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.Inst. Edu JORGE ROBLEDO PLANEACION DEL PRIMER PERIODO Matemáticas grado 6° año 2012

MATERIALES:

Cuaderno de 100h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde.


Geometría Geometría (del griego geō, 'tierra'; metería, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las medidas y formas de las figuras

Y

misma dirección. Comúnmente se usa el sinónimo de Recta para referirse a una línea en geométrica. Para nombrarla se utiliza una letra del abecedario. Dicho de otro modo recta significará siempre una línea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos. Al dibujar una recta, se trazan puntas de flechas para enfatizar el hecho de que la recta no termina.

y Espacio (Tres Dimensiones)

Plano (Dos dimensiones) X

S

X z

En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área, diámetro y perímetros de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Elementos del plano cartesiano: 1.

2. 3.

4.

ejes principales: son dos rectas que se cruzan perpendicularmente. Una de ellas llamada eje “x” y la otra llamada eje “y” pero a paralelas a éstas hay otros ejes que se llaman secundarios. El punto donde se encuentran los ejes principales se llaman origen del plano cartesiano. El punto donde se encuentren los ejes secundarios se llaman coordenadas cartesianas. El punto donde se interceptan 2 ejes secundarios, o un eje secundario y uno principal es llama Coordenadas cartesianas. Las coordenadas se representan como una pareja de valores (x abscisas, yordenada). quiere decir que la primer componente(abscisas) representa el valor de la (x), y la segunda componente(Ordenada) es el valor de la (y)

Definiciones preliminares en geometría:

Postulados Por dos puntos pasa una recta y solamente una. Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común Una línea tiene una sola dimensión: longitud

Propiedades de la recta: I. II. III. IV. V. VI. 1.

Punto, recta y plano son términos no definibles.

1 punto: figura geométrica a dimensional, es decir no tiene dimensión, pero por abuso del lenguaje se define con la huella que deja un lápiz perfectamente puntiagudo al dejarlo caer en una hoja de papel 2. Recta o línea: conjunto de puntos que van desde menos infinito hasta mas infinito de una

Dos rectas se intersecan en un punto, y sólo en uno. Si fuera de una recta se encuentra un punto, el punto y la recta están contenidos en un plano, y sólo en uno. Si dos rectas se intersecan, ambas están contenidos en un plano, y sólo en uno. Si en una misma recta están tres puntos, no más de uno está situado entre los otros dos. En un rayo existe un punto, y sólo uno, situado a una distancia dada del punto extremo del rayo. Un segmento tiene un punto medio y sólo uno. semirrecta: segmento de recta de la cual conocemos en donde comienza pero no donde termina. A C B

2.

segmento de recta: pedazo de recta de el cual sabemos en donde comienza y también en donde termina. Para nombrarlo utilizamos


dos letras del abecedario, una al inicio y otra al final. A

Rectas perpendiculares: rectas que se cortan entre sí formando siempre un ángulo recto

B F C

H 3. Prolongación de un segmento de recta: para prolongar un segmento de recta trazamos líneas punteadas a partir de los segmentos de recta en uno o ambos lados si es el casa.

b.

rectas secantes: dos rectas son secantes cuando se interceptan en alguna parte. Ejemplo:

A

B

Vértice

Dos o más rectas se pueden relacionar como paralelas o secantes: a.

paralelas: dos rectas son paralelas cuando una esta al lado de la otra, es decir a la misma distancia y nunca se juntan ni tampoco se separan.

Ejemplo:

l1

Actividad en de papel milimetrado Dibujar Puntos Dibujar 5 líneas Dibujar 5 semirrectas Dibujar 5 segmento de R 5 Dibujar 5 Dibujar líneas Prolongación de una paralelas semirrecta Dibujar Líneas Dibujar líneas perpendiculares secantes

l2 Figuras geométrica de dos lados Para representar líneas paralelas se utiliza el símbolo “║”. Del ejemplo anterior se puede hacer la anotación l1 ║ l2, que se lee: “l1 paralela con l2”

Actividad: realizar dos graficas de rectas que se intercepten ellas y dos que se interceptan sus prolongaciones Ángulo: grado de apertura que existe entre dos rectas que se cortan en un punto común llamado vértice Rectas paralelas: rectas que al prolongarse continuamente no llegan a tocarse en ningún punto. Se denota como l1|| l2 l1 l2

