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高中物理竞赛辅导教程 (新大纲版 ) 江四喜   编著


图书在版编目( CIP)数据    高中物理竞赛辅导教程:新大纲版 / 江四喜编著 . —杭州:浙江大学出版社, 2017. 1   I SBN978 G 7 G 308 G 16390 G 3

  Ⅰ.① 高􀆺  Ⅱ.① 江􀆺  Ⅲ.① 中学物理课—高中—教 学参考资料  Ⅳ.①G634. 73

   中国版本图书馆 CIP 数据核字( 2016)第 266867 号

高中物理竞赛辅导教程(新大纲版) 江四喜   编著 责任编辑   沈国明 责任校对   冯其华 封面设计   刘依群

出版发行   浙江大学出版社

(杭州市天目山路 148 号   邮政编码 310007) (网址:h //www. t t z upr e s s. com) p: j

排    版   杭州星云光电图文制作有限公司 印    刷   绍兴市越生彩印有限公司 开    本  889mm×1194mm 1/16 印    张  30

字    数  1000 千

版 印 次  2017 年 1 月第 1 版  2017 年 1 月第 1 次印刷 书    号  ISBN978 G 7 G 308 G 16390 G 3 定    价  80. 00 元

版权所有 翻印必究   印装差错 负责调换

//z 浙江大学出版社发行中心联系方式: 0571-88925591; h t t dxcbs. tma l l. c om p: j


写在前面 高中学科奥赛在上世纪进入我国,兴起初期,得到了政府及民间的大力支持,从而 得 以 迅 速普及.由于在优秀人才培养方面所表现出的显著性促进作用,高中学科奥赛得到了那个 对 人才渴求的时代的极大认同,进 而 对 中 学 学 科 教 学,特 别 是 数 理 学 科 的 教 学 产 生 了 极 大 的 影 响,与此同时,也产生了相应的 认 识 分 歧. 因 为 奥 赛 培 训 在 为 优 秀 学 子 提 供 恰 当 的 教 育 环 境 的同时,也为其中一部分学子在升学方面带来了功利性的收益,当然,也让部分学子的结局 偏 离了人们的预期.当 竞 赛 生 中 的 优 秀 者 享 有 保 送 名 校 的 资 格 时,奥 赛 自 然 会 触 及 他 人 的 利 益.于是,奥赛的利弊与存废便进入了无休止的争议状态. 实际上,对奥赛的褒贬与奥 赛 参 与 者 的 盛 行 是 分 道 而 行 的,基 本 上 你 唱 你 的,我 行 我 的, 似乎彼此并无太大的纠结.而真 正 影 响 它 的 则 是 全 国 几 乎 所 有 的 重 点 高 校 对 竞 赛 生 的 青 睐 与接纳,特别是新的自主招生政 策 出 台 后,几 乎 所 有 享 有 自 主 招 生 资 格 的 高 校 均 将 学 科 奥 赛 获奖作为自主招生的门槛,这等于对奥赛选拔功能给予了肯定. 奥赛学习进行到一定的时候,一 定 是 一 个 小 众 化 的 群 体 活 动,因 为 有 很 多 试 图 进 入 这 个 领域的学子,尚未迈过门槛,便被横亘在面前的能力要求阻挡在了圈外,但却被抹黑它的人 夸 大为“全民奥赛”.其实,即便是 我 所 在 的 这 所 以 奥 赛 见 长 的 省 级 重 点 中 学,真 正 接 触 过 奥 赛 的人也不足 20% ,而最终能走到 底 的 则 不 足 10% .如 考 虑 到 更 大 范 围 的 学 生,能 有 5% 的 中 学生接触过奥赛就已经不得了了,所谓“全民奥赛”,只是反对奥赛者的臆断而已. 还是说说我所经历与感受到的物理竞赛吧! 我已记不清是哪家报纸或杂志在第一届全国中学生物理竞赛( 1984 年)结束后,刊登了一 则报道这一赛事的短讯,其具体 内 容 我 现 在 也 记 不 清 了,但 我 却 记 着 那 次 经 选 拔 参 加 全 国 决 赛的总人数: 73 人(现在是 360 人).我当时的感觉是,这肯定是中学物理学科的最高赛事了. 那时的我还只是一所偏远农村中 学 里 的 物 理 教 师,感 觉 这 赛 事 虽 与 己 相 关,但 只 能 是 远 远 地 观望而已.换句话说,一般县中及以下的学生,大多是没有机会接触奥赛的. 2000 年,我已在目前所在的这所省重点中学工作一段时间了,在学校领导的安排下,开始

担任竞赛班的班主任及物理竞赛 教 练,才 正 式 接 触 学 科 奥 赛,同 时 也 开 始 大 面 积 接 触 那 些 资 质超群的学子.而在此之前,以各类媒体为代表的社会各方面已开始对学科奥赛进行责难 与 围剿了.那时,在我脑子里也形 成 了 奥 赛 培 训 对 学 生 而 言 是 拔 苗 助 长,是 扼 杀 学 生 天 性 的 教 育行为,是对学生成长有负面 影 响 的 意 识. 至 少,我 没 有 让 本 该 有 机 会 接 触 奥 赛 的 女 儿 去 学 习奥赛,这实际上也就是我当时对奥赛的观点体现.所以,最初我对竞赛培训是拒绝的,只 是 迫于工作上的要求,才走上了竞赛辅导之路.而一经接触,便很快明白,我原来对竞赛的 见 解 是错得很离谱的. 我在竞赛班的教学中很快发 现,这 群 在 竞 赛 中 享 受 学 习 乐 趣 与 体 验 成 就 感 的 学 生,他 们 整体的优秀程度是很容易与 一 般 学 生 进 行 区 别 的. 他 们 也 许 还 称 不 上 是 天 才,但 总 体 来 说, 他们大多有着超强的记忆力,过 人 的 悟 性 以 及 不 一 般 的 执 行 力. 说 直 白 一 点 就 是,别 人 要 读 上十遍才能背下来的内容,他们 只 需 读 上 两、三 遍;别 人 需 要 反 复 听 上 几 遍 才 能 听 懂 的 内 容,  1


他们也许还不等你讲完已经心领 神 会 了;他 们 有 着 清 醒 的 学 习 目 标,他 们 在 学 习 过 程 中 能 做 到心无旁骛.这些素质决定了他们对常规教学的内容学习起来是轻松自如,学有余力 的.其 实,他们中的部分同学在某些方 面 的 特 别 才 能,用“天 赋 异 禀”来 形 容 并 不 为 过. 说 得 更 直 白 一点,就是他们的智商超出了一般人. 他们的优秀以至于让他们不屑于耗费过多的精力去学习常规教学所指定的内容,虽 然 那 些内容对很多同龄人来说,可能难以跨越,但对他们来说,是一种很低的要求.如果让他 们 按 部就班地学习常规内容,则对他们无疑是一种摧残.于是,问题来了——— 我们该用什么样的方式来 满 足 他 们 强 烈 的 学 习 需 求 呢? 用 对 他 们 来 说 是 稀 松 平 常 的 知 识来消磨他们的时间,对他们 是 否 公 平? 我 们 将 更 宽 广 与 更 深 刻 的 知 识 传 授 给 他 们,对 他 们 真的是拔苗助长吗? 他们的潜质该用什么样的方法来激发? 说得通俗一点,我们给予他 们 什 么样的学习环境才是真正的因材施教? 从我多年竞赛班的教学、班 主 任 工 作 及 物 理 竞 赛 辅 导 的 经 历 来 看,竞 赛 学 习 于 这 群 资 优 学生而言,其学习目的中虽然不可避免地包含了一定的功利因素(即便如此,我也认为是一种 积极向上的功利因素),但更重 要 的 是 他 们 的 兴 趣、品 质、追 求、责 任 意 识 等,是 这 些 因 素 让 他 们将奥赛学习坚持到底.当然,其中也少不了他们的智商与个人对目标不懈追求的支撑. 关于竞赛生的智商,这一 点 的 确 是 很 重 要 的,也 是 不 得 不 说 的. 学 习 过 程 中 的 很 多 问 题 对我们一般人而言,其难度也许是难以跨越的,但于那些资优生而言,也许只是小菜一 碟.我 个人的经历大体能说明这一点.在接触物理竞赛辅导之前,我已从事了十多年的中学物理 教 学,自认为对中学物理内容是烂熟于心的,特别是在解题能力上,有着回答学生提出的问题 能 做到“难题目三分钟,简单题目三秒钟,不难不简单的题目对答如流”的“霸气”.然而,一接触 竞赛内容,立即便感到自己的脑 力 不 足,各 种 难 题 是 扑 面 而 来,别 说 三 分 钟,就 是 三 天 也 未 必 能找准解答的切入点,而当自己 给 出 了 自 认 为 完 善 的 解 答 时,学 生 往 往 会 用 更 为 奇 妙 的 解 答 来秒杀我的解答,结果是让我 用 更 多 的 时 间 来 研 究 学 生 的 解 答. 而 有 时 为 了 讲 解 一 个 问 题, 虽做了很长时间的准备,自认为 有 那 么 一 些 新 意,不 料,未 等 我 讲 上 几 句,他 们 已 经 能 将 问 题 的来龙去脉说得清清楚楚,让 我 无 话 可 说. 我 深 刻 地 体 会 到,在 他 们 面 前,我 的 智 商 不 够 啊! 所以,这么多年来,与 其 说 是 我 在 辅 导 学 生 进 行 奥 赛,倒 不 如 说 是 学 生 引 导 我 逐 步 认 识 了 奥 赛,我是非常清楚我与学生之间的差距的.虽然我也有连续三届带出国际中学生物理奥赛 中 国队队员( 2007 年余超入选第 8 届亚洲中学生物理奥林匹克中国队并获金牌; 2010 年靖 礼 入 选第 41 届国际中学生物理奥林匹克竞赛中国队并获金牌; 2010 年胡琦入选第 11 届亚洲中学 生物理奥林匹克竞赛中国队; 2013 年张 成 锴 入 选 第 44 届 国 际 中 学 生 物 理 奥 林 匹 克 竞 赛 中 国 队并获金牌)和众多学生进入国家集训队的经历,但我能站在他们的教练的位置上,并不是因 为我强于他们.事实上,每带一届学生,我除了对他们作一些基础知识的系统讲解外,更 多 的 只是凭借自己的一点教学经验,来组织他们自我学习,为他们提供相应的素材,引导他们解 决 问题、提升能力而已;或者是将 往 届 学 生 的 学 习 经 验、对 问 题 的 处 理 方 法 再 传 授 给 他 们 而 已. 可以肯定地说,我也是在学生们 的 成 长 过 程 中 得 以 成 长 的,这 一 过 程 正 如 原 国 家 队 主 教 练 舒 幼生教授所言,是“青出于蓝而胜于蓝,蓝在青中更被青染”. 那么,如果要让我评价奥赛 于 竞 赛 生 来 说 意 味 着 是 什 么 的 话,我 觉 得 这 种 富 有 挑 战 性 的 学习于他们而言,应该是他们中 学 学 习 这 份 大 餐 中 的 一 份 甜 点、一 份 适 合 他 们 个 性 口 味 的 冷 碟、一杯润肺的红酒􀆺􀆺总之,绝不是毒品. 下面,再说说这本书.  2


