Page 1

Y P

y y − yA =  P  xP  y y − yA =  P  xP  C

− yQ   ( x − xA ) − xQ   − yQ   ( x − xA ) − xQ  

X

y2 x2 a2 b2

=1

 y − yQ   ( x − xA ) y − yA =  P  xP − xQ  y2 - y1   x2 - x1

y2 - y1 x2 - x1

y2 - y1 x2 - x1

y2 - y1 x2 - x1 y2 - y1 x2 - x1

y2 y1 x2 x1

 yP − yQ   ( x − xA ) y − yA =   x −x  P Q  

y2 - y1 x2 - x1

y2 y1 x2 x1

y2 y1 x2 x1

y2 y1 x2 x1 y2 y1 x2 x1 y2 - y1

y2 - y1 x2 - x1


y2 - y1 x2 - x1

MATEMÁTICAS III

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Metodología contextual con grupos de trabajo cooperativos Octubre 2002 TEMARIO PROLOGO 1.1.- INTRODUCCIÓN 1.1.1.- SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 2


1.1.2.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 1.1.3.- DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA 1.1.4.- GRAFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS 1.2.- LA RECTA 1.2.1.- PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN 1.2.2.- DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE ECUACIÓN PENDIENTE Y ORDENADA EN EL ORIGEN ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS ECUACIÓN SIMÉTRICA O CANONICA RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA GENERAL 1.2.3.- ANGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS 1.2.4.- DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO 1.3.- CIRCUNFERENCIA 1.3.1.- ANÁLISIS DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN FORMA GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA 1.3.2.- RELACION ENTRE CIRCUNFERENCIA Y RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN A PARTIR DE TRES CONDICIONES DADAS 1.4.-

PARÁBOLA PARABOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN SU FORMA GENERAL

1.5.- ELIPSE 1.5.1.- ANALISIS DE LA ELIPSE 1.5.2.- ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN 1.5.3.- ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN 1.5.4.- ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN SU FORMA GENERAL 1.6.-

HIPÉRBOLA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

PROLOGO

3


En el presente material se implementa un enfoque metodológico contextual basado en el aprendizaje por grupos cooperativos esto facilita un mejor arribo al aprendizaje en los alumnos, permitiéndoles elaborar una reflexión individual primero y grupal en un segundo momento, sobre el tema por aprender. METODOLOGÍA CONTEXTUAL La DGETI a buscado métodos y técnicas que permitan eficientar el proceso EnseñanzaAprendizaje, así por ejemplo implementó el proyecto “piloto” denominado Matemática Aplicada a contextos tecnológicos, sin embargo debido que éste modelo fue creado para un grupo social especifico encaminado al desarrollo de habilidades y capacidades centradas en beneficiar al sector productivo de bienes y servicios, genero nuevos problemas en nuestro subsistema. Ante ésta situación se propone a los docentes adaptar un modelo acorde a las condiciones de nuestro medio, incorporando el aprendizaje contextual que considera al aprendizaje como un proceso medianamente complejo que rebasa los métodos orientados a la ejercitación, memorización y a la relación estimulo respuesta que se encuentran inmersos en nuestra metodología tradicional. El Aprendizaje Contextual considera que la aprehensión del conocimiento ocurre cuando el estudiante procesa la información de tal manera que lo que aprende tiene sentido dentro de su marco de referencia siempre y cuando encuentre una conexión con el mundo sensible, recomendando estimular al alumno en la elección de entornos de aprendizaje tales como: laboratorio, aula, oficina ó actividad al aire libre, reforzando experiencias que le permitan socializar el conocimiento, al reestructurar su zonas de desarrollo en el lenguaje interior los estudiantes aprenden a relacionar y acomodar sus ideas abstrayendo situaciones al mundo real. Es importante promover en el docente una actitud favorable al cambio que permita modificar la forma tradicional de enseñanza, por una manera participativa de relacióninteracción con el alumno encamonada a fomentar el desarrollo de habilidades de expresión oral y escrita así como de habilidades mentales y manuales, ¿Cómo podemos lograr más con menos?. No dudamos que en el transcurso del tiempo hemos aprendido algo sobre técnicas de enseñanza logrando un propósito final, pero, Sin duda que la enseñanza de las matemáticas debe cambiar radicalmente, el alumno aprende más cuando construye, explora, descubre, inventa, e innova que cuando actúa como receptor memorístico de los conocimientos, por lo cual éste trabajo pretende guiar al docente y al alumno en una dicotomía que permita acomodar su razonamiento, aplicar los pasos metodológicos propios de la solución del problemas. Las elementos requeridos para una optima aplicación del Modelo Contextual son: Personalidad, Razonamiento, Lectura de comprensión, Escritura y Aritmética, la personalidad es la habilidad de interactuar con sus compañeros dentro y fuera del aula, el desarrollo de la autoestima y la responsabilidad individual. El razonamiento es la habilidad para idear las estrategias al resolver un problema viéndolo como un sistema y no como un conjunto de problemas y tareas aislados. 4


Para que los estudiantes desarrollen habilidades personales se requiere que compartan los aprendizajes adquiridos con otros, que sean lideres, siendo mas creativos, tomar decisiones correctas, resolviendo problemas, cuando un estudiante logra transferir el conocimiento aprendido en el aula a la practica profesional se logra un aprendizaje significativo. Además de relacionar las distintas materias del plan de estudios, el docente puede reforzar el proceso de aprendizaje involucrando a los estudiantes en actividades manuales y experiencias concretas como: método para apoyo del proceso de aprendizaje con prácticas de laboratorio, experimentos, proyectos que requieran la participación activa de los estudiantes, estimulándolos en la motivación al logro de las actividades plasmadas de los contenidos del curso. APRENDIZAJE COOPERATIVO DE GRUPOS El proceso que maximiza el aprendizaje cooperativo en pequeños grupos se logra mediante: a).-El compartir elementos b).-El apoyo mutuo c).-La celebración del éxito en conjunto. Este método tiene 5 características básicas: 1.- Equipos de Aprendizaje heterogéneo cara a cara. 2.- Interdependencia positiva. 3.- Responsabilidad individual 4.-Entrenamiento en habilidades interpersonales 5.- Reflexión COMPARACIÓN ENTRE UN MODELO TRADICIONAL Y UN CONTEXTUAL Propósito

Modelo tradicional Transmisión de información fáctica

Organización

Nuevo modelo Encontrar, desarrollar y aplicar el conocimiento Estudiantes vinculados con la comunidad, maestros y estudiantes trabajan en equipo. Facilitador, coordinador, guía. Compromiso activo para el aprendizaje. Programas integrados, adaptados para múltiples inteligencias.

Aula aislada del mundo y del trabajo, maestros y estudiantes trabajan solos. Función del maestro Transmisor de conocimientos Función del estudiante Receptor de información Contenido Materias académicas tradicionales para inteligencias verbales y lógico matemáticas. Método Clase pregunta y respuesta, poca Cuestionamiento, descubrimiento, atención a estilos del aprendizaje. aprendizaje contextual y métodos aplicados. Evaluación Prueba de información fáctica. Continua, basada en el desempeño y la resolución de problemas.

Recomendaciones para el docente: 5


1.- Hacer que el estudiante aprenda a aprender y enseñar a sus compañeros. 2.- Evitar distracciones de los estudiantes cuando trabajen en equipo. 3.- Formar grupos de 3, después incremente elementos poco a poco. 4.- Promover el aprendizaje cooperativo, que los alumnos lean el material de manera individual y después trabajen en equipo, el maestro calificará un trabajo frente a grupo y los alumnos aprenden a calificar los demás. 5.- Asignar una tarea específica a cada estudiante, leer, anotar, verificar, estimular la participación del estudiante mediante preguntas o posibles respuestas, elogiar las buenas ideas y a los alumnos participativos. 6.- Indicar claramente lo que espera como resultado del trabajo en grupo. 7.- Observar el funcionamiento de los equipos mientras ellos trabajan, estimule la responsabilidad individual. 8.- Mencionar lo que observó acerca del trabajo y como se podría mejorar, recompense el buen comportamiento de los alumnos.

Símbolos utilizados en el desarrollo de este material Representa una actividad de motivación

Representa una actividad de estudio Representa actividades de trabajo contextual

Representa actividades complementarias

1.1 INTRODUCCION 6


La historia de las matemáticas considera a RENÉ DESCARTES René Descartes, también conocido por su nombre latinizado Renato Cartesio

René Descartes, óleo sobre lienzo de Frans Hals, 1649, Museo del Louvre

Filosofía europea Filosofía del siglo XVII Nacimiento: 31 de marzo de 1596 La Haye en Touraine [ahora Descartes], Indre-et-Loire, Francia Fallecimiento: 21 de febrero de 1650 Estocolmo, Suecia Escuela/Tradición: Cartesianismo, Racionalismo, Fundacionalismo Intereses principales: Metafísica, Epistemología, Ciencia, Matemática Ideas notables: Cogito ergo sum, Duda metódica, Coordenadas cartesianas, Dualismo, Argumento ontológico Influido por: Al-Ghazali, Platón, Aristóteles, Zenón de Citio, Aristón de Quíos, Anselmo, Aquino, Ockham, Suárez, Mersenne, Sexto Empírico, Michel de Montaigne, Duns Scoto Influyó a: Spinoza, Hobbes, Arnauld, Malebranche, Pascal, Locke, Leibniz, More, Kant, Husserl, Brunschvicg, Žižek, Chomsky Firma

7


como uno de los pilares en la fundación del sistema matemático moderno y, por lo tanto, el padre de la geometría analítica. Descartes provenía de una antigua y noble familia de Normandía. Su madre murió al nacer, por lo que fue atendido en el colegio de jesuitas de La Fleche, donde recibió una formación cuidadosa y profunda basada en temas científicos que se fundamentaban en los libros de Clavius, en los Elementos de Euclides y en temas de geometría práctica y álgebra. Como voluntario del ejército protestante, conoce en Ulm al maestro Faulhaber, quien le ayuda a plantear su filosofía del conocimiento en un campamento invernal de Neuburgo cerca del Danubio; en aquel tiempo Rene Descartes hace su primer descubrimiento matemático sobre el teorema de Euler, que trata de los poliedros. El principal objetivo de René Descartes fue unir a la geometría con el álgebra, actividad iniciada por Viete; Descartes sustituye las palabras enteras, abreviaturas y notaciones por un símbolismo puro, cuidadosamente ideado, que se ha podido observar casi íntegro hasta nuestros días. LA GEOMETRÍA ANALÍTICA. ESTUDIA LA RELACIÓN QUE EXISTE ENTRE EL ÁLGEBRA Y LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA; YA QUE DADA UNA FIGURA GEOMÉTRICA, LA INSERTA EN UN SISTEMA DE COORDENADAS, DESCUBRIENDO PROPIEDADES QUE RESUELVE UTILIZANDO MÉTODOS ALGEBRAICOS EN DONDE LAS COORDENADAS SE REPRESENTAN POR PAREJAS NUMÉRICAS.

“ MAS DE UNA MANERA” El propósito de esta actividad esta basada principalmente en que el alumno aprecie las diferentes formas que presenta un cuerpo tridimensional al hacerle cortes perpendiculares, horizontales y oblicuos en relación al eje de simetría. MATERIAL: -

4 conos de papel, unicel, plastilina. zanahoria o plátano. tijeras hilo navaja, cortador o cutter 8


PROCEDIMIENTO: 1.Realiza un corte perpendicular y otro transversal(Transversal En un plano, la linea es una transversal si y solamente si esta intersecta dos lineas cualesquiera en dos puntos diferentes. )

en el cono, zanahoria o plátano Observa los cortes, ¿qué figuras planas tienen? ______________ 1. Ahora, repite el procedimiento anterior con un corte longitudinal. ¿La figura plana que aprecias en el corte, es igual a la anterior? __________. ¿Cuál es la figura? ________________ 2. Corta en forma oblicua, cuántas veces sea necesario hasta encontrar nuevas formas geométricas. ¿Cuáles encontraste? ______________ 4.- Forma un cono sólido y realiza dos cortes, uno en forma oblicua y otro paralelo a su base. ¿Qué figuras planas se forman?_____________________ RESULTADOS: Representa por medio de dibujos tus resultados.

CONCLUSIONES: Redacta tus observaciones. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

9


1.1.1 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Observa el siguiente esquema y contesta las preguntas que se plantean NORTE RENE JUAN OESTE

Centro

ESTE

PEDRO TOÑO SUR Suponiendo que el centro de la población es nuestro punto de reunión y tomando en cuenta los puntos cardinales determina como llegar a la casa de Rene, Juan y Toño Ejemplo: Para llegar a la casa de Pedro avanzamos dos cuadras al oeste y una hacia el sur o bien una cuadra al sur y dos al oeste. -Del centro a la casa de Rene _________________________________ -Del centro a la casa de Juan ________________________________ -Del centro a la casa de Toño _________________________________ 10


El sistema de coordenadas rectangulares esta formado por dos rectas,una horizontal y una vertical las cuales se cortan en un punto comun llamado origen “O” forman entre si cuatro angulos rectos, esto es similar a las avenidas principales de una ciudad, forma tambien cuatro cuadrantes, donde la linea horizontal es el eje “X” denominado distancia de las abscisas, la vertical es el eje “Y”, llamado distancia a las ordenadas. La abscisa toma valores positivos a la derecha del origen y negativos a la izquierda, la ordenada adquiere valores positivos hacia arriba y negativos hacia abajo del origen. Observa el dibujo siguiente: CUADRANTES DE UN PLANO CARTESIANO. Y

II X´

I X

0 III

IV Y´

I EJE X +

Y +

SIGNOS POR CUADRANTES Y EJE II III EJE EJE X Y X Y + -

IV EJE X +

Y -

El siguiente esquema muestra como puedes relacionar el sistema de coordenadas rectangulares y los puntos cardinales para ubicar lugares de tu comunidad.

Norte ESCUELA + PARQUE Oeste

-

centro (ORIGEN)

+

NEVERIA Este 11


sur MERCADO

EJEMPLOS 1. Se encuentran Pedro, Juan, Manuel y Roberto en la plaza Morelos en el centro de la Ciudad del mismo nombre, en las calles transversales de Zaragoza y Juรกrez de Norte a Sur y viceversa; Padre Mier y Ocampo de Oriente a Poniente y viceversa, sin embargo van ellos a diferentes tiendas, Juan camina hacia Juรกrez 7 cuadras a la zapateria, Pedro camina 9 cuadras hacia Padre Mier a las hamburguesas, Manuel camina 10 cuadras hacia Zaragoza por pantalones y Roberto camina 5 cuadras hacia Ocampo por una guitarra. indica los puntos en donde se encuentran los personajes de este ejemplo

Plano de la ciudad de Morelos Zaragoza 12


P A D R E

O C A M P O

M I E R

Juárez Te has dado cuenta, que es otra manera de construir un gráfico. Enumera las filas y columnas a partir de un punto central, siendo positivas hacia la derecha y hacia arriba de él y negativas hacia la izquierda y hacia abajo de él, ¿Cómo identificas los lugares donde se encuentran los personajes ahora?  2. Un caracol pretende subir a la copa de un árbol de 20 metros de altura, si durante el día asciende 5 metros y desciende dos metros por la noche. ¿En cuántos días llegará a la cima del árbol?. Elabora la grafica.

13


20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 0

1 1 1 1 1 1

1 1

2 2 2 2 2

2

2 2

3 3 3 3 3

3

3 3

4 4 4 4 4

4

4 4

5 5 5 5 5

5

5 5

6 6 6 6 6

6

7

A L T U R A

D I A S

14


Partiendo del origen.- (En el problema representa la intersección del tallo del árbol con el suelo), el caracol el primer día sube 5 metros y por la noche baja 2 metros de tal manera que el primer día su posición estará en el punto (1,3), el segundo día sube hasta 8 metros y por la noche desciende a 6 metros, su posición será (2,6), el tercer día sube en él hasta el 11 y desciende al 9, su posición será (3,9) y así sucesivamente, ayuda al caracol a subir a la copa del árbol. ¿En cuántos días subió? ______________ 3. Cada punto en el plano está determinado por dos distancias, el primero es el valor de x (abscisa) y luego el valor de y (ordenada). P(abscisa, ordenada) = P(x, y)

G

5

H A

B

D

-5

5

E C

-5

F

Ejemplo en la gráfica anterior los puntos A y B se localizan de la siguiente manera: 1). Las coordenadas de A (3,4); 15


2). Las coordenadas de B(-5,3) Encuentra la abscisa u ordenada que falte: 1). Las coordenadas de C(__,-3) ; 2). Las coordenadas de D(-4,__) Escribe las coordenadas de los puntos: 1) E(__, __); 2) F(__, __); 3) G(__,__); 4) H(__,__).

ACTIVIDAD DE TRABAJO. OBJETIVO: El alumno localizarรก puntos en el plano cartesiano. MATERIAL: Una hoja cuadriculada. Una regla. Un lรกpiz. Colores. PROCEDIMIENTO: 1. En la hoja cuadriculada trazar el plano cartesiano. 2. Localizar los siguientes puntos en el plano. (-7.5, 10), (-7,8), (-5,7.5), (-7,7), (-7.5,5), (-8,7), (-10, 7.5), (-8,8), (-7.5,10), corte. (-5,4), (-5,1), corte. (-2,4), (-2,1), corte. (-5,2.5), (-2,2.5), corte. (-1,4), (1,4), (1,1), (-1,1), (-1,4), corte. (2,4), (2,1), (4,1), corte. (5,1), (5,4), (7,4), (7,1), corte. (5,2.5), (7,2.5), corte. (-2,-4), (-2,-1), (0,-1), (0,-4), corte. (-2,-2.5), (0,-2.5), corte. (1,-4), (1,-1), (2,-3), (3,-1), (3,-4), corte. (4,-1), (4,-4), corte. (7,-1), (5,-1), (5,-4), (7,-4), (7,-2.5), (6,-2.5), corte. (8,-1), (10,-1), (10,-4), (8,-4), (8,-1), fin. 3. Unir los puntos de acuerdo al orden indicado y levantar el lรกpiz cuando indique corte. 4. colorear los picos de la estrella.

