîëæíà èìåòü â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè îáúåêò è ìåòîä èññëåäîâàíèé. Íå ñîñòàâëÿåò èñêëþ÷åíèÿ èç ýòîãî îáùåãî ïðàâèëà è ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç (ñîêðàùåííî, ÌÀÒÀÍ). Îáúåêòîì ÌÀÒÀÍ'à ÿâëÿþòñÿ óíêöèè è èõ îáîáùåíèÿ, à ìåòîäîì èññëåäîâàíèÿ  ïðåäåëüíûé ïåðåõîä. Èòàê, ÷òî òàêîå ÌÀÒÀÍ  ÿñíî. Òåïåðü íóæíî ïîíÿòü, ÷òî òàêîå óíêöèÿ è ÷òî òàêîå ïðåäåëüíûé ïåðåõîä. È òî, è äðóãîå  óíäàìåíòàëüíûå ïîíÿòèÿ ÌÀÒÀÍ'à, ñîäåðæàíèå è îðìà êîòîðûõ íå ðàç ìåíÿëèñü. Ïîçæå ìû èçëîæèì ñîâðåìåííîå òîëêîâàíèå ýòèõ ïîíÿòèé, à ïîêà óäîâëåòâîðèìñÿ îáúÿñíåíèÿìè, äàâàåìûìè â ñðåäíåé øêîëå. Ïîä óíêöèåé y = f (x) ñîãëàñíî Ëîáà÷åâñêîìó1 è Äèðèõëå2 ïîíèìàåòñÿ çàêîí, ïî êîòîðîìó êàæäîìó ÷èñëó x ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ÷èñëî y . Òàêèì îáðàçîì îïðåäåëåííàÿ óíêöèÿ y = f (x) îò îäíîãî ïåðåìåííîãî x ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì èçó÷åíèÿ òàê íàçûâàåìîãî îäíîìåðíîãî àíàëèçà. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óíêöèÿ ìíîãèõ ïåðåìåííûõ y = f (x1, x2, . . . , xn) è äàæå óíêöèÿ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ y = f (x1, x2 , . . . ), êîòîðûå èçó÷àþòñÿ â êóðñàõ êîíå÷íî-, ñîîòâåòñòâåííî, áåñêîíå÷íîìåðíîãî àíàëèçà. àçóìååòñÿ, ïðèâåäåííîå "îïðåäåëåíèå"óíêöèè òàêîâûì â äåéñòâèòåëüíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ. Ñóäèòå ñàìè, òàì íàïèñàíî ". . . ïîä óíêöèåé y = f (x) ïîíèìàåòñÿ çàêîí. . . ", à ÷òî òàêîå "çàêîí"? ×èòàåì äàëåå: ". . . êàæäîìó ÷èñëó x . . . ", à ÷òî òàêîå "÷èñëî"? Ê îáñóæäåíèþ ýòèõ âîïðîñîâ ìû åùå âåðíåìñÿ, à ñåé÷àñ íàïîìíèì, ÷òî íåñìîòðÿ íà ñâîå íåñîâåðøåíñòâî ýòî "îïðåäåëåíèå"óíêöèè óäîâëåòâîðÿëî âñåõ ìàòåìàòèêîâ íà ïðîòÿæåíèè áîëåå âåêà. Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê äðóãîìó óíäàìåíòàëüíîìó ïîíÿòèþ ÌÀÒÀÍÀ'à  ïðåäåëó. îâîðÿò, ÷òî óíêöèÿ f (x) ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëó y0 ïðè x ñòðåìÿùåìñÿ ê x0 , åñëè âñå çíà÷åíèÿ óíêöèè f (x) ñêîëü óãîäíî ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò y0 , êîëü ñêîðî x íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî 1 Íèêîëàé

Èâàíîâè÷ Ëîáà÷åâñêèé (1792-1856)  ðóññêèé ìàòåìàòèê, ñîçäàâøèé íååâêëèäîâó ãåîìåòðèþ, íîñÿùóþ åãî èìÿ. 2 Ïåòåð óñòàâ Ëåæ¼í Äèðèõëå (1805-1859)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, îäèí èç àêòèâíûõ òâîðöîâ àíàëèçà.


0.1

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è äèñöèïëèíà

6

áëèçêî ê x0 .  ñèìâîëè÷åñêîé çàïèñè ýòî âûãëÿäèò òàê:

f (x) → y0 ïðè x → x0 èëè

lim f (x) = y0 .

x→x0

(Ñèìâîë lim îò ëàòèíñêîãî ñëîâà "limit", ÷òî îçíà÷àåò  ïðåäåë). Òî÷íóþ îðìóëèðîâêó ýòîãî ïîíÿòèÿ ìû äàäèì ïîçäíåå. À ñåé÷àñ îòìåòèì, ÷òî ïðåäåëüíûé ïåðåõîä èñïîëüçóåòñÿ äëÿ èçó÷åíèÿ òàêèõ ñâîéñòâ óíêöèè êàê íåïðåðûâíîñòü, äèåðåíöèðóåìîñòü è èíòåãðèðóåìîñòü. Èíòóèòèâíî ïîíÿòèå íåïðåðûâíîé óíêöèè êàê íåïðåðûâíîãî òå÷åíèÿ ñîâåðøåííî åñòåñòâåííî. Íàãëÿäíî îíî âûðàæàåòñÿ òàê: ìàëîå èçìåíåíèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x âûçûâàåò ëèøü ìàëîå èçìåíåíèå óíêöèè f (x), çíà÷åíèÿ êîòîðîé íå äåëàþò âíåçàïíûõ ñêà÷êîâ, òî åñòü ãðàèê óíêöèè íèãäå íå ðàçðûâàåòñÿ. Îäíàêî íà èíòóèöèþ íåëüçÿ ññûëàòüñÿ, êîãäà õîòÿò ïîÿñíèòü ìàòåìàòè÷åñêóþ ñèòóàöèþ; ìåæäó èíòóèòèâíîé èäååé è ìàòåìàòè÷åñêîé îðìóëèðîâêîé, ïðèçâàííîé îïèñûâàòü â òî÷íûõ âûðàæåíèÿõ âàæíûå äëÿ íàóêè ýëåìåíòû íàøåé èíòóèöèè, âñåãäà îñòàåòñÿ ðàçðûâ, ïðîáåë. Íà îñíîâå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà ìîæíî äàòü ìàòåìàòè÷åñêè ñîâåðøåííî ñòðîãîå îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîé óíêöèè. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 , åñëè

lim f (x) = f (x0),

x→x0

òî åñòü çíà÷åíèå óíêöèè â òî÷êå x0 ðàâíî ïðåäåëó óíêöèè â ýòîé òî÷êå. Ëó÷øå óÿñíèòü ñåáå ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè óíêöèè ìîæíî â ñîïîñòàâëåíèè ñ ïðîòèâîïîëîæíûì åìó ïîíÿòèåì ðàçðûâíîñòè. Ïðîñòåéøèé âèä ðàçðûâíîñòè â íåêîòîðîé òî÷êå ñîñòîèò â òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ óíêöèè â ýòîé òî÷êå äåëàþò ñêà÷îê.  òàêîé òî÷êå ðàçðûâà çíà÷åíèÿ óíêöèè ñòðåìÿòñÿ ê îïðåäåëåííûì, íî ðàçëè÷íûì ïðåäåëàì â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ïðèáëèæàåòñÿ ëè x ê ìåñòó ñêà÷êà ñïðàâà èëè ñëåâà. Ïðîñòåéøåé ðàçðûâíîé óíêöèåé ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ y = sgnx (÷èòàåòñÿ "ñèãíóì", îò ëàòèíñêîãî ñëîâà "signum"  çíàê).   −1 ïðè x < 0; sgnx = 0 ïðè x = 0;  1 ïðè x > 0.


0.1

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è äèñöèïëèíà

7

Ïóñòü çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé x ëåæàò êàê ìîæíî áëèæå ê íóëþ, îñòàâàÿñü âñå âðåìÿ ñëåâà îò íåãî. Òîãäà ÿñíî, ÷òî çíà÷åíèÿ óíêöèè y = sgnx áóäóò âñå âðåìÿ ðàâíû −1. Ñèìâîëè÷íî ýòî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå lim sgnx = −1. x→0−

Òåïåðü ïóñòü çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé x ëåæàò êàê ìîæíî áëèæå ê íóëþ, îñòàâàÿñü âñå âðåìÿ ñïðàâà îò íåãî.  ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ óíêöèè y = sgnx áóäóò âñå âðåìÿ ðàâíû 1.  ñèìâîëàõ ýòî âûãëÿäèò òàê lim sgnx = 1. x→0+

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óíêöèÿ y = sgnx ïðåäåëà â òî÷êå 0 íå èìååò è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ ðàçðûâíîé. Äåéñòâèòåëüíî, áåðÿ ïåðåìåííóþ x ëåæàùåé êàê ìîæíî áëèæå ê íóëþ òî ñ îäíîé ñòîðîíû, òî ñ äðóãîé ïîïåðåìåííî, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî óíêöèÿ y = sgnx áóäåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ 1 è −1, êîòîðûå íå îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ñêîëü óãîäíî ìàëî. Åñëè ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè óíêöèè äîñòàòî÷íî ïðîñòî è íàãëÿäíî è íóæäàåòñÿ ëèøü â ñòðîãîì îîðìëåíèè, òî ïîíÿòèÿ äèåðåíöèðóåìîñòè è èíòåãðèðóåìîñòè ëó÷øå èçó÷àòü íà îñíîâå ñòðîãèõ îðìóëèðîâîê. Ïîýòîìó â çàêëþ÷åíèå ìû ñäåëàåì âåñüìà êðàòêèé ýêñêóðñ â èñòîðèþ ÌÀÒÀÍ'à.

îä ðîæäåíèÿ ÌÀÒÀÍ'à  1687.  ýòîì ãîäó ïîÿâèëñÿ óíäàìåíòàëüíûé òðóä È.Íüþòîíà1 "Ìàòåìàòè÷åñêèå íà÷àëà íàòóðàëüíîé èëîñîèè". Êàê íàóêà ÌÀÒÀÍ áûë ñîçäàí â XVII-XVIII âåêàõ óñèëèÿìè .Ëåéáíèöà2 è Ë.Ýéëåðà3  íà÷àëå XIX âåêà òðóäàìè Î.Êîøè1 è Ê.Âåéåðøòðàññà2 áûë ðàçðàáîòàí ìåòîä ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, ÷òî ïîçâîëèëî ñòðîãî ñîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ÌÀÒÀÍ'à.  ñâÿçè ñ ñîçäàíèåì òåîðèè ìíîæåñòâ 1 Èñààê

Íüþòîí (1643-1727)  àíãëèéñêèé èçèê è ìàòåìàòèê, îñíîâîïîëîæíèê äèåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. 2 îòðèä Âèëüãåëüì Ëåéáíèö (1646-1716)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, èçèê, èëîñî, îñíîâîïîëîæíèê ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. 3 Ëåîíàðä Ýéëåð (1707-1783)  øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê, ìåõàíèê è èçèê, îäèí èç òâîðöîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. 1 Îãþñòåí Ëóè Êîøè (1789-1857)  ðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê, îäèí èç òâîðöîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. 2 Êàðë Òåîäîð Âèëüãåëüì Âåéåðøòðàññ (1815-1897)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, íàðÿäó ñ Î.Êîøè îñíîâîïîëîæíèê ñòðîãèõ ìåòîäîâ â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå.


0.2

8

Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè

è òåîðèè ìåðû â XX âåêå ÌÀÒÀÍ ïðèîáðåòàåò çàêîí÷åííûé âèä è ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå äèñöèïëèíîé íåæåëè íàóêîé.  ñâîåé ïðåäûñòîðèè äî XVII âåêà ÌÀÒÀÍ ÿâëÿë ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ðåøåíèé ðàçðîçíåííûõ ÷àñòíûõ çàäà÷; íàïðèìåð, çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé èãóð è îáúåìîâ òåë ñ êðèâûìè ãðàíèöàìè. Êàæäàÿ òàêàÿ çàäà÷à ðåøàëàñü ñâîèì ìåòîäîì, ïîä÷àñ ñëîæíûì è ãðîìîçäêèì. åøàëè ýòè çàäà÷è ëþäè, èìåþùèå ïî ìåíüøåé ìåðå óíèâåðñèòåòñêîå îáðàçîâàíèå. Ñåé÷àñ æå, áëàãîäàðÿ ðàçâèòèþ ÌÀÒÀÍ'à, ðåøåíèå òàêèõ çàäà÷ âïîëíå ïî ïëå÷ó ñòóäåíòàìïåðâîêóðñíèêàì. 0.2

Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè

Êàê è ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, ÌÀÒÀÍ ñîñòîèò èç âûñêàçûâàíèé, ñîðìóëèðîâàííûõ ïî ïðàâèëàì ðóññêîãî (äëÿ íàñ) ÿçûêà è íåêîòîðîãî îñîáîãî ÿçûêà. ×òîáû íàó÷èòüñÿ ïîíèìàòü ýòîò âòîðîé ÿçûê, óñëîâèìñÿ âñå âûñêàçûâàíèÿ, âûðàæåííûå ïîâåñòâîâàòåëüíûìè ïðåäëîæåíèÿìè, îáîçíà÷àòü áóêâàìè A, B, C, . . . Ñîäåðæàíèå âûñêàçûâàíèé íàñ èíòåðåñîâàòü íå áóäåò, îäíàêî êàæäîìó âûñêàçûâàíèþ ìû áóäåì ïðèïèñûâàòü ÷èñëî 0 èëè 1, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñ÷èòàåì ìû ýòî âûñêàçûâàíèå ëîæíûì èëè èñòèííûì. Êðîìå òîãî, ââåäåì ñëåäóþùèå ñèìâîëû: ¬ , ∧, ∨, ⇒, ⇔. Êàæäîìó ñèìâîëó ñîïîñòàâèì òàê íàçûâàåìóþ òàáëèöó èñòèííîñòè: ¬

A

A∧B

A∨B

A⇒B

A 0 1 ¬ A 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1

(÷èòàåòñÿ

(÷èòàåòñÿ

"íå A")

"A è B ")

(÷èòàåòñÿ "A

(÷èòàåòñÿ "A

èëè B ")

âëå÷åò B ")


0.2

9

Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè

A⇔B

0 1 0 1 0 1 0 1

(÷èòàåòñÿ "A

ðàâíîñèëüíî

B ")

Âñå âûñêàçûâàíèÿ ÌÀÒÀÍ'à ìîæíî ðàçäåëèòü íà àêñèîìû, îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ. Àêñèîìû  ýòî íåêîòîðûå ïîëîæåíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàþòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà.  ÷àñòíîñòè, ïðèäàíèå òàáëèöàì èñòèííîñòè èìåííî òàêîãî âèäà, à íå êàêîãî-ëèáî äðóãîãî, ïðîèçâåäåíî àêñèîìàòè÷åñêè. Îïðåäåëåíèÿ  ýòî âûñêàçûâàíèÿ, ïîñðåäñòâîì êîòîðûõ ëèáî îïèñûâàåòñÿ íîâûé ñèìâîë (òàê, êàê ýòî ïðîèçîøëî ñ îïèñàíèåì ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ), ëèáî óêàçûâàåòñÿ áîëåå óçêèé ïî ñðàâíåíèþ ñ èìåþùèìñÿ êëàññ îáúåêòîâ. Îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäíåãî ñîðòà âñåãäà ñîïðîâîæäàþòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâóìÿ ïðèìåðàìè  îäèí äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëÿåìûå îáúåêòû ñóùåñòâóþò, à âòîðîé  ÷òîáû ïîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå îáúåêòîâ, íå ïîäïàäàþùèõ ïîä äàííîå îïðåäåëåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, çà÷åì òàêîå îïðåäåëåíèå, êîòîðîå íè÷åãî íå îïðåäåëÿåò, ëèáî îïðåäåëÿåò âñå?! Îäíàêî îñíîâíàÿ ÷àñòü ÌÀÒÀÍ'à  ýòî óòâåðæäåíèÿ. Îíè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà òåîðåìû è ëåììû.  òåîðåìàõ îðìóëèðóþòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, à â ëåììàõ  âñïîìîãàòåëüíûå. È òåîðåìû, è ëåììû îáÿçàòåëüíî ñîïðîâîæäàþòñÿ äîêàçàòåëüñòâàìè. Ôîðìóëèðîâêè âñåõ óòâåðæäåíèé èìåþò âèä ëèáî A ⇒ B , ëèáî A ⇔ B . Åñëè ⇒ B , òî ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî A  äîñòàòî÷íîå óñëîâèå (äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê) äëÿ B , à B  íåîáõîäèìîå óñëîâèå (íåîáõîäèìûé ïðèçíàê) äëÿ A, à åñëè A ⇔ B , òî ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî A èñòèííî òî÷íî òîãäà, êîãäà èñòèííî B . Äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé èìåþò âèä A ⇒ C1 ⇒ · · · ⇒ Cn ⇒ B , ãäå Ck  ëèáî óæå äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå, ëèáî àêñèîìà.  êà÷åñòâå ïðèìåðîâ óòâåðæäåíèé ïðèâåäåì äâà âàæíåéøèõ âûñêàçûâàíèÿ, êîòîðûå â áóäóùåì íå ðàç íàì ïðèãîäÿòñÿ. ÏÈÍÖÈÏ ÈÑÊËÞלÍÍÎ Î ÒÅÒÜÅ Î. Åñëè A  âûñêàçûâàíèå, òî A èëè ¬ A âñåãäà èñòèííî. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ î÷åíü ïðîñòîå  äîñòàòî÷íî ïîñìîòðåòü íà ñîîòâåòñòâóþùóþ òàáëèöó èñòèííîñòè. Îäíàêî áåç ýòîãî ïðèíöèïà íåâîçìîæíû äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé ìåòîäîì


0.2

Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè

10

"îò ïðîòèâíîãî". ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÀÂÈËÎ ÂÛÂÎÄÀ. Åñëè A è B  âûñêàçûâàíèÿ, A è A ⇒ B èñòèííû, òî è B èñòèííî. Äîêàçûâàåòñÿ ýòî óòâåðæäåíèå òàê æå ïðîñòî, êàê è ïðåäûäóùåå  àïåëëÿöèåé ê ñîîòâåòñòâóþùåé òàáëèöå èñòèííîñòè. Îäíàêî âàæíîñòü åãî òðóäíî ïåðåîöåíèòü. Òàáëèö èñòèííîñòè âïîëíå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äîêàçûâàòü óòâåðæäåíèÿ âèäà ¬ (A ∨ B) ⇔ (¬ A ∧ ¬ B), ¬ (A ∧ B) ⇔ (¬ A ∨ ¬ B), (2.1) ¬ (A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬ B), (A ⇒ B) ⇔ (¬ B ⇒ ¬ A).

Ïåðâûå äâà èç íèõ èçâåñòíû êàê ïðàâèëà äå Ìîðãàíà1 , à ïîñëåäíèì óòâåðæäåíèåì ìû áóäåì ÷àñòî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè èçó÷åíèè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ. Èçó÷åíèåì òàêîãî ðîäà âûñêàçûâàíèé âíå èõ êîíêðåòíîãî ñîäåðæàíèÿ çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ïîíÿòèéíûì àïïàðàòîì ýòîé íàóêè äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè îðìóëèðîâîê óòâåðæäåíèé è äîêàçàòåëüñòâ. Ââåäåííûõ íàìè ñèìâîëîâ íåäîñòàòî÷íî äëÿ çàïèñè âûñêàçûâàíèé âèäà "ñóùåñòâóåò x > 0", èëè "ëþáîé x < 0". ×òîáû çàïèñûâàòü òàêèå âûñêàçûâàíèÿ, èñïîëüçóþò ëîãè÷åñêèå îïåðàòîðû  êâàíòîðû ∃ è ∀, à òàêæå ëîãè÷åñêèå óíêöèè, íàçûâàåìûå ïðåäèêàòàìè. Êâàíòîð ∃ ÷èòàåòñÿ "ñóùåñòâóåò", "äëÿ íåêîòîðîãî", "íàéäåòñÿ"; êâàíòîð ∀ ÷èòàåòñÿ "ëþáîé", "äëÿ âñÿêîãî". Ïðåäèêàò âûðàæàåò ñâîéñòâî íåêîòîðûõ îáúåêòîâ è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 è 1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîé îáúåêò ñåé÷àñ ðàññìàòðèâàåòñÿ. Ñêàæåì, ïóñòü P îçíà÷àåò ñâîéñòâî "áûòü ïîýòîì", à ïåðåìåííàÿ x ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé. Òîãäà âûñêàçûâàíèå P (x) èñòèííî, åñëè x = Ïóøêèí; è ëîæíî, åñëè x = Ñâèðèäþê. Íàèáîëåå âàæíîé âîçìîæíîñòüþ èçëàãàåìîãî ÿçûêà ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü îðìàëüíûì îáðàçîì (òî åñòü íå çàäóìûâàÿñü î ñóòè ïðåîáðàçîâàíèé) ñòðîèòü îòðèöàíèÿ ëþáûõ âûñêàçûâàíèé. ×òîáû îñóùåñòâèòü ýòó âîçìîæíîñòü â äîïîëíåíèå ê (2.1) íàïèøåì î÷åâèäíûå 1 Îãàñòåñ äå Ìîðãàí (1806-1871)  øîòëàíäñêèé ìàòåìàòèê è ëîãèê. Îñíîâíûå ðàáîòû ïîñâÿùåíû îñíîâàíèÿì àëãåáðû, àðèìåòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.


0.3

11

Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ

ñîîòíîøåíèÿ

¬ ¬

(∃x P (x)) ⇔ (∀x

(∀x P (x)) ⇔ (∃x

¬

P (x)),

¬

P (x)).

Äåéñòâèòåëüíî, îòðèöàíèå ê âûñêàçûâàíèþ "äëÿ íåêîòîðîãî x èñòèííî ñâîéñòâî P "îçíà÷àåò, ÷òî "äëÿ ëþáîãî x èñòèííî íå P "; à îòðèöàíèå ê âûñêàçûâàíèþ "äëÿ ëþáîãî x èñòèííî P "îçíà÷àåò, ÷òî "íàéäåòñÿ x, äëÿ êîòîðîãî èñòèííî íå P ."Ïðàêòè÷åñêàÿ âàæíîñòü ïðàâèëüíîãî ïîñòðîåíèÿ îòðèöàíèÿ ñâÿçàíà, â ÷àñòíîñòè, ñ ìåòîäîì äîêàçàòåëüñòâà "îò ïðîòèâíîãî", êîãäà èñòèííîñòü íåêîòîðîãî âûñêàçûâàíèÿ A èçâëåêàþò èç òîãî, ÷òî ¬ A ëîæíî. 0.3

Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ

.Êàíòîð1  òâîðåö òåîðèè ìíîæåñòâ  òàê îïèñûâàë ïîíÿòèå ìíîæåñòâà: "Ïîä ìíîæåñòâîì ìû ïîíèìàåì îáúåäèíåíèå â îäíî öåëîå îïðåäåëåííûõ, âïîëíå ðàçëè÷èìûõ îáúåêòîâ íàøåé èíòóèöèè èëè íàøåé ìûñëè."àçóìååòñÿ, ýòî îïèñàíèå íè â êîåì ñëó÷àå íåëüçÿ ñ÷èòàòü îïðåäåëåíèåì ìíîæåñòâà, ïîñêîëüêó îíî àïåëëèðóåò ê ïîíÿòèÿì áûòü ìîæåò áîëåå ñëîæíûì (âî âñÿêîì ñëó÷àå íå îïðåäåëåííûì ðàíåå), ÷åì ñàìî ïîíÿòèå ìíîæåñòâà. Áîëåå òîãî, òàêîå îïèñàíèå ïîïðîñòó ïðîòèâîðå÷èâî. Äåéñòâèòåëüíî, íè÷òî íå ìåøàåò "íàøåé èíòóèöèè èëè íàøåé ìûñëè"ïðåäñòàâèòü ñåáå ìíîæåñòâî, êîòîðîå íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîåãî ýëåìåíòà. (Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ñòóëüåâ ñàìî ñòóëîì íå ÿâëÿåòñÿ). Ïóñòü äëÿ ìíîæåñòâà M çàïèñü P (M) îçíà÷àåò, ÷òî M íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà M âåðíî ëèáî ¬ P (M), ëèáî P (M). Òåïåðü ïóñòü K = {M : P (M)}  ìíîæåñòâî ìíîæåñòâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P . Òàêîå ìíîæåñòâî òîæå íåòðóäíî ñåáå ïðåäñòàâèòü. Åñëè âåðíî P (K) (òî åñòü ìíîæåñòâî K íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîåãî ýëåìåíòà), òî K ëåæèò â K ïî îïðåäåëåíèþ ýòîãî ìíîæåñòâà, à çíà÷èò, âåðíî ¬ P (K). Åñëè æå âåðíî ¬ P (K) (òî åñòü ìíîæåñòâî K ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà), òî âåðíî è P (K) ïî îïðåäåëåíèþ K . 1 åîðã

Êàíòîð (1845-1918)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, îñíîâîïîëîæíèê òåîðèè ìíîæåñòâ.


0.3

12

Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ

Òàêàÿ ñèòóàöèÿ â ìàòåìàòèêå, êîãäà âåðíû îäíîâðåìåííî óòâåðæäåíèÿ A è ¬ A, íàçûâàåòñÿ ïàðàäîêñîì. Äàííûé ïàðàäîêñ ïðèíàäëåæèò Á.àññåëó1, îí ïðåäóïðåæäàåò î êîâàðñòâå òàê íàçûâàåìîãî "íàèâíîãî"îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà.  íàñòîÿùåå âðåìÿ â ìàòåìàòèêå èçâåñòíî íåñêîëüêî êîíêóðèðóþùèõ äðóã ñ äðóãîì ñèñòåì àêñèîì òåîðèè ìíîæåñòâ, ñâîáîäíûõ êàê îò ïàðàäîêñà àññåëà, òàê è îò äðóãèõ èçâåñòíûõ ïàðàäîêñîâ.  íàøó çàäà÷ó íå âõîäèò èçëîæåíèå ýòèõ ñèñòåì (è äàæå êàêîé-ëèáî èç íèõ), îäíàêî ìû ìîæåì îòìåòèòü, ÷òî âñå îíè ïðèíèìàþò ìíîæåñòâî â êà÷åñòâå ïåðâè÷íîãî (íåîïðåäåëÿåìîãî) ïîíÿòèÿ, òî åñòü ïîíÿòèÿ, íå ïîäâåðãàåìîãî äàëüíåéøåìó ëîãè÷åñêîìó àíàëèçó. Ïåðåéäåì ê èçëîæåíèþ ýëåìåíòîâ òåîðèè ìíîæåñòâ, â ðàâíîé ìåðå ïðèñóùèõ âñåì óïîìÿíóòûì ñèñòåìàì. Âûñêàçûâàíèå

(x ∈ X) ⇔ (X ∋ x) îçíà÷àåò, ÷òî "x åñòü ýëåìåíò ìíîæåñòâà X ". Îòðèöàíèå ýòîãî âûñêàçûâàíèÿ çàïèñûâàåòñÿ êàê

x∈ /X

èëè X 6∋ x.

Âûñêàçûâàíèå

∀x ((x ∈ A) ⇔ (x ∈ B))

îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâà A è B ñîâïàäàþò. Êîðî÷å ìû áóäåì ýòî âûñêàçûâàíèå çàïèñûâàòü òàê

A = B. Çàïèøåì åãî îòðèöàíèå

A 6= B.

Ïîäìíîæåñòâî B ìíîæåñòâà A îïðåäåëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèåì

∀x ((x ∈ B) ⇒ (x ∈ A)), à êîðî÷å çàïèñûâàåòñÿ òàê 1 Áåðòðàí

A⊃B

èëè

B ⊂ A.

Àðòóð Óèëüÿì àññåë (1872-1970)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê, èëîñî, ëîãèê. Îñíîâíûå ðàáîòû â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè è îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè.


0.3

13

Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ

Îòðèöàíèå åãî ñîîòâåòñòâåííî çàïèñûâàåòñÿ

A 6⊃ B

èëè

B 6⊂ A.

ÒÅÎÅÌÀ 3.1. ((A ⊂ B) ∧ (A ⊃ B)) ⇔ (A = B). ⊳ Âûñêàçûâàíèå (A = B) ⇒ ((A ⊂ B) ∧ (A ⊃ B)) èñòèííî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ. Äîêàæåì ((A ⊂ B) ∧ (A ⊃ B)) ⇒ (A = B). Äåéñòâèòåëüíî, ((A ⊂ B) ∧ (A ⊃ B)) ⇔ ((∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)) ∧ (∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A))) ⇔ (∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B)) ⇔ (A = B).⊲ Çàïèñüþ {x ∈ M : x 6= x}

ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïóñòîå ìíîæåñòâî, êîòîðîå áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì ∅. Ïî îïðåäåëåíèþ ∅  ïîäìíîæåñòâî ëþáîãî ìíîæåñòâà. Êðîìå íåãî ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåêîòîðîå óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî U , êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óíèâåðñóìîì è ïîäìíîæåñòâàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âñå ðàññìàòðèâàåìûå íàìè ìíîæåñòâà. Óíèâåðñóì U íå íàäî ïóòàòü ñ ïîíÿòèåì "ìíîæåñòâà ìíîæåñòâ". Óíèâåðñóì ñóùåñòâóåò â ëþáîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè è ñîäåðæèò òîëüêî òå ìíîæåñòâà, êîòîðûå èçó÷àþòñÿ ìåòîäàìè ýòîé òåîðèè. Ñêàæåì, â îäíîìåðíîì ÌÀÒÀÍ'å óíèâåðñóìîì ñëóæèò ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ê èçó÷åíèþ êîòîðûõ ìû âñêîðå ïåðåéäåì. Óäîáíî âñå îòíîøåíèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìè èëëþñòðèðîâàòü òàê íàçûâàåìûìè äèàãðàììàìè Âåííà1  ÷èòàåòñÿ "ìíîæåñòâî A â óíèâåðñóìå U ";

 ÷èòàåòñÿ A ⊃ B .

Äàëåå ìû áåç ïîÿñíåíèé ââåäåì ïðîñòåéøèå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè, ñîïðîâîæäàÿ èõ äèàãðàììàìè Âåííà. Îáúåäèíåíèåì A ∪ B ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

1 Äæîí

{x ∈ U : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.

Âåíí (1834-1923)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê è ëîãèê. Îñíîâíûå ðàáîòû ïî âåðîÿòíîñòíîé ëîãèêå.


0.3

14

Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ

Ïåðåñå÷åíèåì A ∩ B ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

{x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}. àçíîñòüþ A \ B ìåæäó ìíîæåñòâîì A è ìíîæåñòâîì B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî {x ∈ U : (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B)}. àçíîñòü ìåæäó óíèâåðñóìîì U è ìíîæåñòâîì A íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèåì A â U è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç CA.

 òåîðèè ìíîæåñòâ èìåþòñÿ àíàëîãè ïðàâèë äå Ìîðãàíà

C(A ∪ B) = CA ∩ CB;

C(A ∩ B) = CA ∪ CB.

(3.1)

ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.1. Äîêàçàòü ðàâåíñòâà (3.1), èñïîëüçóÿ òåîðåìó 3.1. Êîðòåæåì äëèíîé n íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî èç n ýëåìåíòîâ, ñíàáæåííûõ íîìåðàìè îò 1 äî n, è çàïèñàííîå â ïîðÿäêå: (x1, x2, . . . , xn). Ïîíÿòèå óïîðÿäî÷åííîñòè ìíîæåñòâà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: åñëè (x1, x2 , . . . , xn) è (y1 , y2 , . . . , yn )  äâà êîðòåæà îäèíàêîâîé äëèíû, òî

((x1, x2, . . . , xn) = (y1 , y2, . . . , yn )) ⇔ ⇔ ((x1 = y1) ∧ (x2 = y2 ) ∧ · · · ∧ (xn = yn )).

Êîðòåæ äëèíû äâà íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé. Îïðåäåëèì òåïåðü ïîñëåäíþþ îïåðàöèþ íàä ìíîæåñòâàìè. Äåêàðòîâûì1 èëè ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A1 , A2 , . . . , An íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî êîðòåæåé:

A1 ×A2×· · ·×An := {(x1, x2, . . . , xn) : x1 ∈ A1∧x2 ∈ A2∧· · ·∧xn ∈ An }. 1 åíå

Äåêàðò (1596-1650)  ðàíöóçñêèé èëîñî, ìàòåìàòèê, îñíîâîïîëîæíèê àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.


0.3

Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ

15

Åñëè ìíîæåñòâî A  êðóã â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, à ìíîæåñòâî B  îòðåçîê íà âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé, òî èõ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì A × B áóäåò öèëèíäð, èìåþùèé ñâîèìè ïðîåêöèÿìè ìíîæåñòâà A (íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü) è B (íà âåðòèêàëüíóþ ïðÿìóþ). Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ  óíäàìåíòàëüíîå íàðÿäó ñ ïîíÿòèåì ìíîæåñòâà ïîíÿòèå â ìàòåìàòèêå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ èçó÷àåò íåêîòîðûé (âïîëíå îïðåäåëåííûé) âèä ìíîæåñòâà âìåñòå ñ íåêîòîðûì (âïîëíå îïðåäåëåííûì) âèäîì îòîáðàæåíèÿ. (Ñêàæåì, ÌÀÒÀÍ èçó÷àåò ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë âìåñòå ñ îïðåäåëåííûìè íà íèõ óíêöèÿìè). Ââèäó óíäàìåíòàëüíîñòè ïîíÿòèÿ îòîáðàæåíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü åãî íåîïðåäåëÿåìûì; îäíàêî îïèøåì åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì: îòîáðàæåíèå  çàêîí, ïî êîòîðîìó êàæäîìó ýëåìåíòó íåêîòîðîãî çàäàííîãî ìíîæåñòâà X ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå âïîëíå îïðåäåëåííûé ýëåìåíò äðóãîãî çàäàííîãî ìíîæåñòâà Y . Ñâÿçü ìåæäó ýëåìåíòàìè X è Y áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå: Y ∋ y = f (x), x ∈ X . Ìíîæåñòâî X áóäåì íàçûâàòü îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ f (X := dom f ), ìíîæåñòâî Y0 = {y ∈ Y : (∃x ∈ X)(y = f (x))} íàçîâåì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ f (Y0 := im f ). Êðîìå çàïèñè y = f (x) ïèøóò òàêæå f : X → Y è ãîâîðÿò: "f îòîáðàæàåò X â Y ". Îòîáðàæåíèå f : X → Y ïîðîæäàåò ìíîæåñòâî graphf := {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y, íàçûâàåìîå ãðàèêîì îòîáðàæåíèÿ. Îáðàòíî, ìíîæåñòâî M ⊂ X × Y îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå òî÷íî òîãäà, êîãäà

(∀x ∈ X)(∃!y ∈ Y )((x, y) ∈ M). Äâà îòîáðàæåíèÿ f è g íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè dom f = dom g = X è f (x) = g(x) ∀x ∈ X . Îáðàçîì ìíîæåñòâà A ⊂ dom f = X ïðè îòîáðàæåíèè f : X → Y íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

f [A] := {y ∈ Y : (∃x ∈ A)(y = f (x))}.


0.3

Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ

Ìíîæåñòâî

16

f −1[B] := {x ∈ X : f (x) ∈ B}

íàçûâàþò ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà B . Ïðî îòîáðàæåíèå f : X → Y ãîâîðÿò, ÷òî îíî ñþðúåêòèâíî (èëè åñòü îòîáðàæåíèå X íà Y ), åñëè f [X] = Y ; èíúåêòèâíî (èëè åñòü âëîæåíèå), åñëè ∀x1 , x2 ∈ X (f (x1) = f (x2)) ⇒ (x1 = x2 ); áèåêòèâíî (èëè âçàèìíî îäíîçíà÷íî), åñëè îíî ñþðúåêòèâíî è èíúåêòèâíî îäíîâðåìåííî. Îòîáðàæåíèå y = x2 áóäåò ñþðúåêòèâíûì, íî íå èíúåêòèâíûì, åñëè â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà X ðàññìàòðèâàòü âñþ îñü Ox, à â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà Y ðàññìàòðèâàòü ëó÷ {y ≥ 0}. Òî æå ñàìîå îòîáðàæåíèå y = x2 áóäåò èíúåêòèâíûì, íî íå ñþðúåêòèâíûì, åñëè â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà X ðàññìàòðèâàòü ëó÷ {x ≥ 0}, à â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà Y ðàññìàòðèâàòü âñþ îñü Oy . È, íàêîíåö, îòîáðàæåíèå y = x2 áóäåò áèåêòèâíûì, åñëè â êà÷åñòâå ìíîæåñòâ X è Y ðàññìàòðèâàòü ëó÷è {x ≥ 0} è {y ≥ 0} ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè îòîáðàæåíèå f : X → Y áèåêòèâíî, òî åñòåñòâåííî âîçíèêàåò îòîáðàæåíèå f −1 : Y → X,

êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè y = f (x), òî x = f −1(y), òî åñòü ýëåìåíòó y ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå òîò ýëåìåíò x ∈ X , îáðàçîì êîòîðîãî ïðè îòîáðàæåíèè f ÿâëÿåòñÿ y . Ââèäó ñþðúåêòèâíîñòè òàêîé ýëåìåíò íàéäåòñÿ, à ââèäó èíúåêòèâíîñòè îí åäèíñòâåííûé. Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå f −1 îïðåäåëåíî êîððåêòíî. Ýòî îòîáðàæåíèå íàçûâàþò îáðàòíûì ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîìó îòîáðàæåíèþ f . Åñëè îòîáðàæåíèÿ f : X → Y è g : Y → Z òàêîâû, ÷òî îäíî èç íèõ (g) îïðåäåëåíî íà ìíîæåñòâå çíà÷åíèé äðóãîãî (f ), òî ìîæíî ïîñòðîèòü íîâîå îòîáðàæåíèå

g ◦ f : X → Z, îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé (g ◦ f )(x) := g(f (x)). Ïîñòðîåííîå îòîáðàæåíèå g ◦ f íàçûâàþò êîìïîçèöèåé (ñóïåðïîçèöèåé) äâóõ îòîáðàæåíèé f, g .


0.3

Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ

17

Îòìåòèì åùå îäíî ïîíÿòèå â íåêîòîðîì ñìûñëå ïîãðàíè÷íîå ìåæäó ïîíÿòèÿìè ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ. Ïóñòü X è Y  íåêîòîðûå ìíîæåñòâà. Îòíîøåíèåì R íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî èõ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ X × Y . Äðóãèìè ñëîâàìè, îòíîøåíèå R  ýòî ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (x, y), ãäå x ∈ X , à y ∈ Y . ×àñòî âìåñòî òîãî, ÷òîáû ïèñàòü (x, y) ∈ R, ïèøóò xRy è ãîâîðÿò, ÷òî x ñâÿçàí ñ y îòíîøåíèåì R, èëè, ÷òî x íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè R ñ y . Åñëè X = Y , òî åñòü R ⊂ X ×X = X 2 , òî ãîâîðÿò, ÷òî îòíîøåíèå R çàäàíî íà X . ÏÈÌÅ 3.1. Äèàãîíàëü

△ = {(x, y) ∈ X 2 : x = y} åñòü ïîäìíîæåñòâî X 2 , çàäàþùåå îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà X . Äåéñòâèòåëüíî, x△y îçíà÷àåò, ÷òî (x, y) ∈ △, òî åñòü x = y .  äàëüíåéøåì íàì ïîòðåáóåòñÿ äâà âèäà îòíîøåíèé. Ïóñòü R ⊂ 2 X  îòíîøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì àêñèîìàì: ∀x ∈ X xRx (ðåëåêñèâíîñòü), ∀x, y ∈ X xRy ⇒ yRx (ñèììåòðè÷íîñòü), ∀x, y, z ∈ X (xRy) ∧ (yRz) ⇒ (xRz) (òðàíçèòèâíîñòü), R ïðèíÿòî íàçûâàòü îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè è îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì ∼. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.2. Ïîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.3. Íàéòè îøèáêè â ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè. Ïóñòü R  îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Òîãäà â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè xRy ⇒ yRx, à îòñþäà â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè xRy ∧ yRx ⇒ xRx. Äðóãèìè ñëîâàìè, ðåëåêñèâíîñòü åñòü ñëåäñòâèå ñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè (?). Äðóãèì âàæíûì îòíîøåíèåì ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå X , òî åñòü îòíîøåíèå R ⊂ X 2 , óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì àêñèîìàì: (i) ∀x ∈ X xRx (ðåëåêñèâíîñòü), (ii) ∀x, y ∈ X (xRy) ∧ (yRx) ⇒ x△y , òî åñòü x = y (àíòèñèììåòðè÷íîñòü), (iii) ∀x, y, z ∈ X (xRy) ∧ (yRz) ⇒ (xRz) (òðàíçèòèâíîñòü).


0.4

Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè

18

Äëÿ îòíîøåíèÿ ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà âìåñòî âìåñòî xRy ÷àñòî ïèøóò x ≤ y è ãîâîðÿò, ÷òî y ñëåäóåò çà x. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.4. Ïóñòü M  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, à P(M)  ìíîæåñòâî âñåõ åãî ïîäìíîæåñòâ. Ïîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ çàäàåò îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå P(M). Òåïåðü ïóñòü X è Y  äâà ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâà. Îòíîøåíèå R ⊂ X × Y íàçûâàåòñÿ óíêöèîíàëüíûì, åñëè

(xRy1 ) ∧ (xRy2) ⇒ (y1 = y2 ). ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.5. Ïîêàçàòü, ÷òî ãðàèê graphf îòîáðàæåíèÿ f : dom f ⊂ X → Y çàäàåò óíêöèîíàëüíîå îòíîøåíèå. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.6. Ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîìó óíêöèîíàëüíîìó îòíîøåíèþ R ⊂ X × Y ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå f èç ìíîæåñòâà X âî ìíîæåñòâî Y . 0.4

Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè

Òåïåðü ìû ãîòîâû äàòü ñòðîãîå îïðåäåëåíèå óíêöèè. Ïîä óíêöèåé y = f (x) ìû ïîíèìàåì îòîáðàæåíèå f : X → R, ãäå R  ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, à X ⊂ R. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.1. Êëàññ óíêöèé, ñîñòîÿùèé èç ïîñòîÿííûõ, ïîêàçàòåëüíûõ, ëîãàðèìè÷åñêèõ, ñòåïåíííûõ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ, îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ, ãèïåðáîëè÷åñêèõ, îáðàòíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ, à òàêæå óíêöèé, ïîëó÷åííûõ èç ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ïîñðåäñòâîì ÷åòûðåõ àðèìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé è êîìïîçèöèè, íàçûâàåòñÿ êëàññîì ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé. Òåïåðü ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé. Ìåòîä îïðåäåëåíèÿ, êîòîðûì ìû âîñïîëüçóåìñÿ, íîñèò íàçâàíèå àêñèîìàòè÷åñêèé. Ñóòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: ïðè èçó÷åíèè êàêîãî-ëèáî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáúåêòà âûäåëÿþòñÿ íåêîòîðûå ïðèçíàêè ýòîãî îáúåêòà, íàçûâàåìûå ñóùåñòâåííûìè. Çàòåì ýòè ïðèçíàêè èäóò â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ îáúåêòà. àçóìååòñÿ ïîñëå òàêîãî îïðåäåëåíèÿ íåîáõîäèìî åùå óáåäèòüñÿ, ÷òî îáúåêò, îïðåäåëåííûé ïîñðåäñòâîì ñâîèõ ïðèçíàêîâ, ñóùåñòâóåò è îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî, òî åñòü íóæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íå ñóùåñòâóåò åùå êàêîãî-ëèáî îáúåêòà, îáëàäàþùåãî òàêèìè æå ïðèçíàêàìè, ÷òî è îïðåäåëåííûé íàìè îáúåêò.


0.4

Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè

19

Àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä î÷åíü ïîõîæ íà áþðîêðàòè÷åñêèé ïîäõîä ê äåëó, êîãäà ñóùåñòâî äåëà ïîäìåíÿåòñÿ èíñòðóêöèåé. Îäíàêî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ñóùåñòâî äåëà õîðîøî âñåì èçâåñòíî (à èìåííî òàê îáñòîèò äåëî ñ ýëåìåíòàðíûìè óíêöèÿìè, çíàêîìûìè âñåì åùå ñî øêîëû), àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä îáëàäàåò ðÿäîì ïðåèìóùåñòâ. Ïðàâäà, êàê çàìåòèë Á.àññåë, ýòè ïðåèìóùåñòâà ñõîæè ñ ïðåèìóùåñòâîì âîðîâñòâà ïåðåä ÷åñòíûì òðóäîì. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.2. Ôóíêöèÿ y = f (x), îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (i) f (1) = a, a > 0, a 6= 1; (ii) f (x1) · f (x2) = f (x1 + x2 ) äëÿ ëþáûõ ÷èñåë x1 è x2 ; (iii) lim f (x) = f (x0) äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x0 , x→x0

íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëüíîé óíêöèåé è îáîçíà÷àåòñÿ y = ax . ÒÅÎÅÌÀ 4.1. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a > 0, a 6= 1 ñóùåñòâóåò â òî÷íîñòè îäíà ïîêàçàòåëüíàÿ óíêöèÿ. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ñâîéñòâà (iii) ïîêàçàòåëüíàÿ óíêöèÿ íåïðåðûâíà íà âñåé îñè Ox. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.3. Ôóíêöèÿ y = f (x), îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (i) f (a) = 1, a > 0, a 6= 1; (ii) f (x1) + f (x2) = f (x1 · x2 ) äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x1 è x2 ; (iii) lim f (x) = f (x0) äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî ëþáîãî ÷èñëà x0 , x→x0

íàçûâàåòñÿ ëîãàðèìè÷åñêîé óíêöèåé è îáîçíà÷àåòñÿ y = loga x. ÒÅÎÅÌÀ 4.2. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a > 0, a 6= 1 ñóùåñòâóåò â òî÷íîñòè îäíà ëîãàðèìè÷åñêàÿ óíêöèÿ. Îòìåòèì íåïðåðûâíîñòü ëîãàðèìè÷åñêîé óíêöèè, èìåþùóþ ìåñòî â ñèëó ñâîéñòâà (iii). Äîêàçûâàòü òåîðåìû î ïîêàçàòåëüíîé è ëîãàðèìè÷åñêîé óíêöèÿõ ìû íå áóäåì, ïîòîìó ÷òî îíè áûëè äîêàçàíû â ñðåäíåé øêîëå. (Äðóãèìè ñëîâàìè, ñóòü äåëà âñåì èçâåñòíà, íåîáõîäèìî òîëüêî çàïîìíèòü èíñòðóêöèþ).


0.4

Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè

20

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.4. Ôóíêöèþ y = aα loga x , îïðåäåëåííóþ ïðè ïðîèçâîëüíîì α äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî x, íàçîâåì ñòåïåííîé óíêöèåé è áóäåì îáîçíà÷àòü y = xα . Åñëè ïîêàçàòåëü ñòåïåíè α ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî α = m , ãäå n  íå÷åòíîå n ÷èñëî, ëèáî m è n ÷åòíûå îäíîâðåìåííî, òî ñòåïåííóþ óíêöèþ y = xα ìîæíî îïðåäåëèòü íà âñåé îñè Ox, ïîëàãàÿ äëÿ îòðèöàòåëüíûõ x:  α |x| åñëè m - ÷åòíîå; y= −|x|α åñëè m è n  íå÷åòíûå. Áóäåì ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè α > 0 0α = 0, 00 = 1.