写在前面

全国中学生物理竞赛经过 30 多 年 的 发 展,已 经 是 相 当 成 熟 且 极 具 影 响 力 的 中 学 学 科 奥

赛了,其命题依据是«全国中学生 物 理 竞 赛 内 容 提 要»(简 称 竞 赛 大 纲),它 的 内 容 相 对 于 中 学 常规教学的内容高出了许多,而 即 将 于 2016 年 实 施 的 新 的 竞 赛 大 纲 又 在 原 有 竞 赛 大 纲 的 基 础上增加或修改了 60 多个知识点,以至于原有的竞赛指导书都存在着很大的、天生的缺陷.

笔者在第一时间获取新的竞赛大纲后,便在原有自编讲义的基础上着手整理、编 写 本 书,

考虑到初学者在学习目的、知识 的 掌 握、能 力 提 升 及 强 化、巩 固 上 的 需 求,本 书 按 知 识 章 节 进 行编写,在每个章节中根据需要设 置 了 若 干 单 元,章 节 中 的“知 识 点 与 竞 赛 要 求”依 据 竞 赛 大 纲,列举了本章所需掌握的知识 内 容 及 可 能 出 现 在 哪 个 层 面 的 竞 赛 中,亦 即 明 确 了 学 生 在 学 习中对相应的知识应该掌握的程度;而“竞赛考查特点”则归纳了近年来竞赛对本章知识的考 查特点及重点与热点内容,为学习指明了方向;各单元的知识要点及例题,为学生学习本部 分 知识给出了铺垫及解题示范;每章中的“规律􀅰方法点筋”单元则是本单元可能涉及的解题方 法的总结与拓展,学习者可通过对 解 题 过 程 及 题 后“点 筯”栏 目 的 阅 读,提 升 对 本 章 内 容 的 理 解与应用;而“过关练习”则是供学习者训练的习题,以达到巩固与强化掌握知识的目的. 由于本书的容量极大,所以,在书后只附有练习的参考答案,争取以后再择机出版 练 习 的 详细解答.相信这些栏目的设置会为大家的学习带来便利,从而在学习过程中达到较高的 性 价比. 本人虽然有着十多年的竞赛辅导经验并收集了大量的辅导资料,且本书的大部分内 容 也 在本人过去的辅导中作为第一轮 的 资 料 使 用 过,但 选 题 范 围 及 视 角 肯 定 都 是 有 限 的,而 且 对 竞赛大纲新加入的知识点的理解也不一定十分准确,难免出现偏差.如果读者在使用过程 中 发现 问 题 或 有 好 的 建 议,恳 请 在 您 方 便 的 前 提 下,将 其 指 正 或 建 议 发 至 714537035@QQ.

c om,本人将不胜感激. 在本书出版之前,本人已出版了«物 理 竞 赛 解 题 方 法 漫 谈»、«物 理 竞 赛 专 题 精 编»两 本 竞 赛辅导书,本书与它们一起构 成 了 一 个 基 础 讲 解、方 法 提 升 与 归 纳 冲 刺 的 系 列. 事 实 上 这 些 资料也是本人辅导学生的一个系统培训的呈现,希望它们能为系统学习物理竞赛的同学有一 定的帮助. 非常感谢 2015 届国家集训队的杨帆同学,他为本书的相对论部分撰写了初稿;非 常 感 谢

浙江大学出版社的杨晓鸣老师,他 对 本 书 的 编 写 与 出 版 给 予 了 极 大 关 注 与 巨 大 付 出,使 本 书 得以顺利出版. 最后,我还要特别附上一点,在 编 写 本 书 的 日 子 里,一 生 关 爱 我 的 母 亲 不 幸 离 我 而 去,享 年 89 岁.母亲对我的要求与 期 待,一 直 都 是 我 不 懈 努 力 的 动 力. 在 母 亲 去 逝 后 的 一 段 时 间 里,我常常是眼中噙着泪水整理 书 稿,母 亲 的 去 世 让 我 无 以 回 报,那 么,就 让 本 书 的 出 版 作 为 我对敬爱的母亲的纪念吧! 江四喜 2015 年 11 月于碧桂园􀅰凰城􀅰浅月湾

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目    录 第一章   物体的运动 ……………………………………………………………………………………… (1 ) 第 Ⅰ 单元   运动学的基础内容 ………………………………………………………………………… (1 ) 第 Ⅱ 单元   抛体运动 …………………………………………………………………………………… (8 ) 第 Ⅲ 单元   圆周运动 …………………………………………………………………………………… (11 ) 第 Ⅳ 单元   刚体的平动与定轴转动 …………………………………………………………………… (15 ) 第 Ⅴ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… (17 ) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… (26 )

第二章   物体的平衡 ……………………………………………………………………………………… (30 ) 第 Ⅰ 单元   几种常见的力 ……………………………………………………………………………… (30 ) 第 Ⅱ 单元   共点力作用下的物体平衡 ………………………………………………………………… (32 ) 第 Ⅲ 单元   力矩   有固定转轴的物体平衡 …………………………………………………………… (35 ) 第 Ⅳ 单元   一般物体的平衡 …………………………………………………………………………… (37 ) 第 Ⅴ 单元   平衡的稳度 ………………………………………………………………………………… (40 ) 第 Ⅵ 单元   流体静力学 ………………………………………………………………………………… (42 ) 第 Ⅶ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… (44 ) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… (54 )

第三章   运动定律 ………………………………………………………………………………………… (57 ) 第 Ⅰ 单元   牛顿运动定律 ……………………………………………………………………………… (57 ) 第 Ⅱ 单元   惯性力 ……………………………………………………………………………………… (62 ) 第 Ⅲ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… (66 ) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… (74 )

第四章   能量与动量 ……………………………………………………………………………………… (77 ) 第 Ⅰ 单元   动能与势能 ………………………………………………………………………………… (77 ) 第 Ⅱ 单元   功能原理与机械能守恒定律 ……………………………………………………………… (81 ) 第 Ⅲ 单元   动量与动量守恒定律 ……………………………………………………………………… (86 ) 第 Ⅳ 单元   碰   撞 ……………………………………………………………………………………… (94 ) 第 Ⅴ 单元   变质量体系的运动 ………………………………………………………………………… ( 100) 第 Ⅵ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 102) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 114)

第五章   角动量与天体运动 ……………………………………………………………………………… ( 118) 第 Ⅰ 单元   角动量 ……………………………………………………………………………………… ( 119)  1