16


1.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Hasta el momento conoces la forma y el método para trazar un sistema de coordenadas rectangulares, de igual manera has logrado ubicar puntos mediante el recorrido de las distancias en un plano. ¿Cuántas veces has tenido la necesidad de determinar la distancia entre dos lugares diferentes?, ¿Cómo has determinado la distancia, midiendo?. ¿De qué forma puedes conocer la distancia del escritorio al pizarrón?  SEGMENTOS ORIENTADOS SOBRE UN EJE DE ABSCISAS. Cuando se tiene dos puntos A y B sobre el eje de las abscisas, quedan determinados dos segmentos: el AB, de origen A y extremo B y el BA, de origen B y extremo A. El valor absoluto de la medida de los dos segmentos es el mismo. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DADOS POR SUS ABSCISAS. En el eje de las abscisas, dados los puntos A(+3) y B(+7) tenemos que: AB = OB – OA = XB - XA OA A

B 17


o

1

2

3

4

5

6

7

OB La relación anterior nos dice que la distancia entre dos puntos dados por sus abscisas es igual a la abscisa del extremo menos la abscisa del origen. Para el estudio de la geometría analítica estas, formas que has empleado al medir las distancias son laboriosas, sin embargo para nuestro estudio te vamos a mostrar un proceso utilizando un sistema de ejes coordenados.

En el siguiente ejemplo: 8 A

7 6 5

C

D

4 3 B

2 1

-1 0

1

2

3

4

5

6

7

La distancia de AB = 4 y de BA = 4 ¿Por qué? ____________________________________________________________ La distancia de CD = 5 ó de DC = 5 ¿Porqué? ___________________________________________________________ Ahora te ayudaremos ha determinar la distancia entre los puntos E(8,2) y F(2,9).

18


10 F

b

c

5

G

E

a

-5

5

¿Cuál es la distancia de EG? ________________ ¿Cuál es la distancia de FG? ________________ Ahora ya conocemos los catetos del triángulo rectángulo, podemos determinar la -5 distancia de EF aplicando el Teorema de Pitágoras: c2= a2 + b2 Donde: c = EF = hipotenusa

a = EG = cateto

b = FG = cateto

Sustituyendo los valores numéricos en el Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 c2= (7)2 + (6)2 c2 = 49 +36 c=

113

c = 10.63 El ejercicio anterior servirá para deducir la distancia entre dos puntos. Dados los puntos P1 (x1,y1) y P2(x2,y2) del plano como se muestra en la figura siguiente. Q es el punto de intersección de la recta horizontal que pasa por el P 1 (x1,y1) y de una recta vertical que pasa por P2(x2,y2) y tiene coordenadas Q(x2 -x1 ; y2 -y1) P2 (X 2 , Y2 )

19


d

Y2 - Y1

P1 (X1 , Y1 ) X2 - X1

Q (x 2-x , Y2 - Y1)

De la misma manera que determinamos las longitudes de los catetos del ejemplo anterior determinaremos la distancia de los catetos P 1 Q y QP2; distancia P1 Q = x2 - x1 distancia Q P2 = y2 - y1 d2= (P1P2)2 = (P1Q)2 + (QP2)2 Sustituyendo los valores de P1Q y QP2 en la expresi贸n anterior obtenemos: d=

( x 2 - x1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2

El valor del segundo miembro no se altera si se invierte el orden de las variables que aparecen en los par茅ntesis, esta f贸rmula nos permite calcular la distancia no dirigida entre dos puntos. Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos A(-1,4) , B(3, -2). Para determinar la distancia entre los puntos aplicaremos el modelo anterior. A ( -1, 4 ) y B (3 , -2) A ( x1 , y1) B (x2 , y2) Sustituyendo los valores en la f贸rmula: d= d= d= d= d=

[3 - (-1)]2 + (-2 - 4) 2 (3 +1) 2 + (-6)2 (4) 2 + (6) 2

16 +36 52

= 7.2

Ejemplo 2: 13 si uno de los extremos del segmento de La distancia entre dos puntos es recta es el punto A(-1, -5); y la abscisa del otro extremo es 2, hallar su ordenada.

20


Datos: AB = 13 A (-1, -5) B (2, y ) Sustituyendo los datos en la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos: d= 13

( x 2 - x1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2

=

13

[2 - (-1)]2 + [y - (-5)]2

=

(3) 2 + ( y + 5) 2

( 13 ) 2 =

13 =

(

9 + y 2 +10y + 25

)2

9 + y2 + 10y + 25

y2 + 10 y + 25 + 9 –13 = 0 y2 + 10 y + 21= 0 Resolviendo la ecuación cuadrática tenemos: y2 + 10 y + 21= 0 Por Factorización: (y + 7) (y +3) = 0

Por Fórmula general y=

− b ± b2 − 4ac 2a

y+7=0 y+3=0

y=

−10 ± 102 − 4(1)(21) 2(1)

−10 ± 42 −10 ± 16 = 2 2

y2= -7

y=

y1= -3

y1 = -10+4 = -3 2

y2 = -10-4 = -7 2

Por lo tanto se tienen dos puntos que cumplen la condición de la distancia B(2, -7) y B´ (2, -3) 21


 Resuelve correctamente los siguientes problemas: 1.- Localiza en un plano cartesiano los siguientes puntos: A(-4,5), B(-2,5), C(-2,8), D(3,8), E(3,5), F(7, -3) y G(-3, -6). 2. - Une los puntos secuencialmente del ejercicio anterior y calcula la distancia de cada lado del polígono formado y el valor del perímetro. 3. - Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles: a) A(-2,2) B(3,1) C(-1, -6) b) A(-5,2) B(-2, -2) C(2,1) c) A(-6, -6) B(-2,2) C(2, -2) 4. - Demostrar que los siguientes puntos determinan los vértices de un paralelogramo: a) b) c)

A(4,2) B(2,6) C(6,8) D(8,4) A(1,1) B(5,3) C(6,11) D(2,9) A(1,5) B(-2, -1) C(-1, -5) D(-4, -1)

5.- demostrar que los segmentos AB y CB son perpendiculares entre sí: si A(-2,2), B(1,2) y C(1,6). 6.- comprueba que C(3,2) es el centro de una circunferencia, si A(3,5) y B(0,2) son puntos pertenecientes a ella. 7.- Diga cual fue el razonamiento empleado para resolver las preguntas 5 y 6. 8.- En la base del cerro se localiza un árbol y en la parte más alta se localiza una antena como se muestra en la figura. Calcula la distancia de la base del árbol a la parte más alta de la antena. Considerando un sistema de coordenadas cuyo origen coincide con la base del árbol.

300 m

22


500 m 9.- Para demostrar que 3 puntos están alineados se requiere comprobar que las sumas de los segmentos AB + BC = AC .

A

B

C

a. Si las coordenadas de A, B y C son respectivamente A(1000,2000); B(3500,2000) y C(7000,2000) ¿cuanto medirán estos segmentos?. b. Que pasa si la suma de AB y BC es diferente de AC ACTIVIDAD DE TRABAJO OBJETIVO: El alumno cera capaz de medir la distancia entre dos puntos, apoyado por una regla graduada y posteriormente podrá comparar lo medido con lo calculado analíticamente. MATERIAL: Una hoja cuadriculada Un lápiz Una regla graduada Una calculadora PROCEDIMIENTO: 1. Trazar un sistema de ejes de coordenada rectangulares en la hoja de papel cuadriculado. 2. Localizar dos puntos en el plano. 3. Con la regla graduada, unir los puntos y medir la distancia entre ellos (registrar la medición en cm). CALCULOS Y RESULTADOS: 1. Apoyado por la formula para calcular la distancia entre dos puntos, obtener la distancia para los datos del punto dos en el procedimiento. 2. Comparar la distancia medida en el paso tres con la calculada analíticamente. 3. ¿Son diferentes? ¿por qué?. 4. ¿Revisaste que ambas medidas estén dadas en las mismas unidades? SUGERENCIA: Para que las distancias coincidan debes tomar en cuenta la escala de la cuadricula, es decir, una unidad de la cuadricula a cuantos cm equivale. 23


1.1.4. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS  En geometría analítica las ecuaciones, se pueden formular en nuestra vida diaria y relacionarse de la manera siguiente “el precio de un boleto está en función de donde se encuentra el asiento” o “la velocidad de un cohete está en función de su carga útil”. En matemáticas las funciones más importantes son aquellas en que el conocimiento de un

numero nos indica otro. Si conocemos la longitud del lado de un cuadrado,

podemos determinar su superficie, si conocemos la circunferencia de un círculo se puede determinar su radio. La geometría analítica sentara las bases para el estudio mediante un examen del comportamiento de las ecuaciones más comunes, incluyendo diversas formas de manejar gráficas, tablas y formulas. Además para la representación gráfica de ecuaciones no lineales y lineales que conducen a gráficos en las ciencias, los negocios y en la industria existen ecuaciones que no son lineales. No se pueden representar como líneas rectas, estas se representan como líneas curvas o simplemente como curvas. Los dos tipos de ecuaciones se analizan considerando lo siguiente.

24


-

Intersección con los ejes coordenados.

-

Simetría. a) Simetría con respecto al eje X, b) Simetría con respecto al eje Y, c) Simetría con respecto al origen.

-

Campos de variación de las variables o extensión de una curva.

-

Asíntotas.

Ejemplo Investiga en que momento se presenta una ecuación lineal. Imagínate que el coordinador de un centro de bachillerato desea motivar a sus alumnos para que tengan gusto por el aprendizaje de las matemáticas, para ello les muestra una gráfica de sus calificaciones obtenidas. Calificaciones semestrales del grupo 3° “A” (Semestre agosto – enero del 2005) 10 8 6 10 9

9 7 8 9 8

6 5 9 8 7

5 8 10 7 10

5 9 5 6 9

10 9 9 5 8

8 10 10 10 7

7 6 8 9 6

6 7 8 8 5

6 7 7 7 5

Agrupando, se obtiene la siguiente tabla: Calificación

Frecuencia

10 9 8 7 6 5

8 9 10 9 7 7

Ahora podemos elaborar un gráfico que representa la agrupación de los datos.

25


F 10 R E C U E N C I A

-10

10

CALIFICACIONES

Observamos que al unir los puntos en forma secuencial se obtiene una línea curva. En la grafica: El eje x (abscisas) representa las calificaciones de los alumnos. -10el número de alumnos con determinada calificación. El eje y(ordenadas) representa

Si nos referimos a otra ecuación por ejemplo y =x para discutir la intersección con los ejes coordenados se procede de la siguiente manera: Sí y =x, cuando x =0, tenemos que y = 0. Cuando y =0, tenemos que x =0 por lo tanto el único punto de intersección con el origen es O(0,0). Como un ejemplo de otra ecuación, considera una relación que no sea lineal; la relación del Área de un terreno rectangular y la base. PROBLEMA DEL GRANJERO El granjero tiene un terreno de 40x100 metros, donde quiere construir un gallinero de área máxima con 120 metros de tela de gallinero. Para la solución de este problema, se llena la siguiente tabla. 26


Por tanteo se obtiene el valor para el largo y ancho del gallinero a fin de emplear siempre los 120 metros de tela que posee y calcular el área que se genera con el nuevo gallinero. Tabla 1. Largo (m) 5 8 10 14 15 16 18 20 25 30 35 40

Ancho (m) 55 52 50 46 45 44 42 40 35 30 25 20

Perímetro (m) 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120

Área (m2) 275 416 500 644 675 704 756 800 875 900 875 800

De todos los posibles gallineros que se pueden construir ¿cuál de éstos representan la mayor área posible?_______________,¿se puede encontrar otra opción?_______ Si existe, ¿Entre qué valores del largo se encuentra? _________________________ Se utiliza la tabla siguiente para encontrar las mejores aproximaciones que hay. Tabla 2 Largo 29 30 31

Ancho 31 30 29

Perímetro 120 120 120

Área 899 900 899

De los valores enlistados en la tabla 2 ¿cuál genera la mayor área? _____________ y ¿cuáles serán las medidas de largo y ancho? ____________________ La cantidad de área rectangular es igual al producto del largo por el ancho del rectángulo. La ecuación que relaciona lo anterior es:

A =bh 27


Donde “A” es el área del rectángulo “b” es la base del rectángulo (largo) “h” es la altura del rectángulo (ancho) Tracemos un esquema del terreno rectangular

Altura Base Su perímetro se encuentra con la siguiente formula. P = 2b +2h considerando el valor del perímetro = 120 metros 120 = 2b + 2h Al despejar la altura (h) de la ecuación se tiene: 2h = 120 – 2b h = (120 – 2b) / 2 h = 60 – b Este valor de la altura la sustituimos en la ecuación para calcular el área. A=bh A = b(60 - b) A = 60b – b2 Para dibujar el gráfico de esta ecuación: 900

Empieza por trazar los ejes del sistema de coordenadas cartesianas.

Tomando los valores de la tabla 1, considera las abscisas para representar el largo (base) y el eje de las ordenadas para representar el área.

60

0 30

28


Parábola A =60b-b2 y = 60 x - x 2

Haciendo A = y ; b = x tenemos que:

Al observar el gráfico hay intersección con los ejes coordenados. Para determinar las intersecciones con los ejes coordenados se procede de la manera siguiente: Para determinar la intersección con el eje x (base del rectángulo) se sustituye la ordenada (y) por cero. Para determinar la intersección con el eje y (área del rectángulo) se sustituye la abscisa (x) por cero. 0 =60 x - x2

Al sustituir y = 0 tenemos: Factorizando:

x (60 - x) = 0 60 - x = 0 x =0

;

x =60

∴ existen dos intersecciones con el eje x. Al sustituir x = 0 tenemos: y = 60 (0) - (0)2 y =0 ∴ existe una sola intersección con el eje y 29


y si nombramos a los puntos de intersección como P1 y P2, las coordenadas serán : P1 (0,0) y P2 (60,0) SIMETRÍA La simetría es la discusión de la relación que una curva tiene con respecto a los ejes coordenados y con respecto al origen. SIMETRIA CON RESPECTO AL EJE X Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazado por -y se establece que la curva es simétrica con respecto al eje x. Para todo valor de x en esta ecuación le corresponden dos valores numéricamente iguales de y en valor absoluto pero de signos contrarios. Si tenemos nuestra ecuación y = 60 x - x2, y en ella se sustituye x por -x tenemos: y =60 (-x) - (-x)2 y = -60 x - x2. Se observa que si hay cambio en el valor de la ecuación, (el signo del coeficiente x), por lo tanto, no hay simetría con respecto al eje x. SIMETRIA CON RESPECTO AL EJE Y Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazado por-x, se establece que la curva es simétrica con respecto al eje y Para todo valor de y en esta ecuación, le corresponden dos valores numéricamente iguales de x en valor absoluto pero de signos contrarios. si tenemos nuestra ecuación y = 60 x - x2 Y si en la ecuación dada se sustituye y por -y tenemos: - y = 60 x - x2 Se observa que si hay cambio en el valor de la ecuación, por lo tanto, no hay simetría con respecto al eje y. 30


SIMETRIA CON RESPECTO AL ORIGEN Si la ecuación de una curva no se altera al reemplazar las variables x por (-x) y y por -y, respectivamente, y también recíprocamente, se establece que la curva es simétrica con respecto al origen. Si en la ecuación dada previamente, se sustituye x y y por –x y -y, respectivamente, tenemos: y = 60 x - x2. (-y) = 60 (-x) - (-x)2 -y = - 60 x - x2. Se observa que si hay cambio, por lo tanto la curva no es simétrica con respecto al origen. CAMPOS DE VARIACIÒN DE LAS VARIABLES O EXTENSIÒN DE LA CURVA El tercer punto que consideraremos, en relación con la discusión de una ecuación, es el estudio de la extensión de la curva. Con este termino queremos expresar la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x y y son valores reales. Para la extensión de la curva y = 60 x - x2 Al ordenar la ecuación de la curva en la forma ax2+ bx +c = 0, nos resulta: x2 – 60 x + y = 0 Al aplicar la formula general para ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, tenemos:

31


x=

x=

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a − ( −60) ±

( − 60) 2 2(1)

− 4(1)( y )

60 ± 3600 − 4 y 2

Se observa que para valores positivos y negativos de y, la variable x existe para el valor de 900, que es el área máxima del ejemplo del GALLINERO. Si despejamos y en función de x, tenemos: y = 60 x - x2 Se observa que para valores positivos y negativos de x la variable y existe, lo que quiere decir que la curva se extiende a la izquierda y derecha del eje x. 100 m. Área cercada (Gallinero de área máxima)

40 m.

ASINTOTAS Si para una curva dada existe una recta tal que, a medida, que un punto se mueve sobre la curva, este se acerca a dicha recta, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente sin llegar a tocarse, dicha recta se llama asíntota de la curva. Siendo la asíntota una línea recta, puede tener cualquiera de las siguientes posiciones. •

Asíntota horizontal.- Cuando es paralela o coincide con el eje x.

Asíntota vertical.- Cuando es paralela o coincide con el eje y

Asíntota oblicua.- Cuando no es paralela a ninguno de los ejes coordenados.

En ecuación

x=

60 ± 3600 − 4 y 2

se observa que para y > 900, la curva se hace

imaginaria. 32


De la ecuaci贸n y = 60 x - x2 se observa que para x = 60, y = 0. En conclusi贸n, la curva de la par谩bola en este problema del granjero no tiene as铆ntota.

33


ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Discutir las ecuaciones siguientes: 1. 4x2 +5y2 -20 =0 2. 4x2 – y =0 3. x2 - y2 =16 4. 12y3 – x =0 5. y3 – y – x =0 6. y2 - 6y + x2=0 7. y3 + y –x =0 8. xy - 3y - x =0 9. Hallar analíticamente los puntos de intersección para las siguiente curva dada: X2 + y2=13

x y =6

Solución a la ecuación 1:

y=

Despejando y de 4x2 - 5y2 -20 =0, resulta:

20 − 4 x 2 5

Sustituyendo x por – x, y por – y, y ambas a la vez, resulta:

Sustituyendo x por - x : y = =

20 − 4 x 2 5 20 − 4( − x ) 5

2

20 − 4 x 2 5 Se observa que el resultado no sufre cambio, por lo que la ecuación es símetrica con respecto al eje y =

34


Sustituyendo y por - y : y =

20 − 4 x 2 5

20 − 4 x 2 5 Se observa que el resultado sufre cambio, por lo que la ecuación no es símetrica con respecto al eje x -y=

Sustituyendo y por - y; y x por - x : y = -y=

20 − 4 x 2 5 20 − 4( − x ) 5

2

20 − 4 x 2 5 Se observa que el resultado sufre cambio, -y=

por lo que la ecuación no es símetrica con respecto al origen.