 òåîðåìå î ñóùåñòâîâàíèè åäèíñòâåííîé ñòåïåííîé óíêöèè ïî áîëüøîìó ñ÷åòó íåò íåîáõîäèìîñòè, òàê êàê îíà îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ïîêàçàòåëüíóþ è ëîãàðèìè÷åñêóþ óíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå òåîðåìû äëÿ êîòîðûõ ìû óæå ñîðìóëèðîâàëè. Ñòåïåííûå óíêöèè òàêæå îáëàäàþò ñâîéñòâîì íåïðåðûâíîñòè. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ îïèðàåòñÿ íà äðóãîé áîëåå óíäàìåíòàëüíûé àêò  ñóììà, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíèå, ÷àñòíîå è êîìïîçèöèÿ äâóõ íåïðåðûâíûõ óíêöèé íåïðåðûâíû. (Ïðè ðàññìîòðåíèè ÷àñòíîãî äâóõ óíêöèé äåëàåòñÿ îáû÷íàÿ îãîâîðêà î íåðàâåíñòâå íóëþ çíàìåíàòåëÿ). Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðèìåíåíèå àðèìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è êîìïîçèöèè íå âûâåäåò íàñ çà ïðåäåëû êëàññà íåïðåðûâíûõ óíêöèé. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óíäàìåíòàëüíîãî àêòà ìû ïðîâåäåì ïîçäíåå. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.5. Ôóíêöèè y = f (x) è y = g(x), îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (i) f (x1 + x2 ) = f (x1)g(x2 ) + f (x2)g(x1) äëÿ ëþáûõ ÷èñåë x1 è x2 ; (ii) g(x1 + x2 ) = g(x1 )g(x2) − f (x1)f (x2) äëÿ ëþáûõ ÷èñåë x1 è x2 ; (iii) f 2 (x) + g 2 (x) = 1 äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x; (iv) f (0) = 0, g(0) = 1, f ( π2 ) = 1, g( π2 ) = 0;


0.4

21

Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè

(v) 0 < f (x) < x <

f (x) g(x) ,

åñëè 0 < x < π2 ,

íàçûâàþòñÿ ñèíóñîì è êîñèíóñîì è îáîçíà÷àþòñÿ f (x) = sin x, g(x) = cos x. ÒÅÎÅÌÀ 4.3. Ñóùåñòâóþò òî÷íî äâå óíêöèè f (x) è g(x), óäîâëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåíèþ óíêöèé ñèíóñ è êîñèíóñ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìû îïóñêàåì ââèäó åãî òåõíè÷åñêîé ñëîæíîñòè. Æåëàþùèå ìîãóò îçíàêîìèòüñÿ ñ íèì â ëþáîì äîñòàòî÷íî ïîëíîì ó÷åáíèêå ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 4.2. Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ 4.5. äîêàçàòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà óíêöèé y = sin x è y = cos x: (i) | sin x| ≤ 1, | cos x| ≤ 1 ∀x ∈ R; (ii) sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x ∀x ∈ R; (iii) sin( π2 − x) = cos x, cos( π2 − x) = sin x ∀x ∈ R; (iv) óíêöèè y = sin x è y = cos x ïåðèîäè÷íû ñ ïåðèîäîì 2π . Îòìåòèì åùå îäíî î÷åíü âàæíîå ñâîéñòâî óíêöèé y = sin x è y = cos x  ýòè óíêöèè íåïðåðûâíû. Ïîêà åùå äîêàçàòü ýòîò àêò ìû íå â ñîñòîÿíèè è ïîòîìó ñäåëàåì ýòî ïîçäíåå. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.6. Òàíãåíñîì íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ y = tgx = x sin x , x 6= π2 + πk , k = 0, ±1, ±2, . . . Ôóíêöèÿ y = tgx = cos , x 6= πk , cos x sin x k = 0, ±1, ±2, . . . , íàçûâàåòñÿ êîòàíãåíñîì. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî óíêöèè y = tgx è y = tgx ïåðèîäè÷åñêèå ñ ïåðèîäîì π . Âñå îñòàëüíûå ñâîéñòâà ýòèõ óíêöèé çíàêîìû èç øêîëû, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî ýñêèçàìè ãðàèêîâ ýòèõ óíêöèé.

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.7. Ôóíêöèþ y = f (x), çàäàííóþ íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, íàçîâåì ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) íà ýòîì ïðîìåæóòêå, åñëè äëÿ ëþáûõ ÷èñåë x1 , x2 èç ïðîìåæóòêà òàêèõ, ÷òî x1 < x2 , èìååì f (x1) ≤ f (x2) (f (x1) ≥ f (x2 )). Ìîíîòîííîé


0.4

Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè

22

íà ïðîìåæóòêå íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ èëè ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ óíêöèÿ. Çàìåòèì, ÷òî áûâàþò óíêöèè, íàïðèìåð, f (x) = 1 íà îòðåçêå [0, 1], êîòîðûå îäíîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè è ìîíîòîííî óáûâàþùèìè. ×òîáû èñêëþ÷èòü ýòî, ïðîâåäåì áîëåå ñòðîãóþ ñåëåêöèþ. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.8. Ôóíêöèþ y = f (x), çàäàííóþ íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, íàçîâåì ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) íà ýòîì ïðîìåæóòêå, åñëè äëÿ ëþáûõ ÷èñåë x1 , x2 èç ïðîìåæóòêà òàêèõ, ÷òî x1 < x2 , èìååì f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)). Ñòðîãî ìîíîòîííîé íà ïðîìåæóòêå íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ èëè ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ óíêöèÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî êëàññ ñòðîãî ìîíîòîííûõ óíêöèé ñîäåðæèòñÿ â êëàññå ìîíîòîííûõ óíêöèé. ÏÈÌÅ 4.1. Ôóíêöèÿ y = sgnx ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî, íî íå ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé íà îòðåçêå [−1, 1] óíêöèåé

ðàèê ñòðîãî ìîíîòîííîé óíêöèè ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìûìè y = c, ãäå c íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, íå áîëåå, ÷åì â îäíîé òî÷êå. Ïîä÷åðêíåì åùå, ÷òî ìîíîòîííûå óíêöèè íå îáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíû. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.9. Ïóñòü óíêöèÿ y = f (x) áèåêòèâíî îòîáðàæàåò ïðîìåæóòîê I â ïðîìåæóòîê J . Ôóíêöèÿ x = g(y), çàäàííàÿ íà J , ñî çíà÷åíèÿìè â I íàçûâàåòñÿ óíêöèåé, îáðàòíîé ê óíêöèè y = f (x), åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x èç I g ◦ f (x) = x. Ïðè ýòîì óíêöèÿ y = f (x) ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé, îáðàòíîé ê óíêöèè x = g(y).

åîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå. Ïîâåðíåì ãðàèê óíêöèè y = f (x) âìåñòå ñ îñÿìè êîîðäèíàò íà π ðàäèàí âîêðóã áèññåêòðèñû óãëà ìåæäó ïîëîæèòåëüíîé îñüþ Ox è ïîëîæèòåëüíîé îñüþ Oy , è ìû ñðàçó ïîëó÷èì ãðàè÷åñêè x êàê óíêöèþ îò y , òî åñòü ãðàèê îáðàòíîé óíêöèè x = g(y). Óæå èç ýòîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ âèäíî, ÷òî óíêöèÿ y = f (x), îïðåäåëåííàÿ íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå I , èìååò îáðàòíóþ óíêöèþ â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíà ñòðîãî ìîíîòîííà è íåïðåðûâíà. Ïðè÷åì îáðàòíàÿ óíêöèÿ áóäåò íåïðåðûâíîé è ñòðîãî ìîíîòîííîé ñ òåì æå õàðàêòåðîì ìîíîòîííîñòè, ÷òî è èñõîäíàÿ óíêöèÿ. Ïîçæå ìû ýòîò àêò ñòðîãî äîêàæåì, à ñåé÷àñ îáðàòèìñÿ âíîâü


0.4

Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè

23

ê ýëåìåíòàðíûì óíêöèÿì. Ôóíêöèÿ y = sin x íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [− π2 , π2 ].  ñèëó íàøèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé îíà èìååò íà ïðîìåæóòêå [−1, 1] îáðàòíóþ óíêöèþ, êîòîðóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç y = arcsin x. Ôóíêöèÿ y = arcsin x òîæå íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [−1, 1]. Ïîäâåðãàÿ àíàëîãè÷íîìó ðàññìîòðåíèþ óíêöèè y = cos x, y = tgx, y = tgx, ïîëó÷èì îáðàòíûå ê íèì óíêöèè y = arccos x, y = ar tgx, y = ar tgx: ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 4.2. Äîêàçàòü, ÷òî (i) arcsin(−x) = − arcsin x, arccos(−x) = π − arccos x; (ii) arcsin x + arccos x = π2 , ar tgx + ar tgx = π2 .

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.10. èïåðáîëè÷åñêèì ñèíóñîì íàçûâàåòñÿ óíêx −x (÷èòàåòñÿ "õèíóñ èêñ"), ãèïåðáîëè÷åñêèì êîöèÿ y = shx = e −e 2 x −x ñèíóñîì  óíêöèÿ y = ñhx = e +e (÷èòàåòñÿ "êîõèíóñ èêñ"), ãè2 ïåðáîëè÷åñêèì òàíãåíñîì  y = thx = shx ("òàíõåíñ èêñ"), ãèïåð hx ñh áîëè÷åñêèì êîòàíãåíñîì  y = ñthx = x ("êîòàíõåíñ èêñ"). shx

ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 4.3. Äîêàçàòü ðàâåíñòâà: sh(x1 + x2 ) = shx1 hx2 + hx1 shx2 , h(x1 + x2 ) = hx1 hx2 + shx1 shx2 , h2 x − sh2 x = 1, thx · thx = 1,


0.4

Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè

24

h2x = 1 + 2sh2 x, sh2x = 2shx hx.

èïåðáîëè÷åñêèå óíêöèè íåïðåðûâíû, òàê êàê ñîñòàâëåíû èç ïîêàçàòåëüíûõ óíêöèé.  ñèëó ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè ãèïåðáîëè÷åñêèõ óíêöèé íà îïðåäåëåííûõ ïðîìåæóòêàõ îíè îáëàäàþò îáðàòíûìè óíêöèÿìè. Îïðåäåëåíèÿ îáðàòíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óíêöèé ìû äàäèì ïîçäíåå, à ñåé÷àñ çàìåòèì, ÷òî îãðîìíóþ ðîëü â ÌÀÒÀÍ'å èãðàåò ïîêàçàòåëüíàÿ óíêöèÿ ñ îñíîâàíèåì e. Îíà íîñèò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå  ýêñïîíåíöèàëüíàÿ óíêöèÿ èëè ýêñïîíåíòà  è îáîçíà÷àåòñÿ y = ex èëè y = exp x.


25

1

ÄÅÉÑÒÂÈÒÅËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ Òîì êîëåáàëñÿ, è âèä ó íåãî áûë ñìóùåííûé. - îâîðèòå æå ìîé ìàëü÷èê, íå ñòåñíÿéòåñü. Èñòèíà âñåãäà ïî÷òåííà. Ìàðê Òâåí "Ïðèêëþ÷åíèÿ Òîìà Ñîéåðà"

1.1

Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

Ïðè îïðåäåëåíèè ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R ìû âíîâü âîñïîëüçóåìñÿ àêñèîìàòè÷åñêèì ìåòîäîì. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.1. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì ïîëåì, åñëè (i) îïðåäåëåíî àääèòèâíîå îòîáðàæåíèå (îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ) + : X × X → X ñî ñëåäóþùèìè ñâîèñòâàìè: ∀x, y ∈ X (x + y = y + x) (êîììóòàòèâíîñòü); ∀x, y, z ∈ X ((x + y) + z = x + (y + z)) (àññîöèàòèâíîñòü); ∃0 ∈ X ∀x ∈ X (x+0 = x) (ñóùåñòâîâàíèå íåéòðàëüíîãî ýëåìåíòà (íóëÿ)); ∀x ∈ X ∃y ∈ X (x + y = 0) (ñóùåñòâîâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîãî ýëåìåíòà); (ii) îïðåäåëåíî ìóëüòèïëèêàòèâíîå îòîáðàæåíèå (îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ) · : X × X → X ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ∀x, y ∈ X (x · y = y · x) (êîììóòàòèâíîñòü); ∀x, y, z ∈ X ((x · y) · z = x · (y · z)) (àññîöèàòèâíîñòü); ∃1 ∈ X ∀x ∈ X (1 · x = x) (ñóùåñòâîâàíèå íåéòðàëüíîãî ýëåìåíòà (åäèíèöû)); ∀x ∈ X (x 6= 0 ⇒ ∃y ∈ X (x · y = 1)) (ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ýëåìåíòà); (iii) óïîìÿíóòûå îïåðàöèè ñâÿçàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì: 0 6= 1; ∀x, y, z ∈ X ((x + y) · z = x · z + y · z) (äèñòðèáóòèâíîñòü). ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 1.1. Ïóñòü X  àëãåáðàè÷åñêîå ïîëå. Äîêàçàòü, ÷òî (i) (∃!0 ∈ X ) ∧ (∃!1 ∈ X ); (ii) ∀x ∈ X (x · 0 = 0);


1.1

Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

26

(iii) ∀x ∈ X ∃!y ∈ X (x + y = 0), ∀x ∈ X (x 6= 0) ∃!y ∈ X (x · y = 1); (iv) ∀x ∈ X (−x = (−1) · x), ãäå −x è -1  ýëåìåíòû, ïðîòèâîïîëîæíûå ýëåìåíòàì x è 1. Ïî óòâåðæäåíèþ Í.Áóðáàêè1 ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ èçó÷àåò ìíîæåñòâà ñ çàäàííûìè íà íèõ ìàòåìàòè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè. Ñàìî ïîíÿòèå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðóêòóðû óíäàìåíòàëüíî, òî åñòü íåîïðåäåëÿåìî, îäíàêî ñðåäè íèõ ïðèíÿòî ðàçëè÷àòü àëãåáðàè÷åñêèå, ïîðÿäêîâûå è òîïîëîãè÷åñêèå ñòðóêòóðû. Îïðåäåëåíèåì 1.1 äàåòñÿ ïðèìåð àëãåáðàè÷åñêîé ñòðóêòóðû. Íèæå ìû ïðèâåäåì ïðèìåð ïîðÿäêîâîé ñòðóêòóðû. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.2. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì, åñëè (i) íà íåì îïðåäåëåíî îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà (≤); (ii) ïðè ëþáûõ x, y ∈ X ñïðàâåäëèâî ëèáî x ≤ y , ëèáî y ≤ x. Îòíîøåíèå x ≤ y (÷èòàåòñÿ "x ìåíüøå èëè ðàâíî y ") çàïèñûâàþò òàêæå â âèäå y ≥ x (÷èòàåòñÿ "y áîëüøå èëè ðàâíî x"); îòíîøåíèå x ≤ y ïðè x 6= y çàïèñûâàþò â âèäå x < y (÷èòàåòñÿ "x ìåíüøå y ") èëè â âèäå y > x ("y áîëüøå x"). Îòíîøåíèå x ≤ y íàçûâàþò íåðàâåíñòâîì, à îòíîøåíèå x < y ñòðîãèì íåðàâåíñòâîì. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.3. Ìíîæåñòâî X íàçûâàþò ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì àëãåáðàè÷åñêèì ïîëåì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî àëãåáðàè÷åñêèì ïîëåì è ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì, ïðè÷åì (i) ∀x, y, z ∈ X (x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z), (ii) ∀x, y ∈ X (0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y). ( äàëüíåéøåì çíàê óìíîæåíèÿ · ÷àñòî áóäåì îïóñêàòü). ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 1.2. Ïóñòü X  ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå àëãåáðàè÷åñêîå ïîëå. Äîêàçàòü, ÷òî (i) ∀x, y, z ∈ X (x < y) ⇒ (x + y < y + z); (ii) ∀x ∈ X (0 < x) ⇒ (−x < 0); (iii) ∀x, y ∈ X (x < 0) ∧ (y < 0) ⇒ (xy > 0); (iv) ∀x, y ∈ X (x < 0) ∧ (0 < y) ⇒ (xy < 0). ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.4. Ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ åãî íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ 1 Íèêîëà

Áóðáàêè  ñîáèðàòåëüíûé ïñåâäîíèì, ïîä êîòîðûì ãðóïïà ðàíöóçñêèõ ìàòåìàòèêîâ îáúåäèíèëàñü ñ öåëüþ îðìàëèçàöèè âñåé ìàòåìàòèêè íà îñíîâå òåîðèè ìíîæåñòâ.


1.1

Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

27

X1 è X2 òàêèõ, ÷òî ∀x1 ∈ X1 ∀x2 ∈ X2 (x1 ≤ x2), íàéäåòñÿ ýëåìåíò y ∈ X òàêîé, ÷òî

x1 ≤ y ≤ x2 . Ëèíåéíàÿ óïîðÿäî÷åííîñòü ìíîæåñòâà X îçíà÷àåò, ÷òî åãî ìîæíî "âûòÿíóòü â îäíó ëèíèþ", ðàñïîëîæèâ ýëåìåíòû "ïî âîçðàñòàíèþ", òî åñòü ··· ≤ x ≤ ··· ≤ y ≤ ··· ≤ z ≤ ...

Ïîëíîòà óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà îçíà÷àåò ñëåäóþùåå: åñëè ìû íà ýòîé "ëèíèè"âûáåðåì äâà íåïóñòûõ ìíîæåñòâà, ïðè÷åì îäíî èç íèõ ëåæèò "ëåâåå"äðóãîãî, òî íà ýòîé "ëèíèè"îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ ýëåìåíò, ëåæàùèé "ìåæäó"ýòèìè ìíîæåñòâàìè (âîçìîæíî, ïðèíàäëåæàùèé îäíîìó èëè îáîèì ìíîæåñòâàì). Àêñèîìà, ëåæàùàÿ â îñíîâå îïðåäåëåíèÿ ïîëíîãî ëèíåéíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, íàçûâàåòñÿ àêñèîìîé ïîëíîòû è èìååò èñêëþ÷èòåëüíî áîëüøîå çíà÷åíèå â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå.  ýòîì íàì åùå ïðåäñòîèò óáåäèòüñÿ. À ñåé÷àñ äàäèì, íàêîíåö, ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.5. Ïîëíîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå àëãåáðàè÷åñêîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì R. Ïðè àêñèîìàòè÷åñêîì ñïîñîáå çàäàíèÿ òîãî èëè èíîãî îáúåêòà âñåãäà âîçíèêàþò ïî êðàéíåé ìåðå äâà âîïðîñà. Ïåðâûé  íå ÿâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî òàêèõ îáúåêòîâ ïóñòûì? Ýòî î÷åíü âàæíûé âîïðîñ, îò îòâåòà íà êîòîðûé çàâèñèò ñàìî ñóùåñòâîâàíèå ðàçâèâàåìîé òåîðèè. Äåéñòâèòåëüíî, ÷òî ìîæíî ñêàçàòü î òåîðèè, êîòîðàÿ â êà÷åñòâå óíèâåðñóìà ñâîèõ ìíîæåñòâ ðàññìàòðèâàëà áû ìíîæåñòâî ñòðàóñîâ çà Ïîëÿðíûì êðóãîì?! Âòîðîé âîïðîñ  ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ îïðåäåëÿåò äàííàÿ ñèñòåìà àêñèîì?  îòíîøåíèè R íà ïåðâûé âîïðîñ ñëåäóåò îòâåòèòü îòðèöàòåëüíî, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî âñåõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, êàê ìû çíàåì èç êóðñà ñðåäíåé øêîëû, ïîëíîñòüþ óäîâëåòâîðÿåò âñåì àêñèîìàì ïîëíîãî ëèíåéíîãî óïîðÿäî÷åííîãî àëãåáðàè÷åñêîãî ïîëÿ. ×òî æå êàñàåòñÿ îòâåòà íà âòîðîé âîïðîñ, òî îí îëåå ïðîñòðàíåí, èáî ñíà÷àëà íóæíî ïîíÿòü, ÷òî òàêîå "ðàçëè÷íûå îáúåêòû". Ïðåäïîëîæèì,


1.2

Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

28

÷òî íåêèå ëèöà A è B , ïîëüçóÿñü èçëîæåííîé âûøå àêñèîìàòèêîé, ïîñòðîÿò ìîäåëè RA è RB ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïðè÷åì îêàæåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå f : RA → RB , ñîõðàíÿþùåå îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, à òàêæå îòíîøåíèå ïîðÿäêà; òî åñòü ïðè âñåõ x, y ∈ RA èìååì

f (x +A y) = f (x) +B f (y), f (x ·A y) = f (x) ·B f (y),

x ≤A y ⇒ f (x) ≤B f (y).

(Çäåñü +A , ·A , ≤A è +B , ·B , ≤B  àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâàõ RA è RB ñîîòâåòñòâåííî). ßñíî,÷òî RA è RB íåëüçÿ ñ÷èòàòü ñîâñåì óæå "ðàçëè÷íûìè", îíè ñêîðåå "ïîõîæè" äðóã íà äðóãà.  ìàòåìàòèêå ñëîâî "ïîõîæèé"çàìåíÿåòñÿ ñëîâîì "èçîìîðíûé", à ñëîâî "ðàçëè÷íûé"  ñëîâîì "íåèçîìîðíûé". Òàê âîò, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåèçîìîðíûõ ìíîæåñòâ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåò! 1.2

Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

Èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà R âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû 1. Èñïîëüçóÿ åå è àêñèîìû ìíîæåñòâà R, ìû ìîæåì ïîñòðîèòü ÷èñëà 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, . . . , êàæäîå èç êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ ïðèáàâëåíèåì åäèíèöû ê ïðåäûäóùåìó. Ïîëó÷åííûé ðÿä ÷èñåë íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì N. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 2.1. Ïóñòü ìíîæåñòâî M ⊂ N. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè 1 ∈ M è (m ∈ M) ⇒ (m + 1 ∈ M), òî M = N. Óòâåðæäåíèå óïðàæíåíèÿ 2.1 íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Íà ýòîì ïðèíöèïå áàçèðóåòñÿ îäèí èç ìîùíåéøèõ ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà. Îäíàêî ïðåæäå, ÷åì ïåðåéòè ê åãî èçëîæåíèþ, ââåäåì ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1. Îòîáðàæåíèå f : N → X , ãäå X  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ. Ïîñêîëüêó ëþáîå îòîáðàæåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì ãðàèêîì, òî ìû, íå òåðÿÿ îáùíîñòè, áóäåì íàçûâàòü ïîñëåäîâà-


1.2

Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

29

òåëüíîñòüþ ìíîæåñòâî

{(n, xn) : n ∈ N,

xn = f (n) ∈ X },

êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì {xn}. Ïóñòü òåïåðü {An }  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûñêàçûâàíèé. ÒÅÎÅÌÀ 2.1 (ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè). Åñëè âûñêàçûâàíèå A1 èñòèííî, è èç èñòèííîñòè âûñêàçûâàíèÿ Am ñëåäóåò èñòèííîñòü âûñêàçûâàíèÿ Am+1, òî âñå âûñêàçûâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An } èñòèííû. ⊳ Ïóñòü I  ïîäìíîæåñòâî èñòèííûõ âûñêàçûâàíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An}. I 6= ∅, ïîñêîëüêó A1 ∈ I ïî óñëîâèþ. àññìîòðèì ìíîæåñòâî èíäåêñîâ èñòèííûõ âûñêàçûâàíèé i = {1, m, . . . }. Ïîñêîëüêó 1 ∈ i, è åñëè m ∈ i, òî m + 1 ∈ i ïî óñëîâèþ, i ⊂ N ïî ïîñòðîåíèþ, òî â ñèëó ïðèíöèïà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè i = N.⊲ ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 2.2. Ïîêàçàòü, ÷òî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 2.2. Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìíîæåñòâà ÷èñåë, ïðîòèâîïîëîæíûõ íàòóðàëüíûì è íóëÿ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì öåëûõ ÷èñåë è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì Z. ×èñëà âèäà m n , ãäå m ∈ Z, à n ∈ N, íàçûâàþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè. Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì Q. Âñå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, íå ÿâëÿþùèåñÿ ðàöèîíàëüíûìè, íàçûâàþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè. Ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ äðîáåé (à èìåííî îíè ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè Q) óáåæäàþò íàñ, ÷òî Q  àëãåáðàè÷åñêîå ïîëå. Ïîñêîëüêó Q ⊂ R è Q 6= R, òî Q è R  íåèçîìîðíûå àëãåáðàè÷åñêèå ïîëÿ. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ (ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî  êîíå÷íîé ëèáî áåñêîíå÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáüþ, à èððàöèîíàëüíîå  áåñêîíå÷íîé àïåðèîäè÷åñêîé äðîáüþ). Âîçìîæíîñòü òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïîìîæåò íàì îòâåòèòü íà ñëåäóþùèé èíòåðåñíûé âîïðîñ: à êàêèõ ÷èñåë "áîëüøå"  íàòóðàëüíûõ, öåëûõ, ðàöèîíàëüíûõ èëè èððàöèîíàëüíûõ? Ñëîâî "áîëüøå"ìû âçÿëè â êàâû÷êè ïîòîìó, ÷òî âñå ìíîæåñòâà N, Z, Q è R\Q áåñêîíå÷íû è ñðàâíèòü "êîëè÷åñòâà"èõ ýëåìåíòîâ ïðîñòûì ïîäñ÷åòîì íå óäàñòñÿ. Òåì íå ìåíåå ñóùåñòâóåò ïîíÿòèå, ïîçâîëÿþùåå ñðàâíèâàòü áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà.


1.2

30

Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 2.3. Äâà ìíîæåñòâà X è Y íàçûâàþòñÿ ðàâíîìîùíûìè (èëè èìåþùèìè îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü), åñëè ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå f : X → Y . Áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó N, è íåñ÷åòíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

ðóáî ãîâîðÿ, ñ÷åòíûìè íàçûâàþòñÿ òå ìíîæåñòâà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîãî ìîæíî "ïåðåíóìåðîâàòü". ÒÅÎÅÌÀ 2.2. Ìíîæåñòâî Q ñ÷åòíî. ⊳ Ïðîöåäóðà ïîäñ÷åòà ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë óêàçàíà íèæå (ïîâòîðÿþùèåñÿ ÷èñëà îòáðàñûâàåì):

Ýòè ÷èñëà ìîæíî ñ÷èòàòü, ñêàæåì, ñ ïîìîùüþ òîëüêî ÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îñòàâèâ íå÷åòíûå äëÿ îòðèöàòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë è íóëÿ. ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 2.3. Ìíîæåñòâî R íåñ÷åòíî. ⊳ Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåñ÷åòíîñòü êàêîãî-ëèáî ïîäìíîæåñòâà R. Äëÿ ýòîé öåëè âûáåðåì ìíîæåñòâî {x ∈ R : 0 < x < 1} è ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî ñ÷åòíî. Ïîñêîëüêó âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà ïðåäñòàâèìû â âèäå áåñêîíå÷íûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, òî ââèäó ñ÷åòíîñòè çàïèøåì ýòî ìíîæåñòâî â ïîðÿäêå íóìåðàöèè:

α = 0, α1α2 α3 . . . ,

β = 0, β1β2β3 . . . ,

γ = 0, γ1γ2γ3 . . . ,

...

ãäå α  ïåðâîå ÷èñëî, β  âòîðîå ÷èñëî, γ  òðåòüå ÷èñëî è ò. ä. Ñîñòàâèì òåïåðü ÷èñëî ε = 0, ε1 ε2 ε3 . . . ñëåäóþùèì îáðàçîì: εi ∈ {1, 2, . . . , 8}, i ∈ N, íî ε1 6= α1 , ε2 6= β2, ε3 6= γ3 è ò. ä. Î÷åâèäíî, 0 < ε < 1, íî ε íàìè íå ñîñ÷èòàíî ïîòîìó, ÷òî ε 6= α, òàê êàê ε1 6= α1 ; ε 6= β , òàê êàê ε2 6= α2 ; ε 6= γ , òàê êàê ε3 6= α3 è ò. ä. Äðóãèìè ñëîâàìè, ε íå ñîäåðæèòñÿ âî ìíîæåñòâå {0 < x < 1}. Ïðîòèâîðå÷èå. ⊲


1.3

31

Ïðèíöèï òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, àêñèîìà Àðõèìåäà

1.3

Ïðèíöèï òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, àêñèîìà Àðõèìåäà è ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

Ïðåæäå âñåãî ìû îòìåòèì, ÷òî ïðèíöèïàìè ìû áóäåì íàçûâàòü òå óòâåðæäåíèÿ, êîòîðûå ýêâèâàëåíòíû îäíîé èëè íåñêîëüêèì àêñèîìàì. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.1. Ìíîæåñòâî X ⊂ R íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ñâåðõó (ñíèçó), åñëè

∃c ∈ R ∀x ∈ X

(x ≤ c) (∃c ∈ R ∀x ∈ X

(x ≥ c)).

×èñëî c íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ ìíîæåñòâà X . Ìíîæåñòâî X ⊂ R, îãðàíè÷åííîå ñâåðõó è ñíèçó, íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì. Êàê íåòðóäíî óâèäåòü, ìíîæåñòâà N è R+ = {x ∈ R : x > 0} îãðàíè÷åíû ñíèçó, à ìíîæåñòâî îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Ìíîæåñòâî A = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} îãðàíè÷åíî ñâåðõó è ñíèçó, òî åñòü îãðàíè÷åíî. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.2. Ýëåìåíò a ∈ X ìíîæåñòâà X ⊂ R íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèì èëè ìàêñèìàëüíûì (íàèìåíüøèì èëè ìèíèìàëüíûì), åñëè

(a ∈ X ) ∧ (∀x ∈ X

(x ≤ a)) ((a ∈ X ) ∧ (∀x ∈ X

(x ≥ a))).

Ìàêñèìàëüíûé (ìèíèìàëüíûé) ýëåìåíò ìíîæåñòâà îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì a = max X (a = min X ).

Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî A = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} èìååò ìèíèìàëüíûé (min A = 0), íî íå èìååò ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.3. Íàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà X ⊂ R íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì

sup X = min{c ∈ R :

∀x ∈ X

(x ≤ c)}

(÷èòàåòñÿ "ñóïðåìóì èêñ"). Íàèáîëüøàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà X ⊂ R íàçûâàåòñÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ è îáîçíà÷àåòñÿ

inf X = max{c ∈ R :

∀x ∈ X

(x ≥ c)}


1.3

Ïðèíöèï òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, àêñèîìà Àðõèìåäà

32

("èíèìóì èêñ"). ÒÅÎÅÌÀ 3.1 (ïðèíöèï òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè). Äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâà X ⊂ R ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü. ⊳ Ïóñòü Y = {y ∈ R : ∀x ∈ X (x ≤ y)}  ìíîæåñòâî âåðõíèõ ãðàíåé ìíîæåñòâà X . Ïî îïðåäåëåíèþ sup X = min Y . Îáîçíà÷èì sup X = s è äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò åùå s′ = min Y . Òîãäà ñ îäíîé ñòîðîíû s ≤ s′ , à ñ äðóãîé  s′ ≤ s. Ñòàëî áûòü, s = s′ . Èòàê, åäèíñòâåííîñòü sup X äîêàçàíà. Äîêàæåì òåïåðü ñóùåñòâîâàíèå. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî X 6= ∅ è îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî ìíîæåñòâî Y 6= ∅. Òàê êàê ∀x ∈ X ∀y ∈ Y (x ≤ y), òî îòñþäà ïî àêñèîìå ïîëíîòû ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ÷èñëà s ∈ R òàêîãî, ÷òî ∀x ∈ X ∀y ∈ Y (x ≤ s ≤ y).

Äðóãèìè ñëîâàìè, s  âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà X , ïîýòîìó s ∈ Y . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, s  íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà Y , ïîýòîìó s = min Y . ⊲ ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.1. Ñîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ïðèíöèï òî÷íîé íèæíåé ãðàíè. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.1.  ëþáîì íåïóñòîì îãðàíè÷åííîì ñâåðõó ìíîæåñòâå X ⊂ N èìååòñÿ ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò. ⊳ Ïî ïðèíöèïó òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè

∃! sup X = s ∈ R. Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè

∃n ∈ X

(s − 1 < n ≤ s).

Òîãäà n = max X , ïîñêîëüêó âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êîòîðûå áîëüøå n, íå ìåíüøå n + 1, à n + 1 > s. Òî åñòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà, áîëüøèå n, íå âõîäÿò âî ìíîæåñòâî X . ⊲ ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.2. Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íåîãðàíè÷åíî ñâåðõó. ⊳  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñóùåñòâîâàëî áû ìàêñèìàëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Íî n < n + 1. ⊲


1.3

Ïðèíöèï òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, àêñèîìà Àðõèìåäà

33

ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.2. Äîêàçàòü, ÷òî â ëþáîì íåïóñòîì îãðàíè÷åííîì ñâåðõó ìíîæåñòâå X ⊂ Z èìååòñÿ ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.3. Äîêàçàòü, ÷òî â ëþáîì íåïóñòîì îãðàíè÷åííîì ñíèçó ìíîæåñòâå X ⊂ Z èìååòñÿ ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 3.4. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Z íå îãðàíè÷åíî íè ñâåðõó íè ñíèçó. ÒÅÎÅÌÀ 3.2 (ïðèíöèï Àðõèìåäà 1 ). Ïóñòü h ∈ R+  ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x ∈ R ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî k ∈ Z òàêîå, ÷òî (k − 1)h ≤ x < kh. ⊳ Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî Z íåîãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî ìíîæåñòâî

{n ∈ Z :

x/h < n} -

íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå ñíèçó ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë. Òîãäà â íåì èìååòñÿ ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò k , òî åñòü

k − 1 ≤ x/h < k.

Åäèíñòâåííîñòü ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà òàêæå âûòåêàåò èç ïðèíöèïà òî÷íîé íèæíåé ãðàíè. ⊲ Åñëè âçÿòü h = 1, òî èç ïðèíöèïà Àðõèìåäà âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x ∈ R ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî k ∈ Z òàêîå, ÷òî k ≤ x < k + 1.

Ýòî ÷èñëî k îáîçíà÷àåòñÿ [x] è íàçûâàåòñÿ öåëîé ÷àñòüþ ÷èñëà x. Âåëè÷èíà {x} = x − [x] íàçûâàåòñÿ äðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà x. Ïî îòíîøåíèþ ê äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëàì ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèé ÿçûê, ñâÿçàííûé ñ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî ìîæíî ïîñòðîèòü áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå f : R → L, ãäå L  íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Ýòî îòîáðàæåíèå, íàçûâàåìîå ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé ìíîæåñòâà R, ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü L  ïðîèçâîëüíàÿ ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Âûáåðåì íà íåé äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè: ëåâóþ è ïðàâóþ. Ëåâîé ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå íóëü, à ïðàâîé  åäèíèöó. Îòðåçîê ïðÿìîé, çàêëþ÷åííûé ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé, íàçîâåì åäèíè÷íûì îòðåçêîì. Ñîâìåùàÿ ïðàâûé êîíåö åäèíè÷íîãî îòðåçêà ñ ëåâûì êîíöîì îòðåçêà I , êîíãðóýíòíîãî 1 Àðõèìåä

(îê. 287-212 ã. äî í.ý.)  äðåâíåãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê.  ìàòåìàòèêå ñîçäàë ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé è îáúåìîâ è áûë áëèçîê ê îòêðûòèþ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.


1.3

Ïðèíöèï òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, àêñèîìà Àðõèìåäà

34

åäèíè÷íîìó, ìû ñîïîñòàâèì ïðàâîìó êîíöó îòðåçêà I ÷èñëî 2. Ïîâòîðÿÿ ýòó îïåðàöèþ, ìû óêàæåì âñå òî÷êè ïðÿìîé L, ñîîòâåòñòâóþùèå íàòóðàëüíûì ÷èñëàì. Âçÿâ òî÷êè, ñèììåòðè÷íûå òî÷êàì ñ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè îòíîñèòåëüíî òî÷êè 0, ìû ïîëó÷èì òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòàì Z. Óìåÿ óäâàèâàòü, óòðàèâàòü,... åäèíè÷íûé îòðåçîê, ïî òåîðåìå Ôàëåñà1 åãî æå ìîæíî ðàçáèòü íà ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëî (n) êîíãðóýíòíûõ îòðåçêîâ. Áåðÿ òîò èç íèõ, ëåâûé êîíåö êîòîðîãî ñîâìåùåí ñ òî÷êîé 0, ìû ïîëó÷èì òî÷êó (ïðàâûé êîíåö îòðåçêà), êîòîðîé ñîïîñòàâèì ÷èñëî 1/n. Äåéñòâóÿ ïîäîáíûì îáðàçîì, íàéäåì âñå òî÷êè, ïîñòàâëåííûå â ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíòàì Q. Îäíàêî íà L îñòàíóòñÿ íåçàíÿòûå ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè òî÷êè. (Ñêàæåì, ïðàâûé êîíåö îòðåçêà, êîíãðóýíòíûé äèàãîíàëè åäèíè÷íîãî êâàäðàòà, íå ìîæåò áûòü ñîâìåùåí íè ñ êàêèì ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì, åñëè, ðàçóìååòñÿ, åãî ëåâûé êîíåö ñîâìåùåí ñ íóëåì). Òàêàÿ òî÷êà ïðîèçâîäèò ðàçáèåíèå (ñå÷åíèå) ìíîæåñòâà Q íà äâà íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâà X è Y , ïðè÷åì ∀x ∈ X ∀y ∈ Y (x ≤ y). Ïî àêñèîìå ïîëíîòû ∃c ∈ R, ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâà X è Y . Ïîñêîëüêó X ∪ Y = Q, òî s = sup X = inf Y = i, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå s < i è íàøëîñü áû ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ëåæàùåå ìåæäó s è i, íî íå ëåæàùåå íè â X , íè â Y . Ïîýòîìó äàííîé òî÷êå ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî c ∈ R. Ìû íå áóäåì âäàâàòüñÿ â ïîäðîáíîñòè ïîñòðîåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïîñêîëüêó ñàìó ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ íàãëÿäíîñòè. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ:

(a, b) := {x ∈ R : [a, b] := {x ∈ R :

(a, b] := {x ∈ R :

[a, b) := {x ∈ R : 1 Ôàëåñ

ëîñî

a < x < b} - èíòåðâàë ab; a ≤ x ≤ b} - îòðåçîê ab;

a < x ≤ b} - ïîëóèíòåðâàë ñ ïðàâûì êîíöîì; a ≤ x < b} - ïîëóèíòåðâàë ñ ëåâûì êîíöîì.

Ìèëåòñêèé (îê. 625-547 ã. äî í.ý.)  äðåâíåãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê, àñòðîíîì è è-


1.3

Ïðèíöèï òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, àêñèîìà Àðõèìåäà

35

Èíòåðâàëû, ïîëóèíòåðâàëû è îòðåçêè íàçûâàþòñÿ ïðîìåæóòêàìè. Âåëè÷èíà b − a íàçûâàåòñÿ äëèíîé ïðîìåæóòêà ab. Ìíîæåñòâà (a, +∞) := {x ∈ R : x > a};

[a, +∞) := {x ∈ R : x ≥ a}; (−∞, b) := {x ∈ R : x < b}; (−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b};

íàçûâàþòñÿ íåîãðàíè÷åííûìè ïðîìåæóòêàìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ òàêèì óïîòðåáëåíèåì ñèìâîëîâ +∞ (÷èòàåòñÿ "ïëþñ áåñêîíå÷íîñòü") è −∞ (÷èòàåòñÿ "ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòü") äëÿ îáîçíà÷åíèÿ íåîãðàíè÷åííîñòè ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà X ñâåðõó (ñíèçó) áóäåì ïèñàòü sup X = +∞ (inf X = −∞). Èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé òî÷êó x ∈ R, áóäåì íàçûâàòü îêðåñòíîñòüþ ýòîé òî÷êè. Ïðè δ > 0 èíòåðâàë (x − δ, x + δ) íàçûâàåòñÿ δ -îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x ∈ R. Åãî äëèíà 2δ . àññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè x, y ∈ R íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà |x−y|, ãäå |z|  ìîäóëü èëè àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:   z ïðè z > 0; |z| = 0 ïðè z = 0;  −z ïðè z < 0. ÒÅÎÅÌÀ 3.1. ∀x, y ∈ R |x + y| ≤ |x| + |y|, ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òî÷íî òîãäà, êîãäà îáà ÷èñëà íåîòðèöàòåëüíû èëè îáà íåïîëîæèòåëüíû. ⊳ Ïóñòü x ≤ 0 è y ≤ 0. Òîãäà |x+y| = −(x+y) = −x−y = |x|+|y|. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé x ≥ 0 è y ≥ 0. Ïóñòü x < 0 < y . Òîãäà ëèáî x < x + y ≤ 0, ëèáî 0 < x + y < y .  ïåðâîì ñëó÷àå |x + y| < |x|, à âî âòîðîì |x + y| < |y|. ⊲ Çàìåòèì åùå, ÷òî îòíîøåíèå ≤ (≥) íà ïðÿìîé ÷èòàåòñÿ "ëåâåå"("ïðàâåå"), òî åñòü x ≤ y îçíà÷àåò "òî÷êà èêñ ëåæèò ëåâåå òî÷êè èãðåê". Òàêèì îáðàçîì ââåäåííîå îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà L ïðîÿñíÿåò òåðìèí "ëèíåéíàÿ óïîðÿäî÷åííîñòü".


1.4

Îñíîâíûå ïðèíöèïû òåîðèè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

36

Àêñèîìà ïîëíîòû íà ãåîìåòðè÷åñêîì ÿçûêå îçíà÷àåò, ÷òî íà ïðÿìîé L íåò "äûð", ðàçáèâàþùèõ åå íà äâà íå èìåþùèõ îáùèõ òî÷åê êóñêà (òàêîå ðàçáèåíèå ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ, ê ïðèìåðó, íåêîòîðîé òî÷êîé ïðÿìîé L). 1.4

Îñíîâíûå ïðèíöèïû òåîðèè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

Âñå ïðèâåäåííûå íèæå óòâåðæäåíèÿ íå ïðîñòî âûòåêàþò èç àêñèîìû ïîëíîòû: áîëåå òîãî, êàæäîå èç íèõ ìîæåò áûòü ïîëîæåíî â îñíîâó òåîðèè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë âìåñòî ýòîé àêñèîìû. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Xn } ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ âëîæåííûõ ìíîæåñòâ, åñëè ∀n ∈ N (Xn ⊃ Xn+1 ), òî åñòü

X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ . . . ÒÅÎÅÌÀ 4.1 (ïðèíöèï âëîæåííûõ îòðåçêîâ èëè ïðèíöèï Êîøè - Êàíòîðà). Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {In } âëîæåííûõ îòðåçêîâ ñóùåñòâóåò òî÷êà c ∈ R òàêàÿ, ÷òî ∀n ∈ N (c ∈ In ). Åñëè, êðîìå òîãî, èçâåñòíî, ÷òî ∀ε > 0 ∃n ∈ N (|In| < ε), òî c  åäèíñòâåííàÿ îáùàÿ òî÷êà âñåõ îòðåçêîâ. ⊳ Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ îòðåçêîâ In = [an , bn] è Im = [am , bm] èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî an ≤ bm. Ïóñòü íåò, òî åñòü bm < an ⇒ am ≤ bm < an ≤ bn, òî åñòü îòðåçêè In è Im íå èìåëè áû îáùèõ òî÷åê, â òî âðåìÿ êàê îäèí èç íèõ äîëæåí ñîäåðæàòü äðóãîé. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ A = {an : n ∈ N} è B = {bn : n ∈ N} âûïîëíåíû óñëîâèÿ àêñèîìû ïîëíîòû, â ñèëó êîòîðîé ∃c ∈ R ∀an ∈ A ∀bn ∈ B (an < c < bn ) è, â ÷àñòíîñòè, an < c < bn ∀n ∈ N. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà c ïðèíàäëåæèò êàæäîìó îòðåçêó In . Ïóñòü òåïåðü c1 è c2  äâå òî÷êè, îáëàäàþùèå ýòèì ñâîéñòâîì. Åñëè c1 è c2 ðàçëè÷íû, ñêàæåì c1 < c2 , òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N èìååì an ≤ c1 < c2 ≤ bn , îòêóäà 0 < c2 − c1 ≤ bn − an = |In|. Òàêèì îáðàçîì, äëèíà îòðåçêà íå ìîæåò áûòü ìåíüøå èêñèðîâàííîé ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíû. Çíà÷èò, åñëè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü îòðåçêè ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíû, òî îáùàÿ òî÷êà ó íèõ åäèíñòâåííàÿ. ⊲ Âíèìàòåëüíûé àíàëèç äîêàçàòåëüñòâà ïîêàçûâàåò, ÷òî â íåì â ÿâíîì âèäå èñïîëüçîâàíû âñå óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ çà èñêëþ÷åíèåì


1.4

Îñíîâíûå ïðèíöèïû òåîðèè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

37

òðåáîâàíèÿ èìåííî îòðåçêîâ. Ïîýòîìó ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âëîæåííûõ, ñêàæåì, ïîëóèíòåðâàëîâ óòâåðæäåíèå íåâåðíî. ÊÎÍÒÏÈÌÅ 4.1. Ïóñòü {In}  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëóèíòåðâàëîâ âèäà In = (0, 1/n]. Ïîñêîëüêó 1/n > 1/(n + 1), òî In ⊃ In+1 ∀n ∈ N, òî åñòü ìû ðàñïîëàãàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ âëîæåííûõ ïîëóèíòåðâàëîâ. Ïîêàæåì, ÷òî ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåò îáùåé òî÷êè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû ñóùåñòâîâàëà òî÷êà c ∈ In ∀n ∈ N, òî ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî 0 < c < 1/n ∀n ∈ N. Îäíàêî, åñëè ìû âîçüìåì N > c−1, N ∈ N, òî äëÿ âñåõ n ≥ N èìååì c > 1/n, òî åñòü c ∈ / In , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.2. Ñèñòåìà ìíîæåñòâ S = {Xα : Xα ⊂ U, α ∈ I} (I  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ) íàçûâàåòñÿ ïîêðûòèåì ìíîS Xα , (òî åñòü ëþáîé ýëåìåíò y ∈ Y ñîäåðæåñòâà Y , åñëè Y ⊂ α∈I

æèòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå â îäíîì èç ìíîæåñòâ Xα ñèñòåìû S ). Ïîêðûòèå áóäåì íàçûâàòü îòêðûòûì, åñëè îíî ñîñòîèò èç îòêðûòûõ ìíîæåñòâ, è êîíå÷íûì, åñëè ìíîæåñòâî èíäåêñîâ I êîíå÷íî. Ïîäìíîæåñòâî ïîêðûòèÿ S , ñàìî ÿâëÿþùååñÿ ïîêðûòèåì òîãî æå ìíîæåñòâà, áóäåì íàçûâàòü ïîäïîêðûòèåì. ÒÅÎÅÌÀ 4.2 (ïðèíöèï êîíå÷íîãî ïîêðûòèÿ èëè ïðèíöèï Áîðåëÿ -Ëåáåãà1). Ëþáîå îòêðûòîå ïîêðûòèå îòðåçêà ñîäåðæèò êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå. ⊳ Ïóñòü S = {Xα }  ñèñòåìà èíòåðâàëîâ Xα , ïîêðûâàþùàÿ îòðåçîê [a, b] = I1 . Åñëè áû îòðåçîê íå äîïóñêàë ïîêðûòèÿ êîíå÷íûì ïîäïîêðûòèåì, òî, ïîäåëèâ åãî ïîïîëàì, ìû ïîëó÷èëè áû, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå îäíà èç åãî ïîëîâèíîê (íàçîâåì åå I2 ) òîæå íå äîïóñêàåò êîíå÷íîãî ïîêðûòèÿ. Ñ îòðåçêîì I2 ïðîäåëàåì òó æå îïåðàöèþ äåëåíèÿ ïîïîëàì, ïîëó÷èì îòðåçîê I3 è ò. ä. Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü I1 ⊃ I2 ⊃ . . . âëîæåííûõ îòðåçêîâ, íå äîïóñêàþùèõ êîíå÷íîãî ïîêðûòèÿ èíòåðâàëàìè ñèñòåìû S . Ïîñêîëüêó äëèíà îòðåçêà, ïîëó÷åííîãî íà n-îì øàãå, ðàâíà |In | = |I1 | · 21−n, òî â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü îòðåçêè ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíû. Ïî ïðèíöèïó âëîæåííûõ îòðåçêîâ ∃c ∈ R ∀n ∈ N (c ∈ In ). Ïîñêîëüêó c ∈ I1, òî íàéäåòñÿ èíòåðâàë 1 Ôåëèêñ Ýäóàð Æþñòåí Ýìèëü Áîðåëü (1871-1956), Àíðè Ëåîí Ëåáåã (1875-1942)  ðàíöóçñêèå ìàòåìàòèêè, ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè òåîðèè óíêöèé.


