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Diciembre de 2004 1


INTRODUCCIÓN El presente trabajo enfocado a Matemáticas II (Geometría y Trigonometría), tiene como intención fundamental auxiliar al docente en la difícil tarea de guiar al alumno del nivel medio superior en el estudio razonado y significativo de esta área, con mayor relevancia en el conocimiento científico, en donde el alumno podrá construir sus propios conocimientos bajo las siguientes consideraciones: 

Sus conocimientos previos sobre el área de matemáticas formales y/o empíricos.

Situaciones o escenarios didácticos que motiven al estudiante, siendo retos que requieren de actividad intelectual y permite al estudiante alcanzar metas y soluciones posibles. Nuestro trabajo pretende a través de la resolución de problemas acercar aún más

al binomio, enseñanza – aprendizaje, a la dinámica construccional en donde el alumno pueda apropiarse del conocimiento y aprender de manera significativa y trascendente. Por esta razón, este material es interactivo y constituye un canal de comunicación entre los actores del proceso de la enseñanza y el aprendizaje, para hacerlo adecuado, oportuno y dinámico, retroalimentado a los elementos que participan: docente, alumno, currículo y evaluación para una mejor toma de decisiones y posibilitar una permanente validación de los mismos. Es importante señalar que la resolución de problemas ha sido ampliamente estudiada por investigadores de todo el mundo; y se reconoce hasta el momento como un método eficaz para propiciar un aprendizaje efectivo de largo plazo, susceptible de extenderse y aplicarse en situaciones diversas. Cabe señalar que la enseñanza contextual y de grupos operativos de las matemáticas,

tiene

como

objetivos

fundamentales

ampliar

y

consolidar

los

conocimientos, habilidades y capacidades matemáticas para aplicarlas en el planteamiento

y

resolución

de

problemas

cotidianos

mediante

un

efectivo

procesamiento de la información. El enfoque del trabajo en el aula a través de grupos operativos, propone trabajar con los alumnos en un ambiente, donde las respuestas a problemas propuestos, principalmente son generadas por los alumnos en tres tiempos:

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a) Convencerse así mismos de su solución. b) Convencer a los miembros de su equipo (de 3 a 5 integrantes) c) Convencer al grupo, socializando las soluciones para enriquecer la visión del problema a través de las múltiples respuestas. Parafraseando a Piaget; lo que requerimos es una actitud intelectual y moral, hecha de comprensión y cooperación que sin salir de lo relativo, alcance la objetividad, relacionando entre sí los diversos puntos de vista particulares de los alumnos.

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HISTORIA DE LA ELABORACIÓN DEL PROGRAMA ANALÍTICO Al considerar el propósito fundamental de la estructuración de los programas de estudio, para el nivel medio superior de la SEIT, en el que se pretende la construcción de aprendizajes significativos por parte de los estudiantes, misma que se facilita con la implementación de estrategias educativas centradas en el aprendizaje; se trabajó en el diseño de los programas de estudio de matemáticas. En ello participaron profesores de secundarias técnicas, escuelas del nivel medio superior y escuelas de nivel superior pertenecientes a la SEIT; así como expertos del área pedagógica y de matemáticas. Esto con la finalidad de considerar la opinión de los profesores que participan como guías en la construcción de los conocimientos antecedentes al bachillerato y los requerimientos exigidos por los docentes del nivel superior. Para la elaboración de estos programas se ha partido del análisis de los programas vigentes, rescatando de éstos los conceptos fundamentales y subsidiarios que permitan con su desarrollo el logro del propósito general del campo de matemáticas consistente en que: El estudiante, a partir de la apropiación de los contenidos fundamentales

de

las

matemáticas,

desarrollará

habilidades

de

pensamiento, comunicación y descubrimiento; que le permitan usarlas en la resolución de problemas cotidianos y sea partícipe del desarrollo sustentable de su entorno. Esta propuesta lejos de aumentar los contenidos contemplados en los programas actuales, no incluye los temas de aritmética por considerar esta parte de las matemáticas como un antecedente para cursar el nivel medio superior; así como otros temas que no guardan relación o bien que se aleja del propósito de las matemáticas en este nivel. Se cree que la propuesta, bajo la guía consciente de los docentes en las aulas puede contribuir a formar estudiantes que sepan: aprender a conocer, aprender a ser, aprender a hacer y aprender a convivir con sus semejantes.

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Esto sin duda alguna presenta grandes retos a los diversos actores del proceso educativo, pero principalmente al docente, al requerir de éste, el hacer propio el proyecto y contribuir con su experiencia a la implementación del proyecto en las aulas. Probablemente en esta propuesta no exista mucha diferencia con los contenidos programáticos actuales. La diferencia estriba en cómo el docente logre el acercamiento del estudiante a estos contenidos. Al desarrollar los contenidos de la presente propuesta mediante temas integradores, tanto de la disciplina como de otras áreas del conocimiento, los estudiantes lograrán comprender que los contenidos de matemáticas no son ajenos a su vida cotidiana, ni son propios de seres superdotados. De esta manera podrán encontrar aplicación a los conocimientos que van construyendo en otras áreas del saber. La implementación de estrategias centradas en el aprendizaje, ya sean temas integradores, aprendizaje basado en la solución de problemas o las que el docente proponga, permite recuperar los conocimientos previos y concepciones existentes. En el caso de la aritmética u otros temas omitidos, el docente podrá decidir las actividades a realizar, con el fin de que los estudiantes recuperen los conocimientos requeridos o corregir las concepciones erróneas y utilizar estos conceptos como herramientas para la construcción de otros. Al mismo tiempo, esta forma de trabajo basado en el aprendizaje colaborativo, estará contribuyendo a la formación de los valores de libertad, solidaridad y justicia, que se pretenden promover. Los contenidos de la disciplina están estructurados en forma de asignaturas como álgebra, geometría y trigonometría, geometría analítica, probabilidad y estadística y en un taller de matemáticas aplicadas, en el cual se orienta hacia el manejo de los conceptos y las herramientas indispensables para abordar el cálculo diferencial e integral, más que la ejercitación en el uso de los algoritmos. En este sentido, se podría pensar que se encuentran estacionados en el mismo orden que la propuesta curricular anterior, sin embargo en el enfoque que se propone basado en la solución de problemas y el tratamiento de lo básico bajo un eje integrador (temas integradores) permite distinguir un uso diferente de los contenidos.

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Presentar a la disciplina y a sus asignaturas en un mapa de contenidos no es gratuito. Esto responde a una movilidad del mismo, de acuerdo a su uso en la resolución de problemas; lo que permite al docente hacer diferentes organizaciones del contenido, dependiendo de la problemática que se trate de resolver. El tratamiento de algún o algunos problemas que se encuentran circunscritos en un tema integrador, hace que se puedan explicar y tomar una postura respecto a los mismos desde la matemática, la química, entre otras asignaturas. Así también se debe considerar que la matemática, dentro de los objetivos que persigue, es una herramienta que brinda elementos para hacer el análisis de problemas que se encuentran relacionados con otras áreas específicas del conocimiento.

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ESTRUCTURA DE LA DISCIPLINA La matemática es una disciplina que requiere secuencia en el tratamiento del contenido, es decir, hay temas antecedentes que permiten abordar conceptos que se encuentran ubicados posteriormente. En este sentido se organiza el área del conocimiento mediante asignaturas que guardan un orden lógico para su tratamiento, por ejemplo el álgebra es un antecedente para la solución de problemas que se presentan en la geometría, trigonometría y materias subsecuentes. Los conceptos subsidiarios que aparecen en la organización de cada una de las asignaturas permiten dos cosas, ayudar a la formulación de un concepto supraordinado y hacer un tratamiento de otros contenidos, con diversos problemas que se presentan en una realidad cargada de sucesos sociales, científicos y tecnológicos, es decir permite acercarse al tratamiento de situaciones problemáticas o complejas. Por ejemplo, en la geometría analítica el tratamiento de lo unidimensional y bidimensional permite localizar y representar en un sistema de coordenadas un determinado problema para su análisis. El campo de aplicación de la matemática es muy amplio. Siendo así, esto nos da la pauta para abordar los contenidos con temas integradores en el tratamiento de las diversas disciplinas, por ejemplo, física, química, biología, economía y de otras áreas de la vida cotidiana dentro del ámbito tecnológico.

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ESTRATEGIA METODOLÓGICA Se propone que los estudiantes sean personas críticas, propositivas y que por medio del trabajo colaborativo asuman los valores de solidaridad, libertad y justicia, para que sean parte de su forma de ser y los lleven a cabo en sus actividades diarias tomando en cuenta su bagaje cultural. Además, que sean conscientes de que pertenecen a una sociedad globalizada. Así mismo, consideren el conocimiento como un proceso mediante el cual reencuentren la relación de la matemática con otras disciplinas y con su entorno. Las estrategias centradas en el aprendizaje no serán a partir de conceptos abstractos o de algoritmos que no son parte de la realidad de los estudiantes, esto permitirá que se apropien del conocimiento, que aprendan a aprender, a razonar y a pensar. Esto es, transiten de decir “permíteme recordar” a “permíteme pensar” cuando se les presente un problema. Todo ello a partir de ejemplos modelados, sean estos relacionados con otras materias o de su propio contexto. El papel del docente, será entonces, el de ser mediador del aprendizaje, un facilitador en ese proceso y llevar a los alumnos hacia la construcción de su conocimiento, mediante la selección de temas integradores que les permitan establecer una relación al interior de la disciplina y con otras disciplinas involucradas.

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PROPÓSITOS DE LA DISCIPLINA 1. Utilizar las formas de pensamiento lógico en los distintos ámbitos de la actividad humana. 2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situaciones de la vida diaria. 3. Utilizar correctamente el lenguaje matemático con el fin de comunicarse de manera clara, concisa, precisa y rigurosa. 4. Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos tecnológicos (calculadoras, programas informáticos e Internet) que constituyan una ayuda para el aprendizaje y las aplicaciones de la matemática. 5. Resolver

problemas

matemáticos

utilizando

diferentes

estrategias,

procedimientos y recursos, desde la intuición hasta los algoritmos. 6. Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y analizar el mundo físico que nos rodea. 7. Utilizar los métodos y procedimientos estadísticos y probabilísticos para obtener conclusiones y hacer inferencias a partir de datos recogidos en el mundo de la información. 8. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que el alumno debe adquirir a lo largo del bachillerato. 9. Desarrollar técnicas y métodos relacionados con los hábitos de trabajo, la curiosidad y el interés para investigar y resolver problemas. 10. Desarrollar la responsabilidad y colaboración en el trabajo en equipo, con la flexibilidad suficiente para cambiar el propio punto de vista en la búsqueda de soluciones.

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RECOMENDACIONES AL PROFESOR Se recomienda al maestro que inicie con una actividad motivadora, para cambiar la predisposición de algunos alumnos a no usar la mayoría de los sentidos en el proceso enseñanza – aprendizaje. Es conveniente elaborar una evaluación diagnostica del curso de matemáticas I con la finalidad de determinar si el alumno posee los conocimientos necesarios para iniciar el curso de matemáticas II y en su caso realizar la retroalimentación de los temas respectivos. Cuando

sea

necesario

inyecte

alegría

al

grupo

utilizando

dinámicas

motivacionales dependiendo del estado de ánimo en que se encuentre el grupo y horario en que se imparta la clase. Algunos ejercicios necesitan materiales para su elaboración, por lo que será necesario leer con anticipación las listas de necesidades de material, para construir los modelos de apoyo en el aprendizaje. Es

importante

utilizar

los

instrumentos

y

el

software

de

evaluación

proporcionados por la Dirección General de Educación Tecnológica Industrial, ya que su elaboración esta basándose en la metodología, técnica y temática de este texto. Es necesaria la cooperación del profesor en el análisis de este material con el fin de realizar propuestas que lo enriquezcan especialmente en lo que se refiere a aumentar el número de ejercicios contextuales y así mejorar continuamente la calidad de este material.

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RECOMENDACIONES AL ALUMNO Este material está elaborado para que se trabaje en equipo los cuales se recomienda sean de 3 a 5 integrantes con el fin de que se conserve el espíritu de trabajo, el equipo debe tener un responsable que transfiera las diversas tareas a cada integrante con la finalidad de que exista interrelación personal y grupal, tratando de intercambiarlo a un tiempo determinado para promover la responsabilidad de liderazgo en cada uno de ellos. Se recomienda que se lea el enunciado del problema tantas veces sea necesario, para que lo comprenda cada integrante del equipo y que mantengan una disposición positiva en todas las actividades a desarrollar en clase y en las tareas asignadas durante el curso, lo cual facilitará un aprendizaje más eficaz y dinámico en grupos cooperativos con sus compañeros.

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FUNDAMENTACIÓN En este material se utiliza la metodología contextual y el aprendizaje cooperativo de grupos para facilitar el aprendizaje de los estudiantes, permitiéndoles realizar una reflexión individual primero y grupal después, sobre el tema a estudiar. La Dirección General de Educación Tecnológica Industrial ha buscado métodos y técnicas de enseñanza que eficiente el proceso Enseñanza-Aprendizaje; así por ejemplo se implementó el proyecto “piloto” denominado Matemática Aplicada a contextos tecnológicos, sin embargo debido a que éste modelo fue creado para un grupo social determinado, se generaron nuevos problemas en el subsistema. Ante esta situación se propone a los docentes crear un modelo acorde a las condiciones de nuestra idiosincrasia, incorporando el Aprendizaje contextual que considera que el aprendizaje es un proceso complejo que va más allá de los métodos orientados a la ejercitación y a la relación estímulo - respuesta. Esta metodología dice que el aprendizaje ocurre, cuando el estudiante procesa la información o el conocimiento, de tal manera que lo que aprende tiene sentido dentro de su marco de referencia, siempre y cuando le sea útil. Por lo cual se recomienda estimular al educando, para que elija entornos de aprendizaje, tales como, laboratorios, aulas o alguna actividad al aire libre, de manera tal, que vaya adquiriendo experiencias sociales, culturales, físicas y psicológicas. En estos medios los estudiantes aprenden a relacionar ideas abstractas y a aplicarlas al mundo real, a través de la resolución de problemas. Es importante la disposición del docente, para cambiar la forma tradicional de enseñar, por una enseñanza más participativa en relación con lo cotidiano, que permita el desarrollo de habilidades, de expresión oral y escrita del estudiante; así como de sus habilidades mentales y manuales. ¿Cómo podemos lograr más con menos?, no se duda que en el transcurso del tiempo hemos aprendido más sobre técnicas de enseñanza y todas logran un objetivo,

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pero, ¿por qué regresamos en matemáticas a lo tradicional? (gis, pizarrón, borrador, apuntes etc.); sin duda porque las matemáticas las aprendimos por medio del uso del pizarrón, sin reflexionar ni razonar, quizá porque nuestros maestros no sabían utilizar un retroproyector o un software y no usaban técnicas y metodologías innovadoras que permitieran construir nuestro propio conocimiento. Se ha demostrado que el estudiante aprende más cuando construye, explora, descubre e inventa, que cuando actúa como receptor únicamente o utiliza métodos memorísticos, por lo cual en éste trabajo se trata de guiar al estudiante a que construya en su razonamiento, los pasos y metodología propias para resolver el problema mediante una reflexión del planteamiento del problema. Las habilidades actuales requeridas por los estudiantes son: Personalidad, Razonamiento, Lectura de comprensión, Escritura y Aritmética. La Personalidad es la habilidad de relacionarse con otros individuos dentro y fuera del aula, el desarrollo de la autoestima y la responsabilidad individual. El razonamiento es la habilidad de pensar y resolver un problema viéndolo como un sistema y no como un conjunto de problemas y tareas aisladas. Para que los estudiantes desarrollen habilidades personales, se requiere que ellos mismos les enseñen a otros, que aprendan a ser lideres y a trabajar con diversa gente de otras culturas; así serán más creativos, tomarán decisiones, resolverán problemas y aprenderán a razonar. Cuando un estudiante logra transferir el conocimiento del aula a la práctica profesional se logra la retención del conocimiento. Además de relacionar las distintas materias del plan de estudios, los docentes pueden reforzar el proceso de Aprendizaje, involucrando a los estudiantes en actividades manuales y experiencias concretas, como otro método para reforzar dicho proceso, con prácticas de laboratorio, experimentos, proyectos que requieran de los estudiantes participación activa, que les estimule el interés y la motivación por aprender.

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APRENDIZAJE COOPERATIVO DE GRUPOS. Es el proceso que maximiza el aprendizaje cooperativo en pequeños grupos mediante: 1. El compartir conceptos 2. El apoyo mutuo 3. La celebración del éxito en conjunto Este método tiene 5 características básicas 1. Equipos de aprendizaje heterogéneo cara a cara 2. Interdependencia positiva 3. Responsabilidad individual 4. Entrenamiento en habilidades interpersonales 5. Reflexión

La siguiente tabla muestra la diferencia que hay entre los dos modelos del proceso Enseñanza-aprendizaje.

Propósito Organización

Modelo tradicional Transmisión de información fáctica Aula aislada del mundo y del trabajo, maestros y estudiantes trabajan solos.

Función del “Transmisor de conocimientos maestro Función del Receptor de información fáctica estudiante Contenido Materias académicas tradicionales, para inteligencias verbales y lógico matemáticas. Método Clase pregunta y respuesta, poca atención a estilos de aprendizaje

Evaluación

Prueba de información fáctica

Nuevo modelo Encontrar, desarrollar y aplicar el conocimiento Estudiantes vinculados con la comunidad, maestros y estudiantes trabajan en equipo. Facilitador, coordinador, guía Compromiso activo para el aprendizaje Programas integrados, adaptados para múltiples inteligencias. Cuestionamiento, descubrimiento aprendizaje contextual y métodos aplicados. Basada en el desempeño y la resolución de problemas.

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Para obtener un mayor grado de aprovechamiento se recomienda: 1. Que el estudiante aprenda a enseñar y a aprender de sus compañeros. 2. Evitar distracciones de los estudiantes cuando trabajen en equipo. 3. Empezar formando equipos de 3 elementos, después incrementar el número poco a poco hasta un máximo de 5. 4. Integrar el aprendizaje cooperativo, invitando a los estudiantes a que lean el material de manera individual y luego

trabajen en equipo. El maestro podrá

calificar uno de los trabajos en presencia del grupo, para que los alumnos aprendan a calificar los demás. 5. Asignar a cada integrante de equipo una tarea especifica ( leer, anotar, verificar etc. ), estimulando con esto la participación activa del estudiante, motivándolo a que haga las preguntas pertinentes o sugiera soluciones a los problemas, elogiándole sus buenas ideas u opiniones. 6. Indicar claramente, que espera como resultado del trabajo en grupo. 7. Observar el funcionamiento de los equipos mientras ellos trabajan, estimulando la responsabilidad individual. 8. Mencionar los detalles que observó en el transcurso de la actividad, y como pudieran mejorarlos, recompensando también el buen comportamiento de los estudiantes.

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Nota: Este trabajo está en proceso de conformación, por lo que se aceptan todo tipo de sugerencias y modificaciones conforme se esté aplicando en los distintos planteles del subsistema.

Símbolos utilizados en el desarrollo de éste material

Representa una actividad de motivación

Representa una actividad de estudio

Representa Trabajo en equipo

Representa una actividad complementaria

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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA OBJETIVO: Los estudiantes desarrollarán las habilidades necesarias para aplicar los conocimientos geométricos y trigonométricos a través de situaciones problemáticas, para comprender el mundo físico que lo rodea y resolver los problemas relacionados y que como técnicos enfrenten

TRIGONOMETRÍA

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

 Concepto de trigonometría  Razón trigonométrica  Relación trigonométrica  Funciones trigonométricas de ángulos agudos  Resolución de triángulos Rectángulos

 El círculo unitario  Signo de las funciones  Identificación de las funciones en el círculo unitario  Funciones de ángulos cuadrantales cuadrangulares  Graficación de funciones  Ley de senos  Ley de cosenos  Solución de triángulos oblicuángulos

 Identidades fundamentales  Demostración de Identidades  Ángulo Doble  Ángulo mitad

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

 Concepto  Procedimiento de solución.