Despejando y de 4x2 - 5y2 -20 =0, resulta:

y=

20 − 4 x 2 5

En donde se observa que los valores de x para los cuales la expresión 20 − 4 x 2 es cero o un número mayor, son todos aquellos que cumplen la condición − 5 ≤ x ≤ 5 , los cuales no generan un número imaginario.

Despejando x de 4x2 - 5y2 -20 =0, resulta:

x=

20 + 5 y 2 4

En donde se observa que los valores de y para los cuales la expresión 20 + 5 y 2 genera un número positivo, son todos aquellos que cumplen la condición − ∞ ≤ y ≤ ∞ . En relación a las asíntotas, esta curva no presenta, ya que en ningún momento se indeterminan los valores de x o de y.

35


1.1.3 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Corta un pedazo de hilo del tamaño del alcance de tus brazos extendidos. Compara esta longitud con tu estatura. Compara mediante un cociente las magnitudes obtenidas. si tu altura fuera igual al alcance de tus brazos extendidos, ¿Cuál es el valor del cociente?. Usa el hilo para encontrar otras razones. ¿Dos vueltas alrededor de tu muñeca miden lo mismo que alrededor de tu cuello? Si tu cuello mide 30 Centímetros y tu muñeca mide 15 centímetros la razón es 2:1. ¿tu pie es igual de largo que una vuelta alrededor de tu muñeca?, ¿Cuál es la razón?

 En esta sección mostraremos cómo hallar las coordenadas de un punto que divide a un segmento rectilíneo en partes que tienen una relación especifica. Ejemplo: Sean los puntos A (-6,6), B(6,12) los extremos de un segmento de recta, determinar el punto que lo divide en dos partes iguales. Solución: Gráficamente suponemos que para calcular la división del segmento en dos partes iguales significa calcular el punto medio de ese segmento. Sea M(x , y) el punto medio del segmento determinado por A(-6,6) y B(6,12). Procedemos proyectando el punto A y B sobre el eje de las abscisas (Eje X) y se determina la longitud, dividiendo entre dos. En forma similar, proyectar los puntos A,B al eje Y para obtener la ordenada, de esta manera, determinamos el punto medio M(0,9), ver figura.

36


Y

B’’

B(6,12)

M”(0,9) A(-6,6)

A’

A’’

M’ O

B’ X

1.- si M es el punto medio de AB, el punto M’ es el punto medio de A’B’. 2.- Si M es el punto medio de AB, el punto M’’ es el punto medio de A’’B’’ Por lo tanto: Xm = x1+x2 2

Ym = y1+y2 2

Xm = -6+6 2

Ym =6+12 2

Xm = 0 2

Ym = 18 2 Pm (0,9) 37


Las coordenadas de un punto medio de un segmento se obtiene con la siguiente relación. y + y2 x + x2 y= 1 x= 1 2 2 Para calcular las fórmulas que nos servirán para obtener el punto que divide a un segmento en una relación dada es: Consideremos los puntos P1(x1, y1), P2(x2, y2) y sea P(x, y) el punto de división, entonces, en la grafica se observa lo siguiente: y P2(x2, y2) P(x, y) P1(x1, y1)

N M

o

x

En la figura tenemos que: P1M = x – x1 P N = x2 – x P M = y – y1 P2N = y2 - y La razón entre las hipotenusas de los triángulos rectángulos semejantes es r =

p1 p pp2

relacionándolos con los otros lados tendremos: P1M PP = 1 PN PP2

análogamente

PM PP = 1 P2 N PP2

Sustituyendo x − x1 =r x2 − x despejando x r ( x2 − x) = x − x1

Sustituyendo y − y1 =r y2 − y despejando y r ( y2 − y ) = y − y1

rx2 − rx = x − x1 x + rx = rx2 + x1 x (1 + r ) = rx2 + x1

ry2 − ry = y − y1 y + ry = ry2 + y1 y (1 + r ) = ry2 + y1 38


x=

x1 + rx2 1+ r

y=

y1 + ry2 1+ r

EJEMPLO: Los siguientes puntos A(7,9) y B(-8,-1), son extremos del segmento de recta, determinar el punto que lo divide en una razón r =

3 2

Solución: Para encontrar el punto de división analíticamente, se utilizan las fórmulas que se obtuvieron: Para x x + rx2 x= 1 1+ r

Para y y + ry2 y= 1 1+ r

3 7 + (−8) 2 x= 3 1+ 2

3 9 + (−1) 2 y= 3 1+ 2

x=

24 2 5 2

7−

x =−

20 10

x = −2

y=

y =

9− 5 2

3 2

30 20

y =3

El punto buscado es P(-2,3) Para encontrar el punto de división gráficamente se recomienda hacer lo siguiente: 1° Graficar los puntos dados 2° Unir los puntos 3° Como la razón es 3/2, entonces el segmento AB se divide en cinco partes iguales. 4° Tomar tres partes a partir del punto A y dos a partir del punto B. 39


5° El punto localizado será la solución del problema.

10

y A(7,9)

P(-2,3)

Punto localizado x 10

-1 0 B(-8,-1)

Cuando la razón es positiva el punto queda en el segmento y cuando es negativa el punto queda fuera del segmento pero alineado con él.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 1. por medio de una grafica interpreta la razón 2/3 y la razón 2/5. 2. interpreta la razón –2/5. 3. Halla las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento A (3,-5) y B (6,10); determina también su punto medio. 4. Los extremos del diámetro de una circunferencia son: A (3,-2) y B (5,6). Halla las coordenadas del centro. 5. Encuentra las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento determinado por los puntos: A (2,-1) y B (6,8) en la razón r =-3.

40


6. El extremo del diámetro de una circunferencia de centro C (6,-2) es A (2,-4). Localiza las coordenadas de B(x,y) del otro extremo. 7. Hallar las coordenadas de un punto P(x, y), que divide al segmento determinado por P1 (-2, 5) y P2 (10,-2) en la relación r =

2 . 3

8. Se sabe que el punto P(8,-4) divide al segmento que se determina por los puntos P 1 (14, -12) y P2 (x2, y2) en la relación r =2; halla las coordenadas del punto P 2 . 9. Dibuja una grafica que interprete el problema anterior. 10. Para tu recamara, se manda hacer una puerta de tambor, la cual lleva una cerradura que debe ir a una razón 3/8 de la altura de la puerta con respecto al piso. Calcula las coordenadas donde se debe instalar la cerradura.

ACTIVIDAD DE TRABAJO

OBJETIVO: El alumno localizará el punto de división dada una relación MATERIAL: Hilo de color Cinta de enmascarar Cinta métrica Dos alumnos Un salón de clase PROCEDIMIENTO: 1. Apoyado por el hilo de color y aprovechando la retícula del piso del salón de clase trazar un sistema de ejes de coordenadas. 2. Ubicar dos alumnos a una distancia de 15 mosaicos 3. Registrar la ubicación de los alumnos 4. Uno de los alumnos avanzará tres mosaicos y al mismo tiempo el otro alumno avanzará dos mosaicos. Alumno 1

alumno 2

Avanza

Avanza

5. Repetir el paso 4, hasta que ambos alumnos coincidan en el mismo mosaico CALCULOS: 41


1. ÂżCuĂĄl fue la ubicaciĂłn del mosaico donde coincidieron ambos alumnos? 2. Registra la coordenada ( , ) 3. Elaborar un plano cartesiano donde se pueda representar la actividad anterior

42


1.2. LA RECTA

C B

A

l1 l2 D

 En el tema anterior vimos ejemplos, de cómo se ubican los pares ordenados (Puntos en el sistema de coordenadas rectangulares) y observamos con claridad que una recta horizontal y otra recta vertical al cortarse perpendicularmente entre sí, forman dicho sistema; ahora una tercera recta se podrá trazar en el eje de coordenadas y será simbolizada con la letra “l”, esta recta l, puede tener diferentes inclinaciones respecto al eje de las abscisas, incluso ser paralela o perpendicular. Sobre la base de lo anterior se determina la ecuación de la recta.

1.2.1 PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACION

43


Si observamos nuestro alrededor podemos encontrar ejemplos de rectas inclinadas, tales como: -

La rampa de patinaje Una escalera La resbaladilla del parque El tejado de una casa

Estos son algunos ejemplos ilustrativos de la pendiente de una recta, menciona por lo menos cinco ejemplos más: 1.-______________________ 2.-______________________ 3.-______________________ 4.-______________________ 5.-______________________ -Mide la base y la altura de los escalones de la escalera de tu escuela, con los datos obtenidos realiza una gráfica. A continuación definiremos un concepto que esta estrechamente ligado a la inclinación de una recta y a la inclinación de segmentos. Consideremos un segmento de extremos A(x1,y1) y B(x2,y2) como en la figura siguiente Y B(x2,y2)

A(x1,y1)

θ X

Debemos notar que al trazar una recta paralela al eje X que pase por el extremo A, y una recta paralela al eje Y que pase por el extremo B, nos define un triángulo rectángulo, donde el segmento AB tiene una inclinación que llamamos θ, y AB es la hipotenusa de ese triángulo, y el cateto opuesto al ángulo θ es la diferencia de las ordenadas es decir y2 - y1, y el cateto adyacente es la diferencia de las abscisas es decir x2 - x1 Por lo que estamos en condiciones de definir nuestro concepto. Pendiente: es la la tangente del ángulo de inclinación. La pendiente usualmente la denotamos con la letra “m”. Así la pendiente del segmento AB es: m = tan θ. y2 - y1 Por trigonometría Sabemos que

x2 - x1 y2 - y1 Cateto Opuesto tan θ = x2 - x1 Cateto Adyacente

por lo que según la figura anterior 44


m = tan θ =

y 2 − y1 x 2 − x1

El ángulo de inclinación del segmento puede tomar cualquier valor entre 0° < θ ≤ 180°, por lo que de acuerdo a las propiedades de la tangente se tiene: • • • •

m es un numero positivo, sí 0°< θ <90° m es un numero negativo si 90°< θ <180° m es igual a cero si θ = 0° m = ∞, si θ =90°

1.2.2. DETERMINACIÓN DE LA ECUACION DE LA RECTA  La ecuación de la recta desde el punto de vista geométrico se define como: distancia más corta entre dos puntos; Analíticamente la definimos así: conjunto de puntos tales que tomados dos cualesquiera, el segmento que determinan tiene siempre la misma pendiente. La recta se conoce y se determina cuando analíticamente calculamos su ecuación. Esta se determina bajo las siguientes condiciones. Ecuación de la recta que pasa por un punto y pendiente dada. La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y tiene la pendiente dada m, se denomina PUNTO – PENDIENTE. Gráficamente se puede observar: P y – y1 P1

P(x, y) y P1(x 1, y 1). x - x1

Por la definición de recta consideramos un punto cualquiera P(x,y) pendiente de la recta será : m=

por lo que la

y − y1 x − x1

al quitar el denominador, resulta: y-y1 = m(x-x1) que es la ecuación de la forma PUNTOPENDIENTE de una recta.

45


Es importante notar que para determinar la ecuación de una recta, siempre será necesario saber un punto por donde pase y la pendiente de dicha recta, ilustramos esto en lo siguientes ejemplos. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-4) y tiene m=-1/3. Solución: Al sustituir los datos en la ecuación punto y pendiente de la recta, resulta: y-y1= m (x-x1) y + 4 = (-1/3) (y-2) 3 ( y + 4) = -1(x -2) 3y+12= - x +2 x +3y+12 -2=0 ∴ x + 3y + 10 = 0 ecuación de la recta. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-5,2) y tiene un ángulo de inclinación de 3π/4. Solución: Como 3π /4 =1350 y recordando que en este caso, π =1800 . Ya sabemos que pasa por el punto A, ¿pero y la pendiente? de acuerdo con la definición de pendiente, se tiene: m = tg θ m = tg 1350 ∴ m = -1 Ahora una vez hallado el valor de la pendiente m = -1, encontramos la ecuación de la recta: y-y1 = m (x - x1) y-2 = -1(x + 5) y-2 =-x - 5 x + y –2 +5 = 0

∴ x + y + 3 = 0 es la ecuación de la recta buscada.

Gráficamente se observa lo siguiente: el ángulo es obtuso por ser la pendiente negativa.

m = -1

3π 4

= 135° 46


2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Ecuación de la recta en su forma pendiente y ordenada al origen Como recordatorio, esta ecuación tiene ciertas características, como pendienteordenada (eje Y) en el origen de una recta, se llama ordenada en el origen de una recta a la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y, y se le suele representar por la letra “b”. Observa la siguiente ecuación y relaciónala con la siguiente gráfica: y-y1= m (x-x1) y- b = m(x - 0) y-b = mx ∴ y = mx + b Ecuación pendiente ordenada Esta ecuación la obtenemos al aplicar la ecuación punto y pendiente para una recta l cuya pendiente dada es m y pasa por el punto dado B(0,b). Gráficamente tenemos: Y

B(0, b) b X

Ahora podemos encontrar la ecuación de una recta sabiendo un punto por donde pase y el lugar por donde cruce al eje Y, con estos elementos podemos resolver unos ejemplos: 1).-Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente –2/7 y su intersección con el eje Y es 3 Solución: 47


Sabemos que la ecuación es y = m x + b , ahora solo sustituimos los datos proporcionados. y = mx + b y = -(2/7)x + 3

multiplicando todo por 7

7y = -2x +21 ∴ 2x +7y –21 = 0 ecuación de la recta buscada. 2).-Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente 2 y su intersección con el eje Y es –5/2 Solución: Primero, sustituimos los datos en la ecuación: y = mx + b  5 y = 2x+  −   2

Y = 2x −

5 2 y = 4x − 5 2

Obteniendo común denominador 2y = 4x - 5 ∴ 4x – 2y –5 = 0 ecuación de la recta buscada. Gráficamente tenemos:

Y

0 A(0,-5/2)

X

48


Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados. Esta ecuación de la recta también tiene características diferentes a la anterior, es decir, la recta pasa por dos puntos, P1(x1,y1) y P2(x2,y2) y cuya pendiente es: m=

y1 − y2 x1 − x2

cuando (xx ≠ x2). Al sustituir en la ecuación punto y pendiente de la recta resulta, que tenemos: y-y1 = m ( y-y1 ) y− y  y− y1 =  1 2  ( x− x1)  x1 − x2 

Nota: Si x1 = x2 la ecuación anterior no se puede aplicar; la división entre cero no existe el resultado es ∞, en este caso, la recta es paralela al eje Y, y su ecuación es: x = h. Donde h es la distancia del eje y a la recta. un ejemplo se muestra a continuación con la recta formada por los puntos (2,6) y 2,-3)

y

C (2.00, 6.00) C:

5

h

x

-5

5

E (2.00, -3.00) E:

-5

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3,-1) y B(5,2). 49


Solución: La recomendación es la misma, fíjate y ubica los valores de los puntos dados y sustituye en la ecuación correspondiente. y− y y − y1 =  1 2  ( x− x1)  x1 − x2 

 −− 21  y ( 1) =−−  (x (−− 3)  −− 53 

−3 3 y 1=+ ( x 3) =+ ( x+ 3) −8 8

8( y +1) = 3 (x +3)

8y + 8 =3x + 9

3x – 8y = -9 + 8

3x – 8y = -1

∴ 3x – 8y +1 = 0 la cual representa la ecuación de la recta buscada. Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta formada por los puntos P(-2,2) y Q(3,-4); hallar su ecuación. Solución: Primero ubiquemos que l1 es la recta que pasa por el punto A, después ubiquemos que l2 es la recta que contiene los puntos P y Q; como ambas son paralelas, sus pendientes son iguales ( ml 1 = ml2 ). Ahora teniendo esta perspectiva, tenemos que sustituir los datos dados. y − y y − yA =  P Q ( x− xA ) x −x   P Q

 2− ( 4)   6  y 8=−  (x 7) =−  (x− 7)  − 32   − 5

-5(y-8) = 6(x-7) -5y + 40 = 6x - 42 6x + 5y – 42 –40 = 0 ∴ 6X + 5Y – 82 = 0 Esta ecuación nos representa la recta l1 que es paralela a la recta l2

50


10

E: (7 .0 0, 8.00)

5

C: (-2.0 0, 2.00)

-5

5

Pendiente CD = -1.2

10

D: (3.00 , -4.00) -5

Ecuación simétrica o canónica de la recta. Ecuación simétrica de la recta, es aquella que viene dada en función de los parámetros a y b, por donde intercepta al eje X y eje Y respectivamente Sea l una recta que intercepta a los ejes coordenados X y Y en los puntos A(a,0) y B(0,b), respectivamente. Gráficamente se observa:

Y B(0,b) b 0

a

A(a,0)

X

Al determinar la pendiente de la recta dada, tenemos:

51


 0 −b  m=  a −0

 y − y2   m =  1  x1 − x 2 

m =−

b a

Al sustituir los datos en la ecuación punto pendiente de la recta resulta que tenemos: y-y1 = m(x-x1) b y − 0 = − ( x − a) a

ay = -bx + ab Ahora dividimos lo obtenido por ab bx ay ab + = ab ab ab

por lo tanto

x y + =1 a b

ecuación simétrica de la recta

Nota: A esta ecuación también se le llama reducida o de abscisa y ordenada en el origen. Ejemplo: Los segmentos de una recta determina sobre los ejes X y Y son (-6) y (-2) respectivamente; hallar su ecuación. Solución: Al sustituir los datos dados en la ecuación simétrica de la recta resulta: x y + =1 a b −

x y − =1 6 2

( − 2x − 6 y) 12

-2x - 6y = 12 2x + 6y = -12 2x + 6y + 12 = 0

=1

ecuación buscada y su gráfica es: 52


Y

A(-6,0) 0

X B(0,-2)

Rectas paralelas y perpendiculares Si tomamos una familia de rectas en el sistema coordenado, se pueden presentar casos donde las pendientes entre ellas son iguales, se dice que estas son paralelas, de otra forma cuando sus pendientes son recíprocas y de signo contrario se dice que son rectas perpendiculares.