第 Ⅱ 单元   刚体动力学 ………………………………………………………………………………… ( 122) 第 Ⅲ 单元   万有引力定律 ……………………………………………………………………………… ( 126) 第 Ⅳ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 133) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 144)

第六章   振动与波动 ……………………………………………………………………………………… ( 147) 第 Ⅰ 单元   振   动 ……………………………………………………………………………………… ( 148) 第 Ⅱ 单元   波   动 ……………………………………………………………………………………… ( 156) 第 Ⅲ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 163) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 174)

第七章   热   学 …………………………………………………………………………………………… ( 178) 第 Ⅰ 单元   气体的性质 ………………………………………………………………………………… ( 179) 第 Ⅱ 单元   分子动理论 ………………………………………………………………………………… ( 184) 第 Ⅲ 单元   固体、液体的性质 …………………………………………………………………………… ( 190) 第 Ⅳ 单元   相变   热传递 ……………………………………………………………………………… ( 194) 第 Ⅴ 单元   热力学定律 ………………………………………………………………………………… ( 203) 第 Ⅵ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 214) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 225)

第八章   静电场 …………………………………………………………………………………………… ( 232) 第 Ⅰ 单元   库仑定律   电场强度 ……………………………………………………………………… ( 232) 第 Ⅱ 单元   电   势 ……………………………………………………………………………………… ( 237) 第 Ⅲ 单元   电容器 ……………………………………………………………………………………… ( 243) 第 Ⅴ 单元   电偶极子   电介质 ………………………………………………………………………… ( 248) 第 Ⅵ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 252) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 265)

第九章   电   路 …………………………………………………………………………………………… ( 269) 第 Ⅰ 单元   电路中的基本物理量 ……………………………………………………………………… ( 270) 第 Ⅱ 单元   电路的基本规律 …………………………………………………………………………… ( 273) 第 Ⅲ 单元   电表   电桥   补偿电路 …………………………………………………………………… ( 277) 第 Ⅳ 单元   网络电路的简化 …………………………………………………………………………… ( 281) 第 Ⅴ 单元   物质的导电性 ……………………………………………………………………………… ( 287) 第 Ⅵ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 293) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 303)

第十章   磁   场 …………………………………………………………………………………………… ( 307) 第 Ⅰ 单元   电流的磁场 ………………………………………………………………………………… ( 307) 第 Ⅱ 单元   磁场对电流的作用 ………………………………………………………………………… ( 311) 第 Ⅲ 单元   磁场对运动电荷的作用 …………………………………………………………………… ( 314)  2


目    录 第 Ⅳ 单元   磁场应用的常见模型 ……………………………………………………………………… ( 320) 第 Ⅴ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 323) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 333)

第十一章   电磁感应与交流电 …………………………………………………………………………… ( 337) 第 Ⅰ 单元   电磁感应 …………………………………………………………………………………… ( 337) 第 Ⅱ 单元   交流电 ……………………………………………………………………………………… ( 346) 第 Ⅲ 单元   电磁振荡和电磁波 ………………………………………………………………………… ( 355) 第 Ⅳ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 358) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 371)

第十二章   光   学 ………………………………………………………………………………………… ( 375) 第 Ⅰ 单元   光的反射与折射 …………………………………………………………………………… ( 375) 第 Ⅱ 单元   透镜成像与常用光学仪器 ………………………………………………………………… ( 383) 第 Ⅲ 单元   光的波动性 ………………………………………………………………………………… ( 391) 第 Ⅴ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 400) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 409)

第十三章   近代物理 ……………………………………………………………………………………… ( 413) 第 Ⅰ 单元   光的粒子性 ………………………………………………………………………………… ( 414) 第 Ⅱ 单元   原子结构 …………………………………………………………………………………… ( 416) 第 Ⅲ 单元   原子核 ……………………………………………………………………………………… ( 420) 第 Ⅳ 单元   粒   子 ……………………………………………………………………………………… ( 423) 第 Ⅴ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 425) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 431)

第十四章   狭义相对论 …………………………………………………………………………………… ( 435) 第 Ⅰ 单元   基本原理与洛伦兹变换 …………………………………………………………………… ( 435) 第 Ⅱ 单元   相对论的运动学效应 ……………………………………………………………………… ( 438) 第 Ⅲ 单元   相对论动力学 ……………………………………………………………………………… ( 443) 第 Ⅳ 单元   规律􀅰方法点筋 …………………………………………………………………………… ( 446) 过关练习 ………………………………………………………………………………………………… ( 454)

参考答案 …………………………………………………………………………………………………… ( 457)

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第一章   物体的运动

主题

知识点

竞赛要求

参考系   坐标系   直角坐标系

矢量和标量

平面极坐标   自然坐标系

质点运动的位移和路程   速度   加速度 匀速和匀变速直线运动及其图像 质 点 的 运 动

运动的合 成 与 分 解   抛 体 运 动   圆 周 运动

圆周运动中的切向加速度和法向加速度 平面曲线 运 动 中 的 切 向 加 速 度 和 法 向 加速度 曲率半径 角速度 角加速度

刚体 的运动

相对速度   伽利略速度变换 刚体的平动

刚体的定轴转动

Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅰ

第 Ⅰ 单元   运动学的基础内容 1.质点、坐标系、参考系 具有质量 的 几 何 点 称 作 质 点 .物 体 都 是 有 一 定 大小的,在所 研 究 的 问 题 中,当 物 体 的 形 状、大 小 可 以忽略时,把它们简化 为 质 点 来 研 究,可 以 使 问 题 的 讨论变得简洁、方便 . 任何运动 都 是 相 对 的,考 查 物 体 运 动 时 所 选 定 的、认为是不动的物体 称 作 参 照 物,原 点 固 定 于 参 照 物上的坐标 系 称 作 参 考 系 .质 点 位 置 的 描 述 一 般 是 与参考系联系起来的 .如 果 是 直 线 运 动,则 只 需 用 数

轴( x 轴)来描述 .如 果 质 点 的 运 动 是 平 面 运 动,则 需 用直角坐标系( xOy)中的坐 标( x, y)描 述 .如 果 质 点

有极坐标系、柱面坐标 系、球 坐 标 系 以 及 依 据 质 点 运

Ⅱ Ⅱ

   表格竞赛要求栏中 Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ 的含义如下: Ⅰ.该知识点从预赛到决赛均可能涉及;

Ⅱ.该知识点只在复赛与决赛中可能涉及; Ⅲ.该知识点只在决赛中可能涉及 . 以后各章的“竞赛要求”均以此为标准 .

作空间运动,则 相 应 地 用 空 间 坐 标 来 描 述 .此 外,还 动轨迹而建 立 的 自 然 坐 标 系 等 .描 述 运 动 时 可 以 采 用不同的参考系,在运 动 学 中 它 们 是 等 价 的 .大 多 数 情况下选择 的 参 考 系,应 该 合 乎 自 然 规 律 且 使 问 题 的解答最为简捷 . 解决有些 较 复 杂 的 问 题 时,需 要 从 一 个 参 考 系 过渡到另一个参考系 .在 不 同 参 考 系 中 描 述 运 动,物 体的运动轨迹、位 移、速 度 和 加 速 度 可 能 不 同 .但 是

运动学的知识与相应的研究方法是物理学的基

在不同参考 系 之 间 给 定 关 系 的 情 况 下,对 某 一 运 动

础内容,物体的运动 贯 穿 了 整 个 物 理 学 的 知 识 内 容, 的描述总是相互关联的 . 是中学物理 研 究 得 最 多 的 问 题 之 一 .从 整 个 竞 赛 内 容来讲,在历年的竞赛 中,预 赛 阶 段 不 回 避 以 运 动 学 为考查核心内容的独 立 试 题,但 在 复 赛 与 决 赛 中,以 单纯的运动学内容 构 成 的 试 题 并 不 是 很 多. 几 次 不 多的、独立的运动学试 题,基 本 上 是 以 抛 体 运 动 为 背

2.描述运动的基本物理量 描述运动 的 物 理 量 很 多,如 时 间 与 时 刻、位 矢、

位移与 路 程、速 率 与 速 度 (包 括 平 均 速 度 与 瞬 时 速 度)、速度的 变 化 与 加 速 度 等,它 们 在 中 学 物 理 常 规

教学中大多数有较为 明 确 而 详 细 的 叙 述 .由 于 位 矢、

景来考查学 生 的 .更 多 的 是 将 运 动 问 题 嵌 入 复 杂 的

位移、速度、加速度等物理量都为矢量,因此,在描述

模型与背景中,综合考 查 学 生 的 能 力,而 此 时 的 运 动

它们时,应同时关注它们的大小与方向 .