Las figuras geométricas de dos lados son comúnmente llamados ángulos. Ángulos: Figura geométrica que se forma con la intersección o la prolongación de dos rectas secantes o perpendiculares.. Lado inicial Vértice Lado final Los ángulos tienen las siguientes partes o elementos: 1. 2.

se conforma por la intercepción de 2 líneas secantes el punto donde se intercepta es el vértice del ángulo


3. 4.

tiene un lado inicial tiene un lado final

Un ángulo se puede nombrar de dos formas: una con nuestro alfabeto induarabigo o el alfabeto griego 1. con el alfabeto griego: para nombrar un ángulo con el alfabeto griego se puede utilizar una de las siguientes letras:

2.

negativa: cuando lo hacemos en el mismo sentido de las manecillas de el reloj

Ejemplo Medida de un ángulo

Alfa Beta Gamma Delta Épsilon Zeta Eta Teta Iota Kappa Lambda Mu

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ

Nu Xi Ómicron Pi Rho Sigma Tau Ípsilon Fi Ki Psi Omega

ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

Para medir un ángulo utilizamos un elemento llamado transportador

Para medir un ángulo se utilizamos instrumento llamado transportador.

2. con el alfabeto induarabigo: para nombrar un ángulo con el alfabeto utilizamos la letra que va en el medio.

un

Colocando el vértice del ángulo en el vértice del transportador de tal forma coincida el vértice del transportador, y el lado inicial del ángulo quede en le punto cero del transportador EJEMPLOS: la siguiente gráfica muestra como efectuar la medida en los ángulos: alfa( α ) y el BAC

Actividad: dibujar 5 ángulos y nombrarlos Forma de medir un ángulo Para medir un ángulo lo podemos hacer de dos maneras: 1. positivo: cuando lo hacemos al sentido contrario de las manecillas del reloj

α


Cóncavo > 270°

A C B BAC

Nulo = 0º

Clasificación de ángulos según su medida

Ángulo Agudo: Ángulo entre 0º y 90º

Completo = 360°

Negativo < 0º Ángulo Recto: Ángulo de 90º.

Mayor de 360°

Ángulo

Obtuso:

Ángulo

mayor

de En resumen:

90º.

Según su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como:

Ángulo mayor de 90º.

Llano = 180°


Es aquel tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados se intersecan con la circunferencia. Ejemplo

A

B 0 D

C Actividad2 en hojas de papel milimetrado 2 ángulos agudos Líneas 5 2 ángulos rectos Segmento de R 5 2 ángulos obtusos Líneas paralelas 2 ángulos agudos Líneas secantes

Los ángulos AOB y el ángulo COD, iguales, tiene la misma medida. 2. Ángulo Inscrito.

son

Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son secantes a ésta.

Actividad 3

B

Elaborar la siguiente construcción: sobre un mismo punto construir 5 ángulos. Luego sobre ese mismo punto construir una circunferencia

0 D Conclusiones: 1. Una circunferencia tiene 360° 2. Una circunferencia se compone de muchos ángulos centrales. 3. Una circunferencia se compone de muchos ángulos centrales RELACIONES DE CIRCUNFERENCIA 1.

ANGULOS

Un ángulo central:

CON

LA

3.

Ángulo circunscrito

Ángulo cuyo vértice está por fuera de la circunferencia y sus lados son tangentes a ésta. B 0 D


RELACIONES ENTRE ANGULOS Ángulos consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando el lado final del primero es el lado inicial del segundo.

ÁNGULOS QUE SE RECTAS SECANTES:

FORMAN

CON

DOS

Se dice que dos ángulos son congruentes cuando ambos ángulos tienen la misma medida.

Actividad 1: Dibujar y nombrar pares de ángulos consecutivos.

5

Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes. 1.

Se denominan: Ángulos complementarios: si suman 90º,

Los ángulos α y el ángulo β, son iguales, tiene la misma medida. Es decir son opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice si tiene el vértice en común y los lados de uno de ellos son la prolongación de los lados del otro. Los ángulos α y el ángulo β, son opuestos por el vértice

Actividad 2: Dibujar y nombrar 5 pares de ángulos Opuestos por el vértice. Ángulos suplementarios: si suman 180º

2.