Y l1

Θ1

l2

Θ2 X

De tal manera que si l1 y l2 son paralelas, se tiene θ1 = θ 2 Tg θ1 = Tg θ2 ∴ m1 = m 2

53


Y l2

α1

l1

θ

0

α2 X

Por otra parte si l1 y l2 son rectas perpendiculares α1 = α2 - 90º α2 = α1 + 90º Tg α1 = -Ctg α2 Tg α1 = - 1/Tg α2 Tg α1 = m1

Tg α2 = m2

∴ m1 = - 1/m2 También se puede decir que dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es igual a −1. ( m1 ) ( m2 ) = -1 Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta l1 que pasa por el punto A(2,4) y es perpendicular a la recta l2 que está determinada por los puntos p1 (-4,3) y p2 (5,-5) solución: si la condición de rectas perpendiculares es m 1m2 = -1 entonces y − y1 −5 −3 −8 −8 m2 = 2 = = 5 − ( − 4) 5 + 4 9 x2 − x1 si m1m2 = - 1 se sustituye el valor de m2 entonces: m1(-8/9)=-1 y despejando queda: m1 = 9/8 sustituyendo en:

y-y1 = m(x-x1) 54


y-4 =

9 (x-2) 8

8y-32 = 9x-18 9x-18-8y+36 = 0 9x-8y+14 = 0

ecuación de la recta buscada

y su gráfica es: l1 4 p1 (-4,3)

A(2,4) 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-5

l2 p2 (5,-5)

ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA GENERAL Para trabajar la ecuación de la recta en su forma general, es necesario recordar los conceptos de variable y constante, entonces dicha ecuación es de la forma A x + B y + C = 0; esta es una ecuación lineal de dos variables (x, y) y en donde los coeficientes A, B y C son números reales cuales quiera, existen condiciones de A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. Por lo tanto y de acuerdo a lo anterior es necesario analizar los diferentes casos: Caso I: Si B = 0 entonces A ≠ 0, por lo que la ecuación Ax + By + C = 0, se reduce a : Ax + (0)y + C = 0 ∴ Ax + C = 0 esta forma corresponde a la ecuación de una recta paralela al eje Y; es decir: Ax+C =0 55


Ax = -C ∴ x = -C/A abscisa en el origen Caso II: Si B ≠ 0, al dividir la ecuación Ax + By + C = 0 por B resulta que tenemos: Ax + By + C = 0 Ax/B + By/B + C/B = 0 Ax/B +Y + C/B = 0 ∴ Y = -Ax/B - C/B Esta forma corresponde a la ecuación de una recta de pendiente y ordenada en el origen, es decir, Y = mx + b, de donde: m = -A/B (pendiente de la recta) b = -C/B (ordenada en el origen) ∴ Concluimos que la ecuación Ax + By + C = 0 representa una recta. DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN Ax + By + C = 0 CONDICION A=0YC=0

ECUACIÓN y=0

REPRESENTA Eje X

B=0 y C=0

x=0

Eje Y

A=0

C B C x =− A A y =− x B

Recta paralela al eje X

y =−

B=0 C=0 Si ninguna es cero

Ax + By + C = 0

Recta paralela al eje Y Recta que pasa por el origen Caso general

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta en su forma general, la cual pasa por el punto A(-1,4) y tiene una pendiente igual a –3/2. Solución: Al sustituir los datos en la ecuación punto y pendiente de la recta, resulta: Y-Y1 = m(X-X1) Y-4 = -3/2(X +1) 2y-8 = -3x-3 3x +2y = -3 + 8 3x + 2y = 5

3x + 2y –5 = 0 que es la ecuación de la recta en su forma general Ax + By + C = 0 56


Para graficar la ecuación de la recta anterior, determinamos la abscisa y la ordenada en el origen, es decir: 3x = 5 ∴ x = 2y = 5 ∴

5 3

y =

∴ 5 2

5 , 0) 3 5 P (0 , ) 2

Q(

Gráficamente se tiene:

Y A(-1,4) P(0,5/2)

0

Q(5/3,0)

X

57


 Recapitulando tenemos todas las ecuaciones de la recta: 1) PUNTO – PENDIENTE: y -y1 = m(x-x1) 2) PENDIENTE – ORDENADA EN EL ORIGEN: y = mx + b 3) QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS:

 y − y2  ( x − x1 ) y − y1 =  1 x − x  1 2  4) SIMETRICA O CANONICA:

X Y + =1 a b 5) GENERAL: Ax+By+C=0  RESUELVE CORRECTAMENTE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS: 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) A(2,4) ; B(-7,5)

respuesta.-

x +9y - 6 = 0

b) A(-3,5) ; B(-4,-2) respuesta.- 7x - y +26 =0 c) A(-1,3) ; B(2,6)

respuesta.-

x- y - 4=0

d) A(-3,-2) ; B(7,-1) respuesta.-

x -10y -17 = 0

2. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (-3,5) y es perpendicular a la recta: a) 5x+3y-2=0

b) y =

2 x +4 3

c)6x-4y+6=0 3. Determine la ecuación de la mediatriz del segmento A(-3,5), B(8,4) en su forma punto - pendiente, pendiente ordenada al origen, simétrica y general. 4.La Sra. López está planeando elaborar pizzas para vender. Le cuesta $20.00 hacer cada una y las venderá a $50.00 cada una. a) Escribe una ecuación que describa la ganancia. b) Grafica la ecuación 58


c) Cuánto gana si vende 50 pizzas? d)

Cuántas pizzas debería vender para tener una ganancia de $300.00?

5. María salió de su casa hacia el mercado, tuvo que pagar $2.50 de pasaje en el autobús, compró tomates a razón de $5.50 el kilo. a) Escriba una ecuación que describa el gasto que tuvo María para X kilos. b) Grafique la ecuación de gasto (y) y kilos(x). c) Cuántos kilos de tomate compró María si gastó $57.50? 6.Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene una pendiente − 0.5. 7.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto B(4 , 3) y es paralela a la recta que une los puntos C(− 2 , 1) y O(0 , 0). 8.Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3 , − 3) y es perpendicular a la recta A(0 , 8) B(8 , 0). 9.-Hallar la ecuación de la recta perpendicular al segmento

A(− 2 , 4) B(6 , 8) en su punto medio.

10.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto D(− 2 ,− 8) y es paralela a la recta 2x − 3y − 4 = 0. 11.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: C(− 4 , − 2), D(4 , − 1) 12.-Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo: A(6 , 8) B(− 2 , 4) C( 0 , 4)

. 

1.2.3 ANGULO DE INTERSECCION ENTRE DOS RECTAS Observando aprenderás como dos rectas se interceptan a través de gráficas en donde deducirás la formula para dicha intersección. La cual en el ejemplo posterior resolverás. Si l1 y l2 son dos rectas que se interceptan en el punto P y que cortan en el eje X en los puntos Q y R, las pendientes respectivas de las rectas son: m 1 = tg a1, m2 = tg a2 en donde a1 y a2 son diferentes de π/2.

59


Sea θ el ángulo que se mide de l 1 a l2 , este es uno de los dos ángulos suplementarios resultantes. Gratificando

L2

L1 θ1

Y

P

A1

a2

0

X

Q

R

Observa que los principios básicos de la geometría establecen que un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos a él. Ejemplo Del triángulo QRP resulta a2=a1+θ1 de donde

tg φ =

m2 − m1 1 + m2 m1

tgφ1 = tg (a 2 − a1 )

θ1= a2- a1. Al aplicar la formula trigonométrica

tg ( a 2± a1 ) =

tga1 ± tga1 1 tga 2 tga1

Obtenemos

tgθ1 =

tga 2 − tga1 1 + tga 2 tga1

Sustituyéndose m1= tg a1 y m2= tg a2 podemos observar de otra manera que:

L1 Y

θ1

L2

P 60


a1 a2 Q

0

X R

es la expresión que utilizaremos para calcular el ángulo de intersección entre dos rectas(). tgθ =

m 2 − m1 1 + m 2 m1

Considera que el ángulo que se obtendrá de dicha expresión será el ángulo agudo que se forma en la intersección. EJERCICIO. Calcula el ángulo de intersección de la recta l 1 cuya pendiente es 8/7 y la recta l 2 de pendiente –7/4. SOLUCION. Sustituyendo los valores de la pendiente en le ecuación:

tgθ =

m2 − m1 1 + m 2 m1

7 8 − 81 − 81 4 7 tgθ = = 28 = −1 28  7  8  1 +  −    4  7  −

 81    28 

θ = tg −1 

θ =70°55′ EJERCICIO. Encuentra el ángulo obtuso que se forma cuando se cruzan la recta 3x-4y+3=0 con la recta 5x+2y-1=0 SOLUCION. 61


Como se requieren las pendientes calcularemos las mismas con la relación m =−

A B

La pendiente de la recta 3x-4y+3=0 es : m1 =

−3 3 = −4 4

Y de la recta 5x+2y-1=0 m2 =

−5 2

Sustituyendo en la ecuación: tgθ =

m 2 − m1 1 + m 2 m1

5 3 13 − 26 2 4 tgθ = = 4 =− 7  − 5  3  − 7 1+    8  2  4  −

El signo negativo nos indica que el sentido del ángulo se tomó a favor de las manecillas del reloj  26    7 

θ = tg −1 

θ = 74°55′ pero como el ángulo que se pide es el obtuso entonces: θ = 180°-74°55′ θ = 105°5′ Determinar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: A(3,-2), B(-5,8) y C(4,5).  Traza un eje de coordenadas y ubica cada uno de los puntos uniéndolos para obtener un triángulo. Realiza tu gráfico en una hoja cuadriculada. 62


 A continuación determinamos la pendiente de cada lado, sustituyendo los datos en la formula: m 2 − m1 1 + m 2 m1 Sustituyendo los valores para cada segmento del triángulo: tgθ =

Pendiente de AB: m1 =

− 2 −8 − 10 − 5 = = 3 − ( − 5) +8 4

Pendiente de BC: m2 =

8 −5 −3 1 = =− −5 −4 −9 3

Pendiente de AC: m3 =

−2 −5 −7 = =7 3−4 −1

Ahora sustituimos en la formula: tgθ =

m 2 − m1 1 + m 2 m1

Donde m2 es la pendiente del lado terminal del ángulo y m 1 es el lado inicial del ángulo. El ángulo medido es en sentido contrario a las manecillas del reloj y para calcular el ángulo A, m1=7 y m2=-5/4: 5 5 − 5 − 28 −7 − −7 − 33 33 4 4 TanA = = 4 = = = 35 4 − 35 − 31 31  5 1 +  − ( 7 ) 1 − 4 4  4 Donde : −

A = arctg

33 31

A= 47° Para encontrar Tan B, consideramos a m 1=-5/4 y m2=-1/3 y se utiliza la misma fórmula que en el caso anterior, por lo que al sustituir: 63


1  5 1 5 − −  − + 11 3  4 TanB = = 3 4 = = 0.647 5 17  1  5  1 +  −  −  1 + 12  3  4  −

Tan B = 0.647 B = arctg 0.647 B = 33° Para la Tan C, se lleva a cabo el mismo procedimiento que en los otros dos anteriores, solo que ahora m1=-1/3 y m2=7. Sustituyendo:

 1 1 7 − −  7+ 3  3 = 22 = −5.5 TanC = = 7 −4  1 1 +  − ( 7 ) 1 − 3  3

TanC=-5.5 C=arctg-5.5 C=100°  Resuelve correctamente los siguientes problemas: Encuentra los ángulos internos de los triángulos cuyos vértices son: 1.A(-3,5), B(6,4) y C (7,-3) 2.A(-1,2), B(10,0) y C(0,-7) 3. Un tipógrafo requiere medir los ángulos formados por un terreno cenagoso y utiliza ciertos datos que le proporcionan los rayos solares y observa que en un momento dado su equipo esta en el punto (-1,-1) respecto al sol, un arbusto del bordo del pantano se encuentra en el punto (-4,2) y un montículo esta en la esquina cuyas coordenadas son (7,-8): ◊ Se podrán calcular los ángulos de los vértices de este pantano. ◊ ¿Cuáles serán esos ángulos? 4. Un niño con su papalote se encuentra parado en el punto (7,1), le suelta la cuerda y el papalote se encuentra en la perpendicular del punto (0,-2); un observador ve al papalote en el punto (5,-4). ¿Cuál será el ángulo formado por cada uno de los puntos respecto de los otros dos? 64


1.2.4 DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PUNTO. La distancia de una recta a un punto se puede hallar fácilmente, a partir de la ecuación de la recta y las coordenadas del punto. Consideraremos primeramente las rectas horizontales y verticales como caso particulares. Ejemplo 1. Sea la recta Y = 5 hallar la distancia de la recta al punto (2,2) Solución: primeramente localiza la recta y el punto en el sistema cartesiano, traza una perpendicular de la recta al punto y se puede observar la distancia de la recta al punto es igual a (-3)unidades este signo negativo se interpreta que el punto y el origen se encuentra en el mismo lado, si el punto y el origen se encuentra en diferente plano la distancia es positiva, analiza la figura con tus compañeros. 5

m IH = 3.00 cm

H: (2.00, 2.00)

-5

5

-5

Ejemplo 2.Hallar la distancia entre la recta X = 7 y el punto (10,-3). Solución: Localiza la recta y el punto en el sistema cartesiano, traza una perpendicular de la recta al punto y se puede observar la distancia de la recta al punto es igual a (3) el signo es positivo porque P se encuentra a la derecha de la recta o considerando otro criterio la distancia es positiva porque el punto P y el origen del sistema se encuentra en diferente lado de la recta. y 5

X=7

j x

-5

5

10

F: (10.00, -3.00)

-5

65


Consideremos en seguida una recta con ángulo de inclinación distinto de 0° y 90° Sea la recta L cuya ecuación es y=mx+b y un punto P ( x1,y1) que no esté sobre L (como se muestra en la figura ).

αP(x1,y1) y=mx+b 90° M

R

α

Q

O

Se desea calcular la distancia (menor) que hay del punto a la recta, es decir PM. En el triángulo rectángulo PMR, se tiene

Cosα =

PM PR

de donde PM = PRCosα

pero, PR=PQ-RQ; además PQ=4, el punto R pertenece a la recta y=mx+b; por tanto las coordenadas OQ y RQ de R deben satisfacer la ecuación de la recta: RQ=m(OQ)+b De donde RQ=mx1+b, Por otra parte PM= (PQ-RQ)Cosα PM=(y1-mx1-b)cosα Además sabemos que por la identidad trigonométrica

Cosα =

1 ± 1 + tan 2 α

y como m=tanα; por tanto Cosα =

1 ± 1 + m2

en consecuencia :

PM =

y1 − ( mx1 + b) ± 1 + m2

ahora como sabemos Ax+BY+C=0 entonces y=-(A/B)x-(C/B) así m =

A C y b =− B B

Sustituyendo en la igualdad de PM nos queda: 66


A C A C Ax1 + By1 + C Ax1 + By1 + C y1 − ( x1 − ) x1 + y1 + Ax + By + C B B = B B = B B PM = = = 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 A +B ± A +B ± A +B A   A ± ± 1 +  2  ± 1+ −  2 B B  B B  PM =

Ax1 + By1 + C ± A2 + B 2

Si tomamos valor absoluto en el numerador y el denominador obtenemos: PM =

Ax1 + By1 + C ±

A2 + B 2

de donde d= PM =

Ax1 + By1 + C A2 + B 2

Por lo que hemos encontrado una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta.. Ejemplo: Calcular la distancia dirigida de la recta 3x-4y +4 = 0 al punto (6,-2). Solución: La forma normal de la ecuación dada es.

3x − 4 y + 4 32 + 42

Por lo tanto

=0

3(6) − 4( −2) + 4 =d 9 + 16 d=

18 + 8 + 4 =6 5

 ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Hallar la distancia dirigida de la recta al punto en cada uno de los siguientes ejercicios. 1. 5x – 12y +3 = 0; (-2,1) 2. 12x + 5y –6 = 0, (4,-6) 3. 4x + 3y = 5 (2,-5) 4. 3x - y = 10 (0,8 ) 5. 2x +3y –4 =0; (0,0) 6.Encontrar la ecuación de la recta siguiente y la distancia de la recta al punto A.

67


5

A

-5

5

-5

7.Hallar la distancia entre cada uno de los siguientes pares de rectas: i).- 4x – 3y – 1 = 0 & 4x – 3y + 6 = 0 ii)- 2x + 5y – 4 = 0 & 2x + 5y –2 = 0 8.Hallar la ecuación de la bisectriz del par de ángulos agudos formados por las rectas 4x-3y=8 y 12x– 5y=0 9.Hallar la ecuación de la bisectriz de los ángulos agudos también la ecuación de la bisectriz de los ángulos obtusos formados por las rectas 7x-24y=8 y 12x –5y=10 10. La ecuación de un gasoducto es 2x + y =2. Una fábrica que se localiza en el punto (6,7) ha de conectar perpendicularmente con el gasoducto. Hallar la ecuación de la línea recta de conexión y la longitud del tubo que se requiere, si las unidades están en millas. 11.-Hallar la ecuación de la bisectriz de los ángulos agudos y también la ecuación de la bisectriz de los ángulos obtusos formados por las rectas. 7x-24y = 8 y 3x +4y =12.