CATEGORÍAS: VALORES:

PROCEDIMENTALES:

ECUACIONES EXPONENCIALES

 Concepto  Procedimiento de solución.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

 Concepto  Procedimiento de solución.

ESPACIO Y DIVERSIDAD LIBERTAD, JUSTICIA, SOLIDARIDAD

Representar, comparar, trazar, abstraer, identificar, relacionar, formular, deducir, demostrar, aplicar, conjeturar, comprobar.

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Í N D I C E

G E N E R A L

I GEOMETRÍA  Introducción

21

 Antecedentes históricos

23

 Conceptos básicos

25

 Proposiciones verdaderas

29

 Sistema lógico

34

 Método deductivo

34

 Recta  Nomenclatura y notación de rectas.

38

 Unidades de medida

41

 Sub conjuntos

41

 Posición en el plano

44

 Ángulos

45

 Definición, clasificación, notación y medida de ángulos

46

 Unidades de medida

57

 Conversiones

60

 Teoremas

62

 Triángulos

66

 Definición, notación y clasificación

68

 El triangulo

68

 Rectas y puntos notables de un triángulo

70

 Teoremas

75

 Teorema de Pitágoras

75

 Teorema de Tales

79

 Polígonos

84

 Definición, notación y clasificación

86

 Cuadriláteros clasificación

88

 Diagonales y ángulos internos de un polígono

92

18


 Perímetro y área

96

 Circunferencia y Círculo  Definición, notación

109

 Elementos

110

 Ángulos en la circunferencia

113

 Área del círculo

115

 Perímetro

115

 Área de figuras circulares

117

II TRIGONOMETRÍA  Razones trigonométricas en el triangulo  Concepto de trigonometría

120

 Razón trigonométrica

120

 Relación trigonométrica

120

 Función trigonométrica de ángulos agudos

123

 Resolución de triángulos rectángulos

125

 Funciones trigonométricas  El circulo unitario

137

 Signo de las funciones

137

 Identificación de las funciones en el circulo unitario

137

 Funciones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud

140

 Graficación de funciones

147

 Solución de triangulo oblicuángulo

150

 Ley de senos

150

 Ley de cosenos

153

 Identidades trigonométricas  Identidades fundamentales

166

 Ángulo doble

168

 Ángulo mitad

169

 Demostración de identidades

171

19


 Ecuaciones trigonométricas  Concepto

174

 Procedimiento de solución

174

 Ecuaciones exponenciales  Concepto

177

 Procedimiento de solución

177

 Ecuaciones logarítmicas.  Concepto

178

 Procedimiento de solución

178

III APÉNDICE

185

IV BIBLIOGRAFÍA

191

20


1. GEOMETRÍA EUCLIDIANA Introducción a la geometría euclidiana. En cumplimiento con el objetivo de sistematizar los procedimientos empleados, para impartir la asignatura de GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA, se crea el siguiente material basado en una metodología contextual y aprendizaje de grupos cooperativos. El contenido del material resulta de la experiencia docente apegada totalmente a la planeación curricular y a las necesidades del estudiante.

Se inicia trabajando con la Geometría Euclidiana, desde su historia, recta, ángulos, triángulos, polígonos y circunferencia.

Posteriormente se trabaja con el estudio de la Trigonometría, sus relaciones, funciones, identidades trigonométricas,

Ecuaciones trigonométricas, Ecuaciones

exponenciales y Ecuaciones exponenciales en triángulos oblicuángulos.

El material contenido en esta obra, tiene bien jerarquizado el contenido de cada tema, bajo un enfoque contextual, buscando siempre que el aprendizaje se de en un proceso menos complejo y más natural, en donde el alumno va construyendo su propio conocimiento.

En este esquema, el aprendizaje ocurre cuando el estudiante procesa la información o el conocimiento, de tal manera que lo que aprende tiene sentido dentro de su marco de referencia y sea útil para su vida y su ingreso al nivel superior.

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Práctica: “La circunferencia formada por rectas” Desarrollo: 1. - Marca en una hoja cuadriculada un rectángulo de doce cuadrados de lado. 2. - Numera los puntos (como aparece en el dibujo) 3. - Une los puntos iguales (4 con 4, 1 con 1, etc.)

6

5

4

3

2

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

4. - ¿Qué figura obtuviste? _________________________________________________________________

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Antecedentes históricos de la geometría. Actividad de Apertura Lectura: La geometría se desarrolla al parecer, por lo que sabemos, debido a problemas eminentemente prácticos, que tuvieron algunas civilizaciones desde la antigüedad. Por ejemplo, han llegado hasta nosotros algunas tablillas de arcilla, de la antigua Babilonia, en las cuales aparecen problemas estrictamente matemáticos y en particular de geometría. Uno de ellos dice lo siguiente: “Un trapecio isósceles con bases 14 y 50 y de lados 30, tiene por área 768” ¿Podrías verificar si es correcto lo que se afirma en este problema? ¿Qué conocimientos geométricos necesitarías?

También en Egipto se resolvieron problemas geométricos que quedaron para la posteridad en sus papiros. En el papiro de Rhing aparece, repetidamente lo siguiente: “El área de un círculo es tomada como igual a la del cuadrado del 8/9 del diámetro”. Sin embargo, si tú obtienes el área de un círculo utilizas una constante llamada pí, representada por la letra griega  y que aproximadamente vale 3.1416, ahora, por la información que aparece en el papiro ¿qué valor le daban ellos a ?

Por otro lado, en oriente aparecieron civilizaciones que también se ocuparon de la Geometría, como China, con problemas análogos a los ya mencionados, pero en épocas posteriores a Babilonia y Egipto.

Damos un salto en el tiempo y nos ubicamos en el siglo VI a.c., en la ciudad griega de Mileto, situada en la costa del Asia Menor. Por primera vez en la matemática, así

23


como en otros campos, los hombres comienzan a hacerse preguntas fundamentales, como ¿por qué el diámetro de un círculo bisecta al círculo?. Se atribuye a Tales de Mileto, uno de los 7 sabios de Grecia el haber inventado la Geometría demostrativa , es decir, que las propiedades de triángulos, cuadriláteros, etc. no son entre sí independientes sino que guardan ciertas relaciones entre ellas, porque partiendo de unas cuentas, las demás se deducen de ellas. Por ejemplo, a Tales se le acreditan los siguientes resultados elementales: 1. Un círculo es bisectado por cualquier diámetro. 2. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. 3. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 4. Dos triángulos son congruentes si ellos tienen un lado igual, adyacente a ángulos respectivamente iguales. 5. El ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto. El valor de estos resultados, no está en los resultados mismos, sino en la creencia de que Tales los demostró por algún razonamiento lógico, en lugar de la intuición y la experimentación. Además, debe señalarse que la formulación de ellos es completamente general, no limitándose a casos particulares, como sucedía en Babilonia y Egipto. CONTENIDO FÁCTICO A TRATAR

Antecedentes históricos de la geometría. Actividad de desarrollo El docente entregará a los alumnos material bibliográfico, para que en equipo lean y sinteticen las aportaciones de los siguientes protagonistas:       

Tales de Mileto. Pitágoras de SamosEuclides de Alejandría. Arquímedes de Siracusa. Apolonio de Perga. Platón de Atenas. Hiparco. Ptolomeo de Alejandría.

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Actividad de cierre Subraya cuáles de los siguientes descubrimientos no fueron hechos por los griegos.    

Teorema de Tales. Para la semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras. Para conocer las dimensiones de un triángulo. Las propiedades de triángulos, cuadriláteros y círculos. Las características de los cuerpos platónicos o poliedros regulares.

Elaborar un mapa conceptual por equipo de las aportaciones que hicieron los griegos y expóngalo al grupo.

Contenido fáctico: Conceptos Básicos: Punto, Recta y Plano Situación Problemática: “El papel que enseña la geometría” En hoja blanca realiza los dobleces y las iluminaciones que se indican y observa que es lo que generas:   

Doblez hacia arriba Doblez hacia abajo Te lleva a

A.- Ilumina el borde de los dobleces.

¿Qué formaste sobre el doblez?

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B.- Ilumina el lugar por donde pasan todos los dobleces.

¿Qué logras observar en el lugar donde coinciden los dobleces? ¿Cómo lo generaste?

Los griegos abordaron el estudio de la Geometría con poco interés por sus aplicaciones. Les interesaba como tema, aquel en el que se podía aplicar fácilmente los principios de razonamiento lógico. Se preocuparon por definir términos, listar suposiciones básicas y organizar sistemáticamente las conclusiones basadas en aquellas definiciones. Los conceptos básicos en la Geometría Euclidiana son:   

Punto Recta Plano

Es muy común que usemos las palabras punto y recta; estos conceptos no están definidos sino que sólo se tiene la idea, por lo que trataremos de acercarnos a una definición de dichos términos. Punto: Un punto se representa gráficamente por la marca de la punta de un lápiz, un punto no tiene dimensión pero sí tiene posición, por esta razón no se menciona el tamaño del punto. La representación del punto se hace con una letra mayúscula. Ejemplo:

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Recta: Es una sucesión de puntos que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos. Ejemplo:

y como un estricto complemento a ello están los conceptos de: Plano: Un plano es una superficie, que se extiende indefinidamente. Por ejemplo un campo de foot –ball es un plano, la representación de planos se puede representar por medio de figuras geométricas.

Y como un estricto complemento a ello están los conceptos de: 

Superficie:

Se le conoce como la cara de los cuerpos que limita con el espacio. 27


Cuerpo físico:

Cuerpo geométrico: Objetos o cosas que nos rodean y que presentan formas y dimensiones como esfera, cono, prisma, cilindro, etc.

Espacio:

Todo lo que nos rodea, factible de ser ocupado por un cuerpo físico.

Semiplano:

Toda recta AB de un plano lo divide en dos regiones llamadas semiplanos.

Objetos o cosas que nos rodean y que presentan forma, color, peso, dureza, etc.

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Contenido fáctico:

Proposiciones verdaderas Actividad de desarrollo Materiales:

1 hoja blanca 1 lápiz

Procedimiento: 1.- El facilitador organizará equipos y pedirá a los integrantes de cada equipo que elaboren algunas proposiciones verdaderas. 2.- Cada equipo leerá sus proposiciones y determinará cuales de ellas se aceptan con mayor facilidad que otras. 3.- El facilitador concluye realizando la clasificación de cada una de ellas. Proposiciones matemáticas: Los Griegos abordaron el estudio de la Geometría con poco interés por sus aplicaciones. Les interesaba como tema en el que se podía aplicar fácilmente los principios de razonamiento lógico. Se preocuparon por definir términos, listar suposiciones básicas y organizar sistemáticamente las conclusiones basadas en aquellas definiciones.

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Actividad de cierre. La proposición matemática es el enunciado de una verdad.

Las proposiciones matemáticas como el postulado, axioma, teorema, etc., se utilizan para una mejor comprensión de la geometría euclidiana. Investiga en textos de geometría y/o diccionario la definición de las siguientes proposiciones: Postulado______________________________________________________________ Axioma________________________________________________________________ Teorema_______________________________________________________________ ______________________________ Corolario_______________________________________________________________ Teorema recíproco Lema_________________________________________________________________

A partir de estas definiciones, se pueden establecer los siguientes enunciados.

Ejemplo: “La distancia mas corta entre dos puntos es la recta”:

Postulado

El todo es igual a la suma de sus partes:

Axioma

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales:

Teorema

El polígono de menor número de lados es el triángulo:

Teorema

Un polígono de tres lados tiene tres ángulos:

Corolario

Un prisma triangular se puede descomponer en 3 tetraedros

Lema

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Equivalentes: 1. - Escribe cinco postulados (Si es necesario realiza un esquema):

2.-Escribe cinco axiomas:

3.- Escribe dos teoremas:

4. - Escribe dos teoremas recĂ­procos: ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 5- Escribe dos corolarios: ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

6. - Escribe dos lemas: ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 31


Demostración de diferentes teoremas. Actividad de apertura: El facilitador con anticipación motivará al alumno que investigue el porqué la cultura Babilónica eligió el número 360 como el número de grados en una rotación completaalrededor de un círculo. Socializaran la investigación por equipos, identificando las coincidencias y diferencias. El facilitador recuperará saberes de los alumnos y alumnas. Teoremas Teorema 1: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Actividad de desarrollo Material 1 hoja blanca tamaño carta. 1 transportador.

Procedimiento:

1.- En una hoja tamaño carta doblarla en tres partes iguales. 2.- Trazar una diagonal doblando la hoja que representará la transversal que corta a las dos líneas paralelas. 3.- Con el transportador medir cada uno de los ángulos formados y determinar que relación guardan entre ellos.

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Actividad de cierre Acude a la cancha de básquetbol y fíjate en las líneas que tienen pintadas la cancha abajo del tablero para delimitar el tiro libre , mide el ángulo ACB y proyecta una linea como se muestra en la figura. Para determinar la medida de los otros ángulos

Teorema 2: En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a 1800.

Material 1 hoja blanca tamaño carta 1 lápiz 1 regla o escuadra.

Procedimiento:

1.- Se traza un triángulo cualquiera y se corta. 2.- Se hace coincidir el vértice opuesto con la base mayor del triángulo. 3.- Los dos vértices restantes se hacen coincidir con el otro vértice en la base mayor. 4.- Cada equipo comentará al grupo su conclusión.

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Contenido fáctico a tratar: Sistema lógico y método deductivo Actividad de apertura. Lectura: Método deductivo. El avance del progreso de la humanidad como producto del saber científico, se da a través de descubrimientos que nos permiten pasar de lo conocido a lo desconocido por medio del análisis (inducción) y de la síntesis (deducción). El pensamiento analítico (inductivo) se manifiesta cuando a partir de hechos, experiencias u observaciones de casos particulares se llega a establecer una ley general. Por lo que se define como el proceso de encontrar una conclusión principio general, tomando como base la evidencia de casos específicos , es decir , va de lo particular a lo general. Como la inducción se basa en una suposición, su proceso no siempre conduce a resultados válidos, aunque sí es una valiosa herramienta para descubrir conclusiones posibles. El método inductivo se aplica preferentemente en las ciencias experimentales como la química, la física, la biología, etc

Actividad de desarrollo. Ejemplo: Observe las expresiones a ) 1  1  12

b) 1  3  4  2 2 c) 1  3  5  9  32 Se concluye la ley 1  3  5  ...   2n  1  n2 n impares consecutivos n  / N Si cada unidad representa por un cuadrado

Deducción El pensamiento sintético (deductivo) parte del establecimiento y aceptación de ciertos elementos que se consideran indispensables para construir una estructura o un sistema, a partir de esos elementos se deducen nuevas proposiciones que se incorporan y enriquecen al sistema. Euclides llamó a esos elementos nociones

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comunes, en virtud de que no existe la menor duda en cuanto a su significado. El método sintético va de lo general a lo particular y se utiliza en lógica,álgebra, geometría , y otras áreas de las matemáticas Ejemplo: a) Si se admite que la suma de los ángulos interiores es igual a 180°, se deduce que ;en un triángulo rectángulo sus ángulos agudos suman 90° b) Si se establece que 4 x  20  0 , se deduce que x  5

Modus ponen El razonamiento deductivo se usan mucho las proposiciones del tipo “ si entonces ...” donde la expresión que está precedida de “si” se conoce como hipótesis y a la que está precedida de “ entonces “ se llama conclusión. Una proposición de este tipo recibe el nombre de proposición condicional o implicación . Representando por p a la hipótesis o antecedente y por q a la conclusión o consecuente, la implicación se simboliza p  q .Ésta sólo es falsa cuando p es verdadera y q es falsa, como se puede demostrar con las herramientas de la lógica .En el razonamiento deductivo se hace huso de una regla de inferencia llamada ley de la separación modus ponens ( del latín ponere, afirmar). El esquema parte de una suposición del tipo si p entonces q ( p  q ) para deducir q en un caso particular. De la verdad de p q y la verdad de p se infiere la verdad de q, o sea, que el razonamiento consiste en la afirmación de la hipótesis. Esto se expresa en la forma:

pq p q Ejemplos: 1. premisas

Si Juan se va caminando, llegará tarde. Juan se va caminando. Conclusión: llegará tarde 2. Si los ángulos a y b son opuestos por el vértice, Entonces los ángulos a y b tienen la misma medida. Los ángulos a y b son opuestos por el vértice. Los ángulos a y b tienen la misma medida. 3. Si las rectas m y n son perpendiculares a una recta r. Las rectas m y n son paralelas. 35


Modus tollens Otro esquema de razonamiento consiste en negar la conclusión y se le conoce como modujs tollens (del latín tollere, negar). En este esquema negando el consecuente se puede negar el antecedente de la condicional. Esta forma se expresa así:

pq q

( q es falsa)

p

Ejemplos: 1. Si Pedro juega, el equipo gana. El equipo perdió. Pedro no jugó 2. Si obtengo el dinero, saldré de viaje. No salí de viaje. No obtuve el dinero. 3. Si un astro tiene luz propia entonces es una estrella. El astro no es una estrella. El astro no tiene luz propia.

Ley del silogismo Es frecuente que en la demostración geométrica se aplique varias veces la vley de separación o modus ponens, de manera que de la verdad de p q y q r si p es verdadera entonces:

pq p q Una vez conocida q se puede deducir r a partir de q r:: pr p r

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A esta cadena de razonamiento se le conoce como ley del silogismo. Ejemplos: 1. Si una figura es un triángulo equilátero entonces tiene sus lados congruentes. Si una figura es un triangulo isósceles entonces tiene dos lados congruentes.

Un triángulo equilátero también es isósceles. Esta afirmación es verdadera, mientras que su recíproca, un triángulo isósceles también es equilátero, es falsa. 2.

Si ABCD es un cuadrado entonces tiene sus lados congruentes. Si ABCD tiene sus lados congruentes entonces es un rombo.

Actividad de cierre En cada caso considere los hechos particulares para enunciar el principio general.  3 es un número primo mayor que 2 y es impar 5 es un número primo mayor que 2 y es impar. 7 es un número primo mayor que 2 y es impar 11 es un número primo mayor que 2 y es impar enuncie el principio general.  Haga la construcción geométrica que se indica y verifique si se cumple que: Al unir 2 puntos diferentes de una circunferencia, el círculo queda dividido 2  21 regiones. Al unir 3 puntos diferentes de una circunferencia, el círculo queda dividido 4  22 regiones. Al unir 4 puntos diferentes de una circunferencia, el círculo queda dividido 8  23 regiones. Al unir 5 puntos diferentes de una circunferencia, el círculo queda dividido 16  24 regiones.

en en en en

 Si llueve entonces llevaré el paraguas. No llevé el paraguas. 

Si el cuadrado de un número entero es un número impar entonces entonces el número entero es impar. El cuadrado del número es par.

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RECTA. Nomenclatura y notación de rectas

Práctica: Doblando una hoja de papel Material: 1 hoja blanca tamaño carta. 1 caja de colores Desarrollo: Toma una hoja de papel y observa las características de la misma, respecto a sus lados opuestos Responde en tu cuaderno las preguntas que se te formulan:

¿Cómo definirías una recta? ¿Cuáles son sus características? ¿Cómo son sus ángulos? ¿Cómo la podrías representar? ¿Cuántos vértices tiene? Realiza un doblez en tu hoja en forma arbitraria ¿Qué observas? Ahora realiza un segundo doblez, procurando que se corte con el anterior y marca con tu bolígrafo el punto de intersección de las rectas que se forman.

¿De cuántos ángulos es vértice este punto? De los ángulos que observaste, ¿cuáles son iguales y porqué? Discute con tus compañeros y comparen las respuestas con las de los demás equipos. 38


Línea. La línea se define como una sucesión infinita de puntos. Línea recta: es aquella que tiene sus puntos orientados en una misma dirección.

Clasificación de las rectas: a).- Recta geométrica: Es aquella que parte de un punto y se prolonga en dos sentidos opuestos indefinidamente.

b).- Semirrecta o rayo: Es aquella indefinidamente en un sentido.

Se denota AB que parte de un punto y se prolonga

Se denota c).- Segmento: A y el punto B.