Ángulos consecutivos son aquellos que están uno al lado del otro. Es decir, el lado final del uno es el lado inicial del otro. Los ángulos γ y el ángulo α , son ánulos complementarios,


3 1

2 4

5 6

7 8

Actividad 3: Dibujar y nombrar pares de ángulos consecutivos.

5

Relaciones: Ángulos externos: 1, 3, 7, 8. Ángulos internos: 2,4,5,6. Ángulos internos alternos: 2,4,5,6. Figuras geométrica de tres lados:

3.

Dos ángulos son Ángulos suplementarios cuando son consecutivos y la suma de sus valores es un ángulo de 180º Si se conoce un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando sus grados a 180. Por consiguiente el suplemento de ángulo es lo que le falta a dicho ángulo para medir 180º. Actividad 4: Dibujar y nombrar pares de ángulos suplementarios.

1.

1. Según la longitud de sus lados Equilátero: Es el único triángulo regular, todos tienen la misma longitud

sus lados

5

Dos ángulos son Ángulos Complementarios cuando son consecutivos y la suma de sus valores es un ángulo de 180º Si se conoce un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando sus grados a 180. Por consiguiente el complemento de ángulo es lo que le falta a dicho ángulo para medir 90º.

Actividad 5: Dibujar y nombrar pares de ángulos Complementarios.

Las figuras geométricas de dos lados son los triángulos, tienen las siguientes partes o elementos:

5

Isósceles: El lado distinto se llama base = AB, y tiene dos lados de igual longitud

Escaleno: Tiene todos sus lados de diferente longitud

1. Des ángulos son opuestos por el vértice tiene el vértice en común y los lados de uno de ellos son la prolongación de los lados del otro. 2. Los ángulos AOC y el ángulo DOB, son iguales, tiene la misma medida. Por ser opuestos por el vértice, Ángulos que se forma entre dos rectas y una secante que las corta

2. Según sus ángulos


Acutángulo: Sus 3 ángulos interiores son agudos.

Semiplano: porción de un plano que ha sido cortado por una recta Polígonos: poli = varios y gonos= lados(figuras de varios lados) . figuras planas cerradas , compuestas de rectas que forman sus lados

Rectángulo: < CAB = 90° , < ABC y < BCA = agudos. Lados que forman < recto se llaman catetos. El otro, hipotenusa.

Poliedros: poli = varios y hederos = caras(figuras de varias caras) figuras tridimensionales cerradas, compuestas de polígonos que forman sus caras Lugar geométrico: se llama así a todo conjunto de puntos que tiene la misma propiedad. Triangulo rectángulo y sus partes Plano Plano. Es una superficie llana que se extiende indefinidamente. El tablero, una puerta o la

Obtusángulo: < CAB = obtuso. < ABC y < BCA = agudos.

ventana nos da la idea de un plano.

Igual que en la recta, y en todas las figuras geométricas, se puede considerar un plano como Altura: recta que corta perpendicularmente un lado de una figura cerrada

un conjunto de puntos.

Postulados:

Punto medio: punto de una recta que la divide exactamente en dos partes iguales Bisectriz: semirrecta que divide a un ángulo exactamente en otros dos ángulos iguales; tiene su origen en el vértice y esta en el mismo plano.

Por tres puntos no alineados pasa un plano y

Mediana: recta que parte de un vértice en una figura hasta el punto medio de su lado opuesto

Si una recta tiene dos puntos comunes con un

Diagonal: segmento rectilíneo trazado desde dos vértices distintos de una figura geométrica

Dos puntos de un mismo semiplano determinan

Línea quebrada o poligonal: se llama así a la figura formada por segmentos consecutivos de rectas no pertenecientes a una recta continua. Plano: área bidimensional específica del espacio

solamente uno.

plano, toda la recta está contenida en el plano.

un segmento que no corta a la recta que da origen a los dos semiplanos; y dos puntos de distinto semiplano determinan un segmento que corta a la recta.