68


1.3. CIRCUNFERENCIA

PRACTICA TRAZO DEL CIRCULO

OBJETIVO: Auxiliándose de líneas rectas formar un circulo aproximado, para esto se deberá utilizar por equipo el siguiente material. MATERIAL: Hoja cuadriculada y lápiz PROCEDIMIENTO: A) Traza un cuadrado de 20 por 20 unidades B) En el par de los lados horizontales y dejando el vértice libre, numera del 1 al 9 y del 9 al 1 C) En el par de lados verticales y dejando el vértice libre, numera del 9 al 1 y del 1 al 9 D) Une con una recta en cada cuadrante, los números iguales por ejemplo: el 1 con el 1, el 2 con el 2 etc. Ver ejemplo:

9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 69


1.De esta forma, hemos creado una curva envolvente ¿Puedes ver que la curva es tipo circunferencia? 2.Describe otras formas de trazo de un círculo.  En temas y cursos anteriores se estudiaron ecuaciones que contenían variables elevadas a potencias distintas de uno. Estas incluían expresiones tales como x 2, x5, 1⁄x3 y x . En esta unidad veremos un tipo particular de ecuación no lineal: la ecuación cuadrática ,el exponente de estas ecuaciones es 2, pero no mayor. Así y = 4x 3 e y = 5x no son funciones cuadráticas. Veremos que curvas conocidas como círculos, parábolas, elipses e hipérbolas, se definen mediante ecuaciones cuadráticas. Estas curvas tienen muchas aplicaciones en el mundo moderno de la tecnología. La circunferencia es una sección cónica. Se llama así porque se obtiene haciendo un corte transversal de un cono como se muestra en la figura: Y

CIR

X

Podemos también definir la circunferencia mediante una ecuación en forma ordinaria: Ecuación de la circunferencia con Ecuación de la circunferencia con centro en el origen c(0,0) centro fuera del origen c(h,k) x2 + y2 = r2 (x-h)2+(y-k)2 = r2

70


r C r

O

1

O

1

Definición de la circunferencia: Geométricamente; la circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de otro punto fijo interior llamado centro. Se denomina radio al segmento de recta que une al centro con cualquier punto de la curva. Analíticamente se representa como una ecuación de segundo grado con dos variables; sin embargo no toda ecuación cuadrática da lugar a una circunferencia, solo bajo determinadas condiciones resulta verdadera. Nota: Una circunferencia queda perfectamente determinada si se conoce su centro y la longitud de su radio. 1.3.1. ANALISIS DE LA CIRCUNFERENCIA Ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio r La circunferencia cuyo centro coincide en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y tienen por radio la constante r. Su ecuación se representa: x2+y2 = r2

Demostración: Sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia de centro en el origen y radio r.

71


y

P(x,y)

x O

Aplicando la formula de distancia entre 2 puntos para el segmento OP. d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 OP = (0 − x ) 2 + (0 − y ) 2

r=

x2 +y2

Por lo tanto

por distancia entre dos puntos

sustituyendo el punto C(0,0) en la ecuación

radio de la circunferencia

x2 + y2 = r 2

 EJEMPLO

Determinar la ecuación de la circunferencia de centro en el origen del plano cartesiano y de radio 5, construir su gráfica correspondiente. Solución: Al sustituir los datos en la ecuación de la circunferencia en su forma canónica resulta: 2 2 2 xx 2 + + yy 2 = = r5 2

x 2 + y 2 = 25

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5 Para graficar la ecuación, despejamos en función de x, resultando,, al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación tenemos: y = ± 25 − x 2 . 72


Dándole valores a la variable independiente x, obtendremos los valores de la variable dependiente y, que se registran en la tabla siguiente:

X 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5

Y ±5 ±4.89 ±4.58 ±4 ±3 0

Al graficar tenemos: 5

r = 5.00 cm

O

-5

5

-5

 1. - Determina la ecuación de la circunferencia de centro en el origen del plano cartesiano y cuyo radio se indica a continuación; construye la grafica correspondiente. a) r= 10 b) r= ½ c) r= 13 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO FUERA DEL ORIGEN O DE FORMA ORDINARIA La circunferencia con centro en el punto C(h, k) que se ubica en cualquier lugar del plano coordenado y que tiene como radio la constante “r”, se representa por la ecuación: (x - h)2+(y - k)2 = r2 73


Demostración de la ecuación Sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia de centro (h, k) y radio r.

y

P(x,y)

r k

C(h,k)

A(x,k)

h

Sean los segmentos CA= (x-h)

x

, AP = (Y-K)

Y

CP = r

Aplicando el teorema de Pitágoras para el triángulo generado, tenemos : (x – h)2 + (y –k)2 = r2

FORMA GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es: (x-h) 2+(y-k)2=r2 Si se desarrollan los binomios cuadráticos del primer miembro obtenemos : x2 - 2hx + h2 + y2 - 2ky + k2 = r2 Al ordenar términos e igualar a cero tenemos: x 2 + y2 - 2hx - 2ky + h2 + k2 - r2 = 0 Si establecemos las siguientes igualdades : D = -2h , E = -2k ,y F = h 2+k2-r2 Tenemos: x2+y2+Dx+Ey+F = 0 A esta expresión resultante se le denomina ecuación general de la circunferencia. y

6 5 4 3 2

74


1 -6

5

-4 -3 -2 -1 -2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-3 -4 -5 -6

Ejemplo: Determina la ecuación en su forma ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es el punto C(3.0) y con radio 5. Ver figura anterior.

Al sustituir los datos en la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia tenemos: (x-h)2+(h-k)2=r2 (x-3)2+(y-0)2 =52 x2 - 6x + 9 + y2 = 25 x2 + y2 - 6x – 16 = 0

Ecuación en su forma ordinaria Ecuación en su forma general

Ejemplo: Determina la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general del siguiente gráfico.

5

-5

5

-5

Solución: Contando los cuadros del gráfico se obtiene el centro y el radio C (0,4) r=5 Se sustituye en la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia (x-h)2+(y-k)2 = r2 (x-0)2+(y-4)2 = 52

Ecuación forma ordinaria 75


x2 + y2 - 8y + 16 = 25 Al desarrollar los binomios x2 + y2 - 8y – 9 = 0

Ecuación es su forma general

Ejemplo: Determina la ecuación de la circunferencia en su forma general del siguiente gráfico. 10

-10

10

-10

Solución: C(-3,-2)

r = 10

(x-h)2+(y-k)2 = 102 (x+3)2+(y+2)2 = 100

Ecuación en forma ordinaria

x2 + 6x + 9 + y2 + 4y + 4 – 100 = 0

Desarrollando los binomios

x2 + y2 + 6y + 4y - 87 = 0

Ecuación en forma general

Ejemplo: Reducir la siguiente ecuación de la circunferencia a su forma canónica, y señalar las coordenadas del centro yb la longitud del radio. 2x2+2y2+4x-16y+26=0 Se dividen ambos miembros por dos, quedando la ecuación en su forma general 2x2+2y2+4x-16y+26=0 2 quedando x2+y2+2x-8y+13=0 Se agrupan los términos que contienen x, se agrupan los términos que contienen y. Y el término independiente se pasa al miembro derecho (x2 +2x) +(y2-8y)=-13 Para completar los cuadrados sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, y el cuadrado de la mitad del coeficiente de y a ambos miembros de la ecuación. 76


(x2 +2x+1) +(y2-8y+16)=-13+1+16 Se reduce términos semejantes en el miembro de la derecha en la ecuación y se factoriza los trinomios cuadrados perfectos del miembro izquierdo de la ecuación. (x+1)2+(y-4)2=4 Así el centro tiene coordenadas C(-1,4) y radio de longitud 2.  1.- Determina la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general cuyo centro y radio son: a) C(5,0) r=5 b) C(0,3) r=6 c) C(3,2) r=5 2.- Determina el centro y radio de la circunferencia de las siguientes ecuaciones. a) x2 + y2 + 6x - 4y -12 = 0 b) x2 + y2 - 8x - 2y +1 = 0 c) x2 + y2 + 8x + 6y –11 = 0 3.-Para instalar un tinaco la cantidad de tubo que se requiere es 0.5 m. Más que el valor del radio del tinaco (la llave para llenado debe estar en el centro) si se utiliza la casa como un plano cartesiano, la posición del centro del tinaco es la siguiente: C(-2,3) y el punto por donde se debe colocar el tubo es P(3,-3). a) ¿Cuántos metros de tubo se requieren? b) ¿Cuál es la ecuación general de la boca del tinaco? c) Gráfica la ecuación. 4. Oficialmente, el circulo que se encuentra en el centro de la cancha de fútbol, corresponde a la ecuación general : x2+y2+10x+18y=-81 tomando como origen uno de los extremos del área grande. a)¿Cuál es el radio del círculo central? b)¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia? 5. El centro del ruedo de una plaza de toros esta localizado en el punto C(3,4); si el charro esta en el centro y la vaquilla se localiza en el punto K(-1,-1). a)¿Qué longitud mínima debe tener la cuerda para poder mantener lazada a la vaquilla? b) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que corresponde al ruedo?

77


1.3.2. Relación entre circunferencia y recta.

Práctica Relaciones geométricas de la circunferencia y la recta. Material: Hoja cuadriculada Lápiz Procedimiento: A) Traza un círculo de centro en el origen y radio 5 B) Trazar los puntos donde la cuadrícula corta exactamente con el círculo C) Elige 2 de esos puntos, de preferencia que estén en el primero y segundo cuadrante. D) Une los puntos que elegiste en forma de secante. E) Anota la fórmula de la circunferencia que trazaste. F) Determinará la ecuación de la secante G) Calcula la ecuación de la secante sustituyendo los valores en que corta la secante a la circunferencia. H) Despeja la ordenada de la ecuación encontrada. I) Sustituye la ordenada en la ecuación de la circunferencia. J) Determina los valores x1 y x2 K) Observa que relación existe entre los valores encontrados y los puntos que elegiste. L) Anota tus observaciones.  INTERSECCIÓN DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA Para obtener las coordenadas de los puntos donde una recta intercepta a una circunferencia, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones , generalmente, la recta intercepta a la circunferencia en dos puntos, si lo hace en un punto, la recta es tangente a la circunferencia. TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA  Ejemplo La ecuación de una circunferencia es ( x − 4 ) 2 + ( y − 3) 2 = 8 ; determinar, la ecuación de la recta tangente a dicho círculo en el punto P(2,5). SOLUCIÓN: 78


A partir de la ecuación de la circunferencia determinamos:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 20 h=4

k= 3

Por lo tanto las coordenadas del centro de la circunferencia son: C (4,3); si se determina la pendiente de la recta que pasa por el centro y el punto P(2,5) tenemos:

m=

y 2 − y1 5 − 3 2 = = = −1 x 2 − x1 2 − 4 − 2

La pendiente de la recta tangente de la circunferencia que es perpendicular al radio, es el reciproco de m y de signo contrario, m t = −

1 . m

Al aplicar la ecuación punto-pendiente de la recta para los datos P(2,5) y m=1, obtenemos: y − y1 = m( x − x1 ) y − 5 = 1 ( x − 2)

Por lo tanto: x − y + 3 = 0 , es la ecuación de la recta tangente a la circunferencia Ejemplo: Determina las coordenadas de los puntos donde la recta y-2 = 0 intercepta a la circunferencia x2+ y2-4x-8y-16 =0. Solución: x2+y2-4x-8y-16 = 0 y –2 = 0 Se resuelve el sistema de ecuaciones sustituyendo y = 2 en la ecuación de la circunferencia: 79


x2 + (2)2- 4x - 8(2) –16 = 0 x2 + 4

- 4x –16 – 16 =

0

x2 - 4x – 28 =

0

Se resuelve la ecuación de segundo grado Tenemos para x1 = 7.6 y1 = 2 x2 = 3.6 y2 = 2  Calcula las coordenadas de los puntos donde la recta intercepta a la circunferencia en las siguientes ecuaciones: 1.- x2 + y2 = 10 x+ y = 4 2.- x2 + y2 = 4 x +y = 0 3.-

x2 + y2 - 4x + 4 = 4 x+ y= 0

4.- Encontrar la recta tangente a la circunferencia x 2 + y2 –4x –2y – 20= 0 en el punto P (2,-4) 5.- Encontrar la recta tangente a la circunferencia x 2 + y2 – 6y - 16 = 0 en el punto P(4,0) 6.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 + 2x - 6y - 90 = 0 en el punto P(-9,9) 7.- Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x 2 + y2 –4x + 8y - 80 = 0 en el punto P(-8,6) ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA A PARTIR DE TRES CONDICIONES

Objetivo. Aprovechando los impulsos lúdicos el alumno manipulará formas geométricas , intersecando circunferencias. 80


Material: 1 círculo de 8 cm. de radio dibujado en un cartoncillo. 3 círculos de 5 cm. de radio recortados en lámina. Procedimiento a).- Se coloca el círculo dibujado en el cartoncillo en el piso. b).- El alumno tomará una posición vertical respecto al círculo. c).- Tomando los círculos dibujados en láminas se lanzan hasta tapar el área del círculo que está en el piso. d).- Ganará el alumno que deje menos área descubierta.  CIRCUNFERENCIAS QUE SATISFACEN TRES CONDICIONES La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria contiene tres constantes arbitrarias independientes, que son. h, k, y r; de la misma manera la ecuación de la recta en su forma general contiene tres constantes arbitrarias independientes que son : D, E, y F; por lo anterior , la ecuación de la circunferencia en cualquiera de sus formas se obtiene al determinar los valores de las tres constantes respectivas. Dadas tres condiciones independientes que den lugar a tres ecuaciones independientes , las cuales están en función de las tres constantes arbitrarias, al resolver el sistema de ecuaciones , se demuestra que geométrica y analíticamente la ecuación de la circunferencia queda perfectamente determinada. Actividad 1 Traza y determina la ecuación de la circunferencia dadas tres condiciones Traza en un plano cartesiano una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5 unidades sobre una cuadricula. Encuentra los puntos donde la circunferencia y la recta corten exactamente con la cuadrícula . Denotamos los puntos tomando el sentido contrario a las manecillas del reloj que son: A(5,O) B(4,3) C(3,4) D(0,5)

E(-3,4) F(-4,3) G(-5,0) H(-4,-3)

I(-3,-4) J(0,-5) K(3,-4) L(4,-3)

Toma los puntos A, D, y G. A(5,0) D(0,5)

G(-5,0)

Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el origen 81


x2 + y2

= 25

Tomando como base la forma general de la ecuaciรณn de la circunferencia con centro fuera del origen y radio r . x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Para el punto A (5,0) (5)2 + (0)2 + 5D + 0Y + F = 25

0

+ 5D + F = 0 5D + F = -25

Ecuaciรณn 1

Para el punto D(0,5) (O)2 + (5)2

+

0D + 5E +

25 + 5E + F = 5E

F = 0

0

+ F = -25

Ecuaciรณn 2

Para el punto G(-5,0) (-5)2 + (0)2 - 5D + E = 0 25 - 5D + F = 0 - 5D + F = - 25

Ecuaciรณn 3

Resuelve por suma y resta las ecuaciones 1 y 2 5D +

F

= -25

-5D +

F

= -25

2F

= -50

F = - 25 Si F = -25 sustituimos en la ecuaciรณn 1 5D

+

F = -25

5D

- 25

= -25 5D = -25 + 25 82


5D = 0 D = 0/5 D =0 Si F = -25 sustituimos en la ecuación 2 5E + F = -25 5E

- 25 = -25 5E = -25 + 25 5E = 0 E = 0/5 E= 0

Si

D = 0 E = 0 F = -25

Se sustituyen en la ecuación en forma general x2

+

y2 + Dx + Ey + F = 0

x2 + y2 + 0x +0y - 25 = 0 x2 + y2 x2

+

- 25 = y2

=

25

0 Ecuación de la circunferencia.

Actividad 2

Traza y determina la ecuación de la circunferencia dadas tres condiciones. Traza una circunferencia con centro en el punto C(3,2) y radio igual a 5 en una hoja de papel cuadriculado. Encuentra los puntos donde la circunferencia y la cuadrícula cortan exactamente con la circunferencia 83


Elige las coordenadas de los puntos donde la circunferencia y la cuadrícula de tu hoja cortan exactamente A(8,2)

D(3,7)

G(-2,2)

J(3,-3)

B(7,6)

E(0,6)

H(-1,-1)

K(6,-2)

C(6,6)

F(-1,5)

I(0 , 2)

L(7,-1)

Toma como base la ecuación de ecuación de la circunferencia.

Elige los puntos A, E e I A(8,2) E(0,6) I(0,-2)

(x-3)2 + (y-2)2 = 25 x2 - 6x + 9 + y2 - 4y + 4 = 25 x2 + y2 - 6x - 4y +13 -25 = 0 x2 + y2 -6x -4y – 12 = 0

Sustituir los valores en la forma general de la ecuación de la circunferencia X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Para el punto A(8,2) (8)2 + (2)2 + 8D +2E + F = 0 64 + 4 + 8D + 2E + F = 0 8D + 2E + F = -68

Ecuación 1 84


Para el punto E(0,6) (0)2 + (6)2 + 0D + 6E + F = 0 36 + 6E + F + = 0 6E + F = -36

Ecuación 2

Para el punto I (0,-2) (O)2+(-2)2 +0D +(-2E) + F = 0 4 - 2E + F = 0 -2E + F = -4

Ecuación 3

Tomamos la ecuación 3 y 2 para eliminar ” E “ 6E + F = -36 3(-2E + F = -4) 6E + F = -36 -6E + 3F = -12 4F = -48 F = -12 Cálculo para E

Cálculo para D

-2E -12 = -4

8D + 2E + F = -68

-2E = -4 + 12

8D +2(-4) –12 = -68

-2E = 8

8D –8 – 12 = -68

E = -4

8D – 20 = -68 D = -6

85


Sustituyendo el valor de D, E y F en la ecuación general, tenemos: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y2 − 6x − 4y − 12 = 0

Ejercicios : 1.- De la siguiente figura toma las coordenadas de los puntos B, D y F. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por ellas. Espacio para realizar operaciones.-

y

6 5

C

4 3

D

B

2

E

A

1 15

14

13

12

11

10

-9 -8 -7 -6

5

-4 -3 -2 -1

1

2

3

-2

5

6

7

8

9

x

-3

F

4

L

-4 -5 -6

G

-7

H I

K J

-8 -9

2.- En la siguiente figura elige las coordenadas de los puntos A, D y H. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos. 86


Espacio para realizar operaciones.-

9

B A

C

8 7

D y

L

6 5 4

E

K

3 2

F 15

14

13

12

11

10

J

-9 -8 -7 -6

G

5

1

-4 -3 -2 -1

I

-2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-3

H

-4

3.- En la siguiente gr谩fica elige las coordenadas de los puntos A, C y H . Encuentra la ecuaci贸n de la circunferencia que los une. y

6 5

87


4 3 2

C 15

14

13

12

11

10

-9 -8 -7 -6

5

-4 -3 -2 -1

D

B

1

A 1

2

-2

3

4

5

6

7

8

9

x

L

-3 -4

E

K

-5 -6

F

-7 -8

G

J

-9 10

I H

Espacio para operaciones.-

4.- En la siguiente gr谩fica elige las coordenadas de los puntos C, E y J. Encuentra la ecuaci贸n de la circunferencia que los une.