AB

Es la parte de la recta que contiene como puntos extremos el punto

Se denota

AB

d).- Curva: Actualmente se considera que una línea curva puede ser abierta o cerrada, y tener algún trazo recto.

e).- Mixta: Está con rectas y curvas.

formada

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Propiedades de la recta: 

La distancia más corta entre dos puntos, es el segmento de recta que los une.

Por dos puntos pasa una recta y sólo una.

Por un punto pueden pasar infinidad de rectas.

Dos rectas no pueden tener más de un punto común.

Ejercicio: conceptos.

De la siguiente figura, subraya con diferentes colores los siguientes

De azul un segmento, de verde una recta, de rojo un rayo.

En cada intercepto de dos rectas asígnales un punto, y utiliza la notación con literales mostrada por el maestro.

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Operaciones con Segmentos. a).-Suma de segmentos: Para sumar segmentos, debemos colocar uno a continuación del otro en un sentido, y la suma serán los puntos extremos; por ejemplo: Ejemplo: Sumar: AB  BC  CD  AD A

B

A

B

B

C

C

D

C

D

A

D

b).-Resta de segmentos: Para restar los segmentos AC  AB se procede así: Sobre el segmento minuendo AC se sobrepone el segmento sustraendo AB , de tal manera que coincida A y A, y el segmento resultante, representa la diferencia. Restar: AC  AB  BC A A

C B B

C

c) - Multiplicación de un segmento por un número real: Ejemplo:

3  AB  3 AB

El producto del número 3 por el segmento MN :

3  MN  3MN A partir de un punto cualquiera de una recta, se divide o se anexa el segmento MN tantas veces como indica el número 3 en este caso, por el segmento que se va a multiplicar.

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Así: 3MN  AB M

N M

M A

N

N M

N B

d).-División de un segmento en un número de partes iguales.

Práctica: Por los extremos A y B de la recta dada, se trazan las líneas AX y BX paralelas entre sí, con ayuda de las escuadras y sin interesar el ángulo que formen con AB, ni su longitud. A continuación se abre el compás arbitrariamente y esta distancia se lleva N veces sobre ambas paralelas, partiendo de los extremos A y B. Enseguida, con auxilio de una escuadra, se unen puntos iguales(es decir, el punto 1 de la recta AX con el punto 1 de BX; el punto 2 de una con el 2 de la otra, etc). Estas líneas al cruzar AB, la dividen como se desea. Aplicando los conceptos estudiados con anterioridad, resuelve la siguiente actividad.

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“Caminos diferentes”

Paco, Lalo y Luis decidieron apostar quien llegaría primero a la escuela al día siguiente, si los tres salieron simultáneamente de sus casas para dirigirse a la escuela. Basándose en el diagrama siguiente, responde las preguntas que se formulan.

Quién ganó la apuesta? ¿Por qué ese resultado? ¿Cómo demostrarías matemáticamente quien fue el ganador? Ahora ¿qué recomendaciones les harías a los perdedores, para ganar la competencia, si se realizara otra vez?

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Posición de dos rectas en un plano 1.- Rectas Paralelas.- Son aquellas que se encuentra en el mismo plano y que por mas que se prolonguen no se intersectan. El símbolo de rectas paralelas es . 2.- Rectas Perpendiculares.- Se dice que una recta es perpendicular a otra o que las rectas son perpendiculares entre sí, cuando los ángulos que forman entre ellas son rectos. El símbolo es  . 3.- Rectas Oblicuas.- Dos rectas son oblicuas cuando al cortarse forman ángulos diferentes de 90.

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ÁNGULOS “Si eres adivinador, adivina”.

Hazme una figura –dijo Andrés a Pedro -;Esta debe tener sus lados como segmentos rectilíneos. Pedro piensa que hay muchas opciones para formar la figura. ¿Tú que crees? ¿Cómo cuántas te puedes imaginar?

¿Me puedes dar otra pista?- dice Pedro; ¡Claro¡ tiene cuatro lados. Así el número de figuras en estas condiciones se limita a cuatro lados rectos, sin embargo, Pedro piensa que las opciones todavía son muchas.

Dame otra pista, porque todavía no puedo adivinar dice Pedro. Bueno, sus ángulos opuestos son iguales.

Ahora hay menos opciones. ¿Pero serán suficientes los datos para saber cual es la figura que quiere Andrés? ¿Por donde empezarías? ¿Cuántas figuras existen? ¿Será acaso una? ¿Qué elementos utilizarías para trazar la figura? ¡Inténtalo! Comenta con tus compañeros y facilitador las diferentes formas que se utilizaron en el grupo para trazar las figuras y anota cuantas opciones surgieron.

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Definición, notación, clasificación y medida de ángulos. Ángulo: Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Se denota  AOB ó AOB Como se observa en la siguiente figura:

A

También puede denotarse por BOA o BOA Otra forma de denotar o nombrar un ángulo es poniendo dentro de sus aberturas un número, una letra mayúscula ó un símbolo griego:  1,  A,  

En tu cuaderno, copia los puntos siguientes y luego lee las preguntas realizando las actividades que se te sugieren: D A

C B E

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1.-Trazar la recta AB 2.-Trazar la recta CD 3.- ¿Se interceptan las rectas AB y CD ? 4.- Dibuja la recta AC 5.- ¿Se interceptan las rectas? Si es así cuál es el punto de intersección. 6.- ¿Cuáles son los lados del ángulo trazado? 7.- ¿Cuál es su notación? 8.- Ahora traza la recta BD

Para comprender los ángulos coloquemos sobre la mesa de trabajo dos lápices unidos en uno de sus extremos. Si giramos a uno de ellos manteniendo los extremos unidos ¿Cuántos ángulos diferentes se pueden formar?

Medidas de ángulos

Para obtener la medida de un ángulo se divide el círculo en 360 partes iguales (Grados), cada parte equivale a un grado. Así, un círculo completo representa un ángulo de 360° llamado Perígono, la mitad de ese círculo tiene 180°, el cuál se llama ángulo llano. Un cuarto del mencionado círculo tendrá un ángulo de 90° conocido como ángulo recto.

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Clasificación de los ángulos Los ángulos son nombrados de acuerdo a su abertura de la siguiente manera: a) Los menores de 90° se llaman agudos.

b) Los mayores de 90° y menores de 180° les llamamos obtusos.

c) Los mayores de 180° y menores de 360° se llaman entrantes.

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d). Los ángulos que tienen una abertura de 90º, se llaman rectos.

e). Los ángulos que tienen una abertura de 180º, se llaman llanos.

f). Ángulos complementarios: son aquellos que sumados nos dan 90º.

AOJ es complemento de JOB y son complementarios entre si

g). Complemento de un ángulo: es aquel que sumado con otro nos da 90º

53° es complemento de 37°

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h). Ángulos suplementarios, son aquellos que sumados nos dan 180º

AOJ es suplemento de JOB y son suplementarios entre sí

i). Suplemento de un ángulo: es aquel que sumado con otro nos da 180º.

143° es complemento de 37°

j). Ángulos adyacentes: son aquellos que tiene un lado común, y los otros dos forman parte de una misma recta.

J AOJ es adyacente a JOB AOJ = 114 

JOB = 66

B

O

A

k). Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos en que los lados de un ángulo son prolongación del otro ángulo; y son iguales entre sí.

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BEC = 127

C

B CEA = 53

DEB = 53

E

AED = 127

A

D DEB es opuesto a AEC BEC es opuesto a AED

l). Ángulos consecutivos: son aquellos que tienen un lado común.

B BAC = 129

C

A

DAB = 91

CAD = 140

D DAB es consecutivo de BAC BEC es consecutivo de AED CDA es consecutivo de DAB

NOTA: Se debe considerar que los ángulos se pueden generar en sentido contrario a las manecillas del reloj (que se considera +) o sentido de las manecillas del reloj (que se considera -).

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Ejemplos: 1.- Si  AOC es recto y  AOB y  BOC están en relación de 2:4. Hallar sus valores A B 2x 4x

C

O

AOB   BOC  90º 2 x  4x  90º 6 x  90º 90º x  15º 6 AOB  30º BOC  60º

2.- Si AOD  , DOC  5  y COB  2  , según la figura ángulo? D C

¿Cuánto mide cada

5X A

X

2X

B

O

AOD  DOC  COB  180  5  2  180 8 x  180 180  8   22.5  22 30

 AOD = 22°30’  DOC = 112°30’  COB = 45°

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3.- Hallar los complementos de los siguientes ángulos: a) 27º b) 42º 25′ c) 37º 12’ 15″

Las soluciones a dichos ejercicios son:

B a) X +27º = 90º X = 90º - 27º X = 63º

C X 27º 0

A

B

b) X +42º 25` = 90º X = 90º - 42º 25` X = 47º 35′ X

C

42º 25`

A

0

B c) X +37º 12`15’’ = 90º X = 90º - 37º 12`15`` X = 52º 47`45``

C X 37º 12`15`` O

A

4.- Hallar los suplementos de los siguientes ángulos. a) 75º b) 147º 25` c) 120º 30’ 42``

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Las soluciones son: B a) X +75º = 180º X = 180º - 75º X = 105º

X

75º

A

C 0

C b) X +147º 25` = 180º X = 180º - 147º 25` X = 32º 35` A

X

147º 25` 0

B

C c) X +120º 30`42’’ = 180º X = 180º -120 º 30`42`` X = 59º 29`18`` X

120º 30`42 ``

A

0

B

5.- Si  AOC = 3x y el  AOB = x ; hallar el valor de los ángulos de la figura. 3X

A X

C

O

B

D

 AOB + 3  AOB =  BOC 4  AOB = 180º 1800  450  AOB  4 . :  AOB = 45º  AOC = 135º

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6.- Si  AOB = 3X y  BOC = 8X; ver figura. ¿Cuánto vale cada ángulo? A

B

3X 5X O

C

D

 AOB +  BOD = 180º 3X + 5X = 180º 8X = 180º 180º X= = 22°30’ 8 . :  AOB = 67º30’  BOD = 112º30’  COD = 67º30’  AOC = 112º30’

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Reafirmación del aprendizaje: Contesta cada pregunta, y al terminar analiza tus respuestas con tus compañeros de tu grupo.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

¿Cuánto mide un ángulo entrante? ¿Cómo se llama al ángulo de 180°? ¿Cuál es el suplemento del  90°? ¿Cuál es el complemento del  20°? Si el suplemento del  A es 100° ¿Cuánto mide el  A? ¿Cuánto mide el ángulo Perígono? ¿Cómo se llama a cada una de las 360 partes en que se divide el círculo? ¿Cómo se llaman los ángulos menores de 90°? Si el complemento del  A mide 35° ¿Cuánto mide el ángulo A? ¿A cuantos grados equivale 3/6 de un círculo? ¿Son ángulos que tiene un lado común y los otros dos lados forman parte de una misma recta? 12) ¿Son ángulos en los cuales los lados de uno son prolongación de los lados del otro? 13) ¿Son ángulos que tienen un lado común? 14) Hallar el ángulo que es igual ala mitad de su suplemento. 15) Un ángulo y su complemento están en relación de 6:1 Hallar el valor de los ángulos. 16) Hallar los complementos de los siguientes ángulos a) 37º b) 17º 25` c) 62º 32`16`` 17) Hallar los suplementos de los siguientes ángulos. a) 20º b) 45º 17` c) 150º 32`19`` RESPUESTAS: 1. 2. 3. 4. 5.

Más de 180º y menos de 360º. Colineal o llano. 90º. 70º. A = 80 º

6. 360 º. 7. Grados. 8. Agudos. 9.  A = 55 º.

10.- 180º. 11.- Adyacentes. 12.- Opuestos por el vértice. 13.- Consecutivos. 14.- 60º. 1 6 15.- 77 ;. y.12 . 7 7 16.- a) 53º , b) 72 º 35` c) 27º 27`44”. 17.- a) 160º b) 134º 43` c) 29º 27` 41”

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Unidades de medición de ángulos

Medición de ángulos: Para medir ángulos se utiliza un instrumento llamado transportador, el cual representa una semicircunferencia, si sabemos que la circunferencia mide 360° entonces el transportador tendrá una medida de 180°. 90°

180°

La mayoría de los transportadores tienen una línea impresa en el lado recto, normalmente es una línea que cruza un orificio pequeño, o en su defecto alguna marca o punto medio. Observa esto en tu transportador. Para usar el transportador, primero se alinea un lado del ángulo con la línea recta, luego desplaza el transportador por el lado del ángulo hasta que la marca pequeña del punto medio coincida con el vértice del ángulo. Luego observa donde el segundo lado del ángulo cruza el borde del transportador y lee la medida de dicho ángulo. Observa el ejemplo:

90° 50°

Con tu transportador, mide cada uno de los ángulos mostrados a continuación, y escribe dentro de su abertura, la medida de cada uno.

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Trazo de ángulos Para trazar un ángulo debemos observar los siguientes pasos:    

Para trazar un ángulo de 70°, primero dibujamos una semirrecta que es uno de los lados del ángulo. Marcamos un punto en esta línea para representar el vértice. Hacemos una marca pequeña con el lápiz al lado del transportador que indica el ángulo de 70°. Tracemos una línea recta a partir de la marca de los 70° hasta el punto que representa el vértice del ángulo. Las semirrectas que hemos dibujado representan el ángulo de 70°.

Ahora en tu cuaderno, sigue el procedimiento descrito en el ejemplo anterior y dibuja ángulos que contenga las siguientes medidas:     

25° 75° 125° 80° 150°

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Para medir ángulos aparte del sistema sexagesimal que hemos expuesto en donde la circunferencia mide 360° (grados), y que cada grado a su vez tiene una medida de 60’ (minutos), y cada minuto consta de 60” (segundos); Existe otro sistema llamado circular en el cual la circunferencia tiene una medida de 2 radianes, en donde un radian es un ángulo cuyo vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, y cuyos lados contienen un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Ejemplo: Si el radio AB = 10 cm, entonces la longitud del arco AC = 10 cm por lo tanto la recta AB = arc AC, esto es un radián. C

B

A

Como hemos expuesto en este sistema la circunferencia tiene una medida de 2 radianes, entonces podemos hacer la siguiente comparación: 2 radianes = 360°

 radianes = 180°

por lo tanto:

y si  = 3.1416, tenemos que 2 radianes = 6.2832 Por lo que al dividir 360° entre 6.2832 obtenemos: es decir:

57.29

1Rad= 360°/6.2832 = 57.29°

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Este valor representa la medida de un radian expresado en grados sexagesimales. Construir la tabla de relación entre grados sexagesimal y circular. Sistema circular

Sistema sexagesimal

Sistema circular

Sistema sexagesimal

Conversión de sistemas de unidades de medidas de ángulos. Sea S un ángulo cualquiera medido en grados sexagesimales y R un ángulo cualquiera medido en radianes; así tenemos la siguiente relación: S R  0 360 2 rad .

S

R  3600 2 rad .

S  2 rad 3600

R

S   rad 1800

R

S

R  1800  rad.

Ejemplos: a).- Convertir 38º a rad. Sea S=38º

R = 38º  rad / 180º = 0.6632 rad

b).- Convertir 72º 15’ 40” a rad. Sea S=72º 15’ 40”

R = 72º 15’ 40”  rad. / 180º = 1.2612 rad

c).- Convertir 1.83 rad a grados sexagesimales. Sea R=1.83 rad

S = 1.83 rad 180º /  rad = 104º 51’ 04”

d).-Convertir 3/5 rad a grados sexagesimales Sea R=(3/5)rad

S = (3/5)rad 180º /  rad = 108º

60


Partiendo de la base que:  rad. = 180°, convierte las siguientes expresiones a radianes o viceversa. a).87°15’02”

R= 1.5228 rad.

f) /2 Rad

R= 90°

b) 175°30’07”

R= 3.0631 rad

g) 1.5 Rad

R= 85° 56´ 37”

c) 420°

R= 7.3304 rad

h) 3.2 Rad

R= 183° 20´ 47”

d) 30°

R= 0.5236 rad

i) 3/9  Rad

R = 60°

e) 250°50’10”

R = 4.3779 rad.

j) 0.7 Rad

R = 40° 06´ 25”

Contesta cada pregunta y al terminar analiza tus respuestas con las de tus compañeros. 

¿Cuánto mide un ángulo entrante?

¿Cómo se llama el ángulo de 180°?

¿Cuál es el suplemento del ángulo de 90°?

¿Cuál es el complemento de 20°?

Si el suplemento del ángulo A es 100° ¿Cuánto mide el ángulo A?

¿Cuánto mide el ángulo Perígono?

¿En cuántas partes llamadas grado se divide al círculo?

¿Cómo se llaman los ángulos menores de 90°?

Si el complemento de A mide 35° ¿Cuánto mide el ángulo A?

¿A cuántos grados equivale 3/6 de un círculo? Relación: 1º = 60 ‘

1‘ = 60 “

90 º = 89º 60‘

90º = 89º 59’ 60”

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Los símbolos para estas unidades son:

Grado (°), minuto (‘), y segundo ( “)

90°

180°

270°

Teoremas

Antecedentes:

a) Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales cada uno de 90º y su símbolo es  La notación es:

AB  CD

b) Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas no tienen ningún punto en común y su símbolo es ║ La notación es:

AB ║ CD

Dadas dos rectas paralelas cortadas por una secante, se genera la relación siguiente con sus ángulos:

Sea AB ║ CD las rectas paralelas y QQ´, la secante.

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Q 1

A

2

4 5 C

B

3 6

8

D

7

Q1

Como se puede observar en la figura anterior se generan 8 ángulos, 4 en cada punto de intersección, los cuales se relacionan de la siguiente forma: S

M

1

2 3

4 5

A

8

N

6

B

7

S’

Internos 3, 4, 5, 6 Externos 1, 2, 7, 8 Alternos Internos 3 y 5 ; 4 y 6 Alternos Externos 1 y 7 ; 2 y 8 Correspondientes 1 y 5, 4 y 8 ; 2 y 6 ; 3 y 7 Conjugados Internos Conjugados Externos

4 + 5 = 180° ; 2 + 6 = 180° 1 + 8 = 180° ; 2 + 7 = 180° 63


1.- Si AB

CD y QQ´, es secante y  M = 70º, encontrar el valor de los demás ángulos

I A

B

K

L L M

N

C

O

J

D

P

2.- Si AB II CD y MN  PQ y  PFB = 110°, hallar el  NGH. M

A

C

P

O

B

F

G

H N

D

Q

3.- Si MN II PQ, AB es secante, OL es bisectriz del  MOG y  MOL = 25º ¿Cuánto vale  BGQ? A O

M L

N

G

P

Q B

64


4.- De la figura. AB  MN y  AOC = 138°. ¿Cuánto vale el  NMC?

65


TRIANGULOS. ACTIVIDAD DE APERTURA.

Actividad previa para recordar algunas características del triángulo y su diversificación en nuestro contexto:

Problemas de iluminación, otra vez José el brujo, pero no el de los cuentos, porque ese se llama Pepito, quiere que le ayudes a formar ciertas figuras usando una lámpara incandescente (foco de los que usamos en la casa), cómo sugerirías a Pepe el brujo, para que con una lámpara y una hoja de cartoncillo forme las siguientes figuras:

Un punto. Una línea recta. Un cono. Un cilindro. Una circunferencia. Una elipse. Un cuadrilátero. Un triángulo.

Una vez que has logrado construir las figuras anteriores, explica lo que aprendiste a tu equipo y compartan con sus compañeros de grupo estas experiencias.

66


Otra vez Pepe el brujo y no Pepe el grillo, dijo que podría construir cualquier tipo de triángulos y Rene Cruz “el norteño” lo retó y le propuso que si era cierto le construyera los triángulos de manera que los lados dados en centímetros fueran de la siguiente forma:

1) 12, 14 y 18. 2) 12, 14 y 26. 3) 7, 9 y 16. 4) 6, 9 y 17. 5) 3,4 y 5. 6) 10,10 y 10. 7) 15, 15 y 18.

Verifica si lo que propuso el norteño, hace que Pepe el brujo cambie de parecer, te sugerimos que construyas los triángulos con tiras de papel de tu libreta haciendo que cada cuadro equivalga a un centímetro o mediante popotes.