1.4

Îñíîâíûå ïðèíöèïû òåîðèè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

38

(aα , bα) ∈ S òàêîé, ÷òî c ∈ (aα , bα ). Ïóñòü ε = min{c−aα , bα −c} > 0. Âîçüìåì îòðåçîê In òàêîé, ÷òî |In | < ε. Òàê êàê c ∈ In è |In | < ε, òî In ⊂ (aα , bα ). Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî îòðåçîê In íåëüçÿ ïîêðûòü êîíå÷íîé ïîäñèñòåìîé S . ⊲ Òðåáîâàíèå, ÷òîáû ñèñòåìà S áûëà îòêðûòîé, òî åñòü ñîñòîÿëà èç èíòåðâàëîâ, ñóùåñòâåííî. àññìîòðèì ÊÎÍÒÏÈÌÅ 4.2. Ïóñòü I = (0, 1)  èíòåðâàë, à S  ñèñòåìà îòðåçêîâ âèäà [1/n, 1]. Ïîêàæåì, ÷òî S ïîêðûâàåò I . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü c ∈ I (òî åñòü 0 < c < 1). Òîãäà ∃n ∈ N c−1 < n, îòêóäà 1/n < c, òî åñòü c ∈ [1/n, 1] ∈ S . Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî èç S íåëüçÿ âûáðàòü êîíå÷íîãî ïîêðûòèÿ. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ÷òî ñóùåS ñòâóþò ÷èñëà n1 , n2 , . . . , nk ∈ N òàêèå, ÷òî [1/ni, 1] ⊃ I . Ïóñòü 1≤i≤k

nl = max{n1, . . . , nk }. Î÷åâèäíî, [1/ni, 1] ⊂ [1/nl , 1], i = 1, . . . , k . S / [1/ni, 1]. Âîçüìåì 0 < c < n−1 l . ßñíî, ÷òî c ∈ I , íî c ∈ 1≤i≤k

ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 4.1. àññìîòðåòü ñëó÷àè, êîãäà  èç ñèñòåìû îòðåçêîâ, ïîêðûâàþùåé îòðåçîê, íåëüçÿ âûáðàòü êîíå÷íîé ïîäñèñòåìû;  èç ïîêðûòèÿ èíòåðâàëà èíòåðâàëàìè íåëüçÿ âûáðàòü êîíå÷íîãî ïîäïîêðûòèÿ. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.3. Òî÷êà p ∈ R íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà X ∈ R, åñëè ëþáàÿ îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà X . Ýòî îïðåäåëåíèå, î÷åâèäíî, ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p åñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òî÷êà ìíîæåñòâà X , îòëè÷íàÿ îò p. Ïðèâåäåì ïðèìåðû ïðåäåëüíûõ òî÷åê. ÏÈÌÅ 4.1. X = {1/n ∈ R : n ∈ N}. Ïðåäåëüíîé äëÿ X ÿâëÿåòñÿ òîëüêî òî÷êà 0. ÏÈÌÅ 4.2. X = (a, b). Ïðåäåëüíîé äëÿ X ÿâëÿåòñÿ êàæäàÿ òî÷êà îòðåçêà [a, b], è äðóãèõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê íåò. ÏÈÌÅ 4.3. X = Q. Ïðåäåëüíîé äëÿ X ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà R, ïîñêîëüêó â ëþáîì èíòåðâàëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë èìåþòñÿ ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà. ÒÅÎÅÌÀ 4.3 (ïðèíöèï ïðåäåëüíîé òî÷êè èëè ïðèíöèï Áîëü-


1.4

Îñíîâíûå ïðèíöèïû òåîðèè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

39

öàíî1 - Âåéåðøòðàññà). Âñÿêîå áåñêîíå÷íîå îãðàíè÷åííîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíó ïðåäåëüíóþ òî÷êó. ⊳ Ïóñòü X ⊂ R è X  îãðàíè÷åíî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî X ⊂ [a, b] = I . Ïîêàæåì, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå îäíà èç òî÷åê îòðåçêà I ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ X . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òî åñòü ∀x ∈ I ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü x òàêàÿ, ÷òî Ox ∩ X = ∅, ëèáî Ox ∩ X ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê. Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ îêðåñòíîñòåé Ox , ïîñòðîåííûõ äëÿ ëþáîãî x ∈ I , îáðàçóåò ïîêðûòèå {Ox }x∈X îòðåçêà I . Ïî ïðèíöèïó Áîðåëÿ - Ëåáåãà èç ýòîãî ïîêðûòèÿ èçâëå÷åì êîíå÷íóþ ïîäñèñòåìó {Ox1 , Ox2 , . . . , Oxn }, ïîêðûâàþùóþ I è, ñëåäîâàòåëüíî, X . Îäíàêî â êàæäîì èíòåðâàëå Oxi ñîäåðæèòñÿ òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ìíîæåñòâà X , ïîýòîìó X  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå. ⊲

1 Áåðíàðä

Áîëüöàíî (1781-1848)  ÷åøñêèé ìàòåìàòèê, èëîñî, òåîëîã.


40

2

×ÈÑËÎÂÛÅ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ È ßÄÛ Ìíå âñÿ ýòà ñåìüÿ íðàâèëàñü, è ïîêîéíèêè è æèâûå, è ÿ âîâñå íå õîòåë íè ñ êåì èç íèõ ññîðèòüñÿ. Ìàðê Òâåí "Ïðèêëþ÷åíèÿ

åêëüáåððè Ôèííà"

2.1

Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åãî ñâîéñòâà

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.1. Îòîáðàæåíèå f : N → R íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ. ×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì {xn} := {xn ∈ R : xn = f (n), n ∈ N}. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà {xn} íàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.2. ×èñëî x ∈ R íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî N ∈ N òàêîå, ÷òî ïðè n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |xn − x| < ε

( lim xn = x) := (∃x ∈ R ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N n→∞

(|x−xn| < ε)).

Ýòî æå ñàìîå âûðàæåíèå äðóãèìè ñèìâîëàìè ìîæíî âûðàçèòü òàê: xn → x ïðè n → ∞ (÷èòàåòñÿ "ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èêñ ýííîå ñòðåìèòñÿ ê èêñ ïðè ýí ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè"). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} èìååò ñâîèì ïðåäåëîì ∞ (÷èòàåòñÿ: "áåñêîíå÷íîñòü"), åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò N ∈ N òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |xn | > ε.

( lim xn = ∞) := (∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N n→∞

(|xn | > ε)).

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, èìåþùèå ñâîèì ïðåäåëîì ÷èñëî, íàçûâàþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ; ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, èìåþùèå ñâîèì ïðåäåëîì áåñêîíå÷íîñòü, íàçûâàþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè; âñå îñòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþòñÿ ðàñõîäÿùèìèñÿ. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 1.1. Âçÿòü îòðèöàíèÿ îïðåäåëåíèé ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñõîäÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.


2.1

Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åãî ñâîéñòâà

41

Ïðèâåäåì ïðèìåðû ñõîäÿùèõñÿ, ñõîäÿùèõñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè è ðàñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. ÏÈÌÅ 1.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { n1 } ñõîäèòñÿ ê íóëþ, ïîñêîëüêó ∀ε > 0 ∃N ∈ N (èìåííî, N = [ε−1] + 1) ∀n > N èìååì

1 1

− 0 = 1 < 1 = < ε,

n N

n [ε−1] + 1

ïîñêîëüêó 1 + [ε−1] > ε−1 . Èòàê,

1 = 0. n→∞ n lim

. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { q1n } òîæå ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïðè |q| > 1. Ïîëîæèì |q| = 1 + δ , ãäå δ > 0. Èñïîëüçóÿ áèíîì Íüþòîíà, ïîëó÷èì |q|N = 1 + N δ + · · · > N δ . Îòñþäà |q|1N < N1δ . Êðîìå òîãî, ∀n > N èìååì |q|n > |q|N , ïîýòîìó |q|1n < |q|1N . Îêîí÷àòåëüíî: ∀ε > 0 ∃N ∈ N   (èìåííî, N = εδ1 + 1) ∀n > N èìååì:

1

− 0 = 1 < 1 < 1 < ε.

qn

|q|n |q|N Nδ Èòàê,

1 = 0. n→∞ q n lim

.

lim n = ∞,

n→∞

ïîñêîëüêó ε > 0 ∃N (èìåííî, N = [ε] + 1) èìååì |n| = n > N > ε. Î ñóùåñòâîâàíèè ðàñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ãîâîðèò ñëåäóþùèé ÏÈÌÅ 1.4. àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(−1)n} è ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî îíà íå ñõîäèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âçÿòü ε = 3/2, òî ∀N ∈ N ∃n > N (èìåííî: n = N + 1), äëÿ êîòîðîãî |(−1)n| = 1 < 32 . Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ñõîäèòñÿ íè ê êàêîìó êîíå÷íîìó ÷èñëó x. Ïóñòü x ∈ R, x 6= ±1 âûáðàíî ïðîèçâîëüíî. Âîçüìåì ε ≤ min{|x − 1|, |x + 1|}. Òîãäà ∀N ∈ N ∃n > N (èìåííî, n = N +1), äëÿ êîòîðîãî |xn −x| = |(−1)n −x| ≥ ε. Åñëè x = 1 (x = −1), òî ïðè âñåõ íå÷åòíûõ (÷åòíûõ) n |xn − x| = 2 ≥ 1.


2.1

Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åãî ñâîéñòâà

42

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé, åñëè ∃c > 0 ∀N ∈ N (|xn | < c).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 1.2. Ïðèâåñòè ïðèìåðû îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ÑÂÎÉÑÒÂÀ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: (i) Ëþáàÿ îêðåñòíîñòü ïðåäåëà (êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîäåðæèò âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî èõ ÷èñëà. (ii) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ìîæåò èìåòü äâóõ ðàçëè÷íûõ ïðåäåëîâ. (iii) Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà. ⊳ Ñâîéñòâî (i) ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà, åñëè â êà÷åñòâå îêðåñòíîñòè ∞ áðàòü ëþáîå ìíîæåñòâî (−∞, a) ∪ (b, +∞), ãäå a < b. Ñâîéñòâî (ii) äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ∃x1 , x2 ∈ R (x1 6= x2) ∧ ( lim xn = x1) ∧ ( lim xn = x2). Âûáåðåì ε < 21 |x1 − x2|. Òîãäà n→∞

n→∞

ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà èìååì (|xn − x1 | < ε) ∧ (|xn − x2 | < ε). Ïîýòîìó |xn − x1| + |xn − x2| < |x1 − x2|. Ñ äðóãîé ñòîðîíû ïî ñâîéñòâó ìîäóëÿ

|x1 − x2| ≤ |xn − x1| + |xn − x2|. Îêîí÷àòåëüíî

|x1 − x2 | < |x1 − x2|.

Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ñâîéñòâî (ii). Åñëè îäèí èç ïðåäåëîâ áåñêîíå÷åí, òî äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. Ñâîéñòâî (iii). Ïóñòü lim xn = x. Âîçüìåì ε = 1 è íàéäåì ÷èñëî n→∞

N ∈ N òàêîå, ÷òî ∀n > N èìååì |xn − x| < 1. Îòêóäà |xn | < |x| + 1 ∀n > N . Çíà÷èò, åñëè âçÿòü M > max{|x1|, |x2|, . . . , |xN |, |x| + 1}, òî ïîëó÷èì ∀n ∈ N (|xn | < M). ⊲


2.2

Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè

2.2

43

Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è íåðàâåíñòâà

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1. Åñëè {xn } è {yn }  äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òî èõ ñóììîé, ïðîèçâåäåíèåì è ÷àñòíûì íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

{xn + yn },

{xnyn },

{xn/yn },

×àñòíîå îïðåäåëåíî ëèøü ïðè yn 6= 0 ∀n ∈ N. ËÅÌÌÀ 2.1. Ïóñòü {xn } è {yn}  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñëè lim xn = x è lim yn = y , òî

n→∞

n→∞

(i) ∀c ∈ R ( lim cxn = cx); n→∞

(ii) lim (xn − x)(yn − y) = 0. n→∞

⊳ (i) Äëÿ äàííîãî ε > 0 è c 6= 0 ñóùåñòâóåò N òàêîå, ÷òî ïðè n > N |xn − x| < ε/|c|. Òîãäà |cxn − cx| < ε. Äëÿ c = 0 (i) î÷åâèäíî. (ii) Äëÿ äàííîãî ε > 0 ñóùåñòâóþò N1 , N2 ∈ N òàêèå, ÷òî |xn − √ √ x| < ε ïðè n > N1, |yn − y| < ε ïðè n > N2. Òîãäà ïðè n > max{N1, N2} èìååì |(xn − x)(yn − y) − 0| = |xn − x| · |yn − y| < ε. ⊲ ËÅÌÌÀ 2.2. Ïóñòü {xn } è {yn}  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñëè lim yn = y , yn 6= 0 ∀n ∈ N è y 6= 0, òî lim 1/yn = 1/y . n→∞

n→∞

⊳ Ïîëîæèì ε = |y|/2 è âûáåðåì N1 ∈ N òàê, ÷òî ïðè n > N1 |yn − y| < ε. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè n > N1 (|yn − y| < |y|/2) ⇔ (y − |y|/2 < yn < y + |y|/2).

Åñëè y ≥ 0, òî èç ëåâîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì yn > y/2. Åñëè y < 0, òî èç ïðàâîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì yn < y/2.  îáîèõ ñëó÷àÿõ |yn | > |y|/2. Òåïåðü ïðè ïðîèçâîëüíîì ε > 0 âûáåðåì N2 ∈ N, N2 > N1 òàêîå, ÷òî ïðè n > N2 |yn − y| < (y 2ε)/2. Îòñþäà ïðè n > N2 èìååì:

1

1

− = |yn − y| < |yn − y| · 2 < ε. ⊲

yn y

|yn y| y2 ÒÅÎÅÌÀ 2.1. Ïóñòü {xn} è {yn }  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñëè lim xn = x è lim yn = y , òî

n→∞

n→∞

(i) lim (xn + yn ) = x + y , n→∞

(ii) lim xn · yn = xy , n→∞


2.2

Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè

44

(iii) lim xn /yn = x/y , åñëè yn 6= 0 ∀n ∈ N è y 6= 0. n→∞

⊳ (i) Ïóñòü çàäàíî ε > 0. ( lim xn = x) ⇒ ∃N1 ∈ N ∀n > N1 n→∞

|xn − x| < ε/2, ( lim yn = y) ⇒ ∃N2 ∈ N ∀n > N2 |yn − y| < ε/2. n→∞

Îòñþäà ∀n > max{N1 , N2} ε > |yn − y| + |xn − x| ≥ |(yn − y) + (xn − x)| = |(xn + yn ) − (x + y)|. (ii) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ (ii) âîñïîëüçóåìñÿ òîæäåñòâîì:

xn yn − xy = (xn − x)(yn − y) + x(yn − y) + (xn − x)y. Ïåðåéäåì ê ïðåäåëó â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà, èñïîëüçóÿ ëåììó 2.1 è óòâåðæäåíèå (i). Ïîëó÷èì òðåáóåìîå. Óòâåðæäåíèå (iii) ñëåäóåò èç ëåììû 2.2 è óòâåðæäåíèÿ (ii) ýòîé òåîðåìû. ⊲ ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 2.1. Äàííîå óòâåðæäåíèå îñòàåòñÿ â ñèëå è â ñëó÷àå, êîãäà îäèí èç ïðåäåëîâ áåñêîíå÷åí, åñëè îïðåäåëèòü x ∞ = ∞; = 0. x + ∞ = ∞; x · ∞ = ∞, x 6= 0; x ∞ ÒÅÎÅÌÀ 2.2. (i) Ïóñòü {xn} è {yn}  äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïðè÷åì ∃x, y ∈ R ( lim xn = x) ∧ ( lim yn = y). Åñëè x < y , òî n→∞

n→∞

∃N ∈ N ∀n > N (xn < yn ). (ii) Ïóñòü {xn}, {yn} è {zn } òàêîâû, ÷òî ∀n ∈ N (xn ≤ yn ≤ zn ). Òîãäà, åñëè lim xn = lim zn = a, òî è lim yn = a. n→∞

n→∞

n→∞

⊳ (i) Âîçüìåì z ∈ R òàêîå, ÷òî x < z < y . Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ∃N1 , N2 ∈ N òàêèå, ÷òî ∀n > N1 |xn − x| < z − x, à ∀n > N2 |yn − y| < y − z . Òîãäà ∀n > max{N1, N2} èìååì xn < x + z − x = z = y − (y − z) < yn . (ii) Ïî ε > 0 íàéäåì N1 , N2 ∈ N ∀n > N1 (a − ε < xn), ∀n > N2 (zn < a + ε). Òîãäà ∀n > max{N1, N2} èìååì a − ε < xn ≤ yn ≤ zn < a + ε, òî åñòü |yn − a| < ε. ⊲ Óòâåðæäåíèå (ii) òåîðåìû 2.2 ÷àñòî íàçûâàþò "òåîðåìîé î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ". ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 2.1. Ïóñòü lim xn = x, lim yn = y . Åñëè ∃N ∈ N n→∞ n→∞ ∀n > N (i) xn ≤ yn , òî x ≤ y ; (ii) xn < yn , òî x ≤ y ;


2.3

Êðèòåðèè Êîøè è Âåéåðøòðàññà. ×èñëî

45

e

(iii) xn ≤ y , òî x ≤ y ; (iv) xn < y , òî x ≤ y . ⊳ Óòâåðæäåíèÿ (i) è (ii) äîêàçûâàþòñÿ îò ïðîòèâíîãî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ∃N ∈ N ∀n > N (xn ≤ yn ∨ xn < yn ) è x > y  ïðîòèâîðå÷èå óòâåðæäåíèþ (i) òåîðåìû 2.2. (iii) è (iv) åñòü ÷àñòíûå ñëó÷àè (i) è (ii). ⊲ àññìîòðèì íåñêîëüêî ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. ÏÈÌÅ 2.1. lim n1p = 0 ïðè p > 0. Êàê è â ñëó÷àå p = 1 âîçüìåì n→∞

 −1/p + 1. Òîãäà ïðè n > N èìååì n1p − 0 = n1p < ε. N= ε √ ÏÈÌÅ 2.2. lim n p = 1, p > 0. Åñëè p > 1, ïîëîæèì xn = n→∞ √ n p − 1. Òîãäà x > 0 è â ñèëó áèíîìà Íüþòîíà 1 + nx ≤ (1 + x )n = n n n p. Îòêóäà 0 < xn < p−1 . Ïðèìåíÿÿ "òåîðåìó î äâóõ ìèëèöèîíån ðàõ"ïîëó÷àåì lim xn = 1. n→∞

Åñëè p = 1, óòâåðæäåíèå òðèâèàëüíî, åñëè 0 < p < 1, òî ðàññìîòðèì q = 1/p. Äëÿ q ïîëó÷èì

1 √ n q = lim √ p)−1. = ( lim n→∞ n→∞ n p n→∞ √ √ ÏÈÌÅ 2.3. lim n n = 1. Ïîëîæèì xn = n n − 1. Òîãäà xn > 0 n→∞ è ïî áèíîìó Íüþòîíà èìååì 1 = lim

√ n

n = (1 + xn)n = 1 + nxn +

n(n − 1) 2 n(n − 1) 2 xn + · · · ≥ xn . 2 2

Çíà÷èò, ïðè n ≥ 2

r

2 . n−1 Îñòàëîñü âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 2.2. 0 ≤ xn ≤

2.3

Êðèòåðèè Êîøè è Âåéåðøòðàññà. ×èñëî

e

Âñÿ ðàçâèâàåìàÿ äî ñèõ ïîð òåîðèÿ èìååò îäèí ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê. Èìåííî: äëÿ òîãî, ÷òîáû óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, íåîáõîäèìî ðàñïîëàãàòü êàêîé-òî èíîðìàöèåé î åå ïðåäåëå x. Ñêàæåì, {xn } åñòü ñóììà èëè ïðîèçâåäåíèå ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé; èëè {xn} çàêëþ÷åíà ìåæäó ñõîäÿùèìèñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè. Êðèòåðèé Êîøè ïîçâîëÿ-


2.3

Êðèòåðèè Êîøè è Âåéåðøòðàññà. ×èñëî

46

e

åò óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü (èëè ðàñõîäèìîñòü) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}, íå ðàñïîëàãàÿ íèêàêîé èíîðìàöèåé î åå ïðåäåëå. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ óíäàìåíòàëüíîé (èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè), åñëè

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N

∀m > N

|xn − xm| < ε.

ÒÅÎÅÌÀ 3.1 (Êðèòåðèé Êîøè). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ òî÷íî òîãäà, êîãäà îíà óíäàìåíòàëüíà. ⊳ Ïóñòü lim xn = x. Ïî äàííîìó ε > 0 íàéäåì N ∈ N òàê, ÷òîáû n→∞

ïðè n > N |xn − x| < ε/2. Åñëè òåïåðü m, n > N , òî èìååì

|xm − xn | ≤ |xm − x| + |xn − x| < ε/2 + ε/2 = ε.

Ïóñòü òåïåðü {xn}  óíäàìåíòàëüíà. Ïî äàííîìó ε > 0 íàéäåì N ∈ N òàê, ÷òî ïðè n, m > N |xn − xm| < ε/3. Ôèêñèðîâàâ n = N , ïîëó÷àåì, ÷òî ∀m > N

xN − ε/3 < xm < xN + ε/3.

(3.1)

Ïîñêîëüêó èìååòñÿ âñåãî êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} ñ íîìåðàìè, íå ïðåâîñõîäÿùèìè N , òî äîêàçàíî, ÷òî óíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà. Äëÿ n ∈ N ïîëîæèì an := inf xk , bn := sup xk . k≥n

k≥n

Î÷åâèäíî, ÷òî an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn (ïîñêîëüêó ïðè ïåðåõîäå ê ìåíüøåìó ìíîæåñòâó òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü íå óìåíüøàåòñÿ, à òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü íå óâåëè÷èâàåòñÿ). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ îòðåçêîâ [an , bn] èìååò îáùóþ òî÷êó x ïî ïðèíöèïó Êîøè Êàíòîðà. Ïîñêîëüêó ∀n ∈ N an ≤ x ≤ bn , à ïðè k ≥ n

an = inf xk ≤ xk ≤ sup xk = bn , k≥n

k≥n

òî ïðè k ≥ n |xk − x| ≤ bn − an . Íî èç (3.1) ñëåäóåò, ÷òî ïðè n > N

xN − ε/3 ≤ inf xk = an ≤ bn = sup ≤ xN + ε/3. k≥n

k≥n

< ε. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî |xk −x| < ε. Ïîýòîìó ïðè n > N bn −an ≤ 2ε 3 ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 3.1. Òå óòâåðæäåíèÿ, êîòîðûå ìû íàçûâàåì êðèòåðèÿìè, îáÿçàòåëüíî ñîäåðæàò íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ.


2.3

Êðèòåðèè Êîøè è Âåéåðøòðàññà. ×èñëî

47

e

ÏÈÌÅ 3.1. Ïóñòü x1 = 0, x2 = 0, α1 , x3 = 0, α1 α2 , . . .  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, ïðè÷åì êàæäàÿ ïîñëåäóþùàÿ äðîáü ïîëó÷àåòñÿ ïðèïèñûâàíèåì ê ïðåäûäóùåé ëþáîé öèðû îò 0 äî 9. Ïîêàæåì, ÷òî òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåãäà ñõîäèòñÿ. Ïóñòü n > m. Òîãäà  

α 1 αn

1

m+1 + ··· + n = |xn − xm| = m+1 + · · · + n ≤ 9 10 10 10m+1 10

1 10m+1

1 − 10n+1 1 1 1 = m − n < m. 1 10 10 10 1 − 10

Òàêèì îáðàçîì, ïîäîáðàâ ∀ε > 0 ÷èñëî N òàê, ÷òî 1/10N < ε, äëÿ ëþáûõ n > m > N ïîëó÷èì |xn − xm| < ε. Êðèòåðèé Êîøè ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü íå òîëüêî ñõîäèìîñòü, íî è ðàñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì îòðèöàíèå îïðåäåëåíèÿ óíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:

∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃m, n > N

(|xn − xm | ≥ ε).

ÏÈÌÅ 3.2. àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, ãäå xn = 1 + 1/2 + 1/3 + · · · + 1/n. Ïîñêîëüêó ∀N ∈ N

1 1 1 1 + ··· + >N· = , N +1 2N 2N 2 òî âçÿâ ε ≤ 1/2, ïîëó÷èì ðàñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. àñïîëàãàÿ íåêîòîðîé èíîðìàöèåé î ïîâåäåíèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (ñêàæåì, îá èõ âîçðàñòàíèè èëè óáûâàíèè),ìû ìîæåì äåëàòü çàêëþ÷åíèÿ îá èõ ñõîäèìîñòè, íå ïðèáåãàÿ ê êðèòåðèþ Êîøè. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ  ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé, åñëè ∃N ∈ N ∀n > N (xn ≤ xn+1);  ìîíîòîííî óáûâàþùåé, åñëè ∃N ∈ N ∀n > N (xn ≥ xn+1). Ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñîñòîèò èç ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèõ è ìîíîòîííî óáûâàþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. ÒÅÎÅÌÀ 3.2 (êðèòåðèé Âåéåðøòðàññà). Ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ òî÷íî òîãäà, êîãäà îíà îãðàíè÷åíà. ⊳ Îãðàíè÷åííîñòü ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óñòàíîâëåíà ïðè ðàññìîòðåíèè ñâîéñòâ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü {xn}  îãðàíè÷åííàÿ ìîíîòîííàÿ (äëÿ îïðåäåëåííîñòè  âîçðàñòàþùàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî {xn : n ∈ |x2N − xN | =


2.3

Êðèòåðèè Êîøè è Âåéåðøòðàññà. ×èñëî

48

e

N} îãðàíè÷åíî, òî ∃ sup xn = x. ∀ε > 0 ∃N ∈ N (x − ε < xN ≤ x), n∈N

èíà÷å x íå áûëî áû òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà {xn}. Ïîñêîëüêó {xn }  âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî ïðè n > N èìååì x − ε < xN ≤ xn ≤ x < x + ε. Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî lim xn = x. n→∞

Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ è â ñëó÷àå ìîíîòîííî óáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ⊲ àññìîòðèì ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû. ÏÈÌÅ 3.3. lim qnn = 0, åñëè q > 1. Ïîëîæèì n→∞

xn+1 = Ïîñêîëüêó

n+1 n+1 n n+1 = · = · xn . q n+1 nq qn nq

  n+1 1 1 1 lim = lim 1 + = < 1, n→∞ nq q n→∞ n q

òî â ñèëó òåîðåìû 2.2 (i)



∃N ∈ N ∀n > N

 n+1 <1 . nq

Òàêèì îáðàçîì, ïðè n > N xn+1 < xn , òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ìîíîòîííî óáûâàåò. ×ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îãðàíè÷åíû ñíèçó íóëåì, çíà÷èò, ∃x ∈ R ( lim xn = x). Íàéäåì åãî: n→∞

n+1 1 · xn = x. n→∞ nq q

x = lim xn+1 = lim n→∞

Îòêóäà íàõîäèì x = 0. ÏÈÌÅ 3.4. Äîêàæåì  ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëü1 n íîñòè {xn : xn = 1 + n , n ∈ N}. Ïðåæäå äîêàæåì íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè1 :

(1 + α)n ≥ 1 + nα ∀n ∈ N,

α > −1.

Ïðè n = 1 íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî. 1 ßêîá Áåðíóëëè (1654-1705)  øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê, âíåñ âêëàä â âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå è òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé.


2.4

49

Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Ïðåäïîëàãàåì åãî èñòèííîñòü ïðè n = k , òî åñòü (1+α)k ≥ 1+kα. Îòñþäà (1 + α)k+1 = (1 + α)k (1 + α) ≥ (1 + kα)(1 + α) = 1 + (k + 1)α + kα2 ≥ 1 + (k + 1)α, òî åñòü ïîëó÷èëè èñòèííîå âûñêàçûâàíèå ïðè n = k + 1. Èòàê, â ñèëó ïðèíöèïà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè íåðàâåíñòâî äîêàçàíî. n+1 ,n ∈ Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn : yn = 1 + n1 N} ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ. Äåéñòâèòåëüíî   n 1 n 1 + n−1 n2n n n 1 yn−1 = · · = = 1 + ≥  2 − 1)n n + 1 2−1 1 n+1 yn (n n n + 1 1+ n     n 1 n n 1+ 2 > 1+ = 1. · · n −1 n+1 n n+1 Ïîñêîëüêó ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yn} ïîëîæèòåëüíû, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà ñíèçó, ñâåðõó îíà îãðàíè÷åíà ÷ëåíîì y1 . Ïî êðèòåðèþ Âåéåðøòðàññà ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim (1 + 1/n)n+1. n→∞

Íî

lim

n→∞



1 1+ n

n

= lim

n→∞



1 1+ n

 n+1  −1 n+1 1 1 · 1+ = lim 1 + . n→∞ n n

Îáîçíà÷èì lim (1 + 1/n)n = e. n→∞

2.4

Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.1. Ïóñòü çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }. àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {nk } íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàêóþ, ÷òî n1 < n2 < · · · < nk < . . . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk } íàçûâàåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk } ñõîäèòñÿ, òî åå ïðåäåë íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}. ÒÅÎÅÌÀ 4.1. Âñÿêàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîäåðæèò ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. ⊳ àññìîòðèì ìíîæåñòâî E := {xn : n ∈ N}. Åñëè E  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òàêàÿ òî÷êà x ∈ E è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ n1 < n2 < · · · < nk < . . . òàêèõ, ÷òî x n1 = x n2 = · · · = x nk = · · · = x .


2.4

50

Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Åñëè E áåñêîíå÷íî, òî ïî ïðèíöèïó Áîëüöàíî - Âåéåðøòðàññà îíî îáëàäàåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíîé ïðåäåëüíîé òî÷êîé x. Âûáåðåì n1 òàê, ÷òî |xn1 − x| < 1. Åñëè nk óæå âûáðàíî òàê, ÷òî |xnk − x| < 1/k , òî ó÷èòûâàÿ, ÷òî x  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà E , íàéäåì nk+1 1 òàêîå, ÷òî |xnk+1 − x| < k+1 è nk+1 > nk . Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê x. ⊲ ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.2. Ïóñòü {xn }  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà

( lim xn = +∞) := (∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N n→∞

( lim xn = −∞) := (∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N n→∞

(xn > ε)); (xn < −ε)).

 ïåðâîì ñëó÷àå ìû íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ñõîäÿùåéñÿ ê ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè, à âî âòîðîì  ñõîäÿùåéñÿ ê ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.3. Âåðõíèé ïðåäåë lim xn ïîñëåäîâàòåëüíîñòè n→∞

{xn} îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

lim xn = lim sup xk .

n→∞

n→∞ k≥n

Íèæíèé ïðåäåë lim xn ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ êàê n→∞

lim xn = lim inf xk .

n→∞

n→∞ k≥n

ÏÈÌÅ 4.1. àññìîòðèì ðàñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(−1)n}. Ïîêàæåì, ÷òî îíà èìååò âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû. Äåéñòâèòåëüíî,

lim (−1)n = lim sup(−1)k = lim 1 = 1,

n→∞

n→∞ k≥n

n→∞

lim (−1)n = lim inf (−1)k = lim (−1) = −1.

n→∞

n→∞ k≥n

n→∞

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðõíèõ è íèæíèõ ïðåäåëîâ î÷åíü óäîáíà ñëåäóþùàÿ ÒÅÎÅÌÀ 4.2. Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì èç åå ÷àñòè÷íûõ ïðåäåëîâ. ⊳ Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ íèæíåãî ïðåäåëà lim xn ïîñëåäîâàòåëün→∞

íîñòè {xn}. Äëÿ âåðõíåãî ïðåäåëà òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.


2.4

51

Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî {xn}  îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ik = inf xn . Îíà ìîíîòîííî n≥k

âîçðàñòàåò (òàê êàê inf xn ≤ inf xn), ñëåäîâàòåëüíî, ïî êðèòåðèþ n≥k

n≥k+1

Âåéåðøòðàññà, èìååò ïðåäåë i = lim ik . Ïîêàæåì, ÷òî i  ÷àñòè÷k→∞

íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå òî÷íîé íèæíåé ãðàíè, ïîäáåðåì ÷èñëà nk òàê, ÷òî n1 < n2 < · · · < nk è ik ≤ xnk ≤ ik + 1/k . Ïîñêîëüêó lim ik = lim (ik + 1/k) = i, òî ïî k→∞

k→∞

"òåîðåìå î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ" lim xnk = i. Ïîêàæåì, ÷òî i è åñòü k→∞

íàèìåíüøèé ÷àñòè÷íûé ïðåäåë. Ïî îïðåäåëåíèþ ∀ε > 0 ∃k ∈ N (i − ε ≤ ik = inf xn ≤ xn ∀n ≥ k . Íåðàâåíñòâî i − ε ≤ xn ∀n > k n≥k

îçíà÷àåò, ÷òî íè îäèí ÷àñòè÷íûé ïðåäåë íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå ìîæåò áûòü ìåíüøå i − ε. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íåîãðàíè÷åíà (äîïóñòèì ñíèçó), òî ïî îïðåäåëåíèþ ìîæíî ïîäîáðàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk } òàêóþ, ÷òî xnk < −k . Ïîýòîìó −∞ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, è ìåíüøèõ ÷àñòè÷íûõ ïðåäåëîâ íå ñóùåñòâóåò. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë èëè ñòðåìèòñÿ ê +∞ èëè −∞ òî÷íî òîãäà, êîãäà åå âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ñîâïàäàþò. ⊳ Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} èìååò ïðåäåë x, è ïóñòü {xnk }  íåêîòîðàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N (|xn − x| < ε). Âûáåðåì K ∈ N òàêîå, ÷òî ïðè k > K nk > N . Ïðè òàêèõ k |xnk − x| < ε, òî åñòü {xnk } òîæå ñõîäèòñÿ ê x. Ââèäó ïðîèçâîëà â âûáîðå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìû ïîêàçàëè, ÷òî âñå ÷àñòè÷íûå ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} ñîâïàäàþò. Çíà÷èò, âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ñîâïàäàþò. Àíàëîãè÷íîå óñòàíàâëèâàåòñÿ è â ñëó÷àÿõ x = ±∞. Ïóñòü lim xn = lim xn = x.  ñèëó îïðåäåëåíèÿ èìååì n→∞

n→∞

inf xk ≤ xn ≤ sup xk .

k≥n

k≥n

Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå ïðèìåíåíèÿ "òåîðåìû î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ". ⊲


2.5

2.5

52

Ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà

Ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ

×èñëîâûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ îðìàëüíîå âûðàæåíèå âèäà ∞ X

xk = x1 + x2 + . . . ,

(5.1)

k=1

ãäå xk  ÷ëåíû íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (îíè íàçûâàþòñÿ òàêæå ÷ëåíàìè ðÿäà). Ìû ïðèäàäèì òî÷íûé ñìûñë âûðàæåíèþ (5.1), óêàçàâ óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ýòîìó âûðàæåíèþ ìîæíî ñîïîñòàâèòü íåêîòîðîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå ñóììîé ðÿäà. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 5.1. ×èñëà

Sn =

n X

xk

k=1

íàçûâàþòñÿ ÷àñòè÷íûìè ñóììàìè ÷èñëîâîãî ðÿäà (â äàëüíåéøåì ïðîñòî ðÿäà) (5.1). Ñóììîé ðÿäà (5.1) íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì. Ýòîò ïðåäåë îáîçíà÷àåòñÿ òåì æå ñèìâîëîì, ÷òî ðÿä (5.1).  ïîñëåäíåì ñëó÷àå, åñëè

lim Sn = ±∞ (∞),

n→∞

òî ìû áóäåì óòî÷íÿòü, ÷òî ðÿä (5.1) ðàñõîäèòñÿ ê ±∞ èëè ∞ ñîîòâåòñòâåííî. ßñíî, ÷òî ëþáóþ òåîðåìó î ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü íà ÿçûêå ðÿäîâ (ïîëàãàÿ x1 = S1 , xn = Sn − Sn−1 ïðè n > 1) è îáðàòíî. Íî òåì íå ìåíåå ìû áóäåì ðàçëè÷àòü ýòè ïîíÿòèÿ. ÏÈÌÅ 5.1. àññìîòðèì áåñêîíå÷íóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ {aq k }, |q| < 1. Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì

aq(1 − q n ) Sn = aq + aq + · · · + aq = 1−q 2

ñõîäèòñÿ ê

n

aq , 1−q òî ïåðåä íàìè ïåðâûé ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ∞ X k=1

aq k =

aq . 1−q


2.5

53

Ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà

ÏÈÌÅ 5.2. àññìîòðèì ðÿä ∞ X k=1

(−1)k+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Åñëè ðàññòàâèòü ñêîáêè òàê (1 − 1) + (1 − 1) + . . . , òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì íóëü, åñëè èíà÷å 1 − (1 − 1) − (1 − 1) − . . . , òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì åäèíèöó. Îáúÿñíåíèå â òîì, ÷òî ïåðåä íàìè ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä, òàê êàê åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû îáðàçóþò ðàñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {1, 0, 1, 0, . . . }. ÒÅÎÅÌÀ 5.1. ÿä (5.1) ñõîäèòñÿ òî÷íî òîãäà, êîãäà

n+p !

X

(5.2) xk < ε . ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N

k=n+1

⊳ Ïî îïðåäåëåíèþ 5.1 ðÿä (5.1) ñõîäèòñÿ, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì.  ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé êîíå÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn} ñóùåñòâóåò òî÷íî òîãäà, êîãäà ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N

∀p ∈ N (|Sn+p − Sn | < ε).

Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî

Sn+p − Sn =

n+p X

xk . ⊲

k=n+1

Òåîðåìà 5.1 íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì Êîøè äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 5.1. Åñëè ðÿä (5.1) ñõîäèòñÿ, òî lim xk = 0. k→∞

⊳ Ïóñòü ðÿä (5.1) ñõîäèòñÿ. Òîãäà, ïîëîæèâ â (5.2) p = 1, ïîëó÷èì òðåáóåìîå. ⊲ Óòâåðæäåíèå ñëåäñòâèÿ 5.1 íàçûâàåòñÿ íåîáõîäèìûì ïðèçíàêîì ñõîäèìîñòè ðÿäà. Òîò àêò, ÷òî ýòîò ïðèçíàê íå ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íûì, ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ÏÈÌÅ 5.3. àññìîòðèì ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ∞ X 1 k=1

k

=1+

1 1 + + .... 2 3


2.6

54

ÿäû ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ

1 k k→∞

Î÷åâèäíî,÷òî lim

= 0. Íî ñîãëàñíî ïðèìåðó 3.2 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà, ðàñõîäèòñÿ ïî êðèòåðèþ Êîøè. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ. ∞ P ÒÅÎÅÌÀ 5.2. (i) Åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä xk , òî ñõîäèòñÿ è ðÿä k=1

∞ P

k=1

cxk ïðè ëþáîì c ∈ R, ïðè÷åì ∞ X

cxk = c

yk ), ïðè÷åì

∞ P

xk .

k=1

k=1

(ii) Åñëè ñõîäÿòñÿ ðÿäû

∞ X

xk è

k=1

∞ P

yk , òî ñõîäèòñÿ è ðÿä

k=1

k=1

(xk +

k=1

∞ ∞ ∞ X X X yk . xk + (xk + yk ) = k=1

∞ P

k=1

ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 5.1. Äîêàçàòü òåîðåìó 5.1, âîñïîëüçîâàâøèñü àíàëîãè÷íûìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. 2.6

ÿäû ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ

ÿä

∞ P

xk íàçûâàåòñÿ ðÿäîì ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè, åñëè

k=1

xk ≥ 0 ∀k ∈ N. ÒÅÎÅÌÀ 6.1. ÿä ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè ñõîäèòñÿ òî÷íî òîãäà, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì îãðàíè÷åíà. ⊳ Ïóñòü ðÿä ∞ X xk (6.1) k=1

ñõîäèòñÿ, òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn} åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì îãðàíè÷åíà, òàê êàê îíà ñõîäèòñÿ. Åñëè ðÿä (6.1) ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷èñëàìè, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì {Sn} ìîíîòîííî âîçðàñòàåò,


2.6

55

ÿäû ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ

òàê êàê

Sn+1 =

n+1 X k=1

xk = Sn + xn+1 ≥ Sn

Ïîñêîëüêó îíà îãðàíè÷åíà, òî â ñèëó êðèòåðèÿ Âåéåðøòðàññà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë S = lim Sn .⊲ n→∞

Òåîðåìà 6.1 íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì Âåéåðøòðàññà äëÿ ðÿäîâ. Ïåðåéäåì ê îðìóëèðîâêå è äîêàçàòåëüñòâó ïðèçíàêîâ ñðàâíåíèÿ. ÒÅÎÅÌÀ 6.2. Ïóñòü äàíû äâà ðÿäà ∞ X

xk

(6.2)

∞ X

yk

(6.3)

k=1

è

k=1

ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Òîãäà (i) åñëè xk ≤ yk ïðè ëþáûõ k > N ∈ N, òî èç ñõîäèìîñòè ðÿäà (6.3) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà (6.2), à èç ðàñõîäèìîñòè ðÿäà (6.2) ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü ðÿäà (6.3); (ii) åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë

xk = a > 0, a ∈ R, k→∞ yk lim

(6.4)

òî ðÿäû (6.2) è (6.3) ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî. ⊳ (i) Ïóñòü ðÿä (6.3) ñõîäèòñÿ, è S  åãî ñóììà. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn } ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà (6.2) îãðàíè÷åíà, òàê êàê

Sn =

n X k=1

xk ≤

n X k=1

yk ≤ S.

Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû 6.1 ñõîäèòñÿ ðÿä (6.2). Òåïåðü ïóñòü ðÿä (6.2) ðàñõîäèòñÿ. Òîãäà â ñèëó òåîðåìû 6.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn } åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì íåîãðàíè÷åíà. Çíà÷èò, íåîãðàíè÷åíà è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn′ } ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà (6.3), èáî n n X X yk = Sn′ . xk ≤ Sn = k=1

k=1


2.6

ÿäû ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ

56

Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû 6.1 ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü ðÿäà (6.3). (ii) Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë (6.4), òî ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ äàííîãî ε ∈ (0, a) íàéäåì ÷èñëî N ∈ N òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ k > N xk a−ε< < a + ε. yk Îòñþäà, (a − ε)yk < xk < (a + ε)yk . Åñëè ðÿä (6.3) ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è ðÿä ∞ X

(a + ε)yk ,

k=1

à îòñþäà ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà (6.2). Åñëè ðÿä (6.3) ðàñõîäèòñÿ, òî ðàñõîäèòñÿ è ðÿä ∞ X (a − ε)yk , k=1

è ïîýòîìó ðàñõîäèòñÿ ðÿä (6.2). ⊲ Îò ïðèçíàêîâ ñðàâíåíèÿ ñàìèõ ïî ñåáå ìàëî òîëêó. ×òîáû èõ óñïåøíî ïðèìåíÿòü, âîçüìåì â êà÷åñòâå èíäèêàòîðà îáîáùåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ∞ X 1 . kα k=1

ÒÅÎÅÌÀ 6.3. Îáîáùåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ïðè α ≤ 1 ðàñõîäèòñÿ, à ïðè α > 1 ñõîäèòñÿ. Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ïðåäïîøëåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå. ËÅÌÌÀ 6.1 (ëåììà Êîøè). Ïóñòü äàí ðÿä ∞ X

xk

(6.5)

k=1

ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè, ïðè÷åì åãî ÷ëåíû îáðàçóþò ìîíîòîííî óáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. ÿä (6.5) ñõîäèòñÿ òî÷íî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ ðÿä ∞ X k=0

2k x2k = x1 + 2x2 + 4x4 + . . . .


2.7

ÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè

57

⊳ àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn } è {Tm } ÷àñòè÷íûõ ñóìì Sn = x 1 + x 2 + · · · + x n ,

Ïðè n < 2m èìååì

Tm = x1 + 2x2 + · · · + 2m x2m .

Sn ≤ x1 +(x2+x3 )+· · ·+(x2m +· · ·+x2m+1−1) ≤ x1 +2x2+· · ·+2mx2m = Tm , (6.6) à ïðè n > 2m èìååì Sn ≥ x1 + x2 + (x3 + x4 ) + · · · + (x2m−1+1 + · · · + x2m ) ≥ (6.7) 1 1 m−1 m x + x + 2x + · · · + 2 x T . = 1 2 4 2 m 2 2  ñèëó (6.6) è (6.7) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn } è {Tm} èëè îáå îãðàíè÷åíû, èëè îáå íåîãðàíè÷åíû. Ññûëêà íà òåîðåìó 6.1 çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. ⊲ Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.3. ⊳ Åñëè α ≤ 0, òî ðàñõîäèìîñòü îáîùåííîãî ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà ñëåäóåò èç íåîáõîäèìîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè. Èòàê, ïóñòü α > 0. Òîãäà ïðèìåíèìà ëåììà Êîøè, è ìû ïðèõîäèì ê ðÿäó ∞ ∞ X X k 1 2 kα = 2(1−α)k . 2 k=0

k=0

Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ òî÷íî òîãäà, êîãäà 21−α < 1, à ýòî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó α > 1. ⊲ 2.7

ÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè

Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ðÿäîâ âèäà ∞ X xk ,

(7.1)

k=1

ãäå xk > 0 ïðè âñåõ k > N ∈ N. ÿäû òàêîãî âèäà áóäåì íàçûâàòü ðÿäàìè ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. ÒÅÎÅÌÀ 7.1 (ïðèçíàê Äàëàìáåðà 1). Ïóñòü äàí ðÿä (7.1) ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè è ñóùåñòâóåò ïðåäåë xk+1 lim = q. k→∞ xk 1 Æàí

Ëåðîí Äàëàìáåð (1717-1783)  ðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ìåõàíèê, èëîñî. Îñíîâíûå èññëåäîâàíèÿ îòíîñÿòñÿ ê ìåõàíèêå, ãèäðîäèíàìèêå, ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå è ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.


2.7

ÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè

58

Òîãäà (i) ïðè q < 1 ðÿä ñõîäèòñÿ, à ïðè q > 1  ðàñõîäèòñÿ; (ii) ñóùåñòâóþò êàê ñõîäÿùèåñÿ, òàê è ðàñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ïðè q = 1. ⊳ (i) Ïóñòü q < 1. Òîãäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ äàííîãî ε > 0 òàêîãî, ÷òî q + ε < 1 âûáåðåì ÷èñëî N ∈ N òàêîå, ÷òî

xk+1 < q + ε < 1 ∀k > N. xk

Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî

xk = xN

xk xN +1 ... < xN (q + ε)k−N xN xk−1

∀k > N.

(7.2)

 ñèëó ïåðâîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó ñõîäèòñÿ ðÿä ∞ X xN (q + ε)k−N k=N

è èìååò ìåñòî (7.2). Ïóñòü òåïåðü q > 1. àññóæäàÿ êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

xk > xN (q − ε)k−N

∀k > N,

ãäå ÷èñëî ε > 0 òàêîå, ÷òî q − ε > 1. åçóëüòàò ïîëó÷èòñÿ, åñëè ñðàâíèòü ðÿä (7.1) ñ ðÿäîì ∞ X

k=N

xN (q − ε)k−N .

(ii) Ïðèìåíèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà ê îáîáùåííîìó ãàðìîíè÷åñêîìó ðÿäó  α kα 1 lim = 1 ∀α ∈ R+ . = lim 1 − k→∞ k α+1 k→∞ k+1 Îäíàêî èçâåñòíî, ÷òî ïðè 0 ≤ α ≤ 1 îáîáùåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ðàñõîäèòñÿ, à ïðè α > 1 ñõîäèòñÿ. ⊲


2.7

ÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè

59

ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.1. Ñóùåñòâóåò áîëåå îáùèé ïðèçíàê Äàëàìáåðà, äîêàçûâàåìûé àíàëîãè÷íî,  ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ, åñëè

xk+1 < 1, k→∞ xk lim

è ðàñõîäèòñÿ, åñëè

xk+1 > 1. k→∞ xk ÒÅÎÅÌÀ 7.2 (ïðèçíàê Êîøè). Ïóñòü äàí ðÿä (7.1) ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè è ñóùåñòâóåò ïðåäåë √ lim k xk = q. lim

k→∞

Òîãäà (i) ïðè q < 1 ðÿä ñõîäèòñÿ, à ïðè q > 1  ðàñõîäèòñÿ; (ii) ñóùåñòâóþò êàê ñõîäÿùèåñÿ, òàê è ðàñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ïðè q = 1. ⊳ (i) Ïóñòü q < 1. Òîãäà äëÿ äàííîãî ε > 0 òàêîãî, ÷òî q + ε < 1 ïîäáåðåì ÷èñëî N ∈ N òàêîå, ÷òî √ k xk < q + ε ∀k > N. Îòñþäà ïîëó÷àåì

xk < (q + ε)k .

 ñèëó ïåðâîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó î÷åâèäíî ñõîäèòñÿ ðÿä ∞ X (q + ε)k . k=1

Ïóñòü òåïåðü q > 1. Òîãäà â ñèëó ñâîéñòâ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëü√ íîñòè èìååì k xk > 1 ïðè âñåõ k ∈ N áîëüøèõ íåêîòîðîãî N ∈ N. Çíà÷èò, xk > 1 ∀k > N . Îòñþäà â ñèëó íåîáõîäèìîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè âûòåêàåò, ÷òî ðÿä (7.1) ðàñõîäèòñÿ. (ii) Ïðèìåíèì ïðèçíàê Êîøè ê îáîáùåííîìó ãàðìîíè÷åñêîìó ðÿäó  α 1 1 lim √ = lim √ = 1 ∀α ∈ R+ . k k→∞ k k α k→∞ k Íî ïðè 0 ≤ α ≤ 1 îáîáùåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ðàñõîäèòñÿ, à ïðè α > 1 ñõîäèòñÿ. ⊲


2.8

Íåçíàêîïîñòîÿííûå ðÿäû. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè

60

ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.2. Ñóùåñòâóåò áîëåå îáùèé ïðèçíàê Êîøè, äî√ êàçûâàåìûé àíàëîãè÷íî,  ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ, åñëè lim k xk < 1, è k→∞ √ ðàñõîäèòñÿ, åñëè lim k xk > 1. k→∞

ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.3. Ïðèçíàê Äàëàìáåðà îáû÷íî ëåã÷å ïðèìåíÿòü, ÷åì ïðèçíàê Êîøè, òàê êàê â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðîùå âû÷èñëÿòü ÷àñòíûå, ÷åì êîðíè k -é ñòåïåíè. Îäíàêî ïðèçíàê Êîøè ñèëüíåå â ñëåäóþùåì ñìûñëå: êîãäà ïðèçíàê Äàëàìáåðà óêàçûâàåò íà ñõîäèìîñòü, òî è ïðèçíàê Êîøè óêàçûâàåò íà ñõîäèìîñòü; åñëè æå ïðèçíàê Êîøè íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü íèêàêèõ çàêëþ÷åíèé, òî è ïðèçíàê Äàëàìáåðà íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü íèêàêèõ çàêëþ÷åíèé. Ýòîò àêò ìû äîêàçûâàòü íå áóäåì, îäíàêî ïðîèëëþñòðèðóåì ïðèìåðîì. ÏÈÌÅ 7.1. àññìîòðèì ðÿä 12 + 31 + 212 + 312 + . . . , äëÿ êîòîðîãî

 k xk+1 2 lim = lim = 0; k→∞ 3 k→∞ xk √ k

 k xk+1 1 3 lim = lim · = +∞; k→∞ xk k→∞ 2 2

1 1 √ √ . = k→∞ k→∞ 2k−1 2k 2 Ïðèçíàê Êîøè óêàçûâàåò íà ñõîäèìîñòü, à ïðèçíàê Äàëàìáåðà íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå. lim

2.8

xk = lim

Íåçíàêîïîñòîÿííûå ðÿäû. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè

 äâóõ ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû èçó÷àëè ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ íåîòðèöàòåëüíûìè è ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè ïðèçíàêè ñ óñïåõîì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè èññëåäîâàíèè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ íåïîëîæèòåëüíûìè è îòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Âñå ýòè ðàçíîâèäíîñòè ðÿäîâ íàçûâàåòñÿ çíàêîïîñòîÿííûìè ðÿäàìè. àññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå âèäû íåçíàêîïîñòîÿííûõ ðÿäîâ. Ïóñòü äàí ðÿä âèäà ∞ X xk yk . (8.1) k=1

Èññëåäîâàíèþ ñõîäèìîñòè ðÿäà (8.1) ïðåäïîøëåì îäèí âñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò.


