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Clase 1: TRIÁNGULOS Y 1CUADRILÁTEROS

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Triángulos y Cuadriláteros


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INTRODUCCIÓN Esta guía tiene como finalidad proporcionarte distintas instancias didácticas relacionadas con el proceso de aprendizaje-enseñanza. Requiere una mediación por parte del profesor y un estudio sistemático por parte tuya.

¿QUÉ VEREMOS? Los contenidos que aquí podrás encontrar son:

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‹ Clasificación de los triángulos ‹ Elementos principales y secundarios de los triángulos ‹ Circunferencia circunscrita, inscrita y ex-inscrita al triángulo ‹ Clasificación de los cuadriláteros ‹ Elementos de los cuadriláteros

Triángulos y Cuadriláteros

‹ Teoremas fundamentales sobre paralelogramos y trapecios Además resolverás 5 ejercicios dónde tendrás que: Aplicar: Esto implica hacer uso de tu conocimiento, utilizando métodos, conceptos, teorías y tus habilidades. Analizar: Deberás conocer, comprender, interpretar e inferir información a partir de datos que pueden presentarse de forma explícita o implícita. Evaluar: Ésta es la más compleja de las habilidades, pues implica conocer, comprender, discriminar, seleccionar y concluir información para argumentar una respuesta.


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POLÍGONOS Polígono: es toda figura plana, cerrada, limitada por un número finito de lados rectos. De acuerdo al número de lados, los más utilizados se clasifican en: ‹ Triángulos 3 lados ‹ Cuadriláteros 4 lados ‹ Pentágonos 5 lados ‹ Hexágonos 6 lados

3 ‹ Octágonos 8 lados

Número de diagonales desde un vértice (d). Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices es: d = n ` 3 Número Total de diagonales (D). Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar es: D=

n(n ` 3) 2

Suma de los ángulos interiores (Si ). Si n es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos interiores es: Si = 180‹ (n ` 2) Suma de los ángulos exteriores (Se ). La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo es siempre 360‹ . Se = 360‹

Triángulos y Cuadriláteros

Polígonos Regulares Se denomina polígono regular, a aquél que tiene todos sus lados y ángulos interiores congruentes. Ejemplos: Triángulo Equilátero, Cuadrado. Polígonos IrregularesSon aquellos que NO son regulares, es decir, no cumplen una o ambas condiciones de los polígonos regulares. Ejemplos: Rombo, Rectángulo. Polígonos Convexos Son aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores a 180‹ . Polígonos Cóncavos Son aquellos polígonos que poseen, al menos, un ángulo interior que mide más de 180‹ .


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TRIÁNGULOS El triángulo es un polígono convexo de tres lados. Elementos del triángulo Elementos principales: ‹ Vértices: los designaremos con las letras mayúsculas A, B y C.

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‹ Lados: los designaremos con las letras minúsculas a, b y c, que además, corresponderán a los vértices opuestos A, B y C respectivamente. El perímetro de un triángulo se obtiene al sumar las longitudes de los lados: P4ABC = a + b + c. ‹ Ángulos: los ángulos interiores los designaremos con las letras griegas ¸, ˛ y ‚. Observación: No puede existir ni dibujarse un triángulo sin estos elementos fundamentales.

Triángulos y Cuadriláteros

Elementos Secundarios: ‹ Alturas: son las perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (corresponde a la distancia desde un vértice al lado opuesto).

Las tres alturas se cortan en un mismo punto H, llamado ortocentro. Además, conociendo la medida de un lado y su altura respectiva,


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2013GeoPSU podemos calcular el área del triángulo: A4ABC =

b ´ hb c ´ hc a ´ ha = = 2 2 2

‹ Simetrales: son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de sus lados.

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‹ Transversales de Gravedad: son los trazos que se obtienen al unir un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las transversales de gravedad de un triángulo se cortan en un mismo punto G, llamado centro de gravedad o baricentro del triángulo.

Triángulos y Cuadriláteros

Las simetrales concurren en un mismo punto O, que a su vez, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (pasa por los tres vértices). A este punto se le llama circuncentro.


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2013GeoPSU โ€น Bisectrices de los รกngulos interiores: Las bisectrices dividen a cada รกngulo interior en dos partes iguales.

6 Las bisectrices se cortan en un mismo punto I, que ademรกs es el centro de la circunferencia inscrita al triรกngulo. A este punto se le llama incentro. Para determinar el radio de esta circunferencia inscrita, se traza la perpendicular desde el centro I hasta los lados.

Triรกngulos y Cuadrilรกteros

โ€น Bisectrices de los รกngulos exteriores: Las bisectrices exteriores dividen a cada รกngulo exterior del triรกngulo en dos partes iguales. Como existen tres รกngulos exteriores diferentes, sus bisectrices al intersectarse determinan los centros de tres circunferencias llamadas circunferencias ex inscritas, cuyos centros son O 0 ; O 00 ; O 000 . Para determinar el radio de estas circunferencias, se trazan las perpendiculares desde los centros O 0 ; O 00 ; O 000 hasta los lados.


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2013GeoPSU ‹ Medianas de un triángulo: son los trazos que se obtienen al unir los puntos medios de dos lados.

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Observación: La mediana es paralela a un lado y mide la mitad de la longitud de éste.