Te proponemos también que una vez que haz construido los triángulos anteriores, ¿Qué nombre les darías a cada triángulo y porque?, por la forma que tienen estos ¿cómo los agruparías?

Una vez que has construido con los materiales antes mencionados las figuras, intercambia lo que aprendiste de esto con tus compañeros de equipo y hagan una presentación para todo el grupo permitiendo el intercambio de experiencias, reguladas por el facilitador.

67


Definición, notación y clasificación de triángulos

Definición de triángulo: Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos.

También se considera como el polígono más sencillo que consta de tres lados que forman entre sí tres ángulos y tres vértices.

C

La notación de un triángulo es:

 ABC A

B

Investigar: ¿cuál es la clasificación de los triángulos?

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ACTIVIDAD DE APERTURA

Para lograr hacer esta actividad te sugerimos que investigues en el medio que tengas a la mano (libros, Internet, biblioteca, etc.) los puntos y rectas notables del triángulo.

Materiales:

Hoja de papel tamaño carta y Colores.

Procedimiento:

Con una hoja de papel forma un cuadrado, dobla el cuadrado en sus diagonales, formando cuatro triángulos. Encuentra los puntos notables del triángulo, utilizando un triángulo para cada uno de ellos.

¿Cuál es tu conclusión? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _________________

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Rectas y puntos notables del triángulo

Armando tiene un jardín en forma de triángulo rectángulo y un perro el cual cuida la casa; Armando desea comprar una cadena que le permita al perro desplazarse por todo el jardín. ¿En qué parte del jardín debe fijar la cadena para comprar la menor cantidad? R = Circuncentro

Sí el triángulo del jardín no fuera rectángulo, ¿En donde colocaría Armando el amarre de la cadena?

R = Circuncentro

Escribe en que otros lugares aplicarías los razonamientos anteriores para resolver otros problemas parecidos.

Glosario de términos.

A continuación definiremos algunas rectas que pueden ser asociadas a diferentes figuras geométricas pero en este momento las asociaremos al triángulo.

Mediatríz: Es una línea recta que es perpendicular a un segmento en su punto medio.

Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices en un triángulo.

70


Mediana: Es el segmento de recta que parte de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo.

Baricentro: Punto de intersección de las tres medianas en un triángulo.

Altura: Es la perpendicular trazada desde el vértice al lado opuesto ó su prolongación.

Ortocentro: Punto donde concurren las alturas en un triángulo.

Bisectriz: Es un rayo que parte de un vértice a lado opuesto, dividiendo al ángulo en dos partes iguales.

Incentro: Punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.

En los siguientes tres triángulos, como quedarían trazados los ortocentros,

E

71


En los siguientes tres triángulos traza las medianas, y menciona el punto de intersección de ellas.

En los siguientes tres triángulos traza las mediatrices y nombra el punto de intersección de ellas.

En los siguientes tres triángulos traza las bisectrices y ubica el punto de intersección de ellas y determina la circunferencia.

72


Utilizando tu juego de geometría realiza los siguientes trazos:

De la actividad anterior realiza las anotaciones correspondientes, que te permitan determinar sus características, ubicaciones y además su similitud y diferencias. Puntos Notables

Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Obtusángulo

Ortocentro

Baricentro

Circuncentro

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Incetro

ACTIVIDAD DE APERTURA En una estación de bomberos están realizando los cálculos para determinar la longitud de una escalera telescópica considerando la altura del edificio más grande de esa ciudad, se recopilaron los siguientes datos: tiene 7 pisos, una altura de 2.5 metros por nivel, para esto te pedimos les ayudes a determinar las dimensiones para cada nivel sí el vehículo queda separado del edificio una distancia de 4 metros.

74


Demostración de Teoremas Demostración del teorema de Pitágoras

Práctica.

Material:

Cartulina de colores Tijeras Pegamento b b

b2

ab

a

ab/2

ab/2

b

c

a

a a²

c2

ab

a b a

b

Cuadro 1

ab/2

ab/2 a

b

Cuadro 2

Recortar en cartulina el cuadro 1 Divide los rectángulos “ab” a la mitad, mediante una diagonal. Pégalos en el cuadro 2. Como el cuadro 1 y 2 son congruentes se obtiene que a2+ b2 = c2

a

c

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b

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Del teorema anterior se deduce los siguientes corolarios.

1.- En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos c 2  a 2  b2

B

a

C

c

b

A

Sacando raíz cuadrada en ambos miembros. c  a2  b2

2.- En todo triángulo rectángulo cada cateto es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto. c2  a2  b2

Despejando a de a 2  c 2  b2 Se tiene que a  c 2  b 2 Despejando b de b2  c 2  a 2

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Se tiene que b  c 2  a 2

Aplicación de lo aprendido. Calcula el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo, considerando el valor de los catetos.

C a

a=? b=4 c=6

b A

c

B

R= 7.2

Un poste de 20 metros de altura esta sujetado de la parte superior con un cable, el cual està anclado a una distancia de 21 metros del pie del poste:

20m

x=?

21m

¿Cuántos metros de cable se utilizaran?

R= 29 m.

En el mago de oz película clasica de 1939, el espanta pajaros, al adquirir un cerebro dice los siguiente: La suma de la raíz cuadrada de cualquiera de los dos lados de un triángulo isóceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante. De un ejemplo que demuestre que este enunciado es incorrecto.

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ACTIVIDAD DE APERTURA

Elabora mensajes para describir alguna relación o comportamiento de cada triángulo, sí trazas líneas paralelas a uno de los lados:

Anota tus observaciones en el espacio dejado a proposito: __________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ____________________________________

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Teorema de Tales

El teorema de Tales afirma que todo sistema de paralelas divide a dos transversales en segmentos proporcionales.

Casos de semejanzas en triángulos.

Primer caso:

Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos del otro.

Analicemos los ángulos de los siguientes triángulos. A

A′ C  C′ G  G′

70º C

50º G

70º 70º C′

50º G′

Si medimos con el transportador los ángulos A y A′ obtenemos en cada caso 60º Por lo tanto :

Δ ACG

~

Δ A′C′G′

De lo anterior podemos deducir:

1.- Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

2.- Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen iguales un ángulo de la base.

79


3.- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen congruente un ángulo agudo.

Segundo caso:

Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de un triángulo son proporcionales a los lados de otro y los ángulos comprendidos entre ellos son iguales.

Ahora analicemos dos lados y el ángulo comprendido: G’

G

60° F’

E’

60° F

E Comparando los lados tenemos:

EF El F l

EG ElGl

Si medimos con transportador los ángulos F y F′, G y G′, comprobamos que son congruentes. 

F  F′ = 30º

G  G′ = 90º

Por lo tanto: Δ EFG

Δ E′F′G′

Deduciendo, podemos afirmar lo siguiente:

80


Dos triángulos rectángulos son semejantes si los catetos de uno de ellos son proporcionales a los del otro triàngulo. Tercer caso:

Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno de ellos son proporcionales a los lados del otro. La homólogos son las que se oponen a un mismo ángulo

Analicemos los lados de los siguientes triángulos M’ M 15

10

K

3

2

L

4

K′

L′

6

Comparando los lados proporcionales:

KL LM KM  ´ ´  ´ ´ ´ ´ K L LM KM Midiendo

con

el

porque transportador

los

4 2 10   6 3 15

ángulos

K y K1 ,

L y L1

M y M 1 comprobamos que son congruentes. ^ ^ ^ ^ ^ ^ K  K′ = 52º ; L  L′ = 90º ; M  M′ = 38º Por lo tanto: Δ K L M ~ Δ K′ L′M′

81


Problema No. 1.- El årbol mas frondoso del estado de Veracruz se encuentra en el jardin de la ciudad de San Andrès Tuxtla. Calcule su altura si proyecta una sombra de 28 m. en el momento que un poste de 6m de altura proyecta una sombra de 8m.

h 6 m

28 m

8m h= 21 m.

Problema No. 2.- Calcular la altura del edificio.

h 10 m 7m 42 m h= 60 m.

82


3.- La sombra de un poste es de 10m en el instante en que la sombra de una varilla de 2 m mide 5 m, colocados poste y varilla como se indican en la figura

Âż CuĂĄl sera la

altura del poste ?

Poste

Varilla de 2 m

h

5m

h=4m

10 m

4.- Calcula la anchura del rĂ­o, segĂşn la figura.

8m D A

28 m

C

15 m

E R = 52.5 m

83


Polígonos

Práctica: “Estimar visualmente áreas y perímetros”

Materiales:

1 Objetos (puertas, pizarrón, cuadernos, escritorio, etc.) 2 Cinta métrica 3 Rota folio 4 Plumones o marcadores

Procedimiento:

a) Formar equipos de (cinco) estudiantes b) Nombrar un coordinador c) Cada equipo elegirá su objeto d) El responsable preguntará a cada integrante cual es el área y perímetro estimado de él. e) Registrar los datos en el cuadro dado. f) Después el equipo utilizando una cinta métrica, mide sus lados para obtener perímetro y el área y compara los resultados

84


Cuadro de datos

Perímetro Estimado Real

Área Estimada Real

Observaciones

Objeto

Equipo

Promedio

85


Definición, notación y clasificación de polígonos.

¿Qué es un polígono? Polígono es la figura plana cerrada, limitada por rectas, llamadas líneas poligonales o contorno. La palabra polígono significa por sus raíces: Poli (muchos) y gonos (ángulos), es decir, figura de muchos lados.

Poligonal: son los segmentos que no pertenecen a una misma recta, ordenados de manera que los segmentos intermedios tengan un extremo en común.

Poligonal cerrada: es una poligonal en la que el extremo del último segmento y el origen del primero coinciden. Las figuras siguientes nos muestran algunos polígonos

86


Notación: Los polígonos se clasifican por el número de lados.

3 Lados.- Triángulo

4 Lados.- Cuadrilátero A partir de cinco lados se nombra con el número de lados en griego y el sufijo gono (lado). Ejemplo Pentágono.- Cinco lados Octágono.- Ocho lados Atendiendo al número de lados, los polígonos, se clasifican de la siguiente manera: Numero de Lados

Nombre

3

Triángulo

4

Cuadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octágono

9

Eneágono

10

Decágono

11

Undecágono

12

Dodecágono

15

Pentadecágono

20

Icoságono

87


Los polígonos de n lados se llaman por el nombre de la cantidad de lados, así, el polígono de 22 lados se llama “polígono de veintidós lados “. A éste tipo de polígonos se les conoce como polígonos regulares (triángulos equiláteros, cuadrados, pentágono, etc.), cuyas características son:

a. Tener lados y ángulos iguales. b. Ser una línea poligonal cerrada. c. La suma de los ángulos exteriores miden 4 rectos (360°).

Polígonos irregulares. Triángulos:

isósceles y escaleno.

Cuadriláteros: rectángulo, rombo, romboide, trapecio, trapezoide y cuadriláteros irregulares. Poligonales.- Figuras de más de cinco lados desiguales.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS ACTIVIDAD INTEGRADORA DE APERTURA. Observa en tu entorno las figuras de cuatro lados que se encuentran allí y haz un listado de ellos indicando porque son cuadriláteros, si estos tienen algún elemento más, haz tus anotaciones, coméntalas con tu equipo, hagan una presentación hacia el grupo comentando todas las características que encontraron en la identificación de estos. En equipo hagan un esquema o cuadro sinóptico de las características que nos permiten clasificar los cuadriláteros:

88


Dentro de lo que hiciste en el párrafo anterior llena la siguiente tabla: Nombre y figura

Características de los lados

Medida de los ángulos interiores y exteriores

Suma de ángulos interiores

Características de las diagonales

Lados paralelos

89


TEOREMAS Discute con tus compañeros ¿Cuánto da por resultado la suma de los ángulos internos de todo cuadrilátero? ______________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

¿Cuántas diagonales tienen todos los cuadriláteros? ______________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

¿Cuánto da por resultado la suma de los ángulos perigonales de todo cuadrilátero? ___________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Analiza con tus compañeros de equipo ¿Qué cuadriláteros tienen sus lados paralelos? anótalos en este espacio: ________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

En los paralelogramos ¿cómo son sus lados opuestos, los ángulos opuestos y los ángulos contiguos?: ___________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

90


Analiza con tus compañeros ¿en qué punto se cruzan las diagonales de todo paralelogramo?, escribe la conclusión del equipo en este espacio: _________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Analiza con tus compañeros de equipo ¿cómo son los ángulos contiguos de los lados no paralelos de los trapecios?: escribe la opinión en este espacio: ____________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Comenta con tus compañeros ¿cómo son ángulos internos contiguos a una misma base y las diagonales en todo trapecio isósceles?, escribe en este espacio la conclusión: ____________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Realiza una presentación en equipo de estas últimas conclusiones mediante un mapa contextual y menciona la importancia que tienen estos conceptos para el desarrollo de actividades laborales, en caso de que no sepas que contestar pregunta a algún arquitecto, persona que se dedique a la construcción, pailero, etc.

91


Diagonales y ángulos internos de un polígono. Diagonal de un polígono es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. Observa los siguientes polígonos

d=0

d=1

d=2

d=5

Número de Diagonales: El número de diagonales ( d ) que pueden trazarse desde un vértice es igual al número de lados ( n ) del polígono, menos tres. d=n-3 Total de Diagonales en Polígono: Si ( n ) es el número de lados del polígono, el número total de diagonales ( D ), que puede trazarse desde todos los vértices del polígono, esta dada por la fórmula:

D=

nn  3 nd  2 2

92


Calcula el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de los siguientes polígonos: a. Desde un mismo vértice b. Totales. Polígono

No. Diagonales mismo, vértice(d)

Totales (D)

1. decágono 2.Heptágono 3.Hexágono 4.Dodecágono 5.Eneágono

Ángulos internos de un polígono Los ángulos internos de un polígono son los formados por dos lados consecutivos de este. A

B  = DEF ángulo interior

F

C

 E

 D

93


Veamos cuántos grados miden la suma de los ángulos internos de cualquier polígono regular.

Observa la siguiente tabla. Lados 3 4 5 6 7 . . . n

Grados 180º 360º 540º 720º ? . . . ?

¿Encontraste que para 7 lados el valor es 900º?

¿Podemos obtener un modelo para un polígono de n lados?, Si restas dos al número de lados la tabla quedaría... Lados (n) 3 4 5 6 7 . . . N

n-2 1 2 3 4 5 . . . n-2

Grados 180 360 540 720 900 . . . ?

Formula (180)(1) (180)(2) (180)(3) (180)(4) (180)(5) . . . (180)(n-2)

Desarrolla los siguientes ejercicios 1.- Determina el valor de la suma de los ángulos internos de un decágono. Datos

Fórmula

Sustitución y Resultados

n =10

n-2=8

180(8)=1440º

180(n-2)= Suma de los ángulos internos 94


2.- Determina el valor de la suma de los ángulos internos de un dodecágono Datos

Formula

N = 12

n-2 = 10

Sustitución y Resultados 180º (10)=1800º

180º (n-2) = Suma de los ángulos internos

Actividades complementarias de aprendizaje:

Realiza los siguientes ejercicios en equipos de 3 personas.

1).- Al medir el perímetro de una figura realizamos la____________________ de los _________________ 2).- ¿Cuál será el perímetro de la cancha de básquet-bool de tu plantel? ______________ . 3).- Obtén el área y el perímetro de tu salón de clases ___________________ . 4).- ¿De qué otra manera se le conoce al área? ________________________ 5).- ¿Calcula el área y el perímetro de los siguientes polígonos?

6

10

18

18 60

8

20

120 76

95


PERÍMETROS Y ÁREAS. Perímetro.- para todas las figuras es igual a la suma de la longitud de cada uno de sus lados. Área: Es la medida de la superficie del polígono. Apotema de un polígono segmentado de recta que une el punto medio de un lado de un polígono regular: inscrito en el centro de la circunferencia. Área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de la apotema por el perímetro.

A

a p apotema perímetro  2 2

Área del Triángulo.-

A=

bh basealtura   2 2

Área del Romboide.-

A=

Área del Trapecio.-

A=

Área del Trapezoide.-

se obtiene la longitud de su diagonal y se aplica la fórmula de

Eje mayor Eje menor  Dd  2 2

B  bh  Base 2

mayor  base menor altura  2

Heron:

A  ss  a s  bs  c  Donde a, b y c son los lados del triángulo formado y “s” es el semiperímetro, s=

a  b  c  2

Haciendo lo mismo para el resto de los triángulos formados. El área para los polígonos con mayor número de lados, se procede trazando las diagonales de éste desde uno de sus vértices y se le calcula el área a cada uno de los triángulos así formados mediante la formula de Heron antes descrita y el área total

96


resulta de la suma de las áreas de todos y cada uno de los triángulos que forman el polígono. Ejemplo para la triangulación de un polígono.

Cálculo de áreas y perímetros EJEMPLO: Si deseamos cercar un terreno como el que se muestra en la siguiente figura. ¿qué mediciones se harán para saber su perímetro? Terreno L3

80 m

34 m L2

L4 72 m

L1 75 m Definición. Perímetro: Es la suma de las longitudes de los lados. Modelo P = L1 + L2 +L3...+ Ln Sustitución P = 75 m + 34 m +80 m + 72 m = 261 m Para calcular el perímetro debemos medir la distancia alrededor de la figura dada.

97


Es importante señalar que las medidas del perímetro se expresan en unidades lineales. Ejercicio: ¿Cuál es el perímetro de una recámara que tiene la forma de un rectángulo? Si sus medidas son 3 metros por 4 metros. 4m

3m

Modelo: Perímetro = L1 + L2 + L3 + L4 SUSTITUCIÓN Perímetro = 4 m + 3 m + 4 m + 3 m = 14 m También podemos calcular el perímetro de la siguiente forma: Notaras que los lados opuestos del rectángulo tienen la misma longitud, aplicando la multiplicación simplificará el cálculo. Ejemplo:

Ancho (a)

Largo (L) Perímetro = (Largo + Largo) + (ancho + ancho) Ejercicio ¿Cuál es el perímetro de tu recámara si tiene forma rectangular y sus medidas son; 3.5m y 4.5m ?

98


Es decir P = 2 (Largo) + 2 (ancho) Una forma más simple es aplicando la factorización Perímetro = 2 (Largo + ancho) Lo cual escrito en forma algebraica P = 2 (L + a)

SUPERFICIE O ÁREA PRÁCTICA. MATERIAL: Una hoja de planta del jardín. Una hoja de papel. Procedimiento: Mediante el proceso llamado fotosíntesis, las plantas absorben luz a través de sus hojas y la utilizan para descomponer las moléculas de agua en hidrógeno y oxígeno. El oxígeno es liberado la atmósfera y el hidrógeno se combina con bióxido de carbono de la atmósfera para producir el azúcar que alimentará a la planta. Es claro que la habilidad de la planta para producir su alimento depende de la superficie de sus hojas. Para determinar la superficie de la hoja ilumine verticalmente una hoja sostenida horizontalmente, trace y mida la sombra subdividiéndola en figuras geométricas. Para tener un modelo geométrico que pueda ser similar y le permita calcular el área con bastante aproximación, dibuje un cuadrado alrededor de la sombra proyectada. (Si corta la hoja del árbol y la “calca”, no manche la hoja de papel). Observe que la figura en forma de “cometa” cubre aproximadamente la misma superficie que la hoja real. 1.- Determine que porción del cuadrado está cubierta por la hoja. Explique como lo pudo determinar.

99


2.- Si conoce la altura h, ¿cómo podría calcular la superficie de la hoja?. Explique que fórmula de área de figura geométrica podría utilizar para calcular el área. 3.- En la figura la hoja es simétrica, encuentre y dibuje una hoja no simétrica donde su fórmula funcione. Indique de qué hoja se trata. 4.- Use la fórmula de su respuesta 2 para hacer una tabla con alturas y áreas de 7 hojas de Picus. Haga la gráfica. Cuando se trabaja con figuras planas que pueden ser regulares e irregulares, con frecuencia se necesita conocer que superficie contiene dicha figura, aquí trabajaras en (dos dimensiones).