在运动分 析 类 问 题 中,几 何 关 系 也 是 一 个 不 可

3.标量与矢量 在物理学 中,我 们 常 常 会 遇 到 两 种 不 同 性 质 的

回避与不容忽视的问 题 .对 于 多 过 程 问 题,物 体 运 动

物理量:标量和矢量 .仅 用 数 值 便 可 充 分 描 述 的 物 理

分析或运动关联往往成为学生正确答题的瓶颈 .

过程中所表 现 出 的 几 何 关 系,往 往 会 冲 击 学 生 分 析 问题的耐心与规范表述的心理极限 .

量叫做标量,在 这 里,“数 值”的 含 义 包 含 单 位 及 正、 负在内,如 路 程、质 量、时 间、电 量、能 量 等 物 理 量 都 是标量 .具有一定大小 和 方 向,且 加 法 遵 循 平 行 四 边  1


形法则的物理量叫做矢量,如力、速度、加速度、电场

有关矢量的运算贯穿整个物理学知识内容 .

强度、磁感强 度 等 .实 际 上,数 学 中 的 矢 量 正 是 为 了

4.运动分析的基本内容 ( 1)运动的合成与分解

研究物理问题的需要而产生的 . 在一般情况下,矢 量 的 印 刷 体 是 用 黑 体 字 表 示, →

一个物体的实际运动往往同时产生几个运动效

如矢量a,而 在 书 写 中 常 用 a,一 般 用 同 一 字 母 的 常

果,如过河船只的沿河 运 动 和 垂 直 河 岸 的 运 动 .我 们

规写法表示该矢量的大小,如 用 a 表 示a 的 大 小 .矢

可以看成物 体 同 时 参 与 了 几 个 运 动,并 把 这 几 个 运

量的大小在 数 学 上 又 被 称 为 矢 量 的 模 .它 是 一 个 正

动叫做实际 运 动 的 分 运 动,这 个 实 际 运 动 叫 做 这 几

实数,记为|a|.模 等 于 “ 1”的 矢 量 称 为 单 位 矢 量 .在 直角坐标 系 O Gxyz 中,沿 x、 z 轴的单位矢量分别 y、 记为i、 k. j、 ( ) 矢量的加法 1

矢量 a 与 矢 量b 相 加 遵

循平 行 四 边 形 法 则,如 图 所

示,记作a+b=c,其中c 为和矢量 .

和矢量大小: c= a2 +b2 +2abcos α,其 中α 为a 和b 的夹角 . 和矢量方向: c 在a、 b 之间, c 与a 的夹角为

bs i n α . a +b2 +2abcos α ( 2)矢量的减法 若矢量间有a=c-b,则 被 减

r c s i n β=a

数矢量c、减数矢量b、差矢量a 之 间满足三角 形 法 则,如 图 所 示 .将

个分运动的合运动 . 已知分运 动 的 情 况 求 合 运 动 叫 运 动 的 合 成 .已 知合运动的 情 况 求 分 运 动 叫 运 动 的 分 解 .求 解 的 内 容是 运 动 学 的 一 些 量,如 位 移、速 度、加 速 度、时 间等 . 合成和分解的内 容 是 位 移、速 度、加 速 度 的 合 成 与分解,这些 量 都 是 矢 量,遵 循 平 行 四 边 形 法 则 .处 理合运动和 分 运 动 关 系 时 要 灵 活 选 择 方 法,如 作 图 法、解析法等,依 情 况 而 定,也 可 以 借 鉴 力 的 合 成 和 分解的知识,具体问题具体分析 .

( 2)相对运动 我们首先以运动中的速度合成来说明质点相对

运动 之 间 的 关 系 .设 有 两 个 相 对 运 动 的 参 考 系 S 系 和S ′系 .既然 运 动 和 静 止 是 相 对 的,设 S 系 为 不 动 的,而 S ′系为运 动 的 .质 点 P 相 对 S 系 的 运 动 称 为 绝对运动,而 相 对 S ′系 的 运 动 称 为 相 对 运 动 .相 应

连接两矢 量 末 端,指 向 被 减 数 矢 量 的 矢 量,即 是 差

地, P 点相对S 系的速度称为绝对速度,而相对 S ′系 的速度称为相对速度 .再 引 入 牵 连 速 度 概 念,它 是 运

矢量 .

动参考 系 S ′系 相 对 不 动 参 考 系 S 系 的 速 度 .质 点 P

被减数矢量 和 减 数 矢 量 的 起 始 端 平 移 到 一 点,然 后

在不 同 参 考 系 的 位 矢 差矢量 大 小: a= b2 +c2 +2 b ccos θ,其 中θ 为c 关 系 如 图 所 示 .由 图 中 和b 的夹角 . 差矢量 的 方 向 可 以 用 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理 求 的 位 矢 关 系,我 们 容 易 得 .一条直线 上 的 矢 量 运 算 是 平 行 四 边 形 和 三 角 形 法则的特例 .

( 3)矢量的乘法 矢量的乘法有两 种:叉 乘 和 点 乘,它 们 与 代 数 的

乘法有着质的不同 .

点乘:表达式 为 a􀅰b=c,其 中 c 称 为 矢 量 的 点

得 到,在 任 何 时 刻,绝

对速度v绝 对 为相对速度 v相 对 与 牵 连 速 度 v牵 连 之 矢量和:

v绝 对 =v相 对 +v牵 连 . 这就是速度合 成 原 则,即 S ′系 相 对 于 S 系 运 动

′系 的 速 积,它不再是一个矢量,而是一个标量 .点积的大小: 时,质点相对于 S 系 的 速 度 是 质 点 相 对 于 S ′系相对于S 系的速度的叠加 . c=abcos α,其中α 为a 和b 的夹角 .物理 中 的 功 的 定 度与S 义就是力与位移两矢量的点积 .

叉乘:表 达 式 为 a×b=c,其 中 c 称 为 矢 量 的 叉

积,它是一个新的矢量 .叉 积 的 大 小: c=abs i n α,其 中

α 为a 和b 的 夹 角 .叉 积 的 方 向:垂 直 a 和b 确 定 的 平 面,并 由 右 手 螺 旋 定 则 确 定 方 向,如图所示 .

显然, a×b≠b×a,但有

a×b=-b×a.  2

由速度之 间 的 关 联,我 们 也 很 快 可 以 得 到 加 速

度之间的关联:

a绝 对 =a相 对 +a牵 连 . 两点说明:

①只 有 在 S ′系 平 动 (不 转 动)情 况 下, S ′参 考 系

所有点相对S 系的速度(牵连速度)才是唯一的;

② 这三个 速 度 之 间 的 关 系 为 运 动 学 关 系,与 S 系和S ′系是否 是 惯 性 系 还 是 非 惯 性 系 无 关 .位 矢 加


第一章   物体的运动 速度的关系亦如此 .

( 3)运动的独立性原理 运动的独 立 性 原 理 又 称 运 动 的 叠 加 性 原 理,是

指一个物体 同 时 参 与 几 种 运 动,各 分 运 动 都 可 看 成 是独立进行的,互不影 响,物 体 的 合 运 动 则 视 为 几 个 相互独立分 运 动 叠 加 的 结 果 .分 运 动 和 合 运 动 之 间 具有:独 立 性、等 时 性、矢 量 性、同 体 性 .它 的 下 位 概 念是振动的叠加原理、波 的 叠 加 原 理、电 场 强 度 的 叠 加原理等 . 叠加分为 矢 量 叠 加 和 标 量 叠 加 两 种,前 者 遵 循 平行四边形法 则;后 者 遵 循 代 数 运 算 .因 此,在 阐 述 矢量时,强调既有大小,又有方向 .同时要指出,只有 严格遵循平行四边形法则的物理量才为矢量 .

t 之间满足 s v= 或s=v t. t ( 2)匀变速直线运动 在任何相 等 的 时 间 内,速 度 的 变 化 相 等 的 直 线 运动,叫做匀变速直线 运 动 .其 特 点 是 加 速 度 为 恒 定 值,加速度的方向与速度增量的方向一致 .

1 2( ) 适用公式: vt=v0 +a t, s=v0t+ a t +s0 . 2 自由落体运 动 和 竖 直 上 抛 运 动 是 加 速 度 a=g

的匀变速直线运动 .

匀速直线运动与匀变速直线运动在常规教学中 研究得比较透彻,此处不再说明 .

( 4)运动关联 中学物理 涉 及 物 体 之 间 速 度、加 速 度 关 系 的 问

题,常见有五种情况: ① 受 杆 或 绳 约 束 的 物 体 速 度 .所 研 究 的 杆 或 绳 等都具有刚体的力学 性 质,杆 不 可 伸 长 或 缩 短,绳 不

【例 1】在 xOy 坐标平面上 有 一 个 正 三 角 形 和 一 个正方形,正三角形和 正 方 形 的 每 条 边 长 相 同,它 们 的方 位 如 图 甲 所 示 .现 在 建 立 一 个 活 动 的 x ′O′y ′坐

可伸长 .受杆或绳约 束 物 系 各 点 速 度 的 相 关 特 征 是: 标平面,它的 坐 标 原 点 开 始 时 位 于 正 三 角 形 的 上 顶 它们在 同 一 时 刻 沿 杆 或 沿 绳 方 向 必 具 有 相 同 的 分 点,而后 O ′点沿着正三角形的三条边绕行一周 .绕行 速度 .