2.8

61

Íåçíàêîïîñòîÿííûå ðÿäû. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè

ËÅÌÌÀ 8.1 (íåðàâåíñòâî Àáåëÿ1). Ïóñòü äàíû ÷èñëà ak è bk , k = 1, 2, . . . , n, òàêèå, ÷òî ëèáî ak ≥ ak+1, ëèáî ak ≤ ak+1, k = 1, 2, . . . , n − 1, è, êðîìå òîãî, |b1 + · · · + bk | ≤ B , k = 1, . . . , n. Òîãäà

n

X

ak bk ≤ B(|a1 | + 2|an |).

k=1

⊳ Îáîçíà÷èì S =

n P

ak bk è ïîëîæèì Bm =

k=1

Òîãäà

m P

bk , m = 1, 2, . . . , n.

k=1

S = (a1 − a2 )B1 + (a2 − a3 )B2 + · · · + (an−1 − an )Bn−1 + an Bn , òî åñòü

n−1 X (ak − ak+1 )Bk + an Bn . S= k=1

Îòñþäà

|S| ≤

n−1 X k=1

|ak − ak+1| · |Bk | + |an | · |Bn |.

Ïî óñëîâèþ |Bk | ≤ B , k = 1, 2, . . . , n, ïîýòîìó

|S| ≤ B

n−1 X k=1

!

|ak − ak+1| + |an | .

(8.2)

Åñëè ak ≥ ak+1 , k = 1, 2, . . . , n − 1, òî n−1 X k=1

|ak − ak+1 | =

n−1 X

(ak − ak+1 ) = a1 − an ≤ |a1 | + |an |.

n−1 X

(ak+1 − ak ) = an − a1 ≤ |a1 | + |an |.

k=1

Åñëè æå ak ≤ ak+1 , k = 1, 2, . . . , n − 1, òî n−1 X k=1

|ak − ak+1 | =

k=1

Îòñþäà è èç (8.2) ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ëåììû. ⊲ 1 Íèëüñ

Õåíðèê Àáåëü (1802-1829)  íîðâåæñêèé ìàòåìàòèê. Îñíîâíûå ðàáîòû îòíîñÿòñÿ ê àëãåáðå, òåîðèè óíêöèé è ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.


2.8

Íåçíàêîïîñòîÿííûå ðÿäû. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè

62

ÒÅÎÅÌÀ 8.1 (ïðèçíàê Àáåëÿ). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà, à ðÿä ∞ X

yk

(8.3)

k=1

ñõîäèòñÿ, òî ðÿä (8.1) òàêæå ñõîäèòñÿ. ⊳ Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } îãðàíè÷åíà ÷èñëîì x > 0.  ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè äëÿ ðÿäîâ ïî çàäàííîìó ε > 0 íàéäåì ÷èñëî N ∈ N òàêîå, ÷òî

n+p

X

ε

∀n > N ∀p ∈ N. yk <

3x k=n+1

 ñèëó íåðàâåíñòâà Àáåëÿ

n+p

X

ε

xk yk < (|xn+1| + 2|xn+p|) < ε

3x k=n+1

∀n > N

∀p ∈ N.

Îòñþäà â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè âûòåêàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 8.2 (ïðèçíàê Äèðèõëå). Ïóñòü äàí ðÿä (8.1) òàêîé, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Yn } ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà (8.3) îãðàíè÷åíà. Òîãäà ðÿä (8.1) ñõîäèòñÿ. ⊳ Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Yn } îãðàíè÷åíà ÷èñëîì Y > 0.  ñèëó ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk } ïî äàííîìó ε > 0 íàéäåì ÷èñëî N ∈ N òàêîå, ÷òî

|xk | <

ε 6Y

∀k > N.

Ïîñêîëüêó

k=n+q

X

yk = |Yn+q − Yn | ≤ 2Y

k=n+1

∀q ∈ N,

òî â ñèëó íåðàâåíñòâà Àáåëÿ èìååì

k=n+p

X

3Y

·ε=ε xk yk ≤ 2Y (|xn+1| + 2|xn+p|) < 2 ·

6Y k=n+1


2.9

63

Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû

ïðè âñåõ n > N è p ∈ N. Îòñþäà â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè âûòåêàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. ⊲ ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 8.1 (ïðèçíàê Ëåéáíèöà). Ïóñòü äàí ðÿä ∞ X (−1)k+1xk ,

(8.4)

k=1

ïðè÷åì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Òîãäà ðÿä (8.4) ñõîäèòñÿ. ⊳ Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü  n X 0 ïðè n ÷åòíîì; (−1)k+1 = Yn = 1 ïðè n íå÷åòíîì k=1

÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà (8.4) îãðàíè÷åíà, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî ñõîäèìîñòü ðÿäà (8.4) âûòåêàåò èç ïðèçíàêà Äèðèõëå. ⊲ 2.9

Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû

ÿä

∞ P

xk íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ (ðàñõîäÿùèìñÿ),

k=1

∞ P

åñëè ñõîäèòñÿ (ðàñõîäèòñÿ) ðÿä

k=1

Ïîëîæèì  xk ïðè xk ≥ 0, x+ k = 0 ïðè xk < 0,

|xk |. x− k =



0 ïðè xk ≥ 0, −xk ïðè xk < 0.

− ×èñëà x+ k , xk , î÷åâèäíî, íåîòðèöàòåëüíûå, ïðè÷åì − xk = x+ k − xk ,

ÒÅÎÅÌÀ 9.1. ÿä

ãäà ñõîäÿòñÿ ðÿäû

⊳ Ïóñòü ðÿä

∞ P

k=1

∞ P

k=1

∞ P

− |xk | = x+ k + xk .

xk àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ òî÷íî òîãäà, êî-

k=1

x+ k è

∞ P

k=1

x− k.

xk àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Ïîñêîëüêó |xk | ≥ x+ k è

|xk | ≥ x− k , òî îòñþäà â ñèëó ïåðâîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ñëåäóåò ∞ ∞ P P + xk è x− ñõîäèìîñòü ðÿäîâ k. k=1

k=1


2.9

64

Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû

Åñëè æå ñõîäÿòñÿ ðÿäû

∞ P

k=1

x+ k

è

∞ P

k=1

+ x− k , òî â ñèëó ðàâåíñòâà xk +

x− k = |xk | è ñâîéñòâ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ îòñþäà ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ ∞ P ñõîäèìîñòü ðÿäà xk . ⊲ k=1

ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 9.1.Àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ñõîäèòñÿ. ∞ P xk ñëåäó⊳ Â ñèëó òåîðåìû 9.1 èç àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà

åò ñõîäèìîñòü ðÿäîâ

∞ P

k=1

x+ k è

∞ P

k=1

k=1

+ − x− k . Â ñèëó ðàâåíñòâà xk −xk = xk è

ñâîéñòâ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ îòñþäà âûòåêàåò ñõîäèìîñòü ñàìîãî ðÿäà. ⊲ Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî, ÷òî ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ÏÈÌÅ 9.1. àññìîòðèì ðÿä ∞ X (−1)k+1 k=1

k

=1−

1 1 + − .... 2 3

Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ â ñèëó ïðèçíàêà Ëåéáíèöà. Îäíàêî àáñîëþòíî ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó

X

(−1)k+1

= 1 + 1 + 1 + ....

k 2 3 k=1

ÒÅÎÅÌÀ 9.2 (òåîðåìà Êîøè îá àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäàõ). ∞ ∞ P P xk àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Òîãäà ðÿä yk , ñîñòàâÏóñòü ðÿä k=1

k=1

ëåííûé èç òåõ æå ÷ëåíîâ, íî âçÿòûõ â äðóãîì ïîðÿäêå, òàêæå àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ è èìååò òó æå ñóììó. ∞ P ⊳ Äëÿ ðÿäà yk ââåäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yk+ } è {yk− } àíàk=1

− ëîãè÷íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì {x+ k } è {xk }. Ïîêàæåì, ÷òî ∞ P

k=1

yk+ . (àâåíñòâî

∞ P

k=1

x− k =

∞ P

k=1

∞ P

k=1

x+ k =

yk− äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî).

àññìîòðèì ÷àñòè÷íóþ ñóììó Yn+ = y1+ +· · ·+yn+ . ×ëåíû y1+ , . . . , yn+ ∞ P x+ íàõîäÿòñÿ â ðÿäå k ïîä íîìåðàìè k1 , . . . , kn . Ïóñòü N  íàèáîëük=1

+ + = x+ øèé ñðåäè íèõ è XN 1 + · · · + xN  ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòè÷íàÿ


2.10

65

Óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû

ñóììà. Î÷åâèäíî,

Yn+

XN+

+

≤X =

∞ X

x+ k.

k=1

Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà

∞ P

k=1

yk+ îãðàíè÷åíû è â

ñèëó êðèòåðèÿ Âåéåðøòðàññà äëÿ ðÿäîâ ñóùåñòâóåò ñóììà

Y

+

=

∞ X

yk+ .

k=1

Ïîíÿòíî, ÷òî Y + ≤ X + . Ïîìåíÿâ ìåñòàìè ðÿäû

∞ P

k=1

x+ k è

∞ P

k=1 +

yk+ è,

ïîâòîðèâ ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷èì X ≤ Y . Ñòàëî áûòü, X = Y + . Òåïåðü â ñèëó òåîðåìû 9.1 è ñâîéñòâ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ èìååì +

∞ X k=1

+

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X X X − + − + − + yk . ⊲ yk = yk − xk = xk − (xk −xk ) = xk =

2.10

k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

Óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû

ÿä íàçûâàåòñÿ óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè îí ñõîäèòñÿ, íî íå àáñîëþòíî. Êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð 9.1, óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñóùåñòâóþò. ÒÅÎÅÌÀ 10.1 (òåîðåìà èìàíà1 îá óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäàõ). ∞ P Ïóñòü ðÿä xk ñõîäèòñÿ óñëîâíî. Òîãäà, êàêîâî áû íè áûëî S k=1

(−∞ ≤ S ≤ +∞), ïóòåì ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíîâ ðÿäà ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû ñóììà ðÿäà áûëà ðàâíà S . ⊳ Îòìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî äëÿ óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ ∞ X k=1

x+ k

= +∞ è

∞ X

x− k = +∞.

k=1

Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû 9.1 õîòÿ áû îäèí èç ýòèõ ðÿäîâ ðàñ1 åîðã

Ôðèäðèõ Áåðíãàðä èìàí (1826-1866)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê. Îñíîâíûå èññëåäîâàíèÿ îòíîñÿòñÿ ê òåîðèè óíêöèé, ãåîìåòðèè, ìàòåìàòè÷åñêîé è òåîðåòè÷åñêîé èçèêå.


2.10

66

Óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû

õîäèòñÿ. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè

∞ P

k=1 n X

x− k

=

n X

x+ k

n X

xk ,

k=1

k=1

k=1

+

x+ k = +∞. Ïîñêîëüêó

òî, ïåðåõîäÿ â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷èì ∞ P x− k = +∞. k=1

Êðîìå òîãî îòìåòèì åùå, ÷òî â ñèëó íåîáõîäèìîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè xk → 0 ïðè k → ∞. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x+ k → 0 ïðè k → ∞. Ïóñòü òåïåðü S ∈ R. Ïîäáåðåì íàòóðàëüíûå ÷èñëà n1 < n2 < . . . , n′1 < n′2 < . . . êàê íàèìåíüøèå ÷èñëà, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

Sn 1 =

n1 X

x+ k > S,

k=1

Sn2 = Sn′1 +

n2 X

(10.1) Sn′1 = Sn1 −

n1 X

x− k <S

(10.2),

k=1

x+ k > S,

k=n1 +1

n2 X

(10.3) Sn′2 = Sn2 −

x− k <S

(10.4), . . .

k=n′1 +1

Âîçìîæíîñòü ïîäîáðàòü òàêèå ÷èñëà nk è n′k ñëåäóåò èç ðàñõîäèìî∞ ∞ P P + xk è x− ñòè ðÿäîâ k. k=1

k=1

Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä n1 X k=1

x+ k

n1 X k=1

x− k

+

n2 X

k=n1 +1

x+ k

n2 X

k=n′1 +1

x− k

+ ··· =

∞ X

yk

k=1

ñõîäèòñÿ ê S . àññìîòðèì ñíà÷àëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì {Snk }. Ïî ïîñòðîåíèþ

|S − Snk | = Snk − S ≤ x+ nk . + Ïîñêîëüêó x+ k → 0 ïðè k → ∞, òî è xnk → 0 ïðè k → ∞. Îòñþäà Snk → S . Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî Sn′k → S . àññìîòðèì òå∞ P yk . Ïî ïîñòðîåíèþ ïåðü ïðîèçâîëüíóþ ÷àñòè÷íóþ ñóììó Sn ðÿäà k=1

äëÿ ëþáîãî n ∈ N ìîæíî ïîäîáðàòü òàêèå n′k è nk+1 , ëèáî nk è n′k ,


2.10

67

Óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû

÷òî Sn′k ≤ Sn ≤ Snk+1 , ëèáî Sn′k ≤ Sn ≤ Snk . Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû î äâóõ ìèëèöèîíåðàõ ñëåäóåò óòâåðæäåíèå. ×òîáû ïîëó÷èòü óòâåðæäåíèå òåîðåìû ïðè S = +∞, íàäî â íåðàâåíñòâàõ (10.1), (10.2), (10.3), (10.4) è ò. ä. âìåñòî S âçÿòü ÷èñëà 2, 1, 4, 3 è ò. ä. ñîîòâåòñòâåííî. ⊲ ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 10.1. Äîêàçàòü òåîðåìó 10.1 ïðè S = ±∞. ∞ P (−1)k+1 ñõîäèòñÿ ÏÈÌÅ 10.1. àíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðÿä k k=1

óñëîâíî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ñóììó ýòîãî ðÿäà è ïåðåñòàâèì åãî ÷ëåíû òàê, ÷òîáû îí èìåë ñóììó â äâà ðàçà ìåíüøóþ. Äëÿ ýòîãî ñãðóïïèðóåì ÷ëåíû ðÿäà ñëåäóþùèì îáðàçîì:       1 1 1 1 1 1 1 1 1− − − − − − + +···+ +... 2 4 3 6 8 2k − 1 4k − 2 4k

′ àññìîòðèì ÷àñòè÷íóþ ñóììó S3m íîâîãî ðÿäà   m  m  X X 1 1 1 1 1 1 1 ′ S3m = − − − = = S2m , 2k − 1 4k − 2 4k 2 2k − 1 2k 2 k=1

k=1

ãäå S2m  ÷àñòè÷íàÿ ñóììà èñõîäíîãî ðÿäà. Î÷åâèäíî, ′ lim S3m =

m→∞

1 1 lim S2m = S. 2 m→∞ 2

Êðîìå òîãî, ′ S3m−1 = S3m +

1 , 4m

Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî èìååì

′ ′ S3m−2 = S3m−1 +

1 . 4m − 2

1 ′ ′ ′ lim S3m = lim S3m−1 = lim S3m−2 = S. m→∞ m→∞ m→∞ 2


68

3

ÍÅÏÅÛÂÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ - Ýòî êòî æå òàêîé? - À ïî-òâîåìó, êòî ýòî? - Ïîíÿòèÿ íå èìåþ. Êòî ýòî? Ëüþèñ Êýðîëë "Àëèñà â Çàçåðêàëüå"

3.1

Ïðåäåë óíêöèè â òî÷êå è åãî ñâîéñòâà

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.1. Îòîáðàæåíèå f : X → R, ãäå X ⊂ R, íàçûâàåòñÿ óíêöèåé. Ìíîæåñòâî X = dom f íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ óíêöèè, à êàæäûé åãî ýëåìåíò áóäåì íàçûâàòü àðãóìåíòîì óíêöèè. Îáðàç ìíîæåñòâà X im f = f [X ] ⊂ R áóäåì íàçûâàòü îáëàñòüþ çíà÷åíèé óíêöèè f , à åãî ýëåìåíòû y = f (x) ∈ im f áóäåì íàçûâàòü çíà÷åíèÿìè óíêöèè f . ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.2. Òî÷êà y0 ∈ R íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì óíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 , åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} ⊂ dom f òàêîé, ÷òî lim xn = x0 è xn 6= x0 ∀n ∈ N, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n→∞

{f (xn)} ñõîäèòñÿ ê y0 (îïðåäåëåíèå ïî åéíå). Ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêîé ñèìâîëèêè ýòî îïðåäåëåíèå çàïèøåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå (y0 = lim f (x)) := (∀{xn} ⊂ dom f \ {x0} x→x0

(lim xn = x0

lim f (xn) = y0 )).

n→∞

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.3. Òî÷êà y0 ∈ R íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì óíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî èç íåðàâåíñòâà 0 < |x − x0 | < δ , x ∈ dom f , ñëåäóåò íåðàâåíñòâî |f (x) − y0 | < ε (îïðåäåëåíèå ïî Êîøè). Ïåðåâåäåì è ýòî îïðåäåëåíèå íà ÿçûê ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ:

(y0 = lim f (x)) := (∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f x→x0

(0 < |x − x0| < δ

|f (x) − y0| < ε)).

ÒÅÎÅÌÀ 1.1. Îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà óíêöèè ïî åéíå è ïî Êîøè ýêâèâàëåíòíû. ⊳ (ïðåäåë ïî åéíå) ⇒ (ïðåäåë ïî Êîøè). Äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî, òî åñòü äîïóñòèì, ÷òî ïðåäåë y0 óíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0


3.1

69

Ïðåäåë óíêöèè â òî÷êå è åãî ñâîéñòâà

ïî åéíå íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïî Êîøè. Ïîñëåäíåå â ëîãè÷åñêîé ñèìâîëèêå îçíà÷àåò:

∃ε ∀δ > 0 ∃x ∈ dom f

(0 < |x − x0| < δ

|f (x) − y0 | ≥ ε).

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {δn : δn = n−1 } íàéäåòñÿ ýëåìåíò xn ∈ dom f òàêîé, ÷òî

0 < |xn − x0| < δn è |f (xn) − y0 | ≥ ε. Ëåâûå íåðàâåíñòâà îçíà÷àþò, ÷òî ( lim xn = x0 )∧(xn 6= x0 ), à ïðàâîå n→∞

îçíà÷àåò, ÷òî lim f (xn) 6= y0 . Ïðîòèâîðå÷èå. n→∞

(ïðåäåë ïî Êîøè) ⇒ (ïðåäåë ïî åéíå). Âûáåðåì íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ⊂ dom f \ {x0} òàêóþ, ÷òî lim xn = x0 , è ïîn→∞

êàæåì, ÷òî lim f (xn) = y0 . Äëÿ äàííîãî δ > 0 ïîäáåðåì N ∈ N òàê, n→∞

÷òîáû 0 < |x − x0 | < δ ïðè n > N .  ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïî Êîøè îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî |f (xn) − y0 | < ε. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî lim f (xn) = y0 . n→∞ ⊲ àññìîòðèì ïðèìåðû. ÏÈÌÅ 1.1. àññìîòðèì óíêöèþ f (x) = |sgnx|. Åå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ dom f = R, îáëàñòü çíà÷åíèé im f = {0, 1}. Íàéäåì lim f (x).  ñèëó îïðåäåëåíèÿ åéíå äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x→0

{xn}, lim xn = 0 è xn 6= 0 ∀n ∈ N èìååì lim f (xn) = lim |sgnxn | = n→∞ n→∞ n→∞ lim 1 = 1.

n→∞

ÏÈÌÅ 1.2. àññìîòðèì óíêöèþ f (x) = x sin x−1 . Åå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ dom f = R \ {0}. Ïîêàæåì, ÷òî lim x sin x−1 = 0. Âîñx→0

ïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì Êîøè. Äëÿ çàäàííîãî ε > 0 âîçüìåì δ = ε, òîãäà èç íåðàâåíñòâà 0 < |x| < δ áóäåò ñëåäîâàòü íåðàâåíñòâî |f (x) − 0| = |x sin x−1| ≤ |x| < ε. ÏÈÌÅ 1.3. àññìîòðèì óíêöèþ f (x) = sin x−1 . Åå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ dom f = R \ {0} òà æå, ÷òî è ó óíêöèè â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Îäíàêî ïðåäåëà lim sin x−1 íå ñóùåñòâóåò. Âîñïîëüçóåìñÿ x→0

îïðåäåëåíèåì ïî åéíå. Âûáåðåì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè     1 2 ′ ′′ . è xn = xn = πn (4n + 1)π


3.1

70

Ïðåäåë óíêöèè â òî÷êå è åãî ñâîéñòâà

Ïîíÿòíî, ÷òî x′n 6= 0 è x′′n 6= 0, ïðè÷åì lim x′n = lim x′n = 0. Íî n→∞

n→∞

lim f (x′n) = lim sin πn = 0, lim f (x′′n) = lim sin(2n + 1/2)π = 1. n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ íåêîòîðûõ èãðàþùèõ îñîáåííî âàæíóþ ðîëü ñâîéñòâ ïðåäåëà óíêöèè â òî÷êå. Äëÿ ýòîãî íàïîìíèì ñòàðûå è ââåäåì íîâûå ïîíÿòèÿ. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.4. Îêðåñòíîñòüþ Ox òî÷êè x ∈ R íàçûâàåòñÿ ëþáîé èíòåðâàë I ⊂ R, ñîäåðæàùèé òî÷êó x; δ -îêðåñòíîñòüþ Oxδ òî÷êè x íàçûâàåòñÿ èíòåðâàë (x − δ, x + δ). Ïðîêîëîòîé îêðåñò•δ

íîñòüþ O x (ïðîêîëîòîé δ -îêðåñòíîñòüþ O x ) òî÷êè x íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé èíòåðâàë ñ âûáðîøåííîé òî÷êîé x. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëåíèå ïðåäåëà óíêöèè ïî Êîøè ìîæíî çàïèñàòü áîëåå êîìïàêòíî:

(y0 = lim f (x)) := x→x0

(∀ε > 0 ∃δ > 0 (x

•δ ∈Ox0

∩ dom f

f (x) ∈ Oyε0 )).

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.5. Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé, îãðàíè÷åííîé ñâåðõó, îãðàíè÷åííîé ñíèçó, åñëè íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî c ∈ R, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ dom f âûïîëíåíî ñîîòâåòñòâåííî |f (x)| < c, f (x) < c, f (x) > c.  ñëó÷àå, åñëè ïåðâîå, âòîðîå èëè òðåòüå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé âûïîëíåíî â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x, òî óíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ëîêàëüíî (èíàëüíî) îãðàíè÷åííîé, ëîêàëüíî (èíàëüíî) îãðàíè÷åííîé ñâåðõó, ëîêàëüíî (èíàëüíî) îãðàíè÷åííîé ñíèçó. ÑÂÎÉÑÒÂÀ ïðåäåëà óíêöèè â òî÷êå. •

(i) Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðåäåë y0 = lim f (x), Ox0 ⊂ dom f , òîãäà x→x0

óíêöèÿ ëîêàëüíî îãðàíè÷åíà. (ii) Ïóñòü ñóùåñòâóþò ïðåäåëû y1 = lim f (x), y2 = lim f (x). x→x0

x→x0

Òîãäà y1 = y2 . ⊳ (i) Ïî îïðåäåëåíèþ Êîøè ( lim f (x) = y0) := (∀ε > 0 ∃δ > x→x0

0 ∀x ∈ dom f (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − y0| < ε)). àñïèñàâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì •δ

•δ

•′

y0 − ε < f (x) < y0 + ε ∀x ∈Ox0 ∩ dom f ⊃Ox0 ∩ Ox0 =Ox0 .


3.2

71

Ïðåäåë, àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è íåðàâåíñòâà

•′

Îòêóäà |f (x)| < c ∀x ∈Ox0 , ãäå c = max{|y0 − ε|, |y0 + ε|}. (ii) Ïî îïðåäåëåíèþ åéíå èç ( lim f (x) = y1 ) ∧ ( lim f (x) = y2 ) x→x0

x→x0

ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn)}, ïðè÷åì ( lim f (xn) = y1 )∧( lim f (xn) = y2 ).  ñèëó ñâîéñòâà ïðåäåëà n→∞ n→∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè y1 = y2 . ⊲ 3.2

Ïðåäåë, àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è íåðàâåíñòâà

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1. Åñëè ó äâóõ óíêöèé y = f (x) è y = g(x) îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàþò dom f = dom g = X , òî èõ ñóììîé, ïðîèçâåäåíèåì è ÷àñòíûì íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî óíêöèè, îïðåäåëåííûå ñëåäóþùèìè îðìóëàìè:

(f + g)(x) := f (x) + g(x),

(f · g)(x) = f (x)g(x),

dom(f + g) = dom(f g) = X ,   f (x) f , dom (f g) = X \ {x ∈ X : (x) = g g(x)

g(x) = 0}.

ÒÅÎÅÌÀ 2.1. Ïóñòü y = f (x) è y = g(x)  äâå óíêöèè ñ îáùåé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ. Åñëè lim f (x) = y1 , à lim g(x) = y2 , x→x0 x→x0 òî (i) lim (f + g)(x) = y1 + y2 ; x→x0

(ii) lim (f g)(x) = y1 · y2 ; x→x0   (iii) lim fg (x) = yy12 , åñëè y2 6= 0. x→x0

⊳ Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ⊂ X = dom f = dom g òàêàÿ, ÷òî (xn 6= x0 ∀n ∈ N) ∧ ( lim xn = x0 ). Òîãäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ n→∞

åéíå ( lim f (xn) = y1 ) ∧ ( lim g(xn) = y2 ). Â ñèëó ñîîòâåòñòâóþùèõ n→∞ n→∞ ñâîéñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èìååì

lim (f (xn) + g(xn)) = y1 + y2 ,

n→∞

lim

n→∞



f (xn) g(xn )



=

y1 , y2

lim (f (xn)g(xn)) = y1 y2 ,

n→∞

åñëè y2 6= 0.

Îòñþäà ââèäó ïðîèçâîëà â âûáîðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} è îïðåäåëåíèÿ åéíå ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. ⊲


3.2

72

Ïðåäåë, àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è íåðàâåíñòâà

ÒÅÎÅÌÀ 2.2. (i) Ïóñòü y = f (x) è y = g(x)  äâå óíêöèè ñ îáùåé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ X . Åñëè lim f (x) = y1 < lim g(x) = x→x0

x→x0

•δ

y2 , òî íàéäåòñÿ ïðîêîëîòàÿ δ -îêðåñòíîñòü Ox0 òî÷êè x0 òàêàÿ, •δ

÷òî f (x) < g(x) ∀x ∈Ox0 ∩X . (ii) Ïóñòü óíêöèè y = f (x), y = g(x), y = h(x) ñ îáùåé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ X òàêîâû, ÷òî f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Åñëè lim f (x) = lim h(x) = y0 , òî lim g(x) = y0 . x→x0

x→x0

x→x0

⊳ (i) Âîçüìåì y ′ ∈ R òàêîå, ÷òî y1 < y ′ < y2. Ïî îïðåäåëåíèþ

Êîøè íàéäåì ïðîêîëîòûå δ -îêðåñòíîñòè ′

|f (x) − y1 | < y − y1 ∀x

• δ1 Ox0

• δ2 Ox0

è

• δ1 ∈Ox0

òàêèå, ÷òî

∩X ,

• δ2

|g(x) − y2 | < y2 − y ′ ∀x ∈Ox0 ∩X .

Òîãäà

∀x

•δ ∈Ox0

f (x) < (y ′ − y1 ) + y1 = y ′ = y2 − (y2 − y ′ ) < g(x).

∩X

Çäåñü δ = min{δ1 , δ2 }. (ii) Åñëè lim f (x) = lim h(x) = y0 , òî ∀ε > 0 íàéäóòñÿ ïðîêîëîx→x0

òûå δ -îêðåñòíîñòè

• δ1 Ox0

x→x0 • δ2 è Ox0

òî÷êè x0 òàêèå, ÷òî • δ1

y0 − ε < f (x) < y0 + ε ∀x ∈Ox0 ∩X , • δ2

y0 − ε < g(x) < y0 + ε ∀x ∈Ox0 ∩X . • δ1

• δ1

•δ

Òîãäà äëÿ âñåõ x ∈Ox0 ∩ O x0 ∩X :=Ox0 ∩X èìååì

y0 − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < y0 + ε, îòêóäà |g(x) − y0 | < ε, ÷òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ Êîøè çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. ⊲ ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 2.1. Ïóñòü lim f (x) = y1 è lim g(x) = y2 . Åñëè â x→x0

x→x0

íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè O x0 òî÷êè x0 âûïîëíåíî (i) f (x) ≥ g(x), òî y1 ≥ y2 ;


3.2

73

Ïðåäåë, àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è íåðàâåíñòâà

(ii) f (x) > g(x), òî y1 ≥ y2 ; (iii) f (x) ≥ c, c ∈ R, òî y1 ≥ c; (iv) f (x) > c, c ∈ R, òî y1 ≥ c. ⊳ àññóæäàÿ îò ïðîòèâíîãî, èç óòâåðæäåíèÿ (i) òåîðåìû 2.2 íåìåäëåííî ïîëó÷àåì (i) è (ii). Óòâåðæäåíèÿ (iii) è (iv) ïîëó÷àþòñÿ èç (i) è (ii) ïðè g(x) = c. ⊲ ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 2.2. Ïóñòü çàäàíû äâå óíêöèè y = g(x) è z = f (x), ïðè÷åì im g ⊂ dom f . Ôóíêöèþ z = f ◦ g(x), îïðåäåëåííóþ ïî îðìóëå f ◦ g(x) = f (g(x)), áóäåì íàçûâàòü êîìïîçèöèåé äâóõ óíêöèé. ÒÅÎÅÌÀ 2.3. Ïóñòü y = g(x), z = f (x)  äâå óíêöèè òàêèå, ÷òî im g ⊂ dom f . Ïóñòü, äàëåå, ñóùåñòâóþò lim g(x) = y0 è x→x0

lim f (y) = z0 . Åñëè

y→y0

/ dom f (i) y0 ∈ èëè (ii) f (y0 ) = z0 , òî lim f ◦ g(x) = z0 x→x0

/ dom f ⇒ y0 ∈ / im g . Ïóñòü {xn} ⊂ dom f  ïðîèçâîëüíàÿ ⊳ (i) y0 ∈ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêàÿ, ÷òî xn → x0 , xn 6= x0 ∀n ∈ N. Òîãäà g(xn) → y0 è g(xn) 6= y0 ∀n ∈ N. Ïîýòîìó f (g(xn)) → z0 .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî lim f ◦ g(x) = z0 . x→x0

(ii) Åñëè z0 = f (y0 ), òî ∀ε > 0 ∃δ ′ > 0 (y ∈ Oyδ0 ∩ dom f ⇒ f (y) ∈ Ozε0 ). (Çäåñü âèäíî, ÷òî âûñêàçûâàíèå èñòèííî íå òîëüêî äëÿ ïðîêîëîòûõ îêðåñòíîñòåé òî÷êè y0 ). Òàê êàê lim g(x) = y0 , òî äëÿ δ ′ ìîæíî ïîäîáðàòü δ > 0 òàêîå, ′

x→x0

÷òî x

•δ ∈Ox0

∩ dom g ⇒ g(x) ∈ Oyδ0 ∩ dom f , òàê êàê im g ⊂ dom f . ′

•δ ∈Ox0

∩ dom g , òî f (g(x)) ∈ Ozε0 . ⊲ Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî åñëè x ÇÀÌÅ×ÀÍÈß. Îãðàíè÷åíèÿ (i) è (ii) ñóùåñòâåííû â òåîðåìå 2.3.  ñàìîì äåëå, ïóñòü íàðóøàåòñÿ âòîðîå èç îãðàíè÷åíèé. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì f (y) = |sgny|, g(x) = x sin x−1 , x0 = y0 = 0. Ïîëó÷èì lim x sin x−1 = 0, lim |sgny| = 1. Îäíàêî ïðåäåë óíêöèè f ◦ g â

x→0

y→0

òî÷êå 0 íå ñóùåñòâóåò. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè


3.3

74

Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà óíêöèè

xn =

1 πn ,

3.3

Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà óíêöèè

x′n =

2 π(4n+1) .

Îïðåäåëåíèÿ ïî åéíå è ïî Êîøè ïðåäåëà óíêöèè â òî÷êå ÷åðåñ÷óð îãðàíè÷èòåëüíû, òàê êàê íå îõâàòûâàþò âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ñèòóàöèé. Ïîýòîìó ââåäåì ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.1. (i) ( lim f (x) = y0 ) := (∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f (x > δ ⇒ x→+∞ ∈ Oyε0 ));

f (x) (i') ( lim f (x) = y0 ) := (∀{xn} ⊂ dom f ( lim xn = +∞ ⇒ x→+∞

n→∞

lim f (xn) = y0 ));

n→∞

(ii) ( lim f (x) = y0 ) := (∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f (x < −δ ⇒ x→−∞ Oyε0 ));

f (x) ∈ (ii') ( lim f (x) = y0 ) := (∀{xn } ⊂ dom f ( lim xn = −∞ ⇒ x→−∞

n→∞

lim f (xn) = y0 ));

n→∞

(iii) ( lim f (x) = y0 ) := (∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f (|x| > δ ⇒ x→∞

f (x) ∈ Oyε0 )); (iii') ( lim f (x) = y0 ) := (∀{xn} ⊂ dom f ( lim xn = ∞ ⇒ lim f (xn) = x→∞

n→∞

n→∞

y0 )). ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ. Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü (i) è (i'), (ii) è (ii'), (iii) è (iii') â ïðåäûäóùåì îïðåäåëåíèè. Èññëåäîâàòü ñâÿçü ââåäåííûõ â ýòîì îïðåäåëåíèè ïîíÿòèé ñ àðèìåòè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè è íåðàâåíñòâàìè. Äîêàçàòü àíàëîã òåîðåìû î ïðåäåëå êîìïîçèöèè äâóõ óíêöèé (òåîðåìà 3). ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.2. Ïðîêîëîòîé δ -îêðåñòíîñòüþ ±∞ è ∞ íàçîâåì ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâà •δ

•δ O+∞ =

{x ∈ R : x > δ},

•δ O−∞=

{x ∈ R : x < −δ}, O∞ = {x ∈ R : |x| > δ}. Òåïåðü ó íàñ âñå ãîòîâî äëÿ èçó÷åíèÿ êðèòåðèÿ Êîøè. Èçó÷åíèå íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ óñëîâèÿ Êîøè: ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.3. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óíêöèÿ y = f (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Êîøè ïðè x → x0 (x0 ∈ R èëè x0 = ±∞, ∞),


3.3

75

Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà óíêöèè

åñëè •δ

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x′ , x′′ ∈ dom f ∩ Ox0 ⇒ (|f (x′) − f (x′′)| < ε).

ÒÅÎÅÌÀ 3.1 (êðèòåðèé Êîøè). Ïóñòü x0 ∈ R, ëèáî x0 = ±∞, ∞. Ïðåäåë lim f (x) ñóùåñòâóåò òî÷íî òîãäà, êîãäà óíêöèÿ x→x0

y = f (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Êîøè ïðè x → x0. ⊳ Ïóñòü ñóùåñòâóåò lim f (x). Òîãäà x→x0

•δ

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x′ , x′′ ∈ dom f ∩ Ox0

(|f (x′) − y0 | < ε/2) ∧ (|f (x′′) − y0 | < ε/2).

Îòñþäà |f (x′) − f (x′′)| ≤ |f (x′) − y0 | + |f (x′′) − y0 | < ε/2 + ε/2 = ε, òî åñòü óñëîâèå Êîøè âûïîëíåíî. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî èç óñëîâèÿ Êîøè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà. Ïóñòü •δ

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x′ , x′′ ∈ dom f ∩ Ox0

(|f (x′) − f (x′′)| < ε).

àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ⊂ dom f òàêóþ, ÷òî xn 6= x0 ∀n ∈ N è lim xn = x0 , è äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (xn)} n→∞ ñõîäèòñÿ. Â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç òîãî, ÷òî •δ

lim xn = x0 , ñëåäóåò (∀δ > 0 ∃N ∈ N ∀n, m > N (xn, xm ∈Ox0 )). n→∞ Ñòàëî áûòü, â ñèëó óñëîâèÿ Êîøè äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ìû íàøëè N ∈ N òàêîå, ÷òî ïðè ëþáûõ n, m > N |f (xn) − f (xm)| < ε. Ýòî çíà÷èò, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim f (xn) = y0 . n→∞ Ïîêàæåì, ÷òî âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, âûáðàííûå óêàçàííûì ñïîñîáîì, ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëó. àññìîòðèì äëÿ ýòîãî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f (x′n)}, ãäå {x′n} ⊂ dom f \ {x0 }, lim xn = x0 . n→∞

Òîãäà â ñèëó óñëîâèÿ Êîøè èìååì, ÷òî ïðè n > N |f (xn) − f (x′n)| < 1/N (åñëè áðàòü ε = 1/N ). Îòêóäà f (xn) − 1/N < f (x′n) < f (xn) + 1/N . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè N → ∞ ïîëó÷èì òðåáóåìîå. ⊲ Êðèòåðèé Êîøè â òîì âèäå, â êîòîðîì ìû åãî äîêàçàëè, î÷åíü íåóäîáíî ïðèìåíÿòü íà ïðàêòèêå. ×òîáû ñîðìóëèðîâàòü åãî â áîëåå óäîáíîì âèäå äàäèì


3.4

76

Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ýêâèâàëåíòíûå óíêöèè

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.4. Êîëåáàíèåì óíêöèè f : X → R íà ìíîæåñòâå X ⊂ R íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà ω(f, X ) = sup |f (x′) − f (x′′)|. x′ ,x′′ ∈X

ÏÈÌÅÛ 1. ω(sgnx, [−1, 2]) = 2; 2. ω(|sgnx|, [−1, 2]) = 1; •δ

3. ω(|sgnx|, O 0 ) = 0. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå êîëåáàíèÿ óíêöèè äàäèì èíóþ çàïèñü êðèòåðèÿ Êîøè:

(∃ lim f (x)) ⇔ (∀ε > 0 ∃δ > 0 x→x0

3.4

•δ (ω(f, Ox0 )

< ε)).

Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ýêâèâàëåíòíûå óíêöèè

Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê äîêàçàòåëüñòâó ïåðâîãî çàìå÷àòåëüíîãî ïðåäåëà sin x lim = 1, x→0 x íàïîìíèì îäíî èç ñâîéñòâ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óíêöèé, ïîëîæåííûõ íàìè âî Ââåäåíèè â îñíîâó èõ îïðåäåëåíèÿ. Èìåííî,

∀x ∈ (0, π/2) 0 < sin x < x <

sin x . cos x

(4.1)

Ïîñðåäñòâîì ýòîãî ñâîéñòâà äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ËÅÌÌÀ 4.1. Äëÿ ëþáîãî x0 ∈ R ( lim sin x = sin x0 ∧ lim cos x = x→x0

x→x0

cos x0). ⊳ Äîêàæåì ñíà÷àëà ðàâåíñòâî lim sin x = sin x0 . Ïðåæäå çàìåx→x0

òèì, ÷òî | sin x| ≤ |x| ∀x ∈ R. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó (4.1) ïðè x ∈ (0, π/2) èìååì 0 < sin x < x, à ïðè x ∈ (−π/2, 0) èìååì ââèäó íå÷åòíîñòü óíêöèè sin x 0 < sin(−x) < −x. Îòñþäà | sin x| ≤ |x|, åñëè |x| ≤ π/2. Åñëè æå |x| ≥ π/2, òî íåðàâåíñòâî |x| ≥ | sin x| ñïðàâåäëèâî â ñèëó òîãî, ÷òî | sin x| ≤ 1 < π/2 ≤ |x|. Òåïåðü, åñëè x0 = 0, òî lim sin x = 0, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîé ïîñëåx→0

äîâàòåëüíîñòè {xn } ⊂ R \ {0}, lim xn = 0 èìååì |xn | ≥ | sin xn | ≥ 0. n→∞

 ñèëó òåîðåìû î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è íåðàâåíñòâàõ ïîëó÷àåì lim | sin xn | = lim sin xn = 0. n→∞

n→∞


3.4

Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ýêâèâàëåíòíûå óíêöèè

77

Âîçüìåì òåïåðü ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî x0 ∈ R. Òîãäà äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} ⊂ R \ {x0 }, lim xn = x0 , ïîëó÷èì n→∞

x + x x − x n 0 n 0

≤ |xn − x0 |. sin | sin xn − sin x0 | = 2

cos 2 2

Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäûäóùèìè ðàññóæäåíèÿìè ïîëó÷èì òðåáóåìîå Äîêàæåì, ÷òî lim cos x = cos x0 . Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî â ñèëó x→x0

òåîðåìû î ïðåäåëå êîìïîçèöèè äâóõ óíêöèé

lim cos x = lim sin(π/2 − x) = x→x0

x→x0

= (π/2 − x = y, =

lim

y→π/2−x0

x → x0 ⇒ y → π/2 − x0 ) =

sin y = sin(π/2 − x0) = cos x0. ⊲

Ïåðåéäåì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó ïåðâîãî çàìå÷àòåëüíîãî ïðåäåëà. sin x ⊳  ñèëó (4.1) èìååì ∀x ∈ (0, π/2) 0 < sin x < x < cos x , îòêóäà 1 < sinx x < cos1 x . Äðóãèìè ñëîâàìè, cos x < sinx x < 1. Îòìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî è ïðè ∀x ∈ (−π/2, 0) â ñèëó ÷åòíîñòè óíêöèè cos x è íå÷åòíîñòè óíêöèè sin x. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè x → 0 â ñèëó ëåììû è òåîðåìû î ïðåäåëå óíêöèè è íåðàâåíñòâàõ ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. ⊲ Òåïåðü äîêàæåì âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë

lim(1 + x)1/x = e.

x→0

⊳ Íàïîìíèì, ÷òî e = lim(1 + 1/n)n. Â ñèëó ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû î âåðõíåì è íèæíåì ïðåäåëàõ èìååì ∀{nk } ⊂ {n} ( lim (1 + 1/nk )nk = e). k→∞

Ôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } òàêóþ, ÷òî (xk > 0) ∧ ( lim xk = 0). àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü k→∞

{nk = [1/xk ]}. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {n}, ïðè÷åì nk +1 > 1/xk ≥ nk , îòêóäà èìååì n1k ≥ xk > nk1+1 . Ïîýòîìó  nk +1 n k  1 1 1/xk . (4.2) < 1+ ≤ (1 + xk ) 1+ nk + 1 nk


3.4

78

Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ýêâèâàëåíòíûå óíêöèè

Êðîìå òîãî,  n k nk +1  −1  1 1 1 lim 1 + = e. = lim 1 + 1+ k→∞ k→∞ nk + 1 nk + 1 nk + 1 n +1 n k     1 1 1 k = lim 1 + 1+ = e. lim 1 + k→∞ k→∞ nk nk nk

 ñèëó (4.2) è òåîðåìû î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå è íåðàâåíñòâàõ ïîëó÷àåì lim (1 + xk )1/xk = e. k→∞

Òåïåðü ïóñòü (xk < 0) ∧ ( lim xk = 0). Ïîëîæèì yk = −xk . Òîãäà k→∞

lim yk = 0, íî yk > 0. Äàëåå,

k→∞

lim (1 + xk )

1/xk

k→∞



= lim (1 − yk ) k→∞

yk = zk > 0, 1 − yk Ïîýòîìó

−1/yk

= lim

k→∞

yk → 0 ⇒ zk → 0





yk 1+ 1 − yk

1/yk

=

= lim (1 + zk )1/zk +1 . k→∞

lim (1 + xk )1/xk = lim (1 + zk )1/zk (1 + zk ) = e

k→∞

k→∞

â ñèëó óæå äîêàçàííîãî. Àïåëëÿöèÿ ê îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà óíêöèè ïî åéíå çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. ⊲ Îò îáîèõ çàìå÷àòåëüíûõ ïðåäåëîâ ñàìèõ ïî ñåáå ìàëî ïðîêó. Èõ âîçìîæíîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ äðóãèõ ïðåäåëîâ çíà÷èòåëüíî ðàñøèðÿåò ñëåäóþùåå ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.1. Äâå óíêöèè y = f (x) è y = g(x) íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ïðè x → x0 (f ∼ g ïðè x → x0 ), åñëè •

∀x ∈Ox0 f (x) = α(x)g(x), ïðè÷åì lim α(x) = 1. x→x0

Ïîêàæåì, ÷òî ìû äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëèëè ýêâèâàëåíòíîñòü, òî åñòü (i) f ∼ f ïðè x → x0 ; (ii) åñëè f ∼ g ïðè x → x0 , òî g ∼ f ïðè x → x0 ; (iii) åñëè (f ∼ g) ∧ (g ∼ h) ïðè x → x0 , òî f ∼ h ïðè x → x0 . ⊳ (i) Î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó f (x) = α(x)f (x), ãäå α(x) = 1.


3.4

79

Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû è ýêâèâàëåíòíûå óíêöèè

(ii) Ïóñòü f ∼ g ïðè x → x0 , òî åñòü f (x) = α(x)g(x), ãäå •

lim α(x) = 1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Ox0 , ãäå

x→x0

α(x) 6= 0.  ýòîé îêðåñòíîñòè èìååì g(x) = β(x)f (x), ãäå β(x) = 1/α(x), ïðè÷åì lim β(x) = lim 1/α(x) = 1, òî åñòü g ∼ f ïðè x→x0 x→x0 x → x0 . (iii) Ïóñòü (f ∼ g) ∧ (g ∼ h) ïðè x → x0 , òî åñòü f (x) = α(x)g(x), g(x) = β(x)h(x), ïðè÷åì lim α(x) = lim β(x) = 1. Ïîýòîìó f (x) = x→x0

x→x0

γ(x)h(x), ãäå γ(x) = α(x)β(x), lim γ(x) = 1, òî åñòü f ∼ h ïðè x→x0 x → x0 . ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 4.1. x ∼ sin x ∼ arcsin x ∼ tgx ∼ ln(1 + x) ∼ ex − 1 ∼ α−1 ((1 + x)α − 1) ïðè x → 0, α ∈ R \ {0}. ⊳ Òî, ÷òî x ∼ sin x ïðè x → x0 , ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç ïåðâîãî çàìå÷àòåëüíîãî ïðåäåëà. Äîêàæåì îñòàëüíîå. x ∼ arcsin x ïðè x → 0 :

arcsin x = (arcsin x = y, x→0 x lim

x = sin y,

(x → 0) ⇒ (y → 0)) =

y = 1. y→0 sin y x ∼ tgx ïðè x → 0 : sin x 1 tgx = lim · = 1. lim x→0 x x→0 x cos x x ∼ ln(1 + x) ïðè x → 0 :   ln(1 + x) 1/x 1/x = ln e = 1. = lim ln(1 + x) = ln lim(1 + x) lim x→0 x→0 x→0 x (Çäåñü âî âòîðîì ðàâåíñòâå ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì íåïðåðûâíîñòè ëîãàðèìè÷åñêîé óíêöèè = lim

lim ln x = ln lim = ln x0, x→x0

x→x0

x0 > 0).

x ∼ ex − 1 ïðè x → 0 : ex − 1 = (ex = 1 + y, lim x→0 x

x = ln(1 + y),

(x → 0) ⇒ (y → 0)) =


3.5

Ñèìâîëû Ëàíäàó

o

è

80

O

y =1 y→0 ln(1 + y)

= lim â ñèëó äîêàçàííîãî âûøå.