Ahora analizaremos figuras regulares. Ejemplo: a) Suponga que se desea saber cuanto mide la cubierta de un escritorio.

Ancho 65 cm

Largo

120 cm

Para calcular la superficie o área multiplicamos el largo por el ancho. Fórmula: A  (b)(h)  ( l )( a ) Sustitución: Superficie = (120 cm) ( 65 cm) = 7800 cm2 = 0.78 m2

Donde 1 m2 = 10 000 cm2

Es importante señalar que las medidas de superficie se expresan en unidades cuadráticas.

100


Ejemplo: b).- Calcula la superficie de un terreno cuya figura se muestra a continuación.

h =16 m

Fórmula:

18 m

32 m Superficie = (Base) (altura)

Sustitución S = (32 m ) (16 m) = 512 m2

Ejercicios:

a).- Calcular la superficie del terreno de una escuela cuya forma y dimensiones son las siguientes.

27 m

42 m h = 25 m

47 m

Expresa el resultado en pies cuadrados Fórmula: superficie =

basealtura  2

Sustitución:

101


S =

47m25m  1175m2 2

2

 587.50 m2

Aplicando la regla de tres, tenemos que un pie2  0.0929 m2

587.50m 1 pie   6324 pie 2

S =

2

0.0929m

2

2

b).- Calcula la superficie de un jardín de forma trapezoidal cuyas dimensiones son las siguientes: b 2= 2 m

2m

h=2 m

2.5 m

B1= 4.5 m

Fórmula: superficie =

Sustitución: S =

Base1  base2 altura  2

=

B1  b2 h  2

4.5m  2m2m  6.5 m2 m  13m2 2

2

2

 6.50 m2

Cálculo de áreas y perímetros. Para un triángulo equilátero: A=

bh 2

y

P = l 1+ l 2+ l 3

A=

40 cm 34.64 cm   1385.6cm 2 2

2

 692.80 cm 2

h =34.64 cm b = 40 cm

P = 40cm + 40cm + 40cm = 120 cm.

102


Para un triángulo isósceles: 36 m

36 m h = 29.93 m

A=

40 m29.93 m  1197.20 m 2

40 m 2

2

 598. 60 m2

P = 36 m + 36 m + 40 m = 112 m. Para un triángulo obtusángulo:

C a =60 m b = 30 m

A

c = 38 m

B

P= 60 m + 30 m + 38 m = 128 m s (semiperímetro) s=

p 128m   64m 2 2

Fórmula de Heron de Alejandría A= ss  a s  bs  c  = 6464  6064  3064  38  475.71m 2 Ejemplos: Hallar el área y perímetro de la siguiente figura: 75 m Fórmulas: 75 m

P = 4(L) A= Lx L P = 4 ( 75m ) = 300 m A = 75m ( 75m ) = 5625 m2

103


Para un rombo:

Fórmulas: P = 4(L) ab A= 2

37 m b = 65 m

P = 4 (37 m) = 148 m

a = 40 m A=

65m40m = 1300 m2 2

37 m

Nota: a = eje menor y b = eje mayor Para un pentágono regular:

apotema = 25 m

Fórmulas: P = n(L) A=

pa 2

P = 5 (30m) = 150 m

30 m

A = (150m)(25m) = 3750 M2 = 1875 m2 2 2

104


Polígonos irregulares 6).- Calcular el área y el perímetro del siguiente polígono irregular.

20 m 25 m 30 m

65 m

28 m

27 m

34 m 32 m

Calculemos primeramente el perímetro; Perímetro = La suma de la Longitud de cada uno de sus lados; ¿obtuviste 261 m? En caso contrario revisa tus cálculos. Calculemos ahora el área, para ello formemos 6 triángulos como se indica en la figura y obtengamos el área de cada uno de ellos, después sumamos todas éstas áreas y así obtenemos el área del polígono. Semiperímetros de los triángulos. s1 =

65m  32m  95m  96m

2 95m  111m  25m  115.5m s2 = 2

Diagonales. d1 = 95 m d2 = 111 m

105


s3 =

111m  107m  20m  119m

d3 = 107 m

2 107m  85m  30m  111m s4 = 2 85m  60m  28m  86.5m s5 = 2  60m  34m  27m s6 =  60.5m 2

d4 = 85 m d5 = 60 m

Para obtener las áreas usamos la siguiente fórmula de Erón: A  ss  a s  bs  c 

T2

T3 T4

d1

d2

d3

T1

T5 d4 T6

Area T1 =

9696  6596  9596  32  436.42m 2

Area T2 =

115.5115.5  95115.5  111115.5  25  981.97m 2

Area T3 = 119119  111119  107119  20  1063.47m 2 Area T4 =

111111  107111  85111  30  966.99m 2

Area T5 =

86.586.5  8586.5  6086.5  28  448.49m 2

Area T6 =

60.560.5  6060.5  3460.5  27  163.87m 2

106


Area total = 436.42 m2+981.97 m2+1063.47 m2+966.99 m2+448.49 m2+163.87 m2 = 4061.21 m2 ¿Podrías verificar los resultados utilizando otro método?. ¿Los ángulos internos de este polígono suman? 7).- Con base en lo aprendido en este tema, diseña ejercicios para que tus compañeros de otros equipos los resuelvan.

Problemas a realizar: Polígonos, Áreas y Perímetros. 1. Se tiene un sembradío de un cafetal y tiene una forma de paralelogramo ¿Cómo será el área del terreno, si el lado base mide 800 m y la línea imaginaria de su altura es de 400 m ? R = 320000 m2. 2. ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo, cuya longitud es cinco veces mayor, que su ancho y tiene un área igual a 80 m2 ? R =L = 20 m, a = 4 m. 3. El pasillo de la casa de Luis tiene 1.20 m de anchura y bordea un jardín de 10 m de largo por 6 m de ancho ¿Cuál es el área del pasillo? R = 38.4 m2. 4. En un plano ¿ Cuál es el lugar geométrico del vértice de un triángulo si su área y su base son constantes? R = los puntos medios de sus bases.

107


5. Sea el polígono OPLMN. Como se muestra en la figura. Sus dimensiones de los lados y diagonales son:

O

P

OP  55m PL  38m

A2

A1

LM  42m

N

MN  35m ON  49m

A3

OL  70m LN  75m

L

M Utilizando el modelo matemático de Heron De Alejandría. ¿Calcular su área total del polígono? R = 3027.99 m2. Diagonales y ángulos de Polígonos. 6. Completa la Tabla de acuerdo a los conceptos:

Polígono

Suma de s , interiores

Suma de s , exteriores

Diagonales de un solo vértice

Diagonales totales

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Octágono

108


Circunferencia y círculo

Acarreando agua. Luis y Pedro, vecinos de la misma cuadra en una ciudad, recibieron la tarea de regar los jardines de sus casas acarreando agua de una fuente cercana, cuando realizaban la tarea, Luis con sus cubos de agua en la mano empezó a girar su cuerpo y Pedro observa sorprendido, vio pues que el cubo de agua marcaba en el aire, una figura geométrica conocida, y que el cubo señalaba puntos también en el aire. Cuando Luis se mantenía girando: a) ¿Qué figura descubrió Pedro, cuando Luis giraba con el cubo?. b) ¿Qué papel desempeña el brazo de Luis en la acción?. c) ¿Cómo se podría definir la figura? d) ¿Qué otras cosas pudo haber observado Pedro?.

Notación y elementos de la circunferencia y del círculo. Definición. Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro.

r

r

r

109


CĂ­rculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y los interiores a la misma.

Circulo Elementos de una circunferencia

H

K

C

P

A

L

G

O

J

E

B

F

D a) AB: Cuerda b) CD: DiĂĄmetro c) OJ: Radio d) EF: Secante e) GH: Tangente, donde P es el punto de tangencia. f)

KL: Recta exterior

g) AB: Arco.

110


Definiciones:

a) Cuerda.- Es el segmento determinado por dos puntos de la circunferencia AB

b) Diámetro.- Es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia CD

c) Radio.- Es un segmento OJ que parte del centro hacia cualquier punto de la circunferencia.

-Posición de una recta en la circunferencia-

d) Secante.- Es toda recta que tiene dos puntos en común con la circunferencia EF. e) Tangente.- Se dice que una recta es tangente, cuando solamente tiene un punto (P) común con la circunferencia GH; Al punto se le llama punto de tangencia. f) Recta exterior.- Es toda recta que no tiene ningún punto en común con la circunferencia KL . g) Arco.- Es toda porción de circunferencia AB.

Figuras del círculo. a) Segmento circular.- Es la parte del círculo limitada entre una cuerda y su arco (figura a).

b) Sector circular.- Es la parte del círculo limitada por dos radios y el arco comprendido ( figura b).

111


c) Corona circular.- Es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas (figura c).

d) Trapecio circular.- Es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios (figura d).

e)

Fig. a “ segmento circular”

Fig. b “sector circular”

Fig. c “corona circular”

Fig. d “ trapecio circular”

112


Ángulos en la circunferencia. Angulo central: Tiene su vértice en el centro de la circunferencia. El ángulo central es igual a la medida de su arco correspondiente, medido este en grados. A AOB = B

O

Si

AB

AB = 60º Cual será el valor del AOB

AOB = AB = 60º

Angulo inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes. La medida de todo ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. ABC = AC 2

A

C

Si AC = 100º hallar el ABC ABC = 100º 2

B

ABC = 50º Angulo interior: Es el ángulo cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia, la medida del ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos comprendidos por sus lados y sus prolongaciones. D

C

B E

A A

ABC = ED + AC 2 Si ED = 40º y AC = 80º hallar el  ABC ABC = 40º + 80º = 120º = 60º 2 2

113


Angulo exterior: Es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia. La medida del ángulo exterior es igual a la semi diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados.

ACE 

AE  BD 2

A B

Si AE = 80º y BD = 40º hallar el  ACE

C D E

 ACE = 80º - 40º = 40º = 20º 2 2

1.- Si el AOC = 50º, hallar el ángulo inscrito  ABC. A

C R =  ABC =25°

oo

B 2.- Si el arco MN = 86º y el arco PQ = 43º encontrar el ángulo  POQ.

M P

R =  POQ = 21° 30’

O Q N

3.-Si el arco AB = 20º y el arco CD = 60º hallar el ángulo  COD.

A

B

C O

R =  COD = 40°

D

114


4.- Si el BOC = 120º hallar el  BAC

B R =  BAC = 60° A

O

C

C

ÁREA Y PERÍMETRO DEL CÍRCULO. Por lo que se concluye que el área de un círculo es aproximadamente las ¾ partes del cuadrado circunscrito.

Retomando los datos de la tabla anterior anexa dos columnas para obtener el radio y su valor elevado al cuadrado. P =  D = 2 r

 D2 A= = r2 4 Tabla de valores 1 OBJETOS

2 3 CIRCUNFERENCIA DIAMETRO

4 π

5 RADIO

6 R2

115


Si efectuamos el producto de la columna 4ª. Y 6ª. Obtendremos un valor ¿a este valor cómo le llamaremos?

1. - El estudiante tendrá que ocupar su regla para realizar los trazos de los elementos que se mencionaran posteriormente.

2. - Enseguida le daremos los nombres de los elementos que conforman la circunferencia. 

Radio

Diámetro

Cuerda

Tangente

Secante

3. - Dibuja una circunferencia y traza cada uno de los elementos anteriormente mencionados.

4. - Menciona que diferencia hay entre una circunferencia y un círculo.

5. - Nombra las rectas notables de una circunferencia.

6. - ¿Qué diferencias hay entre la tangente y el diámetro?

7. - ¿Qué es un arco de circunferencia?

8. - Define el trapecio circular.

9. - ¿A qué llamamos segmento circular?

116


ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES Experimento 1

Trae objetos circulares de diferentes tamaños, por ejemplo: tres tapas de frascos, pulseras, platos, vasos, etc. 

Un metro de cordel

Regla para medir

Calculadora

Toma un objeto, escribe su nombre en la tabla, y con el cordel rodea su contorno, y sin soltar los extremos mide la longitud con la regla, anotando el dato en la columna correspondiente. Tabla de registro de datos Objetos

Circunferencia

Diámetro

Circunferencia Diámetro

Posteriormente con el mismo cordel medirás la distancia más larga que posee el círculo, y sin soltar los extremos mide la longitud con la regla, anotando el dato en la columna correspondiente.

Experimento 2: 

3 Cordeles de diferentes medidas de 3cm, 6cm. , y 8cm.

Chinches, alfiler, clavo, pluma, lápiz

Regla

Hojas tamaño carta.

117


Anota los datos en la siguiente tabla Tabla de registro de datos OBJETOS

CIRCUNFERENCIA

DIAMETRO

CIRCUNFERENCIA DIAMETRO

Por último tendrás que dividir la distancia obtenida alrededor del círculo entre la distancia obtenida del diámetro y anótala en la columna correspondiente.

Repite los pasos anteriores con los demás objetos. “¿Qué observaste con este experimento?, ¿A qué conclusión llegaste?

Observaste que la razón de la circunferencia entre el diámetro es un valor alrededor de 3.1 aproximadamente, dicha constante se denomina  .

Ejemplo: E

D

B

4cm.

C

4 cm. O

A

Si observas la figura anterior, encontrarás un cuadrado inscrito en un círculo y otro cuadrado circunscrito al mismo.

118


La medida del radio del círculo es 4cm, calcula el área del cuadrado inscrito además calcula el área del triángulo COA tendremos: (BASE) (ALTURA) FORMULA:

ÁREA DEL TRIANGULO = 2

Sustituyendo los valores. bh A=

= 2

16cm2

(4cm)(4cm)

= 8cm2

= 2

2

Como el cuadrado esta formado por cuatro triángulos iguales tendremos que el área del cuadrado inscrito es 8X4=32 cm2, ahora bien, el área del cuadrado circunscrito es 64cm2, ya que el diámetro es igual a dos radios es decir 8 cm. El área del triángulo COD = Area del triángulo CDE (8cm2).

Si observas el área sombreada te darás cuenta que es aproximadamente la mitad del área del triángulo CDE es decir 4cm2, como observarás hay otras tres secciones similares, por lo que el área de las cuatro secciones es 16cm 2, los que sumado al área del cuadrado inscrito (32cm 2) nos daría un valor aproximado a la superficie del círculo 16cm2 + 32cm2 = 48cm2.

119


TRIGONOMETRÍA. Razones trigonométricas en el triangulo. Concepto de trigonometría, razón y relación trigonométrica. La trigonometría tiene sus inicios desde antes de la era cristiana; surgió por la necesidad de los agricultores y astrónomos para poder utilizar las propiedades de los triángulos semejantes, ya que no podían medir ciertas distancias directamente, por esta razón, la palabra trigonometría significa etimológicamente, trigo = triángulo, metros = medida; esto es medición de triángulos. Actualmente, los científicos la usan como herramienta básica para las áreas, de electricidad, ondas sonoras y de radio, en astronomía, topografía, entre otras, donde no se pueden tener mediciones directas. ACTIVIDAD. “Medición Indirecta” Se desea medir el ancho de la plaza cívica de tu escuela, de manera indirecta para, lo cual se trabajara en equipo. MATERIAL. Cinta métrica. Cuaderno Lápiz Calculadora Tres estacas Escuadra INSTRUCCIONES. 1) Coloca una estaca en una de las esquinas de la plaza cívica, que se llamará punto A. 2) A partir del punto A, a su derecha localiza un punto B a una longitud de 10 m., y coloca una estaca.

3) Traza una línea perpendicular al segmento AB en el punto B, fuera de la plaza cívica de 1.5 m. de longitud y coloca una estaca en el punto final que será C. 4) Situándose en el punto C observa la esquina del lado izquierdo de A que llamaremos E y mide la distancia de C al punto donde cruce esta línea el segmento al segmento AB, que llamamos D. 5) Calcula la distancia de A a E. Una vez calculado verifícalo midiendo la distancia de A a E. C 120


D

A

B

E

Alma Gloria, César, José y Gerardo miden las longitudes de las sombras que proyectan varios objetos verticales sobre un piso horizontal, tomando las medidas a la misma hora y están representadas por los siguientes esquemas:

Ym

Ym

. A 30 m

10 m figura “A”

figura “B”

Regla 1m A

A 1.4 m. 18 m figura “C”

figura “D”

121


Por cuestiones practicas consideramos que los rayos solares son paralelos y por consiguiente el ángulo A de cada una de las figuras es el mismo; de acuerdo a postulado “si los ángulos de un triángulo son iguales a los dos ángulos de otro triángulo, los triángulos son semejantes”, por lo tanto podemos representarlos por medio de las siguientes proporciones.

1 Y  1.4 10

1 Y  1.4 30

1 Y  1.4 18

figura “A”

figura “B”

figura “D”

Aunque las longitudes de los catetos difieren en todos los casos, sin embargo están en la misma razón 1:1.4, si se tomaran las medidas de un quinto objeto y de su sombra a la misma hora que se tomaron las anteriores se obtendrá la misma razón. El numero 1/1.4 es una función trigonométrica que recibe el nombre de tangente. Observando las figuras anteriores podemos decir que la tangente es la razón que existe entre el cateto opuesto y el adyacente en base que corresponden a la altura y a la sombra respectivamente y que los rayos del sol representan la hipotenusa en el triángulo, considerando el ángulo A en el piso. Actividad: Material: 1 hoja tamaño carta. 1 transportador. 1 regla. Procedimiento: 1. Tome la hoja tamaño carta, doble una esquina de manera que se forme un triángulo rectángulo de tamaño apropiado. 2. Medir con el transportador los ángulos agudos y anotar la medida en el ángulo correspondiente. Asígnale una letra (mayúscula) a cada uno de ellos. 3.

Medir cada uno de los lados y anotar su longitud en el lado correspondiente.

4.

Identificar la hipotenusa así como los catetos respectivos.

5. Tomando como referencia uno de los ángulos agudos, identifica cuál es su cateto opuesto y el adyacente a ese ángulo. 6. Realiza la misma operación con el otro ángulo agudo y observa si se guarda la misma relación en ambos casos.

122


Función trigonométrica La tangente no es la única función trigonométrica, también existen otras funciones que se pueden obtener a partir del triángulo que construiste en la actividad anterior. seno A  sen A 

cateto opuesto hipotenusa

cos eno A  cos A 

cateto adyacente hipotenusa

tan gente A  tan A 

cateto opuesto cateto adyacente

cot angente A  cot A 

A b c

cateto adyacente cateto opuesto B

sec ante A  sec A 

hipotenusa cateto adyacente

cos ecante A  csc A 

C

a

hipotenusa cateto opuesto

Observa que las ultimas tres funciones trigonométricas guardan una relación con las primeras tres, esto es: c. o c. o c. a tan A  sen A  cos A  c. a hip hip

csc A 

hip c. o

sec A 

hip c. a

cot A 

c. a c. o

Por lo anterior, podemos decir que ambas funciones son recíprocas. Esta característica la podemos ocupar para respondernos ¿por qué en nuestra calculadora solo hay las funciones sen, cos y tan?, ¿y como calcularías los valores de cot, sec y csc.?

123


Ejercicios. 1. En base al ejemplo resuelto (1er triángulo), encuentra las funciones trigonométricas del ángulo señalado en los otros triángulos

B

M

c =3

P

a=? o =1

A

C b=2

n=3

N

r =?

q=5

O m=?

Q

R p=3

a  b2  c 2 a  22  32 a  49 a  13

3

sen C =

13 2

cos C =

13 tan C =

csc C =

3 2

13 3

13 2 2 cotC = 3

sec C =

124


Resolución de Triángulos rectángulos: Un triángulo consta de seis elementos: 3 lados y 3 ángulos, y queda bien determinado si de los 6 elementos se conocen 3 de ellos, de los cuales al menos uno debe ser un lado. Resolver un Triángulo rectángulo consiste en calcular los elementos faltantes cuando se conocen 3 de ellos. Dados tres elementos (uno de los cuales es el ángulo recto) de un triángulo rectángulo, da origen a 4 casos: Caso I..Caso II..Caso III..Caso IV.-

Dados los dos catetos. Dados un cateto, la hipotenusa. Dados un cateto, un ángulo agudo. Dados la hipotenusa, un ángulo agudo.