② 接 触 物 体 接 触 点 速 度 的 特 征 .由 刚 体 的 力 学 性质及“接触”的约束 可 知,沿 接 触 面 法 线 方 向,接 触

时, x ′轴始终 与 x 轴 平 行, ′轴 始 终 与 y 轴 平 行 .试 y 在图 中 清 楚、准 确 地 画 出 正 四 边 形 相 对 x ′O′y ′坐 标 平面运动而形成的区域的边界线 .

双方必须具 有 相 同 的 法 向 分 速 度,否 则 将 分 离 或 形 变 .至于沿接触面的切 向,接 触 双 方 是 否 有 相 同 的 分 速度,则取决于该方向 上 双 方 有 无 相 对 滑 动 .若 无 相 对滑动,则接 触 双 方 将 具 有 完 全 相 同 的 速 度 .因 此, 接触物体接 触 点 速 度 的 相 关 特 征 是:沿 接 触 面 的 法 向分速度必 定 相 同,沿 接 触 面 的 切 向 分 速 度 在 无 滑 动时相同 .

③ 相 交 物 系 交 叉 点 速 度 的 特 征 .线 状 相 交 物 系 交叉点的速 度,是 相 交 双 方 沿 对 方 切 向 运 动 分 速 度 的矢量和 .

④ 运 动 物 体 上 不 同 质 点 的 速 度 .该 物 体 可 视 为 刚体,物体运动时其上 任 意 两 点 之 间 距 离 不 变 .若 物 体沿一个平面运动,则 各 点 速 度 在 同 一 平 面 内,但 是 互相不平行,各 点 运 动 可 以 看 作 是 绕 垂 直 该 平 面 某 一轴(瞬时转动轴)的 转 动 以 及 该 轴 平 行 此 平 面 以 某 一速度平动之合运动 .

甲             乙  

解析  x ′O ′y ′坐 标 平 面 随 O ′沿 正 三 角 形 三 条 边

平动过程中,正方形相对 x ′O ′y ′坐标平面沿着相反方 向平动,形成的区域的边界线如图乙中的虚线所示 .

【例 2】已知 质 点 做 匀 速 圆 周 运 动,半 径 为 R,周

期为 T,求它在 1T 内 和 在 1T 内 的 平 均 加 速 度 的 4 2 大小 . 解析   如 图 所 示, A点

到 B 点 对 应 1T 的 过 程, A 4

⑤ 在 没 有 转 动 和 动 滑 轮 的 前 提 下,在 绳 上 沿 绳 点到 C 点 对 应 1T 的 过 程 . 2 的方向上,各点的加速度相等(杆亦有类似的性质). 这三个点的 速 度 矢量分别设 5.直线运动 ( 1)匀速直线运动 物体在任何相等的时间内位移都相同的运动称

为匀速直线运动 .在运动过程中,位移s、速度v、时间

为vA 、 vB 和vC .根 据 加 速 度

v -v 的定义a= t 0 得 t

 3


vB -vA , vC -vA aAB = aAC = . tAB tAC 由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 Δv1 =

vB -vA , Δv2 =vC -vA .根 据 三 角 形 法 则,它 们 在 图 中 的大小、方向 已 绘 出( Δv2 的“三 角 形”已 被 拉 伸 成 一

穿过绳及杆BB1 以速度v1 匀速下落,而珠子 D 以一 定速度沿杆上升 .当图中角度为α 时,珠子 D 上升的 速度v2 多大?

条直线).本题只关心各矢量的大小,显然: 2πR,且 vA =vB =vC = T

2 2πR, 4πR, Δv1 = 2vA = Δv2 =2 vA = T T Δv Δv2 8πR πR, 所以 aAB = 1 =8 22 aAC = = 2 . tAB tAC T T 【例 3】 A、B 两 船 在 海 上 航

行, A 船航向东北,船速为 u; B船

段极短的时间 Δ t,珠子 C 下滑距离 CC′=v1Δ t,而到

CC ′+C ′D′=CD. 令C ′D′与 CD 的 交 点 为 E ,在 CD 上 分 别 截 取

2 2 ( l-v t) +( u t) -2( l-v t) u tcos 135 °

= l2 - 2l u t-u2t2 ,

l 可解得:当t= l 时, s 取极值smin= . 2u 2

也就是说,午后t= l 时,两船距离最近 . 2u 解析 2  以 B 船为 参 照,则 A 船 相 对 于 B 船 的 速度为

vAB =u-v,方向指向东南,如图乙所示 . 由图显 而 易 见,由 A 船 位 置 沿 东

南方向 取 C 点,使 AC⊥BC,则 BC 长 度为两船最近距离 .

AB l , smin=BC= = 2 2

时间应为t=AC= l . vAB 2u 比较上述两种不同的解析可见,解

解析   如 图 乙 所 示,设 由 题 图 的 状 态 再 经 历 一

应有

最近? 距离多少?

s=

→0,故可将这一段时间内珠子 D 的移动速度也视为 匀速,用v2 表示,则 DD ′=v2Δ t.由于绳不可伸长,故

图甲所示 .问:此 后 何 时 两 船 相 距

在午后t 时两船相距为

    

达C ′点,珠子 D 则对应地上升至 D′点 .由 于 时 间 Δ t

航向 正 北,船 速 v= 2u.设 正 午 时, A 船在 B 船 正 北 距 离l 处,如

解析 1  以海面为参考系,设

OE =ED ′, O ′E =EC ′,则又有

CC ′=CD-C ′D′=CD-OO ′. 于是有 CC ′=CO ′+OD.

由于 Δ t→0,则 C ′O′与 OD′均 趋 于 零,则 两 等 腰

π 三角 形 (△EOD ′ 与 △EC ′O′)的 底 角 均 趋 于 ,故 2 △DOD ′与 △CC ′O′均可视为直角三角形,则有

CO ′=CC ′cos α, OD=DD ′cos α. 综合前述的式子,有 CC ′=CC ′cos α+DD ′cos α, 即  v1Δ t=v1Δ tcos α+v2Δ tcos α. 故得珠子 D 沿杆上升的速度为

1-cos α v2 = v1 . co s α 其实,在寻找运动 关 联 的 问 题 中,无 论 是 用 合 成 与分解的方 法 还 是 运 用 微 元 法,其 核 心 依 据 都 运 用 了绳长是一个定值这一属性 . 【例 5】如图甲所示,线轴沿水平面做无滑动的滚

析 2 以 B 船为参考系,避免了具体计算,所以要简单 得多 .

动,并且线端 A 点 速 度 为v,方 向 水 平 .以 铰 链 固 定

于 B 点的木板靠在线 轴 上,线 轴 的 内、外 径 分 别 为 r 和 R .试确定木板的角速度 ω 与角α 的关系 .

不仅在单纯的运动问题中合理地选择参考系会 大大简化解题,在动力 学 问 题 中,这 一 特 点 也 极 为 重 要 .我们通过下面的例子可以认识到这一点 . 【例 4】如 图 甲 所 示, AA1 和 BB1 是 两 根 光 滑 的

细直杆,并固定于 天 花 板 上,绳 的 一 端 拴 在 B 点,另 一端拴在套于 AA1 杆上的 珠 子 D 上,另 有 一 珠 子 C  4

  