(1 + x)α ∼ 1 + αx ïðè x → 0 :

eα ln(1+x) − 1 ln(1 + x) (1 + x)α − 1 = lim · =1 lim x→0 α ln(1 + x) x→0 αx x â ñèëó äîêàçàííîãî âûøå. ⊲ Ïîíÿòèå ýêâèâàëåíòíîñòè óíêöèé âåñüìà ïîëåçíî ïðè âû÷èñëåíèè ïðåäåëîâ. ÒÅÎÅÌÀ 4.2.Åñëè f ∼ f1 è g ∼ g1 ïðè x → x0 , òî f (x) f1(x) = lim x→x0 g(x) x→x0 g1 (x) lim

(4.3)

ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ õîòÿ áû îäíîãî èç ýòèõ ïðåäåëîâ. ⊳ Ïîñêîëüêó (f ∼ f1 ) ∧ (g ∼ g1 ) ïðè x → x0 , òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ f (x) = α(x)f1(x) è g(x) = β(x)g1(x) â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , ïðè÷åì lim α(x) = lim β(x) = 1. Äîïóñòèì, x→x0

x→x0

÷òî ñóùåñòâóåò ïðàâûé ïðåäåë â (4.3). Òîãäà çàìåòèì, ÷òî ñóùå•

ñòâóåò íåêîòîðàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü Ox0 , â êîòîðîé g1 (x) 6= 0 è β(x) 6= 0. Â ýòîé îêðåñòíîñòè îïðåäåëåíà óíêöèÿ

f (x) α(x) f1(x) = · , g(x) β(x) g1(x)

ïðè÷åì

α(x) = 1. x→x0 β(x) lim

Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû î ïðåäåëå óíêöèè è àðèìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ ñëåäóåò òðåáóåìîå. ⊲ 3.5

Ñèìâîëû Ëàíäàó

o

è

O

Ïîíÿòèå ýêâèâàëåíòíûõ óíêöèé ÷ðåçâû÷àéíî ïîëåçíî ïðè âû÷èñëåíèè ïðåäåëîâ, îäíàêî íå îõâàòûâàåò âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ âîçìîæíûõ ñèòóàöèé. ×òîáû ðàñøèðèòü íàøè âîçìîæíîñòè, ââåäåì ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 5.1. Ïóñòü x0 ∈ R èëè x0 = ±∞, x0 = ∞. Òîãäà   ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f    •δ •ε  (x ∈Ox0 ⇒ f (x) ∈O∞ ); (i)( lim f (x) = ∞) := x→x0  ∀{xn } ⊂ dom f \ {x0}     ( lim xn = x0 ⇒ lim f (xn) = ∞); n→∞

n→∞


3.5

Ñèìâîëû Ëàíäàó

o

è

81

O

  ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f    •ε •δ  (x ∈Ox0 ⇒ f (x) ∈O±∞ ); (ii)( lim f (x) = ±∞) := x→x0  ∀{xn } ⊂ dom f \ {x0}     ( lim xn = x0 ⇒ lim f (xn) = ±∞). n→∞

n→∞

ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 5.1. Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé áåñêîíå÷íîãî ïðåäåëà ïî Êîøè è ïî åéíå. Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ ñèìâîëîâ Ëàíäàó 1. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 5.2. Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè x → x0 , åñëè lim f (x) = 0. Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòx→x0

ñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ óíêöèåé y = g(x) ïðè x → x0 , åñëè f (x) = α(x)g(x), ãäå α(x)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → x0 . Îáîçíà÷àåòñÿ ýòî ñëåäóþùèì îáðàçîì: f ∼ o(g) (÷èòàåòñÿ "î ìàëîå") ïðè x → x0 . Åñëè f ∼ o(g) è g(x)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → x0 , òî f áóäåì íàçûâàòü áåñêîíå÷íî ìàëîé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ñðàâíåíèþ ñ g ïðè x → x0 . ÏÈÌÅ 5.1. x2 ∼ o(x) ïðè x → 0, òàê êàê x2 = x · x. ÏÈÌÅ 5.2. x ∼ o(x2 ) ïðè x → ∞, òàê êàê x = 1/x · x2 ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ x. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 5.3. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óíêöèÿ y = f (x) îãðàíè÷åíà ïî ñðàâíåíèþ ñ óíêöèåé y = g(x) ïðè x → x0 (îáîçíà•

÷àåòñÿ f = O(g), ÷èòàåòñÿ "î áîëüøîå îò g "), åñëè ∃ O x0 ∃c > 0 •

∀x ∈Ox0 (|f (x)| ≤ c|g(x)|). ÏÈÌÅ 5.3. 1/x = O(1/x2) ïðè x → 0, òàê êàê |1/x| ≤ 1/x2 ïðè |x| ≤ 1. ÏÈÌÅ 5.4. 1/x2 = O(1/x) ïðè x → ∞, òàê êàê 1/x2 ≤ |1/x| ïðè |x| ≥ 1. Óñòàíîâèì ñâîéñòâà o è O . ÒÅÎÅÌÀ 5.1.Ïóñòü c ∈ R \ {0}, òîãäà ïðè x → x0 (i) o1 (cf ) = co2 (f ) = o(f ), O1 (cf ) = cO2 (f ) = O(f ); (ii) o1 (f ) + o2 (f ) = o(f ), O1 (f ) + O2 (f ) = O(f ), o(f ) + O1 (f ) = O(f ); (iii) o1 (o2 (f )) = o(f ), o1 (O(f )) = o(f ), O(o1(f )) = o(f ), O1 (O2 (f )) = O(f ); 1 Ýäìóíä

åîðã åðìàí Ëàíäàó (1877-1938)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, îäèí èç òâîðöîâ ñîâðåìåííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.


3.6

82

Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû

(iv) åñëè g(x) 6= 0 ∀x ∈O x0 , òî     o1(f ) f f O1(f ) =o =O , . g g g g

⊳ (i) o1 (cf ) = α(x)(c · f (x)) = cα(x) · f (x) = (c · α(x)) · f (x) = o(f ), ãäå α(x), c · α(x)  áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðè x → x0 . Âñå íåäîêàçàííûå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 5.1 ïðåäëàãàþòñÿ â êà÷åñòâå ÓÏÀÆÍÅÍÈß. ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 5.2 (êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè óíêöèé). f ∼ g ïðè x → x0) ⇔ (f (x) = g(x) + o(g) ïðè x → x0). ⊳ Ïóñòü f (x) = α(x)g(x) ïðè x → x0, ãäå lim α(x) = 1. Òîãäà x→x0

f (x) − g(x) = g(x)(α(x) − 1) = β(x)g(x), ãäå lim β(x) = 0. x→x0

Òåïåðü äîêàæåì óòâåðæäåíèå â îáðàòíóþ ñòîðîíó. Ïóñòü f (x) = g(x)+α(x)g(x), ãäå lim α(x) = 0. Ñòàëî áûòü, f (x) = (1+α(x))g(x) = x→x0

β(x)g(x), ãäå lim β(x) = 1. ⊲ x→x0

 ñèëó äîêàçàííîé òåîðåìû è òåîðåìû 4.1 ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùóþ òàáëèöó:  x  sin x = x + o(x),  e − 1 = x + o(x),  x→0 ln(1 + x) = x + o(x), tgx = x + o(x),   (1 + x)α = 1 + αx + o(x). arcsin x = x + o(x), 3.6

Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 6.1. Èíòåðâàë âèäà (x0 , x0 + δ) ((x0 − δ, x0 )) íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ëåâîé ) ïðîêîëîòîé δ -îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 (x0 ∈ R) è îáîçíà÷àåòñÿ r

•δ

r

•δ Ox0

(

l

•δ Ox0 ).

Ox0 = {x ∈ R : x0 < x < x0 +δ},

l

Äðóãèìè ñëîâàìè

•δ

Ox0 = {x ∈ R : x0 − δ < x < x0}.

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 6.2. Ïóñòü x0 ∈ R. Ïðàâûì ïðåäåëîì óíêöèè


3.6

83

Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû

y = f (x) ïðè x → x0 íàçûâàåòñÿ         ( lim f (x) = f (x0 + 0)) := x→x0 +       

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f •ε

•δ

(x ∈ r Ox0 ⇒ f (x) ∈Of (x0 +0) ); ∀{xn } ⊂ dom f ((xn > x0 ∧ lim xn = x0) n→∞

⇒ ( lim f (xn) = f (x0 + 0))). n→∞

Ëåâûì ïðåäåëîì óíêöèè y = f (x) ïðè x → x0 íàçîâåì  ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ dom f    •ε •δ   l  ⇒ f (x) ∈ (x ∈ O O  f (x0 −0) ); x0 ∀{xn } ⊂ dom f ( lim f (x) = f (x0 − 0)) := x→x0 −   ((xn < x0 ∧ lim xn = x0)   n→∞    ⇒ ( lim f (x ) = f (x − 0))). n→∞

n

0

 äàííîì îïðåäåëåíèè âåëè÷èíû f (x0 + 0) è f (x0 − 0) ìîãóò áûòü ëèáî äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè, ëèáî ñèìâîëàìè ∞ è ±∞. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 6.1. Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé ïî

åéíå è ïî Êîøè îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 6.2. Ñîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìû î ñâÿçè ïîíÿòèÿ îäíîñòîðîííåãî ïðåäåëà ñ àðèìåòè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè è ñ íåðàâåíñòâàìè. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 6.3. Ñîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîñòîðîííåãî ïðåäåëà óíêöèè â òî÷êå è íà áåñêîíå÷íîñòè. ÏÈÌÅ 6.1. Ìû óæå ïîêàçûâàëè, ÷òî óíêöèÿ y = sgnx â òî÷êå íóëü íå èìååò ïðåäåëà. Îäíàêî ëåâûé è ïðàâûé ïðåäåëû ó ýòîé óíêöèè â òî÷êå íóëü ñóùåñòâóþò. Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ

åéíå âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêóþ, ÷òî xn → 0 ïðè n → ∞, òîãäà lim sgnx = lim sgnxn = 1, òàê êàê xn > 0, x→0+

n→∞

lim sgnx = lim sgnxn = −1,

x→0−

n→∞

òàê êàê xn < 0.

ÏÈÌÅ 6.2. Ôóíêöèÿ Äèðèõëå  1 ïðè x ∈ Q, D(x) = 0 ïðè x ∈ R \ Q


3.6

84

Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû

íå èìååò íè ëåâîãî, íè ïðàâîãî ïðåäåëîâ íè â îäíîé òî÷êå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè (xn > x0 ) ∧ (xn ∈ Q) ∧ ( lim xn = x0 ),

lim D(xn ) = 1,

n→∞

lim D(x′n) = 0,

n→∞

n→∞

åñëè (x′n > x0 ) ∧ (xn ∈ R \ Q) ∧ ( lim xn = x0 ). n→∞

Ïîýòîìó lim D(x) íå ñóùåñòâóåò. Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî x→x0 +

íå ñóùåñòâóåò lim D(x). x→x0 −

ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ. Åñëè x0 = ∞, òî íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî

lim f (x) = lim f (x),

x→x0 −

x→+∞

à

lim f (x) = lim f (x).

x→x0 +

x→−∞

ÒÅÎÅÌÀ 6.1 (êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà óíêöèè). Ïóñòü x0 ∈ R èëè x0 = ∞, à y0 ∈ R èëè y0 = ∞, ±∞. Òîãäà

( lim f (x) = y0 ) ⇔ ( lim f (x) = y0 ) ∧ ( lim f (x) = y0 ). x→x0 −

x→x0

x→x0 +

⊳ Âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèÿìè åéíå. Ïóñòü {xn} ⊂ dom f \ {x0}. àçîáüåì åå íà äâå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } = {x′n}∪{x′′n}, ãäå x′n > x0 , à x′′n < x0 . Î÷åâèäíî, ( lim xn = x0) ⇔ ( lim x′n = x0) ∧ ( lim x′′n = x0). n→∞

n→∞

n→∞

Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. ⊲ Äîêàçàííàÿ òåîðåìà è ïðèâåäåííûå âûøå ïðèìåðû íå ïîçâîëÿþò íàäåÿòüñÿ íà ñóùåñòâîâàíèå ëåâîãî è ïðàâîãî ïðåäåëîâ ó ïðîèçâîëüíî âçÿòîé óíêöèè. Îäíàêî ñóùåñòâóåò äîâîëüíî îáøèðíûé êëàññ óíêöèé, äëÿ êîòîðûõ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ ðåøàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî. Íàïîìíèì, ÷òî óíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé (ìîíîòîííî óáûâàþùåé) íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X ⊂ R, åñëè ∀x′ , x′′ ∈ X , x′ < x′′ èìååò ìåñòî f (x′) ≤ f (x′′) (f (x′) ≥ f (x′′)). Ìíîæåñòâî ìîíîòîíííûõ óíêöèé ñîñòîèò èç ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèõ è ìîíîòîííî óáûâàþùèõ óíêöèé. ÒÅÎÅÌÀ 6.2. Ïóñòü óíêöèÿ y = f (x) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà lim f (x) è lim f (x) ñóùåñòâóþò â x→x0 −

x→x0 +

êàæäîé òî÷êå x0 ∈ (a, b). À èìåííî, ∀x0 ∈ (a, b)

sup f (x) = lim f (x) ≤ f (x0) ≤ lim f (x) = inf f (x).

a<x<x0

x→x0 −

x→x0 +

x0 <x<b


3.7

85

Ëîêàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé

Êðîìå òîãî, åñëè a < x′0 < x′′0 < b, òî

f (x′0 + 0) = lim′ f (x) ≤ lim′′ f (x) = f (x′′0 − 0). x→x0 −

x→x0 +

⊳ Ïî ïðåäïîëîæåíèþ ìíîæåñòâî ÷èñåë {f (x) : a < x < x0} îãðàíè÷åíî ñâåðõó ÷èñëîì f (x0) è ïîýòîìó èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü s(x0). Î÷åâèäíî, ÷òî s(x0) ≤ f (x0). Ïîêàæåì, ÷òî s(x0) = f (x0 − 0). Ïî çàäàííîìó ε > 0 ïîäáåðåì δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè a < x0 − δ èìååò ìåñòî s(x0 ) − ε < f (x0 − δ) ≤ s(x0 ). Ïîñêîëüêó f ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, òî f (x0 − δ) ≤ f (x) ≤ s(x0) ïðè x0 − δ < x < x0. •δ

Äðóãèìè ñëîâàìè, |f (x)−s(x0)| < ε ïðè x ∈ l O x0 , òî åñòü lim f (x) =

s(x0). Âòîðàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Äàëåå, èç äîêàçàííîãî íåðàâåíñòâà

x→x0 −

sup f (x) = f (x0 − 0) ≤ f (x0 + 0) = inf f (x) x0 <x<b

a<x<x0

èìååì ïðè a < x′0 < x′′0 < b

f (x′0 + 0) = ′ inf f (x) = x0 <x<b

inf

x′0 <x<x′′0

f (x).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû

f (x′′0 − 0) = sup f (x) = a<x<x′′0

sup f (x). x′0 <x<x′′0

Èç ñðàâíåíèÿ äâóõ ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. ⊲ ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 6.4. Ñîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü àíàëîã òåîðåìû 6.2 äëÿ ìîíîòîííî óáûâàþùèõ óíêöèé. 3.7

Ëîêàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé. Êëàññèèêàöèÿ ðàçðûâîâ

Ïóñòü x0 ∈ dom f . Íàïîìíèì, ÷òî óíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 , åñëè lim f (x) = f (x0). (Äðóãèìè ñëîâàìè, x→x0

åñëè lim f (x) = f ( lim x) ïðè x0 ∈ dom f ). x→x0

x→x0


3.7

86

Ëîêàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé

 ñèëó òåîðåìû 6.2 èìååò ìåñòî ýêâèâàëåíòíîå ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 7.1. Ïóñòü x0 ∈ dom f . Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 , åñëè lim f (x) = lim f (x) = x→x0 −

x→x0 +

f (x0). ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 7.2. Åñëè óíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 ∈ dom f , òî ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óíêöèÿ f ðàçðûâíà â òî÷êå x0 , èëè ÷òî f èìååò ðàçðûâ â òî÷êå x0 . Êàê ïîêàçàíî âûøå, óíêöèÿ Äèðèõëå y = D(x) ðàçðûâíà â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå åùå îäèí ýêçîòè÷åñêèé ÏÈÌÅ 7.1. Ôóíêöèÿ èìàíà y = R(x), ãäå  1 , x=m − íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, n R(x) = n 0, x ∈ R \ Q íåïðåðûâíà òîëüêî â èððàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ. Äåéñòâèòåëüíî, êàêîâû áû íè áûëè ÷èñëî x0 ∈ R, îãðàíè÷åííàÿ îêðåñòíîñòü Ox0 è ÷èñëî N ∈ N, â îêðåñòíîñòè Ox0 åñòü òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê âèäà m/n, ãäå n < N . Óìåíüøàÿ îêðåñòíîñòü Ox0 ìîæíî, òàêèì îáðàçîì, ñ÷èòàòü, ÷òî çíàìåíàòåëè âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ïîïàäàþùèõ â íåå (êðîìå, ìîæåò áûòü, ÷èñëà x0 , åñëè x0 ∈ Q) óæå •

áîëüøå N . Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîé òî÷êå x0 ∈Ox0 |R(x)| < 1/N , òî åñòü lim R(x) = 0. x→x0

ËÎÊÀËÜÍÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ íåïðåðûâíûõ óíêöèé: (i) íåïðåðûâíàÿ â òî÷êå x0 ∈ R óíêöèÿ y = f (x) ëîêàëüíî îãðàíè÷åíà; (ii) åñëè óíêöèè y = f (x) è y = g(x) íåïðåðûâíû â òî÷êå x0 , òî èõ ñóììà (f + g)(x), ïðîèçâåäåíèå (f · g)(x) è ÷àñòíîå (f /g)(x) (â ñëó÷àå g(x0 ) 6= 0) òîæå íåïðåðûâíûå â òî÷êå x0 óíêöèè; (iii) ïóñòü y = g(x) è z = f (y)  äâå óíêöèè, ïðè÷åì im g ⊂ dom f , g íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, à f íåïðåðûâíà â òî÷êå y0 = g(x0); òîãäà èõ êîìïîçèöèÿ íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 . Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ïðåäåëà óíêöèè â òî÷êå è îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 7.3. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â êàæäîé òî÷êå íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà, íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì ïðîìåæóòêå.


3.8

ëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé

87

Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé. Ìíîæåñòâî óíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâå X ⊂ R îáîçíà÷èì ñèìâîëîì C(X ). Ñîðìóëèðóåì âàæíåéøèé ðåçóëüòàò ÌÀÒÀÍ: ÒÅÎÅÌÀ 7.1. Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè íåïðåðûâíû. ⊳ Íàïîìíèì, ÷òî ýëåìåíòàðíûìè íàçûâàþòñÿ óíêöèè, ïîëó÷åííûå èç ñòåïåííûõ, ïîêàçàòåëüíûõ, ëîãàðèìè÷åñêèõ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ è îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óíêöèé ïîñðåäñòâîì êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé è êîìïîçèöèé. Âî Ââåäåíèè ìû òàê îïðåäåëèëè óíêöèè y = ex è y = ln x, ÷òî îíè îêàçàëèñü íåïðåðûâíûìè. Íåïðåðûâíîñòü óíêöèé sin x è cos x ìû äîêàçàëè âûøå. Íåïðåðûâíîñòü îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óíêöèé ìû óñòàíîâèì äàëåå. Âñå æå îñòàëüíûå ýëåìåíòàðíûå óíêöèè ïîëó÷åíû èç ïåðå÷èñëåííûõ òîëüêî ÷òî óíêöèé óïîìÿíóòûìè îïåðàöèÿìè.  ñèëó ëîêàëüíûõ ñâîéñòâ íåïðåðûâíûõ óíêöèé ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 7.1. ⊲ Îõàðàêòåðèçîâàâ íåïðåðûâíûå óíêöèè ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ âîçìîæíûõ ðàçðûâîâ. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 7.4. Òî÷êà x0 ∈ dom f íàçûâàåòñÿ òî÷êîé óñòðàíèìîãî ðàçðûâà, åñëè ñóùåùåñòâóþò ëåâûé è ïðàâûé ïðåäåëû f (x0 − 0) = f (x0 + 0), íî îíè íå ðàâíû çíà÷åíèþ óíêöèè f (x0). Òî÷êà x0 ∈ dom f íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïðîñòîãî ðàçðûâà, åñëè ëåâûé è ïðàâûé ïðåäåëû ñóùåñòâóþò, íî f (x0 − 0) 6= f (x0 + 0). Óñòðàíèìûå è ïðîñòûå ðàçðûâû íàçûâàþòñÿ ðàçðûâàìè ïåðâîãî ðîäà, âñå îñòàëüíûå ðàçðûâû  ðàçðûâàìè âòîðîãî ðîäà. Ôóíêöèÿ y = |sgnx| èìååò â òî÷êå íóëü óñòðàíèìûé ðàçðûâ. Óñòðàíèìûå ðàçðûâû èìååò óíêöèÿ èìàíà â êàæäîé ðàöèîíàëüíîé òî÷êå. Ïðîñòîé ðàçðûâ â òî÷êå íóëü èìååò óíêöèÿ y = sgnx. Ôóíêöèÿ Äèðèõëå â êàæäîé òî÷êå èìååò ðàçðûâû âòîðîãî ðîäà. 3.8

ëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé

ÒÅÎÅÌÀ 8.1. (Áîëüöàíî-Êîøè î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè).

(f ∈ C[a, b] ∧ f (a) · f (b) < 0) ⇒ (∃c ∈ (a, b) f (c) = 0). ⊳ Äåëèì îòðåçîê [a, b] ïîïîëàì. Åñëè â òî÷êå äåëåíèÿ óíêöèÿ íå ðàâíà íóëþ, òî íà êîíöàõ îäíîãî èç äâóõ ïîëó÷åííûõ â ðåçóëü-


3.8

88

ëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé

òàòå äåëåíèÿ îòðåçêîâ óíêöèÿ ñíîâà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ. Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ äåëåíèÿ è âûáîðà îòðåçêîâ, ìû ëèáî íà êàêîì-òî øàãå ïîïàäåì â òî÷êó c ∈ (a, b), ãäå f (c) = 0, ëèáî ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {In} âëîæåííûõ îòðåçêîâ, äëèíû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ïî ïðèíöèïó Êîøè - Êàíòîðà ∃!c ∈ R (c ∈ In ∀n ∈ N). àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {x′n } è {x′′n} êîíöîâ îòðåçêîâ In . Î÷åâèäíî, ÷òî lim x′n = lim x′′n = c, ïðè÷åì f (x′n) < 0, à n→∞

n→∞

f (x′′n) > 0. Îòñþäà â ñèëó ñâîéñòâ ïðåäåëà èìååì lim f (x′n) ≤ 0 è lim

n→∞

f (x′′n)

n→∞

≥ 0. Ïîñêîëüêó f  íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, òî f (c) = 0. ⊲

ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 8.1. Åñëè óíêöèÿ y = g(x) íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå I , ïðè÷åì ïðè a, b ∈ I g(a) = A 6= B = g(b), òî äëÿ ëþáîãî C , ëåæàùåãî ìåæäó A è B , íàéäåòñÿ òî÷êà c ∈ R, ëåæàùàÿ ìåæäó a è b, â êîòîðîé g(c) = C . ⊳ àññìîòðèì óíêöèþ f (x) = g(x) − C . Íà îòðåçêå [a, b] f (a) · f (b) = (A − C) · (B − C) < 0 ïî ïîñòðîåíèþ. Êðîìå òîãî, f ∈ C[a, b]. Çíà÷èò, ∃c ∈ (a, b) (0 = f (c) = g(c) − C). ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 8.2 (Âåéåðøòðàññà î ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè). Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå, îãðàíè÷åíà íà íåì. Ïðè ýòîì íà îòðåçêå åñòü òî÷êà, ãäå óíêöèÿ ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå, è åñòü òî÷êà, ãäå îíà ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. ⊳ Ïóñòü f ∈ C[a, b]. Òîãäà ∀x ∈ (a, b) ∃Ox òàêàÿ, ÷òî íà Ox ∩ [a, b] óíêöèÿ f îãðàíè÷åíà. Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ îêðåñòíîñòåé Ox îáðàçóåò ïîêðûòèå îòðåçêà [a, b] èíòåðâàëàìè, èç êîòîðîãî ïî ïðèíöèïó Áîðåëÿ - Ëåáåãà ìîæíî âûáðàòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå {Ox1 , . . . , Oxn }, ñîñòîÿùåå èç èíòåðâàëîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ mk ≤ f (x) ≤ Mk , k = 1, . . . , n. Çíà÷èò, ∀x ∈ [a, b]

min{m1, . . . , mn } ≤ f (x) ≤ max{M1, . . . , Mn }, òî åñòü óíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà [a, b]. Ïóñòü òåïåðü s = sup f (x). x∈[a,b]

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (x) < s ∀x ∈ [a, b]. Òîãäà íåïðåðûâíàÿ íà [a, b] óíêöèÿ s − f (x) 6= 0 ∀x ∈ [a, b], õîòÿ ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, ñêîëü óãîäíî áëèçêèå ê íóëþ. Òîãäà óíêöèÿ 1/(s − f (x)) íåïðåðûâíà íà [a, b], íî íåîãðàíè÷åíà. Ïðîòèâîðå÷èå. Èòàê, ∃xs ∈ [a, b] (f (xs) = s). Àíàëîãè÷íî, ïîëîæèâ i = inf x∈[a,b] f (x) è ðàññìîòðåâ óíêöèþ


3.8

89

ëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé

f (x) − i, ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà xi ∈ [a, b] (f (xi) = i). ⊲ ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 8.1. Ôóíêöèÿ y = f (x) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå X ⊂ R, åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x′ , x′′ ∈ X

(|x′ − x′′| < δ ⇒ |f (x′) − f (x′′)| < ε).

Îáñóäèì ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè. (i) Åñëè óíêöèÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå, òî îíà íåïðåðûâíà íà ýòîì æå ìíîæåñòâå. Äåéñòâèòåëüíî, äîñòàòî÷íî â îïðåäåëåíèè çàèêñèðîâàòü îäíó òî÷êó, ñêàæåì x′ = x0 , à äðóãóþ ïîëîæèòü x′′ = x, è ïîëó÷èì ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X (|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0)| < ε) := ( lim f (x) = f (x0))  îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïî x→x0

Êîøè. (ii) Èç íåïðåðûâíîñòè, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñëåäóåò ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü. ÏÈÌÅ 8.1. Ôóíêöèÿ y = sin(1/x) íåïðåðûâíà íà (0, 1) êàê êîìïîçèöèÿ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé. Îäíàêî â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0, ëåæàùåé â èíòåðâàëå (0, 1), ñóùåñòâóþò òî÷êè, â êîòîðûõ óíêöèÿ ïðèíèìàåò êàê çíà÷åíèå −1, òàê è çíà÷åíèå 1. (Èìåí2 , k ∈ Z). Ïîýòîìó ïðè ëþáîì ε < 2 äëÿ íåå óæå íå íî, x = π(1+2k) âûïîëíåíî óñëîâèå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè. Ïîëåçíî ñðàâíèòü îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè è ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè óíêöèè, ÷òîáû ïîíÿòü, îòêóäà ïðîèñòåêàåò òàêîå ðàçëè÷èå.  ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà óíêöèè ïî Êîøè èìååì: y = f (x) íåïðåðûâíà íà X ⊂ R ⇔ ∀x0 ∈ X ( lim f (x) = f (x0)) ⇔ x→x0

∀x0 ∈ X ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X (0 < |x−x0 | < δ ⇒ |f (x)−f (x0)| < ε). Çäåñü ÷èñëî δ > 0 âûáèðàåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òî÷êè x0 ∈ X è îò ε > 0, è ïîýòîìó ïðè çàäàííîì ε > 0 ìîæåò ìåíÿòüñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå.  ñëó÷àå æå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ãàðàíòèðóåòñÿ âîçìîæíîñòü âûáîðà δ > 0 òîëüêî ïî ÷èñëó ε > 0 òàê, ÷òî ñðàçó äëÿ âñåõ x0 ∈ X èç |x−x0| < δ ïðè x ∈ X áóäåò ñëåäîâàòü |f (x)−f (x0)| < ε. Åñëè óíêöèÿ y = f (x) íåîãðàíè÷åíà â ëþáîé, íàïðèìåð, ïðàâîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x ∈ R, òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé â ýòîé îêðåñòíîñòè, äàæå åñëè íåïðåðûâíà â íåé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ëþáîì δ > 0 â δ -îêðåñòíîñòè (x, x + δ) òî÷êè x íàéäóòñÿ òî÷êè x′ , x′′ òàêèå, ÷òî |x′ − x′′| < δ , íî |f (x′) − f (x′′)| > 1. Òàê îáñòîèò


3.9

Êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé óíêöèè

90

äåëî ñ óíêöèÿìè y = 1/x è y = ln x, ðàññìàòðèâàåìûìè â ïðàâîé îêðåñòíîñòè òî÷êè 0. ÏÈÌÅ 8.2. Ôóíêöèÿ y = sin x2 , íåïðåðûâíàÿ è îãðàíè÷åííàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íà R, ïîñêîëüêó â òî÷êàõ íà R, p p π íåïðåðûâíîé π ′ ′′ ′ xn = 2 (n + 1) è xn = 2 n èìååì |f (xn) − f (x′′n)| = 1, â òî âðåìÿ êàê lim |x′n − x′′n| = 0. n→∞

Ïîñëå ýòîãî îáñóæäåíèÿ ïîíÿòèÿ ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè è ñîïîñòàâëåíèÿ ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè è íåïðåðûâíîñòè ìû ìîæåì òåïåðü îöåíèòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. ÒÅÎÅÌÀ 8.3 (Êàíòîðà î ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè). Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà íåì. ⊳ Ïóñòü f ∈ C[a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî, ∀x ∈ [a, b] ∀ε > 0 ∃δ > δ(x) ε/2 0 (x′ ∈ Ox ⇒ f (x′) ∈ Of (x) ). Ïîíÿòíî, ÷òî δ çàâèñèò îò x ∈ δ(x)/2

â ñîâîêóïíîñòè îáðàçóþò ïîêðûòèå îòðåçêà [a, b]. Èíòåðâàëû Ox [a, b]. Ïî ïðèíöèïó Áîðåëÿ - Ëåáåãà âûáåðåì êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå δ /2 δ /2 {Ox11 , . . . , Oxnn } è âîçüìåì δ = 12 min{δ1 , δ2, . . . , δn }. Ïîêàæåì, ÷òî ∀x′ , x′′ ∈ [a, b] òàêèõ, ÷òî |x′ − x′′| < δ âûïîëíåíî |f (x′) − f (x′′)| < ε. δ /2 δ /2 Äåéñòâèòåëüíî, ñèñòåìà {Ox11 , . . . , Oxnn } ïîêðûâàåò îòðåçîê [a, b], ïîýòîìó íàéäåòñÿ xi òàêîå, ÷òî |xi − x′| < δ/2. Îòñþäà

|x′′ − xi| ≤ |x′′ − x′| + |x′ − xi | < δ + δi/2 ≤ δi /2 + δi/2 = δi . Ñëåäîâàòåëüíî, x′ , x′′ ∈ Oxδii è, çíà÷èò,

|f (x′) − f (x′′)| ≤ |f (x′) − f (xi)| + |f (xi) − f (x′′)| < ε/2 + ε/2 = ε. ⊲ 3.9

Êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé óíêöèè. Òåîðåìà îá îáðàòíîé óíêöèè

Ñíà÷àëà âåðíåìñÿ ê òåîðåìå 6.2 è ïîñìîòðèì íà íåå ñ òî÷êè çðåíèÿ îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ. Î÷åâèäíî ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 9.1 (èç òåîðåìû 6.2). Ìîíîòîííàÿ óíêöèÿ íå èìååò ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 9.2 (èç òåîðåìû 6.2). Ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ìîíîòîííîé óíêöèè íå áîëåå, ÷åì ñ÷åòíî. ⊳ Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè y = f (x)  ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ óíêöèÿ. Ïîêàæåì, ÷òî îíà íå èìååò óñòðàíèìûõ ðàçðûâîâ.


3.9

Êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé óíêöèè

91

Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû 6.2 è îïðåäåëåíèÿ îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ, åñëè f (x − 0) = f (x + 0), òî f (x) = f (x − 0) = f (x + 0).  ñèëó ñêàçàííîãî è ñëåäñòâèÿ 9.1, ìîíîòîííàÿ óíêöèÿ ìîæåò èìåòü òîëüêî ïðîñòûå ðàçðûâû. Òåïåðü ïóñòü X  ìíîæåñòâî òî÷åê dom f , â êîòîðûõ f (x) ðàçðûâíà. Êàæäîé òî÷êå x ∈ X ñîïîñòàâèì ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r(x) òàê, ÷òî f (x − 0) < r(x) < f (x + 0). ßñíî, ÷òî îòîáðàæåíèå r : X → Q èíúåêòèâíî, òî åñòü r(x′) 6= r(x′′), åñëè x′ < x′′, òàê êàê â ñèëó òåîðåìû 6.2 f (x′ + 0) ≤ f (x′′ − 0). Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó X è íåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà Q, êîòîðîå, êàê ìû çíàåì, ñ÷åòíî. ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 9.1. Ôóíêöèÿ y = f (x), ìîíîòîííàÿ íà îòðåçêå [a, b], íåïðåðûâíà íà íåì òî÷íî òîãäà, êîãäà f [[a, b]] åñòü îòðåçîê ñ êîíöàìè f (a) è f (b). ⊳ Ïóñòü ìîíîòîííàÿ óíêöèÿ f ∈ C[a, b]. Ââèäó ìîíîòîííîñòè âñå åå çíà÷åíèÿ ëåæàò ìåæäó f (a) è f (b). Ââèäó íåïðåðûâíîñòè è ñëåäñòâèÿ 8.1 îíà ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ ìåæäó f (a) è f (b). Òàêèì îáðàçîì, f [[a, b]]  îòðåçîê ñ êîíöàìè f (a) è f (b). Ïóñòü f  ìîíîòîííàÿ íà îòðåçêå [a, b] óíêöèÿ, è ïóñòü c ∈ [a, b]  òî÷êà ðàçðûâà. Òîãäà ïî òåîðåìå 6.2 ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç èíòåðâàëîâ (f (c − 0), f (c)) èëè (f (c), f (c + 0)) íå ïóñò è íå ñîäåðæèò çíà÷åíèé óíêöèè f . Íî â ñèëó ìîíîòîííîñòè ýòîò èíòåðâàë ñîäåðæèòñÿ â îòðåçêå ñ êîíöàìè f (a) è f (b), ïîýòîìó åñëè ìîíîòîííàÿ íà [a, b] óíêöèÿ èìååò õîòÿ áû îäíó òî÷êó ðàçðûâà, òî âåñü îòðåçîê ñ êîíöàìè f (a) è f (b) íå ìîæåò ëåæàòü â îáëàñòè çíà÷åíèé im f . ⊲ ËÅÌÌÀ 9.1. Ñòðîãî ìîíîòîííàÿ íà ìíîæåñòâå X ⊂ R óíêöèÿ y = f (x) îáëàäàåò íà ìíîæåñòâå f [X ] îáðàòíîé óíêöèåé x = f −1(y), èìåþùåé òîò æå õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè, ÷òî è óíêöèÿ y = f (x). ⊳ Îòîáðàæåíèå f : X → f [X ] ñþðúåêòèâíî. Ïîêàæåì, ÷òî îíî èíúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî, (f (x′) = f (x′′)) ⇔ (x′ = x′′ ) â ñèëó ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè äëÿ ëþáûõ x′, x′′ ∈ X . Ïîñêîëüêó f : X → f [X ] áèåêòèâíî, òî ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ f −1 : f [X ] → X äîêàçàíî. Èññëåäóåì õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè x = f −1(y). Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè f ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò,


3.9

Êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé óíêöèè

òî åñòü

∀x′ , x′′ ∈ X

92

(x′ < x′′ ⇔ f (x′) < f (x′′)).

Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì f −1, èìååì

∀y ′ , y ′′ ∈ f [X ] (f −1(y ′ ) < f −1(y ′′ ) ⇔ y ′ < y ′′ ). Ñëó÷àé ñ ìîíîòîííî óáûâàþùåé óíêöèåé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 9.2. Ñòðîãî ìîíîòîííàÿ è íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a, b] óíêöèÿ îáëàäàåò íà îòðåçêå ñ êîíöàìè f (a) è f (b) ñòðîãî ìîíîòîííîé è íåïðåðûâíîé îáðàòíîé óíêöèåé x = f −1 (y), èìåþùåé òîò æå õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè. ⊳ Ââèäó ëåììû ñòðîãî ìîíîòîííàÿ íà [a, b] óíêöèÿ y = f (x) îáëàäàåò íà f [[a, b]] îáðàòíîé óíêöèåé x = f −1 (y), èìåþùåé òîò æå õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè, ÷òî è f . Ââèäó ìîíîòîííîñòè è íåïðåðûâíîñòè óíêöèè y = f (x) èç òåîðåìû 9.1 ñëåäóåò, ÷òî f [[a, b]]  îòðåçîê ñ êîíöàìè f (a) è f (b). Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè f [[a, b]] = [f (a), f (b)]. Ïîñêîëüêó f −1[[f (a), f (b)]] = f −1 ◦ f [[a, b]] = [a, b], òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè óíêöèè x = f −1 (y) è òåîðåìû 9.1 ýòà óíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå ñ êîíöàìè f (a), f (b). ⊲ ÏÈÌÅ 9.1. Ôóíêöèÿ y = sin x âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [−π/2, π/2]. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå 9.2 ñóùåñòâóåò âîçðàñòàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ x = arcsin y íà îòðåçêå [sin(−π/2), sin(π/2)] = [−1, 1]. ÏÈÌÅ 9.2. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñóæåíèå óíêöèè y = cos x íà îòðåçîê [0, π] ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò îò 1 äî −1. Ïîýòîìó íà îòðåçêå [−1, 1] ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ íåïðåðûâíàÿ ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ îò π äî 0 óíêöèÿ x = arccos y . ÏÈÌÅ 9.3. Ïîëüçóÿñü ïðåäûäóùèìè ïðèìåðàìè, íåòðóäíî ïîñòðîèòü íåïðåðûâíóþ ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùóþ îò −π/2 äî π/2 óíêöèþ x = ar tgy , à òàêæå ïîñòðîèòü íåïðåðûâíóþ ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàþùóþ îò π äî 0 óíêöèþ x = ar tgy . ÏÈÌÅ 9.4. Ôóíêöèÿ y = shx ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé îñè è íåïðåðûâíà.  ñèëó òåîðåìû 9.2 îíà îáëàäàåò îáðàòíîé íåïðåðûâíîé ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé óíêöèåé x = arshy .


3.9

Êðèòåðèé íåïðåðûâíîñòè ìîíîòîííîé óíêöèè

93

Ïîñêîëüêó èñõîäíàÿ óíêöèÿ y = shx âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîêàçàòåëüíóþ óíêöèþ, òî íå èñêëþ÷åíà âîçìîæíîñòü, ÷òî è îáðàòíàÿ óíêöèÿ x = arshy âûðàçèòñÿ ÷åðåç ëîãàðèìû. Äåéñòâèòåëüíî,

ex − e−x . y = shx = 2 Îòñþäà ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå e2x − 2yex − 1 = 0. Ïîp x 2 ñêîëüêó pe 6= y − y + 1 < 0, òî ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî x = ln(y + y 2 + 1). ÏÈÌÅ 9.5. Àíàëîãè÷íî èñïîëüçóÿ ìîíîòîííîñòü óíêöèè y = hx íà ó÷àñòêàõ (−∞, 0) è (0, +∞), ìîæíî ïîñòðîèòü óíêöèè p  x = ar h+y = ln(y + py 2 − 1) y ≥ 1, x = ar h−y = ln(y − y 2 − 1) îáðàòíûå ê óíêöèè y = hx. Îáû÷íî, êàê è â ñëó÷àå óíêöèè y = √ x, èñïîëüçóþò òîëüêî âåðõíþþ âåòâü, îáîçíà÷àÿ åå x = ar hy = p ln(y + y 2 − 1), y ≥ 1. ÏÈÌÅ 9.6. Ïðèìåíÿÿ îïèñàííóþ âûøå ïðîöåäóðó ê óíêöèÿì y = thx è y = thx, ïîëó÷àåì

x = arthy = x = ar thy =

1 1+y ln , 2 1−y

1 y+1 ln , 2 y−1

|y| < 1; |y| > 1.


94

4

ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÓÅÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ àçâå ÿ âàñ íå çíàþ? Çíàþ êàê ñâîè ïÿòü ïàëüöåâ. Ìàðê Òâåí "Ïðèêëþ÷åíèÿ

åêëüáåððè Ôèííà"

4.1

Ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè â òî÷êå è åå ñìûñë

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.1. Ïðîèçâîäíîé óíêöèè y = f (x) â òî÷êå x ∈ dom f , ïðåäåëüíîé äëÿ ìíîæåñòâà dom f , íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûé ïðåäåë f (t) − f (x) = fx′ , t ∈ dom f. lim t→x t−x Èíîãäà ýòîò ïðåäåë çàïèñûâàåòñÿ â äðóãîì âèäå: f (x + ∆x) − f (x) ∆f lim = lim , ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ãäå ∆x = t − x, ∆f = f (x + ∆x) − f (x); ïðè äàííîé çàïèñè ∆x (÷èòàåòñÿ "äåëüòà èêñ") íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì àðãóìåíòà, à ∆f  ïðèðàùåíèåì óíêöèè. Ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x, íàçûâàåòñÿ äèåðåíöèðóåìîé â òî÷êå x; óíêöèÿ, äèåðåíöèðóåìàÿ ∀x ∈ X , íàçûâàåòñÿ äèåðåíöèðóåìîé íà ìíîæåñòâå X ; óíêöèÿ, äèåðåíöèðóåìàÿ ∀x ∈ dom f , íàçûâàåòñÿ äèåðåíöèðóåìîé. ÏÈÌÅ 1.1. Ôóíêöèÿ y = ex  äèåðåíöèðóåìàÿ. Äåéñòâèòåëüíî, et − ex e∆x − 1 x ′ x (e )x = lim = e lim = ex t→x t − x ∆x→0 ∆x â ñèëó âòîðîãî çàìå÷àòåëüíîãî ïðåäåëà. ÏÈÌÅ 1.2. Ôóíêöèÿ y = ln |x|  äèåðåíöèðóåìàÿ. Äåéñòâèòåëüíî,

1 + ∆x

ln ln |x + ∆x| − ln |x| 1 1 x (ln |x|)′x = lim = lim · , = ∆x ∆x→0 ∆x→0 x ∆x x x â ñèëó ýêâèâàëåíòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ óíêöèé. ÏÈÌÅ 1.3. Ôóíêöèÿ y = sin x òîæå äèåðåíöèðóåìà. Äåéñòâèòåëüíî,

(sin x)′x

2x+∆x 2 sin ∆x sin(x + ∆x) − sin x 2 cos 2 = lim = = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x


4.1

95

Ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè â òî÷êå è åå ñìûñë

sin ∆x 2

2x + ∆x = cos x ∆x→0 ∆x ∆x→0 2 2 â ñèëó ïåðâîãî çàìå÷àòåëüíîãî ïðåäåëà. ÏÈÌÅ 1.4. Ïîñòîÿííàÿ óíêöèÿ y = c äèåðåíöèðóåìà: lim

· lim cos

c−c = 0. t→x t − x

lim

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.2. Îäíîñòîðîííèìè ïðîèçâîäíûìè áóäåì íàçûâàòü ëåâóþ ïðîèçâîäíóþ

f (x + ∆x) − f (x) ∆x→0− ∆x

′ fx− = lim

è ïðàâóþ ïðîèçâîäíóþ

f (x + ∆x) − f (x) . ∆x→0+ ∆x

′ fx+ = lim

Èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ñâîéñòâà ïðåäåëà ñðàçó ñëåäóåò ÒÅÎÅÌÀ 1.1. Ôóíêöèÿ f â òî÷êå x äèåðåíöèðóåìà òî÷íî òîãäà, êîãäà ëåâàÿ è ïðàâàÿ ïðîèçâîäíûå óíêöèè f â òî÷êå x ñóùåñòâóþò è ðàâíû, ïðè ýòîì ′ ′ fx′ = fx− = fx+ .

Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó ïîíÿòèÿìè äèåðåíöèðóåìîñòè è íåïðåðûâíîñòè. ÒÅÎÅÌÀ 1.2. Èç äèåðåíöèðóåìîñòè óíêöèè â òî÷êå ñëåäóåò åå íåïðåðûâíîñòü â ýòîé òî÷êå. ⊳ Äîïóñòèì, ÷òî óíêöèÿ f ðàçðûâíà â òî÷êå x, òî åñòü lim(f (t)−

f (x)) = a 6= 0. Òîãäà, î÷åâèäíî, êîíå÷íîãî ïðåäåëà ùåñòâîâàòü íå ìîæåò, òàê êàê lim(t − x) = 0. ⊲ t→x

t→x f (t)−f (x) lim t−x t→x

ñó-

ÏÈÌÅ 1.5. àññìîòðèì íåïðåðûâíóþ óíêöèþ y = |x|. Íàéäåì åå îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå â íóëå:

|t| − |0| = lim (−1) = −1, t→0− t − 0 t→0− lim

|t| − |0| = lim 1 = 1, t→0+ t→0+ t − 0 lim


4.1

Ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè â òî÷êå è åå ñìûñë

96

òàê êàê â ïåðâîì ñëó÷àå t < 0, à âî âòîðîì t > 0. Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî óíêöèÿ y = |x| íå äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå x = 0, õîòü è íåïðåðûâíà â íåé. Ýòîò àêò ïîêàçûâàåò, ÷òî èç íåïðåðûâíîñòè óíêöèè â òî÷êå äèåðåíöèðóåìîñòü íå ñëåäóåò. ÏÈÌÅ 1.6. àññìîòðèì ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé, êîòîðûé èçíà÷àëüíî ëåæàë â îñíîâå ýòîãî ïîíÿòèÿ ïðè âîçíèêíîâåíèè äèåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ïóñòü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïî îñè y , è çàêîí åå äâèæåíèÿ îïèñûâàåòñÿ äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé îò âðåìåíè y = f (t). Òîãäà ïðîèçâîäíàÿ f˙(t0 ) ýòîé óíêöèè (òî÷êîé ñâåðõó ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè t) â òî÷êå t0 èìååò ñìûñë ìãíîâåííîé ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t0 . Íàïèøåì óðàâíåíèå ñåêóùåé AB :

y − y0 f (x0 + ∆x) − f (x0) = ⇔ x − x0 x0 + ∆x − x0 ⇔y=

f (x0 + ∆x) − f (x0) (x − x0 ) + f (x0). ∆x

åîìåòðè÷åñêàÿ èíòóèöèÿ íàì ïîäñêàçûâàåò, ÷òî ïðè ñòðåìëåíèè ∆x → 0 ñåêóùàÿ äîëæíà ïðåâðàòèòüñÿ â êàñàòåëüíóþ, åñëè îíà â òî÷êå x0 ñóùåñòâóåò.

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.3. Ïóñòü óíêöèÿ y = f (x) äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , òîãäà ïðÿìóþ y = fx′ 0 (x − x0 ) + f (x0) íàçîâåì êàñàòåëüíîé ê ãðàèêó óíêöèè y = f (x) â òî÷êå (x0, f (x0)). Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè â òî÷êå ðàâíà òàíãåíñó óãëà ìåæäó êàñàòåëüíîé ê ãðàèêó ýòîé óíêöèè â äàííîé òî÷êå è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox.  ñëó÷àå, êîãäà

f (x + ∆x) − f (x) = ±∞ ∆x→0 ∆x lim


4.2

97

Ïðîèçâîäíàÿ è àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè

ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíóþ òàíãåíñîì óãëà íàêëîíà ê îñè Ox âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé x = x0 . Òàêèì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ áåñêîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ (èíîãäà äîáàâëÿþò: îïðåäåëåííîãî çíàêà) óíêöèè f â òî÷êå x0 . 4.2

Ïðîèçâîäíàÿ è àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè. Ïðîèçâîäíàÿ êîìïîçèöèè óíêöèé. Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé óíêöèè

ÒÅÎÅÌÀ 2.1. Ïóñòü óíêöèè y = f (x) è y = g(x) îïðåäåëåíû â îêðåñòíîñòè òî÷êè x è äèåðåíöèðóåìû â ýòîé òî÷êå. Òîãäà óíêöèè cf , f +g , f ·g , f /g (ïîñëåäíÿÿ ïðè óñëîâèè g(x) 6= 0) òîæå äèåðåíöèðóåìû â òî÷êå x, ïðè÷åì

(cf )′x = cfx′ , (f ·

g)′x

=

fx′

·g+f ·

(f + g)′x = fx′ + gx′ , gx′ ,

(f /g)′x

fx′ g − f gx′ . = g2

f (t) − f (x) (cf )(t) − (cf )(x) = lim c = cfx′ . t→x t→x t−x t−x

⊳ (cf )′x = lim

(f + g)(t) − (f + g)(x) = t→x t−x f (t) − f (x) g(t) − g(x) lim + lim = fx′ + gx′ . t→x t→x t−x t−x (f + g)′x = lim

(f · g)(t) − (f · g)(x) = t→x t−x f (t)g(t) − f (x)g(t) + f (x)g(t) − f (x)g(x) = lim = t→x t−x g(t) − g(x) f (t) − f (x) lim · g(t) + lim f (x) = fx′ g(x) + f (x)gx′ , t→x t→x t−x t−x ïîñêîëüêó lim g(t) = g(x) â ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèè g â òî÷êå t→x x. (f · g)′x = lim

(f /g)(t) − (f /g)(x) = t→x t−x

(f /g)′x = lim


4.2

98

Ïðîèçâîäíàÿ è àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè

1 = lim t→x g(t)g(x)



g(t) − g(x) f (t) − f (x) g(x) − f (x) t−x t−x



=

fx′ g(x) − f (x)gx′ , (g(x))2 ó÷èòûâàÿ íåïðåðûâíîñòü óíêöèè g â òî÷êå x. ⊲ ËÅÌÌÀ 2.1. Ïóñòü ñóùåñòâóåò lim f (t) = y . Òîãäà f (t) = y + =

t→x

α(t), ãäå α(t)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè t → x. ⊳ Ïîëîæèì α(t) = f (t) − y . Òîãäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà (lim f (t) = y) ⇔ (lim α(t) = 0). ⊲ t→x

t→x

 ñëåäóþùåé òåîðåìå X , Y  îòêðûòûå ìíîæåñòâà èç R. ÒÅÎÅÌÀ 2.2. Ïóñòü óíêöèÿ f : X → Y äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå x ∈ X , à óíêöèÿ g : Y → R äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå y = f (x) ∈ Y . Òîãäà êîìïîçèöèÿ óíêöèé g ◦ f : X → R òîæå äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå x ∈ X , ïðè÷åì

(g ◦ f )′x = gy′ · fx′ . ⊳ Èç äèåðåíöèðóåìîñòè óíêöèè f â òî÷êå x ∈ X ñëåäóåò, ÷òî f (t) − f (x) = (t − x)(fx′ + α(t)). Ïîñêîëüêó óíêöèÿ g äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå y = f (x) ∈ Y , òî

g(s) − g(y) = (s − y)(gy′ + β(s)). Òåïåðü

(g ◦ f )(t) − (g ◦ f )(x) = g(f (t)) − g(f (x)) =

(f (t) − f (x))(gy′ + β(f (t))) = (t − x)(fx′ + α(t))(gy′ + β(f (t))).

