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Este ejemplo es interesante, puesto que

Ejemplo 9.1. Considérese una manguera de sección circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. ¿ Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de

muestra el mecanismo mediante el cual al disminuir el diámetro de la boquilla, se logra que el agua salga con una velocidad que

permite

regar

a

distancias

convenientes. Note que ha disminuido el diámetro a la mitad, sin embargo la velocidad ha aumentado 4 veces, debido a

diámetro interior.

la relación cuadrática de las áreas. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua?

Solución: Ejemplo 9.2. Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25Lt/s, de tal manera que según la ec (27):

Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9 m3/min, como se muestra en la figura:

G=Av

En a el diámetro es 30 cm y la

presión es de 1 Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es

Por lo que :

de 15 cm y que el centro de la tubería se " 3 cm # $ 0,25x10 % s ' G cm vm ( ( & ( 79,6 A s 3,14x12 cm2 3

halla 50cm más bajo que en a?

!

Ahora, la ecuación (18) permite calcular la velocidad de salida del agua por la boquilla, puesto que el flujo que pasa por la manguera es el mismo que pasa por la boquilla. Es decir, se debe cumplir la relación: Amvm = Abvb De donde se tiene: vb (

A m Vm G ( Ab Ab

cm3 0,25x10 s ( 316,5 cm vb ( s 3,14x0,52 cm2

Solución: Entre los puntos a y b se puede usar la ecuación de continuidad, de manera tal que: AAvA=AB vB=G

3

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Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl

De

donde

se

pueden

calcular

las

velocidades en a y en b :

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9m3 G m cm 60s vA ( ( ( 2,14 ( 214 2 2 A A 3,14x0,15 m s s

v0=v1=v En consecuencia, aplicando la ecuación de Bernouilli a puntos en la parte superior y la

9m3 G m cm 60s vB ( ( ( 8,33 ( 833 2 2 A B 3,14x0,075 m s s

parte inferior, se tiene: P0+*gh0+½ *v2=P1+*gh1+½*v2 P0+*gh0=P1+*g 1

También se puede ocupar la ecuación de

De donde:

Bernouilli para relacionar ambos puntos, de P1 =P0+ *g[h0-h1]

la que se puede calcular la presión en b:

P1=1,5[1,01x105Pa]+[1,30x103Kg/m3]

1 1 *v A 2 ( PB ) *ghB ) *vB 2 2 2 1 PB ( PA ) *g hA + hB ! ) * v A 2 + vB 2 2

PA ) *ghA )

[9,8m/s2][0m-1,0m]

!

PB ( 106 ) 1. 980 . 50cm )

P1=151500Pa-12740Pa=1,38atm

1 ,1 45796 + 693889 ! -0 2/

Dinas PB ( 724953,5 cm2

¡La presión bajó desde 1,5atm hasta 1,38atm!. Esta conclusión parece contradecir lo encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones

eran

inversamente

proporcionales a las velocidades.

Ejemplo 9.3. Un

tubo

Sin

embargo, ha de recordarse que aquel era que

incompresible

conduce cuya

un

fluido

densidad

es

cierto bajo la restricción de líneas de flujo horizontales,

en

las

que

no

hubiera

1,30x103Kg/m3 es horizontal en h0=0m.

diferencias significativas en la energía

Para evitar un obstáculo, el tubo se debe

potencial del fluido en movimiento.

doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1=1,00m.

El tubo tiene área

transversal constante. Si la presión en la

Ejemplo 9.4.

sección inferior es P0=1,50atm. Calcule la

Un fluido incompresible fluye de izquierda a

presión P1 en la parte superior.

derecha por un tubo cilíndrico como el que

Solución:

se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de 1000 kg/m3. Su velocidad

Según lo que predice la ecuación de continuidad,

al

tener

área

transversal

constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto: 16/04/2008

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en el extremo de entrada es v0=1,5m/s, y la presión allí es de P0=1,75N/m2, y el radio de la sección es r0=0,20m. El extremo de salida está 4,5m abajo del extremo de 324


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Ejemplo 9.5.

entrada y el radio de la sección allí, es r1=0,075m.