Ejemplos: (Caso I ).- Resolver el Triángulo rectángulo de la figura que tiene como datos dos catetos y el ángulo recto: Datos.

Encontrar: B

c =8 m

A

b = 9m. c = 8m A = 90º a =?

b=9m

a) a =? b) B = ? c) C = ? d) Perímetro = ? e) Área = ?

C Solución: a).- Para calcular la hipotenusa usaremos el teorema de Pitágoras:

a2  b2  c 2  a  b2 c 2

Extraemos raíz cuadrada a ambos miembros de la Igualdad

a  92 82  81 64  145  12.04m. b) Para calcular el ángulo B (B), se usa la función tangente ya que se conocen los catetos. tan B 

b 9   1.125 c 8

B  tan1(1.125)

  B = 48º 21’ 59’’

125


c).- Para encontrar el ángulo C (C), determinamos que:  B +  C = 90º

  C = 90º   B

 C = 90º  48º 21’ 59’’

es decir que:  C = 41º 38′ 01″

d) Perímetro = a + b + c = 12.04 + 9 + 8 = 29.04m

e).- Ärea 

b h 8 m9 m   36 m2 2 2

(Caso II ) .- Resolver el Triángulo rectángulo de la figura que tiene como datos un cateto, la hipotenusa y el ángulo recto:

B Datos:

Encontrar:

a = 12 cm b = 7 cm A = 90º

a) c = ? b) B = ? c) C =? d) Perímetro = ? e) Área = ?

a

C

c

b

A

Solución: a).- Para calcular el cateto “c” se usa el teorema de Pitágoras. a 2  b2  c 2

de donde

Sustituyendo tenemos:

c 2  a 2 - b2

c  a2 b2

c  12 2 7 2  144  49  95  9.75cm

b).- Para calcular el ángulo B (B), se usa la función seno ya que se conoce el cateto opuesto e hipotenusa.

126


b 7   0.583 a 12  B  sen 1 ( 0.583 ) sen B 

 B  35 41 7 c).- Para calcular el ángulo C (C) usamos el ángulo complementario.  B +  C = 90º

  C = 90º   B

 C = 90º  35º 41’ 7’’  C = 54º 18’ 53’’

d) Perímetro = a + b + c = 12 cm + 7 cm + 9.75 cm = 28.75 cm. e).- Área 

b  h 7 cm  9.75 cm   34.13 cm 2 2 2

Área = 34.13 cm2

(Caso III )- Resolver el Triángulo rectángulo de la figura que tiene como datos un cateto y su ángulo agudo adyacente: C Datos:

Encontrar:

c = 15km B = 25º 12’ 45’’ A = 90º

a) C = ? b) a = ? c) b = ? d) Perímetro = ? e) Área = ?

a

b

B

A c

Solución: a).- Dado que el ángulo A (A) es recto, los ángulos B y C son complementarios. Por lo anterior podemos calcular el ángulo C (C), ya que conocemos el valor del ángulo B (B).  B +  C = 90º Sustituyendo:

Despejando  C tenemos que:  C = 90º  25º 12’ 45’’

 C = 90º   B

  C = 64º 47’ 15’’

b).- Para calcular la hipotenusa se usa la función coseno ya que conocemos el ángulo B (B) y el cateto adyacente.

127


cos B 

c a

Sustituyendo

Despejando “a”

a

tenemos que:

15 15  cos 25 12 45 0.9047

a

c cos B

 a = 16.58 km

c).- Para calcular el cateto “b” se usa la función tangente ya que se conoce el ángulo B (B) y el cateto adyacente.

b Despejando “b” c Sustituyendo b = 15(tan 25º 12’ 45’’) tan B 

tenemos que: b = 15(0.4708)

b = c (tan B)  b = 7.06km.

d).- Perímetro = a + b + c = 16.58 km + 7.06 km + 15 km = 38.64 km

Área 

b  h 15 km  7.06 km   52.95 km 2 2 2

Ärea = 52.95 km2

(Caso IV )-Resolver el Triángulo rectángulo de la figura que tiene como datos la hipotenusa, un ángulo agudo y el ángulo recto. Datos: a = 25m B = 68º 17’ A = 90º

a B

Solución:

c

C

Encontrar:

b

a) C = ? b) b =? c) c =? d) Perímetro = ? e)Área = ?

A

a).- Dado que el ángulo A (A) es recto, los ángulos B y C son complementarios. Por lo anterior podemos calcular el ángulo C (C) ya que conocemos el valor del ángulo B (B).  B +  C = 90º Sustituyendo:

Despejando  C tenemos que:  C = 90º  68º 17’

 C = 90º   B   C = 21º 43’

b).- Para calcular al cateto “b” se usa la función seno dado que conocemos hipotenusa y el ángulo B (B). 128


b despejando “b” a sustituyendo b = 25(sen 68º 17’) sen B 

tenemos que:

b = a sen B

b = 25 (0.9290)

 b = 23.23 m.

c).- Para calcular el cateto “c” usamos la función coseno dado que conocemos la hipotenusa y el ángulo B (B).

c despejando “c” a sustituyendo c = 25(cos68º 17’) cos B 

c  a cos B

tenemos que: c = 25 (0.3700)

 c = 9.25 m.

d).- Perímetro = a + b + c = 25 m + 23.23 m + 9.25 m = 57.48m

b  h 9.25 m  23.23 m   107. 44 m 2 2 2 Ejemplos. Á

Área = 107.44 m2

Problema 1.- A un albañil le han pedido que construya una escalera de 18 m. ¿Qué ángulo debe formar con el piso, si tiene que alcanzar una altura de 8m.?. Lo primero que debe hacer es un dibujo donde se represente la situación planteada en el problema.

18m. 8m.

Como el piso y la altura forman un ángulo de 90° se tiene un triángulo rectángulo en el cual se conoce la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo que se requiere encontrar, por lo tanto es necesario usar la función seno:

sen  

8m. 18m.

8   18 

  sen 1 

  26 23  16″ por lo tanto el ángulo que debe formar la escalera con el piso es de 2623  16″

129


Problema 2.- En el verano el sol sale a las 5:00 Hrs. y se oculta a las 20:00 Hrs. En un instante del día un poste de 12′ (pies) de altura proyectó una sombra de 8 pies al oeste. ¿A qué hora se hizo la medida de la sombra? N

12

O

E

8 S

Estrategia de solución: Determinando el ángulo del rayo solar, ya que conocemos la altura del poste y la sombra que proyecta:

c.o. 12 ; tan   ; c.a. 8   56 18 36 tan  

tan   1.5 ;

  tan 1 1.5 ;

Para calcular la hora en que se realizo la medida de la sombra estableceremos la siguiente proporción:

Si en 15 Hrs. el sol se desplaza desde que sale hasta que se pone. En el instante del evento los rayos solares forman con el piso un ángulo de 56° 18 35 la hora que se quiere conocer es: Duración N

O 180°

180º

0° E S 130


180° 56° 18 36

x

15 Hrs. x

15Hrs 56 18| 35||  180

x = 4.69 Hrs.

Haciendo una reflexión de que: sí sumamos las 4.69 Hrs. a las 5:00 Hrs. de que salió el sol, la hora en que ocurrió el evento fue a las 9.69 Hrs. Problema 3.- Se requiere calcular el ángulo de inclinación y la fuerza resultante, sabiendo que F1 = 60 Newton ( N ), se encuentra a 30° y F2 = 70 Newton ( N ) a 125° como se muestra en la figura. Solución: Para resolver el problema es necesario hacer la representación gráfica en un plano cartesiano. Y 70 N F2 Fy 125°

60 N F1 Fy

55° 30° -X

Fx

Fx

X

-Y

131


De acuerdo al diagrama se pueden descomponer dichas fuerzas en sus componentes vertical (Fy) y horizontal (Fx). Ahora calculemos Fx y Fy auxiliándonos de las siguientes figuras: F1 = 60 N Fy Fy

30°

F2 = 70 N

Fx 55° Fx Para las fuerzas en “Y” queda: Fy  sen 30 F1

Fy

Fy  F1 sen 30

Fy  F2 sen 125

sustituyen do

" F1 "

Fy  60 N  sen30

F2

tenemos

 sen 125

sustituyen do

" F2 " tenemos

Fy  70 N  sen 125

Fy  60 N 0.5

Fy  70 N 0.8191

Fy  30 N

Fy  57.34 N

Para las fuerzas en “X” queda:

Fx  cos 30 F1

Fx  cos 125 F2

Fx  F1 cos 30

Fx  F2 cos 125

sustituyen do

" F1 "

Fx  60 N  cos 30

tenemos

sustituyen do

" F2 " tenemos

Fx  70 N  cos 125

Fx  60 N 0.866 

Fx  70 N  0.5735

Fx  51.96 N

Fx  40.15 N

Realizando la suma de las componentes Fx y Fy obtenemos: Fx = [51.96 +( – 40.15) ] N. Fx = 11.81 N.

Fy = (30 + 57.34) N. Fy = 87.34 N.

132


Representando en el sistema de coordenadas, los valores obtenidos de F x y Fy podemos encontrar la resultante como se muestra a continuación:

Fy

87.34N

Y

R

 x 11.81N Fx Siendo la hipotenusa el valor de la resultante y para saber este, aplicaremos el teorema de Pitágoras.

Entonces, nos queda representar el teorema por la ecuación: c2  a2  b2

Siendo: a = el cateto Fx b = el cateto Fy y c = la hipotenusa o la resultante R

c  a2  b2

R  Fx  Fy 2

R

2

11.81 N2  87.34 N2

R  7767.75 N 2

133


R = 88.13 N Para la dirección o ángulo aplicamos:

tan  

cateto opuesto cateto adyacente

tan 

Fy

tan 

87.34 N 11.81 N

Fx

tan  7.3954

  tan 1 7.3954   82° 17 57 Ejercicios. Resolver los siguientes triángulos rectángulos. Los catetos y la hipotenusa representan unidades de longitud, encuentre los elementos que faltan de cada uno de ellos. 1.-

b = 60 R

2.-

c = 18 B =

a= a = 25

R 3.-

B =

b = 36 R

4.-

c=

a=

b=

b = 100

5.R 6.R

c= a= a = 150 c=

b=

 = 90º

C = Ĉ = 82º 15`

a=

 = 90º

C = B = 12º 17`

c = 45 R

C = b = 12

c=

 = 90º

 = 90º

B = Ĉ = 46º 38`10`` B = B = 58º 25`40``

 = 90º

 = 90º

C =

134


7. Determine la altura desde el piso hasta el caballete del techo de una bodega de dos aguas, que se muestra en la siguiente figura:

22°

2.4m

22°

16m 12m

R = 4.82 m

8. Un cable tensor de una torre de comunicaciones de 60 m de altura se sujeta desde el piso mediante una ménsula hasta un punto a 1.25 m antes del punto más alto de la torre, el cable forma un ángulo de 75° donde está la ménsula (entre el piso y el cable). Calcular la longitud del cable.

60m

1.25 m

75 °

135


9.- Una escalera está apoyada contra la pared de un edificio y su base se encuentra a una distancia de 12 m del edificio. ¿A que altura está el extremo superior de la escalera y cuál es la longitud, si el ángulo que forma con el suelo es de 70°? Respuesta:

5plg

10plg

10. En una cementera se requiere remplazar una banda transportadora para lo cual debe ser calculada la longitud total de dicha banda, si sabemos que la distancia entre centros es de 72 pulgadas y los diámetros de las poleas son de 5 y 10 pulgadas respectivamente.

72plg

R= 11. Un avión deja caer una caja de alimentos desde una altura de 2200m y alcanza una distancia horizontal de 1870 m. Calcula el ángulo que forma entre el avión y el punto final donde ha caído la caja , y b) la longitud de la línea que uniría esos dos puntos. Observe la figura.

Solución: θ= R=

θ

R h = 2200 m x = 1870 m

136


FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Circulo unitario Las funciones trigonometricas de un angulo son razones que se pueden representar por medio de segmentos de recta si se escoge una unidad de longitud tal que el denominador de todas las razones sea la unidad. Esto se puede conseguir con el circulo trigonometrico, en el cual el radio es la unidad de longitud r  1 B

S

P Q

T

W a

O

M

A

b

Sean Aa y Bb dos rectangulares Xx, Yy.

diametros

perpendiculares

coincidentes

con

los

ejes

Sea AOP un angulo W cualquiera generado por la rotacion del radio alrededor del centro, siendo OA la posicion inicial y OP la posicion terminal, se trazan PM perpendicular a AO y PQ perpendicular a OB. En esta figura MOP tiene como hipotenusa a OP  r  1 .

sen w 

PM PM   PM OP 1

137


cos w 

OM OM   OM OP 1

En A Se Traza AT perpendicular al radio OA, hasta encontrarse con la prolongacion de OP.

PM AT AT    AT OM OA 1 OP OT OT sec w     OT OM OA 1 tan w 

para obtener la cot W y la csc W , se traza BS perpendicular a OB en B y hasta encontrarse con la prolongacion de OP. El angulo BOS es complementario del angulo W, entonces la tangente del angulo BOS es igual a la cotangente del angulo W y la secante del angulo BOS es igual a la cosecante del angulo W.

tan BOS 

PQ BS BS    BS , entonces cot W  BS OQ OB 1

sec BOS 

OP OS OS    OS , entonces csc W  OS OQ OB 1

asi todas las funciones del angulo W quedan representadas por segmentos de recta. sen w  PM , perpendicular bajada del punto terminal del arco al diametro Aa. cos w  OM , distancia del centro al pie del seno. tan w  AT , perpendicular en A al diametro Aa, hasta encontrarse con la prolongacion del radio que pasa por el punto P. cot W  BS , perpendicular en B al diametro Bb, hasta encontrarse con la prolongacion del radio que pasa por el punto P. sec w  OT , distancia del centro a la extremidad de la tangente AT. csc W  OS , distancia del centro a la extremidad de la cotangente BS.

Apoyandote en los trazos de la figura anterior y con base en las bases teoricas investigadas, demuestra y determina la posicion de cada una de las funciones señaladas.

138


Funcion trigonometrica

numero del cuadrante

sen w  PM sen w   PM sen w   PM cos w  OM cos w  OM cos w  OM tan w  AT tan w   AT tan w   AT cot W  BS cot W   BS cot W   BS sec w  OT sec w  OT sec w  OT csc W  OS csc W  OS csc W  OS

______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________

cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante. cuadrante.

Si en el circulo trigonometrico consideramos un punto P que se mueve a partir de A, sobre toda la circunferencia en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces el angulo AOP (w) varia de 0º hasta 360º y en las funciones trigonometricas se observa el siguiente comportamiento. Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

varia de 1 a -1, con valores absoluto entre 0 y 1. varia de -1 a 1, con valores absoluto entre 0 y 1. varia de +∞ a -∞, con valores entre +∞ a -∞. varia de +∞ a -∞, con valores entre +∞ a -∞. varia de +∞ a -∞, con valores entre +∞ a 1 y de -1 a -∞. varia de +∞ a -∞, con valores entre +∞ a 1 y de -1 a -∞.

139


Funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud referida al cuadrante a un sistema coordenado cartesiano o rectangular. Antecedentes: Para poder deducir las expresiones que nos llevan a obtener los modelos para expresar las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, en un sistema de coordenadas rectangulares; necesariamente tendremos que hablar primero de los siguientes conceptos relacionados con las coordenadas rectangulares. Sistema de ejes coordenados: Sean dos rectas dirigidas, perpendicularmente entre si, situadas en el plano, que se corta en el punto “O “. A una de las rectas se le designa como eje “X ” y a la otra como eje “ Y ”. El eje “X “usualmente horizontal, tiene sentido positivo hacia la derecha; el eje “ Y “ se traza entonces verticalmente con sentido positivo hacia arriba. Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes como se muestra en la figura. y +

+

II Cuadrante

I Cuadrante

(-) x´

+

(-)

O

+

III Cuadrante

x

IV Cuadrante

(-)

(-) y´

Coordenadas de un punto. Los números sobre el eje de las X X′ miden la distancia, en magnitudes, del origen a los puntos que se encuentran sobre dicho eje, que recibe el nombre de “eje de las abscisas“. Los números sobre el eje de las Y Y′ miden la distancia, en magnitudes, del origen a los puntos que se encuentran sobre dicho eje, que recibe el nombre de “eje de las ordenadas“.

140


Determinados en un plano de sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponden dos números reales (una abscisa y una ordenada) que llamamos coordenadas de un punto. Ejemplo: Localizar los siguientes puntos en el plano: A ( 3, 2 ); B ( -1, 3 ); C ( - 2, -4 ); D ( -3, 1 )

Y 4 B

3 2

D

A

1

X′

X 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2 -3 C

-4 Y′

ACTIVIDAD. Calcular las funciones trigonométricas para cualquier ángulo entre 0º y 360º, usando un sistema de coordenadas cartesianas. Material.  Escuadras  Transportador  Compás.

141


Procedimiento: a.

Traza en tu hoja los ejes coordenados cada uno en la mitad de la hoja.

b.

Traza una circunferencia de radio 10 cm, con centro en el origen.

c. Con el eje "x" positivo como inicio mide con tu transportador un ángulo de 60° y marca el punto correspondiente sobre la circunferencia (A). Calcula el valor del seno del ángulo, midiendo el cateto opuesto; verifica el resultado con la calculadora. d. Ahora mide un ángulo de 120° marca el punto correspondiente sobre la circunferencia (B. Calcula el valor del coseno del ángulo y verifica el resultado con la calculadora. e. Mide un ángulo de 225° y marca el punto correspondiente sobre la circunferencia (C) y calcula el valor de la tangente del ángulo y verifica el resultado con tu calculadora. f. Mide un ángulo de 45° y marca el punto correspondiente sobre la circunferencia (D) y calcula el valor de la secante del ángulo, verifica el resultado con tu calculadora. g. Ahora escoge seis ángulos más y calcula las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante a cada uno de ellos. Después de haber realizado la actividad anterior describe la ecuaciones o relaciones que usaste para encontrar las funciones trigonométricas considerando los ejes de coordenadas.

Sen A =

cos A =

tan A =

Cot A =

sec A =

csc A =

Esperando que tu desarrollo sea semejante a las relaciones que representan las funciones para ángulos de cualquier magnitud. y

d y A

x

x

142


Con respecto a los elementos de la grafica anterior las funciones trigonométricas para cualquier ángulo quedan de la siguiente manera.

sen A 

ordenada y  dis tan cia al origen d

cot A 

abscisa x  ordenada y

cos A 

abscisa x  dis tan cia al origen d

sec A 

dis tan cia al origen d  abscisa x

tan A 

ordenada y  abscisa x

csc A 

dis tan cia al origen d  ordenada y

Valores exactos de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º. Para calcular el valor exacto de estos ángulos, procederemos a dibujar un triángulo equilátero como se muestra en la figura. Si cada ángulo de este triángulo mide 60º y considerando el lado de 2 unidades, la altura de este triángulo será de 3 .

30º 30º 2

2

30º 2

3

60º 1

3

60º

60º

1

1

143


Funciones del ángulo de 30º

sen 30º 

1 2

Funciones del ángulo de 60º

3 2 1 cos 60º  2 3 tan 60º   3 1 1 3 cot 60º   3 3 2 sec 60º   2 1 2 2 3 csc 60º   3 3 sen 60º 

3 2 1 3 tan 30º   3 3

cos 30º 

3  3 1 2 2 3 sec 30º   3 3 2 csc 30º   2 1 cot 30º 

En la figura se muestra un triángulo rectángulo isósceles.