第一章   物体的运动 解析   设 木 板 与 线 轴 相 切 于 C 点,则 板 上 C 点

与线轴上C 点有 相 同 的 法 向 速 度vn ,该 速 度 正 是 C 点关于 B 轴转动的线速度(如图乙所示),即

vn =ω􀅰BC=ωRc o t( α/2). ① 现在再来考察 线 轴 上 C 点 的 速 度:它 应 是 C 点

对轴心 O 转动的 线 速 度vCn 和 与 轴 心 相 同 的 平 动 速 度v0 的矢量和,而vCn 是沿C 点切向的,则 C 点法向 速度vn 应是

vn =v0s i n α. ② 又由于线 轴 为 刚 体 且 做 纯 滚 动,故 以 线 轴 与 水

S1 = a2 +b2 [ co s θ-cos( °)] φ-90

= a2 +b2 ( 1-s i n θ∈ ( °), 0], φ)  [ φ-90

S2 = a2 +b2 ( 1-c o s θ∈0, φ)  ( φ). 因此

SC =S1 +S2 = a2 +b2 ( 2-s i n φ-cos φ) =2 a2 +b2 - ( a+b). ( 2)由 ( 1)的 讨 论,易

知C 点 离 O 点 最 远 的 情 形,即 该 直 角 三 角 形

平面切点为支点,应有

v0 v R = ,得v0 = v. R +r R R +r

( o s α) v 将 ② 、③ 两式代入 ① 式中可得 ω= 1-c . R +r 【例 6】( 1)如图 甲 所 示,直 角

三角板的 AB 边 紧 靠 墙 壁,已 知

ABC,在整 个 过 程 中 C 点 所能 达 到 的 最 远 处 为 C′, 显 然 OC ′ = a2 +b2 .因 此,对 直 径 为 2R 的 量 角

器应有 OC′=2R.如图丙所示 .所以 量 角 器 边 缘 上 各 点能达到的最远的地方都是在离 O 点 2R 的地方 .因

AC=b, BC=a,且 a>b,现 今 A 点沿墙壁向 O 点 运 动, B 点沿地

此,量角器倒下时扫过的面积为

1 2 S扫 = π( 2R) =πR2 . 4 【例 7】一只 蟑 螂 和 两 只 甲 壳 虫 在 一 个 水 平 大 桌

面远离 O 点 运 动,直 至 AB 与 地 面重合,求 C 点经过的路程SC . ( 2)现 将 三 角 板 换 成 量 角 器,量角器半径为 R,开始时量角

化,所以

器的直径紧 贴 竖 直 墙 壁,其 运 动 方 式 与 三 角 板 的 运 动方式类同,最后它的 直 径 与 水 平 面 相 贴,求 量 角 器 倒下时扫过的面积 .

解析   ( 1)作 出 任 意 时

刻三角板所处的位置如图乙 所示,并将 其 置 于 xOy 坐 标 系中,其中 x 轴 水 平 向 右, y 轴竖直向上, O 点 为 墙 角 .设 该时刻 AC 边与水平线的夹

乙 角 为 θ, ∠BAC = φ,连 接 OC. 因为 ∠BOA =90 °,∠ACB=90 °,由 此 可 以 推 出

四边形 AOBC 有外切圆 .

因同一个 圆 的 同 一 段 弧 所 对 的 圆 周 角 必 相 等,

面上爬行,每只甲 壳 虫 的 速 度 都 能 达 到 1cm/s,开 始 时,这些虫子 恰 好 位 于 一 个 等 边 三 角 形 的 三 个 顶 点 上 .问:蟑螂应具备什 么 样 的 速 度 才 能 在 两 只 甲 壳 虫 任意移动的情况下仍 能 保 持 三 者 分 别 位 于 一 等 边 三 角形的三个顶点上? 解析   假设第一只甲壳虫 A1 不动,第 二 只 甲 壳 虫 A2 爬了s2 ,由图甲可知,蟑螂 T 移动了

TT ′=s2 =v2Δ t. 再假设第 二 只 甲 壳 虫 A2 不 动,第 一 只 甲 壳 虫

A1 爬了s1 ,则蟑螂爬了 T ′T″=s1 =v1Δ t. 若两只甲壳虫分别爬行了s1 、 s2 ,则 → → → TT ″=TT ′+T ′T ″. 由如图乙矢量关系可知

TT ″≤TT ′+T ′T″= ( v1 +v2) Δ t, 则v0 ≤v1 +v2 =2cm/s.

故 ∠BOC= ∠BAC=φ,很 显 然,三 角 板 的 一 个 角 φ 是定值,得 ∠BOC 是 一 定 值,这 表 明 C 仅 在 与 地 面 夹角为φ 的直线上运动,相对于某一瞬时的θ 可求出 OD=bcos θ,

OD bcos θ OC= = . c os∠BOC c o s φ

b , OC= a2 +b2cos θ, a +b2 其中θ 是从( °)到 0 再 到 φ 的 一 个 连 续 变 φ-90 因 co s φ=

    甲          乙  5


【例 8】已 知 A、 B 两个小球质量 相同, A、 B、地 面 三 者 之 间 的 碰 撞 均

2 2 4( 1-k) =( 4 k) +v2 -2 v􀅰4 kcos 15 °,

整理得1 2 k2-[ 2(6+ 2) v-8] k+( v2-4)=0. 要使上列方程在 0<k<1 范围内有解,则需 Δ≥

为弹 性 碰 撞,初 始 位 置 如 图 所 示,

HA 、 HB 均为已知,求 A、 B 所构成的 系统形成周期性运动的条件,要求不

0,故有

2 Δ= [ 2(6+ 2) v-8] -4×12( v2 -4)≥0,

出现三体相碰 .

解析  A、 B 球 质 量 相 等,故 弹 性 碰 撞 时 交 换 运 动状态,因此,两 球 的 运 动 可 视 为 独 立 的 运 动,互 不 影响,只是 A、 B 球在 碰 撞 后 相 互 替 代 .若 A、 B 球独 立运动,则有如下运动状态 .

A 球的运动状态: A 球从 HA 处自由落体,碰地后 2HA . g B 球的运动状态: B 球从 HB 处自由落体,碰地后

竖直上抛,其运动周期为 TA =2

所以   (3-1) v2 -2(6+ 2) v+16≥0,

æ ö2 2 2 配方整理得 ç 6+ 2v-4÷ ≥ 3 (3-1) v, 8 è 4 ø 两边开方,解得

v≤2 2m/s.

可见小船被人追上时的最大速度为 2 2m/s,故

人能追上小船 .

解析 2  用作图法可以求出在追上小船的时间t

内,人在岸上跑和在水 中 游 所 能 达 到 的 区 域 .若 在 此 2HB . 时间内,船没 有 跑 出 该 区 域,就 证 明 船 能 被 人 追 上, g 显然,运动 过 程 中 A 球 始 终 在 B 球 的 上 方,则 由船与该区 域 边 界 的 交 点,可 以 求 出 船 能 被 人 追 上 A、 B 共同运动的周期 T 为 TA 与 TB 的最小公倍数 . 的最大速度 . 竖直上抛,其运动周期为 TB =2

T N 所以 T 存在的条件为 A = 有理数 = A ,即 TB NB HA N2A ( 、 = NA NB ∈N∗ , NA >NB , NA 、 NB 互质). HB N2 B 另外,不出现三体相碰的条件为 NA 、 NB 为一奇 一偶 .所以,所求条件为

H N2A ( 、 当 A= 2 NA NB ∈N∗ , NA >NB , NA 、 NB 为 H B NB 一奇一偶)时,系 统 做 周 期 性 运 动,且 不 出 现 三 体 相 碰的状态 .

【例 9】在 一 个 大 湖 的 岸 边 (可 视 湖 岸 为 直 线) A

处停放着一 只 小 船,缆 绳 突 然 断 开,小 船 被 风 刮 跑, 以 2. 5m/s的速度匀速向湖中行驶,其方向与湖岸成 角α=15 °.另有一人在缆绳断开时从 A 点出发,他先 沿湖岸走一 段 后 再 入 水 游 泳 去 追 船 .已 知 人 在 岸 上 走的 速 度 v1 =4m/s,在 水 中 游 泳 的 速 度 为 v2 =

2m/s.问:此 人 能 否 追 上 小 船? 若 能,小 船 被 人 追 上 的最大速度为多少? 解析 1  由于 人 在 水 中 的 游 速 小 于 小 船 在 水 中 的速度,因此,人只有 先 沿 岸 跑 一 段 路 程 后 再 入 水 游 泳追船,这样才有可能 追 上 小 船 .设 法 求 出 小 船 被 人 追上的最大速度,即可知人能否追上小船 .

设船速为v,人追上小船的时间为t,设人在岸上

跑的时间是整个追赶时间的k 倍( 0<k<1),人 要 追 上 船,则 船 运 动 的 路 线 与 人运动 的 两 段 路 线 构 成 一

 6

跑过路程v1t 达到 B 点, OA=AB=v1t.若人从 A 点 起,在水中游时间t,则 可 以 到 达 的 区 域 是 以 A 为 圆 心, v2t 为 半 径 的 半 圆,若 人 先 在 岸 上 跑 时 间t1 到 C 点,然后 再 在 水 中 游 时 间 ( t-t1 ),则 AC =v1t1 ,在

( t-t1)时间内人可以 到 达 以 C 为 圆 心、 v2 ( t-t1 )为 半径的半圆区域 .同理,选取不 同 的t1 ( 0<t1 <t),可 以得到不同的入水点 C,以 C 为 圆 心、 v2 ( t-t1 )为 半 径可以作出无数个半 圆 .由 数 学 的 包 络 线 可 知,这 些

半圆之公切线为 BE 和 OD .因 此,在 追 赶 时 间t 内, 人所能达到 的 区 域 边 界 为 湖 岸 AB 和 切 线 OD 、 BE 以及圆弧 DE .由于船 的 速 度 矢 量 与 边 界 BE 相交于 点 M, 则当v t≤AM 时,船能被人追上,可见,要在 M 点 追上船, 必须在岸边选择一个合适的入水点 C ′.