Clasificación de triángulos

‹ Lados: 4 escaleno: sus tres lados son desiguales. 4 isósceles: tiene dos lados iguales y uno distinto llamado base. 4 isósceles: tiene dos lados iguales y uno distinto llamado base. Observaciones: En un triángulo, sus tres ángulos interiores suman 180‹ . Entonces, en el triángulo equilátero cada ángulo interior mide 60‹ . Los ángulos basales del triángulo isósceles tienen igual medida. ‹ Ángulos: 4 acutángulo: los tres ángulos interiores son agudos (0‹ < ]¸ < 90‹ ). 4 obtusángulo: tiene un ángulo obtuso (90‹ < ]¸ < 180‹ ). 4 rectángulo: tiene un ángulo recto (]¸ = 90‹ ).

Triángulos y Cuadriláteros

Un triángulo se puede clasificar según sus:


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CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y cuatro ángulos exteriores.

Clasificación ‹ Paralelógramos: tienen dos pares de lados paralelos. ‹ Trapecios: tienen un par de lados paralelos.

8 ‹ Trapezoides: no tienen lados paralelos.

1. Paralelógramos

Triángulos y Cuadriláteros

Se caracterizan por ‹ Ángulos opuestos congruentes y ángulos consecutivos suplementarios. ‹ Lados opuestos congruentes y paralelos. ‹ Las diagonales se dimidian.

Cuadrado ‹ 4 lados congruentes, de longitud a. ‹ 4 ángulos interiores iguales a 90‹ ‹ Área = a2 ‹ Perímetro = 4a p ‹ Diagonal = a 2. Las diagonales son congruentes, perpendiculares y se dimidian (AE = EC = DE = EB).


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2013GeoPSU Rectángulo ‹ 2 pares de lados congruentes ‹ 4 ángulos interiores iguales a 90‹ ‹ Las diagonales son congruentes y se dimidian ‹ Área = largo ´ ancho = a ´ b ‹ Perímetro = suma de sus 4 lados = 2(a + b) p p (largo)2 + (ancho)2 = a2 + b2 ‹ Diagonal = Rombo

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‹ 4 lados iguales ‹ ángulos opuestos iguales ‹ Las diagonales son perpendiculares, se dimidian y son bisectrices

‹ Perímetro = suma de sus 4 lados = 4a Romboide ‹ 2 pares de lados iguales ‹ Ángulos opuestos iguales ‹ Las diagonales se dimidian ‹ Área = base ´ altura ‹ Perímetro = suma de sus 4 lados = 2(a + b)

2. Trapecios ‹ Un par de lados paralelos, llamados bases ‹ Mediana (MN): Trazo que une los puntos medios de los lados NO paralelos

Triángulos y Cuadriláteros

‹ Área = lado ´ altura producto de las diagonales = 2


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2013GeoPSU ‹ La mediana MN dimidia a la altura ‹ El área del trapecio corresponde a la semisuma de sus bases, por la altura ‹ Área = Mediana ´ altura ‹ Los ángulos consecutivos de los lados NO paralelos son suplementarios

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Trapecio Rectángulo ‹ Tiene 2 ángulos rectos ‹ ˛ + ‹ = 180‹ ‹ CA: altura del trapecio

Triángulos y Cuadriláteros

Trapecio Isósceles ‹ Ángulos basales iguales ‹ Lados no paralelos congruentes : AD = BC ‹ Diagonales congruentes: AC = BD ‹ Al trazar las alturas desde los vértices superiores, se forman en ambos extremos del trapecio dos triángulos rectángulos congruentes Trapecio Escaleno

‹ Todos sus lados son distintos


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2013GeoPSU 3. Trapezoides Trapecio Simétrico (Deltoide) ‹ Está formado por 2 triángulos isósceles con base común AC ‹ Las diagonales son perpendiculares ‹ La diagonal DB es bisectriz del ángulo ADC y del ángulo CBA ‹ La diagonal DB dimidia a la diagonal AC (AE = EC) ‹ Área =

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AC ´ DB 2

Trapecio Asimétrico ‹ Lados distintos y ángulos interiores distintos

Triángulos y Cuadriláteros

‹ Para calcular su área, se descompone en figuras conocidas (triángulos, cuadrados, rectángulos, etc.)


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EJERCICIOS PROPUESTOS Escoge sólo una alternativa como respuesta a cada pregunta. Marca claramente la letra seleccionada. 1. En la figura, si ABC y BF D son triángulos equiláteros y BF EC es un rombo, entonces ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

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I. x = z II. x + y = ]EBD III. x + y ` z = 60‹

a) Sólo I b) Sólo II

Triángulos y Cuadriláteros

c) Sólo III d) I y II e) I, II y III 2. En el triángulo ABC la transversal de gravedad trazada desde el vértice C, es también la bisectriz del ángulo ACB. Entonces el ángulo x mide: a) 30‹ b) 60‹ c) 50‹ d) 65‹ e) 40‹


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2013GeoPSU 3. En el triángulo isósceles ABC se traza la altura desde el vértice A. Además, DE ? AB y ]CAD = 40‹ , entonces ]BDE mide: a) 40‹ b) 20‹ c) 50‹ d) 25‹ e) 30‹

13 4. En la figura, AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo ABCD? a) 2 b) 6 p c) 2 3 p d) 3 3 p e) 3 2

a) 12 cm b) 20 cm c) 24 cm d)

9 cm p e) 4 2 cm

Triángulos y Cuadriláteros

5. La figura está compuesta por 3 rectángulos congruentes de lados 4 cm y 8 cm. Si P; Q; R; S son puntos medios, ¿cuál es la medida de OT ?


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