Îòêóäà

(g ◦ f )(t) − (g ◦ f )(x) = (fx′ + α(t)) · (gy′ + β(f (t))) = t−x gy′ · fx′ + α(t)gy′ + β(f (t))fx′ + α(t)β(f (t)).

Âû÷èñëèì ïðåäåëû

lim α(t)gy′ = 0 · gy′ = 0, t→x

lim β(f (t))fx′ = fx′ · lim β(s) = fx′ · 0 = 0. t→x

s→y


4.2

99

Ïðîèçâîäíàÿ è àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè

Ïîñêîëüêó lim f (t) = y , òî t→x

lim α(t)β(f (t)) = lim α(t) · lim β(s) = 0. t→x

t→x

s→y

Ïîýòîìó

(g ◦ f )(t) − (g ◦ f )(x) = gy′ fx′ . ⊲ t→x t−x ÏÈÌÅ 2.1. Èñïîëüçóÿ ïðåäûäóùèå òåîðåìû, âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé. ′ 1 (xα )′x = eα ln x x = eα ln x · α · = αxα−1 ; x  ′ (ax )′x = ex ln a x = ex ln a · ln a = ax ln a;  ′ ln |x| 1 ′ (loga |x|)x = = ; ln a x x ln a lim

(cos x)′x = (sin(π/2 − x))′x = cos(π/2 − x) · (−1) = − sin x;  ′ sin x cos2 x + sin2 x 1 ′ = = ; (tgx)x = cos x x cos2 x cos2 x 1 1 1 ; ( tgx)′x = (tg−1x)′x = − 2 · = − tg x cos2 x sin2 x  ′ 1 1 1 1 (shx)′x = ex − e−x = ex + e−x = hx; 2 2 2 2 x ′  1 1 1 x 1 −x = ex − e−x = shx; e + e ( hx)′x = 2 2 2 2 x  ′ 1 shx h2 x − sh2 x ′ = 2 ; (thx)x = = 2 hx x h x h x  ′ hx sh2 x − h2 x 1 ′ ( thx)x = = − . = shx x sh2 x sh2 x ÒÅÎÅÌÀ 2.3. Ïóñòü óíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííà íà îòðåçêå [x0 −δ, x0 +δ], ïðè÷åì fx′ 0 6= 0. Òîãäà óíêöèÿ x = f −1(y), îáðàòíàÿ ê óíêöèè y = f (x), äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå y0 = f (x0), ïðè÷åì (f −1)′y0 =

1 . fx′ 0


4.2

Ïðîèçâîäíàÿ è àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè

100

⊳ Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè óíêöèÿ f ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [x0 − δ, x0 + δ]. Îáîçíà÷èì α = f (x0 − δ), β = f (x0 + δ). Ïî òåîðåìå îá îáðàòíîé óíêöèè íà îòðåçêå [α, β] îïðåäåëåíà óíêöèÿ f −1 , íåïðåðûâíàÿ è ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ, ïðè÷åì y0 = f (x0) ∈ (α, β). Âîçüìåì ∆y íàñòîëüêî ìàëûì, ÷òî y0 + ∆y ∈ (α, β). Îáîçíà÷èì ∆x = f −1(y0 + ∆) − f −1(y0) è íàéäåì ïðåäåë ∆x lim . ∆y→0 ∆y Çàìåòèì, ÷òî åñëè ∆y 6= 0, òî è ∆x 6= 0, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå f −1 (y0 + ∆y) = f −1(y0 ), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâó ñòðîãîãî ìîíîòîííîãî âîçðàñòàíèÿ óíêöèè f −1. Ïîýòîìó ïðè ∆y 6= 0 ñïðàâåäëèâî 1 ∆x = ∆y . ∆y ∆x Ïóñòü ∆y → 0, òîãäà ∆x → 0, òàê êàê óíêöèÿ x = f −1 (y) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 . Ïîýòîìó

1 1 ∆x = lim ∆y = ′ . ⊲ ∆x→0 ∆y→0 ∆y fx0 ∆x

(f −1)′y0 = lim

ÏÈÌÅ 2.2. Ïî òåîðåìå 2.3 óíêöèè y = arcsin x è y = arccos x äèåðåíöèðóåìû ïðè −1 < x < 1, à óíêöèè y = ar tgx è y = ar tgx äèåðåíöèðóåìû íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Íàéäåì ïðîèçâîäíûå ýòèõ óíêöèé. Ïðè y = arcsin x, x = sin y . Îòñþäà

(arcsin x)′x =

1 1 1 1 p √ = = = . 2 2 (sin y)′y cos y 1 − x 1 − sin y

Çíàê ïåðåä ðàäèêàëîì âûáðàí ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî cos y > 0 ïðè |y| < π/2. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì

(arccos x)′x =

1 1 1 1 = −p = ; = −√ ′ (cos y)y − sin y 1 − x2 1 − cos2 y

1 1 1 2 = ; = cos y = 2 (tgy)′y 1 + tg y 1 + x2 1 1 1 2 = − ; = − sin y = − (ar tgx)′x = ( tgy)′y 1 + tg2 y 1 + x2 (ar tgx)′x =


4.2

Ïðîèçâîäíàÿ è àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè

101

1 1 1 1 p √ ; = = = 2 2+1 (shy)′y hy x sh y + 1 1 1 1 1 p √ (ar hx)′x = = = = ; ( hy)′y shy x2 − 1 h2 y − 1 1 1 1 2 ; = y = h (arthx)′x = = (thy)′y 1 − x2 1 − th2y 1 1 1 2 y = − (ar thx)′x = sh = . = − 2 ( thy)′y 1 − x2 th y − 1 (arshx)′x =

Êàê ñëåäñòâèå òåîðåì î ïðîèçâîäíîé êîìïîçèöèè äâóõ óíêöèé è î ïðîèçâîäíîé îáðàòíîé óíêöèè ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå î ïðîèçâîäíîé óíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè. Ïóñòü óíêöèè y = y(t) è x = x(t) îïðåäåëåíû íà îòðåçêå [t0 − δ, t0 + δ], δ > 0, ïðè÷åì óíêöèÿ x = x(t) íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííà. Òîãäà íà îòðåçêå ñ êîíöàìè α = x(t0 − δ) è β = x(t0 + δ) îïðåäåëåíà îáðàòíàÿ óíêöèÿ t = t(x), íåïðåðûâíàÿ è ñòðîãî ìîíîòîííàÿ. Ïðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå yt′0 è x′t0 , ïðè÷åì x′t0 6= 0. Òîãäà ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè y(x) = y(t(x)) èìååò âèä yt′0 ′ yx0 = ′ , ãäå x0 = x(t0). x t0 Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå î äèåðåíöèðîâàíèè êîìïîçèöèè äâóõ óíêöèé èìååì

yx′ 0

=

yt′0

·

t′x0

yt′0 = ′ , x t0

ãäå t′x0 = 1/x′t0 ñîãëàñíî òåîðåìå î äèåðåíöèðîâàíèè îáðàòíîé óíêöèè. Äðóãèì, áîëåå âàæíûì äëÿ íàñ ñëåäñòâèåì èç äîêàçàííûõ òåîðåì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: ÒÅÎÅÌÀ 2.4. Ýëåìåíòàðíûå óíêöèè äèåðåíöèðóåìû íà ëþáîì èíòåðâàëå, ëåæàùåì â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû î íåïðåðûâíîñòè ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé è ïîòîìó îïóñêàåòñÿ.


4.3

4.3

Îñíîâíûå òåîðåìû î äèåðåíöèðóåìûõ óíêöèÿõ

102

Îñíîâíûå òåîðåìû î äèåðåíöèðóåìûõ óíêöèÿõ

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.1. Òî÷êà x0 ∈ X ⊂ R íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà), à çíà÷åíèÿ óíêöèè â íåé ëîêàëüíûì ìàêñèìóìîì (ìèíèìóìîì) óíêöèè f : X → R, åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Ox0 ⊂ R òàêàÿ, ÷òî f (x) ≤ f (x0) (f (x) ≥ f (x0)) ∀x ∈ Ox0 ∩ X . Òî÷êè ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà è ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà, à çíà÷åíèÿ óíêöèè â íèõ  ëîêàëüíûìè ýêñòðåìóìàìè. ÏÈÌÅ 3.1.  2 x , −1 ≤ x ≤ 2, f (x) = 4, x > 2 Äëÿ ýòîé óíêöèè x = −1, x = 2  òî÷êè ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà; x = 0  òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà; x > 2  òî÷êè ýêñòðåìóìà, ÿâëÿþùèåñÿ îäíîâðåìåííî òî÷êàìè ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà è ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, ïîñêîëüêó çäåñü óíêöèÿ ëîêàëüíî ïîñòîÿííà. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 3.2. Òî÷êó x0 ∈ X ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà óíêöèè f : X → R áóäåì íàçûâàòü òî÷êîé âíóòðåííåãî ýêñòðåìóìà, åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 , öåëèêîì ëåæàùàÿ â X .  ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå âñå òî÷êè ýêñòðåìóìîâ çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè x = −1 ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè âíóòðåííèõ ýêñòðåìóìîâ. ÒÅÎÅÌÀ 3.1 (òåîðåìà Ôåðìà î ëîêàëüíîì ýêñòðåìóìå). Ïóñòü óíêöèÿ f : X → R äèåðåíöèðóåìà âî âíóòðåííåé òî÷êå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà x0 . Òîãäà fx′ 0 = 0. ⊳ Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé â òî÷êå x0 èìååì

f (x) − f (x0) = (fx′ 0 + α(x))(x − x0), ãäå α(x)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → x0 . Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè x0  òî÷êà âíóòðåííåãî ìèíèìóìà, òîãäà ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà íåîòðèöàòåëüíà ∀x ∈ Ox0 ⊂ X . Ïóñòü òåïåðü fx′ 0 6= 0. Òîãäà ââèäó áåñêîíå÷íîé ìàëîñòè óíêöèè α(x) ïðè x → x0 íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü Ox′ 0 òàêàÿ, ÷òî ïðè âñåõ x ∈ Ox′ 0 âûðàæåíèå fx′ 0 + α(x) áóäåò èìåòü òîò æå çíàê, ÷òî è fx′ 0 .


4.3

Îñíîâíûå òåîðåìû î äèåðåíöèðóåìûõ óíêöèÿõ

103

Çíà÷èò, ïðè âñåõ x ∈ Ox′ 0 ∩ Ox0 \ {x0} âûðàæåíèå (fx′ 0 + α(x))(x − x0) áóäåò ìåíÿòü çíàê â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà x > x0 èëè x < x0 , à âûðàæåíèå f (x) − f (x0) ≥ 0 ïî ïðåäïîëîæåíèþ. Ïðîòèâîðå÷èå. ⊲ ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 3.1. Òåîðåìà Ôåðìà äàåò òîëüêî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè, ïðè÷åì òîëüêî âî âíóòðåííåé òî÷êå. Äëÿ íåâíóòðåííèõ ýêñòðåìóìîâ (êàê òî÷êà x = −1 â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå) óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî fx′ 0 = 0, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âåðíî. ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 3.2. åîìåòðè÷åñêè òåîðåìà âïîëíå î÷åâèäíà, èáî îíà óòâåðæäàåò, ÷òî â òî÷êå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè êàñàòåëüíàÿ ê åå ãðàèêó ãîðèçîíòàëüíà. ÒÅÎÅÌÀ 3.2 (òåîðåìà îëëÿ1 ). Ïóñòü óíêöèÿ f ∈ C[a, b] äèåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a, b) è f (a) = f (b). Òîãäà ∃ξ ∈ (a, b) fξ′ = 0. ⊳ Ïîñêîëüêó f ∈ C[a, b], òî ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ñóùåñòâóþò òî÷êè xm, xM ∈ [a, b], â êîòîðûõ óíêöèÿ ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ. Åñëè f (xm) = f (xM ), òî óíêöèÿ f ïîñòîÿííà íà [a, b] è, ñëåäîâàòåëüíî, fξ′ = 0 ∀ξ ∈ (a, b). Åñëè æå f (xm) < f (xM ), òî ïîñêîëüêó f (a) = f (b), òî îäíà èç òî÷åê äîëæíà ëåæàòü â èíòåðâàëå (a, b). Åå ìû è îáîçíà÷èì ÷åðåç ξ . Ïî òåîðåìå Ôåðìà fξ′ = 0. ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 3.3 (îðìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà). Ïóñòü óíêöèÿ f ∈ C[a, b] äèåðåíöèðóåìà íà (a, b). Òîãäà

∃ξ ∈ (a, b) f (b) − f (a) = fξ′ (b − a).

⊳ àññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ óíêöèþ f (b) − f (a) (x − a). F (x) = f (x) − b−a F ∈ C[a, b] è F äèåðåíöèðóåìà íà (a, b), ïðè÷åì

f (b) − f (a) (b − a) = f (a) = F (a). b−a Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû îëëÿ ∃ξ ∈ (a, b) òàêàÿ, ÷òî F (b) = f (b) −

Fξ′ = fξ′ − 1 Ìèøåëü

f (b) − f (a) = 0. ⊲ b−a

îëëü (1652-1719)  ðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, àâòîð èññëåäîâàíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.


4.3

Îñíîâíûå òåîðåìû î äèåðåíöèðóåìûõ óíêöèÿõ

104

Äîêàçàííàÿ òåîðåìà èìååò íàãëÿäíûé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: âåëè÷èíà f (b) − f (a) b−a åñòü óãëîâîé êîýèöèåíò íàêëîíà ïðÿìîé AB ê îñè Ox. Ïîñêîëüêó fξ′ åñòü òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ãðàèêó y = f (x) â òî÷êå (ξ, f (ξ)), òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñâîäèòñÿ ê óòâåðæäåíèþ î ñóùåñòâîâàíèè êàñàòåëüíîé, ïàðàëëåëüíîé ñåêóùåé AB . ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.1. Ìåæäó õàðàêòåðîì ìîíîòîííîñòè äèåðåíöèðóåìîé íà èíòåðâàëå (a, b) óíêöèè y = f (x) è åå ïðîèçâîäíîé fx′ , x ∈ (a, b), èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ âçàèìîñâÿçü:

fx′ ≥ 0 ⇔ f (x) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò; fx′ = 0 ⇔ f (x) ïîñòîÿííà;

fx′ ≤ 0 ⇔ f (x) ìîíîòîííî óáûâàåò.

⊳ Ïóñòü x′, x′′ ∈ (a, b), ïðè÷åì x′ < x′′ . Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà ∃x ∈ (x′, x′′) fx′ =

f (x′′) − f (x′) . x′′ − x′

Ïîñêîëüêó fx′ ≥ 0 ∀x ∈ (a, b), òî f (x′′) ≥ f (x′) ∀x′ , x′′ ∈ (a, b), x′ < x′′ , ïîýòîìó óíêöèÿ f ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Àíàëîãè÷íî èññëåäóåòñÿ ñëó÷àè fx′ = 0 è fx′ ≤ 0. Ïóñòü òåïåðü äèåðåíöèðóåìàÿ íà (a, b) óíêöèÿ f ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Òîãäà

f (t) − f (x) = lim ϕ(t). t→x t→x t−x

∀x ∈ (a, b) fx′ = lim

 ñèëó ìîíîòîííîãî âîçðàñòàíèÿ f óíêöèÿ ϕ(t) ≥ 0 ∀t ∈ (a, b). Ïîýòîìó lim ϕ(t) ≥ 0 â ñèëó òåîðåìû î ïðåäåëå óíêöèè è íåðàâåít→x

ñòâàõ. Àíàëîãè÷íî èññëåäóþòñÿ äðóãèå ñëó÷àè. ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 3.4 (îðìóëà Êîøè êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé). Ïóñòü x = x(t) è y = y(t)  äâå óíêöèè, íåïðåðûâíûå íà îòðåçêå [α, β] è äèåðåíöèðóåìûå íà èíòåðâàëå (α, β), ïðè÷åì x′t 6= 0 ∀t ∈ (α, β). Òîãäà yτ′ y(β) − y(α) = . ∃τ ∈ (α, β) x(β) − x(α) x′τ


4.4

105

Ôîðìóëà Òåéëîðà

⊳ Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî x(α) 6= x(β). Åñëè áû ýòî áûëî íå òàê, òî ïî òåîðåìå îëëÿ â íåêîòîðîé òî÷êå t ∈ (α, β) ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè x(t) îáðàùàëàñü áû â íóëü. àññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ óíêöèþ F (t) = y(t) − y(α) −

y(β) − y(α) (x(t) − x(a)). x(β) − x(α)

Ýòà óíêöèÿ íåïðåðûâíà íà [α, β] è äèåðåíöèðóåìà íà (α, β). Êðîìå òîãî, F (α) = F (β) = 0. Ïî òåîðåìå îëëÿ ñóùåñòâóåò òî÷êà τ ∈ (α, β) òàêàÿ, ÷òî

Fτ′ = yτ′ −

y(α) − y(β) ′ x = 0. x(α) − x(β) τ

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî x′τ 6= 0, èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷èì îðìóëó Êîøè. ⊲ ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 3.3. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé îðìóëû Êîøè ïðè x(t) = t. 4.4

Ôîðìóëà Òåéëîðà

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.1. Ïóñòü óíêöèÿ y = f (x) èìååò â òî÷êå x0 âñå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà n âêëþ÷èòåëüíî. Ôîðìóëîé Òåéëîðà1 íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå óíêöèè f â âèäå (n) fx′ 0 fx0 (x − x0) + · · · + (x − x0 )n + rn (x0; x), f (x) = f (x0) + 1! n! ãäå rn (x0 ; x)  îñòàòî÷íûé ÷ëåí îðìóëû Òåéëîðà. Ïðè x0 = 0 îðìóëó Òåéëîðà ÷àñòî íàçûâàþò îðìóëîé Ìàêëîðåíà2 ÒÅÎÅÌÀ 4.1. Åñëè íà îòðåçêå ñ êîíöàìè x è x0 óíêöèÿ f íåïðåðûâíà âìåñòå ñ ïåðâûìè ñâîèìè n ïðîèçâîäíûìè, à âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ýòîãî îòðåçêà îíà èìååò ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà n + 1, òî ïðè ëþáîé óíêöèè ϕ, íåïðåðûâíîé íà ýòîì îòðåçêå è èìåþùåé îòëè÷íóþ îò íóëÿ ïðîèçâîäíóþ â åãî âíóòðåííèõ òî÷êàõ, íàéäåòñÿ òî÷êà ξ , ëåæàùàÿ ìåæäó x è x0 , òàêàÿ, ÷òî ϕ(x) − ϕ(x0) (n+1) fξ (x − ξ)n . rn (x0; x) = ′ ϕξ n! 1 Áðóê

Òåéëîð (1685-1731)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê, èëîñî, àâòîð ðÿäà ðàáîò ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. 2 Êîëèí Ìàêëîðåí (1698-1746)  øîòëàíäñêèé ìàòåìàòèê, àâòîð ðÿäà ðàáîò ïî òåîðèè ðÿäîâ.


4.4

106

Ôîðìóëà Òåéëîðà

⊳ Íà îòðåçêå I ñ êîíöàìè x, x0 ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ óíêöèþ ! (n) ′ f f F (t) = f (x) − f (t) + t (x − t) + · · · + t (x − t)n . 1! n! Ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà îòðåçêå I è äèåðåíöèðóåìà â åãî âíóòðåííèõ òî÷êàõ, ïðè÷åì ! (n+1) ′′ f f (x − t)n + Ft′ = − ft′ + t (x − t) + · · · + t 1! n!

ft′

+

ft′′ 1!

(x − t) + · · · +

(n) ft

(n − 1)!

(x − t)

n−1

!

(n+1)

=−

ft

n!

(x − t)n .

Ïðèìåíÿÿ ê ïàðå óíêöèé F (t) è ϕ(t) íà îòðåçêå I îðìóëó Êîøè êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé, ïîëó÷àåì

F (x) − F (x0) Fξ′ = ′, ϕ(x) − ϕ(x0) ϕξ ãäå ξ  íåêîòîðàÿ òî÷êà ìåæäó x è x0 . Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ Fξ′ è çàìå÷àÿ, ÷òî

F (x) − F (x0) = 0 − F (x0) = −rn (x0; x), ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. ⊲ ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.1. Ïîëàãàÿ ϕ(t) = x − t, ïîëó÷àåì îñòàòî÷íûé ÷ëåí â îðìå Êîøè

rn (x0; x) =

1 (n+1) fξ (x − ξ)n (x − x0). n!

ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.2. Ïîëîæèì ϕ(t) = (x − t)n+1 è ïîëó÷èì îñòàòî÷íûé ÷ëåí â îðìå Ëàãðàíæà

rn(x0; x) =

1 (n+1) fξ (x − x0 )n+1. (n + 1)!

ËÅÌÌÀ 4.1. Ïóñòü f (x) = Pn (x0 ; x) + o((x − x0 )n ) ïðè x → x0 , ãäå Pn (x0; x) = c0 +c1 (x−x0)+· · ·+cn (x−x0)n. Òîãäà êîýèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà Pn îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì.


4.4

107

Ôîðìóëà Òåéëîðà

⊳  ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïðåäåëà èìååì f (x) − c0 c0 = lim f (x); c1 = lim ;...; x→x0 x − x0 x→x0 f (x) − (c0 + c1 (x − x0) + · · · + cn−1(x − x0)n−1) cn = lim . ⊲ x→x0 (x − x0)n ËÅÌÌÀ 4.2. Ïóñòü óíêöèÿ ϕ : I → R (I ⊂ R  îòðåçîê ñ êîíöîì x0 ) òàêîâà, ÷òî èìååò â òî÷êå x0 ∈ R âñå ïðîèçâîäíûå äî (n) ïîðÿäêà n âêëþ÷èòåëüíî, ïðè÷åì ϕ(x0 ) = ϕ′x0 = ϕ′′x0 = · · · = ϕx0 = 0. Òîãäà ϕ(x) = o((x − x0)n) ïðè x → x0. ⊳ Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïóñòü n = 1. Òîãäà â ñèëó äèåðåíöèðóåìîñòè óíêöèè ϕ â òî÷êå x0 èìååì ϕ(x) − ϕ(x0) = ϕ′x0 (x − x0) + α(x)(x − x0),

ãäå α(x)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → x0 . Ïîñêîëüêó ϕ(x0) = ϕ′x0 = 0, òî ϕ(x) = o(x − x0 ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî ïðè n = k ≥ 1. Äîêàæåì, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî è ïðè n = k + 1. Ïîñêîëüêó (k) (k)  ′ ϕx − ϕx0 (k+1) (k) = lim ϕx0 = ϕx0 , x→x0 x0 x − x0 (k+1)

(k)

òî ñóùåñòâîâàíèå ϕx0 ïðåäïîëàãàåò, ÷òî óíêöèÿ ϕx îïðåäåëåíà íà I õîòÿ áû âáëèçè òî÷êè x0 . Óìåíüøàÿ, åñëè íóæíî, îòðåçîê I , (k) ìîæíî çàðàíåå ñ÷èòàòü, ÷òî óíêöèè ϕ(x), ϕ′x, . . . , ϕx , ãäå k ≥ 1, îïðåäåëåíû íà âñåì I ñ êîíöîì x0 . Ïîñêîëüêó k ≥ 1, òî óíêöèÿ ϕ′x ñóùåñòâóåò è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì  ′ (k) ′ ′ = 0. (ϕx )x0 = · · · = ϕx x0

Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ϕ′x = o((x − x0 )k ) ïðè x → x0 . Òîãäà èç îðìóëû Ëàãðàíæà ñëåäóåò

ϕ(x) = ϕ(x) − ϕ(x0) = ϕ′ξ (x − x0) = α(ξ)(ξ − x0 )k (x − x0 ),

ãäå ξ  òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó x è x0 (òî åñòü |ξ − x0 | < |x − x0 |) è çàâèñÿùàÿ îò x, ïðè÷åì α(ξ(x))  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → x0 . Ïîýòîìó èç íåðàâåíñòâà

|ϕ(x)| ≤ |α(ξ)| · |x − x0|k · |x − x0|


4.4

108

Ôîðìóëà Òåéëîðà

ïîëó÷àåì, ÷òî ϕ(x) = o((x − x0 )k+1 ). ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 4.2. Ïóñòü I  îòðåçîê ñ êîíöîì x0 ∈ R. Åñëè óíêöèÿ f : I → R èìååò â òî÷êå x0 âñå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà n âêëþ÷èòåëüíî, òî ñïðàâåäëèâà îðìóëà (n) fx′ 0 fx0 f (x) = f (x0) + (x − x0) + · · · + (x − x0)n + o((x − x0 )n) 1! n! ïðè x → x0 . ⊳ Ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåí Pn (x0; x) ñîãëàñíî ëåììå 4.1 îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì, òî ìû ââåäåì â ðàññìîòðåíèå óíêöèþ   fx′ 0 fx′ 0 n (x − x0) + · · · + (x − x0) . ϕ(x) = f (x) − f (x0) + 1! n! (n)

Î÷åâèäíî, ϕ(x0 ) = ϕ′x0 = · · · = ϕx0 = 0. Ïî ëåììå 4.2 ϕ(x) = o((x − x0)n ). ⊲ ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 4.2. Ôîðìóëà, óñòàíîâëåííàÿ â òåîðåìå 4.2, íàçûâàåòñÿ îðìóëîé Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â îðìå Ïåàíî1 . Èòàê ìû ïîëó÷èëè âàæíåéøèå îðìóëû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà: (n+1)

(n) fξ fx′ 0 fx0 f (x) = f (x0)+ (x−x0)+· · ·+ (x−x0)n + (x−x0)n+1 − 1! n! (n + 1)!

îðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â îðìå Ëàãðàíæà, è (n) fx′ 0 fx0 f (x) = f (x0) + (x − x0) + · · · + (x − x0)n + ((x − x0)n ) 1! n! ïðè x → x0  îðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â îðìå Ïåàíî. Ïåðâàÿ óäîáíà äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ, âòîðàÿ ïðè èññëåäîâàíèè àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ óíêöèé. àçëè÷èå ýòèõ îðìóë Òåéëîðà áîëåå ãëóáîêîå. Îäíà ëîêàëüíàÿ (â îðìå Ïåàíî), à äðóãàÿ ãëîáàëüíàÿ (â îðìå Ëàãðàíæà èëè Êîøè). Ïåðâàÿ äàåò èíîðìàöèþ î ïîâåäåíèè óíêöèè ëèøü ïðè x → x0 . Âòîðóþ ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ îöåíîê íà áîëüøèõ îòðåçêàõ. Îáðàùàÿñü ê òàáëèöå ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà n íàïèøåì îðìóëó Òåéëîðà ïðè x0 = 0 äëÿ îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé. 1 Äæóçåïïå

ìàòèêè.

Ïåàíî (1858-1932)  èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê, èññëåäîâàòåëü îñíîâàíèé ìàòå-


4.4

109

Ôîðìóëà Òåéëîðà

(n)

ÏÈÌÅ 4.1. Ïóñòü f (x) = ex , òîãäà f0

= 1. Ïîýòîìó

1 1 2 1 n eξ e = 1 + x + x + ··· + x + xn+1. 1! 2! n! (n + 1)! x

ÏÈÌÅ 4.2. Ïóñòü f (x) = sin x, òîãäà  πn 0, n = 2m, (n) f0 = sin = (−1)m, n = 2m + 1, 2

m ∈ {0} ∪ N.

Ïîýòîìó

1 3 1 5 (−1)m 2m+1 sin(ξ + π2 (n + 1)) n+1 sin x = x− x + x −· · ·+ x + x , 3! 5! (2m + 1)! (n + 1)! ãäå n = 2m + 1 èëè n = 2m + 2. ÏÈÌÅ 4.3. Ïóñòü f (x) = cos x, òîãäà  πn 0, n = 2m + 1, (n) f0 = cos = (−1)m, n = 2m, 2

m ∈ {0} ∪ N.

Ïîýòîìó

1 2 1 4 (−1)m 2m cos(ξ + π2 (n + 1)) n+1 cos x = 1 − x + x − · · · + x + x , 2! 4! (2m)! (n + 1)! n = 2m èëè n = 2m + 1. (n) ÏÈÌÅ 4.4. Ïóñòü f (x) = ln(1+x), òîãäà f0 = (−1)n−1(n−1)!. Ïîýòîìó 1 2 (−1)n−1 n (−1)n xn+1 1 . x + · ln(1 + x) = x − x + x − · · · + 2 3 n n + 1 (1 + ξ)n+1 (n)

ÏÈÌÅ 4.5. Ïóñòü f (x) = (1 + x)α, α ∈ R. Òîãäà f0 1) . . . (α − n + 1). Ïîýòîìó

(1 + x)α = 1 +

= α(α −

α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − n + 1) n α x+ x + ··· + x + 1! 2! n!

α(α − 1) . . . (α − n + 1)(α − n) xn+1 . · (n + 1)! (1 + ξ)n+1−α  ïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ îñòàòî÷íûé ÷ëåí ïðèâåäåí â îðìå Ëàãðàíæà. Ïðèìåíåíèå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà â îðìàõ Ïåàíî èëè Êîøè íå âûçîâåò çàòðóäíåíèé.


4.5

Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà óíêöèè. Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü

110

ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 4.1. Èç îðìóëû Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â îðìå Ëàãðàíæà ñëåäóåò àñèìïòîòè÷åñêàÿ îðìóëà âèäà (n) fx′ 0 fx0 f (x) = f (x0) + (x − x0) + · · · + (x − x0)n + O((x − x0)n+1) 1! n! ïðè x → x0 . 4.5

Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà óíêöèè. Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü óíêöèè

Òåîðåìà Ôåðìà, êàê îòìå÷àëîñü, äàåò ëèøü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. Ïîýòîìó àêòóàëüíà ñëåäóþùàÿ ÒÅÎÅÌÀ 5.1. Ïóñòü f : Ox0 → R óíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Ox0 òî÷êè x0 , íåïðåðûâíàÿ â òî÷êå x0 è •

äèåðåíöèðóåìàÿ â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè O x0 . Ïóñòü O x0 = • • l Ox0 ∪r Ox0 (ëåâàÿ è ïðàâàÿ îêðåñòíîñòè). Òîãäà •

(i) åñëè (∀x ∈Ox0 (fx′ < 0)) ∨ (∀x ∈Ox0 f â òî÷êå x0 ýêñòðåìóìà íå èìååò;

(fx′ > 0)), òî óíêöèÿ

(fx′ < 0)) ∧ (∀x ∈ r Ox0 (fx′ > 0)), òî (ii) åñëè (∀x ∈ l O x0 óíêöèÿ f â òî÷êå x0 èìååò ëîêàëüíûé ìèíèìóì; (fx′ < 0)), òî (iii) åñëè (∀x ∈ l O x0 (fx′ > 0)) ∧ (∀x ∈ r Ox0 óíêöèÿ f â òî÷êå x0 èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì. •

⊳ (i) Âûáåðåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè âàðèàíò (∀x ∈Ox0 (fx′ < 0)).

Ox0 (fx′ < 0)) ∧(∀x ∈ r Ox0 (fx′ < 0)). Íà â ñèëó òåîðåìû Ëàãðàíæà óíêöèÿ f ñòðîãî ìîíîòîííî

Îí ðàâíîñèëåí (∀x ∈

l

Ox0 è r Ox0 • óáûâàåò. Ïîñêîëüêó f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , òî ∀x′ ∈ l O x0 ∀x′′ ∈

l

r

Ox0

f (x′) > ′ lim f (x′) = f (x0) = ′′lim f (x′′) > f (x′′). x →x0 −

x →x0 +

Ïîýòîìó òî÷êà x0 íå ìîæåò áûòü òî÷êîé ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ è äðóãîé âàðèàíò. òîííî óáûâàåò, à íà

r

Ox0

Ox0 óíêöèÿ f ñòðîãî ìîíîñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Ïîñêîëüêó

(ii) Â ñèëó òåîðåìû Ëàãðàíæà íà

l


4.5

Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà óíêöèè. Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü

111 •

â òî÷êå x0 óíêöèÿ f íåïðåðûâíà, òî èìååì ∀x′ ∈ l Ox0 ∀x′′ ∈ r O x0

f (x′) > ′ lim f (x′) = f (x0) = ′′lim f (x′′) < f (x′′), x →x0 −

x →x0 +

òî åñòü x0  òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà. Ñëó÷àé (iii) ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî (ii). ⊲ Äîêàçàííàÿ òåîðåìà îáõîäèòñÿ âåñüìà ñêðîìíûìè óñëîâèÿìè  íåïðåðûâíîñòüþ óíêöèè â òî÷êå ïðåäïîëàãàåìîãî ýêñòðåìóìà è äèåðåíöèðóåìîñòüþ â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Åñëè ìû ðàñïîëàãàåì áîëåå áîãàòîé èíîðìàöèåé î óíêöèè f â òî÷êå x0, òî è ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü ñîðìóëèðîâàíû áîëåå âåñîìûå. ÒÅÎÅÌÀ 5.2. Ïóñòü óíêöèÿ y = f (x), îïðåäåëåííàÿ â îêðåñòíîñòè Ox0 òî÷êè x0 ∈ R, èìååò â x0 âñå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà (n−1) (n) n ∈ N âêëþ÷èòåëüíî. Åñëè fx′ 0 = · · · = fx0 = 0 è fx0 6= 0, òî ïðè íå÷åòíîì n â òî÷êå x0 ýêñòðåìóìà óíêöèè íåò, à ïðè n ÷åòíîì (n) â ñëó÷àå fx0 > 0  â òî÷êå x0 ëîêàëüíûé ìèíèìóì óíêöèè f , à â (n) ñëó÷àå fx0 < 0  ëîêàëüíûé ìàêñèìóì. ⊳ Ïðèìåíèì îðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â îðìå Ïåàíî. (n) fx0 (x − x0 )n + α(x)(x − x0)n , f (x) = f (x0) + n! ãäå α(x)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → x0 . Çàïèøåì ýòó îðìóëó â âèäå 1 + β(x))(x − x0)n , f (x) − f (x0) = (fx(n) 0 n! ãäå β(x)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → x0 , è áóäåì ðàññóæäàòü, êàê (n) ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ôåðìà. Åñëè fx0 6= 0, òî ïðè x äîñòà(n) òî÷íî áëèçêèõ ê x0 çíàê âûðàæåíèÿ fx0 + β(x) áóäåò ñîâïàäàòü ñî (n) çíàêîì fx0 . Çíà÷èò, åñëè n  íå÷åòíîå, òî ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç x0 çíàê (n) âûðàæåíèÿ (fx0 + β(x))(x − x0 )n áóäåò ìåíÿòüñÿ, à ïðè ÷åòíîì n  íå áóäåò, òî åñòü çíàê ýòîãî âûðàæåíèÿ áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì (n) fx0 . ⊲ ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 5.1. Ôóíêöèÿ f : (a, b) → R íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè ∀x1 , x2 ∈ (a, b) ∀α1 , α2 ∈ R+ (α1 + α2 = 1) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî f (α1 x1 + α2 x2 ) ≤ α1 f (x1) + α2 f (x2).


4.5

Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà óíêöèè. Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü

112

åîìåòðè÷åñêè óñëîâèå âûïóêëîñòè óíêöèè f : (a, b) → R îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè ëþáîé äóãè ãðàèêà ëåæàò íèæå õîðäû, ñòÿãèâàþùåé ýòó äóãó.

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 5.2. Ôóíêöèÿ f : (a, b) → R íàçûâàåòñÿ âîãíóòîé, åñëè ∀x1 , x2 ∈ (a, b) ∀α1 , α2 ∈ R+ (α1 + α2 = 1) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî f (α1 x1 + α2 x2 ) ≥ α1 f (x1) + α2 f (x2). Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî òî÷êè äóãè ãðàèêà âîãíóòîé óíêöèè ëåæàò âûøå õîðäû, ñòÿãèâàþùåé ýòó äóãó. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 5.3. Âûïóêëàÿ (âîãíóòàÿ) íà èíòåðâàëå (a, b) óíêöèÿ f : (a, b) → R íàçûâàåòñÿ ñòðîãî âûïóêëîé (ñòðîãî âîãíóòîé), åñëè ïðè x1 6= x2 â îïðåäåëåíèè 5.1 (5.2) èìååò ìåñòî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî, òî åñòü

f (α1x1 + α2 x2) < α1 f (x1) + α2 f (x2) (f (α1x1 + α2 x2) > α1 f (x1) + α2 f (x2)). ÒÅÎÅÌÀ 5.3. Äèåðåíöèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå (a, b) óíêöèÿ y = f (x) âûïóêëà íà íåì òî÷íî òîãäà, êîãäà ïðîèçâîäíàÿ fx′ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà (a, b). Ïðè ýòîì ñòðîãîìó ìîíîòîííîìó âîçðàñòàíèþ fx′ ñîîòâåòñòâóåò ñòðîãàÿ âûïóêëîñòü. ⊳ Ïóñòü f : (a, b) → R äèåðåíöèðóåìà è âûïóêëà íà (a, b). Òîãäà èç ñîîòíîøåíèé x = α1 x1 + α2 x2 , α1 + α2 = 1, α1 , α2 > 0 èìååì x2 − x x − x1 α1 = , α2 = . x2 − x1 x2 − x1 Òåïåðü óñëîâèå âûïóêëîñòè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x − x1 x2 − x f (x1) + f (x2). f (x) ≤ x2 − x1 x2 − x1 Îòêóäà ïîëó÷àåì

(x2 − x)f (x1) + (x1 − x2)f (x) + (x − x1)f (x2) ≥ 0.

Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî (x2 − x1 ) = (x2 − x) + (x − x1), ïîýòîìó ïîëó÷èì

f (x) − f (x1) f (x2) − f (x) ≤ x − x1 x2 − x


4.5

Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà óíêöèè. Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü

113

ïðè x1 < x < x2 . Ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî åñòü äðóãàÿ îðìà çàïèñè óñëîâèÿ âûïóêëîñòè óíêöèè. Óñòðåìèì x ñíà÷àëà ê x1 , à çàòåì ê x2. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èì

fx′ 1 ≤

f (x2) − f (x1) ≤ fx′ 2 , x2 − x1

îòêóäà ñëåäóåò ìîíîòîííûé ðîñò ïðîèçâîäíîé fx′ . Ó÷èòûâàÿ ýòî, äëÿ ñòðîãî âûïóêëîé óíêöèè èç òåîðåìû Ëàãðàíæà ñëåäóåò

fx′ 1 ≤ fξ′1 =

f (x) − f (x1) f (x2) − f (x) < = fξ′2 ≤ fx′ 2 , x − x1 x2 − x

ãäå x1 < ξ1 < x < ξ2 < x2 , òî åñòü ñòðîãàÿ âûïóêëîñòü âëå÷åò ñòðîãóþ ìîíîòîííîñòü ïðîèçâîäíîé. Òåïåðü ïóñòü fx′ íà (a, b) ìîíîòîííî (ñòðîãî ìîíîòîííî) âîçðàñòàåò. Òîãäà äëÿ a < x1 < x < x2 < b ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà

fξ′1 =

f (x2) − f (x) f (x) − f (x1) ≤ (<) = fξ′2 , x − x1 x2 − x

ãäå x1 < ξ1 < x < ξ2 < x2 . ⊲ ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 5.1. Ôóíêöèÿ f : (a, b) → R, èìåþùàÿ íà èíòåðâàëå (a, b) âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ, âûïóêëà íà íåì òî÷íî òîãäà, êîãäà fx′′ ≥ 0. Èç óñëîâèÿ fx′′ > 0 ñëåäóåò ñòðîãàÿ âûïóêëîñòü. ⊳ Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ñëåäñòâèå ê òåîðåìå Ëàãðàíæà ïðèìåíèòü ê óíêöèè fx′ . ⊲ Àíàëîãè÷íî îðìóëèðóþòñÿ è äîêàçûâàþòñÿ ðåçóëüòàòû äëÿ âîãíóòîé óíêöèè. ÒÅÎÅÌÀ 5.4. Äèåðåíöèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå (a, b) óíêöèÿ y = f (x) âîãíóòà íà íåì òî÷íî òîãäà, êîãäà ïðîèçâîäíàÿ fx′ ìîíîòîííî óáûâàåò íà (a, b). Ïðè ýòîì ñòðîãîìó ìîíîòîííîìó óáûâàíèþ fx′ ñîîòâåòñòâóåò ñòðîãàÿ âîãíóòîñòü. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 5.2. Ôóíêöèÿ f : (a, b) → R, èìåþùàÿ íà èíòåðâàëå (a, b) âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ, âîãíóòà íà íåì òî÷íî òîãäà, êîãäà fx′′ ≤ 0. Èç óñëîâèÿ fx′′ < 0 ñëåäóåò ñòðîãàÿ âîãíóòîñòü. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 5.4. Ïóñòü f : Ox0 → R  óíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ â îêðåñòíîñòè Ox0 òî÷êè x0 ∈ R. Åñëè íà ìíîæåñòâå

l

Ox0


4.6

114

Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ

óíêöèÿ f âîãíóòà (âûïóêëà), à íà ìíîæåñòâå r O x0 óíêöèÿ f âûïóêëà (âîãíóòà), òî òî÷êà ãðàèêà (x0 , f (x0)) íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà. Òàêèì îáðàçîì, åñëè â òî÷êå ïåðåãèáà x0 óíêöèÿ f äâàæäû äèåðåíöèðóåìà, òî â ñèëó òåîðåì 5.3, 5.4 è òåîðåìû Ôåðìà íåîáõîäèìî, ÷òîáû fx′′0 = 0. Åñëè æå âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëåíà â •

ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè Ox0 òî÷êè x0 è â l O x0 èìååò îäèí çíàê, à â r

Ox0 ïðîòèâîïîëîæíûé, òî x0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà.

4.6

Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ

Âåñüìà ïîëåçíîé áûâàåò ïðè âû÷èñëåíèè ïðåäåëîâ ñëåäóþùàÿ ÒÅÎÅÌÀ 6.1 (ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ1 ). Ïóñòü óíêöèè f : (a, b) → R è g : (a, b) → R äèåðåíöèðóåìû íà èíòåðâàëå (a, b) (−∞ ≤ a < b ≤ +∞), ïðè÷åì gx′ 6= 0, x ∈ (a, b), è

fx′ lim ′ = A (−∞ ≤ A ≤ +∞). x→a+ gx Òîãäà ïðè âûïîëíåíèè ëþáîãî èç ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé (i) ( lim f (x) = 0) ∧ ( lim g(x) = 0), x→a+

(ii) lim g(x) = ∞

x→a+

x→a+

áóäåò âûïîëíÿòñÿ ðàâåíñòâî

f (x) = A. x→a+ g(x) Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è ïðè x → b−. ⊳ Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî A < +∞, è èêñèðóåì ÷èñëà p è q f′ òàê, ÷òîáû A < p < q . Ïîñêîëüêó lim gx′ = A, òî ñóùåñòâóåò òî÷êà lim

x→a+

x

c ∈ (a, b) òàêàÿ, ÷òî ïðè ëþáîì x ∈ (a, c) áóäåò fx′ /gx′ < p < q . Òàê êàê gx′ 6= 0 íà (a, b), òî g(x) ñòðîãî ìîíîòîííà íà (a, b), è ïîòîìó, âûáðàâ òî÷êó c1 ∈ (a, c) äîñòàòî÷íî áëèçêîé ê òî÷êå a, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî g(x) 6= 0 íà èíòåðâàëå (a, c1 ). Ïîýòîìó ïðè ëþáûõ x, y ∈ (a, c1 ), y < x ïî òåîðåìå Êîøè î ïðèðàùåíèÿõ èìååì f (x) − f (y) fξ′ = ′, g(x) − g(y) gξ 1 èéîì

Ôðàíñóà Àíòóàí äå Ëîïèòàëü (1661-1704)  ðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê


4.6

115

Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ

ãäå ξ ∈ (y, x) ⊂ (a, c1 ). Îòñþäà

f (x) − f (y) < p, g(x) − g(y)

(6.1)

åñëè x, y ∈ (a, c1 ). Òåïåðü ðàññìîòðèì îáå âîçìîæíîñòè:  â ñëó÷àå (i), ïåðåõîäÿ â ïðåäûäóùåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè y → a+, ïîëó÷èì

f (x) ≤ p < q, g(x)

x ∈ (a, c1 );

 â ñëó÷àå (ii), èêñèðóÿ y è áåðÿ x äîñòàòî÷íî áëèçêèì ê a, èìååì g(x) − g(y) g(y) =1− > 0. (6.2) g(x) g(x) Äîìíîæàÿ íåðàâåíñòâî (6.1) íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (6.2), ïîëó÷èì   f (x) − f (y) g(y) <p 1− , g(x) g(x) èëè g(y) f (y) f (x) <p−p + . g(x) g(x) g(x) Âûáðàâ c2 ∈ (a, c1 ) äîñòàòî÷íî áëèçêèì ê a, äëÿ ëþáîãî x ∈ (a, c2 ) èìååì f (x) g(y) f (y) <p−p + < q. g(x) g(x) g(x) Èòàê, â îáîèõ ñëó÷àÿõ (i) è (ii) ñóùåñòâóåò èíòåðâàë (a, cq ), â ëþáîé òî÷êå êîòîðîãî f (x)/g(x) < q . Åñëè A = −∞, òî â ñèëó ïðîèçâîëà â âûáîðå q > A òåîðåìà â ýòîì ñëó÷àå äîêàçàíà. Åñëè A = +∞, òî âçÿâ q˜ è p˜ òàê, ÷òîáû q˜ < p˜ < A, àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó íàéäåì èíòåðâàë (a, cq˜), â ëþáîé òî÷êå êîòîðîãî q˜ < f (x)/g(x), òî åñòü lim f (x)/g(x) = +∞. x→a+

Åñëè A ∈ R, òî äëÿ ëþáîé ïàðû ÷èñåë q˜ < A < q íàéäåì èíòåðâàë (a, cq˜) ∩ (a, cq ), â ëþáîé òî÷êå êîòîðîãî áóäåì èìåòü

q˜ <

f (x) < q, g(x)

òî åñòü

f (x) = A. ⊲ x→a+ g(x) lim


4.7

4.7

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïðîñòåéøèå ïðèåìû èíòåãðèðîâàíèÿ

116

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïðîñòåéøèå ïðèåìû èíòåãðèðîâàíèÿ

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 7.1. Ïóñòü óíêöèè y = F (x) è y = f (x) îïðåäåëåíû íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå (a, b), ïðè÷åì óíêöèÿ F äèåðåíöèðóåìà íà ýòîì ïðîìåæóòêå. Åñëè

∀x ∈ (a, b) Fx′ = f (x),

(7.1)

òî óíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ óíêöèè f (x) íà ïðîìåæóòêå (a, b). ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.1. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïåðâîîáðàçíàÿ F (x) óíêöèè f (x) îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè F (x)  ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè f (x), òî óíêöèÿ Φ(x) = F (x) + C , ãäå C êîíñòàíòà, òîæå áóäåò ïåðâîîáðàçíîé, ïîñêîëüêó

(Φ(x))′x = (F (x) + C)′x = Fx′ + Cx′ = Fx′ = f (x). ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 7.2. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïåðâîîáðàçíûõ óíêöèè f (x) íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå (a, b) íàçûâàþò íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì îò óíêöèè f (x) íà ýòîì ïðîìåæóòêå, îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì Z f (x)dx è ïèøóò

Z

f (x)dx = F (x) + C.