45 º

2

45º 1

1

sen 45º 

1 2  2 2

cos 45º 

1 2  2 2

1 tan 45º   1 1 1 cot 45º   1 1 2 sec 45º   2 1 2 csc 30º   2 1

144


Con los valores de los ángulos notables podemos realizar operaciones diversas: Ejemplo: 1 2 1 2 a).sen 30º  sen 45º    2 2 2 Efectuar los siguientes ejercicios a)

tan 30º + cos 30º =

b)

cos 45º + sen 60º =

c)

cot 45º + tan 45º =

d)

sec 30º + csc 60º =

e)

cot 30º - sen 45º =

f)

-2sen 45º cos 45º =

g)

3cos 30º tan 45º =

h)

sen 30º  cos 30º

i)

cot 30º  tan 60º

j)

cot 30º tan 60º  tan 30º cot 60º

k)

sec 30º csc 45º  cot 45º tan 30º

145


FUNCIONES DE ÁNGULOS CUADRANTALES O SEA 0º , 90º ,180º , 270º, 360º.

a).-

Cálculo de las funciones del ángulo de 0º.

Cuando A = 0º es evidente que el lado terminal d cae a lo largo del lado inicial x, que se coloca horizontalmente (coincidiendo con el eje x y el cateto y = 0 luego el punto es P ( 1, 0 ); como se muestra en la figura. y

y 0  0 d 1 x 1 cos 0º    1 d 1 y 0 tan 0º    0 x 1 x 1 cot 0º     y 0 d 1 sec 0º    1 x 1 d 1 csc 0º     y 0 sen 0º 

1 x’

O

x P( 1 , 0 )

x=1 y=0 d=1 y’

Calcula las funciones de los ángulos de 90º, 180º, 270º y 360º, con los siguientes datos. Ángulo 90º 180º 270º 360º

Punto P( 0 , 1 ) P( -1, 0) P( 0 , -1 ) P( 1 , 0 )

x 0 -1 0 1

y 1 0 -1 0

d 1 1 1 1

Con los resultados obtenidos de cada ángulo, regístralos en la siguiente tabla: Ángulo 0º 90º 180º 270º 360º

sen 0

cos 1 0

tan 0

cot ±∞ 0

sec 1

Csc ±∞

0 0

0

0

146


GRAFICACIĂ“N DE FUNCIONES. Los siguientes graficos muestran las funciones triginometricas. sen x

cos x

tan x

147


cot x

sec x

csc x

148


Todos los graficos en un solo plano se aprecian de la siguiente manera. y y y y y y

= = = = = =

sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x)

¿Podrías generar los graficos antes planteados para: sen 2x, cos 2x y tan 2x así como cot x/2, sec x/2 y csc x/2, haciendo uso de tu calculadora, computadora o a mano?, ¿Si? Adelante, hazlo.

149


RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS. Un triángulo es oblicuángulo, cuando no presenta un ángulo recto; si tiene sus ángulos agudos, se denomina triángulo acutángulo; pero si tiene un ángulo obtuso, entonces se trata de un triángulo oblicuángulo. Resolver un triángulo, significa determinar todos sus elementos, es decir: sus tres ángulos interiores, la longitud de sus tres lados y sus áreas. Los casos que trataremos en la resolución son: 1. 2. 3. 4.

Conocer un lado y los ángulos adyacentes. Conocer dos lados y el ángulo comprendido. Conocer los tres lados. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

LEY DE SENOS: los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Matemáticamente se expresa: Para obtener el modelo que establece la ley de los senos consideraremos el triángulo acutángulo ABC, en donde “h” es la altura del triángulo que divide al primero en dos triángulos rectángulos ADC y CDB. C

E

a

b

h h D

a B

A

B D

c

150


Del triángulo ABC se obtienen los triángulos ADC y CDB como se muestra a continuación:

C

b

C

h

A

h

a

D

D

sen A 

h b

B

sen B 

h a

Despejando “h” en ambas expresiones:

h  b sen A

h  a sen B

Igualando tenemos:

Si

b sen A  a sen B

Quedando:

es decir:

a sen B  b sen A

a b  sen A sen B

151


Para obtener el modelo que establece la ley de los senos consideraremos el triángulo acutángulo ABC, en donde el segmento “BE” es la altura del triángulo que divide al primero en dos triángulos rectángulos AEB y CEB.

C

E

E

BE

a

BE

A

B c B

sen A 

BE c

sen C 

BE a

Despejando “ BE ” en ambas expresiones:

BE  c sen A

BE  a sen C

Igualando tenemos: Si

c sen A  a sen C

Quedando:

es decir:

a sen C  c sen A

a c  sen A sen C

Se concluye que el modelo que establece la ley de los senos es:

a b c   sen A sen B sen C

152


Es conveniente conocer la ley de los cosenos por lo tanto la describimos a continuación. LEY DE LOS COSENOS: En todo triángulo no rectángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de dichos lados, por el coseno del ángulo que forman. Matemáticamente se expresa para cada uno de los lados de la siguiente manera.

C

b

a h

A

B x

c-x

c Aplicando el Teorema de Pitágoras en ambos triángulos se obtiene “h2 “:

b2  h 2  x 2

a2  h 2   c - x

Despejando h2

Despejando h2

h b - x 2

2

2

Cuadro I

2

h2  a 2 -  c - x

cos A 

2

Cuadro II

x b

Despejando x x  b cos A

Cuadro III

153


Igualando “h2” del cuadro I y cuadro II se obtiene:

h2  h2 b2 - x 2  a 2 - ( c - x )2 b 2 - x 2  a 2 - ( c 2 - 2c x  x 2 ) b 2 - x 2  a 2 - c 2  2c x - x 2 a 2 - c 2  2cx  b 2 a 2  b 2  c 2 - 2cx si x  b cos A ( según cuadro III ) a 2  b 2  c 2 - 2cb cos A

De forma similar se determina el valor de los otros lados, quedando de la siguiente manera:

a 2  b2  c2  2bcCos A b2  a 2  c2  2acCos B

c2  a 2  b2  2abCos C

154


Ejemplos donde se aplican las leyes antes descritas: Ejemplo 1: En un pasador de apoyo se aplica una fuerza F de 35 lbs. Y una fuerza G de 60 lbs., ¿Qué ángulo debe de formar “F” con “G” de modo que F+ G = 80 lbs, ¡Qué ángulo forma F + G con G.

F = 35 lbs. F +G

G = 60 lbs.

F

1

G

Aplicando la ley de los cósenos

F 2  G2  F  G

cos 180     cos1 

cos1 

352  602  80

2

2 FG 2

23560

cos1 

1225  3600  6400 4200

cos1 

 1575 4200

cos1  0.375

1  112 1′ 28″ siendo 1  112o 1′ 28″

entonces   68o 58 ′ 32″

Con los datos anteriores podemos determinar el ángulo  aplicando la ley de los senos.

155


sen  sen 112o 1 28" Despejando  35 80 Efectuando las operaciones resulta:

sen  

35 0.9270 80

sen  

  23.9270o

sen  

32.4458  0.4056 80

35 sen 112o 1 27 80

  sen1 0.4056

  23o 55 37

Es decir

2.- Determine la carga de comprensión en el pescante y la fuerza de tensión del cable. D cable B pescante A e 5000 lbs.

Solución: Las fuerzas que actúan sobre B son: C la fuerza de compresión y T la fuerza de tensión. En el diagrama se muestra como actúan dichas fuerzas. y T x

15ª

C

T 75º

40º

55º

x C 50º 5000 lbs. 5000 lbs.

156


Conociendo los ángulos interiores y un lado podemos determinar las fuerzas

C 5000  o sen 75 sen 55o

5000 sen 75o C sen 55o

T 5000  o sen 50 sen 55o

sen 50o 5000 T sen 55o

C

5000 0.9659 0.8192

T

0.7660 5000 0.8192

C

4829.62 0.8192

T

3830.22 0.8192

T  4675.84 libras C  5895.88 libras 3.- Calcular los elementos de un triángulo acutángulo sabiendo que b = 57 cm, c=35 cm y el ángulo B = 42°

Datos : b  57 cm c  35 cm.  B  42 o

Incógnita a?  A ? C  ?

fòrmulas : b c  sen B sen C c sen B sen C  b a b  sen A sen B a

b sen A sen B

P  abc

sustituyendo los valores en las fórmulas se tienen:

o s 42 A C s 35 s - asen - b s - c  sen 57 35 0.6691 sen C  57 23.42 sen C  57 sen C  0.4109 C  arc sen 0.4109

C  24.259 o C  24 º 15 34 157


Dado que conocemos dos ángulos, estamos en condiciones de calcular el tercero aplicando el teorema de ángulos interiores de un triángulo. A  B  C  180

A  180   24.259o  42o A  180   66.259 A  113 .74  A  113  44 26

o

Cálculo del lado “a”, aplicaremos el modelo:

a b  sen A sen B a

b sen B sen A

a

57 sen 113.74o sen 42o

a

57 0.9154 0.6691

a

52 .18 0.6691

a  77.98 cm.

Cálculo del perímetro y del semiperìmetro ( s ) P  77.98  57  35  169.98 cm

s

169.97 cm 2

s  84 .99 cm.

158


Cálculo del área

A  s s  a s  bs  c  A  84.99 84.99  77.9784.99  5784.99  35 A  84.99 7.0227.9949.99 A

834816.41

A  913.68 cm2

Ejemplo: 4

Resuelve el triángulo cuyos datos se indican: B c

a

C

b

A

Datos: Las Incógnitas son los ángulos: a = 36 cm A=? b = 56 cm B=? c = 40 cm. C=? Solución: sustituimos los valores en los modelos:

cos A 

b2  c 2  a 2 2bc

2 2 2  56  40  36 cos A  2 5640

cos A 

3136  1600  1296 4480 159


cos A 

3440 4480

cos A  0.7678 A  arc cos 0.7678

A  39.8381

A  39  50 17

a 2  c 2  b2 cos B  2ac 2 2 2  36  40  56 cos B  2 3640

cos B 

1296  1600  3136 2880

cos B 

 240 2880

cos B   0.0833  B  arc cos (0.0833 )

 B  94 46 49

Cálculo del ángulo C

C 

a2  b2  c2 2ab

C 

362  562  402 2 3656

160


C 

1296  3136  1600 2 3656

C 

2832 4032

 C  0.7023  C  arc cos 0.7023

 C  45o 22' 54' '

Cálculo del perímetro y del semiperímetro ( s ) P  abc P  36  56  40 P  132 cm.

Cálculo del área

A  s s  a s  bs  c  A  66 66  3666  5666  40 A  66 301026 A  514800 A  717.495 cm2

161


EJERCICIOS DE APLICACIÓN: Resuelve los siguientes ejercicios:

1.- Si un polígono regular de siete lados está inscrito en una circunferencia de radio 22.80 cm, determínese la longitud de un lado del polígono. Resp: 2.- Tres circunferencias de radios 2.03, 5.00 y 8.20 cm son tangentes entre sí, encuéntrese los tres ángulos formados por las rectas que unen sus centros.

Resp:  1 = 2= 3= 3.- Encuéntrese la distancia “d” del aeroplano mostrado en la figura si   89º 57 Θ

d

162


II.- Resuelve los triángulos cuyos datos se indican: 1.a  842 b  638 C  99º 20' 2.  b  2.44 c  8.10 A  46º

3. a  154.5 c  108.9 B  72º 24' 4. a  616.4 b  41.23 C  83º 23'

5. b  63.254 c  86.842 A  36º 21.2' 6. a  272.94 b  652.82 B  25º 23.2'

7. a  2.0836 c  2.0117 B  61º12.7'

R=

R=

R=

R=

R=

R=

R=

163


8. a  2543 c  1142 B  22º54'

R=

9. b  7.03 c  7.00  A  50º 40'

R=

10.  C  120º 20 ' a  5.73 b  10.2

R=

11. Un semáforo está suspendido de dos soporte, como se indica en la figura .Las tres fuerzas que actúan a partir del punto común O son F g el peso del semáforo que es de 500N y que actúa en línea recta hacia abajo; F 1, la tensión de un cable a 45° hacia arriba y a la izquierda, y F2, la tensión del otro cable, a 30° hacia arriba y a la derecha. Calcular las magnitudes de las tensiones. 45° F1

30° F2

Fg = 500 N

164


12. El diagrama representa un solar de forma triangular. Aparecen indicadas las únicas partes que se pueden medir directamente. Encontrar las longitudes de MN y de PN.

M

N

65°

28 m 70° P

13. Una persona observa desde una ventana W un edificio de altura RT que está e enfrente y al otro lado de la calle. La persona mide los ángulos que aparecen indicados en la figura. Se sabe que la anchura de la calle entre fachadas es de 16 metros determinar RT

R

W

36° 48°

16 m

S

T

165


IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. IDENTIDAD TRIGONOMETRICA: Es una igualdad algebraica entre razón de un mismo ángulo que se cumple para cualquier valor asignado al ángulo.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES: Para las funciones trigonométricas existen identidades fundamentales que pueden clasificarse, en tres grupos: recíprocas, de cociente y las pitagóricas, es decir, de recíproco, de división y de cuadrados. A continuación se describe el procedimiento para la obtención de cada una de ellas.

b c a 2. Cos B = c b 3. Tan B = a a 4. Cot B = b c 5. Sec B = a c 6. Csc B = b 1. Sen B =

A

b

C

c

a

B

a c b 2. Cos A = c a 3. Tan A = b b 4. Cot A = a c 5. Sec A = b c 6. Csc A = a 1. Sen A =

Observa en el cuadro de funciones, que sen B es igual al cos A, es decir, sen B = cos A. b b = sen B  cos A  : c c A ésta igualdad se le llama COFUNCIONES. De igual manera tenemos que: cos B = sen A. tan B = cot A y cot B = tan A sec B = csc A y csc B = sec A Todas ellas cumplen la condición de igualdad. Ahora obtendremos otras relaciones importantes trigonométricas.

entre

las

funciones

Si multiplicamos la expresión 1 y 6 del ángulo B, se obtiene, la siguiente identidad:

166


Sen B  Csc B 

b c bc   1 c b cb

por lo tanto tenemos que:

Sen B Csc B  1

Llevando a cabo el mismo procedimiento, obtenemos las siguientes identidades: cos B sec B  1

tan B cot B  1

y

Analizando las funciones, podemos intuir que el cociente que resulta de dividir el seno B, entre el coseno B es igual a la tangente B, demostrándolo de la siguiente manera: sen B  cos B

b c a c

bc b   tan B ac a

Si la cotangente es el recíproco de la tangente, entonces podemos decir que la cotangente de B, es el cociente que resulta de dividir el coseno de B entre el seno de B. cos B  sen B

a c b c

ac a   cot B bc b

Otras identidades fundamentales se obtienen a partir de las funciones: sen.B  y el cos B 

b c

a , elevando al cuadrado los dos miembros de dichas expresiones se c

obtiene:

sen 2 B 

b2 c2

cos 2 B 

y

b2 a 2  c2 c2 b2  a 2 sen 2 B  cos 2 B  c2 si b 2  a 2  c 2 sen 2 B  cos 2 B 

c2 c2 sen 2 B  cos 2 B  1 sen 2 B  cos 2 B 

a2 si realizamos la operación sen2 B + cos2 B, se tiene: 2 c Que corresponde a la relación en el triángulo rectángulo, según el teorema de Pitágoras.

Llamando a ésta expresión, identidad trigonométrica pitagórica.

167


IDENTIDADES DEL DOBLE DE UN ANGULO

Sen 2A = 2 sen A cos A Demostración: Sen (A + B ) = sen A cos B + cos A sen B Si B = A entonces sen (A + A ) = sen A cos A + cos A sen A Por lo tanto Sen 2A = 2sen A cos A

cos 2A = cos2 A – sen2 A Demostración:

Cos (a +b ) = cos A cos B – sen A sen B Si B = A entonces cos (A + A ) = cos A cos A - sen A sen A Por lo tanto cos 2A = cos2 A – sen2 A tan2A 

2tanA 1  tan2 A

Demostración: tan(A+B) =

tan A  tan B 1  tan A tan B

si B = A , entonces

por lo tanto tan(2A) =

tan(A+A) =

tan A  tan A 1  tan A tan A

2 tan A 1  tan 2 A

168


Si tomamos la identidad de cos2A + sen2A = 1 y cos2A = cos2A – sen2A Aplicando método de solución de ecuaciones tenemos lo siguiente: cos2A + sen2A = 1 cos2A – sen2A = cos 2A

aplicando suma y resta obtenemos

2 cos2 A = 1 + cos 2A

cos 2 A 

cos2A =

1  cos 2A 2

1 cos 2A  2 2

de manera similar para el seno cuadrado obtenemos la siguiente identidad

sen2 A 

1 cos 2A  2 2

las identidades anteriores son básicas en el calculo integral para la integración por el método de integración por sustitución trigonometrica.

IDENTIDADES DE LA MITAD DE UN ANGULO

cos

A 1  cos A  2 2

sen

A  2

1  cos A 2

tan

A  2

1  cos A 1  cos A

Realiza a manera de ejercicio la demostración de las identidades anteriores.

169


RESUMEN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES RECIPROCAS

sen B csc B  1 cos B sec B  1 tan B cot B  1 IDENTIDADES DE COCIENTE

tan B 

sen B cos B

cot B 

cos B sen B

IDENTIDADES PITAGÓRICAS (CUADRÁTICAS)

sen 2 B  cos 2 B  1 tan 2 B  1  sec 2 B cot 2 B  1  csc 2 B

IDENTIDADES RECÍPROCAS (DESPEJADAS)

1 csc B 1 cos B  sec B 1 tan B  cot B sen B 

1 sen B 1 sec B  cos B 1 cot B  tan B csc B 

170


IDENTIDADES DEL DOBLE DE UN ANGULO sen 2A = 2 senA cosA

Cos 2A = cos2A – sen2A

cos 2 A 

1 cos 2A  2 2

sen2 A  tan2A 

1 cos 2A  2 2

2tanA 1  tan2 A

IDENTIDADES DE LA MITAD DE UN ANGULO

cos

A 1  cos A  2 2

sen

tan

A  2

A  2

1  cos A 2

1  cos A 1  cos A

171


DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES: Para demostrar una identidad, se altera solamente uno de los miembros, en donde cualquier función puede ser escrita en función de otra trigonométrica o también puede ser expresada en términos de seno y coseno, hasta que sea análoga (igual) al del otro miembro.

Ejemplos resueltos de Identidades: 1.-

sen x  cos x 1  1 sen x tan x expresando en sumas parciales se tiene:

sen x cos x 1  1 sen x sen x tan x sen x 1 sen x

si

y

cos x  cot x , sen x

de la igualdad tenemos que:

ctg x 

si

1 tan x

1  cot x  1 

1 tan x

y lo sustituimos en el segundo miembro de la igualdad,

queda demostrada la identidad: 1 

2.-

lo sustituimos en el primer miembro

sen x cos x  1 csc x sec x

1 1 1 tan x tan x

para demostrar esta identidad expresaremos la csc x y sec x en función de seno y coseno.

sen x cos x  1 1 1 sen x cos x sen x cos x 1  1 1 1 1 sen x cos x

Realizando las operaciones en el primer miembro se obtiene:

Dividiendo las fracciones: sen x sen x  cos x cos x  1

sen2 x  cos 2 x  1 Multiplicando las funciones tenemos que: y sustituyendo identidad pitagórica en el primer miembro queda demostrada la igualdad 1  1

la

172


1  tan 2 x  2  sec 2 x 1  (sec 2 x - 1)  2  sec 2 x

3.-

sustituyendo la identidad tan 2 x  sec 2 x - 1 Eliminando el signo de agrupación se Obtiene:

2  sec2 x  2  sec2 x

sec x 1  sen2 x  cos x

4.-

de la identidad sen2 x  cos 2 x  1, se despeja cos2x. Tenemos: cos 2 x  1 - sen 2 x sustituyendo queda

sec x cos 2 x  cos x Si la sec x 

1 cos 2 x  cos x cos x

cos 2 x  cos x cos x que:

1 cos x

y los sustituimos

Multiplicando en el primer miembro

Por lo tanto al efectuar la división queda demostrado.

cos x  cos x

DEMUESTRA LAS IDENTIDADES SIGUIENTES: 1.-

cos x  sen x cot x

tan x  sec x sen x sec y 3. sen y tan y  cot y csc x  sec x 4.cot x 2.-

5.-

1  sen x cos x  cos x 1  sen x

9).- ( 1 - cos 2 x ) ( 1  cot 2 x )  1 10).- tan 2 x csc 2 x cot 2 x sen 2 x  1 11).- csc 2 x  8  9 - sen 2 x 12).- ( sec x - tan x ) ( sec x  tan x )  1 13).- tan x  cot x  sec x csc x

1  cos 2 x 6.- sen x  csc2 x

14).- sec x cot x  csc x

7.- tan x cos x csc x  1

15).- sen x sec x  tan x

8.- sen2 x  1  cos x 1  cos x 

16).-

4

senx  cos x  tan x  1 cos x

173


ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS

Concepto de ecuación.- igualdad en la que existe una ó más incógnitas ejemplo a sen x = 0

Las ecuaciones trigonométricas contienen funciones trigonométricas de ángulos desconocidos y se les da el nombre de:

a).- identidades como las que ya se vieron en el tema de trigonometría b).- ecuaciones condicionales

las identidades trigonométricas son aquellas que son válidas para todos los valores de los ángulos desconocidos en los que estén definidas las funciones. sen2x + cos2 =1;

tan  = sen /cos ;

sen 2  12 (1  cos 2 )

Las ecuaciones condicionales son aquellas que son válidas únicamente para ciertos valores de los ángulos desconocidos y son las que veremos a continuación.