Encontrar la presión P1 en

Un tanque cilíndrico de 1,80m de diámetro

ese extremo.

descansa sobre una plataforma de una torre a 6m de altura, como se muestra en la figura. Inicialmente, el tanque está lleno de agua, hasta la profundidad h0=3m. De un orificio que está al lado del tanque y en la parte baja del mismo, se quita un tapón que cierra el área del orificio, de

Solución:

6cm2.

La presión se puede encontrar mediante la

¿Con qué velocidad fluye inicialmente el

ecuación

agua del orificio?.

de

previamente velocidad

Bernouilli ;

sin

necesitaremos v1

con

la

embargo,

calcular

ecuación

la

¿Cuánto tiempo necesita el tanque para

de

vaciarse por completo?.

continuidad : A0v0=A1 v1 De donde: v1 ( A 0

v0 v v ( 1r0 2 02 ( r0 2 20 A1 1r1 r1

" m# 202 x10 +4 m $ 1,5 % m s' & v1 ( ( 10,7 s 7,5x10+4 m

!

Solución: Este problema es muy importante, puesto

Ahora, según Bernouilli :

que

1 1 *v 0 2 ( P1 ) *gh1 ) *v12 2 2 1 2 P1 ( P0 ) *g h0 + h1 ! ) * v 0 + v12 2

numéricamente algunos conceptos y por

P0 ) *gh0 )

otra

!

P1 ( 1,75x104 ) 103 . 10 . 4,5 )

por

parte,

una

parte

aún cuando

revisaremos

no

trata

de

conceptos directamente considerado en la teoría

aquí

expuesta,

contiene

otros

elementos que son relevantes para los 1, 3 10 1,52 + 10,72 / 0 2 estudiantes.

!

P1 ( 17500 ) 45000 + 56120 Al soltar el tapón, se tiene una situación

P1 ( 6380Pa

regulada por la ec. de Bernouilli; de tal Note que si ponemos una válvula y

manera que se puede calcular la velocidad

cortamos el flujo de agua, P1=sube ! 16/04/2008

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con que sale inicialmente el agua por el orificio, como hemos hecho hasta ahora: P1 ) *gh1 )

1 2 1 *v1 ( P2 ) *gh2 ) *v 22 2 2

Consideraremos la referencia en el piso;

P2+*gh2+½*V22=P3+*gh3+½*V32 Con P2=P3=P0 : P0+*gH+½*V22=P0+*g[0]+½*V32 De donde: v32=v22+2gh

además tanto en 1 como en 2 la presión es la atmosférica, y v1=0, puesto que la relación entre las áreas del tanque y del orificio permite despreciarlo a través de la ecuación de continuidad. (Note que:

A1 1r12 ( ( 4239 A 2 6cm2

v32=58.8 m2/s2+2[9,8m/s2][6 m] v3=13,3m/s Hasta aquí, el problema es resuelto como ha predicho la teoría expuesta.

embargo, calcular el tiempo que demora el tanque

¡La velocidad en 2 será 4239 veces mayor que la velocidad en 1! ).

en

vaciarse

requiere

de

consideraciones distintas, puesto que la profundidad no será constante, como en los casos anteriores.

De lo anterior:

Sin

Esto producirá que la

velocidad con que baja el fluido en el 1 1 2 P0 ) *g h ) h0 ! ) * 0 ! ( P0 ) *gh ) *v 2 2 2 2

tanque, así como la velocidad con que sale el líquido por el orificio, no sean constantes

De donde:

en el tiempo. v 22 ( 2gh0

Tal como lo habíamos previsto según Torricelli.