88


5 4 3 2 1 15

14

13

12

11

10

-9 -8 -7 -6

5

-4 -3 -2 -1

B C 1

A 2

3

-2

D

4

5

6

7

8

9

x

L

-3 -4 -5

E

K

-6 -7

F

-8

G

J

-9

I

10

H

5.- En la siguiente figura , calcula el รกrea del triรกngulo EFG inscrito en la circunferencia , las ecuaciones de las rectas tangentes de los lados iguales del triรกngulo ABC isรณsceles circunscrito a la circunferencia.

5

E

F

-10

-5

5

10

-5

G

89


6.- En la siguiente figura , calcula el área del rectángulo E,F.G.H inscrito en la circunferencia , además las ecuaciones de las rectas tangentes del rectángulo ABCD circunscrito a la circunferencia. 8 7

y

F

6 5 4

E

3 2 1 10

-9 -8 -7 -6

5

-4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-2

11

12

x

-3

G

-4

H

-5 -6 -7

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro el segmento que une los puntos A(3,-2) B(5,4). 8. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en la recta 3x+24-6=0 y que pasa por los puntos A(2,0) y B(-8,2). 9. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y con céntrica con x²+y²-4x-2=0. 10.Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el punto intersección de la rectas 2x+5y-2=0; x-2y+8=0 y pasa por el punto (2,-1)

11.Calcular los puntos de intersección de las circunferencias. a) x²+y²+4x=0

y

b) x²+y²=4

x²+y²-8x+12=0

y

x²+y²+2y=0

12.En la construcción de una casa se pretende instalar la conducción de agua mediante tubo de cobre de

1 pulgada de 2

radio. Para lo cual se solicita que calcule la ecuación de la circunferencia que delimita el tubo en su interior, en su forma general y ordinaria.

r = 1/2 “

90


La ecuación de una circunferencia es (x+3) + (y+5) = 7, determine la ecuación de la tangente a la misma y que pase por el punto (2 , 2) 13.Obtenga la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas 6x + 2y - 6 = 0 y 1/3 x - y + 3 = 0 , que tiene centro en la recta x + 2y - 16 = 0. 14.Calcule la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos R(6,12) y S(1,1/3) y que es tangente a la recta x + 1/2 y - 1 = 0. 15.Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-4,3), B(-4,-3) y C(3,4).

1.5

ELIPSE

Alguna vez construiste una elipse?, posiblemente en la clase de dibujo o en matemáticas anteriores (Geometría) lo hiciste, pero si no la has construido ó dibujado, prepara el siguiente material por equipo, para que lo hagas.     

MATERIALES NECESARIOS POR EQUIPO: Hoja cuadriculada de papel bond, para rotafolio Hilo de 20 cm. de longitud. Dos alfileres o clavos o tachuelas. Lápiz o bolígrafo.

SIGUE EL PROCEDIMIENTO QUE SE INDICA A CONTINUACIÓN: 91


1 1.Traza en la hoja cuadriculada el plano cartesiano indicando los ejes “x” , “y” 2. Amarre los extremos del hilo a los alfileres. 3. Verifica que al tensar el tramo de hilo mida una longitud de 10 cm. 4.Coloca el alfiler en el origen y con tu lápiz traza una circunferencia de radio 10 cm ayudado con el hilo. 5. Coloca un alfiler en (-5,0) y el otro en (5,0), coloca el hilo que ataste en los alfileres de manera que te quede una recta. 6. Acerca los alfileres al origen a los puntos (-4,0) y (4,0) quedando el tramo de hilo holgado de manera que puedas introducir tu lápiz por la parte interior del hilo. 7.Tensa el hilo y desplaza tu lápiz en sentido contrario a las manecillas del reloj, trazando una figura. 8. Repite el punto 6 y 7 cambiando a las coordenadas (-3,0) y (3,0) 9. Repite el punto 6 y 7 cambiando a las coordenadas (-2,0) y (2,0) 10. Repite el punto 6 y 7 cambiando a las coordenadas (-1,0) y (1,0) 11. Coloca un alfiler en (0,5) y el otro en (0,-5), coloca el hilo que ataste en los alfileres de manera que te quede una recta. 12. Acerca los alfileres al origen a los puntos (0,-4) y (0,4) quedando el tramo de hilo holgado de manera que puedas introducir tu lápiz por la parte interior del hilo. 13. Tensa el hilo y desplaza tu lápiz en sentido contrario a las manecillas del reloj, trazando una figura. 14. Repite el punto 12 y 13 cambiando a las coordenadas (0,-3) y (0,3) 15. Repite el punto 12 y 13 cambiando a las coordenadas (0,-2) y (0,2) 16. Repite el punto 12 y 13 cambiando a las coordenadas (0,-1) y (0,1) P1

P2

F’ F

Ahora si lo lograste ! y con relación a la figura anterior puedes contestar los siguientes cuestionamientos. 1. - Con tus propias palabras define que es una elipse.__________________

92


2.- ¿En tu vida cotidiana donde encuentras aplicaciones de la elipse?_______

3.- Dibuja dos aplicaciones de la elipse usadas en cualquier campo

4.- ¿Conoces algunos elementos de la elipse?... descríbelos y coméntalos con tus compañeros._____________________________________________

 Definición.- Una elipse es el lugar geométrico del punto que se mueve en el plano de tal forma que la suma de las distancias a dos puntos fijos es siempre una constante, los puntos fijos se llaman focos.

Una elipse se encuentra al cortar un cono ó un cilindro en forma oblicua, así como también encontramos elipses en : Puentes, arcadas, levas mecánicas, engranes, órbitas planetarias y de Satélites etc. 93


Cilindro

Luna p

p = perigéo

a Tierra

a = apogéo

Ahora analizaremos el concepto de excentricidad, alguno de ustedes han visto un cigüeñal ?, ó una bomba extractora de petróleo ?, preparate investigandolo, porque más adelante tendrás que definirlos y mensionar que función desempeñan, asi como dibujarlos. bien, desarrollemos el ejercicio siguiente Materiales que debe traer cada equipo:  Hoja cuadriculada de papel bond para rotafolio.  Hilo de 20 cm. de longitud.  Dos alfileres o clavos o tachuelas.  Lápiz o bolígrafo.

Procedimiento: 2 1.Traza en la hoja cuadriculada el plano cartesiano indicando los ejes “x” , “y” 2. Amarre los extremos del hilo a los clavos. 3. Verifica que al tensar el tramo de hilo mida una longitud de 10 cm. 4.Coloca el alfiler en el origen y con tu lápiz traza una circunferencia de radio 10 cm ayudado con el hilo. 94


5. Coloca un alfiler en (-5,0) y el otro en (5,0), coloca el hilo que ataste en los alfileres de manera que te quede una recta. 6. Acerca los alfileres al origen a los puntos (-4,0) y (4,0) quedando el tramo de hilo holgado de manera que puedas introducir tu lápiz por la parte interior del hilo. 7.Tensa el hilo y desplaza tu lápiz en sentido contrario a las manecillas del reloj, trazando una figura. 8. Repite el punto 6 y 7 cambiando a las coordenadas (-3,0) y (3,0) 9. Repite el punto 6 y 7 cambiando a las coordenadas (-2,0) y (2,0) 10. Repite el punto 6 y 7 cambiando a las coordenadas (-1,0) y (1,0) Al llegar al paso 4 y trazar la circunferencia, puedes observar que el radio es de 10 cm. (a este valor le llamaremos 2a=10) y como el alfiler esta en el centro de la circunferencia el valor su distancia al origen es cero (a la cual llamaremos c=0). Divide

c obteniendo como resultado cero (0). a

En el paso 5 al formarse la recta puedes deducir que la distancia del origen del eje de coordenadas a un extremo de la recta es 5 cm. (a=5) y la distancia del origen al ultimo alfiler es 5 (c=5) divide

c obteniendo como resultado uno (1). a

Puedes deducir entonces que si divides cuya ecuación es e =

c al resultado le llamaras EXCENTRICIDAD a

c . a

 Contesta el siguiente cuestionario con tus conclusiones de la practica anterior Escribe tu definición de excentricidad_____________________________________ ______________________________________________________________________ ________________________________ Dentro de que rangos de valores se encuentra la excentricidad_________________ ¿Cuál es la excentricidad de una elipse que tiende a ser circunferencia? _________ ___________________________________________________________________ ¿Cuál es la excentricidad de una elipse que tiende a ser una línea recta?_________ ___________________________________________________________________ por medio de un dibujo describe que es un cigüeñal y una bomba extractora de petróleo, también menciona que función desempeñan.

95


ELEMENTOS DE LA ELIPSE

′

C

V' F’

v

F

A’

Descripción:

F y F’ FF ' = 2c

V y V’

Focos Eje focal

VV '

Vértices Eje mayor

C

Centro

= 2a

96


′

Eje normal

AA’

Eje menor = 2b

BB’

Cuerda

EE’

Cuerda Focal LL’

DD’

Diámetro de la elipse

FP y F’P

Rayo vector de P

CV

Semieje mayor = a

CA

Semi eje menor = b

CF

Semi eje focal

=

c

El lado recto (LR) equivale a:

LL ' =

Lado recto

2b 2 a

y recuerda que La excentricidad equivale a e=

c a

Las constantes a, b y c se relacionan de la siguiente manera a2 = b2 + c2

1.5.1

ANALISIS DE LA ELIPSE

1.5.1.1

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN 97


Excelente ! hasta ahora vamos muy bien, has conocido los elementos de la elipse y es necesario que pongas mucha atención a la actividad de estudio siguiente si quieres comprender de donde proviene su ecuación.  Entonces comprobaremos que la ecuación ordinaria de la x2 y 2 + =1 a2 b2

elipse es :

Para ello consideraremos la definición de la elipse, por lo que calcularemos la distancia de un punto P cualquiera de la elipse a los puntos fijos llamados focos e igualaremos la suma de estas dos distancias a una constante, que como veremos equivale a 2a.

Y

directriz X= -(a/e)

P(x,y)

directriz X= a/e

A(0,b)

LR

V1 (-a,0)

C

F' (-c,0)

F (c,0)

V (a,0)

X

A1(0,-b)

FP = F'P =

( x −c ) 2 + ( y −0 ) 2 = ( x − c ) 2 + y 2 ( x +c )2

+( y −0 )

2

|FP|

+ |F'P| =2a

DISTANCIA ENTRE 2 DONDE a>C PUNTOS

= ( x + c)2 + y2

de la figura obtenemos que |FP| + |F'P|

= 2a 98


√(x-c)2 + y2 + √ (x+c)2 + y2

=

2a

a continuación usando algunos pasos algebraicos llegaremos a la forma de la ecuación que estamos buscando. (√ (x-c)2 +y2 )2 = (2a - √ (x+c)2 +y2 )2 (x-c)2 + y2

=

4a2 – 4a √ (x+c)2 + y2 + (x+c)2 + y2

x2 –2xc + c2 + y2

=

4a2 – 4a √ (x+c)2 + y2 + x2 +2xc + c2 + y2

x2 – 2xc + c2 + y2 – 4a2 – x2 – 2xc – c2 – y2 -4a2 – 4xc

=

dividiendo entre

= -4a √ (x+c)2 + y2

-4a √ (x+c)2 + y2 a2 + xc = a √ (x+c)2 +y2

–4

elevando al cuadrado los dos miembros:

{

a 4 + 2a 2 xc + x 2c 2 = a 2 ( x + c ) + y 2 2

(a 2 + xc)2 = (a √ (x+c)2 + y2 )2

}

{

a 4 + 2a 2 xc + x 2c 2 = a 2 x 2 + 2 xc + c 2 + y 2

}

a 4 + 2a 2 xc + x 2c 2 = a 2 x 2 + 2a 2 xc + a 2c 2 + a 2 y 2 a 4 + x 2c 2 = a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2 a 4 − a 2c 2 = a 2 x 2 − x 2c 2 + a 2 y 2

a2 (a2 – c2) = x2 (a2 – c2) + a2y2 Sabemos de la definición que

a > c por lo tanto

a 2 > c2

y como b2 = a2 – c2 a2 (b2) a2b2

= =

x2 (b2) + a2y2 b2x2 + a2y2

99


a 2b 2 b 2 x + a 2 y 2 = a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 b 2 x 2 a 2 y 2 = + a 2 b 2 a 2 b 2 a 2b 2 x2 y 2 x2 y 2 1= 2 + 2 ⇒ 2 + 2 =1 a b a b

La ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre el eje x es:

x2 y 2 + =1 a2 b2

La ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre el eje y es: ( llamada ecuación de la elipse en su primera forma ordinaria o forma canónica) x2 y 2 + =1 b2 a 2

 EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO Nº 1: La luna gira alrededor de la tierra según una órbita elíptica con la tierra en uno de los focos. si las longitudes de los ejes mayor y menor son 774 mil km. y 773 mil km. respectivamente. ¿ Cuales son las distancias máximas y mínimas (apogeo y perigeo) entre los centros de la tierra y la luna? LUNA

PERIGEO

APOGEO

100 TIERRA


b=386.5

c2 = a2 – b2 c2 = (387)2 – (386.5)2

LUNA

c= √ 386.75 = 19.67x103 KM. c=19.67

a

b

TIERRA c

a=387 PERIGEO a – c = 387x103 km. – 19.67x103 km. = 367.33x103 km. APOGEO a + c = 387x103 km. + 19.67x103 km. = 406.67x103 km.

Comprobación teniendo las siguientes coordenadas: tierra (-19.67,0) luna (19.67,386) foco (19.67,0) …..unidades en miles de kms. usando la ecuación del lugar geométrico se obtiene:

x2 y 2 + =1 ⇒ a2 b2

y= ±

b a

b2x2 + a2y2 = a2b2

a 2 − x 2 si x = 19.67

y=

b2 ( a2 − x2 ) a2

⇒ y = ± (386.5/387) √ 3872-19.672 y = ± 386.00

usando la distancia entre dos puntos y sus coordenadas (19.67 − ( −19.67)) 2 + (386 − 0) 2 = 1547.64 +148996 = 388 tierra–luna = luna-foco = (19.67 −19.67) 2 + (0 − 386) 2 = 386

101


Sumando esas dos distancias y aplicando el hecho que las suma de dos distancias que parten de los focos es igual a 2a. entonces se tiene 388 + 386 = 2a por lo cual se comprueba que 774 X 103 KM

=

774 X 103 KM

EJEMPLO 2 : Una leva elíptica (excéntrico) gira alrededor de su foco y mueve hacia arriba y hacia abajo una palanca que descansa sobre la leva como se muestra en el dibujo. Si el eje mayor de la leva es de 7 cm. y el eje menor es de 5.6 cm. ¿cuál es la distancia que baja la palanca extrema a la otra? A eje mayor =7 CM. eje menor = 5.6 CM. Foco

para esto se calculan las siguientes distancias: 2 a = eje mayor = 7 cm ∴ a = 7/2 = 3.5 cm. 2 b = eje menor = 5.6 cm. ∴ b = 5.6/2 = 2.8 cm.

102


Conocidos estos valores se tiene que al formar el triángulo siguiente y donde c es la distancia al foco desde el centro de la elipse y por el teorema de pitágoras se calcula. b

a

c a2 = b2 + c2 ∴ c2 = a2 – b2 ; c = √ (3.5) 2 – (2.8 )2

= 2.1 cm.

Valor que comparado con b, (Semieje menor ) , resulta mas pequeño c. por lo tanto si b > c, la distancia menor es 2.1 cm. y esto es cuando la elipse da una vuelta completa.

 EJERCICIOS PROPUESTOS: Número 1 Considerando la siguiente grafica contestar las siguientes preguntas

103


5

-5

5

-5

a.- Menciona si es simétrica la elipse y describe si hay simetría respecto de alguno de sus ejes ________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________. b.- Si la distancia de un foco al centro es “c”, determina las coordenadas de F y F’ y dibújalas en la gráfica de la elipse anterior. c.- Si la distancia del origen a “A” es b, localiza y traza el eje normal plano anterior.

AA’ en el

d.- Si la distancia del origen al vértice es a. Localiza y traza cada uno de ellos, en el mismo plano.

Número 2 Un satélite gira alrededor del planeta Júpiter, en una órbita elíptica, en la que el centro del planeta ocupa uno de los focos, la longitud del eje mayor de la órbita es 1 x 10 9 m y la longitud del eje menor 6x 108 m. Determine la distancia mínima y màxima entre el satélite y el centro de Júpiter. dmax dmin 104


2b=6x10 8

satélite Júpiter 2a =1x109 utilizando

a2 =b2 +c2

trata de llegar a la siguiente Solución:

d min.= 1x108 d max= 9x108

compara con tus compañeros la solución de este problema realizando un modelo a escala. Número 3 El satélite ruso Sputnik 1 fue puesto en órbita en octubre de 1957 de forma que sus distancias máxima y mínima a la superficie de la tierra eran 583 millas y 132 millas respectivamente. calcula la excentricidad de dicha órbita y la distancia del origen a los focos, tomando en cuenta que la distancia del eje mayor mide 2a ,

compara los resultados : c = 225.5 millas y e = 0.63 realiza un modelo a escala de este problema. 105


Verifica si los resultados siguientes se dedujeron de la ecuación de la elipse: Número 4 .- 16x2 + 9y2 = 144 C(0,0) ; F(0, √7 ) ; F’(0, -√7 ) ; V(0,4) Número 5 .- 16x2 + 9y2 = 144 C(0,0) ; F(4, 0 ) ; F’(-4,0 ) ; V(5,0) Número 6 .- x2/4 + y2/9 = 1 C(0,0) ; F(0, √5 ) ; F’(0,- √5 ) ; V(0,3) Número 7 .- x2/16 + y2/25 = 1 C(0,0) ; F(0, 3 ) ; F’(0,-3 ) ; V(0,5) Número 8 .- x2/36 + y2/20 = 1 C(0,0) ; F(4, 0 ) ; F’(-4,0 ) ; V(6,0)

1.5.3.- ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y’

( x′ ) 2 + ( y ′ ) 2 a2

b2

=1

P(x’,y’) y’ 106


x’

C(h,k)

y y = y’+k k

P(x,y) x

o

h 2

x’

2

x y + 2 =1 2 a b

x = x’+h

De acuerdo al dibujo anterior podrías deducir, que la ecuación con centro fuera del origen es:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 a2

b2

=1 . ?