(7.2)

Çäåñü F (x)  êàêàÿ-íèáóäü ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè R f (x) íà ïðîìåæóòêå (a, b), C  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Çíàê " " íàçûâàþò çíàêîì èíòåãðàëà, óíêöèþ f (x)  ïîäèíòåãðàëüíîé óíêöèåé, âûðàæåíèå f (x)dx  ïîäèíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì. Ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå äèåðåíöèàëà Fx′ dx = dF (x), òî åñòü

f (x)dx = dF (x).

(7.3)

Îïåðàöèþ íàõîæäåíèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò äàííîé óíêöèè, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê îïåðàöèè äèåðåíöèðîâàíèÿ, íàçûâàþò èíòåãðèðîâàíèåì. Ïîýòîìó ëþáóþ îðìóëó äëÿ ïðîèçâîäíîé, òî åñòü îðìóëó âèäà (7.1), ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (7.2).


4.7

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïðîñòåéøèå ïðèåìû èíòåãðèðîâàíèÿ

117

Èñïîëüçóÿ îðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíûõ ìîæíî çàïèñàòü òàáëèöó èíòåãðàëîâ: Z Z α+1 dx x + C, α 6= −1; = ln |x| + C; xα dx = α+1 x Z Z x a ax dx = + C, a > 0, a 6= 1; exdx = ex + C; ln a Z Z sin xdx = − cos x + C; cos xdx = sin x + C; Z Z dx dx = − tgx + C; tg x + C; = cos2 x sin2 x Z Z shxdx = hx + C; hxdx = shx + C; Z dx = ar tgx + C = −ar tgx + C; 1 + x2 Z dx √ = ar sinx + C = −ar osx + C; 1 − x2 Z Z dx dx th x + C; dx = dx = − thx + C. h2 x sh2 x Òåïåðü ñîðìóëèðóåì îñíîâíûå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ÑÂÎÉÑÒÂÎ 1. Z  d f (x)dx = f (x)dx.

⊳ Èç ðàâåíñòâ (7.2) è (7.3) ñëåäóåò, ÷òî  Z f (x)dx = d(F (x) + C) = dF (x) = f (x)dx, d

òàê êàê dC = 0. ⊲ ÑÂÎÉÑÒÂÎ 2.

Z

dF (x) = F (x) + C.

⊳ Ñâîéñòâî ñðàçó ñëåäóåò èç (7.2) è (7.3). ⊲


4.7

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïðîñòåéøèå ïðèåìû èíòåãðèðîâàíèÿ

118

ÑÂÎÉÑÒÂÎ 3. Åñëè óíêöèè f (x) è g(x) èìåþò íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå (a, b) ïåðâîîáðàçíûå, òî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α è β óíêöèÿ αf (x) + βg(x) òîæå èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà (a, b), ïðè÷åì Z Z Z (αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx.

⊳ Ïóñòü F (x) è G(x)  ïåðâîîáðàçíûå äëÿ óíêöèé f è g ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà αF (x) + βG(x)  ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ óíêöèè αf (x) + βg(x), ïîñêîëüêó (αF (x) + βG(x))′x = αFx′ + βG′x = αf (x) + βg(x). ⊲

Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðèðîâàíèå îáëàäàåò ñâîéñòâîì ëèíåéíîñòè: èíòåãðàë îò ëèíåéíîé êîìáèíàöèè óíêöèé ðàâåí ñîîòâåòñòâóþùåé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè îò ðàññìàòðèâàåìûõ óíêöèé. Ïåðåéäåì ê ïðîñòåéøèì ìåòîäàì èíòåãðèðîâàíèÿ. Íà÷íåì ñ ìåòîäà çàìåíû ïåðåìåííîãî. ÒÅÎÅÌÀ 7.1. Ïóñòü óíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà è äèå˜  ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ðåíöèðóåìà íà ïðîìåæóòêå ∆ è ïóñòü ∆ óíêöèè f (x) íà ∆. Åñëè óíêöèÿ g(y) èìååò ïåðâîîáðàçíóþ G(y) ˜ , òî ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè g(f (x))f ′(x) íà ïðîíà ∆ ìåæóòêå ∆, ïðè÷åì èìååò ìåñòî êàæäîå èç ñëåäóþùèõ äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ òîæäåñòâ Z g(f (x))f ′(x)dx = G(f (x)) + C, (7.4)

Z

g(f (x))df (x) = G(f (x)) + C.

(7.5)

⊳ Äåéñòâèòåëüíî, â óñëîâèÿõ òåîðåìû íà ïðîìåæóòêå ∆ îïðåäåëåíà è äèåðåíöèðóåìà ñëîæíàÿ óíêöèÿ F (x) = G(f (x)) è Fx′ = G′y (f (x)) · fx′ = g(y)fx′ . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè G(y)  ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè g(y), òî G(f (x))  ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè g(f (x)) · fx′ . ⊲ Ôîðìóëó (7.4) (èëè îðìóëó (7.5)) íàçûâàþò îðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ çàìåíîé ïåðåìåííîãî. Îòìåòèì âàæíûå ÷àñòíûå ñëó÷àè ýòîé îðìóëû.


4.7

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïðîñòåéøèå ïðèåìû èíòåãðèðîâàíèÿ

119

ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 7.1. (i) Åñëè Z f (x)dx = F (x) + C,

òî

1 1 f (ax + b) d(ax + b) = F (ax + b) + C; a a Z Z ′ df (x) f (x) (ii) dx = = ln |f (x)| + C; f (x) f (x) Z Z (f (x))α+1 α ′ α (iii) (f (x)) f (x)dx = (f (x)) df (x) = + C, α 6= −1. α+1 Íà ñòóäåí÷åñêîì æàðãîíå ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííîãî íàçûâàþò åùå "çàãíàòü ïîä äèåðåíöèàë"(óíêöèþ f (x)). àññìîòðèì ïðèìåðû, êîòîðûìè ïîïîëíèì òàáëèöó èíòåãðàëîâ. ( Z Z ln |x + a| + C, α = 1; d(x + a) dx = = (x+a)1−α (x + a)α (x + a)α , α 6= 1 1−α Z Z dx d(x/a) 1 1 1 x x = = + C = − + C. ar tg ar tg x2 + a2 a 1 + (x/a)2 a a a a Z Z dx x x d(x/a) √ p = ar sin + C = −ar os + C. = a a a2 − x2 1 − (x/a)2 Z

f (ax + b)dx =

Z

Ïðè íàõîæäåíèè ïåðâîîáðàçíûõ ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïîäñòàíîâêîé, êîòîðûé ïî ñóùåñòâó åñòü ïðîñòî âàðèàöèÿ ìåòîäà çàìåíû ïåðåìåííîãî (òà æå îïåðàöèÿ, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå). Ïóñòü íàì íåîáõîäèìî íàéòè èíòåãðàë Z f (x)dx.

Ñäåëàåì â íåì çàìåíó ïåðåìåííîãî: x = g(t). Òîãäà

Z

Z

′ f (x)dx =

x = g(t), dx = g (t)dt

= f (g(t))g ′(t)dt.

Èíîãäà èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè îêàçûâàåòñÿ ïðîùå, ÷åì èñõîäíûé èíòåãðàë. àññìîòðèì ïðèìåðû

Z

Z p

a2 − x2 dx =

x = a sin t, dx = a cos tdt

= a2 cos2 tdt =


4.7

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïðîñòåéøèå ïðèåìû èíòåãðèðîâàíèÿ

120

Z 1 a2 a2 (1 + cos 2t)dt = (t + sin 2t) + C. = 2 2 2 Îêîí÷àòåëüíî íàéäåì √ Z p 2 a x a2 − x2 x a2 − x2dx = ar sin + + C, 2 a 2 ïîñêîëüêó r √ x2 x 1 x a2 − x2 sin t = , cos t = 1 − 2 , sin 2t = sin t cos t = . a a 2 a2 Ïîäñòàíîâêè ïîä÷àñ áûâàþò çàìûñëîâàòûìè:

p   Z

t x dx √ dx = √ dx

=

x+ x2 + a = t, dt = 1 + √ x2 + a x2 + a x2 + a Z p dt = = ln |t| + C = ln |x + x2 + a| + C. t ÒÅÎÅÌÀ 7.2. Ïóñòü óíêöèè f (x) è g(x) äèåðåíöèðóåìû íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå ∆, è, êðîìå òîãî, íà íåì óíêöèÿ f ′ (x)g(x) èìååò ïåðâîîáðàçíóþ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ óíêöèè f (x)g ′(x), ïðè÷åì ñïðàâåäëèâî ëþáîå èç ñëåäóþùèõ äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ òîæäåñòâ: Z Z f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x) − f ′(x)g(x)dx, (7.7) Z

f (x)dg(x) = f (x)g(x) −

Z

g(x)df (x).

(7.8)

⊳  óñëîâèÿõ òåîðåìû óíêöèÿ f (x)g(x) èìååò ïðîèçâîäíóþ è ïî ïðàâèëó äèåðåíöèðîâàíèÿ èìååì f (x)g ′(x) = (f (x)g(x))′x − f ′(x)g(x). Ïåðâîîáðàçíàÿ ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò è ïåðâîîáðàçíàÿ ëåâîé ÷àñòè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Z (f (x)g(x))′xdx = f (x)g(x) + C, ïîëó÷àåì

Z

f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x) −

Z

f ′(x)g(x)dx + C.


4.7

Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ïðîñòåéøèå ïðèåìû èíòåãðèðîâàíèÿ

121

Îòíîñÿ êîíñòàíòó C ê èíòåãðàëó Z f ′ (x)g(x)dx,

ïîëó÷àåì (7.7), èç êîòîðîãî ñðàçó ñëåäóåò (7.8), òàê êàê f ′(x)dx = df (x), g ′ (x)dx = dg(x). ⊲ Ôîðìóëà (7.7) (èëè îðìóëà (7.8)) íàçûâàåòñÿ îðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. àññìîòðèì ïðèìåðû, êîòîðûå âíåñåì â òàáëèöó èíòåãðàëîâ: Z p x2 + adx =

p

x

=

f (x) = x2 + a, df (x) = √ , g(x) = x, dg(x) = dx

2 x +a Z Z p Z p p x2dx dx 2 2 2 = x x + a− . x + adx+a √ = x x + a− √ x2 + a x2 + a Èñïîëüçóÿ ïðåäûäóùèé ïðèìåð, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì: Z p p xp 2 a x2 + adx = x + a + ln |x + x2 + a| + C. 2 2 Ïóñòü

In =

Z

dx , (x2 + a2 )n

n ∈ N,

a 6= 0.

Ïîëîæèì g(x) = x, f (x) = (x2 + a2 )−n, òîãäà df (x) = −2nx(x2 + a2 )−n−1dx. Ïîýòîìó Z Z 2 x2dx x + a2 − a2 x x +2n = +2n dx In = 2 (x + a2 )n (x2 + a2 )n+1 (x2 + a2 )n (x2 + a2 )n+1 x = 2 + 2nIn − 2na2 In+1. 2 n (x + a ) Ñëåäîâàòåëüíî,

In+1 =

x 2na2(x2

+

a2 )n

+

2n − 1 In . 2na2

(7.9)

Ïðè ëþáîì n ïî ýòîé îðìóëå ìîæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàë In+1 , âû÷èñëèâ ñíà÷àëà I1 , I2, . . . , In. Ìû óæå çíàåì, ÷òî Z dx 1 x = + C. I1 = ar tg x2 + a2 a a


4.8

Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé. Ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî

122

Îòñþäà

I2 = 4.8

Z

x 1 x dx = + + C. ar tg (x2 + a2 )2 2a2(x2 + a2 ) 2a3 a

Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé. Ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî

P (x)

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 8.1. Ôóíêöèÿ R(x) = Qmn (x) , ãäå Pm (x) è Qn (x) ìíîãî÷ëåíû îò ïåðåìåííîé x ñòåïåíåé m è n ñîîòâåòñòâåííî, íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíîé óíêöèåé.  ýòîì ïàðàãðàå ìû ðåøèì âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Z

R(x)dx,

ãäå R(x)  ðàöèîíàëüíàÿ óíêöèÿ. ÒÅÎÅÌÀ 8.1. Ïóñòü R(x)  ðàöèîíàëüíàÿ óíêöèÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ F (x) óíêöèè R(x), âûðàæåííàÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå óíêöèè. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñóùåñòâåííûì îáðàçîì îïèðàåòñÿ íà äâà âàæíåéøèõ ðåçóëüòàòà, äîêàçàòåëüñòâà êîòîðûõ ïðèâîäÿòñÿ â êóðñå òåîðèè óíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé. Çäåñü æå ìû òîëüêî ïðèâåäåì èõ îðìóëèðîâêó. ÒÅÎÅÌÀ 8.2 (îñíîâíàÿ òåîðåìà âûñøåé àëãåáðû). Ëþáîé ìíîãî÷ëåí Pn (x) ñòåïåíè n ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ

Pn (x) = a0 (x − x1)α1 . . . (x − xk )αk (x2 + p1x + q1 )β1 . . . (x2 + pl x + ql )βl , ãäå xi  êîðíè ìíîãî÷ëåíà Pn (x) êðàòíîñòè αi , i = 1, . . . , k , à äâó÷ëåíû x2 +pj x +qj , j = 1, . . . , l, äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé íå èìåþò, ïðè÷åì β1 + · · · + βl α1 + · · · + αk + = n. 2 Ïðåæäå, ÷åì ñîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó, ââåäåì ïîP (x) íÿòèå ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé óíêöèè Qmn (x)  òàêîé ðàöèîíàëüíîé óíêöèè, ÷òî m < n. Î÷åâèäíî, ëþáóþ ðàöèîíàëüíóþ óíêP (x) öèþ Qmn (x) (òî åñòü è òàêóþ, ãäå m ≥ n) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó


4.8

Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé. Ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî

123

S(x) + QPnl (x) (x) , ãäå S(x)  íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí, à l < n. Äàëåå, íàçîâåì ðàöèîíàëüíûå óíêöèè âèäà βi (x − xi)αi

è

(x2

Mj x + Nj + p j x + q j ) βj

(p2j < 4qj ),

αi , βj ∈ N,  ïðîñòåéøèìè ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè èëè êîðî÷å  ïðîñòåéøèìè äðîáÿìè. ÒÅÎÅÌÀ 8.3. Ëþáàÿ ïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ óíêöèÿ ðàçëàãàåòñÿ â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé, òî åñòü k

α

l

βi

i X X Mij x + Nij βij Pm (x) X X + , = j 2 + p x + q )j Qn(x) (x − x ) (x j i i i=1 j=1 i=1 j=1

ïðè÷åì âñå êîýèöèåíòû ýòîãî ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Òåïåðü ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 8.1. ⊳  ñèëó òåîðåìû 8.3 èíòåãðàë Z Z Pm (x) dx R(x)dx = Qn(x) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû èíòåãðàëîâ âèäà Z S(x)dx (8.1),

Aij dx , (8.2) (x − xi )j Z Mij x + Nij dx (8.3). (x2 + pi x + qi )j Èíòåãðàë (8.1)  èíòåãðàë îò ìíîãî÷ëåíà  î÷åâèäíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå óíêöèè. Èíòåãðàë (8.2)  òàáëè÷íûé èíòåãðàë: ( Z Aij Aij dx j 6= 1, j−1 , (1−j)(x−x i) = (x − xi)j Aij ln |x − xi|, j = 1. Z

Èíòåãðàë (8.3) ïîñðåäñòâîì ïðåîáðàçîâàíèé ñâîäèòñÿ ê ñóììå òàáëè÷íûõ èíòåãðàëîâ: Z Z Mij 2x + pi Mij x + Nij dx = dx+ (x2 + pi x + qi)j 2 (x2 + pix + qi )j


4.8

Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé. Ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî

124

Z dx Mij pi = + Nij − 2 2 (x + pix + qi )j  Z Z Mij d(x2 + pi x + qi ) Mij pi dx + N − , ij 2 (x2 + pi x + qi )j 2 ((x + αi )2 + βi )j 

p2i pi αi = , βi = qi − ; 2 4  1 2 Z 2 (x + pi x + qi )1−j , j 6= 1, d(x + pi x + qi) 1−j = ln |x2 + pi x + qi|, j = 1. (x2 + pix + qi)j

Èíòåãðàë

Ij =

Z

(y 2

dy , + β)j

j ≥ 1,

âû÷èñëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ (7.9). ⊲ Ì.Â.Îñòðîãðàäñêèì1 ïðåäëîæåí îñòðîóìíûé ìåòîä âûäåëåíèÿ ðàöèîíàëüíîé ÷àñòè èíòåãðàëà îò ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè P (x)/Q(x). Àíàëèçèðóÿ âèä èíòåãðàëîâ (8.2), (8.3), ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû: (i) èíòåãðàëû (8.2), (8.3) ïðè j = 1 ÿâëÿþòñÿ íåðàöèîíàëüíûìè óíêöèÿìè (îíè ðàâíû ëîãàðèìó èëè àðêòàíãåíñó); (ii) èíòåãðàë (8.2) ïðè j > 1 ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ ñî çíàìåíàòåëåì, ðàâíûì òîìó æå äâó÷ëåíó â ñòåïåíè j − 1; (iii) èíòåãðàë (8.3) ïðè j > 1 ñ ó÷åòîì ðåêóððåíòíîé îðìóëû (7.9) ðàâåí ñóììå ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì, ðàâíûì òîìó æå òðåõ÷ëåíó â ñòåïåíè j − 1, è ïðèâîäÿùåãîñÿ ê àðêòàíãåíñó èíòåãðàëà Z dx . onst x 2 + p i x + qi Âûâîäû (i), (ii), (iii) ïîçâîëÿþò çàêëþ÷èòü, ÷åìó ðàâíà ðàöèîíàëüíàÿ ÷àñòü âñåãî èíòåãðàëà îò ïðàâèëüíîé äðîáè P (x)/Q(x). Ïóñòü ýòà äðîáü íåñîêðàòèìà è åå çíàìåíàòåëü èìååò âèä

Q(x) = (x − x1 )α1 . . . (x − xk )αk (x2 + p1 x + q1 )β1 . . . (x2 + pl x + ql )βl . 1 Ìèõàèë

Âàñèëüåâè÷ Îñòðîãðàäñêèé (1801-1861)  ðóññêèé ìàòåìàòèê.


4.8

Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé. Ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî

125

Òîãäà ðàöèîíàëüíàÿ ÷àñòü èíòåãðàëà îò ýòîé äðîáè ðàâíà ñóììå ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, çíàìåíàòåëè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû (x − x1)α1 −1, . . . , (x − xk )αk −1,

(x2 + p1x + q1)β1 −1, . . . , (x2 + pl x + ql )βl −1.

àöèîíàëüíàÿ ÷àñòü èíòåãðàëà îò äðîáè P (x)/Q(x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, î÷åâèäíî, ïðàâèëüíóþ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü P1 (x)/Q1(x), çíàìåíàòåëü êîòîðîé èìååò âèä

Q1(x) = (x−x1)α1 −1 . . . (x−xk )αk −1(x2+p1 x+q1)β1−1 . . . (x2+pl x+ql )βl −1. Ïîäñ÷èòàåì òåïåðü ñóììó òåõ ïðîñòåéøèõ äðîáåé, èíòåãðàëû îò êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿþò íåðàöèîíàëüíûå óíêöèè. Èç âûâîäîâ (i) è (iii) âûòåêàåò, ÷òî ýòà ñóììà ðàâíà ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè P2 (x)/Q2(x), çíàìåíàòåëü êîòîðîé ðàâåí

Q2(x) = (x − x1) . . . (x − xk )(x2 + p1 x + q1 ) . . . (x2 + pl x + ql ). Òàêèì îáðàçîì ìû ïðèõîäèì ê îðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî Z Z P2 (x) P (x) P1 (x) dx = + dx, Q(x) Q1 (x) Q2(x)

 íåé ìíîãî÷ëåíû Q1 (x) è Q2 (x) îïðåäåëÿþòñÿ âûøå è ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû áåç ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà Q(x) íà ïðîèçâåäåíèå íåïðèâîäèìûõ ìíîæèòåëåé. Äåéñòâèòåëüíî, Q1 (x) ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ Q(x) è Q′ (x) è ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïðè ïîìîùè àëãîðèòìà Åâêëèäà, êîòîðûé èçëàãàåòñÿ â êóðñå àëãåáðû. Ìíîãî÷ëåí Q2 (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíîå Q(x)/Q1(x) è ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïîñðåäñòâîì äåëåíèÿ Q(x) íà Q1 (x) "ñòîëáèêîì". Îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü ìíîãî÷ëåíû P1 (x) è P2 (x). Ïîñêîëüêó äðîáè P1 (x)/Q1(x) è P2 (x)/Q2(x) ÿâëÿþòñÿ ïðàâèëüíûìè, ìíîãî÷ëåíû P1 (x) è P2 (x) åñòåñòâåííî çàäàòü êàê ìíîãî÷ëåíû ñ íåîïðåäåëåííûìè êîýèöèåíòàìè ñòåïåíè íà åäèíèöó íèæå, ÷åì Q1 (x) è Q2 (x) ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ óêàçàííûõ íåîïðåäåëåííûõ êîýèöèåíòîâ ñëåäóåò ïðîäèåðåíöèðîâàòü îðìóëó Îñòðîãðàäñêîãî, ïðèâåñòè ðåçóëüòàò äèåðåíöèðîâàíèÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ


4.8

Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé. Ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî

126

è ñîïîñòàâèòü êîýèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x â ÷èñëèòåëÿõ. Ìåòîä Îñòðîãðàäñêîãî îñîáåííî ýåêòèâåí, êîãäà êîðíè Q(x) â îñíîâíîì ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè èëè êîãäà âûçûâàåò çàòðóäíåíèå íàõîæäåíèå êîðíåé Q(x). ÏÈÌÅ 8.1. Ìåòîäîì Îñòðîãðàäñêîãî âû÷èñëèì Z 6 − 7x − x2 dx. x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 Èìååì

Q(x) = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1, Q′ (x) = 4x3 − 6x2 + 6x − 2.

Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ ðàâåí

Q1(x) = x2 − x + 1. Ïîäåëèâ Q(x) íà Q1 (x) "ñòîëáèêîì", íàéäåì

Q2(x) = x2 − x + 1. P1 (x) è P2 (x) çàäàåì êàê ìíîãî÷ëåíû ïåðâîé ñòåïåíè ñ íåîïðåäåëåííûìè êîýèöèåíòàìè, è îðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî ïðèíèìàåò âèä Z Z Cx + D 6 − 7x − x2 Ax + B dx = + dx. x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 x2 − x + 1 x2 − x + 1 Ïðîäèåðåíöèðóåì ýòó îðìóëó:

6 − 7x − x2 = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

A(x2 − x + 1) − (Ax + B)(2x − 1) Cx + D = + . x2 − x + 1 x2 − x + 1 åçóëüòàò äèåðåíöèðîâàíèÿ ïðèâîäèì ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîñëå ÷åãî ñîïîñòàâëÿåì ÷èñëèòåëè. Ïîëó÷èì 6 − 7x − x2 = A(x2 − x + 1) − (Ax + B)(2x − 1) + (Cx + D)(x2 − x + 1).


4.9

Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ èððàöèîíàëüíûõ óíêöèé

127

Ñðàâíèâàÿ êîýèöèåíòû ïðè x0 , x1 , x2 è x3 , ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé  C = 0,    −A + D − C = −1, −2B − D + C = −7,    A + B + D = 6. åøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàéäåì A = 2, B = 3, C = 0, D = 1. Òàêèì îáðàçîì îðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî ïðèíèìàåò âèä Z Z 2x + 3 dx 6 − 7x − x2 dx = + . x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 x2 − x + 1 x2 − x + 1 Âû÷èñëèì èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè: Z Z 2 dx dx 2x − 1 √ √ ar tg + C. = = x2 − x + 1 (x − 1/2)2 + 3/4 3 3

Îêîí÷àòåëüíî èìååì Z 2x − 1 6 − 7x − x2 2x + 3 2 √ √ ar tg + C. dx = + x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 x2 − x + 1 3 3 4.9

Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ èððàöèîíàëüíûõ óíêöèé

àññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå òèïû èíòåãðàëîâ îò èððàöèîíàëüíûõ óíêöèé. Èíòåãðàë âèäà    r r  Z ax + b n ax + b 1 ,..., dx, (9.1) R x, cx + d cx + d

ãäå rk ∈ Q, k = 1, . . . , n, a, b, c, d ∈ R, ad − bc 6= 0, ïîäñòàíîâêîé

ax + b = tp , cx + d ãäå p  íàèìåíüøèé îáùèé çíàìåíàòåëü äðîáåé r1 , r2, . . . , rn, ïðèâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó îò ðàöèîíàëüíîé óíêöèè. Äåéñòâèòåëüíî, íàõîäèì dtp − b p(ad − bc) x= p dt. (9.2) , dx = tp−1 p ct − a (ct − a)2 Ïîäñòàâëÿÿ (9.2) â èíòåãðàë (9.1), ïîëó÷èì òðåáóåìîå.


4.9

Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ èððàöèîíàëüíûõ óíêöèé

Èíòåãðàëû âèäà Z p R(x, ax2 + bx + c)dx,

a 6= 0,

128

b2 − 4ac 6= 0,

ìîæíî ñâåñòè ê èíòåãðàëàì îò ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé ïîñðåäñòâîì ïîäñòàíîâîê Ýéëåðà1 : p √ ax2 + bx + c = ±t ± ax, a > 0, p √ ax2 + bx + c = ±tx ± c, c > 0, p ax2 + bx + c = ±t(x − x1), b2 − 4ac > 0, ãäå x1  îäèí èç êîðíåé êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c. Èíòåãðàë âèäà Z xm (axn + b)pdx,

(9.3)

ãäå a, b ∈ R, m, n, p ∈ Q, ïðè÷åì a, b, n, p 6= 0, íàçûâàþò èíòåãðàëîì îò äèåðåíöèàëüíîãî áèíîìà. Èíòåãðàë (9.3) ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó îò ðàöèîíàëüíîé óíêöèè â ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àÿõ: p ∈ Z  ïîäñòàíîâêîé x = tq , ãäå q  îáùèé çíàìåíàòåëü m, n; m+1 n q n ∈ Z  ïîäñòàíîâêîé ax + b = t , ãäå q  çíàìåíàòåëü p; −n p + m+1 = tq , ãäå q  çíàìåíàòåëü p. n ∈ Z  ïîäñòàíîâêîé a + bx Îòìåòèì, ÷òî ýòè ñëó÷àè áûëè èçâåñòíû åùå Íüþòîíó, íî ëèøü â ñåðåäèíå XIX â. âûäàþùèéñÿ ðóññêèé ìàòåìàòèê Ï. Ë. ×åáûøåâ äîêàçàë, ÷òî èíòåãðàë (9.3) â äðóãèõ ñëó÷àÿõ íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå óíêöèè. Èíòåãðàë âèäà Z

R(sin x, cos x)dx

ìîæíî ñâåñòè ê èíòåãðàëó îò ðàöèîíàëüíîé óíêöèè ïîñðåäñòâîì ïîäñòàíîâêè t = tg x2 , ïîñêîëüêó

2t 1 − t2 sin x = , cos x = , 1 + t2 1 + t2 Èíòåãðàë âèäà Z

dx =

2dt . 1 + t2

R(shx, hx)dx

1 Ëåîíàðä

Ýéëåð (1707-1783)  ìàòåìàòèê, ìåõàíèê è èçèê. îäèëñÿ â Øâåéöàðèè, áîëüøóþ ÷àñòü ñâîåé æèçíè ïðîâåë â îññèè.


4.9

Èíòåãðèðîâàíèå íåêîòîðûõ èððàöèîíàëüíûõ óíêöèé

129

ìîæíî ðàöèîíàëèçèðîâàòü ïîñðåäñòâîì ïîäñòàíîâêè t = th x2 , ïðè ýòîì 2t 1 + t2 2dt h x = shx = , , dx = . 1 − t2 1 − t2 1 − t2


130

5

ÈÍÒÅ ÈÓÅÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ - Òîì, Òîì, ìû çàáëóäèëèñü! Ìû çàáëóäèëèñü! Íàì íèêîãäà íå âûáðàòüñÿ èç ýòîé ñòðàøíîé ïåùåðû! Ìàðê Òâåí "Ïðèêëþ÷åíèÿ Òîìà Ñîéåðà"

5.1

Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà èìàíà è èíòåãðàëîâ Äàðáó

Ïóñòü [a, b] ⊂ R  íåêîòîðûé îòðåçîê; f : [a, b] → R  íåêîòîðàÿ óíêöèÿ. Îòðåçîê [a, b] ðàçîáüåì íà n ÷àñòåé òî÷êàìè a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b è áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðîèçâîäåíî ðàçáèåíèå r îòðåçêà [a, b] íà îòðåçêè [xi, xi+1], i = 0, 1, . . . , n − 1. Äëèíó îòðåçêà [xi, xi+1] óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü ÷åðåç ∆xi, à max{∆xi : i = 0, . . . , n − 1} = λr . Íà êàæäîì îòðåçêå [xi, xi+1] âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ξi è ñîñòàâèì ñóììó n−1 X Sr = f (ξi)∆xi. i=0

Åå íàçûâàþò èíòåãðàëüíîé ñóììîé èìàíà óíêöèè f íà îòðåçêå [a, b] ñ ðàçáèåíèåì r è ïðîìåæóòî÷íûìè òî÷êàìè ξi . ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.1. Èíòåãðàëàìè èìàíà îò óíêöèè f íà îòðåçêå [a, b] íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûé ïðåäåë

lim

λr →0

n−1 X i=0

f (ξi)∆xi =

Zb

f (x)dx = IR ,

(1.1)

a

åñëè îí íå çàâèñèò îò âûáîðà ðàçáèåíèé è òî÷åê ξi . Èíà÷å ãîâîðÿ, IR åñòü òàêîå ÷èñëî, ÷òî ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀r ∀{ξi } (λr < δ ⇒ |Sr − IR | < ε). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ìû äàëè îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà èìàíà â äóõå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïî Êîøè. Äàäèì òåïåðü îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà èìàíà â äóõå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïî åéíå. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.2. Ïóñòü {rk }  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé rk = {a = xk0 < xk1 < · · · < xknk = b} òàêàÿ, ÷òî λrk = max {∆ki } → 0 ïðè k → ∞. Òîãäà èíòåãðàëîì èìàíà îò óíêöèè 1≤i≤nk


5.1

Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà èìàíà è èíòåãðàëîâ Äàðáó

131

f íà îòðåçêå [a, b] íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûé ïðåäåë lim Srk = lim

k→∞

k→∞

nX k −1

f (ξik )∆xki =

i=0

Zb

f (x)dx = IR ,

a

åñëè îí íå çàâèñèò îò âûáîðà ðàçáèåíèé rk è ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷åê ξik ∈ [xki , xki+1]. ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 1.1. Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé 1.1 è 1.2. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.3. Ôóíêöèþ f : [a, b] → R, äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò ïðåäåë (1.1), íàçûâàþò èíòåãðèðóåìîé ïî èìàíó óíêöèåé. Ìíîæåñòâî âñåõ èíòåãðèðóåìûõ ïî èìàíó íà îòðåçêå [a, b] óíêöèé áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì R[a, b] Èìååò ìåñòî êðèòåðèé Êîøè èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè. ÒÅÎÅÌÀ 1.1. (f ∈ R[a, b]) ⇔ (∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀r, r′ ∀{ξi }, {ξi′} (λr , λr′ < δ ⇒ |Sr − Sr′ | < ε). ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 1.2. Äîêàçàòü òåîðåìó 1.1. Óñòàíîâèì òåïåðü íåîáõîäèìîå óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè ïî èìàíó. ÒÅÎÅÌÀ 1.2. Åñëè óíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà íåì. ⊳ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåãðèðóåìàÿ óíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé. àññìîòðèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó

Sr =

n−1 X

f (ξi)∆xi,

i=0

ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîèçâîëüíîìó ðàçáèåíèþ r. Åñëè f íåîãðàíè÷åíà íà [a, b], òî ñóùåñòâóåò îòðåçîê (ñêàæåì, [xi, xi+1]), íà êîòîðîì f òîæå íåîãðàíè÷åíà. Èìååì X f (ξi)∆xi = f (ξi0 )∆xi0 + A. Sr = f (ξi0 )∆xi0 + i6=i0

Ïîñêîëüêó f íåîãðàíè÷åíà íà [xi0 , xi0+1 ], òî íå ìåíÿÿ âåëè÷èíû A, ìû ìîæåì ñêîëü óãîäíî óâåëè÷èòü ÷èñëî |f (ξi0 )|∆xi0 , âûáðàâ ïîäõîäÿùèì îáðàçîì òî÷êó ξi0 ∈ [xi0 , xi0+1 ]. À ïîñêîëüêó

|Sr | ≥ |f (ξi0 )|∆xi0 − |A|,


5.1

132

Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà èìàíà è èíòåãðàëîâ Äàðáó

òî îòñþäà ñëåäóåò f ∈ / R[a, b]. Ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì òåîðåìû.⊲ Óñòàíîâëåííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò íàì â äàëüíåéøåì îáõîäèòüñÿ òîëüêî îãðàíè÷åííûìè óíêöèÿìè. Ïðè èññëåäîâàíèè èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè áûâàþò ïîëåçíû òàê íàçûâàåìûå èíòåãðàëû Äàðáó 1 . ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.3. Ïóñòü f : [a, b] → R  îãðàíè÷åííàÿ óíêöèÿ; r = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b}  ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [a, b]. Ïîëîæèì mi = inf f (x), à Mi = sup f (x), ãäå [xi ,xi+1 ]

[xi ,xi+1 ]

i = 0, 1, . . . , n − 1. ×èñëà Sr =

n−1 X

mi ∆xi,

Sr =

i=0

n−1 X

Mi ∆xi

i=0

íàçûâàþòñÿ íèæíåé è âåðõíåé ñóììàìè Äàðáó ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî, S r ≤ S r . Ïóñòü r1 , r2 , r3  ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b]. Åñëè âñå òî÷êè ðàçáèåíèÿ r1 ïðèíàäëåæàò ðàçáèåíèþ r2 , òî áóäåì ïèñàòü r1 ⊂ r2 . Åñëè ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçáèåíèÿ r3 ñîñòîèò èç òî÷åê ðàçáèåíèé r1 è r2 , òî ìû áóäåì ïèñàòü r3 = r1 ∪ r2 . ËÅÌÌÀ 1.1. (r ⊂ r′ ) ⇒ (S r ≤ S r′ ≤ S r′ ≤ S r ). ⊲ Ïóñòü r = {x0 < x1 < · · · < xn}, à r′ = {x0 = x00 < x10 < · · · < mn−1 m1 0 0 0 xm 0 < x1 = x1 < · · · < x1 < x2 = x2 < · · · < xn−1 < xn }. Òîãäà, î÷åâèäíî,

mji =

inf

x∈[xji ,xji+1 ]

f (x) ≥

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

f (x) = mi ,

è ïîýòîìó

Sr =

n−1 X i=0

mi ∆xi =

n−1 X i=0

mi

mj −1

X j=0

∆xji

j −1 n−1 m X X

mji ∆xji = S r′ .

i=0 j=0

Ìû äîêàçàëè ïåðâîå íåðàâåíñòâî. Òðåòüå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî, à âòîðîå î÷åâèäíî. ⊲ ËÅÌÌÀ 1.2. ∀r1 , r2 S r1 ≤ S r2 . ⊳ Äåéñòâèòåëüíî, S r1 ≤ S r1 ∪r2 ≤ S r1 ∪r2 ≤ S r1 . ⊲ 1 Æàí

àñòîí Äàðáó (1842-1917)  ðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, èçâåñòåí ñâîèìè ðàáîòàìè â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.


5.2

133

Ñâÿçü èíòåãðàëà èìàíà è èíòåãðàëîâ Äàðáó

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 1.4. ×èñëà

inf S r = I D r

è

sup S r = I D r

íàçîâåì âåðõíèì è íèæíèì èíòåãðàëàìè Äàðáó óíêöèè f íà îòðåçêå [a, b]. ÒÅÎÅÌÀ 1.3. Ïóñòü óíêöèÿ f : [a, b] → R îãðàíè÷åíà. Òîãäà ñóùåñòâóþò I D , I D ∈ R. ⊳ àññìîòðèì ìíîæåñòâî {S r : r  ðàçáèåíèå } âñåõ âåðõíèõ ñóìì Äàðáó óíêöèè f íà îòðåçêå [a, b].  ñèëó ëåììû 1.2 îíî îãðàíè÷åíî ñíèçó ëþáîé íèæíåé ñóììîé Äàðáó óíêöèè f íà îòðåçêå [a, b].  ñèëó ïðèíöèïà òî÷íîé íèæíåé ãðàíè ∃!I D = inf S r . r

Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü íèæíåãî èíòåãðàëà Äàðáó. ⊲

5.2

Ñâÿçü èíòåãðàëà èìàíà è èíòåãðàëîâ Äàðáó

Ñâÿæåì òåïåðü ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà èìàíà è èíòåãðàëîâ Äàðáó. Ñîðìóëèðóåì äâà âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèÿ:

A := (∀ε > 0 ∃r (r

ðàçáèåíèå) (S r − S r < ε)).

B := (∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀r (r

ðàçáèåíèå)

(λr < δ ⇒ S r − S r < ε)).

ËÅÌÌÀ 2.1. (I D = I D ) ⇔ A. ⊳ Èç I D = I D ñëåäóåò, ÷òî ∃r1 , r2 òàêèå, ÷òî I D − ε/2 < S r1 , I D + ε/2 > S r2 . Òîãäà ïðè r = r1 ∪ r2 èìååì

I D − ε/2 < S r1 ≤ S r ≤ S r ≤ S r2 < I D + ε/2, òî åñòü S r − S r < ε. Ïóñòü r  ðàçáèåíèå, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî A. Òîãäà

Sr ≤ I D ≤ I D ≤ Sr, îòêóäà I D − I D < ε. Íî ε > 0 ìîæíî áðàòü êàê óãîäíî ìàëûì, à ðàçíîñòü I D − I D íå çàâèñèò îò r. Ïîýòîìó I D = I D . ⊲ ËÅÌÌÀ 2.2. A ⇔ B . ⊳ Óòâåðæäåíèå A èç óòâåðæäåíèÿ B ñëåäóåò òðèâèàëüíî.


5.2

Ñâÿçü èíòåãðàëà èìàíà è èíòåãðàëîâ Äàðáó

134

Ïóñòü r∗  ðàçáèåíèå, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî A. Âûáåðåì δ > 0 ïî ε è r òàê, ÷òîáû áûëè âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà ( 2δ < x∗i+1 − x∗i , i = 0, . . . , n − 1, x∗i ∈ r∗, 4nδM < ε, M = sup |f (x)|. [a,b]

Òåïåðü ïóñòü r  íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå, ó êîòîðîãî ′′ ′ P P λr < δ . Òîãäà èìååì S r − S r = (Mi − mi )∆xi + (Mj − mj )∆xj , j i P′ ãäå ñóììà âçÿòà ïî òåì îòðåçêàì ðàçáèåíèÿ r, êîòîðûå ñîäåðæàò P òî÷êè ðàçáèåíèÿ r∗ , à ñóììà ′′ âçÿòà ïî îñòàëüíûì îòðåçêàì. P′  ñóììå íå áîëåå 2n ñëàãàåìûõ  îäèí îòðåçîê ïîêðûâàåò òî÷êó a, à äðóãîé  òî÷êó b, è ∀x∗i ∈ r∗ ïîêðûâàåòñÿ íå áîëåå ÷åì ′ P äâóìÿ îòðåçêàìè ðàçáèåíèÿ r. Èìååì (Mi −mi )∆xi ≤ 2Mδ·2n < ε. i

′′ Pk P P Pk çàïèøåì ââèäå êðàòíîé ñóììû , ãäå = j k P′′ îáîçíà÷àåò ñóììó ñëàãàåìûõ , ïîïàâøèõ â îäèí îòðåçîê [x∗k , x∗k+1] ′′ P P Pk ðàçáèåíèÿ r∗ . Èìååì (Mj − mj )∆xj = (Mk − mk )∆xk ≤ j k P P P ∗ (Mk − m∗k ) k ∆xk ≤ ≤ (Mk∗ − m∗k )∆x∗k ≤ S r∗ − S r∗ < ε.

Ñóììó

P′′

k

k

Ïîýòîìó S r − S r < 2ε äëÿ âñåõ ðàçáèåíèé r, äëÿ êîòîðûõ λr < δ. ⊲ ËÅÌÌÀ 2.3. B ⇔ (f ∈ R[a, b]). ⊳ Èç îïðåäåëåíèÿ 2.1 ñëåäóåò, ÷òî ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀r ∀{ξi } (r  ðàçáèåíèå) (λr < δ) èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà

IR − ε/2 ≤

n−1 X i=0

f (ξi)∆xi ≤ IR + ε/2.

Áåðÿ âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíè ïî ξi ∈ [xi, xi+1], ïîëó÷èì

IR − ε/2 ≤ S r ≤ S r ≤ IR + ε/2, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå â îáðàòíóþ ñòîðîíó. Äëÿ ëþáîãî ðàçáèå-


5.3

Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ïî èìàíó

135

íèÿ r, óäîâëåòâîðÿþùåãî B , èìååì

Sr ≤

n−1 X i=0

f (ξi)∆xi ≤ S r .

Ïîñêîëüêó B ⇔ A ⇔ (I D = I D ), òî S r ≤ I D = I D ≤ S r . Ïîëîæèâ I D = I D = IR , ïîëó÷èì

|IR −

n−1 X i=0

f (ξi)∆xi| ≤ S r − S r < ε. ⊲

Èç ýòèõ ëåìì ñëåäóåò ÒÅÎÅÌÀ 2.1. Ïóñòü óíêöèÿ f : [f, b] → R îãðàíè÷åíà. Òîãäà (f ∈ R[a, b]) ⇔ (I D = I D ). ÏÈÌÅ 2.1. Ïðèâåäåì ïðèìåð îãðàíè÷åííîé, íî íå èíòåãðèðóåìîé ïî èìàíó óíêöèè. Äëÿ óíêöèè Äèðèõëå D(x), ðàâíîé åäèíèöå âî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ è íóëþ âî âñåõ èððàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ, âåðõíèé èíòåãðàë Äàðáó íà îòðåçêå [0, 1] ðàâåí 1, à íèæíèé  0. Çíà÷èò, óíêöèÿ Äèðèõëå õîòü è îãðàíè÷åíà íà [0, 1], íî íåèíòåãðèðóåìà. Ïîýòîìó àêòóàëåí ïîèñê äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé èíòåãðèðóåìîñòè óíêöèè íà îòðåçêå. ÏÈÌÅ 2.2. Ïóñòü f (x) = 1 íà îòðåçêå [a, b]. Òîãäà

Zb

f (x)dx =

a

Z

a

b

dx = b − a.

Äåéñòâèòåëüíî,

Sr = Sr =

n−1 X i=0

5.3

∆xi = x1 − a + x2 − x1 + · · · + b − xn−1 = b − a.

Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ïî èìàíó

àññìîòðèì òåïåðü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè. ÒÅÎÅÌÀ 3.1. (f ∈ C[a, b]) ⇒ (f ∈ R[a, b]). ⊳ Çàïèøåì ðàçíîñòü ñóìì Äàðáó:

Sr − Sr =

n−1 X i=0

(Mi − mi )∆xi,


5.3

Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ïî èìàíó

ãäå Mi = sup f (x), à mi = [xi ,xi+1 ]

136

inf f (x). Ïîñêîëüêó f ∈ C[a, b] ⇒

[xi ,xi+1 ]

f ∈ C[xi, xi+1], è ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà î ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè íåïðåðûâíîé óíêöèè ∃x′′i , x′′i ∈ [xi, xi+1] f (x′i) = Mi , f (x′′i ) = mi . Ïî òåîðåìå Êàíòîðà î ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè äëÿ äàííîãî ω > 0 ïîäáåðåì α > 0 òàêîå, ÷òî ∀x′ , x′′ ∈ [a, b] (|x′ − x′′| < α ⇒ |f (x′) − f (x′′)| < ω). Òåïåðü ïî äàííîìó ε > 0 âîçüìåì δ = min{α, ε/ω}, è ïóñòü r  ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå òàêîå, ÷òî λr < δ . Òîãäà n−1 n−1 X X ε Sr − Sr = (Mi − mi )∆xi = (f (x′i) − f (x′′i ))∆xi < ω · = ε. ω i=0 i=0

 ñèëó ëåììû 2.3 ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 3.2. Ìîíîòîííàÿ íà îòðåçêå [a, b] óíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïî èìàíó íà íåì. ⊳ Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè óíêöèÿ f ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà [a, b]. Åñëè f (a) = f (b), òî óíêöèÿ ïîñòîÿííà, è ïîýòîìó

Sr − Sr =

n−1 X i=0

(Mi − mi )∆xi = (f (a) − f (a))

n−1 X i=0

∆xi = 0 · (b − a) = 0

íåçàâèñèìî îò ðàçáèåíèÿ r. Åñëè f (a) < f (b), òî äëÿ äàííîãî ε > 0 âîçüìåì

δ<

ε , f (b) − f (a)

è ïóñòü r  ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå, äëÿ êîòîðîãî λr < δ . Òîãäà n−1 n−1 X X Sr − Sr = (Mi − mi )∆xi = (f (xi+1) − f (xi))∆xi ≤ i=0

δ

n−1 X i=0

i=0

(f (xi+1) − f (xi)) = δ(f (b) − f (a)) < ε. ⊲


5.4

5.4

137

Ñâîéñòâà èíòåãðàëà èìàíà

Ñâîéñòâà èíòåãðàëà èìàíà

ÑÂÎÉÑÒÂÎ 1 (àääèòèâíîñòü). Ïóñòü c ∈ [a, b]. Òîãäà (f ∈ R[a, b]) ⇔ (f ∈ R[a, c] ∧ f ∈ R[c, b]), ïðè÷åì

Zb

f (x)dx =

Zc

f (x)dx +

f (x)dx.

c

a

a

Zb

⊳ Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Òîãäà äëÿ äàííîãî ε > 0 ïîäáåðåì δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ r îòðåçêà [a, b] ñ λr < δ âûïîëíÿëîñü S r − S r < ε. Ïóñòü òåïåðü r∗  ðàçáèåíèå [a, b], ñîäåðæàùåå òî÷êè r è òî÷êó c. Òîãäà ïî ëåììå 1.1 ′

′′

ε > S r − S r ≥ S r∗ − S r∗ = (S r∗ − S ′r∗ ) + (S r∗ − S ′′r∗ ), ′′

ãäå S r∗ (S r∗ ) è S ′r∗ (S ′′r∗ ),  ñóììû Äàðáó íà îòðåçêå [a, c] ([c, b]). Äîêàçàòåëüñòâî îáðàòíîãî óòâåðæäåíèÿ àíàëîãè÷íî. ⊲ Ñâîéñòâî 1 ïîçâîëÿåò ðàñøèðèòü îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, èìåííî, â ñëó÷àå a = b ïîëîæèì

Za

f (x)dx = 0,

Zb a

a

f (x)dx = −

Za

f (x)dx.

b

ÑÂÎÉÑÒÂÎ 2 (ëèíåéíîñòü). Ïóñòü f, g ∈ R[a, b], c ∈ R. Òîãäà f + g ∈ R[a, b], cf ∈ R[a, b], ïðè÷åì

Zb

(f (x) + g(x))dx =

a

Zb

f (x)dx +

a

Zb

Zb

g(x)dx,

a

cf (x)dx = c

Zb

f (x)dx.

a

a

⊳ Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà è ñîîòâåòñòâóþùèì ñâîéñòâàì ïðåäåëà èìååì Zb n−1 X (f (x) + g(x))dx = lim (f (ξi) + g(ξi ))∆xi = a

λr →0

i=0


5.4

lim

λr →0

Zb

138

Ñâîéñòâà èíòåãðàëà èìàíà

n−1 X

f (ξi)∆xi + lim

λr →0

i=0

cf (x)dx = lim

λr →0

a

n−1 X

n−1 X

g(ξi )∆xi =

i=0

Zb

f (x)dx +

cf (ξi)∆xi = c lim

λr →0

i=0

g(x)dx.

a

a

n−1 X

Zb

f (ξi)∆xi = c

i=0

Zb

f (x)dx. ⊲

a

ÑÂÎÉÑÒÂÎ 3 (èíòåãðèðóåìîñòü ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî). Ïóñòü f, g ∈ R[a, b]. Òîãäà f g ∈ R[a, b] è f /g ∈ R[a, b], åñëè |g(x)| > c > 0 íà [a, b]. ⊳ Îáîçíà÷èì ÷åðåç Mf,i = sup f (x), mf,i = inf f (x). Äëÿ ëþáûõ ξ, η ∈ [xi, xi+1] èìååì

[xi ,xi+1 ]

[xi ,xi+1 ]

|f (ξ)g(ξ) − f (η)g(η)| ≤ |f (ξ)| · |g(ξ) − g(η)| + |g(η)| · |f (ξ) − f (η)| ≤ Kf (Mg,i − mg,i ) + Kg (Mf,i − mf,i ).

