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TEMA 4: APLICACIONES LINEALES
´ n: Las propiedades sim´etrica, reflexiva y transitiva se demuestran de forma Demostracio directa. Nos podemos preguntar ahora si habr´a muchas clases de equivalencias de matrices, es decir, si podremos encontrar muchas matrices m × n que no sean equivalentes dos a dos. La respuesta es que no, ya que la clase de equivalencia de una matriz s´olo depende de su rango: Proposici´ on 4.27 Toda matriz A ∈ Mm×n de rango r es equivalente a la matriz Cr , que tiene la forma: Ir O Cr = , O O donde Ir es la matriz identidad de orden r, y O denota a matrices nulas de las dimensiones requeridas. ´ n: Comencemos con una matriz A de rango r. Haciendo transformaciones Demostracio elementales de filas, obtenemos su reducida por filas, A0 , y una matriz invertible P tal que A0 = P A. Como A tiene rango r, A0 tendr´a r filas distintas de cero. Ahora aplicamos a A0 transformaciones elementales de columnas, y la transformamos en A00 , su escalonada por columnas, obteniendo una matriz invertible Q tal que A00 = A0 Q = P AQ. Pero la escalonada por columnas de A0 debe tener s´olo r columnas distintas de cero, y como s´olo tiene r filas distintas de cero, en esas primeras r filas deben estar todos los pivotes. Es decir, A00 = Cr , luego Cr = P AQ, y as´ı A y Cr son equivalentes, como quer´ıamos demostrar.
Corolario 4.28 Dos matrices de las mismas dimensiones son equivalentes si y s´ olo si tienen el mismo rango.
4.9.
Endomorfismos. Matrices semejantes.
Para la definici´on de equivalencia de matrices, hemos considerado dos espacios vectoriales V y V 0 , y las aplicaciones lineales entre ellos. Un caso particular importante se da cuando V = V 0 , es decir, cuando estudiamos endomorfismos de V . Si estudiamos este caso igual que el caso general, estamos permitiendo que una aplicaci´on f ∈ End(V ) tome vectores de V respecto de una base, y los env´ıe a vectores de V respecto de otra base. Pero normalmente, cuando trabajamos en un espacio V fijo, se supone que fijamos una base B, y que tanto el vector v como su imagen f (v) deben estar representados respecto