Seguramente recordarás que en los temas anteriores, se realizaron las gráficas de las funciones trigonométricas, en donde pudiste observar que éstas tienen un comportamiento periódico, por lo que una ecuación trigonométrica constará de un conjunto de soluciones que estarán en relación de acuerdo al comportamiento periódico de la función involucrada.

Ejemplo; en la ecuación

sen x =0

los valores de x pueden ser 0º, 180º, 360º, 540º......, lo cual se puede expresar en radianes; como x = n en donde n = 0, 1,2,...

174


Ejercicio 1.- Resolver la ecuación senx 

3 2

Solución, de acuerdo a lo anterior sabemos que x  60º ( x  3 ) y x  120º ( x 

2 3

)

entonces el sistema de soluciones es: x  3  2n ; 23  2n  Ejercicio 2.- Resolver la ecuación senx  2senx cos x  0 en el intervalo cerrado [0, 2] Solución factorizando senx(1  2 cos x)  0 e igualando el primer factor a cero: para senx  0

Tenemos;

los valores de x serán 0,  y 2

e igualando el segundo factor a cero: 1  2 cos x  0  cos x 

1 2

por lo tanto

x

 3

,

5 3

comprobación : para x = 0 senx  2senx cos x  0  2(0)(1)  0

para

 3

, senx  2senx cos x 

3 2

 2( 23 )( 12 )  0

para  , senx  2senx cos x  0  2(0)(1)  0

para x 

5 3

, senx  2senx cos x  

3 2

 2( 23 )( 12 )  0

las soluciones para x en el intervalo 0  x  2 son;

0, 3 ,  , 53

a continuación, demuéstralo numéricamente

ejercicio 3.las funciones de la forma y = a sen bx y

y = cos bx , se utilizan en el estudio

de las ondas (sonoras, radio, luz, rayos x, sísmicas, circuitos eléctricos) y en general en cualquier fenómeno en el que se presente algún tipo de movimiento ondulatorio. Gráfica de

y = a sen bx .-

175


long de onda = 2 / b

amplitud

En una playa del océano atlántico, las mareas cambian mucho llegando a alcanzar una amplitud de 18 metros, siendo ésta la diferencia entre marea alta y baja. Supongamos que un punto p que tiene y0 metros debajo de él, varía respecto al tiempo como en la función: y = y0 + a sen bt la gráfica de y Observemos que en el momento t=0

y= y0 + a sen b(0) = y0

La gráfica de y es la gráfica de la función a sen bt a la que se le suma y0 . Si la marea cambia cada 12 horas, entonces la marea alta se repita cada 24 hs. Así tenemos que b = 24 y que a = 15 . el movimiento ondulatorio de p es: Gráfica.long de onda =  / 12

amplitud=15 y0

Y la ecuación es y = y0 + 15 sen 24t

176


ECUACIONES EXPONENCIALES

El hongo Penicillium se cultiva para la obtención de la penicilina ( antibiótico), su ciclo de vida es de una hora por lo que en ese tiempo, se reproduce al doble. Si se realizara un cultivo de este hongo, iniciando con un solo organismo, cuántas células habrá al final de:

a) 11 horas? b) 4 horas y veinte minutos?

Solución: Comenzaremos por elaborar una tabla de: el número de horas que han transcurrido ( t ), contra el número de células producidas (N). T

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

N

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

10

11

1024 2048

Resolviendo el primer inciso; el valor de N (para t = 11) es: N 11; esto es: 211 = 2048 células. Ahora para calcular el valor de N, cuando t = 4 horas y 20 minutos (haciendo 20 minutos = 1/3 hora ), por lo que también lo podemos expresar como t = 13/3 horas, entonces

2  2 13 3

3

13

;

13 3

2  8192 3

;

13 3

2  20

Consulta la tabla anterior en cuánto tiempo habrá 256 bacterias? Respuesta _______________________________ Todo lo anterior nos conduce a una expresión denominada ecuación exponencial de la forma: 2x = N; generalizando sería N = bx; donde la base es b, x es el exponente y el número es N.

177


A continuación construye la gráfica de la tabulación del ejemplo anterior. Espacio para graficar

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Ejercicio:

Una población bacteriana se triplica en 20 minutos, cada bacteria crece

hasta un cierto tamaño y se triplica en ese tiempo. ¿Cuántas células habrá al final de: a) 4 horas? b) 7 horas y treinta minutos? c) Elabora la gráfica correspondiente. d) Analiza qué pasaría si obtuviéramos más valores? En un ejercicio anterior se pidió el tiempo ( t ) que se tardaba en producir 256 bacterias, esto como expresión exponencial es: 2t = 256, sí consultas tu tabla t es igual a ________ horas. En la expresión 2t = 256, el exponente de dos, “t” , se denomina logaritmo.

178


Ecuación logarítmica es una igualdad en la que está involucrada la función logaritmo y la incógnita

Ejemplo: 7.5 + Log x0 = Log x

El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número llamado base, que da lugar al número propuesto. Ejemplo: Log2 256 = 8;

Sí elevas 2 a la 8a potencia, da como resultado 256.

Log5 15625 = 6;

Sí elevas 5 a la 6a potencia, da como resultado 15625.

Existen infinidad de clases de logaritmos, entre los más comunes podemos mencionar: a). Los logaritmos vulgares, de Briggs ó de base 10 y que se denotan por el

símbolo

Log. b). Los logaritmos naturales, neperianos ó de base e, (e = 2.718281828459...) y se escribe Ln. Al resolver ejercicios de logaritmos es necesario conocer sus principales propiedades:

1. La base de un sistema de logaritmos nunca es negativa. 2. Los números negativos no tienen logaritmos. 3. En todo sistema el logaritmo de la base es la unidad es la unidad 4. En todo sistema el logaritmo de la unidad es cero 5. En números mayores que la unidad dan lugar a logaritmos positivos 6. Los números menores que la unidad dan lugar a logaritmos negativos

El logaritmo de un número está formado por dos partes: a) Característica: es la parte entera del logaritmo ya calculado y a) Mantisa: es la parte decimal del logaritmo

179


Ejemplo: log 324.7 = 2.51148 El 2 es la característica y 51148 es la mantisa

Para determinar el logaritmo de un número se puede hacer mediante: 1. El uso de la calculadora científica o bien, 2. Utilizando las tablas de logaritmos. A continuación se te proporciona un ejemplo de cómo calcular el logaritmo de un número utilizando tu calculadora científica, siguiendo las indicaciones: Ejemplo: Calcular log 324.7 Procedimiento. 1. Presiona en la calculadora 324.7 2. Pulsa log

3. Aparece en la pantalla 2.51148 En algunas calculadoras se requiere que primero se anote la función log y posteriormente marcar los números.

Utilizando tu calculadora, encuentra los valores correspondientes a:

1. log 525.7

4. ln 4.2

2. log 42.6

5. ln 0.25

3. log 0.00765

6. ln 0.0036

En tu ejercicio anterior encontraste el logaritmo natural de 4.2 ln 4.2  1.4350 , ahora si se desea conocer el número de donde se obtuvo 1.4350; que

operación se debe de realizar: a esta operación se le llama antilogaritmo, que es la operación inversa del logaritmo; que se denota como: N  anti log 1.4350 N  4.2

180


Calcular el valor de N en cada una de las expresiones siguientes . 1. N  anti log 2.1517 N = ¿?

2. N  anti log 2 .45 N = ¿?

3. N  anti ln 5.4983 N = ¿?

4.

N  anti ln 1.084

N = ¿?

LEYES DE LOS LOGARITMOS. A partir de las leyes de los exponentes, se deducen: a). Logaritmo de un producto. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores log .ab  log a  log b

Por ejemplo: Calcular el producto (15)(82) aplicando la ley anterior. Solución: sea N = (15)(82) ; aplicando logaritmo en ambos lados de la igualdad

log N  log1582 log .N  log15  log 82 log .N  1.1761  1.9138

log .N  3.0899 Para obtener el valor N, se aplica la propiedad inversa de logaritmo denominada antilogaritmo.

N  anti log 3.0899 N  1230

Para calcular el antilogaritmo con la calculadora, se introduce el número, y luego se presiona la tecla 2ndF y después la tecla log . Calcula el antilogaritmo con tu calculadora del ejemplo anterior.

b). Logaritmo de un cociente Logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

log .

a  log a  log b b

181


482 aplicando la ley anterior 35

Ejemplo: Calcular el cociente

N

482 35

aplicando logaritmos en ambos miembros de la igualdad se obtiene

 482  log N  log   35  log N  log 482  log 35 log N  2.6830  1.5440 log N  1.1390

N  anti log 1.1390 N  13.77

c). Logaritmo de una potencia El logaritmo de una potencia es igual a la potencia p multiplicada por el log a  p log a p

logaritmo de la base Ejemplo: Calcular

N  5.14 aplicando la propiedad anterior de los logaritmos. 12

log N  log5.14

12

log N  12 log5.14

log N  120.7109 log N  8.5315

N  anti log 8.5315 N  340061470

Existen problemas de cálculo de logaritmos que involucran varias de las leyes que acabamos de mencionar, como se observa en los siguientes ejemplos,  4.28  3.6  1. Calcular    2.08 

 4.28  3.6  log   log 4.28  log 3.6  log 2.08  0.86968  2.08  Anti log o.866968  7.40

182


1   2. Calcular 6.2(4.3) (6.3) 4    1   1 log 6.2(4.3) (6.3) 4   log 6.2  2 log 4.3  log 6.3  2.25916 4   anti log 2.25916  181.62

1   2 (2.8) (4.32) 2 3 0.12   3.-Calcular   2.5 2.35   1   2 (2.8) (4.32) 2 3 0.12  1 1 1  log   2 log 2.8  log 4.32  log 0.12  log 2.5  log 2.35  2 3 2 2.5 2.35    0.32164 Anti log o.32164  2.097

 (82.5)(10) 3 4 (956) 2 4.- Calcular   3 (26.8) 4 (1.6) 3

  

 (82.5)(10) 3 4 (956) 2 log   3 (26.8) 4 (1.6) 3

 2 4 3   log 82.5  3 log 10  log 956  log 26.8  log 1.6  4.19632 4 3 2  anti log 4.19632  15715.31879

5. ¿Qué capital se debe invertir a 6 años para que se convierta en $653,218.00 a una tasa del 3% trimestral? Solución Datos: p es la incógnita S=$653,218.00 i=0.03 trimestral n= 6años=24 trimestres.

183


En las matemáticas financieras se estudia este tipo de problemas, y se encuentra que los datos están relacionados en la siguiente fórmula:

p

s (1  i ) n

sustituimos los datos en la fórmula anterior

p

653218 (1  0.03) 24

aplicando logaritmos de ambos lados tenemos

653218 (1  0.03) 24 log p  log 653218  24 log 1.03 log p  5.815058  24(0.0128379) log p  5.506970 Anti log(log P)  Anti log 5.506970 p  321,343.85 log p  log

Por lo tanto el capital que se debe invertir es $321.343.85. Ejemplo de ecuaciones logaritmicas: la intensidad de un terremoto se mide por la escala de Ritcher, la medida de la escala de Ritcher de la intensidad x está dada por R=Log

10

x/x0 en donde x

0

es la

intensidad de un terremoto de cierta magnitud. El terremoto de México de 1985 fue de 7.5 grados Richter la réplica mas intensa doce horas después tuvo una intensidad de 5.5 grados Richter, cuantas veces fue mas fuerte el primer terremoto que su réplica? 7.5 = Log x/x0 aplicando la ley de logaritmo 7.5 = Log x – Log x0 7.5 + Log x0 = Log x 10 (7.5+Log xo) = x 10 7.5 10Log xo = x 10 7.5 x0 = x

ecuación 1 por lo tanto x = 31622776,60 x0

184


de la misma manera se puede obtener la ecuación 2 quedando de la siguiente manera: 105.5 x0 = x

ecuación 2

por lo tanto x = 316227,76 x0

en donde el resultado es la diferencia de 31622776,60 x0 - 316227,76 x0 = 31306,548.83 Escribir las expresiones logarítmicas en forma exponencial para determinar el valor de x

3 2

1. log 4 x 

2. log 4 x  

R. x=8

3 2

R. x=0.125

3. log 2 3x  1  2

R. x=1

4. log 3 3x  3  2

R. x=4

5. log 5 2 x  7  2

R. x=9

Determina el valor de los siguientes logaritmos 1. ln 1542.92

R. 6.10864

2. ln 354079.7

R. 11.8363

 3478  3. log   29.7 

R. 2.06857

 9.3  4. log   3.9 

R. 0.377418

5. log 5 784.1

R. 0.578874

6. log 7 0.00418

R. -.3398832

7. ln 0.0937

R. -14.2059

6

8. ln

49.37115.7 8.91

9. log5.92

77

143.8

R. 6.46317 R. 5.7145

185


10.

7  1457 583 ln 7952

R. 38.5048

Con el apoyo de tu calculadora y de las leyes de los logaritmos comprueba las siguientes operaciones aritméticas. 1. (2.86) 2 (3.85) 3 (9.36) 4

1

2

3

2. (9.3) 3 (4.6) 5 (3.8) 2 3. (4.32)

1 34

R. 3582759.448

2.8 5 (1.6) 2

R. 28.681785 R. 2.542526078

 3 (1.62) 2 4 (3.8)3  4.   3 3 5  (3.6) (26.3) 

R. 0.012906

1   2 23 ( 25 . 8 ) ( 1 . 39 ) (3.6) 2   5.  (28.3)3 5 (45.3) 2   

R. 0.176936

6. Por cuánto tiempo deberá imponerse a interés compuesto del 6% semestral la cantidad de $130,520.00 para convertirse en $175,340.00 (sugerencia, use la fórmula usada en el problema resuelto número 5 de este tema.)

186


APÉNDICE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS seno A  sen A 

cateto opuesto hipotenusa

cos eno A  cos A 

cateto adyacente hipotenusa

tan gente A  tan A 

cateto opuesto cateto adyacente

cot angente A  cot A 

A b c

cateto adyacente cateto opuesto

B sec ante A  sec A 

hipotenusa cateto adyacente

cos ecante A  csc A 

C

a

hipotenusa cateto opuesto

TEOREMA DE PITÁGORAS:

a2  b2  c 2  a  b2 c 2

COFUNCIONES: cos B = sen A.

tan B = cot A y

csc B = sec A

187


IDENTIDADES UNITARIAS: Sen B Csc B  1

cos B sec B  1

tan B cot B  1

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

sen 2 B  cos 2 B  1 tan 2 B  1  sec 2 B cot 2 B  1  csc 2 B IDENTIDADES DE COCIENTE

tan B 

sen B cos B

cot B 

cos B sen B

IDENTIDADES RECÍPROCAS

1 sen B 1 sec B  cos B 1 cot B  tan B

1 csc B 1 cos B  sec B 1 tan B  cot B

csc B 

sen B 

IDENTIDADES DEL ANGULO MEDIO

sen 2 x 

1 1  cos 2 x 2 2

cos 2 x 

1 1  cos 2 x 2 2

IDENTIDADES PRODUCTO- SUMA DE SENOS Y COSENOS sen mx sen nx 

1 cos m  nx  cos m  nx 2

sen mx cos nx 

1 sen m  nx  sen m  nx 2

cos mx cos nx 

1 cosm  nx  cosm  nx 2

188


FORMULAS DE AREAS FIGURA

PERIMETRO

AREA

Triangulo rectangulo

P = a + b+ c

c

A

a

ba 2

b

Triangulo oblicuángulo P = a + b+ c c P S  2

a

A  S (S  a)(S  b)(S  c)

b

Rombo

a

a D

P= 4a

A

P = a + b+ c +d

A(

d

Dd 2

Trapecio c b d

h

ac )h 2

a

189


FIGURA

PERIMETRO

AREA

Poligonos regulares a= Apotema

P=nl a

l

A

l

Pa 2

n = numero de lados

Circulo D= 2r

A P=D

D

ó

P = 2r

D 2 4

ó

A  r 2

Elipse

P =  (a + b)

b

A= ab

(Valor aproximado)

a

Sector Circular n= numero de grados l

l = 0.01745 rn

A

r 2 n 360

ó

n r

P = l + 2r

A

lr 2

190


Bibliografía Geometría y Trigonometría Acevedo Valadéz Vargas Mc. Graw-Hill Geometría y Trigonometría Benjamín Garza Olvera SEP Matemáticas II Pedro Salazar Vásquez Sergio Sánchez Gutierrez Editorial Nueva Imagen Geometría y Trigonometría Raymundo Acosta Sánchez SEP-Fondo de cultura económica-DGETI Matemática: Razonamiento y aplicaciones Charles D. Miller Vern E. Heeren E. John Hornsby, Jr Editorial Adison Wesley Longman Pearson Tablas Matemáticas Arquímides Caballero C. Lorenzo Martínez C. Jesús Bernárdez G. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica Arthur Goodman/Lewis Hirsch Prentice Hall

191


DOCENTES RESPONSABLES DE LA ELABORACIÓN DEL MATERIAL DE MATEMÁTICAS II, BAJO LA METODOLOGÍA CONTEXTUAL Y APRENDIZAJE DE GRUPOS OPERATIVOS.

DOCENTE

PLANTEL

1. Luis Miguel Ramírez Martínez

C.E.T.i.s. 163

2. Juan Manuel Contreras Contreras

C.B.T.i.s. 12

3. Víctor M. Arias Zapata

C.E.T.i.s. 40

4. Alfredo José Cepeda Hernández

C.B.T.i.s. 260

5. Concepción Calihua Jiménez

C.E.T.i.s. 151

6. Amado Paredes González

C.E.T.i.s. 17

7. Alfredo René Cruz Rodríguez

C.B.T.i.s. 74

8. Roberto Noé Galindo Jan

C.B.T.i.s. 243

9. Juan Taizán Calletano

C.E.T.i.s. 100

10. José Luis Trejo Trujillo

C.E.T.i.s. 14

11. Rodolfo Huerta Sánchez

C.B.T.i.s. 160

12. Marcos Belisario González Loria

C.B.T.i.s. 160

13. Jorge Trigueros de la Vega

C.B.T.i.s. 52

14. Armando López Zamudio

C.B.T.i.s. 94

15. Valentín Vallejo Delabra

C.E.T.i.s. 116

16. Armando Castillo Nieves

C.B.T.i.s. 215

17. Fernando Peraza Arceo

C.B.T.i.s. 28

18. Luz María Damián Badillo

C.E.T.i.s. 120

19. José Jesús Castro Gual

C.B.T.i.s. 167

20. José Cruz Orozco Ramírez

C.B.T.i.s. 47

21. Jesús Javier Espinosa Rojas

C.B.T.i.s. 262

22. Julia Torres Chan

C.B.T.i.s. 253

23. Ma. Herminia Alvarado Martínez

C.E.T.i.s. 26

24. César Alberto Sánchez Esquivel

C.B.T.i.s. 36

25. María Félix Delgado Rosales

C.E.T.i.s 44

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Geometría y Trigonometría