′M v2 (t-t1 ) v2 1 , 因为C = = = C′B v1 (t-t1 ) v1 2 △BMC ′为直角三角形,所以

C ′M 1 s i n β=C′B = 2 , 解得β=30 °.

又因为α=15 °, 所以 ∠EAM =45 °,而 ∠AEM =90 °, 所以 ∠AME=45 °,

个三 角 形,如 图 甲 所 示 .由 余弦定理得

如图乙所示,设 人 从 A 点 起 在 时 间t 内 沿 湖 岸

故 △AEM 为等腰直角三角形 .


第一章   物体的运动 则小球经过 Δh 的时间为

由 AE=v2t 得 AM =vmaxt= 2v2t, 则vmax= 2v2 =2 2m/s.

可见小船被人追上时的最大速度为 2 2m/s,故

人能追上小船 .

【例 10】 如 图 甲 所 示,竖 直 平 面上有 一 条 光 滑 的 四 分 之 一 圆 弧

Δh 2R 􀅰 Δθ Δ t2 = = . v2 i n2 θ cos θ gs

Δ t1 将Δ t1 与 Δ t2 比较得 =co s θ<1. Δ t2 即恒有 Δ t1 <Δ t2 ,再将其累加求和可得t1 <t2 .

若圆环轨道不足四分

轨道 AB,它 的 圆 心 O 与 A 点 等 高, A 到B 又有一条光滑的直线轨

之一 圆 弧,但 最 低 点 的 切 线仍 水 平,这 是 更 具 有 普

道,小 球 从 A 点 自 静 止 出 发 沿 圆

弧轨道到达 B 点 所 需 的 时 间 记 为t1 ,沿 直 线 轨 道 到 达 B 点所需的时间记为t2 .试比较t1 和t2 的大小 . 若圆弧轨 道 不 足 四 分 之 一 圆 弧,但 最 低 点 的 切 线仍水平,且直线轨道仍连接圆弧两端,再讨论之 .

解析   这 是 一 个 古 老 的 问 题,早 在 伽 利 略 时 代

就已经提了 出 来,只 是 原 始 问 题 并 不 受 四 分 之 一 圆 弧的限制,更具有普遍 性 .伽 利 略 认 为 沿 圆 弧 下 降 得 快,不仅如此,他 还 认 为, A、 B 间的最快速降线就是 圆弧 .虽然这一结论早 已 被 证 明 是 错 误 的,但 作 为 中 学生,要给出确切的轨 道 仍 然 不 能 完 成,即 便 是 让 学 生比较圆弧轨道与直 线 轨 道 的 快 慢 都 不 是 一 件 容 易 的 事 情 .下 面 我 们 通 过 构 建 过 渡 模 型,解 决 上 述 问题 . 我们先构建如图乙所示的 AB 及AB′两条轨道, 让小球从 A 点 开 始,由 静 止 分 别 沿 不 同 的 轨 道 滑 至

B 及 B′,很容易证明,小球沿这两条轨道滑行的时间 是相同的,即为t2 .(证明略)

遍性 的 模 型 .作 如 图 丁 所 示的 图 形,同 样 设 小 球 沿 圆弧轨道 AB 运 动 的 时 间 为t3 ,沿 直 线 轨 道 AB 运 动 的 时 间 为t4 ,参 照 图 示

的标注并结合前面的讨论

内容可知,小 球 沿 直 线 轨 道 AB 运 动 的 时 间 与 沿 竖 直线 AB′运动的时间相等,同为t4 .

在图中, θ→θ+Δθ 圆 弧 长 度 为 R ( 2Δθ)=2RΔθ, 其中 R 为圆半径 .圆弧段的速度参量可求得为

v弧 = 2Rg[ s i n( 2 θ+φ0)-s i n φ0]. 经此圆弧段所需时间为 2R􀅰Δθ R 􀅰Δθ. Δ t3 = = v弧 i n θcos( θ+φ0) gs 图中有关系α+θ+φ0 = π ,由正弦定理得 2

h 2R 2R , = = s i n θ s i n α π ( ) - θ+φ0 s i n 2

[

]

i n θ 因此  h= 2Rs . co s( θ+φ0) θ→θ+Δθ 圆弧段对应的直线段 Δh 便为

   

现在乙图的 基 础 上 作 出 丙 图 .在 图 中 以 C 点 为

顶点作小角 Δθ 的两条 射 线,两 条 射 线 在 圆 弧 AB 上 截得一小段长为 2RΔθ 的圆弧,在 AB ′上截得一小段 长为 Δh 的线段 .

由图可知,小球在小圆弧处的速度大小为

v1 = 2gRs i n2 θ, 则小球经过小段圆弧 2RΔθ 的时间为 2RΔθ 2R Δ t1 = = Δθ. v1 i n2 θ gs

小球在 Δh 处的速度大小为v2 = 4gRt an θ. θ, 当 Δθ 为小角时,易得 Δh=2RΔ co s2θ

s i n( θ+Δθ) s i n θ Δ h=2R􀅰 -2R􀅰 ( c o sθ+Δθ+φ0) co s( θ+φ0) s i n( θ+Δ θ) c o s( θ+φ0) -s i n θc o s( θ+Δ θ+φ0) =2R􀅰 ( ) ( ) c o sθ+Δ θ+φ0 c o sθ+φ0 2Rc os 0 ≈ 2( φ )􀅰Δθ. c os θ+φ0 Δh 段的速度为

Rgs i n θ . c o s( θ+φ0) 小球经 Δh 段的时间为

vh = 2gh=2

o s Δh R φ0 􀅰Δ 􀅰 c Δ t4= = θ. ( ) ( vh s i n θ c o s θ + c o s θ +φ0) g φ0 将Δ t3 与 Δ t4 作比较得 Δ t3 cos( θ+φ0) = . Δ t4 c os φ0

π 因为 0≤φ0 < π , θ< -φ0( B 在 A 的下方),所 2 2  7


以 0≤φ0 <θ+φ0 < π ,即 c o s θ+φ0 )( θ>0), φ0 >cos( 2 得Δ t3 <Δ t4 ,各自累加得t3 与t4 ,则必有t3 <t4 . 在此作一点说明,伽 利 略 认 为 A、 B 间的最快速

降线是某条 圆 弧 的 观 点 虽 然 不 正 确,但 值 得 讨 论 的 是,连接 A、 B 的所有 可 能 圆 弧 中 究 竟 是 哪 一 条 下 降 得最快?

第 Ⅱ 单元   抛体运动 1.抛体运动 质点在地 面 附 近 不 大 的 范 围 内,以 一 定 的 初 速 度抛出,抛出 后 只 在 重 力 作 用 下 的 运 动 称 为 抛 体 运 动 .初速度水平时为平 抛 运 动,初 速 度 斜 向 上 时 为 斜 上抛运动,初速度斜向 下 时 为 斜 下 抛 运 动 .但 无 论 哪 种运动,其研究方法都 是 相 同 的 .下 面 我 们 以 抛 射 角 为θ 的斜上抛运动为例来讨论问题 . ( 1)抛体运动的规律

由于抛体 运 动 只 受 重 力 作 用,由 此 产 生 的 加 速

度恒为 g,方向竖直向下 .根据运动的独立性原理,可 以将抛体运动分解为两个直线运动的合成 .

① 将斜抛运动分解为初速度v0 方向上的匀速直 线运动与竖 直 方 向 上 的 自 由 落 体 运 动 的 合 成 .其 运 动如图所示 .

② 将斜抛运动分解为水平方向上的匀速运动与 竖直方向上的抛体运动 .

如图所示,以抛射 点 为 原 点,在 抛 射 面 内 建 立 直 角坐标系,取水 平 方 向 为 x 轴,取 竖 直 方 向 为 y 轴, 将各矢量沿这两个方 向 进 行 分 解 .这 样,抛 体 运 动 在 水平方向的分运动 是 速 度 为 vx 的 匀 速 直 线 运 动,竖 直方向 上 是 初 速 度 为 vy 的 竖 直 上 抛 运 动,这 样,质 点在任一时刻的速度与位置坐标分别是

vx =v0cos θ; vy =v0s i n θ-gt.

1 x=v0tcos θ; i n θ􀅰t- gt2 . y=v0s 2

根据任一时刻的位置坐标,消去时间t 可以得到

斜抛质点的轨迹方程为

g an θ- 2 2 􀅰x2 . y=xt 2 v0cosθ

这个轨迹 是 一 条 抛 物 线 .应 用 数 学 知 识 可 以 确

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第一章   物体的运动 定抛体运动 的 范 围,寻 找 射 中 目 标 所 必 须 满 足 的 条 件等等 .