1 1 g(η) − g(ξ) 1 − = ≤ 2 (Mg − mg ), g(ξ) g(η) g(ξ)g(η) c ãäå Kf = sup f (x). x∈[a,b]

Âçÿâ òî÷íûå âåðõíèå ãðàíè ëåâûõ ÷àñòåé ïîëó÷åííûõ íåðàâåíñòâ ïî ξ, η ∈ [xi, xi+1], óìíîæèâ èõ íà ∆xi è ïðîñóììèðîâàâ ïî i, ïîëó÷èì n−1 X i=0

(Mf g,i−mf g,i)∆xi ≤ Kf

n−1 X i=0

(Mg,i−mg,i )∆xi+Kg

n−1 X

n−1 X i=0

(Mf,i−mf,i )∆xi,

n−1

1 X (M1/g,i − m1/g,i)∆xi, ≤ 2 (Mg,i − mg,i )∆xi. c i=0 i=0

Òåïåðü äëÿ äàííîãî ε > 0 íàéäåì ðàçáèåíèÿ r1 è r2 òàêèå, ÷òî

S r1 (f ) − S r1 (f ) < ε,

S r2 (g) − S r2 (g) < ε.

Ââèäó ïåðâîãî èç ïîëó÷åííûõ ïåðåä ýòèì íåðàâåíñòâ äëÿ ðàçáèåíèÿ r = r1 ∪ r2 èìååì

S r (f g) − S r (f g) < (Kf + Kg )ε,


5.4

139

Ñâîéñòâà èíòåãðàëà èìàíà

ïîñêîëüêó f, g ∈ R[a, b]. Âòîðîå óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. ⊲ ÑÂÎÉÑÒÂÎ 4. (i) Ïóñòü f, g ∈ R[a, b], ∀x ∈ [a, b] (f (x) ≤ g(x)), òîãäà Zb Zb f (x)dx ≤ g(x)dx. a

a

(ii) Ïóñòü f ∈ R[a, b], òîãäà è |f | ∈ R[a, b], ïðè÷åì

b

Zb

Z

f (x)dx ≤ |f (x)|dx ≤ M(b − a),

a

a

ãäå M = sup |f (x)|. x∈[a,b]

⊳ (i) Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ïðåäåëà èìååì Zb

f (x)dx = lim

a

λr →0

n−1 X i=0

f (ξi)∆xi ≤ lim

λr →0

n−1 X

g(ξi)∆xi =

i=0

Zb

g(x)dx.

a

(ii) Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî |f | ∈ R[a, b]. Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ ξ, η ∈ [a, b] èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî

||f (ξ)| − |f (η)|| ≤ |f (ξ) − f (η)|, òî íà êàæäîì îòðåçêå [xi, xi+1] ðàçáèåíèÿ r îòðåçêà [a, b] èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå M i − mi ≤ Mi − mi , ãäå M i =

sup

x∈[xi ,xi+1 ]

|f (x)|, mi =

inf

x∈[xi ,xi+1 ]

|f (x)|, à Mi è mi  ñîîò-

âåòñòâóþùèå âåëè÷èíû äëÿ f . Ïîýòîìó ðàçíîñòü âåðõíåé è íèæíåé ñóìì Äàðáó äëÿ óíêöèè |f | íå ïðåâîñõîäèò àíàëîãè÷íîé ðàçíîñòè äëÿ óíêöèè f :

S r (|f |) − S r (|f |) =

n−1 X i=0

(M i − mi)∆xi ≤

S r (f ) − S r (f ).

n−1 X i=0

(Mi − mi )∆xi ≤


5.4

140

Ñâîéñòâà èíòåãðàëà èìàíà

Òåïåðü, ïîñêîëüêó ∀x ∈ [a, b] (−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|), òî â ñèëó (i) èìååì Zb Zb Zb − |f (x)|dx ≤ f (x)dx ≤ |f (x)|dx. a

a

a

Íåðàâåíñòâî

Zb a

|f (x)|dx ≤ M(b − a)

î÷åâèäíî. ⊲ ÒÅÎÅÌÀ 4.1 (òåîðåìà î ñðåäíåì). Ïóñòü f, g ∈ R[a, b] è ∀x ∈ [a, b] (g(x) ≥ 0). Òîãäà

Zb

f (x)g(x)dx = γ

a

Zb

g(x)dx,

a

ãäå m ≤ γ ≤ M, m = inf f (x), M = sup f (x). x∈[a,b]

x∈[a,b]

⊳ Ïîñêîëüêó g(x) ≥ 0, òî mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ Mg(x) íà [a, b]. Îòñþäà ââèäó ñâîéñòâ 2,4 èìååì m

Zb a

g(x)dx ≤

Zb

f (x)g(x)dx ≤ M

Zb

g(x)dx = 0,

a

Åñëè

Zb

g(x)dx.

a

a

òî ðàâåíñòâî î÷åâèäíî. Åñëè æå íåò, òî ïîëîæèì

γ=

Rb

f (x)g(x)dx

a

Rb

. ⊲ g(x)dx

a

ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.1. Ïóñòü â óñëîâèÿõ òåîðåìû 4.1 f ∈ C[a, b].


5.5

141

Èíòåãðàë êàê óíêöèÿ âåðõíåãî ïðåäåëà. Ôîðìóëà Íüþòîíà - Ëåéáíèöà

Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà ξ ∈ [a, b] òàêàÿ, ÷òî

Zb

f (x)g(x)dx = f (ξ)

a

Zb

g(x)dx.

a

⊳ åçóëüòàò ñëåäóåò èç òåîðåìû Áîëüöàíî - Êîøè î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè. ⊲ 5.5

Èíòåãðàë êàê óíêöèÿ âåðõíåãî ïðåäåëà. Ôîðìóëà Íüþòîíà - Ëåéáíèöà

Ïóñòü f ∈ R[a, b]. Çàìåòèì, ÷òî

Zb

f (x)dx =

a

Zb

f (t)dt,

a

òî åñòü íå èìååò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ, êàêàÿ áóêâà (x èëè t) ñòîèò ïîä çíàêîì îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ïóñòü x ∈ [a, b]; ðàññìîòðèì óíêöèþ

F (x) =

Zx

f (t)dt.

a

Çàìåòèì, ÷òî

F (a) =

Za

f (t)dt = 0,

F (b) =

a

Zb

f (t)dt.

a

ÒÅÎÅÌÀ 5.1. (f ∈ R[a, b]) ⇒ (F ∈ C[a, b]). Åñëè âäîáàâîê f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ∈ [a, b], òî F äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 , è Fx′ 0 = f (x0 ). ⊳ Åñëè óíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà íåì. Ïóñòü |f (t)| ≤ M ïðè a ≤ t ≤ b. Òîãäà ïðè x′, x′′ ∈ [a, b] èìååì

x′′

x′′

Z

Z Zx′

′′ ′

|F (x ) − F (x )| = f (t)dt − f (t)dt = f (t)dt

≤ M(x′′ − x′)

′ a

a

x


5.5

142

Èíòåãðàë êàê óíêöèÿ âåðõíåãî ïðåäåëà. Ôîðìóëà Íüþòîíà - Ëåéáíèöà

â ñèëó òåîðåìû î ñðåäíåì. Ìû âèäèì, ÷òî äëÿ äàííîãî ε > 0 |F (x′′)− F (x′)| < ε, åñëè òîëüêî |x′′ − x′| < δ = ε/M . Ýòèì äîêàçàíà íåïðåðûâíîñòü è, áîëåå òîãî, ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü óíêöèè F . Ïóñòü òåïåðü f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 . Äëÿ äàííîãî ε > 0 âûáåðåì δ > 0 òàê, ÷òî |f (t) − f (x0)| < ε êàê òîëüêî |t − x0 | < δ è a ≤ t ≤ b. Òîãäà ïðè x0 − δ < s ≤ x0 ≤ t < x0 + δ è a ≤ s < t ≤ b èìååì

t

Z

F (t) − F (s)

1

= f (u)du − f (x )(t − s) − f (x ) 0 0

t−s t−s

s

1 t−s

Zt s

|f (u) − f (x0)|du <

Ñëåäîâàòåëüíî, Fx′ 0 = f (x0 ). ⊲  ñëó÷àå f ∈ C[a, b] óíêöèÿ

F (x) =

Zx

ε(t − s) = ε. t−s

f (t)dt

a

áóäåò, î÷åâèäíî, ïåðâîîáðàçíîé óíêöèè f . ÒÅÎÅÌÀ 5.2 (Íüþòîíà - Ëåéáíèöà). Åñëè f ∈ R[a, b] è ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ Φ(x) óíêöèè f íà [a, b], òî

Zb a

f (x)dx = Φ(b) − Φ(a).

⊳ Ïóñòü Φ  ïðîèçâîëüíàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè f íà [a, b]. Òîãäà Φ(x) = F (x) + C , ãäå F (x) îïðåäåëåíà âûøå. Ïîñêîëüêó Φ(a) = F (a) + C , à F (a) = 0, òî Φ(a) = C . Çíà÷èò, F (x) = Φ(x) − Φ(a). È ïðè x = b ïîëó÷àåì F (b) =

Zb a

f (t)dt = Φ(b) − Φ(a). ⊲


5.5

143

Èíòåãðàë êàê óíêöèÿ âåðõíåãî ïðåäåëà. Ôîðìóëà Íüþòîíà - Ëåéáíèöà

Ïðèâåäåì äðóãèå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå âàðèàíòû îðìóëû Íüþòîíà - Ëåéáíèöà:

b

x=b Zb

= Φ(x)

= Φ(b) − Φ(a); f (x)dx = Φ(x)

Zb

a

x=a

a

Fx′ dx =

Zb a

a

b

dF (x) = F (x)

= F (b) − F (a), a

åñëè F  äèåðåíöèðóåìàÿ íà (a, b) óíêöèÿ, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé íåïðåðûâíà íà [a, b]. Òåîðåìà Íüþòîíà - Ëåéáíèöà ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé òåîðåìîé îäíîìåðíîãî ÌÀÒÀÍ'à, ïîñêîëüêó îíà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó íåîïðåäåëåííûì è îïðåäåëåííûì èíòåãðàëàìè. Ïîëüçóÿñü ýòîé ñâÿçüþ, ïåðåíåñåì íà îïðåäåëåííûé èíòåãðàë îñíîâíûå ñïîñîáû èíòåãðèðîâàíèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 5.1. Ïóñòü f è g  íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûå íà [a, b] óíêöèè. Òîãäà

Zb a

b Zb

f ′(x)g(x)dx = f (x)g(x)

− f (x)g ′(x)dx. a

a

⊳ Èíòåãðèðóÿ ðàâåíñòâî

(f (x)g(x))′x = fx′ (x)g(x) + f (x)gx′ (x), ñ ó÷åòîì íåïðåðûâíîñòè, à çíà÷èò, è èíòåãðèðóåìîñòè èãóðèðóþùèõ â íåì óíêöèé ïîëó÷èì

Zb

(f (x)g(x))′xdx =

Zb

fx′ (x)g(x)dx +

f (x)gx′ (x)dx,

a

a

a

Zb

îòêóäà òðåáóåìîå ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû 5.1. ⊲ ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 5.2. Ïóñòü f ∈ C[a, b], à ϕ : I → [a, b] íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ íà îòðåçêå I ñ êîíöàìè c = ϕ−1 (a) è d = ϕ−1(b). Òîãäà ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî

Zb a

f (x)dx =

Zd c

f (ϕ(t))ϕ′tdt.


5.6

Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà èìàíà

144

⊳ Ïóñòü F è Φ  ïåðâîîáðàçíûå óíêöèé f è f (ϕ(t))ϕ′t. Èìååì Φ(t) = F (ϕ(t)) + C. Ïîýòîìó Φ(d) − Φ(c) = F (b) − F (a) â ñèëó òåîðåìû 5.1. ⊲ 5.6

Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà èìàíà

Íàïîìíèì, ÷òî ìû îïðåäåëÿëè èíòåãðàë èìàíà ïðè ñîáëþäåíèè äâóõ óñëîâèé: (i) îãðàíè÷åííîñòü ìíîæåñòâà, íà êîòîðîì èíòåãðèðóåòñÿ óíêöèÿ (â íàøåì ñëó÷àå ýòî áûë îòðåçîê [a, b]); (ii) îãðàíè÷åííîñòü èíòåãðèðóåìîé óíêöèè. Îäíàêî, èíòåãðàë èìàíà äîïóñêàåò îáîáùåíèå ïðè íàðóøåíèè ýòèõ óñëîâèé.  òàêîì ñëó÷àå îí íàçûâàåòñÿ íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì èìàíà. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 6.1. Ïóñòü f : [a, b) → R, ïðè÷åì −∞ < a < b < +∞, è ïðè ëþáîì b′ ∈ (a, b) óíêöèÿ f ∈ R[a, b′], à â îêðåñòíîñòè òî÷êè b óíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà. ( ñèëó íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ / R[a, b)). Íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî èíòåãðèðóåìîñòè f ∈ òèïà îò óíêöèè f íà ïðîìåæóòêå [a, b) íàçûâàþò ïðåäåë

Zb

f (x)dx = ′lim

b →b−

a

Zb′

f (x)dx,

a

åñëè, ðàçóìååòñÿ, îí ñóùåñòâóåò.  òàêîì ñëó÷àå åùå ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë Zb f (x)dx a

ñõîäèòñÿ, à â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî îí ðàñõîäèòñÿ èëè íå ñóùåñòâóåò êàê íåñîáñòâåííûé ðèìàíîâ èíòåãðàë. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàë äëÿ óíêöèè f : (a, b] → R, ïðè÷åì f ∈ R[a′ , b] ∀a′ ∈ (a, b), íî â îêðåñòíîñòè òî÷êè a óíêöèÿ íåîãðàíè÷åíà. ÏÈÌÅ 6.1. Èíòåãðàë

Z1 0

dx xα

(6.1)


5.6

Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà èìàíà

145

ïðè α > 0 óäîâëåòâîðÿåò âñåì òðåáîâàíèÿì îïðåäåëåíèÿ 6.1. àññìîòðèì ïðè α 6= 1

lim

ε→0+

Z1 ε

1  1

1 1 dx 1−α

1−α 1−α , α < 1, = lim = lim x (1−ε ) =

ε→0+ 1 − α +∞, α > 1. xα ε→0+ 1 − α ε

Åñëè æå α = 1, òî

lim

ε→0+

Z1 ε

1

dx

= − lim ln ε = +∞. = lim ln x

ε→0+ xα ε→0+ ε

Òàêèì îáðàçîì èíòåãðàë (6.1) ñõîäèòñÿ ïðè α < 1 è ðàñõîäèòñÿ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 6.2. Ïóñòü f : [a, +∞) → R, ïðè÷åì ïðè ëþáîì b′ ∈ (a, +∞) óíêöèÿ f ∈ R[a, b′]. Íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì âòîðîãî òèïà îò óíêöèè f íà ïðîìåæóòêå [a, +∞) íàçûâàåòñÿ ïðåäåë Zb′ Z∞ f (x)dx, f (x)dx = ′ lim b →+∞

a

a

åñëè îí ñóùåñòâóåò. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë äëÿ óíêöèè f : (−∞, b] → R ÏÈÌÅ 6.2. àññìîòðèì èíòåãðàë

Z∞

dx = lim xα A→+∞

ZA 1

1

Z+∞ 1

A  1

dx 1 , α > 1, 1−α

= α−1 = lim x

α +∞, α < 1, A→+∞ 1 − α x 1

= lim

A→+∞

ZA

dx = lim ln A = +∞. A→+∞ x

1

Íàñ ýòîò ïðèìåð íå äîëæåí óäèâëÿòü, ïîñêîëüêó ìû çíàêîìû ñ ïîâåäåíèåì îáîáùåííîãî ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü îáà ñëó÷àÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà âìåñòå. Ïîýòîìó óñëîâèìñÿ î ñëåäóþùåé òåðìèíîëîãèè:


5.6

Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà èìàíà

146

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 6.3. Âûðàæåíèå

Zb

f (x)dx

a

áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëîì îò óíêöèè f ñ îñîáåííîñòüþ â òî÷êå b, åñëè âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: (i) b ∈ R, f ∈ R[a, b′ ] ∀b′ ∈ (a, b) è f íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè b; (ii) b = +∞, f ∈ R[a, b′] ∀b′ ∈ (a, +∞). Ïîäîáíûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàë ñ îñîáåííîñòüþ â òî÷êå a. ÒÅÎÅÌÀ 6.1 (êðèòåðèé Êîøè). Èíòåãðàë

Zb

f (x)dx

a

ñ åäèíñòâåííîé îñîáåííîñòüþ â òî÷êå b ñõîäèòñÿ òî÷íî òîãäà, êîãäà ∀ε > 0 ∃b0 ∈ (a, b) ∀b′ , b′′ ∈ (b0 , b)

b′′

Z

f (x)dx < ε.

′ b

⊳ àññìîòðèì óíêöèþ

F (x) =

Zx

f (t)dt.

a

Ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà

Zb

f (t)dt

a

ýêâèâàëåíòíà ñóùåñòâîâàíèþ ïðåäåëà lim F (x), ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü x→b−

ýêâèâàëåíòíî ïî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ óíêöèè âûïîëíåíèþ óñëîâèÿ ∀ε > 0 ∃b0 ∈ (a, b) ∀b′ , b′′ ∈ (b0, b) |F (b′′) − F (b′)| < ε. Íî

F (b′′) − F (b′) =

Zb′′ b′

f (t)dt. ⊲


5.6

Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà èìàíà

147

Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ñâîéñòâ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Çäåñü ìû ïåðåíåñåì ñîîòâåòñòâóþùèå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ ðèìàíîâûõ èíòåãðàëîâ íà íåñîáñòâåííûå. ÑÂÎÉÑÒÂÎ 1. Ïóñòü ñõîäèòñÿ èíòåãðàë

Zb

f (x)dx

a

ñ åäèíñòâåííîé îñîáåííîñòüþ â òî÷êå b. Òîãäà ∀c ∈ (a, b) èíòåãðàë

Zb

f (x)dx

c

òîæå ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì

Zb

f (x)dx =

Zc

f (x)dx +

f (x)dx.

c

a

a

Zb

⊳ Ïîñêîëüêó óñëîâèå Êîøè äëÿ èíòåãðàëîâ Zb

f (x)dx è

a

Zb

f (x)dx

c

îðìóëèðóåòñÿ ñîâåðøåííî îäèíàêîâî, òî â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè îíè ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî. Êðîìå òîãî,  c  Zb Zb′ Z Zb′ f (x)dx = ′lim f (x)dx = ′lim  f (x)dx + f (x)dx = b →b−

a

Zc a

b →b−

a

f (x)dx + ′lim

b →b−

Zb′ c

f (x)dx =

a

Zc a

f (x)dx +

c

Zb

f (x)dx.

c

Çäåñü ïåðâîå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà, âòîðîå  â ñèëó àääèòèâíîñòè ñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà èìàíà, òðåòüå  ñâîéñòâî ïðåäåëà ñóììû; íó à ÷åòâåðòîå  îïÿòü â ñèëó îïðåäåëåíèÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. ⊲


5.7

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

148

ÑÂÎÉÑÒÂÎ 2. Ïóñòü ñõîäÿòñÿ èíòåãðàëû

Zb

f (x)dx,

a

Zb

g(x)dx

a

ñ åäèíñòâåííîé îñîáåííîñòüþ â òî÷êå b. Òîãäà èíòåãðàë

Zb

(αf (x) + βg(x))dx

a

ïðè ëþáûõ α, β ∈ R òîæå ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì

Zb

(αf (x) + βg(x))dx = α

a

Zb

f (x)dx + β

a

Zb

g(x)dx.

a

ÓÏÀÆÍÅÍÈÅ 6.1. Äîêàçàòü ñâîéñòâî 2. 5.7

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 7.1. Èíòåãðàë

If =

Zb

f (x)dx

a

ñ îñîáåííîñòüþ â òî÷êå b íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ èíòåãðàë Zb I|f | = |f (x)|dx. a

ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 7.1. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ èíòåãðàë ñõîäèòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà I|f | ñëåäóåò, ÷òî ∀ε > 0 ∃b0 ∈ (a, b) ∀b′ , b′′ ∈ (b0 , b) (b′ < b′′)

b′′

Z Zb′′

ε > |f (x)|dx ≥

f (x)dx

.

′ ′ b

b


5.7

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

149

Îòñþäà îïÿòü æå â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà If . ⊲ ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 7.2. Ñõîäÿùèéñÿ, íî íå àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ. Äëÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíîé èëè íåïîëîæèòåëüíîé óíêöèè, î÷åâèäíî, ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè è àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ñîâïàäàþò. ÒÅÎÅÌÀ 7.1 (êðèòåðèé Âåéåðøòðàññà äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ). Èíòåãðàë îò íåîòðèöàòåëüíîé óíêöèè f (x) ≥ 0, x ∈ (a, b), Zb f (x)dx a

ñ åäèíñòâåííîé îñîáåííîñòüþ â òî÷êå b ñõîäèòñÿ òî÷íî òîãäà, êîãäà óíêöèÿ Zt F (t) = f (x)dx a

îãðàíè÷åíà ïðè t ∈ (a, b). ⊳ Ââèäó íåîòðèöàòåëüíîñòè f óíêöèÿ F (t) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Ïîýòîìó óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç êðèòåðèÿ Âåéåðøòðàññà äëÿ ìîíîòîííûõ óíêöèé. ⊲ Ñîðìóëèðóåì è äîêàæåì àíàëîãè ïðèçíàêîâ ñðàâíåíèÿ â òåîðèè ðÿäîâ. ÒÅÎÅÌÀ 7.2 (ïåðâàÿ òåîðåìà ñðàâíåíèÿ). Ïóñòü èíòåãðàëû

I1 =

Zb a

f (x)dx,

I2 =

Zb

g(x)dx

a

èìåþò åäèíñòâåííóþ îñîáåííîñòü â òî÷êå b, è íà ïðîìåæóòêå (a, b) âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà 0 ≤ f (x) ≤ g(x). Òîãäà èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà I2 ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà I1 , ïðè÷åì èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî I1 ≤ I2 , à èç ðàñõîäèìîñòè èíòåãðàëà I1 ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü èíòåãðàëà I2 . ⊳ Äëÿ ëþáîãî t ∈ (a, b) èìååì â ñèëó òåîðåìû îá èíòåãðàëå è-


5.7

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

150

ìàíà è íåðàâåíñòâàõ

0 ≤ F (t) =

Zt a

f (x)dx ≤

Zt

g(x)dx = G(t).

a

Åñëè èíòåãðàë I2 ñõîäèòñÿ, òî â ñèëó êðèòåðèÿ Âåéåðøòðàññà óíêöèÿ G(t) îãðàíè÷åíà, à ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíà è óíêöèÿ F (t).  ñèëó êðèòåðèÿ Âåéåðøòðàññà I1 ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì

0≤

Zb a

f (x)dx = lim F (t) ≤ lim G(t) = t→b−

t→b−

Zb

g(x)dx.

a

Åñëè I1 ðàñõîäèòñÿ, òî

+∞ = lim F (t) ≤ lim G(t). ⊲ t→b−

t→b−

ÒÅÎÅÌÀ 7.3 (âòîðàÿ òåîðåìà ñðàâíåíèÿ). Ïóñòü èíòåãðàëû

I1 =

Zb

f (x)dx,

I2 =

Zb

g(x)dx

a

a

èìåþò åäèíñòâåííóþ îñîáåííîñòü â òî÷êå b, è íà ïðîìåæóòêå (a, b) âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà 0 ≤ f (x) < g(x). Êðîìå òîãî, ïóñòü ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë

f (x) = A > 0. x→b− g(x) lim

Òîãäà I1 è I2 îäíîâðåìåííî ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ. ⊳ Ââèäó ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà

∀ε > 0 (ε < A) ∃c ∈ [a, b) A − ε <

f (x) < A + ε, g(x)

x ∈ (c, b),

è òàê êàê g(x) > 0 íà [a, b), òî

(A − ε)g(x) < f (x) < (A + ε)g(x),

x ∈ (c, b).

Èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà I2 ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà

Zb c

g(x)dx

(7.1)


5.8

Ïðèçíàêè Àáåëÿ - Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ

151

(ñâîéñòâî 1), à îòñþäà ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà

Zb

(A + ε)g(x)dx

c

(ñâîéñòâî 2). Ïîýòîìó èç òåîðåìû 7.2 ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà

Zb

f (x)dx,

c

à ñëåäîâàòåëüíî, è èíòåãðàëà I1 (ñâîéñòâî 1). Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî èç ñõîäèìîñòè I2 ñëåäóåò ñõîäèìîñòü I1 . Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ñ èñïîëüçîâàíèåì ëåâîãî íåðàâåíñòâà â (7.1). ⊲ 5.8

Ïðèçíàêè Àáåëÿ - Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ

ËÅÌÌÀ 8.1. Ïóñòü g ∈ C 1 [a, +∞), f ∈ C[a, +∞), à F (x)  ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè f (x). Åñëè ñóùåñòâóåò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Z+∞ gx′ F (x)dx = A, a

è ñóùåñòâóåò ïðåäåë

lim g(x)F (x) = B,

x→+∞

òî ñóùåñòâóåò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

Z+∞ f (x)g(x)dx = B − g(a)F (a) − A. a

⊳ Ïóñòü A ∈ R, A > a. àññìîòðèì èíòåãðàë ZA a

f (x)g(x)dx = g(A)F (A) − g(a)F (a) −

ZA a

F (x)g ′(x)dx.


5.8

Ïðèçíàêè Àáåëÿ - Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ

152

Ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî â ñèëó îðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ïðèìåíåíèå îðìóëû Íüþòîíà - Ëåéáíèöà îáóñëîâëåíî òðåáîâàíèÿìè íåïðåðûâíîñòè íà f è íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè íà g . Ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè A → +∞, ïîëó÷èì òðåáóåìîå. ⊲ Çàìåòèì, ÷òî ëåììà 8.1 ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì àíàëîãîì ïðåîáðàçîâàíèÿ Àáåëÿ â òåîðèè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Óñòàíîâèì ïåðâûé ïðèçíàê Àáåëÿ - Äèðèõëå. ÒÅÎÅÌÀ 8.1. Ïóñòü g ∈ C 1 [a, +∞), f ∈ C[a, +∞), à F (x)  ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè f (x), ÿâëÿþùàÿñÿ îãðàíè÷åííîé óíêöèåé (òî åñòü |F (x)| ≤ M ∀x > a), êðîìå òîãî,

lim g(x) = 0,

x→+∞

I|g′|

Z+∞ |g ′ (x)|dx < ∞. = a

Òîãäà ñóùåñòâóåò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

Z+∞ f (x)g(x)dx. a

⊳ Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå óñëîâèé ëåììû 8.1. Äåéñòâèòåëüíî, |g ′ (x)F (x)| ≤ M|g ′ (x)|, è ïîòîìó èíòåãðàë +∞ R ′ g (x)F (x)dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â ñèëó ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà a

I|g′ | . Êðîìå òîãî,

|g(x)F (x)| ≤ M|g(x)| → 0 ïðè x → +∞, è ïîòîìó ñóùåñòâóåò ïðåäåë

lim g(x)F (x) = 0. ⊲

x→+∞

ÒÅÎÅÌÀ 8.2. Ïóñòü g ∈ C 1 [a, +∞), f ∈ C[a, +∞), à F (x)  ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè f (x), ÿâëÿþùàÿñÿ îãðàíè÷åííîé óíêöèåé (òî åñòü |F (x)| ≤ M ∀x > a), êðîìå òîãî, óíêöèÿ g ìîíîòîííî óáûâàåò ïðè x > a è lim g(x) = 0. x→+∞


5.8

Ïðèçíàêè Àáåëÿ - Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ

153

Òîãäà ñóùåñòâóåò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

Z+∞ f (x)g(x)dx. a

⊳ Òåîðåìà ñâîäèòñÿ ê ïðåäûäóùåé, åñëè çàìåòèòü, ÷òî lim

A→+∞

ZA a

|g ′ (x)|dx = − lim

A→+∞

ZA

g ′ (x)dx =

a

= lim (g(a) − g(A)) = g(a) A→+∞

ââèäó íåïîëîæèòåëüíîñòè ïðîèçâîäíîé ìîíîòîííî óáûâàþùåé óíêöèè. ⊲ ÏÈÌÅ 8.1. Èíòåãðàëû

I1 =

Z+∞

sin x dx, xα

I2 =

Z+∞

cos x dx xα

a

a

óäîâëåòâîðÿþò ïðè α > 0, a > 0 òðåáîâàíèÿì òåîðåìû 8.2. àññìîòðèì èíòåãðàë I1 (I2 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ïåðâîîáðàçíàÿ F (x) = − cos x óíêöèè f (x) = sin x îãðàíè÷åíà, à óíêöèÿ g(x) = x−α íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà íà (a, +∞) è ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → +∞. Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë I1 ñõîäèòñÿ. Òåïåðü èññëåäóåì ñâÿçü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ è ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì èíòåãðàë

I=

Zb

f (x)dx,

a

èìåþùèé åäèíñòâåííóþ îñîáåííîñòü â òî÷êå b. Ïóñòü

a = b0 < b1 < · · · < bk < · · · < b, Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ÷èñëîâîé ðÿä b ∞ Zk+1 X f (x)dx. S= k=0 b k

lim bk = b.

k→∞


5.8

Ïðèçíàêè Àáåëÿ - Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ

154

ÒÅÎÅÌÀ 8.3. Åñëè ñõîäèòñÿ èíòåãðàë I , òî ðÿä S òîæå ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì I = S .

b bn+1 Zb Z n Zk+1 X f (x)dx = f (x)dx. ⊲ lim f (x)dx = lim

n→∞

n→∞

k=0 b k

a

a

ÒÅÎÅÌÀ 8.4. Åñëè f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b), à ðÿä S ñõîäèòñÿ, òî èíòåãðàë I òîæå ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì I = S . ⊳  ñàìîì äåëå ∀b′ ∈ (a, b) ∃n (bn ∈ (b′, b). Ïîýòîìó, ó÷èòûâàÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü óíêöèè f , ïîëó÷èì

F (b′) =

Zb′ a

f (x)dx ≤

Zbn a

b n−1 Zk+1 X f (x)dx = f (x)dx ≤ I. k=0 b k

Åñëè ðÿä S ñõîäèòñÿ, òî óíêöèÿ F (b′) îãðàíè÷åíà ïðè b′ ∈ (a, b), è ïî êðèòåðèþ Âåéåðøòðàññà èíòåãðàë I ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî I = S . ⊲ ÊÎÍÒÏÈÌÅ 8.1. ÿä 2π(k+1) Z ∞ X sin xdx, k=0

2πk

î÷åâèäíî, ñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó êàæäûé åãî ÷ëåí 2π(k+1) Z

Íî èíòåãðàë

2πk R∞

2π(k+1)

= −1 + 1 = 0. sin xdx = − cos x

2πk

sin tdt ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê óíêöèÿ îò x

0

Rx 0

sin tdt =

1 − cos x íå èìååò ïðåäåëà ïðè x → +∞. Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî òðåáîâàíèå íåîòðèöàòåëüíîñòè óíêöèè f â òåîðåìå 8.4 ñóùåñòâåííî. ÒÅÎÅÌÀ 8.5. Ïóñòü óíêöèÿ f ∈ C[0, +∞) ìîíîòîííî óáûâàåò è íåîòðèöàòåëüíà. Òîãäà èíòåãðàë Z∞ f (x)dx 0


5.8

Ïðèçíàêè Àáåëÿ - Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ

è ðÿä

∞ X

155

f (k) = f (0) + f (1) + . . .

k=0

îäíîâðåìåííî ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ. ⊳ Â ñèëó ìîíîòîííîãî óáûâàíèÿ f èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà Z k+1 f (k + 1) ≤ f (x)dx ≤ f (k). k

Ñóììèðóÿ èõ ïî k , ïîëó÷èì n X

f (k + 1) =

n+1 X k=1

k=0

Zn+1 ∞ X f (k). f (k) ≤ f (x)dx ≤ k=0

0

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé â íåðàâåíñòâàõ ìîíîòîííî âîçðàñòàþò, â ñèëó êðèòåðèÿ Âåéåðøòðàññà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. ⊲ Èç òåîðåìû 8.5, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ðÿä ∞ X 1 kα k=1

ñõîäèòñÿ ïðè α > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè α ≤ 1 ïîòîìó, ÷òî óíêöèÿ (1 + x)−α ïðè α > 0 íåïðåðûâíà è ìîíîòîííî óáûâàåò íà [0, +∞) è  1 Z∞ Z∞ dy dx , α > 1, = = 1−α α α +∞, α ≤ 1. (1 + x) y 1

0

Òåïåðü ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë èìååò îñîáåííîñòè â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ. Ïóñòü f : (a, b) → R, ïðè÷åì èíòåãðàë Zb I = f (x)dx a

èìååò îñîáåííîñòè òîëüêî â òî÷êàõ a è b. Ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà c ∈ (a, b) äåëèò èíòåðâàë íà äâå ÷àñòè, ïðè÷åì èíòåãðàëû

I1 =

Zc a

f (x)dx,

I2 =

Zb c

f (x)dx


5.8

Ïðèçíàêè Àáåëÿ - Äèðèõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ

156

èìåþò åäèíñòâåííûå îñîáåííîñòè â òî÷êàõ a è b ñîîòâåòñòâåííî. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 8.1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë I ñõîäèòñÿ, åñëè ñõîäÿòñÿ èíòåãðàëû I1 , I2 , ïðè÷åì áóäåì ïîëàãàòü I = I1 + I2 . Ïîêàæåì, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè c ∈ (a, b). Ïóñòü, ñêàæåì, a < c < c′ < b. Òîãäà

Zc a

f (x)dx +

Zb

f (x)dx =

c

Zc

f (x)dx +

a

=

Zc′

Zc′

f (x)dx +

c

Zb

f (x)dx +

a

Zb

f (x)dx =

c′

f (x)dx.

c′

àññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé. ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 8.2. Ïóñòü èíòåðâàë (a, b) ìîæíî ðàçáèòü òî÷êàìè a = c0 < c1 < · · · < cn−1 < cn = b íà êîíå÷íîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ (ck , ck+1) òàêèõ, ÷òî êàæäûé èç èíòåãðàëîâ ck+1 Z Ik = f (x)dx, k = 0, 1, . . . , n − 1 ck

èìååò òîëüêî îäíó îñîáåííîñòü íà îäíîì èç êîíöîâ èíòåðâàëà (ck , ck+1 ). Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë I áóäåì íàçûâàòü ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ êàæäûé èíòåãðàë Ik , ïðè÷åì áóäåì ïîëàãàòü

I=

n−1 X

Ik .

k=0

 ñâÿçè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ÏÈÌÅ 8.2. àññìîòðèì èíòåãðàë Z0 Z1 Z1 dx dx dx = + . x x x −1

−1

0

Î÷åâèäíî, îí íå ñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó íå ñõîäÿòñÿ èíòåãðàëû, ñòîÿùèå ñïðàâà. Èìåííî,

−ε1 Z1

1 Z−ε1

dx dx = ln |x|

, = ln |x|

. x x −1 ε2 −1

ε2


5.9

Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ

Îòñþäà

Z−ε1

dx + x

−1

Z1

ε2

157

ε1 dx = ln . x ε2

Ïðåäåëà lim ln εε12 íå ñóùåñòâóåò, åñëè ε1 è ε2 ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ε1 ,ε2 →0 íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Îäíàêî ñóùåñòâóåò îäíî âàæíîå îáîáùåíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. Rb ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ 8.3. Ïóñòü f (x)dx  èíòåãðàë ñ åäèíñòâåííîé a

îñîáåííîñòüþ â òî÷êå c ∈ (a, b). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýòîò èíòåãðàë ñõîäèòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ ïî Êîøè, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë  c−ε  Z Zb Zb lim  f (x)dx + f (x)dx = p.v. f (x)dx. ε→0

a

c+ε

a

Èíòåãðàë â ïðèìåðå 8.2 ñõîäèòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ ïî Êîøè, òî åñòü  −ε  Z Z1 Z1 dx dx  dx = lim  + = 0. p.v. ε→0 x x x −1

−1

5.9

ε

Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ

Îäíèì èç ïðîñòåéøèõ ìåòîäîâ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ïóñòü òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

I=

Zb

f (x)dx.

a

àçîáüåì îòðåçîê [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé ïîñðåäñòâîì òî÷åê a = x0 < x2 < x4 < · · · < x2n = b. Îáîçíà÷èì ÷åðåç x2k−1 òî÷êó, ëåæàùóþ íà ñåðåäèíå îòðåçêà [x2k−2, x2k ], k = 1, . . . , n, è ïðåäñòàâèì


5.9

158

Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ

èíòåãðàë I â âèäå

b−a (f (x1) + · · · + f (x2n−1)) + R n

I=

Ýòà îðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà I íàçûâàåòñÿ îðìóëîé ïðÿìîóãîëüíèêîâ. ÒÅÎÅÌÀ 9.1. Ïóñòü f ∈ C 2 [a, b]. Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà η ∈ [a, b] òàêàÿ, ÷òî îñòàòîê

(b − a)3 ′′ R= f (η). 24n2 ⊳ Ñíà÷àëà îöåíèì èíòåãðàë Zh

f (x)dx,

−h

ñ÷èòàÿ, ÷òî f ∈ C 2 [−h, h]. Äëÿ ýòîãî ïðîèíòåãðèðóåì êàæäûé èç èíòåãðàëîâ

I1 =

Z0

f ′′(x)(x + h)2dx,

I2 =

Zh 0

−h

f ′′(x)(x − h)2 dx

ïî ÷àñòÿì äâà ðàçà. Äëÿ I1 èìååì

0 Z0 Z0

I1 = (x+h)2f ′(x)

−2 f ′(x)(x+h)dx = f ′(0)h2−2f (0)h+2 f (x)dx. −h

−h

−h

Äëÿ I2 , àíàëîãè÷íî äåéñòâóÿ, ïîëó÷èì

I2 = f ′ (0)h2 − 2f (0)h + 2

Zh

f (x)dx.

0

Ñêëàäûâàÿ I1 è I2 , ïîëó÷èì

Zh

−h

f (x)dx = 2f (0)h =

I1 + I2 . 2


5.9

Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ

159

Îòñþäà, èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè, èìååì

I1 + I2 1 = 2 2

Z0

1 f ′′(x)(x + h)2dx + 2

0

−h ′′

f (ξ1) = 2

Z0

Zh

′′

f (ξ2 ) (x + h) dx + 2 2

Zh 0

−h

f ′′(x)(x − h)2dx =

h3 f ′′(ξ1) + f ′′(ξ2) · . (x − h) dx = 3 2 2

Äàëåå, ïîñêîëüêó f ′′ íåïðåðûâíà íà [−h, h], òî â ñèëó òåîðåìû Âåéåðøòðàññà îá îãðàíè÷åííîñòè íåïðåðûâíîé óíêöèè èìååì

m = min f ′′(ξ) ≤ f ′′ (ξ) ≤ max f ′′ (ξ) = M [−h,h]

[−h,h]

∀ξ ∈ [−h, h].

Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû Áîëüöàíî - Êîøè î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íàéäåòñÿ òî÷êà η ∈ [−h, h] òàêàÿ, ÷òî

f ′′(η) =

f ′′(ξ1) + f ′′(ξ2 ) . 2

Îêîí÷àòåëüíî èìååì

Zh

f (x)dx = f (0) · 2h +

1 ′′ f (η) · (2h)3. 24

(9.1)

−h

Âåðíåìñÿ òåïåðü ê èíòåãðàëó I . Ïðåäñòàâèì åãî â âèäå

Zb a

f (x)dx =

Zx2

x0

f (x)dx + · · · +

Zx2n

f (x)dx,

x2n−2

è ê êàæäîìó èç èíòåãðàëîâ - ñëàãàåìûõ ïðèìåíèì îðìóëó (9.1):

I= ãäå

b−a n

b−a (f (x1) + · · · + f (x2n−1)) + R1 + · · · + Rn , n

= 2h. Äëÿ ñóììû îñòàòêîâ R1 + R2 + · · · + Rn = R èìååì

(b − a)3 f ′′(η1) + · · · + f ′′(ηn) (b − a)3 ′′ R= · = f (η), 24n2 n 24n2 ïðè÷åì ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè η ∈ [a, b], êàê è âûøå, óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîñðåäñòâîì òåîðåìû Áîëüöàíî - Êîøè. ⊲


5.9

Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ

160

 ðÿäå ñëó÷àåâ âìåñòî îðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîâ óäîáíî èñïîëüçîâàòü îðìóëó òðàïåöèé. ×òîáû ïîëó÷èòü åå, èíòåãðàë ïðåäñòàâèì â âèäå

I=

Zb a

f (x)dx =

b−a (f (x0) + f (x1) + · · · + f (xn−1) + f (xn)) + R, n

ãäå a = x0 < x1 < · · · < xn = b  òî÷êè ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] f (xk−1 )+f (xk ) b−a íà n ðàâíûõ ÷àñòåé äëèíîé b−a · n  ïëîùàäü òðàïån , à 2 öèè ñ îñíîâàíèÿìè f (xk−1) è f (xk ) è âûñîòîé b−a n . Ñèìâîëîì R, êàê è âûøå, îáîçíà÷èì îñòàòîê. Çàìåòèâ, ÷òî êàæäàÿ âåëè÷èíà f (xk ), k = 1, 2, . . . , n − 1, ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì äâóõ òðàïåöèé, îðìóëó òðàïåöèé ïåðåïèøåì â âèäå ! n−1 X b−a f (xk ) + R. f (a) + f (b) + 2 I= 2n k=1

Èìååò ìåñòî ÒÅÎÅÌÀ 9.2. Ïóñòü f ∈ C 2 [a, b]. Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà η ∈ [a, b] òàêàÿ, ÷òî îñòàòîê

R=− ⊳ Îöåíèì èíòåãðàë

Rh

−h

(b − a)3 ′′ f (η). 12n2

f (x)dx, ñ÷èòàÿ, ÷òî f ∈ C 2[−h, h]. Äëÿ

ýòîãî ïîäâåðãíåì äâóêðàòíîìó èíòåãðèðîâàíèþ ïî ÷àñòÿì èíòåãðàë Rh ′′ f (x)(x2 − h2 )dx. Ïîëó÷èì

−h

Zh

−h

h Zh

f ′′ (x)(x2 − h2 )dx = f ′(x)(x2 − h2 )

− 2 xf ′(x)dx = −h

−2h(f (−h) + f (h)) + 2

Zh

−h

−h

f (x)dx.


5.9

161

Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ

Îòñþäà, èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ñðåäíåì, ïîëó÷àåì

Rh

f (x)dx =

−h

(h) 2h f (−h)+f 2

(h) − = 2h f (−h)+f 2

f ′′ (η) 2

Rh

−h

+

1 2

Rh

−h

f ′′(x)(x2 − h2 )dx =

(h) (h2 − x2)dx = 2h f (−h)+f − 2

f ′′ (η) 3 2 (2h) .

(9.2)

Òåïåðü ïðåäñòàâèì èíòåãðàë I â âèäå ñóììû

I=

Zx1

f (x)dx +

x0

Zx2

x1

f (x)dx + · · · +

Zxn

f (x)dx,

xn−1

è ê êàæäîìó èíòåãðàëó - ñëàãàåìîìó ïðèìåíèì îðìóëó (9.2). Ïîëó÷èì n−1

X b−a I= f (xk )) + R1 + · · · + Rn , (f (a) + f (b) + 2 2n k=1

f ′′ (η )

(b−a)3

ãäå b−a = 2h, Rk = 12k · n3 , k = 1, . . . , n. Ïîëîæèâ R = n R1 +· · ·+Rn è ïðèìåíèâ, êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé òåîðåìû, òåîðåìó Áîëüöàíî - Êîøè î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè, ïîëó÷èì òðåáóåìîå. ⊲ Ôîðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðó÷íîì ñ÷åòå. Ïðè ìàøèííîì ñ÷åòå èñïîëüçóåòñÿ îðìóëà Ñèìïñîíà1 èëè îðìóëà ïàðàáîë. ×òîáû åå ïîëó÷èòü, ðàçîáüåì îòðåçîê [a, b] íà ÷åòíîå ÷èñëî n = 2m ðàâíûõ ÷àñòåé: a = x0 < x1 < · · · < x2m = b è ïðåäñòàâèì èíòåãðàë â âèäå

I=

Zb

f (x)dx =

b−a ((f (x0) + 4f (x1) + f (x2))+ 2m

a

+(f (x2)+4f (x3)+f (x4))+· · ·+(f (x2m−2)+4f (x2m−1)+f (x2m)))+R, ãäå ñëàãàåìîå

b−a (f (x2k−2) + 4f (x2k−1) + f (x2k )) 2m 1 Òîìàñ

Ñèìïñîí (1710-1761)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê. Îñíîâíûå òðóäû ïî ãåîìåòðèè, òðèãîíîìåòðèè è ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Îñíîâîïîëîæíèê òåîðèè îøèáîê.


5.9

162

Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ëåæàùåé ïîä ïàðàáîëîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè (x2k−2, f (x2k−2)), (x2k−1, f (x2k−1)) , (x2k , f (x2k )). Ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ñëàãàåìûå, ïîëó÷àåì ! m m X X b−a I= f (x2k−1) + R. f (x2k ) + 4 f (a) + f (b) + 2 6m k=1

k=1

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îñòàòêà R ñïðàâåäëèâà ÒÅÎÅÌÀ 9.3. Ïóñòü f ∈ C 4 [a, b]. Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà η ∈ [a, b] òàêàÿ, ÷òî

(b − a)5 (4) R=− f (η). 2880m4 ⊳ Ñíà÷àëà îöåíèì èíòåãðàë

Rh

−h

f (x)dx, ñ÷èòàÿ f ∈ C 4[−h, h]. Äëÿ

ýòîãî ïîäâåðãíåì ÷åòûðåõêðàòíîìó èíòåãðèðîâàíèþ ïî ÷àñòÿì èíòåãðàëû

I1 =

Z0

f (4) (x + h)3 (x − h/3)dx,

−h

I2 =

Zh 0

f (4) (x − h)3(x + h/3)dx.

Äëÿ I1 èìååì

0

0

′′ 2 I1 = f (x)(x+h) (x−h/3)

−f (x)(x+h) (3(x−h/3)+(x+h))

+ ′′′

3

−h

−h

0

0

+6f ′(x)(x + h)((x − h/3) + (x − h))

− 6f (x)(4x + 8/3h)

+

+24

Z0

−h

h4 ′′′ f (x)dx = −f (0) +4f ′(0)−8h(f (−h)+f (h))+24 3

−h

f (x)dx.

−h

Äëÿ I2 ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî

h4 I2 = f ′′′(0) − 4f ′(0)h2 − 8h(f (−h) + f (h)) + 24 3

Z0

−h

Zh 0

f (x)dx.


5.9

Ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ

163

Ñêëàäûâàÿ I1 è I2 , ïîëó÷èì

Zh

f (x)dx =

I1 + I2 f (−h) + 4f (0) + f (h) · 12h + . 6 24

−h

Äàëåå, ê èíòåãðàëàì I1 è I2 ïðèìåíèì òåîðåìó î ñðåäíåì, ó÷èòûâàÿ íåïîëîæèòåëüíîñòü óíêöèé (x + h)3 (x − h/3), (x − h)3 (x + h/3) íà îòðåçêàõ [−h, 0] è [0, h] ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëó÷èì  Z0 1  (4) I1 + I2 = f (ξ1) (x + h)3 (x − h/3)dx+ 24 24 −h

+f (4)(ξ2 )

Zh 0

(x − h)3(x + h/3)dx =

h5 f (4)(ξ1 ) + f (4) (ξ2) · . = 90 2 Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Áîëüöàíî - Êîøè, íàéäåì òî÷êó η ∈ [−h, h] òàêóþ, ÷òî f (4)(ξ1 ) + f (4) (ξ2) (4) , f (η) = 2 è ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî Zh

f (x)dx =

f (−h) + 4f (0) + f (h) (2h)5 (4) · 2h − f (η). 6 2880

(9.3)

−h

Ïðåäñòàâèâ òåïåðü èíòåãðàë I â âèäå ñóììû

I=

Zx2

x0

f (x)dx +

Zx4

x2

f (x)dx + · · · +

Zx2m

f (x)dx

x2m−2

è ïðèìåíèâ ê êàæäîìó èíòåãðàëó - ñëàãàåìîìó îðìóëó (9.3), ïîëó÷èì òðåáóåìîå. ⊲


Ñâèðèäþê åîðãèé Àíàòîëüåâè÷ Ôåäîðîâ Âëàäèìèð Åâãåíüåâè÷

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç ×àñòü I Ó÷åáíîå ïîñîáèå

åäàêòîð Â.Ô.åïåöêàÿ

Ñäàíî â íàáîð 16.11.98. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 17.05.99. Ôîðìàò 60x84 1/16. Áóìàãà îñåòíàÿ. Ïå÷àòü îñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 9,3. Ó÷.-èçä. ë. 8,7. Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç 70. Öåíà äîãîâîðíàÿ

×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. 454021 ×åëÿáèíñê, óë. Áðàòüåâ Êàøèðèíûõ, 129.

Ïîëèãðàè÷åñêèé ó÷àñòîê Èçäàòåëüñêîãî öåíòðà ×åë Ó. 454021 ×åëÿáèíñê, óë. Ìîëîäîãâàðäåéöåâ, 57-á.

sviriduk and fedorov  

MATAH for students

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you