Si dos planos tienen un punto común tiene una recta común. ÁREA Área: superficie ocupada por puntos continuos que se desplazan en dos direcciones. Si una recta la desplazamos de posición, su huella generara un área. Posee dos dimensiones: el largo, el ancho CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES AREAS NOMBRE

DEFINICION

Triángulo

Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta.

h=altura b=base

Paralelogramo

Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos.

h=altura b=base

Cuadrado

Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales.

l=lado d=diagonal

Rombo

Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º

d=diagonal mayor d'=diagonal menor

Trapecio

Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no.

b=base mayor b'=base menor h=altura

Es la porción de plano limitada por segmentos Polígono regular de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.

Círculo

Es la porción de plano limitada por la circunferencia.

FIGURA

TERMINOS

FORMULA

A=b.h

a=apotema l=lado n=número de lados

r=radio

A=p.r²


VOLUMEN Volumen: espacio ocupado por puntos continuos que se desplazan en tres direcciones. Si un 谩rea la desplazamos de posici贸n, su huella generara un volumen. Posee tres dimensiones: el largo, el ancho y la altura

VOLUMENES NOMBRE

DEFINICION

FIGURA

TERMINOS

FORMULA


Prisma

Cuerpo geométrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos

B=área de la base h=altura

V=h.B

Ortoedro

Prisma cuyas bases son dos rectángulos.

l=largo a=ancho h=altura

V=h.l.a

Cubo

Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.

a=lado

Pirámide

Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triangulos

B=área de la base h=altura

Cilindro

Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados

r=radio h=altura

Cono

Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno

r=radio h=altura

Esfera

Cuerpo geometrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.

r=radio

θ Cateto adyacente

Hipotenusa Cateto opuesto

V=a³

V=h.p.r²


Figuras geométrica de cuatro o más lados: Las figuras geométricas de tres lados son los cuadriláteros, tienen las siguientes partes o elementos: Cuadriláteros:

Tiene los 9 lados. Decágono

Tienen 4 lados. Pentágonos

Tiene 10 lados. Endecágono

Tienen 5 lados. Hexágonos

Tiene 11 lados. Dodecágono

Tienen 6 lados. Heptágonos

Tiene 12 lados. Tridecágono

Tienen 7 lados. Tienen 13 lados. Octágonos

Tienen 8 lados. Eneágono

Tetra decágono


Tiene 14 lados. Pentadecágono

Tiene 20 lados. Según sus ángulos

Tiene 15 lados. Hexadecágono

Tiene 16 lados.

Heptadecágono

Tiene 17 lados. Octadecágono

Tiene 18 lados. Eneadecágono

Tienen 19 lados.

Icoságono

Convexos


Cuestionario de definiciones básicas de geometría: (Nota: Resolver este cuestionario para el quiz oral) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

¿Qué es un punto? ¿Qué es una recta? ¿Qué es un segmento de recta? ¿Qué es una semirrecta? ¿Qué es una prolongación de una recta? ¿Qué son rectas secantes entres si? ¿Qué es un ángulo? ¿Cómo se mide un ángulo? ¿En medida de ángulos que es un grado? ¿Qué es un ángulo agudo? ¿Qué es un ángulo recto? ¿Qué es un ángulo llano? ¿Qué es un ángulo obtuso? ¿Qué es un ángulo completo? ¿Qué es complemento de un ángulo? ¿Qué es suplemento de un ángulo? Qué son ángulos adyacentes? ¿Que son ángulos consecutivos? ¿Qué es un triangulo? ¿Cuántos tipos de triángulos hay? ¿Qué es un triangulo rectángulo? ¿Qué es un triangulo obtusángulo? ¿Qué es un triangulo equilátero? ¿Qué es un triangulo isósceles? ¿Qué es un triangulo acutángulo? ¿Qué es una recta tangente a una circunferencia? ¿Qué es perímetro en geometría? ¿Qué es una recta tangente a un circunferencia? ¿Qué es una recta Secante a una circunferencia? ¿Qué es el diámetro en una circunferencia? ¿Qué es un arco en una circunferencia? ¿En medida de ángulos que es un Radian? ¿Qué es una circunferencia unitaria? ¿Cuántos son los cuadrantes en el plano cartesiano? ¿Qué es una figura geométrica circunscrita en otra? ¿Qué es una figura geométrica inscrita en otra?

Documento de geometria  

Repaso de los conceptos basicos de geometria, áreas y volumenes

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