( 2)射高和射程 在斜抛运动中,轨迹 最 高 点 的 高 度 叫 作 射 高 Y ,

物体被 抛 出 的 地 点 到 落 地 点 的 水 平 距 离 叫 作 射 程

【例 1】 在 水 平 地 面 上

有 A、 B 两 点,从 A、 B两

X,做 斜 抛 运 动 的 物 体 从 被 抛 出 到 落 地 所 用 的 时 间, 点 以 同 样 大 小 的 初 速 度 v0 =20m/s 同时抛出两石 叫作飞行时间 T. 块, A 石块沿较高曲线飞 设斜抛物体的初速度为v0 ,抛射角为θ. 利用竖直上抛运动的知识就可以求出飞行时间

2 v0s i n θ; T= g 求出竖直上抛分运动的最大高度就得到射高

v2 i n2θ; 0s Y= 2g 已知飞 行 时 间 T,代 入 公 式 x=v0t co s θ中就求

出射程

行, B 石块沿较低曲 线 飞 行,两 石 块 都 恰 好 落 在 对 方 的抛出点 (如 图 甲 所 示 ).已 知 A 石 块 的 抛 射 角 为

75 °,问:抛出 后 经 过 多 少 时 间 两 石 块 之 间 的 距 离 最 近? 这距离有多大? 并 在 图 上 标 出 此 刻 两 石 块 的 大 约位置 .

解析   ( 1)如 图 乙 所

示, A 石块总共飞行时间为 t=2 v0s i n α/g.

v2 i n2 θ 0s 可知 A、 B 两点之间的 X= . g 距离为 乙 利用射程的表达式可以看 出,当θ=45 °时, s i n2 θ L=v0cos α t=v2 i n2 α/g=20m. 0s =1,射 程 达 到 最 大 值,以 后 抛 射 角 再 增 大 时, s i n2 θ 同理可知,从 B 点抛出石块的射程为 减小,射 程 也 减 小 .如 果 两 个 抛 射 角θ1 和 θ2 互 为 余 L=v2 i n2 0s β/g. 角,即θ1 +θ2 =90 °,两者的射程就相同 . 因此有 s i n( 2 α)=s i n( 2 β),而且α≠β,所以又有 ( 3)抛体运动的研究应注意以下两点: 2 α=180 °-2 °. β,即β=15 ①水平方向的运动与竖直方向的运动具有等 ( 2)取自由下落的 参 考 系,两 石 块 均 做 匀 速 直 线 时性; 运动 . ② 从轨道的最高点将抛体运动分为前后两个运 vBA =vB地 +vA地 . 动阶段,其运动特点具备对称性 . 可知 当 A 石 块 不 动 时, B 石块以图乙中的速度 2.类抛体运动 v相 运 动,显 然,两 石 块 最 近 的 距 离 即 为 图 乙 中 只要物体 在 某 一 方 向 上 做 匀 速 运 动,且 在 另 一 的 AC. 方向上做匀变速运动,那 么,它 的 运 动 性 质 就 与 抛 体 因为vA ⊥vB ,且vA =vB =v0 ,所以 运动类似,我们称其为 类 抛 体 运 动 .类 抛 体 运 动 是 最 v相 = 2v0 , δ=α-45 °=30 °, AC=0. 5L. 基本的运动形式之一 . 两石块运动到它们之间距离最短处所需要的时 事实 上 ,类 抛 体 运 动 的 处 理 与 抛 体 运 动 的 处 理 间为 在 方 法 与 思 路 上 完 全 是 一 致 的 .只 要 正 确 理 解 运 动 AC 的 独 立 性 ,抓 住 匀 速 运 动 与 匀 变 速 运 动 的 等 时 性 , tmin= =0. 61s v相 t an δ 用 好 类 比 的 思 想 ,这 类 问 题 都 能 得 到 较 完 美 的 将图乙中的 AC 平移到题图中,两石块相距最近 处理. 时的点 A ′、 C ′如图丙所示 . 有时候,物体运动 的 轨 迹 是 抛 物 线,但 它 并 不 一 定是类抛体运动 .这时 候,我 们 可 以 通 过 构 造 抛 体 运 动的方式得 到 相 应 的 抛 物 线 轨 迹,从 而 求 解 与 抛 物 线性质相关的问题 . 丙

【例 2】如图所示,从 A 点 以v0 的 初 速 度 抛 出 一

个小球,在 离 A 点 水 平 距 离 为s 处 有 一 堵 高 度 为 h 的墙 BC ,要求小球能越过 B 点 .问:小球以怎样的角 度抛出,才能使v0 最小?

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解析   ( 1)由 于 喷 出 的 水 的 分 布 在 空 中 具 有 旋 转对称性,我 们 只 需 要 讨 论 过 轴 线 的 一 个 平 面 内 的 形状即可 . 如图乙所 示,从 每 个 小 孔 中 喷 出 的 水 流 的 轨 迹    解析   这是典型 的 斜 上 抛 运 动 .依 题 意,要 使 小 球越过 B 点,有

s=v0tcos θ,

是一条抛物 线,从 不 同 角 度 射 出 的 水 流 形 成 的 抛 物 线有一包络线,将平面 内 的 包 络 线 以 中 心 轴 旋 转,即 是“水钟”的形状 .下面我们先求包络线的方程 .

1 h=v0s i n θ􀅰t- gt2 . 2

2 2 æ gs ö 消去t 得gs2t an2θ-s t an θ+ çh+ 2 ÷ =0. è 2 v0 ø 2 v0

整理中用到关系式: 12 =t an2θ+1. co sθ 上式是关于t an θ 的一元二次方程,显然,方程应

有解,即有

Δ=b -4 ac≥0, 2

即  s2 -4􀅰gs2 􀅰 æçh+gs2 ö÷ ≥0. 2 v0 ø 2 v0 è 2

由此得v0 ≥ g( h+ h2 +s2 ).

当 v0 取 最 小 值,即 v0 = 时,有

h+ h2 +s2 ) g(

b h+ h2 +s2 , t an θ=- = 2 a s h+ h +s 即θ=a r c t an . s 2

h+ h2+s2 抛 所 以,当 小 球 以 抛 射 角θ=a r c t a n s 出时,小球可以最小的初速度 v0 = g( h+ h2+s2 ) 越过墙 .

【例 3】图甲所示为一给草地浇水的玫瑰(喷嘴),

它位于草坪的平面 上,其 顶 为 球 形,且 α0 =45 °.在 球 形顶上有一些完全相 同 的 喷 水 孔,通 过 这 些 孔,水 以 相同的速率v0 向不同的方向喷出 .问:

对于与 y 轴成α 角喷出的水而言,有

x=v0s i n α t,

1 α t- gt2 . y=v0cos 2 据此,易得喷出的水的射程为

① ②

v2 i n2 α 0s x= . g 显然,当 α=45 °时,水 的 射 程 最 远,这 意 味 着 在

y≥0范围内,包络线将连续涵盖所有的水流 . 又由 ①② 可得,每一束水流的抛物线方程为 g t α- 2 2 􀅰x2 , y=xco 2 v0s i nα

满足

2 2 æ gx ö 整理得gx2 􀅰c o t2α-xc o t α+ çy+ 2 ÷ =0. è 2 v0 ø 2 v0 对于上式, co t α 应该是有解的,此时 对 于 x、 y应

2 2 æ gx ö gx Δ=x2 -4􀅰 2 􀅰 çy+ 2 ÷ ≥0, 2 v0 ø 2 v0 è

v2 即 y≤ 0 - g2x2 . 2g 2 v0

v2 此即表明水流到达不了 y≥ 0 - g2x2 的区域, 2g 2 v0 即所要求的包络线方程为 v2 0 g 2 y= - 2x . 2g 2 v0 玫瑰喷出的水所形成 的“水 钟”的 形 状 为 上 述 抛 物线绕 y 轴旋转所形成的形状 .

( 1)若玫 瑰 上 的 小 孔 分 布 均 匀,喷 头 形 成 的 “水 钟”的形状是怎样的? ( 2)若这些孔均匀 分 布,水 将 不 能 均 匀 地 洒 在 草 地上 .为了使水均匀地 洒 在 草 地 上,则 玫 瑰 上 单 位 面 积内小孔的数 目 n 与 角α 的 关 系 是 怎 样 的? (计 算 中可不计喷嘴的大小)

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( 2)如图丙所 示,我 们 选 取 从 与 对 称 轴 夹 角 为 α 至( α+Δα)的 微 小 环 带 上 喷 孔 中 喷 出 的 水 为 研 究 对 象,我们应让 从 玫 瑰 上 这 一 环 带 中 喷 出 的 水 均 匀 地 洒在内外半径分别为 R( α)和 R( α+Δα)的环带中,这 里R( α)和 R( α+Δα)分别为玫瑰从α 至( α+Δα)的环 带上的喷孔中喷出的水的水平射程 .


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