 Para transformar la ecuación con centro en el origen en una ecuación con centro fuera del origen, en las figuras anteriores, tomamos en cuenta que: ( x′ ) 2 + ( y ′ ) 2 = 1 y′ = y − k ; x′ = x − h ; a2 b2

107


( x − h) 2 + ( y − k ) 2

sustituyendo se obtiene que :

a2

b2

=1

que es la ecuación que le corresponde a la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje x

Considerando la elipse vertical De la misma forma se puede obtener:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 b2

a2

=1

que es la ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje y también se les conoce como ecuación de la elipse en su segunda forma ordinaria.

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Los vértices de una elipse son los puntos V(9,-6) y V’(1,-6) y la longitud de cada lado recto es 9/2; determinar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. Solución Al graficar los vértices se observan que estos están sobre el eje focal paralelo al eje “x”, ya que tienen la misma ordenada (-6) por lo tanto la ecuación por aplicar es:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 a2

b2

=1

el centro de la elipse es el punto medio del segmento VV’ por lo que sus coordenadas son: h=

en donde h = 5

y

x1 + x2 2

k = -6

k=

y1 + y2 2

el centro es O(5,-6) 108


La distancia del eje mayor es:

VV’=2a

y aplicando la formula de distancia

entre dos puntos se obtiene: 2a = 8

∴ a =4 ,

La longitud del lado recto es 2b2 = 9/2

a2 = 16

por lo tanto despejando b = ± 3

a y la longitud del eje menor es

2b = 6

Las coordenadas de los extremos del eje menor son: A(h,k+b) y

A’(h,k-b)

De la relación

por lo que sustituyendo se tiene A(5,-3) y A’(5,-9)

b2 = a2 – c2, tenemos que c = ±

Las coordenadas de los focos son: F(h+c,k)

y

7

F’(h-c,k) por lo que al

sustituir Nos dá

F(5+

7

,-6)

y

F’(5-

7

La excentricidad de la elipse es: e =

∴ la ecuación de la elipse es:

, -6) c a

e = 0.6614

( x − 5) 2 + ( y + 6 ) 2 16

9

=1

109


 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Los focos de una elipse son los puntos F(-4,-2) y F’(-4,-6) y la longitud de su eje menor es 4

3;

determinar la ecuación de la elipse, las

coordenadas de sus vértices y su excentricidad.

Resultado:

ecuación.-

( x + 4) 2 + ( y + 4) 2 12

16

= 1 ; V(-4,0) y V’(-4,-8) ;

e=

0.5

2.- El centro de la elipse O’(-3,2), la longitud del Semieje mayor es 4 y la del eje menor es 6; determina todos los demás elementos y ecuación. Traza su gráfica.

Resultado:

( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 16

9

=1

3.- Los vértices de una elipse son los puntos V(-3,7) y V’(-3, -1) y la longitud de cada lado recto es 2; determina todos sus elementos y ecuación. Traza su gráfica.

Resultado:

( x + 3) 2 + ( y − 3) 2 4

16

=1

110


Verifica si los resultados siguientes se dedujeron de la ecuación de la elipse: 4.- ( x-2 )2 /4 + ( y+1 )2 /16 = 1 C(2,-1) ; V(2,1) ; V’ (2,-5) LR = 2 5.- ( x-9 )2 /49 + ( y-5 )2 /4 = 1 C(9,5) ; V(2,5) ; V’ (16,5) LR = 8/7 6.- ( x-3 )2 /7 + ( y-5 )2 /16 = 1 C(3,5) ; V(3,1) ; V’ (3,9) LR = 7/2 7.- ( y-5 )2 /169 + ( x-3 )2 /25 = 1 C(3,5) ; V(3,18) ; V’ (3,-8) LR = 50/13 8.- ( x+1 )2 /6.25 + ( y-1 )2 /5.76 = 1 C(-1,1) ; V(-1+2.5,1 ) ; V’ (-1-2.5,1) LR = 2(2.4)2 /2.5 9.- Se necesita trazar una alberca de forma elíptica, si los focos son F’(-1,0) ; F(1,0) la longitud de su eje menor es 2b = 2

determinar: a).- si la elipse tiene su centro en el origen b).- el valor de su semieje mayor c).- el valor de su semieje menor d).- la distancia entre los 2 focos e).-su volumen si su área es πab y su altura es 1.2 m Verifica si tus respuestas coinciden con: 111


a).- la elipse tiene su centro en el origen b).- 1.4142 c).- 1 d).- 2 e).- 1.6976π unidades cúbicas

1.5.1.3.- ECUACION DE LA ELIPSE EN SU FORMA GENERAL

CUESTIONARIO La ecuación 7x2+16y2-28x+128y+172=0 determina una elipse. Podrías determinar: a).- ¿Si la elipse es paralela al eje x ó al eje y? b).-¿ Las coordenadas de su centro? c).- ¿ Las coordenadas de sus vértices? d).- ¿Las coordenadas de sus focos? e).- ¿ La longitud de su Semieje menor y mayor? f).- ¿La longitud de cada lado recto?

112


g).-¿ La excentricidad? No importa, si no puedes resolverlo por ahora es normal; primero realiza en equipo el ejercicio siguiente. 

La ecuación de la elipse en su forma general está dada por Ax 2+By2+Dx+Cy+F=0 en donde su eje focal es paralelo al eje x ó al eje y. A y B deben de ser diferentes pero del mismo signo.

EJERCICIO RESUELTO Discutir si la ecuación 2x2+3y2-8x-18y+29 = 0 ¿representa o no una elipse? En caso afirmativo determinar sus elementos correspondientes

SOLUCIÓN.Primero trata de reducir la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la elipse 1.- Al ordenar los términos se tiene:

(2x 2-8x) + (3y2-18y) = -29

2.- Al factorizar el 1er. Miembro tenemos:

2(x2-4x) + 3(y2-6y) = -29 113


3.- Al completar trinomios cuadrados en “x” y ”y” tenemos: 2 2 2 2  2  2 −4   −6  −4 −6 2 x − 4 x +    + 3 y − 6 y +    = 2  + 3  − 29  2    2    2   2   

2(x-2)2 + 3(x-3)2 = 8+27-29 = 6

4.- Simplificando:

2( x − 2 ) 3( y − 3) 6 + = 6 6 6 2

5.- Incluyendo un denominador común

( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 3

2

2

= 1 ………. que es la ecuación de la elipse en

su segunda forma ordinaria.

De ésta ecuación tenemos que las coordenadas de la elipse son: C(2,3) como a2 > b2 concluimos que a2 = 3,

a =± 3

; b2 = 2, b = ± 2

el eje mayor es paralelo al eje de las x donde c 2= a2 - b2 por lo tanto c = ±1 las coordenadas de los vértices son V(h+a,k) y V’(h-a,k) V(2+ Las coordenadas de los focos son

3 ,3)

y V’(2,-

∴ 3 ,3)

F(h+c,k) y F(h-c,k) ∴ F(3,3) y

F’(1,3)

114


Longitud de cada lado recto es

La excentricidad es

e=

LL’ =

2b 2 4 = = 2.309 a 3

c 1 = = 0.5773 a 3

Y ahora te toca determinar su gráfica con las coordenadas de sus elementos que se indican a continuación.

A(h,k+b)

F’(h+c,k) F(h-c,k)

V’(h+a,k) V(h-a,k) A’(h,k-b)

Enorabuena y felicidades, ahora puedes retomar el cuestionario anterior y

contestarlo en equipo  Revisa las respuestas al cuestionario anterior y compara con las siguientes:

115


a)Elipse con eje de simetría paralelo al eje x. b) (2,-4) c) V(6,-4), V’(-2.-4) d) F(5,-4), F’(-1,-4) e) 2a= 8; 2b=2

7

f) LR = 7/2 g) e = 3/4

PROBLEMAS PROPUESTOS: Discute si cada una de las siguientes ecuaciones representa ó no una elipse 1.- 6x2+9y2-24x-54y+51 = 0 2.- 4x2+9y2-32x-18y+21 = 0 3.-x2+4y2-6x-16y+21 = 0 4.- x2+4y2+4x-24y+24 = 0 5.-169x2+25y2-338x+200y-3656 = 0 Encontrar las ecuaciones de las elipses en su forma ordinaria, sabiendo que satisface las condiciones dadas: 6.- V(2,-2), un extremo del eje menor (5,-1) 7.- V(-1,-3) los focos son (-1,-1) y (-1,3) 8.- C(-4,-2), excentricidad 2/3 , un vértice en (2,-2)

116


9.- Focos en (-2,1) y (4,1), excentricidad ½ 10.- Focos en (-4,-4) y (-4,0), un extremo del eje menor es (-6,-2)

1.4 PARABOLA Alguna vez te has preguntado porqué las antenas que se usan para recibir señales de los satélites se llaman antenas parabólicas, existen una gran variedad de objetos en la vida cotidiana que tienen la forma de una parábola, a continuación se te presenta una práctica para que la realices y te des cuenta de la forma que tiene una parábola. PRÁCTICA 1 Trazo de una parábola mediante el uso del compás. Objetivo deducir la definición de parábola a partir de trazos realizados con el compás y las relaciones que existen entre sus parámetros.

MATERIAL: Hoja de papel milimétrico Regla y compás.

PROCEDIMIENTO: 1. - Trazar en una hoja los ejes de coordenadas llamando V al origen. 2. - Traza en el origen un circulo de radio P cualquiera. 3. – ubica los puntos E a la izquierda y F a la derecha de V, los cuales deberán estar a la misma distancia de V (intersecciones con el eje X) 4. - Traza una recta perpendicular sobre el punto E (DD`). 5. - Con una abertura del compás mayor al segmento EV traza arcos sobre DD’ arriba y abajo. 6. - Con la misma abertura haciendo centro en F trazar arcos hacia ambos lados del eje X. 7. - Con la misma abertura, con centro en los cruces obtenidos sobre DD’ trazar los arcos que corten a los obtenidos en el punto anterior. 8. - Incrementar la abertura del compás y repetir los pasos 6 y 7 descritos anteriormente. 9. - Repetir el procedimiento hasta obtener puntos suficientes para el trazado de la parábola. Y 10. - Une los puntos obtenidos. D

E

V

F

X

117


D’

 OBSERVACIONES: 1. - Mide y compara la distancia de F a uno de los puntos obtenidos y del mismo punto a la recta DD’. 2. - Repite lo anterior con algunos de los otros puntos. 3. - ¿Cómo son las distancias que mediste? 4. - Traza una perpendicular en F que toque a la curva en ambos lados. 5. - Mide el segmento anterior. 6. - Compara esta medida con la distancia 7. - ¿Qué relación existe entre las medidas anteriores? 8. - ¿De que otra manera podrías obtener esta curva?. Justifica tu respuesta.

 Definición.- La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Elementos de la parábola: M

D

(X, Y)

L

DD ′

F

AF

V A

D’

V P

P

R

F

AB

P M

Directriz Foco Eje focal o eje de la parábola Vértice, punto donde la parábola corta al eje focal. Ancho focal, lado recto de la parábola, es el parámetro principal, su longitud es 4 veces la distancia del vértice al foco; es el segmento perpendicular a eje de la parábola que pasa por el foco Distancia del vértice al foco P = AV =VF Punto cualquiera de la curva. 118


Para deducir la ecuación de la parábola hacemos coincidir la figura anterior con los ejes coordenados, el vértice V con el origen O y el eje focal sobre el eje X. D’ N

Q

P

M(X, Y)

V

O

P

F(P,0)

D

M(x, y) es un punto cualquiera de la parábola MF =MQ

Aplicando la relación de la distancia entre dos puntos MF = ( x − p ) 2 + y 2

Por la definición de la parábola y sustituyendo en la expresión anterior. MQ = QN + NM = p + x

Por construcción ( x − p) 2 + y 2 = x + p

Elevando al cuadrado ambos términos tenemos ( x − p) 2 + y 2 = ( x + p) 2

Desarrollando los binomios al cuadrado y simplificando, logramos la obtención de la ecuación de la parábola de vértice en el origen ECUACION EN SU FORMA CANONICA

x 2 − 2 xp + p 2 + y 2 = x 2 + 2 xp + p 2

y 2 = 4 px

Ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje focal horizontal sobre el eje x, como p> 0 la parábola esta cóncava a la derecha. En forma semejante se pueden demostrar los resultados siguientes: P(x, y)

F(-p, 0) -p

Q

V

p

X

y 2 = −4 px 119


y

Ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje focal horizontal sobre el eje x, como p< 0 la parábola cóncava a la izquierda. y

P(x, y)

F(0,p) p

x 2 = 4 py

x

Vp

Ecuación de la parábola con vértice en el origen eje focal vertical como p> 0 la parábola y cóncava hacia arriba. y

D p

x

V

x 2 = −4 py

-p F(0,-p) M(x,y)

Ecuación de la parábola con vértice en el origen Eje focal vertical sobre el eje y, como p< 0 la parábola abre hacia abajo. Como pudiste observar el término x 2 o y2 nos indica si la parábola tiene eje focal paralelo al eje x o paralelo al eje y respectivamente. El signo de p señala hacia donde se abre la parábola; si es positiva, abre hacia arriba o a la derecha; si es negativa, entonces abre hacia abajo o a la izquierda. La cuerda perpendicular al eje de la parábola y que pasa por el foco se llama LADO RECTO o ancho focal; su valor es (4p). El eje de la parábola es también eje de simetría ( y − k ) 2 = 4 pCON ( x − hVERTICE ) Parábola horizontal abre a la derecha PARABOLA FUERA DEL ORIGEN Considerando el vértice en un punto de coordenadas (h, k) del plano y su eje focal ( y − k ) 2 = −4 p ( x − h) Parábola horizontal,anteriores abre a la izquierda paralelo a alguno de los ejes, las ecuaciones toman la forma:

( x − h) 2 = 4 p ( y − k )

Parábola vertical abre hacia arriba

( x − h ) 2 = −4 p ( y − k )

Parábola vertical, abre hacia abajo

120


ECUACION DE LA PARABOLA EN SU FORMA GENERAL Desarrollando la ecuación: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) y 2 − 2ky + k 2 = 4 px − 4 ph

Ordenando los términos e igualando a cero tenemos: y 2 − 4 px − 2ky + k 2 + 4 ph = 0

Estableciendo las siguientes igualdades: D = −4 p E = −2k F = k 2 + 4 ph

Llamando C al coeficiente de y2 resulta: Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

Siendo esta la ecuación general de la parábola con eje paralelo al eje X Análogamente trabajando la ecuación: ( x − h) 2 = 4 p ( y − k )

Y haciendo los siguientes cambios: D = -2h; E = -4p; F = h2 + 4pk Y si A es el coeficiente de x2, resulta: 121


Ax 2 + Dx + Ey + F = 0

Ahora la ecuación general de la parábola con eje paralelo al eje y

 PROBLEMAS RESUELTOS 1.- La ecuación de una parábola es y 2 = 8x; determinar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y graficar. Solución: Se trata de una parábola con vértice en el origen, por tanto: V(0,0). Se tiene que: el ancho focal es 4p = 8, por lo que p = 8/4 = 2 (distancia del vértice al foco) Por análisis de la ecuación dada sabemos que el eje focal coincide con el eje x, por tanto F(p, 0), o sea F(2,0), coordenadas del foco La directriz es una recta paralela al eje y, siendo su ecuación X = -p; esto es x = -2 o bien x + 2 = 0 La longitud del lado recto resulta usando la formula es: L. R. = 4p = 4(2) = 8 que coincide con el valor que se obtiene en la ecuación

directriz Lado recto V

X=-2

F(2,0)

Parábola Y2 = 8x

2. - La ecuación de una parábola es (x-2) 2 = - 6 (y+3); determinar las coordenadas del vértice y el foco, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y realizar la gráfica. 122


Como la solución no corresponde a la forma x 2 = 4 py Se trata de una parábola con vértice fuera del origen y con eje focal paralelo al eje y por lo tanto: V(h, k); h = 2; k = -3 es decir V(2, -3). Coordenadas del foco F(h, k+p) por lo que se puede decir que el vértice esta fuera del origen y las coordenadas del foco son F ( 2,−3 + p) , por lo que se tiene la necesidad de calcular el valor de p: Sí 4p = -6, resulta: 6 3 =− 4 2 sustituyendo el valor de p en el foco : p =−

3  F  2,−3 − ; 2  9  F  2,−  2 

Para la ecuación de la directriz, esta es una recta paralela al eje X 3 3  3 y = k − p = −3 −  −  = −3 + = − 2 2  2 3 2 entonces 2 y +3 = 0 y =−

La longitud del lado recto es:  −3 L.R. = 4 p = 4  =6  2  Y O

X Directriz V(2. -3)

F

PARABOLA

123


3. -Dada la ecuación general de la parábola ordinaria Solución:

y 2+8y+6x+16=0

pasarla a la forma

En la ecuación dada pasamos los términos que no contienen a “y” al segundo miembro y2 + 8y = - 6x - 16 Completando un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro y factorizando en el segundo. y 2 + 8 y + 16 = −6 x − 16 + 16

Factorizando el primer miembro y simplificando el segundo miembro, tenemos la ecuación pedida ( y + 4) 2 = −6 x

Ejercicio: Grafica la parábola en tu cuaderno 4. - Encuentra la ecuación ordinaria de la parábola con vértice V(3,4) y foco F(-1,4) SOLUCION Como las ordenadas de vértice y foco son iguales, deducimos que ambos puntos están sobre una misma horizontal (eje de la parábola o eje focal). La ecuación de la parábola tendrá la forma.