Para resolver esto, consideraremos que la altura h del líquido disminuye en dh durante un intervalo de tiempo dt (ver figura). Entonces, la velocidad con que baja el

Es interesante esta expresión, puesto que

fluido en el tanque v1, queda determinada

la velocidad no depende de la densidad del

por la expresión:

líquido, tal como la caída de un objeto no depende de su masa en ausencia de aire. Por lo tanto:

v1 ( +

dh dt

Negativa puesto que h disminuye en el

m# m " v 2 ( 2 $ 9,8 2 % 3m ! ( 7,7 s s ' &

tiempo. Adicionalmente, se tiene que

Luego, aplicando nuevamente Bernouilli

Como ya sabemos, expresión que es cierta

para los puntos 2 y 3, podemos calcular la

para todo t, de donde:

v1A1=v2A2

velocidad con que llega el agua al suelo: 16/04/2008

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v1 ( v 2

1 , 21r12 4 +h0 2 5 / 0 t( 2gA 2

A2 A1

Al igualar ambas expresiones, se tiene: +

A dh ( v2 2 dt A1

Además, según torricelli como hemos visto:

Remplazando valores : 1

2 3,14 ! 0,9m ! 3m ! 2 2

t(

v 2 ( 2gh

m# " 2 $ 9,8 2 % 0,0006m2 s ' &

!

t= 3263,3 segundos

Por lo que: Se

A dh , + ( 2gh -0 2 dt / A1

recomienda

revisar

con

especial

cuidado la lógica seguida en la solución de este problema.

Que se puede expresar como : +

A ( ,/ 2g -0 2 dt A1 h

dh

Ejemplo 9.6. Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro

Integrando la expresión para el intervalo

se llena hasta 0,3 m de profundidad con

entre t=0, donde la profundidad es h0 y el

agua. El espacio encima del agua está

tiempo 222t=t, donde la profundidad es h, se

ocupado con aire, comprimido a la presión

tiene :

de 2,026 x105 N/m2. De un orificio en el 1 + A + 3 h 2 dh ( ,/ 2g -0 2 3 dt A1

fondo se quita un tapón que cierra un área de 2,5 cm3. Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a través de este

1 , 1 A +2 4h 2 + h0 2 5 ( ,/ 2g -0 2 t A1 / 0

orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque cuando se quita el tapón.

Despejando t:

P1 v1 A1

1 , 1 +2A1 4h 2 + h0 2 5 / 0 t( , 2g - A 2 / 0

h Cuando el tanque se vacíe, h=0, por lo que: 1 , +2A1 4 +h0 2 5 / 0 t( 2gA 2

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P2 v2

A2

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Pero

Solución: Cuando el fluido sale del tanque, de acuerdo al tercer principio de Newton, reacciona con una fuerza hacia arriba

podemos

continuidad

y

suponer h2=0,

v1=0

usándola

por como

referencia: De aquí:

sobre el tanque de igual magnitud, pero de v 22 (

dirección opuesta a la fuerza con que es

2 P1 + P2 ! *

) 2gh1

expulsado. Por otro lado, el segundo principio de Newton establece que el impuso que recibe el fluido expulsado, debe ser equivalente al cambio en su cantidad de movimiento. Justo

al

ser

soltado

la

cantidad

Por lo que: , 2 P1 + P2 ! ) 2gh1 5 F ( *A 2 4 * / 0

Reemplazando: de

movimiento del líquido es cero, pero dt segundos más tarde, habrá sido expulsado

!

, 2 2,026x106 + 1,013x106 ) 2 980 ! 30 ! 5 F ( 1! 2,5 ! 4 1 4 5 / 0

un elemento de líquido de masa dm, que tendrá una velocidad v2 en dirección hacia

F=5 212 000 D=52,12 N

abajo.

Cuando la presión P1 es suficientemente

En consecuencia:

grande, este es básicamente el mecanismo de propulsión de un cohete

dp=v2dm=v2[*dv]=v2*[A2dy] dp=v2*A2[v2dt]=v22*A2dt Esta cantidad de movimiento dirigida hacia arriba será la comunicada al tanque, la que debe ser igual al impulso de la fuerza que actúa sobre él, de modo que: Fdt=v22*A2dt De donde: F=v22*A2 La velocidad de salida puede calcularse con la ecuación de Bernouilli: P1 ) *gh1 )

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1 2 1 *v1 ( P2 ) *gh2 ) *v 22 2 2

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Ejercicios Resueltos de Hidrodinamica