( y − k )2

= 4 p ( x − h)

De las coordenadas del vértice se tiene que: h = 3 y k = 4. El valor de p lo encontramos restando la abscisa del vértice de la del foco p=-1-3=-4 por tanto la ecuación pedida es:

( y − 4) 2 ( y − 4) 2

= 4( −4)( x − 3) = −16( x − 3)

La cual es la ecuación ordinaria de la parábola. Encuentre la ecuación general de la parábola desarrollando los binomios. Para graficar la siguiente ecuación. como se muestra. x y = x 2 − 5x + 6

0 6

1 2

y = x 2 − 5 x + 6 elabore una tabla para “x” y “y”

-1 2 -2 3 4 12 0 20 0 2

5 6

124


Esta gráfica es una parábola, pero como puedes observar no tuvimos suerte para descubrir el vértice(el punto mas bajo) por medio de la localización de puntos. Esperamos que te percates que el eje focal es el eje de simetría de la parábola y el vértice esta sobre este eje. Los puntos (2,0) y (3,0) tienen el mismo valor y, así que son puntos simétricos. Por lo tanto la coordenada x de nuestro vértice se encuentra a la mitad entre x = 2 y x = 3, por lo tanto: x=

2+3 5 = 2 2

cuando x = 5/2 sustituyendo en la ecuación

y = x 2 − 5 x + 6 nos queda:

2

1 5 5 y =   − 5  + 6 = − 4 2 2

Por lo tanto el vértice de la parábola esta en el punto (5/2, -1/4) y el eje de simetría tiene por ecuación x = 5/2 De acuerdo a lo anterior podemos deducir el modelo matemático que permite determinar las coordenadas del vértice de la parábola. La gráfica del ejemplo anterior esta presentada de la forma y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 , la cual representa a una parábola. El vértice esta en x = −b / 2a . El eje de simetría es la recta vertical a través del vértice, x = −b / 2a . Cuando a>0, la gráfica tiene un mínimo, un punto bajo(flexiona hacia arriba). Cuando a<0 la gráfica tiene un máximo, un punto alto(flexiona hacia abajo). 125


 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. - Hacer la gráfica de la parábola, indicando el vértice, el lado recto, el foco, y la directriz si la ecuación es: y2 = - 16x ¿Cuáles son los valores conocidos? ¿Cuáles son los valores desconocidos? 2. - Determina las coordenadas del vértice, foco, eje de simetría, la longitud de su lado recto y la ecuación de su directriz de la ecuación y 2 + 20 x = 40

Solución V(2,0) F(-3,0) Y=0 X=7 L.R. = 20

3. – Traza la gráfica de la ecuación y 2 + 8x – 6y + 2 = 0 y encuentra el valor de todos los elementos que componen la parábola. Solución V(-2,3) F(-4,3) Y=3 X=0 L.R. = 8 4. – Obtenga los elementos de la parábola y construya la gráfica de la ecuación x 2 – 6x – 12y –51 = 0 Solución: V(3, -5) F(3, -2) X =3 Y =-8 L.R. = 12 5. - Una parábola cuyo eje es paralelo al eje y pasa por los puntos (1,1); (2,2) y (-1,5) Hallar su ecuación y grafica. Solución: X2 – 2x – y + 2 = 0

126


6. - Un cable de un puente colgante soporta una calzada de 300 m. mediante alambres verticales. Si el cable cuelga adoptando una forma parabólica y los alambres más largos y más cortos miden 90 y 20 m respectivamente ¿Cuál es la longitud de los soportes que están a 50 m del centro? Solución: L = 27.777 m 7. - Encontrar la mayor altura de un vagón de ferrocarril de techo plano con un ancho de 10m. que puede pasar por debajo de un túnel con sección transversal parabólica cuya altura y anchura máximas es de 20m. Solución Hmax = 15m. 8. - La trayectoria descrita por un proyectil lanzado horizontalmente, desde un punto situado a ‘y ‘ m sobre el suelo con una velocidad ‘v’ m/seg, es una parábola de ecuación: x2 = −

2v 2 y g

si ‘x’ es la distancia horizontal desde el lugar de lanzamiento y g = 9.81 m/seg 2 El origen se toma en el punto de salida del proyectil del arma. En estas condiciones si se lanza horizontalmente una piedra desde una altura de 3m. sobre el suelo. Sabiendo que la velocidad inicial es de 50m/seg. Calcula la distancia horizontal al punto de caída. Solución X = 39 m 9. Halla la ecuación de la parábola de vértice (0,0) y directriz 2x+5=0 10. Halla la ecuación de la parábola de vértice (0,0) y foco (4,0) 11. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (0,0) su eje coincidiendo con el de las X y el foco en la recta 3x-5y-18=0 12. Hallar la ecuación de la parábola de un vértice (0,0) su eje coincidiendo con el de las x y pasa por el punto (2,1) 13. Halla la ecuación de la parábola de vértice (2,3) parámetro = 4 y dirige su concavidad hacia arriba. 127


14. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (4,-5) el lado recto es 8 y su concavidad hacia arriba. 15. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (1,-4) y foco (-5,-4). 16. El costo de manufactura C en pesos por hacer x bolsas en un día esta dada por la ecuación C = x 2 − 12 x + 50 a) Graficar esta función de costo. b) ¿Cuál es el costo mínimo y cuantas bolsas se producen al día? c) ¿Cuesta más hacer 4 bolsas que hacer 10? d) ¿Cuántas bolsas pueden hacerse con $40? 17. La cantidad s de un producto agrícola que será demandado a un precio de p pesos está dado por q = 20 + 5 p − p 2 a) Grafique la relación, con el precio como eje horizontal. b) ¿A que precio serán demandados la mayoría de los productos y cuántos serán demandados a ese precio? c) ¿A que precio no habrá demanda del producto? d) ¿A que precio se demandarán 30 productos? e) ¿Qué cantidad será demandada si el precio es $2.75? 1.6 HIPERBOLA

Dentro de nuestra vida cotidiana encontraremos objetos que presentan similitud con la hipérbola, como es el caso de algunas cabezas de pernos que tienen forma parecida a ella, lo mismo sucede con un lápiz hexagonal en el momento en que lo afilas ya que muestra un arco hiperbólico en cada uno de sus seis caras, menciona otros objetos que presenten las mismas características hiperbólicas.

 Ahora continuaremos con el estudio de otra cónica, generalmente las podemos observar en algunas construcciones o también en algunos fenómenos físicos, por ejemplo esta la podemos observar en las instalaciones de las plantas de energía nuclear, o cuando se somete un material a un esfuerzo de tensión provocando una forma similar a la que se muestra en la siguiente figura. Y

X 128


Otro ejemplo es el de dos conos con eje común y alineados punta con punta, si se corta a ambos conos de manera transversal como se indica en la siguiente figura, analiza la forma que adquiere la parte mayor de los conos cortados.

EN

Esta figura geométrica recibe el nombre de “hipérbola”, siendo ambos lados M1 del eje y. simétricos respecto MANTO O Definición: MANTO O L RAMA La hipérbola se define como el lugar geométrico de un RAMA punto que se mueve en un plano, de tal manera P absoluto de la diferencia de A que el valor sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos, es una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre focos. c D b A continuación conocerás las partes y los elementos que la componen. EF a F1 V1 C V F Y D′ A1 M

R

129


X

CENTRO DE LA HIPERBOLA C

FOCOS DE LA HIPERBOLA ____________________________ F, y F1 VERTICES DE LA HIPERBOLA _________________________ V, y V1 EJE FOCAL _________________________________________ EF EJE NORMAL _______________________________________ EN EJE TRANSVERSO ___________________________________ V V1 = 2a EJE CONJUGADO ____________________________________ AA1 = 2b CUERDA ___________________________________________ MM1 CUERDA FOCAL O LADO RECTO _______________________ LR DIAMETRO _________________________________________ DD1 RADIO VECTORES ___________________________________ FP, y F1P

Es importante que puedas identificar en cualquier momento los elementos de la hipérbola. A continuación veremos los diferentes casos en los que puede presentarse una hipérbola ( graficarse) y además se te darán algunas nomenclaturas para identificar las partes básicas de esta A

Y P (x, y)

d1 a b F1

V

C

V

F

X

c

A’ 2c

130


Esta hipérbola tiene su eje transverso en el eje “x” y el centro de la hipérbola esta en el origen, como puedes ver estamos señalando algunas distancias con la letra a, b, c; donde la distancia “a” es la mitad de la distancia que hay del vertice al centro ( el eje transverso es igual a “2a”), “b” es la mitad del eje conjugado, (el eje conjugado es igual a “2b”) y “c” es la distancia que hay del foco al centro de la hipérbola. Ahora que ya conocemos la gráfica y los elementos de la hipérbola conoceremos la forma de obtener la ecuación de esta, haciendo uso de la definición manejada con anterioridad. Como sabemos esta gráfica (ver la figura anterior) tiene su centro en el origen debido a eso sus vértices son los puntos (a, 0) y (-a, 0), los focos serian (c, 0) y (–c, 0) obtenemos que: | FP | – | F’P | = 2a De la gráfica anterior obtenemos las siguientes distancias  FP = F’P =

( x − c)2 + y 2 ( x + c) 2 + y 2

al sustituir tenemos la siguiente expresión ( x − c)2 + y 2

( x + c) 2 + y 2

= ± 2a

Simplificando tenemos la ecuación ordinaria de la hipérbola. x2 y2 a2 b2

=1

De la misma manera procederemos para una hipérbola que tiene su eje transverso paralelo al eje “y” cuya ecuación y gráfica son: F Y a

P

c

b

V

A

131


C

X y2 a2

x2 - 2 b

=1

Nota: debemos recordar que la relación que existe entre a, b y c es la siguiente: c2 = a2 + b2 HIPERBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Por este caso los elementos de la hipérbola continúan siendo los mismos, también su forma de calcularlos. Eso indica que no te debes de complicar, ya que el principio geométrico y real de la hipérbola se vuelve a repetir, por lo tanto sigue adelante lo único que cambia son las coordenadas del nuevo centro c’ (h, k). Ahora veremos la ecuación de la hipérbola cuando el eje transverso es paralelo al eje “X”, y ahora el centro de la hipérbola esta fuera del origen c´ h, k), esta ecuación es: ( x − h) 2 ( y − k )2 – =1 a2 b2 La ecuación de la hipérbola con eje transverso paralelo al eje “y” su ecuación y gráfica son: ( y − k )2 ( x − h) 2 – =1 a2 b2

SIENDO SU GRAFICA LA SIGUIENTE:

F

Y´ a

b

V C

A

F′

A

132


C´(h, k)

V’ X C

Ahora analizaremos otro elemento de la hipérbola llamada asíntota. esta recta tiene la característica de acercarse cada vez mas a las curvas de la hipérbola pero nunca llega a tocarlas. Y

Observamos que la recta jamás toca a la curva (asíntota) y la ecuación de esta la obtenemos a partir de las ecuaciones de la hipérbola X

x2 y2 – = 1 hipérbola con centro en el origen a2 b2 despejando a “y ” tenemos

y

=

±b x a

La ecuación de las asintotas para una hipérbola con centro fuera del origen cuando el eje focal coincida o sea paralelo al eje ” X” es: y=±

b (x-h) a

Cuando el eje focal coincide o es paralelo al eje “Y” las ecuaciones de las asintotas son: 133


y=±

a x b

y fuera del origen

y=±

a (x-h) b

Después de los elementos ya conocidos vamos a analizar los siguientes conceptos y anotaremos la manera de determinarlos considerando que ya conocemos los conceptos básicos. La excentricidad (e) es la relación que existe entre el semi eje focal y el semi eje conjugado, “c” y “a” respectivamente por lo tanto tenemos que: e=

c a

Donde c > a por lo tanto la excentricidad es mayor a la unidad.

Otro elemento es la longitud del lado recto que viene siendo la recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje transverso como lo vimos en los elementos de la hipérbola; y este se determina mediante la siguiente ecuación: LR =

2b 2 a

No olvides que la hipérbola tiene dos lados rectos. Conociendo todos los elemento de la hipérbola ya podemos resolver problemas con mayor facilidad.

Ejemplo 1. -un jarrón cuyo diámetro menor es 50cm y su ecuación de la recta en el punto superior del jarrón es y = x 3 como se muestra en la siguiente figura, determine: a)vértices; b) focos; c)longitud de su eje transverso; d) longitud de su eje conjugado; e) ecuación de la hipérbola, f) longitud de lado recto; g) ecuaciones de las asíntotas.

Y

y =x 3

X

X

CUELLO DEL JARRON 134


Primero sacamos un diagrama de cuerpo libre CUELLO DEL JARRON 25

C

F’

F

F’

V’

Como a = 25 y y =

V

Por lo tanto Entonces b = a

c = a2 +b

2

∴ c=

3x

de la ecuación

b de la asintota tenemos que y = x a

3

3

=

b a

como

a = 25

sustituyendo en a y b podemos obtener el valor de c.

252 + ( 25 3 ) 2

c2 = a2 + b2 c = 50

Teniendo los elementos a, b, c. podemos obtener lo que se nos pide: a) vértices (25,0) y (-25,0) b) focos (50,0) y (-50,0) c) Con eje transversal = 2a = 2(25) = 50 d) longitud del eje conjugado = 2b =2 (25√3) =50√3 e) ecuación de la hipérbola. Para este caso con centro en el origen y eje focal que coincide con el eje x la ecuación a usar es: x2 a2

x2 25

− −

y2 =1 b2 y2 25 3

=1

135


f) longitud del lado recto 2b 2 a

LR =

sustituyendo

LR=

2(25 3 ) 2 25

donde LR = 150

ECUACIONES DE LAS ASINTOTAS y=±( y =±

b )x a

25 3 x 25

sustituyendo los valores

quedando como resultado

y = 3x ;

& y = - 3x

Después de analizar la ecuación de la hipérbola en su forma ordinaria vamos a obtener la ecuación de la hipérbola en su forma general: A x2 + C y2 + D x + E y + F = 0. Para poder obtener la ecuación de la hipérbola en su forma general procedemos de la siguiente manera: Tomamos la ecuación de la hipérbola en su forma ordinaria y la desarrollamos. x2 _ y2 = 1 a2 b2 Eje focal paralelo al eje “x”, centro en el origen. desarrollando la ecuación obtenemos: b2 x2 − a 2 y 2 = 1; b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 ; b 2 x 2 − a 2 y 2 − a 2b 2 = 0 2 2 ab haciendo los siguientes cambios:

A = b2 ;

C = a2 ;

F = - a 2 b2

Obtenemos la Forma general de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen A x2 – C y 2 + F = 0 Ahora consideraremos a la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y con eje focal paralelo al eje x 136


( x- h)2

( y – k)2 =1

a

2

2

b

restando las fracciones

(x – h)2 b2 - (y – k)2 a2 = a2 b2 Desarrolla esta ecuación y comprueba el siguiente resultado. b2 x2 – a2 y2 – 2b2 h x + 2 k a2 y + h2 b2 - k2 a2 - a2 b2 = 0 haciendo los siguientes cambios: A = b2 C D E F

= - a2 = - 2hb2 = 2ka2 = h2 b2 – k2 a2 – a2 b2

Obtenemos la ecuación de la hipérbola en su forma general A x 2+ C y 2+ D x + E y + F = 0 Ejemplo: Determine la ecuación en su forma ordinaria de la siguiente ecuación general. 4x2 - 9y2 + 32x + 36y + 64 =0 1º. - agrupamos términos de “x” y “y”. (4x2 + 32x) - ( 9y2 - 36y) + 64 =0 2º. - como los términos de x 2 y y2 tienen un coeficiente se obtiene el factor común teniendo cuidado con el signo de los términos de “ y “. 4( x2 + 8x) - 9(y2 - 4y) + 64 =0

137


3º. - Se obtiene el tercer elemento del trinomio cuadrado perfecto dividiendo el segundo termino entre dos (8/2), y el resultado se eleva al cuadrado; como aumentamos una cantidad también la restamos para no alterar la ecuación. 4( x2 + 8x + 16 – 16) - 9( y2 – 4y +4 –4) +64 =0 4º. - Saca del paréntesis él termino negativo agregado y se obtiene el binomio al cuadrado. 4( x2 + 8x + 16 ) – 64 –9( y2 –4y + 4 ) + 64 + 36 = 0 factorizando y reduciendo los términos semejantes. 5º. -Transformamos la ecuación en su forma ordinaria 4( x + 4) 2 9( y − 2) 2 – − 36 − 36

( x + 4) 2 9

+

=

−36 −36

( y − 2) 2 =1 4

( y − 2) 2 ( x + 4) 2 – 4 9

= 1

De donde podemos obtener los siguientes datos C (–4, 2); a 2 = 4, a = 2, b = 9, y b = 3 de acuerdo a la ecuación el eje focal es paralelo al eje “ Y ”, las coordenadas de los vértices son V(-4,4), y V ´(-4, 0) 2

calculando el valor de c sustituyendo en c2 = a2 + b2 tenemos c2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 teniendo c =

13

por lo tanto las coordenadas de los focos son F(-4, 2+ calculando el lado recto tenemos

13 )

y F´(- 4, 2 -

13

)

LR = 2(3)2 = 9 2 Las ecuaciones de las asintotas las obtenemos mediante la ecuación

138


y =±

a ( x − h) b

substituyendo: y =±

2 ( x + 4) 3

 RESUELVE CORRECTAMENTE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS I.- Obtener la ecuación general de la hipérbola en su forma general con los datos que se dan en cada caso. 1. - Focos (1,5) y (7,5); vértices (2,5) y (6,5) 2. - Focos(-3, -1) y (-3,9) vértices(-3,0) y (-3,8) 3. - Vértices (-1,3) y (3,3) y su excentricidad es

2 3

4. - Los vértices (-2,2) y (-2, -4) y la longitud del lado recto es 2 5. - Los vértices son (-3,2) y (-3, -2) y la longitud de su eje conjugado es 6 II.- En cada problema siguiente encuentra los elementos de la hipérbola dada su ecuación. 6. - 4y2 – x2 +2x -1 = 0 7. - 9x2 – 4y2 + 18x – 16y – 43 = 0 8. - 9x2 – 16y2 – 72x + 64y – 64 = 0 9. - 3x2 – y2 + 30x +78 = 0 10. - 9y2 – x2 – 2x – 36y + 44 = 0

Bibliografía de Matemáticas III Geometría Analítica plana Luis Magaña Cuellar Pedro Salazar Vazquez Editorial Nueva Imagen 139


Geometría Analítica Eugenio Filloy Fernando Hitt Grupo Editorial Ibero América Geometría Analítica G. Fuller y D. Tarwater Pearson Educación Geometría Analítica Benjamín Garza Olvera SEP

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GEOMETRÍA ANALÍTICA  

Libro de texto contextualizado para la enseñanza de la geometría analítica en el bachillerato tecnológico del tercer semestre.

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